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INSTITUT DES TECHNICIENS SPÉCIALISÉS EN GÉNIE RURAL ET TOPOGRAPHIE DE MEKNÈS

COURS DE HYDRAULIQUE GÉNÉRALE

Pour les élèves techniciens spécialisés en Gestion & Maîtrise de l 'Eau (1° Année) (Polycopié étudiant et professeur)

M. ABDELLAH BENTALEB ANNÉE SCOLAIRE 2009 / 2010 (Édition Provisoire)

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MEKNÈS / M. ABDELLAH BENTALEB

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FICHE DE PRÉSENTATION DU COURS DE HYDRAULIQUE GÉNÉRALE

Enseignant : M. Abdellah

BENTALEB.

Niveau : BTS 1° année Volume horaire : 100 h 1.

Objectif général : Initier l’apprenti à la notion des liquides et en particulier l’eau, leur écoulement, que ça soit sous pression ou à surface libre. Ainsi qu’une introduction aux appareils hydrauliques tels que (piézomètre, venturi, …) et aux machines hydrauliques telles que (pompes et turbines).

2.

Situation d’apprentissage : Cours + photos (et vidéo) + TD + devoirs

3.

Documents et matériels didacticiels : polycopié + tableau (et feutres) + photos (et films) +

+ tests + TP.

situation réelle (TP). 4.

Démarche pédagogique : Le cours au début (et mise à niveau) + (selon la situation) projection de photos (films) à discuter et finir avec les TP.

5.

Évaluation : des exemples d’application pendant le cours et exercices de réflexion en fin de chapitre (+ devoir), test de contrôle par chapitre, contrôle final.

6.

Documents et références bibliographiques : Internet, livres.

7.

Recommandations et observations : le cours est à faire : 

De préférence au début (ou en parallèle) avec d’autres cours techniques (Irrigation sous pression, gravitaire).



Et surtout avant de partir en stage.

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INTRODUCTION

Jusqu'à présent, vous n'avez fait que l'étude des forces des systèmes matérialisés (Exemple : étude de billes, ...). C'est à dire: o Étude de la statique. o Étude de la dynamique du point matériel, et par la suite, des systèmes matériels. C'est d'une façon générale, l'étude de la mécanique. Dans ce cours, il sera étudié une mécanique un peu spéciale, C'est la mécanique des liquides en générale, et celle de l'eau en particulier. Ainsi, l'eau, et contrairement à un système matérialisé, n'a pas une forme fixe, mais remplit la forme qui lui est donnée. Par conséquent, l'étude de la mécanique des liquides (et de l'eau en particulier) se divise en deux grandes parties:  

Étude mathématique. Étude expérimentale.

1.1 ÉTUDE MATHÉMATIQUE En un premier lieu, il y a l'étude mathématique, qui fera la suite de ce que vous avez fait auparavant. Ainsi, cette étude se décompose-en :

1.1.1 HYDROSTATIQUE L'hydrostatique est l'étude des liquides en équilibre (repos). C'est le cas des études de la stabilité des barrages (et tout ouvrage hydraulique d'une façon générale), sous l'effet des masses d'eau exerçant d'énormes forces de pression.

1.1.2 HYDRODYNAMIQUE L'hydrodynamique est l'étude des écoulements des liquides en mouvement, elle se décompose-en: 1.1.2.1 HYDRODYNAMIQUE DES LIQUIDES PARFAITS Pour simplifier l'étude au début, il sera supposé que le liquide soit parfait. C'est à dire, que les forces résistantes (frottements, ...) soient nulles. Ainsi, cette première approche donnera une idée sur la théorie des écoulements. 1.1.2.2 HYDRODYNAMIQUE DES LIQUIDES RÉELS Une fois l'étude simplifiée sera faite, l'étude de l'hydrodynamique des liquides réels sera entamée, vu que rien n'est parfait. A ce niveau, les forces résistantes ne seront plus négligées, et très vite, l'étude deviendra trop complexe. C'est à dire, elle aboutira à un ensemble d'équations qui ne peuvent pas être résolues facilement. D'où, le recours plutôt à des études simplifiées, reposantes sur des expériences beaucoup plus que sur la théorie mathématique.

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1.2 ÉTUDE EXPÉRIMENTALE Vu la complexité de l'étude précédente (étude mathématique), les hydrauliciens sont obligés à la compléter par les études expérimentales. Cette science portera le nom de l’HYDRAULIQUE, et développera un ensemble de lois simples qui :  

Remplacent la résolution des équations complexes de l'étude précédente (mathématiques). Donnent un ensemble de formules empiriques (approchées et non mathématiques) aboutissant à des solutions simples, non exactes ; mais bien adaptées.

Sur ce, le présent plan d'étude sera suivi pour étudier cette matière D'HYDRAULIQUE GÉNÉRALE en un volume horaire d'une centaine d'heures pour le cours, TD et TP. N.B: Ce cours sera complété par d’autres cours pour étudier:  

Les écoulements souterrains (voir hydrogéologie) Les turbines et pompes (voir machines hydrauliques)

Pour mieux suivre ce cours, il faudra maitriser auparavant: 

En cours de mathématiques o o o o o



En cours de physique o o o o o



La dérivée et le calcul des erreurs. Les intégrales et le calcul des surfaces. Les formes géométriques et la trigonométrie. Le calcul d'une moyenne de données, son écart type. Le calcul de la régression linéaire (méthode des moindres carrés)

Les systèmes des unités (S.I., ...) La composition et décomposition des forces. La loi fondamentale de la dynamique. Les énergies (Potentielle, cinétique, ...) L'équilibre d'un système matériel (en rotation)

En cours d’Excel (informatique) o o o o o o

Faire une feuille de calcul avec des formules et/ou des fonctions. Résoudre une équation (ou inéquation): valeur cible. Résoudre des équations (ou inéquations) à plusieurs variables: Solveur. Tracer un graphe à partir d'une feuille de calcul. Habiller un graphe. Déterminer l'équation de la régression linéaire

NOTA : Au cours du déroulement de ce cours, vous aurez à :    

Faire des devoirs (surveillés et / ou non) Passer des tests de connaissances Rédiger le compte rendu des Travaux Pratiques Passer les contrôles qui seront affichés régulièrement

Et le tout sera compté pour la note finale.

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Sur ce, le plan d’étude sera le suivant :

CHAPITRE

VOLUME HORAIRE

1. INTRODUCTION

2

2.

GÉNÉRALITÉS

4

3.

HYDROSTATIQUE

8

4.

CINÉMATIQUE DES LIQUIDES

4

5.

HYDRODYNAMIQUE DES LIQUIDES PARFAITS.

8

6.

HYDRODYNAMIQUE DES LIQUIDES RÉELS

16

7.

ÉCOULEMENT EN CHARGE.

14

8.

ÉCOULEMENT A SURFACE LIBRE.

15

9.

RÉCAPITULATION.

2

10. TRAVAUX PRATIQUES.

20

CONTRÔLES

8

VOLUME HORAIRE TOTALE

≈ 100

4

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GÉNÉRALITÉS

2.1 DÉFINITION Un fluide peut être considéré comme étant formé d'un grand nombre de particules matérielles, très petites et libres de se déplacer les unes par rapport aux autres. Un fluide est donc un milieu matériel continu, déformable, sans rigidité et qui peut s'écouler. Il en résulte que les liquides n’ont pas de forme propre, et ils se moulent à la forme du récipient qui les contient. Ainsi, et comme tout corps, les liquides ont un ensemble de propriétés qui les caractérisent:

2.2 EN HYDROSTATIQUE En hydrostatique, la force dominante est la force d’inertie (masse), qui se caractérise par le volume, et par la suite, on a:    

La masse volumique. Le poids spécifique. La densité. La pression.

2.2.1 MASSE VOLUMIQUE La masse volumique est la masse de l’unité de volume d’un corps donné, et qui se note par :

RHO  Masse Volume

 M V

Pour le cas de l’eau, on a en général,  ≈ 1 tonne/m3 Équation aux dimensions : Masse * Long –3 ; Soit en S.I, on a : Kg/m3 dans le système international (S.I) Exemple : Calculer la masse volumique  +/- Δ d’un liquide de volume V = 5 l +/- 0.005 l et de masse M = 4 kg +/- 10 g 800 +/- 2.8 Kg/m3 ρ = Masse / Volume = 4 kg/5 L = 4 000 Kg/5 m3 = 800 Kg/m3 Pour les erreurs, le plus simple est de passer par le logarithme. Ln ρ = Ln (M / V) = Ln M – Ln V Et la différentielle sera dρ / ρ = dM / M - dV / V En incertitude, le signe n’est jamais connu, par suite, le signe plus l’emporte. Soit : Δρ / ρ = ΔM / M + ΔV / V = 10/4 000 + 0.005/5 = 0.35% Δρ = 0.35% * 800 = 2.8 Kg/m3

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2.2.2 POIDS SPÉCIFIQUE Le poids spécifique est le poids de l’unité de volume d’un corps donné, et qui se note par :

PSI 

Poids Volume

  P V

Le poids spécifique est relié à la masse volumique par : Ψ

= g

Avec :  : Masse volumique en kg/m3, équation aux dimensions [M * L-3] g : Accélération en m/s/s, équation aux dimensions [L * T-2] Ψ : Poids spécifique en N/m3, équation aux dimensions [M * L-2 * T-2]. Pour le cas de l’eau, on a en général, Ψ ≈ 10 000 N/m3 Exemple : Calculer le poids spécifique d’un liquide de volume V = 5 l et de masse M = 10 Kg. On prend g = 10 S.I 20 000 N/m3 Il suffit d’appliquer tout simplement la formule : Ψ = P / V = Mg / V = 10 * 10 / 5 N/L = 20 N/L = 20 000 N/m3

2.2.3 DENSITÉ D’UN CORPS La densité d’un corps est un nombre sans dimension, qui exprime le rapport du poids (ou la masse) de ce corps au poids (ou la masse) d’un volume égal d’une substance prise comme référence. Pour les liquides, la substance de référence est l’eau prise à 4 °C

Masse de ce liquide Densité d’un liquide = Masse d’un égal volume d’eau Après transformation, et en fonction de la masse volumique, elle sera donnée par la formule suivante:

d= ρl / ρe Exemple : Calculer la densité d +/- Δd d’un liquide de masse volumique 0.95 +/- 0.05 Kg/l si on admet que celle de l’eau est 1 000 Kg/m3. 0.95 d = ρc ρe = 0.95 Kg/L * 1 / 1000 kg/m3 = 0.95 (Sans unité) Δd d = Δ ρc / ρe = 0.05/0.95 = 0.053 (Sans unité) Nota : Il faut toujours faire attention au changement des unités (et les transformations …).

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2.2.4 PRESSION La pression est le rapport de la force rapportée à la section qui la supporte:

Pr ession 

Force Section

Et ceci représente la pression moyenne, alors que la pression en un point sera la dérivée de la fonction force par rapport à la section qui la supporte.

P  dF

dS

Avec : F : Force en NEWTON → [M * L * T-2] et en S.I, c’est le newton N S : Section en m2 → [L 2] P : Pression en PASCAL → [M * L-1 * T-2] et en S.I, c’est le pascal Pa Unités utilisées en hydraulique : Bien se rappeler que : 1 Pa = 1 N/1 m2 (en système international) 1 Kgf / cm2 : Poids d’une masse de 1 kg sur une section de 1 cm2 1 mCE : l’équivalent de la pression exercée par une colonne d’eau de 1 mètre de hauteur. Exemple : Donner l’équivalence d’un Pascal en kgf/m2 et réciproquement. 1 Pa = 1 N/1 m2 = 0.1 Kgf/10 000 cm2 = 10-5 Kgf/cm2 1 Kgf / cm2 = 10 N/(0.01)2 m2 = 10/10-4 N/m2 = 105 Pa Remarque : Il faudra faire attention aux unités ; et surtout, ne pas oublier de les noter.

2.2.5 MODULE D’ÉLASTICITÉ Le module d’élasticité exprime la compressibilité d’un liquide : C’est le rapport de la variation de la pression à la variation du volume par unité de volume.

E



dP dV

V

Avec : E : Module d’élasticité en kg/ms2→ [M * L-1 * T-2] dP : Variation de la pression en Pascal. →[ M * L-1 * T-2] dV et V : Variation du volume et le volume en m3. → [L3] Remarque : L’équation aux dimensions du module d’élasticité est équivalente à celle de la pression. C’est le [M*L-1 * T-2]

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En général, il est admis que la compressibilité de l’eau est négligeable. Mais, pour l’étude de quelques cas particuliers (Étude du coup de bélier par exemple), cette variation est prise en considération Bien remarquer que dP et dV sont de signe contraire, c’est à dire :  Quand (P ↑ → V ↓) ↔ (Δ P > 0 → ΔV < 0)  Quand (P ↓ → V ↑) ↔ (Δ P < 0 → ΔV > 0) Exemple : calculer le module d’élasticité d’un liquide, si on a un volume de 30 dm3 à la pression de 35 kgf/cm2 et un volume de 29.7 dm3 à la pression de 250 kgf/cm2. 2.15 * 109 Pa Δ P = 35 - 250 = - 215 kgf/m2 ΔV = 29.7 - 30 = 0.3 dm3 ΔP 215 E= = ΔV / V 0.3 / 30

= 21 500 kgf/cm2 = 2.15 * 109 Pa (Attention aux unités)

2.3 EN HYDRODYNAMIQUE Si en hydrostatique, la force de l’inertie est la force dominante, en hydrodynamique, la force dominante est la résultante des forces résistantes à l’écoulement. Ainsi, ces forces résistantes (de frottement) se décomposent- en: 

Frottements entre molécules du liquide entre elles quand elles se déplacent, C’est la force de viscosité.



Frottements entre molécules du liquide et la paroi qui supporte l’écoulement du liquide, C’est la force de rugosité.

2.3.1 FORCE DE VISCOSITÉ Les forces de viscosité représentent des forces résistantes aux efforts tangentiels qui tendent à faire déplacer les couches du liquide les unes par rapport aux autres.

2.3.2 FORCE DE RUGOSITÉ Les forces de rugosité représentent des forces résistantes dues à l’interaction entre les molécules du liquide et la paroi qui les supporte lors de l’écoulement. Exemple d’illustration : Dans un écoulement à travers un canal ou plutôt un oued, vous remarquez qu’en conséquence de ces deux notions de viscosité et rugosité, on a :  

La vitesse au bord de l’oued est presque nulle. Alors que la vitesse au centre est maximale.

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EXERCICES Objectifs : Se familiariser avec les unités et les changements d’unité Exe 1 : Calculer la masse d’un liquide M +/- ΔM de volume V = 5 l +/- 0.01 l et de masse volumique 0.84 kg/dm3 (= une constante) = 4.2 +/-0.008 kg

Exe 2: Calculer le volume d’un liquide de masse volumique 1.04 kg/dm3 et de masse M = 1.02 t = 0.98 m

3

Exe 3 : Calculer le poids d’un liquide de volume V = 5 m3 et de poids spécifique = 100 N/l.

Exe 4 : Calculer le volume d’un liquide V de poids 4.5 kgf et de poids spécifique 90 N/l.

= 500KN

=0.5 L

Exe 5 : Calculer le poids spécifique d’un liquide de masse volumique = 0.85 Kg/l si on admet que l’accélération terrestre g = 9.81 m/s/s. Vérifier l’équation aux dimensions ! ? = 8.34 N/L

Exe 6 : Calculer la masse volumique d’un liquide de densité 1.02 si on admet que la masse volumique de l’eau est 1 Kg/l. = 1.02 Kg/L

Exe 7: Calculer la pression qu’exerce une force F = 120 kgf sur une section de rayon R = 5 cm. =150 Pa

Exe 8: Calculer la force exercée si la pression est 1.5 Pa sur une section carré de coté C = 0.5 m = 0.375 N

Exe 9 : Calculer la section (en cm2) qui supporte une pression es 1.5 Kgf/cm2 si la force exercée 2 est de F = 125 N. = 8.3 cm

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EXERCICE DE RECHERCHE On vient de voir que 1 Pa = 10-5 Kgf/cm2. Calculer sur ce principe de raisonnement ce qui suit :

1. Calculer 1 Pa en mCE P = 1 Pa = ρg * h →h = P / ρg = 1 Pa/1 000 Kg/m3/10 m/m/s = 10-4 mCE 2. Calculer 1 mCE en Pa P = ρg * h 1000 Kg/m3 * 10 m/m/s * 1 mCE = 10-4 mCE 3. Calculer 1 Kgf/cm2 en mCE P = F / S = 1 Kgf/1 cm2 = 10 N (0.01 m) 2 = 10 N/(0.01 m) 2= 10 5 Pa Or 1 Pa = 10-4 mCE Soit : 1 Kgf/1 cm2 = 10 5 * 10-4 = 10 mCE 4. Calculer 1 mCE en Kgf/cm2

5. Faire le tableau résumé

1 Pa 1 Kgf/cm2 1 mCE

Pa -----105 104

Kgf/cm2 10-5 -----0.1

mCE 10-4 10 -----

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HYDROSTATIQUE

3.1 PRESSION EN POINT Soit un vase contenant un liquide, de poids P. Ce poids exerce une pression sur un élément de surface de la paroi. On définit la pression moyenne par le rapport de ce poids sur la section correspondante à ce poids.

Pression = Poids / Surface = ρg H Et d’une façon générale, on a

Pression = Force / Surface Et, mathématiquement, on en un point par la dérivée de la force par rapport à la section, soit :

Pression = d (Force) / d (Surface) Remarque : Pour simplifier les calculs, la force (ou poids) est prise perpendiculaire à la section sur laquelle elle s’exerce. Si le vase contient plusieurs liquides superposés de haut en bas, la pression aux niveaux 1, 2, 3, … sera : P1 = ρ1gH1 P2 = ρ1gH1 + ρ2gH2 P3 = ρ1gH1 + ρ2gH2 + ρ3gH3

Niveau 1 Niveau 2

GÉNÉRALISATION Niveau 3

P = ΣPi = = Σ ρigHi EXEMPLE : Soit un réservoir contenant des liquides non miscibles (voir tableau) : 1. Superposer les liquides correctement dans le réservoir. 2. Calculer la pression au fond de chaque liquide superposé dans le réservoir.

H Ρ

L1 0.255 m 1.05 kg/l

L2 26.4 cm 1.150 kg/l

L3 4.56 dm 0.800 t/m3

L4 125 mm 0.650 kg/dm3

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Il suffit d’appliquer la formule niveau des liquides. P4 = ΣPi = Σ ρigHi =

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P = ΣPi = Σ ρigHi à différent L4

650 * 10 * 0.125

P3 = ΣPi = Σ ρigHi =812.5 + 800*10*0.456

= 812.5 Pa = 4 460.5 Pa

L3

= 7 138 Pa

L1

P1 = ΣPi = Σ ρigHi = P2 = ΣPi = Σ ρigHi = . . . .

L2

. N.B : Bien faire attention aux unités CAS PARTICULIER : Si le liquide supérieur est soumis à une pression donnée Pd, la formule de la pression devient selon le même principe :

P   Pi   g  i H i  Pd 3.2 PRESSION ATMOSPHERIQUE Si on remplace le conditionnement précédant, par la pression atmosphérique, aura-t-on le même résultat ? Pour répondre à la question précédente, faisons l’expérience suivante. La pression atmosphérique est la pression qui nous entoure, pour la mettre en évidence et la mesurer, renversant un tube à essai (éprouvette) rempli de mercure sur une cuve de mercure aussi. La hauteur du liquide diminue dans l’éprouvette et fait créer du vide en haut de celle ci (vu qu’il ne peut y entrer Par suite, la hauteur du mercure dans l’éprouvette se stabilise à une hauteur (par rapport à la surface du mercure dans la cuve) h ≈ 76 cm. Ainsi, on détermine la pression atmosphérique par cette hauteur.

