Analyse 1 Livre SMA-SMI [PDF]

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Cours d’analyse 1 SMA-SMI (S1).

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Abdelkhalek El amrani Département de mathématiques Faculté des Sciences Dhar Mahraz Atlas Fès . e-mail: [email protected]

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2 décembre 2021

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Table des matières 3 3 3 4 9 9 11 12 12 18 20 22

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23 23 23 24 27 29 31 32 34 35 36 38 42 42 42 44 44 44 46

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1 Nombres réels 1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Les nombres réels dans le programme scolaire Marocain . . . . . . . 1.1.2 Aperçu historique sur les nombres réels . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Ensembles ordonnés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Définitions et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Le corps Q des nombres rationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Ensemble R des nombres réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Définition de R et bornes supérieure et inférieure . . . . . . . . . . 1.3.2 Partie entière et approximation d’un nombre réel par des décimaux 1.3.3 Propriétés topologiques de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Densité de Q et de R \ Q dans R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Suites de nombres réels 2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Les suites numériques dans le programme scolaire Marocain . . . . 2.1.2 Aperçu historique sur les suites numériques . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Opérations sur les limites des suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Suites équivalentes et suites négligeables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Critères de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |⩽ q < 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Suites telles que | uun+1 n 2.7 Suites adjacentes et propriété des intervalles emboités . . . . . . . . . . . . 2.8 Suites de Cauchy et complétude de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9 Valeur d’adhérence et théorème de Bolzano-Weierstrass . . . . . . . . . . . 2.10 Suites arithmétiques, suites géométriques et suites arithmético-géométriques 2.10.1 Suites arithmétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.10.2 Suites géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.10.3 Suites arithmético-géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.11 Suites récurrentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.11.1 Définition et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.11.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Fonctions numériques d’une variable réelle 3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Les fonctions numériques dans le programme scolaire Marocain . 3.1.2 Aperçu historique sur les fonctions numériques . . . . . . . . . . 3.2 Notion de fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

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49 49 49 52 59

1 Limites des fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Limites usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Continuité des fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1 Continuité en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.2 Continuité sur un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Théorème de Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Théorème des valeurs intermédiaires et image d’un intervalle par une fonction continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.1 Théorème des valeurs intermédiaires . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.2 Applications :Image d’un intervalle par une fonction continue et résolution des équations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.3 Forme de l’image d’un intervalle par une fonction continue . . . . 3.6.4 Théorème de la bijection monotone . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7 Fonctions circulaires réciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.1 Théorèmes et définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.2 Tableaux des variations et courbes des fonctions arcsin, arcos et arctan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8 Fonctions hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8.1 Définitions et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8.2 Tableaux des variations et courbes des fonctions hyperboliques . 3.9 Fonctions réciproques des fonctions hyperboliques . . . . . . . . . . . . . 3.9.1 Théorèmes et définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.10 Fonctions uniformément continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.10.1 Définition et propriété . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.10.2 Théorème de Heine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.10.3 Fonctions Lipschitziennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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59 66 67 67 69 70

. 70 . 70

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3.3

71 73 74 77 77

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78 80 80 80 82 82 84 84 84 85

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87 87 87 88 91 91 94 94

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97 101 101 102 103 103 103 105 107 109 110

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4 Fonctions dérivables 4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 La notion de dérivée dans le programme scolaire Marocain . . 4.1.2 Aperçu historique sur la notion de dérivée . . . . . . . . . . . 4.2 Notions de dérivabilité d’une fonction numérique . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Dérivabilité en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2 Dérivabilité sur un ensemble : . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.3 Opérations sur la dérivabilité : . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.4 Dérivées des fonctions réciproques des fonctions circulaires et perboliques : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Notion de convexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Fonctions convexes et concaves . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2 Convexité et épigraphe d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . 4.3.3 Inégalité de Jensen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Théorème de Rolle et accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1 Extremum d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.2 Théorème de Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.3 Théorème des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.4 Théorème des accroissements finis généralisé . . . . . . . . . . 4.4.5 Règle de l’Hopital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Chapitre 1

1.1.1

Introduction

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1.1

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Nombres réels

Les nombres réels dans le programme scolaire Marocain

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Avant cet aperçu, je tiens à remarquer que la manipulation des nombres entiers naturels, commence dès la naissance, et avant l’age scolaire, sous forme matériels, ainsi que l’opération somme(rassemblement des objets), la différence et la division sont utilisées, on manipule aussi les décimaux et les rationnels positifs sous forme d’objets. La notion d’ordre et l’opération multiplication sont vécues dans cet age sans pouvoir les remarquer. Dans le programme scolaire Marocain une grande importance est donné aux différents types de nombres. Ainsi, — Au Primaire: Dès la première année du primaire on commence à manipuler les entiers naturels et leurs écritures comme des êtres absolus, à partir des objets, et les opérations + et × ainsi que l’ordre , on introduit par la suite les nombres décimaux et les rationnels positifs durant les trois dernières années de ce cycle ; l’introduction de 3, 14 comme valeur décimale (approchée) du nombre irrationnel π se fait en géométrie en calculant le périmètre et la surface d’un cercle, on introduit comme valeur (approchée) rationnel de ce nombre. aussi le nombre rationnel 22 7 — Au Collège: Introduction des nombres entiers et décimaux relatifs ainsi que les quatre opérations et l’ordre, en première année. Au début du deuxième année, on introduit les nombres rationnels, les opérations et l’ordre sur cette classe des nombres ; vers la fin de cette année et grâce au théorème √ de√Pythagore, on introduit des exemples de nombres irrationnels de la forme 2, 3, .... Le concept de nombres réels est ainsi introduit, les quatre opérations et l’ordre sur ces nombres sont effectués. — Au Lycée: • Tronc commun: On introduit les ensembles de nombres N, Z, D, Q et R : on écrit N et Z en extension , D et Q en compréhension tandis que R est défini comme réunion de Q et l’ensemble de tous les nombres irrationnels. On en déduit la fameuse suite d’inclusions N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R. Toutes les définitions et propriétés concernant les nombres réels (vus comme éléments de R) (les quatre opérations, l’ordre et opérations et ordre sont rappelées et mathématisées). Les concepts de la valeur absolue et intervalle sont introduit grâce au concept de l’ordre et la droite numérique. • Deuxième année du baccalauréat science mathématique: 3

4 On présente (Z, +, ×) comme exemple d’anneau commutatif unitaire intègre et (Q, +, ×) et (R, +, ×) comme exemples de corps commutatifs.

1.1.2

Aperçu historique sur les nombres réels

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Les nombres réels sont connus et utilisés √ dans les calculs depuis fort longtemps. La découverte du premier nombre irrationnel 2 date probablement de l’époque de Pythagore (6eme siècle av.J.C.). Mais il a fallu attendre la fin du 19eme siècle pour que les mathématiciens comme P eano, Dedekind et Cantor notamment aboutissent par une démarche rigoureuse à la première construction du corps des nombres réels. On a d’abord défini les nombres entiers naturels de manière axiomatique (Peano), puis à partir des nombres entiers naturels, on a construit successivement les nombres entiers relatifs, les nombres rationnels et enfin les nombres réels . Il aura donc fallu attendre environ 25 siècles pour que l’on aboutisse à la belle chaine d’inclusions suivante: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.

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Parmi ces inclusions c’est bien entendu l’inclusion Q ⊂ R qui est la plus mystérieuse et la plus délicate. C’est celle-là que nous allons tenter d’explorer dans ce chapitre. Nous supposerons connus l’ensemble N des entiers naturels muni de ses deux opérations internes, l’addition notée + et la multiplication notée . ayant les propriétés habituelles (associativité, commutativité, distributivité, existence d’élément neutre et d’éléments symétrisables) et d’une relation d’ordre total notée ⩽ compatible avec ces opérations internes ayant la propriété fondamentale suivante : Toute partie non vide de N admet un plus petit élément et toute partie de N non vide et majorée admet un plus grand élément. Cependant l’équation x + n = 0, où n ∈ N∗ est donné n’a pas de solution dans N. Autrement dit il n’y a pas d’opposé dans N. Pour pallier à cet inconvénient, on construit par "symétrisation" de l’addition sur N, l’ensemble Z des nombres entiers relatifs qui contient N.

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Rappelons que les opérations internes sur N et la relation d’ordre ⩽ peuvent être prolongées à Z en deux opérations internes, l’addition encore notée + et la multiplication notée . avec les mêmes propriétés de sorte que pour tout n ∈ Z l’équation x + n = 0 admette une solution unique dans Z, notée −n, appelé l’opposé de n. Ces propriétés sont bien connues et nous ne les rappellerons pas ici mais elles se résument en disant que (Z, +, .) est un "anneau commutatif unitaire intègre". De plus ⩽ est une "relation d’ordre total" sur Z compatible avec cette structure possédant la propriété fondamentale suivante : Toute partie non vide et minorée (resp. majorée) de Z possède un plus petit (resp. plus grand) élément. Cependant si n ∈ Z∗ l’équation n.x = 1 n’a pas de solution dans Z, à moins que n = 1 ou n = −1. Autrement dit il n’y a pas d’inverse dans Z. Une construction classique très fréquente en mathématique, analogue à celle qui permet de construire Z à partir de N, appelée le passage au quotient, permet de pallier à cet inconvénient en construisant un "ensemble plus gros" Q ayant une structure analogue à celle de Z et dans lequel tout élément non nul admet un inverse. Nous ne donnerons pas cette construction ici, mais rappelons qu’un nombre rationnel x ∈ Q est une fraction x = pq représentée par un couple d’entiers (p, q) ∈ Z × Z∗ avec la relation d’équivalence

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′

′



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suivante: deux couples (p, q) ∈ Z × Z∗ et p , q ∈ Z × Z∗ représentent le même nombre ′ ′ rationnel s’ils définissent la même fraction c − a ` − d : p.q = p .q. Il résulte des propriétés arithmétiques de Z que tout nombre rationnel x admet une représentation unique sous la forme x = pq où p, q sont des entiers tels que q ⩾ 1, p ∈ Z et p et q sont premiers entre eux. Les opérations d’addition et de multiplication et la relation d’ordre sur Z s’étendent naturellement à Q de sorte que (Q, +, ., ⩽) est un "corps commutatif totalement ordonné". Parmi les nombres rationnels il y a les nombres décimaux qui s’écrivent sous la forme où n ∈ Z et m ∈ Z. La relation d’ordre sur Q possède une propriété simple mais importante que nous allons rappeler.

Propriété d’Archimède dans Q

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n , 10m

Proposition(Q est archimédien ) 1.1.1 Pour tous a ∈ Q et b ∈ Q avec a > 0, il existe un entier naturel n tel que na > b.

Preuve. Soient a ∈ Q et b ∈ Q telles que a > 0, alors: • Si b ⩽ 0 la propriété est trivialement vraie avec n = 1 (par exemple).

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• Si b > 0. Alors na > b est équivalente à n > ba−1 . Comme ba−1 ∈ Q et que ba > 0, alors il existe (p, q) ∈ N∗2 tel que ba−1 = pq , et l’entier n = p + 1 vérifie l’inégalité n > p ⩾ ba−1 . □

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−1

Remarques 1.1.1 1. Cette propriété est fondamentale. Elle signifie que dans Q il y a des nombres rationnels aussi petits que l’on veut. On dit que (Q, +, ., ⩽) est un "corps archimédien".

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2. Pour tout b ∈ Q, il existe n ∈ N tel que n > b.

Insuffisance de Q:

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On s’est aperçu assez tôt que pour les besoins de la géométrie classique par exemple, le corps Q des nombres rationnels est insuffisant. Il lui manque beaucoup de nombres réels représentant des grandeurs √ géométriques (c-à-d des longueurs) qui ne sont pas rationnels dont les plus célèbres sont 2 et π. En fait l’ensemble Q est plein de "trous", en un sens que nous allons tenter d’expliquer. Donnons un premier exemple simple qui illustre ce phénomène. Depuis Euclide, on sait construire à la règle et au compas, un carré du plan dont l’aire est le double de celle du carré unité par exemple. La longueur l des cotés de ce carré vérifie l’équation x2 = 2 × 1 = 2. Il est facile de voir que l est aussi égal à la longueur de la diagonale du carré unité.

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Ce nombre est facile à construire à la règle et au compas et pourtant nous allons démontrer qu’il n’est pas rationnel. √

2 n’est pas rationnel

√

2 ∈/ Q



Proposition 1.1.1 Il n’existe pas de nombre rationnel x tel que x2 = 2.

p2 p =⇒ x2 = 2 = 2 q q 2 2 =⇒ 2q = p (∗) =⇒ p2 est un nombre pair =⇒ p est un nombre pair car sinon c − a ` − d p est impair on a :

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x=

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Preuve. Par l’absurde, supposons qu’il existe x ∈ Q tel que x2 = 2. Comme (−x)2 = x2 , on peut supposer que x > 0, il existe donc p ∈ N∗ et q ∈ N∗ tel que x = pq avec p et q sont premiers entre eux (c-à-d: p ∧ q = 1). D’où

il existe n ∈ N : p = 2n + 1, d’où

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p2 = 4n2 + 4n + 1 



= 2 2n2 + 2n + 1, d´o` u p2 est impair, ce qui est absurde. 

′



′

D’où p est un nombre pair et alors ∃p ∈ N : p = 2p , donc  ′ 2

(∗) =⇒ 2q 2 = 4 p

 ′ 2

=⇒ q 2 = 2 p

=⇒ 2 divise q 2 =⇒ 2 divise q.

7 Enfin 2 divise p et 2 divise q, c-à-d: 2 est un diviseur commun à p et q, ce qui est absurde (car p ∧ q = 1 ). Donc l’hypothèse de départ est fausse. Donc il n’existe aucun rationnel x vérifiant x2 = 2. □

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Remarque 1.1.1 En fait le raisonnement précédent peut se généraliser en utilisant le théorème fondamental de l’arithmétique (Théorème d’Euclide) pour démontrer que si m est un nombre entier naturel qui n’est pas le carré d’un autre entier, en particulier un nombre premier, alors l’équation x2 = m n’a pas de solution dans Q.

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En conclusion, on peut dire que l’ensemble Q des nombres rationnels possède des "trous" (une infinité) et ne suffit pas pour traiter des problèmes simples de géométrie classique.

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Le théorème de Pythagore, √ nous permet de construire, à l’aide d’une règle et un compas, un segment de longueur 2, ce segment est la diagonale d’un carré de dimension 1.

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Par le même procédé on peut réaliser la spirale de Pythagore qui permet de construire successivement à la règle et au compas toutes les grandeurs réelles dont le carré est un entier naturel non nul n.

En effet, si le côté est

et

, alors, le théorème de Pythagore nous donne que l'hypothénuse est de mesure

.

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ou de Théodore de Syrène

Spirale de Pythagore

ou de Théodore de Cyrène

8 Spirale

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En conclusion, d’un point de vue géométrique il existe bien des grandeurs √ réelles mesurables (correspondant à des longueurs) mais non rationnelles r notée m dont le carré est m. Ces grandeurs peuvent être approchées par des nombres rationnels aussi bien par défaut que par excès avec une précision ε > 0 aussi petite que l’on veut, donnée à l’avance. Ces grandeurs seront représentées par des nombres réels irrationnels, éléments d’un nouvel ensemble noté R et appelé ensemble des nombres réels. Dans tous les cas, l’ensemble R peut être représenté géométriquement par une droite affine orientée munie d’une origine O symbolisant le nombre réel 0 et d’une extrémité I symbolisant le nombre réel 1 tels que OI = 1. Chaque nombre réel x est alors représenté par un point unique M de la droite de telle sorte que si x > 0 (resp. x < 0) le segment [OM ] soit orienté positivement (resp. négativement) et sa longueur soit égale à |x|. Il en résulte que l’ensemble R est d’une certaine façon "continu" (sans "trou") à l’image de la droite qui le représente géométriquement. Cette propriété se traduit en disant que l’ensemble R est "complet" comme cela sera expliqué ultérieurement.

Figure 1.1 – Droite numérique

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Il existe plusieurs méthodes, au moins cinq, de construction de l’ensemble des nombres réels R à partir des nombres rationnels qui reposent, presque toutes, sur la notion d’ordre, et non seulement sur les opérations comme pour les ensembles Z, D et Q. Construction par les coupures de Dedekind: C’est au mathématicien allemand Julius Wilhelm Richard Dedekind , vers la fin du 19eme siècle (1872) , que revient le mérite de présenter la première construction basée sur la notion de section ou coupure.

Figure 1.2 – Richard Dedekind

Construction via les suites de Cauchy: Une autre méthode, basée sur les suites de Cauchy, est donnée par le mathématicien allemand (né à Saint-Pétersbourg en Russie)

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Figure 1.3 – Georg Kantor

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Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor.

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Les trois autres méthodes sont respectivement: À l’aide des nombres hyperréels, À l’aide des nombres surréels, Par les quasi-morphismes. On démontre heureusement que toute ces méthodes sont équivalentes au sens où les objets construits ont une structure de "corps commutatif archimédien complet" et qu’un tel objet est unique à isomorphisme près (théorème difficile à démontrer).

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Dans ce cours, on ne s’attachera donc pas à une construction précise du corps des nombres réels mais plutôt à ses propriétés telles qu’elles sont énoncées par la suite et notamment la propriété de la borne supérieure, étroitement liée à l’ordre, qui distingue Q de R. C’est l’absence de cette borne supérieure dans Q pour certaines parties non vides et majorées de Q qui matérialise les "trous" de Q. Ainsi, en plus des deux opérations + et · qui prolongent celles dans Q et qui ont les mêmes propriétés, le concept d’ordre est aussi fondamental dans la construction de R ; ce qui explique son introduction et utilisation tout au long de ce chapitre, en particulier, et dans tout ce cours d’une manière générale.

Ensembles ordonnés

1.2.1

Définitions et exemples

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1.2

Définitions et exemples

Définition 1.2.1 Un ensemble ordonné est la donnée d’un ensemble non vide E, et d’une relation d’ordre sur E, c’est-à-dire d’une relation binaire dans E, notée ⩽ et vérifiant:   

(i) ⩽ est ref lexive : (∀x ∈ E) x ⩽ x, (ii) ⩽ est antisymétrique : (∀ (x, y) ∈ E 2 ) (x ⩽ y et y ⩽ x) ⇒ x = y,   (iii) ⩽ est transitive : (∀ (x, y, z) ∈ E 3 ) (x ⩽ y et y ⩽ z) ⇒ x ⩽ z.

Une relation d’ordre ⩽ sur un ensemble E est dite totale et E est dit totalement ordonné si, et seulement si, (∀ (x, y) ∈ E 2 ) (x ⩽ y ou y ⩽ x) .

Notation: Soit (E, ⩽) un ensemble ordonné, alors pour tout (x, y) ∈ E 2 x ⩾ y signifie que y ⩽ x. x < y signifie que x ⩽ y et x ̸= y. x > y signifie que y < x.

10 Exemples 1.2.1 1. Les ensembles N des entiers naturels et Z des entiers relatifs sont totalement ordonnés par la relation définie par: Pour tout (x, y) ∈ E 2 x ⩽ y ⇔ (∃z ∈ N) : y = x + z; où E = N ou Z. 2. L’ensemble Q des nombres rationnels est totalement ordonné par la relation définie par: o n Pour tout (x, y) ∈ Q2 x ⩽ y ⇔ y−x ∈ Q+ ; où Q+ = r ∈ Q : r = pq avec p ∈ N et q ∈ N∗ . n

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On rappelle que Q = pq : p ∈ Z et q ∈ N∗ . 3. Si X est un ensemble non vide et non réduit à un élément, la relation définie sur P (X) , par: pour tout (A, B) ∈ (P (X))2 A ⩽ B ⇔ A ⊆ B est une relation d’ordre non totale (dite partielle) sur l’ensemble P (X) des parties de X : ils existe A et B de P (X) tels que A ⊈ B et B ⊈ A. Majorant, minorant , plus grand et plus petit élément

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Définitions 1.2.1 Soient (E, ⩽) un ensemble ordonné et A une partie non vide de E. 1. i. Un élément M de E est dit majorant de A ou majore A si et seulement si (∀x ∈ A) x ⩽ M. ii. A est dite majorée signifie qu’elle possède un majorant. iii. Un élément M de E est dit le plus grand élément (unique) ou le maximum de A si et seulement si M majore A et M ∈ A, on le note M = M ax (A) . 2. i. Un élément m de E est dit minorant de A ou minore A si et seulement si (∀x ∈ A) m ⩽ x. ii. A est dite minorée signifie qu’elle possède un minorant. iii. Un élément m de E est dit le plus petit élément (unique) ou le minimum de A si et seulement si m minore A et m ∈ A, on le note m = min (A) . 3. A est dite bornée signifie qu’elle est à la fois majorée et minorée.

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Exemples 1.2.2 1. L’ensemble N des entiers naturels est minoré par zéro et 0 = min (N) . 2. Le sous-ensemble Z− de Z est majoré par zéro et 0 = max (Z− ) . 3. Toute partie finie de Q est bornée. n o 4. Soit A la partie de Q définie par: A = n1 : n ∈ N∗ , alors A est bornée, 0 est un minorant de A et 1 = max (A) .

Remarque 1.2.1 Tout élément plus grand qu’un majorant est aussi un majorant et tout élément plus petit qu’un minorant est aussi un minorant.

Proposition 1.2.1 Dans (N, ⩽) on a: 1. Toute partie non vide A de N admet un plus petit élément. 2. N n’est pas majoré. 3. Toute partie non vide et majorée A de N admet un plus grand élément. Ces propriétés font partie des hypothèses de la construction de N. Exercice 1.2.1 1. Montrer que (Z, ⩽) vérifie les propriétés 2. et 3. ci-dessus et que toute partie non vide et minorée A de Z admet un plus petit élément. 2. Montrer que dans (Z, ⩽) , Z n’est ni majoré, ni minoré.

11 Bornes supérieure et inférieure Définitions 1.2.2 Soient (E, ⩽) un ensemble ordonné et A une partie non vide de E. 1. Si A est majorée, on appelle borne supérieure de A le plus petit élément, s’il existe, de l’ensemble des majorants de A; on le note sup (A) .

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2. Si A est minorée, on appelle borne inférieure de A le plus grand élément, s’il existe, de l’ensemble des minorants de A; on le note inf (A) .

ra

Remarque 1.2.2 La borne supérieure (res. la borne inférieure) d’une partie non vide d’un ensemble ordonné (E, ⩽) si elle existe est unique.

1.2.2

El am

Exemple 1.2.1 Soit A = {x ∈ Q : x > 0 et 1 ⩽ x2 ≺ 5} . Alors: A est bornée dans Q.  √  inf (A) = min (A) = 1, A n’admet pas de borne supérieure dans Q sup (A) = 5 et max (A) n’existe pas.

Le corps Q des nombres rationnels

Rappels: quelques propriétés de Q

Proposition 1.2.2 (Q , + , × , ⩽) est un corps commutatif totalement ordonné, où +, × et ⩽ sont les opérations et l’ordre usuels dans Q c-à-d:

      

(i) (Q, +, ×) est un corps commutatif (voir cours d′ alg` ebre) . (ii) (Q, ⩽) est totalement ordonn´ e. (iii) P our tout (a, b, c) ∈ Q3 on a : (a ⩽ b) =⇒ (a + c ⩽ b + c) (⩽ est compatible avec l′ addition) . (a ⩽ b et 0 ⩽ c) =⇒ (a.c ⩽ b.c) (⩽ est compatible avec la multiplication) . √

2∈/ Q (c − a − d il n′ existe aucun M de Q tel que M 2 = 2) .

ha

Insuffisance de Q

lek

       

Exercice 1.2.2 Montrer que

de lk

Solution On l’a déjà montré dans l’introduction. On propose ici deux autres méthodes: √ 1ere √ méthode: Par l’absurde, supposons que 2 ∈ Q, il existe donc p ∈ N∗ et q ∈ N∗ tels que 2 = pq avec p et q sont premiers entre eux (c-à-d- p ∧ q = 1). D’où

Ab

√

2=

p p2 =⇒ 2 = 2 q q 2 =⇒ 2q = p2 (∗) =⇒ p2 | 2q 2 d′ apr` es T h. Gauss

=⇒





p2 | 2 car p ∧ q = 1 ⇒ p2 ∧ q 2 = 1

=⇒ p2 = 1 ou p2 = 2 =⇒ 2q 2 = 1 ou p2 = 2 



=⇒ 2 | 1 ou p2 = 2, ce qui est absurde p ∈ N∗ =⇒ p = 1 ou p2 ⩾ 4 .

D’où l’hypothèse de départ

√ √ 2 ∈ Q est fausse. Donc 2 ∈/ Q.

□

12 √ √ Seconde méthode: Supposons par l’absurde que 2 ∈ Q, et 2 = pq , avec p et q des entiers positifs , et q le plus petit de tels dénominateurs. Alors

ra

ni

2 − pq 2q − p = p p−q −1 q √ 2− 2 =√ 2−1 √ √ 2−1 = 2√ 2−1 √ = 2.

1.3 1.3.1

√ 2p et □

El am

Puisque 2q − p et p − q sont deux entiers positifs et 0 < p − q < q (car 2q = √ 2p > p), nous avons contredit la minimalité de q.

Ensemble R des nombres réels

Définition de R et bornes supérieure et inférieure

Borne supérieure : Définition et exemples

Définition 1.3.1 On dit qu’un ensemble ordonné (E, ⩽) vérifie la propriété de la borne supérieure, si et seulement si toute partie non vide majorée A de E admet une borne supérieure dans E (∈ E) . 1. N et Z vérifient la propriété de la borne supérieure.

lek

Exemples 1.3.1

2. (Q, ⩽) ne vérifie pas la propriété de la borne supérieure.

de lk

ha

Preuve. La propriété 1 est simple à vérifier, montrons alors 2. Soit A = {x ∈ Q / x > 0 et x2 < 2} ; alors A est non vide (1 ∈ A) , A ⊂ Q et A est majorée par 2; mais A n’admet pas de borne supérieure dans Q (∈ Q) . En effet, Sinon, √ soit M ∈ Q tel que M = sup (A) . On a : M > 1 (car 1, 01 ∈ A) et 2 M ̸= 2 ( car 2 ∈/ A). Deux cas se présentent alors: 1er cas : M 2 < 2. On a: pour tout n ∈ N∗ 

1 M+ n

2

2M 1 + 2 n n 2M + 1 ⩽ M2 + . n = M2 +

Ab

Donc en choisissant n0 dans N∗ tel que: n0 > 

1 M+ n0

2

2M +1 2−M 2

⩽ M2 + < M2 +

on a:

2M + 1 n0 2M + 1 2M +1 2−M 2



= M2 + 2 − M2 = 2.



13 Et comme M + n10 ∈ Q+∗ , alors M + n10 ∈ A; d’où M + de A) ou encore n10 ⩽ 0 ce qui es absurde . 2eme cas : M 2 > 2. On a: pour tout n ∈ N∗ 2

2M 1 + 2 n n 2M > M2 − . n = M2 −

Donc en choisissant n1 dans N∗ tel que: n1 > 

M−

1 n1

2

2M M 2 −2

> M2 − > M2 −

ra ni

1 M− n

⩽ M (car M est un majorant

on a:

2M n1 2M 2M M 2 −2 2



am



1 n0



= M2 − M − 2 = 2.



ou encore 0 < M −

1 n1

2

El

Par ailleurs, on a M > 1 et n1 ∈ N∗ d’où 0 < M − n11 < M , et comme M = sup (A) , alors M − n11 n’est pas un majorant de A, d’où il existe r dans A tel que 0 < M − n11 < r ⩽ M < r2 < 2.



Définition de R

1 n1

2



< 2 et M −

1 n1

2

> 2 ce qui

al ek

On a donc montré qu’il existe n1 ∈ N∗ tel que M − est absurde. Donc A n’admet pas de borne supérieure dans Q.

□

Nous admettrons dans ce cours le théorème suivant:

Ab de lkh

Théorème(admis) 1.3.1 Il existe un ensemble R, appelé ensemble des nombres réels, contenant Q et muni de deux lois + et × et d’une relation binaire ⩽ prolongeant + , × et ⩽ de Q tels que:   

(i) (R , + , × , ⩽) est un corps commutatif totalement ordonn´ e. (ii) T oute partie non vide et major´ ee de R, admet une borne   sup´ erieure dans R.

Propriétés caractéristiques des bornes supérieure et inférieure dans R Dans la pratique nous aurons besoin de la caractérisation suivante des bornes supérieures et inférieure.

Proposition (Propriétés caractéristiques des bornes supérieure et inférieure dans R) 1.3.1 Soient A une partie non vide de R et (m, M ) ∈ R2 . Alors: 1.

(

M = sup (A) ⇐⇒

(i) (∀x ∈ A) x ⩽ M, (ii) (∀ε > 0) (∃x ∈ A) : M − ε < x.

