Analysen fur Chalkogenid-Dunnschicht-Solarzellen: Theorie und Experimente 3834809934, 9783834809933 [PDF]

Zitiervorschau

Andreas Stadler Analysen für Chalkogenid-Dünnschicht-Solarzellen

VIEWEG+TEUBNER RESEARCH

Andreas Stadler

Analysen für ChalkogenidDünnschichtSolarzellen Theorie und Experimente

VIEWEG+TEUBNER RESEARCH

Bibliograf ische Informati on der Deutschen Nat ionalbibliothek Die Deutsche Nat ionalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Natio nalbibfio grane; detail lierte bibliog rafisc he Daten sind im Internet über abrufbar.

1. AUflage 2010 Alle Rechte vorbehalten

© Vieweg+Teubner I GVN Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2010 Lektora t: Ute Wrasmann I Sabine Schöller Vieweg+Teubner ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Seience-Busin ess Media. www.viewegteubner.de

n i, wie z.B. für eine Glas{Luft·Grenznä che mit 11,;/n/. == 15 / 1 ode r ei ne ZoO{Luft-Grenz näche mit

n,-",, /nJ.l. == 400nm): 2,2/1, ....

II,,",, /

n/. (). = ROOl1m ) = 1,95/1 e rgebeo s ieb die in Abh. 3.1.5

gezeigten Reßexionskoeffizieote n in Ahhäng igke it von deo Einfallswinkel 0..

Br~bu ngs i od izes

11". 0, und dem

18

I Theorie t

~

••"8 .~

0

•

c. c.s

9b

.

c., :'; ~;~;.: :.:.: ~>

c.a c.0 a .c .c e -o

i):,

l0 ,. I ,/

, ,

., • , ~-f\l e • •~ • •0 0

Rv""do".~ oeffiz""t

- - '.("1"," .5) - - ' ,("/", " ' .5).0: 33,r 0,-"41,8' - - , .(nl", " 1.95) ' ,("/,,, "'. 95), 0: 27.2" 0,_30,8' .•.•. ,. (nl", _2.2) - - ' ,("/", "2.2). 0,_24 ,3' 0.-27,0'

".0

Einfallswinkel & ,r Abb. 3.1.5: ReflexionskoeffIzienten als Funktion des Einfallswinkels für n. ,. n, (z.B. eine Glas/LuftGrenzfläche " ') " " '" 1.5/1 oder eine ZnO/Luft-Grenzfläche mit "7 ""/"1.(;, '" 40o"",) ", 2.2/1. "....,/"1.(J. ~ WO"",)= 1,95/1]. DieBeträgeder Transmissionskoeffizienten sind hierdurchwegs großer als t, d.h. physikalischnicht sinnvoll.

An den Po larisa ti onsw in ke ln 9. = 9. u nd 9. = 9'. verschw indet d ie Kompone nte par allel zu r Einfallsebene de r re flektie rt en elektrischen Feldstä rke E,,, eS verb leiht n ur noch die ve rt ikal zu r Einfa llsebene polaris iert e Kompooeote E,.~. Das von de r Grenzlläche re llektierte Lich t ist folglich sen krecht zur Einfallsebe ne polaris iert . Allgem ein gilt für die be iden Po larisationswinke l 0. + 0'. '" 90 ° weon es sich um dieselbe Grenzll äche zwischen zwei L~otrop en Medien handelt. Der Gre nz- od e r Brews te r-Winkel 9. = 9. tritt aussc hließ lich für n, > n, bei 0, " rr/2 auf. Fü r Einfallswinkel größe r ode r gleich de m Brewster-winkel O. ~ (h, tr itt 'r o talre üexron e in, d.h. d ie gesamte e infalle nde Welle wird rc nc kncrt, Für Einfa llsw ink e l 9. E 10· ....,10" ) ä nde rn sich d ie Reflexfons- und Tra nsm issionskoe lfiziente n nur so ge ringfügig, dass die für diese n Bere ich zu veranschlagen de Abweichung La. in der Größe no rd nung etwaige r Meßfehler zu liege n ko mmt, vgl. auc h Anha ng C.

