A ​Feynman-előadások fizikából I. [PDF]

Zitiervorschau

Hungarian edition © Typotex Kiadó

A Feynman-el˝ oad´ asok fizik´ ab´ ol

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

A Feynman-el˝ oad´ asok fizik´ ab´ ol Richard P. Feynman Robert B. Leighton Matthew Sands

I. ko¨tet

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

A k¨onyv a Magyar Tudom´anyos Akad´emia t´amogat´as´aval k´esz¨ ult.

c 1964, 2006, 2010 by California Institute of Technology, Copyright Michael A. Gottlieb, and Rudolf Pfeiffer All rights reserved. A ford´ıt´as a k¨ovetkez˝o kiad´as alapj´an k´esz¨ ult: The Feynman Lectures on Physics Published by Basic Books, 2011 ´ c dr. Boz´oky Gy¨orgy, dr. B. Gombosi Eva, Hungarian translation Nagy Elem´er, Typotex, Budapest, 2017 Enged´ely n´elk¨ ul semmilyen form´aban nem m´asolhat´o! Szakmailag lektor´alta Patk´os Andr´as ISBN 978 963 279 979 7 T´emak¨or: fizika

Kedves Olvas´o! K¨osz¨onj¨ uk, hogy k´ın´alatunkb´ol v´alasztott olvasnival´ot! ´ Ujabb kiadv´anyainkr´ol ´es akci´oinkr´ol a www.typotex.hu ´es a facebook.com/typotexkiado oldalakon ´ertes¨ ulhet.

Kiadja a Typotex Elektronikus Kiad´o Kft. Felel˝os vezet˝o: Votisky Zsuzsa F˝oszerkeszt˝o: Horv´ath Bal´azs A k¨ otetet gondozta: Gerner J´ozsef Bor´ıt´oterv: Somogyi P´eter Nyom´as: S´ed Nyomda Kft. Felel˝os vezet˝o: Katona Szilvia www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

Tartalom

El˝osz´o a magyar kiad´ashoz A szerz˝okr˝ol El˝osz´o az u ´j, millenniumi kiad´ashoz Feynman el˝oszava

11 13 16 23

1. Atomok mozg´ asban 1.1. Bevezet´es 1.2. Az anyag atomokb´ol ´ep¨ ul fel 1.3. Atomi folyamatok 1.4. K´emiai reakci´ok

27 27 29 34 37

2. A fizika alapjai 2.1. Bevezet´es 2.2. A fizika 1920 el˝ott 2.3. Kvantumfizika 2.4. Atommagok ´es r´eszecsk´ek

43 43 46 51 56

3. A fizika kapcsolata m´ as tudom´ any´ agakkal 3.1. Bevezet´es 3.2. K´emia 3.3. Biol´ogia 3.4. Csillag´aszat 3.5. Geol´ogia 3.6. Pszichol´ogia 3.7. Fejl˝od´est¨ort´enet

62 62 62 64 72 74 75 76

4. Az energiamegmarad´ as t´ etele 4.1. Mi az energia? 4.2. Gravit´aci´os helyzeti energia 4.3. Mozg´asi energia 4.4. Az energia egy´eb form´ai

79 79 81 87 88

5. Id˝ o 5.1. 5.2. 5.3.

93 93 94 95

www.interkonyv.hu

´ es t´ avols´ ag A mozg´asr´ol Az id˝o fogalma R¨ovid id˝otartamok

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

6

Tartalom 5.4. 5.5. 5.6. 5.7.

Hossz´ u id˝otartamok Az id˝o m´ert´ekegys´egei ´es etalonjai Nagy t´avols´agok Kis t´avols´agok

97 100 101 105

6. Val´ osz´ın˝ us´ eg 6.1. Es´ely ´es val´osz´ın˝ us´eg 6.2. V´eletlen ingadoz´asok 6.3. Bolyong´asi probl´ema 6.4. Val´osz´ın˝ us´egeloszl´as 6.5. Hat´arozatlans´agi rel´aci´o

110 110 113 117 121 125

7. A gravit´ aci´ o elm´ elete 7.1. A bolyg´ok mozg´asa 7.2. Kepler t¨orv´enyei 7.3. A dinamika fejl˝od´ese 7.4. A gravit´aci´o Newton-f´ele t¨orv´enye 7.5. Egyetemes t¨omegvonz´as 7.6. Cavendish k´ıs´erlete 7.7. Mi a gravit´aci´o? 7.8. A gravit´aci´o ´es a relativit´aselm´elet

129 129 130 131 132 137 142 143 147

8. A mozg´ as 8.1. A mozg´as le´ır´asa 8.2. Sebess´eg 8.3. A sebess´eg mint deriv´alt 8.4. A t´avols´ag mint integr´al 8.5. Gyorsul´as

148 148 151 156 158 160

9. A dinamika Newton-f´ ele t¨ orv´ enyei 9.1. Impulzus (lend¨ ulet) ´es er˝o 9.2. Gyorsas´ag ´es sebess´eg 9.3. Sebess´eg-, gyorsul´as- ´es er˝okomponensek 9.4. Mi az er˝o? 9.5. A dinamika egyenleteinek jelent´ese 9.6. Az egyenletek numerikus megold´asa 9.7. A bolyg´ok mozg´asa

165 165 167 168 170 171 172 175

10. Az impulzus megmarad´ asa 10.1. Newton harmadik t¨orv´enye

181 181

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

Tartalom

7

10.2. Az impulzus megmarad´asa 10.3. Az impulzus megmarad! 10.4. Impulzus ´es energia 10.5. Relativisztikus impulzus

183 187 192 194

11. Vektorok 11.1. Szimmetri´ak a fizik´aban 11.2. Eltol´asok 11.3. Forgat´asok 11.4. Vektorok 11.5. Vektoralgebra 11.6. Newton t¨orv´enyei vektorjel¨ol´esben 11.7. Vektorok skal´arszorzata

198 198 199 201 205 207 210 212

12. Az er˝ o jellemz˝ oi 12.1. Mit ´ert¨ unk er˝on? 12.2. S´ url´od´as 12.3. Molekul´aris er˝ok 12.4. Alaper˝ok. Terek 12.5. Pszeudoer˝ok 12.6. Mager˝ok

216 216 220 224 227 232 235

13. Munka ´ es helyzeti energia (A) 13.1. A szabadon es˝o test energi´aja 13.2. A neh´ezs´egi er˝o ´altal v´egzett munka 13.3. Energia¨osszegz´es 13.4. Nagy testek gravit´aci´os tere

237 237 241 246 248

14. Munka ´ es helyzeti energia (befejez´ es) 14.1. Munka 14.2. K´enyszermozg´as 14.3. Konzervat´ıv er˝ok 14.4. Nemkonzervat´ıv er˝ok 14.5. Potenci´alok ´es terek

253 253 256 257 262 264

15. Speci´ alis relativit´ aselm´ elet 15.1. A relativit´as elve 15.2. Lorentz-transzform´aci´o 15.3. A Michelson–Morley-k´ıs´erlet 15.4. Az id˝o transzform´aci´oja

269 269 272 273 276

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

8

Tartalom 15.5. Lorentz-kontrakci´o 15.6. Egyidej˝ us´eg 15.7. N´egyesvektorok 15.8. Relativisztikus dinamika 15.9. A t¨omeg ´es az energia egyen´ert´ek˝ us´ege

280 281 282 283 285

16. Relativisztikus energia ´ es impulzus 16.1. A relativit´as ´es a filoz´ofusok 16.2. Az ikerparadoxon 16.3. A sebess´egek transzform´aci´oja 16.4. A relativisztikus t¨omeg 16.5. A relativisztikus energia

288 288 292 293 296 300

17. T´ erid˝ o 17.1. A t´erid˝o geometri´aja 17.2. T´erid˝o-intervallumok 17.3. M´ ult, jelen ´es j¨ov˝o 17.4. M´eg n´eh´any sz´o a n´egyesvektorokr´ol 17.5. N´egyesvektorok algebr´aja

304 304 307 309 311 314

18. Forg´ as k´ et dimenzi´ oban 18.1. A t¨omegk¨oz´eppont 18.2. Merev test forg´omozg´asa 18.3. Impulzusmomentum (perd¨ ulet) 18.4. Az impulzusmomentum megmarad´asa

318 318 321 325 328

19. To oz´ eppont. Tehetetlens´ egi nyomat´ ek ¨megk¨ 19.1. A t¨omegk¨oz´eppont tulajdons´agai 19.2. A t¨omegk¨oz´eppont meghat´aroz´asa 19.3. A tehetetlens´egi nyomat´ek meghat´aroz´asa 19.4. A forg´as kinetikus energi´aja

331 331 336 338 342

20. Forg´ as h´ arom dimenzi´ oban 20.1. Forgat´onyomat´ek h´arom dimenzi´oban 20.2. A forg´omozg´as egyenletei vektoralakban 20.3. A p¨orgetty˝ u 20.4. A merev test impulzusmomentuma

347 347 353 354 359

21. A harmonikus oszcill´ ator 21.1. Line´aris differenci´alegyenletek

362 362

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

Tartalom

9

21.2. Harmonikus oszcill´ator 21.3. Harmonikus rezg˝omozg´as ´es k¨ormozg´as 21.4. Kezdeti felt´etelek 21.5. K´enyszerrezg´esek

363 367 368 370

22. Algebra ¨ 22.1. Osszead´ as ´es szorz´as 22.2. Ford´ıtott m˝ uveletek 22.3. Elvonatkoztat´as ´es ´altal´anos´ıt´as 22.4. Irracion´alis sz´amok k¨ozel´ıt´ese 22.5. Komplex sz´amok 22.6. K´epzetes hatv´anykitev˝ok

373 373 375 376 378 384 388

23. Rezonancia 23.1. Komplex sz´amok ´es a harmonikus rezg˝omozg´as 23.2. Csillap´ıtott k´enyszerrezg´es 23.3. Elektromos rezonancia 23.4. Rezonancia a term´eszetben

391 391 394 397 401

´ 24. Atmeneti jelens´ egek 24.1. Az oszcill´ator energi´aja 24.2. Csillap´ıtott rezg´esek 24.3. Elektromos ´aramk¨or¨ok ´atmeneti (tranziens) jelens´egei

408 408 411 414

¨ 25. Line´ aris rendszerek. Osszefoglal´ as 25.1. Line´aris differenci´alegyenletek 25.2. Megold´asok szuperpoz´ıci´oja 25.3. Rezg´esek line´aris rendszerekben 25.4. Anal´ogi´ak a fizik´aban 25.5. Soros ´es p´arhuzamos impedanci´ak A k¨onyvben alkalmazott jel¨ol´esek

418 418 420 425 428 431 434

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

El˝ osz´ o a magyar kiad´ ashoz ´ K´et k´erd´esre kellene hat´asosan v´alaszolnunk. Az els˝o: Erdemes-e egy´altal´an korunkban a fizika eg´esz´et ´atfog´o bevezet´est k´ın´alni a fels˝ofok´ u tanulm´anyokat kezd˝o m´ern¨ok-, orvostan- vagy term´eszettudom´anyi hallgat´oknak? Igenl˝o v´alaszn´al j¨on a m´asodik: Mi´ert ´eppen A Feynman”-t ” aj´anljuk? Er˝os ´erv a monografikus terjedelm˝ u tank¨onyvsorozatok ellen a tudom´anyos ismeretek terjedelme n¨oveked´es´enek fokoz´od´o u ¨teme. Ha az elm´ ult 500 ´ev fizik´aj´anak eg´esz´et modern felfog´asban bemutat´o k¨onyvsorozat elk´esz´ıt´es´enek ´es kiad´as´anak munk´aj´at tekintj¨ uk, fel kell ismerni, hogy a meg´ır´as folyamata alatt az ismeretanyag szinte megj´osolhatatlan m´ert´ekben ´es ir´anyban b˝ov¨ ul. A tank¨onyv´ır´o sz´am´ara rem´enytelen versenyfut´ast jelen´ıtette meg az a hallgat´o, aki egy el˝oad´asomat okostelefonj´an k¨ovetve r´am sz´olt: az Univerzum ´eletkora nem 13,7 milli´ard, hanem ” 13,82 milli´ard ´ev”. A gyorsan v´altoz´o hangs´ ulyok ´es tartalmak a kiad´okat is ink´abb az el˝oad´asjegyzetek (lecture notes) gyorsan cser´elhet˝o ´ır´asos v´altozatainak kiad´as´ara ¨oszt¨onzik a nagy klasszikus tank¨onyvsorozatok helyett. Jelen sorozatr´ol biztosan ´all´ıthat´o, hogy a nem avul´o klasszikusok k¨oz´e tartozik. A n´egy ´evtizeddel kor´abbi els˝o magyar kiad´as sz¨oveg´enek kritikai jav´ıt´asa ut´ani, a 2010-es amerikai utols´o vari´anst k¨ovet˝o u ´jabb kiad´as´at, a tanulm´anyaikat kezd˝oknek ´ovatoskod´as n´elk¨ ul aj´anlhatjuk figyelm´ebe. A tart´os ´erdekl˝od´es fennmarad´as´anak titka Richard P. Feynman egy´eni tudom´anyfelfog´as´aban rejlik. Sz´am´ara a fizika nem puszt´an saj´at t´argyk¨or´ere, hanem minden term´eszeti jelens´eg vizsg´alat´ara, s˝ot a t´arsadalmi kih´ıv´asok univerz´alis megk¨ozel´ıt´es´ere is m´odszert k´ın´al. ´Igy azt´an nem cs´ab´ıtja a tematikus teljess´egre t¨ orekv´es. Minden jelens´egk¨orben a legegyszer˝ ubb (n´eha az el˝oad´as c´eljaira kital´alt) k´ıs´erletekre alapozva ´ep´ıti ki a legalkalmasabb fogalmakat, majd olyan jelens´egeknek ´es m´odszereknek a megbesz´el´es´ere koncentr´al, amelyek t´ ul a fizik´an is visszak¨osz¨onnek. Nem sajn´alja az id˝ot, r´eszletesen kifejti p´eld´aul a rezonancia jelens´eg´enek sz´eles term´eszeti jelens´egk¨orben megtapasztalhat´o felbukkan´as´at. Gondosan r´eszletezett apr´o l´ep´esekben mutatja a kezd˝o olvas´onak, hogyan juthat egyre k¨ozelebb a harmonikus rezg´es vagy a bolyg´omozg´as teljes kvantitat´ıv jellemz´es´eig. Az eredm´eny megfogalmaz´asa n´ala nem a t´ema lez´ar´as´anak a pillanata, hanem a r´eszletes u ´jraelemz´es´e, ahol a matematikai k´epleteket lehet˝oleg mell˝ozve keresi a leg´attekinthet˝obb kifejt´est az eredm´eny t´avlatot nyit´o ´ertelmez´es´ere. www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

12

El˝ osz´ o a magyar kiad´ ashoz

Term´eszetesen Feynman a term´eszet ismeret´enek korabeli szintj´en ´ervel, amikor az akkor legkorszer˝ ubb eredm´enyek´ert ´es azokban a fizika szerep´e´ert lelkesedik. Nem tudhat, p´eld´aul, a DNS-szerkezet felder´ıt´es´eben az´ota el´ert ´ori´asi el˝orel´ep´esr˝ol vagy (hogy visszautaljak az Univerzum kozmikus ´eletkor´anak fentebb m´ar eml´ıtett k´erd´es´ere) az elm´ ult 25 ´ev kozmol´ogiai jelent˝os´eg˝ u csillag´aszati felfedez´eseir˝ol. A r´eszecskefizika ´eppen a CALTECH-el˝oad´asok id˝oszak´aban jutott el a v´eges ´elettartam´ u rezonanci´ak r´eszecsk´ekkel t¨ort´en˝o azonos´ıt´as´aban a kvark-hipot´ezis kimond´as´aig. Ma a kvarkok l´ete k´ets´egbevonhatatlan t´eny, s˝ot az atommagok szerkezet´et meghat´aroz´o er˝ohat´asoknak a kvarkok k¨oz¨otti fundament´alis er˝ohat´asokra val´o visszavezet´es´eben is jelent˝os el˝orel´ep´est tehetett a tudom´any a szupersz´am´ıt´og´epek seg´ıts´eg´evel. ´Igy azt´an, amikor Feynman a bolyg´omozg´as numerikus integr´al´as´anak id˝oig´eny´et a korabeli sz´am´ıt´og´epek artimetikai m˝ uveleti sebess´ege alapj´an becs¨ uli meg, a kezd˝o olvas´o is elmosolyodik. Egyet azonban ne felejts¨ unk! F´el ´evsz´azad minden tudom´anyos el˝orel´ep´ese ¨osszhangban van Richard Feynmannak a tudom´any hat´ok¨ore ´alland´o kitereb´elyesed´es´et az 1960-as ´evekben lelkesen hirdet˝o, a term´eszeten kiv¨ ul/fel¨ ul ´all´o b´armilyen hat´as felt´etelez´es´enek sz¨ uks´egtelens´eg´et vall´o felfog´as´aval. Az el˝oad´asoknak m´eg egy fontos saj´atoss´ag´ara ´erdemes felh´ıvnom az olvas´ok figyelm´et. Az el˝oad´as a vektor- ´es a differenci´alsz´am´ıt´as elemeit˝ol a differenci´alegyenletek numerikus megold´asi algoritmusainak gyakorlatias r´eszletez´es´eig helyben megtan´ıtja az aktu´alisan sz¨ uks´eges matematikai ´ seg´edeszk¨oz¨oket. Nem k¨ovetel speci´alis el˝oismereteket az Egyes¨ ult Allamok 10 legjobb egyeteme k¨oz¨ott sz´amontartott CALTECH-re frissen felvett hallgat´okt´ol, nem hivatkozik p´arhuzamos algebrai vagy kalkulus el˝oad´asokra. Val´osz´ın˝ uleg ugyanazzal az ´elvezettel magyar´azta a matematikai alaptechnik´akat a di´akoknak, amivel egykor Los Alamosban szervezett csapatokat a Bomba m˝ uk¨od´esi elv´et ellen˝orz˝o sz´am´ıt´asok elv´egz´es´ere a fizikusok csal´adtagjaib´ol. Aki hallgathatta Richard Feynman bong´oj´at´ek´at 1972-ben a balatonf¨ uredi Marx-vill´aban, majd 1986-ban tal´alkozott Wangerooge sziget´enek homokd˝ un´ei k¨oz¨ott a sz´ellel ´es el˝orehalad´o s´ ulyos betegs´eg´evel k¨ uszk¨od˝o id˝os tud´ossal, el˝oad´asait olvasva az ˝o ´el˝ohangj´at v´eli hallani. Hallja a gondolatok b˝ uv´esz´et, aki hihetetlen¨ ul egyszer˝ u megfontol´asokkal hirtelen el˝ovar´azsolja a fizika nagyjelent˝os´eg˝ u t¨orv´enyeit, mik¨ozben kicsit g´ unyos hanglejt´es´evel szinte provok´al: Ezt csin´alj´atok ut´anam!” ”

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

A szerz˝ okr˝ ol

13

Fogadj´ak el a kih´ıv´ast, ´es tanulj´ak el Feynmant´ol a term´eszett¨orv´enyek felt´ar´as´anak pofonegyszer˝ u” technik´aj´at! A t´avols´agsk´ala alj´an ´es tetej´en ” m´eg b˝oven rejt˝ozk¨odnek t¨orv´enyek, amelyek felt´ar´as´aban A Feynman”” b´ol ellesett b˝ uver˝onek haszn´at vehetik! ´ s Andra ´s Patko A szerz˝ okr˝ ol Richard Feynman Richard P. Feynman 1918-ban sz¨ uletett, ´es 1942-ben a Princeton Universityt˝ol nyert PhD-fokozatot. Fiatalkora ellen´ere a m´asodik vil´agh´abor´ u alatt fontos szerepet kapott a Los Alamos-i Manhattan Projectben. Azut´an a Cornell Universityn ´es a California Institute of Technologyn oktatott. 1965-ben kvantum-elektrodinamikai munk´ass´ag´a´ert Sin-Itiro Tomonag´aval ´es Julien Schwingerrel k¨oz¨osen fizikai Nobel-d´ıjat kapott. Dr. Feynman a Nobel-d´ıjat a kvantum-elektrodinamika elm´elet´evel sikeresen megoldott probl´em´ak sor´a´ert kapta meg. Alkotott egy olyan matematikai elm´eletet is, mellyel le´ırhat´o a szuperfoly´ekonys´ag foly´ekony h´eliumban tapasztalhat´o jelens´ege. Azut´an Murray Gell-Mann-nal alapvet˝o eredm´enyt ´ert el a gyenge k¨olcs¨onhat´asnak, u ´gymint a b´eta-boml´asnak a vizsg´alat´aban. A k´es˝obbi ´evekben Feynmannak kulcsszerepe volt a kvarkelm´elet kialakul´as´aban az´altal, hogy a nagyenergi´aj´ u protonboml´asi folyamatokra kidolgozta parton-elm´elet´et. Mindezen eredm´enyeken t´ ul dr. Feynman alapvet˝oen u ´j sz´amol´asi technik´akat ´es jel¨ol´esi m´odokat vezetett be a fizik´aba – f˝ok´ent a szinte minden¨ utt el˝ofordul´o Feynman-gr´afok azok, amelyek a modern tudom´anyt¨ ort´enet minden m´as formalizmus´an´al jobban megv´altoztatt´ak az elemi fizikai folyamatokr´ol alkotott felfog´asunkat ´es azok kisz´am´ıt´as´at. Feynman figyelemre m´elt´oan eredm´enyes pedag´ogus volt. Sz´amos kit¨ untet´ese k¨oz¨ott k¨ ul¨on¨osen b¨ uszke volt az Oersted-´eremre, amelyet 1972ben kapott meg, ´es a legjobb oktat´okat jutalmazz´ak vele. Az el˝osz¨or 1963-ban megjelent The Feynman Lectures on Physicst a Scientific American ismertet˝oje a neh´ez, de t´apl´al´o ´es ´ızekkel teli” ´etelhez hasonl´ıtotta. ” 25 ´ev eltelt´evel ez a k¨onyv az oktat´ok sz´am´ara vez´erfonal, az els˝o´eves ” hallgat´ok sz´am´ara pedig a legjobb bevezet˝o.” Az´ert, hogy a nagyk¨oz¨ons´eg is jobban ´ertse a fizik´at, Feynman meg´ırta a The Character of Physical Law ´es a QED: The Strange Theory of Light and Matter c´ım˝ u k¨onyveket.1 1 ´ A fizikai t¨ orv´enyek jellege (Magvet˝ o, 1984; Akkord 2004, ford. Gajz´ ag´ o Eva) ´es QED: a megszil´ ardult f´eny (Scolar, 2003, ford. Alf¨ oldy B´ alint)

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

14

A szerz˝ okr˝ ol

Sz´amos jelent˝os publik´aci´o k¨ot˝odik a nev´ehez, amelyek az´ota klasszikus hivatkoz´ass´a v´altak, ´ırt tov´abb´a tank¨onyveket kutat´ok ´es egyetemi hallgat´ok sz´am´ara. Richard Feynman tev´ekeny k¨oz´eleti ember volt. A Challenger u ˝rrep¨ ul˝og´ep katasztr´of´aj´at kivizsg´al´o bizotts´agban v´egzett munk´aja k¨ozismert, k¨ ul¨on¨osen a t¨om´ıt˝ogy˝ ur˝ uk hidegre val´o ´erz´ekenys´eg´et demonstr´al´o h´ıres k´ıs´erlete. Ehhez az eleg´ans k´ıs´erlethez nem volt sz¨ uks´ege m´asra, csak egy poh´ar jeges v´ızre ´es egy C-szor´ıt´ora. Kev´esb´e ismert Feynmannak az 1960-as ´evekben a California State Curriculum Committee-ben v´egzett munk´aja, ahol folyamatosan sz´ot emelt a tank¨onyvek k¨oz´epszer˝ us´ege ellen. Feynman sz´amtalan tudom´anyos ´es oktat´asi eredm´eny´enek felsorol´as´aval k´eptelens´eg megragadni ennek az embernek a l´enyeg´et. Elvont szakmai cikkeinek b´armely olvas´oja is tudja, hogy Feynman ´eletteli ´es sokoldal´ u szem´elyis´ege sug´arzik minden m˝ uv´eb˝ol. Amellett, hogy fizikus volt, alkalmank´ent r´adi´ot szerelt, titkos z´arakat nyitott ki, k´epz˝om˝ uv´eszettel is foglalkozott, t´ancolt, bong´on dobolt, m´eg maja hieroglif´ak megfejt´es´ebe is belev´agott. A vil´ag jelens´egei ir´anti k´ıv´ancsis´aga sosem sz˝ unt meg, p´eldamutat´o empirista volt. Richard Feynman 1988. febru´ar 15-´en, Los Angelesben hunyt el. Robert Leighton ´ Robert Leighton 1919-ben Detroitban sz¨ uletett. Elete sor´an u ´tt¨or˝o munk´at v´egzett a szil´ardtestfizik´aban, a kozmikus sug´arz´as fizik´aj´aban, a modern r´eszecskefizika kezdeti f´azis´aban, a napfizik´aban, a bolyg´of´enyk´epez´esben, az infrav¨or¨os csillag´aszatban, a millim´eteres ´es szubmillim´eteres asztron´omi´aban. Sz´eles k¨orben ismert volt a tudom´anyos m´er˝om˝ uszerek u ´jszer˝ u megtervez´es´eben megnyilv´anul´o tehets´ege miatt, csod´alt´ak oktat´oi k´epess´egei´ert. M´eg miel˝ott a The Feynman Lectures on Physics csapat´ahoz csatlakozott volna, ´ırt egy nagyhat´as´ u k¨onyvet Principles of Modern Physics c´ımmel. Az 1950-es ´evek elej´en Leighton kulcsszerepet j´atszott a m¨ uon k´et neutr´ın´ora ´es egy elektronra val´o boml´as´anak kimutat´as´aban, ´es els˝ok´ent ˝ m´erte meg a boml´asterm´ekk´ent keletkez˝o elektron energiaspektrum´at. O volt az, aki felfedez´es¨ uk ut´an el˝osz¨or vizsg´alta az u ´gynevezett ritka r´eszecsk´ek boml´as´at, s az u ´j ritka r´eszecsk´ek sz´amos tulajdons´ag´at tiszt´azta. Az 1950-es ´evek k¨ozep´en Leighton kifejlesztette a Doppler-eltol´od´ason ´es a Zeeman-effektuson alapul´o napkamer´at. A Zeeman-kamera seg´ıts´eg´evel Leighton ´es tan´ıtv´anyai kit˝ un˝o felbont´asban felt´erk´epezt´ek a Nap m´agwww.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

A szerz˝ okr˝ ol

15

neses ter´et, s ez vezetett el a Nap felsz´ıni sebess´eg´eben m´erhet˝o ¨otperces oszcill´aci´oinak ´es a Nap felsz´ın´et bor´ıt´o szupergranul´aris mint´azatnak a felfedez´es´ehez – egy u ´j kutat´asi ter¨ uletet: a napszeizmol´ogi´at nyitva meg. Leighton megtervezett ´es meg´ep´ıtett egy olyan eszk¨ozt is, amely tiszt´abb k´epet alkotott a bolyg´okr´ol, ´es megnyitott egy m´asik u ´j kutat´asi ter¨ uletet, az adapt´ıv optik´at. Eg´eszen a vil´ag˝ urnek az 1960-as ´evekben kezd˝od¨ott szond´as kutat´as´aig az ˝o berendez´eseinek alkalmaz´as´aval k´esz¨ ultek a legjobb bolyg´ofelv´etelek. Az 1960-as ´evek elej´en Leighton kifejlesztett egy u ´jszer˝ u, olcs´o infrav¨or¨os t´avcs¨ovet, amely 2,2 mikron hull´amhosszon p´aszt´azta v´egig az ´egboltot, s ez a kutat´as v´aratlanul nagysz´am´ u olyan objektumot mutatott ki galaxisunkban, amelyek t´ ul hidegek ahhoz, hogy az emberi szem sz´am´ara ´eszrevehet˝ok legyenek. A hatvanas ´evek k¨ozep´en ˝o vezette a Jet Propulsion Laboratorynak (JPL) azt a csoportj´at, amely a Mariner 4, 6 ´es 7 marskutat´o u ˝rszond´akhoz a k´epalkot´asi kutat´asokat elv´egezte. Leightonnak kulcsszerepe volt a JPL els˝o, m´ely u ˝rben haszn´alhat´o, nagyfelbont´as´ u digit´alis telev´ızi´os rendszer´enek kifejleszt´es´eben, ´es hozz´aj´arult az els˝o k´epfeldolgoz´asi ´es -er˝os´ıt´esi technik´ak kialakul´as´ahoz is. Az 1970-es ´evekben Leighton ´erdekl˝od´ese a nagy ´es olcs´o t´any´erantenn´ak fel´e tol´odott el, amelyeket a millim´eteres hull´amhossztartom´any´ u interferometri´aban ´es a szubmillim´eteres csillag´aszati megfigyel´esekben lehet felhaszn´alni. A k´ıs´erleti munk´aban tan´ us´ıtott figyelemre m´elt´o k´epess´egeinek k¨osz¨onhet˝oen megint csak egy u ´j ter¨ uletet nyitott a tudom´anyban, melyet folyamatosan ´es er˝oteljesen alkalmaznak az Owens V¨olgyi R´adi´oobszervat´oriumban ´es az Atacamai Nagy M´eret˝ u Millim´eteres/Szubmillim´eteres H´al´ozatn´al (ALMA) Chil´eben. Robert Leighton 1997. m´arcius 9-´en, a kaliforniai Pasaden´aban hunyt el. Matthew Sands Matthew Sands 1919-ben, a Massachusetts ´allambeli Oxfordban sz¨ uletett. Alapk´epz´est a Clark Universityn kapott, a mesterfokozatot a Rice Universityn szerezte meg 1941-ben. A m´asodik vil´agh´abor´ u alatt Los Alamosban, a Manhattan projektn´el szolg´alt, elektronik´aval ´es m˝ uszerez´essel foglalkozott. A h´abor´ u ut´an Leighton r´eszt vett a Los Alamos Federation of Atomic Scientists megalak´ıt´as´aban, mely a nukle´aris fegyverek tov´abbi alkalmaz´as´anak megakad´alyoz´as´a´ert lobbizott. Ez alatt az id˝o alatt szerezte meg a PhD-fokozatot az MIT-n, Bruno Rossi vezet´es´evel a kozmikus sug´arz´ast kutatta. www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

16

El˝ osz´ o az u ´j, millenniumi kiad´ ashoz

1950-ben Sands-t felvette a Caltech, hogy seg´edkezzen az 1,5 GeV-os ˝ volt az els˝o, aki – elm´eszinkrotron meg´ep´ıt´es´eben ´es m˝ uk¨odtet´es´eben. O leti ´es k´ıs´erleti u ´ton – megmutatta, mennyire fontos szerepet j´atszanak a kvantumeffektusok az elektrongyors´ıt´okban. 1960 ´es 1966 k¨oz¨ott Sands r´eszt vett a F˝oiskolai Fizika Bizotts´ag´anak munk´aj´aban, ´elharcosa volt a Caltech alapfok´ u fizikaprogramja reformj´anak, amelynek egyik eredm´enyek´ent a The Feynman Lectures on Physics megsz¨ uletett. Ebben az id˝oben Sands tan´acsad´ok´ent az Eln¨ok Tudom´anyos Tan´acsad´oi Bizotts´ag´anak, a Fegyverzet-ellen˝orz´esi ´es Leszerel´esi ¨ Ugyn¨ oks´egnek, valamint a V´edelmi Miniszt´eriumnak is dolgozott. 1963-ban Sands-t kinevezt´ek a Stanford Linear Accelerator (stanfordi line´aris gyors´ıt´o, SLAC) ´ep´ıt´es´ert ´es m˝ uk¨od´es´ert felel˝os aligazgat´oj´anak, ahol a 3 GeV-os Stanford Positron Electron Asymmetric Rings (stanfordi aszimmetrikus elektron-pozitron t´arol´ogy˝ ur˝ u, SPEAR) megval´os´ıt´as´an is dolgozott. 1969-t˝ol 1985-ig a University of California (Santa Cruz) fizikaprofesszora volt, 1969 ´es 1972 k¨oz¨ott az egyetem tudom´anyos kancell´arhelyettesek´ent is tev´ekenykedett. 1972-ben Kiv´al´o Szolg´alat´ert ´eremmel t¨ untette ki az Amerikai Fizikatan´arok Egyes¨ ulete. Emeritus professzork´ent eg´eszen 1994-ig akt´ıvan r´eszt vett a gyors´ıt´okutat´asban. 1998-ban az Amerikai Fizikai T´arsulat a gyors´ıt´ofizik´ahoz t¨ort´ent sokoldal´ u hozz´aj´a” rul´as´a´ert, valamint az elektron-pozitron ´es a proton¨ utk¨oztet˝ok fel´ep´ıt´es´e´ert” Robert R. Wilson-d´ıjjal t¨ untette ki. Nyugd´ıjask´ent Sands Santa Cruzban helybeli elemi ´es k¨oz´episkolai term´eszettudom´any-tan´aroknak seg´ıtett a sz´am´ıt´og´epeket u ¨zembe helyezni, illetve a bemutat´o k´ıs´erleteket megtervezni. Fel¨ ugyelte a Feynman’s Tips on Physics c´ım˝ u gy˝ ujtem´eny szerkeszt´es´et is, s˝ot a k¨onyvh¨oz egy memo´arral is hozz´aj´arult, amelyben a The Feynman Lectures on Physics keletkez´es´enek k¨or¨ ulm´enyeir˝ol ´ırt. Matthew Sands 2014. szeptember 3-´an, a kaliforniai Santa Cruzban hunyt el. El˝ osz´ o az u ´ j, millenniumi kiad´ ashoz Hozz´avet˝oleg ¨otven ´ev telt el az´ota, hogy Richard Feynman el˝osz¨or adta el˝o a Caltech-en bevezet˝o fizikakurzus´at, a The Feynman Lectures on Physics (magyarul: Mai fizika) c´ım˝ u k¨onyvsorozat´anak alapj´at. Ez alatt az o¨tven ´ev alatt a fizikai vil´ag meg´ert´es´eben jelent˝os v´altoz´asok ´alltak be, de a The Feynman Lectures on Physics nem vesztette el aktualit´as´at ennek a fejl˝od´esnek a hat´as´ara. Feynman el˝oad´asai ma is olyan ´at¨ ut˝o www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

El˝ osz´ o az u ´j, millenniumi kiad´ ashoz

17

erej˝ uek, mint els˝o kiad´asuk idej´en, k¨osz¨onhet˝oen Feynman egyedi fizikai l´at´asm´odj´anak ´es pedag´ogiai ´erz´ek´enek. Kezd˝o ´es ´erett fizikusok egyar´ant mer´ıtettek ´es mer´ıtenek bel˝ole szerte a vil´agon; vagy egy tucat nyelvre leford´ıtott´ak, csak angol nyelven t¨obb mint m´asf´el milli´o p´eld´anyt nyomtattak bel˝ole. Tal´an egyetlen fizikatan k¨onyvnek sem volt ilyen hosszan tart´o ´es sz´eles k¨or˝ u hat´asa. Ezzel az u ´j, millenniumi kiad´ assal u ´j korszak ny´ılik meg a The Feynman Lectures on Physics (FLP) t¨ort´enet´eben: az elektronikus kiad´as imm´ar 21. sz´azadi praxis´aba l´ep be. Az FLP-b˝ol eFLP lett az´altal, hogy a sz¨oveg ´es a k´epletek LaTeX-ben – egy elektronikus szed˝o- ´es t¨ordel˝oprogramban – ´ır´odtak, s valamennyi ´abr´at u ´jra elk´esz´ıtett´ek egy modern rajzol´oprogram seg´ıts´eg´evel. Ez a v´altoz´as a jelen, pap´ır alap´ u kiad´asra n´ezve nem j´ar l´enyeges k¨ovetkezm´enyekkel; szinte ugyan´ ugy n´ez ki, mint a fizikushallgat´ok ´altal ´evtizedeken kereszt¨ ul ismert ´es kedvelt eredeti, v¨or¨os k¨otetek. A v´altoz´ast a kib˝ov´ıtett ´es jav´ıtott index, az olvas´ok ´altal az el˝oz˝o kiad´as els˝o kinyomtat´asa ´ota eltelt ¨ot ´ev folyam´an felfedezett 885 hiba kijav´ıt´asa, valamint a j¨ov˝obeli olvas´ok ´altal felfedezhet˝o hib´ak kijav´ıt´as´anak technikai megk¨onny´ıt´ese jelenti. Erre k´es˝obb m´eg visszat´erek. E kiad´as e-book-v´ altozata, ´es a kiterjesztett elektronikus v´ altozat elektronikus innov´aci´ok. A 20. sz´azadi m˝ uszaki k¨onyvek e-book-v´altozataival ellent´etben, amelyekben a nagy´ıt´as sor´an az egyenletek, ´abr´ak, s˝ot olykor m´eg a sz¨oveg min˝os´ege is jelent˝osen romlott, az u ´j, millenniumi kiad´ as LaTeX forr´ask´odja a lehet˝o legjobb min˝os´eg˝ u e-book el˝o´all´ıt´as´at teszi lehet˝ov´e, egy-egy oldal ¨osszes eleme (a f´enyk´epek kiv´etel´evel) v´altozatlan ´eless´eg mellett korl´atlanul nagy´ıthat´o. A kiterjesztett elektronikus v´altozat Feynman eredeti el˝oad´asainak t´ablav´azlatair´ol k´esz¨ ult f´enyk´epekkel, hangbej´atsz´asokkal, tov´abb´a m´as forr´asokhoz vezet˝o mutat´oival olyan innov´aci´o, amely minden bizonnyal nagy ¨or¨om¨ot szerezne Feynmannak. Visszaeml´ ekez´ esek Feynman el˝ oad´ asaira Ez a h´arom k¨otet [a fizika] ¨onmag´aban teljes didaktikus t´argyal´asa. Egyben Feynman 1961–64-es bevezet˝o fizikai el˝oad´asainak t¨ort´enelmi dokumentuma, mely el˝oad´asokat a Caltech ¨osszes els˝o- ´es m´asod´eves hallgat´oj´anak l´atogatni kellett, f¨ uggetlen¨ ul att´ol, hogy mi volt a f˝oszakja. Az olvas´o – ak´arcsak ´en – k´ıv´ancsi lehet, vajon mekkora hat´ast gyakorolt Feynman a hallgat´os´ag´ara. K¨onyv´enek el˝oszav´aban a szerz˝o ebben a tekintetben meglehet˝osen negat´ıv v´elem´enyen van. Nem hiszem, hogy ” a hallgat´okn´al j´ol szerepeltem.” – ´ırja. Matthew Sands Feynman’s Tips www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

18

El˝ osz´ o az u ´j, millenniumi kiad´ ashoz

on Physics c´ım˝ u memo´arj´aban j´oval pozit´ıvabb ´all´aspontot k´epvisel. 2005 tavasz´an e-lev´ellel megkerestem, illetve besz´elgettem Feynman 1961–63-as el˝oad´asainak 17, nagyj´ab´ol v´eletlenszer˝ uen kiv´alasztott egykori hallgat´oj´aval (a 150-b˝ol) – olyanokkal, akiknek neh´ezs´eget okozott az el˝oad´as k¨ovet´ese, ´es olyanokkal is, akik k¨onnyed´en felfogt´ak az elhangzottakat. Volt, akinek a biol´ogia, a k´emia, a m˝ uszaki tudom´any, a geol´ogia, a matematika ´es a csillag´aszat volt a f˝ot´argya, volt, akinek term´eszetesen a fizika. Az eltelt id˝o ugyan megsz´ep´ıtheti az eml´ekeket, de a megk´erdezettek mintegy 80 sz´azal´eka egyetemi ´eveinek cs´ ucspontjak´ent id´ezte fel Feynman el˝oad´asait. Olyan volt, mintha templomba mentem volna.” Az el˝oad´a” sok egyfajta transzform´aci´os ´elm´enyt” jelentettek, ´eletre sz´ol´o ´elm´enyt, ” ” val´osz´ın˝ uleg a legfontosabb dolgot, amit a Caltech-t˝ol kaptam”. Biol´ogia ” volt a f˝ot´argyam, de Feynman el˝oad´asai els˝o egyetemi ´eveim cs´ ucspontj´at jelentett´ek. . . b´ar el kell ismernem, hogy nem tudtam megoldani a h´azi feladatokat, alig tudtam beadni k¨oz¨ ul¨ uk n´eh´anyat.” A kurzus legkev´esb´e ” ´ıg´eretes hallgat´oi k¨oz´e tartoztam, de nem hagytam ki egyetlen el˝oad´ast sem. . . Eml´ekszem r´a, ´es m´eg most is k´epes vagyok ´at´erezni Feynman felfedez´es ir´anti lelkesed´es´et. . . El˝oad´asai ´erzelmeket gerjesztettek, ami val´osz´ın˝ uleg nem vihet˝o ´at az el˝oad´asok nyomtatott v´altozat´aba.” Ellent´etk´eppen, n´eh´any volt hallgat´onak negat´ıvak az eml´ekei, ´altal´aban a k¨ovetkez˝o k´et okb´ol kifoly´olag: 1. Az el˝oad´ason nem der¨ ult ki, ” hogyan fogj hozz´a a h´azi feladat megold´as´ahoz. Feynman ravasz volt – ˝o ismerte a tr¨ ukk¨oket ´es a megfelel˝o k¨ozel´ıt´eseket; rendelkezett tov´abb´a tapasztalaton alapul´o intu´ıci´oval ´es zsenialit´assal, amivel egy kezd˝o hallgat´o nem rendelkezhet.” Feynman ´es munkat´arsai tiszt´aban voltak a kurzus e hi´anyoss´ag´aval, r´eszben p´otolt´ak is a Feynman’s Tips on Physics-be foglalt anyaggal: ez Feynman h´arom probl´emamegold´o el˝oad´as´at tartalmazza, valamint Robert B. Leighton ´es Rochus Vogt ´altal ¨osszegy˝ ujt¨ott feladatokat ´es megold´asukat. 2. A bizonytalans´ag, hogy nem tudtuk, mi ” hangzik majd el a k¨ovetkez˝o el˝oad´ason, a tank¨onyv, illetve az el˝oadott anyaggal b´armif´ele kapcsolatban ´all´o referenciamunka hi´anya, ´es hogy k¨ovetkez´esk´epp soha nem tudtunk az el˝oad´asra felk´esz¨ ulni – mindez nagyon nyomaszt´o volt. . . Az el˝oad´ast nagyon izgalmasnak ´es ´erthet˝onek tal´altam az el˝oad´oteremben, de azon k´ıv¨ ul [amikor megpr´ob´altam r´eszleteiben rekonstru´alni] szanszkritnak t˝ unt.” A h´arom k¨otet, a The Feynman Lectures on Physics nyomtatott v´altozata term´eszetesen orvosolja ezt a probl´em´at. Ez lett az a tank¨onyv, amelyb˝ol a Caltech hallgat´oi azt´an sok ´even kereszt¨ ul tanulhattak, s Feynman egyik legf˝obb o¨r¨oks´egek´ent ma is tov´abb ´el.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

El˝ osz´ o az u ´j, millenniumi kiad´ ashoz

19

A hibajegyz´ ek t¨ ort´ enete A The Feynman Lectures on Physics nagyon gyorsan k´esz¨ ult el. Feynman ´es szerz˝ot´arsai, Robert B. Leighton ´es Matthew Sands az el˝oad´asok magn´ofelv´eteleib˝ol ´es t´ablafot´oib´ol dolgoztak, azokat b˝ov´ıtett´ek ki2 (az u ´j, millenniumi kiad´ as kiterjesztett elektronikus v´ altozata mind a t´ablafot´okat, mind a magn´ofelv´eteleket tartalmazza). Feynman, Leighton ´es Sands munkatemp´oja mellett szinte t¨orv´enyszer˝ uen sok hiba cs´ uszott az els˝o kiad´asba. A k¨ovetkez˝o ´evekben Feynman hossz´ u list´akat k´esz´ıtett a val´osz´ın˝ us´ıthet˝o hib´akr´ol, amelyeket r´eszben a hallgat´ok, r´eszben a Caltech oktat´oi, r´eszben pedig a k¨onyv olvas´oi fedeztek fel szerte a vil´agon. Az 1960-as ´evekben ´es az 1970-es ´evek elej´en Feynman megfesz´ıtett ´eletm´odja ellen´ere is tal´alt id˝ot arra, hogy az I. ´es II. k¨otetben felfedezett hib´ak legt¨obbj´et – de nem mindet – ellen˝orizze, s az u ´jabb ´es u ´jabb ut´annyom´asokat korrekci´okkal l´assa el. De Feynman k¨oteless´egtudata soha nem nyomta el annyira az u ´j dolgok felfedez´ese ir´anti lelkesed´es´et, hogy r´avegye mag´at a III. k¨otet hibajegyz´ek´enek o¨ssze´all´ıt´as´ara.3 1988-ban bek¨ovetkezett korai hal´ala ut´an mindh´arom k¨otet hibajegyz´eke a Caltech arch´ıvum´aba ker¨ ult, s ott pihent elfeledve. 2002-ben Ralph Leighton (Robert B. Leighton fia ´es Feynman honfit´arsa) t´aj´ekoztatott engem a r´egi hibajegyz´ekr˝ol ´es egy u ´j, hossz´ u hibalist´ar´ol, amit Ralph bar´atja, Michael Gottlieb ´all´ıtott o¨ssze. Leighton azt javasolta, hogy a Caltech adja ki a The Feynman Lectures on Physics u ´j, jav´ıtott kiad´as´at, megtoldva a kieg´esz´ıt˝o Feynman’s Tips on Physics k¨otettel, amelyet ˝o ´es Gottlieb k´esz´ıtettek el˝o. Feynman a p´eldak´epem volt, ´es szoros bar´ats´ag f˝ uz¨ott hozz´a. L´atva a hibajegyz´eket ´es megismerkedve a javasolt u ´j k¨otet tartalm´aval, k¨onnyen r´a´alltam, hogy a Caltech k´epviselet´eben magamra v´allaljam ennek a projektnek az ir´any´ıt´as´at (hossz´ u id˝on ´at a Caltech volt Feynman tudom´anyos otthona, ez´ert Feynman, Leighton ´es Sands a Caltechre ruh´azta ´at a The Feynman Lectures on Physics jogait ´es az ezzel j´ar´o k¨otelezetts´egeket). Gottlieb m´asf´el ´eves apr´ol´ekos munk´aj´at ´es dr. Michael Hartl (a Caltech kiv´al´o posztdoktora, aki a hib´ak jav´ıt´as´at ellen˝orizte, tov´abb´a az u ´j k¨otetet lektor´alta) gondos ellen˝orz´es´et k¨ovet˝oen, 2005-ben megsz¨ uletett a 2

A Feynman-el˝ oad´ asok ´es e k¨ otetek keletkez´esi k¨ or¨ ulm´enyeir˝ ol l´ asd Feynman el˝ oszav´ at, tov´ abb´ a Matthew Sands memo´ arj´ at a Feynman’s tips on Physics c´ım˝ u gy˝ ujtem´enyben, valamint David Goodsteinnek ´es Gerry Neugebauernek az FLP eml´ekkiad´ as´ ahoz ´ırt alkalmi el˝ oszav´ at, amely egy´ebk´ent a v´egleges kiad´ as 2005-¨ os ut´ annyom´ as´ aban is olvashat´ o. 3 1975-ben elkezdte ellen˝ orizni a III. k¨ otet hibajegyz´ek´et, de egy´eb k¨ otelezetts´egei elvont´ ak a figyelm´et, ez´ert soha nem fejezte be ezt a feladatot, ´ıgy nem t¨ ort´ent kiigaz´ıt´ as.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

20

El˝ osz´ o az u ´j, millenniumi kiad´ ashoz

Definitive Edition of The Feynman Lectures on Physics, amely k¨or¨ ulbel¨ ul 200 jav´ıt´ast tartalmazott, tov´abb´a a Feynman Tips on Physics c´ım˝ u u ´j k¨otet, amelynek Feynman, Gottlieb ´es Leighton voltak a szerz˝oi. ´ val´oban u En ´gy gondoltam, hogy ez lesz a v´egleges” kiad´as. Nem ” kalkul´altam az olvas´ok lelkes reakci´oj´aval, akik Gottlieb felh´ıv´as´ara vil´agszerte tov´abbi hib´akat kutattak fel ´es tettek k¨ozz´e az ´altala l´etrehozott ´es az´ota is ´el˝o weboldalon, a www.feynmanlectures.info-n. Az az´ota eltelt 5 ´ev alatt 965 olyan hib´at jeleztek, amelyek Gottlieb, Hartl ´es Nate Bode (a Caltech kiv´al´o, v´egzett hallgat´oja, Hartl hibakeres˝o munk´aj´anak ¨or¨ok¨ose a Caltech-en) ped´ans ellen˝orz´es´enek pr´ob´aj´at is ki´allt´ak. A v´egleges kiad´as negyedik ut´annyom´as´aban (2006. augusztus) ezek k¨oz¨ ul a hib´ak k¨oz¨ ul 80-at kijav´ıtottak, a marad´ek 885 jav´ıt´as´ara ebben az u ´j, millenniumi kiad´ asban ker¨ ult sor (332 az I. k¨otetben, 263 a II. k¨otetben, ´es 200 a III. k¨otetben). A r´eszleteket l´asd a www.feynmanlectures.info-n. Nyilv´anval´o, hogy a The Feynman Lectures on Physics hibamentes´ıt´ese egy nemzetk¨ozi v´allalkoz´as. A Caltech nev´eben megk¨osz¨on¨om annak az 50 olvas´onak a munk´aj´at, akik 2005 ´ota r´eszt vettek ebben a v´allalkoz´asban, s azoknak is, akik a j¨ov˝oben fognak. A k¨ozrem˝ uk¨od˝ok n´evsor´at a www.feynmanlectures.info/flp_errata.html oldalon olvashatj´ak. A hib´ak z¨ome h´arom csoportba sorolhat´o: (1) a sz¨ovegben el˝ofordul´o el¨ ut´esek; (2) el¨ ut´esek, illetve matematikai hib´ak a k´epletekben, a t´abl´azatokban ´es az ´abr´akban – ezek hib´as el˝ojelek vagy sz´amok (mondjuk, 4 helyett 5 szerepel), lemaradt indexek, ¨osszegz˝ojelek, z´ar´ojelek ´es k´epletekb˝ol hi´anyz´o tagok; (3) hib´as fejezet-, t´abl´azat- ´es ´abrahivatkoz´asok. Ezek a hib´ak – j´ollehet egy k´epzett fizikus szem´eben nem komolyak – elkedvetlen´ıthetik, ¨osszezavarhatj´ak Feynman els˝odleges olvas´ok¨oz¨ons´eg´et: az egyetemi hallgat´okat. ´ Erdemes megeml´ıteni, hogy az ´en v´edn¨oks´egem alatt kijav´ıtott 1165 hiba k¨oz¨ ul alig n´eh´any volt igazi, elvi jelleg˝ u hiba. Ilyenre p´elda az 59. fejezet 10. szakasz´anak egy ´all´ıt´asa, mely most ´ıgy hangzik: . . . z´art, ” f¨ oldelt vezet˝o g¨omb belsej´eben semmilyen sztatikus eloszl´as´ u t¨olt´es nem hozhat l´etre k¨ uls˝o [elektromos] teret” (a kor´abbi kiad´asokban nem szerepel a f¨oldelt sz´o). Erre a hib´ara t¨obb olvas´o is felh´ıvta Feynman figyelm´et, t¨obbek k¨oz¨ott Beluah Elizabeth Cox, a The College of William and Mary hallgat´oja is, aki egy vizsg´an Feynman hib´as kit´etel´ere hivatkozott. Cox kisasszonynak Feynman ezt ´ırta 1975-ben:4 Oktat´oj´anak igaza volt, ami” ¨ ¨ kor nem adott Onnek egyetlen pontot sem az On rossz v´alasz´ara, amint 4 Perfectly Reasonable Deviations from the Beaten Truck, The Letters of Richard P. Feynman, (szerk.: Michelle Feynman), Basic Books, New York, 2005, 288–289.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

El˝ osz´ o az u ´j, millenniumi kiad´ ashoz

21

azt a Gauss-t¨orv´eny seg´ıts´eg´evel meg is mutatta. A tudom´anyban hangs´ ulyozottan a logik´anak ´es az ´erveknek kell hinnie, nem a tekint´elyeknek. ¨ On is figyelmesen elolvasta a k¨onyvet ´es meg´ertette azt. Hib´at v´etettem, teh´at a k¨onyv hib´as. Val´osz´ın˝ uleg f¨oldelt vezet˝o g¨ombre gondoltam, vagy arra a t´enyre, hogy a belsej´eben mozgatott t¨olt´esek semmif´ele hat´assal nincsenek a k¨ ulvil´agra. Nem tudom pontosan, hogyan t¨ort´ent, de bakot ´ On ¨ is hib´azott, mert hitt nekem!” l˝ottem. Es Hogyan keletkezett az u ´ j, millenniumi kiad´ as? 2005 novembere ´es 2006 j´ uliusa k¨oz¨ott 340 hibajelz´es ´erkezett be a The Feynman Lectures on Physics weboldal´ara, a www.feynmanlectures.infora. Eml´ıt´esre ´erdemes, hogy ezek nagy r´esze egyetlen szem´elyt˝ol, a b´ecsi egyetem kutat´oi ¨oszt¨ond´ıjas´at´ol, dr. Rudolf Pfeiffert˝ol sz´armazott. A kiad´o, az Addison Wesley, 80 hib´at ki is k¨ usz¨ob¨olt, de a tov´abbi hibajav´ıt´ast le´all´ıtotta a k¨olts´egek miatt: a k¨onyvet ofszet-elj´ar´assal nyomtatt´ak, s az 1960-as kiad´as lemezeivel dolgoztak. Egy-egy hiba kijav´ıt´asa a megfelel˝o oldal u ´jraszed´es´et jelentette, s hogy biztosan ne ker¨ ulhessenek u ´jabb hib´ak az oldalra, a szed´est k´et szed˝o is elv´egezte, a k´et levonatot ¨osszehasonl´ıtott´ak ´es korrig´alt´ak – ez val´oban nagyon k¨olts´eges elj´ar´as, ha t¨obb sz´az hib´ar´ol van sz´o. Gottliebet, Pfeiffert ´es Ralph Leightont nagyon elkeser´ıtette ez a hozz´a´all´as, s terveket kezdtek sz˝oni, melyek az ¨osszes hiba kijav´ıt´as´at, valamint a The Feynman Lectures on Physics e-k¨onyv, illetve kiterjesztett elektronikus v´altozat form´aj´aban val´o megjelentet´es´et c´elozt´ak. Terv¨ uket 2007-ben mutatt´ak be nekem, mint a Caltech k´epvisel˝oj´enek. Lelkes, ´am ´ovatos voltam. Miut´an megismertem a r´eszleteket, t¨obbek k¨ozt a tervezett kiterjesztett elektronikus kiad´ as egy pr´obafejezet´et, azt javasoltam, hogy a Caltech m˝ uk¨odj¨on egy¨ utt Gottliebbel, Pfeifferrel ´es Leightonnal a terv megval´os´ıt´as´aban. A javaslatot a Caltech fizikai, matematikai ´es csillag´aszati oszt´aly´anak h´arom egym´ast k¨ovet˝o eln¨oke – Tom Tombrello, Andrew Lange ´es Tom Soifer – is elfogadta; a jogok ´es szerz˝od´esek r´eszleteinek kidolgoz´as´at Adam Cochran, a Caltech szerz˝oi jogi tan´acsad´oja v´egezte el. Az u ´j, millenniumi kiad´ as k¨ozread´as´aval a tervet sikeresen v´egrehajtottuk, annak ellen´ere, hogy ez egy rendk´ıv¨ ul komplex munka volt. Nevezetesen: Pfeiffer ´es Gottlieb az FLP mindh´arom k¨otet´et konvert´alta LaTeX-be (azt a t¨ obb mint 1000 feladatot is, amelyek a Feynman Tips on Physics-be ker¨ ultek). Az FLP ´abr´ait modern, elektronikus form´aban Indi´aban rajzolt´ak u ´jra az FLP n´emet ford´ıt´oja, Henning Heinze ir´any´ıt´as´aval. Pfeiffer www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

22

El˝ osz´ o az u ´j, millenniumi kiad´ ashoz

´es Gottlieb nem kiz´ar´olagos jogosults´aggal eladt´ak LaTeX-f´ajljaik felhaszn´al´asi jog´at a n´emet kiad´as sz´am´ara (ami az Oldenbourg Verlagn´al jelent meg), cser´ebe Heinze ´abr´ainak nem kiz´ar´olagos felhaszn´al´asi jog´a´ert, amelyeket ez az u ´j, millenniumi kiad´as tartalmaz. Pfeiffer ´es Gottlieb apr´ol´ekos gonddal ellen˝orizte a LaTeX-f´ajlok sz¨oveg´allom´any´at, k´epleteit ´es u ´jrarajzolt ´abr´ait, s elv´egezt´ek a sz¨ uks´eges korrekci´okat. Nate Bode ´es ´en, a Caltech k´epviselet´eben, sz´ ur´opr´obaszer˝ uen ellen˝orizt¨ uk a sz¨oveget, a k´epleteket ´es az ´abr´akat; figyelemre m´elt´o, hogy nem tal´altunk hib´at. Pfeiffer ´es Gottlieb hihetetlen¨ ul gondos ´es alapos munk´at v´egzett. Megegyeztek John Sullivannal, a Huntington Library fot´oarch´ıvum´anak vezet˝oj´evel, hogy digitaliz´alj´ak Feynman 1962–64-es t´ablafelv´eteleit, valamint a George Blood Audi´oval, hogy digitaliz´alj´ak az el˝oad´asok magn´ofelv´eteleit – az egyezs´eghez anyagi t´amogat´ast ´es buzd´ıt´ast adott Carver Mead, a Caltech professzora, logisztika t´amogat´ast Shelley Erwin, a Caltech archiv´al´asi szakembere, jogi seg´ıts´eget pedig Cochran. Komoly jogi neh´ezs´egeink voltak: A Caltech az 1960-as ´evekben a nyomtatott kiad´as jog´at, majd az 1990-es ´evekben a Feynman-el˝oad´asok hangfelv´eteleinek terjeszt´esi jog´at, valamint egy elektronikus v´altozat kiad´asi jog´at is az Addison Wesleynek adta ´at. A 2000-es ´evekben, egym´ast k¨ovet˝o jogv´as´arl´asok eredm´enyek´ent, a nyomtatott form´aban val´o kiad´as joga a Pearson kiad´oi csoporthoz ker¨ ult, m´ıg a hangfelv´etelek ´es az elektronikus kiad´as joga a Perseus kiad´oi csoporthoz. Cochran a kiad´oi jogokra szakosodott u ¨gyv´ed, Ike Williams seg´ıts´eg´evel el´erte, hogy az ¨osszes kiad´oi jog a Perseushoz (Basic Books) ker¨ ulj¨on ´at. ´Igy v´alt lehets´egess´e ez az u ´j, millenniumi kiad´ as. K¨ osz¨ onetnyilv´ an´ıt´ as A Caltech nev´eben k¨osz¨onetet mondok mindazoknak, akik lehet˝ov´e tett´ek ezt az u ´j, millenniumi kiad´ ast. K¨ ul¨on k¨osz¨on¨om a fentebb m´ar eml´ıtett kulcsszerepl˝ok: Ralph Leighton, Michael Gottlieb, Tom Tombrello, Michael Hartl, Rudolf Pfeiffer, Henning Heinze, Adam Cochran, Carver Mead, Nate Bode, Shelley Erwin, Andrew Lange, Tom Soifer ´es Ike Williams munk´aj´at. K¨osz¨onet illeti azt az 50 embert is, aki a (www.feynmanlectures. info-n k¨ozz´etett) hib´akat felfedezte. H´al´as vagyok Michelle Feynmannak (Richard Feynman l´any´anak) folyamatos t´amogat´as´a´ert ´es tan´acsai´ert, Alan Rice-nek, a Caltech munkat´ars´anak h´att´erasszisztenci´aj´a´ert ´es tan´acsai´ert, Stephan Pucheggernek ´es Calvin Jacksonnak az FLP LaTeX-re konvert´al´as´aban ny´ ujtott seg´ıts´eg¨ uk´ert, Michael Figlnek, Manfred Smoliknak ´es Andreas Stanglnak az errata korrekci´oinak megvitat´as´a´ert, valawww.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

Feynman el˝ oszava

23

mint a Perseus/Basic Books ´es (a kor´abbi kiad´asok´ert) az Addison Wesley munkat´arsainak. 2010. okt´ober Kip S. Thorne az elm´eleti fizika emeritus Feynman-professzora Feynman el˝ oszava A k¨onyv alapj´aul szolg´al´o fizika-el˝oad´asokat az 1962–1963-as ´es az azt megel˝oz˝o tan´evben adtam el˝o a California Institute of Technology (Caltech) els˝o- ´es m´asod´eves hallgat´oinak. A le´ırtak az elmondottakkal term´eszetesen nem egyeznek sz´o szerint, a sz¨oveg n´ehol er˝oteljesen, n´ehol kev´esb´e ´at van dolgozva. A 180 di´akb´ol ´all´o teljes csoport hetente k´etszer hallgatta ´or´aimat, majd 15–20 tagb´ol ´all´o kis csoportokba osztva, egyegy tan´arseg´ed vezet´es´evel ellen˝orz˝o tank¨or¨ok¨on vettek r´eszt. Tov´abb´a egyszer egy h´eten laborat´oriumi foglalkoz´as is volt. Az el˝oad´asok kidolgoz´as´aban az a c´el vezetett, hogy fenntartsuk a k¨oz´episkol´ab´ol kiker¨ ult ´es a Caltechbe beiratkozott, nagyon lelkes ´es eleven gondolkod´as´ u di´akok ´erdekl˝od´es´et a fizika ir´ant. Ezek a di´akok m´ar igen sokat hallottak arr´ol, milyen sz´orakoztat´o ´es ´erdekfesz´ıt˝o a fizika, a relativit´aselm´elet, a kvantummechanika stb. A kor´abbi ´evfolyamokban a hallgat´ok k¨oz¨ ul a m´asodik ´ev v´ege fel´e m´ar sokan elvesz´ıtett´ek kedv¨ uket, mert val´oban csak kev´es kiemelked˝oen u ´j ´es korszer˝ u gondolattal ismerkedhettek meg. Lejt˝okr˝ol, elektrosztatik´ar´ol ´es egy´eb hasonl´okr´ol tanultak, s bizony k´et ´ev ut´an mindez meglehet˝osen szeg´enyesnek t˝ unt. Feladatunkat teh´at abban l´attuk, vajon tudunk-e olyan el˝oad´asi, illetve t´argyal´asi m´odszertant l´etrehozni, amely a fejlett gondolkod´as´ u ´es felcsig´azott ´erdekl˝od´es˝ u hallgat´o lelkesed´es´et meg˝orzi a fizika sz´am´ara. Az itt k¨oz¨oltek nem egyszer˝ uen ´attekint´est k´ıv´annak adni. Az ´evfolyam legjobbjai sz´am´ara terveztem el˝oad´asaimat, m´egpedig u ´gy, hogy lehet˝oleg m´eg ezek a hallgat´ok se ´erts´ek meg azonnal mindazt, amit az el˝oad´as tartalmaz. Sok helyen utalok a gondolatoknak ´es elveknek a f˝ovonalt´ol elt´er˝o, k¨ ul¨onb¨oz˝o ir´any´ u alkalmaz´asaira. E c´el ´erdek´eben azonban igen k¨ovetkezetesen arra t¨orekedtem, hogy minden meg´allap´ıt´ast a lehet˝o legpontosabban mondjak ki, minden esetben r´amutatva, hol illeszkednek a fogalmak ´es egyenletek a fizika t¨orzs´ebe, ´es hogyan kell a k´es˝obbiek so´ r´an majd m´odos´ıtani egyes elk´epzel´eseket. Ereztem azt is, hogy fontos megeml´ıteni, mi az, amire az elmondottakb´ol k¨ovetkeztet´es u ´tj´an nekik maguknak kell r´aj¨onni¨ uk, ´es mi az, amit u ´jdons´agk´ent kell kezelni¨ uk. Ha www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

24

Feynman el˝ oszava

u ´j elk´epzel´es t´argyal´as´ara t´ertem r´a, megpr´ob´altam vagy levezetni, ha levezethet˝o volt, vagy meg´ertetni, hogy az u ´j elk´epzel´es az addig tanultak r´ev´en nem alapozhat´o meg, bebizony´ıthat´os´ag´at sem kell felt´etelezni, egyszer˝ uen hozz´a kell illeszteni a meglev˝okh¨oz. Az el˝oad´as-sorozat kezdet´en felt´eteleztem, hogy a hallgat´o hozott mag´aval bizonyos ismereteket a k¨oz´episkol´ab´ol (geometriai optika, egyszer˝ ubb k´emiai fogalmak stb.). Nem l´attam ´ertelm´et annak, hogy az el˝oad´asokban meghat´arozott sorrendet tartsak abban az ´ertelemben, hogy ne szabadjon addig valamit megeml´ıtenem, ameddig a r´eszletekbe men˝o t´argyal´asig el nem jutottunk. Sz´amos esetben eml´ıtettem meg teljes kifejt´es n´elk¨ ul olyan dolgokat, amelyeknek r´eszletesebb ismertet´es´ere csak k´es˝obb, a felk´esz¨ ults´eg magasabb fokain ker¨ ult sor. P´eld´aul az indukci´o jelens´egeivel vagy az energiaszintekkel kapcsolatos fogalmakat el˝osz¨or csak kvalitat´ıve vezettem be, s csak j´oval k´es˝obb fejtettem ki. El˝oad´asaimban mindig ´es els˝osorban a legakt´ıvabb di´akhoz sz´oltam, de igyekeztem gondot ford´ıtani arra a di´akra is, akire a gondolatok t˝ uzij´at´eka ´es a legk¨ ul¨onb¨oz˝obb alkalmaz´asi ter¨ uletek bemutat´asa tal´an f´araszt´oan ´es nyugtalan´ıt´oan hatott, ´es akit˝ol nem v´arhattam el, hogy az el˝oad´asok eg´esz anyag´at megem´essze. Szem el˝ott tartottam, hogy az ilyen hallgat´o r´esz´ere legal´abb legyen az anyagnak olyan magva, gerince, amelyet k´epes befogadni. Rem´eltem, hogy nem kedvetlenedik el, ha nem ´ert meg mindent az el˝oad´asokb´ol. Nem is v´artam, hogy mindent meg´ertsen, csup´an a d¨ont˝o ´es k´ezenfekv˝o k´erd´eseket. Term´eszetesen e hallgat´o r´esz´er˝ol is bizonyos intelligenci´at kell felt´etelezn¨ unk, hogy l´atja, melyek a d¨ont˝oen fontos fogalmak ´es elm´eletek, s melyek azok a mell´ekeredm´enyek ´es alkalmaz´asok, amelyeknek meg´ert´es´et a k´es˝obbi ´evekre kell halasztania. Az el˝oad´asok folyam´an egy komoly neh´ezs´eg t´amadt: nem volt vissza” csatol´as” a di´akt´ol az el˝oad´ohoz, amely megmutatta volna, milyen m´ert´ekben val´osul meg az el˝oadott anyag ´atad´asa. En´elk¨ ul ´ıgy nagyon neh´ez eld¨onteni, vajon mennyire is voltak j´ok ´es eredm´enyesek az ´or´ak. Az eg´e´ ha netal´an u szet tulajdonk´eppen k´ıs´erletnek sz´antam. Es ´jra kezden´em, biztosan m´ask´epp csin´aln´am! K´etelyeim ellen´ere ma u ´gy ´erzem, hogy – legal´abbis ami a fizik´at illeti – az els˝o ´evben kiel´eg´ıt˝oen siker¨ ult a t´em´akat kidolgoznom. A m´asodik ´evben m´ar kev´esb´e voltam megel´egedve. Az el˝oad´asok els˝o fel´eben az elektromoss´aggal ´es m´agness´eggel foglalkoztam, ´es nem tudtam kiokoskodni egy´eni” vagy legal´abbis a szok´asost´ol elt´er˝o t´argyal´asm´odot, ” amely a r´egin´el l´enyegesen ´erdekfesz´ıt˝obb lett volna. Nem hiszem, hogy sok u ´jat adtam az elektromoss´agr´ol ´es m´agness´egr˝ol sz´ol´o el˝oad´asok fel-

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

Feynman el˝ oszava

25

´ep´ıt´es´eben. A m´asodik ´ev v´eg´en eredeti m´odon sz´and´ekoztam tov´abb haladni, az elektromoss´ag ´es m´agness´eg ut´an n´eh´any el˝oad´asban az anyag tulajdons´agait, de f˝ok´ent olyan t´em´akat szerettem volna ´erinteni, mint az alaprezg´esek, a diff´ uzi´os egyenletek megold´asai, rezg˝o rendszerek, az ortogon´alis f¨ uggv´enyek stb., ki´ep´ıteni az els˝o l´epcs˝ofok´at annak, amit a ” fizika matematikai m´odszereinek” nevez¨ unk. Visszatekintve u ´gy gondolom, ha m´eg egyszer csin´aln´am, visszat´ern´ek ehhez az eredeti elk´epzel´eshez. Minthogy ez nem aktu´alis, az el˝od´asok anyag´at kieg´esz´ıtett¨ uk egy kvantummechanikai bevezet˝ovel. Az a tanul´o, aki f˝ot´argyk´ent a fizik´at v´alasztotta, nyilv´an v´arhat a kvantummechanik´aval a harmadik ´evig. Figyelembe kellett azonban vennem, hogy a r´esztvev˝ok k¨oz¨ ul sokan csak kieg´esz´ıt´esk´ent hallgatj´ak a fi´ zik´at. Es a kvantummechanika szok´asos t´argyal´asa ezt a tant´argyat a t¨obbs´eg sz´am´ara szinte el´erhetetlenn´e teszi, minthogy megtanul´asa nagyon hossz´ u id˝ot vesz ig´enybe. Pedig a gyakorlati alkalmaz´asokban – p´eld´aul a bonyolult elektronikai vagy k´emiai alkalmaz´asokban – a differenci´alegyenletekkel val´o t´argyal´as teljes appar´atus´at val´oj´aban nem is haszn´alj´ak. Ez´ert megpr´ob´altam a kvantummechanika elveit olyan m´odszerrel le´ırni, amely nem k¨oveteli meg a tanul´ot´ol a parci´alis differenci´alegyenletek matematik´aj´anak ismeret´et. Azt hiszem, a hivat´asos fizikus sz´am´ara is ´erdekes k´ıs´erlet a kvantummechanik´at ezen a ford´ıtott u ´ton bemutatni (ennek okai az el˝oad´asokb´ol majd ´erthet˝ov´e v´alnak). Mindamellett u ´jszer˝ u t´argyal´asi k´ıs´erletem a kvantummechanikai r´eszben nem volt eg´eszen sikeres, f˝ok´ent az´ert nem, mert a v´ege fel´e kifutottam az id˝ob˝ol. (H´arom-n´egy tov´abbi el˝oad´asra lett volna sz¨ uks´eg, hogy p´eld´aul az energias´avokkal vagy az amplit´ ud´ok t´erbeli f¨ ugg´es´evel m´eg r´eszletesebben foglalkozzam.) Ezt a t´argyat ilyen m´odszerrel m´eg soha nem adtam el˝o, s ´ıgy a visszacsatol´as hi´anya itt k¨ ul¨on¨osen komoly h´atr´anyt jelentett. Arra a meggy˝oz˝od´esre jutottam, hogy a kvantummechanik´at ink´abb a t´argyal´as egy k´es˝obbi szakasz´aban kell el˝oadni. Nincs kiz´arva, hogy valamikor lesz m´eg alkalmam az el˝oad´as-sorozat megism´etl´es´ere, akkor majd a helyes utat v´alasztom. Feladatmegold´assal az´ert nem foglalkoztam az el˝oad´asaim sor´an, mert erre tank¨ori foglalkoz´asokon ker´ıtett¨ unk sort. B´ar az els˝o ´evben tartottam h´arom olyan el˝oad´ast, amelyeken feladatok megold´asi m´odszereir˝ol besz´eltem, ezek az el˝oad´asok nem ker¨ ultek bele a k¨onyvbe. Ugyancsak kimaradt az az el˝oad´as, amely az inerci´alis navig´aci´os rendszerr˝ol sz´olt, szoros o¨sszef¨ ugg´esben a forg´omozg´assal. Az o¨t¨odik ´es a hatodik el˝oad´ast Matthew Sands tartotta meg, mivel ´en t´avol voltam.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

26

Feynman el˝ oszava

Felmer¨ ul term´eszetesen a k´erd´es, mennyiben siker¨ ult a k´ıs´erlet. Az ´en v´elem´enyem – amelyben azonban u ´gy l´atszik, a di´akokkal foglalkoz´ok t¨obbs´ege nem osztozik – bor´ ul´at´o. Nem hiszem, hogy a hallgat´okn´al j´ol szerepeltem. Ha csak azt n´ezem, hogy t¨obbs´eg¨ uk mik´ent kezeli a probl´em´akat a vizsg´akon, az az ´erz´esem, hogy ez az u ´j el˝oad´asi rendszer nem v´altotta be a hozz´af˝ uz¨ott rem´enyeket. Bar´ataim ugyan hangoztatj´ak, hogy volt t´ız vagy h´ usz olyan di´ak, akik – ´es ez igen meglep˝o – majdnem mindent meg´ertettek az el˝oad´asokb´ol, fog´ekonyan ´es ¨on´all´oan b´anni tudtak az anyaggal, izgatottan, fesz¨ ult ´erdekl˝od´essel gy¨otr˝odtek a sok k´erd´esen. Ezek most val´oban j´ol megalapozott fizikai tud´assal rendelkeznek, s v´eg¨ ul is ˝ok azok, akiknek az el˝oad´asaimat terveztem. Persze, ne feledj¨ uk, hogy: A nevel´esre ford´ıtott er˝ofesz´ıt´esnek ritk´an van nagy hat´asa, kiv´eve azokat ” a szerencs´es eseteket, ahol az er˝ofesz´ıt´es majdnem felesleges.” (Gibbons) Mindenesetre nem akartam egyetlen di´akot sem teljesen mag´ara hagy´ ni, b´ar ez tal´an m´egis el˝ofordult. Ugy l´atom, az egyetlen m´od, hogy a di´akoknak t¨obb seg´ıts´eget ny´ ujtsunk, az lenne, ha m´eg t¨obb munk´at fektetn´enk egy sor feladat kidolgoz´as´aba, s ezzel el˝oseg´ıten´enk n´eh´any fogalom jobb megvil´ag´ıt´as´at. A feladatokkal j´ol kieg´esz´ıthet˝o az el˝oad´asok anyaga, seg´ıts´eg¨ ukkel a bemutatott fogalmakat vil´agosabban tiszt´azva, biztosabban be lehet ´ep´ıteni a gondolkod´asm´odba. M´egis azt hiszem, hogy az oktat´as probl´em´aj´anak nincsen m´as megold´asa, mint bel´atni, hogy a legjobb tan´ıt´asi rendszer is csak akkor val´osulhat meg, ha k¨ozvetlen, egy´eni kapcsolat l´etes¨ ul a di´ak ´es egy j´o tan´ar k¨oz¨ott, a hallgat´o megvitathatja az anyagot, gondolkodva fogadja el az elveket, ´es elbesz´elgethet a tanultakr´ol. Lehetetlen sokat tanulni puszt´an az el˝oad´asokon u ¨lve, vagy puszt´an csak a kijel¨olt feladatokon dolgozva. Korunkban azonban olyan sok tanul´ot kell oktatni, hogy az ide´alis helyett k¨ozvet´ıt˝o megold´assal kell megpr´ob´alkoznunk. Tal´an az ´en el˝oad´asaim is hozz´aj´arulnak ehhez. Sz˝ ukebb k¨orben, ahol lehets´egess´e v´alik a hallgat´okkal val´o egy´eni foglalkoz´as, n´eh´any ¨otletet vagy inspir´aci´ot nyerhetnek bel˝ol¨ uk. Tal´an sz´orakoz´ast is jelent majd, ha ´atgondolj´ak ˝oket, ´es esetleg n´eh´any gondolatot tov´abbfejlesztenek. 1963. j´ unius Richard P. Feynman

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

1. fejezet Atomok mozg´ asban 1.1. Bevezet´ es E k¨onyvnek ugyanaz a c´elkit˝ uz´ese, mint az eredeti k´et´eves fizikatanfo¨ ok, az olvas´ok, lyamnak. Azzal a gondolattal ´all´ıtottuk ¨ossze, hogy On¨ fizikusnak k´esz¨ ulnek. Term´eszetesen ez nem felt´etlen¨ ul sz¨ uks´eges szempont, de melyik professzor nem t´etelez fel hasonl´ot tant´argya el˝oad´asakor! ¨ ok fizik´aval ´ohajtanak foglalkozni, nagyon sok mindent kell megtaHa On¨ nulniuk: egy gyorsan fejl˝od˝o tudom´any´ag k´etsz´az ´ev alatt felhalmoz´odott ¨ ok el˝ott. Oly hatalmas ismeretanyag, hogy joggal eredm´enyei ´allnak On¨ vethetik fel a gondolatot, n´egy ´ev alatt nem is tudj´ak majd mindezt megtanulni. S val´oban nem, hiszen a n´egy ´ev elv´egz´ese ut´an m´eg mesterk´epz´esre is be kell iratkozniuk! El´eg meglep˝o, hogy a k´etsz´az ´ev alatt v´eghezvitt hatalmas munka ellen´ere az eredm´enyek ´ori´asi halmaza m´egis ¨osszefoghat´o, vagyis tudunk tal´alni t¨ orv´enyeket, amelyek k¨or´e ismereteink csoportos´ıthat´ok. Azonban ezeket a t¨orv´enyeket olyan neh´ez j´ol ´atl´atni, hogy e hatalmas ismeretanyag magyar´azat´anak megkezd´ese el˝ott legal´abbis v´azlatosan k¨orvonalaznunk kell a k¨ ul¨onb¨oz˝o tudom´anyok egym´ashoz val´o viszony´at. Az els˝o h´arom fejezetben v´azlatosan ismertetj¨ uk a fizika ´es a t¨obbi tudom´any´ag kapcsolat´at, a tudom´any´agak egym´as k¨ozti viszony´at, s azt is, hogy mit is kell ´erten¨ unk tudom´anyon. Mindez seg´ıts´eg¨ unkre lesz majd a t´argy ir´anti ´erz´ek” kialak´ıt´as´aban. ” Mell¨ unknek szegezhetn´ek a k´erd´est, vajon mi´ert nem u ´gy tan´ıtjuk a fizik´at, hogy mindj´art az els˝o oldalon megadjuk az alapvet˝o t¨orv´enyeket, s azt´an bemutatjuk, hogy ezek ´erv´enyesek minden elk´epzelhet˝o k¨or¨ ulm´enyre – ugyanis az euklideszi geometri´at ´ıgy tan´ıtjuk, el˝obb kimondjuk az axi´om´akat, azt´an mindenfajta k¨ovetkeztet´est vonunk le azokb´ol. (M´as sz´oval, nem n´egy ´ev alatt szeretn´ek a fizik´at megtanulni, hanem n´egy perc alatt?) K´et okb´ol nem tan´ıthatunk ilyen m´odon. Els˝osorban az´ert nem, mert mindeddig nem ismerj¨ uk valamennyi alapvet˝o t¨orv´enyt; s˝ot az ismeretlen jelens´egek k¨ore ´alland´oan t´agul. M´asodsorban, a fizika t¨orv´enyeinek pontos megfogalmaz´asa n´eh´any olyan – az olvas´o sz´am´ara tal´an szokatlan – fogalom bevezet´es´evel j´ar, amelynek le´ır´as´ahoz magasabb matematika is sz¨ uks´eges. Ez´ert komoly el˝otanulm´anyt ig´enyel puszt´an annak meg´ert´ese, hogy maguk a fizik´aban haszn´alatos szavak mit jelentewww.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

28

1. Atomok mozg´ asban

nek. Lehetetlen lenne a fizik´at ilyen m´odon tan´ıtani. Csakis fokozatosan, r´eszletr˝ol r´eszletre haladhatunk el˝ore. A term´eszet valamely r´eszlet´enek vagy t¨ored´ek´enek ismerete a teljes igazs´agnak mindig csak puszt´an megk¨ ozel´ıt´ese, vagy ha u ´gy tetszik, a teljes igazs´ag, m´ar amennyire ismerj¨ uk. Val´oj´aban minden ismeret¨ unk bizonyos m´ert´ek˝ u k¨ozel´ıt´es csup´an, miut´an tudjuk, hogy eddig m´eg nincsen birtokunkban minden term´eszett¨ orv´eny. Puszt´an az´ert tanulunk, hogy a megtanultakat elfelejts¨ uk, vagy ahogy gyakrabban fordul el˝o, korrig´aljuk. A tudom´any alapelv´et nagyj´ab´ol a k¨ovetkez˝ok´eppen hat´arozhatn´ank meg: Minden ismeret¨ unk pr´ obak¨ ove a k´ıs´erlet. A tudom´anyos igazs´ag” ” kiz´ ar´ olagos krit´eriuma a k´ıs´erlet. De mi az ismeret forr´asa? Honnan ker¨ ulnek el˝o az ellen˝orz´esre v´ar´o t¨orv´enyek? Maguk a k´ıs´erletek seg´ıts´eg¨ unkre vannak ugyan a t¨orv´enyek megalkot´as´aban, olyan ´ertelemben, hogy u ´tbaigaz´ıt´ast adnak, de k´epzel˝ oer˝ o szint´en sz¨ uks´eges, hogy ezekb˝ol az utal´asokb´ol nagy ´altal´anos´ıt´asokat hozzunk l´etre – hogy megtal´aljuk a m¨og¨ott¨ uk megh´ uz´od´o csod´alatosan egyszer˝ u, de rendk´ıv¨ ul u ´jszer˝ u mozzanatokat, hogy azut´an u ´jra k´ıs´erlettel ellen˝orizz¨ uk, vajon a helyes megfejt´es ker¨ ult-e a kez¨ unkbe. Ez ut´obbi folyamat olyan bonyolult, hogy munkamegoszt´ast k¨ovetel a fizik´an bel¨ ul: vannak elm´eleti fizikusok, akik elk´epzel´eseket, elm´eleteket hoznak l´etre, k¨ovetkeztetnek ´es u ´j t¨orv´enyek´ re bukkannak, de nem k´ıs´erleteznek. Es vannak k´ıs´erleti fizikusok, akik k´ıs´erleteznek, elveket dolgoznak ki, k¨ovetkeztetnek ´es tal´algatnak. Azt mondtuk, hogy a term´eszet t¨orv´enyei k¨ozel´ıt˝oek; vagyis hogy el˝osz¨or a rossz”, majd a helyes” t¨orv´enyeket tal´aljuk meg. M´armost ho” ” gyan lehet egy k´ıs´erlet rossz”? El˝osz¨or is a legegyszer˝ ubb m´odon: k´e” sz¨ ul´ek¨ unkben valami hiba van, amit nem vett¨ unk ´eszre. De ezek a hib´ak k¨onnyen meg´allap´ıthat´ok, visszamen˝oleg ´es el˝ozetesen is ellen˝orizhet˝ok. Teh´at ezekt˝ol a kis jelent˝os´eg˝ u esetekt˝ol eltekintve, hogyan lehet egy k´ıs´erlet rossz? Csakis pontatlans´agb´ol ered˝oen. P´eld´aul egy t´argy t¨omege ´alland´oan azonosnak t˝ unik: a forg´asban lev˝o p¨orgetty˝ unek ugyanakkora a s´ ulya, mint a nyugv´o´e. Egy t¨orv´enyt” fedezt¨ unk h´at fel: a t¨omeg ´al” land´o, f¨ uggetlen a sebess´egt˝ol. Ma m´ar tudjuk, hogy ez a t¨orv´eny” hib´ as. ” Kider¨ ult ugyanis, hogy a t¨omeg n˝o a sebess´eggel, csakhogy jelent˝os t¨omegn¨oveked´eshez a f´enysebess´eghez k¨ozeli sebess´eg sz¨ uks´eges. Igaz t¨orv´eny a k¨ovetkez˝o: ha egy t´argy 100 km/s-n´al kisebb sebess´eggel halad, t¨omege ´alland´o egymilliomodnyi pontoss´agon bel¨ ul. Ilyen k¨ozel´ıt˝o form´aban ez a t¨orv´eny helyt´all´o. Azt gondolhatn´ank viszont, hogy ezek szerint az u ´j t¨orv´eny nem jelent k¨ ul¨onbs´eget. Igen is ´es nem is. K¨oz¨ons´eges sebess´egek eset´en nyugodtan elfelejthetj¨ uk, ´es egyszer˝ uen az ´alland´o t¨omeg t¨orv´e-

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

1.2. Az anyag atomokb´ ol ´ep¨ ul fel

29

ny´et haszn´alhatjuk mint j´o k¨ozel´ıt´est. Nagy sebess´egek eset´en azonban ez rossz, s min´el nagyobb a sebess´eg, ann´al nagyobbat t´eved¨ unk. V´eg¨ ul a leg´erdekesebb, hogy ´ altal´ anos filoz´ ofiai szempontb´ ol tekintve, b´ armely k¨ ozel´ıt˝ o t¨ orv´eny teljes m´ert´ekben hib´ as. Vil´agk´ep¨ unket akkor is m´odos´ıtanunk kell, ha a t¨omeg a sebess´eggel csup´an a legcsek´elyebb m´ert´ekben is v´altozik. Ez a t¨orv´enyek m¨og¨ott h´ uz´od´o filoz´ofia vagy felfog´asok k¨ ul¨on¨os tulajdons´aga. N´eha a legkisebb jelens´eg miatt is m´elyrehat´oan m´odos´ıtanunk kell elk´epzel´eseinket. M´armost, mit tan´ıtsunk el˝osz¨or? Tan´ıtsuk tal´an a helyes, de szokatlan t¨orv´enyt a maga k¨ ul¨on¨os ´es neh´ez fogalmaival, p´eld´aul a relativit´as elm´elet´et, a n´egydimenzi´os t´erid˝ot stb.? Vagy pedig tan´ıtsuk el˝osz¨or az egyszer˝ u ´alland´o t¨omeg” t¨orv´enyt, amely csup´an k¨ozel´ıt˝o, de nem foglal ” mag´aban ilyen neh´ez fogalmakat? Az els˝o u ´t ´erdekfesz´ıt˝obb, szebb ´es sz´orakoztat´obb, de az ut´obbi k¨onnyebb el˝osz¨orre, ´es els˝o l´epcs˝ofoka az els˝o u ´t val´odi meg´ert´es´enek. Ez a k´erd´es mindig felmer¨ ul a fizika tan´ıt´as´aban, ´es a t´argyal´as sor´an mindig m´ask´eppen kell majd megoldanunk. A tanul´as minden f´azis´aban, mindig ´erdemes azonban ut´anan´ezni, mi ismert m´ar addig, ´es mennyire pontos, hogyan illeszkedik a t¨obbi ismerthez, ´es hogyan m´odosulhat, ha t¨obbet tanulunk r´ola. Folytassuk most a k¨orvonalaz´as´at, vagy ha tetszik az ´altal´anos ´attekint´es´et annak, mit ´ert¨ unk ma a tudom´any fogalm´an (els˝osorban a fizik´an, de kit´er¨ unk a hozz´akapcsol´od´o m´as tudom´any´agakra is). Ez´altal, ha k´es˝obb bizonyos k´erd´eseket vizsg´alunk, megfelel˝o fogalmunk lesz azok h´atter´er˝ol, ´erdekess´eg¨ uk mibenl´et´er˝ol, ´es arr´ol, hogyan illeszkednek bele a tudom´any nagy szerkezet´ebe. Teh´at: Mi is a mi mindent ´atfog´o vil´agk´ep¨ unk? 1.2. Az anyag atomokb´ ol ´ epu ¨ l fel Ha egy vil´agkatasztr´ofa k¨ovetkezt´eben minden tudom´anyos ismeretanyag megsemmis¨ ulne, ´es csak egyetlenegy mondat maradna o¨r¨oks´eg¨ ul a k¨ovetkez˝o civiliz´aci´ora, mi lenne az a mondat, amely a legt¨om¨orebb megfogal´ maz´asban a legt¨obb inform´aci´ot s˝ ur´ıten´e mag´aban? Ugy v´elem, ennek a mondatnak az atomok hipot´ezis´et (vagy ha u ´gy tetszik, az atomok l´etez´es´enek t´eny´et) kellene tartalmaznia: azt, hogy minden dolog atomokb´ ol ´ep¨ ul fel – ´ alland´ oan mozg´ o kis r´eszecsk´ekb˝ ol, amelyek vonzz´ ak egym´ ast, ha kis t´ avols´ agra vannak, ´es tasz´ıtj´ ak egym´ ast, ha egyiket a m´ asikba pr´eselik. Mint l´atni fogjuk, ez a meg´allap´ıt´as hihetetlen mennyis´eg˝ u inform´aci´ot tartalmaz a vil´agr´ol, csup´an egy kis logika ´es fant´azia kell hozz´a. Az atomi vil´agk´ep ak´ar egy csepp v´ızben is t¨ ukr¨oz˝odik. K´epzelj¨ unk magunk el´e egy f´el centim´eter ´atm´er˝oj˝ u v´ızcseppet. B´armily k¨ozelr˝ol vizswww.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

30

1. Atomok mozg´ asban

g´aljuk, semmi egyebet nem l´atunk, csak sima, folytonos vizet. Ha a rendelkez´es¨ unkre ´all´o legjobb optikai mikroszk´oppal kb. 2000-szeres´ere felnagy´ıtjuk – ekkor a csepp ´atm´er˝oje 10 m, teh´at kb. akkora, mint egy nagyobb terem –, m´eg mindig viszonylag folytonos vizet l´atunk, melyben itt-ott k¨ ul¨on¨os, futball-labda alak´ u k´epz˝odm´enyek u ´szk´alnak. Ezek a furcsa k´epz˝odm´enyek: param´eciumok. Itt meg is ´allhatn´ank egy pillanatra, mert k´ıv´ancsiv´a tett benn¨ unket a param´ecium az ˝o tekerg˝oz˝o testecsk´ej´evel ´es saj´atosan izg˝o-mozg´o ny´ ulv´anyaival. Ez azonban m´ar a biol´ogia t´argyk¨or´ebe v´agna. Er˝ot v´eve k´ıv´ancsis´agunkon, hagyjuk most a param´eciumot, ink´abb figyelj¨ uk meg a v´ız anyag´at m´eg k¨ozelebbr˝ol, u ´jabb k´etezerszeres nagy´ıt´asban. Most m´ar a v´ızcsepp m´erete 20 km. Valamif´ele ny¨ uzsg´es ´eszlelhet˝o, de ez m´ar nem kelti a folytonoss´ag benyom´as´at, ink´abb olyan, mintha r¨ogbim´erk˝oz´est l´atn´ank nagy t´avols´agb´ol. Hogy kif¨ urk´eszhess¨ uk, mif´ele ny¨ uzsg´es ez, alkalmazzunk m´eg egy 250-szeres nagy´ıt´ast; ekkor olyasf´ele l´atv´any t˝ unik el˝o, mint amilyent az 1.1. ´abra mutat: egymilli´ardszoro1.1. a ´bra. V´ızcsepp egymilli´ ardszoros s´ara nagy´ıtott v´ızcsepp t¨obb szemnagy´ıt´ asban pontb´ol is idealiz´alt k´epe. Els˝osorban az´ert idealiz´alt, mert a r´eszecsk´eket leegyszer˝ us´ıtett form´aban, hat´arozott kont´ urral rajzoltuk meg, ami pontatlan megk¨ozel´ıt´ese a val´os´agnak. M´asodsorban az egyszer˝ us´eg kedv´e´ert k´etdimenzi´os elrendez´esben, sematikusan v´azoltuk fel ˝oket, holott a val´os´agban term´eszetesen h´arom dimenzi´oban mozognak. Az ´abr´an k´etf´ele jel – paca”, illetve k¨or – van ” felt¨ untetve, az egyik (fekete) az oxig´enatomot, a m´asik (feh´er) a hidrog´enatomot k´epviseli. L´athat´o, hogy minden oxig´enatomhoz k´et hidrog´enatom tapad. (Az egy oxig´en- ´es k´et hidrog´enatomb´ol ´all´o csoportot v´ızmolekul´anak nevezz¨ uk.) E k´ep m´eg az´ert is idealiz´alt, mert a term´eszetben a val´odi r´eszecsk´ek ´alland´oan s¨ ur¨ognek-forognak, kerget˝oznek egym´as k¨or¨ ul, ide-oda ugr´alnak, o sszetapadnak, majd sz´etv´alnak. Sztatikus k´ep ¨ helyett dinamikus k´epet kell elk´epzeln¨ unk. Az sem t˝ unik ki a rajzb´ol, hogy a r´eszecsk´ek ragadnak egym´ashoz” – itt az egyik r´eszecske vonzza ” a m´asikat, ezt meg mag´ahoz r´antotta amaz, stb. Az eg´eszet egy¨ utt, hogy u ´gy mondjuk, rugalmas sz´alak” tartj´ak ¨ossze. M´asr´eszr˝ol viszont ezek a ” r´eszecsk´ek nem pr´esel˝odnek egym´asba. Ha megpr´ob´aln´ank kett˝ot k¨oz¨ ul¨ uk ¨osszepr´eselni, tasz´ıtan´ak egym´ast.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

31

1.2. Az anyag atomokb´ ol ´ep¨ ul fel

Az atomok sugara (1 . . . 2) · 10−8 cm. A 10−8 cm t´avols´ag egyenl˝o egy angstr¨ ommel,1 vagyis azt mondjuk, hogy az atomok sugara 1–2 ˚ A. Az atomok nagys´agrendj´et m´as m´odon is eml´ekezetben tarthatjuk: ha egy alm´at a f¨oldgoly´o m´eret´ere megnagy´ıtan´ank, atomjai kb. az eredeti alma nagys´ag´ara n˝on´enek. Most pr´ob´aljuk magunk el´e k´epzelni ezt az ´ori´as v´ızcseppet a benne ugr´andoz´o, egym´ashoz tapad´o, fog´ocsk´at j´atsz´o r´eszecsk´ekkel. A v´ız megtartja a t´erfogat´at, nem esik sz´et, mert a molekul´ak k¨olcs¨on¨osen vonzz´ak egym´ast. Ha a v´ızcsepp lejt˝os helyre ker¨ ul, ahol egy pontb´ol a m´asik pontba ´atg¨ ord¨ ulhet, lefolyik, de az´ert nem t˝ unik el, mint ahogyan ´altal´aban a t´argyak nem foszlanak szerte, mivel a molekul´aik k¨ozti vonz´as ¨osszetartja ˝oket. Az im´ent eml´ıtett ugr´al´o mozg´as nem m´as, mint a h˝ omozg´ as: ha n¨ovelj¨ uk a h˝om´ers´ekletet, egy´ uttal fokozzuk a mozg´ast. Ha meleg´ıtj¨ uk a vizet, az ugr´al´o mozg´as fokoz´odik, s ez´altal n˝o az atomok k¨oz¨otti t´erfogat is, ha pedig a meleg´ıt´est sok´aig folytatjuk, elk¨ovetkezik egy id˝opont, amikor a k¨ olcs¨on¨os vonz´as m´ar nem elegend˝o a molekul´ak ¨osszetart´as´ahoz, s ´ıgy azok egym´ast´ol k¨ ul¨onv´alva szerterep¨ ulnek. Ez nyilv´anval´o, hiszen ily m´odon ´all´ıtunk el˝o v´ızb˝ol g˝ozt: a h˝om´ers´eklet n¨oveked´es´evel a r´eszecsk´ek fokoz´od´o mozg´asuk k¨ovetkezt´eben egym´ast´ol szerterep¨ ulnek. Az 1.2. ´abra a g˝oz sematikus v´azlata. A v´azlat egy szempontb´ol nem ´allja meg a hely´et: az ´altalunk v´alasztott nagy´ıt´as eset´en k¨oz¨ons´eges l´egk¨ori nyom´as mellett biztosan h´aromn´al kevesebb molekula jutna a rajzra. A legt¨obb – az ´abr´aval azonos m´eret˝ u – n´egyzetecske a val´os´agban nem tartalmazhat semmit, s 1.2. a ´bra. V´ızp´ ara felnagy´ıtott v´ azlata mi csak a szeml´eltet´es kedv´e´ert mutatunk be olyan n´egyzetecsk´et, ahov´a v´eletlen¨ ul jutott k´et ´es f´el vagy h´arom molekula (¨ ures ´abr´at ´ertelmetlen lett volna bemutatnunk!). A g˝oz eset´eben a molekul´ak jellegzetess´egeit tiszt´abban l´atjuk. Az egyszer˝ us´eg kedv´e´ert u ´gy rajzoltuk fel ˝oket, hogy a k´et hidrog´enatom 120◦ -os sz¨oget z´arjon be egym´assal. Ez a sz¨og t´enylegesen 105◦ 30 , az oxig´en- ´es hidrog´enatom k¨oz´eppontja k¨oz¨otti t´avols´ag pedig 0,957 ˚ A. Mindebb˝ol l´athat´o, hogy ezt a molekul´at el´eg j´ol ismerj¨ uk. Ford´ıtsuk most figyelm¨ unket a g˝oznek vagy ´altal´aban a g´azoknak n´eh´any tulajdons´ag´ara. Az egym´ast´ol elk¨ ul¨on¨ ult molekul´ak ´alland´o mozg´asuk k¨ozben a terem fal´anak u ´gy k´epzelhetj¨ uk ¨tk¨oznek. Az eg´eszet u 1

1 angstr¨ om = 0,1 nanom´eter (Patk´ os Andr´ as).

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

32

1. Atomok mozg´ asban

el, mintha a teremben, mondjuk, sz´az teniszlabda pattogna sz¨ untelen¨ ul ide-oda. Amikor a falhoz csap´odnak, l¨oknek egyet rajta. (Term´eszetesen arr´ol gondoskodtunk, hogy a fal ne mozduljon el.) Ez azt jelenti, hogy a g´az a falra vibr´al´o, szab´alytalanul ism´etl˝od˝o l¨ok´esekkel hat, amelyeknek – durva ´erz´ekel´es¨ unkkel – csak az ´ atlag´ at ´eszlelj¨ uk (minthogy nem nagy´ıtottuk fel magunkat is milli´ardszorosan). Ahhoz, hogy a g´azt valamilyen t´erfogatba bez´arjuk, nyom´ast kell r´a gyakorolnunk. Az 1.3. ´abra g´azok t´arol´as´ara ´altal´anosan elterjedt ed´enyt mutat (minden tank¨onyvben ilyen tal´alhat´o): egy hengert a benne elhelyezett dugatty´ uval. Jelen esetben a v´ızmolekula alakja nem l´enyeges, az egyszer˝ us´eg kedv´e´ert teniszlabd´anak vagy pontnak ´abr´azoltuk. Ezek a pontocsk´ak minden ir´anyban ´alland´oan mozognak. Sokan k¨oz¨ ul¨ uk fel¨ ul neki¨ utk¨oznek a dugatty´ unak; az ´alland´o l¨okd¨os˝od´es k¨ovetkezt´eben a dugatty´ u sz´ep lassan kil¨ok˝odhet. Ennek megakad´alyoz´as´ara egy bizonyos er˝ovel lefel´e kell nyomnunk. Ezt az er˝ot nyom´ asnak nevezz¨ uk (t´enylegesen a nyom´as szorozva a fel¨ ulettel adja az er˝ot). Vil´agos, hogy ez az er˝o a fel¨ ulettel ar´anyos, mert ha a fel¨ uletet megn¨ovelj¨ uk, mik¨ozben az egy k¨obcentim´eterre es˝o molekul´ak sz´am´at ´alland´onak tartjuk, ezzel megn¨ovelj¨ uk a dugatty´ ut ´er˝o u ¨tk¨oz´esek sz´am´at, m´egpedig olyan ar´anyban, ahogy a fel¨ ulet megnagyobbodott. Tegy¨ unk most k´etszer annyi molekul´at a tart´alyba, vagyis dupl´azzuk meg a s˝ ur˝ us´eget, de legyen a molekul´ak sebess´ege az el˝obbihez k´epest v´altozatlan, vagyis maradjon a h˝om´ers´eklet azonos. Ekkor az u ¨tk¨oz´esek sz´ama j´o k¨ozel´ıt´essel megk´etszerez˝odik, teh´at azt mondhatjuk, hogy a nyom´as ar´anyos a s˝ ur˝ us´eggel, minthogy minden u ¨tk¨oz´es ugyanolyan energi” kus”, mint el˝obb. Figyelembe v´eve az atomok k¨oz¨ott fenn´all´o er˝ok t´enyleges term´eszet´et, arra k¨ovetkeztethet¨ unk, hogy a nyom´as a k¨olcs¨on¨os vonz´as miatt cse1.3. a ´bra k´ely m´ert´ekben cs¨okkenni, m´ıg az atomok rendelkez´es´ere ´all´o t´erfogat v´eges volta miatt csek´ely m´ert´ekben n¨ovekedni fog. Mindazon´altal – el´eg alacsony nyom´as eset´en, vagyis ha a g´az kev´es atomot tartalmaz – kit˝ un˝o k¨ozel´ıt´es az, hogy a nyom´ as a s˝ ur˝ us´eggel ar´ anyos. Feleletet kaphatunk egy m´asik k´erd´esre is: Mi lesz a nyom´assal, ha a h˝om´ers´ekletet a g´az s˝ ur˝ us´eg´enek megv´altoztat´asa n´elk¨ ul megn¨ovelj¨ uk, vagyis megn¨ovelj¨ uk az atomok sebess´eg´et? Az atomok, mivel gyorsabban mozognak, er˝oteljesebben s r´aad´asul gyakrabban u uhoz, ¨tk¨oznek a dugatty´ teh´at a nyom´as megn¨ovekszik. L´athat´o, milyen egyszer˝ uen k¨ovetkezik mindez az atomi szeml´eletb˝ol.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

1.2. Az anyag atomokb´ ol ´ep¨ ul fel

33

Vegy¨ unk egy m´asik esetet. T´etelezz¨ uk fel, hogy a dugatty´ u befel´e mozog, s ´ıgy az atomokat lassacsk´an kisebb t´erfogatra szor´ıtja o¨ssze. Mi t¨ort´enik, amikor egy atom a mozg´o dugatty´ uba u ¨tk¨ozik? Nyilv´anval´oan sebess´eget nyer az u ¨tk¨oz´es sor´an. Gondoljunk csak arra, hogy ha p´eld´aul egy pingponglabda a vele szembe halad´o u ¨t˝obe u ¨tk¨ozik, nagyobb sebess´eggel pattan le az u utk¨oz¨ott. (Speci´alis eset: ha ¨t˝or˝ol, mint amivel neki¨ egy nyugv´o atomot ´er a dugatty´ u, az atom mozg´asba j¨on.) Az atomokat a dugatty´ uval val´o tal´alkoz´as forr´obb´a” teszi, s ily m´odon az ed´enyben ” tal´alhat´o valamennyi atom sebess´ege megn¨ovekszik. Ez azt jelenti, hogy ha a g´ azt lassan ¨ osszenyomjuk, h˝ om´ers´eklete megn˝ o. Vagyis lass´ u¨ osszenyom´ as k¨ozben a g´az h˝om´ers´eklete megn˝ o, lass´ u kit´ agul´ as k¨ozben pedig cs¨ okken. T´erj¨ unk vissza v´ızcsepp¨ unkh¨oz, vizsg´aljuk most m´as szemsz¨ogb˝ol. Cs¨okkentve h˝om´ers´eklet´et, t´etelezz¨ uk fel, hogy h˝ ul´es k¨ozben az atomok alkotta v´ızmolekul´ak ugr´andoz´asa is al´abbhagy. Tudjuk, hogy az atomok k¨oz¨ott hat´o vonz´oer˝o miatt a molekul´ak egy id˝o m´ ulva kev´esb´e ´el´enken mozognak. Az 1.4. ´abr´an l´athat´o, mi 1.4. a ´bra. J´egkrist´ aly t¨ort´enik majd eg´eszen alacsony h˝om´ers´ekleten: a molekul´ak egy u ´j alakzatt´a kapcsol´odnak – s ez a j´eg. A j´egnek a fenti v´azlatos k´epe nem helyt´all´o abb´ol a szempontb´ol, hogy k´etdimenzi´os, de kvalitat´ıve helyes. A jelens´eg ´erdekess´ege az, hogy ez esetben az anyag minden atomj´ anak meghat´ arozott helye van, s k¨onnyen ellen˝orizhet˝o, hogy ha valamilyen m´odon a csepp egyik v´eg´en az atomokra valamilyen elrendez´est k´enyszer´ıt¨ unk, minden atomot bizonyos helyre u uk fenn´all´o merev kapcsolat k¨ovetkezt´eben a csepp m´a¨ltetve, a k¨oz¨ott¨ sik v´eg´en kilom´eternyi t´avols´agban is (felnagy´ıtott m´eretekben gondolkodunk!) meghat´arozott elrendez´es alakul ki. Az egyik v´eg´en befogott t˝ u alak´ u j´egkrist´aly m´asik v´ege ellen´all az oldalir´any´ u kit´er´ıt˝o er˝onek, ellent´etben a v´ızzel, ahol az atomok nagym´erv˝ u ugr´andoz´asa folyt´an a szerkezet laz´abb, s ´ıgy az atomok a legk¨ ul¨onb¨oz˝obb ir´anyokban mozoghatnak. A szil´ard anyagok ´es a folyad´ekok k¨oz¨otti k¨ ul¨onbs´eg az, hogy a szil´ard anyagokban az atomok bizonyos alakzatba, u ´gynevezett krist´ alyos alakzatba rendez˝odnek, ´es hossz´ u t´avon nem v´eletlenszer˝ uen helyezkednek el; a krist´aly egyik v´eg´en lev˝o atomok helyzet´et meghat´arozz´ak a t˝ol¨ uk milli´o atomnyi t´avols´agra, a krist´aly m´asik v´eg´en elhelyezked˝o atomok. Az

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

34

1. Atomok mozg´ asban

1.4. ´abr´an a j´egkrist´aly egy elk´epzelt elrendez˝od´ese l´athat´o, s j´ollehet az ´abra sz´amos vonatkoz´asban helyt´all´o, m´egsem ez a val´os´agos elrendez˝od´es. Helyt´all´o p´eld´aul az, hogy az elrendez˝od´es bizonyos szimmetri´at mutat, azaz hexagon´alis. L´athat´o, hogy ha ezt a k´epet egy tengely k¨or¨ ul 60◦ -kal elforgatjuk, ¨onmag´aba t´er vissza. A j´eg teh´at bizonyos fajta szimmetri´ at rejt mag´aban, ami egyben a h´opehely hatsz¨oglet˝ u alakj´at magyar´azza. Egy m´asik jelens´eg is meg´erthet˝o az 1.4. ´abra nyom´an, az ugyanis hogy az olvad´assal mi´ert lesz kisebb a j´eg t´erfogata. Az itt bemutatott saj´atos krist´alyalakzatban sok u ¨reg” tal´alhat´o, ak´ar csak a val´odi j´eg krist´alyszer” kezet´eben. Ha a szerkezet bomladozni kezd, ezeket az u ¨regeket elfoglalj´ak a molekul´ak. A legt¨obb anyag – a v´ız ´es a bet˝ uf´em kiv´etel´evel – olvad´askor kiterjed; a szil´ard krist´alyban szorosan elhelyezked˝o atomok olvad´as ut´an nagyobb teret ig´enyelnek mozg´asukhoz. Ezzel szemben egy u ¨reges szerkezet ¨osszeesik olvad´askor, mint a j´eg. B´ar a j´egnek merev” krist´alyos szerkezete van, h˝om´ers´eklete m´egis ” megv´altozhat – a j´egben szint´en van h˝omozg´as. Mi a h˝omozg´as form´aja a j´eg eset´eben? Az atomok nincsenek nyugalomban. Ugr´alnak ´es rezegnek. J´ollehet a krist´alyban meghat´arozott rend van – minden atomja helyben” vibr´al. Amint n¨ovelj¨ uk a h˝om´ers´ekletet, rezg´es¨ uk amplit´ ud´oja ” hasonl´o m´ert´ekben n˝o, m´ıg v´eg¨ ul is kiszakadnak a hely¨ ukr˝ol. Ezt nevezz¨ uk olvad´ asnak. Amint a h˝om´ers´ekletet cs¨okkentj¨ uk, a vibr´al´as egyre jobban cs¨okken, m´ıg v´eg¨ ul az abszol´ ut nulla h˝om´ers´eklet k¨or¨ ul el nem ´er egy minim´alis – de nem nulla – ´ert´eket. Ez a minim´alis mozg´as egyetlen anyagnak, a h´eliumnak a kiv´etel´evel nem elegend˝o az olvad´ashoz. A h´eliumban puszt´an az atomok mozg´asa cs¨okken le annyira, amennyire csak tud, de m´eg az abszol´ ut nulla h˝om´ers´ekleten is marad annyi mozg´as, amennyi elegend˝o a fagy´as megakad´alyoz´as´ahoz. A h´elium m´eg az abszol´ ut nulla fokon sem fagy meg, hacsak nem alkalmazunk olyan nagy nyom´ast, amely az atomokat egym´ashoz tudja pr´eselni. A nyom´as n¨ovel´es´evel h´eliumot szil´ ard alakban is el˝o´all´ıthatunk. 1.3. Atomi folyamatok Az el˝obbiekben szil´ard anyagokat, folyad´ekokat ´es g´azokat ´ırtunk le az atomi szeml´elet seg´ıts´eg´evel. Az atomi szeml´elet azonban folyamatok le´ır´as´ara is alkalmas, most teh´at n´eh´any folyamatot az atomok n´ez˝opontj´ab´ol mutatunk be. Az els˝o ilyen folyamat, amelyet ´erdemes megvizsg´alnunk, a v´ız felsz´ın´evel kapcsolatos. Mi megy v´egbe a v´ız felsz´ın´en? A k´epet bonyolultabb´a, de egyben val´oszer˝ ubb´e is tessz¨ uk, ha elk´epzelj¨ uk, hogy a vizsg´alt v´ızfelsz´ın leveg˝ovel ´erintkezik (??. ´abra). Itt is, mint el˝obb, www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

1.3. Atomi folyamatok

35

jelen vannak a v´ıztestet alkot´o v´ızmolekul´ak, de most a v´ız felsz´ın´et is l´atjuk. Ut´obbit szeml´elve sok mindent ´eszrevehet¨ unk: mindenekel˝ott v´ızmolekul´akat g˝oz form´aj´aban. Ez a v´ızp´ ara, amely mindig megtal´alhat´o a v´ız felett. (A v´ız ´es a v´ızp´ara k¨oz¨ott egyens´ uly ´all fenn, err˝ol k´es˝obb m´eg sz´o lesz.) A p´ar´an k´ıv¨ ul m´asfajta molekul´akat is l´atunk, itt p´eld´aul k´et oxig´enatom tapadt ¨ossze, oxig´enmolekul´ at k´epezve, amott meg k´et nitrog´enatom, szint´en o¨sszetapadva, nitrog´enmolekul´at k´epez. A leveg˝o csaknem teljes eg´esz´eben nitrog´enb˝ol, oxig´enb˝ol ´es egy kev´es v´ızp´ar´ab´ol ´all, de kisebb mennyis´egben sz´en-dioxidot, argont ´es egy´eb anyagot is tartalmaz. Teh´at a v´ız felsz´ıne felett tal´alhat´o leveg˝o: g´az, amely n´emi v´ızp´ar´at tartalmaz. L´assuk, mi is t¨ort´enik ezen a k´epen? A v´ız molekul´ai ´alland´oan ugr´andoznak”, mozg´asban vannak. El˝ofordul id˝onk´ent, hogy ” egyik-m´asik a felsz´ın k¨ozel´eben egy kicsit nagyobb l¨ok´est kap ´es kil¨ok˝odik. Neh´ez ´eszrevenni az ´abr´an, hogy val´oj´aban mi j´atsz´odik le, mivel k´ep¨ unk ´ all´ o. De az´ert el tudjuk k´epzelni, hogy az egyik molekula, eltal´alva a t¨obbiekt˝ol, ´eppen kifel´e tart, majd tal´an az a m´asik is kap egy l¨ok´est, az is tovarep¨ ul. Vagyis molekul´ar´ol molekul´ara elt˝ unik a v´ız: elp´arolog. De ha lez´ arjuk fel¨ ulr˝ol az ed´enyt, egy id˝o m´ ulva nagysz´am´ u v´ızmolekul´at fogunk tal´alni a leveg˝omolekul´ak k¨oz¨ott. Id˝or˝ol id˝ore egy-egy g˝ozmolekula a v´ızbe csap´odik vissza, s ott fogva marad. Ez a l´atsz´olag ´erdektelen, mozdulatlan, esem´enytelen valami – egy poh´ar fedett v´ız, amely tal´an m´ar h´ usz ´eve itt ´all a hely´en – val´oj´aban mozgalmas, ´erdekfesz´ıt˝o, soha meg nem sz˝ un˝o jelens´egeket tartalmaz. Szem¨ unkkel, ezzel a durva optikai eszk¨ozzel ugyan semmi v´altoz´ast nem ´eszlel¨ unk, de milli´ardszoros nagy´ıt´asban m´ar ´eszrevenn´enk, hogy a molekul´ak saj´at kis vil´aga sz˝ untelen v´altoz´asok sz´ınhelye: molekul´ak t´avoznak a v´ızfelsz´ınb˝ol, ´es molekul´ak ´erkeznek vissza oda. Mi´ert nem l´atunk mi v´altoz´ast? Mert amennyi molekula elt´avozik, ugyanannyi ´erkezik vissza! Hossz´ u id˝ot´avlatban semmi nem t¨ort´enik”. ” De ha az ed´eny fed˝oj´et lev´eve elf´ ujjuk a p´ar´aval telt leveg˝ot, ´es sz´arazat enged¨ unk a hely´ebe, a t´avoz´o molekul´ak sz´ama nem v´altozik (ez csak a v´ızmolekul´ak mozg´as´at´ol f¨ ugg), de a visszat´er˝o molekul´ak sz´ama nagym´ert´ekben cs¨okken, minthogy most sokkal kevesebb v´ızmolekula tal´alhat´o a v´ız felsz´ıne felett. Teh´at t¨obb molekula megy el, mint amennyi ´erkezik, ´es ´ıgy a v´ız elp´arolog. Ez´ert kapcsoljuk be a ventill´atort, ha vizet akarunk elp´arologtatni! K¨ovetkez˝o k´erd´es¨ unk: Mely molekul´ak t´avoznak el? Mikor egy molekula kirep¨ ul, v´eletlen¨ ul az ´atlagosn´al egy kicsit t¨obb energia halmoz´odik fel benne, ´eppen annyi, amennyi ahhoz sz¨ uks´eges, hogy a szomsz´edos mo-

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

36

1. Atomok mozg´ asban

lekul´ak vonz´as´at legy˝ozze. Teh´at ha a kirep¨ ul˝ok az ´atlagosn´al t¨obb energi´aval rendelkeznek, akkor a visszamaradottak ´atlagos energi´aja kisebb lesz. Ez´ert a folyad´ek p´arolg´as k¨ozben fokozatosan leh˝ ul. Term´eszetes viszont, hogy amikor a g˝ozmolekula a leveg˝ob˝ol a v´ızbe ´erkezik, a felsz´ınhez k¨ozeledve alulr´ol hirtelen nagyfok´ u vonz´as t´amad fel´eje. Ez felgyors´ıtja a be´erkez˝o molekul´at, aminek eredm´enyek´ent h˝o fejl˝odik. Teh´at a t´avoz´o molekul´ak h˝ot visznek magukkal, a visszat´er˝ok h˝ot fejlesztenek. Nyilv´anval´o, ha nincs val´odi p´arolg´as, a k´et jelens´eg ered˝oje z´erus – a v´ız h˝om´ers´eklete nem v´altozik. Amikor r´af´ ujunk a v´ız felsz´ın´ere, ´es ez´altal biztos´ıtjuk a t´avoz´o molekul´ak t´ uls´ uly´at, h˝ utj¨ uk a vizet. F´ ujd a levest, ha h˝ uteni akarod! Ne feledj¨ uk azonban, hogy ezek a folyamatok a val´os´agban sokkal bonyolultabbak, mint amilyennek ´abr´azoltuk ˝oket. Nemcsak a v´ızmolekula jut ki a leveg˝obe, hanem olykor az oxig´en- vagy nitrog´enmolekul´ak egyike-m´asika is behatol a v´ızbe, bet´eved” a v´ızmolekul´ak k¨oz´e, utat ” v´agva mag´anak a v´ızben. Vagyis a Klór Nátrium leveg˝o felold´odik a v´ızben; az oxig´en- ´es nitrog´enmolekul´ak utat t¨ornek maguknak, ´es a v´ızben leveg˝o 1.6. a ´bra. S´ o old´ od´ asa v´ızben gy˝ ulik fel. Ha most hirtelen elt´avol´ıtjuk az ed´eny feletti leveg˝ot, a v´ızb˝ol sokkal gyorsabban t´avoznak el a leveg˝omolekul´ak, mint ahogy oda behatolnak, s ek¨ozben bubor´ekok keletkeznek. Bizony´ara sokan tudj´ak, hogy ez a jelens´eg a b´ uv´arok ellens´ege. T´erj¨ unk ´at egy m´asik folyamatra. Az 1.6. ´abr´an atomi szempontb´ol mutatjuk be egy szil´ard test felold´od´as´at v´ızben. Mi t¨ort´enik, ha egy s´okrist´alyt v´ızbe helyez¨ unk? A s´o szil´ard anyag, krist´aly, vagyis a s´oato” mok” egy szervezett elrendez˝od´ese. Az 1.7. ´abra a k¨oz¨ons´eges s´o, vagyis a n´atriumklorid h´aromdimenzi´os szerkezet´enek a v´azlata. Pontosabban sz´olva: a krist´aly nem atomokb´ol, hanem u ´gynevezett ionokb´ ol ´ep¨ ul fel. Az ion a semleges atomhoz k´epest n´eh´any elektronnyi hi´annyal vagy felesleggel rendelkezik. A s´okrist´alyban kloridion (kl´oratom egy t¨obbletelektronnal) ´es n´atriumion (n´atriumatom egy elektron hi´any´aval) tal´alhat´o. A s´oban az ionok elektromos vonz´as hat´as´ara egym´ashoz vannak tapadva, de a krist´alyt v´ızbe helyezve azt tapasztaljuk, hogy a negat´ıv oxig´ennek ´es a pozit´ıv hidrog´ennek az ionokra gyakorolt vonz´asa k¨ovetkezt´eben n´eh´any

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

1.4. K´emiai reakci´ ok

37

ion elszabadul. Az 1.6. ´abr´an l´athat´o egy kloridion, amint ´eppen leszakad, valamint t¨obb olyan atom, amely m´ar ion form´aj´aban lebeg a v´ız´ ben. N´ezz¨ uk meg figyelmesen a rajzot. Eszre kell venn¨ unk p´eld´aul, hogy a v´ızmolekula hidrog´enoldala nagyobb val´osz´ın˝ us´eggel a kloridionhoz van k¨ozel, m´ıg az oxig´en fel˝oli v´ege k¨ozel´eben nagyobb gyakoris´aggal tal´alhat´ok n´atriumionok, minthogy a n´atrium pozit´ıv, a v´ız oxig´en fel˝oli v´ege pedig negat´ıv, ´es ´ıgy ezek elektromosan vonzz´ak egym´ast. Meg tudn´ank-e ´allap´ıtani a k´epr˝ol, vajon a s´o ´eppen old´ odik vagy kikrist´ alyosodik? Term´eszetesen nem, mert m´ıg n´eh´any atom a krist´alyt´ol elt´avozik, n´eh´any m´asik ´eppen visszacsatlakozik hozz´a. A folyamat dinamikus, ugyan´ ugy, mint a p´arolg´as eset´eben, ´es att´ol f¨ ugg, hogy t¨obb vagy kevesebb s´ot tartalmaz-e a v´ız ann´al a mennyis´egn´el, amennyi az egyens´ ulyhoz sz¨ uks´eges. Egyens´ ulyon azt az ´allapotot ´ertj¨ uk, amikor a t´avoz´o ´es visszat´er˝o atomok sz´ama megegyezik. Ha alig van s´o a v´ızben, t¨obb atom t´avozik, mint amennyi vissza´erkezik, ez´ert a s´o felold´odik. Viszont ha t´ ul sok s´oatom” van a ” v´ızben, azaz t¨obb ´erkezik, mint amennyi t´avozik, a s´o kikrist´alyosodik. K¨ozbevet˝oleg megjegyezz¨ uk, hogy b´armely anyagra n´ezve, a molekula fogalma nem ´altal´anos ´erv´eny˝ u, hanem z az anyagoknak csak egy bizonyos osz8 4 t´aly´ara alkalmazhat´o. A v´ız eset´eben vil´agos, hogy a h´arom atom val´oban 2 7 3 6 ¨ossze van tapadva. De m´ar nem ennyia d 1 re vil´agos a szil´ard ´allapot´ u n´atriumy 5 x klorid esete, itt csup´an a n´atrium- ´es A legközelebbi szomszéd a távolsága d = kloridionoknak egy k¨ob¨os elrendez˝o2 d´es´er˝ol besz´elhet¨ unk. Ugyanis term´e1.7. a ´bra szetes u ´ton nem tudjuk s´omolekul´ak” ba” csoportos´ıtani ˝oket. T´erj¨ unk vissza az old´od´as ´es kikrist´alyosod´as k´erd´es´ehez. A h˝om´ers´eklet n¨ovel´es´evel mind a krist´alyb´ol elt´avoz´o, mind pedig az oda visszat´er˝o ´ atomok sz´ama n¨ovekszik. Altal´ aban neh´ez el˝ore megj´osolni, hogy a kett˝o k¨oz¨ ul melyik folyamat kerekedik a m´asik f¨ol´e, s hogy t¨obb vagy kevesebb s´o old´odik-e majd fel. A legt¨obb anyag k¨onnyebben, de n´eh´any anyag nehezebben old´odik, ha a h˝om´ers´ekletet n¨ovelj¨ uk. a(nm)

Kristály Kősó Szilvin

Galenit

Na K Ag Mg Pb Pb Pb

Cl Cl Cl O S Se Te

0,561 0,628 0,554 0,420 0,597 0,614 0,634

1.4. K´ emiai reakci´ ok Az eddig le´ırt folyamatokban az atomok ´es ionok m´eg nem cser´eltek part” nert”, de term´eszetesen el˝oad´odnak olyan k¨or¨ ulm´enyek is, amikor az atowww.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

38

1. Atomok mozg´ asban

mok kombin´aci´oja megv´altozik ´es egy u ´j molekula j¨on l´etre. Ezt mutatja be az 1.8. ´abra. Azt a folyamatot, amelyben az atomi partnerek ´atrendez˝odnek, k´emiai reakci´ onak nevezz¨ uk. Az eddig le´ırt folyamatokat fizikai folyamatoknak h´ıvjuk, ´amb´ar a kett˝o k¨oz¨ott nincsen ´eles k¨ ul¨onbs´eg. (A Term´eszet nem t¨or˝odik vele, milyen neveket adunk, csak csin´alja a mag´a´ ankon a sz´ennek oxig´enben val´o el´eg´es´et szeretn´enk bemutatni. ´et.) Abr´ Az oxig´enben k´et oxig´enatom tapad egym´ashoz igen szorosan. (Hogy mi´ert nem h´ arom vagy ak´ar n´egy? Ez ´eppen az ilyen jelleg˝ u atomi folyamatok egy igen jellemz˝o tulajdons´aga. Az atomok nagyon saj´ats´agosak: bizonyos meghat´arozott partnereket, meghat´arozott ir´anyokat el˝onyben r´eszes´ıtenek. A fizika feladata, hogy megvizsg´alja, mi´ert v´agy´odik az atom ´eppen arra, amire v´agy´odik. Sz´o, ami sz´o, k´et oxig´enatom k´epez – boldogan ´es k¨olcs¨on¨osen kiel´eg´ıtve egym´ast – egy molekul´at.) Az ´abr´an felt´etelezt¨ uk, hogy a sz´enatomok szil´ard krist´alyban (ami lehet grafit vagy gy´em´ant2 ) foglalnak helyet. Ha most p´eld´aul egy oxig´enmolekula k¨ozel f´erk˝ozhet a sz´enhez, mindegyik atom felkaphat egy-egy sz´enatomot, s azt´an tov´abb´allhat egy u ´j kombin´aci´oban – sz´en” oxig´ e n” alakj´ aban –, amely a sz´en1.8. a ´bra. Sz´en ´eg´ese oxig´enben monoxidnak nevezett g´az egy molekul´aja. A g´aznak a CO k´emiai elnevez´est adt´ak. Hogy mi´ert, nagyon ´ egyszer˝ u: a CO” bet˝ uk gyakorlatilag a molekula k´ep´et t¨ ukr¨ozik. Amde a ” sz´en sokkalta jobban vonzza az oxig´ent, mint az oxig´en az oxig´ent, vagy a ´ ez´ert, b´ar a folyamatba bel´ep˝o oxig´ensz´enatom a m´asik sz´enatomot. Epp nek esetleg kicsi az energi´aja, az oxig´en ´es a sz´en olyan nagy h´evvel, olyan vadul egyes¨ ul, hogy k¨ornyezet¨ ukben minden feld´ usul energi´aban. Vagyis ´ ez nagy mennyis´eg˝ u mozg´asi energia (kinetikus energia) szabadul fel. Es nem m´as, mint az ´eg´es: az oxig´en ´es sz´en kombin´al´od´as´ab´ol h˝ ot nyert¨ unk. A h˝omennyis´eg keletkez´ese ´altal´aban a forr´o g´az molekul´ainak mozg´asak´ent nyilv´anul meg, de bizonyos k¨or¨ ulm´enyek k¨oz¨ott oly hatalmas lehet, ´ hogy f´enyt hoz l´etre. Igy keletkezik a l´ ang. R´aad´asul a sz´enmonoxid nem teljesen tel´ıtett. Lehet˝os´ege van m´eg egy oxig´en megk¨ot´es´ere, s ez´altal egy bonyolultabb reakci´o is v´egbemehet, amikor az oxig´en a sz´ennel kapcsolatba l´epve ugyanakkor egy m´asik sz´enmonoxid-molekul´aval o¨ssze¨ utk¨ozik. Az egyik oxig´enatom a COhoz k¨oti mag´at, amellyel v´eg¨ ul is egy molekul´at alkot (amelyet CO2 -vel 2

A gy´em´ ant szint´en el tud ´egni a leveg˝ oben.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

1.4. K´emiai reakci´ ok

39

jel¨ol¨ unk, ´es sz´endioxidnak nevez¨ unk). Ha szenet nagyon kev´es oxig´enben ´es nagyon gyors reakci´o sor´an ´eget¨ unk el (pl. aut´o motorj´aban, ahol a robban´as olyan gyors, hogy nincsen id˝o sz´endioxid-k´epz˝od´esre), jelent˝os mennyis´eg˝ u sz´enmonoxid keletkezik. Sz´amos effajta ´atrendez˝od´esben nagy mennyis´eg˝ u energia szabadul fel, ´es a reakci´ot´ol f¨ ugg˝oen robban´as, l´ang stb. ´eszlelhet˝o. A vegy´eszek az atomok ilyen ´atrendez˝od´eseit tanulm´anyozva meg´allap´ıtott´ak, hogy minden anyag: az atomok egy bizonyos t´ıpus´ u elrendez˝ od´ese. Hogy a gondolatot illusztr´aljuk, tekints¨ unk egy m´asik p´eld´at. Ha vir´agz´o iboly´ak k¨ozel´eben j´arunk, k¨ onnyen felismerj¨ uk ˝oket az illatukr´ol. Ez azt jelenti, hogy bizonyos fajt´aj´ u molekula, illetve atomokb´ol ´all´o rendszer az orrunkba hatolt. Mindenekel˝ott, hogyan ker¨ ult oda? Meglehet˝osen egyszer˝ u m´odon. Ha az illat nem m´as, mint valamilyen t´ıpus´ u, a leveg˝oben ide-oda cik´az´o molekula, amelyet minden ir´anyb´ol l¨ok´esek ´ernek, v´eletlen¨ ul beker¨ ulhet az orrunkba. Term´eszetesen nem volt sz´and´ek´aban odajutni. Az illat csup´an a molekul´ak ny¨ uzsg˝o sokas´ag´anak egy magatehetetlen r´esze, ´es c´eltalan v´andorl´asa k¨ozben az anyagnak ez a piciny t¨ored´eke egyszerre csak az orrunkban tal´alja mag´at. A k´emikusok ezeket a speci´alis molekul´akat is, mint p´eld´aul az ibolya illata, analiz´alni tudj´ak, meg tudj´ak mondani nek¨ unk, milyen az atomok val´ os´ agos t´erbeli elhelyezked´ese. Tudjuk, hogy a sz´endioxid-molekula egyenes ´es szimmetrikus: O–C–O. (Ez k¨onnyen, fizikai m´odszerekkel is meg´allap´ıthat´o.) A k´emi´aban el˝ofordul´o legbonyolultabb atomi elrendez˝od´es is felder´ıthet˝o, igaz, hogy csak hosszas detekt´ıvmunk´aval. Az 1.9. ´abr´an ´ a leveg˝o egy r´eszlete l´athat´o az ibolya k¨ornyezet´eben. Ujra itt tal´aljuk az oxig´ent, a nitrog´ent ´es a v´ızp´ar´at. (Mi´ert van itt v´ızp´ara? Mert az ibolya nedves. Minden n¨ov´eny p´ar´at lehel ki mag´ab´ol.) De ez´ uttal l´atunk m´eg egy sz´en-, hidrog´en- ´es oxig´enatomokb´ol kialakult csodabogarat” is, ” amely k¨ ul¨onleges alakzat´aval ragadja meg a figyelm¨ unket. Ez a sz´endioxidn´al sokkal bonyolultabb elrendez˝od´es val´oban hallatlanul bonyolult. Sajnos nem tudjuk mindazt bemutatni, amit k´emiailag tudunk r´ola, mivel az atomok elrendez˝od´es´et val´oj´aban h´arom dimenzi´oban ismerj¨ uk, az ´abr´ank pedig csak k´etdimenzi´os. A hat sz´enatom ´altal alkotott gy˝ ur˝ u nem lapos, hanem harmonikaalakban ¨osszegy˝ urt. Ismert az ¨osszes sz¨og ´es t´avols´ag. L´athat´o teh´at, egy k´emiai k´eplet az ilyenfajta molekul´anak csup´an v´azlata. Amikor a k´emikus effajta dolgokat ´ır fel a t´abl´ara, megpr´ob´al k´et dimenzi´oban rajzolni”. P´eld´aul l´atunk egy hat sz´enatomb´ol ” ´all´o gy˝ ur˝ ut”, amelyen egy sz´enl´anc f¨ ugg. Ut´obbi utols´o el˝otti tagj´an ” egy oxig´en helyezkedik el. Azt´an l´atunk h´arom hidrog´ent, amely a sz´en-

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

40

1. Atomok mozg´ asban

hez kapcsol´odik, majd megint k´et sz´enatomot ´es h´arom hidrog´ent, ´es ´ıgy tov´abb. Hogyan mutatja ki a k´emikus az elrendez˝od´est? K¨ ul¨onb¨oz˝o anyagokkal teli u ¨vegcs´ek tartalm´at ¨onti egym´asba, s ha a kever´ek v¨or¨os lesz, ez arr´ol ´arulkodik, hogy itt egy sz´en ´es egy hidrog´en van ¨osszekapcsol´odva, ha viszont k´ek lesz, ez csak annyit mond, hogy m´ask´epp ´all a helyzet. A szerves k´emia nagy k´epzel˝oer˝ot 1.9. a ´bra. Az ibolya illata k´ıv´an´o detekt´ıvmunka! Hogy meg´allap´ıthassa az atomok elhelyezked´es´et ebben a rendk´ıv¨ ul bonyolult elrendez˝od´esben, a k´emikus azt vizsg´alja, mi t¨ort´enik, ha k´et k¨ ul¨onb¨oz˝o anyagot o¨sszekever. A fizikus sohasem tudta elhinni, hogy a k´emikus tudta, mir˝ol besz´el, amikor le´ırta az atomok elrendez˝od´es´et. K¨or¨ ulbel¨ ul h´ usz ´eve v´alt lehet˝ov´e, hogy n´eh´any fajta molekul´at (nem olyan bonyolultakat, mint az el˝obbiek, hanem n´eh´any olyat, amelyek az el˝obbinek egy r´esz´et alkotj´ak) fizikai m´odszerekkel vizsg´aljunk, ´es meghat´arozzuk a molekula minden atomj´anak hely´et – de nem a sz´ınez˝od´es alapj´an, hanem megm´er´ l´am! A k´emikusoknak majdnem minden j¨ uk, hol vannak t´enylegesen. Es esetben igazuk volt. Kider¨ ult, hogy az ibolya illat´aban val´oban h´arom, egym´ast´ol csak a hidrog´enatomok elrendez˝od´es´eben k¨ ul¨onb¨oz˝o molekula foglal helyet. A k´emia egyik probl´em´aja, hogy olyan nevet adjon az anyagoknak, amelyb˝ol k¨ovetkeztethet¨ unk a molekulaszerkezet¨ ukre. Tal´aljunk ki nevet p´eld´aul az 1.10. ´abr´an l´athat´o molekula alakj´ara! De a n´evnek nem csak az alakzatot kell le´ırnia, meg kell mondja azt is, hogy itt egy oxig´en-, ott egy hidrog´enatom, teh´at pontosan hol ´es milyen atom foglal helyet. L´athatjuk, hogy a k´emiai nevek sz¨ uks´egk´eppen bonyolultak, mert m´ask´epp nem lehetn´enek t¨ok´eletesek. Az 1.10. ´abra molekul´aj´anak neve pontosabb form´aban a molekula szerkezet´er˝ol is sz´amot ad: 4-(2,2,3,6-tetrametil-5ciklohex´en-1-il)-3-but´en-2-on. Ebb˝ol is fel tudjuk m´erni, hogy a k´emikusok milyen neh´ezs´eggel ´allnak szemben, s meg´erthetj¨ uk, mi az oka az effajta hossz´ u neveknek. Nem k¨od¨os´ıteni akartak az elnevez´esekkel, hanem rendk´ıv¨ ul neh´ez feladatot oldottak meg: megpr´ob´alt´ak a molekul´akat szavakkal le´ırni! Honnan tudjuk, hogy vannak atomok? A m´ar eml´ıtett egyik logikai m´odszer seg´ıts´eg´evel: felt´etelezz¨ uk, hogy l´eteznek, ´es sorra olyan k´ıs´erle-

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

1.4. K´emiai reakci´ ok

41

ti eredm´enyek ad´odnak, mint amelyeket azzal a felt´etelez´essel j´osoltunk meg, hogy minden atomokb´ol ´ep¨ ul fel. Van azonban egy valamivel k¨ozvetlenebb bizony´ıt´eka is az atomok l´etez´es´enek, amelyre j´o p´elda a k¨ovetkez˝o: Az atomok olyan par´anyiak, hogy nem l´athat´ok mikroszk´op seg´ıts´eg´evel, de m´eg elektronmikroszk´ oppal sem.3 (F´enymikroszk´oppal csak sokszorta nagyobb t´argyakat lehet l´atni.) M´armost ha az atomok ´alland´oan mozg´asban vannak, mondjuk, p´eld´aul a v´ızben, ´es a v´ızbe valamilyen labd´at helyez¨ unk, a labda ide-oda fog ugr´alni, mint a pushball” j´at´ekban, ahol ” egy ´ori´asi labd´at rugdosnak a j´at´ekosok. A j´at´ekosok k¨ ul¨onb¨oz˝o ir´anyban rugdalj´ak a labd´at, ami teljesen szab´alytalan mozg´ast v´egez a j´at´ekt´eren. Hasonl´oan mozog a nagy labda” a v´ızben, a k¨ ul¨onb¨oz˝o oldalait k¨ ul¨onb¨oz˝o ” m´ert´ekben ´er˝o, sz¨ untelen l¨ok´esek k¨ovetkezt´eben. Teh´at amikor mikroszk´op seg´ıts´eg´evel eg´eszen par´anyi r´eszecsk´eket (kolloidokat) vizsg´alunk a v´ızben, az ´alland´o, ide-oda ugr´andoz´o mozg´as, amit ´eszlel¨ unk, az atomok l¨okd¨os˝od´es´enek az eredm´enye. Ezt a jelens´eget Brown-mozg´ asnak nevezik. A krist´alyok szerkezet´eben tov´abbi CH3 Ch3 O H H H3 bizony´ ıt´ekokat is tal´alunk az atomok C CH3 C C C C C CH3 l´etez´es´ere. Sz´amos esetben a r¨ontH gensugarak seg´ıts´eg´evel meghat´aroH C C CH3 zott szerkezet megegyezik a krist´alyC H nak a term´eszetben megjelen˝o t´erH beli form´aj´aval”. A krist´alylapok ” ´altal bez´art sz¨ogek sz¨ogm´asodperc1.10. a ´bra. Az ibolya illat´ anak szerkezeti k´eplete nyi pontoss´aggal megegyeznek azokkal a sz¨ogekkel, amelyeket abb´ol a felt´etelez´esb˝ol kiindulva sz´am´ıtottak ki, hogy a krist´aly atomok sz´amtalan r´eteg´eb˝ol” tev˝odik ¨ossze. ” Minden atomokb´ ol ´ep¨ ul fel. Ez kulcsfeltev´es. Az eg´esz biol´ogi´anak p´eld´aul a legfontosabb feltev´ese az, hogy az ´el˝ ol´enyek minden ´eletjelens´eg´et atomok viszik v´egbe. M´as sz´oval, az ´el˝ o anyagnak nincs olyan tev´ekenys´ege, amelyet ne lehetne meg´erteni annak a szeml´eletnek az alapj´ an, hogy minden atomokb´ ol ´ep¨ ul fel, ´es ezek a fizikai t¨ orv´enyeknek engedelmeskednek. Mindez nem volt kezdett˝ol fogva ismert; sok-sok k´ıs´erletez´es ´es elm´elked´es el˝ozte meg ezt a feltev´est, amely ma m´ar ´altal´anosan elfogadott, nagyon eredm´enyes elm´elet, ´es a biol´ogia eg´esz ter¨ ulet´en u ´j gondolatokra vezet. Ha egy darab vasnak vagy s´onak, amely egym´assal szomsz´edos atomokb´ol ´all, ennyire ´erdekes tulajdons´agai lehetnek; ha a tengerv´ız – ami nem m´as, mint ugyanannak a kis cseppnek az ism´etl˝od´ese megannyi ki3

Az u ´gynevezett atomer˝ o-mikroszk´ oppal egy krist´ alyr´ acs ionjait egym´ ast´ ol elk¨ ul¨ on´ıtve mutat´ o k´ep k´esz´ıthet˝ o egy 1983-as, az´ ota Nobel-d´ıjjal kit¨ untetett, u ´j rendszer˝ u mikroszk´ op r´ev´en (Patk´ os Andr´ as). Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy www.interkonyv.hu

Hungarian edition © Typotex Kiadó

42

1. Atomok mozg´ asban

lom´eteren ´at – v´egig a F¨old felsz´ın´en hull´amokat ´es habokat form´alhat, a part k¨ov´enek u ¨tk¨ozve robajt kelt, s furcs´abbn´al furcs´abb alakzatokat vesz fel; ha mindaz az ´elet, amely egy folyamba szorult, atomoknak egy hatalmas halmaza csup´an, milyen hatalmas akkor a tov´ abbi lehet˝ os´egek sz´ ama? K´epzelj¨ uk el, m´eg mennyivel csod´alatosabban viselkedne az anyag, ha atomjai nemcsak meghat´arozott alakzatokban, mindig ugyanazt a sorrendet ism´etelve, vagy az ibolya illat´ahoz hasonl´o, kis o¨sszetett halmazokat form´alva helyezkedn´enek el, hanem u ´gy ´ep´ıten´enk fel, hogy minden¨ utt ´es mindig m´ as lenne, a legk¨ ul¨onb¨oz˝obb atomok legk¨ ul¨onf´el´ebb szerkezeti elrendez˝od´ese ad´odna, folytonosan v´altozva ´es ¨onmag´at sohasem ism´etelve! ¨ ok el˝ott fel-le j´ark´al ´es magyar´az, Lehets´eges, hogy az a valami”, ami On¨ ” atomoknak egy ilyesfajta ¨osszetett halmaza, amely olyannyira bonyolult, hogy m´ar el sem lehet k´epzelni, mire k´epes? Mikor azt mondjuk, hogy mi is atomokb´ol ´allunk, nem azt ´ertj¨ uk alatta, hogy puszt´ an egy halom atom vagyunk, mivel az atomoknak egy olyan elrendez´ese, amelyben nincsen is¨ ok m´etl˝od´es, nagyon is rendelkezhet olyan tulajdons´agokkal, amelyeket On¨ a t¨ uk¨orben l´athatnak.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

2. fejezet A fizika alapjai 2.1. Bevezet´ es E fejezetben a fizika legfontosabb fogalmait tekintj¨ uk ´at, m´egpedig u ´gy, hogy a jelens´egek term´eszet´et mai szemsz¨ogb˝ol igyeksz¨ unk meg´ıt´elni. Nem t´argyaljuk azonban a t¨ort´eneti folyamatot, amelynek sor´an siker¨ ult megtudni, hogy e fogalmak helyesek, k´es˝obb u ´gyis r´eszletesen besz´el¨ unk r´oluk. A tudom´any ´altal vizsg´alt jelens´egek sz´amtalan form´aban ´es a legk¨ ul¨onb¨oz˝obb tulajdons´agokban nyilv´anulnak meg. P´eld´aul a tengerpartr´ol nem csup´an vizet l´atunk, hull´amokat, amint megt¨ornek a parton, tajt´ekos habokat, ahol ¨osszecsapnak a hull´amok, hangokat hallunk, ´erezz¨ uk a leveg˝ot, a szelet, felh˝ot, a Nap meleg´et, k´ek ´eg ´es f´eny vesz k¨or¨ ul benn¨ unket; a tengerparton homokot l´atunk, ´es a legv´altozatosabb kor´ u, sz´ın˝ u, ´ szerkezet˝ u ´es kem´enys´eg˝ u szikl´ak a t˝ unnek szem¨ unkbe. Allatok ´es tengeri n¨ov´enyek, ´ehs´eg ´es betegs´eg, de maga a megfigyel˝o is, az ˝o ´elet´erz´ese ´es gondolatvil´aga is a k´ephez tartozik. Mindegy, hogy hol, a term´eszet minden apr´o r´eszlete ilyen gazdag t´argyakban ´es bonyolult azok egym´asra hat´as´aban. K´ıv´ancsis´agt´ol sarkallva k´erd´eseket tesz¨ unk fel, megpr´ob´alunk ugg´est keresni a jelens´egek k¨oz¨ott, ¨osszevetj¨ uk a tapasztalatokat, ´es ¨osszef¨ a sokarc´ u term´eszetet olyan, viszonylag kis sz´am´ u elemi t´enyez˝ok ered˝ojek´ent pr´ob´aljuk felfogni, amelyek v´egtelen sok v´altozatban ´es sokf´elek´eppen hatnak. Ilyen k´erd´esek p´eld´aul: M´as-e a homok, mint a szikla? Lehets´eges, hogy a homok par´anyi k¨ovek sokas´aga? A Hold tal´an egyetlen nagy k˝odarab? Ha meg´ertett¨ uk a k˝ozet term´eszet´et, meg´erthetj¨ uk-e egy´ uttal a homok vagy a Hold mibenl´et´et? A sz´el a leveg˝onek ugyanolyan mozg´asa lenne, mint amilyen a tengerv´ız partnak csap´od´asa? Milyen k¨oz¨os von´asai vannak a k¨ ul¨onb¨oz˝o mozg´asoknak? Mi a k¨oz¨os a k¨ ul¨onb¨oz˝o fajta ´ hangokban? H´any sz´ın l´etezik? Es ´ıgy tov´abb. L´ep´esr˝ol l´ep´esre haladva pr´ob´alunk mindent elemezni, csoportos´ıtva az els˝o pillant´asra k¨ ul¨onb¨oz˝oknek l´atsz´o t´enyez˝oket, abban a rem´enyben, hogy ezzel cs¨ okken az elt´er˝ o jelens´egek sz´ ama, s ´ıgy jobban meg´erthetj¨ uk majd azokat. N´eh´any sz´az ´eve, hogy szabatosan megfogalmazt´ak a m´odszert, amelynek seg´ıts´eg´evel ilyen k´erd´esekre – legal´abb r´eszben – feleletet lehet kapni. Megfigyel´es, megfontol´ as ´es k´ıs´erlet – ezekb˝ol ´ep¨ ul fel a tudom´anyos m´odszer. A k¨ovetkez˝okben csak azoknak a fontosabb elveknek, gy˝ ujt˝on´even a www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

44

2. A fizika alapjai

fizika alapjainak a puszta le´ır´as´ara szor´ıtkozunk, amelyek m´ar a tudom´anyos m´odszerek alkalmaz´as´anak az eredm´enyei. Mit jelent az, hogy meg´ert¨ unk” valamit? K´epzelj¨ uk el, hogy a vil´ag”, ” ” az ´alland´oan mozg´asban l´ev˝o t´argyak bonyolult elrendez˝od´ese, egyetlen hatalmas sakkj´atszma, az istenek j´atssz´ak, s mi csak megfigyel˝oi vagyunk. Nem tudjuk, csup´an megfigyelhetj¨ uk a j´at´ek szab´alyait. Term´eszetesen, ha m´ar j´o ideje figyel¨ unk, esetleg felfedez¨ unk n´eh´any szab´alyt. E vil´agm´eret˝ u j´atszma szab´alyai: a fizika alapjai. Viszont ha az ¨osszes szab´alyt ismern´enk is, akkor sem lenn´enk k´epesek meg´erteni, mi´ert pont a megfigyelt sakkh´ uz´asra ker¨ ult sor a j´atszm´aban – ez m´ar t´ uls´agosan bonyolult, ´es ´ertelm¨ unk v´eges. A sakkoz´ok j´ol tudj´ak, hogy a szab´alyok megtanul´asa nem neh´ez feladat, m´egis gyakran neh´ez a legjobb l´ep´est kiv´alasztani, vagy meg´erteni, hogy egy j´at´ekos az adott helyzetben mi´ert ´eppen azt h´ uzza, amit h´ uz. Mindez a term´eszet nagy sakkj´atszm´aj´ara sokkalta ink´abb ´erv´enyes. Jelenleg m´eg az o¨sszes szab´alyt sem ismerj¨ uk, b´ar nincsen kiz´arva, hogy valamikor mindezeknek a birtok´aba jutunk. (Egyel˝ore m´eg sok a sz´amunkra ´erthetetlen dolog, mint p´eld´aul a kezd˝o sakkoz´o sz´am´ara a s´ancol´as.) Az ismert szab´alyok seg´ıts´eg´evel sem tudunk mindent megmagyar´azni, mert majdnem minden eset hallatlanul bonyolult, nem tudjuk k¨ovetni a j´atszm´at” a szab´alyok alkalmaz´as´aval, s m´eg kev´esb´e ” tudjuk megj´osolni, mi fog bek¨ovetkezni. Ez´ert a j´at´ek szab´alyainak elemi k´erd´eseire kell korl´atozni magunkat. Ha ismern´enk a szab´alyokat, u ´gy tekinthetn´enk, hogy meg´ertett¨ uk” a vil´agot. ” Hogyan tudjuk meg´allap´ıtani, hogy azok a szab´alyok, amelyekre r´a” j¨ott¨ unk”, val´oban helyesek, ha nem tudjuk a j´at´ekot megfelel˝oen analiz´alni? Ennek l´enyeg´eben h´arom m´odja van. Az els˝o: lehetnek olyan esetek, amikor a term´eszet nagyon egyszer˝ u form´aban nyilv´anul meg, vagy mi alak´ıtjuk egyszer˝ uv´e, olyann´a, hogy n´eh´any r´eszlet´eben pontosan meg tudjuk j´osolni, mi k¨ovetkezik be, s ily m´odon ellen˝orizhetj¨ uk, mennyiben ´erv´enyesek szab´alyaink. (A t´abla egyik sark´aban csak n´eh´any sakkfigura f´er el, ezek mozg´as´at pontosan ki tudjuk sz´am´ıtani.) A m´asodik m´od: a szab´alyokat k¨ozvetve, a bel˝ol¨ uk levont, ´altal´anosabb ´erv´eny˝ u szab´alyokon kereszt¨ ul ellen˝orizz¨ uk. P´eld´aul a fut´ora vonatkoz´o sakkszab´aly az, hogy a fut´o csak ´atl´os ir´anyban mozoghat a t´abl´an. Ebb˝ol k¨ovetkezik, hogy tetsz˝oleges l´ep´es megt´etele ut´an is az egyik fut´o mindig vil´agos mez˝on lesz. Teh´at an´elk¨ ul, hogy a r´eszleteket k¨ovetni tudn´ank, a fut´ora vonatkoz´o szab´alyt ´alland´oan ellen˝orizhetj¨ uk. Term´eszetesen m´egis megt¨ort´enhet, hogy a fut´ot egyszerre csak s¨ ot´et mez˝on l´atjuk viszont (a fut´ot id˝ok¨ozben le¨ ut¨ott´ek, majd egy gyalog, ´athaladva

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

2.1. Bevezet´es

45

az alapvonalon, s¨ot´et mez˝ore ´all´ıtott fut´ov´a alakult). Valahogy ´ıgy van ez a fizik´aban is. A r´eszletek ismerete n´elk¨ ul megalkotott szab´aly ´altal´anoss´agban sok´aig bev´alik, majd id˝ovel u ´j szab´ alyt fedez¨ unk fel. A fizika alapjainak a szempontj´ab´ol a leg´erdekesebb jelens´egek az u ´j ter¨ uleteken ad´odnak, teh´at ott, ahol az ismert szab´alyok nem ´erv´enyes´ıthet˝ ok. ´Igy fedez¨ unk fel u ´j szab´alyokat. Szab´alyaink ellen˝orz´es´enek harmadik m´odja kev´ess´e igazolhat´o, de tal´an mindh´arom k¨oz¨ ul a leghat´asosabb. Ez a durva k¨ ozel´ıt´esek m´odszere. P´eld´aul nem tudjuk megmondani, hogy Aljechin mi´ert ´eppen azzal a figur´ aval l´epett, de tal´an nagy vonalakban ´atl´atjuk, hogy figur´ait a kir´aly v´edelm´ere sorakoztatta fel, s meg´ertj¨ uk, hogy az adott bonyolult ´all´asban ez ´eszszer˝ u dolog lehetett. Ugyan´ıgy, gyakran t¨obb´e-kev´esb´e meg´ertj¨ uk a term´eszetet is an´elk¨ ul, hogy az ¨ osszes apr´ o r´eszlet´enek a mozg´as´at ismern´enk. Kezdetben a term´eszet jelens´egeit durv´an oszt´alyozt´ak: p´eld´aul h˝ojelens´egek, elektromoss´ag, mechanika, m´agness´eg, az anyagok tulajdons´agai, k´emiai folyamatok, f´enyjelens´egek ´es optika, r¨ontgensugarak, magfizika, gravit´aci´o, mezonok fizik´aja stb. A c´el azonban az, hogy a term´eszet eg´esz´et mint a jelens´egek egy bonyolult csoportj´ anak k¨ ul¨onb¨oz˝o megnyilv´anul´asait l´assuk magunk el˝ott. Ma az elm´eleti alapkutat´asnak ez a probl´em´aja: meg kell tal´alnia a k´ıs´erletek m¨ og¨ ott rejt˝ oz˝ o t¨ orv´enyeket, hogy a fenti oszt´ alyokat egyes´ıteni lehessen. A fejl˝od´es sor´an mindig ad´odott lehet˝os´eg ilyen egyes´ıt´esekre, azonban id˝or˝ol id˝ore u ´j t¨orv´enyekre is bukkantunk. M´ar-m´ar egys´eges fizikai vil´agk´ep ´allt el˝ott¨ unk, amikor egyszerre csak felfedezt´ek a r¨ontgensugarakat. V´eg¨ ul ezt az u ´j jelens´eget is siker¨ ult egybe¨otv¨ozni az el˝oz˝okkel. . . ekkor meg a mezonokat fedezt´ek fel. . . A j´atszma” minden f´azis´aban meglehet˝osen ´attekinthetetlen, befejezetlen ” a k´ep. Nagy ismeretanyagot siker¨ ul egybekapcsolni, de mindig maradnak szanasz´et l´og´o sz´alak. Ez ma is a helyzet, amit most megpr´ob´alunk le´ırni. A jelens´egek ¨ossze¨otv¨oz˝od´es´et n´eh´any t¨ort´eneti p´eld´an is szeml´eltetj¨ uk. Vegy¨ uk el˝osz¨or a mechanika ´es a h˝ ojelens´egek ¨osszef¨ ugg´es´et. Amikor az atomok mozg´asban vannak, ann´al t¨obb h˝ot tartalmaz a rendszer, min´el jobban fokoz´odik a mozg´as, ´es ´ıgy a h˝ ojelens´egeket ´es a h˝ om´ers´ekleti hat´ asokat a mechanika t¨ orv´enyeivel lehet le´ırni. Hasonl´oan nagy jelent˝os´eg˝ u volt az elektromoss´ag, a m´agness´eg ´es a f´eny k¨oz¨otti kapcsolat felfedez´ese, mely a ma elektrom´ agneses t´ernek nevezett dolog k¨ ul¨onb¨oz˝o oldalainak mutatkozott. Az elm´eleti egyes´ıt´es k¨ovetkez˝o ´allom´asa a k´emia kvan-

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

46

2. A fizika alapjai

tummechanik´aja, amely k¨oz¨os alapot ad a k¨ ul¨onf´ele k´emiai jelens´egek, anyagtulajdons´agok ´es az atomi r´eszecsk´ek viselked´es´enek meg´ert´es´ehez. Felmer¨ ul a k´erd´es, vajon lehets´eges-e mindent egybe¨otv¨ozni ´es kimutatni, hogy a vil´agot tulajdonk´eppen egyetlen dolog k¨ ul¨onb¨oz˝o megjelen´esi form´ai k´epviselik? Ki tudja? Mind¨ossze annyit tudunk, hogy a tudom´any el˝orehalad´asa sor´an bizonyos r´eszleteket ¨ossze tudunk illeszteni, de tal´alunk olyan r´eszleteket is, amelyek nem illeszkednek az el˝oz˝okh¨oz, s megpr´ob´aljuk ezeket is ¨ osszerakni, mint egy mozaikkocka-j´at´ekot. Hogy v´eges-e a lehets´eges r´eszletek sz´ama, vagy van-e hat´ara a mozaikkockaj´at´ekunknak, nem ismeretes. Ez mindaddig ismeretlen marad, ameddig t¨ok´eletesen be nem fejezz¨ uk a k´ep kirak´as´at, ha egy´altal´an valamikor sor ker¨ ulhet erre. A k¨ovetkez˝okben azt szeretn´enk megmutatni, hogy jelenleg hol tart ez az ¨ossze¨otv¨oz´esi folyamat, ´es hogyan lehet az alapjelens´egeket a lehet˝o legkisebb sz´am´ u elv alapj´an meg´erteni. Mindezt egyszer˝ ubben kifejezve: mikb˝ ol tev˝ odnek o ssze a jelens´ e gek, ´ e s mennyi az o sszetev˝ o elemek ¨ ¨ sz´ ama? 2.2. A fizika 1920 el˝ ott Kiss´e neh´ez lenne egyszerre a jelenlegi fizikai vil´agk´eppel kezdeni, ez´ert el˝osz¨or ink´abb az 1920 k¨or¨ uli helyzetet mutatjuk be, majd n´eh´any r´eszletet kiemel¨ unk a k´epb˝ol. 1920 el˝ott fizikai vil´agk´ep¨ unk nagyj´ab´ol a k¨ovetkez˝o volt: A vil´agegyetem esem´enyeinek sz´ıntere” a h´aromdimenzi´os ” geometriai t´er, ahogyan azt Eukleid´esz le´ırta, ´es a jelens´egek az id˝ onek nevezett k¨ozegben v´altoznak. A sz´ınt´eren” tal´alhat´o elemek r´eszecsk´ek, ” p´eld´aul az atomok, tulajdons´ agokkal rendelkeznek; el˝osz¨or is a tehetetlens´eg tulajdons´ag´aval: ha a r´eszecske mozog, mozg´asban is marad ´es megtartja mozg´asa ir´any´at, hacsak er˝ ok nem hatnak r´a. K¨ovetkez´esk´eppen ezen a sz´ınt´eren a m´asodik t´enyez˝o az er˝ o, amelynek k´et k¨ ul¨onb¨oz˝o fajt´aj´at t´etelezt´ek fel. Az egyik rendk´ıv¨ ul bonyolult k¨olcs¨onhat´asi er˝o, amely a k¨ ul¨onb¨oz˝o atomokat k¨ ul¨ onf´ele kombin´aci´oban bonyolult m´odon ¨osszetartja ´es meghat´arozza, hogy pl. a s´o gyorsabban vagy lassabban old´odik-e, ha a h˝om´ers´ekletet emelj¨ uk. A m´asik fajta ismert er˝o egy t´avolra hat´o k¨olcs¨onhat´as – egyenletes ´es nyugodt vonz´oer˝o –, amely a t´avols´ag n´egyzet´evel ford´ıtott ar´anyban v´altozik, s amelyet gravit´ aci´ onak neveztek el. Ez a t¨orv´eny ismert ´es nagyon egyszer˝ u volt. Hogy mi´ert maradnak a testek mozg´asban, vagy mi´ert l´etezik gravit´aci´os t¨orv´eny, azt term´eszetesen nem tudt´ak. Itt a term´eszet le´ır´as´aval pr´ob´alkozunk. Ebb˝ol a szempontb´ol a g´az ´es egy´altal´an minden anyag: mozg´o r´eszecsk´ek t¨omkelege. Ezen az alapon www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

2.2. A fizika 1920 el˝ ott

47

m´ar sok olyan jelens´eget, amelyet a tengerparton ´allva figyelt¨ unk meg, most o¨sszekapcsolhatunk. P´eld´aul a nyom´as: az atomoknak a fallal vagy b´armely m´as t´arggyal val´o ¨ossze¨ utk¨oz´ese r´ev´en j¨on l´etre; az ´atlagosan egy ir´anyba mozg´o atomok sodr´od´asa a sz´el; a v´eletlenszer˝ u bels˝o mozg´asuk a h˝ o. Bizonyos helyeken t´ ul sok r´eszecske gy˝ ulik ¨ossze – s˝ ur˝ us´eghull´amok keletkeznek –, ´es mik¨ozben a r´eszecsk´ek szerterep¨ ulnek, m´as helyeken is ugyanilyen r´eszecskes˝ ur˝ us¨od´eseket hoznak l´etre: ´ıgy terjed a hang. Hatalmas eredm´eny, hogy m´ar ennyi mindent k´epesek vagyunk meg´erteni. N´eh´any jelens´eget az el˝oz˝o fejezetben is le´ırtunk. Milyen t´ıpus´ u r´eszecsk´ek vannak? Abban az id˝oben kilencvenk´et elemet k¨ ul¨onb¨oztettek meg; ezeknek a k¨ ul¨onb¨oz˝o k´emiai tulajdons´agaikkal ugg˝o neveket adtak. ¨osz- szef¨ A probl´ema k¨ovetkez˝o r´eszletk´erd´ese: miben ´ allnak a r¨ ovid t´ avols´ agra hat´ o er˝ ok? Mi´ert vonz a sz´en egy vagy esetleg k´et oxig´ent, de h´armat m´ar nem? Mi az atomok k¨oz¨otti k¨olcs¨ onhat´as mechanizmusa? Gravit´aci´o lenne? A v´alasz tagad´o. A gravit´aci´os er˝o t´ uls´agosan gyenge. K´epzelj¨ unk el egy olyan, a gravit´aci´ohoz hasonl´o er˝ot, amely szint´en a t´avols´ag n´egyzet´evel v´altozik, csakhogy sokkalta er˝osebb, ´es valamiben elt´er a gravit´aci´ot´ol. A gravit´aci´o eset´eben minden t´argy vonz minden t´argyat, most azonban azt kell elk´epzeln¨ unk, hogy k´etf´ele dolog” l´etezik, ´es hogy ennek az u ´j ” er˝onek (amely term´eszetesen az elektromos er˝o) olyan tulajdons´aga van, hogy az egyform´ak tasz´ıtj´ ak, a k¨ ul¨onb¨oz˝ok pedig vonzz´ ak egym´ast. Azt a dolgot”, amely ezt az er˝os k¨olcs¨onhat´ast fenntartja, t¨ olt´esnek nevezz¨ uk. ” Mi k¨ovetkezik mindebb˝ol? T´etelezz¨ uk fel, hogy k´et k¨ ul¨onb¨oz˝o fajt´aj´ u t¨olt´es¨ unk van, egy pozit´ıv ´es egy negat´ıv, amelyek vonzz´ak egym´ast ´es egym´as k¨ozel´eben tart´ozkodnak. Tov´abb´a t´etelezz¨ uk fel, hogy nagyobb ´ t´avols´agban van egy harmadik t¨olt´es¨ unk is. Erez-e ez ut´obbi valamif´ele vonz´ast? Gyakorlatilag semmit nem ´erez, mert ha az els˝o k´et t¨olt´es nagys´agra n´ezve ugyanakkora, az egyik r´esz´er˝ol jelentkez˝o vonz´as kiegyenl´ıti a m´asik r´esz´er˝ol megnyilv´anul´o tasz´ıt´ast. Teh´at ´eszlelhet˝o t´avols´agokon alig jelentkezik er˝o. Ezzel szemben, ha a harmadik t¨olt´est igen k¨ ozel hozzuk a m´asik kett˝oh¨oz, a vonz´ as megn¨ovekszik, minthogy az egyform´ak tasz´ıt´o ´es a k¨ ul¨onb¨oz˝ok vonz´o hat´asa az egyform´akat egym´ast´ol elt´avol´ıtja, a k¨ ul¨onb¨oz˝oket pedig egym´as k¨ozel´ebe hozza. A tasz´ıt´as teh´at a vonz´asn´al kisebb lesz. Ez az oka annak, hogy az atomok, amelyek pozit´ıv ´es negat´ıv t¨olt´esekb˝ol ´ep¨ ulnek fel, a gravit´aci´ot´ol eltekintve igen csek´ely er˝ot ´erz´ekelnek, ha jelent˝osebb t´avols´ag v´alasztja el ˝oket egym´ast´ol. Ha az atomok egym´as fel´e k¨ozelednek, belel´athatnak egym´asba”, ´atrendezik t¨olt´eseiket, ” ´es ennek eredm´enyek´ent nagyon er˝os k¨olcs¨onhat´asba l´epnek. Az atomok

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

48

2. A fizika alapjai

k¨oz¨otti k¨olcs¨onhat´as elektromos jelleg˝ u. Minthogy ez az er˝o igen nagy, az o¨sszes pozit´ıv ´es negat´ıv t¨olt´es egym´ashoz kapcsol´odik, s ezt a kapcsolatukat olyan intimm´e teszik, amennyire ez lehets´eges. Minden t´argy – az emberi test is – roppant er˝ovel egym´asra hat´o pozit´ıv ´es negat´ıv t¨olt´es˝ u, finom szemcs´ekb˝ol ´ep¨ ul fel, melyek pontosan kiegyenl´ıtik egym´ast. Olykor v´eletlen folyt´an n´eh´any negat´ıv vagy pozit´ıv t¨olt´est led¨orzs¨olhet¨ unk (´altal´aban k¨onnyebb negat´ıv t¨olt´est led¨orzs¨olni), ilyen esetekben az elektromos er˝o kiegyens´ ulyozatlan lesz, ´es tapasztalhat´ov´a v´alnak az elektromos vonz´as hat´asai. Hogy fogalmat alkothassunk r´ola, mennyivel er˝osebb az elektromoss´ag a gravit´aci´on´al, k´epzelj¨ unk el k´et, egyenk´ent egy-egy millim´eter ´atm´er˝oj˝ u homokszemcs´et egym´ast´ol harminc m´eter t´avols´agban. Mekkora lenne a k¨ozt¨ uk hat´o er˝o, ha az nem lenne kiegyens´ ulyozva, ha ahelyett, hogy az egynem˝ uek tasz´ıtan´ak egym´ast, minden r´eszecske k¨ozt csak vonz´as lenne? A k´et homokszemcse k¨ ozt harmincmilli´ o kilonewton er˝o hatna! Teh´at eg´eszen kev´es negat´ıv vagy pozit´ıv t¨olt´est¨obblet, illetve -hi´any sz¨ uks´eges egy ´eszrevehet˝o elektromos hat´as l´etrej¨ott´ehez. Ez a magyar´azata annak, mi´ert nincs l´athat´o k¨ ul¨onbs´eg egy elektromosan t¨olt¨ott ´es egy semleges t´argy k¨oz¨ott – olyan kev´es sz´am´ u r´eszecsk´eben k¨ ul¨onb¨ozik a k´et t´argy, hogy igen nehezen lehetne s´ ulyra vagy m´eretre k¨ ul¨onbs´eget tenni k¨oz¨ott¨ uk. ´ Ezzel a k´eppel az atomok fel´ep´ıt´ese k¨onnyen ´erthet˝ov´e v´alt. Ugy gondolt´ak, hogy k¨oz´epen egy nagy t¨omeg˝ u, pozit´ıvan t¨olt¨ott mag” foglal ” helyet, amelyet bizonyos sz´am´ u igen k¨onny˝ u, negat´ıv t¨olt´es˝ u elektron” ” vesz k¨or¨ ul. T¨ort´enet¨ unknek egy kiss´e el´ebe v´agva megjegyezz¨ uk, hogy mag´aban a magban is k´etf´ele r´eszecsk´et fedeztek fel, a protont ´es a neutront, amelyeknek a s´ ulya alig t´er el, s mindkett˝o igen neh´ez. A proton elektromosan t¨olt¨ott, a neutron semleges. Egy olyan atom, amelynek hat protont tartalmaz´o magja hat elektronnal van k¨or¨ ulv´eve (az anyagi vil´agban minden negat´ıv r´eszecske elektron, s ezek igen k¨onny˝ uek a magot fel´ep´ıt˝o protonokhoz ´es neutronokhoz viszony´ıtva), a hatos atomsz´amot viseli a k´emiai t´abl´azatban, ´es sz´ennek nevezik. A nyolcas atom az oxig´en, ´es ´ıgy tov´abb, ugyanis a k´emiai tulajdons´agok a k¨ uls˝ o elektronokt´ol f¨ uggenek, pontosabban csup´an att´ol, hogy mennyi az elektronok sz´ama. Vagyis az anyag k´emiai tulajdons´aga csak egy sz´amt´ol, az elektronok sz´am´at´ol f¨ ugg. (A k´emikus az elemek teljes list´aj´at val´oban u ´gy is megadhatn´a, hogy 1, 2, 3, 4, 5 stb. Sz´en” helyett azt is mondhatn´ank, hogy 6-os ” ” elem”, azt ´ertve ezen, hogy hat elektron foglal helyet az atommag k¨or¨ ul, de persze amikor az elemeket felfedezt´ek, nem tudt´ak, hogy ezeket ilyen m´odon be lehet sz´amozni, m´asfel˝ol az ilyen megnevez´es csak bonyolultab-

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

2.2. A fizika 1920 el˝ ott

49

b´a tenn´e a megk¨ ul¨onb¨oztet´est. El˝ony¨osebb, ha mindegyik elemnek k¨ ul¨on neve ´es szimb´oluma van, mintha csup´an sorsz´ama volna.) Az elektromos er˝ovel kapcsolatban m´ast is felfedeztek. Az elektromos k¨olcs¨onhat´as eredeti, egyszer˝ u ´ertelmez´ese: k´et t´argy egyszer˝ uen vonzza egym´ast; a pozit´ıv vonzza a negat´ıvat. K´es˝obb azonban kider¨ ult, hogy ez az elk´epzel´es nem alkalmas az elektromoss´ag mibenl´et´enek a megmagyar´az´as´ara. A jelens´eg kiel´eg´ıt˝obb magyar´azata: a pozit´ıv t¨olt´es jelenl´ete a t´erben egy felt´etelt” teremt vagy v´altoztat meg valamilyen ´ertelemben ” u ´gy, hogy ha a t´erbe negat´ıv t¨olt´est helyez¨ unk, erre er˝o fog hatni. Az er˝o l´etrehoz´as´anak ezt a rejtett k´epess´eg´et elektromos t´ernek nevezz¨ uk. Ha egy elektront elektromos t´erbe helyez¨ unk, azt mondjuk: vonz´asnak ” tessz¨ uk ki”. K´et szab´alyt r¨ogz´ıthet¨ unk teh´at: (a) a t¨olt´esek teret hoznak l´etre, ´es (b) a t´erben a t¨olt´esekre er˝ok hatnak, melyek mozg´asba hozz´ak ˝oket. Ennek az oka vil´agosan kit˝ unik a k¨ovetkez˝o jelens´egb˝ol: T¨olts¨ unk fel elektromosan egy testet, mondjuk, egy f´es˝ ut, majd bizonyos t´avols´agban tegy¨ unk mell´eje egy ugyancsak felt¨olt¨ott pap´ırdarabot. Ha a f´es˝ ut ide-oda mozgatjuk, a parp´ırdarab k¨oveti ezt a mozg´ast, ´es ´alland´oan a f´es˝ u ir´any´aba mutat. Ha a f´es˝ ut gyorsabban mozgatjuk, azt vessz¨ uk ´eszre, hogy a pap´ır mozg´asa egy kiss´e elmarad, a hat´asban teh´at k´es´es jelentkezik. (Kezdetben, amikor m´eg a f´es˝ u lassabban mozgott, egy kis bonyodalom l´epett fel, amelyet a m´ agness´eg okozott. M´agneses hat´asok t¨ olt´esek relat´ıv – egym´ashoz viszony´ıtott – mozg´ asakor keletkeznek, teh´at az elektromos ´es m´agneses er˝oket val´oban egy k¨oz¨os t´erhez kell rendeln¨ unk, mint egy t¨ok´eletesen azonos valaminek k´et k¨ ul¨onb¨oz˝o megjelen´esi form´aj´at. V´altoz´o elektromos t´er nem l´etezhet m´agness´eg n´elk¨ ul.) Ha a felt¨olt¨ott pap´ırdarabot t´avolabb vissz¨ uk, a k´es´es megn¨ovekszik. Itt egy nagyon ´erdekes jelens´eget figyelhet¨ unk meg. J´ollehet k´et elektromosan t¨olt¨ott test k¨oz¨ott az er˝o a t´avols´ag n´egyzet´evel ford´ıtottan kell v´altozz´ek, azt tapasztaljuk, ha egy t¨olt´est gyorsan mozgatunk, a hat´as l´enyegesen t´ avolabbra terjed ki, mint gondoln´ank. Vagyis a hat´as a t´avols´ag n´egyzet´en´el sokkal lassabban cs¨okken. L´assunk egy anal´ogi´at: az uszoda viz´enek felsz´ın´en u ´sz´o parafalapot k¨ozvetlen¨ ul”, egy m´asik u ´sz´o parafalapot u t¨ o getve mozg´ asba hozhatjuk. ¨ ” Ha csak a k´et parafalapot figyelj¨ uk, annyit l´atunk, hogy az egyik a m´asik hat´as´ara mozg´asba j¨on, vagyis a k´et parafalap k¨ozt valamilyen k¨ olcs¨ onhat´ as l´epett fel. Term´eszetesen mi val´oj´aban a vizet zavartuk; ´es a v´ız mozgatta tov´abb a m´asik parafalapot. Mindebb˝ol egy t¨orv´enyt” sz´ar” maztathatunk: ha a vizet kicsit mozg´asba hozzuk, a mozgat´as hely´ehez k¨ozeli t´argyak szint´en mozg´asba j¨onnek. Ha a m´asik parafalap t´avolabb

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

50

2. A fizika alapjai

lett volna, term´eszetesen alig j¨ott volna mozg´asba, hiszen a vizet lok´ alisan (helyileg) mozgattuk. M´asr´eszt a parafalap u t¨ o get´ e sekor egy u ´ j jelens´ eg ¨ l´epett fel, nevezetesen a v´ız helyi mozg´asa megmozgatta a vizet egy m´asik helyen, majd ez ism´et egy harmadikon, ´es ´ıgy tov´abb, hull´ amok szaladtak tova. Vagyis a parafalap fel-le mozg´asakor egy igen t´ avolra kiterjed˝ o hat´ as j¨on l´etre, olyan rezg˝o hat´as, amely a k¨ozvetlen k¨olcs¨onhat´as elve alapj´an nem ´erthet˝o meg. Ez´ert a k¨ozvetlen k¨olcs¨onhat´as fogalm´at itt a v´ız l´etez´es´evel kell felv´altani, vagy az elektromoss´ag eset´eben azzal, amit elektrom´ agneses t´ernek nevez¨ unk. Az elektrom´agneses t´er hull´amokat hordozhat. E hull´amok egyik t´ıpusa a f´eny, m´asik t´ıpus´at a r´ adi´ o-ad´ asv´etelben alkalmazz´ak, k¨oz¨os nev¨ uk¨on: elektrom´ agneses hull´ amok. E rezg´eshull´amoknak k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o szaporas´aga, frekvenci´ aja lehet. Az egyik hull´amot a m´asikt´ol megk¨ ul¨onb¨oztet˝o egyetlen tulajdons´ag a rezg´es frekvenci´aja. Ha egy elektromos t¨olt´est egyre szapor´abban fel-le mozgatunk, t¨obb, egym´ast´ol teljesen k¨ ul¨onb¨oz˝o hat´ast ´eszlel¨ unk, ezeket azonban egyetlen sz´am seg´ıts´eg´evel, a m´asodpercenk´enti rezg´esek sz´am´aval jellemezni lehet. A h´al´ozati ´aramt´ol ered˝o szok´asos b´ u” g´as” frekvenci´aja kb. 100 rezg´es m´asodpercenk´ent(100 Hz). Megn¨ovelve a frekvenci´at 500–1000 kHz-ig (1 kHz = 1000 Hz), a jelens´egek m´ar a le” veg˝oben” folytat´odnak, minthogy ez az a frekvenciatartom´any, amelyet a r´adi´oz´ashoz haszn´alunk. (Term´eszetesen a r´adi´oz´asnak semmi k¨oze sincs a leveg˝oh¨oz, r´adi´ok´esz¨ ul´ek¨ unk a leveg˝o hi´any´aban is m˝ uk¨odik.) M´eg tov´abb n¨ovelve a frekvenci´at, abba a tartom´anyba ´erkez¨ unk, amelyet frekvenciamodul´aci´ohoz ´es a telev´ızi´os k¨ozvet´ıt´esekhez haszn´alnak. De vannak m´eg ezekn´el r¨ovidebb r´adi´ohull´amok is, ilyen p´eld´aul az, amelyet a radarn´ al haszn´alunk. A frekvenci´at tov´abb n¨ovelve m´ar nincs is sz¨ uks´eg k¨ ul¨onleges eszk¨ozre, hogy a hull´amokat ´eszlelj¨ uk. 5 · 1014 . . . 1015 m´asodpercenk´enti rezg´essz´am eset´en szem¨ unk v¨or¨os, k´ek, lila sz´ın˝ u, a frekvenci´at´ol f¨ ugg˝o f´enyk´ent ´eszleln´e a felt¨olt¨ott f´es˝ u rezg´eseit (ha a f´es˝ ut ilyen gyorsan tudn´ank mozgatni.) E tartom´any alatti rezg´eseket infrav¨or¨osnek, a felettieket ultraiboly´anak h´ıvj´ak. Az a t´eny, hogy csak egy bizonyos frekvenciatartom´anyt tudunk szem¨ unkkel ´eszlelni, a fizika szempontj´ab´ol nem t¨ unteti ki ezt a tartom´anyt, az ember szempontj´ab´ol azonban ez a tartom´any ´erdekesebb a t¨obbin´el. M´eg tov´abb haladva felfel´e, a r¨ontgensug´arz´ashoz jutunk. A r¨ontgensug´ar voltak´eppen nagyfrekvenci´aj´ u f´eny. A frekvenciask´al´an m´eg tov´abb haladva, gamma-sugarakat kapunk. A r¨ontgensug´ar ´es a gamma-sug´ar elnevez´es majdnem azonos jelent´es˝ u. Az atommagb´ol kil´ep˝o elektrom´agneses hull´amokat ´altal´aban gamma-sugaraknak, m´ıg az atomok nagyenergi´aj´ u sug´arz´as´at ´altal´aban r¨ontgensugaraknak nevezik,

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

51

2.3. Kvantumfizika

b´ar azonos frekvenci´an a k´et sug´arz´as fizikailag megk¨ ul¨onb¨oztethetetlen, f¨ uggetlen¨ ul att´ol, mi volt a forr´asuk. Ezekn´el m´eg nagyobb, mondjuk, p´eld´aul 1024 m´asodpercenk´enti rezg´essz´am´ u vagy frekvenci´aj´ u hull´amokat is el˝o´all´ıthatunk mesters´egesen (pl. szinkrotron seg´ıts´eg´evel). Sz´ed´ıt˝oen nagy frekvenci´aj´ u hull´amokat ´eszlelhet¨ unk – az el˝obbiekn´el ak´ar ezerszerte nagyobb rezg´essz´ammal – a kozmikus sug´ arz´ asban tal´alt hull´amok k¨oz¨ott. Ezeket a hull´amokat nem tudjuk fizikai u ´ton befoly´asolni. Frekvencia (rezg´es/s) 102 5 · 105 . . . 106 108 1010 14 5 · 10 . . . 1015 1018 1021 1024 1027

Elnevez´es Elektromos zavar R´ adi´ oad´as-v´etel Frekvenciamodul´ aci´ o, telev´ızi´o Radar F´eny R¨ ontgensugarak Atommagok gamma-sug´arz´asa Mesters´eges” ” gamma-sug´arz´as Kozmikus gamma-sug´arz´as

´ Altal´ anos viselked´es Er˝ot´er

Hull´amok

R´eszecsk´ek

2.1. t´ abl´ azat. Az elektrogm´ agneses spektrum

2.3. Kvantumfizika Bemutattuk az elektrom´agneses t´er fogalm´at, valamint azt, hogy ez a t´er hull´amokat hordozhat. Hamarosan megl´atjuk, hogy ezek a hull´amok val´oj´aban igen furcs´an, nem mindig hull´amszer˝ uen” viselkednek. Maga” sabb frekvenci´akon ugyanis az elektrom´agneses hull´amok u ´gy viselkednek, mintha r´eszecsk´ek lenn´enek! Az 1920 ut´ani ´evekben a kvantummechanika magyar´azta meg e furcsa viselked´es okait. M´ar az 1920 el˝otti ´evekben a t´err˝ol mint h´aromdimenzi´os t´err˝ol, ´es az id˝or˝ol mint valami ett˝ol k¨ ul¨onv´alaszthat´o fogalomr´ol alkotott elk´epzel´est Einstein, el˝obb az u ´gynevezett t´er-id˝ o kombin´aci´o fogalm´aval, majd k´es˝obb a g¨ orb¨ ult t´erid˝ o fogalm´aval v´altotta fel, mely ut´obbi a gravit´aci´ot is figyelembe veszi. Teh´at a sz´ın” pad” t´erid˝ore v´altozott ´at, s a gravit´aci´o felt´etelezhet˝oen ennek a t´erid˝onek www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

52

2. A fizika alapjai

a m´odos´ıtott v´altozata. K´es˝obb arra is r´aj¨ottek, hogy a r´eszecsk´ek mozg´as´anak t¨orv´enyei helytelen¨ ul voltak megfogalmazva. Az atomok vil´ag´aban a tehetetlens´eg” ´es er˝o” mechanikai t¨orv´enyei – Newton t¨orv´enyei – nem ” ” ´erv´enyesek. Nyilv´anval´ov´a v´alt, hogy az anyag eg´eszen m´ask´epp viselkedik a kicsiny m´eretek vil´ag´aban. Ez az, ami a fizik´at nagyon neh´ezz´e, de egyben nagyon ´erdekess´e teszi. A neh´ezs´eg abban rejlik, hogy a kis m´eretek vil´ag´aban az anyag viselked´ese nagyon term´eszetellenes”, s r´aad´asul ” nem szerezhet˝o semmif´ele k¨ozvetlen tapasztalat. Ilyen kis m´eretekben az anyag viselked´ese semmi ´altalunk ismert jelens´eghez nem hasonl´ıthat´o, ez´ert csup´an analitikus m´odszerrel ´ırhat´o le. Ez viszont szerfelett bonyolult, sok k´epzel˝oer˝ot ig´enyl˝o feladat. A kvantummechanik´anak sok ´erdekes oldala van. Mindenekel˝ott elveti azt a felt´etelez´est, hogy a r´eszecsk´enek meghat´arozott helyen meghat´arozott sebess´ege lehet, mert ez egyszer˝ uen nem helyt´all´o. Van a kvantummechanik´anak egy szab´alya, amely j´ol ´erz´ekelteti a klasszikus fizika gyenges´egeit. Ez a szab´aly kimondja: egy adott id˝opontban egy anyagi pont hely´et ´es mozg´as´anak sebess´eg´et egyszerre pontosan nem ismerhetj¨ uk. A mozg´asi impulzus1 bizonytalans´aga ´es a hely bizonytalans´aga komplementer (egym´ast kieg´esz´ıt˝o) jelleg˝ u, a kett˝o szorzata egy meghat´arozott ´alland´on´al kisebb nem lehet. Ezt a hat´arozatlans´agi szab´alyt a k¨ovetkez˝ok´eppen ´ırhatjuk fel: ∆x∆p ≥ ~/2π (k´es˝obb m´eg r´eszletesen t´argyaljuk). Ez a szab´aly a magyar´azata egy titokzatos paradoxonnak: ha az atomok pozit´ıv ´es negat´ıv t¨olt´esekb˝ol ´ep¨ ulnek fel, mi´ert nem telepednek r´a a negat´ıv t¨olt´esek a pozit´ıv t¨olt´esekre (hiszen vonzz´ak egym´ast), illetve mi´ert jutnak olyan k¨ozel, hogy egym´ast teljesen kiegyenl´ıts´ek? Az atomok mi´ert ilyen nagyok? Mi´ert van az atommag a k¨ozpontban, az elektronok pedig k¨or¨ ul¨otte? El˝osz¨or arra gondoltak, hogy mindennek az a magyar´azata, hogy az atommag nagyon nagy, csakhogy ez nem igaz, mert az atommag ´eppen ellenkez˝oleg, nagyon kicsi. Egy atom ´atm´er˝oje k¨or¨ ulbel¨ ul 10−8 cm, az atommag´e 10−13 cm. Ha l´atni szeretn´enk egy atom magj´at, az eg´esz atomot egy nagy terem m´eret´ere kellene felnagy´ıtanunk, s az atommag ekkor is csak szemmel alig kivehet˝o pontocska lenne. Viszont az atom s´ ulya csaknem teljes eg´esz´eben ebbe a par´anyi atommagba s˝ ur˝ us¨odik. Mi tartja meg h´at az elektront, mi´ert nem esik bele a magba? A fent eml´ıtett elv szerint: ha az elektron az atommagban foglalna helyet, helyzet´et eg´esz pontosan ismern´enk, s a hat´arozatlans´agi (bizonytalans´agi) elv megk¨oveteln´e, hogy impulzusa igen nagy (b´ar hat´arozatlan ´ert´ek) legyen, s ´ıgy a kinetikus energi´ aj´ anak igen nagynak kellene lennie. Ezzel a 1

Az impulzust ma hivatalosan lend¨ uletnek nevezik (Patk´ os Andr´ as).