14 2.

(

m = inf (A) ⇐⇒

(i) (∀x ∈ A) m ⩽ x, (ii) (∀ε > 0) (∃x ∈ A) : x < m + ε.

Preuve. 1.     

⇐⇒



M majore A,  ′ ′ ′ ∀M ∈ R M < M =⇒ (∃x ∈ A) : M < x.

Or ′

n

′

o

n

am

(

ra ni

M majore A,  ′ ′ ′ M = sup (A) ⇐⇒ ∀M ∈ R M < M =⇒ M n′ est pas un majo−    rant de A

o

M ∈ R / M < M = M − ε / ε ∈ R+∗ ,

où

R+∗ = {x ∈ R : x > 0} , donc

(

(∀x ∈ A) x ⩽ M, (∀ε ∈ R+∗ ) (∃x ∈ A) : M − ε < x.

El

M = sup (A) ⇐⇒ 2.     

m minore A,  ′ ′ ∀m ∈ R m > m =⇒ m n′ est pas un mino− m = inf (A) ⇐⇒    rant de A.

al ek (

⇐⇒ Or

′



m minore A,  ′ ′ ′ ∀m ∈ R m < m =⇒ (∃x ∈ A) : x < m .

′

n

′

m ∈R/m b.

El

Preuve. Par l’absurde ; supposons qu’il existe a ∈ R+∗ et b ∈ R tels que (∀n ∈ N) n.a ⩽ b, alors la partie A = {n.a / n ∈ N} de R est non vide (a ∈ A) et majorée (par b), elle admet donc une borne supérieure M dans R. On a:

al ek

(∀n ∈ N) (n + 1) a ⩽ M =⇒ (∀n ∈ N) n a ⩽ M − a < M, =⇒ M − a est un majorant de A qui est strictement inf e´rieur M. Ce qui est absurde.

□

Ab de lkh

Remarque 1.3.1 Cette propriété signifie que si l’on considère un nombre réel a strictement positif, aussi petit soit-il, et que l’on considère la suite a, 2a, 3a... alors on obtiendra dans cette suite, des nombres aussi grands que l’on veut dépassant n’importe quel nombre réel donné. Autrement dit, une quantité, aussi petite soit-elle, ajoutée suffisamment de fois à elle même dépasse n’importe quelle quantité donnée. Corollaire 1.3.1 Pour tout b ∈ R, il existe n ∈ N tel que n > b. Preuve. Prendre a = 1 dans le théorème précédent.

□

Corollaire 1.3.2 Le sous-ensemble N de R est non majoré. Preuve. N est majoré est la négation du corollaire précédent.

□

Remarque 1.3.2 1. Pour déterminer la borne supérieure d’une partie A de R (si elle existe) ; on peut procéder comme suit: i. On montre que A ̸= ∅ (il suffit de trouver un élément appartenant à A). ii. On montre que A est majorée (il suffit de trouver un majorant de A).

16 iii. Si A est non vide et majorée le sup (A) existe dans R ; pour voir si un majorant M de A est la borne supérieure de A : a. On regarde d’abord si M ∈ A; car si oui, M = max (A) donc M = sup (A) ; si non:

(∀ε > 0) (∃x ∈ A) : M − ε < x, ou bien

ra ni

b. • On voit si M vérifie la propriété caractéristique de la borne supérieure:

• On fait un raisonnement par l’absurde, c’est-à dire on suppose qu’il existe ′ ′ un majorant M de A avec M < M et on essaie de trouver une contradiction (absurdité).

2. On procède d’une manière analogue pour déterminer la borne inférieure d’une partie A de R (si elle existe).

am

3. Si le sup (A) (ou inf (A)) n’est pas donné, il faut deviner la valeur du sup (ou de inf ). Parfois la représentation de la partie o A sur la droite numérique est très utile, n n 5 ∗ par exemple si A = (−1) + n : n ∈ N . Exemples o

n

El

2n−1 /n∈N . Exemple 1.3.1 Soit A = 2n+1 Déterminons sup (A) et inf (A) ( si elles existent).

1. A ̸= ∅ car −1 ∈ A (pour n = 0 ), et pour tout n ∈ N, on a:

al ek

2n − 1 2 =1− 2n + 1 2n + 1 < 1.

Ab de lkh

Donc A est majorée par 1 et par suite sup (A) existe dans R. Est-ce que 1 = sup (A)? 2n−1 • 1 ∈/ A car sinon il existe n ∈ N tel que 2n+1 = 1 et 2n − 1 = 1 ⇐⇒ 2n − 1 = 2n + 1 2n + 1 ⇐⇒ −1 = 1 (absurde) .

Supposons qu’il existe un majorant M de A tel que M < 1. Alors, pour tout n ∈ N, 2n−1 ⩽ M et 2n+1 2n − 1 2 ⩽ M ⇐⇒ 1 − ⩽M 2n + 1 2n + 1 2 ⇐⇒ 1 − M ⩽ 2n + 1 2 ⇐⇒ 2n + 1 ⩽ (M < 1 =⇒ 0 < 1 − M ) 1−M 1 1 ⇐⇒ n ⩽ − . 1−M 2

On a donc (∀n ∈ N) n ⩽ sup (A) = 1.

1 1−M

−

1 2

c’est-à dire que N est majoré, absurde. Donc

17

1−ε
0, d’où A est une partie de R qui est non vide et minorée, elle admet donc une borne inférieure. • D’autre part, pour tout x ∈ R∗+ , on a: 1 √ 2 1 x + √ x+ = x x = =

√

1 x− √ x

!2

√

1 x− √ x

!2

!2

√ 1 + 2. x. √ x +2

⩾ 2,

d’où (∀x ∈ R∗+ ) x + x1 ⩾ 2, c’est-à dire que 2 est un, autre, minorant de A. • Et comme 2 ∈ A, alors 2 = min (A) ; donc inf (A) = 2. (ii) On remarque que les éléments de A deviennent aussi grand que l’on veut lorsque  x est choisi assez grand dans R∗+ , car (∀x ∈ R∗+ ) x + x1 ⩾ x , d’où l’idée de conjecturer que: A est non majorée. Montrons donc que cette conjecture est vraie.

18 Supposons, par l’absurde, que A est majorée et soit M ∈ R∗+ telle que (∀x ∈ R∗+ ) x + x1 ⩽ M (M > 0 car (∀y ∈ A) y > 0) . D’où pour x = M (∈ R∗+ ) , on a: M + M1 ⩽ M, ou encore M1 ⩽ 0, ce qui est absurde. Donc A est une partie de R non vide et non majorée, elle n’admet pas, donc, de borne supérieure dans R. □

1 B = x + : x ∈ R∗− x 

1.3.2



avec R∗− = {x ∈ R : x < 0} .

ra ni

Exercice 1.3.3 Étudier les bornes supérieure et inférieure de l’ensemble B suivant:

Partie entière et approximation d’un nombre réel par des décimaux

am

Partie entière d’un nombre réel

Proposition et définition 1.3.1 Pour tout nombre réel x, il existe un seul entier relatif p (p ∈ Z) tel que p ⩽ x < p + 1. • p est appelé la partie entière de x et est noté par E (x) (ou [x]) . • x − E (x) est dite Partie décimale de x (0 ≤ x − E (x) < 1) .

al ek

El

Preuve. Existence de p : Soit x un réel fixé ; considérons A = {n ∈ Z / n ≤ x} , alors d’après la propriété d’Archimède, il existe m ∈ N tel que m > −x (Corollaire 1.3.1), d’où −m ∈ A, et alors A ̸= ∅; et A ⊂ Z majorée par x (par définition de A). Donc A est une partie non vide et majorée de Z, elle admet donc un plus grand élément p; d’où p ≤ x. Et comme p < p + 1, p + 1 ∈/ A, alors x < p + 1. Donc (∃p ∈ Z) : p ⩽ x < p + 1. Unicité de p: Supposons l’existence de deux éléments de Z, p et q tels que   

p ̸= q p⩽x ε ou x < −ε) ,   

y ||⩽| x − y |,

• | x |≥ ε ⇐⇒ (x ≥ ε ou x ≤ −ε) .

Définition 1.3.3 Étant données un réel x et ε ∈ R+ (= {t ∈ R : 0 ⩽ t}) , on dit qu’un nombre réel a est une approximation (ou une valeur approchée) de x à ε près si et seulement si | x − a |< ε, (ou | x − a |⩽ ε).

Remarque 1.3.5 Pour tout nombre réel x, la partie entière E (x) est "la meilleure" approximation entière de x à 1 près. Approximation d’un nombre réel par des décimaux Dans la pratique nous avons besoin de connaitre des valeurs décimales approchées d’un nombre réel irrationnel ou rationnel avec une certaine précision. En fait, nous verrons que tout nombre réel admet un développement décimal illimité, ce

20 qui est une façon plus naturelle et plus intuitive de représenter les nombres réels : c’est ainsi √ que 1 = 0, 999999999..., 2 = 1, 414213562..., e = 2, 718281828... et π = 3, 141592654..., etc ....

Exemple 1.3.3 D (prouver le) .

23, 145 ∈ D car 23, 145 =

23145 103

, − 14 ∈ D car −

ra ni

Définition 1.3.4 On appelle nombre décimal tout nombre réel pouvant s’écrire sous la forme 10an où a ∈ Z et n ∈ N. On note D l’ensemble des nombres décimaux. On a Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R. 1 4

=

−25 102

et

1 3

∈ /

am

Proposition 1.3.3 Étant données un nombre réel x et un entier naturel k, il existe un nombre décimal unique xk tel que 10k xk ∈ Z et xk ⩽ x < xk + 101k (xk est une approximation décimale de x à 10−k près).

El

Preuve. Soient x un nombre réel et k un entier naturel, alors:     E (10k x) E (10k x) • Existence : E 10k x ⩽ 10k x < E 10k x + 1, d’où 10k ⩽ x < 10k + 101k ,   E (10k x) donc, en posant xk = 10k , on a: 10k xk = E 10k x , d’où 10k xk ∈ Z et xk ⩽ x < xk + 101k . • Unicité: Soit yk un élément de R tel que 10k yk ∈ Z et yk ⩽ x < yk + 101k ; en multipliant cette double inégalité par 10k , on obtient 10k yk ⩽ 10k x < 10k yk + 1; 



or 10k yk ∈ Z, donc E 10k x = 10k yk et par suite yk =

E (10k x) 10k

= xk .

al ek

Par ailleurs, xk ⩽ x < xk + 101k , d’où 0 ⩽ x − xk < 101k et alors | x − xk |< 10−k , donc xk est une approximation de x à 10−k près. Et 10k xk ∈ Z, donc xk est un nombre décimal . □ Exercice 1.3.5 Vérifier que (∀k ∈ N) xk ⩽ xk+1 .

Ab de lkh

Solution Soit k ∈ N, alors xk ⩽ x < xk + 101k , d’où 10k+1 xk ⩽ 10k+1 x < 10k+1 xk +10   E (10k+1 x) et comme 10k+1 xk ∈ Z, alors 10k+1 xk ⩽ E 10k+1 x , d’où xk ⩽ , donc 10k+1 xk ⩽ xk+1 . □

1.3.3

Propriétés topologiques de R

Intervalles de R

Définitions 1.3.1 • Soient a et b deux nombres réels tels que a ⩽ b; on appelle segment d’extrémités a et b et on note [a, b] , le sous-ensemble de R défini par: [a, b] = {x ∈ R / a ⩽ x ⩽ b} . • Soit I ⊂ R, on dit que I est un intervalle de R si et seulement si pour tous a et b de I tels que a ⩽ b, [a, b] ⊂ I, c-à-d pour tous a et b de I tels que a ⩽ b, on a: (∀x ∈ R) a ⩽ x ⩽ b =⇒ x ∈ I. Remarque 1.3.6

1. Pour tous a et b de R tels que a ⩽ b,

[a, b] = {λ a + (1 − λ) b / λ ∈ [0, 1]} = {λ b + (1 − λ) a / λ ∈ [0, 1]} .

21 2. ∅ est un intervalle de R.

      

]a, b[ = {x ∈ R : a < x < b} , ]a, b] = {x ∈ R : a < x ⩽ b} [a, b[ = {x ∈ R : a ⩽ x < b} , [a, b] = {x ∈ R : a ⩽ x ⩽ b} ]a, +∞[ = {x ∈ R : a < x} , [a, +∞[ = {x ∈ R : a ⩽ x} ]−∞, a[ = {x ∈ R : x < a} , ]−∞, a] = {x ∈ R : x ⩽ a} ]−∞, +∞[ = R.

ra

       

ni

Proposition 1.3.4 Soit I un intervalle non vide de R, alors I est l’un des neuf types d’ensembles suivants:

El am

où a ∈ R et b ∈ R avec a < b. ]a, b[ , ]a, +∞[ , ]−∞, a[ et ]−∞, +∞[ sont des intervalles ouverts.

Preuve. Suivant que I est majoré, minoré ou non et que inf (I) et sup (I) appartiennent ou n’appartiennent pas à I. □ Voisinage d’un nombre réel

Définitions 1.3.2 Soient x0 ∈ R et V ⊂ R.

1. On appelle intervalle ouvert de centre x0 et de rayon r, où r > 0, l’intervalle ]x0 − r, x0 + r[ .

lek

2. V est un voisinage de x0 signifie qu’il existe r > 0 tel que ]x0 − r, x0 + r[ ⊂ V. 3. V est un voisinage de +∞ (resp. − ∞) signifie qu’il existe a ∈ R tel que ]a, +∞[ ⊂ V (resp. ]−∞, a[ ⊂ V ) .

ha

Définitions 1.3.3 Soit A ⊂ R.

1. A est ouvert signifie que A est voisinage de chacun de ses points c-à-d:

de lk

(∀x ∈ A) (∃r > 0) : ]x − r, x + r[ ⊂ A.

2. A est fermé signifie que son complémentaire CRA est ouvert. 3. V est un voisinage de +∞ (resp. − ∞) signifie qu’il existe a ∈ R tel que ]a, +∞[ ⊂ V (resp. ]−∞, a[ ⊂ V ) .

Ab

Exercice 1.3.6 1. Montrer que tout intervalle ouvert est un ouvert, c-à-d: pour tous a ∈ R, b ∈ R avec a < b, ]a, b[ , ]a, +∞[ , ]−∞, a[ et ]−∞, +∞[ sont des ouverts. Et que ∅ est un ouvert. 2. Montrer que les sous-ensembles suivants sont des fermés: [a, b] , [a, +∞[ , ]−∞, a] et ]−∞, +∞[ , où a ∈ R et b ∈ R avec a ⩽ b. 3. Montrer que toute réunion d’ouverts est un ouvert. 4. Montrer que l’intersection de deux fermés est un fermé.

22

1.4

Densité de Q et de R \ Q dans R

Proposition 1.4.1 Entre deux nombres réels distincts, il existe au moins un nombre rationnel (∈ Q) et un nombre irrationnel e´l´ ement de R \ Q = CRQ . On dit alors que Q est dense dans R et R \ Q est dense dans R et on note Q = R et R \ Q = R.

ni

Preuve. Soit a et b deux nombres réels distincts, tels que a < b. Alors: 1 1 > 0; R est archimédien, il existe q ∈ N tel que q > b−a > 0 et donc 1q < b − a. • b−a Soit p = E (a q) + 1, donc p − 1 = E (a q) et par suite p − 1 ⩽ a q < p, d’où pq − 1q ⩽ a < et a < pq ⩽ a + 1q < a + (b − a) , donc pq ∈ ]a, b[ .

ra

i

p q

h

El am

• D’après ce qui précède l’intervalle √a2 , √b2 contient au moins un nombre rationnel r; le √ nombre réel r 2 appartient à ]a, b[ et c’est un irrationnel. □

Remarques 1.4.1 1. Entre deux nombres réels distincts il existe une infinité de nombres rationnels et une infinité de nombres irrationnels. 2. Tout intervalle contenant au moins deux points, contient une infinité de nombres rationnels et une infinité de nombres irrationnels.

Ab

de lk

ha

lek

Preuve. Par récurrence (ou par l’absurde).

□

ni

Chapitre 2

2.1.1

Introduction

El am

2.1

ra

Suites de nombres réels

Les suites numériques dans le programme scolaire Marocain

Ab

de lk

ha

lek

Bien que la notion de suite est très présente dans la vie quotidienne, la présence de ce concept n’est introduit mathématiquement dans les programmes Marocain qu’à partir du 1ere année du baccalauréat dans les différentes filières. Ainsi — Au 1ere année du Baccalauréat: La notion de suite numérique est introduite d’une façon mathématique rigoureuse, dans la filière Science mathématique, comme application de N (ou une partie infinie de N) vers R. Alors que dans les autres filières, cette notion est introduite à travers des exemples de la vie courante et d’autres champs disciplinaires (science physique et science de la vie et de la terre). Une étude algébrique et analytique des suites numériques est aussi introduite dans ce niveau, en particulier, les opérations sur les suites numériques, la monotonie, la bornitude et la comparaison de deux suites. On présente les deux types simples de suites récurrentes: Arithmétiques et géométriques et certaines de leurs propriétés. — Au 2eme année du Baccalauréat: On consacre un chapitre entier aux limites des suites numériques. Une définition mathématique de ce concept est introduite dans la filière Sciences mathématique sous la forme suivante: On dit qu’une suite numérique (un ) tend vers un réel l et on écrit lim un = l si et seulement si, n→+∞

(∀ε > 0) (∃N ∈ N) : (∀n ∈ N) n ⩾ N =⇒| un − l |< ε.

Quant aux autres filières cette notion est introduite à l’aide des exemples. Différents techniques de calcul des limites sont introduites: Limite et ordre, limite et monotonie d’une suite, limite des deux suites arithmétique et géométrique , limites des suites récurrentes (le théorème des cinq condition liant la limite d’une telle suite avec les points fixes de la fonction définissant la suite est énoncé et démontré). Le concept des suites adjacentes et le théorème assurant la convergence de telles suite vers la même limite est introduit dans la filière Science mathématique ; on présente aussi une démonstration du dit théorème. L’étude de quelques exemples de suites implicites est très abondante dans cette filière, il figure dans beaucoup d’examens nationaux. 23

24

2.1.2

Aperçu historique sur les suites numériques

lek

El am

ra

ni

Les suites numériques sont liées à la mathématique de la mesure (mesures d’un phénomène prises à intervalles de temps réguliers) et à l’analyse (une suite numérique est l’équivalent discret d’une fonction numérique). La notion de suite est présente dès qu’apparaissent des procédés illimités de calcul. On en trouve déjà dans les mathématiques babyloniennes ou en Égypte, puis chez Archimède et Héron d’Alexandrie. Si la formalisation de la limite d’une suite vient assez tard, son utilisation intuitive date de plus de 2000 ans. Dans les Éléments d’Euclide (X.1), on peut lire : « Étant données deux grandeurs inégales, si, de la plus grande on retranche plus que la moitié, et que du reste on retranche plus que la moitié et si l’on continue toujours ainsi, nous aboutirons à une grandeur inférieure à la plus petite des grandeurs donnée ». En langage actuel, cela donnerait : soit (un )n∈N une suite de réels positifs telle que, pour tout n, un+1 < u2n , alors, pour tout réel strictement positif ε, il existe un indice n tel que un < ε. Ce qui est presque la définition d’une suite ayant pour limite 0. D’aucuns pourraient croire que cette interprétation du dixième élément d’Euclide est une modernisation fallacieuse, il suffit pour les détromper de regarder l’utilisation qu’en fait Archimède dans ses méthodes de quadrature. Cherchant à calculer l’aire du disque ou l’aire sous une parabole, par exemple, il cherche à l’approcher par des aires de polygones et observe alors la différence entre l’aire cherchée et l’aire du polygone. Il démontre qu’à chaque étape, cette différence a été réduite de plus de la moitié et c’est ainsi qu’il conclut qu’en continuant indéfiniment le processus on sera aussi proche qu’on le souhaite de l’aire cherchée. C’est la « méthode d’exhaustion ». On en trouve ainsi chez Archimède, spécialiste des procédés illimités d’approximation (séries géométriques de raison 41 ) pour des calculs d’aires et de volumes , il a aussi défini dans les années 220 avant Jésus-Christ deux suites croisés qui ont la limite π2 .

ha

Léonard de Pise (Fibonacci) expose au 13e`me siècle sa célèbre suite (divergente) définie par une relation de récurrence affine à 3 termes consécutifs.

de lk

Au 14e`me siècle, le Français Nicolas Oresme, a clairement exposé les suites que l’on appelle désormais arithmétiques et géométriques.

Ab

La notion intuitive de la limite mal formalisée, chez Archimède et autres, ne permettra cependant pas de lever les paradoxes de Zénon, comme celui d’Achille et de la tortue : Achille part avec un handicap A et court deux fois plus vite que la tortue. Quand il arrive au point de départ de la tortue, celle-ci a déjà parcouru la distance A2 , Achille parcourt alors la distance A2 mais la tortue a parcouru la distance A4 , à ce train-là, Achille ne rattrape la tortue qu’au bout d’un nombre infini de processus c’est-à-dire jamais. Il faut attendre ensuite 1600 ans et les travaux de Grégoire de Saint-Vincent pour entrevoir une tentative de formalisation imparfaite, puis le calcul infinitésimal de Newton et Leibniz. Au 1er siècle après Jésus Christ, Héron d’Alexandrie a présenté un procédé d’extraction d’une racine carrée d’un nombre A comme suit: Pour extraire la racine carrée de A, choisir une expression arbitraire a et prendre la moyenne entre a et A et recommencer aussi loin que l’on veut le processus précédent. a En notation moderne, cela définit la suite de nombres (un ) telle que

25 1 A u0 = a et, pour tout entier n , un+1 = un + . Bien sur les nombres a et A sont 2 un strictement positifs. Dans notre langage actuel, la suite (un ) est appelée Suite récurrente   associée à la fonction numérique f de la variable réelle définie par:f : x 7−→ 21 x + Ax . On retrouve ensuite cette préoccupation plusieurs siècles plus tard (à partir du 17e`me siècle) avec la méthode des indivisibles (Cavalieri, Torricelli, Pascal, Roberval). Dans l’encyclopédie Raisonnée de d’Alembert et Diderot (1751), une grande part est laissée aux suites et séries dont le principal intérêt semble être leur convergence: 

ni



de lk

ha

lek

El am

ra

Suite et série : se dit d’un ordre ou d’une progression de quantités qui croissent ou décroissent suivant quelques lois. Lorsque la suite va toujours en s’approchant de plus en plus de quelque quantité finie [. . .] on l’appelle suite convergente et si on la continue à l’infini, elle devient égale à cette quantité. C’est ainsi que l’on voit Bernoulli, Newton, Moivre, Stirling et Wallis, s’intéresser aux suites pour approcher des valeurs numériques. C’est à Joseph-Louis Lagrange que l’on doit, semble-t-il, la notation indicielle. Au début du 19e`me siècle, le grand mathématicien français Augustin Louis Cauchy éclaircit cette question des convergences, apportant ainsi une réponse aux doutes soulevés par les paradoxes de Zénon d’Elée. On sait maintenant que la somme d’une suite infini de termes décroissant vers 0 peut être finie. Dans la seconde moitié du 20e`me siècle, le développement des calculateurs et des ordinateurs donne un nouveau souffle à l’étude des suites en analyse numérique grâce à la méthode des éléments finis. On en retrouve l’usage aussi dans les mathématiques financières. Parallèlement à ces études de suites pour leur convergence, se développe un certain goût pour l’étude de la suite non tant pour sa convergence mais pour son terme général. C’est le cas par exemple d’un grand nombre de suites d’entiers comme la suite de Fibonacci, celle de Lucas ou, plus récemment, celle de Syracuse. L’intérêt des suites adjacentes est qu’elles permettent d’une part de prouver l’existence d’une limite, d’autre part de fournir un encadrement de celle-ci aussi fin qu’on le souhaite. L’étude des suites numériques a pour objet la compréhension de l’évolution de séquences de nombres réels. Ceci permet de modéliser de nombreux phénomènes de la vie quotidienne. Supposons par exemple que l’on place une somme S à un taux annuel de 10 Si Sn représente la somme que l’on obtiendra après n années, on a: S0 = S, S1 = S×1, 1; ...; Sn = S×(1, 1)n . Au bout de n = 20 ans, on possédera donc la somme S20 = S × (1, 1)20 ≃ S × 6, 7. Une autre propriété des suites est qu’ils permettent de définir R via ce qu’on appelle les suites de Cauchy, du nom du grand mathématicien Augustin Louis Cauchy. Grossièrement, les suites de Cauchy sont les suites dont les termes se rapprochent indéfiniment vers l’infini.

Ab

En effet, comment peut on définir rigoureusement "tous les nombres qui sont sur une droite" ? En fait, on définit les réels comme des limites de rationnels. Plus précisément, un réel est défini comme l’ensemble des suites de rationnels convergeant vers ce réel. C’est cette méthode qui a été développée par Cantor (1872) , en se basant sur les travaux de Cauchy et Méray, pour donner une autre méthode de construction de l’ensemble R des nombres réels différente de celle de Dedekind. En outre, les suites permettent de démontrer beaucoup de théorèmes très utiles via ce qu’on appelle la méthode de dichotomie, indispensable pour prouver des théorèmes comme celui de Bolzano Weierstrass ou encore le théorème des valeurs intermédiaires. Les suites récurrentes est un outil fondamental d’approximation des solutions de certaines équations algébriques, en particulier les points fixes de certaines fonctions numériques dont on ne

26

Ab

de lk

ha

lek

El am

ra

ni

peut les trouver concrètement. Le but essentiel de ce chapitre est de présenter une étude rigoureuse des suites de nombres réels ; l’objectif principal étant de permettre une bonne maitrise des techniques de base de l’analyse réelle élémentaire à savoir: calculer, majorer, minorer, approcher. On introduira aussi la notion de "convergence". Pour donner un sens rigoureux aux considérations heuristiques précédentes, nous allons introduire les concepts de "convergence" et de "limite" d’une suite qui sont deux concepts fondamentaux majeurs en Analyse, et on insistera notamment à: - l’utilisation de la convergence comme moyen d’approcher par exemple certains nombres irrationnels par des nombres rationnels, en particulier des décimaux. - L’étude des moyens d’établir cette convergence, ou la divergence, en donnant des règles de calcul des limites dans la pratique, et des méthodes de prouver la nature d’une suite lorsqu’il est impossible d’en calculer la limite directement. - Rappeler et développer l’étude concernant les trois types de suites numériques déjà connues par les lycéens, à savoir les suites arithmétiques, géométriques et les suites arithmético-géométriques. - Présenter une démonstration de deux grands et importants théorèmes à savoir le théorème de Bolzano-Weierstrass et le théorème des intervalles emboités. - On donnera enfin une étude des suites récurrentes définies par u0 ∈ R et (∀n ∈ N) un+1 = f (un ) , où f est une fonction numérique, en particulier leur monotonie et convergence suivant la monotonie de la fonction f, on montrera que les termes de cette suite, lorsqu’elle est convergente, représentent des valeurs approchées des points fixes de la fonction numérique f. On termine ce chapitre par la donnée de quelques exemples simples de suites récurrentes pour illustrer la méthode des itérations successives en montrant comment les suites convergentes peuvent être utilisées pour approcher les nombres réels solutions de certaines équations non linéaires fournissant ainsi un algorithme qui peut être utilisé concrètement dans la pratique (voir par exemple l’approximation de la racine carrée). Cet exemple simple montre clairement comment les suites convergentes apparaissent de façon naturelle dans la recherche d’une valeur approchée de la racine carrée.

27

2.2

Généralités

ra ni

Définition 2.2.1 Une suite de nombres réels, suite numérique ou suite réelle est une application: f : N −→ R, n 7−→ f (n) = xn , elle est souvent notée: (xn ) , (xn )n ou (xn )n∈N et pour n fixé dans N, l’élément xn de R est appelé terme du rang n ou d’indice n ou terme général de la suite (xn ) . Il arrive que l’application f soit définie sur une partie infinie I ⊂ N, on parle dans ce cas de la suite (xn )n∈I indexée par I. Définition 2.2.2 Si (xn ) est une suite réelle telle qu’il existe p ∈ N vérifiant: (∀n ∈ N) n ⩾ p =⇒ xn = xp ;

am

on dit que la suite (xn ) est stationnaire ou constante à partir du rang p. Si p = 0 alors (∀n ∈ N) xn = x0 et (xn ) est dite constante. Définitions 2.2.1 Une suite (xn ) de nombres réels est dite:

1. croissante (resp. strictement croissante) si, et seulement si, (∀n ∈ N) xn ⩽ xn+1 (resp. xn < xn+1 ).

El

2. décroissante (resp. strictement décroissante) si, et seulement si, (∀n ∈ N) xn+1 ⩽ xn (resp. xn+1 < xn ) .