Patmos = 76 cm Colonne de Mercure. Exemple : Calculer la pression atmosphérique en pascal, kgf/cm2 et en mCE, si on vous donne la densité du mercure d = 13.6. Patmos = 76 cm Colonne de Mercure = ρm * g * Hm → Ce qui définit une atmosphère. Par expérience, on a Patmos = 76 cmCHg (au niveau de la mer)

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Patmo = ρm * g * Hm = ρe * g * He. Soit : He = ρm / ρe * Hm = d * Hm = 10.34 mCE Et de la même façon, on a : Patmo = ρm * g * Hm = 1 000 * 9,81 * 10,34 = 103 360 Pa ≈ 105 Pa = 1 atmosphère 5

En conclusion : 1 Atmosphère = 10.34 mCE = 0.76 mCHg ≈ 10

Pa

Remarque : Noter le passage d’une unité à une autre

3.3 PRESSION RELATIVE, ABSOLUE Revenons à l’expérience précédente, la pression au fond du vase, est la pression absolue ; Soit, on a la formule de la façon suivante :

Pab = ρgH + Pat

Dans la pratique, et en hydraulique en particulier, il ne sera pris en compte que la pression relative correspondante à la hauteur en eau. C’est à dire que la pression atmosphérique n’est pas prise en considération ; et on a :

Pat = 0 Prel = ρgH 0

Patmos

Pab

0

Prel

Attention : Il y a un changement d’origine sur l’axe.

EXEMPLE 1 Calculer la pression relative et absolue au fond d’un vase de hauteur h = 1.3 m. (On vous donne si la densité du liquide d = 1), en mCE, Pascal et en Kgf/cm2. g = 10 S.I Rappel : Le liquide qui a une densité d = 1 est le liquide de référence : C’est l’EAU Prel =1.3 mCE = ρe * g * He = 1 000 * 10 * 1, 3 = 13 000 Pa Pab = Prel + Patmos = 1,3 + 10,34 = 11.64 mCE = 1 000 * 10 * 11,64 = 116 400 Pa EXEMPLE 2 : Calculer la hauteur d’un liquide qui provoque une pression relative 21.04 mCE si la densité de ce liquide est d = 1.3 La pression est toujours donnée par la formule : P = ρe * g * He = = ρl* g * Hl D’où, on déduit que :

et

d = ρl / ρe

Hl = (ρe / ρl) * He Soit

Hl = He / d = 21,04 / 1,3 = 16.18 mCL

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3.4 VASES COMMUNICANTS 3.4.1 PRINCIPE DE PASCAL Dans un liquide incompressible en équilibre, les variations de pression se transmettent intégralement et en tout sens.

3.4.2

LA PRESSE HYDRAULIQUE

Considérons deux vases communicants, et contenant un liquide incompressible, où sont placés deux pistons mobiles, sans frottement, de même section que le vase ( S et s ) et de poids F et f. Pour quelles pressions P et p aura-t-on h = 0 ? Sous le grand piston, on a une pression P = F / S Sous le petit piston, on a une pression p = f / s Vu le principe de Pascal, on a : P + ρgh = p Soit : P – p = ρgh Et pour P = p, h = 0 : C’est-à-dire que les deux pistons sont à la même verticale (le niveau du liquide dans le vase communicant est le même). EXEMPLE :

Calcul de la force de freinage d’un véhicule

Calculer la force de freinage F appliquée sur un véhicule, si le conducteur applique une force sur la pédale de freinage f = 10 N ≈ 1 Kgf. On vous donne s = 1 cm2, S = 1 dm2 On admet qu’avant le freinage du véhicule, le système hydraulique de freinage était en équilibre.

Le système hydraulique de freinage est un système fermé, si on applique une force f sur la section s. Au niveau des roues, il s’applique une force F sur une section S du vase communicant. Par suite, on a: F / S = f / s D’où, on déduit: F = f * S / s = 10 N * 1 dm3/1 cm3 = 1000 N ≈ 100 Kgf

3.5 NOTION DE L’ÉQUILIBRE 3.5.1 PRINCIPE PHYSIQUE Un objet est en équilibre, veut dire que :  

Il ne subit pas de translation. Il ne subit pas de rotation (non plus)

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3.5.2 ÉQUATIONS DE L’ÉQUILIBRE Ce principe de l’équilibre se traduit par :

ΣF = 0 pas de translation Σ MF / 0 = 0 pas de rotation

 

3.6 NOTION DU CENTRE DE GRAVITE 3.6.1 PRINCIPE DE L’ÉQUILIBRE Appliquons ces notions de l’équilibre pour trouver le centre de gravité d’un corps donné ; dans un repère cartésien. On définit le centre de gravité G, par le vecteur OG, de composantes XG, YG et ZG, en fonction du moment de force (le poids par YG exemple dans de cas) par :

 dm * x , Y   dm * y et  dm  dm XG dx Sur  ce, ce paragraphe expose de cas simples pour se préparer aux exemples pratiques qui

XG 

G

se rencontrent en hydraulique.

3.6.2 CENTRE DE GRAVITE D’UNE BARRE Si on considère que la barre est homogène, c’est à dire que la masse est bien répartie sur sa longueur ; On définit la masse linéaire par :

L

λ = M / L = dm / dx = Cste . Par suite, on a : L

XG 

  x * dx

 dm * x    * x * dx   dm   * dx

0 L

Xg L

= L/2

  dx

Dx

0

Xg = L / 2

3.6.3 CENTRE DE GRAVITE D’UN RECTANGLE Si on considère que le rectangle est homogène, c’est à dire que la masse est bien répartie sur sa surface ; On définit la masse surfacique par : L ste σ = M / S = dm / dS = C . Par suite, on a : XG 

  * H * x * dx   * H * dx

=



L

0

x * dx



L

0

= L/2 dx

XG = L / 2 Idem on démontre que YG = H / 2

Yg

H XG Xg

dx dx

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3.6.4 CENTRE DE GRAVITE D’UN TRIANGLE Si on considère que le triangle est homogène, c’est à dire que la masse est bien répartie sur sa surface ; On définit la masse surfacique par : σ = M / S = dm / dS = Cste . Par suite, on a comme pour le rectangle

XG 

  * h * x * dx   * h * dx

 =

L

0

ax * x * dx



L

0

H ax * dx

Yg

Avec : a = le coefficient de la pente tel que a = H / L.

dx

Une fois l’intégrale faite, on trouve : XG = 2 * L / 3

Xg L

Idem, on démontre que : YG = H / 3

3.6.5 AUTRES EXEMPLES Soit à calculer le centre de gravite des figures suivantes :

Xg = L / 3 ? Yg = H / 3

Xg = 2 * L / 3 ?

?

Yg = 2 * H / 3 ?

3.7 CALCUL DE FORCES DE PRESSION 3.7.1 SUR LE FOND D’UN VASE On définit la pression sur le fond, pour un élément de surface du vase par : P = d(Force) / d(Surface) = d(Poids) / d(surface) = ρgH H d(Force) = ρgH * d(surface) = ρgH * ldx Force = ρ*g*H* l* dx = ρ*g*H*l*L = ρ*g*H*S = ρ*g*V = g*m = poids La force qui s’exerce sur le fond d’un vase est le poids en eau que contient ce vase.

L

dx

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3.7.2 SUR LA PAROI D’UN VASE On définit la pression sur la paroi du vase par : P= ρgh avec h qui varie de zéro (à la surface de l’eau) jusqu’à h = H (fond du vase)

l

d (Force) = ρgh * d(surface) = ρgh * ldh

h H

Force = ρ*g * l* h* dh =1/2 * ρ*g* *l * H2 = ρ * g * SL * H/2 avec SL = H * l La force qui s’exerce sur la paroi d’un vase s’exprime par :

L

Force = ρ*g*SL*H/2 avec SL = H*l * Surface latérale EXEMPLE : Une vanne hydraulique ayant les dimensions H = 1.5 m, L = 2 m ; fait face à l’écoulement de l’eau à travers un canal. Quand le débit devient nul, la hauteur de l’eau dans le canal devient H = 1.2 m. Calculer : 1. La section de la vanne faisant face à l’écoulement. S = H * L = 1.2 * 2 = 2.4 m2 2. La force de pression de l’eau qui s’exerce sur la vanne Fp = ρ * g * SL* H / 2 = 1 000 Kg/m3 * 10 m/s/s * 2.4 m * 0.6 m = 14 400 N 3. Faire un schéma représentant la force de poussée.

3.8 CENTRE DE POUSSEE D’ARCHIMEDE 3.8.1 PRINCIPE  

Quand un corps solide se trouve dans un liquide, il est sous l’action de deux forces : Son poids Pm = mg, qui s’applique au centre de gravité G La poussée du liquide PL, égale au poids de ce liquide déplacé, qui s’applique au centre de carène C

Pour que le corps soit en équilibre dans l’eau, il faut et il suffit que le poids de ce corps soit égal à celui du liquide dont il tient la place, et que le centre de gravité du solide et le centre de carène soient sur la même verticale.

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PL

Pour qu’en outre l’équilibre soit stable, il suffit que le centre de gravité G soit au-dessous du centre de carène C Si dans ce cas, le corps subit un petit déplacement, le couple formé par (Pm et PL) détermine une rotation qui ramène ainsi le corps à sa position d’équilibre. D’une manière générale, soit V le volume de ce corps solide immergé, ρm sa masse volumique, et ρL la masse volumique du liquide ; il vient : Pm = ρm g V

18

Pm

PL= ρLg V

Et par suite, on a :  Pour ρm > ρL, le corps est soumis à la force Pm - PL qui le fait descendre dans le liquide.  Pour ρm < ρL, le corps est soumis à la force PL - Pm qui le ramène à la surface du liquide, où il flotte. Exemple : 1. Un bateau (construit en fer) va-t-il flotter ou non ? 2. Et s’il est rempli en eau entièrement, va-t-il flotter ou non ? 3. Justifier vos réponses !

3.8.2

CALCUL DU CENTRE DE POUSSEE

 Soit un vase rempli en eau dont on veut déterminer le centre où s’applique la poussée de l’eau.  Est-ce que ce centre de poussée est confondu avec le centre de gravité ?  Si non, déterminer les coordonnées de ce centre.

3.8.2.1PROJECTION SUR LE FOND D’UN VASE Soit une colonne en eau, de hauteur H, de largeur l et de longueur dx. Son volume sera : dV = l * H * dx et exerce une pression au fond du vase telle que :

l

Pr = d(poids) / d(section) = ρg * dV / dS Pr = ρg * dV / dS = ρg * lH*dx / ldx = ρgH Et par suite, l’élément de force sera : dF = Pr * dS = ρgH * ldx Et son élément de moment sera par rapport au centre :

 dM

L

dF

/0   (  gH ldx) * x    gHlx *dx

H

dx O

L

= ρg HlL 2/ 2 = ρg * HlL* L / 2 = poids * L / 2

0

En conclusion; les coordonnées du centre de poussée, sur le plan x0y sont : L / 2 et l / 2

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3.8.2.2 PROJECTION SUR LA PAROI D’UN VASE L

H dH L

3.9 NOTION D’APPAREIL DE MESURE 3.9.1 MESURE DE LA VARIATION DE PRESSION La mesure de la pression peut se faire par l’installation de tube vertical à travers lequel l’eau pourra monter librement. C’est ce qui s’appelle un tube piézométrique et qui sert à mesurer la pression en un point de la conduite. Grâce à un tube piézométrique, la ligne piézométrique pourra être matérialisée point par point. Remarque Dans la pratique, la pression risque d’être trop grandes (quelques dizaines de mètres colonne d’eau), ce qui rend l’utilisation des tubes piézométrique inadaptées. D’où le recours à des systèmes qui donnent directement la variation de pression dont l’utilisateur a besoin, (comme dans de pareil cas), et surtout qui se manifestent par des dimensions faibles.

3.9.2 MANOMÈTRE DIFFÉRENTIEL C’est un appareil (tube) en forme de ‘U’ dont les deux bouts sont reliés aux points de mesure des pressions. Le liquide qu’il contient est du mercure (d = 13.6) qui lui permet d’avoir des dimensions relativement faibles. Au niveau du tube de mercure, on a : P3 = P1 + ρeg ΔZ P4 = P2 + ρmg ΔH + ρeg (ΔZ - ΔH) Par suite, on a : P3 - P4 = P1 - P2 + (ρe - ρm) g ΔH Or, P3 = P4 : Ces deux points se trouvent au même niveau et dans le même liquide. Et en appliquant le théorème de Pascal, on a : P1 - P2 = (ρm - ρe) g ΔH Par la suite, la variation de pression dans le venturi entre les points P1 et P2, est :

P1  P 2   H (  m  1 ) , Soit en conclusion :  eg e

P

1



 e

P g

2



12

.6  H

N.B : La pression au point 1 (où la conduite est de grand diamètre) est plus grande qu’au point 2 (où la conduite est de petit diamètre)

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Exemple : Soit une conduite qui forme de tube de Venturi. En y appliquant un manomètre différentiel, (voir fig) le mercure enregistre une variation de niveau de 15 cmCHg dans les branches en U. Calculer la variation de pression correspondante en mCE. En appliquant la formule, on a : Δ P / ρg = 12.6 * ΔH = 12.6 * 0.15 cmCHg = 1.89 mCE Attention : Bien faire la vérification de l’équation aux dimensions ! ? .

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CINÉMATIQUE DES LIQUIDES

4.1 DÉFINITION C'est l'étude du mouvement d'un liquide sans tenir compte des forces qui le produisent, on a seulement la relation entre le vecteur espace (position de la particule) et le temps.

4.2 TRAJECTOIRE D'une façon générale, la trajectoire est l'ensemble des lieux géométriques des positions successives occupées par la particule (ligne de courant). Au cours du trajet de la particule, la vitesse, la pression,... de la dite particule varient avec l'espace et le temps ; on a ainsi :  La pression = f (x, y, z, t).  La vitesse = f (x, y, z, t).

4.3 RÉGIME PERMANENT Le régime permanent est défini à chaque fois qu’on a une indépendance entre l'écoulement et le temps ; c'est à dire :

 la masse volumique   f(t)  la vitesse u  f (t)  la pression p  f (t)

Mais, La masse volumique, la vitesse et la pression peuvent être fonction de l’espace. Càd :  = f (x, y, z), u = f (x, y, z) et p = f (x, y, z)

Ainsi, pour un régime permanent, la masse volumique , la vitesse u et la pression p NE dépendent QUE de la position considérée dans l'ensemble du liquide en mouvement.

4.4

RÉGIME UNIFORME

Le régime uniforme est défini à chaque fois qu’on a une indépendance entre l'écoulement et l'espace ; c'est à dire :

 la masse volumique   f (x, y, z)  la vitesse u  f (x, y, z)  la pression p  f (x, y, z)

Mais, La masse volumique, la vitesse et la pression peuvent être fonction du temps. Càd :  = f (t), u = f (t) et p = f (t)

Ainsi, pour un régime uniforme, la masse volumique , la vitesse u et la pression p NE dépendent QUE du temps et non de la position considérée dans l'ensemble du liquide en mouvement.

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RÉGIME PERMANENT ET UNIFORME Pour le régime permanent et uniforme, l'écoulement NE dépend :  Ni du temps (notion du régime permanent)  Ni de l'espace (notion du régime uniforme).

C'est à dire :  La masse volumique   f (x, y, z, t) = constante  La vitesse u  f (x, y, z, t) = constante  La pression p  f (x, y, z, t) = constante

4.6 ÉQUATION DE LA CONTINUITÉ L'équation de la continuité exprime que l'écoulement du liquide est continu, c'est à dire ; Qu'il ne peut y avoir :  Ni apport extérieur d'un volume donné à ce liquide  Ni prélèvement d'un volume donné de ce liquide. En d'autres termes, la masse du liquide se conserve au cours du mouvement.

4.6.1 CAS D'UN LIQUIDE INCOMPRESSIBLE En se limitant à l'eau, comme un liquide incompressible, (en première approximation), l'équation de la continuité se traduit par: u / x + v / y + w / z = 0 avec u, v et w sont les composantes de la vitesse U dans le repère Oxyz

4.6.2 LUIDE INCOMPRESSIBLE EN ÉCOULEMENT UNIDIRECTIONNEL Dans la pratique, les écoulements de l'eau se font dans des conduites (tuyaux et / ou canaux), c'est à dire que les écoulements ont en général, une seule direction dans leur sens d'écoulement. Par suite, la vitesse U (u, v, w) devient tout simplement : U (u, 0, 0). En réalité, les composantes v et w ne sont nulles, mais négligeables devant la composante principale u. Autrement dit :  

L’eau ne peut s’écouler que le long de la conduite. Les composantes diamétrales v et w ne sont pas significatives

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En résumé : L'équation de la continuité appliquée à un fluide incompressible (l'eau dans ce cas) en écoulement à travers une conduite (en écoulement unidirectionnel) devient : v = 0, w = 0 et par suite u / x = 0 ; Soit

4.7

U (u = Cte, v = 0 et w = 0)

NOTION DE DÉBIT

4.7.1 DÉBIT VOLUMIQUE On définit le débit comme étant le flux du vecteur vitesse 'u' à travers une section 's' tel que :

Q = U * S = U * S * Cos  Avec:



U S

U : vitesse de l'écoulement du liquide en m/s ; [L] * [T-1] S : section à travers laquelle se fait l'écoulement en m2 ; [L2] 3 3 -1 Q : débit volumique en m /s ; [L ] * [T ]  : Angle que fait la vectrice vitesse avec la normale à la section. Dans la pratique : On considère que la vectrice vitesse est parallèle à la vectrice section ; d’où, on admet que

  0° et par suite : Cos

1

Remarque : Souvent, on mesure aussi le débit en l/s, l/mn, l/h, m3/h, m3/j,...

4.7.2 DÉBIT MASSIQUE Comme le débit volumique, on définit aussi le débit massique par Qm tel que :

Qm =  * Q =  * U * S Exemple : Soit une conduite de diamètre D = 60 mm à travers laquelle s'écoule un liquide (eau) avec une vitesse V = 1.2 m/s *1 Calculer la section de la conduite

2.83 * 10-3 m2

S =  * D2 / 4 = π * 0.062 / 4 = 2.83 * 10-3 m2 *2 Calculer le débit volumique en m3/s et en l/h

3.39 * 10-3 m3/s

Q = S * U = 2.83 * 10-3 * 1.2 = 3.39 * 10-3 m3/s Q = 3.39 * 10-3 * 1000 / 3 600 = L/h

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*3 Calculer le débit massique Qm =  * Q = 1000 * 3.39 * 10-3 = 3.39 kg/s

RELATION DÉBIT VOLUME

4.7.3

Par intégration de l'équation de la continuité Q = U * S, on a : Q * dt = U * S * dt = S * dL = dV (Variation de volume) Soit: Le débit peut s'exprimer aussi par la dérivée du volume écoulé rapporté au temps correspondant.