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

2.3. Kvantumfizika

53

nagy energi´aval elsz¨okne az atommagt´ol. Az elektron kompromisszumot k¨ot: kis teret hagy mag´anak (helybizonytalans´ag), s ebben a t´erben – a szab´alynak megfelel˝oen – bizonyos minim´alis mennyis´eg˝ u energi´aval ugr´andozik. (Eml´ekezz¨ unk, amikor a krist´alyt abszol´ ut nulla pontra h˝ ut¨ott¨ uk, azt mondtuk, hogy az atomok nem ´allnak meg mozg´asukban. Mi´ert? Ha nem mozogn´anak tov´abb, akkor egyr´eszt tudn´ank, hogy hol vannak ´es milyen gyorsan mozognak, teh´at ´alland´oan mozg´asban kell lenni¨ uk!) A kvantummechanika m´eg egy ´erdekes gondolattal gazdag´ıtotta a tudom´anyt ´es a filoz´ofi´at. Szab´alyk´ent mondta ki: lehetetlen pontosan el˝ore megj´osolni, hogy adott k¨or¨ ulm´enyek k¨oz¨ott mi k¨ovetkezik be. P´eld´aul egy atomot f´enykibocs´at´asra alkalmas ´allapotba lehet hozni, majd ´eszlelve a foton” r´eszecsk´et megm´erhetj¨ uk, mikor bocs´atott ki f´enyt (ezen ” r´eszecsk´evel a tov´abbiakban m´eg foglalkozunk). Viszont nem tudjuk megj´osolni, hogy az atom mikor, vagy hogy t¨obb atom k¨oz¨ ul melyik fog f´enyt ¨ ok most azt vethetn´ek ez ellen, hogy a jelens´egen bekibocs´atani. On¨ l¨ ul m´eg l´etezhet n´eh´any olyan fogasker´ek”, amit eddig nem vizsg´altunk ” el´eg behat´oan. Nem, nem l´etezik semmif´ele bels˝o kapcsolat! A term´eszet, amennyire fel tudjuk fogni, u ´gy viselkedik, hogy elvileg lehetetlen pontosan megj´ osolni egy adott k´ıs´erlet eredm´enyeit. Ez val´oban korszakalkot´o felfedez´es, hiszen a filoz´ofusok azt tartott´ak a tudom´anyos vizsg´al´od´as egyik alapfelt´etel´enek, hogy ha azonos k¨or¨ ulm´enyeket biztos´ıtunk, sz¨ uks´egk´eppen mindig ugyanannak az esem´enynek kell bek¨ovetkeznie. Ez egyszer˝ uen nem igaz, ez a tudom´anynak nem alapvet˝o felt´etele. A val´os´agban ugyanaz a dolog t¨obbsz¨or nem fordul el˝o, ´es minden, ami t¨ort´enik, csak ´atlagosan, statisztikusan ´eszlelhet˝o. Mindazon´altal a tudom´any m´egsem omlott teljesen ¨ossze. Mellesleg sz´olva, a filoz´ofusok mindig sokat besz´elnek a tudom´any abszol´ ute sz¨ uks´eges felt´eteleir˝ol, de mint eddig kider¨ ult, ezek gyakran meglehet˝osen naiv, s˝ot hib´as felt´etelek. Egyik-m´asik filoz´ofus ´all´ıt´asa szerint a tudom´anyos kutat´omunk´ak alapk¨ovetelm´enye, hogy ha egy k´ıs´erletet, mondjuk, Stockholmban, s k´es˝obb ugyanazt Quit´oban v´egezz¨ uk el, akkor ugyanazt az eredm´enyt kapjuk. Ez mer˝oben hamis ´all´ıt´as. A tudom´ anynak ilyet nem kell produk´alnia; ez lehet tapasztalati t´eny, de nem sz¨ uks´eges felt´etel. Vegy¨ uk p´eld´aul a k¨ovetkez˝o k´ıs´erletet. Az ´egboltot vizsg´alva Stockholmban ´eszlelj¨ uk, m´ıg Quit´oban egy´altal´an ¨ ok –, de ebben nem ´eszlelj¨ uk a sarki f´enyt. – J´o, j´o – mondhatn´ak On¨ a k´ıs´erletben a k¨ ulvil´ag j´atszott szerepet. Lesz-e akkor is elt´er´es a k´et k´ıs´erlet k¨oz¨ott, ha Stockholmban egy l´ad´aba z´ark´ozunk, s befedj¨ uk a l´ada ny´ıl´asait? Persze, hogy lesz. F¨ uggessz¨ unk fel p´eld´aul egy ing´at csukl´os kapcsolattal, majd t´er´ıts¨ uk ki ´es engedj¨ uk lengeni. Az inga csaknem pon-

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

54

2. A fizika alapjai

tosan, de m´egsem eg´eszen egy s´ıkban v´egzi a mozg´as´at. Stockholmban lassan megv´altozik a leng´es s´ıkja, de nem ´ıgy Quit´oban. Pedig m´eg a red˝ony¨oket is gondosan leeresztett¨ uk; s hogy mindez ´ıgy van, ett˝ol m´eg nem megy cs˝odbe a tudom´any. V´eg¨ ul is mi a tudom´any legalapvet˝obb feltev´ese? Milyen szil´ard alapra t´amaszkodhat a gondolkod´as? Az els˝o fejezetben m´ar ler¨ogz´ıtett¨ uk: valamely elk´epzel´es helyess´eg´enek egyed¨ uli pr´ obak¨ ove: a k´ıs´erlet. Ha kider¨ ul, hogy k´ıs´erleteink t¨obbs´ege Stockholmban is, Quit´oban is ugyanarra az eredm´enyre vezetett, akkor ezt a t¨obbs´eget” haszn´aljuk fel valamely ´altal´anos t¨orv´eny megfogalmaz´as´a” hoz, azokr´ol a k´ıs´erletekr˝ol pedig, amelyek elt´er˝o eredm´enyt adtak, azt mondjuk, hogy az adott stockholmi k¨ornyezet j´atszott k¨ozre. K¨ ul¨onb¨oz˝o utakat kell keresn¨ unk, hogy k´ıs´erleti eredm´enyeinket ¨osszegezhess¨ uk, de egy´altal´an nem sz¨ uks´eges, hogy id˝o el˝ott megmondj´ak nek¨ unk, melyek lesznek ezek az utak. Teljesen rendj´en val´o, ha valakit˝ol azt halljuk, hogy egy bizonyos k´ıs´erlet mindig bizonyosan ugyanarra az eredm´enyre vezet, de azt´an magunk is kipr´ob´aljuk a k´ıs´erletet, ´es ha nem ugyanazt az eredm´enyt adja, akkor nem azt adja! Csak azt kell elfogadnunk, amit l´atunk, s minden egy´eb elk´epzel´est a t´enyleges k´ıs´erletek eredm´eny´et felhaszn´alva kell megfogalmaznunk. T´erj¨ unk most vissza a kvantummechanik´ahoz ´es a fizika alapjaihoz. Jelenleg term´eszetesen nem t´argyalhatjuk r´eszletesen a bonyolult kvantummechanikai elveket. Elfogadjuk ˝oket u ´gy, ahogy vannak, s tov´abb megy¨ unk, hogy le´ırjuk ezek n´eh´any k¨ovetkezm´eny´et. Az egyik k¨ovetkezm´eny az, hogy amiket eddig hull´amoknak tekintett¨ unk, r´eszecsk´ekhez hasonl´oan is viselkedhetnek, a r´eszecsk´ek viszont hull´amokk´ent, teh´at val´oj´aban minden egyform´an viselkedik. Nincs k¨ ul¨onbs´eg hull´am ´es r´eszecske k¨oz¨ott. Vagyis a kvantummechanika egyetlen fogalomm´a egyes´ıti a t´ermennyis´eg ´es annak hull´amai, valamint a r´eszecske fogalm´at. Az igaz, hogy kisfrekvenci´an a jelens´egek hull´amtulajdons´agai sokkal szembet˝ un˝obbek, ´es a jelens´egek k¨ozel´ıt˝o le´ır´as´ahoz is szeml´eletesebben felhaszn´alhat´ok a hull´amtulajdons´agok. De ahogy a frekvencia n¨ovekszik, m´er˝oeszk¨ozeink mind pontosabban ´eszlelik a jelens´eg r´eszecsketulajdons´agait. B´ar sokfajta frekvenci´ar´ol tett¨ unk eml´ıt´est, val´oj´aban nem ismer¨ unk olyan jelen12 s´eget, amelyben 10 Hz nagys´agrend feletti frekvenci´ak forduln´anak el˝o. A nagyobb frekvencia´ert´ekekre csup´an a r´eszecsk´ek energi´aj´ab´ol k¨ ovetkeztethet¨ unk egy olyan szab´aly seg´ıts´eg´evel, amely a kvantummechanika r´eszecske–hull´am-elv´en alapul. Teh´at az elektrom´agneses k¨olcs¨onhat´ast u ´j megvil´ag´ıt´asban l´atjuk. Az elektron, a proton ´es a neutron mellett u ´j r´eszecske t˝ unt fel. Neve: foton.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

2.3. Kvantumfizika

55

Az elektronok ´es fotonok k¨olcs¨onhat´as´anak ezt az u ´j szeml´elet´et, vagyis azt az elektrom´agneses elm´eletet, amely most m´ar a kvantummechanika eredm´enyeit is figyelembe veszi, kvantum-elektrodinamik´ anak nevezz¨ uk. A f´eny ´es anyag, vagy m´as sz´oval elektromos t´er ´es t¨olt´esek k¨olcs¨onhat´as´anak elm´elete a fizika eddig el´ert legjelent˝osebb v´ıvm´anya. Ez az elm´elet a gravit´aci´o ´es a nukle´aris folyamatok kiv´etel´evel szinte minden megszokott jelens´eg t¨orv´enyszer˝ us´egeit fel¨oleli. P´eld´aul a kvantum-elektrodinamik´ab´ol levezethet˝ok az elektromoss´ag, a mechanika ´es a k´emia ¨osszes ismert szab´alyai, a bili´ardgoly´ok u ¨tk¨oz´ese, az ´aramt´ol ´atj´art vezet˝ok mozg´asa m´agneses t´erben, a sz´enmonoxid fajh˝oje, a neonf´enyek sz´ıne, a s´o s˝ ur˝ us´ege, a hidrog´en ´es oxig´en v´ızk´epz´esi reakci´oja stb. A fenti r´eszletprobl´em´ak mindegyike kisz´am´ıthat´o olyan egyszer˝ u k¨or¨ ulm´enyek eset´en, amelyek lehet˝ov´e teszik k¨ozel´ıt´esek alkalmaz´as´at. B´ar az ut´obbi eset a gyakorlatban szinte sohasem fordul el˝o, azonban ´ıgy is meg´erthet¨ unk egyet-m´ast mindabb´ol, ami a val´os´agban t¨ort´enik. Jelenleg az atommag belsej´et lesz´am´ıtva, a kvantum-elektrodinamika szab´alyai sehol sem ismernek kiv´etelt, de minthogy egyszer˝ uen nem tudjuk, mi megy v´egbe az atommag belsej´eben, azt sem ´all´ıthatjuk, hogy a kvantum-elektrodinamika t¨orv´enyei ott nem ´erv´enyesek. Elvben a kvantum-elektrodinamika a k´emiai tudom´anyok, ´es ´ıgy egyben az ´eletfolyamatok elm´elete is, ha az ´eletet v´egs˝o soron a k´emi´ara, vagy ´eppens´eggel a fizik´ara vezetj¨ uk vissza (a k´emi´at m´ar visszavezett´ek a fizik´ara ´es a fizik´anak az a ter¨ ulete, ami a k´emia meg´ert´es´ehez sz¨ uks´eges, m´ar j´ol ismert). Ugyanakkor a kvantum-elektrodinamika, ez a hatalmas ´atfog´o tudom´any egy sor u ´j jelens´eget is megj¨ovend¨olt. Els˝osorban felvil´agos´ıt´ast ny´ ujt a nagyon nagy energi´aj´ u fotonok, gamma-sugarak stb. tulajdons´agait illet˝oen. Megj´osolt egy m´asik, igen fontos dolgot is: az elektronon k´ıv¨ ul l´eteznie kell egy ugyanolyan t¨omeg˝ u, de ellenkez˝o t¨olt´es˝ u r´eszecsk´enek (pozitron), ´es ha ez a k´et r´eszecske egym´as k¨ozel´ebe ker¨ ul, f´eny- vagy gamma-sugarak kibocs´at´asa k¨ozben megsemmis´ıtheti egym´ast. (V´egt´ere is a f´eny ´es a gamma-sug´arz´as egy ´es ugyanaz, csak a frekvenciask´ala k´et k¨ ul¨onb¨oz˝o pontj´ahoz tartoznak.) E j´oslat ´altal´anos´ıt´asa is igaznak t˝ unik, vagyis hogy minden r´eszecsk´ehez egy antir´eszecske tartozik. Az elektron antir´eszecsk´ej´enek a neve pozitron, m´ıg a t¨obbi r´eszecske antir´eszecsk´eje rendszerint csup´an az anti” el˝osz´ocsk´at kapja (p´eld´aul antiproton vagy ” antineutron). A kvantum-elektrodinamika elm´elet´eben mind¨ossze k´et sz´ amot, az elektron t¨omeg´et ´es t¨olt´es´et adjuk meg, ´es felt´etelezz¨ uk, hogy a vil´agban el˝ofordul´o egy´eb mennyis´egek nagy t¨obbs´ege ezekb˝ol kiad´odik. Val´oj´aban ez nem eg´eszen ´ıgy van, mert a k´emi´aban p´eld´aul bonyolult

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

56

2. A fizika alapjai

adathalmaz fejezi ki az atommagok s´ uly´at. Ezzel azonban m´ar a k¨ovetkez˝o fejezetben foglalkozunk. 2.4. Atommagok ´ es r´ eszecsk´ ek Mib˝ol ´ep¨ ulnek fel az atommagok, ´es mi tartja ¨ossze ˝oket? A tapasztalat azt mutatja, hogy az atommagokat ´ori´asi er˝ok tartj´ak o¨ssze. Ha ezek az er˝ok felszabadulnak, a felszabadult energi´ahoz viszony´ıtva a k´emiai energi´ak elt¨orp¨ ulnek. A k´et energia ar´anya megegyezik az atombomba ´es a TNT-bomba robban´as´anak ar´any´aval, hiszen az atombomba robban´asa az atommag belsej´enek megv´altoz´as´aval, m´ıg a TNT-bomba robban´asa az atom k¨ uls˝o elektronjai k¨oz¨otti v´altoz´assal kapcsolatos. Melyek teh´at azok az er˝ok, amelyek a protont ´es a neutront az atommag belsej´eben ¨osszetartj´ak? Annak anal´ogi´aj´ara, ahogyan az elektromos k¨olcs¨onhat´as egy r´eszecske, a foton seg´ıts´eg´evel magyar´azhat´o, Yukawa felt´etelezte, hogy a protonok ´es a neutronok k¨oz¨otti er˝ohat´ast is egy bizonyos t´ıpus´ u t´er k¨ozvet´ıti, ´es ha ez a t´er rezg´esbe j¨on, r´eszecskek´ent viselkedik. Vagyis a protonon ´es az elektronon k´ıv¨ ul m´asfajta r´eszecsk´enek is l´eteznie kell, amelynek tulajdons´agait Yukawa el˝ore le tudta vezetni a nukle´aris er˝ok m´ar ismert tulajdons´agaib´ol. P´eld´aul megj´osolta, hogy e r´eszecske t¨omege k´et-h´aromsz´azszor nagyobb az elektron t¨omeg´en´el, s ´ıme! – a kozmikus sug´arz´asban fel is fedeztek egy r´eszecsk´et, amelynek ´eppen ekkora a t¨omege. Nemsok´ara azonban kider¨ ult, hogy nem ez a keresett r´eszecske. A f´elreismert u ´j r´eszecske a m¨ uon nevet kapta. Nem sokkal k´es˝obb, 1947-ben vagy 1948-ban v´egre tal´altak egy olyan r´eszecsk´et, a π-mezont, illetve piont, amely kiel´eg´ıtette a Yukawa-f´ele krit´eriumot. A proton ´es neutron mell´e hozz´a kell tenni a piont is teh´at, hogy a nukle´aris er˝ok kiad´odjanak. Ezek ut´an azt lehetne mondani: Mi” lyen nagyszer˝ u! A pion seg´ıts´eg´evel Yukawa elk´epzel´esei szerint kidolgozhatn´ank egy kvantum-elektrodinamik´at, azt´an csak meg kell n´ezni, hogy j´o-e az elm´elet, s ha igen, mindent meg tudunk magyar´azni.” Sajnos, balszerencs´esek vagyunk. Az elm´eletben szerepl˝o sz´am´ıt´asok nagyon bonyolultak, bel˝ol¨ uk mindeddig senki emberfia nem tud k¨ovetkeztet´eseket levonni, hogy mik az elm´elet k¨ovetkezm´enyei, illetve k´ıs´erlet u ´tj´an ellen˝orizni az elm´elet helyess´eg´et, hab´ar a pr´ob´alkoz´asok m´ar csaknem h´ usz ´ev ´ota tartanak! Egy elm´elethez vagyunk h´at k¨otve, ´es nem tudjuk, helyes-e vagy hib´as, annyit azonban tudunk, hogy egy kicsit hib´as, vagy legal´abbis nem teljes. Ugyanis mik¨ozben mi az elm´elettel vesz˝odt¨ unk, ´es megpr´ob´altunk sz´am´ıwww.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

2.4. Atommagok ´es r´eszecsk´ek

57

t´as u ´tj´an annak k¨ovetkezm´enyeire bukkanni, a k´ıs´erleti fizikusok n´eh´any dolgot felfedeztek. P´eld´aul felfedezt´ek a fent eml´ıtett m¨ uont, amelyr˝ol m´eg mindig nem tudjuk, hov´a illeszthetn´enk be az elm´eletbe. Ezenk´ıv¨ ul a kozmikus sug´arz´asban nagy sz´amban tal´altak m´as extra” r´eszecsk´eket ” is. Ma m´ar az ismert r´eszecskefajt´ak sz´ama meghaladja a 30-at, ´es nagyon neh´ez meg´erteni a k¨oz¨ott¨ uk l´ev˝o ¨osszef¨ ugg´est, hogy mit akar t˝ol¨ uk a term´eszet, s hogy k¨oz¨ ul¨ uk melyik hogyan f¨ ugg a t¨obbiekt˝ol. Ma m´ar nem tudjuk ezt a sokf´ele r´eszecsk´et egyetlen valami k¨ ul¨onb¨oz˝o megnyilv´anul´asaik´ent felfogni; de az a t´eny, hogy ennyire ¨osszef¨ ugg´estelen k´epet kaptunk a r´eszecsk´ekr˝ol, csak annak a t¨ ur¨oz˝od´ese, hogy nagysz´am´ u elapr´ozott inform´aci´oval rendelkez¨ unk, viszont j´o ´atfog´o elm´elet¨ unk m´eg nincs. A kvantum-elektrodinamika el´ev¨ ulhetetlen nagy sikerei nyom´an most a magfizika ter¨ ulet´en nagy mennyis´eg˝ u, de t¨ored´ekes, f´elig elm´eleti, f´elig tapasztalati jelleg˝ u ismeret halmoz´odott fel. A protonok ´es a neutronok k¨oz¨ott bizonyos fajta er˝oket t´etelez¨ unk fel, majd megn´ezz¨ uk, mi k¨ovetkezik ebb˝ol, val´oj´aban azonban m´egsem tudjuk, hogy ezek az er˝ok honnan sz´amaznak. Ett˝ol eltekintve csup´an nagyon szer´eny eredm´enyeket siker¨ ult el´erni. A k´emi´aban j´ocsk´an felszaporodtak a felfedezett elemek. V´aratlanul ¨osszef¨ ugg´es mutatkozott az elemek k¨oz¨ott, s ez a Mengyelejev-f´ele peri´odusos rendszerben o¨lt¨ott testet. P´eld´aul a n´atriumnak ´es a k´aliumnak kb. azonos k´emiai tulajdons´agai vannak, s ´ıgy mindkett˝o a Mengyelejev-t´abl´azat ugyanazon oszlop´aban kapott helyet. Egy ilyen Mengyelejev-t´ıpus´ u t´abl´azat ut´an kutattunk, hogy az u ´jonnan felfedezett r´eszecsk´eket is rendszerbe foglalhassuk. A t´abl´azatot Gell-Mann ´ az Egyes¨ ult Allamokban, ´es t˝ole f¨ uggetlen¨ ul Nishijima Jap´anban ´all´ıtotta ¨ossze. Az oszt´alyoz´as alapja az elektromos t¨olt´eshez hasonl´o mennyis´eg, egy u ´j jellemz˝o sz´am, amely minden r´eszecsk´ehez hozz´arendelhet˝o. Neve: ritkas´ag”, jele S. Ez a mennyis´eg ´epp´ ugy, mint az elektromos t¨olt´es, v´al” tozatlan marad minden olyan reakci´o sor´an, ahol nukle´aris er˝ok j´atszanak szerepet. A 2.2. t´abl´azatban felsoroljuk a r´eszecsk´eket. R´eszletekbe itt nem bocs´atkozhatunk, a t´abl´azat azonban legal´abb megmutatja, mennyi mindent nem tudunk. Minden r´eszecske alatt felt¨ untett´ek a t¨omeg´et MeVc2 egys´egekben, ahol c a f´enysebess´eg ´ert´eke. 1 MeVc2 = 1, 783 · 10−27 g. Hogy mi´ert ´eppen ezt az egys´eget v´alasztott´ak, annak t¨ort´eneti h´attere van, de erre most nem t´er¨ unk ki. Az egyre nagyobb t¨omeg˝ u r´eszecsk´ek egyre magasabban kaptak helyet a t´abl´azatban; l´athat´o, hogy a proton t¨omege csaknem azonos a neutron´eval. A f¨ ugg˝oleges oszlopokba az azonos elektromos t¨olt´es˝ u r´eszecsk´ek ker¨ ultek, teh´at mindent semleges r´eszecske egy

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

58

2. A fizika alapjai

1400

1300

1200

Töltés 0

–e Y –1

0

+

–

Y 10

0

+

0

Y +1

0

+

1395 –

0

1319 –

+

0

1191

1191

0

S=–2

S=–1 S=–1

1115

1100

+

S=–2

1311

1196

Csoportosítás és ritkaság (S)

+e

BARIONOK

Tömeg 2 MeV/c

1000 n 939

p 938

S=0

900

800

0

–

+

S=0

+ + 0

+

+

+

S=0

700

500

K– 494

–

K0 K0 498

K+ 494

S=+ –1

400

MEZONOK

600

300

200

100

0

–

0

135,0

+

139,6

S=0

105,6 e– 0,51

0

LEPTONOK

–

139,6

0

2.2. t´ abl´ azat. Elemi r´eszecsk´ek

oszlopban van, s ett˝ol jobbra a pozit´ıv t¨olt´es˝ uek, balra a negat´ıv t¨olt´es˝ uek foglalnak helyet. A r´eszecsk´eket folytonos, a rezonanci´akat” szaggatott vonallal t¨ un” tett¨ uk fel. N´eh´any r´eszecsk´et viszont kihagytunk a t´abl´ab´ol. Ezek k¨oz´e tartoznak a nagyon fontos z´erus t¨omeg˝ u ´es z´erus t¨olt´es˝ u r´eszecsk´ek, a foton ´es a graviton, melyek nem illeszthet˝ok be a barion–mezon–lepton oszt´alyowww.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

2.4. Atommagok ´es r´eszecsk´ek

59

z´asi rendszerbe. A mezonok antir´eszecsk´eit is ez a t´abl´azat tartalmazza, a barionok ´es leptonok antir´eszecsk´eit azonban egy m´asik, ugyanilyen t´abl´azatban kellene felt¨ untetni, t¨ ukr¨ozve azt a semleges r´eszecsk´eket tartalmaz´o oszlopra. B´ar az elektront, neutr´ın´ot, fotont, gravitont ´es a protont kiv´eve minden r´eszecske instabil, a boml´asterm´ekeket csak a rezonanci´ak eset´eben t¨ untett¨ uk fel. A ritkas´agi kvantumsz´am a leptonok eset´en nem alkalmazhat´o, mert ezek nincsenek er˝os k¨olcs¨onhat´asban a magokkal. A protonnal ´es a neutronnal egy¨ utt csoportos´ıtott r´eszecsk´ek k¨oz¨os neve: barionok. Ezek k¨oz¨ott ott tal´aljuk az 1115 MeV t¨omeg˝ u lambd´at” ” ´es a h´arom szigm´anak” nevezett r´eszecsk´et, a majdnem azonos t¨omeg˝ u ” pozit´ıv, negat´ıv ´es semleges szigm´at. Megfigyelhet¨ unk olyan multipletteknek nevezett csoportokat, amelyeken bel¨ ul a t¨omegek egy-k´et sz´azal´eknyi pontoss´aggal megegyeznek. A multiplettben minden r´eszecsk´enek ugyanaz a ritkas´aga. Az els˝o multiplett a proton–neutron dublett, majd egy szingulett k¨ovetkezik (a lambda), azut´an a szigma-triplett, ´es v´eg¨ ul a ksz´ı-dublett. 1961 ´ota n´eh´any u ´jabb r´eszecsk´et is felfedeztek. De h´at ´ val´oj´aban r´eszecsk´ek ezek? Elettartamuk olyan r¨ovid, hogy kialakul´asuk ut´an csaknem azonnal sz´etbomlanak Λ ´es π r´eszecsk´ekre, ´es ´ıgy nem tudjuk, vajon u ´j r´eszecsk´eknek tekints¨ uk-e ˝oket, vagy ink´abb adott energi´aj´ u Λ ´es π r´eszecsk´ek k¨ozti rezonancia”-k¨olcs¨onhat´asnak. ” A magk¨olcs¨onhat´asokban a barionokon k´ıv¨ ul az u ´gynevezett mezonok vesznek r´eszt, s k¨oz¨ ul¨ uk els˝osorban a pionok, amelyeknek h´aromf´ele (pozit´ıv, negat´ıv ´es semleges) v´altozata egy¨ utt multiplettet alkot. Felfedeztek n´eh´any u ´j r´eszecsk´et, a K-mezonokat, amelyek dublettk´ent fordulnak el˝o a term´eszetben: a K+ ´es a K0 . Ezenfel¨ ul minden r´eszecsk´enek megvan a maga antir´eszecsk´eje, hacsak a r´eszecske nem ¨ onmaga antir´eszecsk´eje. P´eld´aul a π + ´es a π − egym´as antir´eszei, de a π 0 ¨onmag´anak az antir´e¯ 0 -val k´epez r´eszecske–antir´eszecske szecsk´eje. A K− a K+ -szal, a K0 a K p´art. 1961-ben n´eh´any olyan u ´j mezont ( lehets´eges” mezont) is felfedez” tek, amelyek keletkez´es¨ uk ut´an azonnal sz´et is esenek. Egy ω-nak nevezett objektum, amely h´arom pionra bomlik, 780-as t¨omeggel szerepel a sk´al´an, ´es valamivel kev´esb´e biztos egy m´asik l´etez´ese, amelyik k´et pionra esik sz´et. A mezonok ´es barionok, valamint a mezonok antir´eszecsk´ei ugyanabban a t´abl´azatban kaptak helyet, de a barionok antir´eszecsk´eit m´asik t´abl´azatban kell elhelyezni, amely az el˝obbinek a nulla t¨olt´es˝ u oszlopra vonatkoz´oan t¨ ukr¨oz¨ottje”. ” Amint egy´ebk´ent a j´ol bev´alt Mengyelejev-f´ele rendszerben is tal´alhattunk kil´og´o” elemeket, a ritka f¨oldf´emeket, e t´abl´azatban is nehezen ” tal´alj´ak meg a hely¨ uket azok a r´eszecsk´ek, amelyeknek a magokkal nincs

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

60

2. A fizika alapjai

er˝os k¨olcs¨onhat´asuk, s˝ot semmi k¨oz¨ uk nincs a magk¨olcs¨onhat´asokhoz, ´es egym´as k¨oz¨otti k¨olcs¨onhat´asuk sem er˝os (az er˝os” sz´o a nukle´aris energi´at ” szolg´altat´o k¨olcs¨onhat´as er˝oteljess´eg´ere utal). Ezek a leptonoknak nevezett r´eszecsk´ek a k¨ovetkez˝ok: az elektron (amely nagyon k¨onny˝ u, t¨omege mind¨ossze 0,510 MeV) ´es a m¨ uon (amelynek t¨omege 206-szor nagyobb, mint az elektron´e). Amennyire az eddigi k´ıs´erletek alapj´an meg tudjuk ´ıt´elni, az elektron ´es a m¨ uon egyed¨ ul t¨omeg¨ ukben k¨ ul¨onb¨oznek. A m¨ uon minden tulajdons´ag´aban ´es k¨olcs¨onhat´as´aban megegyezik az elektronnal, kiv´eve abban, hogy nehezebb n´ala. Mi´ert nehezebb, milyen c´elt szolg´alhat? – Nem tudjuk. Ezenfel¨ ul van egy semleges lepton is, az u ´gynevezett neutr´ın´ o, amelynek t¨omege z´erus. Ma m´ar tudjuk, hogy t´enylegesen k´etf´ele neutr´ın´o l´etezik, az egyik az elektronhoz, a m´asik a m¨ uonhoz tartozik. V´egezet¨ ul m´eg k´et olyan r´eszecsk´et ismer¨ unk, amely nem mutat er˝os k¨olcs¨onhat´ast a magokkal. Az egyik a foton, ´es ha netal´an a gravit´aci´os t´er szint´en rendelkezik kvantummechanikai saj´ats´agokkal (a gravit´aci´o kvantumelm´elet´et ez ideig m´eg nem dolgozt´ak ki), u ´gy l´eteznie kell egy z´erus t¨omeg˝ u r´eszecsk´enek, a gravitonnak. Mit jelent az, hogy z´erus t¨omeg”? A t´abl´azatunkban megadott ´er” t´ekek nyugv´ o r´eszecsk´ek t¨omegei. Az a t´eny, hogy a r´eszecsk´enek z´erus t¨omege van, egy´ uttal azt jelenti, hogy sohasem lehet nyugalomban. Nyugv´o foton nincsen, a foton ´alland´oan 300 000 km/s sebess´eggel sz´aguld. A t¨omeg fogalm´at k´es˝obb, a relativit´aselm´elet kapcs´an m´eg m´elyebben igyeksz¨ unk majd felt´arni. Teh´at a r´eszecsk´ek sz´amos fajt´aj´aval tal´alkozunk itt, s ezeket egy¨ uttesen az anyag legfontosabb ´ep´ıt˝ok¨oveinek tekintj¨ uk. Szerencs´ere a r´e´ szecsk´ek egym´ assal val´ o k¨ olcs¨ onhat´ asaikban nem mind k¨ ul¨ onb¨ oz˝ ok. Ugy t˝ unik, hogy a r´eszecsk´ek k¨ozt csup´an n´egy t´ıpus´ u k¨olcs¨onhat´as ´all fenn. Ezek – cs¨okken˝o er˝oss´eg¨ uk sorrendj´eben – a mager˝ok, az elektromos k¨olcs¨onhat´asok, a b´eta-boml´as ´es a gravit´aci´o. A foton minden elektromosan t¨olt¨ott r´eszecsk´ehez csatolt, s a k¨olcs¨onhat´as er˝oss´ege egy adott sz´ammal m´erhet˝o, amelynek ´ert´eke 1/137. A csatol´as r´eszletesen kidolgozott t¨orv´enye: a kvantum-elektrodinamika. A gravit´aci´o minden energi´ ahoz csatolt, csakhogy ez a csatol´as eg´eszen gyenge, sokkal gyeng´ebb, mint az elektromoss´ag´e. E k¨olcs¨onhat´as t¨orv´enye szint´en ismert. Tov´abb´a ismer¨ unk u ´gynevezett gyenge boml´asokat: p´eld´aul a b´eta-boml´as sor´an a neutron viszonylag lassan protonra, elektronra ´es neutr´ın´ora bomlik sz´et. Ezt a t¨orv´enyt csup´an h´ezagosan ismerj¨ uk. Az u ´gynevezett er˝os k¨olcs¨onhat´as, a mezon-barion k¨olcs¨onhat´as er˝oss´eg´et ezen a sk´al´an 1-nek vett¨ uk. T¨orv´eny´et m´eg teljes hom´aly fedi, j´ollehet n´eh´any szab´alyt m´ar kimutattak,

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

61

2.4. Atommagok ´es r´eszecsk´ek

mint p´eld´aul azt, hogy a barionok sz´ama nem v´altozik a reakci´ok folyam´an. Csatol´ as Foton t¨ olt¨ ott r´eszecsk´ekhez Gravit´ aci´ o minden energi´ ahoz Gyenge boml´ as Mezonok barionokhoz

Er˝oss´eg1 ≈ 10−2 ≈ 10−40 ≈ 10−5 ≈1

T¨orv´eny Ismert Ismert R´eszlegesen ismert Nem ismert (n´eh´any szab´aly ismeretes)

2.3. t´ abl´ azat. Az elemi k¨ olcs¨ onhat´ asok

¨ Itt tart teh´at a ma fizik´aja. Osszefoglal´ ask´eppen a k¨ovetkez˝ot mondhatjuk: k´ıv¨ ul az atommagon, u ´gy t˝ unik, mindent ´ert¨ unk; a mag belsej´eben pedig ´erv´enyben marad a kvantummechanika, hiszen elvei m´eg sehol sem mondt´ak fel a szolg´alatot. Az ´allv´anyzat, amelyen eg´esz tud´asunk nyugszik, a relativisztikus t´erid˝o; de nem lehetetlen, hogy a gravit´aci´o is a t´erid˝oh¨oz kapcsol´odik. Nem tudjuk, hogyan indult” a Vil´agminden” s´eg, ´es sohasem v´egezt¨ unk k´ıs´erleteket, hogy a t´err˝ol ´es id˝or˝ol alkotott fogalmainkat eg´eszen kicsiny t´avols´agokra vonatkoztatva is ellen˝orizz¨ uk, vagyis egyed¨ ul csak azt tudjuk, hogy elk´epzel´eseink ezeken a n´ezeteken fel¨ ul helyt´all´oak. Hozz´atehetj¨ uk m´eg, hogy a j´atszma” szab´alyai: a ” kvantummechanika elvei. Ezek – legal´abbis egyel˝ore – az u ´jonnan felfedezett r´eszecsk´ekre ´epp´ ugy alkalmazhat´ok, mint a r´egiekre. A mager˝ok eredet´enek kutat´asa u ´jabb r´eszecsk´ek felfedez´es´ehez vezet, de minthogy ezek ´ori´asi gazdags´agban t´arulnak el´enk, sajnos m´eg messze vagyunk a k¨oz¨ott¨ uk fenn´all´o ¨osszef¨ ugg´esek meg´ert´es´et˝ol, j´ollehet m´ar nem egy igen ´ meglep˝o ¨osszef¨ ugg´est siker¨ ult kimutatni. Ugy t˝ unik, hogy csak nagyon lassan, fokr´ol fokra tapogat´ozunk el˝ore a szubatomi r´eszecsk´ek vil´ag´anak megismer´ese fel´e, s fel sem tudjuk m´erni, val´oj´aban mekkora u ´t ´all m´eg 3 el˝ott¨ unk.

2

Az er˝ oss´eg” a k¨ olcs¨ onhat´ asokhoz rendelt csatol´ asi a ´lland´ o dimenzi´ otlan m´ert´eke ” (≈ jelent´ese nagys´ agrendben”). ” 3 Az elemi r´eszecsk´ek ´es k¨ olcs¨ onhat´ asaik mai helyzet´er˝ ol l´ asd a magyar kiad´ as el˝ oszav´ at (a szerk.)

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

3. fejezet A fizika kapcsolata m´ as tudom´ any´ agakkal 3.1. Bevezet´ es A fizika mint alapvet˝o, ´atfog´o tudom´any nagy hat´assal volt minden tudom´anyos fejl˝od´esre. Val´oj´aban a fizika a mai megfelel˝oje a r´egi term´eszetfiloz´ ofi´ anak, amib˝ol a legt¨ obb modern tudom´any´ag kifejl˝od¨ott. A tudom´any sok ter¨ ulet´en egyszer csak azon veszi ´eszre mag´at az ember, hogy fizik´at tanul, mivel annak minden jelens´egben fontos szerepe van. Ebben a fejezetben arra pr´ob´alunk r´avil´ag´ıtani, hogy m´as tudom´anyok el˝ott milyen probl´em´ak ´allnak, de sajnos r´eszletesen itt nem foglalkozhatunk ezekkel, nem ´erz´ekeltethetj¨ uk e tudom´any´agak ¨osszfon´odotts´ag´at, neh´ezs´egeit, finoms´agait ´es sz´eps´egeit. Terjedelemsz˝ uke miatt a fizik´anak a m´ern¨oki tudom´anyokhoz, az iparhoz, a t´arsadalmi ´elethez ´es a hadtudom´anyhoz val´o viszony´at, de m´eg csak a matematik´ahoz f˝ uz˝od˝o igen jelent˝os kapcsolat´at sem t´argyalhatjuk. (A matematika a mi szempontunkb´ol nem tudom´any, olyan ´ertelemben, hogy nem term´eszettudom´ any. T´eteleinek ´erv´enyess´eg´et ugyanis nem k´ıs´erletek igazolj´ak.) Hangs´ ulyoznunk kell, persze, hogy ha valami nem tudom´any, az´ert m´eg nem sz¨ uks´egszer˝ uen rossz! P´eld´aul a szerelem sem tudom´any. . . Ha valamir˝ol azt mondjuk, hogy nem tudom´any, ezzel nem azt akarjuk mondani, hogy elvetend˝o, hanem pontosan csak annyit, hogy nem tudom´any. 3.2. K´ emia A k´emia tal´an az a tudom´any´ag, amelyre a fizika a legm´elyebb hat´assal van. Eleinte a k´emia csaknem kiz´ar´olag az ´elettelen anyagokkal foglalkozott, vagyis azzal, amit ma szervetlen k´emi´anak nevez¨ unk. Tem´erdek f´arads´agos munk´ara, k´ıs´erletre, vizsg´alatra volt sz¨ uks´eg, hogy felfedezz´ek a sok k¨ ul¨onb¨oz˝o elem l´etez´es´et ´es azok kapcsolat´at – azt, hogy mik´eppen hozz´ak l´etre a k˝ozetekben, a talajban stb. tal´alt k¨ ul¨onb¨oz˝o, viszonylag egyszer˝ u vegy¨ uleteiket. Kezdetben a vegy´eszet nagyon fontos szerepet j´atszott a fizika fejl˝od´es´eben. A k´et tudom´any´ag k¨oz¨ott igen er˝os volt a k¨olcs¨onhat´as: az anyag atomos szerkezeti fel´ep´ıt´es´enek elm´elet´et d¨ont˝oen igazolt´ak a k´emiai k´ıs´erletek is. A k´emi´anak, azaz maguknak a k´emiai reakci´oknak az elm´elet´et nagyr´eszt Mengyelejev peri´odusos rendszere foglalta ¨ossze, amely meglep˝o ¨osszef¨ ugg´est t´art fel a k¨ ul¨onb¨oz˝o elemek k¨oz¨ott. Ez az elm´elet azokat a szab´alyokat foglalta ¨ossze, amelyek megwww.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

3.2. K´emia

63

hat´arozz´ak, hogy milyen anyagok ´es hogyan kombin´al´odhatnak egym´assal. L´enyeg´eben ezeken a szab´alyokon ´ep¨ ul fel a szervetlen k´emia. V´egs˝o soron viszont mindezeket a szab´alyokat a kvantummechanika magyar´azta meg, ´ıgy teh´at az elm´eleti k´emia tulajdonk´eppen fizika. M´asr´eszr˝ol azonban hangs´ ulyoznunk kell azt is, hogy a kvantummechanika elvileg magyar´azza meg e szab´alyokat. Kor´abban m´ar r´amutattunk: m´as az, ha valaki ismeri a sakkj´at´ek szab´alyait, mint ha j´atszani is tud. Megt¨ort´enhet, ismerj¨ uk a j´at´ekszab´alyokat, m´egsem tudunk j´ol sakkozni. Ugyan´ıgy igen neh´eznek bizonyult, hogy el˝ore pontosan megmondjuk, mi k¨ovetkezik be egy adott k´emiai reakci´oban, j´ollehet az elm´eleti k´emia alapj´aban a kvantummechanik´aban gy¨okerezik. Van a fizik´anak ´es a k´emi´anak egy olyan k¨oz¨os, egy´ebk´ent igen fontos ´aga, amelyet a k´et tudom´any egy¨ uttesen fejlesztett ki. Ez a statisztikus mechanika: a statisztika m´odszereinek alkalmaz´asa mechanikai t¨orv´enyek ´altal meghat´arozott helyzetekre. Minden k´emiai reakci´oban nagysz´am´ u atom vesz r´eszt, de mint l´attuk, az atomok igen bonyolult ´es v´eletlen m´odon cik´aznak ide-oda. Ha minden egyes u ¨tk¨oz´est analiz´alni tudn´ank, ´es minden egyes molekula mozg´as´at k´epesek lenn´enk r´eszleteiben k¨ovetni, akkor esetleg el˝ore ki tudn´ank sz´amolni, mi k¨ovetkezik. Ahhoz azonban, hogy minden molekul´at nyomon k¨ovethess¨ unk, b´armely sz´amol´og´ep kapacit´as´at, s˝ot az agy befogad´ok´epess´eg´et is messze meghalad´o mennyis´eg˝ u sz´amjegyre lenne sz¨ uks´eg¨ unk. Ez´ert kellett egy ilyen, a bonyolult rendszerek ´allapot´at le´ır´o m´odszert kidolgozni. A statisztikus mechanika ugyanakkor a h˝ojelens´egek elm´elet´enek, a termodinamika tudom´any´anak is az alapj´aul szolg´al. A szervetlen k´emia mint tudom´any ma m´ar l´enyeg´eben a fizikai k´emi´ara ´es a kvantumk´emi´ara sz˝ uk¨ ult le. Azokat az ar´anyokat, amelyek mellett az egyes reakci´ok v´egbemennek, ´es azt, hogy mi t¨ort´enik r´eszleteiben (hogyan u ulnek ki ¨tk¨oznek a molekul´ak?, mely r´eszek rep¨ el˝osz¨or? stb.), a fizikai k´emia tanulm´anyozza. A kvantumk´emia pedig a fizika t¨orv´enyei alapj´an seg´ıt meg´erteni, hogy val´oj´aban mi is megy v´egbe. A k´emia m´asik ´aga a szerves k´emia, az ´eletfolyamatokkal kapcsolatos anyagok k´emi´aja. Egy ideig azt hitt´ek, hogy ezek az anyagok olyan cso” d´alatosak”, hogy szervetlen anyagokb´ol mesters´egesen nem ´all´ıthat´ok el˝o. Ez azonban egy´altal´an nem igaz – ezek pontosan ugyanolyanok, mint a szervetlen k´emi´aban el˝o´all´ıtott anyagok, csak a benn¨ uk lev˝o atomok elrendez´ese sokkal bonyolultabb. A szerves k´emia nyilv´anval´oan igen szoros kapcsolatban van a biol´ogi´aval ´es az iparral, amelyek a szerves vegy¨ uletek vizsg´alat´at ig´enylik, tov´abb´a a fizikai k´emi´aval ´es a kvantummechanik´aval, mert ezek sz´elesk¨or˝ uen alkalmazhat´ok ak´ar a szerves, ak´ar a szervetlen

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

64

3. A fizika kapcsolata m´ as tudom´ any´ agakkal

vegy¨ uletekre. Egy´ebk´ent jelenleg a szerves k´emia egyik legf˝obb feladata ink´abb az ´el˝o anyagokban, a biol´ogiai rendszerekben k´epz˝od˝o anyagok ´ ezzel m´ar el is ´erkezt¨ anal´ızise ´es szintetikus el˝o´all´ıt´asa. Es unk a biok´emia, illetve maga a biol´ogia, vagy pontosabban a molekul´aris biol´ogia ter¨ ulet´ere. 3.3. Biol´ ogia A biol´ ogia tudom´anya az ´el˝ovil´agot tanulm´anyozza. A biol´ogia hajnal´an a biol´ogusok tiszt´an fenomenologikus probl´em´akkal foglalkoztak, vagyis le kellett ´ırniuk, hogy milyenek is az ´el˝ol´enyek, ´es ez´ert p´eld´aul meg kellett sz´aml´alniuk, h´any sz˝orsz´al van a bolha v´egtagjain. Miut´an mindezt (nagy ´erdekl˝od´essel) kidolgozt´ak, az ´el˝o szervezetek m˝ uk¨ od´es´enek a tanulm´anyoz´as´ara t´ertek ´at. El˝osz¨or term´eszetesen csak durva szempontok szerint vizsg´al´odtak, mivel a finomabb r´eszletk´erd´esekben t´aj´ekoz´odni itt is nagyon neh´ez. A fizika ´es a biol´ogia k¨oz¨ott ´erdekes korai kapcsolat alakult ki. A biol´ogia seg´ıtett ugyanis a fizik´anak az energiamegmarad´ as t¨ orv´eny´enek a felfedez´es´eben, mivel ezt el˝osz¨or Mayer az ´el˝o szervezet ´altal felvett ´es leadott h˝omennyis´eggel kapcsolatban mutatta ki. Az ´el˝o szervezetek biol´ogiai folyamatainak t¨ uzetesebb tanulm´anyoz´asakor sz´amos fizikai jelens´eggel tal´alkozunk: v´erkering´es, szivatty´ u, nyom´as stb. Vagy vegy¨ uk p´eld´aul az idegeket. Mi t¨ort´enik, ha ´eles k˝ore l´ep¨ unk? Err˝ol azonnal tudom´ast szerz¨ unk, mert az inform´aci´o valamilyen ´ m´odon eljut a l´abt´ol az agyba. Erdekes, hogyan megy ez v´egbe. Az idegek tanulm´anyoz´asa sor´an a biol´ogusok arra a k¨ovetkeztet´esre jutottak, hogy az idegek igen finom cs¨ovecsk´ek, amelyeknek nagyon v´ekony ´es bonyolult fel´ep´ıt´es˝ u fal´an a sejt ionokat pr´eselhet kereszt¨ ul, mert a pozit´ıv ionok bel¨ ul, a negat´ıvok k´ıv¨ ul helyezkednek el, ak´arcsak egy kondenz´atorban. Ennek a h´arty´anak van egy igen figyelemrem´elt´o tulajdons´aga: ha az egyik helyen kis¨ ul”, azaz, ha ezen a helyen n´eh´any ion ´atjut a falon, ´es ” ´ıgy ott az elektromos fesz¨ ults´eg lecs¨okken, akkor ezt az elektromos hat´ast a k¨ornyez˝o ionok is meg´erzik”. Ez azzal a k¨ovetkezm´ennyel j´ar, hogy ” a h´artya a k¨ornyez˝o helyeken lev˝o ionokat is ´atengedi. Ez ism´et hat´ast gyakorol a k¨ornyezet´ere, stb. ´Igy egy ´atereszt´esi” hull´am szalad v´egig az ” idegsz´al ment´en, ha p´eld´aul egy ´eles k˝ore l´ept¨ unk, s ezzel az idegsz´al egyik v´ege gerjeszt˝od¨ott”. N´emileg hasonl´o ez a f¨ ugg˝olegesen ´all´ıtva egym´as ” mellett felsorakoztatott domin´okock´ak eset´ehez: ha a sz´els˝o domin´ot megl¨okj¨ uk, az megl¨oki a k¨ovetkez˝ot, ´es ´ıgy tov´abb. Term´eszetesen ´ıgy csak egyetlen u ¨zenetet lehet k¨ozvet´ıteni, hacsak a domin´okat ism´et fel nem ´alwww.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

3.3. Biol´ ogia

65

l´ıtjuk. Az idegsejtekben is v´egbemennek olyan folyamatok, amelyek lassan ism´et kisz´ıvj´ak az ionokat, hogy a k¨ovetkez˝o impulzus ´erz´ekel´es´ere alkalmass´a tegy´ek az idegeket. Ilyen m´odon vesz¨ unk tudom´ast arr´ol, hogy mit csin´alunk (vagy legal´abbis arr´ol, hogy hol vagyunk). Term´eszetesen az idegimpulzussal kapcsolatos elektromos hat´asokat eletromos m˝ uszerekkel ki lehet mutatni. S ha ezek a jelens´egek val´oban l´eteznek, akkor az elektromoss´ag fizik´aj´anak ismerete n´elk¨ ul nem lehet meg´erteni az idegvezet´es” ” folyamat´at sem. A ford´ıtott hat´as az, amikor valahonnan az agyb´ol megy u ¨zenet egy idegsz´al v´egz˝od´es´ehez. Mi t¨ort´enik ilyenkor az ideg v´eg´en´el? Az idegv´egz˝od´es apr´o, finom ´agakra bomlik sz´et, amelyek az izomhoz k¨ozeli, u ´gynevezett v´eglemezhez kapcsol´odnak. Nem eg´eszen tiszt´azott okokb´ol, amikor egy impulzus el´eri az idegv´egeket, kis adagokban (egyszerre ¨ot vagy t´ız molekula) acetilkolin nev˝ u k´emiai anyag v´alik ki, amely ¨osszeh´ uz´od´asra k´eszteti az izomsz´alakat – l´atj´ak, milyen egyszer˝ u?! Mi k´eszteti az izmokat ¨osszeh´ uz´od´asra? Az izom igen nagy sz´am´ u, szorosan egym´as mellett lev˝o rostb´ol ´all, melyek k´et k¨ ul¨onb¨oz˝o anyagot tartalmaznak: miozint ´es aktomiozint. Azt a mechanizmust azonban, amellyel az acetilkolin ´altal megind´ıtott k´emiai reakci´o az izom m´ereteit m´odos´ıtja, m´eg nem ismerj¨ uk. Vagyis nem ismerj¨ uk azokat az alapfolyamatokat, melyek az izmok mechanikai mozg´as´at l´etrehozz´ak. A biol´ogia ´ori´asi tudom´anyter¨ ulet, ´ıgy egy´eb jelens´egeinek sokas´ag´ar´ol itt sz´ot sem ejthet¨ unk. Nem foglalkozhatunk a l´at´as m˝ uk¨od´es´evel (hogyan hat a f´eny a szemre?), a hall´as m˝ uk¨od´es´evel, stb. (Azt, hogy hogyan gondolkodunk, al´abb, a pszichol´ogi´ar´ol sz´ol´o r´eszben megbesz´elj¨ uk.) Ezek a k´erd´esek azonban, amiket eddig a biol´ogi´aval kapcsolatban t´argyaltunk, a biol´ogus szempontj´ab´ol – az ´elet l´enyeg´et tekintve – val´oj´aban nem d¨ont˝o elvi probl´em´ak olyan ´ertelemben, hogy m´eg ha meg is ´erten´e azokat, mag´at az ´eletet teljes eg´esz´eben akkor sem ´erten´e meg. Az idegtev´ekenys´eg kutat´as´aval foglalkoz´o tud´osok p´eld´aul nagyon fontosnak ´erzik a munk´ajukat, mivel v´egeredm´enyben sem ember, sem ´allat nem l´etezhet idegek n´elk¨ ul. De ´elet l´etezhet idegek n´elk¨ ul is. A n¨ov´enyeknek sem idegeik, sem izmaik nincsenek, ´es m´egis ´eppen u ´gy m˝ uk¨odnek”, ´elnek. A biol´ogia d¨ont˝o elvi ” probl´em´ait teh´at m´elyebben kell keresn¨ unk. Ek¨ozben felfedezhetj¨ uk, hogy minden ´el˝ol´enyben sok a k¨oz¨os tulajdons´ag. K¨oz¨ ul¨ uk a leg´altal´anosabb az, hogy sejtekb˝ ol ´ep¨ ulnek fel, melyek mindegyik´eben k´emiai ´atalakul´asok bonyolult rendszere m˝ uk¨odik. A n¨ov´enyi sejtekben p´eld´aul egy olyan rendszer van, mely a f´eny seg´ıts´eg´evel gluk´ozt ´all´ıt el˝o, hogy s¨ot´etben a n¨ov´eny ezt az anyagot felhaszn´alva ´eletben maradhasson. Amikor az ´allat

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

66

3. A fizika kapcsolata m´ as tudom´ any´ agakkal

a n¨ov´enyt elfogyasztja, a gluk´oz a n¨ov´enyek fotoszint´ezis´ehez (´es a s¨ot´etben lefoly´o ellent´etes folyamatokhoz) hasonl´o k´emiai reakci´ok sorozat´at hozza l´etre az ´allat szervezet´eben. Az ´el˝o szervezetek sejtjeiben igen sok bonyolult reakci´o megy v´egbe, melyek sor´an egy vegy¨ ulet m´as ´es m´as vegy¨ ulett´e alakul ´at. Hogy n´emi k´epet adjunk a biok´emia tanulm´anyoz´as´ara ford´ıtott hatalmas er˝ofesz´ıt´esekr˝ol, a 3.1. ´abr´an o¨sszefoglaltuk a sejtekben lehets´eges sok-sok reakci´ol´anc egy kis t¨ored´ek´ere – tal´an 1%-´ara – vonatkoz´o tud´asunkat. Acetilkoenzim-A COO– CH2 C O COO– Oxálecetsav

Akonitáz

Fe++flavin

Fumaráz

Akonitáz

COO– CH2 CH2 COO– Borostyánkősav Mg++ P

Izocitrát-dehidrogenáz Izo

cit rá

t-d

CoA SH

H 2O

CH2 COO– CH COO– HO CH COO– D-izocitromsav

CITRÁT-KÖR

Szukcinál-dehidrogenáz

GTP (ITP)

H 2O

CH2 COO– C COO– CH COO– Cisz-akonitsav

en áz

COO– H C C H COO– Fumársav

Fe++flavin H2

CoA SH

DP D N- PN m H DP alát +H + N + -de hid rog

COO– CH2 H C OH COO– Almasav H2O

CH2 COO– HO C COO– CH2 COO– Citromsav

Citrogenáz

eh idr o

TPN+ TPNH+H+

CH2 COO– CH COO– O C COO– Oxálborostyánkősav ge ná

Mn++ z COO– Alfa-ketoglutársav CO2 COO– dehidrogenáz CH2 HOPO3– – CH2 S CH2 GTP ThPP, LA CH2 S (IDP) C O O C S CoA COO– CO2 Alfa-ketoglutársav Szukcinil-koenzim-A DPNH+H+ DPN+

3.1. a ´bra. A Krebs-f´ele k¨ orfolyamat

Az ´abr´an eg´esz sor molekul´at l´atunk, amelyek igen kis l´ep´esekb˝ol ´all´o k¨orfolyamatban alakulnak egym´asba. Ezt Krebs-f´ele k¨orfolyamatnak nevezik.1 A molekul´akban lej´atsz´od´o v´altoz´asok tekintet´eben minden egyes vegy¨ ulet ´es l´ep´es el´eg egyszer˝ u, de – ´es ´eppen ez a biok´emia egyik d¨ont˝oen fontos felfedez´ese – ezeket a v´ altoz´ asokat laborat´ oriumi u ´ton viszonylag 1

Szok´ as Szent-Gy¨ orgyi–Krebs-f´ele k¨ orfolyamatnak is nevezni. (A szerk.)

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

3.3. Biol´ ogia

67

neh´ez el˝ o´ all´ıtani. Ugyanis, ha van k´et egym´ashoz nagyon hasonl´o anyagunk, gyakran el˝ofordul, hogy egyik a m´asikba nem tud ´atalakulni, mivel a k´et k´emiai alakzatot egym´ast´ol ´altal´aban energiag´at vagy domb” v´a” lasztja el. Magyar´azatk´eppen tekints¨ uk a k¨ovetkez˝o hasonlatot: Ha egy t´argyat el akarunk vinni egy adott helyr˝ol egy ugyanolyan magass´agban, de egy domb t´ uloldal´an fekv˝o m´asik helyre, ´at kell vinn¨ unk a dombtet˝on. Ez azonban bizonyos mennyis´eg˝ u t¨obbletenergi´at ig´enyel. Teh´at igen sok k´emiai reakci´o az´ert nem megy v´egbe, mert az energia nem ´eri el az u ´gynevezett aktiv´ aci´ os energiaszintet. Hogy vegy¨ ulet¨ unkbe be´ep´ıthess¨ unk egy tov´abbi atomot, az atomot olyan k¨ ozel kell vinn¨ unk a vegy¨ ulethez, hogy abban bizonyos ´atrendez˝od´es k¨ovetkezhess´ek be; s ekkor odaragad. Ha viszont nem tudunk annyi energi´at k¨oz¨olni vele, hogy a molekul´ahoz el´eg k¨ozel jusson, akkor a be´ep¨ ul´es nem jut el a befejez´esig, az atom csak r´eszben teszi meg az utat a dombtet˝oig, ´es visszagurul”. Ha azonban sz´o ” szerint t´enyleg meg tudn´ank fogni a molekul´at, ´es sz´ejjel tudn´ank h´ uzni atomjait, hogy r´es keletkezzen rajta, amelyen kereszt¨ ul egy u ´j atom be tud hatolni, majd ezt a r´est u ´jb´ol ¨osszez´arn´ank, akkor megker¨ ulve a dombot, olyan utat tal´aln´ank, amely nem ig´enyel energiat¨obbletet, ´es a reakci´o k¨onnyen folyna le. M´armost a sejtekben t´enylegesen l´eteznek olyan nagyon nagy molekul´ ak – sokkal nagyobbak, mint amilyeneknek a v´altoz´asait a 3.1. ´abr´an szeml´eltett¨ uk –, amelyek a kisebb molekul´akat valamilyen bonyolult m´odon pontosan olyan sorrendbe tudj´ak ´all´ıtani, hogy a reakci´ok k¨onnyen lefolyhatnak. Ezeket a nagyon nagy ´es bonyolult molekul´aj´ u vegy¨ uleteket enzimeknek nevezz¨ uk. (El˝osz¨or fermentumoknak nevezt´ek, mivel eredetileg a cukor ferment´al´as´an´al fedezt´ek fel ˝oket. Val´oj´aban ott fedezt´ek fel p´eld´aul a Krebs-f´ele k¨orfolyamat n´eh´any els˝o reakci´oj´at is.) A k¨orfolyamatban szerepl˝o reakci´ok csak enzimek jelenl´et´eben mennek v´egbe. Maga az enzim egy m´as, feh´erj´enek nevezett anyagb´ol ´all. Az enzimmolekul´ak – mint m´ar eml´ıtett¨ uk – nagyon nagyok ´es bonyolultak. Minden egyes enzim m´as fel´ep´ıt´es˝ u, mindegyik¨ uk egy bizonyos reakci´ofolyamat szab´alyoz´as´ara szolg´al. A 3.1. ´abr´an az egyes reakci´okhoz sz¨ uks´eges enzimeket szint´en felt¨ untett¨ uk (n´eha ugyanaz az enzim k´et reakci´ot is szab´alyoz). Hangs´ ulyoznunk kell, hogy maguk az enzimek nem vesznek k¨ozvetlen¨ ul r´eszt a reakci´okban. Nem v´altoznak meg, csup´an az a szerep¨ uk, hogy az atomokat egyik helyr˝ol a m´asikra seg´ıts´ek ´at. Miut´an ezt egy molekul´an bel¨ ul elv´egezte, az enzim – ak´ar egy gy´ari g´ep – k´esz megism´etelni szerep´et a k¨ovetkez˝o molekul´aban. Term´eszetesen gondoskodni kell a sz¨ uks´eges atomok p´otl´as´ar´ol, ´es lehet˝os´eget kell biztos´ıtani a

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

68

3. A fizika kapcsolata m´ as tudom´ any´ agakkal

m´ar nem sz¨ uks´eges atomok elt´avol´ıt´as´ara. Tekints¨ uk p´eld´aul a hidrog´ent: l´eteznek olyan k¨ ul¨onleges tart´alyokkal” ell´atott enzimek, amelyek a hid” rog´ent b´armely k´emiai folyamat sz´am´ara sz´all´ıtani tudj´ak. Van p´eld´aul h´arom vagy n´egy hidrog´enreduk´al´o enzim, amely a k¨orfolyamat k¨ ul¨onb¨oz˝o l´ep´eseiben ism´etelten felhaszn´alhat´o. Nagyon ´erdekes, hogy az a mechanizmus, amely valamely helyen felszabad´ıt egy hidrog´enatomot, el is sz´all´ıtja mag´aval a hidrog´ent, hogy valahol m´asutt m´eg felhaszn´alhassa. A 3.1. ´abr´an l´athat´o k¨orfolyamat legfontosabb tulajdons´aga a GDPnek (guanozin-difoszf´atnak) GTP-v´e (guanozin-trifoszf´att´a) val´o ´atalak´ıt´asa, mivel a GTP-nek sokkal t¨obb a bels˝o energi´aja, mint a GDP-nek. ´ Eppen u ´gy, mint ahogyan bizonyos enzimek a hidrog´enatomok ide-oda val´o sz´all´ıt´as´ara tart´allyal” rendelkeznek, vannak k¨ ul¨onleges energiasz´ all´ıt´ o ” tart´alyok” is, ezek trifoszf´at-csoportot tartalmaznak. Mivel a GTP-nek ” t¨obb energi´aja van, mint a GDP-nek, ha a reakci´o-k¨orfolyamat az egyik ir´anyba m´ar megindult, olyan molekul´ak keletkeznek, melyeknek energiafelesleg¨ uk van, ´es ez´altal m´as, energi´ at ig´enyl˝ o k¨orfolyamatokat vez´erelnek, p´eld´aul az izom¨osszeh´ uz´od´as k¨orfolyamat´at. Az izom GTP n´elk¨ ul nem h´ uz´odik ¨ossze. Helyezz¨ unk v´ızbe izomnyal´abokat, ´es tegy¨ unk hozz´ajuk GTP-t. Az izomsz´alak – felt´eve, hogy a megfelel˝o enzimek is jelen vannak – o¨sszeh´ uz´odnak, mik¨ozben a GTP GDP-v´e alakul ´at. A GDP– GTP-´atalakul´asban teh´at a t´enyleges rendszer a k¨ovetkez˝o: az eg´esz nap folyam´an felgy¨ ulemlett GTP az ´ejszaka folyam´an arra haszn´al´odik fel, hogy a teljes k¨orfolyamatot a m´asik ir´anyban u ¨zemeltesse. Az enzimnek – mint l´atj´ak – teljesen k¨oz¨omb¨os a reakci´o lefoly´as´anak az ir´anya; s ha ez nem ´ıgy lenne, akkor megs´erten´e a fizika egyik t¨orv´eny´et. A fizika m´as okb´ol is nagyon fontos t´enyez˝o a biol´ogia ´es m´as tudom´anyok fejl˝od´es´eben, ´es ez a k´ıs´erleti m´ odszerek kialak´ıt´asa. Ha nem k¨ovetkezett volna be a k´ıs´erleti fizik´aban olyan nagy fejl˝od´es, akkor p´eld´aul az ´abr´an l´athat´ohoz hasonl´o biok´emiai t´erk´epeket” nem ismern´enk. ” E fantasztikusan bonyolult rendszerek anal´ızis´enek legalkalmasabb m´odszere az, hogy a reakci´okban szerepl˝o atomokat megjel¨ olj¨ uk. Ha a reakci´ok¨orfolyamatba be tudn´ank vinni n´eh´any, mondjuk, z¨old jelz´essel” ell´atott ” k´endioxid-molekul´at, ´es azut´an h´arom, majd t´ız stb. m´asodperc m´ ulva m´erni tudn´ank, hol van a z¨old jel, nyomon k¨ovethetn´enk az eg´esz reakci´ofolyamat menet´et. De mik legyenek a z¨old jelek”? K¨ ul¨onb¨oz˝o izot´ opok. ” Eml´ekeztetn¨ unk kell arra, hogy az atomok k´emiai tulajdons´agait nem az atomok s´ ulya, hanem az elektronok sz´ ama hat´arozza meg. A sz´enben p´eld´aul a minden sz´enatomban jelen l´ev˝o hat protonon k´ıv¨ ul hat vagy h´et 12 13 neutron lehet. A k´et atom, a C ´es C k´emiailag azonos, de s´ ulyuk

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

3.3. Biol´ ogia

69

´es molekul´aris tulajdons´agaik k¨ ul¨onb¨oz˝ok, u ´gyhogy l´enyeg´eben megk¨ ul¨onb¨oztethet˝ok. A k¨oz¨ons´eges izot´opok, vagy a nagyon kis mennyis´egek nyomon k¨ovet´es´ere m´eg ink´abb alkalmas nagy ´erz´ekenys´eg˝ u radioakt´ıv izot´opok, p´eld´aul a C14 felhaszn´al´as´aval ellen˝orizni lehet a k´emiai folyamatokat. T´erj¨ unk most vissza az enzimek ´es a feh´erj´ek le´ır´as´ara. Nem minden feh´erje enzim, de minden enzim feh´erje. Sok olyan feh´erje van, amely nem enzim, ilyenek p´eld´aul az izomban l´ev˝o feh´erj´ek, vagy a porcban, a hajban, a b˝orben stb. lev˝o szerkezeti feh´erj´ek. Ezek az ´elet jellegzetes ´ep´ıt˝ok¨ovei, feh´erj´ekb˝ol ´all az ¨osszes enzim, ´es az ´el˝o anyag sok egy´eb r´esze. A feh´erj´ek szerkezete egyszer˝ u ´es nagyon ´erdekes. K¨ ul¨onb¨oz˝o aminosavak sorozat´ab´ol vagy l´anc´ab´ol ´ep¨ ulnek fel. A h´ usz k¨ ul¨onb¨oz˝o aminosav k¨ ul¨onf´ele kombin´aci´okban l´ancokat alkot, amelyeknek gerinc´eben CO–NH stb. molekul´ak ´allnak. Val´osz´ın˝ uleg minden egyes aminosav speci´alis c´elokat szolg´al. N´emelyikben p´eld´aul egy bizonyos helyen egy k´enatom foglal helyet, s ha ugyanabban a feh´erj´eben k´et k´enatom van jelen, ezek k¨ot´est hoznak l´etre, azaz a l´anc k´et helyen ¨ossze´er ´es hurkot k´epez. Ha egy aminosavnak feleslege van oxig´enatomokb´ol, savas anyagot kapunk, m´as aminosav-kombin´aci´ok l´ ugos jelleg˝ uek. N´emelyikben a l´anc egyik oldal´an nagy atomcsoportok l´ognak, s ´ıgy a vegy¨ ulet nagy teret foglal el. Az egyik aminosav – a prolin – tulajdonk´eppen nem amino-, hanem iminosav. A kett˝o k¨oz¨ott csek´ely k¨ ul¨onbs´eg van: ahol a l´ancban prolin van, ott megcsavarodik”. ” Ha egy adott feh´erj´et akarunk el˝o´all´ıtani, ilyesfajta utas´ıt´asokat adhatunk: az egyik k´enkapcsot helyezz¨ uk ide, majd adjunk hozz´a valamit, ami kit¨olti a teret, azut´an tegy¨ unk hozz´a m´eg valamit, hogy a l´anc megcsavarodjon, ´es ´ıgy tov´abb. Ily m´odon egy meglehet˝osen bonyolult k´epet mutat´o komplex ¨osszet´etel˝ u l´ancot kapn´ank; feltehet˝oen ´ıgy j¨onnek l´etre a k¨ ul¨onb¨oz˝o enzimek. A k¨ozelm´ ult (1960) egyik nagy tudom´anyos diadala volt, hogy olyan feh´erj´ek pontos t´erbeli atomszerkezet´et t´art´ak fel, amelyek egy sorban 50–60 aminosavat tartalmaznak. K´et feh´erje – els˝onek a hemoglobint vizsg´alt´ak – bonyolult szerkezet´eben t¨obb mint 1000, a hidrog´enatomokat is sz´am´ıtva 2000 atom hely´et ´allap´ıtott´ak meg. A felfedez´es egyik ´arnyoldala, hogy a szerkezet l´enyeg´eb˝ol semmit sem tudtunk meg´erteni, legkev´esb´e azt, hogy mi´ert olyan, amilyen. Ez a k¨ovetkez˝o megoldand´o probl´ema. A m´asik k´erd´ese a biol´ogi´anak: honnan tudj´ak az enzimek, miv´e alakuljanak, hogyan hassanak? Egy v¨or¨os szem˝ u l´egynek v¨or¨os szem˝ u legyecsk´eje sz¨ uletik, teh´at az ¨osszes, v¨or¨os pigmentet l´etrehoz´o enzimek-

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

70

3. A fizika kapcsolata m´ as tudom´ any´ agakkal

re vonatkoz´o inform´aci´onak ´at kell mennie az ut´odra. Ezt a szerepet nem a feh´erje, hanem egy, a sejtmagban lev˝o anyag, a DNS (dezoxiribonukleinsav) t¨olti be. Ez az a kulcsanyag, amelyik egy sejtb˝ol a m´asikba megy ´at (a spermasejtek pl. nagyr´eszt DNS-b˝ol ´allnak), ´es ez sz´all´ıtja az inform´aci´ot arra vonatkoz´oan, hogy az enzimek hogyan hassanak. A DNS egy tervrajz”. Mik´eppen fest ez a tervrajz, ´es mi a szerepe? El˝osz¨or ” is k´epesnek kell lennie o¨nmaga reproduk´al´as´ara; m´asodszor k´epesnek kell lennie arra, hogy a feh´erj´eknek utas´ıt´asokat adjon. Ami az els˝o k¨ovetelm´enyt illeti, azt gondolhatn´ank, hogy az a sejtek szaporod´as´ahoz hasonl´o m´odon teljes¨ ul. A sejtek ugyanis egyszer˝ uen megn¨ovekednek, majd kett´eoszt´odnak. A DNS-molekul´ak szint´en ´ıgy viselkedn´enek? Megn¨ovekednek ´es kett´eoszt´odnak? Az egyes atomok biztosan nem n¨ovekednek ´es nem oszt´odnak! K¨ovetkez´esk´epp a molekul´ak valami m´as, sokkal furfangosabb m´odon reproduk´al´odnak. A DNS szerkezet´et sok´aig tanulO O m´anyozt´ak, el˝osz¨or k´emiai m´odszerekRIBÓZ RIBÓZ B:A kel az ¨osszet´etel´et, majd r¨ontgensugaO O O O rak seg´ıts´eg´evel a t´erbeli szerkezet´et P P HO OH vizsg´alt´ak. Az eredm´eny egy nagy jeO O lent˝os´eg˝ u felfedez´es: a DNS-molekula RIBÓZ RIBÓZ A:B k´et egym´asra csavarodott l´ancb´ol ´all. O O O O P P Gerinc¨ uket a feh´erjel´ancok´ehoz hasonHO OH O O l´o, de azokt´ol k´emiailag teljesen k¨ uRIBÓZ RIBÓZ A:B l¨onb¨oz˝o cukor- ´es foszf´atcsoportok soO O rozata alkotja (l´asd a 3.2. ´abr´at). Az O O P P HO ´abr´ab´ol kit˝ unik, hogyan tartalmazhat OH O O a l´ a nc utas´ ıt´ asokat. Ha ugyanis a l´anRIBÓZ RIBÓZ D:C cot f´elbe tudn´ank v´agni, akkor egy O O O O BAADC. . . sorozatot kapn´ank, ´es nem P P HO OH O O kiz´art, hogy minden ´el˝o szervezetnek RIBÓZ RIBÓZ C:D saj´at sorozata van. Feltehet˝o, hogy a feh´erj´ek k´esz´ıt´es´ere vonatkoz´o utas´ıt´ aO O sokat a saj´atos DNS-sorozatok tartalmazz´ak. 3.2. a ´bra. A DNS s´em´ aja Minden cukormolekul´ahoz bizonyos keresztcsatol´ast l´etrehoz´o p´arok illeszkednek, ezek kapcsolj´ak ¨ossze a k´et l´ancot. Azonban nem mind azonosak, n´egy fajt´ajuk van: adenin, timin, ´ citozin ´es guanin (A, B, C ´es D-vel jel¨olj¨ uk ˝oket). Erdekes, hogy csak meghat´arozott csatol´otagok ker¨ ulhetnek egym´assal p´arba, p´eld´aul A a B-

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

3.3. Biol´ ogia

71

vel ´es C a D-vel. E csatol´otagok a k´et l´ancon egym´ashoz illeszkednek ´es nagy k¨olcs¨onhat´asi energi´aval rendelkeznek. De a C az A-hoz, illetve a B a C-hez nem illeszkedhet, mert A csak B-vel ´es C a D-vel k´epezhet egy p´art. Teh´at ha az egyik l´ancban C van, akkor a m´asikban a megfelel˝o helyen D-nek kell lennie. Mit mondhatunk a szaporod´as, a reproduk´al´as k´erd´es´er˝ol? Tegy¨ uk fel, a l´ancot a keresztcsatol´asokn´al kett´ev´alasztottuk. Hogyan csin´alhatunk egy m´asik, ugyanolyan l´ancot? Ha a sejtek anyag´aban van olyan gy´art´o ” r´eszleg”, amely foszf´atot, cukrot ´es l´anchoz m´eg nem kapcsolt A, B, C, D egys´egeket termel, akkor hossz´aban felhas´ıtott l´ancunkhoz csak olyan egys´egek fognak csatlakozni, amelyek illeszkednek, nevezetesen a BAADC kieg´esz´ıt˝oi, az ABBCD . . . egys´egek. Mi t¨ort´enik a sejt oszt´od´asakor? A l´anc k¨oz´epen sz´etv´alik, az egyik f´ell´anc az egyik sejttel egy¨ utt elt´avozik, a m´asik f´ell´anc a m´asik sejttel marad, s amikor m´ar elt´avolodtak egym´ast´ol, mindk´et f´ell´anc egy-egy u ´j, kieg´esz´ıt˝o l´ancot hoz l´etre. K¨ovetkez˝o k´erd´es¨ unk: hogyan hat´arozza meg pontosan az ABCD egys´egek sorrendje az aminosavak elrendez˝ od´es´et a feh´erj´eben? Ez a mai biol´ogia egyik megoldatlan kulcsprobl´em´aja. Az els˝o elk´epzel´eseket, vagy jobban mondva inform´aci´ot¨ored´ekeket a k¨ovetkez˝okben pr´ob´aljuk ¨osszefoglalni: A sejtben ribosz´om´aknak nevezett par´anyi r´eszecsk´ek vannak, ´es ma m´ar tudjuk, hogy ezekben keletkeznek a feh´erj´ek. A ribosz´om´ak azonban nem a sejtmagban foglalnak helyet, ahol a DNS ´es utas´ıt´asai” ” vannak. Val´osz´ın˝ uleg ez nem ok n´elk¨ ul van ´ıgy. Tov´abb´a ismeretes, hogy a DNS-ekr˝ol molekulat¨ored´ekek v´alnak le, melyek nem olyan hossz´ uak, mint az ¨osszes inform´aci´ot hordoz´o nagy DNS-molekul´ak, hanem azoknak csup´an kis r´eszletei. Ezeket RNS-nek nevezt´ek el, hogy mi´ert, az ´ uk be azzal, hogy l´enyeg´eben a DNS-nek egymost nem l´enyeges. Erj¨ fajta kurt´ıtott” m´asolatai. Az is ismeretes, hogy az RNS valamilyen ” m´odon u ¨zenetet visz a ribosz´om´anak arra vonatkoz´olag, hogy az milyen feh´erj´et k´esz´ıtsen. Amikor oda´er, a feh´erje szintetiz´al´odik. Ez szint´en j´ol ismert folyamat. Annak r´eszletei azonban m´eg nincsenek tiszt´azva, hogy az aminosavak hogyan jutnak el a feh´erj´ekbe, ´es hogy az RNS ´altal ´atvitt jelrendszer szerint hogyan rendez˝odnek el. Nem tudjuk megfejteni” ezt a ” jelrendszert. P´eld´aul az ABCCA sorelrendez´est” m´ar ismerj¨ uk, de nem ” tudjuk el˝ore megmondani, hogy l´enyeg´eben milyen feh´erj´et hoz l´etre. Nem vit´as, hogy jelenleg egyetlen tudom´any´ag sem fejl˝odik oly sok fronton ´es oly viharos gyorsas´aggal, mint a biol´ogia. De ha most v´alaszolnunk kellene arra a k´erd´esre, hogy mi az a leg´altal´anosabb feltev´es, amely az ´eletjelens´egek meg´ert´es´ere ir´anyul´o k´ıs´erletekben vez´erelv¨ ul szol-

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

72

3. A fizika kapcsolata m´ as tudom´ any´ agakkal

g´alhat, csak azt mondhatjuk, hogy: minden test atomokb´ ol a ´ll, s az ´el˝o szervezetek minden tev´ekenys´ege a benn¨ uk ny¨ uzsg˝o atomokra vezethet˝o vissza. 3.4. Csillag´ aszat Az eg´esz vil´ag villan´asszer˝ uen r¨ovidre fogott magyar´azat´aban most el´erkezt¨ unk a csillag´aszathoz. E tudom´any eredete r´egebbre ny´ ulik vissza, mint a fizik´a´e. Val´oj´aban a csillag´aszat h´ıvta ´eletre a fizik´at, amikor megmutatta a csillagok ´es a bolyg´ok mozg´as´anak lebilincsel˝oen egyszer˝ u t¨orv´enyszer˝ us´egeit, ez jelentette a fizika kezdet´et. De az eg´esz csillag´aszatban a legjelent˝osebb felfedez´es az, hogy az ´egitestek ugyanolyan atomokb´ ol 2 ´ allnak, mint amilyenek a F¨ old¨ on vannak. Minden atom meghat´arozott frekvenci´aj´ u f´enyt bocs´at ki, ´epp u ´gy, ahogyan minden hangszernek saj´atos hangsz´ıne, meghat´arozott hangmagass´aga, illetve hangfrekvenci´aja van. Amikor egyidej˝ uleg k¨ ul¨onb¨oz˝o hangokat hallunk, meg tudjuk k¨ ul¨onb¨oztetni ˝oket, de ha egy sz´ınkever´eket n´ez¨ unk, az ¨osszetev˝o sz´ıneket nem tudjuk k¨ ul¨onv´alasztani, mert a szem sz´etv´alaszt´o k´epess´ege elmarad a f¨ ul´ehez k´epest. Spektroszk´oppal azonban analiz´alni tudjuk a f´enyhull´amok frekvenci´aj´at, ´es ily m´odon megl´athatjuk a k¨ ul¨onb¨oz˝o ´egitesteket alkot´o atomok saj´atos ´arnyalatait”. K´et k´emiai elemet fedeztek fel az ´egitestek” r˝ol ´erkez˝o sugarak sz´ınk´epelemz´ese r´ev´en, s csak k´es˝obb ´eszlelt´ek ˝oket a F¨old¨on is. A h´eliumot a Napban (innen kapta a nev´et), a techn´eciumot pedig bizonyos hideg csillagokban ´eszlelt´ek. De ha a csillagok val´oban 2

Milyen sz´elsebesen rohantunk a ´t mindezen! Minden mondat k¨ otetnyi mondanival´ ot tartalmaz ebben a r¨ ovidre fogott a ´ttekint´esben. A csillagok ugyanolyan atomokb´ ol ” a ´llnak, mint a F¨ old.” Ehhez hasonl´ o kis” t´emak¨ orb˝ ol eg´esz el˝ oad´ ast szoktam kerek´ıteni. ” A k¨ olt˝ ok azt mondj´ ak, hogy a tud´ os elhat´ arolja mag´ at a csillagok sz´eps´eg´et˝ ol – egyszer˝ uen g´ azatomokb´ ol a ´ll´ o g¨ omb¨ oknek tartja o ˝ket. Semmi egyszer˝ uen”! Mag´ anyos ” ´ejszak´ akon ´en is l´ atom a csillagokat ´es ´erzem sz´eps´eg¨ uket. T¨ obbet vagy kevesebbet l´ atok-e, mint a k¨ olt˝ ok? Az ´egbolt v´egtelens´ege kiterjeszti a k´epzeletemet, s mintegy csodahint´ on utazgatva, saj´ at kis szememmel ak´ ar egymilli´ o ´eves f´enyt is megl´ athatok a v´egtelen csillagrendszerben, amelynek ´en is r´esze vagyok. . . tal´ an az ´en testem anyaga ´epp´ ugy dob´ odott ki valamilyen elfelejtett csillagb´ ol, mint ahogyan l´ am, most is anyag l¨ ok˝ odik ki ott, abb´ ol a csillagrobban´ asb´ ol. De a Palomar-hegyi nagyobb szemmel”, a ” teleszk´ oppal m´eg jobban megfigyelhetem a csillagokat, amint sz´ed´ıt˝ o sebess´eggel t´ avolodnak valami k¨ oz¨ os kiindul´ opontt´ ol, ahol valaha tal´ an egy¨ utt voltak. Mi ez az o ´ri´ asi k¨ ork´ep, mi ennek a l´enyege vagy mi´ertje”? A vil´ agmindens´eg nem ” lesz kev´esb´e misztikus, ha tudunk egyet-m´ ast r´ ola. Sokkal csod´ alatosabb az igazs´ ag, mint azt a m´ ultban b´ armelyik m˝ uv´esz meg´ almodhatta! A jelenkor k¨ olt˝ oi vajon mi´ert nem besz´elnek r´ ola? Milyen fant´ aziad´ us emberek a k¨ olt˝ ok, ha a Jupiterr˝ ol mint h´ us-v´er f´erfialakr´ ol tudnak dalolni, de ha kider¨ ul r´ ola, hogy met´ anb´ ol ´es amm´ oni´ ab´ ol a ´ll´ oo ´ri´ asi, forg´ o g¨ omb, akkor m´ ar hallgat a m´ uzsa?

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

3.4. Csillag´ aszat

73

ugyanolyan atomokb´ol ´allnak, mint a F¨old, akkor ez nagyban hozz´aseg´ıt benn¨ unket a csillagok megismer´es´ehez. Most m´ar el´eg sokat tudunk az atomokr´ol, k¨ ul¨on¨osen arr´ol, hogy nagy h˝om´ers´ekleten, de nem t´ ul nagy s˝ ur˝ us´eg eset´en hogyan viselkednek, u ´gyhogy a csillagok anyag´anak viselked´es´ere is k¨ovetkeztethet¨ unk a statisztikus mechanika seg´ıts´eg´evel. Annak ellen´ere, hogy az F¨old¨on nem tudjuk ut´anozni az ´egitesteken fenn´all´o k¨or¨ ulm´enyeket, az alapvet˝o fizikai t¨orv´enyek felhaszn´al´as´aval pontosan, vagy nagyon j´o k¨ozel´ıt´essel meg tudjuk mondani, milyen v´altoz´asok mennek v´egbe az ´egitestek anyag´aban. ´Igy seg´ıt a fizika a csillag´asznak. K¨ ul¨on¨osnek t˝ unhet, de t´eny, hogy sokkal jobban ismerj¨ uk az anyag eloszl´as´at a Nap belsej´eben, mint a F¨old´eben. Jobban meg´ertj¨ uk, hogy mi j´atsz´odik le egy csillag belsej´eben, mint hinn´enk, ha csak azt vessz¨ uk alapul, hogy t´avcs¨ov¨on kereszt¨ ul mind¨ossze egy kis f´enyfoltot l´atunk bel˝ole. Ki tudjuk sz´ am´ıtani, hogy k¨ ul¨onb¨oz˝o k¨or¨ ulm´enyek k¨oz¨ott a csillagokban lev˝o atomok hogyan viselkedhetnek. Az egyik legnagyobb felfedez´es a csillagok energi´aj´anak az eredet´ere vonatkozik, arra az energi´ara, amely ´eg´es¨ uket t´apl´alja. A felfedez˝ok egyike, miut´an meg´ertette, hogy a csillagok sug´arz´asa a belsej¨ ukben lezajl´o magreakci´ oknak tulajdon´ıthat´o, s´et´ara h´ıvta sz´ıve h¨olgy´et. S´eta k¨ozben a le´any ´ıgy sz´olt: N´ezd, milyen csod´alatosan ragyoknak a csillagok.” – ”´ Igen, csod´alatos. Es ´en vagyok ma az egyetlen ember a vil´agon, aki tud” ja, mit˝ ol ragyognak” – v´alaszolta a felfedez˝o. A le´any persze kinevette. Cseppet sem hat´odott meg att´ol, hogy azzal a f´erfival s´et´algathat, aki azon az est´en egyed¨ ul ismerte a csillagok f´eny´enek titk´at. Nos, szomor´ u dolog az egyed¨ ull´et, a meg nem ´ert´es, de h´at ez a vil´ag sora. . . A Nap energi´aj´at a hidrog´en nukle´aris ´eg´ese” szolg´altatja: a hidrog´en ” h´eliumm´a alakul ´at. Az ´egitestek k¨oz´eppontj´aban helyezkednek el azok a gy´arak”, amelyek a k¨ ul¨onb¨oz˝o k´emiai elemeket v´egs˝o soron hidrog´en” b˝ol ´all´ıtj´ak el˝o. Az az anyag is, amib˝ol mi vagyunk gy´ urva, egyszer m´ar megf˝ott” a csillagokban, ´es csak azut´an bocs´at´odott ki. De honnan tud” juk ezt? Megvan r´a a bizony´ıt´ek! A k¨ ul¨onb¨oz˝o izot´opok ar´anya, p´eld´aul a C12 , a C13 stb. el˝ofordul´asi ar´anya a k´emiai ´atalakul´asok k¨ovetkezt´eben nem v´altozik meg, mivel az ezekre vonatkoz´o k´emiai reakci´ok azonosak. Az ar´anyokat puszt´an a magfolyamatok hat´arozz´ak meg. Az izot´opok ar´any´at abban a kih˝ ult, holt par´azsban tanulm´anyozva, amely test¨ unket alkotja, meg´allap´ıthatjuk, hogy milyen is volt az a koh´ o, melyben a benn¨ unket alkot´o anyagokat k´esz´ıtett´ek”. Ez a koh´o a csillagokhoz hasonl´o ” lehetett, ´ıgy nagyon val´osz´ın˝ u, hogy elemeinket a csillagok gy´artott´ak”, ” ´es a n´ov´aknak vagy szupern´ov´aknak nevezett robban´asok bocs´atott´ak ki.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

74

3. A fizika kapcsolata m´ as tudom´ any´ agakkal

A csillag´aszat annyira k¨ozel ´all a fizik´ahoz, hogy tov´abbi tanulm´anyaink sor´an m´eg sokszor tal´alkozunk vele. 3.5. Geol´ ogia Menj¨ unk most ´at a F¨ olddel foglalkoz´ o tudom´ any vagy geol´ ogia ter¨ ulet´ere. El˝osz¨or sz´oljunk a meteorol´ogi´ar´ol ´es az id˝oj´ar´asr´ol. A meteorol´ogia vizsg´ alati eszk¨ ozei term´eszetesen fizikai eszk¨oz¨ok, ´es mint az el˝obb kifejtett¨ uk, a k´ıs´erleti fizika halad´asa tette lehet˝ov´e kifejleszt´es¨ uket. A meteorol´ogia elm´elet´et azonban a fizikusok kiel´eg´ıt˝o m´odon m´eg sohasem dolgozt´ak ki. Vajon mi´ert nem? Hiszen a leveg˝on k´ıv¨ ul nincs semmi m´as a F¨old l´egk¨or´eben, m´arpedig a leveg˝o mozg´as´anak t¨orv´enyeit ismerj¨ uk. Igen, ez igaz. Teh´at, ha ismerj¨ uk a leveg˝o ´allapot´at, mi´ert nem tudjuk megj´osolni a holnapi id˝oj´ar´ast? El˝osz¨or is az´ert nem, mert a leveg˝o mai ´allapot´at sem ismerj¨ uk, a leveg˝o minden¨ utt ¨orv´enylik ´es kavarog, minden v´altoz´assal szemben nagyon ´erz´ekeny, s˝ot instabil. Ha valaha l´atott m´ar az olvas´o a g´aton ´at nyugodtan h¨omp¨olyg˝o vizet, amely azt´an zuhan´asa k¨ozben milli´onyi bubor´ekk´a ´es cseppecsk´ev´e alakul, meg´erti, mit ´ert¨ unk instabilit´ason. A v´ız – mint tudjuk – teljesen nyugodt, de hogyan keletkeznek a cseppecsk´ek abban a pillanatban, amikor zuhanni kezd? Mi hat´arozza meg a cseppek nagys´ag´at ´es hely´et? Mindezt az´ert nem tudjuk, mert a v´ız instabil. M´eg egy nyugodtan mozg´o l´egt¨omeg is ha hegyvid´ek f¨ol¨ott halad ´at, bonyolult forg´oszelekk´e ´es l´eg¨orv´enyekk´e v´alik! A tudom´any m´as ter¨ uletein is tal´alkozunk ilyen turbulens ´ araml´ assal. Ezt azonban jelenlegi ismereteink alapj´an m´eg nem tudjuk analiz´alni. Gyorsan ejts¨ uk el h´at az id˝oj´ar´as t´em´aj´at, ´es t´erj¨ unk r´a a geol´ogi´ara! A geol´ogia alapk´erd´ese: mi alak´ıtotta a F¨oldet olyann´a, amilyen most? A legegyszer˝ ubb folyamatok, a foly´ok a sz´el stb. er´ozi´os hat´asai k¨ozvetlen¨ ul a szem¨ unk el˝ott j´atsz´odnak le. Ezeket el´eg k¨onny˝ u meg´erteni, de az er´ozi´oval egy¨ utt fell´ep valamilyen m´as, vele egyenl˝o nagys´ag´ u, ellent´etes folyamat is. A hegyek – ´altal´aban – ma nem alacsonyabbak, mint a m´ ultban voltak. Hegyk´epz˝ o folyamatoknak kell l´etezni¨ uk. Ha a geol´ogi´at tanulm´anyozzuk, megtudjuk, hogy van hegyform´al´o folyamat ´es vulkanikus m˝ uk¨od´es, melynek mozgat´orug´oit ugyan senki sem ´erti, de a geol´ogia feler´eszben ezekr˝ol sz´ol. A vulkanikus jelens´egek l´enyeg´et hom´aly fedi. Hogy mi´ert l´epnek fel f¨oldreng´esek, v´egeredm´enyben szint´en nem tudj´ak. Od´aig ´erthet˝o, hogyha valami megl¨ok valamit, az ut´obbi megr´azk´odik ´es eltol´odik. De mi adja a l¨ok´est, ´es f˝oleg mi´ert? Az elm´elet szerint a F¨old belsej´eben a bels˝o ´es k¨ uls˝o h˝om´ers´eklet k¨oz¨otti k¨ ul¨onbs´eg k¨ovetkezt´eben www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

3.6. Pszichol´ ogia

75

a´raml´asok, k¨or´aramok keletkeznek, melyek cirkul´al´o mozg´asuk k¨ozben kiss´e megnyomj´ak a F¨old k´erg´et. Ha viszont k´et egym´ashoz k¨ozeli, ellent´etes ir´any´ u ´aram tal´alkozik, az anyag a tal´alkoz´as hely´en feltorl´odik, ´es nagy bels˝o fesz¨ ults´eg˝ u hegygy˝ ur˝od´esek j¨onnek l´etre, vulk´anok ´es f¨oldreng´esek keletkeznek. Mit tudunk a F¨old belsej´er˝ol? A reng´eshull´amoknak a F¨old anyag´aban val´o terjed´esi sebess´ege ´es a F¨old anyag´anak s˝ ur˝ us´egeloszl´asa el´eg j´ol ismert. M´egis k´eptelenek voltak a fizikusok arra, hogy a F¨old k¨oz´eppontj´aban v´arhat´o nyom´asok eset´en fell´ep˝o anyags˝ ur˝ us´eg-v´altoz´asokra valami j´o elm´eletet dolgozzanak ki. M´as szavakkal, az anyag tulajdons´agair´ol ilyen k¨or¨ ulm´enyek k¨oz¨ott nem tudunk helyes k´epet alkotni. A F¨olddel kev´esb´e boldogulunk, mint a csillagok anyag´aval. A sz´am´ıt´asokban alkalmazand´o matematikai appar´atus egy kicsit neh´ezkesnek l´atszik, de tal´an m´ar nem kell sok´a v´arni, am´ıg valaki felismeri, hogy fontos probl´em´aval ´allunk szemben, ´es alaposan kidolgozza azt. A m´asik szempont term´eszetesen az, hogy m´eg ha ismern´enk is a s˝ ur˝ us´eget, a k¨or´aramokat akkor sem tudn´ank kisz´am´ıtani. A k˝ozetek tulajdons´agait sem tudjuk nagy nyom´as eset´en re´alisan kisz´am´ıtani. Azt sem tudjuk megmondani, hogy a k˝ozetek milyen gyorsan engedn´enek” a nyom´asnak. Ezekre a k´erd´esekre csak a ” k´ıs´erletek adhatnak feleletet. 3.6. Pszichol´ ogia A k¨ovetkez˝okben tekints¨ uk a pszichol´ ogia tudom´any´at. Mellesleg megjegyezz¨ uk, hogy a pszichoanal´ızis nem tudom´any, hanem a legjobb esetben is csak gy´ogym´od, s ma is van benne valamelyes kuruzsl´as”. A pszicho” anal´ızis elm´eleteket ´all´ıt fel a betegs´egek okair´ol, k¨ ul¨onf´ele lelki alkatokra, szellemi” t´enyez˝okre stb. hivatkozik. A csodadoktornak, az afrikai ” var´azsl´onak az az elm´elete, hogy a betegs´egeket, p´eld´aul a mal´ari´at, a leveg˝oben lebeg˝o szellem okozza, j´ollehet a beteg nem gy´ogyul meg att´ol, ha k´ıgy´ot r´aznak a feje f¨ol¨ott, ehelyett kinint kell neki adni, mert az val´oban haszn´al. Ha megbetegedn´enek a kedves olvas´ok, azt tan´acsoln´ank, forduljanak var´azsl´ohoz, mert az eg´esz t¨orzsben ˝o az egyetlen ember, aki sokat tud a mal´ari´ar´ol, ´am amit tud, az nem tudom´any. A pszichoanal´ızist k´ıs´erletileg nem ellen˝orizt´ek m´eg kiel´eg´ıt˝o m´odon, nem lehet r´eszletesen felsorolni ´es megk¨ ul¨onb¨oztetni azokat az eseteket, amikor haszn´al ´es amikor nem haszn´al stb. Tal´an kev´esb´e ´erdekes a pszichol´ogia t¨obbi ´aga, amely olyan dolgokkal foglalkozik, mint az ´erz´ekel´es fiziol´ogi´aja (a szem ´es az agy m˝ uk¨od´ese stb.). Ezen a ter¨ uleten csek´ely, de jelent˝os halad´ast ´ertek el. Tekints¨ uk www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

76

3. A fizika kapcsolata m´ as tudom´ any´ agakkal

az egyik leg´erdekesebb technikai probl´em´at – amit ak´ar pszichol´ogiainak is nevezhet¨ unk –, a gondolkod´as, vagy ha u ´gy tetszik, az idegrendszer k¨ozponti probl´em´aj´at: mikor az ´allat megtanult valamit, olyat tud tenni, amit kor´abban nem tudott, azaz agysejtjeinek is – ha azok atomokb´ol ´allnak – meg kellett v´altozniuk. Miben ´ all ez a v´ altoz´ as? Mikor valamit eml´ekezet¨ unkbe akarunk elrakt´arozni, nem tudjuk, hol zajlik le ez a folyamat az agyban. Mikor egy t´enyr˝ol tudom´ast szerz¨ unk, nem tudjuk, hogy ez a folyamat mit jelent az idegrendszer sz´am´ara, milyen v´altoz´ast hoz l´etre benne. Ezt a fontos k´erd´est eddig egy´altal´aban nem oldott´ak meg. Felt´etelezve azonban, hogy valamilyenfajta eml´ekez˝og´ep van benn¨ unk – az agy megsz´aml´alhatatlanul sok idegb˝ol ´all´o vezet´ekh´al´ozat –, nagyon val´osz´ın˝ u, hogy ez a probl´ema k¨ozvetlen¨ ul nem tanulm´anyozhat´o. Hasonl´os´ag ´all fenn a sz´amol´og´epekkel ´es azok elemeivel, olyan ´ertelemben, hogy azokban szint´en nagysz´am´ u huzal ´es olyan kapcsol´od´o elem van, amely a szinapszisra, illetve az idegek egym´ashoz val´o kapcsol´od´as´ara eml´ekeztet. K´ar, hogy nincs id˝onk a gondolkod´as ´es a sz´amol´og´epek k¨oz¨otti nagyon ´erdekes ¨osszef¨ ugg´es tov´abbi t´argyal´as´ara. Persze sz´am´ıtanunk kell r´a, hogy ezek az ¨osszef¨ ugg´esek csak nagyon kev´es inform´aci´ot fognak szolg´altatni az ember mindennapos viselked´es´enek t´enyleges bonyolults´ag´ar´ol. Az emberek olyan k¨ ul¨onb¨oz˝ok. Sok id˝obe telik, m´ıg ezen eligazodunk. Sokkal el˝obbr˝ol kell kezden¨ unk. Ha csak azt siker¨ ulne m´ar megmutatni, hogy egy kutya hogyan m˝ uk¨odik”, m´ar akkor is messze juthatn´ank. A kuty´a” kat k¨onnyebb meg´erteni, de eddig m´eg senki sem tudja pontosan, hogyan m˝ uk¨odnek”. ” 3.7. Fejl˝ od´ esto enet ¨rt´ Hogy a fizika ne csak m´er˝oeszk¨oz¨ok feltal´al´asa r´ev´en, hanem elm´eleti s´ıkon is haszn´ara legyen a t¨obbi tudom´any´agnak, ezek vizsg´alatainak t´argy´at, a kutat´asi probl´em´akat a fizika nyelv´ere leford´ıtva kell le´ırni. Ha p´eld´aul a biol´ogus azt k´erdezi, mi´ert ugrik a b´eka, a fizikus nem tud felelni. De ha elmondja, hogy a b´eka micsoda, hogy sok-sok molekula van benne, hogy test´eben itt ´es itt idegek futnak stb., akkor m´ar m´ask´epp hangzik a k´erd´es. Ha a geol´ogus vagy a csillag´asz t¨obb´e-kev´esb´e le´ırja nek¨ unk, hogy milyen a F¨old, mib˝ol ´allnak a csillagok, akkor k¨ovetkeztet´eseket vonhatunk le. Ahhoz, hogy a fizikai elm´eletnek b´armi haszn´at vehess¨ uk, tudnunk kell, hogy hol helyezkednek el az atomok. Hogy a k´emi´at meg´erts¨ uk, pontosan tudnunk kell, milyen atomok vannak jelen, k¨ ul¨onben semmilyen anal´ızist sem tudunk v´egezni. Ez term´eszetesen csak egy a sok korl´atoz´as k¨oz¨ ul. www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

3.7. Fejl˝ od´est¨ ort´enet

77

Olyasfajta probl´em´ajuk is van a rokon tudom´anyoknak, ami a fizik´aban soha nem mer¨ ult fel, ´es amit jobb kifejez´es hi´any´aban fejl˝od´est¨ort´eneti probl´em´anak nevezhet¨ unk. Hogyan jutottunk id´aig? Ha p´eld´aul m´ar mindent meg´ertett¨ unk volna a biol´ogia ter¨ ulet´en, akkor arra is k´ıv´ancsiak lesz¨ unk, honnan ker¨ ult ide, hogyan jelent meg mindaz, ami a F¨old¨on ´el? Ezzel foglalkozik a biol´ogia egyik fontos fejezete: az evol´ uci´o elm´elete. A geol´ogi´aban nemcsak azt akarjuk tudni, hogyan keletkeznek a hegyek, hanem azt is, hogy kezdetben hogyan j¨ott l´etre maga a F¨old, a Naprendszer ´es ´ıgy tov´abb. Ez nyilv´an oda vezet, hogy azt is szeretn´enk megtudni, milyen anyagokb´ol ´allt akkor a vil´ag. Hogyan fejl˝odtek ki a csillagok? Mik voltak a kezdeti felt´etelek? A csillag´aszatnak ilyen fejl˝od´est¨ort´eneti probl´em´ai vannak. S m´ar eddig is sok mindent siker¨ ult megismerni az ´egitestek sz¨ ulet´es´er˝ol, a benn¨ unket alkot´o elemek kialakul´as´ar´ol, s˝ot n´emi fogalmunk m´ar a vil´agegyetem keletkez´es´er˝ol is van. Jelenleg a fizika semmilyen t¨ort´eneti k´erd´es vizsg´alat´aval sem foglalkozik. Nem tesz¨ unk fel eff´ele k´erd´eseket: Itt vannak a fizika t¨orv´enyei, ” hogyan fejl˝odtek ezek?” Fel sem t´etelezz¨ uk – legal´abbis egyel˝ore nem –, hogy a fizika t¨orv´enyei az id˝o m´ ul´as´aval valahogyan megv´altozn´anak, vagy a m´ ultban m´asok lettek volna, mint ma. De term´eszetesen ez lehets´eges, ´es ha egyszer majd azt tapasztaljuk, hogy v´altoznak a fizikai t¨orv´enyek, akkor a fizika fejl˝od´est¨ort´eneti probl´em´aja is a vil´agegyetem t¨ort´eneti fejl˝od´es´e´ akkor a fizikusok is olyasfajta nek probl´emak¨or´eben fog jelentkezni. Es k´erd´eseken t¨orik majd a fej¨ uket, mint ma a csillag´aszok, a geol´ogusok ´es a biol´ogusok. V´eg¨ ul, van a fizik´anak egy olyan probl´em´aja is, amely r´egen felvet˝od¨ott ´es m´aig megoldatlan. Nem u ´j elemi r´eszecsk´ek felfedez´es´er˝ol van sz´o, hanem egy nagyon r´egi, t¨obb mint sz´az´eves probl´em´ar´ol, amelyet egy fizikus sem tudott matematikailag analiz´alni, pedig ez fontos lenne a t´arstudom´anyok szempontj´ab´ol. Ez a cirkul´ al´ o vagy turbulens folyad´ekok probl´em´aja. Ha egy csillag fejl˝od´es´et figyelemmel k´ıs´erj¨ uk, el˝obb vagy ut´obb bek¨ovetkezik az a pillanat, amikor meg´allap´ıthatjuk, hogy a csillagban ´araml´asi folyamat indult el – ett˝ol kezdve t¨obb´e m´ar nem tudunk k¨ovetkeztetni a tov´abbi fejlem´enyekre. N´eh´any milli´o ´evvel k´es˝obb a csillag felrobban, de ennek ok´at nem tudjuk kimutatni. Az id˝oj´ar´ast sem tudjuk kell˝oen analiz´alni. Nem ismerj¨ uk a F¨old belsej´eben lezajl´o sokf´ele mozg´asform´at sem. A feladat legegyszer˝ ubb alakja a k¨ovetkez˝o: vegy¨ unk egy nagyon hossz´ u cs¨ovet, ´es nagy sebess´eggel ´aramoltassunk ´at rajta vizet. Milyen nyom´as sz¨ uks´eges ahhoz, hogy egy adott mennyis´eg˝ u v´ız kereszt¨ ulhaladjon a cs¨ov¨on? Az egyszer˝ u alapt¨orv´enyek ´es a v´ız tulajdon-

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

78

3. A fizika kapcsolata m´ as tudom´ any´ agakkal

s´agai ismeret´eben a k´erd´esre senki sem tud v´alaszt adni. Ha a v´ız nagyon lassan folyik, vagy m´ezhez hasonl´o s˝ ur˝ u folyad´ekr´ol van sz´o, erre kit˝ un˝o anal´ızist tudunk adni, s valamelyik iskolai tank¨onyvben is megtal´alhat´o a pontos v´alasz. Amivel szemben l´enyeg´eben tehetetlenek vagyunk, az a cs¨ov¨on ´at´araml´o k¨oz¨ons´eges v´ız k´erd´ese. Ez az a kulcsprobl´ema, melyet egy napon majd meg kellene oldanunk, mindeddig azonban nem siker¨ ult. Azt mondta egyszer egy k¨olt˝o: Egy poh´ar borban benne van az eg´esz ” vil´ag.” Val´osz´ın˝ uleg sohasem fogjuk megtudni, milyen ´ertelemben gondolta ezt, mivel a k¨olt˝ok nem az´ert ´ırnak, hogy prec´ızen meg´ertess´ek magukat. Viszont igaz, hogy ha el´eg alaposan megfigyel¨ unk egy poh´ar bort, kit´arul el˝ott¨ unk az eg´esz vil´agmindens´eg. Megtal´alhat´ok benne a fizikai jelens´egek: gy˝ ur˝ uz˝o folyad´ekfelsz´ın, amely a sz´elt˝ol ´es id˝oj´ar´ast´ol f¨ ugg˝oen p´arolog, f´enyvisszaver˝od´es a poh´ar u unk ezt a ¨veg´en, s k´epzelet¨ k´epet m´eg kieg´esz´ıti az atomi jelens´egekkel. Az u ¨veg a F¨old¨on tal´alhat´o k˝ozetek sz´armaz´eka, o¨sszet´etel´eben a vil´agegyetem kor´anak titk´at ´es ´ a vegyszerek milyen csod´alatos gy˝ a csillagok fejl˝od´es´et l´athatjuk. Es ujtem´enye tal´alhat´o a borban! Hogyan keletkeznek ezek? Megtal´alhat´ok benne a fermentumok, az enzimek, a k¨ ul¨onb¨oz˝o kivonatok stb. A borb´ol kiolvashat´o a nagy ´altal´anos´ıt´as: az eg´esz ´elet ferment´al´as. Senki sem tanulm´anyozhatja a bor k´emi´aj´at an´elk¨ ul, hogy fel ne fedezze benne – mint Louis Pasteur tette – egy sor betegs´eg ok´at. Micsoda elevens´eg van a v¨or¨osborban, mely l´enyeg´evel kellemesen elbor´ıtja a tudatunkat! Ha agyunk a c´elszer˝ us´eg kedv´e´ert r´eszekre bontja ezt a poh´ar bort, ezt a vil´agmindens´eget: fizik´ara, biol´ogi´ara, geol´ogi´ara, csillg´aszatra, pszichol´ogi´ara stb., az´ert ne feledj¨ uk, hogy a term´eszet err˝ol a feloszt´asr´ol” nem ” tud! Ne feledj¨ uk el, mire val´o a bor! Teh´at tegy¨ uk f´elre az okoskod´ast, igyuk meg, ´es a t¨obbit felejts¨ uk el!

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

4. fejezet Az energiamegmarad´ as t´ etele 4.1. Mi az energia? Az ´altal´anos le´ır´o r´esz ut´an most megkezdj¨ uk a fizika k¨ ul¨onb¨oz˝o k´erd´eseinek r´eszletesebb tanulm´anyoz´as´at. A k¨ovetkez˝okben a fizika egyik legalapvet˝obb t¨orv´eny´et, az energiamegmarad´ast vizsg´aljuk meg, ´es ezen szeml´eltetj¨ uk az elm´eleti fizik´aban felhaszn´alhat´o gondolatokat ´es ´ervel´esm´odot. Van egy t´eny – vagy ha u ´gy tetszik – t¨ orv´eny, amely az ¨osszes eddig ismert term´eszeti jelens´eget ir´any´ıtja. E t¨orv´eny al´ol egyetlen kiv´etelt sem ismer¨ unk, azaz mai tud´asunk szerint teljesen pontos. Ez az energiamegmarad´ as t¨ orv´enye, amely azt mondja ki, hogy van egy bizonyos, energi´anak nevezett mennyis´eg, amely v´altozatlan marad a term´eszetben v´egbemen˝o sokf´ele v´altoz´as sor´an. Ez igen-igen elvont ´all´ıt´as, mivel matematikailag megfogalmazott t¨orv´eny. Azt ´all´ıtja, hogy van egy sz´amszer˝ u mennyis´eg, amely semmilyen k¨or¨ ulm´enyek k¨oz¨ott nem v´altozik meg. Nem egy mechanizmust vagy valamilyen konkr´et dolgot ´ır le, csup´an azt a furcsa t´enyt ´allap´ıtja meg, hogy kisz´amolhatunk egy bizonyos sz´amot, ´es ha a term´eszet bonyolult tr¨ ukk¨okkel” teli v´altoz´asainak megfigyel´ese ut´an ezt ” a sz´amot u ´jra ut´anasz´amoljuk, az eredm´eny ugyanaz lesz. A sakkt´abla s¨ot´et mezej´en ´all´o fut´o n´eh´any l´ep´es ut´an is – melynek r´eszletei nem ismeretesek – m´eg mindig s¨ot´et mez˝on fog ´allni. Ez a sakk term´eszet´enek” ” egyik t¨orv´enye. Mivel elvont fogalommal van dolgunk, jelent´es´et u ´jabb hasonlattal szeml´eltetj¨ uk. K´epzelj¨ unk el egy kisfi´ ut, mondjuk, Ront´o Palit, akinek t¨ok´eletesen t¨orhetetlen ´es darabokra nem oszthat´o ´ep´ıt˝okock´ai vannak. Mindegyik kocka egyforma, s, mondjuk, 28 ilyen kocka van. A mam´aja reggel mind a 28 kock´aj´aval egy¨ utt bez´arja ˝ot egy szob´aba. Este a k´ıv´ancsi anyuka nagyon gondosan megsz´aml´alja a kock´akat, ´es egy tapasztalati t¨orv´enyt fedez fel: b´armit csin´al is a gyerek a kock´akkal, mindig 28 darab marad! Ez ´ıgy megy t¨obb napon kereszt¨ ul, am´ıg egy napon csak 27 kock´at tal´al, de egy kicsit ut´anan´ezve, megtal´alja a hi´anyz´o kock´at a sz˝onyeg alatt; mindenfel´e sz´et kell n´eznie, hogy megbizonyosodjon, a kock´ak sz´ama nem v´altozott meg. Egy napon azonban hi´aba keresg´elt a szob´aban – csak 26 kock´at tal´alt. Gondos nyomoz´as” ut´an kider¨ ult, hogy az ab” lak nyitva volt, ´ıgy siker¨ ult nyom´ara bukkanni a hi´anyz´o k´et kock´anak. www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

80

4. Az energiamegmarad´ as t´etele

M´as alkalommal a leggondosabb sz´aml´al´as 30 kock´at jelzett! Ez nagyon megd¨obbentette, de v´eg¨ ul is meg´allap´ıtotta, hogy a szomsz´ed gyerek, aki aznap a kock´aival egy¨ utt ´atj¨ott j´atszani, n´eh´anyat ottfelejtett Pali´ekn´al. Miut´an a mama elt´avol´ıtotta a t¨obbletkock´akat, bez´arta az ablakot, ´es t¨obb´e nem engedte be a szomsz´ed kisfi´ ut. Minden a legnagyobb rendben folyt, eg´eszen addig, m´ıg egyszer a sz´amol´asn´al megint csak 25 kock´at tal´alt. A szob´aban volt egy doboz a j´at´ekok sz´am´ara, azt is ki akarta nyitni, de kisfia vis´ıtva ellenkezett: Ne nyisd ki a j´at´ekdobozomat!” Nem ” engedte az anyj´anak, hogy kinyissa a j´at´ekdobozt, de a nagyon k´ıv´ancsi mama egy lelem´enyes m´odszert eszelt ki! Tudta, hogy egy kocka s´ ulya 1 newton, lem´erte teh´at a dobozt, amikor 28 kock´at l´atott. A doboz saj´at s´ uly´at 5 newtonnak tal´alta. Legk¨ozelebb ellen˝orz´esk´eppen ism´et lem´erte a dobozt, a kapott s´ ulyb´ol levont 5 newtont, ´es az eredm´enyt a rend kedv´e´ert elosztotta 1-gyel. A k¨ovetkez˝ot vette ´eszre: (a doboz s´ ulya) − 5N (a l´athat´o kock´ak sz´ama) + = ´alland´o. (4.1) 1N Ezut´an u ´jabb hi´any mutatkozott, de gondos vizsg´alattal r´aj¨ott az ok´ara, mert a f¨ urd˝ok´adba dob´alt kock´ak megemelt´ek a piszkos v´ız szintj´et. A gyerek ugyanis kock´akat dob´alt a v´ızbe, ´es ezeket, mivel a v´ız nagyon piszkos volt, nem lehetett l´atni. A mama azonban – formul´aj´ahoz egy u ´jabb tagot adva – ki tudta tal´alni, h´any kocka ker¨ ult a v´ızbe. Mivel az eredeti v´ızmagass´ag 15 cm volt, ´es egy kocka a szintet 0,8 cm-rel emeli meg, az u ´j k´eplet a k¨ovetkez˝o alak´ u lesz: (a doboz s´ ulya) − 5N (a l´athat´o kock´ak sz´ama) + + 1N (a v´ızmagass´ag) − 15cm + = ´alland´o. (4.2) 0, 8cm Amint az ˝ot k¨or¨ ulvev˝o vil´ag egyre bonyolultabb´a v´alt, a mama eg´esz sor olyan tagot tal´alt m´eg ki, amelyeknek a seg´ıts´eg´evel kisz´amolhatta, h´any kocka lehet az eldugott, hozz´af´erhetetlen helyeken. V´egeredm´enyben egy bonyolult formul´at tal´alt egy olyan mennyis´eg kisz´am´ıt´as´ara, amely az ˝o k¨or¨ ulm´enyei k¨oz¨ott mindig ugyanaz maradt. Mi az anal´ogia az energiamegmarad´as t¨orv´eny´evel? A fenti k´ept˝ol elvonatkoztatva, a legfontosabb elt´er´es az, hogy nincsenek ´ep´ıt˝ okock´ ak. Vonjuk le (4.1)-b˝ol ´es (4.2)-b˝ol az els˝o tagot, ´es m´aris t¨obb´e-kev´esb´e elvont dolgok sz´am´ıt´as´aval tal´aljuk szembe magunkat. Az anal´ogia a k¨ovetkez˝okben ´all: El˝osz¨or is, az energia sz´amol´asakor figyelembe kell venni, hogy olykor az energia egy r´esze t´avozik, olykor pedig bizonyos mennyis´e´ g˝ u energia l´ep be a vizsg´alt rendszerbe. Eppen ez´ert, ha igazolni akarjuk www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

4.2. Gravit´ aci´ os helyzeti energia

81

az energiamegmarad´as t¨orv´eny´et, nagyon ´ovatosan kell elj´arnunk, nehogy valamit feleslegesen besz´am´ıtsunk, vagy valamit indokolatlanul kihagyjunk. M´asodszor: az energi´anak sok k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o megjelen´esi form´ aja van, s mindegyiknek egy-egy k´eplet felel meg. Energiafajt´ak p´eld´aul a gravit´aci´os, a mozg´asi (kinetikus), a h˝o-, a rugalmas, az elektromos, a k´emiai, a sug´arz´o, a mag- ´es a t¨omegenergia. Ha az ezeknek megfelel˝o energiakifejez´eseket o¨sszegezz¨ uk, az o¨sszeg v´altozatlan marad mindaddig, am´ıg energia nem ´aramlik be vagy ki. Fontos, hogy felismerj¨ uk: a fizika mai ´all´asa mellett val´oj´aban nem tudjuk, mi is az energia. Nincs szeml´eletes k´ep¨ unk arr´ol, hogy az energia kicsiny, meghat´arozott adagokban terjedne. Nem is ez a helyzet. Ellenben van n´eh´any sz´amszer˝ u mennyis´eg kisz´am´ıt´as´ara szolg´al´o k´eplet¨ unk, melyeknek ¨osszege 28” – mindig ugyanaz a sz´am. Ez pedig elvont dolog ” annyiban, hogy nem mond semmit sem a k´eplet mechanizmus´ar´ol, sem a k¨ ul¨onb¨oz˝o tagok megjelen´es´enek okair´ol. 4.2. Gravit´ aci´ os helyzeti energia Az energiamegmarad´as elv´et csak akkor ´erthetj¨ uk meg, ha az energia o¨sszes megjelen´esi form´aj´ara vonatkoz´oan k´epletek ´allnak rendelkez´es¨ unkre. A k¨ovetkez˝okben a gravit´aci´os energi´ara vonatkoz´o, csak a F¨old fel¨ ulet´enek k¨ozel´eben ´erv´enyes k´epletet szeretn´enk t´argyalni, m´egpedig t¨ort´eneti ´attekint´es n´elk¨ ul. A levezet´es egy speci´alisan e k¨onyvh¨oz kidolgozott egyszer˝ u gondolatsor, amely megmutatja, hogy n´eh´any t´eny ´es k¨ovetkezetes okoskod´as seg´ıts´eg´evel minden kider´ıthet˝o a term´eszetr˝ol. Egyben az elm´eleti fizikusok munk´aj´ara, az elm´eleti fizika m´odszereire is f´enyt vet. Egy´ebk´ent a levezet´es mint´aja Carnot-nak a g˝ozg´epek hat´asfok´ara vonatkoz´o kit˝ un˝o ´ervel´ese.1 Tekints¨ unk s´ ulyemel˝o g´epeket – olyan g´epeket, melyek a s´ uly leereszt´ese r´ev´en emelnek fel egy m´asikat. T´etelezz¨ uk fel tov´abb´a, hogy ezekn´el a g´epekn´el nem l´ephet fel ¨ or¨ okk´e tart´ o mozg´ as. (Az, hogy ¨or¨okmozg´o egy´altal´an nem l´etezik – l´enyeg´eben az energiamegmarad´as t¨orv´eny´enek egy ´altal´anos megfogalmaz´asa.) Az o¨r¨okk´e tart´o mozg´as meghat´aroz´asakor nagyon ´ovatosan kell elj´arnunk. Fogalmazzuk meg ezt a meghat´aroz´ast el˝osz¨or a s´ ulyemel˝o g´epekre vonatkoz´oan. Ha felemeln´enk ´es leereszten´enk bizonyos terheket, majd a g´epet vissza´all´ıtva eredeti helyzet´ebe, azt tal´aln´ank, hogy mindennek a v´egeredm´enye egyetlen s´ uly felemel´e1

Itt nem is annyira a (4.3) eredm´eny a fontos, mellyel m´ ar kor´ abban tal´ alkozhattunk, mint ink´ abb a lehet˝ os´eg, hogy az eredm´enyt elm´eleti megfontol´ asok seg´ıts´eg´evel is megkaphatjuk.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

82

4. Az energiamegmarad´ as t´etele

se volt, akkor ¨or¨okmozg´oval ´alln´ank szemben, mivel a felemelt s´ ulyt most ¨ okmozg´om´ar valamilyen m´as s´ uly mozgat´as´ara haszn´alhatn´ank fel. Or¨ val ´alln´ank szemben, felt´eve, hogy a s´ ulyemel˝o g´ep pontosan a kiindul´ asi helyzet´ebe t´er vissza, ´es hogy a rendszer t¨ok´eletesen z´ art, azaz semmilyen k¨ uls˝o forr´asb´ol nem kaphat a s´ uly felemel´es´ere energi´at (anal´ogi´ankban: a szomsz´ed kisfi´ u nem j¨ohet vend´egs´egbe a kock´aival). A 4.1. ´abr´an nagyon egyszer˝ u s´ ulyemel˝o g´ep l´athat´o. A g´ep h´aromszoros s´ ulyt emel fel. Az egyik t´any´erra h´aromegys´egnyi, a m´asikra egyegys´egnyi s´ ulyt rakunk. De hogy a s´ ulyemel˝o val´oban m˝ uk¨odj´ek, le kell emeln¨ unk a bal t´any´err´ol egy kis s´ ulyt. M´asr´eszt az egys´egnyi s´ ulyt csak akkor tudjuk felemelni a h´aromegys´egnyi s´ uly leenged´ese r´ev´en, ha egy picik´et csalunk: a jobb t´any´err´ol egy kis s´ ulyt leemel¨ unk. Meg´allap´ıthat´o teh´at, hogy b´armely val´ odi s´ ulyemel˝o g´ep m˝ uk¨od´esbe hozatal´ahoz valamelyik oldalon egy kis t´ uls´ uly sz¨ uks´eges. Azonban egyel˝ ore ett˝ol eltekint¨ unk. Ide´alis g´epek, b´ar a val´os´agban nem l´eteznek, semmilyen t´ uls´ ulyt nem ig´enyelnek. A val´odi s´ ulyemel˝o g´ep m˝ uk¨od´ese bizonyos ´ertelemben majdnem megford´ıthat´o, azaz ha a g´ep egys´egnyi s´ uly s¨ ullyeszt´ese r´ev´en h´aromegys´egnyit emel fel, akkor h´aromegys´egnyi s´ uly leenged´ese r´ev´en az egys´egnyit is csaknem ugyanolyan magasra emelheti. K´epzelj¨ uk el, hogy a s´ ulyemel˝o g´epeknek k´et fajt´ajuk van: az irreverzibilisek – ilyenek az ¨osszes val´odi g´epek – ´es a reverzibilisek, amelyek nem l´eteznek a val´os´agban, b´armi4.1. a ´bra. Egyszer˝ u s´ ulyemel˝ o g´ep lyen pontosan tervezz¨ uk is meg a csap´agyakat, emelty˝ uket stb. T´etelezz¨ uk azonban fel, hogy van ilyen reverzibilis g´ep, teh´at olyan, amely egys´egnyi s´ ulyt (1 N-t vagy b´armely m´as egys´eget) egys´egnyi t´avols´aggal enged le, ´es ugyanakkor h´aromegys´egnyi s´ ulyt emel fel. Nevezz¨ uk el ezt a reverzibilis s´ ulyemel˝o g´epet A g´epnek. Tegy¨ uk fel tov´abb´a, hogy ez a bizonyos reverzibilis g´ep a h´aromegys´egnyi s´ ulyt X magass´agra emeli fel. V´eg¨ ul t´etelezz¨ uk fel, hogy van egy m´asik, nem sz¨ uks´egk´eppen reverzibilis B g´ep¨ unk is, amely szint´en egys´egnyi s´ ulyt egys´egnyi t´avols´aggal enged le, mik¨ozben h´aromegys´egnyi s´ ulyt Y magass´agra emel fel. Bizony´ıthat´o, hogy Y nem nagyobb X-n´el, azaz lehetetlen olyan g´epet szerkeszteni, amely adott s´ ulyt egy reverzibilis g´epn´el b´armennyivel is magasabbra tudna emelni. N´ezz¨ uk meg, mi´ert. T´etelezz¨ uk fel, hogy Y nagyobb, mint X. Vegy¨ unk egy egys´egnyi s´ ulyt, ´es s¨ ullyessz¨ uk le egys´egnyi t´avols´aggal a B g´ep seg´ıts´eg´evel, amely ugyanakkor Y magass´agra emeli a h´arom egys´eg s´ ulyt. ´Igy a s´ ulyt Y -r´ol X-ig

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

4.2. Gravit´ aci´ os helyzeti energia

83

leengedhetj¨ uk, mik¨ozben szabad energi´ at nyer¨ unk, majd pedig visszafel´e j´aratjuk a reverzibilis A g´epet, az a h´aromegys´egnyi s´ ulyt X magass´agig engedi le, az egys´egnyi s´ ulyt pedig egys´egnyi magass´aggal emeli fel. Az egys´egnyi s´ uly teh´at eredeti hely´ere ker¨ ul vissza, ´es ez´altal mindk´et g´ep u ´jra haszn´alatra k´esz ´allatotba ker¨ ul! K¨ovetkez´esk´eppen, ha Y nagyobb volna X-n´el, akkor ¨or¨okmozg´ot kapn´ank, ami felt´etelez´es¨ unk ´ertelm´eben lehetetlen. Az eml´ıtett feltev´esekkel teh´at arra a k¨ovetkeztet´esre jutunk, hogy Y nem nagyobb X-n´el, azaz az ¨osszes lehets´eges g´ep k¨oz¨ ul a reverzibilis a legjobb. Azt is meg´erthetj¨ uk, hogy minden reverzibilis g´epnek pontosan azonos 3x magass´ agra kell emelnie a s´ ulyt. Te1m x gy¨ uk fel ugyanis, hogy B szint´en re(a) A kezdeti helyzet (b) A golyók ráhelyezése verzibilis. Az, hogy Y nem nagyobb X-n´el, term´eszetesen ´epp´ ugy ´erv´enyes, mint el˝obb, de a g´epek haszn´alat´anak sorrendj´et felcser´elve ´es gondolatmenet¨ unket megism´etelve bebi(c) 1 N x magasságra (d) A golyók visszazony´ ıthatjuk, hogy X sem nagyobb Yemel 3 kg-ot helyezése n´ al. Ez nagyon fontos megfigyel´es, mert lehet˝os´eget ad annak vizsg´alat´a3x ra, hogy k¨ ul¨onb¨oz˝o g´epek milyen ma1m x gasra tudnak valamit felemelni, an´el(e) Visszaállítás (f) Véghelyzet k¨ ul, hogy bels˝ o szerkezet¨ uket figyelembe venn´enk. Azonnal felismerj¨ uk, hogy ha valaki egyszer egy m´erhetet4.2. a ´bra. Reverzibilis g´ep len¨ ul bonyolult emel˝orendszert k´esz´ıtene, amely egys´egnyi s´ uly egys´egnyi t´avols´aggal val´o leenged´ese r´ev´en h´aromegys´egnyi s´ ulyt emelne bizonyos magass´agba, ´es ezt a rendszert u reverzibilis emel˝ovel, amely ugyanerre ¨osszehasonl´ıtan´ank egy egyszer˝ k´epes, azt tal´aln´ank, hogy a bonyolult g´ep nem emeli a s´ ulyt magasabbra, s˝ot tal´an ellenkez˝oleg. Ha pedig az el˝obbi bonyolult g´ep reverzibilis volna, azt is pontosan tudn´ank, hogy milyen magasra emeln´e a s´ ulyt. ¨ Osszefoglalva: minden reverzibilis g´ep, b´arhogyan is m˝ uk¨odik, 1 N s´ uly 1 m-rel val´o leenged´ese ´ar´an 3 N-t mindig egy ´es ugyanazon X magass´agba emel fel. Vil´agos, hogy ez´altal egy nagyon hasznos ´altal´anos t¨orv´enyhez jutottunk. A k¨ovetkez˝o k´erd´es term´eszetesen az, vajon mekkora az X. T´etelezz¨ uk fel, hogy olyan reverzibilis g´ep¨ unk van, amely 1 N s´ uly ellen´eben 3 N-t k´epes felemelni X magass´agra. Helyezz¨ unk a 4.2. ´abr´an

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

84

4. Az energiamegmarad´ as t´etele

l´athat´o m´odon h´arom goly´ot egy nem mozgathat´o keretbe. A negyedik goly´o a talajt´ol sz´am´ıtva 1 m magas ´allv´anyon van. A g´ep h´arom goly´ot tud felemelni, mik¨ozben egyet 1 m-rel leenged. A goly´okat tart´o keret pontosan X magass´ag´ u polcainak megfelel˝oen, k´esz´ıts¨ unk a h´arom goly´o sz´am´ara h´arom, pontosan X magass´ag´ u fi´okot (4.2a ´abra). Gur´ıtsuk ´at el˝osz¨or a goly´okat v´ızszintesen a polcokr´ol a fi´okokba (??b ´abra), ´es t´etelezz¨ uk fel, hogy ek¨ozben nem haszn´al´odik fel energia, mivel a magass´agot nem v´altoztattuk meg. Ezut´an l´ep m˝ uk¨od´esbe a reverzibilis g´ep: leengedi a talajra az egyed¨ ul ´all´o negyedik goly´ot, ´es X magass´agra emeli a fi´okokat (4.2c ´abra). Mivel keret¨ unket u uk, a goly´ok u ´jra ¨gyesen szerkesztett¨ pontosan egy magass´agba ker¨ ulnek a keret polcaival. Ekkor visszagur´ıtjuk ˝oket a keretbe (4.2d ´abra), ´es a g´epet vissza´all´ıthatjuk eredeti helyzet´ebe. A keret h´arom fels˝o polc´an most h´arom goly´o van, a negyedik goly´o a talajon van. A furcsa az, hogy kett˝ ot k¨ oz¨ ul¨ uk egy´altal´an nem emelt¨ unk, mivel a goly´ok v´egeredm´enyben m´ar el˝obb is ott voltak a 2. ´es 3. polcon. Teh´at csak egy goly´ ot emelt¨ unk fel, de ezt 3X magass´agra. Ha ez a 3X magass´ag t¨obb volna egy m´etern´el, akkor a goly´ot leengedhetn´enk, hogy a g´ep vissza´allhasson kezdeti helyzet´ebe ´es u ´jra m˝ uk¨od´esbe l´ephessen (4.2f ´abra). K¨ovetkez´esk´eppen a 3X magass´ ag nem lehet 1 m-n´el nagyobb, mert k¨ ul¨onben o¨r¨okmozg´ot csin´alhatn´ank. Hasonl´ok´eppen, a reverzibilis g´ep ford´ıtott ir´any´ u m˝ uk¨odtet´es´evel bebizony´ıthatjuk, hogy az 1 m sem lehet 3X-n´el t¨ obb. 3X teh´ at 1 m-n´el sem t¨ obb, sem kevesebb nem lehet, s ´ıgy – puszt´an okoskod´as r´ev´en – felfedezt¨ uk azt a t¨orv´enyt, hogy X = 1/3 m. Az ´altal´anos´ıt´as menete vil´agos: ha egy reverzibilis g´ep m˝ uk¨odtet´esekor 1 N bizonyos t´avols´aggal les¨ ullyed, akkor a g´ep q N-t ezen t´avols´ag q-ad r´esz´evel tud felemelni. M´as megfogalmaz´asban: 3 N szorozva azzal a magass´aggal, ameddig felemelt¨ uk (eset¨ unkben X-szel), egyenl˝o 1 N-nak ´es annak a t´avols´agnak a szorzat´aval, amennyivel azt leengedt¨ uk (eset¨ unkben 1 m). Ha a g´epen lev˝o ¨osszes s´ ulyt megszorozzuk pillanatnyi, padl´o feletti magass´agukkal, majd a g´ep m˝ uk¨odtet´ese ut´an u ´jb´ol megszorozzuk az ¨osszes s´ ulyt a magass´agukkal, semmilyen v´ altoz´ ast nem tapasztalunk. (P´eld´ankat, melyben csak egy s´ ulyt mozgattunk, k¨onnyen ´altal´anos´ıthatjuk arra az esetre, amikor egy s´ uly s¨ ullyeszt´ese r´ev´en n´eh´any m´asikat kell felemelni.) A s´ ulyok ¨osszeg´enek ´es magass´aguknak szorzat´at gravit´ aci´ os helyzeti energi´ anak nevezz¨ uk; olyan energi´anak, mellyel a testek a f¨oldh¨oz viszony´ıtott t´erbeli helyzet¨ uk k¨ovetkezt´eben rendelkeznek. A gravit´aci´os energi´ara vonatkoz´o k´eplet teh´at – ha a test nincs nagyon messze a f¨oldt˝ol,

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

4.2. Gravit´ aci´ os helyzeti energia

85

mert a magass´ag n¨oveked´es´evel az er˝o cs¨okken – a k¨ovetkez˝o:   egy testre vonatkoz´ o gravi-  = s´  uly · magass´ag. (4.3) t´ aci´os helyzeti energia Ez nagyon sz´ep gondolatsor. K´erd´es, vajon igaz-e. (Elv´egre a term´eszet nem k¨ oteles k¨ovetni gondolatainkat.) P´eld´aul val´oj´aban tal´an ¨or¨okmozg´o is l´etezhet. N´eh´any feltev´es¨ unk t´eves lehetett, vagy az ´ervel´es sor´an ejthett¨ unk hib´akat. Ezeket teh´at mindig k´ıs´erletekkel kell ellen˝orizni. A k´ıs´erletek azonban bizony´ıtj´ak okoskod´asunk helyess´eg´et. Helyzeti energi´ anak nevezz¨ uk ´altal´aban azt az energi´at, amely egy testnek valamely m´as testhez viszony´ıtott helyzet´evel kapcsolatos. A t´argyalt esetben gravit´ aci´ os helyzeti energi´ aval van dolgunk. Ha t¨ort´enetesen gravit´aci´os er˝ok helyett elektromos er˝ok ellen kell munk´at v´egezni, ha elektromos t¨olt´eseket emel¨ unk” el m´as t¨olt´esekt˝ol, akkor az energiatartalmat ” ´ elektromos helyzeti energi´ anak nevezz¨ uk. Altal´ anos alapelv, hogy az energia megv´altoz´asa az er˝onek ´es annak a t´avols´agnak a szorzat´aval egyenl˝o, amelyen az er˝o hat´ast fejt ki:     az a t´avols´ag, energia amelyen ke- . megv´ (4.4) alto-  = er˝o ·  reszt¨ ul az er˝o z´asa hat A tov´abbi fejezetekben m´eg sokszor visszat´er¨ unk a helyzeti energia k¨ ul¨onb¨oz˝o fajt´aira. Az energiamegmarad´as elve na1N gyon j´ol felhaszn´alhat´o, amikor k¨o3 5 Q3 5 1N vetkeztetni pr´ob´alunk, hogy k¨ ul¨on4 4 b¨oz˝o k¨or¨ ulm´enyek k¨oz¨ott mi j´atsz´o(a) (b) dik le. A k¨oz´episkol´aban sz´amos t¨orQ v´enyt tanultunk a csig´akr´ol ´es emel˝okr˝ol. Most l´athatjuk, hogy ezek a t¨orv´enyek” mind egy ´es ugyanazon 4.3. a ´bra. Lejt˝ o ” dolgot fejezik ki, teh´at nem kellett volna hetvenh´etf´ele szab´alyt megjegyezn¨ unk ´es fejben tartanunk. Egyszer˝ u p´eldak´ent tekints¨ unk egy s´ık lejt˝ot, melynek alakja szerencs´ere ´eppen 3, 4 ´es 5 egys´egnyi oldal´ u h´aromsz¨og (4.3. ´abra). F¨ uggessz¨ unk ferde s´ıkj´ara csig´an kereszt¨ ul 1 N-os s´ ulyt, a csiga m´asik v´eg´ere pedig egy Q s´ ulyt. Azt akarjuk megtudni, mekkor´anak kell lennie Q-nak ahhoz, hogy egyens´ ulyban tartsa az 1 N-os s´ ulyt. Hogyan tal´alhatjuk ki ezt? Ha a k´et s´ uly, mondjuk, ´eppen egyens´ ulyban van, akkor a reverzibilis ´allapot r´ev´en felwww.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

86

4. Az energiamegmarad´ as t´etele

fel´e is, lefel´e is mozoghatnak, teh´at tekinthetj¨ uk a k¨ovetkez˝o esetet: A kezdeti ´allapotban az 1 N-os s´ uly legyen a lejt˝o alj´an, a Q s´ uly a tetej´en (4.3a ´abra). Ha Q-t reverzibilis m´odon lecs´ usztatjuk (4.3b ´abra), akkor az 1 N-os s´ uly a lejt˝o tetej´ere ker¨ ul, a Q s´ uly pedig a lejt˝o hossz´anak megfelel˝o t´avols´agban, azaz 5 m-re lesz att´ol a helyt˝ol, ahol el˝oz˝oleg volt. Az 1 N-os s´ ulyt csak 3 m-rel emelt¨ uk fel, a Q s´ ulyt viszont 5 m-rel engedt¨ uk lejjebb. Teh´at Q = 3/5 kp. Fontos k¨or¨ ulm´eny, hogy ezt az eredm´enyt az energiamegmarad´ as elv´eb˝ol ´es nem az er˝okomponensek seg´ıts´eg´evel vezett¨ uk le. Az emberi okoss´ag azonban teljesen relat´ıv. A fentieket m´eg eleg´ansabban is le lehet vezetni, ezt a m´odszert Stevinus fedezte fel ´es a s´ırj´ara is v´esette. A 4.4. ´abra megmagyar´azza, hogy 3/5 N-t kell kapnunk, mert a l´anc o¨nmag´at´ol nem fordul k¨orbe. Vil´agos, hogy a l´anc als´o r´esze ¨onmag´at tartja egyens´ ulyban, s ´ıgy az egyik oldalon lev˝o 5 l´ancszem 4.4. a ´bra. Stevinus h´ uz´oerej´et a m´asik oldalon lev˝o 3 l´ancszem h´ uz´os´ırfelirata erej´enek kell egyens´ ulyoznia (a l´ancszemek sz´ama m´as is lehet, ez az oldalak hossz´at´ol f¨ ugg). Egy pillant´ast vetve az ´abr´ara, l´athat´o, hogy Q = 3/5 N kell legyen. (Ha mi is ilyen s´ırfeliratot kapunk az ut´okort´ol, elmondhatjuk, hogy j´ol dolgoztunk.) Az energiaelvet most a csavar1 MN ors´onak a 4.5. ´abr´an l´athat´o, sokkal bonyolultabb p´eld´aj´aval vil´ag´ıt- 4 menet/cm juk meg. A cm-enk´ent 4 menet˝ u csavar 1 m hossz´ u foganty´ u seg´ıts´e1m g´evel forgathat´o. Tudni szeretn´enk, hogy 1 MN felemel´es´ehez mekkora 4.5. a ´bra. Csavarors´ o er˝onek kell hatnia a foganty´ ura. Ha, mondjuk, az 1 MN-ot 1 cm magasra akarjuk felemelni, akkor a foganty´ ut n´egyszer kell k¨orbeforgatni. Mivel minden egyes k¨or¨ ulfordul´askor a foganty´ u v´ege 6,28 m (2rπ) utat tesz meg, az ´altala befutott u ´t hossza o¨sszesen 25,12 m lesz. Ha m´eg k¨ ul¨onb¨oz˝o csig´akat is alkalmazunk, az 1 MN s´ ulyt a foganty´ u v´eg´ere hat´o kisebb Q s´ uly seg´ıts´eg´evel is felemelhetj¨ uk. De m´eg ´ıgy is azt tal´aljuk, hogy Q ´ert´eke kb. 400 N. Ez az energiamegmarad´as k¨ovetkezm´enye. Vizsg´aljuk most a 4.6. ´abr´an l´athat´o, m´eg bonyolultabb p´eld´at. Egy 8 m hossz´ u r´ ud egyik v´eg´en al´a van t´amasztva. A r´ ud k¨ozep´en egy 60 N-os,

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

87

4.3. Mozg´ asi energia

az al´at´amaszt´asi pontt´ol 2 m-re pedig egy 100 N-os s´ uly van elhelyezve. Elhanyagolva a r´ ud s´ uly´at, milyen er˝osen kell nyomnunk a r´ ud m´asik v´eg´et, hogy azt egyens´ ulyban tartsuk? Tegy¨ uk fel, hogy csig´at alkalmazunk a r´ ud v´eg´en´el, ´es a csig´ara s´ ulyt f¨ uggeszt¨ unk. Mekkor´anak kell a Q s´ ulynak lennie ahhoz, hogy a rudat egyens´ ulyban tartsa? K´epzelj¨ uk el, hogy a Q s´ uly bizonyos t´avols´agot – az egyszer˝ us´eg kedv´e´ert, mondjuk, 4 cm-t esik. Milyen magasra emelkedik a r´ udon lev˝o k´et s´ uly? A r´ ud k¨ozep´en lev˝o 2 cm-rel, a r´ ud v´eg´en lev˝o pedig 1 cm-rel emelkedik. Ez´ert, annak az alapelvnek megfelel˝oen, amely szerint a s´ ulyok ´es a magass´agok szorzat´anak ¨osszege nem v´altozik, a Q s´ uly szorozva −4 cm-rel plusz 60 N szorozva +2 cm-rel plusz 100 N szorozva +1 cm-rel ¨osszeg¨ ul z´erust kell adjon: −4Q + 2 · 60 + 1 · 100 = 0; Q = 55 N

(4.5)

A r´ ud egyens´ ulyban tart´as´ahoz teh´at 55 kp-os s´ uly sz¨ uks´eges. Ilyen 100  60 m´odon kidolgozhatjuk az egyens´ uly t¨ o rv´ e nyeit (bonyolult h´ ıdberendez´ e Q sek sztatik´aj´at stb.). Ezt az elj´ar´ast a virtu´ alis munka elv´enek nevezz¨ uk, 4.6. a ´bra. Egyik v´eg´en al´ at´ amaszmivel a gondolatmenet alkalmaz´atott, terhelt r´ ud s´ahoz azt kell elk´epzeln¨ unk, hogy a rendszer egy kicsit elmozdul, m´eg akkor is, ha az val´ oj´ aban nem mozog, vagy ´eppens´eggel mozg´ ask´eptelen. Az igen kis elk´epzelt mozg´ast arra haszn´aljuk fel, hogy alkalmazzuk az energiamegmarad´as elv´et. 8m

4m

2m

4.3. Mozg´ asi energia Egy m´asik energiafajta szeml´eltet´es´ere tekints¨ uk az ing´at (4.7. ´abra). Ha az ing´an lev˝o t¨omeget oldalir´anyban kimozd´ıtjuk, majd elengedj¨ uk, ideoda fog lengeni. Mozg´asa k¨ozben, mialatt egyik v´eghelyzetb˝ol a k¨oz´eppontig ´er, magass´agot vesz´ıt. Mire ford´ıt´odik a helyzeti energia? Amikor az inga lent van a m´elyponton, a gravit´aci´os energia elt˝ unik, m´egis u ´jra fel fog emelkedni. A gravit´aci´os energi´anak teh´at m´as form´aba kellett ´atalakulnia. Vil´agos, hogy az inga k´epess´ege, hogy ism´et felemelkedjen, mozg´ asa k¨ovetkezt´eben j¨on l´etre; ez´ert a leng´es m´elypontj´aban a gravit´aci´os energia bizonyos m´as form´aba alakul ´at. K´epletet kell kapnunk a mozg´asi energi´ara. Eml´ekezve a reverzibilis g´epekn´el tett megfontol´asainkra, k¨onnyen bel´athatjuk, hogy a m´elypontn´al a mozg´asban bizonyos energiamennyis´egnek kell jelen lennie, ami lehet˝ov´e teszi, hogy az inga bizonyos magass´agig felemelkedjen. Ez az www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

88

4. Az energiamegmarad´ as t´etele

energia f¨ uggetlen a felemelked´es mechanizmus´ at´ ol ´es u ´tj´ at´ ol. Az energia´k egyen´ert´ek˝ us´eg´ere vonatkoz´o k´epletet kapunk, hasonl´ot ahhoz, amit a gyerek ´ep´ıt˝okock´aira vonatkoz´olag ´ırtunk fel. Az energia m´as alakban is megjelenhet. K¨onny˝ u megmondani, milyen ez. A m´elypontn´al a mozg´asi energia a s´ ulynak ´es az inga sebess´eg´et˝ol f¨ ugg˝o, el´erhet˝o magass´agnak a szorzat´aval egyenl˝o: Wkin = QH. Olyan k´epletre van sz¨ uks´eg¨ unk, amely megadja a felemelked´es magass´ag´at a test mozg´asi sebess´eg´enek a f¨ uggv´eny´eben. Ha valamit bizonyos sebess´eggel, mondjuk, egyenesen felfel´e elind´ıtunk, az bizonyos magass´agot fog el´erni. Nem tudjuk, hogy mekkora magass´agot, de azt igen, hogy a sebess´egt˝ol f¨ ugg majd (van is egy k´eplet r´a). Ahhoz teh´at, hogy egy v sebess´eggel mozg´o test mozg´asi energi´aj´ara vonatkoz´o k´epletet megtal´aljuk, ki kell sz´am´ıtanunk az el´erhet˝o magass´agot, ´es azt meg kell szoroznunk a test s´ uly´aval. Hamarosan r´aj¨ov¨ unk, hogy ezt a k¨ovetkez˝ok´eppen ´ırhatjuk: Wkin = Qv 2 /2g.

(4.6)

Term´eszetesen az, hogy a mozg´asnak energi´aja van, semmilyen kapcsolatban sincs azzal, hogy gravit´aci´os t´erben ´el¨ unk. Hogy a mozg´as mib˝ ol sz´armazik, az l´enyegtelen. Ez a k¨oz¨os k´eplet igen k¨ ul¨onb¨oz˝o sebess´egekre. Mind a (4.3), mind a (4.6) k´eplet k¨ozel´ıt´es. Az els˝o az´ert, mert nagy magass´ag, azaz olyan magass´ag eset´en, ahol a gravit´aci´o 4.7. a ´bra. Inga m´ar cs¨okken, pontatlan, a m´asodik pedig az´ert, mert nagy sebess´egekn´el relativisztikus korrekci´okat is sz´am´ıt´asba kell venn¨ unk. De ha v´eg¨ ul is az energi´ara pontos k´epletet kapunk, az energiamegmarad´as t¨orv´enye is pontos lesz. 4.4. Az energia egy´ eb form´ ai Ilyen m´odon folytathatjuk az energia m´as form´ainak bemutat´as´at. N´ezz¨ uk el˝osz¨or a rugalmas energi´at. Ha a felf¨ uggesztett rug´ot leh´ uzzuk, bizonyos munk´at kell v´egezn¨ unk, mivel a kiny´ ujtott rug´o s´ ulyok felemel´es´ere k´epes. Teh´at a rug´onak kifesz´ıtett ´allapot´aban munkav´egz˝o k´epess´ege van. Ha most kisz´am´ıtan´ank a s´ uly- ´es magass´agszorzatok ¨osszeg´et, akkor az t¨obb´e nem adn´a ki az energi´at – valamit m´eg hozz´a kellene adnunk, hogy a rug´o fesz´ıtett ´allapot´at figyelembe vegy¨ uk. A rugalmas energia a megfesz´ıtett rug´ora vonatkoz´o p´otl´olagos tag elnevez´ese. Mekkora ez az energia? Amint a kifesz´ıtett rug´ot elengedj¨ uk, az az egyens´ ulyi ´allapot´an ´athalad, s ekkor a rugalmas energia mozg´asi energi´av´a alakul ´at. A rug´o kih´ uwww.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

4.4. Az energia egy´eb form´ ai

89

zott ´es ¨osszenyomott ´allapot´anak megfelel˝oen az energia ´atalakul´asa ´es visszaalakul´asa ism´et ´es ism´et v´egbemegy. (Sz´am´ıt´asba kellene m´eg venni bizonyos v´altoz´o gravit´aci´os energi´at is, de hogy ezt elker¨ ulj¨ uk, a k´ıs´erletet oldalir´anyban” is elv´egezhetj¨ uk.) Mindez addig folytat´odik, am´ıg az ” energiavesztes´egek. . . hoh´o! Most der¨ ul ki, hogy tulajdonk´eppen eg´esz id˝o alatt csaltunk; kis t´ uls´ ulyokat haszn´altunk a s´ ulyok mozgat´as´ara, reverzibilis g´epeket emlegett¨ unk, illetve arr´ol besz´elt¨ unk, hogy e g´epek o¨r¨okk´e m˝ uk¨odnek. V´egs˝o soron azonban azt l´atjuk, hogy a g´epek le´allnak. Hol van akkor az energia, amikor a rug´o m´ar befejezte fel-le ir´any´ u mozg´as´at? Ez a k´erd´es az energia egy m´ asik form´aj´ahoz, a h˝ oenergi´ ahoz vezet. A rug´o vagy az emel˝o belsej´eben sok-sok atomb´ol ´all´o krist´alyok vannak. G´epr´eszek ¨osszeszerel´esekor teh´at k¨ ul¨on¨os gonddal ´es pontoss´aggal kell elj´arnunk, hogy mik¨ozben az alkatr´eszek egym´ason g¨ord¨ ulnek, egyetlen atom, a legkisebb m´ert´ekben se mozduljon el. Ugyanis az alkatr´eszek egym´ason val´o g¨ord¨ ul´esekor az anyag egyenetlens´egei k¨ovetkezt´eben z¨oty¨og´es ´es rezg´es l´ep fel, ´es az atomok az anyag belsej´eben ide-oda kezdenek mozogni. Ennek az energi´anak azonban nyom´at vesz´ıtj¨ uk; a mozg´as lelassul´asa ut´an az atomok az anyag belsej´eben v´eletlen ´es rendezetlen mozg´ast v´egeznek. Rendben van, ez m´eg mindig mozg´asi energia, de a l´athat´o mozg´assal nincs kapcsolatban. Milyen sejtelmes ´alomk´ep! Honnan tudjuk, hogy ez m´eg mindig mozg´asi energia? Kider¨ ul, hogy h˝om´er˝o seg´ıts´eg´evel ki lehet mutatni; a rug´o vagy az emel˝o t´enyleg melegebb, ´es hogy a mozg´asi energia bizonyos mennyis´eggel t´enyleg megn¨ovekedett. Az energi´anak ezt az alakj´at h˝ oenergi´ anak nevezz¨ uk, de tudjuk, hogy ez val´oj´aban nem u ´j alak, hanem mozg´asi energia – bels˝o mozg´as. (Az anyaggal v´egzett ilyen ir´any´ u k´ıs´erletek egyik neh´ezs´ege, hogy val´oj´aban nem tudjuk az energiamegmarad´ast bemutatni, sem pedig a reverzibilis g´epeket elk´esz´ıteni, mivel valah´anyszor megmozgatunk egy nagyobb anyagdarabot, az atomok nem maradnak meg teljesen zavartalan ´allapotukban, ´es ´ıgy bizonyos mennyis´eg˝ u v´eletlen mozg´as ker¨ ul az atomi rendszerbe. Ezt nem l´atjuk, de h˝om´er˝okkel stb. meg tudjuk m´erni.) Nagyon sok m´as energiaforma van, de most nem tudjuk ˝oket r´eszletesebben le´ırni. L´etezik elektromos energia, mely elektromos t¨olt´esek vonz´as´aval ´es tasz´ıt´as´aval kapcsolatos. L´etezik sug´arz´asi energia – a f´eny energi´aja –, amely, mint tudjuk, az elektromos energia egy fajt´aja, mivel a f´eny az elektrom´agneses t´er rezg´esek´ent foghat´o fel. L´etezik k´emiai energia, azaz a k´emiai reakci´ok sor´an felszabadul´o energia. L´enyeg´eben a rugalmas energia is bizonyos m´ert´ekig a k´emiai energi´ahoz hasonl´o, mivel a k´emiai energia is az atomok k¨olcs¨on¨os vonz´as´anak energi´aja. A mo-

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

90

4. Az energiamegmarad´ as t´etele

dern tudom´any szerint a k´emiai energia k´et r´eszb˝ol ´all, az atomokon bel¨ ul az elektronok mozg´asi energi´aj´ab´ol, tov´abb´a az elektronok ´es a protonok k¨oz¨otti k¨olcs¨onhat´as elektromos energi´aj´ab´ol; teh´at r´eszben mozg´asi, r´eszben elektromos energia. Most r´at´er¨ unk a magenergi´ara, vagyis a r´eszecsk´eknek a magon bel¨ uli elrendez˝od´es´evel kapcsolatos energi´ara. Erre vannak k´epleteink is, de az alapt¨orv´enyeket nem ismerj¨ uk. Azt tudjuk, hogy nem elektromos, nem gravit´aci´os ´es hogy nem is tiszt´an mozg´asi ´ energia, de hogy l´enyeg´eben micsoda, azt nem tudjuk. Ugy l´atszik, ez az energi´anak egy tov´abbi form´aja. V´eg¨ ul, a relativit´aselm´elettel kapcsolatban sz¨ uks´egess´e v´alik a mozg´asi energia – vagy aminek nevezni ´ohajtj´ak – t¨orv´enyeinek m´odos´ıt´asa, m´egpedig u ´gy, hogy a mozg´asi energia egy t¨ omegenergi´ anak nevezett energi´aval kombin´al´odik. Valamely t´argynak ugyanis a puszta l´ete miatt is van energi´aja. Tekints¨ unk p´eld´aul egy nyugv´o pozitront ´es egy elektront – nem t¨or˝odve a gravit´aci´oval ´es m´as jelens´egekkel –; ha o¨sszetal´alkoznak, ˝ok maguk elt˝ unnek a szem¨ unk el˝ol, mik¨ozben meghat´arozott mennyis´eg˝ u sug´arz´o energia szabadul fel – s ez a mennyis´eg ki is sz´am´ıthat´o. Az egyetlen, amit ehhez tudnunk kell, a t´argy t¨omege. A mennyis´eg nem f¨ ugg att´ol, hogy mi az a t´argy – csak a k´et t´argyat kell elt¨ untetn¨ unk, s meghat´arozott mennyis´eg˝ u energi´at nyer¨ unk. Az ide vonatkoz´o k´epletet els˝onek Einstein tal´alta meg: W = mc2 . Eddigi megfontol´asainkb´ol nyilv´anval´o, hogy az energiamegmarad´as elve a jelens´egek t´argyal´as´ahoz rendk´ıv¨ ul j´ol felhaszn´alhat´o. Ezt n´eh´any p´eld´an szeml´eltett¨ uk is, an´elk¨ ul, hogy a vizsg´alt jelens´egben szerepl˝o ¨osszes energi´at le´ır´o k´epletet ismert¨ uk volna. Ha minden energiafajt´ara minden k´epletet ismern´enk, akkor analiz´alni tudn´ank, hogy egy jelens´egn´el h´any folyamat m˝ uk¨odik k¨ozre, an´elk¨ ul, hogy a r´eszletekbe menn´enk. A megmarad´asi t¨orv´enyek ez´ert nagyon ´erdekesek. Term´eszetesen azonnal felmer¨ ul a k´erd´es, hogy a fizik´aban m´eg milyen m´as megmarad´asi t¨orv´enyek vannak. K´et, az energiamegmarad´as´ehoz hasonl´o megmarad´asi t¨orv´eny van. Az egyiket impulzus- (vagy mozg´asmennyis´eg-, vagy lend¨ ulet-) megmarad´asnak, a m´asikat impulzusmomentum- (vagy perd¨ ulet-) megmarad´asnak nevezik.2 Ezekkel k´es˝obb majd r´eszletesen megismerked¨ unk. A fentiekb˝ol nem ´ertj¨ uk meg m´elyebben a megmarad´asi t¨orv´enyeket. Nem ´ertj¨ uk az energiamegmarad´ast. Nem tudjuk elk´epzelni, hogy az energia bizonyos sz´am´ u kis adagb´ol ´all. Val´osz´ın˝ uleg hallott´ak m´ar, hogy a fotonok adagokban bocs´at´odnak ki, ´es energi´ajuk a Planck-´alland´o ´es a frekvencia szorzata. Ez igaz, de mivel a f´eny frekvenci´aja tetsz˝oleges lehet, nem l´etezik olyan t¨orv´eny, ami szerint az energia bizonyos meghat´arozott mennyis´eg˝ u 2

Ma a perd¨ ulet az elfogadott megnevez´es (Patk´ os Andr´ as).

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

4.4. Az energia egy´eb form´ ai

91

kellene legyen. Az eset nem hasonl´o Ront´o Pali ´ep´ıt˝okock´aihoz, mert az energia – leal´abbis jelen tud´asunk szerint – tetsz˝oleges mennyis´eg˝ u lehet. Az energia teh´at – pillanatnyilag – sz´amunkra nem valami megsz´aml´alhat´o dolgot, hanem ink´abb matematikai mennyis´eget jelent, s ez a t´eny sz´amunkra el´egg´e elvont, saj´ats´agos k¨or¨ ulm´eny. A kvantummechanik´aban kider¨ ul, hogy az energiamegmarad´as a term´eszet egy m´asik fontos tulajdons´ag´aval van nagyon szoros kapcsolatban, azzal ti., hogy a dolgok nem f¨ uggenek az abszol´ ut id˝ ot˝ ol. Ha egy adott id˝opontban ¨ossze´all´ıtunk ´es elv´egz¨ unk egy k´ıs´erletet, majd egy k´es˝obbi id˝opontban megism´etelj¨ uk, azt tal´aljuk, hogy az eredm´eny mindk´et esetben pontosan ugyanaz lesz. Nem tudjuk azonban, hogy ez az ´all´ıt´as szigor´ uan v´eve igaz-e vagy sem. Ha feltessz¨ uk, hogy igaz, s ezt kieg´esz´ıtj¨ uk a kvantummechanika alapelveivel, akkor az energiamegmarad´as elv´et le tudjuk vezetni. Ez el´egg´e sz¨ovev´enyes ´es ´erdekes, ´es nem is k¨onny˝ u megmagyar´azni. A t¨obbi megmarad´asi t¨orv´eny szint´en kapcsolatban ´all egym´assal. Az impulzusmegmarad´as a kvantummechanik´aban azzal kapcsol´odik ¨ossze, hogy nem fontos, hol v´egezz¨ uk a k´ıs´erletet, az eredm´enyek mindig ugyanazok lesznek. Mik´ent a t´erbeli f¨ uggetlens´eg az impulzusmegmarad´assal, ugyan´ ugy az id˝ot˝ol val´o f¨ uggetlens´eg az energiamegmarad´assal kapcsolatos. K´ıs´erleti berendez´es¨ unk elforgat´ asa szint´en nem okoz semmilyen k¨ ul¨onbs´eget; a term´eszetnek a forgat´assal szembeni f¨ uggetlens´ege az impulzusmomentum megmarad´as´aval kapcsolatos. A fentieken k´ıv¨ ul m´eg h´arom m´asik megmarad´asi t¨orv´eny is l´etezik, s ezek, amennyire ma meg tudjuk mondani, pontosak. S mivel term´eszet¨ ukre n´ezve az ´ep´ıt˝okock´ak sz´aml´al´as´ahoz hasonlatosak, az´ert az el˝oz˝okn´el sokkal egyszer˝ ubben ´erthet˝ok meg. A h´arom k¨oz¨ ul az els˝o a t¨ olt´es megmarad´ asa. Ez csup´an azt jelenti, hogy ak´armikor megsz´amoljuk a pozit´ıv t¨olt´eseket ´es az ´ıgy kapott sz´amb´ol levonjuk a negat´ıv t¨olt´eseket, mindig ugyanazt a sz´amot kapjuk eredm´eny¨ ul. Elt´avol´ıthatunk egy pozit´ıv t¨olt´est egy negat´ıvval egy¨ utt, de a pozit´ıv t¨olt´eseknek a negat´ıvakhoz k´epest semmif´ele tiszta” t¨obblet´et ” nem id´ezhetj¨ uk el˝o. A m´asik k´et t¨orv´eny ehhez hasonl´o. Az egyiket a barionsz´ am megmarad´ as´ anak nevezik. L´etezik egy csom´o k¨ ul¨on¨os r´eszecske, a neutronok ´es a protonok p´eld´aul, amelyeket barionoknak neveznek. A term´eszetben lefoly´o b´armely reakci´oban a barionok sz´ama3 a reakci´o el˝ott ´es ut´an pontosan azonos lesz. A m´asik t¨orv´eny a leptonsz´ am megmarad´ asa. A leptonoknak nevezett r´eszecsk´ek csoportj´aba az elektronok, a m¨ uonok ´es a neutr´ın´ok tartoznak. A pozitronnak nevezett antielektron −1 leptonnak sz´am´ıt. A reakci´oba bel´ep˝o ´es abb´ol kil´ep˝o leptonokat meg3

Az antibariont −1 barionnak tekintve

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

92

4. Az energiamegmarad´ as t´etele

sz´aml´alva azt tal´aljuk, hogy sz´amuk – legal´abbis mai tud´asunk szerint – sohasem v´altozik meg. Ez teh´at a hat megmarad´asi t¨orv´eny. K¨oz¨ ul¨ uk a t´errel ´es az id˝ovel kapcsolatos h´arom t¨orv´eny bonyolult, a megsz´aml´alhat´o mennyis´egekkel kapcsolatos m´asik h´arom t¨orv´eny egyszer˝ u. Az energiamegmarad´assal kapcsolatban megjegyezz¨ uk, hogy a rendelkez´esre ´ all´ o energia eg´eszen m´as fogalom: p´eld´aul a tengerv´ız atomjaiban egy csom´o rendezetlen mozg´as van, mivel a tengernek bizonyos h˝om´ers´eklete van, de ezeket tov´abbi energiabefektet´es n´elk¨ ul nem lehet hat´arozott mozg´ass´a ¨osszefogni. M´as sz´oval, b´ar ismeretes, hogy az energia megmarad, az emberek ´altal felhaszn´alhat´o energia nem marad meg olyan k¨onnyen. Azok a t¨orv´enyek, melyek megszabj´ak, hogy mekkora felhaszn´alhat´o energia ´all rendelkez´esre, a termodinamika t¨ orv´enyei, ´es ezek tartalmazz´ak a megford´ıthatatlan termodinamikai folyamatokra vonatkoz´o entr´opia fogalm´at. V´eg¨ ul m´eg egy k´erd´es: honnan biztos´ıthatjuk ma energiaell´at´asunkat? Energi´at sz´amunkra a Nap, az es˝o, a sz´en, az ur´an ´es a hidrog´en szolg´altat. Miut´an azonban a Nap csin´alja” mind az es˝ot, mind pedig a szenet, ” v´egs˝o soron ezek a Napb´ol sz´armaznak. Noha az energia megmarad, a term´eszetet ez, u ´gy l´atszik, aligha ´erdekli; a Napb´ol nagy mennyis´eg˝ u energia szabadul fel, de annak csak k´etmilli´ardnyi r´esze esik a F¨oldre. A term´eszet meg˝orzi az energi´at, de val´oj´aban nem t¨or˝odik vele; egy csom´ot minden ir´anyban sz´etsz´or. Ur´aniumb´ol m´ar nyert¨ unk energi´at, ´es a hidrog´enb˝ol is kaphatunk, de jelenleg csak robban´as u ´tj´an ´es vesz´elyes k¨or¨ ulm´enyek k¨oz¨ott. Ha a termonukle´aris reakci´okat ir´any´ıtani tudn´ank, akkor a m´asodpercenk´ent 10 l v´ız felhaszn´al´asa r´ev´en nyerhet˝o energia ´ az Egyes¨ ult Allamokban jelenleg termelt ¨osszes elektromos energi´aval len´ ne egyenl˝o. Teh´at percenk´ent 600 l foly´ov´ız az Egyes¨ ult Allamok teljes energiaell´at´as´ahoz elegend˝o u ¨zemanyagot szolg´altatna! A fizikusokra v´ar a feladat, hogy kigondolj´ak, mi m´odon szabadulhatn´ank meg az energiaell´at´as gondjait´ol. A feladat megoldhat´o.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

5. fejezet Id˝ o´ es t´ avols´ ag 5.1. A mozg´ asr´ ol E fejezetben az id˝ o ´es t´ avols´ ag fogalm´anak n´eh´any vonatkoz´as´ar´ol lesz sz´o. Kor´abban m´ar hangs´ ulyoztuk, hogy a fizika – mint b´armely m´as ´ tudom´any´ag – megfigyel´eseken alapszik. Ugy is mondhatn´ank, hogy a fizika fejletts´egi szintj´et nagyr´eszt az´ert siker¨ ult el´erni, mert nagy s´ ulyt helyeztek a kvantitat´ıv megfigyel´esekre. Csakis kvantitat´ıv (sz´amszer˝ u) megfigyel´esek vezethetnek sz´amszer˝ u ¨osszef¨ ugg´esek felt´ar´as´ara, s ez ut´obbi a fizika lelke. A fizika kezdete sokak szerint Galilei 350 ´evvel ezel˝otti munk´ass´ag´ahoz f˝ uz˝odik, ˝ot tartj´ak az els˝o fizikusnak. Mindaddig a mozg´asokat filoz´ofiai alapon tanulm´anyozt´ak, s az elm´elet ember kigondolta ´eszokokon nyugodott. A legt¨obb ilyen ´eszok Arisztotel´eszt˝ol ´es n´eh´any m´as g¨or¨og filoz´ofust´ol sz´armazott, s ezeket bizony´ıtottnak” tekintett´ek. Galilei azonban ” k´etked˝o volt, ´es a mozg´asra vonatkoz´oan elv´egzett egy k´ıs´erletet, amely l´enyeg´eben a k¨ovetkez˝okb˝ol ´allt: egy ferde v´aly´ uban goly´ot gur´ıtott le, ´es megfigyelte annak mozg´as´at. Azonban nemcsak n´ezte, hogyan gurul a goly´o, de egy´ uttal m´erte is, mekkora t´ avols´ agot mennyi id˝ o alatt tesz meg. A t´avols´agok m´er´es´enek m´odja m´ar j´oval Galilei el˝ott ismeretes volt, de az id˝o m´er´es´ere, k¨ ul¨on¨osk´eppen a r¨ovid id˝otartamok m´er´es´ere nem volt pontos m´odszer. B´ar k´es˝obb Galilei maga is szerkesztett nagyobb ig´enyt kiel´eg´ıt˝o ´or´akat (ezek persze nem hasonl´ıthat´ok a maiakhoz), a mozg´asra vonatkoz´o k´ıs´erletekhez saj´at pulzus´at haszn´alta fel, hogy egyenl˝o id˝otartamokat le tudjon sz´amolni. Pr´ob´aljuk most ezt megism´etelni. Amint a goly´o lefel´e gurul p´aly´aKiinduló helyzet „Egy” s~t j´an, ´erver´es¨ unket hangosan sz´amol„Kettő” 1 2 juk: egy. . . kett˝o. . . h´arom. . . n´egy. . . „Három” 3 4 ” 5 6 7 8 ¨ot. . . hat. . . h´et. . . nyolc. . . ” Megk´er9 10 j¨ uk bar´atunkat, hogy minden sz´am kimond´asakor kicsiny jellel t¨ untesse fel a goly´o pillanatnyi helyzet´et, ez´al5.1. a ´bra. Goly´ ot gur´ıtunk lejt˝ os fel¨ uleten tal le tudjuk m´erni azt a t´ avols´ agot, amelyet a goly´o elindul´asi hely´et˝ol sz´am´ıtva egy, k´et, h´arom stb. egyenl˝o id˝ok¨oz alatt befutott. Galilei, megfigyel´es´enek eredm´eny´et a k¨ovetkez˝ok´eppen fejezte ki. Ha a goly´o helyzet´et az elindul´ast´ol sz´am´ıtott 1, 2, 3, 2

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

94

5. Id˝ o ´es t´ avols´ ag

4,. . . id˝opontban jel¨olte meg, e jelek t´avols´aga a kezd˝opontt´ol az 1, 4, 9, 16,. . . sz´amokkal volt ar´anyos. Ma ezt u ´gy fogalmazn´ank meg, hogy a t´avols´ag az id˝o n´egyzet´evel ar´anyos: s ∼ t2 . A mozg´ as tanulm´anyoz´asa, amely az eg´esz fizika alapja, a hol?” ´es a ” mikor?” k´erd´esekre igyekszik v´alaszt keresni. ” 5.2. Az id˝ o fogalma El˝osz¨or vizsg´aljuk meg, mit ´ert¨ unk azon, hogy id˝ o. Mi az id˝o? Nagyon sz´ep lenne, ha tal´aln´ank egy j´o meghat´aroz´ast. Webster ´ertelmez˝o sz´ot´ara az id˝ot” u ´gy defini´alja, hogy az egy bizonyos peri´odus”, m´ıg ez ut´obbir´ol ” ” azt mondja, hogy egy bizonyos id˝o” – ezzel a meghat´aroz´assal teh´at nem ” sokra megy¨ unk. Esetleg azt mondhatn´ank: Id˝o az, ami akkor t¨ort´enik, ” amikor semmi m´as nem t¨ort´enik.” De ez sem vezetne messzire. Tal´an nem is baj, ha szemben´ez¨ unk a t´ennyel, hogy az id˝o egyike azon dolgoknak, amiket nem lehet defini´alni (sz´ot´ari ´ertelemben), ´es megel´egsz¨ unk ezzel: mindaz, amit m´ar tudunk r´ola, csak annyi, hogy milyen sok´ aig kell v´arnunk! A gyakorlatban persze nem az a fontos, hogyan defini´ aljuk az id˝ot, hanem, hogy hogyan m´erj¨ uk. Az id˝om´er´es egyik m´odj´anak alapja p´eld´aul olyasvalami lehet, ami szab´alyosan ism´etl˝odik, valami, ami periodikus. Ilyen p´eld´aul a napt´ari nap, amely ´alland´oan ism´etl˝odik. De aki ezen egy kicsit elgondolkodik, joggal megk´erdezheti: Vajon a napok periodikusak, ” szab´alyosak-e? Ugyanolyan hossz´ u-e az egyik nap, mint a m´asik?” Hat´arozottan az a benyom´asunk, hogy a napok ny´aron hosszabbak, mint t´elen. Persze n´eh´any t´eli napot az´ert is elviselhetetlen¨ ul hossz´ unak ´erz¨ unk, mert f´aradtak, unottak vagyunk. Ki ne hallott volna m´ar hasonl´ot: Hej, de ” hossz´ u volt ez a mai nap!” Mindemellett u ´gy t˝ unik, hogy a napok ´ atlagosan egyenl˝o hossz´ uak. Tal´alhat´o-e valamilyen m´odszer, amelynek seg´ıts´eg´evel ellen˝orizhetj¨ uk, hogy az egym´asra k¨ovetkez˝o napok, vagy ak´arcsak ezek ´atlaga ugyanolyan hossz´ us´ag´ u? Az egyik m´odszer p´eld´aul az lehet, hogy a napokat uk meg, ho¨osszehasonl´ıtjuk valamilyen m´as periodikus jelens´eggel. N´ezz¨ gyan v´egezhet˝o ez el egy homok´ora seg´ıts´eg´evel. Ez esetben a periodicit´ast u ´gy biztos´ıthatjuk, hogy valakit ´ejjel-nappal az ´ora mell´e ´all´ıtunk, hogy ford´ıtsa azt m´asik oldal´ara, mihelyt az utols´o homokszemcse is leg¨ord¨ ult. Ha figyelemmel k´ıs´erj¨ uk az ´atford´ıt´asok sz´am´at, egyik reggelt˝ol a m´asikig, azt vessz¨ uk ´eszre, hogy az ´or´ak” sz´ama (azaz az ´atford´ıt´asok sz´ama) ” nem egyezik meg mindennap”. Nem b´ızhatunk meg a napban, illetve a ” www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

5.3. R¨ ovid id˝ otartamok

95

homok´or´aban, esetleg egyikben sem. Egy kis t¨opreng´es ut´an az az ¨otlet¨ unk t´amad, hogy az ´or´akat” d´elt˝ol d´elig sz´amoljuk. (A d´el ez esetben ” nem a d´eli 12 ´or´at jelenti, hanem azt az id˝opontot, amikor a Nap delel, azaz p´aly´aj´anak a legmagasabb pontj´ara ´er.) Ekkor m´ar u ´gy tal´aljuk, hogy az ´or´ak” sz´ama mindennap ugyanannyi. ” Ezek ut´an jobban megb´ızhatunk abban, hogy mind az ´ora”, mind a ” nap” rendelkezik szab´alyos periodicit´assal, azaz mindkett˝o egym´asra k¨o” vetkez˝o, egyenl˝o id˝ointervallumokat jel¨ol ki, j´ollehet m´eg egyik¨ ukr˝ol sem bizony´ıtottuk be, hogy val´oban” periodikus. Felmer¨ ul a k´erd´es, vajon nem ” l´etezhet-e egy mindenhat´o l´eny, aki a homokszemek perg´es´et minden ´ejjel lass´ıtan´a, majd nappal ism´et felgyors´ıtan´a. Elv´egzett k´ıs´erlet¨ unk term´eszetesen nem ad feleletet ilyen k´erd´esekre. Mindaz, amit mondani tudunk, annyi, hogy u ´gy tal´altuk, egy bizonyos fajta szab´alyoss´ag j´ol illeszkedik egy m´asik fajta szab´alyoss´aghoz. Eg´esz egyszer˝ uen arr´ol van sz´o csup´an, hogy az id˝o defin´ıci´oj´at valamilyen szemmel l´athat´oan periodikus esem´eny ism´etl˝od´es´ere alapozzuk.

5.3. Ro otartamok ¨vid id˝ Vegy¨ uk ´eszre, hogy a napok periodikuss´ag´anak ellen˝orz´ese k¨ozben egy fon´ tos mell´ekterm´ekhez” jutottunk. Espedig megtal´altuk annak a m´odj´at, ” hogy a nap t¨ ort r´esz´et pontosan megm´erj¨ uk. M´odszer ad´odott r¨ovidebb id˝otartamok megsz´aml´al´as´ara. Vajon tov´abb folytathat´o-e ez a folyamat, megtanulunk-e m´eg r¨ovidebb id˝otartamokat m´erni? Galilei u ´gy tal´alta, hogy egy inga mindig egyenl˝o id˝ok¨oz¨okben t´er ki el˝ore ´es h´atra, mindaddig, m´ıg leng´es´et kicsinyre fogjuk. Ha az inga egy ´ora” alatt ´eszlelt leng´essz´amait k´ıs´erlettel ¨osszehasonl´ıtjuk, kider¨ ul, hogy ” a fenti meg´allap´ıt´as val´oban helyes. Ily m´odon kijel¨olhet˝ok egy ´ora t¨ort r´eszei. Ha egy mechanikai szerkezet seg´ıts´eg´evel megsz´amoljuk a leng´eseket ´es biztos´ıtjuk a leng´esek folytat´olagoss´ag´at, el˝ott¨ unk ´all nagyap´aink inga´or´aja. Egyezz¨ unk meg abban, hogy ha inga´or´ank egy ´ora alatt 3600 leng´est v´egez (´es egy napban 24 ilyen ´ora van), az ´ora minden leng´es´et egy m´asodpercnek” nevezz¨ uk. Ezzel eredeti id˝oegys´eg¨ unket megk¨ozel´ıt˝oleg ” 5 10 r´eszre osztottuk be. Ugyanezen az elven a m´asodperc is egyre kisebb r´eszekre oszthat´o. Nyilv´anval´o, hogy a gyakorlatban nem val´os´ıthat´ok meg tetsz˝olegesen gyors mechanikai ing´ak, ehelyett azonban ma m´ar elektromos ing´akat, u ´gynevezett oszcill´atorokat gy´arthatunk, amelyeknek peri´odusideje rendk´ıv¨ ul r¨ovid. Ezekben az elektromos oszcill´atorokban az www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

96

5. Id˝ o ´es t´ avols´ ag

a´ram szab´alyosan ingadozik ide-oda, pontosan u ´gy, ahogyan az ingas´ uly j´ar el˝ore-h´atra. Ilyen elektromos oszcill´atorokb´ol sorozatot ´all´ıthatunk ¨ossze, melyben minden oszcill´ator peri´odusa az el˝obbin´el t´ızszer r¨ovidebb. Minden egyes oszcill´ator az ut´ana k¨ovetkez˝o lass´ ubbhoz kalibr´alhat´o” (hiteles´ıthet˝o) ” u ´gy, hogy megsz´aml´aljuk, az ut´obbi egyetlen rezg´ese alatt h´any rezg´est v´egez. Ha ´or´ank rezg´es´enek peri´odusa r¨ovidebb a m´asodperc t¨ort r´esz´en´el, rezg´essz´ama csak olyan m˝ uszer seg´ıts´eg´evel ´allap´ıthat´o meg, amely fel¨ ulm´ ulja term´eszetes megfigyel˝ok´epess´eg¨ unket. Ilyen m˝ uszer a kat´odsug´aroszcilloszk´op, amelyet a r¨ovid id˝otartamok mikroszk´opj´anak” nevezhet” n´enk. Seg´ıts´eg´evel fluoreszk´al´o erny˝on megjelen´ıthet˝o az ´aramer˝oss´eg (vagy fesz¨ ults´eg) ´ert´eke mint az id˝o f¨ uggv´enye. Ha oszcill´atoraink k¨oz¨ ul kett˝ot egym´as ut´an az oszcilloszk´ophoz kapcsolunk, s ez el˝obb az els˝o, majd a m´asodik ´aramer˝oss´eg´enek a k´ep´et vet´ıti ki, az 5.2. ´abr´an bemutatotthoz hasonl´o k´et diagramot kapunk. Innen azonnal meghat´arozhat´o a gyorsabb oszcill´ator ´altal a lass´ ubb oszcill´ator egyetlen peri´odusa alatt v´egzett rezg´esek sz´ama.

(a)

(b)

5.2. a ´bra. K´et k´ep egy oszcilloszk´ op erny˝ oj´er˝ ol. (a) Az oszcilloszk´ op egy oszcill´ atorhoz van csatolva, (b) az oszcilloszk´ op olyan oszcill´ atorhoz van csatolva, amelynek peri´ odusideje az el˝ oz˝ o´enek egytizede

A modern elektronika lehet˝ov´e tette 10−12 s peri´odusidej˝ u oszcill´atorok el˝o´all´ıt´as´at, s ezeket a fent le´ırt ¨osszehasonl´ıt´o m´odszerrel id˝oegys´eg¨ unkh¨oz, a m´asodperchez kalibr´alt´ak. Az ut´obbi ´evekben felfedezett ´es technikailag megval´os´ıtott l´ezer (f´enyer˝os´ıt˝o) utat nyitott a 10−12 s-n´al r¨ovidebb peri´odusidej˝ u oszcill´atorok el˝o´all´ıt´as´ahoz, ezeket azonban egyel˝ore nem tudj´ak a fent eml´ıtett m´odszer szerint kalibr´alni, j´ollehet a probl´ema k´ets´egk´ıv¨ ul hamarosan megold´odik. www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

5.4. Hossz´ u id˝ otartamok

97

Egy m´asik technikai elj´ar´as seg´ıts´eg´evel m´ar 10−12 s-n´al r¨ovidebb id˝otartamokat is m´ertek. L´enyeg´eben v´eve az id˝onek” m´asfajta defin´ıci´ oj´ at ” alkalmazt´ak. Egy ilyen lehets´eges m´odszer: valamely mozg´o t´argyon t¨ort´ent k´et esem´eny k¨oz¨ott eltelt id˝o alatt megtett t´ avols´ ag meghat´aroz´asa. Ha p´eld´aul egy mozg´o g´epkocsi f´enysz´or´oit el˝obb be-, majd k´es˝obb kikapcsolj´ak, ki tudjuk sz´am´ıtani, mennyi ideig vil´ag´ıtottak a reflektorok, ha pontosan tudjuk, hol kapcsolt´ak be ´es ki ˝oket, ´es milyen gyorsan haladt a g´epkocsi. Az id˝o itt a bekapcsolt f´enysz´or´oval megtett t´avols´agnak ´es a sebess´egnek a h´anyadosak´ent ad´odik. Az elm´ ult n´eh´any ´evben ugyanilyen technikai elj´ar´ast haszn´altak a π 0 mezon ´elettartam´anak m´er´es´ere. Fotoemulzi´oban, ahol a π 0 mezon keletkezett, eg´eszen par´anyi nyomok vizsg´alata u ´tj´an meg´allap´ıtott´ak, hogy bizonyos, a f´enysebess´eghez nagyon k¨ozeli sebess´eggel haladva, a π 0 mezon sz´etboml´as´aig ´atlagosan 10−7 m´etert tesz meg. Ez azt jelenti, hogy ´elettartama csup´an 10−16 s. Hangs´ ulyoznunk kell, hogy ez esetben az id˝onek” a kor´abbit´ol elt´er˝o defin´ıci´oj´at alkalmazt´ak. Mindaddig azon” ban, m´ıg ebb˝ol ellentmond´asok nem keletkeznek, n´emi joggal hihetj¨ uk, hogy a k´etf´ele meghat´aroz´as egyen´ert´ek˝ u. Technikai elj´ar´asaink, ha sz¨ uks´eges, defin´ıci´oink kib˝ov´ıt´es´evel m´eg gyorsabban lezajl´o esem´enyek id˝otartam´at is meghat´arozhatjuk. Besz´elhet¨ unk p´eld´aul a nukle´aris rezg´esek peri´odusidej´er˝ol, vagy a 2. fejezetben eml´ıtett, u ´jonnan felfedezett ritka rezonanci´ak (r´eszecsk´ek) ´elettartam´ar´ol. Ut´obbiak eg´esz ´elete 10−24 s id˝o alatt lezajlik, vagyis k¨ozel´ıt˝oleg annyi ideig ´elnek, ameddig a f´eny (amely az ´altalunk ismert legnagyobb sebess´eggel halad) ´atszeli a hidrog´en atommagj´at (az ´altalunk ismert legkisebb m´eret˝ u objektumot). Mit lehet mondani a m´eg r¨ovidebb id˝otartamokr´ol? L´etezik-e id˝o” a ” sk´ala alacsonyabb pontjain? Egy´altal´an van-e ´ertelme besz´elni r¨ovidebb id˝otartamokr´ol, ha nem tudjuk megm´erni nagys´agukat, vagy ak´ar elk´epzelni b´armit is, ami m´eg” r¨ovidebb id˝o alatt zajlik le? Tal´an nincsen. ” ¨ ok is felteszMindez egyike azon eld¨ontetlen k´erd´eseknek, amelyeket On¨ nek majd, s˝ot esetleg v´alaszt is adnak r´ajuk az elk¨ovetkez˝o h´ usz-harminc esztend˝oben. 5.4. Hossz´ u id˝ otartamok Tekints¨ unk most a napn´al hosszabb id˝otartamokat. A hosszabb id˝otartamok m´er´ese k¨onny˝ u, csup´an a napokat kell sz´aml´alnunk; no persze csak addig, m´ıg alkalmasabb m´odszer nem k´ın´alkozik. Teszem azt, felfedez¨ unk egy m´asfajta term´eszetes periodicit´ast, az ´evet, amely k¨ozel´ıt˝oleg www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

98

5. Id˝ o ´es t´ avols´ ag

365 napb´ol ´all. N´eha a term´eszet maga gondoskodik az ´evek sz´aml´al´as´ar´ol, j´o p´elda erre a f´ak ´evgy˝ ur˝ uje vagy a foly´ok medr´enek u ¨led´eke. Bizonyos esetekben ezeket a term´eszetes jelz´eseket haszn´alhatjuk fel, hogy meg´allap´ıtsuk, mennyi id˝o telt el valamely kor´abbi esem´eny ´ota. Ha egy hosszabb id˝otartam nem Radioaktivitás m´erhet˝o le az ´evek megsz´aml´al´asa 1 r´ev´en, m´as m´odszerek ut´an kell n´ezn¨ unk. Az egyik legsikeresebb ilyen 1/2 m´odszer a radioakt´ıv anyagok ´ora” 1/4 k´ent” val´o felhaszn´al´asa. Itt nem a 1/8 periodicit´as j´atszik szerepet, hanem 0 T 2T 3T Idő a szab´alyszer˝ us´egnek” egy u ´jfajta ” t´ıpusa. Tapasztalhat´o, hogy vala5.3. a ´bra. A radioaktivit´ as id˝ obeli v´ altoz´ asa. Az aktivit´ as minden T mely anyag radioaktivit´asa mindig felez´esi id˝ oben” fel´ere cs¨ okken ugyanannyiad r´esz´evel cs¨okken, ha ” ´eletkor´anak egyenl˝o id˝ok¨oz¨okkel val´o n¨oveked´es´et vessz¨ uk figyelembe. Ha a megfigyelt radioaktivit´as-´ert´ekeket az id˝o (mondjuk, a napok) f¨ uggv´eny´eben felrajzoljuk, az 5.3. ´abr´an l´athat´ohoz hasonl´o g¨orb´et kapunk. Megfigyelhet˝o, hogy ha a radioaktivit´as T nap alatt a fel´ere cs¨okken (T neve felez´esi id˝ o), akkor u ´jabb T id˝o elm´ ult´aval a negyed´ere cs¨okken, ´es ´ıgy tov´abb. Tetsz˝oleges t intervallumban t/T felez´esi id˝o foglaltatik, teh´at t id˝o alatt a kezdeti radioaktivit´as (1/2)t/T -ed r´esz´ere cs¨okken. Ha m´armost tudn´ank, hogy valamely anyag, mondjuk, egy fadarabka, keletkez´esekor A radioakt´ıv anyagot tartalmazott, s azt´an k¨ozvetlen m´er´es u ´tj´an meg´allap´ıtan´ank, hogy jelenleg B mennyis´eg˝ u radioakt´ıv anyagot tartalmaz, kisz´am´ıthatn´ank ´eletkor´at, t-t, az al´abbi egyenlet megold´as´aval: (1/2)t/T = B/A. L´etezik n´eh´any szerencs´es eset, amikor meg´allap´ıthat´o az a radioakt´ıv mennyis´eg, amelyet a vizsg´alt t´argy a keletkez´ese idej´en tartalmazott. Tudjuk p´eld´aul, hogy a leveg˝o sz´en-dioxidja egy bizonyos t¨ortr´esznyi C14 radioakt´ıv sz´enizot´opot tartalmaz (a kozmikus sug´arz´as hat´as´ara ez a mennyis´eg ´alland´oan p´otl´odik). Ha egy t´argy teljes sz´entartalm´at megm´erj¨ uk, emellett m´eg tudjuk, hogy ennek egy bizonyos t¨ortr´esze eredetileg C14 -b˝ol ´allt, ez´altal ismeretess´e v´alik a fenti k´eplet megold´as´ahoz sz¨ uks´eges A mennyis´eg. A C14 felez´esi ideje 5000 ´ev. Finom m´er´esekkel meghat´arozhat´o a 20 felez´esi id˝o ut´an visszamaradt radioakt´ıv mennyis´eg, s ilyen m´odon id˝orendbe csoportos´ıthatjuk azokat a szerves anyagokat, melyeknek a keletkez´ese ´ota 100 000 ´ev telt el. www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

99

5.4. Hossz´ u id˝ otartamok ´ Ev

M´ asodperc 18

10 109

Izot´ op ´elettartama ? ? ? ? ? ? A vil´ agyegyetem ´eletkora A F¨ old ´eletkora

U238

15

10

Az els˝ o ember 106 1012

A piramisok ´eletkora

3

Ra226

10

10

9

´ Az Egyes¨ ult Allamok fenn´ all´ asa Az emberi ´elet

H3

1 106 103 1 10−3 10−6

Egy nap A f´eny a Napt´ ol a F¨ oldh¨ oz ´er Egyetlen sz´ıvver´es A hang rezg´esideje R´ adi´ ohull´ amok rezg´esideje

10−9 10−12 10−15

A f´eny 1 m-t tesz meg Molekul´ ak rot´ aci´ os rezg´esideje Atomi rezg´esek rezg´esideje

neutron

m¨ uon π ± -mezon

π 0 -mezon 10−18 10−21 −24

10

A f´eny egy atomon kereszt¨ ulhalad Az atommag rezg´esideje A f´eny kereszt¨ ulhalad egy atommagon ? ? ? ? ? ?

