Culegere Matematica. Teste Sumative. Clasa A X-A. Vol 1 [PDF]

Zitiervorschau

Prof. Aura Ignat

CULEGERE MATEMATICĂ

Teste sumative Clasa a X-a VOLUMUL I

ISBN 978-606-671-779-3 Editura Sfântul Ierarh Nicolae 2014 1

Referent ştiinţific Prof. Dr. Mihaela Cojocaru

2

Cuprins

Noţiuni introductive Programa școlară clasa a X-a…………………………......................4 Planificare calendaristică orientativă…………………………….…..8 Calcule cu puteri şi radicali ………………………………...........................17 Logaritmi ………………………………………….……..............................20 Proprietăţi ale funcţiilor……………..………………….…..........................22 Funcţia putere şi funţia radical. Ecuaţii iraţionale………............................ 25 Funcţia exponenţială şi funcţia logaritmică. Ecuaţii exponenţiale şi logaritmice…………………….……………….......27 Funcţii trigonometrice directe şi inverse ………………...............................29 Numere complexe ……………………………………................................ 32 Elemente de combinatorică …………………………….............................. 34 Geometrie……………………………………………….…......................... 36 Matematici financiare …………………………………….......................... 38 Recapitulare finală: Teste Evaluare în educaţie la matematică………….....40 Bibliografie ..………………………………………………………............ 43

3

Noţiuni introductive

Programa scolara clasa a X-a COMPETENŢE GENERALE 1. Identificarea unor date şi relaţii matematice şi corelarea lor în funcţie de contextul în care au fost definite 2. Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural, contextual cuprinse în enunţuri matematice 3. Utilizarea algoritmilor şi a conceptelor matematice pentru caracterizarea locală sau globală a unei situaţii concrete 4. Exprimarea caracteristicilor matematice cantitative sau calitative ale unei situaţii concrete şi a algoritmilor de prelucrare a acestora 5. Analiza şi interpretarea caracteristicilor matematice ale unei situaţii-problemă 6. Modelarea matematică a unor contexte problematice variate, prin integrarea cunoştinţelor din diferite domenii

VALORI ŞI ATITUDINI  Dezvoltarea unei gândiri deschise, creative, a independenţei în gândire şi acţiune  Manifestarea iniţiativei, a disponibilităţii de a aborda sarcini variate, a tenacităţii, a perseverenţei şi a capacităţii de concentrare  Dezvoltarea simţului estetic şi critic, a capacităţii de a aprecia rigoarea, ordinea şi eleganţa în arhitectura rezolvării unei probleme sau a construirii unei teorii  Formarea obişnuinţei de a recurge la concepte şi metode matematice în abordarea unor situaţii cotidiene sau pentru rezolvarea unor probleme practice  Formarea motivaţiei pentru studierea matematicii ca domeniu relevant pentru viaţa socială şi profesională

4

TRUNCHI COMUN ŞI CURRICULUM DIFERENŢIAT – 3 ore COMPETENŢE SPECIFICE ŞI CONŢINUTURI Competenţe specifice

Conţinuturi Mulţimi de numere  Numere reale: proprietăţi ale puterilor cu exponent raţional, iraţional şi real ale unui număr pozitiv, aproximări raţionale pentru numere iraţionale sau reale.  Radical dintr-un număr raţional (ordin 2 sau 3), proprietăţi ale radicalilor.  Noţiunea de logaritm, proprietăţi ale logaritmilor, calcule cu logaritmi, operaţia de logaritmare.  Mulţimea C: Numere complexe sub forma algebrică, conjugatul unui număr complex operaţii cu numere complexe. Interpretarea geometrică a operaţiilor de adunare şi scădere a numerelor complexe şi a înmulţirii acestora cu un număr real.  Rezolvarea în C a ecuaţiei de gradul al doilea cu coeficienţi reali. Ecuaţii bipătrate.

1. Identificarea caracteristicilor tipuri de numere utilizate în algebră şi formei de scriere a unui număr real sau complex în contexte specifice. 2. Compararea şi ordonarea numerelor reale utilizând metode variate. 3. Aplicarea unor algoritmi specifici calculului puteri, radicali, logaritmi sau numere complexe în contexte variate. 4. Alegerea formei de reprezentare a unui număr real sau complex în vederea optimizării calculelor. 5. Alegerea strategiilor de rezolvare în vederea optimizării calculelor. 6. Determinarea unor analogii între proprietăţile operaţiilor cu numere reale şi complexe scrise în forme variate şi utilizarea acestora în rezolvarea unor ecuaţii.

Funcţii şi ecuaţii  Funcţia putere cu exponent natural f: R→D, f(x)=xn şi n ≥ 2  Funcţia radical f: D→R, f(x)= n x , n=2,3 unde D = [0, ∞) pentru n par şi D= R pentru n impar.  Funcţia exponenţială f : R→ ( 0;∞ ), f(x)=ax, a є ( 0;∞ ), a ≠ 1 şi funcţia logaritmică f : ( 0;∞ ) →R, f(x) =logax, , a є ( 0;∞ ), a ≠ 1, creştere exponenţială, creştere logaritmică .  Funcţii trigonometrice directe şi inverse  Injectivitate, surjectivitate, bijectivitate, Funcţii inversabile:definiţie, proprietăţi grafice, condiţia necesară şi suficientă ca o funcţie să fie inversabilă.  Rezolvări de ecuaţii folosind proprietăţile funcţiilor: - Ecuaţii iraţionale ce conţin radicali de ordinul 2 sau 3; - Ecuaţii exponenţiale, ecuaţii logaritmice

1. Trasarea prin puncte a graficelor unor funcţii. 2. Prelucrarea informaţiilor ilustrate prin graficul unei funcţii în scopul deducerii unor proprietăţi algebrice ale acesteia (monotonie, semn, bijectivitate, inversabilitate, continuitate, convexitate). 3. Utilizarea de proprietăţi ale funcţiilor în trasarea graficelor şi rezolvarea de ecuaţii 4. Exprimarea în limbaj matematic a unor situaţii concrete şi reprezentarea prin grafice a unor funcţii care descriu situaţii practice 5. Interpretarea, pe baza lecturii grafice, a proprietăţilor algebrice ale funcţiilor 6. Utilizarea echivalenţei dintre bijectivitate şi inversabilitate în trasarea unor grafice şi în rezolvarea unor ecuaţii algebrice.