Q = dV / dt = V / t

Avec :

V : volume écoulé en m3 ; [L3] t : temps correspondant à l’écoulement en s ; Q : débit volumique en m3/s ; [L3] * [T-1]

[T]

Exemple : Pour avoir un ordre de grandeur du débit écoulé à travers un conduite, on place un cylindre de diamètre D = 20 cm +/- 1 cm, et de hauteur H = 50 cm +/- 1 cm qui se remplit au bout d'un temps chronométré T = 10 s +/- 1 s *1 Calculer le volume du cylindre

0.016 m3

V =  * D2 / 4 * H =  * 0.22 / 4 * 0.5 = 0.016 m3 *2 Calculer l'erreur de mesure du volume du cylindre

12 %

Ln V = Ln  / 4 + 2 * Ln D + Ln H dV / V = 2 * d D / D + d H / H et en passant à l'erreur, on a : V / V = 2 * 1 / 20 + 1 / 50 = 12 % *3 Calculer le débit écoulé à travers le robinet

1.6 L/s

Q = V / T = 0.016 / 10 = 1.6 L/s *4 Calculer l'erreur de mesure du débit écoulé à travers le robinet

22 %

Q / Q = V / V + T / T = 12% + 10% = 22 % *5 Comment peut-on augmenter la précision ? Pour augmenter la précision, on a intérêt à : o

Augmenter la précision des mesures du cylindre qui a donné une erreur de 12 % en premier lieu.

o

Et par la suite augmenter la précision du temps qui a donné une erreur de 10 %.

 Soit ; globalement, on a une erreur de 22 %

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4.7.4 ÉQUATION DE LA CONTINUITÉ L'équation de la continuité simplifiée (ou transformée) dans une conduite ou un canal de diamètre constant s'exprime par la constance du débit

Q = U1 * S1 = U2 * S2 = U3 * S3 = … = Cste En résumé: Dans tout ce qui suit, il ne sera traité que les écoulements permanents. Les écoulements non permanents seront traités juste pour expliquer un phénomène existant et passager tel que la notion du coup de bélier (voir Station de pompage).

EXEMPLE: Soit une conduite, qui transite un écoulement d'eau avec une vitesse V = 0.8 m/s, ayant un diamètre D = 600 mm. *1 Calculer la section de la conduite.

0.28 m2

S =  * D2 / 4 =  * 0.62 / 4 = 0.28 m2 *2 Calculer le débit (en l/s, l/h, m3/s, m3/h) 0.224 m3/s

806 400 l/h

Q = U * S = 0.8 * 0.28 = 0.224 m3/s Q = 0.224 * 1 000 = 224 l/s Q = 224 * 24 * 3 600 = 806 400 l/h Q = 806 400 / 1 000 = 806.4 m3/h Remarque : Faites attention aux changements des unités *3 Calculer la vitesse si le diamètre de la conduite passe à D = 500 mm Q = U1 * S1 = U2 * S2 = U1 *  * D12 / 4 = U2 *  * D22 / 4 = U1 * D12 = U2 * D22 Soit : U1 = U2 * D22 / D12 = 0,8 * 6002 / 5002 = 1,15 m/s

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EXERCICES Exe 1 : Quelle est la vitesse de l’huile qui s’écoule dans une conduite de 15 cm de diamètre si le débit est de 3 800 kg / j. On admet que la masse volumique de l’huile est 0.8 kg / L 0.003 1 m / s

Appliquons l'équation de la continuité Q = U * S, d'où on tire : U = Q / S avec : La section est S =  * D2 / 4 =  * 0.152 / 4 = 0.0177 m2 Le débit volumique s'exprime en fonction du débit massique par : Qm =  * Qv. D’où: Qv = Qm /  = 3 800 kg/j / 800 Kg/m3 = 4.75 m3/j = 4.75 / 86400 = 0.055 *10-3 m3/s =0.055 L/s Soit enfin de compte U = Q / S = 0.055 * 10-3 / 0.0177 = 0.0031 m/s

Exe 2 : De quelle taille devra être un tuyau qui fera écouler un débit de 7200 m3/h si la vitesse sera de 3.0 m/s 0.921 m Appliquons l'équation de la continuité Q = U * S, d'où on tire : S = Q / U avec = π * D2 / 4. Soit D = 2 * (Q / π * / U) 1/2 App.Num

D = 2 * (7 200 / 3 600 m3 / s / π / 3) 1/2 = 0.921 m

Exe 3 : Soit un canal rectangulaire de lit L = 100 cm et de tirant d’eau H = 50 cm qui transite un débit Q = 4 160 m3/h. H

1. Calculer la vitesse de l’écoulement 2.3 m/s 2. Quel est le tirant d’eau si le débit passe à 4 000 m3/h sans que la vitesse change. 0.48 m L 1. La section étant rectangulaire, S = L * H = 1 * 0.5 = 0.5 m2 Par suite U = Q / S = (4160 / 3600) / 0.5 = 2.3 m / s 2. Le calcul inverse sera S = L * H = Q / U. D'où on tire H = (Q / U) / L = 4000 / 3600 / 2.3 / 1 = 0.48 m

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Exe 4 : Soit une conduite qui débite 10 L/s. Déterminer la vitesse U1 et le diamètre D2 si on a D1 = 100 mm et U2 = 3.54 m/s. Calculer le volume écoulé en 1 h 30 mn

54 m3

Appliquons l'équation de la continuité Q = U * S, d'où on tire : S = Q / U avec S = π * D2 / 4. Soit D2 = 2 * (Q / π / U2) 1/2 = 2 * (0.01 / π / 3.54) 1/2

= 0.06 m = 60 mm

Soit : U1 = 4 * Q / π / D12 = 4 * (0.01 / π / 0.12) = 1.27 m/s V = Q * t = 0.010 * (3600 * 1.5) = 54 m3 Exe 5 : Soit une conduite le diamètre D1 = 100 mm, U1 = 2 m/s et D2 = l'équation 60 mm. Déterminer la vitesse Appliquons de la continuité Q = U2, U * le S, débit avecQS et = le π * D2 / 4 3 débit massique Qm si la masse volumique est 1.25 t / m 5.56 m/s Q =16 U1L/s * π *19.64 D12 / kg/s 4 = U2 * π * D22 / 4 d'où, on tire que U1 * D12 = U2 * D22 Soit: U2 = U1 * (D1 / D2)2 = 2 * (100 / 60)2 = 5.56 m/ Q = U1 * π * D12 / 4 = 2 *  * 0.12 / 4 = 0.016 m3/s = 16 L/s Qm = ρ * Qv = 1250 * 0.016 = 19.64 kg/s Exe 6: Un tuyau de diamètre D1 = 15 cm transportant un débit Q = 254 L/s, se ramifie en 2 branches de diamètres D2 = 5 cm et D3 = 12 cm. Calculer la vitesse V3 si V2 est égale à 0.12 m/s Appliquons l'équation de la continuité Q2 = U2 * S2, avec S2 = π * D22 / 4 Q2 = U2 * π * D22 / 4 = 0.12 * π * 0.052 / 4 = 0.236 m3/s = 236 l/s ET Q3 = Q1 - Q2 = 254 - 236 = 18 L/s Soit en fin de compte U3 = 4 * Q3 / π / D32

= 4 * (0.018 / π / 0.122) = 1.38

m/s

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Exe 7: Soit un canal trapézoïdal de lit L = 40 cm, de tirant d’eau H = 50 cm et de pente de talus = 45° qui transite un débit Q = 3000 m3/h 1. Calculer la section offerte à l’écoulement 0.45 m2 2. Calculer la vitesse moyenne de l’écoulement 1.85 m/s 3. Quel est le tirant d’eau si le débit passe 2500 m3/h et on admet que la vitesse reste constante. 0.45 cm

1. S = Sr + 2 * St = L* H + 2 * H * H / 2 = H * (L + H) = 0.5*(0.4+0.5) = 0.45 m2 2. U = Q / S = 3000 / 3600 / 0.45 = 1.85 m/s 3. S = Q / U = 2500 / 3600 / 1.85 = 0.375 m2, D'où on tire : H2 + 0.4*H - 0.375 = 0 équation du second degré qui donne H = 0.45 cm

Exe 8: Soit un canal semi circulaire de rayon R = 20 cm, dont on veut savoir le débit qui s’écoulera à travers celui-ci. 1. Calculer la section offerte à l’écoulement 0.063 m2 2. On place un flotteur que l’eau emporte sur une longueur de 50 m en un temps t = 60 s. Calculer la vitesse approximative de l’eau 0.833 m/s 3. Quel est le débit écoulé ? 52 l/s

1. S = (ρ * D2 / 4) / 2 = 0.063 m2 2. Uap = L / T = 50 / 60 = 0.833 m/s 3. Q = U * S = 0.833 * 0.063 = 52 l/ s

Exe 9 Expliquer pourquoi un fillet liquide se rétrécit dans sa chute?

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Applications 1. Longueur de regard de chute Soit un canal demi-circulaire qui transite un débit q = 600 l/s et ayant un diamètre d = 1000 mm. 1. Calculer la section offerte à l’écoulement. 2. Calculer la vitesse de l’écoulement. 3. Pour ne pas éroder le regard de chute, quelle doit être la longueur minimale de ce regard si H = 1 m et h = 10 cm (voir schéma) 1. S = (π * D2 / 4) / 2 = (π * 12 / 4) / 2 = 0.78 m2 2. U = Q / S = 0.6 / 0.78 = 0.77 m/s 3. En appliquant la loi fondamentale de la dynamique, et en supposant que l’eau a une vitesse initiale horizontale de U = 1.53 m/s, on a : L’accélération

a = g (§ Orientation des axes)

La vitesse Uy = g * t et Ux = une Constante = 1.53 m/s (§ La composition de la vitesse selon l’orientation des axes) L’espace Y = ½ * g * t2 et X = Ux * t ; Soit : Y = ½ * g * (X / Ux) 2 D’où on déduit

X = Ux * (2 * Y / g) 1/2

Vérifier l’équation aux dimensions Soit

L = Ux * (2 * Y / g) 1/2 =

t = X / Ux

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2. Étude d’un jet d’eau Pour éteindre le feu, une personne envoie un jet d’eau sous un angle α et avec une vitesse v0. 1. Quelle doit être la valeur de l’angle α pour avoir la portée optimale pour éteindre le feu en toute sécurité (supposer le travail dans le vide pour simplifier l’étude) ?

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HYDRODYNAMIQUE DES LIQUIDES PARFAITS

5.1 INTRODUCTION L'hydrodynamique des liquides est l'étude des mouvements en tenant compte des forces agissantes (qui les produisent). Un liquide est dit PARFAIT quand la somme des forces résistantes (qui s'opposent au mouvement) est supposée nulle. Contrairement à la dynamique - où l’équation est simple - le problème en hydrodynamique est compliqué, étant donné que : La masse volumique du liquide peut varier d'un point à un autre. Le mouvement peut se faire pour une particule différemment d'une autre.

 

Ainsi, pour pouvoir résoudre le problème, on est amené à poser 3 équations et à les simplifier autant que possible.   

Équation caractéristique du liquide. Équation de la continuité du liquide. Équation de la dynamique à appliquer au liquide.

5.2 ÉQUATION CARACTÉRISTIQUE DES LIQUIDES Dans tout ce qui suit, on suppose que le liquide (en particulier l'eau) est incompressible, c'est à dire; que sa masse volumique est une constante ! Et c'est ce qui se traduit par :

ρ / dt = 0 ou ρ = F (t) = Constante Invariabilité dans l’espace. d ρ / dxi = 0 ou ρ = F (xi) = Constante

 Invariabilité dans le temps d 

5.3 ÉQUATION DE LA CONTINUITÉ En cinématique des liquides, il a été défini l'équation de la continuité pour un écoulement unidirectionnel, par la conservation du débit le long de la canalisation. Soit, le débit est une constante quel que soit la section de la dite canalisation.

Q = Ui * Si = Cte

5.4 ÉQUATION DE LA DYNAMIQUE 5.4.1 RAPPEL 

En hydrostatique, la force de pression agit seule. Et la dite pression est représentée par

P=ρgH 

En hydraulique, vu que le liquide est continu ; une masse d’eau ne peut être matérialisée. Par suite, le travail se fait toujours par l'unité de poids ; c'est-à-dire : son équation aux dimensions est une longueur.

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5.4.2 EN HYDRODYNAMIQUE La loi fondamentale de la dynamique, appliquée à un liquide parfait et incompressible, devient : a = force poids + force de pression qu’il faut rapporter à l'unité de masse Dans le champ de la pesanteur, la force poids a pour composante (0, 0, - g) et le vecteur déplacement est dL (dx, dy, dz) § Démonstration en exercice . . . . Une fois tout calcul fait, on a :

H = Z + P / ρg + U2 / 2g = Cste

C'est le théorème de Bernoulli (ou théorème énergétique) qui s'applique : o o o

A un liquide incompressible. En écoulement permanent Et dans le champ de la pesanteur

Dans cette formule, on a : P / ρg : représente l'énergie de pression par unité de poids. z : représente l'énergie potentielle (de cote, de position) par unité de poids U2 / 2g : représente l'énergie cinétique par unité de poids. H : représente l'énergie totale par unité de poids. REMARQUE : 1. Ce théorème fait rappeler le théorème de l'énergie mécanique (ou totale) qui s'écrit :

E = M g z + M U2 / 2 = Cste 2. Si on suppose que la vitesse est nulle (pas d'écoulement), on retombe sur le théorème de Pascal.

Z + P / ρg = Cste

L'unité de H (énergie totale) est le mètre colonne d'eau (mCE) puisqu'elle exprime une énergie par unité de poids. EXEMPLE : Faire la trajectoire d'un projectile lancé dans le champ de la pesanteur avec une vitesse initiale sous un angle donné par rapport à l’horizontal. Pour démontrer que c'est une parabole, il suffit de revoir le chapitre précédant (étude de la longueur d'un regard de chute et/ou la lance jet d'eau pour éteindre un feu en exercice). Sur ce graphe, le Théorème de l’énergie mécanique est représenté par :  

En flèche épaisse (rouge), est représentée l’énergie cinétique En flèche pointillée (bleu), est représentée l’énergie potentielle

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Ainsi, le théorème de l'énergie mécanique peut être représenté sur un graphe par des flèches schématisant les 2 énergies (cinétique et potentielle).

5.5 REPRÉSENTATION GRAPHIQUE Le théorème de Bernoulli peut être représenté schématiquement en admettant que : 

  

L'énergie totale est une constante quelle que soit la position de la particule. Sa ligne – qui est une ligne droite et horizontale – se trace connaissant les conditions aux limites. (voir plus loin) L'énergie de position (potentielle) est donnée par la cote de la particule par rapport à un référentiel à prendre (choisir). L'énergie cinétique est liée à la section offerte à l'écoulement par l'équation de la continuité. Elle diminue quand la section augmente et vice versa. L'énergie de pression complète le schéma de la représentation (et sans oublier qu'ici, le travail se réfère à la pression relative)

NOTA : Pour faire cette représentation, il suffit de suivre les étapes citées. 5.5.1 NOTION DE LIGNE PIÉZOMÉTRIQUE Si l'énergie totale est définie par :

H = P1/ ρg + z1 + U12/2g = P2/ ρg + z2 + U22/2g = ...= Cste Elle est aussi représentée par une droite (asymptote) horizontale sur le schéma (plan de situation de la conduite) On définit de la même façon la ligne piézométrique par la somme de l'énergie de pression et celui de la cote (potentielle) et toujours rapportée à l'unité de poids :

L. P = P * / ρg = P / ρg + z Mise en évidence : Elle se matérialise par l'ensemble des lieux des points auxquels l'eau pourra arriver, si on faisait une cheminée sur la conduite, et c'est ce qui s'appelle un piézomètre.

5.5.2 EXEMPLE THÉORIQUE

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5.5.3 THÉORÈME DE TORRICELLI Soit un réservoir qui alimente une conduite de diamètre constant (voir schéma) 1. Faire la représentation de Bernoulli. 2. En déduire la vitesse de l’eau à la sortie de la conduite si elle débite à l'air libre. DÉMARCHE À SUIVRE : Pour faire la représentation de Bernoulli, il suffit de suivre la méthode suivante à chaque fois : 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Tracer un niveau (plan) de référence, et de préférence en bas du schéma. Représenter l'énergie potentielle (de cote) Représenter l'énergie totale En prenant un point dans le réservoir. Représenter l'énergie cinétique en prenant un point juste à la sortie de la conduite. Généraliser l’énergie cinétique à toute la conduite. Compléter par l'énergie de pression

En appliquant Bernoulli entre le réservoir et la sortie de la conduite, on a :

Zr = Zs + Us2 / 2g,

soit:

Us = (2g * ΔZ) 1/2

Avec :

ΔZ : Différence de cotes entre le plan de l'eau dans le réservoir et la sortie de l'eau de la canalisation (de la conduite) exprimée en m. U : Vitesse de l'eau dans la canalisation qui est une constante vu que la dite canalisation ne change pas de diamètre. Elle s'exprime en m/s. g : Accélération terrestre g = 9.81 m/s/s Remarque : Vérifier l'équation aux dimensions de la formule. Exemple 1 : Soit un réservoir de cote eau Zr = 266.5 mNGM qui alimente un autre à travers une conduite de diamètre constant dont la cote à la sortie de l’eau est Zs = 253.25 mNGM. Le point bas de la conduite a une cote Zb = 245.56 mNGM. (Voir schéma plus haut) g = 10 S.I 1. Calculer la vitesse de l’eau à la sortie de la conduite.

16.3 m/s

En appliquant la formule de Torricelli, on a: Us = (2g * ΔZ) 1/2 = (2g * (Zr - Zs)) 1/2 = (2g * (266.5 – 253.25)) 1/2 = 16.28 m/s 2. Calculer le débit de la conduite (en L/s) si le diamètre est D = 100 mm. En appliquant l’équation de la continuité, on a: Q = U * S = U * π * D2 / 4 = 16.28 * π * 0.12 / 4 = 0,127 8 m3/s = 127,8 L/s

128 L/s

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3. Faire la représentation qualitative de Bernoulli

4. Calculer la pression au point bas de la conduite.

7.69 mCE

En appliquant toujours Bernoulli ; on a : Zr = P / ρg + U2/2g + Zb P / ρg = Zr – U2/2g – Zb = Zr – (Zr – Zs) - Zb = Zs - Zb = 253.25 – 245.56 = 7.69 mCE Exemple 2 : Soit une bille qui tombe verticalement dans le champ de la pesanteur sans vitesse initiale ? 1. Donner les équations du mouvement V (t) et Z (t). En appliquant l’équation fondamentale de la dynamique, avec un axe orienté vers le bas, on a l’accélération a = g Champs de la pesanteur Et par intégration, on a : V = g * t tant que la constante d’intégration est nulle (sans vitesse initiale) Et par intégration encore, on a : z = ½ g * t2 avec la constante d’intégration Z0 est nulle. 2. En déduire la vitesse en fonction de l’espace

V (z)

On vient de voir que l’espace parcouru est : z = ½ g*t2 qui donne t2 = 2 * z / g à remplacer dans l’expression de la vitesse V = g * t, soit : V = g * t = g * (2 * z / g)½ = (2 * g * z)½ 3 Formule à comparer avec la formule de Torricelli. Les deux formules sont identiques et désignent la même chose : Une chute libre !

5.5.4 NOTION DE CAVITATION Soit un réservoir qui alimente une conduite (voir schéma) de diamètre constant 1. Faire la représentation qualitative de Bernoulli. 2. Mettre en évidence la notion de pression négative.

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Commentaire :   

La conduite ne change pas de diamètre ; par suite, la vitesse est une constante ainsi que l'énergie cinétique. Sa valeur est donnée par le théorème de Torricelli. L'énergie de cote (potentielle ou de position) est représentée par la cote Z variable suivant le profil en long de la conduite. Pour compléter le schéma représentant le théorème de Bernoulli, on ajoute le vecteur schématisant l'énergie de pression. o Remarquer bien qu'au niveau de la vallée (au point 1), la pression est grande, et si la conduite est percée (trouée), l'eau jaillira (sortira avec un grand jet d'eau). o Par contre, Remarquer bien qu'au niveau de la colline (au point 3), la pression est négative, et si la conduite est percée; Au lieu que l'eau jaillira, c'est l'air qui va entrer dans la conduite. C'est la dépression créant la cavitation. o Nota : Alors qu'au point 2, la pression est nulle. Et si la conduite est percée; L’eau ne jaillira pas et l'air ne va pas entrer non plus dans la conduite.