Ritka r´eszecsk´ek

5.1. t´ abl´ azat. Id˝ otartamok

De m´eg ezekn´el id˝osebb t´argyak ´eletkor´at is meg szeretn´enk tudni, s u ´gy hissz¨ uk, meg is tudjuk ´allap´ıtani. Ismereteink nagyr´eszt m´as ´es m´as k¨ ul¨onb¨oz˝o felez´esi idej˝ u radioakt´ıv izot´opok vizsg´alat´an alapulnak. Hosszabb felez´esi idej˝ u radioakt´ıv izot´opok m´er´es´evel hosszabb ´elettartamokat tudunk meghat´arozni. Az ur´aniumnak p´eld´aul van egy kb. 109 ´ev felez´esi idej˝ u izot´opja, teh´at ha valamilyen anyag ezzel az izot´oppal www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

100

5. Id˝ o ´es t´ avols´ ag

egy¨ utt keletkezett 109 ´evvel ezel˝ott, akkor jelenleg az anyagban az eredeti izot´opmennyis´eg fele tal´alhat´o. Az ur´anium sz´etboml´asakor ´olomm´a alakul ´at. Tekints¨ unk egy olyan k˝ozetdarabot, amely igen r´egen, valamilyen k´emiai folyamat u ´tj´an j¨ott l´etre. Az ur´an a k˝ozetdarab egyik r´esz´en, m´ıg az ´olom annak m´asik r´esz´en jelenik meg, minthogy kettej¨ uk k´emiai viselked´ese elt´er˝o. Vagyis m´ar a k˝ozet keletkez´esekor az ur´an ´es az ´olom elk¨ ul¨on¨ ult. Ha ezt a k˝ozetdarabot ma vizsg´aljuk meg azon a helyen, ahol valamikor csak ur´an volt, egy bizonyos mennyis´eg˝ u ´olmot tal´alunk. E mennyis´egeket ¨osszehasonl´ıtva meg tudjuk mondani, h´any sz´azal´ek ur´an alakul ´olomm´a. Ezzel a m´odszerrel v´egzett k´ıs´erletek alapj´an bizonyos k˝ozetek ´eletkora n´eh´any milli´ard ´evre tehet˝o. A m´odszer egyik kiterjeszt´ese, hogy a tengerek ur´an- ´es ´olomtartalm´at is megvizsg´alva meg´allap´ıtott´ak – az ut´obbi n´eh´any esztend˝oben –, hogy a F¨old maga hozz´avet˝olegesen 4,5 milli´ard ´eves lehet. A feltev´esek helyess´ege szempontj´ab´ol biztat´o k¨or¨ ulm´eny, hogy a F¨old ´eletkor´at ugyanannyinak tal´alt´ak, mint amennyire a F¨oldre ´erkez˝o mete´ t˝ oritok ´eletkor´at lehet becs¨ ulni az ur´anium-m´odszerrel”. Ugy unik, hogy ” a F¨old a vil´ag˝ urben kering˝o k˝ozetanyagokb´ol alakult ki, m´ıg a meteoritok val´osz´ın˝ uleg ugyanazon anyagok k¨ ul¨onszakadt vagy visszamaradt r´eszei. Valamikor, t¨obb mint 5 milli´ard ´evvel ezel˝ott kezd˝odhetett a vil´ag t¨ort´enete. Ma u ´gy hissz¨ uk, hogy legal´abbis a vil´agegyetem hozz´ank k¨ozel es˝o r´esze hozz´avet˝olegesen 10–12 milli´ard ´evvel ezel˝ott alakulhatott ki. Fogal´ itt ism´et felvet˝odik a k´erd´es: munk sincs r´ola, mi t¨ort´enhetett azel˝ott. Es van-e egy´altal´an ´ertelme ilyen k´erd´esnek? Lehet-e egy´altal´an ´ertelme egy kor´abbi id˝opont meghat´aroz´as´anak? 5.5. Az id˝ o m´ ert´ ekegys´ egei ´ es etalonjai R´amutattunk, hogy c´elszer˝ u mindenekel˝ott egy id˝oegys´eget v´alasztani, mondjuk, a napot vagy a m´asodpercet, s azt´an minden m´as id˝otartamot mint ezek sokszoros´at vagy t¨ort r´esz´et kifejezni. Mit v´alasszunk alapegys´egnek? V´alasszuk tal´an az ember sz´ıvdobog´as´at? Az ´erver´esek sz´am´anak unik, hogy azok nagym´ert´ekben k¨ ul¨onb¨oz¨osszehasonl´ıt´as´ab´ol azonban kit˝ nek. Azt mondhatn´ank, rendben van, legyen h´at egys´eg¨ unk alapja egy ´ora j´ar´asa. Igen, de kinek az ´or´aj´at v´alasszuk? Van egy jellemz˝o kis anekdota egy sv´ajci fiatalemberr˝ol, aki azt szerette volna el´erni, hogy a v´aros´aban valamennyi ´ora pontosan id˝oben u ¨sse a delet. Nyak´aba vette a v´arost, s buzg´on igyekezett mindenkit meggy˝ozni a dolog fontoss´ag´ar´ol. Az emberek nagyszer˝ unek tal´alt´ak az ¨otletet, csak ´eppen mindenki ragaszkodott hozz´a, hogy az ¨osszes t¨obbi ´ora akkor u ¨sse a delet, amikor az ¨ov´e! Newww.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

5.6. Nagy t´ avols´ agok

101

h´ez eld¨onteni, kinek az ´or´aj´at v´alasszuk etalonnak. Szerencs´ere van egy ´ora, amely egyform´an mindny´ajunk´e: a F¨old. R´egi id˝okt˝ol fogva a F¨old k¨orbeforg´asi idej´et v´alasztott´ak az id˝o alapegys´eg´eu ¨l. De amint a m´er´estechnika egyre ink´abb finomodott, kider¨ ult, hogy a F¨old forg´o mozg´asa sem t¨ok´eletesen periodikus, ha azt az ismert legjobb” ´or´akkal hat´arozz´ak ” meg (a legjobb” ´or´ak azok, amelyekr˝ol joggal hihetj¨ uk, hogy pontosak, ” ´ tudjuk, hogy – k¨ minthogy j´ar´asuk egym´assal megegyezik). Ugy ul¨onb¨oz˝o okokn´al fogva – bizonyos napok a t¨obbin´el hosszabbak, m´asok r¨ovidebbek, s hogy a F¨old ´atlagos forg´asideje a sz´azadok folyam´an valamivel mindig megn¨ovekszik. Sok´aig nem volt jobb id˝oegys´eg a F¨old kering´esi idej´en´el, ´ıgy minden ´or´at a nap hossz´aval m´ertek ¨ossze, ´es a m´asodpercet a k¨ozepes naphossz 86 400-ad r´esz´eben ´allap´ıtott´ak meg. Az ut´obbi id˝oben a term´eszetes” ” oszcill´atorokkal nyert tapasztalatok arra engednek k¨ovetkeztetni, hogy a F¨old forg´as´an´al ´alland´obb hossz´ us´ag´ u id˝otartamokat is el˝o lehet ´all´ıtani, s minden egy mindenki sz´am´ara hozz´af´erhet˝o term´eszeti jelens´egen alapszik. Ezek az u ´gynevezett atom´ or´ ak. Bels˝o alapperi´odusuk egy atomi vibr´aci´o id˝otartama, amely a h˝om´ers´eklettel ´es egy´eb k¨ uls˝o behat´asokkal szemben nagym´ert´ekben ´erz´eketlen. Ezek az ´or´ak egy m´asodperc alatt legfeljebb 10−9 m´asodpercet t´evednek. Az ut´obbi k´et esztend˝o folyam´an Norman Ramsey professzornak a Harvard Egyetemen siker¨ ult megtervezni ´es kivitelezni az atom´ora egy jav´ıtott v´altozat´at, amelynek m˝ uk¨od´ese a hidrog´enatom rezg´esein alapszik. A feltal´al´o szerint ez az ´ora az el˝obbiekn´el m´eg 100-szor nagyobb pontoss´agot is el´erhet. V´arhat´o, hogy miut´an a csillag´aszati id˝o pontoss´ag´at j´oval fel¨ ulm´ ul´o ´or´akat siker¨ ult el˝o´all´ıtani, hamarosan egyezm´eny sz¨ uletik majd meg a tud´osok k¨oz¨ott, miszerint az id˝o egys´eg´et valamelyik etalonul felhaszn´alhat´o atom´ora szerint fogj´ak megv´alasztani. 5.6. Nagy t´ avols´ agok T´erj¨ unk most r´a a t´ avols´ ag k´erd´es´ere. Mekkor´ak a t´argyak, vagy milyen messze vannak? Mindenki el˝ott ismeretes, hogy a t´avols´ag m´er´es´et egy r´ uddal szoktuk kezdeni, majd sz´aml´alunk. Vagy h¨ uvelykujjunkkal kezdj¨ uk, azt m´erj¨ uk r´a valamire, s azt´an sz´aml´alunk. Mindenekel˝ott teh´at egys´eget v´alasztunk, azut´an sz´aml´alunk. Hogyan m´er¨ unk kisebb t´argyakat? Hogyan lehet egy t´avols´agot kisebb ´es kisebb r´eszekre osztani? Ugyan´ ugy, ahogy az id˝ot kisebb r´eszeire osztottuk: v´alasztunk egy kisebb egys´eget, s azt´an megsz´aml´aljuk, h´any ilyen kisebb egys´eg teszi ki a nagyobbat. Ily m´odon teh´at egyre kisebb t´avols´agok is megm´erhet˝ok. www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

102

5. Id˝ o ´es t´ avols´ ag

De t´avols´agon nem mindig olyasmit ´ert¨ unk, ami m´eterr´ ud seg´ıts´eg´evel lem´erhet˝o. Neh´ez lenne m´eterr´ ud seg´ıts´eg´evel meghat´arozni k´et hegycs´ ucs t´avols´ag´at. A tapasztalat megmutatta, hogy a t´avols´ag m´asf´elek´epp is m´erhet˝o: a h´aromsz¨ogel´es m´odszer´evel. J´ollehet ez ut´obbi esetben a t´avols´agnak egy m´asik meghat´aroz´as´at haszn´aljuk fel, valah´anyszor mindk´et m´odszer egyar´ant alkalmazhat´o, a kapott eredm´enyek megegyeznek egym´assal. A t´er t¨obb´e-kev´esb´e olyan, mint amilyennek Eukleid´esz k´epzelte, teh´at a t´avols´ag k´et defin´ıci´oja megegyezik. Minthogy a F¨old felsz´ın´en ilyen megegyez´est tapasztaltunk, joggal felhaszn´alhatjuk a h´aromsz¨ogel´esi m´odszert m´eg nagyobb t´avols´agok meghat´aroz´as´ara is. P´eld´aul a h´aromsz¨ogel´esi m´odszerrel hat´arozt´ak meg az els˝o szputnyik magass´ag´at. Ez kb. 5 · 105 m-nek ad´odott. Finomabb m´er´esek seg´ıts´eg´evel ugyan´ıgy meg´allap´ıthat´o a Hold t´avols´aga a F¨old¨ unkt˝ol. A F¨old felsz´ın´enek k´et k¨ ul¨onb¨oz˝o pontj´an elhelyezett teleszk´op szolg´altatja a sz´amol´ashoz sz¨ uks´eges k´et sz¨ogadatot. Ennek alapj´an az ad´odott, hogy a Hold t˝ol¨ unk 4 · 108 m t´avols´agra van. Ugyanez nem ism´etelhet˝o meg a Nap eset´eben, legal´abbis ez eddig m´eg senkinek sem siker¨ ult. Az a 1 2 pontoss´ag ugyanis, amellyel teleszk´opunk a Nap egy pontj´ara r´a´all´ıtL hat´o, ´es amellyel a k´ıv´ant sz¨og megm´erhet˝o, nem el´egs´eges a Nap t´avol5.4. a ´bra. Szputnyik magass´ ag´ anak meghat´ aroz´ asa h´ aromsz¨ ogel´esi s´ag´anak meghat´aroz´as´ahoz. Akkor m´ odszerrel h´at hogyan m´erhet˝o meg ez a t´avols´ag? Ehhez r´a kell j¨onn¨ unk a h´aromsz¨ogel´esi m´odszer egy ´altal´anos´ıt´as´ara. Csillag´aszati megfigyel´esek seg´ıts´eg´evel, a boly´ok l´atsz´olagos ´all´as´ab´ol meghat´arozzuk azok relat´ıv t´avols´agait, s ilyen m´odon megkapjuk a Naprendszer m´eretar´ anyos k´ep´et, ahol azonban nem ismer¨ unk egyetlen abszol´ ut t´ avols´ agot sem. Sz¨ uks´eges teh´at egy ilyen abszol´ ut t´avols´ag meghat´aroz´asa, s erre m´ar igen sokf´ele m´odszer k´ın´alkozik. Ezek k¨oz¨ ul a legut´obbi id˝okig a legpontosabbnak hitt v´altozat a F¨old ´es az Erosz k¨oz¨otti t´avols´ag megm´er´ese. (Az Erosz egyike azoknak a kisbolyg´oknak, amelyek id˝onk´ent a F¨old k¨ozel´ebe ker¨ ulnek.) A h´aromsz¨ogel´esi m´odszerrel meg lehet hat´arozni e kis objektum t´avols´ag´at, ´es ezzel a sz¨ uks´eges m´eretar´anyt is megkapjuk. Ismerve a t¨obbi bolyg´o, valamint a Nap relat´ıv t´avols´ag´at, meg´allap´ıthat´o p´eld´aul a Napnak a F¨oldt˝ol vagy a F¨oldnek a Pl´ ut´ot´ol val´o abszol´ ut t´avols´aga.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

5.6. Nagy t´ avols´ agok

103

Az elm´ ult ´evben azonban m´eg sokkal pontosabb adatokat szerezt¨ unk a Naprendszer m´ereteir˝ol. A Jet Propulsion laborat´oriumban k¨ozvetlen¨ ul radarsugarak seg´ıts´eg´evel siker¨ ult igen pontosan megm´erni a V´enusznak a F¨oldt˝ol val´o t´avols´ag´at. Ez egy u ´jabb t´ıpus´ u kik¨ovetkeztethet˝o” t´avols´ag. ” Tudjuk, hogy a f´eny milyen sebess´eggel halad (vagyis a radarhull´amok sebess´eg´et is ismerj¨ uk), ´es felt´etelezz¨ uk, hogy a F¨old ´es a V´enusz k¨oz¨ott ez a sebess´eg nem v´altozik meg. Kibocs´atunk egy r´adi´ohull´amot, ´es m´erj¨ uk az id˝ot, ameddig a visszavert hull´am meg nem ´erkezik. Id˝ ob˝ ol t´ avols´ agra k¨ ovetkeztet¨ unk, mik¨ozben felt´etelezz¨ uk, hogy a sebess´eget ismerj¨ uk. Ez a t´avols´agm´er´esnek val´oban u ´jfajta meghat´aroz´asi m´odja. Hogyan m´erj¨ uk a m´eg t´avolibb csillagok Csillag t´avols´ag´at? Szerencs´ere visszat´erhet¨ unk h´aromsz¨ogel´esi m´odszer¨ unkh¨oz, minthogy a F¨old Nap k¨or¨ uli mozg´asa nagy b´azist´avols´agokat ny´ ujt ehhez, ha Naprendszer¨ unk¨on k´ıv¨ ul es˝o objektumok t´avols´ag´at NAP A Föld A Föld akarjuk megm´ erni. Ha teleszk´opunkat egyhelyzete télen helyzete nyáron szer ny´aron, m´asszor t´elen ir´any´ıtjuk a csillagra, rem´eny¨ unk lehet arra, hogy a csillag t´ a vols´ a g´ a nak meghat´aroz´as´ahoz 5.5. a ´bra. K¨ ozeli csillagok t´ avols´ aga meghat´ arozhat´ o h´ aromsz¨ osz¨ uks´eges k´et sz¨ogadatot megfelel˝o pongel´esi m´ odszerrel: b´ azist´ avols´ ag toss´aggal tudjuk m´erni. a f¨ oldp´ alya a ´tm´er˝ oje

Mi a teend˝o, ha a csillagok t´ uls´agosan messze vannak ´es a h´aromsz¨ogel´es m´odszere nem felel meg? A csillag´aszok ´alland´oan u ´jabb m´odszereket tal´alnak ki a t´avols´agok meg´allap´ıt´as´ara. R´aj¨ottek p´eld´aul, hogy a csillag sz´ın´eb˝ol megbecs¨ ulhet˝o a csillag m´erete ´es f´enyess´ege. Nagyon sok k¨ozeli csillagnak – melyek t´avols´ag´at a h´aromsz¨ogel´esi m´odszer ´altal ismerj¨ uk – megm´ert´ek a f´enyess´eg´et ´es sz´ın´et, ´es azt tal´alt´ak, hogy az esetek nagy t¨obbs´eg´eben sima f¨ ugg´es ´all fenn a 5.6. a´bra. Egy csillaghalmaz a csillag sz´ıne ´es val´odi f´enyess´ege k¨oz¨ott. Tej´ut k¨oz´eppontj´anak k¨ozel´eben. A F¨ oldt˝ ol m´ert t´ avols´ aga 30 000 Ha valaki m´er´essel meg tudja hat´arozni f´eny´ev, azaz kb. 3 · 1020 m egy t´avoli csillag sz´ın´et, a f´enyess´eg–sz´ın ugg´es alapj´an meg tudja hat´arozni a csillag val´odi f´enyess´eg´et is. ¨osszef¨ Megm´erve tov´abb´a, hogy a csillag milyen f´enyesnek l´atszik itt a F¨old¨on

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

104

5. Id˝ o ´es t´ avols´ ag

(tal´an ink´abb u ´gy kellene mondanunk, milyen halv´ anynak l´atszik), kisz´am´ıthat´o, milyen t´avols´agra van t˝ol¨ unk. (Adott val´odi f´enyess´eg eset´en a l´atsz´olagos f´enyess´eg a t´avols´ag n´egyzet´evel cs¨okken.) Hogy a csillagk¨ozi t´avols´agok m´er´es´enek ez a m´odszere mennyire helyes, sz´epen bizony´ıtj´ak a g¨ombhalmazoknak nevezett csillagcsoportokra vonatkoz´o eredm´enyek. Egy ilyen csillagcsoport f´enyk´epe az 5.6. ´abr´an l´athat´o. Egyetlen pillant´as az ´abr´ara meggy˝oz mindenkit, hogy ezek a csillagok egy¨ uv´e tartoznak. Egy´ebk´ent ugyanez az eredm´eny ad´odik a f´enyess´eg–sz´ın m´odszer szerinti t´avols´agmeghat´aroz´asokb´ol is. A g¨ombhalmazok tanulm´anyoz´asa egy m´asik fontos inform´aci´ohoz is elvezetett. Megfigyelt´ek, hogy az ´egbolt bizonyos r´esz´en a g¨ombhalmazok igen nagy s˝ ur˝ us´egben fordulnak el˝o, ´es hogy ezek legt¨obbje egyforma t´avols´agra van t˝ol¨ unk. Ezt az inform´aci´ot m´as megfigyel´esekkel kieg´esz´ıtve, arra a k¨ovetkeztet´esre juthatunk, hogy a g¨ombhalmazok ezen nagyfok´ u koncentaci´oja a Galaktika (a Tej´ ut) k¨oze5.7. ´ abra. Egy, a mi´enkhez hasonl´ o spir´ alga- r´ p´ e t hat´ a rozza meg. Teh´ a t ismerelaxis. Felt´etelezve, hogy a ´tm´er˝ oje megk¨ ozel´ıt˝ oleg megegyezik a mi galaxisunk´eval, ki- tess´ e v´alt a Galaktika k¨oz´eppontsz´ am´ıthatjuk l´ atsz´ olagos t´ avols´ ag´ at a F¨ old- j´ a nak t˝ol¨ unk val´o t´avols´aga: ez t˝ ol. Ez 30 milli´ o f´eny´evnek (3 · 1023 m) ad´ ohozz´ a vet˝ o legesen 1020 m. dik Megismerv´en saj´at galaxisunk m´eret´et, megtal´altuk a kulcsot, amellyel m´eg nagyobb t´avols´agokat is meghat´arozhatunk: a t¨obbi galaxis t˝ol¨ unk val´o t´avols´ag´at. Az 5.7. ´abr´an egy olyan galaxis k´epe l´athat´o, amelynek alakja nagyj´aban eml´ekeztet a Tej´ ut´era. Val´osz´ın˝ uleg a m´ereteik is megegyeznek. (M´as t´enyek is al´at´amasztj´ak azt az elk´epzel´est, hogy a galaxisok hozz´avet˝olegesen azonos kiterjed´es˝ uek.) Ha a galaxis m´erete a mienk´evel megegyezik, meg´allap´ıthat´o a t˝ol¨ unk val´o t´avols´aga is. Megm´erj¨ uk azt a ny´ıl´assz¨oget, mely alatt az ´egbolton l´atszik, ´atm´er˝oj´et is tudjuk, s ´ıgy a t´avols´agot kisz´am´ıthatjuk – teh´at ism´et csak h´aromsz¨ogel´essel dolgozunk! Nemr´egiben az ´ori´as Palomar” teleszk´op seg´ıts´eg´evel siker¨ ult lef´eny” k´epezni rendk´ıv¨ ul t´avoli galaxisokat. Egyik¨ uk f´enyk´epe az 5.8. ´abr´an l´athat´o. Ma u ´gy hissz¨ uk, hogy egyik-m´asik ilyen galaxis a vil´agegyetem

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

5.7. Kis t´ avols´ agok

105

5.8. a ´bra. A t˝ ol¨ unk legt´ avolabbi ´egi¨ orhajcs´ test, 3C295 (az Ok¨ ar csillagk´epben). Az a ´br´ an ny´ıllal van felt¨ untetve. A felv´etelt 1960-ban k´esz´ıtett´ek, 5 m a ´tm´er˝ oj˝ u teleszk´ oppal

m´eret´et tekintve valahol f´el´ uton helyezkedik el – 1026 m t´avols´agban –, enn´el nagyobb t´avols´agot m´ar nem tudunk sz´am´ıt´asba venni. 5.7. Kis t´ avols´ agok Foglalkozzunk most a r¨ovidebb t´avols´agokkal. A m´etert felbontani nem neh´ez feladat. K¨ ul¨on¨osebb neh´ezs´eg n´elk¨ ul meg tudunk jel¨olni ezer egyenl˝o t´erk¨ozt, melyek ¨osszeadva egy m´etert tesznek ki. Valamivel nehezebb feladat, de egy´ebk´ent hasonl´o m´odon megoldhat´o (egy j´o mikroszk´op seg´ıts´eg´evel) a millim´eternek ezer egyenl˝o r´eszre val´o beoszt´asa, amely a mikron (µ) egys´eghez vezet (egymilliomod m´eter). A folyamat a m´eg r¨ovidebb sk´alaegys´egek fel´e m´ar nem folytathat´o neh´ezs´egek n´elk¨ ul, minthogy azok a t´argyak, amelyeknek a kiterjed´ese a l´athat´o f´eny hull´amhossz´an´al (kb. 5 · 10−7 m-n´el) kisebb, sz´amunkra l´athatatlanok”. ” Mindamellett ez m´eg nem jelenti a t´argyak l´athat´os´agi hat´ar´at. A folyamat m´eg folytathat´o az elektronmikroszk´op seg´ıts´eg´evel, amely ak´ar 10−8 m kiterjed´es˝ u t´argyakr´ol is felv´eteleket k´esz´ıt (5.9. ´abra). Indirekt m´er´esekkel – a h´aromsz¨ogel´esnek egy mikroszkopikus viszonylatban megval´os´ıtott v´altozat´aval – egy5.9. a ´bra. V´ırusmolekula k´epe elektre kisebb ´es kisebb m´ereteket tudunk ronmikroszk´ oppal. A nagy” g¨ omb m´erni. El˝osz¨or is meghat´arozzuk a ” ˚ a k´epa ´tm´er˝ oje 2 · 10−7 m (2000 A), k´ıs´erletben alkalmazott f´eny hull´amm´eretek kalibr´ al´ as´ ara szolg´ al hossz´at a r¨ovid hull´amhossz´ us´ag´ u f´enysugarak (r¨ontgensugarak) ismert elrendez´es˝ u alakzaton val´o visszaver˝od´es´enek k´ep´eb˝ol. Majd ugyanennek a f´enynek a vizsg´alt krist´alyon www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

106

5. Id˝ o ´es t´ avols´ ag

kapott sz´or´od´asi k´ep´eb˝ol meghat´arozzuk az atomok relat´ıv elhelyezked´es´et a krist´alyban. A kapott eredm´enyek megegyeznek a k´emiai m´odszerrel meg´allap´ıtott elrendez˝od´essel. Innen az ad´odik, hogy az atomok ´atm´er˝oje kb. 10−10 m. F´eny´ev

m´eter ? ? ? ? ? ? ? 27

10

A vil´ agegyetem hat´ ara 109 1024 106

A legk¨ ozelebbi szomsz´edos galaxis 1021 Galaxisunk (a Tej´ ut) k¨ oz´eppontja

3

10

18

10

A legk¨ ozelebbi csillag 1 1015 A Pl´ ut´ o p´ aly´ aj´ anak sugara 1012 A Nap t´ avols´ aga 9

10

A Hold t´ avols´ aga 106 A szputnyikok magass´ aga 3

10

1 10−3

Egy tv-ad´ otorony magass´ aga Egy gyerek magass´ aga Egy s´ oszemcse nagys´ aga

10−6 Egy v´ırus m´erete −9

10

Az atom sugara 10−12 10−15

Az atommag sugara ? ? ? ? ? ? ?

5.2. t´ abl´ azat. T´ avols´ agok

A fokozatosan cs¨okken˝o fizikai m´eretek k¨oz¨ott egy helyen nagy h´eza” got” tal´alunk, nevezetesen az atomi m´eretekre 10−10 m, m´ıg az atommag www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

5.7. Kis t´ avols´ agok

107

m´ereteire 105 -sz¨or kisebb mennyis´eg, 10−15 m jellemz˝o. Az atommag m´eret´enek meghat´aroz´as´ara a fentiekt˝ol elt´er˝o m´odszert vezettek be. Az atommag l´ atsz´ olagos fel¨ ulet´et, u ´gynevezett hat´ askeresztmetszet´et m´erj¨ uk. Ha a mag sugara ´erdekel benn¨ unket, kisz´am´ıthat´o a σ = πr2 k´epletb˝ol, minthogy az atommagok megk¨ozel´ıt˝oen g¨ombszimmetrikusak. A nukle´aris hat´askeresztmetszetet egy v´ekony anyagr´etegre bocs´atott nagy energi´aj´ u r´eszecskenyal´ab seg´ıts´eg´evel m´erhetj¨ uk, meghat´arozva azon r´eszecsk´ek sz´am´at, amelyek nem hatolnak ´at az anyagr´etegen. A nagy energi´aj´ u r´eszecsk´ek egyenesen kereszt¨ ulszelik az elektronok v´ekony felh˝oj´et, ´es csak akkor ´allnak meg, illetve t´ernek ki u ´tjukb´ol, ha az atommagok s˝ ur˝ u anyag´aba u uk fel, hogy a sz´oban forg´o anyagr´eteg 1 ¨tk¨oznek. Tegy¨ cm vastag. Ebben kb 108 atomi r´eteg tal´alhat´o. Az atommagok azonban olyan par´anyiak, hogy nagyon kicsi annak a val´osz´ın˝ us´ege, hogy valamelyik atom elfedi a m´asikat. Mindez u ´gy k´epzelhet˝ o el a r´eszecskenyal´ab ir´any´aban tekintve, amint az 5.10. ´abr´an a rendk´ıv¨ uli nagy´ıt´as´ u v´azlat mutatja. Annak val´osz´ın˝ us´ege, hogy egy igen kis r´eszecske az anyagr´etegen kereszt¨ ulhaladva eltal´al egy atommagot, egyenl˝o az atommagok ´altal lefedett ¨osszter¨ uletnek (s¨ot´et foltok) ´es a rajz eg´esz fel¨ ulet´enek az ar´any´aval. Tegy¨ uk fel, hogy ismeretes az anyag egy A fel¨ ulet´en he5.10. a ´bra. 1 cm vastags´ ag´ u sz´enlyet foglal´o atomok N sz´ama (mint¨ omb idealiz´ alt k´epe (ha csak den atomhoz egyetlen atommag taraz atommagok lenn´enek l´ athat´ ok) tozik). ´Igy az egys´egnyi ter¨ uletre es˝o teljes fel¨ ulet, amelyet az atommagok lefednek”: N σ/A. Legyen most ” n1 a be´erkez˝o r´eszecsk´ek sz´ama, n2 pedig azok´e, amelyek a m´asok oldalon kil´epnek az anyagb´ol. Az ´ at nem haladt r´eszecsk´ek ar´ anya a be´erkezettekhez viszony´ıtva (n1 − n2 )/n1 , s ez ´eppen egyenl˝o a magok ´altal fedett ter¨ uletnek a teljes ter¨ ulethez viszony´ıtott ar´any´aval. Az ´ıgy kapott egyenletb˝ol meghat´arozhat´o az atommag sugara:1 πr2 = (A/N )

n1 − n2 = σ. n1

1

Ez az egyenlet csak abban az esetben igaz, ha az atommagok a ´ltal elfoglalt ter¨ ulet igen kicsiny az eg´esz ter¨ ulethez k´epest, vagyis ha (n1 − n2 )/n1  1. Ellenkez˝ o esetben figyelembe kell venni, hogy az egyik atommag a m´ asikat r´eszlegesen elfedi”. ” www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

108

5. Id˝ o ´es t´ avols´ ag

Ilyen k´ıs´erletekb˝ol az atommag sugar´ara (1 . . . 6) · 10−15 m ad´odik. A 10−15 m hosszegys´eget 1 ferminek nevezz¨ uk, Enrico Fermi (1905–1954) 2 olasz fizikus tisztelet´ere. Vajon mit ´eszlel¨ unk a m´eg kisebb t´avols´agok vil´aga fel´e haladva? Tudunk-e m´erni m´eg kisebb t´avols´agokat is? Ilyen k´erd´esekre ma m´eg nem adhatunk v´alaszt. Felmer¨ ul azonban a gondolat, hogy a mager˝ok mindeddig megoldatlan titkai csak kisebb t´avols´agokon a t´err˝ol vagy a m´er´esr˝ol alkotott elk´epzel´eseink bizonyos ´ertelm˝ u m´odos´ıt´asa u ´tj´an fejthet˝ok meg. N´eh´any sz´ot sz´oljunk m´eg a hossz´ us´ag egys´eg´er˝ol is. K´ezenfekv˝o, hogy erre is valamilyen term´eszetes egys´eget kellett v´alasztani, mondjuk, a F¨old sugar´at vagy annak valamilyen t¨ort r´esz´et. A m´etert eredetileg ´ıgy v´alasztott´ak meg: a F¨old sugar´anak (π/2)10−7 r´eszek´ent defini´alt´ak. A hossz´ us´ag egys´eg´et ilyen m´odon meg´allap´ıtani azonban sem nem k´enyel´ mes, sem nem pontos elj´ar´as. Eppen ez´ert m´ar r´eg nemzetk¨ozi meg´allapod´as sz¨ uletett, mely szerint a m´etert egy Franciaorsz´agban, k¨ ul¨onleges laborat´oriumban ˝orz¨ott r´ ud k´et karcolata k¨oz¨otti t´avols´agk´ent hat´arozz´ak meg. A legut´obbi id˝ok tapasztalatai azonban azt mutatt´ak, hogy egyr´eszt ez a meghat´aroz´as sem olyan pontos, mint a gyakorlat megk´ıv´ann´a, m´asr´eszt nem is olyan ´alland´o ´es ´altal´anos, mint ahogyan elv´arhatn´ank. Jelenleg t´argyal´asok folynak egy u ´j meghat´aroz´as elfogad´as´ar´ol, mely szerint a hosszegys´eg egy k¨oz¨os meg´allapod´assal kiv´alasztott (mindamellett tetsz˝oleges) spektrumvonal hull´amhossza lenne. ? A t´avols´ag ´es az id˝otartam m´er´ese olyan eredm´enyeket ad, amelyek f¨ uggnek a megfigyel˝ot˝ol. K´et, egym´ashoz k´epest mozg´o megfigyel˝o nem ugyanazt a t´avols´agot ´es id˝otartamot kapja eredm´eny¨ ul, pedig a m´ert esem´eny mindk´et n´ez˝opontb´ol azonosnak t˝ unik. A m´er´eshez haszn´alt koordin´ata-rendszert˝ol ( vonatkoztat´asi rendszert˝ol”) f¨ ugg˝oen a t´avols´a” goknak ´es az id˝otartamoknak m´as ´es m´as a nagys´aga. Ezzel m´eg r´eszletesebben foglalkozunk egy k´es˝obbi fejezetben. A term´eszet t¨orv´enyei nem engednek meg t¨ok´eletesen pontos id˝o- vagy helymeghat´aroz´ast. Kor´abban m´ar megjegyezt¨ uk, hogy egy t´argy helyzet´enek m´er´es´eben elk¨ovetett hiba legal´abb ∆x = ~/2∆p kell legyen, ahol ~ egy nagyon pici fundament´alis ´alland´o, amit reduk´ alt Planck-´ alland´ onak h´ıvnak, ´es ∆p a meghat´ arozand´ o helyzet˝ u t´argy impulzus´anak (t¨omeg szorozva sebess´eggel) ismeret´eben elk¨ovetett hiba. Azt is 2

Az SI-egys´egrendszerben 1 fermi=1 femtometer, r¨ ovid´ıtve 1 fm. (Patk´ os Andr´ as)

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

5.7. Kis t´ avols´ agok

109

eml´ıtett¨ uk, hogy a helymeghat´aroz´asban rejl˝o bizonytalans´ag (hat´arozatlans´ag) a r´eszecsk´ek hull´amtulajdons´ag´ab´ol ered. A t´er ´es id˝o viszonylagoss´ag´ab´ol k¨ovetkezik, hogy az id˝o meghat´aroz´as´at is egy bizonyos minim´alis hiba terheli, ´espedig ∆t = ~/2∆W, ahol ∆W az a hiba, amellyel annak a folyamatnak az energi´aj´at ismerj¨ uk, amelynek id˝otartam´at m´erni akarjuk. Ha pontosabban akarjuk tudni, mikor t¨ ort´enik valami, kevesebbet tudhatunk meg arr´ol, hogy mi is t¨ ort´ent, minthogy a folyamat energi´aj´ar´ol ekkor kev´esb´e pontos adatot kapunk. Az id˝obizonytalans´ag szint´en az anyag hull´amtulajdons´ag´anak a k¨ovetkezm´enye.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

6. fejezet Val´ osz´ın˝ us´ eg E vil´ ag val´ odi logik´ aja a val´ osz´ın˝ us´egek kisz´ am´ıt´ as´ aban foglaltatik. James Clerk Maxwell

6.1. Es´ ely ´ es val´ osz´ın˝ us´ eg Az es´ely” a mindennapi ´eletben k¨ozhaszn´alat´ u sz´o. A meteorol´ogus a ” sok´evi ´atlag alapj´an a j´ ulius 1-re v´arhat´o id˝oj´ar´asr´ol ezt mondja: Annak ” az es´elye, hogy j´ ulius 1-´en es˝o lesz, 11%.” Valaki azt mondhatja: Kicsi az ” es´ely arra, hogy meg´erjem a sz´az ´evet.” A tud´osok szint´en haszn´alj´ak az es´ely sz´ot. A f¨oldreng´eskutat´ot a k¨ovetkez˝o k´erd´es ´erdekelheti: Mi annak ” az es´elye, hogy a j¨ov˝o ´evben D´el-Kaliforni´aban bizonyos er˝oss´eg˝ u f¨oldreng´es bek¨ovetkezz´ek?” A fizikus felteheti a k´erd´est: Mi az es´elye annak, ” hogy az adott Geiger-sz´aml´al´o h´ usz be¨ ut´est regisztr´aljon a k¨ovetkez˝o t´ız m´asodpercben?” A politikust vagy az ´allamf´erfit ez a k´erd´es ´erdekli: Mi ” annak az es´elye, hogy ezt vagy azt a jel¨oltet megv´alasztj´ak?” Olvas´oinkat annak az es´elye ´erdekli, hogy tanulnak-e valamit ebb˝ol a fejezetb˝ol. Az es´ely sz´on valami tal´algat´asf´el´et, sejt´est ´ert¨ unk. Mi´ert van sz¨ uks´eg¨ unk sejt´esekre? Akkor haszn´aljuk ˝oket, amikor valamilyen ´ıt´eletet akarunk kimondani, de hi´anyos az inform´aci´onk, vagy bizonytalan a tud´asunk. Meg szeretn´enk sejteni valamir˝ol, hogy milyen term´eszet˝ u, vagy hogy val´osz´ın˝ uleg mi fog bek¨ovetkezni. Gyakran az´ert akarjuk ezt vagy azt megsejteni, mert valamiben d¨onten¨ unk kell. P´eld´aul: Vigyem-e magammal az es˝okab´atomat? Milyen m´ert´ek˝ u f¨oldmozg´asra kell terveznem ´ az u ´j ´ep¨ uletet? Ep´ıttessek-e magamnak atombunkert? Megv´altoztassame az ´all´aspontomat a nemzetk¨ozi politikai t´argyal´asokr´ol? Megtartsam-e a mai egyetemi el˝oad´asomat? N´eha az´ert haszn´alunk sejt´eseket, mert bizonyos helyzetr˝ol korl´atozott tud´asunkhoz k´epest a lehet˝o legt¨obbet akarjuk mondani. Tulajdonk´eppen minden ´altal´anos´ıt´as sejt´es jelleg˝ u. B´armely fizikai elm´elet a sejt´es egy bizonyos fajt´aja. Vannak helyes ´es helytelen sejt´esek. A val´osz´ın˝ us´egsz´am´ıt´as voltak´eppen a helyesebb sejt´esek el˝o´all´ıt´as´ara szolg´al´o rendszer. A val´osz´ın˝ us´egsz´am´ıt´as terminol´ogi´aja lehet˝ov´e teszi sz´amunkra, hogy sz´amszer˝ u meg´allap´ıt´ast tegy¨ unk olyan jelens´egekr˝ol, amelyek bizonyos vonatwww.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

6.1. Es´ely ´es val´ osz´ın˝ us´eg

111

koz´asban er˝osen v´altoz´ekony term´eszet˝ uek, de amelyek ´atlagban m´egis k¨ovetkezetes viselked´est mutatnak. Tekints¨ uk p´eld´aul a fej vagy ´ır´as” j´at´ekot. Ha a dob´as becs¨ uletes” ´es ” ” az ´erme nem szab´alytalan, semmilyen m´od nincs arra, hogy el˝ore biztosan megmondjuk b´armely adott dob´as eredm´eny´et. M´egis u ´gy ´erezz¨ uk, hogy nagysz´am´ u dob´as eset´en nagyj´ab´ol egyenl˝o ar´anyban kell kapnunk fejet” ” ´es ´ır´ast”. Azt mondjuk: 0,5 annak a val´osz´ın˝ us´ege, hogy egy dob´as ” ” eredm´enye fej lesz.” Val´osz´ın˝ us´egekr˝ol csak a j¨ov˝oben elv´egzend˝o megfigyel´esekkel kapcsolatban besz´elhet¨ unk. A megfigyel´essorozat valamely konkr´et eredm´eny´ere vonatkoz´ o val´ osz´ın˝ us´egen azt a sz´ am´ert´eket ´ertj¨ uk, mely k¨ or¨ ul a sokszor ism´etelt ´eszlel´esek eset´en az erre az eredm´enyre vezet˝ o ´eszlel´esek h´ anyada ingadozik. Ezt ´altal´aban nem tudjuk teljesen pontosan meg´allap´ıtani, hanem csak becs¨ ulj¨ uk. Ha elk´epzelj¨ uk, hogy egy ´eszlel´est – p´eld´aul a feldobott ´erm´ek megfigyel´esekor – minden k´ıs´erletsorozatban n-szer megism´etel¨ unk, ´es ha kA -val jel¨olj¨ uk azt a sz´amot, amely k¨or¨ ul valamilyen meghat´arozott A eredm´eny, mondjuk, a fejet” ad´o kimenetek sz´ama in” gadozik, akkor A ´eszlel´es´enek P (A) val´osz´ın˝ us´eg´en a P (A) = kA /n

(6.1)

h´anyadost ´ertj¨ uk. Ez a defin´ıci´o t¨obb szempontb´ol is magyar´azatra szorul. El˝osz¨or: egy esem´eny bek¨ovetkez´es´enek val´osz´ın˝ us´eg´er˝ol csak akkor besz´elhet¨ unk, ha ezen esem´eny valamilyen tetsz˝oleges sokszor megism´etelhet˝ o k´ıs´erlet, ´eszlel´es egyik lehets´eges kimenetele. K´ets´eges, hogy van-e egy´altal´an ´ertelme a k¨ovetkez˝o k´erd´esnek: Mi annak a val´osz´ın˝ us´ege, hogy ebben a h´azban ” k´ıs´ertet j´ar?” Valaki azt vethetn´e ellen, hogy soha, semmilyen helyzet nem ism´etelhet˝o meg pontosan. Ez igaz. Minden egyes megfigyel´esre legal´abbis k¨ ul¨onb¨oz˝o id˝oben vagy helyen ker¨ ul sor. Csup´an azt mondhatjuk, hogy az ism´etelt”´eszlel´eseknek a mi c´eljaink szempontj´ab´ol azonosnak kell l´ atsza” niuk. Fel kell t´etelezni, hogy minden megfigyel´es egy azonosan el˝ok´esz´ıtett helyzetb˝ol indul ki, ´es k¨ ul¨on¨osen azt, hogy a kiindul´askor bizonyos k¨or¨ ulm´enyeket mindig ugyanazon m´ert´ekben hanyagolunk el. (Ha k´arty´az´as k¨ozben beles¨ unk a partner kez´eben lev˝o lapokba, a nyer´es es´elye m´as lesz, mintha nem l´attuk volna a lapokat!) Hangs´ ulyoznunk kell, hogy a (6.1) egyenletben n ´es kA nem a t´enyleges megfigyel´eseken alapul´o sz´amokat jelentik. kA sz´amszer˝ u ´ert´ek´ere az n elk´epzelt ´eszlel´es alapj´an becsl´est v´egz¨ unk. Az esem´eny val´osz´ın˝ us´eg´ere kapott ´ert´ek egyr´eszt att´ol f¨ ugg, hogy milyen t´enyleges tapasztalataink www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

112

6. Val´ osz´ın˝ us´eg

vannak a sz´oban forg´o ´eszlel´es eredm´eny´er˝ol, m´asr´eszt att´ol a k´epess´eg¨ unkt˝ol, hogy hogyan tudunk becsl´eseket v´egezni. Val´oj´aban: a j´ozan esz¨ unkt˝ol! Szerencs´ere a j´ozan ´esz nem annyira szubjekt´ıv, mint gondoln´ank, ez´ert gyakran k¨ ul¨ onb¨oz˝o emberek ¨oszt¨on¨osen is ugyanarra a becsl´esre jutnak. A val´osz´ın˝ us´egeknek azonban nem kell abszol´ ut” sz´amoknak ” lenni¨ uk. Mivel az ´eszlel´es k¨or¨ ulm´enyeire vonatkoz´o tudatlans´agunkt´ol, az ´altalunk elhanyagolt t´enyez˝okt˝ol f¨ uggenek, erre vonatkoz´o tud´asunk v´altoz´as´aval m´odosulhatnak. A val´osz´ın˝ us´egre adott defin´ıci´oknak ´eszrevehet˝oen van egy m´asik, l´atsz´olag igen szubjekt´ıv” von´asa is. kA -t nem tudjuk teljesen pontosan ” meg´allap´ıtani, csup´an r´a vonatkoz´o becsl´est v´egezhet¨ unk. Ez alatt azt ´ertj¨ uk, hogy nem pontosan a kA ´ert´ek megfigyel´es´et v´arjuk, hanem kA -hoz k¨ ozeli ´ert´eket, ´es hogy sokszori ism´etl´es eset´en ezek a kA -hoz k¨ozeli sz´amok kA k¨or¨ ul ingadoznak. Ha, mondjuk, 30-szor dobunk fel egy p´enzdarabot, akkor azon esetek sz´ama, amikor fejet” kapunk, nem lesz felt´etlen¨ ul ´ep” pen 15, hanem esetleg valamelyik 15 k¨or¨ uli sz´am, mondjuk, 12, 13, 14, 15, 16 vagy 17. De ha egy sz´amot kell v´ alasztanunk, akkor u ´gy d¨ont¨ unk, hogy a 15 mindegyik m´asik sz´amn´al es´elyesebb. Teh´at azt ´ırn´ank, hogy Pfej = 0, 5. Mi´ert k´ezenfekv˝o a 15 k¨or¨ uli ingadoz´as? A k¨ovetkez˝ok´eppen gondolkozhatunk: ha n dob´as eset´en a fej” esetek legval´osz´ın˝ ubb sz´ama kF , ” akkor az ´ır´as´e” kI = n − kF . (Itt felt´etelezt¨ uk, hogy minden dob´as ” vagy fejet, vagy ´ır´ast ad, harmadik lehet˝os´eg nincs!) Azonban ha az ´erme szab´alyos”, akkor sem a fej, sem az ´ır´as nincs el˝onyben a m´asikkal ” szemben. Am´ıg nincsen okunk feltenni, hogy az ´erme (vagy a dob´as) nem szab´alyos”, addig a fej ´es az ´ır´as val´osz´ın˝ us´eg´et egyenl˝onek vehet” j¨ uk. ´Igy h´at kI = kF . Ebb˝ol k¨ovetkezik, hogy kI = kF = n/2, vagy P (F ) = P (I) = 0, 5. ´ Ervel´ es¨ unket ´altal´anos´ıthatjuk b´ armilyen esetre, ahol egy ´eszlel´esnek m k¨ ul¨onb¨oz˝o, de egym´assal egyen´ert´ek˝ u (azaz egyenl˝o val´osz´ın˝ us´eg˝ u) eredm´enye lehet. Ha egy ´eszlel´es m k¨ ul¨onb¨oz˝o eredm´enyre vezethet, ´es ha okunk van azt hinni, hogy az egyik eredm´eny ´epp olyan val´osz´ın˝ u, mint a m´asik, akkor egy adott A eredm´eny val´osz´ın˝ us´ege P (A) = 1/m. Ha h´et k¨ ul¨onb¨oz˝o sz´ın˝ u goly´o van egy ´atl´atszatlan dobozban, ´es tal´alomra vesz¨ unk ki k¨oz¨ ul¨ uk egyet (vagyis an´elk¨ ul, hogy odan´ezn´enk), akkor egy adott sz´ın˝ u goly´o kiv´etel´enek val´osz´ın˝ us´ege 1/7. Annak a val´osz´ın˝ us´ege, hogy egy 52 k´arty´ab´ol ´all´o paklib´ol vakt´aban” kih´ uzzuk a k˝or tizest, ” 1/52. Annak a val´osz´ın˝ us´ege, hogy k´et kock´aval dupla hatost dobjunk: 1/36.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

113

6.2. V´eletlen ingadoz´ asok

Az 5. fejezetben az atommag nagys´ag´at annak l´atsz´olagos ter¨ ulet´evel vagy hat´askeresztmetszet´evel” ´ırtuk le, teh´at l´enyeg´eben val´osz´ın˝ us´egekr˝ol besz´el” t¨ unk. Amikor nagyenergi´ aj´ u r´eszecsk´ekkel v´ekony lemezk´et bomb´azunk, bizonyos es´ely van arra, hogy a r´eszecsk´ek a lemezen akad´aly n´elk¨ ul haladjanak kereszt¨ ul, ´es bizonyos es´ely van arra is, hogy az atommagokkal u ¨tk¨ozzenek. (Mivel az atommag olyan kicsi, hogy nem l´ atjuk, nem is tudjuk k¨ozvetlen¨ ul megc´elozni, azaz vakt´ aban kell r´ al˝ oni”.) Ha N atom van a lemezk´eben, ´es minden atommag” nak a hat´ askeresztmetszet szempontj´ ab´ol sz´oba j¨ov˝o ter¨ ulete σ, akkor a magok ´altal le´arny´ekolt” teljes ter¨ ulet N σ. Ha sokszor, mondjuk, n-szer teljesen v´elet” lenszer˝ uen bomb´ azzuk az anyagot, akkor v´arhat´o, hogy az atommagokkal val´o u ama u ´gy ar´ anylik n-hez, mint a le´arny´ekolt ter¨ ulet a lemezke ¨tk¨oz´esek ku¨ sz´ teljes ter¨ ulet´ehez: ku¨ /n = N σ/A.

(6.2)

Azt mondhatjuk teh´ at: annak val´ osz´ın˝ us´ege, hogy b´armely bomb´az´o r´eszecske a lemezk´en ´ athaladva u oz´est szenvedjen: ¨tk¨ Pu¨ =

N σ, A

(6.3)

ahol N/A a lemezke egys´egnyi ter¨ ulet´ere es˝o atomok sz´ama.

6.2. V´ eletlen ingadoz´ asok A val´osz´ın˝ us´egr˝ol szerzett tud´asunk birtok´aban most r´eszletesebben fogI 19 lalkozunk a k¨ovetkez˝o k´erd´essel: n” F 11 szeri feldob´as eset´en val´oj´aban h´anyx x x x xxx x x x x szor v´ arhat´ o eredm´eny¨ ul fej?” Mixxxx xxxx x x xxxx xx x xx I 19 el˝ott azonban e k´erd´esre feleln´enk, F 16 n´ezz¨ uk meg, mib˝ol ´all egy ilyen k´ıx xxx xx x xxx xx x xx x ” x xx x xx xx xx x x x x s´erlet”. A 6.1. ´abra h´arom k´ıs´erI 14 letsorozat eredm´eny´et mutatja, ezek mindegyik´eben n = 30. A fejek” ´es ” 6.1. a ´bra. Egyenk´ent 30 dob´ asb´ ol a ´l´ır´asok” sorozata ´eppen olyan sor” l´ o j´ atszm´ akban a fej” ´es ´ır´ as” ered” ” rendben van felt¨ untetve, amint az m´enyek ´eszlelt sorozatai a k´ıs´erlet sor´an ad´odott. Az els˝o ´es m´asodik dob´assorozatban 11–11-szer, a harmadikban 16-szor kaptunk eredm´eny¨ ul fejet”. A h´arom sorozat egyik´eben sem kaptunk 15-sz¨or fe” ” jet”. Gyanakodjunk az ´erm´ere? Vagy t´evesen gondoltuk, hogy egy ilyen j´at´ekban a fejek” legval´osz´ın˝ ubb sz´ama 15? Tov´abbi 97, egyenk´ent 30 ” F

x x x xxx x xx x x xx x x xxxxxxxxx xx xx x x

www.interkonyv.hu

11

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

114

6. Val´ osz´ın˝ us´eg

dob´asb´ol ´all´o k´ıs´erletsorozatot v´egezt¨ unk, ¨osszesen teh´at sz´azat. E k´ıs´erletek eredm´enyeit a 6.1. t´abl´azatban1 t¨ untett¨ uk fel. 11 11 16 16 16 14 16 19 17 14

16 17 12 12 10 14 11 15 17 12

17 17 15 11 15 13 16 14 12 15

15 12 10 22 13 16 14 12 13 17

17 20 18 12 14 15 17 18 14 14

16 23 17 20 16 19 14 15 17 10

19 11 13 12 15 21 11 14 9 17

18 16 15 15 16 14 16 21 13 17

15 17 14 16 13 12 17 11 16 12

13 14 15 12 18 15 16 16 13 11

¨ Osszesen 100 k´ıs´erlet

6.1. t´ abl´ azat. A fej” eredm´enyek sz´ ama egy ´erme 30-szori feldob´ as´ ab´ ol a ´ll´ o k´ıs´erlet ” t¨ obbsz¨ ori megism´etl´esekor

A 6.1. t´abl´azatb´ol kit˝ unik, hogy az eredm´enyek t¨obbs´ege k¨ozel van 15h¨oz (12 ´es 18 k¨oz¨ott van). A r´eszletekr˝ol ´attekinthet˝obb k´epet kapunk, ha az eredm´enyek eloszl´ as´ at grafikusan ´abr´azoljuk. Sz´amoljuk ¨ossze azon dob´assorozatokat, amelyekben eredm´eny¨ ul k-t kaptunk, ´es ´abr´azoljuk ezeket a sz´amokat minden k-ra. Ilyen g¨orb´et mutat a 6.2. ´abra. 13 sorozat mindegyik´eben 15, illetve 14 fejet” kaptunk eredm´eny¨ ul. T¨ obb mint 13-szor ” ad´odott 16, illetve 17 fej”. Vajon mindebb˝ol k¨ovetkeztethet¨ unk-e arra, ” hogy valamilyen hat´as a fejek” ellen dolgozik? Teh´at feltev´es¨ unk, mely ” szerint az ´erme szab´alyos, t´eves volt? Arra kell-e k¨ovetkeztetn¨ unk most, hogy egy 30 dob´asb´ol ´all´o sorozat eredm´enye legink´abb 16 lenne? V´arjunk csak! Az ¨osszes sorozatban egy¨ uttv´eve 3000-szer dobtuk fel az ´erm´et, ´es a fej” eredm´enyek sz´ama 1493 volt. A fej” eredm´enyt szolg´altat´o dob´asok ” ” h´anyada 0,498, k¨ozel 1/2, de valamivel m´egis kevesebb. Teh´at nem t´etelezhetj¨ uk fel, hogy a fej” eredm´enyek val´osz´ın˝ us´ege nagyobb, mint 0,5! ” Az a t´eny, hogy egy adott ´eszlel´essorozat gyakrabban vezetett a 16, mint a 15 v´egeredm´enyhez, csup´an v´eletlen ingadoz´ as (fluktu´ aci´ o). Tov´abbra is azt v´arjuk, hogy a fej” dob´asok legval´ osz´ın˝ ubb sz´ ama 15. ” Feltehetj¨ uk a k´erd´est: Mi annak a val´osz´ın˝ us´ege, hogy egy 30 do” b´asb´ol ´all´o k´ıs´erletsorozat 15 vagy 16, vagy b´armilyen m´as sz´am´ u fej” ” dob´ast eredm´enyezzen?” M´ar mondottuk, hogy csup´an egyetlen dob´as eset´en 0,5 annak val´osz´ın˝ us´ege, hogy egyszer j¨ojj¨on ki fej”, annak va” 1

Az els˝ o h´ arom sorozat ut´ an a k´ıs´erletet t´enylegesen u ´gy v´egezt¨ uk el, hogy 30 darab ´erm´et j´ ol ¨ osszer´ aztunk egy dobozban, azt´ an megsz´ amoltuk, hogy h´ any esett fejjel” ” felfel´e.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

115

Azon sorozatok száma, melyekben k-szor kapunk „fejet”

6.2. V´eletlen ingadoz´ asok

15 A kísérletekben észlelt eredmények

10 Valószínű szám

5

0 0

5

10

15

20

25

30

k = „fej” eredmények száma

6.2. a ´bra. 100, egyenk´ent 30 dob´ asb´ ol a ´ll´ o sorozat eredm´enye. A f¨ ugg˝ oleges vonalak azon sorozatok sz´ am´ at mutatj´ ak, melyekben k-szor kaptunk fejet”. A szaggatott g¨ orbe ” a val´ osz´ın˝ us´egsz´ am´ıt´ assal kapott v´ arhat´ o sz´ amokat adja meg

l´osz´ın˝ us´ege, hogy ne fej” j¨ojj¨on ki, szint´en 0,5. K´et dob´as eset´en n´egy ” lehets´eges v´egeredm´eny van: FF, FI, IF ´es II. Mivel ezek mindegyike egyform´an val´osz´ın˝ u, az´ert (a) annak a val´osz´ın˝ us´ege, hogy mindk´et dob´as fejet” eredm´enyezzen: 1/4; (b) annak a val´osz´ın˝ us´ege, hogy az egyik do” b´as fej” legyen: 2/4; (c) annak a val´osz´ın˝ us´ege, hogy egyik dob´asban se ” kapjunk eredm´eny¨ ul fejet”, szint´en 1/4. Egy fejet” k´et m´odon, de k´et ” ” vagy z´erus fejet” csak egy-egy m´odon kaphatunk. ” Tekints¨ unk most egy h´arom dob´asb´ol ´all´o sorozatot. A harmadik dob´as egyenl˝o val´osz´ın˝ us´eggel ad fejet” vagy ´ır´ast”. H´arom fejet” csak egy” ” ” f´elek´eppen kaphatunk: Az els˝o dob´assal k´et fejet”, majd a harmadik do” b´asban is fejet” kell kapnunk. Azonban k´et fejet” h´ aromf´elek´eppen kap” ” hatunk. K´et fej” ” ut´an egy ´ır´ast” dobunk (egy lehet˝os´eg), vagy a harmadik dob´asban fe” ” jet” dobunk, de az els˝o kett˝o k¨oz¨ ul csak az egyik volt fej” (k´et lehet˝os´eg). ” Hasonl´o az eset a k´et ´ır´as” eredm´ennyel. ´Igy a 3F, 2F, 1F ´es 0F eredm´e” nyek egyenl˝o val´osz´ın˝ us´eggel 1, 3, 3, 1-szer k¨ovetkeznek be, ´es az ¨osszes lehets´eges esetek sz´ama 8. A val´osz´ın˝ us´egek: 1/8, 3/8, 3/8 ´es 1/8. Az im´ent le´ırt okoskod´ast a 6.3. ´abr´an l´athat´o diagramban foglalhatjuk o¨ssze. Vil´agosan l´atszik, hogyan kell folytatni a diagramot t¨obb dob´as eset´ere. A 6.4. ´abra 6 dob´as eset´ere mutat egy ilyen diagramot. A diagram egyes pontjaihoz k¨ ul¨onb¨oz˝o sz´amokat rendelt¨ unk, amelyek megmondj´ak, www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

116

6. Val´ osz´ın˝ us´eg

Módok száma

Módok száma

Módok száma 1

F F

1

I F

2

I F

1

F I

1 I

1

I F I

Első dobás

Második dobás

Eredmény 3F

Valószínűség 1/8

3

2F

3/8

3

1F

3/8

1

0F

1/8

Harmadik dobás

6.3. a ´bra. Egyenk´ent h´ arom dob´ asb´ ol a ´ll´ o sorozatokban a 0, 1, 2, vagy 3 fej” eredm´enyhez vezet˝ o m´ odok sz´ a” m´ at szeml´eltet˝ o diagram

Eredmény 1

6

6

5

15

4

20

3

15

2

6

1

1

0

1 1 1 1 1

5 4

3 2

1

10 6

3 1

10 4

1

5 1 1

6.4. a ´bra. Egyenk´ent 6 dob´ asb´ ol a ´ll´ o sorozat esete

hogy az adott eredm´enyt h´any m´odon ´erhetj¨ uk el. Ezek a sz´amok egyszersmind a k¨ ul¨onb¨oz˝o utak” (azaz fej” ´es ´ır´as” egym´asut´anjai) sz´am´at ” ” ” is megadj´ak a kiindul´oponthoz viszony´ıtva. A sz´amok ilyen elrendez´ese Pascal-h´ aromsz¨ og n´even ismert. Ezeket a sz´amokat binomi´ alis egy¨ utthat´ oknak is nevezik, mivel (a + b)n kifejt´es´eben is szerepelnek. n-nel jel¨olve a dob´assorozat hossz´at – vagyis az ¨osszes dob´as sz´am´at – ´es k-val a fej” ”
eredm´enyhez vezet˝o dob´asok´et, a diagramban szerepl˝o sz´amokat az nk szimb´olummal szoktuk jel¨olni. Mellesleg megjegyezz¨ uk, hogy a binomi´alis egy¨ utthat´okat a k¨ovetkez˝o ¨osszef¨ ugg´esb˝ol lehet kisz´am´ıtani: n k

!

=

n! , k!(n − k)!

(6.4)

ahol n! (n faktori´alis) az n(n − 1)(n − 2) · · · 3 · 2 · 1 szorzatot jelenti. Most m´ar a (6.1) ¨osszef¨ ugg´est felhaszn´alva ki tudjuk sz´am´ıtani annak P (k, n) val´osz´ın˝ us´eg´et, hogy n dob´as k¨oz¨ ul k-szor fejet kapjunk. A k¨ ul¨onb¨oz˝o lehets´eges dob´assorozatok (utak) sz´ama 2n (mivel minden dob´as k´et eredm´enyre vezethet), ´es ezek k¨oz¨ ul minden www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

117

6.3. Bolyong´ asi probl´ema

olyan u ´t, mely k fejhez” vezet, egyform´an val´osz´ın˝ u. Ez´ert ” n
k . (6.5) 2n Mivel P (k, n) a sorozatok azon h´anyada, ahol eredm´enyk´ent k-szor kapunk fejet”, az´ert 100 sorozat eset´en 100P (k, n)-szer v´arhatjuk k fej” ” ” el˝ofordul´as´at. A 6.2. ´abr´an a szaggatott g¨orb´et a 100P (k, 30) kifejez´esb˝ol sz´am´ıtottuk ki. L´athat´o, hogy 15 fej” 14 vagy 15 sorozatban v´ arhat´ o ” eredm´eny¨ ul, t´enylegesen azonban 13 sorozatban ´eszlelt¨ uk. Ugyan´ıgy, 16 fej” 13 vagy 14 sorozatban volt v´ arhat´ o, de 16 sorozatban ´eszlelt¨ uk. Az ” ilyen v´eletlen ingadoz´asokat a j´at´ekszab´alyok” megengedik. ” A most bemutatott m´odszer a leg´altal´anosabb esetekben is alkalmazhat´o, felt´eve, hogy egy ´eszlel´esnek k´et lehets´eges kimenetele van. Jel¨olj¨ uk ´ ezt a k´et v´egeredm´enyt az Ny (nyer) ´es V (vesz´ıt) bet˝ ukkel. Altal´aban egy esem´enyen bel¨ ul az Ny ´es V val´osz´ın˝ us´eg´enek nem kell egyenl˝onek lennie. Legyen p annak a val´osz´ın˝ us´ege, hogy eredm´eny¨ ul Ny-t kapunk. Ekkor az a q val´osz´ın˝ us´eg, hogy eredm´eny¨ ul V-t kapunk, sz¨ uks´egszer˝ uen (1 − p). n-szeri ism´etl´es eset´en annak a val´osz´ın˝ us´ege, hogy k-szor kapjuk az Ny eredm´enyt:

P (k, n) =

!

P (k, n) =

n k n−k p q . k

(6.6)

Ezt a val´osz´ın˝ us´egi eloszl´ast Bernoulli-f´ele vagy binomi´ alis eloszl´ asnak nevezz¨ uk. 6.3. Bolyong´ asi probl´ ema Van egy m´asik ´erdekes probl´ema, melynek megold´as´ahoz szint´en sz¨ uks´eges a val´osz´ın˝ us´egsz´am´ıt´as. Ez a bolyong´asi probl´ema. Ennek legegyszer˝ ubb form´aja a k¨ovetkez˝o: k´epzelj¨ unk el egy j´at´ekot”, melyben a j´at´ekos” az ” ” x = 0 pontb´ol indul, ´es minden egyes lehets´eges elmozdul´asa vagy egy l´ep´es el˝ore (a +x ir´anyban), vagy egy l´ep´es h´atra (a −x ir´anyban). A v´alaszt´as, hogy el˝ore vagy h´atra l´ep-e, v´eletlenszer˝ u, p´eld´aul egy ´erme ´ feldob´asa d¨ont. Hogyan lehet az ered˝o mozg´ast le´ırni? Altal´ anos form´aj´aban ez a feladat g´azban lev˝o atomok vagy m´as r´eszecsk´ek mozg´as´aval – az u ´gynevezett Brown-mozg´assal –, valamint a m´er´esi hib´ak ¨osszetev˝od´es´enek szab´aly´aval kapcsolatos. L´atni fogjuk, hogy a bolyong´asi probl´ema szorosan kapcsol´odik a m´ar t´argyalt p´enzfeldob´as probl´em´aj´ahoz. El˝osz¨or is n´ezz¨ unk n´eh´any p´eld´at a bolyong´asra. Egy mozg´o t´argy halad´as´at azzal az ered˝o D(N ) t´avols´aggal jellemezhetj¨ uk, ahov´a az N l´ep´es ut´an a kiindul´opontt´ol eljutott. A 6.5. ´abr´an a bolyong´as h´arom p´eld´aj´at www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

118

6. Val´ osz´ın˝ us´eg

DN (A kiindulási ponttól megtett távolság)

mutatjuk be. (A l´ep´esek egym´asut´anj´anak v´eletlenszer˝ u kiv´alaszt´as´ara a p´enzfeldob´asoknak a 6.1. ´abr´an l´athat´o eredm´eny´et haszn´altuk fel.) Mit mondhatunk egy ilyen mozg´asr´ol? El˝osz¨or is megk´erdezhetj¨ uk, hogy ´atlagosan milyen t´avols´agra jut el a mozg´o test”. Azt kell v´ arnunk, ” hogy ´ atlagos elt´ avolod´ asa z´erus lesz, mivel minden l´ep´esben egyform´an val´osz´ın˝ u, hogy el˝ore vagy h´atra mozdul el. M´egis az az ´erz´es¨ unk, hogy ha N n¨ovekszik, akkor val´osz´ın˝ ubb, hogy a kiindul´asi pontt´ol egyre messzebb jut a test. Mit v´arhatunk az elt´avolod´as abszol´ ut ´ert´ek´enek ´atlagak´ent, azaz |D| ´atlag´ert´ekek´ent? K´enyelmesebb azonban az elt´avolod´as abszol´ ut ´ert´eke helyett a t´ avols´ ag n´egyzet´et tekinteni; D2 mind pozit´ıv, mind negat´ıv ir´any´ u elmozdul´asok eset´en szint´en pozit´ıv. 2 v´ Ki tudjuk mutatni, hogy DN arhat´o ´ert´eke ´eppen N , vagyis a megtett l´ep´esek sz´ama. V´arhat´o ´ert´eken” azt az ´ert´eket ´ertj¨ uk, ami k¨or¨ ul a ” 2 ´ sokszor megism´etelt k´ıs´erlet eset´en a kapott DN ert´ekek ingadoznak. Ezt 2 i-tel jel¨ a v´arhat´o ´ert´eket hDN olj¨ uk ´es ´atlagos n´egyzetes t´avols´agnak is ne2 vezz¨ uk. Egy l´ep´es ut´an D ´ert´eke mindig +1, ez´ert biztosan ´all´ıthatjuk, hogy hD12 i = 1. (A k¨ovetkez˝okben hosszegys´egnek egy l´ep´es t´avols´ag´at tekintj¨ uk, ez´ert sehol sem ´ırjuk ki k¨ ul¨on a hosszegys´egeket.) 2 v´ N > 1 eset´ere DN arhat´o ´ert´ek´et DN −1 -b˝ol kaphatjuk meg. Ha N −1 l´ep´es ut´an a megtett t´avols´ag DN −1 , akkor N l´ep´es ut´an DN = DN −1 + 1

5

0

-5

-10 0

10

20

30

N (A megtett lépések száma)

6.5. a ´bra. Bolyong´ as sor´ an megtett halad´ as. A v´ızszintes N koordin´ ata a megtett l´ep´esek ¨ osszes sz´ ama, a f¨ ugg˝ oleges D(N ) koordin´ ata a kiindul´ asi pontt´ ol megtett ered˝ o t´ avols´ ag

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

6.3. Bolyong´ asi probl´ema

119

vagy DN = DN −1 − 1. A t´avols´agn´egyzetekre vonatkoz´olag: ( 2 DN −1 + 2DN −1 + 1, 2 DN = (6.7) 2 DN −1 − 2DN −1 + 1. Nagysz´am´ u ilyen f¨ uggetlen l´ep´es eset´en azt v´arjuk, hogy mindk´et ´ert´ek 1/2 val´osz´ın˝ us´eggel forduljon el˝o, s a v´arhat´o ´atlag´ert´ek ´eppen a k´et lehets´eges 2 v´ 2 ´ aban (a defin´ıci´o ´ert´ek ´atlaga. DN arhat´o ´ert´eke ez´ert DN −1 + 1. Altal´ 2 2 szerint) DN −1 -re annak v´arhat´o ´ert´ek´et”, hDN −1 i-et kell v´ arnunk. Ez´ert ” 2 2 hDN i = hDN (6.8) −1 i + 1. 2 M´ar megmutattuk, hogy hD1 i = 1. Ebb˝ol k¨ovetkezik egy igen egyszer˝ u eredm´eny: 2 hDN i = N. (6.9) Ha ink´abb t´avols´ag, mint t´avols´agn´egyzet jelleg˝ u sz´ammal akarjuk a kezd˝opontt´ol megtett ´atlagos halad´ast” jellemezni, akkor az ´atlagos ” ” n´egyzetes t´avols´agot”, Dn.k. -t haszn´alhatjuk: q √ (6.10) Dn.k. = hD2 i = N . M´ar eml´ıtett¨ uk, hogy a bolyong´asi probl´ema matematikailag nagyon hasonl´o a fejezet elej´en t´argyalt fej vagy ´ır´as” j´at´ek probl´em´aj´ahoz. Ha ” elk´epzelj¨ uk, hogy minden egyes l´ep´es ir´any´at (el˝ore vagy h´atra) annak megfelel˝oen v´alasztjuk meg, hogy egy ´erme feldob´asakor fej” vagy ´ır´as” ” ” volt-e fel¨ ul, akkor D ´eppen NF − NI -vel, azaz a fejek ´es ´ır´asok” sz´am´a” nak k¨ ul¨onbs´eg´evel lesz egyenl˝o. Mivel NF + NI = N , ahol N a l´ep´esek (´es dob´asok) ¨osszes sz´ama, az´ert D = 2NF − NI (vagy m´ask´eppen k) eloszl´as´ara m´ar kor´abban levezett¨ uk a (6.5) formul´at. Mivel N konstans, D-re ugyanez az eloszl´as vonatkozik. A 6.2. ´abra a 30 l´ep´esben megtett t´avols´agok eloszl´as´at is megadja (k = 15 helyett D = 0, k = 16 helyett D = 2 stb. tekintend˝o). NF elt´er´ese saj´at v´arhat´o ´ert´ek´et˝ol, N/2-t˝ol: D N NF − = . (6.11) 2 2 Az ´atlagos n´egyzetes elt´er´es, vagy m´ask´epp a sz´or´as:   N 1√ NF − = N. (6.12) 2 n.k. 2 Dn.k. -ra kapott eredm´eny¨ √ unknek megfelel˝oen azt v´arjuk, hogy 30 l´ep´es ut´an a jellemz˝o” t´avols´ag 30 ≈ 5, 5 lesz, illetve a jellemz˝o k kb. 5, 5/2 = ” 2, 75 egys´eggel fog 15-t˝ol k¨ ul¨onb¨ozni. L´athatjuk, hogy a 6.2. ´abr´an lev˝o g¨orbe k¨oz´ept˝ol sz´am´ıtott sz´eless´ege” ´eppen h´arom egys´eg k¨or¨ ul van, ami ” j´ol egyezik a fenti eredm´ennyel.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

120

6. Val´ osz´ın˝ us´eg

Most m´ar olyan helyzetben vagyunk, hogy egy eddig megker¨ ult k´erd´essel is foglalkozhatunk. Hogyan tudjuk megmondani, hogy az ´erme nem szab´alytalan”-e? Erre m´ar legal´abb r´eszben v´alaszt tudunk adni. Ha az ” ´erme szab´alyos”, akkor v´arhat´o, hogy az esetek 50%-´aban fejjel” felfel´e ” ” esik le, teh´at hNF i = 0, 5. N

(6.13)

√ Azt is elv´arjuk, hogy NF val´odi ´ert´eke ´atlagosan N /2-vel t´erjen el N/2t˝ol, vagy m´ask´epp, az N -hez viszony´ıtott elt´er´es: √ 1 N 1 = √ . N 2 2 N

„fej” eredményre vezető dobások hányada

Min´el nagyobb N ´ert´eke, ann´al kev´esb´e fog az NF /N h´anyados ingadozni v´arhat´o ´ert´eke, 1/2 k¨or¨ ul. A 6.6. ´abr´an az NF /N h´anyados ´ert´ekeit ´abr´azoltuk az ebben a fejezetben kor´abban le´ırt fej vagy ´ır´as” j´at´ek eset´ere. L´athat´o az a tendencia, ” hogy azon dob´asok sz´ama, amelyek fej” eredm´enyt adtak, nagy N ese” t´en 0,5 fel´e tart. Sajnos egy adott sorozat vagy a sorozatok kombin´aci´oja eset´en nincs biztos´ıt´ek arra n´ezve, hogy az ´eszlelt elt´er´es a v´ arhat´ o elt´er´es k¨ ozel´eben lesz. Mindig van valamilyen val´osz´ın˝ us´ege annak is, hogy egy hossz´ u sorozat fej” vagy ´ır´as” tetsz˝olegesen nagy fluktu´aci´ot okoz. Csak √ ” ” annyit mondhatunk, hogy ha az elt´er´es nincs t´ ul messze a v´arhat´o 1/2 N ´ert´ekt˝ol (mondjuk k´etszeres´en vagy h´aromszoros´an bel¨ ul van), akkor nincs okunk arra gyanakodni, hogy az ´erme szab´alytalan”. Ha az elt´er´es sok” kal nagyobb, akkor gyanakodhatunk, de ezzel m´eg nem bizonyosodott be, hogy az ´erme – vagy a dob´as – szab´alytalan” volt. ” 1,0

? 0,5 ?

0

1

2

4

8

16

32 64 128 256 512 1024 2048 4096 N (a dobások száma)

6.6. a ´bra. Egy ´erme N -szeri feldob´ as´ ab´ ol a ´ll´ o sorozatokban azon dob´ asok h´ anyada, melyekb˝ ol fej” ad´ odott ”

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

6.4. Val´ osz´ın˝ us´egeloszl´ as

121

M´eg nem besz´elt¨ unk arr´ol az esetr˝ol, amikor alapos okunk van felt´etelezni, hogy a fej” ´es ´ır´as” val´osz´ın˝ us´ege nem egyenl˝o egy ´erm´ere vagy ” ” m´as v´eletlennek kitett” t´argyra vonatkoz´oan (pl. egy olyan k˝ore, amely ” lees´eskor mindig k´et adott helyzet egyik´et foglalja el). A P (F ) val´osz´ın˝ us´eget a k¨ovetkez˝ok´eppen defini´altuk: P (F ) = hNF i/N . Honnan tudjuk azonban, hogy mi v´arhat´o NF ´ert´ek´ere? N´emely esetben az a legc´elszer˝ ubb, ha nagysz´am´ u dob´as eset´en megsz´amoljuk, h´anyszor kaptunk fe” jet”. Jobb h´ıj´an teh´at az hNF i ≈ NF (´eszlelt) ¨osszef¨ ugg´est kell haszn´alni. (Hogyan v´ arhatn´ ank egyebet?) Meg kell azonban ´erten¨ unk, ebben az esetben el˝ofordulhat, hogy egy m´asik k´ıs´erlet vagy egy m´asik k´ıs´erletez˝o P (F ) ´ert´ek´ere m´as√´ert´eket hoz ki. Viszont v´ arhat´ o, hogy a k¨ ul¨onb¨oz˝o eredm´enyek az 1/2 N nagys´agrend˝ u elt´er´esen bel¨ ul megegyezzenek (ha P (F ) ´ert´eke k¨ozel van a 0,5-hez). A k´ıs´erleti fizikusok ´altal´aban azt mondj´ak, hogy egy k´ıs´erletileg meghat´arozott” val´osz´ın˝ us´egnek hib´aja” is van, ´es ” ” azt ´ırj´ak, hogy NF 1 P (F ) = ± √ . (6.14) N 2 N Ez a kifejez´es azt jelenti, hogy l´etezik egy val´odi” vagy helyes” val´osz´ı” ” n˝ us´eg, ´es ezt – ha elegend˝o adat ´all rendelkez´es¨ unkre – ´altal´aban el´eg pontosan lehet becs¨ ulni, azonban a v´eletlen ingadoz´asok k¨ovetkezt´eben a becsl´es hib´at tartalmazhat. A val´osz´ın˝ us´egi k¨ovetkeztet´es ilyen ´ertelemben mindig valamelyes bizonytalans´aggal j´ar egy¨ utt, ´es numerikus ´ert´eke v´altozhat, amint egyre t¨obb inform´aci´oval rendelkez¨ unk. 6.4. Val´ osz´ın˝ us´ egeloszl´ as T´erj¨ unk most vissza a bolyong´asi probl´em´ara”, ´es tekints¨ uk annak egy ” m´odos´ıt´as´at. T´etelezz¨ uk fel, hogy a l´ep´esek ir´ any´ anak v´eletlen megv´alaszt´asa (+ vagy –) mellett a l´ep´esek hossza is valamilyen el˝ore meg nem j´osolhat´o m´odon v´altozik. Csup´an annyit tesz¨ unk fel, hogy ´ atlagban a l´ep´esek hossza egys´egnyi. P´eld´aul molekul´ak g´azokban val´o h˝omozg´as´an´al ez az eset ´all fenn. Ha egy l´ep´es hossz´at S-sel jel¨olj¨ uk, S ´ert´eke b´armekkora lehet, de leggyakrabban 1-hez k¨ozeli” ´ert´ek. A jobb meghat´aroz´as ” kedv´e´ert tegy¨ uk fel, hogy hS 2 i = 1, vagy ami azzal ekvivalens, hogy S n´egyzetes k¨oz´ep´ert´eke = 1. A hD2 i-re vonatkoz´o levezet´es az el˝obbihez hasonl´o lesz azzal a k¨ ul¨onbs´eggel, hogy a (6.8) egyenlet most a k¨ovetkez˝ok´eppen alakul: 2 2 2 2 hDN i = hDN (6.15) −1 i + hS i = hDN −1 i + 1. A 2 hDN i=N (6.16) www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

122

6. Val´ osz´ın˝ us´eg

ugg´es tov´abbra is fenn´all. ¨osszef¨ M´armost mit v´arhatunk a D t´avols´agok eloszl´as´ara? Mi p´eld´aul annak a val´osz´ın˝ us´ege, hogy 30 l´ep´es ut´an D = 0 legyen? A v´alasz az, hogy nulla, mivel gyakorlatilag egy´altal´an nincs es´elye annak, hogy a h´atrafel´e tett (v´altoz´o hossz´ us´ag´ u) l´ep´esek ¨osszege pontosan egyenl˝o legyen az el˝ore tett l´ep´esek ¨osszeg´evel. Annak a val´osz´ın˝ us´ege, hogy D b´ armely adott ´ert´eket vegyen fel, szint´en nulla. Nem tudunk a 6.2. ´abr´an l´athat´o g¨orb´ehez hasonl´ot felvenni. Ha azonban nem azt k´erdezz¨ uk, hogy mi annak a val´osz´ın˝ us´ege, hogy D pontosan 0-val, 1-gyel vagy 2-vel legyen egyenl˝o, hanem hogy mi annak a val´osz´ın˝ us´ege, hogy 0,1 vagy 2 bizonyos meghat´arozott k¨ ornyezet´eben legyen, akkor fel tudunk rajzolni egy, a 6.2. ´abr´ahoz hasonl´o g¨orb´et. Defini´aljuk P (x, ∆x)-et mint annak a val´osz´ın˝ us´eg´et, hogy D ´ert´eke az x pont k¨or¨ uli ∆x intervallumban (mondjuk x ´es x + ∆x k¨oz¨ott) legyen. V´arhat´o, hogy kis ∆x-ekre annak az es´elye, hogy D ´ert´eke a ∆x intervallumba essen, ar´anyos ∆x-szel, az intervallum hossz´aval. Ez´ert P (x, ∆x) = p(x)∆x.

(6.17)

A p(x) f¨ uggv´enyt val´ osz´ın˝ us´egs˝ ur˝ us´eg-f¨ uggv´enynek nevezz¨ uk. p (x) valószínűségsűrűség

N = 10 000 lépés

N = 40 000 lépés

N = 160 000 lépés

-700 -600 -500 -400 -300 -200 -100

0

100 200 300 400 500 600 700

D = a kiindulási ponttól megtett távolság

6.7. a ´bra. Annak val´ osz´ın˝ us´egs˝ ur˝ us´ege, hogy N l´ep´esb˝ ol ´ all´ o bolyong´ as sor´ an a kiindul´ opontt´ ol D t´ avols´ agra jutunk el (D egys´ege a l´ep´eshossz n´egyzetes k¨ oz´ep´ert´eke)

p(x) alakja a l´ep´esek sz´am´at´ol (N -t˝ol) ´es az egyes l´ep´esek hossz´anak eloszl´as´at´ol f¨ ugg. A bizony´ıt´asok mell˝oz´es´evel itt csak arra mutatunk r´a, hogy nagy N -ekre p(x) csak N -t˝ol f¨ ugg, ´es az egyes l´ep´esek hossz´anak minden ´eszszer˝ u eloszl´as´ara vonatkoz´oan azonos. A 6.7. ´abr´an a p(x) eloszl´ast N h´arom k¨ ul¨onb¨oz˝o ´ert´ek´ere vett¨ uk fel. L´athat´o, hogy ezen www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

123

6.4. Val´ osz´ın˝ us´egeloszl´ as

g¨orb´ek f´elsz´eless´ege” (jellemz˝o kiterjed´ese az x = 0 pontt´ol) egyenl˝o ” nel, mint ahogyan ez az elmondottakb´ol k¨ovetkezik.

√

N-

p (x) x

x1

x2

x

6.8. a ´bra. Annak val´ osz´ın˝ us´ege, hogy a bolyong´ as sor´ an megtett D t´ avols´ ag az x1 ´es x2 t´ avols´ agok k¨ oz´e essen, a p(x) g¨ orbe x1 ´es x2 ´ert´ekek k¨ ozti szakasza alatti ter¨ ulettel egyenl˝ o

√ Az is l´athat´o tov´abb´a, hogy a z´erushoz k¨ozeli p(x) ´ert´ekek N -nel ford´ıtottan ar´anyosak. Ez abb´ol ad´odik, hogy a g¨orb´ek alakja hasonl´o, ´es a g¨orb´ek alatti ter¨ uleteknek azonosaknak kell lenni¨ uk. p(x)∆x annak a val´osz´ın˝ us´ege, hogy a D t´avols´ag – el´eg kicsiny ∆x eset´en – a ∆x intervallumba ess´ek, ez´ert annak a val´osz´ın˝ us´eg´et, hogy D valahol egy tetsz˝oleges, x1 -t˝ol x2 -ig terjed˝o intervallumban megtal´alhat´o, egyszer˝ uen u ´gy tudjuk meghat´arozni, hogy az intervallumot kicsiny ∆x szakaszokra osztjuk, ´es kisz´am´ıtjuk az egyes szakaszokra vonatkoz´o p(x)∆x kifejez´esek ¨osszeg´et. Annak a P (x1 < D < x2 ) val´osz´ın˝ us´ege, hogy D valahov´a x1 ´es x2 k¨oz´e esik, a 6.8. ´abr´an bevonalk´azott ter¨ ulettel egyenl˝o. Min´el kisebbnek v´alasztjuk a ∆x szakaszokat, ann´al pontosabb eredm´enyt kapunk. Ez´ert: P (x1 < D < x2 ) =

X

Z

x2

p(x)∆x =

p(x)dx.

(6.18)

x1

Az eg´esz g¨orbe alatti ter¨ ulet annak a val´osz´ın˝ us´ege, hogy a D t´avols´ag egy´altal´an valahova esik (azaz egy bizonyos x = −∞ ´es x = +∞ k¨oz´e es˝o ´ert´eket vesz fel). Ez a val´osz´ın˝ us´eg biztosan 1, vagyis kell, hogy az al´abbi egyenlet igaz legyen: Z

+∞

p(x)dx = 1.

(6.19)

−∞

√ Mivel a 6.7. a ´ br´ a n l´ a that´ o g¨ o rb´ e k sz´ e less´ e ge N -nel ar´anyos, magass´a√ guknak 1/ N -nel kell ar´anyosnak lenni, hogy az alattuk lev˝o ter¨ ulet egys´egnyi legyen. A gyakorlatban az im´ent le´ırt val´osz´ın˝ us´egeloszl´assal tal´alkozunk a leggyakrabban; ez norm´ alis vagy Gauss-f´ele val´ osz´ın˝ us´egs˝ ur˝ us´eg n´even ismeretes. Matematikai alakja: 1 2 2 (6.20) p(x) = √ e−x /2σ0 , σ0 2π www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

124

6. Val´ osz´ın˝ us´eg

ahol unkben σ0 = √ σ0 a Gauss-f´ele eloszl´as sz´or´asa, melynek ´ert´eke eset¨ N, √ vagy ha a l´ep´eshossz n´egyzetes k¨oz´ep´ert´eke 1-t˝ol k¨ ul¨onb¨oz˝o, akkor σ0 = N · Sn.k. . M´ar kor´abban megjegyezt¨ uk, hogy egy molekula vagy b´armely m´as r´eszecske mozg´asa a g´azokban a bolyong´asi probl´em´ahoz hasonl´o. K´epzelj¨ uk el, hogy kinyitunk egy szerves vegy¨ uletet tartalmaz´o u ¨veget, ´es g˝oz´enek egy r´esz´et kiengedj¨ uk a leveg˝obe. Ha huzat van a helyis´egben, illetve a leveg˝o k¨ormozg´asban van, akkor a l´eg´araml´as g˝ozt is mag´aval visz. De a t¨ok´eletesen mozdulatlan leveg˝oben is a g˝oz fokozatosan sz´etterjed – diffund´al –, m´ıg csak ki nem t¨olti a szob´at. Ezt sz´ıne vagy szaga r´ev´en ´eszlelhetj¨ uk. A szerves vegy¨ ulet g˝oz´enek egyes molekul´ai a molekul´aris mozg´as u ´tj´an terjednek sz´et a leveg˝oben. Ha ismerj¨ uk az ´atlagos l´ep´eshosszat ´es a m´asodpercenk´ent megtett l´ep´esek sz´am´at, akkor ki tudjuk sz´am´ıtani annak a val´osz´ın˝ us´eg´et, hogy a kiindul´asi pontt´ol bizonyos t´avols´agra lev˝o t´err´eszben, bizonyos id˝o eltelt´evel egy vagy t¨obb molekul´at tal´aljunk. Az id˝o m´ ul´as´aval n¨ovekszik a l´ep´esek sz´ama, ´es a g´az fokozatosan kiterjed, amint azt a 6.7. ´abr´an egym´as ut´an k¨ovetkez˝o g¨orb´ek mutatj´ak. Egy k´es˝obbi fejezetben meg fogjuk mutatni, hogy a l´ep´esek hossza ´es gyakoris´aga hogyan f¨ ugg a g´az h˝om´ers´eklet´et˝ol ´es nyom´as´at´ol. Kor´abban m´ar besz´elt¨ unk arr´ol, hogy a g´az nyom´asa a molekul´aknak az ed´eny fal´aval val´o u ¨tk¨oz´es´et˝ol sz´armazik. K´es˝obb, amikor majd kvantitat´ıvabb le´ır´ast akarunk adni, tudnunk kell, hogy a molekul´ak a falba u ¨tk¨oz´eskor milyen sebess´eggel rendelkeznek, mivel u ¨tk¨oz´eseik ereje ett˝ol a sebess´egt˝ol f¨ ugg. M´egsem besz´elhet¨ unk azonban meghat´ arozott molekulasebess´egr˝ol, hanem val´osz´ın˝ us´egi le´ır´ast kell alkalmaznunk. A molekula tetsz˝oleges sebess´eggel rendelkezhet, de n´eh´any sebess´eg´ert´ek val´osz´ın˝ ubb, mint a t¨obbi. A jelens´eget az´altal ´ırjuk le, hogy megadjuk annak a p(v)∆v val´osz´ın˝ us´eg´et, hogy b´armely adott molekula sebess´ege v ´es v + ∆v k¨oz´e essen. Itt a p(v) val´osz´ın˝ us´egs˝ ur˝ us´eg a v sebess´egnek egy adott f¨ uggv´enye. K´es˝obb l´atni fogjuk, hogy Maxwell a j´ozan ´esz ´es a val´osz´ın˝ us´egsz´am´ıt´as alapj´an k´epes volt matematikai kifejez´est tal´alni p(v)-re. A p(v) f¨ uggv´eny alakja2 a 6.9. ´abr´an l´athat´o. A sebess´egeknek b´armilyen ´ert´ek¨ uk lehet, de a leggyakoribb eset az, hogy a legval´osz´ın˝ ubb ´ert´ek, vp k¨ozel´ebe esnek. A 6.9. ´abr´an lev˝o g¨orb´er˝ol gyakran m´ask´epp besz´el¨ unk. Ha a molekul´ak egy – mondjuk, egy liter t´erfogat´ u – tart´alyban vannak, ott nagyon sok molekula van jelen (N ≈ 1022 ). Mivel p(v)∆v annak a val´osz´ın˝ us´ege, hogy egy molekula sebess´ege a ∆v intervallumba essen, tov´abb´a tekintetbe v´eve 2

A Maxwell-f´ele kifejez´es p(v) = Cv 2 e−av , ahol az a a ´lland´ o a h˝ om´ers´eklettel kapcsolatos, C ´ert´ek´et pedig u ´gy v´ alasztottuk meg, hogy a teljes val´ osz´ın˝ us´eg 1 legyen. 2

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

125

p(v) vagy N . p(v)

6.5. Hat´ arozatlans´ agi rel´ aci´ o

vp

v1 v2

v

6.9. a ´bra. G´ azmolekul´ ak sebess´egeloszl´ asa

a val´osz´ın˝ us´eg ´altalunk adott defin´ıci´oj´at, a ∆v sebess´egintervallumba es˝o molekul´ak v´ arhat´ o sz´ama az al´abbi kifejez´essel adhat´o meg: h∆N i = N p(v)∆v,

(6.21)

ahol N p(v)-t sebess´egeloszl´asnak” nevezz¨ uk. A g¨orbe v1 ´es v2 pontok ” k¨oz´e es˝o szakasza alatti ter¨ ulet, p´eld´aul a 6.9. ´abr´an a vonalk´azott ter¨ ulet (az N p(v) g¨orb´ere vonatkoz´olag) a v1 ´es v2 k¨oz´e es˝o sebess´eg˝ u molekul´ak v´arhat´o sz´am´at adja meg. Mivel g´azok eset´en ´altal´aban nagysz´am´ u molekul´aval ´allunk √ szemben, azt v´arjuk, hogy a v´arhat´o sz´amokt´ol val´o elt´er´es kicsi (1/ N nagys´agrend˝ u), ´es ´ıgy gyakran eltekint¨ unk att´ol, hogy v´arhat´o” sz´amr´ol besz´elj¨ unk; ehelyett azt mondjuk, hogy a v1 ´es v2 k¨oz´e ” es˝o sebess´eg˝ u molekul´ak sz´ama a g¨orbe alatti ter¨ ulettel egyenl˝o. Eml´ekezn¨ unk kell azonban arra, hogy ilyen esetben mindig val´ osz´ın˝ u sz´amr´ol van sz´o. 6.5. Hat´ arozatlans´ agi rel´ aci´ o A val´osz´ın˝ us´egsz´am´ıt´as j´ol felhaszn´alhat´o egy g´azmint´aban lev˝o, kb. 1022 sz´am´ u molekula viselked´es´enek le´ır´as´ara, mert nyilv´anval´oan c´elszer˝ utlen lenne m´eg csak meg is k´ıs´erelni minden egyes molekula hely´enek ´es sebess´eg´enek le´ır´as´at. A val´osz´ın˝ us´egsz´am´ıt´ast kezdetben csak az ilyen igen bonyolult helyzetek le´ır´as´ara alkalmas, k´enyelmes m´odszernek tekintett´ek. Ma m´ar tudjuk, hogy a val´osz´ın˝ us´eg fogalmai n´elk¨ ul¨ ozhetetlenek az atomi t¨ort´en´esek” le´ır´as´ahoz. A r´eszecsk´ek matematikai elm´elete, a ” kvantummechanika szerint a helykoordin´ata ´es a sebess´egek meghat´ aroz´ as´ aban mindig van n´emi bizonytalans´ag. Legjobb esetben is csak azt lehet mondani, hogy bizonyos val´osz´ın˝ us´ege van annak, hogy valamely r´eszecske helyzete valamely x koordin´ata k¨ozel´eben legyen. www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

126

6. Val´ osz´ın˝ us´eg

p1(x)

(a)

[ x]

x0

x

p2(v)

(b)

[ v]

v0

v

6.10. a ´bra. Egy r´eszecske helykoordin´ at´ aj´ anak ´es sebess´eg´enek ´eszlel´es´ere vonatkoz´ o val´ osz´ın˝ us´egs˝ ur˝ us´egek

Egy p1 (x) val´osz´ın˝ us´egs˝ ur˝ us´eget megadhatunk u ´gy, hogy p1 (x)∆x legyen annak a val´osz´ın˝ us´ege, hogy a r´eszecsk´et x ´es x + ∆x k¨oz¨ott tal´aljuk. Ha a r´eszecske helyzete megfelel˝oen j´ol meghat´arozott, mondjuk x0 k¨ozel´eben van, akkor p1 (x) f¨ uggv´enyt a 6.10a ´abr´an felt¨ untetett f¨ uggv´eny adhatja meg. Hasonl´oan a r´eszecske sebess´eg´et a p2 (v) val´osz´ın˝ us´egs˝ ur˝ us´eggel kell jellemezn¨ unk, ahol p2 (v)∆v annak a val´osz´ın˝ us´ege, hogy a sebess´eg v ´es v + ∆v k¨oz´e esik. A kvantummechanika alapvet˝o eredm´enyei k¨oz´e tartozik, hogy a p1 (x) ´es a p2 (v) f¨ uggv´enyeket nem lehet egym´ast´ol f¨ uggetlen¨ ul megv´alasztani, ´es k¨ ul¨on¨osen, hogy nem lehet mindkett˝ot tetsz˝olegesen keskenny´e tenni. Nevezz¨ uk a p1 (x) g¨orb´ere jellemz˝o sz´eless´eget” az ´abr´an l´athat´o m´odon ” [∆x]-nek, a p2 (v) g¨orb´ere vonatkoz´ot pedig [∆v]-nek. A term´eszet megk¨oveteli, hogy e k´et sz´eless´eg szorzata legal´abb ~/2m legyen, ahol m a r´eszecske t¨omege. Ezt az alapvet˝o ¨osszef¨ ugg´est a k¨ovetkez˝o m´odon ´ırhatjuk: [∆x][∆v] ≥ ~/2m.

(6.22)

A fenti egyenlet a m´ar kor´abban eml´ıtett Heisenberg-f´ele hat´ arozatlans´ agi rel´ aci´ o egyik ´all´ıt´asa. A r´eszecsk´eknek nagyon furcs´an kell viselkedni¨ uk, ha ez az egyenlet teljes¨ ul! Mivel a (6.22) egyenlet jobb oldala ´alland´o, az egyenlet a k¨ovetkez˝ot mondja ki: ha megpr´ob´alunk r¨ogz´ıteni” egy r´eszecsk´et az´altal, ” hogy egy bizonyos helyre k´enyszer´ıtj¨ uk, akkor onnan nagy sebess´ege miwww.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

6.5. Hat´ arozatlans´ agi rel´ aci´ o

127

att el fog szabadulni (´es nem tudhatjuk meg, hov´a ´es milyen sebess´eggel rep¨ ul el). Ha pedig megpr´ob´aljuk arra k´enyszer´ıteni, hogy j´ol meghat´ arozott sebess´eggel mozogjon, akkor sz´etfolyik”, s ´ıgy nem tudjuk pontosan ” megmondani, hol is tart´ozkodik ´eppen. A hat´arozatlans´agi rel´aci´o kifejezi azt a term´eszetes bizonytalans´agot, amelyet minden, a term´eszet le´ır´as´ara ir´anyul´o pr´ob´alkoz´asnak tartalmaznia kell. A term´eszet legpontosabb le´ır´asa a val´ osz´ın˝ us´egi fogalmak alapj´an lehets´eges. Vannak, akik nem szeretik a val´os´ag le´ır´as´anak ´ ´erzik, hogy egy val´os´agos r´eszecske viselked´es´er˝ol csak ezt a m´odj´at. Ugy akkor lehet besz´elni, ha egyidej˝ uleg meg tudj´ak adni annak impulzus´at ´es helykoordin´at´aj´at. A kvantummechanika fejl˝od´es´enek kezdeti szakasz´aban Einstein komolyan nyugtalankodott emiatt. Gyakran mondogatta fejcs´ov´alva: De hiszen Is” ten sem dob kock´at, hogy eld¨ontse, hov´a tartsanak az elektronok!” Hoszsz´ u ideig foglalkozott e probl´em´aval, ´es nyilv´an hal´ala napj´aig nem nyugodott bele abba a t´enybe, hogy a term´eszetnek ez a lehet˝o legjobb le´ır´asa. Ma is akadnak olyan fizikusok, akik ezen a probl´em´an dolgoznak, ´es akiknek ihlet sugallta meggy˝oz˝od´ese, hogy valahogyan m´as m´odon is le lehet ´ırni a vil´agot, hogy a r´eszecsk´ek viselked´es´eb˝ol ki lehet z´arni ezt a bizonytalans´agot. De m´eg egyik¨ uknek sem siker¨ ult ezt a m´as m´odot megtal´alni. A r´eszecsk´ek helyzet´enek megad´as´aban lev˝o sz¨ uks´egszer˝ u bizonytalans´ag az atomszerkezet le´ır´as´an´al v´alik a legfontosabb´a. A hidrog´enatomban, mely egy protont tartalmaz´o atommagb´ol ´es egy azon k´ıv¨ ul elhelyezked˝o elektronb´ol ´all, az elektron helyzet´enek bizonytalans´aga olyan nagy, mint maga az atom! Ez´ert nem besz´elhet¨ unk egy, a proton k¨or¨ ul valamilyen p´aly´an” mozg´o elektronr´ol. A legt¨obb, amit mondhatunk: bizonyos ” p(r)∆V val´ osz´ın˝ us´ege van annak, hogy az elektront egy, a protont´ol r t´avols´agban lev˝o ∆V t´erfogatban tal´aljuk. A p(r) val´osz´ın˝ us´egs˝ ur˝ us´eget a kvantummechanika adja meg. Egy zavartalan” hidrog´enatom eset´en ” p(r) = Ae−2r/a . Az a sz´am a jellemz˝o” sug´ar, ahol a f¨ uggv´eny hirte” len kezd cs¨okkenni. Mivel kicsi annak a val´osz´ın˝ us´ege, hogy az elektront a magt´ol a-n´al sokkal nagyobb t´avols´agra tal´aljuk, az a mennyis´eget az atom sugar´anak” k´epzelj¨ uk, amely kb. 10−10 m´eter. ” Ha a hidrog´enatomr´ol fogalmat akarunk alkotni, k´epzelj¨ unk el egy olyan felh˝ot”, melynek s˝ ur˝ us´ege az elektron ´eszlel´es´enek val´osz´ın˝ us´egs˝ u” r˝ us´eg´evel ar´anyos. (Egy ilyen felh˝ore a 6.11. ´abr´an mutatunk p´eld´at.) ´Igy a hidrog´enatomr´ol alkotott legszeml´eletesebb k´ep¨ unk” egy elektron” ” felh˝ovel” k¨or¨ ulvett atommag (noha val´ oj´ aban val´osz´ın˝ us´egfelh˝ot” ´ert¨ unk ”

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

128

6. Val´ osz´ın˝ us´eg

6.11. a ´bra. A hidrog´enatom l´ athat´ ov´ a t´etel´enek egy m´ odja. A felh˝ o s˝ ur˝ us´ege (feh´ers´ege) az elektron ´eszlel´es´enek val´ osz´ın˝ us´egs˝ ur˝ us´eg´et jelenti

ez alatt). Az elektron valahol ott van, de a term´eszet csak egy bizonyos megtal´al´asi val´osz´ın˝ us´eg´et engedi ismern¨ unk. Mik¨ozben arra t¨orekedett, hogy az anyagi dolgok ´es jelens´egek term´eszet´er˝ol a lehet˝o legt¨obbet megtudja, a modern fizika kimutatta, hogy egyes dolgokat sohasem ismerhet¨ unk” meg biztosan ´es teljes pontoss´ag” gal. Tud´asunk nagy r´esze mindig bizonytalans´agnak lesz al´avetve. Csak val´osz´ın˝ us´egeket ismerhet¨ unk meg.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

7. fejezet A gravit´ aci´ o elm´ elete 7.1. A bolyg´ ok mozg´ asa Ebben a fejezetben az emberi elme ´altal el´ert egyik legnagyobb jelent˝os´eg˝ u elm´eleti ´altal´anos´ıt´ast t´argyaljuk. Csod´alnunk kell az emberi elm´et, de m´eg ink´abb a term´eszetet, amely ily teljess´eggel ´es ´altal´anoss´aggal tud engedelmeskedni egy eleg´ansan egyszer˝ u elvnek, mint amilyen a t¨omegvonz´as t¨orv´enye. Mi is h´at ez a t¨orv´eny? A t¨orv´eny kimondja, hogy a vil´agmindens´eg minden t´argya vonzza egym´ast, ´espedig olyan er˝ovel, mely b´armely k´et testre n´ezve ar´anyos a k´et test t¨omeg´evel, ´es ford´ıtottan v´altozik a k¨ozt¨ uk lev˝o t´avols´ag n´egyzet´evel. Ezt az ´all´ıt´ast a k¨ovetkez˝o matematikai egyenlet fejezi ki: mm0 F =G 2 . r Ha ehhez m´eg hossz´atessz¨ uk, hogy egy t´argy valamely er˝o hat´as´ara t¨omeg´evel ford´ıtott ar´anyban felgyorsul az er˝o ir´any´aban, akkor mindent elmondtunk, amit egy tehets´eges matematikusnak tudnia kell, hogy ebb˝ol a k´et elvb˝ol minden lehets´eges k¨ovetkeztet´est levonhasson. Mivel az olvas´o felt´etelezhet˝oen m´eg nem rendelkezik kell˝o matematikai ismeretekkel, az elm´eletb˝ol levonhat´o k¨ovetkeztet´eseket r´eszletesen t´argyaljuk. Nem v´arhatjuk el, hogy az olvas´o mindent e k´et puszta elvb˝ol k¨ovetkeztessen ki. R¨oviden elmondjuk a gravit´aci´o t¨orv´eny´enek felfedez´es´et, t´argyaljuk n´eh´any k¨ovetkezm´eny´et, hat´as´at a fizika fejl˝od´es´ere, ´erz´ekeltetj¨ uk a titokzatoss´agot, amely egy ilyen t¨orv´enyt k¨or¨ ulvesz, ´es azt a n´eh´any finom´ıt´ast, melyet Einsteinnek k¨osz¨onhet¨ unk. R´amutatunk tov´abb´a, hogy e t¨orv´eny milyen o¨sszef¨ ugg´esben ´all a fizika m´as t¨orv´enyeivel. Mindezt egyetlen fejezetben ¨osszefoglalni nem lehet, ez´ert e t´em´aval a k´es˝obbi fejezetekben is foglalkozunk. A t¨ort´enet kezdete az ´okori n´epekhez ny´ ulik vissza, akik a bolyg´ok csillagok k¨ozti mozg´as´at megfigyelt´ek, ´es v´eg¨ ul is arra a k¨ovetkeztet´esre jutottak, hogy ezek a Nap k¨or¨ ul keringenek. E t´enyt Kopernikusz k´es˝obb u ´jra felfedezte. Hogy a bolyg´ok pontosan hogyan keringenek a Nap k¨or¨ ul, hogy mozg´asuk pontosan milyen, ezt kiss´e f´arads´agosabb felfedez˝o munk´aval siker¨ ult kider´ıteni. A 15. sz´azad elej´en sokat vitatkoztak arr´ol, hogy a bolyg´ok t´enyleg a Nap k¨or¨ ul keringenek-e. Tycho Brah´enak olyan gondolata t´amadt, amely mer˝oben k¨ ul¨onb¨oz¨ott az ´okori n´epek b´armely www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

130

7. A gravit´ aci´ o elm´elete

elgondol´as´at´ol. Azt gondolta ugyanis, hogy a bolyg´ok mozg´asa k¨or¨ uli vita csak u ´gy d¨onthet˝o el, ha megfelel˝o pontoss´aggal m´erni tudjuk a bolyg´o mindenkori helyzet´et az ´egen. Ha azut´an a m´er´esek pontosan megmutatj´ak, hogyan mozognak a bolyg´ok az ´egen, akkor ki lehetne alak´ıtani ilyen vagy olyan elvi ´all´asfoglal´ast. Ez a maga nem´eben ´ori´asi ¨otlet volt. Ahhoz, hogy valamit feltal´aljunk, gondosan k´ıs´erletezn¨ unk kell, miel˝ott m´elyebb filoz´ofiai meggondol´asokba bocs´atkozunk. Ezt az elvet k¨ovetve Tycho Brache Hyen sziget´en, Koppenh´aga k¨ozel´eben hossz´ u ´eveken kereszt¨ ul tanulm´anyozta a bolyg´ok helyzet´et. Megfigyel´eseir˝ol vaskos t´abl´azatokat k´esz´ıtett, amelyeket hal´ala ut´an a matematikus Kepler tanulm´anyozott. Kepler ezekb˝ol az adatokb´ol a bolyg´ok mozg´as´aval kapcsolatban n´eh´any igen sz´ep ´es figyelemre m´elt´o ´es m´egis csod´alatosan egyszer˝ u t¨orv´enyt fedezett fel. 7.2. Kepler t¨ orv´ enyei El˝osz¨or is Kepler felismerte, hogy minden bolyg´o a Nap k¨or¨ ul kering egy ellipszisnek nevezett p´aly´an, amelynek egyik gy´ ujt´opontj´aban foglal helyet a Nap. Az ellipszis nem ak´armilyen ov´alis, hanem k¨ ul¨onleges, j´ol meghat´arozott g¨orbe, amelyet el˝o lehet ´all´ıtani egy darab madzag, egy ceruza ´es k´et, az ellipszis f´okuszaiba let˝ uz¨ott rajzszeg seg´ıts´eg´evel. Matematikusabban megfogalmazva: az ellipszis azon pontok m´ertani helye, amelyek k´et fix pontt´ol (az ellipszis f´okuszait´ol) sz´am´ıtott t´avols´ag´anak ¨osszege ´alland´o. Vagy ha u ´gy tetszik, az ellipszis egy belap´ıtott k¨or (7.1. ´abra). Kepler m´asik fontos meg´allap´ıt´asa az volt, hogy a bolyg´ok nem 2a egyenletes sebess´eggel keringenek a Nap k¨or¨ ul, hanem mozg´asuk lassabb, 2b amikor t´avolabb vannak t˝ole. Ponr r tosabban: tegy¨ uk fel, hogy egy bolyg´ot k´et egym´as ut´an k¨ovetkez˝o id˝opontban megfigyel¨ unk, mondjuk egy r +r =2a h´etnyi k¨ ul¨onbs´eggel. H´ uzzuk be a 1 a bolyg´ sug´ a rvektort o mindk´ et meg7.1. a ´bra. Egy ellipszis figyelt helyzet´ehez. A p´alya ´ıve, amelyet a bolyg´o egy h´et alatt befutott, ´es a k´et sug´arvektor egy bizonyos s´ık fel¨ uletet z´ar k¨ozre (a 7.2. ´abr´an a vonalk´azott ter¨ ulet). Ha egy h´et m´ ulva ugyanilyen k´et megfigyel´est tesz¨ unk a bolyg´op´aly´anak most m´ar a Napt´ol t´avolabb es˝o r´esz´en (ahol a bolyg´o lassabban mozog), a hasonl´oan be1

1

2

2

1

A sug´ arvektor a Napt´ ol a bolyg´ op´ alya egy tetsz˝ oleges pontj´ ahoz h´ uzott egyenes.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

7.3. A dinamika fejl˝ od´ese

131

vonalk´azott ter¨ ulet pontosan megegyezik az el˝oz˝ovel. Vagyis a m´asodik t¨orv´eny ´ertelm´eben a bolyg´o p´alyamenti sebess´ege olyan, hogy a sug´arvektor egyenl˝o id˝ok¨oz¨ok alatt egyenl˝o ter¨ uleteket p´aszt´az v´egig”. ” A harmadik t¨orv´enyt Kepler sokkal k´es˝obb t fedezte fel. Ez a t¨ov´eny az el˝oz˝o kett˝ot˝ol elt´er˝oen nem egyetlen bolyg´ora vonatkoz´o ´all´ıt´ast tartalmaz, hanem az egyik bolyg´o mozg´at s´at a m´asik´ehoz viszony´ıtja. Kimondja, hogy ha b´armely k´et bolyg´o kering´esi idej´et p´aly´ajuk m´eret´evel ¨osszehasonl´ıtjuk, a kering´esi id˝ok ar´anyosak a p´alya m´eret´enek 3/2-ik hatv´any´a7.2. a ´bra. A Kepler-f´ele val. Itt kering´esi id˝on azt az id˝otartamot ´ertter¨ uleti t¨ orv´eny j¨ uk, amely alatt a bolyg´o egyszer teljesen k¨orbej´arja p´aly´aj´at, a p´alya m´erete pedig az ellipszisp´alya legnagyobb ´atm´er˝oje, amely nagytengely n´even ismeretes. A t¨orv´enyt m´eg egyszer˝ ubben ´ıgy lehet megfogalmazni: ha a bolyg´o k¨orp´aly´an keringene – ez megk¨ozel´ıt˝oleg ´ıgy is van –, k¨orbehalad´asi ideje az ´atm´er˝o (vagy sug´ar) 3/2-ik hatv´any´aval lenne ar´anyos. Ezek szerint Kepler h´arom t¨orv´enye a k¨ovetkez˝o: I. Minden bolyg´o a Nap k¨or¨ ul, ellipszisp´aly´an kering, amelynek egyik f´okusz´aban a Nap ´all; II. A Napt´ol a bolyg´ohoz h´ uzott sug´arvektor egyenl˝o id˝otartamok alatt egyenl˝o ter¨ uleteket s´ urol; III. B´armely bolyg´o kering´esi idej´enek n´egyzete a bolyg´op´alya f´el nagytengely´enek k¨ob´evel ar´anyos: T ∼ a3/2 . 7.3. A dinamika fejl˝ od´ ese Mialatt Kepler ezeket a t¨orv´enyeket felfedezte, Galilei a mozg´asok t¨orv´enyszer˝ us´egeit tanulm´anyozta. A probl´ema az volt, mit˝ol ered a bolyg´ok k¨ormozg´asa. (Akkort´ajt volt egy olyan elm´elet is, hogy a bolyg´ok az´ert haladnak k¨orbe, mert m¨og¨ott¨ uk a l´athatatlan angyalok sz´arnyaikkal verdesve tolj´ak el˝ore a bolyg´ot. Nemsok´ara megl´atj´ak, id˝ok¨ozben hogyan m´odosult ez az elm´elet! Kider¨ ult ugyanis, hogy a bolyg´ok kering´es´ehez a l´athatatlan angyaloknak egy m´asik ir´anyban kell rep¨ ulni¨ uk, ´es hogy ezeknek az angyaloknak nincsenek sz´arnyaik. Mindezekt˝ol eltekintve az elm´elet kicsit m´eg hasonl´ıt az eredetihez!) Galilei a mozg´asokban egy igen figyelemrem´elt´o elvet t´art fel, amely a Kepler-t¨orv´enyek meg´ert´es´en´el is l´enyegesebbnek bizonyult. Ez a tehetetlens´eg elve: ha valami t¨ok´eletesen h´abor´ıtatlanul mozog, an´elk¨ ul, hogy ek¨ozben b´armihez is hozz´a´erne, mozwww.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

132

7. A gravit´ aci´ o elm´elete

g´as´at v´eg n´elk¨ ul folytatja egyenes vonal´ u p´aly´an ´es egyenletes sebess´eggel. (Hogy mi´ert marad mozg´asban? Ezt nem tudni, de egyszer˝ uen ´ıgy van.) Newton m´odos´ıtotta ezt a gondolatot, meg´allap´ıtv´an, hogy egyed¨ ul csak er˝o alkalmaz´as´aval lehet egy test mozg´as´at megv´altoztatni. Ha egy test sebess´egre tett szert, er˝o m˝ uk¨od¨ott k¨ozre a mozg´ as ir´ any´ aban. Ha viszont a test mozg´ asi ir´ anya megv´ altozik, oldalir´ any´ u er˝ onek kellett hatnia. Newton teh´at a gondolathoz azt tette hozz´a, hogy egy test sebess´eg´enek vagy mozg´asi ir´any´anak megv´altoztat´as´ahoz er˝o sz¨ uks´eges. Ha p´eld´aul zsin´orhoz er˝os´ıtett k¨ovet k¨orp´aly´an lenget¨ unk, bizonyos er˝ore van sz¨ uks´eg, hogy a k¨ovet a k¨orp´aly´an tartsuk. A zsin´or v´eg´et ´alland´oan h´ uznunk kell magunk fel´e. A t¨orv´eny u ´gy hangzik, hogy az er˝o ´altal l´etrehozott gyorsul´as a t¨omeggel ford´ıtva ar´anyos, vagy az er˝o ar´anyos a t¨omeg ´es a gyorsul´as szorzat´aval. Min´el nagyobb t¨omeg˝ u egy test, ann´al nagyobb er˝o sz¨ uks´eges adott gyorsul´as el´er´es´ehez. (A t¨omeget meg is lehet m´erni, ha ugyanannak a k¨ot´elnek a v´eg´ere egy m´asik k¨ovet er˝os´ıt¨ unk fel, ´es k¨orbehajtjuk ugyanolyan sugar´ u k¨or¨on, ugyanakkora sebess´eggel. Azt tal´aljuk, hogy ekkor az el˝obbin´el t¨obb, vagy esetleg kevesebb er˝ore van sz¨ uks´eg. A nagyobb t¨omeg ig´enyel t¨obb er˝ot.) E gondolatk¨orb˝ol egy ragyog´o megl´at´as sz´armazik, nevezetesen: nincsen sz¨ uks´eg ´erint˝ oir´ any´ u er˝ore ahhoz, hogy egy bolyg´o a p´aly´aj´an maradjon (az angyalk´aknak nem kell ´erint˝oir´anyban rep¨ ulni¨ uk), mivel a bolyg´o mindenk´eppen ´erint˝oleges ir´anyban halad. Ha semmilyen er˝o nem zavarn´a a bolyg´ot a mozg´as´aban, p´aly´aj´ar´ol let´erne ´es egyenes vonalban tov´abbrep¨ ulne. De a t´enyleges mozg´as elt´er att´ol a p´aly´at´ol, amelyen a test er˝omentesen haladna, ´es ez az elt´er´es a mozg´asir´anyra ´eppen mer˝ oleges. M´as sz´oval, a tehetetlens´eg elve ´ertelm´eben a bolyg´ot a Nap k¨or¨ uli p´aly´an vez´erl˝o er˝o nem a k¨orp´alya ment´en, hanem a Nap ir´ any´ aban hat. (Ha van egy Nap fel´e mutat´o er˝o, akkor term´eszetesen csakis a Nap lehet az angyal”.) ” 7.4. A gravit´ aci´ o Newton-f´ ele t¨ orv´ enye Minthogy Newton a mozg´as t¨orv´enyszer˝ us´egeit jobban ´atl´atta, u ´gy gondolta, hogy a Nap kell legyen azoknak az er˝oknek a k¨oz´eppontja vagy ir´any´ıt´oja, amelyek a bolyg´ok mozg´as´at szab´alyozz´ak. Bebizony´ıtotta mag´anak (´es tal´an nemsok´ara mi is be tudjuk majd bizony´ıtani), hogy az a t´eny, mely szerint a bolyg´ok egyenl˝o id˝ok¨oz¨okben egyenl˝o fel¨ uleteket s´ urolnak, pontos bizony´ıt´eka annak, hogy minden elt´er´ıt´es t¨ok´eletesen sug´ arir´ any´ u, vagyis a fel¨ uletek t¨orv´enye egyenes k¨ovetkezm´enye annak, hogy minden er˝o pontosan a Nap ir´any´aban hat. www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

7.4. A gravit´ aci´ o Newton-f´ele t¨ orv´enye

133

Kepler III. t¨orv´eny´et vizsg´alva ki lehet mutatni tov´abb´a, hogy min´el t´avolabb van a bolyg´o a Napt´ol, ann´al kisebb a re´a hat´o er˝o. Ha k´et olyan bolyg´ot hasonl´ıtunk ¨ossze, amelyek a Napt´ol k¨ ul¨onb¨oz˝o t´avols´agban vannak, a vizsg´alat azt mutatja, hogy az er˝ok a megfelel˝o t´avols´agok n´egyzeteivel ford´ıtottan ar´anyosak. A k´et kepleri t¨ov´eny ¨osszekapcsol´as´ab´ol Newton teh´at arra a meg´allap´ıt´asra jutott, hogy l´eteznie kell k´et test k¨oz¨ott egy er˝onek, amely a testek k¨oz¨otti t´avols´ag n´egyzet´evel ford´ıtottan ar´anyos, ´es a k´et testet ¨osszek¨ot˝o egyenes ment´en hat. Minthogy Newtonnak igen j´o ´erz´eke volt ´altal´anos´ıt´asokhoz, term´eszetesen felt´etelezte, hogy ez az ¨osszef¨ ugg´es nem csak kiz´ar´olag a Napra ´es a bolyg´okra ´erv´enyes. M´ar az id˝oben ismeretes volt, hogy a Jupiternek vannak mell´ekbolyg´oi, amelyek u ´gy keringenek k¨or¨ ul¨otte, mint a mi Holdunk a F¨old k¨or¨ ul. Newton biztos volt abban, hogy minden bolyg´o ugyanilyen term´eszet˝ u er˝ovel k¨oti mag´ahoz holdjait. M´ar ismerte azt az er˝ot is, amelyet a F¨old r´ ank gyakorol, s mindezek alapj´an felt´etelezte, hogy ez az er˝o egyetemes, vagyis minden t´ argy vonz minden m´ as t´ argyat. A k¨ovetkez˝o probl´em´aja az volt, hogy vajon a F¨old ugyanazzal” a ” vonz´oer˝ovel hat-e az emberekre, mint a Holdra, vagyis a vonz´oer˝o ford´ıtottan ar´anyos-e a t´avols´ag n´egyzet´evel. Ha egy t´argy a F¨old felsz´ın´en mag´ara hagyva 4,9 m´etert esik az els˝o m´asodpercben, milyen m´elyre zuhan a Hold ugyanennyi id˝o alatt? Azt v´alaszolhatn´ank, hogy a Hold egy´altal´an nem esik a F¨old fel´e. Igen, de ha semmif´ele er˝o nem hatna a Holdra, akkor egyenes p´aly´an ´erint˝oir´anyban tovarep¨ ulne; ezzel szemben a Hold k¨orp´aly´an kering, vagyis t´enylegesen zuhan ahhoz a helyhez k´epest, ahol er˝omentes mozg´asa eset´en tart´ozkodna. A Hold p´aly´aj´anak sugar´ab´ol (amely megk¨ozel´ıt˝oleg 384 000 km) ´es a F¨old k¨or¨ uli kering´esi idej´eb˝ol (kb. 29 nap) kisz´am´ıthat´o, mekkora szakaszt fut be a Hold 1 s alatt, ´es ebb˝ol, hogy ennyi id˝o alatt milyen m´elyre esik.2 Ez a t´avols´ag kb. 1,36 mm-nek ad´odik, ami igen j´ol egyezik a ford´ıtott n´egyzetes t¨orv´ennyel, mivel a F¨old sugara 6370 km, ugyanis ha egy t´argy a F¨old k¨oz´eppontj´at´ol 6370 km-nyi t´avols´agban 1 s alatt 4,9 m´etert esik, akkor egy m´asik t´argy 384 000 km-nyire, azaz 60-szor t´avolabbr´ol ugyanennyi id˝o alatt 1/3600-szor 4,9 m-t kell zuhanjon, s ez kb. 1,36 mm. Newton a gravit´aci´o elm´elet´et hasonl´o sz´am´ıt´asokkal akarta ellen˝orizni, ez´ert a sz´am´ıt´asokat igen gondosan v´egezte el. A m´ert adatokhoz k´epest azonban olyan nagy elt´er´est tapasztalt, hogy elm´elet´et a t´enyek ´altal megc´afoltnak tekintette, ´es eredm´enyeit nem adta k¨ozre. Hat ´evvel k´es˝obb a F¨old m´e2 Azaz milyen t´ avols´ agra ker¨ ul a Hold t´enyleges k¨ orp´ aly´ aja azon ´erint˝ oegyenes al´ a, amely abb´ ol a pontb´ ol indul ki, ahol a Hold egy m´ asodperccel megel˝ oz˝ oen tart´ ozkodott.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

134

7. A gravit´ aci´ o elm´elete

ret´enek egy u ´j meghat´aroz´asa arra utalt, hogy a csillag´aszok a Holdnak a F¨oldt˝ol val´o t´avols´ag´ara pontatlan adatot haszn´altak. Amikor Newton err˝ol tudom´ast szerzett, sz´am´ıt´asait megism´etelte az u ´j adatokkal, ´es sz´ep egyez´est tapasztalt. Ez az elk´epzel´es, hogy a Hold esik” ” a F¨old fel´e, bizonyos ´ertelemben zaElektromágnes var´o, mivel – mint tudjuk – a Hold sohasem ker¨ ul k¨ ozelebb a F¨oldh¨oz. A gondolat el´ e g ´ e rdekes ahhoz, hogy h h =h Ütközés! tov´abbi magyar´azatot f˝ uzz¨ unk hozh z´a. A Hold olyan ´ertelemben esik” ” a F¨old fel´e, hogy elt´er att´ ol az egye7.3. a ´bra. A f¨ ugg˝ oleges ´es v´ızszintes nes p´ aly´ at´ ol, amelyet akkor k¨ ovetne, mozg´ asok f¨ uggetlens´eg´et bemutat´ o ha nem hatna re´ a er˝ o . L´ a ssunk erre berendez´es egy p´eld´at a F¨old felsz´ın´en. Ha egy t´argyat a F¨old felsz´ıne k¨ozel´eben elejt¨ unk”, szabadon esni enged¨ unk, az ” 4,9 m-t zuhan az els˝o m´asodpercben. Ha egy t´argyat v´ızszintesen l¨ov¨ unk ki, ez szint´en 4,9 m-t esik; j´ollehet v´ızszintesen mozog, m´egis ugyan´ ugy 4,9 m´etert zuhan ugyanannyi id˝o alatt. Ezt szeml´elteti a 7.3. ´abr´an l´athat´o k´esz¨ ul´ek. R¨ovid v´ızszintes p´aly´an labd´at l´atunk gurulni. Ugyanabb´ol a magass´agb´ol egy m´asik labda adott pillanatban f¨ ugg˝oleges ir´anyban szabadon eshet. A k´esz¨ ul´ekhez tartozik egy elektromos kapcsol´o, amely lehet˝ov´e teszi, hogy abban a pillanatban, amikor az els˝o labda elhagyja a p´aly´aj´at, a m´asik is elkezdje mozg´as´at. Mindk´et labda azonos id˝o alatt azonos m´elys´egig jut el, ezt bizony´ıtja az, hogy a labd´ak a leveg˝oben tal´alkoznak. Egy v´ızszintesen kil˝ott puskagoly´o igen nagy t´avols´agot – ak´ar f´el kilom´etert is – befuthat 1 s alatt, de ez esetben is 4,9 m-t esik, ha val´oban v´ızszintesen l˝ott¨ uk ki. Mi t¨ort´enik, ha a puskagoly´ot mind nagyobb ´es nagyobb sebess´eggel l˝oj¨ uk ki? Ne feledj¨ uk, hogy a F¨old felsz´ıne g¨orb¨ ul. Ha a goly´ot el´eg nagy sebess´eggel l˝oj¨ uk ki, el˝ofordulhat, hogy amikor 4,9 m-t zuhan, ´eppolyan t´avol lesz a F¨old felsz´ın´et˝ol, mint a kil¨ov´es ´ pillanat´aban volt. Hogyan lehets´eges ez? Ugy, hogy a goly´o b´ar zuhan, a F¨old elkanyarodik al´ola, s ´ıgy a F¨old k¨or¨ ul” esik. A k´erd´es m´armost ” az, milyen messzire kell jutnia a goly´onak 1 s alatt, hogy a f¨oldfelsz´ınen 4,9 m-re a horizont al´a ker¨ ulj¨on. A 7.4. ´abr´an l´athat´o a 6370 km sugar´ u F¨old ´es az ´erint˝oir´any´ u egyenes p´alya, amelyen a puskagoly´o akkor haladna, ha nem hatna r´a er˝o. Most pedig alkalmazzuk a geometria egyik sz´ep t´etel´et, amely szerint az ´atm´er˝ore mer˝oleges f´elh´ ur hossza egyenl˝o az ezen h´ ur ´altal kimetszett k´et ´atm´er˝oszakasz geometriai k¨ozep´evel. Innen l´at1

1

2

2

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

135

7.4. A gravit´ aci´ o Newton-f´ele t¨ orv´enye

hat´o, hogy a v´ızszintesen befutott szakasz a 4,9 m-nek megfelel˝o zuhan´as ´es a 12 740 km hossz´ u F¨old-´atm´er˝o m´ertani k¨ozepe. A 0, 005 · 12 740-b˝ol vont n´egyzetgy¨ok j´o k¨ozel´ıt´essel 7,9 km, vagyis ha a puskagoly´o 1 s alatt 7,9 km-t tesz meg, akkor a F¨old ir´any´aban minden m´asodpercben tov´abbi 4,9 m-t zuhan, de sohasem ker¨ ul hozz´a k¨ozelebb, mivel a F¨old elkanyarodik t˝ole. ´Igy t¨ort´enhetett, hogy Gagarin a vil´ag˝ urben tart´ozkodva, a F¨old k¨or¨ ul egy 40 000 km kossz´ u p´aly´an 8 km/s sebess´eggel haladt. (Mozg´asa t´enylegesen egy kicsit lass´ ubb volt, mivel magasabban tart´ozkodott.) x S

S

2R–S

R

7.4. a ´bra. Gyorsul´ as a k¨ orp´ alya k¨ oz´eppontja ir´ any´ aban. A s´ıkgeometri´ ab´ ol tudjuk, hogy x/S = (2R − S)/x ≈ 2R/x, ahol R a F¨ old sugara (6370 km), x az 1 s alatt v´ızszintesen befutott” ” szakasz, S az 1 s alatt bek¨ ovetkez˝ o es´es” szakasza (4,9 m) ”

B´armely nagy felfedez´es csak akkor lehet hasznos, ha t¨obbet nyer¨ unk bel˝ole, mint amennyit befektett¨ unk. Newton felhaszn´ alta Kepler m´asodik ´es harmadik t¨orv´eny´et, hogy levezethesse t¨omegvonz´asi t¨orv´eny´et. Mit l´atott meg Newton el˝ore? Mindenekel˝ott az a m´od, ahogy ˝o a Hold mozg´as´at t´argyalta, m´ar mag´aban v´eve is nagy el˝orel´at´asra mutat, minthogy ¨osszekapcsolja egy a F¨old felsz´ın´en szabadon es˝o t´argy ´es a Hold mozg´as´at. M´asr´eszt feleletet ad arra a k´erd´esre, hogy a bolyg´ op´ alya val´ oban ellipszis-e? Egy k´es˝obbi fejezetben l´atni fogjuk, hogyan lehet a bolyg´ok mozg´as´at pontosan kisz´am´ıtani, tov´abb´a hogyan bizony´ıthat´o az, hogy a p´aly´anak val´oban ellipszisnek kell lennie3 , azaz tov´abbi t´enyek ismeret´ere nincs sz¨ uks´eg Kepler els˝ o t¨orv´eny´enek megmagyar´az´as´ahoz. Ez volt Newton els˝o nagy jelent˝os´eg˝ u megl´at´asa. A t¨ omegvonz´as t¨orv´enye sok olyan jelens´eget megmagyar´az, melyekre el˝oz˝oleg nem volt magyar´azat. P´eld´aul a F¨old¨on a Hold vonz´o hat´asa okozza az ´ar-ap´aly jelens´eget, de ennek eredet´et sok´aig titokzatosnak ´erezt´ek. A Hold mag´ahoz vonzza az alatta lev˝o” v´ızt¨omegeket, ´es ezzel ” 3

Az idevonatkoz´ o bizony´ıt´ ast nem k¨ oz¨ olj¨ uk.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

136

7. A gravit´ aci´ o elm´elete

dag´alyt id´ez el˝o – gondolt´ak az emberek r´egebben, csakhogy nem voltak olyan okosak, mint Newton, mert azt hitt´ek, hogy naponta csak egyszer lehet dag´aly. Gondolatmenet¨ uk a k¨ovetkez˝o volt: a Hold mag´ahoz vonzza az alatta elter¨ ul˝o vizet, ´es ez´altal egy dag´aly- ´es egy ap´alyhull´am keletkezik. Minthogy azonban a F¨old forog, minden huszonn´egy ´or´aban egy bizonyos ´eszlel˝ohelyen egy ap´aly ´es egy dag´aly figyelhet˝o meg, noha a val´os´agban az ap´aly- ´es dag´alyhull´am tizenk´et ´or´ank´ent ism´etl˝odik. Egy m´asik elm´eleti ir´anyzat u ´gy pr´ob´alta ezt magyar´azni, hogy a dag´aly a F¨oldnek a Holdt´ol t´avol es˝o, t´ uls´o fel´en jelentkezik, mivel a Hold a F¨oldet elh´ uzza” a tengert˝ol. Mindk´et elm´elet helytelen. A val´os´agos helyzet a ” k¨ovetkez˝o: a Holdnak a sz´arazf¨oldre ´es a tengerekre gyakorolt vonz´o hat´asa egy k¨oz´eppontra vonatkoz´oan kiegyens´ ulyozott”. De a tengernek az a ” r´esze, amely a Holdhoz k¨ozelebb van, az ´ atlagosn´ al nagyobb vonz´oer˝onek van kit´eve, m´ıg a k¨oz´eppontt´ol t´avolabb l´ev˝o v´ızre az ´atlagosn´al kisebb er˝o hat. Tov´abb´a a v´ız helyv´altoztat´asra k´epes, m´ıg a sokkal merevebb sz´arazf¨old nem. A jelens´eg helyes fizikai k´epe a k´et t´eny ¨osszekapcsol´as´ab´ol ad´odik. Mit ´ert¨ unk azon, hogy kiegyenB ” s´ u lyozott”? Mi mivel tart egyenHold s´ ulyt? Ha a Hold az eg´esz F¨oldet HO mag´ahoz vonzza, mi´ert nem esik a C Az a pont, mely körül F¨old a Holdra? Mert a F¨old ugyana Föld és a Hold forog A azt a tr¨ ukk¨ot alkalmazza a Holddal szemben: k¨orp´aly´an mozog, amelyFöld nek k¨oz´eppontja a F¨old belsej´eben van, de nem pontosan a F¨old k¨oz´ep7.5. a ´bra. A Nap–Hold-rendszer ´es pontj´aval esik egybe. A Hold sem az a ´rap´ aly-jelens´eg pontosan a F¨old k¨or¨ ul mozog, a F¨old ´es a Hold mindketten egy k¨oz´eppont k¨or¨ ul keringenek. Mindketten efel´e a k¨oz¨os k¨oz´eppont fel´e esnek, mint ahogy ez a 7.5. ´abr´an l´athat´o. E k¨oz¨os k¨oz´eppont k¨or¨ uli mozg´as az, amely kiegyens´ ulyozza egym´as fel´e es´es¨ uket. Teh´at a F¨old sem egyenes p´aly´an, hanem k¨or´ıven halad. A F¨oldnek a forg´asi k¨oz´eppontt´ol t´avolabbi oldal´an a tenger a centrifug´alis er˝o k¨ovetkezt´eben jobban kidomborodik”, mint a F¨old k¨oz´eppontj´ahoz ” viszony´ıtott ´atlagos v´ızt¨omeg, amelyet a Hold vonz´o hat´asa egyens´ ulyban tart. A t´avoli oldalon teh´at a Hold vonz´asa gyeng´ebb ´es a centrifug´a” lis er˝o” er˝osebb. Ez a F¨old k¨oz´eppontj´at´ol kifel´e mutat´o ir´anyban a v´ız kiegyens´ ulyozatlans´ag´ahoz vezet. A k¨ozeli oldalon viszont a Hold vonz´oereje a nagyobb, ´es mivel a sug´arvektor r¨ovidebb, a centrifug´alis er˝o” ” 2

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

7.5. Egyetemes t¨ omegvonz´ as

137

szint´en gyeng´ebb lesz, ´es emiatt a holdk¨ozeli oldalon is kialakul – szint´en a F¨old k¨ oz´eppontj´at´ol kifel´e – kiegyens´ ulyozatlan ´allapot. V´egeredm´enyben teh´at k´et dag´alyz´ona keletkezik.

7.5. Egyetemes t¨ omegvonz´ as Ha a gravit´aci´ot m´ar meg´ertett¨ uk, seg´ıts´eg´evel mi mindent lehet m´eg meg´erteni? Mindenki tudja, hogy a F¨old g¨omb¨oly˝ u. Mi´ert g¨omb¨oly˝ u a F¨old? A v´alasz egyszer˝ u: a t¨omegvonz´as k¨ovetkezt´eben. Az, hogy a F¨old g¨omb¨oly˝ u, puszt´an abb´ol is bel´athat´o, hogy minden t´argy minden t´argyat vonz, a F¨old teh´at olyannyira vonzza o¨nmag´at, amennyire csak tudja! Ha tov´abb foglalkozunk a k´erd´essel, r´aj¨ov¨ unk, hogy a F¨old nem pontosan g¨omb alak´ u, minthogy forg´ast v´egez ´es ez´ert centrifug´alis hat´asok l´epnek fel, melyek a gravit´aci´o ellen m˝ uk¨odnek az Egyenl´ıt˝o k¨ornyezet´eben. Kider¨ ul, hogy a F¨oldnek elliptikus alak´ unak kell lennie; m´eg az ellipszis helyes form´aja is kiad´odik! A t¨omegvonz´as t¨orv´eny´eb˝ol levezethet˝o, hogy a Napnak, a Holdnak ´es a F¨oldnek (k¨ozel) g¨omb alak´ unak kell lennie. Milyen m´as jelens´eg sz´armaztathat´o m´eg a t¨omegvonz´asb´ol? Ha a Jupiter holdjait vizsg´aljuk, mindent meg´erthet¨ unk, ami a bolyg´o k¨or¨ uli mozg´asukkal kapcsolatos. Egy´ebk´ent a Jupiter holdjaival kapcsolatos probl´em´ar´ol ´erdemes n´eh´any sz´ot sz´olni. Rømer igen behat´oan tanulm´anyozta ezeket a kis holdakat, ´es ´eszrevette, hogy n´eha el˝obb, n´eha k´es˝obb jelennek meg, mint ahogy az el˝ore v´arhat´o lett volna. (A holdak v´arhat´o kering´esi idej´et u ´gy lehet meghat´arozni, hogy hosszabb id˝on kereszt¨ ul meg kell m´erni, ´atlagosan mennyi id˝o alatt haladnak k¨orbe.) M´armost a holdak mozg´asukban el˝ obbre l´atszottak lenni, amikor a Jupiter k¨ ul¨on¨osen k¨ ozel volt a F¨oldh¨oz, ´es h´atramaradtak, amikor a F¨old a Jupitert˝ol elt´ avolodott. Rendk´ıv¨ ul neh´ez lenne ezt az ´eszleletet a t¨omegvonz´as t¨orv´eny´evel megmagyar´azni, s ez a kudarc – ha nem lenne m´as magyar´azat – tulajdonk´eppen egy gy¨ony¨or˝ u elm´elet hal´al´at jelenten´e. Ha ak´arcsak egyetlen helyen is cs˝od¨ot mond, a t¨orv´eny rossz. Csakhogy ennek az elt´er´esnek az oka csod´alatosan egyszer˝ u: id˝ot vesz ig´enybe, hogy ´eszrevegy¨ uk a Jupiter holdjait, mert bizonyos id˝o eltelik, m´ıg a f´eny a Jupitert˝ol a F¨oldh¨oz ´er. Amikor a Jupiter a F¨oldh¨oz k¨ozelebb van, ez az id˝o kevesebb. Ez´ert van az, hogy a holdak l´atsz´olag ´atlagosan kicsivel el˝obbre vagy h´atr´abb tartanak mozg´asukban, att´ol f¨ ugg˝oen, hogy k¨ozelebb vagy t´avolabb vannak a F¨oldt˝ol. Ez a jelens´eg mutatott r´a arra is, hogy a f´eny terjed´ese id˝ot vesz ig´enybe, ´es egy´ uttal a f´eny terjed´esi sebess´eg´enek els˝o becsl´es´ere is alapul szolg´alt. Mindez 1676-ban t¨ort´ent. www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

138

7. A gravit´ aci´ o elm´elete

Ha minden bolyg´o vonzza ´es tasz´ıtja egym´ast, akkor az az er˝o, amely a Jupitert a Nap k¨or¨ uli p´aly´an vez´erli, nem csup´an a Napt´ol ered; vonz´as l´ep fel p´eld´aul a Szaturnusz r´esz´er˝ol is. Ez az er˝o tulajdonk´eppen nem nagy, mivel a Nap sokkal hatalmasabb, mint a Szaturnusz, de m´egis el´eg nagy ahhoz, hogy a Jupitert elt´er´ıtse a t¨ok´eletes ellipszisp´aly´at´ol. Ez ´ıgy is van: a Jupiter egy kiss´e imbolyog” a szab´alyos elliptikus p´aly´an. Az ” ilyen mozg´as sz´am´ıt´asa egy kiss´e bonyolultabb. Megpr´ob´alkoztak azzal, hogy megvizsg´alj´ak a Jupiter, a Szaturnusz ´es az Ur´anusz mozg´as´at a gravit´aci´o t¨orv´enye alapj´an. Az egyik bolyg´onak a m´asikra kifejtett hat´as´at kisz´am´ıtva megn´ezt´ek, hogy vajon ezek a par´anyi elt´er´esek ´es a mozg´as szab´alytalans´agai teljes m´ert´ekben meg´erthet˝ok-e ennek az egyetlen t¨or´ l´am a Jupiter ´es Szaturnusz eset´eben minden v´enynek az alapj´an. Es egybev´agott, de az Ur´anusz viselked´ese term´eszetfelettinek” t˝ unt. Az, ” hogy nem a pontos ellipszis ment´en haladt, ´erthet˝o volt a Jupiter ´es a Szaturnusz vonz´asa miatt. De az Ur´anusz m´eg e vonz´asokat tekintetbe v´eve sem a sz´am´ıtott p´aly´an haladt, ´ıgy fenn´allt a vesz´ely, hogy megd˝olt a t¨omegvonz´as t¨orv´enye, amely lehet˝os´eget nem lehetett kiz´arni. Ketten, Adams Angli´aban ´es Le Verrier Franciaorsz´agban, egym´ast´ol f¨ uggetlen¨ ul egy m´asik lehet˝os´egre bukkantak: tal´an l´etezik egy m´ asik bolyg´o, s¨ot´et ´es l´athatatlan, amelyet ember m´eg nem ´eszlelt. Ez az N bolyg´o befoly´asolhatn´a az Ur´anusz p´aly´aj´at. Kisz´am´ıtott´ak, hol kellene lennie ennek a ´ bolyg´onak ahhoz, hogy ´eppen a megfigyelt zavar´o hat´ast okozhassa. Ertes´ıtett´ek a megfelel˝o obszervat´oriumokat, mondv´an: Uraim, ir´any´ıts´ak ” teleszk´opjaikat erre ´es erre a helyre, ´es l´atni fognak egy u ´j bolyg´ot!” Gyakran sok m´ ulik azon, hogy kivel dolgozik egy¨ utt az ember, ´es hogy adnak-e a v´elem´eny´ere. Le Vellier szav´ara adtak, a megjel¨olt helyre ir´any´ıtott´ak a t´avcs¨oveket, ´es ´eszlelt´ek az N bolyg´ot. A m´asik megfigyel˝o´allom´as ezut´an szint´en gyorsan keres´eshez l´atott, ´es n´eh´any napon bel¨ ul ˝ok is ´eszrevett´ek a bolyg´ot. Ez a felfedez´es azt mutatja, hogy Newton t¨orv´enyei t¨ok´eletesen helyesek a Naprendszeren bel¨ ul. De vajon kiterjeszthet˝ok-e a viszonylag kisebb t´avols´agokra lev˝o m´as ´egitestekre is? Ennek els˝o pr´obak¨ove a k¨ovetkez˝o k´erd´esben rejlik: Vonzz´ak-e a csillagok is egym´ ast ´epp´ ugy, mint a bolyg´ok? Pontos bizony´ıt´ekunk van arra n´ezve, hogy a kett˝os csillagok eset´en a v´alasz igen. A 7.6. ´abra egy kett˝os csillagot mutat be – k´et csillag eg´eszen k¨ozel helyezkedik el egym´ashoz (a k´epen l´athat´o egy harmadik csillag is, ´ıgy vil´agos, hogy a k´et felv´etel azonos ´all´as´ u). A m´asodik felv´etelen ugyanazok a csillagok l´athat´ok n´eh´any ´evvel k´es˝obb. L´atjuk, hogy az ´all´o” csillaghoz k´epest a csillagp´ar tengelye elfordult, a ”

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

139

7.5. Egyetemes t¨ omegvonz´ as

7.6. a ´bra. Kett˝ oscsillag-rendszer

.1 19

04

.8

19

03

01 . 02 2 .1 19

19

19

00

.9 .4

.1 99

99 18

18

18

96

18 9

.9

7. 9

180°

270°

90°

1862

1866

0

0

9 18

187

6

2"

4"

6"

8

82 18

8 18

0"

8"

18 74

18 7

10"

12"

Mérték

7.7. a ´bra. A Sz´ıriusz B-nek a Sz´ıriusz A-hoz viszony´ıtott p´ aly´ aja

k´et csillag teh´at egym´as k¨or¨ ul kering. Vajon mozg´asuk Newton t¨orv´enyeivel ¨osszhangban ´all-e? Egy ilyen kett˝os csillag egym´ashoz viszony´ıtott helyzeteir˝ol mutat pontos m´er´eseket a 7.7. ´abra. L´athatunk egy gy¨ony¨or˝ u ellipszist. A m´er´esek 1862-ben kezd˝odtek ´es eg´eszen 1904-ig tartottak. (M´aig a csillagp´arnak m´ar ism´et k¨ orbe kellett fordulnia.) Minden egyezik Newton t¨orv´enyeivel, kiv´eve, hogy a Sz´ıriusz A csillag nincs f´ okuszban. Vajon mi´ert nincs ott? Mert az ellipszis s´ıkja nem a ´eg s´ıkj´aban” van. A ” p´alya s´ıkj´ara nem mer˝olegesen l´atunk r´a, ´es amikor egy ellipszisre ferd´en www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

140

7. A gravit´ aci´ o elm´elete

tekint¨ unk, az ugyan ellipszis marad, de f´okusza elmozdul eredeti hely´er˝ol. Ilyen m´odon elemezhet˝ok teh´at a kett˝os csillagok, amelyek a gravit´aci´os t¨orv´enynek megfelel˝oen keringenek egym´as k¨or¨ ul. A 7.8. ´abr´an bemutatjuk, hogy a t¨omegvonz´as t¨orv´enye m´eg nagyobb t´avols´agok eset´en is igaz. Ha valaki nem l´atja be, hogy itt a gravit´aci´o m˝ uk¨odik, annak nincsen ´erz´eke a fizik´ahoz. Az ´abra az ´egbolt egyik legszebb k´epz˝odm´eny´et mutatja – egy g¨ombhalmazt. Minden egyes ´ pont egy-egy csillag. Ugy t˝ unik, mintha a csillagok a k¨oz´eppont fel´e szinte ¨osszet¨om¨or¨odn´enek, ez azonban csak a m˝ uszer okozta optikai csal´od´as. A val´os´agban a csillagok 7.8. a ´bra. G¨ ombhalmaz k¨ozti t´avols´ag m´eg a halmaz k¨ozepe fel´e is rendk´ıv¨ ul nagy, ´es a csillagok igen ritk´an u ul ¨tk¨oznek ¨ossze. Bel¨ t¨obb csillag helyezkedik el, m´ıg k¨ unn – ahogy haladunk a sz´elek fel´e – a csillagok sz´ama egyre kevesebb. L´atnival´o, hogy a csillagok k¨oz¨ott vonz´oer˝o m˝ uk¨odik, vagyis, hogy ezeken a nagy t´avols´agokon is, amelyek tal´an 100 000-szer is nagyobbak a Naprendszern´el, fenn´all a t¨omegvonz´as.

7.9. a ´bra. Galaxis

7.10. a ´bra. Galaxishalmaz

Menj¨ unk most tov´abb ´es vizsg´aljunk meg egy teljes galaxist. A 7.9. ´abr´an p´eldak´eppen bemutatott galaxis alakja arra utal, hogy anyaga a k¨oz´eppont fel´e s˝ ur˝ us¨odik. Term´eszetesen nem tudjuk pontosan bebizony´ıtani, hogy a csillagok k¨oz¨ott ´erv´enyes¨ ul a ford´ıtott n´egyzetes t¨orv´eny, csup´an azt, hogy ilyen ´ori´asi dimenzi´okban is van vonz´as, amely az eg´esz www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

141

7.5. Egyetemes t¨ omegvonz´ as

halmazt ¨osszetartja. Azt mondhatn´ank, persze, mindez nagyon sz´ep, de a galaxis mi´ert nem labda alak´ u? Az´ert nem labda alak´ u, mert p¨ or¨ og ´es impulzusmomentummal rendelkezik, amelyt˝ol nem tud megszabadulni uz´od´asa k¨ozben; csaknem egy s´ıkk´a kell ¨osszeh´ uz´odnia. (Azoknak, ¨osszeh´ akik j´o kutat´asi probl´em´at akarnak v´alasztani, megeml´ıthetem, hogy a pontos r´eszleteket arra vonatkoz´oan, hogyan alakultak ki a galaxis karjai ´es mi hat´arozza meg a galaxisok form´ait, m´eg nem dolgozt´ak ki.) Mindenesetre nyilv´anval´o, hogy a galaxis alakja a gravit´aci´o k¨ovetkezm´enye, j´ollehet szerkezet´enek bonyolults´aga miatt eddig m´eg nem volt m´od a behat´o vizsg´alatra. Egy galaxison bel¨ ul a m´eretek 50, esetleg 100 ezer f´eny´evet is kitehetnek. A F¨old t´avols´aga a Napt´ol 8 13 f´enyperc, ebb˝ol l´athatjuk, hogy milyen hatalmasak a fenti m´eretek. ´ t˝ Ugy unik, hogy gravit´aci´o m´eg nagyobb t´avols´agokon is l´etezik. Erre a 7.10. ´abr´an l´atunk utal´ast. A sok par´anyi”, egy helyre ¨osszet¨om¨or¨ ult ” pontocsk´ab´ol alakult k´epz˝odm´eny nem csillaghalmaz, hanem galaxishalmaz. Nagy t´avols´agokon a galaxisok is vonzz´ak egym´ast, teh´at halmazokba t¨om¨or¨ ulnek. Lehets´eges, hogy a gravit´aci´o m´eg 10 milli´o f´eny´ev t´avols´agon t´ ul is l´etezik; eddigi tud´asunk szerint a t¨omegvonz´as mindenhol a t´avols´ag n´egyzet´evel ford´ıtott ar´anyban fejti ki hat´as´at.

7.11. a ´bra. Csillagk¨ ozi porfelh˝ o

´ csillag k´epz˝ 7.12. a ´bra. Uj od¨ ott?

De a t¨omegvonz´as t¨orv´eny´eb˝ol nemcsak a csillagk¨od¨ok v´alnak ´erthet˝ov´e, hanem a csillagok eredet´er˝ol is bizonyos fogalmakat alkothatunk. A 7.11. ´abr´an l´athat´o nagy csillagk¨ozi por- ´es g´azfelh˝ob˝ol az egyes r´eszekre hat´o t¨omegvonz´as ezeket kicsiny csom´okk´a egyes´ıtheti. A k´epen tiszt´an l´athat´o pici” fekete p¨otty¨ok a g´az ´es a por gravit´aci´o hat´as´ara ” kezd˝od˝o o¨sszet¨om¨or¨ ul´es´et, vagyis kialakul´o csillagok g´ocait jelzik. Hogy megfigyeltek-e valaha csillagk´epz˝od´est, m´eg vitathat´o. A 7.12. ´abra utal r´a, hogy m´ar lehetett ilyenre p´elda. A bal oldali, 1947-ben k´esz¨ ult felv´ewww.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

142

7. A gravit´ aci´ o elm´elete

telen egy g´azhalmaz l´athat´o, melyben n´eh´any csillag foglal helyet, m´ıg a jobb oldali k´epen, amelyet h´et ´evvel k´es˝obb vettek fel, k´et u ´j f´enyes pontot lehet megfigyelni. Vajon g´az t¨om¨or¨ ult-e ¨ossze, vajon a gravit´aci´o el´eg er˝osen m˝ uk¨od¨ott, hogy mindebb˝ol egy nagy labda form´al´odj´ek, amelynek belsej´eben m´ar megindulhattak a csillagra jellemz˝o magreakci´ok, ´es ´ıgy az eg´esz k´epz˝odm´eny csillagg´a alakult-e? Tal´an igen, tal´an nem. Nem ´eszszer˝ u felt´etelezni, hogy h´et ´ev leforg´asa alatt olyan szerencs´esek lett¨ unk volna, hogy ´eppen azt a pillanatot less¨ uk meg, amikor a csillag l´atsz´ov´a v´alik; de m´eg sokkal kev´esb´e val´osz´ın˝ u, hogy egyszerre k´et ilyen jelens´eget figyelhess¨ unk meg! 7.6. Cavendish k´ıs´ erlete A gravit´aci´o teh´at hatalmas t´avols´agokra terjed ki. De ha tetsz˝oleges k´et test k¨ozt fenn´all, akkor nyilv´an a F¨old m´eret´en´el kisebb, mindennapi t´argyaink k¨ozt is meg kell tudjuk m´erni. Ahelyett, hogy az egym´as k¨or¨ ul kering˝o csillagokat n´ezn´enk, mi´ert ne vehetn´enk p´eld´aul egy ´olom- ´es egy m´arv´anygoly´ot, hogy megfigyelj¨ uk, mi t¨ort´enik, ha az egyik a m´asikhoz k¨ozeledik. Ennek a k´ıs´erletnek az a neh´ezs´ege, hogy ha ilyen egyszer˝ uen hajtjuk v´egre, a fell´ep˝o gravit´aci´os er˝o igen-igen gyenge. A k´ıs´erletet k¨ ul¨onleges gonddal kell elv´egezni, p´eld´aul a k´ıs´erleti berendez´esb˝ol el kell t´avol´ıtani a leveg˝ot, biztos´ıtani kell, hogy a berendez´es ne legyen elektromosan felt¨oltve, ´es ´ıgy tov´abb; mindezek ut´an az er˝o megm´erhet˝o. Ezt el˝osz¨or Cavendish v´egezte el a 7.13. ´abr´an v´azolt berendez´es seg´ıts´eg´evel.

M M

7.13. a ´bra. Cavendish berendez´es´enek leegyszer˝ us´ıtett v´ azlata. Seg´ıts´eg´evel kis testekre ellen˝ orizhet˝ o a t¨ omegvonz´ as t¨ orv´enye, valamint meghat´ arozhat´ o vele a G gravit´ aci´ os a ´lland´ o

A k´ıs´erlet ´erz´ekelteti a k´et nagy r¨ogz´ıtett ´olomgoly´o ´es a k´et kisebb ´olomgoly´o k¨oz¨otti k¨ozvetlen er˝ohat´ast. Az ut´obbi goly´ok egy u ´gynevezett torzi´os fon´al seg´ıts´eg´evel felf¨ uggesztett m´erlegkar k´et v´eg´en helyezkednek www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

7.7. Mi a gravit´ aci´ o?

143

el. Megm´erve a torzi´os sz´al elcsavarod´as´at, meghat´arozhat´o az er˝o nagys´aga, ´es ellen˝orizhet˝o, hogy a t´avols´ag n´egyzet´evel ford´ıtottan ar´anyos. 0 Ilyen m´odon pontosan meg´allap´ıthat´o a G egy¨ utthat´o az F = G mm r2 egyenletben. A jobb oldalon minden t´avols´ag ´es t¨omeg ismeretes. Azt lehetne mondani: mindez m´ar ismeretes volt a F¨old eset´eben is.” Igen, ” csakhogy nem ismert¨ uk a F¨old t¨ omeg´et. Ford´ıtva, minthogy e k´ıs´erlet alapj´an ismerj¨ uk G-t, ´es hogy milyen er˝ovel vonzza a F¨old a t´argyakat, megtudhatjuk, milyen nagy a F¨old t¨omege. Ezt a k´ıs´erletet egyesek a F¨old lem´er´es´enek” nevezt´ek, ´es alkalmas volt a gravit´aci´os t¨orv´eny G egy¨ utt” hat´oj´anak a meghat´aroz´as´ara. Ez az egyetlen m´odszer, amellyel a F¨old t¨omege meghat´arozhat´o. A m´er´esekb˝ol G = 6, 670 · 10−11 Nm2 /kg2 ad´odott. Neh´ez lenne elt´ ulozni annak a jelent˝os´eg´et, hogy a t¨omegvonz´as elm´elet´enek ez a sikere milyen nagy m´ert´ekben kihatott a tudom´any eg´esz fejl˝od´es´ere. A megel˝oz˝o korszakban sok volt a zavaros ellentmond´as, a k¨ ul¨onf´ele elm´eletek ir´anti bizalmatlans´ag, s h´ezagos volt a tud´as. V´egn´elk¨ uli vit´ak ´es paradoxonok hely´ebe l´epett ez a t¨orv´eny a maga egyszer˝ us´eg´evel ´es vil´agoss´ag´aval. Vegy¨ uk csak azt a t´enyt, hogy a holdak, a k¨ ul¨onf´ele bolyg´ok ´es minden egy´eb ´egitest mozg´asa ilyen egyszer˝ u t¨ orv´enynek engedelmeskedik, tov´abb´a, hogy az ember k´epes volt mindezt ezen kereszt¨ ul meg´erteni, s˝ot le tudta vezetni, hogy a bolyg´oknak mik´ent kell mozogniuk! Ez lesz a kulcsa a tudom´any egy´eb sikereinek is az elk¨ovetkezend˝o ´evekben, mert rem´enyt adott arra, hogy esetleg a vil´ag m´as jelens´egei is ilyen gy¨ony¨or˝ u ´es egyszer˝ u t¨orv´enyeknek engedelmeskednek. 7.7. Mi a gravit´ aci´ o? Vajon a gravit´aci´o t´enyleg ilyen egyszer˝ u t¨orv´eny lenne? Mit tudunk mondani a gravit´aci´o mechanizmus´ar´ol? Eddig csak arr´ol besz´elt¨ unk, hogy a F¨old hogyan mozog a Nap k¨or¨ ul, de m´eg nem tett¨ unk eml´ıt´est arr´ol, mi k´eszteti a F¨oldet mozg´asra. Newton erre n´ezve nem t´etelezett fel semmit, megel´egedett annak vizsg´alat´aval, hogy mit csin´al a g´epezet, an´elk¨ ul, hogy annak belsej´ebe tekintett volna. Az´ ota sem siker¨ ult senkinek felfedezni a mechanizmus m˝ uk¨ od´esi elv´et. A fizikai elvekre jellemz˝o ez az absztrakt tulajdons´ag. Az energia megmarad´as´anak t¨orv´enye p´eld´aul mennyis´egekre vonatkozik, amelyeket ¨ossze kell adnunk, ki kell sz´am´ıtanunk, de mindenfajta mechanizmus eml´ıt´ese n´elk¨ ul; a mechanika t¨orv´enyei kvantitat´ıv matematikai ¨osszef¨ ugg´esek, amelyekre n´ezve semmif´ele m˝ uk¨od´esi elvet nem ismer¨ unk. Senki nem tudja, mi´ert van az, hogy a matematika www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

144

7. A gravit´ aci´ o elm´elete

a term´eszeti t¨orv´enyek le´ır´as´ara alkalmazhat´o, an´elk¨ ul, hogy ismern´enk a t¨orv´enyek mozgat´o rug´oit. Egyel˝ore azonban a matematika u ´tj´an kell haladnunk, mert ´ıgy t¨obbet tudhatunk meg a vil´ag jelens´egeir˝ol. A t¨omegvonz´asra vonatkoz´oan sokfajta mechanizmust javasoltak m´ar. ´ Erdemes ezek k¨oz¨ ul megeml´ıteni egyet, amelyre id˝or˝ol id˝ore sok tud´os visszat´ert m´ar. Az els˝o pillanatban boldogan ´es izgatottan u ´gy ´erzi, hogy siker¨ ult megtal´alnia a mechanizmus elv´et, ´am csakhamar kider¨ ul, hogy t´eved´esr˝ol van sz´o. Az els˝o ilyen felfedez´est” 1750 k¨or¨ ul tett´ek. T´etelez” z¨ uk fel, hogy a vil´ag˝ urben sz´amtalan sok r´eszecske rep¨ ul ¨osszevissza, igen nagy sebess´eggel, ´es ezeket csak igen csek´ely m´ert´ekben nyeli el az anyag, amint azon kereszt¨ ulrep¨ ulnek. Ha a F¨old elnyeli ˝oket, ez´ uton impulzust adnak ´at a F¨oldnek. Minthogy azonban jobbr´ol is ugyanannyi r´eszecske ´erkezik, mint balr´ol, az impulzusok egyens´ ulyt tartanak. De ha a Nap a k¨ozelben van, a rajta kereszt¨ ul a F¨old fel´e igyekv˝o r´eszecsk´ek nagy r´esz´et a Nap elnyeli, ´es ´ıgy kevesebb ´erkezik meg a Nap fel˝ol, mint a t´ uls´o oldalr´ol, ez´ert a F¨old egy kiegyens´ ulyozatlan impulzust kap a Nap ir´any´aban. Nem neh´ez bel´atni, hogy ez az er˝ohat´as a t´avols´ag n´egyzet´evel ford´ıtottan ar´anyos, m´egpedig a Nap ´altal bez´art ´arny´ekol´asi sz¨og v´altoz´asa szerint, amely viszont a t´avols´ag megv´altoz´as´anak a k¨ovetkezm´enye. Mi a rossz ebben az elvi g´epezetben? Az elgondol´as n´eh´any olyan k¨ovetkezm´ennyel j´arna, amely nem ´ all fenn. A neh´ezs´eg konkr´etan a k¨ovetkez˝o: a Nap k¨or¨ ul kering˝o F¨old el¨olr˝ol t¨obb r´eszecsk´ebe u ¨tk¨ozne, mint h´atulr´ol (ha valaki es˝oben rohan, az es˝o az arc´at er˝osebben veri, mint a tark´oj´at!). Ez´ert a F¨oldet el¨olr˝ol t¨obb impulzus ´ern´e, mozg´asa ellen´all´asba u ¨tk¨ozne, minek folyt´an lelassulna a p´aly´aj´an. Ki lehet sz´am´ıtani, hogy ez az ellen´all´as mennyi id˝o eltelt´evel ´all´ıtan´a meg a F¨oldet mozg´as´aban, ami t´ ul r¨ovid ahhoz, hogy a F¨old m´eg ma is p´aly´aj´an mozoghasson. Vagyis az elk´epzel´es nem helyes. Eddig m´eg egyetlen olyan elvi mechanizmust sem siker¨ ult kigondolni, amely u ´gy magyar´azn´a meg” a t¨omegvonz´ast, hogy egy´ uttal ” ne j´osolna meg olyan jelens´egeket, amelyek a val´os´agban nem l´eteznek. A k¨ovetkez˝okben kit´er¨ unk a gravit´aci´o egy´eb er˝okh¨oz val´o viszony´ara. Mindm´aig a gravit´aci´o nem magyar´azhat´o meg m´as er˝ok alapj´an. A gravit´aci´o sem elektromos, sem m´asfajta er˝ok megnyilv´anul´asi form´aja nem lehet, azaz ilyen alapon nincsen r´a magyar´azat. Mindemellett a gravit´aci´o igen hasonl´o m´as er˝okh¨oz, s van n´eh´any ´erdekes, ezekkel k¨oz¨os von´asa. P´eld´aul a k´et elektromosan felt¨olt¨ott test k¨oz¨ott fenn´all´o er˝ot¨orv´eny ugyanolyan, mint a gravit´aci´os t¨orv´eny: az elektromos er˝o ar´anyos egy negat´ıv el˝ojeles ´alland´o ´es a t¨olt´esek szorzat´aval, ´es ford´ıtva ar´anyos a t´avols´ag n´egyzet´evel. Az er˝o ellenkez˝o ir´anyban hat: az egynem˝ uek

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

7.7. Mi a gravit´ aci´ o?

145

tasz´ıtj´ak egym´ast. De nem felt˝ un˝o, hogy mindk´et t¨orv´eny ugyanolyan t´avols´agf¨ ugg´est mutat? Lehet, hogy a gravit´aci´o ´es az elektromoss´ag sokkal k¨ozelebbi ¨osszef¨ ugg´esben ´all, mintsem gondoljuk. Sokszor megpr´ob´alt´ak m´ar egyes´ıt´es¨ uket, hogy m´ast ne eml´ıts¨ unk, az u ´gynevezett egys´eges t´erelm´elet is egy igen eleg´ans pr´ob´alkoz´as. Ha a gravit´aci´ot az elektromoss´aggal ¨ossze akarjuk hasonl´ıtani, a leg´erdekesebb az er˝ok viszonylagos nagys´ag´anak vizsg´alata. B´armely elm´elet, amely mindkett˝ot tartalmazza, sz´amot kell adjon arr´ol, hogy a gravit´aci´o milyen er˝os”. Ha term´eszetes ” egys´egek form´aj´aban ¨osszehasonl´ıtjuk a k´et elektron k¨oz¨ott fell´ep˝o elektromos tasz´ıt´ast (vagyis az elemi t¨olt´esegys´egek k¨ozti tasz´ıt´ast), az elektronok t¨omege k¨ovetkezt´eben fell´ep˝o vonz´o hat´assal, kiad´odik az elektromos tasz´ıt´as ´es a t¨omegvonz´as ar´anya. Ez az ar´any f¨ uggetlen a t´avols´agt´ol, fontos term´eszeti ´alland´o. A sz´amadat a 7.14. ´abr´an l´athat´o. A k´et elektron k¨oz¨otti gravit´aci´os vonz´oer˝o u ´gy ar´anylik az elektromos tasz´ıt´oer˝oh¨oz, mint 1 a 4, 17 · 1042 -hez! Felmer¨ ul a k´erd´es, honnan ad´odhat ekkora nagy sz´am. Olyan v´eletlen nem lehet, mint amilyen v´eletlen az, ahogy a F¨old t´erfogata ar´anylik, mondjuk, egy bolh´a´ehoz. Mi ugyanannak a valaminek, azaz egy elektronnak k´et term´eszetes saj´ats´ag´at hasonl´ıtottuk ¨ossze. Ez a fantasztikus sz´am egy term´eszeti ´alland´o, ami valami m´ely ´ertelmet rejt mag´aban. Honnan j¨ohet ki egy ilyen ´ori´asi sz´am? Egyesek azt hangoztatj´ak, hogy valamikor majd megtal´aljuk a vil´agegyenletet”, amelynek egyik ” megold´asa ez a sz´am lesz. Nagyon neh´ez azonban egy olyan egyenletet tal´alni, amelynek term´eszetes gy¨oke egy ilyen fantasztikus sz´am. Gondoltak m´as lehet˝os´egekre is, ezek k¨oz¨ ul az egyik a vil´agegyetem ´eletkor´aval kapcsolatos. Nyilv´anval´o, hogy valahol tal´alnunk kell egy m´ asik nagy sz´amot is. Miben kell m´erj¨ uk a vil´agegyetem ´eletkor´at, tal´an ´evekben? Nem, mert az ´ev nem term´eszetes” egys´eg, az ember tal´alta ki. Term´eszetes ” lenne az az id˝otartam, mely alatt a f´eny egy protonon kereszt¨ ulhalad, azaz 10−24 s. A vil´agegyetem ´eletkora, azaz 2 · 1010 ´ev 1042 -szer nagyobb a fenti id˝otartamn´al. Ez a sz´am ugyanannyi 0-t tartalmaz, mint a fent eml´ıtett sz´am, ez´ert mer¨ ult fel az a gondolat, hogy a gravit´aci´os ´alland´o esetleg a vil´agegyetem ´eletkor´aval kapcsolatos. Ha ez igaz lenne, a gravit´aci´os ´alland´o id˝oben v´altozn´ek. Ahogyan a vil´agegyetem egyre id˝osebb´e v´alik, u ´gy n¨ovekedne meg fokozatosan a vil´agegyetem ´eletkor´anak ´es annak az id˝otartamnak a h´anyadosa, amely alatt a f´eny egy protonon kereszt¨ ulhalad. Lehets´eges-e hogy a gravit´aci´os ´alland´o id˝oben v´ altozz´ek? Ez a v´altoz´as persze olyan csek´ely lenne, hogy nagyon neh´ez lenne r´ola bizonyoss´agot szerezni. Hogy ez ´ıgy van-e vagy sem, annak egyik lehets´eges ellen˝orz´esi m´odja p´eld´aul az lenne, ha megvizsg´aln´ank, milyen hat´asai lehettek ennek 109 www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

146

7. A gravit´ aci´ o elm´elete

Gravitációs vonzás 42 = 1/4,17.10 Elektromos taszítás

7.14. a ´bra. K´et elektron k¨ oz¨ otti gravit´ aci´ os ´es elektromos k¨ olcs¨ onhat´ as er˝ oss´eg´enek ar´ anya

´even kereszt¨ ul – vagyis megk¨ozel´ıt˝oleg az ´elet kezdet´et˝ol a napjainkig eltelt id˝oszakban, amely az eg´esz vil´agegyetem ´eletkor´anak egytized r´esze. Ez id˝o alatt a gravit´aci´os ´alland´o kb. 10%-kal n˝ohetett volna meg. A Nap szerkezet´et, pontosabban a Nap anyag´anak s´ ulya ´es a belsej´eben keletkez˝o sug´arz´asi energiafluxus k¨ozti egyens´ ulyt vizsg´alva azt kapjuk, hogy ha a gravit´aci´o 10%-kal nagyobb lenne, a Nap f´enyess´ege 10%-n´al l´enyegesen nagyobb m´ert´ekben megn˝one, mivel a f´enyess´eg a gravit´aci´os ´alland´o hatodik hatv´any´aval ar´anyos! Ha kisz´am´ıtan´ank, mi t¨ort´enne a f¨oldp´aly´aval, ha a gravit´aci´o id˝oben v´altozna, kider¨ ulne, hogy a F¨old jelenlegi helyzet´ehez k´epest j´oval k¨ozelebb lenne a Naphoz. Mindent egybevetve, a F¨old 100 ◦ C-kal forr´obb lenne, a v´ız teh´at nem alkotna tengereket, hanem v´ızg˝oz form´aj´aban a leveg˝ot t¨olten´e fel, vagyis a tengerben nem lehetne szerves ´elet. Ezek alapj´an nem hisz¨ unk abban, hogy a gravit´aci´o id˝oben v´altozhat. De mindemellett a fenti ´ervek nem el´egg´e meggy˝oz˝oek, ez´ert a k´erd´es m´eg nem tekinthet˝o v´eglegesen lez´artnak. A gravit´aci´os vonz´oer˝o ar´anyos a t¨ omeggel, amely mennyis´eg alapj´aban v´eve a tehetetlens´eg m´ert´eke, vagyis annak a m´ert´eke, mekkora er˝ot kell kifejteni ahhoz, hogy megtartsunk egy k¨orp´aly´an mozg´o t´argyat. Ez´ert k´et t´argy, egy k¨onnyebb ´es egy nehezebb, mik¨ozben a gravit´aci´o hat´as´ara egy m´eg nagyobb k¨or¨ ul kering, mindig egy¨ utt marad, mert a k¨orp´aly´an val´o mozg´as olyan er˝ot k¨ ovetel meg, amely nagyobb t¨omeg eset´en nagyobb. M´as sz´oval, a gravit´aci´o nagyobb t¨omeg eset´en ´eppen a helyes ar´ anyban n˝ o meg, u ´gyhogy a k´et t´argy mindig egy¨ utt marad. Ha az egyik t´argy a m´asik belsej´eben van, bel¨ ul marad tov´abbra is, ebb˝ol a helyzet´eb˝ol nem t´er¨ ul ki. Ez´ert l´atta Gagarin ´es Tyitov s´ ulytalannak” a t´argyakat az ” u ˝rhaj´o belsej´eben; ha p´eld´aul egy darab kr´et´at szabadon engednek, ez pontosan ugyan´ ugy kering a F¨old k¨or¨ ul, mint az eg´esz u ˝rhaj´o, s ez´ert u ´gy t˝ unik, mintha lebegne az u ˝rhaj´osok szeme el˝ott. Rendk´ıv¨ ul ´erdekes, hogy a vonz´oer˝o igen nagy pontoss´agon bel¨ ul t¨ ok´eletesen ar´anyos a t¨omeggel. Ha ez nem ´ıgy lenne, ´eszleln¨ unk kellene bizonyos effektusokat a www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

147

7.8. A gravit´ aci´ o ´es a relativit´ aselm´elet

s´ uly ´es a tehetetlens´eg k¨ ul¨onb¨oz˝os´ege miatt. Azt, hogy ilyen effektusok nem l´eteznek, igen nagy pontoss´aggal els˝ok´ent E¨otv¨os mutatta ki 1909ben, majd leg´ ujabban Dicke. Minden anyagra n´ezve a t¨omeg t¨ok´eletesen, 1 : 1 000 000 000 ar´anyban, vagy m´eg enn´el is pontosabban ar´anyos a s´ ullyal. Ez a k´ıs´erlet val´oban igen figyelemrem´elt´o. 7.8. A gravit´ aci´ o´ es a relativit´ aselm´ elet Meg kell eml´ekezn¨ unk a Newton-f´ele gravit´aci´os t¨orv´eny Einstein-f´ele m´odos´ıt´as´ar´ol is. Minden elismer´esre m´elt´o er´enye ellen´ere a Newton-f´ele t¨orv´enyr˝ol kider¨ ult, hogy nem pontos. Az elm´eletet Einstein m´odos´ıtotta a relativit´aselm´elet eredm´enyei alapj´an. Newton szerint a gravit´aci´os hat´as pillanatszer˝ u, vagyis ha egy t¨omeg mozg´asban van, u ´j helyzet´eb˝ol ered˝oen azonnal egy u ´j er˝o ´eszlelhet˝o. Eszerint jelek v´egtelen gyorsas´aggal tov´abb´ıthat´ok. Einstein ´erveket hozott fel, melyek szerint nem lehet a f´eny sebess´eg´en´el gyorsabban jeleket tov´ abb´ıtani, vagyis a gravit´aci´o t¨orv´enye sz¨ uks´egk´eppen rossz. Jav´ıtott v´altozata, amely figyelembe veszi a hat´as k´es´es´et, egy u ´j t¨orv´eny, ezt a gravit´aci´o Einstein-f´ele t¨orv´eny´enek nevezik. Ennek az u ´j elm´eletnek egyik el´eg k¨onnyen ´erthet˝o t´etele a k¨ovetkez˝o: az Einstein-f´ele relativit´aselm´eletben mindennek, aminek energi´aja van, t¨omege is van, olyan ´ertelemben, hogy a gravit´aci´o re´a hat´ast fejthet ki. M´eg az energi´aval rendelkez˝o f´enynek is van t¨omege”. Ha egy f´eny” nyal´ab, amely energi´at hordoz mag´aban, elhalad a Nap k¨ornyezet´eben, az ut´obbi vonz´ast gyakorol r´a. Ennek k¨ovetkezt´eben a f´eny nem halad egyenes p´aly´an, hanem elhajlik. P´eld´aul napfogyatkoz´as eset´en a Nap k¨or¨ uli csillagok eltol´odott helyzetben l´atszanak ahhoz a helyhez k´epest, ahol akkor l´atn´ank ˝oket, ha a Nap nem lenne ott. A jelens´eget val´oban meg is figyelt´ek. V´eg¨ ul hasonl´ıtsuk ¨ossze a t¨omegvonz´as elm´elet´et m´as elm´eletekkel. A legut´obbi ´evekben kider¨ ult, hogy minden t¨omeg kicsiny r´eszecsk´ek halmaz´ab´ol tev˝odik o¨ssze, melyek k¨oz¨ott k¨ ul¨onf´ele k¨olcs¨onhat´asok ´allnak fenn (mager˝ok stb.). Ezen er˝ok egyike sem magyar´azza meg a gravit´aci´ot. A term´eszet kvantummechanikai tulajdons´agait egyel˝ore m´eg nem siker¨ ult a gravit´aci´ora kiterjeszteni. Ha a m´eretek olyan par´anyiak, hogy kvantummechanikai hat´asok l´epnek fel, a gravit´aci´os effektus gyenge, ez´ert sok´aig nem volt sz¨ uks´eg a t¨omegvonz´as kvantumelm´elet´enek kidolgoz´as´ara. M´asr´eszt viszont a fizikai elm´eletek ellentmond´asmentess´ege szempontj´ab´ol fontos lenne tudnunk, vajon az Einstein ´altal m´odos´ıtott Newton-f´ele gravit´aci´os t¨orv´eny tov´abb is m´odos´ıthat´o-e u ´gy, hogy ¨osszhangba ker¨ ulj¨on a hat´arozatlans´agi rel´aci´oval. Ez ut´obbi m´odos´ıt´ast m´eg nem v´egezt´ek el. www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

8. fejezet A mozg´ as 8.1. A mozg´ as le´ır´ asa Ha fel akarjuk ismerni azokat a t¨orv´enyeket, amelyek az id˝o m´ ul´as´aval a testekben fell´ep˝o k¨ ul¨onf´ele v´altoz´asokat szab´alyozz´ak, k´epesnek kell lenn¨ unk le´ırni ´es valamilyen m´odon nyilv´antartani ezeket a v´altoz´asokat. Egy testen ´erz´ekelhet˝o legegyszer˝ ubb v´altoz´as a helyzet´enek l´athat´o megv´altoz´asa, amit mi mozg´asnak nevez¨ unk. Tekints¨ unk egy szil´ard testet, ami egy tart´os, ´altalunk j´ol l´athat´o ´es a tov´abbiakban pontnak nevezett jellel van ell´atva. A jel lehet egy g´epkocsi h˝ ut˝osapk´aja vagy egy szabadon es˝o labda k¨oz´eppontja. Ennek a jelnek a mozg´as´at fogjuk vizsg´alni, megk´ıs´erelj¨ uk le´ırni mag´at a mozg´as t´eny´et, de a hogyanj´at is. Ezek a p´eld´ak k¨oznapinak t˝ unnek, ´am a v´altoz´asok le´ır´asa sok bonyodalommal j´arhat. N´emely v´altoz´ast sokkal nehezebb le´ırni, mint egy szil´ard test valamely pontj´anak a mozg´as´at. Gondoljunk p´eld´aul egy nagyon lassan mozg´o, de alakj´at gyorsan v´altoztat´o, p´arolg´o felh˝ore, vagy a n˝oi l´elek v´altoz´asaira. A l´elek v´altoz´asainak le´ır´as´ara nem ismer¨ unk egyszer˝ u elj´ar´ast; mivel azonban sok mulekul´aj´aval a felh˝o le´ırhat´o vagy reprezent´alhat´o, elvileg tal´an a felh˝o mozg´asa is le´ırhat´o minden egyes molekul´aja mozg´as´anak a le´ır´as´aval. Hasonl´ok´epp tal´an m´eg az is lehets´eges, hogy a l´elek v´altoz´asa p´arhuzamba ´all´ıthat´o az agyat alkot´o atomok v´altoz´asaival, csak egyel˝ore hi´anyoznak a megfelel˝o ismereteink. Mindenesetre ez´ert kezdj¨ uk vizsg´alatainkat a pontok mozg´as´aval; esetleg atomoknak is gondolhatn´ank ˝oket, de val´osz´ın˝ uleg helyesebb, ha kezdetben durv´abb k¨ozel´ıt´est haszn´alunk ´es a pontokat kicsi – az ´altaluk megtett t´avols´agokhoz k´epest pici – t´argyakk´ent k´epzelj¨ uk el. P´eld´aul, ha egy t¨obb sz´az m´erf¨oldet megtev˝o g´epkocsi mozg´as´at vizsg´aljuk, nem kell k¨ ul¨onbs´eget tenn¨ unk az aut´o elej´enek, illetve v´eg´enek a helyzete k¨oz¨ott. K´ets´egk´ıv¨ ul van n´emi k¨ ul¨onbs´eg, de durva k¨ozel´ıt´esben egyszer˝ uen csak a kocsir´ol” besz´el¨ unk, ahogyan annak sincs jelent˝os´ege, hogy pontjaink ” nem abszol´ ut pontok; jelenlegi c´elkit˝ uz´eseinkhez nincs sz¨ uks´eg sz´els˝os´eges precizit´asra. Szint´ ugy igaz, hogy am´ıg ezt a t´argyat csak els˝o k¨ozel´ıt´esben vizsg´aljuk, eltekinthet¨ unk a vil´ag h´aromdimenzi´os volt´ar´ol. Csak az egyir´any´ u mozg´asra o¨sszpontos´ıtunk, mint az u ´ton halad´o aut´o eset´eben. Ha m´ar tudjuk, hogyan ´ırjuk le a mozg´ast egy dimenzi´oban, visszat´erhet¨ unk a h´arom dimenzi´ora. Most mondhatj´ak persze, hogy mindez trivialit´as” – ” www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

149

8.1. A mozg´ as le´ır´ asa

´es val´oban az. Hogyan ´ırhatjuk le az egydimenzi´os mozg´ast – teszem azt, az aut´o mozg´as´at? Mi sem egyszer˝ ubb! A lehets´eges elj´ar´asok k¨oz¨ ul vegy¨ uk a k¨ovetkez˝ot: Az aut´o k¨ ul¨onf´ele id˝opontokban elfoglalt helyzet´enek meghat´aroz´as´ahoz m´erj¨ uk meg a kiindul´asi helyt˝ol val´o t´avols´ag´at, majd a megfigyel´eseinket jegyezz¨ uk f¨ol! A 8.1. t´abl´azatban s az aut´onak a kiindul´asi helyt˝ol m´ert t´avols´ag´at jel¨oli m´eterben, t pedig az id˝ot percekben. A t´abl´azat els˝o sor´aban a t´avols´ag is, az id˝o is 0 – a kocsi m´eg nem indult el. Elindul´asa ut´an 1 perc alatt 380 m´etert tett meg. A k¨ovetkez˝o k´et percben gyorsabban haladt – vegy¨ uk ´eszre, hogy a 2. percben nagyobb t´avols´agot tett meg, mint az els˝oben – azaz gyorsult; a 4., s˝ot az 5. percben is t¨ort´ent azonban vele valami – tal´an meg´allt egy k¨ozleked´esi l´amp´an´al? Azt´an sebess´ege u ´jra n˝oni kezdett, a 6. perc v´eg´ere 4050 m-re, a 7. perc v´eg´ere 5550 m-re, a 8. perc v´eg´ere 7050 m-re jutott a kezd˝opontt´ol. A 9. perc v´eg´ere viszont csak 7500 m-re jutott, mert meg´all´ıtotta egy rend˝or. 8.1. t´abl´ azat. t (perc) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

s (m) 0 380 1350 2550 2850 3150 4050 5550 7050 7500

8.2. t´abl´azat t (s) 0 1 2 3 4 5 6

d (m) 0 5 20 45 80 125 180

Ez a mozg´as le´ır´as´anak egyik lehets´eges m´odja. Egy m´asik lehets´eges le´ır´asi m´od a grafikonnal val´o le´ır´as. Ha az id˝opontokat egy v´ızszintes tengelyre, a t´avols´agokat pedig egy f¨ ugg˝oleges tengelyre m´erj¨ uk fel, akkor valami olyan g¨orb´et kapunk, amilyet a ??. ´abra mutat. Az id˝o m´ ul´as´aval a megtett t´avols´ag n˝o, el˝osz¨or nagyon lassan, majd j´oval gyorsabban, ´es a 4. perc t´aj´ek´an egy kis ideig megint nagyon lassan; azt´an n´eh´any percig u ´jra n˝o, v´eg¨ ul, a 9. perc t´aj´ek´an u ´gy t˝ unik, meg´all a t´avols´ag n¨oveked´ese. Ezeket a k¨ovetkeztet´eseket a grafikon alapj´an is levonhatjuk, b´armilyen t´abl´azat haszn´alata n´elk¨ ul. A pontosabb le´ır´ashoz nyilv´an azt is tudnunk kellene, hogy hol tart´ozkodik az aut´o a f´elperces id˝opontokban,

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

150

8. A mozg´ as

A megtett távolság méterekben

de felt´etelezz¨ uk, hogy a grafikon az aut´o k¨ozbens˝o id˝opontokban elfoglalt helyzet´er˝ol is ny´ ujt n´emi inform´aci´ot. Egy g´epkocsi mozg´asa bonyolult. 7500 M´asodik p´eldak´ent tekints¨ unk egy 6000 olyan testet, amelynek a mozg´asa egyszer˝ ubb m´odon, j´oval egyszer˝ ubb 4500 t¨orv´enyszer˝ us´eg szerint zajlik: egy 3000 szabadon es˝o goly´ot. A 8.2. t´abl´a1500 zatban egy szabadon es˝o test id˝o- ´es t´avols´agadatait adtuk meg m´asod2 4 6 8 10 perc, illetve m´eter egys´egekben. A Az idő percekben goly´o a nulladik m´asodpercben in8.1. a ´bra. A kocsi a ´ltal megtett t´ avoldul el a nulla t´avols´aggal jel¨olt helys´ ag ´es az id˝ oo ugg´ese ¨sszef¨ r˝ol, s az 1. m´asodperc v´eg´eig 5 m´etert esik. A 2. m´asodperc v´eg´ere 20 m´etert, a 3. m´asodperc v´eg´ere 45 m´etert esik, ´es ´ıgy tov´abb; a t´abl´azatban szerepl˝o adatokat grafikusan ´abr´azolva, a 8.2. ´abr´an l´athat´o sz´ep, parabola alak´ u g¨orb´et kapjuk. Erre a g¨orb´ere az s = 5t2 (8.1) formul´at ´ırhatjuk fel. Ennek a k´epletnek a seg´ıts´eg´evel b´armilyen id˝opontban kisz´am´ıthatjuk a test ´altal megtett t´avols´agot. Most mondhatj´ak, hogy az els˝o grafikonra is kell lennie valamilyen k´epletnek. Val´oban ´ıgy van, fel´ırhatjuk r´a az s = f (t) (8.2) absztrakt formul´at, ami azt jelenti, hogy az s valamilyen, t-t˝ol f¨ ugg˝o mennyis´eg, vagy matematikai terminol´ogi´aval: s a t f¨ uggv´enye. Mivel nem ismerj¨ uk ezt a f¨ uggv´enyt, nincs m´od arra, hogy az ¨osszef¨ ugg´est hat´arozott algebrai alakban ´ırjuk f¨ol. Az im´ent k´et p´eld´at l´attunk egyszer˝ u elvek ment´en, bonyodalmak n´elk¨ ul le´ırhat´o mozg´asokra. Bonyodalmak pedig vannak – t¨obb is. El˝osz¨or is, mit ´erts¨ unk t´eren ´es id˝ on. Kider¨ ul, hogy ezeket az alapvet˝o filoz´ofiai k´erd´eseket nagyon ´ovatosan kell elemezni a fizik´aban, ´es ez nem k¨onny˝ u feladat. A relativit´aselm´elet megmutatta, hogy a t´err˝ol ´es az id˝or˝ol alkotott fogalmak nem is olyan egyszer˝ uek, mint azt els˝o l´at´asra gondoln´ank. Jelenlegi c´eljaink ´es a kezdetben sz¨ uks´eges pontoss´ag mellett azonban nem ¨ most tal´an kell t´ ul sokat t¨or˝odn¨ unk a fogalmak pontos defin´ıci´oj´aval. On azt mondja, hogy ez ostobas´ag – ´en m´ar megtanultam, hogy a tudo” m´anyban mindent pontosan defini´alni kell”. Nem lehet b´ armit prec´ızen defini´alni! Ha erre t¨oreksz¨ unk, leb´en´ıtjuk gondolkod´asunkat, mint azok a www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

8.2. Sebess´eg

151

Távolság az esés kezdőpontjától méterben

filoz´ofusok, akik le¨ ulnek egym´assal szembe, ´es ´ıgy vit´azgatnak: Te nem ” tudod, mit besz´elsz!” Partnere egy m´asodpercnyi gondolkoz´as ut´an ´ıgy ´ ´ıgy felel: Mit ´ertesz tud´ as alatt? Mi a besz´ed? Mi az, hogy te?” – Es ” tov´abb. A konstrukt´ıv p´arbesz´edhez csup´an abban kell meg´allapodnunk, ¨ ok tudnak annyit hogy nagyj´ab´ol ugyanarr´ol a dologr´ol besz´el¨ unk. On¨ az id˝or˝ol, amennyi most elegend˝o, de eml´ekezzenek r´a, hogy vannak vele bonyodalmak, amelyeket k´es˝obb fogunk t´argyalni. Egy m´asik finoms´agot kor´abban 125 m´ar eml´ıtett¨ unk: megfelel-e a val´o100 s´agnak az az elk´epzel´es, hogy az ´altalunk megfigyelt mozg´o pont min75 dig egy adott helyen tart´ozkodik? 50 (Ha r´apillantunk, term´eszetesen egy 25 meghat´arozott helyen l´atjuk a t´argyat, de mi van, ha f´elren´ez¨ unk ´es 1 2 3 4 5 Az idő másodpercekben m´ar el is t˝ unik?) Kider¨ ul, hogy az atomok mozg´as´an´al ez az elk´epzel´es 8.2. a ´bra. A szabadon es˝ o test a ´ltal m´eg hib´as is – az atomokon nem tamegtett u ´t ´es az id˝ o¨ osszef¨ ugg´ese l´alhatunk semmif´ele jelet, amelynek a mozg´as´at nyomon k¨ovethetn´enk. Ezt a finoms´agot majd a kvantummechanik´aban kell t¨ uzetesebben szem¨ ugyre venn¨ unk. Miel˝ott azonban a komplik´aci´okat sorra venn´enk, el˝obb ismerkedj¨ unk meg mag´aval a probl´em´aval, s azut´ an kedvez˝obb helyzetb˝ol, a t´argyra vonatkoz´o frissebb ismeretek f´eny´eben m´ar megtehetj¨ uk a sz¨ uks´eges korrekci´okat. A teret ´es az id˝ot ez´ert el˝osz¨or egyszer˝ uen k´epzelj¨ uk el. Tudjuk, hogy ezek az elk´epzel´esek csak k¨ozel´ıt˝o jelleg˝ uek, m´egis, aki m´ar vezetett aut´ot, annak van n´emi fogalma a sebess´egr˝ol. 8.2. Sebess´ eg M´eg ha t¨obb´e-kev´esb´e tudjuk is, mi a sebess´eg”, ennek a fogalomnak ” van n´eh´any hom´alyos pontja; gondoljuk csak meg: a m˝ uvelt g¨or¨og¨ok sohasem voltak k´epesek adekv´at m´odon le´ırni a sebess´eggel ¨osszef¨ ugg˝o probl´em´akat. A bonyodalom ott kezd˝odik, amikor meg akarjuk ´erteni, hogy pontosan mit is jelent a sebess´eg”. A g¨or¨og¨ok tan´acstalanok voltak ” ebben a k´erd´esben. A v´alaszt a matematik´anak egy teljesen u ´j, a geometri´an, valamint a g¨or¨og, arab ´es babiloni algebr´an t´ ulmutat´o ´aga adta meg. A neh´ezs´egek illusztr´al´asak´ent pr´ob´aljuk meg puszt´an algebrai eszk¨oz¨okkel megoldani a k¨ovetkez˝o feladatot: F´ ujjunk fel egy ballont olyan u ¨temben, hogy t´erfogata m´asodpercenk´ent 100 cm3 -rel n˝oj¨on. Milyen sewww.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

152

8. A mozg´ as

bess´eggel n˝o a sugara, amikor a ballon t´erfogata 1000 cm3 ? A g¨or¨og¨ok ´epp az ilyen probl´em´ak l´att´an j¨ottek zavarba, s helyzet¨ uket csak megnehez´ıtette n´eh´any seg´ıt˝ok´esz” honfit´arsuk. Hogy bemutassa a sebess´eg ” ´ertelmez´es´eben rejl˝o neh´ezs´egeket, Z´en´on nagy sz´amban fogalmazott meg paradoxonokat. Ezek k¨oz¨ ul bemutatunk egyet, mely j´ol illusztr´alja Z´en´on ´all´aspontj´at, mely szerint nyilv´anval´o neh´ezs´egek l´epnek fel a mozg´as sebess´eg´enek korabeli felfog´as´aban. Hallgass´atok meg a k¨ovetkez˝o ´ervel´est! ” – ´ıgy Z´en´on. – Akhilleusz t´ızszer olyan gyors, mint a tekn˝osb´eka, m´egsem fogja utol´erni. Tegy¨ uk fel, hogy a versenyben Akhilleusz 100 m´eter el˝onyt ad a tekn˝osb´ek´anak. Mik¨ozben Akhilleusz lefutja a 100 m´etert, s oda´er arra a pontra, ahonnan a tekn˝osb´eka elindult, a tekn˝osb´eka 10 m´eternyit jut el˝ore, hiszen tized olyan gyorsan halad, mint Akhilleusz. Most Akhilleusz lefut u ´jabb t´ız m´etert, hogy elkapja a tekn˝osb´ek´at, de oda´erve azt tapasztalja, hogy a tekn˝osb´eka m´eg mindig 1 m´eterrel el˝otte van; lefut 1 m´etert, de a tekn˝osb´eka m´eg mindig megel˝ozi 10 centim´eterrel, ´es ´ıgy tov´abb, a v´egtelens´egig. Teh´at a tekn˝osb´eka minden id˝opontban Akhilleusz el˝ott van, Akhilleusz soha nem ´eri utol a tekn˝osb´ek´at.” Mi a hiba ezzel az ´ervel´essel? Az, hogy egy v´eges id˝otartamot fel lehet osztani v´egtelen sz´am´ u kis r´eszre ´epp u ´gy, ahogy egy szakaszt is, ism´etelten megfelezve azt. ´ ´ıgy, b´ar (az ´ervel´es szerint) v´egtelen sz´am´ Es u l´ep´esre van sz¨ uks´eg ahhoz, hogy Akhilleusz be´erje a tekn˝osb´ek´at, ez nem jelenti azt, hogy ehhez v´egtelen hossz´ u id˝ore lenne sz¨ uks´eg. Mindenesetre a p´eld´ab´ol l´athatjuk, hogy a sebess´eg ´ertelmez´es´enek val´oban vannak neh´ezs´egei. Szeretn´enk tiszt´abb k´epet adni a neh´ezs´egek term´eszet´er˝ol, ez´ert egy viccet id´ez¨ unk eml´ekezet¨ ukbe, amelyet m´ar eg´esz biztosan hallottak. A rend˝or meg´all´ıt egy aut´ot az u ´t mellett, odal´ep a vezet˝oh¨oz, ´es ´ıgy sz´ol: ¨ ´or´ank´ent 90 kilom´eteres sebess´eggel hajtott!” Erre a n˝o: H¨olgyem, On ” Uram, ez lehetetlen, hiszen mind¨ossze h´et perce u ¨ltem kocsiba. Nevets´e” ges – hogyan tudtam volna megtenni egy ´ora alatt 90 kilom´etert, amikor ¨ volna a rend˝or? nem vezetek egy ´or´aja?” Mit v´alaszolna a n˝onek, ha On ¨ Ha On volna a rend˝or, term´eszetesen k¨onnyed´en megoldan´a a helyzetet, hisz az egyszer˝ u: Mondja ezt a b´ır´onak” – k¨oz¨oln´e a h¨olggyel. De t´e” telezz¨ uk fel, hogy ilyen egyszer˝ u ki´ ut nincs, tisztess´egesebb, intellektu´alis fog´ast kell tal´alnunk a probl´em´an, vagyis el kell magyar´aznunk az illet˝o h¨olgynek, hogy mit jelent a 90 kilom´etert tett meg ´or´ank´ent kifejez´es. Mire is gondoltunk tulajdonk´eppen? K¨oz¨olhetj¨ uk: H¨olgyem, ´en u ´gy ´er” ¨ ugyan´ tettem, hogy ha On ugy haladna tov´abb, mint eddig tette, akkor 1 ´ora alatt 90 kilom´etert tenne meg.” Erre ˝o ´ıgy v´alaszolhat: De h´at ” m´ar levettem a l´abam a g´azr´ol, s a kocsi lassulni kezdett; ´ıgy ha tov´abb

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

8.2. Sebess´eg

153

megyek, sem tettem volna meg 90 kilom´etert.” Vagy n´ezz¨ uk a szabadon es˝o goly´o eset´et. Tegy¨ uk fel, tudni akarjuk, hogy mekkora lesz a goly´o sebess´ege 3 m´asodperc m´ ulva, ha ugyan´ ugy mozog, ahogy eddig? Mit jelent ez: tov´abb gyorsul, egyre gyorsabban esik? Nem, azt jelenti, hogy ugyanazzal a sebess´eggel esik tov´abb. Csakhogy mi ´epp a sebess´eget igyeksz¨ unk defini´alni! Ha a goly´o u ´gy mozog tov´abb, ahogy eddig, akkor ´eppen u ´gy mozog tov´abb, ahogy eddig. Azaz jobb sebess´egdefin´ıci´ora van sz¨ uks´eg¨ unk. Mit tartsunk meg tov´abbra is? A viccbeli h¨olgy ´ıgy is ´ervelhetne: Ha tov´abbi 1 ´or´an kereszt¨ ul ugyan´ıgy haladtam volna, belerohantam vol” na az u ´t v´eg´en h´ uz´od´o falba.” Nem is olyan k¨onny˝ u szavakba ¨onteni azt, amire gondolunk. Sok fizikus v´elekedik u ´gy, hogy a defin´ıci´o egyetlen lehets´eges m´odja a m´er´es. A m´er´eshez nyilv´anval´oan sz¨ uks´eg¨ unk van egy eszk¨ozre, eset¨ unkben egy sebess´egm´er˝ore, s ekkor ´ıgy v´aghatunk vissza a n˝onek: N´ezze ” ¨ sebess´egm´er˝o ´or´aja 90-et mutatott.” Az ´en sebess´ h¨olgyem, az On egm´e” r˝om elromlott, egy´altal´an semmit sem mutat!” – replik´azik a n˝o. Azt jelenti ez, hogy a kocsi nem is mozgott? Meggy˝oz˝od´es¨ unk szerint a sebess´egm´er˝o elk´esz´ıt˝oje, m´eg miel˝ott az eszk¨ozt elk´esz´ıtette, m´ert valamit. Csak ezt felt´etelezve mondhatunk olyasmit, hogy a sebess´egm´er˝om nem ” ´ m˝ uk¨odik helyesen”, vagy hogy a sebess´egm´er˝om elromlott”. Ertelmetlen ” lenne az ilyen kijelent´es, ha a sebess´egnek nem lenne a sebess´egm´er˝ot˝ol f¨ uggetlen jelent´ese. Agyunkban nyilv´an van egy, a sebess´egm´er˝ot˝ol f¨ uggetlen sebess´egfogalom, s a sebess´egm´er˝o csup´an ennek a fogalomnak a m´er˝oeszk¨oze. L´assuk, tudunk-e jobb defin´ıci´ot tal´alni erre a fogalomra. ¨ ´at fogja t¨orni a falat, m´eg miel˝ott Azt mondjuk: Igen, term´eszetesen, On ” 1 ´or´at aut´ozna, de ha csak 1 m´asodpercig megy tov´abb, akkor azalatt 25 ¨ m´asodpercenk´ent 25 m´eteres sebess´eggel m´etert tesz meg. H¨olgyem, On hajtott, s ha ´ıgy ment volna tov´abb, akkor a k¨ovetkez˝o m´asodpercben is 25 m´etert tett volna meg, s m´eg nem ´erte volna el a falat.” Igen – felel ” a n˝o – csakhogy nincs olyan szab´aly, amely a m´asodpercenk´ent 25 m´eteres halad´ast megtiltan´a. A tilt´as az ´or´ank´ent 90 kilom´eteres halad´asra vonatkozik.” De hisz a kett˝o egy ´es ugyanaz” – mondhatn´ank erre. Ha ” viszont ugyanaz, akkor minek ez a cs˝ ur´es-csavar´as a m´asodpercenk´ent 25 m´eteres sebess´eggel? A val´os´agban a szabadon es˝o goly´o m´eg egyetlen m´asodpercig sem halad ugyanazzal a sebess´eggel, folyamosan v´altozik a sebess´ege. A sebess´eget teh´at valahogy m´ask´ent kell defini´alnunk. ´ Ugy t˝ unik, most m´ar nyomon vagyunk: Ha a h¨olgy tov´abb folytatja az u ´tj´at az ´ora 1/1000 r´esz´eig, akkor a 90 km 1/1000 r´esz´et teszi meg. M´as sz´oval, nem kell egy ´or´an kereszt¨ ul vezetnie: az a l´enyeg, hogy egy

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

154

8. A mozg´ as

pillanatig ezzel a sebess´eggel ment. Ez azt jelenti, hogy ha egy kis ideig m´eg tov´abbhaladna, akkor ez alatt az id˝o alatt pontosan ugyanakkora t´avols´agot tenne meg, mint az az aut´o, amelyik 90 km/h ´ alland´ o sebess´eggel halad. Tal´an a m´asodpercenk´enti 25 m´eteres halad´as is helyes elk´epzel´es volt; n´ezz¨ uk meg, mekkora t´avols´agot tett meg az utols´o m´asodpercben, azt osszuk el 25-tel, s ha 1-et kapunk, akkor 90 km/h volt a sebess´eg. Azaz a sebess´eget a k¨ovetkez˝o m´odon sz´am´ıthatjuk ki: Megn´ezz¨ uk, mekkora t´avols´agot tett¨ unk meg egy nagyon r¨ovid id˝otartam alatt, ezt a t´avols´agot elosztjuk az id˝ovel, ´es ´ıgy megkapjuk a sebess´eget. De az id˝otartam legyen r¨ovid, min´el r¨ovidebb, ann´al jobb, mert a kiszemelt id˝otartam alatt v´altoz´asok t¨ort´enhetnek a mozg´asban. A szabadon es˝o test eset´eben p´eld´aul k´eptelen ¨otlet 1 ´or´as id˝otartammal sz´amolni. Az 1 m´asodperces id˝otartam eg´esz j´o eredm´enyt ad egy g´epkocsi mozg´as´anak a le´ır´as´ara, mert 1 m´asodperc alatt a kocsi sebess´eg´eben nem k¨ovetkezik be nagy v´altoz´as, de nem alkalmazhat´o a szabadon es˝o test mozg´as´anak a le´ır´as´ara. Ahhoz, hogy egyre pontosabb ´es pontosabb ´ert´eket kapjunk a sebess´egre, egyre r¨ovidebb ´es r¨ovidebb id˝ointervallumokat kell venn¨ unk. Val´oj´aban a m´asodperc milliomod r´esz´et kellene venn¨ unk, meghat´arozni, milyen messzire jutott ezalatt az aut´o, s ezt az ´ert´eket elosztani a m´asodperc milliomod r´esz´evel. Az eredm´eny az 1 m´asodperc alatt megtett t´avols´ag, ezt ´ertj¨ uk sebess´eg alatt, ezen a m´odon tudjuk ´ertelmezni. Ez az igaz´an j´o v´alasz a gyorshajt´o h¨olgynek, s bizonyos fokig ez az a sebess´egdefin´ıci´o, amit haszn´alni fogunk. Az el˝obb eml´ıtett defin´ıci´o egy u ´j elgondol´ast takar, olyan elgondol´ast, ami ´altal´anos form´aj´aban nem volt ismert a g¨or¨og¨ok sz´am´ara. Arr´ol az elgondol´asr´ol van sz´o, hogy v´eve egy infinitezim´ alis t´ avols´ agot ´es a megfelel˝o infinitezim´ alis id˝ otartamot, k´epezz¨ uk ezek h´anyados´at, s n´ezz¨ uk meg, mi t¨ort´enik ezzel a h´anyadossal, ha ezt az id˝otartamot egyre tov´abb cs¨okkentj¨ uk. M´as sz´oval, k´epezz¨ uk a megtett t´avols´ag ´es az e t´avols´ag megt´etel´ehez sz¨ uks´eges id˝o h´anyados´anak hat´ar´ert´ek´et, amikor az id˝o minden hat´aron t´ ul, ad infinitum cs¨okken. Ezt az elgondol´ast egym´ast´ol f¨ uggetlen¨ ul Newton ´es Leibniz alkotta meg, s a matematika egy u ´j ´ag´anak, a differenci´ alsz´ am´ıt´ asnak, m´ as n´even kalkulusnak a kezdet´et jelentette. A kalkulust a mozg´as le´ır´as´ara tal´alt´ak ki, els˝o alkalmaz´asa ´eppen az ´or´an” k´ent 90 km-t tesz meg” t´ıpus´ u kifejez´esek jelent´es´enek pontos defin´ıci´oja volt. Most pr´ob´aljuk meg kicsit pontosabban defini´alni a sebess´eget. Tegy¨ uk fel, hogy egy r¨ovid,  nagys´ag´ u id˝o alatt az aut´o vagy valamilyen

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

155

8.2. Sebess´eg

m´as test egy kis x t´avols´agot tesz meg; ekkor a v sebess´eget a v = x/ h´anyadosk´ent defini´aljuk, olyan k¨ ozel´ıt´esk´ent, amely az  cs¨okkent´es´evel egyre javul. Matematikai kifejez´essel ´elve azt mondhatjuk, hogy a sebess´eg az x/ kifejez´es hat´ar´et´eke, ha -t egyre kisebbnek v´alasztjuk, vagyis x . (8.3) →0  A 8.1. t´abl´azat alapj´an persze ezt nem tehetj¨ uk meg, mert a t´abl´azat hi´anyos. Csak egyperces id˝ok¨oz¨okben ismerj¨ uk az aut´o helyzet´et. Durva k¨ozel´ıt´essel mondhatjuk persze, hogy a 7. perc folyam´an az aut´o 5550 − 4050 = 1500 m/perc sebess´eggel haladt (ez kb. 93,3 km/h), de hogy pontosan mi volt a sebess´ege a 7. perc kezdet´en, ´eppen gyors´ıtott vagy lass´ıtott, azt nem tudjuk. Hasonl´o t´abl´azatb´ol csak akkor tudn´ank pontosan kisz´am´ıtani a sebess´eget, ha a t´abl´azat v´egtelen sok adatot tartalmazna. M´asfel˝ol viszont, ha van egy t¨ok´eletes matematikai formul´ank, mint a szabadon es˝o test eset´eben (8.1. k´eplet), akkor ki tudjuk sz´am´ıtani a sebess´eget, mivel helyzete tetsz˝oleges id˝opontban kisz´am´ıthat´o. N´ezz¨ unk egy p´eld´at! Hat´arozzuk meg a szabadon es˝o goly´o sebess´eg´et az es´es kezdet´et˝ol sz´am´ıtott 5 s m´ ulva. Az egyik lehet˝os´eg, hogy a 8.2. t´abl´azatb´ol leolvassuk, mit csin´alt a goly´o az 5. m´asodpercben. 125−80 = 45 m-t tett meg, ´ıgy sebess´ege 45 m/s. Ez nem igaz, mivel a sebess´ege v´altozik. Ebben az intervallumban ´ atlagosan 45 m/s a sebess´ege, de a goly´o sebess´ege n˝o, ´es 45 m/s-n´al val´oban gyorsabban fog haladni. Ki kell sz´amolnunk, pontosan milyen gyorsan! Az elj´ar´as a k¨ovetkez˝o: tudjuk, hol tart´ozkodott a goly´o 5 s eltelt´evel. Az es´es kezdet´et˝ol sz´am´ıtott 5,1 s m´ ulva a (8.1) k´eplet szerint ¨osszesen 5·5,12 = 130, 05 m-t tett meg. Mivel 5 s alatt 125 m-t esett, az utols´o egytized m´asodpercben 130, 05−125 = 5, 05 m-t. Ha 0,1 s alatt 5,05 m-t esett, akkor 1 s alatt 50,5 m-t, azaz sebess´ege 50,5 m/s. Nagyj´ab´ol ekkora a sebess´ege, de ez az ´ert´ek nem pontos. Hol lesz ekkora a goly´o sebess´ege? 5 s-n´al, 5,1 s-n´al vagy a kett˝o k¨oz¨ott f´el´ uton, 5,05 s-n´al? Mikor? Ne t¨or˝odj¨ unk most ezzel – a feladat az, hogy sz´amoljuk ki a sebess´eget 5 m´asodpercn´el, s ezt m´eg nem tudjuk pontosan; alaposabb munk´at kell v´egezn¨ unk. Tekints¨ uk h´at az 5 m´asodperct˝ol csup´an egy ezredm´asodperccel elt´er˝o id˝opontot, az 5,001 s-ot, ´es sz´amoljuk ki a hozz´a tartoz´o teljes es´esi t´avols´agot: v = lim

s = 5(5, 001)2 = 5 · 25, 010001 = 125, 050005 m. Az utols´o 0,001 s-ban a goly´o 0,050005 m-t esett, s ha ezt a sz´amot elosztjuk 0,001 s-mal, az 50,005 m/s-os sebess´eg´ert´eket kapjuk. Ez m´ar k¨ozel, www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

156

8. A mozg´ as

nagyon k¨ozel van a pontos ´ert´ekhez, de m´eg nem az. Most m´ar evidens, hogy mit kell tenn¨ unk a pontos ´ert´ek meghat´aroz´as´ahoz. A matematikai sz´am´ıt´ashoz fogalmazzuk meg a probl´em´at kicsit ´altal´anosabban: keress¨ uk a sebess´eg egy adott t0 id˝opontbeli ´ert´ek´et! Az eredeti feladatban t0 ´eppen 5 s volt. Jelen esetben a t0 -hoz tartoz´o t´avols´ag, amit s0 -val jel¨ol¨ unk, 5t20 , vagyis 125 m lesz. A sebess´eg meghat´aroz´asa ´erdek´eben azt k´erdezz¨ uk, hogy hol lesz a test a t0 + (egy pici), vagyis t0 +  id˝opont” ´ ban”. Uj helyzete 5(t0 + )2 = 5t20 + 10t0  + 52 lesz, vagyis valamennyit tov´abb jutott, hisz kor´abban az 5t20 pontban volt. Ezt a t´avols´agot jel¨olheti s0 + (egy pici) vagy s + x (ha x-szel jel¨olj¨ uk a pici t¨obbletet). Ha most a t0 -hoz tartoz´o t´avols´agb´ol kivonjuk a t0 + -hoz tartoz´o t´avols´agot, akkor megkapjuk az x t´avols´agt¨obbletet, x = 10t0  + 52 . Teh´at els˝o k¨ozel´ıt´es¨ unkben a sebess´eg ´ert´eke: x v = = 10t0 + 5. (8.4)  A val´odi sebess´eg az x/ h´anyados ´ert´eke, amikor az  eleny´esz˝oen kicsi. M´as sz´oval, miut´an k´epezt¨ uk az x/ h´anyadost, vessz¨ uk annak hat´ar´ert´ek´et, mik¨ozben  ´ert´ek´et egyre kisebbnek vessz¨ uk, azaz tartunk vele a 0-hoz. Ekkor a (8.4) egyenlet a v(t0 pillanatban) = 10t0 alakra egyszer˝ us¨odik. Jelenlegi feladatunkban t0 = 5 s, ´ıgy a megold´as v = 10 · 5 = 50 m/s. Kor´abban, amikor  ´ert´ek´et 0,1 s-nak, illetve 0,001 s-nak v´alasztottuk, v-re valamivel nagyobb ´ert´eket kaptunk. Most l´athatjuk, hogy az aktu´alis sebess´eg´ert´ek pontosan 50 m/s. 8.3. A sebess´ eg mint deriv´ alt Az el˝obb bemutatott elj´ar´ast olyan gyakran haszn´alj´ak a matematik´aban, hogy k´enyelmi okokb´ol az x ´es  mennyis´egekre speci´alis jel¨ol´est is bevezettek. -t ∆t-vel, x-et ∆s-sel jel¨olik. ∆t a t pici n¨ovekm´enye”, ´es az ” a saj´atoss´aga, hogy m´eg kisebb´e tehet˝o. Itt ∆ nem szorz´ot´enyez˝o, mint ahogy sin θ sem s · i · n · θ-t jelent, hanem egyszer˝ uen csak egy id˝on¨ovekm´enyt, s egyben annak speci´alis jelleg´ere utal. ∆s-nek anal´og jelent´ese van az s t´avols´ag vonatkoz´as´aban. Mivel ∆ nem szorz´ot´enyez˝o, a ∆s/∆t h´anyadosban nem lehet egyszer˝ us´ıteni vele, ahogy a sin θ/ sin 2θ h´anyadost sem lehet sin-szal egyszer˝ us´ıtve 1/2 alakban fel´ırni. Ezzel a jel¨ol´essel a sebess´eg ∆s/∆t hat´ar´ert´eke, ha ∆t minden hat´aron t´ ul cs¨okken, azaz v = lim

∆t→0

www.interkonyv.hu

∆s . ∆t

(8.5)

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

157

8.3. A sebess´eg mint deriv´ alt

Ez azonos a kor´abbi (8.3) k´eplettel, csak annyiban el˝ony¨osebb, hogy megmutatja: itt mennyis´egek v´altoz´as´ar´ol van sz´o, s az is nyomon k¨ovethet˝o, hogy mi ez a v´altoz´as. Egy´ebk´ent van egy m´asik t¨orv´eny, ami ugyancsak j´o k¨ozel´ıt´est ad, s azt mondja ki, hogy egy mozg´o pont t´avols´ag´anak megv´altoz´as´at a sebess´eg ´es az id˝otartam szorzata adja, azaz ∆s = v∆t. Ez az ´all´ıt´as csak akkor igaz, ha a sebess´eg nem v´altozik az adott id˝otartam alatt, s ez a felt´etel csak akkor teljes¨ ul, ha ∆t tart 0-hoz. A fizikusok el˝oszeretettel ´ırj´ak le ezt az ¨osszef¨ ugg´est ds = v · dt alakban, s dt alatt nagyon kis ∆t-t ´ertenek. Ebben a felfog´asban a kifejez´es nagyon j´o k¨ozel´ıt´est ad. Ha a ∆t intervallum t´ ul hossz´ u, a sebess´eg megv´altozhat ebben az intervallumban, s a k¨ozel´ıt´es pontatlann´a v´alhat. Z´erushoz tart´o dt eset´en a ds = v · dt kifejez´es pontos. Ezzel a jel¨ol´essel (8.5)-¨ot a k¨ovetkez˝o alakba ´ırhatjuk ´at: ∆s ds = . ∆t→0 ∆t dt

v = lim

A ds/dt mennyis´eget s t szerinti deriv´altj´anak” nevezz¨ uk (az elnevez´es ” kifejez˝o: nyomon k¨ovethetj¨ uk, hogy melyik mennyis´eg v´altoz´as´ar´ol van sz´o), a kisz´am´ıt´as´ara szolg´al´o bonyolult elj´ar´ast pedig deriv´altmegha” t´aroz´asnak” vagy differenci´al´asnak. A k¨ ul¨on-k¨ ul¨on megjelen˝o ds ´es dt mennyis´egeket differenci´aloknak” nevezz¨ uk. Bar´atkozzunk a szavakkal: ” az 5t2 f¨ uggv´eny deriv´altja, pontosabban t szerinti deriv´altja 10t”. Ha ” m´ar megszoktuk a szavakat, jelent´es¨ uket is k¨onnyebben meg fogjuk ´erteni. Gyakorl´ask´eppen hat´arozzuk meg egy bonyolultabb f¨ uggv´eny deriv´altj´at! 3 Tekints¨ uk az s = At + Bt + C formul´at, amely lehet egy pont mozg´as´at le´ır´o ¨osszef¨ ugg´es. Az A, B, C bet˝ uk, ak´arcsak a m´asodfok´ u egyenlet ´altal´anos alakj´an´al, itt is ´alland´okat jelentenek. A mozg´ast le´ır´o ¨osszef¨ ugg´esb˝ol kiindulva szeretn´enk egy tetsz˝oleges id˝opontban meghat´arozni a mozg´as sebess´eg´et. Ezt eleg´ans m´odon szeretn´enk megtenni, ez´ert t hely´ere ´ırjunk t + ∆t-t, ´es vegy¨ uk ´eszre, hogy ekkor s is megv´altozik, ´ert´eke s + ∆s lesz. Ezut´an fejezz¨ uk ki ∆s-et ∆t seg´ıts´eg´evel: s + ∆s = A(t + ∆t)3 + B(t + ∆t) + C = = At3 + Bt + C + 3At2 ∆t + B∆t + 3At(∆t)2 + A(∆t)3 , de mivel s = At3 + Bt + C, ´ıgy azt kapjuk, hogy ∆s = 3At2 ∆t + B∆t + 3At(∆t)2 + A(∆t)3 . www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

158

8. A mozg´ as

Mi azonban nem is ∆s-et, hanem ∆s ´es ∆t h´anyados´at szeretn´enk meghat´arozni. Osszuk el teh´at az el˝oz˝o egyenletet ∆t-vel. Kapjuk, hogy ∆s = 3At2 + B + 3At(∆t) + A(∆t)2 . ∆t Mivel azonban ∆t tart 0-hoz, ∆s/∆t ds/dt hat´ar´ert´ek´ere ds = 3At2 + B dt ad´odik. Ez az ´altal´anos elj´ar´as a kalkulusban, a f¨ uggv´enyek differenci´al´as´aban. A m´odszer egyszer˝ ubb, mint amilyennek els˝o pillant´asra t˝ unik. Vegy¨ uk ´eszre, hogy amennyiben a kifejt´esben ∆t-nek m´asodik, harmadik vagy m´eg magasabb hatv´anya szerepel, akkor ezeket a tagokat mindj´art el lehet hagyni, mert azok hat´ar´atmenetben 0-hoz tartanak. N´emi gyakorl´as ut´an az elj´ar´ast m´ar nem is ´erezz¨ uk olyan neh´eznek, mert tudni fogjuk, mi az, ami eleve kiesik. A k¨ ul¨onb¨oz˝o t´ıpus´ u f¨ uggv´enyek deriv´al´as´ara sok szab´aly vagy k´eplet van. Ezeket meg lehet jegyezni, de t´abl´azatokb´ol is ki lehet keresni. A 8.3. t´abl´azat n´eh´any fontosabb f¨ uggv´eny deriv´altj´at mutatja. s, u, v, w tetsz˝ oleges f¨ uggv´enyei t-nek; a, b, c ´es n tetsz˝oleges ´alland´ok F¨ uggv´eny s = tn s = cu s = u + v + w + ... s=c s = ua v b wc . . .

