Arreglos Atomicos y Ionicos [PDF]

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ARREGLOS ATÓMICOS Y IÓNICOS

3-25 Calcule en cm el radio atómico de lo siguiente: a) Metal BCC con b) Metal FCC con

y un átomo por punto de red. y un átomo por punto de red.

Solución:

(a) Para metales BCC: (√ )

)

(√ )(

(b) Para metales FCC: (√ )

(√ )(

)

3-26 Determine la estructura cristalina de lo siguiente: a) Un metal con b) Un metal con

,

y un átomo por punto de red. y un átomo por punto de red.

,

Solución: Queremos determinar si "x" en los cálculos a continuación es igual a √ (para FCC) o √ (para BCC): (a)

( )(

)

(

(

)

√

(b)

( )(

) √

( )(

)

.

3-27 La densidad del potasio, que tiene estructura BCC y un átomo por punto de red, es 0.855 El peso atómico del potasio es 39.09 g/mol. Calcule a) El parámetro de red. b) El radio atómico del potasio. Solución: (a) Usando la ecuación 3-5:

⁄

⁄

( (

)(

) (

) )

(b) De la relación entre el radio atomico y el parametro reticular:

(√ )(

)

3-28 La densidad del torio, que tiene estructura FCC y un átomo por punto de red, es 11.72 El peso atómico del torio es 232 g/mol. Calcule a) El parámetro de red. b) El radio atómico del torio. Solución: (a) De la ecuación 3–5:

⁄

⁄

( (

)(

) (

)

1.315297 × 10− 22 cm3 o

= 5.0856× 10− 8 cm

(b) De la relación entre el radio atómico y el parámetro reticular:

(√ )(

)

)

.

3-29 Un metal tiene estructura cubica, su densidad es 2.6 , su peso atómico es 87.62 g/mol y su parámetro de red es 6.0849 . Un átomo se asocia con cada punto de red. Determine la estructura cristalina del metal. Solución:

⁄

(

⁄

(

)(

)

) (

)

3-30 Un metal tiene estructura cubica, su densidad es 1.892 , su peso atómico es 132.91 g/mol y su parámetro de red es 6.13 . Un átomo está asociado con cada punto de red. Determine la estructura cristalina de ese metal.

Solución:

⁄

⁄

( (

)(

)

) (

)

3-31 El indio tiene una estructura tetragonal, con y . La densidad es 7.286 y el peso atómico es 114.82 g/mol, ¿tiene estructura tetragonal simple o tetragonal centrada en el cuerpo?

Solución:

⁄

⁄

( (

) (

(

)(

) )(

)

)

3-32 El bismuto tiene una estructura hexagonal, con es 9.808 y su peso atómico es 208.98 g/mol. Determine

y

.Su densidad

a) El volumen de la celda unitaria. b) La cantidad de átomos en cada celda unitaria. Solución: (a) El volumen de la celda unidad es

V = (0.4546 nm)2(1.186 nm) (cos30) = 0.21226 nm3

(b) Si "x" es el número de átomos por celda unidad, entonces:

⁄

(

⁄

)(

(

)

) (

)

⁄

3-33 El galio tiene una estructura ortorrómbica con , 76570 nm, su radio atómico es 0.1218 nm, su densidad es 5.904 atómico es 69.72 g/mol. Determine

y y su peso

a) La cantidad de átomos en cada celda unitaria. b) El factor empaquetamiento en la celda unitaria. Solución:

El volumen de la celda unidad es V = aoboco o V = (0.45258 nm) (0.45186 nm) (0.76570 nm) = 0.1566 nm3 V = 0.1566 x

(a) De la ecuación de densidad: ⁄

⁄

( (

)(

)

)(

)

⁄ (b) A partir de la ecuación del factor de embalaje (PF):

(

)(

)(

)

3-34 El berilio tiene una estructura cristalina hexagonal, con El radio atómico es 0.1143 nm, la densidad es 1.848 g/ Determine:

y y el peso atómico es 9.01 g/mol.