Conséquence : La conduite peut être endommagé par :  

L’excès de surpressions quand les points sont très bas. Des dépressions quand les ponts sont très hauts

Exemple : Soit un réservoir de cote eau Zr = 145.5 mNGM qui alimente une conduite de diamètre constant dont la cote à la sortie de l’eau est Zs = 123.25 mNGM. Le point bas de la conduite a une cote Zb = 115.56 mNGM, alors que le point haut de la conduite a une cote Zh = 141.56 mNGM (voir schéma ci haut) g = 10 S.I 1. Calculer la vitesse de l’eau à la sortie de la conduite.

21 m/s

En appliquant la formule de Torricelli, on a: Us = (2g * ΔZ) 1/2 = (2g * (Zr – Zs)) 1/2 = (2g * (145.5 – 123.25)) 1/2 = 21.1 m/s 2. Calculer le débit de la conduite (en L / s) si le diamètre est D = 150 mm.

373 L/s

En appliquant l’équation de la continuité, on a : Q = U * S = U * π * D2 / 4 = 21.1 * π * 0.152 / 4 = 0,372 8 m3/s = 372,8 L/s 3. Faire la représentation de Bernoulli (à l’échelle des hauteurs si c’est possible)

4. Calculer la pression au point bas de la conduite.

7.69 mCE

En appliquant Bernoulli entre le réservoir et le point bas, on a: Pb / ρg = Zr – U2/2g - Zb = Zr – (Zr – Zs) - Zb = 123.25 -115.56 = 7.69 mCE 5. Calculer la pression au point haut de la conduite.

- 18.31 mCE

En appliquant Bernoulli entre le réservoir et le point haut, on a: Ph / ρg = Zr – U2/2g - Zh = Zr – (Zr – Zs) - Zh = Zs - Zh =123.25 – 141.56 = - 18.31 mCE 6. Comment expliquez-vous la valeur négative de la pression ? La pression est négative vue que le point est très haut, c'est-à-dire ; il possède une grande énergie potentielle, alors que l’énergie totale est limitée : C’est le phénomène de la cavitation …

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EN RÉSUMÉ   

Rappelons que sur l'axe des pressions, la pression atmosphérique est prise comme origine. Ainsi, Pathmos = 0. La cavitation est la présence de pression négative (inférieure à la pression atmosphérique) dans une conduite. On parle aussi de dépression dans la conduite. Dans toute installation, il faudra veiller à ne pas avoir de dépression. Si non, la conduite risque de s'endommager gravement. Bien se rappeler que le proverbe dit : La nature a horreur du vide.

5.6 NOTION DE MACHINE HYDRAULIQUE 

En hydraulique, il y a des machines qui reçoivent de l’énergie hydraulique et la transforment en une autre forme d’énergie telle que : o Énergie mécanique : C’est le cas du moulin à eau. o Énergie électrique : C’est le cas de la turbine o …



Et réciproquement, il y a des machines qui reçoivent une énergie donnée pour la transformer en énergie hydraulique : C’est le cas des pompes

5.6.1 DÉFINITIONS  

Une turbine est un appareil qui reçoit de l’énergie potentielle hydraulique et le transforme en énergie électrique. Par opposition à une pompe qui est un appareil qui reçoit de l’énergie mécanique et le transforme en énergie potentielle hydraulique.

5.6.2 SCHÉMA EN ÉCOULEMENT PARFAIT :

La ligne d’énergie augmente pour le cas d’une pompe, Vu que celle ci transforme de l’énergie mécanique qu’elle reçoit (du moteur qui la fait fonctionner) en énergie hydraulique qu’elle cède à l’écoulement

La ligne d’énergie diminue pour le cas d’une turbine, Vu que celle ci transforme de l’énergie hydraulique qu’elle reçoit de l’écoulement en énergie mécanique qu’elle cède (par exemple sous forme d’énergie électrique)

Remarque :  La hauteur H représente l’énergie transformée. o Pour le cas d’une pompe, cette énergie correspond à la différence d’altitude à travers laquelle l’eau est refoulée (relevée). o Pour le cas d’une turbine, cette énergie correspond à l’énergie transformée en électricité.  La puissance hydraulique transformée est Pour démontrer cette formule, on a : W = m g H = ρ V g H et par suite :

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P=W/t=ρ*g*V*H/t=ρ*g*Q*H

P=ρgQH

Dans cette formule, on a :

ρ : représente la masse volumique du liquide (≈ ( 1000 kg/m3) g : représente l’accélération terrestre (≈ ( 10 m/s/s) H : représente la hauteur de chute (ou d’élévation) en m Q : représente le débit écoulé en m3/s P : représente la puissance transformée en Watt. (à vérifier ! ?)

5.6.3 RENDEMENT D’UN APPAREIL AP N’importe quel appareil, qui reçoit une énergie donnée à transformer en une autre forme d’énergie, consomme une partie de cette énergie sous forme d’énergie calorifique ou autre. Le rendement d’un appareil est par définition le rapport de l’énergie cédée Wc sur l’énergie reçue Wr. Ce qui est équivalent à dire aussi : C’est le rapport de la puissance cédée Pc sur la puissance reçue Pr.

η = Wc / Wr = Pc / Pr Remarque:  L’énergie cédée Wc est inférieure à l’énergie reçue Wr; par suite le rapport Wc / Wr est inférieur à un. Donc : η < 1  L’énergie cédée Wc et l’énergie reçue Wr sont des données positives; par suite leur rapport est supérieur à zéro. Donc : η > 0  En résumé, on a :

0 P* / ρg 2 Avec : PdC2 - PdC1 = P* / ρg 1 - P* / ρg 2

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7.5.2 CALCUL DU DÉBIT Soit une conduite transitant un débit à déterminer à travers une conduite en aluminium de diamètre D = 200 mm et une longueur L = 1.5 km. La cote amont de l’eau est 120.12 mNGM et aval est 99.05 mNGM. *1 Faire la représentation de Bernoulli *2 Y aura-t-il la cavitation quelque part ? Oui, et il faut l’éviter ; si non, ça sera grave …. *3 Calculer la perte de charge unitaire

14 m/km

PdCu = (Cm – Cv) / L = (120.12 – 99.05) / 1.5 = 14.05 m/km *4 Quelle formule appliquez-vous ? Calculer la vitesse de l’écoulement

1.6 m/s

En appliquant la formule de Scobey, pour K (aluminium) = 0.4, on a : PdCu = 2587 * 10-6 * K * U1.89 / D1.09 = 2 587 * 10-6 * 0.40 * U1.89 / 0.21.09 = 0.014 05 m/m Et pour une PdCu = 14.05 m / km on a : U = 1.57 m/s *5 En déduire le débit

49 L/s

Q = U * S = U * π * D * D / 4 = 1.57 * π * 0.2 * 0.2 / 4 = 49.36 L/s

7.5.3 CALCUL DE LA COTE AVAL Soit une conduite siphon qui devra transiter un débit Q = 81 l / s, à travers une conduite en acier galvanisé de diamètre D = 300 mm et une longueur L = 100 m *0 Quel est le rôle de l’appareil SP ? C’est un appareil qui fait le vide pour qu’il y ait un écoulement *1 Calculer la vitesse de l’écoulement

1 m/s.

U = 4 * Q / π / D2 = 4 * 0.081 / π / 0.32 = 1.15 m/s. D’où, l’énergie cinétique sera négligeable *2 Quelle formule appliquez-vous ? Calculer la perte de charge unitaire 5 m/Km La formule de Scobey (K = 0.42) PdCu = 2587 * 10-6 * K * U1.89 / D1.09 = 2587 * 10-6 * 0.42 * 1.151.89 / 0.31.09 = 0.005 26 m/m *3 En déduire les pertes de charge linéaires

0.5 mCE

PdCl = PdCu * L = 0.005 26 * 100 = 0.526 mCE

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*4 Calculer la cote de l’arrivée de l’eau si la cote amont est 978.25 mNGM

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978 mNGM

En appliquant Bernoulli, on a : Cv = Cm – PdC = 978.25 – 0.526 = 977.72 mNGM

7.5.4 CALCUL DE LA COTE AMONT Soit une conduite siphon qui transite un débit Q = 132 l/s, à travers une conduite en acier galvanisé de diamètre D = 450 mm et une longueur L = 30 m *1 Calculer l’écoulement

la vitesse 0.8 m/s

de

U = 4 * Q / π / D / D = 4 * 0.132 / π / 0.45 / 0.45 = 0.83 m/s *2 Quelle formule appliquez-vous ? Calculer la perte de charge unitaire

0.002 m/m

La formule de Scobey avec K = 0.42 : acier galvanisé PdCu = 2587 * 10-6 * K * U1.89 / D1.09 = 2587 * 10-6 * 0.42 * 0.831.89 / 0.451.09 = 1.82 m/Km *3 En déduire les Pertes de charge linéaires

0.06 mCE

PdCl = PdCu * L = (1.82 / 1000) * 30 = 0.054 7 mCE : *4 Calculer la cote de départ de l’eau si la cote d’arrivée est 1 231.25 mNGM

1 231.2

Cm = Cv + PdC = 1 231.25 – 0.054 7 = 1231.2 mNGM Remarque : Les PdC minimales à considérer dans un siphon sont de 5 cmCE

7.5.5 RÉCAPITULATION  Dans ce paragraphe de calcul des conduites, plusieurs paramètres ont été calculé, exceptée une donnée qui n’a pas été calculée : le diamètre de la conduite.  Le calcul des diamètres des conduites a un nom particulier : C’est le dimensionnement, qui fera l’objet du paragraphe suivant.  Bien remarquer qu’il faudra tenir compte des PdC singulières pour le calcul de précision (par l’abaque ou par les formules)

7.6 DIMENSIONNEMENT DES CONDUITES 7.6.1 DEFINITION  Dimensionner : c’est donner les dimensions, d’une façon générale; c’est trouver les longueurs, largeurs et hauteurs des ouvrages en question.  Alors que, dimensionner une conduite (en hydraulique), c’est donner (trouver) les dimensions de la dite conduite qui sont la longueur et le diamètre. o La longueur est déterminée sur le terrain ou sur le plan. . . . o Le diamètre est calculé hydrauliquement de telle façon à permettre l’écoulement du débit demandé sous les conditions du problème.

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7.6.2 CAS DE DIMENSIONNEMENT Dans la pratique, et pour dimensionner une conduite, l’étude se résume en trois cas qui peuvent se rencontrer : 

Une perte de charge convenable qui donne une vitesse correcte, incluse entre les bornes : 0.5 < V < 2 m/s



Une perte de charge très grande donnant lieu à une vitesse excessive qu’il faudra réduire en soustrayant de l’énergie en excès par : o Simple vannage en créant une perte de charge singulière o Ou le mieux encore, c’est transformer cette énergie en excès en électricité par turbinage)



Une perte de charge très faible qui se manifeste par une vitesse non auto curante qu’il faudra augmenter en ajoutant de l’énergie par pompage afin que l’écoulement redevienne correct.

7.6.3 NOTION DE PDC REQUISES ET DISPONIBLES 7.6.3.1 Intérêts des PDC L’écoulement se fait grâce à son énergie qui fait face à l’énergie résistante provoquée par les forces résistantes dans le dit écoulement du liquide. Cette énergie résistante qu’il faudra vaincre porte le nom de perte en énergie (ou plutôt perte de charge)

7.6.3.2 PDC REQUISES ce sont les PdC nécessaire pour avoir un écoulement correct d’un débit donné Q à travers une conduite donnée de longueur L et de diamètre D. Et ça n’a rien à voir avec les cotes de départ et d’arrivée de l’eau

7.6.3.3 pdc disponibles Ce sont les PdC que le terrain naturel offre pour avoir un écoulement gravitaire dans la mesure du possible. Et ça n’a rien à voir avec l’écoulement et les PdC qu’il provoque.

7.6.3.4 Adaptation des pdc  Le terrain donne une offre de PdC : Ce sont les PdC disponibles.  L’écoulement du liquide avec un débit donné, à travers une conduite de diamètre donné nécessite une PdC pour une longueur donnée : Ce sont les PdC requises Alors qu’il faudra égaliser les deux, pour satisfaire la condition de l’offre et la demande autant que possible pour avoir un écoulement permanent et uniforme.

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7.6.4 PERTE DE CHARGE CONVENABLE C’est le cas (+/- idéal) où les pertes de charge (disponibles et requises) concordent parfaitement, c’est à dire donnant une vitesse correcte (0.6 < U < 1.6 m/s) à travers la conduite ou (les conduites en série à choisir).

7.6.4.1 EXEMPLE SIMPLE Soit à dimensionner une conduite de longueur L = 1.25 km en plastique qui débite 9.1 L/s à partir d’une source de cote 123.56 mNGM vers un réservoir de cote 110.75 mNGM *1 Faire la représentation schématique de Bernoulli ATTENTION : Les dégâts que peuvent causer les surpressions et les dépressions au niveau d’une conduite à installer risquent d’être trop grands ; bien étudier le PROFIL auparavant. . . . *2 Dimensionner la conduite (Excel pourra simplifier les calculs)

100 mm

PdC = (Cm – Cv) / L = (123.56 – 110.75) / 1.25 = 10.25 m/km Q = 58.9 * D2.68 * J0.561

Soit :

D = (Q / 58.9 / J0.561) 1/2.68 = ((9.1 / 1 000) / 58.9 / 0.010250.561)1/2.68 = 99.997 mm ≈ 100 mm *3 Calculer la vitesse V, est-elle correcte ?

1 m/s

On peut utiliser soit : U = 75 * D0.68 * J0.561 = 75 * 0.10.68 * 0.010250.561 = 1.16 m/s Ou l’équation de la continuité U = 4 * Q / 3.14 / D2 =

= 1.16 m/s

Bien remarquer que ce dimensionnement vient de donner une vitesse correcte (convenable)

7.6.4.2 CONDUITE NORMALISÉE Par calcul, on trouvera tous les nombres possibles pour le diamètre cherché. Mais, sur le marché, va t- on trouver toutes ces dimensions de diamètres ? Bien sûr que non, les diamètres sur le marché sont normalisés (standard). Par exemple ; pour l’amiante ciment (DIMATIT), les diamètres sont (en mm) : … , 60 , 80 , 100 , 150 , 200 , 250 , 300 , 350 , 400 , …

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En conclusion : Si par calcul, le diamètre trouvé est par exemple 270 mm (pour DIMATIT). La solution consiste à prendre soit 250 mm, soit 300 mm, soit le mieux encore une combinaison des deux.  Si on prend le petit diamètre (D = 250 mm), le débit sera plus faible que ce qui est demandé; autrement dit, Cette solution ne respecte pas la demande.  Si on prend le grand diamètre (D = 300 mm), les conditions techniques seront largement respectées; et par conséquent, le coût sera élevé ! !  Et le mieux est d’opter pour les deux (une partie de la conduite en petit diamètre (D = 250 mm) et l’autre partie en grand diamètre (D = 300 mm). Il restera à déterminer dans ce cas les longueurs des deux diamètres pour égaliser les PdC requises et disponibles.

7.6.4.3 EXEMPLE COURANT Soit à dimensionner une conduite de longueur L = 1.252 km en amiante ciment qui débite 66.32 L / s à partir d’une source de cote 426.04 mNGM vers un réservoir de cote 421.25. 1. Faire la représentation de Bernoulli théorique qualitative

2. Calculer la perte de charge unitaire

4 mCE/km

PdCu = (Cm – Cv) / L = (426.04 – 421.25) / 1.252 = 3.826 mCE/km 3. Quelle formule utilisez-vous pour dimensionner la conduite ? La conduite est en Amiante ciment ; on utilisera la formule de Scimemi. Q = 48.3 * D2.68 * Ju0.56 4. Quels sont le diamètre et la vitesse théoriques à utiliser ?

274 mm

1 m/s

Q = 48.3 * D2.68 * J0.56 donne D = (Q / 48.3 / J0.56)1/2.68 = ((66.32 / 1 000) / 48.3 / (3.826)0.56)1/2.68

= 273.5 mm

U = 4 * Q / π / D2 = 4 * (66.32 / 1 000) / π / 0.2742 = 1.125 m/s N.B : Bien remarquer qu’on ne peut trouver ce diamètre sur le marché. D’où la nécessité de chercher deux diamètres qui l’encadrent et qui existent sur le marché. 5. Quelle est la combinaison de diamètres commerciaux à utiliser ? En cherchant sur le catalogue commercial des diamètres fabriqués par DIMATIT (Amiante Ciment), on pourra utiliser le D250 mm et le D300 mm.

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6. Refaire la représentation de Bernoulli théorique (qualitative) N.B : Remarquer bien que le tracé de la ligne piézométrique est en fonction des diamètres 7. Quelles sont les PdCu correspondantes à ces diamètres (et pour le débit en question) ? La formule à appliquer est toujours la même, Soit : Q = 48.3 * D2.68 * Ju0.56 qui donne Pour Le D300mm : Ju = 2.46 m/km Pour Le D250mm : Ju = 5.89 m/km

à trouver !

8. Quelles sont les vitesses correspondantes à ces diamètres ? Sont-elles correctes ? U = 4 * Q / π / D2 Soit U300 = 4 * Q / π / D12 = 4 * (66.32 / 1000) / π / 0.32 = 0.94 m/s Et U250 = 4 * Q / π / D22 = 4 * (66.32 / 1000) / π / 0.252 = 1.35 m/s 9. Quelles sont les longueurs correspondantes à ces diamètres ? Posons les équations de contraintes pour résoudre le système. 

Équation des longueurs : L300 + L250 = 1.252 km = LT



Équation des PdC : PdCu300*L300 +Pdcu250*L250 = 4.79 m = PdCt = Cm – Cv Soit : 2.46 * L300+ 5.89 * L250 = 4.79 mCE

Système de deux équations à deux inconnus dont la solution est :

L300 = 0.753 km et L250 = 0.499 km

7.6.5 EXCÈS DE PERTE DE CHARGE C’est le cas où les pertes de charge disponibles sont en excès, c’est à dire donnant une vitesse relativement élevée, de l’ordre (ou dépassant) les 2 m/s à travers une conduite ou des conduites à choisir. Dans de pareil cas, il est conseillé de réduire ces pertes de charge linéaires par l’installation des pertes de charge singulières (et le plus simple par la fermeture partielle d’une vanne) Le mieux, et ci c’est possible, est d’utiliser cette énergie en excès pour faire fonctionner une turbine pour transformer cet excès d’énergie en électricité.