3. monotone (resp. strictement monotone) si, et seulement si, (xn ) est croissante ou décroissante (resp. strictement croissante ou strictement décroissante). 4. majorée si, et seulement si, l’ensemble {xn / n ∈ N} est majoré: (∃M ∈ R) : (∀n ∈ N) xn ⩽ M.

al ek

5. minorée si, et seulement si, l’ensemble {xn / n ∈ N} est minoré: (∃m ∈ R) : (∀n ∈ N) m ⩽ xn .

6. bornée si, et seulement si, elle est à la fois majorée et minorée: (∃ (m, M ) ∈ R2 ) : (∀n ∈ N) m ⩽ xn ⩽ M ; ceci est équivalent à (∃M > 0) : (∀n ∈ N) | xn |⩽ M.

Ab de lkh

Exemples 2.2.1 les suites suivantes sont des suites numériques: 1. (∀n ∈ N) xn =

n2 +1 . n2 +4

2. (∀n ∈ N) xn = n + ln (n) .

3. (∀n ∈ N) xn = y0 + y21 + 2y22 + ... + 2ynn , où (yn ) est une suite numérique positive et majorée . √ n 4. (∀n ∈ N) xn+1 = xn yn , yn+1 = xn +y , x0 et y0 sont deux réels fixés tels que 2 0 < x0 < y0 .

5. (∀n ∈ N∗ ) xn+1 = xn +x2 n−1 et x0 et x1 sont deux réels fixés. √ 6. (∀n ∈ N) xn+1 = xn + 2 et x0 = 1. 7. (∀n ∈ N) xn+1 = 8. (∀n ∈ N) xn+1 = positifs.

q 1 2

1+xn 2



et x0 = 3.

xn +

A xn



et x0 = a où a et A sont deux réels réels strictement

Définitions 2.2.2 Soient (xn ) une suite de nombres réels .

28 1. On dit que (xn ) est convergente si, et seulement si, il existe un nombre réel x tel que (∀ε > 0) (∃n0 ∈ N) : ((∀n ∈ N) n ⩾ n0 =⇒| xn − x |< ε) . Dans ce cas, on dit aussi que (xn ) converge vers x ou a pour limite x ou tend vers x et on écrit lim xn = x ou xn −→ x.

ra ni

n→+∞

Dans le cas contraire, on dit que (xn ) diverge ou est divergente.

2. On dit que (xn ) tend vers +∞ (resp. −∞) ou admet +∞ (resp. −∞ ) pour limite et on note lim xn = +∞ ou xn −→ +∞ (resp. lim xn = −∞ ou xn −→ −∞) n→+∞ n→+∞ si, et seulement si,

Proposition 2.2.1

am

(∀A > 0) (∃n0 ∈ N) : (∀n ∈ N) n ⩾ n0 =⇒ xn > A (resp. xn < −A) . 1. Toute suite stationnaire est convergente.

2. Toute suite convergente est bornée. Preuve. Soit (xn ) une suite de nombres réels.

El

1. Si (xn ) est stationnaire, alors (∃p ∈ N) : (∀n ∈ N) n ⩾ p =⇒ xn = xp . Soit ε > 0, alors pour n0 = p on a: (∀n ∈ N) n ⩾ n0 =⇒ xn − xp = 0. Donc (∀n ∈ N) n ⩾ n0 =⇒| xn − xp |< ε , c-à-d xn −→ x. 2. Si xn −→ x , alors pour ε = 1, il existe n0 ∈ N : (∀n ∈ N) n ⩾ n0 =⇒| xn − x |< 1. Or pour tout n ∈ N,

al ek

| xn | − | x | ⩽|| xn | − | x || ⩽| xn − x |

d’où | xn |⩽| xn − x | + | x | ; donc (∀n ∈ N) n ⩾ n0 =⇒| xn |< 1+ | x | . Soit M = max (| x0 |, | x1 |, ..., | xn0 −1 |, 1+ | x |) , alors: (∀n ∈ N) | xn |⩽ M.

□

Ab de lkh

Proposition 2.2.2 Si (xn ) est une suite de nombres réels convergente vers une limite réelle x, alors cette limite est unique.

Preuve. ′ ′ On suppose que (xn ) converge vers une autre limite x différente de x, alors | x − x |> 0 ′ donc pour ε = 41 | x − x |, il existe n0 ∈ N et n1 ∈ N tels que pour tout n ∈ N on a : ′ n ⩾ n0 =⇒| xn − x |< ε et n ⩾ n1 =⇒| xn − x |< ε. On considère N = max (n0 , n1 ) , on a: ′

′

0 0, il existe n0 ∈ N et n1 ∈ N tels que pour tout n ∈ N on a : 

n ⩾ n0 =⇒| xn − x |
0, il existe N ∈ N tel que: ε ε et | yn − y |< 2M  2M ε ε =⇒| xn yn − xy |< M + . 2M 2M

Ab

(∀n ∈ N) n ⩾ N =⇒| xn − x |
0, il existe n0 ∈ N tel que

(∀n ∈ N) n ⩾ n0 =⇒| xn − x |
0, il existe n0 ∈ N : (∀n ∈ N) n ⩾ n0 =⇒| xn − x |< ε. Soit N = max (p, n0 ) , alors

ra

El am

Donc yn −→ x. (xn ) et (yn ) jouent deux rôles symétriques, donc yn −→ x =⇒ xn −→ x. • Démonstration analogue pour x = +∞ ou x = −∞. • La démonstration du cas restant se fait par contra-posée .

ni

(∀n ∈ N) n ⩾ N =⇒ n ⩾ p et n ⩾ n0 =⇒ xn = yn et | xn − x |< ε =⇒| yn − x |< ε.

Exercice 2.3.1 Soit (xn ) une suite numérique.

1. Montrer que, si (xn ) converge vers l, alors la suite (| xn |) est convergente et on a: lim | xn |=| lim xn | .

n→+∞

n→+∞

2. Montrer que, si (xn ) tend vers +∞ ou − ∞, alors la suite (| xn |) tend vers +∞.

Suites équivalentes et suites négligeables

lek

2.4

Définition 2.4.1 Soient (xn ) et (yn ) deux suites réelles. On dit que (xn ) est négligeable devant (yn ), et l’on note xn = o (yn ), si et seulement si, il existe une suite (εn ) telle que: (∀n ∈ N) xn = εn yn lim εn = 0.

ha

(

n→+∞

de lk

Remarque 2.4.1 Si yn ̸= 0 à partir d’un certain rang, alors xn = o (yn ) si et seulement si

xn = 0. n→+∞ yn lim

Ab

Définition 2.4.2 Deux suites réelles (xn ) et (yn ) sont dites équivalentes si, et seulement si xn − yn = o(yn ). On note alors xn ∼ yn .

Remarque 2.4.2 Si yn ̸= 0 à partir d’un certain rang, alors xn ∼ yn si et seulement si xn lim = 1. n→+∞ yn

1 1 1 Exemple 2.4.1 Considérons, pour chaque n ∈ N∗ xn = 2 et yn = . Posons εn = . n n  n 1 1 1 1 1 1 ∗ On a alors , pour tout n ∈ N : xn = εn yn ; lim = 0. D’où 2 = o et 2 + ∼ . n→+∞ n n n n n n

32

2.5

Critères de convergence

Théorème 2.5.1 Soit (xn ) une suite numérique, alors: 1. Si (xn ) est croissante et majorée, alors (xn ) est convergente vers sa borne supérieure sup xn = sup ({xn / n ∈ N}) .

ni

n

ra

2. Si (xn ) est décroissante et minorée, alors (xn ) est convergente vers sa borne inférieure inf xn = inf ({xn / n ∈ N}) . n Preuve.

El am

1. Supposons que (xn ) est croissante et majorée, posons M = sup xn . n

Soit ε > 0, (∃n0 ∈ N) : M − ε < xn0 ⩽ M. Et comme (xn ) est croissante, alors

(∀n ∈ N) n ⩾ n0 =⇒ M − ε < xn0 ⩽ xn ⩽ M < M + ε =⇒| xn − M |< ε. 2. Supposons que (xn ) est décroissante et minorée, posons m = inf xn . n

lek

Soit ε > 0 , (∃n0 ∈ N) : m ⩽ xn0 < m + ε. Et comme (xn ) est décroissante, alors

(∀n ∈ N) n ⩾ n0 =⇒ m − ε < m ⩽ xn ⩽ xn0 < m + ε =⇒| xn − m |< ε.

ha

□

Remarque 2.5.1 Soit (xn ) une suite numérique, alors: 1. Si (xn ) est croissante et non majorée, alors xn −→ +∞.

de lk

2. Si (xn ) est décroissante et non minorée, alors xn −→ −∞. Proposition 2.5.1 Soient (xn ) , (yn ) et (zn ) trois suites numériques, alors: 1. Si (∀n ∈ N) xn ⩽ yn et si (xn ) et (yn ) sont convergentes vers x et y respectivement alors x ⩽ y.

Ab

2. Si (xn ) est convergente et α et β sont deux réels tels que (∀n ∈ N) (resp. (∀n ∈ N) β ⩽ xn ) alors lim xn ⩽ α resp. β ⩽ lim xn . n→+∞

xn ⩽ α

n→+∞

3. Si (∀n ∈ N) xn ⩽ zn ⩽ yn et si (xn ) et (yn ) sont convergentes vers la même limite l, alors lim zn = l. n→+∞

4. Si l ∈ R et (∀n ∈ N) | xn − l |⩽ yn et si lim yn = 0, alors (xn ) est convergente n→+∞ et lim xn = l. n→+∞

Preuve.

33 1. Sinon, c-à-d si y < x; soit ε = 31 (x − y) , alors ε > 0 et il existe n0 et n1 dans N tels que pour tout n ∈ N, on a: (n ⩾ n0 =⇒ x − ε < xn < x + ε) et (n ⩾ n1 =⇒ y − ε < yn < y + ε) ; d’où pour N = max (n0 , n1 ) , on a :

3. Soit ε > 0, il existe n0 dans N tel que (

(∀n ∈ N) n ⩾ n0 =⇒

am

2. Il suffit de prendre (yn ) la suite constante (α) (resp. (β)) dans 1.

ra ni

x − ε < xN ⩽ yN < y + ε =⇒ x − ε < y + ε =⇒ 0 < x − y < 2ε 2 =⇒ 0 < x − y < (x − y) 3 2 =⇒ 1 < , ce qui est impossible. 3

−ε < xn − l < ε −ε < yn − l < ε

El

et alors, pour tout n ∈ N, n ⩾ n0 =⇒ −ε < xn − l ⩽ zn − l ⩽ yn − l < ε =⇒| zn − l |< ε. Donc (zn ) est convergente et lim zn = l. n→+∞

al ek

4. Pour tout n ∈ N, | xn − l |⩽ yn ⇐⇒ l − yn ⩽ xn ⩽ l + yn , il suffit alors d’appliquer le résultat précédent (les deux suites (l − yn ) et (l + yn ) sont convergentes vers la même limite l). □ Remarque 2.5.2 Les propriétés précédentes restent vraies, si les inégalités des hypothèses sont strictes ou si elles sont vraies à partir d’un certain rang .

Ab de lkh

Proposition 2.5.2 Soient (xn ) et (yn ) deux suites numériques, alors: 1. Si xn → 0 et (yn ) est bornée, alors xn yn → 0. 2. Si xn → l, alors | xn |→| l | . La réciproque est fausse.

Preuve.

1. (yn ) est bornée, alors (∃M > 0) : (∀n ∈ N) | yn |⩽ M, d’où (∀n ∈ N) | xn .yn |⩽ M | xn |, or xn → 0, d’où (∀ε > 0) (∃n0 ∈ N) : (∀n ∈ N) si n ⩾ n0 , | xn |< Mε et par suite (∀ε > 0) (∃n0 ∈ N) : (∀n ∈ N) si n ⩾ n0 , | xn .yn |< ε, donc lim xn .yn = 0. n→+∞

2. Soit ε > 0, alors (∃n0 ∈ N) : (∀n ∈ N) n ⩾ n0 =⇒| xn − l |< ε, d’où (∀n ∈ N) n ⩾ n0 =⇒|| xn | − | l ||⩽| xn − l |< ε, donc

lim | xn |=| l | .

n→+∞

Pour xn = (−1)n on a: (∀n ∈ N) | xn |= 1 d’où | xn |→ 1, alors que (xn ) n’a pas de limite. □

34 Corollaire 2.5.1 Soient (xn ) et (yn ) deux suites numériques, alors: 1. Si xn = o (yn ) et (yn ) est bornée, alors xn → 0. 2. Si xn ∼ yn , alors (xn ) et (yn ) sont de même nature: convergent ou divergent au même temps. Et si l’une tend vers une limite, l’autre tend vers la même limite.

ni

Preuve. Il suffit d’appliquer la proposition précédente et les opérations sur les limites des suites. □

ra

Proposition 2.5.3 1. Soient (xn ) et (yn ) deux suites numériques telles que xn ⩽ yn à partir d’un certain rang. Alors: (xn −→ +∞ =⇒ yn −→ +∞) et (yn −→ −∞ =⇒ xn −→ −∞) . 2. Pour tout q ∈ R, si q > 1, q n −→ +∞. Si −1 < q < 1, q n −→ 0.

□

2.6

Suites telles que |

un+1 un

El am

Preuve. En exercice.

|⩽ q < 1

Théorème 2.6.1 Soit (un ) une suite de nombres réels non nuls. On suppose qu’il existe un réel q tel que pour tout entier naturel n (ou seulement à partir d’un certain rang) on ait: | uun+1 |⩽ q < 1. Alors (un ) est convergente et lim un = 0. n n−→+∞

ha

lek

Preuve. On suppose que la propriété | uun+1 |⩽ q < 1. est vraie pour tout entier naturel n n (la preuve dans le cas où cette propriété n’est vraie qu’à partir d’un certain rang n’est pas très différente). Montrons, alors que (∀n ∈ N) | un |⩽| u0 | q n . Par récurrence, la propriété est trivialement vérifiée pour n = 0. Soit n ∈ N, supposons que | un |⩽| u0 | q n , alors un+1 | | un+1 =| un | . | un ⩽| u0 | q n .q ⩽| u0 | q n+1 .

de lk

Donc, selon le principe de récurrence, (∀n ∈ N) | un |⩽| u0 | q n . Or lim | u0 | q n = 0, car | q |< 1, d’où la suite (un ) est convergente et lim un = 0. n−→+∞ n−→+∞ □

Ab

Corollaire 2.6.1 Soit (un ) une suite de nombres réels non nuls. un+1 Si lim = 0, alors (un ) est convergente et lim un = 0. n−→+∞ un n−→+∞ un+1 Preuve. Il suffit d’appliquer la définition de lim = 0 pour un 0 < ε < 1 (ε = 12 n−→+∞ un par exemple) et le théorème précédent. □ 

n



Exemple 2.6.1 Pour tout a ∈ R, la suite an! est convergente vers 0. En effet, le résultat est trivialement vérifié pour a = 0. Soit a ∈ R∗ , alors an+1

un+1 (n+1)! (∀n ∈ N) | | = | an | un n! |a| = . n+1

35 un+1 |a| |= lim = 0, d’où n−→+∞ n−→+∞ n + 1 un alors du corollaire précédent. D’où

lim

|

un+1 = 0. Le résultat se déduit n−→+∞ un □ lim

ra ni

Remarques 2.6.1 1. Avec les notations du théorème précédent, si on a pour tout |⩾ q > 1, alors la suite (un ) entier naturel n à partir d’un certain rang: | uun+1 n diverge. En effet, il suffit d’appliquer le théorème précédent à la suite de terme général u1n pour voir que lim | un |= +∞. n−→+∞

am

2. Toujours avec les notations du théorème précédent, si q = 1 on ne peut rien dire comme le montre l’exemple suivant: Pour la suite (un ) définie par (∀n ∈ N) un = (−1)n , on a (∀n ∈ N) | uun+1 |= 1 (∗) et (un ) est divergente. Toute suite constante n non nulle est donc convergente et vérifie bien (∗) . Exercice 2.6.1 Soit (xn ) une suite numérique. Montrer que:

1. Si (xn ) est décroissante et tend vers 0, alors (∀n ∈ N) xn ⩾ 0. 2. Si (xn ) est croissante et tend vers 0, alors (∀n ∈ N) xn ⩽ 0.

Suites adjacentes et propriété des intervalles emboités

El

2.7

Définition 2.7.1 On dit que deux suites (xn ) et (yn ) sont adjacentes si, et seulement si, l’une est croissante, l’autre est décroissante et lim yn − xn = 0.

al ek

n→+∞

Théorème 2.7.1 Soient (xn ) et (yn ) deux suites adjacentes telles que (xn ) est croissante et (yn ) est décroissante, alors: 1. (∀n ∈ N) xn ⩽ yn .

Ab de lkh

2. Les deux suites (xn ) et (yn ) sont convergentes, et elles convergent vers la même limite. Preuve.

1. Considérons la suite de terme général zn = yn − xn , alors (∀n ∈ N) zn+1 − zn = (yn+1 − yn ) + (xn − xn+1 ) d’où (∀n ∈ N) zn+1 − zn ⩽ 0 d’où la suite (zn ) est décroissante et lim zn = 0, alors, d’après l’exercice précédent, n→+∞

(∀n ∈ N) zn ⩾ 0. Donc (∀n ∈ N) xn ⩽ yn .

2. On a: (∀n ∈ N) x0 ⩽ xn ⩽ yn ⩽ y0 , d’où (xn ) est croissante majorée par y0 et (yn ) est décroissante minorée par x0 , elles sont donc convergentes ; soient lim xn = l n→+∞

′

′

′

et lim yn = l alors lim yn − xn = 0 = l − l , donc l = l . n→+∞

n→+∞

Exemple 2.7.1 Les suites (xn ) et (yn ) définies pour n > 0 par: 1 sont adjacentes. xn = 1 + 1!1 + 2!1 + ... + n!1 et yn = xn + n!n 1 ∗ • (xn ) est croissante: (∀n ∈ N ) xn+1 − xn = (n+1)! , d’où xn+1 > xn .

□

36

ra

ni

• (yn ) est décroissante: pour tout n ∈ N∗ on a: 1 1 1 yn+1 − yn = + − (n + 1)! (n + 1)! (n + 1) n!n ! 1 1 1 1 + − = n! n + 1 (n + 1)2 n 1 n (n + 1) + n − (n + 1)2 = n! n (n + 1)2 1 n2 + n + n − n2 − 2n − 1 = n! n (n + 1)2 1 =− . n!n (n + 1)2

El am

Et alors, (∀n ∈ N∗ ) yn+1 − yn < 0. 1 • (∀n ∈ N∗ ) yn − xn = n!n , d’où yn − xn −→ 0.

Exercice 2.7.1 Montrer que la limite commune des deux suites précédentes est irrationnelle. Exercice 2.7.2 Soit (un )n⩾1 la suite de terme général: un = 1 − Pour tout n de N, considérons xn = u2n et yn = u2n+1 .

1 2

+

1 3

+ ... +

(−1)n−1 . n

1. Montrer que les deux suites (xn ) et (yn ) sont adjacentes. 2. En déduire la nature de la suite (un ) .

lek

Théorème (P ropri´ et´ e des segments emboit´ es) 2.7.1 Si ([an , bn ]) est une suite décroissante ((∀n ∈ N) [an+1 , bn+1 ] ⊂ [an , bn ]) d’intervalles\fermés et bornés (segments) de R telle que bn − an −→ 0, alors leur intersection J = [an , bn ] est réduite à un point. n∈N

n

ha

Preuve. Pour tout n ∈ N, [an+1 , bn+1 ] ⊂ [an , bn ] , donc an ⩽ an+1 et bn+1 ⩽ bn c-à-d (an ) est croissante et (bn ) est décroissante ; il s’agit alors de deux suites adjacentes puisque bn − an −→ 0. Soit l ∈ R la limite commune de (an ) et (bn ) on a: • l = sup an = inf bn , n

de lk

• (∀n ∈ N) an ⩽ l ⩽ bn , d’où l ∈ J et J ̸= ∅. ′ ′ • Supposons que J contient un autre point l avec l ⩾ l (par exemple) , donc pour tout ′ ′ n ∈ N on a: an ⩽ l ⩽ l ⩽ bn , d’où (∀n ∈ N) | l − l |⩽| bn − an | . Comme bn − an −→ 0, ′ alors l = l . □

2.8

Suites de Cauchy et complétude de R

Ab

Définition 2.8.1 On dit qu’une suite réelle (xn ) est de Cauchy (ou vérifie la condition ou le critère de Cauchy) si et seulement si 

(∀ε > 0) (∃n0 ∈ N) : ∀ (m, n) ∈ N2



(m ⩾ n0 et n ⩾ n0 ) =⇒| xn − xm |< ε.

Exercice 2.8.1 Soit (xn ) une suite réelle. Montrer que: (xn ) est de Cauchy si, et seulement si 

(∀ε > 0) (∃n0 ∈ N) : ∀ (m, n) ∈ N2



n ⩾ n0 =⇒| xn+m − xn |< ε.

37 Proposition 2.8.1

1. Toute suite réelle convergente est une suite de Cauchy.

2. Toute suite réelle de Cauchy est une suite bornée. Preuve. Soit (xn ) une suite réelle, alors:

am

| xn − xm | =| (xn − l) − (xm − l) | ⩽| xn − l | + | xm − l | ε ε < + 2 2 = ε.

ra ni

1. Si (xn ) est convergente vers un réel l. Soit ε > 0, il existe n0 ∈ N tel que (∀n ∈ N) n ⩾ n0 =⇒| xn − l |< 2ε . Donc pour tout (m, n) ∈ N2 : n ⩾ n0 et m ⩾ n0 , on a:

2. Si (xn ) est de Cauchy , alors, pour ε = 1, ∃n0 ∈ N : ∀ (m, n) ∈ N2 : n ⩾ n0 et m ⩾ n0 , on a: | xn − xm |< 1, d’où pour tout n ∈ N : n ⩾ n0 on a:

El

| xn | =| xn − xn0 + xn0 | ⩽| xn − xn0 | + | xn0 | ⩽ 1+ | xn0 | .

Soit A = max {| x0 |, | x1 |, ..., | xn0 |, 1+ | xn0 |} , alors (∀n ∈ N) | xn |⩽ A.

□

al ek

Théorème(R est est complet) 2.8.1 Une suite (xn ) d’éléments de R est convergente (vers une limite finie) si, et seulement si, elle vérifie le critère de Cauchy. On dit que R est complet.

Ab de lkh

Preuve. =⇒ ] Proposition précédente . ⇐= ] (xn ) est une suite de Cauchy, elle est donc bornée. Pour tout p ∈ N, soient Xp = {xn / n ∈ N et n ⩾ p} , ap = inf (Xp ) et bp = sup (Xp ) (existent car Xp est non vide et borné). On a: (bn ) et (an ) sont adjacentes, en effet: • (∀p ∈ N) Xp+1 ⊂ Xp , ap ⩽ ap+1 et bp+1 ⩽ bp ; donc (an ) est croissante et (bn ) est décroissante. • Soient ε > 0 et n0 ∈ N tel que (∀ (n, m) ∈ N2 ) n ⩾ n0 et m ⩾ n0 =⇒| xn − xm |< 3ε . Soit p ⩾ n0 , alors, par définition de bp (= sup (Xp )) , il existe n ∈ N : n ⩾ p ⩾ n0 et bp − 3ε < xn ⩽ bp ; et par définition de ap (= inf (Xp )) , il existe m ∈ N : m ⩾ p ⩾ n0 et ap ⩽ xm < ap + 3ε ; et par suite : 0 ⩽ bp − xn < 3ε et − 3ε < ap − xm ⩽ 0, ou encore | bp − xn |< 3ε et | ap − xm |< 3ε . On a donc | bp − ap | ⩽| bp − xn | + | xn − xm | + | xm − ap | ε m =⇒ φ (n) > φ (m). (On montre par récurrence que (∀n ∈ N) φ (n) ⩾ n). 



1. Soit (xn ) = (6n) et φ (n) = 3n, la sous-suite xφ(n) = (18n) . 





2. Pour (xn )n = ((−1)n )n et φ (n) = 2n, la sous-suite xφ(n) = (−1)2n suite constante égale à 1 pour tout n ∈ N. 3. Soit (xn ) la suite de terme général: xn =

1−(−1)n , n2

 n

c’est la

alors:

(i) Pour (∀n ∈ N) φ (n) = 2n : xφ(n) = x2n = 0.

2 . (2n+1)2

(iii) Pour (∀n ∈ N) φ (n) = 4n + 3 : xφ(n) = x4n+3 =

2 . (4n+3)2

lek

(ii) Pour (∀n ∈ N) φ (n) = 2n + 1 : xφ(n) = x2n+1 =

Proposition 2.9.1 Soit (xn ) une suite numérique qui tend vers un x appartenant à R ∪ {+∞, −∞} . Alors toute suite extraite de (xn ) tend vers x. 



de lk

ha

Preuve. Pour x ∈ R. Supposons que la suite (xn ) tend vers x et soit xφ(n) une suite extraite de (xn ) . Soit ε > 0, il existe n0 ∈ N tel que (∀n ∈ N) n ⩾ n0 =⇒| xn − x |< ε; d’où (∀n ∈ N) n ⩾ n0 =⇒ φ (n) ⩾ n ⩾ n0 =⇒| xφ(n) − x |< ε.

Donc xφ(n) −→ x. Les cas où x ∈ {+∞, −∞} se traitent de la même façon.

□

Ab

Proposition 2.9.2 Soit (xn ) une suite numérique. 1. Si (xn ) admet une suite extraite divergente, alors elle est divergente.

2. Si (xn ) admet deux suites extraites convergeant vers deux limites différentes, alors (xn ) diverge.

3. Pour l ∈ R ∪ {+∞, −∞} on a: (

(xn ) tend vers l ⇔

(x2n ) tend vers l (x2n+1 ) tend vers l.

39 Preuve. 1. et 2. sont évidentes d’après la proposition précédente . 3. • Si xn −→ l, alors d’après la proposition précédente, x2n −→ l et x2n+1 −→ l. • Réciproquement, on suppose que x2n −→ l et x2n+1 −→ l où l ∈ R. Soit ε > 0, il existe n1 ∈ N et n2 ∈ N tels que (∀n ∈ N) n ⩾ n1 =⇒| x2n − l |< ε

ni

et n ⩾ n2 =⇒| x2n+1 − l |< ε. Soit N = max (2n1 , 2n2 + 1) , alors, pour tout p ∈ N tel que p ⩾ N, on a:

El am

ra

Si p est pair, p ⩾ N =⇒ p ⩾ 2n1 p =⇒ ⩾ n1 2 =⇒| x2 p2 − l |< ε =⇒| xp − l |< ε.

Si p est impair, p ⩾ N =⇒ p ⩾ 2n2 + 1 p−1 ⩾ n2 =⇒ 2 =⇒| x2 p−1 +1 − l |< ε 2

=⇒| xp − l |< ε.

Donc (∀p ∈ N) p ⩾ N =⇒| xp − l |< ε. Ce qui montre que lim xp = l. p→+∞

Les cas où l ∈ {+∞, −∞} se traitent de la même façon.

lek

□

Exemples 2.9.1 Soient (xn ) et (yn )n⩾2 les suites de termes généraux xn = (−1)n et n yn = n+(−1) , alors pour tout n ∈ N on a: 2 n −1

ha

1. x2n = 1 et x2n+1 = −1 d’où x2n −→ 1 et x2n+1 −→ −1 donc (xn ) diverge. 1 2. y2n = 2n−1 et y2n+1 = converge vers 0.

1 2n+2

si n ̸= 0, d’où : y2n → 0 et y2n+1 → 0, donc (yn )n⩾2

de lk

Définition 2.9.2 Soient (xn ) une suite numérique et x un élément de R ∪ {+∞, −∞} . On dit que x est une valeur d’adhérence de (xn ) si, et seulement si, x est limite d’une sous-suite de (xn ) . Exemple 2.9.2 La suite définie par: (∀n ∈ N) xn = n2 sin comme valeurs d’adhérences. x8n −→ 0, x8n+1 −→ +∞ et x8n+5 −→ −∞.



nπ 4



admet 0 , +∞ et − ∞

Ab

Proposition 2.9.3 Soient (xn ) une suite numérique et x un nombre réel. 1. x est une valeur d’adhérence de (xn ) si, et seulement si, pour tout ε > 0, l’ensemble ]x − ε, x + ε[ contient une infinité de termes de la suite (xn ) , c-à-d: {n ∈ N / xn ∈ ]x − ε, x + ε[} est infini. 2. +∞ (resp. − ∞) est une valeur d’adhérence de (xn ) si, et seulement si, pour tout A > 0, l’ensemble ]A, +∞[ (resp. ]−∞, −A[) contient une infinité de termes de la suite (xn ) c-à-d: {n ∈ N / xn ∈ ]A, +∞[} (resp. {n ∈ N / xn ∈ ]−∞, −A[} ) est infini.

