Cours D'hydrogéologie [PDF]

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UNIVERSITE MOULOUD MAMMERI DE TIZI OUZOU FACULTE DES SCIENCES BIOLOGIQUES ET DES SCIENCES AGRONOMIQUES DEPARTEMENT D’AGRONOMIE

Cours d’Hydrogéologie Présenté par SI SMAIL Ali

Cours destiné pour les étudiants en L3 et Master 1, spécialité SOL-EAU (2017)

Cours d’hydrogéologie. Présenté par A . SI SMAIL . UMMTO 2017

Préambule

L'hydrogéologie est définie comme étant la science qui étudie les eaux souterraines. Elle s’intéresse particulièrement aux interactions qui se produisent entre les structures géologiques du sous-sol, les eaux souterraines et les eaux de surface. Elle permet ainsi la connaissance de l’impact de la nature du sol et du sous-sol, sur les écoulements, le stockage et la résurgence des eaux souterraines, ainsi que sur leurs caractéristiques physicochimiques. Elle est très utile dans de nombreux domaines, notamment dans le contrôle, l’analyse et l’exploitation des ressources souterraines en eau, et ce du point de vue quantitatif que qualitatif. Ce cours, réparti en cinq chapitres et que j’enseigne depuis trois ans, constitue une introduction à l’hydrogéologie. Il est établi à partir d’un certain nombre d’ouvrages de référence. Mes travaux de recherche m’ont été d’une grande utilité dans son élaboration, notamment mon mémoire de magister, dont l’intitulé est : « Simulation numérique des écoulements permanents et transitoires autour d’un puits parfait dans une nappe phréatique » Il est destiné, particulièrement, aux étudiants en licence et en master I en sciences de l’eau et du sol. Il nécessite des pré-requis en hydraulique, en physique du sol et quelques notions de base en géologie.

Table des matières

Cours d’hydrogéologie. Présenté par A . SI SMAIL . UMMTO 2017

Table des matières

Chapitre I Notions de base en hydrogéologie I.1 Introduction I.2 Origine des eaux souterraines (Cycle de l’eau I.3. Notion de nappe et d’aquifère 1.3.1 Les eaux souterraines I.3.1.1 L'eau gravitaire 1.3.1.2 L'eau de rétention I.3.2 Le réservoir I.4 Les différents types d’aquifères I.4.1 Aquifère à nappe libre I.4.2 Aquifère à nappe captive (artésien) I.4.3 Aquifère à nappe semi-captive ou à drainance I.5 Différences Aquifères- Aquiclude- Aquitard. I .6 Avantages et inconvénients des eaux souterraines Chapitre II Paramètres caractéristiques des eaux souterraines II .1 Introduction II.2 La porosité totale et la porosité efficace (de drainage) II.2.1 Morphologie des pores II.2.2 La porosité géométrique ou la porosité totale II.2.3 La porosité efficace II.3 La perméabilité II.4 La charge hydraulique (potentiel hydraulique) II.4.1 Niveau piézométrique, courbes équipotentielles et lignes de courants II.4.2 Le gradient hydraulique Coefficient d’emmagasinement, transmissivité et diffusivité d’un aquifère III.1 Introduction III.2 Le coefficient d’emmagasinement (S) III.3 La transmissivite (T ) III.4 La diffusivité d’un aquifère (D)

1 1 1 2 3 3 3 4 5 5 6 6 7 8 9 9 9 9 10 10 11 12 12 14

Chapitre III

Chapitre IV Les équations d’écoulement de l’eau dans le sol IV.1 Introduction IV. 2 La loi de Darcy IV. 2 .1 Généralisation de la loi de Darcy IV.2.2 Limites de validité de la loi de Darcy IV.3 Equation de continuité IV.4 Equations de l’écoulement IV.4 1 Cas d'un terrain isotrope- Equation de Laplace IV.4 2 Cas d'un terrain anisotrope IV.5 Equation d’écoulement permanent asymétrique IV.6 L’écoulement transitoire IV.6.1 Les hypothèses d’écoulement transitoire

15 15 16 17

18 18 20 20 21 22 22 23 24 25 25

Table des matières

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Chapitre V Techniques et méthodes d’estimation des paramètres hydrodynamiques V.1 Introduction 27 V.2 Méthodes de laboratoire 27 V.2.1 Perméamètre à charge variable 27 V.2.2 Perméamètre à charge constante 29 V.2 3 Perméabilité des sols stratifiés (perméabilité équivalente) 29 V.3 Interprétation des données de pompage d’essai en régime permanent 30 V.3.1 Hypothèses de l’essai de pompage 30 V.3.2 Formules de DUPUIT 30 V.3.2 .1 Débit d’une nappe libre 30 V.3.2 .2 Débit d’une nappe captive (artésienne) 31 V.3.3 Détermination de la perméabilité avec la méthode de DUPUIT 32 V.4 Interprétation des données de pompage d’essai en régime transitoire (Solutions de THEIS et de JACOB) 32 V.4 .1 La solution de THEIS (1935) 33 V.4. 2 La formule simplifiée de JACOB (1950) 33 V.4.3 Hypothèses des formules de THEIS et de JACOB 34 Références bibliographiques

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Chapitre I

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Chapitre I

Notions de base en hydrogéologie

I.1 Introduction D’une manière générale, l'hydrogéologie est considérée comme une science qui étudie les fluides dans le milieu souterrain. Elle constitue la partie de la géologie qui s'intéresse aux eaux souterraines, notamment à leurs origine et à leur déplacement dans les nappes et les aquifères. Elle englobe plusieurs approches : la partie géologique du terrain, en analysant les formations existantes ( lithostratigraphie), la partie hydrodynamique avec son aspect physicochimique et la partie pratique sur terrain (in situ), très importantes pour l’estimation des paramètres d'écoulement (cas des pompages d'essai). Elle est indispensable lors de réalisations des forages et de puits de captages, car elle permet de localiser précisément les lieux de leurs implantations; ceci par l'étude des nappes d'eaux disponibles sur le terrain (réserves d’eau souterraines exploitables), Comme elle permet également d’analyser l'évolution potentielle des pollutions qui peuvent se propager dans les sols et les eaux souterraines et de déterminer les moyens d’y remédier. L’objectif de ce cours est constitue l’aquifère, notamment hydrodynamiques.

d’étudier le système: réservoir- eau souterraine qui ses paramètres caractéristiques et ses propriétés

I.2 Origine des eaux souterraines (Cycle de l’eau) Environ 97% de l’eau sur terre est salée, l’eau douce ne constitue donc que 3% de cet élément vital dont : 77% sous forme de glaciers, 22 % d’eau souterraine et 1% d’eau de surface. (G. DE MARSILY). A cet effet les eaux souterraines représentent la plus grande réserve d’eau douce exploitable de la planète. Ces eaux dépendent, quantitativement et qualitativement, des précipitations qui tombent sur une région donnée. Elles sont issues de l’infiltration dans le sous-sol, d’une partie des pluies ou des eaux de fonte des neiges ou des glaciers. Cette infiltration est liée à la nature du sol, notamment à sa perméabilité qui désigne sa capacité à circuler de l'eau dans ses porosités. Une partie de l'eau infiltrée va être restituée à l'atmosphère par évaporation et par évapotranspiration. Ces deux phénomènes sont essentiellement liés au climat de la région et à la nature et la densité de sa couverture végétale. L’autre partie va alimenter les nappes souterraines, elle va circuler dans les couches du sous-sol selon la topographie, et revenir à la surface, à partir d’exutoires : sources, émergences, résurgences et d’affleurements ( Fig I.1)

Figure I.1 : Les différents types de sources : exutoires d’eau souterraine (G CASTANY) (a : aquifère, b : formation hydrogéologique imperméable) 1

Chapitre I

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Les eaux souterraines sont ainsi très liées, dans l’espace et dans le temps, au cycle de l’eau. A cet effet toute étude hydrogéologique doit être basée sur trois systèmes (espaces) hydrologiques interdépendants : le bassin hydrologique, le bassin hydrogéologique et l’aquifère. La figure (Fig.I.2) ci-dessous traduit bien cette interconnexion entre ces trois systèmes: - d’une part la pluie efficace (PE) est égale aux précipitations (P) moins l’évapotranspiration reélle (ETR), elle est égale aussi à la quantité d’eau (débit) ruissellé en surface dans le réseau hydrographique (Qs) plus la quantité infiltrée (IE) : PE = P- ETR = QS + IE -

d’autre part, le débit total à l’exutoire du bassin hydrologique (QT : Volume/unité de temps) est égal la somme du débit ruisselé en surface dans le réseau hydrographique (QS) et le débit souterraine sortant de l’aquifère (QW) : QT = QS +QW