Deriv´alt ds n−1 dt = nt du ds dt = c dt ds du dv dw dt = dt + dt + dt + . . . ds dt = 0
ds a du b dv c dw dt = s u dt + v dt + w dt + . . .

8.3. t´ abl´ azat. N´eh´ any f¨ uggv´eny deriv´ altja

8.4. A t´ avols´ ag mint integr´ al Most vizsg´aljuk meg a ford´ıtott probl´em´at. Tegy¨ uk fel, hogy a t´avols´agid˝o t´abl´azat helyett most egy olyan t´abl´azat ´all rendelkez´es¨ unkre, amely a test k¨ ul¨onb¨oz˝o id˝opontokhoz tartoz´o sebess´egadatait tartalmazza a 0 id˝opontt´ol kezd˝od˝oen. Ilyen sebess´eg- ´es id˝oadatokat tartalmaz a 8.4. t´abl´azat egy szabadon es˝o testr˝ol. Hasonl´o t´abl´azatot egy mozg´o aut´ora is ¨ossze´all´ıthatunk, csup´an percenk´ent vagy f´elpercenk´ent le kell olvasnunk a sebess´egm´er˝o ´ora ´all´as´at. Ha tetsz˝oleges id˝opontban ismerj¨ uk a kocsi sebess´eg´et, vajon meg tudjuk-e hat´arozni az ´altala megtett t´avols´agot? Ez a probl´ema a fentebb megoldott probl´em´anak a ford´ıtottja: www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

159

8.4. A t´ avols´ ag mint integr´ al

t (s) 0 1 2 3 4

v (m/s) 0 10 20 30 40

8.4. t´ abl´ azat. Szabadon es˝ o goly´ o sebess´ege

megadtuk a sebess´eget, ´es k´erdezz¨ uk a t´avols´agot. Hogyan hat´arozhatjuk meg a t´avols´agot a sebess´eg ismeret´eben? Ha az aut´o sebess´ege nem ´alland´o, mert a viccbeli h¨olgy egy pillanatig 90 km/´ora sebess´eggel halad, de r¨ogt¨on le is lass´ıt, majd u ´jra gyors´ıt ´es ´ıgy tov´abb, akkor hogyan sz´am´ıthatjuk ki az ´altala megtett t´avols´agot? K¨onnyen! Ugyanazt az ¨otletet alkalmazzuk, a t´avols´agot az infinitezim´alisok terminus´aban fejezz¨ uk ki. Azt mondjuk, hogy az els˝o m´asodpercben a sebess´ege ennyi ´es ennyi ” volt, majd a ∆s = v∆t k´eplet seg´ıts´eg´evel kisz´am´ıtjuk, hogy mekkora t´avols´agot tett meg ezzel a sebess´eggel az 1. m´asodpercben”. A k¨ovetkez˝o m´asodpercben a sebess´ege k¨ozel ugyanekkora, de kicsit m´egis k¨ ul¨onb¨oz˝o; a 2. m´asodpercben megtett t´avols´agot ki tudjuk sz´am´ıtani ennek az u ´j sebess´eg´ert´eknek ´es az id˝onek a szorzatak´ent. Ezt ´ıgy folytatjuk minden m´asodpercre, ameddig a kocsi mozg´asban volt. Sok piciny t´avols´ag´ert´eket kapunk eredm´eny¨ ul, amelyek ¨osszege ´eppen az aut´o ´altal megtett teljes t´avols´agot adja ki. Teh´at a megtett t´avols´ag sebess´eg- ´es id˝oszorzatok P v∆t, ahol a Σ (szigma) g¨or¨og bet˝ u ¨osszegz´est ¨osszege lesz, azaz s = jel¨ol. Pontosabban ez egy adott (mondjuk, i-edik) id˝opillanatban m´ert sebess´eg´ert´ek ´es a ∆t mennyis´eg szorzatainak ¨osszege: s=

X

v(ti )∆t.

(8.6)

i

Itt a ∆t-t a ti+1 = ti + ∆t szab´aly szerint sz´amoljuk ki. A t´avols´ag, amit ezzel a m´odszerrel megkaptunk, nem lesz korrekt ´ert´ek, mert a ∆t intervallumban v´altozik a sebess´eg. Ha azonban el´eg kicsinek v´alasztjuk az id˝ointervallumot, az ¨osszeg egyre pontosabb lesz. Vegy¨ uk h´at egyre kisebbnek ´es kisebbnek, am´ıg a k´ıv´ant pontoss´agot el nem ´erj¨ uk. s val´odi ´ert´eke: s = lim

∆t→0

X

v(ti )∆t.

(8.7)

i

A matematikusok k¨ ul¨on jel¨ol´est vezettek be erre a hat´ar´ert´ekre, ak´arcsak a differenci´alra. A ∆ helyett ´all´o d itt arra eml´ekeztet, hogy az id˝ot a www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

160

8. A mozg´ as

lehet˝o legkisebbnek kell venni. Ekkor a t id˝oponthoz tartoz´ o v sebess´egR (utal´as a latin r˝ol besz´el¨ unk. Az o¨sszegz´est egy nagy s” bet˝ u jel¨oli: ” summa sz´ora), mely id˝ovel eltorzult, s szerencs´etlen m´odon most csak integr´aljelnek h´ıvjuk. Fel´ırhatjuk teh´at, hogy Z

s=

v(t)dt.

(8.8)

Ezt az ¨osszegz´esi m˝ uveletet integr´al´asnak nevezz¨ uk, s az a differenci´al´as m˝ uvelet´enek megford´ıt´asa. AR fenti integr´al deriv´altja v, ´ıgy az egyik oper´ator (d) kioltja a m´asikat ( ). A deriv´altakra vonatkoz´o k´epletek megford´ıt´as´aval teh´at integr´al´asi szab´alyokat kapunk, mert a k´et m˝ uvelet egym´as inverze. Az o¨sszes f¨ uggv´enyt´ıpus deriv´al´as´aval mindenki elk´esz´ıtheti a maga integr´alt´abl´azat´at. Minden deriv´al´asi szab´alynak megfelel egy integr´al´asi szab´aly, ´es ford´ıtva. Minden f¨ uggv´enyt analitikusan differenci´alni lehet, azaz az elj´ar´ast el lehet v´egezni algebrai m´odszerekkel, s az j´ol meghat´arozott f¨ uggv´enyhez vezet. Ezzel ellent´etben egy f¨ uggv´eny integr´alja nem mindig ´ırhat´o fel analitikus alakban. Az´ert az integr´alt ki lehet sz´am´ıtani, p´eld´aul u ´gy, hogy k´epezz¨ uk a fenti ¨ osszeget, majd egy finomabb feloszt´as mellett u ´jra kisz´amoljuk, am´ıg a k´ıv´ant pontoss´agot el nem ´erj¨ uk. Ha adott egy bizonyos f¨ uggv´eny, az integr´alj´at ´altal´aban nem lehet analitikus alakban fel´ırni. K´ıs´erletet tehet¨ unk persze egy olyan f¨ uggv´enynek a fel´ır´as´ara, amelyet deriv´alva megkapjuk az eredeti f¨ uggv´eny¨ unket, de ez nem mindig siker¨ ul. Lehet, hogy nincs is ilyen f¨ uggv´eny – ez u ´gy ´ertend˝o, hogy nem tudjuk m´ar ismert f¨ uggv´enyek seg´ıts´eg´evel kifejezni. 8.5. Gyorsul´ as A mozg´asegyenletek fel´all´ıt´as´anak k¨ovetkez˝o l´ep´ese egy olyan fogalom bevezet´ese, amely t´ ulmutat a sebess´eg fogalm´an, s ez a sebess´egv´ altoz´ as fogalma. Most azt k´erdezz¨ uk: Hogyan v´altozik a sebess´eg?” Az el˝oz˝o ” fejezetekben l´attunk olyan eseteket, amikor az er˝o sebess´egv´altoz´ast oko¨ ok tal´an izgatottan hallott´ak a h´ırt arr´ol az aut´or´ol, amely k´epes zott. On¨ ´all´o helyzetb˝ol 10 m´asodperc alatt el´erni a 90 km/h-s sebess´eget! Ebb˝ol a teljes´ıtm´enyb˝ol m´ar l´athatjuk, hogy milyen gyorsan v´altozhat a sebess´eg – de csak ´atlag´aban. Amir˝ol most besz´elni fogunk, az a komplexit´asnak egy k¨ovetkez˝o l´epcs˝oj´et k´epviseli: milyen gyorsan v´altozik a sebess´eg? M´as sz´oval, h´any m´eter per m´asodpercet v´altozik a sebess´eg m´asodpercenk´ent? Kor´abban levezett¨ uk a szabadon es˝o testre ´erv´enyes sebess´egk´epletet (l´asd a 8.4. t´abl´azatot), most viszont azt akarjuk tudni, hogy m´asodpercenk´ent mennyit v´altozik a sebess´eg; ezt a mennyis´eget gyorsul´asnak nevezz¨ uk. www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

8.5. Gyorsul´ as

161

A gyorsul´ast id˝oegys´egre es˝o sebess´egv´altoz´ask´ent defini´aljuk. A kor´abbi fejteget´esek alapj´an m´ar eleget tudunk ahhoz, hogy a gyorsul´ast fel´ırhassuk a dv/dt deriv´altk´ent, ahogy a sebess´eget a megtett t´avols´ag deriv´altjak´ent ´ırtuk fel. Ha most deriv´aljuk a v = 10t ¨osszef¨ ugg´est, akkor azt kapjuk, hogy a szabadon es˝o testre dv a= = 10. (8.9) dt [A 10t f¨ uggv´eny deriv´al´as´ahoz felhaszn´altuk kor´abbi eredm´eny¨ unket, amikor azt l´attuk, hogy Bt deriv´altja egyszer˝ uen B (B konstans). A B = 10 ´ert´eket behelyettes´ıtve azt kapjuk, hogy 10t deriv´altja 10.] Ez azt jelenti, hogy a szabadon es˝o test sebess´ege minden m´asodpercben 10 m/s-mal v´altozik. A 8.4. t´abl´azatb´ol is azt l´atjuk, hogy a sebess´eg minden m´asodpercben 10 m/s-mal n˝o. Ez nagyon egyszer˝ u eset, a gyorsul´as ´altal´aban nem ´alland´o. A gyorsul´as ´alland´os´ag´anak itt az az oka, hogy a szabadon es˝o testre ´alland´o er˝o hat, ´es Newton t¨orv´enye szerint a gyorsul´as ar´anyos a testre hat´o er˝ovel. K¨ovetkez˝o p´eldak´ent sz´am´ıtsuk ki a gyorsul´ast egy olyan feladatban, amelyben a sebess´eget m´ar kisz´am´ıtottuk. Az s = At3 + Bt + C ugg´esb˝ol kiindulva, v = ds/dt-re a ¨osszef¨ v = 3At2 + B k´epletet kaptuk. Mivel a gyorsul´as a sebess´eg id˝o szerinti deriv´altja, deriv´alnunk kell a fenti kifejez´est. Eml´ekezz¨ unk vissza arra, hogy egy ¨osszeg deriv´altja egyenl˝o a tagok deriv´altj´anak o¨sszeg´evel. Az els˝o tag deriv´al´asakor, ahelyett hogy u ´jra elv´egezn´enk a deriv´al´asra bemutatott alapvet˝o elj´ar´ast, csak felid´ezz¨ uk, hogy hasonl´o n´egyzetes tag differenci´al´as´aval m´ar tal´alkoztunk, amikor az 5t2 -et deriv´altuk. Akkor az egy¨ utthat´o k´etszeres´et kaptuk, a t2 -b˝ol pedig t lett. Itt ugyanez t¨ort´enik, s az eredm´enyt mindenki maga ellen˝orizheti. 3At2 deriv´altja 6At lesz. A k¨ovetkez˝o l´ep´esben differenci´aljuk B-t, a konstans tagot. A kor´abban megtanult szab´aly szerint B deriv´altja nulla, ´ıgy ez a tag nem ad j´arul´ekot a gyorsul´ashoz. A v´egeredm´eny ez´ert a = dv/dt = 6At. Ismereteink b˝ov´ıt´ese c´elj´ab´ol ismerkedj¨ unk meg k´et, integr´al´as u ´tj´an el˝o´all´ıthat´o ¨osszef¨ ugg´essel. Ha egy test nyugalmi helyzetb˝ol indulva ´alland´o g gyosul´assal mozog, t id˝oponbeli sebess´eg´et a v = gt k´eplet adja meg. Ugyanezen id˝o alatt 1 s = gt2 2 www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

162

8. A mozg´ as

t´avols´agot tesz meg. A deriv´altra t¨obbf´ele matematikai jel¨ol´est haszn´alunk. Mivel a sebess´eg ds/dt, a gyorsul´as pedig a sebess´eg id˝o szerinti deriv´altja, ez´ert ´ırhatjuk azt is, hogy   d ds d2 s a= = 2, (8.10) dt dt dt ami a m´asodik deriv´alt jel¨ol´es´enek szok´asos alakja. Van egy m´asik szab´aly is, amely szerint a sebess´eg a gyorsul´as integr´alja. Ez ´eppen az a = dv/dt ¨osszef¨ ugg´es ellent´ete; l´attuk m´ar, hogy a t´avols´ag a sebess´eg integr´alja, ez´ert a t´avols´agot a gyorsul´as k´etszeri integr´al´as´aval kaphatjuk meg. Eddig csak egydimenzi´os mozg´asokkal foglalkoztunk, s helysz˝ uke miatt a h´aromdimenzi´os mozg´assal most is csak nagyon r¨oviden foglalkozunk. Tekints¨ unk egy P r´eszecsk´et, amely a h´aromdimenzi´os t´erben tetsz˝olegesen mozog. Ezt a fejezetet egy mozg´o g´epkocsi egydimenzi´os mozg´as´anak a vizsg´alat´aval kezdt¨ uk; megfigyelt¨ uk, hogy k¨ ul¨onb¨oz˝o id˝opontokban a kiindul´asi pontj´at´ol milyen t´avols´agban tart´ozkodik az aut´o. A j´arm˝ u sebess´eg´et az ´altala megtett t´avols´ag id˝obeli v´altoz´asa alapj´an, a gyorsul´ast pedig a sebess´eg´eben bek¨ovetkezett id˝obeli v´altoz´as alapj´an vizsg´altuk. A h´aromdimenzi´os mozg´ast anal´og m´odon k´epzelhetj¨ uk el. Egyszer˝ ubb, ha a mozg´ast el˝osz¨or egy k´etdimenzi´os diagramon szeml´eltetj¨ uk, majd ezt a k´epet kiterjesztj¨ uk h´arom dimenzi´ora. Rajzoljunk fel k´et egym´asra mer˝oleges koordin´atatengelyt, ´es a r´eszecske tetsz˝oleges id˝opontban elfoglalt helyzet´et hat´arozzuk meg oly m´odon, hogy az adott id˝opontban megm´erj¨ uk a t´avols´ag´at az egyes koordin´atatengelyekt˝ol. A r´eszecske helyzet´et teh´at az x t´avols´aggal ´es az y t´avols´aggal adjuk meg, a mozg´ast pedig azzal ´ırjuk le, hogy egy t´abl´azatban megadjuk ezeket a t´avols´agokat az id˝o f¨ uggv´eny´eben. (Az elj´ar´as h´arom dimenzi´ora val´o kiterjeszt´ese csup´an egy u ´jabb, az el˝oz˝o kett˝ore mer˝oleges tengely felv´etel´et felt´etelezi, tov´abb´a a harmadik t´avols´ag, a z t´avols´ag megm´er´es´et. Ebben az esetben nem a koordin´atatengelyekt˝ol, hanem a koordin´atas´ıkokt´ol vett t´avols´agokat m´erj¨ uk.) Hogyan tudjuk meghat´arozni a sebess´eget, ha m´ar ¨osze´all´ıtottuk az x ´es y t´avols´agokat tartalmaz´o t´abl´azatot? El˝osz¨or kisz´am´ıtjuk az ir´any szerinti sebess´egkomponenseket. A sebess´eg v´ızszintes ir´any´ u ¨osszetev˝oje, azaz x komponense az x t´avols´ag id˝o szerinti deriv´altja: dx vx = . (8.11) dt Hasonl´oan, a f¨ ugg˝oleges ir´any´ u vagy y komponens: dy vy = . (8.12) dt www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

163

8.5. Gyorsul´ as

S a harmadik dimenzi´ora: dz vz = . dt

(8.13)

M´armost, ha adva vannak a sebess´eg komponensei, hogyan hat´arozzuk meg a mozg´as aktu´alis p´aly´aja t y ≈v t menti sebess´eget? A k´etdimenzi´os t x ≈v t esetben tekints¨ uk a test k´et olyan helyzet´et, amelyeket csak egy r¨ovid ∆s t´avols´ag ´es egy ugyancsak r¨ovid t2 − t1 = ∆t id˝ointervallum v´alaszt x el egym´ast´ol. A ∆t id˝otartam alatt a r´eszecske v´ızszintesen ∆x ≈ vx ∆t t´avols´agnyit mozdul el, f¨ ugg˝olege8.3. a ´bra. Egy test s´ıkbeli mozg´ as´ anak sen pedig ∆y ≈ v ∆y t´ a vols´ agnyit. le´ır´ asa ´es a sebess´eg kisz´ am´ıt´ asa y (A ≈ jelet k¨ozel´ıt˝oleg egyenl˝onek” ” olvassuk.) A 8.3. ´abr´ar´ol l´athat´o, hogy a t´enyleges elmozdul´as: y

2

( x) +( y)

s≈

2

2

y

1

x

∆s ≈

q

(∆x)2 + (∆y)2 .

(8.14)

A sebess´eg k¨ozel´ıt˝o ´ert´ek´et megkaphatjuk, ha ezt az elmozdul´ast elosztjuk ∆t-vel, ´es ∆t-vel 0-hoz tartunk. Ekkor a sebess´egre azt kapjuk, hogy q ds q v= = (dx/dt)2 + (dy/dt)2 = vx2 + vy2 . (8.15) dt H´arom dimenzi´ora v=

q

vx2 + vy2 + vz2

(8.16)

lesz az eredm´eny. Ahogy a sebess´eget, u ´gy a gyorsul´ast is defini´alni tudjuk: A gyorsul´as x ir´any´ u komponense, ax a sebess´eg x ir´any´ u komponens´enek, vx -nek a deriv´altja lesz (azaz ax = d2 x/dt2 , azaz x-nek a t szerinti m´asodik deriv´altja), ´es ´ıgy tov´abb. Tekints¨ unk most egy sz´ep p´eld´at s´ıkbeli ¨osszetett mozg´asra. Haladjon egy goly´o v´ızszintes ir´anyban ´alland´o u sebess´eggel, s egyidej˝ uleg essen f¨ ugg˝olegesen, ´alland´o −g gyorsul´assal. Milyen lesz a mozg´asa? Mivel dx/dt = vx = u ´alland´o, x = ut,

(8.17)

´es mivel a lefel´e ir´anyul´o gyorsul´as, −g ´alland´o, ez´ert a t´argy es´es´enek y t´avols´aga 1 y = − gt2 . (8.18) 2 www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

164

8. A mozg´ as

Milyen lesz a test p´aly´aj´anak alakja, azaz milyen kapcsolat van x ´es y k¨oz¨ott? A (8.18) egyenletb˝ol kik¨ usz¨ob¨olhetj¨ uk t-t, mivel t = x/u. A helyettes´ıt´est elv´egezve kapjuk, hogy g (8.19) y = − 2 x2 . 2u Ezt az ¨osszef¨ ugg´est tekinthetj¨ uk a goly´o p´alyegyenlet´enek. Grafikonj´at felrajzolva egy parabol´anak nevezett g¨orb´et kapunk (8.4. ´abra). Minden, tetsz˝oleges ir´anyban kil˝ott, ugyanakkor szabadon is es˝o test parabol´at ´ır le. y

x

8.4. a ´bra. V´ızszintes ir´ any´ u kezd˝ osebess´eggel szabadon es˝ o test p´ aly´ aja (parabola)

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

9. fejezet A dinamika Newton-f´ ele t¨ orv´ enyei 9.1. Impulzus (lendu es er˝ o ¨ let) ´ A dinamika t¨ov´enyeinek, vagy m´ask´eppen a mozg´ast¨orv´enyeknek a felfedez´ese dr´amai pillanat volt a tudom´any t¨ort´enet´eben. A Newton el˝otti id˝okben a k¨ ul¨onb¨oz˝o testek, p´eld´aul a bolyg´ok mozg´asa megfejthetetlen rejt´elynek t˝ unt. Newton ut´an azonban m´ar a Kepler-t¨orv´enyekt˝ol val´o elt´er´eseket, azaz a bolyg´ok ´altal okozott csek´ely p´alyaelt´er´eseket is ki lehetett sz´am´ıtani. Newton t¨orv´enyei alapj´an az ing´ak, a rug´okat ´es s´ ulyokat tartalmaz´o rezg˝o rendszerek stb. mozg´asa is r´eszletesen elemezhet˝o. Ezzel a fejezettel is ´ıgy vagyunk: ezt megel˝oz˝oen nem tudn´ank kisz´am´ıtani egy rug´o v´eg´ere tett t¨omeg mozg´as´at, m´eg kev´esb´e a Jupiter ´es a Szaturnusz hat´as´at az Ur´anusz bolyg´ora. E fejezet ´attanulm´anyoz´asa ut´an viszont m´ar nemcsak a rezg˝o t¨omeg mozg´as´at, hanem a Jupiternek ´es a Szaturnusznak az Ur´anuszra kifejtett hat´as´at is ki tudjuk sz´am´ıtani. A mozg´as t¨orv´enyeinek meg´ert´es´ehez nagyban hozz´aj´arult Galilei, a tehetetlens´eg elv´enek felfedez´es´evel. Az elv a k¨ovetkez˝o: ha egy testet mag´ara hagyunk ´es nem zavarunk meg, tov´abb folytatja egyenes vonal´ u, egyenletes sebess´eg˝ u mozg´as´at, ha eredetileg is mozg´asban volt, illetve tov´abbra is nyugalomban marad, ha addig nyugalomban volt. A val´os´agban term´eszetesen sohasem k¨ovetkezik be ez az eset, mert p´eld´aul az asztal lapj´an cs´ usz´o j´at´ekkocka egyszer csak meg´all. Az´ert ´all meg, mert nincs mag´ara hagyva, hanem az asztalhoz s´ url´odik. A helyes szab´aly megtal´al´as´ahoz n´emi k´epzel˝oer˝o kellett – Galileinek volt k´epzel˝oereje. A k¨ovetkez˝okben olyan szab´alyra lesz sz¨ uks´eg¨ unk, amely megmondja, hogyan v´ altozik meg egy t´argy sebess´ege, ha valami hat re´a. Ezt a szab´alyt Newton tal´alta meg. Newton h´arom t¨orv´enyt mondott ki: az els˝o t¨orv´eny a most le´ırt Galilei-f´ele inerciaelvnek csup´an ´atfogalmaz´asa. A m´asodik t¨orv´eny m´odot ad arra, hogy er˝ oknek nevezett hat´asok ´altal el˝oid´ezett sebess´egv´altoz´asokat kisz´am´ıtsunk. A harmadik t¨orv´eny bizonyos m´ert´ekig az er˝oket ´ırja le, ezzel majd m´askor foglalkozunk. Itt most csak a m´asodik t¨orv´ennyel foglalkozunk, azzal, amely a mozg´asban lev˝o test mozg´as´aban er˝ok hat´as´ara bek¨ovetkez˝o v´altoz´ast ´ıgy defini´alja: egy impulzusnak nevezett mennyis´eg id˝ oegys´egre es˝ o megv´ altoz´ asa ar´ anyos az er˝ ovel. Ezt majd matematikailag t¨om¨oren megfogalmazzuk, de el˝osz¨or mag´at az elvet magyar´azzuk meg. www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

166

9. A dinamika Newton-f´ele t¨ orv´enyei

Az impulzus nem azonos a sebess´eggel. A fizikus sz´amos olyan sz´ot haszn´al, amelynek a fizik´aban pontos jelent´ese van annak ellen´ere, hogy a mindennapi sz´ohaszn´alatban ez esetleg nincs ´ıgy. P´elda erre az impulzus, ezt teh´at pontosan kell defini´alnunk. Ha kez¨ unkkel megl¨ok¨ unk egy k¨onny˝ u t´argyat, az k¨onnyen elmozdul. Ha most ugyanolyan er˝osen egy m´asik, k¨oz¨ons´eges ´ertelemben v´eve nehezebb t´argyat l¨ok¨ unk meg, az l´enyegesen lassabban fog mozogni. Sz¨ uks´eges azonban, hogy a k¨onny˝ u” ´es ” neh´ez” helyett a kev´esb´e tehetetlen ´es tehetetlenebb jelz˝ot haszn´aljuk, mi” vel csak ´ıgy ´erthetj¨ uk meg valamely t´argy s´ ulya ´es tehetetlens´ege k¨oz¨otti k¨ ul¨onbs´eget. (Hogy milyen neh´ez valamit mozg´asba hozni, ´es hogy mekkora a s´ ulya, ez k´et k¨ ul¨onb¨oz˝o dolog.) S´ uly ´es tehetetlens´eg egym´assal ar´ anyos mennyis´egek, a F¨old fel¨ ulet´en gyakran numerikusan is azonosnak tekintik ˝oket, s ez a di´akokat egy kiss´e megzavarja. Gondoljanak arra, hogy a Marson a s´ ulyok m´asok lenn´enek, de a tehetetlens´eg legy˝oz´es´ere szolg´al´o er˝o ott is ugyanaz maradna. A t¨ omeg kifejez´est a tehetetlens´eg m´ert´ek´eu ´gy ¨l haszn´aljuk. P´eld´aul u m´erhetj¨ uk meg, hogy egy testet bizonyos sebess´eggel k¨orbelenget¨ unk, ´es megm´erj¨ uk, mekkora er˝o sz¨ uks´eges a k¨ormozg´asban tart´as´ahoz. Ilyen m´odon minden t´argy t¨omeg´ere bizonyos ´ert´eket kapunk. Valamely t´argy impulzusa pedig t¨ omeg´enek ´es sebess´eg´enek szorzat´aval egyenl˝o. Newton m´asodik t¨orv´enye matematikailag a k¨ovetkez˝o alakban ´ırhat´o: F =

d (mv). dt

(9.1)

N´eh´any dolgot m´eg meg kell fontolnunk. B´armely, a fentihez hasonl´o t¨orv´eny matematikai form´aba val´o ¨ont´esekor sok intuit´ıv gondolatot, k¨ovetkeztet´est ´es feltev´est haszn´alunk fel, melyeket el˝osz¨or csak k¨ozel´ıt˝o kombin´aci´oban ´ep´ıt¨ unk be t¨orv´eny¨ unkbe”. K´es˝obb m´eg visszat´erhet¨ unk ” ezekre a dolgokra, ´es r´eszletesen tanulm´anyozhatjuk a k¨ ul¨onb¨oz˝o tagok jelent´es´et, de csak zavart okozna, ha ezt t´ ul kor´an pr´ob´aln´ank megtenni. Ez´ert kezdetben n´eh´any dolgot eleve elfogadottnak tekint¨ unk. Els˝onek azt, hogy valamely t´argy t¨omege ´ alland´ o. Val´oj´aban ez nincs ´ıgy, de mi a newtoni k¨ozel´ıt´esb˝ol indulunk ki, abb´ol, hogy a t¨omeg ´alland´o, vagyis minden id˝oben ugyanaz marad, tov´abb´a, hogy ha k´et testet ¨osszetesz¨ unk, t¨ omegeik ¨ osszead´ odnak. Ezeket term´eszetszer˝ uleg Newton is felt´etelezte egyenlet´enek fel´ır´as´an´al, hiszen az k¨ ul¨onben ´ertelmetlen lenne. T´etelezz¨ uk fel pl., hogy a t¨omeg ford´ıtottan ar´anyos a sebess´eggel. Ekkor az impulzus semmilyen k¨or¨ ulm´enyek k¨oz¨ott, soha nem v´ altozna meg; a t¨orv´eny teh´at semmitmond´o, am´ıg nem tudjuk, hogyan v´altozik a t¨omeg a sebess´eggel. Ez´ert el˝osz¨or a t¨ omeg v´ altozatlans´ ag´ ab´ ol indulunk ki. www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

9.2. Gyorsas´ ag ´es sebess´eg

167

Az er˝ovel kapcsolatban is n´eh´any feltev´esb˝ol indulunk ki. Er˝on a k¨oznyelvben ´altal´aban izomer˝ovel v´egzett l¨ok´est vagy h´ uz´ast ´ertenek, de a mozg´asegyenlet seg´ıts´eg´evel m´ar pontosabban is defini´alhatjuk. A legfontosabb, amit fel kell ismern¨ unk, hogy ez az egyenlet nemcsak az impulzus vagy a sebess´eg nagys´ ag´ anak, hanem azok ir´ any´ anak a v´ altoz´ as´ at is megadja. Ha a t¨omeg ´alland´o, akkor a (9.1) egyenletet a k¨ovetkez˝o alakban is fel´ırhatjuk: dv F =m = ma. (9.2) dt Az a gyorsul´as a sebess´eg v´altoz´as´anak m´ert´eke. Newton m´asodik t¨orv´enye nemcsak azt mondja ki, hogy az er˝o hat´asa a t¨omeggel ford´ıtottan ar´anyos, hanem azt is, hogy a sebess´eg v´ altoz´ as´ anak az ir´ anya azonos az er˝ o ir´ any´ aval. J´ol meg kell teh´at ´erten¨ unk, hogy a fizik´aban a sebess´egv´altoz´as vagy a gyorsul´as t¨obbet jelent, mint a mindennapi sz´ohaszn´alatban. Valamely t´argy sebess´ege gyorsul´as, lassul´as (lassul´as eset´en negat´ıv gyorsul´asr´ol besz´el¨ unk), vagy a mozg´as ir´any´anak megv´altoz´asa r´ev´en v´altozhat meg. A sebess´egre mer˝oleges gyorsul´asr´ol m´ar volt sz´o a 7. fejezetben. L´attuk, hogy egy R sugar´ u k¨or¨on v p´alyamenti sebess´eggel mozg´o test az egyenes vonal´ u p´aly´at´ol kis t id˝o alatt 21 t2 (v 2 /R) t´avols´aggal t´er el. Teh´at a mozg´asra mer˝oleges gyorsul´asra vonatkoz´o o¨sszef¨ ugg´es: a = v 2 /R.

(9.3)

A sebess´egre mer˝oleges er˝o a testet egy olyan g¨orbe p´aly´ara k´enyszer´ıti, melynek sugar´at a (9.2) ´es (9.3) ¨osszef¨ ugg´es seg´ıts´eg´evel sz´amolhatjuk ki; el˝osz¨or a gyorsul´ast kapjuk meg az er˝o ´es a t¨omeg h´anyadosak´ent, majd a gyorsul´as ismeret´eben (9.3)-b´ol a g¨orb¨ uleti sug´ar is kisz´am´ıthat´o. 9.2. Gyorsas´ ag ´ es sebess´ eg Hogy kifejez´esm´odunkat pontosabb´a tegy¨ uk, egy tov´abbi, a gyorsas´ ag ´es sebess´eg k¨oz¨ott k¨ ul¨onbs´eget tev˝o defin´ıci´oval ´el¨ unk. Rendes k¨or¨ ulm´enyek k¨oz¨ott e k´et sz´o ugyanazt jelenti, mindennapi nyelv¨ unkben nincs is k¨ozt¨ uk k¨ ul¨onbs´eg. A fizik´aban azonban e sz´op´ar l´etez´es´eb˝ol hasznot kov´acsolunk: k¨ ul¨onbs´eget tesz¨ unk k´et fogalom k¨oz¨ott. A sebess´eget”, amelynek nagy” s´aga is, ir´anya is van, gondosan megk¨ ul¨onb¨oztetj¨ uk a sebess´egnek csup´an a nagys´ag´at kifejez˝o gyorsas´agt´ol”. Ez pontosabban is megfogalmazhat´o ” valamely t´argy x, y ´es z koordin´at´aj´anak id˝obeli v´altoz´asa seg´ıts´eg´evel. Tegy¨ uk fel pl., hogy valamely t´argy egy adott id˝opillanatban a 9.1. ´abr´an l´athat´o m´odon mozog. Adott kicsiny ∆t id˝o eltelt´evel a t´argy x ir´anyban ∆x, y ir´anyban ∆y, z ir´anyban ∆z utat tesz meg. A h´arom koordin´awww.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

168

9. A dinamika Newton-f´ele t¨ orv´enyei

z z

s y x

y

9.1. a ´bra. Egy test kicsiny elmozdul´ asa

x

ta e v´altoz´asainak ered˝o hat´asa egy ∆x, ∆y, ∆z oldal´ u t´eglatest t´erbeli ´atfog´oja menti ∆s elmozdul´as. A sebess´eg seg´ıts´eg´evel kifejezve a ∆x elmozdul´as a sebess´eg x komponens´enek ´es a ∆t id˝onek a szorzata. Hasonl´oan fogalmazhat´o meg ∆y ´es ∆z jelent´ese is: ∆x = vx ∆t, ∆y = vy ∆t, ∆z = vz ∆t.

(9.4)

9.3. Sebess´ eg-, gyorsul´ as- ´ es er˝ okomponensek A (9.4) egyenletben komponenseire bontottuk a sebess´eget az´altal, hogy megmondtuk, milyen gyorsan mozog a sz´oban forg´o t´argy x, y ´es z ir´anyokban. A sebess´eg nagys´ag ´es ir´any szerint teljesen meghat´arozott, ha megadjuk h´arom egym´asra mer˝oleges komponens´enek sz´am´ert´ek´et: vx = dx/dt, vy = dy/dt, vz = dz/dt.

(9.5)

Ugyanazon mozg´o t´argy gyorsas´ aga: ds/dt = |v| =

q

vx2 + vy2 + vz2 .

(9.6)

Tegy¨ uk most fel, hogy valamilyen er˝ohat´as k¨ovetkezt´eben a sebess´eg ir´any ´es nagys´ag szerint megv´altozik (l´asd a 9.2. ´abr´an). Ezt a l´atsz´olag bonyolult helyzetet egyszer˝ uen elemezhetj¨ uk, ha kisz´am´ıtjuk a sebess´eg x, y ´es z komponens´enek megv´altoz´as´at. A sebess´eg x ir´any´ u komponens´enek ∆t id˝o alatti v´altoz´asa ∆vx = ax ∆t, ahol az ax mennyis´eget a gyorsul´as x ir´any´ u komponens´enek nevezz¨ uk. Hasonl´ok´eppen ∆vy = ay ∆t, ∆vz = az ∆t. Mint ezekb˝ol az ¨osszef¨ ugg´esekb˝ol l´athatjuk, Newton m´asodik t¨orv´enye, amely kimondja, hogy az er˝o ´es gyorsul´as ir´anya azonos, val´oj´aban h´arom t¨orv´eny abban az ´ertelemben, hogy az er˝o x, y ´es z ir´any´ u komponense rendre egyenl˝o a t¨omeg ´es a megfelel˝o sebess´egkomponens www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

9.3. Sebess´eg-, gyorsul´ as- ´es er˝ okomponensek

169

z

y

x

9.2. a ´bra. A sebess´egv´ altoz´ asnak az az esete, amikor a sebess´eg nagys´ aga ´es ir´ anya is megv´ altozik

v´altoz´asi sebess´eg´enek szorzat´aval: Fx = m(dvx /dt) = m(d2 x/dt2 ) = max , Fy = m(dvy /dt) = m(d2 y/dt2 ) = may , 2

(9.7)

2

Fz = m(dvz /dt) = m(d z/dt ) = maz . Ahogyan a sebess´eget ´es a gyorsul´ast komponenseire bontottuk az´altal, hogy a nagys´agukat ´es ir´anyukat megad´o vonaldarabokat a h´arom koordin´atatengelyre vet´ıtett¨ uk, ugyan´ ugy egy adott ir´anyban hat´o er˝o is jellemezhet˝o x, y ´es z ir´any´ u komponenseivel: Fx = F cos(x, F ), Fy = F cos(y, F ),

(9.8)

Fz = F cos(z, F ), ahol F az er˝o nagys´aga ´es (x, F ) az x-tengely ´es az F er˝o ir´anya ´altal bez´art sz¨og stb. A (9.7) egyenlet marad´ektalanul le´ırja Newton m´asodik t¨orv´eny´et. Ha ismerj¨ uk a t´argyra hat´o er˝ot, ´es azt felbontjuk x, y ´es z ir´any´ u komponensekre, akkor a t´argy mozg´as´at azonnal kiolvashatjuk a fenti egyenletekb˝ol. Tekints¨ unk egy egyszer˝ u p´eld´at. Tegy¨ uk fel, hogy csak f¨ ugg˝oleges, x ir´any´ u er˝o hat, y ´es z ir´any´ u er˝okomponens nincs. Erre az esetre a (9.7) egyenlet azt fejezi ki, hogy a sebess´eg f¨ ugg˝oleges ir´anyban megv´altozik, de a v´ızszintes ir´any´ u sebess´eg v´altozatlan marad. Ezt a 7. fejezetben egy speci´alis szeml´eltet˝o eszk¨oz seg´ıts´eg´evel mutattuk meg (l´asd a 7.3. ´abr´at). Valamely szabadon es˝o test megtartja eredeti v´ızszintes ir´any´ u mozg´as´at, f¨ ugg˝oleges ir´anyban pedig u ´gy mozog, mintha v´ızszintes ir´anyban nem www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

170

9. A dinamika Newton-f´ele t¨ orv´enyei

v´egezne elmozdul´ast. M´as sz´oval, az x, y ´es z ir´any´ u mozg´as egym´ast´ol f¨ uggetlen, ha az er˝ ok egym´ast´ol f¨ uggetlenek. 9.4. Mi az er˝ o? A Newton-t¨orv´enyek alkalmaz´as´ahoz n´eh´any, az er˝ore vonatkoz´o ¨osszef¨ ugg´esre van sz¨ uks´eg¨ unk, egy´ebk´ent is ezek a t¨orv´enyek m´ar eleve azt sugallj´ak: szentelj¨ unk figyelmet az er˝ oknek! Ha valamely test gyorsul, valamilyen hat´o ok ´all em¨og¨ott. Ezt kell megtal´alnunk. A dinamika tov´abbi t´argyal´asa sor´an az er˝ okre vonatkoz´ o t¨ orv´enyeket kell felfedn¨ unk. Newton maga is tov´abbment ´es k¨orvonalazott n´eh´any feladatot. P´eld´aul a gravit´aci´o vonatkoz´as´aban megadta az er˝ore vonatkoz´o speci´alis ¨osszef¨ ugg´est. M´as er˝okre vonatkoz´olag a hat´as ´es ellenhat´as egyenl˝os´eg´evel foglalkoz´o harmadik t¨orv´eny´eben adott bizonyos t´ampontokat. Ezzel a t¨orv´ennyel a k¨ovetkez˝o fejezetben foglalkozunk. Folytassuk el˝oz˝o p´eld´ankat. Milyen er˝ok hatnak egy testre a F¨old felsz´ıne k¨ozel´eben? A gravit´aci´ot´ol sz´armaz´o f¨ ugg˝oleges ir´any´ u er˝o a test t¨omeg´evel ar´anyos, ´es a F¨old R sugar´ahoz k´epest kis magass´agokig k¨ozel´ıt˝oleg F = Gm/R2 = mg, f¨ uggetlen a magass´agt´ol, ahol a g = GM/R2 mennyis´eg a gravit´aci´os gyorsul´as. Teh´at a gravit´aci´os t¨orv´eny szerint a s´ uly ar´anyos a t¨omeggel, az er˝o pedig f¨ ugg˝oleges ir´any´ u ´es a t¨omeg g-szerese. Ism´et azt tal´altuk, hogy a v´ızszintes ir´any´ u mozg´as ´alland´o sebess´eg˝ u. A benn¨ unket ´erdekl˝o f¨ ugg˝oleges ir´any´ u mozg´as Newton m´asodik t¨orv´enye szerint: mg = m(d2 x/dt2 ).

(9.9)

Az m-ekkel egyszer˝ us´ıtve azt tal´aljuk, hogy az x ir´anyban a gyorsul´as ´alland´o, ´es ´ert´eke g. Ez a gravit´aci´os szabades´es j´ol ismert t¨orv´enye, mely a k¨ovetkez˝o egyenletekre vezet: vx = v0 + gt, (9.10) 1 x = x0 + v0 t + gt2 . 2 K¨ovetkez˝o p´eld´ankban tegy¨ uk fel, hogy egy olyan u ¨gyes kis szerkezetet (9.3. ´abra) tudunk ´ep´ıteni, amelyn´el a fell´ep˝o er˝o a t´avols´aggal ar´anyos ´es azzal ellent´etes ir´any´ıt´as´ u; ilyen p´eld´aul egy rug´o. Ha megfeledkez¨ unk a gravit´aci´or´ol, melyet term´eszetesen a rug´o kezdeti megny´ ul´asa ellens´ ulyoz, ´es csak a gracit´aci´on k´ıv¨ ul fell´ep˝o er˝oket vessz¨ uk figyelembe, a k¨ovetkez˝o k´epet l´atjuk. Ha mi leh´ uzzuk a t¨omeget, akkor a rug´o felh´ uzza, ha mi fell¨okj¨ uk, akkor a rug´o h´ uzza le. Az u gyes kis szerkezetet u ´ gy tervezt¨ uk ¨ meg, hogy min´el jobban h´ uzzuk felfel´e, az er˝o ann´al nagyobb lesz, pontos ar´anyban az egyens´ ulyi pontt´ol sz´am´ıtott elmozdul´as nagys´ag´aval, ´es www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

171

9.5. A dinamika egyenleteinek jelent´ese

x

Egyensúlyi helyzet

m

9.3. a ´bra. Rug´ on f¨ ugg˝ o t¨ omeg

ugyan´ ugy a felfel´e hat´o er˝o is ar´anyos lesz azzal a t´avols´aggal, ameddig lefel´e h´ uzzuk. A g´epecske m˝ uk¨od´es´et megfigyelve nagyon sz´ep mozg´ast l´atunk: fel, le, fel, le. . . Vajon a Newton-egyenletek pontosan le´ırj´ak ezt a mozg´ast? N´ezz¨ uk meg, hogy a (9.7) Newton-t¨orv´enyt felhaszn´alva ki tudjuk-e pontosan sz´am´ıtani, hogyan mozog ez a periodikus rezg´est v´egz˝o test. Az adott pillanatban ´erv´enyes egyenlet: −kx = m(dvx /dt).

(9.11)

Az x ir´any´ u sebess´eg megv´altoz´as´anak m´ert´eke teh´at x-szel ar´anyos. Semmi ´ertelme egy csom´o ´alland´ot cipelni magunkkal, ez´ert k´epzelj¨ uk el, hogy az id˝osk´ala megv´altozott, vagy hogy az egys´egeket v´eletlen¨ ul u ´gy v´alasztottuk meg, hogy k/m = 1 legyen. Teh´at a k¨ovetkez˝o egyenletet pr´ob´aljuk majd megoldani: dvx /dt = −x.

(9.12)

Tov´abbmenve tudnunk kell, mi vx jelent´ese. Ezt term´eszetesen tudjuk, vx annak a m´ert´eke, hogy a helykoordin´ata milyen gyorsan v´altozik az id˝oben. 9.5. A dinamika egyenleteinek jelent´ ese Elemezz¨ uk most a (9.12) egyenlet jelent´es´et. Tegy¨ uk fel, hogy adott t id˝oben valamely test sebess´ege vx ´es helykoordin´at´aja x. Mi a sebess´eg ´es a helykoordin´ata ´ert´eke egy valamivel k´es˝obbi t + ε id˝opontban? Ha erre a k´erd´esre v´alaszolni tudunk, akkor a probl´em´ank is meg van oldva. Ekkor ugyanis az adott felt´etelb˝ol kiindulva ki tudjuk sz´am´ıtani, hogyan v´altozik meg a mozg´as az els˝o pillanatban, a k¨ovetkez˝oben, az ut´ana k¨ovetkez˝oben stb., s ´ıgy fokozatosan kibontakozik szem¨ unk el˝ott a mozg´as k´epe. Az ´erthet˝os´eg kedv´e´ert tegy¨ uk fel, hogy a t = 0 id˝opillanatban a test az x = 1 helyen van, ´es sebess´ege vx = 0. Egy´altal´aban mi´ert mozog a test? Mert minden x = 0-t´ol k¨ ul¨onb¨oz˝o helyzetben er˝ o hat r´ a. x > 0 eset´en az er˝o felfel´e ir´anyul. Teh´at a mozg´ast¨orv´eny ´ertelm´eben a kezwww.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

172

9. A dinamika Newton-f´ele t¨ orv´enyei

detben z´erus ´ert´ek˝ u sebess´eg v´altozni kezd. Ahogyan a sebess´eg ´ert´eke n˝oni kezd, a test elindul felfel´e, ´es ´ıgy tov´abb. B´armely t id˝o eset´en, ha ε nagyon kicsiny, a t + ε id˝opontban ´erv´enyes helykoordin´at´at a t id˝opontban ´erv´enyes helykoordin´ata ´es sebess´eg seg´ıts´eg´evel j´o k¨ozel´ıt´essel a k¨ovetkez˝ok´eppen fejezhetj¨ uk ki: x(t + ε) = x(t) + εvx (t). (9.13) A kifejez´es ann´al pontosabb, min´el kisebb ε, de m´eg akkor is gyakorlatilag ´ a sebess´eg? Egy k´es˝obbi, el´egg´e pontos, ha ε nem eleny´esz˝oen kicsiny. Es t+ε id˝opontban ´erv´enyes sebess´eg meg´allap´ıt´as´ahoz tudnunk kell, hogyan ´ hogyan hat´av´altozik a sebess´eg, vagyis ismern¨ unk kell a gyorsul´ ast. Es rozzuk meg a gyorsul´ast? Ez az a pont, ahol a dinamika t¨orv´eny´ere kell t´amaszkodnunk. A dinamika t¨orv´enye megmondja, hogy mi a gyorsul´as ´ert´eke, megmondja, hogy jelen esetben a gyorsul´as −x. vx (t + ε) = vx + εax (t) = (9.14) = vx (t) − εx(t). (9.15) A (9.14) puszt´an kinematikai egyenlet, azt mondja ki, hogy a sebess´eg az´ert v´altozik, mert a mozg´as gyorsul´o. A (9.15) azonban m´ar dinamikai egyenlet, mivel a gyorsul´ast az er˝ovel kapcsolja ¨ossze; kimondja, hogy a k´erd´eses feladatban az adott id˝opillanatra vonatkoz´o gyorsul´as −x(t)-vel helyettes´ıthet˝o. Ez´ert ha egy adott pillanatra x-et ´es v-t is ismerj¨ uk, akkor a gyorsul´ast is ismerj¨ uk, amelyb˝ol az u ´j sebess´eg meghat´arozhat´o. Az u ´j sebess´eg viszont az u ´j helykoordin´at´at hat´arozza meg. . . nos, ´ıgy m˝ uk¨odik ez a mechanizmus. Az er˝o egy kicsivel megv´altoztatja a sebess´eget, ´es a sebess´eg egy kicsivel megv´altoztatja a helykoordin´at´at. 9.6. Az egyenletek numerikus megold´ asa Oldjuk meg t´enylegesen a feladatot. V´alasszuk ε-t 0,100 s-nak. Ha a feladat elv´egz´ese ut´an u ´gy tal´aljuk, hogy ez m´eg nem el´eg kicsiny, akkor az eg´eszet megism´etelhetj¨ uk ε = 0, 010 s-mal. Ha x(0) = 1, 00 kezdeti ´ert´ekb˝ol indulunk ki, mit kapunk x(0, 1)-re? Az u ´j x(0, 1) helykoordin´ata a r´egi x(0) helykoordin´ata plusz a sebess´eg (ami most z´erus) ´es a 0,10 s szorzata. Teh´at x(0, 1) ´ert´eke is 1,00 lesz, mivel a test m´eg nem mozdult el. A 0,10 s m´ ulva fell´ep˝o u ´j sebess´eg azonban a r´egi, v(0) = 0 sebess´eg ´es a gyorsul´as ε-szoros´anak ¨osszege lesz. Mivel a gyorsul´as −x(0) = −1, 00, v(0, 1) = 0, 00 − 0, 10 · 1, 00 = −0, 10. ´ Es a 0,20 s-ban: x(0, 2) = x(0, 1) + εv(0, 1) = = 1, 00 − 0, 10 · 0, 10 = 0, 99 www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

173

9.6. Az egyenletek numerikus megold´ asa

´es v(0, 2) = v(0, 1) + εa(0, 1) = = −0, 10 − 0, 10 · 1, 00 = −0, 20. Tov´abb folytatva az elj´ar´ast, b´armely k´es˝obbi id˝opillanatra ki tudjuk sz´am´ıtani a mozg´ast (a sebess´eget ´es a helykoordin´at´at), ´es el is v´egezz¨ uk ezt a sz´am´ıt´ast. Azonban gyakorlati okokn´al fogva n´eh´any kis tr¨ ukkh¨oz folyamodunk, ez´altal pontosabban tudunk majd sz´amolni. Ha a sz´amol´ast u ´gy folytatn´ank, mint ahogyan elkezdt¨ uk, akkor a mozg´asnak csak egy durva le´ır´as´at kapn´ank, mert ε = 0, 100 s el´eg nagy id˝o. Pontosabb le´ır´as c´eljaira ε-t kisebbnek, mondjuk, 0,01 s-nak kellene v´alasztani. Ekkor azonban ahhoz, hogy a mozg´ast valamely ´eszszer˝ u hossz´ us´ag´ u id˝ok¨oz¨on ´at k¨ovethess¨ uk, igen sok l´ep´esben kellene elv´egezn¨ unk a sz´am´ıt´ast. Ez´ert munk´ankat u ´gy fogjuk megszervezni, hogy ugyanazon durva beoszt´as (ε = 0, 10 s) mellett a sz´amol´as pontoss´ag´at megn¨ovelj¨ uk. Ezt sz´amol´asi m´odszer¨ unk t¨ok´eletes´ıt´ese r´ev´en fogjuk el´erni. Vegy¨ uk ´eszre, hogy az u ´j helykoordin´ata a r´eginek ´es a sebess´eg εszoros´anak az ¨osszege. De a mikor ´erv´enyes sebess´eg´e? Az id˝ok¨oz elej´en ´ ıt´asunk az, hogy az adott id˝ok¨oz ´es v´eg´en a sebess´eg ´ert´eke m´as ´es m´as. Uj´ k¨ ozep´en ´erv´enyes sebess´eget vessz¨ uk alapul. Ismerj¨ uk a pillanatnyi gyorsas´agot, ´es tudjuk azt is, hogy a gyorsas´ag v´altoz´o, helyes v´alaszt azonban nem kaphatunk, ha u ´gy sz´amolunk, mintha a gyorsas´ag az id˝ok¨oz elej´en ´es v´eg´en ugyanakkora lenne. Teh´at a k¨oz elej´en ´erv´enyes mostani” ´es a ” k¨oz v´eg´en ´erv´enyes majdani” gyorsas´ag k¨oz¨otti gyorsas´aggal fogunk sz´a” molni. Ugyanezt a megfontol´ast alkalmazzuk a sebess´eg sz´am´ıt´as´ara is. A sebess´egv´altoz´as kisz´am´ıt´as´ahoz a sebess´egv´altoz´as ut´ani u ´j sebess´eghez tartoz´o id˝opillanat ´es az azt megel˝oz˝o, m´ar ismert sebess´eghez tartoz´o id˝opillanat adta id˝ok¨oz felez˝opontj´anak megfelel˝o gyorsul´ast vessz¨ uk tekintetbe. A gyakorlatban teh´at ilyen lesz az egyenlet¨ unk: a k´es˝obbi helykoordin´ata a kor´abbinak ´es az id˝ ok¨ oz k¨ ozep´en vett sebess´eg ε-szoros´anak ¨osszege. Ugyan´ıgy a felez˝opontra ´erv´enyes sebess´eg az ε id˝ovel kor´abbi (az el˝oz˝o id˝ok¨oz k¨ozep´en vett) sebess´egnek ´es a t id˝opontban ´erv´enyes gyorsul´as ε-szoros´anak az ¨osszege: x(t + ε) = x(t) + εv(t + ε/2), v(t + ε/2) = v(t − ε/2) + εa(t),

(9.16)

a(t) = −x(t). Most m´ar csak egy kisebb probl´ema maradt h´atra: Mekkora v(ε/2) ´ert´eke? Kezdetben v(0), teh´at nem v(−ε/2) van megadva. Ez´ert a sz´amol´as www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

174

9. A dinamika Newton-f´ele t¨ orv´enyei

t

x

vx

ax

0,0

1, 000

−0, 000 −0, 050

−1, 000

0,1

0, 995

0,2

0, 980

0,3

0, 955

0,4

0, 921

0,5

0, 877

0,6

0, 825

0,7

0, 764

0,8

0, 696

0,9

0, 621

1,0

0, 540

1,1

0, 453

1,2

0, 362

1,3

0, 267

1,4

0, 169

1,5

0, 070

1,6

−0, 030

−0, 150 −0, 248 −0, 343 −0, 435 −0, 523 −0, 605 −0, 682 −0, 751 −0, 814 −0, 868 −0, 913 −0, 949 −0, 976 −0, 993 −1, 000

−0, 995 −0, 980 −0, 955 −0, 921 −0, 877 −0, 825 −0, 764 −0, 696 −0, 621 −0, 540 −0, 453 −0, 362 −0, 267 −0, 169 −0, 070 +0, 030

9.1. t´ abl´ azat. A dvx /dt = −x egyenlet megold´ asa (id˝ ok¨ oz: ε = 0, 10 s)

els˝o l´ep´esek´ent a v(ε/2) = v(0) + (ε/2)a(0) kiseg´ıt˝o egyenletet alkalmazzuk. Most m´ar k´eszen ´allunk a sz´amol´as elv´egz´es´ere. K´enyelmi szempontb´ol az eredm´enyeket t´abl´azatba szedt¨ uk. A 9.1. t´abl´azatban az id˝o, a helykoordin´ata, a sebess´eg ´es a gyorsul´as ´ert´ekei egy-egy oszlopban helyezkednek el, ´es a sebess´egek a sork¨oz¨ok k¨ozep´ere ker¨ ultek. Az ilyen t´abl´azat term´eszetesen csup´an a (9.16) egyenletrendszer megold´as´ab´ol kapott numerikus ´ert´ekek megad´as´anak egyik k´enyelmes m´odja, tulajdonk´eppen magukat az egyenleteket sohasem sz¨ uks´eges ki´ırni, elegend˝o, ha a t´abl´azatot rovatr´ol rovatra kit¨oltj¨ uk. A t´abl´azat a mozg´asr´ol nagyon j´o le´ır´ast ad. A test nyugalomb´ol indul, azut´an el˝osz¨or kicsiny, felfel´e ir´anyul´o (negat´ıv) sebess´egre tesz szert, ´es az egyens´ ulyi helyzett˝ol val´o t´avols´aga cs¨okken. www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

175

9.7. A bolyg´ ok mozg´ asa

x 1,0

0,5

0

0,5

1,0

1,5

t(s)

9.4. a ´bra. Rug´ on f¨ ugg˝ o t¨ omeg mozg´ as´ anak grafikonja

A gyorsul´as ekkor valamivel kisebb, de m´eg mindig n˝o a sebess´eg. Amint a mozg´as folytat´odik, a test egyre kevesebb ´es kevesebb sebess´eget nyer, am´ıg kb. t = 1, 50 s-n´al ´at nem halad az x = 0 ponton. Ekkor is folytatja mozg´as´at, de az x = 0 pont m´asik oldal´an; az x helykoordin´ata negat´ıvv´a ´ v´alik, s ez´ert a gyorsul´as pozit´ıv lesz, a sebess´eg teh´at cs¨okken. Erdekes a t´abl´azatban szerepl˝o sz´amokat az x = cos t f¨ uggv´ennyel ¨osszehasonl´ıtani. Az o¨sszehasonl´ıt´as eredm´enye a 9.4. ´abr´an l´athat´o. A f¨ uggv´eny´ert´ekek az ´altalunk sz´am´ıtott ´ert´ekekkel h´arom jegyig megegyeznek! K´es˝obb l´atni fogjuk, hogy az x = cos t a mozg´asegyenlet pontos matematikai megold´asa. A numerikus anal´ızis jogosults´ag´at igazolja, hogy ilyen egyszer˝ u sz´amol´assal ennyire pontos eredm´enyt kaptunk. 9.7. A bolyg´ ok mozg´ asa A fenti m´odszert nagyon j´ol lehetett alkalmazni a rezg˝o rug´o mozg´as´anak le´ır´as´ara, de vajon ugyanolyan j´ol alkalmazhat´o a bolyg´ok Nap k¨or¨ uli mozg´as´anak le´ır´as´ara is? N´ezz¨ uk meg, vajon megkapjuk-e valamilyen k¨ozel´ıt´esben az ellipszist a bolyg´ok mozg´as´anak p´aly´aj´ara. T´etelezz¨ uk fel, hogy a Nap v´egtelen¨ ul neh´ez, olyan ´ertelemben, hogy mozg´as´at nem vessz¨ uk figyelembe. Tegy¨ uk fel, hogy a bolyg´o valamely helyr˝ol elindulva bizonyos sebess´eggel mozog. A bolyg´o a Nap k¨or¨ ul valamilyen g¨orbe ment´en fog mozogni, s mi a Newton-f´ele mozg´ast¨orv´enyek ´es a gravit´avi´os t¨orv´eny seg´ıts´eg´evel megpr´ob´aljuk kisz´am´ıtani, milyen is ez a g¨orbe. Hogyan fogjuk kisz´am´ıtani? Adott pillanatban a bolyg´o valamilyen helyzetet foglal el a t´erben. Ha ennek a Napt´ol val´o t´avols´aga r, akkor – mint tudjuk – a fell´ep˝o befel´e ir´anyul´o er˝o a gravit´aci´os t¨orv´eny ´ertelm´eben egy ´alland´oszor a napt¨omeg osztva a t´avols´ag n´egyzet´evel. Hogy tov´abb mehess¨ unk, el˝osz¨or ki kell tal´alnunk, hogy ez az er˝o mekkora gyorsul´ast okoz. A gyorsul´asnak k´et ir´any´ u (x ´es y) komponens´ere van sz¨ uks´eg¨ unk. Teh´at ha egy adott pillanatra az x ´es y koordin´at´ak megad´as´aval jellemezz¨ uk a bolyg´o helyzet´et (feltessz¨ uk, hogy a z koordin´ata ´ert´eke mindig z´erus, mivel z ir´any´ u er˝o nem hat, ´es ha nincs kezdeti vz sebess´eg, semmi ok nincs arra, hogy z www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

176

9. A dinamika Newton-f´ele t¨ orv´enyei

Fx

y

Bolygó (x,y)

Fy

F

x

NAP

9.5. a ´bra. Bolyg´ ora hat´ o gravit´ aci´ os er˝ o

´ert´eke z´erust´ol k¨ ul¨onb¨ozz´ek), akkor az er˝o a 9.5. ´abr´an l´athat´o m´odon a bolyg´ot ´es a Napot ¨osszek¨ot˝o vonal ment´en hat. Az ´abr´ab´ol l´athat´o, hogy az er˝o v´ızszintes komponense e k´et h´aromsz¨og hasonl´os´aga miatt ugyan´ ugy ar´anylik a teljes er˝oh¨oz, mint a v´ızszintes x t´avols´ag a teljes r t´avols´aghoz. Ha teh´at x pozit´ıv, akkor Fx negat´ıv. Azaz Fx /|F | = −x/r, vagy Fx = −|F |x/r = −GM mx/r3 . Most a (9.7) dinamikai t¨orv´enyek figyelembev´etel´evel azt kapjuk, hogy ez az er˝okomponens a bolyg´o t¨omeg´enek ´es id˝oegys´egre es˝o x ir´any´ u sebess´egv´altoz´as´anak a szorzat´aval egyenl˝o. A k¨ovetkez˝o mozg´asegyenleteket tal´aljuk: m(dvx /dt) = −GM mx/r3 , m(dvy /dt) = −GM my/r3 , r=

(9.17)

q

x2 + y 2 .

Ezt az egyenletrendszert kell megoldanunk. A sz´amol´as egyszer˝ us´ıt´ese kedv´e´ert megint feltessz¨ uk, hogy az id˝oegys´eget, illetve a Nap t¨omeg´et u ´gy v´alasztottuk meg (vagy egyszer˝ uen csak olyan szerencs´esek vagyunk), hogy GM ≡ 1. Tegy¨ uk fel, hogy a fenti p´eld´aban a bolyg´o kezdetben az x = 0, 500, y = 0, 000 koordin´at´aj´ u pontban tal´alhat´o, ´es hogy indul´askor csak y ir´any´ u sebess´ege van, melynek a v´alasztott egys´egekben 1,630 az ´ert´eke. Hogyan v´egezz¨ uk ez esetben a sz´amol´ast? Most is, mint az el˝obb, t´abl´azatot k´esz´ıt¨ unk, melyen k¨ ul¨on oszlopba ´ırjuk az id˝ot, az x koordin´at´at, a sebess´eg ´es a gyorsul´as x ir´any´ u komponens´et, vx -et ´es ax et, majd ezekt˝ol kett˝os vonallal elv´alasztva a k¨ovetkez˝o h´arom oszlopba az y koordin´at´at, a sebess´eg ´es a gyorsul´as y ir´any´ u komponens´et, vy -t ´es ay -t. A gyorsul´as sz´am´ıt´as´ahoz a (9.17) egyenleteket haszn´aljuk fel. Ezek megmondj´ak, hogy any´ u gyorsul´as −x/r3 , az y ir´any´ u −y/r3 , p az x ir´ 2 2 ´es v´eg¨ ul hogy r = x + y . Teh´at x ´es y ´ert´ek´enek ismeret´eben kis mell´eksz´am´ıt´ast kell v´egezn¨ unk, n´egyzet¨osszeg¨ ukb˝ol n´egyzetgy¨ok¨ot kell vonnunk, hogy r-et megkapjuk, majd, hogy a k´et gyorsul´askomponenset is megkaphassuk, kisz´am´ıtjuk 1/r3 -t is. A sz´amol´ast n´egyzet-, k¨obwww.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

177

9.7. A bolyg´ ok mozg´ asa

´es reciprok-t´abl´azatok seg´ıts´eg´evel k¨onnyen elv´egezhetj¨ uk. M´ar csak az x-szel val´o szorz´as marad h´atra, ehhez pedig megfelel a logarl´ec. Sz´amol´asunk teh´at a k¨ovetkez˝o y t = 1,0 l´ e p´ e sekb˝ol ´all, ha ε kezdeti ´ert´ek´et t = 0,5 ε = 0, 100-nak v´alasztjuk. A kezdet = 1,5 0,5 ti ´ert´ekek a t = 0 id˝opillanatban: t = 2,0

x(0) = 0, 500,

y(0) = 0, 000,

vx (0) = 0, 000,

vy (0) = +1, 630.

t=0

–1,0

–0,5

NAP

0,5 x

9.6. a ´bra. Bolyg´ o sz´ am´ıtott mozg´ asa a Nap k¨ or¨ ul

Ezekb˝ol kapjuk, hogy

1/r3 (0) = 8, 000,

r(0) = 0, 500, ax (0) = −4, 000,

ay (0) = 0, 000.

Most m´ar ki tudjuk sz´amolni a vx (0, 05) ´es vy (0, 05) sebess´egeket: vx (0, 05) = 0, 000 − 4, 000 · 0, 050= −0, 200, vy (0, 05) = 1, 630 + 0, 000 · 0, 050 = 1, 630. Kezd˝odhet a f˝o” sz´amol´as: ” x(0, 1) = 0, 500 − 0, 20 · 0, 1 = 0, 480, y(0, 1) = 0, 0 + 1, 63 · 0, 1 = 0, 163, r(0, 1) =

q

0, 4802 + 0, 1632 = 0, 507,

1/r3 (0, 1) = 7, 677, ax (0, 1) = −0, 480 · 7, 677 = −3, 685, ay (0, 1) = −0, 163 · 7, 677 = −1, 250, vx (0, 15) = −0, 200 − 3, 685 · 0, 1 = −0, 568, vy (0, 15) = 1, 630 − 1, 250 · 0, 1 = 1, 505, x(0, 2) = 0, 480 − 0, 568 · 0, 1 = 0, 423, y(0, 2) = 0, 163 + 1, 505 · 0, 1 = 0, 313 stb. Az eredm´enyeket a 9.2. t´abl´azat tartalmazza. L´athat´o, hogy m´ar kb. 20 l´ep´es ut´an a bolyg´o p´aly´aj´anak a fel´et befutotta a Nap k¨or¨ ul! A 9.2. t´abl´azatban megadott x ´es y koordin´at´akat a 9.6. ´abr´an rajzoltuk fel. Az egym´as ut´an k¨ovetkez˝o pontok a bolyg´o helyzet´et mutatj´ak tized id˝oegys´egenk´ent. L´athat´o, hogy a bolyg´o kezdetben gyorsan, majd egyre lassabban mozog, s ez meghat´arozza a p´aly´aj´anak alakj´at is. ´Ime, www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

178

9. A dinamika Newton-f´ele t¨ orv´enyei

most m´ar elhihetj¨ uk, hogy val´ oban tudjuk, hogyan kell egy bolyg´o p´aly´aj´at kisz´am´ıtani! L´assuk, hogyan kell kisz´am´ıtani a Neptunusz, Jupiter, Ur´anusz vagy b´armely m´as bolyg´o mozg´as´at. Sz´amolhatunk-e ugyan´ıgy, ha t¨obb bolyg´onk van, ´es a Nap mozg´as´at is figyelembe akarjuk venni? Term´eszetesen igen. Kisz´am´ıtjuk egy adott bolyg´ora, mondjuk, az xi , yi ´es zi helykoordin´at´akkal meghat´arozott i-edik bolyg´ora hat´o er˝ot (jelentse mondjuk, i = 1 a Napot, i = 2 a Merk´ urt, i = 3 a V´enuszt stb.). Ismern¨ unk kell az ¨osszes bolyg´o helykoordin´at´ait. Az egyik bolyg´ora hat´o er˝ot az ¨osszes t¨obbi hat´asa okozza. Legyen a t¨obbi bolyg´o, mondjuk, az xj , yj , zj koordin´at´akkal jellemzett pontokban. A k¨ovetkez˝o egyenleteket kapjuk: mi

N X dvix Gmi mj (xi − xj ) , = − 3 dt rij j=1

mi

N X dviy Gmi mj (yi − yj ) − = , 3 dt rij j=1

mi

N X Gmi mj (zi − zj ) dviz − = , 3 dt rij j=1

(9.18)

ahol rij az i-edik ´es j-edik bolyg´o k¨ozti t´avols´ag: rij =

q

(xi − xj )2 + (yi − yj )2 + (zi − zj )2 ,

(9.19)

P

´es a jel j minden ´ert´ek´ere, teh´at az ¨osszes t¨obbi bolyg´ora ´ertend˝o, kiv´eve term´eszetesen a j = i ´ert´eket. Teh´at mind¨ossze annyit kell tenn¨ unk, hogy a t´abl´azatban t¨obb oszlopot fektet¨ unk fel, sokkal t¨obb oszlopot. A Jupiter mozg´as´anak le´ır´as´ahoz kilenc oszlop sz¨ uks´eges, a Szaturnusz´ehoz ´es minden m´as bolyg´o´ehoz is ugyanannyi. Ha az ¨osszes helykoordin´ata ´es sebess´eg adott, akkor a gyorsul´asokat a (9.18) egyenletb˝ol kaphatjuk meg, term´eszetesen ha el˝oz˝oleg (9.19)-b˝ol m´ar a t´avols´agokat kisz´am´ıtottuk. Milyen sok´a tart ez a sz´amol´as? Ha otthon akarjuk megcsin´alni, nagyon sok´a tart! De ma m´ar sz´amol´og´epeink vannak, melyek az aritmetikai m˝ uveleteket nagyon gyorsan v´egzik el; egy nagyon j´o sz´amol´og´ep egy ¨osszead´ast egy mikroszekundum, vagyis a m´asodperc milliomod r´esze alatt v´egez el. Szorz´ashoz hosszabb id˝o, mondjuk, 10 µs sz¨ uks´eges. Ha egy sz´amol´asi ciklus a probl´em´at´ol f¨ ugg˝oen, mondjuk, 30 szorz´ast tartalmaz, akkor egy ciklus kisz´amol´as´ahoz 300 µs sz¨ uks´eges. Ez azt jelenti, hogy s-onk´ent 3000 sz´amol´asi ciklust tudunk elv´egeztetni a sz´amol´og´eppel. Ha p´eld´aul egy a milli´ardhoz pontoss´agot akarunk el´erni, akkor a bolyg´o Nap k¨or¨ uli egyetlen k¨or¨ ulfordul´as´anak a kisz´am´ıt´as´ahoz 4 · 105 ciklus sz¨ uks´ewww.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

179

9.7. A bolyg´ ok mozg´ asa

t

x

0,0

0, 500

vx

ax

y

−4, 000

0,000

−0, 200 0,1

0,163

−0, 568 0,2

0,313

−0, 858 0,3

0,443

−1, 054 0,4

0,546

−1, 165 0,5

0,623

−1, 211 0,6

−0, 006

0, 018

−0, 127

0,676

0, 342

−0, 244

0,706

0, 559

−0, 356

0,718

0, 702

−0, 461

0,713

0, 796

−0, 558

0,694

0, 856

−0, 646

0,664

0, 895

−0, 725

0,623

0, 919

−0, 795

0,573

0, 933

−0, 856

0,516

0, 942

−0, 908

0,453

0, 947

−0, 950

0,385

0, 950

−0, 982

0,313

0, 952

−1, 005

0,238

0, 953

−1, 018

0,160

0, 955

−1, 022

0,081

−1, 017

3,931

−2, 190

0,676

3,241

−1, 911

0,718

2,705

−1, 646

0,758

2,292

−1, 408

0,797

1,974

−1, 200

0,833

1,728

−1, 019

0,867

1,536

−0, 862

0,897

1,385

−0, 726

0,924

1,267

−0, 605

0,948

1,174

−0, 498

0,969

1,100

−0, 402

0,986

1,043

−0, 31

1,000

1,000

−0, 230

1,010

0,969

−0, 152

1,018

0,949

−0, 076

1,022

0,938

−0, 002

1,022

0,936

+0, 074

1,020

0,944

−0, 797 0, 957

0,002 −0, 797

+0, 057 2,2

0,634

−0, 790

−0, 038 2,1

−2, 449

−0, 774

−0, 134 2,0

4,794

−0, 751

−0, 229 1,9

0,593

−0, 720

−0, 325 1,8

−2, 617

−0, 680

−0, 420 1,7

5,805

−0, 630

−0, 514 1,6

0,556

−0, 569

−0, 608 1,5

−2, 569

−0, 497

−0, 702 1,4

6,847

−0, 411

−0, 794 1,3

0,527

−0, 309

−0, 883 1,2

−2, 146

−0, 189

−0, 969 1,1

7,677

−0, 048

−1, 048 1,0

0,507

0, 117

−1, 119 0,9

−1, 251

0, 308

−1, 175 0,8

8,000

0, 527

−1, 209 0,7

0,500

0, 772 −0, 454

0, 115

0, 000

1, 033 −1, 112

0, 232

1/r3

1, 290 −1, 958

0, 337

r

1, 505 −2.897

0, 423

ay

1, 630 −3, 685

0, 480

vy

0, 959

0,078 −0, 790

2,3 A bolyg´ o p´ aly´ aja az x-tengelyt a t = 2, 101 s id˝ opontban metszi, egy k¨ orbefordul´ as ideje 4, 20 s. A t = 2, 086 s id˝ opontban vx = 0. A bolyg´ o p´ aly´ aja az x-tengelyt az x = −1, 022 pontban metszi, a f´el nagytengely nagys´ aga: 1,022+0,500 = 0, 761. 2 vy = 0, 797. Egy f´elfordulat v´ arhat´ o ideje: π(0, 761)3/2 = 2, 082

p

9.2. t´ abl´ azat. A dvx /dt = −x/r3 , dvy /dt = −y/r3 ´es r = x2 + y 2 egyenletek megold´ asai. Id˝ ok¨ oz: ε = 0, 100 (Kiindul´ asi adatok: t = 0, vy = 1, 63, vx = 0, x = 0, 5, y = 0)

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

180

9. A dinamika Newton-f´ele t¨ orv´enyei

ges. Ez 130 s, vagyis kb. 2 perc. Teh´at ezzel a m´odszerrel a Jupiter Nap k¨or¨ uli p´aly´aj´anak nyomonk¨ovet´ese az o¨sszes bolyg´o hat´as´anak figyelembev´etel´evel ´es egy milli´ardodr´esz pontoss´aggal csup´an k´et percet vesz ig´enybe! (Mivel a hiba az ε id˝ok¨oz n´egyzet´evel v´altozik, ha ε-t ezerszer kisebbre v´alasztjuk, a sz´amol´as egymilli´oszor pontosabb lesz. V´alasszuk teh´at az intervallumot 10 000-szer kisebbre.) E fejezetet u ´gy kezdt¨ uk el, hogy m´eg azt sem tudtuk, hogyan kell a rug´on f¨ ugg˝o s´ uly mozg´as´at kisz´am´ıtani. Most m´ar azonban a Newtont¨orv´enyekkel felfegyverkezve nemcsak ilyen egyszer˝ u mozg´asokat, hanem – egy aritmetikai m˝ uveletek elv´egz´es´ere alkalmas g´ep seg´ıts´eg´evel – ak´ar a bolyg´ok roppantul bonyolult mozg´as´at is ki tudjuk sz´am´ıtani!

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

10. fejezet Az impulzus megmarad´ asa 10.1. Newton harmadik to enye ¨rv´ Newton m´asodik mozg´ast¨orv´enye alapj´an – mely megadja valamely test gyorsul´asa ´es a r´a hat´o er˝o k¨oz¨otti ¨osszef¨ ugg´est – elvben b´armely mechanikai probl´ema megoldhat´o. N´eh´any r´eszecske mozg´as´anak meghat´aroz´as´ara p´eld´aul az el˝oz˝o fejezetben ismertetett numerikus m´odszert lehet felhaszn´alni. Azonban nyom´os okok sz´olnak amellett, hogy folytassuk Newton t¨orv´enyeinek tanulm´anyoz´as´at. El˝osz¨or is l´eteznek olyan viszonylag egyszer˝ u mozg´asprobl´em´ak, melyek nemcsak numerikus u ´ton, hanem k¨ozvetlen matematikai m´odszerekkel is vizsg´alhat´ok. P´eld´aul, noha tudjuk, hogy a szabadon es˝o test gyorsul´asa 9,8 m/s2 , ´es ennek alapj´an az eg´esz mozg´as numerikus m´odszerekkel kisz´am´ıthat´o, m´egis sokkal k¨onnyebb ´es kiel´eg´ıt˝obb, ha a mozg´ast matematikai m´odszerrel analiz´aljuk ´es annak seg´ıts´eg´evel tal´aljuk meg az ´altal´anos megold´ast: s = s0 + v0 t + 4, 9t2 . Hasonl´o m´odon, b´ar a harmonikus oszcill´ator helykoordin´at´ai numerikus m´odszerekkel meghat´arozhat´ok, analitikusan azt is meg lehet mutatni, hogy az ´altal´anos megold´as egy egyszer˝ u koszinusz f¨ uggv´enye a t id˝onek. Ez´ert sz¨ uks´egtelen megk¨ uzdeni az aritmetikai neh´ezs´egekkel, amikor az eredm´enyhez egyszer˝ u ´es pontosabb u ´t is vezet. Egy bolyg´onak a Nap k¨or¨ ul v´egzett ´es a gravit´aci´o ´altal meghat´arozott mozg´asa p´eld´aul a 9. fejezetben ismertetett numerikus m´odszerrel pontr´ol pontra kisz´am´ıthat´o, p´aly´aja ´altal´anos alakban megkaphat´o, de a p´alya alakj´anak pontos kisz´am´ıt´asa is sz´ep feladat. Egy´ebk´ent a sz´am´ıt´as t¨ok´eletes ellipszist szolg´altat. Sajnos azonban nagyon kev´es az olyan probl´ema, amely anal´ızis seg´ıts´eg´evel pontosan megoldhat´o. A harmonikus oszcill´ator eset´eben p´eld´aul, ha a rugalmass´agi er˝o nem ar´anyos a nyugalmi helyzett˝ol val´o elmozdul´assal, hanem valamilyen bonyolultabb alakja van, akkor u ´jra a numerikus m´odszerre kell visszat´ern¨ unk. Vagy ha k´et test mozog a Nap k¨or¨ ul, azaz a k¨olcs¨onhat´asban lev˝o testek sz´ama h´arom, akkor az anal´ızis a mozg´asegyenlet megold´as´at m´ar nem tudja t¨obb´e egyszer˝ u alakban szolg´altatni, s ´ıgy ezt a feladatot is gyakorlatilag numerikusan kell elv´egezni. Ez az a h´ıres h´aromtest-probl´ema, mely hossz´ u id˝on ´at oly nagy er˝ofesz´ıt´esre sarkallta a matematikai anal´ızis m˝ uvel˝oit. Nagyon ´erdekes, milyen sok id˝obe telt, m´ıg az emberek meg´ertett´ek, hogy a matematikai anal´ızis lewww.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

182

10. Az impulzus megmarad´ asa

het˝os´egei val´osz´ın˝ uleg korl´atozottak, ´es hogy numerikus m´odszereket kell haszn´alni. Manaps´ag numerikus m´odszerekkel rengeteg analitikusan meg nem oldhat´o feladatot v´egeznek el. P´eld´aul az oly neh´eznek hitt j´o ¨oreg h´aromtest-probl´em´at rutinfeladatk´ent oldj´ak meg nagysz´am´ u aritmetikai m˝ uvelettel pontosan u ´gy, ahogyan az el˝oz˝o fejezetben le´ırtuk. Vannak persze olyan helyzetek is, ahol mindk´et m´odszer cs˝od¨ot mond – az egyszer˝ u feladatokat anal´ızissel, a k¨ozepesen neh´ez probl´em´akat numerikus, aritmetikai m´odszerekkel oldjuk meg, de a legbonyolultabb probl´em´akra egyik m´odszer sem felel meg. Ilyen bonyolult feladat p´eld´aul k´et g´epkocsi utk¨oz´ese vagy m´eg ink´abb a g´azmolekul´ak mozg´asa. Egy k¨obmil¨ossze¨ lim´eter g´azban tem´erdek r´eszecske van. Sz´amol´ast megk´ıs´erelni ily sok (kb. 1017 , azaz sz´azmilli´o milli´ard!) v´altoz´oval nevets´eges lenne. Az olyan probl´em´akat, mint valamilyen g´az vagy vast¨omb molekul´ainak, illetve atomjainak mozg´asa vagy a csillagok mozg´asa a g¨ombhalmazokban, melyek j´oval bonyolultabbak, mint a Nap k¨or¨ ul kering˝o k´et vagy h´arom bolyg´o probl´em´aja – k¨ozvetlen¨ ul nem lehet megoldani. Ilyen esetekben teh´at m´as m´odszereket kell keresn¨ unk. Olyankor, amikor a r´eszleteket nem lehet nyomon k¨ovetni, fel kell ismern¨ unk n´eh´any ´altal´anos tulajdons´agot, azaz a Newton-t¨orv´enyekb˝ol k¨ovetkez˝o ´altal´anos t´etelt vagy alapelvet. Ilyen p´eld´aul az energia megmarad´as´anak elve, melyet a 4. fejezetben t´argyaltunk, vagy az impulzusmegmarad´as elve, mely a jelen fejezet t´argya. A mechanika tov´abbi tanulm´anyoz´asa mellett sz´ol egy m´asik ´erv is. Nevezetesen, hogy vannak bizonyos mozg´ast´ıpusok, amelyek k¨ ul¨onb¨oz˝o k¨or¨ ulm´enyek k¨oz¨ott megism´etl˝odnek, k¨ovetkez´esk´eppen ezeket a t´ıpusokat valamilyen adott k¨or¨ ulm´eny figyelembev´etel´evel c´elszer˝ u tanulm´anyozni. Tanulm´anyozni fogjuk p´eld´aul az u ul¨onb¨oz˝o t´ıpus´ uu ¨tk¨oz´eseket; a k¨ ¨tk¨oz´eseknek sok k¨oz¨os tulajdons´aga van. Vagy vegy¨ uk a folyad´ek´araml´ast; nem okoz nagy k¨ ul¨onbs´eget, hogy a folyad´ek milyen, mert a k¨ ul¨onb¨oz˝o folyad´ekok ´araml´asi t¨orv´enyei hasonl´oak. M´as probl´em´akat, mint pl. a rezg˝o ´es leng˝o mozg´asokat ´es f˝oleg a mechanikai hull´ammozg´ast (a hang vagy a p´alc´ak rezg´es´et stb.) is tanulm´anyozni fogjuk. A Newton-t¨orv´enyek t´argyal´asa sor´an m´ar felh´ıvtuk a figyelmet arra, hogy e t¨orv´enyek egy saj´ats´agos programf´el´et alkotnak, melynek az a mondanival´oja, hogy Figyelj az er˝okre!”, s hogy Newton csak k´et dol” got mondott az er˝ok term´eszet´ere vonatkoz´oan. A t¨omegvonz´as eset´ere t¨ok´eletesen megfogalmazta az er˝ot¨orv´enyt. Az atomok k¨oz¨otti nagyon bonyolult er˝okre vonatkoz´o helyes t¨orv´enyeket viszont nem ismerte, m´egis felfedezett egy szab´alyt, egy olyan, minden er˝ore vonatkoz´o ´altal´anos

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

10.2. Az impulzus megmarad´ asa

183

tulajdons´agot, amelyet a harmadik t¨orv´enye fejez ki. Newton az er˝ok term´eszet´er˝ol – minden m´as r´eszlet ismerete n´elk¨ ul – o¨sszesen k´et dolgot tudott. A gravit´aci´os t¨orv´enyt ´es a k¨ovetkez˝o alapelvet: A hat´ as egyenl˝ o az ellenhat´ assal! Az alapelv jelent´ese l´enyeg´eben a k¨ovetkez˝o. Tekints¨ unk k´et kicsiny testet, mondjuk, k´et r´eszecsk´et, ´es egyik¨ uk fejtsen ki valamilyen er˝ohat´ast a m´asikra, p´eld´aul u ´gy, hogy bizonyos er˝ovel megl¨oki azt. Newton harmadik t¨ov´enye szerint ekkor a m´asik r´eszecske ugyanolyan er˝ovel, csak ellent´etes ir´anyban l¨oki az els˝ot. Az er˝ok egy ´es ugyanazon vonal ment´en hatnak. Voltak´eppen ez a Newton ´altal javasolt feltev´es, vagy ha u ´gy tetszik, t¨orv´eny, amely – noha nem abszol´ ut igaz – gyakorlatilag m´egis el´eg pontosnak l´atszik (hib´aival k´es˝obb m´eg megismerked¨ unk). Pillanatnyilag azonban teljesen igaznak tekintj¨ uk: a hat´as egyenl˝o az ellenhat´assal. Mag´at´ol ´ertet˝odik, hogy ha van egy harmadik, az els˝o kett˝ovel nem egy vonalban lev˝o r´eszecsk´enk is, akkor a t¨orv´eny m´ar nem jelenti azt, hogy az els˝o r´eszecsk´ere gyakorolt teljes er˝ohat´as egyenl˝o a m´asodikra kifejtett er˝ohat´assal, hiszen a harmadik r´eszecske mindk´et m´asik r´eszecsk´et megl¨okheti. Az els˝o k´et r´eszecsk´ere gyakorolt er˝ohat´asok m´as-m´as ir´anyba mutatnak, ´es a r´eszecsk´ekre hat´o er˝ok ´altal´aban m´ar nem lesznek sem egyenl˝ok, sem ellent´etes ir´any´ uak. Az egyes r´eszecsk´ekre hat´o teljes er˝ot azonban ¨osszetev˝okre lehet bontani, amelyek mindegyike voltak´eppen az egyes r´eszecskep´arok k¨oz¨ott hat´o er˝ok j´arul´ek´at jelenti. Teh´at minden egyes r´eszecskep´ arra az ¨osszk¨olcs¨onhat´as megfelel˝o komponensei hatnak, melyek nagys´agra n´ezve egyenl˝ok, ir´anyra n´ezve pedig ellent´etesek. 10.2. Az impulzus megmarad´ asa Most n´ezz¨ uk meg, hogy a harmadik t¨orv´enynek milyen ´erdekes k¨ovetkezm´enyei vannak. Az egyszer˝ us´eg kedv´e´ert tegy¨ uk fel, hogy csak k´et (lehet˝os´eg szerint nem egyenl˝o t¨ omeg˝ u), 1 ´es 2 sz´amoz´as´ u r´eszecsk´enk van. K´erd´es, mik lesznek a k¨ovetkezm´enyek, ha a k¨oz¨ott¨ uk fell´ep˝o er˝ok egyenl˝ok ´es ellent´etes ir´any´ uak. Newton m´asodik t¨orv´enye szerint az er˝o az impulzus v´altoz´asi sebess´eg´evel egyenl˝o, amib˝ol k¨ovetkezik, hogy az 1 r´eszecske p1 impulzus´anak v´altoz´asi sebess´ege egyenl˝o a 2 r´eszecske p2 impulzusa v´altoz´asi sebess´ege ´ert´ek´enek m´ınusz egyszeres´evel, azaz dp1 dp2 =− . (10.1) dt dt M´armost ha a v´ altoz´ as sebess´ege mindig egyenl˝o nagys´ag´ u ´es ellent´etes ir´any´ u, akkor ebb˝ol az k¨ovetkezik, hogy az 1 r´eszecske impulzus´anak teljes megv´ altoz´ asa egyenl˝o nagys´ag´ u ´es ellent´etes ir´any´ u a 2 r´eszecske impulzuwww.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

184

10. Az impulzus megmarad´ asa

s´anak teljes megv´ altoz´ as´ aval. Ez azt jelenti, hogy ha az 1 ´es 2 r´eszecsk´ek impulzus´at o¨sszeadjuk, az ered˝o impulzusnak a r´eszecsk´ek k¨oz¨otti k¨olcs¨on¨os er˝ohat´ast´ol (az u ´gynevezett bels˝o er˝okt˝ol) sz´armaz´o v´altoz´asi sebess´ege z´erussal egyenl˝o: d(p1 + p2 )/dt = 0.

(10.2)

Az el˝obbi feladatban a bels˝o er˝ok¨on k´ıv¨ ul m´as er˝ok nem szerepelnek. Ha teh´at ezen ¨osszeg v´altoz´asi sebess´ege mindig z´erus, ez csup´an egy m´as megfogalmaz´asa annak, hogy a p1 + p2 mennyis´eg id˝oben nem v´altozik. (ezt a mennyis´eget m1 v1 + m2 v2 alakban is ´ırj´ak, ´es a k´et r´eszecske teljes impulzus´anak nevezik.) Teh´at most azt az eredm´enyt kaptuk, hogy k´et r´eszecske teljes impulzusa a k¨ozt¨ uk fell´ep˝o bels˝o er˝ok k¨ovetkezt´eben nem v´altozik meg. Az adott p´eld´aban ez az ´all´ıt´as az impulzusmegmarad´as elv´et fejezi ki. K¨ovetkez´esk´epp ha k´et r´eszecske k¨oz¨ott valamilyen, b´armily bonyolult er˝ohat´as l´ep fel, ´es az m1 v1 + m2 v2 mennyis´eget, azaz a k´et impulzus ¨osszeg´et megm´erj¨ uk vagy kisz´am´ıtjuk az er˝ok hat´asa el˝ott ´es ut´an, az eredm´enyeknek azonosaknak kell lenni¨ uk. Vagyis a teljes impulzus ´alland´o lesz. ´ Altal´ anos´ıtsuk most ´ervel´es¨ unket bonyolultabb esetekre, amikor a k¨olcs¨onhat´asba l´ep˝o r´eszecsk´ek sz´ama h´arom vagy ann´al t¨obb. Vil´agos, hogy ha csak a bels˝o er˝oket tekintj¨ uk, az ¨osszes r´eszecske teljes impulzusa ´alland´o marad, mivel az egyik r´eszecsk´enek a m´asikt´ol sz´armaz´o impulzusn¨oveked´es´et pontosan kiegyenl´ıti a m´asodiknak az els˝ot˝ol sz´armaz´o impulzuscs¨okken´ese. Az o¨sszes bels˝o er˝ok kiegyenl´ıt˝odnek, ez´ert a r´eszecsk´ek teljes impulzusa nem v´altozhat meg. Ha semmilyen k¨ uls˝o er˝o nem hat, akkor nem l´ep fel olyan er˝o, mely a teljes impulzust meg tudn´a v´altoztatni, vagyis a teljes impulzus ´alland´o marad. Arr´ol is ´erdemes p´ar sz´ot ejteni, hogy mi t¨ort´enik akkor, ha olyan er˝ok l´epnek fel, amelyek nem a k´erd´eses r´eszecsk´ek egym´asra gyakorolt hat´asa folyt´an keletkeztek. T´etelezz¨ uk fel, hogy a k¨olcs¨onhat´asba ker¨ ul˝o r´eszecsk´ek rendszere teljesen el van szigetelve. Ha benne csak bels˝o er˝ok l´etezn´enek, b´armily bonyolultak legyenek is azok, akkor ´epp´ ugy, mint az el˝obb, a r´eszecsk´ek teljes impulzusa nem v´altozna meg. De t´etelezz¨ uk fel, hogy erre az elk¨ ul¨on´ıtett r´eszecskerendszerre a k¨ uls˝o r´eszecsk´ek m´egis valamilyen er˝ot fejtenek ki. B´armely k¨ uls˝o test ´altal a bels˝o testekre gyakorolt er˝ot k¨ uls˝ o er˝onek nevezz¨ uk. A k´es˝obbiek sor´an megmutatjuk majd, hogy az o¨sszes k¨ uls˝o er˝ok o¨sszege az o¨sszes bels˝o r´eszecske teljes impulzus´anak a v´altoz´asi sebess´eg´evel egyenl˝o. Egy´ebk´ent ez igen hasznos t´etel. www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

10.2. Az impulzus megmarad´ asa

185

T¨obb, k¨olcs¨onhat´asban lev˝o r´eszecske ¨osszimpulzus´anak megmarad´asa – ha k¨ uls˝o er˝ok nincsenek jelen – a k¨ovetkez˝o o¨sszef¨ ugg´essel fejezhet˝o ki: m1 v1 + m2 v2 + · · · = ´alland´o,

(10.3)

ahol az mi ´es vi mennyis´egek az i = 1, 2, 3, 4,. . . sz´amokkal jelzett r´eszecsk´ek t¨omeg´et ´es sebess´eg´et jel¨olik. Newton m´asodik t¨orv´eny´enek minden egyes r´eszecsk´ere vonatkoz´o ´altal´anos alakja: d F = (mv). (10.4) dt Ez b´armely, adott ir´anyba mutat´o er˝o- ´es impulzuskomponensekre igaz; a r´eszecsk´ere hat´o er˝o x komponense a r´eszecske x ir´any´ u impulzus´anak v´altoz´asi sebess´eg´evel egyenl˝o: d Fx = (mvx ). (10.5) dt Hasonl´o ¨osszef¨ ugg´es ´ırhat´o fel az y, illetve z ir´any´ u komponensekre is. A (10.3) ez´ert val´oj´aban h´arom egyenlet, minden ir´anyra egy egyenlet esik. Az impulzus megmarad´as´an k´ıv¨ ul Newton m´asodik t¨orv´eny´enek van egy m´asik ´erdekes k¨ovetkezm´enye is. A t´etelt most csup´an megeml´ıtj¨ uk, bizony´ıtani k´es˝obb fogjuk. Azt mondja ki, hog a fizika t¨orv´enyei mindig ugyanolyan alak´ uak maradnak, f¨ uggetlen¨ ul att´ol, hogy egyhelyben ´allunke vagy egyenes vonal´ u egyenletes mozg´asban vagyunk. Egy rep¨ ul˝og´ep belsej´eben labd´az´o gyermek p´eld´aul ugyan´ ugy l´atja rep¨ ulni a labd´at, mintha a f¨old¨on dob´aln´a. B´ar igen nagy sebess´eggel rep¨ ul a rep¨ ul˝og´ep – hacsak nem v´altoztatja a sebess´eg´et –, a gyermek sz´am´ara a jelens´egek ugyanu ´gy folynak le, mintha a rep¨ ul˝og´ep a rep¨ ul˝ot´eren egyhelyben ´allna. Ez az u ´gynevezett relativit´ as elve, ´es a most bemutatott alakj´at Galilei-f´ele ” relativit´asnak” nevezz¨ uk, megk¨ ul¨ onb¨oztet´es¨ ul az Einstein ´altal v´egzett, sokkalta alaposabb anal´ızist˝ol, amelyet k´es˝obb m´eg b˝ovebben t´argyalunk. A Newton-t¨orv´enyekb˝ol ily m´odon levezett¨ uk az impulzusmegmarad´as t¨orv´eny´et, ebb˝ol pedig most az u tk¨ o z´ e sekre ´ e s a sz´or´od´asokra vonatkoz´o ¨ speci´alis t¨orv´enyeket fogjuk lesz´armaztatni. A v´altozatoss´ag kedv´e´ert – valamint annak szeml´eltet´es´ere, hogy milyen megfontol´asokkal lehet ´elni a fizik´aban m´as esetekben, p´eld´aul ha valaki nem ismeri a Newtont¨orv´enyeket ´es m´as gondolatmenetet kell k¨ovetnie – a sz´or´od´as ´es az u ¨tk¨oz´es t¨orv´enyeit teljesen m´as szempontokb´ol kiindulva t´argyaljuk. Az im´ent kimondott Galilei-f´ele relativit´asi elvb˝ol indulunk ki, ´es v´eg¨ ul az impulzusmegmarad´as t´etel´ehez kell eljutnunk. Abb´ol a feltev´esb˝ol indulunk teh´at ki, hogy ha bizonyos sebess´eggel egyenes vonal´ u mozg´asban vagyunk, a term´eszet t¨orv´enyeit ugyanolyanoknak l´atjuk, mint amikor egyhelyben ´allunk. Miel˝ott azonban r´at´ern´enk www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

186

10. Az impulzus megmarad´ asa

az u utk¨ozik, ´es u ¨tk¨oz´esek t´argyal´as´ara – k´et test ¨ossze¨ ¨tk¨oz´es ut´an vagy egy¨ utt marad, vagy sz´etugrik –, azt az esetet fogjuk megvizsg´alni, amikor rug´o vagy valami m´as tart ¨ossze k´et testet, majd hirtelen a rug´o kiold, vagy kisebb robban´as hat´as´ara a k´et test sz´etrep¨ ul. Megvizsg´aljuk tov´abb´a a csak egy ir´anyban t¨ort´en˝o mozg´ast is. Tegy¨ uk fel el˝osz¨or, hogy a k´et test teljesen szimmetrikus, pontosan egyforma alak´ u ´es nagys´ag´ u t´argy. Miut´an a kis robban´as megt¨ort´ent k¨oz¨ott¨ uk, egyik¨ uk, mondjuk, ´ jobbra rep¨ ul el v sebess´eggel. Erthet˝ onek t˝ unik, hogy ugyanakkor a m´asik test balra rep¨ ul, ugyancsak v sebess´eggel, mivel ha a k´et t´argy teljesen egyforma, semmilyen indok sincs arra, hogy az egyik ir´anyt a m´asikkal szemben kit¨ untess¨ uk, a testeknek teh´at szimmetrikusan kell viselkedni¨ uk. Ez sok probl´ema megold´as´aban alkalmazhat´o igen fontos gondolatmenet, b´ar nem mindig tekinthet˝o ´at ilyen vil´agosan, amikor bonyolult k´epletekkel dolgozunk. K´ıs´erlet¨ unk els˝o eredm´enyek´ent az ad´odik, hogy egyforma t´argyaknak egyenl˝o a sebess´eg¨ uk. De tegy¨ uk most fel, hogy a k´et t´argy k¨ ul¨onb¨oz˝o anyagb´ol, mondjuk, r´ezb˝ol ´es alum´ıniumb´ol k´esz¨ ult, t¨ omeg¨ uk viszont egyenl˝o. Tegy¨ uk fel azt is, hogy k´ıs´erlet¨ unkben a k´et egyforma t¨omeg˝ u, de nem azonos anyag´ u t´argy sebess´ege szerepel, sebess´eg¨ uk m´egis egyen¨ tudja azt, l˝onek ad´odik. Valaki most a k¨ovetkez˝o ellenvet´est tehetn´e: On ” hogy ford´ıtva is elj´arhatna, ezt nem kell felt´eteleznie. A k´ıs´erletben szerepl˝o t¨omegeket azzal is egyenl˝o t¨omeg˝ ueknek defini´ alhatja, hogy egyenl˝o sebess´egre tesznek szert.” J´o, elfogadjuk a javaslatot, ´es kis robban´ast hozunk l´etre a r´ezdarabka ´es egy olyan hatalmas alum´ıniumt¨omb k¨oz¨ott, hogy mik¨ozben a robban´as a rezet messze kirep´ıti, az alum´ıniumt¨omb alig moccan meg. Persze nagyon sok volt az alum´ınium. Ha pici darabk´ara cs¨okkentj¨ uk, ´es a robbant´ast megism´etelj¨ uk, most meg az alum´ınium rep¨ ul el, a r´ez j´oform´an alig mozdul el. Vagyis ez´ uttal kev´es az alum´ınium. Nyilv´anval´o, hogy kell valamilyen k¨ozbees˝o mennyis´egnek lennie, amelyet fokozatosan pr´ob´algatva u ´gy v´alaszthatunk ki, hogy a sebess´egek egyenl˝ok legyenek. H´at j´o, akkor most ford´ıtsuk meg a gondolatmenetet, ´es mondjuk azt, hogy: ha a sebess´egek egyenl˝ok, a t¨omegek is egyen” l˝ok”. Ez defin´ıci´onak t˝ unik, ´es ´eppen ez a leg´erdekesebb benne: fizikai t¨orv´enyeket puszta defin´ıci´okk´a alak´ıthatunk ´at. Persze az´ert a defin´ıci´o m´egiscsak tartalmaz n´eh´any fizikai t¨orv´enyt; s ha elfogadjuk az egyenl˝o t¨omegek ilyenfajta meghat´aroz´as´at, az egyik t¨orv´eny azonnal ad´odik is a k¨ovetkez˝ok´eppen. T´etelezz¨ uk fel az el˝oz˝o k´ıs´erlet alapj´an, hogy a k´et A ´es B (r´ez ´es alum´ınium) anyagdarabnak egyenl˝o t¨omege van. Vegy¨ unk most egy har-

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

10.3. Az impulzus megmarad!

187

madik testet, mondjuk, egy darab aranyat, ´es – pontosan a fenti elj´ar´as szerint – a t¨omeg´et tegy¨ uk egyenl˝ov´e a r´ez t¨omeg´evel. Ha most a k´ıs´erletet az arany ´es alum´ınium k¨oz¨ott megism´etelj¨ uk, semmilyen logikus alapunk nincs azt ´all´ıtani, hogy ezeknek a t¨omegeknek is egyenl˝onek kell lenni¨ uk. ´ A k´ıs´erlet viszont azt mutatja, hogy val´oban egyenl˝ok. Igy k´ıs´erleti u ´ton egy u ´j t¨orv´enyt tal´altunk: Ha k´et t¨omeg mindegyike egyenl˝o egy harmadikkal, (mint ezt a k´ıs´erlet¨ unk sor´an meghat´aroztuk az egyenl˝o sebess´egek m´odszer´evel), akkor egym´assal is egyenl˝ok. (A t´etel egy´altal´an nem k¨ ovetkezik a matematikai mennyis´egekre vonatkoz´ o, hasonl´ oan hangz´ o posztul´ atumb´ ol.) E p´eld´ab´ol is l´athat´o, hogy ha nem lenn´enk el´eg ´ovatosak, elhamarkodott, megalapozatlan k¨ ovetkeztet´eseket vonhatn´ank le. Az az ´all´ıt´as, hogy a t¨omegek egyenl˝ok, m´eg nem defin´ıci´ o, ugyanis tartalmazza az egyenl˝os´eg matematikai t¨orv´enyeinek ´erv´enyess´eg´et is, viszont lehet˝ov´e teszi, hogy egy k´ıs´erlet eredm´enyeire el˝ore k¨ovetkeztess¨ unk. Vegy¨ unk m´eg egy p´eld´at. T´etelezz¨ uk fel, hogy A-t ´es B-t egy adott er˝oss´eg˝ u robban´assal v´egzett k´ıs´erletben egyenl˝onek tal´altuk. Mi t¨ort´enik, ha n¨ovelj¨ uk a robban´as er˝oss´eg´et? A sebess´egek vajon most is egyenl˝oknek ad´odnak-e? Puszt´an logikailag ezt a k´erd´est sem lehet eld¨onteni, a k´ıs´erlet viszont azt mutatja, hogy t´enyleg u ´gy van, a sebess´egek val´oban egyenl˝ok. Ily m´odon egy m´asik t¨orv´enyt kaptunk, mely azt ´all´ıtja: Ha k´et test t¨omege – az azonos sebess´egek m´odszer´evel m´erve – adott sebess´eg eset´en egyenl˝o, akkor m´as sebess´eg eset´en m´ert t¨omeg¨ uk is egyenl˝o lesz. A p´eld´akb´ol l´athat´ok, hogy ami el˝osz¨or u ¨res meghat´aroz´asnak l´atszott, val´oban tartalmaz n´eh´any fizikai t¨orv´enyt. A k¨ovetkez˝o megfontol´asokban igaznak t´etelezz¨ uk fel, hogy egyenl˝o t¨omegeknek egyenl˝o nagys´ag´ u ´es ellent´etes ir´any´ u sebess´eg¨ uk lesz, ha robbant´assal sz´etl¨okj¨ uk ˝oket. A ford´ıtott esetre vonatkoz´olag m´eg egy m´asik feltev´est is tesz¨ unk. A ford´ıtott esetben azt k´erdezz¨ uk, milyen ir´anyban fog mozogni az a rendszer, mely k´et azonos, egym´assal szemben azonos sebess´eggel mozg´o test ¨ossze¨ utk¨oz´ese ´es – valamilyen ragaszt´oszer” okoz” ta – ¨osszetapad´asa” ut´an alakul ki. Ez u ´jra szimmetrikus helyzet, ahol ” a jobb ´es a bal k¨oz¨ ul egyik sincs kit¨ untetve. Felt´etelezz¨ uk teh´at, hogy nem mozdulnak el. Azt is felt´etelezz¨ uk majd, hogy b´armely k´et egyenl˝o t¨omeg˝ u test – b´ar anyaguk k¨ ul¨onb¨ oz˝o –, amely azonos sebess´eggel u ¨tk¨ozik utt marad, az u ul. ¨ossze ´es egy¨ ¨tk¨oz´es ut´an nyugalmi helyzetbe ker¨ 10.3. Az impulzus megmarad! K´ıs´erletileg is bizony´ıthatjuk fenti feltev´es¨ unket, teh´at el˝osz¨or is azt, hogy ha k´et egyenl˝o t¨omeg˝ u ´all´o t´argyat robbant´assal sz´etv´alasztunk, akkor www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

188

10. Az impulzus megmarad´ asa

azok azonos nagys´ag´ u, de ellent´etes ir´any´ u sebess´eggel rep¨ ulnek sz´et, m´asodszor pedig azt, hogy ha k´et azonos t¨omeg˝ u, egym´as fel´e azonos sebess´eggel mozg´o t´argy ¨ossze¨ utk¨ozik ´es ¨osszetapad, akkor a k´et t´argy meg´all. A bizony´ıt´ast egy csod´alatos tal´alm´any, a l´egcsatorna1 seg´ıts´eg´evel (10.1. ´abra) lehet elv´egezni, ez ugyanis kik¨ usz¨ob¨oli a s´ url´od´ast, amely m´ar Galileinek is oly sok gondot okozott (cs´ usz´o testekkel – mivel azok nem cs´ usznak szabadon – nem tudott k´ıs´erletezni). Ma m´ar ezzel a var´azslatos elj´ar´assal a s´ url´od´ast kik¨ usz¨ob¨olhetj¨ uk. T´argyaink minden k¨ ul¨on¨osebb akad´aly n´elk¨ ul cs´ usznak majd ´es a sebess´eg¨ uk is ´alland´o marad, u ´gy, ahogyan azt Galilei hirdette. Ezt a t´argyak l´egp´arn´ara helyez´es´evel lehet el´erni. A leveg˝onek ugyanis nagyon kicsi a s´ url´od´asa, teh´at egy t´argy, amelyre semmilyen er˝o sem hat, gyakorlatilag ´alland´o sebess´eggel siklik rajta. A k´ıs´erlethez el˝osz¨or k´et, pontosan ugyanolyan s´ uly´ u, illetve t¨omeg˝ u (a gyakorlatban a s´ ulyt m´erik, de tudjuk, hogy az a t¨omeggel ar´anyos) cs´ usz´o has´abot haszn´alunk, egy z´art hengerben kis robban´ot¨oltetet helyezve k¨oz´ej¨ uk (10.2. ´abra). A csatorna k¨oz´eppontj´aban nyugv´o has´abokat az elektromos szikr´aval felrobbantott t¨oltet v´alasztja sz´et ´es ind´ıtja el. Mi t¨ort´enik ekkor? Ha a has´abok sz´etrep¨ ul´esekor a sebess´egek egyenl˝ok, akkor a csatorna v´egfalaihoz ugyanabban az id˝opillanatban ´erkeznek el. Ezeket el´erve gyakorlatilag ugyanakkora, de ellent´etes ir´any´ u sebess´eggel pattannak vissza, ´es ugyanott, a k¨oz´eppontban tal´alkoznak ´es ´allnak meg, ahonnan elindultak. A k´ıs´erlet nagyon szerencs´es, ha ugyanis elv´egezz¨ uk, pontosan az ismertetett eredm´eny ad´odik (10.3. ´abra).

Sikló test

Kis lyukak (fúvókák)

Rugós ütköző

Játékpisztoly-gyutacs Szikraképző elektród

Sürített levegő Henger

10.1. a ´bra. Egyenes l´egcsatorna keresztmetszete

Dugattyú

Rugós ütköző

10.2. a ´bra. Robban´ ogyutaccsal ¨ osszekapcsolt cs´ usz´ o has´ abok keresztmetszete

K¨ovetkez˝o k´erd´es¨ unk ´ıgy hangzik: Mi t¨ort´enik a kev´esb´e egyszer˝ u helyzetekben? Tegy¨ uk fel, k´et egyforma t¨omeg ´all rendelkez´es¨ unkre; az egyik v sebess´eggel mozog, a m´asik egyhelyben ´all, majd ¨ossze¨ utk¨oznek ´es o¨sszetapadnak. Mi t¨ort´enik? A folyamat v´egezt´evel l´etrej¨ott 2m t¨omeg˝ u ´ test bizonyos sebess´eggel mozogni kezd. Mekkora lesz ez a sebess´eg? Epp ez a k´erd´es! A v´alasz megad´as´ahoz felt´etelezz¨ uk, hogy egy egyenes p´aly´an 1

H. V. Neher ´es R. B. Leighton, Amer. Journal of Phys. 31, 255 (1963).

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

189

10.3. Az impulzus megmarad!

halad´o kocsib´ol megfigyelt jelens´egre a fizika t¨orv´enyei ugyan´ ugy ´erv´enyesek, mintha egyhelyben ´allva figyeln´enk a jelens´eget. Tudjuk tov´abb´a, hogy k´et egyenl˝o t¨omeg˝ u, egym´as fel´e egyenl˝o v sebess´eggel mozg´o t¨omeg utk¨oz´es ut´an meg´all. K´epzelj¨ uk most el, hogy mialatt ez lezajlik, ¨ossze¨ kocsinkat −v sebess´eggel vezetj¨ uk. Milyen k´epet l´atunk? Mivel az egyik t¨omeggel p´arhuzamosan, egy ir´anyban haladunk, sz´amunkra az ´all´onak t˝ unik. A m´asik t¨omeg azonban, amely v sebess´eggel ellent´etes ir´anyban mozog, u ´gy t˝ unik, mintha 2v sebess´eggel j¨onne fel´enk (10.4. ´abra). V´eg¨ ul az u ¨tk¨oz´es sor´an l´etrej¨ott ¨osszetett t¨omeg v sebess´eggel l´atszik elhaladni mellett¨ unk. Arra k¨ovetkeztet¨ unk teh´at, hogy ha egy 2v sebess´eggel halad´o t´argy egy vele egyenl˝o t¨omeg˝ u, nyugalomban lev˝o t´arggyal u ¨tk¨ozik, az ´ıgy l´etrej¨ott test v sebess´eggel halad tov´abb. Vagy – ami matematikailag t¨ok´eletesen ugyanaz – ha egy v sebess´eg˝ u t´argy ¨ossze¨ utk¨ozik egy nyugalomban lev˝o t´arggyal ´es egy¨ utt marad vele, akkor ezek egy¨ uttesen egy v/2 sebess´eggel mozg´o t´argyat k´epeznek. Vegy¨ uk ´eszre, hogy ha megszorozzuk a t¨omegeket az u ¨tk¨oz´es el˝otti sebess´egekkel, ´es az ´ıgy kapott tagokat ¨osszeadjuk (mv +0), akkor ugyanazt az eredm´enyt kapjuk, mintha ugyanezt u ¨tk¨oz´es el˝ott v´egezn´enk el (2mv/2). ´Ime, megkaptuk a v´alaszt arra a k´erd´esre, hogy mi t¨ort´enik akkor, ha egy v sebess´eg˝ u test u ¨tk¨ozik egy nyugalomban lev˝o testtel. v=0 (a) –v

v (b) (c)

v

A tömegközépponti rendszerből nézve V

–V m

–v

m

A mozgó kocsi rendszeréből nézve (A kocsi sebessége = –V) 0 2V m m Ütközés előtt

(d) v=0 (e)

10.3. a ´bra. Egyenl˝ o t¨ omegekkel v´egzett hat´ as-ellenhat´ as k´ıs´erlet v´ azlata

V=0 m m

V Ütközés után

m

m

10.4. a ´bra. Egyenl˝ o t¨ omegek rugalmatlan u oz´es´enek szeml´eltet´ese k´et rendszerben ¨tk¨

Pontosan ugyanilyen m´odon vezethetj¨ uk le, hogy mi t¨ort´enik akkor, ha k´et azonos t¨omeg˝ u, de tetsz˝ oleges sebess´eg˝ u test u ¨tk¨ozik egym´assal. Tegy¨ uk fel, hogy k´et v1 ´es v2 sebess´eg˝ u (v1 > v2 ), azonos t¨omeg˝ u test u uttmarad. Mi lesz a sebess´eg¨ uk? Sz´alljunk ism´et g´epko¨tk¨oz´es ut´an egy¨ csiba, ´es hajtsunk, mondjuk, v2 sebess´eggel u ´gy, hogy az egyik test ´all´onak t˝ unj´ek. Ekkor a m´asik test l´atsz´olagos sebess´ege v1 − v2 , s ´ıgy pontosan az el˝obbi esettel ´allunk szemben. Az u uttmaradva teh´at a ¨tk¨oz´es ut´an egy¨ 1 kocsihoz viszony´ıtva 2 (v1 − v2 ) sebess´eggel mozognak. De mekkora a f¨oldh¨oz viszony´ıtott t´enyleges sebess´eg¨ uk? Egyszer˝ uen: v = 12 (v1 − v2 ) + v2 www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

190

10. Az impulzus megmarad´ asa

vagy v = 12 (v1 + v2 ). (L´asd a 10.5. ´abr´at!) Figyelj¨ uk meg ism´et, hogy mv1 + mv2 = 2m(v1 + v2 )/2. (10.6) Teh´at ezt az alapelvet felhaszn´alva analiz´alhatunk b´armilyen u ¨tk¨oz´est, amelynek sor´an k´et egyenl˝o t¨omeg˝ u test u ¨tk¨ozik egym´assal, azt´an egy¨ uttmarad. B´ar eddigi megfontol´asaink egydimenzi´os esetre vonatkoztak, sokkal bonyolultabb u ¨tk¨oz´esekr˝ol is sok mindent kital´alhatunk, ha elk´epzelj¨ uk, hogy egy kocsival az u ¨tk¨oz˝o testekhez k´epest valamilyen ferde ir´anyban haladunk. Az alapelv ugyanaz marad, a r´eszletek azonban kiss´e bonyolultabbak lesznek. A laboratóriumi A kocsi rendszerből nézve rendszeréből nézve V1 V2 V1 – V2 0 m m m m Ütközés előtt

2D +

2D V m

m

Ütközés után

1/2(V1 – V2) m m

10.5. a ´bra. Egyenl˝ o t¨ omegek rugalmatlan k¨ olcs¨ onhat´ as´ anak m´ asik esete, k´et rendszerben szeml´eltetve

–v m

m

m

m

D

–v m

v m

0 m

D v’ 2m

10.6. a ´bra. Annak igazol´ as´ ara szolg´ al´ o k´ıs´erlet, hogy ha egy v sebess´eg˝ u ´es m t¨ omeg˝ u t´ argy egy nyugalomban lev˝ o, ugyanakkora m t¨ omeg˝ u t´ arggyal u ozik, 2m t¨ o¨tk¨ meg˝ u ´es v/2 sebess´eg˝ u t´ argy j¨ on l´etre

Hogy k´ıs´erletileg is igazoljuk, vajon egy v sebess´eggel mozg´o t´argy egy vele azonos t¨omeg˝ u, nyugalomban lev˝o t´arggyal u ¨tk¨ozve t´enylegesen l´etrehoz-e egy v/2 sebess´eggel mozg´o t´argyat, a k¨ovetkez˝o k´ıs´erletet v´egezhetj¨ uk el l´egcsatorn´as berendez´es¨ unk seg´ıts´eg´evel. A csatorn´aba h´arom egyenl˝o t¨omeg˝ u t´argyat tesz¨ unk. K¨oz¨ ul¨ uk kett˝ot kezdetben a robban´ohengerrel kapcsolunk ¨ossze, a harmadikat pedig, amelyet ragaszt´os u ¨tk¨oz˝ovel l´attunk el, hogy a hozz´au ¨tk¨oz˝o testhez tapadjon, ezekhez nagyon k¨ozel, de az´ert t˝ol¨ uk kiss´e elv´alasztva helyezz¨ uk el. A robban´ast k¨ovet˝o pillanatban k´et m t¨omeg˝ u, egym´assal ellent´etes ir´any´ u v sebess´eggel mozg´o t´argyunk lesz. Egy pillanattal k´es˝obb egyik¨ uk a harmadik t´arggyal u ¨tk¨ozik, ´es egy 2m t¨omeg˝ u t´argyat hoz l´etre, amely – u ´gy hissz¨ uk – v/2 sebess´eggel mozog. Hogyan bizony´ıthatjuk be, hogy val´oban v/2 a sebess´eg? Olyan elrendez´es seg´ıts´eg´evel, hogy a t¨omegeket a sz´elcsatorn´aban nem a v´egfalakt´ol sz´am´ıtott azonos t´avols´agban, hanem olyan t´avols´agokban helyezz¨ uk el, melyeknek egym´ashoz viszony´ıtott ar´anya 2 : 1. A tov´abbra is v sebess´eggel mozg´o els˝o testnek teh´at adott id˝o alatt k´etszer nagyobb t´avols´agot kell befutnia, mint a k´et egy¨ utt mozg´o testnek (sz´am´ıt´asba v´eve term´eszetesen azt a kis t´avols´agot, amelyet a m´asodik t´argy a harmadikkal val´o u ¨tk¨oz´es el˝ott fut be). Az m ´es a 2m t¨omegeknek www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

191

10.3. Az impulzus megmarad!

ugyanabban a pillanatban kell el´erni¨ uk a v´egeket. A k´ıs´erletet elv´egezve l´atjuk, hogy t´enyleg ez t¨ort´enik. A k¨ovetkez˝o megoldand´o probl´ema: Mi t¨ort´enik akkor, ha a t´argyaknak k¨ ul¨onb¨oz˝o t¨omeg¨ uk van? Tekints¨ unk egy m ´es egy 2m nagys´ag´ u t¨omeget, ´es alkalmazzuk r´ajuk robban´asos k¨olcs¨onhat´asunkat”. Mi fog ” t¨ort´enni? Ha a robban´as eredm´enyek´ent az m t¨omeg v sebess´eggel mozog, milyen sebess´eggel mozog 2m? Az el˝obb v´egzett k´ıs´erletet megism´etelhetj¨ uk u ´gy, hogy a m´asodik ´es harmadik t¨omeg k¨oz¨ott ne legyen h´ezag. A k´ıs´erletet elv´egezve ugyanezt az eredm´enyt kapjuk, nevezetesen a k¨olcs¨onhat´asba l´epett m ´es 2m t¨omegek sebess´ege −v ´es a v/2. Vagyis az m ´es 2m k¨oz¨otti k¨ozvetlen k¨olcs¨onhat´as ugyanazt az eredm´enyt szolg´altatja, mint az m ´es m k¨oz¨otti szimmetrikus k¨olcs¨onhat´as, amelyet az m-nek ´es egy harmadik, ugyancsak m t¨omegnek olyan u ¨tk¨oz´ese k¨ovet, melyben a k´et t¨omeg ¨osszeragad. Azt tal´aljuk tov´abb´a, hogy a csatorna v´egeir˝ol (csaknem) ugyanolyan, de ford´ıtott ir´any´ u sebess´eggel visszat´er˝o m ´es 2m t¨omeg meg´all, ha egym´asnak u ¨tk¨ozve ¨osszeragad. Tömegközépponti rendszerben v –v/2 m

2m

0 3m

A kocsi rendszeréből nézve 3v/2 0 Ütközés előtt

Ütközés után

m

0 m

0 m

0 m

–v m

0 m v m

0 m

0 m

0 m

0 m 0 m

2m

v/2 3m

10.7. ´ abra. Az m ´es 2m t¨ omegek k¨ oz¨ otti rugalmatlan u oz´es szeml´eltet´ese k´et ¨tk¨ rendszerben

m

–v/2 m

v/2 m m

m

–v/2 m

m

v/3 m

m

10.8. ´ abra. A 2m ´es 3m t¨ omegek k¨ oz¨ otti hat´ as–ellenhat´ as szeml´eltet´ese

T´erj¨ unk ´at most a k¨ovetkez˝o k´erd´esre. Mi t¨ort´enik, ha egy v sebess´eg˝ u ´es m t¨omeg˝ u test, mondjuk, egy nyugalomban lev˝o 2m t¨omeg˝ u testtel u ¨tk¨ozik ´es ¨osszeragad vele? Felhaszn´alva a Galilei-f´ele relativit´asi elvet, erre nagyon k¨onny˝ u feleletet adni. Egyszer˝ uen a −v/2 sebess´eggel mozg´o kocsinkb´ol meg kell figyeln¨ unk az im´ent le´ırt u ¨tk¨oz´est (10.7. ´abra). A kocsib´ol ´eszlelt sebess´egek: 3v v10 = v − v(kocsi) = v + v/2 = 2 ´es v20 = −v/2 − v(kocsi) = −v/2 + v/2 = 0. Az u ¨tk¨oz´es ut´an a 3m t¨omeg sz´amunkra v/2 sebess´eggel l´atszik mozogni. Teh´at megkaptuk a v´alaszt, azaz azt, hogy az u ¨tk¨oz´es el˝otti ´es ut´ani www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

192

10. Az impulzus megmarad´ asa

sebess´egek ar´anya 3 : 1. M´as sz´oval, ha egy m t¨omeg˝ u t´argy ¨ossze¨ utk¨ozik egy ´all´o 2m t¨omeg˝ u t´arggyal, akkor a keletkez˝o 3m t¨omeg˝ u t´argy 3-szor kisebb sebess´eggel halad tov´abb. Ebben az esetben is teljes¨ ul az ´altal´anos szab´aly: a t¨omegek ´es sebess´egek szorzat¨osszege u ¨tk¨oz´es el˝ott ´es ut´an ugyanaz: mv + 0 = 3mv/3. Amint l´athat´o, fokozatosan, l´ep´esr˝ol l´ep´esre ´ep´ıtj¨ uk fel az impulzusmegmarad´as elv´et. Eddig egy testnek k´et m´asik testtel val´o u ¨tk¨oz´es´et vizsg´altuk. Hasonl´o megfontol´asok alapj´an el˝ore megmondhatjuk, hogy mit eredm´enyez egy test u ¨tk¨oz´ese h´arom testtel, k´et test u ¨tk¨oz´ese h´arommal stb. Nyugalmi ´allapotb´ol kiindulva, k´et testnek h´arom testtel val´o u ¨tk¨oz´es´et szeml´elteti a 10.8. ´abra. Minden esetben azt tal´aljuk, hogy az els˝o t´argy t¨omeg´enek ´es sebess´eg´enek szorzata plusz a m´asodik t´argy t¨omeg´enek ´es sebess´eg´enek szorzata egyenl˝o a keletkezett u ´j t´argy teljes t¨omeg´enek ´es sebess´eg´enek szorzat´aval. Mindezek az impulzusmegmarad´as p´eld´ai. Egyszer˝ u szimmetrikus esetekb˝ol kiindulva mutattuk meg a t¨orv´enyt sokkal bonyolultabb esetekre. Voltak´eppen ezt b´armely racion´alis t¨omegar´anyra vonatkoz´oan megtehetn´enk, s mivel minden ar´any tetsz˝olegesen k¨ozel fekszik valamely racion´alis sz´amhoz, az´ert az impulzusmegmarad´as t¨orv´enye b´armely t¨omegar´any eset´ere is tetsz˝oleges pontoss´aggal ´erv´enyes. 10.4. Impulzus ´ es energia Valamennyi el˝oz˝o p´elda egyszer˝ u eset volt, a testek ¨ossze¨ utk¨oztek ´es ¨osszeragadtak, vagy a kezdeti ´allapotban voltak o¨sszeragadva ´es k´es˝obb robban´as k¨ovetkezt´eben v´altak el. L´eteznek azonban olyan u ¨tk¨oz´esek is, hogy a testek nem tapadnak ¨ossze, p´eld´aul amikor k´et egyenl˝o t¨omeg˝ u ´es sebess´eg˝ u test ¨ossze¨ utk¨ozik, majd egym´asr´ol visszapattan. R¨ovid id˝ore kapcsolatba ker¨ ulnek ´es mindketten ¨osszenyom´odnak. A maxim´alis ¨osszenyom´od´as pillanat´aban mindkett˝o sebess´ege z´erus lesz, ´es az energia – ´epp´ ugy, mint az ¨osszenyomott rug´oban – a rugalmas testekben t´arol´odik. Ez az energia a testek u ¨tk¨oz´es el˝otti mozg´asi energi´aj´ab´ol sz´armazik, amelynek ´ert´eke a testek sebess´eg´enek z´eruss´a v´al´asa pillanat´aban szint´en z´eruss´a v´alik. A mozg´asi energia azonban csak pillanatnyilag t˝ unik el. Az ¨osszenyomott ´allapot ugyanis gyutacshoz hasonl´o, amely robban´assal szabad´ıtja fel az energi´at. A k¨ovetkez˝o pillanatban a testek robban´asszer˝ uen felszabadulnak ¨osszenyomott ´allapotukb´ol ´es ism´et sz´ejjelrep¨ ulnek. A folyamatnak ezt a r´esz´et azonban m´ar ismerj¨ uk: a testek egyenl˝o sebess´eggel rep¨ ulnek sz´ejjel. Ez a visszal¨ok˝od´esi sebess´eg azonban ´altal´aban kisebb a kezdeti sebess´egn´el, mivel a robban´ashoz nem ´all rendelkez´esre az ¨osszes energia, www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

10.4. Impulzus ´es energia

193

hanem az anyagt´ol f¨ ugg˝oen annak csak egy r´esze. Ha az anyag puha, mozg´asi energi´at nem nyer¨ unk vissza, de ha egy kicsit is szil´ardabb, ´altal´aban visszakapunk valamennyi mozg´asi energi´at. A mozg´asi energia t¨obbi r´esze az u oz´es folyam´an h˝o ´es rezg´esi energi´av´a alakul ´at, a testek felmelegsze¨tk¨ nek ´es rezg´esbe j¨onnek. A rezg´esi energia csakhamar szint´en h˝ov´e alakul ´at. Az u ¨tk¨oz˝o testeket term´eszetesen nagyon rugalmas anyagb´ol, p´eld´aul ac´elb´ol is lehet k´esz´ıteni, ´es gondosan tervezett rug´os u ¨tk¨oz˝okkel is el lehet l´atni, hogy az u ¨tk¨oz´es csak nagyon kis h˝ot ´es rezg´est keltsen. Ilyen k¨or¨ ulm´enyek k¨oz¨ott a visszal¨ok˝od˝o testek sebess´ege gyakorlatilag a kezdeti sebess´eggel lesz egyenl˝o. Az ilyen u oz´eseknek ¨tk¨oz´eseket rugalmas u ¨tk¨ nevezz¨ uk. Az a t´eny, hogy rugalmas u oz´es el˝ ott ´es ut´ an a sebess´egek egyenl˝ok, ¨tk¨ nem az impulzusmegmarad´asnak, hanem a mozg´ asi energia megmarad´as´anak a k¨ovetkezm´enye. Az viszont az impulzusmegmarad´as k¨ovetkezm´enye, hogy a szimmetrikus u oz´es ut´an visszal¨ok˝od˝o testek sebess´ege ¨tk¨ egyenl˝o egym´ assal. Hasonl´o m´odon analiz´alhatn´ank a legk¨ ul¨onb¨oz˝obb t¨omeg˝ u, kezdeti sebess´eg˝ u ´es rugalmass´ag´ u testek k¨ oz¨ott lej´atsz´od´o u ¨tk¨oz´eseket is, ´es meghat´arozhatn´ank a v´egsebess´eget ´es a mozg´asi energiavesztes´egeket, ezeket a folyamatokat azonban itt nem t´argyalhatjuk r´eszletesen. A rugalmas u ul¨on¨osen olyan rendszerek eset´en ´erdekes, ame¨tk¨oz´es k¨ lyeknek nincs bels˝o szerkezet¨ uk, amelyek semmilyen fogaskereket, lend” kereket vagy m´as alkatr´eszt” nem tartalmaznak. Ilyen u ¨tk¨oz´es eset´en ugyanis az energia sehov´a sem tud befog´odni”, mivel a sz´etrep¨ ul˝o t´ar” gyak ugyanolyan ´allapotban vannak, mint u ¨tk¨oz´es el˝ott voltak. K¨ovetkez´esk´eppen a legegyszer˝ ubb elemi t´argyak k¨oz¨otti u ¨tk¨oz´esek mindig, vagy csaknem mindig rugalmasak. P´eld´aul a g´azatomok ´es molekul´ak k¨oz¨ott lej´atsz´od´o u ¨tk¨oz´eseket ´altal´aban teljesen rugalmasnak tekintik. Noha ez nagyon j´o k¨ozel´ıt´es, val´oj´aban m´eg az ilyen u ¨tk¨oz´esek sem teljesen rugalmasak – ellenkez˝o esetben ugyanis nem lenne ´erthet˝o, hogy a g´azb´ol hogyan t´avozhat energia f´eny- vagy h˝osug´arz´as alakj´aban. A g´azmolekul´ak u u infrav¨or¨os sugarak bocs´at´odnak ki, de ¨tk¨oz´esekor n´eha kisenergi´aj´ ez el´eg ritk´an fordul el˝o, ´es a kibocs´atott energia is nagyon kicsi. A legt¨obb vonatkoz´asban a g´azmolekul´ak u ¨tk¨oz´es´et teh´at teljesen rugalmasnak lehet tekinteni. ´ Erdekes p´eldak´ent vizsg´aljuk meg a k´et egyenl˝ o t¨ omeg˝ u t´argy k¨oz¨ott lej´atsz´od´o rugalmas u ¨tk¨oz´es eset´et. Ha ezek egyforma sebess´eggel u ¨tk¨oznek o¨ssze, akkor a szimmetria k¨ovetkezt´eben ugyanolyan sebess´eggel kell sz´etrep¨ ulni¨ uk is. Tekints¨ uk most azt a helyzetet, amikor egyik¨ uk v se-

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

194

10. Az impulzus megmarad´ asa

bess´eggel mozog, a m´asik pedig ´all. Mi t¨ort´enik? Egy ilyen esetet m´ar t´argyaltunk az el˝obb. A szimmetrikus u ¨tk¨oz´est az egyik t´argy mellett p´arhuzamosan halad´o kocsib´ol figyelj¨ uk meg. Azt l´atjuk, hogy ha az ´all´o t´arggyal a vele pontosan egyenl˝o t¨omeg˝ u mozg´o t´argy rugalmasan u ¨tk¨ozik, a mozg´o t´argy meg´all, az ´all´o pedig ugyanakkora sebess´eggel kezd mozogni, mint amekkor´aval az u ¨tk¨oz´es el˝ott mozgott a m´asik t´argy: a testek egyszer˝ uen sebess´eget cser´elnek. Ezt a tulajdons´agot alkalmas k´ıs´erleti ´ berendez´essel k¨onnyen igazolni is lehet. Altal´ anosabban fogalmazva: k´et k¨ ul¨onb¨oz˝o sebess´eggel mozg´o test rugalmas u ¨tk¨oz´esekor sebess´egcsere j¨on l´etre. A majdnem rugalmas k¨olcs¨onhat´as egy m´asik p´eld´aj´at a m´agness´eg szolg´altatja. Ha a l´egcsatorn´aban cs´ usz´o has´abjainkon u ´gy helyez¨ unk el U-alak´ u m´agnest, hogy azok tasz´ıts´ak egym´ast, ´es az egyik has´abot ´ovatosan a m´asik fel´e toljuk, akkor a m´asik megl¨ok˝odik ´es s´ url´od´as n´elk¨ ul tov´abb mozog, mik¨ozben az els˝o has´ab nyugalomban marad. Az impulzusmegmarad´as elve nagyon hasznos, mivel sok probl´ema megold´as´at teszi lehet˝ov´e an´elk¨ ul, hogy a folyamat r´eszleteit ismern´enk. A gyutacs robban´asakor p´eld´aul nem ismert¨ uk a g´azmozg´as r´eszleteit, m´egis el˝ore meg tudtuk mondani a sz´etrep¨ ul˝o testek sebess´eg´et. M´asik ´erdekes p´elda a rak´etahajt´as. Egy nagy (M ) t¨omeg˝ u rak´eta ´ori´asi V sebess´eggel kicsiny, m t¨omeg˝ u anyagot bocs´at ki. Ha a rak´eta kezdetben ´allt, ezut´an kis v sebess´eggel mozg´asba j¨on. Az impulzusmegmarad´as seg´ıts´eg´evel ezt a sebess´eget ki is sz´amolhatjuk: m v= V. M Addig, am´ıg a rak´eta anyagot bocs´at ki, sebess´ege ´alland´oan n¨ovekszik. A rak´etahajt´as mechanizmusa az ´agy´ u visszal¨ok˝od´es´evel t¨ok´eletesen megegyezik. Semmilyen leveg˝ore nincs sz¨ uks´ege, hogy att´ol ell¨okve mag´at, mozogni tudjon.

10.5. Relativisztikus impulzus A leg´ ujabb id˝okben az impulzusmegmarad´as t¨orv´enye bizonyos m´odos´ıt´asokon ment kereszt¨ ul. A t¨orv´eny ma is ´erv´enyes, a m´odos´ıt´asok ink´abb a benne szerepl˝o mennyis´egek meghat´aroz´as´at ´erintett´ek. Az impulzusmegmarad´as a relativit´aselm´elet szerint is ´erv´enyesnek bizonyult. A r´eszecsk´eknek t¨omeg¨ uk van, ´es az impulzust tov´abbra is az mv mennyis´eg, a t¨omeg ´es a sebess´eg szorzata adja meg, de mivel a t¨ omeg v´ altozik a sebess´eggel, az impulzus szint´en megv´altozik. A t¨omeg az al´abbi t¨orv´eny www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

10.5. Relativisztikus impulzus

195

szerint v´altozik a sebess´eggel: m0 m= p , (10.7) 1 − v 2 /c2 ahol m0 a test nyugalmi t¨omege ´es c a f´enysebess´eg. A k´epletb˝ol k¨onnyen l´athat´o, hogy az m ´es m0 k¨oz¨otti k¨ ul¨onbs´eg – hacsak v nem nagyon nagy – elhanyagolhat´o, ´es norm´alis sebess´egek eset´en az impulzusra vonatkoz´o kifejez´es a r´egi k´eplethez vezet. Az egy r´eszecsk´ere vonatkoz´o impulzuskomponensek a k¨ovetkez˝o alakban ´ırhat´ok: m 0 vx m 0 vy m0 vz px = p ; py = p ; pz = p , (10.8) 2 2 2 2 1 − v /c 1 − v /c 1 − v 2 /c2 ahol v 2 = vx2 + vy2 + vz2 . Ha mind u ¨tk¨oz´es el˝ott, mind ut´ana az o¨sszes k¨olcs¨onhat´asba l´ep˝o r´eszecsk´ek impulzusainak x komponenseit ¨osszegezz¨ uk, az ¨osszegek egyenl˝ok lesznek, azaz az impulzus x ir´anyban megmarad. Ugyanez tetsz˝oleges m´as ir´anyra is ´erv´enyes. A 4. fejezetben m´ar l´attuk, hogy az energiamegmarad´as t¨orv´enye csak akkor ´erv´enyes´ıthet˝o, ha felismerj¨ uk, hogy az energia k¨ ul¨onb¨oz˝o megjelen´esi alakokban – elektromos, mechanikai, sug´arz´o-, h˝o- stb. energia alakj´aban – is el˝ofordulhat. N´emelykor, p´eld´aul a h˝oenergia eset´eben az energia – mondhatni – rejtve” marad. A p´elda a k¨ovetkez˝o k´erd´est su” gallhatja: L´eteznek-e az impulzusnak is rejtett alakjai – mondjuk, tal´an h˝oimpulzus? A v´alasz erre az, hogy az impulzust nagyon neh´ez elrejteni”, ” m´egpedig az al´abbi okok miatt. A test atomjainak v´eletlen mozg´asa, pontosabban sebess´eg¨ uk n´egyzeto sszege a h˝ o energia m´ e rt´ e k´ e u l szolg´ a lhat. Ez az o sszeg egy nem ir´any´ıtott ¨ ¨ ¨ jelleg˝ u pozit´ıv mennyis´eg. A h˝o teh´at a test belsej´eben van, f¨ uggetlen¨ ul att´ol, hogy a test mint eg´esz mozog-e, vagy sem. Ez´ert a h˝omozg´asban lev˝o energia megmarad´asa nem nagyon nyilv´anval´o. Viszont ha az ir´annyal rendelkez˝o sebess´egeket adjuk ¨ossze, ´es eredm´eny¨ ul nem z´erust kapunk, akkor ez azt jelenti, hogy az eg´esz test valamilyen adott ir´any´ u mozg´asban van, s ez a makroszkopikus impulzus m´ar k¨onnyen ´eszrevehet˝o. K¨ovetkez´esk´eppen semmilyen v´eletlenszer˝ u bels˝o elveszett” impulzus nem le” hets´eges, mivel a test csak akkor rendelkezik meghat´arozott impulzussal, amikor mint eg´esz mozog. Az impulzust mint mechanikai mennyis´eget ez´ert neh´ez elrejteni. Mindazon´altal az impulzus m´egiscsak elrejt˝ ozhet, p´eld´aul az elektrom´agneses t´erben. Ez az eset egy m´asik relativisztikus hat´as. Newton azt gondolta, hogy a k¨olcs¨onhat´asok b´armilyen t´avols´agokon azonnal hatnak. Kider¨ ult azonban, hogy nem ez a helyzet; elektromos er˝ok eset´en p´eld´aul, ha egy adott pontban lev˝o t¨olt´es hirtelen elmozdul, www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

196

10. Az impulzus megmarad´ asa

egy m´as helyen lev˝o m´asik t¨olt´esre gyakorolt hat´asa nem jelentkezik pillanatszer˝ uen, hanem egy kis k´es´es l´ep fel. Ilyen k¨or¨ ulm´enyek k¨oz¨ott m´eg ha az er˝ok egyenl˝oek voln´anak is, az impulzus nem egyenl´ıt˝odik ki. Lesz egy r¨ovid id˝otartam, amikor egy kis furcsa elt´er´es l´ep fel, mert am´ıg az egyik t¨olt´es bizonyos reakci´oer˝ot ´erez”, ´es mondjuk, bizonyos impulzus” v´altoz´assal reag´al r´a, addig a m´asik t¨olt´es m´eg nem ´erez” semmit, ´es ” nem is v´altoztatja meg impulzus´at. A hat´as a t¨olt´esek k¨oz¨otti t´avols´agot 300 000 km/s sebess´eggel teszi meg, teh´at id˝ore van sz¨ uks´ege. E nagyon pici id˝otartam alatt a r´eszecske impulzusa nem marad meg. Miut´an azonban a m´asodik t¨olt´es meg´erezte” az els˝o hat´as´at, term´eszetesen az impul” zusegyenlet kiel´eg¨ ul ´es helyre´all a rend; viszont az eml´ıtett kis id˝otartam alatt az impulzus m´egsem marad meg. Ezt u ´gy k´epzelhetj¨ uk el, hogy e kis id˝otartam alatt a r´eszecske mv impulzus´an k´ıv¨ ul egy m´asfajta impulzus is l´etezik: az elektrom´agneses t´er impulzusa. Ha ezt a t´erimpulzust hozz´aadjuk a r´eszecske impulzus´ahoz, akkor l´athat´o, hogy az impulzusok ¨osszege minden id˝opillanatban azonos marad. Minthogy impulzussal ´es energi´aval rendelkezhet, az elektrom´agneses t´er nagyon is val´os´agos t´enyez˝o. Kor´abbi elk´epzel´es¨ unket, hogy a r´eszecsk´ek k¨oz¨ott csak er˝ok hatnak, u ´gy kell m´odos´ıtanunk, hogy a r´eszecske teret hoz l´etre, ´es ez a t´er hat a m´asik r´eszecsk´ere, s hogy mag´anak a t´ernek – ´epp´ ugy, mint a r´eszecsk´enek – olyan j´ol ismert tulajdons´agai vannak, mint az energiatartalom vagy az impulzus. Szeml´eltet´es¨ ul tekints¨ unk egy m´asik p´eld´at: az elektrom´agneses t´ernek vannak hull´amai, melyeket f´enynek nevez¨ unk. Kider¨ ul, hogy a f´eny szint´en sz´all´ıt impulzust, teh´at amikor a f´eny egy t´argyra esik, annak m´asodpercenk´ent bizonyos mennyis´eg˝ u impulzust ad ´at. Ez valamilyen er˝ovel egyen´ert´ek˝ u, mivel a megvil´ag´ıtott t´argy m´asodpercenk´ent bizonyos mennyis´eg˝ u impulzust kap, impulzusa megv´altozik, ´es a helyzet olyan, mintha er˝o hatna r´a. A f´eny valamely t´argyra esve, arra nyom´ast gyakorolhat. E nyom´as nagyon kicsi, de el´eg ´erz´ek´eny m´er˝oberendez´essel m´erhet˝o. A kvantummechanik´aban az der¨ ul ki, hogy az impulzus t¨obb´e m´ar nem mv, hanem valami m´as. Itt m´ar neh´ez pontosan defini´alni, mit is ´ert¨ unk egy r´eszecske sebess´eg´en, de az impulzus az´ert m´eg l´etezik. A kvantummechanik´aban a k¨ ul¨onbs´eg abban ´all, hogy amikor a r´eszecsk´eket r´eszecsk´eknek tekintj¨ uk, impulzusuk tov´abbra is mv, ha viszont hull´amoknak, akkor az impulzust a centim´eterenk´enti hull´amok sz´ama adja meg; ´es menn´el nagyobb a hull´amsz´am, ann´al nagyobb az impulzus. A k¨ ul¨onbs´eg ellen´ere az impulzusmegmarad´as t¨orv´enye a kvantummechanik´aban szint´en ´erv´enyes. Noha

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

10.5. Relativisztikus impulzus

197

az F = ma t¨orv´eny nem igaz, ´es az impulzusmegmarad´asra vonatkoz´oan Newton levezet´esei nem ´allj´ak meg a hely¨ uket, ez a t¨orv´eny v´egs˝o soron a kvantummechanik´aban is ´erv´enyes marad!

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

11. fejezet Vektorok 11.1. Szimmetri´ ak a fizik´ aban E fejezetben egy olyan t´emak¨ort vezet¨ unk be, amelyet a fizikai szaknyelv szimmetri´ ak a fizikai t¨ orv´enyekben n´even ismer. A szimmetria” sz´ot is ” saj´atos ´ertelemben haszn´aljuk, ez´ert sz¨ uks´eges, hogy pontosan meghat´arozzuk. Mikor szimmetrikus valami? Hogyan lehetne ezt megfogalmazni? Ha egy k´ep szimmetrikus, az egyik fele bizonyos ´ertelemben ugyanolyan, mint a m´asik. Hermann Weyl professzor a szimmetri´at a k¨ovetkez˝ok´eppen hat´arozta meg: Akkor szimmetrikus valami, ha al´avethet˝o bizonyos m˝ u” veleteknek, s e m˝ uvelet v´egrehajt´asa ut´an pontosan ugyanolyan marad, mint volt. P´eld´aul egy v´aza jobb-bal szimmetri´at mutat´o sziluettj´et f¨ ugg˝oleges tengelye k¨or¨ ul elforgatva azt tov´abbra is ugyanolyannak l´atjuk.” A szimmetira e Weyl-f´ele ´altal´anosabb form´aj´at fogadjuk el, ´es ennek alapj´an t´argyaljuk a fizikai t¨orv´enyekben fell´ep˝o szimmetri´akat. Tegy¨ uk fel, hogy ´ep´ıtett¨ unk valahol egy bonyolult g´epezetet, amely nagysz´am´ u bonyolult k¨ olcs¨onhat´ast tartalmaz, belsej´eben labd´ak pattognak ide-oda, amelyek k¨oz¨ott k¨ ul¨onb¨oz˝o er˝ok m˝ uk¨odnek stb. Most tegy¨ uk fel, hogy pontosan ugyanolyan berendez´est ´ep´ıt¨ unk valahol m´asutt, minden r´eszlet´et ugyanolyan m´eretben, ugyanolyan ir´anyokban ´all´ıtjuk ¨ossze; teh´at minden megegyezik, csak t´erben bizonyos t´avols´agra el van tolva az eredetihez k´epest. Ha most a k´et g´epezetet ugyanazokkal a kezdeti felt´etelekkel beind´ıtjuk, felmer¨ ul a k´er´eds, ugyan´ ugy fognak-e viselkedni, vagy sem? A g´epr´eszek mozg´asai t¨ok´eletesen p´arhuzamosak lesznek-e? Term´eszetesen nyugodtan v´alaszolhatjuk, hogy nem, mert a m´asik berendez´es sz´am´ara rossz helyet v´alasztottunk, p´eld´aul egy fal belsej´eben, akkor a fal hat´as´ara esetleg a berendez´es egy´altal´an nem fog m˝ uk¨odni. Minden fizikai elv alkalmaz´as´ahoz egy adag j´ozan ´eszre is sz¨ uks´eg van – a fizika fogalmai nem puszt´an matematikai vagy absztrakt fogalmak. Meg kell mondanunk, mit ´ert¨ unk azon, hogy a jelens´egek nem v´altoznak, ha a berendez´est egyik helyr˝ol egy m´asik helyre ´attelep´ıtj¨ uk. Ezen azt ´ertj¨ uk, hogy mindent ´atvitt¨ unk, ami a jelens´egre n´ezve fontos; s ha a jelens´eg m´egis megv´altozott, csak arra gondolhatunk, hogy valami l´enyegeset nem vitt¨ unk ´at, teh´at ezt igyeksz¨ unk megtal´alni. Ha pedig soha nem siker¨ ul megtal´alni, kijelentj¨ uk, hogy az illet˝o fizikai t¨orv´enyek nem rendelkeznek ezzel a szimmetri´aval. M´asr´eszt viszont, ha a fizikai t¨orv´ewww.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

199

11.2. Eltol´ asok

nyekben megvan a sz´oban forg´o szimmetria, akkor az a bizonyos l´enyeges hi´anyz´o l´ancszem el˝obb-ut´obb megtal´alhat´o, legal´abb is v´arhat´o, hogy megtal´aljuk. Eset¨ unkben p´eld´aul a fal akad´alyozza a berendez´es m˝ uk¨od´es´et. A d¨ont˝o k´erd´es az, hogy – ha a fogalmakat el´eg j´ol meghat´arozzuk, ha a berendez´es tartalmazza az ¨osszes l´enyeges er˝oket, ha minden fontos tartoz´ekot ´atvitt¨ unk egyik helyr˝ol a m´asikra – a t¨orv´enyek v´altozatlanul fenn´allnak-e, vagy sem. Ugyan´ ugy m˝ uk¨odik majd a berendez´es¨ unk? Vil´agos, hogy amikor az eg´esz berendez´est ´es az azt l´enyegesen befoly´asol´o t´enyez˝oket akarjuk ´athelyezni, nem akarunk mindent a vil´agon ´athelyezni – a Napot, bolyg´okat stb. –, mivel ez esetben a jelens´eg abb´ol a trivi´alis okb´ol maradna v´altozatlan, hogy ugyanoda ker¨ ult¨ unk vissza, ahol voltunk. Egy´ebk´ent nem is tudn´ank mindent ´athelyezni. A gyakorlat azonban azt mutatja, hogy egy bizonyos intelligenci´aval kiv´alaszthat´o mindaz, amit a berendez´essel egy¨ utt ´at kell telep´ıteni, hogy annak m˝ uk¨od´ese biztos´ıtva legyen. M´as sz´oval, ha nem egy fal belsej´ebe k¨olt¨oztetj¨ uk berendez´es¨ unket, ha ismerj¨ uk a k¨ uls˝o er˝ok forr´as´at, ´es ezeket szint´en ´athelyezz¨ uk, a berendez´es ugyan´ ugy m˝ uk¨ odik majd mindk´et helyen. 11.2. Eltol´ asok Vizsg´alatainkat a mechanik´ara korl´atozzuk, mivel ezen a ter¨ uleten m´ar megfelel˝o ismereteket szerezt¨ unk. Az el˝oz˝o fejezetekben megtanultuk, hogy a mechanika t¨orv´enyei valamely t¨omegpontra n´ezve a k¨ovetkez˝o h´arom egyenletbe s˝ ur´ıthet˝ok: m(d2 x/dt2 ) = Fx ;

m(d2 y/dt2 ) = Fy ;

m(d2 z/dt2 ) = Fz .

(11.1)

Ez azt jelenti, hogy meg tudjuk u ´gy m´erni x-et, y-t ´es z-t valamely h´arom egym´asra mer˝oleges tengelyen, s hasonl´oan az er˝oket ezen ir´anyok ment´en, hogy a fenti t¨orv´enyek ´erv´enyesek legyenek. A fenti mennyis´egeket valamilyen kezd˝opontt´ol sz´am´ıtva kell m´ern¨ unk, de hov´ a helyezz¨ uk ezt a kezd˝ opontot? Erre n´ezve Newton azt mondhatn´a nek¨ unk, hogy l´etezik valahol egy k¨oz´eppont, tal´an ´eppen a vil´ agegyetem k¨oz´eppontja, s ha onnan sz´am´ıtva m´er¨ unk, t¨orv´enyeink helyesnek bizonyulnak. De azonnal kimutathatjuk, hogy ez a k¨oz´eppont sohasem tal´alhat´o meg, mert mindegy, hogy hol vessz¨ uk fel a k¨oz´eppontot, ez semmif´ele k¨ ul¨onbs´egre nem vezet. Mindez azonban m´ask´eppen is magyar´azhat´o. P´eld´aul van k´et megfigyel˝onk, J´oska ´es Miska. Legyen J´oska koordin´atarendszer´enek kezd˝opontja valamilyen r¨ogz´ıtett pontban, s legyen Miska rendszere J´osk´a´eval p´arhuzamos, de kezd˝opontja ess´ek m´ashov´a (11.1. ´abra). Ha J´oska megm´eri egy pont t´erbeli helyzet´et, kap valamilyen x, y ´es z koordin´at´akat (z-t ´altal´aban elhagyjuk, mert felrajzol´as´aval elrontan´ank az ´abra ´attekinthewww.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

200

11. Vektorok

t˝os´eg´et). Miska ugyanannak a pontnak a helyzet´ere egy m´asik x-et kap (amelyet megk¨ ul¨onb¨oztet´es¨ ul x0 -vel jel¨ol¨ unk), ´es elvileg m´as y-t is, j´ollehet az y-ok a mi p´eld´ankban sz´amszer˝ uleg megegyeznek. A koordin´at´ak k¨oz¨otti ¨osszef¨ ugg´es: x0 = x − a,

y 0 = y,

z 0 = z.

(11.2)

Hogy vizsg´alatunk teljes legyen, tudnunk kell, mit kap Miska az er˝okre. Egy er˝o valamilyen egyenes ment´en hat, ´es az er˝onek az x ir´anyba es˝o r´esz´en az er˝o nagys´ag´anak ´es ir´anya, valamint az x-tengely ´altal k¨ozrez´art sz¨og koszinusz´anak szorzat´at ´ertj¨ uk. L´athat´o, hogy Miska az er˝onek pontosan azt a vet¨ ulet´et ´erz´ekeli, mint J´oska, vagyis fenn´all a k¨ovetkez˝o egyenletrendszer: Fx0 = Fx ,

Fy0 = Fy ,

Fz 0 = Fz .

(11.3)

(11.2) ´es (11.3) megadja a J´oska ´es Miska ´altal ´eszlelt mennyis´egek k¨oz¨otti ugg´eseket. ¨osszef¨ A k´erd´es m´armost az, ha J´osy y’ ka ismeri Newton t¨orv´enyeit, Miska pedig megpr´ob´alja azokat fel´ırni, Jóska Miska helyesnek bizonyulnak-e ezek Miska n´ez˝opontj´ab´ol is. Sz´armazik-e Newton t¨orv´enyeire n´ezve b´armilyen k¨ ua x’ l¨onbs´eg abb´ol, hogy milyen kezd˝ox x’ x pontb´ol kiindulva m´erj¨ uk a t´erbeli pontokat? M´as sz´oval: felt´etelezve, hogy (11.1) ´erv´enyes, ´es hogy 11.1. a ´bra. K´et, egym´ assal p´ arhuzamos koordin´ atarendszer (11.2), valamint (11.3) megadja a m´er´esi eredm´enyek k¨ozti ¨osszef¨ ugg´eseket, fenn´allnak-e az al´abbi egyenletek: (a) m(d2 x0 /dt2 ) = Fx0 , (b) m(d2 y 0 /dt2 ) = Fy0 , 2 0

(11.4)

2

(c) m(d z /dt ) = Fz 0 . Az egyenletek ellen˝orz´ese v´egett az x0 -re ´erv´enyes o¨sszef¨ ugg´est k´etszer differenci´aljuk. Mindenekel˝ott dx0 d dx da = (x − a) = − . dt dt dt dt Felt´etelezz¨ uk, hogy Miska rendszer´enek kezd˝opontja r¨ogz´ıtett (nem mozog) J´osk´a´ehoz k´epest, ´ıgy a ´alland´o ´es da at dt = 0, teh´ dx0 /dt = dx/dt, www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

11.3. Forgat´ asok

201

k¨ovetkez´esk´eppen d2 x0 /dt2 = d2 x/dt2 . Tudjuk teh´at, hogy (11.4a) az m(d2 x/dt2 ) = Fx0 alakot veszi fel. (Felt´etelezt¨ uk, hogy a J´oska ´es Miska ´altal m´ert t¨omegek is egyenl˝ok.) Ily m´odon a t¨omeg ´es a gyorsul´as szorzat´ara mindk´et megfigyel˝o ugyanazt a mennyis´eget kapja. Egy´ uttal Fx0 -re is kaptunk egy ugg´est, ugyanis a (11.1)-b˝ol behelyettes´ıt´essel: ¨osszef¨ Fx0 = Fx . ˝ is fel´ırhatja Teh´at Miska ugyanazokat a t¨ orv´enyeket figyeli meg. O m´as koordin´at´akkal Newton t¨orv´enyeit, s azok helyesnek bizonyulnak. Ez azt jelenti, hogy nem lehet egy´ertelm˝ uen meghat´arozni a vil´agegyetem k¨oz´eppontj´at, mivel a t¨orv´enyek v´altozatlanok maradnak, tekintet n´elk¨ ul arra, hogy azokat milyen pontb´ol figyelj¨ uk meg. De emellett a k¨ovetkez˝o is igaz: ha van egy berendez´es¨ unk ´es benne valamilyen g´epet helyez¨ unk el, ugyanaz a berendez´es egy m´asik helyen pontosan ugyan´ ugy fog viselkedni. Mi´ert? Mert az egyik g´ep, amelyet Miska figyel meg, pontosan ugyanazzal a mozg´asegyenlettel rendelkezik, mint az, amelyet J´oska tart megfigyel´es alatt. Minthogy az egyenletek ugyanazok, a jelens´egek is ugyanazok. Vagyis annak bizony´ıt´asa, hogy egy g´ep u ´j helyzet´eben ugyan´ ugy viselkedik, mint a r´egiben, egyen´ert´ek˝ u annak bizony´ıt´as´aval, hogy az egyenletek a t´erkoordin´at´ak eltol´asa” ut´an ” is v´altozatlanok maradnak. Ez´ert azt mondjuk, hogy a fizika t¨ orv´enyei szimmetrikusak a t´erbeli eltol´ asokkal szemben, abban az ´ertelemben, hogy nem v´altoznak meg, ha a koordin´atarendszert, mint egy kocsit, eltoljuk. Term´eszetesen intuit´ıv szeml´elettel is el´egg´e nyilv´anval´onak t˝ unik mindez, m´asr´eszt viszont a probl´ema matematikai vonatkoz´asai is igen ´erdekesek ´es sz´orakoztat´oak. 11.3. Forgat´ asok Az elmondottak csup´an bevezet˝o r´esz´et k´epezik egy sor m´eg bonyolultabb ´all´ıt´asnak a fizikai t¨orv´enyek szimmetri´air´ol. A k¨ovetkez˝o ´all´ıt´as az, hogy mindegy, milyen ir´ anyban vessz¨ uk fel a koordin´atatengelyeket. M´as sz´oval, ha valahol elhelyez¨ unk egy k´esz¨ ul´eket ´es a k¨ozel´eben egy m´asik ugyanolyat, de az ut´obbit az el˝obbihez k´epest bizonyos sz¨oggel elforgatjuk, tal´alunk-e valamilyen k¨ ul¨onbs´eget m˝ uk¨od´es¨ ukben? Vil´agos, hogy tal´alunk, ha a k´esz¨ ul´ek egy inga´ora! Ha az inga´ora f¨ ugg˝olegesen ´all, kifog´astalanul m˝ uk¨odik, de ha megd¨ontj¨ uk, az inga az ´ora doboz´anak u ¨tk¨ozik www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

202

11. Vektorok

´es meg´all. A t´etel teh´at az inga´ora eset´ere nem ´all fenn, hacsak a forgat´asban tekintetbe nem vessz¨ uk a F¨oldet is, amely az ing´at vonzza. Ha azonban hisz¨ unk abban, hogy a fizikai t¨orv´enyek az elforgat´assal szemben szimmetri´at mutatnak, az inga´or´aval kapcsolatban egy-k´et sejt´est, illetve feltev´est sz´oba hozhatunk. Az ´ora m˝ uk¨od´es´eben saj´at szerkezet´en k´ıv¨ ul valami m´as is szerepet j´atszhat, valami m´as, amit az inga´or´an k´ıv¨ ul kell keresn¨ unk. El˝ore megmondhatjuk azt is, hogy az inga´ora nem fog azonosk´eppen m˝ uk¨odni, ha ehhez a titokzatos aszimmetrikus k¨ uls˝o forr´ashoz (ez tal´an a F¨old) k´epest m´as-m´as helyeken ´all´ıtjuk fel. Val´oban, ismeretes, hogy az inga´ora p´eld´aul egy mesters´eges holdon egy´altal´an nem v´egez leng´eseket, mert ott nem hat r´a semmilyen effekt´ıv er˝o, a Marson meg eg´eszen m´as sebess´eggel j´arna, mint a F¨old¨on. Az inga´or´ak m˝ uk¨od´ese nem csak a bels˝o szerkezet¨ ukt˝ol f¨ ugg, m˝ uk¨od´es¨ ukh¨oz valami k¨ uls˝o t´enyez˝o is sz¨ uks´eges. Ha a k´ıv¨ ulr˝ol hat´o t´enyez˝ot felfedezt¨ uk, nyilv´anval´oan ezt is (azaz a F¨oldet is) el kell forgatnunk a k´esz¨ ul´ekkel egy¨ utt. Ebb˝ol persze nem kell gondot csin´alnunk, hiszen csak v´arnunk kell egy-k´et pillanatot, m´ıg maga a F¨old elfordul. S ´ıme, az inga´ora u ´j helyzet´eben ugyan´ ugy v´egzi leng´eseit, mint el˝oz˝oleg. Mialatt magunk a t´erben forg´ast v´egz¨ unk, az ´altalunk meghat´arozott ir´anyok minden pillanatban megv´altoznak, de ez, u ´gy l´atszik, nem nagyon zavar benn¨ unket, ugyan´ ugy ´erezz¨ uk magunkat, mint azel˝ott. Ez a meg´allap´ıt´as bizonyos zavart okozhat, mert az ugyan igaz, hogy a term´eszett¨orv´enyek az u ´j, elforgatott helyzetre n´ezve ugyanazok, mint az eredetire n´ezve, de az m´ar nem igaz, hogy ha valamit forgatunk, ugyanazokat a t¨orv´enyeket figyelhetj¨ uk meg, mint ha nem forgatn´ank. Megfelel˝oen ´erz´ekeny k´ıs´erlettel meg´allap´ıthatjuk, hogy a F¨old forog, de azt m´ar nem, hogy el˝oz˝oleg elfordult. M´as sz´oval, nem tudjuk meg´allap´ıtani a F¨old pillanatnyi sz¨oghelyzet´et, csup´an azt ´eszlelj¨ uk, hogy ez ´alland´oan v´altozik. Ezek ut´an megt´argyalhatjuk az y y’ elforgat´as hat´as´at a fizikai t¨orv´enyek(x, y) P (x’, y’) re. N´ezz¨ uk meg, hogy az el˝obbi j´aB y sin (Miska) t´ek J´osk´aval ´es Misk´aval ez esetben x’ Q is bev´alik-e. Hogy elker¨ ulj¨ uk a fex cos lesleges bonyodalmakat, t´etelezz¨ uk (Jóska) fel, hogy J´ o ska ´ e s Miska koordin´ a tax 0 A rendszere ugyanazzal a kezd˝opont11.2. a ´bra. K´et, k¨ ul¨ onb¨ oz˝ ok´eppen tal rendelkezik (azt m´ar megmutatir´ any´ıtott koordin´ atarendszer tuk, hogy a tengelyek o¨nmagukkal p´arhuzamosan eltolhat´ok). Tegy¨ uk fel, hogy Miska koordin´atarendsze-

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

203

11.3. Forgat´ asok

r´enek tengelye J´osk´a´ehoz k´epest ϕ sz¨oggel el van forgatva. A k´et koordin´atarendszer a 11.2. ´abr´an l´athat´o, ahol k´et dimenzi´ora korl´atoztuk magunkat. V´alasszunk most ki valamely P pontot, ´es legyenek ennek koordin´at´ai J´oska rendszer´eben x ´es y, Misk´a´eban x0 ´es y 0 . Mint az el˝obbi esetben, most is azzal kezdj¨ uk, hogy x0 -t ´es y 0 -t kifejezz¨ uk x ´es y seg´ıts´eg´evel. Ehhez el˝osz¨or is P -b˝ol mer˝olegest bocs´atunk mind a n´egy tengelyre, majd felvessz¨ uk az AB szakaszt u ´gy, hogy az a P Q szakaszra mer˝oleges legyen. Az ´abra vizsg´alat´ab´ol kider¨ ul, hogy x0 k´et t´avols´ag ¨osszege lesz 0 0 az x -tengely ment´en, m´ıg y k´et szakasz k¨ ul¨onbs´ege az AB egyenes ment´en. Mindezen szakaszok x, y ´es ϕ f¨ uggv´enyek´ent szerepelnek a (11.5) egyenletekben, ahol a harmadik dimenzi´ora ´erv´enyes tov´abbi egyenlet is megtal´alhat´o: x0 = x cos ϕ + y sin ϕ, y 0 = y cos ϕ − x sin ϕ,

(11.5)

0

z = z. Az el˝oz˝okben ismertetett ´altal´anos m´odszert k¨ovetve, k¨ovetkez˝o l´ep´esF F k´ent megkeress¨ uk a k´et megfigyel˝o ´altal ´eszlelt er˝ok k¨oz¨otti ¨osszef¨ ugg´eF x’ seket. Tegy¨ uk fel, hogy az F er˝o, amely az el˝oz˝o vizsg´alatokban szeF repelt, ´es Fx , valamint Fy kompox F nenesekkel rendelkezik (J´oska rendszer´eben), a 11.2. ´abra P pontj´aban 11.3. a ´bra. Er˝ o komponensei a k´etf´ele egy m t¨omeg˝ u t¨omegpontra hat. Az koordin´ atarendszerben egyszer˝ us´eg kedv´e´ert helyezz¨ uk ´at a koordin´atarendszerek kezd˝opontjait u ´gy, hogy azok a P pontba essenek (11.3. ´abra). Miska az F er˝o koordin´atarendszere tengelyeinek ir´any´aba es˝o komponenseit Fx0 -nek ´es Fy0 -nek ´eszleli. Fx -nek szint´en van komponense mind az x0 -tengelyen, mind az y 0 -tengelyen, u ´gyszint´en Fy -nak is. Hogy Fx0 -t az Fx ´es Fy mennyis´egek seg´ıts´eg´evel kifejezhess¨ uk, ¨osszegezz¨ uk ezeket a komponenseket az x0 -tengely ment´en, majd hasonl´oan Fy0 kifejez´es´ere az y 0 -tengely ment´en. V´egeredm´enyben a k¨ovetkez˝o egyenletrendszerhez jutunk: y

y’

y

y’

x’

x

Fx0 = Fx cos ϕ + Fy sin ϕ, Fy0 = Fy cos ϕ − Fx sin ϕ,

(11.6)

Fz 0 = Fz .

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

204

11. Vektorok

Igen ´erdekes megfigyelni egy nagyon fontos v´eletlen egybees´est. A (11.5) ´es (11.6) k´epletek a P koordin´at´aira, illetve az F er˝o komponenseire vonatkoz´oan azonos alak´ uak. Mint kor´abban tett¨ uk, most is felt´etelezz¨ uk, hogy a (11.1) Newtont¨orv´enyek ´erv´enyben vannak J´oska rendszer´eben. A k´erd´es ism´et az, vajon Miska szint´en alkalmazhatja-e a t¨orv´enyeket – igaznak bizonyulnak-e ezek az ˝o elforgatott tengely˝ u koordin´atarendszer´eben. M´as sz´oval, ha (11.5) ´es (11.6) megadja a k¨ ul¨onb¨oz˝o koordin´atarendszerekben elv´egzett m´er´esek k¨oz¨otti ¨osszef¨ ugg´eseket, akkor helyesek lesznek, vagy nem lesznek helyesek a k¨ovetkez˝o egyenletek: m(d2 x0 /dt2 ) = Fx0 , m(d2 y 0 /dt2 ) = Fy0 ,

(11.7)

m(d2 z 0 /dt2 ) = Fz 0 . A k´erd´es eld¨ont´es´ere sz´am´ıtsuk ki a jobb ´es bal oldalakat egym´ast´ol f¨ uggetlen¨ ul, ´es hasonl´ıtsuk ¨ossze az eredm´enyeket. A bal oldalak kisz´am´ıt´as´ahoz szorozzuk be a (11.5) egyenleteket m-mel, differenci´aljuk k´etszer az id˝o szerint, mik¨ozben felt´etelezz¨ uk, hogy ϕ ´alland´o. Azt kapjuk, hogy m(d2 x0 /dt2 ) = m(d2 x/dt2 ) cos ϕ + m(d2 y/dt2 ) sin ϕ, m(d2 y 0 /dt2 ) = m(d2 y/dt2 ) cos ϕ − m(d2 x/dt2 ) sin ϕ, 2 0

2

2

(11.8)

2

m(d z /dt ) = m(d z/dt ). A (11.7) jobb oldalainak kisz´am´ıt´as´ahoz helyettes´ıts¨ uk be a (11.1) egyenleteket a (11.5) egyenletekbe: Fx0 = m(d2 x/dt2 ) cos ϕ + m(d2 y/dt2 ) sin ϕ, Fy0 = m(d2 y/dt2 ) cos ϕ − m(d2 x/dt2 ) sin ϕ, 2

(11.9)

2

Fz 0 = m(d z/dt ). ´Ime! (11.8) ´es (11.9) jobb oldalai megegyeznek; vagyis arra az eredm´enyre jutottunk, hogy ha Newton t¨orv´enyei valamely koordin´atarendszerben ´erv´enyesek, akkor b´armely m´as koordin´atarendszerben is ´erv´enyesek. Ez az eredm´eny, amely mind a koordin´atatengelyek eltol´asa, mind azok elforgat´asa eset´en kiad´odott, bizonyos k¨ovetkezm´enyekkel j´ar. El˝osz¨or is, senki nem ´all´ıthatja, hogy az ˝o koordin´atarendszere az egyed¨ uli igazi, b´ar term´eszetesen el˝ofordulhat, hogy bizonyos probl´em´ak megold´as´ahoz ´eppen az a koordin´atarendszer bizonyul a legk´enyelmesebbnek. P´eld´aul a gravit´aci´o k¨onnyen kezelhet˝o, ha ir´anya az egyik koordin´atatengellyel egybeesik, de ez fizikailag nem sz¨ uks´egszer˝ u. M´asodszor, ha egy berendez´es teljesen ¨on´all´o, vagyis minden er˝ot, mely m˝ uk¨od´es´ehez www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

11.4. Vektorok

205

sz¨ uks´eges, maga a berendez´es el˝o tud ´all´ıtani, akkor m˝ uk¨od´es´eben semmif´ele v´altoz´ast nem okozunk azzal, hogy helyzet´et valamilyen sz¨oggel elforgatjuk. 11.4. Vektorok Nemcsak Newton t¨orv´enyei, hanem minden m´as ´altalunk eddig megismert fizikai t¨orv´eny rendelkezik azzal a k´et tulajdons´aggal, amit a koordin´atatengelyek eltol´as´aval ´es elforgat´as´aval szemben mutatott invarianci´anak, illetve szimmetri´anak nevez¨ unk. E k´et tulajdons´ag olyan fontos, hogy k¨ ul¨on matematikai technik´at fejlesztettek ki, mellyel ezeket a fizikai t¨orv´enyek megfogalmaz´as´aban ´es alkalmaz´as´aban fel lehet haszn´alni. A fenti matematikai levezet´esekben hosszadalmas sz´am´ıt´asokat kellett v´egezn¨ unk. Hogy effajta k´erd´esek vizsg´alat´aban a r´eszletsz´am´ıt´asokat a minimumra lehessen cs¨okkenteni, igen hat´ekony matematikai appar´atust dolgoztak ki. E matematikai g´epezet neve vektoranal´ızis (e fejezet c´ıme: Vektorok), szigor´ uan v´eve azonban jelen fejezet a fizikai t¨orv´enyek szimmetri´aival foglalkozik. Az el˝obb ismertetett m´odszerrel minden sz¨ uks´eges eredm´enyt megkaptunk, a tov´abbiakban azonban k¨onnyebben ´es gyorsabban szeretn´enk c´elt ´erni, ez´ert a vektorelj´ar´ast alkalmazzuk. Bevezet´esk´ent k´et fizikai mennyis´eg n´eh´any tulajdons´ag´aval foglalkozunk. (Val´oj´aban t¨obb mint k´et ilyen fizikai mennyis´eg l´etezik, de kezdj¨ uk el˝osz¨or kett˝ovel.) Az els˝ot k¨oz¨ons´eges, m´as n´even ir´any´ıtatlan mennyis´egnek, skal´ arnak nevezz¨ uk (ilyen p´eld´aul a h˝om´ers´eklet). A fizika m´as fontos mennyis´egei ir´annyal is rendelkeznek, mint p´eld´aul a sebess´eg; a mozg´as gyorsas´ag´an k´ıv¨ ul meg kell adnunk az u ´t ir´any´at is, amelyet a test k¨ovet. Az impulzusnak ´es az er˝onek szint´en van ir´anya, mint ahogyan az eltol´asnak is van. Ha valaki a t´er egyik pontj´ab´ol egy m´asikba l´ep ´at, meg´allap´ıthat´o, milyen messzire mozdult el, de ha azt akarjuk tudni, pontosan hov´ a ker¨ ult az illet˝o, az elmozdul´as ir´any´at is meg kell ´allap´ıtani. Minden olyan mennyis´eget, amelynek – mint a t´erbeli elmozdul´asnak – ir´anya is van, vektornak nevez¨ unk. Egy vektor: h´arom sz´am. Egy t´erbeli, mondjuk az orig´ob´ol valamilyen (x, y, z) koordin´at´aj´ u P pontba tett l´ep´es le´ır´as´ahoz val´oban h´arom sz´amra van sz¨ uks´eg¨ unk. Mi most ezt a h´arom sz´amot egyetlen matematikai szimb´olummal (r) akarjuk helyettes´ıteni, amely semmilyen ´altalunk eddig haszn´alt matematikai szimb´olumhoz nem hasonl´ıt.1 Ez nem egyetlen sz´am, hanem h´arom sz´amot k´epvisel: x-et, y-t ´es z-t. H´arom 1 Nyomtatott sz¨ ovegben a vektorokat k¨ ov´er bet˝ uvel szedik (pl. r), a k´ezzel ´ırt sz¨ ovegben a bet˝ u f¨ ol´e nyilat rajzolnak (pl. ~r).