Notă: Pentru toate tipurile de funcţii se vor studia: intersecţia cu axele de coordonate, ecuaţia f(x)=0, reprezentarea grafică prin puncte, simetrie, lectura grafică a proprietăţilor algebrice ale funcţiilor: monotonie, bijectivitate, inversabilitate, semn, concavitate/convexitate. 5

Competenţe specifice

Conţinuturi Metode de numărare

1. Diferenţierea 2. 3. 4. 5.

6.

problemelor în funcţie de numărul de soluţii admise. Identificarea tipului de formulă de numărare adecvată unei situaţii –problemă date. Utilizarea unor formule combinatoriale în raţionamente de tip inductiv. Exprimarea caracteristicilor unor probleme în scopul simplificării modului de numărare. Interpretarea unor situaţii problemă cu conţinut practic cu ajutorul elementelor de combinatorică. Alegerea strategiilor de rezolvare a unor situaţii practice în scopul optimizării rezultatelor.

  







Metoda inducţiei matematice Mulţimi finite ordonate Permutări – numărul de mulţimi ordonate cu n elemente care se obţin prin ordonarea unei mulţimi finite cu n elemente Aranjamente – numărul submulţimilor ordonate cu câte m elemente fiecare, m≤n care se pot forma cu cele n elemente ale unei mulţimi finite Combinări – numărul submulţimilor cu câte k elemente, unde 0 ≤k ≤ n ale unei mulţimi finite cu n elemente, proprietăţi: formula combinărilor complementare, numărul tuturor submulţimilor unei mulţimi cu n elemente. Binomul lui Newton Matematici financiare

1. Recunoaşterea unor date de tip probabilistic sau statistic în situaţii concrete. 2. Interpretarea primară a datelor statistice sau probabilistice cu ajutorul calculului financiar, a graficelor şi diagramelor. 3. Utilizarea unor algoritmi specifici calculului financiar, statisticii sau probabilităţilor pentru analiza de caz. 4. Transpunerea în limbaj matematic prin mijloace statistice, probabilistice a unor probleme practice. 5. Analiza şi interpretarea unor situaţii practice cu ajutorul conceptelor statistice sau probabilistice. 6. Corelarea datelor statistice sau probabilistice în scopul predicţiei comportării unui sistem prin analogie cu modul de comportare în situaţii studiate.

 







Elemente de calcul financiar: procente, dobânzi, TVA. Culegerea, clasificarea şi prelucrarea datelor statistice: date statistice, reprezentarea grafică a datelor statistice. Interpretarea datelor statistice prin parametrii de poziţie: medii, dispersia, abateri de la medie. Evenimente aleatoare egal probabile, operaţii cu evenimente, probabilitatea unui eveniment compus din evenimente egal probabile. Variabile aleatoare. Probabilităţi condiţionate. Dependenţa şi independenţa evenimentelor, scheme clasice de probabilitate : schema lui Poisson şi schema lui Bernoulli.

Notă: Aplicaţiile vor fi din domeniul financiar: profit, preţ de cost al unui produs, amortizări de investiţii, tipuri de credite, metode de finanţare, buget personal, buget familial.

Geometrie 1. Descrierea unor configuraţii geometrice analitic  Reper cartezian în plan, coordonate sau utilizând vectori. carteziene în plan, distanţa dintre două 2. Descrierea analitică, sintetică sau vectorială a puncte în plan. relaţiilor de paralelism şi perpendicularitate.  Coordonatele unui vector în plan, 3. Utilizarea informaţiilor oferite de o configuraţie coordonatele sumei vectoriale, coordonatele 6

Competenţe specifice geometrică pentru deducerea unor proprietăţi ale acesteia şi calcul de distanţe şi arii.  4. Exprimarea analitică, sintetică sau vectorială a caracteristicilor matematice ale unei configuraţii geometrice. 5. Interpretarea perpendicularităţii în relaţie cu  paralelismul şi minimul distanţei. 6. Modelarea unor configuraţii geometrice analitic, sintetic sau vectorial.

7

Conţinuturi produsului dintre un vector şi un număr real. Ecuaţii ale dreptei în plan determinată de un punct şi de o direcţie dată şi ale dreptei determinată de două puncte distincte, calcule de distanţe şi arii. Condiţii de paralelism, condiţii de perpendicularitate a două drepte din plan, calcule de distanţe şi arii.

Clasa a X-a Anul şcolar: Nr. ore: 3 ore / săptămână

Disciplina: Matematică M_tehnologic PLANIFICARE CALENDARISTICĂ ORIENTATIVĂ UNITATE DE ÎNVĂŢARE

COMPETENŢE SPECIFICE VIZATE

CONŢINUTURI

7.Trasarea prin puncte a graficelor unor funcţii. 8.Prelucrarea informaţiilor ilustrate prin graficul unei funcţii în scopul deducerii unor Recapitulare proprietăţi algebrice ale acesteia (monotonie, semn, bijectivitate, inversabilitate, continuitate, convexitate). 3.Utilizarea de proprietăţi ale funcţiilor în trasarea graficelor şi rezolvarea de ecuaţii

1.