40 Preuve. 1. Soit ε > 0, alors x étant une valeur d’adhérence de (xn ) , il existe une application φ : N −→ N strictement croissante telle que xφ(n) −→ x, d’où (∃n0 ∈ N) : (∀n ∈ N) n ⩾ n0 =⇒ xφ(n) ∈ ]x − ε, x + ε[ ,

El am

ra

ni

donc ]x − ε, x + ε[ contient une infinité d’éléments de la suite (xn ) car {φ (n) / n ⩾ n0 } est infini (car sinon, soit N = max ({φ (n) / n ⩾ n0 }) , on a φ (N + 1) ⩽ N et φ (N + 1) ⩾ N + 1 > N, ce qui h i est absurde). ∗ ⇐=] On a: (∀n ∈ N ) In = x − n1 , x + n1 contient une infinité de termes de la suite (xn ) c-à-d: {m ∈ N / xm ∈ In } est infini . • Pour k = 0, on prend φ (0) = 0, • Pour k = 1, {m ∈ N / xm ∈ I1 } est infini, soit φ (1) ∈ N∗ tel que xφ(1) ∈ I1 , on a bien φ (1) > φ (0) . • Pour k = 2, I2 contient une infinité de termes de la suite (xn ) , donc {m ∈ N / m > φ (1) et xm ∈ I2 } = ̸ ∅,

sinon {m ∈ N / xm ∈ I2 } ⊂ {m ∈ N / m ⩽ φ (1)} absurde (le premier ensemble est infini, le second est fini) ; soit φ (2) ∈ N∗ tel que xφ(2) ∈ I2 et φ (2) > φ (1) . Soit n ∈ N∗ , supposons construit φ (k) pour tout k ∈ N et 0 ⩽ k ⩽ n tels que (∀k ∈ {0, 1, 2, ...., n − 1}) φ (k + 1) > φ (k) ,

alors In+1 contient une infinité de termes de la suite (xn ) , donc

lek

{m ∈ N / m > φ (n) et xm ∈ In+1 } = ̸ ∅, car, sinon

{m ∈ N / xm ∈ In+1 } ⊂ {m ∈ N / m ⩽ φ (n)} ,

ha

absurde (le premier ensemble est infini, le second est fini) ; soit φ (n + 1) ∈ N tel que xφ(n+1) ∈ In+1 et φ (n + 1) > φ (n) . Donc, par le principe de récurrence,

de lk

(∀n ∈ N∗ ) (∃φ (n) ∈ N) : xφ(n) ∈ In et φ (n + 1) > φ (n) et φ (0) = 0.

On définit ainsi une application φ : N −→ Nstrictement croissante telle que:  1 1 ∗ (∀n ∈ N ) x − n < xφ(n) < x + n ; donc xφ(n) est une sous-suite de (xn ) et lim xφ(n) = x.

n→+∞

Ab

2. Même démonstration que 1, en considérant pour tout n ∈ N∗ , In = ]n, +∞[ (resp. ]−∞, n[) .

□

Lemme 2.9.1 Soit A ⊆ N. Alors A est inf ini ⇐⇒ (∀N ∈ N∗ ) (∃n ⩾ N ) : n ∈ A.

Preuve. =⇒ ] Sinon, (∃N ∈ N∗ ) : (∀n ⩾ N ) : n ∈ / A, d’où A ⊂ {0, 1, 2, ..., N − 1} , absurde . ⇐= ] Sinon, c-à-d: on suppose que A est fini . Soit M = M ax (A) , alors (∀n ⩾ M + 1) n ∈/ A, absurde . □

41 Corollaire 2.9.1 Soient (xn ) une suite numérique et x un nombre réel . 1. x est une valeur d’adhérence de (xn ) si, et seulement si, (∀ε > 0) (∀N ∈ N) (∃n ⩾ N ) :| xn − x |< ε. 2. +∞ (resp. − ∞) est une valeur d’adhérence de (xn ) si, et seulement si,

ni

(∀A > 0) (∀N ∈ N) (∃n ⩾ N ) : xn > A (resp. xn < −A) . Preuve. 1. D’après la proposition 2.9.3, on a:

ra

x valeur d′ adh´ erence de (xn ) ⇐⇒ (∀ε > 0) Aε = {n ∈ N / xn ∈ ]x − ε, x + ε[} est inf ini.

El am

=⇒ ] Soient ε > 0 et N ∈ N, alors: Aε = {n ∈ N / xn ∈ ]x − ε, x + ε[} = {n ∈ N / | xn − x |< ε} . Donc

x valeur d′ adh´ erence de (xn ) =⇒ Aε est inf ini =⇒ (∃n ⩾ N ) | xn − x |< ε d′ apres ` le lemme pr´ ec´ edent. ⇐= ] Soit ε > 0 et soit N ∈ N, il existe n ⩾ N : | xn − x |< ε c-à-d:

lek

(∃n ⩾ N ) : xn ∈ Aε ,

d’où, d’après le lemme précédent, Aε est infinie, donc x est une valeur d’adhérence de la suite (xn ) . 2. Pour +∞ (resp. − ∞) (traiter à titre d’exercice).

□

ha

Théorème (de Bolzano − W eierstrass) 2.9.1 De toute suite bornée de nombres réels on peut extraire une sous-suite convergente c-à-d: Toute suite bornée admet une valeur d’adhérence.

de lk

Preuve. Soient (xn ) une suite bornée de nombres réels et a et b deux nombre réels tels que (∀n ∈ N) a ⩽ xn ⩽ b.

Ab

On a : • I0 = {n ∈ N / xn ∈ [a, b]} est infini (= N) . (c’est le milieu du segment [a, b]). On considère les deux intervalles [a, c] • Soit c = a+b 2 et [c, b]. Des deux ensembles {n ∈ N / xn ∈ [a, c]} et {n ∈ N / xn ∈ [c, b]} , un au moins est infini . On désigne par I1 celui des deux intervalles [a, c] ou [c, b] qui contient une infinité de termes de la suite (xn ) par φ (1) l’entier le plus petit élément de {n ∈ N / xn ∈ I1 } , on a xφ(1) ∈ I1 ( dans le cas où les deux intervalles ci-dessus contiennent une infinité de termes de la suite, on choisit arbitrairement un parmi eux) ; on note y1 = xφ(1) . La longueur de I1 est b−a et {n ∈ N / xn ∈ I1 } est infini . 2 • On recommence sur I1 , ce qui a été fait sur I0 , en considérant le milieu de I1 , on a deux intervalles dont l’un au moins contient une infinité de termes de la suite (xn ) (car

42





• (yn ) = xφ(n) est une suite extraite de (xn ) (φ est strictement croissante) , . • (∀n ∈ N) yn ∈ In et la longueur de In est b−a 2n

(yn ) est de Cauchy: Soit ε > 0, il existe N ∈ N tel que (∀n ∈ N) n ⩾ N =⇒ yn ∈ In (⊂ IN ) , d’où 

∀ (m, n) ∈ N2



b−a 2N

< ε; donc

am

(

ra ni

{n ∈ N / xn ∈ I1 } est infini). On désigne par I2 cet intervalle et par φ (2) le plus petit élément de {n ∈ N / xn ∈ I2 et n > φ (1)} (̸= ∅ déjà vu), on a: φ (2) > φ (1) et xφ(2) ∈ I2 . La longueur de I2 est b−a et {n ∈ N / xn ∈ I2 } est infini ; on note y2 = xφ(2) . 22 • On définit, par récurrence, une suite d’intervalles (In )n⩾0 et une suite   (yn )n⩾0 = xφ(n) telles que: ∗ I0 = [a, b] , y0 = x0 , n⩾0 ∗ pour tout n ∈ N; on définit yn+1 = xφ(n+1) par: ∗ In+1 ⊂ In avec In+1 la moitié de In qui contient une infinité de termes de la suite (xn ) et φ (n + 1) le plus petit élément de {k ∈ N / xk ∈ In+1 et k > φ (n)} , donc φ (n + 1) > φ (n) et on note yn+1 = xφ(n+1) . On a donc

b−a 2N < ε.

n ⩾ N et m ⩾ N =⇒| yn − ym |
0 alors (xn ) est strictement croissante et lim xn = +∞. n→+∞

iii . Si r < 0 alors (xn ) est strictement décroissante et lim xn = −∞. n→+∞

Remarque 2.10.1 Une suite (xn ) est arithmétique si, et seulement si, il existe (a, b) ∈ R2 tel que (∀n ∈ N) xn = an + b, a est la raison de la suite (xn ) .

2.10.2

Suites géométriques

Définition 2.10.2 Une suite (xn ) est dite géométrique si, et seulement si, il existe q ∈ R, tel que, pour tout n ∈ N, xn+1 = qxn ; q est appelé la raison de (xn ) .

Proposition 2.10.2

1. Soit q ∈ R, alors: lim q n = n→+∞

        

0 si | q |< 1 1 si q = 1 +∞ si q > 1 n′ existe pas si q ⩽ −1

43 2. Soit (xn ) une suite géométrique de raison q, alors: i . (∀n ∈ N) xn = x0 q n et plus généralement (∀ (n, p) ∈ N2 ) xn = xp q n−p si q ̸= 0. ii . Si x0 ̸= 0, alors (xn ) converge si et seulement si | q |< 1 ou q = 1. Preuve. Voir le cours de 1ere et 2eme sciences.(Faites la à titre d’exercice).

□

ra ni

Remarque 2.10.2 Une suite (xn ) est géométrique si, et seulement si, il existe (a, b) ∈ R2 tel que (∀n ∈ N∗ ) xn = ban , a est la raison de la suite (xn ) .

Proposition (Approximation d′ un nombre r´ eel par des d´ ecimaux) 2.10.1 Tout nombre réel x est limite d’une suite unique (xn ) strictement croissante de nombres décimaux. En particulier, pour chaque n ∈ N, xn ⩽ x < xn + 10−n ,

am

xn est alors une valeur approchée par défaut de x à 10−n près.

Preuve. Soit x ∈ R, selon la proposition 1.3.3 du chapitre précédent

E (10n x) . xn = 10n !

(∀n ∈ N) (∃!xn ∈ D) : xn ⩽ x < xn + 10

lim 10−n =

n−→+∞

lim

n−→+∞

El

Et alors, (∀n ∈ N) 0 ⩽ x − xn < 10−n . Et comme lim xn = x.

−n

n−→+∞

1 = 0, alors 10n □

al ek

Remarque 2.10.3 Tout nombre réel est limite d’une suite à termes rationnels car D ⊂ Q, et aussi √ limite d’une suite à termes irrationnels ( prendre pour tout n ∈ N, yn = xn + −n 10 2 où (xn ) est la suite de la proposition précédente).

Ab de lkh

Proposition 2.10.3 Soit (xn ) une suite numérique. Pour chaque n de N, soit Sn = x0 + x1 + ... + xn , (Sn ) est appelée suite des sommes partielles de (xn ) , alors: 1. Si (xn ) une suite géométrique de raison q,   x0 (n + 1) si q = 1  n 1 − q n+1 i. (∀n ∈ N) Sn = x0 (1 + q + ... + q ) =  x0 si q ̸= 1  1−q x0 ii. Si | q |< 1, alors lim Sn = . n→+∞ 1−q iii. Si | q |⩾ 1 et x0 ̸= 0, alors (Sn ) diverge. 2. Si (xn ) une suite arithmétique de raison r, x0 + xn n+1 i. (∀n ∈ N) Sn = (n + 1) = (2x0 + nr) . 2 2 ii. Si r = 0 et x0 = 0, alors lim Sn = 0. n→+∞

iii. Si r > 0, alors lim Sn = +∞, indépendamment de la valeur de x0 . n→+∞

iv. Si r < 0, alors lim Sn = −∞, indépendamment de la valeur de x0 . n→+∞

Preuve. 1. Il suffit d’appliquer la proposition précédente et la formule: 1 − q n+1 = (1 − q) (1 + q + ... + q n ) .

2. Voir le cours de 1ere et 2eme sciences.(Faites le à titre d’exercice).

□

44

2.10.3

Suites arithmético-géométriques

Définition 2.10.3 On dit que qu’une suite numérique (xn ) est une suite arithméticogéométrique si, et seulement si, il existe (a, b) ∈ R2 tel que (∀n ∈ N) xn+1 = axn + b.

ra ni

Remarque 2.10.4 i. Si a = 1, (xn ) est une suite arithmétique de raison b. ii. Si b = 0, (xn ) est une suite géométrique de raison a. Donc les suites arithmétiques et les suites géométriques sont des suites arithméticogéométriques.

am

Proposition 2.10.4 Soit (xn ) une suite arithmético-géométrique telle que b , alors: (∀n ∈ N) xn+1 = axn + b avec a ̸= 1. Et soit yn = xn − r où r = 1−a 1. La suite (yn ) est géométrique de raison a. 2. (∀n ∈ N) xn = an (x0 − r) + r. b 3. Si | a |< 1, alors lim xn = . n→+∞ 1−a n 4. (∀n ∈ N∗ ) x0 + x1 + ... + xn−1 = (x0 − r) 1−a + nr. 1−a Preuve. 1. Soit n ∈ N, alors:

b 1−a ! ab b = axn − = a xn − 1−a 1−a = a (xn − r) = ayn ,

El

yn+1 = xn+1 − r = axn + b −

al ek

d’où (∀n ∈ N) yn+1 = ayn , donc (yn ) est géométrique de raison a. 2. Puisque (yn ) est géométrique de raison a, alors, pour tout n ∈ N on a: yn = an y0 et xn − r = an (x0 − r) , d’où xn = an (x0 − r) + r. b 3. Si | a |< 1, alors lim an = 0, donc lim xn = r = . n→+∞ n→+∞ 1−a 4. Soit n ∈ N∗ , alors:

Ab de lkh

x0 + x1 + ... + xn−1 = (y0 + r) + (y1 + r) + ... + (yn−1 + r) 1 − an = (y0 + y1 + ... + yn−1 ) + nr = y0 + nr 1−a 1 − an = (x0 − r) + nr. 1−a

2.11

Suites récurrentes

2.11.1

Définition et propriétés

□

Définition 2.11.1 Soient f : Df ⊂ R −→ R une fonction et a ∈ Df . La suite définie par: ( x0 = a (∀n ∈ N) xn+1 = f (xn ) est appelée une suite récurrente associée à la fonction f.

45 Exemple 2.11.1 1. Les suites aritmético-géométriques (en particulier les suites arithmétiques et géométriques), définies précédemment, sont récurrentes associées à la fonction x 7→ ax + b. n

o

3. Les suites définies dans les exemples 2.2.1. (6, 7 et 8) sont récurrentes.

ni

n +b , où (a, b, c, d) ∈ R4 2. La suite définie par u0 ∈ R \ − dc et (∀n ∈ N) un+1 = au cun +d avec ad − bc ̸= 0, est une suite récurrente associée à la fonction homographique . x 7→ ax+b cx+d

El am

ra

Proposition 2.11.1 Soit (xn ) une suite récurrente définie par: x0 = a et (∀n ∈ N) xn+1 = f (xn ) avec a ∈ I et I un intervalle de R tel que f (I) ⊂ I ⊂ Df , alors: Si f est continue en un réel l et (xn ) converge vers l, alors l est un point fixe de f sur Df , c-à-d: f (l) = l.

Preuve.Comme (∀n ∈ N) xn+1 = f (xn ) , x0 ∈ I et f (I) ⊂ I, alors (∀n ∈ N) xn ∈ I (par récurrence). On considère la suite (yn )n = (xn+1 )n . On a: • (yn )n est une sous-suite de (xn )n , donc yn −→ l. Et f (I) ⊂ I entrainent que (∀n ∈ N) yn ∈ I, et • la continuité de f en l entraine que (yn )n = (f (xn ))n converge vers f (l) (ce résultat sera démontré ultérieurement dans le chapitre 3: Fonctions numériques (Continuité)). • L’unicité de la limite d’une suite entraine que f (l) = l. □ Remarque 2.11.1 1. Si l’équation f (x) = x n’a pas de solution sur Df et f est continue sur Df , alors (xn ) diverge.

lek

2. Il se peut que l’équation f (x) = x admet des solutions sur Df et que (xn ) diverge. 3. Si (xn ) converge vers l et f est continue en l alors la suite (f (xn ))n converge vers f (l) .

ha

Théorème 2.11.1 Soient f une fonction numérique, I un intervalle de R tel que f (I) ⊂ I, a ∈ I et (xn ) une suite récurrente définie par: x0 = a et (∀n ∈ N) xn+1 = f (xn ) , alors: 1. Si f est croissante sur I, alors (xn ) est monotone: (i) . Si x0 ⩽ x1 , alors (xn ) est croissante.

de lk

(ii) . Si x0 ⩾ x1 , alors (xn ) est décroissante.

2. Si f est décroissante sur I, alors les suites extraites (x2n ) et (x2n+1 ) sont monotones et de monotonies différentes (c-à-d: l’une est croissante, l’autre est décroissante). Et si l’une converge vers l en lequel f est continue, l’autre est convergente vers f (l) .

Ab

Preuve.

1. (i). Supposons que x0 ⩽ x1 , montrons par récurrence que (xn ) est croissante . Pour n = 0, l’inégalité x0 ⩽ x1 est vraie par hypothèse. Soit n ∈ N, supposons que xn ⩽ xn+1 alors f (xn ) ⩽ f (xn+1 ) car f est croissante sur I et (∀m ∈ N) , xm ∈ I, d’où xn+1 ⩽ xn+2 donc la propriété est vraie pour n + 1. Donc (∀n ∈ N) xn ⩽ xn+1 c-à-d que (xn ) est croissante . (ii). Si x0 ⩾ x1 , on montre de la même façon que (xn ) est décroissante.

46

Exemples

ha

2.11.2

lek

El am

ra

ni

2. Soit g = f ◦ f, alors g est croissante sur I (composée de deux fonctions de même monotonie sur I f (I) ⊂ I). Posons (∀n ∈ N) un = x2n et vn = x2n+1 , alors pour tout n ∈ N, on a un+1 = x2n+2 = f (x2n+1 ) = f (f (x2n )) = g (un ) , de même vn+1 = g (vn ) ; donc d’après 1, (un ) et (vn ) sont monotones, et on a 1er cas: Si x0 ⩽ x2 , alors f (x0 ) ⩾ f (x2 ) c-à-d: x1 ⩾ x3 . On a donc u0 ⩽ u1 , v0 ⩾ v1 et g croissante sur I, d’où d’après 1, la suite (un ) est croissante et (vn ) est décroissante. 2eme cas: Si x0 ⩾ x2 , alors f (x0 ) ⩽ f (x2 ) c-à-d: x1 ⩽ x3 . On a donc u0 ⩾ u1 , v0 ⩽ v1 et g croissante sur I, d’où d’après 1 la suite (un ) est décroissante et (vn ) est croissante. Le dernier point du théorème est assuré par le point 3 de la remarque 2.11. 1. □

Exemple 1: Étudier la suite (un ) définie par:

de lk

(

u0 = 1 √ (∀n ∈ N) un+1 = 2 + un

Réponse: Soit f la fonction numérique de la variable réelle x définie par: √ f (x) = 2 + x, alors (un ) est une suite récurrente associée à f qui est strictement croissante sur Df = [−2, +∞[ = I (Voir le cours de 1ere science) et 



Ab

f (I) = f (−2) , lim f (x) = [0, +∞[ (⊂ I) . x→+∞

Par ailleurs, u0 ∈ I, d’où (∀n ∈ N) un ∈ I. De plus u0 = 1 et u1 = f (u0 ) = u0 < u1 donc (un ) est croissante.

√

Montrons que (∀n ∈ N) un ⩽ 2. Par récurrence: pour n = 0 on a u0 ⩽ 2. Soit n ∈ N, supposons que un ⩽ 2, alors f (un ) ⩽ f (2) d’où un+1 ⩽ 2 (f (2) = 2). Donc (∀n ∈ N) un ⩽ 2.

3 d’où

47

Donc lim un = 2. n→+∞

(

El am

Exemple 2: Étudier la suite récurrente (un ) définie par:

ra

ni

La suite (un ) est majorée par 2 et est croissante, elle est donc convergente, et sa limite l est solution de l’équation f (x) = x dans Df . Or pour tout x ∈ Df on a: √ f (x) = x ⇔ 2 + x = x et x ⩾ 0 ⇔ 2 + x = x2 et x ⩾ 0 ⇔ x2 − x − 2 = 0 et x ⩾ 0 ⇔ (x + 1) (x − 2) = 0 et x ⩾ 0 ⇔ x = −1 ou x = 2 et x ⩾ 0 ⇔ x = 2.

u0 = 3 q n ∀n ∈ N un+1 = 1+u . 2

Réponse: Soit f la fonction numérique de la variable réelle x définie par: q 1+x f (x) = , alors (un ) est une suite récurrente associée à f qui est strictement croissante 2 sur Df = [−1, +∞[ = I, (Voir le cours de 1ere science) et 



f (I) = f (−1) , lim f (x) = [0, +∞[ (⊂ I) . x→+∞

√

2, d’où u1 < u0 , donc (un ) est décroissante.

lek

Par ailleurs, u0 = 3 et u1 = f (u0 ) =

ha

Montrons que (∀n ∈ N) un > 1. Par récurrence, pour n = 0 on a u0 > 1. Soit n ∈ N, supposons que un > 1, alors f (un ) > f (1) car f est strictement croissante sur I et (1, un ) ∈ I 2 , d’où un+1 > 1 (f (1) = 1). Donc (∀n ∈ N) un > 1. La suite (un ) est minorée par 1 et est décroissante, elle est donc convergente , et sa limite l est solution de l’équation f (x) = x dans I. Or pour tout x ∈ I on a: s

de lk

1+x 1+x =x⇔ = x2 et x ⩾ 0 2 2 ⇔ 2x2 − x − 1 = 0 et x ⩾ 0   1 ⇔ 2 (x − 1) x + = 0 et x ⩾ 0 2   1 ⇔ x = 1 ou x = − et x ⩾ 0 2 ⇔ x = 1.

Ab

f (x) = x ⇔

Donc lim un = 1.

□

n→+∞

Exemple 3: Étudier la suite récurrente (un ) définie par: (

u0 = a,  (∀n ∈ N) un+1 = 12 un +

A un



.

48 Où a et A sont deux réels strictement positifs. Réponse: (un ) est une suite récurrente  associée à la fonction numérique f de la A 1 variable réelle x définie par: f (x) = 2 x + x . 2

′

ni

Or pour tout x ∈ R∗ on a: f (x) − x = A−x (∗) , et alors, si (un ) converge sa limite est √ 2x √ l’un des points fixes de f qui sont − A et A. Par ailleurs, pour tout x ∈ R∗ on a: 1 A 1− 2 2 x ! 2 1 x −A = , 2 x2 



f ′ (x)

− +∞

El am

Tableau des variations de f sur ]0, +∞[: √ x +∞ 0 A

ra

f (x) =

+

0

+∞

f (x)

√ A

x

√ A

0

+

0

+∞ −

ha

g(x)

lek

√ √ D’où (∀x ∈ ]0, +∞[) f (x) ⩾ A, d’où (∀n ∈ N∗ ) un ⩾ A; et selon (∗) le signe de x 7→ g (x) = f (x) − x sur ]0, +∞[ est donné dans le tableau suivant:

d’où (∀n ∈ N∗ ) un ⩾ un+1 ; c-à-d (un )n⩾1 est décroissante ; et puisqu’elle est minorée par √ √ A, elle est alors convergente vers A.

de lk

Remarque 2.11.2 Si (a, A) ∈ Q+2 , alors la suite précédente est à termes dans Q qui √ converge vers A qui n’est pas en général un élément de Q; c’est le cas où A est un entier naturel qui n’est pas un carré parfait.

Ab

Exercice (Examen de rattrapage SM P − SM C 2008 − 2009) 2.11.1 On considère la suite réelle (un ) définie par:     

u0 ⩾ 0 s ∀n ∈ N un+1 =

1 + un . 2

1. On suppose que 0 ⩽ u0 ⩽ 1 a . Montrer que: ∀n ∈ N un ⩽ 1. b . Montrer que la suite (un ) est convergente et donner sa limite. 2. On suppose que u0 > 1. Montrer que la suite (un ) est convergente et donner sa limite.

ni

Chapitre 3

3.1 3.1.1

Introduction

El am

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Fonctions numériques d’une variable réelle

Les fonctions numériques dans le programme scolaire Marocain

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A l’encontre des deux concepts: nombres réels et suites numérique, le concept de fonctions numérique est introduit un peu tard aux programmes de l’école Marocaine ; ainsi: • Collège:3eme année: Introduction des deux classes de fonctions linéaires x 7−→ ax et affines x 7−→ ax + b où a et b sont deux nombres réels non nuls. Le tracé de leurs courbes fait appel aux droites définies par leurs équations cartésiennes dans un plan rapporté à un repère orthonormé. • Lycée: Tronc commun: On introduit le concept de fonction numérique d’une variable réelle . Le domaine de définition, la bornitude, la monotonie, la parité et la courbe représentative d’une fonction numérique sont introduits et illustrés par et les deux fonctions cos et sin. les exemples f : x 7−→ ax2 + bx + c, g : x 7−→ ax+b cx+d Une étude complète de ces quatre fonctions est faite et leurs courbes sont tracées, en utilisant des techniques géométriques à savoir la symétrie centrale, axiale et le concept de translation, sans les notions de limite, continuité et dérivabilité ; ainsi la notion de parabole et hyperbole sont introduites pour désigner la courbe de f et g. • Lycée: Première année du baccalauréat scientifique : Une étude analytique , très poussée, des fonctions numérique est introduite. Le programme de mathématique de cette année comporte les quatre chapitres réservées aux fonctions numériques d’une variable réelle: 1. Généralités sur les fonctions numériques(semestre 1): On présente, d’une façon mathématique, les notions fondamentales telles que: le domaine de définition, bornitude, extrémums absolus et relatifs, périodicité, monotonie et √ taux des variations, le tracé des courbes des fonctions : f : x 7−→ ax3 , g : x 7−→ x + a et x 7−→ E (x) se fait sans les notions de limite, continuité et dérivabilité. 2. Limite des fonctions numériques (semestre 1 et 2): On présente, d’une façon mathématique, dans la filière Science mathématique, cette notion ; ainsi la fameuse définition de limite finie d’une fonction en un nombre réel, est introduite 49

50 et illustrée par des exemples: lim f (x) = l ⇔ (∀ε > 0) (∃α > 0) : (∀x ∈ Df ) | x − x0 |< α ⇒| f (x) − l |< ε.

x→x0

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Les quinze définitions mathématiques des limites sont introduites et illustrées par des exemples. Les opérations sur les limites, limites et ordre, limites des fonctions de références: Les fonctions polynomiales, fractions rationnelles, cos, sin et tan sont aussi introduites, en particulier le théorème de calcul des limites en l’infini d’une fonction polynomiale ou fraction rationnelle est donné sous cette forme:  Si P et Q sont deux fonctions  P (x) = lim an xn   lim ±∞ ±∞ polynomiales non nulles et n = d◦ P et m = d◦ Q, alors an x n P (x)   = lim lim  ±∞ Q (x) ±∞ bm xm 3. Dérivabilité des fonctions numériques (semestre 2): On présente, d’une façon mathématique, dans la filière Science mathématique, cette notion ; en recommandant dans les instructions officielles, au professeurs, de l’utilisation de l’approximation des fonctions dérivables en un point par des fonctions affines, pour introduire ce concept. Les opérations sur la dérivabilité, dérivabilité des fonctions de références: Les fonctions polynomiales, fractions rationnelles, cos, sin et tan sont aussi introduites.