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EXEMPLE Soit à dimensionner une conduite de longueur L = 1.03 km en amiante ciment qui transite un débit Q = 22.74 L/s à partir d’un barrage de cote 325.48 mNGM vers un réservoir de cote 253.5 mNGM. *1 Calculer les PdC unitaires 70 m/km PdC disp = Cm – Cv = PdCdu =

= 72 mCE = 69.88 m/km

*2 Dimensionner la conduite (utiliser Excel) On a : Q = 48.3 * D2.68 * Ju0.56

100 mm

ce qui donne

D = (Q / 48.3 / Ju0.56) 1 / 2.68 =

99.999 ≈ 100 mm

*3 Calculer la vitesse. Quelle conséquence en tirez-vous ? U = 4 * Q / π / D2 =

2.9 m/s

= 2.895 m/s

Il y aura là un grand excès de vitesse risquant d’endommager la conduite. *4 Faire le choix approprié de dimensionnement : à justifier Mais pour une vitesse raisonnable de l’ordre de 1 m/s, on a :  

Pour D = 150 mm, on a: V = 1.287 m/s Pour D = 200 mm, on a : V = 0.724 m/s Faisons le choix de D = 150 mm (Solution technique et économique)

*5 Refaire la représentation schématique de Bernoulli *6 Calculer l’énergie en trop à vanner (ou transformer….) 61.66 mCE On a : Q = 48.3 * D2.68 * Ju0.56

,

Ce qui donne J = (Q / 48.3 / D2.68)1 / 056 =10.0378 m/km. Soit PdCl = 10.339 mCE Et il faut vanner (ou transformer) le reste, Soit une charge de 61.64 = 71,98 – 10.339 mCE *7 Quelle est la puissance transformée si le rendement est 0.8

11 kW

Ph = ρ * g * Q * HMT = 1 000 * 10 * (22,74 / 1 000) * 61.64 = 14.017 KW Pt = Ph * 0.8 = 14.017 * 0.8 = 11.214 kW NB : C’est l’équivalent d’un peu plus d’une centaine de lampes de 100 W en fonctionnement

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7.6.6 PERTE DE CHARGE EN DÉFAUT C’est le cas où les pertes de charge disponibles sont très faibles, c’est à dire donnant une vitesse non auto curante, (inférieure à 0.5 m/s à travers la conduite ou les conduites à choisir). EXEMPLE : Soit à dimensionner une conduite de longueur L = 2.15 km en A.C qui débite 10.05 L/s à partir d’une source de cote 1 250.5 mNGM vers un réservoir de cote 1 249.7 mNGM. *1 Faire la représentation de Bernoulli *2 Dimensionner la conduite (Excel)

220 mm.

PdC dispo = Cm – Cv =

= 0.8 mCE

PdCdispo unitaire = D’où :

Q = 48.3 * D2.68 * Ju0.56

= 0.372 m/km ,

Ce qui donne D = (Q / 48.3 * J0.56)1 / 2.68 =

= 220.18 mm.

*3 Calculer la vitesse. Quelle conséquence en tirez-vous ? Le diamètre théorique de la conduite est compris entre 200 et 250 mm. Soit : Par application de l’équation de la continuité U = 4 * Q / π / D2 o U = 0.3199 m / s pour D = 200 mm o U = 0.2047 m / s pour D = 250 mm D’où, on a une vitesse trop faible qui provoquera les problèmes d’auto curage. *4 Proposer un dimensionnement Optons plutôt pour une vitesse auto curante (V >= 0.5 m/s et raisonnable) : Soit un diamètre D = 150 mm auquel correspond une vitesse de 0.5687 m/s *5 Quelle PdC supplémentaire faudra t-il ? PdCu(10.02 L / s , 150 mm) = 2.34 m/km, Soit une PdC (requise) = 2.34 * 2.15 = 5.02 mCE PdCsup = PdCreq – PdCdisp = 5.02 – 0.8 = 4.22 mCE *6 Refaire la représentation des PdC Dans de pareille situation, vu que les PdC disponibles de 0.8 mCE sont inférieures aux PdC requises Il faut obligatoirement une pompe qui relève de l’eau sur une hauteur supplémentaire de 4.22 mCE pour avoir un écoulement correct.

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7.6.7 RÉCAPITULATION Dimensionner une conduite en hydraulique, c’est trouver le diamètre qui satisfait :  Les contraintes techniques : o Contraintes de vitesses : 0.5 < U < 1.8 m/s o Contraintes des pertes de charge : Jrequis 1). Dans ces conditions, la célérité des ondes est plus faible que la vitesse de l’eau, et par suite, une perturbation de l’eau n’affecte que les conditions d’écoulement aval de son point de départ (voir TP).

8.11.3 ÉCOULEMENT FLUVIAL L’écoulement fluvial se caractérise par sa hauteur (un grand tirant d’eau) qui est supérieure à la hauteur critique, ainsi qu’une faible pente qui donne lieu à une faible vitesse. Le nombre de Froude correspondant est inférieur à UN (F < 1) Dans ces conditions, la célérité des ondes se propage plus vite que la vitesse de l’eau, et par suite, une perturbation de l’eau affecte les conditions d’écoulement à la fois à l’amont et à l’aval de son point de départ voir TP).

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8.11.4 ÉCOULEMENT CRITIQUE C’est un écoulement intermédiaire entre les deux, dont les paramètres sont critiques (Vc, Yc et Ic) Le nombre de Froude correspondant est égal à UN (F = 1) Rappelons que cet écoulement se caractérise par sa charge spécifique minimale. Et par suite, le débit critique sera donné par :

Qc2 * L = g * S3 Avec : Qc : Débit critique de l’écoulement de l’eau dans le canal en m3/s L : Le lit du canal en m S : section offerte à l’écoulement en m2 g : Accélération terrestre (ou pesanteur du lieu) g ≈ 9.8 m/s/s

8.11.5 RESUME C’est ce qui peut se résumer dans le tableau suivant :

Écoulement Fluvial Critique Torrentiel

Vitesse eau V < Uc Uc V > Uc

Tirant d’eau H > Yc Yc H < Yc

Pente canal I < Ic Ic I > Ic

Nbre de Froude F < 1 F = 1 F > 1

Exemple : Soit un canal rectangulaire de largeur au plafond L = 2 m, qui transite un débit 3 Q = 9.35 m /s. Si on prend n = 0.011 : * 1 Donner les caractéristiques de l’écoulement critique (Yc, Uc et Ic) =1.298 m =3.60 m/s = 0.23% Yc3 = q2 / g =

= 2.286 m Càd Yc = 1.298 m

Uc = (g * Yc) 1/2 =

= 3.60 m/s

U = 1 / 0.011 * R2/3 * I1/2 = 3.60 avec R =

= 0.565 m

Ic = (U / K / R2/3)2 =

= 0.23 %

* 2 Quels seront la vitesse, le tirant d’eau et le nombre de Froude si la pente devenait : I = 10 * Ic Q = U * S = 1 / 0.011 * LH * (LH / (L + 2 * H)) 2/3 * I1/2 = 1 / 0.011 * 2H * (2H / (2 + 2 * H)) 2/3 * I1/2 = 9.35 Équation à résoudre, et qui donne : H = 0.52 m U = 1 / 0.011 * LH * (LH / (L + 2 * H)) 2/3 = 1 / 0.011 * 2H * (2H / (2 + 2 * H)) 2/3 * I1/2 = 7.7 m/s F = U / (Yc * 10)0.5 =

= 3.5

* 3 Quels seront la vitesse, le tirant d’eau et le nombre de Froude si la pente devenait : I = Ic / 10 Q = U * S = 1 / 0.011 * LH * (LH / (L + 2 * H)) 2/3 * I1/2 = 1 / 0.011 * 2H * (2H / (2 + 2 * H)) 2/3 * I1/2 = 9.35 Équation à résoudre, et qui donne : H = 3.07 m U = 1 / 0.011 * LH * (LH / (L + 2 * H)) 2/3= 1 / 0.011 * 2H * (2H / (2 + 2 * H)) 2/3 * I1/2 = 1.3 m/s F = U / (Yc * 10)0.5 =

= 0.24

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* 4 Dresser le tableau résumé des écoulements (fluvial, critique et torrentiel) ÉCOULEMENT Fluvial Critique Torrentiel

VITESSE V = 1.3 m/s Uc= 3.6 m/s V = 7.7 m/s

TIRANT D’EAU H = 3.07 m Yc = 1.3 m H = 0.52 m

PENTE I = 0.0323 % Ic = 0.23 % I = 3.23 %

NOMBRE DE FROUDE F = 0.24 F=1 F = 3.5

8.12 ÉCOULEMENTS EN CANAUX CIRCULAIRES 8.12.1 INTRODUCTION Ce complément de cours est ajouté pour faciliter la compréhension des cours pratiques. Les canaux circulaires, demi-circulaires, … sont très utilisés en écoulement à surface libre (c’est le cas de l’assainissement, l’irrigation gravitaire et le drainage) puisque la section circulaire a :  

Le minimum de béton. Le meilleur rayon hydraulique.

La section circulaire se définit par le rayon du cercle et l’arc correspondant au périmètre mouillé. La section mouillée est définie par le secteur OACB + le triangle OAB: Sm = R2 * θ/2 + ½ R2 * sin (2π – θ) = R2 * (θ - sin θ) / 2 Et le périmètre mouillé est : Pm = R * θ D’où le rayon hydraulique sera :

Rh = R * (θ - sin θ) / 2θ

Avec : R : rayon du canal circulaire (cylindrique) en m. Θ : Angle de remplissage du canal en radian. Le calcul des canaux (circulaires ou demi-circulaires) consiste à trouver un paramètre connaissant les autres et qui sont : Le débit, la vitesse, la pente et le taux de remplissage du canal. Par contre, le dimensionnement consiste à trouver le rayon à donner au canal.

8.12.2 CALCUL DU DÉBIT D’UN CANAL Le débit sera donné par une application directe des équations :  

Équation de Manning donnant la vitesse. Équation de la continuité donnant le débit.

Exemple : Soit un canal circulaire (de rayon R = 1 m et un angle de θ = 308°) en ciment lisse et état parfait (n = 0.01) de pente I = 0.012 %.

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* 1 Représenter le canal en coupe transversale.

* 2 Calculer le périmètre et la section du canal. θ=

= 5.3756 m

= 5.3756 rd

Sm = R2 * (θ - sin θ)) / 2 =

= 3.08 m2

Pm = R * θ = * 3 En déduire le rayon hydraulique.

= 3.08 m2

= 5.3756 m = 0.573 m

Rh = S / P =

= 0.573 m

* 4 Calculer la vitesse et le débit de l’eau dans le canal.

= 0.756 m / s

U = 1 / 0.01 * (Rh) 2/3 * I1/2 =

= 2.33 m3/s = 0.756 m/s

= 2.33 m3/s

Q=U*S=

8.12.3 CALCUL DE LA PENTE D’UN D CANAL Comme pour le calcul du débit, celui de la pente se fait aussi par application directe de la formule, une fois les données sont connues. Exemple : Soit un canal circulaire (de rayon R = 1.2 m et un angle de θ = 308°) en ciment lisse et état parfait (n = 0.011), qui transite un débit Q = 5.05 m3s. * 1 Calculer uler le périmètre et la section du canal θ=

= 6.45 m

= 5.38

Sm = R2 * (θ - sin θ)) / 2 =

= 3.3 m2

Pm = R * θ =

= 6.45 m

* 2 En déduire le rayon hydraulique. R=S/P=

= 3.3 m2

= 0.51 m = 0.51 m

* 3 Calculer la vitesse de l’eau dans le canal.

= 1.5 m/s

Équation de la continuité Q = U * S donne : U = Q / S =

= 1.53 m/s

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* 4 En déduire la pente I du canal.

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= 0.07%

L’équation de Manning Strickler U = 1 / n * (R) 2/3 * I1/2 donne la pente du canal I I = (U * n / (R) 2/3) 2 =

= 0.07%

8.12.4 NOTION DU TAUX DE REMPLISSAGE La vitesse et le débit dans un canal, sont fonction du taux de remplissage. Si on appelle V0 et Q0 la vitesse et le débit en pleine section, calculons les rapports V / V0 et Q / Q0. ◙ Pour un écoulement à pleine section, on a : V 0  1 n ( R 2 ) 2 / 3 I 1 / 2 et Q 0 

1

n

( R 2 ) 2 / 3 I 1 / 2 R

2

◙ Pour un écoulement à section non pleine, on a : V 

1

Q

1

1/ 2

   sin(  )      

2 /3

et

n

(R 2 ) 2 /3 I

n

( R 2) 2 / 3 I 1/ 2 R 2 2 * (  sin  )((  sin  ) /  ) 2 / 3

└► Soit : Pour un écoulement à un taux de remplissage donné, on a :

V /V0 Conclusions

   sin(  )       

2/3

et

Q / Q0

   sin(  )       

2/3

  sin  2

En appliquant la loi de Manning Strickler :

→ La vitesse est maximale pour un angle de 260°, → Le débit est maximal pour un angle de 308°, Autrement dit; pour dimensionner, l’angle optimal (économique, avantageux) est 308°. → Mais, pour des raisons pratiques, (passage des corps flottants, marge de sécurité, …), l’angle admis est en général de 240° (inférieur à l’angle 260°de la vitesse est maximale).

8.12.5 DIMENSIONNEMENT DES CANAUX Le dimensionnement des canaux (en écoulement à surface libre) se fait comme pour les calculs précédents, sans oublier que c’est la question qui se pose à chaque fois qu’il y a un projet à réaliser. Ainsi, on a à calculer :  Le diamètre du canal à installer.  L’angle de remplissage (ou le tirant d’eau) qui donne le débit le plus grand. Pour plus de détail, voir le chapitre du dimensionnement du cours d’assainissement, du cours d’irrigation gravitaire et/ou du cours de drainage.

8.13 ÉCOULEMENTS EN DÉVERSOIR Parshall

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Rapport de vitesse en fonction de l'angle de remplissage

1,2

1,1

1

0,9

Rapport V/V0

0,8

0,7

0,6

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

0

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

220

Angle de remplissage

260

280

300

Rapport de Débit en fonction de l'angle de remplissage

1,2 1,1 1

Q/Q0

0,9 0,8

240

0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0

angle de remplissage

320

340

360

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EXERCICES Il serait souhaitable de faire ces exercices en premier lieu à la main (et à refaire avec EXCEL) Exe 1 : Soit un écoulement d’eau dans un canal rectangulaire en ciment lisse (L = 1.5 m ; H = 0.75 m) de pente : I = 0.11 %. * 1 Calculer le rayon hydraulique

= 0.375

Rh = L * H / (L + 2 * H) = 1.5 * 0.75 / (1.5 + 2 * 0.75) = 0.375 * 2 Calculer la constante C de Bazin.

= 75

Pour un canal lisse, on prend γ = 0.06 C = 87 / (1 + γ / Rh) = 87 / (1 + 0.06/0.375) = 75 * 3 Calculer la vitesse de l’eau dans le canal selon la formule de Bazin.

= 1.5 m / s

U = C * (Rh * I) 1/2 = 75 * (0.375 * 0.11 %) ^ 0.5 = 1.5 m/s * 4 En déduire le débit véhiculé à travers le canal.

= 1 714 L/s

Q = S * U = 1.5 * 0.75 * 1.5 = 1 714 L/s Exe 2 : Soit un écoulement d’eau dans un canal rectangulaire, à surface libre qui a les dimensions suivantes (L = 1.21 m ; H = 0.650 m) en ciment lisse et de pente I = 0.21 %. * 1 Calculer le rayon hydraulique

= 0.313 m

R = L * H / (L + 2 * H) = 1.21 * 0.65 / (1.21 + 2 * 0.65) = 0.313 m * 2 Trouver la constante de Manning Strickler

N = 0.0115

Pour un ciment lisse d’un état bon à assez bon, on a : N = 0.0115 * 3 Calculer la vitesse de l’eau dans le canal.

= 1.8 m/s

U = 1/n * Rh 2/3 * I 1/2 = 1 / 0.0115 * 0.313 2/3 * 0.21 % 1/2 = 1.84 m/s * 4 En déduire le débit véhiculé à travers le canal. = 1.5 m3/s Q = S * U = 1.21 * 0.65 * 1.84

= 1.446 m3/s

Exe 3 : Soit un canal en ciment lisse et état parfait (n = 0.011) de pente I = 0.03 %. Sa forme géométrique rectangulaire a les dimensions suivantes : L = 2.5 m, H = 1.95 m. * 1 Représenter le canal en coupe transversale et longitudinale.

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* 2 Calculer le rayon hydraulique.

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= 0.76 m

Rh = L * H / (L + 2 * H) = 2.5 * 1.95 / (2.5 + 2 * 1.95) = 0.76 m * 3 Calculer la vitesse et le débit de l’eau dans le canal.

= 6402 l / s

U = 1/n * Rh 2/3 * I 1/2 = 1/0.011 * 0.758 2/3 * 0.03 % 1/2 = 1.31 m / s Q = U * S = 2.5 * 1.95 * 1.31 = 6402l/ s * 4 Faire la représentation de Bernoulli. Voir Question 1

Exe 4 : Soit un canal en ciment lisse et état parfait (n = 0.011) de pente I = 0.021 %. Sa forme géométrique trapézoïdale a les dimensions suivantes : L = 2.1 m, H = 1.2 m, et l’angle du talus est θ = 45°. * 1 Représenter le canal en coupe transversale. transver L = 2.1 m, H = 1.2 m * 2 Calculer le rayon hydraulique S = L * H + H2 / tan θ = P = L + 2 * H / sin θ =

=0.714 m 3.96 m2 5.49 m

Soit : R = S / P =

0.72 m

* 3 Calculer la vitesse et le débit de l’eau dans le canal.

= 1 m/s

= 4.19 m3/s

U = 1/n * Rh 2/3 * I 1/2 = = 1.06 m/s 3 Q=U*S= = 4.19 m /s Exe 5: Soit un canal en ciment lisse et état parfait (n = 0.018), qui transite un débit Q = 1.7 m3/s sous une pente I = 0.2 %. Sa forme géométrique rectangulaire a les données suivantes (largeur au plafond L = 1.58 m) * 1 Calculer le rayon hydraulique ique du d canal en fonction de H S=L*H=

=

m2

P=L+2*H=

=

m

Soit:: R = S / P =

=

m

* 2 Calculer la vitesse de l’eau dans le canal en fonction de H U=Q/S=

=

m/s

* 4 En déduire l’équation (à résoudre) donnant le tirant d’eau H du canal. H = 0.8 m U = 1/n * Rh 2/3 * I 1/2

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Exe 6 : Soit un canal en ciment lisse et état parfait (n = 0.01) qui transite un débit Q =1.125 m /s sous une pente I = 0.02 %. Sa forme géométrique trapézoïdale a les données suivantes (une largeur au plafond L = 1.2 m, angle du talus θ = 50°). 3

* 1 Calculer le rayon hydraulique du canal en fonction de H S = L * H + H2 * tan 50° m2 P = L + 2 * H / sin θ = Soit : R = S / P * 2 Calculer la vitesse de l’eau dans le canal. U=Q/S=

* 4 En déduire l’équation (à résoudre) donnant le tirant d’eau du canal. H = 0.75 m

Exe 7 : Donner les dimensions optimales à un canal de forme rectangulaire, ayant une pente I = 0.23 % et transitant un débit Q = 5.6 m3/s. on prend n = 0.019. * 1 Calculer le rayon hydraulique du canal en fonction de H Pour L = 2H (Section optimale) S = L * H = 2 * H2 P=2*H+2*H=4*H Soit: R = S / P = 2 * H2 / 4 * H = H / 2

m2

= =

=

m

m

* 2 Calculer la vitesse de l’eau dans le canal. U=Q/S=

5.6 / 2 * H2

=

m/s

* 3 En déduire l’équation (à résoudre) donnant le tirant d’eau du canal. H = 1.24 m

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Exe 8 : Donner les dimensions optimales à un canal de forme trapézoïdale (angle au talus θ = 75°) ayant une pente I = 0.1 % et débitant un volume unitaire Q = 3.310 m3/s. on prend n = 0.01. * 1 Calculer le rayon hydraulique du canal en fonction de H Prendre L = 2 * H (1 – cos θ) / sin θ pour satisfaire les conditions optimales S = L * H + H2 / tan θ = 2 * H2 + H2 / tan 75° P = L + 2 * H / sin θ = 2 * H + 2 * H / sin 75

m2 m

Soit : R = S / P * 2 Calculer la vitesse de l’eau dans le canal. U = Q / S = 3.31 / (2 * H2 + H2 * tan 75°)

m/s

* 3 En déduire l’équation (à résoudre) donnant le tirant d’eau du canal. H = 1.08 m

Exe 9 : Un canal rectangulaire de largeur au plafond L = 2.5 m, transite un débit Q = 5.8 m3/s. On prend n = 0.011. * 1 Donner les caractéristiques de l’écoulement critique (Yc, Uc et Ic) Yc3 = q2 / g = (5.8/2.5) 2 / 9.8 = 0549

; Càd Yc = 0.819 m

Uc = (gYc) 1/2 = (9.8 * 0.819) 1/2 = 2.8 U = 1/0.011 * R2/3 * I1/2 =

m/s

avec R =

m

Ic = ( * 2 Quels seront la vitesse, le tirant d’eau et le nombre de Froude si la pente devenait : I = 10 * Ic Q = U * S = * LH * (LH / (L + 2 * H)) 2/3 * I1/2 Équation à résoudre : H =

m

U = 1 / 0.011 * LH * (LH / (L + 2 * H)) 2/3 =

m/s

F = U / (Yc * 10)0.5 * 3 Quels seront la vitesse, le tirant d’eau et le nombre de Froude si la pente devenait : I = Ic / 10 Q = U * S = 1 / 0.011 * LH * (LH / (L + 2 * H)) 2/3 * I1/2 Équation à résoudre : H = U = 1 / 0.011 * LH * (LH / (L + 2 * H)) 2/3 = F = U / (Yc * 10)0.5 =

m m/s

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* 4 Dresser le tableau des valeurs des écoulements (fluvial, critique et torrentiel) Écoulement Fluvial Critique Torrentiel

Vitesse

Tirant d’eau Pente

Nb Froude

Exe 10 : Soit un canal circulaire (de rayon R = 1.5 m et un angle de θ = 328°) en ciment lisse et état parfait (n = 0.01) de pente I = 0.015 %. * 1 Représenter le canal en coupe transversale.