.

a) La cantidad de átomos en cada celda unitaria. b) El factor empaquetamiento en la celda unitaria. Solución:

V = (0.22858 nm)2 (0.35842 nm) cos 30 = 0.01622 nm3 = 16.22 × 10− 24 cm3

(a) De la ecuación de densidad:

⁄

(

⁄

(

)(

)

) (

)

⁄ (b) El factor de empaque (PF) es:

(

)(

)(

)

3-39 A más de 882 °C el titanio tiene una estructura cristalina BCC con Abajo de esta temperatura, su estructura es HCP con y . Determine el cambio porcentual de volumen cunado el titanio BCC se transforma en titanio HCP. ¿Tiene lugar una contracción o una expansión? Solución: Podemos encontrar el volumen de cada celda unidad. Dos átomos están presentes en las unidades de titanio BCC y HCP, por lo que los volúmenes de las celdas unitarias se pueden comparar directamente.

= ( =

(

) = 0.03659 ) (0.4735 nm) cos30 = 0.03637

Por lo tanto, el titanio se contrae un 0,6 % durante el enfriamiento.

3-40 El Mn- tiene una estructura cubica con y su densidad es 7.47 g/ .En Mntiene una estructura cubica distinta, con y una densidad de 7.26 g/ . El peso atómico del manganeso es 54.938 g/mol y su radio atómico es 0.112 nm. Determine el cambio porcentual de volumen que tiene lugar cuando el Mn- se transforma en Mn- . Solución: Primero necesitamos encontrar la cantidad de átomos en cada celda unitaria para poder determinar el cambio de volumen basado en el mismo número de átomos. A partir de la ecuación de densidad, encontramos para la α -Mn: ⁄

(

⁄

(

)(

)

) (

)

Vα -Mn = (8.931 × 10− 8 cm)3 = 7.12 × 10− 22 cm3

⁄

Para β -Mn:

⁄

(

⁄

(

)(

)

) (

)

= (8.931 × 10− 8 cm)3 = 7.12 × 10− 22 cm3

⁄

El volumen del β -Mn puede ajustarse por un factor de 58/20, para tener en cuenta el diferente número de átomos por célula. El cambio de volumen es entonces: (

⁄

)

(

⁄

)(

)

El manganeso se expande en 3.05% durante la transformación. 3-35 Un broche (clip) pesa 0.59 g y es de hierro BCC. Calcule a) La cantidad de celdas unitarias b) La cantidad de átomos de hierro en ese broche. (Véanse los datos necesarios en el apéndice A) Solución: El parámetro de celosía para hierro BCC es 2.866 ×

cm. Por lo tanto

Vunidad de celda = (2.866 × 10− 8 cm)3 = 2.354 × 10− 23 cm3 (a) La densidad es de 7.87 g / cm3. La cantidad de celdas unitarias es: (

⁄

)(

)

(b) Hay 2 átomos / célula en el hierro BCC. La cantidad de átomos es: Numero = (3.185 × 1021 celdas) (2 átomos/celda) = 6.37 × 1021 átomos

3-36 Para envolver alimentos, se usa una lámina de aluminio con un espesor aproximado de 0.001 pulg. Suponga que todas las celdas unitarias del aluminio están arregladas de tal modo que es perpendicular a la superficie de la hoja. Para un trozo cuadrado de 4 x 4 pulg. Determine a) La cantidad total de celdas unitarias en ella. b) El espesor de la hoja en cantidad de celdas unitarias. (véase el apéndice A.) Solución: El parámetro de celosía para aluminio es 4.04958 ×

cm. Por lo tanto:

Vunidad de celda = (4.04958 × 10− 8)3 = 6.6409 × 10− 23 cm3 El volumen de la lámina es: Vlamina = (4 in.)(4 in.)(0.001 in.) = 0.016 in.3 = 0.262 cm3 (a) El número de celdas unitarias en la lámina es:

(b) El grosor de la lámina, en número de celdas unitarias, es: (

)(

⁄

)

3-51 Determine los índices de Miller para las direcciones en la celda unitaria cubica de la figura 3-48. Solución:

3-52 Determine los índices para las direcciones en la celda unitaria de la figura 3-49. Solución:

3-53 Determine los índices para los planos en la celda unitaria cubica de la figura 3-50. Solución:

3-54 Determine los índices de los planos en la celda unitaria cubica de la figura 3-51. Solución:

3-55 Determine los índices para las direcciones en la red hexagonal de la figura 3-52, usando los sistemas de tres y cuatro dígitos. Solución:

3-56 Determine los índices para las direcciones en la red hexagonal de la figura 3-53, usando los sistemas de tres y cuatro dígitos. Solución:

3-57 Determine los índices para los planos en la red hexagonal de la figura 3-54. Solución:

3-58 Determine los índices para los planos en la red hexagonal de la figura 3-55. Solución:

3-59 Trace los siguientes planos y direcciones dentro de una celda unitaria cubica: Solución: a) (101) e) ( ̅ 01) i) (002)

b) (0 ̅ 0) f) (2 ̅ 3) j) (1 ̅ 0)

c) (12 ̅ ) g) (0̅̅̅̅) k) ( ̅ 12)

d) (301) h) (102) l) (3̅̅̅̅)

3-60 Trace los siguientes planos y direcciones dentro de una celda unitaria cubica: Solución: a) (1 ̅ 0) e) (̅̅̅̅1) i) (030)

b) (̅̅̅̅1) f) (1 ̅ 1) j) ( ̅ 21)

c) (410) g) (11 ̅ ) k) (11 ̅ )

d) (0 ̅ 2) h) (01 ̅ ) l) (0 ̅ 1)

3-61 Trace los siguientes planos y direcciones dentro de una celda unitaria hexagonal: Solución: a) (01 ̅ 0) d) (0003)

b) (11 ̅ 0) e) ( ̅ 010)

c) ( ̅ 011) f) (01 ̅ 1)

3-62 Trace los siguientes planos y direcciones dentro de una celda unitaria hexagonal: Solución: a) ( ̅ 110) d) (1 ̅ 10)

b) (11 ̅ 1) e) (̅̅̅̅22)

c) (10 ̅ 0) f) (12 ̅ 0)

3-63 ¿Cuáles son los índices de las seis direcciones de la familia (110) que están en el plano (11 ̅ ) de una celda cubica? Solución:

3-64 ¿Cuáles son los índices de las cuatro direcciones de la familia (111) que están en el plano ( ̅ 01) de una celda cubica? Solución:

3-65 Determine la cantidad de direcciones de la familia (110) en una celda tetragonal y compárela con la cantidad de direcciones de la familia (110) en una celda unitaria ortorrómbica. Solución: Tetragonal: (110), (̅̅̅̅0), ( ̅ 10), (1 ̅ 0) = 4 Ortorrómbica: (110), (̅̅̅̅0) = 2 Tenga en cuenta que en los sistemas cúbicos, hay 12 direcciones de la forma . 3-66 Determine el ángulo entre la dirección (110) en una celda unitaria tetragonal; después determine el ángulo entre la dirección (011) y el plano (011) en una celda tetragonal. Los parámetros de red son y ¿Qué es lo que causa la diferencia? Solución:

Los parámetros reticulares en las direcciones x e y son los mismos; esto permite que el ángulo entre [110] y (110) sea de 90o. ¡Pero los parámetros reticulares en las direcciones yy z son diferentes! 3-67 Determine los índices de Miller del plano que pasa por los puntos con las siguientes coordenadas: Solución: a) b) c) d)

0, 0, 1; 1, 0, 0; y 1/2, 1/2, 0 1/2, 0, 1; 1/2, 0, 0; y 0, 1, 0 1, 0, 0; 0, 1, 1/2; y 1, 1/2, 1/4 1, 0, 0; 0, 0, 1/4; y 1/2, 1, 0

3-68 Determine la distancia de repetición, densidad lineal y fracción de empaquetamiento para el níquel FCC, que tiene un parámetro de red de 0.35167 nm, en las direcciones (100), (110) y (111). ¿Cuál de esas direcciones son compactas? Solución: (√ ) Para (100): repetir la distancia = Densidad lineal =

puntos/nm

Fracción de embalaje lineal = (2) (0.1243) (2.84) = 0.707

Para (110): repetir la distancia = √ Densidad lineal =

√

puntos/nm

Fracción de embalaje lineal = (2) (0.1243) (4.02) = 0.707

Para (110): repetir la distancia = √ Densidad lineal = Fracción de embalaje lineal

√

puntos/nm

= (2) (0.1243) (1.642) = 0.408

El empaquetamiento en (110) está cerrado y la fracción lineal del empaquetamiento es 1.

3-69 Determine la distancia de repetición, densidad lineal y fracción de empaquetamiento para el litio BCC, que tiene un parámetro de red de 0.35089 nm, en las direcciones (100), (110) y (111). ¿Cuál de esas direcciones son compactas? Solución: √ (

)

Para (100): repetir la distancia = Densidad lineal = 1/

= 2.85 puntos/nm

Fracción de embalaje lineal = (2) (0.1519) (2.85) = 0.866

Para (110): repetir la distancia = √ Densidad lineal = 1/√ Fracción de embalaje lineal

= 2.015 puntos/nm

= (2) (0.1519) (2.015) = 0.612

Para (111): repetir la distancia = √ Densidad lineal = 2/√

= 3.291 puntos/nm

Fracción de embalaje lineal = (2) (0.1519) (3.291) = 1

El empaquetamiento en (111) está cerrado y la fracción lineal del empaquetamiento es 1.