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Les trois applications de la notion de dérivée sont utilisées: Variation d’une fonction ′′ sur un intervalle, Extrémum d’une fonction et l’équation différentielle y + ω 2 y = 0, où ω ∈ R. 4. Étude des fonctions numériques (semestre 2): L’accent est mis, dans ce chapitre, sur la représentation graphique de la courbe représentative d’une fonction numérique. Ainsi on introduit la notion de convexité et concavité et les points d’inflexions d’une telle courbe, le centre de symétrie et l’axe de symétrie, et les branches infinies sont introduites sous forme d’un savoir scientifique et ceci dans toutes les filières scientifiques. • Lycée: Deuxième année du baccalauréat scientifique: Dans le programme de toutes les filières scientifiques, une grande importance est donnée aux fonctions numériques d’une variable réelle. Ainsi dans le premier chapitre on introduit les quatre types de la notion de continuité (en un point, à gauche en un point, à droite en un point et sur un intervalle), la définition mathématique de ces types de continuité est introduite, uniquement, dans la filière science mathématique. Les opérations sur la continuité, notamment la continuité de la composée de deux fonctions, continuité des fonctions de références: Les fonctions polynômiales, fractions rationnelles, cos, sin et tan sont aussi introduites (sans preuve): le théorème des valeurs intermédiaires (T.V.I), l’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle, en particulier, l’image d’un segment par une fonction continue est un segment, les images des différents types d’intervalles de R par une fonction continue sont calculées à l’aide de la monotonie de cette fonction sur cet intervalle. On introduit aussi le fameux théorème de la bijection monotone à savoir: Toute application f continue est strictement monotone sur un intervalle I est bijective de cette intervalle vers l’intervalle f (I). Ce théorème sert à introduire les fonctions racines nièmes et les fonctions exponentielles comme bijections réciproques respectives des fonctions x 7−→ xn sur [0, +∞[ et des fonctions logarithmes sur R. Quant à la fonction arc-tangente qui ne figure que dans le programme de la filière science mathématique, elle est présentée comme bijection réciproque de la fonction tangente sur R. Sont aussi données les propriétés algébriques et

51 analytiques de ces trois fonctions.

El am

ra

ni

Dans les deux chapitres: Dérivabilité et Étude des fonctions numériques , on rappelle les principaux résultats et concepts déjà étudiés au première année, puis on introduit le fameux théorème de la dérivée de la composée: Si f et g sont deux fonctions numériques de la variable réelle dérivable en x0 et f (x0 ) respectivement, alors ′ ′ ′ la composée g ◦ f est dérivable en x0 et (g ◦ f ) (x0 ) = g (f (x0 )) .f (x0 ), une démonstration rigoureuse est aussi présentée (pour la filière science mathématique). On introduit aussi un théorème sur la dérivabilité de la bijection réciproque qu’on applique pour étudier et présenter la dérivée des nouvelles fonctions introduites dans ce niveau à savoir la fonction racine nieme , puissance rationnelle, la fonction arc-tangente et la fonction exponentielle. Les théorèmes de Rolle , des accroissements finis et des deux inégalités des accroissements finis sont introduits et démontrés dans la filière science mathématique ; et sont utilisés pour démontrer des résultats admis en 1ere année, en particulier la caractérisation des variations d’une fonction sur un intervalle à partir du signe de sa dérivée.

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ha

lek

Une étude simple des primitives est donnée, en mettant l’accent sur la classe des fonctions continues, ainsi on présente, sans démonstration les deux théorèmes suivants: ∗ Toute fonction continue sur un intervalle admet une fonction primitive sur cet intervalle . ∗ Toute fonction continue sur un intervalle I admet, pour chaque (x0 , y0 ) de I × R, une unique primitive F sur I vérifiant F (x0 ) = y0 . La fonction logarithme népérien est introduite comme la primitive de la fonction x 7−→ x1 , sur l’intervalle ]0, +∞[ qui s’annule en 1. Aussi sont présentées et étudiées ses propriétés algébriques et analytiques. √ Les courbes des quatre nouvelles fonctions: x 7−→ n x , arctan, ln et exp sont tracées, ainsi que leurs composées avec d’autres fonctions sont étudiées.

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3.1.2

Aperçu historique sur les fonctions numériques

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1. Notion de fonction: En mathématiques, une fonction permet de définir un résultat (le plus souvent numérique) pour chaque valeur d’un ensemble appelé domaine. Ce résultat peut être obtenu par une suite de calculs arithmétiques ou par une liste de valeurs, notamment dans le cas de relevé de mesures physiques, ou encore par d’autres procédés comme la résolution d’équations ou le passage à la limite. En théorie des ensembles, une fonction ou application est une relation entre deux ensembles pour laquelle chaque élément du premier est en relation avec un unique élément du second. Parfois, on distingue la notion de fonction en affaiblissant la condition comme suit : chaque élément du premier ensemble est en relation avec au plus un élément du second. Comme pour les deux concepts des chapitres précédents, le concept de fonction trouve sa genèse dans l’antiquité. Ainsi, Chez Les Babyloniens : Dans les tablettes Babyloniennes, dont les plus anciennes datent de la première dynastie (vers 1800 av.J.C), on trouve des tables sexagésimales de réciproques, de carrés, de cubes, de racines cubiques... La multiplication est effectuée par exemple en se référant à des tables de multiplication, établies certainement par additions successives. L’utilisation de tables de réciproques permet alors de remplacer les divisions par des multiplications. Les babyloniens, réputés pour leurs remarquables aptitudes en astronomie, utilisaient ces tables pour calculer les éphémérides du soleil, de la lune. (voir A. Dahan et J. Peiffer page 12, p 208) dans [Une histoire des mathématiques 1986],. Chez Les grecs : En acoustique, les mathématiciens de la fraternité pythagoricienne au 6e`me siècle av. J. C, recherchèrent des relations entre la hauteur des sons émis par des cordes pincées et la longueur de ces cordes. En astronomie, les mathématiciens grecs d’Alexandrie dressent des tables donnant la longueurs des cordes de cercles de rayon fixé, ce sont les fameuses premières tables de sinus que l’on peut observer dans l’Almageste de Ptolémée Claude (2ème siècle). Ces tables sont visibles sur le site gallica de la BNF. Almageste table des cordes Source : gallica.bnf.fr Cependant, comme le font fort justement remarquer A. Dahan et J. Peiffer, il serait trop simpliste de voir en ces tables de Ptolémée, les premières fonctions. Elles n’en sont que le germe et ne sont considérées que comme des tableaux de valeurs numériques utiles pour les calculs. On ne considère jamais l’entité qui permet de passer d’une colonne de nombres à l’autre. Ainsi, même si l’on considère une fonction comme une relation entre des valeurs comme dans la définition moderne, les tables de Ptolémée ne sont que des relations entre éléments discrets constants d’ensembles finis. Il n’est absolument pas question de quantités variables ni de lois de variations. La notion de fonction (Les Écoles d’oxford et de Paris, 14e`me siècle): La cinématique, c’est à dire l’étude des mouvements de solides, est le grand sujet d’étude des écoles de philosophie naturelle d’oxford et de Paris au 14e`me siècle. Les mathématiciens de ces écoles dont le français Oresme Nicolas (1325 - 1382) et les anglais Bacon Roger (1214 - 1294) ou Bradwardine Thomas (1290 - 1349) proposent de modéliser les phénomènes physiques et mettent en évidences des relations entre vitesse, force, temps et résistance, tout cela, de façon géométrique

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bien sûr. Ils quantifient des phénomènes comme la vitesse, la chaleur, la densité et leurs prêtant des qualités pouvant varier de façon continue. Des fonctions du temps apparaissent et Oresme écrira : "Chaque chose mesurable, à l’exception des nombres, est imaginée comme une quantité continue." Étude des trajectoires, 17e`me siècle: Avec le français Viète François (1540-1603) qui introduit de façon systématique le calcul littéral (voir histoire du symbolisme algébrique), vient le temps des formules. La notion de fonction, qui était alors uniquement associée à une courbe, va maintenant être lié à une formule comme le met en évidence la célèbre formule de Galilée en 1623 qui propose ses lois sur la chute des corps : "Le grand livre de l’univers est écrit en langage mathématique". Au début du 17e`me siècle, le physicien et mathématicien allemand Johannes Kepler (1571 – 1630), énonce ses lois sur les trajectoires elliptiques des planètes. Toutes les fonctions introduites à cette période sont considérées comme des trajectoires de points en mouvement. 1e`re définition de fonction (Courbes géométriques et transcendantes): Le mathématiciens français Descartes René du Perron (1596-1650) propose d’établir une classification des courbes : Les courbes géométriques : Les coordonnées x et y sont reliées par une équation polynômiale. Les courbes mécaniques ou transcendantes : comme le logarithme, Descartes les rejette. Pour lui, selon le philosophe Jules Vuillemin (1920-2001), une fonction est donc : "Est fonctionnelle pour Descartes, une relation qui permet de faire correspondre à une longueur donnée, une autre longueur déduite de la première par un nombre fini d’opérations algébriques".

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L’essentiel ici est de noter que désormais une fonction est associée et même définie par une équation. Bien sûr le problème des courbes transcendantes subsiste, mais, plus pour longtemps !

2e`me définition de fonction (Gregory James, 1667): Les mathématiciens qui succèdent à Descartes découvrent alors le développement des fonctions en séries infinies de puissances. Le mathématicien allemand Mercator Nicolaus (1620 -1687) est le premier avec Newton, à proposer une technique fine permettant de développer des fonctions en séries. En 1668, dans Logarithmotecnia, il trouve l’aire de l’hyperbole en dévelop1 puis, en intégrant terme à terme comme l’anglais pant en série géométrique 1+x Wallis John (1616-1703), il obtient le développement de la série qui porte son nom mais qui fut obtenue par Sir Isaac Newton (1643 – 1727) en 1665. ([Dieudonné] p .123). C’est le mathématicien écossais James Gregory (1638 – 1675) qui propose la meilleure définition de la notion de fonction au 17e`me siècle.

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Une fonction est définie comme une quantité obtenue à partir d’autres quantités par une succession d’opérations algébriques ou par n’importe quelle opération imaginable, (Dans Vera circuli et hyperbolae quadratura, 1667). Il précise qu’aux cinq opérations de l’algèbre (addition, soustraction, multiplication, division, extraction de racine), il faut en ajouter une sixième définie comme un passage à la limite.

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Le terme fonction chez Leibniz Gottfried Wilhelm (1646-1716): Le terme de fonction a été introduit par le mathématicien allemand Leibniz Gottfried Wilhelm en 1673 dans un manuscrit inédit "La Méthode inverse des tangentes ou à propos des fonctions". "J’appelle fonctions toutes les portions des lignes droites qu’on fait en menant des droites indéfinies qui répondent au point fixe et aux points de la courbe ; comme sont les abscisse, ordonnée, corde, tangente, perpendiculaire, sous-tangente ...et une infinité d’autres d’une construction plus composée, qu’on ne peut figurer", (Leibniz Gottfried Wilhelm (16461716), in La Méthode inverse des tangentes ou à propos des fonctions, 1673.)

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Cette définition se retrouve dans des articles de 1692 et 1694 et est reprise par le mathématicien suisse Bernoulli Jean (1667-1748) qui propose en 1718 la définition suivante : "On appelle fonction d’une grandeur variable une quantité composée, de quelque manière que ce soit, de cette grandeur variable et de constante". Il propose aussi la notation :ϕx.

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Le logarithme est la première fonction transcendante c’est à dire qu’elle ne peut pas être obtenue par opérations algébriques. Elle fut découverte par l’allemand Stifel Michael (1487-1567), puis développée par l’écossais Nappier ou Neper John (1550-1617) qui publie un manuscrit sur le sujet en 1614 puis 1617. La classification des fonctions par Euler Leonhard (1707 - 1783): Le mathématicien suisse Euler Leonhard propose une 3e`me définition pour la notion de fonction. "Une fonction est une expression analytique composé d’une manière quelconque de cette quantité variable et de nombres ou de quantités constantes", Dans Introductio in analysin infinitorum, Marcum-Michaelem Bousquet and socios, 1748. Le mot analytique n’est pas précisé et pour Euler, une fonction est obtenue par une combinaison d’opérations et de modes de calculs connus de son époque et applicables aux nombres. Euler fournit alors une classification des fonctions qu’il classe ainsi : • Fonctions Algébriques: Obtenues par opérations algébriques (au sens large). • Rationnelles : (4 opérations). • Irrationnelles (4 opérations + extraction des racines). • Fonctions transcendantes : trigonométriques, ln, exp, intégrales, puissances irrationnelles. Obtenues par des opérations répétées à l’infini.

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(

1

e− x2 si x ̸= 0 0 si x = 0.

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f (x) =

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ni

Cette classification ne permet pas de classifier les fonctions transcendantes avec rigueur. Il considère simplement qu’elles sont obtenues par une répétition infinie d’opérations. L’étude du développement des fonctions en séries infinies va mettre en défaut cette classification. Comme le souligne Dieudonné Jean (1906 - 1992) dans [Dieudonné], p .257, les mathématiciens de l’époque (comme Gauss) pensent que toute fonction est développable en série entière (sauf en des points isolés). Puis, le mathématicien Cauchy Augustin-Louis (1789-1857) donne dans son Résumé des leçons sur le calcul infinitésimal (source : gallica.bnf.fr) son fameux contreexemple, pour montrer que si la série de Taylor d’une fonction f converge au point x, elle n’est pas nécessairement égale à f (x) :

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Cette fonction a toutes ses dérivées nulles en zéro et la série de Taylor, qui fait intervenir des zéros est identiquement nulle alors que f ne l’est pas. Les définitions précédentes de la notion de fonction ne sont pas assez générales, un changement de vue s’impose alors. La notion la plus générale d’une fonction: Le mathématicien allemand Dirichlet Gustav Peter Lejeune (1805-1859), donne l’exemple, d’une nature nouvelle, d’une fonction discontinue en tous ses points. Cette fonction est nommée fonction caractéristique des irrationnels. Elle prend la valeur 0 si x est rationnel et 1 sinon. Ainsi, après Fourier, Cauchy, Dirichlet, Riemann, on peut dire que la notion générale d’une fonction (univoque) conçue comme une correspondance arbitraire entre deux nombres est née. A. Dahan et J. Peiffer, p229,230.

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2. La notion de limite La limite est une notion qui, dès les origines, fut implicitement au centre de l’analyse, mais elle ne fut formalisée que très tard, comme celles de nombre réel et de continuité. Remarquons une fois encore qu’il en va de même dans notre enseignement : la formalisation vient bien après la manipulation des concepts. Son histoire commence de façon éclatante, avec Zénon d’Élée (né vers 490 avant J. C.). Les paradoxes de ce philosophe révèlent une méditation profonde sur la notion de continu, et contiennent en germe le concept de limite. Chacun d’eux, considérant un ou plusieurs objets mobiles (Achille et la tortue dans le second des paradoxes), démontre l’impossibilité du mouvement. Le concept clé, sous jacent dans ces raisonnements, est celui d’indivisible, c’est-àdire de particule infiniment petite d’espace ou de temps, provenant semble-t-il de la célèbre théorie atomistique de Démocrite (vers 475 à 380 avant J. C.). L’indivisible est un concept historiquement très important, même s’il est logiquement paradoxal, et s’il se trouva totalement discrédité lors de la formalisation des mathématiques. Les énoncés paradoxaux de Zénon provoquèrent, plus qu’un approfondissement des concepts, une réaction de rejet envers l’infini actuel et les indivisibles exprimée avec clarté par Aristote (384 à 322 avant J. C.) dans sa Physique. Il écrit : « Nul continu n’est sans partie ». Archimède (287 à 212 avant J. C.), le grand ancêtre des Analystes allie la prudence d’Aristote à la témérité de Démocrite. Prenons

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l’exemple de la quadrature de la parabole, la détermination de l’aire A délimitée par la parabole et un segment joignant deux de ses points (Voir « Mathématiques et mathématiciens », Dedron et Itard, édition Magnard, pages 93 à 97). Archimède présente une première méthode où A est supposée aussi proche qu’on le souhaite de la somme d’aires de triangles en progression géométrique. Nous pouvons interpréter cette méthode en termes de limite, puisque, pour nous, cette somme indéfinie tend vers 43 . Mais cette conception « dynamique » manque chez Archimède. Il mène une démonstration suivant la méthode apagogique d’Eudoxe, en prouvant que les deux éventualités A < 43 etA > 43 sont toutes deux impossibles. La seconde méthode d’Archimède figure dans sa « lettre à Eratosthène », et met en jeu les indivisibles. Il admet qu’elle manque de rigueur, mais il insiste sur le fait que, contrairement à la précédente, elle permet la découverte. Elle consiste, dans un raisonnement d’une grande virtuosité, à décomposer la surface en segments, puis à équilibrer ces segments un à un, de part et d’autre d’un point d’appui, avec les segments d’un triangle connu. Le « masse », et donc l’aire A peut alors être exprimée en fonction de l’aire du triangle, connue, et de deux longueurs, elles aussi connues. Les mathématiciens médiévaux, puis ceux de la Renaissance et de l’âge classique, adaptèrent avec beaucoup plus de hardiesse le point de vue des indivisibles. Ceuxci furent sans doutes favorables à l’invention, au défrichage d’un nouveau champ mathématique, mais les raisonnements perdaient en logique et en précision. Nombreux cependant étaient les mathématiciens qui savaient traduire le langage des « infiniment petits » par des termes très proches de notre conception actuelle de la limite. Citons Blaise Pascal, qui après avoir souligné que « ces deux méthodes ne diffèrent entre elles qu’en la manière de parler », expose que « par la somme des ordonnées d’un cercle » (l’aire d’un demi disque), « on n’entend autre chose sinon la somme d’un nombre indéfini de rectangles fait de chaque ordonnée avec chacune des petites portions égales du diamètre dont la somme ne diffère de l’espace d’un demi-cercle que d’une quantité moindre qu’aucune donnée ». Voici le concept de limite exposé avec clarté. Newton quant à lui rejette les indivisibles et essaie d’exprimer, avec une certaine confusion, une défense de la notion de limite : « ...ce que je dirai des sommes et des quotients doit toujours s’entendre non des particules détermines, mais des limites des sommes et des quotients de particules évanouissantes », et plus haut, à propos du nombre dérivé : « Il faut entendre par dernier quotient des quantités évanouissantes le quotient qu’ont entre elles ces quantités qui diminuent, non pas avant de s’évanouir, ni après qu’elles se sont évanouies, mais au moment même où elles s’évanouissent ». Pour que la rigueur triomphât, il fallut qu’elle devînt indispensable au progrès de la découverte, alors que les problèmes qui se posaient aux Analystes devenaient de plus en plus subtils et difficiles. Gauss, et surtout Cauchy, commencèrent à rechercher la précision, même si le dernier use encore d’un langage à l’ancienne : « Lorsque les valeurs numériques d’une même variable décroissent indéfiniment de manière à s’abaisser au-dessous de tout nombre donné, cette variable devient ce qu’on nomme un infiniment petit [. . .] une variable de cette espèce a zéro pour limite ». Il faut attendre Karl Weierstrass pour voir écrire notre définition de la limite, en ε et η.

3. La notion de continuité À l’âge « classique » de l’analyse, les 17e`me et 18e`me siècle, alors que les fonctions

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ra

ni

étaient considérées sous leurs seuls aspect graphique (les « lignes »), ou algébrique (définies par une formule), la continuité ne pouvait qu’aller de soi, et donc passer quasiment inaperçue. Étrangement, elle était plus objet de réflexion dans les champs de la Physique ou de la Philosophie, où il apparaissait clairement que « la Nature ne fait pas de saut ». Des penseurs comme Leibniz ou Newton s’y intéressèrent. Mais ces considérations ne conduisaient pas à une formalisation mathématique. Dans le domaine des mathématiques, c’est par le biais du « théorème des valeurs intermédiaires » que la continuité intervenait, sans être explicitée (« Éléments d’histoire des Mathématiques », de Bourbaki, chez Herman). Ce théorème intervient d’abord dans le contexte de l’approximation de la racine d’une équation, sous la plume du Hollandais Simon Stevin (en 1594): soit P (x) = Q (x) cette équation, où P et Q sont des polynômes tels que P (0) < Q (0) . On substitue d’abord à x les nombres 10, 100, 1000... jusqu’à ce qu’on ait: P (x) > Q (x) ; ceci dorme le nombre de chiffres de la racine. Supposons que x ait deux chiffres ; on remplace x par 10, 20, 30... pour obtenir le chiffre des dizaines ; puis on cherche le chiffre des unités, puis les autres chiffres décimaux « et procédant ainsi infiniment, l’on approche infiniment plus près au requis ». Le « théorème des valeurs intermédiaires », sous la forme de l’affirmation qu’un polynôme ne peut changer de signe sans s’annuler, est également admis comme évident par Lagrange et Gauss (en 1799) au cours de la démonstration du théorème de d’Alembert (tout polynôme à coefficients réels admet une racine, réelle ou complexe). C’est au profond penseur que fut Bernhard Bolzano que l’on doit le refus d’établir le théorème des valeurs intermédiaires sur la simple évidence géométrique (sur la courbe), ou cinématique (en considérant un mouvement), ainsi que sa première démonstration rigoureuse, à partir du critère « de Cauchy », en 1817. Auparavant, Bolzano avait défini la continuité (uniforme) d’une fonction sur un intervalle, en termes presque modernes : « Si x est une valeur quelconque, la différence f (x + w) − f (x) peut être rendue plus petite que toute valeur donnée si l’on peut toujours prendre w aussi petit que l’on voudra ». Il avait aussi, supérieur en cela à Cauchy, introduit les notions de continuité en un point, de continuité à droite et à gauche, et il avait démontré la continuité des fonctions polynômes. Son contemporain Cauchy donnait une définition analogue de la continuité (uniforme sur un intervalle) ; « La fonction f (x) restera continue par rapport à x [. . .] si un accroissement infiniment petit de la variable produit toujours un accroissement infiniment petit de la fonction elle-même ». On remarquera que le vocabulaire est encore de type infinitésimal. Quelques années plus tard, Weierstrass utilise à la fois notre vocabulaire actuel et le langage des infiniment petits pour définir la continuité (uniforme) : « S’il est possible de définir une borne ∂ telle que pour toute valeur de h, plus petite en valeur absolue que ∂, f (x + h) − f (x) soit plus petite qu’une quantité ε aussi petite que l’on veut, on dira qu’on fait correspondre à une variation infiniment petite de la variable une variation infiniment petite de la fonction ». Pour conclure, nous constatons que la rigueur ne fut pas le souci principal des Analystes (sinon, paradoxalement, des tout premiers, les Grecs), et qu’il fallut une très longue démarche historique pour obtenir des axiomes et des définitions précis sur les nombres, les limites, les fonctions. La rigueur logique couronna l’édifice de l’analyse. Mais elle en constitue aussi la fondation. Du point de vue historique, les concepts centraux de l’analyse sont ceux de limite

58

ni

et de fonction. Si l’un de ces deux concepts est absent d’un travail mathématique, il ne s’agit pas à proprement parler d’analyse. Les Grecs de l’antiquité ont poussé très loin leur réflexion sur ce que nous appellerions « continu numérique, mais on ne peut dire qu’ils faisaient de l’analyse, car ils ne disposaient pas du concept général de fonction ; symétriquement, les études des applications linéaires ou affines, en collège, ou celles des fonctions de référence, au tronc commun Marocain, ne peuvent prétendre au titre d’analyse car le concept de limite en est absent ; l’analyse proprement dite est abordée en classe de Première dans différentes filières.

Ab

de lk

ha

lek

El am

ra

Nous nous intéressons dans ce chapitre à deux pôles de l’analyse qui sont fortement liés: la notion de limite et continuité. Si l’étude des nombres réels, qui a été faite dans le chapitre 1, et dans laquelle ces êtres mathématiques étaient comme "immobiles", nous les verrons s’animer, sous l’effet des fonctions. La notion de continuité est intimement liée aux propriétés des nombres réels (Cantor appelait le cardinal de R la puissance du continu). L’idée de la continuité est simple et peut se décrire de diverses façons imagées : "une fonction est continue si on peut tracer son graphe sans soulever le crayon du papier", "le graphe de la fonction n’a pas de saut" ou encore “si x se rapproche de x0 alors f (x) se rapproche de f (x0 ) . En particulier on doit avoir la propriété suivante : lim xn = a ⇐⇒ lim f (xn ) = f (a). On remarquera que cette propriété est n→+∞ n→+∞ fausse pour des fonctions simples comme les fonctions “ en escalier ” : Tout comme la notion intuitive de limite, la notion de continuité est délicate à définir rigoureusement : la définition “epsilon-delta” donnée ci-dessous est due à Weierstrass et date donc du 19e siècle. Dans ce chapitre, on introduira sous forme de savoir savant les concepts précédents: Fonction numérique d’une variable réelle, les différents types de limites et continuité d’une fonction numérique, le théorème de la bijection monotone,... etc . La plupart des résultats déjà cités et autres seront introduits et démontrés. En particulier on montrera que l’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle grâce au théorème de Weierstrass qui sera énoncé et démontré, ainsi que le théorème des valeurs intermédiaires et son cas particulier le théorème de Cauchy : Toute fonction continue sur un intervalle qui prend deux valeurs de signes opposés prend nécessairement la valeur zéro. La caractérisation séquentielle de la continuité sera donnée et démontrée. Le nouveau concept : L’uniformément continuité d’une fonction sur un intervalle, plus fort que la continuité, sera introduit et illustré par des exemples et renforcé par des propriétés, en particulier le théorème de Heine. Le théorème de la bijection monotone sera énoncé et démontré, puis utilisé pour introduire Huit nouvelles fonctions: acsin, arccos, ch, sh, th, argsh, argch et argth . On présentera aussi quelques propriétés algébriques et analytiques de ces fonctions. Le concept de la dérivabilité et les résultats qui s’y attachent sera étudié dans un chapitre à part (le dernier dans dans ce module d’analyse 1).

59

3.2

Notion de fonction

ra ni

Définition 3.2.1 1. On appelle fonction numérique f de la variable réelle, toute relation liant chaque nombre réel x à au plus un nombre réel noté f (x) , lorsqu’il existe, et appelé image de x par f. Et le sous-ensemble, noté Df , de R défini par: {x ∈ R /x admet une image dans R} s’appelle le domaine, ou l’ensemble, de définition de f. On note f : R −→ R x 7−→ f (x)

ou tout simplement f : R −→ R, pour désigner une fonction numérique f de la variable réelle x.

am

2. Si E est une partie non vide de R; on appelle application de E dans R, toute fonction f : E −→ R dont le domaine de définition est E, c-à-d: chaque élément de E admet une image et une seule par f dans R.

El

Définition 3.2.2 Soient f : R −→ R une fonction de domaine de définition Df . On appelle Courbe, ou Graphe de f, le sous-ensemble de R2 noté (Cf ) ou (Gf ) , défini par: {(x, f (x)) / x ∈ Df } .

3.3

al ek

Remarque 3.2.1 Généralement, la courbe d’une fonction f de la variable  numérique → − → − réelle x est représentée dans un plan rapporté à un repère O, i , j , par l’ensemble des points M (x, f (x)) tels que x ∈ Df .

Limites des fonctions

Définition 3.3.1 Soient E ⊂ R, x0 ∈ R et f : E −→ R une application. On dit que: 1. f est définie au voisinage de x0 , si E est un voisinage de x0 , c’est-à dire, il existe r > 0 tel que ]x0 − r, x0 + r[ ⊂ E.

Ab de lkh

2. f est définie au voisinage de x0 sauf peut être en x0 , s’il existe r > 0 tel que ]x0 − r, x0 + r[ \ {x0 } ⊂ E ( ]x0 − r, x0 + r[ \ {x0 } = ]x0 − r, x0 [ ∪ ]x0 , x0 + r[ ) . 3. f est définie à droite de x0 (resp. a ` gauche de x0 ) s’il existe r > 0 tel que [x0 , x0 + r[ ⊂ E (resp. ]x0 − r, x0 ] ⊂ E) . 4. f est définie à droite de x0 sauf peut être en x0 ( resp. à gauche de x0 sauf peut être en x0 ) s’il existe r > 0 tel que ]x0 , x0 + r[ ⊂ E (resp. ]x0 − r, x0 [ ⊂ E) . 5. f est définie au voisinage de +∞ (resp. − ∞) s’il existe M ∈ R tel que ]M, +∞[ ⊂ E (resp. ]−∞, M [ ⊂ E) .

Remarque 3.3.1 f est définie au voisinage de x0 sauf peut être en x0 (resp. au voisinage de x0 ) si, et seulement si, f est définie à droite de x0 sauf peut être en x0 et à gauche de x0 sauf peut être en x0 (resp. à droite de x0 et à gauche de x0 ).

Définition 3.3.2 Soient E ⊂ R, x0 ∈ R∪{−∞, +∞} , l ∈ R∪{−∞, +∞} et f : E → R une fonction numérique .

