Culegere - Matematica Igsu PDF [PDF]
MINISTERUL AFACERILOR INTERNE ACADEMIA DE POLIŢIE „Alexandru Ioan Cuza” FACULTATEA DE POMPIERI Coordonator: Valentin UB
30 0 3MB
Papiere empfehlen
![Culegere - Matematica Igsu PDF [PDF]](https://vdoc.tips/img/200x200/culegere-matematica-igsu-pdf.jpg)
- Author / Uploaded
- alex
Datei wird geladen, bitte warten...
Zitiervorschau
MINISTERUL AFACERILOR INTERNE ACADEMIA DE POLIŢIE „Alexandru Ioan Cuza” FACULTATEA DE POMPIERI
Coordonator: Valentin UBAN Emanuel DARIE
Garibald POPESCU Cristian DAMIAN
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza” Facultatea de Pompieri 2006 - 2016
Editura Ministerului Afacerilor Interne 2016
Coordonator: Valentin UBAN Garibald POPESCU*
Emanuel DARIE*
Cristian DAMIAN**
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza” Facultatea de Pompieri 2006 - 2016 ISBN: 978-973-745-167-5 Colecția
București Editura Ministerului Afacerilor Interne 2016 *Col. conf. univ. dr. ing. – Facultatea de Pompieri
I
**Col. dr. ing. – Inspectoratul General pentru Situații de Urgență
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza” Facultatea de Pompieri 2006 - 2016
CUVÂNT ÎNAINTE
Demersul realizării unui volum care să cuprindă rezolvarea subiectelor de la disciplina „Algebră și Elemente de Analiză Matematică” date la concursul de admitere la Facultatea de Pompieri din cadrul Academiei de Poliție „Alexandru Ioan Cuza” a pornit de la necesitatea existenței unui cadru real de verificare a candidaților la concursul de admitere. Experiența didactică a autorilor arată că, în special la această disciplină se impune o pregătire în condiții reale a concursului, această lucrare oferind posibilitatea rezolvării subiectelor și în consecință testarea candidaților în timpul alocat. Deși rezolvarea acestor subiecte de tip grilă nu poate înlocui pregătirea fundamentală teoretică și aplicativă la disciplina „Algebră și Elemente de Analiză Matematică” a viitorilor studenți, acestea pot constitui un suport real de abordare a problemelor propuse, mai ales că subiectele sunt rezolvate în întregime, unele chiar prin mai multe metode. Având în vedere faptul că se reunesc în lucrare rezolvările subiectelor date la concursul de admitere în perioada 2006-2016, considerăm că studierea cu atenție a acesteia reprezintă în sine o modalitate solidă de aprofundare a tuturor capitolelor necesare atacării cu succes a unui examen de „Algebră și Elemente de Analiză Matematică”. Lucrarea este de un real folos viitorilor candidați la concursul de admitere la Facultatea de Pompieri, fiind prima de acest tip realizată de un colectiv de cadre didactice și specialiști ai Inspectoratului General pentru Situații de Urgență. De asemenea, parcurgerea lucrării poate fi utilă tuturor candidaților la concursul de admitere în învățământul superior tehnic civil și militar.
Octombrie 2016
Autorii
II
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza” Facultatea de Pompieri 2006 - 2016 CUPRINS 1. Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere – Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza” Facultatea de Pompieri, 2006………………………………
1
2. Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere – Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza” Facultatea de Pompieri, 2007………………………………
10
3. Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza” Facultatea de Pompieri, 2008………………………………
16
4. Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere – Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza” Facultatea de Pompieri, 2009………………………………
23
5. Rezolvarea subiectelor date la concursul de – Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza” Facultatea de Pompieri, 2010………………………………
31
6. Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere – Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza” Facultatea de Pompieri, 2011………………………………
38
7. Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere – Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza” Facultatea de Pompieri, 2012………………………………
46
8. Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere – Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza” Facultatea de Pompieri, 2013………………………………
57
9. Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere – Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza” Facultatea de Pompieri, 2014………………………………
65
10. Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere – Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza” Facultatea de Pompieri, 2015………………………………
88
11. Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere – Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza” Facultatea de Pompieri, 2016………………………………
103
Bibliografie……………………………………………………………………
119
12.
III
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere Matematică Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza” 2006 Facultatea de Pompieri 2006 - 2016 1.
Soluţiile ecuaţiei xlg x 100 x (unde lg x log10 x) sunt:
a) 10 1 , 10 2 ; b) 1, 2; c) 1 , 10; d) 2 , 3; e) 10 , 100; f) 1 , 2.
Soluție: Domeniul de definiţie este dat de: x 0 , x 1 x (0,) \ 1.
(1)
Atunci: x lg x 100 x lg x lg x lg 100 x (lg x) 2 lg 100 x lg 10 2 lg x
(lg x) 2 2 lg x (lg x) 2 lg x 2 0 .
(2)
y lg x y 2 y 2 0 ,
(3)
lg x 2 x1 100 10 2 şi lg x 1 x2 10 1 .
(4)
Notăm:
care admite soluţiile
Răspunsul corect este a).
2.
Ecuaţia x 3 x 3 x 3 x 2 12 are soluţia:
a) x 1; b) x 0 ; c) x 2 ; d) x 1; e) x 3 2 ; f) x 2 .
Soluție: Domeniul de definiţie: ecuaţia admite soluţii în R. Avem că: x 3 x 3 x 3 x 2 12 x 3 x 2 3 x 3 x 2 10 .
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ
1
2006
(5)
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere Matematică Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza” 2006 Facultatea de Pompieri 2006 - 2016 Se observă că, în mod unic, avem simultan: 3
x 3 x 2 2 şi x 3 x 2 8 .
(6)
Din cea de-a doua ecuaţie rezultă: x 2 x 10 0
(7)
sau x 3 8 x 2 0 ( x 2)( x 2 2 x 5) 0 .
(8)
Singura soluţie reală este x 2 . Răspunsul corect este c).
1 i . 1 i a) Im z 1 ; b) Im z i ; c) Im z i ; d) Im z 1 ; e) Im z Re z ; f) Im z 0 .
3.
Să se calculeze partea imaginară a numărului complex z
Soluție: Deoarece: z
1 i 1 i 1 i (1 i) 2 2 i i Re z i Im z . 1 i 1 i 1 i 1 i2 2
(9)
Răspunsul corect este a). 4.
( x 2 2) arcsin Să se calculeze lim x
a) 0; b)1; c) ; d)
1 2x 1 2
.
1 ; e) 2; f) nu există. 2
Soluție: Deoarece: lim ( x 2 2) arcsin x
1
( 0 )
2x 2 1
lim
x
( x 2 2) arcsin
1
2 2 x 1 lim x 2 1 . x 2 x 2 1 1 2 (2 x 2 1) 2 2x 1 2
Răspunsul corect este d). ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ
2
2006
(10)
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere Matematică Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza” 2006 Facultatea de Pompieri 2006 - 2016 Pentru rezolvare s-au utilizat: arcsin u ( x) 1 sau lim x x 0 u ( x)
lim
5.
arcsin
1 u ( x)
1 u ( x)
1.
(11)
Termenul al cincilea al unei progresii geometrice în care b8 384 şi raţia
q 2 este:
a) b5 48 ; b) b5 192 ; c) b5 36 ; d) b5 46; e) b5 128 ; f) b5 72 . Soluție: Termenul general al unei progresii geometrice este: bn b1 q n1 .
(12)
Atunci: b8 b1 q 7 384 b1 2 7 b1
384 . 27
(13)
Rezultă: b5 b1 2 4
384 4 384 2 3 48 . 27 2
(14)
Răspunsul corect este a).
6. Fie f : (2 , 2) \ 0 R , funcţiei f este: a) 4 ln 2 ; b) 2 ; c)
1 ; d) 2
f ( x) ln x 2 4 x 2 . Suma valorilor extreme ale
2 ; e) 2 ln 2 ; f) 0.
Soluție: Valorile extreme se calculează utilizând derivata întâi:
[ x 2 (4 x 2 )]' f ( x) ln x (4 x ) 2 0 8 x 4 x 3 0 4 x( 2 x 2 ) 0 . 2 x (4 x ) '
2
2
'
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ
3
2006
(15)
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere Matematică Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza” 2006 Facultatea de Pompieri 2006 - 2016 Rezultă: x1 0, x2 2 , x3 2 .
(16)
f x2 f x3 4ln 2 .
(17)
Atunci:
Răspunsul corect este a).
7.
a b c b c a Valoarea determinantului a b c , pentru care a, b, c R \ 0 este: ab bc ca
a) (a b)(b c)(c a) ; b) abc(a b c) ; c) abc ; d) (a b)(b c)(c a) ; e) 0; f) abc(ab bc ca) .
Soluție: Utilizând regula lui Sarrus pentru descompunerea determinantului, rezultă: a b c b c a a c b c c a b c bc a a bc a b c a bb bc c b a c a b ab bc ca
b a c a c a 2 b c 2 a b 2 b 2 c c a 2 b c 2 (a b)(b c)(c a) . c
Răspunsul corect este a). 8.
Asimptotele funcţiei f : R \ 0 R , f ( x)
ex sunt: x
a) x 1 asimptotă verticală şi y 0 asimptotă orizontală; b) x 0 asimptotă verticală şi y x asimptotă oblică; ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ
4
2006
(18)
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere Matematică Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza” 2006 Facultatea de Pompieri 2006 - 2016 c) y 0 asimptotă orizontală şi y x 1 asimptotă oblică; d) x 0 asimptotă verticală; e) x e asimptotă verticală şi y 1 asimptotă orizontală; f) x 1 e asimptotă verticală.
Soluție: În concordanţă cu modul de definire al funcţiei: f : R \ 0 R ,
(19)
rezultă că x 0,
(20)
este asimptotă verticală a funcţiei din text. Determinăm asimptotele orizontale: 0
(21)
(22)
'
e x ex y lim f ( x) lim lim lim e x 0 ; x x x x x ' x
'
e x ex y lim f ( x) lim lim lim e x . x x x x x ' x
Determinăm asimptotele oblice: m lim
f ( x) ex lim 2 0 ; x x x
(23)
m lim
f ( x) ex lim 2 . x x x
(24)
x
x
Atunci: n lim f ( x) mx lim f ( x) 0 . x
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ
(25)
x
5
2006
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere Matematică Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza” 2006 Facultatea de Pompieri 2006 - 2016 Funcţia nu admite asimptote oblice. Răspunsul corect este d).
9.
xe x , x 0
O primitivă a funcţiei f : R R , f ( x)
2 3x , x 0
, este :
e x ( x 1) 1 , x 0 e x ( x 1) , x 0 a) F ( x) ; b) F ( x) ; 3 x3 , x0 x0 x , e x ( x 1) 1 , x 0 e x ( x 1) 1 , x 0 F ( x ) ; d) ; 3 3 x0 x0 x x, x 1,
c) F ( x)
e x ( x 1), x 0 ; 3 x0 x ,
e x ( x 1) 1 , x 0 . x2 , x0
e) F ( x)
f) F ( x)
Soluția nr. 1: O primitivă a funcţiei: xe x , x 0 , f : R R , f ( x) 2 3x , x 0
(26)
e x ( x 1) c1 , x 0 F ( x) , 3 x0 x c2 ,
(27)
este
care admite o dublă infinitate de soluţii. Deoarece o funcţie este integrabilă dacă şi numai dacă este derivabilă. O funcţie este derivabilă dacă şi numai dacă aceasta este continuă. Atunci: c 1 , x 0 F (0) 1 . x0 c2 ,
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ
6
(28)
2006
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere Matematică Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza” 2006 Facultatea de Pompieri 2006 - 2016 Pentru valoarea x 0 , rezultă: c1 1 c2 .
(29)
c2 0 ,
(30)
c1 1 .
(31)
Se observă că pentru:
rezultă
Atunci: e x ( x 1) 1 , x 0 F ( x) . x3 , x0
(32)
Răspunsul corect este a).
Soluția nr. 2: O primitivă a funcţiei: xe x , x 0 , f : R R , f ( x) 2 3x , x 0
(33)
e x ( x 1) c1 , x 0 F ( x) , 3 x0 x c2 ,
(34)
este
care admite o dublă infinitate de soluţii. Deoarece o funcţie este integrabilă dacă şi numai dacă este derivabilă. O funcţie este derivabilă dacă şi numai dacă aceasta este continuă. Atunci: c 1 , x 0 F (0) 1 . x0 c2 ,
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ
7
(35)
2006
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere Matematică Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza” 2006 Facultatea de Pompieri 2006 - 2016 Pentru valoarea x 0 , rezultă: c1 1 c2 .
(36)
Dacă: c2 c ,
(37)
respectiv c1 c ,
(38)
atunci e x ( x 1) c 1 , x 0 F ( x) , x 3 c, x0
(39)
e x ( x 1) c , x 0 F ( x) 3 . x0 x c 1,
(40)
respectiv
Se observă că pentru: c 1,
(41)
rezultă e x ( x 1) 1 , x 0 F ( x) . x3 , x0
(42)
Răspunsul corect este a).
Observații: Metoda nr. 1 Pentru calculul integralei cu x 0 , s-a utilizat integrarea prin părţi:
I xe x dx x e x dx xe x e x dx x(e x 1) c1 , '
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ
8
2006
(43)
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere Matematică Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza” 2006 Facultatea de Pompieri 2006 - 2016 în care f ( x) x
'
g ' ( x) e x ;
f ' ( x) 1 ;
(44)
g ( x) e x .
(45)
Metoda nr. 2 Pentru calculul integralei cu x 0 , s-a utilizat substituţia: e x t x ln t ,
(46)
e x dx dt tdx dt ,
(47)
pentru care
Atunci integrând prin părţi: I xe x dx ln tdt t (ln t 1) c1 e x ( x 1) c1 .
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ
9
(48)
2006
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere Matematică Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza” 2007 Facultatea de Pompieri 2006 - 2016 1.
Fie funcţiile: f : 0; R, f x log 2 x, g : R R , g ( x) 5 x . Atunci:
a) f crescătoare şi g crescătoare; b) f descrescătoare şi g crescătoare; c) f crescătoare şi g descrescătoare; d) f și g au numai valori negative; e) f și g au numai valori pozitive; f) f descrescătoare şi g descrescătoare.
Soluție: Prin definiţie, funcţia: f x log 2 x ,
(1)
este crescătoare pe intervalul (0, ) , iar funcţia g ( x) 5 x ,
(2)
este crescătoare pe R . Răspunsul corect este a).
2.
Să se rezolve ecuaţia: 3x1 3x 108 .
a) x 3 ; b) x 4 ; c) x 2 ; d) x 1; e) ecuaţia nu are soluţie ; f) x 5 .
Soluție: Deoarece: 3 x1 3 x 108 3 x 3 3 x 108 3 x 4 108
3 x 27 3 x 33 x 3 .
(3)
Răspunsul corect este a).
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ
10
2007
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere Matematică Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza” 2007 Facultatea de Pompieri 2006 - 2016 3.
Dacă z este o rădăcină a ecuaţiei z 2 2 z 5 0 , atunci z este:
a) 1; b) 4; c) 8; d) 5 ; e) 2; f) 5.
Soluție: Ecuaţia: z2 2 z 5 0
(4)
z1, 2 1 2 i ,
(5)
z1 12 2 5 şi z 2 12 2 2 5 .