AmplIt ud en ko effizie nt en - Beträge und Pha sen w inke l · To talrefl e xfon Ilisla ng be1fac hteten wir d ie Be1räge der elektromagnet ischen Wellen nach GI. (3.1.1)

E,(i'./ )"" E,oc ii . '; 1.'" ••

1

und GI.(3.1.2)

E" (;, 1)'" E,, "I.' ·i. ,; , ~.I." ".' ,

mE

Ir,tl, d.h . E", E, u nd E, zur

Ableitu ng der Pre snelschen Gle ichungen . Um nun Aussagen übe r die Pha.~endiJferenzen zwischen renetcuener und einfoltenäer Welle ~,'" 'I'rJI oder transmittierter und einfallender Welie 'I'~ I I mach e n zu kö nne n ze rlegt man die komprcxwcrugcn Amplitudenkoeffizien ten exp lizit in ihre Beträ ge Iri l, Itil .l rlll.l tlil und ihr e Pha sen a nteIl e lp,.u lp l,J.o \P,.II, lp ~ l l'

I{! ,,,,

Analysen für Chalkogenid-Dünnschic ht-Solarzell en 119 Zu bea chten sind zwei Randwertbedingungen: Erstens, dass die Beträge der Amplituden koeffizienten den Wert 1, d.h. E, = E, oder E, = E" nicht überschreiten dürfen. Zweitens, dass die Phasenver schiebungen den Wert ±rr nicht über- oder unterschreiten kö nnen. In komplexer Schr eibweise erhält man mit GI. (3.1.1), GI. (3.1.2) und GI. (3.1.5) sowie GI. (3.1.11) und GI. (3.1.16) folgende Fresnel-Gleichung en :

(3.1.22)

~I =hlei",., = I ~,o l ei","=( ~' J E lE eO

(3.1.23)

11

e

11

(nelfie'N1-(ne/n J sin ' Oe - (n,/ fi, )cOSOe (ne/fie'Nl - k /n , )' sin ' Oe + (n)fi,)COSOe '

Es seien wied er Schichten vorau sgeset zt, deren Magnet ism us keinen Einfluss au f die elekt ro magnetische n Wellen hab en, d.h. fie = fi, = fio. Damit können die Induktionskon stanten wieder gekürzt werden. Sollte dies nicht der Fall sein, kann jedoch ganz ana log vorgegangen werden. Betracht en wir uns vor erst den Übergang a us eine m optisch dünneren in ein optisch dichteres Medium, n, < n,: Für r~, vgl. auch Abb. 3.1.3, ist GI. (3.1.22) durc hwegs ree ll und das Vorzeichen stets negativ - d.h. E"o ist gegenüber Ee,o um Ob ZU eine r Phasenverschiebung 0, wird damit de r Ausd ruck unter der w urac r kleiner nu ll u nd die Wurle l imaginä r. Der Phase nwinkel kann dann mit GI. (3.1.22) hest immt we rden zu

(3.1.25)

f/J

.L

'.

== arctan

,J~';~"_'"O'""cn,c'I_n;,.'

0, > 0• .

cosO,

Gleiches gilt für n

E

{E,S},

komplexen Zahl gilt sowohl (a- jb)1/ = r

1/ 0

in Strahlricht ung und für d ie Wur zel eine r

cos(rp/n) - i r1/ n sin(rp/n) mit r =-Ja 2 +b 2 und

rp = arctan(b/ a) als auch (a - jb )1/ = exp(In(a - jb)/n) mit n = 2. 0

Der Realteil von kE bzw . kB besc hreibt die Schwingung, der Imaginä rteil die Dämpfung der Welle im metallische n ode r ha lbleitenden Material.

I 29

30

I Theorie Ist die Leitfäh igkeit

o-(r,t) vom Ort r

unabhängig, so vereinfacht sich kB in GI. (3.1.46) um den

zweiten Term im Realteil a. Für diesen Fall ist wegen

o-(r,t)=-(: ) p r.t

(3.1.47)

auch die Telegraphengleichung GI. (3.1.44) für die elektrische Feldstärk e homogen und damit GI. (3.1.45) mit GI. (3.1.46) die komp lette Lösu ng der Telegraphengleichungen. Sind jedoch und damit

p(r,t)

vom Ort

r

o-(r,t)

abhängig, dann ist die Lösungsfunktion für die elekt rische

Feldstärke aus GI. (3.1.45) noch um den Summanden der partikulären Lösung zur inhomogenen Differentialg leichung zu ergänzen. Ist die Leitfähigkeit

O"(r,t) von

der Zeit t unab hängig, so vereinfacht sich kE in GI. (3.1.46) um

den zwe ite n Term im Realteil a. Wär en auch die Dielektrizität sko nst ante e' und die Permeabilität u' vom Ort und der Zeit abhängig, dan n wären diese Abhängigkeiten bei der Ableitung der Telegrapheng leichungen aus den Maxwell-Gleichung en zu berücksichtigen. Die Telegraph engleichung en wären da nn um einige Summanden reic hhaltiger und die Lösung der Telegrap heng leichungen dem ent sprechend umfangreicher.