60 1. Si x0 ∈ R, l ∈ R et f définie au voisinage de x0 sauf peut être en x0 ; on dit que f admet l comme limite en x0 , ou que f (x) tend vers l lorsque x tend vers x0 , et on x−→x écrit l = x→x lim f (x) , l = x→x lim f (x) ou f (x) −→0 l si, et seulement si, 0

x̸=x0

0

(∀ε > 0) (∃η > 0) : (∀x ∈ E) 0 0) (∃η > 0) : (∀x ∈ E) 0 < x−x0 < η (resp.0 < x0 − x < η) ⇒| f (x)−l |< ε. 3. Si x0 = +∞ (resp. −∞) et l ∈ R et f définie au voisinage de +∞ (resp. au voisinage de −∞) ; on dit que f admet l comme limite en +∞ (resp. en −∞) et on écrit l = lim f (x) (resp. l = lim f (x) ) si, et seulement si, x→−∞

x→+∞

(∀ε > 0) (∃A > 0) : (∀x ∈ E) x > A (resp.x < −A) ⇒| f (x) − l |< ε. 4. Si x0 = +∞ (resp. −∞) et l = +∞ et f définie au voisinage de x0 ; on dit que f tend vers +∞ quand x tend vers +∞ (resp. quand x tend vers −∞) et on écrit +∞ = lim f (x) (resp. +∞ = lim f (x)) si, et seulement si, x→−∞

lek

x→+∞

(∀A > 0) (∃B > 0) : (∀x ∈ E) x > B (resp.x < −B) ⇒ f (x) > A.

ha

5. Si x0 = +∞ (resp. −∞) et l = −∞ et f définie au voisinage de x0 ; on dit que f tend vers −∞ quand x tend vers +∞ (resp. quand x tend vers −∞) et on écrit −∞ = lim f (x) ( resp. −∞ = lim f (x) ) si, et seulement si, x→−∞

x→+∞

(∀A > 0) (∃B > 0) : (∀x ∈ E) x > B (resp.x < −B) ⇒ f (x) < −A.

de lk

6. Si x0 ∈ R et l = +∞ (resp. −∞) et f définie au voisinage de x0 sauf peut être en x0 ; on dit que f tend vers +∞ (resp. −∞) quand x tend vers x0 et on écrit x→x +∞ = x→x lim f (x) , +∞ = x→x lim f (x) ou f (x) −→0 +∞ (resp. −∞ = x→x lim f (x) , 0

x̸=x0

0

0

x̸=x0

x→x0

−∞ = x→x lim f (x) ou f (x) −→ −∞) si, et seulement si, 0

x̸=x0

Ab

(∀A > 0) (∃η > 0) : (∀x ∈ E) 0 A (resp. f (x) < −A) .

Remarque 3.3.2 Si l ∈ R et x0 ∈ R on a: lim f (x) = l ⇐⇒ (∀ε > 0) (∃η > 0) : f ((]x0 − η, x0 + η[ \ {x0 }) ∩ E) ⊂ ]l − ε, l + ε[ ,

x→x0

car pour tout x ∈ E on a: ( x ∈ ]x0 − η, x0 + η[ \ {x0 }) ⇐⇒ (0 A. Donc lim g ◦ f (x) = +∞. x→x0

• Pour les autres cas (à traiter à titre d’exercice) .

□

Remarque 3.3.6 Sous les conditions de la proposition précédente, si on enlève la condition : il existe r > 0 tel que (∀x ∈ ]x0 − r, x0 + r[ \ {x0 }) f (x) ̸= l; la conclusion ′ lim g ◦ f (x) = l n’est pas toujours vraie comme le montre les exemples des fonctions

x→x0

′

y→l

ha

0

lek

numériques f, g suivantes définies sur R : Soient l et l deux nombres réels distincts et x0 ∈ R. ( ( ( ′ f (x) = l si x ̸= x0 g ◦ f (x) = l si x ̸= x0 g (x) = l si x ̸= l 1. et Alors , ′ ′ f (x0 ) = l g (l) = l. g ◦ f (x0 ) = l ′ ′ lim f (x) = l, lim g (y) = l mais x→x lim g ◦ f (x) = l et l ̸= l . x→x 0



1  g ◦ f (x) = l si x ̸= x0 si x ̸= l g (x) = (x−l) f (x) = l si x ̸= x0 2 1 , 2. et Alors ′  g ◦ f (x0 ) = l′ −l 2 f (x0 ) = l g (l) = l. ( ) lim f (x) = l, lim g (y) = +∞ mais x→x lim g ◦ f (x) = l et l ̸= +∞. x→x

(

(

y→l

de lk

0

0

3. Avec les fonctions f et g de l’exemple 2., lim −g (y) = −∞ mais x→x lim −g ◦ f (x) = y→l

0

−l et −l ̸= −∞.

□

Proposition (Opérations sur les limites) 1 Soient E ⊂ R, f : E −→ R, g : E −→ R, et (x0 , l, h) ∈ (R ∪ {−∞, +∞})3 telles que lim f (x) = l et lim g (x) = h. Alors: x→x0

x→x0

Ab

1. Si l + h est défini, x→x lim (f + g) (x) = l + h. 0

2. Si lh est défini, x→x lim (f g) (x) = l.h. 0

!

3. Si l ̸= 0,

1 f

est définie au voisinage de x0 sauf peut être en x0 et x→x lim

0

1 (x) = f

1 1 lim = . x→x0 f (x) l ((∀x  ∈ E) (f + g) (x) = f (x) + g (x) , (f g) (x) = f (x) g (x) et pour f (x) ̸= 1 0 f1 (x) = f (x) ).

65 Preuve. 1 et 2. Soit (un ) une suite d’éléments de E, dont tous les termes sont différents de x0 à partir d’un certain rang, convergeant vers x0 . Alors:



lim f (x) = l =⇒ f (un ) −→ l

x→x0

lim g (x) = h =⇒ g (un ) −→ h.

x→x0

ra ni

 

On en déduit que f (un ) + g (un ) −→ l + h et f (un ) g (un ) −→ lh et alors (f + g) (un ) −→ l + h et (f g) (un ) −→ lh et par suite x→x lim (f + g) (x) = l + h et 0

lim (f g) (x) = l.h.

x→x0

3. On suppose que lim f (x) = l et l ∈ R∗ , alors: pour ε = x→x0

|l| , 2

il existe η > 0 :

Donc pour tout x ∈ E \ {x0 } , on a:

|l| . 2

am

(∀x ∈ E) 0 0) : (∀y ∈ F ) | y−f (x0 ) |< η =⇒| g (y)−g (f (x0 )) |< ε (car lim g (y) = f (x0 )) ; et pour ce η, il existe α > 0 : (∀x ∈ E) | x − x0 |< α =⇒| y→f (x0 )

f (x) − f (x0 ) |< η. Donc pour tout x ∈ E, on a:

Ab de lkh

| x − x0 |< α =⇒ (f (x) ∈ F et | f (x) − f (x0 ) |< η) =⇒| g (f (x)) − g (f (x0 )) |< ε =⇒| g ◦ f (x) − g ◦ f (x0 ) |< ε.

D’où lim g ◦ f (x) = g ◦ f (x0 ) . Donc g ◦ f est continue en x0 . x→x0

□

Théorème et Définition (Prolongement par continuité) 1 Soit f : R → R une fonction admettant une limite finie l en un point x0 (resp. à gauche en x0 , resp. à droite en x0 ) alors la fonction g : R → R définie par (

g (x) = f (x) si x ̸= x0 g (x0 ) = l

est continue en x0 (rep. continue à gauche en x0 , resp. continue à droite en x0 ) elle s’appelle le prolongement par continuité de f en x0 (rep. à gauche en x0 , resp. à droite en x0 ). On dit aussi que f est prolongeable par continuité (rep. par continuité à à gauche, resp. par continuité à droite) en x0 .

69 □

Preuve. Simple à vérifier. Exemple 3.4.1 Le prolongement par continuité de f : R → R, x 7→  si x ̸= 0  g (x) = sinx x fonction g : R → R définie par  sinx g (0) = lim = 1. x→0 x

sinx x

en 0 est la

ra ni

Corollaire 3.4.1 Soient E ⊂ R, F ⊂ R, f : E −→ R, g : F −→ R avec f (E) ⊂ F et x0 ∈ E. Alors Si f admet une limite l (l ∈ F ) en x0 et g est continue en l alors g ◦ f admet la limite g (l) en x0 .

Preuve. Il suffit d’appliquer la proposition précédente à g ◦ h, où h est le prolongement par continuité de f en x0 . □

am

Remarque 3.4.2 La proposition précédente est vraie à droite et à gauche en un point et en l’infini.

Proposition 3.4.2 Soient f : E −→ R une fonction numérique et x0 ∈ E. Alors f est continue en x0 si , et seulement si, pour toute suite (un ) de points de E qui tend vers x0 , la suite (f (un )) tend vers f (x0 ) .

3.4.2

□

El

Preuve. Utiliser la proposition(Caractérisation séquentielle de la limite).

Continuité sur un ensemble

Ab de lkh

al ek

Définitions 3.4.2 Soient E ⊂ R, a, b deux nombres réels tels que a < b et f : E −→ R une fonction. Alors: 1. f est continue sur l’intervalle ]a, b[ signifie que f est continue sur tout point de ]a, b[ . 2. f est continue sur l’intervalle [a, b[ (resp. sur [a, +∞[ ) signifie que f est continue sur ]a, b[ (resp. sur ]a, +∞[ ) et est continue à droite en a. 3. f est continue sur l’intervalle ]a, b] (resp. sur ]−∞, b] ) signifie que f est continue sur ]a, b[ (resp. sur ]−∞, b[ ) et est continue à gauche en b. 4. f est continue sur l’intervalle [a, b] signifie que f est continue sur ]a, b[ et est continue à droite en a et à gauche en b. 5. f est dite continue sur E (ou continue) signifie que f est continue en tout point de E, en tenant compte des définitions 2, 3 et 4. Exemples 3.4.1 1. Les fonctions polynômiales, cos, sin et exp sont continues sur R. 2. Les fonctions fractions rationnelles et tan sont continues sur leurs domaines de définitions. √ 3. Pour tout n ∈ √ N∗ , la fonction x 7→ n x est continue sur [0, +∞[ , (on prend (∀x ∈ [0, +∞[) 1 x = x). 4. Pour tout r ∈ ]0, +∞[ , la fonction x 7→ xr est continue sur ]0, +∞[ . 5. La fonction ln est continue sur ]0, +∞[ . 6. La fonction E : x 7→ E (x) est continue sur R \ Z; en particulier E est continue à droite et non continue à gauche en tout point de Z.

70

3.5

Théorème de Weierstrass

Théorème(de Weierstrass) 1 Soient (a, b) ∈ R2 tels que a < b et f : [a, b] −→ R. Si f est continue alors f est bornée sur [a, b] (c-à-d: f ([a, b]) = {f (x) / x ∈ [a, b]} est borné) ; et il existe xm ∈ [a, b] et xM ∈ [a, b] tels que: !

f (xM ) = M = sup f (x) x∈[a,b]

= max f (x) x∈[a,b]

ni

     

!     

f (xm ) = m = inf f (x) x∈[a,b]

= min f (x) . x∈[a,b]

n→+∞





El am

ra

Preuve. 1. • Montrons que f est majorée: Par l’absurde en supposant que f n’est pas majorée. Donc: (∀n ∈ N) (∃xn ∈ [a, b]) tel que f (xn ) ⩾ n. La suite (xn ) estbornée, d’après le théorème de Bolzano-Weierstrass, il existe une sous-suite xφ(n) de (xn ) qui converge vers une limite x de [a, b] (car (∀n ∈ N) xφ(n) ∈ [a, b] =⇒ a ⩽x ⩽ b). Puisque f est continue sur [a, b] , f est continue en x et par suite lim f xφ(n) = f (x) (∈ R). 



D’autre part, (∀n ∈ N) f xφ(n) ⩾ φ (n) ⩾ n, d’où lim f xφ(n) = +∞ ce qui n→+∞ est absurde. • Notons M = sup f (x) , d’après la propriété caractéristique de la borne supéx∈[a,b]

rieure, on a :

1 < f (xn ) ⩽ M. n

lek

(∀n ∈ N∗ ) (∃xn ∈ [a, b]) : M −





Par le théorème de Bolzano-Weierstrass, il existe une sous-suite xφ(n) de (xn ) qui converge vers une limite xM de [a, b] (car (∀n ∈ N) xφ(n) ∈ [a, b] =⇒ a ⩽xM ⩽b). Puisque f est continue sur [a, b] , f est continue en xM et par suite lim f xφ(n) =

ha

f (xM ) . Or

(∀n ∈ N∗ ) M −

n→+∞

  1 1 ⩽M− < f xφ(n) ⩽ M n φ (n)

  1 = M, alors lim f xφ(n) = M. n→+∞ n→+∞ n Et l’unicité de la limite d’une suite convergente entraine: f (xM ) = M. M le sup de f ([a, b]) appartenant à f ([a, b]) , il s’agit donc d’un max . 2. Même démonstration pour f minorée et l’existence d’un xm ∈ [a, b] : m = f (xm ) . □ 

M−



de lk

et lim

Ab

3.6

3.6.1

Théorème des valeurs intermédiaires et image d’un intervalle par une fonction continue Théorème des valeurs intermédiaires

Théorème(Théorème des valeurs intermédiaires) 1 Soit f : R → R une fonction continue sur un intervalle I de R, alors, pour tous a et b de I, f prend toute valeur intermédiaire entre f (a) et f (b) , c’est-à-dire pour tout y entre f (a) et f (b) , il existe c compris entre a et b tel que y = f (c) .

71 Preuve. Soient a ∈ I et b ∈ I et y compris entre f (a) et f (b) . Alors:

1 < xn ⩽ c. n

La suite (xn )n⩾1 est telle que: ( ∗

(∀n ∈ N ) (

(∀n ∈ N∗ ) f (xn ) < y , xn −→ c

et puisque f est continue en c alors

(∀n ∈ N∗ ) f (xn ) < y , f (xn ) −→ f (c)

al ek

(

f (xn ) < y , c − n1 < xn ⩽ c

El

donc on a

am

(∀n ∈ N∗ ) (∃xn ∈ Ay ) : c −

ra ni

1. Si a = b alors f (a) = y = f (b) , prendre c = a = b. 2. Si a ̸= b, alors , puisque a et b jouent deux rôles symétriques, on peut supposer a < b (par exemple). • Supposons que f (a) ⩽ f (b) , donc f (a) ⩽ y ⩽ f (b) , d’où: · Si f (a) = y, on prend c = a. · Si f (b) = y, on prend c = b. Nous supposons maintenant f (a) < y < f (b) . Soit Ay = {x ∈ [a, b] / f (x) < y} ; Ay ̸= ∅, car a ∈ Ay , et Ay est majorée par b, il admet donc une borne supérieure c et c ∈ [a, b] (car Ay ⊂ [a, b]). On a: c = sup (Ay ) , donc:

Ab de lkh

et par suite f (c) ⩽ y (∗ ∗) . D’autre part, on a y < f (b) , donc f (c) < f (b) , d’après (∗ ∗) d’où c ̸= b et par suite c < b (car c ∈ [a, b]). Pour tout x ∈ ]c, b] , x > c donc x ∈/ Ay (car c majore Ay ) et par suite f (x) ⩾ y. D’où par passage à la limite à droite en c et vu la continuité de f au point c, f (c) ⩾ y. On a donc y = f (c) . • Si f (a) > f (b) , on considère la fonction −f , y étant compris entre f (a) et f (b) donc −y est compris entre −f (a) et −f (b) avec −f (a) ⩽ −f (b) et −f est continue sur I ; d’après le cas précédent (∃c ∈ [a, b]) : −y = −f (c) et donc y = f (c) . □

3.6.2

Applications:Image d’un intervalle par une fonction continue et résolution des équations

Corollaire 3.6.1 L’image f (I) d’un intervalle I par une fonction continue f sur I est un intervalle. Preuve. Soit f une fonction continue sur un intervalle I et soient f (a) et f (b) appartenant à f (I) et y compris entre f (a) et f (b) , d’après le théorème précédent (T V I) , il existe c compris entre a et b tel que y = f (c) . Or c est compris entre a et b, il appartient donc au segment d’extrémités a et b, lequel est contenu dans I donc c ∈ I. (c ∈ I et y = f (c)) =⇒ y ∈ f (I) . Donc f (I) est un intervalle. □

72 Corollaire 3.6.2 L’image d’un intervalle fermé borné [a, b] , où a et b sont deux réels tels que a < b, par une fonction continue f est un intervalle fermé borné: f ([a, b]) = [m, M ] , où m = inf f (x) = min f (x) et M = sup f (x) = max f (x) . a⩽x⩽b

a⩽x⩽b

a⩽x⩽b

a⩽x⩽b

am

ra ni

Preuve. • (∀x ∈ [a, b]) m ⩽ f (x) ⩽ M, donc f ([a, b]) ⊂ [m, M ] . • Soit y ∈ [m, M ] ; d’après le théorème de Weierstrass, il existe xm et xM éléments de [a, b] tels que f (xm ) = m et f (xM ) = M ; or y est compris entre f (xm ) et f (xM ) , le théorème des des valeurs intermédiaires entraine l’existence d’un x compris entre xm et xM donc entre a et b (car [a, b] est un intervalle) tel que y = f (x) . (x ∈ [a, b] et y = f (x)) =⇒ y ∈ f ([a, b]) . Donc [m, M ] ⊂ f ([a, b]) Donc f ([a, b]) = [m, M ] . □

Corollaire 3.6.3 1. (Théorème de Cauchy): Si f (a) .f (b) < 0, alors il existe c ∈ ]a, b[ tel que f (c) = 0. 2. Une fonction continue sur un intervalle I ne peut pas changer de signes sans s’annuler.

El

Preuve. 1. f (a) f (b) < 0, alors f (a) et f (b) sont de signes contraires, l’un est strictement négatif et l’autre est strictement positif donc 0 est compris entre f (a) et f (b) , par le T V I il existe c ∈ [a, b] tel que f (c) = 0; puisque f (a) ̸= 0 et f (b) ̸= 0, alors c ̸= a et c ̸= b et alors c ∈ ]a, b[ .

al ek

2. On suppose que f change de signes sur I, il existe donc α et β dans I (α < β) tels que f (α) .f (β) < 0; f étant continue sur [α, β] , il existe, d’après 1, c ∈ ]α, β[ tel que f (c) = 0; donc f s’annule en c sur I. □

Ab de lkh

Exemples 3.6.1 1. L’équation (1) : x5 + 2x − 1 = 0 admet une solution dans l’intervalle ]0, 1[ car la fonction f : x 7−→ x5 + 2x − 1 est continue sur [0, 1] et f (0) = −1 et f (1) = 2 d’où f (0) .f (1) < 0 donc il existe c ∈ ]0, 1[ tel que f (c) = 0 c’est à dire que l’équation (1) admet une solution dans l’intervalle ]0, 1[ . 2. L’équation x + lnx = 0 admet une solution dans l’intervalle ]e−2 , 1[ .

Remarques 3.6.1 1. Le théorème des valeurs intermédiaires, veut dire que pour tout α compris entre f (a) et f (b) , l’équation f (x) = α admet au moins une solution dans [a, b] , et graphiquement, la courbe de la fonction f coupe la droite d’équation y = α, au moins une fois. Et le théorème de Cauchy veut dire que l’équation f (x) = 0, admet au moins une solution dans ]a, b[ , et la courbe de la fonction f coupe l’axe des abscisses au moins une fois. 2. Si de plus f est strictement monotone sur [a, b] , alors la solution de l’équation en question est unique. En effet: Puisque f est strictement monotone sur [a, b] , alors pour tous x et y distincts de (y) ̸= 0, et alors f (x) ̸= f (y) , c’est à dire qu’il n’existe pas de nombres [a, b] , f (x)−f x−y ′ distincts c et c de [a, b] qui ont la même image par f, ce qui assure l’unicité de la solution de l’équation f (x) = α, pour tout α compris entre f (a) et f (b) .

73

3.6.3

Forme de l’image d’un intervalle par une fonction continue

El am

ra

ni

Théorème 3.6.1 Soient I un intervalle de R et f : I −→ R une application continue, alors f (I) est un intervalle d’extrémités inf (f (I)) et sup (f (I)) (si f (I) est non minoré inf (f (I)) = −∞ et si f (I) est non majoré sup (f (I)) = +∞).

Preuve. Posons m = inf (f (I)) et M = sup (f (I)) . Alors: • Si m et M sont réels: Soit y ∈ R tel que m < y < M, par définition de m et M, il existe a ∈ I et b ∈ I tels que m ⩽ f (a) < y < f (b) ⩽ M ; il existe ensuite, par le T V I, un réel x compris entre a et b, donc dans I, tel que y = f (x) d’où y ∈ f (I) . Donc ]m, M [ ⊂ f (I) . On a évidement f (I) ⊂ [m, M ] ; donc ]m, M [ ⊂ f (I) ⊂ [m, M ] et f (I) est l’un des quatre intervalles d’extrémités m et M : [m, M ] ou ]m, M ] ou [m, M [ ou ]m, M [ .

ha

lek

• Si m = −∞ et M ∈ R: Soit y ∈ R tel que y < M, par définition de m et M , il existe a ∈ I et b ∈ I tels que f (a) < y < f (b) ⩽ M ; il existe ensuite, par le T V I, un réel x compris entre a et b, donc dans I, tel que y = f (x) d’où y ∈ f (I) . Donc ]−∞, M [ ⊂ f (I) . On a évidement f (I) ⊂ ]−∞, M ] ; donc ]−∞, M [ ⊂ f (I) ⊂ ]−∞, M ] , et par suite f (I) = ]−∞, M [ ou f (I) = ]−∞, M ] .

Ab

de lk

• Si m ∈ R et M = +∞: Soit y ∈ R tel que m < y, par définition de m et M, il existe a ∈ I et b ∈ I tels que m ⩽ f (a) < y < f (b) ; il existe ensuite, par le T V I , un réel x compris entre a et b, donc dans I, tel que y = f (x) d’où y ∈ f (I) . Donc ]m, +∞[ ⊂ f (I) . On a évidement f (I) ⊂ [m, +∞[ ; donc ]m, +∞[ ⊂ f (I) ⊂ [m, +∞[ , et par suite f (I) = ]m, +∞[ ou f (I) = [m, +∞[ . • Si m = −∞ et M = +∞: Soit y ∈ R, par définition de m et M, il existe a ∈ I et b ∈ I tels que f (a) < y < f (b) ; il existe ensuite, par le T V I, un réel x compris entre a et b, donc dans I, tel que y = f (x) d’où y ∈ f (I) . Donc R ⊂ f (I) . On a évidement f (I) ⊂ R; donc f (I) = R = ]−∞, +∞[ . □

Remarque 3.6.1 Soient a ∈ R et b ∈ R avec a < b. Le tableau suivant, donne la forme de l’intervalle f (I) , en fonction de la forme de I et la monotonie de f sur I.

74

L’intervalle f  I 

Intervalle I  f a , f b 

 f b, f a 

 lim f x, f a   f b, lim f x 

 f a, lim f x   lim f x, f b 

 a,b 

x b 

x b 

a,b 

x a 

x a 

 lim f x, lim f x  x a 

a,  

 lim f x, lim f x 

x b 

x b 

 f a , lim f x     x 

a,  

 lim f x , lim f x    xa   x 

 , a 

 lim f x , f a    x  

 , a 

 lim f x , f a   x    lim f x , lim f x    x   x a   f a , lim f x     x  

 lim f x , lim f x    x   x a 

 ,   

x a 

El am

a,b 

ni

f est décroissante sur I

ra

 a,b 

f est croissante sur I

 lim f x , lim f x    x a   x  

 lim f x , lim f x    x   x 

de lk

ha

lek

 lim f x , lim f x    x   x  

3.6.4

Théorème de la bijection monotone

Proposition 3.6.1 Soient a et b deux réels tels que a < b et f : [a, b] −→ R continue . Si f est injective, alors f est strictement monotone sur [a, b] .

Ab

Preuve. Posons I = [a, b] et rappelons que : 

′

f est injective sur I ⇔ ∀ x, x



′

 ′

∈ I 2 x ̸= x ⇒ f (x) ̸= f x .

• Si f (a) < f (b) , montrons que f est strictement croissante sur I. On a pour x < y < z dans I, f (x) < f (z) =⇒ f (x) < f (y) < f (z) . Car : TV I ∗ f (y) < f (x) < f (z) =⇒ ∃c ∈ [y, z] : f (x) = f (c) =⇒ ∃c ∈ I : x ̸= c et f (x) = f (c) absurde. TV I ∗ f (x) < f (z) < f (y) =⇒ ∃c ∈ [x, y] : f (z) = f (c) =⇒ ∃c ∈ I : z ̸= c et f (z) = f (c)

75 absurde . Soient maintenant x et y de I tels que a < x < y < b, alors f (a) < f (x) < f (b) et par suite f (x) < f (y) < f (b) ce qui entraine f (a) < f (x) < f (y) < f (b) . Donc f est strictement croissante sur I. • Si f (a) > f (b) , alors −f (a) < −f (b) , donc −f qui est continue et injective est strictement croissante sur I, donc f est strictement décroissante sur I. □

Preuve. ⇐=] Soient x ∈ I et y ∈ I tel que x ̸= y, alors:



f (x)−f (y) > 0 si f est strictement croissante sur I x−y f (x)−f (y) < 0 si f est strictement d´ ecroissante sur I x−y

El am

 

ra

ni

Théorème 3.6.2 Soient I un intervalle non vide de R et f : I −→ R une application continue. Alors: f est injective sur I si, et seulement si, f est strictement monotone sur I.

lek

(y) D’où f (x)−f ̸= 0, et alors f (x) − f (y) ̸= 0 donc f (x) ̸= f (y) et f est injective . En x−y fait cette implication ne fait pas intervenir la continuité . =⇒] Soient a et b deux éléments fixés dans I tels que a < b; supposons que f (a) < f (b) (par exemple) et montrons que f est strictement croissante sur I. Tout d’abord et d’après la proposition précédente, f est strictement croissante sur [a, b] . Soient x ∈ I et y ∈ I tel que x < y. Considérons: i = inf (a, x) et s = sup (b, y) , alors i ⩽ a < b ⩽ s, d’où [a, b] ⊂ [i, s] ; et comme f est strictement monotone sur [i, s] (selon la proposition 3.6.1) et strictement croissante sur [a, b] alors f est croissante sur [i, s] et par suite f (x) < f (y) (car x et y sont dans [i, s]) . □

ha

Théorème(de la bijection monotone) 1 Soient I un intervalle de R et f : I −→ R une application continue et strictement monotone. Alors f est une bijection de I dans l’intervalle f (I) ; et l’application inverse de f , notée f −1 , f −1 : f (I) −→ I est continue, et strictement monotone sur l’intervalle f (I) et de même sens de monotonie que f. Remarque 3.6.2 On peut remplacer strictement monotone par injective (Théorème 3.6.2.).

de lk

Preuve. • f est surjective de I sur f (I) ; elle est aussi injective (Théorème 3.6.2.), c’est donc une bijection . • f (I) est un intervalle (Théorème 3.6.1.). • Supposons que f est strictement croissante sur I (par exemple) et montrons que f −1 est strictement croissante et continue sur f (I) .

Ab

∗ f −1 est strictement croissante sur f (I) : Soient y1 et y2 deux éléments de f (I) tels que y1 < y2 , montrons que f −1 (y1 ) < f −1 (y2 ) ; par l’absurde, supposons que f −1 (y1 ) ⩾ f −1 (y2 ) , alors f (f −1 (y1 )) ⩾ f (f −1 (y2 )) car f est croissante sur I , d’où y1 ⩾ y2 ce qui est absurde, donc f −1 (y1 ) < f −1 (y2 ) . ∗ f −1 est continue sur f (I) : Soit y0 ∈ f (I) ; montrons que f −1 est continue en y0 . Soit ε > 0, il faut chercher η > 0 tel que: (∀y ∈ f (I)) | y − y0 |< η =⇒| f −1 (y) − f −1 (y0 ) |< ε =⇒| f −1 (y) − x0 |< ε

76 où x0 ∈ I tel que f (x0 ) = y0 . On note par l (I) la longueur de I qui est β − α, si I est borné et d’extrémités α et β réels tels que α < β et l (I) = +∞ si I n’est pas borné. Trois cas se présentent:

El am

ra

ni

1. x0 = inf (I) (= min (I)) , donc y0 = min (f (I)) ( car f est ; I est donc  croissante)  l(I) de la forme [x0 , ...) et f (I) = [y0 , ...) . Soit r = x0 + inf ε, 2 . On a: ( ( x0 < r ⩽ x0 + ε x0 < r ⩽ x0 + ε l(I) =⇒ r ∈ I (car I est un intervalle) x0 < r ⩽ x0 + 2 l(I) (car pour I borné, x0 + 2 ∈ I =⇒ r ∈ I (car I est un intervalle) et si I est non borné , alors I = [x0 , +∞[ donc x0 < r entraine que r ∈ I) . Soit η = f (r) − y0 = f (r) − f (x0 ), d’où η > 0 car f est strictement croissante sur I. Soit y ∈ f (I) , alors y ⩾ y0 et on a: 0 s ⩾ x0 − l(I) 2

x0 − inf ε, ⩾ x0 − x0 > s ⩾ x0 − ε =⇒ s ∈ I (car I est un intervalle) (car pour I borné, x0 − l(I) ∈ I =⇒ s ∈ I (car I est un intervalle) et si I est non 2 borné, alors I = ]−∞, x0 ] donc s < x0 entraine que s ∈ I). Soit η = y0 − f (s) = f (x0 ) − f (s), d’où η > 0 car f est strictement croissante sur I. Soit y ∈ f (I) , alors y ⩽ y0 et on a:

de lk

Ab

 



inf ε, l(I) ⩽ε 2

ha

 

 (

0 0, il existe η > 0 tel que (∀ (x, y) ∈ E 2 ) | x−y |< η =⇒| f (x)−f (y) |< ε. Pour ce η, il existe n0 ∈ N tel que (∀n ∈ N) n ⩾ n0 =⇒| xn − yn |< η, d’où

lek

(∀n ∈ N) n ⩾ n0 =⇒| xn − yn |< η =⇒| f (xn ) − f (yn ) |< ε.