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

206

11. Vektorok

sz´amot jelent, de nem csak a fenti h´arom sz´amot, mert ha m´asik koordin´atarendszert haszn´aln´ank, ezek x0 -, y 0 - ´es z 0 -be menn´enek ´at. Minthogy matematik´ankat egyszer˝ us´ıteni akarjuk, ugyanazt a jelet haszn´aljuk mind az els˝o h´arom (x, y, z) sz´amra, mind az ut´obbi (x0 , y 0 , z 0 )-re. Vagyis ugyanazt a szimb´olumot haszn´aljuk az els˝o h´arom sz´am jel¨ol´es´ere az egyik koordin´atarendszerben, mint a m´asik h´arom sz´am jel¨ol´es´ere, ha egy m´asik koordin´atarendszert vesz¨ unk fel. Ennek az az el˝onye, hogy ha megv´altoztatjuk a koordin´atarendszer¨ unket, nem kell megv´altoztatnunk az egyenleteinkben szerepl˝o bet˝ uket. Ha egyik egyenlet¨ unkben x, y, z szerepel, ´es megv´altoztatjuk koordin´atarendszer¨ unket, akkor (x, y, z)-t x0 -, 0 0 y - ´es z -re kell felcser´eln¨ unk, mindezek helyett azonban csak r-et ´ırunk, azzal a meg´allapod´assal, hogy ez (x, y, z)-t jel¨ol, ha egy koordin´atarendszert haszn´alunk, (x0 , y 0 , z 0 )-t, ha egy m´asikat haszn´alunk, ´es ´ıgy tov´abb. A h´arom sz´am, amely a vektort egy adott koordin´atarendszerben le´ırja, a vektornak a koordin´atarendszer tengelyei ir´any´aban vett komponensei. Ezek szerint ugyanazt a szimb´olumot haszn´alj´ak a h´arom bet˝ u jel¨ol´es´ere, amelyek ugyanazt az objektumot ´ırj´ ak le k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o tengelyek ir´ any´ ab´ ol n´ezve. Maga a t´eny, hogy azt mondhatjuk, ugyanaz az objektum”, egy ” intuit´ıv fizikai meg´allap´ıt´ast tartalmaz a t´erbeli l´ep´es val´os´agoss´ag´ar´ol, ti., hogy f¨ uggetlen az ˝ot le´ır´o komponensekt˝ol. Vagyis az r szimb´olum mindig ugyanazt jelenti, f¨ uggetlen¨ ul att´ol, hogyan forgatjuk el a tengelyeket. Tegy¨ uk most fel, hogy van egy m´asik ir´any´ıtott mennyis´eg¨ unk (pl. az er˝o), amellyel szint´en h´arom sz´am kapcsolatos, ´es ez a h´arom sz´am bizonyos matematikai szab´aly szerint m´asik h´arom sz´amba megy ´at, ha a tengelyeket megv´altoztatjuk. A matematikai szab´alyoknak ugyanazoknak kell lenni¨ uk, mint amelyek (x, y, z)-t (x0 , y 0 , z 0 )-be viszik ´at. M´as sz´oval, vektornak nevezz¨ uk mindazokat a fizikai mennyis´egeket, amelyek h´arom sz´ammal jellemezhet˝ok, ´es a h´arom sz´am u ´gy transzform´al´odik, mint egy t´erbeli l´ep´es komponensei. Ilyen egyenlet, mint az F = r, b´armely koordin´atarendszerben igaz. Ez az egyenlet term´eszetesen az Fx = x,

Fy = y,

Fz = z,

illetve az Fx0 = x0 ,

Fy0 = y 0 ,

Fz 0 = z 0

egyenleteket helyettes´ıti. Ha egy fizikai ¨osszef¨ ugg´es vektoregyenletk´ent ´ırhat´o fel, ez annak a bizony´ıt´eka, hogy az o¨sszef¨ ugg´es a koordin´atarendszer puszta elforgat´asakor v´altozatlan marad. Ez´ert olyan hasznosak a vektorok a fizik´aban. www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

11.5. Vektoralgebra

207

Vizsg´aljuk most meg a vektorok n´eh´any tulajdons´ag´at. Vektorra p´eldak´ent eml´ıthet˝o a sebess´eg, impulzus, er˝o ´es gyorsul´as. Sok szempontb´ol c´elszer˝ u a vektort ny´ıllal ´abr´azolni, amely abba az ir´anyba mutat, amely ir´anyban a vektor hat. Mi´ert lehet p´eld´aul az er˝ot ny´ıllal ´abr´azolni? Mert az er˝o ugyanazon matematikai transzform´aci´os tulajdons´agokkal rendelkezik, mint egy l´ep´es a t´erben”. Az er˝ot diagramon ´abr´azoljuk, mintha ” t´erbeli l´ep´es volna, ´es olyan sk´al´at haszn´alunk, hogy egys´egnyi er˝o (mondjuk 1 newton) egy bizonyos, alkalmasan v´alasztott hossz´ us´agnak feleljen meg. Ha ez megt¨ort´ent, b´armely er˝o a diagramon ir´any´ıtott szakaszokkal – t´avols´agk´ent – ´abr´azolhat´o, mivel egy olyan egyenlet, mint F = kr, ahol k valamilyen ´alland´o, t¨ok´eletesen helyt´all´o. Ezek szerint az er˝o mindig ´abr´azolhat´o egyenesekkel, ami igen k´enyelmes, mert ha egyszer m´ar az egyenes¨ unk megvan, nincsen tov´abbi sz¨ uks´eg tengelyekre. Term´eszetesen, ha a tengelyeket elford´ıtottuk, a h´arom komponens ism´et gyorsan kisz´am´ıthat´o, ez puszt´an geometriai feladat. 11.5. Vektoralgebra Most pedig le kell ´ırnunk mindazokat a szab´alyokat, amelyek vektorokkal v´egezhet˝o m˝ uveletekre vonatkoznak. Az els˝o ilyen m˝ uvelet k´et vektor osszead´ asa. Tegy¨ uk fel, hogy a egy vektor, amely valamely koordin´ata¨ rendszerben h´arom komponenssel rendelkezik (ax , ay , az ), ´es b egy m´asik vektor a megfelel˝o h´arom (bx , by , bz ) komponenssel. K´epezz¨ unk most h´arom u ´j sz´amot: (ax + bx , ay + by , az + bz ). Vektort alkotnak-e ezek? Ter” m´eszetesen” – mondhatn´ank – ez h´arom sz´am, ´es minden h´arom sz´am egy ” vektort k´epez.” Csakhogy ez nem ´ıgy van, mert b´ armely h´arom sz´am nem alkothat vektort! Egy vektor megad´as´ahoz nem el´eg h´arom sz´am, a h´arom sz´amnak egy koordin´atarendszerrel kell kapcsolatban ´allnia olyan m´odon, hogy ha a koordin´atarendszert elforgatjuk, ezek egym´asba fordulnak”, a ” fent le´ırt szab´aly szerint ¨osszekeverednek” egym´assal. A k´erd´es: ha a ko” ordin´atarendszert elforgatjuk u ´gy, hogy (ax , ay , az )-b˝ol (ax0 , ay0 , az 0 ) lesz, (bx , by , bz )-b˝ol (bx0 , by0 , bz 0 ) lesz, akkor mi lesz (ax +bx , ay +by , az +bz )-b˝ol? Kapunk-e bel˝ole (ax0 +bx0 , ay0 +by0 , az 0 +bz 0 )-t, vagy sem? A v´alasz term´eszetesen igenl˝o, mivel a (11.5) transzform´aci´o protot´ıpusa az u ´gynevezett line´ aris transzform´ aci´ onak. Ha (11.5)-¨ot ax -re ´es bx -re alkalmazzuk, mert (ax0 + bx0 )-t akarjuk el˝o´all´ıtani, akkor azt tal´aljuk, hogy ax + bx transzform´altja val´oban ax0 + bx0 . Ha a-t ´es b-t ilyen ´ertelemben ¨osszeadjuk”, ” az ¨osszeg u ´jra vektort alkot, ezt, mondjuk, c-nek nevezz¨ uk. Ezt teh´at a www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

208

11. Vektorok

k¨ovetkez˝o form´aban ´ırjuk le: c = a + b. M´armost c-nek a k¨ovetkez˝o ´erdekes tulajdons´aga van: c = b + a, mint az r¨ogt¨on l´atszik a komponensekb˝ol. Fenn´all teh´at a k¨ovetkez˝o ¨osszef¨ ugg´es is: a + (b + c) = (a + b) + c. Vagyis a vektorok b´armely sorrendben ¨osszeadhat´ok. Mi a + b jelent´ese? Ha, tegy¨ uk y fel, valamely ´abr´an a-t ´es b-t egyenesek k´epviselik, hogyan ´abr´azolhac t´o c? Ezt mutatja a 11.4. ´abra. L´atb hat´o, hogy b komponenseit a legk´ea nyelmesebben u ´gy adhatjuk hozz´a a komponenseihez, ha az el˝obbieket x k´epvisel˝o t´eglalapot az ´abr´an l´athat´o m´odon hozz´ailleszj¨ uk az ut´obbi11.4. a ´bra. Vektorok o sszead´ a sa ¨ akat k´epvisel˝o t´eglalaphoz. Mivel b pontosan beilleszkedik” a komponensei ´altal kifesz´ıtett t´eglalapba, s ha” sonl´ok´eppen a is a neki megfelel˝obe, fenti elj´ar´as azonos azzal, hogy b kezdet´et a hegy´ehez illesztj¨ uk, s az a kezdet´et˝ol b hegy´ebe mutat´o ny´ıl lesz a keresett c vektor. Term´eszetesen ha a-t ´es b-t ford´ıtva adn´ank ¨ossze, azaz a kezdet´et illeszten´enk b hegy´ehez, a paralelogramm´ak m´ertani tulajdons´agai alapj´an ugyanazt a c vektort kapn´ank eredm´eny¨ ul. Megjegyezz¨ uk, hogy a vektorok mindenfajta koordin´atarendszert˝ol f¨ uggetlen¨ ul adhat´ok ¨ossze. Szorozzunk meg most egy vektort valamilyen α sz´ammal. Mi ennek a ´ jelent´ese? Ugy defini´ aljuk, hogy a szorz´as olyan u ´j vektort eredm´enyezzen, amelynek komponensei αax , αay , αaz . Az olvas´ora b´ızzuk annak bizony´ıt´as´at, hogy ez val´oban vektor! Vizsg´aljuk most a vektorok k¨ ul¨onbs´eg´et. Vektorok kivon´asa az ¨osszead´ashoz hasonl´o m´odon defini´alhat´o, csak ´eppen a komponenseket nem ¨osszeadjuk, hanem kivonjuk egym´asb´ol. Vagy defini´alhatjuk a kivon´ast u ´gy is, hogy el˝obb defini´alunk egy negat´ıv vektort, −b = (−1)b, majd a komponenseket ¨osszeadjuk. Ez is ugyanarra az eredm´enyre vezet. Az eredm´enye a 11.5. ´abr´ar´ol leolvashat´o: d = a − b = a + (−b). Megjegyzend˝o, hogy az a − b k¨ ul¨onbs´eg a-b´ol ´es b-b˝ol igen egyszer˝ uen u ´gy is megkaphat´o, hogy az ezzel egyen´ert´ek˝ u a = b + d ¨osszef¨ ugg´est vizsg´aljuk. www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

209

11.5. Vektoralgebra

Ezek szerint a k¨ ul¨onbs´eg m´eg az ¨osszegn´el is egyszer˝ ubben k´epezhet˝o. Hogy a − b-hez jussunk, egyszer˝ uen csak b-b˝ol a-ba kell h´ uznunk egy vektort!

2 r = r2 –r1 d

r2

1

b a

r1 –b

O

d=a –b

11.5. a ´bra. Vektorok kivon´ asa

11.6. a ´bra. R´eszecske elmozdul´ asa egy r¨ ovid ∆t = t2 − t1 id˝ otartam alatt

A k¨ovetkez˝okben a sebess´eget vizsg´aljuk. Mi´ert vektor a sebess´eg? Ha egy t´argy helyzete h´arom (x, y, z) koordin´at´aval megadhat´o, mi lesz a t´argy sebess´ege? A sebess´eget a dx/dt, dy/dt, dz/dt mennyis´egek hat´arozz´ak meg. E h´arom sz´am vektor-e, avagy sem? A (11.5) egyenleteket differenci´alva megn´ezhetj¨ uk, vajon dx0 /dt a megfelel˝o m´odon transzform´ al´ odik-e. Azt tal´aljuk, hogy dx/dt ´es dy/dt ugyanolyan szab´aly szerint transzform´al´odik, mint x ´es y, ez´ert az id˝o szerinti deriv´alt is vektor. Vagyis a sebess´eg: vektor. A sebess´eg a k¨ovetkez˝o ´erdekes alakban ´ırhat´o fel: v = dr/dt. Hogy tulajdonk´eppen mi a sebess´eg, ´es mi´ert vektor, m´eg szeml´eletesebben is bemutathat´o. Mennyivel t´avolodik el egy r´eszecske r¨ovid ∆t id˝o alatt? V´alasz: ∆r-rel, vagyis ha a r´eszecske az egyik pillanatban itt” van, ” a m´asikban ott”, az ´ atlagos sebess´eg vektora a k´et helyzet k¨oz¨otti k¨ ul¨onb” s´egvektor (amely a mozg´as ir´any´aba esik, mint azt a 11.6. ´abra mutatja) osztva a ∆t = t2 − t1 id˝otartammal. M´as sz´oval, sebess´egvektoron a t ´es a t + ∆t id˝opontokhoz tartoz´o helyzetvektorok k¨ ul¨onbs´eg´enek a ∆t id˝otartammal k´epezett h´anyados´at ´ertj¨ uk abban a hat´aresetben, amikor ∆t 0-hoz tart: v = lim (∆r/∆t) = dr/dt. t→0

(11.10)

Vagyis a sebess´eg vektor, mivel k´et vektor k¨ ul¨onbs´ege. Ez a sebess´egnek szint´en egyik helyes defin´ıci´oja, mivel a komponensek itt is dx/dt, dy/dt, www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

210

11. Vektorok

dz/dt. A fenti gondolatmenetb˝ol kit˝ unik, hogy b´ armely vektor id˝o szerinti differenci´alh´anyadosa egy u ´j vektort eredm´enyez. Megismert¨ unk teh´at n´eh´any m´odszert, amellyel u ´j vektorokat ´all´ıthatunk el˝o: (1) ´alland´oval val´o szorz´as; (2) differenci´al´as az id˝o szerint; (3) k´et vektor ¨osszead´asa vagy kivon´asa. 11.6. Newton to enyei vektorjelo esben ¨rv´ ¨l´ Hogy Newton t¨orv´enyeit vektoralakban fel´ırhassuk, egy l´ep´essel tov´abb kell menn¨ unk, defini´alnunk kell a gyorsul´asvektort. A gyorsul´asvektor a sebess´egvektor id˝o szerinti differenci´alh´anyadosa, teh´at k¨onny˝ u megmutatni, hogy komponensei x, y ´es z-nek t szerint vett m´asodik deriv´altjai: a=

dv d dr d2 r = = 2 dt dt dt dt

(11.11)

dvx d2 x dvy d2 y dvz d2 z = 2 , ay = = 2 , az = = 2. (11.12) dt dt dt dt dt dt Ennek alapj´an Newton t¨orv´enyei a k¨ovetkez˝o alakban ´ırhat´ok fel: ax =

ma = F

(11.13)

vagy m(d2 r/dt2 ) = F.

(11.14)

Annak bizony´ıt´asa, hogy Newton t¨orv´enyei invari´ansak a koordin´atarendszer elforgat´as´aval szemben, a k¨ovetkez˝o l´ep´esekb˝ol ´all: Bizony´ıtanunk kell, hogy a vektor – ez ´eppen most megt¨ort´ent; bizony´ıtanunk kell, hogy F vektor – felt´etelezz¨ uk, hogy val´oban az. Ha teh´at az er˝o vektor, akkor – mivel tudjuk, hogy a gyorsul´as vektor – a (11.13) egyenlet minden koordin´atarendszerben ugyanolyan alak´ u. Az egyenletnek ez az alakja, amely explicite nem tartalmazza x-et, y-t ´es z-t, az´ert el˝ony¨os, mert Newton vagy a fizika egy´eb t¨orv´enyeinek le´ır´as´ahoz nem kell mindig h´arom t¨orv´enyt fel´ırni. Olyan ´ır´asm´odot haszn´alunk, hogy a t¨orv´eny egyetlen t¨orv´enynek t˝ unik, a val´os´agban ez term´eszetesen h´arom t¨orv´eny, b´armely adott koordin´atarendszer eset´en, minthogy minden vektoregyenlet azt az ´all´ıt´ast tartalmazza, hogy a komponensek egyenl˝ ok egym´ assal. Az a t´eny, hogy a gyorsul´as a sebess´egvektor megv´altoz´as´anak m´ert´eke, nagy seg´ıts´eget jelent a gyorsul´as kisz´am´ıt´as´anak n´eh´any bonyolult eset´eben. Tegy¨ uk fel p´eld´aul, hogy a r´eszecske valamilyen bonyolult p´aly´an mozog (11.7. ´abra), ´es hogy egy adott t1 id˝opillanatban sebess´ege v1 , de ha egy pillanattal k´es˝obb, t2 id˝opontban vizsg´aljuk meg, sebess´ege m´ar az el˝obbit˝ol elt´er˝o, v2 lesz. Mi lesz a gyorsul´as? V´alasz: a gyorsul´as a www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

211

11.6. Newton t¨ orv´enyei vektorjel¨ ol´esben

sebess´eg megv´altoz´asa osztva a megv´altoz´as id˝otartam´aval, vagyis a gyorsul´ashoz k´et sebess´eg k¨ ul¨onbs´eg´ere van sz¨ uks´eg¨ unk. Hogyan kaphat´o meg a sebess´egek k¨ ul¨onbs´ege? Hogy a k´et vektort kivonjuk egym´asb´ol, egy vektort fektet¨ unk v2 ´es v1 v´egpontjai k¨oz´e; vagyis ∆v lesz a k´et vektor k¨ ul¨onbs´ege, nemde? Nem! ´Igy csak akkor j´arhatunk el, ha a k´et vektor kezdete ugyanabban a pontban van! Annak, hogy az egyik vektort eltolom valahov´a, s u ´gy h´ uzok vonalat a k´et vektor k¨oz´e, semmi ´ertelme sincs, erre u unk! A k´et vektor kivon´as´ahoz egy u ´j diagramot kell k´esz´ıte¨gyelj¨ n¨ unk. A 11.8. ´abr´an v1 ´es v2 m´eret¨ uk megtart´asa mellett p´arhuzamosan el vannak tolva a 11.7. ´abr´an l´athat´o megfelel˝oj¨ ukh¨oz k´epest. Most m´ar megbesz´elhetj¨ uk a gyorsul´ast. Nyilv´anval´o, hogy a gyorsul´as egyszer˝ uen ´ ∆v/∆t. Erdekes megeml´ıteni, hogy a sebess´egk¨ ul¨onbs´eget k´et r´eszb˝ol tehetj¨ uk ¨ossze; a gyorsul´as u ´gy foghat´o fel, mint aminek k´et komponense van, egy ∆vk (a p´alya ´erint˝oj´evel p´arhuzamos) ´es egy ∆v⊥ (a p´aly´ara mer˝oleges) komponense, amint azt a 11.8. ´abr´an l´athatjuk. A gyorsul´as p´alyamenti komponense term´eszetesen ´eppen a vektor hossz´ anak megv´altoz´asa, vagyis a gyorsas´ ag (v) megv´altoz´asa: ak = dv/dt.

(11.15)

A gyorsul´as m´asik, a p´aly´ara mer˝oleges komponense a 11.7. ´es 11.8. v1

s

v v2

r1

v1

r2

v

v

O

v

R

v2 11.7. a ´bra. G¨ orb¨ ult p´ alya

11.8. a ´bra. Diagram a gyorsul´ as kisz´ am´ıt´ as´ ara

a´br´ak seg´ıts´eg´evel k¨onnyen kisz´am´ıthat´o. A r¨ovid ∆t id˝otartam alatt legyen a sebess´egvektor sz¨ogv´altoz´asa (a v1 ´es v2 k¨oz¨otti sz¨og) ∆ϕ. Ha a sebess´eg nagys´aga v, akkor nyilv´anval´o, hogy ∆v⊥ = v∆ϕ, ´es a mer˝oleges gyorsul´as nagys´aga a⊥ = v(∆ϕ/∆t). www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

212

11. Vektorok

Sz¨ uks´eg¨ unk van ∆ϕ/∆t ´ert´ek´ere is. Ha egy adott pillanatban a g¨orbe egy R sugar´ u k¨orrel k¨ozel´ıthet˝o, a ∆t id˝o alatt a megtett s u ´t v∆t-vel egyenl˝o, ahol v a sebess´eg nagys´aga. vagyis ∆ϕ/∆t = v/R.

∆ϕ = (v∆t/R),

Azt kapjuk teh´at, hogy – amint a (9.3) k´epletben m´ar l´attuk – a⊥ = v 2 /R.

(11.16)

11.7. Vektorok skal´ arszorzata Menj¨ unk most tov´abb a vektorok tulajdons´againak vizsg´alat´aban. K¨onny˝ u l´atni, hogy egy t´erbeli l´ep´es hossz´ us´ aga b´armely koordin´atarendszerben azonos lenne. Vagyis ha az adott r l´ep´est az egyik koordin´atarendszerben x, y ´es z ´abr´azolja, ´es x0 , y 0 , valamint z 0 ugyanazt a l´ep´est egy m´asik koordin´atarendszerben, u ´gy a t´avols´ag, r = |r|, biztosan ugyanannyi mind a k´et koordin´atarendszerben. Legyen teh´at r=

q

x2 + y 2 + z 2

´es r0 =

q

x0 2 + y 02 + z 02 .

Azt kell teh´at bebizony´ıtanunk, hogy ez a k´et mennyis´eg egyenl˝o egym´assal. K´enyelmesebb, ha a n´egyzetgy¨okvon´ast elker¨ ulve ink´abb a t´avols´agok n´egyzet´er˝ol besz´el¨ unk, vagyis megpr´ob´aljuk kital´alni, val´oban fenn´all-e 2

x2 + y 2 + z 2 = x0 + y 02 + z 02 .

(11.17)

J´o lenne, ha ´ıgy lenne – ´es val´oban, ha a (11.5) egyenleteket behelyettes´ıtj¨ uk ide, kiad´odik az egyenl˝os´eg. L´atjuk teh´at, hogy l´eteznek m´as olyan egyenl˝os´egek is, amelyek b´armely k´et koordin´atarendszer k¨oz¨ott fenn´allnak. Ez valami u ´jat is mond! El˝o´all´ıthatunk egy u ´j mennyis´eget, x-, y´es z-nek valamilyen f¨ uggv´eny´et, u ´gynevezett skal´ arf¨ uggv´enyt, egy olyan mennyis´eget, amelynek nincs ir´anya, m´egis ugyanaz mind a k´et koordin´atarendszerben. Teh´at vektorb´ol skal´art tudunk k´epezni. Erre n´ezve ´altal´anos szab´alyt kell tal´alnunk. A szab´aly vil´agosan kit˝ unik az el˝obb t´argyalt esetben: add ¨ossze a komponensek n´egyzeteit! Defini´aljunk most egy u ´j mennyis´eget, ´es nevezz¨ uk aa-nak. Ez m´ar nem vektor-, hanem skal´armennyis´eg, egy olyan sz´am, amely minden koordin´atarendszerben ugyanaz, s amely defin´ıci´oszer˝ uen a vektorkomponensek n´egyzet¨osszeg´evel egyenl˝o: aa = a2x + a2y + a2z . www.interkonyv.hu

(11.18) Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

11.7. Vektorok skal´ arszorzata

213

Most azt mondhatn´ank: de milyen tengelyekre vonatkoz´oan?” Mindez ” f¨ uggetlen a koordin´atatengelyekt˝ol, az eredm´eny azonos minden tengelyrendszerre n´ezve. Ezek szerint ez egy u ´j t´ıpus´ u mennyis´eg, egy u ´jfajta invari´ans, vagy skal´ ar, amely a vektor n´egyzetre emel´es´eb˝ol” ad´odik. Ha ” most valamely a ´es b vektor seg´ıts´eg´evel a k¨ovetkez˝o mennyis´eget defini´aljuk: ab = ax bx + ay by + az bz , (11.19) azt tal´aljuk, hogy mind a vessz˝os, mind a vessz˝otlen koordin´atarendszerben sz´am´ıtva, ez a mennyis´eg ugyanannyi. A bizony´ıt´ashoz megeml´ıtj¨ uk, hogy az ´all´ıt´as igaz aa, bb ´es cc eset´en, ahol c = a+b. K¨ovetkez´esk´eppen a n´egyzetek ¨osszeg´enek invari´ansnak kell lennie: (ax + bx )2 + (ay + by )2 + (az + bz )2 = (11.20) = (ax0 + bx0 )2 + (ay0 + by0 )2 + (az 0 + bz 0 )2 . Ha az egyenl˝os´eg mindk´et oldal´at kifejtj¨ uk, a tagok k¨ozt megjelennek a (11.9) egyenletben szerepl˝o vegyes szorzatok, tov´abb´a a ´es b komponenseinek n´egyzet¨osszege. A (11.18) egyenlet tagjaival azonos t´ıpus´ u tagok invarianci´aj´ab´ol k¨ovetkezik a (11.19) t´ıpus´ u vegyes szorzatok invarianci´aja. Az ab mennyis´eget az a ´es b vektorok skal´ arszorzat´ anak nevezz¨ uk. A skal´arszorzatnak nagyon sok hasznos tulajdons´aga van. P´eld´aul k¨onnyen bel´athat´o, hogy a(b + c) = ab + ac. (11.21) Vagy egy m´asik tulajdons´aga: ab egyszer˝ u geometriai u ´ton is kisz´am´ıthat´o, an´elk¨ ul, hogy a ´es b komponenseit rendre kisz´am´ıtan´ank. ab az a ´es b hossz´anak, valamint az ´altaluk k¨ozrez´art sz¨og koszinusz´anak a szorzata. Mi´ert? Tegy¨ uk fel, hogy olyan koordin´atarendszert v´alasztottunk, ahol az x-tengely a ment´en fekszik; ilyen k¨or¨ ulm´enyek k¨ozt a-nak csak egyetlen komponense van, ax , amely term´eszetesen nem m´as, mint a hossza. Ez esetben a (11.19) egyenlet az ab = ax bx egyenletre reduk´al´odik, ´es a jobb oldalon a hossza ´all megszorozva b-nek a ir´anyba es˝o vet¨ ulet´evel, azaz b cos ϑ-val: ab = ab cos ϑ. Ebben a speci´alis koordin´atarendszerben bebizony´ıtottuk teh´at, hogy ab egyenl˝o a hossz´anak, b hossz´anak ´es cos ϑ-nak a szorzat´aval. De ha ez valamely koordin´ atarendszerben igaznak bizonyul, akkor igaz mindegyikben, mivel ab f¨ uggetlen a koordin´atarendszert˝ol. Ez teszi ´ervel´es¨ unket teljess´e. Mire j´o a skal´arszorzat? Vannak olyan esetek a fizik´aban, amikor sz¨ uks´eg¨ unk van r´a? Igen, sokszor sz¨ uks´eg¨ unk van a skal´arszorzatra. P´eld´aul www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

214

11. Vektorok

a 4. fejezetben a kinetikus energi´at 21 mv 2 -tel azonos´ıtottuk, de ha a sz´oban forg´o t´argy a t´erben mozog, a sebess´eg´et n´egyzetre kell emelni mind az x, mind az y, mind a z ir´anyban, vagyis a kinetikus energia k´eplete vektorjel¨ol´esben: 1 1 Wkin = m(vv) = m(vx2 + vy2 + vz2 ). (11.22) 2 2 Az energi´anak nincsen ir´anya, az impulzusnak viszont van. Az impulzus vektor, a t¨omegnek ´es a sebess´eg vektor´anak a szorzata. A skal´arszorzat egy m´asik p´eld´aja, valamely er˝o ´altal v´egzett munka, mik¨ozben az er˝o hat´as´ara egy t´argy ´atker¨ ul az egyik helyr˝ol egy m´asikra. Eddig m´eg nem defini´altuk a munk´at. A munka egyenl˝o a t´argy energi´aj´anak megv´altoz´as´aval, amikor a t´argyra F er˝o s t´avols´agon hat: W = Fs.

(11.23)

Olykor c´elszer˝ u a vektorok adott ir´any´ u komponens´er˝ol besz´elni (mondjuk, a f¨ ugg˝oleges ir´any´ u komponensr˝ol, minthogy ez a gravit´aci´o ir´anya). Ezzel kapcsolatban c´elszer˝ uen bevezetj¨ uk az adott ir´anyba mutat´o, u ´gynevezett egys´egvektor fogalm´at. Egys´egvektoron olyan vektort ´ert¨ unk, amelynek ¨onmag´aval alkotott skal´arszorzata az egys´eggel egyenl˝o. Jel¨olj¨ uk az egys´egvektort i-vel, ekkor ii = 1. Ha most valamely vektornak az i ir´anyba es˝o komponens´et akarjuk meghat´arozni, az nyilv´an ai = a cos ϑ lesz, vagyis ´eppen a-nak i ir´any´aba es˝o komponense. Komponensek kisz´am´ıt´as´ara ez igen k´enyelmes m´odszer, mivel lehet˝os´eget ad minden komponens kisz´am´ıt´as´ara, ´es egy´ uttal egy meglehet˝osen mulats´agos formula fel´ır´as´ara. Tegy¨ uk fel, hogy egy adott x, y, z koordin´atarendszerben bevezet¨ unk h´arom vektort: i-t, j-t ´es k-t; i az x-tengely, j az y-tengely, k a y-tengely ir´any´aba mutat´o egys´egvektor. El˝osz¨or is megjegyezz¨ uk, hogy ii = 1. Mivel egyenl˝o ij? Ha k´et vektor egym´asra mer˝oleges, skal´arszorzatuk z´erus. Teh´at: ii = 1 ij = 0,

jj = 1,

ik = 0,

jk = 0,

(11.24) kk = 1.

E defin´ıci´o ´ertelm´eben b´armely vektor a k¨ovetkez˝o alakban ´ırhat´o: a = ax i + ay j + az k.

(11.25)

E k´eplet seg´ıts´eg´evel egy vektor komponenseib˝ol eljuthatunk mag´ahoz a vektorhoz. A vektorok itt bemutatott t´argyal´asa t´avolr´ol sem teljes. Ahelyett azonban, hogy megpr´ob´alkozn´ank most m´elyebbre hatolni a t´argyban, ismerj¨ uk meg el˝obb az eddig t´argyalt fogalmak alkalmaz´as´at a fizik´aban www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

11.7. Vektorok skal´ arszorzata

215

el˝ofordul´o esetekre. Az alapok elsaj´at´ıt´asa ut´an k¨onnyebben hatolunk majd egyre m´elyebbre, an´elk¨ ul, hogy ez zavart okozna. K´es˝obb majd defini´alnunk kell k´et vektornak egy m´asik fajta szorzat´at is, az u ´gynevezett vektorszorzatot, amelyet a ×b-vel jel¨ol¨ unk. Ezt azonban csak egy k´es˝obbi fejezetben fogjuk t´argyalni.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

12. fejezet Az er˝ o jellemz˝ oi 12.1. Mit ´ ertu on? ¨ nk er˝ Noha ´erdekes ´es ´erdemes tanulm´anyozni a fizikai t¨orv´enyeket, m´ar csak az´ert is, mert seg´ıts´eg¨ unkre vannak a term´eszeti jelens´egek meg´ert´es´eben ´es hasznos´ıt´as´aban, m´egis n´eha-n´eha meg kell ´allnunk ´es el kell gondolkodnunk azon, hogy val´oj´aban mit is jelentenek ezek a t¨orv´enyek. Az, hogy mi az ´ertelme valamely kijelent´esnek, m´ar id˝otlen id˝ok ´ota ´erdekli ´es nyugtalan´ıtja a filoz´ofusokat. A fizikai t¨orv´enyek jelent´ese m´eg sokkal ´erdekesebb, mivel az az ´altal´anos felfog´as, hogy ezek valamif´ele val´os´agos ismeretet k´epviselnek. Hogy a tud´as mit jelent, az a filoz´ofia egyik igen m´ely probl´em´aja. Mindig hely´enval´o feltenni a k´erd´est: Ez mit jelent?” ” Tegy¨ uk fel a k´erd´est: Mit jelent Newton F = ma alakban ´ırt fizikai ” t¨orv´enye? Mi az er˝o, t¨omeg ´es gyorsul´as jelent´ese?” Hogy mi a t¨omeg jelent´ese, azt ¨oszt¨on¨osen ´erezz¨ uk, ´es ha a helykoordin´ata ´es id˝o jelent´es´et ismerj¨ uk, akkor a gyorsul´ast is defini´ alni tudjuk. Ezek jelent´es´et nem t´argyaljuk, hanem egy u ´j fogalomra, az er˝ ore ford´ıtjuk figyelm¨ unket. A v´alasz itt is nagyon egyszer˝ u: Ha egy test gyorsul, ” akkor er˝o hat r´a.” Ezt mondja ki Newton t¨orv´enye, ´es ´ıgy az er˝o elk´epzelhet˝o legpontosabb ´es legszebb meghat´aroz´asa egyszer˝ uen a k¨ovetkez˝o lehet: Az er˝o a test t¨omeg´enek ´es gyorsul´as´anak a szorzata. Tegy¨ uk fel, hogy l´etezik egy olyan t¨orv´eny, mely kimondja, hogy az impulzusmegmarad´as akkor igaz, ha a k¨ uls˝o er˝ok ¨osszege z´erus. Ekkor a k¨ovetkez˝o k´erd´es mer¨ ul fel: Mit jelent, hogy a k¨ uls˝o er˝ok ¨osszege z´erus?” K´ıs´ert´esbe es¨ unk, ” hogy ´ıgy v´alaszoljunk: A k¨ uls˝o er˝ok ¨osszege z´erus, ha az ¨osszimpulzus ” ´alland´o.” Ez ´ıgy sehogy sem j´o, mivel nem mond semmi u ´jat. Ha felfedez¨ unk egy alapvet˝o t¨orv´enyt, ami szerint az er˝o a t¨omeg ´es a gyorsul´as szorzat´aval egyenl˝o, ´es azt´an az er˝ot mint a t¨omeg ´es gyorsul´as szorzat´at defini´ aljuk, akkor ezzel semmi u ´jat nem tal´altunk ki. Az er˝o jelent´es´et m´eg a k¨ovetkez˝o kijelent´essel is meghat´arozhatjuk: ha mozg´o testre er˝o nem hat, akkor az egyenes vonal´ u p´aly´an, ´alland´o sebess´eggel halad tov´abb. Ha azut´an azt ´eszlelj¨ uk, hogy valamely test nem egyenes vonal´ u p´aly´an ´es nem ´alland´o sebess´eggel halad, akkor azt mondhatjuk, hogy a testre er˝o hat. Term´eszetesen ilyesmikkel a fizika nem foglalkozik, mivel ezek csup´an k¨ork¨or¨os defin´ıci´ok, melyek nem visznek tov´abb. Azonban Newton fenti ´all´ıt´asai az er˝o legpontosabb defin´ıci´oj´anak t˝ unnek, olyan defin´ıci´owww.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

12.1. Mit ´ert¨ unk er˝ on?

217

nak, amely megragadja a matematikusok k´epzelet´et. Ennek ellen´ere ez is teljesen haszontalan, mivel egy defin´ıci´o alapj´an semmif´ele j´osl´asba nem lehet bocs´atkozni. Ak´ar eg´esz nap u unk egy karossz´ekben ´es tetsz´es ¨lhet¨ szerint defini´alhatunk szavakat. Eg´eszen m´as dolog azonban kital´alni, hogy mi t¨ort´enik, amikor k´et goly´o egym´asnak u ¨tk¨ozik, vagy amikor egy rug´ora s´ ulyt akasztunk, a testek viselked´ese ugyanis teljesen f¨ uggetlen a defin´ıci´ok b´armif´ele megv´alaszt´as´at´ol. Ha p´eld´aul azt mondjuk, hogy egy mag´ara hagyott test megtartja eredeti helyzet´et ´es nem mozdul el, ´es azt´an azt l´atjuk, hogy valami mozog, akkor azt mondhatn´ank, hogy ezt valamif´ele mozgat´onak” kell tulajdo” n´ıtanunk; ez a mozgat´o” a helykoordin´at´ak megv´altoz´as´anak sebess´ege. ” Most teh´at gy¨ony¨or˝ u u ´j t¨orv´enyt kaptunk: minden nyugalomban van, kiv´eve amikor valamilyen mozgat´o” hat. L´athat´o, hogy ez hasonl´o len” ne az er˝o fenti defin´ıci´oj´ahoz, semmilyen inform´aci´ot nem tartalmazna. A Newton-t¨orv´enyek val´odi tartalma a k¨ovetkez˝o: felt´etelezz¨ uk, hogy az F = ma t¨orv´enyen t´ ulmen˝oen az er˝o m´eg n´eh´any, ett˝ol f¨ uggetlen tulajdons´ aggal rendelkezik. Ezeket a saj´ atos f¨ uggetlen tulajdons´agokat azonban sem Newton, sem m´as nem ´ırta le teljesen, s ´ıgy az F = ma fizikai t¨orv´eny nem teljes. A t¨orv´eny azt mondja ki, hogy a t¨omeg ´es a gyorsul´as szorzat´anak, vagyis az er˝onek a tanulm´anyoz´asa sor´an – az er˝o jellemz˝oinek tanulm´anyoz´as´at l´enyeges feladatnak tekintj¨ uk – azt tal´aljuk, hogy az er˝ok bizonyos ´ertelemben egyszer˝ uek. A t¨orv´eny a term´eszet analiz´al´as´ahoz j´o vez´erfonalk´ent szolg´al, ´es arra utal, hogy az er˝ok egyszer˝ uek. Ilyen er˝okre az els˝o p´elda a gravit´aci´onak Newton ´altal megadott teljes t¨orv´enye. Newton a t¨orv´eny fel´all´ıt´as´aval v´alaszt adott arra a k´erd´esre, hogy mi az er˝o?” Ha gravit´aci´on k´ıv¨ ul semmi m´as nem lenne, akkor a ” gravit´aci´os t¨orv´eny ´es az er˝ot¨orv´eny (m´asodik mozg´ast¨orv´eny) egy¨ utt egy teljes elm´eletet szolg´altatna. Mivel azonban a gravit´aci´on k´ıv¨ ul m´eg sok m´as is van, ´es mivel a Newton-t¨orv´enyeket sok m´as esetben is haszn´alni akarjuk, az´ert az er˝o tulajdons´agair´ol is kell valamit mondanunk. P´eld´aul hallgat´olagosan mindig felt´etelezz¨ uk, hogy fizikai test jelenl´ete n´elk¨ ul er˝o nem l´epne fel; ha z´erust´ol k¨ ul¨onb¨oz˝o nagys´ag´ u er˝ot ´eszlel¨ unk, akkor a k¨ozelben kell tal´alnunk valamit, ami az er˝o forr´asa lehet. Ez a feltev´es mer˝oben k¨ ul¨onb¨ozik a fentebb bevezetett mozgat´o” eset´et˝ol. Az ” er˝o egyik legfontosabb tulajdons´aga, hogy anyagi eredet˝ u, s ez nem csup´an defin´ıci´o. Newton szint´en megadott egy er˝ore vonatkoz´o szab´alyt, azt, hogy a k¨olcs¨onhat´asban lev˝o testek k¨oz¨ott hat´o er˝ok egyenl˝o nagys´ag´ uak ´es ellent´etes ir´any´ uak – a hat´as egyenl˝o az ellenhat´assal. Kider¨ ult, hogy ez a

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

218

12. Az er˝ o jellemz˝ oi

t¨orv´eny nem pontosan igaz. Val´oj´aban az F = ma t¨orv´eny sem az. Ha defin´ıci´o lenne, akkor azt kellene mondanunk, hogy mindig pontosan igaz, de nem ez a helyzet. Az olvas´o ellenvet´est tehet, mondv´an: Nem szeretem az ilyen pon” tatlans´agot, mindent pontosan szeretn´ek defini´alni. N´eh´any k¨onyvben az ´all, hogy csak az a tudom´any egzakt, amelyben minden pontosan defini´alva van.” Pedig az olvas´o hi´aba ragaszkodik az er˝o pontos defin´ıci´oj´ahoz, sohasem fogja megkapni! El˝osz¨or is az´ert nem, mert Newton m´asodik t¨orv´enye sem pontos, m´asodszor meg az´ert nem, mert – s ez fontos a fizikai t¨orv´enyek meg´ert´es´ehez – minden t¨orv´eny bizonyos fajta k¨ozel´ıt´es. B´armely egyszer˝ u gondolat k¨ozel´ıt˝o jelleg˝ u. Tekints¨ unk p´eld´aul egy testet. . . mi is egy test? A filoz´ofusok mindig azt mondj´ak: vegy¨ unk ” p´eld´aul egy sz´eket”. Abban a pillanatban, hogy ez a mondat elhangzott, m´ar sejtj¨ uk, hogy a filoz´ofus semmi t¨obbet nem tud arr´ol, amir˝ol besz´elni akar. Mi a sz´ek? Nos, a sz´eknek bizonyos t¨omege van. . . bizonyos? Mekkora? Id˝or˝ol id˝ore atomok p´arolognak el bel˝ole – nem sok, csak egy kev´es –, piszok hull r´a ´es sz´etoszlik a fest´ekben. Lehetetlen teh´at pontosan defini´alni, hogy mi a sz´ek, lehetetlen pontosan megmondani, hogy mely atomok tartoznak a sz´ekhez ´es melyek a leveg˝oh¨oz, a piszokhoz vagy a sz´eken lev˝o fest´ekhez. A sz´ek t¨omeg´et teh´at csak k¨ozel´ıt˝oleg lehet meghat´arozni. Ugyan´ ugy lehetetlen meghat´arozni valamely mag´aban ´all´o t´argy t¨omeg´et, mert nincs a vil´agon egyetlen mag´ara hagyott, mag´aban ´all´o t´argy. Minden t´argy sokfajta dolog kever´eke, u ´gyhogy amikor vizsg´aljuk, eg´esz sor k¨ozel´ıt´essel ´es idealiz´al´assal kell dolgoznunk. Igen l´enyeges fog´as az idealiz´aci´o. Nagyon j´o, p´eld´aul 1 a 1010 ar´any´ u k¨ozel´ıt´esben a sz´ek atomjai egy perc alatt nem v´altoznak meg, s ha nem vagyunk t´ ul prec´ızek, akkor t¨omeg´et – n´emi idealiz´al´assal – ´alland´onak tekinthetj¨ uk. Ugyan´ıgy, ha nem vagyunk t´ ul prec´ızek, az er˝o jellemz˝oir˝ol is idealiz´al´as r´ev´en megtudhatunk valamit. Lehet, hogy valaki el´egedetlen a term´eszetnek ezzel a k¨ozel´ıt˝o ´attekint´es´evel, amivel a fizikusok k´enytelenek pr´ob´alkozni (a t¨orekv´es term´eszetesen mindig az, hogy a k¨ozel´ıt´es pontoss´ag´at n¨ovelj¨ uk), ´es ink´abb a matematikai defin´ıci´ot helyezi el˝onybe, de a val´os´agban a matematikai defin´ıci´ok sohasem k´epesek j´o eredm´enyeket szolg´altatni. A matematikai defin´ıci´o a matematik´aban megfelel – ahol az eg´esz logik´at teljesen v´egig lehet k¨ovetni –, de a fizikai vil´ag bonyolult, mint ahogy erre m´ar j´o n´eh´any p´eld´an utaltunk (az ´oce´an hull´amai, egy poh´ar bor). Amikor megpr´ob´aljuk elk¨ ul¨on´ıteni a bort az u ¨vegt˝ol, hogy csak egyetlen t¨omegr˝ol (a bor´er´ol vagy az u veg´ e r˝ o l) besz´ e lhess¨ unk, hon¨ nan tudjuk, hogy melyik melyik, hiszen egyik a m´asikba van olvadva.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

12.1. Mit ´ert¨ unk er˝ on?

219

Az egyed¨ ul ´all´o t´argyra hat´o er˝o” m´ar maga k¨ozel´ıt´est tartalmaz. S ha ” van a val´odi vil´ag le´ır´as´ara alkalmas rendszer¨ unk, akkor ez a rendszer – legal´abbis ma m´eg – sz¨ uks´egk´eppen bizonyos k¨ozel´ıt´eseket tartalmaz. Ez a rendszer egy´altal´aban nem hasonl´ıt a matematik´aban haszn´alatos le´ır´asokhoz. A matematik´aban mindent defini´alni lehet, de m´egsem tudjuk, mir˝ol is besz´el¨ unk. Val´oj´aban a matematika nagys´aga abban ´all, hogy nem kell megmondanunk, mir˝ ol is besz´el¨ unk. A matematika dics˝os´ege teh´at az, hogy a t¨orv´enyek, az ´ervek ´es a logika f¨ uggetlenek att´ol, hogy mire vonatkoznak. Ha van a t´argyaknak egy m´asik csoportja is, amely ugyanazoknak az axi´om´aknak tesz eleget, mint az euklideszi geometria alakzatai, akkor – ha u ´j defin´ıci´okat adunk meg ´es azokat hib´atlan logik´aval v´egig is k¨ovetj¨ uk – minden k¨ovetkeztet´es ugyan´ ugy helyt´all´o lesz, teh´at mindegy, hogy milyenek az adott t´argyak. A term´eszetben azonban, ha egyenest h´ uzunk, vagy egyenes vonalat jel¨ol¨ unk ki p´eld´aul egy f´enysug´ar ´es teodolit seg´ıts´eg´evel, mint, mondjuk, a f¨oldm´er´esekn´el, vajon az euklideszi ´ertelemben vett egyenesekkel van-e dolgunk? Nem, csak k¨ozel´ıt´est v´egezhet¨ unk: a fonalkeresztnek van bizonyos vastags´aga, m´ıg a geometriai vonalnak egy´altal´an nincs. S hogy vajon f¨oldm´er´eshez felhaszn´alhat´o-e az euklideszi geometria vagy sem, ez fizikai ´es nem matematikai probl´ema. Viszont nem matematikai, hanem k´ıs´erleti szempontb´ol tudnunk kell, vajon az euklideszi t¨orv´enyek alkalmazhat´ok-e a f¨oldm´er´esn´el haszn´alt geometri´ara. Feltessz¨ uk, hogy igen, ´es ezzel a felt´etelez´essel eg´eszen j´o eredm´enyeket kapunk annak ellen´ere, hogy nem pontos, hiszen a f¨oldm´er´esben sehol nem fordulnak el˝o val´odi geometriai egyenesek. Hogy a val´oban absztrakt euklideszi egyenesek illeszthet˝ok-e a k´ıs´erleti egyenesekre vagy sem, ez k´ıs´erleti probl´ema, azaz nem d¨onthet˝o el puszta okoskod´assal. Ugyan´ıgy az F = ma ¨osszef¨ ugg´est sem nevezhetj¨ uk defin´ıci´onak, nem vezethet¨ unk le – a mechanik´at matematikai elm´elett´e alak´ıtva ´at – mindent puszt´an matematikailag, amikor a mechanika a term´eszet le´ır´asa. Megfelel˝o posztul´atumok bevezet´es´evel mindig lehets´eges – mint ahogy Eukleid´esz tette – valamilyen matematikai rendszert l´etrehozni, de a vil´agegyetem matematik´aj´at nem tudjuk megalkotni, mivel el˝obb meg kellene tudnunk, vajon az axi´om´ak ´erv´enyesek-e a term´eszetben tal´alhat´o t´argyakra. Teh´at l´epten-nyomon belebotlunk a val´os´agba, a term´eszetet alkot´o bonyolult ´es ´alnok” t´argyakba, melyeket csup´an megk¨ozel´ıt˝oleg – ” mindink´abb fokoz´od´o pontoss´ag´ u k¨ozel´ıt´esek r´ev´en – tudunk le´ırni.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

220

12. Az er˝ o jellemz˝ oi

12.2. S´ url´ od´ as Az el˝obbi fejteget´esekb˝ol is kider¨ ul, hogy az er˝ok megvitat´asa n´elk¨ ul nem lehet a Newton-t¨orv´enyeket igaz´aban meg´erteni. E fejezet¨ unk mintegy kieg´esz´ıtve a Newton-t¨orv´enyeket, az er˝ok t´argyal´as´aba ad bevezet´est. A gyorsul´as ´es a hozz´akapcsol´od´o fogalmak defin´ıci´oit m´ar megt´argyaltuk, most az er˝o tulajdons´agait kell tanulm´anyoznunk. Ellent´etben a kor´abbiakkal, ez a fejezet nem lesz nagyon pontos”, mert az er˝ok el´eg bonyolul” tak. Hogy mindj´art egy saj´ats´agos er˝ovel kezdj¨ uk, tekints¨ uk a leveg˝oben sz´all´o rep¨ ul˝og´epre hat´o l´egellen´all´ast. Milyen t¨orv´eny vonatkozik erre az er˝ore? (Bizony´ara minden er˝ore vonatkozik valamilyen t¨orv´eny, kell hogy legyen egy t¨orv´eny!) Neh´ez elk´epzelni, hogy az erre az er˝ore vonatkoz´o t¨orv´eny egyszer˝ u legyen. Pr´ob´aljuk meg elk´epzelni, mit csin´al a l´egellen´all´as a leveg˝oben sz´all´o rep¨ ul˝og´eppel – gondoljunk a sz´arnyak k¨or¨ uli l´eg´araml´asra, a h´atul keletkez˝o l´eg¨orv´enyekre, a t¨orzs k¨or¨ ul v´egbemen˝o v´altoz´asokra ´es sok m´as bonyodalomra –, ´es mindj´art l´atjuk, hogy egy´altal´an nem v´arhatunk valami egyszer˝ u t¨orv´enyt. M´asr´eszr˝ol figyelemre m´elt´o, hogy a rep¨ ul˝og´epre hat´o l´egellen´all´asb´ol sz´armaz´o er˝o k¨ozel´ıt˝oleg a sebess´egn´egyzet ´alland´oszoros´aval egyenl˝o: F ≈ cv 2 . Hogyan kell ´ertelmezni egy ilyen t¨orv´enyt? Vajon az F = ma t¨orv´enyhez hasonl´oan? Egy´altal´an nem, els˝osorban az´ert nem, mert ez k´ıs´erleti (tapasztalati) t¨orv´eny, melyet sz´elcsatorn´aban v´egzett durva m´er´esekb˝ol kaptunk. Mi´ert ne lehetne az F = ma egyben k´ıs´erleti t¨orv´eny is?” ” – k´erdezhetn´e valaki. Nem ez´ert kell k¨ ul¨onbs´eget tenni k´et t¨orv´eny k¨oz¨ott. Nem az a k¨ ul¨onbs´eg, hogy az egyik k´ıs´erleti t¨orv´eny, hanem az, hogy – m´ar amennyire a term´eszetet meg´ertj¨ uk – ez a t¨orv´eny rendk´ıv¨ ul bonyolult, ¨osszetett esem´enyekb˝ol k¨ovetkezik, ´es alapj´aban nem egyszer˝ u dolog. Ha tanulm´anyoz´as´at – egyre pontosabb m´er´esekkel – tov´abb folytatjuk, akkor a t¨orv´eny csak mind bonyolultabb ´es nem egyszer˝ ubb lesz. M´as sz´oval, ha egyre gondosabban vizsg´aljuk a rep¨ ul˝og´epre hat´o l´egellen´all´as t¨orv´eny´et, azt egyre hamisabbnak” tal´aljuk, s min´el m´elyebben ” tanulm´anyozzuk, min´el pontosabban m´er¨ unk, ann´al bonyolultabb´a v´alik az igazs´ag. Ilyen ´ertelemben mondjuk m´ar kezdett˝ol fogva, hogy ez a t¨orv´eny nem lehet egyszer˝ u folyamat eredm´enye. Ha p´eld´aul a sebess´eg rendk´ıv¨ ul kicsiny, olyannyira, hogy rep¨ ul˝og´ep¨ unk m´ar nem is tud rep¨ ulni (pl. amikor lef´ekez˝odik), akkor a t¨orv´eny megv´altozik, ´es a l´egellen´all´asb´ol sz´armaz´o s´ url´od´as egyre ink´abb line´arisan f¨ ugg a sebess´egt˝ol. M´asik p´eld´anak tekints¨ uk a goly´ora vagy egy bubor´ekra, vagy b´armely viszk´ozus folyad´ekban (mint p´eld´aul m´ezben) lassan mozg´o t´argyra hat´o s´ url´od´awww.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

12.2. S´ url´ od´ as

221

si ellen´all´ast. Ez a sebess´eggel ar´anyos, de olyan gyors mozg´as eset´en, amikor a folyad´ek m´ar o¨rv´enyleni kezd (a m´ez nem, de a v´ız ´es a leveg˝o igen), a l´egellen´all´as egyre ink´abb a sebess´eg n´egyzet´evel v´alik ar´anyoss´a: F = cv 2 . Ha pedig a sebess´eg m´eg tov´abb n˝o, akkor ez a t¨orv´eny is egyre kev´esb´e j´ol ´ırja le a mozg´ast. Aki erre azt mondja, hogy az egy¨ uttha” t´o lassan v´altozik”, az csak megker¨ uli a probl´em´at. M´asodsorban egy´eb komplik´aci´ok is vannak. Felbonthat´o-e vajon a rep¨ ul˝og´epre hat´o er˝o a sz´arnyakra, a g´ep orr´ara stb. hat´o er˝okre? Ha az egyik vagy m´asik helyen hat´o forgat´onyomat´ek ´erdekel benn¨ unket, akkor igen, de ez esetben a sz´arnyra stb. hat´o er˝okre vonatkoz´olag speci´alis t¨orv´enyeket kell keresn¨ unk. Megh¨okkent˝o, hogy a sz´arnyra hat´o er˝o f¨ ugg a m´asik sz´arnyt´ol. Vagyis, ha a rep¨ ul˝og´ep test´et elt´avol´ıtjuk, ´es ´eppen csak az egyik sz´arnyat hagyjuk a leveg˝oben, az erre hat´o er˝o nem azonos azzal, ami akkor l´epne fel, ha nem szedt¨ uk volna sz´et a g´epet. Ennek az oka term´eszetesen az, hogy a rep¨ ul˝og´ep orr´aba u ul´aramolja a sz´arnyakat ¨tk¨oz˝o sz´el egy r´esze k¨or¨ ´es megv´altoztatja a sz´arnyakra hat´o er˝ot. Szinte csod´anak t˝ unik, hogy l´etezik egy ilyen egyszer˝ u, durva, k´ıs´erleti t¨orv´eny, melyet a rep¨ ul˝og´epek tervez´es´en´el fel lehet haszn´alni. Ez a t¨orv´eny azonban nem sorolhat´o abba a kateg´ori´aba, mint a fizika alapt¨ orv´enyei, ´es minden tov´abbi tanulm´anyoz´as csak bonyolultabb´a teszi. Annak tanulm´anyoz´asa, hogy a c egy¨ utthat´o hogyan f¨ ugg a rep¨ ul˝og´ep orr´anak alakj´at´ol – enyh´en sz´olva – haszontalan lenne. Nincs semmilyen egyszer˝ u t¨orv´eny, aminek a seg´ıts´eg´evel meghat´arozhatn´ank az egy¨ utthat´ot a rep¨ ul˝og´ep alakj´anak f¨ uggv´eny´eben. Ezzel ellent´etben a t¨omegvonz´as t¨orv´enye p´eld´aul egyszer˝ u, ´es minden tov´abbi tanulm´anyoz´as csak meger˝os´ıti azt. Az im´ent a s´ url´od´as k´et eset´et t´argyaltuk, az egyik a leveg˝oben val´o gyors, a m´asik a m´ezben val´o lass´ u mozg´asn´al fell´ep˝o s´ url´od´as volt. A s´ url´od´asnak van egy m´asik fajt´aja is, melyet sz´araz vagy cs´ usz´o s´ url´od´asnak neveznek, ez k´et test egym´ason val´o cs´ usz´asakor l´ep fel. Ez esetben a mozg´as fenntart´as´ahoz er˝o sz¨ uks´eges, melyet s´ url´od´asi er˝onek neveznek, s amely eredet´ere n´ezve nagyon bonyolult. Atomi szinten mindk´et ´erintkez˝o fel¨ ulet szab´alytalan, egyenetlen. Sok ´erintkez˝o pont van, ahol az atomok o¨sszetapadnak, s amint a cs´ usz´o testek egym´ason elmozdulnak, az atomok elszakadnak egym´ast´ol ´es rezegni kezdenek – valami ilyesminek kell t¨ort´ennie. Kor´abban a s´ url´od´as mechanizmus´at nagyon egyszer˝ unek ´ k´epzelt´ek. Ugy gondolt´ak, hogy mivel a fel¨ uletek egyenetlenek, a s´ url´od´as onnan ered, hogy a cs´ usz´o fel¨ uleteknek felemelkedve ´at kell jutniuk a g¨or¨ongy¨ok¨on. Ez azonban nem lehet igaz, mert a fenti folyamatn´al nincs energiavesztes´eg, t´enylegesen viszont a s´ url´od´as energi´at em´eszt fel.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

222

12. Az er˝ o jellemz˝ oi

Az energiaveszt´es mechanizmusa a k¨ovetkez˝o: amint a cs´ usz´o fel¨ uletek ´athaladnak a g¨or¨ongy¨ok¨on, azok alakv´altoz´ast szenvednek. Az alakv´altoz´as rezg´eseket hoz l´etre, mozg´asba hozza az atomokat, majd bizonyos id˝o m´ ulva mindk´et testet felmeleg´ıti. Nagyon ´erdekes, hogy k´ıs´erletileg ezt a s´ url´od´ast is k¨ozel´ıt˝oleg egy egyszer˝ u t¨orv´eny ´ırja le. A t¨orv´eny kimondja, hogy a s´ url´od´as legy˝oz´es´ehez ´es az egyik t´argynak a m´asikon val´o elmozd´ıt´as´ahoz sz¨ uks´eges er˝o az egym´assal ´erintkez˝o k´et fel¨ ulet k¨oz¨ott, a fel¨ uletek norm´alisa ir´any´aban hat´o (vagyis r´ajuk mer˝oleges) er˝ot˝ol f¨ ugg. Val´oban, kiel´eg´ıt˝oen j´o k¨ozel´ıt´esben a s´ url´od´asi er˝o ar´anyos ezzel a norm´alis ir´any´ u er˝ovel, ´es az ar´anyoss´agi szorz´o t¨obb´e-kev´esb´e ´alland´o: F = µN,

(12.1)

ahol µ a s´ url´ od´ asi t´enyez˝ o (12.1. ´abra). Noha ez a s´ url´od´asi t´enyez˝o nem pontosan ´alland´o, a fenti ¨osszef¨ ugg´es az er˝o becsl´es´ere j´o gyakorlati szab´alyt szolg´altat egyes gyakorlati esetekben vagy a m´ern¨oki gyakorlatban. Ha a norm´alis ir´any´ u er˝o vagy a mozg´as sebess´ege t´ ul naggy´a v´alik, akkor a rendk´ıv¨ ul nagy h˝ofejl˝od´es miatt a t¨orv´eny m´ar nem helyt´all´o. Fontos, hogy felismerj¨ uk, mindezen tapasztalati t¨orv´enyek ´erv´enyess´eg´enek korl´atja van, melyen t´ ul m´ar nem ´ırhatj´ak le helyesen a val´os´agot. Egyszer˝ u k´ıs´erlettel bizony´ıthatA mozgás iránya juk be, hogy az F = µN ¨osszef¨ ugg´ e s k¨ o zel´ ıt˝ o leg helyes. Egy kicsiny F % sz¨og alatt hajl´o s´ıkra helyezz¨ unk R N ´ ıtsuk a s´ır´a Q s´ uly´ u has´abot. All´ kot olyan meredekre, hogy a has´ab a saj´at s´ uly´an´al fogva ´eppen elkezd12.1. a ´bra. A s´ url´ od´ asi er˝ o ´es a norjen rajta cs´ uszni. A s´ uly s´ık ment´en m´ alis ir´ any´ u er˝ o k¨ ozti ¨ osszef¨ ugg´es cs´ usz´ o ´erintkez´es eset´en lefel´e hat´o komponens´enek, Q sin %nak a has´ab egyenletes cs´ usz´asa eset´en egyenl˝onek kell lennie a s´ url´od´asi er˝ovel, F -fel. A s´ ulynak a fel¨ uletre mer˝oleges komponense, Q cos %, ´eppen az N norm´alis ir´any´ u er˝ovel azonos. Ezekkel az ´ert´ekekkel a (12.1) ¨osszef¨ ugg´es a Q sin % = µQ cos % alakban ´ırhat´o, amib˝ol a s´ url´od´asi egy¨ utthat´ora µ = sin %/ cos % = tan % ad´odik. Ha ez a t¨orv´eny pontosan igaz lenne, akkor az egyes t´argyak bizonyos meghat´arozott d˝ol´essz¨ogn´el kezden´enek el cs´ uszni. Ha ugyanazt a has´abot tov´abbi s´ uly r´ahelyez´es´evel megterhelj¨ uk, akkor noha Q megn˝ott, az ¨osszef¨ ugg´esben szerepl˝o ¨osszes er˝o is megn˝o, m´egpedig ugyanolyan ar´anyban, ´es ´ıgy Q kiesik a kifejez´esb˝ol. Ha µ ´alland´o marad, akkor a megterhelt has´ab ugyanolyan d˝ol´essz¨ogn´el cs´ uszik el, mint a terheletlen. Ha a % sz¨oget az eredeti s´ ulyt haszn´alva k´ıs´erletileg hat´arozzuk meg, azt tal´aljuk, hogy a nagyobb s´ uly´ u has´ab k¨owww.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

12.2. S´ url´ od´ as

223

r¨ ulbel¨ ul ugyanolyan sz¨og eset´en kezd lecs´ uszni. Ez m´eg akkor is igaz, ha a k´et s´ uly t¨omege egym´ast´ol nagyon k¨ ul¨onb¨oz˝o. Mindebb˝ol teh´at arra k¨ovetkeztethet¨ unk, hogy a s´ url´od´asi t´enyez˝o f¨ uggetlen a s´ ulyt´ol. A k´ıs´erlet elv´egz´ese k¨ozben megfigyelhetj¨ uk, hogy amikor a s´ıkot k¨or¨ ulbel¨ ul a helyes sz¨ogben d¨ontj¨ uk meg, a has´ab nem egyenletesen cs´ uszik rajta, hanem meg-meg´all. Egyik helyen meg´all, a m´asikon gyorsulva mozog. Ez a viselked´es arra utal, hogy a s´ url´od´asi t´enyez˝o csak k¨or¨ ulbel¨ ul ´alland´o, a s´ık ment´en helyr˝ol helyre v´altozik. Ugyanilyen szab´alytalan viselked´est ´eszlelhet¨ unk, ak´ar terhelt a has´ab, ak´ar nem. Ezeket a v´altoz´asokat a s´ık k¨ ul¨onb¨oz˝o fok´ u simas´aga vagy kem´enys´ege, esetleg a rajta lev˝o piszok, rozsda vagy egy´eb idegen anyagok okozz´ak. Minden t´abl´azat, mely az ac´elnak ac´elon”, r´eznek r´ezen” stb. cs´ usz´as´ara vonatkoz´o ” ” µ ´ert´ekeket adja meg, rossz, mert nem veszi figyelembe a µ-t val´oj´aban meghat´aroz´o fenti t´enyeket. A s´ url´od´as sohasem r´eznek r´ezen” stb. val´o ” cs´ usz´as´ab´ol, hanem a r´ezhez tapad´o tiszt´atlans´agokb´ol ered. A k´ıs´erletek fent le´ırt v´altozat´aban a s´ url´od´as majdnem f¨ uggetlen a sebess´egt˝ol. Sokan azt hiszik, hogy az a s´ url´od´as, amit a t´argyak elind´ıt´asakor kell legy˝ozni (tapad´asi s´ url´od´as), nagyobb, mint az az er˝o, ami mozg´asban tart´asukhoz sz¨ uks´eges (cs´ usz´o s´ url´od´as). Sz´araz f´emekn´el azonban igen neh´ez a kett˝o k¨oz¨ott k¨ ul¨onbs´eget tenni. Az eml´ıtett t´evhit val´osz´ın˝ uleg olyan tapasztalatokon alapszik, amikor kis olaj- vagy ken˝oanyagcseppek voltak a fel¨ uleten, vagy a s´ ulyblokkokat rug´ok vagy rugalmas lapok l´atsz´olag r¨ogz´ıtik”. ” A s´ url´od´asra vonatkoz´oan nagyon neh´ez pontos kvantitat´ıv k´ıs´erleteket v´egezni, ez´ert a s´ url´od´as t¨orv´enyeit m´eg nem nagyon elemezt´ek, annak ellen´ere, hogy a pontos anal´ızisnak a m´ern¨oki gyakorlatban ´ori´asi jelent˝os´ege van. Noha a szabv´anyos´ıthat´o fel¨ uletekre n´ezve az F = µN t¨orv´eny meglehet˝osen pontos, annak ok´at, hogy a t¨orv´eny mi´ert ilyen alak´ u, val´oj´aban m´eg nem ´ertett¨ uk meg. A µ egy¨ utthat´o sebess´egt˝ol val´o f¨ uggetlens´eg´et kimutatni csak igen pontos k´ıs´erletekkel lehetne, mert az als´o fel¨ ulet gyors rezg´ese a l´atsz´olagos s´ url´od´ast nagyon lecs¨okkenti. Nagy sebess´egekkel v´egzett k´ıs´erletekn´el vigy´azni kell arra, hogy a fel¨ uletek egym´ashoz k´epest ne rezegjenek, mivel nagy sebess´egeken a s´ url´od´as l´atsz´olagos cs¨okken´es´et gyakran a rezg´esek okozz´ak. Mindenesetre a s´ url´od´as t¨orv´enye is egyike azon f´elempirikus t¨orv´enyeknek, melyeket nem ´ert¨ unk teljesen, ´es – tekintettel a sok befektetett munk´ara – meglep˝o, hogy a jelens´eget m´eg mindig nem ismert¨ uk meg jobban. Jelenleg k´et anyag k¨oz¨ott fell´ep˝o s´ url´od´as t´enyez˝oj´et m´eg megbecs¨ ulni sem tudjuk.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

224

12. Az er˝ o jellemz˝ oi

Az el˝oz˝okben kimutattuk, hogy a tiszta anyagoknak egym´ason (mint p´eld´aul r´eznek r´ezen) cs´ usz´as´aval kapcsolatos µ-m´er´esek hamis eredm´enyre vezetnek, mert az ´erintkez˝o fel¨ uletek nem tiszta r´ezb˝ol, hanem oxidok ´es m´as szennyez˝ok kever´ek´eb˝ol ´allnak. Akkor sem kapjuk meg µ-t, ha megpr´ob´alunk teljesen tiszta rezet el˝o´all´ıtani, ha megtiszt´ıtjuk ´es t¨ ukr¨os´ıtj¨ uk a fel¨ uleteket, ha v´akuumban g´aztalan´ıtjuk az anyagot, ´es minden lehets´eges ´ovint´ezked´est megtesz¨ unk. Ennek oka az, hogy m´eg ha f¨ ugg˝oleges helyzetbe hozzuk is a berendez´est, a has´ab akkor sem fog leesni – a k´et r´ezdarab egy¨ utt marad! A µ egy¨ utthat´o, mely megfelel˝oen kem´eny fel¨ uletekre ´altal´aban egys´egnyin´el kisebb, olykor egys´egnyi ´ert´eket vesz fel! E nem v´art viselked´es´enek az az oka, hogy ha minden ´erintkez˝o atom azonos fajt´aj´ u, akkor ezek az atomok semmilyen m´odon nem tudj´ak”, hogy ” ˝ok k´et k¨ ul¨onb¨oz˝o r´ezdarabban vannak. De ha a k´et fel¨ ulet k¨oz¨ott m´as atomok is jelen vannak – oxidok, zs´ırok ´es ¨osszetettebb, v´ekony fel¨ uleti szennyez˝od´esek alakj´aban –, akkor az atomok tudj´ak”, hogy az anyagnak ” nem azonos r´esz´eben vannak. Ha meggondoljuk, hogy az atomok k¨oz¨ott hat´o er˝ok tartj´ak szil´ard halmaz´allapotban a rezet, vil´agosnak t˝ unik, mi´ert nem lehet a tiszta f´emre vonatkoz´o s´ url´od´asi t´enyez˝ot kisz´am´ıtani. Ugyanez a jelens´eg ´eszlelhet˝o egy egyszer˝ u k´ıs´erletben, amelyet egy u veglap ´ e s egy u vegpoh´ a r seg´ ıts´ e g´ e vel otthon is elv´egezhet¨ unk. Ha a po¨ ¨ harat r´arakjuk a lemezre, zsin´orb´ol hurkot k¨ot¨ unk r´a, ´es h´ uzni kezdj¨ uk, eg´eszen j´ol cs´ uszik, ´es a s´ url´od´asi t´enyez˝o jelenl´ete ´erz´ekelhet˝o”. Ez a ” t´enyez˝o kicsit szab´alytalanul viselkedik, de m´egiscsak t´enyez˝o. Ha viszont a lemezt ´es a poh´ar fenek´et benedves´ıtve ism´et h´ uzni kezdj¨ uk, m´ar azt tapasztaljuk, hogy jobban tapadnak egym´ashoz, ´es ha alaposabban megn´ezz¨ uk a s´ url´od´o fel¨ uleteket, karcol´asokat tal´alunk rajtuk, mert a v´ız elmozd´ıtotta a fel¨ uletr˝ol a zs´ırt ´es egy´eb szennyez˝od´eseket, ´es ´ıgy val´oj´aban u ¨veg u ¨veggel ´erintkezik. Ez az ´erintkez´es olyan j´o ´es szoros, hogy a poharat alig lehet elv´alasztani a lemezt˝ol, olyannyira, hogy az u ¨veg berepedezik. ´Igy keletkeznek a karcol´asok. 12.3. Molekul´ aris er˝ ok A k¨ovetkez˝okben a molekul´aris er˝ok jellemz˝oit ismertetj¨ uk. Ezek az atomok k¨oz¨ott hat´o er˝ok a s´ url´od´as tulajdonk´eppeni okoz´oi. A molekul´aris er˝oket sohasem lehetett a klasszikus fizika alapj´an kiel´eg´ıt˝oen megmagyar´azni, ehhez a kvantummechanik´at kell seg´ıts´eg¨ ul h´ıvni. Tapasztalati szempontb´ol az atomok k¨oz¨ott hat´o er˝ot a 12.2. ´abr´an l´athat´o m´odon lehet hozz´avet˝olegesen ´abr´azolni. Az ´abr´an a k´et atom k¨oz¨ott hat´o F er˝ot a k¨ozt¨ uk lev˝o r t´avols´ag f¨ uggv´eny´eben ´abr´azoltuk. Vannak ett˝ol elt´er˝o esewww.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

12.3. Molekul´ aris er˝ ok

225

tek is: a v´ızmolekul´aban p´eld´aul a negat´ıv t¨olt´esek t¨obbnyire az oxig´enen helyezkednek el, ´es a negat´ıv, valamint a pozit´ıv t¨olt´esek ´atlagos helye nem ugyanazon pontban van. K¨ovetkez´esk´eppen egy m´asik, k¨ozeli molekul´ara viszonylag nagy er˝o hat. Ezt az er˝ot nevezik dip´ol–dip´ol er˝onek. Azonban sok rendszerben a t¨olt´esek sokkal jobban kiegyens´ ulyozottak, k¨ ul¨on¨osen a teljesen szimmetrikus oxig´eng´azban. Ebben az esetben, noha a negat´ıv ´es pozit´ıv t¨olt´esek az eg´esz molekul´an oszlanak el, a negat´ıv t¨olt´esek k¨oz´eppontja m´egis egybeesik a pozit´ıv t¨olt´esek k¨oz´eppontj´aval. Azokat a molekul´akat, amelyekben a k´et k¨oz´eppont nem esik egybe, pol´aros molekul´aknak, a t¨olt´es ´es a k¨oz´eppontok k¨ozti t´avols´ag szorzat´at pedig dip´olmomentumnak nevezz¨ uk. A nempol´aros molekul´aban az elektromos er˝ok egym´ast semleges´ıtik, m´egis a nagyobb t´avols´agokon m´ar vonz´oer˝o l´ep fel, amely a t´avols´ag hetedik hatv´any´aval ford´ıtottan ar´anyos, azaz: F = k/r7 , ahol a k t´enyez˝o a molekul´akt´ol f¨ ugg. Hogy ez mi´ert van ´ıgy, majd kvantummechanikai tanulm´anyaink sor´an der´ıtj¨ uk ki. Dip´olok eset´en az er˝ok nagyobbak. Amikor az atomok vagy molekul´ak t´ ul k¨ozel ker¨ ulnek egym´ashoz, er˝os tasz´ıt´oer˝o l´ep fel. Ez az oka annak, hogy nem es¨ unk kereszt¨ ul a padl´on! Ezeket a molekul´aris er˝oket el´egg´e k¨ozvetlen m´odon szeml´eltethetj¨ uk. P´eld´aul a s´ url´od´asra vonatkoz´oan az u veglapon cs´ u sz´ o u vegpoh´ a rral. Te¨ ¨ kints¨ unk egy m´asik lehet˝os´eget: k´et nagyon gondosan megmunk´alt ´es lecsiszolt fel¨ uletet, melyek nagyon pontos s´ıkok, egym´ashoz igen k¨ozel hozhatunk. Ilyen fel¨ uletre p´elda az u ´gynevezett Johansson-m´er˝ohas´ab, melyet a g´epgy´art´asban pontos hossz´ us´agm´er´esekhez idomszerk´ent haszn´alnak. Ha ilyen m´er˝ohas´abot egy m´asikon nagyon gondosan elcs´ usztatunk, azt´an a fels˝ot felemelj¨ uk, a m´asik hozz´a tapadva, a molekul´aris er˝ok r´ev´en szint´en felemel˝odik. Nyilv´anval´o teh´at, hogy a k´et has´ab fel¨ ulet´en lev˝o atomok k¨ozt k¨ozvetlen vonz´as van. Mindamellett ezek a molekul´aris vonz´oer˝ok m´eg mindig nem alap” er˝ok” abban az ´ertelemben, ahogyan a gravit´aci´o az. Molekul´aris er˝ok k´et molekula ¨osszes elektronjai ´es atommagjai k¨oz¨ott v´egbemen˝o, nagyon bonyolult k¨olcs¨onhat´asok eset´en l´epnek fel. Semmif´ele egyszer˝ u k´eplet nem t¨ ukr¨ozheti mindezeket az o¨sszef¨ ugg´eseket, mert maga a jelens´eg sem elemien egyszer˝ u jelens´eg. Mint a 12.2. ´abr´an l´athat´o, a molekul´aris er˝ok nagy t´avols´agokon vonz´o, kis t´avols´agokon tasz´ıt´o hat´as fejtenek ki. Ez teszi lehet˝ov´e a szil´ard anyagok l´etez´es´et, ugyanis a szil´ard anyagok atomjait a k¨ozt¨ uk hat´o vonz´oer˝o tartja o¨ssze, m´ıg a tasz´ıt´oer˝o – mely akkor l´ep fel, amikor az atomok k¨ozel jutnak egym´ashoz – bizonyos t´avols´agban tartja ˝oket egym´ast´ol. Bi-

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

226

12. Az er˝ o jellemz˝ oi

zonyos d t´avols´agon (ahol a 12.2. ´abr´an a g¨orbe a tengelyt metszi) az er˝o z´erus, vagyis ebben a pontban az er˝ok egyens´ ulyban vannak, s ez´ert a molekul´ak egym´ast´ol d t´avols´agra helyezkednek el. Ha a molekul´akat a d t´avols´agn´al k¨ozelebb hozzuk egym´ashoz, akkor tasz´ıtj´ak egym´ast (l´asd az ´abra r-tengely feletti szakasz´at). Ahhoz, hogy a molekul´akat csak egy kicsit is k¨ozelebb hozzuk egym´ashoz, igen nagy er˝o sz¨ uks´eges, mert a molekul´aris tasz´ıt´as d-n´el kisebb t´avols´agokra rohamosan n˝o. Ha a molekul´akat kiss´e sz´ejjelh´ uzzuk, gyenge vonz´as l´ep fel, amely a molekul´ak k¨ozti t´avols´aggal n˝o. Ha el´eg er˝osen r´antjuk ˝oket sz´ejjel, akkor v´eg´erv´enyesen elv´alnak – a k¨ot´es sz´etszakad. Ha a molekul´akat a d t´avols´agn´al F Taszítás csak egy igen kis t´avols´aggal vissz¨ uk egym´ast´ol t´avolabb, vagy egym´ashoz k¨ozelebb, akkor a 12.2. ´abr´an r 0 k l´athat´o g¨orbe megfelel˝o szakasza F= r d szint´en nagyon kicsiny ´es egyenessel k¨ozel´ıthet˝o. Ez´ert gyakran el˝oVonzás fordul, hogy ha az elmozdul´as nem t´ ul nagy, akkor az er˝ o ar´ anyos az 12.2. a ´bra. K´et atom k¨ oz¨ ott hat´ o er˝ o elmozdul´ a ssal. Ez a t¨ o rv´ e ny, amely az atomokat elv´ alaszt´ o t´ avols´ ag f¨ uggv´eny´eben azt mondja ki, hogy valamely deform´alt testben fell´ep˝o er˝o, mely a testet eredeti helyzet´ebe igyekszik visszavinni, ar´anyos a deform´aci´oval, Hooke-t¨orv´eny vagy rugalmass´agi t¨orv´eny n´even ismeretes. A t¨orv´eny term´eszetesen csak akkor igaz, ha viszonylag kis deform´aci´okr´ol van sz´o, ha a deform´aci´o t´ ul nagy, akkor a test a deform´aci´o fajt´aj´at´ol f¨ ugg˝oen sz´etszakad vagy ¨osszet¨orik. Az anyagt´ol f¨ ugg, hogy a Hooke-t¨ov´eny mekkora er˝okig ´erv´enyes, t´eszta vagy gitt esetben p´eld´aul ez az er˝o nagyon kicsiny, m´ıg ac´el eset´eben viszonylag nagy. A Hooke-t¨orv´enyt egy f¨ ugg˝olegesen felf¨ uggesztett hossz´ u, ac´el spir´alrug´o seg´ıts´eg´evel nagyon sz´epen ki lehet mutatni. A rug´o als´o r´esz´ere akasztott megfelel˝o s´ uly a huzal teljes hossz´aban kicsiny csavarod´ast, illetve minden egyes spir´almenetben kis f¨ ugg˝oleges ir´any´ u elt´er¨ ul´est hoz l´etre, de ha sok spir´almenet van, akkor v´eg¨ ul is ezek jelent˝os elt´er¨ ul´ess´e ad´odnak ¨ossze. Ha megm´erj¨ uk a teljes megny´ ul´ast, amit mondjuk 1 N s´ uly hozott l´etre, azt tal´aljuk, hogy minden tov´abbi 1 N s´ uly nagyon k¨ozel ugyanakkora megny´ ul´ast okoz, mint az eredeti. Az er˝o ´es a megny´ ul´as ar´anya teh´at ´alland´o, ´es csak akkor kezd megv´altozni, ha a rug´ot t´ ulterhelj¨ uk, azaz, ha a Hooke-t¨orv´eny m´ar nem igaz. 7

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

227

12.4. Alaper˝ ok. Terek

12.4. Alaper˝ ok. Terek Most a m´eg nem t´argyalt alaper˝okr˝ol szeretn´enk besz´elni. Ezek alaper˝ok abban az ´ertelemben, hogy a r´ajuk vonatkoz´o t¨orv´enyek alapvet˝oen egyszer˝ uek. El˝osz¨or az elektromos er˝ot t´argyaljuk. A t´argyak elektronokb´ol ´es protonokb´ol ´all´o elektromos t¨olt´eseket hordoznak. Ha b´armely k´et test elektromosan t¨olt¨ott, akkor k¨oz¨ott¨ uk elektromos er˝o hat. Ha a t¨olt´esek nagys´aga q1 , illetve q2 , akkor az er˝o a t¨olt´esek k¨oz¨otti t´avols´ag n´egyzet´evel ford´ıtottan v´altozik, vagyis F = ´alland´o · q1 q2 /r2 . Ellenkez˝o el˝ojel˝ u t¨olt´esekre ez az er˝o a gravit´aci´os er˝oh¨oz hasonl´oan vonz´o, de azonos el˝ojel˝ u t¨olt´esekre az er˝o tasz´ıt´o, ´es el˝ojele (az ir´anya) megv´altozik. A q1 ´es q2 t¨olt´esek val´oj´aban pozit´ıvak vagy negat´ıvak lehetnek, ´es ha a q-kat helyesen, el˝ojel¨ ukkel egy¨ utt adjuk meg, akkor a fenti formul´ab´ol a er˝o ir´anya minden esetben helyesen ad´odik ki: az er˝o a k´et t¨olt´est ¨oszek¨ot˝o vonal ment´en hat. Az ¨osszef¨ ugg´esben szerepl˝o ´alland´o term´eszetesen f¨ ugg att´ol, hogy az er˝ot, a t¨olt´est ´es a t´avols´agot milyen egys´egekben adjuk meg. A jelenlegi gyakorlatban a t¨olt´est coulombban, a t´avols´agot m´eterben, ´es az er˝ot newtonban adjuk meg. Ez´ert, ha az er˝ot helyesen akarjuk megkapni N-ban, akkor az ´alland´o (melyet t¨ort´eneti okokn´al fogva 1/4πε0 alakban ´ırunk) ´ert´eke az al´abbi lesz: ε0 = 8, 854 · 10−12 C2 /Nm2 vagy 1/4πε0 = 8, 99 · 109 Nm2 /C2 . Nyugv´o t¨olt´esek eset´en az er˝ot¨orv´eny teh´at F = q1 q2 r/4πε0 r3

(12.2)

alakban ´ırhat´o. A term´eszetben el˝ofordul´o legfontosabb t¨olt´es az elektron t¨olt´ese, melynek sz´am´ert´eke 1, 60 · 10−19 C. Azok, akik nem nagy t¨olt´esek, hanem elemi r´eszecsk´ek k¨oz¨ott fell´ep˝o elektromos er˝okkel foglalkoznak, 2 /4πε kombin´ 1/4πε0 helyett el˝oszeretettel haszn´alj´ak a qel aci´ot, ahol qel az 0 elektron elektromos t¨olt´ese. Az ´alland´ot gyakran ´ırj´ak ebben az alakban, s a sz´amol´as egyszer˝ us´ıt´ese v´egett e2 -tel jel¨olik. e2 ´ert´eke mks-rendszerben −14 2 (1, 52 · 10 ) . Az ´alland´onak ez az ´ır´asm´odja az´ert el˝ony¨os, mert a k´et elektron k¨oz¨ott hat´o er˝o N-ban egyszer˝ uen az e2 /r2 ¨osszef¨ ugg´esb˝ol ad´odik, minden tov´abbi ´alland´o haszn´alata n´elk¨ ul (r ´ert´eket m-ben kell megadni). Az elektromos er˝ok sokkal bonyolultabbak, mint ezen egyszer˝ u o¨sszef¨ ugg´es alapj´an gondoln´ank, mert hiszen ez az o¨sszef¨ ugg´es csak a k´et nyugalomban lev˝ o, elektromosan t¨olt¨ott test k¨oz¨ott hat´o er˝ot adja meg. Az ´altal´anosabb esetet is r¨oviden ¨osszefoglaljuk: www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

228

12. Az er˝ o jellemz˝ oi

Az alaper˝ok (nem olyan er˝ok, mint a s´ url´od´asi, hanem mint az elektromos vagy a gravit´aci´os er˝ok) anal´ızis´ere egy ´erdekes ´es igen fontos m´odszert dolgoztak ki. Mivel els˝o pillant´asra ezek az er˝ok sokkal bonyolultabbak, mint a reciprok n´egyzetes t¨orv´eny alapj´an gondolni lehetne, ´es mivel ezek a t¨orv´enyek csak nyugalomban ´es egym´assal k¨olcs¨onhat´asban lev˝o testekre igazak, a bonyolult m´odon mozg´o testek eset´en fell´ep˝o ¨osszetett er˝ok t´argyal´asa jobb m´odszert ig´enyel. A gyakorlati tapasztalatok azt mutatj´ak, hogy a t´er” fogalm´anak bevezet´ese nagyon megk¨onny´ıti az ilyen ” t´ıpus´ u er˝ok anal´ızis´et. Hogy ezt a gondolatot, mondjuk, az elektromos er˝ok eset´ere megvil´ag´ıtsuk, tekints¨ uk a P , illetve R pontban elhelyezett k´et elektromos t¨olt´est, q1 -et ´es q2 -t. A t¨olt´esek k¨oz¨ott hat´o er˝o F = q1 q2 r/4πε0 r3 .

(12.3)

Ha az er˝ot a t´er fogalma seg´ıts´eg´evel t´argyaljuk, azt mondjuk, hogy a P pontban elhelyezett q1 t¨olt´es az R pontban olyan felt´eteleket” hoz ” l´etre, hogy a q2 t¨olt´es, amikor az R pontba helyezz¨ uk, er˝ot ´erez”. Az ” er˝o le´ır´as´anak ez egyik lehets´eges – tal´an furcsa – m´odja. Azt ´all´ıtjuk, hogy az R pontban lev˝o q2 t¨olt´esre hat´o er˝o k´et l´ep´esben ´ırhat´o le. Az F er˝o q2 -nek ´es egy E mennyis´egnek a szorzata. Ez az E mennyis´eg az adott pontban att´ol f¨ uggetlen¨ ul jelentkezik, hogy a q2 t¨olt´es ott van vagy nincs ott (felt´eve, ha az o¨sszes t¨obbi t¨olt´es a saj´at hely´en marad). E a q1 t¨olt´es ´altal l´etrehozott felt´etel”, az F er˝o pedig – mondhatjuk – a ” q2 t¨olt´es reag´al´asa az E mennyis´egre. E vektormennyis´eg ´es elektromos t´ernek nevezik. A P pontban lev˝o q1 t¨olt´es ´altal az R pontban l´etrehozott E elektromos t´erre vonatkoz´o ¨osszef¨ ugg´es: a q1 t¨olt´est meg kell szorozni az 1/4πε0 ´alland´oval ´es el kell osztani r2 -tel (ahol r a P ´es R pontok t´avols´aga); E a sug´arvektor ir´any´aba mutat (az r sug´arvektor osztva a saj´at hossz´aval). Vagyis E kifejez´ese: E = q1 r/4πε0 r3 .

(12.4)

Ekkor azt ´ırhatjuk, hogy F = q2 E,

(12.5)

vagyis ¨osszef¨ ugg´est kaptunk az er˝o, a t´er ´es a t´erben elhelyezett t¨olt´es k¨oz¨ott. Mi volt mindennek az ´ertelme? Az, hogy k´et l´ep´esre bontsuk az anal´ızist. Az els˝o l´ep´esben kimondjuk, hogy valami teret hoz l´etre. A m´asodik l´ep´esben pedig azt ´all´ıtjuk, hogy ez a t´er hat valamire. Az anal´ızisnek ez a kett´ev´alaszt´asa, hogy a k´et l´ep´est egym´ast´ol f¨ uggetlen¨ ul tekinthetj¨ uk, sok esetben egyszer˝ us´ıti a sz´am´ıt´ast. Sok t¨olt´esb˝ol ´all´o rendszer eset´en el˝osz¨or az ´altaluk az R pontban l´etrehozott teljes elektwww.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

12.4. Alaper˝ ok. Terek

229

romos teret sz´am´ıtjuk ki, majd az R pontba helyezett t¨olt´es ismeret´eben kisz´am´ıthatjuk a r´a hat´o er˝ot. T¨omegvonz´as sz´am´ıt´asakor pontosan ugyan´ıgy j´arhatunk el. Ebben az esetben, amikor az er˝o F = −Gm1 m2 r/r3 , a k¨ovetkez˝o – az el˝obbihez hasonl´o – anal´ızist v´egezhetj¨ uk el. Gravit´aci´os t´erben egy testre hat´o er˝o a test t¨omeg´enek ´es a C t´ernek a szorzata. Az m2 -re hat´o er˝o m2 -nek ´es az m1 ´altal l´etrehozott C t´ernek a szorzata, vagyis F = m2 C. Ekkor az m1 ´altal l´etrehozott C t´er C = −Gm1 r/r3 , ´es az elektromos esethez hasonl´oan ez is radi´alis ir´any´ u. B´ar els˝o l´at´asra trivi´alisnak t˝ unik, a k´et l´ep´esre bont´as egy´altal´an nem mag´at´ol ´ertet˝od˝o. Ha az er˝ot¨orv´enyek egyszer˝ uek voln´anak, akkor val´oban mag´at´ol ´ertet˝od˝o, vagyis egy ´es ugyanazon dolognak m´asfajta le´ır´asa lenne. Az er˝ot¨orv´enyek azonban olyannyira bonyolultak, hogy – mint kider¨ ult – a terek nagyon is val´os´agosak, majdnem f¨ uggetlenek az ˝oket l´etrehoz´o t´argyt´ol. Ha p´eld´aul megr´azunk egy t¨olt´est, ´es ez´altal bizonyos t´avols´agban valamilyen hat´ast (teret) hozunk l´etre, akkor a t´er a t¨olt´es mozg´as´anak megsz˝ un´ese ut´an is meg˝orzi e mozg´as nyomait”, mivel ” a k´et r´eszecske k¨oz¨otti k¨olcs¨onhat´as nem pillanatszer˝ u. K´ıv´anatos, hogy valamik´eppen eml´ekezni lehessen arra, mi t¨ort´ent el˝oz˝oleg. Ha egy t¨olt´esre hat´o er˝o f¨ ugg att´ol, hogy egy m´asik t¨olt´es hol volt tegnap (m´arpedig f¨ ugg), akkor sz¨ uks´eg¨ unk van egy olyan mechanizmusra, amely meg˝orzi a tegnap v´egbement esem´enyek nyom´at. A t´erre ´eppen ez a jellemz˝o. Teh´at amint az er˝ok egyre bonyolultabb´a v´alnak, a t´er egyre re´alisabb´a v´alik, ´es a fenti elj´ar´as egyre kev´esb´e t˝ unik mesters´eges sz´etv´alaszt´asnak. Az er˝oknek a t´er seg´ıts´eg´evel t¨ort´en˝o anal´ızis´ehez a terekre vonatkoz´o t¨orv´enyek k´et fajt´aja sz¨ uks´eges. Az egyik: reag´al´as a t´erre, s ez vezet a mozg´asegyenletekhez. P´eld´aul egy t¨omeg reag´al´as´anak t¨orv´enye a gravit´aci´os t´erre a k¨ovetkez˝o: az er˝o a t¨omeg ´es a gravit´aci´os t´er szorzat´aval egyenl˝o. Vagy, ha a test elektromos t¨olt´est hordoz, akkor a t¨olt´es reag´al´asa az elektromos t´erre a t¨olt´es ´es az elektromos t´er szorzat´aval egyenl˝o. A term´eszeti jelens´egek anal´ızis´enek m´asodik l´ep´ese ilyen esetekben abb´ol ´all, hogy k´epletben kell megfogalmazni azokat a t¨orv´enyeket, melyek meghat´arozz´ak a t´er er˝oss´eg´et ´es l´etrej¨ott´enek m´odj´at. Ezeket a t¨orv´enyeket t´eregyenleteknek is nevezik. Kell˝o id˝oben majd t¨obbet tanulunk r´oluk, de n´eh´any k´epletet m´ar most is fel´ırhatunk. Az els˝o ´es legjelent˝osebb ¨osszef¨ ugg´es – mely pontosan igazolhat´o ´es k¨onnyen meg´erthet˝o – az, hogy a t¨obb forr´as ´altal l´etrehozott teljes elektromos t´er az els˝o, a m´asodik stb. forr´as ´altal keltett elektromos terek vektor¨osszege. M´as sz´oval, ha sok, teret kelt˝o t¨olt´es¨ unk van, s ha ezek

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

230

12. Az er˝ o jellemz˝ oi

k¨oz¨ ul ¨onmag´aban v´eve az els˝o E1 , ¨onmag´aban v´eve a m´asodik E2 stb. teret kelt, akkor a teljes teret egyszer˝ uen ezen vektorok o¨sszege adja. Ez az elv a k¨ovetkez˝o alakban fejezhet˝o ki: E = E1 + E2 + E3 + . . . , (12.6) vagyis a fenti defin´ıci´o ´ertelm´eben X qi r i E= . (12.7) 4πε0 ri3 i Alkalmazhat´o ez az elv a gravit´aci´ora is? K´et, m1 ´es m2 t¨omeg k¨oz¨ott hat´o er˝ot Newton az F = −Gm1 m2 r/r3 alakban fejezett ki. A t´erelm´elet ´ertelm´eben azonban azt mondhatjuk, hogy m1 a k¨ornyez˝o t´erben C teret kelt, s az m2 -re hat´o er˝ot az al´abbi kifejez´es adja meg: F = m2 C, (12.8) Az elektromos t´er eset´ehez teljesen hasonl´oan: Ci = −Gmi ri /ri3 , (12.9) ´es a t¨obb t¨omeg ´altal keltett gravit´aci´os t´er: C = C1 + C2 + C3 + . . . (12.10) A 9. fejezetben a bolyg´ok mozg´as´anak kisz´am´ıt´as´an´al l´enyeg´eben ezt az elvet alkalmaztuk. Valamely bolyg´ora hat´o ered˝o er˝ot u ´gy kaptunk meg, hogy az er˝ovektorokat egyszer˝ uen ¨osszeadtuk. Ha a bolyg´o t¨omeg´evel v´egig osztunk, a (12.10) egyenletre jutunk. A (12.6) ´es (12.10) egyenletek a terek szuperpoz´ıci´ oj´ anak elv´et fejezik ki. Ez az elv kimondja, hogy a t¨obb forr´ast´ol sz´armaz´o teljes t´er az egyes forr´asok ´altal keltett terek o¨sszege. Mai tud´asunk szerint az elektromoss´agra vonatkoz´oan ez abszol´ ut ´erv´eny˝ u t¨orv´eny, amely m´eg a mozg´o t¨olt´esek eset´en fell´ep˝o bonyolult er˝okre is ´erv´enyes. N´eha l´atsz´olag elt´er´esek ad´odnak, de a pontosabb anal´ızis mindig megmutatja, hogy csup´an megfeledkezt¨ unk n´eh´any mozg´o t¨olt´esr˝ol. Azonban annak ellen´ere, hogy a szuperpoz´ıci´o elve elektromos er˝okre pontosan alkalmazhat´o, t¨omegvonz´as eset´en, ha a terek t´ ul er˝osek, nem pontos. Einstein gravit´aci´os elm´elete r´amutat, hogy Newton (12.10) egyenlete csak k¨ozel´ıt˝oleg igaz. Az elektromos er˝okh¨oz szorosan kapcsol´od´o m´agneses er˝ot szint´en terek seg´ıts´eg´evel analiz´alj´ak. Az elektromos ´es m´agneses er˝ok k¨oz¨ott fenn´all´o kapcsolatot kvalitat´ıve az elektronsug´ar-cs¨oves k´ıs´erlettel vil´ag´ıthatjuk meg (12.3. ´abra). A cs˝o egyik v´eg´en elektron´aramot kibocs´at´o forr´as van, amely az elektronokat nagy sebess´egre gyors´ıtja ´es egy r´esz¨ uket keskeny nyal´abban a cs˝o m´asik v´eg´en elhelyezett fluoreszcens erny˝ore ir´any´ıtja. Az erny˝o k¨ozep´en, ahov´a az elektronok becsap´odnak, vil´agos f´enyfolt keletkezik, s ez teszi lehet˝ov´e, hogy az elektronsug´ar u ´tj´at nyomon k¨ovetwww.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

12.4. Alaper˝ ok. Terek

231

hess¨ uk. Az elektronsug´ar az erny˝o fel´e k´et – mondjuk, v´ızszintes helyzet˝ u – p´arhuzamos f´emlemez k¨ozti keskeny r´esen halad ´at. A lemezek k¨oz´e fesz¨ ults´eget kapcsolhatunk, u ´gyhogy tetsz´es szerint b´armelyik lemez negat´ıvv´a tehet˝o. A fesz¨ ults´eg bekapcsol´asakor a lemezek k¨oz¨ott elektromos t´er l´ep fel. A k´ıs´erlet els˝o r´esze abb´ol ´all, 0 +V hogy az als´o lemezre negat´ıv fesz¨ ultz s´eget kapcsolunk, ami azt jelenti, + y hogy az als´o lemezre elektront¨obbleÉ x tet juttatunk. Mivel az azonos el˝oD – jel˝ u t¨olt´esek tasz´ıtj´ak egym´ast, az Elektronágyú erny˝ on lev˝o f´enyfolt azonnal felfel´e Izzószál Fluoreszcens elektronforrás tol´odik el. (Ezt m´ask´eppen u ´gy is ernyő mondhatn´ank, hogy az elektronok 12.3. a ´bra. Elektronsug´ arcs˝ o meg´erezt´ek” a teret, ez´ert az elekt” ronsug´ar u ´gy reag´al”, hogy felfel´e kit´er.) Ezut´an ford´ıtsuk meg a fesz¨ ult” s´eget u ´gy, hogy most a fels˝ o lemez legyen negat´ıv. Az erny˝on l´athat´o f´enyfolt most a k¨oz´eppont al´a ugrik, ami azt mutatja, hogy a nyal´abban lev˝o elektronokat tasz´ıtja a fels˝o lemez. (Vagy ism´et azt mondhatjuk, hogy az elektronok az ellenkez˝o ir´any´ u t´erre reag´altak”.) ” A k´ıs´erlet m´asodik r´esz´eben lekapcsoljuk a lemezekr˝ol a fesz¨ ults´eget, ´es megvizsg´aljuk, milyen hat´assal van a m´agneses t´er az elektronnyal´abra. Ehhez egy patk´om´agnest haszn´alunk fel, melynek sarkai k¨ozt akkora t´avols´ag van, hogy f´elk¨orben k¨ozrefoghatj´ak a cs¨ovet. Teh´at az U alak´ u m´agnes most a cs˝o alatt van, sarkai felfel´e ´allnak, ´es a cs˝o egy r´esze a sarkok k¨oz´e fog ker¨ ulni. A m´agnest alulr´ol a cs˝oh¨oz k¨ozel´ıtve, azt vessz¨ uk ´ t˝ ´eszre, hogy a f´enyfolt kit´er – mondjuk, felfel´e. Ugy unik, hogy a m´agnes tasz´ıtja az elektronnyal´abot. Azonban a dolog nem ilyen egyszer˝ u, mert ha most elvessz¨ uk a m´agnest ´es fel¨ ulr˝ol (∩ alakban) k¨ozel´ıtj¨ uk a cs˝oh¨oz, de a sarkait nem ford´ıtottuk meg (az oldalakat, illetve a p´olusokat nem ´ l´atszik, az elektronnyacser´elt¨ uk fel), ekkor is felfel´e t´er ki a f´enyfolt. Ugy l´abra most nem tasz´ıt´o, hanem vonz´o er˝o hat. Tegy¨ uk a m´agnest most vissza az eredeti, U alak´ u helyzet´ebe, ´es tartsuk a cs˝o al´a. A folt m´eg mindig felfel´e t´er el. Most azonban a f¨ ugg˝oleges tengely k¨or¨ ul ford´ıtsuk el 180 fokkal a m´agnest u ´gy, hogy m´eg mindig U alakban ´alljon, de sarkai fel legyenek cser´elve. ´Ime, a folt most leugrik ´es lenn marad akkor is, ha a m´agnest fel¨ ulr˝ol k¨ozel´ıtj¨ uk a cs˝oh¨oz. Az eddig t´argyalt er˝ok mellett most egy u ´jabb er˝okombin´aci´ot kell figyelembe venn¨ unk, hogy ezt a k¨ ul¨on¨os viselked´est meg´erts¨ uk. Ennek

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

232

12. Az er˝ o jellemz˝ oi

alapj´an a k¨ovetkez˝o magyar´azatot adhatjuk: a m´agnes k´et sz´ara k¨oz¨ott, egyik p´olust´ol a m´asikig m´ agneses t´er van. A t´er ir´any´ıt´asa olyan, hogy mindig az egyik meghat´arozott p´olust´ol (melyet megjel¨olhet¨ unk) a m´asik fel´e vezet. Ha a m´agnest megford´ıtjuk, a t´er ir´anya nem v´altozik meg, de a m´agnes p´olusainak felcser´el´ese eset´en m´ar megv´altozik. Ha p´eld´aul az elektronsebess´eg a v´ızszintes x ir´anyba, a m´agneses t´er pedig a szint´en v´ızszintes y ir´anyba mutat, akkor a mozg´ o elektronra hat´o m´agneses er˝o z ir´any´ u, azaz att´ol f¨ ugg˝oen, hogy a t´er a pozit´ıv vagy a negat´ıv y ir´anyba mutat, az er˝o felfel´e vagy lefel´e ir´anyul. Ez alkalommal nem adjuk meg az egym´ashoz k´epest tetsz˝oleges m´odon mozg´o t¨olt´esek k¨ozt hat´o er˝o pontos – de nagyon bonyolult – t¨orv´enyeit, azonban egy speci´alis esetre, nevezetesen arra az esetre vonatkoz´oan, amikor a terek ismertek, m´egis le´ırjuk a teljes er˝ot¨orv´enyt. Valamely elektromosan t¨olt¨ott testre hat´o er˝o f¨ ugg annak mozg´as´at´ol. Ha akkor is hat valamilyen er˝o, amikor a t´argy adott helyen nyugalomban van, akkor ezt az er˝ot az elektromos t¨olt´essel ar´anyosnak tekintj¨ uk, ´es az ar´anyoss´agi t´enyez˝o az, amit mi elektromos t´ernek nevez¨ unk. Amikor az elektromosan t¨olt¨ott test mozog, az er˝o az el˝obbit˝ol elt´er˝o lehet. Az elt´er´essel kapcsolatos korrekci´o az er˝o u ´j tagja”, amely a sebess´egt˝ ol ” pontosan line´ arisan f¨ ugg˝ onek bizonyul, ´es mer˝ oleges v-re ´es a B m´ agneses indukci´ onak nevezett m´asik vektormennyis´egre. Ha az E elektromos t´er ´es a B m´agneses indukci´o komponensei (Ex , Ey , Ez ), illetve (Bx , By , Bz ), ´es ha a v sebess´eg komponensei (vx , vy , vz ), akkor egy mozg´o q t¨olt´esre hat´o ¨osszes elektromos ´es m´agneses er˝o komponensei: Fx = q(Ex + vy Bz − vz By ), Fy = q(Ey + vz Bx − vx Bz ),

(12.11)

Fz = q(Ez + vx By − vy Bx ), Ha p´eld´aul a m´agneses t´er egyetlen komponense By , a sebess´eg egyetlen komponense pedig vx volna, akkor a m´agneses er˝ot˝ol sz´armaz´o egyetlen tag z ir´anyban, B-re ´es v-re is mer˝olegesen hatna. 12.5. Pszeudoer˝ ok Az er˝ok k¨ovetkez˝o fajt´aj´at, amelynek t´argyal´as´ara most t´er¨ unk r´a, pszeudoer˝onek lehetne nevezni. A 11. fejezetben t´argyaltuk a k´et k¨ ul¨onb¨oz˝o koordin´atarendszert k´epvisel˝o J´oska” ´es Miska” megfigyel´esei k¨ozti ” ” ugg´est. T´etelezz¨ uk fel, hogy egy r´eszecske koordin´at´ait J´oska x-nek, ¨osszef¨ Miska pedig x0 -nek m´erte. A t¨orv´enyeket ekkor ´ıgy ´ırhatjuk fel: x = x0 + s, www.interkonyv.hu

y = y0

z = z0, Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

12.5. Pszeudoer˝ ok

233

ahol s a k´et rendszer egym´ast´ol val´o eltol´as´ara jellemz˝o. Felt´etelezz¨ uk, hogy a mozg´ast¨orv´enyek J´oska rendszer´eben pontosak, de k´erd´es, hogyan ´erv´enyes¨ ulnek Miska rendszer´eben. El˝osz¨or azt tal´aljuk, hogy dx/dt = dx0 /dt + ds/dt. Kor´abbi p´eld´ankban s ´alland´o volt ´es semmilyen v´altoz´ast nem okozott a mozg´ast¨orv´enyekben (mivel ds/dt = 0). V´egs˝o soron teh´at a fizika t¨orv´enyei mindk´et rendszerben azonosak maradtak. De van egy m´asik lehets´eges eset, amikor s = ut, ahol u az egyenes vonal´ u egyenletes mozg´as sebess´ege. Ez esetben s nem ´alland´o, ´es ds/dt nem z´erus, viszont u ´alland´o. Tov´abb´a, mivel du/dt = 0, a d2 x/dt2 gyorsul´as m´egis ugyanakkora, mint d2 x0 /dt2 . Ez a 10. fejezetben ismertetett t¨orv´enyt bizony´ıtja, nevezetesen azt, hogy ha egyenes vonalban egyenletes sebess´eggel mozgunk, akkor a fizika t¨orv´enyei ugyanolyanoknak t˝ unnek sz´amunkra, mintha nyugalomban lenn´enk. (Ez a Galilei-f´ele transzform´aci´o.) De mi azt az ´erdekes esetet akarjuk t´argyalni, amikor s m´eg bonyolultabb, mondjuk, s = at2 /2. Ekkor ds/dt = at ´es d2 s/dt2 = a, vagyis a gyorsul´as egyenletes; vagy m´eg bonyolultabb esetben a gyorsul´as az id˝o f¨ uggv´enye is lehet. Ez azt jelenti, hogy m´ıg az er˝ot¨orv´enyek J´oska n´ez˝opontj´ab´ol d2 x m 2 = Fx dt alak´ uak, Miska n´ez˝opontj´ab´ol u ´gy t˝ unik, hogy az er˝ot¨orv´enyek alakja 2 0 d x m 2 = Fx0 = Fx − ma. dt Azaz, mivel Miska koordin´atarendszere J´osk´a´ehoz k´epest gyorsul´o mozg´asban van, egy tov´abbi tag, ma jelentkezik, teh´at Misk´anak az ˝o´altala ´eszlelt er˝oket ezzel a taggal kell korrig´alnia, hogy a Newton-t¨orv´enyeket felhaszn´alhassa. M´as sz´oval, itt egy l´atsz´olagos, titokzatos u ´j er˝ovel van dolgunk, melynek eredete ismeretlen, ´es amely term´eszetesen” az´ert l´ep ” fel, mert Miska koordin´atarendszere rossz”. Ez a pszeudoer˝ok jelent” kez´es´enek egyik p´eld´aja, de m´ashol is el˝ofordulhatnak, p´eld´aul a forg´o koordin´atarendszerek eset´eben. Szint´en jellemz˝o p´elda a centrifug´alis er˝o. Egy forg´o koordin´atarendszerben, mondjuk, egy forg´o l´ad´aban u ¨l˝o megfigyel˝o semmilyen ismert er˝oforr´asnak nem tulajdon´ıthat´o titokzatos er˝oket ´eszlelhet, melyek kifel´e, a l´ada falai fel´e l¨okik a testeket. Ezeket az er˝oket puszt´an azzal is magyar´azhatjuk, hogy a megfigyel˝o nem Newton-f´ele – azaz a legegyszer˝ ubb – koordin´atarendszerben van. A pszeudoer˝oket ´erdekes k´ıs´erlettel is meg lehet vizsg´alni. Egy kors´o vizet gyorsulva tolunk az asztalon. A neh´ezs´egi er˝o term´eszetesen lefel´e www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

234

12. Az er˝ o jellemz˝ oi

hat a v´ızre, de mivel v´ızszintes ir´any´ u gyorsul´as van, egy szint´en v´ızszintes, de a gyorsul´assal ellent´etes ir´any´ u pszeudoer˝o is fell´ep. A neh´ezs´egi er˝o ´es a pszeudoer˝o ered˝oje a f¨ ugg˝olegessel bizonyos sz¨oget z´ar be, ´es a gyorsul´as folyam´an a v´ız felsz´ıne erre az ered˝o er˝ore mer˝oleges helyzetet vesz fel. Vagyis a v´ız felsz´ıne az asztal lapj´aval bizonyos sz¨oget z´ar be, ´es a v´ızszint a kors´o menetir´annyal ellent´etes oldal´an megemelkedik. Amikor a kors´ora m´ar nem hat tol´oer˝o, mozg´asa a s´ url´od´as folyt´an lassulni kezd, a pszeudoer˝o ir´anya megfordul, ´es a v´ızszint most a kors´o el¨ uls˝o oldal´an n˝o meg (12.4. ´abra). A pszeudoer˝onek egy nagyon fontos a a tulajdons´aga, hogy – ak´arcsak a neh´ezs´egi er˝o – mindig ar´anyos a t¨og g megekkel. Fenn´all teh´at annak a lehet˝os´ege, hogy a neh´ezs´egi er˝ o ma12.4. a ´bra. Pszeudoer˝ o szeml´eltet´ese ga is pszeudoer˝ o. Vajon nem lehets´eges-e, hogy a neh´ezs´egi er˝o puszt´an az´ert l´ep fel, mert nem a helyes” ” koordin´atarendszerb˝ol v´egezz¨ uk a megfigyel´est? V´eg¨ ul is mindig kaphatunk egy t¨omeggel ar´anyos er˝ot, ha a testet gyorsul´onak k´epzelj¨ uk. Ha p´eld´aul valaki bez´ark´ozik egy, a F¨old felsz´ın´en nyugv´o l´ad´aba, azt tal´alja, hogy valami bizonyos er˝ovel (mely a saj´at t¨omeg´evel ar´anyos) a l´ada fenek´ehez nyomja. Nos, ha egy´altal´an nem lenne F¨old, ´es a l´ada nyugalomban lenne, a benne lev˝o ember a t´erben lebegne. M´asr´eszr˝ol, ha egy´altal´an nem lenne F¨old, de valami g gyorsul´assal toln´ a a dobozt, akkor a benne l´ev˝o – fizik´aban j´artas – megfigyel˝o pont olyan pszeudoer˝ot ´erezne, mely ´epp´ ugy, mint a neh´ezs´egi er˝o, a padl´ohoz nyomn´a ˝ot. Einstein fogalmazta meg azt a h´ıres hipot´ezist, amely szerint a gyorsul´asok a gravit´aci´o ut´anzat´at szolg´altatj´ak, ´es a gyorsul´asi er˝ok (a pszeudoer˝ok) nem k¨ ul¨ onb¨ oztethet˝ ok meg a gravit´aci´os er˝okt˝ol. Nem lehet megmondani, hogy egy adott er˝o mennyiben gravit´aci´os ´es mennyiben pszeudoer˝o. Teljesen rendj´enval´onak t˝ unhetne, hogy a gravit´aci´ot pszeudoer˝onek tekints¨ uk ´es azt mondjuk, hogy az´ert ´allunk szil´ardan a F¨old¨on, mert felfel´e gyorsulunk. De mi van azzal az emberrel, aki Ausztr´ali´aban, a F¨old t´ uls´o oldal´an ´el? Vajon ˝o is gyorsul? Einstein u ´gy tal´alta, hogy a gravit´aci´o minden id˝opillanatban csak egy pontban tekinthet˝o pszeudoer˝onek. Ez vezette ˝ot arra a felismer´esre, hogy a vil´ ag geometri´ aja sokkal bonyolultabb a k¨oz¨ons´eges euklideszi geometri´an´al. E fejteget´es¨ unk azonban puszt´an kvalitat´ıv jelleg˝ u, ´es nem sz´and´ekozunk ´altal´anos elgondol´asn´al t¨obbet adni. Tiszt´an geometriai szeml´eltet´es seg´ıts´eg´evel, mely nem a val´odi helyzetet t¨ ukr¨ozi, k¨ozel´ıt˝o k´epet

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

12.6. Mager˝ ok

235

igyeksz¨ unk ny´ ujtani arr´ol, hogyan lehetne a gravit´aci´o a pszeudoer˝ok k¨ovetkezm´enye. T´etelezz¨ uk fel, hogy mindannyian k´et dimenzi´oban ´el¨ unk, ´es mit sem tudunk a harmadikr´ol. Gondoljuk el teh´at, hogy egy s´ıkban vagyunk, de val´oj´aban ez a s´ık egy g¨omb fel¨ ulete. T´etelezz¨ uk fel tov´abb´a, hogy valamilyen t´argyat l¨ov¨ unk ki a talaj ment´en, ´es erre nem hat semmi´ lyen er˝o. Hol halad a t´argy? Ugy t˝ unik, hogy egyenes vonalon halad, de egy g¨omb fel¨ ulet´en kell maradnia, ahol a k´et pont k¨ozti legkisebb t´avols´ag valamely f˝ok¨or ment´en van, teh´at a t´argy egy f˝ok¨or ment´en halad. Ha egy m´asik t´argyat hasonl´oan, de m´asik ir´anyban l¨ov¨ unk ki, akkor az egy m´asik f˝ok¨or ment´en halad. Mivel azt k´epzelj¨ uk, hogy egy s´ıkon vagyunk, azt v´arjuk, hogy k´et mozg´o t´argy k¨ozti t´avols´ag az id˝ovel line´arisan n˝o, ´am a gondos m´er´es azt mutatja majd, hogy ha el´eg messze elt´avolodtak m´ar egym´ast´ol, akkor ism´et k¨ozeledni fognak egym´ashoz, mintha csak vonzan´ak egym´ast. De val´oj´aban nem vonzz´ak egym´ast, csak ebben a geometri´aban van valami k¨ ul¨on¨os. A fenti szeml´eltet˝o k´ep nem ´ırja le pontosan, mi a k¨ ul¨on¨os Einstein geometri´aj´aban, csup´an azt mutatja meg, hogy ha a geometri´at megfelel˝oen eltorz´ıtjuk, akkor lehets´egess´e v´alik az a hipot´ezis, hogy az eg´esz gravit´aci´o bizonyos m´odon pszeudoer˝okkel kapcsolatos. Ez az alapgondolata az Einstein-f´ele gravit´aci´os elm´eletnek. 12.6. Mager˝ ok Ezt a fejezetet az eddigieken k´ıv¨ ul egyed¨ ul ismert m´asfajta er˝ok, a mager˝ ok r¨ovid t´argyal´as´aval z´arjuk. Ezek az er˝ok az atomok magjai k¨ozt hatnak, ´es noha igen sokat foglalkoznak vel¨ uk, m´eg soha senki sem sz´amolta ki k´et mag k¨ oz¨ott fell´ep˝o er˝ot, ´es jelenleg nincs is ismert t¨orv´eny a mager˝okre vonatkoz´olag. Ezeknek az er˝oknek igen kicsiny, k¨or¨ ulbel¨ ul a mag m´eret´evel azonos (tal´an 10−13 cm) hat´ot´avols´aguk van. Ilyen kicsiny r´eszecsk´ekre ´es ilyen kicsiny t´avols´agokban csak a kvantummechanika t¨orv´enyei ´es nem a Newton-t¨orv´enyek ´erv´enyesek. Magfizikai probl´em´ak elemz´esekor nem besz´el¨ unk t¨obb´e er˝okr˝ol. Az er˝ok vizsg´alat´an alapul´o t´argyal´asm´odot a k´et r´eszecske k¨olcs¨onhat´asi energi´aj´aval – k´es˝obb foglalkozunk vele –, illetve az erre alapozott t´argyal´asm´oddal helyettes´ıthetj¨ uk. B´armely, a mager˝okre vonatkoz´oan fel´ırhat´o ¨osszef¨ ugg´es meglehet˝osen durva, k¨ozel´ıt˝o jelleg˝ u, ´es sok komplik´aci´ot elhanyagol. Ilyen egyszer˝ us´ıtett k´eplet lehet p´eld´aul, hogy egy magon bel¨ ul az er˝ok nem a t´avols´ag n´egyzet´evel ford´ıtottan ar´anyosak, hanem valamilyen r t´avols´agon bel¨ ul exponenci´ali2 san cs¨okkennek, mint p´eld´aul az F = (1/r ) exp(−r/r0 ) kifejez´es mutatja, ahol az r0 t´avols´ag 10−13 cm nagys´agrend˝ u. M´as sz´oval, b´ar 10−13 cmwww.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

236

12. Az er˝ o jellemz˝ oi

en bel¨ ul igen nagyok, azonnal eleny´esznek, ha a r´eszecsk´ek elt´avolodnak egym´ast´ol. Amennyire ma meg tudjuk ´ıt´elni, a mager˝ok t¨orv´enyei nagyon u m´odon fel nem foghat´ok, ´es a mager˝ok ¨osszetettek, semmilyen egyszer˝ m¨og¨ott rejt˝oz˝o elemien egyszer˝ u mechanizmus probl´em´aja m´eg teljes eg´esz´eben megoldatlan. A probl´ema megold´as´ara ir´anyul´o t¨orekv´esek sz´amos furcsa r´eszecske, p´eld´aul a π-mezonok felfedez´es´ehez vezettek, de a mager˝ok eredet´et tov´abbra is hom´aly fedi.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

13. fejezet Munka ´ es helyzeti energia (A) 13.1. A szabadon es˝ o test energi´ aja A 4. fejezetben m´ar t´argyaltuk az energiamegmarad´as t¨orv´eny´et, ott azonban a Newton-t¨orv´enyeket nem haszn´altuk fel. Most azonban azt az ´erdekes k´erd´est is megvizsg´aljuk, hogy az energiamegmarad´as e t¨orv´enyekkel hogyan van t´enyleges ¨osszhangban. Az ´erthet˝os´eg kedv´e´ert t´argyal´asunkat a lehet˝o legegyszer˝ ubb p´eld´aval kezdj¨ uk, majd egyre nehezebb ´es nehezebb p´eld´akra t´er¨ unk ´at. Az energiamegmarad´as legegyszer˝ ubb p´eld´aja a f¨ ugg˝olegesen es˝o, azaz csakis f¨ ugg˝oleges ir´anyban mozg´o test. Egy magass´ag´at csakis a neh´ezs´egi er˝o hat´as´ara v´altoztat´o testnek es´ese k¨ovetkezt´eben Wkin mozg´asi energi´aja van. Ezenk´ıv¨ ul helyzeti energi´aval (r¨ovid´ıtve Wpot ) is rendelkezik. Ezek o¨sszege 1 mv 2 + mgh = ´alland´o, 2 illetve Wkin + Wpot = ´alland´o.

(13.1)

Meg szeretn´enk mutatni, hogy ez az ´all´ıt´as igaz. Mit jelent az ´all´ıt´as igaz volt´anak megmutat´asa? Newton m´asodik t¨orv´enye alapj´an k¨onnyen meg tudjuk mondani, hogyan mozog egy t´argy, ´es k¨onnyen kisz´amolhatjuk sebess´eg´enek id˝obeli v´altoz´as´at, nevezetesen azt, hogy a sebess´eg az id˝ovel n˝o, ´es hogy a magass´ag az id˝o n´egyzet´evel v´altozik. Ha teh´at megm´erj¨ uk a z´erus pontt´ol (ahol a t´argy nyugszik) sz´am´ıtott magass´agot, egy´altal´an nem csod´alatos, hogy a magass´ag a sebess´eg n´egyzet´enek ´es egy ´alland´o sz´amnak a szorzat´aval lesz egyenl˝o. Tekints¨ uk azonban e k´erd´est egy kicsit k¨ozelebbr˝ol. Sz´amoljuk ki k¨ ozvetlen¨ ul Newton m´asodik t¨orv´eny´eb˝ol, hogyan kell a mozg´asi energi´anak megv´altoznia. K´epezz¨ uk ez´ert a mozg´asi energia id˝o szerinti deriv´altj´at, ´es alkalmazzuk a Newton-t¨orv´enyeket. 12 mv 2 -et id˝o szerint differenci´alva kapjuk, hogy dWkin d = dt dt www.interkonyv.hu



1 1 dv dv mv 2 = m · 2v = mv , 2 2 dt dt 

(13.2)

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

238

13. Munka ´es helyzeti energia (A)

mivel m-et ´alland´onak t´etelezz¨ uk fel. Newton m´asodik t¨orv´eny´eb˝ol azonban m(dv/dt) = F , teh´at dWkin = F v. dt

(13.3)

´ Altal´ aban Fv ad´odik, de a t´argyalt egydimenzi´os eset¨ unkben vegy¨ uk egyszer˝ uen az er˝o ´es a sebess´eg szorzat´at. Ebben az egyszer˝ u esetben az er˝o ´alland´o, ´es (−mg)-vel egyenl˝o (a negat´ıv el˝ojel azt jelenti, hogy az er˝o lefel´e hat). A sebess´eg term´eszetesen a f¨ ugg˝oleges helyzet, vagyis a h magass´ag id˝obeli v´altoz´as´anak m´ert´eke. Teh´at a mozg´asi energia megv´altoz´as´anak m´ert´eke −mg(dh/dt). Ez a mennyis´eg pedig, csod´ak csod´aja, meg valamilyen m´as dolog megv´altoz´as´anak, az mgh mennyis´eg id˝obeli v´altoz´as´anak a m´ert´eke – ellent´etes el˝ojellel! Az id˝o m´ ul´as´aval teh´at a mozg´asi energi´aban ´es az mgh mennyis´egben bek¨ovetkez˝o v´altoz´as egyenl˝o nagys´ag´ u ´es ellent´etes ir´any´ u lesz, u ´gy, hogy a k´et mennyis´eg ¨osszege ´alland´o marad. Q. E. D. Megmutattuk teh´at Newton m´ah sodik mozg´ast¨orv´enye alapj´an, hogy ´alland´o er˝ok eset´en az energia megmarad, ha az mgh helyzeti energidh v dt ´ahoz hozz´aadjuk az 12 mv 2 mozg´asi energi´at. Tov´abb vizsg´alva ezt, n´ezz¨ uk meg, vajon ´altal´anos´ıthat´o-e, s x el˝obbre viszi-e a probl´ema meg´ert´es´et. Vajon csak szabadon es˝o test 13.1. a ´bra. Gravit´ aci´ o hat´ as´ ara g¨ orbe p´ aly´ an s´ url´ od´ asmentesen mozg´ o t¨ omeg eset´en ´erv´enyes, vagy sokkal ´altal´anosabb? Az energiamegmarad´asra vonatkoz´o megfontol´asaink alapj´an azt v´arjuk, hogy a gravit´aci´o hat´as´ara az adott pontb´ol egy m´asik pontba g¨orbe p´aly´an s´ url´od´asmentesen mozg´o t´argy eset´en is ´erv´enyesnek kell lennie (13.1. ´abra). Ha a t´argy az eredeti H magass´agb´ol indulva bizonyos h magass´agot ´er el, ism´et csak ´erv´enyesnek kell lennie ugyanannak a k´epletnek, m´eg ha a sebess´eg a f¨ ugg˝olegest˝ol elt´er˝o ir´anyba mutatna is. Szeretn´enk meg´erteni, hogy a t¨orv´eny mi´ert helyes m´eg ekkor is. V´egezz¨ uk el ugyanazt az anal´ızist, amellyel obeliv´altoz´as´anak  a mozg´  asi energia id˝ dv m´ert´ek´et megtal´altuk. Ism´et mv dt -t kapunk, de m dv az impulzus dt nagys´ag´anak v´altoz´asi sebess´ege, azaz a mozg´ asir´ anyba mutat´ o er˝ o, az Ft ´erint˝oir´any´ u er˝o. Teh´at dWkin dv = mv = Ft v. dt dt www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

13.1. A szabadon es˝ o test energi´ aja

239

Most a sebess´eg a g¨orbe menti t´avols´ag megv´altoz´as´anak m´ert´eke: ds dt . Az Ft ´erint˝oir´any´ u er˝o pedig nem −mg, hanem −mg szorozva a f¨ ugg˝oleges dh t´avols´ag ´es a p´alyamenti ds t´avols´ag h´anyados´aval. Azaz dh Ft = −mg sin ϑ = −mg , ds u ´gyhogy ds dh ds dh Ft = −mg = −mg , dt ds dt dt   mivel a ds-sel egyszer˝ us´ıteni” lehet. ´Igy −mg dh dt -t kapunk, amely – ” ´epp´ ugy, mint az el˝obb – a −mgh mennyis´eg v´altoz´as´anak m´ert´ek´evel egyenl˝o. Hogy pontosabban meg´erts¨ uk, az energiamegmarad´as elve ´altal´aban hogyan v´alik be” a mechanik´aban, most n´eh´any, ebb˝ol a szempontb´ol ” l´enyeges fogalmat is tiszt´aznunk kell. El˝osz¨or is tekints¨ uk a mozg´asi energia v´altoz´asainak m´ert´ek´et az ´altal´anos h´aromdimenzi´os esetben. A mozg´asi energia: 1 Wkin = m(vx2 + vy2 + vz2 ). 2 Ha ezt a kifejez´est id˝o szerint differenci´aljuk, h´arom ijeszt˝o” tagot ka” punk:   dWkin dvx dvy dvz = m vx + vy + vz . (13.4) dt dt dt dt x De hiszen az m dv es ´eppen a t´argyra x ir´anyban hat´o Fx er˝o. dt kifejez´ K¨ovetkez´esk´eppen a (13.4) egyenlet jobb oldala: Fx vx + Fy vy + Fz vz . A vektoralgebr´aban tanultakra eml´ekezve r´aismer¨ unk, hogy ez Fv, teh´at fel´ırhatjuk, hogy dWkin = Fv. (13.5) dt Ez az eredm´eny sokkal gyorsabban is levezethet˝o a k¨ovetkez˝ok´eppen: ha a ´es b k´et vektor (melyek id˝ot˝ol f¨ ugg˝oek is lehetnek), akkor az ab kifejez´es deriv´altja ´altal´anos alakban: db da d(ab)/dt = a + b. (13.6) dt dt A kifejez´est most az a = b = v eset´en ´erv´enyes alakban haszn´aljuk fel:

d



1 2 2 mv



d



1 2 mv

·v



dv ds v = Fv = F . (13.7) dt dt dt dt Mivel a mozg´asi energia, ´es ´altal´aban az energia, nagyon fontos fogalom, az ilyen fajta egyenletekben szerepl˝o l´enyegesebb kifejez´eseknek www.interkonyv.hu

=

=m

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

240

13. Munka ´es helyzeti energia (A)

k¨ ul¨onb¨oz˝o elnevez´eseket adtak. 12 mv 2 -et, mint tudjuk, mozg´ asi energi´ anak nevezik. Az Fv kifejez´es neve: teljes´ıtm´eny: A t´argyra hat´o er˝o ´es a t´argy sebess´eg´enek szorzata (vektorok skal´arszorzata), az er˝o ´altal a t´arggyal k¨oz¨olt teljes´ıtm´enyt adja. Teh´at ´ıgy egy csod´alatos t´etelhez jutottunk: A mozg´ asi energia megv´ altoz´ as´ anak m´ert´eke a mozg´ o t´ argyra hat´ o er˝ ok ´ altal kifejtett teljes´ıtm´ennyel egyenl˝ o. Az energiamegmarad´as tov´abbi tanulm´anyoz´asa sor´an azonban ezt m´eg k¨ozelebbr˝ol is meg akarjuk vizsg´alni. Sz´amoljuk ki, mennyivel v´altozik meg a mozg´asi energia nagyon r¨ovid dt id˝o alatt. Ha a (13.7) egyenlet mindk´et oldal´at dt-vel szorozzuk, azt kapjuk, hogy a mozg´asi energi´aban bek¨ovetkez˝o kis v´altoz´as egyenl˝o az er˝onek ´es a megtett t´avols´ag differenci´alj´anak skal´arszorzat´aval: dWkin = Fds.

(13.8)

Ezt integr´alva, a k¨ovetkez˝o ¨osszef¨ ugg´est kapjuk: Z

∆Wkin =

2

Fds.

(13.9)

1

Mit jelent ez? Azt jelenti, hogy ha valamilyen er˝o hat´as´ara ak´ armilyen p´ aly´ an, ak´armilyen g¨orbe ment´en mozog egy t´argy, a mozg´asi energia megv´altoz´asa – mik¨ozben a t´argy a p´alya egyik pontj´ab´ol a m´asikig halad – egyenl˝o az er˝o p´alyamenti komponense ´es a ds differenci´alis elmozdul´as szorzat´anak a k´et pont k¨oz¨ott vett integr´alj´aval. Ennek az integr´alnak szint´en van neve: ez az er˝o ´altal a t´argyon v´egzett munka. R¨ogt¨on l´atjuk majd, hogy a teljes´ıtm´eny a m´ asodpercenk´ent v´egzett munk´ aval egyenl˝ o. Azt is l´atjuk, hogy az er˝onek csak a mozg´ as ir´ any´ aba es˝ o komponense v´egez munk´at. Egyszer˝ u p´eld´ankban csak f¨ ugg˝oleges ir´any´ u er˝ok szerepeltek, ´es csak egy, mondjuk −mg-vel egyenl˝o Fz komponens¨ unk volt. Ilyen k¨or¨ ulm´enyek k¨oz¨ott teljesen mindegy, hogyan mozog a t´argy, f¨ ugg˝olegesen, vagy p´eld´aul parabolap´aly´an. Az Fds mennyis´eg szempontj´ab´ol – amelyet Fx dx + Fy dy + Fz dz alakban is ´ırhatunk – ez teljesen mindegy, u ´gysem marad m´as bel˝ole, csak Fz dz = −mgdz, mivel a t¨obbi er˝okomponens z´erus. Ez´ert egyszer˝ u eset¨ unkben Z

2

Z

z2

Fds 1

−mgdz = −mg(z2 − z1 ),

(13.10)

z1

azaz ism´et azt tal´aljuk, hogy a helyzeti energia kifejez´es´eben csakis a magass´ ag – ahonnan a t´argy esik – szerepel. N´eh´any sz´ot az egys´egekr˝ol. Az er˝ot N-ban m´erj¨ uk, s ha a t´avols´aggal megszorozzuk, akkor munk´at kapunk, vagyis a a munk´at newtonm´eter (Nm) egys´egekben m´erj¨ uk. A gyakorlati emberek azonban nem szeretik a newtonm´eter” elnevez´est, ink´abb joule-t (J) mondanak. A newtonm´eter ” www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

241

13.2. A neh´ezs´egi er˝ o´ altal v´egzett munka

neve teh´at joule; s ´ıgy a munk´at joule egys´egekben m´erik. A teljes´ıtm´eny egys´ege k¨ovetkez´esk´eppen J/s, amelyet wattnak (W) is h´ıvnak. Ha a wattokat az id˝ovel megszorozzuk, eredm´eny¨ ul a v´egzett munk´at kapjuk. Lak´asainkban az elektromos m˝ uvek ´altal szolg´altatott munka (technikai ´ertelemben) a watt ´es az id˝o szorzat´aval egyenl˝o. Ez´ert haszn´alatosak olyan kifejez´esek, mint p´eld´aul a kilowatt´ora (kWh), amely 1000 W·3600 s, vagyis 3, 6 · 106 J-nak felel meg. Az energiamegmarad´as t¨orv´eny´et szeml´eltess¨ uk most egy m´asik p´eld´an is. Tekints¨ unk egy kezdetben mozg´asi energi´aval rendelkez˝o, nagyon gyorsan mozg´o t´argyat, amely a padl´on s´ url´od´assal cs´ uszik. Indul´askor a mozg´asi energia nem z´erus, de a p´alya v´eg´en z´erus; az er˝ok teh´at munk´at v´egeztek, mivel ha b´armikor s´ url´od´as l´ep fel, az er˝onek a mozg´as ir´any´aval ellent´etes ir´any´ u komponense is van, ´es ´ıgy ´alland´o energiavesztes´eg l´ep fel. De vegy¨ unk most p´eld´aul egy g¨ombcsukl´o v´eg´ere f¨ uggesztett t¨omeget, amely f¨ ugg˝oleges s´ıkban s´ url´od´as n´elk¨ ul leng a neh´ezs´egi er˝ot´erben. Itt m´ar eg´eszen m´as a helyzet, mivel amikor a t¨omeg felfel´e lend¨ ul, az er˝o is felfel´e mutat, amikor azonban lefel´e j¨on, az er˝o ellent´etes ir´anyban hat, u ´gyhogy az Fds szorzatnak a fel- ´es lefel´e mutat´o ir´anyban m´as el˝ojele lesz. A fel- ´es lefel´e men˝o p´alya minden egyes megfelel˝o pontj´aban az Fds ´ert´ekei egyenl˝o nagys´ag´ uak, de ellent´etes el˝ojel˝ uek, u ´gyhogy az integr´al ´ert´eke ebben az esetben v´egeredm´enyben z´erus. Teh´at a m´elypontba visszat´er˝o t¨omeg mozg´asi energi´aja ugyanannyi, mint amennyivel az emelked´est megkezdte – s ´eppen ez az energiamegmarad´as elve. (Megjegyzend˝o, hogy amikor s´ url´od´asi er˝ok is fell´epnek, az energiamegmarad´as az els˝o pillanatban ´erv´enytelennek t˝ unik. Az energia m´as alakj´ ar´ ol lehet sz´o, ezt kellene megkeresn¨ unk. Val´oj´aban t´eny, hogy amikor egy t´argy egy m´asikhoz d¨orzs¨ol˝odik, h˝ o keletkezik – err˝ol azonban majd k´es˝obb lesz sz´o.) 13.2. A neh´ ezs´ egi er˝ o´ altal v´ egzett munka A k¨ovetkez˝o munk´ank m´eg sokkal nehezebb. Az el˝oz˝o p´eld´ak ut´an ugyanis most olyan esetr˝ol lesz sz´o, amikor az er˝ok t¨obb´e m´ar nem ´alland´ok ´es nem csak f¨ ugg˝oleges ir´any´ uak. P´eldak´ent tekints¨ uk egy Nap k¨or¨ ul kering˝o bolyg´o, vagy egy F¨old k¨or¨ ul kering˝o m˝ uhold mozg´as´at. Egy t´argy az 1 pontb´ol indulva mondjuk egyenesen a Nap vagy a F¨old fel´e esik (13.2. ´abra). Vajon ilyen k¨or¨ ulm´enyek k¨oz¨ott is ´erv´enyben marad az energiamegmarad´as t¨orv´enye? Az el˝oz˝o esettel szemben most az az egyetlen k¨ ul¨onbs´eg, hogy az er˝o a mozg´as folyam´an nem ´alland´o, hanem www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

242

13. Munka ´es helyzeti energia (A)

sz¨ untelen¨ ul v´altozik. Mint ismeretes, az er˝o −GM/r2 ´es m szorzata, ahol m a mozg´o t¨omeg. A t¨omeg a F¨old fel´e esik, s ´ıgy a mozg´asi energia az es´es sor´an megtett t´avols´aggal nyilv´anval´oan ´epp´ ugy ar´anyosan n¨ovekszik, mint amikor nem t¨or˝od¨ unk vele, hogy az er˝o a magass´aggal v´altozik. A k´erd´es az, vajon ki lehet-e tal´alni a helyzeti energi´ara egy – az mgh-t´ol elt´er˝o – m´asik k´epletet, a F¨oldt˝ol val´o t´avols´ag valamilyen m´as f¨ uggv´eny´et, amely mellett az energiamegmarad´as tov´abbra is ´erv´enyes marad. Ezt az egydimenzi´os esetet k¨onny˝ u M m t´argyalni, mivel tudjuk, hogy a moz1 2 g´asi energia megv´altoz´asa egyenl˝o a m − GM mennyis´eg ´es a dr elmozdur2 13.2. a ´bra. Kis t¨ omeg (m) a gravit´ aci´ o l´ a s szorzat´ anak a mozg´as kezdet´et˝ol hat´ as´ ara a nagy t¨ omeg (M ) fel´e esik a v´eg´eig vett integr´alj´aval: Z 2 dr Wkin2 − Wkin1 = − GM m 2 . (13.11) r 1 A k´epletben nem szerepel semmilyen koszinuszos kifejez´es, mivel eset¨ unkben az er˝o ´es az elmozdul´as ugyanabba az ir´anyba esik. dr/r2 -et k¨onny˝ u integr´alni; eredm´eny¨ ul −1/r ad´odik, u ´gyhogy a (13.11) egyenlet   1 1 Wkin2 − Wkin1 = +GM m − (13.12) r2 r1 alak´ u lesz. A helyzeti energi´ara vonatkoz´oan teh´at m´as k´epletet kaptunk. A (13.12) egyenlet azt fejezi ki, hogy 1 pontban, a 2-ben vagy b´armely m´as helyen kisz´amolt 12 mv 2 − GM m/r mennyis´eg ´ert´eke ´alland´o. Miut´an gravit´aci´os t´erben v´egbemen˝o f¨ ugg˝oleges mozg´assal kapcsolatban a helyzeti energi´ara m´ar kaptunk k´epletet, felmer¨ ul a k¨ovetkez˝o ´erdekes k´erd´es: K´esz´ıthet¨ unk-e ¨ or¨ okmozg´ ot gravit´aci´os t´erben? A gravit´aci´os t´er v´altozik, k¨ ul¨onb¨oz˝o helyein k¨ ul¨onb¨oz˝o ir´any´ u ´es er˝oss´eg˝ u. Nem lehetne esetleg egy v´egtelen´ıtett, s´ url´od´asmentes sz´all´ıt´oszalagot elk´epzelni? A szalag adott pontb´ol elindulva emelje fel a t´argyat valamely m´as pontba, majd egy ´ıv ment´en elmozdulva egy harmadikba, innen bizonyos t´avols´aggal s¨ ullyessze le, azt´an ferde ir´anyban mozgatva, egy m´asik u ´tra vigye ´at. Meg lehet-e mindezt csin´alni u ´gy, hogy a kiindul´asi pontba val´o visszat´er´eskor a gravit´aci´os er˝o bizonyos mennyis´eg˝ u munk´at v´egezzen, ´es a t´argy mozg´asi energi´aja megn˝oj¨on? A szalag p´aly´aj´at meg lehet-e tervezni u ´gy, hogy a t´argy egy kicsit gyorsabban t´erjen vissza kiindul´asi helyzet´ebe, mint ahogy onnan elindult, s ez ´ıgy menne k¨orbe-k¨orbe? S ily m´odon o¨r¨okmozg´ast kapn´ank? Mivel o¨r¨okmozg´as lehetetlen, meg kell mutatnunk, hogy a fenti elk´epzel´es is lehetetlen. Be kell bizony´ıtanunk a k¨ovetkez˝o ´all´ıt´ast: Mivel s´ url´od´as nem l´ep fel, a t´argy nem t´erhet www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

243

13.2. A neh´ezs´egi er˝ o´ altal v´egzett munka

vissza sem nagyobb, sem kisebb sebess´eggel – arra kell k´epesnek lennie, hogy z´art p´aly´an ´alland´oan k¨orbe mozogjon. M´ask´eppen megfogalmazva: gravit´aci´os er˝ok eset´en egy teljes k¨ orfolyamat sor´ an v´egzett ¨ osszes munk´ anak z´erusnak kell lennie, mivel ha nem volna z´erus, akkor a k¨orfolyamatot elv´egezve energi´at nyern´enk. (Ha a munka z´erusn´al kisebbnek ad´odna, azaz, ha egyik ir´anyban k¨orbemenve a kezdetin´el kisebb sebess´eget kapn´ank, akkor – hogy energi´at nyerj¨ unk – csup´an a m´asik ir´anyban kellene k¨orbemenni; mivel az er˝ok term´eszetesen nem az ir´anyt´ol, hanem a helykoordin´at´akt´ol f¨ uggenek. Amennyiben az egyik ir´anyban a munka pozit´ıvnak ad´odik, a m´asik ir´anyban negat´ıv lesz; ´ıgy b´armely ir´anyban is haladunk k¨orbe, ha a v´egzett munka nem z´erus, ¨or¨okmozg´ot kapunk.) Val´oban z´erus a munka? Pr´o1 b´aljuk megmutatni, hogy az. El˝o8 sz¨or t¨obb´e-kev´esb´e azt magyar´azzuk m 7 2 meg, mi´ert z´erus, majd egy kicsit 6 5 3 M matematikailag is jobban megvizs4 g´aljuk. Tegy¨ uk fel, hogy a 13.3. ´ab13.3. a ´bra. Z´ art p´ alya gravit´ aci´ os r´an l´athat´o egyszer˝ uu ´tr´ol van sz´o, t´erben amelyen egy kis t¨omeg el˝osz¨or az 1b˝ol a 2 pontba jut, majd k¨or´ıven mozogva 3-ba, vissza 4-be, azt´an 5, 6, 7 ´es 8-ba, ´es v´eg¨ ul 1-be ker¨ ul vissza. Az ¨osszes utak (M -mel mint k¨oz´epponttal) vagy tiszt´an sug´arir´any´ uak, vagy k¨ormentiek. Mekkora munk´at v´egezt¨ unk, ha m-et ezen az u ´ton k¨orbevissz¨ uk? A v´egzett munka, az 1 ´es 2 pontok k¨oz¨ott a GM m-nek ´es az 1/r mennyis´eg e k´et pont k¨ozti k¨ ul¨onbs´eg´enek a szorzata:   Z 2 Z 2 dt 1 1 −GM m 2 = GM m Fds = W12 = . − r r2 r1 1 1 M´ıg az m t¨omeg a 2-t˝ol 3-ig mozog, az er˝o a p´aly´ara pontosan mer˝oleges, s ´ıgy W23 = 0. A 3-t´ol 4-ig v´egzett munka   Z 4 1 1 W34 = Fds = GM m − . r4 r3 3 Hasonl´o m´odon   1 1 − W45 = 0, W56 = GM m r6 r5 1 1 W67 = 0, W78 = GM m − r8 r7 ´es W81 = 0 ad´odik. Teh´at   1 1 1 1 1 1 1 1 − + − + − + − . W = GM m r2 r1 r4 r3 r6 r5 r8 r7 

www.interkonyv.hu



Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

244

13. Munka ´es helyzeti energia (A)

Vegy¨ uk ´eszre azonban, hogy r2 = r3 , r4 = r5 , r6 = r7 ´es r8 = r1 . Ez´ert W = 0. Felmer¨ ulhet term´eszetesen a gyan´ u, hogy nem t´ ul egyszer˝ u-e a p´alya. Mit kapunk akkor, ha egy val´odi p´aly´ar´ol van sz´o? Pr´ob´aljuk meg! Mindenekel˝ott szeretn´enk meg´allap´ıtani, hogy egy val´odi p´alya mindig el´eg j´ol ut´anozhat´o a 13.4. ´abr´an bemutatott p´eld´ahoz hasonl´o, f˝ ur´eszfog alak´ u ugr´asok sorozat´aval. Minden vizsg´alat n´elk¨ ul azonban els˝o pillant´asra egy´altal´an nem nyilv´anval´o, hogy a v´egzett munka m´eg egy kis h´aromsz¨og k¨orbej´ar´asa eset´en is z´erus. Nagy´ıtsuk meg az egyik h´aromsz¨oget (l´asd a 13.4. ´abr´at). Vajon a v´egzett munka a h´aromsz¨og a pontj´ab´ol b-be ´es b-b˝ol c-be haladva megegyezik-e azzal a munk´aval amelyet akkor kapunk, ha a-b´ol k¨ozvetlen¨ ul c-be megy¨ unk? Tegy¨ uk fel, hogy az er˝o valamilyen adott ir´anyban hat, ´es helyezz¨ uk el u ´gy a h´aromsz¨oget, hogy ez az ir´any p´eld´aul ´eppen a bc oldal legyen. Tegy¨ uk fel tov´abb´a azt is, hogy maga a h´aromsz¨og olyan kicsi, hogy a rajta kereszt¨ ul halad´o er˝o l´enyeg´eben ´alland´o. a-t´ol c-ig haladva mekkora lesz a v´egzett munka? Mivel az er˝o ´alland´o, c

Z

Fds = F s cos ϑ.

Wac = a

Sz´amoljuk ki, mekkora a v´egzett munka, ha a h´aromsz¨og m´asik k´et oldala ment´en haladunk. A f¨ ugg˝oleges ab oldalon az er˝o mer˝oleges ds-re, ez´ert a munka itt z´erus. A v´ızszintes bc oldalon c

Z

Fds = F x.

Wbc =

b

L´atjuk teh´at, hogy egy kis h´aromsz¨og befog´oi ment´en haladva v´egzett munka ugyanaz, mintha az ´atfog´o ment´en haladn´ank, mivel s cos ϑ = x. Az el˝obb m´ar bebizony´ıtottuk, hogy b´armely, a 13.3. ´abr´an bemutatott l´epcs˝ok sorozat´ab´ol alkotott u ´tra a munka z´erus, ´es most m´ar azt is l´atjuk, hogy ugyanazt a munk´at v´egezz¨ uk, ha lev´agjuk a sarkokat ahelyett, hogy a kiugr´asokat k¨ovetve haladn´ank (persze csak addig, am´ıg a fogak el´eg finomak, azokat viszont mindig nagyon finomm´a tudjuk tenni); teh´ at gravit´ aci´ os t´erben b´ armely u ´ton k¨ orbehaladva, a v´egzett munka z´erus.

M a F c

www.interkonyv.hu

s x

y b

13.4. a ´bra. Sima” z´ art p´ alya, melynek ” egy kinagy´ıtott szakasz´ at sug´ arir´ any´ u ´es a ker¨ ulet ment´en v´egzett l´ep´esek sorozat´ ab´ ol ´ all´ o g¨ orb´evel k¨ ozel´ıtj¨ uk. Alul k¨ oz´epen egyetlen l´epcs˝ o kinagy´ıtott k´epe l´ athat´ o

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

245

13.2. A neh´ezs´egi er˝ o´ altal v´egzett munka

Ez nagyon figyelemrem´elt´o eredm´eny. Olyasmit mond ki, amit a bolyg´omozg´asr´ol kor´abban m´eg nem tudtunk. Azt ´all´ıtja ugyanis, hogy amikor a bolyg´o a Nap k¨or¨ ul mozog (an´elk¨ ul, hogy b´armilyen m´as t´argy volna k¨or¨ ul¨otte, vagy b´armilyen m´as er˝ok is hatn´anak r´a), sebess´eg´enek n´egyzete, m´ınusz n´eh´any ´alland´o osztva a ponthoz h´ uzott sug´arral, a p´alya b´armely pontj´aban mindig ugyanaz marad. P´eld´aul, menn´el k¨ozelebb van a bolyg´o a Naphoz, ann´al gyorsabban mozog. De mennyivel gyorsabban? ´Ime a v´alasz: Ha k´epesek lenn´enk a bolyg´o sebess´eg´enek ir´any´at (de nem a sebess´eg´enek nagys´ag´at) megv´altoztatni, ´es a Nap k¨or¨ uli p´aly´ar´ol sug´arir´any´ u mozg´asra k´enyszer´ıteni oly m´odon, hogy fokozatosan, adott sug´ar´ert´ekeken ´at egy k´ıv´ant sugar´ u p´aly´ara engedn´enk beugrani”, akkor ” az u ´j sebess´eg ugyanolyan lenne, mint amilyennel egy ilyen sugar´ u val´odi p´alya rendelkezne, mivel voltak´eppen ez az ´atmenet a bonyolult u ´t egy m´asfajta p´eld´aja. Amint a bolyg´o u ´jra r´at´er az eredeti sugar´ u p´aly´ara, mozg´asi energi´aja az eredeti lesz. Teh´at f¨ uggetlen¨ ul att´ol, hogy a mozg´as a zavartalan p´aly´an folyik-e vagy ir´any´at s´ url´od´asmentes k´enyszer hat´as´ara beugr´asok” v´altoztatj´ak, az a mozg´asi energi´aja, amellyel a bolyg´o val´odi ” p´aly´aj´anak egy adott pontj´ahoz vissza´erkezik, mindig ugyanaz marad. Teh´at a bolyg´o saj´at p´aly´aj´an v´egzett mozg´as´anak numerikus vizsg´alatakor – mint ezt kor´abban tett¨ uk – minden l´ep´esn´el ellen˝orizhetj¨ uk, vajon ennek az ´alland´o mennyis´egnek – az energi´anak – a sz´am´ıt´as´aban nem k¨ovett¨ unk-e el jelent˝os hib´at; az ugyanis nem v´altozhat meg. A 9.2. t´abl´azatban k¨oz¨olt p´aly´an az energia a mozg´as kezdet´et˝ol a v´eg´eig kb. 1,5%-kal v´altozik meg.1 Mi´ert? Vagy az´ert, mert a numerikus m´odszerben v´eges intervallumokat haszn´altunk, vagy az´ert, mert valahol a sz´amol´as sor´an kis hib´at v´etett¨ unk. Tekints¨ uk az energi´at most a rug´ora f¨ uggesztett t¨omeg eset´eben. Amikor a t¨ omeget nyugalmi helyzet´eb˝ol kimozd´ıtjuk, a visszah´ uz´o er˝o ar´anyos az elmozdul´assal. Kidolgozhatunk-e valamilyen t¨orv´enyt az energiamegmarad´asra ilyen k¨or¨ ulm´enyek k¨oz¨ott? Igen, mert egy ilyen er˝o ´altal v´egzett munka Z x Z x 1 −kxdx = − kx2 . W = F dx = (13.13) 2 0 0 Teh´at egy rug´on f¨ ugg˝o t¨omeg eset´en a rezg˝o t¨omeg mozg´asi energi´aj´anak ´es 12 kx2 -nek az ¨osszege ´alland´o. N´ezz¨ uk meg, hogyan teljes¨ ul ez a val´o1

A 9.2. t´ abl´ azat egys´egeiben az egys´egnyi t¨ omegre sz´ amolt energia:


1 1 2 vx + vy2 − . 2 r

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

246

13. Munka ´es helyzeti energia (A)

s´agban. H´ uzzuk le a t¨omeget, ekkor nyugalomban lesz, sebess´ege teh´at z´erus. Az x mennyis´eg ´ert´eke azonban nem z´erus, hanem ´eppen a legnagyobb, ´es ´ıgy term´eszetesen valamilyen energia, a helyzeti energia lesz jelen. Engedj¨ uk most el a t¨omeget. Ez´altal valamilyen folyamat kezd˝odik el (amelynek a r´eszleteit nem t´argyaljuk), b´armely pillanatban azonban a mozg´asi ´es helyzeti energia ¨osszeg´enek ´alland´onak kell lennie. P´eld´aul amikor a t¨omeg visszafel´e ir´anyul´o mozg´asa sor´an ´athalad az eredeti egyens´ ulyi hely´en, az x koordin´ata z´erussal egyenl˝o, a v 2 mennyis´eg viszont ekkor lesz ´eppen a legnagyobb, ´es min´el nagyobb lesz x2 , ann´al kisebb lesz v 2 , s ´ıgy tov´abb. Teh´at amint a t¨omeg fel-le mozog, az egyens´ uly x2 ´es v 2 k¨oz¨ott fennmarad. Ily m´odon egy u ´j t¨orv´enyt kaptunk: a rug´o helyzeti energi´aja 21 kx2 -tel egyenl˝o, ha az er˝o (−kx)-szel egyenl˝o. 13.3. Energia¨ osszegz´ es T´erj¨ unk most h´at ´at az ´altal´anosabb esetre, ´es n´ezz¨ uk meg, mi t¨ort´enik akkor, ha sok test van jelen. Tegy¨ uk fel, hogy azzal a bonyolult t¨obbtestprobl´em´aval ´allunk szemben, amikor az i = 1, 2, 3, . . . -mal jel¨olt testek mindegyike gravit´aci´os hat´ast gyakorol az ¨osszes t¨obbi testre. Mi t¨ort´enik ekkor? Bebizony´ıtjuk, hogy ha ¨osszeadjuk minden egyes r´eszecske mozg´asi energi´aj´at, ´es ehhez az ¨ osszeghez m´eg hozz´aadjuk a k¨olcs¨on¨os gravit´aci´os helyzeti energia minden r´eszecskep´arra vett ¨osszeg´et, akkor ´alland´ot kapunk: X1 X Gmi mj mi vi2 + − = ´alland´o. (13.14) 2 r ij i i, j p´ arok

Hogyan bizony´ıtjuk be? Differenci´aljuk id˝o szerint mindk´et oldalt ´es mutassuk meg, hogy z´erust kapunk. Az 12 mi vi2 tag differenci´al´asakor ´epp´ ugy, mint a (13.15) egyenlet eset´eben a sebess´eg deriv´altjaik´ent er˝ok ad´odnak. Ezen er˝oket helyettes´ıtj¨ uk majd a Newton gravit´aci´os t¨orv´eny´eb˝ol ismert er˝ot¨orv´ennyel. V´eg¨ ul ´eszrevessz¨ uk, hogy ami eredm´eny¨ ul marad, az a X Gmi mj − rij p´ arok mennyis´eg id˝o szerinti deriv´altj´anak ellentettje. A mozg´asi energia id˝o szerinti deriv´altja: X d X1 dvi X mi vi2 = mi vi = Fi vi = dt i 2 dt i i =

X i

www.interkonyv.hu

  X Gmi mj rij   vi . − j

2 rij

(13.15)

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

247

13.3. Energia¨ osszegz´es

A helyzeti energia id˝o szerinti deriv´altja: X d X Gmi mj Gmi mj = + − 2 dt p´arok rij rij p´ arok

!

drij dt



,

de rij =

q

(xi − xj )2 + (yi − yj )2 + (zi − zj )2 ,

u ´gyhogy    drij dxi dxj 1 2(xi − xj ) + = − dt 2rij dt dt     dyi dyj dzi dzj +2(yi − yj ) + 2(zi − zj ) = − − dt dt dt dt vi − vj vi vj = rij = rij + rji , rij rij rji mivel rij = −rji , m´ıg rij = rji . ´Igy "

X Gmi mj rij d X Gmi mj Gmj mi rji − = vi + vj 3 3 dt p´arok rij rij rji p´ arok

#

(13.16)

Ezut´an figyelmesen meg kell n´ezn¨ unk, mit jelentenek a i { j } ´es a P P P kifejez´ e sek. A (??) egyenletben p´ arok i { j } azt jelenti, hogy az i index sorrendben felvesz minden i = 1, 2, 3 . . . ´ert´eket, ´es minden egyes i ´ert´ek eset´en a j index is felveszi (i-n k´ıv¨ ul) mindezen ´ert´ekeket. Ha p´eld´aul i = 3, akkor j az 1, 2, 4 . . . ´ert´ekeket veszi fel. P M´asr´eszr˝ol a (13.16) egyenletben p´arok azt jelenti, hogy i ´es j adott ´ert´ekei csak egyszer fordulnak el˝o. ´Igy az 1, 3 r´eszecskep´ar pl. csak egy tagot ad az ¨osszeghez. Hogy ezt nyomon k¨ovess¨ uk, megegyezhet¨ unk abban, hogy i az 1, 2, 3, . . . sz´amok b´armely ´ert´ek´et felveheti, j pedig minden egyes i-hez az ¨osszes i-n´el nagyobb ´ert´eket veheti fel. Ha, mondjuk, i = 3, ´ j-nek csak 4, 5, 6. . . ´ert´ekei lehetnek. Eszrevessz¨ uk azonban, hogy minden egyes i, j ´ert´ekp´ar az o¨sszeghez k´et tagot szolg´altat; az egyik vi , a m´asik vj -t tartalmazza, ´es hogy ezeknek a tagoknak ugyanaz az alakjuk, mint a (13.15) egyenletben szerepl˝oknek, ahol i ´es j ¨osszes ´ert´ek´ere (i = j-t kiv´eve) ¨osszegez¨ unk. A (13.15) ´es (13.16) egyenletekben teh´at a tagokat egym´as ut´an ¨osszehasonl´ıtva azt tal´aljuk, hogy azok pontosan azonosak, de ellent´etes el˝ojel˝ uek, u ´gyhogy a mozg´asi ´es a helyzeti energia ¨osszeg´enek id˝o szerinti deriv´altja val´oban z´erussal egyenl˝o. Ily m´odon l´atjuk, hogy sok test eset´eben a mozg´ asi energia minden egyes test j´ arul´ek´ anak az o sszeg´ e vel, ´ e s a helyzeti energia szint´ e n egyszer˝ u en az egyes ¨ p´arok k¨oz¨otti energi´ak ¨osszeg´evel egyenl˝o. Hogy ez ut´obbi mi´ert tev˝odik uk meg. T´etelez¨ossze a p´arok energi´aj´ab´ol, a k¨ovetkez˝o m´odon ´erthetj¨ P P

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

248

13. Munka ´es helyzeti energia (A)

z¨ uk fel, hogy meg akarjuk tal´alni az ¨osszes munk´at, amely a testeknek egym´ast´ol bizonyos t´avols´agra val´o elhelyez´es´ehez sz¨ uks´eges. Ezt t¨obb l´ep´esben tehetj¨ uk meg, u ´gy, hogy a testeket egym´as ut´an behozzuk” a ” v´egtelenb˝ol – ahol semmilyen er˝ohat´as sincs. El˝osz¨or behozzuk az egyes sz´am´ u testet. Ez nem ig´enyel munk´at, mivel m´eg nincs m´as test jelen, amely er˝ohat´ast gyakorolna r´a! Ut´ana a kettes sz´am´ ut, amely m´ar bizonyos (W12 = −Gm1 m2 /r12 ) munk´at ig´enyel. Most pedig – ´es ez a l´enyeg – t´etelezz¨ uk fel, hogy behozzuk a k¨ovetkez˝o testet a h´armas helyzetbe. A h´armas testre hat´o er˝ot b´armikor k´et er˝o – az egyes sz´am´ u, valamint a kettes sz´am´ u test ´altal gyakorolt er˝o – ¨osszegek´ent ´ırhatjuk fel. Ez´ert a v´egzett munka az egyes er˝ ok ´ altal v´egzett munka ¨ osszeg´evel egyenl˝ o, mert ha F3 k´et er˝o ¨osszegek´ent ´ırhat´o, F3 = F13 + F23 , akkor Z a munka: Z F3 ds =

Z

F13 ds +

F23 ds = W13 + W23 .

A v´egzett munka teh´at az els˝o ´es a m´asodik er˝ovel szemben v´egzett munka ¨osszege, mintha mindegyik¨ uk f¨ uggetlen¨ ul hatott volna. ´Igy folytatva, l´athatjuk, hogy a testek adott konfigur´aci´oj´at l´etrehoz´o teljes munka pontosan a helyzeti energi´ara – a (13.14) egyenlet ´altal – megadott ´ert´ekkel egyenl˝o. Teh´at az´ert ´ırhatjuk fel a helyzeti energi´at az egyes r´eszecskep´arok ¨osszegek´ent, mivel a gravit´aci´o az er˝ok szuperpoz´ıci´oja elv´enek van al´avetve. 13.4. Nagy testek gravit´ aci´ os tere A k¨ovetkez˝okben olyan tereket sz´amolunk ki, amelyekkel n´eh´any, t¨ oC dm megeloszl´ a ssal kapcsolatos fizikai fela r dC adat kapcs´an tal´alkozhatunk. EddC P dig nem tekintett¨ unk t¨omegeloszl´ast, x csup´an r´eszecsk´ekkel foglalkoztunk, ´erdekes lesz teh´at kisz´amolni az er˝o13.5. a ´bra. A t¨ omegpontra hat´ o v´egket arra az esetre is, ha azokat egytelen s´ık anyagr´eteg a ´ltal keltett C n´el t¨obb r´eszecske hozza l´etre. El˝ogravit´ aci´ os t´er sz¨or is meg fogjuk tal´alni valamilyen v´egtelen kiterjed´es˝ u s´ık anyagr´eteg ´altal keltett ´es egy adott t¨omegre hat´o gravit´aci´os er˝ot. Egy adott P pontban lev˝o egys´egnyi t¨omegre hat´o ´es a fenti anyagr´eteg ´altal l´etrehozott er˝o (13.5. ´abra) term´eszetesen a r´eteg fel´e ir´anyul. Legyen a pontnak a r´etegt˝ol val´o t´avols´aga a, ´es legyen ennek dρ

ρ

0

x

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

13.4. Nagy testek gravit´ aci´ os tere

249

a hatalmas r´etegnek az egys´egnyi fel¨ uletre es˝o t¨omege µ. T´etelezz¨ uk fel, hogy µ ´alland´o, azaz egyenletes anyagr´etegr˝ol van sz´o. M´armost milyen kis dC teret hoz l´etre az a dm t¨omeg, amely a r´etegnek a P ponthoz legk¨ozelebb lev˝o O pontj´at´ol m´ert % ´es % + d% t´avols´agok k¨oz´e esik? V´alasz: dC = −G(dmr/r3 ). Ez a t´er azonban r ir´any´ u lesz, ´es tudjuk, hogy ennek csak az x ir´any´ u komponense marad meg, ha ¨osszeadjuk az ¨osszes C-t l´etrehoz´o kis dC vektorokat. dC-nek x ir´any´ u komponense: dmrx dma = −G 3 . r3 r Nyilv´anval´oan mindazon dm t¨omegek, amelyek P -t˝ol ugyanolyan r t´avols´agra vannak, ugyanazt a dCx mennyis´eget szolg´altatj´ak, u ´gyhogy dm-re azonnal a % ´es % + d% k¨oz¨otti gy˝ ur˝ ube es˝o teljes t¨omeget ´ırhatjuk fel, nevezetesen azt, hogy dm = µ2π%d%. (2π%d% a % sugar´ u ´es d% sz´eless´eg˝ u gy˝ ur˝ u ter¨ ulete, ha d%  %.) ´Igy d%a dCx = Gµ2π% 3 . r Ekkor r2 = %2 + a2 , az´ert %d% = rdr. Teh´at   Z ∞ dr 1 1 Cx = −2πGµa = −2πGµa − = −2πGµ. (13.17) r2 a ∞ a Az er˝o teh´at f¨ uggetlen az a t´avols´agt´ol! Mi´ert? Nem t´evedt¨ unk valahol? Azt gondolhatn´ank, menn´el t´avolabb megy¨ unk a r´etegt˝ol, az er˝onek ann´al gyeng´ebbnek kell lennie. De nem! Ha k¨ozel vagyunk, az anyag legnagyobb r´esze kedvez˝otlen sz¨og alatt fejti ki vonz´o hat´as´at, ha viszont t´avol vagyunk, az anyag nagy r´esze kedvez˝obben helyezkedik el ahhoz, hogy a r´eteg fel´e vonz´o hat´ast fejtsen ki. B´armely t´avols´agban a vonz´o hat´as´at tekintve leghat´asosabb anyag bizonyos k´ upban helyezkedik el. Amikor t´avolabb vagyunk, az er˝o a t´avols´ag n´egyzet´evel ford´ıtott ar´anyban kisebb lesz, de ugyanabban a k´ upban, ugyanazon ny´ıl´assz¨og¨on bel¨ ul sokkal t¨ obb anyag lesz, m´egpedig pontosan a t´avols´ag n´egyzet´evel ar´anyosan lesz t¨obb. Ezt a gondolatsort sokkal szigor´ ubban is v´egig lehet vinni, ha tekintetbe vessz¨ uk, hogy b´armely, adott k´ upb´ol sz´armaz´o differenci´alis j´arul´ek val´oj´aban f¨ uggetlen a t´avols´agt´ol, mivel egy adott t¨omegt˝ol sz´armaz´o er˝o er˝oss´ege, illetve a k´ upban tal´alhat´o t¨omeg v´altoz´asa a t´avols´aggal egym´as reciproka. Az er˝o val´oj´aban nem ´alland´o, hiszen a r´eteg m´asik oldal´ara ´atl´epve el˝ojelet v´alt. Most egy´ uttal egy elektromoss´agra vonatkoz´o feladatot is megoldottunk; ugyanis, ha van egy elektromosan t¨olt¨ott lemez¨ unk, amelynek egys´enyi fel¨ uletelem´en σ t¨olt´es van, akkor egy lemezen k´ıv¨ ul fekv˝o pontban dCx = −G

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

250

13. Munka ´es helyzeti energia (A)

az elektromos t´er σ/2ε0 -val lesz egyenl˝o, s ha a lemez pozit´ıvan t¨olt¨ott, akkor az elektromos t´er a lemezt˝ol kifel´e, ellenkez˝o esetben pedig a lemez fel´e ir´anyul. Ennek bizony´ıt´as´ahoz elegend˝o csup´an arra eml´ekeztetn¨ unk, hogy a gravit´aci´o eset´eben −G ugyanazt a szerepet j´atsza, mint az elektromoss´ag eset´en az 1/4πε0 mennyis´eg. Legyen most k´et lemez¨ unk, az egyiken +σ pozit´ıv t¨olt´es, a t˝ole D t´avols´agra lev˝o m´asik lemezen pedig −σ negat´ıv t¨olt´es van. Milyen t´er alakul ki? A k´et lemez k¨ uls˝o oldal´an a t´er z´erus. Mi´ert? Mert egyik¨ uk vonz, a m´asik pedig tasz´ıt, s mivel az er˝o f¨ uggetlen a t´ avols´ agt´ ol, a k´et er˝o kiegyenl´ıti egym´ast! A k´et lemez k¨ oz¨ otti er˝o viszont nyilv´an k´etszer nagyobb az egyik lemez ´altal l´etrehozottn´al, nevezetesen E = σ/ε0 , ´es a pozit´ıv t¨olt´es˝ u lemezt˝ol a negat´ıv fel´e ir´anyul. Van k´et lemez¨ unk, az egyiken +σ pozit´ıv t¨olt´es, a t˝ole D t´avols´agra lev˝o m´asik lemezen pedig −σ negat´ıv t¨olt´es van. Milyen t´er alakul ki? A k´et lemez k¨ uls˝o oldal´an a t´er z´erus. Mi´ert? Mert egyik¨ uk vonz, a m´asik pedig tasz´ıt, s mivel az er˝o f¨ uggetlen a t´ avols´ agt´ ol, a k´et er˝o kiegyenl´ıti egym´ast. A k´et lemez k¨ oz¨ otti t´er viszont nyilv´an k´etszer nagyobb az egyik lemez ´altal l´etrehozottn´al, nevezetesen E = σ/ε0 , ´es a pozit´ıv t¨olt´es˝ u lemezt˝ol a negat´ıv fel´e ir´anyul. Most r´at´er¨ unk egy m´eg ´erdekesebb probl´em´ara, amelyet mind ez ideig megoldottnak felt´etelezt¨ unk, nevezetesen arra, hogy a F¨old ´altal l´etrehozott er˝o a f¨oldfel¨ ulet minden pontj´an vagy b´armely azon k´ıv¨ ul fekv˝o pontban u ´gy hat, mintha a F¨old teljes t¨omege a k¨oz´eppontj´aban lenne. E feltev´es ´erv´enyess´ege nem mag´at´ol ´ertet˝od˝o, hiszen amikor nagyon k¨ozel tart´ozkodunk a F¨oldh¨oz, t¨omeg´enek bizonyos r´esze nagyon k¨ozel van hozz´ank, bizonyos r´esze t´avolabb, s ´ıgy tov´abb. Amikor az ¨osszes ilyen t¨omeg hat´as´at ¨osszeadjuk, szinte csod´anak t˝ unik, hogy az ered˝o pontosan ugyanakkora, mint amit akkor kapn´ank, ha a F¨old eg´esz t¨omeg´et a k¨oz´eppontba tudn´ank s˝ ur´ıteni! Most azonban megmutatjuk, hogy ds kor´antsem csod´aval ´allunk szemben. r a y Az eg´esz F¨old helyett tekints¨ unk egy O P v´ e kony, minden¨ u tt azonos vastags´ ax dx R g´ u g¨ombh´ejat. Legyen a g¨ombh´ej teljes t¨omege m. Sz´amoljuk ki egy, a g¨omb k¨oz´eppontj´at´ol R t´avols´ag13.6. a ´bra. T¨ omeg vagy t¨ olt´esek a ´ltal ra lev˝o m0 t¨omeg˝ u r´eszecske helyzeti alkotott v´ekony g¨ ombh´ej energi´aj´at (13.6. ´abra), ´es mutassuk meg, hogy a helyzeti energia ugyanakkora, mint ha az m t¨omeg a k¨oz´ep-

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

251

13.4. Nagy testek gravit´ aci´ os tere

pontban lenne. (A helyzeti energi´aval k¨onnyebb sz´amolni, mint a t´errel, mivel a sz¨ogekkel nem kell t¨or˝odn¨ unk, csup´an a t¨omeg minden darabk´aj´anak a helyzeti energi´aj´at adjuk ¨ossze.) Jel¨olje x egy adott s´ıkmetszetnek a k¨oz´eppontt´ol val´o t´avols´ag´at, akkor a dx vastags´ag´ u gy˝ ur˝ uben” minden ” t¨omeg a P -t˝ol azonos r t´avols´agra van, ´es az ett˝ol a gy˝ ur˝ ut˝ol” sz´armaz´o ” helyzeti energia −Gm0 dm/r. Mekkora t¨omeg is lesz ebben a kis dx vastags´ag´ u gy˝ ur˝ uben”? ” 2πyµdx 2πyµdxa dm = 2πyµds = = = 2πaµdx, sin ϑ y ahol µ = m/4πa2 ´ a g¨ombh´ejon ´eszlelhet˝o fel¨ uleti t¨omegs˝ ur˝ us´eg. (Altal´ anos szab´aly, hogy egy g¨omb¨ov ter¨ ulete ar´anyos sug´arir´any´ u sz´eless´eg´evel.) A dm-t˝ol sz´armaz´o helyzeti energia teh´at Gm0 dm Gm0 · 2πaµdx dW = − =− . r 4 L´atjuk azonban, hogy r2 = y 2 + (R − x)2 = y 2 + x2 + R2 − 2Rx = a2 + R2 − 2Rx, teh´at 2rdr = −2Rdx, vagyis dx dr =− . r R Ez´ert fel´ırhatjuk, hogy Gm0 · 2πaµdr W=− , R ´es ´ıgy Z Gm0 2πaµ R−a W = dr = R R+a Gm0 2πaµ Gm0 (4πa2 µ) Gm0 m =− 2a = − =− . (13.18) R R R Teh´at a v´ekony g¨ombh´ejon k´ıv¨ ul elhelyezked˝o m0 t¨omeg helyzeti energi´aja ugyanakkora, mintha a h´ej t¨omege a g¨omb k¨oz´eppontj´aban lenne uk, hogy a F¨old g¨ombh´ejakb´ol ´all, amelyek ¨osszpontos´ıtva. Elk´epzelhetj¨ mindegyike csak a g¨ombh´ej t¨omeg´et˝ol, illetve a r´eszecske ´es a g¨ombh´ej ¨ k¨oz´eppontja k¨oz¨otti t´avols´agt´ol f¨ ugg˝o energiaj´arul´ekot szolg´altat. Osszeadva a g¨ombh´ejak t¨omegeit, a teljes t¨ omeget kapjuk, ez´ert lehets´eges, hogy a F¨old u ´gy viselkedik, mintha ¨osszes anyaga a k¨oz´eppontj´aban lenne! www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

252

13. Munka ´es helyzeti energia (A)

Vizsg´aljuk meg azonban azt az esetet is, amikor t¨omegpontunk a h´ej belsej´eben van. Ugyanazt a sz´am´ıt´ast elv´egezve, de u ´gy, hogy P a g¨ombh´ejon bel¨ ul legyen, az integr´alra a k´et r k¨ ul¨onbs´eg´et kapjuk. Ez azonban most a − R − (a + R) = −2R alak´ u, vagyis a k¨oz´eppontt´ol val´o t´avols´ag m´ınusz k´etszeres´et kapjuk. M´as sz´oval W = −Gm0 m/a, amely mennyis´eg f¨ uggetlen R-t˝ol, ´es f¨ uggetlen a helyzett˝ol, azaz ugyanazt az energi´at kapjuk, b´arhol is vagyunk a g¨ombh´ejon bel¨ ul. Ez´ert nem l´ep fel semmif´ele er˝o, ´es amikor a t¨omegpont a g¨ombh´ejon bel¨ ul mozog, munkav´egz´es sincs. Ha teh´at a helyzeti energia a t´argynak a g¨ombh´ejon bel¨ uli helyzet´et˝ol f¨ uggetlen¨ ul mindig ugyanakkora, akkor er˝o nem hathat a t´argyra. A g¨omb¨on bel¨ ul teh´at nem, csak azon k´ıv¨ ul hat er˝o, ´es ez a k¨ uls˝o er˝o pontosan u ´gy hat, mintha az eg´esz t¨omeg a k¨oz´eppontban ¨osszpontosulna.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

14. fejezet Munka ´ es helyzeti energia (befejez´ es) 14.1. Munka Az el˝oz˝o fejezetben j´on´eh´any, a fizik´aban k¨ozponti szerepet j´atsz´o u ´j gondolatot ´es eredm´enyt mutattunk be. Ezek olyan fontosak, hogy ´erdemesnek l´atszik egy eg´esz fejezetet szentelni r´eszletesebb vizsg´alatukra. Ebben a fejezetben nem t´er¨ unk ki u ´jra mindazokra a bizony´ıt´asokra” ´es speci´a” lis fog´asokra, logikai m´odszerekre, amelyeknek seg´ıts´eg´evel az eredm´enyeket megkaptuk, hanem ink´abb maguknak a gondolatoknak a r´eszletesebb megvil´ag´ıt´as´ara ¨osszpontos´ıtjuk figyelm¨ unket. B´armely olyan technikai term´eszet˝ u t´argy tanulm´anyoz´asakor, ahol a matematika szerepet j´atszik, szembetal´alkozunk azzal a k¨ovetelm´ennyel, hogy bizonyos bebizony´ıthat´o” vagy megmutathat´o” ¨osszef¨ ugg´esek ´altal ” ” unk ´es mem´o¨osszekapcsolt t´enyek ´es gondolatok eg´esz sor´at meg kell ´erten¨ ri´ankban elrakt´aroznunk. K¨onny˝ u ¨osszekeverni mag´at a bizony´ıt´ast azzal az ¨osszef¨ ugg´essel, amit tulajdonk´eppen meg´allap´ıt. Vil´agos, hogy nem a bizony´ıt´as, hanem az ¨osszef¨ ugg´es megtanul´asa, a re´a val´o eml´ekez´es a fontos. Adott k¨or¨ ulm´enyek k¨oz¨ott vagy azt mondjuk, megmutathat´o, ” hogy. . . ” ez ´es ez igaz, vagy meg is tudjuk azt mutatni. Csaknem minden esetben a bizony´ıt´ast u ´gy szokt´ak ´atalak´ıtani, hogy gyorsan ´es k¨onnyen lehessen a t´abl´ara vagy pap´ırra le´ırni, ´es hogy a lehet˝o legegyszer˝ ubben ´erthet˝o ´es megjegyezhet˝o legyen. K¨ovetkez´esk´epp a bizony´ıt´as megt´eveszt˝oen egyszer˝ unek t˝ unhet, holott val´oj´aban a szerz˝o esetleg ´or´ak hosszat dolgozott, ugyanazt a dolgot k¨ ul¨ onb¨oz˝o m´odokon megpr´ob´alta kisz´am´ıtani, m´ıg megtal´alta a legeleg´ansabb elj´ar´ast, amely a legr¨ovidebb u ´ton vezet a k´ıv´ant eredm´enyre! Amire egy bizony´ıt´asb´ol eml´ekezn¨ unk kell, nem maga a bizony´ıt´as, hanem ink´abb az, hogy ez meg ez megmutathat´ o. Term´eszetesen, ha a bizony´ıt´as eddig m´eg nem l´atott elj´ar´ast vagy logikai fog´ast tartalmaz, akkor a figyelmet nem mag´ara a tr¨ ukkre”, hanem a ” benne rejl˝o matematikai elvre kell ford´ıtani. Az is bizonyos, hogy ennek a k¨onyvnek egyetlen bizony´ıt´as´ara sem abb´ol az id˝ob˝ol eml´ekszik a szerz˝o, amikor m´eg maga is g´olyak´ent” tanulta ” a fizik´at. Ellenkez˝oleg, csup´an arra eml´ekszik, hogy ez ´es ez igaz, ´es annak megmagyar´az´as´ara, hogy ezt hogyan lehet megmutatni, a sz¨ uks´eges pillanatban kital´al egy bizony´ıt´ast. B´arki, aki alaposan megtanult egy t´argyat, k´epes kell legyen hasonl´o elj´ar´asra, hiszen annak, hogy puszt´an www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

254

14. Munka ´es helyzeti energia (befejez´es)

a bizony´ıt´asokat bemagolja, nem veszi sok haszn´at. Ebben a fejezetben is megker¨ ulj¨ uk az el˝oz˝okben tett k¨ ul¨onb¨oz˝o meg´allap´ıt´asok bizony´ıt´as´at, csup´an az eredm´enyeket ¨osszegezz¨ uk. Az els˝o megem´esztend˝o gondolat az er˝ o´ altal v´egzett munka. A mun” ka” fizikai kifejez´es´enek semmi k¨oze sincs a mindennapi ´ertelembenR vett munka sz´ohoz, att´ol mer˝oben k¨ ul¨onb¨oz˝o gondolati tartalma van. Az Fds alakban kifejezett fizikai munk´at, az Fds skal´arszorzat vonalintegr´alj´a” nak” nevezz¨ uk. Ez a kifejez´es azt jelenti, hogy ha az er˝o p´eld´aul az egyik ir´anyba mutat, ´es a t´argy, amire hat, valamilyen m´asik ir´anyba mozdul el, akkor csak az elmozdul´ as ir´ any´ aba es˝ o er˝ okomponens v´egez munk´at. Ha p´eld´aul az er˝o ´alland´o, az elmozdul´as pedig egy v´eges ∆s t´avols´ag lenne, akkor az ´alland´o er˝o ´altal ezen a t´avols´agon v´egzett munka csup´an a ∆s menti er˝okomponens ´es ∆s szorzata. A szab´aly: er˝o szorozva t´a” vols´aggal”, a val´os´agban azonban ez alatt mindig az elmozdul´as ir´any´aba es˝o er˝okomponens ´es ∆s szorzat´at, vagy ami ezzel egyen´ert´ek˝ u, az elmozdul´as er˝o ir´any´aba es˝o komponens´enek ´es az F er˝onek a szorzat´at ´ertj¨ uk. Nyilv´anval´o, hogy egy olyan er˝o, amelyik mer˝oleges az elmozdul´asra, semmif´ele munk´at nem tud v´egezni. Ha most az elmozdul´as ∆s vektor´at komponenseire bontjuk – azaz ha a t´enyleges ∆s elmozdul´ast egy x ir´any´ u ∆x, egy y ir´any´ u ∆y, ´es egy z ir´any´ u ∆z elmozdul´askomponensb˝ol ¨osszetettnek tekintj¨ uk –, akkor a t´argy elmozdul´asakor v´egzett munk´at h´arom r´eszb˝ol – az x, az y ´es a z ir´anyokban v´egzett munk´akb´ol – sz´am´ıthatjuk ki. Az x ir´any´ u elmozdul´askor v´egzett munka csak az er˝o x komponens´et, Fx -et tartalmazza, s ´ıgy tov´abb, teh´at a munka: Fx ∆x + Fy ∆y + Fz ∆z. Ha az er˝o nem ´alland´o, ´es a mozg´as valami bonyolult g¨orbe ment´en megy v´egbe, akkor az u ´tvonalat sok kis ∆s szakaszra felbontva, a t´argy minden egyes ∆s ment´en val´o elmozdul´asakor v´egzett munk´at ¨ossze kell adni, majd a ∆s → 0 eset´en ´erv´enyes hat´ ar´ert´eket kell venni. Ez a vonalintegr´al” jelent´ese. R ” A W = Fds k´eplet mindazt tartalmazza, amit az im´ent mondottunk. Teljesen rendj´en val´o, ha azt mondjuk, csod´alatos ez a k´eplet, de j´oval nehezebb meg´erteni, hogy mit is jelent ´es milyen k¨ovetkezm´enyei lehetnek. A munk´anak” a fizik´aban a sz´o mindennapi ´ertelm´et˝ol annyira elt´er˝o ” jelent´ese van, hogy gondosan meg kell n´ezn¨ unk, vajon saj´atos k¨or¨ ulm´enyek k¨oz¨ott hogyan keletkezik ez a k¨ ul¨onbs´eg. P´eld´aul a munka defin´ıci´oja szerint semmilyen munk´at nem v´egz¨ unk, ha egy 50 kp-os s´ ulyt a kez¨ unkben tartunk egy ideig, azonban mindenki tudja, hogy ennek ellen´ere megizzadunk, remegni kezd¨ unk, nehezen l´elegz¨ unk, mintha l´epcs˝on futottunk volna felfel´e. A l´epcs˝on val´o halad´ast munkav´egz´esnek kell tekinten¨ unk

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

14.1. Munka

255

(lefel´e halad´askor a fizika szerint energi´at nyer¨ unk), de mik¨ozben valamilyen t´argyat mozdulatlanul a kez¨ unkben tartunk, nem v´egz¨ unk semmilyen munk´at. Vil´agos, hogy a munka fizikai defin´ıci´oja k¨ ul¨onb¨ozik annak fiziol´ogiai defin´ıci´oj´at´ol. Ennek ok´at r¨ oviden meg is magyar´azzuk. T´eny, hogy amikor valaki megtart egy s´ ulyt, akkor nyilv´an fiziol´ogiai ´ertelemben munk´at kell v´egeznie. M´ask¨ ul¨onben mi´ert izzadna? Mi´ert kell jobban t´apl´alkoznia ahhoz, hogy ilyen munk´at v´egezhessen? Mi´ert dolgozna a szervezete teljes er˝ovel, amikor megtart egy s´ ulyt? Ha a s´ ulyt egy asztalra helyezz¨ uk, az minden er˝olk¨od´es n´elk¨ ul megtartja. Az asztal nyugodtan ´es csendesen, minden energiabefektet´es n´elk¨ ul k´epes ugyanazt a s´ ulyt ugyanabban a magass´agban megtartani! A fiziol´ogiai helyzet nagyj´ab´ol ´ıgy foglalhat´o ¨ossze: Az emberi, valamint ´allati szervezetekben k´etf´ele izom van. Az egyik az u ´gynevezett har´antcs´ıkolt vagy v´ azizom, ilyen t´ıpus´ u izmok vannak p´eld´aul a karban, ´es ezek m˝ uk¨od´ese akaratunknak van al´avetve. A m´asik fajta az u ´gynevezett sima izom, amilyen p´eld´aul a bels˝o szervek izomzata, vagy a puhatest˝ uekn´el a kagyl´ot bez´ar´o nagy z´ar´oizom. A sima izmok nagyon lassan dolgoznak, de megvan az a k´epess´eg¨ uk, hogy megmerevedjenek”. Ez azt jelenti, hogy ha a puhatest˝ u a ” kagyl´ot bizonyos helyzetben akarja tartani, akkor m´eg igen nagy er˝okifejt´essel sem lehet ebb˝ol a helyzetb˝ol kimozd´ıtani. S´ ullyal terhelt ´allapotban is ´or´ak hosszat megtartja helyzet´et an´elk¨ ul, hogy elf´aradna. Eg´eszen olyan ez az eset, mint amikor az asztalra s´ ulyt helyez¨ unk. A kagyl´o bizonyos helyzetben megmerevedik”, a molekul´ak ´atmenetileg mintha ¨osszekap” csol´odn´anak egym´assal, de semmilyen munkav´egz´es nincs, a puhatest˝ u semmilyen er˝okifejt´est nem v´egez. Az, hogy nek¨ unk er˝ofesz´ıt´es¨ unkbe ker¨ ul egy s´ ulyt megtartani, egyszer˝ uen a har´antcs´ıkolt izmok szerkezet´eb˝ol ad´odik. Amikor az idegekb˝ol j¨ov˝o utas´ıt´as el´eri az izomrostot, az egy kicsit megfesz¨ ul, majd elernyed. M´ıg valamit k´ezben tartunk, az agyb´ol rengeteg utas´ıt´ast kapnak az izmok, sok izomrost megfesz¨ ul, megtartva a s´ ulyt, m´ıg m´as izomsz´alak elernyednek. Ez term´eszetesen meg is figyelhet˝o: a neh´ez s´ uly megtart´as´at´ol elf´aradva remegni kezd¨ unk. Ennek az az oka, hogy az utas´ıt´asok ´arama szab´alytalanul ´erkezik, az izom m´ar f´aradt ´es nem reag´al el´eg gyorsan. Mi´ert pont ilyen kedvez˝otlen, rossz hat´asfok´ u izomrendszer van az emberi szervezetben? Nem tudni, mi´ert, de a term´eszet nem tudott gyorsan m˝ uk¨od˝o sima izmokat l´etrehozni. A sima izmok sokkal alkalmasabbak lenn´enek s´ ulyok megtart´as´ara, mivel megmerevedn´enek, s nem kellene munk´at v´egezni, sem pedig energi´ara nem volna sz¨ uks´eg. Megvan azonban az a h´atr´anyuk, hogy nagyon lassan m˝ uk¨odnek.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

256

14. Munka ´es helyzeti energia (befejez´es)

Visszat´erve a fizik´ara, megk´erdezhetj¨ uk, hogy mi´ert akarjuk a v´egzett munk´at kisz´am´ıtani. A v´ alasz: nagyon ´erdekes ´es hasznos ennek kisz´am´ıt´asa, mivel egy r´eszecsk´ere hat´o ¨osszes er˝o ered˝oje ´altal a r´eszecsk´en v´egzett munka pontosan egyenl˝o ugyanezen r´eszecske kinetikus energi´aj´anak megv´altoz´as´aval. Vagyis, ha valamilyen t´argyat megl¨ok¨ unk, akkor az sebess´egre tesz szert, ´es 2 ∆(v 2 ) = F∆s. m 14.2. K´ enyszermozg´ as Az er˝onek ´es a munk´anak van m´eg egy m´asik ´erdekes von´asa is. Tegy¨ uk fel, hogy egy r´eszecske valamilyen meredek vagy g¨orbe p´alya ment´en, s´ url´od´as n´elk¨ ul mozog. Vagy tekints¨ unk egy zsin´oron felf¨ uggesztett s´ ulyb´ol ´all´o ing´at: a zsin´or a s´ ulyt a felf¨ uggeszt´esi pont k¨or¨ ul k¨ormozg´asra k´enyszer´ıti. Ha azonban a zsin´ort egy kis p¨oc¨oknek u uk, ez´altal a ¨tk¨oztetj¨ felf¨ uggeszt´esi pont megv´altozik, s ´ıgy a s´ uly k´et k¨ ul¨onb¨oz˝o sugar´ u k¨or ment´en mozog. A fentiek az u ´gynevezett r¨ ogz´ıtett, s´ url´ od´ asmentes k´enyszerekre vonatkoz´o p´eld´ak. R¨ogz´ıtett, s´ url´od´asmentes k´enyszermozg´as eset´en a k´enyszer nem v´egez munk´at, mivel a k´enyszer´ıt˝o er˝o mindig mer˝oleges a mozg´asra. K´eny” szerer˝ok¨on” azokat az er˝oket ´ertj¨ uk, melyeket a t´argyra k¨ozvetlen¨ ul maga a k´enyszer gyakorol (a p´aly´aval val´o ´erintkez´esn´el fell´ep˝o er˝o, illetve a zsin´orban ´ebred˝o fesz¨ ults´eg). A neh´ezs´egi er˝o hat´as´ara lejt˝on mozg´o testre hat´o er˝ok meglehet˝oMozgásirány sen bonyolultak, mivel fell´ep a k´enyKényszererő Gravitációs szerer˝o, a gravit´aci´os er˝o stb. M´egerő is, ha a mozg´as kisz´am´ıt´as´at az energiamegmarad´asra ´es egyed¨ ul csak a 14.1. a ´bra. S´ url´ od´ asmentesen cs´ usz´ o gravit´ a ci´ o s er˝ o kre alapozzuk, a hetestre hat´ o er˝ ok lyes eredm´enyt kapjuk. Ez el´eg furcs´anak t˝ unik, mivel a sz´amol´as elv´egz´es´enek nem ez a helyes u ´tja, ha´ nem az ered˝ o er˝ot kellene figyelembe venni. Am kider¨ ul, hogy egyed¨ ul a gravit´aci´os er˝o ´altal v´egzett munka adja a kinetikus energia megv´altoz´as´at, hiszen az er˝oknek a k´enyszerb˝ol sz´armaz´o r´esze nem v´egez munk´at (14.1. ´abra). Az elmondottakb´ol az a l´enyeges, hogy ha az er˝o k´et vagy t¨obb r´esz” b˝ol” ´all, akkor az ered˝o er˝onek egy adott g¨orbe ment´en v´egzett munk´aja az egyes ¨osszetev˝o er˝ok ´altal v´egzett munk´ak ¨osszege. Ez´ert ha az er˝ot n´eh´any hat´as – gravit´aci´os ´es k´enyszerer˝ok stb. – vektor¨osszegek´ent vagy www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

14.3. Konzervat´ıv er˝ ok

257

az ¨osszes er˝ok x ´es y komponens´enek ered˝ojek´ent kezelj¨ uk, vagy b´armilyen m´as, tetsz´es szerinti m´odon bontjuk is fel, az ered˝o er˝o ´altal v´egzett munka mindazon er˝ok ´altal v´egzett munk´ak ¨osszeg´evel lesz egyenl˝o, melyekre az ered˝o er˝ot a vizsg´alat sor´an felbontottuk.

14.3. Konzervat´ıv er˝ ok L´etezik a term´eszetben n´eh´any olyan er˝o, mint p´eld´aul a neh´ezs´egi er˝o, melyeknek van egy igen figyelemrem´elt´o tulajdons´aguk, nevezetesen az, hogy konzervat´ıvak” (nincs ebben semmif´ele politika, ez csup´an egyike a ” fizik´aban haszn´alatos bolondos” szavaknak). Ha kisz´am´ıtjuk, hogy mek” kora munk´at v´egez az er˝o, mik¨ozben egy t´argyat valamilyen g¨orbe vonal´ u p´alya ment´en egyik pontb´ol a m´asikba visz, azt tal´aljuk, hogy – kiv´eve n´eh´any speci´alis esetet – ´altal´aban a munka f¨ ugg a megtett u ´tt´ol. Ha a munka nem f¨ ugg az u ´tt´ol, akkor azt mondjuk, hogy az er˝o konzervat´ıv. M´as sz´oval, ha a 14.2. ´abr´an l´athat´o 1 ´es 2 pontokat ¨osszek¨ot˝o u ´tszakasz ´es az er˝o szorzat´anak az integr´alja ugyanazt a joule-´ert´eket szolg´altatja, ak´ar az A, ak´ar a B g¨orbe ment´en haladunk, ´es ha ez az ´all´ıt´as a k´et pontot ¨osszek¨ot˝o b´ armely g¨ orb´ere igaz, s˝ot ha b´armely tetsz´es szerint kiv´ alasztott pontp´ arra is igaz, akkor azt mondjuk, hogy az er˝o konzervat´ıv. Ilyen k¨ or¨ ulm´enyek k¨oz¨ott az 1 ´es 2 pontok k¨oz¨otti munkaintegr´alt egyszer˝ uen ki lehet sz´am´ıtani, ´es az eredm´enyre egy ¨osszef¨ ugg´es adhat´o meg. A t¨obbi esetben a dolog nem ilyen egyszer˝ u, mivel a g¨orbe alakj´at is meg kell adni, de akkor, amikor a munka nem f¨ ugg az u ´tt´ol, term´eszetesen csak az 1 ´es 2 pontok helyzet´et˝ ol val´o f¨ ugg´es marad meg. Szeml´eltet´es¨ ul fontoljuk meg a P 2 k¨ovetkez˝oket. Tetsz˝oleges helyen veA gy¨ unk fel egy P pontot (14.2. ´abra). B Ekkor a munka kisz´am´ıtand´o vonal1 integr´alja az 1 ´es 2 pontok k¨oz¨ott k´et r´eszb˝ol ´all´ıthat´o ¨ossze: abb´ol a 14.2. a ´bra. Lehets´eges utak az er˝ omunk´ab´ol, amit 1 ´es P k¨oz¨ott, valat´erben lev˝ o k´et pont k¨ oz¨ ott mint abb´ol, amit P ´es 2 k¨oz¨ott kell v´egezni, mivel az er˝ok konzervat´ıvak ´es a munka nem f¨ ugg az u ´tt´ol. M´armost az a munka, amit a P pontb´ol a t´er egy tetsz˝oleges pontj´aba val´o elmozdul´askor v´egz¨ unk, ez ut´obbi pont t´erbeli helyzet´enek a f¨ uggv´enye. Term´eszetesen val´oj´aban P -t˝ol is f¨ ugg, de a tetsz˝oleges P pontot az anal´ızis sor´an ´alland´oan r¨ogz´ıtve tartjuk. Ha ´ıgy j´arunk el, akkor P -b˝ol a 2 pontba val´o elmozdul´askor v´egzett munka a 2 v´eghelyzetnek valamilyen www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

258

14. Munka ´es helyzeti energia (befejez´es)

f¨ uggv´enye lesz. Att´ol f¨ ugg, hol van a 2 pont – ha valamilyen m´as pontba megy¨ unk, m´as lesz az eredm´eny is. A t´erbeli helyzetnek ezt a f¨ uggv´eny´et −Wpot (x, y, z)-vel jel¨olj¨ uk; amikor, mondjuk, az (x2 , y2 , z2 ) koordin´at´akkal rendelkez˝o 2 pontra akarunk utalni, a Wpot (x2 , y2 , z2 ) r¨ovid´ıt´esek´ent Wpot (2)-t ´ırunk. Az 1 pontt´ol a P pontig v´egzett munka u ´gy is fel´ırhat´o, hogy az ¨osszes ds-ek ir´any´at megford´ıtva, az integr´al´ast az ellenkez˝ o ir´anyban v´egezz¨ uk el. Ez azt jelenti, hogy az (1, P ) szakaszon v´egzett munka egyenl˝o a (P, 1) szakaszon v´egzett munka m´ınusz egyszeres´evel: Z

P

Z

1

F(−ds) = −

Fds =

1

Fds. P

P

1

Z

´Igy teh´at a P -t˝ol 1-ig v´egzett munka −Wpot (1), a P -t˝ol 2-ig v´egzett munka pedig −Wpot (2). Ez´ert az 1-t˝ol 2-ig vett integr´al −Wpot (2) plusz {−Wpot (1) ellenkez˝oleg v´eve }, vagy m´ask´epp +Wpot (1) − Wpot (2): Wpot (1) = −

Z

1

Fds,

Wpot (2) = −

P

Z

Z

2

Fds, P

2

Fds = Wpot (1) − Wpot (2).