Calcule cu puteri şi radicali

1

-Recapitulare cls a IX-a: - progresii aritmetice;geometrice; - functii, semnul functiei, graficul functiei, --minimul/maximul functiei; -Ecuatii;Inecuatii - Evaluare Initiala

1 1 2 1

Numere reale

1.Identificarea caracteristicilor tipurilor de numere utilizate în algebră şi formei de scriere a unui număr real în contexte specifice; 2.Compararea şi ordonarea numerelor reale utilizând metode variate; 3.Aplicarea unor algoritmi specifici calculului cu puteri, radicali sau logaritmi pe contexte variate; 4.Alegerea formei de reprezentare a unui număr real în vederea optimizării calculelor ; 5.Alegerea strategiilor de rezolvare în vederea optimizării calculelor; 6.Analiza validității unor afirmații prin

NR. OR E

- Proprietăţi ale puterilor cu exponent raţional, iraţional şi real ale unui număr pozitiv;

1

- Aproximări raţionale pentru numere iraţionale sau reale;

1

- Radical dintr-un număr raţional (ordin 2 sau 3), proprietăţi ale radicalilor;

-Aplicatii proprietati ale puterilor ;ale radicalilor - Evaluare. 8

1

1

1

SAPTAM ANA

OBS .

utilizarea aproximărilor, a proprietăților sau a regulilor de calcul; 7.Determinarea unor analogii între proprietăţile operaţiilor cu numere reale scrise în forme variate şi utilizarea acestora la rezolvarea unor ecuaţii. 1.Identificarea caracteristicilor tipurilor de numere utilizate în algebră şi formei de scriere a unui număr real în contexte specifice; 2.Compararea şi ordonarea numerelor reale utilizând metode variate; 3.Aplicarea unor algoritmi specifici calculului cu puteri, radicali sau logaritmi pe contexte variate; 4.Alegerea formei de reprezentare a unui număr real în vederea optimizării calculelor ; 5.Alegerea strategiilor de rezolvare în vederea optimizării calculelor; Logaritmi

- Noţiunea de logaritm, conditii de existenta

1

- Proprietăţi ale logaritmilor;

2

- Calcule cu logaritmi, operaţia de logaritmare;

2

-Aplicatii; - Evaluare.

6.Analiza validității unor afirmații prin

utilizarea aproximărilor, a proprietăților sau a regulilor de calcul; 7.Determinarea unor analogii între proprietăţile operaţiilor cu numere reale scrise în forme variate şi utilizarea acestora la rezolvarea unor ecuaţii. 9

1

1

1.Exprimarea relațiilor de tip funcțional în

- Funcţii: recapitulare şi completări; - Injectivitate, surjectivitate, bijectivitate,

Proprietăţi ale funcţiilor (recapitulare şi completări

Funcţia putere şi funţia radical. Ecuaţii iraţionale

diverse moduri; 2.Prelucrarea informaţiilor ilustrate prin grafi-cul unei funcţii în scopul deducerii unor proprietăţi algebrice ale acesteia; 3.Utilizarea de proprietăţi ale funcţiilor în trasarea graficelor şi rezolvarea de ecuaţii; 4.Exprimarea în limbaj matematic a unor situaţii concrete şi reprezentarea prin grafice a unor funcţii care descriu situaţii practice; 5.Interpretarea, pe baza lecturii grafice, a pro-prietăţilor algebrice ale funcţiilor ; 6.Utilizarea echivalenţei dintre bijectivitate şi in-versabilitate în trasarea unor grafice şi în rezolvarea unor ecuaţii algebrice.

- Funcţii inversabile, inversa unei functii: definiţie, proprietăţi grafice, -Condiţia necesară şi suficientă ca o funcţie să fie inversabilă. - Aplicatii

1 2

1

1 1

-Evaluare;

1

1.Exprimarea relațiilor de tip functional în

- Funcţia putere

1

diverse moduri; 2.Prelucrarea informaţiilor ilustrate prin grafi-cul unei funcţii în scopul deducerii unor proprietăţi algebrice ale acesteia; 3.Utilizarea de proprietăţi ale funcţiilor în trasarea graficelor şi rezolvarea de ecuaţii; 4.Exprimarea în limbaj matematic a unor situaţii concrete şi reprezentarea prin grafice a unor funcţii care descriu situaţii practice; 5.Interpretarea, pe baza lecturii grafice, a

-Funcţia radical; - Rezolvări de ecuaţii iraţionale ce conţin radicali de ordinul 2 sau 3

1

2

- Aplicatii

2

- Evaluare.

1

10

pro-prietăţilor algebrice ale funcţiilor ; 6.Utilizarea echivalenţei dintre bijectivitate şi inversabilitate în trasarea unor grafice şi în rezolvarea unor ecuaţii algebrice.

Evaluare semestrială

Funcţia exponenţială şi funcţia logaritmică.

