Correction Examen MEF Master S02 2018 1 [PDF]

Zitiervorschau

Université A. Belkaid - Tlemcen Faculté de Technologie Département de Génie Civil

Mercredi 16 Mai 2018 Durée: 1H30mn. Aucun document n’est autorisé.

Master 1 Génie Civil Correction Examen Final de Méthode des Eléments Finis

Exercice 01 (05 pts) ( )

Trouver l’expression de la matrice [B] avec

= ∭[

][ ][ ]

( )

On donne les fonctions d’interpolations d’un élément plaque triangulaire à 03 nœuds comme suit

1 − − − 2 1 [− ( − ) + ( − )] ( , )= 2 1 ( , )= ( − )− ( − ) 2 Avec = − = ′ ( , )=

Exercice 02 (07 pts)

Trouver les cosinus directeurs ainsi que la matrice de transformation d’un élément triangulaire membrane dans l’espace. On donne les coordonnées des trois nœuds comme suit : (0, 0, 0) ; (0, 1,2) ; (2, 1, 0)

Exercice 03 (08 pts) Soit la plaque membrane carrée de coté 01 m ci-contre 1., Discrétiser la plaque en 02 éléments. 2., Trouver les dimensions des matrices de rigidité locale, élémentaire globale et de la plaque. 3., Calculer les matrices locales 4., Assembler les éléments et calculer la matrice de la plaque 5., Après introduction des conditions aux limites quelle serait la dimension du système à résoudre 6., Quelle est la dimension de la matrice bande de cette plaque

E=28GPa H=2 cm

P=10K

On donne la matrice de rigidité locale d’un élément triangulaire membrane : ( )

( )

=

( )

.ℎ 4 (1 −

⎡ ⎢− ⎢− ⎢ )⎢ ⎢ ⎢ ⎣−

⎡ ⎢− ⎢− .ℎ ⎢ = 8 (1 + ) ⎢

=

( )

− −

+

( )

avec

− − −

−

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

−

− ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

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Master 1 Génie Civil Correction Examen Final de Méthode des Eléments Finis Solution Exercice 01 La matrice [B] est donnée dans la relation de la déformation avec les déplacements soit : { } = [ ]{ } ∂N ⎧ ⎫ ⎡ ∂x ∂x ⎪ ⎪ ⎢ ∂v 0 Avec {ε} = =⎢ ∂y ⎨ ⎬ ∂u ∂v ⎪ ⎪ ⎢∂N + ∂x⎭ ⎣ ⎩ ∂y ∂y ∂u

1 ∂N = y 2A ∂x

=−

∂N

0 ∂N

1 2

∂N

∂x

=−

∂x 0

∂y

∂N

u ⎧ ⎤ v ∂x ⎥ ⎪u ∂N ∂N 0 ∂y ∂y⎥ v ⎨ ⎥ ⎪u ∂N ∂N ∂N ∂x ∂y ∂x⎦ ⎩v ∂N

0

∂y

1 2

=

0

1 2

=−

0 −

0

⎬ ⎪ ⎭

1 2

=

En substituant ces dérivés dans { } alors [B] sera comme suit [ ] =

⎫ ⎪

− 0

−

1 2

0 −

0 −

0 −

Solution Exercice 02 i j k

X 0 0 2

Y 0 1 1

Z 0 2 0

=

−

=

=

=

=

= .

−

+

=0

+ +

+

.

−

= √5

=

=

=

= =

.

+

.

√

=

=

=

=

=

.

=

+

=

+

√

.

=0

En remplaçant les cosinus directeurs de pk par leur expression on obtient : .(

−

)+

.(

−

−

.

=

.(

=

+ .

Alors

=

−

.(

= =

[ ]=

⎡ ⎢ ⎢→ ⎢

→ →

( =

−

)+

)+

.(

−

)+

√

.( − .(

= −

−

) =0

−

.

) + (

=

)+

− )+ =

soit

+

.( √

− ) + ( =

.(

.

√

−

−

−

=( Avec

=

) =0

) = 0. (2 − 0) +

=

=

−

) −

=

=

=

√

+

)

(1 − 0) + √

.

√

√

(0 − 0) =

√

=

(2 − 0) + (1 − 0) + (0 − 0) − = 2 =

√

→

⎤ →⎥ →⎥ ⎥

.