o(r, t ) = 0; p(j', r) = p, p (T, t ) = P und c(r, r) = C, d.h. lediglich die E(r,t) und die magnetische Flussdic hte S(r,t) von Raum und Zeit

Für den Spezialfall , da ss elektrische Feldstär ke

abhängen, alle ande ren Größen Telegraphengleichungen zu 2

[

unab hängig da von

- 2 - 2 I 0-2 V'

J---0"J.l'J.lOI 0J E- (-r,t ) = 0, e' [; 0 C ot

- 2 - 2 1 0'-2 V'

J---0"J.l'J.lO1 0 J-(B r,t ) = 0. e' [; 0 C ot

ot

C

(3.1.48) [

jedoch

ot

C

sind, ergebe n sich

die

Hiermit sind diese beiden Differentialgleichungen für das elektrische- und das magnetische Feld nicht mehr nur entkoppelt, son dern darüber hinaus auch noch identisch. Der Lösungsansatz

(3.1.49)

mit

C

=

E(r,t)=Eoe;(kF+Ml, S(r,t) = Sß ;(k," Ml

1/.fi/t und 0)1 = 21r1Je C

- + k --

führt dann zu

(2 1rJ2 - . r; 21r 1 + ;'r;:10"'

Analysen für Chalkogenid-Dünnschicht-Solarzellen

2tr ,1.

k s = ±-

(3.1.50)

kD

=

-) cos -arclan (1+-( e 2tr 2JI/4 (2 fl

1

,1.0"

(H

± 2tr ( I + E(,1.O")2JI/4sin ('!'arclan( e 2tr

,1.

2

2tr JJ ~±-, 0--->0 ,1.

fl ,1.0" -e 2tr

fE ,1. O"JJ~o.

V~ 2tr

'H

Mit den tri gonometrisch en Beziehungen cosa/2 = ±~(I + co sa );2, sin a/2 = ±~(I - co s a );2 und cosa

1/

= coslarctan x ] = ~

( sina

= sinlarctan .r] = xl.J];";;')

folgt schließlich für

die Wellenzahlen des Schwingungs- und Dämpfungsanteils

k

=

s

2tr_l_ ,1. .fi

fl (-,1.O" 1+ -) 2 + l s 2tr

2tr_l_ ,1. .fi

fl (-,1.0")' 1+ e 2tr

2tr ,1. '

~-

0--->0

(3.1.51)

k

= D

- 1 ~ O.

0--->0

Damit tritt eine Dämpfung der elekt ro mag net ische n Welle in diesem Zusamm enhang nur dann auf wenn freib ewegliche Ladun gen in der Mat erie enthalten sind, d.h. vorw iegend bei Met allen und Halbl eit ern, da hier die Leitfähigkeit (J von null vers chieden ist. Von phy sikalischem Int eresse sind Lösungen der Form

(3.1.52)

für positi ves

kD • r . Dies,

da abhä ngig vo n der Dämpfungskonst anten kD mit zun ehm end er

Distanz r die Amplitude der elektrischen Feldstä rke

S(r,t) im

E(r,t) bzw. der magnetischen

Flussdichte

Medium abnimmt. Mit anderen Worten: Durchsetzt ein e elektromagnetische Welle

ein Metall oder eine n Halbl eiter, so wird ein Teil der elektr omag netische n Welle durch Wechselwirkung mit Ladungsträgern absor bier t - derart, dass

E(r,t)

bzw.

S(r,t)

vom

Mat eri al- kDund der Schichtd icke r abhä ngig in ihr em Betrag redu ziert wer den. Beträgt also die Strahlungsleistung Pt,j bei Eintri tt in die Schicht, d.h. bei GI. (3.1.31) noch

(3.1.53)

dann ist sie bei

r *' Ö ber eit s auf

r = Ö, entsprechend

I 31

32

I Theorie

(3.1.54)

e

'2 _ E-. (,i ,Oe

Pt.] (r- ) = 1

l

2

- 2k D ·F A

cos ot'

. E {, II}

J

...L,

,

fl l

abgefallen. Für den Transmissio nsgrad T•.,(r) einer ele ktromagnetischen We lle du r ch da s Volumen (Bu lk) einer endlich di cken Schic ht erhält man (3.1.55)

