Application 1 - Corrigé [PDF]

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CHEC 2018 – 2019 STRUCTURES MIXTES – APPLICATION 1 ETUDE D’UNE SOLIVE DE PLANCHER CORRIGÉ

1. CALCUL DES COEFFICIENTS D’EQUIVALENCE Lorsqu’un élément en béton armé est soumis à un chargement de longue durée, il subit d’abord une déformation instantanée, puis une déformation différée : c’est le phénomène de fluage. Ainsi, la raideur du béton à long terme est différente (plus faible) que la raideur à court terme. Le coefficient d’équivalence est le rapport entre la raideur de l’acier et du béton. Il permet « d’assimiler » l’un de ces matériaux à l’autre pour simplifier l’analyse des sections mixtes.

1.1. Caractéristiques du béton La résistance caractéristique à la compression d’un béton de classe de résistance C 30/37, mesurée sur cylindre, est égale à f ck = 30 MPa . La résistance moyenne du béton à la compression est égale à : f cm (MPa ) = f ck + 8 = 38 MPa Le module sécant d’élasticité Ecm du béton pour un chargement à court terme est, selon l’EN1992-1-1 tableau 3.3, égal à :

Ecm

f  = 22  cm   10 

0,3

 38  = 22    10 

0,3

= 32837 MPa

1.2. Calcul du coefficient d’équivalence à court terme Le coefficient d’équivalence à court terme vaut :

n0 =

EA Ecm

Ea : Module d’élasticité longitudinal de l’acier Ea = 210 000 MPa Ainsi : n0 =

E A 210000 = = 6,395 Ecm 32837

1.3. Calcul du coefficient d’équivalence à long terme Le coefficient d’équivalence pour les calculs de la structure à long terme est noté nL . Il dépend du type de charge appliqué sur la poutre, par l’intermédiaire du coefficient ψ L , et du fluage du béton à

l’instant considéré (par l’intermédiaire de la fonction de fluage ϕ (t ,t 0 ) ).

nL = n0 (1 + ψ L ϕ (t , t0 ) ) (EN 1994-1-1 Equation (5.6)) Version : 0 Date : 14/03/2019

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Le coefficient multiplicateur du fluage ψ L traduit la dépendance du coefficient d’équivalence au type de charge appliquée. Il vaut (EN 1994-1-1 5.4.2.2 (2)): • 1,10 pour les charges permanentes (poids propre de la dalle et superstructures) • 0,55 pour le retrait du béton • 1,50 pour les déformations imposées La fonction de fluage ϕ (t ,t 0 ) est définie par l’EN1992-1-1 annexe B (informative).

  

ϕ (∞, t 0 ) = 1 +

(1 − RH ) ⋅ α1 α 0,10 h0 3

 

2

16,8 1 (Lorsque fcm>35MPa et t=∞) 0, 2 f cm 0,1 + t 0

ϕ (t ,t 0 ) dépend de : 1. RH : RH est l’humidité relative (en %)

RH = 80 % pour les structures en extérieur (pont) RH = 50 % pour les structures en intérieur (plancher bâtiment)

On retient donc RH=50% 2. h0 :

h0 =

h0 est le rayon de fluage (en mm)

2 ⋅ Ac u

Avec Ac : Section transversale du béton et u : Périmètre en contact avec l’air On a • Ac=2mx0.1m=0.2m² • U=2m+2m-0.16m=3.84m • Donc h0=104mm 3. fcm : fcm=38MPa (voir plus haut). fcm permet de calculer les coefficients α 1 , α 2

 35   α1 =   f cm 

0, 7

 35   = 0.944 , α 2 =   f cm 

0, 2

= 0.984 (lorsque f cm < 35 MPa α1 = α 2 = 1 )

4. t0 :

t 0 est l’âge moyen du béton (exprimé en jours) lorsque le cas de charge considéré est appliqué sur la structure. Pour le retrait du béton, il est supposé commencer dès la mise en œuvre du béton et se poursuit pendant toute la durée de vie de l’ouvrage. On considère alors une valeur t0 égale à 1 jour pour le calcul du coefficient d’équivalence correspondant. (EN 1994-1-1 5.4.2.2 (4)) On a donc : • Enlèvement de l’étai : t0=10j • Superstructure : t0=45j • Retrait : t0=1j