(6)
admite soluţiile
în care 2
În concluzie: z z1 z 2 5 .
(7)
Răspunsul corect este d).
4.
Să se calculeze lim x 0
sin mx , m, n N . sin nx
a) mn ; b) 1; c) m n ; d) nu există; e) m n ; f)
m . n
Soluția nr. 1: Din text: 0
sin mx lim m cos mx m lim cos mx m , sin mx 0 lim lim x 0 sin nx x 0 sin nx ' x 0 n cos nx n x0 cos nx n ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ
'
11
2007
(8)
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere Matematică Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza” 2007 Facultatea de Pompieri 2006 - 2016 Deoarece: lim cos mx 1 , () m N ,
(9)
x0
şi lim cos nx 1 , () n N ,
(10)
sin mx, cos mx, sin nx, cos nx ,
(11)
x0
funcţiile
sunt continue pe R . Răspunsul corect este f).
Soluția nr. 2: Se utilizează fără demonstraţie faptul că: sin x 1. x 0 x
(12)
lim
În consecinţă avem: sin mx sin nx 1 şi lim 1 () n, m N * . x 0 x 0 mx nx
(13)
sin mx mx mx m mx lim lim . x 0 sin nx x 0 nx n nx nx
(14)
lim
Atunci: sin mx x 0 sin nx
lim
0 0
Răspunsul corect este f).
5.
Termenul al cincilea al unei progresii geometrice bn , n N * cu primul termen
b1 3 şi raţia 2 este:
a) 48 ; b) 100; c) 20; d) 2007; e) 8; f) 5. ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ
12
2007
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere Matematică Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza” 2007 Facultatea de Pompieri 2006 - 2016 Soluție: Termenul general al unei progresii geometrice este: bn b1 q n1 .
(15)
Atunci termenul al cincilea este: b5 b1 q 4 (3) 2 4 48 .
(16)
Răspunsul corect este a).
6.
Calculaţi f ' 1 dacă f x x arctgx, x R . 1 2
a) ; b) 0; c) 1 2 ; d) 2; e) 1; f) -1.
Soluție: Deoarece: f x
1 1 1 . x arctgx f ' x 2 2 1 x2
(17)
În aceste condiţii: f ' 1 1 .
(18)
Răspunsul corect este e).
Soluție: Dacă C este o rădăcină a ecuaţiei x 2 x 1 0 . Determinantul matricei 1 este: A 1 1
a) -1; b) ; c) 1- i; d) 2; e) 2 ; f) 0.
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ
13
2007
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere Matematică Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza” 2007 Facultatea de Pompieri 2006 - 2016 Soluție: Deoarece C este rădăcină a ecuaţiei: x2 x 1 0 ,
(19)
2 1 0.
(20)
1 , A 1 1
(21)
rezultă că
Deoarece:
Atunci: det. A
1 ( 1) (1) 1 ( 1) 1 2 1 0. 1 1
(22)
Răspunsul corect este f).
8.
Şirul cu termenul general xn
n are limita: 2n
a) 5 ; b) -1; c) 1; d) 2; e) ; f) 0.
Soluție: Deoarece: f (n) n şi g (n) 2 n ,
(23)
sunt funcţii continue şi derivabile pe R , avem
n 1 1 1 lim xn lim n lim n lim n 0 . x x 2 x 2 ln 2 x ln 2 2
Răspunsul corect este f). ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ
14
2007
(24)
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere Matematică Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza” 2007 Facultatea de Pompieri 2006 - 2016 9.
Funcţia f x
a) ln(1 x 2 ) c ; b) ln
1 , x 0, are primitivele: x x 1 x c ; c) x arctgx c ; d) x c ; e) x ln(1 x) c ; f) x ln x c . x 1
Soluție: Din: 1 A B , x( x 1) x x 1
(25)
A 1 şi B 1 .
(26)
rezultă
Atunci: I
1 1 dx dx 1 dx ln x ln x 1 c dx x( x 1) x x 1 x x 1
= ln x ln( x 1) c ln
x c. x 1
(27)
Răspunsul corect este b).
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ
15
2007
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere Matematică Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza” 2008 Facultatea de Pompieri 2006 - 2016 Să se rezolve inecuaţia log 2 (3x) 2 .
1.
4 4 4 a) x , ; b) x 0 , ; c) x 3 ; d) x 1; e) x 0 , 1 0 , ; f) x 0 , 1 .
3
3
3
Soluție: Se stabileşte domeniul maxim de definiţie pentru funcţia logaritm, definită în text. Condiţia este dată de: 3x 0 x 0 x 0 , .
(1)
Se rezolvă ecuaţia din text: log 2 (3x) 2 log 2 (3x) log 2 4 3x 4 x
4 x , 3
4 . 3
(2)
Soluţia ecuaţiei este dată de: x 0 , ,
4 0 , 3
4 . 3
(3)
Răspunsul corect este b).
2.
Să se calculeze numărul: S C86 A62 .
a) S 60 ; b) S 56 ; c) S 2 ; d) S 58 ; e) S 52 ; f) S 48 .
Soluție: S C86 A62
8! 6 ! 6 ! 7 8 4 !5 6 28 30 58 . 6 ! 2 ! 4 ! 6 ! 2 ! 4!
Răspuns corect d). ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ
16
2008
(4)
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere Matematică Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza” 2008 Facultatea de Pompieri 2006 - 2016 3. Se consideră numerele complexe z1 2 2i şi z 2 1 i . Să se calculeze modulul numărului complex z1 z 2 . a) 10; b) 10 ; c) 2 ; d) 5 ; e) 1; f) 3 2 .
Soluție: Conform cerinţei din text: z z1 z 2 3 i .
(5)
Modulul numărului complex z este: z 32 12 10 .
(6)
Răspuns corect b).
4.
Să se calculeze l lim x 1
x3 x2 2 . x 1
a) nu există; b) l 1 ; c) l ; d) l 5 ; e) l 7 ; f) l 3 .
Soluția nr. 1: Limita din text devine: 0
x3 x2 2 0 ( x 3 x 2 2) ' l lim lim lim (3x 2 2 x) 5 . ' x 1 x 1 x 1 x 1 ( x 1)
(7)
Soluția nr. 2: Limita din text devine: 0
( x 1)( x 2 2 x 2) x3 x2 2 0 l lim lim lim ( x 2 2 x 2) 5 . x 1 x 1 x 1 x 1 x 1
Răspunsul corect este d). ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ
17
2008
(8)
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere Matematică Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza” 2008 Facultatea de Pompieri 2006 - 2016 5.
Să se determine numerele reale m şi n astfel încât funcţia f : (0 , ) R ,
ln x, x 0, e să fie derivabilă. f ( x) mx n, x e,
1 e
1 e
1 e
a) m , n 0 ; b) m R , n 1; c) m , n 1; d) m 1 ; n 1; e) m , n R ; 1 e
f) m , n 2 .
Soluție: Studiem derivabilitatea funcţiei în punctul x e . Limita la stânga ( x e) : l s (e) lim f ( x) 1
(9)
l s (e) lim f ( x) m e n
(10)
x e
Limita la dreapta ( x e) : x e
Din relaţiile (9) şi (10) rezultă: m e n 1.
(11)
1 , x 0, e . f ( x) x m, x e,
(12)
Derivata întâi este: /
Atunci: f s/ (e)
1 e
(13)
şi f d/ (e) m .
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ
18
(14)
2008
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere Matematică Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza” 2008 Facultatea de Pompieri 2006 - 2016 În concluzie: m
1 , n 0. e
(15)
Răspunsul corect este a).
x
x
, x R . Să se calculeze suma elementelor Se consideră matricea A x x de pe diagonala principală a matricei A3 .
6.
a) 8 x ; b) x 3 ; c) 8x 3 ; d) 4x 2 ; e) 5x 3 ; f) 0.
Soluție: Cerinţa din text devine: x x x x 2x 2 A 2 A A 2 x x x x 2x 2x 2 A A A 2 2x 3
2
2x 2x 2
2x 2 x x 4x 3 2 x 2 x x 4 x 3
. 4x 3 . 4 x 3
(16)
(17)
Suma elementelor de pe diagonala principală a matricei A3 este egală cu 8x 2 . Răspunsul corect este c).
7.
Fie matricea
2 2 3 A 1 1 0 . Atunci valoarea determinantului inversei 1 2 1
matricei A este: a) 1; b) -1; c) 2; d)
1 ; e) 3; f) 0. 2
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ
19
2008
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere Matematică Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza” 2008 Facultatea de Pompieri 2006 - 2016 Soluție: Matricea transpusă se defineşte ca fiind: 2 1 1 M 2 1 2 . 3 0 1 T
(18)
Matricea adjunctă admite forma: a11 a12 A a 21 a 22 a 31 a32 *
a13 1 4 3 a 23 1 5 3 , a33 1 6 4
(19)
pentru care s-au calculat 1 2 1 ; 0 1
(20)
2 2 4; 3 1
(21)
2 1 3; 3 0
(22)
a 21 1
2 1
1 1 1 ; 0 1
(23)
a 22 1
2 2
2 1 5; 3 1
(24)
a 23 1
2 3
2 1 3; 3 0
(25)
a31 1
31
1 1 1; 1 2
(26)
a32 1
2 1 6 ; 2 2
(27)
a33 1
2 1 4 . 2 1
(28)
a11 1
11
a12 1
1 2
a13 1
1 3
3 2
3 3
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ
20
2008
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere Matematică Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza” 2008 Facultatea de Pompieri 2006 - 2016 Determinantul matricei A este: 2 2 3 det. A 1 1 0 1 . 1 2 1
(29)
În aceste condiţii: 1 4 3 1 5 3 1 4 3 1 6 4 A* 1 1 5 3 . A det. A 1 1 6 4
(30)
Atunci: 1 4 3 det. A 1 5 3 1 . 1 6 4 1
(31)
Răspunsul corect este b).
8.
Fie funcţia f : (0,) R , f ( x) x ln x . Primitiva F a lui f , cu proprietatea
1 F (1) , este: 4
a) F ( x)
x2 x x2 x x2 x2 x2 ln x ; b) F ( x) ; c) F ( x) ln x ; d) F ( x) ln x ; 2 4 4 2 4 2 4
x2 x2 x2 e) F ( x) (ln x 1) ; f) F ( x) ln x . 4 2 4
Soluție: '
x2 x2 1 x2 x2 F ( x) x ln xdx ln x dx ln x x dx ln x c. 2 4 2 2 2
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ
21
2008
(32)
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere Matematică Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza” 2008 Facultatea de Pompieri 2006 - 2016 Din relaţia (32) rezultă: 1 F (1) c . 4
(33)
Din text: 1 F (1) . 4
(34)
Corelând condiţiile, rezultă c 0 . Răspunsul corect este f). Pentru calcule s-au utilizat următoarele: f ' ( x)
f ( x) ln x ;
1 ; x
(35)
şi x2 g ( x) 2 '
9.
'
;
x2 g ( x) . 2
(36)
Aria A a suprafeţei mărginită de parabolele y x 2 , y
x2 şi de dreptele x 0 3
şi x 3 este: 5 4
a) A 1; b) A ; c) A 6 ; d) A 3 ; e) A
11 ; f) A 5 . 4
Soluție: Aria cerută este: 3
3 x2 2 2 x3 A x 2 dx x 2 dx = 6 (u.a.) 3 30 3 3 0 0 3
Răspunsul corect este c). ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ
22
2008
(37)
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere Matematică Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza” 2009 Facultatea de Pompieri 2006 - 2016 1.
Să se determine n astfel încât 1,
C n1 C n2 să fie termeni succesivi ai unei , 2 4
progresii aritmetice. a) 10; b) 8; c) 12; d) 14; e) 6; f) 9.
Soluție: Se consideră termenii succesivi ai unei progresii aritmetice: ... , ak 1 , ak , ak 1 , ... .
(1)
Atunci avem că: 2 ak ak 1 ak 1 C n1 1
4
C n2 4 Cn1 4 Cn2 4
n! n! (n 1) n 4 4n 4 n 2 9n 8 0 . (n 1)! 2 ! (n 2) ! 2
(2) (3)
Ecuaţia admite soluţiile: n1 1 şi n2 8 .
(4)
Datorită condiţiei n 2 impusă de text, se acceptă doar soluţia n 8 . Răspunsul corect este b).
2.
Soluţia reală a ecuaţiei x x 1 x 1 este:
a) 1; b)
1 16 3 ; c) 2; d) ; e) ; f) 0. 5 25 4
Soluția nr. 1: Se impun condiţiile necesare şi suficiente pentru stabilirea domeniului de definiţie al radicalilor: x0 1 x 0 1 1 x 0
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ
x 0,1 x 0,1 x 0,1. 1 1 x 0 1 x 1
23
2009
(5)
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere Matematică Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza” 2009 Facultatea de Pompieri 2006 - 2016 Se consideră funcţia: f (x)
x x 1 x 1.
(6)
Prin încercări se calculează: f (1) 0 ; f (1 5) 0 ; f (16 25) 0 ; f (3 4) 0 ; f (0) 0 .
(7)
Răspunsul corect este d).
Soluția nr. 2: Se impun condiţiile necesare şi suficiente pentru domeniul de definiţie al radicalilor:
x0 x 0,1 1 x 0 1 1 x 0 1 1 x 0
x 0,1 x 0,1. 1 x 1
(8)
Se rezolvă ecuaţia din text, astfel: x x 1 x 1 ( x 1 x ) 2 (1 x ) 2 x 1 x 1 2 x x
x 1 x 1 2 x x (2 x ) 2 (1 1 x ) 2 4 x 1 2 1 x 1 x 4 x 1 2 1 x 1 x (5x 2) 2 (2 1 x ) 2 25x 2 20 x 4 41 x 25x 2 20 x 4 4 4 x 25x 2 16 x 0 x(25x 16) 0 .
(9)
Rezultă: x1 0 ,
(10)
care nu se verifică şi x2
16 , 25
(11)
care se verifică. Răspunsul corect este d). ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ
24
2009
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere Matematică Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza” 2009 Facultatea de Pompieri 2006 - 2016 3.
Să se determine rădăcinile ecuaţiei 9 x1 28 3 x 3 0 .
a) 1 şi 2; b) -1 şi - 2; c) 1 şi -2; d)
1 1 şi 9; e) 3 şi ; f) 1 şi 2. 3 9
Soluție: Ecuaţia se mai scrie: 9 x1 28 3 x 3 0 9 x 9 28 3 x 3 0 9 32 x 28 3 x 3 0 .
(12)
Se notează: y 3 x 9 y 2 28 y 3 0 ,
(13)
pentru care b y
28 26 , 18
(14)
1 . 9
(15)
x1 1 şi x2 2 .
(16)
y1, 2
2a
de unde rezultă y1 3 şi y 2
Revenind la substituţie, rezultă:
Răspunsul corect este c). 4.
1 0 2 Să se determine m, astfel ca 2 m 1 1 . 3 1 3
a) 2 ; b) 2; c) 1; d) -1; e) 0; f) 3.
Soluție: Din text avem: 1 0 2 2 m 1 1 3m 5 1 m 2 . 3 1 3
(17)
Răspunsul corect este a). ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ
25
2009
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere Matematică Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza” 2009 Facultatea de Pompieri 2006 - 2016 5.