- - _P1,_ 1 (r) _ _ - 2 k-o 't- _ - a- #'rT' .1,/ () r - P .(0) - e - e , t •./

Treten Lichtquanten (Photonen) in ein e Schicht ein, dann werden diese masselosen Aust auscht eilchen der elektromagnet ischen Wechselw irkung die Schicht entwede r unb ehelligt passier en (tr ansm ittier en T#) oder die Valen z- bzw. Leitungselektronen ene rget isch an- bzw. abregen. Dab ei ver lier en die Photonen La. ihre gesamte Energ ie und werden somit absorbiert (A#). Daraus ergibt sich die physika lisch komp lette Bilanzgleichung 1 = A# + T#; eine Reflexion

tritt effektiv nicht auf. Mit dieser und GI. (3.1.55) erhält man für den Absorptionsgrad A#,; de r Schicht (3.1.56) wobei a # als Absorptions koeffizient bezeichnet wird, vgl. GI. (3.1.50) . Ergän zend zu den Reflexions- R/,; und Transmission sgr ad en TI; für die Gren zflächen zwische n zwei Schichten, vgl. GI. (3.1.32) und GI. (3.1.33), besitzen wir mit dem Transmissionsgrad bzw. Absorptionsgrad T#./ , A#,/ ,

j E {l-,II} des Volumens einer Schicht, GI. (3.1.55) bzw. GI. (3.1.56),

alle nötigen Vorausset zung en um die ReflexionsSchichtsystemen mathematisch zu beschreiben.

und

Tr ansm issionssp ektren

von

Bemerkung: GI. (3.1.56) läßt sich alternativ auch über das Lamb ert sch e Gesetz herleiten, d.h. die Absorption von Photonen (Absorptionskoeffizient a Sch) in einer Schicht der Dicke dSch ist von der Energie E der Photo nen abhä ngig und folgt nach Lamb ert der Beziehung (3.1.57)

dE =

a Sch

Edx .

Durch Integration nach Separation der Variab len von der Energie der einfall end en Welle E, zur Energie der transmittierten Welle Et erhält man analog zu GI. (3.1.55) und GI. (3.1.56)

(3.1.58)

Analysen für Chalkog enid-Dünnschicht-Solarzellen

a-(r,t) = p(r,t) = p und die Induktionskon st ante fl(r,t) = flo

Bemerkung: Wir betrachten den Spez ialfall. dass die elekt rische Leitfähigk eit spezifische elekt rische Wid er st and

(J",

der

zeit unabhä ngig sind. Neb en der Zeitabhängigkeit der Dielektrizitätskonstanten

s(r,t)= s(t) se ie n noch die elekt rische Feld st ärk e i(r,t) und die magn eti sch e Flussdichte S(-r,t) von

Raum und Zeit abhä ngig. Unter d iesen Voraussetzungen e rgeben sich die

Telegr aph en gleichungen zu

[

I ,0'-, - 2 V' --

(3.1.59) [

Mit

(J"

= osjot

- 2 1 0' V' --

und

C

V'- -

[

ot'

c'

[-,

(3.1.60)

or

c-

- zV'

fio fio

=1 /;;;;;:

I

0 ] E- (-r ,t ) = 0,

--(J"-

s

C

I

ot

0 ] B- (-r ,t ) = O.

--(J"-

s

C

ot

gilt

0' I 0]-(_) fl s -0' - -I-os -0]-(_) r, t O. ot' e ot ot flos - - -os -ot' e ot in

E r .t = 0,

B

o

=

Ver wend et w urde, dass die Bewegun g eine r Elem entarl adung inn erhalb eine r Einheitszelle eine rseits

eine r

wide rsta nds be ha ftete n

Leitung

R = U/ I = P d / A , a nde re rse its eine r

Umladung der Kap azit ät der Einheitszelle C = Q/U = s A/d e nts pr icht. Berücksichtigt man noch, dass 1= Q/t und

=

(J"

I/p

sind, dann gilt

(J"

=

elt ,

Der Lösun gsan sat z

(3.1.61)

i (-r t) = i e Ako" ",, ) S(r ,t) = sßAk"+,,,,) ,

0

,

füh rt dann zu (3.1.62)

, = Jl osOJ' + j 0OJ -I -os, s ot

k:

Dies ist eine Bernoullische Diffe rentialgleichung (DGL) (ben annt nach dem niederl ändi sch/deutschen Math em atik er Jakob Bernoulli) für die Dielektri zität skonstante E als Funktion der Zeit t, welch e sich in die Form

I 33

34

I Theorie (3.1.63)

br ingen lässt. Dies nun ist w iede rum eine lineare DGL 1. Ordnung, die zu z

= }' oo/

/k' gelöst

werden kann . Die Lösung der ursprünglichen Bernoullischen DGL ergibt sich dann zu

s

= 1/z = k 2 / Jloo/

k = 2tr/ A und

od er

0)/ k = 1 / ji;;;.