* 2 Calculer le périmètre et la section du canal. θ = 328 * 3.14159 / 180 rd = Sm = R2 * (θ - sin θ) / 2 = Pm = R * θ

m2

m

* 3 En déduire le rayon hydraulique. R=S/P=

m

* 4 Calculer la vitesse et le débit de l’eau dans le canal. U = 1 / 0.01 * (R) 2/3 * I1/2= Q=U*S=

=

m/s

m3/s

Exe 11 : Soit un canal circulaire (de rayon R = 1.25 m et un angle de θ = 318°) en ciment lisse et état parfait (n = 0.011), qui transite un débit Q = 3.05 m3/s. * 1 Calculer le périmètre et la section du canal θ = 318 * 3.14159 / 180 = Sm = R2 * (θ - sin θ) / 2 = Pm = R * θ =

m2

m

* 2 En déduire le rayon hydraulique. R=S/P=

m

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* 3 Calculer la vitesse de l’eau dans le canal. Équation de la continuité Q = U * S donne : U = Q / S =

m/s

* 4 En déduire la pente du canal. L’équation de Manning Strickler U = 1 / n * (R) 2/3 * I1/2 donne la pente du canal I I = (U * n / (R) 2/3) 2 =

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EXERCICES DE RECHERCHE : Exe 1 : Soit à dimensionner un canal rectangulaire, de pente I = 0.5%, n = 0.01. 1 * Donner la formule du tirant d'eau L = f(H) et celle du rayon hydraulique RH = f(H) pour la section avantageuse. 2 * En déduire la formule du débit selon Manning Strickler (pour ces conditions). 3 * Calculer Q (l/s) en fonction de H (cm) du tableau suivant. H (cm)

40

45

50

55

60

Q (l/s) 4 * Dimensionner le canal si le débit est de 1400 l/s. 5 * En exécution, il s'est avéré qu'il y a un tronçon qui a une pente de 0.45%. Y aura t il un problème ? Si oui, proposer une solution économique.

Exe 2 : Soit un canal, de forme trapézoïdale, dont les caractéristiques sont résumées dans le tableau suivant qu’il faudra compléter. Il sera conseillé de le faire par Excel.

N 0.011 0.010 0.010 0.012 0.011 0.013 0.010 ? 0.011 ? 0.013 ? 0.010

Large (m) 1.01 2.03 1.05 ? ? 1.05 ? 2.12 ? 1.56 1.05 2.12 1.56

Tirant d’eau m 0.9 0.88 ? 0.85 ? 0.52 ? 1.06 ? 0.78 0.52 1.06 0.78

Angle talus 45° 60° 55° 75° 45° 60° 90° 45° 60° 90°

Pente % 0.03 ? 0.1 0.015 0.02 0.0002 0.00012 0.00015 0.0002 0.00012 0.00015

Débit l/s ? 1655.91 1533.25 280.87 1562.58 5.025 5.444 1.85 5.025 5.444 1.85

Exe 3 : Démontrer l’expression L = 2H (1 – cos θ) / sin θ caractérisant la section avantageuse d’un canal de forme trapézoïdale.

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récapitulation

Dans ce qui suit, on récapitule les lois d’hydraulique (écoulement turbulent en charge et à surface libre). Écoulement en charge

Écoulement à surface libre

Section

Toujours circulaire

Elle peut être : rectangulaire, trapézoïdale, circulaire, demicirculaire, ovoïde, ...

Charge

La pression >> à la pression La pression est atmosphérique atmosphérique en général

Conséquen  Il peut y avoir un  L’écoulement est toujours ces écoulement remontant descendant (gravitaire). ou descendant  La ligne piézométrique  La ligne est toujours décroissante et piézométrique est confondue avec la surface toujours décroissante et libre de l’eau au-dessus de la conduite (….Cavitation!) Énergie En hydraulique appliquée, Elle est toujours négligeable, vu cinétique que la vitesse est de l’ordre de 1 m/s. PdC = F L/D * U2 / 2g Avec U = C ( Rh I )1/2 F = -2*lg 2.57/ReF1/2)

(ε/3.7D

Avec

+ C = -23.2*lg (1.8C/Re + ε/Rh)

Le calcul par ces expressions est compliqué. D’où l’emploi d’autres formules empiriques, plus simples telles que: Hazen Williams, Scimemi, Bazin, Manning Strickler, …. Scobey, …. Expression PdCsing = K * U2/2g des PdC singulières

PdCsing = ∆H de la chute d’eau

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10 LES TRAVAUX PRATIQUES D’HYDRAULIQUE Dans ce qui suit, il sera réuni un ensemble de petites manipulations constituantes des travaux pratiques, à faire sous forme de démonstration et d’illustration pédagogique que de travaux pratiques au sens du terme. Ce module de travaux pratiques couvre en gros l’ensemble du cours d’hydraulique, et a pour objectifs :   

Vérifier les théorèmes et lois régissant les écoulements d’hydraulique (en charge et/ou à surface libre) vus en cours. Visualiser les divers types d’écoulement d’hydraulique et permettre de faire la jonction entre la théorie et l’expérimentation. ….. …

Ainsi, ces travaux pratiques seront sous forme de petites manipulations qui éclaircissent le cours ; et qui peuvent ce placer en fin du chapitre en question ou éventuellement en fin du cours.

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10.1 TP 1 : APPAREILLAGE ET RELEVÉE DE DONNÉES 10.1.1 OBJECTIFS Ce premier TP (réalisé avec le tube venturi), très simple a pour objectifs : o o o o o o

Montrer le pilote aux étudiants et expliquer ses composantes sur place. Faire une démonstration de fonctionnement avec différents débits. Montrer la notion de pression positive et pression négative (dépression) Montrer la notion d’énergie cinétique. Matérialiser la ligne piézométrique. Faire plusieurs séries de relevés de :   

L’énergie de pression statique avec les tubes piézométriques. L’énergie totale avec le tube Pitot Le volume écoulé et le temps correspondant ;

o Et ceci a pour finalité :  

Pouvoir éliminer les fautes éventuelles. Faire face aux erreurs afin d’augmenter la précision des données.

10.1.2 DESCRIPTION DU PILOTE o Montrer le pilote aux étudiants globalement et ses composantes sur place. o Décrire les composantes une à une du circuit hydraulique :        

Bouton de marche, arrêt, urgence. Cuve réservoir en eau servant au circuit qui doit être pleine en eau. Cuve (réservoir en eau) graduée servant au comptage du volume écoulé en eau. Pompe d’alimentation du circuit en eau. Vannes de réglage du débit, de réglage de la pression et des tubes piézomètriques. Tuyauterie avec le cône convergent divergent. Piézomètres et leur emplacement sur le cône. Le tube Pitot et sa mobilité de déplacement.

10.1.3 FONCTIONNEMENT DU PILOTE o Brancher le courant électrique une fois vous êtes sûr que la vanne d’alimentation en eau est fermée. o Mettre en marche la pompe sur vanne fermée. o Ouvrir la vanne d’alimentation en eau pour un débit donné. o Faire une démonstration de fonctionnement avec différents débits 

Qu’observez-vous au niveau des tubes piézométriques pour un débit faible ? Le niveau de l’eau dans les différents tubes piézométriques est +/- le même. La variation de lecture est négligeable.



Qu’observez-vous au niveau des tubes piézométriques pour un débit moyen ? Le niveau de l’eau dans les différents tubes piézométriques n’est pas le même. La variation de lecture, représentant la pression est nette.

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

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Qu’observez-vous au niveau des tubes piézométriques pour un fort faible ? Le niveau de l’eau dans les différents tubes piézométriques est très différent, voir même le niveau de l’eau dans le tube 3 a disparu. Il y a même des bulles l’air qui entre dans la conduite, signe de dépression (pression négative)



Montrer la notion d’énergie cinétique et sa variation le long du cône. Quand on fait déplacer le tube Pitot à l’intérieur de la conduite, on a :  de la position 1 vers la position 3, la hauteur de l’eau augmente dans le dit tube. Càd : l’énergie cinétique augmente.  Et vice versa, de la position 3 à la position 6, la hauteur de l’eau diminue dans le dit tube. Càd : l’énergie cinétique diminue.  Ceci s’explique par la variation du diamètre de la conduite : Il y a rétrécissement puis élargissement.



Régler la vanne débit métrique pour pouvoir faire des lectures piézométriques bien différentes et au tube de Pitot, et faire plusieurs séries de relevés de :  L’énergie de pression statique avec les tubes piézométriques Hs.  L’énergie totale avec le tube Pitot Ht  Le volume écoulé et le temps correspondant.

10.1.4 OBSERVATIONS  

Choisir un débit qui fait une nette différence de lectures à travers les divers tubes. Remplir les tableaux suivants avec leurs observations de lecture à travers les tubes piézométriques donnant la hauteur statique Hs, tube Pitot donnant la hauteur totale Ht et données volumétriques (volume écoulé et temps correspondant)

Nota : Faire plusieurs relevées d’observations dans le temps pour minimiser les erreurs de fluctuation du niveau dans le tube.

10.1.5 TRIAGE DES DONNÉES    

Fixer une marge d’erreurs (par exemple 5 %) et éliminer les données qui en sortent. Recalculer la nouvelle moyenne pour minimiser les erreurs. Vérifier la concordance des données avec la théorie. o (Ht1 > Ht2 > Ht3 > …) o (Hs1 > Hs2 > Hs3 < Hs4 < Hs5 < Hs6) Corriger ces données si c’est nécessaire (x → x +/- 1 à 3 %) pour qu’elles concordent éventuellement à la théorie sans dépasser la marge d’erreur (fixée à 5 %).

TABLEAU DE Hs Tubes d’observation Ob.1 (mm) Ob. 2 (mm) ….. Ob. 20 (mm) Moyenne (mm) Moy Cor (mm)

1 Hs

Er

2 Hs

Er

3 Hs

Er

4 Hs

Er

5 Hs

Er

6 Hs

Er

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TABLEAU DE Ht Tubes d’observation Ob.1 (mm) Ob. 2 (mm) ….. Ob. 20 (mm) Moyenne (mm) Moy cor (mm)

1 Ht

Er

2 Ht

Er

3 Ht

Er

4 Ht

Er

TABLEAU RÉSUMÉ (Vérification de la concordance) 1 Hs (mm) Ht (mm)

2

3

4

5

6

5 Ht

Er

6 Ht

Er

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10.2 TP 2 : LA VOLUMÉTRIE 10.2.1 NOTION DE MESURE DE DÉBIT Souvent, dans la pratique, le technicien est exposé à savoir le débit transité à travers une conduite (ou un canal éventuellement). Pour le mesurer, le dit technicien devra utiliser le procédé approprié. Les procédés de mesure du débit, appelé JAUGEAGE, sont nombreux et ne peuvent s’appliquer indifféremment. Il faudra distinguer : 

Mesure directe : il s’agit de mesurer le volume qui s’est écoulé pendant un temps déterminé, et en faire un simple rapport de ces deux grandeurs. C’est la volumétrie. Mesure indirecte : il s’agit de mesurer plutôt la vitesse et la multiplier par la section de l’écoulement. (Voir plus loin : Tube Pitot, Venturi, Parshall, …)



REMARQUES :  Actuellement, la mesure du débit se fait de plus en plus d’une façon électronique.  Alors que ce TP n’est qu’une simple illustration du cours.

10.2.2 OBJECTIF Ce premier TP, très simple, a double objectifs : Il s’agit d’introduire : o o

La notion d’erreurs dans les manipulations et la précision qui en découle. La façon la plus simple visant à augmenter la précision autant que possible.

10.2.3 LA VOLUMÉTRIE La volumétrie est la mesure des volumes d’une façon générale. Dans ce cas, c’est la mesure du volume du liquide écoulé, pendant un intervalle de temps donné.

Q V

T

Avec: ΔV : Variation de volume écoulé en m3, L, … ΔT : intervalle de temps en s, mn, h, … Q : Débit à mesurer en m3/s, l/s, l/mn, … Les appareils de mesure de cette expérience sont:  

Un chronomètre (ou montre électronique) pour mesurer le temps avec une très bonne précision. Un bac gradué pour mesurer le volume écoulé en L, m3.

10.2.4 EXPÉRIENCE Pour déterminer le débit d’un robinet donné, on place sur la paroi verticale d’un tonneau placé sous le robinet, une graduation métrique, tel que le zéro coïncide avec le font du tonneau.

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Durant l’expérience, et en admettant que :  

La hauteur du tonneau est graduée en cm ; par suite, l’erreur de mesure sera le cm. Le temps écoulé correspondant sera en secondes. C'est-à-dire : l’erreur de mesure sera la seconde.

Le tableau des données relevées sera le suivant : Volume correspondant en (L) Temps chronométré en (s) Débit moyen calculé Q (L / s) La précision du résultat dépend de l’appareillage et de la manipulation. Pour l’augmenter; il suffit de multiplier les mesures, voir même en avoir des mesures intermédiaires qui peuvent être traitées sous forme de graphe. Dans ce cas, il faudra relever différents volumes consécutifs écoulés et le temps correspondant pour tracer la droite expérimentale. V = f(t) = Q*t + Cte (= 0) : A ne pas oublier. En principe, les points reportés sur le graphe seront alignés. Mais, vu les incertitudes de mesure, de lecture, de report, …on aura plutôt un nuage de points +/- alignés. La droite devra être le mieux possible au milieu de ce nuage. S’il y a quelques points qui se distinguent, ils seront considérés comme des points faux. Droite probable max Droite probable moy V Droite probable min

t Le coefficient directeur de la droite y = ax sera le paramètre ‘Q’ cherché. Lorsqu’on voudra une meilleure précision, on élimine les points jugés faux (où l’écart est relativement grand) et le reste des observations sera traité par la régression linéaire (méthode des moindres carrés) et le plus simple en EXCEL.

10.2.5 TRAVAIL DEMANDÉ : DÉTERMINATION DU DÉBIT 10.2.6 METHODE GRAPHIQUE Sur un papier millimétré 1. Tracer le graphe de la droite la plus probable V (L) en fonction du temps t (s)  Le graphe passe par O (0, 0) puisque la fonction est de la forme V (t) = a * t + b ; Avec b = 0 (pour t = 0 en théorie)

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2. Placer les rectangles des erreurs sur ce graphe. 3. Tracer les droites maximale et minimale encadrant la droite la plus probable sur ce graphe. 4. Calculer le coefficient directeur de la droite.  Le Coefficient directeur de la droite s’obtient en choisissant deux points les plus éloignés possible sur le graphe pour minimiser les erreurs. Soit ici : o Le point théorique exact O (0 s, 0 L) o Le point (……..s, …….L). D’où : le coefficient directeur de la droite sera : a = . . . . L / . . . . S =

L/s.

5. En déduire le débit de l’expérience.  Le débit sera en fin de compte la pente de la droite : Q = …….L/s

10.2.7 METHODE STATISTIQUE 

CALCUL MANUEL

Refaire ce travail avec la méthode des moindres carrés afin d’augmenter la précision, une fois vous avez éliminé les points jugés faux  Il y a . . . points faux qui sont : (. . . s, . . . L), (. . . s, . . . L), (. . . s, . . . L), ….  Ces points seront éliminés du tableau pour l’étude suivante.  Étude de la régression linéaire par la méthode des moindres carrés (pour augmenter la précision)  En voici le tableau des couples restants jugés corrects. Couple 1 2 … N

X

Σxi = …

Y

X2

X*Y

Σyi = ….

Σ (Xi2) = ….

Σ (Xi*Yi) =…

o Et par conséquent ; le coefficient directeur de la droite sera a = …. o Et la constante b = …... (et qui devra être très proche de zéro) 

CALCUL AUTOMATIQUE Refaire ce travail avec la méthode des moindres carrés programmée (EXCEL).  En voici les résultats : a = …



et b = …

avec un coefficient R2 = ….

Conclusion : Le débit en question est Q = …

L/S

(Voir sur place)

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10.3 TP 3 : MATÉRIALISATION DU THÉORÈME DE BERNOULLI 10.3.1 OBJECTIF L’objectif de ce TP est de : Tracer la ligne de l’énergie totale. Tracer la ligne piézométrique.

o o 

Ce qui matérialise le théorème de Bernoulli en terme de :    

Énergie potentielle. Énergie de pression. Énergie cinétique Énergie perdue éventuellement.

10.3.2 THÉORIE Le théorème de Bernoulli peut être représenté sur la figure suivante par :  

Z1 + P1/ρg + U12 /2g = Z2+ P2/ρg + U22 /2g = Cste en écoulement Parfait. Z1 + P1/ρg + U12 /2g = Z2+ P2/ρg + U22 /2g + PdC1à2 en écoulement réel.

C’est ce qui peut se matérialiser d’une façon qualitative pour un écoulement à surface libre à travers un canal (en coupe longitudinale et en coupe transversale) par :

10.3.3 LE MATÉRIEL Réalisons les expériences demandées sur les écoulements à surface libre dans le canal transparent pour voir l’emplacement du bout du tube à placer. Le piézomètre à utiliser est un simple tube en plastique blanc (pour qu’on puisse voir à travers) muni à une extrémité par un tuyau d’acier très fin (pour ne pas perturber l’écoulement) et en forme de ‘L’, qui sera placé dans le canal à surface libre.

10.3.4 MANIPULATION    

Les observations seront faites à travers le canal à surface libre. Donner la pente de 1% au canal. Démarrez la pompe et réglez la vanne de contrôle pour avoir le débit Q = 10 m3/h Placer le tube en L dans l’eau et amorcer-le.

10.3.5 OBSERVATIONS 

Mettre le tube en ‘L’ sans que la pointe fait face aux lignes de courant et juste audessous de la surface libre de l’eau, Qu’observez-vous ?