Figure I.2 Le bilan hydrique entre bassin hydrologique, bassin hydrogéologique et aquifère. (G. CASTANY, J. BEAUCHAMP)

I.3. Notion de nappe et d’aquifère Un aquifère est un massif, ou une couche de roches perméables comportant une zone saturée (phase solide et phase liquide), suffisamment conducteur d'eau souterraine : pour permettre l'écoulement significatif d'une nappe souterraine et le stockage de quantités d'eau considérables. 2

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Cependant un aquifère peut également comporter une zone non saturée relative aux pores non remplies d’eau, ce qui traduit la présence également de la phase gazeuse, (Fig 1.3a). A cet effet il est défini comme étant un système hydrogéologique composé de deux constituants en interactions : le réservoir et l’eau souterraine. En ce qui concerne la nappe d’eau souterraine, cette dernière est définie par Castany, comme "l'ensemble des eaux comprises dans la zone saturée d'un aquifère, dont toutes les parties sont en liaison hydraulique".

1.3.1 Les eaux souterraines On distingue deux types d'eau souterraine : l'eau gravitaire et l'eau de rétention, qui permettent de définir les caractéristiques hydrogéologiques des réservoirs (Fig. I.3b). I.3.1.1 L'eau gravitaire L'eau gravitaire est la fraction de l'eau souterraine libérée par l'action de la force de gravité. C'est l'eau mobilisable, elle seule circule dans l’aquifère sous l'action du gradient hydraulique et alimente les ouvrages de captage et les sources. Le volume d'eau gravitaire libéré est fonction du temps d'égouttage et de la granulométrie. 1.3.1.2 L'eau de rétention L'eau de rétention est la fraction de l'eau souterraine, maintenue dans les vides à la surface des grains ou des parois des microfissures, par des forces supérieures à celles de la gravité. Elle n'est donc pas mobilisable. Attirée fortement à la surface du solide, elle fait corps avec lui et appartient physiquement et mécaniquement à la même phase de l'aquifère, réservoir/eau de rétention.

(a)

(b)

Figure 1.3 Les eaux souterraines gravitaire et de rétentions (G CASTANY) 3

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I.3.2 Le réservoir Le réservoir représente la trame (la phase) solide de la structure de l’aquifère où l’eau souterraine mobile s’emmagasine et circule dans les vides. C’est un domaine d'espace fini, caractérisé par ses conditions aux limites, par ses dimensions (sa configuration) et par son organisation interne (sa structure). Il s’agit d’une formation hydrogéologique perméable permettant l’écoulement significatif d’une nappe d’eau souterraine ou son exploitation par captage. La première fonction du réservoir est capacitive. Elle caractérise le stockage ou la libération de l’eau souterraine. Ces deux actions sont groupées sous le terme d’emmagasinement souterrain de l’eau (chapitre suivant). Le réservoir est identifié par ses caractéristiques et la formation de ses vides (pores ou fissures). On établit donc une classification hydrogéologique des réservoirs d’eau souterraine en fonction du type de vides (Fig.1.4) : - les réservoirs homogènes, à perméabilité d’interstices, constitués de roches meubles ou non consolidées (sable, gravier ou de grès). C’est le cas des nappes alluviales en fond de vallée ou dans les bassins sédimentaires. - Les réservoirs hétérogènes, à perméabilité de fissures, constitués de roches fissurées ou consolidées (surtout de calcaire mais également de roches volcaniques).

Figure 1.4 Hétérogénéité des aquifères et vitesse d’écoulement (J. BEAUCHAMP)

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Chapitre I

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I.4 Les différents types d’aquifères Dans le cas ou le toit de la nappe est perméable et exposé à la pression atmosphérique (cas de nappe peu profonde), on parle d’aquifère à nappe libre. Cependant dans le cas ou ce toit est imperméable l’aquifère est dit à nappe captive ou artésien, (Fig. 1.5).

Figure 1.5 Schéma des différents types d’aquifères avec leurs configurations (Hydrogéo-BECANCOUR)

I.4.1 Aquifère à nappe libre. Cas représenté sur la Figure 1.6. Il s'agit de la configuration la plus courante en nappe superficielle. La formation aquifère n’est pas saturée sur toute son épaisseur. Il existe entre la surface de la nappe et la surface du sol une zone de terrain non saturé contenant de l’air. Le niveau supérieur de la nappe est appelé niveau piézométrique, il se trouve toujours sous le niveau du sol.

Figure 1.6 Schéma d’un aquifère à nappe libre (G. CASTANY, F. PORTET)

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I.4.2 Aquifère à nappe captive (artésien) La formation représentée sur la Figure 1.7 ,est un aquifère saturé sur toute son épaisseur ; il est limité vers le haut par une couche imperméable (argile) ou semi-perméable. Le niveau piézométrique, différent de celui de la surface de la nappe et toujours audessus de la base de la couche imperméable supérieure, est virtuel tant qu’un forage ou un piézomètre n’a pas atteint l’aquifère au travers de son toit. Un tel forage est appelé : forage artésien et si l'eau remonte jusqu'à la surface (niveau piézométrique au-dessus de la surface du sol), il est dit dans ce cas: forage artésien jaillissant (Fig. 1.5), il s’écoule naturellement sans pompage.

Figure 1.7 Schéma d’un aquifère à nappe captive ou artésienne (G. CASTANY, , F. PORTET)

I.4.3 Aquifère à nappe semi-captive ou à drainance Définition: la drainance représente le flux d’eau, à composante essentiellement verticale, passant d’un aquifère à un autre, ou bien échangé entre une nappe de surface et un aquifère, à travers une couche semi-perméable. L’importance du mécanisme de drainance, illustré sur la Figure 1.8, repose sur le fait que des volumes importants d’eau peuvent traverser des horizons perméables ou semiperméables, lorsque la superficie de cet horizon est grande et qu’il existe une différence de charge hydraulique (de pression) de part et d'autres de cet horizon. Ce phénomène permet des échanges importants entre nappes superposées ou sousjacentes, au travers du substratum ou du toit en cas de différence de charge. On parle alors de nappes semi-captives avec substratum et toit semi-perméables. 6

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Figure 1.8 Schéma d’un aquifère à nappe semi-captive (à drainance) (G CASTANY)

I.5 Différences Aquifères- Aquiclude- Aquitard. Le classement entre ces trois réservoirs d’eaux souterraines est effectué sur la base de leur conductivité hydraulique (leur perméabilité) et sur la rentabilité de leur exploitation (Fig 1.9) et (Fig 1.10).

Figure 1.9 Représentation schématique d’aquifère, d’aquiclude et d’aquitard

Ainsi :  Un aquifère est considéré comme étant une unité hydrogéologique saturée, pouvant transmettre des quantités significatives d'eau sous des gradients hydrauliques ordinaires(ou faibles), autrement dit capable de fournir des quantités d'eau économiquement avantageuses.

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

.Un aquiclude est également une unité hydrogéologique saturée mais incapable de fournir ou transmettre des quantités significatives d'eau sous des gradients hydrauliques ordinaires.



Un aquitard est unité hydrogéologique peu perméable du point de vue de l'utilisation économique de l'eau, mais suffisamment perméable pour qu'on les considère dans des études hydrogéologiques.