Ecuaţii exponenţiale şi logaritmice

1.Identificarea unor date şi relaţii matematice şi corelarea lor în funcţie de contextul în care au fost definite; 2.Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural,contextual cuprinse în enunţuri matematice; 3.Utilizarea algoritmilor şi a conceptelor mate-matice pentru caracterizarea locală sau globală a unei situaţii concrete; 4.Exprimarea caracteristicilor matematice canti-tative sau calitative ale unei situaţii concrete şi a algoritmilor de prelucrare a acestora; 5.Analiza şi interpretarea caracteristicilor mate-matice ale unei situaţii problemă; 6.Modelarea matematica a unor contexte proble-matice variate, prin integrarea cunoştinţelor din dife-rite domenii. 1.Exprimarea relatiilor de tip functional în diverse moduri; 2.Prelucrarea informaţiilor ilustrate prin grafi-cul unei funcţii în scopul deducerii unor proprietăţi algebrice ale acesteia; 3.Utilizarea de proprietăţi ale funcţiilor în trasarea graficelor şi rezolvarea de ecuaţii; 4.Exprimarea în limbaj matematic a unor situaţii concrete şi reprezentarea prin grafice a unor funcţii care descriu situaţii practice; 5.Interpretarea, pe baza lecturii grafice, a pro-prietăţilor algebrice ale funcţiilor ; 6.Utilizarea echivalenţei dintre bijectivitate şi in-versabilitate în trasarea unor grafice

- Recapitulare pentru teză;

2

-Teză;

1

- Discutarea tezei .

. 1

- Funcţia exponenţială -Funcţia logaritmică; - Creşteri liniare, exponenţiale, - Creşteri logaritmice;

1 1 1 1

- Ecuaţii exponenţiale, -Ecuaţii logaritmice;

2 2

-Aplicatii; ec. exponentiali, ec. logaritmice

1

11

şi în rezolvarea unor ecuaţii algebrice.

Înmulţirea numerelor complexe

- Evaluare

3. Numere complexe 1.Identificarea caracteristicilor tipurilor - Numere complexe sub formă algebrică, de nu-mere utilizate în algebră şi formei conjugatul unui număr complex; de scriere a unui număr complex în contexte specifice; - Operaţii cu numere complexe sub formă 2.Determinarea echivalenţilor între algebrică; forme dife-rite de scriere a unui număr; 3.Aplicarea unor algoritmi specifici - Rezolvarea în C a ecuaţiei de gradul al calculului cu numere complexe în contexte doilea cu coeficienţi reali; variate; 4.Alegerea formei de reprezentare a unui număr complex în vederea optimizării -Ecuaţii bipătrate. calculelor; 5.Alegerea strategiilor de rezolvare în -Aplicatii:operatii cu nr. complexe, ec. de vederea optimizării calculelor; gr. al II lea,ecuatii bipatrate 6.Determinarea unor analogii între proprietăţile operaţiilor cu numere -Evaluare complexe scrise în forme variate şi utilizarea acestora în rezolvarea unor ecuaţii.

Interpretarea geometrică a numerelor complexe

1.Identificarea caracteristicilor tipurilor de nu-mere utilizate în algebră şi formei de scriere a unui număr complex în contexte specifice; 2.Determinarea echivalenţilor între forme dife-rite de scriere a unui număr; 3.Aplicarea unor algoritmi specifici calculului cu numere complexe în contexte

- Interpretarea geometrică a operaţiilor de adunare şi scădere a numerelor complexe şi a înmulţirii acestora cu un număr real;

1

sem II 1

1

1

1 1

1

1

1

-Aplicatii - Evaluare 12

1

variate; 4.Alegerea formei de reprezentare a unui număr complex în vederea optimizării calculelor; 5.Alegerea strategiilor de rezolvare în vederea optimizării calculelor; 6.Determinarea unor analogii între proprietăţile operaţiilor cu numere complexe scrise în forme variate şi utilizarea acestora în rezolvarea unor ecuaţii.

4. Metode de numărare

13

1.Diferenţierea problemelor în funcţie de numă-rul de soluţii admise; 2.Identificarea tipului de formulă de numărare adecvată unei situaţii problemă date; 3.Utilizarea unor formule combinatoriale în raţionamente de tip inductiv;

- Metoda inducţiei matematice;

1

- Mulţimi finite ordonate;

1

1

- Permutări ;

Elemente de combinatorică

4.Exprimarea caracteristicilor unor probleme în scopul simplificării modului de numărare; 5.Interpretarea unor situaţii problemă cu conţinut practic cu ajutorul elementelor de combinatorică; 6.Alegerea strategiilor de rezolvare a unor situaţii practice în scopul optimizării rezultatelor.

- Aranjamente ;

1

- Combinări;

2

-Proprietăţi: formula combinărilor complementare, numărul tuturor submulţimilor unei mulţimi cu n elemente; - Binomul lui Newton;

1

1

-Aplicatii; 2

- Evaluare. 5. GEOMETRIE 1.Descrierea unor configuraţii geometrice ana-litic - Reper cartezian în plan, coordonate sau utilizând vectori; carteziene în plan, distanţa dintre două 2.Descrierea analitică, sintetică sau vectorială a puncte în plan; relaţiilor de paralelism şi perpendicularitate; 3.Utilizarea informaţiilor oferite de o configu-raţie geometrică pentru deducerea unor pro-prietăţi ale acesteia şi calcul de distanţe şi arii; 4.Exprimarea analitică, sintetică sau vectorială a caracteristicilor matematice ale unei configuraţii geometrice; 5.Interpretarea perpendicularităţii în relaţie cu paralelismul şi minimul distanţei;

- Coordonatele unui vector în plan, coordonatele sumei vectoriale, coordonatele produsului dintre un vector şi un număr real; - Ecuaţii ale dreptei în plan determinate de un punct şi de o direcţie dată şi ale dreptei determinată de două 14

1

1

1

2

6.Modelarea unor configuraţii geometrice anali-tic, sintetic sau vectorial.