(14.1)

1

A Wpot (1) − Wpot (2) mennyis´eget a helyzeti energia megv´altoz´as´anak, Wpot -t pedig helyzeti energi´anak nevezz¨ uk. Azt mondjuk, hogy amikor a t´argy a 2 helyzetben van, Wpot (2) helyzeti energi´aval, amikor az 1 helyzetben van, Wpot (1) helyzeti energi´aval rendelkezik. Ha a t´argy a P pontban van, helyzeti energi´aja z´erus. Ha b´armilyen m´as, mondjuk Q pontot haszn´aln´ank P helyett, akkor kider¨ ulne, hogy a helyzeti energia csak egy addit´ıv ´ alland´ o erej´eig v´ altozna meg (ennek kimutat´as´at az olvas´ora b´ızzuk). Mivel az energiamegmarad´as csak az energia v´ altoz´ asait´ ol f¨ ugg, nem jelent semmit, hogy a helyzeti energi´ahoz hozz´aadunk egy ´alland´ot. Teh´at a P pont tetsz˝olegesen v´alaszthat´o meg. Ezek ut´an a k¨ovetkez˝o k´et kijelent´est tessz¨ uk: 1) valamely er˝o ´altal v´egzett munka a r´eszecske mozg´asi energi´aj´anak megv´altoz´as´aval egyenl˝o, de 2) matematikailag – konzervat´ıv er˝o eset´en – a v´egzett munka a helyzeti energi´anak nevezett Wpot f¨ uggv´eny megv´altoz´as´anak m´ınusz egyszerese. A fenti k´et kijelent´es k¨ovetkezm´enyek´ent el´erkez¨ unk egy harmadikhoz, nevezetesen ahhoz, hogy ha csak konzervat´ıv er˝ ok hatnak, akkor a Wkin kinetikus energia ´es a Wpot potenci´ alis energia ¨ osszege ´ alland´ o marad: Wkin + Wpot = ´all. (14.2) Vizsg´aljuk meg n´eh´any p´eld´an a helyzeti energi´ara vonatkoz´o o¨sszef¨ ugg´eseket. Tekints¨ uk a neh´ezs´egi er˝oteret, mely – hacsak nem megy¨ unk fel a F¨old sugar´anak megfelel˝o nagys´agrend˝ u magass´agokba – ´alland´o er˝oswww.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

14.3. Konzervat´ıv er˝ ok

259

s´eg˝ u. Ez esetben az er˝o ´alland´o ´es f¨ ugg˝oleges ir´any´ u, ´es a v´egzett munka egyszer˝ uen az er˝o ´es a f¨ ugg˝oleges t´avols´ag szorzata. Teh´at Wpot (z) = mgz,

(14.3)

´es a z´erus helyzeti energi´anak megfelel˝o P pont a z = 0 s´ık b´armely pontja lehet. Persze, ha u ´gy tetszik, azt is mondhatjuk, hogy a potenci´alis energia mg(z −6)-tal egyenl˝o! Ez esetben ugyanis az anal´ızis sor´an kapott ¨osszes eredm´eny v´altozatlan maradna, csup´an a potenci´alis energia ´ert´eke a z = 0 s´ıkon −6mg lenne. Ez nem okozna semmilyen v´altoz´ast, mivel a helyzeti energi´anak csak a k¨ ul¨ onbs´egei j¨onnek sz´am´ıt´asba. Egy rug´onak az egyens´ ulyi pontt´ol sz´am´ıtott x t´avols´aggal val´o ¨osszenyom´as´ahoz 1 Wpot (x) = kx2 (14.4) 2 energia sz¨ uks´eges, ´es a helyzeti energia az x = 0 pontban, a rug´o egyens´ ulyi helyzet´eben z´erus. Ehhez ism´et b´armilyen, tetsz´es szerinti ´alland´ot hozz´aadhatunk. Az egym´ast´ol r t´avols´agban lev˝o M ´es m t¨omegpontokra vonatkoz´o gravit´aci´os helyzeti energia: Wpot (r) = −GM m/r.

(14.5)

Az ´alland´ot itt u ´gy v´alasztottuk meg, hogy a helyzeti energia a v´egtelenben z´erus legyen. Term´eszetesen ugyanez az ¨osszef¨ ugg´es alkalmazhat´o az eletromos t¨olt´esekre, mivel itt ugyanolyan a t¨orv´eny: Wpot (r) = q1 q2 /4πε0 r.

(14.6)

Haszn´aljuk most fel t´enylegesen a fentiek k¨oz¨ ul az egyik ¨osszef¨ ugg´est, hogy l´assuk, vajon meg´ertett¨ uk-e a jelent´es´et. K´erd´es: Milyen sebess´eggel kell egy rak´et´at kil˝oni, hogy elhagyja a F¨oldet? Megold´as: A mozg´asi ´es helyzeti energi´ak o¨sszeg´enek ´alland´onak kell lennie. Amikor elhagyja” ” a F¨oldet, sok ezer kilom´eterre lesz t˝ole, s ha ´eppen hogy csak el tudja hagyni, akkor feltehet˝oen azon t´ ul k¨ozel z´erus sebess´eggel fog rendelkezni; alig-alig fog mozogni. Legyen a F¨ old sugara a ´es t¨omege M . A mozg´asi ´es helyzeti energia ¨osszege kezdetben 21 mv 2 − GmM/a lesz. A mozg´as v´eg´en a k´et energia ¨osszeg´enek ugyanakkor´anak kell lennie. A mozg´asi energi´at a mozg´as v´eg´en z´erusnak vessz¨ uk, mivel felt´etelezz¨ uk, hogy a rak´eta ´eppen hogy csak mozog, l´enyeg´eben z´erus a sebess´ege. A helyzeti energia pedig GmM osztva v´egtelennel, ami szint´en z´erus. Teh´at egy egyenl˝os´eg egyik oldal´an minden z´erus, s ebb˝ol k¨ovetkezik, hogy a sebess´eg n´egyzet´enek 2GM/a-val kell egyenl˝onek lennie. De a GM/a2 mennyis´eg pontosan a g www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

260

14. Munka ´es helyzeti energia (befejez´es)

gravit´aci´os gyorsul´as. Ez´ert: v 2 = 2ga. Milyen sebess´eggel kell mozognia egy m˝ uholdnak, hogy ´alland´oan a F¨old k¨or¨ ul keringjen? Ezt m´ar r´egebben kisz´am´ıtottuk, ´es √ a v 2 = GM/a eredm´enyt kaptuk. Ahhoz teh´at, hogy elhagyjuk a F¨oldet, 2-sz¨or akkora sebess´egre van sz¨ uks´eg, mint ahhoz, hogy fel¨ ulet´ehez k¨ozel keringj¨ unk. M´as sz´oval, k´etszer akkora energia (mivel az energia a sebess´eg n´egyzet´evel ar´anyos) sz¨ uks´eges a F¨old elhagy´as´ahoz, mint a k¨or¨ ul¨otte val´o kering´eshez. T¨ort´enetileg is ez´ert alakult u ´gy, hogy az els˝o m˝ uholdat F¨old k¨or¨ uli p´aly´ara engedt´ek, amihez csak” kb. 7,8 km/s sebess´eg volt sz¨ uks´eges. A ” k¨ovetkez˝o l´ep´es az u ˝rhaj´oknak a vil´ag˝ urbe val´o felbocs´at´asa volt. Ehhez k´etszer akkora energia, vagyis kb. 11,2 km/s sebess´eg volt sz¨ uks´eges. Visszat´erve a helyzeti energia jellemz˝oinek t´argyal´as´ara, tekints¨ uk k´et molekula vagy k´et atom, mondjuk k´et oxig´enatom k¨olcs¨onhat´as´at. Amikor egym´ast´ol nagyon messze vannak, a k¨ozt¨ uk hat´o er˝o (vonz´oer˝o) a t´avols´ag hetedik hatv´any´anak inverz´evel v´altozik. Amikor pedig nagyon k¨ozel vannak egym´ashoz, akkor az er˝o igen er˝osen tasz´ıt´o. Ha a v´egzett munka kisz´am´ıt´asa c´elj´ab´ol a hetedik hatv´any inverz´et integr´aljuk, akkor azt tal´aljuk, hogy a Wpot helyzeti energia – amely a k´et oxig´enatom k¨ozti t´avols´ag f¨ uggv´enye – nagy t´avols´agokon u ´gy v´altozik, mint a t´avols´ag hatodik hatv´any´anak az inverze. A 14.3. ´abr´an felv´azolt Wpot (r) W (r) r helyzetienergia-g¨orbe – a fentiek szerint – nagy r-ek eset´en mint a hato1 W (r)~ r (ha r >> d) dik hatv´any inverze indul, de egyre cs¨okkentve r ´ert´ek´et, el´er¨ unk egy d olyan d t´avols´aghoz, ahol a helyzeti energi´anak minimuma van. A helyzeti energia r = d pontban lev˝o mi14.3. a ´bra. K´et atom k¨ oz¨ otti potenci´ animuma a k¨ovetkez˝ot jelenti: ha a d lis energia, t´ avols´ aguk f¨ uggv´eny´eben pontb´ol egy kicsiny, nagyon kicsiny t´avols´aggal elmozdulunk, akkor a v´egzett munka – a helyzeti energia megv´altoz´asa ezen elmozdul´as k¨ozben – k¨ozel z´erus, mert a g¨orbe alj´an´al a helyzeti energia csak nagyon kicsit v´altozik. Ebben a pontban nem hat er˝o. Ez teh´at az egyens´ ulyi pont. M´as m´odon is bel´athatjuk, hogy ez az egyens´ ulyi pont: d-t˝ol b´armely ir´any´ u elmozdul´as munk´at ig´enyel. Amikor a k´et oxig´enatom m´ar nem mozog, u ´gyhogy a k¨ozt¨ uk hat´o er˝ob˝ol m´ar nem szabad´ıthat´o fel t¨obb energia, a legalacsonyabb energi´aj´ u ´allapotban vannak, ´es a k¨ozt¨ uk lev˝o t´avols´ag ´eppen d. Egy hideg oxig´enmolekula pot

pot

www.interkonyv.hu

6

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

14.3. Konzervat´ıv er˝ ok

261

ilyen ´allapotban van. Ha felmeleg´ıtj¨ uk, akkor az atomok rezegnek ´es elt´avolodnak egym´ast´ol, ´es t´enylegesen sz´et is tudjuk v´alasztani ˝oket, de ez bizonyos munk´at vagy energi´at ig´enyel, ´eppen annyit, amennyi a helyzeti energia k¨ ul¨onbs´ege az r = d ´es az r = ∞ pontok k¨oz¨ott. Amikor megpr´ob´aljuk az atomokat egym´ashoz igen k¨ozel l¨okni, az energia a k¨ozt¨ uk lev˝o tasz´ıt´as miatt igen gyorsan megn˝o. Mi´ert mondtuk el mindezt? Az er˝ o a kvantummechanik´aban nem ´eppen alkalmas fogalom, az energia sokkal term´eszetesebb. Azt tal´aljuk, hogy m´ıg az er˝o ´es sebess´eg fogalma felbomlik” ´es elt˝ unik, ha a mag” anyag, a molekul´ak stb. k¨ozti sokkal bonyolultabb er˝oket vessz¨ uk figyelembe, az energia fogalma megmarad. Ez´ert, mivel a fizikusok sz´ıvesebben gondolkodnak az energia, mint az er˝o fogalmaiban, a kvantummechanikak¨onyvekben a helyzeti energi´ara vonatkoz´o g¨orb´eket megtal´aljuk, de nagyon ritk´an l´atunk k´et molekula k¨oz¨ott hat´o er˝ore vonatkoz´o g¨orb´et. Tov´abb´a arra is szeretn´enk felh´ıvni a figyelmet, hogy ha valamely t´argyra egyidej˝ uleg t¨obb konzervat´ıv er˝o hat, akkor a t´argy helyzeti energi´aja az egyes k¨ ul¨on´all´o er˝okt˝ol sz´armaz´o helyzeti energi´ak ¨osszege lesz. Ez ugyanaz az elk´epzel´es, amit m´ar az el˝obb is eml´ıtett¨ unk, mert ha egy er˝ot m´as er˝ok vektor¨osszegek´ent tekinthet¨ unk, akkor a teljes er˝o ´altal v´egzett munka az egyes r´eszer˝ok ´altal v´egzett munk´ak o¨sszeg´evel egyenl˝o, ´es ez´ert a helyzeti energi´aban az egyes er˝ok ´altal k¨ ul¨on-k¨ ul¨on l´etrehozott v´altoz´asokk´ent tekinthet˝o. Vagyis a teljes helyzeti energia az ¨osszes kis r´eszenergi´ak” ¨osszege. ” A fentieket sok, egym´assal k¨olcs¨onhat´o t´argyb´ol ´all´o rendszer eset´ere is ´altal´anos´ıtani tudjuk. Ilyen rendszerek p´eld´aul a Jupiter, Szaturnusz, Ur´anusz stb., vagy az oxig´en, nitrog´en, sz´en stb., amelyek egym´assal p´aronk´ent konzervat´ıv er˝ok r´ev´en vannak k¨olcs¨onhat´asban. Ilyen k¨or¨ ulm´enyek k¨oz¨ott a teljes rendszer mozg´asi energi´aja egyszer˝ uen az ¨osszes atom vagy bolyg´o – vagy b´armi – mozg´asi energi´aj´anak az ¨osszege, a rendszer helyzeti energi´aja pedig az egyes p´arok p´aron bel¨ uli k¨olcs¨onhat´asa (mintha a t¨obbi ott sem lenne) helyzeti energi´aj´anak a r´eszecskep´arokra vett ¨osszege. (Ez a val´os´agban nem igaz a molekul´aris er˝ok eset´ere, ´es ekkor az o¨sszef¨ ugg´es valamivel bonyolultabb. A newtoni t¨omegvonz´as eset´ere minden bizonnyal igaz, ´es k¨ozel´ıt´esk´ent igaz a molekul´aris er˝okre is. Molekul´aris er˝ok eset´eben van helyzeti energia, de ez n´eha az atomok elhelyezked´es´enek sokkal bonyolultabb f¨ uggv´enye, mint egyszer˝ uen az egyes p´arokt´ol sz´armaz´o tagok ¨osszege.) A t¨omegvonz´as speci´alis eset´eben ez´ert a helyzeti energia – mint arra a (13.14) o¨sszef¨ ugg´es is utal – a −Gmi mj /rij kifejez´eseknek az ¨osszes i, j p´arokra vett ¨osszege. A (13.4)

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

262

14. Munka ´es helyzeti energia (befejez´es)

egyenlet a k¨ovetkez˝o gondolatot fejezi ki matematikai form´aban: a teljes mozg´asi energia ´es a teljes helyzeti energia o¨sszege id˝oben nem v´altozik. B´ar az egyes bolyg´ok keringenek, forognak, p¨or¨ognek stb., ha kisz´am´ıtjuk a teljes mozg´asi ´es a teljes helyzeti energi´ajukat, azt tal´aljuk, hogy azok ¨osszege ´alland´o marad. 14.4. Nemkonzervat´ıv er˝ ok A fentiek sor´an a konzervat´ıv er˝ok megbesz´el´es´ere el´eg tekint´elyes id˝ot ford´ıtottunk. Mit mondhatunk most a nemkonzervat´ıv er˝okr˝ol? Vel¨ uk a szokottn´al m´elyrehat´obban kell foglalkoznunk, megmutatjuk, hogy nemkonzervat´ıv er˝ok nem l´eteznek! Tulajdonk´eppen a term´eszetben fellelhet˝o valamennyi alaper˝o konzervat´ıvnak t˝ unik. Ne gondoljuk azonban, hogy ez a Newton-t¨orv´enyek k¨ovetkezm´enye. T´eny, hogy – legal´abb is amennyire maga Newton tudta – az er˝ok nemkonzervat´ıvok is lehetnek, mint ahogyan p´eld´aul a s´ url´od´as is annak l´atszik. Amikor ezt a kifejez´est haszn´aljuk, hogy a s´ url´od´as l´atsz´olag nemkonzervat´ıv, akkor olyan korszer˝ u szeml´eletet k´epvisel¨ unk, amely szerint az ¨osszes alaper˝ok, a r´eszecsk´ek k¨oz¨ott a legalapvet˝obb szinten fell´ep˝o er˝ok, konzervat´ıvok. Ha p´eld´aul egy ezernyi, k¨olcs¨onhat´asban ´all´o csillagb´ol ´all´o nagy g¨ombhalmazhoz (egy ilyet ´abr´azol´o f´enyk´epet kor´abban m´ar bemutattunk) hasonl´o rendszert vizsg´alunk, azt kapjuk, hogy a teljes helyzeti energi´ara vonatkoz´o formula az egyes csillagp´arok p´aron bel¨ uli k¨olcs¨onhat´as´at kifejez˝o tagok ¨osszege, a mozg´asi energia pedig az egyes csillagok mozg´asi energi´aj´anak az o¨sszege. A g¨ombhalmaz mint eg´esz a t´erben maga is mozog, ´es ha el´eg messze voln´ank t˝ole, s nem l´atn´ank a r´eszleteit, egyetlen testnek v´eln´enk. Ekkor, ha er˝ok hatn´anak a rendszerre, s n´eh´any k¨oz¨ ul¨ uk a rendszert mint eg´eszet el˝ore mozgatn´a, mi u ´gy l´atn´ank, mintha a test t¨omegk¨oz´eppontja mozogna. Ugyanakkor n´eh´any m´as er˝o a rendszeren bel¨ ul lev˝o r´eszecsk´ek” mozg´asi ´es helyzeti energi´aj´anak megn¨ovel´ese r´e” v´en u ´gysz´olv´an elpazarol´odna”. T´etelezz¨ uk fel p´eld´aul, hogy ezen er˝ok ” hat´asa az eg´esz halmaz kit´agul´as´ahoz ´es a r´eszecsk´ek gyorsabb mozg´as´ahoz vezetne. Az eg´esz test” teljes energi´aja val´oj´aban megmarad, de ” gyenge szem¨ unkkel, amely nem k´epes ´eszrevenni a bels˝o mozg´asok rendezetlens´eg´et, k´ıv¨ ulr˝ol n´ezve az eg´esz rendszer mozg´asi energi´aj´at, azt egyetlen r´eszecske mozg´asi energi´aj´anak l´atn´ank, ´es u ´gy t˝ unne, hogy a test energi´aja nem marad meg. Ez azonban annak a k¨ovetkezm´enye, hogy ´ ha el´eg alaposan megnem tudjuk helyesen ´ert´ekelni azt, amit l´atunk. Es vizsg´aljuk, kider¨ ul, hogy mindig ez a helyzet: a vil´ag teljes mozg´asi plusz helyzeti energi´aja mindig ´alland´o. www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

14.4. Nemkonzervat´ıv er˝ ok

263

Az anyag legfinomabb r´eszleteit atomi szinten vizsg´alva, nem minden esetben k¨ onny˝ u a teljes energi´at k´et r´eszre, mozg´asi ´es helyzeti energi´ara sz´etv´alasztani. Az ilyen sz´etv´alaszt´as n´emelykor nem is sz¨ uks´eges. Mindenesetre csaknem minden esetben lehets´eges, teh´at hadd mondjuk azt, hogy ez mindig lehets´eges, ´es hogy a vil´ag helyzeti ´es mozg´asi energi´aj´anak ul a teljes helyzeti ¨osszege ´alland´o. K¨ovetkez´esk´eppen az eg´esz vil´agon bel¨ plusz mozg´asi energia ´alland´o, s ha ez a vil´ag” egy elk¨ ul¨on´ıtett anyag” darab, akkor – amennyiben k¨ uls˝o er˝ok nem hatnak – energi´aja ´alland´o. Amint l´atjuk azonban, egy t´argy mozg´asi ´es helyzeti energi´aj´anak bizonyos h´anyada bels˝o energia is lehet, olyan ´ertelemben, hogy azt nem ´eszlelj¨ uk, mint p´eld´aul a bels˝o molekul´aris mozg´asok eset´en. Tudjuk, hogy egy poh´ar v´ızben minden ide-oda cik´azik, minden r´esz sz¨ untelen mozg´asban van, l´etezik teh´at egy bels˝o mozg´asi energia, amelyre ´altal´aban nem ford´ıtunk figyelmet. Nem vessz¨ uk ´eszre az atomok h˝okelt˝o mozg´as´at, nem nevezz¨ uk azt mozg´asi energi´anak, noha a h˝o l´enyeg´eben m´egiscsak mozg´asi energia. Bels˝o helyzeti energia is l´etezhet, p´eld´aul k´emiai energia form´aj´aban; amikor benzint ´eget¨ unk, energia szabadul fel, mert az u ´j atomi elrendez´esben az atomok helyzeti energi´ai kisebbek lesznek, mint amilyenek a r´egiben voltak. A h˝ot nem lehet szigor´ uan csak mozg´asi energi´anak tekinteni, mivel a helyzeti energia kis h´anyada szint´en szerepet j´atszik benne, ´es ford´ıtva: tiszt´an k´emiai energi´anak sem, u ´gyhogy jobb a kett˝ot egyes´ıteni ´es azt mondani, hogy egy t´argyon bel¨ ul a teljes helyzeti ´es mozg´asi energia r´eszben h˝o, r´eszben k´emiai energia stb. alakj´aban van jelen. Mindenesetre a bels˝o energia ezen k¨ ul¨onb¨oz˝o alakjait a fent v´azolt ´ertelemben energiavesztes´egnek” tekintik. Mindez akkor v´alik vil´agosabb´a, amikor ” majd a termodinamik´at tanuljuk. M´asik p´eldak´ent tekints¨ uk a s´ url´od´ast. Nem igaz, hogy a mozg´asi energia s´ url´od´as k¨ovetkezt´eben elv´esz, m´eg akkor sem, ha egy cs´ usz´o test meg´all´asakor a mozg´asi energia elveszni l´atszik. A mozg´asi energia nem v´esz el, mivel az atomok a t´argy belsej´eben a kor´abbin´al term´eszetesen nagyobb m´ert´ek˝ u mozg´asi energi´aval kezdenek cirk´alni, s b´ar ezt nem l´athatjuk, a h˝om´ers´eklet m´er´ese r´ev´en m´egis meg tudjuk hat´arozni. Term´eszetesen abban az esetben, ha a h˝oenergi´at nem vessz¨ uk figyelembe, az energiamegmarad´as t´etele ´erv´enytelennek t˝ unik. Egy m´asik esetben is ´erv´enytelennek t˝ unhet az energiamegmarad´as, akkor ti., amikor valamely rendszernek csak egy r´esz´et vizsg´aljuk. Term´eszetesen ha valami k¨olcs¨onhat´asba ker¨ ul valami m´as, k¨ uls˝o t´enyez˝ovel, ´es ezt a k¨olcs¨onhat´ast nem vessz¨ uk figyelembe, akkor az energiamegmarad´as t´etele ´erv´enytelennek t˝ unhet.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

264

14. Munka ´es helyzeti energia (befejez´es)

A klasszikus fizik´aban csak a gravit´aci´os ´es az elektromos potenci´ alis energia l´etezik, holott ma m´ar a magenergia ´es m´asfajta energi´ak is ismertek. A f´eny p´eld´aul a klasszikus elm´eletben az energia u ´j alakj´at jelenthetn´e, azonban – ha ´eppen u ´gy akarjuk – azt is k´epzelhetj¨ uk, hogy a f´eny energi´aja voltak´epp a foton mozg´asi energi´aja, ´es ekkor a (14.2) k´eplet¨ unk ism´et csak helyesnek bizonyul. 14.5. Potenci´ alok ´ es terek A k¨ovetkez˝okben n´eh´any, a helyzeti energi´aval ´es a t´er fogalm´aval kapcsolatos gondolatot t´argyalunk. T´etelezz¨ uk fel, hogy k´et nagy t´argy, A ´es B, egy nagyon kis harmadik t´argyat valamilyen gravit´aci´os F ered˝o er˝ovel vonz. A 12. fejezetben m´ar eml´ıtett¨ uk, hogy b´armely r´eszecsk´ere hat´o gravit´aci´os er˝o a r´eszecske m t¨omege ´es egy olyan C vektor szorzatak´ent ´ırhat´o fel, amely csup´an a r´eszecske helyzet´et˝ ol f¨ ugg: F = mC. A gravit´aci´ot ekkor u ´gy vizsg´alhatjuk, hogy a t´er minden egyes pontj´aba odak´epzelj¨ uk az odahelyezhet˝o t¨omegre hat´o” C vektort. Maga a C ” azonban ott van – f¨ uggetlen¨ ul att´ol, hogy a t¨omeg, amelyre hatnia” kell, ” jelen van-e vagy sem. C-nek h´arom komponense van, melyek mindegyike az (x, y, z), azaz a t´erbeli helyzet f¨ uggv´enye. Ilyenkor t´err˝ ol besz´el¨ unk, ´es azt mondjuk, hogy az A ´es B t´argyak hozz´ ak l´etre a teret, azaz ˝ok h´ıvj´ak ” ´eletre” a C vektort. Amikor egy t´argy valamilyen t´erben helyezkedik el, a r´a hat´o er˝o a t´argy t¨omeg´enek ´es a t´ervektor azon pontban felvett ´ert´ek´enek a szorzat´aval egyenl˝o, ahol a t´argy van. Ugyanezt megtehetj¨ uk a helyzeti energi´aval is. Mivel a helyzeti energi´at, az (−erő) · (ds) integr´alj´at a (−tér) · (ds) integr´alj´anak m-szeresek´ent is fel´ırhatjuk – amely csup´an csak egy sk´alav´altoz´as –, a t´er valamely (x, y, z) pontj´aba helyezett t´argy Wpot (x, y, z) helyzeti energi´aj´at az m ´es egy ψ potenci´ alnak nevezett m´asik f¨ uggv´eny szorzatak´ ent is el˝o´all´ıthatjuk. R R Az Cds ´ert´eke −ψ, ´epp´ ugy, ahogyan Fds ´ert´eke −Wpot . A k´et integr´al csak egy skal´arfaktorral k¨ ul¨onb¨ozik egym´ast´ol: Wpot = −

Z

Fds = −m

Z

Cds = mψ.

(14.7)

Ismerve az ψ(x, y, z) f¨ uggv´enyt, a t´argy helyzeti energi´aj´at a t´er b´armely pontj´aban azonnal kisz´amolhatjuk: Wpot (x, y, z) = mψ(x, y, z). Els˝o pillant´asra ez mag´at´ol ´ertet˝od˝onek l´atszik. Val´oj´aban azonban kor´antsem az, mivel n´eha sokkal k´enyelmesebb a C vektor megad´asa helyett a teret minden pontj´aban ψ ´ert´ek´enek megad´as´aval le´ırni. Egy vektorf¨ uggv´eny h´arom bonyolult komponens´enek a le´ır´asa helyett a ψ skal´arf¨ uggv´enyt adwww.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

265

14.5. Potenci´ alok ´es terek

hatjuk meg. Tov´abb´a, amikor a teret sok t¨omeg hozza l´etre, a ψ mennyis´eget sokkal k¨onnyebb kisz´amolni, mint C b´armely adott komponens´et. A potenci´alok ugyanis, skal´armennyis´egek l´ev´en, egyszer˝ uen ¨osszead´odnak, an´elk¨ ul, hogy t¨or˝odn¨ unk kellene az er˝o ir´any´aval. Mag´at a C teret is – mint l´atni fogjuk – k¨onnyen visszakaphatjuk” ψ ismeret´eben. T´etelezz¨ uk ” fel, hogy m1 , m2 , . . . t¨omegpontok az 1, 2. . . pontokban helyezkednek el, ´es a potenci´al ´ert´ek´et egy tetsz˝oleges P pontban szeretn´enk ismerni. Ez a mennyis´eg egyszer˝ uen az egyes t¨omegek ´altal a P pontban k¨ ul¨on-k¨ ul¨on l´etrehozott potenci´alok ¨osszege: X  Gmi  ψ(P ) = − ; i = 1, 2, . . . (14.8) riP i Ezt a formul´at, amely a potenci´alt a k¨ ul¨onb¨oz˝o testekt˝ol sz´armaz´o potenci´alok ¨osszegek´ent adja meg, a Gm legut´obbi fejezetben arra haszn´altuk (r) = r fel, hogy egy adott pontban, a g¨ombGm (r) = állandó = a h´ej minden r´esz´eb˝ol sz´armaz´o potenci´alj´arul´ekok ¨osszegez´ese seg´ıts´e14.4. a ´bra. Egy a sugar´ u g¨ ombh´ej ´ alg´evel, kisz´amoltuk a g¨ombh´ejban eltal l´etrehozott potenci´ al helyezked˝o anyag ´altal l´etes´ıtett potenci´alt. A sz´amol´as eredm´eny´et a 14.4. ´abra grafikusan szeml´elteti. A potenci´al negat´ıv ´ert´eke r = ∞ eset´en z´erus, majd eg´eszen az r = a pontig (a g¨ombh´ej sugar´aig) 1/r f¨ uggv´eny szerint v´altozik, a g¨ombh´ejon bel¨ ul pedig ´alland´ov´a v´alik. A g¨ombh´ejon k´ıv¨ ul a potenci´al ´ert´eke: −Gm/r (ahol m a h´ej t¨omege), pontosan annyi, amennyi akkor lenne, ha az eg´esz t¨omeg a g¨omb k¨oz´eppontj´aban volna. Azonban nem minden¨ utt pontosan ugyanannyi, a g¨ombh´ejon bel¨ ul ugyanis −Gm/a-val egyenl˝o ´es t¨obbet nem v´altozik! Amikor pedig a potenci´ al ´ alland´ o, akkor t´er nem l´etezik, vagyis amikor a helyzeti energia ´alland´o, akkor nincs er˝o, mivel ha a g¨omb¨on bel¨ ul b´arhol egy adott pontb´ol egy t´argyat valamely m´as pontba elmozgatunk, az er˝o ´altal v´egzett munka pontosan z´erus lesz. Mi´ert? Az´ert, mert a v´egzett munka egyenl˝o a helyzeti energi´aban bek¨ovetkezett v´altoz´as −1-szeres´evel (vagy a megfelel˝o t´erintegr´al egyenl˝o a potenci´al megv´altoz´as´aval). A helyzeti energia azonban a g¨omb¨on bel¨ ul fekv˝o b´armely k´et pontban ugyanaz, ´ıgy a helyzeti energi´aban bek¨ovetkez˝o v´altoz´as z´erus, ´es ez´ert a h´ejon bel¨ ul semmilyen munkav´egz´essel sem j´arhat. Ez pedig csak akkor lehets´eges, ha nem hat semmilyen er˝o sem. Ezek a megfontol´asok adnak u ´tmutat´ast ahhoz, hogy mik´eppen kaphatjuk meg az er˝ot vagy a teret, ha a helyzeti energia adott. Tegy¨ uk a

www.interkonyv.hu

r

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

266

14. Munka ´es helyzeti energia (befejez´es)

fel, hogy egy t´argy helyzeti energi´aja ismert az (x, y, z) pontban, ´es tudni szeretn´enk, hogy ebben a pontban milyen er˝o hat a t´argyra. Ehhez – mint l´atni fogjuk – nem elegend˝o a potenci´alt csak ebben az egy pontban ismerni, ismern¨ unk kell azt a szomsz´edos pontokban is. Mi´ert? Hogyan is tudjuk az er˝o x komponens´et kisz´amolni? (Ha az x komponenst meg tudjuk hat´arozni, term´eszetesen meg tudjuk tal´alni az y ´es z komponenseket is, s ´ıgy maga az er˝o szint´en ismert lesz.) Ha egy kis ∆x t´avols´aggal el tudn´ank mozd´ıtani a t´argyat, akkor a t´argyra hat´o er˝o ´altal v´egzett munka – amennyiben ∆x el´eg kicsi – az er˝o x komponens´enek ´es ∆xnek a szorzat´aval volna egyenl˝o. Ennek tov´abb´a egyenl˝onek kell lennie a helyzeti energi´aban az egyik pontr´ol a m´asikra t¨ort´en˝o ´atmenet sor´an bek¨ovetkez˝o v´altoz´assal: ∆W = −∆Wpot = Fx ∆x.

(14.9)

R

ovid Itt egyszer˝ uen az Fds = −Wpot formul´at alkalmaztuk, de nagyon r¨ t´avols´agra. Osszunk most ∆x-szel. Azt kapjuk, hogy az er˝o Fx = −∆Wpot /∆x.

(14.10)

Term´eszetesen ez nem teljesen pontos. Amit meg szeretn´enk kapni, az voltak´eppen a (14.10) kifejez´es hat´ar´ert´eke, amint ∆x egyre kisebb´e v´alik, mivel a kifejez´es v´egtelen kis ∆x eset´eben lesz teljesen pontos. A hat´ar´ert´ekben viszont a Wpot mennyis´eg x szerinti deriv´altj´at ismerj¨ uk fel, s dW ez´ert hajlamosak lenn´enk arra, hogy − dxpot -et ´ırjunk. Wpot azonban x-, y- ´es z-t˝ol f¨ ugg, ´es ilyen esetekre a matematikusok m´as jel¨ol´est tal´altak ki, hogy eml´ekeztessenek benn¨ unket az ilyen f¨ ugv´enyek differenci´al´asakor elengedhetetlen gondoss´agra, nevezetesen arra, hogy meg ne feledkezz¨ unk r´ola: csak x v´altozik, y ´es z nem. A d” jel¨ol´es helyett a ford´ıtott 6”-ost, ” ” vagyis a ∂” jel¨ol´est haszn´alj´ak. (M´ar a differenci´alsz´am´ıt´as kezdet´en a ” ∂-t kellett volna haszn´alnunk, mivel d-vel valahogy mindig egyszer˝ us´ıteni szeretn´enk, de ilyesmi sosem jut esz¨ unkbe, ha a ∂-t haszn´aljuk!) Teh´at a matematikusok ∂Wpot /∂x-et ´ırnak, s˝ot a szigor´ us´ag pillanataiban, amikor nagyon prec´ızek akarnak lenni, egy vonalat h´ uznak mell´e, alj´an kis yz-vel (∂Wpot /∂x|yz ), ami a k¨ovetkez˝ot jelenti: Deriv´alj´atok Wpot -t x szerint, ” ´ y-t ´es z-t ´alland´onak tartva.” Altal´ aban azonban elhagyjuk az ´alland´onak tartott v´altoz´ok” jel¨ol´es´et, mivel az a legt¨obb esetben a sz´am´ıt´as gon” dolatmenet´eb˝ol nyilv´anval´o, u ´gyhogy az yz-t ´es a vonalat gyakorlatilag nem haszn´aljuk. Ellenben mindig ∂”-t ´ırunk d” helyett, mintegy figyel” ” meztet´esk´ent, hogy a sz´oban forg´o kifejez´es olyan deriv´alt, ahol a t¨obbi v´altoz´ot ´alland´onak tartjuk. Ez az u ´gynevezett parci´ alis deriv´ alt, vagyis olyan deriv´alt, amelyben csak x-et v´altoztatjuk. www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

267

14.5. Potenci´ alok ´es terek

A fentiek alapj´an azt kapjuk, hogy az x ir´anyban hat´o er˝o a ∂Wpot mennyis´eg x szerinti parci´alis deriv´altj´anak ellentett ´ert´ek´evel egyenl˝o: Fx = −∂Wpot /∂x.

(14.11)

Hasonl´ok´eppen az y ir´anyba hat´o er˝o, x ´es z ´alland´onak tart´asa mellett a Wpot -nak y szerinti deriv´al´as´aval kaphat´o meg. A harmadik komponens az y ´es x ´alland´onak tart´asa mellett k´epezett z szerinti deriv´alt: Fy = −∂Wpot /∂y,

Fz = −∂Wpot /∂z.

(14.12)

Az er˝o teh´at ily m´odon kaphat´o meg a helyzeti energi´ab´ol. Pontosan ugyan´ıgy ad´odik a t´er is a potenci´ alb´ ol: Cx = −∂ψ/∂x,

Cy = −∂ψ/∂y,

Cz = −∂ψ/∂z.

(14.13)

Itt mell´ekesen megeml´ıt¨ unk egy m´asfajta jel¨ol´est is, amelyet ugyan j´o ideig t´enylegesen nem fogunk haszn´alni. Mivel C vektor, melynek komponensei x, y ´es z, az´ert e komponenseket k´epez˝o ∂/∂x, ∂/∂y ´es ∂/∂z szimb´olumok is vektorkomponensekre eml´ekeztetnek. Jel¨ol´es¨ ukre a matematikusok egy kit˝ un˝o u ´j szimb´olumot, a grad”-nek (gradiensnek) nevezett ∇ jelet ta” l´alt´ak ki, amely nem valamilyen mennyis´eg, hanem egy skal´arb´ol vektort k´epez˝o, h´arom komponenssel” rendelkez˝o oper´ ator. A grad” oper´ator ” ” h´arom komponense: x komponense ∂/∂x, y komponense ∂/∂y, z komponense pedig ∂/∂z, ´ıgy azt´an o¨r¨om¨ unket lelhetj¨ uk abban, hogy k´epleteinket ily m´odon ´ırjuk fel: F = −∇Wpot ,

C = −∇ψ.

(14.14)

A ∇ jelre csak r´a kell pillantanunk, m´aris tudjuk, hogy igazi vektoregyenlettel van dolgunk vagy sem, t´enylegesen azonban a (14.14) egyenlet pontosan ugyanazt jelenti, mint a (14.11), (14.12) ´es a (14.13) egyenletek, csak ´eppen m´as ´ır´asm´odban. Mivel nem akarunk minden alkalommal h´arom egyenletet fel´ırni, helyett¨ uk egyszer˝ uen ∇Wpot -t ´ırunk. Terekre ´es potenci´alokra vonatkoz´o tov´abbi p´eld´ank az elektromoss´aggal kapcsolatos. Egy nyugalomban lev˝o testre hat´o er˝o a t¨olt´es ´es az elektromos t´er szorzat´aval egyenl˝o: F = qE. (Az elektromoss´aggal kapcsolatos probl´em´akban az er˝o x komponens´enek ´altal´aban ezen k´ıv¨ ul olyan tagjai is vannak, amelyek a m´agneses t´ert˝ol f¨ uggnek.) A (12.11) egyenlet alapj´an k¨onny˝ u megmutatni, hogy valamely r´eszecsk´ere hat´o, m´agneses terek ´altal l´etrehozott er˝o mindig mer˝oleges a r´eszecske sebess´eg´ere ´es a t´erre is. Minthogy a mozg´o r´eszecsk´ere hat´o m´agness´eg ´altal keltett er˝o mer˝oleges a sebess´egre, a m´agneses t´er a mozg´o t¨olt´esen semmilyen munk´ at sem v´egez, mivel a mozg´as mer˝oleges az er˝ore. Ez´ert elektromos ´es m´agneses terekben a mozg´asi energi´ara vonatkoz´o ¨osszef¨ ugg´esek kisz´am´ıt´asakor a m´agneses t´ert˝ol sz´armaz´o j´arul´ekot elhanyagolhatjuk, mivel az www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

268

14. Munka ´es helyzeti energia (befejez´es)

a mozg´asi energi´at nem v´altoztatja meg. T´etelezz¨ uk fel, hogy csak elektromos ter¨ unk van. Ekkor az energi´at vagy a v´egzett munk´at ugyan´ ugy sz´amolhatjuk ki, mint a gravit´aci´o eset´en; kisz´amolhatunk egy ϕ mennyis´eget, amely az Eds mennyis´eg valamely tetsz˝olegesen v´alasztott pontt´ol addig a pontig vett integr´alj´anak ellentett ´ert´ek´evel egyenl˝o, ahol a potenci´alra k´ıv´ancsiak vagyunk. Ekkor a helyzeti energia az elektromos t´erben egyszer˝ uen a t¨olt´esnek ´es ennek a ϕ mennyis´egnek a szorzata lesz: ϕ(r) = −

Z

Eds,

Wpot = qϕ. P´eldak´ent tekints¨ unk k´et, ter¨ uletegys´egenk´ent +σ, ill. −σ fel¨ uleE d ti t¨olt´essel rendelkez˝o p´arhuzamos f´emlapot. Ezt az elrendez´est s´ık2 - - - - - - kondenz´atornak nevezik. Kor´abban m´ar meggy˝oz˝odt¨ unk arr´ol, hogy a 14.5. a ´bra. Elektromos t´er p´ arhulemezeken k´ıv¨ ul er˝o nem l´ep fel, de zamos lemezek k¨ oz¨ ott k¨oz¨ott¨ uk a pozit´ıv t¨olt´es˝ u lemezt˝ol a negat´ıv t¨olt´es˝ u fel´e ir´anyul´o, σ/ε0 nagys´ag´ u ´alland´o elektromos t´er van (14.5. ´abra). Szeretn´enk tudni, mekkora munk´at kellene v´egezni, ha egy t¨olt´est az egyik lemezr˝ol a m´asikra vinn´enk ´at. A munka az (erő) · (ds) integr´alj´aval volna egyenl˝o, amelyet a t¨olt´es az 1 ´es 2 lemezek k¨oz¨otti potenci´alk¨ ul¨onbs´eg szorzatak´ent is ´ırhatunk: 1

+

+

+

+

Z

W =

+

+

+

2

Fds = q(ϕ1 − ϕ2 ).

1

Az integr´alt t´enylegesen is k¨onnyen kisz´amolhatjuk, mivel az er˝o ´alland´o. Ha a lemezek egym´ast´ol val´o t´avols´ag´at d-vel jel¨olj¨ uk, Z 2 Z 2 qσ qσd Fds = dx = . ε ε0 1 0 1 A ∆ϕ = σd/ε0 potenci´alk¨ ul¨onbs´eget fesz¨ ults´egk¨ ul¨ onbs´egnek nevezik ´es a ϕ-t voltokban m´erik. Amikor azt mondjuk, hogy egy lemezp´ar bizonyos fesz¨ ults´egre van felt¨oltve, ezzel voltak´eppen azt akarjuk kifejezni, hogy a k´et lemez elektromos potenci´alk¨ ul¨onbs´ege ennyi ´es ennyi volt. K´et p´arhuzamos lemezb˝ol k´esz´ıtett kondenz´ator eset´en, ha a lemezek fel¨ uleti t¨olt´ese ±σ, akkor a lemezp´ar fesz¨ ults´ege (potenci´alk¨ ul¨onbs´ege) σd/ε0 lesz.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

15. fejezet Speci´ alis relativit´ aselm´ elet 15.1. A relativit´ as elve T¨obb mint k´et ´evsz´azadon ´at hittek abban, hogy a Newton ´altal kimondott mozg´ast¨orv´enyek pontosan ´ırj´ak le a term´eszetet, amikor viszont kider¨ ult, hogy e t¨orv´enyekben m´egis hiba van, mindj´art az els˝o alkalommal a hiba korrekci´oj´anak m´odj´at is siker¨ ult megtal´alni. Mind a hib´at, mind pedig helyesb´ıt´es´enek m´odj´at Einstein fedezte fel 1905-ben. Newton m´asodik t¨orv´eny´et, melyet az F = d(mv)dt egyenlet fejez ki, azzal a hallgat´olagos feltev´essel kaptuk, hogy m ´alland´o. Ma m´ar azonban tudjuk, hogy ez nem igaz, hanem a testek t¨omege n˝o a sebess´eggel. Einstein jav´ıtott formul´aj´aban m ´ert´eke m0 m= p , (15.1) 1 − v 2 /c2 ahol az m0 nyugalmi t¨omeg” egy mozdulatlan test t¨omeg´et, c pedig a ” f´eny sebess´eg´et jelenti, amelynek ´ert´eke kb. 3 · 105 km s−1 . Azoknak, akik ´eppen csak annyit akarnak megtanulni, amennyi a gyakorlatban felmer¨ ul˝o probl´em´ak megold´as´ahoz el´eg, a relativit´aselm´eletb˝ol nincs enn´el t¨obbre sz¨ uks´eg¨ uk, hiszen a fenti formula a t¨omegre vonatkoz´o korrekci´os t´enyez˝o bevezet´es´evel helyesb´ıti a Newton-t¨orv´enyeket. Mag´ab´ol az ¨osszef¨ ugg´esb˝ol k¨onnyen l´athat´o, hogy rendes k¨or¨ ulm´enyek k¨oz¨ott ez a t¨omegn¨oveked´es igen kicsiny. M´eg akkor is, ha a sebess´eg akkora, mint egy mesters´eges hold´e, amely kb. 8 km s−1 -nel kering a F¨old k¨or¨ ul, a v/c h´anyados ´ert´eke 8/(3 · 105 ). Ezt az o¨sszef¨ ugg´esbe behelyettes´ıtve l´atjuk, hogy a t¨omegkorrekci´o csup´an egy a k´et-h´arom milli´ardhoz, s ezt majdnem lehetetlen ´eszlelni. Azonban az ¨osszef¨ ugg´es helyess´eg´et teljes m´ert´ekben igazolt´ak a k¨ ul¨onb¨oz˝o t´ıpus´ u, gyakorlatilag eg´eszen a f´eny sebess´eg´et megk¨ozel´ıt˝o sebess´eg˝ u r´eszecsk´ekre vonatkoz´o megfigyel´esek. Mivel azonban az effektus ´altal´aban eleny´esz˝oen csek´ely, nem meglep˝o, hogy el˝obb elm´eletileg mutatt´ak ki, s csak azut´an fedezt´ek fel k´ıs´erletileg. Noha megfelel˝oen nagy sebess´egek eset´en az effektus igen nagy, m´egsem ´ ily m´odon fedezt´ek fel. Erdekes megfigyelni, hogy egy (legal´abbis felfedez´ese idej´en) igen finom m´odos´ıt´ast tartalmaz´o t¨orv´enyt, hogyan siker¨ ult kimutatni k´ıs´erletek ´es fizikai meggondol´asok ¨osszekapcsol´asa r´ev´en. A www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

270

15. Speci´ alis relativit´ aselm´elet

felfedez´es munk´aj´ahoz sokan hozz´aj´arultak, a v´egs˝o eredm´eny azonban Einstein felfedez´ese volt. Einsteinnek val´oj´aban k´et relativit´aselm´elete van. Ez a fejezet az 1905b˝ol sz´armaz´o speci´alis relativit´aselm´elettel foglalkozik. 1915-ben tette k¨ozz´e Einstein az u ´gynevezett ´altal´anos relativit´aselm´elet´et, amely a speci´alis elm´elet kiterjeszt´ese a gravit´aci´os t¨orv´enyek eset´ere. Az ´altal´anos elm´eletet itt nem t´argyaljuk. A relativit´as elv´et el˝osz¨or Newton mondotta ki a mozg´ast¨orv´enyekhez f˝ uz¨ott egyik kieg´esz´ıt´es´eben: adott t´erben lev˝o testek mozg´asa egym´as” hoz k´epest ugyanolyan, ak´ar nyugalomban van a t´er, ak´ar egyenes vonal´ u egyenletes mozg´ast v´egez”. Ez azt jelenti, hogy ha p´eld´aul egy u ˝rhaj´o egyenletes sebess´eggel halad, akkor benne a k´ıs´erletek ´es a jelens´egek tapasztal´asunk szerint u ´gy j´atsz´odnak le, mintha nem mozogna az u ˝rhaj´o, felt´eve persze, hogy nem l´atunk ki bel˝ole. Ezt mondja ki a relativit´as elve. El´eg egyszer˝ u gondolat, csup´an az a k´erd´es, vajon igaz-e, hogy a fizikai t¨orv´enyek minden mozg´o rendszerben v´egzett k´ıs´erletben ugyanolyanoknak t˝ unnek, mint az ´all´o rendszerben. Vizsg´aljuk meg el˝osz¨or, vajon Newton t¨orv´enyei ugyanolyan alakban jelentkeznek-e a mozg´o rendszerben. y

y'

Jóska

Miska P

u

( x', y', z' ) vagy ( x, y, z )

ut x

x'

15.1. a ´bra. K¨ oz¨ os x-tengely¨ uk ir´ any´ aban egym´ ashoz k´epest egyenletes sebess´eggel mozg´ o k´et koordin´ atarendszer

Tegy¨ uk fel, hogy Miska egyenletes u sebess´eggel mozog x ir´anyban, ´es ´ıgy m´eri meg egy bizonyos P pont helyzet´et (15.1. ´abra). A pont x koordin´at´aj´at ˝o a saj´at koordin´atarendszer´eben x0 -vel jel¨oli. J´oska, aki nem mozog, szint´en megm´eri ugyanazon pont helyzet´et, ´es annak x koordin´at´aj´at az ˝o koordin´atarendszer´eben x-szel jel¨oli. A k´et rendszerben m´ert koordin´at´ak ¨osszef¨ ugg´ese vil´agosan l´atszik az ´abr´ab´ol. t id˝o eltelt´evel Miska koordin´atarendszer´enek orig´oja ut t´avols´agra mozdul el, ´es ha eredetileg a k´et rendszer egybeesett, akkor x0 = x − ut, y 0 = y, z 0 = z,

(15.2)

t0 = t. Ha ezt a koordin´ata-transzform´aci´ot a Newton-t¨orv´enyekbe behelyettes´ıtj¨ uk, azt tal´aljuk, hogy azok a vessz˝os rendszerben ugyanolyan alak´ u t¨orwww.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

15.1. A relativit´ as elve

271

v´enyekk´e transzform´al´odnak ´at. Ez azt jelenti, hogy a Newton-t¨orv´enyek mozg´o rendszerben is ugyanolyan alak´ uak, mint nyugv´o rendszerben, ez´ert mechanikai k´ıs´erletek r´ev´en lehetetlen megmondani, hogy egy adott rendszer mozog-e vagy sem. A relativit´as elv´et a mechanik´aban m´ar r´eg´ota alkalmazz´ak. T¨obbek k¨oz¨ott Huygens a bili´ardgoly´ok u ¨tk¨oz´es´ere vonatkoz´o szab´alyokat a relativit´as elv´enek seg´ıts´eg´evel kapta meg, de mi is felhaszn´altuk azt, a 10. fejezetben, az impulzusmegmarad´as t´argyal´as´ahoz. A k´erd´es ir´ant az ´erdekl˝od´es a 19. sz´azadban az elektromoss´ag, a m´agness´eg ´es a f´eny tanulm´anyoz´asa k¨ozben er˝osen megn˝ott. E jelens´egeket sokan tanulm´anyozt´ak, s a tanulm´anyok hossz´ u sora v´eg¨ ul az elektrom´agneses t´erre vonatkoz´o Maxwell-egyenletekben cs´ ucsosodott ki. Ezek az egyenletek az elektromoss´agot, a m´agness´eget ´es a f´enyt egys´eges rendszerbe foglalva ´ırj´ak le. Azonban a Maxwell-egyenletek l´atsz´olag nem k¨ovetik a relativit´as elv´et, vagyis, ha a (15.2) egyenleteket behelyettes´ıtve a Maxwellegyenleteket transzform´aljuk, alakjuk nem marad v´ altozatlan. Ez´ert a mozg´o u ˝rhaj´oban v´egbemen˝o elektromos ´es optikai jelens´egeknek k¨ ul¨onb¨ozni¨ uk kell az ´all´o u ˝rhaj´oban v´egbemen˝o jelens´egekt˝ol. P´eld´aul az optikai vagy elektromos jelens´egeket felhaszn´alhatjuk az u ˝rhaj´o sebess´eg´enek meghat´aroz´as´ara. Megfelel˝o optikai vagy elektromos m´er´esek seg´ıts´eg´evel meg lehet hat´arozni az u ˝rhaj´o abszol´ ut sebess´eg´et. A Maxwellegyenletek egyik k¨ovetkezm´enye, hogy ha a teret megzavarva f´enyt kelt¨ unk, az ´ıgy keletkez˝o elektrom´agneses hull´amok minden ir´anyban, ugyanazzal a c = 3 · 105 km s−1 sebess´eggel terjednek. Az egyenletek egy m´asik k¨ovetkezm´enye, hogy m´eg ha a zavar forr´asa mozog is, a kibocs´atott f´eny ugyanazon c sebess´eggel halad a t´erben. Hasonl´o a helyzet a hang eset´eben, a hanghull´amok sebess´ege ugyan´ıgy f¨ uggetlen a hangforr´as mozg´as´at´ol. A f´eny eset´eben a forr´as mozg´as´at´ol val´o f¨ uggetlens´eg a k¨ovetkez˝o ´erdekes probl´em´at veti fel: Tegy¨ uk fel, hogy egy u sebess´eggel halad´o aut´oban u unk, ´es az aut´o ¨l¨ m¨og¨ ul egy l´amp´ab´ol c sebess´eggel f´eny halad el a kocsi mellett. (15.2) els˝o egyenlet´enek differenci´al´as´ab´ol a k¨ovetkez˝o egyenlet ad´odik: dx0 /dt = (dx/dt) − u, ami azt jelenti, hogy a Galilei-transzform´aci´onak megfelel˝oen az elhalad´o f´eny l´atsz´olagos sebess´ege az aut´ob´ol m´erve nem lehet c, hanem c − u-nak kell lennie. Ha p´eld´aul az aut´o 100 000 km s−1 a f´eny pedig 300 000 km s−1 sebess´eggel halad, akkor a f´enynek az aut´ohoz k´epest nyilv´an 200 000 km s−1 sebess´eggel kell haladnia. Mindenesetre a f´enynek www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

272

15. Speci´ alis relativit´ aselm´elet

az aut´ohoz viszony´ıtott sebess´eg´et m´erve – ha a Galilei-transzform´aci´o ´erv´enyes a f´enyre – meg tudjuk hat´arozni az aut´o sebess´eg´et. Eg´esz sor – ezen az ´altal´anos elven alapul´o – k´ıs´erletet v´egeztek a F¨old sebess´eg´enek meghat´aroz´as´ara, de egyik sem mutatta ki a keresett sebess´eget. Egy´ altal´ an nem siker¨ ult sebess´eget meg´ allap´ıtani. E k´ıs´erletek egyik´et r´eszletesen is megt´argyaljuk, hogy bemutassuk: mik´eppen v´egezt´ek el a k´ıs´erleteket, ´es milyen probl´em´aval ker¨ ultek szembe. Probl´ema term´eszetesen volt: ezekben a fizikai egyenletekben valami nem volt rendben. De mi is volt az? 15.2. Lorentz-transzform´ aci´ o Amikor a fent eml´ıtett fizikai egyenletek fogyat´ekoss´agaira f´eny der¨ ult, el˝osz¨or arra gondoltak, hogy a hib´anak az elektrodinamika u ´j (akkor m´eg csak 20 ´eves) egyenleteiben, a Maxwell-egyenletekben kell lenni. Majdnem nyilv´anval´onak l´atszott, hogy ezek az egyenletek rosszak, s u ´gy kell v´altoztatni rajtuk, hogy a Galilei-transzform´aci´o eset´en is eleget tegyenek a relativit´as elv´enek. Amikor ezzel megpr´ob´alkoztak, kider¨ ult, hogy olyan u ´j tagokat kellene hozz´aadni az egyenlethez, amelyek egy k´ıs´erletileg nem igazolhat´o u ´j elektromos jelens´eg l´etez´es´et felt´etelezn´ek. Ezzel a pr´ob´alkoz´assal teh´at fel kellett hagyni. Id˝ovel azut´an egyre vil´agosabb´a v´alt, hogy az elektrodinamika Maxwell-t¨orv´enyei pontosak, s a neh´ezs´egnek valahol m´ashol kell lennie. Id˝ok¨ozben H. A. Lorentz, aki a Maxwell-egyenletekben elv´egezte az x − ut x0 = p , 1 − u2 /c2 y 0 = y, (15.3) z 0 = z, t − ux/c2 t0 = p 1 − u2 /c2 helyettes´ıt´eseket, ´erdekes dologra lett figyelmes: e transzform´aci´o a Maxwell-egyenletek alakj´at nem v´altoztatja meg! A (15.3) egyenletek neve Lorentz-transzform´ aci´ o. Einstein – az eredetileg Poincar´e ´altal tett javaslat ´ertelm´eben – azt a gondolatot vetette fel, hogy az ¨ osszes fizikai t¨ orv´enynek Lorentz-transzform´ aci´ oval szemben v´ altozatlannak kell maradnia. M´as sz´oval nem az elektrodinamika, hanem a mechanika t¨orv´enyeit kell ´at´ert´ekelni. Hogyan m´odos´ıthatjuk a Newton-t¨orv´enyeket u ´gy, hogy a Lorentztranszform´aci´o alkalmaz´asa ut´an is v´altozatlanok maradjanak? Ha ez a www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

15.3. A Michelson–Morley-k´ıs´erlet

273

c´elunk, a Newton-egyenleteket olyan m´odon kell ´at´ırnunk, hogy az ´altalunk szabott felt´eteleket kiel´eg´ıts´ek. Mint kider¨ ult, az egyetlen k¨ovetelm´eny az, hogy a Newton-egyenletekbe az m t¨omeg hely´ere a (15.1) formul´at kell behelyettes´ıteni. Ha ezt a v´altoztat´ast elv´egezz¨ uk, akkor a Newton-t¨orv´enyek ´es az elektrodinamika t¨orv´enyei ¨osszhangba ker¨ ulnek. Teh´at ha Lorentz-transzform´aci´ot haszn´alunk Miska ´es J´oska m´er´eseinek o¨sszehasonl´ıt´as´ara, akkor sohasem lesz¨ unk k´epesek meg´allap´ıtani: mozoge b´armelyik¨ uk is, minthogy az egyenletek alakja mindk´et koordin´atarendszerben azonos lesz! ´ Erdekes megn´ezni, mit jelent az, hogy a koordin´at´ak ´es az id˝o k¨ozti r´egi transzform´aci´ot u ´jjal helyettes´ıtj¨ uk, mert hiszen a r´egi (Galilei-f´ele) mag´at´ol ´ertet˝od˝onek, m´ıg az u ´j (Lorentz-f´ele) furcs´anak fest. Azt szeretn´enk megtudni, hogy vajon logikailag ´es k´ıs´erletileg lehets´eges-e, hogy nem a r´egi, hanem az u ´j transzform´aci´o legyen a helyes. Ehhez azonban nem el´eg a mechanika t¨orv´enyeit tanulm´anyozni, hanem – mint Einstein tette – a transzform´aci´o ´ertelmez´es´ehez a t´err˝ol ´es id˝or˝ol alkotott elk´epzel´eseinket fel¨ ul kell vizsg´alnunk. Ezeket az elk´epzel´eseket ´es a mechanik´ara val´o kihat´asokat meglehet˝osen r´eszletesen t´argyaljuk majd, egyel˝ore csak annyit mondunk, hogy f´aradoz´asaink nem lesznek hi´abaval´ok, mert az eredm´enyek megegyeznek a k´ıs´erlettel. 15.3. A Michelson–Morley-k´ıs´ erlet Mint m´ar eml´ıtett¨ uk, megpr´ob´alt´ak k´ıs´erletekkel meghat´arozni a F¨old abszol´ ut sebess´eg´et a hipotetikus ´eterhez” k´epest, melyr˝ol felt´etelezt´ek, ” hogy kit¨olti az eg´esz teret. Ezek k¨oz¨ ul a k´ıs´erletek k¨oz¨ ul a legh´ıresebb a Michelson ´es Morley ´altal 1887-ben v´egzett k´ıs´erlet. Azonban a k´ıs´erlet negat´ıv eredm´enyeit csak 18 ´evvel k´es˝obb, Einstein magyar´azta meg. A Michelson–Morley-k´ıs´erlet eszk¨oze a 15.2. ´abr´an v´azlatosan ´abr´azolt berendez´es volt, amely egy szil´ard alapra helyezett A f´enyforr´asb´ol, a f´enyt f´elig ´atereszt˝o, ez¨ ust¨oz¨ott B u ¨veglemezb˝ol, valamint az E ´es C t¨ ukr¨okb˝ol ´all. A t¨ ukr¨ok B-t˝ol egyenl˝o L t´avols´agra vannak. A B lemez kett´ev´alasztja a r´a es˝o f´enysugarat, ´es az ´ıgy kapott k´et sug´ar a t¨ ukr¨okre mer˝oleges ir´anyokban halad tov´abb, majd onnan B-re ver˝odik vissza. B-hez vissza´erve, mint D ´es G szuperpon´alt nyal´ab egyes¨ ul u ´jra a k´et nyal´ab. Ha a f´eny az utat B-t˝ol E-ig ´es vissza ugyanannyi id˝o alatt teszi meg, mint B-t˝ol C-ig ´es vissza, akkor a B-b˝ol kil´ep˝o D ´es F f´enynyal´abok f´azisban lesznek ´es er˝os´ıteni fogj´ak egym´ast. Ha azonban a k´et id˝otartam kiss´e k¨ ul¨onb¨ozik egym´ast´ol, akkor a nyal´abok kicsit kiesnek a f´azisb´ol, ´es interferencia j¨on l´etre. Ha a berendez´es az ´eterben nyugalomban van”, az ” www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

274

15. Speci´ alis relativit´ aselm´elet

id˝otartamoknak pontosan egyenl˝oknek kell lenni¨ uk, de ha a berendez´es u sebess´eggel jobbra mozog, akkor az id˝otartamok k¨oz¨ott k¨ ul¨onbs´egnek kell jelentkezni. N´ezz¨ uk meg, mi´ert. El˝osz¨or is sz´am´ıtsuk ki azt C C' az id˝ot, ami ahhoz sz¨ uks´eges, hogy a f´eny B-t˝ol E-ig, ´es vissza ´erjen. Mondjuk leL gyen t1 az az id˝o, amely alatt u a f´eny a B lemezt˝ol az E t¨ uL k¨orig eljut, ´es t2 a visszafel´e λ B B' Forrás tett u ´t id˝otartama. Mialatt E E' A azonban a f´eny B-t˝ol a t¨ uNem azonos fázisban Fázisban k¨or fel´e halad, a berendez´es lévő hullámok lévő hullámok ut1 t´avols´aggal elmozdul, s Δx ´ıgy a f´enynek L + ut1 t´avolD' F' D F s´agot kell c sebess´eggel befutnia. Ezt a t´avols´agot ct1 15.2. a ´bra. A Michelson–Morley-k´ıs´erlet nek is ´ırhatjuk: v´ azlata ct1 = L + ut1 ,

vagyis t1 = L/(c − u).

(Ez az eredm´eny akkor is k´ezenfekv˝o, ha arra gondolunk, hogy a f´eny sebess´ege a berendez´eshez viszony´ıtva c − u, teh´at az id˝o az L hossz´ us´ag ´es c − u h´anyados´aval egyenl˝o.) Hasonl´oan sz´am´ıthat´o ki t2 is. t2 id˝o alatt a B lemez ut2 t´avols´agot tesz meg, teh´at a f´enynek visszafel´e L − ut2 t´avols´agot kell befutnia. Ekkor ct2 = L − ut2 ,

vagyis t2 = L/(c + u).

A teljes id˝o: t1 + t2 = 2Lc/(c2 − u2 ). Hogy k´es˝obb k´enyelmesen hasonl´ıthassuk ¨ossze az id˝oket, ezt most a 2L/c t1 + t2 = (15.4) 1 − u2 /c2 alakban ´ırjuk fel. Ezut´an azt a t3 id˝ot sz´am´ıtjuk ki, amely alatt a f´eny B-t˝ol a C t¨ uk¨orig ´er. Mint el˝obb is, a t3 id˝o alatt a C t¨ uk¨or jobbra elmozdul ´es az ut3 t´avols´agra lev˝o C 0 helyzetbe jut. Ez alatt az id˝o alatt a f´eny a h´aromsz¨og BC 0 ´atfog´oja ment´en ct3 utat tesz meg. Erre a der´eksz¨og˝ u h´aromsz¨ogre fel´ırhatjuk a k¨ovetkez˝o ¨ osszef¨ ugg´est: (ct3 )2 = L2 + (ut3 )2 , www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

15.3. A Michelson–Morley-k´ıs´erlet

275

ahonnan L2 = c2 t23 − u2 t23 = (c2 − u2 )t23 , s ebb˝ol kapjuk, hogy p 2 t3 = L/ c − u2 . Az ´abra szimmetrikus, teh´at C 0 -b˝ol visszafel´e haladva a t´avols´ag ugyanekkora, ez´ert a megt´etel´ehez sz¨ uks´eges id˝o is azonos, ´es a teljes id˝o 2t3 . A fenti k´eplet kis ´atalak´ıt´as´aval a k¨ovetkez˝ot ´ırhatjuk: 2L/c 2L =p 2t3 = √ . (15.5) 2 2 1 − u2 /c2 c −u Most m´ar ¨ossze tudjuk hasonl´ıtani a k´et f´enysug´ar u ´tj´anak megt´etel´ehez sz¨ uks´eges id˝ot. A (15.4) ´es (15.5) o¨sszef¨ ugg´esek sz´aml´al´oja azonos, ´es azt az id˝ot jelenti, ami nyugv´o berendez´es eset´en volna sz¨ uks´eges. A nevez˝oben az u2 /c2 tag kicsiny, hacsak u nem k¨ozel´ıti c nagys´agrendj´et. A nevez˝o jelenti az id˝onek a berendez´es mozg´asa ´altal okozott m´odosul´as´at, s mivel a m´odos´ıt´asok nem azonosak, a C-ig ´es onnan vissza tett u ´t ideje valamivel kisebb, mint az E-ig ´es vissza tett u ´t ideje, noha a t¨ ukr¨oket Bt˝ol azonos t´avols´agokba helyezt¨ uk. R´ank csup´an az id˝ok k¨ ul¨onbs´eg´enek pontos m´er´ese h´arul. Felmer¨ ul itt egy kisebb technikai k´erd´es: Mi van akkor, ha a k´et L t´avols´ag nem egyenl˝o hossz´ u? Pontosan egyform´ara val´oban nem tudjuk ˝oket k´esz´ıteni. Ebben az esetben a berendez´est egyszer˝ uen 90◦ -kal elford´ıtjuk u ´gy, hogy BC a mozg´as vonal´aba ess´ek, BE pedig a mozg´asra mer˝oleges legyen. ´Igy a k´et t´avols´ag k¨oz¨otti b´armily kicsiny k¨ ul¨onbs´eg is elveszti fontoss´ag´at, csup´an az interferenciacs´ıkoknak a berendez´es elforgat´as´ara bek¨ovetkez˝o eltol´ od´ as´ at kell megfigyeln¨ unk. A k´ıs´erlet kivitelez´esekor Michelson ´es Morley u ´gy helyezt´ek el a berendez´est, hogy a BE egyenes (a nappal ´es az ´ejszaka bizonyos ´or´aiban) a F¨old p´aly´aj´an val´o mozg´as´aval k¨ozel p´arhuzamos legyen. A p´alyamenti sebess´eg k¨ozel´ıt˝oleg 30 km s−1 , ´es b´armilyen ´etersz´el” sebess´eg´enek a ” nappal vagy az ´ejszaka meghat´arozott ´or´aj´aban vagy az ´ev meghat´arozott szakasz´aban legal´abb ekkor´anak kell lennie. Noha a berendez´es el´eg ´erz´ekeny volt egy ilyen effektus ´eszlel´es´ere, semmilyen eltol´od´ast sem mutatott ki. A F¨oldnek az ´eterhez viszony´ıtott sebess´ege nem volt meghat´arozhat´o. A Michelson–Morley-k´ıs´erlet eredm´enye nagyon rejt´elyes, s˝ot zavarba ejt˝o. A zs´akutc´ab´ol kivezet˝o u ´t megtal´al´as´ahoz az els˝o gondolatot Lorentz adta. Az volt az elgondol´asa, hogy mozg´as k¨ozben az anyagi testek ¨osszeh´ uz´odnak, ´es hogy ez a megr¨ovid¨ ul´es csak a mozg´as ir´any´aban l´ep fel. A megr¨ovid¨ ul´es m´ert´ek´ere n´ezve pedig azt mondta, hogy ha a nyugalomban lev˝o test hossza L0 , ´es a test a hossz´aval p´arhuzamosan u sebess´eggel mowww.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

276

15. Speci´ alis relativit´ aselm´elet

zog, akkor az u ´j hossz´ us´ag, amit Lk -nak (L p´arhuzamosnak) nevez¨ unk, a k¨ovetkez˝o lesz: q

Lk = L0 1 − u2 /c2 . (15.6) Ha ezt a m´odos´ıt´ast a Michelson–Morley-f´ele interferom´eterrepalkalmazzuk, akkor a BC t´avols´ag nem v´altozik meg, de a BE t´avols´ag L 1 − u2 /c2 re r¨ovid¨ ul. Ez´ert a (15.5) egyenlet nem v´altozik meg, de a (15.4) egyenletben szerepl˝o L-nek a (15.6) egyenlet ´ertelm´eben meg kell v´altoznia. A v´altoztat´ast figyelembe v´ege a k¨ovetkez˝ot kapjuk: p (2L/c) 1 − u2 /c2 2L/c t1 + t2 = =p . (15.7) 2 2 1 − u /c 1 − u2 /c2 Ezt az eredm´enyt (15.5)-tel o¨sszehasonl´ıtva l´atjuk, hogy t1 + t2 = 2t3 . Ha teh´at a berendez´es az im´ent le´ırt m´odon ¨osszeh´ uz´odik, megmagyar´azhat´o, hogy mi´ert nem mutat ki a Michelson–Morley-k´ıs´erlet semmilyen effektust. Noha az ¨osszeh´ uz´od´asi hipot´ezis a k´ıs´erlet negat´ıv eredm´eny´et sikeresen magyar´azza, azt vetett´ek ellene, hogy t´ ul mesterk´elt ´es csup´an a probl´ema neh´ezs´egeinek elkend˝oz´es´ere tal´alt´ak ki. Azonban az ´etersz´el felfedez´es´ere ir´anyul´o sok m´as k´ıs´erletben is hasonl´o neh´ezs´egek mer¨ ul´ tek fel. Ugy t˝ unt, mintha a term´eszeti jelens´egek ¨osszeesk¨ udtek” volna ” az ember ellen, u ´jabb ´es u ´jabb akad´alyokat g¨ord´ıtve a kutat´ok u ´tj´aba. Mintha u ´j jelens´egek l´epn´enek fel csup´an az´ert, hogy semmiss´e tegy´ek elk´epzel´eseinket minden olyan jelens´egr˝ol, amely lehet˝os´eget adna az u m´er´es´ere. V´eg¨ ul is megsz¨ uletett a felismer´es (erre m´ar Poincar´e r´amutatott): egy igaz´ an t¨ ok´eletes o uv´es maga is term´eszeti t¨ orv´eny! Ugyanis ¨sszeesk¨ Poincar´e ezt a gondolatot vetette fel: L´etezik egy olyan term´eszeti t¨orv´eny, amely szerint semmif´ele k´ıs´erlettel sem lehet felfedezni az ´eterszelet, vagyis nincs lehet˝os´eg az abszol´ ut sebess´eg meghat´aroz´as´ara. 15.4. Az id˝ o transzform´ aci´ oja Ha ellen˝orizz¨ uk, vajon az ¨osszeh´ uz´od´asi elm´elet ¨osszhangban van-e m´as k´ıs´erleti eredm´enyekkel, kider¨ ul, hogy minden rendben van, felt´etelezve, hogy az id˝ot a (15.3) egyenletrendszer negyedik sora szerint szint´en m´odos´ıtjuk. Ez az oka annak, hogy a B-t˝ol C-ig ´es vissza u ´t megt´etel´ehez sz¨ uks´eges t3 id˝ore m´as eredm´enyt sz´amol ki az a megfigyel˝o, aki a k´ıs´erletet egy mozg´o u ˝rhaj´oban v´egzi, mint az a mozdulatlan megfigyel˝o, aki az u ˝rhaj´ot n´ezi. Az u ˝rhaj´o utasa sz´ ara az id˝o egyszer˝ uen 2L/c, m´ıg a m´apam´ sik megfigyel˝o sz´am´ara (2L/c) 1 − u2 /c2 [l´asd a (15.5) egyenletet]. M´as sz´oval, ha egy k´ıv¨ ul´all´o megfigyeli, amint valaki az u ˝rhaj´oban cigarett´ara gy´ ujt, a r´agy´ ujt´as eg´esz folyamata a szokottn´al lass´ ubbnak t˝ unik sz´am´ara, www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

15.4. Az id˝ o transzform´ aci´ oja

277

m´ıg az u ˝rhaj´o utasa u ´gy ´erzi, hogy minden a szok´asos temp´oban megy. Teh´at nemcsak a hosszm´ert´ekek r¨ ovid¨ ultek meg, hanem nyilv´anval´oan az id˝om´er˝o eszk¨oz¨ok (´or´ak) j´ar´as´anak is le kellett lassulnia. Azaz, m´ıg az u ˝rhaj´oban lev˝o ´or´an 1 m´asodperc telik el (amint a bent u ¨l˝o l´atja), addig p 2 2 a k¨ uls˝o megfigyel˝o szerint 1/ 1 − u /c m´asodperc telik el. A mozg´o rendszerben elhelyezett ´or´aknak ez a lelassul´asa igen k¨ ul¨on¨os jelens´eg, ´erdemes egy kiss´e b˝ovebben kit´erni erre. Hogy a jelens´eget meg´erts¨ uk, ismern¨ unk kell az ´ora m˝ uk¨od´es´et, t¨ uzetesebben meg kell n´ezn¨ unk, mi t¨ort´enik, amikor az ´ora j´ar”. Mivel ez igen bonyolult technikai ” folyamat, ink´abb egy nagyon egyszer˝ u f´eny´or´at” tekint¨ unk, amely megle” het˝osen furcsa szerkezet˝ u, de elvben az´ert m˝ uk¨odni fog. Ez a kezdetleges ´ora voltak´epp egy p´alca (m´eterr´ ud), k´et v´eg´en egy-egy t¨ uk¨orrel. Ha egy f´enyjelet ind´ıtunk el a t¨ ukr¨ok k¨ oz¨ott, a f´eny ´alland´oan le-fel mozog a p´arhuzamos t¨ ukr¨ok k¨oz¨ott, ´es valah´anyszor lefel´e halad, mindannyiszor – ak´arcsak a hagyom´anyos ketyeg˝o ´or´ak – egyet-egyet kettyen. K´et ilyen f´eny´or´at k´esz´ıt¨ unk, pontosan azonos hossz´ us´aggal, ´es pontosan egyszerre ind´ıtva szinkroniz´aljuk j´ar´asukat. K´et ´or´ank teh´at mindig azonos ´ert´eket mutat, mert azonos hossz´ us´ag´ uak, ´es mert a f´eny mindig c sebess´eggel terjed. Az egyik f´eny´or´at az u ˝rhaj´osnak adjuk, vigye mag´aval, ´es az u ˝rhaj´oban helyezze el a rudat a mozg´asir´anyra mer˝olegesen. ´Igy a r´ ud hossza nem fog megv´altozni. Honnan tudjuk, hogy a mer˝oleges hossz´ us´agok nem v´altoznak? A k´ıs´erlet k´et r´esztvev˝oje (az u ˝rhaj´os ´es a k¨ uls˝o megfigyel˝o) megegyezhet abban, hogy mindegyik jelet tesz a m´asik y ir´any´ u m´eterr´ udj´ara, amikor elhaladnak egym´as mellett. A szimmetria miatt a k´et jelnek egyazon y ´es y 0 koordin´at´akn´al kell lennie, mert k¨ ul¨onben amikor ¨osszehasonl´ıtj´ak az eredm´enyeket, az egyik jel feljebb vagy lejjebb lenne a m´asikn´al, ´es ez´altal meg tudn´ank mondani, val´oj´aban melyik¨ uk v´egzett mozg´ast. Figyelj¨ uk most, mi t¨ort´enik a mozg´o f´eny´or´aval. Miel˝ott az u ˝rhaj´os mag´aval vitte volna az u ˝rhaj´o fed´elzet´ere, u ´gy l´atta, hogy rendes, szab´alyos ´ora, az utaz´as sor´an nem ´eszlel rajta semmi k¨ ul¨on¨oset. Ha ugyanis ´eszlelne valamit, akkor megtudn´a, hogy mozg´asban van – egy´altal´an, ha a mozg´as k¨ozben b´armi is megv´altozna, akkor m´ar meg tudn´a ´allap´ıtani, hogy mozg´asban van. A relativit´as elve azonban kimondja, hogy ez egyenletesen mozg´o rendszerben lehetetlen, teh´at semmi sem v´altozhat meg. M´asr´eszr˝ol viszont k¨ uls˝o megfigyel˝o a mellette elhalad´o ´or´an azt l´atja, hogy a t¨ ukr¨ok k¨ozt ide-oda halad´o f´eny tulajdonk´eppen” cik” cakkos p´aly´an halad, mert a r´ ud eg´esz id˝o alatt oldalir´anyban mozog. A Michelson–Morley-k´ıs´erlettel kapcsolatban m´ar elemezt¨ unk egy ilyen

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

278

15. Speci´ alis relativit´ aselm´elet

cikcakk-mozg´ast. Ha egy adott id˝o alatt a r´ ud az u sebess´eggel ar´anyos t´avols´aggal halad el˝ore (l´asd a 15.3. ´abr´an), akkor a f´eny ´altal ugyanazon id˝ √o alatt megtett t´avols´ag c-vel ar´anyos, ´es a mer˝oleges t´avols´ag ez´ert c2 − u2 -tel ar´anyos. Tükör

Villanólámpa

y' S'-rendszer x'

D

Fotocella

(a) Impulzus-visszaverődés 1 2

y

uτ 1

cτ

S-rendszer 2

cτ

1

2

x

D

u Impulzusemisszió

(b)

Impulzusbeérkezés

c c2 u (c)

u2

15.3. a ´bra. (a) Az S 0 rendszerben nyugalomban lev˝ o f´eny´ ora”; (b) ugyanaz az ” o ´ra az S rendszerben; (c) mozg´ o f´eny´ or´ aban” a f´eny” sug´ ar a ´ltal megtett a ´tl´ os p´ alya

Ez azt jelenti, hogy a mozg´o rendszerben elhelyezett ´or´ankon hosszabb ideig tart, m´ıg a f´eny a r´ ud egyik v´eg´et˝ol a m´asikig ´er, mint a nyugv´o rendszerbeli ´or´an. Ez´ert a kettyen´esek k¨ozti l´atsz´olagos id˝o a mozg´o rendszerbeli ´ora eset´en hosszabb, m´eghozz´a ugyanolyan ar´anyban, mint ahogy a h´aromsz¨og ´atfog´oja hosszabb a befog´on´al (egyenleteinkbe is ez´ert www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

15.4. Az id˝ o transzform´ aci´ oja

279

ker¨ ult be a n´egyzetgy¨ok¨os kifejez´es). Az ´abr´ab´ol az is nyilv´anval´o, hogy az ´ora j´ar´as´at ann´al lass´ ubbnak tal´aljuk, min´el nagyobb az u mennyis´eg. Nemcsak ez a speci´alis ´ora j´ar lassabban, hanem – ha a relativit´as elm´elete helyes, minden tov´abbi anal´ızis n´ek¨ ul kimondhatjuk, hogy – b´armilyen m´as ´ora, b´armilyen alapelv szerint m˝ uk¨odj´ek is, szint´en lassabban j´ar. Mi´ert? Hogy a fenti k´erd´esre v´alaszolhassunk, tegy¨ uk fel: van k´et m´asik pontosan egyforma, fogaskerekekkel ´es ´att´etelekkel m˝ uk¨od˝o vagy radioaktivit´ason alapul´o, vagy b´armilyen m´as elven m˝ uk¨od˝o ´or´ank. Pontosan igaz´ıtsuk ¨ossze ezeket az els˝o k´ıs´erleti ´or´ankkal. M´ıg az els˝o f´eny´or´ankon a f´eny fel-le fut ´es be´erkez´es´et kettyen´es jelzi, addig a k´et u ´j modell szint´en elv´egez valamilyen ciklust, ´es ezt egyidej˝ uleg jelzi is valamilyen, id˝oben egybees˝o k´et felvillan´assal, hang- vagy egy´eb jellel. A k´et u ´j ´ora k¨oz¨ ul az egyiket a f´eny´or´aval egy¨ utt vigy¨ uk az u ˝rhaj´ora. Tal´an ez az ´ora nem fog lassabban j´arni, hanem ugyanazt az id˝ot fogja mutatni, mint nyugalomban lev˝o p´arja, s ´ıgy ellentmond a m´asik mozg´o ´or´anak. De nem ´ıgy van. Ha ´ıgy lenne, akkor az u ˝rhaj´os a k´et ´ora k¨ozti elt´er´est kihaszn´alva meghat´arozhatn´a az u ˝rhaj´o sebess´eg´et, m´arpedig err˝ol felt´etelezt¨ uk, hogy lehetetlen. Sz¨ uks´egtelen b´ armit is tudnunk a mechanizmusr´ ol, nem kell tudnunk, hogy pontosan mi okozza az u ´j ´ora j´ar´as´anak lelassul´as´at. Egyszer˝ uen tudom´asul vessz¨ uk, hogy b´armi legyen az oka, ez az ´ora is, ak´arcsak az els˝o, a mozg´o rendszerben lass´ ubb j´ar´as´ unak l´atszik. Ha m´armost minden ´ora lassabban j´ar, vagyis ha mindenfajta id˝om´er˝ovel csakis lass´ ubb id˝ov´altoz´ast ´eszlel¨ unk, akkor m´egiscsak azt kell mondanunk, hogy az u ˝rhaj´oban bizonyos ´ertelemben mag´ anak az id˝ onek a m´ ul´ as´ at tal´aljuk lass´ ubbnak. Az u ˝rhaj´oban minden jelens´egnek – az u ˝rhaj´os ´erver´es´enek, gondolkod´asa folyamat´anak, annak az id˝onek, amely alatt cigarett´ara gy´ ujt, vagy am´ıg feln˝o ´es meg¨oregszik – ugyanolyan ar´ anyban kell lelassulnia, mert k¨ ul¨onben az u ˝rhaj´os meg tudn´a ´allap´ıtani, hogy mozg´asban van-e vagy sem. A biol´ogusok ´es orvosok szerint nem eg´eszen bizonyos, hogy a r´akbetegs´eg egy u ˝rhaj´oban hosszabb id˝o alatt fejl˝odne ki, de a mai fizikus szemsz¨og´eb˝ol ez gyakorlatilag bizonyos, hiszen k¨ ul¨onben a r´ak fejl˝od´es´enek a sebess´eg´et felhaszn´alhatn´ank az u ˝rhaj´o sebess´eg´enek a meghat´aroz´as´ara! A mozg´assal lassul´o id˝o igen ´erdekes p´eld´aj´at szolg´altatj´ak a m¨ uonok, −6 melyek 2, 2 · 10 s ´atlagos ´elettartam´ u, spont´an boml´o r´eszecsk´ek. A F¨oldre a kozmikus sug´arz´assal ´erkeznek, de mesters´egesen, laborat´oriumban is el˝o´all´ıthat´ok. A kozmikus sug´arz´asban lev˝o m¨ uonok egy r´esze m´eg a F¨old k¨oz´eps˝o l´egr´etegeiben, a t¨obbi azonban csak anyagban val´o lef´e-

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

280

15. Speci´ alis relativit´ aselm´elet

kez˝od´es (meg´all´as) ut´an bomlik el. Vil´agos, hogy r¨ovid ´elettartama alatt a m¨ uon m´eg f´enysebess´eggel haladva sem tud 600 m-n´el sokkal hosszabb utat megtenni. Annak ellen´ere, hogy az atmoszf´era tetej´en, n´eh´anyszor 10 km magass´agban keletkeznek, a kozmikus sug´arz´as r´eszecsk´ei k¨oz¨ott megtal´alhat´ok a m¨ uonok itt, a F¨old felsz´ın´en lev˝o laborat´oriumokban is. Hogyan lehets´eges ez? A jelens´egnek az a magyar´azata, hogy a k¨ ul¨onb¨oz˝o m¨ uonok k¨ ul¨onb¨oz˝o sebess´eggel mozognak, n´emelyiknek a sebess´ege k¨ozel van a f´enysebess´eghez. M´ıg a saj´at (mozg´o) rendszer¨ uk szempontj´ab´ol mind¨ossze kb. 2 µs az ´alland´o ´elettartamuk, a mi szempontunkb´ol enn´el l´enyegesen tov´abb ´elnek – annyival tov´abb, hogy el´erhetik a F¨old felsz´ın´et. A szorz´ofaktort, amellyel az id˝ ot be kell szorozni, hogy az id˝ot¨obbletet p megkapjuk, m´ar megadtuk: 1/ 1 − u2 /c2 . K¨ ul¨onb¨oz˝o sebess´eg˝ u m¨ uonok ´atlagos ´elettartam´at igen pontosan megm´erve azt tal´alt´ak, hogy a kapott ´ert´ekek a formul´aval j´ol egyeznek. Nem tudjuk, hogy a mezon mi´ert bomlik el ´es milyen a bels˝o mechanizmus, de azt tudjuk, hogy viselked´ese eleget tesz a relativit´as elv´enek. Ez a nagy el˝onye a relativit´as elv´enek. Lehet˝ov´e teszi sz´amunkra, hogy megj´osoljunk olyasmit is, amir˝ol egy´ebk´ent nem sokat tudunk. P´eld´aul miel˝ott m´eg b´armi elk´epzel´es¨ unk lenne arr´ol, hogy mi k´eszteti boml´asra a m¨ uonokat, meg tudjuk j´osolni, hogy ha a m¨ uon a f´eny sebess´eg´enek kilenc p tized´evel mozog, akkor ´elettartama (mozg´asi ´elettartama) (2, 2 · 10−6 )/ 1 − 92 /102 s lesz. J´oslatunk igaznak bizonyul, s ez m´ar komoly eredm´eny. 15.5. Lorentz-kontrakci´ o T´erj¨ unk most vissza a (15.3) Lorentz-transzform´aci´ohoz, ´es igyekezz¨ unk 0 jobban meg´erteni az S ´es S , illetve p´eld´ankban egyszer˝ uen J´oska- ´es Miska-f´ele koordin´atarendszereknek nevezett (x, y, z) ´es (x0 , y 0 , z 0 ) koordin´atarendszerek k¨oz¨otti o¨sszef¨ ugg´est. M´ar megjegyezt¨ uk, hogy az els˝o egyenlet az x ir´any´ u ¨osszeh´ uz´od´as Lorentz-f´ele elk´epzel´es´en alapszik. Hogyan tudjuk bebizony´ıtani, hogy ¨osszeh´ uz´od´as val´oban l´etrej¨on? A Michelson–Morley-k´ıs´erletben a BC transzverz´alis kar a relativit´as elve ´ertelm´eben nem v´altoztatja meg a hossz´at, viszont a k´ıs´erlet negat´ıv eredm´enye kifejezetten megk¨oveteli az id˝ ok egyenl˝ os´eg´et. Teh´at, hogy a k´ıs´erlet nulla eredm´enyt alis BE kart r¨ovidebbnek kell p adjon, a longitudin´ tal´alnunk, m´eghozz´a 1 − u2 /c2 -szer r¨ovidebbnek. Hogyan jelentkezik ez az o¨sszeh´ uz´od´as J´oska ´es Miska koordin´atarendszer´eben? Tegy¨ uk fel, 0 hogy Miska az S rendszerrel x ir´anyban haladva, m´eterr´ ud seg´ıts´eg´evel egy adott pont x0 koordin´at´aj´at m´eri. M´er˝ol´ec´et x0 -sz¨or fekteti r´a a t´avolwww.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

15.6. Egyidej˝ us´eg

281

s´agra, ez´ert arra a k¨ovetkeztet´esre jut, hogy a t´avols´ag hossza x0 m. Az S rendszerben lev˝o J´oska azonban u ´gy l´atja, hogy Miska megr¨ epovid´ıtett m´ 0 2 2 r˝ol´ecet haszn´al. J´oska szerint a m´ert val´odi” t´avols´ag x 1 − u /c m. ” Ha pedig k¨ozben az S 0 rendszer az S rendszert˝ol ut t´avols´agra t´avolodott el, az S-beli megfigyel˝o aztptapasztalja, hogy ugyanaz a pont az ˝o koordin´at´aj´aval kifejezve x = x0 1 − u2 /c2 + ut t´avols´agban van, vagyis x − ut x0 = p . 1 − u2 /c2 Ez a Lorentz-transzform´aci´o els˝o egyenlete. 15.6. Egyidej˝ us´ eg Hasonl´o m´odon a Lorentz-transzform´aci´o negyedik egyenlet´ebe az id˝osk´ala k¨ ul¨onb¨oz˝os´ege miatt ker¨ ul be a nevez˝o. A leg´erdekesebb tag ebben az egyenletben a sz´aml´al´oban lev˝o teljesen u ´j ´es v´aratlan ux/c2 kifejez´es. Mit jelent ez? J´ol v´egiggondolva a helyzetet, meg kell ´allap´ıtanunk, hogy az S 0 rendszerb˝ol Miska ´altal k´et k¨ ul¨onb¨oz˝o helyen, de egy id˝oben l´atott esem´enyt az S rendszerb˝ol J´oska nem l´atja egyidej˝ unek. Egyik esem´eny az x1 pontban a t0 pillanatban, a m´asik az x2 pontban ´es ugyanazon t0 pillanatban j´atsz´odik le, m´egis a megfelel˝o t01 ´es t02 id˝opontok k¨ ul¨onb¨ozni fognak egym´ast´ol: u(x1 − x2 )/c2 t02 − t01 = p . 1 − u2 /c2 Ezt a jelens´eget t´avoli esem´enyek egyidej˝ us´eg´enek elroml´asak´ent” emlege” tik. A fogalmat kiss´e vil´agosabban is ´erz´ekeltetni szeretn´enk a k¨ovetkez˝o k´ıs´erlettel. Tegy¨ uk fel, hogy az u ˝rhaj´oban (S 0 rendszer) az utas az u ˝rhaj´o mindk´et v´eg´en egy-egy ´or´at helyez el, ´es biztos´ıtani akarja a k´et ´ora szinkron m˝ uk¨od´es´et. Hogyan lehet az ´or´akat szinkroniz´alni? Ennek sok m´odja van. Az egyik, nagyon kev´es sz´amol´ast ig´enyl˝o lehet˝os´eg a k¨ovetkez˝o. El˝osz¨or is ´allap´ıtsuk meg nagyon pontosan a k´et ´ora k¨ozti t´avols´ag felez˝opontj´at, majd k¨ uldj¨ unk ebb˝ol a pontb´ol f´enyjelet mindk´et ´ora fel´e. Ezek a f´enyjelek azonos sebess´eggel haladnak, ´es vil´agos, hogy mindk´et ´or´ahoz ugyanabban az id˝oben ´erkeznek meg. A jeleknek ez az egyidej˝ u meg´erkez´ese felhaszn´alhat´o az ´or´ak ¨osszeigaz´ıt´as´ara. Tegy¨ uk fel, hogy az S 0 rendszerben a megfigyel˝o ezzel a m´odszerrel igaz´ıtja ¨ossze ´or´ait, ´es n´ezz¨ uk meg, vajon az S rendszerbeli megfigyel˝o is u ´gy l´atja-e, hogy a k´et ´ora szinkronban j´ar. Az S 0 rendszerbeli megfigyel˝o ezt joggal hiheti, mivel nem tudja, hogy rendszere mozog. Az S rendszerbeli megfigyel˝o viszont u ´gy okoskodik, hogy az u ˝rhaj´o mozg´asa miatt az u ˝rhaj´o orr´aban lev˝o ´ora elfut” a f´enyjel ” www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

282

15. Speci´ alis relativit´ aselm´elet

el˝ol, ez´ert a f´enynek a f´el´ utn´al t¨obbet kell megtennie, am´ıg el´eri az el¨ uls˝o ´or´at. A h´atul elhelyezett ´ora viszont el´ebe megy” a f´enyjelnek, ´ıgy ez a ” t´avols´ag megr¨ovid¨ ul. A f´enyjelek el˝osz¨or a h´ats´o ´or´at ´erik el, j´ollehet az S 0 rendszerbeli megfigyel˝o azt hiszi, hogy a jelek egyszerre ´erkeznek meg. L´atjuk teh´at: az u ˝rhaj´os azt gondolja, hogy az id˝o k´et k¨ ul¨onb¨oz˝o helyen azonos, pedig az ˝o saj´at koordin´atarendszer´eben m´ert egyenl˝o t0 id˝oknek a m´asik koordin´atarendszerben k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o t id˝ok felelnek meg! 15.7. N´ egyesvektorok N´ezz¨ uk meg, mi mindent tudunk m´eg felfedezni a Lorentz-transzform´aci´oban. Figyelj¨ uk meg, hogy az x ´es t transzform´aci´oja alakilag hasonl´o x-nek ´es y-nak a koordin´ataelforgat´asra vonatkoz´o transzform´aci´oj´ahoz (l´asd a 11. fejezetben). A 11. fejezetben azt kaptuk, hogy x0 = x cos ϕ + y sin ϕ,

(15.8)

y 0 = y cos ϕ − x sin ϕ,

vagyis az u ´j x0 a r´egi x-et ´es y-t kombin´alja, hasonl´oan az u ´j y 0 is. Ugyan´ıgy 0 Lorentz-transzform´aci´o eset´en olyan u ´j x -t kapunk, amely x-b˝ol ´es t-b˝ol, 0 tov´abb´a olyan u ´j t -t, amely szint´en x-b˝ol ´es t-b˝ol van ¨osszekombin´alva”. ” Teh´at a Lorentz-transzform´aci´o az elforgat´ashoz hasonl´o, csakhogy ez az elforgat´as” t´erben ´es id˝ oben j´atsz´odik le, ami el´eg furcs´anak tetszik. A ” forgat´assal val´o anal´ogia ellen˝orizhet˝o, ha kisz´am´ıtjuk az 0

0

0

x 2 + y 2 + z 2 − c2 t2 = x2 + y 2 + z 2 − c2 t2

(15.9)

mennyis´eget. Az egyenlet mindk´et oldal´an az els˝o h´arom tag valamely pont ´es a kezd˝opont k¨ oz¨otti t´avols´ag n´egyzet´et (g¨ombfel¨ ulet) jelenti a h´aromdimenzi´os geometri´aban. Ez a mennyis´eg a koordin´atatengelyek elforgat´asa eset´en v´altozatlan (invari´ans) marad. A (15.9) egyenlet arra is utal, hogy l´etezik a koordin´at´aknak ´es az id˝onek bizonyos kombin´aci´oja, amely Lorentz-transzform´aci´oval szemben invari´ans. ´Igy teh´at az elforgat´assal val´o anal´ogia teljes, ´es olyan term´eszet˝ u, hogy a vektorokat, azaz a koordin´at´akhoz ´es az id˝oh¨oz hasonl´oan transzform´al´od´o kompo” nensekb˝ol” ´all´o mennyis´egeket a relativit´assal kapcsolatban is alkalmazni lehet. Mindezek alapj´an most m´ar fontol´ora vehetj¨ uk a vektorok fogalm´anak kiterjeszt´es´et. Eddig csak t´erbeli komponensekkel rendelkez˝o vektorokr´ol besz´elt¨ unk, de ezut´an a vektoroknak m´ar id˝obeli komponens¨ uk is lehet. Vagyis olyan vektort kell elk´epzeln¨ unk, melynek n´egy komponense lesz: h´arom olyan, mint az eddig ismert k¨oz¨ons´eges vektorok komponensei, de ezekhez t´arsul most egy negyedik, az id˝o analogonja. www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

15.8. Relativisztikus dinamika

283

Ezt az elk´epzel´est a k¨ovetkez˝o fejezetekben t¨ uzetesebben megvizsg´alva, azt fogjuk tal´alni, hogy ha az el˝oz˝o bekezd´esben le´ırt elvet az impulzusra alkalmazzuk, a transzform´aci´o h´arom, a k¨oz¨ons´eges impulzuskomponensekhez hasonl´o komponenst ad, tov´abb´a egy negyediket, az id˝obeli komponenst, amely nem m´as, mint az energia. 15.8. Relativisztikus dinamika Most m´ar az elmondottak ismeret´eben ´altal´anosabb szempontb´ol tanulm´anyozhatjuk, milyen alakot ¨oltenek a mechanika t¨orv´enyei Lorentz-transzform´aci´o ut´an. [Mind ez ideig csak azt fejtegett¨ uk, hogyan v´altozik a hossz´ us´ag ´es az id˝o, de azt nem, hogy mi m´odon kaptuk az m-re vonatkoz´o (15.1) m´odos´ıtott ¨osszef¨ ugg´est. Erre a k¨ovetkez˝o fejezetben ker¨ ul sor.] Ebben a fejezetben az m-re vonatkoz´o Einstein-f´ele m´odos´ıt´asnak a newtoni mechanik´ara val´o kihat´as´at szeretn´enk ismertetni, ez´ert abb´ol a Newton-t¨orv´enyb˝ol indulunk ki, amely szerint az er˝o az impulzus megv´altoz´asa egys´egnyi id˝o alatt, vagyis F = d(mv)/dt. Az impulzust most is mv adja meg, de ha az u ´j m-et haszn´aljuk, m0 v p = mv = p . (15.10) 1 − v 2 /c2 Ez a Newton-t¨orv´enyek Einstein-f´ele m´odos´ıt´asa. Ha ezt alkalmazzuk, ´es ha a hat´as ´es ellenhat´as most is egyenl˝o – esetleg nem minden pillanatban, de hosszabb id˝on ´at mindenesetre –, az impulzus ugyan´ ugy megmarad, mint azel˝ott. Csakhogy a megmarad´o mennyis´eg most nem a r´egi mv a maga ´alland´o t¨omeg´evel, hanem a (15.10) mennyis´eg, amelyben a m´odos´ıtott t¨omeg szerepel. Ha az impulzusra vonatkoz´o ¨osszef¨ ugg´esen v´egrehajtjuk ezt a v´altoztat´ast, az impulzusmegmarad´as tov´abbra is ´erv´enyben marad. N´ezz¨ uk most meg, hogyan v´altozik az impulzus a sebess´eggel. A newtoni mechanik´aban az impulzus ar´anyos a sebess´eggel, ´es a (15.10) egyenlet szerint meglehet˝osen sz´eles tartom´anyban, de c-hez k´epest kis sebess´egekre megk¨ozel´ıt˝oleg ugyanez ´erv´enyes a relativisztikus mechanik´aban is, mert a gy¨okkifejez´es 1-t˝ol csak kev´ess´e k¨ ul¨onb¨ozik. Ha azonban v k¨ozel egyenl˝o c-vel, akkor a gy¨ok¨os kifejez´es z´erushoz, az impulzus pedig a v´egtelenhez tart. Mi t¨ort´enik, ha valamely testre hossz´ u ideig ´alland´o er˝o hat? A newtoni mechanik´aban egy test ´alland´oan nyerhet sebess´eget, m´eg akkor is, ha m´ar t´ ulhaladta a f´eny sebess´eg´et. A relativisztikus mechanik´aban ez lehetetlen. A relativit´aselm´elet szerint a testek nem sebess´eget, hanem www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

284

15. Speci´ alis relativit´ aselm´elet

impulzust vesznek fel, s ez ´alland´oan n¨ovekedhet, mivel a t¨omeg is ´alland´oan n˝o. Egy id˝o ut´an gyakorlatilag m´ar nem l´ep fel gyorsul´as, abban az ´ertelemben nem, hogy a sebess´eg megv´altozna, azonban az impulzus ekkor is tov´abb n¨ovekedhet. Nyilv´anval´oan amikor az er˝o valamely test sebess´eg´et csak igen kis m´ert´ekben v´altoztatja meg, azt mondjuk, hogy a testnek nagy a tehetetlens´ege, ´es pontosan ez az, amit a relativisztikus t¨omegre vonatkoz´o o¨sszef¨ ugg´es kimond [l´asd a (15.10) egyenletet]. Az o¨sszef¨ ugg´es azt mondja ki, hogy hogy ha v ≈ c, akkor a tehetetlens´eg nagyon nagy. Tekints¨ uk a k¨ovetkez˝o p´eld´at. A Caltech-ben m˝ uk¨od˝o szinkrotronban a nagy sebess´eg˝ u elektronok elt´er´ıt´es´ere 2000-szer er˝osebb m´agneses t´er sz¨ uks´eges, mint az a Newton-t¨orv´enyek alapj´an v´arhat´o volna. M´as sz´oval, az elektron t¨omege a szinkrotronban 2000-szer nagyobb az elektron norm´al” (nyugalmi) t¨omeg´en´el, akkora, mint a proton´e! Hogy m az m0 ” t¨omeg 2000-szerese, azt jelenti, hogy 1 − v 2 /c2 ´ert´ek´enek 1/4 000 000nak kell lennie. Ez viszont azt jelenti, hogy v 2 /c2 1-t˝ol 1/4 000 000-dal k¨ ul¨onb¨ozik, vagyis v a c-t˝ol 1/8 000 000-dal t´er el, teh´at hogy az elektron sebess´ege megk¨ozel´ıti a f´enysebess´eget. Ha az elektron ´es a f´eny a szinkrotronb´ol egyszerre induln´anak a (kb. 200 m´eterre lev˝o) szomsz´edos laborat´orium fel´e, melyik ´erne oda hamarabb? Term´eszetesen a f´eny, mert a f´eny mindig gyorsabban halad.1 Mennyivel hamarabb ´er c´elba? Ezt bizony neh´ez lenne kisz´am´ıtani, ehelyett csak azt mondjuk meg, hogy ezen a t´avon kb. mekkora el˝onyt” szerez a f´eny. Az el˝ony” kb. 1/30 mm, ” ” vagyis egy pap´ırlap vastags´ag´anak kb. 1/4-e! Mikor ilyen gyorsan haladnak az elektronok, t¨omeg¨ uk ´ori´asi, de sebess´eg¨ uk nem haladja meg a f´eny sebess´eg´et. Milyen tov´abbi k¨ovetkezm´enyekkel j´arnak a t¨omeg relativisztikus v´altoz´asai? P´eld´aul tekints¨ uk a molekul´ak mozg´as´at egy kis g´aztart´alyban. Ha a g´azt meleg´ıtj¨ uk, a molekul´ak sebess´ ege megn˝o, ez´ert t¨omeg¨ uk is megp n˝o, s ´ıgy a g´az nehezebb lesz. Az m0 / 1 − v 2 /c2 = m0 (1 − v 2 /c2 )−1/2 kifejez´es hatv´anysorba fejt´es´evel (a binomi´alis t´etel szerint) kis sebess´egek eset´en k¨ozel´ıt˝o ¨osszef¨ ugg´est lehet tal´alni a t¨omegn¨oveked´es kifejez´es´ere. Azt kapjuk, hogy 2

2 −1/2

m0 (1 − v /c )



= m0

1 3 1 + v 2 /c2 + v 4 /c4 + . . . 2 8



.

Vil´agosan l´atszik az ¨osszef¨ ugg´esb˝ol, hogy a sor kis v-re gyorsan konverg´al, ´es az els˝o k´et vagy h´arom tag ut´an ´all´o tagok elhanyagolhat´ok. Teh´at 1 Az elektronok a l´ athat´ o f´ennyel szemben megnyern´ek a versenyt a leveg˝ o t¨ or´esmutat´ oja miatt. A gamma-sug´ ar azonban els˝ onek futna be.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

285

15.9. A t¨ omeg ´es az energia egyen´ert´ek˝ us´ege

fel´ırhatjuk, hogy   1 1 m ≈ m0 + m0 v 2 2 . (15.11) 2 c Ebben a kifejez´esben a jobb oldal m´asodik tagja fejezi ki a molekul´ak sebess´ege ´altal okozott t¨omegn¨oveked´est. v 2 a h˝om´ers´eklet n¨oveked´es´evel ar´anyosan n˝o, s ´ıgy azt mondhatjuk, hogy a t¨omegn¨oveked´es a h˝om´ers´eklet n¨oveked´es´evel ar´anyos. Mivel azonban 12 mv 2 a r´egi, newtoni ´ertelemben vett mozg´asi energia, azt is mondhatjuk, hogy az ¨osszes g´azmolekula t¨omeg´enek megn¨oveked´ese egyenl˝o a mozg´asi energia n¨oveked´ese osztva c2 -tel, vagy m´ask´eppen ∆m = ∆Wkin /c2 . 15.9. A to es az energia egyen´ ert´ ek˝ us´ ege ¨meg ´ A fenti megfigyel´es vezette Einsteint arra az elk´epzel´esre, hogy valamely test t¨omeg´et sokkal egyszer˝ ubben fejezhetj¨ uk ki, ha azt mondjuk, hogy 2 a t¨omeg a teljes energiatartalom osztva c -tel, mintha a (15.1) k´epletet haszn´aln´ank. A (15.11) egyenletet c2 -tel megszorozva: 1 mc2 = m0 c2 + m0 v 2 + . . . (15.12) 2 A bal oldali tag a test teljes energi´aj´at fejezi ki, a jobb oldal m´asodik tagj´aban pedig a mozg´asi energia szok´asos kifejez´es´et ismerj¨ uk fel. Az m0 c2 ´alland´o tagot (melynek ´ert´eke nagy) Einstein mint a test teljes energi´aj´anak egy r´esz´et ´ertelmezte, ez a nyugalmi energia n´even ismert bels˝o energia. Milyen k¨ovetkezm´enyekkel j´ar, ha Einsteinnel egy¨ utt mi is feltessz¨ uk, hogy a test energi´ aja mindig mc2 -tel egyenl˝ o? Egyik ´erdekes k¨ovetkezm´eny: a t¨omeg sebess´egf¨ ugg´es´ere az – eddig puszt´an felt´etelezett – (15.1) egyenletet kapjuk. Kezdetben a test nyugalomban van, ´es energi´aja m0 c2 . Ezut´an er˝o hat a testre, mozg´asba hozza, ´es mozg´asi energi´at ad neki. Mivel ´ıgy a test energi´aja megn¨ovekszik, t¨omege is megn¨ovekszik – mint ahogyan azt az eredeti feltev´es is kimondta. Ameddig az er˝o hat, mind az energia, mind a t¨omeg ´alland´oan n¨ovekszik. A 13. fejezetben l´attuk, hogy az energia id˝obeli megv´altoz´as´anak a sebess´ege az er˝onek ´es a sebess´egnek a szorzat´aval egyenl˝o: dW = Fv. (15.13) dt M´asr´eszr˝ol a 9. fejezet (9.1) egyenlete szerint F = d(mv)/dt. Ha ezeket az ¨osszef¨ ugg´eseket, valamint W defin´ıci´oj´at ¨osszevetj¨ uk, akkor (15.13) a k¨ovetkez˝o alakban ´ırhat´o: d(mc)2 d(mv) =v . (15.14) dt dt www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

286

15. Speci´ alis relativit´ aselm´elet

A fenti egyenletet m-re akarjuk megoldani. Egy matematikai fog´ast alkalmazunk, beszorozzuk mindk´et oldalt 2m-mel: dm d(mv) c2 (2m) = 2mv . (15.15) dt dt El˝osz¨or is a deriv´altakt´ol kell megszabadulnunk, amit mindk´et oldal integr´al´as´aval ´erhet¨ unk el. A (2m)dm/dt mennyis´eg m2 , a (2mv)d(mv)/dt mennyis´eg pedig (mv)2 id˝oderiv´altj´aval azonos´ıthat´o. A (15.15) egyenlet ugyanaz, mint a d(m2 ) d(m2 v 2 ) c2 = (15.16) dt dt egyenlet. Ha k´et mennyis´eg deriv´altja egyenl˝o, akkor a mennyis´egek maguk legfeljebb egy konstansban, mondjuk C-ben k¨ ul¨onb¨oznek. Ez teszi lehet˝ov´e, hogy fel´ırjuk a k¨ovetkez˝o egyenletet: m2 c2 = m2 v 2 + C. (15.17) A C ´alland´ot m´eg meg kell hat´aroznunk. Mivel a (15.17) egyenletnek minden sebess´egre igaznak kell lennie, azt a speci´alis esetet v´alasztjuk, amikor v = 0, ´es jel¨olj¨ uk m0 -val a megfelel˝o t¨omeget. (15.17)-be behelyettes´ıtve ezeket az ´ert´ekeket, m20 c2 = 0 + C ad´odik. A C-re ´ıgy kapott ´ert´eket vissza´ırva a (15.17) egyenletbe, m2 c2 = m2 v 2 + m20 c2 . (15.18) 2 c -tel osztunk ´es a tagokat ´atrendezz¨ uk: 2 2 2 2 m (1 − v /c ) = m0 , ebb˝ol pedig q

m = m0 / 1 − v 2 /c2 . (15.19) Ez a (15.1) ¨osszef¨ ugg´essel azonos, ´es ´eppen ez sz¨ uks´eges a (15.2) egyenletben a t¨omeg ´es az energia megfeleltet´es´ehez. ´ Altal´ aban ezek az energiav´altoz´asok a t¨omegben csak rendk´ıv¨ ul kicsiny v´altoz´ast jelentenek, mivel az esetek nagy r´esz´eben valamilyen adott mennyis´eg˝ u anyagb´ol nem tudunk sok energi´at el˝o´all´ıtani. De p´eld´aul egy 20 kilotonna TNT robban´asi energi´aval egyen´ert´ek˝ u atombomba eset´eben kimutathat´o, hogy a hamu t¨omege a robban´as ut´an a felszabadul´o energia miatt 1 g-mal kevesebb, mint a hat´oanyag eredeti t¨omege. Ez azt jelenti, hogy a felszabadul´o energi´anak [a ∆W = ∆(mc2 ) ¨osszef¨ ugg´es ´ertelm´eben] 1 g t¨omege van. A t¨omeg ´es az energia egyen´ert´ek˝ us´eg´enek ezt az elm´elet´et gy¨ony¨or˝ uen bizony´ıtott´ak azok a k´ıs´erletek, melyekben az anyag annihil´al´odik”, azaz teljes eg´esz´eben energi´av´a (sug´arz´asi ener” gi´av´a; szerk. megj.) alakul ´at: Ha egy m0 t¨omeg˝ u elektron ´es egy m0 www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

15.9. A t¨ omeg ´es az energia egyen´ert´ek˝ us´ege

287

t¨omeg˝ u pozitron nyugalmi ´allapotban egyes¨ ul, nyomban el is bomlik, mik¨ozben a keletkez˝o o¨sszetett rendszer k´et γ-sugarat bocs´at ki, melyeknek k¨ ul¨on-k¨ ul¨on m0 c2 a m´ert energi´aja. Ez a k´ıs´erlet lehet˝ov´e teszi a r´eszecske nyugalmi t¨omeg´ehez rendelt energia k¨ozvetlen meghat´aroz´as´at.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

16. fejezet Relativisztikus energia ´ es impulzus 16.1. A relativit´ as ´ es a filoz´ ofusok Folytatjuk az Einsteint˝ol ´es Poincar´et´ol sz´armaz´o relativit´asi elv t´argyal´as´at, ´es megvizsg´aljuk, milyen hat´ast tett fizikai szeml´elet¨ unkre ´es ´altal´aban az emberi gondolkod´asra. Poincar´e a k¨ovetkez˝ok´eppen fogalmazta meg a relativit´as elv´et: A ” relativit´as elve szerint a fizikai jelens´egekre vonatkoz´o t¨ov´enyeknek azonosaknak kell lenni¨ uk egy nyugalomban lev˝o megfigyel˝o ´es egy hozz´a k´epest egyenes vonal´ u egyenletes mozg´ast v´egz˝o megfigyel˝o sz´am´ara. Ez´ert nincs ´es nem is lehet semmilyen lehet˝os´eg¨ unk, hogy eld¨onts¨ uk, v´egz¨ unk-e ilyen mozg´ast vagy sem.” Amikor ez a gondolat r´at¨ort” a vil´agra, nagy izgalmat okozott a filo” z´ofusok, k¨ ul¨on¨osen a szalonfiloz´ofusok” k¨oz¨ott, akik azt mondt´ak: H´at ” ” ez nagyon egyszer˝ u. Einstein elm´elete azt ´all´ıtja, hogy minden relat´ıv!” Meglep˝oen sok filoz´ofus, ´es nem csak a t´arsas´ag kedvencei (a f´elre´ert´esek elker¨ ul´ese v´egett a tov´abbiakban csak szalonfiloz´ofusoknak” nevezz¨ uk ” ˝oket), nyilatkozik ´ıgy: Az, hogy minden relat´ıv, Einstein felfedez´es´enek a ” k¨ovetkezm´enye, ´es hat´assal van eg´esz gondolkod´asunkra”, majd hozz´af˝ uzik: A fizik´aban kimutatt´ak, hogy a jelens´egek f¨ uggenek a vonatkoztat´asi ” rendszert˝ol.” Ezt sokszor halljuk, de nem mindig ´ertj¨ uk, mit is jelent. A vonatkoztat´asi rendszerek, melyekre eredetileg hivatkoztak, nyilv´anval´oan a relativit´as elm´elet´eben haszn´alt koordin´atarendszerek voltak. Ez´ert annak a t´enynek, hogy a dolgok a vonatkoztat´asi rendszert˝ol f¨ uggenek”, ” feltehet˝oen m´ely hat´asa volt a modern gondolkod´asra. Az ember csod´alkozik rajta, mi´ert ez a nagy h˝ uh´o, hiszen v´egeredm´enyben az, hogy a dolgok f¨ uggenek att´ol, hogy milyen szemsz¨ogb˝ol n´ezz¨ uk ˝oket, egyszer˝ u gondolat, felfedez´es´ehez aligha lett volna sz¨ uks´eges a fizikai relativit´aselm´elet kidolgoz´as´anak minden neh´ezs´eg´et v´allalni. B´armi, amit l´atunk, nyilv´an f¨ ugg a vonatkoztat´asi rendszert˝ol olyan ´ertelemben, hogy p´eld´aul az utc´an s´et´algatva a szembej¨ov˝o j´ar´okel˝oket el˝osz¨or el¨olr˝ol, majd h´atulr´ol l´atjuk. A legt¨obb filoz´ofiai k¨ovetkeztet´esben – melyr˝ol azt ´all´ıtj´ak, hogy a relativit´aselm´eletb˝ol k¨ovetkezett – voltak´eppen nincs m´elyebb gondolat, mint az a meg´allap´ıt´as, hogy egy szem´ely el¨ olr˝ ol m´ask´eppen n´ez ki, mint ” h´ atulr´ ol. A r´egi t¨ort´enet, hogy h´arom vak ember h´aromf´elek´eppen ´ırja le www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

16.1. A relativit´ as ´es a filoz´ ofusok

289

az elef´antot, tal´an – a filoz´ofusok szempontj´ab´ol – ugyanilyen j´o p´elda a relativit´aselm´elet alkalmaz´as´ara”. ” A relativit´aselm´elet azonban bizony´ara m´elyebb gondolatokat is tartalmaz, mint azt az egyszer˝ u ´all´ıt´ast, hogy egy szem´ely m´ask´eppen n´ez ” ki el¨olr˝ol, mint h´atulr´ol”. Term´eszetesen a relativit´as elv´enek val´oban sokkal m´elyebb gondolati tartalma van, mivel seg´ıts´eg´evel el˝ ore k¨ ovetkeztethet¨ unk, s˝ ot hat´ arozott kijelent´eseket tehet¨ unk. Persze m´eg jobb lenne, ha egyed¨ ul ilyen egyszer˝ u k¨ovetkeztet´es r´ev´en pontosan meg is tudn´ank j´osolni a term´eszet viselked´es´et. Egy m´asik filoz´ofiai ir´anyzat k´epvisel˝oi ugyancsak k´enyelmetlen¨ ul ´erzik magukat a relativit´aselm´elet miatt, amely kimondja: abszol´ ut sebess´eg¨ unket nem tudjuk meghat´arozni, ha rendszer¨ unkb˝ol nem l´atunk valamilyen m´as t´argyat. ´Igy ´ervelnek: Nyilv´anval´oan nem tudjuk sebess´eg¨ unket ” megm´erni an´elk¨ ul, hogy rendszer¨ unkb˝ol kitekinten´enk. Mag´at´ol ´ertet˝od˝o, hogy nincs ´ertelme valamely t´argy sebess´eg´er˝ol besz´elni an´elk¨ ul, hogy a rendszer¨ unkb˝ol kitekinten´enk. A fizikusok sz˝ uk l´at´ok¨or˝ uek voltak, ami´ert err˝ol eddig m´ask´eppen v´elekedtek, de most v´egre felderengett el˝ott¨ uk a val´os´ag. Ha mi, filoz´ofusok ismert¨ uk volna a fizikusok probl´em´ait, puszt´an spekulat´ıv gondolkod´assal azonnal tiszt´azhattuk volna, hogy senki nem tudja megmondani, milyen gyorsan mozog, hacsak nem n´ez ki mozg´o koordin´atarendszer´eb˝ol, ´es ez´altal ´ori´asi seg´ıts´eget ny´ ujtottunk volna a fizik´anak.” Ezek a filoz´ofusok m´eg mindig k¨or¨ ul¨ott¨ unk s¨ und¨or¨ognek ´es a tudom´any perif´eri´aj´an szorgoskodva megpr´ob´alnak mondani valamit sz´amunkra, val´oj´aban azonban sohasem fogt´ak fel a probl´ema finoms´agait ´es m´elys´eg´et. Arra a k¨ovetkeztet´esre, hogy k´eptelenek vagyunk abszol´ ut mozg´as kimutat´as´ara, k´ıs´erlet ´es nem spekulat´ıv gondolkod´as nyom´an jutottunk. M´ar Newton hitt abban, hogy ha valaki egyenes vonal´ u p´aly´an egyenletes sebess´eggel mozog, nem tudja megmondani, mekkora sebess´eggel mozog. Val´oj´aban el˝osz¨or Newton mondotta ki a relativit´as elv´et (az el˝oz˝o fejezet egyik id´ezete t˝ole sz´armazik). Ha ez ´ıgy van, mi´ert nem csaptak m´ar Newton idej´eben a filoz´ofusok nagy h˝ uh´ot a minden viszonylagos” k¨or¨ ul? ” Az´ert, mert eg´eszen addig, am´ıg az elektrodinamika maxwelli elm´elete ki nem fejl˝od¨ott, nem ismert¨ unk olyan fizikai t¨orv´enyeket, amelyek arra utaltak volna, hogy a sebess´eget meg lehet m´erni an´elk¨ ul, hogy rendszer¨ unkb˝ol kitekinten´enk. Nem sokkal k´es˝obb pedig k´ıs´erletileg azt tal´alt´ak, hogy ez lehetetlen. Vajon filoz´ofiai szempontb´ol teljesen ´es hat´arozottan sz¨ uks´egszer˝ u-e az, hogy valaki ne tudja meg´allap´ıtani mozg´asi sebess´eg´et an´elk¨ ul, hogy

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

290

16. Relativisztikus energia ´es impulzus

rendszer´eb˝ol kitekintene? A relativit´aselm´elet egyik k¨ovetkezm´enyek´ent alakult ki az a filoz´ofiai ir´anyzat, amely azt ´all´ıtja: Csak azt lehet defini” ´alni, amit m´erni is lehet! Mivel mag´at´ol ´ertet˝od˝oen nem lehet sebess´eget m´erni, ha nem l´atjuk azt, amihez k´epest m´erj¨ uk, vil´agos, hogy az abszol´ ut sebess´egnek nincs ´ertelme. A fizikusoknak fel kellett volna ismerni¨ uk, hogy csak olyamir˝ol besz´elhetnek, amit m´erni is tudnak.” S ez az eg´esz probl´ema l´enyege. K´erd´es: az a probl´ema, hogy az abszol´ ut sebess´eg defini´ alhat´ o-e vagy sem, azonos-e azzal a probl´em´aval, hogy egy k´ıs´erlet sor´ an mozg´asunk ´eszlelhet˝ o-e vagy sem, ha nem tekint¨ unk ki” rendsze” r¨ unkb˝ol? M´as sz´oval, hogy valami m´erhet˝o-e vagy sem, nem d¨onthet˝o el a priori gondolkod´as ´altal, hanem csakis k´ıs´erlettel. Kev´es olyan filoz´ofus akad, aki tudva, hogy a f´eny sebess´ege 300 000 kms−1 , hidegv´er˝ uen mag´at´ol ´ertet˝od˝onek tartja, hogy ha a f´eny egy aut´o belsej´eben 300 000 kms−1 sebess´eggel, az aut´o pedig 200 000 kms−1 sebess´eggel halad, akkor a f´eny a f¨old¨on ´all´o megfigyel˝o mellett is 300 000 kms−1 sebess´eggel halad el. K¨ ul¨on¨osen azok sz´am´ara, akik a relativit´ast mag´at´ol ´ertet˝od˝onek tartj´ak, megd¨obbent˝o ´elm´eny, hogy egy konkr´et t´enyt kell megmagyar´azniuk, ´es kider¨ ul, hogy az m´egsem olyan mag´at´ol ´ertet˝od˝o”. ” V´eg¨ ul l´etezik m´eg egy olyan filoz´ofiai ir´anyzat is, amely azt ´all´ıtja, hogy semmilyen mozg´ast nem ´eszlelhet¨ unk, ha nem tekint¨ unk ki rendszer¨ unkb˝ol. Ez az ´all´ıt´as egyszer˝ uen nem igaz. Egyenes vonal´ u egyenletes mozg´ast val´oban nem lehet ´eszlelni, de ha az eg´esz szoba forogna, akkor bizony´ara tudn´ank r´ola, mert mindenki a falhoz v´ag´odna a centrifug´a” lis” hat´ast´ol. Azt, hogy a F¨old forog a tengelye k¨or¨ ul, an´elk¨ ul is meg tudjuk ´allap´ıtani, hogy a csillagokra tekinten´enk, p´eld´aul az u ´gynevezett Foucault-inga seg´ıts´eg´evel. Ez´ert teh´at nem igaz, hogy minden relat´ıv”, ” csup´an az egyenletes sebess´eget nem lehet a rendszer¨ unkb˝ol val´o kitekin” t´es” n´elk¨ ul ´eszlelni. De p´eld´aul a r¨ogz´ıtett tengely k¨or¨ uli egyenletes forg´ast m´ar lehet ´eszlelni. Ha ezt elmondjuk egy filoz´ofusnak, bosszankodni fog, hogy mindezt eddig l´enyeg´eben nem ´ertette, mert sz´am´ara az eddigiek alapj´an elk´epzelhetetlen volt, hogy valaki kitekint´es” n´elk¨ ul is k´epes le” gyen valamely tengely k¨or¨ uli forg´as ´eszlel´es´ere. Ha filoz´ofusunk higgadt ´es k¨or¨ ultekint˝o, alszik egyet ´es m´asnap esetleg visszaj¨on, hogy kijelentse: Most m´ar ´ertem. Val´oj´aban nem l´etezik abszol´ ut forg´as, tulajdonk´eppen ” a csillagokhoz k´epest v´egz¨ unk forg´o mozg´ast. Ez´ert nyilv´an a csillagok ´altal valamely t´argyra kifejtett hat´asnak kell okoznia a centrifug´alis er˝ot.” Nos, mai ismereteink szerint ez igaz lehet. Jelenleg nincs m´od annak eld¨ont´es´ere, hogy ha nem voln´anak k¨or¨ ul¨ott¨ unk csillagok ´es csillagk¨od¨ok, akkor is lenne-e centrifug´alis er˝o. Mindeddig nem voltunk k´epesek arra,

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

16.1. A relativit´ as ´es a filoz´ ofusok

291

hogy elv´egezz¨ uk a k´ıs´erletet: forg´asunk m´er´es´et, elt´avol´ıtva az ¨osszes csillagk¨od¨ ot; ´ıgy egyszer˝ uen semmit sem tudunk mondani. Be kell ´ern¨ unk annyival, hogy a filoz´ofusnak esetleg igaza lehet. Filoz´ofusunk most m´ar boldogan nekihev¨ ul az ´ervel´esnek: Teljesen sz¨ uks´egszer˝ u, hogy v´egs˝o so” ron minden a vil´agon engedelmeskedj´ek a k¨ovetkez˝o alapelvnek: az abszol´ ut forg´ as semmit sem jelent, csak a csillagk¨od¨okh¨oz viszony´ıtott forg´asr´ol van ´ertelme besz´elni.” Erre mi ezt v´alaszoljuk: Mondja, kedves bar´atom, ” nyilv´anval´o-e vagy sem, hogy a csillagk¨od¨okh¨oz viszony´ıtott egyenes vonal´ u egyenletes mozg´as semmilyen hat´ast sem okoz egy aut´o belsej´eben?” Most, miut´an a mozg´as t¨obb´e m´ar nem abszol´ ut, hanem a csillagk¨ od¨ okh¨ oz viszony´ıtott, a k´erd´es olyan rejt´elyess´e v´alik, hogy csak a k´ıs´erlet seg´ıts´eg´evel lehet megv´alaszolni. Tulajdonk´eppen melyek a relativit´aselm´elet filoz´ofiai kihat´asai? Ha csak azt tekintj¨ uk, hogy a relativit´as elve milyen u ´j eszm´eket ´es sejt´eseket hozott a fizikusok sz´am´ara, a k¨ovetkez˝oket ´allap´ıthatjuk meg. Az els˝o elvi jelent˝os´eg˝ u felfedez´es az volt, hogy a l´atsz´olag id˝ot´all´o ´es igen pontosan igazolt gondolatok is t´evesek lehetnek. Persze, hogy megd¨obbent˝o felfedez´es volt a Newton-t¨orv´enyek pontatlans´ag´anak kimutat´asa, miut´an oly sok ´even ´at pontosaknak l´atszottak. Term´eszetesen nem a k´ıs´erletek voltak rosszak, hanem az okozta a t´eved´est, hogy csak sz˝ uk sebess´egtartom´anyban v´egeztek k´ıs´erleteket, s ´ıgy a relativisztikus hat´asok nem v´alhattak nyilv´anval´ov´a. S ´eppen ez´ert ma m´ar sokkal ´ovatosabban, szer´enyebben tekint¨ unk fizikai t¨orv´enyeinkre, hiszen j´ol tudjuk, hogy k¨oz¨ ul¨ uk b´armelyik t´eves lehet! M´asodsorban arra is a relativit´as elve vezet r´a, hogy ha adott esetben furcsa” k¨ovetkeztet´esekre jutunk – mint p´eld´aul arra, hogy az id˝o mozg´o ” rendszerben lassabban m´ ulik stb. –, akkor l´enyegtelen, hogy ez tetszik-e nek¨ unk vagy sem. Az egyetlen l´enyeges k´erd´es az, vajon ezek a k¨ovetkeztet´esek ¨osszeegyeztethet˝ok-e a k´ıs´erleti tapasztalattal vagy sem. Vagyis a furcsa gondolatoknak” csup´an a k´ıs´erlettel kell megegyezni¨ uk. P´eld´aul az ” ´or´ak viselked´es´er˝ol is csak az´ert besz´elt¨ unk, hogy megmutassuk: noha az id˝odilat´aci´o eszm´eje furcsa, m´egis ¨ osszeegyeztethet˝ o az id˝om´er´es m´odj´aval. V´eg¨ ul a relativit´aselm´eletnek van egy harmadik, kiss´e formaibb jelleg˝ u, de m´as fizikai t¨orv´enyek tanulm´anyoz´as´aban rendk´ıv¨ ul hasznos sugallata is. Ez a fizikai t¨ orv´enyek szimmetri´ aj´ anak keres´ese, vagy pontosabban azoknak a m´odoknak a felkutat´asa, amelyekkel a fizikai t¨orv´enyeket transzform´alhatjuk an´elk¨ ul, hogy azok megv´altozn´anak. A vektorok elm´elet´enek t´argyal´asakor m´ar megjegyezt¨ uk, hogy a mozg´as alapvet˝o t¨orv´enyei a koordin´atarendszer elforgat´asa ut´an is v´altozatlanul fenn´allnak,

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

292

16. Relativisztikus energia ´es impulzus

most pedig azt is megtanuljuk, hogy akkor sem v´altoznak meg, ha a t´er- ´es id˝ov´altoz´asokat a Lorentz-transzform´aci´o ´altal el˝o´ırt saj´atos m´odon megv´altoztatjuk. Az a relativit´aselm´eletb˝ol sz´armaz´o gondolat teh´at, hogy keresn¨ unk kell azokat a s´em´akat”, illetve m˝ uveleteket, melyek nem v´al” toztatj´ak meg az alapvet˝o t¨orv´enyeket, nagyon hasznosnak bizonyult. 16.2. Az ikerparadoxon A Lorentz-transzform´aci´o ´es a relativisztikus hat´asok t´argyal´as´at folytatva tekints¨ uk most a P´eterr˝ol ´es P´alr´ol, a feltev´es szerint ugyanabban az id˝opontban sz¨ uletett ikrekr˝ol sz´ol´o paradoxont”. Amikor m´ar el´eg” g´e feln˝ottek ahhoz, hogy u ˝rhaj´ot vezethessenek, P´al u ˝rhaj´oba u ¨l ´es nagy sebess´eggel elrep¨ ul. A F¨old¨on maradt P´eter u ´gy l´atja, hogy P´al nagyon gyorsan halad, P´eter szempontj´ab´ol P´al minden ´or´aja lass´ ubb j´ar´as´ unak t˝ unik, a sz´ıve is lassabban ver, m´eg a gondolatai is lelassulnak. P´al semmi szokatlant nem vesz ´eszre, de ha j´o ideig ´ıgy utazgat, majd visszat´erve azt tapasztalja, hogy fiatalabb a F¨old¨on maradt P´etern´el. Ez val´oban igaz – ´ ez a relativit´aselm´elet egyik vil´agosan kimutatott k¨ovetkezm´enye. Eppu ´gy, ahogyan a mozg´ o m¨ uonok tov´abb ´elnek, P´al is tov´abb” ´el, ha az ” u ˝rhaj´oban utazik. Ezt a t´enyt csak azok nevezik paradoxonnak, akik azt hiszik, hogy a relativit´as elve azt jelenti, hogy minden mozg´ as relat´ıv. Azt mondj´ak: Hoh´o! Nem mondhatja-e P´al, hogy az ˝o szempontj´ab´ol P´eter ” mozog, ´es ez´ert P´eternek kell lassabban ¨oregednie? Szimmetriaokokn´al fogva az egyetlen lehets´eges eredm´eny az, hogy mindketten azonos kor´ uak lesznek, amikor u ´jra tal´alkoznak.” De hogy ism´et tal´alkozzanak ´es o¨sszehasonl´ıt´ast tehessenek, P´alnak vagy meg kell ´allnia ´es az ´or´akat ¨ossze kell hasonl´ıtania, vagy m´eg egyszer˝ ubben, vissza kell t´ernie a F¨oldre. Vissza pedig csak az az ember t´erhet, aki mozgott, err˝ol pedig tudom´ast kell szerezzen, mivel meg kell fordulnia. Amikor pedig megfordult, mindenf´ele szokatlan dolog t¨ort´ent az u ˝rhaj´oj´aban (a rak´etahajt´om˝ u le´allt, a t´argyak az egyik falhoz tapadtak stb.), m´ıg P´eter ugyanakkor semmi hasonl´ot nem tapasztalt. A szab´alyt teh´at a k¨ovetkez˝ok´eppen lehet megfogalmazni: annak az embernek kell fiatalabbnak lennie, aki a gyorsul´ ast ´erezte, aki l´atta a t´argyakat a falnak csap´odni, stb. Az ikrek k¨oz¨ott abszol´ ut ´ertelemben ez lesz a k¨ ul¨onbs´eg, ´es ez t¨ok´eletesen helyes is. Amikor arr´ol besz´el¨ unk, hogy a mozg´o m¨ uonoknak hosszabb az ´elettartama, ezt p´eldak´ent hoztuk fel a F¨old atmoszf´er´aj´aban v´egzett egyenes vonal´ u mozg´asra. M¨ uonokat azonban laborat´oriumban is el˝o´all´ıthatunk, m´agnes seg´ıts´eg´evel g¨orbe vonal´ u p´aly´ara k´enyszer´ıthetj¨ uk ˝oket, s m´eg ilyen gyorsul´o mozg´as eset´en is ponwww.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

293

16.3. A sebess´egek transzform´ aci´ oja

tosan annyi az ´elettartamuk, mintha egyenes vonal´ u p´aly´an mozogn´anak. Hab´ar eddig senki sem pr´ob´alta k´ıs´erletileg megc´afolni az ikerparadoxont, k´ezenfekv˝o, hogy a nyugalomban lev˝o ´es a k¨orp´aly´an kering˝o m¨ uon ´elettartam´at ¨ossze lehetne hasonl´ıtani. Minden bizonnyal azt tal´aln´ank, hogy a k¨orp´alya ment´en mozg´o mezonok tov´abb ´elnek”. T´enylegesen nem ” v´egezt¨ unk teljes k¨orp´alyak´ıs´erletet, de nincs is sz¨ uks´eg r´a, mert minden eredm´eny t¨ok´eletesen egybev´ag. Ez tal´an nem el´eg´ıti ki azokat, akik ragaszkodnak minden egyes t´eny k¨ozvetlen igazol´as´ahoz, azonban mi biztosan meg tudjuk j´osolni annak a k´ıs´erletnek az eredm´eny´et, melynek sor´an P´al z´art k¨orp´alya ment´en haladna. 16.3. A sebess´ egek transzform´ aci´ oja Az Einstein- ´es a Newton-f´ele relativit´as l´enyeges elt´er´ese az, hogy az egym´ashoz k´epest mozg´o rendszerek hely- ´es id˝okoordin´at´ait ¨osszekapcsol´o transzform´aci´os t¨orv´enyek k¨ ul¨onb¨oznek. A helyes, vagyis a Lorentz-f´ele transzform´aci´os t¨orv´eny: x − ut x0 = p , 1 − u2 /c2 y 0 = y, (16.1) z 0 = z, t − ux/c2 t0 = p . 1 − u2 /c2 Ezek az egyenletek annak a viszonylag egyszer˝ u esetnek felelnek meg, amikor k´et megfigyel˝o egym´ashoz k´epest a k¨oz¨os x-tengely ir´any´aban mozog. Term´eszetesen m´as mozg´asir´anyok is lehets´egesek, de a leg´altal´anosabb Lorentz-transzform´aci´o meglehet˝osen bonyolult, mivel mind a n´egy koordin´at´at kombin´alja. Mi tov´abbra is az egyszer˝ ubb alakot fogjuk haszn´alni, mivel ez a relativit´as valamennyi l´enyeges von´as´at tartalmazza. T´argyaljuk most meg ezen transzform´aci´o tov´abbi k¨ovetkezm´enyeit. El˝osz¨or is ´erdekes ezeknek az egyenleteknek a ford´ıtott ir´any´ u megold´asa. Adott egy line´aris egyenletrendszer, n´egy egyenlet n´egy ismeretlennel, melyek megoldhat´ok ford´ıtva, x, y, z, t-re is, x0 , y 0 , z 0 , t0 f¨ uggv´eny´eben. Az eredm´eny nagyon ´erdekes, mivel j´ol mutatja, milyen a nyugv´o” koordin´a” tarendszer a mozg´o” megfigyel˝o szempontj´ab´ol. Mivel a mozg´as relat´ıv ´es ” egyenletes sebess´eg˝ u, a mozg´o” megfigyel˝o – ha akarja – azt mondhatja, ” hogy val´oj´aban a m´asik megfigyel˝o mozog ´es ˝o maga nyugalomban van. S mivel ˝o az ellenkez˝o ir´anyban mozog, ugyanezt a transzform´aci´ot, de a sebess´egben ellent´etes el˝ojellel kell kapnia. Ez pontosan az, amit az egyenwww.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

294

16. Relativisztikus energia ´es impulzus

letrendszer k¨ozvetlen megold´asa adna, u ´gyhogy nincs ellentmond´as. Ha nem ez az eredm´eny ad´odna, akkor t´enyleg okunk lenne az aggodalomra! x0 + ut0 x= p , 1 − u2 /c2 y = y0, z = z0,

(16.2)

t0 + ux0 /c2 t= p 1 − u2 /c2 N´ezz¨ uk most a sebess´eg ¨osszead´od´as´anak ´erdekes probl´em´aj´at a relativit´as szemsz¨og´eb˝ol. Eml´ekeztet¨ unk az egyik kiindul´asi k´erd´esre, miszerint a f´eny minden rendszerben 300 000 kms−1 sebess´eggel halad, akkor is, ha a rendszerek egym´ashoz k´epest mozg´asban vannak. Ez tulajdonk´eppen egy speci´alis” esete az al´abbiakban konkr´et p´eld´an bemutatott, sokkal ” ´altal´anosabb probl´em´anak. Tegy¨ uk fel, hogy valamely t´argy az u ˝rhaj´o belsej´eben 200 000 kms−1 sebess´eggel mozog, ´es az u ˝rhaj´o maga szint´en 200 000 kms−1 -nel halad. Mekkora sebess´eggel mozog az u ˝rhaj´oban lev˝o t´argy egy k¨ uls˝o megfigyel˝o szerint? Azt mondhatn´a, hogy 400 000 kms−1 nel, ami nagyobb, mint a f´enysebess´eg. Ez nagyon nyugtalan´ıt´o, hiszen a f´enysebess´egn´el gyorsabban semminek sem szabadna haladnia. A probl´ema ´altal´anos megfogalmaz´asban a k¨ovetkez˝o: Tegy¨ uk fel, hogy az u ˝rhaj´oban lev˝o t´argy az u ˝rhaj´os szempontj´ab´ol v, maga az u ˝rhaj´o pedig a F¨oldh¨oz k´epest u sebess´eggel mozog. Azt akarjuk megtudni, hogy a f¨oldi megfigyel˝o milyen vx sebess´eggel l´atja mozogni ugyanezt a t´argyat. Ez term´eszetesen m´eg mindig csak speci´alis eset, amennyiben a mozg´as x ir´any´ u. Az y vagy b´armely m´as ir´any´ u sebess´egre szint´en valamilyen transzform´aci´ot alkalmazunk. Ezeket a transzform´aci´okat akkor dolgozzuk majd ki, amikor sz¨ uks´eg lesz r´ajuk. Az u ˝rhaj´o belsej´eben a mozg´o t´argy sebess´ege vx0 , ami azt jelenti, hogy az x0 elmozdul´as a sebess´eg ´es az id˝o szorzat´aval egyenl˝o: x0 = vx0 t0 .

(16.3)

Most m´ar csak azt kell kisz´am´ıtanunk, hogy milyen hely- ´es id˝okoordin´at´akat l´at a k¨ uls˝o megfigyel˝o egy olyan t´argy eset´eben, amelyre az x0 0 ´es t k¨ozti ¨osszef¨ ugg´est (16.3) adja meg. (16.3)-at egyszer˝ uen (16.2)-be helyettes´ıtve azt kapjuk, hogy vx0 t0 + ut0 x= p . 1 − u2 /c2 www.interkonyv.hu

(16.4)

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

16.3. A sebess´egek transzform´ aci´ oja

295

A fenti egyenletben x-et t0 -vel fejezt¨ uk ki. Hogy val´oban a k¨ uls˝o megfigyel˝o ´altal ´eszlelt sebess´eget kapjuk meg, az ˝ o” t´avols´ag´at az ˝ o” idej´evel, ” ” ´es nem nem m´ as megfigyel˝ o idej´evel kell osztanunk! Vagyis a k¨ uls˝o megfigyel˝o ´altal m´ert id˝ ot is ki kell sz´am´ıtanunk: t0 + u(vx0 t0 )/c2 t= p . (16.5) 1 − u2 /c2 Ezut´an k´epezz¨ uk az x/t h´anyadost: x u + v x0 , (16.6) vx = = t 1 + uvx0 /c2 (ugyanis a n´egyzetgy¨ok¨okkel egyszer˝ us´ıthet¨ unk). Ez teh´at az a t¨orv´eny, amelyre sz¨ uks´eg¨ unk van: az ered˝o sebess´eg – a k´et sebess´eg ¨ osszegezettje – nem pontosan a k´et sebess´eg algebrai ¨osszege (ha ez ´ıgy lenne, mint l´attuk, neh´ezs´egek l´epn´enek fel), hanem annak egy 1/(1 + uv/c2 )-tel korrig´alt alakja. N´ezz¨ uk meg most, milyen eredm´enyre vezet az el˝oz˝o p´elda. Tegy¨ uk fel, hogy az u ˝rhaj´os az u ˝rhaj´oban a f´enysebess´eg fel´evel mozog, ´es hogy az u ˝rhaj´o maga is ezzel a sebess´eggel halad. Teh´at u ´es v ´ert´eke egyar´ant 1 c-vel egyenl˝o, ´es a nevez˝oben lev˝o uv/c2 szorzat egynegyed, vagyis 2 + 12 c 4c 1 = 5 . 1+ 4 Ezek szerint a relativit´aselm´eletben f´el” meg f´el” nem egy”, hanem csak ” ” ” 4/5”. Term´eszetesen kis sebess´egeket k¨onnyen ¨osszeadhatunk a szokott ” m´odon, mert ameddig a sebess´egek kicsik a f´enysebess´eghez k´epest, addig az (1 + uv/c2 ) faktorr´ol nyugodtan megfeledkezhet¨ unk. Nagy sebess´egek eset´en azonban eg´eszen m´as, sokkal ´erdekesebb a helyzet. Tekints¨ unk egy hat´aresetet. T´etelezz¨ uk fel csup´an az ´erdekess´eg kedv´e´ert, hogy az u ˝rhaj´o utasa mag´at a f´enyt figyeli meg, m´as sz´oval, hogy v = c, ´es m´eg az u ˝rhaj´o is mozog. Mit ´eszlel ugyanekkor a f¨oldi megfigyel˝o? A v´alasz: u+c u+c v= =c = c. 2 1 + uc/c u+c Ha teh´at egy t´argy az u ˝rhaj´o belsej´eben f´enysebess´eggel mozog, akkor az a f¨oldi megfigyel˝o sz´am´ara is f´enysebess´eggel l´atszik mozogni! Nagyszer˝ u, hiszen ´eppen ez az, amit az Einstein-f´ele relativit´aselm´elet els˝osorban hivatott volt megoldani. Term´eszetesen van olyan eset, amikor a t´argy mozg´asa nem az u ˝rhaj´o egyenletes mozg´as´anak ir´any´at k¨oveti (p´eld´aul az u ˝rhaj´oban egy t´argy az u ˝rhaj´ohoz k´epest vy0 sebess´eggel ´eppen felfel´e” mozog, m´ıg az u ˝rhaj´o ” v´ızszintesen halad). Ez esetben egyszer˝ uen x0 helyett y 0 -t v´alasztjuk. Az ” v=

www.interkonyv.hu

1 2c

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

296

16. Relativisztikus energia ´es impulzus

eredm´eny: y = y 0 = vy 0 t 0 , ´es ha vx0 = 0, akkor q y vy = = vy0 1 − u2 /c2 . (16.7) t p Teh´at egy oldalir´any´ u sebess´eg t¨obb´e m´ar nem vy0 , hanem vy0 1 − u2 /c2 . Erre az eredm´enyre a transzform´aci´os egyenletek felhaszn´al´as´aval jutottunk, de ugyanez k¨ozvetlen¨ ul a relativit´as elve seg´ıts´eg´evel is bel´athat´o. Pr´ob´aljuk megkeresni az ¨osszef¨ ugg´est! M´ar l´attuk (15.3. ´abra), hogyan m˝ uk¨odik egy ´ora a mozg´o rendszerben; azt tal´altuk, hogy a f´eny a nyugv´o rendszerben bizonyos sz¨og alatt c sebess´eggel halad, m´ıg a mozg´o rendszerben ugyanezzel a sebess´eggel, egyszer˝ uen vertik´alisan halad. Azt altuk, p tal´ hogy a nyugv´o rendszerben a sebess´eg vertik´ alis komponense 1 − u2 /c2 szer kisebb a f´enysebess´egn´el [l´asd a (15.3) egyenletet]. De tegy¨ uk most fel, hogy ugyanebben az ´or´aban valamilyen anyagi r´eszecske mozog odavissza a f´enysebess´eg 1/n-szeres´evel (16.1. ´abra), ahol n eg´esz sz´am. Mialatt a r´eszecske az oda ´es vissza Fény utat megteszi, a f´eny ezt az utat pontosan n-szer teszi meg, ami azt u u jelenti, hogy a r´eszecske”-´ora min” den u ¨t´ese”egybeesik a f´eny´ora min” Részecske den n-edik u ¨t´es´evel. Ennek mozg´ o rendszerben is igaznak kell maradnia, mert az egybees´es (koincidencia) fizikai jelens´ege tetsz˝oleges 16.1. a ´bra. F´enysug´ ar ´es r´eszecske p´ arendszerben is egybees´es marad. Mily´ aja egy mozg´ oo ´ra belsej´eben vel a cy sebess´eg kisebb, mint a f´enysebess´eg, a r´eszecske vy sebess´egkomponens´enek is ugyanolyan ar´anyban (ugyanazon n´egyzetgy¨oksz¨or) kell kisebbnek lennie a v sebess´egn´el! Ez´ert jelenik meg a n´egyzetgy¨ok minden vertik´alis sebess´egben. 16.4. A relativisztikus t¨ omeg Az el˝oz˝o fejezetben megtanultuk, hogy a t´argyak t¨omege n˝o a sebess´eggel, de ezt nem szeml´eltett¨ uk, illetve nem hoztunk fel olyan ´erveket, mint az ´or´ak viselked´es´enek t´argyal´asakor. M´egis meg tudjuk mutatni a relativit´as ´es m´eg n´eh´any m´as, ´eszszer˝ u feltev´es ´ertelm´eben, hogy a t¨omegnek milyen m´odon kell v´altoznia. (N´eh´any m´as feltev´est kell mondanunk, mert semmit sem tudn´ank bizony´ıtani, sem ´ertelmes k¨ovetkeztet´eseket levonni, ha nem t´etelezn´enk fel bizonyos t¨orv´enyekr˝ol, hogy igazak.) Hogy ne legyen www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

16.4. A relativisztikus t¨ omeg

297

sz¨ uks´eg¨ unk az er˝ore vonatkoz´o transzform´aci´os t¨orv´enyekre, r´eszecsk´ek u tk¨ o z´ e s´ e t elemezz¨ uk, ahol az impulzus ´es energia megmarad´as´anak fel¨ t´etelez´es´en k´ıv¨ ul semmit sem kell tudnunk az er˝ot¨orv´enyekr˝ol. Azt is felt´etelezz¨ uk, hogy a mozg´o r´eszecske impulzusa vektor, ´es mindig a sebess´eg ir´any´aba mutat. Nem fogjuk azonban felt´etelezni – mint ahogyan azt Newton tette –, hogy az impulzus ar´anyos a sebess´eggel, hanem csak azt, hogy valamilyen f¨ uggv´enye a sebess´egnek. Ez´ert az impulzusvektort a sebess´egvektornak ´es valamilyen egy¨ utthat´onak a szorzatak´ent ´ırjuk fel: p = mv v.

(16.8)

Az egy¨ utthat´ohoz egy v indexet ´ırtunk, ez figyelmeztet arra, hogy az egy¨ utthat´o a sebess´eg f¨ uggv´enye. Az mv egy¨ utthat´ot megegyez´es szerint t¨ omegnek” nevezz¨ uk. Term´eszetesen kicsiny sebess´egek eset´en ez ” ugyanolyan t¨omeg, mint amit a gyakorlatban szoktunk m´erni. A relativit´aselm´eletb˝ol kiindulva, amely szerint a fizikai t¨orv´enyeknek minden koordin´atarendszerben azonosaknak kell lenni¨ uk, most megmutatjuk, hogy p 2 2 mv -nek m0 / 1 − v /c -tel kell egyenl˝onek lennie. Tegy¨ uk fel, hogy van k´et ponz 2 2 2 tosan azonos r´eszecsk´enk, mint p´eld´aul k´et proton, ´es azok pontosan / 2 / 2 2 1 /2 /2 z egyenl˝o sebess´eggel mozognak egy1 m´as fel´e. A k´et r´eszecske ¨osszes im(a) 1 1 (b) pulzusa z´erus. Mi t¨ort´enhet ilyenkor? Az u ¨tk¨oz´es ut´an mozg´asuk ir´a16.2. a ´bra. Azonos sebess´eggel, ellent´etes ir´ anyban mozg´ o egyforma testek ny´anak egym´assal pontosan ellent´erugalmas u oz´ese (k´et szeml´elet) ¨tk¨ tesnek kell lennie, mert k¨ ul¨onben z´erust´ol k¨ ul¨onb¨oz˝o ered˝o impulzusvektoruk lenne, ami azt jelenten´e, hogy az impulzus nem marad meg. Ugyan´ıgy sebess´eg¨ uknek is azonos nagys´ag´ uaknak kell maradnia, mivel pontosan egyforma t´argyakr´ol van sz´o. Teh´at ugyanakkora sebess´eg¨ uk lesz, mint u uk, hogy ¨tk¨oz´es el˝ott, mert felt´etelezz¨ ezekben az u ¨tk¨oz´esekben az energia megmarad. A rugalmas, reverzibilis u ¨tk¨oz´es sematikus v´azlata a 16.2a ´abr´an l´athat´o, ahol a nyilak azonos hossz´ uak, a sebess´egek azonos nagys´ag´ uak. Felt´etelezz¨ uk, hogy ilyen u ¨tk¨oz´es b´armikor el˝o´all´ıthat´o, hogy tetsz˝oleges ϑ sz¨og el˝ofordulhat, ´es hogy a sebess´eget tetsz˝olegesen v´alaszhatjuk meg. Vegy¨ uk ´eszre, hogy ugyanez az u ¨tk¨oz´es m´as k´epet mutat, ha a tengelyeket elford´ıtjuk. A k´enyelem kedv´e´ert el is forgatjuk a tengelyeket u ´gy, hogy a v´ızszintes tengely k´et egyenl˝o r´eszre ossza a ϑ sz¨ogeket (l´asd a 16.2b ´abr´an). Teh´at ugyanazt az u ¨tk¨oz´est elford´ıtott tengelyekkel ´abr´azoljuk, s most j¨on a d¨ont˝o fordulat, www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

298

16. Relativisztikus energia ´es impulzus

egy lelem´enyes fog´assal ´el¨ unk: k´epzelj¨ uk el, hogy az u ¨tk¨oz´est az egyik r´eszecske sebess´eg´enek v´ızszintes ir´any´ u komponens´evel halad´o g´epkocsib´ol ´ l´atszik, mintha az 1 r´eszecske egyenesen felfel´e haladna, min´ezz¨ uk. Ugy vel elvesztette v´ızszintes komponens´et, majd meg egyenesen lefel´e j¨onne, megint csak az´ert, mert nincs v´ızszintes komponense. Vagyis olyan u ¨tk¨oz´est l´atunk, mint a 16.3a ´abr´an. A 2 r´eszecske azonban m´as u ´ton halad, ´es amint elmegy¨ unk mellette u ´gy t˝ unik, hogy ´ori´asi sebess´eggel ´es kisebb sz¨og alatt rep¨ ul, de ez a sz¨og u uk u-val ¨tk¨oz´es el˝ott ´es ut´an azonos. Jel¨olj¨ a 2 r´eszecske sebess´eg´enek v´ızszintes ir´any´ u komponens´et, ´es w-vel az 1 r´eszecske f¨ ugg˝oleges ir´any´ u sebess´eg´et. K´erd´es, mekkora az u tan α f¨ ugz’ z’’ 2 2 g˝ o leges sebess´ e g. Ha ezt tudjuk, akw kor az impulzusmegmarad´as t´etel´et 2 2 w v v a f¨ ugg˝oleges ir´anyra alkalmazva mega x’ x’’ u u a a a u u kaphatjuk az impulzus helyes kife1 v v 1 w jez´es´et. Vil´agos, hogy az impulzus w (a) (b) v´ızszintes komponense megmarad: 1 1 u ¨tk¨oz´es el˝ott ´es ut´an is mindk´et r´e16.3. a ´bra. Ugyanazon u oz´es mozg´ o ¨tk¨ szecsk´ere azonos ´ert´ek˝ u, s ez az ´eraut´ okb´ ol megfigyelt k´epei (k´et m´ asik t´ek az 1 r´eszecske eset´eben z´erus. n´ez˝ opontb´ ol) Ez´ert az impulzusmegmarad´as t¨orv´eny´et csak a felfel´e mutat´o u tan α sebess´egre kell alkalmaznunk. Ezt a sebess´eget azonban k¨ onnyen megkaphatjuk, ha az u uen ¨tk¨oz´est egyszer˝ m´as ir´anyb´ol n´ezz¨ uk! Ha a 16.3a ´abr´an az u ¨tk¨oz´est egy bal k´ez fel´e u sebess´eggel halad´o aut´ob´ol n´ezz¨ uk, ugyanazt az u ¨tk¨oz´est l´atjuk, de persze az eg´esz k´ep meg van ford´ıtva” (l´asd a 16.3b ´abr´at). Most a 2 r´eszecske ” az, amelyik w sebess´eggel megy felfel´e ´es lefel´e, ´es az 1 r´eszecsk´enek van u v´ızszintes ir´any´ u sebess´ege. Term´ p eszetesen most tudjuk, hogy mekkora az u tan α sebess´eg: u tan α = w 1 − u2 /c2 [l´asd a (16.7) egyenletet]. Tudjuk, hogy a f¨ ugg˝olegesen mozg´o r´eszecske f¨ ugg˝oleges ir´any´ u impulzus´aban bek¨ovetkez˝o v´altoz´as: ∆p = 2mw w (a 2 szorz´o fejezi ki, hogy a r´eszecske el˝obb felfel´e, majd lefel´e mozog). A ferd´ep n mozg´o r´eszecske bizonyos v sebess´eggel – melynek komponensei u ´es w 1 − u2 /c2 – ´es mv t¨omeggel rendelkezik. Ez´ert a r´eszecske ugg˝olep f¨ ges ir´any´ u impulzus´aban bek¨ovetkez˝o v´altoz´as ∆p0 = 2mv w 1 − u2 /c2 , mert a felt´etelezett (16.8) t¨orv´ennyel o¨sszhangban az impulzuskomponens mindig a sebess´eg nagys´ag´anak megfelel˝o t¨omeg ´es a k´erd´eses ir´any´ u sebess´egkomponens szorzata. Teh´at, hogy a teljes impulzus z´erus legyen, a www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

16.4. A relativisztikus t¨ omeg

299

f¨ ugg˝oleges ir´any´ u impulzusoknak ki kell egyenl´ıteni¨ uk egym´ast, k¨ovetkez´esk´eppen a v sebess´eg˝ u t¨omeg ´es a w sebess´eg˝ u t¨omeg h´anyadosa: q mw = 1 − u2 /c2 . (16.9) mv Tekints¨ uk azt a hat´aresetet, amikor w igen kicsi. Vil´agos, hogy ha w val´oban nagyon kicsiny, akkor v ´es u gyakorlatilag egyenl˝o. Ebben az esetben mw → m0 ´es mv → mu . Az eredm´eny: m0 mu = p . (16.10) 1 − u2 /c2 ´ Erdekes gyakorlatk´ent aj´anljuk annak ellen˝orz´es´et, vajon a (16.9) egyenlet – ha feltessz¨ uk, hogy a (16.10) egyenlet a t¨omegre vonatkoz´oan helyes ugg´es – val´oban igaz-e w tetsz˝oleges ´ert´ekeire, vagy sem. Megje¨osszef¨ gyezz¨ uk, hogy a (16.9) egyenletben sz¨ uks´eges v sebess´eget egy der´eksz¨og˝ u h´aromsz¨ogb˝ol lehet kisz´am´ıtani: v 2 = u2 + w2 (1 − u2 /c2 ). Azt tal´aljuk, hogy ezzel (16.9) automatikusan teljes¨ ul, j´ollehet fentebb ennek az egyenl˝os´egnek csak a w → 0 esetre vonatkoz´o hat´ar´ert´ek´et vett¨ uk figyelembe. Fogadjuk teh´at el, hogy az imw+u –w+u Ütközés 2 – w 2 előtt 1 1 w m m Ütközés pulzus megmarad, a t¨omeg pedig a u után M M (a) (b) (16.10) ¨osszef¨ ugg´es szerint f¨ ugg a sebess´egt˝ol, ´es most n´ezz¨ uk meg, mi16.4. a ´bra. Egyenl˝ o t¨ omeg˝ u testek lyen tov´abbi k¨ovetkeztet´eseket vonk¨ ozt v´egbemen˝ o rugalmatlan u oz´es ¨tk¨ hatunk le. Tekints¨ uk azt az esetet, k´etf´ele szeml´elete amit ´altal´aban rugalmatlan u oz´es¨tk¨ nek neveznek. Az egyszer˝ us´eg kedv´e´ert fel fogjuk tenni, hogy – a 16.4a ´abr´an l´athat´o m´odon – k´et azonos ´es egym´as fel´e egyenl˝o w sebess´eggel mozg´o t´argy ¨ossze¨ utk¨ozik, majd ¨osszetapadva egy u ´j, ¨osszetett t´argyat k´epez, amely m´ar nem esik sz´ejjel. Mindk´etpt´argy m t¨omege a w sebess´egnek felel meg, amely, mint tudjuk, m0 / 1 − w2 /c2 -tel egyenl˝o. Ha felt´etelezz¨ uk az impulzusmegmarad´as ´es a relativit´asi elv ´erv´enyess´eg´et, ´erdekes k¨ovetkeztet´esre juthatunk a k´epz˝od¨ott u ´j t´argy t¨omeg´ere vonakoz´olag. K´epzelj¨ unk el egy, a w-re mer˝oleges infinitezim´alis u sebess´eget (ugyanez v´eges u sebess´eggel is elk´epzelhet˝o, de k¨onnyebb meg´erteni infinitezim´alis sebess´eg eset´en), ´es tegy¨ uk fel, hogy az u ¨tk¨oz´est egy −u sebess´eg˝ u liftb˝ol l´atjuk (l´asd a 16.4b ´abr´at). Az ¨osszetett t´argy t¨omege az ´altalunk nem ismert M t¨omeg. Most mind az 1-es, mind a 2-es t´argy u felfel´e mutat´o sebess´egkomponenssel ´es egy gyakorlatilag w-vel egyenl˝o, v´ızszintes ir´any´ u komponenssel mozog. Az u ¨tk¨oz´es ut´an az M t¨omeg u 0

www.interkonyv.hu

0

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

300

16. Relativisztikus energia ´es impulzus

sebess´eggel halad felfel´e, s tudjuk, hogy az u sebess´eg a f´enysebess´eghez k´epest nagyon kicsi, de m´eg w-hez viszony´ıtva is kicsi. Az impulzusnak meg kell maradnia, sz´am´ıtsuk ki teh´at a felfel´e ir´anyul´o impulzust u ¨tk¨o¨ oz´es el˝ott p ≈ 2mw u, ´es u z´es el˝ott ´es ut´an. Utk¨ ¨tk¨oz´es ut´an term´eszetesen p0 = Mu u, mivel azonban u olyan kicsi, l´enyeg´eben Mu ´es M0 azonos. A k´et impulzusnak az impulzusmegmarad´as miatt egyenl˝onek kell lenni, ez´ert M0 = 2mw . (16.11) K´et egyenl˝ o t´ argy u oz´esekor keletkez˝ o¨ osszetett t´ argy t¨ omege egyenl˝ o az ¨tk¨ egyik u oz˝ o t´ argy k´etszeres t¨ omeg´evel. Az olvas´o erre azt mondhatn´a: Ez ¨tk¨ ” term´eszetesen ´ıgy van, hiszen ez a t¨omegmegmarad´as.” De csak ne mondjuk ki olyan k¨onnyen azt, hogy term´eszetesen”, mert az u oz˝ o r´eszecsk´ek ¨tk¨ ” t¨ omege t¨ obb, mint amennyi a nyugalmi t¨omeg¨ uk lenne, teh´at a teljes M t¨omeghez nem a nyugalmi t¨omeg ´ert´ek´evel, hanem ann´al t¨ obbel j´arulnak hozz´a. Meglep˝o, hogy az impulzusmegmarad´as t¨orv´enye k´et r´eszecske u uk ¨osszetev˝od˝o u ´j t¨omeg nagyobb ¨tk¨oz´esekor megk¨oveteli, hogy a bel˝ol¨ legyen, mint a k´et r´eszecske nyugalmi t¨omege, m´eg akkor is, amikor a r´eszecsk´ek az u ulnek. ¨tk¨oz´es ut´an nyugalmi ´allapotba ker¨ 16.5. A relativisztikus energia Az el˝oz˝okben megmutattuk, hogy valamely test mozg´asi energi´aj´anak a testre hat´o er˝ok ´altal v´egzett teljes munka okozta v´altoz´asa – a t¨omeg sebess´egf¨ ugg´ese ´es a Newton-t¨orv´enyek alapj´an – mindig m0 c2 ∆Wkin = (mu − m0 )c2 = p − m0 c2 (16.12) 1 − u2 /c2 alakban ´ırhat´o. S˝ot m´eg tov´abb is ment¨ unk, ´es megsejtett¨ uk, hogy a teljes 2 energia a teljes t¨omeg c -szerese. Most ezt a gondolatsort folytatjuk. Tegy¨ uk fel, hogy a k´et egyenl˝o t¨omeg˝ u u ¨tk¨oz˝o t´argy m´eg az M t¨omegen bel¨ ul is megk¨ ul¨onb¨oztethet˝o”. P´eld´aul egy proton ´es egy neutron ” ul szabad mozg´asi lehet˝os´ege van. Ek¨osszetapad, de az M t¨omegen bel¨ kor, noha azt v´arn´ank, hogy az M t¨omeg ´ert´eke 2m0 legyen, azt tal´aljuk, hogy az m´egsem 2m0 , hanem 2mw . Mivel 2mw -vel kell sz´amolni, de a r´eszecsk´ek nyugalmi t¨omege M -en bel¨ ul 2m0 , az´ert az ¨osszetett t´argy t¨ obblett¨omege a bevitt mozg´asi energi´aval egyenl˝o. Ez term´eszetesen azt jelenti, hogy az energi´ anak tehetetlens´ege van. Az el˝oz˝o fejezetben a g´azok meleg´ıt´es´evel kapcsolatban r´amutattunk, hogy mivel a g´azmolekul´ak mozognak, ´es a mozg´o testek t¨omege megn¨ovekszik, ha a g´azzal energi´at k¨ozl¨ unk, annak molekul´ai gyorsabban mozognak, s ´ıgy a g´az t¨omege nagyobb´a v´alik. Val´oj´aban azonban ez az www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

16.5. A relativisztikus energia

301

´ervel´es teljesen ´altal´anos. A rugalmatlan u ¨tk¨oz´esekkel kapcsolatban l´athatjuk, hogy t¨obblett¨omeg mindig jelentkezik, akkor is, ha nem mozg´ asi energia form´aj´aban l´ep fel. M´as sz´oval, ha k´et r´eszecske ¨osszetal´alkozik ´es helyzeti energi´at, vagy b´armilyen m´as alakban energi´at hoz l´etre; ha az ¨osszetett test r´eszeit a bels˝o er˝ok ellen v´egzett munka sor´an a potenci´alfal lelass´ıtja, stb., m´eg mindig igaz, hogy a t¨omeg az ¨osszes befektetett energi´aval egyenl˝o. L´atjuk teh´at, hogy a fent levezetett t¨omegmegmarad´as az energiamegmarad´assal egyen´ert´ek˝ u, ez´ert a relativit´aselm´eletben – a newtoni mechanik´aval ellent´etben – nincs ´ertelme szigor´ uan rugalmatlan u ¨tk¨oz´esekr˝ol besz´elni. A newtoni mechanika szerint teljesen rendj´en val´o, hogy k´et test ¨ossze¨ utk¨oz´esekor egy olyan 2m0 t¨omeg˝ u test keletkezik, melyet semmilyen m´odon sem lehet a k´et test lass´ u ¨osszet´etele u ´tj´an keletkez˝o testt˝ol megk¨ ul¨onb¨oztetni. Az energiamegmarad´as t¨orv´eny´eb˝ol az k¨ovetkezne, hogy az els˝o esetben a keletkez˝o ¨osszetett testnek t¨obb a mozg´asi energi´aja, de ez – a Newton-t¨orv´enyek szerint – nincs hat´assal a t¨omegre. Most azonban l´atjuk, hogy ez lehetetlen; az u ¨tk¨oz´esben r´eszt vev˝o mozg´asi energia k¨ovetkezt´eben a keletkez˝o test nagyobb t¨ omeg˝ u lesz, ez teh´at m´ar egy m´ asik test. Ha a testeket finoman” (¨ utk¨oz´esmentesen) ” rakjuk ¨ossze, akkor egy 2m0 t¨omeg˝ u test keletkezik, ha viszont er˝oteljesebben (¨ utk¨oz´essel), akkor a keletkez˝o test t¨omege nagyobb lesz. Ha a t¨omegek k¨ ul¨onb¨oz˝oek, mondhatjuk, hogy a testek is k¨ ul¨onb¨oz˝oek. Ez´ert az energiamegmarad´asnak a relativit´aselm´eletben sz¨ uks´egszer˝ uen az impulzusmegmarad´assal kell egy¨ uttj´arnia. Ennek ´erdekes k¨ovetkezm´enyei vannak. Tegy¨ uk fel p´eld´aul, hogy van egy t´argyunk, melynek M t¨omeg´et megm´ert¨ uk, ´es amely valamilyen okb´ol k´et, 2w sebess´eggel mozg´o, egyforma, mw t¨omeg˝ u darabra esik sz´et. Tegy¨ uk fel tov´abb´a, hogy ez a k´et darab elegend˝o anyagmennyis´eggel tal´alja szembe mag´at ahhoz, hogy abban meg´all´asig lef´ekez˝odj´ek. Lef´ekez˝od´es ut´an mindkett˝o t¨omege m0 lesz. Mennyi energi´at adnak ´at az anyagnak, am´ıg lef´ekez˝odnek? Mindkett˝o (mw − m0 )c2 energi´at ad ´at az el˝obb bebizony´ıtott t´etel ´ertelm´eben. Ez az energiamennyis´eg h˝o, helyzeti energia vagy m´as alakban ad´odik ´at a f´ekez˝o k¨ozegnek. Mivel 2mw = M , a felszabadul´o energia W = (M − 2m0 )c2 . Ezt az egyenletet haszn´alt´ak fel p´eld´aul annak a becsl´es´ere, hogy az atombomb´aban hasad´as sor´an mennyi energia szabadulhat fel. (B´ar a hasad´asi term´ekek nem pontosan, de az´ert k¨ozel´ıt˝oleg egyenl˝ok.) Az ur´anatom t¨omege ismert volt – hiszen m´ar j´oval kor´abban meghat´arozt´ak –, ´es azok az atomok, amelyekre felhasad, nevezetesen a j´od, xenon stb. szint´en mind ismert t¨omeg˝ uek. Itt azonban t¨omegen nem a mozg´o, hanem a nyugv´o atomok t¨omeg´et ´ertj¨ uk. M´as sz´o-

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

302

16. Relativisztikus energia ´es impulzus

val, mind M , mind m0 ismert volt. A k´et sz´amot egym´asb´ol kivonva teh´at ki lehet sz´am´ıtani, mennyi energia szabadul fel, ha M -et f´elbe” has´ıtjuk. ” Emiatt szeg´eny ¨oreg Einsteint az u ´js´ag´ır´ok az atombomba atyj´anak” ki” ´altott´ak ki. Pedig csak arr´ol van sz´o, hogy ˝o j´oval kor´abban meg tudta volna mondani, mennyi energia szabadul fel, ha megmondjuk, milyen folyamat megy v´egbe. Az ur´anatom hasad´asakor felszabadul´o energi´at hat h´onappal az els˝o gyakorlati k´ıs´erlet el˝ott sz´am´ıtott´ak ki, s amint az energiafelszabadul´as t´enylegesen megt¨ort´ent, azt valaki k¨ozvetlen¨ ul is m´erte (ezt mindenk´eppen megtett´ek volna, m´eg ha az Einstein-f´ele formula nem is ´allt volna rendelkez´esre). A m´er´es ut´an a formul´ara t¨obb´e m´ar nem is volt sz¨ uks´eg. Term´eszetesen ezzel nem akarjuk Einstein ´erdemeit kisebb´ıteni, ink´abb az u ´js´agokat ´es azt a sok n´epszer˝ u le´ır´ast szeretn´enk helyreigaz´ıtani, melyek t´ ul sokat foglalkoznak azzal, hogy kinek mi k¨osz¨onhet˝o a fizika ´es a technika t¨ort´enet´eben. Annak a k´erd´esnek viszont, hogy mik´ent ´erhetj¨ uk el a hat´ekony ´es gyors energiafelszabad´ıt´ast, semmif´ele kapcsolata nincs a formul´aval. E felfedez´esnek jelent˝os´ege van a k´emi´aban is. Ugyanis ha megm´erj¨ uk a sz´en-dioxid-molekula s´ uly´at, ´es ¨osszehasonl´ıtjuk a t¨omeg´et a sz´en- ´es oxig´enmolekula t¨omeg´evel, meg tudjuk hat´arozni, mennyi energia szabadul fel, amikor sz´enb˝ol ´es oxig´enb˝ol sz´en-dioxid j¨on l´etre. A neh´ezs´eg itt csak az, hogy a csek´ely t¨omegk¨ ul¨onbs´eg miatt ennek technikai megold´asa k¨or¨ ulm´enyes. Ford´ıtsuk figyelm¨ unket most arra a k´erd´esre, vajon m0 c2 -et hozz´a kelle adni a mozg´asi energi´ahoz, ´es azt mondhatjuk-e, hogy a test teljes energi´aja mc2 ? El˝osz¨or is, ha az M t¨omeg belsej´eben tov´abbra is meg tudn´ank k¨ ul¨onb¨oztetni annak m0 nyugalmi t¨omeg˝ u alkot´or´eszeit, akkor azt mondhatn´ank, hogy az ¨osszetett t´argy M t¨omeg´enek egy r´esze az alkot´or´eszek mechanikai nyugalmi t¨omeg´eb˝ol, m´asik r´esze azok mozg´asi energi´aj´ab´ol, harmadik r´esze pedig azok helyzeti energi´aj´ab´ol ´all. B´ar a term´eszetben felfedezt¨ unk k¨ ul¨onb¨oz˝o r´eszecsk´eket, amelyek a fent t´argyalthoz pontosan hasonl´o reakci´okon mennek kereszt¨ ul, semmilyen m´odon nem tudjuk M belsej´eben az alkot´or´eszeket megfigyelni. P´eld´aul egy K-mezon k´et pionra boml´asa a (16.11) t¨orv´eny szerint folyik le, de ´ertelmetlen lenne felt´etelezni, hogy a K-mezon 2π-b˝ol ´all, mivel az 3π-re is elbomolhat! K¨ovetkez´esk´eppen felmer¨ ul egy u ´j gondolat: sz¨ uks´eges-e tudnunk, hogy az M t¨omegen bel¨ ul az alkot´or´eszek mit csin´alnak; nem tudjuk, ´es nincs is sz¨ uks´eg¨ unk arra, hogy a r´eszecske belsej´eben azonos´ıtsuk, hogy az energia mely r´esz´eb˝ol lesz a boml´o r´eszek nyugalmi energi´aja. Neh´ezkes lenne ´es gyakran nem is lehets´eges valamely t´argy teljes mc2 energi´aj´at az alkot´o-

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

16.5. A relativisztikus energia

303

r´eszek nyugalmi, mozg´asi ´es helyzeti energi´aj´ara osztani; ehelyett ink´abb egyszer˝ uen a r´eszecske teljes energi´ aj´ ar´ ol besz´el¨ unk. Mindehhez hozz´aad2 va az m0 c ´alland´ot, eltoljuk az energia kezdeti ´ert´ek´et”, ´es azt mondjuk, ” hogy egy r´eszecske teljes energi´aja mozg´asi t¨omeg´enek c2 -szeres´evel egyenl˝o, amikor pedig a t´argy nyugalomban van, az energia a nyugalmi t¨omeg ´es c2 szorzat´aval egyenl˝o. V´eg¨ ul azt tal´aljuk, hogy a v sebess´eg, a P impulzus ´es a W teljes energia igen egyszer˝ u kapcsolatban van egym´assal. Az olvas´o tal´an meglep˝ o nek tal´ a lja, de a v sebess´eggel mozg´o t¨omegre vonatkoz´o p 2 2 m = m0 / 1 − v /c k´epletet a gyakorlatban ritk´an haszn´alj´ak. Helyette a k¨ovetkez˝o, k¨onnyen bizony´ıthat´o ¨osszef¨ ugg´esek bizonyultak igen hasznosaknak: W 2 − P 2 c2 = M02 c4

(16.13)

P c = W v/c.

(16.14)

´es

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

17. fejezet T´ erid˝ o 17.1. A t´ erid˝ o geometri´ aja A relativit´aselm´elet r´amutat, hogy a hely ´es az id˝o k´et k¨ ul¨onb¨oz˝o koordin´atarendszerben m´ert ´ert´ekei k¨oz¨ott nem olyanok az ¨osszef¨ ugg´esek, mint amilyeneket ¨oszt¨on¨os elk´epzel´eseink alapj´an v´arn´ank. Nagyon fontos, hogy alaposan meg´erts¨ uk a t´ernek ´es az id˝onek a Lorentz-transzform´aci´o ´altal le´ırt kapcsolat´at, ez´ert ezzel kiss´e r´eszletesebben foglalkozunk ebben a fejezetben. Egy nyugv´o” megfigyel˝o ´altal m´ert (x, y, z, t) ´es egy u sebess´eggel ” mozg´o” u ˝rhaj´oban m´ert, ezeknek megfelel˝o (x0 , y 0 , z 0 , t0 ) hely- ´es id˝om´e” r˝osz´amok k¨oz¨otti Lorentz-transzform´aci´o a k¨ovetkez˝o: x − ut x0 = p , 1 − u2 /c2 y 0 = y, (17.1) z 0 = z, t − ux/c2 t0 = p . 1 − u2 /c2 Hasonl´ıtsuk ¨ossze ezeket az egyenleteket a (11.5) ¨osszef¨ ugg´esekkel, amelyek szint´en k´et k¨ ul¨onb¨oz˝o, egym´ashoz k´epest elforgatott koordin´atarendszerben m´ert mennyis´egeket kapcsolnak ¨ossze: x0 = x cos ϕ + y sin ϕ, y 0 = y cos ϕ − x sin ϕ,

(17.2)

0

z = z. Ebben a saj´atos esetben Miska ´es J´oska u ´gy v´egez m´er´eseket, hogy az x ´es x0 tengelyek ϕ sz¨oget z´arnak be. Vegy¨ uk ´eszre, hogy mindk´et esetben a vessz˝os” mennyis´egek a vessz˝otlenek” kever´ekei”: az u ´j x0 a r´egi x ´es ” ” ” 0 y, ´es hasonl´oan az y is az x ´es y kombin´aci´oja. A dolog meg´ert´es´ehez hasznos lesz a k¨ovetkez˝o hasonlat: ha r´an´ez¨ unk egy t´argyra, t¨obbek k¨oz¨ott k´et saj´ats´agot vesz¨ unk ´eszre rajta: az egyiket l´atsz´olagos sz´eless´egnek”, a m´asikat m´elys´egnek” nevezhetj¨ uk. E k´et ” ” saj´ats´ag, a sz´eless´eg ´es a m´elys´eg azonban nem alapvet˝o tulajdons´agai a t´argynak, ugyanis ha arr´abb l´ep¨ unk, ´es ugyanazt a t´argyat m´as szemsz¨ogb˝ol szeml´elj¨ uk, m´as sz´eless´eget ´es m´elys´eget ´eszlel¨ unk, s˝ot fel´all´ıthatunk www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

305

17.1. A t´erid˝ o geometri´ aja

n´eh´any ¨osszef¨ ugg´est is, hogy seg´ıts´eg¨ ukkel az ut´obbiakat az el˝obbiekb˝ol ´es a sz¨ogadatb´ol kisz´am´ıtsuk. A (17.2) egyenletek adj´ak meg ezeket az o¨sszef¨ ugg´eseket. Azt mondhatjuk, hogy egy adott m´elys´eg nem m´as, mint az u kever´eke”. Persze az ¨osszes m´elys´egnek ´es sz´eless´egnek bizonyos fajt´aj´ ” eg´eszr˝ol nem lenne ´ertelme besz´elni, ha egy´altal´an nem lenn´enk k´epesek helyv´altoztat´asra, ´es egy adott t´argyat mindig ugyanabb´ol a helyzetb˝ol szeml´eln´enk. Ekkor ugyanis mindig a t´argynak egy val´odi” sz´eless´eg´et ´es ” egy val´odi” m´elys´eg´et l´atn´ank. Ezek egym´ast´ol teljesen elt´er˝o min˝os´eg” ben jelentkezn´enek, miut´an az egyik optikai ny´ıl´assz¨og jelleg˝ u mennyis´eg lenne, a m´asik meg a szem¨ unk f´okusz´al´as´aval vagy m´eg ink´abb intuit´ıv felfog´ok´epess´eg¨ unkkel lenne kapcsolatos. Teh´at k´et nagyon k¨ ul¨onb¨oz˝o dolognak tekinten´enk, ´es sohasem t´eveszten´enk ¨ossze ˝oket egym´assal. De ´eppen, mert a t´argyat k¨or¨ ul tudjuk s´et´alni, ´eszrevehetj¨ uk, hogy a m´elys´eg ´es a sz´eless´eg tulajdonk´eppen ugyanannak a dolognak k´et k¨ ul¨onb¨oz˝o megnyilv´anul´asa. ct

Lassan (a)

(b) (d)

x0

(c)

Gyorsan x

17.1. a ´bra. H´ arom r´eszecske p´ aly´ aja a t´erid˝ oben: a) x = x0 pontban nyugv´ o r´eszecske; b) x = x0 pontb´ ol kiindul´ o, a ´lland´ o sebess´eggel halad´ o r´eszecske; c) nagy sebess´eggel indul´ o, majd k´es˝ obb lassul´ o r´eszecske; d) a f´enysug´ ar p´ aly´ aja

Nem n´ezhetj¨ uk-e vajon hasonl´ o szemsz¨ ogb˝ ol a Lorentz-transzform´ aci´ ot? Itt is egy kombin´aci´oval, a hely ´es id˝o kever´ek´evel” ´allunk szem” ben. Egy hely- ´es egy id˝om´er´esi adat k¨ ul¨onbs´ege u ´j helym´er´esi adatot eredm´enyez. M´as sz´oval, az egyik megfigyel˝o u ´gy l´atja, hogy a m´asik helym´er´es´ehez egy kicsit hozz´akeveredett az id˝o is. Hasonlatunk a k¨ovetkez˝o gondolatot kelti: egy ´altalunk szeml´elt t´argy l´etez´ese” valahogyan ” t¨obbet jelent, mint (durv´an ´es k´epiesen kifejezve) a sz´eless´ege” ´es m´ely” ” s´ege”, mert ez ut´ obbiak att´ol f¨ uggnek, honnan n´ez¨ unk a t´argyra. Ha egy m´asik helyre l´ep¨ unk ´at, agyunk azonnal u ´jra meghat´arozza a t´argy sz´eless´eg´et ´es m´elys´eg´et. Amikor azonban nagy sebess´eggel mozgunk, nem tudjuk ugyan´ ugy u ´jrasz´am´ıtani a helykoordin´at´at ´es az id˝ot, mivel a f´enysebess´eghez k¨ozeli sebess´eg˝ u halad´asr´ol nincsenek olyan tapasztalataink, amelyek ´altal felismerhetn´enk, hogy a t´er ´es az id˝o szint´en egyazon term´eszet˝ u. Mintha olyan helyzetbe ker¨ ult¨ unk volna, hogy mindig csak a sz´eless´eg´et l´atn´ank valaminek, mert p´eld´aul nem volna szabad a fej¨ unket jobbra-balra mozgatni. Most m´ar ´erthet˝o, hogy ha mindez lehets´eges volwww.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

306

17. T´erid˝ o

na, akkor valamennyit ´eszleln´enk a m´asik megfigyel˝o idej´eb˝ol is, mintegy m¨og´e” n´ezn´enk egy kicsit. ” Ilyenform´an meg kell pr´ob´alnunk a t´argyakat egy u ´jfajta, egy¨ uttes t´erid˝o-vil´agban elk´epzelni, amelyben az id˝o a t´errel ugyanolyan ´ertelemben keveredik”, ahogyan a t´argyak a mi k¨oz¨ons´eges vil´agunkban val´os´a” gosak ´es k¨ ul¨onb¨oz˝o ir´anyokb´ol szeml´elhet˝ok. K´epzelj¨ uk el, hogy a t´argyak, amelyek teret foglalnak el, ´es egy bizonyos id˝otartamig l´eteznek, ebben az u ´j vil´agban egy foltocsk´at” t¨oltenek ki, ´es hogy ezt a foltocsk´at” k¨ u” ” l¨onb¨oz˝o sz¨ogek alatt l´atjuk, ha k¨ ul¨onb¨oz˝o sebess´eggel mozgunk. Ezen u ´j vil´agot, ezt a geometriai val´os´agot, ahol a t´er egy r´esz´et kit¨olt˝o ´es bizonyos id˝otartamot magukban foglal´o foltocsk´ak” l´eteznek, t´erid˝ onek nevezz¨ uk. ” A t´erid˝oben egy adott (x, y, z, t) pont neve: esem´eny. K´epzelj¨ uk el p´eld´aul, hogy az x koordin´at´akat v´ızszintesen, az y ´es z koordin´at´akat k´et m´asik, egym´ashoz k´epest der´eksz¨og˝ u”, s a pap´ır s´ıkj´ara (!) mer˝oleges” ” ” ir´anyban, az id˝ot pedig f¨ ugg˝olegesen m´erj¨ uk fel. Hogyan jelentkezik a mozg´o r´eszecske egy ilyen diagramon? Ha a r´eszecske nyugalomban van, egy bizonyos x koordin´at´aja van, s az id˝o m´ ul´as´aval ez az ´ert´ek ugyanaz marad, vagyis p´aly´aja” a t tengellyel p´arhuzamosan halad (17.1a ´abra). ” Ha viszont a r´eszecske el˝orehalad, az id˝o m´ ul´as´aval x koordin´at´aj´anak ´ert´eke egyre n˝o (17.1b ´abra). Az elindul´o, majd lelassul´o r´eszecske mozg´as´at a 17.1c ´abra szeml´elteti. M´as sz´oval stabil, nem boml´o r´eszecsk´et a t´erid˝oben egyetlen vonal ´abr´azol. Elboml´o r´eszecsk´et villaszer˝ uen sz´et´agaz´o vonal ´ırhat le, mivel k´et, ugyanabb´ol a ponb´ol kiindul´o boml´asterm´ekre esik sz´et. ´ a f´eny? A f´eny c sebess´eggel terjed, teh´at egy ´alland´o meredeks´eg˝ Es u egyenessel ´abr´azolhat´o (17.1d ´abra). Ebben az u ´j rendszer¨ unkben azt ct ct ct’ ct’ v´arn´ank, hogy ha a r´eszecsk´evel vax’ lami t¨ort´enik, mondjuk, a t´erid˝o egy x’ ct’ bizonyos pontj´an (bizonyos x ´es t x’ x x ´ert´ek eset´en) hirtelen elbomlik k´et, (a) Helytelen (b) Helyes valamilyen u ´j p´aly´at k¨ovet˝o m´asik r´ e szecsk´ e re, akkor elegend˝o lenne k´et 17.2. a ´bra. Elboml´ o r´eszecske k´etf´ele u ´j tengelyt felvenni, ´es ezeket elfork´epe gatni a 17.2a ´abr´an l´athat´o m´odon, hogy megkapjuk t0 -t ´es x0 -t u ´j rendszer¨ unkben. Csakhogy ez nem igaz, mert (17.1) nem pontosan ugyanaz a matematikai transzform´aci´o, mint (17.2). Vegy¨ uk ´eszre p´eld´aul, hogy a kett˝o k¨oz¨ott el˝ojelk¨ ul¨onbs´eg van, ´es az egyik cos ϕ-vel ´es sin ϕ-vel, m´ıg a m´asik algebrai mennyis´egekkel

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

307

17.2. T´erid˝ o-intervallumok

van kifejezve. (Term´eszetesen nem kiz´art, hogy valamely algebrai kifejez´es fel´ırhat´o sz´ınusz-, illetve koszinuszf¨ uggv´enyekkel, ez esetben azonban ezt nem tehetj¨ uk.) Mindamellett a k´et kifejez´es nagyon hasonl´o. K´es˝obb l´atni fogjuk, az el˝ojelk¨ ul¨onbs´eg miatt nem lehet a t´erid˝ot val´odi t´ergeometri´anak tekinteni. Val´oban – b´ar ezt nem hangs´ ulyozzuk –, a mozg´o megfigyel˝onek olyan tengelyeket kell v´alasztania, amelyek a f´enysug´ar p´aly´aj´aval azonos sz¨ogeket z´arnak be, ´es egy speci´alis, az x0 ´es t0 tengelyekkel p´arhuzamos vet´ıt´est kell alkalmaznia ahhoz, hogy az x0 -t ´es ´es t0 -t megkapja (l´asd a 17.2b ´abr´at). A geometri´aval azonban a tov´abbiakban nem foglalkozunk, mert sokat nem seg´ıt, k¨onnyebb egyenletekkel dolgozni. 17.2. T´ erid˝ o-intervallumok B´ar a t´erid˝o geometri´aja nem euklideszi a sz´o k¨oz¨ons´eges ´ertelm´eben, m´egis geometria, amely n´eh´any saj´atos von´asa mellett igen hasonl´o az euklideszihez. Ha egy´altal´an lehet itt geometri´ar´ol besz´elni, akkor l´eteznie kell a koordin´at´ak ´es az id˝o n´eh´any olyan f¨ uggv´eny´enek, amely f¨ uggetlen a koordin´atarendszert˝ol. Ha p´eld´aul k¨oz¨ons´eges elforgat´as eset´en a k´et rendszer kezd˝opontja egybeesik, ´es k´et pontot kiv´alasztunk, egyiket egyszer˝ us´eg kedv´e´ert az orig´oban, a m´asokat valahol m´asutt, a k´et pont k¨oz¨otti t´avols´ag mindk´et rendszerben ugyanaz lesz. ´Ime egy tulajdons´ag, amely f¨ uggetlen att´ol, hogyan m´erj¨ uk. A t´avols´ag n´egyzete: x2 + y 2 + z 2 . Hogyan alakul mindez a t´erid˝o eset´eben? Nem neh´ez kimutatni, hogy itt is van valami, ami v´altozatlan marad, nevezetesen a c2 t2 − (x2 + y 2 + z 2 ) kombin´aci´o transzform´aci´o el˝ott ´es ut´an megegyezik: 2

2

2

2

c2 t2 − x2 − y 2 − z 2 = c2 t0 − x0 − y 0 − z 0 .

(17.3)

Ez a mennyis´eg a t´avols´aghoz hasonl´oan bizonyos ´ertelemben val´odi”; ” a t´erid˝o k´et olyan pontja k¨oz¨otti intervallumnak nevezik, amelyek k¨oz¨ ul az egyik – ez esetben – az orig´oban van. [Pontosabban persze a (17.3) mennyis´eg az intervallum n´egyzete, mint ahogyan az x2 + y 2 + z 2 kifejez´es a t´avols´ag n´egyzete.] Az elnevez´es az´ert m´as, mert egy m´asik geometri´aban fordul el˝o, a l´enyeges k¨ ul¨onbs´eg csak annyi, hogy n´eh´any el˝ojel az ellenkez˝oj´ere fordult, ´es a c ´alland´o szerepel. Szabaduljunk meg c-t˝ol! Nem lehet helye itt, amikor olyan csod´alatos teret szeretn´enk, ahol p´eld´aul az x-et ´es a t-t ¨ossze lehet keverni”. F´el” re´ert´est okozhat p´eld´aul, ha egy tapasztalatlan megfigyel˝o a sz´eless´eget a t´argy l´at´osz¨og´evel, m´ıg a m´elys´eget m´ask´eppen, mondjuk a szemizmok f´okusz´al´as´ahoz sz¨ uks´eges o¨sszeh´ uz´od´as m´ert´ek´evel m´eri, u ´gyhogy a m´elys´eget mindig m´eterben, a sz´eless´eget pedig radi´anban kapja meg. Ily m´odon a (17.2)-h¨oz hasonl´o transzform´aci´ok elv´egz´esekor az egyenletekwww.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

308

17. T´erid˝ o

nek rendk´ıv¨ ul bonyolult z˝ urzavara keletkezne, s puszt´an technikai okokb´ol nem ismern´e fel, hogy igen egyszer˝ u ´es vil´agos dologr´ol van sz´o: egy ´es ugyanazon mennyis´eget m´erte, csak k¨ ul¨onb¨oz˝o egys´egekben. A (17.1) ´es (17.3) egyenletekben a term´eszet megmutatja nek¨ unk, hogy id˝o ´es t´er egyen´ert´ek˝ u, s ´ıgy mindkett˝ ot azonos egys´eggel kell m´erni. Mif´ele t´avols´ag a m´asodperc”? Ez a (17.3)-b´ol k¨onny˝ uszerrel meg´allap´ıthat´o: 3 · 108 ” m´eter, vagyis az a t´avols´ag, amelyet a f´eny egy m´ asodperc alatt befut. M´as sz´oval, ha az id˝ot ´es t´avols´agot ugyanabban az egys´egben, m´asodpercben m´ern´enk, akkor t´avols´agegys´eg¨ unk 3 · 108 m lenne, ´es egyenleteink leegyszer˝ us¨odn´enek. Egy m´asik m´odja, hogy azonos egys´egekkel dolgozzunk, hogy az id˝ot m´eterekben m´erj¨ uk. Mit jelent egy m´eter id˝o? Egy m´eter id˝o az az id˝omennyis´eg, amely alatt a f´eny egy m´eter utat megtesz, vagyis 1/3 · 10−8 s, azaz a m´asodperc 3,3 milli´ardad r´esze. M´arpedig szeretn´enk unket olyan egys´egrendszerbe ´at´ırni, ahol c = 1. Ha az ¨osszes egyenlet¨ id˝ot ´es a hossz´ us´agot – ahogyan javasoltuk – ugyanabban az egys´egben m´erj¨ uk, az egyenletek szemmel l´athat´oan egyszer˝ ubbekk´e v´alnak: x − ut x0 = √ , 1 − u2 y 0 = y, (17.4) z 0 = z, t − ux . t0 = √ 1 − u2 2

2

2

2

t0 − x0 − y 0 − z 0 = t2 − x2 − y 2 − z 2 .