Figure 1.10 Classement d’aquifère, d’aquiclude et d’aquitard, selon leurs perméabilités (Carte hydrogéologique de Wallonie)

I .6 Avantages et inconvénients des eaux souterraines L’extraction et l’exploitation des eaux souterraines présente incontestablement beaucoup d’avantage, cependant on note également un certain nombre d’inconvénient Avantages :  Leur structures hydrogéologique, sous forme de réservoirs souterrains naturels, souvent de grande dimensions, permettent la régularisation des débits par emmagasinement ;  Elles constituent des ressources constamment disponible (dans la limite de leurs renouvellement) ;  Elles offrent la possibilité de recharge artificielle (reconstitution et augmentation de la capacité de stockage).  Elles sont naturellement protégées, notamment les nappes profondes, contres les pollutions physiques, chimiques et bactériologique, ainsi que contre l’évapotranspiration et les variations importantes de températures (qualité et quantité relativement satables) ;  Elles constituent les ressources hydriques les plus importantes, parfois uniques, en région arides et semi-arides. Inconvénients :  Elles ne sont pas facilement détectables (souterraines) ;  Leurs prospections exige des méthodes spécifiques et la mise en œuvre de moyens importants (cas de nappe profonde) ;  Leur exploitation s’effectue souvent par pompage (consommation d’énergie)  Leur qualité chimique évolue en fonction des sels dissous au cours de leur écoulement dans les différents terrains ;  Les variations de leurs réserves, selon l’exploitation et la réalimentation, ne sont pas directement observables comme dans le cas des eaux de surface par exemple. 8

Chapitre II

Chapitre II

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Paramètres caractéristiques des eaux souterraines

II .1 Introduction Les fonctions, réservoir et conduite, d’un aquifère donné sont déterminées essentiellement par les dimensions et les interconnections des vides. Ces dernières assurent la continuité du milieu aquifère. L’étude des écoulements et des réserves en eau souterraines fait intervenir un certain nombre de paramètre physiques et hydrodynamiques, tels que : les différents types de porosité, la perméabilité (ou la conductivité hydraulique), la charge hydraulique (le potentiel hydraulique), le coefficient d’emmagasinement, la transmissivité et la diffusivité de l’aquifère. Ces trois derniers paramètres sont spécifiques à l’estimation et à l’exploitation des eaux souterraines, ils sont représentés séparément dans le chapitre suivant (chapitre III) II.2 La porosité totale et la porosité efficace (de drainage) L'étude morphologique des vides porte sur leur nature, leur forme et leurs dimensions (granulométrie). On distingue deux grands types de vides : pores et fissures qui caractérisent respectivement le milieu poreux et le milieu fissuré : (Fig. 1.4) du chapitre précédent. II.2.1 Morphologie des pores Les pores sont des vides de forme plus ou moins sphérique (Fig 2.1), de petites dimensions (ordre de grandeur millimétrique), ménagés entre les particules solides ou grains, constituants le réservoir. Les dimensions des vides sont étroitement liées à celles des grains. Les diamètres des grains des roches meubles perméables s'étalent dans une gamme de 0.06 à 16 mm. Cependant dans le cas dans de milieu dit imperméable (cas des argiles), il est de l’ordre de micromètre : 0.001 mm. (Tableau 2.1). Tableau (2 .1) Classification granulométriques des roches meubles Désignation

Diamètres des grains (mm)

Caillou, pierre, bloc

Supérieur à 16

Gravier, gravillon

Sable

16 à 2

Gros

2 à 0,5

Moyen

0,5 à 0,25

Fin

0,25 à 0,06

Silt

0,06 à 0,002

Argile

Inférieur à 0,002

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Chapitre II

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Figure (2.1) Répartition des pores en fonctions de la taille des grains (G. CASTANY)

L’analyse et le tracé de la courbe granulométrique : % de poids cumulés en fonction de diamètres des grains (mailles des tamis), permet de déterminer la répartition de la taille des grains à partir du coefficient d’uniformité : U = d60/d10 La granulométrie est dite uniforme lorsque U < 2, elle variée dans le cas contraire (U >2) Où : d10 : représente le diamètre efficace correspondant à 10 % du poids cumulée ; d60 : représente le diamètre correspondant à 60 % du poids cumulée. II.2.2 La porosité géométrique ou la porosité totale C’est le rapport du volume des vides, vv , accessible à l'air et à l'eau, sur le volume total apparent, v, de l'échantillon: v t  v v II.2.3 La porosité efficace Dite aussi porosité cinématique, qui constitue la partie de la porosité totale correspondante à l'eau libre:

e 

volume d ’ eau qui peut circuler volumetotal de l’ echantillon

- la porosité de drainage d qui est la fraction de la porosité correspondante à un écoulement rapide. Le plus souvent la porosité de drainage est considérée la même que la porosité efficace, et ce à cause des difficultés, dans la pratique de différencier l’une de l’autre. Leur complémentaire par rapport à la porosité totale est nommé capacité de rétention capillaire. Le Tableau 2.2 représente l’ordre de gradeur de la porosité efficace des différents types de réservoir d’un aquifère. 10

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Tableau 2.2 Porosité efficace des différents types de réservoir d’un aquifère (G. CASTANY) Types de réservoirs Porosité efficace % Types de réservoirs Porosité efficace % Gravier gros

30

Sable gros + silt

5

Gravier moyen

25

Silt

2

Gravier fin

20

Vases

0.1

Gravier + sable

15 à 25

Calcaire fissuré

2 à 10

Alluvions

8 à10

Craie

2à5

Sable gros

20

Grès fissuré

2 à 15

Sable moyen

15

Granite fissuré

0.1 à 2

Sable fin

10

Basalte fissuré

8 à 10

Sable très fin

5

schistes

0.1 à 2

II.3 La perméabilité La perméabilité (ou la conductivité hydraulique) est la propriété d'un milieu aquifère de se laisser traverser par l'eau sous une charge hydraulique (pression). Le coefficient de perméabilité K (loi de Darcy) définit les propriétés physiques du sol du point de vu filtration, tableau (2.3). Il dépend de la structure et de la texture du sol, de la forme et de la dimension des grains, de leur constitution pétrographique et de leurs assemblages. De nombreux auteurs ont proposés des formules reliant la perméabilité à la porosité du milieu ainsi qu'à sa granulométrie. Parmi elles on note: 2 𝐾 = 100 𝑑10

La formule de Hasen:

(où d10 est le diamètre efficace)

Tableau 2.3 Relation type de sédiment (réservoir), porosité totale, porosité efficace et perméabilité Porosité (n)

Porosité efficace (ne)

(%)

(%)

2.5

45

40

3.10

Sable gros

0.250

38

34

2.10

Sable moyen

0.125

40

30

6.10

Sable fin

0.09

40

28

7.10

Sable très fin

0.045

40

24

2.10

Sable silteux

0.005

32

5

1.10

Silt

0.003

36

3

3.10

Silt argileux

0.001

38

-

1.10

Argile

0.0002

47

-

5.10

Types de sédiments Gravier moyen

d10 (mm)

Coefficient de perméabilité K (m/s) -1 -3 -4 -4 -5 -9 -8 -9

-10

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II.4 La charge hydraulique (potentiel hydraulique) La charge hydraulique en un point donné d'un fluide incompressible, soumis à la seule gravité, est définie par la relation: V2 p H  z 2 g g où: V est la vitesse réelle du fluide en ce point de cote z, P et  sont respectivement la pression atmosphérique et la masse volumique du fluide considéré. D’après le théorème de Bernoulli, la charge hydraulique décroît dans le sens de l’écoulement et que l'immobilité d'un fluide se traduit par la constance de cette charge dans l'espace. Cependant, en milieu poreux, l’écoulement s'effectue très lentement, d'où la possibilité de négliger le terme de charge dynamique : 𝑉 2 ⁄2𝑔 En effet si considère un gravier moyen (tableau 2.3), qui représente la perméabilité la plus élevée : K = V = 3.10-1 m/s on obtient une charge négligeable : 𝑉 2 ⁄2𝑔 = 0,015 𝑚 Ainsi la charge hydraulique se réduit à la charge statique, dite aussi côte piézométrique: H

p z g

II.4.1 Niveau piézométrique, courbes équipotentielles et lignes de courants Dans la pratique on choisit toujours la pression atmosphérique égale à la pression nulle, Patmo = 0, la valeur de H est donc fonction uniquement de la cote piézométrique: de l'origine choisie sur l'axe z. Pour une nappe à surface libre on considère que l'origine, z = 0, se situe sur le substratum imperméable. Si la nappe est immobile la charge serait alors la même en tout point de cette nappe. La cote atteinte dans le piézomètre définit " la surface libre" qui représente la frontière séparant la zone saturée de la zone non saturée du milieu poreux. En effet la charge hydraulique en un point A quelconque de la nappe (Fig 2.2 ) est : Patmo -

ZS -

Surface du sol

hp ZB -

Surface libre de la nappe

B h

Zone saturée

A

ZA Z=0

Zone non saturée

Substratum imperméable

Figure 2.2 Mesure de la charge hydraulique dans une nappe une nappe libre

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Chapitre II

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VA p p p  gh p  g ( z B  z A ) p  A  zA  A  zA  B  zA  B  z A  B  zB  H B 2 g g g g g g 2

