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Chapitre II Transfert de matière

Pr. F. Bouremmad

Chapitre 2 Bilans élémentaires de transfert de matière II - 1 Equations de bilan de T.M considérons un mélange binaire A+ B dans un élément de volume ΔV, ayant une surface S, on va établir un bilan de matière pour le constituant A et le mélange, dans les coordonnées cartésiennes (x , y, z) (ΔV est cubique).

D’une manière générale, toute opération de transfert obéit au concept de conservation qui s’énonce selon le bilan suivant

 flux entrant    flux sortant    production    accumulati on    dans V    dans V   ou disparitio n   dans le temps          Mathématiquement, si on s’intéresse à un constituant A, on peut écrire son bilan molaire en utilisant les données suivantes :

   N A, x , N A, y N A, z : flux entrants,    N A, x  x , N A, y  y , N A, z  z : flux sortants CA/t : accumulation RA : production ou disparition du constituant A suivant une réaction chimique, elle représente la vitesse molaire de la réaction chimique On obtient alors l’équation suivante :

 C A  div N A  R A  t

(1) qui représente l’équation générale de transfert de matière pour

n’importe quel constituant. Le signe de RA sera selon la disparition ou la production de A.

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En suivant le même raisonnement pour le constituant B on obtient la même équation :

 C  div N B  RB  B t

-

(2)

Pour le mélange, la somme de (1) et (2) permet d’écrire :

1  2  div N A  R A  C A 

 C B  div N B  RB  0 t t

   C A  C B  div N A  N B  R A  RB   0 t





Or, on peut démontrer que :    N A  N B  C t .v

R A  RB  RM Ce qui donne pour le mélange C  div C t .v   R M  t  0 t Cette relation représente l’équation de continuité d’un mélange, elle est exprimée en termes de mole et elle est généralisée pour tout mélange de deux ou plus de constituants.

 v représente la vitesse molaire moyenne du mélange Remarque : on peut aussi établir un bilan massique en Kg ce qui peut donner pour un constituant A :

 C A C A   div N A  R A  , N A : flux massique, R A : vitesse massique , : accumulation massique t t Pour le mélange l’équation de continuité en termes de masse s’écrit alors :

 C div Ct .v  RM  t  0 , C t =ρt t





II-2 profil de concentration Déterminer le profil de concentration d’un constituant revient à déterminer la variation de la concentration dans le temps et dans l’espace, en appliquant l’équation générale de transfert de matière pour un constituant A,

div N A  R A 

C A 0 t

En appliquant :

NA  flux de diffusion de A  flux de covection On arrive à :

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

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

 dC div Ct v   A  div D AB gr ad C A  R A dt C’est l'équation qui donne le profil de concentration. On peut porter plusieurs simplification à cette équation, on peut alors supposer que : DAB= constante



Pas de convection Ct v   0 Pas de réaction chimique RA  0 Ce qui simplifie l’équation précédente comme suit :

 2    C A  2 C A  2 C A  C A D AB     2 2  t y 2  x  y   Cette équation constitue la deuxième loi de Fick, si en plus le régime est stationnaire

dC A 0 dt

On obtient l’équation de Laplace ci-dessous qu’il faut résoudre pour trouver le profil de concentration

 2    C A  2C A  2C A  D AB     0 Equation de Laplace. 2 2  y 2  x  y   II-3 Equation de transfert dans les différents systèmes de coordonnées: a- Coordonnées cartésiennes

 C N A N A N A C A divN A  A  R A  0      RA  0 dt dx dy dz t b- Coordonnées cylindriques z, r, 

   C A  1  1 N A. N A. z   . r.N A.r  .    RA  0 t r  r r  o  z  





c- Coordonnées sphériques r, ,  

 N A.  C A  1  2  1   1  2. r N A.r  . N A. . sin   .   RA  0 t r. sin   r sin     r r









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II-4 Cas particuliers de l'équation de transfert a- Diffusion à travers un film de gaz stagnant (cellule d'Arnold) :

Une cellule d'Arnold permet de déterminer le coefficient de diffusion des vapeurs dans l’air, en supposant que ; -

il n’y a pas de réaction chimique entre A et B

-

Le régime stationnaire

En appliquant l'équation de TM pour A (qui s’évapore et diffuse dans le B)

div N A 

C A  RA  0 t

Et en appliquant les conditions précédentes, on obtient alors :

div N A  0 Comme

on

a

une

seule

direction

de

déplacement

selon

l’axe

Z,

alors

dN A  0  N A  cons tan te dz D’autre part, en utilisant l’expression du flux et N B=0 (stagnant) et les conditions aux limites sur le schéma on a alors :

N A  dz   D AB  yA 

dC A 1  y A 

CA , C t  cte Ct

NA 

D AB Ct  1  y A1   ln  z1  z 0  1  y A0 

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A ce niveau, on fait introduire la notion de la fraction molaire moyenne logarithmique définie comme suit :

y B , Ln :

y B1  y B 0 y ln B1 y B0

 1 y 

A1  en fonction y B , Ln On va traduire ln  1  y A0  

 1  y A1  y A0  y A1   ln  y B , Ln  1  y A0  NA 

D AB .Ct y A0  y A1  z1  z 0 y B , Ln

b- Diffusion pseudo stationnaire dans un film stagnant (cellule d'Arnold) Reprenons le schéma du cas précédent, on remarque que quand le liquide s’évapore, la hauteur z0 est une fonction de temps z0(t) et par conséquent la hauteur h de la phase gaz, L'expression de flux est toujours donnée par :