(17.5)

Nem kell att´ol tartanunk, hogy a c = 1-gyel jellemzett egys´egrendszer bevezet´ese ut´an nem tudjuk majd egyenleteinket eredeti alakjukban visszakapni. Sokkal k¨onnyebb a c n´elk¨ uli egyenleteket megjegyezni, √ ´es a dimenzi´okat vizsg´alva mindig k¨onny˝ u a c-t vissza´all´ıtani. P´eld´aul 1 − u2 eset´en tudjuk, hogy a dimenzi´oval rendelkez˝o sebess´eg n´egyzet´et nem lehet az 1-b˝ol, egy puszta sz´amb´ol levonni. A k¨ovetend˝o elj´ar´as teh´at az, hogy u2 -et c2 -tel osztjuk, ´es ez´altal dimenzi´omentess´e tessz¨ uk. Nagyon ´erdekes a t´erid˝o ´es a k¨oz¨ons´eges t´er, valamint az intervallum ´es a t´avols´ag k¨oz¨otti k¨ ul¨onbs´eg. Ha adott koordin´atarendszerben egy pontot a 0 id˝opillanatban tekint¨ unk, e pontnak csak t´erkoordin´at´ai vannak, ´es a (17.5) ¨osszef¨ ugg´es szerint az intervallum n´egyzete negat´ıv. Intervallumunk teh´at k´epzetes, minthogy egy negat´ıv sz´am n´egyzetgy¨oke. A relativit´aselm´eletben az intervallum val´os is, k´epzetes is lehet. Az intervallum n´egyzete pedig pozit´ıv vagy negat´ıv, ellent´etben a t´avols´aggal, amelynek n´egyzete mindig pozit´ıv. Ha egy intervallum k´epzetes, a k´epze” www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

17.3. M´ ult, jelen ´es j¨ ov˝ o

309

tes” helyett azt mondjuk, hogy a k´et pontot t´erszer˝ u intervallum v´alasztja el egym´ast´ol, amely ink´abb t´erb˝ol, mint id˝ob˝ol tev˝odik o¨ssze. M´asr´eszt, ha k´et t´argy egy koordin´atarendszernek ugyanazon a hely´en, de k¨ ul¨onb¨oz˝o id˝opontokban jelentkezik, mivel az id˝o n´egyzete pozit´ıv, a t´avols´ag n´egyzete pedig z´erus, az intervallum n´egyzete pozit´ıv lesz. Ez az id˝ oszer˝ u intervallum. T´erid˝o-diagramunkon ennek megfelel˝oen k´et, a tengelyekhez 45◦ -os sz¨og alatt hajl´o egyenest kapunk (n´egy dimenzi´oban val´oj´aban k´ upok”, amelyeket f´enyk´ upnak nevez¨ unk), s a rajtuk fekv˝o pontoknak ” az orig´ot´ol sz´am´ıtott intervalluma z´erus. A (17.5) egyenletb˝ol l´athat´o, hogy egy pontnak att´ol a pontt´ol sz´am´ıtott intervalluma, ahonnan a f´eny oda´erkezett, mindig z´erus. Egy´ebk´ent ezzel ´eppen azt bizony´ıtottuk be, hogy ha a f´eny egy rendszerben c sebess´eggel terjed, akkor c sebess´eggel terjed egy m´asik rendszerben is. Tudniillik, ha az intervallum mindk´et rendszerben azonos, vagyis z´erus az egyikben ´es z´erus a m´asikban is, akkor az az ´all´ıt´as, miszerint a f´eny terjed´ese invari´ans, egyen´ert´ek˝ u azzal, hogy az intervallum z´erus. 17.3. M´ ult, jelen ´ es j¨ ov˝ o Egy adott t´erid˝opont k¨ornyezete h´arom tartom´anyra oszthat´o (l´asd a O 17.3. ´abr´an). Az egyikben az inter1 1 x vallumok t´erszer˝ uek, a m´asik kett˝oR ben id˝ o szer˝ u ek. A fizika szempont2 Fénykúp Q P j´ a b´ o l az adott pontot k¨or¨ ulvev˝o fenMúlt ti h´arom tartom´any ´erdekes kapcso17.3. a ´bra. A kezd˝ opontot k¨ or¨ ulvev˝ o latban ´all mag´aval a ponttal. A 2 t´erid˝ o-tartom´ anyok tartom´anyb´ol az O esem´enyhez egy re´alis t´argy vagy jel a f´enysebess´egn´el kisebb sebess´eggel juthat el. Teh´at az ebben a tartom´anyban lezajl´o esem´enyek hat´assal lehetnek az O pontra, mintegy befoly´asolhatj´ak azt a m´ ultb´ol. Val´oban, hiszen egy jelens´eg P -ben, a negat´ıv t tengelyen, az O-ra vonatkoztatva a m´ ultban” van. P ” viszont ugyanaz a t´erbeli pont, csak valamivel kor´abbi id˝oben. Ami ott t¨ort´ent, az most kihat O-ra. (Sajnos az ´elet is ilyen!) Egy m´asik, Q-ban lev˝o t´argy a f´enysebess´egn´el lassabban haladva juthat el O-ba, teh´at ha egy mozg´o u ˝rhaj´o belsej´eben lenne elhelyezve, ism´et csak ugyanannak a t´erbeli pontnak a m´ ultja” lehetne. Vagyis egy m´asik koordin´atarend” szerben az id˝otengely ´atmehet egyszerre Q-n ´es O-n is. A 2 tartom´any minden pontja O-ra n´ezve teh´at a m´ ultban van, s b´armi, ami ebben a tartom´anyban j´atsz´odik le, hat´assal lehet O-ra. Ez´ert a 2 tartom´anyt t

Jövő 3

www.interkonyv.hu

Fénykúp

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

310

17. T´erid˝ o

befoly´ast gyakorl´o (abszol´ ut) m´ ultnak nevezik. Ez mindazon esem´enyek t´erid˝obeni helye, amelyek valamik´eppen befoly´asolj´ak O-t. A 3 tartom´anyra az O-b´ol gyakorolhatunk hat´ast; p´eld´aul f´enysebess´egn´el kisebb sebess´eggel kil˝ott l¨oved´ekkel c´elba lehet tal´alni. Ez az a vil´ag, amelynek j¨ov˝oj´et mi befoly´asolhatjuk, ez´ert ezt befoly´asolhat´o (abszol´ ut) j¨ov˝onek nevezz¨ uk. A t´erid˝o eddig m´eg nem t´argyalt 1 tartom´any´anak az az ´erdekess´ege, hogy sem mi nem tudunk r´a O-b´ol hat´ast gyakorolni, sem az nem lehet r´ank O-ban hat´assal, miut´an semmi sem haladhat a f´enyn´el nagyobb sebess´eggel. Term´eszetesen ami R t´erbeli pontban t¨ort´enik, befoly´asolhat minket, de csak k´es˝obb (azaz ha a nap pontosan most” ” robbanna fel, 8 percnek kellene eltelnie, hogy err˝ol tudom´ast szerezz¨ unk, enn´el el˝obb a robban´asnak semmilyen hat´as´at nem ´eszleln´enk). A pontosan most” alatt valami nagyon titokzatos dolgot ´ert¨ unk, nem ” tudjuk sem defini´alni, sem befoly´asolni. Ellenben a pontosan most” lej´at” sz´od´o esem´eny kihat r´ank k´es˝obb, illetve mi is befoly´asolhatjuk, de csak a m´ ultban, m´ar elv´egzett cselekv´essel. Amikor az Alpha Centauri csillagra n´ez¨ unk, olyannak l´atjuk, amilyen n´egy ´evvel ezel˝ott volt; pedig mi arra lenn´enk k´ıv´ancsiak, milyen most”. A most” azt jelenti, hogy ugyanab” ” ban az id˝opontban, a mi speci´alis koordin´atarendszer¨ unkben. Az Alpha Centaurit csak a m´ ultb´ol, n´egy ´evvel ezel˝ott elindult f´enysug´ar k¨ozvet´ıt´es´evel l´atjuk, teh´at jelenlegi” ´allapot´at nem ismerhetj¨ uk. N´egy ´evig tart, ” m´ıg el´er hozz´ank annak a hat´asa, ami a csillaggal most” t¨ort´enik. Az Al” pha Centauri most” egy fogalom, gondolatunknak egy term´eke csup´an. E ” pillanatban fizikailag nem defini´alhat´o, mivel v´arnunk kell r´a, hogy megfigyelhess¨ uk. M´eg a most”-ot sem tudjuk defini´alni. Tov´abb´a a most” a ” ” koordin´atarendszert˝ol f¨ ugg. Ha p´eld´aul az Alpha Centauri mozogna, egy ottani megfigyel˝o nem ugyanazt ´eszleln´e, mint mi, mivel az ˝o koordin´atatengelyei a mieinkhez k´epest valamilyen sz¨oget z´arnak be, s az ottani most” egy m´ asik id˝opont lenne. M´ar besz´elt¨ unk arr´ol a t´enyr˝ol, hogy az ” egyidej˝ us´eg nem egy´ertelm˝ u fogalom. Vannak j¨ovend˝omond´ok, vagy mer´esz emberek, akik azt ´all´ıtj´ak, ismerik a j¨ov˝ot, ´es sok csod´alatos t¨ort´enetet hallunk olyanokr´ol, akik hirtelen r´a´ebredtek, hogy tudom´asuk van az ir´any´ıthat´o j¨ov˝or˝ol. Ebb˝ol azut´an nagyon sok paradoxon is sz´armazik, mert ha valamir˝ol tudjuk, hogy bek¨ovetkezik, biztosan el is tudjuk ker¨ ulni azt, ha a megfelel˝o id˝oben helyesen cseleksz¨ unk, stb. A val´os´agban azonban m´eg olyan j¨ovend˝omond´o sincs, aki ak´ar csak a jelent ismern´e! Nincsen olyan ember, aki meg tudn´a nek¨ unk mondani, hogy ´eppen most, t˝ol¨ unk egy nagy t´avols´agra val´oj´aban mi t¨ort´enik, mert ez megfigyelhetetlen. Feltehetj¨ uk magunknak a k´erd´est

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

311

17.4. M´eg n´eh´ any sz´ o a n´egyesvektorokr´ ol

(az olvas´ora b´ızzuk, pr´ob´alja megv´alaszolni): sz´armazn´anak-e paradoxonok abb´ol, ha hirtelen tudom´ast szerezn´enk mindazokr´ol az esem´enyekr˝ol, amelyek az 1 tartom´any t´erszer˝ u intervallumaiban zajlanak le? 17.4. M´ eg n´ eh´ any sz´ o a n´ egyesvektorokr´ ol T´erj¨ unk most vissza a Lorentz-transzform´aci´o ´es a t´erbeli tengelyek elforgat´asa k¨oz¨otti anal´ogi´ahoz. Kor´abban m´ar volt r´ola sz´o, hogy mennyire hasznos a vektor (vagy ir´any´ıtott egyenes), amelyben egybefoghatunk m´as, a koordin´at´akkal azonos transzform´aci´os tulajdons´agokkal rendelkez˝o mennyis´egeket. A k¨oz¨ons´eges elforgat´askor sok mennyis´eg ugyan´ ugy transzform´al´odik, mint x, y ´es z; p´eld´aul ha a sebess´eg h´arom, x, y ´es z ir´any´ u komponens´et k¨ ul¨onb¨oz˝o koordin´atarendszerb˝ol figyelj¨ uk meg, mindegyik m´as ´ert´eket vesz fel. Valahogyan maga” a sebess´eg azonban sokkal ” val´os´agosabb, mint b´armelyik komponense, s ezt egy ir´ any´ıtott egyenes szakasz r´ev´en juttatjuk kifejez´esre. Ezek alapj´an felvethetj¨ uk a k´erd´est: L´eteznek-e olyan mennyis´egek, amelyek ugyan´ ugy transzform´al´odnak, vagy ugyanolyan kapcsolatban ´allnak egy nyugv´o ´es egy mozg´o vonatkoztat´asi rendszerrel, mint x, y z ´es t? A vektorokr´ol szerzett ismereteink alapj´an tudjuk, hogy egy mennyis´egh´armas, mint x, y ´es z, k¨oz¨ons´eges t´erbeli vektor h´arom komponens´et alkotn´a, de a negyedik komponens a t´erbeli elforgat´askor k¨oz¨ons´eges skal´ark´ent viselkedne, mivel ´ert´eke mindaddig azonos marad, m´ıg ´at nem t´er¨ unk mozg´o koordin´atarendszerre. Lehet-e teh´at valamelyik, ´altalunk m´ar ismert h´armasvektorhoz” egy negyedik komponenst (amelyet azt´an id˝o” ” komponensnek” nevez¨ unk) u ´gy hozz´arendelni, hogy ez a n´egy komponens egy¨ utt ugyan´ ugy forduljon el, mint ahogyan a helyvektor- ´es id˝okoordin´at´ak a t´erid˝oben? Megmutatjuk, hogy legal´abb egy ilyen vektor val´oban l´etezik (val´oj´aban nagyon sok ilyen van): az impulzus h´ arom komponense, valamint az energia mint id˝ okomponens egy¨ uttesen ugyan´ ugy transzform´ al´ odik, ahogyan az ´altalunk n´egyesvektornak” nevezett mennyis´egek. ” Mivel a c-t minden¨ utt ki´ırni k´enyelmetlen lenne, az energia, impulzus ´es t¨omeg egys´eg´enek megv´alaszt´as´aban ugyanazt a fog´ast alkalmazzuk, mint a (17.4) egyenletn´el. Az energia ´es t¨omeg p´eld´aul puszt´an csak egy c2 -es faktorban k¨ ul¨onb¨ozik egym´ast´ol, ez csup´an m´ert´ekegys´egrendszer k´erd´ese, vagyis nyugodtan mondhatjuk, hogy a m´ert´ekegys´egek megfelel˝o v´alaszt´asa eset´en az energia egybeesik a t¨omeggel. Teh´at c2 -et ne ´ırjuk ki, helyette W = m-et ´ırunk, s azt´an ha b´arhol neh´ezs´eg¨ unk t´amad, a megfelel˝o mennyis´egben vissza´all´ıtjuk a c t´enyez˝ot, ´ıgy a legutols´o egyenletben az egys´egek v´eg¨ ul rendben lesznek. www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

312

17. T´erid˝ o

Az energi´ara ´es impulzusra vonatkoz´o egyenleteink teh´at ´ıgy alakulnak: p W = m = m0 / 1 − v 2 , (17.6) p p = mv = m0 v/ 1 − v 2 . Ilyen egys´egekben az energia ´es impulzus kapcsolata: W 2 − p2 = m20 .

(17.7)

P´eld´aul ha az energi´at elektronvoltokban m´erj¨ uk, mit jelent az egy elektronvoltnyi t¨omeg? Olyan t¨omeget, amelynek nyugalmi energi´aja 1 eV, vagyis m0 c2 = 1 eV. P´eld´aul az elektron nyugalmi t¨omege 0, 511 · 106 eV. M´armost hogyan alakul az energia ´es az impulzus kifejez´ese egy u ´j koordin´atarendszerben? Ennek meghat´aroz´as´ara a (17.6) egyenletet kell transzform´alnunk, amit megtehet¨ unk, mert tudjuk, hogy a sebess´eg hogyan transzform´al´odik. Tegy¨ uk fel, hogy egy t´argy m´er´es k¨ozben v sebess´eggel halad, s azut´an ugyanazt a t´argyat u sebess´eggel mozg´o u ˝rhaj´ob´ol figyelj¨ uk meg. Az ut´obbi rendszerben a megfelel˝o mennyis´egeket vessz˝ovel jel¨olj¨ uk. Az egyszer˝ us´eg kedv´e´ert el˝osz¨or azt az esetet vessz¨ uk, amikor v ´es u azonos ir´any´ u. (K´es˝obb az ´altal´anos esettel is foglalkozunk majd.) Mi lesz v 0 , a t´argy sebess´ege az u ˝rhaj´ob´ol n´ezve? Ez az ¨osszetett sebess´eg v ´es u k¨ ul¨onbs´ege”, a fenti szab´aly alapj´an: ” v−u v0 = . (17.8) 1 − uv Sz´am´ıtsuk most ki az energia u ´j, W 0 ´ert´ek´et, amelyet az u ˝rhaj´oban u ¨l˝o megfigyel˝o ´eszlel. A megfigyel˝o nyilv´an ugyanazzal a nyugalmi t¨omeggel, viszont v 0 sebess´eggel sz´amol. Ennek megfelel˝oen n´egyzetre kell emeln¨ unk v 0 -t, ki kell vonnunk 1-b˝ol, majd az eredm´enyb˝ol n´egyzetgy¨ok¨ot kell vonnunk, ´es az eg´esznek a reciprok´at venn¨ unk: v 2 − 2uv + u2 , 1 − 2uv + u2 v 2 1 − 2uv + u2 v 2 − v 2 + 2uv − u2 2 1 − v0 = = 1 − 2uv + u2 v 2 1 − v 2 − u2 + u2 v 2 (1 − v 2 )(1 − u2 ) = = . 1 − 2uv + u2 v 2 (1 − uv)2 Enn´elfogva: 1 1 − uv p √ =√ . (17.9) 2 0 1 − v 2 1 − u2 1−v A W 0 energia egyenl˝o m0 szorozva a fenti kifejez´essel. Mi azonban az energi´at a vessz˝otlen energia ´es impulzus seg´ıts´eg´evel szeretn´enk kifejezni, 2

v0 =

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

313

17.4. M´eg n´eh´ any sz´ o a n´egyesvektorokr´ ol

ez´ert elv´egezz¨ uk a k¨ovetkez˝o ´atalak´ıt´ast: √ √ m0 − m0 uv (m0 / 1 − v 2 ) − (m0 v/ 1 − v 2 )u 0 √ W =√ = , 1 − u2 1 − v 2 1 − u2 vagyis W − upx W0 = √ , 1 − u2

(17.10)

l´athatjuk teh´at, hogy W 0 pontosan ugyanolyan alak´ u, mint t − ux . t0 = √ 1 − u2 K¨ovetkez˝o l´ep´esk´ent az u ´j p0x impulzust kell kisz´am´ıtanunk. Ez egyszer˝ uen 0 0 a W energia ´es v sebess´eg szorzata, ´es az el˝obbihez hasonl´o m´odon szint´en egyszer˝ uen kifejezhet˝o W ´es p seg´ıts´eg´evel: p0x = W 0 v 0 = √

m0 (1 − uv) m0 v − m0 u v−u √ √ =√ , 1 − v 2 1 − u2 (1 − uv) 1 − v 2 1 − u2

vagyis px − uW , p0x = √ 1 − u2

(17.11)

s ez a kifejez´es pontosan ugyanolyan alak´ u, mint x − ut x0 = √ . 1 − u2 Ezek szerint az u ´j” energi´akat ´es impul” zusokat a r´egi” mennyis´egekkel kifejez˝o pm ” transzform´aci´os formul´ak pontosan egyeznek azokkal, amelyek x0 -t ´es t0 -t x-szel ´es tx vel ¨osszekapcsolj´ak: csup´an annyit kell tenn¨ unk, hogy (17.4)-ben t hely´ebe W -t, x he17.4. a ´bra. Egy r´eszecske ly´ebe pedig px -et helyettes´ıt¨ unk, s akkor a n´egyesimpulzusa (17.4) egyenletek a (17.10) ´es (17.11) egyenletekkel azonosakk´a v´alnak. Ha szab´alyunk helyes, az elmondottakb´ol m´eg az is k¨ovetkezik, hogy p0y = py ´es p0z = pz . Hogy ezt bel´assuk, egy kicsit visszalapozva tanulm´anyoznunk kell a fel-le” mozg´as eset´et az el˝oz˝o ” fejezetben, ahol egy bonyolult u ¨tk¨oz´est vizsg´altunk, ´es meg´allap´ıtottuk, hogy mozg´o rendszerb˝ol tekintve a transzverz´alis impulzus val´oban nem v´altozik meg. Vagyis m´ar el˝oz˝oleg igazoltuk, hogy p0y = py ´es p0z = pz . A t

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

314

17. T´erid˝ o

teljes transzform´aci´os formula ezek szerint: px − uW p0x = √ , 1 − u2 p0y = py ,

(17.12) p0z = pz , W − upx . W0 = √ 1 − u2 E transzform´aci´ok sor´an teh´at n´egy olyan mennyis´eget fedezt¨ unk fel, amelyek ugyan´ ugy transzform´al´odnak, mint x, y, z ´es t. Ezeket egy¨ uttesen n´egyesimpulzusnak nevezz¨ uk. Minthogy az impulzus n´egyesvektor, egy mozg´o r´eszecske t´erid˝o-diagramj´an a p´alya ´erint˝oj´enek ir´any´aba h´ uzott ny´ıllal” ´abr´azolhat´o, amint a 17.4. ´abr´an l´athat´o. A ny´ıl val´os´agosabb”, ” ” mint ¨onmag´aban v´eve az energia, vagy ¨onmag´aban v´eve az impulzus, mert ut´obbiak f¨ uggenek att´ol, hogyan szeml´elj¨ uk a diagramot. 17.5. N´ egyesvektorok algebr´ aja A n´egyesvektorok jel¨ol´ese elt´er a h´armasvektorok´et´ol. H´armasvektorok eset´en, ha k¨oz¨ons´eges h´armasimpulzusr´ol besz´el¨ unk, azt p-vel jel¨olj¨ uk. Ha m´eg pontosabbak akarunk lenni, hozz´atehetj¨ uk, hogy p-nek h´arom komponense van, rendre px , py , pz , vagy hivatkozhatunk egyszer˝ uen csak egy ´altal´anos pi komponensre, mondv´an, hogy i lehet x, y vagy z ir´any´ u, ´es ´ıgy pi a h´arom komponensnek felel meg; m´as sz´oval, k´epzelj¨ uk el, hogy i b´armelyik lehet a h´arom (x, y ´es z) ir´any k¨oz¨ ul. A n´egyesvektorokn´al haszn´alatos jel¨ol´esm´od az ut´obbihoz hasonlatos: egy n´egyesvektort pµ -vel jel¨ol¨ unk, ahol µ a lehets´eges n´egy, x, y, z ´es t ir´anyt k´epviseli. Term´eszetesen haszn´alhatunk m´asfajta jel¨ol´est is. Ne mosolyogjunk a jel¨ol´eseken, ink´abb tal´aljunk ki u ´jakat: a jel¨ol´esek seg´ıts´eg´evel sok mindent el´erhet¨ unk. A matematika j´or´eszt az egyre jobb jel¨ol´esrendszerek bevezet´es´evel fejl˝odik. A n´egyesvektorok eg´esz gondolatk¨ore nem m´as, mint a r´egi jel¨ol´esrendszer kiterjeszt´ese, ami ´altal a transzform´aci´ok k¨onnyen megjegyezhet˝ov´e v´alnak. Aµ teh´at ´altal´anos n´egyesvektor, de a n´egyesimpulzus speci´alis eset´eben pt az energia, px , py , pz pedig a h´armasimpulzusnak x, y, illetve z ir´anyba es˝o komponense. N´egyesvektorokat u ´gy adunk ¨ossze, hogy a megfelel˝o komponenseket ¨osszeadjuk. Ha a n´egyesvektorok k¨oz¨ott egyenl˝os´eg ´all fenn, az egyenl˝os´eg minden egyes komponensre ´erv´enyes. Ha p´eld´aul a r´eszecske¨ utk¨oz´esekre a h´armasimpulzus megmarad´as´anak t¨orv´enye igaz, vagyis ha tetsz˝oleges sz´am´ u, egym´assal ¨ossze¨ utk¨oz˝o vagy k¨olcs¨onhat´asba ker¨ ul˝o r´eszecske impulzus´anak ¨osszege ´alland´o, ez azt jelenti, hogy az ¨osszes r´eszecsk´ere vonatkoz´o www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

17.5. N´egyesvektorok algebr´ aja

315

¨osszimpulzusnak mind az x, mind az y, mind a z ir´anyban ´alland´onak kell lennie. A relativit´aselm´elet keretei k¨oz¨ott o¨nmag´aban nem ´allhat meg ilyen t¨orv´eny, minthogy nem teljes; olyan ez, mintha egy h´armasvektornak csak k´et komponens´et venn´enk figyelembe. Ez a t¨orv´eny az´ert nem teljes, mert ha a koordin´atatengelyeket elforgatjuk, a komponenseuk”, vagyis t¨orv´eny¨ unkbe bele kell venn¨ unk mind a h´arom ket ¨osszekeverj¨ ” komponenst. Ugyan´ıgy a relativit´aselm´elet keretei k¨oz¨ott az impulzusmegmarad´as t¨orv´eny´et teljess´e kell tenn¨ unk oly m´odon, hogy azt ki kell terjeszten¨ unk az id˝ obeli komponensre is. A negyedik komponensnek a t¨obbi h´aromhoz val´o hozz´akapcsol´asa elengedhetetlen, egy´ebk´ent nem ´allhatna fenn a relativisztikus invariancia. Az energia megmarad´ asa a negyedik egyenlet, amely az impulzusmegmarad´asra vonatkoz´o h´arom egyenlettel egy¨ utt val´odi n´egyesvektor-¨osszef¨ ugg´est alkot a t´erid˝o geometri´aj´aban. Eszerint az energia ´es impulzus megmarad´asa n´egydimenzi´os jel¨ol´esekkel a k¨ovetkez˝o alakban ´ırhat´o fel: X X pµ (17.13) pµ = kimen˝ o r´ eszecsk´ ek

bej¨ ov˝ o r´ eszecsk´ ek

vagy kicsit elt´er˝o jel¨ol´essel: X X piµ = pjµ , i

(17.14)

j

ahol i = 1, 2, . . . az u ¨tk¨oz´es el˝ott, j = 1, 2, . . . az u ¨tk¨oz´es ut´an jelen ´ lev˝o r´eszecsk´ekre vonatkozik, µ = x, y, z ´es t. Megk´erdezhetn´enk: Es ” milyen tengelyekre vonatkoz´oan?” A v´alasz: mindegy. A t¨orv´eny minden komponensre igaz, tetsz˝ oleges tengelyeket lehet felvenni. A vektoranal´ızis sor´an sz´oba ker¨ ult egy m´asik fogalom is, nevezetesen k´et vektor skal´arszorzata. Vizsg´aljuk most meg ezt t´erid˝o eset´eben. K¨oz¨ons´eges forgat´askor azt tal´altuk, hogy l´etezik egy invari´ans mennyis´eg: x2 + y 2 + z 2 . N´egy dimenzi´oban az ennek megfelel˝o mennyis´eg: t2 − x2 − y 2 − z 2 – l´asd a (17.3) egyenletet. Hogyan ´ırhatn´ank ezt vektoralakban? Az egyik ´ır´asm´od az lenne, hogy a n´egydimenzi´os mennyis´egek k¨oz´e bekarik´azott pontot tesz¨ unk; pl. A B. A gyakorlatban haszn´alatos egyik jel¨ol´esm´od: X0

Aµ Aµ = A2t − A2x − A2y − A2z .

(17.15)

µ

P

A -n a vessz˝o arra utal, hogy az els˝o tag, az id˝otag” pozit´ıv, m´ıg a ” t¨obbinek negat´ıv el˝ojele van. Ez a mennyis´eg b´armely koordin´atarendszerben azonos, a n´egyesvektor hossza n´egyzet´enek nevezz¨ uk. P´eld´aul www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

316

17. T´erid˝ o

mivel egyenl˝o egy r´eszecske n´egyesimpulzus´anak n´egyzetes hossza? Fentiek szerint ez p2t −p2x −p2y −p2z , vagy m´as sz´oval W 2 −p2 , mivel tudjuk, hogy pt egyenl˝o W -vel. Mit jelent W 2 − p2 ? Olyan mennyis´egnek kell lennie, amely minden koordin´atarendszerben azonos. Speci´alisan ugyanaz abban a rendszerben is, amely a r´eszecsk´evel egy¨ utt mozog, teh´at amelyben a r´eszecske nyugalomban van. Ha egy r´eszecske nyugalomban van, impulzusa z´erus. Vagyis ebben a rendszerben a kifejez´es mag´aval az energi´aval egyenl˝o, amely nem m´as, mint a r´eszecske nyugalmi t¨omege. Ezek szerint W 2 − p2 = m20 . L´athat´o teh´at, hogy ennek a vektornak, vagyis a n´egyesimpulzusnak n´egyzetes hossza m20 -tel egyenl˝o. A vektor n´egyzetes hossz´anak fogalm´ar´ol ´att´erhet¨ unk a skal´arszorzat bevezet´es´ere. Ha aµ ´es bµ k´et n´egyesvektor, skal´arszorzatuk X0

aµ bµ = at bt − ax bx − ay by − az bz .

(17.16)

Ez a kifejez´es minden koordin´atarendszerben v´altozatlan marad. Eml´ekezz¨ unk meg v´eg¨ ul n´eh´any olyan objektumr´ol, amelynek nyugalmi t¨omege z´erussal egyenl˝o. Ilyen p´eld´aul a f´enykvantum, vagy m´as n´even foton. A foton olyan ´ertelemben viselkedik r´eszecskek´ent, hogy energi´at ´es impulzust hordoz mag´aval. Energi´aja rezg´essz´am´anak ´es egy bizonyos ´alland´onak, az u ´gynevezett Planck-´alland´onak a szorzat´aval egyenl˝o: W = hν. Impulzussal is rendelkezik, amely (mint minden r´eszecske eset´eben) h ´es a hull´amhossz h´anyadosa: p = h/λ. Fotonr´ol l´ev´en sz´o azonban a hull´amhossz ´es rezg´essz´am k¨oz¨ott meghat´arozott ¨osszef¨ ugg´es ´all fenn: ν = c/λ. (Az egy m´asodperc alatt ´atmen˝o hull´amok sz´ama szorozva hull´amhosszukkal, egyenl˝o azzal a t´avols´aggal, amelyet a f´eny egy m´asodperc alatt befut, azaz c-vel.) Innen azonnal l´athat´o, hogy a foton energi´aja impulzus´anak c-szerese kell legyen, vagy ha c = 1, az energia ´es impulzus sz´ amszer˝ uen egyenl˝ o. Ez azt jelenti, hogy a nyugalmi t¨omeg z´erus. Vizsg´aljuk meg m´eg egyszer ezt a furcsa ´all´ıt´ast. Mi t¨ort´enik egy ´ z´erus nyugalmi t¨omeg˝ u r´eszecsk´evel, ha meg´all? Soha nem ´ all meg! Alland´ oan c sebess´eggel halad. Az energi´ara vonatkoz´o ´altal´anos formula √ m0 / 1 − v 2 . M´armost mondhatjuk-e azt, hogy miut´an m0 = 0 ´es v = 1, az energia teh´at egyenl˝o z´erussal? A kifejez´esr˝ol nem ´ all´ıthatjuk, hogy ´ert´eke 0; a foton val´oban hordozhat (´es hordoz is) energi´at, annak ellen´ere, hogy nincsen nyugalmi t¨omege, azonban ´eppen annak folyt´an van energi´aja, hogy sz¨ untelen¨ ul f´enysebess´eggel halad! Azt is tudjuk, hogy egy r´eszecske impulzusa egyenl˝o a teljes energi´aja szorozva a sebess´eg´evel; ha c = 1, p = vW , szokv´anyos egys´egekben p = vW/c2 . B´armely f´enysebess´eggel mozg´o r´eszecsk´ere p = W , ha c = 1. A foton valamely mozg´o rendszerb˝ol megfigyelt energi´aj´anak kisz´am´ıt´as´ara www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

17.5. N´egyesvektorok algebr´ aja

317

a (17.12) egyenletek ´erv´enyesek, csak az energia hely´ebe az impulzus cszeres´et (vagy egyszer˝ uen az impulzust) kell behelyettes´ıten¨ unk. Ha a transzform´aci´o sor´an m´as energia´ert´ek ad´odik ki, ez azt jelenti, hogy a rezg´essz´am megv´altozott. Ez az u ´gynevezett Doppler-effektus a (17.12) egyenletekb˝ol, a W = p, illetve a W = hν ¨osszef¨ ugg´es seg´ıts´eg´evel k¨onnyen sz´am´ıthat´o. Id´ezz¨ uk Minkowski szavait: A t´er o¨nmag´aban, s az id˝o o¨nmag´aban ” puszta ´arny´ekk´a v´alik, csup´an saj´ats´agos egys´eg¨ uk az, ami megmarad.”

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

18. fejezet Forg´ as k´ et dimenzi´ oban 18.1. A to eppont ¨megko ¨z´ Az el˝oz˝o fejezetekben pontmechanik´aval, vagyis kicsiny r´eszecsk´ek mechanik´aj´aval foglalkoztunk, amelyeknek bels˝o fel´ep´ıt´ese nem ´erdekelt benn¨ unket. A k¨ovetkez˝o n´eh´any fejezetben azt tanulm´anyozzuk, hogy Newton t¨orv´enyeit hogyan lehet bonyolultabb alak´ u ´es ¨osszet´etel˝ u t´argyakra alkalmazni. Amint a benn¨ unket k¨or¨ ulvev˝o vil´ag mind bonyolultabb´a v´alik, egy´ uttal ´erdekesebb is lesz – megl´atjuk majd, hogy egy bonyolultabb t´argy mechanik´aj´aval kapcsolatos jelens´egek milyen ´erdekfesz´ıt˝oek lehetnek. E jelens´egk¨or term´eszetesen kiz´ar´olag Newton t¨orv´enyei, illet˝oleg azok kombin´aci´oi alapj´an is vizsg´alhat´o, m´egis n´eha igen neh´ez lesz elhinni, hogy mindez puszt´an az F = ma kifejez´esre vezethet˝o vissza. A bonyolultabb alakzat, amivel foglalkozni szeretn´enk, t¨obbf´ele lehet: ´araml´o v´ızt¨omeg, gomolyg´o galaxis ´es ´ıgy tov´abb. A legegyszer˝ ubb bo” nyolult” alakzatot, amellyel vizsg´alatainkat megkezdj¨ uk, merev testnek nevezz¨ uk. Ez olyan szil´ard t´argy, amely helyv´altoztat´asa k¨ozben elfordulhat. Azonban m´eg az ilyen egyszer˝ u t´argynak is igen bonyolult mozg´asform´ai lehetnek, ez´ert el˝osz¨or csak azzal az egyszer˝ u esettel foglalkozunk, amikor egy kiterjedt test r¨ ogz´ıtett tengely k¨or¨ ul forog. Ez esetben a test egy adott pontja a forg´astengelyre mer˝oleges s´ıkban mozog. Ez´ert egy testnek valamilyen r¨ogz´ıtett tengely k¨or¨ uli forg´as´at s´ıkbeli vagy k´etdimenzi´ os forg´ omozg´ asnak nevezz¨ uk. Az elvi k¨ovetkeztet´eseket k´es˝obb ´altal´anos´ıtjuk majd h´arom dimenzi´ora, de k¨ozben l´atni fogjuk, hogy – a k¨oz¨ons´eges pontmechanik´ahoz k´epest – a forg´omozg´as meglehet˝osen nehezen megfoghat´o ´es meg´erthet˝o valami, mindaddig, ameddig nem szerz¨ unk j´ol megalapozott ismereteket a k´etdimenzi´os forg´omozg´asr´ol. Az ¨osszetett, bonyolult alak´ u t´argyak mozg´as´aval kapcsolatban j´ol szeml´eltethet˝o az els˝o ´erdekes t´etel. Dobjunk el egy k¨ ul¨onf´ele l´ecekb˝ol, fadarabokb´ol stb. zsin´orral ¨osszek¨ot¨ott csomagot. A pontmechanik´aban m´ar tanultuk, hogy a t´argy egy parabola ment´en mozog. Csakhogy ez esetben mozg´o t´argyunk nem egyetlen pont csup´an, k¨ ul¨onb¨oz˝o r´eszei minden ir´anyban kit´erve, szab´alytalan g¨orb´eket ´ırhatnak le a leveg˝oben. Az eg´esz” m´egis egy parabola ment´en mozog, ez szemmel l´athat´o t´eny. A ” k´erd´es csup´an az, mi halad parabola ment´en. Biztosan nem egy-egy fadarab valamelyik sarka, mivel ez szemmel l´athat´oan imbolyog, de nem is a www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

18.1. A t¨ omegk¨ oz´eppont

319

fadarab v´ege, vagy ak´ar annak a k¨ozepe. Valami azonban m´egis parabola ment´en halad, l´etezik egy t´enyleges k¨oz´eppont”, amely parabolap´aly´an ” mozog. Els˝o t´etel¨ unk azt mondja ki, hogy l´etezik egy matematikailag defini´alhat´o k¨oz´eppont – ez nem sz¨ uks´egszer˝ uen a t´argy valamely anyagi pontja –, amely parabolap´aly´an halad. A t´etelt a t¨omegk¨oz´eppont t´etelek´ent emlegetik; maga a bizony´ıt´as a k¨ovetkez˝o. B´armely t´argyat par´anyi r´eszecsk´ekb˝ol, atomokb´ol ´all´onak tekint¨ unk, amelyek k¨ozt k¨ ul¨onf´ele er˝ok hatnak. K´epviselje az i index valamelyiket ezen r´eszecsk´ek k¨oz¨ ul. (Ilyen r´eszecske tem´erdek van, u ´gyhogy i a 1023 ´ert´eket is el´erheti.) Az i-edik r´eszecsk´ere hat´o er˝o a r´eszecske t¨omege szorozva a gyorsul´as´aval: Fi = mi (d2 ri /dt2 ).

(18.1)

A k¨ovetkez˝o n´eh´any fejezetben olyan, mozg´asban lev˝o testekkel foglalkozunk, amelyeknek minden r´esze a f´enysebess´egn´el j´oval kisebb sebess´eggel halad, s minden mennyis´egre a nemrelativisztikus k¨ozel´ıt´est alkalmazzuk. Ilyen k¨or¨ ulm´enyek k¨oz¨ott a t¨omeg ´alland´onak tekinthet˝o, vagyis Fi = d2 (mi ri )/dt2 .

(18.2)

Ha most o¨sszeadjuk a k¨ ul¨onb¨oz˝o r´eszecsk´ekre hat´o er˝oket, vagyis Fi -ket uk az i indexre, megkapjuk a teljes F er˝ot. Az egyenlet jobb ¨osszegezz¨ oldal´an ugyanazt az ¨osszef¨ ugg´est kapjuk, mintha a mennyis´egeket a differenci´al´as el˝ott adtuk volna ¨ossze: P X d2 ( i mi ri ) Fi = F = . (18.3) dt2 i Vagyis a teljes er˝o egyenl˝o a t¨omegek ´es azok helyzetvektorai ¨osszegezett szorzatainak m´asodik differenci´alh´anyados´aval. M´armost a r´eszecsk´ekre hat´o teljes er˝o egyenl˝o a k¨ uls˝ o er˝ovel. Mi´ert? J´ollehet a r´eszecsk´ek k¨oz¨ott a legk¨ ul¨onf´el´ebb er˝ok hatnak (ide-oda val´o mozg´asuk, vonz´asuk ´es tasz´ıt´asuk, atomi er˝ok s ki tudn´a felsorolni, m´eg mi minden), nek¨ unk mindezt ¨osszegezn¨ unk kellene. Newton harmadik t¨orv´enye azonban megment minket ett˝ol. B´armely k´et r´eszecske k¨oz¨ott a hat´as ´es az ellenhat´as egyenl˝o, ´ıgy ha ¨osszeadjuk az ¨osszes l´etez˝o egyenletet, ha b´armely k´et r´eszecske k¨ oz¨ott l´etezett valamilyen k¨olcs¨onhat´as, ez az ¨osszegben ki fog esni. Teh´at v´egeredm´enyben a megmarad´o er˝ok olyan r´eszecsk´ekt˝ol sz´armaznak, amelyeket nem tekinthett¨ unk a vizsg´alt t´argy r´eszeinek, vagyis az ¨osszegben nem vett¨ uk ˝oket figyelembe. ´Igy ha a (18.3) egyenlet bizonyos sz´am´ u r´eszecsk´ere vonatkoz´o ¨osszegz´es eredwww.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

320

18. Forg´ as k´et dimenzi´ oban

m´enye, amely r´eszecsk´eket egy¨ uttesen t´argynak” nevezz¨ uk, u ´gy a teljes ” t´argyra hat´o k¨ uls˝ o er˝o egyenl˝o az annak minden egyes r´eszecsk´ej´ere hat´o er˝o ¨osszeg´evel. M´armost igen sz´ep lenne, ha a (18.3) egyenletet u ´gy ´ırhatn´ank fel, mint az ¨osszt¨omeg szorozva valamilyen gyorsul´assal. Ez kereszt¨ ulvihet˝o. Legyen M a t¨omegek ¨osszege, r¨oviden az ¨osszt¨omeg. Ekkor egy bizonyos R vektort u ´gy defini´alunk, hogy az R=

X

mi ri /M

(18.4)

i

legyen, a (18.3) egyenlet a k¨ovetkez˝o egyszer˝ u form´at ¨olti: F = d2 (M R)/dt2 = M (d2 R/dt2 ),

(18.5)

minthogy M ´alland´o. Vagyis azt tal´altuk, hogy a k¨ uls˝o er˝o egyenl˝o az ¨osszt¨omeg szorozva egy k´epzeletbeli pont gyorsul´as´aval, amelynek helyzet´et az R vektor adja meg. Ezt a k´epzeletbeli pontot a test t¨ omegk¨ oz´eppontj´ anak nevezz¨ uk. Ez a pont valahol a t´argy k¨ozep´en” helyezkedik el, ” k´eplet¨ unkben ez az ´atlagos r hely, ahol k¨ ul¨onb¨oz˝o ri -ik t¨omeg¨ ukkel ar´anyos s´ ulyoz´assal, fontoss´aguk szerint vannak figyelembe v´eve (aszerint, hogy mekkora t¨omeget k´epviselnek az ¨osszt¨omegben). E fontos t´etelt egy k´es˝obbi fejezetben vitatjuk majd meg r´eszletesebben, ez´ uttal csak k´et fontos szempont megeml´ıt´es´ere szor´ıtkozunk. El˝osz¨or is, ha a k¨ uls˝o er˝o z´erus, vagyis ha a t´argy u ´szik”, forog¨res t´erben u ” hat, ugr´andozhat, elcsavarodhat, mindenf´ele-fajta mozg´ast v´egezhet. De a t¨ omegk¨ oz´eppont, ez a mesters´egesen bevezetett, matematikai u ´ton megadott pont, valahol a t´argy k¨ozep´en ´ alland´ o sebess´eggel halad. Teh´at ha kezdetben nyugalomban volt, v´egig nyugalomban marad. Ha p´eld´aul egy embereket sz´all´ıt´o u ˝rhaj´o t¨omegk¨oz´eppontj´anak helyzet´et kisz´am´ıtjuk, ´es azt nyugalomban lev˝onek tal´aljuk, mindv´egig nyugalomban marad, m´ıg k¨ uls˝o er˝o nem hat a haj´ora. Term´eszetesen maga az u ˝rhaj´o elmozdulhat egy kiss´e a t´erben, de ez att´ol sz´armazik, hogy az emberek ide-oda j´ark´alnak benne. Amikor valaki az u ˝rhaj´o elej´ehez k¨ozeledik, az h´atrafel´e mozdul el u ´gy, hogy a t¨omegek ´atlagos helyzete ugyanabban a pontban maradjon. Ezek szerint akkor a rak´eta hajt´asa teljess´eggel lehetetlen volna, minthogy a t¨omegk¨oz´eppont nem mozd´ıthat´o el? Nem lehetetlen, de term´eszetesen ahhoz, hogy a rak´et´anak egy bizonyos, sz´amunkra fontos r´esz´et el˝ore lend´ıts¨ uk, egy m´asik, kev´esb´e fontos r´esz´et el kell dobnunk. M´as sz´oval, ha rak´et´anknak kezdetben z´erus sebess´ege volt, s egy bizonyos mennyis´eg˝ u g´azt a rak´eta t´ uls´o v´eg´en kibocs´atunk, a par´anyi g´azr´eszecsk´ek az egyik ir´anyban, a rak´etatest a m´asik ir´anyban halad, m´ıg a t¨omegk¨oz´epwww.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

18.2. Merev test forg´ omozg´ asa

321

pont pontosan ugyanazon a helyen marad, ahol volt. Vagyis egyszer˝ uen arr´ol van sz´o, hogy a sz´amunkra fontos r´eszt az ´erdektelen eldob´asa ´ar´an mozgatjuk. A t¨omegk¨oz´eppont mozg´as´ara vonatkoz´o m´asik ´eszrev´etel¨ unk: a t¨omegk¨oz´eppont a t´argy minden bels˝o” mozg´as´at´ol f¨ uggetlennek tekinthe” t˝o, ez´ert a forg´omozg´as t´argyal´as´an´al figyelmen k´ıv¨ ul hagyhatjuk. Egy´ebk´ent ´eppen ez´ert kezdt¨ uk a t¨omegk¨oz´epponttal a forg´omozg´as tanulm´anyoz´as´at. 18.2. Merev test forg´ omozg´ asa Foglalkozzunk ezut´an a forg´omozg´assal. Egy val´os´agos t´argy term´eszetesen nemcsak egyszer˝ uen forog, hanem ide-oda imbolyog, csavarodik, meghajlik, ez´ert a probl´em´at egyszer˝ us´ıtve, egy neml´etez˝o ide´alis t´argy, az u ´gynevezett merev test mozg´as´at elemezz¨ uk. Ez egy olyan k´epz˝odm´eny, amelyben az atomok k¨oz¨ott hat´o er˝ok annyira er˝osek, s olyan jelleg˝ uek, hogy az elmozd´ıt´as´ahoz sz¨ uks´eges kev´es er˝o a t´argyat nem hajl´ıtja meg. Mozg´asa k¨ozben a t´argy alakja l´enyeg´eben nem v´altozik meg. Ha egy ilyen t´argy mozg´as´at szeretn´enk szem¨ ugyre venni, s emellett megegyez¨ unk, hogy nem vessz¨ uk figyelembe a t¨omegk¨oz´eppont mozg´as´at, mind¨ossze egyetlen mozg´asfajta marad a tanulm´anyoz´as t´argy´anak, s ez a forg´ omozg´ as. Ezt kell teh´at most le´ırnunk. Hogyan? Tegy¨ uk fel, hogy a vizsg´alt testben van egy nyugalomban lev˝o egyenes (amely esetleg tartalmazza a t¨omegk¨oz´eppontot, esetleg nem), s a test ezen egyenes k¨or¨ ul mint tengely k¨or¨ ul forog. Hogyan defini´aljuk a forg´ast? Ez igaz´an egyszer˝ u, ugyanis ha a tengelyt kiv´eve, a t´argyon kijel¨ol¨ unk egy pontot, s csak annyit tudunk, hogy e pont hov´a mozdult el, mindig pontosan meg tudjuk mondani az eg´esz t´argy helyzet´et. M´armost az egyetlen adat, amely az adott pont helyzet´enek le´ır´as´ahoz sz¨ uks´eges, egy sz¨ og. Ez´ert a forg´omozg´as sz¨ogek id˝obeli megv´altoz´as´anak tanulm´anyoz´as´ab´ol ´all. A forg´omozg´as tanulm´anyoz´asakor azt a sz¨oget vizsg´aljuk, amellyel a t´argy elfordult. Term´eszetesen ez alatt nem valamely, a t´argy belsej´eben felvett sz¨oget ´ert¨ unk; nem arr´ol van sz´o, hogy mag´an a t´argyon kijel¨ol¨ unk valamilyen sz¨oget. Az eg´esz t´ argy helyzet´enek sz¨ ogv´ altoz´ as´ at vizsg´ aljuk id˝ or˝ ol id˝ ore. Foglalkozzunk el˝osz¨or a forg´omozg´as kinematik´aj´aval. A sz¨og id˝oben v´altozik, s ugyan´ ugy, ahogy egy dimenzi´o eset´en helyr˝ol ´es sebess´egr˝ol, s´ıkbeli forg´as eset´en sz¨og´all´asr´ol, illetve sz¨ogsebess´egr˝ol besz´el¨ unk. A k´etdimenzi´os forg´as ´es az egydimenzi´os pontmozg´as k¨oz¨ott val´oban l´etes´ıthet˝o egy nagyon ´erdekes megfeleltet´es, ahol minden mennyis´egnek l´etezik www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

322

18. Forg´ as k´et dimenzi´ oban

megfelel˝oje. Vegy¨ uk el˝osz¨or is a ϕ sz¨oget, amely megadja, hogy milyen m´ert´ekben fordult el a test; ez az s t´avols´agnak felel meg, amely megmondja, hogy a test milyen messzire jutott el. Hasonl´ok´epp az ω = dϕ/dt sz¨ogsebess´eg megadja, mennyit v´altozik meg a sz¨og egy m´asodperc alatt, mint ahogyan a v = ds/dt le´ırja, mekkora a t´argy sebess´ege, m´as sz´oval, milyen messzire jut el egy m´asodperc alatt. Ha a sz¨oget radi´anban m´erj¨ uk, a sz¨ogsebess´eget (ω) rad/s-ban kell kifejezni. Min´el nagyobb a sz¨ogsebess´eg, ann´al gyorsabban forog a test, ann´al gyorsabban v´altozik a sz¨og. Tov´abb is mehet¨ unk: differenci´alhatjuk a sz¨ogsebess´eget az id˝o szerint. Az α = dω/dt = d2 ϕ/dt2 mennyis´eget sz¨oggyorsul´asnak nevezz¨ uk. Ez lesz a k¨oz¨ons´eges gyorsul´as megfelel˝oje. Ezek ut´an k´ezenfekv˝o, hogy ¨ossze y vx kell kapcsolnunk a forg´omozg´as divy v namik´aj´at a testet fel´ep´ıt˝o r´eszecsQ q k´ek dinamik´aj´anak t¨orv´enyeivel, P(x,y) vagyis meg kell hat´aroznunk, mi lesz D y r a mozg´asa egy adott r´eszecsk´enek, ha a sz¨ogsebess´eg ennyi ´es ennyi. O x x Ehhez a szokott m´odon szemelj¨ unk ki valamely r´ e szecsk´ e t, amely adott 18.1. a ´bra. K´etdimenzi´ os forg´ omozg´ as kinematik´ aja t id˝opontban a P (x, y) helyen tart´ozkodik, r t´avols´agra a tengelyt˝ol (18.1. ´abra). Ha ∆t id˝ovel k´es˝obb az eg´esz t´argy ∆ϕ sz¨oggel elfordult, ezzel egy¨ utt a r´eszecske is elmozdult. O-t´ol sz´am´ıtott sugara most is ugyanaz, de a r´eszecske a Q pontba ker¨ ult. El˝osz¨or most az ´erdekel benn¨ unket, hogy mennyit v´altozott meg az x ´es mennyit az y t´avols´ag. Ha OP -t elnevezz¨ uk r-nek, P Q szakasz hossza a sz¨og defin´ıci´oj´ab´ol k¨ovetkez˝oen r∆ϕ. Az x szakasz megv´altoz´asa teh´at egyszer˝ uen az r∆ϕ szakasz vet¨ ulete x ir´anyban: ∆x = −P Q sin ϕ = −r∆ϕ(y/r) = −y∆ϕ.

(18.6)

Hasonl´ok´eppen (18.7)

∆y = +x∆ϕ.

Ha a t´argy adott ω sz¨ogsebess´eggel forog, akkor (18.6) ´es (18.7) mindk´et oldal´at ∆t-vel elosztva, a r´eszecske sebess´eg´ere azt kapjuk, hogy vx = −ωy

´es vy = +ωx.

(18.8)

Term´eszetesen ha a sebess´eg nagys´ag´ara vagyunk k´ıv´ancsiak, csak ezt kell fel´ırnunk: q q q v=

www.interkonyv.hu

vx2 + vy2 =

ω 2 y 2 + ω 2 x2 = ω x2 + y 2 = ωr.

(18.9)

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

18.2. Merev test forg´ omozg´ asa

323

Semmi titokzatos nincs abban, hogy a sebess´eg nagys´aga ωr, s˝ot ink´abb mag´at´ol ´ertet˝od˝o, mivel a befutott t´avols´ag r∆ϕ, ´es az 1 s alatt befutott t´avols´ag r∆ϕ/∆t, m´ask´eppen rω. T´erj¨ unk most r´a a forg´omozg´as dinamik´ aj´ anak t´argyal´as´ara. Itt be kell vezetn¨ unk egy u ´j, az er˝ oh¨ oz hasonl´o fogalmat. N´ezz¨ uk meg, vajon tal´alunk-e valamit – amit majd forgat´ onyomat´eknak nevez¨ unk –, ami a forg´asban ugyanazt a szerepet t¨ olti be, mint az er˝o az egyenes vonal´ u mozg´asban. Az egyenes vonal´ u mozg´ast az er˝o hozza l´etre, ´es az, ami valamit forg´asba hoz, forgat´o er˝o” vagy csavar´o er˝o” – azaz a forga” ” t´onyomat´ek. Kvalitat´ıve a forgat´onyomat´ek elcsavar´ast” jelent; k´erd´es, ” mi a kvantitat´ıv defin´ıci´oja. Ennek megv´alaszol´as´ara tanulm´anyozzuk a t´argy elforgat´asakor v´egzett munk´at, mint ahogy az er˝o meghat´aroz´as´anak is egyik igen tetszet˝os m´odja, ha meg´allap´ıtjuk, mennyi munk´at v´egez egy adott elmozdul´as folyam´an. Az egyenes vonal´ u, illetve a forg´omozg´as k¨ozti anal´ogi´at megpr´ob´aljuk fenntartani oly m´odon, hogy a munk´at, mely bizonyos er˝ok hat´as´ara egy t´argynak valamely kism´ert´ek˝ u elforgat´asakor keletkezett, egyenl˝ov´e tessz¨ uk a forgat´ onyomat´ek ´es az elfordul´as sz¨ og´enek szorzat´aval. M´as sz´oval a forgat´onyomat´ekot u ´gy szeretn´enk defini´alni, hogy a munk´ara vonatkoz´o vonatkoz´o t´etelnek t¨ok´eletes megfelel˝oj´et kapjuk: az er˝o ´es a t´avols´ag szorzata egyenl˝o a munk´aval, s ugyan´ıgy a forgat´onyomat´ek szorozva az elfordul´as sz¨og´evel legyen egyenl˝o a v´egzett munk´aval. Ez megmondja nek¨ unk, mi a forgat´onyomat´ek. P´eldak´ent tekints¨ unk egy k¨ ul¨onf´ele er˝ok hat´asa alatt ´all´o merev testet, valamint egy tengelyt, amely k¨or¨ ul a test elfordulhat. Vegy¨ unk el˝osz¨or csup´an egyetlen er˝ot, amelyr˝ol feltessz¨ uk, hogy egy bizonyos (x, y) pontban hat. Mekkora munk´at v´egezn´enk, ha a t´argyat nagyon kis sz¨oggel elforgatn´ank? A v´alasz nem neh´ez. A v´egzett munka: ∆W = Fx ∆x + Fy ∆y.

(18.10)

∆x ´es ∆y hely´ebe csup´an be kell helyettes´ıten¨ unk a (18.6) ´es (18.7) egyenleteket: ∆W = (xFy − yFx )∆ϕ.

(18.11)

Azaz a v´egzett munka mennyis´ege val´oban az elforgat´as sz¨oge megszorozva a t´avols´agnak, valamint az er˝onek egy furcsa kombin´aci´oj´aval. Ez a furcsa kombin´aci´o” az, amit forgat´onyomat´eknak nevez¨ unk. Vagyis a munk´at ” a forgat´onyomat´ek ´es az elfordul´as szorzatak´ent defini´alva megkaptuk a forgat´onyomat´ekot az er˝okkel kifejezve. (Ez nyilv´anval´o is, minthogy a forgat´onyomat´ek nem teljesen u ´j, nem a newtoni mechanik´at´ol f¨ uggetlen fogalom, s ´eppen ez´ert az er˝ok ´altal pontosan kifejezhet˝onek kell lennie.) www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

324

18. Forg´ as k´et dimenzi´ oban

Ha t¨obb er˝o hat, a v´egzett munka term´eszetesen az egyes er˝ok ´altal v´egzett munk´ak o¨sszege, ∆W teh´at az egyes er˝oknek megfelel˝o o¨sszeadand´okb´ol ´all, azonban ezek mindegyike ∆ϕ-vel ar´ anyos. ∆ϕ-t ki tudjuk teh´at emelni, s ennek alapj´an meg´allap´ıthatjuk, hogy a munka megv´altoz´asa egyenl˝o a k¨ ul¨onb¨ oz˝o er˝oknek megfelel˝o forgat´onyomat´ekok ¨osszege szorozva ∆ϕ-vel. Az ¨osszeget T teljes forgat´onyomat´eknak nevezhetj¨ uk. Ezek szerint a forgat´onyomat´ekok a k¨oz¨ons´eges algebra szab´alyainak megfelel˝oen ad´odnak ¨ossze. K´es˝obb azonban l´atni fogjuk, hogy mindez csup´an annak k¨ovetkezm´enye, hogy s´ıkban dolgozunk. A helyzet ugyanaz, mint az egydimenzi´os kinematik´aban, ahol az er˝ok egyszer˝ uen algebrailag ¨osszegz˝odnek, de csup´an az´ert, mert mindegyik egy egyenesbe esik. H´arom dimenzi´oban a dolog bonyolultabb. Ezek szerint a k´etdimenzi´os forg´as eset´en Ti = xi Fyi − yi Fxi (18.12) ´es X T = Ti . (18.13) Hangs´ ulyoznunk kell, hogy a forgat´onyomat´ek adott tengelyre vonatkozik. Ha egy m´asik tengelyt v´alasztunk, ´es ez´altal minden xi ´es yi megv´altozik, a forgat´onyomat´ek is (´altal´aban) m´as lesz. Itt azonban k¨ozbevet˝oleg egy megjegyz´est kell tenn¨ unk. A forgat´onyomat´ek bevezet´ese – a munka fogalm´an kereszt¨ ul – igen fontos felvil´agos´ıt´assal szolg´al az egyens´ ulyi helyzetet illet˝oen: Ha egy t´argyra hat´o ulyban van, ¨osszes er˝o mind az eltol´asra, mind az elforgat´asra n´ezve egyens´ nem csup´an az ered˝ o er˝ o z´erus, de a forgat´ onyomat´ekok o¨sszege is z´erussal egyenl˝o, minthogy egyens´ ulyban lev˝o t´argyon valamely kis elmozdul´ as sor´ an az er˝ ok a ´ltal v´egzett munka z´erus. Teh´at, mivel ∆W = T ∆ϕ = 0, a forgat´onyomat´ekok ¨osszeg´enek 0-nak kell lennie. Ilyen m´odon az egyens´ ulynak k´et felt´etele van: az ¨osszes er˝o ¨osszege ´es a forgat´onyomat´ekok o¨sszege is z´erust kell hogy adjon. Pr´ob´aljuk meg bebizony´ıtani: elegend˝o meggy˝oz˝odni arr´ol, hogy a forgat´onyomat´ekok ¨osszege egy tetsz˝ oleges tengelyre n´ezve z´erus (k´et dimenzi´oban). Tekints¨ unk most egyetlen er˝ot, ´es pr´ob´aljuk meghat´arozni ennek a furcsa xFy − yFx kifejez´esnek a geometriai jelent´es´et. A 18.2. ´abra egy r pontban hat´o F er˝ot ´abr´azol. Ha a t´argy egy kicsiny ∆ϕ sz¨oggel elfordul, term´eszetesen a v´egzett munka a hat´o er˝onek az elmozdul´as ir´any´aba es˝o komponense megszorozva az elmozdul´assal. M´as sz´oval, az er˝onek csup´an az ´erint˝oir´any´ u komponense az, amit figyelembe kell venn¨ unk, ´es ezt kell megszoroznunk az r∆ϕ t´avols´aggal. L´athat´o teh´at, hogy a forgat´onyomat´ek m´as megfogalmaz´asban az er˝o ´erint˝oir´any´ u komponens´enek (azaz www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

325

18.3. Impulzusmomentum (perd¨ ulet)

a sug´arra mer˝oleges komponens´enek), valamint a sug´arnak a szorzat´aval egyenl˝o. Ez val´oban meg is felel a forgat´onyomat´ekr´ol alkotott eredeti elk´epzel´es¨ unknek, ugyanis ha az er˝o teljes m´ert´ekben sug´arir´any´ u lenne, ez semmif´ele csavar´ast” nem hozna l´etre; nyilv´anval´oan csavar´ast az er˝o” nek csak az a komponense id´ezhet el˝o, amely nem gyakorol h´ uz´o hat´ast a k¨oz´eppontra, s ez csak az ´erint˝oir´any´ u komponens lehet. Tov´abb´a vil´agos, hogy adott er˝o hat´ekonyabb hossz´ u karon, mint a tengelyhez k¨ozel. Val´oban, a pontosan a tengelyre hat´o h´ uz´o hat´as egy cseppet sem forgatja a testet! Vagyis t´enyleg igaz, hogy egy bizonyos m´ert´ek˝ u elforgat´as, illetve forgat´onyomat´ek ar´anyos mind a sug´arir´any´ u t´avols´aggal, mind az er˝o ´erint˝oir´any´ u komponens´evel. A forgat´onyomat´ekra van m´eg egy O igen ´erdekes harmadik formula is. ´ Eppen az el˝obb l´attuk, hogy a forFt r0 r D gat´ o nyomat´ ek egyenl˝o az er˝o szorozF rD a a r va a sug´arral, s ez szorozva a 18.2. S P F ´abr´an l´athat´o sz¨og sz´ınusz´aval. Ha most meghosszabb´ıtjuk azt az egye18.2. a ´bra. Er˝ ohat´ as a ´ltal l´etrehozott forgat´ onyomat´ek nest, amelynek ment´en az er˝o hat, ´es megh´ uzzuk OS-t, az O-b´ol az er˝o ir´any´ara bocs´atott mer˝olegesnek O ´es az er˝o hat´asvonala k¨oz´e es˝o szakasz´at (az u ´gynevezett er˝okart), l´athatjuk, hogy az er˝okar r-n´el ´eppen annyiszor kisebb, ah´anyszor az ´erint˝oir´any´ u komponens kisebb a teljes er˝on´el. A forgat´onyomat´ek kifejez´ese teh´at u ´gy is ´ırhat´o, mint az er˝o nagys´aga szorozva az er˝okar hossz´aval. A forgat´onyomat´ekot szok´as az er˝o momentum´anak is nevezni. Ezen kifejez´esm´od eredete hom´alyos, de kapcsolatba hozhat´o azzal a t´ennyel, hogy a momentum” a latin movimentumb´ol sz´armazik, s hogy egy er˝o ” t´ argymozgat´ o k´epess´ege (ha az er˝o emel˝ore vagy fesz´ıt˝or´ udra hat) n¨ovekszik az er˝okar hossz´aval. A matematik´aban a momentum” a tengelyt˝ol ” m´ert t´avols´ag szerinti s´ ulyoz´ast jelenti.

18.3. Impulzusmomentum (perdu ¨ let) J´ollehet mindeddig csak a merev test speci´alis eset´evel foglalkoztunk, a forgat´onyomat´ek tulajdons´agai ´es a r´avonatkoz´o matematikai ¨osszef¨ ugg´esek akkor is ´erdekesek, ha nem merev testr˝ol van sz´o. Val´oban, be lehet bizony´ıtani egy igen ´erdekes t´etelt: ahogyan a k¨ uls˝o er˝o egy adott r´eszecskecsoport teljes impulzus´anak nevezett p mennyis´eg id˝obeli megv´altoz´as´anak m´ert´eke, ugyan´ ugy a k¨ uls˝o forgat´onyomat´ek egy N mennyis´eg id˝obeli www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

326

18. Forg´ as k´et dimenzi´ oban

megv´altoz´as´anak m´ert´eke, amelyet a r´eszecskecsoport impulzusmomentum´ anak (vagy perd¨ ulet´enek) nevez¨ unk. A bizony´ıt´ashoz vegy¨ unk szem¨ ugyR re egy k¨ ul¨onb¨oz˝o er˝ok hat´asa alatt Q ´all´o rendszert, s pr´ob´aljuk meghat´av Q’ m rozni, mi t¨ort´enik ezzel a rendszerrel P az er˝ok ´altal l´etrehozott forgat´onyor ´ mat´ekok hat´as´ara. Erdemes el˝osz¨or O egyetlen r´eszecsk´et megvizsg´alni. A 18.3. ´abr´an egy m t¨omeg˝ u r´eszecs18.3. a ´bra. Egy O-tengely k¨ or¨ ul mozke, valamint egy O tengely l´athat´o; g´ o r´eszecske a r´eszecske nem felt´etlen¨ ul O k¨or¨ uli p´aly´an mozog, mozoghat p´eld´aul ellipszisen vagy ak´armilyen m´as g¨orbe ment´en. Egysz´oval a r´eszecske valamilyen mozg´ast v´egez, mik¨ozben k¨ uls˝o er˝ok hatnak r´a, ´es gyorsul´asa a szok´asos formul´aval fejezhet˝o ki, vagyis az er˝o x komponense egyenl˝o t¨omegszer a gyorsul´as x komponense, stb. L´assuk azonban, mi a forgat´onyomat´ek hat´asa. A forgat´onyomat´ek egyenl˝o az xFy − yFx kifejez´essel, az er˝o pedig az x, illetve y ir´anyban egyenl˝o a t¨omegnek ´es a megfelel˝o ir´anyokban vett gyorsul´asnak a szorzat´aval: T = xFy − yFx = xm(d2 y/dt2 ) − ym(d2 x/dt2 ).

(18.14)

Ez ugyan nem l´atszik valamilyen egyszer˝ u mennyis´eg differenci´alh´anyados´anak, m´egis kider¨ ul, hogy val´oj´aban az xm(dy/dt) − ym(dx/dt) mennyis´eg deriv´altja: d dy dx xm − xy = dt dt dt !     !     d2 y d2 x dy dx dx dy = xm m − ym m = + − 2 2 dt dt dt dt dt dt 



d2 y = xm dt2



!





!

d2 x − ym . dt2 (18.15)

Vagyis igaz, hogy a forgat´onyomat´ek valaminek az id˝obeli megv´altoz´asa! Ford´ıtsuk figyelm¨ unket erre a valamire”, ´es adjunk nevet neki: Jel¨olj¨ uk ” N -nel ´es nevezz¨ uk impulzusmomentumnak: N = xm(dy/dt) − ym(dx/dt) = xpy − ypx .

(18.16)

B´ar jelen t´argyal´asm´odunk nem relativisztikus, N -nek fent megadott m´asodik alakja relativisztikusan helyt´all´o. Azt tal´altuk teh´at, hogy a forg´omozg´asn´al l´etezik az impulzusnak is analogonja, s ez az impulzusmowww.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

18.3. Impulzusmomentum (perd¨ ulet)

327

mentum, amely az impulzus komponenseivel ´eppen olyan alakban fejezhet˝o ki, mint a forgat´onyomat´ek az er˝o komponenseivel! Ez´ert ha ismerni k´ıv´anjuk egy r´eszecsk´enek valamely tengelyre vonatkoz´o impulzusmomentum´at, egyszer˝ uen csak vessz¨ uk az impulzus ´erint˝oir´any´ u komponens´et, ´es megszorozzuk a sug´arral. M´as sz´oval, az impulzusmomentum szempontj´ab´ol nem az a l´enyeges, milyen gyorsan t´ avolodik el a r´eszecske az orig´ot´ol, hanem az, hogy milyen gyorsan mozog az orig´o k¨ or¨ ul. Az impulzusmomentum szempontj´ab´ol teh´at az impulzusnak csak az ´erint˝oir´any´ u ¨osszetev˝oj´et kell figyelembe venn¨ unk. Tov´abb´a min´el t´avolabbra van az orig´ot´ol ´ az impulzus hat´asvonala, ann´al nagyobb lesz az impulzusmomentum. Es minthogy a geometriai ¨osszef¨ ugg´esekn´el mindegy, hogy a mennyis´egeket p-vel vagy F -fel jel¨olj¨ uk, itt is tal´alhat´o egy kar (nem azonos a r´eszecsk´ekhez tartoz´o er˝okarral), amelyet u ´gy kapunk meg, hogy az impulzus ir´any´at meghosszabb´ıtva, erre mer˝olegest bocs´atunk a tengelyt˝ol. Teh´at az impulzusmomentum egyenl˝o az impulzus szorozva az impulzus karj´aval. Ily m´odon ´epp´ ugy, mint a forgat´onyomat´ekra, az impulzusmomentumra h´arom kifejez´es¨ unk ad´odik: N = xpy − ypx N = rp´erint˝o N = p · (impulzusmomemtum karja).

(18.17)

Mint ahogyan a forgat´onyomat´ek, az impulzusmomentum is f¨ ugg annak a tengelynek a helyzet´et˝ol, amelyre vonatkoz´oan ki akarjuk sz´am´ıtani. Miel˝ott r´at´ern´enk t¨obb r´eszecske t´argyal´as´ara, alkalmazzuk eredm´enyeinket egy, a Nap k¨or¨ ul kering˝o bolyg´ora. Milyen ir´anyban hat itt az er˝o? A Nap ir´any´aban. Mekkora most teh´at a bolyg´ora hat´o forgat´onyomat´ek? Term´eszetesen ez att´ol f¨ ugg, hogy hol vessz¨ uk fel a tengelyt, de ha a tengelyt a Nap hely´en vessz¨ uk fel, igen egyszer˝ u eredm´enyre jutunk, mivel a forgat´onyomat´ek egyenl˝o az er˝o szorozva az er˝okarral, vagy m´ask´epp az r-re mer˝oleges ¨osszetev˝o szorozva r-rel. Most azonban nincsen ´erint˝oir´any´ u er˝o, vagyis a Nap hely´en lev˝o tengelyre vonatkoz´oan a forgat´onyomat´ek z´erus! K¨ovetkez´esk´eppen a Nap k¨or¨ ul kering˝o bolyg´o impulzusmomentum´anak id˝oben ´alland´onak kell lennie. N´ezz¨ uk meg, mit jelent ez. A sebess´eg ´erint˝oir´any´ u ¨osszetev˝oj´enek, valamint a t¨omegnek ´es a sug´arnak a szorzata ´alland´o lesz, mivel ez nem m´as, mint az impulzusmomentum, amelynek id˝obeli megv´altoz´asa a forgat´onyomat´ek, ´es ez esetben ut´obbi z´erus. Mivel term´eszetesen a t¨omeg szint´en ´alland´o, mindez azt jelenti, hogy az ´erint˝oir´any´ u sebess´eg ´es a sug´ar szorzata ´alland´o. De ez nem m´as, mint amit a bolyg´ok mozg´as´ara vonatkoz´oan m´ar megiswww.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

328

18. Forg´ as k´et dimenzi´ oban

mert¨ unk. Tekints¨ unk egy kicsiny ∆t id˝otartamot. Mennyi utat tesz meg a bolyg´o, amikor P -b˝ol Q-ba jut (18.3. ´abra)? Mekkora lesz az ´altala v´egigsepert ter¨ ulet? Eltekintve az OP Q-n´al sokkal kisebb QQ0 P ter¨ ulett˝ol, ez egyszer˝ uen a P Q alap fel´enek ´es az OR magass´agnak a szorzata. M´as sz´oval, az id˝oegys´eg alatt v´egigsepert ter¨ ulet a sebess´egnek ´es a sebess´eg karj´anak a szorzata (szorozva 1/2-del). A v´egigsepert ter¨ ulet ar´anyos teh´at az impulzusmomentummal, amely viszont ´alland´o. Ezek szerint Keplernek az egyenl˝o id˝otartamokhoz tartoz´o egyenl˝o fel¨ uletekr˝ol sz´ol´o t¨orv´enye az impulzusmomentum megmarad´as´anak (sz´obeli) megfogalmaz´asa arra az esetre, amikor az er˝ok nem hoznak l´etre forgat´onyomat´ekot. 18.4. Az impulzusmomentum megmarad´ asa A k¨ovetkez˝okben a nagysz´am´ u r´eszecske eset´et vizsg´aljuk, teh´at a vizsg´alt t´argy sok darabb´ol tev˝odik ¨ossze, amelyek k¨oz¨ott ´es amelyekre k´ıv¨ ulr˝ol sok k¨ ul¨onb¨oz˝o er˝o hat. Annyit term´eszetesen m´ar tudunk, hogy b´armely tengelyre vonatkoz´oan az i-edik r´eszecsk´ere hat´o forgat´onyomat´ek (az i-edik r´eszecsk´ere hat´o er˝onek ´es az er˝o karj´anak a szorzata) egyenl˝o ezen r´eszecske impulzusmomentum´anak id˝obeli megv´altoz´as´aval, ´es hogy az i-edik r´eszecske impulzusmomentuma a r´eszecske impulzus´anak ´es az impulzus karj´anak a szorzata. Adjuk most ¨ossze az egyes r´eszecsk´ekhez tartoz´o Ti forgat´onyomat´ekokat, ´es nevezz¨ uk az ¨osszeget T teljes forgat´onyomat´eknak. Ez megadja az egyes r´eszecsk´ekhez tartoz´o Ni impulzusmomentumok o¨sszeg´enek id˝obeli megv´altoz´as´at, ´es egy u ´j mennyis´eget defini´al ez´altal, amelyet N teljes impulzusmomentumnak nevez¨ unk. Ugyan´ ugy, ahogyan egy test teljes impulzusa az ˝ot alkot´o r´eszecsk´ek impulzusainak ¨osszeg´evel egyenl˝o, az impulzusmomentum is az egyes r´eszecsk´ek impulzusmomentumainak ¨osszege. Az N teljes impulzusmomentum id˝obeli megv´altoz´asa teh´at a teljes forgat´onyomat´ekkal egyenl˝o: X X dNi dN T = Ti = = . (18.18) dt dt ´ Ugy l´atszhat, hogy a teljes forgat´onyomat´ek egy igen bonyolult valami, hiszen figyelembe kell venn¨ unk az ¨osszes k¨ uls˝o ´es bels˝o er˝ot. Ha azonban felid´ezz¨ uk a hat´as–ellenhat´asr´ol sz´ol´o harmadik Newton-t¨orv´enyt, hozz´af˝ uzve, hogy nem csup´an az igaz, hogy a hat´as ´es az ellenhat´as egyenl˝o, de a k´et hat´as ugyanazon egyenes ment´en ellenkez˝ o ir´ any´ u (lehets´eges, hogy Newton t´enylegesen ezt mondta, de az is lehet, hogy nem; mindenesetre hallgat´olagosan felt´etelezte), akkor a k¨olcs¨onhat´asban lev˝o p´arok egym´asra gyakorolt forgat´ onyomat´eka ugyanolyan nagys´ag´ u ´es ellenkez˝o ir´any´ u, www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

329

18.4. Az impulzusmomentum megmarad´ asa

minthogy az er˝okarok tetsz˝oleges tengelyre vonatkoz´oan egyenl˝oek. A bels˝o forgat´onyomat´ekok teh´at p´aronk´ent kiegyens´ ulyozz´ak egym´ast, s ´ıgy egy figyelemre m´elt´o t´etelhez jutunk, mely szerint tetsz˝ oleges tengelyre vonatkoz´ oan a teljes impulzusmomentum id˝ obeli megv´ altoz´ asa egyenl˝ o a sz´ oban forg´ o tengelyre vonatkoz´ o k¨ uls˝ o forgat´ onyomat´ekkal! T =

X

Ti = Tk¨uls˝o = dN/dt.

(18.19)

Teh´at nagysz´am´ u r´eszecske mozg´as´anak vizsg´alat´ahoz most m´ar egy igen j´ol alkalmazhat´o t´etel ´all rendelkez´es¨ unkre, amely lehet˝ov´e teszi a r´eszecskecsoport k¨oz¨os mozg´as´anak tanulm´anyoz´as´at an´elk¨ ul, hogy a g´epezet belsej´ebe kellene pillantanunk. A t´etel tetsz˝oleges r´eszecskehalmazra ´erv´enyes, f¨ uggetlen¨ ul att´ol, hogy a r´eszecsk´ek merev testet k´epeznek-e vagy sem. A fenti t´etelnek egyik rendk´ıv¨ ul fontos v´altozata az impulzusmomentum megmarad´ as´ anak t¨ orv´enye: ha egy r´eszecskerendszerre k¨ uls˝o forgat´onyomat´ek nem hat, az impulzusmomentum id˝oben ´alland´o marad. Igen fontos speci´alis eset a merev test esete, vagyis egy hat´arozott alak´ u test tengely k¨or¨ uli forg´asa. Vizsg´aljunk egy olyan t´argyat, amelynek geometriai m´eretei r¨ogz´ıtettek, ´es valamely r¨ogz´ıtett tengely k¨or¨ ul forog. K¨ ul¨onb¨oz˝o r´eszeinek egym´ashoz viszony´ıtott helyzete minden id˝opillanatban ugyanaz. Pr´ob´aljuk most meghat´arozni e t´argy impulzusmomentum´at. Ha egy kiszemelt r´eszecsk´eje mi t¨omeggel az (xi , yi ) pontban foglal helyet, a feladat e r´eszecske impulzusmomentum´anak meghat´aroz´asa, mivel a teljes impulzusmomentum a t´argyat alkot´o r´eszecsk´ek impulzusmomentumainak ¨osszege. Egy k¨orp´aly´an mozg´o t´argy impulzusmomentuma a t¨omeg, a sebess´eg ´es a tengelyt˝ol val´o t´avols´ag szorzata, a sebess´eg viszont egyenl˝o a sz¨ogsebess´eg szorozva a tengelyt˝ol val´o t´avols´aggal: Ni = mi vi ri = mi ri2 ω.

(18.20)

Az ¨osszegz´est minden egyes r´eszecsk´ere elv´egezve, az N = Jω

(18.21)

formul´ahoz jutunk, ahol J=

X

mi ri2 .

(18.22)

i

Ez annak a t¨orv´enynek az analogonja, mely szerint az impulzus a t¨omeg ´es a sebess´eg szorzat´aval egyenl˝o. A sebess´eget most a sz¨ogsebess´eg helyettes´ıti, ´es l´atjuk, hogy a t¨omeg hely´ebe egy u ´j kifejez´es ker¨ ult (J), amelynek neve tehetetlens´egi nyomat´ek, ´es amely a t¨omegnek a megfelel˝oje. A (18.21) ´es (18.22) egyenletek arr´ol tan´ uskodnak, hogy a testek a forgat´assal szemben bizonyos tehetetlens´eget mutatnak, s ez nemcsak a www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

330

18. Forg´ as k´et dimenzi´ oban

t¨omeg¨ ukt˝ol f¨ ugg, hanem att´ol is, mekkora t´ avols´ agra vannak a forg´astengelyt˝ol. Ha p´eld´aul k´et egyenl˝o t¨omeg˝ u testet a tengelyt˝ol mind t´avolabb ´es t´avolabb helyez¨ unk el, a rendszernek a forgat´assal szembeni tehetetlens´ege megn¨ovekszik. Ezt egyszer˝ uen szeml´elteti a 18.4. ´abra, ahol M t¨omeget akad´alyozza az es´esben az, hogy egy s´ ulyokkal megterhelt nagy rudat kell forgatnia. Legyenek el˝osz¨or az m t¨omegek a tengelyhez k¨ozel, ekkor M bizonyos m´ert´ekben felgyorsul. Amikor a k´et t¨omeget a tengelyt˝ol t´avolabb helyezve megv´altoztatjuk a tehetetlens´egi nyomat´ekot, azt tapasztaljuk, hogy M gyorsul´asa sokkal kisebb az el˝oz˝oh¨oz k´epest, mert a testnek ekkor sokkal nagyobb a forgat´assal szembeni tehetetlens´ege. A tehetetlens´egi nyomat´ek, amely a forgat´assal szembeni tehetetlens´eggel azonos, tartalmazza az ¨osszes r´eszecsk´et˝ol ered˝o j´arul´ekokat, vagyis ¨osszegzi az egyes t¨omegek ´es a tengelyt˝ol m´ert t´avols´aguk n´egyzet´enek szorzatait.

m

m

M

18.4. a ´bra. A forgat´ assal szemben mu” tatott tehetetlens´eg” nagys´ aga f¨ ugg a t¨ omegek ´es a forg´ astengely k¨ oz¨ otti t´ avols´ agt´ ol

A t¨omeg ´es a tehetetlens´egi nyomat´ek k¨oz¨ott van egy igen fontos k¨ ul¨onbs´eg: egy t´argy t¨omege sohasem v´ altozik meg, viszont tehetetlens´egi nyomat´eka megv´ altozhat. Ha egy s´ url´od´asmentesen forg´o zs´amolyon ´allva, kiny´ ujtott k´et kez¨ unkben s´ ulyt tartunk, a lass´ u forg´as k¨ozben karunk beh´ uz´as´aval megv´altoztatjuk tehetetlens´egi nyomat´ekunkat, de t¨omeg¨ unk ezzel nem v´altozik meg. Ek¨ozben az impulzusmomentum megmarad´as´anak t¨orv´enye r´ev´en n´eh´any rendk´ıv¨ ul ´erdekes jelens´eget figyelhet¨ unk meg. Ha a k¨ uls˝o forgat´onyomat´ek z´erus, az impulzusmomentum, azaz a tehetetlens´egi nyomat´ek szorozva omeg´aval, ´alland´o marad. Kezdetben nagy J1 tehetetlens´egi nyomat´ekkal ´es kis ω1 sz¨ogsebess´eggel forogtunk, az impulzusmomentum J1 ω1 volt. Azut´an karunk beh´ uz´as´aval megv´altoztattuk tehetetlens´egi nyomat´ekunkat (kisebb J2 ´ert´ek). Ekkor a Jω szorzat, amely az impulzus megmarad´asa miatt v´altozatlan kell maradjon, J2 ω2 lett, vagyis J1 ω1 = J2 ω2 . Teh´at ha cs¨ okkentj¨ uk a tehetetlens´egi nyomat´ekot, a sz¨ogsebess´egnek n¨ ovekednie kell.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

19. fejezet T¨ omegk¨ oz´ eppont. Tehetetlens´ egi nyomat´ ek 19.1. A to eppont tulajdons´ agai ¨megko ¨z´ Mint az el˝oz˝o fejezetben l´attuk, nagysz´am´ u er˝ohat´as alatt ´all´o r´eszecskesokas´ag eset´en – f¨ uggetlen¨ ul att´ol, hogy a r´eszecsk´ek merev vagy nem merev testet k´epeznek, ´es hogy csillagk¨odr˝ol vagy b´armi m´asr´ol van sz´o –, ha meghat´arozzuk az er˝ok ered˝oj´et (term´eszetesen a k¨ uls˝o er˝ok ered˝oj´et, minthogy a bels˝o er˝ok egyens´ ulyt tartanak) ´es a testet mint M t¨omeg˝ u eg´eszet tekintj¨ uk, belsej´eben” tal´alunk egy bizonyos t¨ omegk¨ oz´eppontot, ” amelyen a k¨ uls˝o er˝ok ered˝oje olyan gyorsul´ast hoz l´etre, mintha a test eg´esz t¨omege oda lenne s˝ ur´ıtve. Vizsg´aljuk ezt a t¨omegk¨oz´eppontot kicsit r´eszletesebben. A t¨omegk¨oz´eppont (r¨ovid´ıtve TKP) helyzet´et a k¨ovetkez˝o egyenlet hat´arozza meg: P mi ri RTKP = P . (19.1) mi Ez term´eszetesen vektoregyenlet, teh´at tulajdonk´eppen h´arom egyenlet, a h´arom k¨ ul¨onb¨oz˝o ir´anynak megfelel˝oen. Most csak az x ir´annyal foglalkozunk, mert ha az erre vonatkoz´o egyenletet meg´ertett¨ uk, a m´asik kett˝ot is P P meg tudjuk ´erteni. Mit jelent teh´at az XTKP = mi xi / mi egyenlet? Egy pillanatra t´etelezz¨ uk fel, hogy a sz´oban forg´o t´argy kicsiny r´eszekb˝ol ´all, melyek mindegyik´enek azonos, mi t¨omege van. Ez esetben az ¨osszt¨omeg egyenl˝o a r´eszecsk´ek sz´ama (N ) szorozva valamennyi r´eszecske t¨omeg´evel, mondjuk 1 grammal, vagy valamilyen m´as mennyis´eggel. Egyenlet¨ unk ekkor egyszer˝ uen azt fejezi ki, hogy ¨osszeadunk minden x-et, s az P eredm´enyt elosztjuk az o¨sszeadand´ok sz´am´aval: XTKP = m xi /mN = P xi /N . M´as sz´oval, XTKP az x-ek ´atlaga, ha minden t¨omeg egyenl˝o. Tegy¨ uk azonban fel, hogy valamelyik k´etszer akkora, mint a t¨obbi, teh´at a neki megfelel˝o x-nek k´etszer kell el˝ofordulnia az ¨osszegben. Ezt k¨onny˝ u bel´atni, mert u ´gy is felfoghatjuk, mintha a k´etszeres s´ uly´ u t¨omeg k´et, a t¨obbivel egyenl˝o r´eszb˝ol ´allna, ´ıgy az ´atlag sz´am´ıt´asakor term´eszetesen ezt az x-et k´etszer kell sz´amolnunk, hiszen azon a helyen k´et t¨omeg van. Ezek szerint XTKP a t¨omegek x ir´any´ u ´atlagos helyzet´et jellemzi, amelyben minden t¨omeget nagys´ag´anak ar´any´aban vett¨ unk sz´amba, mintha a t¨omegek kicsiny, grammnyi egys´egekb˝ol” ´alln´anak. Ebb˝ol m´ar k¨onny˝ u ” bebizony´ıtani, hogyXTKP valahol a legkisebb ´es a legnagyobb x ´ert´ek k¨owww.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

332

19. T¨ omegk¨ oz´eppont. Tehetetlens´egi nyomat´ek

z¨ott, teh´at a testet burkol´o fel¨ uleten bel¨ ul helyezkedik el. Viszont nem sz¨ uks´egk´eppen a test anyag´ aban foglal helyet, mert p´eld´aul a test lehet gy˝ ur˝ u (mondjuk, abroncs) alak´ u, s ekkor a t¨omegk¨oz´eppont az abroncs k¨oz´eppontj´aban, vagyis nem mag´aban az abroncsban van. Term´eszetesen, ha a t´argy, p´eld´aul egy n´egysz¨og, valamilyen szimmetri´at mutat, u ´gyhogy l´etezik egy szimmetrias´ıkja, akkor a t¨omegk¨oz´eppont valahol a szimmetrias´ıkban van. A n´egysz¨og eset´eben k´et szimmetrias´ık van, ezek a t¨omegk¨oz´eppontot egy´ertelm˝ uen meghat´arozz´ak. De b´armely, szimmetri´aval rendelkez˝o test t¨omegk¨oz´eppontj´anak valahol a szimmetriatengelyen kell lennie, mivel ez esetben ugyanannyi pozit´ıv, mint negat´ıv x helykoordin´ata van. A t¨omegk¨oz´eppontnak egy m´asik igen ´erdekes tulajdons´aga a k¨ovetkez˝ok´eppen szeml´eltethet˝o: K´epzelj¨ unk el egy t´argyat, amely k´et, A ´es B darabb´ol ´all (19.1. ´abra). Az eg´esz t´argy t¨omegk¨oz´eppontj´at a k¨ovetkez˝ok´eppen sz´am´ıthatjuk ki. Hat´arozzuk meg el˝osz¨or k¨ ul¨on A ´es B t¨omegk¨oz´eppontj´at. Hat´arozzuk meg tov´abb´a a r´eszek t¨omeg´et, MA -t ´es MB -t. Ezut´an oldjunk meg egy u ´j feladatot, amelyben az MA t¨ omegpont az A t´argy, az MB t¨omegpont a B t´argy t¨omegk¨oz´eppontj´aban foglal helyet. E k´et t¨omegpont t¨omegk¨oz´eppontja lesz az eg´esz t´argy t¨omegk¨oz´eppontja. M´as sz´oval, ha egy t´argy k¨ ul¨onb¨oz˝o r´eszeinek t¨omegk¨oz´eppontj´at m´ar kisz´am´ıtottuk, akkor ahhoz, hogy az eg´esz t´argy t¨omegk¨oz´eppontj´at megtal´aljuk, nem kell a sz´am´ıt´ast el¨olr˝ol kezden¨ unk, el´eg, ha az egyes r´eszek t¨omegeit t¨omegk¨oz´eppontjukban ¨oszpontos´ıtva k´epzelj¨ uk, ´es kisz´am´ıtjuk ennek a rendszernek a t¨omegk¨oz´eppontj´at. N´ezz¨ uk meg, mi´ert lehet ´ıgy elj´arnunk. Tegy¨ uk fel, hogy egy olyan ¨osszetett test t¨omegk¨oz´eppontj´at akarjuk meghat´arozni, amelynek egyes r´eszecsk´eit az A, m´as r´eszecsk´eP it pedig a B t´argyhoz tartoz´onak tekintj¨ uk. A mi xi teljes ¨osszeg ilyen P m´odon k´et r´eszletre, a csup´an A-hoz tartoz´o mi xi ´es a csup´an B-hez tarA

toz´o

P

mi xi ¨osszegekre bonthat´o. Ha most egyed¨ ul csak A t¨omegk¨oz´ep-

B

pontj´at sz´amoln´ank ki, csak az els˝o ¨osszeget kellene figyelembe venn¨ unk, amelyr˝ol tudjuk, hogy voltak´eppen MA XA , az A-hoz tartoz´o r´eszecsk´ek ¨osszt¨omege szorozva az A t¨omegk¨oz´eppont koordin´at´aj´aval, minthogy ez ad´odik, ha a t¨omegk¨oz´eppont t´etel´et A-ra alkalmazzuk. Hasonl´ok´eppen csak B-t v´eve figyelembe, eredm´eny¨ ul MB XB -t kapjuk, s term´eszetesen, ha a k´et eredm´enyt ¨osszeadjuk, M XTKP ad´odik:

M XTKP =

X A

www.interkonyv.hu

m i xi +

X

mi xi = MA XA + MB XB .

(19.2)

B

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

19.1. A t¨ omegk¨ oz´eppont tulajdons´ agai

333

Mivel M nyilv´anval´oan MA ´es MB ¨osszege, l´athat´o, hogy a (19.2) egyenlet a t¨omegk¨oz´eppontra vonatkoz´o formula k´et t¨omegk¨oz´eppontra alkalmazott speci´alis eset´enek tekinthet˝o, ahol az MA t¨omeg az XA , az MB t¨omeg az XB helyen ¨osszpontosul. A t¨omegk¨oz´eppont mozg´as´anak A igen ´erdekes t´etele fontos szerepet j´atszott fizikai ismereteink fejl˝od´eTKP s´eben. Tegy¨ uk fel, hogy Newton t¨orB v´enye ´erv´enyes egy igen nagy kiterjed´es˝ u t´argy valamely nagys´agrend19.1. a ´bra. Egy ¨ osszetett test t¨ omegben sokkal kisebb r´eszecsk´ej´ere. A k¨ oz´eppontja az ¨ osszetev˝ o testek t¨ ot¨omegk¨oz´eppontra vonatkoz´o t´etel megk¨ oz´eppontjait ¨ osszek¨ ot˝ o egyenesen r´amutat arra, hogy Newton t¨orv´efekszik nye a nagyobb t´argyra ugyan´ ugy ´erv´enyes, m´eg akkor is, ha figyelmen k´ıv¨ ul hagyva annak r´eszleteit, csup´an t¨omeg´et ´es a r´a hat´o teljes er˝ot vizsg´aljuk. M´as sz´oval, Newton t¨orv´eny´enek k¨ ul¨onleges tulajdons´aga, hogy ha kis m´eretekre n´ezve igaz, a m´eretek megn¨ovel´ese eset´en is igaz. Ha a futball-labd´at nem mint egy hallatlan bonyolult objektumot kezelj¨ uk, amely egym´assal k¨olcs¨onhat´o r´eszecsk´ek roppant sokas´ag´ab´ol ´all, hanem csak a labd´ara hat´o k¨ uls˝o er˝oket ´es t¨omegk¨oz´eppontj´anak mozg´as´at tanulm´anyozzuk, az F = ma k´eplethez jutunk, ahol F a labd´ara hat´o k¨ uls˝o er˝o, m a labda t¨omege, ´es a a t¨omegk¨oz´eppontj´anak gyorsul´asa. Az F = ma t¨orv´eny teh´at a nagyobb m´eretek tartom´any´aban reproduk´alja ¨onmag´at. (J´o lenne keresni egy alkalmas, lehet˝oleg g¨or¨og kifejez´est az olyan t¨orv´enyek megjel¨ol´es´ere, amelyek nagyobb m´eretekben ugyanazon t¨orv´enyt reproduk´alj´ak.) K´ezenfekv˝onek l´atszik az a k¨ovetkeztet´es, hogy az emberi gondolkod´as els˝onek olyan t¨orv´enyeket fedezett fel, amelyeknek megvan az a tulajdons´aguk, hogy nagyobb m´eretek tartom´any´aban reproduk´al´odnak. Mi´ert? Mert a vil´agegyetem mozg´asi mechanizmus´anak, fogasker´ekrend” szer´enek” m´eretei, az atomi m´eretek, csak eg´eszen finom m´er˝oeszk¨oz¨ok ´es elj´ar´asok seg´ıts´eg´evel figyelhet˝ok meg. A kezdetben felfedezett t¨orv´enyek nyilv´anval´oan nem az atomi vil´ag speci´alis m´ereteivel rendelkez˝o t´argyakra ´erv´enyesek. Ha teh´at a par´anyi r´eszecsk´ekre vonatkoz´o t¨orv´enyek nem reproduk´alj´ak ¨onmagukat a nagy m´eretek tartom´any´aban, ezeket a t¨orv´enyeket nem k¨onny˝ u felt´arni. Mi a helyzet megford´ıtva? Ugyanazoknak kell-e lenni¨ uk a t¨orv´enyeknek a kicsiny, mint a nagy m´eretek tartom´any´aban? Vil´agos, hogy a term´eszetben atomi szinten a t¨orv´enyek nem sz¨ uks´egk´eppen ugyanolyanok, mint a nagyobb m´eretek szintj´en. Tegy¨ uk

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

334

19. T¨ omegk¨ oz´eppont. Tehetetlens´egi nyomat´ek

fel, hogy az atomok val´odi mozg´ast¨orv´eny´et egy olyan furcsa egyenlet ´ırja le, amelynek nincs meg az a tulajdons´aga, hogy nagyobb m´eretek fel´e haladva ugyanazt a t¨orv´enyt adja vissza, ehelyett azonban megvan az a tulajdons´aga, hogy amikor nagyobb m´eretekre t´er¨ unk ´at, olyan kifejez´essel k¨ ozel´ıthet˝ o, amely m´ar reproduk´alja ¨onmag´at, ha a m´ereteket fokozatosan tov´abb n¨ovelj¨ uk. Ilyen nagyon is elk´epzelhet˝o, s a val´os´agban t´enyleg ez a helyzet. A Newton-t¨orv´eny az atomi t¨orv´enyek v´egs˝o ny´ ulv´anya”, ” azok extrapol´aci´oja nagy m´eretekre. A par´anyi m´eret˝ u r´eszecsk´ek t´enyleges mozg´ast¨orv´enyei eg´eszen saj´ats´agosak, de ha nagysz´am´ u r´eszecske rendszer´et tekintj¨ uk, e rendszer mozg´ast¨orv´enye k¨ozel´ıt˝oleg, de csak k¨ozel´ıt˝oleg, Newton t¨orv´enye lesz. Newton t¨orv´enye azut´an m´ar lehet˝os´eget ny´ ujt arra, hogy egyre nagyobb m´eretek fel´e haladjunk tov´abb ´es a t¨orv´eny m´egis nagyj´ab´ol ugyanaz maradjon. Teh´at menn´el feljebb haladunk a m´eretsk´al´an, Newton t¨orv´enyei egyre pontosabbak lesznek. Newton t¨orv´enyeinek o¨nmag´at megism´etl˝o k´epess´ege teh´at a term´eszetnek nem alaptulajdons´aga, ink´abb tudom´anyt¨ort´eneti fontoss´ag´ u t´eny. Az atomi r´eszecsk´ek alapt¨orv´enyeit k¨ozvetlen megfigyel´essel sohasem tudtuk volna felfedezni, mert megfigyel˝ok´epess´eg¨ unk nem el´eg finom. Az atomi vil´ag alapt¨orv´enyei, azaz a kvantummechanika t¨orv´enyei val´oban mer˝oben elt´ernek Newton t¨orv´enyeit˝ol, ´es nehezen ´erthet˝oek sz´amunkra, mert minden k¨ozvetlen tapasztalatunk a nagy m´eretekkel kapcsolatos, m´ıg a kis m´eret˝ u atomok viselked´ese a nagy m´eretekben l´atottak k¨oz¨ ul semmihez sem hasonl´ıthat´o. P´eld´aul nem mondhatjuk, hogy az atom elektronjai ” ´eppen olyanok, mint a Nap k¨or¨ ul kering˝o bolyg´ok”. Az atom egyetlen ´altalunk ismert jelens´eggel sem hasonl´ıthat´o ¨ossze, miut´an egyszer˝ uen nincs semmi, ami hozz´ a hasonl´ıthat´ o lenne. Amint a kvantummechanik´at fokozatosan mind nagyobb ´es nagyobb kiterjed´es˝ u objektumokra pr´ob´aljuk alkalmazni, a sok atom egy¨ uttes viselked´es´et le´ır´o t¨orv´enyek nem reproduk´alj´ak ¨onmagukat, ehelyett azonban u ´j t¨ orv´enyekre vezetnek, Newton t¨orv´enyeire, amelyek azut´an m´ar reproduk´al´odnak, mondjuk, a milliomod mikrogramm t¨omegekt˝ol kezdve (m´eg ez is milli´ard ´es milli´ard atomot jelent) felfel´e a m´eretsk´al´an a F¨old m´eret´eig, ´es m´eg tov´abb. T´erj¨ unk azonban vissza a t¨omegk¨oz´epponthoz, amelyet gyakran s´ ulypontnak is neveznek, mivel a gravit´aci´o sok esetben homog´ennek tekinthet˝o. M´armost tegy¨ uk fel, a m´eretek el´eg kicsinyek ahhoz, hogy a gravit´aci´os er˝ot minden pontban ne csak a t¨omeggel ar´anyosnak, hanem valamilyen r¨ogz´ıtett ir´anyhoz k´epest p´arhuzamosnak is tekinthess¨ uk. Az ´altalunk vizsg´alt t´argy minden o¨sszetev˝o r´eszecsk´ej´enek t¨omeg´ere a gravit´aci´os er˝o hat. Legyen az i-edik r´eszecsk´ere a t¨omeg mi , ekkor az erre a r´eszecsk´ere

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

335

19.1. A t¨ omegk¨ oz´eppont tulajdons´ agai

hat´o er˝o mi -szer g. A k´erd´es m´armost az, hogy a t´argy melyik pontj´aban tudjuk a gravit´aci´os er˝ot u ´gy egyens´ ulyban tartani, hogy az eg´esz t´argy – merev testr˝ol van sz´o – ne tudjon elfordulni. A v´alasz: az egyens´ ulyoz´o er˝onek a t¨omegk¨oz´epponton kell kereszt¨ ulmennie. Ezt a k¨ovetkez˝ok´eppen lehet megmutatni. Ahhoz, hogy a test ne forduljon el, az er˝ok ´altal l´etrehozott forgat´onyomat´ekok ¨osszege z´erust kell adjon, mert ellenkez˝o esetben az impulzusmomentum megv´altozna, azaz a t´argy elfordulna. Teh´at ki kell sz´am´ıtanunk az egyes r´eszecskekre hat´o forgat´onyomat´ekok ered˝oj´et, s meg kell n´ezn¨ unk, mennyi ennek az ´ert´eke valamely adott tengelyre n´ezve; ha a tengely a t¨omegk¨oz´epponton megy kereszt¨ ul, az ¨osszegnek 0-t kell adnia. Vegy¨ uk fel az x-tengelyt v´ızszintes, az y-tengelyt f¨ ugg˝oleges ir´anyban. Tudjuk, hogy a forgat´onyomat´ek egyenl˝o az y ir´any´ u er˝o szorozva az x er˝okarral (vagyis az er˝o szorozva azzal az er˝okarral, amelyre vonatkoz´o forgat´onyomat´ekot ki akarjuk sz´amolni). A teljes forgat´onyomat´ek a T =

X

mi gxi = g

X

m i xi

(19.3) P

¨osszeggel egyenl˝o, azaz haPa forgat´onyomat´ek z´erus, a mi xi ¨osszegnek z´erusnak kell lennie. De mi xi = M XTKP , vagyis az ¨osszeg egyenl˝o a teljes t¨ omeg szorozva a t¨omegk¨oz´eppont tengelyt˝ol val´o t´avols´ag´aval. Enn´elfogva a t¨omegk¨oz´eppontnak a tengelyt˝ol sz´am´ıtott x ir´any´ u t´avols´aga z´erus. Eredm´eny¨ unket persze csak az x ir´anyban ellen˝orizt¨ uk, de ha a val´odi t¨omegk¨oz´eppontban van az al´at´amaszt´as, a t´argy minden helyzetben egyens´ ulyban marad, mert ha p´eld´aul 90◦ -kal elforgatn´ank, az x ´ert´ekek hely´ebe az y ´ert´ekek l´epn´enek. M´as sz´oval, ha egy testet a t¨omegk¨oz´eppontj´aban t´amasztunk al´a, a p´arhuzamos gravit´aci´os t´er miatt nem hat r´a a forgat´onyomat´ek. Ha a t´argy olyan nagy m´eret˝ u, hogy a gravit´aci´os er˝onek a p´arhuzamost´ol val´o elt´er´ese jelent˝oss´e v´alik, a kiegyens´ ulyoz´asra alkalmas k¨oz´eppont m´ar nem ´ırhat´o le egyszer˝ u k´eplettel, a k´eplet t¨obb´e-kev´esb´e elt´er a t¨omegk¨oz´eppont kifejez´es´et˝ol. Ez az oka annak, hogy k¨ ul¨onbs´eget kell tenn¨ unk t¨omegk¨oz´eppont ´es s´ ulypont k¨oz¨ott. Annak a t´enynek, hogy a pontosan t¨omegk¨oz´eppontj´aban al´at´amasztott t´argy minden helyzetben egyens´ ulyban marad, egy m´asik ´erdekes k¨ovetkezm´enye is van. Ha nem gravit´aci´oval, hanem gyorsul´as k¨ovetkezt´eben fell´ep˝o tehetetlens´egi er˝ovel van dolgunk, pontosan a fenti matematikai elj´ar´ast kell v´egigvinn¨ unk, hogy megtal´aljuk azt az al´at´amaszt´asi pontot, melyre n´ezve a gyorsul´as r´ev´en fell´ep˝o pszeudoer˝onek nincs forgat´onyomat´eka. Tegy¨ uk fel, hogy a t´argy egy szekr´enyben van, ´es a szekr´enyt annak eg´esz tartalm´aval egy¨ utt gyorsul´as alatt tartjuk. Tudjuk, www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

336

19. T¨ omegk¨ oz´eppont. Tehetetlens´egi nyomat´ek

hogy a gyorsul´o mozg´asban lev˝o szekr´enyhez k´epest nyugv´o megfigyel˝o a tehetetlens´eg k¨ovetkezt´eben egy t´enyleges er˝ot ´eszlel. Hogy a t´argy a szekr´ennyel egy¨ utt mozg´asba j¨ojj¨on, az ut´obbit meg kell l¨okn¨ unk, hogy felgyorsuljon – ez az er˝o tart egyens´ ulyt” a tehetetlens´egi er˝ovel”, amely ” ” egy pszeudoer˝o, ´ert´eke a t´argy t¨omege megszorozva a szekr´eny gyorsul´as´aval. A szekr´enyben lev˝o megfigyel˝o u ´gy l´atja, mintha a jelens´eg egy homog´en gravit´aci´os t´erben menne v´egbe, amelynek g” ´ert´eke az a gyor” sul´assal egyenl˝o. Vagyis a gyorsul´as k¨ovetkezt´eben fell´ep˝o k¨ uls˝o er˝o a t´argy t¨omegk¨oz´eppontj´ahoz k´epest nem fejt ki forgat´onyomat´ekot. Ennek a t´enynek is van egy ´erdekes k¨ovetkezm´enye. Inerciarendszerben, amely soha nem gyorsul, a forgat´onyomat´ek mindig egyenl˝o az impulzusmomentum v´altoz´asi sebess´eg´evel. E t´etel azonban akkor is igaz, ha a t´argy gyorsul´ o mozg´ast v´egez, felt´eve, hogy a tengely a t¨omegk¨oz´epponton halad kereszt¨ ul. Teh´at akkor is, ha a t¨omegk¨oz´eppont gyorsul´o mozg´ast v´egez, ki tudunk v´alasztani egy olyan tengelyt, amelyre n´ezve a forgat´onyomat´ek az impulzusmomentum v´altoz´asi sebess´eg´evel egyenl˝o. E t´etel teh´at k´et ´altal´anos esetben igaz: (1) inerciarendszerben tetsz˝oleges tengelyre n´ezve; (2) a t¨omegk¨oz´epponton kereszt¨ ulmen˝o tengelyre vonatkoz´oan, m´eg akkor is, ha a t´argy gyorsul´o mozg´ast v´egez. 19.2. A t¨ omegk¨ oz´ eppont meghat´ aroz´ asa A t¨omegk¨oz´eppont meghat´aroz´as´anak m´odszerei a matematikai tananyaghoz tartoznak, j´o gyakorlati p´eld´akat szolg´altatnak az integr´alsz´am´ıt´ashoz. Ha azonban valaki m´ar j´artas az integr´alsz´am´ıt´asban, ´es meg akar ismerkedni a t¨omegk¨oz´eppont sz´am´ıt´as´aval, c´elszer˝ unek l´atszik, ha megtanul erre vonatkoz´oan n´eh´any fog´ast. Az egyik ilyen fog´as a Papposz-f´ele t´etel alkalmaz´asa. Ha z´art s´ıkidom t´erbeli mozgat´as´aval egy testet k´epez¨ unk u ´gy, hogy a s´ıkfel¨ ulet b´armely pontj´anak mozg´asa minden id˝opillanatban mer˝oleges a s´ıkra, a kapott test t´erfogata a s´ıkidom ter¨ ulete ´es a t¨omegk¨oz´eppont ´altal befutott u ´t szorzat´aval egyenl˝o! Ez l´atnival´oan igaz, ha a s´ıkidomot egy r´a mer˝oleges egyenes ment´en mozgatjuk, de ha egy k¨or vagy m´as g¨orbe ment´en mozgatjuk, akkor a keletkez˝o test m´ar l´enyegesen bonyolultabb lehet. G¨orb¨ ult p´alya eset´en a s´ıkidom k¨ uls˝o r´esze nagyobb utat fut be, a bels˝o r´esze kisebbet, s a kett˝o kiegyens´ ulyozza egym´ast. Teh´at ha egy homog´en s˝ ur˝ us´eg˝ u s´ıklemez t¨omegk¨oz´eppontj´at akarjuk meghat´arozni, ´erdemes ´eszben tartani, hogy a s´ıkidomnak valamilyen tengely k¨or¨ uli megforgat´asa u ´tj´an nyert test t´erfogata egyenl˝o a t¨omegk¨oz´eppont ´altal k¨orbefutott u ´t szorozva a s´ıkidom ter¨ ulet´evel. www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

19.2. A t¨ omegk¨ oz´eppont meghat´ aroz´ asa

337

P´eld´aul ha egy D alap´ u ´es H magass´ag´ u der´eksz¨og˝ u h´aromsz¨og t¨omegk¨oz´eppontj´at akarjuk meghat´arozni (19.2. ´abra), a feladatot a k¨ovetkez˝ok´eppen oldhatjuk meg. K´epzelj¨ unk el H ment´en egy tengelyt, ´es forgassuk el a h´aromsz¨oget ezen tengely k¨or¨ ul 360◦ -kal. Ez´altal egy k´ up keletkezik. A t¨omegk¨oz´eppont x koordin´at´aja ´altal befutott u ´t nagys´aga 2πx. A k¨orbeforgatott ter¨ ulet a h´aromsz¨og ter¨ ulete, azaz 1/2HD. Vagyis a t¨omegk¨oz´eppont x koordin´at´aja ´altal befutott u ´t szorozva a h´aromsz¨og ter¨ ulet´evel a forg´astest k¨obtartalm´at, amely πD2 H/3. Ezek  megadja  szerint (2πx) 21 HD = πD2 H/3, azaz x = D/3. Hasonl´ok´eppen, ha a m´asik tengely k¨or¨ ul forgatjuk meg a h´aromsz¨oget (illetve szimmetriaokokn´al fogva); azt kapjuk, hogy y = H/3. Val´oban, a homog´en h´aromsz¨og t¨omegk¨oz´eppontja ott van, ahol a h´arom s´ ulyvonal, vagyis a cs´ ucspontokb´ol kiindul´o ´es a szemk¨ozti oldalak felez˝opontjait ¨osszek¨ot˝o egyenesek metszik egym´ast. Ez a metsz´espont minden s´ ulyvonal egyharmad´aban van. A bizony´ıt´as gondolatmenete: Bontsuk fel a h´aromsz¨oget kicsiny, az alappal p´arhuzamos szeletekre. Vegy¨ uk ´eszre, hogy a s´ ulyvonal minden szeletet k´et egyenl˝o r´eszre oszt, ´ıgy a t¨omegk¨oz´eppontnak ezen a vonalon kell elhelyezkednie. Most pr´ob´alkozzunk bonyolultabb H alakzattal. Tegy¨ uk fel, hogy egy f´elk¨or alak´ u (kett´ev´agott) korongnak x a t¨ o megk¨ oz´eppontj´at kell meghat´aD roznunk. Hol fog a t¨omegk¨oz´eppont elhelyezkedni? A teljes korong eset´eben term´eszetesen a geometriai k¨o19.2. a ´bra. Der´eksz¨ og˝ u h´ aromsz¨ og, z´eppontban, de a f´elkorong esete m´ar valamint a der´eksz¨ og˝ u h´ aromsz¨ og nehezebb. Legyen a korong sugara forgat´ as´ aval keletkez˝ o k¨ or alap´ u r, ´es a t¨omegk¨oz´eppontnak az egyeegyenes k´ up v´ azlata nes hat´arvonalt´ol vett t´avols´aga x. Forgassuk meg az egyenes hat´arvonal mint tengely k¨or¨ ul a f´elkorongot, aminek eredm´enyek´eppen egy g¨omb¨ot kapunk. A t¨omegk¨oz´eppontnak ily m´odon k¨orbefutott p´aly´aja 2πx hossz´ us´ag´ u, a fel¨ ulet nagys´aga pedig πr2 /2 (a k¨or ter¨ ulet´enek a fele). A keletkezett t´erfogat 4πr3 /3, ahonnan 

(2πx)

1 2 πr = 4πr3 /3, 2 

´es ebb˝ol x = 4r/3π. ad´odik. www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

338

19. T¨ omegk¨ oz´eppont. Tehetetlens´egi nyomat´ek

Van egy m´asik Papposz-t´etel is, amely az el˝oz˝onek speci´alis esete, enn´elfogva ugyan´ ugy helyes. Tegy¨ uk fel, hogy f´elk¨or alak´ u korong helyett most f´elk¨or alakban meghajl´ıtott, egyenletes s˝ ur˝ us´eg˝ u huzal t¨omegk¨oz´eppontj´at szeretn´enk meghat´arozni. Ebben az esetben a s´ıkidom bels˝o r´esze u ¨res, t¨omeg csak mag´aban a huzalban tal´alhat´o. Most a s´ıkg¨orb´enek az el˝oz˝oh¨oz hasonl´o mozg´as´ab´ol keletkez˝o fel¨ ulet lesz egyenl˝o a t¨omegk¨oz´eppont ´altal befutott u ´t ´es a s´ıkg¨orbe hossz´ anak szorzat´aval. (A s´ıkg¨orb´et fel lehet fogni igen v´ekony fel¨ uletk´ent, s ´ıgy alkalmazni lehet r´a az el˝obbi t´etelt.) 19.3. A tehetetlens´ egi nyomat´ ek meghat´ aroz´ asa Foglalkozzunk most k¨ ul¨onf´ele t´argyak tehetetlens´egi nyomat´ek´ anak meghat´aroz´as´aval. Egy t´argy z-tengelyre vonatkoz´o tehetetlens´egi nyomat´ek´at az al´abbi kifejez´es hat´arozza meg: J=

X

mi (x2i + yi2 )

vagy Z

J=

(x2 + y 2 )dm =

Z

(x2 + y 2 )ρdV.

(19.4)

Vagyis ¨osszegezn¨ unk kell a t¨omegeket, mindegyiket megszorozva a tengelyt˝ol val´o t´avols´ag n´egyzet´evel, (x2i + yi2 )-tel. Megjegyzend˝o, hogy ez m´eg h´aromdimenzi´os t´argy eset´en sem h´aromdimenzi´os t´avols´ag, hanem a k´etdimenzi´os t´avols´ag n´egyzete. A k¨ovetkez˝okben t´ ulnyom´or´eszt k´etdimenzi´os t´argyakra szor´ıtkozunk, de a z-tengely k¨or¨ uli forgat´asra vonatkoz´o k´eplet ugyan´ ugy alkalmazhat´o a h´aromdimenzi´os t´argyakra is. Egyszer˝ u p´eldak´ent tekints¨ unk egy L rudat, amely az egyik v´eg´en kereszt¨ ulmen˝o f¨ ugg˝oleges tengely k¨or¨ ul forx dx gathat´o (19.3. ´abra). Ebben az esetben az egyes t¨omegeknek az x t´avol19.3. a ´bra. Az egyik v´eg´en kereszs´ag n´egyzet´evel val´o szorzat´at kell t¨ ulhalad´ o tengely k¨ or¨ ul forg´ o, L unk (eset¨ unkben minden ¨osszegezn¨ hossz´ us´ ag´ u egyenes r´ ud k´epe y = 0). Az o¨sszegen” term´eszete” sen x2 ´es a kis t¨omegelemek szorzat´anak integr´alj´at ´ertj¨ uk. Ha a rudat kis dx hosszelemekre bontjuk, a megfelel˝o t¨omegelemek dx-szel ar´anyosak, s ha dx az eg´esz r´ ud hossza lenne, a t¨omegelem M lenne. Enn´elfogva dm = M dx/L, ´es ´ıgy Z

J= 0

www.interkonyv.hu

L

x2

M dx M = L L

Z 0

L

x2 dx =

M L2 . 3

(19.5)

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

19.3. A tehetetlens´egi nyomat´ek meghat´ aroz´ asa

339

A tehetetlens´egi nyomat´ek dimenzi´oja mindig a t¨omeg szorozva a t´avols´agn´egyzettel, ez´ert csup´an az 1/3-os faktort kellett meghat´aroznunk. M´armost mekkora J, ha a forg´astengely a r´ ud k¨ozep´en megy kereszt¨ ul? Ism´et csak a fenti integr´alt sz´amolhatn´ank ki, most a −1/2L, illetve +1/2L hat´arok k¨oz¨ott. Helyette azonban n´eh´any ´eszrev´etelt tesz¨ unk a tehetetlens´egi nyomat´ekkal kapcsolatban. A teljes r´ ud felfoghat´o k´et (M/2 t¨omeg˝ u ´es L/2 hossz´ us´ag´ u) kisebb r´ udk´ent. A k´et kis r´ ud tehetetlens´egi nyomat´eka egyenl˝o, ´es mindkett˝ot a (19.5) formula hat´arozza meg. A teljes tehetetlens´egi nyomat´ek teh´at J=

2(M/2)(L/2)2 M L2 = . 3 12

(19.6)

Vagyis a rudat sokkal k¨onnyebb a k¨ozepe k¨or¨ ul elford´ıtani, mint a v´eg´en´el fogva lengetni. Term´eszetesen tov´abb is folytathatn´ank a k¨ ul¨onf´ele ´erdekes alakzatok tehetetlens´egi nyomat´ek´anak kisz´am´ıt´as´at. B´ar ezek a feladatok hasznos gyakorlattal szolg´aln´anak a sz´amol´asi technika elsaj´at´ıt´as´ahoz, nem alapvet˝oen fontosak sz´amunkra. Van azonban egy ´erdekes t´etel, amely igen nagy seg´ıts´eget jelent az ef´ele sz´amol´asokn´al. Tekints¨ unk egy alakzatot, amelynek valamilyen tengelyre vonatkoz´o tehetetlens´egi nyomat´ek´at kell meghat´aroznunk. M´as sz´oval, ismerni szeretn´enk a testnek a tengely k¨or¨ uli forg´asakor jelentkez˝o tehetetlens´eg´et. Ha a testet t¨omegk¨oz´eppontj´an ´atmen˝o tengelyre szerelj¨ uk, teh´at a k¨ uls˝o tengely k¨or¨ uli forg´asa k¨ozben a t¨omegk¨oz´eppontj´an ´atmen˝o tengely k¨or¨ ul nem fordulna el (minthogy tehetetlens´egi hat´asokb´ol kifoly´olag nem hat r´a semmilyen forgat´onyomat´ek, s ´ıgy ha mozgatni kezdj¨ uk, nem fordul el), akkor a k¨orbeforgat´as´ahoz sz¨ uks´eges er˝o ugyanakkora lenne, mintha teljes t¨omege a t¨omegk¨oz´eppontba lenne ¨osszpontos´ıtva, ´es a tehetetlens´egi nyomat´ekot egyszer˝ uen 2 a J1 = M RTKP k´eplet fejezn´e ki, ahol RTKP a forg´as tengely´enek a t¨omegk¨oz´epponttt´ol val´o t´avols´aga. Term´eszetesen azonban a k´eplet nem igaz egy olyan t´argy tehetetlens´egi nyomat´ek´ara n´ezve, amely forg´as k¨ozben saj´at t¨omegk¨oz´eppontja k¨or¨ ul is forog. Ugyanis nemcsak a k¨orp´aly´an mozg´o t¨omegk¨oz´eppont ad a tehetetlens´egi nyomat´ekhoz J1 j´arul´ekot, de figyelembe kell venn¨ unk azt is, hogy a test t¨omegk¨oz´eppontja is elfordul. Ez´ert ´eszszer˝ unek l´atszik, hogy J1 -hez m´eg egy, az ut´obbi mozg´asb´ol sz´armaz´o JKP tehetetlens´egi nyomat´ekot hozz´aadjunk. Mindezek alapj´an jogos lehet az a sejt´es¨ unk, hogy a tetsz˝oleges tengely k¨or¨ uli tehetetlens´egi nyomat´ek k´eplete 2 J = JKP + M RTKP .

www.interkonyv.hu

(19.7) Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

340

19. T¨ omegk¨ oz´eppont. Tehetetlens´egi nyomat´ek

A t´etelt a tengelyek p´ arhuzamos eltol´ as´ anak nevezik. Bizony´ıt´asa egyszer˝ u. Valamely tengelyre vonatkoz´o tehetetlens´egi nyomat´ekot megkapjuk, ha a t¨omegeket megszorozzuk az xi , valamint yi t´avols´agok n´egyzeP t´evel, s ezeket ¨osszeadjuk: J = (x2i + yi2 )mi . Figyelm¨ unket az x ir´anyra ¨osszpontos´ıtjuk; a gondolatmenet term´eszetesen az y ir´anyban is ugyanez. Teh´at x egy kiszemelt pontnak az orig´ot´ol vett t´avols´aga, n´ezz¨ uk meg azonban, mi t¨ort´enik, ha x helyett a t¨omegk¨oz´eppontt´ol m´ert x0 t´avols´agot vessz¨ uk figyelembe: xi = x0i + XTKP . Elv´egezve a n´egyzetre emel´est azt tal´aljuk, hogy 0

2 x2i = xi2 + 2XTKP x0i + XTKP .

Mi lesz teh´at, ha ezt beszorozzuk mi -vel, majd ¨osszegez¨ unk minden i-re? Az ´alland´okat az ¨osszegb˝ol kiemelve Jx =

X

mi x2i + 2XTKP

X

2 mi x0i + XTKP

X

mi .

2 A harmadik tag jelent´es´ere k¨onny˝ u r´aj¨onni, ez nem m´as, mint M XTKP . P 0 A m´asodik tag k´et t´enyez˝ob˝ol ´all, ezek k¨oz¨ ul az egyik mi xi , amely a teljes t¨omegnek ´es a t¨omegk¨oz´eppont x0 koordin´at´aj´anak szorzata. Ennek j´arul´eka azonban z´erus, mivel x0 -t a t¨omegk¨oz´eppontt´ol sz´am´ıtjuk, ´es ebben a tengelyrendszerben a r´eszecsk´eknek a t¨omegekkel s´ ulyozott ´ atlagos helyzete z´erus. Az els˝o ¨osszeg term´eszetesen JKP -nek az x komponenst˝ol sz´armaz´o r´esze. Ily m´odon val´oban eljutottunk a (19.7) egyenlethez, sejt´es¨ unk teh´at helyes volt. Ellen˝orizz¨ uk most a (19.7) k´epletet egy p´eld´an. N´ezz¨ uk tal´an ´eppen a r´ ud eset´et, vajon a fenti eredm´enyt kapjuk? Tudjuk, hogy a r´ ud v´eg´en kereszt¨ ulhalad´o tengelyre vonatkoz´oan a tehetetlens´egi nyomat´ek M L2 /3, ezt m´ar kor´abban meghat´aroztuk. A r´ ud t¨omegk¨oz´eppontja nyilv´an k¨oz´epen van, a tengelyt˝ol L/2 t´avols´agra. Enn´elfogva azt kell kapnunk, hogy M L3 /3 = M L2 /12 + M (L/2)2 . Mivel egynegyed meg egytizenketted egyharmaddal egyenl˝o, l´enyeges hib´at nem k¨ovett¨ unk el. Egy´ebk´ent nincs is tulajdonk´eppen sz¨ uks´eg integr´alsz´am´ıt´asra ahhoz, hogy a (19.5) tehetetlens´egi nyomat´ekot meghat´arozzuk. Egyszer˝ uen felt´etelezz¨ uk, hogy ez γM L2 -tel egyenl˝o, ahol γ egy meghat´arozand´o egy¨ utthat´o. Ezut´an elism´etelj¨ uk a k´et f´elr´ udra vonatkoz´o gondolatmenetet, s ´ıgy (19.6)-ra (1/4)γ-t kapunk. A tengelyek p´arhuzamos eltol´as´anak t´etel´et felhaszn´alva be tudjuk bizony´ıtani, hogy γ eleget tesz a γ = (1/4)γ + 1/4 egyenletnek, ahonnan γ = 1/3. Mindig akad egy m´asik m´od is! A tengelyek p´arhuzamos eltol´as´anak t´etel´et alkalmazva term´eszetesen u unk kell arra, hogy a JKP -hez tartoz´o tengelynek p´ arhuzamosnak ¨gyeln¨

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

19.3. A tehetetlens´egi nyomat´ek meghat´ aroz´ asa

341

kell lennie azzal a tengellyel, amelyre vonatkoz´oan a tehetetlens´egi nyomat´ekot ki akarjuk sz´am´ıtani. ´ Erdemes m´eg megeml´ıteni a tehetetlens´egi nyomat´ek egy tov´abbi tulajdons´ag´at, mert ez gyakran seg´ıts´eg¨ unkre lehet bizonyos t´ıpus´ u t´argyak tehetetlens´egi nyomat´ek´anak meghat´aroz´as´aban. Nevezetesen, ha a vizsg´alt t´argy s´ıkbeli alakzat, ´es a koordin´atarendszer kezd˝opontja a t´argy s´ıkj´aban van, z-tengelye pedig r´a mer˝oleges, akkor e s´ıkidomnak a z-tengelyre vonatkoz´o tehetetlens´egi nyomat´eka egyenl˝o az x- ´es y-tengelyekhez tartoz´o tehetetlens´egi nyomat´ekok ¨osszeg´evel. Ez k¨onnyen igazolhat´o, figyelembe v´eve azt, hogy Jx =

X

mi (yi2 + zi2 ) =

X

mi yi2

(minthogy zi = 0). Ugyan´ıgy Jy =

X

mi (x2i + zi2 ) =

X

mi x2i ,

X

mi (x2i + yi2 ) =

X

mi x2i +

viszont Jz =

X

mi yi2 = Jx + Jy .

P´eld´aul egy homog´en, M t¨omeg˝ u, b sz´eless´eg˝ u ´es L hossz´ us´ag´ u t´eglalapnak egy r´a mer˝oleges, ´es k¨oz´eppontj´an ´athalad´o tengelyre vonatkoztatott tehetetlens´egi nyomat´eka egyszer˝ uen J = M (b2 + L2 )/12, mivel a t´eglalapnak egy s´ıkj´aban fekv˝o ´es hossz´aval p´arhuzamos tengelyre vonatkoz´o tehetetlens´egi nyomat´eka M b2 /12, vagyis ugyanannyi, mint egy b hossz´ us´ag´ u r´ ud´e, illetve a s´ıkj´aban fekv˝o m´asik tengelyre tartoz´o tehetetlens´egi nyomat´eka megint csak ugyanannyi, mint egy L hossz´ us´ag´ u r´ ud´e. ¨ Osszegezve: egy alakzat adott (z) tengelyre vonatkoz´o tehetetlens´egi nyomat´ek´anak tulajdons´agai a k¨ovetkez˝ok: (1) A tehetetlens´egi nyomat´ek ´ert´eke: Jz =

X

mi (x2i

+

yi2 )

Z

=

(x2 + y 2 )dm.

(2) Ha a t´argy t¨obb r´eszb˝ol tev˝odik ¨ossze, s ezek mindegyik´enek ismert a tehetetlens´egi nyomat´eka, az eg´esz t´argy tehetetlens´egi nyomat´eka az egyes r´eszek tehetetlens´egi nyomat´ek´anak ¨osszeg´evel egyenl˝o. (3) B´armely adott tengelyre a tehetetlens´egi nyomat´ek egyenl˝o az adott tengellyel p´arhuzamos ´es a t¨omegk¨oz´epponton ´athalad´o tengelyre vonatkoz´o tehetetlens´egi nyomat´ek plusz a teljes t¨omeg szorozva a tengely ´es a t¨omegk¨oz´eppont k¨oz¨otti t´avols´ag n´egyzet´evel. www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

342

19. T¨ omegk¨ oz´eppont. Tehetetlens´egi nyomat´ek

19.1. t´ abl´ azat

Alakzat neve L hossz´ us´ ag´ u v´ekony r´ ud

z-tengely ´atmegy a r´ ud k¨oz´eppontj´an, ⊥ a r´ udra

Jz M L /12

r1 , ill. r2 sugar´ u v´ekony, koncentrikus k¨ orgy˝ ur˝ u

a´tmegy a gy˝ ur˝ u k¨oz´epontj´an, ⊥ a gy˝ ur˝ u s´ıkj´ara

M (r12 + r22 )/2

r sugar´ u g¨ omb

´atmegy a k¨oz´epponton

2M r2 /5

2

19.2. t´ abl´ azat

Alakzat neve a, ill. b oldal´ u t´eglalap a, ill. b oldal´ u t´eglalap v´ekony, r1 , ill. r2 sugar´ u k¨ orgy˝ ur˝ u a, b, ill. c oldal´ u t´eglalap alap´ u has´ ab r sugar´ u, L hossz´ us´ ag´ u henger r sugar´ u, L hossz´ us´ ag´ u henger

z-tengely k¨oz´epponton ´athalad´o, b-vel k a t´eglalapra a k¨oz´eppontban ⊥ valamelyik ´atm´er˝o

Jz M a /12

k¨oz´epponton ´athalad´o, c-vel k L-lel k, az alaplap k¨ozep´en ´athalad´o k¨oz´epponton ´athalad´o, L-re ⊥

M (a2 + b2 )/12

2

M (a2 + b2 )/12 M (r12 + r22 )/4

M r2 /2 M (r2 /4 + L2 /12)

(4) Ha az alakzat s´ıkidom, a r´a mer˝oleges tengelyre vonatkoz´o tehetetlens´egi nyomat´ek egyenl˝o b´armely k´et, a s´ıkban fekv˝o ´es egym´asra mer˝oleges, egym´ast a mer˝oleges tengelyben metsz˝o tengelyre vonatkoz´o tehetetlens´egi nyomat´ekok ¨osszeg´evel. A 19.1. t´abl´azatban felt¨ untetj¨ uk n´eh´any egyenletes t¨omegeloszl´as´ u, elemien egyszer˝ u alakzat tehetetlens´egi nyomat´ek´at. A 19.2. t´abl´azatban l´athat´o n´eh´any m´as alakzat tehetetlens´egi nyomat´eka, ezek a 19.1. t´abl´azatban felsorolt adatokb´ol a fent eml´ıtett tulajdons´agok alapj´an sz´armaztathat´ok. 19.4. A forg´ as kinetikus energi´ aja Folytassuk a dinamika t´argyal´as´at. Az egyenes vonal´ u ´es a forg´o mozg´as k¨ozti megfeleltet´es t´argyal´as´ahoz felhaszn´altuk a munk´ara vonatkoz´o t´etelt, viszont nem tett¨ unk eml´ıt´est a mozg´asi (kinetikus) energi´ar´ol. Miwww.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

19.4. A forg´ as kinetikus energi´ aja

343

vel egyenl˝o egy adott tengely k¨or¨ ul ω sz¨ogsebess´eggel forg´o merev test mozg´asi energi´aja? Az anal´ogia alapj´an azonnal kital´alhatjuk a helyes v´alaszt. A tehetetlens´egi nyomat´ek a t¨omegnek felel meg, a sz¨ogsebess´eg a sebess´egnek, teh´at a mozg´asi energia 21 Jω 2 kell legyen, s mint azonnal l´atni fogjuk, ez val´oban ´ıgy is van. Tegy¨ uk fel, hogy egy t´argy valamilyen tengely k¨or¨ ul forog, u ´gyhogy minden pontja ωri sebess´eggel mozog, ahol ri a pontnak a tengelyt˝ol vett t´avols´aga. Legyen a t¨omegpont t¨omege mi . Az eg´esz test mozg´asi energi´aja pontosan megegyezik az egyes kis r´eszek mozg´asi energi´aj´anak ¨osszeg´evel: 1X 1X Wkin = mi vi2 = mi (ri ω)2 . 2 2 M´armost ω 2 ´alland´o, minden pontra n´ezve azonos. Enn´elfogva 1 X 1 Wkin = ω 2 mi ri2 = Jω 2 . (19.8) 2 2 A 18. fejezet v´eg´en r´amutattunk n´eh´any ´erdekes jelens´egre. Ezek a jelens´egek nem merev, hanem olyan testekkel kapcsolatosak, amelyek hat´arozott impulzusmomentummal rendelkez˝o merev ´allapotb´ol egy m´asik merev ´allapotba mennek ´at. Ugyanis forg´ozs´amolyos k´ıs´erlet¨ unk sor´an, amikor karunkat kiny´ ujtva tartottuk, egy bizonyos J1 tehetetlens´egi nyomat´ekunk ´es ω1 sz¨ogsebess´eg¨ unk volt; amikor karunkat beh´ uztuk, tehetetlens´egi nyomat´ekunk egy m´asik, J2 ´ert´eket vett fel ´es sz¨ogsebess´eg¨ unk ω2 lett, de ezzel u ´jra merev testt´e” v´altoztunk. Az impulzusmomentum ” azonos maradt, minthogy a forg´ozs´amoly f¨ ugg˝oleges tengely´ere vonatkoz´oan semmif´ele forgat´onyomat´ek nem volt. Eszerint J1 ω1 = J2 ω2 . Mi van m´armost az energi´aval? A k´erd´es val´oban ´erdekes. Beh´ uzott karral gyorsabban p¨org¨ unk, de tehetelens´egi nyomat´ekunk kevesebb, u ´gy t˝ unik, mintha az energi´ak egyenl˝ok lenn´enek. Azonban m´egsem egyenl˝ok, mert nem a Jω 2 , hanem a Jω tart egyens´ ulyt. Vagyis, ha a mozg´asi energi´akat akarjuk ¨osszehasonl´ıtani, akkor az els˝o ( kiny´ ujtott kar”) esetben ” 1 2 = 1 N ω , ahol N = J ω = J ω az impulzusmomentum. J ω Hason1 1 1 2 2 2 1 1 2 1 l´o meggondol´assal a m´asodik esetben Wkin = 2 N ω2 , s mivel ω1 < ω2 , a forg´as mozg´asi energi´aja a m´asodik esetben nagyobb. Vagyis amikor karunkat kiny´ ujtva tartottuk, egy bizonyos mozg´asi energi´aval rendelkezt¨ unk, majd amikor beh´ uztuk karunkat, forg´asunk gyorsabb´a v´alt ´es a mozg´asi energi´ank n¨ovekedett. Mi t¨ort´ent az energiamegmarad´as t¨orv´eny´evel? Valaki munk´at kellett hogy v´egezzen. Mi voltunk azok! De mikor is v´egezt¨ unk munk´at? Hiszen amikor egy s´ ulyt v´ızszintes ir´anyban elmozd´ıtunk, a munkav´egz´es z´erus. Ha valamit a kez¨ unkben tartva magunk fel´e h´ uzunk, nem v´egz¨ unk semmif´ele munk´at. De ez csak akkor igaz, amikor nem forgunk. Forg´ omozg´ as k¨ ozben a t´argyakra centrifug´alis er˝o hat, www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

344

19. T¨ omegk¨ oz´eppont. Tehetetlens´egi nyomat´ek

ennek hat´as´ara kifel´e akarnak rep¨ ulni. Teh´at amikor k¨orbe forgunk, a t´argyakat a centrifug´alis er˝o ellen´eben kell befel´e h´ uznunk. Ezek szerint a centrifug´alis er˝o ellen´eben v´egzett munk´anak meg kell egyeznie a mozg´asi energi´ak k¨ ul¨onbs´eg´evel, s term´eszetesen ´ıgy is van. ´Ime ez teh´at a j´arul´ekos mozg´asi energia forr´asa. Van a forg´asnak egy tov´abbi ´erdekes vonatkoz´asa, amelyr˝ol itt csak n´eh´any sz´oval tesz¨ unk eml´ıt´est. B´ar tanulm´anyoz´as´ahoz kiss´e magasabb szint˝ u ismeretekre van sz¨ uks´eg, m´egis ´erdemes megeml´ekezni r´ola, mert sok ´erdekes jelens´eggel f¨ ugg ¨ossze. Vegy¨ uk megint el˝o a forg´ozs´amolyt. Tekints¨ uk most a forg´ast v´egz˝o alany test´et, illetve karjait k¨ ul¨on-k¨ ul¨on. Amint a s´ ulyokat az illet˝o beh´ uzta, az eg´esz rendszer” gyorsabban p¨or¨og, de vegy¨ uk ´eszre, hogy ” test´enek k¨ oz´eps˝ o r´esze v´ altozatlan maradt, m´egis gyorsabban forog, mint azel˝ott. Vagyis, ha a forg´o alany teste k¨or´e k¨ort rajzolva csak az ezen bel¨ uli t´argyakat figyeln´enk meg, azt tapasztaln´ank, hogy impulzusmomentumuk megv´altozott, forg´asuk gyorsabb lett. Teh´at karunk beh´ uz´asakor test¨ unkre valamilyen forgt´onyomat´eknak kellett hatnia. A centrifug´alis er˝o nem id´ezhet el˝o forgat´onyomat´ekot, minthogy sug´arir´any´ u. Ez azt jelenti, hogy a forg´o rendszerben fell´ep˝o er˝ok t¨ort´enete” nem ´er v´eget a ” centrifug´alis er˝ovel, ezen k´ıv¨ ul m´ asik er˝ onek is l´eteznie kell. E m´asik er˝onek, a Coriolis-er˝ onek az a k¨ ul¨onleges tulajdons´aga, hogy hat´as´ara – ha egy t´argyat egy forg´o rendszerben mozgatunk – u ´gy t˝ unik, mintha a t´argy oldalir´anyban ell¨ok˝odne. A centrifug´alis er˝oh¨oz hasonl´oan ez is pszeudoer˝o. De ha forg´o rendszerben tart´ozkodunk ´es a t´argyat sug´arir´anyban mozgatjuk, azt tapasztaljuk, hogy oldalir´anyban is el kell ´ mozd´ıtanunk ahhoz, hogy v´eg¨ ul is sug´arir´anyban haladjon. Eppen ez az oldalir´any´ u l¨ok´es fejt ki forgat´onyomat´ekot test¨ unkre. Vezess¨ unk most le egy kifejez´est, hogy megmutassuk, hogyan is m˝ uk¨odik val´oj´aban a Coriolis-er˝o. Tegy¨ uk fel, hogy Miska egy k¨orhint´an u ¨l, amely sz´am´ara nyugalomban lev˝onek t˝ unik. De a mechanika t¨orv´enyeit j´ol ismer˝o J´oska, aki a f¨old¨on ´all, u ´gy l´atja, hogy a k¨orhinta k¨orbe-k¨orbe halad. Tegy¨ uk fel, hogy a k¨orhint´an kit˝ uzt¨ unk egy sug´arir´any´ u vonalat, ´es hogy Miska e vonal ment´en valamilyen t¨omeget mozgat. Meg szeretn´enk mutatni, hogy ehhez oldalir´any´ u er˝o sz¨ uks´eges. Ez´ert most ford´ıtsuk figyelm¨ unket a t¨omeg impulzusnyomat´ek´ara. Mivel a t¨omeg minden id˝opillanatban azonos sz¨ogsebess´eggel halad k¨orbe, impulzusmomentuma N = mv´er r = mωrr = mωr2 . Vagyis amikor a t¨omeg a k¨oz´eppont k¨ozel´eben van, impulzusmomentuma viszonylag csek´ely, de amikor r megn¨ovekszik, egy u ´j, a k¨oz´eppontt´ol www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

345

19.4. A forg´ as kinetikus energi´ aja

t´avolabbi helyzetbe ker¨ ul, impulzusmomentuma megn˝o, ez´ert forgat´ onyomat´ekot kell gyakorolnunk r´ a, ha azt akarjuk, hogy a sug´ar ment´en haladjon. (Hogy a k¨orhint´an sug´arir´anyban s´et´alhassunk, f´elre kell hajolnunk, ´es oldalir´anyban kell l¨okn¨ unk magunkat. Pr´ob´aljuk csak ki!) A sz¨ uks´eges forgat´onyomat´ek N -nek id˝obeli v´altoz´as´aval egyenl˝o, mialatt m a sug´ar ment´en halad. Ha m csak sug´arir´anyban mozog, ω nem v´altozik, ´ıgy a forgat´onyomat´ek az al´abbi kifejez´essel egyenl˝o: dN d(mωr2 ) dr T = Fc r = = = 2mωr , dt dt dt ahol Fc a Coriolis-er˝o. Val´oj´aban arra az oldalir´any´ u er˝ ore vagyunk k´ıv´ancsiak, amelyet Misk´anak kell kifejtenie ahhoz, hogy m-et vr = dt/dt sebess´eggel kifel´e mozgassa. Ez az er˝o Fc = T /r = 2mωvr . Most, miut´an megkaptuk a Coriolis-er˝ore vonatkoz´o k´epletet, vizsg´aljuk meg a helyzetet kiss´e alaposabban. Vajon meg tudn´ank-e ´erteni a Coriolis-er˝o term´eszet´et, ha eg´eszen elemi szempontok szerint vizsg´aljuk? Meg kell jegyezn¨ unk, hogy a Coriolis-er˝o minden sug´arra azonos ´es nyilv´anval´oan fell´ep a kezd˝opontban is! K¨ ul¨on¨osen itt, a kezd˝opontban egyszer˝ uen elemezhet˝o, ha a f¨old¨on ´all´o J´oska inerciarendszer´eb˝ol figyelj¨ uk meg a jelens´eget. A 19.4. ´abra h´arom egym´ast k¨ovet˝o helyzetet mutat, amint m a t = 0 pillanatban ´eppen kereszt¨ ulhalad a kezd˝oponton. A k¨orhinta forg´asa k¨ovetkezt´eben u ´gy l´atjuk, hogy m nem egyenes, hanem g¨orb¨ ult p´aly´an mozog, amelynek ´erint˝oje az r = 0 pontban egybeesik a k¨orhinta ´atm´er˝oj´evel. Hogy m g¨ orb¨ ult p´alya ment´en haladjon, l´eteznie kell egy er˝onek, amely az abszol´ ut t´erben1 gyors´ıtja azt. Ez az er˝o a Coriolis-er˝o. Nem csak ilyen esetekben fodul 1 3 el˝o a Coriolis-er˝o. Meg lehet mutat1 3 2 ni, hogy k¨or ker¨ ulete ment´en ´allan2 2 d´o sebess´eggel mozg´o t´argyra szin3 1 t´en hat a Coriolis-er˝o. Mi´ert? Miska a k¨or ker¨ ulete ment´en halad´o 19.4. a ´bra. Forg´ o lapon sug´ arir´ anyban mozg´ o pont h´ arom egym´ as ut´ at´argy sebess´eg´et vM -nek, J´oska vini helyzete szont vJ = vM + rω-nak ´eszleli, mivel m-et a k¨orhinta is mozgatja. Enn´el fogva tulajdonk´eppen ismerj¨ uk az er˝o nagys´ag´at, ez a vJ sebess´eg k¨ovetkezt´eben fell´ep˝o teljes centripet´alis er˝o: mvJ2 /r. M´armost Miska szempontj´ab´ol ez a centripet´alis er˝o h´arom r´eszb˝ol tev˝odik ¨ossze: mv 2 mv 2 Fr = − J = − M − 2mvM ω − mω 2 r. r r 1

A szerz˝ o abszol´ ut t´eren J´ oska” rendszer´et ´erti. (A ford.) ”

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

346

19. T¨ omegk¨ oz´eppont. Tehetetlens´egi nyomat´ek

Teh´at Fr a Miska ´altal ´eszlelt er˝o. Pr´ob´aljuk a k¨ ul¨onb¨oz˝o tagokat ´er´ telmezni. Eszleli-e Miska az els˝o tagot? Hogyne – feleln´e – m´eg forg´as ” n´elk¨ ul is ´eszleln´ek centrifug´alis er˝ot, ha egy k¨or ker¨ ulete ment´en vM sebess´eggel k¨orbeszaladn´ek.” Ez ugyanis az a centripet´alis er˝o, amelyet Miska minden forg´ast´ol eltekintve ´eszlelne. Tov´abb´a Miska nagyon j´ol tudja, hogy egy m´asik centripet´alis er˝o is jelen van, amely m´eg a k¨orhint´an nyugalomban lev˝o testekre is hat. Ez a harmadik tag. Azonban a fentiek mellett van egy m´asodik tag is, amely ism´et 2mωv. Az Fc Coriolis-er˝o ´erint˝oir´any´ u volt, amikor a sebess´eg sug´arir´anyba mutatott, most pedig – vagyis amikor a sebess´eg ´erint˝o menti – sug´arir´any´ u. Az ut´obbi kifejez´es az el˝obbit˝ol tulajdonk´eppen csak egy el˝ojelben k¨ ul¨onb¨ozik. Az er˝o a sebess´eghez k´epest mindig ugyanabba az ir´anyba mutat, f¨ uggetlen¨ ul att´ol, hogy a sebess´eg milyen ir´any´ u. Az er˝o mindig mer˝oleges a sebess´egre, nagys´aga pedig 2mωv.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

20. fejezet Forg´ as h´ arom dimenzi´ oban 20.1. Forgat´ onyomat´ ek h´ arom dimenzi´ oban Az itt k¨ovetkez˝o fejezetben a mechanikai t¨orv´enyek egyik igen ´erdekes k¨ovetkezm´eny´evel, a forg´o ker´ek viselked´es´evel foglalkozunk. Ehhez azonban el˝osz¨or ki kell terjeszten¨ unk h´aromdimenzi´os t´erre a forg´omozg´as matematikai le´ır´as´at, az impulzusmomentum megmarad´as´anak t¨orv´eny´et, a forgat´onyomat´ek fogalm´at, ´es ´ıgy tov´abb. Az idev´ag´o egyenleteket teljes ´altal´anos alakjukban nem haszn´ aljuk fel, ´es ¨osszes k¨ovetkezm´enyeiket sem t´argyaljuk, minthogy hamarosan m´as t´em´ara kell ´att´ern¨ unk. E bevezet˝o jelleg˝ u k¨onyvben csup´an az alapvet˝o t¨orv´enyek ´es azok n´eh´any, k¨ ul¨on¨osen fontos alkalmaz´as´anak bemutat´as´ara van lehet˝os´eg¨ unk. El¨olj´ar´oban megjegyezz¨ uk, hogy f¨ uggetlen¨ ul att´ol, vajon merev test vagy valamilyen m´as rendszer v´egez-e t´erbeli forg´omozg´ast, ezekre is ´erv´enyes mindaz, amit k´et dimenzi´ora vonatkoz´oan levezett¨ unk. Vagyis tov´abbra is igaz, hogy az xFy − yFx kifejez´es az xy s´ıkba es˝o”, vagy m´as” k´epp, a z-tengely k¨or¨ uli” forgat´onyomat´ek. Tov´abb´a a forgat´onyomat´ek ” itt is egyenl˝o lesz az xpy − ypx kifejez´es id˝obeli megv´altoz´as´aval. Ugyanis visszatekintve a (18.15) egyenlet Newton-t¨orv´enyekb˝ol kiindul´o levezet´es´ere, l´athatjuk, hogy nem kellett felt´etelezn¨ unk a mozg´as s´ıkbeli volt´at; xpy −ypx -et differenci´alva xFy −yFx ad´odik, vagyis e t´etel tov´abbra is igaz. Az xpy − ypx mennyis´eget ennek megfelel˝oen az xy s´ıkhoz tartoz´o, vagy a z-tengelyre vonatkoz´o impulzusmomentumnak nevezz¨ uk. Ha ez ´ıgy van, kiv´alaszthatunk egy m´asik tengelyp´art is, mi´altal m´asik egyenlethez jutunk. P´eld´aul, ha kiv´alasztjuk az yz s´ıkot, szimmetriaokokn´al fogva vil´agos, hogy x hely´ebe y-t, y hely´ebe z-t ´ırva, az ehhez tartoz´o forgat´onyomat´ekra yFz −zFy , az impulzusmomentumra pedig ypz −zpy kifejez´es ad´odik. Term´eszetesen kiv´alaszthatn´ank egy harmadik s´ıkot is, nevezetesen zx-t, amelyre nyilv´anval´oan azt tal´aln´ank, hogy zFx − xFz = d/dt(zpx − xpz ). L´athat´o teh´at, hogy egyetlen r´eszecske mozg´as´ara vonatkoz´oan le lehet vezetni a fenti h´arom egyenletet. Ha pedig olyan kifejez´eseket, mint xpy −ypx , t¨obb r´eszecsk´ere vonatkoztatva ¨ossze is adn´ank (´es teljes impulzusmomentumnak nevezn´enk), akkor az xy, az yz ´es a zx s´ıkoknak megfelel˝oen h´aromfajta kifejez´esre jutn´ank. Ugyan´ıgy az er˝okkel kapcsolatban az xy, az yz, illetve a zx s´ıkokba es˝o forgat´onyomat´ekokr´ol is besz´elhetn´enk. Ezt az utat k¨ovetve olyan t¨orv´enyhez jutn´ank, amely kimondja, www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

348

20. Forg´ as h´ arom dimenzi´ oban

hogy b´armely s´ıkhoz tartoz´o k¨ uls˝o forgat´onyomat´ek az ugyanazon s´ıkhoz tartoz´o impulzusmomentum id˝obeli megv´altoz´as´aval egyenl˝o. Ez csup´an ´altal´anos´ıt´asa a m´ar le´ırt k´etdimenzi´os esetnek. Ez mind nagyon sz´ep” – vethetn´e ellen valaki – csakhogy l´eteznek ” ” m´as s´ıkok is. V´egt´ere is, mi´ert ne v´alaszthatn´ank ki egy m´asik, az el˝oz˝okkel valamilyen sz¨oget bez´ar´o s´ıkot, s mi´ert ne sz´am´ıthatn´ank ki az er˝ok ´altal erre a s´ıkra kifejtett forgat´onyomat´ekot? Mivel azonban minden ilyen s´ıkhoz m´as egyenletrendszert kellene fel´ırnunk, sz´amtalan sok ´ egyenletet kapn´ank!” Erdekes m´odon azonban azt tapasztaljuk, hogy ha egy ´altal´anos s´ıkra vonatkoz´oan kisz´am´ıtjuk az x0 Fy0 − y 0 Fx0 kombin´aci´ot (ahol az x0 , Fy0 stb. mennyis´egeket a s´ıkban m´erj¨ uk), a kapott eredm´enyt fel lehet ´ırni az xy, az yz ´es a zx s´ıkokhoz tartoz´o kifejez´esek bizonyos kombin´aci´ojak´ent. Ebben semmi u ´j nincsen. Ha ugyanis ismerj¨ uk a forgat´onyomat´ek nagys´ag´at az xy, yz ´es zx s´ıkokban, b´armely m´as s´ıkhoz tartoz´o forgat´onyomat´ek, ´es ennek megfelel˝oen az impulzusmomentum is fel´ırhat´o az el˝oz˝ok valamilyen kombin´aci´ojak´ent: p´eld´aul 6% az egyikb˝ol, 92% a m´asikb´ol, ´es ´ıgy tov´abb. Elemezz¨ uk ezt a tulajdons´agot kiss´e r´eszletesebben. Tegy¨ uk fel, hogy J´oska a maga xyz koordin´atarendszer´eben kisz´am´ıtotta a saj´at s´ıkjaihoz tartoz´o o¨sszes impulzusmomentumot ´es forgat´onyomat´ekot, Miska koordin´atarendszer´enek x0 , y 0 , z 0 tengelyei azonban m´as ir´anyba mutatnak. K¨onny´ıt´es¨ ul felt´etelezz¨ uk, hogy csak az x- ´es 0 0 y-tengelyt forgattuk el. Miska x - ´es y -tengelyei x-hez ´es y-hoz k´epest u ´jak”, azonban z egybeesik z 0 -vel. Teh´at Miska yz ´es zx s´ıkjai u ´jak”. Az ” ” ´altala kisz´am´ıthat´o forgat´onyomat´ekok ´es impulzusmomentumok szint´en u ´j” ´ert´ekek lesznek. P´eld´aul az ´altala ´eszlelt x0 y 0 s´ıkba es˝o forgat´onyo” mat´ek x0 Fy0 − y 0 Fx0 -vel egyenl˝o, ´es ´ıgy tov´abb. Feladatunk most teh´at az, hogy megtal´aljuk az u ´j” ´es r´egi” forgat´onyomat´ekok k¨oz¨otti kapcsolatot. ” ” Ez´altal kez¨ unkbe kapjuk annak kulcs´at, hogyan kell ´att´ern¨ unk egyik koordin´atarendszerr˝ol a m´asikra. Hiszen ez ´eppen olyan, mint amit a vek” ´ igaza lenne, pontosan torokn´al csin´altunk!” – mondhatn´a az olvas´o. Es ugyanazt szeretn´enk megism´etelni. Vajon akkor a forgat´onyomat´ek nem ” vektor?” Kider¨ ul, hogy val´ oban az, ezt azonban el˝ore nem tudjuk, csak megfelel˝o anal´ızissel mutathat´o meg. A k¨ovetkez˝okben elv´egezz¨ uk ezt az anal´ızist. Minden l´ep´est persze nem r´eszletez¨ unk, mert csak a levezet´es menet´et szeretn´enk megmutatni. A J´oska ´altal kisz´am´ıtott forgat´onyomat´ekok rendre: Txy = xFy − yFx , Tyz = yFz − zFy , www.interkonyv.hu

(20.1) Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

20.1. Forgat´ onyomat´ek h´ arom dimenzi´ oban

349

Tzx = zFx − xFz . ∗ Itt egy kis kit´er˝ ovel megjegyezz¨ uk, hogy hasonl´o esetekben bizonyos mennyis´egek el˝ ojel´et el lehet t´eveszteni, ha a koordin´at´akat nem a megfelel˝o m´odon kezelj¨ uk. Mi´ert nem ´ırunk p´eld´ aul Tyz = zFy − yFz -t? A probl´ema onnan sz´armazik, hogy egy koordin´ atarendszer k´etf´ele lehet: jobbsodr´as´ u” ´es balsod” ” r´as´ u”. Ha Txy sz´ am´ ara (¨ onk´enyesen) egy el˝ojelet m´ar kiv´alasztottunk, a m´asik k´et mennyis´eg helyes kifejez´es´et mindig az indexek felcser´el´es´evel kapjuk. A felcser´el´es m´ odja: x %& z ←− y

vagy

x .y −→ z

∗ Miska a maga koordin´atarendszer´eben az al´abbi forgat´onyomat´ekokat sz´am´ıtotta ki: Tx0 y0 = x0 Fy0 − y 0 Fx0 , Ty0 z 0 = y 0 Fz 0 − z 0 Fy0 , 0

(20.2)

0

Tz 0 x0 = z Fx0 − x Fz 0 . Tegy¨ uk most fel, hogy az egyik koordin´atarendszer a m´asikhoz k´epest r¨ogz´ıtett ϕ sz¨oggel el van forgatva, m´ıg a z- ´es z 0 -tengelyek azonosak maradnak. (A ϕ sz¨ognek semmi k¨oze sincsen a forg´o t´argyakhoz vagy a koordin´atarendszerben v´egbemen˝o mozg´asokhoz, puszt´an a k´et megfigyel˝o ´altal kiv´alasztott koordin´atatengelyek k¨oz¨otti ¨osszef¨ ugg´est hat´arozza meg, ´es ´ert´ek´et id˝oben ´alland´onak t´etelezz¨ uk fel.) Vagyis a k´et rendszer koordin´at´ai k¨oz¨ott a k¨ovetkez˝o ¨osszef¨ ugg´es ´all fenn: x0 = x cos ϕ + y sin ϕ, y 0 = y cos ϕ − x sin ϕ,

(20.3)

0

z =z Mivel az er˝o vektor, transzform´aci´oj´at az u ´j koordin´atarendszerbe ugyanezek az egyenletek ´ırj´ak le, mert valami akkor ´es csakis akkor vektor, ha k¨ ul¨onb¨oz˝o komponensei ugyan´ ugy transzform´al´odnak, mint x, y ´es z: Fx0 = Fx cos ϕ + Fy sin ϕ, Fy0 = Fy cos ϕ − Fx sin ϕ,

(20.4)

Fz 0 = Fz . Hogyan transzform´al´odik a forgat´onyomat´ek? Egyszer˝ uen csak be kell helyettes´ıten¨ unk a (20.2) egyenletekben x0 , y 0 ´es z 0 hely´ebe a (20.3), Fx0 , www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

350

20. Forg´ as h´ arom dimenzi´ oban

Fy0 , Fz 0 hely´ebe pedig a (20.4) egyenleteket. Tx0 y0 -re ´ıgy meglehet˝osen hossz´ u kifejez´es ad´odik, amelyr˝ol kider¨ ul (s ez az els˝o pillanatban el´eg meglep˝o), hogy az xFy − yFx kifejez´essel egyenl˝o, ez ut´obbiban pedig r´aismer¨ unk az xy s´ıkj´ahoz tartoz´o forgat´onyomat´ekra: Tx0 y0 = (x cos ϕ + y sin ϕ)(Fy cos ϕ − Fx sin ϕ)− − (y cos ϕ − x sin ϕ)(Fx cos ϕ + Fy sin ϕ) = = xFy (cos2 ϕ + sin2 ϕ) − yFx (sin2 ϕ + cos2 ϕ)+ + xFx (− sin ϕ cos ϕ + sin ϕ cos ϕ)+ + yFy (sin ϕ cos ϕ − sin ϕ cos ϕ) = = xFy − yFx = Txy .

(20.5)

Ez az eredm´eny k¨onnyen magyar´azhat´o, ugyanis ha a tengelyeket a s´ıkban forgatjuk el, a z-tengely k¨or¨ uli csavar´oer˝o nem v´altozik meg, hiszen a hozz´a tartoz´o s´ık ugyanaz maradt, mint volt! A Ty0 z 0 kifejez´es m´ar ´erdekesebbnek ´ıg´erkezik, mivel ehhez u ´j” s´ık tartozik. Az y 0 z 0 s´ık eset´eben, a ” fentihez hasonl´o m´odon elj´arva, a k¨ovetkez˝o kifejez´est kapjuk: Ty0 z 0 = (y cos ϕ − x sin ϕ)Fz − z(Fy cos ϕ − Fx sin ϕ) = = (yFz − zFy ) cos ϕ + (zFx − xFz ) sin ϕ = = Tyz cos ϕ + Tzx sin ϕ.

(20.6)

V´egezz¨ uk el a sz´am´ıt´ast Tz 0 x0 -re n´ezve: Tz 0 x0 = z(Fx cos ϕ + Fy sin ϕ) − (x cos ϕ + y sin ϕ)Fz = = (zFx − xFz ) cos ϕ − (yFz − zFy ) sin ϕ = = Tzx cos ϕ − Tyz sin ϕ.

(20.7)

Egy szab´alyhoz akartunk jutni, amely lehet˝ov´e teszi, hogy az u ´j” ten” gelyekhez tartoz´o forgat´onyomat´ekokat a r´egi” tengelyekhez tartoz´ok se” g´ıts´eg´evel meghat´arozzuk, s ´ıme, a szab´aly el˝ott¨ unk ´all. Mik´ent lehet ezt a szab´alyt k¨onnyen eml´ekezetben tartani? Ha a (20.5), (20.6) ´es (20.7) kifejez´eseket figyelmesen megvizsg´aljuk, ´eszrevessz¨ uk, hogy k¨ozt¨ uk ´es az x, y, illetve z koordin´at´akra vonatkoz´o egyenletek k¨oz¨ott szoros ¨osszef¨ ugg´es ´all fenn. Ha Txy -t valamilyen, mondjuk egy T vektor z ir´any´ u komponens´enek nevezhetn´enk, minden rendben lenne; (20.5)-¨ot vektortranszform´aci´onak tekinthetn´enk, ahol Tz v´altozatlan maradna, mint ahogyan lennie is kell. Hasonl´ok´eppen, ha hozz´arendelj¨ uk az u ´jonnan bevezetett vektor x ir´any´ u komponens´et az yz s´ıkhoz, y ir´any´ u komponens´et pedig a zx s´ıkhoz, a transzform´aci´ora vonatkoz´o kifejez´esek a k¨ovetkez˝o alakot veszik fel: Tz 0 = Tz , www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

20.1. Forgat´ onyomat´ek h´ arom dimenzi´ oban

Tx0 = Tx cos ϕ + Ty sin ϕ,

351 (20.8)

Ty0 = Ty cos ϕ − Tx sin ϕ, s ez voltak´eppen a vektorok transzform´aci´oj´ara vonatkoz´o szab´aly! Ily m´odon bebizony´ıtottuk, hogy az xFy −yFx kombin´aci´ot olyan menynyis´eggel azonos´ıthatjuk, amelyet egyszer˝ uen egy bizonyos, mesters´eges u ´ton bevezetett vektor z ir´any´ u komponens´enek nevez¨ unk. B´ar a forgat´onyomat´ek s´ıkbeli csavar´asnak felel meg, ´es a priori nem vektor jelleg˝ u, matematikailag a vektorokkal azonos m´odon viselkedik. A forgat´onyomat´ek a csavar´as s´ıkj´ara mer˝oleges, hossza pedig a csavar´as m´ert´ek´evel ar´anyos. Az ilyen mennyis´eg h´arom komponense ugyan´ ugy transzform´al´odik, mint egy val´odi vektor. A forgat´onyomat´ekot teh´at vektorral ´abr´azoljuk, azaz minden s´ıkhoz, amelyre a forgat´onyomat´ek hat´ast fejt ki, hozz´arendel¨ unk egy, a s´ıkra mer˝oleges egyenest. De a mer˝oleges” sz´o a vektor el˝ojel´et m´eg nem hat´arozza ” meg. Hogy a helyes el˝ojelet megkapjuk, alkalmaznunk kell egy kieg´esz´ıt˝o szab´alyt, amely megmondja, hogy ha az er˝o nyomat´eka meghat´arozott ´ertelemben hat az xy s´ıkban, akkor a neki megfelel˝o vektor a z-tengelyen felfel´e” mutat. Vagyis valakinek meg kell hat´aroznia sz´amunkra a jobb”” ” ot ´es a bal”-t. Felt´eve, hogy xyz koordin´atarendszer¨ unk jobbsodr´as´ u, a ” szab´aly a k¨ovetkez˝ok´eppen hangzik: ha a csavar´ast u ´gy k´epzelj¨ uk el, mintha egy jobb menet˝ u csavart csavarn´ank be, a csavar´ashoz rendelt vektor ir´anya megegyezik a csavar el˝orehalad´asi ir´any´aval. Mi´ert vektor a forgat´onyomat´ek? Ez csakis annak a szerencs´es v´eletlennek k¨osz¨onhet˝o, hogy egy s´ık egyetlen tengellyel hozhat´o kapcsolatba, ´es ez´altal a forgat´onyomat´ekhoz egy vektort tudunk rendelni. Ez a h´aromdimenzi´os t´er saj´atos tulajdons´aga. K´et dimenzi´oban a forgat´onyomat´ek k¨oz¨ons´eges skal´ar, s ´ıgy nincsen sz¨ uks´eg semmif´ele ir´any hozz´arendel´es´ere. H´arom dimenzi´oban a forgat´onyomat´ek vektor. N´egy dimenzi´o eset´en nagy neh´ezs´egek t´amadn´anak, mivel (ha a negyedik dimenzi´o az id˝o lenne), nemcsak az xy, yz ´es zx s´ıkok l´etezn´enek, hanem olyanok is, mint ¨ p´eld´aul tx, ty ´es tz. Osszesen hat k¨ ul¨onb¨oz˝o s´ıkunk lenne, ´es hat mennyis´eget n´egy dimenzi´oban nem k´epviselhet vektor. M´eg sok´aig megmaradunk a h´arom dimenzi´o mellett, ´ıgy ´erdemes megjegyezni, hogy az el˝obbi matematikai levezet´es nem f¨ ugg att´ol, hogy x helykoordin´ata, F pedig er˝o, az eg´esz kiz´ar´olag a vektorok transzform´aci´os tulajdons´again alapul. Teh´at ha x helyett valamilyen m´asik vektor x ir´any´ u komponens´et v´alasztottuk volna, abb´ol semmif´ele k¨ ul¨onbs´eg nem sz´armazott volna. M´as sz´oval, ha az a ´es b vektorok komponenseib˝ol kisz´am´ıtjuk az ax by − ay bx mennyis´eget, s ezt valamilyen c mennyis´eg komwww.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

352

20. Forg´ as h´ arom dimenzi´ oban

ponens´enek nevezz¨ uk, akkor a cx , cy , cz mennyis´egek vektort alkotnak. Sz¨ uks´eg¨ unk van valamilyen matematikai jel¨ol´esre a h´arom komponens´evel adott a ´es b vektorok k¨oz¨otti ¨osszef¨ ugg´es le´ır´as´ara. E c´elra a c = a ×b matematikai jel¨ol´esm´odot tal´alt´ak ki. A vektoranal´ızis elm´elet´eben a k¨oz¨ons´eges skal´arszorzat mell´e kapunk teh´at egy u ´jt´ıpus´ u szorzatot is, ez az u ´gynevezett vektorszorzat. Vagyis c = a × b ugyanaz, mintha azt ´ırn´ank, hogy cx = ay bz − az by , cy = az bx − ax bz ,

(20.9)

cz = ax by − ay bx . Ha a ´es b sorrendj´et felcser´elj¨ uk, azaz a × b helyett b × a-t ´ırunk, akkor c el˝ojele ellenkez˝ore v´altozik, mivel cz p´eld´aul ez esetben bx ay − by ax lesz. A vektorszorzat ez´ert nem hasonl´o a k¨oz¨ons´eges szorz´ashoz, ahol fenn´all, hogy ab = ba; a vektorszorz´asban b × a = −a × b. Ebb˝ol r¨ogt¨on be lehet l´atni, hogy ha a = b, a vektorszorzat ´ert´eke 0. Teh´at a × a = 0. A vektorszorzat fontos szerepet j´atszik a forg´omozg´as jellegzetess´egeinek felt´ar´as´aban, ez´ert fontos, hogy vil´agos k´ep¨ unk legyen r´ola, milyen geometriai ¨osszef¨ ugg´es ´all fenn a h´arom, a, b ´es c vektor k¨oz¨ott. A (20.9) egyenletek megadj´ak a komponensek k¨oz¨otti ¨osszef¨ ugg´eseket, s innen azt´an term´eszetesen meg lehet hat´arozni a vektorok egym´ashoz viszony´ıtott helyzet´et. A feltett k´erd´esre teh´at a v´alasz az, hogy el˝osz¨or is c mind az a-ra, mind pedig b-re mer˝oleges. (Pr´ob´aljuk meg kisz´am´ıtani ca-t, s azt´an ellen˝orizz¨ uk, hogy ez t´enyleg z´erust ad-e.) M´asodsorban c nagys´ag´ar´ol kider¨ ul, hogy ez a ´es b nagys´ag´anak, valamint a k¨ozt¨ uk lev˝o sz¨og szinusz´anak a szorzata. Milyen ir´anyba mutat c? K´epzelj¨ uk el, hogy 180◦ n´al kisebb sz¨og alatt a-t b-be beforgatjuk; ha jobb menet˝ u csavart ilyen ir´anyban csavarunk, az c ir´any´aban fog el˝orehaladni. Hogy jobb menet˝ u csavarr´ol besz´el¨ unk bal menet˝ u helyett, ez csup´an meg´allapod´as k´erd´ese, ´es ´alland´o eml´ekeztet˝ou ¨l szolg´al arra n´ezve, hogy m´ıg a ´es b k¨oz¨ons´eges ´ertelemben v´eve becs¨ uletes” vektorok, addig az ´altalunk bevezetett u ´j ” t´ıpus´ u a × b vektor mesters´eges, ugyanis tulajdons´agaiban kiss´e elt´er at´ol ´es b-t˝ol, mert egy k¨ ul¨onleges szab´aly r´ev´en hoztuk l´etre. Ha az a ´es b k¨oz¨ons´eges vektor, akkor k¨ ul¨on nevet adunk neki, pol´ arvektornak nevezz¨ uk. Ilyen vektor p´eld´aul a koordin´ata (r), az er˝o (F), az impulzus (p), a sebess´eg (v), az elektromos t´erer˝oss´eg (E) stb.; ezek mind k¨oz¨ons´eges pol´arvektorok. Azokat a vektorokat, amelyek defin´ıci´ojuk szerint ´eppen egy vektorszorzatot tartalmaznak, axi´ al- vagy pszeudovektoroknak nevezz¨ uk. Axi´alvektor p´eld´aul a forgat´onyomat´ek (T) ´es az impulzuswww.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

20.2. A forg´ omozg´ as egyenletei vektoralakban

353

momentum (N). A sz¨ogsebess´eg (ω), valamint a m´agneses indukci´o (B) szint´en axi´alvektor. Hogy teljess´e tegy¨ uk a vektorok matematikai tulajdons´agait illet˝o ismereteinket, meg kell ismerkedn¨ unk minden, a vektor-, illetve skal´arszorzat alkalmaz´asakor el˝ofordul´o szab´allyal. A jelenleg felmer¨ ul˝o probl´em´akban ezek k¨oz¨ ul csup´an n´eh´anyra van sz¨ uks´eg¨ unk, de a teljess´eg kedv´e´ert e helyen – hogy a k´es˝obbiekben majd felhaszn´alhassuk ˝oket – minden szab´alyt felsorolunk: (a) a × (b + c) = a × b + b × c, (b)

(αa) × b = α(a × b),

(c) a(b × c) = (a × b)c, (d)

a × (b × c) = b(ac) − c(ab),

(e)

a × a = 0,

(f )

a(a × b) = 0.