HA 

Puisque la pression régnante au point B est la pression atmosphérique (négligeable) : 𝑃𝐵 = 𝑃𝑎𝑡𝑚𝑜≈ ≈ 0 , on aboutit finalement à :

H A  HB  ZB ZB : représente le niveau d’eau dans le piézomètre lorsque la nappe est en équilibre. Par conséquent, la mesure des niveaux d’eau dans les piézomètres constitue l’opération principale, de l‘inventaire des ressources hydriques souterraines. Dans la pratique le niveau ZB est déterminé à partir de la cote de la surface du sol Zs: Z B  Z s  hp

Où : hp est la profondeur du niveau d’eau dans le piézomètre, facile à mesurer (avec ficelle ou ruban avec flotteur, sonde électrique etc..) Les points de la nappe d’égales charges hydraulique forment les courbes d’égale potentielle dite équipotentielles ou hydroisohypses (Fig. 2.3) . L'équidistance des courbes hydroisohypses est la distance constante entre des plans horizontaux d'égal niveau piézométrique. Les lignes de courants (Fig.2.3) Elles représentent les trajectoires des particules d’eau (filets liquides). Elles sont perpendiculaires au équipotentielles. Elles permettent de localiser les zones de captages favorables et d’estimer les gradients hydrauliques entre les hydroisohypses.

Figure 2.3 Hydroisohypses (équipotentielles), lignes de courants et zone de captage (G. CASTANY)

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Chapitre II

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II.4.2 Le gradient hydraulique Il représente la perte de charge hydraulique donné par la relation : 𝑖 = −𝑔𝑟𝑎𝑑 𝐻 = −

par unité de longueur (fig.2.4) , il est

∆𝐻 𝐻2 − 𝐻1 =− 𝐿 𝐿

Figure 2.4 Schéma de représentation d’un gradient hydraulique (G. CASTANY)

où L est la distance entre le piézomètre 1 et le piézomètre 2 (longueur de la ligne de courant qui sépare les équipotentielles correspondantes)

Ainsi par exemple si la trajectoire entre les équipotentielles H1 = 75 m et H2 = 70 m, de la figure (2.3) ci-dessus, est de l’ordre de 1 km, alors le gradient hydraulique sera : 𝑖=−

𝐻2 − 𝐻1 70 − 75 =− = 5𝑥10−3 (𝑚⁄𝑚) 𝐿 103

La forme vectorielle à trois dimensions du gradient s’écrit : ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝐻 =

𝑑𝐻 𝑑𝐻 𝑑𝐻 ⃗ 𝑖+ 𝑗+ 𝑘 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥

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Chapitre III

Chapitre III

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Coefficient d’emmagasinement, transmissivité et diffusivité d’un aquifère

III.1 Introduction Le coefficient d’emmagasinement, la tranmissivité et la diffusivité d’un aquifère constituent les paramètres hydrodynamiques les plus importants, dans l’étude et l’exploitation des réserves en eaux souterraines. Les aquifères sont essentiellement caractérisés par leur capacité à stocker et à libérer de l’eau emmagasiné. En zone saturée d’une nappe captive, le coefficient d’emmagasinement quantifie le volume d’eau stocké dans le réservoir et éventuellement disponible à l’exploitation, et la transmissivité exprime la productivité de l’aquifère (débit/ unité de largeur). Ces propriétés hydrodynamiques son généralement estimées par l’interprétation de mesures in situ, au moyen de pompages d’essai.

III.2 Le coefficient d’emmagasinement (S) Ce coefficient est établi dans le cas d'un régime d'écoulement non permanent. Dans ces conditions, l’équilibre est rompu entre l'alimentation et les pertes de la nappe: le déficit représente ainsi une variation du volume d'eau emmagasiné dans cette nappe. Il est défini, comme étant le rapport du volume d'eau libéré ou emmagasiné, par unité de surface de l'aquifère, correspondant une variation de charge hydraulique ∆H, donnée :(Fig.3.1). Le coefficient d'emmagasinement est utilisé pour caractériser plus précisément le volume d'eau exploitable, il permet d’estimer la quantité d’eau souterraine, mobile dans les vides du réservoir. Dans le cas d’un aquifère libre, l’eau est libérée par l’action des forces de gravité (drainage). Le coefficient d’emmagasinement S est égale, en pratique, à la porosité efficace ou de drainage : 𝑆 = 𝑛𝑒 (volume/volume : sans unité). Les valeurs usuelles vont de 1% pour certains limons et jusqu’à 30- 40% pour les alluvions grossiers bien lavés (Tableau 2.2). Dans un aquifère captif ou semi-captif, l’expulsion de l’eau est le résultat de la compression de l’aquifère (aquifère sous pression) et de la baisse du niveau statique lors du pompage provoquant une baisse de pression.

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Chapitre III

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Autrement dit-il s’agit d’une détente (décompression) élastique et une déformation du solide libérant ainsi l’eau (actions d’élasticité de l’eau et du solide). Puisque cette élasticité est faible, le volume d’eau libéré est beaucoup plus petit, et ce comparativement à une nappe libre, de mêmes caractéristiques. Le coefficient d’emmagasinement S est dans ces conditions est de 100 à 1 000 fois plus petit. Les valeurs usuelles se situent entre 0,1 et 0,01 %.

Figure 3.1 : Schéma des volumes d’eau disponibles et exploitables d’un aquifère à nappe libre et d’un aquifère à nappe captive (G. CASTANY, F. PORTET ).

III.3 La transmissivite (T ) La transmissivité d’un aquifère représente le débit d'eau qui s'écoule, par unité de sa largeur, sous l'effet d'une unité de gradient hydraulique. Elle est égale au produit de la conductivité hydraulique à saturation ( Ks) et de la puissance (e : hauteur ou épaisseur) de la nappe : 𝑇 = 𝐾𝑠 . 𝑒 ( m2/s) Elle correspond au débit par unité de largeur d’une nappe, sous un gradient de charge unitaire. Il offre la possibilité de calculer rapidement le débit Q qui traverse une section ∆𝐻 transversale d’une nappe de puissance (epaisseur :e) et de largeur L, sous un gradient : 𝑖 = 𝐿

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En effet : Puisque le débit = vitesse x sections : Q = Vx (e x L) et selon la loi Darcy (chapitre suivant) : V = Ks . i On obtient : Q = Vx (e x L) = Ks . i (e x L) Q= T.i.L Q = T (m3/s.m ) ( ( lorsque : i = 1 et L =1 m)

Figure 3.2 Schéma de la conductivité et de la transmissivité d’un aquifère (F. PORTET).

III.4 La diffusivité d’un aquifère (D) Elle traduit sa vitesse de réaction lors d'une perturbation (variation de niveau de la rivière, de la nappe, pompage). Elle s'exprime par le rapport entre la transmissivité et le coefficient d'emmagasinement : 𝐷=

𝑇 𝑆

(𝑚2⁄𝑠)

.

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Chapitre IV

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Chapitre IV Les équations d’écoulement de l’eau dans le sol IV.1 Introduction En milieu poreux la vitesse de circulation de l’eau est très faible, de ce fait l’écoulement est souvent laminaire (à l’exception des milieux calcaires et au voisinage des captages). Ainsi, la charge hydraulique se réduit à la côte piézométrique. La loi de Darcy établie à partir d’un écoulement isotrope à une dimension peut être généralisée d’une façon rigoureuse à un écoulement anisotrope et à trois dimensions. Elle constitue ainsi la base de tout calcul en hydraulique souterraine à côté de l’équation de continuité qui interprète la conservation de la matière dans un volume fixe. Pour les écoulements permanents (qui ne dépendant pas du facteur temps), la charge hydraulique H ne dépend que des variables spatiales, x , y et z. La mise en équation d’un écoulement de Darcy permanent consiste à chercher les équations auxquelles doit satisfaire cette fonction, dans le domaine de l'écoulement d’une part, et sur les frontières de ce domaine d’autre part. IV. 2 La loi de Darcy En étudiant l'écoulement sous pression de l'eau dans une canalisation verticale, remplie de sable (Fig.4.1), Henry Darcy a établi en 1856 que le débit par unité d'air est proportionnel à la perte de charge et inversement proportionnel à la hauteur de la conduite:

Q H K A L où: A est la section du massif sableux; H : est la perte de charge entre la base et le sommet du massif; K : est le coefficient de perméabilité défini au paragraphe (II.2 ) ; L : est l'épaisseur du massif.