2
1
1 0
este: Suma elementelor matricei X din X 1 1 1 0
a) 2; b) 1; c) 3; d) 0; e) 4; f) 5.
Soluție: Ecuaţia este de forma: X A B,
(18)
în care 2 1 1 0 şi B . A 1 1 1 0
(19)
Pentru : X A B,
(20)
înmulţim cu A 1 la dreapta şi rezultă X A A1 B A1 X B A1 .
(21)
Calculăm A 1 . Atunci: det .( A)
2 1 1 0. 1 1
(22)
Matricea transpusă admite forma: 2 1 . AT 1 1
(23)
Matricea adjunctă admite forma: a12 1 1 a , A* 11 a 21 a 22 1 2
(24)
în care a11 1
11
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ
1 1 ;
26
(25) 2009
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere Matematică Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza” 2009 Facultatea de Pompieri 2006 - 2016 a12 1
1 2
a21 1
21
a22 1
2 2
(1) 1 ;
(26)
(1) 1 ;
(27)
2 2.
(28)
În aceste condiţii: 1 1 1 2 1 1 A* 1 A 1 2 . det. A 1
(29)
Atunci: 1 0 1 1 1 1 . X B A1 1 0 1 2 1 1
(30)
Atunci suma elementelor matricei X este egală cu 4. Răspunsul corect este e).
1
6.
( x 3x 2) Să se calculeze lim x 2
a) 1; b) 0; c) e ; d) ; e)
x 2 1
.
h( x)
( x 3x 2)
1 1 ; f) . 2 e
Soluție: Limita este de tipul ( 0 ). Fie: 1
f ( x) g ( x)
2
x 2 1
,
(31)
de unde se poate scrie că f ( x) e h( x )ln g ( x ) ,
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ
27
(32) 2009
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere Matematică Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza” 2009 Facultatea de Pompieri 2006 - 2016 şi deci 1
lim f ( x) lim ( x 3x 2) 2
x 2 1
x
x
lim e h ( x )ln g ( x ) .
(33)
x
Atunci: (ln( x 2 3x 2)) ' ln( x 2 3x 2) lim x x ( x 2 1) ' x2 1
lim
lim
x
2x 3 ( x 2 3x 2) ' 0. lim 3 2 2 ' x 2 x 6 x 2 4 x x 3x 2 ( x 1)
(34)
Răspunsul corect este a).
7.
x2 2
Fie funcţia f : R R , f ( x) e . Să se calculeze f " (1) .
a) e ; b) e ; c)
1 e
; d) 2 e ; e)
2 e
; f) 0.
Soluție: Prima şi a doua derivată sunt: x2 2
x2 2
f ( x ) (e ) x e , '
'
(35)
respectiv x2 2
x2 2
f ( x) ( x e ) (1 x ) e . "
'
2
(36)
Atunci: f " (1) 2 e .
(37)
Răspunsul corect este d). ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ
28
2009
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere Matematică Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza” 2009 Facultatea de Pompieri 2006 - 2016 8.
1
Dacă I 0 1 4
1 2
dx , atunci: ( x 1)( x 2 1)
a) I ln 2 ; b) I ln 16 ; c) I 4
1 1 ; d) I ln 2 ; e) I ln 2 ; 4 2 4 8 8
f) I ln 2 . 8
Soluție: Deoarece: 1 A Bx C 2 1 A( x 2 1) ( Bx C )( x 1) , 2 ( x 1)( x 1) x 1 x 1
(38)
rezultă A C 1; A B 0 ; B C 0 .
(39)
Din: A B 0 B C 0
A B 0 AC 0. B C 0
(40)
Din: AC 1 1 AC . 2 A C 0
(41)
A B 0 1 A 1 B . 2 2
(42)
1 1 1 1 x . 2 ( x 1)( x 1) 2 x 1 2 ( x 2 1)
(43)
Din:
Rezultă atunci că:
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ
29
2009
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere Matematică Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza” 2009 Facultatea de Pompieri 2006 - 2016 Atunci: 1 dx 1 x 1 dx 1 (1 x)dx 1 dx dx 2 2 2 I 0 ( x 1)( x 2 1) 2 0 x 1 2 0 x 1 2 0 x 1 2 0 x 1 2 0 x 1 1
1
1
1
1
1
1 1 1 ln 2 1 ln 2 ln 2 . 2 2 4 2 2 4 8
(44)
Răspunsul corect este e). Pentru calcule s-au utilizat: 1
I1
dx
x 1 ln x 1
1 0
ln 2 ;
(45)
0
1
dx arctg x ; I2 2 4 0 x 1 0 1
(46)
x 1 2x 1 ( x 2 1)' 1 dx 2 dx 2 dx ln( x 2 1) ' dx I3 2 2 0 x 1 2 0 x 1 20 0 x 1 1
1
1
9.
1
1 1 ln 2 ln( x 2 1) . 0 2 2
(47)
Să se determine aria domeniului din plan cuprins între graficele funcţiilor
e x ex e x ex f ( x) şi g ( x) , x [0 , 1] . 2 2 1 e 1 e 1 e2 a) ; b) ; c) 0; d) ; e) 1; f) . 2 e 2e 2e
Soluție: Aria domeniului plan este egală cu: 1 1 1 e x ex e x ex A ( f ( x) g ( x))dx (chx shx) dx 2 2 0 0 0 1
1
e dx ( e x ) ' dx e x (e 1 e 0 ) x
1
0
0
0
dx
e 1 . e
Răspunsul corect este b). ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ
30
2009
(48)
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere Matematică Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza” 2010 Facultatea de Pompieri 2006 - 2016 Se consideră ecuaţia x 2 mx 2 0 cu soluţiile x1 şi x 2 . Să se determine m R astfel încât x12 x22 m 4 .
1.
a) m ( , 0) (1 , ) ; b) m ( , 1] ; c) m ( , 0) (2 , ) ; d) m (0 , 1) ; e) m [1 , 1) ; f) m (2 , ) . Soluție: Aplicăm relaţiile lui Viète: x1 x2
b c m şi x1 x2 2 . a a
(1)
Atunci: x12 x22 ( x1 x2 ) 2 2 x1 x2 m 2 4 m 4 m 2 m 0 .
(2)
Se rezolvă ecuaţia: m2 m 0 ,
(3)
x1 0 şi x2 1 .
(4)
m 2 m 0 m (0 , 1) .
(5)
care admite rădăcinile
În aceste condiţii:
Răspunsul corect este d).
2.
Soluţiile ecuaţiei 9 x 3 x 6 0 sunt:
a) 1 şi 1; b) 1; c) 2 şi 3; d) -2 şi 3; e) 0; f) -3 şi 3. Soluție: Ecuaţia din text se poate scrie: 9 x 3 x 6 0 32 x 3 x 6 0 .
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ
31
(6) 2010
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere Matematică Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza” 2010 Facultatea de Pompieri 2006 - 2016 Se notează: 3x y y 2 y 6 0 .
(7)
Discriminantul ecuaţiei în y este: y b 2 4ac 25,
(8)
iar rădăcinile acesteia sunt: y1, 2
b y 2a
1 5 y1 3 şi y 2 2 . 2
(9)
Revenind la substituţie: 3x 3 x 1,
(10)
3 x 2 x log 3 2 ,
(11)
care se acceptă şi
care nu se acceptă.
Răspunsul corect este b).
3.
Numărul x C64 A52 are valoarea:
a) 35; b) 28; c) 40; d) 11; e) 15; f) 20.
Soluție: x C64 A52
6! 5 ! 4 !5 6 3! 4 5 15 20 35 . 4 ! 2 ! 3! 4 ! 2 ! 3!
Răspunsul corect este a).
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ
32
2010
(12)
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere Matematică Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza” 2010 Facultatea de Pompieri 2006 - 2016
4.
Se consideră matricea
2 2 3 A 1 1 0 . Să se calculeze determinantul 1 2 1
matricei A 2 . a) 0; b) -1; c) 2; d) -2; e) 7; f) 1. Soluție: Avem: 8 9 2 2 3 2 2 3 3 A2 A A 1 1 0 1 1 0 1 3 3 . 1 2 1 1 2 1 1 2 2
(13)
Atunci: 3 8 9 det. A2 1 3 3 1 . 1 2 2
(14)
Răspunsul corect este f).
5.
Modulul numărului complex z (1 i) 8 este:
a) 32; b) 2 8 ; c) 16; d) 38 ; e) 1; f) 0. Soluție: Deoarece: (1 i) 2 2i ,
(15)
atunci z (1 i) 8 = (2i) 4 2 4 i 4 16 1 16.
(16)
Răspunsul corect este c). ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ
33
2010
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere Matematică Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza” 2010 Facultatea de Pompieri 2006 - 2016 Fie funcţia
6.
f :RR,
ax 1 , x 1 . f ( x) 2 7 bx , x 1
Pentru ce valori
a, b R ,
funcţia f este derivabilă pe R? a 6 a 2 ; b) a 2b 0 ; c) ; d) b 12 b 4
a)
a 0 ; e) b 6
a 12 ; f) b 6
a 1 . b 7
Soluție: O funcţie derivabilă este o funcţie continuă. Din condiţia de continuitate în punctul: x 1,
(17)
l s (1) l d (1) ,
(18)
a b 6.
(19)
respectiv
rezultă
Din condiţia de derivabilitate în punctul: x 1,
(20)
f s' (1) f d' (1) ,
(21)
a 2b .
(22)
a 12 , b 6 .
(23)
respectiv
rezultă
Rezultă după calcule:
Răspunsul corect este e). ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ
34
2010
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere Matematică Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza” 2010 Facultatea de Pompieri 2006 - 2016 7.
Fie f ( x) x x 4 e 3 x , x R. Să se calculeze f ' (0).
a) 0; b) 4; c) -1; d) 1 e ; e) 3e 2 ; f) 4 e .
Soluție: Deoarece: f ( x) x x 4 e 3 x ,
(24)
f ' ( x) 1 4 x 3 3e 3 x ,
(25)
f ' (0) 4 .
(26)
atunci
şi
Răspunsul corect este b).
8.
Să se determine m R , m 0 astfel încât
2
mx e
2
ln x
dx
1
1 . m
a) 2; b) 4; c) - ln2; d) ln2; e) 3; f) 1.
Soluție: Se face substituţia: y e ln x x y .
(27)
Atunci: 2
I
mx e
2
ln x
2
dx
1
my e y dy 2
1
2
2 ' 1 e my my 2 dy 2m 1
e 2
my 23
dy '
1
1 1 e 2 m e m e 2m e m 2 0 . 2m m
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ
35
(28)
2010
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere Matematică Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza” 2010 Facultatea de Pompieri 2006 - 2016 Notăm: em t t 2 t 2 0 .
(29)
t e m 2 m ln 2 .
(30)
Se acceptă doar valoarea:
Răspunsul corect este d).
ln x . Să se calculeze aria suprafeţei plane x 1 mărginită de graficul funcţiei f , dreptele x 2 , x e 2 şi axa Ox. e
9.
Fie funcţia f : (0 , ) R , f ( x)
a) 4; b)
e2 1 e2 1 1 2 ; d) e ; e) 0; f ) 4 . ; c) 2 2 2e e 2e
Soluție: Aria cerută este dată de: e2
ln x 2 I dx {ln x) ' ln x dx ln x 1 x
e2 1 e2
e2
ln x dx . 1 x
(31)
e2
e2
Notând: e2
I
ln x dx , 1 x
(32)
e2
rezultă în raport cu relaţia (31) e2
2 I
ln x dx . 1 x
(33)
e2
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ
36
2010
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere Matematică Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza” 2010 Facultatea de Pompieri 2006 - 2016 Atunci: I
1 2 ln x 2
e2 1
e2
1 ln e 2 2
ln e 4. 2
2 2
(34)
Răspunsul corect este a).
Pentru rezolvare, s-a realizat integrarea prin părţi în care: f ( x) ln x ; f ' ( x)
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ
1 ; g ' ( x) (ln x) ' ; g ( x) ln x . x
37
(35)
2010
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere Matematică Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza” 2011 Facultatea de Pompieri 2006 - 2016 1. Determinaţi rădăcina x 2 a ecuaţiei 3x 2 mx 30 0 , unde m R , ştiind că ecuaţia admite rădăcina x1 2 . a) 1; b)
1 1 5 ; c) 0; d) 5; e) ; f) . 3 3 3
Soluție: Fie polinomul: f ( x) 3x 2 mx 30 .
(1)
Dacă x 2 este rădăcină a ecuaţiei din text dată de: 3x 2 mx 30 0 ,
(2)
atunci f ( x2 ) 0 3x22 mx2 30 0 3 2 2 2 m 30 0 ,
(3)
rezultă m 21.
(4)
Înlocuind valoarea astfel determinată în ecuaţia din text, rezultă: 3x 2 21x 30 0 x 2 7 x 10 0 ,
(5)
care admite soluţiile x1 2 şi x2 5 .
(6)
Răspunsul corect este d). 2. Aflaţi suma pătratelor soluţiilor ecuaţiei exponenţiale: 2 2 x1 5 2 x1 2 0 . a) 5; b) 16; c) 4; d) 9; e) 1 3 ; f) 12. Soluția nr. 1: Ecuaţia din text se poate scrie: 2 2 x1 5 2 x1 2 0
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ
22x 2x 5 2 0 22x 5 2 x 4 0 . 2 2
38
2011
(7)
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere Matematică Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza” 2011 Facultatea de Pompieri 2006 - 2016 Se notează: 2x y y2 5 y 4 0 .
(8)
Discriminantul ecuaţiei admite valoarea: y b 2 4ac 9
(9)
cu soluţiile, y1, 2
b y 2a
53 y1 4 şi y 2 1 . 2
(10)
Din: 2 x 4 x1 2 ,
(11)
2 x 1 x2 0 .
(12)
iar din
Soluția nr. 2: Ecuaţia din text, se poate scrie: 2 2 x1 5 2 x1 2 0 2 2 2( x1) 5 2 x1 2 0 .
(13)
2 x 1 y 2 2 2 y 5 2 y 2 0 ,
(14)
Se notează:
care se rezolvă ca în cazul soluţiei nr. 1. În concluzie: x12 x22 4 .
(15)
Răspunsul corect este c).
3.
Fie S mulţimea soluţiilor ecuaţiei log x
36 1 . Atunci: x
1 1 a) S 0 ; b) S 6 , 6; c) S 6; d) S 6, ; e) S ; f) S 36. 6
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ
39
6
2011
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere Matematică Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza” 2011 Facultatea de Pompieri 2006 - 2016 Soluție: Din condiţiile necesare pentru verificarea domeniului maxim de definiţie, avem: x 0 , x 1 ; 36 x 0 ,
(16)
x (0 , ) \ 1.
(17)
de unde rezultă
Soluția nr. 1: Rezolvând ecuaţia avem: 36 log x 1 log x 36 log x x 1 log x 36 2 36 x 2 x1, 2 6 . x
(18)
Se acceptă doar soluţia: x 6 S 6.
(19)
Răspunsul corect este c).
Soluția nr. 2: Utilizând proprietăţile logaritmilor, avem: 36 log x 1 36 x 2 x1, 2 6 . x
(20)
Se acceptă doar soluţia: x 6 S 6.