0) = 2trV . Damit

Dies ents pricht GI. (3.1.6)

C

= AV = 1 / ji;;;,

mit

wurde gezeigt, dass die verwendeten Telegraphengleichungen

auch für ausschließlich zeitabhä ngige Dielektri zitätsko nst ant en gültig bleiben. Für alle weiter en Orts- und Zeitabhängigkeiten der physikalischen Größen : elekt rische Leitfähigk eit und

o-(r ,/), spez ifische r elekt rische r Wider stand p(r ,/), Induktionskon stante Jl(r,/) &(r ,t ) = &(r ) be halten die Telegr aphengleichungen nicht

Dielektrizitätskonstante

zwinge nd diese einfache Form, vgl. die Disku ssion zu GI. (3.1.46) bis GI. (3.1.48) .

3.2 UVjVisjNIR-Spektroskopie a n Ein - und Zwei-Schieht-Systemen 3.2.1 Phy sikalische Gr ößen für Eln-Schtcht-Systeme Da s Syste m der Reßexion s- RSch und Trans missionsgrade TSch Um einen weitestgehend exakten Ansatz für die Amplitudenfunktionen eines Ein-Sch ichtSystems zu machen verwendet man die Reflexions- R, und Transmissionsgrade Tf an den Grenzflächen zwisc hen zwei Schichten nach GI. (3.1.32) und GI. (3.1.33) sowie den Transmissionsgrad T. oder den Absorptionsgrad A. im Volumen (Bulk) einer Schicht nach GI. (3.1.55) oder GI. (3.1.56). Nun teilt man dieses Ein-Schicht-Syst em in dr ei Bereich e - in den Bereich in den der einf allende e Stra hl von der Schicht reflektiert r wird, den Bereich der Schicht Sch und den Bereich in den der Strah l tran smittiert t wird. Dann wird der einfallende Stra hl zue rst auf die Gren zfläche zwische n Medium und Schicht fallen, wo er reflektiert Rf,eSeh und transmittiert Tf,eSeh wird. der durch die Grenzfläche transmittierte Strah l passiert dann das Volumen der Schicht wo er teilweise wellenlängenabhängig Absorbiert A" seh wird aber teilweise auch ungehindert transmittieren T" Seh kann . Der ber eits durch die erste Grenzfläche Tf,eSeh und das Volum en transmittierte T" Seh Anteil des Lichtst ra hls kann nun an der zweiten Grenzfläche wiederum refle ktiert Rf,Seht oder tr ansm ittiert T;'Scht we rde n, usw. Zieht man nun eine er st e Bilanz, dann wird vom einfallende n Stra hl der Anteil R;'eSch von der Schicht reflekti ert, verbl eibt der Anteil Tf,eschA"sch des einfallende n Strah ls in der Schicht und transmittiert der Anteil Tf,eSchTe.Sch Tf,Seht des einfallenden Strahls durch die Schicht. Die Systematik dieses und des weiteren Strahl verlaufs ist in Abb. 3.2.1 und Tab. 3.2.1 veranschaulicht. Summiert man über alle Anteile auf der Reflexionsseite der Schicht, so erhält man die gesamte meßbare Reflexion Rsa . Summiert man über alle Anteile auf der

Ana lysen fürC halkogen id-Dünnsch iclit-Solarze llen 1 3 5 Transm issionsseite de r Schicht, so erhält ma n d ie gesamte meßbare Transmiss ion TSth. Die Absorption ergibt sir h da on übe r die Bila nzgleicbung. GI. {3.2.2J.

I

Ein f:lll ~nd ~

W fll f

Sc hid i'i '

.\1f'diußI

'-v-'

'-v-'

-

Rfn f xion .

Ab sorption &

Tran smi ssion

'-v-' R ••

A s ,.

T,.

Abb . 3.2.1: Syst..mskizze zur Bestimmung de r Ren..xionsgr ad.. R"", Absorptionsgrad.. A"" und Transmissions grad .. Ts E F,L - EF,V ist a &h positiv; für den Fall, dass h o» = EF,L - EF,V ist a Sch = 0, d.h. der angeregte Halbleiter w ird tran sparent, da die Absorption (positive a sc/,) durch die stimulier te Emission (negativ e a Sch) komp ensiert w ird; für den Fall, dass tuo < E F,L - EF,V ist a Sch negativ. In allen Fällen ist zudem

tuo » e, vor auszus et zen. Folglich wird der Absorpti onskoeffizient a Sch für E g < tuo < EF,L -EF,V negativ. In diesem Fall spricht man nicht mehr von Absorption sonde rn von Verstärkung und bezeichnet ents prec hend GI. (3.2.44)

I 53

54

I Theorie

V,(EJ - f, ·(E.)) als Vers lä rk u ngs koe ffizie nte n. vgl. Abb. 3.2.8. [3.6).

Ve rstä rk ung

I

'.