Figure (4.1) Schéma du dispositif expérimental de Darcy (G. DE MARSILY) 18

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Cette relation constitue la loi de Darcy, Elle est la base de tout calcul en hydraulique souterraine Le premier membre de ‘équation de Darcy a la dimension d'une vitesse. On peut donc écrire:

V

Q A

où V est la vitesse de filtration qu'il ne faut pas confondre avec la vitesse réelle à l'intérieur des pores. Cette dernière est donnée par la relation: V V =

e

dans laquelle  e est la porosité efficace (ou cinématique). Du moment que l'énergie cinétique joue un rôle négligeable et que la charge hydraulique se confond pratiquement avec la hauteur piézométrique, on remplace dans les écoulements en milieu poreux la vitesse moyenne réelle V à l'intérieur des pores par la vitesse de filtration V. Ceci simplifie énormément les calculs, car la vitesse de filtration est une vitesse moyenne macroscopique. On n'a pas donc à tenir compte des trajectoires réelles des filets liquides (Fig.4.2), qui sont assez complexes du fait de leur tortuosité. C’eux ci sont ainsi considérés parallèles et rectilignes. De plus, on peut considérer lors du calcul de débit que l'eau occupe tout le volume du milieu filtrant, y compris celui des grains solides. Le terme H L représente la perte de charge par unité de longueur de la conduite et il est égal au gradient hydraulique H i L Le signe «- » moins est du à l'orientation dans le sens du courant des filets liquides et que l'écoulement s'effectue des zones des hautes charges vers des zones de faibles charges. L'expression la plus simple de la loi de Darcy est donc: V=K i

Figure4.2 Trajectoire réelle et fictive des filets liquides dans le sol (G. CASTANY) 19

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IV. 2 .1 Généralisation de la loi de Darcy La loi empirique de Darcy a été établie pour un écoulement unidimensionnel dans un milieu poreux isotrope et homogène, ce qui n'est pas toujours le cas en pratique où la perméabilité horizontale Kh est souvent plus importante que la perméabilité verticale Kv. C’est le cas, par exemple, des couches sédimentaires sableuses ou argilo-sableuses.

 De plus, pour certains milieux la direction du gradient de la charge : i  grad h , n'est pas confondue avec celle de la vitesse d'écoulement V. Ainsi pour pouvoir généraliser la loi Darcy à tous ces cas on est amené à définir la perméabilité comme une propriété tensorielle. La loi de Darcy généralisée s'écrit alors:

V  Kgrad H  où le tenseur des perméabilités [ K ] est symétrique et de deuxième ordre. De plus, il est diagonal par rapport aux directions de ses vecteurs propres:  Kxx 𝑉𝑥  {𝑉𝑦 } = -  0 𝑉𝑧  0

0 Kyy 0

0  0  Kzz

𝜕𝐻 𝜕𝑥 𝜕𝐻 𝜕𝑥 𝜕𝐻

{ 𝜕𝑥 }

Ou bien : 𝑉𝑥 = −𝐾𝑥𝑥

𝜕𝐻 𝜕𝑥

𝑉𝑦 = −𝐾𝑦𝑦

𝜕𝐻 𝜕𝑦

𝑉𝑧 = −𝐾𝑧𝑧

𝜕𝐻 𝜕𝑧

Physiquement, x, y et z représentent les directions principales d’anisotropie. Elles correspondent aux directions pour lesquelles l'écoulement est effectivement parallèle au gradient de la charge hydraulique. Pour les milieux sédimentaires à stratification plus ou moins horizontale, on aura juste deux perméabilités, une verticale ( Kv = Kz) et l’autre horizontale ( Kh = Kx = Ky). Le rapport d’anisotropie est généralement compris entre 1 et 100 (1  Kh / Kv  100 ) L'expression de Darcy généralisée est une relation univoque, valable en tout point entre le vecteur vitesse de filtration et le vecteur du gradient hydraulique équivalent. La connaissance de la charge H, et donc de ses dérivées, permet de déterminer en chaque point, au facteur K prés, les composantes de la vitesse de filtration. Il en résulte qu’un tel écoulement est entièrement défini par le champ de la charge hydraulique qui lui correspond.

IV.2.2 Limites de validité de la loi de Darcy -a) Cas de gradients hydrauliques élevés Les calculs réalisés grâce à la loi de Darcy généralisée s'accordent avec les résultats d'expériences. Cependant, lorsqu'on fait augmenter les valeurs du gradient hydraulique, on 20

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observe expérimentalement qu'il n'existe plus de proportionnalité entre ce gradient et la vitesse de filtration. Ainsi, on est amené à définir un nombre de Réynolds en milieu poreux: Re 

où:

V .d .



V: est la vitesse de filtration (m/s); : est la masse volumique du fluide (kg/m3);  : est la viscosité dynamique (Kg/ m3 s) ; d: est le diamètre moyen des grains (diamètre efficace) (m).

Des auteurs ont a proposés de prendre comme limite de sécurité pour l'application de la loi de Darcy, la vitesse critique Vc correspondant à Re = 1. Pour une eau à 10°C : Vc = 0.01/ d et pour un sable très grossier, d = 1 mm, on obtient Vc = 0.1 cm / s : ce qui correspond à un écoulement très rapide en milieu poreux. Il a été constaté que la loi de Darcy n'est rigoureuse que pour 1  Re  10 : cas d'écoulement purement laminaire. Par contre, pour 10  Re  100 et Re  100 , cas d'écoulement de transition et d'écoulement turbulent respectivement, la loi de Darcy ne s'applique plus.

En général, à l'exception du régime karstique et au voisinage immédiat des ouvrages de captage, la vitesse critique n'est pas atteinte. Par conséquent, on reste toujours dans le domaine laminaire. Comme valeur du gradient limite on note la formule de Sichardt: 1 i 15 K b) Cas de faible gradient hydraulique: Plusieurs chercheurs, ont montré que dans les sols argileux, les faibles gradients hydrauliques n'engendrent aucun écoulement ou seulement des écoulements faibles dont les vitesses sont non proportionnelles aux gradients hydrauliques.

IV.3 Equation de continuité L'équation de continuité est établie a partir du principe de la conservation de la matière dans un volume fixe et fermé (volume élémentaire représentatif :VER). Elle stipule que la variation de la masse du fluide contenue dans l'unité de temps est égale à la somme algébrique des flux massiques qui traversent la surface de volume considérée. L'équation de continuité en milieu poreux s'écrit alors: div V  

    0 t

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Où : 𝑑𝑖𝑣 (𝜌𝑉) =

𝜕𝜌𝑉𝑥 𝜕𝑥

+

𝜕𝜌𝑉𝑦 𝜕𝑦

+

𝜕𝜌𝑉𝑧

est la divergence du vecteur vitesse V à trois dimensions

𝜕𝑧

(x,y et z) , Elle représente le flux massique (Kg/s) n et 𝜌 sont respectivement la porosité du milieu et la masse volumique du fluide V est la vitesse de filtration. Elle représente la vitesse moyenne fictive dont serait animé un fluide, comme si la totalité du domaine était offerte à l'écoulement. Bien que l'équation de continuité exprime la conservation de la matière dans un volume fixe et fermé, on lui rajoute dans la pratique le terme source, q, qui représente un débit volumique correspondant à un prélèvement ou à un apport de fluide (évaporation ou infiltration par exemple). L'équation de continuité s'écrit alors sous la forme

div V  

     q  0 t

où: q représente le débit massique, positif s'il est entrant et négatif dans le cas contraire. Pour un fluide et un sol incompressibles,  et  sont constants. L'équation de continuité s'écrit alors dans ce cas sous la forme: divV   q Ce qui est équivalent à : 𝜕𝑉𝑥 𝜕𝑉𝑦 𝜕𝑉𝑧 + + =𝑞 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧

IV.4 Equations de l’écoulement IV.4 1 Cas d'un terrain isotrope- Equation de Laplace Dans le cas d’un écoulement dans un milieu isotrope on a : Kx = Ky = Kz = K La loi de Darcy généralisée devient ainsi sous la forme suivante : 𝑉𝑥 = −𝐾