3-70 Determine la distancia de repetición, densidad lineal y fracción de empaquetamiento para el magnesio HCP en la dirección ( ̅ 110) y en la dirección (11 ̅ 0). Los parámetros de red del magnesio HCP se encuentran en el apéndice A. Solución:

Para ( ̅ 110): Repetir la distancia =

Densidad lineal = 1/

= 0.3116 puntos/nm

Fracción de embalaje lineal = (2) (1.604) (0.3116) = 1

Igual para (11 ̅ 0):

3-71 Determine la densidad planar y la fracción de empaquetamiento del níquel FCC en los planos (100), (110) y (111). ¿Cuál de esos planos, si es que lo hay, es compacto? Solución:

Para (100): Densidad planar =

(

Fracción de embalaje =

)

(

√ )

Para (110): Densidad planar =

(

)(√ )(

)

= 0.1144 x

Fracción de embalaje =

√ (

√

)

Para (111): Determinamos el área de (111) es plano (√ Si (3) (1/2) + (3) (1/6) = 2 átomos en el área.

Densidad planar =

) (√

(

√ )

)

= 0.1867 x

Fracción de empaquetamiento =

En (111) está lleno.

(√

)

.

3-72 Determine la densidad planar y la fracción de empaquetamiento del litio BCC en los planos (100), (110) y (111). ¿Cuál de esos planos, si es que lo hay, es compacto? Solución:

Para (100):

Densidad planar =

(

Fracción de embalaje =

)

(√

)

Para (110): Densidad plana

Fracción de embalaje

Para (111):

En el (3) (1/6) = ½ puntos en el plano, y el área es 0.866

Densidad planar =

(

Fracción de embalaje =

)

(√

)

.

El empaquetamiento está cerrado en la estructura BCC.

3-73 Suponga que el rodio FCC se produce en forma de lámina de 1 mm de espesor, con el plano (111) paralelo a la superficie de la hoja. ¿Cuántas distancias interplanares (111), tiene de espesor esa lámina? Vea los datos necesarios en el apéndice A. Solución: √ (

3-74 En una celda unitaria FCC ¿Cuántas

√ )

hay entre el punto 0, 0, 0 y el 1, 1, 1?

Solución: En la distancia de los puntos 0, 0, 0 y el 1, 1, 1el punto √ √

espaciamientos

. El interplanares el espaciado es:

√

Por lo tanto el número de espaciamientos interplanar es el número de d111 Espaciamientos.

3-79 Determine el radio mínimo de un átomo que quepa exactamente en: a) El sitio intersticial tetraédrico en el níquel FCC. b) El sitio intersticial octaédrico en el litio BCC. Solución: (a) Para el sitio tetraédrico en níquel FCC (ao = 3.5167 Å):

r/rNi = 0.225 para un sitio tetraédrico. Por lo tanto: r = (1.243 Å) (0.225) = 0.2797 Å

(b) Para el sitio octaédrico en BCC litio (ao = 3.5089 Å):

r/rLi = 0.414 para un sitio octaédrico. Por lo tanto: r = (1.519 Å) (0.414) = 0.629 Å 3-86 ¿Cuál es el radio de un átomo que cabe exactamente en el sitio octaédrico en el cobre FCC sin perturbar la estructura cristalina? Solución:

rCu = 1.278 Å r/rCu = 0.414 para un sitio octaédrico. Por lo tanto: r = (1.278 Å) (0.414) = 0.529 Å 3-87 Use los radios iónicos del apéndice B para determinar el número esperado de coordinación en los siguientes compuestos: Solución: a) e) Ge

b) U f) MnO

c) BaO g) MgS

d) h) Kbr

3-88 ¿Espera usted que el NiO tenga la estructura del cloruro de cesio, del cloruro de sodio o de la blenda del zinc? De acuerdo con su respuesta, determine a) El parámetro de red. b) La densidad c) El factor de empaquetamiento. Solución:

Se espera un número de coordinación de 8 para la estructura CsCl, y se espera un número de coordinación de 4 para ZnS. Pero un número de coordinación de 6 es consistente con la estructura de NaCl.