(21)
Răspunsul corect este c).
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ
40
2011
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere Matematică Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza” 2011 Facultatea de Pompieri 2006 - 2016 4.
Calculaţi numărul a
a) a 9 ; b) a 15 ; c) a
C 42 A43 . 2!
15 ; d) a 14 ; e) 1/3; f) 12. 2
4! 4! C A 2!2! 1! 6 24 15 . a 2 2 2! 2 4
3 4
(22)
Răspunsul corect este b).
5.
1 2
Fie numărul complex z i
3 . Calculaţi r z z , unde z este conjugatul 2
numărului complex z. 1 4
1 2
a) r 2 ; b) r 4 ; c) r 3 ; d) r 1 ; e) r ; f) r .
Soluție: Deoarece: z
1 3 i , 2 2
(23)
z
1 3 i . 2 2
(24)
conjugatul lui z este
Atunci: 2
2 1 1 3 3 3 1 3 1 1. i i r z z i 4 4 2 2 2 2 2 2
Răspunsul corect este d). ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ
41
2011
(25)
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere Matematică Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza” 2011 Facultatea de Pompieri 2006 - 2016
6.
x 1 2 Fie matricea A 1 3 6 , unde m, x R . Determinaţi valoarea lui m astfel 1 m 4
încât determinantul matricei A să nu depindă de x. a) m 2 ; b) m 1 ; c) m 1 ; d) m 3 ; e) m 0 ; f) m 4 .
Soluție: Din text: x 1 2 det. A 1 3 6 12 x 4 6mx 2m 4 (3x 1) 2 m (3x 1) 1 m 4 (3x 1)(2m 4) 2(3x 1)(m 2) .
(26)
Pentru ca determinantul matricei A să nu depindă de x, este necesar şi suficient ca: det. A 0 m 2 .
(27)
Răspunsul corect este a).
7.
Fie o primitivă a funcţiei f : R R , f ( x)
a) 2; b)
2x . Calculaţi valoarea F " (0) . x 11 2
2 2 11 4 ; c) ; d) ; e) 0 ; f) . 11 2 11 121
Soluție: Din text: F ( x) f ( x) dx
' 2x ( x 2 11) ' dx dx ln( x 2 11) dx ln( x 2 11) c . (28) 2 2 x 11 x 11
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ
42
2011
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere Matematică Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza” 2011 Facultatea de Pompieri 2006 - 2016 În aceste condiţii:
'
F ' ( x) ln( x 2 11)
2x f ( x) , x 11
(29)
2
respectiv 22 2 x 2 2x . F ( x) f ( x) 2 2 2 x 11 ( x 11) '
"
'
(30)
Atunci: F " (0)
22 2 . 121 11
(31)
Răspunsul corect este b).
8. Calculaţi aria domeniului plan mărginit de graficul funcţiei f ( x) x e 3 x , axa Ox, dreapta x 0 şi dreapta x 1. 3e 3 1 2e 3 1 2e 3 e3 2e 3 1 e3 1 a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) . 9 3 9 3 9 9
Soluție: Integrala care trebuie calculată este: 1 1 1 3 1 3x 1 1 3x ' 3x 1 3x I x e dx x (e ) dx = x e e dx e e dx 0 30 3 0 0 0 3 1
3x
1 1 2e 3 1 1 1 = e 3 e 3 x dx e 3 (e 3 1) = . 3 9 3 30 9 1
(32)
Răspunsul corect este d). Pentru rezolvare, s-a utilizat integrarea prin părţi:
'
f ( x) x ; f ' ( x ) 1 ; g ' ( x ) e 3 x ; g ' ( x) e 3 x
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ
43
(33)
2011
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere Matematică Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza” 2011 Facultatea de Pompieri 2006 - 2016 şi 1
'
1
1 1 I 1 e dx (e 3 x ) dx (e 3 1) . 30 3 0 3x
9.
(34)
x 2 mx n, x 0 . Determinaţi parametrii reali m 2 x 1 x0 e ,
Fie funcţia f : R R , f ( x)
şi n astfel încât funcţia f să fie derivabilă pe R. 2 e
1 e
1 e
2 e
2 e
2 e
1 e
1 e
1 e
1 e
a) m , n ; b) m , n ; c) m , n ; d) m e , n ; e) m 2e , n ; f) m , n .
Soluție: Studiem continuitatea în punctul x 0 . Limita la stânga acestui punct, este egală cu: l s lim f ( x) lim ( x 2 mx n) n . x 0 x 0
(35)
x 0 x 0
Limita la dreapta acestui punct este egală cu: l d lim f ( x) lim e 2 x 1 x 0 x 0
x 0 x 0
1 . e
(36)
Din condiţia: 1 . e
ls ld n
(37)
Studiem derivabilitatea funcţiei din text: 0
( x 2 mx) ' f ( x) f (0) x 2 mx 0 lim (2 x m) m . f s' (0) lim lim lim x 0 x 0 x 0 x 0 x0 x ( x) ' x 0
x 0
x 0
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ
44
x 0
2011
(38)
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere Matematică Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza” 2011 Facultatea de Pompieri 2006 - 2016 f d' (0) lim x 0 x 0
f ( x) f (0) (e 2 x 1 e 1 ) ' 2 lim 2 e 2 x 1 . lim ' x 0 x 0 x0 e ( x) x 0
(39)
x 0
Condiţia necesară şi suficientă pentru ca funcţia să fie derivabilă în punctul x 0 este dată de: f s' (0) f d' (0) m
2 . e
(40)
Răspunsul corect este a).
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ
45
2011
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere Matematică Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza” 2012 Facultatea de Pompieri 2006 - 2016 1. Fie x1 , x 2 rădăcinile ecuaţiei x 2 (m 1) x m 0 . Să se determine toate valorile parametrului real m astfel încât x12 x22 10 . a) m 1, 3; b) m 0 , 3; c) m 1,1; d) m 2 , 2 ; e) m 2; f) m 3.
Soluția nr. 1: Relaţiile lui Viéte sunt: x1 x2
b m 1, a
(1)
c m. a
(2)
respectiv x1 x 2
Atunci: x12 x22 ( x1 x2 ) 2 2 x1 x2 (m 1) 2 2m m 2 1 10 m 2 9 ,
(3)
de unde rezultă că m 3.
(4)
Soluția nr. 2: Deoarece x1 , x 2 sunt rădăcinile ecuaţiei: x 2 (m 1) x m 0 ,
(5)
x12 (m 1) x1 m 0 ,
(6)
x22 (m 1) x2 m 0 .
(7)
rezultă
respectiv
Adunând membru cu membru ultimele ecuaţii, rezultă: x12 x22 ( x1 x2 ) (m 1) 2 m 0 x12 x22 (m 1) 2 2 m 0 ,
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ
46
2012
(8)
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere Matematică Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza” 2012 Facultatea de Pompieri 2006 - 2016 de unde x12 x22 (m 1) 2 2 m m 2 1 10 m 2 9 ,
(9)
astfel că m 3.
(10)
Răspunsul corect este f).
3
2.
1 3 Calculaţi a i . 2 2 1 2
a) a i ; b) a 1; c) a i 1; d) a ; e) a 1 i 3 ; f) a 2 i .
Soluția nr. 1: Din text avem: 3
1 3 1 3 1 3 1 3 i i i 1. a i 2 2 2 2 2 2 2 2
(11)
Răspunsul corect este b).
Soluția nr. 2: Se utilizează relaţia lui Moivre: (cos i sin ) n cos n i sin n , n N .
(12)
Atunci: 3
3 1 3 cos i sin cos i sin 1 i 0 1 . a i 2 3 3 2
Răspunsul corect este b). ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ
47
2012
(13)
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere Matematică Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza” 2012 Facultatea de Pompieri 2006 - 2016 Soluția nr. 3: Din text: 3
3 1 3 1 1 a i 1 i 3 (1 i 3 ) 3 2 8 2 2
1 (1 i 3 ) (1 i 3 ) (1 i 3 ) 1 . 8
(14)
Răspunsul corect este b).
3.
Să se determine mulţimea soluţiilor ecuaţiei: 32 x4 10 3 x3 1 0 .
a) 3; b) 1; 5; c) 2 ; 2 ; d) 1; 3 ; e) 0 ;1; f) 0 ; 4.
Soluția nr. 1: Ecuaţia din text se poate scrie: 3
2 x 4
10 3
x 3
32 x 3x 1 0 4 10 3 1 0 32 x 30 3 x 81 0 . 3 3
(15)
Se notează: 3 x y y 2 30 y 81 0 .
(16)
Soluţiile ecuaţiei sunt: y1, 2
b 30 3 , 2a 2
(17)
de unde rezultă y1 27 şi y 2 3 .
(18)
3 x 27 x1 3 ,
(19)
Din:
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ
48
2012
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere Matematică Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza” 2012 Facultatea de Pompieri 2006 - 2016 iar din 3 x 3 x2 1
(20)
Răspunsul corect este d).
Soluția nr. 2: Ecuaţia din text se poate scrie: 32 x4 10 3 x3 1 0 32( x 2)
10 x 2 3 1 0 3 32( x2) 10 3 x2 3 0 . 3
(21)
Se notează: 3 x 2 y 3 y 2 10 y 3 0 ,
(22)
de unde y1, 2
b y 2a
10 8 , 6
(23)
de unde rezultă y1 3 şi y 2 31 .
(24)
3 x2 3 x1 3 ,
(25)
3 x2 31 x2 1 .
(26)
Din
iar din
Răspunsul corect este d).
4.
Găsiţi toate numerele naturale k pentru care C6k 16 .
a) 1,3,5; b) 0,2,4,6; c) 0,1,2,4,5,6; d) 3; e) 1,2,7; f) 0,3,6.
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ
49
2012
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere Matematică Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza” 2012 Facultatea de Pompieri 2006 - 2016 Soluție: Condiţia necesară este dată de: 6 k, kN.
(27)
Condiţia de suficienţă este dată de verificarea valorilor lui k în inecuaţie. Din condiţia de necesar: 6 k, kN,
(28)
rezultă k 0 ,1, 2, 3, 4, 5, 6.
(29)
Pentru realizarea condiţiei de suficienţă se verifică valorile numerice ale lui k în inecuaţie. Atunci: 6! 1 16 ; 0! 6!
(30)
6! 6 16 ; 1! 5!
(31)
k 0 C6k C60 k 1 C6k C61
k 2 C6k C62
6! 15 16 ; 2! 4!
(32)
k 3 C6k C63
6! 20 16 ; 3! 3!
(33)
k 4 C6k C64
6! 15 16 ; 4! 2!
(34)
k 5 C6k C65
6! 6 16 ; 5!1!
(35)
k 6 C6k C66
6! 1 16 . 0! 6!
(36)
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ
50
2012
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere Matematică Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza” 2012 Facultatea de Pompieri 2006 - 2016 În concluzie, soluţia inecuaţiei din text este: k 0 , 1, 2 , 4 , 5, 6.
(37)
Răspunsul corect este c).
5.
Să se determine valorile parametrului real m pentru care sistemul x m y z 1 x y m z 2 2 x y 3 z 3
este compatibil determinat. a) m R \ 1,2; b) m 0,5; c) m 1 ; d) m 2 ; e) m R \ 0,1; f) m R \ 0,2.
Soluție: Se notează cu A matricea sistemului din text. Pentru ca sistemul să respecte cerinţa din text, este necesar şi suficient ca: det. A 0 .
(38)
În aceste condiţii: 1 m 1 det. A 1 1 m 0 . 2 1 3
(39)
Rezultă: m(m 1) 0 ,
(40)
m 0,1 m R \ 0,1.
(41)
sau
Răspunsul corect este e). ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ
51
2012
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere Matematică Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza” 2012 Facultatea de Pompieri 2006 - 2016 6.
Fie X M 2 ( R) soluţia ecuaţiei matriciale: 1 2 7 7 X . 2 1 8 2
Calculaţi determinantul D al matricei X. a) D 14 ; b) D 25 ; c) D 4 ; d) D 7 ; e) D 3 ; f) D 5 .
Soluție: Se consideră: 1 2 A 2 1
(42)
7 7 . B 8 2
(43)
A X B.
(44)
şi
Se poate scrie că:
Înmulţim ecuaţia anterioară la stânga cu A 1 şi rezultă: A1 A X A1 B X A1 B ,
(45)
1 0 , A 1 A A A 1 I 2 0 1
(46)
în care
A 1 este matricea inversă pe care trebuie să o evaluăm şi I 2 este matricea unitate care
reprezintă un element neutru în raport cu operaţia de înmulţire a matricelor în mulţimea M 2 ( R) . Calculăm inversa matricei A.
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ
52
2012
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere Matematică Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza” 2012 Facultatea de Pompieri 2006 - 2016 Matricea transpusă este definită prin: 1 2 . AT 2 1
(47)
a12 a , A* 11 a 21 a 22
(48)
a11 (1)11 1 1 ;
(49)
a12 (1)12 2 2 ;
(50)
a21 (1) 21 2 2 ;
(51)
a22 (1) 22 1 1 .
(52)
1 2 . A* 2 1
(53)
Se defineşte matricea:
în care
Deci:
Atunci matricea inversă admite exprimarea: A1
A* A* 1 1 2 . det .( A) 3 3 2 1
(54)
Atunci: 1 1 2 7 7 3 1 . X A1 B 3 2 1 8 2 2 4
(55)
În concluzie: D det .( X )
3 1 12 (2) 14 . 2 4
(56)
Răspunsul corect este a). ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ
53
2012
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere Matematică Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza” 2012 Facultatea de Pompieri 2006 - 2016 7. Fie f : R R , f ( x) ( x 2 mx 1) e x . Găsiţi toate valorile parametrului real m pentru care funcţia f admite două puncte de extrem. a) m 1 ; b) m 0 ; c) m 0 ; d) m 2 ; e) m 1 ; f) m 0 .
Soluție: Determinarea extremelor funcţiei f pentru care nu se specifică natura lor, implică analiza şi evaluarea expresiei: f / ( x) 0 .
(57)
Deci: f / ( x) 0 x 2 (m 2) x m 1 0 .
(58)
Pentru a avea două puncte de extrem, este necesar, dar nu şi suficient să existe x1 , x 2 pentru care x1 x2 . Studiind semnul funcţiei: f / ( x) 0 ,
(59)
rezultă că între rădăcini avem semnul () , iar în afara lor semnul () , astfel că există două extreme, primul de maxim, al doilea de minim, nefiind astfel nevoie să se mai calculeze derivata a doua, prin intermediul căreia în general, se determină natura extremelor. Condiţia de suficienţă este dată de: x 0.
(60)
Calculând pe x , rezultă: x b 2 4 a c (m 2) 2 4 1 (m 1) m 2 0 ,
(61)
care este adevărată pentru m 0 m R \ 0.
(62)
Răspunsul corect este c). ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ
54
2012
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere Matematică Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza” 2012 Facultatea de Pompieri 2006 - 2016 1
Să se calculeze integrala: I x 2011 1 x 2012dx .
8.
0
a) I
1 2 2 1 3 2 2 1 ; b) I 1 ; c) I ; d) I ; e) I ; f) I 0 . 2012 3018 2 1006
Soluția nr. 1: Se face schimbarea de variabilă: t 1 x 2012 dt 2012 x 2011dx .