2. (i) Dans la définition de la continuité uniforme le η dépend de ε seulement, par contre dans la définition de la continuité en un point x0 de E, le η dépend de ε et de x0 en général. 

ha

(ii) Considérons les deux suites (xn ) = (n) et (yn ) = n + 1 et n ∈ N on a: xn − yn = − n+1

1 n+1



, alors pour tout

2 1 2n 1 f (xn ) − f (yn ) = n − n + + = n2 − n2 + n+1 n + 1 (n + 1)2 2n 1 =− − . n + 1 (n + 1)2





!

de lk

2

Donc xn − yn −→ 0; mais f (xn ) − f (yn ) −→ −2 (̸= 0) . Donc d’après 1, f n’est pas uniformément continue sur R.

Ab

3.10.2

Théorème de Heine

Théorème de Heine 3.10.1 Toute fonction continue sur un segment [a, b] , où a et b sont deux réels tels que a < b, est y uniformément continue. Preuve. Soit f une telle fonction ; supposons par l’absurde que f n’est pas uniformément continue sur [a, b] , alors: 



(∃ε > 0) : (∀η > 0) ∃ (x, y) ∈ [a, b]2 :| x − y |< η et | f (x) − f (y) |⩾ ε. Alors

85 1 et | f (xn ) − f (yn ) |⩾ ε. n La suite (xn )n⩾1 étant bornée, d’où selon le théorème de Bolzano-Weierstrass elle admet une valeur d’adhérence x ∈ [a, b] , et alors il existe une sous-suite (xnk )k⩾1 de la suite (xn )n⩾1 qui converge vers x. Et comme (∀k ∈ N∗ ) | xnk − ynk |< n1k ⩽ k1 et | f (xnk ) − f (ynk ) |⩾ ε (∗) , alors xnk − ynk −→ 0 et (∀k ∈ N∗ ) ynk = xnk + (ynk − xnk ) , d’où (ynk )k⩾1 est aussi convergente vers x. La fonction f étant continue sur [a, b] , elle est donc continue en x, d’où, selon le théorème de la continuité séquentielle, les deux suites (f (xnk ))k⩾1 et (f (ynk ))k⩾1 convergent vers f (x) , d’où lim (f (xnk ) − f (ynk )) = 0 ce qui est en 



ni

(∃ε > 0) : (∀n ∈ N∗ ) ∃ (xn , yn ) ∈ [a, b]2 :| xn − yn |
0 alors : — Si k = 0, alors (∀ (x, y) ∈ I 2 ) | f (x) − f (y) |< ε (car f (x) − f (y) = 0). D’où n’importe quelle η > 0 convient. — Si k > 0, pour tout (x, y) ∈ I 2 on a: | x − y |
0) (∃η > 0) : (∀ (x, y)) ∈ I 2 | x − y |< η =⇒| f (x) − f (y) |< ε.

Donc f est uniformément continue sur I.

□

Ab

de lk lek

ha El am

ni

ra

86

ni

Chapitre 4

4.1.1

Introduction

El am

4.1

ra

Fonctions dérivables

La notion de dérivée dans le programme scolaire Marocain

Ab

de lk

ha

lek

A l’encontre des trois concepts: nombres réels , suites numériques et fonctions numériques, le concept de dérivabilité n’est introduit qu’a partir de la première année du lycée aux programmes de l’école Marocaine ; ainsi: — Première année du baccalauréat scientifique : 1. Tau des variations (semestre 1 ): On présente la notion du tau des variations pour étudier la monotonie d’une fonction numérique sur un intervalle inclus dans son domaine de définition dans le premier semestre . 2. Dérivabilité des fonctions numériques (semestre 2): On présente, d’une façon mathématique, dans la filière Science mathématique, cette notion ; en recommandant dans les instructions officielles, au professeurs, de l’utilisation de l’approximation des fonctions dérivables en un point par des fonctions affines, pour introduire ce concept. Le nombre dérivé, s’il existe, s’interprète de plusieurs façons : numériquement, en termes d’approximation affine ; géométriquement, en terme de tangente ;(en économie, il est lié aux quantités marginales). L’interprétation cinématique, en terme de vitesse instantanée ; est presque absente absente dans les programmes scolaires marocains (ne figure que sous forme d’exercices dans certains livres scolaires). Les opérations sur la dérivabilité, dérivabilité des fonctions de références: Les fonctions polynomiales, fractions rationnelles, cos, sin et tan sont aussi introduites. Les trois applications de la notion de dérivée sont utilisées: Variation d’une fonction sur un intervalle, Optimisation (Extrémum d’une fonction) et ′′ la résolution partielle de l’équation différentielle y + ω 2 y = 0, où ω ∈ R.

— Deuxième année du baccalauréat scientifique: Dans le chapitre: Dérivabilité des programmes de toutes les filières scientifiques, on rappelle les principaux résultats et concepts déjà étudiés au première année, puis on introduit le fameux théorème de la dérivée de la composée: Si f et g sont deux fonctions numériques de la variable réelle dérivable en x0 et f (x0 ) respectivement, alors ′ ′ ′ la composée g ◦ f est dérivable en x0 et (g ◦ f ) (x0 ) = g (f (x0 )) .f (x0 ), 87

88

ra

ni

une démonstration rigoureuse est aussi présentée (pour la filière science mathématique). On introduit aussi un théorème sur la dérivabilité de la bijection réciproque qu’on applique pour étudier et présenter la dérivée des nouvelles fonctions introduites dans ce niveau à savoir la fonction racine nieme , puissance rationnelle, la fonction arc-tangente et la fonction exponentielle. Les théorèmes de Rolle , des accroissements finis et des deux inégalités des accroissements finis sont introduits et démontrés dans la filière science mathématique ; et sont utilisés pour démontrer des résultats admis en 1ere année, en particulier la caractérisation des variations d’une fonction sur un intervalle à partir du signe de sa dérivée.

El am

Une étude simple des primitives est donnée, en mettant l’accent sur la classe des fonctions continues, ainsi on présente, sans démonstration les deux théorèmes suivants: ∗ Toute fonction continue sur un intervalle admet une fonction primitive sur cet intervalle . ∗ Toute fonction continue sur un intervalle I admet, pour chaque (x0 , y0 ) de I × R, une unique primitive F sur I vérifiant F (x0 ) = y0 . La fonction logarithme népérien est introduite comme la primitive de la fonction x 7−→ x1 , sur l’intervalle ]0, +∞[ qui s’annule en 1. L’intégrale est définie à partir des primitives, c’est-à-dire en fin de compte en se ramenant au concept de dérivée ; on étudie aussi les équations différentielles linéaires sans second membre de degré inférieure ou égale à deux à coefficients constants.

Aperçu historique sur la notion de dérivée

lek

4.1.2

Ab

de lk

ha

Comme celle de la plupart des notions mathématiques, l’histoire du concept de dérivée est complexe. Pour l’aborder de façon plus claire, nous prenons le parti de la comparer avec la présentation que donnent de ce même concept les programmes marocains actuels de lycée. Comme souvent en histoire des mathématiques, l’approche pédagogique, que nous venons de présenter et l’approche historique du concept de dérivée diffèrent fortement. Mais avant d’insister sur les divergences, recherchons les points communs entre ces deux approches, et examinons ce faisant en quoi l’histoire des mathématiques peut nous aider à réfléchir sur notre enseignement. 1. Approche pédagogique et approche historique: Points communs a. Didactiquement comme historiquement, on ne saurait établir un calcul différentiel sans posséder le concept de fonction. C’est pourquoi nous lui donnons une telle importance, dès la classe de seconde (voire dès le collège). Cependant, historiquement, cette notion a émergé parallèlement, et non préalablement, au calcul différentiel, et sous des aspects variés – courbes représentatives (au XV II e siècle, on disait « lignes ») – formules algébriques – lois de mouvement (la variable est alors le temps). Le concept moderne de fonction est plus abstrait et plus général, mais ces anciennes représentations ont abondamment prouvé leur puissance et leur fécondité, même si elles n’allaient pas sans certaines naïvetés. b. Deuxième point commun entre notre enseignement et l’évolution historique du concept de dérivée : l’importance du point de vue cinématique. C’est grâce à lui qu’a pu se forger une intuition du nombre dérivé, comme vitesse instantanée d’un mobile se déplaçant sur un axe. Il est à l’origine de l’une des deux formalisations du calcul différentiel, celle d’Isaac

89 Newton qui, à partir d’une quantité x qui varie (la fluente) considère la variation de x (la fluxion, notée x∗ ), façon de voir équivalente à notre opération de dérivation qui à partir ′ de f donne f .

El am

ra

ni

Dès avant Newton, la représentation cinématique avait une importance primordiale, due à ses aspects intuitif et physique. C’est en se plaçant à ce point de vue que Galilée ′ intègre l’équation différentielle y = Ct (par une méthode sommatoire, d’origine médiévale), et que ses successeurs déterminent diverses primitives, donc, par renversement de la démarche, diverses vitesses de mouvements, ainsi que de nombreuses tangentes, en décomposant le mouvement suivant deux axes perpendiculaires : ce fut le travail, en particulier, de Torricelli, de Roberval, de Barrow, le maître de Newton. On voit donc que la cinématique est historiquement la source principale de la notion de dérivée.

Ab

de lk

ha

lek

c. L’histoire et l’enseignement se rejoignent également dans l’intérêt qu’ils portent aux problèmes d’optimisation. « Kepler, en 1615, fait l’observation, que l’on trouve déjà chez Nicole Oresme et qui n’avait pas échappé même aux astronomes babyloniens, que la variation d’une fonction est particulièrement lente au voisinage d’un maximum ». Pierre de Fermat, surtout, s’intéresse à ce type de problèmes, qu’il résout par une méthode d’ailleurs plus algébrique qu’analytique, que nous interpréterions comme un cas particulier d’équa′ tion f (x0 ) = 0. Il applique sa méthode (« I’adégalisation ») aux déterminations de tangente et à retrouver les lois de Descartes sur la réfraction, par une minimalisation de la durée du trajet de la lumière (principe de Fermat). Wilhelm Leibniz accorde une grande importance aux problèmes d’optimisation, jusqu’à prétendre que le monde où nous vivons est « le meilleur des mondes possibles », affirmation qui suscite les railleries de Voltaire. d. Quatrième coïncidence : au cours de l’histoire de l’analyse comme dans la plupart des exercices que nous proposons aux élèves, l’aspect global éclipse largement l’aspect local. Ce point de vue global permet de développer tout le côté algorithmique du calcul des dérivées, mais il néglige les difficultés qui peuvent se poser aux points « singuliers ». Ce privilège du global par rapport au local, de la fonction dérivée par rapport au nombre dérivé demande peut-être à être nuancé. Il reste que le calcul différentiel, celui de Leibniz ou de Newton, avec toute sa puissance et sa simplicité, est un des grands triomphes des mathématiques. 2. Approche pédagogique et approche historique: Contrastes a. Remarquons tout d’abord qu’historiquement l’idée d’intégrale précède le concept de dérivée, à l’inverse du déroulement de notre enseignement. L’analyse tire en effet son origine de divers problèmes qui se posaient aux mathématiciens, et qui furent d’abord géométriques. Il s’agissait d’un nombre réduit de problèmes de tangentes, mais surtout de problèmes de type sommatoire (nous dirions aujourd’hui de type intégral), qui sont apparus dès Archimède : quadratures (c’est-à-dire calculs d’aires), rectifications, déterminations de centre de gravité. Il faut attendre Newton pour que la notion de dérivée soit mise au premier plan, comme elle l’est dans notre enseignement. b. Le concept de limite, qui est primordial dans notre enseignement, n’occupe pas cette place centrale dans l’histoire des mathématiques. La plupart des mathématiciens, avant le XIX e siècle, utilisaient plutôt le concept d’indivisible, ou d’infiniment petit, lequel n’était pas compatible avec la rigueur logique de l’exposé, mais constitua une source d’inspiration majeure pour les Analystes : Cavalieri, Pascal, Leibniz et ses disciples. C’est cette notion d’infinitésimal qui sous-tend les différentielles de Leibniz, le fameux « dx », mais aussi la notation « o » de Newton (qui, avec les notations de Leibniz, ne serait autre que o = dt).

90

ni

Malgré le beau texte de d’Alembert « Sur les principes métaphysiques du calcul infinitésimal » (1768), qui rejette toute considération d’indivisible, exposant avec clarté le concept de limite, et la façon dont s’en déduit celui de nombre dérivé, il faut attendre le XIX e siècle pour que la limite soit mise au premier plan, et discréditées les idées infinitésimales. Force est donc de constater que l’analyse reposa pendant longtemps plus sur l’intuition que sur la rigueur.

Ab

de lk

ha

lek

El am

ra

c. L’analogie entre discret et continu, peu exploitée dans notre enseignement, contribua en revanche de façon appréciable aux progrès historiques de l’analyse, et ce, même si cette analogie était difficilement formalisable, plutôt de l’ordre de l’intuition. Elle est à la source de plusieurs découvertes de Blaise Pascal, et permit la naissance du calcul différentiel dans les travaux de Leibniz. On retrouve trace de cette analogie dans les deux sens du mot « somme » : somme discrète de nombres ou intégrale, et dans le parallèle entre différence et différentielle. Dans le domaine de la dérivée comme dans beaucoup d’autres, le progrès historique et la progression didactique, s’ils se recoupent parfois, ne sauraient coïncider : l’histoire est beaucoup plus complexe, emmêlée, touffue, que ne pourrait l’être aucun enseignement. Mais l’enseignant peut trouver dans l’histoire des concepts une source de réflexion et d’inspiration.

91

4.2 4.2.1

Notions de dérivabilité d’une fonction numérique Dérivabilité en un point

Définitions 4.2.1 Soient f : I → R une fonction et x0 ∈ I.

ra ni

I désigne un intervalle non vide et non réduit à un point .

am

1. Pour f définie au voisinage de x0 , f est dite dérivable en x0 signifie que la fonction: f (x) − f (x0 ) (x0 ) admet une limite finie l en x0 dans ce cas l = lim x 7−→ f (x)−f = x−x0 x→x0 x − x0 f (x0 + h) − f (x0 ) lim s’appelle le nombre dérivé ou dérivée f en x0 et est noté h→0 h ′ df (x0 ) . f (x0 ) ou dx

al ek

El

2. Pour f définie à gauche de x0 (resp. à droite de x0 ), f est dérivable à gauche en (x0 ) x0 (resp. à droite en x0 ) signifie que la fonction: x 7−→ f (x)−f admet une limite x−x0 f (x) − f (x0 ) finie l gauche en x0 (resp. à droite en x0 ) dans ce cas l = lim− = x − x0 x→x0 f (x0 + h) − f (x0 ) f (x) − f (x0 ) f (x0 + h) − f (x0 ) lim− (resp. l = lim+ = lim+ h→0 h→0 h x − x0 h x→x0 ) s’appelle le nombre dérivé ou dérivée f à gauche en x0 (resp. à droite en x0 ) et ′ ′ est noté fg (x0 ) (resp. fd (x0 )) .

Exemples 4.2.1 1. La fonction x 7−→ x2 est dérivable en tout point de R et on a ′ (∀x0 ∈ R) f (x0 ) = 2x0 . ′

2. La fonction cos est dérivable en tout réel x0 et cos (x0 ) = −sin (x0 ) .

Ab de lkh

√ 3. La fonction f : x 7−→ x est dérivable en en tout point de ]0, +∞[ et non dérivable ′ à droite en 0 et on a (∀x0 ∈ ]0, +∞[) f (x0 ) = 2√1x0 .

Remarque 4.2.1 (interprétation graphique): Soient f : I → R une fonction dérivable en x0 et Gf = {(x, f (x)) / x ∈ I} le graphe de f . Pour les deux points M0 (x0 , f (x0 )) et M (x, f (x)) (x ∈ I et x ̸= x0 ), la droite Dx passant (x0 ) . par M0 et M a pour coefficient directeur f (x)−f x−x0 ′

(x0 ) En faisant tendre x vers x0 , f (x)−f tend vers f (x0 ) , M tend vers M0 et la droite x−x0 Dx pivote autour du point M0 et tend vers la droite Tx0 qui coupe Gf en l’unique point M0 , au voisinage de x0 , et s’appelle la tangente à Gf au point x0 . Tx0 a donc pour ′ coefficient directeur f (x0 ) et passe par le point M0 (x0 , f (x0 )) , elle a donc pour équation ′ y = f (x0 ) (x − x0 ) + f (x0 ) .

El am

ra

ni

92

Ab

de lk

ha

lek

On a aussi pour f dérivable à gauche (resp. en x0 , l’équation de la demi-tangente ( à droite) ′ y = fg (x0 ) (x − x0 ) + f (x0 ) à gauche (resp. à droite) en x0 est (T1 ) : x ⩽ x0 ( ′ y = fd (x0 ) (x − x0 ) + f (x0 ) (resp. (T2 ) : ). x ⩾ x0 Dans la figure suivante, T1 ̸= T2 et passent toutes les deux par le point M0 (x0 , f (x0 )) , ′ ′ donc fd (x0 ) ̸= fg (x0 ) (M0 est un point anguleux) .

Proposition 4.2.1 Soient f : I → R une fonction et x0 ∈ I. Alors: f est dérivable en x0 si, et seulement si, il existe une fonction ε : I −→ R et un réel l tels que: (∀x ∈ I) f (x) = f (x0 ) + l (x − x0 ) + (x − x0 ) ε (x) et lim ε (x) = 0. x→x0

93

Preuve. =⇒] Supposons que f est dérivable en x0 , alors lim

x→x0

!

x→x0

f (x) − f (x0 ) ′ − f (x0 ) = 0; considérons la fonction ε définie sur I par: x − x0 ′

( f (x)−f (x ) 0

ε (x) =

x−x0

− f (x0 ) si x ̸= x0 0 si x = x0 .

′

ni

encore lim

f (x) − f (x0 ) ′ = f (x0 ) ou x − x0

Alors, la fonction ε et le nombre réel l = f (x0 ) répondent aux conditions de la proposition.

ra

⇐=] Supposons qu’il existe une fonction ε : I −→ R et un réel l tels que:

(∀x ∈ I) f (x) = f (x0 ) + l (x − x0 ) + (x − x0 ) ε (x) et lim ε (x) = 0. x→x0

0

□

f (x) − f (x0 ) ′ = x→x lim (l + ε (x)) = l, donc f est dérivable en x0 et f (x0 ) = l. 0 x − x0

El am

Alors x→x lim

lek

Remarque 4.2.2 Les courbes de la fonction f dérivable en x0 et la fonction affine: T : x 7−→ f (x0 ) + l (x − x0 ) se coupent en M0 et tant que x s’approche de x0 , tant que f (x) s’approche de T (x) ; donc T est une approximation affine de f au voisinage de x0 ; sa courbe représentative est Tx0 la tangente à Gf au point M0 (x0 , f (x0 )) . Par ailleurs, pour tout x ∈ I, en posant h = x −√ x0 , on a (x −→ x0 ) ⇐⇒ (h −→ 0) et ′ dans ce cas f (x0 + h) √ ≃ f (x0 ) + f (x0 ) h. Ainsi 1 + h ≃ 1 + √ 2h pour tout réel h très proche de 0 et alors 1.0005 ≃ 1.001 ( une calculatrice donne 1.0005 = 1.001). Donc le concept de dérivabilité sert à donner des approximations des réels par des décimaux sans faire recours à la méthode de la partie entière utilisée pour montrer la densité de D dans R, et des approximations des fonctions par des fonctions affines au voisinage des point dans lesquels la fonction en question est dérivable.

ha

Proposition 4.2.2 Soient f : I → R une fonction et x0 ∈ I. Alors: ′ f est dérivable en x0 et de dérivée f (x0 ) si, et seulement si, f est dérivable à droite et à ′ ′ ′ gauche en x0 et fd (x0 ) = fg (x0 ) = f (x0 ) . f (x) − f (x0 ) = 0 x − x0 f (x) − f (x0 ) f (x) − f (x0 ) ′ ′ ′ f (x0 ) si, et seulement si, lim+ = f (x0 ) et lim− = f (x0 ) x − x0 x − x0 x→x0 x→x0 ′ ′ ′ si, et seulement si, f est dérivable à droite et à gauche en x0 et fd (x0 ) = fg (x0 ) = f (x0 ) . □ ′

de lk

Preuve. f est dérivable en x0 et de dérivée f (x0 ) si, et seulement si, x→x lim

Ab

Exemple 4.2.1 La fonction f : x 7→| x | est dérivable à droite et à gauche en 0, mais elle n’est pas dérivable en zéro. En effet: |x|−|0| −x |x|−|0| x lim− = lim− = −1 et lim+ = lim+ = 1, d’où f est dérivable x→0 x→0 x→0 x→0 x x−0 x x−0 ′ ′ ′ ′ à droite et à gauche en zéro et fd (0) = 1, fg (0) = −1, d’où fd (0) ̸= fg (0) , donc f n’est pas dérivable en zéro. Proposition 4.2.3 Soient f : I → R une fonction et x0 ∈ I. Alors: Si f est dérivable en x0 , alors f est continue en x0 , mais la réciproque et fausse.

94 (x0 ) (x − x0 ) + f (x0 ) , en faisant Preuve. Pour tout x ∈ I et x ̸= x0 on a: f (x) = f (x)−f x−x0 tendre x vers x0 , f (x) tend vers f (x0 ) donc f est continue en x0 . • La réciproque est fausse: La fonction f : x 7−→| x | est est non dérivable en 0, mais elle est continue en 0. □

Dérivabilité sur un ensemble:

ra ni

4.2.2

El

am

Définitions 4.2.2 Soient E ⊂ R, a, b deux nombres réels tels que a < b et f : E −→ R une fonction. Alors: 1. f est dérivable sur un intervalle ouvert I signifie que f est dérivable en tout point de I. 2. f est dérivable sur l’intervalle [a, b[ (resp. sur [a, +∞[ ) signifie que f est dérivable sur ]a, b[ (resp. sur ]a, +∞[ ) et est dérivable à droite en a. 3. f est dérivable sur l’intervalle ]a, b] (resp. sur ]−∞, b] ) signifie que f est dérivable sur ]a, b[ (resp. sur ]+∞, b[ ) et est dérivable à gauche en b. 4. f est dérivable sur l’intervalle [a, b] signifie que f est dérivable sur ]a, b[ et est dérivable à droite en a et à gauche en b. 5. f est dite dérivable sur E (ou dérivable) signifie que f est dérivable en tout point de E avec les considérations de 2, 3 et 4. ′ 6. Si f est dérivable sur un ensemble E, l’application E → R, x 7→ f (x) s’appelle ′ ′ ′ la fonction dérivée de f sur E et est notée f , avec f (x0 ) = fd (x0 ) si x0 est une ′ ′ extrémité droite de E (resp. f (x0 ) = fg (x0 ) si x0 est une extrémité gauche de E).

al ek

Exemples 4.2.2 1. Toute fonction numérique f constante sur R est dérivable sur R ′ et f = θ (fonction nulle). 2. Les fonctions polynômiales, cos, sin et exp sont dérivables sur R et           

′

cos = −sin ′ sin = cos ′ . exp = exp ′ (∀x ∈ R) (∀n ∈ N∗ ) (xn ) = nxn−1

Ab de lkh

3. Les fonctions fraction rationnelle et tanosont dérivables sur leurs domaines de n ′ π définitions et ∀x ∈ R \ 2 + kπ / k ∈ Z tan (x) = 1 + tan2 (x) = cos12 (x) . √ √ ′ 4. Pour tout n ∈ N∗ , la fonction x 7→ n x est dérivable sur ]0, +∞[ et (∀x ∈ ]0, +∞[) ( n x) = 1 √ n−1 . n( n x) ′ 5. La fonction ln est dérivable sur ]0, +∞[ et (∀x ∈ ]0, +∞[) ln (x) = x1 .

4.2.3

Opérations sur la dérivabilité:

Propriétés 4.2.1 (Opérations algébriques ): Soient f et g deux fonctions numériques définies sur I et dérivables en un réel x0 de I . alors: 1. f + g, f.g et α.f (α ∈ R) sont dérivables en x0 et    

′

′

′

(f + g) (x0 ) = f (x0 ) + g (x0 ) ′ ′ ′ (f.g) (x0 ) = f (x0 ) g (x0 ) + f (x0 ) g (x0 )  ′  ′  (α.f ) (x0 ) = α.f (x0 )

95 2.

1 f

et

g f

sont dérivables en x0 , si f (x0 ) ̸= 0 et  ′

    

 ′ g f

1 f

′

−f (x0 ) f 2 (x0 ) ′ ′ g (x0 )f (x0 )−g(x0 )f (x0 ) f 2 (x0 )

(x0 ) =

(x0 ) =

1. Pour tout x ∈ I \ {x0 } , on a:

ra

f (x) − f (x0 ) g (x) − g (x0 ) (f + g) (x) − (f + g) (x0 ) = + , x − x0 x − x0 x − x0

ni

Preuve.

El am

la dérivabilité de f et g en x0 et les opérations sur les limites assurent la conclusion. Pour tout x ∈ I \ {x0 } , on a: (f g) (x) − (f g) (x0 ) f (x) g (x) − f (x0 ) g (x0 ) = x − x0 x − x0 (f (x) − f (x0 )) g (x) + (g (x) − g (x0 )) f (x0 ) = x − x0 f (x) − f (x0 ) g (x) − g (x0 ) = g (x) + f (x0 ) , x − x0 x − x0

en faisant tendre x vers x0 , et vu la dérivabilité de f et g en x0 et la continuité de g en x0 , on a le résultat . Pour le dernier résultat, il suffit de prendre g la fonction constante de constante α dans la propriété précédente.

lek

2. Pour tout x ∈ I \ {x0 } tel que f (x0 ) ̸= 0, on a: et 1 f (x)

−

1 f (x0 )

=

x − x0 f (x) − f (x0 ) 1 , =− f (x) f (x0 ) x − x0

ha

x − x0

f (x0 )−f (x) f (x)f (x0 )

Ab

de lk

en faisant tendre x vers x0 , la dérivabilité de f et sa continuité en x0 entrainent le résultat. 1 g Le résultat se déduit des deux dernières relations ci-dessus: = g . f f g f

!′

1 (x0 ) = g f

!′

(x0 ) !

1 1 (x0 ) + g (x0 ) = g (x0 ) f f ′

!′

′

(x0 )

1 f (x0 ) = g (x0 ) + g (x0 ) − 2 f (x0 ) f (x0 ) ′

′

=

!

′

g (x0 ) f (x0 ) − g (x0 ) f (x0 ) . f 2 (x0 )

Remarque 4.2.3 Les propriétés précédentes sont vraies pour la dérivabilité à droite et à gauche en un point et la dérivabilité sur un ensemble.

96 Théorème 4.2.1 (Dérivée d’une fonction composée): Soient f : I −→ R et g : J −→ R deux fonctions avec I et J deux intervalles tels que f (I) ⊂ J. Alors: si f est dérivable en x0 de I et g est dérivable en f (x0 ) , alors g ◦ f est dérivable en x0 et ′ ′ ′ on a (g ◦ f ) (x0 ) = g (f (x0 )) .f (x0 ) . Preuve. Notons y0 = f (x0 ) , pour tout h ∈ R tel que x0 + h ∈ I, on a : h−→0



′



= h f (x0 ) + ε (h)

h−→0

Et pour tout k ∈ R tel que y0 + k ∈ J, on a : ′

El am

′

ra

′

= hu (h) avec lim u (h) = f (x0 ) .

ni

′

f (x0 + h) − f (x0 ) = hf (x0 ) + hε (h) avec lim ε (h) = 0

g (y0 + k) − g (y0 ) = kv (k) avec lim v (k) = g (y0 ) = g (f (x0 )) . k−→0

Donc pour tout h ∈ R tel que x0 + h ∈ I et f (x0 ) + hu (h) ∈ J, on a :

(g ◦ f ) (x0 + h) − (g ◦ f ) (x0 ) = g (f (x0 + h)) − g (f (x0 )) = g (f (x0 ) + hu (h)) − g (y0 ) = g (y0 + k) − g (y0 ) (k = hu (h)) = g (y0 ) + kv (k) − g (y0 ) = hu (h) v (hu (h)) .

lek

Or

′

lim u (h) = f (x0 )

h−→0

et

′

lim v (hu (h)) = lim v (k) = g (f (x0 )) ,

d’où lim

(g ◦ f ) (x0 + h) − (g ◦ f ) (x0 ) ′ ′ = lim u (h) v (hu (h)) = f (x0 ) g (f (x0 )) . h−→0 h

de lk

h−→0

k−→0

ha

h−→0

D’où le résultat. Autre méthode: Pour tout x ∈ I \ {x0 } , on a: (∗)

g◦f (x)−g◦f (x0 ) x−x0

□

(x0 )) = g(f (x))−g(f x−x0 (x0 ) = (h ◦ f ) (x) . f (x)−f , x−x0

Ab

où h est la fonction définie sur J par: ( g(y)−g(f (x )) 0

h (y) =

si y ̸= f (x0 ) . g (f (x0 )) si y = f (x0 ) ′

y−f (x0 )

h est bien continue en f (x0 ) , car g est dérivable en f (x0 ) ; et puisque f est dérivable en x0 , elle en est continue, d’où h ◦ f est continue en x0 . Donc selon (∗) et vu la dérivabilité de f en x0 , en faisant tendre x vers x0 dans (∗) on obtient le résultat.