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o Le niveau de l’eau dans le tube, une fois amorcé, vient se stabiliser à la même hauteur que le niveau de l’eau dans le canal. o En faisant tourner le tube autour de lui, dans différente position non parallèle aux lignes de courant, le niveau de l’eau dans le tube ne change pas. o Le tube jouera le rôle d’un simple indicateur d’énergie de pression qu’il reçoit P / ρg. o C’est un simple piézomètre en quelque sorte si on suppose le fond du canal est confondu avec un plan de référence. 

Mettre le tube en L avec la pointe face aux lignes de courant et juste au-dessous de la surface libre de l’eau. Qu’observez-vous ? o Le niveau de l’eau dans le tube, une fois amorcé, vient se stabiliser à une hauteur supérieure que le niveau de l’eau dans le canal. o Le tube jouera le rôle d’un simple indicateur d’énergie totale qu’il reçoit si on suppose que le fond du canal est confondu avec un plan de référence Wt = P / ρg + U2 / 2g



Remplir le tableau suivant de ces lectures le long du canal.

Point de mesure de l’amont L=0.0m L=0.5m L=1.0m L=1.5m L=2.0m L=2.5m L=3.0m vers l’aval Énergie de pression lue (1) Énergie totale lue (2) Variation de lecture (2) – (1) 

Que représente cette variation de lecture (hauteur) ? Vu les observations précédentes, cette variation d’énergie représente l’énergie cinétique. Wc = U2 / 2g



Faire la représentation de Bernoulli le long du canal sur le canal en travers sur un papier millimétré à joindre. Lecture de l’énergie totale Lecture piézométrique



En déduire la vitesse moyenne de l’eau ?



Que conclure ?

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10.4 TP 4 : VÉRIFICATION DU THÉORÈME DE BERNOULLI 10.4.1 OBJECTIF L’objectif de ce TP est la vérification du théorème de Bernoulli : o o o

En supposant que les pertes de charge sont négligeables. En supposant que les pertes de charge sont non négligeables. Et en faisant les différents tracés schématisant :    

Énergie potentielle. Énergie de pression. Énergie cinétique Énergie perdue éventuellement.

10.4.2 RÉSUMÉ THÉORIE Le théorème de Bernoulli peut être représenté sur la figure suivante par : 

Z1 + P1/ρg + U12 /2g = Z2 + P2/ρg + U22 /2g = Cste en écoulement Parfait.



Z1 + P1/ρg + U12 /2g = Z2 + P2/ρg + U22 /2g + PdC1à2 = Cte en écoulement réel.

C’est ce qui peut se matérialiser d’une façon qualitative pour un écoulement permanent et uniforme sous pression, à travers une conduite de diamètre variable (représentant un Venturi en coupe longitudinale) par :

10.4.3 LE MATÉRIEL Réalisons les expériences demandées sur les écoulements sous pression à travers une conduite munie de plusieurs piézomètres … C’est le montage pilote à décrire sur place.

10.4.4 MANIPULATION    

Les observations seront faites à travers :  Les différents piézomètres du Venturi pour l’énergie de pression hydrostatique Hs.  Le tube Pitot (mobile) pour l’énergie totale Ht. Démarrez la pompe et réglez la vanne de contrôle pour avoir le débit Q qui fait une nette différence de lecture dans les différents piézomètres. Sans oublier de mesurer aussi le débit par la volumétrie. Remplir le tableau suivant avec des observations qui font une nette différence de lecture.

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10.4.5 OBSERVATION Avec un débit, qui fait une nette différence de lectures à travers les divers tubes, remplir le tableau suivant avec la moyenne des lectures faites Hs et Ht au niveau des tubes (Voir TP 1). Et c’est ce qui peut se résumer par : Piézomètre Hs mmCE Ht mmCE

1

2

3

4

5

6

Entre 1 et 2 Entre 2 et 3 Entre 3 et 4 PdC entre tubes Entre 4 et 5 mmCE Entre 5 et 6 PdC au convergent Entre 1 et 3 PdC au divergent Entre 3 et 6

10.4.6 CAVITATION Refaire l’expérience avec des débits plus forts pour visualiser la cavitation ….

10.4.7 GRAPHE Tracer la représentation de Bernoulli sur un papier millimétré selon le modèle suivant : Énergie perdue

Énergie de pression Énergie cinétique

10.4.8 CONCLUSION Peut on assimiler l’écoulement à : 

Un écoulement parfait ?



Un écoulement réel ? Et si c’est le cas, pouvez vous distinguer : 

Les PdC linéaires ?



Les PdC singulières ?

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10.5 TP 5 : VÉRIFICATION DE L’ÉQUATION DE LA CONTINUITÉ 10.5.1 OBJECTIF Il s’agit de vérifier l’équation de la continuité à travers une conduite qui converge en forme de cône et diverge par la suite.

10.5.2 THÉORIE  

En pré requis, le TP2 a fait la vérification du théorème de Bernoulli. En écoulement permanent, l’équation de la continuité s’exprime par :  Le débit est une constante.  Le débit est le produit de la vitesse par la section en une coupe de conduite donnée.  C’est ce qui se traduit par : Q = S1 * U1 = S2 * U2 = …. = Sn * Un = Cste

Remarques :  Ne pas oublier que la vitesse n’est pas une constante à une section donnée. (voir TP6)  Alors que la vitesse ici n’est autre qu’une vitesse moyenne pour toute la section.

10.5.3 LE MATÉRIEL La description du matériel (une deuxième fois) sera donnée sur place si nécessaire.

10.5.4 MANIPULATION Réalisons les expériences demandées à travers une conduite convergente et divergente en forme de cône transparent - qui permet de voir l’emplacement du bout du tube - (permettant les mesures) à placer     

Les lectures seront faites à travers les différents piézomètres du Venturi pour l’énergie hydrostatique Hs et le tube Pitot (mobile) pour l’énergie totale Ht. Démarrez la pompe et réglez la vanne de contrôle pour avoir le débit Q voulu. Mesurer le débit aussi par la volumétrie. Remplir le tableau des observations. Numéroter les piézomètres de l’amont vers l’aval.

10.5.5 OBSERVATION 

Qu’observez-vous pour un faible débit ? o Les niveaux de l’eau dans les différents piézomètres sont plus ou moins identiques. o Le niveau de l’eau dans le tube Pitot est aussi plus ou moins au même niveau.



Que se passe t il pour un grand débit ? o Les niveaux de l’eau dans les différents piézomètres se distinguent :  Au niveau de la section ayant un grand diamètre, le niveau de l’eau dans le tube piézométrique est très haut.  Au niveau de la section ayant un petit diamètre, le niveau de l’eau dans le tube piézomètrique est très bas.

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o Et réciproquement, Le niveau de l’eau dans le tube Pitot est :   

Très haut au niveau de la section ayant un petit diamètre. Très bas au niveau de la section ayant un grand diamètre.

Qu’observez-vous en particulier pour un grand débit, au niveau du piézomètre 3 ?

o Le niveau de l’eau dans le piézomètre 3 est le plus bas de tous les piézomètres. o Voir même, il se peut qu’il n’apparaisse. Et c’est l’air qui entre dans la conduite.  C’est la cavitation (dépression) qui aspire le l’air o Le niveau de l’eau dans le tube Pitot est au plus grand niveau. 

Expliquer ? Prenant deux points particuliers :  Le premier au niveau de la grande section  Le second au niveau de la petite section Et faisant la représentation de Bernoulli….. 

Au premier point, on a : o Une faible vitesse qui donne une très faible énergie cinétique. o Et par conséquent, une grande pression.



Au second point, on a : o Une grande vitesse qui donne une très grande énergie cinétique. o Et par conséquent, une faible pression. o Voir même une dépression (cavitation) si la section est trop petite.

Reprendre les données du TP1 1

2

3

4

5

6

Ht (mm) Hs (mm)

10.5.6 CALCUL  

Calculer l’énergie cinétique, la vitesse et le débit au niveau des différents tubes. Selon la graduation des tubes marquée sur le pilote, il faudra prendre

Ht = Hs + 80 (mm) + U2 / 2g Tubes Diamètre mm Section m2 Hs mmCE Ht mmCE U2/2g mmCE U (m/s) Q (L/s)

1 28.4

2 22.5

3 14.0

4 17.2

5 24.2

6 28.4

150

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

Ce débit est-il constant ? Si non ; Donner son erreur.



Expliquer...

Reprendre les données du TP1 Que conclure ?  Avec quelle erreur peut-on appliquer le théorème de la continuité ?

 Quelles sont les sources de cette erreur ?

151

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152

10.6 TP 6 : MESURE DES DEBITS PAR PITOT 10.6.1 OBJECTIF L’énergie cinétique peut être utilisé comme un moyen de mesure de débit d’une canalisation donné. Si on arrive à faire la lecture de l’énergie de pression étoilée et de l’énergie totale en une section donnée. 

C’est la détermination du débit d’une façon indirecte, dite méthode de Pitot.

L’objectif de ce TP est de comparer le débit donné par Pitot avec le débit trouvé par mesure volumétrique; et ceci par : o o

Le calcul de la vitesse de l’écoulement à travers un cône convergent et divergent. La déduction du débit de l’écoulement.

10.6.2 THÉORIE Le théorème de Bernoulli peut être représenté en une conduite convergente et divergente par (si les PdC sont supposées négligeables) :

10.6.3 CALCUL THÉORIQUE 

Si on utilise Pitot à différente section du Venturi, on aura deux lectures.  



La lecture de la Hauteur statique donnée par le piézomètre Hs. La lecture de la Hauteur totale donnée par le Pitot Ht.

Donner l’expression de l’énergie cinétique à une section quelconque:

Ec = U2 / 2g = Ht – Hs = Δ H (1) Et ceci abstraction faite des PdC 

En déduire l’expression du débit Q = S * U = S * (2g * Δ H)1/2

Soit : Q = S * (2g * Δ H)1/2

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153

Rappel : Ne pas oublier que la vitesse n’est pas une constante au niveau d »une section donnée (voir cours et TP)

10.6.4 MANIPULATION     

Les observations seront faites à travers les différents piézomètres du Venturi pour l’énergie hydrostatique Hs et le tube Pitot (mobile) pour l’énergie totale Ht. Démarrez la pompe et réglez la vanne de contrôle pour avoir le débit Q qui fait une nette différence de lecture dans les différents piézomètres. Mesurer le débit aussi par la volumétrie. Numéroter les piézomètres Reprendre les données du TP1

10.6.5 CALCUL DU DÉBIT C’est ce qui se résume-en : Piézomètre Diamètre mm Ht mmCE Hs mmCE Section m2 Δ H mmCE Débit l/s Moyenne Erreur

1 28.4

2 22.5

3 14.0

4 17.2

5 24.2

6 28.4



Les débits trouvés sont-ils semblables ? Si non ; Donner l’erreur commise.



Retrouver ce débit par la volumétrie (Voir TP 1).



Que conclure ?



Avec quelle erreur peut-on appliquer ce principe ?



Quelles sont les sources d’erreur ?

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

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Est ce que cette méthode de Pitot peut être utilisée ? Justifier ! Quelles sont les sources d’erreur ?

Remarque : 

Ne pas oublier que la vitesse est une variable au niveau d’une section donnée.

Q   U * dS U moy * S Par suite : Umoy   

154

u*dS

dS

Mais, Est-ce que Pitot donne la vitesse moyenne ou locale

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10.7 TP 7 : MESURE DES DÉBITS PAR VENTURI 10.7.1 OBJECTIF Le phénomène de la variation de la pression dans un dispositif convergent divergent est utilisé pour mesurer le débit d’une canalisation en charge  C’est la détermination du débit d’une façon indirecte par la méthode de Venturi. L’objectif de ce TP est de comparer le débit donné par l’équation de Venturi avec le débit trouvé par mesure volumétrique ; et ceci par : o Le calcul de la vitesse de l’écoulement à travers un cône convergent et divergent. o La déduction du débit de l’écoulement.

10.7.2 THÉORIE Le théorème de Bernoulli peut être représenté en une conduite convergente et divergente par :

10.7.3 CALCUL THÉORIQUE 

Appliquer Bernoulli entre les points 1 et 2 et simplifier (Z1 = Z2).

Z1 + P1 / ρg + U12 / 2g = Z2 + P2 / ρg + U2 2 / 2g P1 / ρg + U12 / 2g = P2 / ρg + U2 2 / 2g pour une conduite supposée horizontale 

Donner l’expression de la variation de la vitesse en fonction de la variation de la pression P1 / ρg - P2 / ρg = U2 2 / 2g - U12 / 2g = (U2 2 - U12) / 2g (1)



Donner l’expression des vitesses en fonction du débit U1 = Q / S1 et U2 = Q / S2



Remplacer ceci dans l’expression (1) et regrouper les termes. U22 - U12 = (P1 / ρg - P2 / ρg) * 2g (Q / S2)2 – (Q / S1)2 = (P1 / ρg - P2 / ρg) * 2g Q2 * (1 / S22 – 1 / S12) = (P1 / ρg - P2 / ρg) * 2g



En déduire l’expression du débit.

Q2 = (P1 / ρg - P2 / ρg) * 2g / (1 / S22 – 1 / S12) Avec A = 2g / (1 / S22 – 1 / S12); on a:

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156

Q2 = A * (P1 / ρg - P2 / ρg) Soit : en fin de compte Q = (A * Δ H)

1/2

Remarque : La vitesse au niveau d’une section donnée n’est pas une constante 10.7.4 LE MATÉRIEL C’est le montage pilote déjà vu.

10.7.5 MANIPULATION    

Les observations seront faites à travers les différents piézomètres du Venturi. Démarrez la pompe et réglez la vanne de contrôle pour avoir le débit Q qui fait une nette différence de lecture dans les différents piézomètres Mesurer le débit aussi par la volumétrie. Reprendre les données du TP1

10.7.6 CALCUL DU DÉBIT La moyenne des hauteurs statiques donnera : Piézomètres Hs 1

Hs 2

Hs 3

Hs 4

Hs 5

Hs 6

Moyenne Et c’est ce qui peut de résumer par : Piézomètre Diamètre mm Hs mmCE Section m2

1 28.4

2 22.5

3 14.0

4 17.2

5 24.2

6 28.4

Par suite, le calcul du débit donnera : ΔHs mmCE

A

Q (L / S)

Entre 1 et 2 Entre 1 et 3 Entre 3 et 4 Entre 3 et 5 Entre 3 et 6 Entre 1 et 2 Entre 1 et 3 Entre 3 et 4 

Les débits trouvés sont-ils semblables ? Si non ; Donner l’erreur commise.

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

Retrouver ce débit par la volumétrie.



Que conclure ?

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

Avec quelle erreur peut-on appliquer ce principe ?



Quelles sont les sources d’erreur ?

Complément : 

Pouvez-vous réaliser une dépression ?



Qu’observez-vous ?

157

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158

10.8 TP 8 : ÉTUDE DU PROFIL DE LA VITESSE 10.8.1 OBJECTIF o Montrer que la vitesse n’est pas constante dans une section donnée. o Tracer les profils de vitesse au niveau d’une section donnée.

10.8.2 RAPPEL Vu l’existence des frottements contre la paroi, on a :   

La vitesse en contact de la paroi est nulle. La vitesse augmente vers le milieu haut du canal. Elle est maximale quelque part dans la section (point à chercher)

10.8.3 LE MATÉRIEL Réalisons les expériences demandées sur les écoulements à surface libre à travers le canal transparent pour commander l’emplacement du bout du tube à placer. Le dit tube est un simple tube en plastique blanc (pour qu’on puisse voir à travers) muni à une extrémité par un tuyau d’acier très fin (pour ne pas perturber l’écoulement) et en forme de ‘L’ qui sera placé dans le canal à surface libre.

10.8.4 MANIPULATION    

Les observations seront faites à travers le canal à surface libre. Donner la pente de 2% au canal. Démarrez la pompe et réglez la vanne de contrôle pour avoir le débit Q = 10 m3/h. Placer le tube en L dans l’eau et amorcer-le.

10.8.5 OBSERVATION 

Essai 1 :

Mettre le tube en ‘L’ face aux lignes de courant et au milieu du lit du canal. Commencer par faire les mesures à différent niveau à partir de la surface libre z = 0. z cm Hs mmCE Ht mmCE 

0

3

6

9

12

15

Essai 2 :

Mettre le tube en ‘L’ face aux lignes de courant et au milieu du tirant d’eau. Commencer par faire les mesures à différent point du canal. L cm Δh mmCE Ht mmCE

0

1.5

3

4.5

6

7.5

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10.8.6 CALCUL ET GRAPHE 



Pour l’essai 1, le calcul donne : Z cm 0 3 Hs mmCE Ht mmCE U2/2g mmCE U m/s

6

9

12

15

3

4.5

6

7.5

Pour l’essai 2, le calcul donne. L cm Hs mmCE Ht mmCE U2/2g mmCE U m/s

0

1.5



Faire les graphes V = f(L) et V = f(h) sur papier millimétré à joindre au document.



Que conclure ?



A comparer avec la vitesse moyenne ? Le débit Q = 10 m3/h = 0.002 8 m3/s La section S = L * H = 0.077 * ……. = ……….m2 D’où, la vitesse moyenne est U = Q / S = 0.0028 /…………..=…………m/s

159

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160

10.9 TP 9 : ÉCOULEMENT LAMINAIRE 10.9.1 OBJECTIF :   

Mise en évidence des écoulements laminaires. Calcul du nombre de Reynolds Calcul des pertes de charge en écoulement laminaire.

10.9.2 RAPPEL :  L’écoulement est dit laminaire quand il se matérialise par une ligne droite, sans perturbation. Il se caractérise par si un nombre de REYNOLDS inférieur à 2000  Le nombre de REYNOLDS est donné par la formule :

Re 

U *D 

 Les pertes de charge en écoulement laminaire sont (voir cours)

64 L U 2 PdC  * * Re D 2g 10.9.3 LE MATÉRIEL C’est le montage pilote à décrire sur place. Faire un schéma ci nécessaire.

10.9.4 OBSERVATION A FAIBLE VITESSE     

Démarrer la pompe et régler la vanne de contrôle pour avoir un débit le plus faible possible. Trouver la valeur de ce débit par la méthode de la volumétrie. Ouvrer la vanne du réservoir du colorant et dessiner la forme que prend l’injection de la fluorescéine dans la conduite transparente Arrêter les mesures quand la forme que prend l’injection de fluorescéine dans la conduite transparente n’est plus linéaire, mais se disperse. Remplir Le tableau par vos relevés de l’expérience pour différents débits allant du plus petit au plus grand si on vous donne :  Le diamètre de la conduite transparente D = mm.  Le diamètre de la conduite où les PdC se mesurent d = mm. Volume Temps L S

Ob 1 Ob 2 …..

Débit L/S

Diamètre D U m/s Nb Re

Petit diamètre d H am H av

Hm-Hv

PdC

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10.9.5 GRAPHE  Tracer le graphe en fonction de la vitesse sur un papier millimétré. o Du nombre de Reynolds o Des pertes de charge  Conclusion : Commenter les graphes ?

161

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10.10

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162

TP 10 : ÉCOULEMENT TURBULENT

10.10.1

OBJECTIF :   

10.10.2

Mise en évidence des écoulements turbulents. Calcul du nombre de Reynolds Calcul des pertes de charge en écoulement turbulent.