(63)
Atunci: 1
2
0
1
I x 2011 1 x 2012 dx x 2011 t
1 2 t3 2012 3
2
1
2
dt 1 t dt 2011 2012 1 2012 x
2 2 1 . 3018
(64)
Răspunsul corect este a). Soluția nr. 2: Se face schimbarea de variabilă: t x 2012 dt 2012 x 2011dx .
(65)
Atunci: 1
1
0
0
I x 2011 1 x 2012 dx x 2011 1 t
1
dt 1 1 t dt. 2011 2012 0 2012 x
(66)
Se face schimbarea de variabilă: 1 t y dt dy .
(67)
Atunci: 1
2
1 1 1 2 I 1 t dt y dy y3 2012 0 2012 1 2012 3
2 1
2 2 1 . 3018
Răspunsul corect este a). ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ
55
2012
(68)
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere Matematică Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza” 2012 Facultatea de Pompieri 2006 - 2016 Să se calculeze aria domeniului plan mărginit de graficul funcţiei f : R R ,
9. f ( x)
x , axa 0x şi dreptele x 1 şi x 2 . x 3 2
1 2
1 2
7 4
a) 1 ln 7 ; b) ln ; c) 1 3 ; d) 5 ; e) ln 2 ; f) ln .
Soluția nr. 1: Aria domeniului plan este egal cu: x 1 2x 1 ( x 2 3) / dx 2 dx f ( x) F ( x) dx 2 dx 2 2 1 x 3 2 1 x 3 1 x 3 1 3
2
2
2
2
/
2 1 1 1 7 ln( x 2 3) dx ln( x 2 3) ln . 1 2 1 2 2 4
(69)
Răspunsul corect este f).
Soluția nr. 2: Se face schimbarea de variabilă: t x 2 dt 2 xdx .
(70)
Atunci, aria domeniului plan este egal cu: dt 4 4 1 dt 1 (t 3) / 2 f ( x) F ( x) dx dt t 3 2 1 t 3 2 1 t 3 1 1 4
3
4
/
1 1 1 7 4 ln(t 3) dt ln(t 3) 1 ln . 2 1 2 2 4
(71)
Răspunsul corect este f).
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ
56
2012
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere Matematică Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza” 2013 Facultatea de Pompieri 2006 - 2016 1.
Aflaţi mulţimea M a tuturor valorilor parametrului real a pentru care matricea
a 1 nu este inversabilă. A 1 a
a) M 2; b) M 0; c) M 4,4; d) M 1,1; e) M 2; f) M 3. Soluție: Condiţia necesară şi suficientă este dată de: det.( A) 0
a 1 0 a 2 1 0 a 1, 1. 1 a
(1)
Răspunsul corect este d).
2.
ax b, x 0 şi S a 2 b 2 . Determinaţi valoarea x 1 , x 0
Fie funcţia f : R R , f x
lui S, în cazul în care f este derivabilă. a) S 0 ; b) S 2 ; c) S 2 ; d) S 3 ; e) S 1; f) S 1 .
Soluție: O funcţie derivabilă este întotdeauna o funcţie continuă. Studiem continuitatea funcţiei f în punctul x 0 . Atunci, limitele la stânga şi la dreapta punctului definit de text sunt: l s lim f ( x) lim (ax b) b ,
(2)
l d lim f ( x) lim ( x 1) 1 .
(3)
x 0 x 0
x 0 x 0
şi x 0 x. 0
x 0 x 0
Din condiţia că l s l d , se deduce că funcţia f este continuă în punctul x 0 dacă şi numai dacă b 1 . ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ
57
2013
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere Matematică Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza” 2013 Facultatea de Pompieri 2006 - 2016 Studiem derivabilitatea funcţiei f în punctul x 0 : f ( x) f (0) ax lim a, x 0 x x0
(4)
f ( x) f (0) x 11 x lim lim 1 . x 0 x 0 x 0 x x0
(5)
f s' (0) lim x 0 x 0
x 0
şi f d' (0) lim x 0 x 0
x 0
x 0
Condiţia necesară şi suficientă pentru ca funcţia să fie derivabilă în punctul x 0 este dată de: f s' (0) f d' (0) a 1 .
(6)
S a2 b2 2 ,
(7)
În aceste condiţii,
Răspunsul corect este b).
3. a)
Valoarea limitei lim n
n2 n
este:
n4 1
1 ; b) 1 ; c) 4 ; d) 2 ; e) 1; f) 0 . 2
Soluție: Deoarece n 0 , rezultă: 1 1 n 2 1 1 n n n n n n 1. lim lim lim lim 4 n n n n 1 1 1 n 1 1 4 n2 1 4 n 4 1 4 n n n 2
2
Răspunsul corect este b). ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ
58
2013
(8)
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere Matematică Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza” 2013 Facultatea de Pompieri 2006 - 2016 4.
Determinaţi mulţimea D R a tuturor valorilor parametrului real a 1 pentru
x y a 1 1 care sistemul liniar este compatibil determinat. x a 1 y 1
a) D 1, ; b) D 1, ; c) D 1,0 0, ; d) D 1,0 0, ; e) D 1, ; f) D 1,0 .
Soluția nr. 1: Pentru ca sistemul să fie compatibil determinat este necesar şi suficient să fie îndeplinită condiţia: 1 a 1
a 1 0 1 a 1 0 a 1 1 a 0 . 1
(9)
Din condiţiile: a 0 şi a 1 ,
(10)
D a 1, \ 0 1, .
(11)
x y a 1 1 x a 1 y 1
(12)
rezultă
Soluția nr. 2: Se rezolvă sistemul:
prin eliminarea termenului x din prima ecuaţie a sistemului x a 1 y a 1 1 / ( a 1) x y a 1 1 / ( a 1) x a 1 y 1 x a 1 y 1 x a 1 y (a 1) a 1 . x a 1 y 1
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ
59
(13) 2013
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere Matematică Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza” 2013 Facultatea de Pompieri 2006 - 2016 Adunând membru cu membru ecuaţiile din sistem rezultă: ay 1 a 1 y
a 1 1 . a
(14)
Din sistemul de ecuaţii: x y a 1 1 a 1 1 y a
(15)
a 1 1 . a
(16)
rezultă x
În concluzie, rădăcinile sistemului sunt: x
a 1 1 a
(17)
a 1 1 . a
(18)
şi y
Pentru ca sistemul să fie compatibil determinat, este necesar şi suficient ca rădăcinile sale să îndeplinească simultan condiţiile: a 1 . a0
(19)
În concluzie: D a 1, 0 1, 0 0 , .
(20)
Răspunsul corect este c).
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ
60
2013
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere Matematică Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza” 2013 Facultatea de Pompieri 2006 - 2016 1
5.
Calculaţi integrala definită I 4 0
x
x 2
1
2
dx .
a) I 4 ; b) I 4 ; c) I 2 ; d) I 2 ; e) I 1 ; f) I 1 .
Soluția nr. 1: 1
1
x
1
1
x 2 xdx dt I 4 dx 4 2 dx 2 2 2 2 2 2 2 x2 1 0 0 ( x 1) 1 ( x 1) 0 (t 1)
'
2 1 dy 2 2 2 dy 1. y 1 y 1 2
(21)
Pentru calcule s-a utilizat substituţia: t x 2 ; dacă x 0 t 0 .
(22)
x 1 t 1 şi dt 2 xdx .
(23)
Dacă:
Pentru: t 1 y cu t 0 y 1 şi t 1 y 2 şi dt dy .
(24)
Răspunsul corect este e).
Soluția nr. 2: 1
1
1
1
x 2 xdx dt I 4 dx 4 2 dx 2 2 2 2 2 2 2 x2 1 0 0 ( x 1) 1 ( x 1) 0 (t 1)
x
'
1
1 1 2 dt 2 1. t 1 t 1 0 1
(25)
Pentru calcule s-a utilizat substituţia: t x 2 ; dacă x 0 t 0 .
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ
61
(26) 2013
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere Matematică Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza” 2013 Facultatea de Pompieri 2006 - 2016 Dacă: x 1 t 1 şi dt 2 xdx .
(27)
Răspunsul corect este e).
Soluția nr. 3: '
2
x 2 xdx dt 1 1 I 4 dx 4 2 dx 2 2 2 2 2 dt 2 1. 2 2 2 t t 1 x 1 0 0 ( x 1) 1 t 1 t 1 1
x
1
2
2
3
(28)
Pentru calcule s-a utilizat substituţia: t x 2 1 ; dacă x 0 t 1 .
(29)
x 1 t 2 şi dt 2 xdx .
(30)
Dacă:
Răspunsul corect este e).
6.
Derivata funcţiei f : R R , f x x 3 3 x este:
a) f x
x2 x2 x 2 x 2 x 3 ln 3 ; b) f x 3x 3 ; c) f x x 3 ln 3 ; d) f x 3x ; 4 4
e) f x 3x 2 3 x ln 3 ; f) f x x 2 3 x .
Soluție: Din calcul rezultă: f ' ( x) ( x 3 3 x ) ' 3x 2 3 x ln 3.
(31)
Răspunsul corect este e).
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ
62
2013
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere Matematică Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza” 2013 Facultatea de Pompieri 2006 - 2016 7.
Aflaţi mulţimea M a tuturor valorilor parametrului real m pentru care funcţia
m ln x, x 1, este continuă. f : (0,) R , f x x 1, x 0,1
a) M 1; b) M 0; c) M 1; d) M 0, ; e) M R ; f) M R \ 0.
Soluție: Studiem continuitatea funcţiei f în punctul x 1. Atunci: l s lim f ( x) lim ( x 1) 0
(32)
l d lim f ( x) lim m ln x m 0 .
(33)
x 1 x 1
x 1 x 1
şi x 1 x.1
x 1 x 1
Din condiţia l s l d se deduce că funcţia f este continuă în punctul x 1 dacă şi numai dacă m R .
Răspunsul corect este e).
8.
Fie L lim x 2 1 2
a) L ; b) L
x2 . Aflaţi valoarea numărului L. x 4 16
1 1 1 1 ; c) L ; d) L ; e) L ; f) L . 64 16 32 4
Soluția nr. 1: 0
x 2 0 x2 1 1 L lim 4 lim lim . 2 2 x 2 x 16 x 2 ( x 2)( x 2)( x 4) x 2 ( x 2)( x 4) 32
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ
63
2013
(34)
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere Matematică Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza” 2013 Facultatea de Pompieri 2006 - 2016 Soluția nr. 2: Utilizăm regula lui L’Hospital: 0
( x 2) ' 1 1 x 2 0 lim 3 . L lim 4 lim 4 ' x 2 4 x x 2 x 16 x 2 ( x 16) 32
(35)
Răspunsul corect este f).
9.
Mulţimea tuturor soluţiilor inecuaţiei log x1 1 x 1 2 x 0 este:
a) 1,2 ; b) 1 ; c) 1,2; d) 1,2 ; e) 1,2; f) 1,2 .
Soluție: Se impun condiţiile care relevă existenţa domeniului maxim de definiţie pentru toate funcţiile: - pentru logaritm,
x 0 , /1;
(36)
- pentru radicali, x 1 0 . 2 x 0
(37)
Din condiţiile de mai sus rezultă: x 0, /1 x 1, x 1, 2. x , 2
(38)
Rezolvarea inecuaţiei din text implică: x 1 2 x 0
(39)
care este adevărată x 1,2 . În concluzie, răspunsul corect este f). ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ
64
2013
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere Matematică Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza” 2014 Facultatea de Pompieri 2006 - 2016 1.
Mulţimea soluţiilor ecuaţiei x 2 4 este:
a) 0 , 3; b) 2 , 6; c) 1, 5; d) 4 ,7; e) 1, 3; f) 2 , 8.
Soluția nr. 1: Conform textului avem: x 2 4 x 2 4 x1 6 , x2 2 .
(1)
x 2; 6.
(2)
x 2 , x 2 x 2 , x 2 , x2 . 2 x , x 2 2 x , x , 2
(3)
x 2 x 2 , pentru x 2 , .
(4)
În concluzie:
Răspunsul corect este b).
Soluția nr. 2: Se explicitează modulul:
Cazul nr. 1:
Ecuaţia din text devine: x 2 4 x 2 4 x1 6 2, ,
(5)
deci x1 6 este soluţie a ecuaţiei din text.
Cazul nr. 2: x 2 2 x , pentru x , 2 .
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ
65
(6) 2014
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere Matematică Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza” 2014 Facultatea de Pompieri 2006 - 2016 Ecuaţia din text devine: x 2 4 2 x 4 x2 2 , 2 ,
(7)
deci x2 2 ,
(8)
x 2; 6.
(9)
este soluţie a ecuaţiei din text. În concluzie:
Răspunsul corect este b).
Soluția nr. 3: Conform textului avem: x2 4
x 22
4
x 2 4x 4 4 .
(10)
Ridicând la puterea a doua ultima relaţie, obţinem: x 2 4 x 4 16 x 2 4 x 12 0 .
(11)
Discriminantul ecuaţiei este: x b 2 4ac 4 4 1 12 64 . 2
(12)
Rădăcinile ecuaţiei sunt: x1, 2
b x 2a
48 . 2
(13)
În concluzie: x 2 ; 6.
(14)
Răspunsul corect este b). ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ
66
2014
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere Matematică Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza” 2014 Facultatea de Pompieri 2006 - 2016 Soluția nr. 4: Se consideră funcţia: f ( x) x 2 4 , f : R R .
(15)
Se verifică din grilă, valorile numerice ale lui x pentru care: f ( x) 0 .
(16)
Se observă că, singurele valori sunt: x 2 , x 6 .
(17)
x 2 ; 6.
(18)
În concluzie:
Răspunsul corect este b).
Soluția nr. 5: Se realizează graficul funcţiilor: x 2 , x 2 x 2 , x 2 , f ( x) x 2 2 x , x 2 2 x , x , 2
(19)
şi g ( x) 4 .
(20)
Soluţiile ecuaţiei din text sunt date de intersecţia celor două grafice:
2; 6 x R f ( x) g ( x).
(21)
Răspunsul corect este b). ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ
67
2014
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere Matematică Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza” 2014 Facultatea de Pompieri 2006 - 2016 Soluția nr. 6: Se rezolvă ecuaţia: f ( x) x 2 4 0 .
(22)
x 6, x 2 x 2 , x 2 , . f ( x) x 2 4 2 x , x 2 2 x , x , 2
(23)
Cazul nr. 1: Pentru: f ( x) x 6 , x 2; ,
(24)
ecuaţia din text devine: f ( x) 0 x 6 2; ,
(25)
deci x1 6 ,
(26)
este soluţie a ecuaţiei din text.
Cazul nr. 2: Pentru: f ( x) 2 x , x ; 2 .
(27)
Ecuaţia din text devine: f ( x) 0 x 2 2; ,
(28)
x2 2 ,
(29)
deci
este soluţie a ecuaţiei din text. ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ
68
2014
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere Matematică Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza” 2014 Facultatea de Pompieri 2006 - 2016 În concluzie: x 2 ; 6.
(30)
y x2.
(31)
y 4 y 4 y1 6 , y 2 2 .
(32)
Răspunsul corect este b).