•• T;;-,~"-",~J Ahsorption

Abb. 3.2.8: Schematische Darstellung des Verstärkungskoeffizienten und der Fermi·Dirac·Verteilungen als Funktion der Photonen'Energie.

Ände ru ng

de s

Bre ch ungs indexe s:

Nach

GI.

Absorpt ionskoe ffizient a".• u nd Brechu ngsindex

(3.2.8)

11......

his

GI.

(3.2.10)

hä ngen

voneina nde r ab. Mit zune hme nde r

Anregu ng des Halble ite rs ste igt die st imu lierte Emiss ion von Photonen. so dass s ich mit zunehmende r Anregu ng auc h der Brechu ngsindex ände rt . Man s pricht hier aufgru nd der Ursache dieses Phänome ns - d .h. aus dem Leitu ngs- in das Valenzba nd fallende Elektro ne n. die Photonen freisetzen - von Ladungsträgerinduzierter 8rechungsif/de xäf/deruf/g. Für einen Ind irekte n Ba n d üb erga ng ist in G1. (3.2.24) bis GI. (3.2.26) ein zus ätzliche r Impulsan te il zu be rücksic htigen

LP,

cF

O. In ana loger Vergeh ensweis e er hält ma n da nn

entsp rec hend GI.(3.2.45) folgende Abhäng igkeit für den Absorptio nskoe ffiziente n (3.2.47) die mitunter auch te mperatu rab hä ngig sein ka nn [3.7).

Ana lysen fürC halkogen id-Dünnsch iclit-Solarze llen Ta ue-Rege l: Im Fall der Absor ptio n erg ibt sich für direkte Halbleiter nach GI. (3.2.45) der 2usa mme nhang zw ischen Absorptio nskoeffiziente n und Bandhicke zu u ~~',W für ind irekte Halbleiter nach GI.(3.2.47) zu U... 'HI) - (hw - E. Halbleiter

(a,,/IW)'

gegen

,/(u

fi f U

u nd

Trägt man nun im Fall direkte r

auf, so er hält man eine Gerade, welche die Ener gie-Achse

nahezu bei der Energieba nd lücke

~a" . '1(1) gegen

r.

- ~flw - Ex

E~

schne idet [Ta ue-Plot]: im Fall indire kte r Halbleiter ist

aufz utragen, vgl.auc h [3.8].

Urbach-Regel : Durch steigende Dotieru ng des Ha lble iters, Halble ite rinte rne bzw, exte rne [Fra nz-Ke ld ysh-Effe k tJ elektr ische Felder, Deformatio ne n des Halbleitergitters d urch Defektste llen und du rch Inelastlsche Streuprozesse im Halbleiter werd en e ntwe der Energ ieniveaus in dessen Energieban d lücke hinein geb ildet oder die Energiebänd e r gegene inander so verschoben, dass d ie effektive Bandhic ke gese nkt wird. Diese Phänomene werden meist mit einer annä hern d exponentiellen Abhängigkeit des Absor ptions koeffizienten von der Energie besc hrieben [3.9, 3.10] (3.2.48) Für e ine graphische Auswe rtu ng ist hier Ina ", gegen

tua a ufzutragen [Ur ba ch-Plo t].

Bei spi e l: Zur Veranschau lichung der Taue- Regel zeigt Abb. 3.2.9 das Prinzip zur Bestimmu ng der Bandlüc kenenergie E. übe r den soge nannten Taue-Plo t. Gezeigt ist im Detail d ie Auftragung von (U""flW)' gegenübe r tuo == E fü r zwei mit Aluminium acnerie Zinkoxid Schichten, die mit untersch ied lichen Freq uenzen fe ines gepulsten Gleichstroms gesputtert wu rden. Der Schnittpunkt der Tange nte mit der Ahszisse e nts pricht der für die.ses Materia l typischen Energie der Bandlücke.

ZnO;AJ FntqUllnz

•

~i

".e

6'10'

- - I - 5OkHl. W, _ 3.z$eY, - - - I _ 150kHz, W. _ 3.1geY.