RAPPEL :



L’écoulement est dit turbulent quand il se matérialise par une ligne non droite, vu les perturbations apparentes. Il se caractérise par si le nombre de REYNOLDS supérieure à 4000



Le nombre de REYNOLDS est donné par la formule Re 



Les pertes de charge en écoulement turbulent sont PdC  f *

U *D 

L U 2 * D 2g Où le coefficient f est donné par la formule de col brook (voir cours)

1 f

10.10.3

  2 * lg(

 2 . 51   ) ≈  2 * lg Pour Re très grand 3 . 7 *D 3 .7 * D Re * f

LE MATÉRIEL

C’est le montage pilote à décrire sur place. Faire un schéma ci nécessaire. La description sera faite sur place si nécessaire.

10.10.4

OBSERVATION A GRANDE VITESSE

 Démarrer la pompe et régler la vanne de contrôle pour avoir le débit le plus grand possible.  Trouver la valeur de ce débit par la méthode de la volumétrie.  Ouvrer la vanne du réservoir du colorant et dessiner la forme que prend l’injection de fluorescéine dans la conduite transparente  Arrêter les mesures quand la forme que prend l’injection de fluorescéine dans la conduite transparente devient linéaire  Remplir Le tableau par vos relevés de l’expérience pour différents débits allant du plus petit au plus grand si on vous donne :  

Le diamètre de la conduite transparente d = mm. Le diamètre de la conduite où se les PdC mesurent d = mm.

Volume Temp S Débit L L/S Ob 1 Ob 2 …..

Grand diamètre D Petit diamètre d U m/s Nb Re H am H av

Hm-Hv

PdC

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10.10.5

ET TOPOGRAPHIE DE

GRAPHE

 Tracer le graphe en fonction de la vitesse. o Du nombre de Reynolds sur un papier millimétré o Des pertes de charge sur un papier log log  Conclusion : Commenter les graphes ?

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163

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10.11

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164

TP 11 : CALCUL DU COEFFICIENT DE STRICKLER

10.11.1

RAPPEL DU COURS

Rappelons qu’un écoulement à surface libre, est défini par l’équation

U = C * Rh1/2 * I1/2 Le coefficient « C » est défini, comme l’a été le coefficient ‘f’ pour un écoulement en charge (hydrodynamique des liquides réels), par l’équation

C = -23.2 * lg ((1.811 * C / Re) + (ε / Rh)) Et, pour un écoulement turbulent, le nombre de Reynolds est trop grand ; par suite, la formule pourra être approchée par :

C = - 23.2 * lg (ε / Rh) Mais, vu la complexité de calcul, cette formule a été simplifiée par des formules empiriques telles que :  

10.11.2

La formule de Bazin La formule de Manning

OBJECTIF

Les objectifs de ce TP sont :  

Le calcul du coefficient K selon la loi de Manning Strickler (voir cours) La vérification de la loi de Manning Strickler.

V = K * Rh2/3 * I1/2 10.11.3

DESCRIPTION

Le canal rectangulaire, en PVC transparent, a les dimensions suivantes :   

Largeur : 77 mm Longueur utile : 3000 mm Profondeur utile : 160 mm

Il est alimenté en eau par une tuyauterie munie d’une vanne de réglage de débit et d’un dispositif de tranquillisation avec un débit compris entre 1.6 et 16 m3/h Le canal est autonome en eau, il est alimenté en circuit fermé par une pompe avec mesure de débit et retour de l’eau dans la cuve d’alimentation d’une capacité de 250 l. L’inclinaison du canal (de – 2 % à + 4 %) est obtenue à l’aide des vis calant fixé sous le canal. Les niveaux d’eau dans le canal sont mesurés à l’aide de limnimétrie à pointe.

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10.11.4

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165

MANUPILATION

Le TP consiste à mesurer la lame d’eau (tirant d’eau) dans deux situations :  

La première situation se fait à pente fixe et débit variable. La seconde situation se fait à pente variable et débit fixe.

10.11.5

TP A PENTE FIXE ET DÉBIT VARIABLE

10.11.6

OBSERVATION

Dans une première série de mesure, le canal sera incliné avec une pente de 0.2 %. Le tirant d’eau sera relevé deux fois (en amont et en aval) dans la section où les écoulements sont à peu prés stables. Le débit sera variable de 2 à 12.5 m3/h

Tableau des observations Q (m3/h) H1 (mm) 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 10 10.5 11 11.5 12 12.5

H2 (mm( Moy (mm) Y=160 –moy (mm)

Erreur = (H1-H2) / Moy

10.11.7 10.11.8

CALCUL

Selon Manning Strickler, la vitesse de l’écoulement d’un liquide à surface libre est de la forme :

U  K * Rh

2/ 3

* I 1/ 2

dont il est question de déterminer ce coefficient K

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166

Tableau des Calculs Q (m3/s) Y (m) 2 2.5 3 3.5. 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 10 10.5 11 11.5 12 12.5 Moyenne

Sm (m2)

Pm (m)

Rh (m)

U (m/s)

Rh2/3*I1/2

K

Écart Type



Peut-on admettre que le coefficient de Strickler est une constante en première approximation ?



Tracer le graphe de K = f (Log (Rh))

10.11.9

INTERPRÉTATION

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167

10.11.10 TP A PENTE VARIABLE ET DÉBIT FIXE 10.11.11

OBSERVATIONS

Dans une seconde série de mesure, Le débit aura la valeur constante de Q = 3 m3/h. Le canal sera incliné avec des pentes croissantes de 0.1 à 4 %. Le tirant d’eau sera relevé deux fois (en amont et en aval) dans la section où les écoulements sont à peu prés stables.

Tableau des observations I% 0.01 0.05 0.1 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2 2.25 2.5 2.75 3 3.25 3.5 3.75 4

H1 (mm)

10.11.12

H2 (mm)

Moy (mm) Y=160-moy (mm)

(H1-H2)/Moy

CALCUL

Selon Manning Strickler, la vitesse de l’écoulement d’un liquide à surface libre est de la forme :

U  K * Rh

2/ 3

* I 1/ 2

dont on veut déterminer le coefficient K

Tableau des calculs I %) 0.01 0.05 0.10 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75

Y (m)

Sm (m2)

Pm (m)

Rh (m)

U (m/s)

Rh2/3*I1/2 K

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2 2.25 2.5 3.75 3 3.25 3.5 3.75 4 Moyenne

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168

Ecart type

Peut-on admettre que le coefficient de Strickler est une constante en première approximation ? Tracer le graphe de K = f (Log (Rh))

10.11.13

INTERPRÉTATION

10.11.14

RÉSUMÉ



A débit fixe et pente variable, on a : Kmoy =

avec un écart type =



A pente fixe et débit variable, on a : Kmoy =

avec un écart type =



En résumé, on admet que K = abstraction faite sur ces erreurs pour le reste des TP

Remarques : Vos valeurs expérimentales doivent être les plus précis possibles ; Car; elles vont vous servir pour le calcul d’autres TP

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10.12 10.12.1

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169

TP 12 : CALCUL DES COEFFICIENTS DE LA LOI DE M.S OBJECTIF

L’objectif de ce TP est le calcul des coefficients ‘’a’’, ‘’b’’ et ’’K’’ de la loi de Manning Strickler :

V = K * Rh a * I b

Où : V : Vitesse moyenne de l’écoulement selon la loi de Manning Strickler K : Coefficient déjà déterminé en première approximation (§ TP précédent) Rh : Rayon hydraulique I : pente du canal

10.12.2

DESCRIPTION

Voir TP précédent.

10.12.3

MANUPILATIONS

Le TP consiste à mesurer la lame d’eau (tirant d’eau) dans deux situations :  La première situation se fait à pente fixe et débit variable.  La seconde situation se fait à pente variable et débit fixe.

10.12.4

TP A PENTE FIXE ET DÉBIT VARIABLE

10.12.5

OBSERVATION

Dans une première série de mesure, le canal sera incliné avec une pente de 0.1 %. Le tirant d’eau sera relevé deux fois (en amont et en aval) dans la section où les écoulements sont à peu prés stables. Le débit sera variable de 2 à 16 m3/h

Tableau des observations Q (m3/h) Q (m3/s) 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 10 10.5 11 11.5 12

H1 (mm) H2 (mm)

Moy (mm) Y=160 –moy (mm)

ΔH/Moy

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10.12.6

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170

CALCUL

Selon Manning Strickler, la vitesse de l’écoulement d’un liquide à surface libre est de la

U  K * Rh * I b a

forme :

dont on veut déterminer le coefficient a supposé constant.

On admet aussi que le coefficient de Manning Strickler est aussi une constante, déjà déterminé (voir TP précédent). Par suite, si on introduit le logarithme sur la formule, on aura : Log U = log (K * I b) + a * Log Rh

Tableau des calculs Q (m3/s) 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 10 10.5 11 11.5 12 12.5

10.12.7

Sm (m2)

Pm (m)

Rh (m)

U (m/s) Log U

Log Rh

GRAPHE   

10.12.8

Y (m)

Sur un papier millimétré, faire le graphe de Log U en fonction Log Rh Calculer le coefficient directeur ‘a’ de la droite. En déduire la puissance de Rh et K (§ suivant)

INTERPRÉTATION

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10.12.9

TP A PENTE VARIABLE ET DÉBIT FIXE

10.12.10

OBSERVATION

171

Dans une seconde série de mesure, Le débit aura la valeur constante de Q = 2 m3/h. Le canal sera incliné avec des pentes croissantes de 0.1 à 4 %. Le tirant d’eau sera relevé deux fois (en amont et en aval) dans la section où les écoulements sont à peu prés stables.

Tableau des observations I% 0.1 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2 2.25 2.5 2.75 3 3.25 3.5 3.75 4

H1 (mm)

10.12.11

H2 (mm)

Moy (mm)

Y=160-moy (mm)

ΔH/Moy

CALCUL

Selon Manning Strickler, la vitesse de l’écoulement d’un liquide à surface libre est de la

U  K * Rh * I b a

forme :

dont on veut déterminer le coefficient b supposé constant.

On admet aussi que le coefficient ‘’K’’ de Manning Strickler est aussi une constante. Par suite, si on introduit le logarithme sur la formule, on aura : Log U = log (K * Rh a) + b * Log I

Tableau des calculs I %) 0.1 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5

Y (m)

Sm (m2)

Pm (m)

Rh (m)

U (m/s)

Log U

Log I

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1.75 2 2.25 2.5 2.75 3 3.25 3.5 3.75 4

10.12.12   

GRAPHE Sur un papier millimétré, faire le graphe de Log U en fonction de Log I Calculer le coefficient directeur ‘b’ de la droite. En déduire la puissance de I et K (§ suivant).

10.12.13

INTERPRÉTATION

10.12.14

DÉTERMINATION DE K

A partir des résultats des expériences précédentes, déterminer le coefficient K.

172

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10.13

TP 13 : ÉTUDE DES ÉCOULEMENTS A SURFACE LIBRE

10.13.1

OBJECTIF

173

L’objectif de ce TP est de :   

10.13.2

Matérialiser l’énergie spécifique. Calculer le nombre de Froude. Mettre en évidence les types d’écoulements (Fluvial, Torrentiel et Critique)

DESCRIPTION

Le matériel est le canal vitré déjà vu.

10.13.3

MANIPULATIONS

Le TP consiste à mesurer la lame d’eau (tirant d’eau) en optant pour un débit constant et des pentes variables.

10.13.4

THÉORIE

La notion d’énergie spécifique s’introduit par la relation suivante

Es = Pr /ρg + U2 / 2g Le fond du canal est pris comme plan de référence. Et vu que dans les écoulements à surface libre, la pression est représentée par la cote en eau 2 dans le canal ‘h’, l’énergie spécifique sera : Es = H + U / 2g Et le nombre de Froude sera F = V / ( gH )

10.13.5

1/2

OBSERVATION

Les observations seront faites avec un débit constant de Q = 2 m3/h. Le canal sera incliné avec des pentes croissantes de 0.1 à 4 %. Le tirant d’eau sera relevé deux fois (en amont et en aval) dans la section où les écoulements sont à peu prés stables.

Tableau des observations Pente en % 0.1 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2 2.25

H1 (mm)

H2 (mm)

Moy (mm)

Y = 160 - moy

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174

2.5 2.75 3 3.25 3.5 3.75 4

10.13.6

CALCUL

Pente en % 0.1 0.25 1 1.25 1.5 1.75 2 2.25 2.5 2.75 3 3.25 3.5 3.75 4

10.13.7

y (mm)

Sm (m2)

U (m/s)

U2 / 2g

Es

Nbre Froude

GRAPHE ET INTERPRÉTATION



Sur un papier millimétré, faire les graphes de Es en fonction du tirant d’eau y (théorique et pratique).



En déduire approximativement la profondeur critique.



Calculer pour cette profondeur critique : o Le nombre de Froude o La vitesse critique o La pente critique



Spécifier sur le graphe là où il y a : o L’écoulement fluvial o L’écoulement torrentiel



Le nombre de Froude est : o Pour les écoulements fluviaux. . . . . . . . . o Pour les écoulements torrentiels. . . . . . . . .

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175

TABLE DE MATIÈRES

1

INTRODUCTION…………….. .................................................................................................2 1.1 1.2

2

GÉNÉRALITÉS………………. .................................................................................................5 2.1 2.2 2.3

3

INTRODUCTION ......................................................................................................................................... 31 ÉQUATION CARACTÉRISTIQUE DES LIQUIDES..................................................................................... 31 ÉQUATION DE LA CONTINUITÉ................................................................................................................ 31 ÉQUATION DE LA DYNAMIQUE ............................................................................................................... 31 REPRÉSENTATION GRAPHIQUE ............................................................................................................. 33 NOTION DE MACHINE HYDRAULIQUE .................................................................................................... 37 NOTION D’APPAREIL DE MESURE HYDRAULIQUE ............................................................................... 39

HYDRODYNAMIQUE DES LIQUIDES RÉELS .....................................................................48 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7

7

DÉFINITION................................................................................................................................................. 21 TRAJECTOIRE ............................................................................................................................................ 21 RÉGIME PERMANENT ............................................................................................................................... 21 RÉGIME UNIFORME................................................................................................................................... 21 RÉGIME PERMANENT ET UNIFORME ..................................................................................................... 22 ÉQUATION DE LA CONTINUITÉ................................................................................................................ 22 NOTION DE DÉBIT ..................................................................................................................................... 23

HYDRODYNAMIQUE DES LIQUIDES PARFAITS ...............................................................31 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7

6

PRESSION EN POINT ................................................................................................................................ 11 PRESSION ATMOSPHÉRIQUE.................................................................................................................. 12 PRESSION RELATIVE, ABSOLUE ............................................................................................................. 13 VASES COMMUNICANTS .................................................................................Erreur ! Signet non défini. NOTION DE L’ÉQUILIBRE .......................................................................................................................... 14 NOTION DU CENTRE DE GRAVITÉ .......................................................................................................... 15 CALCUL DE FORCES DE PRESSION ....................................................................................................... 16 CENTRE DE POUSSÉE D’ARCHIMÈDE.................................................................................................... 17 NOTION D’APPAREIL DE MESURE .......................................................................................................... 19

CINÉMATIQUE DES LIQUIDES............................................................................................21 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7

5

DÉFINITION................................................................................................................................................... 5 EN HYDROSTATIQUE .................................................................................................................................. 5 EN HYDRODYNAMIQUE .............................................................................................................................. 8

HYDROSTATIQUE……………..............................................................................................11 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9

4

ÉTUDE MATHÉMATIQUE............................................................................................................................. 2 ÉTUDE EXPÉRIMENTALE............................................................................................................................ 3

INTRODUCTION ......................................................................................................................................... 48 ÉCOULEMENT LAMINAIRE........................................................................................................................ 50 ÉCOULEMENT TURBULENT ..................................................................................................................... 60 NOTION DE PERTES DE CHARGE UNITAIRES....................................................................................... 66 NOTION DE PERTE DE CHARGE SINGULIÈRE....................................................................................... 66 APPLICATIONS AUX MACHINES HYDRAULIQUES................................................................................. 67 NOTION DE DONNÉES ÉQUIVALENTES ................................................................................................. 70

ÉCOULEMENT EN CHARGE ……………………………………………………………………..79 7.1 7.2 7.3 7.4

INTRODUCTION ......................................................................................................................................... 79 DÉTERMINATION DES PDC EN HYDRAULIQUE ..................................................................................... 80 FORMULE DE HAZEN WILLIAMS .............................................................................................................. 81 AUTRES FORMULES ................................................................................................................................. 83

INSTITUT DES TECHNICIENS SPÉCIALISÉS EN GÉNIE RURAL 7.5 7.6 7.7 7.8 7.9 7.10 7.11 7.12

8

MEKNÈS / M. ABDELLAH BENTALEB

176

CALCUL DES CONDUITES ........................................................................................................................ 84 DIMENSIONNEMENT DES CONDUITES................................................................................................... 86 DIMENSIONNEMENT DES CONDUITES EN PARALLÈLE....................................................................... 93 DIMENSIONNEMENT D’UNE CONDUITE DE REFOULEMENT ............................................................... 94 NOTION D’ABAQUE.................................................................................................................................... 96 NOTION DE TRAITEMENT INFORMATIQUE ............................................................................................ 97 CALCUL DES PRESSIONS DANS UN RÉSEAU RAMIFIÉ ....................................................................... 97 ÉCOULEMENT PAR DES ORIFICES ......................................................................................................... 99

ÉCOULEMENT À SURFACE LIBRE...................................................................................107 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8 8.9 8.10 8.11 8.12 8.13

9

ET TOPOGRAPHIE DE

INTRODUCTION ....................................................................................................................................... 107 APPELLATIONS ........................................................................................................................................ 107 ÉQUATIONS FONDAMENTALES............................................................................................................ 107 DÉTERMINATION DE LA CONSTANTE C.............................................................................................. 110 FORMULES EMPIRIQUES ....................................................................................................................... 111 REPRÉSENTATION GRAPHIQUE DES PDC .......................................................................................... 114 LIMITES DES PENTES ET / OU VITESSES ............................................................................................ 114 CALCUL DES CANAUX ............................................................................................................................ 115 DIMENSIONNEMENT DES CANAUX ....................................................................................................... 119 ÉCOULEMENT FLUVIAL ET TORRENTIEL............................................................................................. 122 NOTION DE TYPE D’ÉCOULEMENT ....................................................................................................... 124 ÉCOULEMENTS EN CANAUX CIRCULAIRES ........................................................................................ 126 ÉCOULEMENTS EN DÉVERSOIR ........................................................................................................... 128

LES TRAVAUX PRATIQUES D’HYDRAULIQUE ................................................................138 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9.7 9.8 9.9 9.10 9.11 9.12 9.13

TP 1 : APPAREILLAGE ET RELEVÉE DE DONNÉES ............................................................................. 139 TP 2 : LA VOLUMÉTRIE............................................................................................................................ 142 TP 3 : MATÉRIALISATION DU THÉORÈME DE BERNOULLI................................................................. 145 TP 4 : VÉRIFICATION DU THÉORÈME DE BERNOULLI........................................................................ 147 TP 5 : VÉRIFICATION DE L’ÉQUATION DE LA CONTINUITÉ................................................................ 149 TP 6 : MESURE DES DÉBITS PAR PITOT .............................................................................................. 152 TP 7 : MESURE DES DÉBITS PAR VENTURI ......................................................................................... 155 TP 8 : ÉTUDE DU PROFIL DE LA VITESSE ............................................................................................ 158 TP 9 : ÉCOULEMENT LAMINAIRE ........................................................................................................... 160 TP 10 : ÉCOULEMENT TURBULENT....................................................................................................... 162 TP 11 : CALCUL DU COEFFICIENT DE STRICKLER ............................................................................. 164 TP 12 : CALCUL DES COEFFICIENTS DE LA LOI DE M.S .................................................................... 169 TP 13 : ÉTUDE DES ÉCOULEMENTS A SURFACE LIBRE .................................................................... 173