Soluția nr. 7: Notăm:
Conform textului avem:
Revenind la substituţie, rezultă: x 2; 6.
(33)
Răspunsul corect este b).
2.
Suma soluţiilor ecuaţiei x 2 11x 24 0 este:
a) -3; b) 0; c) 1; d) 5; e) -7; f) -11.
Soluția nr. 1: Discriminantul ecuaţiei este: x b 2 4ac 112 4 1 24 25 .
(34)
Rădăcinile ecuaţiei sunt: x1, 2
b x
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ
2a
69
11 5 . 2
(35)
2014
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere Matematică Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza” 2014 Facultatea de Pompieri 2006 - 2016 În concluzie, rădăcinile ecuaţiei sunt: x 8 ; 3.
(36)
Suma soluţiilor ecuaţiei din text este egală cu valoarea 11. Răspunsul corect este f).
Soluția nr. 2: Ecuaţia din text este o ecuaţie de gradul doi. Conform teoriei, orice ecuaţie de grad doi se poate scrie sub forma: x 2 Sx P 0 ,
(37)
S x1 x2 ,
(38)
în care
reprezintă suma rădăcinilor ecuaţiei din text şi P x1 x2 ,
(39)
reprezintă produsul rădăcinilor ecuaţiei. Rezultă: S 11.
(40)
f ( x) x 2 11x 24 , f : R R .
(41)
Răspunsul corect este f). Soluţia nr. 3: Se consideră funcţia:
Se verifică din grilă, valorile lui x pentru care: f ( x) 0 .
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ
70
(42) 2014
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere Matematică Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza” 2014 Facultatea de Pompieri 2006 - 2016 Singurele valori care se acceptă sunt: x 8 , x 3 ,
(43)
S 11.
(44)
astfel că Răspunsul corect este f).
3.
Fie funcţia f : R R , f ( x) 3x 2 e x . Atunci:
a) f ' (0) 3 ; b) f ' (0) 3 ; c) f ' (0) 0 ; d) f ' (0) 1; e) f ' (0) 1; f) f ' (0) 2 . Soluţie: Derivata întâi admite expresia:
'
(45)
f ' (0) 1.
(46)
f ' ( x) 3x 2 e x 6 x e x .
Atunci Răspunsul corect este e).
4.
Fie polinomul P( x) x 4 2 x 2 ax b ; pentru ce valori ale lui a şi b, polinomul
P este divizibil cu polinomul x 2 1 ? a) a 2 , b 1 ; b) a 1, b 2 ; c) a 1 , b 0 ; d) a 2 , b 0 ; e) a 3 , b 2 ; f) a 0 , b 1 . Soluţia nr. 1: Deoarece, polinomul din text este divizibil cu x 2 1 , acesta este divizibil în mod separat cu x 1 , respectiv cu x 1 , deci: P(1) 0 ,
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ
71
(47) 2014
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere Matematică Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza” 2014 Facultatea de Pompieri 2006 - 2016 respectiv P(1) 0 .
(48)
P(1) 0 a b 1 0 ,
(49)
P(1) 0 b a 1 0 .
(50)
Atunci:
respectiv
Rezolvând sistemul de ecuaţii (49) şi (50) rezultă: a 0 , b 1.
(51)
Polinomul căutat admite expresia:
2
P( x) x 4 2 x 2 1 x 2 1 .
(52)
Răspunsul corect este f).
Soluţia nr. 2: Se fac notaţiile: deîmpărţit D x 4 2 x 2 ax b ,
(53)
împărţitor Î x 2 1 .
(54)
Deoarece, polinomul din text este divizibil cu x 2 1 , atunci: D C Î R,
(55)
în care cât C x 2 1 ,
(56)
şi rest R ax b 1 0 . ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ
72
(57) 2014
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere Matematică Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza” 2014 Facultatea de Pompieri 2006 - 2016 Rezolvând ecuaţia (59) rezultă: a 0 , b 1.
(58)
Răspunsul corect este f).
5.
Valoarea determinantului
3 1 este: 2 2
a) 6; b) 0; c) 1; d) 2; e) 5; f) 4. Soluţia nr. 1: Conform cu noţiunile de teorie care rezidă din algebră, rezultă: 3 1 3 2 2 1 6 2 4 . 2 2
(59)
Răspunsul corect este f). Soluţia nr. 2: Conform cu cerinţa textului, un alt mod de a calcula determinantul este: 3 1 3 2 (1)11 1 2 (1)1 2 6 2 4 . 2 2
(60)
Răspunsul corect este f).
6.
Mulţimea soluţiilor inecuaţiei x 2 5x 4 0 este:
a) 0 , 2 ; b) 3 , 0 ; c) 1, 0 ; d) 1, 4 ; e) 2 , 5 ; f) 1, 3 . Soluție: Se rezolvă ecuaţia: x 2 5x 4 0 .
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ
73
(61) 2014
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere Matematică Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza” 2014 Facultatea de Pompieri 2006 - 2016 Discriminantul ecuaţiei este: x b 2 4ac (5) 2 4 1 4 9 .
(62)
Rădăcinile ecuaţiei sunt: x1, 2
b x 53 . 2a 2
(63)
x1 4 , x2 1 .
(64)
Rădăcinile ecuaţiei sunt:
Deoarece, între rădăcini avem semnul minus, rezultă: x 1, 4 .
(65)
Răspunsul corect este d).
Aria cuprinsă între graficul funcţiei f ( x) x 2 1 , axa Ox şi dreptele verticale x 0 şi x 3 este:
7.
a) 4; b)10; c) 14; d) 6; e) 5; f) 12.
Soluție: Aria cerută este egală cu: 3
A 0
3
03 x3 33 3 0 12 . u.a. x 1 dx x 3 3 3 0
2
Răspunsul corect este f).
8.
Mulţimea soluţiilor ecuaţiei 2 x x 4 este: 2
1 1 1 1 a) , ; b) 0 , 2; c) 1, 3 ; d) 3 ,3; e) , ; f) 2 ,1. 2
3
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ
2 3
74
2014
(66)
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere Matematică Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza” 2014 Facultatea de Pompieri 2006 - 2016 Soluție: Conform cu textul, rezultă: 2x
2
x
4 2x
2
x
22 x 2 x 2 x 2 x 2 0 .
(67)
Discriminantul ecuaţiei este: x b 2 4ac 12 4 1 (2) 9 .
(68)
Rădăcinile ecuaţiei sunt: x1, 2
b x 2a
1 3 . 2
(69)
Rădăcinile ecuaţiei sunt: x1 2 , x2 1 .
(70)
Mulţimea soluţiilor ecuaţiei este: x 2 ,1.
(71)
Răspunsul corect este f).
9.
Soluţia ecuaţiei x 3 x 5 este:
a) x 4 ; b) x 0 ; c) x 2 ; d) x 3 ; e) x 2 ; f) x 1.
Soluţia nr. 1: Se impune stabilirea domeniului maxim de definiţie pentru radical: x 3 0 x 3 , .
(72)
Rezolvăm ecuaţia din text, astfel: x 3 x 5 x 3 5 x
x 3
2
5 x 2
x 3 25 10 x x 2 x 2 11x 28 0 .
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ
75
(73)
2014
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere Matematică Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza” 2014 Facultatea de Pompieri 2006 - 2016 Discriminantul ecuaţiei este: x b 2 4ac (11) 2 4 1 (28) 9 .
(74)
Rădăcinile ecuaţiei sunt: x1, 2
b x 2a
11 3 . 2
(75)
Rădăcinile ecuaţiei sunt: x1 7 , x2 4 .
(76)
Se verifică soluţiile obţinute în domeniul maxim de definiţie şi apoi în ecuaţia din text. Singura soluţie care se acceptă este: x 4.
(77)
Răspunsul corect este a).
Soluţia nr. 2: Se impune stabilirea domeniului maxim de definiţie pentru radical: x 3 0 x 3 , .
(78)
x 3 0 x 3 0 5 x 0.
(79)
Deoarece: Se rezolvă sistemul: x 3 0 x 3 , x 3 , , 5 3 , 5. 5 x 0 x , 5
(80)
Se verifică valorile din intervalul dat de relaţia (78). Singura soluţie care se acceptă este: x 4.
(81)
Răspunsul corect este a). ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ
76
2014
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere Matematică Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza” 2014 Facultatea de Pompieri 2006 - 2016 Soluţia nr. 3: Se impune stabilirea domeniului maxim de definiţie pentru radical: x 3 0 x 3 , .
(82)
Se verifică din grila de răspunsuri, valorile care respectă relaţia (82). Singurele valori care verifică relaţia (82) sunt: x 3,
(83)
x 4.
(84)
respectiv
Se verifică în ecuaţie, valorile date de relaţiile (83) şi (84). Singura soluţie care se acceptă este: x 4.
(85)
y x 3.
(86)
y y 2,
(87)
Răspunsul corect este a).
Soluţia nr. 4: Se face substituţia:
Ecuaţia din text devine:
pentru care se impune domeniul maxim de definiţie dat de y 0 y 0 , .
(88)
Atunci: y y 2 y y 2 4 y3 .
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ
77
(89)
2014
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere Matematică Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza” 2014 Facultatea de Pompieri 2006 - 2016 Rezultă la limită: 4
y3 1 y 1 x 4.
(90)
y x 3.
(91)
y y 2,
(92)
Răspunsul corect este a).
Soluţia nr. 5: Se face substituţia:
Ecuaţia din text devine:
pentru care se impune domeniul maxim de definiţie dat de y 0 y 0 , .
(93)
Rezolvăm ecuaţia: yy2
y ( y )2 2 0
y
2
y 2 0.
(94)
Se face substituţia: t
y t2 t 2 0 .
(95)
Discriminantul ecuaţiei este: t b 2 4ac 12 4 1 (2) 9 .
(96)
Rădăcinile ecuaţiei sunt: t1, 2
b t 2a
1 3 . 2
(97)
Rădăcinile ecuaţiei sunt: t1 2 , t 2 1 .
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ
78
(98)
2014
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere Matematică Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza” 2014 Facultatea de Pompieri 2006 - 2016 Revenind la substituţie, respectiv la relaţia (97) se acceptă doar: y 1 y 1.
(99)
Din relaţia (91) rezultă: x 4.
(100)
y x 3.
(101)
y y 2,
(102)
Răspunsul corect este a). Soluţia nr. 6: Se face substituţia: Ecuaţia din text devine:
pentru care se impune domeniul maxim de definiţie dat de y 0 y 0 , .
(103)
Rezolvăm ecuaţia: yy2
y 2 y
y
2
2 y y 2 5 y 4 0 . 2
(104)
Discriminantul ecuaţiei este: y b 2 4ac (5) 2 4 1 4 9 .
(105)
Rădăcinile ecuaţiei sunt: y1, 2
b y 2a
53 . 2
(106)
Rădăcinile ecuaţiei (104) sunt: y1 4 , y 2 1 .
(107)
Singura soluţie care se acceptă este: x 4.
(108)
Răspunsul corect este a). ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ
79
2014
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere Matematică Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza” 2014 Facultatea de Pompieri 2006 - 2016 Soluţia nr. 7: Se face substituţia: y x 3.
(109)
y y 2,
(110)
Ecuaţia din text devine:
pentru care se impune domeniul maxim de definiţie dat de y 0 y 0 , .
(111)
Rezolvăm ecuaţia în mulţimea numerelor naturale, deoarece este permisivă această situaţie. yy2
y ( y )2 2
y (1 y ) 2 .
(112)
Rezultă: y 1 , 1 y 2
(113)
y 2 . 1 y 1
(114)
şi
Din primul sistem de ecuaţii rezultă: y 1 y 1 1 y 2 y 1
y 1 y 1 x 4,
(115)
care verifică cerinţele impuse în text. Din cel de-al doilea sistem de ecuaţii rezultă: y 4 y 2 y 2 . y 0 1 y 1 y 0
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ
80
(116)
2014
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere Matematică Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza” 2014 Facultatea de Pompieri 2006 - 2016 Din: y 4 x 1,
(117)
care nu verifică cerinţele impuse de text. Din: y 0 x 3,
(118)
care nu verifică cerinţele impuse de text. Rezultă că singura soluţie este: x 4.
(119)
Răspunsul corect este a).
Soluţia nr. 8: Conform cu textul: x 3 x 5
x 3 5 x.
(120)
Se face notaţia: y 5 x.
(121)
2 y y.
(122)
Ecuaţia din text devine:
Se impune condiţia generată de domeniul maxim de definiţie: 2 y 0 y , 2.
(123)
Ecuaţia definită de relaţia (122) devine: 2 y y 2 y y2 y2 y 2 0 .
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ
81
(124)
2014
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere Matematică Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza” 2014 Facultatea de Pompieri 2006 - 2016 Discriminantul ecuaţiei este: y b 2 4ac 12 4 1 (2) 9 .
(125)
Rădăcinile ecuaţiei sunt: y1, 2
b y 2a
1 3 . 2
(126)
Rădăcinile ecuaţiei sunt: y1 2 , y 2 1 .
(127)
Rădăcinile ecuaţiei verifică relaţia (124). Din: y 2 x 7 ,
(128)
care nu verifică cerinţele impuse de text. Din: y 1 x 4,
(129)
care verifică cerinţele impuse de text. Rezultă că singura soluţie este: x 4.
(130)
Răspunsul corect este a).
10. Pentru ce valori ale lui m R , ecuaţia x 3 3x m 0 are 3 soluţii reale distincte? a) m , 3 ; b) m 0 , ; c) m ; d) m 2 , 2 ; e) m 0 , 2 ; f) m 2,0. Soluție: Aplicăm șirul lui Rolle. ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ
82
2014
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere Matematică Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza” 2014 Facultatea de Pompieri 2006 - 2016 Fie atunci: f ( x) x 3 3x m , f : R R , m R .
(131)
Atunci, derivata întâi a lui f este: f ' ( x) 3x 2 3 3 ( x 2 1) .
(132)
Ecuaţia: f ' ( x) 0 ,
(133)
admite rădăcinile x1 1 şi x2 1 .
(134)
Pentru stabilirea semnului funcţiei f, s-au efectuat următoarele calcule: f (1) m 2 ; f (1) m 2 ,
(135)
lim f ( x) ; lim f ( x) .
(136)
respectiv x
x
Pentru respectarea cerinţelor şirului lui Rolle, este necesar şi suficient ca: m 2 0 m 2 , ,
(137)
m 2 0 m , 2 .
(138)
m 2 , , 2 2,2 .
(139)
simultan cu
În concluzie:
Răspunsul corect este d).
x 1
11.
Valoarea integralei
3
2 x dx este:
0
3 4
a) 0 ; b) ; c) 1 ; d) 2 ; e) 3 ; f)
1 . 2
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ
83
2014
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere Matematică Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza” 2014 Facultatea de Pompieri 2006 - 2016 Soluție: Integrala din text este egală cu:
0
1
3
1
14 04 x4 3 x 2 12 0 2 . 4 4 0 4 0 4
x4 x2 x 2 x dx 2 2 4
1
(140)
Răspunsul corect este b).
12.
Modulul numărului complex 3 4 i este:
a) 2; b) 1; c) 5; d) 3; e) 4; f) 6. Soluție: Modulul numărului complex: z 3 4i ,
(141)
z 32 4 2 5 .
