126 Resume Asserv 2020 [PDF]

Zitiervorschau

Sciences industrielles

Asservissement/résumé

SYSTEMES ASSERVIS LINEAIRES CONTINUS INVARIANTS REPRESENTATION DES SYSTEMES ASSERVIS 1. Transformée de Laplace

L

La transformée de Laplace de la fonction f(t) :

f (t )  L  f (t )  F ( p ) 





f (t ).e  pt .dt

0

telle que f(t)=0 pour t1

 Premier cas (résonance):z˂ Coefficient de surtension : Q

2 2

0,707 1

2.z 1

pulsation de résonance : wr =w 0 1

z2

,

2z 2

Lorsque z→0 , alors wr → w0 et Q →+ ∞

2 z 1 2 Le diagramme d’amplitude ne présente pas de maximum, la courbe réelle reste toujours sous les asymptotes. 2 pour z=  G dB ( w0 )  20 log K  3dB , 2

 Deuxième cas :

La fonction de transfert peut se décomposer en un produit de deux 1er ordre : K . H ( p)  (1  T1. p).(1  T2 . p) Le tracé des diagrammes de Bode est donc la somme graphique des deux tracés du premier ordre. 1 Les deux pulsations de cassure sont w1  et T1 1 w2  . (On suppose dans la suite que T2< T1) T2

et pour z=1  GdB (w0 )  20log K  6dB Chute de gain à w0:

3dB≤20 logK-GdB(w0)≤6dB

z→0 z→1

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IDENTIFICATION 1. Identification fréquentielle On sollicite le système par une entrée de type sinusoïdale dont on fait varier la fréquence. La présence des intégrateurs dans le système est caractérisée par une pente de (-α.20dB/déc) pour le gain et de (-α.90°) pour la phase lorsque (  0) . α : classe du système. Second ordre

Premier ordre

ξ ≥0,7

GdB

ξ 0

-180°

w

Pour augmenter la stabilité, il faut diminuer le gain k. La correction ne permet pas d’améliorer en même temps la stabilité et la précision Pour augmenter proportionnelle la précision, il faut augmenter le gain k. 2.2- Correcteur proportionnel – intégral (PI) : La correction proportionnelle ne 1 permet pasded’améliorer La fonction transfert de en ce même correcteur est : C p  = K(1+ ) Ti .p temps la stabilité et la précision. 1+ Ti .p ) La fonction de transfert du correcteur peut se mettre sous la forme suivante : C p  = K( Ti .p K : gain réglable. Ti : constante de temps d’intégration réglable, elle permet de corriger les risques d’instabilité par apport de w 1 phase, tel que : wco . ( wco : pulsation de coupure de la FTBO non corrigée, en génaral Ti  co ) 10 Ti 1 Le terme ( ) correspond à l’action intégrale en vue d’améliorer la précision. p A stabilité égale, le correcteur proportionnel – intégral améliore la précision CPGE FES / MP & PSI

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Diagramme de Bode du correcteur proportionnel – intégral (PI) GdB

Avantages

Inconvénients

● Diminution du gain à haute fréquence

● Diminution de la bande passante

● amélioration de la précision

-20 dB/dec

20 log(K) w

1/Ti

● Diminution de la rapidité

φ

● Amélioration de la stabilité

1/Ti

● Moins de résonance et meilleur amortissement

w

-45º -90º

Action intégrale

Action proportionnelle

2.3- Correcteur proportionnel - dérivé : PD Diagramme de Bode du correcteur proportionnel – dérivé (PD) GdB La fonction de transfert de ce correcteur est : C p  = K(1+ Td .p)

+20 dB/dec 20 log(K)

K: un gain réglable.

w

1/Td

Td : constante de temps de dérivation, également réglable.

φ

Le premier terme (K) permet de régler la précision. Le deuxième terme (1  Td . p) permet d’assurer la stabilité par

+90 º +45 º

w 1/Td

apport de phase .

Action proportionnelle

Action dérivée

A précision égale, le correcteur proportionnel – dérivé améliore la stabilité CPGE FES / MP & PSI

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2.4- Correcteur à avance de phase : Le correcteur PD n’est pas physiquement réalisable. En pratique, on utilise un correcteur dont la fonction de 1  a.T . p transfert est de la forme C  p   K avec a>1 ; Ce correcteur s’appelle : correcteur à avance de 1 T. p phase ou bien correcteur proportionnel dérivé réel.  Diagramme de Bode d’un correcteur à avance de phase : 2o log aK Le PD réel a un gain constant pour

w>

1 , ce qui permet d’atténuer T

les signaux parasites de hautes fréquences. Ce correcteur réalise une avance de phase. La pulsation pour laquelle l’avance de phase est maximum est :

2o log K

wm =

1

, en ce point la phase

T a

vaut : m =Arcsin

a-1 . a+1

 Les effets de la correction par avance de phase :

Avantages - Augmentation de la bande passante et de la rapidité - Amélioration de la stabilité - Moins de résonance et meilleur amortissement

Inconvénients - Aucune action sur la précision - Accroissement du gain à haute fréquence

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