5'10'

l-.- 1Sm;n•

4 ergibt sich aus dem Gangunter schied t>s zwische n der Welle im Material und der Welle im Medium t>s = ZA. = 2nzdSch co sez. Für senkrechten Lichteinfall ist der Winkel des Strahls im Medium zur Flächenno rm alen

ez = 0,

/A.

damit ist z= 2n2 d sch

und

rp = z 2lf = 4Jmzdsd./A. , vgl. GI. (3.3.11) . Ist t>s nun ein gan zzah liges Vielfaches der Wellen länge

A. (ja sogar z E IN , wobei IN die Menge der natürlichen Zahlen ist, da nz und dSch positiv sind) dann interferieren die beiden Wellen konstruktiv, cos e = 1, und die Transmission wird nach GI. (3.3.8) maxima l. Ist z + 1/2 E IN, dann interferieren die beiden Wellen destruktiv und die Transmi ssio n wird minimal. Die Transmission, wie sie in GI. (3.3.8) formuli ert ist, kann nähe rungsweise zur Bestimmung der Parame ter ei nes Zwei-Sch ichte n-Systems, d.h. eine r unbekannten Schicht au f ein em bekannten Subst rat, verw end et werd en. Dazu benötigt man die Fresnelschen Reflexions- und Transmi ssion skoeffizient en für senkrechten Lichteinfall (3.3.9)

2n - ' n, +n j

l ij = -

,

i,j E {1,2,3},

und definiert das bekannte Medium als Schicht 1, die unbekannte Schicht als Schicht 2 und das bekannte Substrat als Schicht 3 - dies entspricht einem Lichteinfall zuerst auf die unbekannte Schicht und dann auf das Substrat. Da die Brechungsindizes für das Medium und das Substrat bek annt sind , lassen sich die Fresnelschen Reflexions- und Transmissionskoeffizienten, nach GI. (3.3.9), für beid e Gren zflächen in Abhäng igkeit des unb ekan nten Brechungsind exes der Schicht nSchausdrücke n. Setzt man diese in GI. (3.3.8) ein, dann erhält man den durch GI. (3.3.10) und GI. (3.3.11) gegeben en Transmission skoeffizient en als Funkt ion des Brechung sind exes nSch, der Absorption aSch und der Dicke dSch der unbe kannten Schicht.

Analysen für Chalkogenid-Dünnschicht-Solarzellen

3.3.3 Brechungsindex nSch und Absorptionskoeffizient aSch nach Swanepoel Dieses Modell benutzt zur Bestimmung der physikalischen Par am et er ledi glich das Tran smission sspektrum. Zur math em atischen Ableitung der physikalischen Größen aus dem Spekt rum wurden wied erh olt Näh erungen gemacht; die auft rete nde n Reflexionen wurden we itge hend rechentechni sch ber ücksichtigt. Das Transmission ssp ektrum wird, wie soeben gezeigt, mathematis ch mit (3.3.10)

T (n Sch ,aSch , d

sch )

=

Ax 2 • B-Cx coscp+Dx

beschri eben [3.13]. Hierin sind A = 1 6n~hns '

B = (nSch + 1)3(nSCh + n~ \

2(n~Ch - I Xn~Ch - n~ \ D =(n Sch - IY (nsch - n~ \

C= (3.3.11)

cp =

4JT nSchdSch A '

Die Kosinu sfunktion im Nenner von GI. (3.3.10) beschreibt die durch Interfer en z der einfallende n und reflektierten Welle verursacht en ste henden Wellen im Tran smission sspektrum. Wie gezeigt, kann sie Werte zwischen -1 und 1 annehmen. Setzt man also eine rseits cos tp = 1 wird der Nenn er minim al und man erhält die Einhüllend e der Maxima der Transmissionsfunktion zu (3.3.12)

TM (n Sch , a

Sch '

dSeil) -- B CAx D 2 - X+ X

'

Setzt man anderer seits cos qJ = - I wird der Nenne r maximal und man erhält die Einhüllende der Minima zu (3.3.13)

Tm (n Sch , a

Sch '

d Seil ) -- B CAx D 2' + X+ X

Bet rachten wir zue rst die Differ en z der Kehrwerte aus GI. (3.3.12) und GI. (3.3.13), dann führt dies zu (3.3.14)

I 71

72

I Theorie setzt man noch C und A aus GI. (3.3.11) ein, dann kann man nach de m Brechungsindex nSch auflösen und erhält

nSCh (A) = ±~N ±~N2 - n;,

(3.3.15)

Hierin

wird

nur

das

positive

J n;

1 +- + 1. N = 2ns ( - 1 - t; TM 2

Vorzeichen

verw end et.