𝜕𝐻 𝜕𝑥

𝑉𝑦 = −𝐾

𝜕𝐻 𝜕𝑦

𝑉𝑧 = −𝐾

𝜕𝐻 𝜕𝑧

En remplaçant Vx , Vy , Vz , dans l'équation de continuité , on obtient : 𝜕 𝜕𝐻 𝜕 𝜕𝐻 𝜕 𝜕𝐻 (−𝐾 )+ (−𝐾 ) + (−𝐾 )=𝑞 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑧

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D’ou 𝜕 2𝐻 𝜕 2𝐻 𝜕 2𝐻 + + =𝑞 𝜕𝑥 2 𝜕𝑦 2 𝜕𝑧 2 En considérant q=0 ( pas d’appart et pas de prélèvement d’eau ), on aboutit à l’équation de Laplace : 𝜕 2𝐻 𝜕 2𝐻 𝜕 2𝐻 + + =0 𝜕𝑥 2 𝜕𝑦 2 𝜕𝑧 2

La charge hydraulique H est ainsi donc un potentiel harmonique : fonction de x , y et z satisfaisant l’équation de Laplace. On constate que la perméabilité du terrain K, ne figure pas dans l'équation de Laplace. La répartition de la charge hydraulique n'en dépend donc pas dans le cas d'un terrain isotrope. Elle dépend uniquement de la forme géométrique du domaine de l'écoulement et des conditions aux limites associées

IV.4 2 Cas d'un terrain anisotrope En ce qui concerne les écoulements en milieu anisotrope, l'équation de Darcy généralisée s’écrit: 𝜕𝐻 𝜕𝐻 𝜕𝐻 𝑉𝑥 = −𝐾𝑥 𝑉𝑦 = −𝐾𝑦 𝑉𝑧 = −𝐾𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧

En remplaçant Vx , Vy , Vz , dans l'équation de continuité (avec q =0) , on obtient : 𝜕 𝜕𝐻 𝜕 𝜕𝐻 𝜕 𝜕𝐻 (−𝐾𝑥 )+ (−𝐾𝑦 ) + (−𝐾𝑧 )=0 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑧 Ou :

𝜕 2𝐻 𝜕 2𝐻 𝜕 2𝐻 𝐾𝑥 2 + 𝐾𝑦 + 𝐾𝑧 2 = 0 𝜕𝑥 𝜕𝑦 2 𝜕𝑧

On ne retrouve plus l'équation de Laplace. La répartition de la charge hydraulique dépend des rapports des perméabilités Kx / Kz et Ky / Kz. Cependant, l'écoulement en milieu anisotrope peut se ramener à la résolution de l'équation de Laplace et ce grâce à la transformation affine obtenue par le changement de coordonnées suivants: 

K Kx

x

;



K Ky

y

;



K Kz

z

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Où : K est un coefficient quelconque ayant la dimension de la perméabilité. Ainsi, on retrouve l'équation de Laplace dans les coordonnées ,  et 

 ²H  ²H  ²H   0  ²  ²  ² Il s’agit de l’équation d’un écoulement transformé On appelle écoulement transformé, l'écoulement isotrope correspondant à l'écoulement anisotrope. On peut le considérer comme un écoulement fictif qui se déduit géométriquement de l'écoulement considéré par la transformation affine précédente, et s'écoulant à travers un milieu isotrope de perméabilité: K . IV.5 Equation d’écoulement permanent asymétrique L’écoulement axisymétrique autour d’un puits ou d’un forage est symétrique par rapport à l’axe du puits (axisymétrique). Il représenté cordonnées cylindriques : (𝑥 = 𝑟 cos 𝜃, 𝑦 = 𝑟 sin 𝜃, 𝑧) , L'équation de Laplace en milieu isotrope s’écrit :

1  H 1  ²H  ²H (r )  0 r r r r ²  ² z ² En coordonées polaire (pas de composante veticale, z) 1  H 1  ²H (r ) 0 r r r r ²  ² Les conditions aux limites Le domaine de l’écoulement est constitué d’une tranchée circulaire alimentant la nappe dont l’axe est superposé avec celui du puits implanté dans cette nappe. Ra

H 0 n

rp

= H = zz

H =h hpp =

H=z

H =H0

 H 0 0 n n

Figure 4.3 Demi –coupe transversale d’un écoulement asymétrique permanent dans un puits parfait dans une nappe libre avec les conditions aux limites. 24

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Où : rp et rayon du puits, Ra le rayon d’action du pompage, hp : profondeur d’eau dans le puits et H0 est la hauteur ou puissance de la nappe. Les conditions aux frontières relatives à ce domaine, figure sont les suivantes: - conditions sur les parois verticales ( conditions de Dirichlet): H(r = rp ) = hp H (r = Ra ) = H0 - conditions sur la surface libre: En régime permanent, la surface libre est une surface de courant. La permanence engendre l’immobilité de cette surface ( pas de débit qui la traverse). H 0 Ainsi on retrouve la condition de Newman ( limite à flux nul): n De plus, la surface libre est également soumise à la pression atmosphérique (effets de la capillarité négligée). On a donc une deuxième condition dite condition de pression atmosphérique, p = 0 , d’ou: H  z H 0 -condition sur le substratum imperméable (condition de Newman): n - Condition sur la surface de suintement Puisque la surface libre ne se raccorde pas au plan d’eau aval dans le puits, l’eau sort à l’air libre à travers une surface qu’on nomme, surface de suintement. La pression qui y règne est donc la pression atmosphérique d'où: H  z

IV.6 L’écoulement transitoire Contrairement à l'écoulement permanent, l'écoulement transitoire est caractérisé par sa surface libre variable dans le temps du fait que le débit pompe est épuisé directement des réserves de la nappe et non d'une limite de réalimentation comme on l’a vu précédemment. IV.6.1 Les hypothèses d’écoulement transitoire Les hypothèses fondamentales que l'on est amené de faire lors de l’étude de ce type d'écoulements sont les suivantes: a) - validité à chaque instant de la loi de Darcy, b) - incompressibilité du milieu et du liquide filtrant La première hypothèse conduit à la relation

V (t )   K grad H (t )

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Chapitre IV

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qui est identique l’équation du régime permanent sauf que maintenant la vitesse, V et le potentiel, H, sont des fonctions du temps. De plus, la loi de Darcy a été établie pour un écoulement en milieu saturé. L'hypothèse ( b ) se traduit par le fait que toute variation de charge va entraîner le mouvement de la surface libre qui, en saturant ou en désaturant le milieu poreux, va stocker ou déstocker de l'eau dans l'équation de continuité: 𝜕𝑉𝑥 𝜕𝑉𝑦 𝜕𝑉𝑧 + + =𝑞 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 qui est valable en tout point et à chaque instant. 𝑑𝑖𝑣 (𝑉) =

Comme dans le cas de l'écoulement permanent, la combinaison des équations de Darcy généralisée et de continuité conduit, pour un écoulement dans un milieu anisotrope et à 3 dimensions, à la relation: 𝐾𝑥

𝜕 2 𝐻(𝑡) 𝜕 2 𝐻(𝑡) 𝜕 2 𝐻(𝑡) + 𝐾 + 𝐾 =𝑞 𝑦 𝑧 𝜕𝑥 2 𝜕𝑦 2 𝜕𝑧 2

sauf que dans ce cas la charge hydraulique H = H(t) est fonction du temps. Pour un milieu isotrope (Kx = Ky= Kz) sans prélèvement ni apport (q = 0) , on retrouve l'équation de Laplace : 𝜕 2 𝐻(𝑡) 𝜕 2 𝐻(𝑡) 𝜕 2 𝐻(𝑡) + + =0 𝜕𝑥 2 𝜕𝑦 2 𝜕𝑧 2 Cette équation est applicable à un instant (t) donné en chaque point de l'écoulement. De ce fait, la charge hydraulique (ou le potentiel) H sera entièrement déterminée par les conditions aux limites régnantes à cet instant précis sur les frontières du domaine de l'écoulement.