Elemente de calcul financiar şi date statistice

Evaluare semestrială

1.Recunoşterea unor date de tip probabilistic sau statistic în situaţii concrete; 2.Interpretarea primară a datelor statistice sau probabilistice cu ajutorul calculului financiar, a graficelor şi diagramelor; 3.Utilizarea unor algoritmi specifici calculului financiar, statisticii sau probabilităţilor pentru analiza de caz; 4.Transpunerea în limbaj matematic prin mijloace statistice, probabilistice a unor probleme practice ; 5.Analiza și interpretarea unor situații practice cu ajutorul conceptelor statistice sau probabilistice; 6.Corelarea datelor statistice sau probabilistice în scopul predicţiei comportării unui sistem prin analogie cu modul de comportare în situaţii studiate. 1.Identificarea unor date şi relaţii matematice şi corelarea lor în funcţie de contextul în care au fost definite; 2.Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural,contextual cuprinse în enunţuri matematice; 3.Utilizarea algoritmilor şi a conceptelor matematice pentru caracterizarea locală sau globală a unei situaţii concrete; 4.Exprimarea caracteristicilor matematice canti-tative sau calitative ale unei situaţii concrete şi a algoritmilor de prelucrare a acestora; 5.Analiza şi interpretarea caracteristicilor mate-matice ale unei situaţii problemă;

puncte distincte; - Condiţii de paralelism, condiţii de perpendicularitate a două drepte din plan ;

2

- Calcule de distanţe şi arii ;

1

-Aplicatii

1

- Evaluare.

1

- Elemente de calcul financiar: procente, dobânzi, TVA;

3

- Culegerea, clasificarea şi prelu-crarea datelor statistice: date statistice, reprezentarea grafică a datelor statistice; - Interpretarea datelor statistice prin parametrii de poziţie: medii, dispersia, abateri de la medii;

1

1

1

- Evaluare.

- Recapitulare pentru teză;

2

-Teză;

1

- Discutarea tezei .

. 1

15

6.Modelarea matematica a unor contexte problematice variate, prin integrarea cunoştinţelor din dife-rite domenii.

Elemente de probabilitate

1.Recunoşterea unor date de tip probabilistic sau statistic în situaţii concrete; 2.Interpretarea primară a datelor statistice sau probabilistice cu ajutorul calculului financiar, a graficelor şi diagramelor; 3.Utilizarea unor algoritmi specifici calculului financiar, statisticii sau probabilităţilor pentru analiza de caz; 4.Transpunerea în limbaj matematic prin mijloace statistice, probabilistice a unor probleme practice; 5.Analiza și interpretarea unor situații practice cu ajutorul conceptelor statistice sau probabilistice; 6.Corelarea datelor statistice sau probabilistice în scopul predicţiei comportării unui sistem prin analogie cu modul de comportare în situaţii studiate.

- Evenimente aleatoare egal probabile, operaţii cu evenimente, probabilitatea unui eveniment compus din evenimente egal probabile;

2

-Probabilităţi; Variabile aleatoare; Probabilităţi condiţionate;

2

- Dependenţa şi independenţa evenimentelor; Scheme clasice de probabilitate;

1

- Evaluare

16

1

Calcule cu puteri şi radicali

TEST 1 Sub I: Încercuiţi răspunsul corect 1. Rezultatul înmulţirii 31 g3 32 este: 4

A.

0

3

B. 3 3

3

D. 3 34

C. 3 4

2 Expresia 21  22 este : A.

0,75

B.

3 2

C.

1 2

D. 2

3. Rezultatul adunarii 3 3  5 2  27  este : A.- 5 2 B 5 2 4. Comparând numerele

C

A

C y>zy

a b c d e

B 1 2 3 4 5

2) Verificaţi dacă funcţia de mai jos este injectivă şi/sau surjectivă: a) f : R  R, f(x)=2x – 4 ;

b) f : R  R, f(x) = x2 + 1

3) Stabiliţi daca următoarea funcţie este inversabilă: f : ¡  ¡ , f (x)  3 x  1

4) Aflati inversa functiei f : [0,]  [0,], f(x) = x2

5 ) Se dau funcţiile f : A  B şi g : B  C. Completaţi diagrama pentru a obţine funcţia compusă g o f , precizând, în spaţiul punctat, domeniul şi codomeniul acesteia:

22

B a b c

A

C

d

1

m n

2

p

3

s

g o f : …………… Completaţi egalităţile de mai jos: g(f(1))= g(f(2))= g(f(3))= 6).Se dau funcţiile f , g : R  R , f(x) = 2x2+1, g(x) = – x+1. Determinaţi g o f şi f o g .

TEST 2

1. Care dintre graficele următoare sunt imaginile geometrice ale unor funcţii injective? Dar surjective? a)

f: ¡  ¡ b) f: ¡  ¡

23

c)

f:RR

d)f : R  R

Se dau funcţiile f , g : R  R , f(x) = 2x2+x, g(x) = 2 x+1.

1.

Determinaţi g o f şi f o g .

2. Se consideră funcţia f : R \ {1}  R \ {4}, f ( x ) 

4x  6 . x 1

a) Să se demonstreze că funcţia f este inversabilă 1 b) Aflaţi f . 1 c) Să se calculeze f (1)  f (3) .

3. Verificati grafic daca functia f este bijectiva : f : R → R , f (x) = 3x -8 si reprezentati grafic functiile f si f 1 in acelasi reper cartezian xOy.

4.

Fie funcţia f:(1; ) → (2;

), f(x) = x2 + 1. Să se arate că f este bijectivă.

24

Funcţia putere şi funţia radical. Ecuaţii iraţionale

TEST 1 Fie f:D  ¡ , f(x)=

1.

x  2 , unde D este domeniul maxim de definiţie al funcţiei f.

a)

Aflaţi D.

b)

Studiaţi bijectivitatea functiei f.

c)

Aflaţi f 1 .