NA 

D AB Ct y A0  y A1  z1  z 0 y B ln

Si la question demandée est de déterminer l’expression du coefficient de diffusion DAB ou le temps d’évaporation d’un volume On peut considérer z1  z 0 (t )  h(t ) D’autre part, le flux N A est aussi donné par l’expression suivante :

NA 

dn A  A .S.dh  S.dt M A .S.dt

En égalisant les deux expressions du flux :

 A dh M A dt



D AB Ct ( y A0  y A1 ) ht . y B , Ln

 A : la masse volumique de A M A :la masse molaire de A   A ht dh  D AB Ct M A

y Aà  y A1 -y B , Ln

Chapitre II Transfert de matière A

t

 dt 

t 0

t

D AB Ct M A



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ht

y B , Ln y A0  y A1

 ht dh

h0

y B , Ln A 1   ht2  h02 2 D AB Ct M A y A0  y A1





Si on arrange : on aura l'expression utilisée pour évaluer le coefficient de diffusion (cas TP N°2)

D AB 

A

.

y B ,ln

M A Ct y Aà  y A&



ht2  h02 1  2 t

c- Contre diffusion equimolaire Supposant pour un mélange binaire N A = -N B trouver le profil de concentration de B dans un régime stationnaire et sans réaction chimique

divN A 

dC A dN A  RA  0   0  N A  cte dt dz

on sait que

dC A  y A N A  N B  dz dC A N A   D AB dz dN A d 2C A  0   D AB 0 dz dz ² d 2C A 0 dz ²

N A   D AB

Le profil de CA et linéaire en fonction de Z , il s’écrit CA =K1.z+K2 les constante K1 et K2 seront déterminées par les conditions aussi limites on peut supposer .

z  z1 , C A  C A1 z  z 2 , C A  C A2 d- Transfert de matière avec réaction chimique Soit un mélange dans lequel se passe la réaction chimique suivante ; k

A  B  C k  constante de vitesse A diffuse par un processus tel que NA = -NB , la réaction est d’ordre 1 par rapport à A ce qui donne que la vitesse de la réaction est R A  kC1A , A disparait dans cette réaction Trouver le profil de concentration de A. En partant toujours de l’équation générale de transfert de matière

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C A  RA  0 t divN A  kCA  0

divN A 

Et sachant que N A   D AB

C A  y A N A  N B  d

On obtient alors :

dC A   div   D AB   kCA  0 dz    ²C A  D AB  kCA  0 dz ² d ²C A k  .C A  0 dz ² D AB La solution est :

C A  A1.Ch

k k z  A2 .sh z DAB DAB

ou C A  B1.e

k z DAB

 B2 .e



k z DA

A1 , A2 , B1 , B2 : sont des constantes d’intégration à déterminer à partir des conditions aux limites Si on suppose par exemple les conditions suivantes :

z0

C A  C A0

zδ

CA  0

On aura Finalement

C A  C A0 ch

ki z D AB

C A0 tgh

k D AB

.sh

k z D AB

Dans ce cas NA est fonction de z On peut trouver NA0 en z=0

N Az 0   D AB

  k    dC A  DABC A  DAB    dz z 0   tgh k   D AB       le critere de hatta

Le critère de Hatta démontre l’influence de la réaction chimique sur le T.M

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Pr. F. Bouremmad

TD N°2 Exercice 1: Deux grands réservoirs sont reliés entre eux par un tube de longueur l= 0.75m et de diamètre intérieur di= 2cm, le réservoir I est remplie de CO2 pur et le réservoir II contient de l’hydrogène pur. -

Calculer le flux molaire de diffusion de CO2 vers le réservoir II au début du phénomène si l’on maintient la pression et la température des gaz dans les réservoirs aux même niveaux, P=760mmHg et T=0°C et si le coefficient de diffusion de CO2 dans H2 est D=5,5.10-3m2.s-1

-

Déterminer le débit molaire de diffusion. Exercice 2 : La diffusivité de l’éthanol dans l’air a été déterminée en utilisant une cellule d’Arnold en régime stationnaire. La cellule a une section S=0.82 cm2 et est soumise à une température T=297 K et une pression P=1atm. La hauteur du chemin de diffusion est δ= 15cm Si 0.0445 cm3 d’éthanol se sont évaporées pendant une durée de 10 heures. Quelle sera la valeur de la diffusivité de l’éthanol dans l’air, on donne ρéthanol= 0,997 g.cm-3 et la pression de vapeur de l’éthanol à la température donnée est égale à 183 mmHg. Exercice 3: L’ingénieur détective entre dans le bureau du financier en fuite et remarqua que l’homme s’était préparé une tasse de café avant de fuir précipitamment. La tasse était encore à moitié pleine mais les traces laissées sur les parois par l’évaporation lente de l’eau, révélaient que la tasse avait été initialement remplie jusqu’à 1cm du bord supérieur. Il estima que la tasse avait 8cm de profondeur et se rappelant le cours de la diffusion, il conclut que le financier était parti depuis au moins 25 jours. Qu’en pensez vous ? On considère que la pression totale est de 760 mmHg et la température 20°C, le coefficient de diffusion de la vapeur d’eau dans l’air est D= 0,261 cm 2.s-1 et l’humidité de l’air ambiant est égale à 0,32% molaire, la pression de vapeur saturante de l’eau est 15,76 mmHg. Exercice 4 : Estimer le temps nécessaire pour réduire le diamètre de la naphtalène sphérique de 1 à 0,5 cm. lorsque la sphère est suspendue dans un volume infini d’air à 165 °F et 1atm. La masse moléculaire de la naphtalène est 128g.mole-1, sa masse volumique est de 1139 kg.m-3 et sa pression de vapeur de 5mmHg à 165°F, DN-air=6,92 cm2.s-1