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Techniques et méthodes d’estimation des paramètres hydrodynamiques

V.1 Introduction Plusieurs méthodes et approches ont été proposées dans la pratique pour la mesure des paramètres hydrodynamiques et le traitement des équations d’écoulements (permanents et transitoires), en milieu poreux en générale et en hydraulique souterraine en particulier. On a vu précédemment que l’équation d’écoulement est une équation aux dérivées partielles (Equation de Laplace, en milieu isotrope). Elle nécessite, par conséquent, le recours aux méthodes numériques (d’éléments finis ou de différences finies). Ce qui est très pratique et très compatible avec la puissance des ordinateurs actuels. Des solutions analytiques simplifiées ont été établies, cependant ces dernières sont basées sur des hypothèses très restrictives. A coté de ces proches, existe également d’autres méthodes de laboratoires (perméamétries, modèles réduits) et de terrains (pompage d’essai) pour estimer un certain nombre de paramètres hydrodynamiques. Avec la publication des travaux de J.Dupuit en 1863, l’hydraulique des puits est devenue l’un des chapitres les plus anciens de l’hydraulique souterraine. Etant donnée que cela c’est passé sept ans seulement après les fameux mémoires de Dracy , considérés comme fondement de l’hydraulique souterraine et depuis d’importantes contributions à la théorie n’ont pas cessés d’apparaître.

V.2 Méthode de laboratoire Le perméamètre est utilisé pour la mesure de la conductivité hydraulique à saturation (perméabilité : Ks) sur échantillons de sols, au laboratoire. On distingue dans la pratique plusieurs types de perméamètre, cependant leurs principes de fonctionnement est le même. V.2.1 Perméamètres à charge variable (Fig.5.1) Utilisé pour les sols peu perméables comme les sols silteux et argileux (faible vitesse d’écoulement), Il est composé d’un échantillon de section (A)et de hauteur (L) placé dans un bac plein d’eau assurant un niveau constant de sortie . L’alimentation s’effectue à partir du sommet de l’échantillon par un tube de faible section (a) . En général, les appareillages sont équipés de plusieurs tubes de différentes sections permettant de s’adapter à la perméabilité mesurée. On démarre l’expérience avec une charge initiale (ho) et on mesure au cours du temps les hauteurs (ht), pour construire un tableau (ht) en fonction de(t) et tracer la courbe correspondante.

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Le principe de mesure consiste à mesurer la baisse de niveau (dh), dans le tube de section (a,) relatif à des pas de temps (dt), d’où la possibilité de calculer de débit (selon la loi Darcy ) : 𝑑ℎ 𝑑𝑡 A la sortie de l’échantillon de section (A) et de hauteur (épaisseur) (L) on retrouve le même débit Qu’on peut déterminer selon la loi de Darcy : ℎ 𝑑ℎ 𝑞 = 𝑠𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑥 𝑣𝑖𝑡𝑒𝑠𝑠𝑒 = 𝐴 . (𝐾 ) = −𝑎 . 𝐿 𝑑𝑡 Ainsi entre les niveaux h1 et h2 correspondant à t1 et t2 on peut écrire : 𝑞 = 𝑠𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑥 𝑣𝑖𝑡𝑒𝑠𝑠𝑒 = −𝑎 .

ℎ2

∫ ℎ1

𝑡2 𝑑ℎ 𝐴 𝐾 = − . ( ) ∫ 𝑑𝑡 ℎ 𝑎 𝐿 𝑡1

ln ℎ2 − ln ℎ1 = − D’où 𝐾 =

𝐴 𝐾 . ( ) (𝑡2 − 𝑡1 ) 𝑎 𝐿

𝑎. 𝐿 ℎ1 ln 𝐴(𝑡2 − 𝑡1 ) ℎ2

Ou bien 𝐾 = 2,30 𝑥

(1)

𝑎. 𝐿 ℎ1 Log 𝐴(𝑡2 − 𝑡1 ) ℎ2

(2)

Figure 5.1 Schémas de perméamètres : à charge variable (1) et à charge constante (2)

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Chapitre V

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V.2.2 Perméamètre à charge constante (Fig. 5.1) Recommandé pour les sols perméables cas des sable, dans les conditions suivantes :    

L’échantillon doit contenir moins de 10% de particules de diamètre < 80 mm, et pas de particules de diamètre > 20 mm ; L’écoulement d’eau à travers l’échantillon de sol est laminaire et permanent, de telle sorte que la vitesse d’écoulement de l’eau reste proportionnelle au gradient hydraulique; L’échantillon de sol est saturé et ne subit pas de changement de volume durant l’essai ; la perte de charge (Δh) demeure constante.

Le principe consiste à mesurer le débit à partir du volume (v) recueilli dans le bac pendant un temps (t) Ainsi on peut déterminer le débit (q ) correspondant : 𝑞 = D’où le perméabilité :

𝐾=

𝑉 𝑡

= (𝐾

∆𝐻 𝐿

) 𝑥𝐴

𝑣. 𝐿 ∆ℎ.𝐴.𝑡

V.2 3 Perméabilité des sols stratifiés (perméabilité équivalente) -Dans le cas d’un écoulement horizontal Le débit est la somme des débits dans chaque couche : 𝑄 = ∑ 𝑄𝑖

et la charge

hydraulique est constante. D’ou la perméabilité horizontale équivalente : 𝐾ℎ𝑒 =

∑ 𝐾𝑖 𝐿𝑖 ∑ 𝐿𝑖

-Dans le cas d’un écoulement vertical Même débit qui traverse chaque couche, mais la charge hydraulique est la somme des charges : 𝐻 = ∑ 𝐻𝑖 . D’ou la perméabilité verticale équivalent : 𝐾𝑣𝑒 =

∑ 𝐿𝑖 𝐿 ∑ 𝑖 𝐾𝑖

Figure 5.2 Schéma de la perméabilité équivalente horizontale et verticale 29

Chapitre V

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V.3 Interprétation des données de pompage d’essai en régime permanent On a vu dans le chapitre 4 précedent, que l’équation d’écoulement en coordonées polaires s’ecrit : 1  h 1  ²h (r )  0 r r r r ²  ²

Dans le cas ou l’écoulement est radiale vers l’axe d’un puits, cette équation devient : 1  h  2 h 1 h (r )  2  0 r r r r r r

V.3.1 Hypothèses de l’essai de pompage Afin de faciliter l’interprétation des résultats de l’essai de pompage, on admet dans la pratique les hypothèses simplificatrices suivantes :  l’aquifère est simple, c’est-à-dire :  homogène et isotrope ;  horizontal ;  d’extension latérale infinie ;  initialement au repos ;  d’épaisseur constante ;  captée sur toute sa hauteur (puits parfait) ;  l’eau est relâchée instantanément lors d’une baisse du niveau piézométrique.  les conditions de pompage sont idéales, c’est-à-dire : écoulement laminaire pas de perturbation autour de la crépine.

V.3.2 Formules de DUPUIT DUPUIT (1863) est le premier hydraulicien à avoir exprimé une formule liant le débit de pompage avec le rayon d’action en fonction de la perméabilité. V.3.2 .1 Débit d’une nappe libre Le Débit traversant une surface équipotentielle de rayon r (Fig. 5.3) est : 𝑄 = 𝑉 𝑋𝐴 = 𝐾. 𝑖. (2. 𝜋. 𝑟. ℎ) 𝑄 = 𝐾.

𝑑ℎ . (2. 𝜋. 𝑟. ℎ) 𝑑𝑟

⇔

𝑑𝑟 𝑟

= 2. 𝜋.

𝐾 𝑄

ℎ 𝑑ℎ

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Chapitre V

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l’intégration entre (rp et Ra) et (hp et Ho) : 𝑅𝑎

∫ 𝑟𝑝

𝐻0

𝑑𝑟 𝐾 = 2. 𝜋. . ∫ ℎ 𝑑ℎ 𝑟 𝑄 ℎ𝑝

D’où l’équation de Dupuit pour une nappe libre :

𝑄=

𝜋.𝐾(𝐻02 −

2) ℎ𝑝

𝑅 𝑙𝑛 𝑎 𝑟𝑝

Où : Q ; débit de pompage ; k : perméabilité de l’aquifère ;HO : épaisseur de la partie saturée ; hP :hauteur d’eau dans le puits pendant le pompage ; rP : rayon du puits ; Ra : rayon d’action (ou d’influence du cône de dépression) Ra r

rp dh

hp

d h h

1

H0

dq

dq

Figure (5.3) Schéma d’ un puits parfait dans une nappe libre

V.3.2 .2 Débit d’une nappe captive (artésienne) Le Débit traversant une surface équipotentielle de rayon r (Fig. 5.4) est : 𝑄 = 𝑉 𝑋𝐴 = 𝐾. 𝑖. (2. 𝜋. 𝑟. 𝑒) 𝑄 = 𝐾.