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5. t : l’âge du béton au moment considéré Pour une approche complète, il faudrait vérifier la structure à la date de mise en service et à long terme (t=∞). Par simplification, on calcul ici le retrait à t=∞. Calcul pratique :

Béton

Acier Mixte

Matériau Classe du béton Résistance caractéristique à 28j Résistance moyenne à 28j Module d'élasticité court terme Module d'élasticité Coefficient d'équivalence acier/béton à court terme

Géométrie Aire de la section droite Périmètre en contact avec l'air

Ac u

fck fcm Ecm Ea

30 30 38 32 837 210 000

n0

6.40

0.2 3.84

Mpa Mpa Mpa Mpa

m² m

Paramètres intervenants dans le calcul de la fonction du fluage RH 50% Humidité relative de l'environnement ambiant h0 104 mm Diamètre moyen ∞ Instant considéré Coefficient tenant compte de l'influence de la résistance du α1 0.944 α2 0.984 béton Calcul des coefficients d'équivalence long terme Charges permanentes Retrait Enlèvement de Superstructure l'étai 10 45 1 t0 1.1 1.1 0.55 ΨL 3.19 2.40 4.88 ϕ(∞; t0) 28.82 23.25 23.57 nL

1.4. Calcul du coefficient d’équivalence : méthode simplifiée Cependant l’EN 1994-1-1 § 5.4.2.2 (11) prescrit : Par simplification pour les structures de bâtiment pour lesquels αcr ≥10 , qui ne sont pas principalement destinées au stockage le facteur qui satisfont et ne sont pas précontrainte par des déformations imposées contrôlées, les effets du fluage dans les poutres mixtes peuvent être pris en compte en remplaçant les aires de béton Ac par des aires d’acier équivalentes Ac n à la fois pour les chargements à court terme et à long terme, où n est un coefficient d’équivalence nominal correspondant à un module d’élasticité efficace pour le béton Ec ,eff = Ecm 2 . Ainsi : n = 2 n0 Nous considérerons dans les calculs : n = 2 n0 = 2 × 6 ,395 = 12 ,79

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2. CALCUL DE LA DEFORMATION DUE AU RETRAIT Extrait de 1992-1-1 3.1.4 (6) : La déformation totale de retrait : ε cs = ε cd + ε ca

ε cd : déformation due au retrait de dessiccation : elle évolue lentement, car elle est fonction de la migration de l'eau au travers du béton durci

ε ca : déformation due au retrait endogène : elle se développe au cours du durcissement du béton : elle se produit par conséquent en majeure partie aux cours des premiers jours suivant le coulage.

2.1. Retrait de dessiccation

ε cd (t ) = β ds (t , t s ) × k h × ε cd , 0

On a donc ε cd , 0 =0.48‰

Kh=0.994

β ds (t , t s ) =

(t − t s ) (t − t s ) + 0.04 h03

Avec ts l’âge du béton à la fin de la cure.

β ds (∞, t s ) = 1 On a donc ε cd (∞) = k h × ε cd ,0 = 4.7 × 10 −4

2.2. Retrait endogène

ε ca (∞) = 2.5 × ( f ck − 10).10 −6 = 5 × 10 −5

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2.3. Retrait total La déformation totale de retrait à long terme est : ε cs (∞ ) = ε cd (∞) + ε ca (∞) = 5.2 × 10 −4

2.4. Retrait total : valeur forfaitaire L’Annexe C (informative) de l’EN 1994-1-1 donne des valeurs forfaitaires valables dans les cas courants (Confirmé par l’annexe nationale lorsque l’épaisseur de la dalle est inférieure à 20 cm). L’EN 1994-1-1 §3.1.(4) et l’Annexe Nationale Clause 3.1.(4) précisent que pour h