Fie f:D  ¡ , f(x)=

2.

x  2 , unde D este domeniul maxim de definiţie al funcţiei f.

a) Aflaţi D. b) Studiaţi monotonia funcţiei f. c) Rezolvaţi pe D ecuaţia f(x)= 3.

3 3. Fie f : R  R, f(x)= x

a) Completaţi valorile funcţiei f in tabelul de mai jos: x

-2



-1

0

1 2

+

f(x) b) Trasaşi graficul functiei f . c) Rezolvaţi pe [0,  ) ecuaţia f (x)  x x .

4. Rezolvând urmatoarele ecuatii irationale ,Încercuiţi răspunsul corect: a)

3x  2  x  2 A . S={-3,-2}

B . S= {-2} 25

C . S= [-2,+  )

3

b)

13x  1  x  1

A.

S={0,2}

B S= R

C. S={-5,0,2}

TEST 2

I.

Scrieţi asocierile între ecuatiile irationale care apar în coloana A şi solutiile acestora din coloana B.

COLOANA A

COLOANA B

x 1  2

a) S={-2,0}

2 x 3

b) S={3}

3.

x2  2 x  1  1

c) S= R

4.

1  3x  1  x

d)S= {5}

1. 2.

3

e)S= [-1,+  ) f) S= {-25} 3

II. Fie f: : R  R, unde f(x)= x . a) Completaţi valorile funcţiei f in tabelul următor: x

-

-8

-1



1 0 8

1 1 8

f(x)

b) Trasaţi graficul funcţiei f în reperul carteyian xOy. 26

8

+

c) Rezolvaţi in R ecuaţia f(x) -1= -1. III. Fie f : [0.+  )-> R, f(x)= x 2  2 . a)Studiaţi monotonia funcţiei f. b)Studiati bijectivitatea functiei f . c) Aflati inversa functiei f.

Funcţia exponenţială şi funcţia logaritmică. Ecuaţii exponenţiale şi logaritmice

TEST 1 1. B

Scrieţi asocierile între funcţiile care apar în coloana A şi graficele acestora din coloana

Coloana A

Coloana B a

y

1. f(x)= log 2 x

1

2

b

y

1

3

2

3

x

2. f(x)= 2 x

c

y

y

3. f(x)= log 1 x 2

1 4. f(x)=   2

d

8

F

8

x

E 4 2 B 3 2 1

C

4 2

D

B

1 O

1

2

27

3

x

3 2 1

C 1

D

O

1

E 2

3

x





2. Mulţimea valorilor reale x pentru care expresia log 2 4 x  8 are sens este: a) ( ,2);

b) ( 2, );

c) [ 2, );

d)

(2;2).

Se consideră funcţia f :  0,    R , f  x   lg 2 x  6lg x  5 .

3.

a) Calculati f(10)+f(10 2 ); b) Să se determine rădăcinile funcţiei. 4.Completaţi spaţiile punctate: a) Soluţia ecuaţiei: log 3 (2 x  2)  log 3 ( x  13) este ..... b) Soluţia ecuaţiei log x 1 x 2  3 x   2 este .............................. x c) Soluţia ecuatiei 5

2

 x2

 625 . Este ....................................................

TEST 2 1. Fie f : (0, )  R,f(x)  log 2 x . a) Completaţi valorile funcţiei f in tabelul de mai jos : x

0

1 4

1 2

1

2

4

+

f(x)

b) Reprezentaţi grafic funcţia f in reperul cartezian xOy. c) Aflaţi inversa funcţiei f .

Fie f : (0, ),f(x)  2

2.

x 2

.

a)

Realizaţi tabelul de valori ale funcţiei f.

b)

Reprezentaţi grafic funcţia f .

c)

Rezolvaţi în R ecuatia f(x)= 4

3. Aşezaţi in ordine crescătoare numerele : 28

x

1 1 1 a) f(x)=   , pentru x  { 9,  3,  , 0,1, , 3} ; 2 2  3 b) f(x)=

log3 (x  1) , pentru x  {4,10,28,244}

Completaţi spaţiile punctate:

4.

2 x 1  2 x  2  16 a) Soluţia ecuaţiei 2

4 b) Soluţia ecuaţiei 3

x

 4g32

x

este………………………….

 3  0 este…………………………

c) Soluţia ecuaţiei log3 (x  2)  log3 x  log3 8 este………………….. d) Soluţia ecuaţiei lo g 1 x  lo g 1 2 x este………………………….. 2

2

Funcţii trigonometrice directe şi inverse

TEST 1 1. Se consideră funcţia: f : ¡  ¡ , f (x)  sin

x . 2

  a) Să se calculeze f(0) , f( ) , f( ), f(  ). 3

2

b) Să se verifice egalitatea : f(x+4  ) = f(x), x  ¡ c) Să se traseze graficul funcţiei f pe interalul [0,2  ].

Încercuiţi valoarea de adevăr a următoarelor enunţuri:

2. a)

f:D-> R. f(x)= xsinx este

A) f pară

b)

f:D-> R. f(x)=cox+sinx este

A) f pară

c)

f:D-> R. f(x)=sin3x este

A) f pară

29

B) f impară B) f impară B) f impară

Să se determine x R pentru care au sens expresiile:

3. a)

b)arcrg x 2  5 x  4

arcsin(2x-13)

Asociaţi expresiilor din coloana A raspunsurile corecte din coloana B

4.

COLOANA A

COLOANA B

3 )) 4

1.

arcsin (sin (-

a) 0

2.

 arccos(tg )

b) 

 2

3.

arcsin(cos  )

c) 

 4

4.

arctg (sin

5.

arcsin (- )+arccos (-

4

 ) 2

1 2

2 ) 2

d)

 2

e)

4 3

f)

 4

TEST 2 1.