97 Remarque 4.2.4 Le théorème précédent est vrai pour la dérivabilité à droite et à gauche en un point et la dérivabilité sur un ensemble.

0

0

El am

f −1 (y) − f −1 (y0 ) x − x0 = y − y0 f (x) − f (x0 ) 1 = f (x) − f (x0 ) x − x0 D’où lim

y−→y0

ra

Preuve. Soit y ∈ f (I) \ {y0 } , alors ∃!x ∈ I \ {x0 } tel que y = f (x) et on a:

ni

Théorème 4.2.2 (Dérivée de la fonction réciproque): Soient I un intervalle et f : I −→ R une application continue et injective, si f est dérivable en x0 de I avec ′ f (x0 ) ̸= 0, alors f −1 : f (I) −→ R, la fonction réciproque de f , est dérivable en y0 = ′ ′ 1 −1 , c’est à dire (f ) (y0 ) = f ′ (f −11 (y )) . f (x0 ) et on a: (f −1 ) (f (x0 )) = f ′ (x )

f −1 (y) − f −1 (y0 ) 1 car f −1 et f sont continues en y0 et x0 respectivemen = lim x−→x0 f (x) − f (x0 ) y − y0 x − x0 1 ′ = ′ car f est d´ erivable en x0 et f (x0 ) ̸= 0 . f (x0 ) ′

1 1 = ′ −1 . f (x0 ) f (f (y0 ))

□

lek

Donc f −1 est dérivable en y0 et (f −1 ) (y0 ) =

′

Dérivées des fonctions réciproques des fonctions circulaires et hyperboliques :

de lk

4.2.4

ha

Remarque 4.2.5 On peut retrouver l’égalité du théorème en utilisant l’égalité algébrique suivante: (∀x ∈ I) (f −1 ◦ f ) (x) = x et l’égalité de la dérivée de la composée, ainsi ′ ′ ′ 1 ′ (f −1 ◦ f ) (x0 ) = 1, d’où (f −1 ) (f (x0 )) f (x0 ) = 1 donc (f −1 ) (f (x0 )) = ′ . f (x0 )

Proposition 4.2.4

1. L’application Arcsin est dérivable sur ]−1, 1[ et on a: ′

(∀x ∈ ]−1, 1[) Arcsin (x) = √

1 . 1 − x2

Ab

2. L’application Arccos est dérivable sur ]−1, 1[ et on a: ′

(∀x ∈ ]−1, 1[) Arccos (x) = − √

1 . 1 − x2 ′

3. L’application Arctan est dérivable sur R et on a: (∀x ∈ R) Arctan (x) =

Preuve.

1 . 1 + x2

98 i

h



i

h

′

1. La fonction sin est dérivable sur − π2 , π2 et ∀x ∈ − π2 , π2 sin (x) ̸= 0 car ′ sin (x) = cos (x)iet cos (x) h > 0, donc sa fonction réciproque Arcsin est dérivable π π sur ]−1, 1[ = sin − 2 , 2 et on a: π π ∃!y ∈ − , 2 2 



: sin (y) = x ⇔ y = Arcsin (x) .

ra ni



(∀x ∈ ]−1, 1[) Et

′

′

El

am

Arcsin (x) = Arcsin (sin (y)) 1 = sin′ (y) 1 = cos (y) 1 =q 1 − sin2 (y) 1 =q 1 − sin2 (Arcsin (x)) 1 . =√ 1 − x2 ′

′

2. La fonction cos est dérivable sur ]0, π[ et (∀x ∈ ]0, π[) cos (x) ̸= 0 car cos (x) = −sin (x) et sin > 0, donc sa fonction réciproque Arccos est dérivable sur i (x) h π π ]−1, 1[ = cos − 2 , 2 et on a:

Et

al ek

(∀x ∈ ]−1, 1[) (∃!y ∈ ]0, π[) : cos (y) = x ⇔ y = Arccos (x) .

′

′

Arcos (x) = Arcos (cos (y)) =

Ab de lkh

=q

−1

1 − cos2 (y)

1 −1 = ′ cos (y) sin (y) −1

=q

i

= −√

1 − cos2 (Arcos (x)) h



i

h

1 1 − x2

′

3. La fonction tan est dérivable sur − π2 , π2 et ∀x ∈ − π2 , π2 tan (x) ̸= 0 car ′ 2 2 tan (x) = 1 + tan (x)iet 1 + tan h (x) > 0, donc sa fonction réciproque Arctan est π π dérivable sur R = tan − 2 , 2 et on a: (∀x ∈ R)



π π ∃!y ∈ − , 2 2 



: tan (y) = x ⇔ y = Arctan (x) .

Et

′

1 1 = ′ tan (y) 1 + tan2 (y) 1 1 = = . 1 + tan2 (Arctan (x)) 1 + x2 ′

Arctan (x) = Arctan (tan (y)) =

□

99 Proposition 4.2.5

1. L’application Argsh est dérivable sur R et on a: 1 ′ (∀x ∈ R) Argsh (x) = √ . 1 + x2

2. L’application Argch est dérivable sur ]1, +∞[ et on a: 1 x2 − 1

.

ni

′

(∀x ∈ ]1, +∞[) Argch (x) = √ 3. L’application Argth est dérivable sur ]−1, 1[ et on a:

1 . 1 − x2

ra

′

(∀x ∈ ]−1, 1[) Argth (x) =

El am

Preuve. ′ ′ 1. La fonction sh est dérivable sur R et (∀x ∈ R) sh (x) ̸= 0 car sh (x) = ch (x) et ch (x) ⩾ 1, donc sa fonction réciproque Argsh est dérivable sur R = sh (R) et on a: (∀x ∈ R) (∃!y ∈ R) : sh (y) = x ⇔ y = Argsh (x) . Et ′

′

ha

lek

Argsh (x) = Argsh (sh (y)) 1 = ′ sh (y) 1 = ch (y) 1 =q 1 + sh2 (y) 1 =q 1 + sh2 (Argsh (x)) 1 =√ . 1 + x2

′

′

2. La fonction ch est dérivable sur ]0, +∞[ et (∀x ∈ ]0, +∞[) ch (x) ̸= 0 car ch (x) = sh (x) et sh (x) > 0, donc sa fonction réciproque Argch est dérivable sur ]1, +∞[ = ch (]0, +∞[) et on a:

Ab

de lk

(∀x ∈ ]1, +∞[) (∃!y ∈ ]0, +∞[) : ch (y) = x ⇔ y = Argch (x) .

Et

′

′

Argch (x) = Argch (ch (y)) 1 = ′ ch (y) 1 = sh (y) 1 =q 1 + ch2 (y) 1 =q 1 + cos2 (Arcos (x)) 1 =√ . 1 + x2

100 ′

′

3. La fonction th est dérivable sur R et (∀x ∈ R) th (x) ̸= 0 car th (x) = 1 − th2 (x) et 1 − th2 (x) > 0 (−1 < th (x) < 1) , donc sa fonction réciproque Argth est dérivable sur ]−1, 1[ = th (R) et on a: (∀x ∈ ]−1, 1[) (∃!y ∈ R) : th (y) = x ⇔ y = Argth (x) .

1 1 = th (y) 1 − th2 (y) 1 1 = = . 2 1 − th (Argth (x)) 1 − x2 ′

Argth (x) = Argth (th (y)) =

′

ra

′

ni

Et

□

3. (∀x ∈ ]−1, 1[) Argth (x) = 21 ln



1+x 1−x

√



El am



1. (∀x ∈ R) Argsh (x) = ln x +   √ 2. (∀x ∈ [1, +∞[) Argch (x) = ln x + x2 − 1 .

Proposition 4.2.6



1 + x2 .

.

′

′

Ab

de lk

ha

lek

Preuve. Dériver les fonctions dans la proposition et utiliser le fait que f = g sur un intervalle I, entraine que f = g + Cte sur I. □

101

4.3 4.3.1

Notion de convexité Fonctions convexes et concaves

Définition 4.3.1 Soit I un intervalle de R et soit f : I −→ R une application.

∀ (x, y) ∈ I 2



(∀λ ∈ [0, 1]) f (λx + (1 − λ) y) ⩽ λf (x) + (1 − λ) f (y) .

El am

2. f est dite concave sur I si, et seulement si, −f est convexe sur I.

ra



ni

1. f est dite convexe sur I si, et seulement si,

Proposition 4.3.1 Soit I un intervalle de R et soit f : I −→ R une application dérivable sur I et Cf sa courbe. Alors: 1. f est convexe sur I si, et seulement si, Cf est au dessus de ses tangentes. 2. f est concave sur I si, et seulement si, Cf est au dessous de ses tangentes.

1. Les applications suivantes sont convexes sur R car leurs courbes f : R −→ R g : R −→ R représentatives sont au dessus de leurs tangentes x 7−→ x2 x 7−→ ex .

lek

Exemples 4.3.1

2. L’application ln est concave sur l’intervalle ]0, +∞[ car sa courbe est dessous de ses tangentes.

Ab

de lk

ha

3. L’application −ln est convexe sur l’intervalle ]0, +∞[ .

am

ra ni

102

Convexité et épigraphe d’une fonction

El

4.3.2

al ek

Définition 4.3.2 Soit I un intervalle de R et soit f : I −→ R une application. L’épigraphe de f est le sous-ensemble, noté Ef , du plan rapporté à un repère défini par: Ef = {M (x, y) : (x, y) ∈ I × R et y ⩾ f (x)} .

Ab de lkh

Remarque 4.3.1 Géométriquement, l’épigraphe d’une application est la partie du plan se

trouvant au dessus de sa courbe représentative.

Proposition 4.3.2 Soit I un intervalle de R et soit f : I −→ R une application. f est convexe sur I si, et seulement si, pour tout (A, B) ∈ Ef2 le segment [AB] est inclus dans Ef .

103

4.3.3

Inégalité de Jensen

Proposition 4.3.3 Soit I un intervalle de R et soit f : I −→ R une application convexe sur I. Alors, pour tout n ∈ N∗ , pour tout (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ I n et pour tout (λ1 , λ2 , ..., λn ) ∈ [0, 1]n tels que:

n X

λi = 1

i=1

!

λ i xi ⩽

i=1

n X

λi f (xi )

ra ni

f

n X

i=1

n+1 X

λi = 1. Alors:

i=1

i. Si λ1 = λ2 = ... = λn = 0, l’inégalité est évidente. ii. Si (λ1 , λ2 , ..., λn ) ̸= (0, 0, ...0) , soit µ =

n X

am

Preuve. Par récurrence sur n. Pour n = 1, la propriété est trivialement vérifiée. (Pour n = 2, c’est la définition de la convexité de f ). Soit n ∈ N∗ , supposons que la la propriété est vraie pour n et montrons qu’elle est aussi vraie pour n + 1. Soient donc (x1 , x2 , ..., xn , xn+1 ) ∈ I n+1 et (λ1 , λ2 , ..., λn , λn+1 ) ∈ [0, 1]n+1 tels que:

λi , alors µ = 1 − λn+1 et µ > 0. Soit

i=1

al ek

El

n 1X λi xi , alors: puisque (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ I n et I est un intervalle alors x ∈ I x= µ i=1 ! n 1 1X λi = .µ = 1 , donc µ i=1 µ

f

n+1 X

n X

!

λi xi = f

i=1

!

λi xi + λn+1 xn+1

i=1

= f (µx + (1 − µ) xn+1 ) ⩽ µf (x) + (1 − µ) f (xn+1 )

Ab de lkh

n X

!

λi ⩽ µf xi + (1 − µ) f (xn+1 ) i=1 µ ⩽µ ⩽

⩽

n X

λi f (xi ) + λn+1 f (xn+1 ) i=1 µ

n X i=1 n+1 X

λi f (xi ) + λn+1 f (xn+1 ) λi f (xi ) .

i=1

Et le principe de récurrence assurent la conclusion .

4.4

4.4.1

Théorème de Rolle et accroissements finis Extremum d’une fonction

Définitions 4.4.1 Soit f : R −→ R une fonction définie au voisinage d’un réel x0 .

□

104 1. On dit que f admet un maximum local ou relatif en x0 si, et seulement si, il existe α > 0 tel que (∀x ∈ ]x0 − α, x0 + α[) f (x) ⩽ f (x0 ) . 2. On dit que f admet un minimum local ou relatif en x0 si, et seulement si, il existe β > 0 tel que (∀x ∈ ]x0 − β, x0 + β[) f (x) ⩾ f (x0 ) .

ra ni

3. On dit que f admet un extrémum local en x0 si, et seulement si, elle admet un maximum local ou un minimum local en x0 .

am

Remarque 4.4.1 Soient (a, b) ∈ R2 tel que a < b, f : ]a, b[ −→ R une fonction et x0 ∈ ]a, b[ . Si (∀x ∈ ]a, b[) f (x) ⩽ f (x0 ) (resp. f (x) ⩾ f (x0 )), alors f admet un maximum local (resp. un minimum local) en x0 . Car pour α tel que 0 < α < min (x0 − a, b − x0 ) , on a ]x0 − α, x0 + α[ ⊂ ]a, b[, donc (∀x ∈ ]x0 − α, x0 + α[) f (x) ⩽ f (x0 ) (resp. f (x) ⩾ f (x0 )). Théorème 4.4.1 Soit f : R −→ R une fonction dérivable en un nombre réel x0 . ′ Si f admet un extrémum local en x0 , alors f (x0 ) = 0. • Supposons que f admet un minimum local en x0 ; alors il existe β > 0 tel f (x) − f (x0 ) ⩾ 0, et que (∀x ∈ ]x0 − β, x0 + β[) f (x) ⩾ f (x0 ) , d’où (∀x ∈ ]x0 , x0 + β[) x − x0 f (x) − f (x0 ) ′ par suite lim+ ⩾ 0, donc fd (x0 ) ⩾ 0. x − x0 x→x0 f (x) − f (x0 ) f (x) − f (x0 ) D’autre part (∀x ∈ ]x0 − β, x0 [) ⩽ 0, et par suite lim− ⩽ 0, x − x0 x − x0 x→x0 ′ donc fg (x0 ) ⩾ 0. ′ ′ ′ Or f est dérivable en x0 d’où fd (x0 ) = fg (x0 ) = f (x0 ) et par suite ′ ′ ′ f (x0 ) ⩾ 0 et f (x0 ) ⩽ 0, donc f (x0 ) = 0. • Même démonstration pour f admettant un maximum local en x0 . □

al ek

El

Preuve.

Ab de lkh

Remarques 4.4.1 1. Graphiquement, si f est dérivable en x0 et admet un extrémum en ce point, alors son graphe Cf admet une tangente parallèle à l’axe des abscisses au point M0 (x0 , f (x0 )) .

′

2. La réciproque du théorème précédent est fausse ; on peut avoir f (x0 ) = 0 sans que f admette un extrémum en x0 comme le montre l’exemple suivant: ′ f : R −→ R, x 7−→ x3 . On a: f (0) = 0 mais f n’admet pas d’extrémum en 0 car (∀x > 0) f (x) > f (0) et (∀x < 0) f (x) < f (0) .

Théorème de Rolle

El

4.4.2

am

ra ni

105

alors

al ek

Théorème 4.4.2 Soit (a, b) ∈ R2 tel que a < b et soit f : [a, b] −→ R une fonction. Si    f est continue sur [a, b] f est d´ erivable sur ]a, b[ ,   f (a) = f (b)

′

(∃c ∈ ]a, b[) : f (c) = 0.

Puisque f est continue sur [a, b] , alors f ([a, b]) = [m, M ] où m = inf f (x)

Ab de lkh

Preuve.

a⩽x⩽b

et M = sup f (x) , d’où: a⩽x⩽b

′

1. Si m = M, alors f est constante sur [a, b] donc (∀x ∈ ]a, b[) f (x) = 0 et tout point de ]a, b[ convient. 2. Si m ̸= M, alors f (a) ̸= m ou f (a) ̸= M.

Supposons, par exemple, que f (a) ̸= m. Alors d’après le T.V.I. il existe c ∈ [a, b] tel que m = f (c) de plus c ̸= a et c ̸= b et alors (∀x ∈ ]a, b[) f (x) ⩾ f (c) , d’où f admet un minimum local en c, et comme f est dérivable sur ]a, b[ alors d’après le théorème précédent ′ f (c) = 0. □

Remarques 4.4.2 1. Graphiquement, le théorème de Rolle signifie que le graphe Cf de f admet une tangente parallèle à l’axe des abscisses en un point M (c, f (c)) , où c ∈ ]a, b[

am

2. Soient (a, b) ∈ R2 tel que a < b et f : [a, b] −→ R une fonction. (a) (

ra ni

106

′ f est d´ erivable sur ]a, b[ ⇏ (∃c ∈ ]a, b[) : f (c) = 0 f (a) = f (b)

(

1 − x si x ∈ ]0, 1] . 0 si x = 0

Ab de lkh

al ek

El

comme le montre l’exemple suivant: f (x) =

(

(b)

′ f est continue sur [a, b] ⇏ (∃c ∈ ]a, b[) : f (c) = 0 f (a) = f (b)

comme le montre l’exemple suivant: f : [−1, 1] −→ R, x 7−→| x | .

107

4.4.3

Théorème des accroissements finis

(

f est continue sur [a, b] , f est d´ erivable sur ]a, b[

alors (∃c ∈ ]a, b[) :

f (b) − f (a) ′ = f (c) b−a

am

ou encore

ra ni

Théorème 4.4.3 Soit (a, b) ∈ R2 tel que a < b et soit f : [a, b] −→ R une fonction. Si

′

f (b) − f (a) = (b − a) f (c) .

Preuve.

Considérons l’application: g : [a, b] −→ R, x 7−→ g (x) = f (x) −

El

Alors :

f (b)−f (a) x. b−a

  

al ek

g est continue sur [a, b] g est d´ erivable sur ]a, b[ .   (b) g (a) = g (b) = bf (a)−af b−a ′

Donc d’après le théorème de Rolle, il existe c ∈ ]a, b[ : g (c) = 0. Or

′

′

Ab de lkh

(∀x ∈ ]a, b[) g (x) = f (x) −

f (b) − f (a) . b−a

Donc

(∃c ∈ ]a, b[) :

′

f (c) =

f (b) − f (a) . b−a □

Remarques 4.4.3 1. Sous les hypothèses du théorème précédent, il existe θ ∈ ]0, 1[ ′ tel que: f (b)−f (a) = (b − a) f (a + θ (b − a)) , car ]a, b[ = { a + t (b − a) : t ∈ ]0, 1[ } . ′ Et en posant h = b − a, on obtient: (∃θ ∈ ]0, 1[) : f (a + h) − f (a) = hf (a + θh) . 2. Graphiquement, le théorème de des accroissements finis signifie que le graphe Cf de f admet, en un point M (c, f (c)) , où c ∈ ]a, b[ , une tangente parallèle à la droite (AB) où A (a, f (a)) et B (b, f (b)) .

El am

ra

ni

108

lek

Corollaire 4.4.1 Soient (a, b) ∈ R2 tel que a < b et f : [a, b] −→ R une fonction. Si ( f est continue sur [a, b] , f est d´ erivable sur ]a, b[ alors

′

(∃θ ∈ ]0, 1[) : f (b) − f (a) = (b − a) f (a + θ (b − a)) .

de lk

ha

Preuve. ]a, b[ = { a + θ (b − a) / θ ∈ ]0, 1[ } ; en effet: • (∀θ ∈ ]0, 1[) a < a + θ (b − a) < b car 0 < θ < 1 =⇒ 0 < θ (b − a) < b − a. • Soit x ∈ ]a, b[ , alors:

et on a: x = a + θ ∈ ]0, 1[ .

x−a b−a

x ∈ ]a, b[ ⇐⇒ a < x < b =⇒ 0 < x − a < b − a x−a =⇒ 0 < < 1, b−a

(b − a) , d’où si on prend θ =

x−a , b−a

on a x = a + θ (b − a) , avec □

Ab

Corollaire 4.4.2 Soient I un intervalle non vide de R et f : I −→ R une fonction dérivable sur I. Alors: 1. Pour tous x1 et x2 de I tels que x1 ̸= x2 , il existe c compris strictement entre x1 ′ et x2 tel que: f (x2 ) − f (x1 ) = (x2 − x1 ) f (c) . 2. Pour tout x ∈ I et tout h ∈ R∗ tel que x + h ∈ I, il existe θ ∈ ]0, 1[ tel que: ′ f (x + h) − f (x) = hf (x + θh) . En particulier, si 0 ∈ I, on a: ′

(∀x ∈ I) (∃θ ∈ ]0, 1[) : f (x) − f (0) = xf (θx) .

109

ra

ni

Preuve. 1. Soient x1 et x2 de I tels que x1 ̸= x2 ; considérons a = min (x1 , x2 ) et b = max (x1 , x2 ) , alors a ̸= b et f étant dérivable sur I donc vérifie les conditions du théorème précédent sur l’intervalle [a, b] , et alors, il existe c ∈ ]a, b[ tel que ′ f (b) − f (a) = (b − a) f (c) , donc, il existe c compris strictement entre x1 et x2 ′ tel que: f (x2 ) − f (x1 ) = (x2 − x1 ) f (c) . 2. Soient x ∈ I et h ∈ R∗ tels que x + h ∈ I, alors en prenant x1 = x et x2 = x + h dans 1, on a alors x2 − x1 = h et c est de la forme c = x + θh où 0 < θ < 1 et l’on ′ a f (x + h) − f (x) = hf (x + θh) . Dans le cas particulier, il suffit de prendre x = 0. □

El am

Théorème 4.4.4 Soient I un intervalle non vide ouvert de R et f : I −→ R une fonction dérivable sur I. Alors: ′ 1. f est constante sur I ⇐⇒ (∀x ∈ I) f (x) = 0. ′ 2. f est croissante sur I ⇐⇒ (∀x ∈ I) f (x) ⩾ 0. ′ 3. (∀x ∈ I) f (x) > 0 =⇒ f est strictement croissante sur I; mais la réciproque est fausse.

de lk

ha

lek

Preuve. 1. =⇒] Trivial . ⇐=] Soient x et y de I tels que x ̸= y; alors, d’après le corollaire 4.4.2, il existe c ′ compris strictement entre x et y tel que f (x) − f (y) = (x − y) f (c) , et comme ′ f (c) = 0, alors f (x) = f (y) . Ce qui montre que f est constante sur I. 2. Supposons que f est croissante sur I et soit x0 ∈ I; alors pour tout x ∈ I tel que f (x) − f (x0 ) ⩾ 0 (voir le cours de 1ere science), on en déduit par x ̸= x0 , on a: x − x0 ′ passage à la limite en x0 que f (x0 ) ⩾ 0. ⇐=] Soient x et y de I tels que x ̸= y; alors, d’après le corollaire 4.4.2, il existe c f (x) − f (y) ′ ′ = f (c) , et comme f (c) ⩾ 0, compris strictement entre x et y tel que x−y f (x) − f (y) alors ⩾ . Ce qui montre que f est croissante sur I (voir le cours de x−y 1ere science). 3. Même principe que 2. Pour la réciproque, la fonction f : x 7−→ x3 est strictement croissante sur R, mais ′ f (0) = 0. Exercice 4.4.1 Montrer que le théorème précédent est vrai, dans le cas où I est un intervalle non ouvert.

Théorème des accroissements finis généralisé

Ab

4.4.4

Théorème 4.4.5 (Théorème des accroissements finis généralisé) Soit (a, b) ∈ R2 tel que a < b et soient f : [a, b] −→ R et g : [a, b] −→ R deux fonctions. Si f et g sont: ( continues sur [a, b] , d´ erivables sur ]a, b[ alors

′

′

(∃c ∈ ]a, b[) : (f (b) − f (a)) g (c) = (g (b) − g (a)) f (c) .

110 Preuve.

Considérons l’application:

Alors :

  

h est continue sur [a, b] h est d´ erivable sur ]a, b[ .   h (a) = h (b) = f (b) g (a) − f (a) g (b) . ′

D’où d’après le théorème de Rolle, il existe c ∈ ]a, b[ : h (c) = 0. Donc ′

′

ra ni

h : [a, b] −→ R x 7−→ h (x) = (f (b) − f (a)) g (x) − (g (b) − g (a)) f (x) .

(∃c ∈ ]a, b[) : (f (b) − f (a)) g (c) = (g (b) − g (a)) f (c) .

am

□

′

′

Remarque (∀x ∈ ]a, b[) g (x) ̸= 0, alors g (c) ̸= 0 et g (b) − g (a) ̸= 0  4.4.2 Si de plus  2 ( en fait ∀ (x, y) ∈ [a, b] : x ̸= y g (x) − g (y) ̸= 0 ) et le résultat du théorème précédent s’écrit: ′ f (c) f (b) − f (a) = ′ . (∃c ∈ ]a, b[) : g (b) − g (a) g (c)

Règle de l’Hopital

El

4.4.5

al ek

Proposition 4.4.1 (Règle de l’Hopital) Soient (a, b) ∈ ]a, b[ , l ∈ R ∪ {+∞, −∞} et soient f : [a, b] −→ R et g tions dérivables sur ]a, b[ . ′ f (x) ′ = l alors lim Si (∀x ∈ ]a, b[ \ {x0 }) , g (x) ̸= 0 et lim ′ x→x0 x→x0 g (x)

R2 tel que a < b, x0 ∈ : [a, b] −→ R deux fonc-

f (x) − f (x0 ) =l . g (x) − g (x0 )

Ab de lkh

Preuve. • Cas où l ∈ R: Pour tout x ∈ ]a, b[ \ {x0 } , on applique le T.A.F.G. sur l’intervalle d’extrémités x et x0 donc il existe cx compris entre x et x0 tel que ′ f (cx ) f (x) − f (x0 ) = ′ . g (x) − g (x0 ) g (cx ) D’autre part, pour tout ε > 0, il existe α > 0 : ′

f (t) (∀t ∈ ]x0 − α, x0 + α[ \ {x0 }) ′ − l < ε. g (t)

Or (∀x ∈ ]x0 − α, x0 + α[ \ {x0 }) , cx ∈ ]x0 − α, x0 + α[ \ {x0 } ,

d’où

′

f (cx ) − l < ε, g ′ (cx )

donc

(∀x ∈ ]x0 − α, x0 + α[ \ {x0 })

f (x) − f (x0 ) − l < ε, g (x) − g (x0 )

c’est à dire que

lim

x→x0

f (x) − f (x0 ) = l. g (x) − g (x0 )

• Cas où l = +∞ ou l = +∞ (en exercice).

□

111 √

1 alors f et g sont dérivables sur I et f (0) = g (0) = 0 et (∀x ∈ I) f (x) = 2 2 ′ ′ g (x) = et g (x) ̸= 0. 2 1−x On a:

!

1 1 √ +√ , 1−x 1+x

′

f (x) = lim lim ′ x→0 x→0 g (x)

1 2

El am

ra

′

ni

√ 1+x− 1−x Exemple 4.4.1 Calculons lim x→0 ln (1 + x) − ln (1 − x) √ √ 1+x− 1−x La fonction x 7−→ est définie sur I\ {0} où I = ]−1, 1[ . ln (1 + x) − ln (1 − x) Considérons les applications f et g définies sur I par: √ √ f (x) = 1 + x − 1 − x et g (x) = ln (1 + x) − ln (1 − x)

1 1 √ +√ 1−x 1+x 2 1 − x2

!

=

1 2

′

f (x) 1 f (x) = lim ′ = . x→0 g (x) x→0 g (x) 2

Ab

de lk

ha

lek

d’où par la règle de l’hôpital lim

□