3-89 ¿Espera usted que el U tenga la estructura del cloruro de sodio, de la blenda de zinc o de la fluorita? De acuerdo con su respuesta, determine a) El parámetro de red. b) La densidad c) El factor de empaquetamiento. Solución:

La relación de radio predice un número de coordinación de 8; sin embargo, debe haber dos veces más iones de oxígeno que iones de uranio para equilibrar la carga. La estructura de fluorita satisfará estos requisitos, con: U = FCC posición (4)

O = posición tetraédrica (8)

3-90 ¿Espera usted que el BeO tenga la estructura del cloruro de sodio, de la blenda de zinc o de la fluorita? De acuerdo con su respuesta, determine a) El parámetro de red. b) La densidad c) El factor de empaquetamiento. Solución:

rBe/rO = 0.265 CN = 4

∴ Blenda de zinc

3-91 ¿Espera usted que el CsBr tenga la estructura del cloruro de sodio, de la blenda de zinc, la fluorita o el cloruro de cesio? De acuerdo con su respuesta, determine a) El parámetro de red. b) La densidad c) El factor de empaquetamiento. Solución:

3-92 Trace un esquema del arreglo iónico del plano (110) del ZnS (que tiene la estructura de la blenda del zinc) y compare este arreglo con el plano (110) del Ca (con la estructura de la fluorita). Compare la fracción de empaquetamiento planar para los planos (110) de estos dos materiales. Solución:

3-93 El MgO, que tiene la estructura del cloruro de sodio, tiene un parámetro de red de 0.396nm. Determine la densidad planar y la fracción de empaquetamiento planar para los planos (111) y (222) del MgO. ¿Qué iones hay en cada plano? Solución: Como se describe en la respuesta al problema 3-71, el área del plano (111) es 0.866ao2.

3-100 El polipropileno forma una celda unitaria ortorrómbica cuyos parámetros de red son , y . La fórmula química de la molécula del propileno, de donde se obtiene el polímero, es . La densidad aproximada del polímero es de 0.90 . Determine la cantidad de moléculas de propileno, la cantidad de átomos de carbono y la cantidad de átomos de hidrogeno en cada celda unitaria. Solución:

x = 8 moléculas de C3H6 o 24 átomos de C y 48 átomos de H 3-101 La densidad aproximada de la cristobalita ES 1.538 y su parámetro de red es 0.8037 nm. Calcule la cantidad iones Si , la cantidad de iones de silicio y la cantidad de iones de oxígeno en cada celda unitaria. Solución:

x = 8 SiO2 u 8 Si+ 4 iones y 16 O− 2 iones 3-105 Se observa un haz de rayos X difractado de los planos (220) del hierro, con un ángulo 2 de 99.1°, cuando se usan rayos X de longitud de onda 0.15418 nm. Calcule el parámetro de red de hierro.

Senθ

Solución:

sen (

3-106 Se observa un haz de rayos X difractado de los planos (311) del aluminio, con un ángulo 2 igual a 78.3°, cuando se usan rayos X de longitud de onda 0.15418 nm. Calcule el parámetro de la red de aluminio. Solución:

Sen

3-107 La figura 3-56 muestra los resultados de un experimento de difracción de rayos X, presentando la intensidad del pico difractado en función del ángulo de difracción 2 . Si se usaron rayos X de longitud de onda de 0.15418 nm, determine: a) La estructura cristalina del metal. b) Los índices de los planos que producen cada uno de los picos. c) El parámetro de la red del metal. Solución: Los valores 2u se pueden estimar a partir de la Figura 3-56:

Los valores de sin2u se deben dividir por 0.077 (un tercio del primer valor de sin2u) para producir una posible secuencia de números) (a) El 3,4,8,11,. . . secuencia significa que el material es FCC (b) El promedio ao = 0.8781 nm

3-108 La figura 3-57 muestra los resultados de un experimento de difracción de rayos X, presentando la intensidad del pico difractado en función del ángulo de difracción 2 . Si se usaron rayos X de 0.07107 nm de longitud de onda, determine: a) La estructura cristalina del metal. b) Los índices de los planos que producen cada uno de los picos. c) El parámetro de la red del metal. Solución: Los valores 2u se pueden estimar a partir de la figura:

(a) La secuencia 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8 (que incluye el "7") significa que el material es BCC. (c) El promedio ao = 0.2307 nm