2.

Fie funcţia f:R->R, f(x)= cos2x. a)

Să se studieze dacă funcţia f este pară sau impară.

b)

Să se calculeze f(x)-f(x+  )

c)

Să se traseze graficul funcţiei f pe intervalul [-  ,  ].

Completaţi spaţiile punctate: 30

a)

o Semnul expresiei sin 80 este…………………..

b)

Semnul expresiei cos155o este………………….

c)

Semnul expresiei tg125o este…………………..

3.

Să se calculeze media aritmetică si media geometrică a numerelor a şi b ştiind că: 1 2

a= sin(arcsin +arctg 3 )

şi

b= tg(arcos 0 - arctg

Determinaţi x  ¡ care verifică egalităţile :

4.

x  = 5 2

a)

arcsin

b)

arccos

c)

3arcctgx   3

x 1  3 2

31

3 ) 3

Numere complexe

TEST 1

1.

Completaţi spaţiile punctate.

a) Fie numărul complex z= 5 − 3 . atunci Re =……, Im

(− ) =…….., | | =……, z =…….., z

b) Dacă are loc egalitatea

1

=…….,

 ………

2  3i  a  bi ,atunci a=……. si b=……... 3  4i

c) Dacă z  6i  5 z ,atunci z=………….. d) Dacă (1  i)100  x  yi , atunci x=………... si y =…………….

2. Se dă ecuaţia z 2  2 z  5  0 , unde z1 si z2 sunt soluţii ale ecuaţiei. a) Să se reprezinte în reperul xOy punctele A( z1 ), B( z2 ) si C(- z1 ). b) Să se precizeze natura triunghiului ABC, să se determine aria si perimetrul triunghiului ABC.

3. Rezolvaţi cerinţele : 32

a) Fie numerele complexe: z1 = 3 + 2i, z2 = - 2 – 3i ; calculaţi: z1  z 2 . b) Să se calculeze z-1, pentru z =

1  2i . 2i

TEST 2 1. Fiind date numerele complexe: z1 =(2x – y – 1) + (x – 2y + 3)i si z2 =(5 – x – y) + (x – y + 2)i, să se determine numerele reale x, y , astfel încât: z1 = z2 . 2.

Se consideră numerele complexe: z1 = 1 + 2i, z2 = 2 – 3i. Se cere: notat

a) calculaţi: z1 + z2 b) determinaţi : - z3 c) scrieţi:

 z3 ;

z3 ;

3 .Rezolvaţi cerinţele: a) Construiţi ecuaţia de gradul al doilea, care admite rădăcinile: z1= 1 + 2i, z2 = 1 – 2i. b) Descompuneţi în factori ecuaţia: z2 – 2z + 5 = 0. z z c) Calculaţi E = 1 2 , unde z1 şi z2 sunt rădăcinile ecuaţiei: z2 – 2z + 7 = 0. z1 z 2  5

33

Elemente de combinatorică

TEST 1 Completaţi formulele:

1. a)

Ank  .........

b)

C nk  ........

c)

(a  ...)n  C n0 a nb0  Cn...a n1b  Cn2 a...b2  ....  Cnnb

2. Încercuiţi valoarea de adevăr corespunzătoare pentru următoarele expresii, A însemnând adevărat şi F însemnând fals.

a)

3! 4 2!

A

F

b)

217!  1! (220  3)!

A

F

c)

C32  C43  7

A

F

d)

A42  A53  0

A

F

2

2

e) (a  2b)  a  4ab  4

A

F

5(n  2)!  5(n  2) n !(n  1)

A

F

f)

3. Rezolvaţi ecuaţiile : 34

a)

Ax2  42, x  2, x  ¥

b)

Px1  42 Px 3

TEST 2

1.

Completaţi formulele: a)

Pn  .....

b)

(a  b) n  C n0 a...b0  Cn1a n1...  Cn2 a n 2b...  ....  Cnn ...

c)

Numărul de submulţimi ale unei mulţimi cu n elemente este………

2.

Asociaţi expresiilor din coloana A răspunsurile corecte din coloana B.

COLOANA A

COLOANA B

1 (n  1)(n  2)

a)

314! 313!

1)

b)

62! 60!  60! 59!

2)

c)

A32  A52

3) 630

d)

n! (n  2)!

4) 314

e)

C93  2C94  C95

5) 14 35

-17

P4  P2  A42

f)

6) 14! 7) 314! 8) 3722

3.

Rezolvaţi ecuaţiile pentru n  ¥ : a)

.

b)

Geometrie

TEST 1

1.

Se consideră punctele A(5,-4) , B(-1,3) si C(-3,-2) a)

Coeficientul unghiular al dreptelor AB,B,CA.

b)

Ecuatiile dreptelor AB si BC.

c)

2.

Să se detemine:

Ecuaţiile dreptelor care trec prin A si B , si sunt paralele cu dreptele BC si, respectiv AC.

Se dau punctele A(5,0), B(-7,-2) şi C(-4,3). Scrieţi ecuaţiile dreptei care: a) Trece prin punctele A si C b) Trece prin punctual C si este perpendiculară pe AB. c) Trece prin punctul C si este paralelă cu AB. 36

3. Completaţi spaţiile punctate următorului enunţ: Fie dreptele (d1):x-2y-5=0; (d2): 10x+5y-2=0; (d3) :5x-10y+2=0 a) Dreptele .…si … sunt paralele b) Dreptele …şi ….sunt perpendiculare.

TEST 2 1.