Da

die

Einhü llenden

Transmissionsspektrums von de r Wellen länge A abhängen, d.h. T,'f = TM(,1 ) und lässt sich hiermit de r wellenlängenabhäng ige Brechung sindex Wellenlängena bhängigkeit

des

Brechungsindexes

n s (A)

des

des

T,n = T,JA) ,

nsc,,(A) berechnen. Die vergleichsweise

dicken,

t ran sparenten Subst rat s kan n meist vernac hlässigt werd en. Da die Substrateinflüsse auch zur Schicht dickenbe st immung weit estgehend vernac hlässigba r sind, kann die Schichtdicke dSch w ieder übe r GI. (3.2.23) (3.3.16)

berechnet werden . Das heiß t man verwende t aus de m Transmissionsspektrum zwei belieb ige Minima mit de n Ordnu ngszahl en m i und m, bei den Wellenlängen AI und ,12 sow ie den wellenlängenab hängigen Brechungsindizes nsc,,(A I) und

nSch(,12)' vgl. GI. (3.3.15). Bei

senkrechtem Lichtein fall Be = 0 ist cos Be = 1. Bet rac ht en wir uns nun die Summe der Keh rwer te aus GI. (3.3.12) und GI. (3.3.13) , so erhalte n wir

(3.3.17)

Löst man dies nach x auf, so folgt

(3.3.18)

wobe i nur das negative Vorzeichen vor der Wurz el verwen det w ird. Da die Brechu ngsindizes wellen längenab hä ngig sind, ist dies auch die Größe x = x(A).

Ana lysen fürC halkogen id·D ünnsch iclit·Solarze llen 1 7 3 Nun ka nn man GI. (3.3.18) und GI. (3.3.16) wellen längenah hä ngigen Abso r ptio nskoeffizie nt en

in GI. (3.3.11)

e inset ze n um den

(3.3.19 )

zu bestimmen.

Beisp ie le : Die nach dem Kerad e c/ Swa nepoe l-Mode ll best immte n Parameter Brechungsindex nse und Schichtdicke d",. für tra nsparen te Zinkoxid·Schichten (ZnO:AI) so llen nun noch mit den exakte n We rte n des Zwe i-Schichten -Mode lls verg lichen we rden.

,

a}

100 . • • ---- .--- ----- - - . Subtrotral T, :

90

,'-- - .-- - -~.;-

M . •

,

10 :

M

.... _....

-'-.- , '.

---T"",• ..

- - - R"lt .

S x~IE!l,x~f E IN, dann so ll hier sin nvollerweis e a ngenommen werd en, dass das Photon auch mehrere, nämlich x~I(E) Elektro ne n freisetzen kan n. Es gilt

11 2

I Theorie xel(E) '" int(E/~R)'

(3.7.19 )

x.h(E) = (E/Eg ) - int(E/ ~g) . x (E ) = xel(E)

+ x'h(E).

•int" beze ich net hierin die Integer-Funktion. die alle Nachkommastellen gleich null setzt. Di e Lels tu ngs dlc h te P~b .. die vom Absorbe r a ufgenom me n w ird. lässt s ich somit in zwei Antei le aufteile n: Den Anteil mit de m Index el, der a usschließlich zur Frcisetz ung von Elekt ronen benöt igt wird und den mit dem Index th. de r aussc hließ lich in t herm ische Energie umgewa ndelt wird,

(3.7.20)

PAbs,e1 =

f~ A(,l ) / (..1.)y efO.) d..1. , yefOi) = Xel(~')/X(!:'),

PAbs.•h =

f~A (..1.)I (..1.)Y' h (A ) d..1. , PAb' = PAbs,e1

Ylh(!:') = x'h(E)/x(!:').

+ PAb, ,lh'

Be Isp ie le : Ents prec hend GI. (3.7.18) ergibt s ich für die Llchtlelstungsdlch te. die a uf die Erdobe rfläche p,,,,. gela ngt oder vom Absorber P~h. a us Abb. 3.7.2 aufge nommen wird Abb. 3.7.7 a). we nn über die Energie E = heIA integrie rt wird. Mit i'uneh mend e r Integration üher die gesamte Energie des Sonnens pektrums geht die Lichtlcis tun gsdi chte auf de r Erd ober näche p, ,,,. gegen die bekannte Solarkonsta nte PSolor '" 10 0 0Wm - 2• Trifft die Lichtleistungsd ichte PE..... auf eine Solaraelle. dann te ilt sie s ich in einen re flektie rte n PRoI, einen abs orbierten PA"" und ggr. einen tr a ns mittierte n Ante il p,-,,", auf, PErd e = PRe, + PAbs + PTra",,' Folgeri chtig bleibt der Betr ag der absorbierte n Lichtlcistungsdichte PA'" stets unter dem auf die Erdeobe rfläche auffallenden Betrag PE""'. Dies ist abhängig von der Ba nd lückenenergie E. und der Absorptionsra te Ades Absorbe rmate rials. Das e nt.~prccbe nde Absorptio nsspektru m A d es Absorbe rs ist in Abb. 3.7.7 b) zu sehen.

.,

) "'00

,

••

Sn,S, Solllrzelle

.00

e eoo

- - Ef(l9 P.... - - - Absorber p_

•m

P Z 5 ~ba •. d,_ z6cm .

.,