𝑑ℎ . (2. 𝜋. 𝑟. 𝑒) 𝑑𝑟 𝑅𝑎

∫ 𝑟𝑝

𝑑𝑟

⇔

𝑟

= 2. 𝜋.

𝐾 𝑄

𝑒. 𝑑ℎ

𝐻0

𝑑𝑟 𝐾 = 2. 𝜋. . ∫ 𝑒 𝑑ℎ 𝑟 𝑄 ℎ𝑝

D’où l’équation de Dupuit pour une nappe captive :

𝑄=

2𝜋. 𝐾. 𝑒. (𝐻0 − ℎ𝑝 ) 𝑅 𝑙𝑛 𝑟𝑎 𝑝

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Chapitre V

Cours d’hydrogéologie. Présenté par A . SI SMAIL . UMMTO 2017

Où : Q ; débit de pompage ; k : perméabilité de l’aquifère ;HO : épaisseur de la partie saturée ; hP :hauteur d’eau dans le puits pendant le pompage ; rP : rayon du puits ; Ra : rayon d’action (ou d’influence du cône de dépression) ; e = b : épaisseur de la couche aquifère

Figure (5.4) Schéma d’un puits parfait dans un aquifère à nappe captive (G. CASTANY, F. PORTET)

V.3.3 Détermination de la perméabilité avec la méthode de DUPUIT A partir des débits mesurés lors des essais de pompage et sachant les dimensions du puits, de la nappe et son rabattement (piézométrie) on peut déduire la perméabilité de l’aquifère : Cas de nappe libre : 𝐾=

Cas de nappe captive :

𝑅 𝑄. 𝑙𝑛 𝑟𝑎 𝑝

𝜋. (𝐻02 − ℎ𝑝2 )

𝑅 𝑄. 𝑙𝑛 𝑟𝑎 𝑝 𝐾= 2𝜋. 𝑒. (𝐻0 − ℎ𝑝 )

V.4 Interprétation des données de pompage d’essai en régime transitoire (Solutions de THEIS et de JACOB) L’équation d’écoulement pour une nappe captive (Fig. 5.4) de rabattement (s ) et de porosité de drainage  d (≈ porosité efficace  e ) est :

 2 s 1 s  d s   r 2 r r KH t

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Chapitre V

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Elle est analogue à l’équation de la chaleur. Elle est dite équation de diffusivité. Cette équation n’est précise que pour les nappes en charge (captive ou artisienne) et elle ne constitue qu’une approximation pour les nappes à surface libre. Plus particulièrement quand:

s  0.1 H Pour s/ H compris entre 0.1 et 0.3, on peut appliquer la même équation. Cependant, il faut remplacer le rabattement réel s par le rabattement corrigé:

 s  s = s 1-   2H  Cependant , lorsque :

s  0.3 H

les résultats ne sont pas satisfaisants

V.4 .1 La solution de THEIS (1935) Elle est donnée par l'expression: t



2

Sr Q dt  s e 4 Tt 4T0 t

dans laquelle s est le rabattement, à l'instant t, d'un point situé à une distance r de l'axe du puits de débit Q dans un aquifère de transmissivité (T = K.e) et de coefficient d'emmagasinement S. Sr 2 En effectuant le changement de variable: u  4Tt L'expression de THEIS devient: 

Q e u s du 4t u

 u



u

e est une fonction exponentielle intégrale du  W U  u 0 L'équation de THEIS s'écrit finalement sous la forme:

Or le terme:



s r, t 

Q W U 4 T

La fonction de THEIS, W(u), tablée par Wenzel (Tableau 5.1) et représenté également sous forme de courbes (Fig. 5.5). V.4. 2 La formule simplifiée de JACOB (1950) Elle est donnée par l’expression:

s  r ,t  

Q 2.25Tt ln 4T Sr 2

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Cette relation constitue l'approximation logarithmique de la formule de THEIS. Ces formules expriment le rabattement s d’une nappe à une distance r du puits de pompage avec un débit Q constant au bout d’un temps de pompage t. Elles permettent de déterminer rapidement la transmissivité T et le débit Q sans que le niveau de la nappe soit stabilisé comme en régime permanent. Pour les essais, on réalise un piézomètre d’observation à proximité du puits afin d’obtenir les données nécessaires au calcul de la transmissivité et du coefficient d’emmagasinement. Dans la pratique, on utilisera la formule simplifiée de JACOB que pour des durées de pompage suffisamment longues d’au moins 42 heures, avec une distance du puits au piézomètre inférieure à 50 m.

V.4.3 Hypothèses des formules de THEIS et de JACOB Les hypothèses de base des formules de Theis et de Jacob pour une nappe libre sont:  milieu infini homogène et isotrope;  faible rabattement de la surface libre (le coefficient d'emmagasinement S est remplacé par la porosité de drainage (d ) ;  forage captant la nappe sur toute son épaisseur, pompant à débit constant, avec un rayon du forage négligeable ;  nappe initialement immobile (condition initiale s (r, 0) = 0 quelque soit r).

u x1 -1 x 10 -2 x 10 -3 x 10 -4 x 10 -5 x 10 -6 x 10 -7 x 10 -8 x 10 -9 x 10 -10 x 10 -11 x 10 -12 x 10 -13 x 10 -14 x 10 -15 x 10

Tableau 5.1 Valeurs de W(u) pour les valeurs de u (d’après WENZL, 1942). (F.PORTET) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0.219 0.049 0.013 0.0038 0.0011 0.00036 0.00012 0.000038 0.00 1.82 1.22 0.91 0.7 0.56 0.45 0.37 0.31 0.26 4.04 3.35 2.96 2.68 2.47 2.3 2.15 2.03 1.92 6.33 5.64 5.23 4.95 4.73 4.54 4.39 4.26 4.14 8.63 7.94 7.53 7.25 7.02 6.84 6.69 6.55 6.44 10.94 10.24 9.84 9.55 9.33 9.14 8.99 8.86 8.74 13.24 12.55 12.14 11.85 11.63 11.45 11.29 11.16 11.04 15.54 14.85 14.44 14.15 13.93 13.75 13.60 13.46 13.34 17.84 17.15 16.74 16.46 16.23 16.05 15.9 15.76 15.65 20.15 19.45 19.05 18.76 18.54 18.35 18.2 18.07 17.95 22.45 21.76 21.35 21.06 20.84 20.66 20.5 20.37 20.25 24.75 24.06 23.65 23.36 23.14 22.96 22.81 22.67 22.55 27.05 26.36 25.96 25.67 25.44 25.26 25.11 24.97 24.86 29.36 28.66 28.26 27.97 27.75 27.56 27.41 27.28 27.16 31.66 30.97 30.56 30.27 30.05 29.87 29.71 29.58 29.46 33.96 33.27 32.86 32.58 32.35 32.17 32.02 31.88 31.7

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Chapitre V

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Figure (5.5) Courbe caractéristique de THEIS (F. PORTET)

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Références bibliographiques BEAUCHAMP J. Les systèmes aquifères. Cours-Université de Picardie, juillet 2006. http://www.u-picardie.fr/beauchamp/cours.qge/du-7.htm CARTE HYDROGEOLOGIQUE DE WALLONIE. http://environnement.wallonie.be/cartosig/cartehydrogeo/concepts.htm CASTANY G. Principes et méthodes de l’hydrogéologie. Dunod 1982, 238 p. DE MARSILY G. Cours pratique d’hydrogéologie. Université Paris VI, 2004, 236p. http://www.sisyphe.upmc.fr/~m2hh/hydr/marsily/gdm-hydrogeologie.pdf HILLEL D. L’eau et le sol principes et processus physiques. CABAY, Libraire-éditeur, LOUVAIN-LA-NEUVE, 1984, 288p. HYDROGEO-BECANCOUR. Groupe de concertation des bassins versants de la zone Bécancour. http://www.grobec.org/hydrogeo/resultats/conditions-confinement.php PORTET F. Aide-mémoire Interprétation d'essais de pompage. ENTE Aix en Provence, 2003, 34p. http://www.emse.fr/~bouchardon/enseignement/processus- naturels/up3/web/essaispompage-2003-e.html SCHNEEBELI G. Hydraulique souterraine. Editions Eyrolles, 1978, 362p. SI SMAIL A. Simulation numérique des écoulements permanents et transitoires autour d’un puits parfait dans une nappe phréatique. Mémoire de Magister, Université de Biskra, 1998,101p.

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