=

=−

=−

√

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Master 1 Génie Civil Correction Examen Final de Méthode des Eléments Finis Solution Exercice 02 1., Discrétisation Nœuds et Table de connection Elément

X i=1 0 j=2 1 k=3 1

1

2

Y 0 0 1

Y

Xlm ki=31 1 kj=32 0 ji=21 1

Ylm 1 1 0

i=3 1 1

ki=13 -1 -1

j=4 0 1 k=1 0 0

kj=14 0 -1 ji=43 -1 0

4

3 2 1 X

2

1

2., Les nœuds sont soumis à des efforts et déplacements normaux seulement (plaque membrane) alors il y a deux (02) déplacements par nœud, un suivant ox et un suivant oy (repère local). Donc la matrice locale de dimension (03noeudsx02 DDL=06DDL) soit (6x6)

( )

est

La plaque étant plane et membrane le repéré global est le plan XOY tel que pour chaque point on deux déplacement suivant OX et suivant OY Donc la matrice de rigidité élémentaire globale a une dimension de (03noeudsx02 DDL=06DDL) soit (6x6) La plaque est composé de 04 nœuds donc la dimension est de (04noeudsx02 DDL=08DDL) 3., Matrices de rigidité locales ( )

=

( )

+

( )

Avec

1,00 0,00 -1,00 0,50 0,00 -0,5

1,00 0,00 -1,00 0,50 0,00 -0,50 0,00 0,00 0,00 ( )

= 4,00 93,33 10

6

0,00 0,00 0,00

0,00 0,00 0,00

-1,00 0,00 1,00 -0,50 0,00 0,50

( )

=

93,33 10

=

0,00 0,00 0,00

-1,00 0,00 1,00 -0,50 0,00 0,50

0,50 0,00 -0,50 1,00 0,00 -1,00

0,50 0,00 -0,50 1,00 0,00 -1,0

0,00 0,00 0,00

0,00 0,00 0,00

0,00 0,00 0,00

( )

93,33 106

0,00 0,00 0,00

-0,50 0,00 0,50 -1,00 0,00 1,00

-0,50 0,00 0,50 -1,00 0,00 1,00

( )

6

2i-1 5,00 0,00 -5,00

2i 0,00 0,00 0,00

2j-1 -5,00 0,00 5,00

2j 2,50 0,00 -2,50

2k-1 0,00 0,00 0,00

2k -2,50 0,00 2,50

2,50

0,00

-2,50

5,00

0,00

0,00

0,00 -2,50

0,00 0,00

0,00 2,50

0,00 -5,00

0,00 0,00

0,00 5,00

2i-1 2i 2j-1 2j 2k-1 2k

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Master 1 Génie Civil Correction Examen Final de Méthode des Eléments Finis

4., Assemblage Les numéros des degrés de liberté par élément sont suivant les numéros des nœuds i, j et k comme suit : U2i-1, U2i, U2j-1, U2j, U2k-1, U2k Soit

pour élément 01 U1, U2, U3, U4, U5, U6

et pour élément 02 U5, U6, U7, U8, U1, U2

Ici la transformation n’est pas nécessaire puisque les repères locaux des éléments

1 2 3 4 5 6 7 8 0 1 5+0 0+0 -5 2,50 0 -2,50 0 0+0 0+5 0 0 0 0 0 0 2 -5 0 5 -2,50 0 2,50 0 0 3 [Kg] = 93,33 106 2,50 0 -2,50 5 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0+5 0+0 0 0 5 -2,50 0 2,50 -5 0+0 5+0 0 0 6 0 0 0 0 0 0 5 -2,50 7 0 0 0 0 0 0 -2,50 5 8 5., Matrice : La largeur de la bande est B = (D+1) f Ici f nombre de DDL par nœud = 02 D la différence maximale en valeur absolue entre les nœuds des éléments = 4-1=3 Donc B = (3+1) x 2 = 8

La matrice bande à une dimension de 8x8

6., Conditions aux limites Les nœuds 1 et 4 sont encastrés (bloqué suivante X et Y) donc les degrés de liberté correspondants sont nuls soient U1=0, U2 =0, U7 = 0 et U8 = 0 Il nous reste à trouver 8-4 DDL donc la dimension du système d’équation serait de (4x4)