Dreptele de ecuaţii (d1):x+y=1; (d2): x+5y=17 si (d3): 3x-y=3 sunt concurente doua câte doua şi formează triunghiul ABC . Aflaţi perimetrul triunghiului ABC.

2.

Alegeţi varianta corecta de răspuns pentru următoarele expresii:

a) Punctul de intersecţie al dreptelor cu ecuaţiile (d1):2x+y=1 si (d2):4x+3y=11, este: A. b) A.

c) A. 3.

A(-4,9)

B. A(4,-9)

C. A(3,-9)

D. A(4,-8)

Se consideră punctul M(1,4) si N(-2,5). Ecuatia dreptei MN este: X+3y-13=0

B. x-3y-13=0

C. x+3y+13=0

D. 2x+3y-13=0

Distanţa dintre punctul A(3,2) si B(5,1) este : d(A,B)= 5

B. d(A,B)= 5 C. d(A,B)= -5

D. d(A,B)= - 5

Se dau punctele A(1.-2), B(5,4) si C(-2,0). a)

Să se determine ecuaţiile laturilor AB si BC.

b)

Aflaţi mijloacele laturilor AB, BC si AC.

c)

Determinaţi ecuaţiile medianelor triunghiului ABC si coordonatele centrului de greutate a triunghiului ABC . 37

Matematici financiare

Test 1

1.

Să se calculeze TVA–ul pentru un produs ştiind că preţul de vânzare al produsului este de 65 lei (procentul TVA este de 24 %).

2.

Firma F1 are un capital iniţial de 40.000 lei şi în anul 2007 a realizat un profit de 8.000 lei . Exprimaţi în raport cu capitalul iniţial procentul pe care-l reprezintă profitul firmei.

3.

Un agent economic solicită un credit de 12.000 euro rambursabil în cinci ani astfel: în primul an 30% din valoarea creditului, în al doilea an 25% din creditul rămas, în al treilea an 30% din suma rămasă de plată iar în ultimii doi ani tranşe egale. Dacă rata dobânzii este de 10% pe an completaţi următorul tabel: Nr.ani Tranşa

4.

Dobânda

Credit nerambursat

Suma plată

de

La o verificare scrisă la disciplina matematică s-au înregistrat următoarele note 8, 6, 9, 7, 7, 5, 4, 10, 6, 8, 5, 8, 4, 5, 7, 10, 7, 9, 5, 9, 10, 6, 4, 8, 10, 5, 5, 3, 8, 6. a) Completaţi tabelul frecvenţelor absolute, relative şi absolute cumulat crescător b) Realizaţi diagrama cu batoane si poligonul frecvenţelor c) Calculaţi media clasei

5. a) Se consideră mulţimea A  1,2,3,4,5,6. Să se calculeze probabilitatea ca alegând o pereche a, b  cu elemente din mulţimea AA să avem a  b  6 b) Să se determine probabilitatea ca alegând un număr natural de patru cifre acesta să fie divizibil cu 9

38

TEST 2

1. După o reducere de 10% un produs costă 297 lei. Să se determine preţul produsului înainte de reducere.

2. După două scumpiri succesive cu 10% , respectiv 20% , preţul unui produs este de 1980 lei. Să se determine preţul iniţial al produsului.

3.

Un agent economic solicită un credit de 10.000 euro rambursabil în cinci ani astfel: în primul an 25% din valoarea creditului, în al doilea an 20% din creditul rămas, în al treilea an 30% din suma rămasă de plată iar în ultimii doi ani tranşe egale. Dacă rata dobânzii este de 12% pe an completaţi următorul tabel: Nr.ani Tranşa

Dobânda

Credit nerambursat

Suma plată

de

4. La o verificare scrisă la disciplina matematică s-au înregistrat următoarele note 8,7,9,7,7,5,4,10,6,9,8,8,4,5,7,10,9,9,3,9,10,6,4,8,10,5,5,3,8,7. a)Completaţi tabelul frecvenţelor absolute, relative şi absolute cumulat crescător b)Realizaţi diagrama cu batoane si poligonul frecvenţelor c)Calculaţi media clasei 5. a) Se consideră mulţimea

A  1,2,3,4,5,6.

pereche a, b  cu elemente din mulţimea

Să se calculeze probabilitatea ca alegând o AA

să avem ab6

b) Să se determine probabilitatea ca alegând un număr natural de patru cifre acesta să fie divizibil cu 9. 39

Recapitulare finală

EVALUARE ÎN EDUCAŢIE LA MATEMATICĂ Etapa a II-a – 19.02.2011 Clasa a X-a – TC + CD = 3 ore ♦ Toate subiectele sunt obligatorii. ♦ Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Subiectul I Încercuiţi răspunsul corect. 1. Partea întreagă a numărului A) 0; B) 9; 2. Numărul A) 0;

3

9 este egală cu: C) 2;

B) 1;

C) 2;

3.Domeniul maxim de definiţie al funcţiei f ( x) =

¡

4.

 Numărul  2 

B) ¡ \ {3}

A) 3

5.

A)

2 3

B)2

D) 3;

E) 2

  

C)  ,3

2 x  6 este egal cu:

D) 3, 

E)  3, 

12  8

este egal cu : C)

2

1 2

D) 4

E)

D) 0

E) 3

D) 5

E) 1

Numărul log2 6  log 2 12 este egal cu :

A) 2

6.

E) 3

2  1 este egal cu:

2  1g

A)

D) 1;

B) 1

Numărul 4 2

log 2 5

B) -4

C) -1

este egal cu : C) 25 40

7.

1 3

Numărul 3  9 este egal cu :

A) 27 8.

B) 9

C) 3

D) 1

E) 6

Dacă a  5; b  3 8; c  3 atunci :

A) a