(142)
este
Răspunsul corect este c).
13.
3 1
; atunci A 2 este: Se dă matricea A 5 4
10 11 ; b) 14 15
a)
1 3 ; c) 1 4
4 9 ; d) 10 11
2 10 ; e) 30 19
14 7 ; f) 35 21
20 12 . 35 20
Soluție: Conform cu cerinţa din text avem: 3 1 3 1 3 3 1 5 3 1 1 4 14 7 . A 2 A A 5 4 5 4 5 3 4 5 5 1 4 4 35 21
Răspunsul corect este e). ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ
84
2014
(143)
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere Matematică Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza” 2014 Facultatea de Pompieri 2006 - 2016 14. a)
Limita şirului a n
n2 n 2 este: 2n 2 5n
1 1 ; b) ; c) 0; d) 3; e) -1; f) -2. 2 3
Soluție: Limita şirului definit în text prin: an
n2 n 2 , 2n 2 5n
(144)
este: 1 2 1 2 n 2 1 2 1 2 n n2 n n n n 1. lim a n lim lim lim 2 n n 3n 5n n n 5 5 2 2 n2 2 n n 2
(145)
Răspunsul corect este a).
15.
Soluţia ecuaţiei 2 x 3 7 este:
a) x 2 ; b) x 0 ; c) x 1; d) x 5 ; e) x 1; f) x 3 . Soluţia nr. 1: Ecuaţia din text se mai scrie: 2 x 3 7 2 x 10 x 5 .
(146)
f : R R , f ( x) 2 x 3 ,
(147)
Răspunsul corect este d).
Soluţia nr. 2: Se consideră funcţia:
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ
85
2014
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere Matematică Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza” 2014 Facultatea de Pompieri 2006 - 2016 şi funcţia g : R R , g ( x) 7 .
(148)
Atunci, soluţia ecuaţiei din text reprezintă punctele de intersecţie ale celor două grafice: f ( x) g ( x) x x R f g x 5
(149)
Răspunsul corect este d).
16. Abscisele punctelor de extrem local ale funcţiei f : R R , f ( x) x e x sunt: a) x
2
3 1 2 ; b) x 1; c) x 2 ; d) x 3 ; e) x ; f) x . 3 2 2
Soluție: Derivata întâi a lui f este:
f / ( x) x e x
2
x e x e e 1 2x . /
/
x2
x2
/
x2
2
(150)
Abscisele punctelor de extrem rezultă din condiţia: f / ( x) 0 1 2 x 2 0 x1, 2
2 . 2
(151)
Răspunsul corect este e).
17.
Mulţimea soluţiilor inecuaţiei log 1 x 2 4 0 este: 3
a) x 2 , ; b) x 0 , 2; c) x , 0 ; d) x 5 , ; e) x 5, 2 2, 5 ; f) x 0, 5 . ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ
86
2014
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere Matematică Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza” 2014 Facultatea de Pompieri 2006 - 2016 Soluție: Domeniul maxim de definiţie al funcţiei:
f ( x) log 1 x 2 4 ,
(152)
3
este dat de x 2 4 0 x , 2 2 , .
(153)
Inecuaţia din text devine:
(154)
(155)
log 1 x 2 4 0 x 2 4 1 x 2 5 0 x 5 , 5 . 3
Soluţia inecuaţiei este atunci:
x , 2 2 , 5, 5 5, 2 2, 5 .
Răspunsul corect este e).
18.
Într-o progresie aritmetică a n n se cunosc a1 3 şi a2 5 ; atunci:
a) a5 7 ; b) a5 8 ; c) a5 14 ; d) a5 4 ; e) a5 9 ; f) a5 11 .
Soluție: Raţia progresiei aritmetice este: r a2 a1 2 .
(156)
Termenul general al progresiei aritmetice admite expresia: an a1 n 1 r .
(157)
Termenul cerut de text este cel pentru care n 5 , respectiv: a5 3 5 1 2 11 .
(158)
Răspunsul corect este f). ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ
87
2014
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere Matematică Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza” 2015 Facultatea de Pompieri 2006 - 2016 1.
Să se rezolve ecuaţia: lg (3 2 x 2) 0 .
a) 4; b) 1; c) 2; d)
1 1 ; e) ; f) 0. 2 4
Soluție: Ecuaţia din text devine: lg (3 2 x 2) 0 3 2 x 2 1 3 2 x 3 2 x 1 x 0 ,
(1)
care este soluţie a ecuaţiei deoarece, pentru x 0 3 2x 2 0 ,
(2)
astfel că, condiţia de existenţă pentru logaritm este îndeplinită. Răspunsul corect este f).
2.
Soluţia ecuaţiei 3 x1 9 x este:
a) 0; b) 2; c) 1; d) 4; e)
1 ; f) 3. 2
Soluție: Condiţia necesară şi suficientă pentru domeniul maxim de definiţie al radicalului este: x 0 x 0 , .
(3)
3x 1 32
(4)
Atunci: 3x 1 9
x
x
x 1 2 x .
Soluţia nr. 1: Din: x 1 2 x
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ
x 1 2 2
88
x ( x 1)2 0 ,
(5) 2015
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere Matematică Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza” 2015 Facultatea de Pompieri 2006 - 2016 de unde rezultă: x 1 0 x1, 2 1 .
(6)
Răspunsul corect este c). Soluţia nr. 2: Deoarece: x 1 2 x x 1 (2 x )2 x 2 2 x 1 0 x1, 2 1 . 2
(7)
Răspunsul corect este c). Soluţia nr. 3: Notăm: y x 0 x y2 0 .
(8)
Atunci: x 1 2 x y 2 1 2 y y 1 0 y1, 2 1 . 2
(9)
Din: y1, 2 1 x 1 .
(10)
Răspunsul corect este c).
3.
Soluţia ecuaţiei 3x 8 2x 7 este:
a) -1; b) 1; c) -3; d) 3; e) 0; f) 2. Soluție: Ecuaţia din text devine: 3x 8 2 x 7 3x 2 x 7 8 5x 15 x 3 .
Răspunsul corect este d). ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ
89
2015
(11)
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere Matematică Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza” 2015 Facultatea de Pompieri 2006 - 2016 Soluţiile ecuaţiei 2 x 2 3x 1 0 sunt:
4.
1 1 3 1 a) ; 4 ; b) ; 0 ; c) 1; ; d) 2 ; 4 ; e) 1; 2; f) ;1 . 2
2
2
2
Soluție: Discriminantul ecuaţiei din text este: x b 2 4ac 1 .
(12)
Soluţiile ecuaţiei din text sunt: x1, 2
b 3 1 3 1 . 2a 4 4
(13)
În concluzie: 1 x ;1 . 2
(14)
Răspunsul corect este f).
5.
Calculaţi: C102 C108 .
a) 30; b) 12; c) 18; d) 0; e) 6; f) 1. Soluție: Conform cerinţei din text: C102
10 ! 10! 8!9 10 45. 2!10 2 ! 2!8!! 2!8!
(15)
8 C10
10 ! 10! 8!9 10 45. 8!10 8 ! 8!2! 8!2!
(16)
Atunci: 8 C102 C10 0.
(17)
Răspunsul corect este d). ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ
90
2015
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere Matematică Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza” 2015 Facultatea de Pompieri 2006 - 2016 6.
Modulul numărului complex
3 1 i este: 2 2
a) 1 3 ; b) 2; c) 1; d) 1 ; e) 4; f) 3 1 . 2
Soluția nr. 1: Deoarece: z
3 1 i , 2 2
(18)
avem 2
3 1 2 1. z 2 2
(19)
Răspunsul corect este c).
Soluția nr. 2: Numărul complex z se poate scrie şi sub formă trigonometrică: z z (cos i sin ) .
(20)
Deoarece: z
3 1 i cos i sin , 2 2 6 6
(21)
rezultă prin identificare cu relaţia anterioară că, z 1.
(22)
Răspunsul corect este c).
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ
91
2015
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere Matematică Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza” 2015 Facultatea de Pompieri 2006 - 2016
7.
2 3 4 Se cere valoarea parametrului m R pentru care matricea A 1 2 m are 5 - 4 7
det. A 0 .
a) 2 ; b) 1; c) 2; d) 1; e) 3; f) 3 .
Soluţia nr. 1: Conform cerinţei din text: 2 3 4 det. A 0 det. A 1 2 m 7m 7 0 m 1 . 5 4 7
(23)
Răspunsul corect este d).
Soluţia nr. 2: 2 3 4 2 m 1 m 1 2 det. A 1 2 m 2 (1)11 (3) (1)11 4 (1)11 4 7 5 7 5 4 5 4 7 2 (14 4m) 3 (7 5m) 4 (4 10) 7m 7 0 m 1 .
(24)
Răspunsul corect este d).
1 1
1
x
şi B . Să se determine x şi y astfel încât Fie matricele A 2 2 y 1 A B B A.
8.
a) x 0 , y 1 ; b) x 1, y 0 ; c) x 0 , y 0 ; d) x 1, y 1 ; e) x 1, y 2 ; f) x 2 , y 1 . ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ
92
2015
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere Matematică Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza” 2015 Facultatea de Pompieri 2006 - 2016 Soluție: Evaluând, avem: x 1 1 1 1 x y 1 ; A B 2 2 y 1 2(1 y ) 2(1 x)
(25)
1 x 1 1 1 2 x 1 2 x . B A y 1 2 2 y 2 y 2
(26)
Deoarece: x 1 1 2 x 1 2 x y 1 = . A B B A 2 (1 y ) 2 (1 x) y 2 y 2
(27)
Din: y 1 1 2 x , x 1 1 2 x , 2 (1 y) y 2 , 2 (1 x) y 2 ,
(28)
rezultă x 0, y 0.
(29)
Răspunsul corect este c).
9.
Să se determine a şi b astfel încât x 1 şi y 2 este soluţie a 2 x by 6 . ax 3 y 2
sistemului:
a) a 3 , b 3 ; b) a 4 , b 2 ; c) a 4 , b 2 ; d) a 2 , b 4 ; e) a 2 , b 4 ; f) a 4 , b 2 .
Soluție: Fie: f ( x) 2 x by 6 .
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ
93
(30)
2015
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere Matematică Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza” 2015 Facultatea de Pompieri 2006 - 2016 Atunci: f (1; 2) 2 2b 6 2b 4 0 b 2 .
(31)
Fie: g ( x) ax 3 y 2 .
(32)
Atunci: g (1; 2) a 6 2 a 4 0 a 4 .
(33)
Răspunsul corect este f).
10.
Fie polinomul f X 3 3 X 2 2 X cu rădăcinile x1 , x 2 , x3 . Să se calculeze
x12 x22 x32 .
a) 4; b) 1; c) 5; d) 3; e) 2; f) 6.
Soluţia nr. 1: Deoarece f x 3 3x 2 2 x x( x 2 3x 2) 0 x1 0 , x2 1 , x3 2 .
(34)
x12 x22 x22 x1 x2 x3 2 x1 x2 x2 x3 x3 x1 5 .
(35)
Atunci: 2
Răspunsul corect este c).
Soluţia nr. 2: Utilizăm relaţiile lui Viète: x1 x2 x3
b c d 3 ; x1 x2 x2 x3 x3 x1 2 ; x1 x2 x3 0 . a a a
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ
94
2015
(36)
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere Matematică Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza” 2015 Facultatea de Pompieri 2006 - 2016 Atunci: x12 x22 x22 x1 x2 x3 2 x1 x2 x2 x3 x3 x1 5 . 2
(37)
Răspunsul corect este c).
11. Să se determine a R astfel încât numerele a 1 , 3, a 1 să fie în progresie aritmetică. a) 7; b) 2; c) 5; d) 6; e) 4; f) 3.
Soluţia nr. 1: Numerele: a 1 ; 3; a 1 ,
(38)
sunt în progresie aritmetică, dacă: 3
a 1 a 1 a 3 .
(39)
2
Răspunsul corect este f).
Soluţia nr. 2: Numerele: a 1 şi 3 sunt în progresie aritmetică, atunci: b2 b1 r 3 a 1 r 4 a r .
(40)
Numerele: 3 şi a 1 sunt în progresie aritmetică, atunci b2 b1 r a 1 3 r r a 2 .
(41)
Din: 4 a r şi r a 2 a 3 .
(42)
Răspunsul corect este f). ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ
95
2015
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere Matematică Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza” 2015 Facultatea de Pompieri 2006 - 2016 12.
Să se calculeze restul împărţirii polinomului f X 3 2 X 2 3 X 2 la X 1 .
a) 0; b) 1; c) 2; d) 2015; e) 10; f) -2.
Soluţia nr. 1: Deoarece: f (1) 0 ,
(43)
rezultă că polinomul din text, are restul 0. Răspunsul corect este a).
Soluţia nr. 2: Se realizează împărţirea polinomului f la X 1 şi rezultă restul egal cu 0. Răspunsul corect este a).
13.
x2 2x 1 Să se calculeze lim . x 1 x 2 3 x 2
a) ; b) 1; c) 0; d) -2; e) -3; f) 2.
Soluţia nr. 1: Conform cu regula lui L’Hospital: 0
( x 2 2 x 1) / x2 2x 1 0 2x 2 0 0. lim 2 lim 2 lim / x 1 2 x 3 x 1 x 3 x 2 x 1 ( x 3 x 2) 1
Răspunsul corect este c). ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ
96
2015
(44)
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere Matematică Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza” 2015 Facultatea de Pompieri 2006 - 2016 Soluţia nr. 2: Conform cu enunţul din text: ( x 1)( x 1) x 1 0 x2 2x 1 lim 0. lim 2 lim x 1 x 3 x 2 x 1 x 2 x 1 ( x 1)( x 2) 1
(45)
Răspunsul corect este c).
Soluţia nr. 3: Facem schimbarea de variabilă: x 1 y .
(46)
x 1 y 0 ,
(47)
Atunci când:
astfel că y2 0 ( y 1) 2 2( y 1) 1 x2 2x 1 lim 0. lim 2 2 2 y 0 y 3 y 6 x 1 x 3 x 2 y 0 ( y 1) 3( y 1) 2 6
lim
(48)
Răspunsul corect este c).
14.
x 2 ax 1, x 1 Să se determine a R , astfel încât funcţia f : R R , f ( x) x 1 3x 1,
să fie continuă pe R. a) 4; b) 3; c) 1; d) 0; e) 2; f) -2. Soluție: Pentru ca funcţia f să fie continuă în punctul x 1 , este necesar şi suficient să fie îndeplinită condiţia: ls ld f 1 ,
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ
97
(49) 2015
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere Matematică Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza” 2015 Facultatea de Pompieri 2006 - 2016 pentru care ls lim f (x) 2 a ,
(50)
ld lim f (x) 4 .
(51)
a 2.
(52)
x 1 x 1
şi x 1 x 1
Din relaţia (49) rezultă:
Răspunsul corect este e).
15.
Fie f : 0, R , f ( x) 2 x a ln x. Să se determine a R astfel încât f / (1) 1 .
a) 1; b) 0; c) -1; d) e ; e) 2; f) e 1 .
Soluție: Conform cu enunţul din text, rezultă: f / ( x) 2
a 1. x
(53)
Atunci: f / (1) 1 a 1 .
(54)
Răspunsul corect este c).
16.