(20.10)

20.2. A forg´ omozg´ as egyenletei vektoralakban Vess¨ uk most fel a k´erd´est, vajon l´etezik-e olyan egyenlet a fizik´aban, amelyet vektorszorzat seg´ıts´eg´evel lehet fel´ırni. A v´alasz term´eszetesen az, hogy ilyen egyenlet igen sok tal´alhat´o. Azonnal l´athat´o p´eld´aul, hogy a forgat´onyomat´ek a helyvektornak ´es az er˝onek vektori´alis szorzata: T = r × F. (20.11) Ez a h´arom, Tx = yFz − zFy stb. egyenlet o¨sszefoglal´asa vektoralakban. Ugyanilyen m´odon, ha csak egyetlen r´eszecske van jelen, az impulzusnyomat´ek-vektor is egy vektorszorzattal, m´egpedig a kezd˝opontb´ol kiindul´o helyvektor ´es az impulzusvektor vektori´alis szorzat´aval egyenl˝o: N = r × p. (20.12) H´aromdimenzi´os t´erbeli forg´omozg´as eset´en az F = dp/dt Newton-f´ele t¨orv´enynek a T = N/dt (20.13) dinamikai t¨orv´eny felel meg, amely szerint a forgat´onyomat´ek az impulzusnyomat´ek-vektor id˝obeli megv´altoz´as´anak m´ert´ek´evel egyenl˝o. Ha (20.13)at sok r´eszecsk´ere ¨osszegezz¨ uk, azt kapjuk, hogy egy r´eszecskerendszerre hat´o k¨ uls˝o forgat´onyomat´ek a teljes impulzusmomentum id˝obeli megv´altoz´as´anak m´ert´ek´evel egyenl˝o: Tk¨uls˝o = dNteljes /dt. (20.14) Egy m´asik t´etel: ha az ered˝o k¨ uls˝o forgat´onyomat´ek z´erus, a rendszer teljes impulzusmomentum-vektora ´alland´o. Ezt a t´etelt az impulzuswww.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

354

20. Forg´ as h´ arom dimenzi´ oban

momentum-megmarad´ as t¨orv´eny´enek nevezik. Ha egy adott rendszerre forgat´onyomat´ek nem hat, impulzusmomentuma nem v´altozhat meg. Mi a helyzet a sz¨ogsebess´eggel? Vajon vektor-e ez is? Az el˝oz˝okben m´ar foglalkoztunk merev testeknek egyetlen tengely k¨or¨ uli forg´omozg´as´aval, most viszont egy pillanatra tegy¨ uk fel, hogy a testet egyidej˝ uleg k´et tengely k¨or¨ ul forgatjuk. Forogjon p´eld´aul a test egy doboz belsej´eben, s ezalatt a doboz maga is forogjon egy m´asik tengely k¨or¨ ul. Ilyen o¨sszetett mozg´as ered˝ojek´ent a test valamilyen harmadik tengely k¨or¨ ul v´egez forg´omozg´ast! A dologban az a csod´alatos, hogy ez az u ´j” tengely a k¨o” vetkez˝ok´eppen hat´arozhat´o meg. Ha az xy s´ıkbeli forg´assz¨og sebess´eg´et egy, a z-tengely ir´any´aba mutat´o vektor jelk´epezi, amelynek hossza az e s´ıkhoz tartoz´o sz¨ogsebess´eg nagys´aga, ´es ha egy m´asik vektor az y ir´anyba mutat, amelynek hossza legyen ´eppen a zx s´ıkbeli forg´as sz¨ogsebess´ege, s e k´et vektort azut´an a paralelogramma-szab´aly seg´ıts´eg´evel ¨osszeadjuk, az ered˝o nagys´aga megmutatja, hogy mekkora sebess´eggel, ir´anya pedig, hogy milyen s´ıkban forog a test. Mindezt egyszer˝ ubben is fogalmazhatjuk: a sz¨ogsebess´eg vektor, ´es a h´arom koordin´atas´ıkban a forg´as sz¨ogsebess´egei rendre ennek a vektornak a s´ıkokra mer˝oleges ir´any´ u vet¨ uletei.1 A sz¨ogsebess´egvektor egyszer˝ u alkalmaz´asak´ent kisz´am´ıthatjuk p´eld´aul a valamely testre hat´o forgat´onyomat´ek ´altal l´etrehozott teljes´ıtm´enyt. A teljes´ıtm´eny nyilv´an a v´egzett munka id˝obeli megv´altoz´asa, h´arom dimenzi´oban P = Tω. A s´ıkbeli forg´omozg´asra fel´ırt k´epletek kiterjeszthet˝ok h´arom dimenzi´ora. P´eld´aul ha egy merev test bizonyos tengely k¨or¨ ul ω sz¨ogsebess´eggel forog, felvethetj¨ uk a k´erd´est: Mekkora lesz a test valamely pontj´anak se” bess´ege az r helyvektor ´altal kijel¨olt pontban?” Gyakorlatk´ent az olvas´ora b´ızzuk, hogy mutassa meg, a keresett sebess´egvektor r × ω-val egyenl˝o, ahol ω a sz¨ogsebess´eg, ´es r a helyvektor. A vektorszorzatra m´asik p´elda a Coriolis-er˝o, az erre vonatkoz´o el˝obbi ¨osszef¨ ugg´esek szint´en ´at´ırhat´ok a vektorszorzattal, Fc = 2mv × ω. Ha teh´at egy r´eszecske valamely sz¨ogsebess´eggel forg´o koordin´atarendszerben v sebess´eggel mozog, s a jelens´egeket ezen koordin´atarendszerbeli mennyis´egekkel szeretn´enk le´ırni, az Fc pszeudoer˝ot is figyelembe kell venn¨ unk. 20.3. A p¨ orgetty˝ u T´erj¨ unk most vissza az impulzusmomentum megmarad´as´anak t¨orv´eny´ehez. A t¨orv´enyt sz´epen szeml´eltethetj¨ uk egy sebesen fog´o ker´ek, m´as 1 A testnek egy v´egtelen kicsiny, ∆t id˝ otartam alatti elmozdul´ as´ at komponenseire bontjuk. A gondolatmenet nem mag´ at´ ol ´ertet˝ od˝ o, a bizony´ıt´ ast az olvas´ ora b´ızzuk.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

355

20.3. A p¨ orgetty˝ u

Előtte

Utána

20.1. a ´bra. El˝ otte: a forg´ astengely v´ızszintes; a f¨ ugg˝ oleges tengely k¨ or¨ uli impulzusmomentum nulla. Ut´ ana: a forg´ astengely f¨ ugg˝ oleges; a f¨ ugg˝ oleges tengely k¨ or¨ uli impulzusmomentum hasonl´ ok´eppen z´erus; a k´ıs´erletet v´egrehajt´ o szem´ely, valamint a zs´ amoly a ker´ek forg´ asi ir´ any´ aval ellent´etes ir´ anyban forog

n´even p¨orgetty˝ u seg´ıts´eg´evel, ´espedig a k¨ovetkez˝ok´eppen (20.1). ´abra) Tegy¨ uk fel, hogy egy forg´ozs´amolyon u unk ´es egy sebesen p¨org˝o ker´ek ¨l¨ v´ızszintes ir´any´ u tengely´et tartjuk a kez¨ unkben. A ker´eknek teh´at a v´ızszintes tengely k¨or¨ ul valamilyen impulzusmomentuma van. A f¨ ugg˝ oleges tengely k¨or¨ uli impulzusmomentum nem v´altozhat meg a zs´amoly tengely´enek (s´ url´od´asmentes) r¨ogz´ıt´ese folyt´an. Ha most a p¨org˝o ker´ek tengely´et a f¨ ugg˝oleges ir´anyba ford´ıtjuk, a ker´eknek a f¨ ugg˝oleges tengely k¨or¨ ul lesz impulzusmomentuma. Az eg´esz rendszernek azonban (vagyis a zs´amolynak, nek¨ unk, valamint a ker´eknek egy¨ uttv´eve) nem lehet f¨ ugg˝ oleges ir´ any´ u impulzusmomentum-¨ osszetev˝ oje, ez´ert a zs´amolynak a ker´ek forg´as´aval ellent´etes ir´anyban kell forognia, hogy annak hat´as´at ellens´ ulyozza. Vizsg´ a ljuk meg el˝ o sz¨ o r r´ e szletesebz ben az im´ent le´ırt jelens´eget. Ki kell N T w der´ıten¨ unk, honnan ered az az er˝o, –F D DN amely a zs´amolyt forg´asba hozza, F W w amikor a p¨orgetty˝ u tengely´et a f¨ ugN y x g˝oleges ir´anyba ford´ıtjuk. A 20.2. ´abr´an l´athatjuk az y-tengely k¨or¨ ul 20.2. a ´bra. P¨ orgetty˝ u v´ azlata sebesen p¨org˝o kereket. Sz¨ogsebess´ege az y-tengely ir´any´aba mutat, ugyanilyen ir´any´ u impulzusmomentuma is. Tegy¨ uk most fel, hogy a kereket valamilyen csek´ely ω sz¨ogsebess´eggel az x-tengely k¨or¨ ul akarjuk forgatni. K´erd´es, milyen er˝o sz¨ uks´eges ehhez. Nagyon r¨ovid, ∆t id˝o eltelt´evel a ker´ek tengelye u ´j, a v´ızszintessel ∆ϑ sz¨ oget bez´ar´o helyzetbe ker¨ ul. Mivel az impulzusmomentum d¨ont˝o r´esze a ker´ek saj´at tengelye k¨or¨ uli p¨org´esb˝ol ad´odik (a tengely lass´ u forgat´as´anak j´arul´eka igen csek´ely), vil´agos, hogy az impulzusmomentum az u ´j helyzetben m´as lesz. Milyen jelleg˝ u az impulzusmomentum megv´al1

1

0

0

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

356

20. Forg´ as h´ arom dimenzi´ oban

toz´asa? Nagys´ aga nem v´altozik meg, viszont ir´ anya kis, ∆ϑ m´ert´ekben elt´er az eredeti´et˝ol. A ∆N vektor nagys´aga teh´at ∆N = N0 ∆ϑ, aminek k¨ovetkezt´eben a forgat´onyomat´ek, amely az impulzusmomentum id˝obeli megv´altoz´as´anak m´ert´eke, T = ∆N/∆t = N0 ∆ϑ/∆t = N0 Ω. Ha a k¨ ul¨onb¨oz˝o mennyis´egek ir´any´at is figyelembe vessz¨ uk, azt kapjuk, hogy T = Ω × N0 . (20.15) Ez´ert ha Ω ´es N0 v´ızszintes ir´any´ u, ahogyan az ´abr´an l´athat´o, akkor T f¨ ugg˝oleges ir´any´ u. Ilyen forgat´onyomat´ek l´etrehoz´as´ahoz F, illetve −F v´ızszintes er˝op´arnak kell hatnia a forg´o ker´ek tengely´enek v´eg´en. Mi az m´armost, ami ezt az er˝ohat´ast kifejti? Nem m´as, mint a k´et kez¨ unk, amikor a ker´ek tengely´et a f¨ ugg˝oleges ir´anyba akarjuk k´enyszer´ıteni. Newton harmadik t¨orv´enye azonban megk¨oveteli, hogy egyenl˝ o nagys´ ag´ u ´es ellent´etes ir´ any´ u er˝ ok (´es forgat´ onyomat´ekok) hassanak r´ ank. Ennek folyt´an kezd¨ unk el teh´at a z-tengely k¨or¨ ul forogni az ellenkez˝o ir´anyban. Az eredm´enyt ´altal´anos´ıthatjuk w,N W az igen gyorsan p¨org˝o b´ ug´ocsiga eset´ere. E k¨ozismert esetben a s´ ulypontban hat´o neh´ezs´egi er˝o forgat´onyomat´ekot gyakorol a csig´anak a padl´oval val´o ´erintkez´esi pontja k¨oF r¨ ul (20.3. ´abra). A forgat´onyomaT t´ek ir´anya v´ızszintes, s hat´as´ara a csiga precessz´alni kezd, vagyis tengelye mozg´asba j¨on egy f¨ ugg˝oleges 20.3. a ´bra. Sebesen p¨ org˝ o csiga v´ azlata (a forgat´ onyomat´ek-vektor ir´ anya k¨ork´ up pal´astja ment´en. Ha a premegegyezik a precesszi´ o ir´ any´ aval) cesszi´o (f¨ ugg˝oleges ir´any´ u) sz¨ogsebess´ege Ω, ism´et azt tal´aljuk, hogy T = dN/dt = Ω × N. Vagyis ha forgat´onyomat´ekot gyakorolunk a gyorsan p¨org˝o csig´ara, precessz´al´o mozg´as´anak ir´anya megegyezik a forgat´onyomat´ek ir´any´aval, vagy m´ask´eppen, mer˝oleges a forgat´onyomat´ekot l´etrehoz´o er˝o ir´any´ara. Elmondhatjuk most m´ar, hogy ´ertj¨ uk a p¨orgetty˝ u precessz´al´o mozg´as´at, mert val´oban meg´ertett¨ uk matematikailag. A jelens´eg azonban, mivel mind ez ideig az eg´eszb˝ol csak a matematik´at l´attuk, bizonyos ´ertelemben csod´alatosnak” t˝ unhet. Fizikai tanulm´anyainkban el˝orehaladva gyakran ” tapasztaljuk majd, hogy igen sok egyszer˝ u dolgot sokkal gyorsabban lehet levezetni matematikailag, mint igaz´an m´elyen meg´erteni vagy ´atl´atni. Ez furcsa saj´atoss´aga a fizik´anak – nemegyszer el˝oad´odnak majd esetek, ahol a matematika ´altal produk´alt eredm´enyeket k¨ ozvetlen szeml´elet u ´tj´ an www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

20.3. A p¨ orgetty˝ u

357

meg´erteni senki sem k´epes. P´elda erre az igen egyszer˝ u ´es tetszet˝os alak´ u Dirac-egyenlet, amelynek k¨ovetkezm´enyeit bizony nem k¨onny˝ u meg´erteni. Eset¨ unkben a b´ ug´ocsiga precesszi´oja t˝ unik csod´anak, a k¨ ul¨onf´ele k¨or¨okkel, der´eksz¨ogekkel, csavar´oer˝okkel ´es a jobbcsavar-szab´allyal. Pr´ob´aljuk h´at mindezt ink´abb fizikai szemsz¨ ogb˝ol meg´erteni. Hogyan tudn´ank a forgat´onyoKésőbb mat´ekot a val´os´agos er˝ok ´es gyorMost sul´asok alapj´an meg´erteni? Megjegyezz¨ uk, hogy amikor a ker´ek preKorábban cessz´al, annak egyes r´eszecsk´ei a precesszi´o miatt val´oj´aban nem s´ıkmoz20.4. a ´bra. A 20.2. ´ abr´ an l´ athat´ o forg´ o ker´ek r´eszecsk´ei, ha a tengely g´ast v´egeznek (l´asd a 20.4. ´abr´at). elfordul, g¨ orb¨ ult p´ aly´ an mozognak Mint m´ar el˝obb kifejtett¨ uk (19.4. ´abra), a precesszi´o tengely´en kereszt¨ ulhalad´o r´eszecsk´ek g¨ orb¨ ult p´ aly´ an mozognak, ez teh´at oldalir´any´ u er˝o fell´ept´et t´etelezi fel. Err˝ol gondoskodik a kez¨ unk, amely a tengelyre h´ uz´oer˝ot gyakorol, s ez a r´ udon kereszt¨ ul oldalir´any´ u er˝o form´aj´aban eljut a ker´ek s´ıkj´aig. – V´arjunk csak” – sz´olhatna ” k¨ozbe valaki – ´es mi van azokkal a r´eszecsk´ekkel, amelyek a t´ uls´o oldalon ” ´eppen az ellenkez˝o ir´anyban haladnak?” Hamar felismerj¨ uk, hogy a t´ uls´o oldalon ellenkez˝ o ir´ any´ u er˝onek kell fell´epnie, ´eppen ez´ert az ´altalunk kifejtett teljes er˝o z´erus. Az er˝ ok kiegyens´ ulyozz´ ak egym´ ast, de az egyiknek a ker´ek egyik oldal´an, a m´asiknak az ellenkez˝o oldalon kell fell´epnie. Az er˝op´art k¨ozvetlen¨ ul is alkalmazhatn´ank, mivel azonban a ker´ek merev test, elegend˝o a tengelyre gyakorolt h´ uz´o hat´as, ezt azut´an a r´ ud tov´abb´ıtja. Mindeddig annyit bizony´ıtottunk be, hogy ha a ker´ek precessz´al, ki tudja egyens´ ulyozni a gravit´aci´o vagy m´as k¨ uls˝o hat´as ´altal l´etrehozott forgat´onyomat´ekot. De mindez csak arra mutat, hogy a precesszi´o egy egyenletnek egy lehets´eges megold´asa. M´as sz´oval adott forgat´onyomat´ek eset´en, ha a p¨ orget´est megfelel˝ ok´eppen ind´ıtottuk el, a ker´ek sim´an ´es egyenletesen fog precessz´alni. Azt azonban nem bizony´ıtottuk be (egy´ebk´ent nem is igaz), hogy a precesszi´o az adott forgat´onyomat´ek hat´as´ara p¨org˝o test leg´altal´anosabb mozg´asa. A leg´altal´anosabb mozg´as egy, a f˝o precesszi´os mozg´as k¨or¨ uli imbolyg´ast” is tartalmaz. Ezt az imbolyg´ast” ” ” nut´ aci´ onak nevezz¨ uk. Egyesek ezt u ´gy fejezik ki, hogy ha a p¨orgetty˝ ure forgat´onyomat´ek hat, az elfordul ´es precessz´alni kezd, ´es a precesszi´ot a forgat´onyomat´ek ´ hozza l´etre. Erthetetlennek t˝ unik, hogy amikor egy p¨orgetty˝ ut elind´ıtunk ´es mag´ara hagyjuk, az ahelyett, hogy a gravit´aci´o hat´as´ara esni kezdene, oldalir´anyban mozdul el! Mit˝ol van az, hogy a gravit´ aci´ o, amelyr˝ ol tudjuk

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

358

20. Forg´ as h´ arom dimenzi´ oban

20.5. a ´bra. Gravit´ aci´ o hat´ asa alatt a ´ll´ o p¨ orgetty˝ u v´egpontj´ anak pillanatnyi mozg´ asa, melynek el˝ oz˝ oleg szil´ ardan tartott tengely´et ´epp most engedt¨ uk el

´es ´erezz¨ uk, hogy lefel´e hat, oldalir´ any´ u mozg´ asra k´eszteti a p¨ orgetty˝ ut? A vil´agon egyetlen, a (20.15)-h¨oz hasonl´o formula sem adhat nek¨ unk erre feleletet, mivel a (20.15) speci´alis egyenlet csak a p¨orgetty˝ u preceszi´oj´anak megkezd´ese ut´an ´erv´enyes. A jelens´eg val´os´agos fizikai k´ep´enek r´eszletes le´ır´asa a k¨ovetkez˝o. Ha a tengelyt t¨ok´eletesen r¨ogz´ıtve tartjuk u ´gy, hogy semminem˝ u precesszi´ot ne v´egezhessen (a p¨orgetty˝ u azonban foroghat saj´at tengelye k¨or¨ ul), forgat´onyomat´ek nem hat, m´eg a gravit´aci´ot´ol ered˝o sem, miut´an az ujjunk ´altal kiegyens´ ulyoztuk. Amikor azonban a tengelyt hirtelen elengedj¨ uk, abban a pillanatban a gravit´aci´o hat´as´ara forgat´onyomat´ek keletkezik. B´arki most a j´ozan esze ut´an arra k¨ovetkeztetne, hogy a p¨orgetty˝ u le fog esni, s val´oban kezd is esni – ez j´ol l´athat´o, ha nem p¨or¨og t´ uls´agosan gyorsan. A p¨orgetty˝ u teh´at v´arakoz´asunknak megfelel˝oen val´oban esni kezd lefel´e. De mik¨ozben esik, ugyanakkor m´eg tov´abb forog. Ahhoz, hogy ez tov´abb folytat´odj´ek, forgat´onyomat´ekra lenne sz¨ uks´eg. Minthogy a megfelel˝o ir´anyban ilyen forgat´onyomat´ek nem hat r´a, a p¨orgetty˝ u az ellenkez˝o ir´anyba, a hi´anyz´o er˝o ir´any´aval ellent´etes ir´anyba kezd esni”. Ennek k¨o” vetkezt´eben mozg´as´anak van egy ¨osszetev˝oje, a f¨ ugg˝oleges tengely k¨or¨ ul is, mintha folyamatos, ´alland´o precesszi´ot v´egezne. Pillanatnyi mozg´as´anak sebess´ege azonban t´ ulfut” az ´alland´o precesszi´o sebess´eg´en, s ez´ert ” a tengely ism´et a kiindul´as magass´ag´aba emelkedik. A tengely v´egpontja cikloid p´aly´at ´ır le (ugyanolyat, mint egy aut´o gumiabroncs´anak v´ajat´aba ´ tapadt kavics). Altal´ aban ez a szemmel alig k¨ovethet˝o gyors mozg´as igen hamar lecsillapodik a csukl´os felf¨ uggeszt´es okozta s´ url´od´as k¨ovetkezt´eben, s csak az ´alland´osult precessz´al´o mozg´as folytat´odik (20.5. ´abra). Min´el lassabban p¨or¨og a ker´ek, ann´al ink´abb megfigyelhet˝ov´e v´alik a nut´aci´o. Amikor m´ar kialakult a precessz´al´o mozg´as, a p¨orgetty˝ u tengely´enek v´egleges helyzete az eredetihez k´epest valamivel lejjebb ker¨ ul. Vajon mi´ert? (B´ar ez m´eg bonyolultabb r´eszletk´erd´es, m´egis felvetj¨ uk, nehogy az olvas´o azt higgye, a p¨orgetty˝ u valami term´eszetfeletti dolog. A p¨orgetty˝ u igenis leny˝ ug¨oz˝oen ´erdekes, de kor´antsem csoda”.) A precesszi´o egyszer˝ u ” www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

359

20.4. A merev test impulzusmomentuma

egyenlete azt ´all´ıtja, hogy ha a t¨ok´eletesen v´ızszintesen tartott tengelyt hirtelen elengedj¨ uk, az precessz´alni fog, vagyis v´ızszintes s´ıkban forg´omozg´ast v´egez. Csakhogy ez lehetetlen! A ker´eknek ugyanis a precesszi´o tengely´ere vonatkoz´oan adott tehetlens´egi nyomat´eka van, ´ıgy amikor precessz´al – m´egha lassan is –, e tengely k¨or¨ ul is lesz valami csek´ely impulzusmomentuma, j´ollehet a fentiekben ezt elhanyagoltuk. Honnan ered ez az impulzusmomentum? Ha az al´at´amaszt´as ide´alis lenne, a f¨ ugg˝oleges tengely k¨or¨ ul semmif´ele forgat´onyomat´ek nem keletkezhetne. De akkor hogyan precessz´ alhat a p¨orgetty˝ u, ha az impulzusmomentum ugyanakkora, mint el˝oz˝oleg volt? A felelet: a tengely v´ege ´altal le´ırt cikloid p´alya ´atlagos magass´aga fokozatosan lejjebb ker¨ ul, mint a megfelel˝o p´aly´at le´ır´o g¨ord¨ ul˝o ker´ek k¨oz´eppontja. M´as sz´oval a p¨orgetty˝ u kiss´e les¨ ullyed, s ennek k¨ovetkezt´eben a ker´ek saj´at tengelye k¨or¨ uli impulzusmomentum´anak lesz egy csek´ely f¨ ugg˝oleges ir´any´ u ¨osszetev˝oje, s ez pontosan annyi, amennyi a precesszi´ohoz sz¨ uks´eges. L´athat´o teh´at, hogy a tengelynek kiss´e lefel´e kell elmozdulnia, hogy k¨orbehaladhasson. A p¨orgetty˝ u kiss´e enged a gravit´aci´onak, tengely´et kiss´e les¨ ullyeszti, s ezzel tov´abbra is fenntartja k¨orbeforg´as´at a f¨ ugg˝oleges tengely k¨or¨ ul. Ez teh´at a p¨orgetty˝ u m˝ uk¨od´esi elve. 20.4. A merev test impulzusmomentuma Miel˝ott elhagyn´ank a h´aromdimenzi´os forg´omozg´as t´emak¨or´et, ha csak N v´azlatosan is, meg kell besz´eln¨ unk w m´eg n´eh´any idev´ag´o, nem mag´at´ol ´ e rtet˝od˝o jelens´eget. Ezek k¨oz¨ ul a N2 = I2 w 2 w2 legfontosabb az, hogy a merev test impulzusmomentum-ir´any´anak nem 20.6. a ´bra. A forg´ o test impulzuskell sz¨ uks´egszer˝ uen egybeesnie a sz¨ognyomat´eka nem p´ arhuzamos sz¨ uks´egsebess´eg ir´any´aval. A 20.6. ´abr´an k´eppen a sz¨ ogsebess´eggel l´athat´o ker´ek tengelye ´athalad a ker´ek ferd´en r¨ogz´ıtett s´ ulypontj´an. Ha most a kereket a tengelye k¨or¨ ul forgatni kezdj¨ uk, mindenki tudja, hogy a ker´ek ferde ´all´asa miatt u ¨t´es, r´azk´od´as l´ep fel a csap´agyfel¨ uleteken. Kvalitat´ıve meg´allap´ıthatjuk, hogy forg´o rendszer¨ unkben a ker´ekre centrifug´alis er˝o hat, amely igyekszik annak t¨omeg´et a forg´astengelyt˝ol a lehet˝o legjobban elt´avol´ıtani. Ez a hat´as a ker´ek s´ıkj´at u ´gy igyekszik be´all´ıtani, hogy az mer˝oleges legyen a tengelyre. Ellens´ ulyoz´as´ara a csap´agyak forgat´onyomat´ekot fejtenek ki. Ha a csap´agy forgat´onyomat´ekot fejt ki, az impulzusmomenw1

www.interkonyv.hu

N1 = I1w 1

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

360

20. Forg´ as h´ arom dimenzi´ oban

tumnak meg kell v´altoznia. Hogyan v´altozhat meg az impulzusmomentum, amikor a tengelyt egyszer˝ uen csak forgatjuk? Bontsuk fel az ω sz¨ogsebess´eget egy a s´ıkra mer˝oleges ω 1 ´es azzal p´arhuzamos ω 2 ¨osszetev˝ore. Mekkora lesz m´armost az impulzusmomentum? A k´et ir´anyra vonatkoz´oan a tehetetlens´egi nyomat´ek k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o, ily m´odon az impulzusmomentum komponensei, amelyek rendre (de csak ebben a speci´alis felbont´asban) a tengelyekhez tartoz´o tehetetlens´egi nyomat´ekok szorozva a megfelel˝o sz¨ogsebess´eg-komponensekkel, m´ ask´eppen ar´ anylanak egym´ashoz, mint a sz¨ogsebess´eg-komponensek. Ez azt jelenti, hogy a t´erbeli impulzusmomentum-vektor nem mutat a forg´astengely ir´any´aba. A kereket forgatva az impulzusmomentum-vektort t´erben k¨orbe kell forgatnunk, ez´ert forgat´onyomat´ekot kell kifejten¨ unk a tengelyre. Van a tehetetlens´egi nyomat´eknak wz egy ´erdekes, szavakban k¨onnyen k¨or¨ ul´ırhat´o ´es ugyanilyen k¨onnyen alw kalmazhat´o fontos tulajdons´aga, C wz amelynek bizony´ıt´asa azonban bonyolult, u ´gyhogy ezzel itt nem foglalkozunk. A fenti gondolatmenetet N egy´ e bk´ e nt ´ e ppen erre a tulajdons´agwy wx Bw y ra alapoztuk: b´armely merev tesy A wx ten, m´eg ha teljesen aszimmetrikus x is, ak´ar egy szem burgonya, felvehet˝o h´arom, egym´asra mer˝oleges, a t¨omegk¨oz´epponton kereszt¨ ulhalad´o tengely, amelyek k¨oz¨ ul az egyikre 20.7. a ´bra. Merev test sz¨ ogsebess´en´ e zve a tehetetlens´ e gi nyomat´ek a g´enek ´es impulzusmomentum´ anak legnagyobb a t¨omegk¨oz´epponton ´atv´ azlata (A > B > C) halad´o ¨osszes lehets´eges tengelyhez viszony´ıtva, a m´asikra n´ezve a tehetetlens´egi nyomat´ek ´ert´eke minim´ alis, v´eg¨ ul a harmadik tengelyhez tartoz´o tehetetlens´egi nyomat´ek ´ert´eke a k´et el˝obbi ´ert´ek k¨oz¨ott van (vagy egyenl˝o valamelyikkel). Ezeket a tengelyeket a merev test f˝ otengelyeinek nevezik. Fontos tulajdons´aguk, hogy amikor a testet valamelyik f˝otengelye k¨or¨ ul elforgatjuk, impulzusmomentum´anak ir´anya megegyezik a sz¨ogsebess´eg´evel. Szimmetrikus test eset´en a f˝otengelyek egybeesnek a szimmetriatengelyekkel. Ha az x-, y- ´es z-tengelyeket a f˝otengelyek ir´any´aban vessz¨ uk fel, ´es a megfelel˝o tehetetlens´egi nyomat´ekokat A-, B-, illetve C-vel jel¨olj¨ uk, a vizsg´alt merev test impulzusmomentuma, illetve forg´omozg´as´anak moz-

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

361

20.4. A merev test impulzusmomentuma

g´asi energi´aja tetsz˝oleges ω sz¨ogsebess´egre k¨onnyen meghat´arozhat´o. Ha ω-t felbontjuk az x, y ´es z tengelyek menti ωx , ωy ´es ωz o¨sszetev˝okre, ´es az ezen ir´anyokba mutat´o egys´egvektorok rendre i, j ´es k, akkor az impulzusmomentum N = Aωx i + Bωy j + Cωz k,

(20.16)

a forg´as kinetikus energi´aja pedig 1 1 Wkin = (Aωx2 + Bωy2 + Cωz2 ) = Nω. 2 2

www.interkonyv.hu

(20.17)

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

21. fejezet A harmonikus oszcill´ ator 21.1. Line´ aris differenci´ alegyenletek A fizikaoktat´asi rendszer a tananyagot ´altal´aban t¨obb t´argyk¨orre osztja, p´eld´aul mechanik´ara, elektromoss´agtanra, optik´ara stb. K¨onyv¨ unk eddigi anyaga p´eld´aul f˝oleg a mechanika t´argyk¨or´evel foglalkozott. Egy furcsa dolog azonban u ´jra meg u ´jra el˝obukkan a fizika k¨ ul¨onb¨oz˝o ter¨ uletein, s˝ot m´as tudom´anyokban is. Az egyenletek gyakran csaknem teljesen azonos alak´ uak, vagyis sok k¨ ul¨onb¨oz˝o ter¨ uleten a megnyilv´anul´o term´eszeti jelens´egekben van valami hasonl´os´ag. Hogy a legegyszer˝ ubb p´eld´at eml´ıts¨ uk: a hanghull´amok terjed´ese sok tekintetben hasonl´o a f´enyhull´amok´ehoz. Ha el´eg r´eszletesen tanulm´anyozzuk az akusztik´at, ´eszre kell venn¨ unk, hogy a tananyag r´eszben megegyezik az optik´a´eval. A fizika egy-egy ter¨ ulet´en fell´ep˝o jelens´egek tanulm´anyoz´asa r´ev´en teh´at tud´asunkat egyszersmind a fizika m´as ter¨ uletein is b˝ov´ıthetj¨ uk. Fontos, hogy m´ar kezdetben felismerj¨ uk, az elvek ilyenszer˝ u ´altal´anos´ıt´as´ara t¨obbnyire van m´od, k¨ ul¨onben mi´ert is pazaroln´ank ennyi id˝ot ´es energi´at a mechanika t´argyk¨or´enek csup´an egy kis t¨ored´ek´et k´epez˝o feladatok tanulm´anyoz´as´ara. A jelen fejezetben t´argyalt harmonikus oszcill´atornak sok m´as ter¨ uleten van k¨ozeli analogonja. Noha t´argyal´asunkat mechanikai p´eld´akkal, ak´ar egy rug´ora f¨ uggesztett s´ uly, ak´ar egy kis kit´er´es˝ u inga, vagy ak´armilyen m´as mechanikai eszk¨oz vizsg´alat´aval kezdj¨ uk, l´enyeg´eben egy bizonyos t´ıpus´ u differenci´alegyenletet tanulm´anyozunk. Ez az egyenlet, amellyel a fizik´aban ´es m´as tudom´anyokban ism´etelten tal´alkozunk, val´oban oly sok jelens´eget ´ırt le, hogy igaz´an ´erdemes t¨ uzetesebben tanulm´anyoznunk. Eml´ıts¨ unk meg e jelens´egek k¨oz¨ ul n´eh´anyat: p´eld´aul a rug´ora f¨ uggesztett t¨omeg rezg˝omozg´asa; az elektromos ´aramk¨orben ide-oda foly´o t¨olt´es rezg´ese; a hangvilla hanghull´amokat kelt˝o rezg´esei; az elektronok ezzel anal´og rezg´esei az atomban; a szab´alyoz´o- ´es vez´erl˝oberendez´esek, mint p´eld´aul egy adott h˝om´ers´ekletet be´all´ıt´o termoszt´at m˝ uk¨od´ese; a k´emiai reakci´ok sor´an v´egbemen˝o bonyolult k¨olcs¨onhat´asok; a t´aptalajjal ´es a bakt´eriumok ´altal termelt m´ereggel k¨olcs¨onhat´asban fejl˝od˝o bakt´eriumteny´eszetek; f˝ uev˝o nyulakkal t´apl´alkoz´o r´ok´ak szaporod´asa stb. Mindezeket a jelens´egeket olyan egyenletek ´ırj´ak le, amelyek egym´ashoz nagyon hasonl´oak, ´es ez az oka annak, hogy mi´ert tanulm´anyozzuk oly r´eszletesen a mechanikai oszcill´atort. Az egyenletek gy˝ ujt˝oneve: ´ alland´ o egy¨ utthat´ oj´ u www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

363

21.2. Harmonikus oszcill´ ator

line´ aris differenci´ alegyenletek. Egy ´alland´o egy¨ utthat´oj´ u line´aris differenci´alegyenlet t¨obb tag o¨sszeg´eb˝ol ´all, ahol minden egyes tag a f¨ ugg˝o v´altoz´o f¨ uggetlen v´altoz´o szerinti deriv´altj´anak ´es egy ´alland´onak a szorzata. Teh´at az an dn x/dtn + an−1 dn−1 x/dtn−1 + · · · + a1 dx/dt + a0 x = f (t)

(21.1)

alak´ u egyenletet ´alland´o egy¨ utthat´oj´ u (minden ai ´alland´o) n-edrend˝ u line´aris differenci´alegyenletnek nevezz¨ uk. 21.2. Harmonikus oszcill´ ator Tal´an a rug´ora felf¨ uggesztett t¨omeg a legegyszer˝ ubb mechanikai rendszer, melynek mozg´as´at ´alland´o egy¨ utthat´oj´ u line´aris differenci´alegyenlet ´ırja le. Miut´an a t¨omeget a rug´ora f¨ uggesztett¨ uk, a rug´o megny´ ulik, hogy a gravit´aci´os er˝ot kiegyens´ ulyozza. Vizsg´aljuk most – miut´an m´ar be´allt az egyens´ uly – a t¨omeg f¨ ugg˝oleges elmozdul´as´at az egyens´ ulyi helyzett˝ol (21.1. ´abra). Ezt a felfel´e ir´anyul´o elmozdul´ast jel¨olj¨ uk x-szel, ´es tegy¨ uk fel, hogy a rug´o t¨ok´eletesen line´aris. Ebben az esetben a rug´o megny´ ul´asakor fell´ep˝o visszat´er´ıt˝o er˝o pontosan a megny´ ul´as nagys´ag´aval ar´anyos. Ez azt jelenti, hogy az er˝o −kx-szel egyenl˝o (ahol a m´ınusz el˝ojel eml´ekeztet arra, hogy az er˝o visszah´ uz´o). Teh´at a t¨omeg ´es a gyorsul´as szorzat´anak −kx-szel kell egyenl˝onek lennie: d2 x m 2 = −kx. (21.2) dt Az egyszer˝ us´eg kedv´e´ert t´etelezz¨ uk fel, hogy k/m t¨ort´enetesen 1-gyel egyenl˝o (vagy pedig alkalmasan megv´altoztatjuk az id˝om´er´esre haszn´alt egys´eget). El˝osz¨or teh´at megvizsg´aljuk a d2 x = −x (21.3) dt2 egyenletet, s majd k´es˝obb visszat´er¨ unk a k-t ´es m-et tartalmaz´o (21.2) egyenlethez. A (21.3) egyenletet m´ar r´eszletesen, numerikusan analiz´altuk. A mechanika bevezet´es´eben meg is oldottuk az egyenletet (l´asd (9.12)), amikor a mozg´ast sz´am´ıtottuk. Numerikus integr´al´assal egy g¨orb´et kaptunk (9.4. ´abra), amely azt mutatta, hogy ha az m t¨omeg kezdetben egyens´ ulyi helyzet´eb˝ol kimozd´ıtva, de nyugalomban van, vissza kell t´ernie ´es ´at kell haladnia a z´erus ponton. Ezut´an nem sz´amoltunk tov´abb, vil´agos volt azonban, hogy a t¨omeg tov´abb folytatja fel-le ir´any´ u mozg´as´at, azaz rezg´esbe j¨ on. A numerikus sz´am´ıt´as eredm´enye: az egyens´ ulyi ponton a t = 1, 570 id˝opillanatban haladt ´at. A teljes ciklus id˝otartama enn´el n´egyszer hosszabb, azaz t0 = 6, 28 szekundum”. Mindezt persze ” www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

364

21. A harmonikus oszcill´ ator

jobb m´odszer h´ıj´an numerikus integr´al´assal kaptuk. Tegy¨ uk fel azonban, hogy az´ota az olvas´o matematikai tanulm´anyai sor´an m´ar megismerkedett olyan f¨ uggv´ennyel, amely k´etszer differenci´alva ¨onmaga −1-szeres´evel egyenl˝o. Term´eszetesen l´eteznek m´odszerek, amelyek seg´ıts´eg´evel ez a f¨ uggv´eny k¨ozvetlen m´odon is megkaphat´o, azonban ezek sokkal bonyolultabbak, mint maga a k´ıv´ant f¨ uggv´eny: x = cos t. Ha ezt differenci´aljuk, dx/dt = − sin t-t kapunk, de d2 x/dt2 = − cos t = −x. Az x = cos t f¨ uggv´eny t = 0 ´ert´ekn´el x = 1-gyel indul, ´es nincs kezdeti sebess´eg; ez volt a kiindul´o feltev´es¨ unk a numerikus sz´am´ıt´as elv´egz´es´ehez. Most x = cos t ismeret´eben m´ar pontos ´ert´eket adhatunk meg arra az id˝opontra vonatkoz´olag, amikor a t¨omegnek az x = 0 helyen ´at kell haladnia. A v´alasz: t = π/2 vagy 1,57108. Az el˝obbi ´ert´ekben a numerikus sz´am´ıt´as k¨ozel´ıt˝o volta miatt hib´aztunk, de az´ert el´eg j´o k¨ozel´ıt˝o ´ert´eket kaptunk! Hogy az eredeti feladat megold´as´aval tov´abb jussunk, visszat´er¨ unk ahhoz az egys´egrendszerhez, amelyben a val´odi szekundum az id˝oegys´eg. Mi lesz ekkor a megold´as? Mindex m nekel˝ott azt gondolhatn´ank, hogy ha 0 valamivel beszorozzuk cos t-t, behozhatjuk a k ´es m ´alland´okat. Pr´ob´al21.1. a ´bra. Rug´ on f¨ ugg˝ o t¨ omeg: juk meg! Legyen x = A cos t, eka harmonikus oszcill´ ator egyszer˝ u kor dx/dt = −A sin t ´es d2 x/dt2 = p´eld´ aja ´ −A cos t = −x. Amde megh¨okkenve l´atjuk, hogy nem siker¨ ult a (21.2) egyenletet megoldani, hanem ism´et a (21.3) egyenletet kaptuk vissza! Ez a t´eny a line´aris differenci´alegyenletek egyik legfontosabb tulajdons´ag´at szeml´elteti: ha az egyenlet egy megold´ as´ at tetsz˝ oleges ´ alland´ oval megszorozzuk, akkor ism´et egy megold´ ast kapunk. Ennek matematikai oka vil´agos. Ha x egy megold´as, ´es az egyenlet mindk´et oldal´at beszorozzuk, mondjuk, A-val, l´atjuk, hogy az ¨osszes deriv´altak szint´en A-val szorz´odnak, ´es ez´ert Ax ´eppoly j´o megold´asa az eredeti egyenletnek, mint amilyen x volt. Fizikai magyar´azata pedig a k¨ovetkez˝o: Ha a rug´on f¨ ugg˝o s´ uly k´etszeres t´avols´agra h´ uzza le a rug´ot, akkor az er˝o k´etszer akkora lesz, a gyorsul´as k´etszeres´ere n˝o, a s´ uly mindenkori sebess´ege ´es az ´altala b´armely id˝otartam alatt megtett t´avols´ag is k´etszer nagyobb lesz. Ezt a k´etszer nagyobb t´avols´agot kell megtennie, hogy visszat´erjen a kezd˝opontba, mivel a rug´o k´etszer nagyobb t´avols´aggal ny´ ult meg. K¨ovetkez´esk´epp a visszat´er´es a kezd˝opontba, tekintet n´elk¨ ul az eredeti elmozdul´asra, ugyanannyi ideig tart. M´as sz´oval, ha line´aris dif-

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

21.2. Harmonikus oszcill´ ator

365

ferenci´alegyenlet ´ır le valamilyen mozg´ast, akkor annak id˝ obeli lefoly´ asa – f¨ uggetlen¨ ul a mozg´as er˝oss´eg´et˝ol” – mindig ugyanolyan lesz. ” Helytelen volt a fenti elj´ar´as, de az´ert ez a mell´efog´as m´egiscsak a hasznunkra v´alt, megtudtuk ugyanis, hogy a megold´as ´alland´oszorosa is ugyanazt az egyenletet el´eg´ıti ki, ´es nem egy m´asikat. Egy kis pr´ob´alkoz´as ´es n´eh´any t´eved´es ´ar´an r´aj¨ott¨ unk, hogy x-nek k¨ ul¨onb¨oz˝o ´alland´okkal val´o szorozgat´asa helyett az id˝ osk´ al´ at kell megv´altoztatnunk. M´as sz´oval, a (21.2) egyenlet megold´asa a k¨ovetkez˝o: x = cos ω0 t.

(21.4)

´ (Eszre kell venn¨ unk, hogy a jelen esetben ω0 nem egy forg´o test sz¨ogsebess´ege – viszont hamar kifogyn´ank a bet˝ ukb˝ol, ha nem jel¨olhetn´enk t¨obb mennyis´eget ugyanazzal a bet˝ uvel.) Az ω-t 0 index-szel l´attuk el, mivel a tov´abbiakban m´eg t¨obb omeg´at is felhaszn´alunk, de eml´ekezz¨ unk arra, hogy ω0 az oszcill´ator term´eszetes mozg´as´ara vonatkozik. K´ıs´erelj¨ uk meg most a (21.4) egyenletet a differenci´alegyenletbe helyettes´ıteni. Ez a megold´as m´ar sokkal sikeresebb, mivel dx/dt = −ω0 sin ω0 t ´es d2 x/dt2 = −ω02 cos ω0 t = −ω02 x. ´Igy v´eg¨ ul is megoldottuk a k´erd´eses egyenletet. Az egyenlet alakja d2 x/dt2 = −ω02 x, ami a (21.2) egyenlettel megegyezik, ha ω02 = k/m. A k¨ovetkez˝o k´erd´es: ω0 fizikai jelent´ese. Tudjuk, hogy a koszinuszf¨ uggv´eny megism´etl˝odik”, amikor a sz¨ og 2π-vel v´altozik. Teh´at x = cos ω0 t is ” megism´etl˝odik ´es egy teljes cikluson megy kereszt¨ ul, amint a sz¨og” 2π-vel ” v´altozik. Az ω0 t mennyis´eget a mozg´as f´ azis´ anak h´ıvj´ak. Hogy ezt 2π-vel megv´altoztassuk, az id˝ot t0 -val (egy teljes rezg´es peri´ odus´ aval) kell megv´altoztatnunk; term´eszetesen t0 -t u ´gy kell megv´alasztani, hogy ω0 t0 = 2π legyen. Ez azt jelenti, hogy csak az ω0 t0 mennyis´eget kell kisz´am´ıtani egy sz¨ogciklusra vonatkoz´oan, ´es azt´an – ha t-t t0 -val n¨ovelj¨ uk, azaz a f´azishoz 2π-t adunk – minden megism´etl˝odik. q

t0 = 2π/ω0 = 2π m/k.

(21.5)

vagyis, hogyha a rug´on nehezebb t¨omeg f¨ uggne, akkor az lassabban mozogna fel ´es le. Mivel ebben az esetben a tehetetlens´eg (inercia) nagyobb, az er˝ok viszont ugyanazok, hosszabb id˝o sz¨ uks´eges a t¨omeg mozg´asba hoz´as´ahoz. Ha pedig a rug´o er˝osebb, akkor sokkal gyorsabban mozog majd, ´es val´oban: a peri´odus kisebb, ha a rug´o er˝osebb. Megjegyezz¨ uk, hogy egy rug´on f¨ ugg˝o t¨omeg rezg´es´enek peri´odusa egy´altal´an nem f¨ ugg att´ol, hogy a mozg´as hogyan indult meg ´es mennyire h´ uztuk le a rug´ot. A (21.2) mozg´asegyenlet a rezg´es peri´ odus´ at meghat´arozza, de amplit´ ud´oj´at nem. Az amplit´ ud´ot az hat´arozza meg, hogy a www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

366

21. A harmonikus oszcill´ ator

rezg´est milyen m´odon ind´ıtottuk el, vagyis az, amit kezdeti vagy kiindul´ o felt´eteleknek nevez¨ unk. De tulajdonk´eppen m´eg nem lelt¨ unk r´a a (21.2) egyenlet lehets´eges leg´altal´anosabb megold´as´ara. L´etezik t¨obb megold´as is, ´es nem k´ets´eges, hogy mi´ert: az´ert, mert az x = a cos ω0 t megold´asnak olyan esetek felelnek meg, amikor a rug´onak van kezdeti elmozdul´asa, kezd˝osebess´ege azonban z´erus. A rug´ot azonban m´ask´epp is mozg´asba lehet hozni, p´eld´aul u ´gy, hogy a t¨omeget nyugalmi helyzet´eb˝ol (x = 0) er˝oteljes l¨ok´essel kimozd´ıtjuk, ami azt jelenti, hogy a t = 0 pillanatban is lesz valamekkora sebess´ege. Az ilyen mozg´ast azonban m´ar nem a koszinusz- hanem a szinuszf¨ uggv´eny ´ırja le. M´as sz´oval, b´ar x = cos ω0 t egy lehets´eges megold´as, nyilv´anval´o, hogy ha egy adott t = 0” pillanatban bel´ep¨ unk abba a ” szob´aba, ahol a t¨omeg fel-al´a rug´ozik, ´es azt l´atjuk, hogy ´eppen az x = 0 helyzeten halad ´at, ez egy´altal´an nem jelenti azt, hogy a mozg´as cos ω0 t szerint folytat´odik. Ez´ert x = cos ω0 t nem lehet a leg´altal´anosabb megold´as; az id˝osz´am´ıt´as kezdet´enek – u ´gymond – eltolhat´onak kell lennie. P´eld´aul a mozg´ast ´ıgy is ´ırhatjuk: x = a cos ω0 (t − t1 ), ahol t1 valamilyen ´alland´o. Ez egy´ uttal az id˝osz´am´ıt´as kezd˝opontj´at valamilyen u ´j pillanatra tolja el. Felhaszn´alva tov´abb´a a cos(ω0 t + ∆) = cos ω0 t cos ∆ − sin ω0 t sin ∆ ugg´est, x-et a k¨ovetkez˝o alakban ´ırhatjuk: ¨osszef¨ x = A cos ω0 t + B sin ω0 t, ahol A = a cos ∆ ´es B = −a sin ∆. A fenti formul´ak k¨oz¨ ul b´armelyik felhaszn´alhat´o a (21.2) teljes, ´altal´anos megold´as´anak le´ır´as´ara; azaz a d2 x/dt2 = −ω02 x differenci´alegyenletnek a vil´agon l´etez˝o minden megold´asa (a)

x = a cos ω0 (t − t1 )

vagy (b)

x = a cos(ω0 t + ∆)

(21.6)

vagy (c)

x = A cos ω0 t + B sin ω0 t

alakban ´ırhat´o. N´emelyik (21.6)-ban szerepl˝o mennyis´egnek neve is van: ω0 a k¨orfrekvencia: a radi´anokban m´ert m´asodpercenk´enti f´azisv´altoz´as. Ezt a mennyis´eget a differenci´alegyenlet hat´arozza meg. A t¨obbi ´alland´ot ugyanis nem az egyenlet, hanem a mozg´as kezdeti felt´etelei hat´arozz´ak meg. Ezen ´alland´ok k¨oz¨ ul a a t¨omeg maxim´alis elmozdul´as´anak m´ert´eke, ´es a www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

21.3. Harmonikus rezg˝ omozg´ as ´es k¨ ormozg´ as

367

rezg´es amplit´ ud´ oj´ anak nevezik. A ∆ ´alland´ot n´emely esetben a rezg´es f´ azis´ anak h´ıvj´ak, ez azonban f´elre´ert´est okozhat, mivel egyesek az ω0 t + ∆ mennyis´eget h´ıvj´ak f´azisnak, ´es azt mondj´ak, hogy a f´azis f¨ ugg az id˝ot˝ol. Azt is mondhatn´ank, hogy ∆ valamilyen hat´arozott z´erus helyt˝ol sz´am´ıtott f´ aziseltol´ as. M´ask´eppen kifejezve: k¨ ul¨onb¨oz˝o ∆-k k¨ ul¨onb¨oz˝o f´azisokban lev˝o mozg´asoknak felelnek meg. Ez igaz, de az, hogy ∆-t akarjuk-e f´azisnak nevezni, teljesen m´as k´erd´es. 21.3. Harmonikus rezg˝ omozg´ as ´ es k¨ ormozg´ as A (21.2) egyenlet megold´as´aban koszinuszf¨ uggv´eny szerepel, ami arra enged k¨ ovetkeztetni, hogy itt bizoa nyos kapcsolat lehet a k¨ormozg´asx R sal. Persze, ez az elk´epzel´es kiss´e mesterk´elt, mivel val´oj´aban a line´aris mozg´asban k¨or nem szerepel – a rug´ora f¨ uggesztett s´ uly szigor´ uan 21.2. a ´bra. K¨ orp´ aly´ an a ´lland´ o sebescsak fel ´es le mozog. Megmutathats´eggel mozg´ o r´eszecske juk, hogy a differenci´alegyenletet l´enyeg´eben m´ar kor´abban megoldottuk, amikor a k¨ormozg´as mechanik´aj´at tanulm´anyoztuk. Ha valamely r´eszecske ´alland´o v sebess´eggel mozog egy k¨or ker¨ ulet´en, akkor a k¨or k¨oz´eppontj´ab´ol a r´eszecsk´ehez mutat´o sug´arvektor az id˝ovel ar´anyos nagys´ag´ u sz¨oget ´ır le. Jel¨olj¨ uk ezt a sz¨oget ϑ = vt/R-rel (21.2. ´abra). Ekkor dϑ/dt = ω0 = v/R. Mint ismeretes, a fell´ep˝o gyorsul´as a = v 2 /R = ω02 R nagys´ag´ u ´es a t¨omegk¨oz´eppont fel´e ir´anyul. Az is ismeretes, hogy egy adott pillanatban az x koordin´ata a sug´ar ´es cos ϑ szorzata, az y koordin´ata pedig a sug´ar ´es sin ϑ szorzata: x = R cos ϑ, y = R sin ϑ. Mit mondhatunk a gyorsul´asr´ol? Mivel lesz egyenl˝o a gyorsul´as x ir´any´ u komponense, d2 x/dt2 ? Geometrailag m´ar megmutattuk: ez egyenl˝o a gyorsul´as ´es a vet´ıt´esi sz¨og koszinusz´anak negat´ıv el˝ojellel (mivel a gyorsul´as a k¨oz´eppont fel´e ir´anyul) vett szorzat´aval: ax = −a cos ϑ = −ω02 R cos ϑ = −ω02 x. (21.7) Ha teh´at valamely r´eszecske k¨orp´aly´an mozog, a mozg´as v´ızszintes komponense a k¨oz´eppontt´ol m´ert v´ızszintes ir´any´ u kit´er´essel ar´anyos gyorsul´assal rendelkezik. Term´eszetesen ismerj¨ uk a k¨ormozg´asra vonatkoz´o megold´ast is: x = R cos ω0 t. A (21.7) egyenlet nem f¨ ugg a k¨or sugar´at´ol, u ´gyhogy adott ω0 eset´en b´armely sugar´ u k¨orre ugyanaz az egyenlet marad ´erv´enyben. Teh´at t¨obb okn´al fogva azt v´arjuk, hogy egy rug´on y

www.interkonyv.hu

v

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

368

21. A harmonikus oszcill´ ator

f¨ ugg˝o t¨omeg elmozdul´asa cos ω0 t-vel ar´anyos, ´es val´oban, a mozg´as pontosan ugyanolyan lesz, mint amilyent akkor l´atn´ank, ha egy k¨orp´aly´an ω0 sz¨ogsebess´eggel forg´o test helyzet´enek x ir´any´ u komponens´et figyeln´enk. Ezt ellen˝orizhetj¨ uk egy k´ıs´erlettel, kimutatva, hogy a rug´on f¨ ugg˝o t¨omeg fel-le mozg´asa ´es a k¨or ment´en halad´o t¨omegpont mozg´asa voltak´epp egy ´es ugyanaz. A 21.3. ´abr´an egy erny˝ore ir´any´ıtott ´ıvl´ampa f´enye egym´as mell´e vet´ıti egy forgatty´ ustengely csapj´anak ´arny´ek´at ´es egy f¨ ugg˝olegesen rezg˝o t¨omeg ´arny´ek´at. Ha megfelel˝o id˝oben ´es megfelel˝o helyr˝ol ind´ıtjuk a t¨omeget, ´es a forgatty´ ustengely sebess´eg´et is pontosan u ´gy ´all´ıtjuk be, hogy a frekvenci´ak megegyez˝oek legyenek, akkor a rug´on lev˝o t¨omeg ´es a forgatty´ ustengely csapj´anak ´arny´eka pontosan k¨oveti egym´ast. Egy´ uttal ism´et ellen˝orizhetj¨ uk, hogy a kor´abban kapott numerikus megold´as j´ol egyezik-e a koszinuszf¨ uggv´ennyel. Itt kiemelhetj¨ uk, hogy mivel az egyenletes k¨ormozg´as matematikailag nagyon hasonl´o a fel-le ir´anyul´o rezg˝omozg´ashoz, a rezg˝omozg´ast 1 m 2 1 Vetítőgép 2 egyszer˝ ubben is vizsg´alhatjuk, ha vafénye lamely k¨ormozg´ast v´egz˝o test vet¨ uω Árnyék let´enek k´epzelj¨ uk. Vagyis annak ellen´ere, hogy az y t´avols´agnak az oszErnyő cill´atorprobl´em´aban nincs semmi jelent´ese, a (21.2) egyenletet ¨onk´enye21.3. a ´bra. Az egyszer˝ u harmonikus sen m´egis kieg´esz´ıthetj¨ uk egy y-t tarrezg˝ omozg´ as ´es az egyenletes k¨ ormoztalmaz´ o m´ a sik egyenlettel, ´es a k´et g´ as egyen´ert´ek˝ us´eg´enek a ´br´ azol´ asa egyenletet egy¨ utt kezelj¨ uk. Ezzel az elj´ar´assal egydimenzi´os oszcill´atorunkat a k¨ ormozg´ as r´ev´en vizsg´alhatjuk, s ez sokkal k¨onnyebb, mintha differenci´alegyenletet kellene megoldanunk. Az elj´ar´as technikai tr¨ ukkje a k¨ovetkez˝o fejezetben bevezetend˝o komplex sz´amok haszn´alat´aban rejlik. 0

21.4. Kezdeti felt´ etelek Vizsg´aljuk meg, mi hat´arozza meg az A ´es B, vagy az a ´es a ∆ ´alland´okat. Term´eszetesen az, hogy hogyan ind´ıtjuk a mozg´ast. Ha a mozg´ast csak egy kis kit´er´essel ind´ıtjuk, akkor valamilyen fajta rezg´es ad´odik, de ha a rug´ot el˝obb megfesz´ıtj¨ uk, majd ind´ıt´askor meg is l¨okj¨ uk, m´as mozg´as l´ep fel. Az A ´es B, vagy az a ´es ∆, vagy b´armely m´as alakban megadott k´et ´alland´ot term´eszetesen azok ´es csak azok a k¨or¨ ulm´enyek hat´arozz´ak meg, www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

21.4. Kezdeti felt´etelek

369

melyek k¨oz¨ott a mozg´as elkezd˝od¨ott. Ezeket kezdeti felt´eteleknek nevezz¨ uk. A k¨ovetkez˝okben kapcsolatot szeretn´enk keresni a kezdeti felt´etelek ´es az ´alland´ok k¨oz¨ott. Noha erre a c´elra a (21.6) ¨osszef¨ ugg´esek b´armelyike alkalmas lenne, a legegyszer˝ ubb m´egis az, ha a (21.6c) egyenletet haszn´aljuk fel. T´etelezz¨ uk fel, hogy a mozg´ast a t = 0 pillanatban, x0 kezdeti kit´er´ıt´essel ´es adott v0 sebess´eggel ind´ıtottuk. Ez a mozg´as ind´ıt´as´anak leg´altal´anosabb m´odja. (Az indul´askor fell´ep˝o gyorsul´ ast nem lehet megadni, mivel azt a rug´o jellemz˝oi hat´arozz´ak meg, ha m´ar x0 -t megadtuk.) Sz´amoljuk ki most A-t ´es B-t. Az x-re vonatkoz´o x = A cos ω0 t + B sin ω0 t egyenletb˝ol indulunk ki. Mivel sz¨ uks´eg¨ unk lesz k´es˝obb a sebess´egre is, x-et differenci´aljuk ´es a k¨ovetkez˝ot kapjuk: v = −ω0 A sin ω0 t + ω0 B cos ω0 t. Ezek a kifejez´esek az ¨osszes t-re ´erv´enyesek, de t = 0 eset´en az x ´es a v mennyis´egekr˝ol tov´abbi ismeret¨ unk is van. Eszerint, ha a fenti egyenletekbe t = 0-t helyettes´ıt¨ unk, a bal oldalon x0 ´es v0 ´ert´ek´et kapjuk meg, vagyis azokat az ´ert´ekeket, amelyeket t = 0 eset´en x ´es v felvesz. Ezenk´ıv¨ ul tudjuk, hogy z´erus koszinusza egy, ´es z´erus szinusza z´erus, s ´ıgy x0 = A · 1 + B · 0 = A ´es v0 = −ω0 A · 0 + ω0 B · 1 = ω0 B. Teh´at ebben a konkr´et esetben A = x0 ,

B = v0 /ω0 .

A ´es B ezen ´ert´ekeib˝ol, amennyiben akarjuk, megkaphatjuk a-t ´es ∆-t. Megold´asunknak ez a v´egeredm´enye. H´atra van m´eg azonban egy fizikai szempontb´ol ´erdekes ellen˝orz´es: az energiamegmarad´as igazol´asa. Mivel s´ url´od´asi vesztes´egek nincsenek, az energi´anak meg kell maradnia. Bizony´ıt´asra haszn´aljuk fel az al´abbi formul´at: x = a cos(ω0 t + ∆), teh´at v = −ω0 a sin(ω0 t + ∆). Sz´am´ıtsuk ki a Wkin mozg´asi ´es a Wpot helyzeti energi´at. A helyzeti energia b´armely pillanatban 12 kx2 , ahol x a kit´er´es, ´es k a rug´o´alland´o. Az x-re vonatkoz´o fenti kifejez´est 12 kx2 -be helyettes´ıtve: 1 1 Wpot = kx2 = ka2 cos2 (ω0 t + ∆). 2 2 www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

370

21. A harmonikus oszcill´ ator

Mag´at´ol ´ertet˝od˝oen a helyzeti energia nem ´alland´o (f¨ ugg az id˝ot˝ol); a helyzeti energia sohasem negat´ıv. Ez term´eszetes, hiszen a rug´oban mindig van valamennyi energia, b´ar ennek az energi´anak a nagys´aga az x t´avols´aggal egy¨ utt ingadozik. M´asr´eszr˝ol a mozg´asi energia 12 mv 2 , majd a v-re vonatkoz´o kifejez´es behelyettes´ıt´ese ut´an 1 1 Wkin = mv 2 = mω02 a2 sin2 (ω0 t + ∆). 2 2 L´athat´o, hogy a mozg´asi energia z´erus, amikor x-nek maximuma van, mivel ekkor a sebess´eg z´erus, m´asr´eszr˝ol maxim´alis ´ert´eket vesz fel, amikor a s´ uly a z´erus helyen (x = 0) megy kereszt¨ ul, vagyis amikor a leggyorsabban mozog. A mozg´asi energi´anak ez a v´altoz´asa teh´at a helyzeti energia v´altoz´as´anak ´epp az ellenkez˝oje. A teljes energi´anak azonban ´alland´onak kell maradnia. Val´oban, mivel k = mω02 , azt l´atjuk, hogy 1 1 Wkin + Wpot = mω02 a2 [cos2 (ω0 t + ∆) + sin2 (ω0 t + ∆)] = mω02 a2 . 2 2 Az energia az amplit´ ud´o n´egyzet´et˝ol f¨ ugg; amennyiben az amplit´ ud´o k´etszeres´ere n˝o, n´egyszer nagyobb energi´aj´ u rezg´es l´ep fel. Az ´ atlagos helyzeti energia a maxim´alisnak fele, ´es ez´ert egyben a teljes energia fele is. Hasonl´ok´eppen az ´atlagos mozg´asi energia is a teljes energia fel´evel egyenl˝o. 21.5. K´ enyszerrezg´ esek A k¨ovetkez˝okben a k¨ uls˝o mozgat´oer˝ok hat´as´ara rezg˝o, u ´gynevezett k´enyszer´ıtett harmonikus oszcill´ atort t´argyaljuk. A mozg´ast ebben az esetben a k¨ovetkez˝o egyenlet ´ırja le: d2 t m 2 = −kx + F (t). (21.8) dt Elemezz¨ uk egy kicsit, mi t¨ort´enik ilyen k¨or¨ ulm´enyek k¨oz¨ott. A k¨ uls˝o mozgat´oer˝o id˝ot˝ol val´o f¨ ugg´es´et sokf´ele f¨ uggv´eny ´ırhatja le. Egy nagyon egyszer˝ u felt´etelb˝ol indulunk ki – felt´etelezz¨ uk, hogy az er˝o oszcill´al: F (t) = F0 cos ωt. (21.9) Jegyezz¨ uk meg azonban, hogy az itt szerepl˝o ω nem sz¨ uks´egk´eppen ω0 , ezt az ω-t mi hat´arozzuk meg; a k´enyszerer˝o k¨ ul¨onb¨oz˝o frekvenci´akkal m˝ uk¨odhet. A (21.8) egyenletet az er˝o (21.9) alak´ u k´eplet´enek felhaszn´al´as´aval pr´ob´aljuk megoldani. Mi a (21.8) egyenlet megold´asa? Az egyik speci´alis megold´as (az ´altal´anosabb eseteket k´es˝obb t´argyaljuk) a k¨ovetkez˝o alak´ u: x = C cos ωt, (21.10) ahol a C ´alland´ot m´eg meg kell hat´arozni. M´as sz´oval, felt´etelezhetj¨ uk, hogy ha a rug´ora f¨ uggesztett t¨omeget ´alland´oan el˝ore-h´atra l¨okd¨oss¨ uk, az www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

371

21.5. K´enyszerrezg´esek

v´eg¨ ul is az er˝o ir´any´at k¨ovetve szint´en el˝ore-h´atra fog mozogni. Ezt egy´ebk´ent ki is pr´ob´alhatjuk. A (21.10)-et ´es (21.9)-et (21.8)-ba helyettes´ıtve azt kapjuk, hogy −mω 2 C cos ωt = −mω02 C cos2 ωt + F0 cos ωt.

(21.11)

mω02 -et

A k hely´ebe helyettes´ıtett¨ unk, ezzel az egyenlet v´egs˝o alakj´aban egyszer˝ ubb ´es ´erthet˝obb lesz. M´armost, mivel a koszinusz minden tagban szerepel, oszthatunk vele, ami azt mutatja, hogy a (21.10) – felt´eve, hogy a C mennyis´eget helyesen v´alasztottuk meg – val´oban ad egy megold´ast. C helyes alakja a k¨ovetkez˝o: F0 C= . (21.12) 2 m(ω0 − ω 2 ) Az m t¨omeg teh´at ugyanolyan frekvenci´aval rezeg, mint a k´enyszerer˝o, a rezg´es amplit´ ud´oja viszont a k´enyszerer˝o frekvenci´aj´at´ol, valamint az oszcill´ator term´eszetes mozg´as´anak frekvenci´aj´at´ol f¨ ugg. Ez el˝osz¨or is azt jelenti, hogy ha ω az ω0 -hoz viszony´ıtva nagyon kicsi, akkor az elmozdul´as ´es a k´enyszerer˝o ugyanabba az ir´anyba mutat. M´asr´eszr˝ol, ha a t¨omeget nagyon gyorsan mozgatjuk el˝ore-h´atra – azaz pontosabban: ha ω a harmonikus oszcill´ator term´eszetes ω0 frekvenci´aj´at meghaladja –, a (21.12)-b˝ol azonnal kit˝ unik, hogy C negat´ıv ´ert´eket vesz fel (a tov´abbiakban ω0 -t a harmonikus oszcill´ator term´eszetes frekvenci´aj´anak, ω-t pedig k´enyszerfrekvenci´anak nevezz¨ uk). Nagyon nagy frekvenci´ak eset´en a nevez˝o nagyon nagy lehet, s ´ıgy gyakorlatilag csak igen kis amplit´ ud´oj´ u rezg´es l´ep fel. Ez a megold´as term´eszetesen csak abban az esetben a helyes megold´as, ha az oszcill´ator ´es a k´enyszerer˝o ´eppen megfelel˝o f´azisban indul”, s ” ´ıgy azonnal be´all k¨oz¨ott¨ uk az egyens´ uly. Ellenkez˝o esetben a mozg´asnak egy olyan ¨osszetev˝oje is fell´ep, mely ´altal´aban kis id˝o ut´an lecsillapodik. Ezeket a csillapod´o mozg´asokat az F (t) er˝ore adott ´ atmeneti (tranziens) v´alasznak, m´ıg a (21.10) ´es (21.12) o¨sszef¨ ugg´esekkel le´ırt mozg´ast ´ alland´ osult v´alasznak nevezz¨ uk. A (21.12) k´eplet megmutatja, hogy egy rendk´ıv¨ uli eset is el˝o´allhat: ha ω csaknem pontosan egyenl˝o ω0 -val, akkor C megk¨ozel´ıtheti a v´egtelent. Ha teh´at a k´enyszerer˝o frekvenci´aj´at a term´eszetes frekvenci´aval id˝oben” ” pontosan ¨osszeigaz´ıtjuk, akkor rendk´ıv¨ ul nagy kit´er´eseket kaphatunk. Ezt a jelens´eget mindenki j´ol ismeri, aki hint´aztatott m´ar gyereket. Becsukott szemmel ´es v´eletlenszer˝ u l¨ok´esekkel nagyon neh´ez lenne hint´aztatni. Ha t¨ort´enetesen eltal´aljuk a helyes ritmust, akkor a hinta nagyon magasra jut, ha viszont kies¨ unk a ritmusb´ol ´es l¨ok¨ unk, amikor h´ uznunk kellene, a hinta lef´ekez˝odik, s˝ot le´all. www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

372

21. A harmonikus oszcill´ ator

Ha ω-t pontosan egyenl˝ov´e tessz¨ uk ω0 -val, k´eplet¨ unk szerint a rezg´es amplit´ ud´oj´anak v´egtelen nagynak kellene lennie, ami mag´at´ol ´ertet˝od˝oen lehetetlen. Ennek az az oka, hogy a (21.8) egyenletet idealiz´altuk, nem vett¨ uk figyelembe a s´ url´od´ast ´es egy´eb er˝oket le´ır´o tagokat, amelyek pedig a val´os´agban fell´epnek. Teh´at az amplit´ ud´o ilyen ´es egy´eb okokn´al fogva sohasem lehet v´egtelen; gondoljuk csak arra, hogy a rug´o sajnos hamar elt¨orhet!

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

22. fejezet Algebra ¨ 22.1. Osszead´ as ´ es szorz´ as Rezg˝o rendszerek tanulm´anyoz´asa sor´an m´odunk ny´ılik a matematika egyik legnevezetesebb, szinte megh¨okkent˝oen ´erdekes formul´aj´anak alkalmaz´as´ara. A fizikus szempontj´ab´ol az is elegend˝o lenne, ha mind¨ossze k´et bekezd´est szenteln´enk ennek a formul´anak. A tudom´any azonban egyar´ant szolg´al a szellemi ´elvezetek ´es a gyakorlati haszon forr´as´aul, ami´ert is ezzel a csod´alatos szellemi dr´agak˝ovel” nem csup´an n´eh´any bekezd´es” ben foglalkozunk, hanem a maga saj´atos k¨ornyezet´eben, a matematika elemi algebr´anak nevezett nagy ´ag´aba helyezve mutatjuk be. Jogos a k´erd´es: Minek a matematika egy fizikak¨onyvben?” Ments´e” g¨ unkre a k¨ovetkez˝oket hozhatjuk fel; el˝osz¨or is a matematika term´eszetesen nagyon fontos seg´edeszk¨oz¨ unk, de ez csak azt indokoln´a, hogy a formul´at n´eh´any magyar´az´o sz´o k´ıs´eret´eben megadjuk. M´asr´eszr˝ol az elm´eleti fizik´at tanulm´anyozva azt tapasztaljuk, hogy minden fizikai t¨orv´eny fel´ırhat´o matematikai alakban, ´es ´eppen ez ad nekik bizonyos egyszer˝ us´eget ´es sz´eps´eget. S hogy a term´eszetet val´oban megismerhess¨ uk ´es meg´erthess¨ uk, v´eg¨ ul is m´elyebben meg kell ´erten¨ unk a matematikai ¨osszef¨ ugg´eseket. Legf˝obb ´es a val´odi okunk azonban az, hogy ez a t´argy nagyon ´elvezetes! Hi´aba szabjuk fel mi emberek a term´eszetet tudom´any´agak ´es tant´argyak szerint, az ilyen csoportos´ıt´as mesterk´elt. . . ez´ert okoz oly nagy szellemi gy¨ony¨or˝ us´eget, ha a k¨ ul¨onb¨oz˝o szakt´argyakat mozaikszer˝ uen egybeillesztve is ´attekinthetj¨ uk. M´as okunk is van, hogy most t¨ uzetesebben foglalkozzunk az algebr´aval: olvas´oink t¨obbs´ege m´ar a k¨oz´episkol´aban tanult algebr´at, de nyilv´an ott el˝osz¨or ismerkedett meg ezzel a t´arggyal. Minden egyenlet szokatlan volt, neh´ez munka ´ar´an kellett akkor az algebr´at megtanulni, ´epp´ ugy, mint most a fizik´at. Mindig j´oles˝o ´erz´es visszatekinteni a megtett u ´tra ´es az eg´eszet” ¨osszef¨ ugg´eseiben l´atni. S m´ar csak az´ert is ´erdemes feleleven´ıteni ” az algebr´at, hogy ne kelljen t´ ul sok er˝ot ´es id˝ot pazarolnunk formul´akra, ehelyett ink´abb mag´ara a fizik´ara ¨osszpontos´ıthassuk figyelm¨ unket. Tal´an egy nap a Matematikai Int´ezetben valaki tart majd egy mechanika el˝oad´ast, hogy megmutassa, mit is pr´ob´altunk meg´erteni a fizika el˝oad´ason. Az algebr´at persze nem matematikai szempontb´ol t´argyaljuk, mert a matematikusokat f˝oleg az ´erdekli, hogy a k¨ ul¨onb¨oz˝o ´all´ıt´asok hogyan bizowww.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

374

22. Algebra

ny´ıthat´ok be, h´any feltev´es sz¨ uks´eges elengedhetetlen¨ ul, ´es mi nem sz¨ uks´eges. Nem nagyon ´erdekli ˝oket, hogy mi a gyakorlati haszna mindannak, amit bebizony´ıtottak. Sz´amunkra p´eld´aul a Pitagorasz-t´etel annyiban ´erdekes, hogy a der´eksz¨og˝ u h´aromsz¨og befog´oinak n´egyzet¨osszege az ´atfog´o n´egyzet´evel egyenl˝o – ezt a furcs´an egyszer˝ u t´enyt an´elk¨ ul is el lehet fogadni, hogy a bizony´ıt´as mik´entj´evel, vagy ak´ar azzal foglalkozn´ank, hogy milyen axi´om´ak sz¨ uks´egesek a bizony´ıt´ashoz. Ugyanilyen ´ertelemben az elemi algebr´ar´ol is – ha szabad ezt mondanunk – kvalitat´ıv le´ır´ast adunk. Elemi algebr´at mondunk, mivel a matematik´anak van egy modern algebr´anak nevezett ´aga is, amelyben n´eh´any olyan szab´aly, mint p´eld´aul ab = ba, nem ´erv´enyes, illetve elhagyhat´o. Ez is algebra, de itt nem foglalkozunk vele. T´em´ank t´argyal´as´at kezdj¨ uk mindj´art a k¨ozep´en! Tegy¨ uk fel, m´ar tudjuk, mik az eg´esz sz´amok, mi a z´erus, ´es mit jelent egy eg´esz sz´amot egys´egnyivel megn¨ovelni. K´erem a kedves olvas´okat, ne mondj´ak erre azt, hogy Ez nem a dolog k¨ozepe!” A matematikus szemsz¨og´eb˝ol ez igenis az, ” mivel m´eg tov´abb is mehetn´enk visszafel´e, ´es ismertethetn´enk a halmazelm´eletet is, hogy levezess¨ uk az eg´esz sz´amok mindezen tulajdons´agait. Mi azonban nem ebbe az ir´anyba, a matematikai filoz´ofia ´es a matematikai logika ir´any´aba akarunk haladni, ink´abb eleve abb´ol a feltev´esb˝ol indulunk ki, hogy tudjuk, mit jelentenek az eg´esz sz´amok, ´es tudjuk, hogy kell sz´amolni. Ha egy bizonyos a eg´esz sz´amhoz egym´as ut´an b-szer hozz´aadjuk az egys´eget, akkor az a + b-nek nevezett sz´amot kapjuk; ezzel m´aris defini´altuk az eg´esz sz´amok ¨ osszead´ as´ at. Ha m´ar egyszer az ¨osszead´ast defini´altuk, meggondolhatjuk a k¨ovetkez˝ot: ha z´erust´ol indulunk ´es egym´as ut´an b-szer hozz´aadjuk az a sz´amot, akkor az eredm´enyt b-szer a-nak nevezz¨ uk; ez az eg´esz sz´amok szorz´ asa. Egym´ as ut´ ani szorz´ asok sorozat´at is el tudjuk v´egezni: ha 1-t˝ol indulunk ki, ´es ezt egym´as ut´an b-szer szorozzuk meg a-val, a m˝ uveletet b hatv´ anyoz´ asnak nevezz¨ uk: a .

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

375

22.2. Ford´ıtott m˝ uveletek

E defin´ıci´okb´ol kiindulva k¨onny˝ u megmutatni, hogy igaz az ¨osszes al´abbi o sszef¨ u gg´ e s: ¨ (a) a + b = b + a (b) a + (b + c) = (a + b) + c (c) ab = ba

(d) a(b + c) = ab + ac

(e) (ab)c = a(bc)

(f ) (ab)c = ac bc

(g) ab ac = a(b+c)

(h) (ab )c = a(bc)

(i) a + 0 = a

(j) a · 1 = a

(22.1)

(k) a1 = a Ezek az eredm´enyek j´ol ismertek, nem is foglalkozunk vel¨ uk b˝ovebben, csup´an felsoroltuk ˝oket. Term´eszetesen az 1-nek ´es a 0-nak speci´alis tulajdons´agai vannak; p´eld´aul a + 0 = a, a · 1 = a ´es a els˝o hatv´anya is egyenl˝o a-val. A (22.1) szab´alyok” ¨ossze´all´ıt´asakor n´eh´any m´as tulajdons´agot, p´el” d´aul a folytonoss´agot ´es a nagys´agrendi viszonyokat is fel kellett t´etelezn¨ unk. Ezeket igen neh´ez defini´alni, ez´ert ezt a feladatot b´ızzuk ink´abb a szigor´ u elm´eleti matematikusokra. Tov´abb´a, el kell ismern¨ unk, val´o igaz az is, hogy t´ ul sok szab´alyt”´ırtunk le; ezek egy r´esz´et a t¨obbib˝ol le lehet ” vezetni, de erre most nem t´er¨ unk ki. 22.2. Ford´ıtott m˝ uveletek Az ¨osszead´as, szorz´as, hatv´anyoz´as egyenes m˝ uveletei mellett inverz m˝ uveletek is l´eteznek, melyeket a k¨ovetkez˝ok´eppen defini´alunk. Tegy¨ uk fel, hogy a ´es c adottak, ´es meg akarjuk tal´alni b azon ´ert´ekeit, amelyek kiel´eg´ıtik az a + b = c, ab = c, ba = c egyenleteket. Ha a + b = c, akkor ez meghat´arozza b-t, ugyanis b = c − a; ez a kivon´ as. Az oszt´as m˝ uvelete is egyszer˝ u: ha ab = c, akkor az oszt´ ast b = c/a-val defini´aljuk – ez az ab = c egyenlet ford´ıtott” megold´asa. Ha most a ba = c hatv´anyt tekintj¨ uk, ´es ” feltessz¨ uk a k´erd´est magunknak, mi a b?, akkor a felelet: b a c-nek a-adik √ gy¨ oke, azaz b = a c. P´eld´aul arra a k´erd´esre, hogy melyik eg´esz sz´am har” madik hatv´anya egyenl˝o 8-cal?” a v´alasz az, hogy 8 k¨ obgy¨ oke, vagyis 2. A hatv´anyoz´assal kapcsolatban azonban k´et ford´ıtott m˝ uvelet van. Mivel ab a nem azonos b -val, a m´asik inverz (ford´ıtott) probl´ema a k¨ovetkez˝o: h´a” nyadik hatv´anyra kell a 2-t emelni, hogy eredm´eny¨ ul 8-at kapjunk?” Ezt logaritmuskeres´esnek nevezik. Ha ab = c, akkor ´ırhatjuk, hogy b = loga c. Ennek a m˝ uveletnek a jel¨ol´ese a t¨obbi´ehez viszony´ıtva k´enyelmetlen, de ez nem jelenti azt, hogy kev´esb´e elemi” m˝ uvelet, legal´abbis eg´esz sz´amokra ” vonatkoz´oan nem. Noha a logaritmusokr´ol az algebra tank¨onyvben csak k´es˝obb esik sz´o, a gyakorlatban az´ert term´eszetesen ´epp olyan egyszer˝ uwww.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

376

22. Algebra

ek, mint a gy¨ok¨ok; egyazon algebrai egyenlet k¨ ul¨onb¨oz˝o megold´asai. Az egyenes ´es a ford´ıtott m˝ uveleteket a k¨ovetkez˝okben foglalhatjuk o¨ssze: (a) o¨sszead´as: a + b = c (b) szorz´as: ab = c a

(a’) kivon´as: b = c − a (b’) oszt´as: b = c/a

√ a

(c) hatv´anyoz´as: b = c

(c’) gy¨okvon´as: b =

(d) hatv´anyoz´as: ab = c

(d’) logaritmuskeres´es: b = loga c

c

(22.2)

Mi itt az alapgondolat? Ezek az o¨sszef¨ ugg´esek, illetve szab´alyok eg´esz sz´amokra igazak, mivel az ¨osszead´as, szorz´as ´es hatv´anyoz´as defin´ıci´oib´ol k¨ovetkeznek. Vajon ki lehet-e terjeszteni az a, b ´es c sz´ amok ´ertelmez´es´et u ´gy, hogy azok tov´ abbra is ugyanazokat a t¨ orv´enyeket k¨ ovess´ek annak ellen´ere, hogy az (a + b)-hez ´es a t¨obbi kifejez´eshez vezet˝o folyamatokat nem lehet k¨ozvetlen m´odon, p´eld´aul az 1 sz´am t¨obbsz¨ori hozz´aad´as´aval, vagy eg´esz sz´amokkal val´o egym´as ut´ani szorz´as´aval defini´alni? 22.3. Elvonatkoztat´ as ´ es ´ altal´ anos´ıt´ as Ha a fenti defin´ıci´okat felhaszn´alva, egyszer˝ u algebrai egyenleteket pr´ob´alunk megoldani, hamarosan n´eh´any megoldhatatlan probl´em´ara bukkanunk. P´eld´aul tegy¨ uk fel, hogy a b = 3 − 5 egyenletet pr´ob´aljuk megoldani. Ez a kivon´as defin´ıci´oja szerint azt jelenti, hogy egy olyan sz´amot ´ term´eszetesen kell tal´alnunk, amelyhez 5-¨ot hozz´aadva 3-at kapunk. Es ilyen sz´am nincs, mert csak pozit´ıv eg´esz sz´amokat vett¨ unk tekintetbe, teh´at ez megoldhatatlan probl´ema. Valamit azonban m´egis lehet tenni, s ebb˝ol ad´odik a nagy ¨ otlet, az u ´j alapgondolat: elvonatkoztat´ as ´es a ´ltal´ anos´ıt´ as. Az algebra eg´esz szerkezet´eb˝ol, a szab´alyokb´ol ´es az eg´esz sz´amokb´ol hagyjuk el az ¨osszead´as eredeti defin´ıci´oit, de tartsuk meg a (22.1) ´es (22.2) szab´alyokat, ´es t´etelezz¨ uk fel, hogy ezek ´ altal´ aban igazak a sz´amok egy t´agabb oszt´aly´ara, j´ollehet eredetileg egy kisebb oszt´alyra voltak levezetve. Teh´at ahelyett, hogy a szab´alyok defini´al´asa ´erdek´eben szimbolikusan az eg´esz sz´amokat haszn´aln´ank, a szab´alyokat haszn´aljuk fel az eg´esz sz´amok defini´al´as´ara, amelyek ´ıgy a sz´amok sokkal ´altal´anosabb fajt´aj´at jelentik majd. P´eld´aul kiz´ar´olag a szab´alyok alkalmaz´asa r´ev´en meg tudjuk mutatni, hogy 3 − 5 = 0 − 2. Meg tudjuk mutatni, hogy val´oj´aban minden kivon´as elv´egezhet˝o, felt´eve, hogy u ´j sz´amok sorozat´at defini´aljuk: 0 − 1; 0 − 2; 0 − 3; 0 − 4 stb., ´es ezeket negat´ıv eg´esz sz´ amoknak nevezz¨ uk. Ezek ut´an az o¨sszes t¨obbi szab´alyt, mint p´eld´aul az a(b + c) = ab + ac stb. szab´alyokat felhaszn´alhatjuk arra, hogy a negat´ıv sz´amok szorz´as´ara vonatkoz´o szab´alyokat levezess¨ uk. Meg fogjuk l´atni, www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

22.3. Elvonatkoztat´ as ´es ´ altal´ anos´ıt´ as

377

hogy az ¨osszes szab´aly fenntarthat´o mind a pozit´ıv, mind pedig a negat´ıv eg´esz sz´amok eset´en. Ez´altal megn¨ovelt¨ uk a szab´alyok ´ertelmez´esi tartom´any´at, de a szimb´olumok jelent´ese a r´egi ´es az u ´j tartom´anyban k¨ ul¨onb¨oz˝o. Nem mondhatjuk p´eld´aul, hogy −2 szorozva 5-tel val´oban azt jelenti, hogy az 5-¨ot egym´as ut´an (−2)-szer adjuk ¨ossze. Ez ´ertelmetlen lenne. Ennek ellen´ere a szab´alyok nagyszer˝ uen meg´allj´ak a hely¨ uket. ´ Ujabb ´erdekes probl´em´at vet fel a hatv´anyoz´as. Mondjuk, valaki p´eld´aul a(3−5) jelent´es´et szeretn´e megtudni. Csak azt tudjuk, hogy 3 − 5 a (3−5)+5 = 3 egyenlet megold´asa. Ennek ismeret´eben azt is tudjuk, hogy a(3−5) a5 = a3 . Ez´ert az oszt´as defin´ıci´oja szerint: a(3−5) = a3 /a5 . Egy kis t¨obbletmunk´aval ezt 1/a2 -re lehet reduk´alni. Vagyis azt tal´aljuk, hogy a negat´ıv hatv´any a pozit´ıv hatv´any reciproka. 1/a2 azonban ´ertelmetlen szimb´olum, mivel ha a pozit´ıv vagy negat´ıv eg´esz sz´am, akkor n´egyzete 1-n´el nagyobb is lehet, ´es egyel˝ore m´eg nem tudjuk, hogy mit ´erts¨ unk 1 ´es egy 1-n´el nagyobb sz´am h´anyados´an! De ne torpanjunk meg! Az el˝obbi alapgondolatot most m´ar rendszerr´e fejlesztve, folytassuk tov´abb az ´altal´anos´ıt´ast. Valah´anyszor csak olyan probl´em´ara akadunk, amelyet nem tudunk megoldani, mindannyiszor terjessz¨ uk ki a sz´amok birodalm´at! Tekints¨ uk az oszt´ast: nem tudunk olyan eg´esz sz´amot, m´eg negat´ıv eg´esz sz´amot sem tal´alni, amely a 3/5 oszt´as eredm´enye lenne. De ha felt´etelezz¨ uk, hogy az ¨osszes t¨ort sz´am is kiel´eg´ıti a szab´alyokat, akkor besz´elhet¨ unk a t¨ortek szorz´as´ar´ol ´es ¨osszead´as´ar´ol, ´es ugyan´ ugy dolgozhatunk a t¨ortekkel, mint kor´abban az eg´esz sz´amokkal. L´assunk egy m´asik hatv´anyoz´asi feladatot: mi az, hogy a3/5 ? Csak azt tudjuk, hogy (3/5)5 = 3, mivel ez volt 3/5 defin´ıci´oja. Teh´at azt is tudjuk, hogy (a3/5 )5 = a(3/5)5 = a3 , mivel ez az egyik szab´aly. Ezut´an a √ 5 3 3/5 gy¨ok¨ok defin´ıci´oja alapj´an azt tal´aljuk, hogy a = a . Ily m´odon defini´alni tudjuk, mit ´ert¨ unk azon, hogy a k¨ ul¨onb¨oz˝o szimb´olumok hely´ebe t¨orteket tesz¨ unk. Magukat a szab´alyokat haszn´aljuk fel a defin´ıci´okhoz – ´es ez nem ¨onk´enyes. Figyelemre m´elt´o, hogy mindezek a szab´alyok nemcsak pozit´ıv ´es negat´ıv eg´esz sz´amokra, hanem a t¨ortekre is j´ol alkalmazhat´ok! Menj¨ unk tov´abb az ´altal´anos´ıt´assal. L´etezik m´eg valamilyen m´as egyenlet, amit nem tudunk megoldani? Igen, l´etezik. √ Lehetetlen meg1/2 oldani p´eld´aul a k¨ovetkez˝o egyenletet: b = 2 = 2. Lehetetlen olyan racion´alis (t¨ort) sz´amot tal´alni, aminek a n´egyzete 2-vel egyenl˝o. Ma m´ar nagyon k¨onny˝ u erre a k´erd´esre v´alaszt adni.√ A decim´alis rendszer ismeret´eben neh´ezs´eg n´elk¨ ul k¨ozel´ıteni tudjuk 2-t a v´egtelen tizedes t¨ort

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

378

22. Algebra

seg´ıts´eg´evel. T¨ort´eneti ´erdekess´eg, hogy ez a k´erd´es nagy neh´ezs´eget jelentett a g¨or¨og¨oknek. Hogy val´oban pontosan defini´aljuk a k¨ozel´ıt´es l´enyeg´et, a folytonoss´agr´ol ´es a nagys´agrendi viszonyokr´ol kellene mondanunk valamit, pedig ´eppen ez a legkritikusabb l´ep´es az ´altal´anos´ıt´as folyamat´aban. Ezt a l´ep´est Dedekind v´egezte el teljes pontoss´aggal ´es szigor´ us´aggal. Azonban an´elk¨ ul, hogy t´ uls´agosan sokat t¨ o r˝ o dn´ e nk a matematikai √ szigor´ us´aggal, k¨onnyen bel´athatjuk, hogy a 2 t´ıpus´ u sz´amokat t¨ortek sorozat´aval egyre jobban megk¨ozel´ıthetj¨ uk (ezek val´odi t¨ortek, mivel b´armely tizedes t¨ort, ha valahol meg´allunk benne, racion´alis sz´am). Ha ezt meg´ertett¨ uk, t¨obbre nincs is sz¨ uks´eg¨ unk mindahhoz, amit most t´a√ rgyalni akarunk, most m´ar irracion´alis sz´amokkal is foglalkozhatunk, ´es a 2-h¨oz hasonl´o kifejez´eseket – j´ollehet sok munka ´ar´an – a k´ıv´ant pontoss´aggal ki tudjuk sz´am´ıtani. 22.4. Irracion´ alis sz´ amok ko ese ¨zel´ıt´ K¨ovetkez˝o probl´em´ank az irracion´ alis hatv´anykitev˝okkel kapcsolatos. Te√ 2 gy¨ uk fel p´eld´aul, hogy√ a 10 -t akarjuk defini´alni. Elvben a v´alasz megleus´ag´ u tizedes t¨orttel k¨ozel´ıtj¨ uk, het˝osen egyszer˝ u. Ha 2-t bizonyos hossz´ a hatv´anykitev˝o racion´alis, teh´a√ t a fenti m´odszerrel megkaphatjuk a k¨ozel´ıt˝o gy¨ok¨ot, s ´ıgy egyben a 10 2 egy k¨ ozel´ıt´es´et is. De a tizedes t¨ortet n´eh´any tizedesjeggyel meg is hosszabb´ıthatjuk (ez ism´et racion´alis sz´am lesz); ez alkalommal sokkal magasabb fok´ u gy¨ok¨ot kell k´epezn¨ unk, hiszen a t¨ort nevez˝oje sokkal nagyobb, ´es ´ıgy jobb k¨ozel´ıt´est kapunk. Term´eszetesen nagyon j´o k¨ozel´ıt´est csak nagyon bonyolult, hosszadalmas munka ´ar´an ´erhet¨ unk el. Hogyan lehetne k¨onnyebben megbirk´ozni ezzel a probl´em´aval? A n´egyzetgy¨ok¨ok, k¨ obgy¨ok¨ok ´es egy´eb kis kitev˝oj˝ u gy¨ok¨ok sz´amol´asakor a k¨ ul¨onb¨oz˝o helyi ´ert´ek˝ u sz´amokat egym´as ut´an, egyszer˝ u aritmetikai elj´ar´assal kapjuk meg. Az irracion´alis hatv´anykitev˝oj˝ u hatv´anyok ´es a vel¨ uk kapcsolatos logaritmusok (az inverz probl´ema) sz´amol´asa azonban oly sok munk´at k´ıv´an, hogy az el˝obbi aritmetikai elj´ar´as m´ar nem lenne el˝ony¨os. T´abl´azatokkal azonban meggyors´ıthat´o az ilyen hatv´anyok kisz´am´ıt´asa. A t´abl´azatokat rendeltet´es¨ uk szerint logaritmus-, illetve hatv´anyt´abl´azatoknak nevezik. Haszn´alatukkal id˝ot takar´ıthatunk meg: ha valamilyen sz´amot irracion´alis hatv´anyra kell emeln¨ unk, egyszer˝ uen kikeress¨ uk a t´abl´azatb´ol. Term´eszetesen ez puszt´an sz´am´ıt´astechnikai megold´as, de ´erdekes ´e√s t¨ort´enetileg nagyon jelent˝os. N´ezz¨ uk csak, mir˝ol is van 2 x sz´o. Az x = 10 kisz´am´ıt´asa mellett m´eg a 10 = 2 ´es az x = log10 2 egyenleteket is meg kell oldanunk. Nem kell az eredm´eny kedv´e´ert u ´jfajwww.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

22.4. Irracion´ alis sz´ amok k¨ ozel´ıt´ese

379

ta sz´amot defini´alnunk, ezek egyszer˝ u sz´amol´asi feladatok. A megold´as irracion´alis sz´am, v´egtelen tizedes t¨ort, nem pedig valami u ´jfajta sz´am. Vitassuk most meg, hogyan sz´am´ıthat´o az ilyen egyenletek megold´asa. Az ´altal´anos alapelv val´oban nagyon egyszer˝ u. Ha ki tudjuk sz´am´ıtani a 1 4/10 1/100 4/1000 10 , 10 , 10 , 10 stb. hatv´anyokat, ´es az ´ıgy kapott ´ert´eke√ ket ¨osszeszorozzuk, akkor megkapjuk a 101,414... vagy m´ask´eppen a 10 2 hatv´any ´ert´ek´et. Ez a m´ar eml´ıtett ´altal´anos alapelv. Azonban a 101/10 stb. helyett most a 101/2 , 101/4 stb. hatv´anyokat fogjuk kisz´am´ıtani. De miel˝ott ehhez hozz´akezden´enk, meg kell magyar´aznunk, mi´ert is ragaszkodunk annyira a 10-es sz´amhoz, ahelyett, hogy valamilyen m´as sz´ammal dolgozn´ank. Tudjuk, hogy a logaritmust´abl´azatok gyakorlati haszna ´es jelent˝os´ege messze t´ ulmutat a gy¨okvon´as matematikai feladatain, ugyanis az alapegyenlet, logb (ac) = logb a + logb c

(22.3)

gyakorlatilag j´ol felhaszn´alhat´o sz´amok egym´assal val´o szorz´as´ara logaritmust´abla seg´ıts´eg´evel. Az egyetlen k´erd´es az, hogy milyen b alappal sz´amoljunk. Mindegy, hogy milyen alapot v´alasztunk; minden esetben ugyanaz az ´altal´anos elv alkalmazhat´o. B´armely tetsz˝oleges alapra vonatkoz´o logaritmusokat haszn´alunk, egyszer˝ uen a sk´ala megv´altoztat´as´aval egy bizonyos sz´ammal szorozva, b´armely m´as alapra vonatkoz´o logaritmusokat is megkaphatjuk. Ha a (22.3) egyenletet 61-gyel megszorozzuk, ugyan´ ugy ´erv´enyes marad, ´es ha egy b alap´ u logaritmust´abl´azat minden sz´amjegy´et valaki 61-gyel megszorozn´a, ez semmilyen l´enyeges v´altoz´ast nem okozna. T´etelezz¨ uk fel, hogy minden sz´am b alap´ u logaritmus´at isa merj¨ uk. M´as sz´oval a b = c egyenletet tetsz˝oleges c-re meg tudjuk oldani t´abl´azat seg´ıts´eg´evel. A feladat ugyanezen c sz´am m´as alap´ u, mondjuk x 0 alap´ u logaritmus´anak megkeres´ese. Az xa = c egyenletet kell megoldanunk. Ez k¨onnyen megy, mivel x ´es b ismeret´eben mindig fel´ırhatjuk a t-t defini´al´o x = bt egyenletet. Ekkor t = logb x. Ha ezt visszahelyettes´ıt0 j¨ uk ´es az egyenletet a0 -re megoldjuk, azt tal´aljuk, hogy (bt )a0 = bta = c. M´as sz´oval c-nek b alap´ u logaritmusa ta0 . Vagyis a0 = a/t. Teh´at az x alap´ u logaritmusok egyenl˝ok a b alap´ u logaritmusoknak 1/t-vel (azaz ´ egy ´alland´oval) val´o szorzat´aval. Eppen ez´ert b´armely logaritmust´abla egyen´ert´ek˝ u b´armely m´asik logaritmust´abl´aval, ha az 1/logb x ´alland´oval beszorozzuk. Ez teszi lehet˝ov´e, hogy tetsz˝oleges alapot v´alasszunk, ´es ezt az alapot k´enyelmi szempontb´ol 10-nek v´alasztjuk. (Felvet˝odhet a k´erd´es, vajon nincs-e olyan term´eszetes alap, amely mindezt valahogyan leegyszewww.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

380

22. Algebra

r˝ us´ıten´e. K´es˝obb megpr´ob´alunk v´alaszt adni erre a k´erd´esre, egyel˝ore azonban a 10-es alap mellett maradunk.1 s hatv´anykitev˝o 1 1/2 1/4 1/8 1/16 1/32 1/64 1/128 1/256 1/512 1/1024 ∆/1024 (∆ → 0)

1024s 1024 512 256 128 64 32 16 8 4 2 1

10s

(10s − 1)/s

10,00000 3,16228 1,77828 1,33352 1,15478 1,074607 1,036663 1,018152 1,0090350 1,0045073 1,0022511

9,00 4,32 3,113 2,668 2,476 2,3874 2,3445 2,3234211 2,3130104 2,3077 53 2,3051 26 26 ↓ ∆ 1 + 0, 0022486∆ ← 2, 3025

22.1. t´ abl´ azat. T´ız egym´ as ut´ an k¨ ovetkez˝ o n´egyzetgy¨ okei

N´ezz¨ uk, hogyan k´esz¨ ul a logaritmust´abl´azat. A munk´at azzal kezdj¨ uk, hogy t´ızb˝ol n´egyzetgy¨ok¨ot vonunk, majd az eredm´enyb˝ol u ´jra n´egyzetgy¨ok¨ot vonunk ´es ´ıgy tov´abb. Az eredm´enyeket a 22.1. t´abl´azat mutatja. T´ız hatv´anykitev˝oi az els˝o oszlopban, az eredm´enye, 10s a harmadik oszlopban van felt¨ untetve. Egyszer˝ u r´an´ez´essel kiolvashatjuk, hogy p´eld´aul 101 = 10. 10-nek 1/2-ik hatv´any´at k¨onnyen kisz´am´ıthatjuk, mivel a 10 n´egyzetgy¨oke, ´es b´armely sz´amb´ol az egyszer˝ u, ismert elj´ar´assal n´egyzetgy¨ok¨ot vonhatunk.2 Ezzel az elj´ar´assal jutunk az els˝o n´egyzetgy¨okre: 3,16228. Ez 1

A tov´ abbiakban a 10-es alap´ u logaritmust lg-vel jel¨ olj¨ uk. A term´eszetes logaritmus jel¨ ol´es´ere ln-t fogunk haszn´ alni. (A szerk.) 2 L´etezik egy meghat´ arozott aritmetikai elj´ ar´ as a n´egyzetgy¨ okvon´ asra, de tetsz˝ oleges N sz´ amb´ ol a legegyszer˝ ubben a k¨ ovetkez˝ o m´ odon vonhatunk n´egyzetgy¨ ok¨ ot. Keress¨ unk egy, a n´egyzetgy¨ okh¨ oz meglehet˝ osen k¨ ozeli a sz´ amot, sz´ am´ıtsuk ki az N/a h´ anyadost, majd az a0 = 21 [a+(N/a)] a ´tlagot, ´es a k¨ ovetkez˝ o l´ep´esben ezt az a0 a ´tlagot tekints¨ uk anak. Az elj´ ar´ as nagyon gyorsan konverg´ al – a helyes sz´ amjegyek sz´ ama minden l´ep´esben megk´etszerez˝ odik.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

22.4. Irracion´ alis sz´ amok k¨ ozel´ıt´ese

381

m´ar mond nek¨ unk valamit, m´egpedig azt mondja meg, hogyan kell 100,5 t kisz´am´ıtani, teh´at most m´ar legal´abb egy logaritmust ismer¨ unk. Ha v´eletlen¨ ul u ´gy ad´odik, hogy 3,16228 logaritmus´ara van sz¨ uks´eg¨ unk, tudni fogjuk, hogy az eredm´enye k¨ozel van a 0,50000-h¨oz. De enn´el kicsit t¨obbet szeretn´enk el´erni, nyilv´an r´eszletesebb t´abl´azatra van sz¨ uks´eg¨ unk. Teh´at ism´et n´egyzetgy¨ok¨ot vonunk: kisz´am´ıtjuk 101/4 -t, ami 1,77828-cal egyenl˝o. Most m´ar t¨obb sz´amnak ismerj¨ uk a logaritmus´at; 17,78 loga0,75 ritmusa 1,250, ´es ha v´eletlen¨ ul valaki 10 ut´an ´erdekl˝odne, azt is meg tudn´ank mondani, mivel az nem m´as, mint 10(0,5+0,25) , vagyis a m´asodik ´es a harmadik sz´am szorzata. Ha az s oszlopban el´eg sok sz´am van ahhoz, hogy bel˝ol¨ uk csaknem tetsz˝oleges sz´amot fel´ep´ıthess¨ unk, akkor a harmadik oszlop megfelel˝o tagjait ¨osszeszorozva, 10 b´armely hatv´any´at ki tudjuk sz´am´ıtani – ez a t´abl´azatk´esz´ıt´es alapelve. Teh´at kisz´am´ıtjuk 10 egym´as ut´ani n´egyzetgy¨okeit. A t´abl´azat ¨ossze´all´ıt´asa sor´an ez a legf˝obb tennival´o. Mi´ert nem folytatjuk az elj´ar´ast egyre pontosabb ´ert´ekekre t¨orekedve? Mert megsejtett¨ unk valamit. Amikor 10-et igen kis hatv´anyra emelj¨ uk, akkor 1-et meg m´eg egy igen kis sz´amot kapunk. Ennek oka vil´agos, hiszen 101/1000 -et az 1000-edik hatv´anyra kell emelni, ha vissza akarjuk kapni 10et. ´Igy teh´at 10-nek 1/1000-ik hatv´anya nem lehet valami t´ ul nagy sz´am, ´ert´eke k¨ozel kell legyen 1-hez. Mit sejtett¨ unk meg az el˝obb? Az a kis sz´am, amely 1-hez hozz´aad´odik, olyan, mintha minden alkalommal csup´an 2-vel osztan´ank; 1815-b˝ol 903-at, majd 450-et, majd 225-¨ot kapunk. Vil´agos teh´at, hogy kit˝ un˝o k¨ozel´ıt´esben a k¨ovetkez˝o gy¨okre kb. 1,00112-et kapunk, ´es ahelyett, hogy az ¨osszes n´egyzetgy¨ok¨ot t´enylegesen kisz´ am´ıtan´ ank, ink´abb becsl´est v´egz¨ unk. Mekkora az 1-hez adand´o kis sz´am, ha 10-et a ∆/1024-edik hatv´anyra emelj¨ uk ´es ∆ z´erushoz tart? Term´eszetesen 0, 0022511∆-hoz k¨ozeli sz´am lesz, azonban nem pontosan 0, 0022511∆. Jobb k¨ozel´ıt˝o ´ert´eket a k¨ovetkez˝o fog´assal kaphatunk: kivonjuk az 1-et, majd az s hatv´anykitev˝ovel osztunk. Ha ezzel a m´odszerrel dolgozunk, a val´odi ´ert´ekt˝ol kapott elt´er´esek minden s eset´en azonosak. L´atjuk, hogy ezek az ´ert´ekek (22.1. t´abl´azat negyedik oszlopa) mind k¨ozel egyenl˝ok. Az oszlop fels˝o r´esz´en nem egyform´ak, de amint lefel´e haladunk, u ´gy tartanak ezek az ´ert´ekek egy ´alland´o ´ert´ek fel´e. Mi ez az ´alland´o ´ert´ek? N´ezz¨ uk meg u ´jra, hogyan v´altozik s-sel a t´abl´azat negyedik oszlopa: 211gyel, 104-gyel, 53-mal ´es 26-tal. Ezek a k¨ ul¨onbs´egek – sorrendben lefel´e haladva – nyilv´anval´oan nagyon k¨ozel 0,5-sz¨or¨osei egym´asnak. Ez´ert, ha tov´abb haladn´ank lefele, a k¨ ul¨onbs´eg nagyj´ab´ol 13, 7, 3, 2 ´es 1 lenne, vagyis mintha a 26-ot 2-vel, majd az eredm´enyt u ´jra 2-vel stb. osztan´ank. ´Igy

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

382

22. Algebra

teh´at m´eg 26-tal mehet¨ unk tov´abb, ´es a val´odi sz´amra 2,3025-¨ot kapunk. K´es˝obb l´atni fogjuk, hogy a pontos sz´am´ert´eknek 2,3026-nak kell lennie, de hogy a val´os´aghoz h˝ uek maradjunk, sz´am´ıt´as k¨ozben semmit sem v´altoztatunk meg. Ennek a t´abl´azatnak a seg´ıts´eg´evel 10 b´armely hatv´any´at ki tudjuk sz´am´ıtani, ha a hatv´anykitev˝ot az 1/1024-ekb˝ol ´ep´ıtj¨ uk fel. V´egezz¨ uk most val´oban el egy logaritmus kisz´am´ıt´as´at (a logaritmust´abl´ak adatait t´enylegesen ugyanazzal az elj´ar´assal sz´amolj´ak ki). Az elj´ar´as a 22.2. t´abl´azatban, a numerikus ´ert´ekek pedig a 22.1. t´abl´azatban (2. ´es 3. oszlop) tal´alhat´ok. 2 : 1, 77828 = 1, 124682 1, 124682 : 1, 074607 = 1, 046598 stb. 2 = (1, 77828)(1, 074607)(1, 036633)(1, 0090350)(1, 000573) = 1 = 10[ 1024 (256+32+16+4+0,254)] = 308,254 = 10[ 1024 ] = 100,030103



573 2249



= 0, 254 .

Teh´at lg 2 = 0, 30103 22.2. t´ abl´ azat. lg 2 kisz´ am´ıt´ asa

T´etelezz¨ uk fel, hogy 2 logaritmus´ara vagyunk k´ıv´ancsiak, vagyis azt szeretn´enk megtudni, h´anyadik hatv´anyra kell 10-et emeln¨ unk, hogy eredm´eny¨ ul 2-t kapjunk. Az 1/2-edik hatv´anyra? Nem, az t´ ul nagy lenne. L´athatjuk, hogy a megold´asnak nagyobbnak kell lennie 1/4-n´el, de kisebbnek 1/2-n´el. Vegy¨ uk 101/4 ´ert´ek´et; 2-t elosztjuk 1,778. . . -cal ´es 1,124. . . -et kapunk. Az oszt´assal a 2 logaritmus´ab´ol 0,250000-et vontunk ki. 1, 124 . . . most az a sz´am, amelynek logaritmus´ara sz¨ uks´eg¨ unk van. Ha kikerest¨ uk, az eredm´enyhez u ´jb´ol hozz´aadjuk 1/4-et vagy 256/1024-et. Most keress¨ uk ki a t´abl´azat harmadik oszlop´ab´ol az 1,124-hez legk¨ozelebb es˝o, ann´al kisebb sz´amot. Ez 1,074607. Ez´ert most 1,074607-tel osztunk, az eredm´eny 1,046598. Ebb˝ol azt l´atjuk, hogy 2 fel´ep´ıthet˝o a 22.1. t´abl´azatban l´ev˝o sz´amok szorzatak´ent a k¨ovetkez˝o m´odon: 2 = (1, 77828)(1, 074607)(1, 036633)(1, 0090350)(1, 000573). Az utols´o (1,000573)-as szorz´o m´ar nincs benne a mi t´abl´azatunkban. E sz´am logaritmus´anak kisz´am´ıt´as´ahoz a k¨ovetkez˝o eredm´eny¨ unket fogjuk felhaszn´alni: 10∆/1024 ≈ 1 + 2, 3025∆/1024. Azt tal´aljuk, hogy ∆ = 0, 254. A megold´as ez´ert 10 a k¨ovetkez˝o hatv´anyon: (256 + 32 + 16 + ¨ 4 + 0, 254)/1024. Osszead´ as ut´an azt kapjuk, hogy 308,254/1024, ´es ha www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

22.4. Irracion´ alis sz´ amok k¨ ozel´ıt´ese

383

az oszt´ast is elv´egezz¨ uk, 0,30103 ad´odik. Teh´at most m´ar tudjuk, hogy lg 2 = 0, 30103, ´es ez az eredm´eny 5 jegyig pontos! Ez az az elj´ar´as, amellyel Briggs u ´r 1620-ban a logaritmusokat eredeti˝ azt mondta: 10-nek 54 egym´as ut´ani n´egyzetgy¨ok´et leg kisz´am´ıtotta. O ” sz´am´ıtottam ki.” Mi azonban tudjuk, hogy val´oj´aban csak az els˝o 27-et sz´am´ıtotta ki, mert a t¨obbit a ∆-val val´o u ¨gyes kis fog´as seg´ıts´eg´evel lehet kisz´am´ıtani. Azzal, hogy 10-nek 27 egym´as ut´ani n´egyzetgy¨ok´et kisz´am´ıtotta, nem sokkal t¨obb munk´at v´egzett, mint mi, amikor 10 egym´as ut´ani n´egyzetgy¨ok¨ot sz´amoltunk ki. Briggs azonban m´egis sokkal t¨obb munk´at v´egzett, mivel ˝o a sz´am´ıt´asokat 16 jegyre v´egezte el, ´es csak a nyomdai szed´esben cs¨okkentette 14 jegyre, u ´gyhogy t´abl´azat´aban nem voltak kerek´ıt´esb˝ol sz´armaz´o hib´ak. Ezzel a m´odszerrel 14 jegy˝ u logaritmust´abl´at k´esz´ıtett, ami bizony f´araszt´o munka lehetett. De h´arom ´evsz´azadon ´at – a tizedesjegyek cs¨okkent´es´evel – mindig Briggs t´abl´aj´ab´ol k´esz´ıtettek minden logaritmust´abl´at. Csak nemr´egen, az elektronikus sz´amol´og´epek seg´ıts´eg´evel k´esz´ıtettek az el˝oz˝okt˝ol f¨ uggetlen u ´j t´abl´akat. A logaritmusok sz´amol´as´ara ma m´ar sokkal hat´ekonyabb, bizonyos sorfejt´eseken alapul´o m´odszerek vannak. A fenti elj´ar´as sor´an valami nagyon ´erdekeset fedezt¨ unk fel, nevezetesen azt, hogy nagyon kicsi ε hatv´anykitev˝ok eset´en 10ε -t k¨onnyen ki tudjuk sz´am´ıtani; egyszer˝ u sz´am´ıt´assal kaptuk, hogy 10ε = 1 + 2, 3025ε. Term´eszetesen ez azt jelenti, hogy 10n/2,3025 = 1 + n, ha n nagyon kicsiny. B´armely m´as alap´ u logaritmus a 10 alap´ u logaritmusokb´ol csup´an szorz´as alapj´an nyerhet˝o. A 10-es alapot csak az´ert haszn´altuk, mert a kez¨ unk¨on 10 ujjunk van ´es k¨onny˝ u vele sz´amolni, de most m´ar itt az ideje, hogy egy matematikailag term´eszetes alapot keress¨ unk, amelynek semmi k¨oze sincs a k´ez ujjaihoz. Megpr´ob´alhatjuk logaritmussk´ al´ ankat valami k´enyelmes ´es term´eszetes m´odon megv´altoztatni. A logaritmusok u ´jradefini´al´as´ara azt a m´odszert v´alasztjuk, hogy a 10-es alap´ u logaritmusokat 2,3025-tel beszorozzuk. Ezzel ´att´er¨ unk valami m´asra, a term´eszetes vagy m´ask´epp e alap haszn´alat´ara. Megjegyezz¨ uk, hogy loge (1 + n) ≡ ln(1 + n) ≈ n, vagyis en ≈ 1 + n, ha n → 0. El´eg k¨onny˝ u kital´alni, mi is e tulajdonk´eppen: 10-nek egy irracion´alis hatv´anya. e = 101/2,3025 vagy m´ask´eppen e = 100,434310... . 10 egym´as ut´ani n´egyzetgy¨okeit tartalmaz´o t´abl´azatunk nemcsak ´eppen a logaritmusok, hanem 10 b´armely hatv´any´anak a kisz´am´ıt´as´ara is alkalmas, teh´at most haszn´aljuk fel ennek a term´eszetes e alapnak a kisz´am´ıt´as´ara.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

384

22. Algebra

K´enyelmi okokb´ol alak´ıtsuk ´at 0, 434310 . . . -et 444, 73/1024-gy´e. M´armost 444, 73 = 256+128+32+16+8+4+0, 73. Mivel t¨obb tag o¨sszeg´eb˝ol ´all´o hatv´anykitev˝or˝ol van sz´o, e a k¨ovetkez˝o sz´amok szorzata: (1, 77828)(1, 33352)(1, 074607)(1, 036633)(1, 018152)· ·(1, 009035)(1, 001643) = 2, 7184. (Az utols´o, a 0,73-as tag m´ar nincs benne a t´abl´azatban, de tudjuk, hogy el´eg kicsi ∆ eset´en a megold´as 1 + 0, 0022486∆.) A szorz´asokat elv´egezve eredm´eny¨ ul 2,7184-et kapunk (2,7183-at kellene kapnunk, de ez is el´eg j´o eredm´eny). Az ilyen t´abl´azatok seg´ıts´eg´evel irracion´alis sz´amok logaritmus´at is kisz´am´ıthatjuk. ´Ime, teh´at ´ıgy tudunk megbirk´ozni az irracion´alis sz´amokkal is. 22.5. Komplex sz´ amok Mind e sok fejt¨or´es ´es sz´amolgat´as ut´an azonban egyszer csak r´ad¨obben¨ unk, m´egsem tudunk minden egyenletet megoldani! P´eld´aul mi −1 n´egyzetgy¨oke? Tegy¨ uk fel, hogy az x2 = −1 egyenletet kell megoldani. Az eddigiekben megismert sz´amok k¨oz¨ott nincs sem olyan racion´alis, sem olyan irracion´alis, sem m´ as sz´am, melynek a n´egyzete −1-gyel lenne egyenl˝o. Ez´ert ism´et ´altal´anos´ıtanunk kell a sz´amainkat, ´erv´eny¨ uket az eddigiekn´el is t´agabb oszt´alyokra kell kiterjeszten¨ unk. Nevezz¨ uk az x2 = −1 egyenlet egy speci´alis megold´as´at, mondjuk, i-nek; i defin´ıci´o szerint azzal a tulajdons´aggal rendelkezik, hogy n´egyzete −1-gyel egyenl˝o. K¨or¨ ulbel¨ ul ez minden, amit most elmondunk r´ola. Persze, az x2 = −1 egyenletnek egyn´el t¨obb gy¨oke van. Az egyik gy¨ok¨ot jel¨olhetj¨ uk i-vel, ´am valaki k¨ozbesz´olhat, mondv´an: Nekem −i jobban tetszik. Az ´en i-m az ” ¨on´enek m´ınusz egyszerese.” Ez ´eppen olyan j´o megold´as, ´es mivel az i-re vonatkoz´o egyetlen megk¨ot´es az, hogy i2 = −1, igaznak kell lennie, hogy b´armilyen egyenlet igaz marad, ha benne i el˝ojel´et minden¨ utt megv´altoztatjuk. Ennek az elj´ar´asnak a neve komplex konjug´ altak k´epz´ese. Most el˝oz˝o szab´alyaink szerinti elj´ar´asokkal, i-k egym´as ut´ani ¨osszead´as´aval, iknek sz´amokkal val´o szorz´as´aval, m´as sz´amok hozz´aad´as´aval stb. fogunk u ´j sz´amokat el˝o´all´ıtani. Ek¨ozben azt tal´aljuk, hogy minden sz´am a p + iq alakba ´ırhat´o, ahol p ´es q val´os sz´amok, vagyis olyanok, mint amilyeneket eddig defini´altunk. Az i sz´am neve: k´epzetes egys´eg. i-nek b´armely val´os sz´ammal val´o szorzat´at tiszt´ an k´epzetesnek nevezz¨ uk. A leg´altal´anosabb sz´am, a, p + iq alakban ´ırhat´o, komplex sz´ amnak nevezik. A helyzet enn´el bonyolultabb m´ar aligha lehet, ha ¨osszeszorzunk k´et ilyen sz´amot, mondjuk az (r + is) ´es a (p + iq) sz´amokat. A szab´alyok szerint ekkor a www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

385

22.5. Komplex sz´ amok

k¨ovetkez˝oket kapjuk: (r + is)(p + iq) = rp + r(iq) + (is)p + (is)(iq) = = rp + i(rq) + i(sp) + (ii)(sq) = (rp − sq) + i(rq + sp).

(22.4)

(22.4)-ben felhaszn´altuk, hogy ii = i2 = −1. Az elmondottak ´ertelm´eben a (22.1) szab´alyokat kiel´eg´ıt˝o minden sz´am ilyen matematikai alakba ´ırhat´o. Az olvas´o elgy¨ot¨orten fels´ohajt: Ez ´ıgy mehet a v´egtelens´egig! M´ar ” defini´altuk az imagin´arius hatv´anyokat ´es minden egyebet, s amikor m´ar azt hissz¨ uk, k´eszen vagyunk, el˝o´all valaki egy m´asik megoldhatatlan egyen´ akkor megint lettel, p´eld´aul olyannal, mint az x6 + 3x2 = −2 egyenlet. Es csak ´altal´anos´ıtanunk kell!” Az igazs´ag azonban az, hogy ezzel a −1 n´egyzetgy¨ok´ere vonatkoz´o egyetlen tov´ abbi felismer´essel minden algebrai egyenlet megoldhat´ o! Furcsa, de ´ıgy van. Ennek bizony´ıt´as´at m´ar a matematikak¨onyveknek kell ´atengedn¨ unk, mert b´ar a bizony´ıt´asok nagyon sz´epek ´es ´erdekesek, semmi esetre sem mag´at´ol ´ertet˝od˝oek. Val´oj´aban az lenne a legk´ezenfekv˝obb, hogy u ´jb´ol ´es u ´jb´ol fel kell fedezn¨ unk valamit. A legnagyobb csoda, hogy ez m´egsem ´ıgy van. Ez volt az utols´o felfedez´es. A komplex sz´amok feltal´al´asa” ut´an kider¨ ult, hogy a szab´alyok m´eg ” ezekre a sz´amokra is igazak, s ezzel v´eg´ere is ´ert¨ unk a felfedez´eseknek. B´armely komplex sz´amot komplex hatv´anyra tudunk emelni, b´armely algebrai alakba ´ırt egyenletet meg tudunk oldani a m´ar ismert szimb´olumok v´eges sz´am´ u kombin´aci´oj´aval. uveletek m´ar nem vezetnek sem√ Ezek a m˝ mif´ele u ´jfajta sz´amhoz. A i feladatnak p´eld´aul meghat´arozott eredm´enye van, ´es ez nem valami u ´j mennyis´eg, hanem ugyan´ ugy, mint ii ´ert´ekei is, komplex sz´am. A k¨ovetkez˝okben r´eszletesebben besz´el¨ unk err˝ol. A komplex sz´amok szorz´as´ar´ol m´ar volt sz´o, az ¨osszead´as szint´en egyszer˝ u: k´et komplex sz´am, (p+iq) ´es (r+is) o¨sszege (p+r)+i(q+s). Persze, m´eg h´atra van a nehezebbik probl´ema: a komplex sz´ amok komplex hatv´ anyainak kisz´ am´ıt´ asa. Kider¨ ul, hogy l´enyeg´eben ez sem bonyolultabb, mint a val´os sz´amok komplex hatv´any´anak kisz´am´ıt´asa. Pr´ob´alkozzunk csak meg 10 valamely komplex hatv´any´anak, nem egyszer˝ uen egy irracion´alis hatv´any´anak, hanem, mondjuk, 10(r+is) -nek a kisz´am´ıt´as´aval. Term´eszetesen mindv´egig a (22.1) ´es (22.2) szab´alyokat kell alkalmaznunk. Ezek szerint: 10(r+is) = 10r · 10is .

(22.5) 10r -t,

M´ar tudjuk, hogyan kell kisz´am´ıtani k´et tagot mindig o¨ssze tudunk is szorozni, ez´ert tulajdonk´eppen csak 10 kisz´am´ıt´asa probl´ema. Jel¨olj¨ uk a felt´etelezett v´egeredm´enyt valamilyen x + iy komplex sz´ammal. Ekkor www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

386

22. Algebra

a feladat: adott s mellett x ´es y kisz´am´ıt´asa. Ha m´armost 10is = x + iy, akkor ezen egyenlet komplex konjug´altj´anak is igaznak kell lennie: 10−is = x − iy. (L´athat´o, hogy szab´alyaink alkalmaz´as´aval bizonyos dolgokra k¨ovetkeztetni tudunk an´elk¨ ul, hogy t´enylegesen kisz´am´ıtan´ank ˝oket.) A k´et sz´am egym´assal val´o szorzat´ab´ol ism´et egy ´erdekes dologra k¨ovetkeztethet¨ unk: 10is 10−is = 100 = 1 = (x + iy)(x − iy) = x2 + y 2 .

(22.6)

Teh´at ha x-et megtal´altuk, akkor y-t m´ar k¨onny˝ u meghat´arozni. De k´erd´es: hogyan sz´amoljuk ki 10-nek egy k´epzetes hatv´any´at? Mi szolg´alhat vez´erfon´alul? Megpr´ob´alhatjuk a m´ar ismert szab´alyainkat alkalmazni, de azokkal itt nem sokra megy¨ unk. A megold´ashoz a k¨ovetkez˝o ´eszrev´etel seg´ıt hozz´a: ha 10is ´ert´ek´et b´armely adott s mellett ki tudjuk sz´am´ıtani, akkor tetsz˝oleges s-re is ki tudjuk sz´am´ıtani. Ha 10is ´ert´ek´et tetsz˝oleges s-re m´ar ismerj¨ uk, akkor az eredm´enyt n´egyzetre kell emelni, s ´ıgy tov´abb. De hogyan lehet 10-nek legal´abb egy k´epzetes hatv´any´at kisz´amolni? Ehhez m´eg egy felt´etelez´esre van sz¨ uks´eg¨ unk, amely persze kor´antsem lesz egyenrang´ u a (22.1) ´es (22.2) szab´alyokkal, de ´eszszer˝ u eredm´enyekre vezet ´es lehet˝ov´e teszi, hogy tov´abbl´epj¨ unk: kis hatv´anykitev˝ok eset´en felt´etelezhetj¨ uk, hogy a 10ε = 1+2, 3025ε t¨orv´eny” nemcsak ” val´os, hanem komplex ε-okra is igaz, ha ε el´eg kicsiny. Ezzel a felt´etelez´essel a k´erd´eses hatv´anyra a k¨ovetkez˝ot kapjuk: 10is = 1 + 2, 3025is ha s → 0. Teh´at felt´etelezz¨ uk, hogy ha s nagyon kicsiny, mondjuk, 1/1024, is akkor 10 -re nagyon j´o k¨ozel´ıt´est kapunk. Most egy t´abl´azatot ´all´ıtunk ¨ossze, amelynek seg´ıts´eg´evel 10 ¨ osszes k´epzetes hatv´anyait vagyis x-et ´es y-t is ki tudjuk sz´am´ıtani. A k¨ovetkez˝ok´eppen j´arunk el: Az els˝o hatv´anykitev˝o, amelyen a sz´amol´ast elkezdj¨ uk, 1/1024, ´es felt´etelezz¨ uk, hogy 10-nek ezen hatv´anya igen k¨ozel 1 + 2, 3025i/1024-gyel egyenl˝o. Vagyis 10i/1024 = 1, 00000 + 0, 0022486i

(22.7)

az els˝o hatv´any a t´abl´azatunkban, ´es ha ezt a sz´amot ¨onmag´aval megszorozzuk, akkor 10-nek egyre magasabb fok´ u k´epzetes hatv´any´at kapjuk. Azaz egyszer˝ uen megford´ıthatjuk azt az elj´ar´ast, amellyel logaritmust´abl´ankat ´all´ıtottuk ¨ossze, ´es (22.7)-nek a 2., 4., 8. stb. hatv´anyait kisz´am´ıtva ´ rendre megkaphatjuk a 22.3. t´abl´azatban felt¨ untetett ´ert´ekeket. Erdemes felfigyelni egy ´erdekes k¨or¨ ulm´enyre: az x-ek eleinte pozit´ıvak, de k´es˝obb ´atcsapnak negat´ıv ´ert´ekekbe. Ezt r¨ovidesen r´eszletesebben is megvitatwww.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

387

22.5. Komplex sz´ amok

hatv´ any is i/1024 i/512 i/256 i/128 i/64 i/32 i/16 i/8 i/4 i/2 i/1 ∗

1024s 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024

10is 1, 00000 + 0, 00225i∗ 1, 00000 + 0, 00450i 0, 99996 + 0.00900i 0, 99984 + 0, 01800i 0, 99936 + 0, 03599i 0, 99742 + 0, 07193i 0, 98967 + 0, 14349i 0, 95885 + 0, 28402i 0, 83872 + 0, 54467i 0, 40679 + 0, 91365i −0, 66928 + 0, 74332i

0, 0022486i-nek kell lennie

22.3. t´ abl´ azat. 10i/1024 = 1 + 0, 0022486i egym´ ast k¨ ovet˝ o n´egyzetei

juk, el˝osz¨or azonban arra vagyunk k´ıv´ancsiak, hogy s mely ´ert´ek´en´el v´alik 10is val´os r´esze z´eruss´ a. Ha x = 0, akkor y = 1, ´es ´ıgy 10is = 1i, vagy m´ask´epp is = lg i lesz. Sz´am´ıtsuk ki a 22.3. t´abl´azat seg´ıts´eg´evel lg i ´ert´ek´et ugyan´ ugy, mint el˝oz˝oleg lg 2 ´ert´ek´et. Ez mintegy p´eld´aul szolg´al, hogyan is kell ezt a t´abl´azatot alkalmazni. A 22.3. t´abl´azat mely sz´amait kell o¨sszeszoroznunk, hogy tiszta k´epzetes eredm´enyt kapjunk? N´emi pr´ob´alkoz´as r´ev´en r´aj¨ov¨ unk, hogy ha x-et min´el jobban le akarjuk cs¨okkenteni, akkor a legjobb 512”-t ´es 128”-at ” ” uk, ¨osszeszorozni. Az eredm´eny 0, 13056+0, 99159i lesz. Ezut´an ´eszrevessz¨ hogy ezt az eredm´enyt egy olyan sz´ammal kell beszorozni, amelynek k´epzetes r´esze kb. azzal a val´os r´esszel egyenl˝o, amelynek v´egs˝o soron z´eruss´a kell v´alnia. 64”-et v´alasztjuk, melynek y k´epzetes r´esze 0,14349, mert ” a t´abl´azatunkban lev˝o 0,13056-hoz ez a legk¨ozelebb es˝o sz´am. A 64”” gyel val´o szorz´as eredm´enye −0, 01308 + 1, 00008i. Ezzel azonban t´ ull˝ott¨ unk a c´elon, s ´ıgy az eredm´enyt osztanunk kell (0, 99996 + 0, 00900i)-vel, ´ Hogyan kell az oszt´ast elv´egezni? Ugy, hogy i el˝ojel´et megv´altoztatjuk, ´es (0, 99996 − 0, 00900i)-vel szorzunk (ez rendj´en van, ha x2 + y 2 = 1). Az elj´ar´ast ilyen m´odon tov´abb folytatva azt tal´aljuk, hogy a teljes hatv´anykitev˝o, amire 10-et emeln¨ unk kell, hogy eredm´eny¨ ul i-t kapjunk: i(512 + 128 + 64 − 4 − 2 + 0, 20)/1024, vagyis 698, 20i/1024. Ha 10-et erre a hatv´anyra emelj¨ uk, eredm´eny¨ ul i-t kapunk. Ez´ert lg i = 0, 068184i. www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

388

22. Algebra

22.6. K´ epzetes hatv´ anykitev˝ ok Tov´abbhaladva a k´epzetes hatv´anyra emel´es t´argyal´as´aban, most vizsg´aljuk meg k¨ozelebbr˝ol 10 egym´ as ut´ ani hatv´ anyait, m´egpedig u ´gy, hogy nem folytatjuk tov´abb a 22.3. t´abl´azatot, ahol 10 hatv´anyait sorra megk´etszerezhetn´enk. Tov´abb´a n´ezz¨ uk meg, mi t¨ort´enik azokkal a bizonyos el˝ojelekkel. A 22.4. t´abl´azatban 10-nek i/8-adik, s annak egym´as ut´ani eg´esz sz´amokkal val´o szorzat´ara emelt hatv´anyait t¨ untett¨ uk fel. A t´abl´azatb´ol l´athat´o, hogy x cs¨okken, ´athalad z´eruson, majd csaknem −1-ig t´er ki (ha p = 10 ´es p = 11 k¨oz¨otti ´ert´ekeket is vizsg´aln´ank, akkor nyilv´anval´oan el´ern´e a −1 ´ert´eket), majd ism´et ellenkez˝o ir´anyba tart. y ´ert´eke szint´en el˝osz¨or cs¨okken, majd n˝o. p = hatv´ anykitev˝o · 8i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 16 18 20 22 24

10ip/8 1, 00000 + 0, 00000i 0, 95882 + 0, 28402i 0, 83867 + 0, 54465i 0, 64944 + 0, 76042i 0, 40672 + 0, 91356i 0, 13050 + 0, 99146i −0, 15647 + 0, 98770i −0, 43055 + 0, 90260i −0, 66917 + 0, 74315i −0, 85268 + 0, 52249i −0, 96596 + 0, 25880i −0, 99969 − 0, 02620i −0, 95104 − 0, 30905i −0, 62928 − 0, 77717i −0, 10447 − 0, 99453i +0, 45454 − 0, 89098i +0, 86648 − 0, 49967i +0, 99884 + 0, 05287i +0, 80890 + 0, 58836i

22.4. t´ abl´ azat. 10i/8 egym´ ast k¨ ovet˝ o hatv´ anyai

A 22.1. ´abr´an a pontok a 22.4. t´abl´azatban szerepl˝o sz´amjegyeknek felelnek meg, a vonalakat csak a szeml´eletess´eg kedv´e´ert h´ uztuk meg. L´atis juk, hogy az x ´es y ´ert´ekek oszcill´alnak; 10 ¨ onmag´ at ism´etli (periodikus f¨ uggv´eny), ez´ert magyar´azata egyszer˝ u. Hiszen ha egy adott hatv´any i-vel www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

389

22.6. K´epzetes hatv´ anykitev˝ ok

egyenl˝o, akkor negyedik hatv´anya i2 n´egyzete, ´es ez ism´et +1. Ez´ert, mivel 100,68i = i negyedik hatv´anya, 102,72i = +1. Ha teh´at p´eld´aul 105,00i ´ert´ek´et akarjuk megtudni, mint 102,72i ´es 100,28i szorzat´at ´ırhatjuk fel. M´as sz´oval, 10 k´epzetes hatv´anyai periodikusak, a hatv´anyok ´ert´eke ism´etl˝odik. Nem neh´ez felismerni, mire hasonl´ıtanak ezek a g¨orb´ek! Olyanok, mint a szinusz- ´es a koszinuszg¨orb´ek, ez´ert egyel˝ore algebrai szinusznak, ill. koszinusznak nevezz¨ uk ˝oket. Azonban a tizes alapot elhagyva, az adatokat ´at´ırjuk a term´eszetes alapra. Ezzel csup´an a v´ızszintes sk´al´at v´altoztatjuk meg, a 2, 3025i kifejez´est t-vel jel¨olj¨ uk, ´es 10is helyett eit -t ´ırunk, hol t val´os sz´am. Teh´at eit = x + iy, ´es ezt a sz´amot u ´gy ´ırjuk fel, mint t algebrai koszinusz´anak ´es i-szeres algebrai szinusz´anak ¨osszeg´et: eit = cos t + isin t.

(22.8)

Milyen tulajdons´agai vannak cos t-nek ´es sin t-nek? El˝osz¨or is tudjuk, hogy x2 + y 2 = 1 kell legyen. Ezt m´ar el˝oz˝oleg bebizony´ıtottuk, s ´eppoly igaz e alapra, mint 10-es alapra vonatkoz´oan. K¨ovetkez´esk´eppen cos2 t + sin2 t = 1. Azt is tudjuk, hogy kis t-re eit = 1 + it, ez´ert cos t ≈ 1, m´ıg sin t ≈ t. A k´epzetes hatv´anyoz´asb´ol sz´armaz´o f¨ uggv´enyek ¨ osszes tulajdons´ agai azonosak a trigonometria szinusz- ´es koszinuszf¨ uggv´enyeinek tulajdons´ agaival. 1

10 is = x

iy

1.5

2.0

y

y 0.5 0.5

1.0

2.5

3.0 s

r

y

θ x

x

0.5 1

22.1. a ´bra.

x

22.2. a ´bra. x + iy = reiϕ

K´erd´es, vajon azonos-e a k´et peri´odus? Tal´aljuk ki, hogy e milyen hatv´anya egyenl˝o i-vel. Mi i-nek e alap´ u logaritmusa? Ezt m´ar el˝oz˝oleg kidolgoztuk, 10-es alapra vonatkoz´olag 0, 68184i volt, de amikor a logaritmussk´al´at e-re v´altoztattuk, akkor 2,3025-tel kellett szoroznunk, ´es ´ıgy az eredm´eny 1,570. Ezt fogjuk algebrai π/2-nek” nevezni. L´athat´o ” m´odon ez a k¨oz¨ons´eges π/2-t˝ol csak az utols´o jegyben k¨ ul¨onb¨ozik, ami nyilv´an sz´amol´asi hiba k¨ovetkezm´enye! Teh´at puszt´an algebrai u ´ton k´et u ´j f¨ uggv´enyt, koszinusz- ´es szinuszf¨ uggv´enyeket ´all´ıtottunk el˝o, amelyek az algebr´ahoz, ´es csakis az algebr´ahoz tartoznak. V´eg¨ ul r´a´ebred¨ unk arra, hogy ´eppen a geometri´aban oly megszokott f¨ uggv´enyeket fedezt¨ uk fel. www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

390

22. Algebra

S ´ıgy v´egs˝o soron ¨osszef¨ ugg´est fedezt¨ unk fel az algebra ´es a geometria k¨oz¨ott. ¨ Osszegezve teh´at, a matematika egyik legfigyelemrem´elt´obb ¨osszef¨ ugg´ese a k¨ovetkez˝o: eiϕ = cos ϕ + i sin ϕ.

(22.9)

Ez a k´eplet a fejezet elej´en eml´ıtett, igen becses szellemi dr´agak˝o”. ” ¨ Osszekapcsolhatjuk a geometri´at az algebr´aval, ha a komplex sz´amokat egy s´ıkon ´abr´azoljuk; a pont v´ızszintes koordin´at´aj´at x, f¨ ugg˝oleges koordin´at´aj´at y hat´arozza meg (22.2. ´abra). Minden x + iy komplex sz´amot ´ıgy ´abr´azolunk. Ha a pontnak az orig´ot´ol sz´am´ıtott t´avols´ag´at r-nek, a v´ızszintes tengellyel bez´art sz¨og´et ϕ-nek nevezz¨ uk, akkor az x+iy kifejeiϕ z´es re alakban ´ırhat´o, ahol az x, y, r ´es ϕ k¨ozti geometriai ¨osszef¨ ugg´est a 22.2. ´abra mutatja. Ezzel teh´at az algebr´at ´es a geometri´at k¨oz¨os egys´egbe foglaltuk. E fejezet elej´en csup´an eg´esz sz´amok ´es a vel¨ uk val´o sz´amol´as alapjainak ismeret´eben m´eg csak kezdetleges fogalmaink voltak az elvonatkoztat´as ´es ´altal´anos´ıt´as mindenhat´o erej´er˝ol. Most m´ar tudjuk, hogy az algebrai t¨orv´enyek” vagy a sz´amok tulajdons´againak – amelyeket a ” (22.1) egyenletek ´ırnak le –, tov´abb´a a ford´ıtott m˝ uveletek (22.2) defin´ıci´oinak felhaszn´al´as´aval nemcsak sz´amokat, hanem olyan hasznos dolgokat is el˝o´all´ıthatunk, mint a logaritmus-, hatv´any- ´es trigonometrikus f¨ ugg´ v´enyt´abl´azatok (mivel ezek val´os sz´amok k´epzetes hatv´anyai). Es mindezt puszt´an a 10-b˝ol, t´ız egym´ast k¨ovet˝o n´egyzetgy¨okvon´as seg´ıts´eg´evel!

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

23. fejezet Rezonancia 23.1. Komplex sz´ amok ´ es a harmonikus rezg˝ omozg´ as Ebben a fejezetben folytatjuk a harmonikus oszcill´ator t´argyal´as´at, k¨ ul¨on¨os tekintettel a k´enyszerrezg´est v´egz˝o harmonikus oszcill´atorra. Az anal´ızis c´eljaira azonban u ´j sz´am´ıt´asi m´odszereket kell alkalmaznunk. Az el˝oz˝o fejezetben m´ar bevezett¨ uk a komplex sz´amokat, amelyek val´os ´es k´epzetes r´eszb˝ol ´allanak, s amelyeket grafikusan is lehet ´abr´azolni. A sz´am val´os r´esz´et az abszcissza, k´epzetes r´esz´et pedig az ordin´ata ´abr´azolja. Ha a komplex sz´am, akkor a = ar + iai alakban ´ırhat´o, ahol az r index az a sz´am val´os r´esz´et, az i index pedig k´epzetes r´esz´et jel¨oli. A 23.1. ´abr´an l´athatjuk, hogy az a = x + iy komplex sz´amot x + iy = reiϕ alakban is ´ırhatjuk, ahol r2 = x2 + y 2 = (x + iy)(x − iy) = aa∗ . (Itt a∗ az a komplex sz´am konjug´altja, u ´gy kapjuk, hogy a-ban az i el˝ojel´et megv´altoztatjuk.) Teh´at komplex sz´amot k´et alakban ´all´ıthatunk el˝o: vagy egy val´os plusz egy k´epzetes r´eszb˝ol, vagy pedig megadhatjuk a nagys´ag´at (abszol´ ut ´ert´ek´et) ´es az u ´gynevezett ϕ f´azissz¨og´et. Ha r ´es ϕ adott, akkor x ´es y nyilv´anval´oan r p cos ϕ ´es r sin ϕ, ´es ford´ıtva, x+iy alakban megadott komplex sz´amb´ol r = x2 + y 2 ´es tan ϕ = y/x; azaz a k´epzetes ´es a val´os r´esz h´anyadosa. A k¨ovetkez˝o fog´as seg´ıts´eg´evel a Képzetes tengely komplex sz´amokat mindj´art alkala mazni is tudjuk fizikai jelens´egek vizsg´alat´ara. Vegy¨ uk p´eld´aul a rezr y g˝o rendszereket. A rezg´esben szerepet j´atszhat k´enyszerer˝o is, amelyet x Valós tengely valamilyen ´alland´oszor cos ωt alak´ u f¨ uggv´eny ´ır le. M´armost ilyen F = 23.1. a ´bra. Egy komplex sz´ am a komplex s´ıkon” ponttal a ´br´ azolhat´ o F0 cos ωt alak´ u er˝ot az F = F0 eiωt ” komplex sz´am val´os r´eszek´ent is le lehet ´ırni, mivel eiωt = cos ωt + i sin ωt. Ezt az´ert csin´aljuk ´ıgy, mert exponenci´alis f¨ uggv´ennyel sokkal k¨onnyebb sz´amolni, mint koszinuszf¨ ugv´ennyel. Az eg´esz tr¨ ukk teh´at abb´ol ´all, hogy a rezg´est le´ır´o f¨ uggv´enyeinket bizonyos komplex f¨ uggv´enyek val´os r´eszeinek tekintj¨ uk. Az ´ıgy defini´alt F komplex sz´am nem valamilyen val´odi fizikai er˝o, mivel a fizik´aban komplex er˝ok nincsenek; a val´odi er˝oknek nincs k´epzetes, csak val´os r´esz¨ uk. M´egis besz´elni fogunk az F0 eiωt er˝o” www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

392

23. Rezonancia

r˝ol”, de k¨ozben ne feledj¨ uk, hogy a t´enyleges er˝on ennek a kifejez´esnek a val´ os r´esz´et ´ertj¨ uk. Tekints¨ unk m´eg egy p´eld´at. T´etelezz¨ uk fel, hogy olyan koszinuszhull´amot akarunk le´ırni, amelynek f´azisk´es´ese ∆. Ez nyilv´an az F0 ei(ωt−∆) val´os r´esze, de mivel exponenci´alis f¨ uggv´enyr˝ol van sz´o, ei(ωt−∆) = eiωt e−i∆ alakban ´ırhatjuk. Az exponenci´alisok algebr´aja sokkal k¨onnyebb, mint a sz´ınuszok´e ´es koszinuszok´e – ´eppen ez´ert el˝ony¨os a komplex sz´amok haszn´alata. Gyakran fogjuk F -et a k¨ovetkez˝o alakban ´ırni: F = F0 e−i∆ eiωt = Fˆ eiωt . (23.1) ˆ Az F f¨ol¨ott lev˝o kis kalap (F ) arra eml´ekeztet benn¨ unket, hogy ez a mennyis´eg u ´gynevezett komplex amplit´ ud´o: Fˆ = F0 e−i∆ . Komplex sz´amok felhaszn´al´as´aval oldjunk meg most egy egyenletet: d2 x kx F F0 + = = cos ωt, (23.2) 2 dt m m m ahol F az oszcill´atort vez´erl˝o k´enyszerer˝o ´es x a kit´er´es. Tegy¨ uk most fel – b´ar lehetetlennek t˝ unik –, hogy x ´es F , tiszt´an matematikai szempontb´ol, val´oban komplex sz´am. Vagyis mind az x, mind az F mennyis´eg egy val´os ´es egy i-vel szorzott k´epzetes r´eszb˝ol ´all. Teh´at, ha a (23.2) egyenletnek komplex sz´amokb´ol ´all´o megold´asa lenne, ´es ezt a megold´ast behelyettes´ıten´enk az egyenletbe, a k¨ovetkez˝oket kapn´ank: d2 (xr + ixi ) k(xr + ixi ) Fr + iFi + = , 2 dt m m ´es ebb˝ol ! d2 xr kxr d2 xi kxi Fr iFi + +i + = + . 2 2 dt m dt m m m Ha k´et komplex sz´am egyenl˝o, val´os ´es k´epzetes r´eszeiknek is egyenl˝oknek kell lenni¨ uk, k¨ovetkez´esk´eppen x val´ os r´esze egy olyan egyenletet el´eg´ıt ki, amelynek a jobb oldal´ an az er˝ o val´ os r´esze ´ all. Hangs´ ulyoznunk kell azonban, hogy ez a val´os ´es k´epzetes r´eszre t¨ort´en˝o sz´etv´alaszt´as ´altal´aban csak line´ aris, azaz olyan egyenletekre ´erv´enyes, ahol x az egyenlet mindk´et tagj´aban az els˝o vagy a nulladik hatv´anyon szerepel. P´eld´aul, ha az egyenlet egy λx2 alak´ u tagot tartalmazna, akkor xr + ixi behelyettes´ıt´es´evel λ(xr + ixi )2 -et kapn´ank. Amikor azonban ezt v´alasztan´ank sz´et, a val´os r´eszre λ(x2r − x2i ), a k´epzetes r´eszre pedig 2iλxr xi ad´odna, teh´at l´atjuk, hogy az egyenlet val´os r´esze nemcsak a λx2r , hanem a −λx2i tagot is tartalmazn´a. Ez esetben teh´at egy xi -t tartalmaz´o ´es a megoldani k´ıv´ant egyenlett˝ol teljesen elt´er˝o egyenletet kapn´ank, azaz a kor´abban bevezetett mesters´eges” xi is szerepelne a fizikai jelent´es˝ u egyenletben. ” www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

23.1. Komplex sz´ amok ´es a harmonikus rezg˝ omozg´ as

393

Pr´ob´aljuk ki most u ´j m´odszer¨ unket egy kor´abban m´ar ismertetett ´es megoldott feladaton, a k´enyszerrezg´est v´egz˝o oszcill´ator probl´em´aj´an. ´ ugy, mint az el˝obb, a (23.2) egyenletet akarjuk megoldani, de ez´ Epp´ uttal a d2 x kx + = Fˆ eiωt (23.3) dt2 m (ahol Fˆ eiωt komplex sz´am) megold´asa r´ev´en. Term´eszetesen x szint´en komplex sz´am lesz, eml´ekezz¨ unk azonban a szab´alyra: hogy a t´enylegesen v´egbemen˝o folyamat le´ır´as´at megkapjuk, a val´os r´eszt kell tekinten¨ unk. Teh´at a (23.3) egyenlet megold´asa r´ev´en pr´ob´aljuk megadni a k´enyszerrezg´es le´ır´as´at (m´as megold´asokr´ol k´es˝obb lesz sz´o). Ez a megold´as ugyanazt a frekvenci´at tartalmazza, mint a (k¨ uls˝o) k´enyszerer˝o. Ezenk´ıv¨ ul rezg´esamplit´ ud´o ´es f´azis szerepel benne, ´es ´ıgy szint´en jellemezhet˝o valamilyen x ˆ komplex sz´ammal, amelynek nagys´aga az x kirezg´est, f´azisa pedig az id˝ok´es´est adja meg (ugyanezek a mennyis´egek jellemzik mag´at az er˝ot is). A tov´abbiakban felhaszn´aljuk az exponenci´alis f¨ uggv´eny csod´alatos tulajdons´ag´at, azt ugyanis, hogy exponenci´alis f¨ uggv´eny differenci´al´asa ut´an a kitev˝o egy r´esze szorz´ov´a v´alik: d(ˆ xeiωt )/dt = iωˆ xeiωt . A m´asodik deriv´altn´al ugyanez ism´etl˝odik meg, u ´jra leker¨ ul egy iω szorz´o, s ´ıgy k¨ozvetlen¨ ul, egyszer˝ u r´an´ez´esre, fel´ırhatjuk az x ˆ-re vonatkoz´o egyenletet: valah´anyszor id˝o szerinti differenci´al´ast kell v´egezn¨ unk, egyszer˝ uen iω-val szorzunk. (A differenci´al´as ´ıgy ´eppoly k¨onnyen elv´egezhet˝o, ak´ar a szorz´as! Line´aris differenci´alegyenletekben az exponenci´alis felhaszn´al´as´anak gondolata csaknem olyan nagy jelent˝os´eg˝ u, mint a logaritmus felfedez´ese, amely a szorz´ast ¨osszead´assal helyettes´ıti.) Ily m´odon egyenlet¨ unk az 2 (iω) x ˆ + (kˆ x/m) = Fˆ /m (23.4) alakot ¨olti (a k¨oz¨os eiωt szorz´oval egyszer˝ us´ıtett¨ unk). Milyen egyszer˝ u! A differenci´alegyenletek k¨ozvetlen¨ ul tiszta algebrai egyenletekk´e alak´ıthat´ok, a megold´ast azonnal fel´ırhatjuk: Fˆ /m x ˆ= , k/m − ω 2 mivel (iω)2 = −ω 2 . Ez a k/m = ω02 helyettes´ıt´essel kiss´e egyszer˝ ubb alakban is fel´ırhat´o: Fˆ x ˆ= . (23.5) 2 m(ω0 − ω 2 ) Term´eszetesen ez a megold´as azonos a kor´abban kapottal, ugyanis m/(ω02 − ω 2 ) val´os sz´am, s ez´ert Fˆ ´es x ˆ f´azissz¨ogei egybeesnek (vagy 180◦ -kal el2 t´ernek egym´ast´ol, ha ω > ω02 ). Err˝ol is volt m´ar sz´o. Az x ˆ abszol´ ut www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

394

23. Rezonancia

´ert´eke, amely a kirezg´es m´ert´ek´et hat´arozza meg, az Fˆ nagys´ag´aval az 1/m(ω02 − ω 2 ) szorz´ot´enyez˝o r´ev´en ´all kapcsolatban, ´es ez igen naggy´a v´alhat, amikor ω nagyon k¨ozel egyenl˝o ω0 -val. Ily m´odon nagyon er˝os v´alaszt” lehet el´erni, ha megfelel˝o ω frekvenci´at alkalmazunk (ha zsineg ” v´eg´ere s´ ulyt er˝os´ıt¨ unk ´es azt ´eppen a megfelel˝o frekvenci´aval l¨okj¨ uk, nagy magass´ag´ u kileng´eseket hozhatunk l´etre). 23.2. Csillap´ıtott k´ enyszerrezg´ es Nos, az eleg´ansabb matematikai m´odszerrel imm´ar megtanultuk elemezni a rezg˝omozg´as probl´em´aj´at. A m´odszer eleganci´aja azonban elhalv´anyul, ha a feladatot t¨ort´enetesen m´as m´odszerekkel is k¨onnyen meg lehet oldani. Az elegancia csak akkor igaz´an szembet˝ un˝o, ha a m´odszert nehezebb probl´em´ak megold´as´ara alkalmazzuk. Oldjunk meg ez´ert egy m´asik, sokkal nehezebb probl´em´at, amely egy´ebk´ent k¨ozelebb is ´all a val´os´aghoz, mint az el˝oz˝o. A (23.5) egyenletb˝ol k¨ovetkezik, hogy ha az ω frekvencia az ω0 -val pontosan egyenl˝o lenne, akkor v´egtelen nagy v´alasz” ad´od” na. Nyilv´anval´oan a val´os´agban ilyen v´egtelen nagy v´alasz” (amplit´ ud´o) ” nincs, mivel korl´atozza sok m´as t´enyez˝o, mint p´eld´aul a s´ url´od´as, amelyet eddig elhanyagoltunk. Most teh´at adjunk hozz´a a (23.2) egyenlethez egy olyan tagot, amely a s´ url´od´ast veszi figyelembe. ´ Altal´aban az ilyen feladatok a s´ url´od´ast le´ır´o tag jellege ´es bonyolults´aga miatt nagyon nehezek. Sok esetben azonban a s´ url´ od´ asi er˝ ot ar´ anyosnak lehet tekinteni a mozg´ o t´ argy sebess´eg´evel. Erre p´elda az olajban vagy s˝ ur˝ u folyad´ekban lassan mozg´o t´argyra hat´o s´ url´od´as. Amikor a t´argy m´eg nyugalomban van, semmilyen er˝o nem hat r´a, menn´el gyorsabban mozog azonban, ann´al gyorsabban kell az olajnak a t´argyat k¨or¨ ul´aramolnia, ann´al nagyobb lesz az ellen´all´as. Felt´etelezz¨ uk teh´at, hogy a (23.2)-ben m´eg egy tag – a sebess´eggel ar´anyos s´ url´od´asi er˝o, Fs = −cdx/dt – is szerepel. A matematikai t´argyal´as sor´an az egyenlet leegyszer˝ us´ıt´ese v´egett el˝ony¨os, ha a c ´alland´ot ink´abb mδ alakban ´ırjuk. Ez pontosan ugyanaz a fog´as, amelyet kor´abban alkalmaztunk, amikor k-t mω02 -tel helyettes´ıtett¨ uk. Egyenlet¨ unk teh´at a k¨ovetkez˝o alakot ¨olti: 2 2 m(d x/dt ) + c(dx/dt) + kx = F, (23.6) 2 illetve a c = mδ ´es k = mω0 helyettes´ıt´esek ´es az m t¨omeggel val´o oszt´as ut´an el˝ott¨ unk ´all a megold´as szempontj´ab´ol legalkalmasabb alak: 2 (d x/dt2 ) + δ(dx/dt) + ω02 x = F/m. (23.6a) Ha δ nagyon kis ´ert´ek, akkor a s´ url´od´as is nagyon kicsi, ha viszont nagy, akkor a s´ url´od´as is nagyon nagy. Hogyan oldjuk meg ezt az u ´j line´aris differenci´alegyenletet? Felt´etelezve, hogy a k´enyszerer˝o F0 cos(ωt+∆)www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

23.2. Csillap´ıtott k´enyszerrezg´es

395

val egyenl˝o, ezt behelyettes´ıthetn´enk a (23.6)-ba, ´es megpr´ob´alhatn´ank az ´ıgy kapott egyenletet megoldani, ehelyett azonban ink´abb u ´j m´odszer¨ uniωt iωt ˆ ket alkalmazzuk. Ennek ´ertelm´eben F -et F e ´es x-et x ˆe val´os r´eszek´ent tekintj¨ uk, ´es ezeket a komplex sz´amokat behelyettes´ıtj¨ uk a (23.6) egyenletbe. A t´enyleges behelyettes´ıt´es nem is nagyon sz¨ uks´eges, mivel r´an´ez´esre is nyilv´anval´o, hogy h i ˆ + δ(iω)ˆ x + ω02 x ˆ eiωt = (Fˆ /m)eiωt . (iω)2 x (23.7) Ha teh´at a (23.6) egyenletet a r´egi, k¨ozvetlen m´odon pr´ob´aln´ank megoldani, val´oban jobban ´ert´ekelni tudn´ank a komplex” m´odszer k¨onnyeds´eg´et. ” Ha mindk´et oldalt eiωt -vel osztjuk, azonnal megkapjuk az oszcill´atornak az Fˆ er˝ore adott x ˆ v´alasz´at”: ” 2 x ˆ = Fˆ /m(ω0 − ω 2 + iδω). (23.8) Ily m´odon x ˆ ism´et Fˆ ´es egy bizonyos mennyis´eg szorzat´aval egyenl˝o. E mennyis´egnek nincs k¨ ul¨on neve, jel¨ol´es´ere sincs fenntartva k¨ ul¨on bet˝ u. A tov´abbiakban R-rel jel¨olj¨ uk: 1 R= m(ω02 − ω 2 + iδω) ´es x ˆ = Fˆ R. (23.9) Az R szorz´ot vagy p + iq, vagy ρeiϑ alakban ´ırhatjuk. Amennyiben ρeiϑ alakban ´ırjuk, n´ezz¨ uk meg, hogy ez l´enyeg´eben mit is jelent. Tudjuk, hogy Fˆ = F0 ei∆ , ´es a t´enyleges F er˝o, az F0 ei∆ eiωt val´os r´esze pedig F0 cos(ωt + ∆). M´armost a (23.9) egyenlet szerint x ˆ = Fˆ R, ´ıgy R-et ρeiϑ alakban ´ırva azt kapjuk, hogy x ˆ = RFˆ = ρeiϑ F0 ei∆ = ρF0 ei(ϑ+∆) . V´eg¨ ul – kor´abban err˝ol is sz´o volt – meg´allap´ıthatjuk, hogy a fizikai jelent´es˝ u x, a komplex x ˆeiωt val´os r´esze egyenl˝o a ρF0 ei(ϑ+∆) eiωt val´os r´esz´evel. De ρ ´es F0 val´osak, ´es ei(ϑ+∆+ωt) val´os r´esze egyszer˝ uen cos(ωt + ϑ + ∆). K¨ovetkez´esk´eppen: x = ρF0 cos(ωt + ∆ + ϑ).

(23.10)

Ez azt jelenti, hogy a v´alasz” amplit´ ud´oja egyenl˝o az F er˝o egy bizonyos ρ ” nagy´ıt´asi egy¨ utthat´oj´aval, vagyis (23.10) megadja a kirezg´es nagys´ag´at”. ” Az is l´athat´o azonban, hogy x nem rezeg f´azisban az er˝ovel, az er˝o f´azisa ∆, az x-´e azonban egy tov´abbi ϑ mennyis´eggel eltol´odott. K¨ovetkez´esk´eppen ρ ´es ϑ a v´alasz” nagys´ag´at ´es f´aziseltol´od´as´at jelentik. ” Hat´arozzuk meg most a ρ mennyis´eget. Adott komplex sz´am eset´en a sz´am abszol´ ut ´ert´ek´enek n´egyzete a sz´amnak ´es komplex konjug´altj´anak www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

396

23. Rezonancia

szorzat´aval egyenl˝o, azaz ρ2 =

m2 (ω02

−

ω2

1 1 = 2 2 . 2 2 + iδω)(ω0 − ω − iδω) m [(ω − ω02 )2 + δ 2 ω 2 ] (23.11)

Ezenk´ıv¨ ul a f´azissz¨oget is k¨onny˝ u meghat´arozni, mivel az 1 1 = iϑ = (1/ρ)e−iϑ = m(ω02 − ω 2 + iδω) R ρe o¨sszef¨ ugg´esb˝ol l´atjuk, hogy tan ϑ = −δω/(ω02 − ω 2 ).

(23.12)

A m´ınusz jel a tan(−ϑ) = − tan ϑ egyenl˝os´egb˝ol sz´armazik. A ϑ sz¨og ω minden ´ert´ek´en´el negat´ıv, ´es ez megfelel annak, hogy az x elmozdul´as az F er˝oh¨oz k´epest k´esik. A 23.2. ´abra mutatja, hogyan v´altozik ρ2 a frekvencia f¨ uggv´eny´eben. (ρ2 fizikai szempontb´ol ´erdekesebb, mint ρ, mivel ρ2 az amplit´ ud´o n´egyzet´evel, illetve t¨obb´e-kev´esb´e azzal az energi´aval ar´anyos, amelyet a k´enyszerer˝o hoz l´etre az oszcill´atorban.) L´atjuk, hogy ha δ nagyon kicsi, akkor a (23.11)-ben 1/(ω02 − ω 2 )2 a legfontosabb tag, ´es a v´alasz” a v´egtelen ” fel´e tart, amint ω k¨ozeledik ω0 -hoz. Ez a v´egtelen azonban t´enylegesen nem v´egtelen, mivel az ω = ω0 esetben is fennmarad az 1/δ 2 ω 2 tag. A f´aziseltol´as frekvenciaf¨ ugg´ese a 23.3. ´abr´an l´athat´o. ρ2 0° θ –90°

ω0

23.2. a ´bra. A ρ2 mennyis´eg f¨ ugg´ese ω-t´ ol

ω

ω0

ω

–180°

23.3. a ´bra. A ϑ mennyis´eg f¨ ugg´ese ω-t´ ol

Bizonyos k¨or¨ ulm´enyek k¨oz¨ott a (23.8)-t´ol kiss´e elt´er˝o k´epletet kapunk, melyet szint´en rezonanciak´epletnek” neveznek. Azt hihetn´enk, hogy ez ” az el˝oz˝ot˝ol k¨ ul¨onb¨oz˝o jelens´eget ´ır le, de nem ´ıgy van. Arr´ol van sz´o ugyanis, hogy ha δ nagyon kicsi, akkor a rezonanciag¨orbe leg´erdekesebb szakasza ω = ω0 k¨ornyezet´eben lesz, ´es a (23.8)-at itt egy k¨ozel´ıt˝o k´eplettel is helyettes´ıthetj¨ uk, amely nagyon pontos, ha δ kicsi, ´es ha ω k¨ozel egyenl˝o ω0 -val. Mivel ω02 − ω 2 = (ω0 − ω)(ω0 + ω), az´ert ω0 -hoz el´eg k¨ozeli ´ert´ekekre a n´egyzetek k¨ ul¨onbs´ege csaknem 2ω0 (ω0 − ω)-val egyenl˝o, ´es δω www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

397

23.3. Elektromos rezonancia

is helyettes´ıthet˝o δω0 -val. Felhaszn´alva ezeket a k¨ozel´ıt´eseket (23.8)-ban, l´atjuk, hogy ω02 − ω 2 + iδω ≈ 2ω0 (ω0 − ω + iδ/2), s ´ıgy x ˆ≈

Fˆ , 2mω0 (ω0 − ω + iδ/2)

ha

δ  ω0

´es ω ≈ ω0 .

(23.13)

A ρ2 -re vonatkoz´o k´epletet is k¨onny˝ u kisz´am´ıtani: 1 . ρ2 ≈ 4m2 ω02 [(ω0 − ω)2 + δ 2 /4] Az olvas´ora b´ızzuk a k¨ovetkez˝o feladat megold´as´at. Ha a ρ2 (ω) g¨orbe maxim´alis magass´aga egys´egnyi, mekkora lesz a g¨orbe ∆ω sz´eless´ege ott, ahol magass´aga a maxim´alisnak a fele? Bizony´ıtand´o, hogy a g¨orbe ∆ω teljes sz´eless´ege a maxim´alis magass´ag fel´en´el δ-val egyenl˝o, ha δ kicsi. Ez azt jelenti, hogy amint a s´ url´od´asi hat´asok cs¨okkennek, a rezonancia egyre ´elesebb lesz. A rezonanciasz´eless´eg m´asik m´ert´ekek´ent a Q = ω0 /δ-val defini´alt mennyis´eget haszn´alj´ak. Menn´el sz˝ ukebb a rezonancia, ann´al nagyobb Q ´ert´eke, p´eld´aul Q = 1000 olyan rezonanci´at jelent, amelynek sz´eless´ege a frekvenciask´al´anak mind¨ossze ezredr´esze. A 23.2. ´abr´an l´athat´o rezonanciag¨orbe eset´eben Q = 5. A rezonanciajelens´eg az´ert is fontos sz´amunkra, mert gyakran fell´ep m´as k¨or¨ ulm´enyek k¨oz¨ott is. E fejezet h´atralev˝o r´esz´eben n´eh´any ilyen jelens´eg le´ır´as´at adjuk. 23.3. Elektromos rezonancia A rezonancia legegyszer˝ ubb ´es legsz´elesebb m˝ uszaki alkalmaz´asi lehet˝os´egei az elektromoss´ag ter¨ ulet´en tal´alhat´ok, ahol nagysz´am´ u alkatr´eszt kapcsolnak ¨ossze elektromos ´aramk¨or¨okk´e. Bizonyos alkatr´eszeket passz´ıv ´ aramk¨ ori elemeknek nevez¨ unk. H´arom f˝o t´ıpust k¨ ul¨onb¨oztet¨ unk meg, noha tulajdons´agaik kiss´e vegyesek”. Miel˝ott r´eszletesen le´ırn´ank ˝oket, je” gyezz¨ uk meg, hogy a rug´ora f¨ uggesztett t¨omegre mint mechanikai oszcill´atorra vonatkoz´o elk´epzel´es¨ unk csup´an k¨ozel´ıt´es. A t¨omegben” val´oj´aban ” nincs bes˝ ur´ıtve a rendszer teljes t¨omege, ugyanis a rug´onak szint´en van bizonyos tehetetlen t¨omege. Hasonl´ok´eppen a rug´o sem csup´an mag´ab´ol a rug´ob´ol” ´all; a t¨omeg sem abszol´ ut merev test – b´ar annak l´atszik ” –, hanem szint´en van egy kis rugalmass´aga. Amint fel-le mozog a rug´o h´ uz´oerej´enek hat´as´ara, mindig meghajlik” kiss´e. Ugyanez igaz az elektro” moss´agra is. Csak bizonyos k¨ozel´ıt´essel csoportos´ıthatjuk az alkatr´eszeket tiszta, idealiz´alt ´aramk¨ori elemekk´e”. Mivel most k¨ ul¨on nem foglalkozha” www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

398

23. Rezonancia

tunk a k¨ozel´ıt´es probl´em´aj´aval, egyszer˝ uen felt´etelezz¨ uk, hogy az az adott k¨or¨ ulm´enyek k¨oz¨ott lehets´eges. L´assuk teh´at az ´aramk¨ori elemek h´arom f˝o t´ıpus´at. Az els˝o a kondenz´ ator (23.4. ´abra), p´eld´aul k´et, egym´ast´ol nagyon kis vastags´ag´ u szigetel˝or´eteggel elv´alasztott s´ık f´emlemez. Amikor a lemezek elektromosan fel vannak t¨oltve, k¨oz¨ott¨ uk bizonyos fesz¨ ults´eg, azaz potenci´alk¨ ul¨onbs´eg l´ep fel. Ugyanez a potenci´alk¨ ul¨onbs´eg ´all fenn az A ´es B pontok k¨oz¨ott is, mivel ha az ¨osszek¨ot˝o vezet˝ok ment´en tov´abbi potenci´alk¨ ul¨onbs´eg is volna, a t¨olt´es elfolyna a vezet˝ok ment´en. Teh´at a lemezek k¨oz¨ott bizonyos U fesz¨ ults´egk¨ ul¨onbs´eg jelenik meg, ha rajtuk bizonyos +q, ill. −q elektromos t¨olt´es van. A lemezek k¨oz¨ott elektromos t´er keletkezik. Kor´abban, a 13. ´es 14. fejezetben m´ar k´epletet is kaptunk U -ra:1 U = σd/ε0 = qd/ε0 A, (23.14) ahol d a lemezek k¨oz¨otti t´avols´ag ´es A a lemezek ter¨ ulete. Vegy¨ uk ´eszre, hogy a potenci´alk¨ ul¨onbs´eg a t¨olt´es line´aris f¨ uggv´enye. Ha nem p´arhuzamos lemezekr˝ol, hanem m´asmilyen alak´ u, szigetelt elektr´odokr´ol van sz´o, a potenci´alk¨ ul¨onbs´eg ugyan´ıgy pontosan ar´anyos a t¨olt´essel, de az ar´anyoss´agi t´enyez˝ot m´ar esetleg nem olyan k¨onny˝ u kisz´am´ıtani. Mi itt el´egedj¨ unk meg azzal, hogy a kondenz´ator kapcsai k¨oz¨otti potenci´alk¨ ul¨onbs´eg a t¨ olt´essel ar´ anyos: U = q/C; az ar´anyoss´agi t´enyez˝o 1/C, ahol C a t´argy kapacit´ asa. Az ´aramk¨ori elemek m´asik fajt´aC A E ja, az ellen´ all´ as a nev´et onnan kapq ta, hogy az ilyen elem ellen´all´ast fejt q ki a rajta ´atfoly´o ´arammal szemben. Kider¨ ul, hogy a f´emsz´al ´es sok m´as B D F Kondenzátor Ellenállás Tekercs anyag a k¨ovetkez˝o m´odon ´allnak ellen az ´aramnak: ha ilyen anyagda23.4. a ´bra. A h´ arom passz´ıv a ´ramk¨ ori rab v´egpontjai k¨oz¨ott fesz¨ ults´egk¨ uelem l¨onbs´eg van, akkor az anyagban I = dq/dt ´aram l´ep fel, amely ar´anyos a fesz¨ ults´egk¨ ul¨obs´eggel: U = RI = Rdq/dt. (23.15) Az R ar´anyoss´agi t´enyez˝ot nevezz¨ uk ellen´ all´ asnak. Az o¨sszef¨ ugg´est val´osz´ın˝ uleg m´ar j´ol ismerik az olvas´ok, ugyanis ez Ohm t¨orv´enye. Ha egy kondenz´atoron lev˝o q t¨olt´est megfeleltet¨ unk egy mechanikai rendszer x elmozdul´as´anak, akkor az I = dq/dt ´aram a sebess´egnek, az 1/C ar´anyoss´agi t´enyez˝o a k rug´o´alland´onak, R pedig az mδ ellen´all´a´ si egy¨ utthat´onak felel meg. Erdekesebb, hogy l´etezik a t¨ omeggel anal´og ´aramk¨ori elem is! Ez a tekercs, melynek belsej´eben, ha rajta ´aram folyik 1

L. a 262. oldalt, ahol U helyett ∆ϕ van. (A szerk.)

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

23.3. Elektromos rezonancia

399

kereszt¨ ul, m´agneses t´er keletkezik. A m´agneses t´er v´altoz´asa viszont a tekercsben dI/dt-vel ar´anyos fesz¨ ults´eget hoz l´etre (a transzform´ator voltak´eppen a tekercs ezen tulajdons´aga alapj´an m˝ uk¨odik). A m´agneses t´er az ´arammal, a tekercsben keltett, u ´gynevezett induk´alt fesz¨ ults´eg pedig az ´aramv´altoz´as sebess´eg´evel ar´anyos: U = LdI/dt = Ld2 q/dt2 .

(23.16)

Az L egy¨ utthat´ot ¨ onindukci´ onak nevezik, ez a mennyis´eg a mechanikai rezg˝o rendszerben szerepl˝o t¨omeg elektromos megfelel˝oje. K´epzelj¨ uk el, hogy a fenti h´aR rom ´aramk¨ori elemet sorbakapcsolL C va, ´aramk¨ort k´esz´ıt¨ unk (23.5. ´abra). Az 1 ´ e s 2 pontok k¨ oz¨ott megjelen˝o V 1 2 fesz¨ ults´eg egy t¨olt´esnek ezen elemeken val´o ´atvitelekor v´egzend˝o mun23.5. a ´bra. Ellen´ all´ asb´ ol, induktivik´aval egyenl˝o, ´es t¨obb r´eszfesz¨ ultt´ asb´ ol ´es kondenz´ atorb´ ol a ´ll´ o elektros´eg ¨osszeg´eb˝ol ´all: nevezetesen az mos a ´ramk¨ or indukci´on, az ellen´all´ason ´es a kondenz´atoron megjelen˝o UL = Ld2 q/dt2 , UR = Rdq/dt ´es UC = q/C r´eszfesz¨ ults´egek ¨osszeg´eb˝ol. Az ¨osszeg az ´aramk¨orre kapcsolt U fesz¨ ults´eggel egyenl˝o: U = d2 q/dt + Rdq/dt + q/C = U (t).

(23.17)

L´atjuk, hogy ez az egyenlet pontosan megfelel a (23.6) mechanikai egyenletnek, ´es nyilv´an pontosan ugyanolyan m´odon lehet megoldani is. Feltessz¨ uk, hogy U (t) oszcill´al: az ´aramk¨orre tiszta szinuszos rezg´est el˝o´all´ıt´o ˆ komplex sz´am alakj´aban ´ırhat´o gener´atort kapcsoltunk. Ekkor U (t) a U ˆ -t meg kell szoroznunk eiωt -vel, fel, de ne feledkezz¨ unk meg arr´ol, hogy U ´es a szorzat val´os r´esz´et kell tekinten¨ unk, hogy megkapjuk a val´odi U -t. Hasonl´oan kezelhetj¨ uk a q t¨olt´est is, ´es ekkor pontosan a (23.8) egyenlet mint´aj´ara fel´ırhatjuk a megfelel˝o egyenletet. q m´asodik deriv´altja (iω)2 qˆ, els˝o deriv´altja (iω)ˆ q . A (23.17) egyenlet teh´at ´atmegy az   1 ˆ, L(iω)2 + R(iω) + qˆ = U C illetve ˆ U qˆ = L(iω)2 + R(iω) + C1 alakba. Az ut´obbi egyenlet m´as alakot is ¨olthet: ˆ U , (23.18) qˆ = L(ω02 − ω 2 + iδω) www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

400

23. Rezonancia

´ Altal´ anos jellemz˝ ok

Mechanikai tulajdons´ agok

Elektromos tulajdons´ agok

F¨ uggetlen v´ altoz´ o F¨ ugg˝ o v´ altoz´ o Tehetetlens´eg Ellen´ all´ as Merevs´eg Rezonancia-frekvencia Peri´ odus J´ os´ agi t´enyez˝ o

Id˝ o (t) Helykoordin´ ata (x) T¨ omeg (m) Csillap´ıt´ asi t´enyez˝ o (c = δm) Rug´ oa ´lland´ o (k) ω02 = k/m p t0 = 2π m/k Q = ω0 /δ

Id˝ o (t) T¨ olt´es (q) Induktivit´ as (L) Ellen´ all´ as (R = δL) [Kapacit´ as]−1 = 1/C ω02 = 1/LC √ t0 = 2π LC Q = ω0 L/R

23.1. t´ abl´ azat

ahol ω02 = 1/LC ´es δ = R/L. Pontosan ugyanazt a nevez˝ot kaptuk, mint a mechanikai probl´em´aban, m´egpedig pontosan ugyanazokkal a rezonanciatulajdons´agokkal! Az elektromos ´es a mechanikai eset k¨oz¨otti anal´ogi´akat a 23.1. t´abl´azatban t¨ untett¨ uk fel. M´eg egy tiszt´an gyakorlati vonatkoz´as´ u megjegyz´est kell tenn¨ unk. Az elektromoss´ag szakirodalm´aban m´as jel¨ol´est haszn´alnak. (El˝ofordul, hogy k¨ ul¨onb¨oz˝o ter¨ uleteken ugyanaz a probl´ema l´enyeg´eben ul¨onb¨oz˝o, √ alig k¨ −1 jel¨ol´es´ere az a haszn´alatos jel¨ol´esek m´egis gyakran k¨ ul¨onb¨oznek!) elektrotechnik´aban i helyett j-t haszn´alnak, mert i-vel az ´aramot kell ˆ ´es Iˆ k¨oz¨otti jel¨olni! Tov´abb´a a m´ern¨ok¨ok sz´ıvesebben dolgoznak az U ˆ ugg´essel, mint az U ´es qˆ k¨oz¨otti ¨osszef¨ ugg´essel, mivel ˝ok ink´abb az ¨osszef¨ el˝obbit szokt´ak meg. Ennek ´ertelm´eben, mivel Iˆ = dˆ q /dt = iˆ ω q, qˆ hely´ebe ˆ egyszer˝ uen I/iω-t helyettes´ıthet¨ unk: ˆ = (iωL + R + 1/iωC)Iˆ = Z I. ˆ U (23.19) A (23.17) egyenletet m´as alakban is fel´ırhatjuk, s ´ıgy m´ar sokkal ismer˝osebb, ugyanis leggyakrabban ilyen alakban tal´alkozunk vele: Z

LdI/dt + RI + (1/C)

t

Idt = U (t).

(23.20)

0

Mindenesetre az U fesz¨ ults´eg ´es az I ´aram k¨oz¨ott olyan ¨osszef¨ ugg´est [(23.19) egyenlet] tal´alunk, amely pontosan megegyezik a (23.18)-cal, kiv´eve az iω-val val´o oszt´ast. Az R+iωL+1/iωC mennyis´eg komplex sz´am. Az ilyen jelleg˝ u komplex sz´amokat oly sokat haszn´alj´ak az elektrotechnik´aˆ ban, hogy k¨ ul¨on neve is van: impedancia, ´es Z-vel jel¨olik. Teh´at (23.19)-et ˆ ˆ ˆ a U = Z I alakban ´ırhatjuk. A m´ern¨ok¨ok az´ert szeretik ezt a formul´at, mert ifj´ ukorukban csak egyen´aram´ u ´arak¨or¨okr˝ol ´es ellen´all´asokr´ol tudtak, s ´ıgy tanult´ak Ohm t¨orv´eny´et: U = IR. Most viszont m´ar sokkal t¨obbet tudnak, ´es v´altakoz´o´aram´ u k¨or¨okkel is foglalkoznak, m´egis azt akarj´ak, www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

401

23.4. Rezonancia a term´eszetben Ciklus/nap 1

2 a

3 a

10 b 5

0

12h 42

12h 00 10h 20

23.6. ´ abra. Az atmoszf´era k¨ uls˝ o gerjeszt´esre adott v´ alasza”. (a) Az elm´e” letileg v´ arhat´ o v´ alasz, ha az atmoszferikus S2 dag´ aly gravit´ aci´ os eredet˝ u; a cs´ ucser˝ os´ıt´es 100 : 1; (b) az M2 dag´ aly megfigyel´ese alapj´ an kapott g¨ orbe. [Munk and McDonald: Rotation of the Earth, Cambridge University Press, 1960]

ˆ = Zˆ I-t ˆ ´ırnak, amelyben hogy az egyenlet form´aja ne v´altozz´ek. Ez´ert U az egyetlen k¨ ul¨onbs´eg az, hogy az ellen´all´ast sokkal bonyolultabb dologgal, komplex sz´ammal helyettes´ıtik. Mereven kitartanak amellett, hogy ˝ok nem tudj´ak haszn´alni a k´epzetes sz´amokra a vil´agon mindenki m´as ´altal elfogadott jel¨ol´est, hanem ink´abb j-t ´ırnak. Csoda, hogy nem ragaszkodnak ahhoz is, hogy a Z bet˝ u helyett R-et ´ırjanak! (Pedig bizony f´elre´ert´es t´amadhat, valah´anyszor ´arams˝ ur˝ us´egr˝ol besz´elnek, mert annak jel¨ol´es´ere is j-t haszn´alnak.2 A tudom´any bonyolults´aga nemegyszer a jel¨ol´esekben el˝ofordul´o neh´ezs´egekkel, a m´ert´ekegys´egek haszn´alat´aval, az ember ´altal kital´alt mesterk´elt megk¨ ul¨onb¨oztet´esekkel kapcsolatos, melyek a term´eszetben nem is l´eteznek.) 23.4. Rezonancia a term´ eszetben Noha az elektromos ´aramk¨or¨okben lej´atsz´od´o rezonanci´at r´eszletesen t´argyaltuk, m´as ter¨ uletekr˝ol sz´amos tov´abbi p´eld´at hozhatn´ank, ´es meg lehetne mutatni, hogy a r´ajuk vonatkoz´o rezonanciaegyenlet alakja minden esetben azonos. A term´eszetben nagyon gyakran rezeg” valami, ´es ilyen ” esetekben gyakran fell´ep a rezonancia jelens´ege is. Egyik el˝oz˝o fejezet¨ unkben m´ar volt err˝ol sz´o, most hadd bizony´ıtsuk is ezt. Ha egy fizikai tansz´ek k¨onyvt´ar´aban a polcokr´ol tal´alomra k¨onyveket emel¨ unk le, k´erd´es, hogy gyors ´atlapoz´assal tal´alunk-e benn¨ uk p´eld´akat a rezonanciaegyenletb˝ol ad´od´o ´es a 23.2. ´abr´anak megfelel˝o g¨orb´ere vonatkoz´oan. Kider¨ ul, hogy a lehet˝o legkisebb sz´am´ u mintav´etel – mondjuk ¨ot-hat k¨onyv – is elegend˝o m´ar annak a bizony´ıt´as´ara, hogy eg´esz sor jelens´eg mutat rezonanci´at. Els˝o k´et p´eld´ank a mechanika ter¨ ulet´ere, k¨oz¨ ul¨ uk az els˝o pedig a nagy m´eretek tartom´any´aba vezet el – a F¨old k¨or¨ uli atmoszf´era rezg´es´er˝ol lesz sz´o. Elk´epzel´eseink szerint a F¨old¨ unket minden oldalr´ol egyenletesen k¨o2

A magyar szabv´ any az a ´rams˝ ur˝ us´eg jel¨ ol´es´ere J-t ´ır el˝ o. ( A szerk.)

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

402

23. Rezonancia

r¨ ulvev˝o g¨ombszer˝ u atmoszf´er´at a Hold vonz´o ereje egyik oldalon kit´ag´ıtja, helyesebben hossz´ uk´as dinnye alakra lap´ıtja sz´ejjel, s ´ıgy a F¨old forg´asa k¨ovetkezt´eben az atmoszf´era fel-le hull´amzik, rezg˝omozg´asban van. Tulajdonk´eppen oszcill´ator”, amelyet a F¨old k¨or¨ ul kering˝o Hold vez´erel. Az er˝o ” b´armilyen, mondjuk x ir´anyba es˝o vet¨ ulet´enek is lesz koszinuszf¨ uggv´eny szerint v´altoz´o komponense, ´es ´ıgy a f¨oldi atmoszf´era v´alasza” a Hold ” ap´aly-dag´alyt kelt˝o vonz´as´ara egy oszcill´atornak valamely periodikus er˝o hat´as´ara bek¨ovetkez˝o szok´asos v´alasz´ahoz” hasonl´o. A 23.6. ´abra b g¨or” b´eje ´abr´azolja az atmoszf´era elm´eletileg v´arhat´o v´alasz´at (az a g¨orbe m´as probl´em´ara vonatkoz´o elm´eleti g¨orbe ugyanabban a k¨onyvben, ahonnan ezt a p´eld´ankat vett¨ uk). Azt gondolhatn´ank, hogy ennek a rezonanciag¨orb´enek csak egyetlen, a F¨old forg´as´anak megfelel˝o frekvenci´aj´ u pontj´at tudjuk meghat´arozni. Ennek a frekvenci´anak k¨ozel´ıt˝oleg 12,42–12 ´or´as peri´odusid˝o (dag´aly k´etszer van naponta) plusz egy r¨ovidebb id˝otartam felel meg (mivel a Hold is kering). De az atmoszferikus dag´alyok nagys´ag´ab´ol ´es k´es´es´eb˝ol, azaz f´ azis´ ab´ ol kisz´am´ıthatjuk mind a ρ, mind a ϑ mennyis´egeket. Ezekb˝ol viszont ki lehet sz´am´ıtani az ω0 -t ´es a δ-t, s ´ıgy az eg´esz g¨orb´et fel lehet rajzolni! Ez bizony az igen szeg´enyes tudom´any p´eld´aja lehetne. K´et sz´amb´ol k´et m´asik sz´amot kapunk, ´es ezen k´et sz´am alapj´an sz´ep g¨orb´et rajzolhatunk fel, amely term´eszetesen ´atmegy azon a ponton, melynek alapj´an a g¨orb´et megszerkesztett¨ uk! E g¨orb´enek azonban nincs semmi haszna, hacsak nem tudunk m´erni valami m´ ast is, ´es ez a geofizik´aban bizony gyakran nagyon neh´ez. Eset¨ unkben azonban volt ilyen m´ as jelens´eg, amelyr˝ol elm´eletileg kimutathat´o, hogy az atmoszf´era ω0 term´eszetes frekvenci´aj´at el˝oid´ezi, ´es ezzel m´erhet˝ov´e teszi. Valamilyen jelens´egnek meg kell zavarnia az atmoszf´er´at, hogy az ω0 frekvenci´aval rezegjen. Egy ilyen igen er˝oteljes zavar egyszer el˝ofordult 1883-ban, amikor kit¨ort a Krakatau-vulk´an ´es a sziget fel´et a leveg˝obe rep´ıtette. Olyan hatalmas robban´as volt, hogy siker¨ ult megm´erni az atmoszf´era rezg´es´enek peri´odusidej´et (10,5 h). A 23.6. ´abr´an l´athat´o g¨orbe alapj´an az ω0 frekvenci´ara 10 h 20 min ad´odik. Ily m´odon v´eg¨ ul is igazolni lehetett az atmoszferikus dag´alyra vonatkoz´o elk´epzel´eseink helyess´eg´et. A k¨ovetkez˝okben az atomi m´eretekben el˝ofordul´o mechanikai rezg´esek t´argyal´as´ara t´er¨ unk ´at. Tekints¨ unk egy n´atriumklorid- (konyhas´o-) krist´alyt, amely k¨ozvetlen¨ ul egym´as mellett elhelyezked˝o n´atrium- ´es kl´orionokb´ol ´all (err˝ol egy kor´abbi fejezetben m´ar volt sz´o). Az ionoknak v´altakozva pozit´ıv ´es negat´ıv elektromos t¨olt´es¨ uk van, ilyen k¨or¨ ulm´enyek k¨oz¨ott a krist´alyban ´erdekes rezg´es l´ephet fel. Ha az o¨sszes pozit´ıv t¨olt´est jobbra, az ¨osszes negat´ıv t¨olt´est pedig balra tudn´ank elmozd´ıtani, majd

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

403

23.4. Rezonancia a term´eszetben 100

Áteresztés (%)

80 60 40 20 0 40

45

50

55

60

65

Hullámhossz mikronban (10– 4 cm)

70

23.7. a ´bra. Infrav¨ or¨ os sug´ arz´ as a ´thalad´ asa v´ekony (0,17 µm) n´ atriumkloridfilmen (Kittel: Bevezet´es a szil´ ard testek fizik´ aj´ aba, M˝ uszaki K¨ onyvkiad´ o, Budapest, 1966)

magukra hagyn´ank ˝oket, az ionok jobbra-balra kezden´enek rezegni: azaz a n´atriumionok r´acsa a kl´orionok´eval mindig ellent´etes ir´anyban mozogna. De hogyan lehet a t¨olt´eseket egym´ast´ol sz´etv´alasztani? Nagyon egyszer˝ uen. Ha a krist´alyt elektromos t´erbe helyezz¨ uk, az a pozit´ıv t¨olt´eseket az egyik oldalra, a negat´ıvakat pedig a m´asik oldalra tolja f´elre! Teh´at k¨ uls˝o elektromos t´er seg´ıts´eg´evel a krist´alyt rezg´esbe lehet hozni. Az ehhez sz¨ uks´eges elektromos t´er frekvenci´aja azonban igen nagy, az infrav¨ or¨ os sug´ arz´ as´enak felel meg! Teh´at infrav¨or¨os f´eny n´atriumkloridban v´egbemen˝o abszorpci´oj´anak m´er´es´evel rezonanciag¨orb´et k´ıs´erelhet¨ unk meg felvenni. Ilyen g¨orbe l´athat´o a 23.7. ´abr´an. Az abszcissza nem frekvencia, hanem hull´amhossz, ez azonban term´eszetesen csak technikai r´eszletk´erd´es, hiszen adott rezg´esre meghat´arozott o¨sszef¨ ugg´es ´all fenn a frekvencia ´es a hull´amhossz k¨oz¨ott. Az abszcissza teh´at val´oj´aban frekvenciask´ala, s a frekvenci´ak k¨oz¨ ul egy bizonyos a rezonanciafrekvenci´anak felel meg. ´ Es mit mondhatunk a rezonanciag¨orbe sz´eless´eg´er˝ol? Mi hat´arozza meg ezt? Sok esetben a g¨orbe sz´eless´ege nem felel meg az elm´eletileg v´arhat´o δ term´eszetes sz´eless´egnek, hanem ann´al nagyobb. A g¨orbe kisz´elesed´es´enek k´et oka lehet. Az egyik az, hogy az ¨osszes oszcill´ator nem azonos frekvenci´aval rezeg. Megt¨ort´enhet ugyanis, hogy a krist´aly bizonyos r´eszeiben fesz¨ ults´egek ´ebrednek, s ezek hat´as´ara a rezg´es frekvenci´aja helyenk´ent k¨ ul¨onb¨oz˝o. A sok rezonanciag¨orbe egym´asra halmoz´odik, l´atsz´olag sz´elesebb g¨orb´et kapunk. A kisz´elesed´es m´asik oka nagyon egyszer˝ u: a frekvenci´at nem mindig lehet el´eg pontosan m´erni. A spektrom´eter r´es´et sz´elesre nyitva azt gondoljuk, hogy csak egyetlen frekvenci´at m´er¨ unk, s megt¨ort´enhet, hogy egy keskeny rezonanciag¨orbe pontos felv´etel´ehez nem elegend˝o a spektrom´eter felbont´ok´epess´ege. A 23.7. ´abr´an felt¨ untetett g¨orb´er˝ol puszt´an r´atekint´essel nem tudjuk eld¨onteni, vajon www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

404

23. Rezonancia

Mágneses energiaveszteség a mintában

Összes nemmágneses veszteség az üregben és a mintában

2,0 1,8 1,6 1,4 1,2 1,0

42 oersted

0,8 0,6 0,4 0,2 0 8100 8200 8300 8400 8500 8600 8700 8800 Sztatikus mágneses tér oerstedekben

23.8. a ´bra. M´ agneses energiavesztes´eg param´ agneses vegy¨ uletben a m´ agneses t´er intenzit´ as´ anak f¨ uggv´eny´eben. (Holden et al., Phys. Rev. 75, 1949, 1614.)

sz´eless´ege term´eszetes-e, vagy a krist´alyban lev˝o inhomogenit´asokb´ol, illetve a spektrom´eter r´es´enek v´eges sz´eless´eg´eb˝ol ad´odott. Tekints¨ unk most egy ravaszabb p´eld´at: a m´agnes kileng´eseit. Ha ´alland´o m´agneses t´erbe m´agnest helyez¨ unk, ´eszaki p´olusa az egyik, d´eli p´olusa pedig a m´asik ir´anyba t´er ki; forgat´onyomat´ek hat r´a, ir´anyt˝ uh¨oz hasonl´oan rezegni kezd egyens´ ulyi helyzete k¨or¨ ul. Jelen esetben azonban a m´agnesek atomok, amelyek impulzusmomentummal rendelkeznek, s ´ıgy a forgat´onyomat´ek nem egyszer˝ uen a m´agneses t´er ir´any´aba mozgatja (´all´ıtja be) ˝oket, hanem precesszi´ ot hoz l´etre. Oldalr´ol n´ezve b´armelyik komponens leng´est” v´egez, amelyet – hogy a csillapod´ast m´erj¨ uk ” – megzavarhatunk vagy vez´erelhet¨ unk. A 23.8. ´abra egy ilyen jellegzetes rezonanciag¨orb´et mutat be. Az a m´od azonban, ahogyan ezt kapt´ak, technikailag egy kicsit k¨ ul¨onb¨ozik az el˝oz˝ot˝ol. A leng´est vez´erl˝o oldalir´any´ u t´er frekvenci´aj´at nem v´altoztatt´ak, noha azt v´arn´ank, hogy a kutat´oknak a g¨orbe felv´etel´ehez ´eppen ezt kellett volna v´altoztatniuk. Technikailag k¨onnyebb volt sz´amukra az ω frekvenci´at ´alland´onak tartani ´es az ´alland´o m´agneses t´erer˝ot v´altoztatni, amely k´eplet¨ unkben az ω0 v´altoz´as´anak felel meg. A rezonanciag¨orb´et teh´at ω0 f¨ uggv´eny´eben vett´ek fel. Mindenesetre ´ıgy is az ω0 ´es δ mennyis´egekkel meghat´arozott tipikus rezonanciag¨orbe ad´odott. www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

405

23.4. Rezonancia a term´eszetben

K¨ovetkez˝o p´eld´ank az atommagokkal kapcsolatos. A protonok ´es neutronok mozg´asa a magokban bizonyos ´ertelemben rezg˝omozg´as, amit a k¨ovetkez˝o k´ıs´erlet seg´ıts´eg´evel lehet kimutatni. Bomb´azzunk protonokkal l´ıtiumatomokat. Azt tapasztaljuk, hogy egy bizonyos – γ-sugarak keletkez´es´evel j´ar´o – reakci´onak nagyon ´erdekes, tipikusan rezonanciag¨orb´ere jellemz˝o maximuma lesz (l´asd a 23.9. ´abr´at). Az ´abr´ara tekintve azonban az el˝oz˝o esethez k´epest k¨ ul¨onbs´eget vesz¨ unk ´eszre; a v´ızszintes tengelyen nem frekvencia-, hanem energiask´ ala van! Ugyanis arr´ol a mennyis´egr˝ol, amelyet a klasszikus fizik´aban energi´anak tekint¨ unk, a kvantummechanik´aban kider¨ ul, hogy val´oj´aban bizonyos hull´am frekvenci´aj´aval van kapcsolatban.

γ-sugarak intenzitása

10

8

6

4

2

300

400 500 Protonenergia, keV

600

23.9. a ´bra. L´ıtiumb´ ol sz´ armaz´ o γ-sugarak intenzit´ asa a bomb´ az´ o protonok energi´ aj´ anak f¨ uggv´eny´eben. Az l = 0 impulzusmomentum´ u protonokra sz´ am´ıtott g¨ orb´et a szaggatott vonal jel¨ oli. (Bonner and Evans, Phys. Rev. 73, 1948, 666.)

Ha valamilyen jelens´eg anal´ızise a k¨oz¨ons´eges makrofizik´aban a frekvenci´aval kapcsolatos, akkor az atomos anyaggal v´egzett kvantummechanikai k´ıs´erletekben azt tal´aljuk, hogy a megfelel˝o g¨orbe az energia f¨ uggv´eny´eben ad´odik. T´enyleg, a 23.9. ´abra g¨orb´ei bizonyos ´ertelemben ennek az ugg´esnek a bizony´ıt´ekai. Azt mutatj´ak, hogy a frekvencia ´es az ener¨osszef¨ gia k¨oz¨ ott van valamilyen m´ely o¨sszef¨ ugg´es, mint ahogyan term´eszetesen van is. Most r´at´er¨ unk egy m´asik, szint´en a mag energiaszintj´evel kapcsolatos p´eld´ara. Ez´ uttal azonban a rezonanciag¨orbe igen keskeny, minden el˝oz˝o g¨orb´en´el keskenyebb. A 23.10. ´abr´an az ω0 mennyis´eg 100 000 eV energi´anak felel meg, a δ sz´eless´eg viszont k¨ozel´ıt˝oleg 10−5 eV, m´as sz´oval Q = 1010 ! A g¨orbe m´er´es´evel siker¨ ult felfedezni minden addig ismertn´el nagyobb j´os´agi t´enyez˝oj˝ u oszcill´atort. A m´er´est M¨ossbauer v´egezte el, munk´ass´aga elismer´es´eu untett´ek ki. A v´ızszintes tengelyen ¨l Nobel-d´ıjjal t¨ sebess´eg van felt¨ untetve, mivel csek´ely frekvenciak¨ ul¨onbs´egek a Dopplereffektus seg´ıts´eg´evel el˝o´all´ıthat´ok u ´gy, hogy a sug´arforr´ast az abszorbenswww.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

406

23. Rezonancia

Δ/ /

–2·10 – 5

0

–4

0

0

2·10 – 5

4·10 – 5 eV 8

4

cm/s

ΔE v

–0.4%

–0.8%

23.10. ´ abra. A γ-sug´ arz´ as abszorpci´ oj´ ara kapott M¨ ossbauer-f´ele g¨ orbe

–1.2%

hez k´epest mozgatjuk. Csak akkor ismerj¨ uk fel igaz´an, hogy milyen finom k´ıs´erletr˝ol van sz´o, amikor l´atjuk, hogy a k´ıs´erletben szerepl˝o sebess´egek n´eh´any cms−1 nagys´agrend˝ uek! Az ´abra l´ept´ek´eben a z´erus frekvencia a v´ızszintes tengelyen balra, 1010 cm t´avols´agra lev˝o pontnak felelne meg – sz´oval aligha f´erne r´a erre a k¨onyvoldalra. (a)

σ (mb)

3

K

π

p→ Λ

π

2

1 0 (b)

σ (mb)

15

K

p → K0

n

10

5 0 200

300 400 P K (MeV/c)

500

23.11. a ´bra. (a) A K − + p → Λ + π + + − ¯ 0 + n reakciπ ´es (b) a K − + p → K o ´k hat´ askeresztmetszet´enek impulzusf¨ ugg´ese. Az (a) ´es (b) a ´br´ an az als´ o g¨ orb´ek a felt´etelezett nem rezonancia eredet˝ u h´ atteret, a fels˝ o g¨ orb´ek pedig ezt ´es a szuperpon´ alt rezonanciaj´ arul´ekot mutatj´ ak (Ferro–Luzzi et al., Phys. Rev. Lett. 8, 1962, 28.)

V´eg¨ ul, ha megn´ezz¨ uk a Physical Review valamelyik sz´am´at, mondjuk az 1962. janu´ar elsejei kiad´ast, tal´alunk-e benne rezonanciag¨orb´et? Minden sz´amban van rezonanciag¨orbe; ennek rezonanciag¨orb´eje a 23.11. ´abr´an l´athat´o. A g¨orbe nagyon ´erdekes. Bizonyos, elemi r´eszecsk´ek k¨oz¨ott lezajl´o reakci´okban – az adott esetben K − -mezon ´es proton k¨olcs¨onhawww.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

23.4. Rezonancia a term´eszetben

407

t´asa sor´an – fell´ep˝o rezonanci´anak felel meg. Azt vizsg´alt´ak, hogy bizonyos t´ıpus´ u r´eszecsk´ek k¨oz¨ ul mennyi keletkezik a reakci´oban, s a rezonanciag¨orbe e vizsg´alat eredm´enyek´eppen ad´odott. Att´ol f¨ ugg˝oen, hogy milyen ´es mennyi r´eszecske keletkezik, k¨ ul¨onb¨oz˝o g¨orb´ek ad´odnak, de a cs´ ucsok helye az energiask´al´an azonos, ´es alakra megegyeznek. Teh´at a K − -mezon meghat´arozott energia´ert´ek´en´el rezonancia l´ep fel. Ez feltehet˝oen azt jelenti, hogy K − -mezonok ´es protonok u ¨tk¨oz´esekor l´etrej¨on egy ennek a rezonanci´anak megfelel˝o ´allapot, vagyis a rezonancia sz´am´ara kedvez˝o k¨or¨ ulm´enyek alakulnak ki. Ez egy u ´j r´eszecske, vagy ha u ´gy tetszik, rezonancia. Ma m´eg nem tudjuk, hogy a g¨orb´ek ilyen kidudorod´asai r´eszecsk´ek” vagy rezonanci´ak. A nagyon ´eles rezonancia nagyon ” pontosan meghat´ arozott energi´ anak felel meg, mintha l´etezne ilyen energi´aj´ u r´eszecske a term´eszetben. Amikor a rezonanciag¨orbe sz´elesebb´e v´alik, nagyon neh´ez megmondani, vajon egy nagyon r¨ovid ´elettartam´ u r´eszecsk´er˝ol, vagy egyszer˝ uen a reakci´oval´osz´ın˝ us´eg rezonanci´aj´ar´ol van-e sz´o.3 A m´asodik fejezetben a rezonanci´akat a r´eszecsk´ekhez soroltuk, amikor azonban a m´asodik fejezet ´ır´odott, akkor sok rezonancia m´eg nem volt ismert, u ´gyhogy az ott k¨oz¨olt elemi r´eszecsk´ek t´abl´azat´at ezekkel m´eg ki kell eg´esz´ıten¨ unk.

3

Az itt eml´ıtett bizonytalans´ ag kik¨ usz¨ ob¨ ol´es´ere elfogadott konvenci´ ok szerint csak olyan kidudorod´ asokat” vagy cs´ ucsokat” tekintenek t´enylegesen r´eszecsk´enek ´es so” ” rolnak be az elemi r´eszek t´ abl´ azat´ aba, amelyeknek m´ as tulajdons´ agai (´ un. kvantumsz´ amai) is egy´ertelm˝ uen meghat´ arozhat´ ok. Kider¨ ult, hogy a cs´ ucsok” t´ ulnyom´ o r´esze ” val´ odi r´eszecsk´enek felel meg. (A ford.)

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

24. fejezet ´ Atmeneti jelens´ egek 24.1. Az oszcill´ ator energi´ aja ´ Noha e fejezet az Atmeneti jelens´egek” c´ımet viseli, egyes r´eszei bizo” nyos ´ertelemben ink´abb a k´enyszerrezg´esekkel foglalkoz´o el˝obbi fejezethez tartoznak. Nem t´argyaltuk ugyanis eddig meg a k´enyszerrezg´esek egyik tulajdons´ag´at: a rezg´es energi´ aj´ at. Besz´elj¨ unk most teh´at err˝ol az energi´ar´ol. Mennyi mozg´asi energi´aja van egy mechanikai oszcill´atornak? Annyit tudunk, hogy a sebess´eg n´egyzet´evel ar´anyos. S ezzel el´erkezt¨ unk egy fontos k´erd´eshez. Tekints¨ unk valamely tetsz˝oleges A mennyis´eget, mely ak´ar sebess´eg, ak´ar b´armilyen m´as vizsg´alni k´ıv´ant mennyis´eg is lehet. ˆ iωt komplex sz´am alakj´aban ´ırjuk fel, az igazi ´es vaHa ezt az A = Ae l´odi, azaz a fizikai A mennyis´eg a komplex sz´amnak csak a val´ os r´esze. K¨ovetkez´esk´eppen, ha valamilyen okn´al fogva az A mennyis´eg n´egyzet´ere vagyunk k´ıv´ancsiak, nem lehet helyes a komplex sz´am n´egyzet´et k´epezni, majd a val´os r´eszt k¨ ul¨on tekinteni, mivel egy komplex sz´am n´egyzet´enek val´os r´esze nem pontosan a val´os r´esz n´egyzete, hanem a k´epzetes r´eszt is tartalmazza. Teh´at ha ki akarjuk sz´am´ıtani az energi´at, ´es fizikai k´epet szeretn´enk kapni az energia´atalakul´asokr´ol, akkor a komplex jel¨ol´est˝ol egy ideig el kell tekinten¨ unk. M´armost a val´odi fizikai A mennyis´eg az A0 ei(ωt+∆) val´os r´esze; azaz A = A0 cos(ωt + ∆), ahol Aˆ komplex sz´amot A0 ei∆ fejezi ki. E fizikai mennyis´eg n´egyzete: A2 = A20 cos2 (ωt + ∆), amely a koszinuszf¨ uggv´eny n´egyzet´ehez hasonl´oan z´erust´ol egy maxim´alis ´ert´ekig v´altozik. A koszinusz n´egyzet´enek maxim´alis ´es minim´alis ´ert´eke 1 ´es 0, ´atlag´ert´eke pedig 1/2. A legt¨obb esetben a rezg´es valamely adott pillanat´ara vonatkoz´o energia nem ´erdekel benn¨ unket, az alkalmaz´asok szempontj´ab´ol elegend˝o csup´an az A2 mennyis´eg k¨oz´ep´ert´ek´et, vagyis A n´egyzet´enek a rezg´es peri´odus´an´al sokkal nagyobb id˝otartamra vett k¨ oz´ep´ert´ek´et ismerni. Ilyen felt´etelek mellet a koszinuszn´egyzet ´atlag´ert´eke haszn´alhat´o, ´es bebizony´ıthatjuk a k¨ovetkez˝o t´etelt: ha A-t komplex sz´am reprezent´alja, akkor A2 k¨oz´ep´ert´eke 21 A20 -tel egyenl˝o. Itt A20 az Aˆ komplex sz´am abszol´ ut ´er2 ˆ alakban, t´ek´enek n´egyzete. Ezt t¨obbf´elek´eppen lehet jel¨olni; egyesek |A| www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

409

24.1. Az oszcill´ ator energi´ aja

ˆ m´asok AˆAˆ∗ alakban (A-nak ´es komplex konjug´altj´anak szorzatak´ent) szeretik ´ırni. A t´etelt a tov´abbiakban t¨obbsz¨or is alkalmazzuk. Tekints¨ uk most a k´enyszerrezg´est v´egz˝o oszcill´ator energi´aj´at. Az ilyen oszcill´atorra vonatkoz´o mozg´asegyenlet: md2 x/dt2 + δmdx/dt + mω02 x = F (t).

(24.1)

Eset¨ unkben nyilv´an F (t) ar´anyos cos ωt-vel. Vizsg´aljuk most meg, hogy mekkora munk´at v´egez az F k¨ uls˝o er˝o. Az er˝o ´altal m´asodpercenk´ent v´egzett munka (azaz a teljes´ıtm´eny) az er˝o ´es a sebess´eg szorzata. (Tudjuk, hogy a dt id˝o alatt v´egzett munka F dx-szel ´es a teljes´ıtm´eny F dx/dt-vel egyenl˝o.) ´Igy dx P =F =m dt

"

dx dt



d2 x dt2

!

+

ω02 x



dx dt

#



+ δm

dx dt

2

.

(24.2)

Mint az egyszer˝ u differenci´al´assal k¨ozvetlen¨ ul igazolhat´o, a jobb oldal els˝o k´et tagj´at a k¨ovetkez˝o alakba lehet ´ırni:   1 1 d/dt m(dx/dt)2 + mω02 x2 . 2 2 A sz¨ogletes z´ar´ojelben lev˝o kifejez´es voltak´epp k´et tag o¨sszeg´enek id˝o szerinti deriv´altja. Ez ´erthet˝o: az els˝o tag a rezg´es mozg´asi energi´aja, a m´asodik tag a rug´o potenci´alis energi´aja. Nevezz¨ uk ezt a mennyis´eget t´ arolt energi´ anak, azaz a rezg´es sor´an felhalmozott energi´anak. Meg akarjuk hat´arozni a sok ciklusra vett ´atlagos teljes´ıtm´enyt, felt´eve, hogy a k´enyszerer˝o m´ar r´eg´ota hat ´es az oszcill´ator folyamatos rezg´esben van. Hossz´ u ideig tart´o rug´oz´as sor´an a t´arolt energia nem v´altozik – id˝o szerinti deriv´altja z´erus ´atlagos teljes´ıtm´enyt szolg´altat. M´as sz´oval, ha ´atlagoljuk a hossz´ u id˝o alatt befektetett teljes´ıtm´enyt, az ¨ osszes energia v´eg¨ ul is felem´eszt˝ odik a δm(dx/dt)2 tag ´ altal le´ırt ellen´ all´ as k¨ ovetkezt´eben. A rezg´es folyam´an ugyan t´arol´odik bizonyos energiamennyis´eg, de ez – sok ciklusra ´atlagolva – id˝oben nem v´altozik. Ez´ert a k¨ozepes hP i teljes´ıtm´eny: hP i = hδm(dx/dt)i2 .

(24.3)

Alkalmazva a komplex ´ır´asm´odot ´es t´etel¨ unket (miszerint = 21 A20 ), a k¨ozepes teljes´ıtm´enyt k¨onnyen kisz´amolhatjuk. Ha x = x ˆeiωt , akkor iωt dx/dt = iωˆ xe . K¨ovetkez´esk´eppen, ilyen felt´etelek mellett a k¨ozepes teljes´ıtm´enyt az al´abbi alakban ´ırhatjuk fel: 1 hP i = δmω 2 x20 . (24.4) 2 Az ´aramk¨or¨okre vonatkoz´o jel¨ ol´es¨ unk szerint dx/dt az I ´arammal helyettes´ıthet˝o (az I nem m´as, mint dq/dt, ahol a q mennyis´eg x-nek felel meg), mδ pedig az R ellen´all´assal helyettes´ıthet˝o. Teh´at az energiaveszhA2 i

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

410

´ 24. Atmeneti jelens´egek

tes´eg u ¨teme – a k´enyszerer˝o ´altal elhaszn´alt teljes´ıtm´eny – egyenl˝o az ´aramk¨orben lev˝o ellen´all´as szorozva az ´aram n´egyzetes k¨oz´ep´ert´ek´evel: 1 hP i = RhI 2 i = R I02 . (24.5) 2 Ezt az energi´at, amely nyilv´anval´oan az ellen´all´as felmeleg´ıt´es´ere ford´ıt´odik, h˝ovesztes´egnek vagy Joule-h˝onek nevezz¨ uk. ´ Erdekes k´erd´es az is, hogy az oszcill´ator mennyi energi´at halmozhat fel. Ez nem t´evesztend˝o ¨ossze az ¨osszes bet´apl´alt energi´aval, mivel b´ar kezdetben az er˝o ´altal kifejtett teljes´ıtm´enyt az oszcill´ator val´oban bizonyos energia t´arol´as´ara haszn´alja, de k´es˝obb m´ar csak olyan m´ert´ekben nyel el energi´at, amilyen m´ert´ekben fell´epnek h˝o- (s´ url´od´asi) vesztes´egek. Az oszcill´ator minden pillanatban pontosan meghat´arozott mennyis´eg˝ u t´arolt energi´aval rendelkezik, ez´ert a t´arolt energia k¨oz´ep´ert´ek´et ki is sz´amolhatjuk. A (dx/dt)2 k¨oz´ep´ert´ek´et m´ar kisz´amoltuk, s ´ıgy hW i-re azt kapjuk, hogy 1 1 1 1 hW i = mh(dx/dt)2 i + mω02 hx2 i = m(ω 2 + ω02 ) x20 . (24.6) 2 2 2 2 Ha az oszcill´ator hat´asfoka elegend˝oen nagy, ´es ha az ω frekvencia k¨ozel van ω0 -hoz, u ´gyhogy |ˆ x| nagy, akkor a t´arolt energia nagyon nagy mennyis´eg˝ u lesz, ´es viszonylag kis er˝o r´ev´en nagy mennyis´eg˝ u energi´at halmozhatunk fel. Az er˝o az oszcill´ator megind´ıt´as´aval nagy munk´at v´egez, de miut´an be´all az egyens´ uly, csup´an a s´ url´od´ast kell legy˝oznie. Az oszcill´ator nagy energi´aval rendelkezhet, ha a s´ url´od´as nagyon kicsi, ´es m´eg er˝os rezg´esek eset´en sem lesz t´ ul sok az energiavesztes´eg. Az oszcill´ator j´os´aga a t´arolt energia nagys´aga ´es az er˝o ´altal peri´odusonk´ent v´egzett munka ¨oszehasonl´ıt´as´aval m´erhet˝o. Mi ez a mennyis´eg – a t´arolt energi´anak az egy peri´odus sor´an v´egzett munka mennyis´eg´ehez val´o ar´anya? Ezt a rendszer Q j´os´agi t´enyez˝oj´enek nevezz¨ uk, a defin´ıci´oja: a t´arolt energia 2π-szerese osztva a peri´odusonk´ent v´egzett munk´aval (amennyiben a peri´odus helyett a radi´ anonk´ent v´egzett munk´at tekintj¨ uk, a 2π elt˝ unik): 1 m(ω 2 + ω02 )hx2 i ω 2 + ω02 Q = 2π 2 = . (24.7) δmω 2 hx2 i2π/ω 2δω A Q jellemz˝o, hacsak ´ert´eke nem nagyon nagy, nem sokat mond a rendszerr˝ol, ha viszont el´eg nagy, akkor az oszcill´ator j´os´ag´anak m´ert´ek´eu ¨l szolg´al. T¨obben megk´ıs´erelt´ek Q-t a legegyszer˝ ubb ´es leghaszn´alhat´obb alakban defini´alni, s b´ar a k¨ ul¨onb¨oz˝o defin´ıci´ok kiss´e elt´ernek, Q nagyon nagy ´ert´ekeire az ¨osszes defin´ıci´o megegyezik. A leg´altal´anosabban elfogadott defin´ıci´o az ω-t´ol f¨ ugg˝o (24.7) egyenlet. Nagy j´os´agi t´enyez˝oj˝ u

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © dr. Bozóky, dr. B. Gombosi, Nagy

Hungarian edition © Typotex Kiadó

24.2. Csillap´ıtott rezg´esek

411

oszcill´ator eset´en a rezonanciafrekvencia k¨ozel´eben (24.7)-et ω = ω0 helyettes´ıt´essel kiss´e egyszer˝ us´ıthetj¨ uk. Ekkor Q = ω0 /δ; vagyis megkaptuk a Q-ra az el˝oz˝o fejezetb˝ol m´ar ismert defin´ıci´ot. Elektromos ´aramk¨orre vonatkoz´oan mi lesz Q defin´ıci´oja? Cs