Să se determine numărul soluţiilor reale pentru ecuaţia x3 3x 10 0 .
a) una; b) două; c) trei; d) niciuna; e) ecuaţia are două soluţii egale; f) ecuaţia are toate soluţiile egale.
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ
98
2015
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere Matematică Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza” 2015 Facultatea de Pompieri 2006 - 2016 Soluţia nr. 1: Se realizează tabloul de variaţie determinat de: x , f / ( x) şi f (x) .
(55)
f / ( x) 3( x 2 1) ,
(56)
x1, 2 1 .
(57)
Derivata întâi este:
care admite soluţiile
De asemenea: f (1) 8 , f (0) 10 , f (1) 12 ,
(58)
lim f (x) , lim f (x) .
(59)
şi x
x
Din alternanţa valorilor numerice, deci a semnelor () şi (-) pentru funcţia f, rezultă că graficul funcţiei f intersectează axa Ox într-un singur punct; în aceste condiţii, ecuaţia din text definită prin: f ( x) 0 ,
(60)
admite o singură rădăcină reală, în intervalul x 1, .
(61)
Răspunsul corect este a).
Soluţia nr. 2: Se trasează graficul funcţiei f. Graficul funcţiei f intersectează axa Ox într-un singur punct; în aceste condiţii, ecuaţia din text definită prin: f ( x) 0 ,
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ
99
(62) 2015
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere Matematică Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza” 2015 Facultatea de Pompieri 2006 - 2016 admite o singură rădăcină reală, în intervalul, x 1, .
(63)
Răspunsul corect este a).
1
17.
Să se calculeze integrala ( x3 2 x)dx . 0
a) -1; b)
3 1 3 1 ; c) 1; d) ; e) ; f) . 4 4 4 4
Soluție: Integrala din text devine: 1
1
1
x4 x2 3 ( x 2 x ) dx 2 . 0 4 0 2 0 4 3
(64)
Răspunsul corect este d).
18. a)
Fie f : 1,6 R , f ( x) . Să se determine valoarea minimă a lui f . x 8
2 x
1 9 7 17 ; b) ; c) 2; d) 1; e) ; f) . 8 8 8 8
Soluţia nr. 1: Evaluăm extremul funcţiei: f : 1,6 R , f ( x)
x 2 . 8 x
(65)
Derivata întâi este egală cu: f / ( x)
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ
1 2 . 8 x2
100
(66)
2015
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere Matematică Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza” 2015 Facultatea de Pompieri 2006 - 2016 Punctele de extrem sunt date de: f / ( x) 0 x 4.
(67)
f : 1,6 R ,
(68)
Deoarece: se acceptă doar valoarea
x 4.
(69)
Stabilim natura extremului funcţiei. Deoarece: f // ( x)
4 0, x3
(70)
funcţia f admite un minim cu valoarea numerică f (4) 1 .
(71)
Răspunsul corect este d).
Soluţia nr. 2: Din text: y f ( x)
x 2 x 2 8 yx 16 0 . 8 x
(72)
Atunci, determinantul ecuaţiei este necesar şi suficient să îndeplinească condiţia: y 0 y 2 1 0 y , 1 1, .
(73)
Deoarece: x 0 ymin . 1 ,
(74)
care este un minim pentru funcţia din text. Răspunsul corect este d). ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ
101
2015
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere Matematică Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza” 2015 Facultatea de Pompieri 2006 - 2016 Soluţia nr. 3: Se trasează graficul funcţiei din text şi se deduce că aceasta admite două minime: y1min . 1,
(75)
y2 min . 1 ,
(76)
x 4,
(77)
x 4.
(78)
x 0 ymin . 1 .
(79)
şi
pentru
respectiv pentru
Deoarece:
Răspunsul corect este d).
Soluţia nr. 4: Utilizăm pentru calcul, inegalitatea:
a b 2 ab ,
a, b 0 .
(80)
Atunci: y f ( x)
x 2 x 2 x 2 2 1 1; , x 0 . 8 x 8 x 8 x
(81)
În aceste condiţii, rezultă: ymin . 1 .
(82)
Răspunsul corect este d).
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ
102
2015
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere Matematică Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza” 2016 Facultatea de Pompieri 2006 – 2016 1. a)
Limita şirului: an
n 1n 2 este: 3 3n 2n 1
2 1 ; b) 1; c) ; d) ; e) 0; f) . 3 3
Soluție: Limita şirului definit în text este: 3 2 n 2 1 2 n 1n 2 lim n 3n 2 lim n n lim (a n ) 2 2 n n n 2 1 3n 2n 1 3n 2n 1 n 2 3n 2 n n 2
3 2 3 2 n 2 1 2 1 2 n n lim n n 1 0. lim n n 2 1 2 1 3n 2 n 2 3n 2 n n n n
(1)
Răspunsul corect este e).
2. Fie funcţia f : R R , f ( x) x e x ; să se calculeze f // (0) . a) 0; b) 2; c) 1; d) 2 ; e) 2e; f) 1. Soluție: Derivata întâi este egală cu:
f / ( x) x e x
x e /
/
x
x ex
/
ex x ex .
(2)
Derivata a doua este egală cu: f // ( x) (e x x e x ) / 2e x x e x .
(3)
Atunci, derivata a doua este egală cu: f // (0) 2 .
(4)
Răspunsul corect este b). ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ
103
2016
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere Matematică Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza” 2016 Facultatea de Pompieri 2006 – 2016 3.
Să se determine valoarea parametrului a R , astfel încât funcţia f : R R ,
2x 2 x a e 2x , x 0 definită prin f ( x) , să fie continuă. 2 x0 ln 1 x ,
1 2
3 2
a) a ; b) a 3 ; c) a ln 2 ; d) a ; e) a 1 ; f) a 0 .
Soluție: Pentru ca funcţia f să fie continuă în punctul x 0 , este necesar şi suficient să fie îndeplinită condiţia: ls ld f 0 ,
(5)
l s lim f (x) lim ln(1 x 2 ) 0 ,
(6)
l d lim f (x) lim (2 x 2 x a) e 2 x a .
(7)
pentru care x 0 x0
x 0 x0
şi x 0 x 0
x 0 x 0
Din relaţia (5) rezultă: a 0.
(8)
Răspunsul corect este f).
4.
Să se afle ecuaţia asimptotei la pentru graficul funcţiei f : R \ 1 ,1 R ,
dată de f ( x)
2x 2 x 2 . 1 x2
1 2
a) y 1 ; b) y 2 ; c) y x ; d) y 0 ; e) y ; f) y x 1 .
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ
104
2016
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere Matematică Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza” 2016 Facultatea de Pompieri 2006 – 2016 Soluție: Asimptota cerută de text este: 1 2 x2 2 2 2x x 2 2x x 2 x x y lim f ( x) lim lim 2 2 n n n 1 x 1 x 2 1 x 2 1 x 2
2
lim
1 2 x x2 2 . 1 1 x2
2
n
(9)
Răspunsul corect este b).
1
5.
Valoarea integralei
x 0
a) ln 2 ; b)
2
x dx este: 1
1 1 3 ln 2 ; c) 1 ; d) ; e) ln 2 ; f) 2 ln 2 . 2 2 2
Soluție: Integrala din text se mai scrie:
/ x 2x ( x 2 1) / I 2 dx 2 2 dx 2 2 dx 2 ln( x 2 1) dx x 1 0 x 1 0 x 1 0 0 1
1
2 ln( x 2 1)
/ 1
1
1
2 ln 2 .
(10)
0
Răspunsul corect este f).
6.
Să se calculeze limita: lim x 0
a) 1; b) 1 ; c)
x2 1 1 . x
1 1 ; d) ; e) 0 ; f) . 2 2
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ
105
2016
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere Matematică Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza” 2016 Facultatea de Pompieri 2006 – 2016 Soluție: Limita din text, se mai scrie ca fiind: x 1 1 lim x 0 x 2
0 0
x2 1 1 x2 1 1 x lim 2 x 0 x x x 1 1 x 0 lim 0. x 0 x2 1 1 2
(11)
Răspunsul corect este e).
7. Să se calculeze aria mulţimii plane mărginite de graficul funcţiei f : R R , dată prin f ( x) 3x x 2 , axa Ox şi dreptele de ecuaţii x 1 şi x 3 . a) 1 ; b) 3; c)
2 1 10 13 ; d) ; e) ; f) . 3 3 3 3
Soluție: Aria mulţimii plane mărginite de graficul funcţiei f : R R , f ( x) 3x x 2 , axa Ox şi dreptele de ecuaţii x 1 şi x 3 este egală cu: 3
x2 x3 10 A I f (3x x ) dx 3 . 3 1 3 2 1 3
2
(12)
Răspunsul corect este e).
8. Fie funcţia f : R R , f ( x) x 3 3x 2 2 . Să se determine suma valorilor extreme ale funcţiei f. a)
1 ; b) 24 ; c) 24 ; d) 0 ; e) 3 ; f) 5 . 4
Soluție: Derivata întâi este egală cu:
/
f / ( x) x 3 3 x 2 2 3 x 2 6 x 0 .
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ
106
(13) 2016
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere Matematică Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza” 2016 Facultatea de Pompieri 2006 – 2016 Din condiţia: f / ( x) 0 ,
(14)
rezultă valorile absciselor care permit generarea prin intermediul funcţiei din text, a extremelor sale: x1 0 şi x2 2 .
(15)
Suma valorilor extreme ale funcţiei f definită în text, este egală cu: f ( x1 ) f ( x2 ) f (0) f (2) 0 .
(16)
Răspunsul corect este d).
9. Să se afle m R astfel încât ecuaţia 4 x 3 9 x 2 12 x 7m 0 să aibă o singură rădăcină reală. a) m ; b) m 4 , ; c) m , 4 , ; d) m , 4 0 , ; 28 28 28 13
13
13
e) m 4 , ; f) m , 3 .
Soluție: Fie funcţiile: f :RR,
(17)
g:R R,
(18)
respectiv
definite prin
1 f ( x) 4 x 3 9 x 2 12 x , 7
(19)
respectiv g ( x) m , m R .
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ
107
(20) 2016
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere Matematică Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza” 2016 Facultatea de Pompieri 2006 – 2016 Determinarea parametrului m în condiţiile cerinţei din text implică faptul că graficele celor două funcţii este necesar şi suficient să se intersecteze o singură dată în raport cu codomeniile de definiţie ale acestor funcţii. Atunci, derivata întâi este: f / ( x)
6 2 x2 3 x 2 , 7
(21)
admite rădăcinile x1 2 , x1
1 . 2
(22)
Tabloul de variaţie corespunzător este: x
f / ( x)
f (x)
2
----------
0
4
1 2
0
++++++++++
0
1 -----------2 13 28
Se trasează graficul lui f şi g. Răspunsul corect este c).
10.
1 2015 C2016 Să se calculeze 2 C2016 .
a) 2014 ; b) 2015 ; c) 2016 ; d) 4032 ; e) 0 ; f) 2013 .
Soluție: Deoarece: C nk
n! , n k , n, k N , k ! (n k )!
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ
108
(23)
2016
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere Matematică Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza” 2016 Facultatea de Pompieri 2006 – 2016 rezultă 1 C 2016
2016! 2015! 2016 2016 , 1! 2015! 2015!
(24)
2015 C 2016
2016! 2015! 2016 2016 . 2015! 1! 2015!
(25)
şi
Atunci: 1 2015 2 C2016 C2016 2 2016 2016 2016 (2 1) 2016 .
(26)
Răspunsul corect este c).
11.
Dacă f ( x) x 1 să se calculeze f (1) f (0) f (1) .
a) 0 ; b) 1 ; c) 1; d) 2 ; e) 2 ; f) 4 . Soluție: Deoarece: f (1) 2 ; f (0) 1 ; f (1) 0 ,
(27)
f (1) f (0) f (1) (2) (1) 0 0 .
(28)
atunci Răspunsul corect este a).
12. Să se calculeze suma soluţiilor ecuaţiei x 2 3x 2 0 . a) 3 ; b) 2; c) 0; d) 3; e) 1; f) 4 . Soluția nr. 1: Se rezolvă în mod clasic ecuaţia din text: x b 2 4ac (3) 2 4 1 2 1 .
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ
109
(29) 2016
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere Matematică Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza” 2016 Facultatea de Pompieri 2006 – 2016 Atunci, rădăcinile sale sunt: x1, 2
b 3 1 , 2 2
(30)
de unde rezultă x1 2 şi x2 1 .
(31)
Suma soluţiilor ecuaţiei este egală cu: x1 x2 3 .
(32)
Răspunsul corect este d).
Soluţia nr. 2: Se aplică în mod direct una dintre relaţiile lui Viète: x1 x 2
b 3. a
(33)
Răspunsul corect este d). Soluţia nr. 3: Se aplică una dintre relaţiile lui Viète dedusă. Rădăcinile ecuaţiei de gradul doi definită prin: ax 2 bx c 0 , a 0 , a , b , c R ,
(34)
admite rădăcinile: x1, 2
b . 2
(35)
Atunci: x1 x2
b b 2b b 3. 2a 2a 2a a
(36)
Răspunsul corect este d). ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ
110
2016
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere Matematică Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza” 2016 Facultatea de Pompieri 2006 – 2016 Soluţia nr. 4: Ecuaţia din text se mai scrie: x 2 3x 2 x 2 x 2 x 2 x ( x 1) 2 ( x 1) ( x 1)( x 2) 0 .
(37)
Aceasta are rădăcinile: x1 2 şi x2 1 .
(38)
Atunci, suma soluţiilor ecuaţiei este egală cu: x1 x2 3 .
(39)
Răspunsul corect este d).
13.
1 2 3 Fie matricea A 1 0 1 . Să se calculeze det .( A2 ) . 0 1 1
a) 4 ; b) 16; c) 9; d) 1; e) 0; f) 36 . Soluţia nr. 1: Evaluăm pe A 2 . Atunci: 2 1 2 3 1 2 3 1 5 A A A 1 0 1 1 0 1 1 1 4 . 0 1 1 0 1 1 1 1 2 2
(40)
În aceste condiţii, avem: 1 5 2 det .( A ) 1 1 4 1 1 2 2
(1)11
1 4 1 4 1 1 (1)1 2 (1)13 1 2 1 2 1 1
1 4 1 4 1 1 (2 4) (2 4) (1 1) 0 . 1 2 1 2 1 1
Răspunsul corect este e). ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ
111
2016
(41)
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere Matematică Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza” 2016 Facultatea de Pompieri 2006 – 2016 Soluţia nr. 2: Aplicăm regula lui Sarrus. Evaluăm pe A 2 . Atunci: 2 1 2 3 1 2 3 1 5 A2 A A 1 0 1 1 0 1 1 1 4 . 0 1 1 0 1 1 1 1 2
(42)
În aceste condiţii, avem: 1 5 2 det.( A2 ) 1 1 4 2 (1) (1) (4) (1) (1) 2 (1) (1) 1 1 2 1 1 4 1 1 [ 2 T
(1) (y1) 2 (1) (1) (4) (1) (1) 2 0 .
Răspunsul corect este e).
(43)
p e a
14. Se cer restul şi câtul împărţirii polinomului f X 3 2 X 2 3 X 1 la X 1 . q a) r 1, X 2 3 X ; b) r 1, X u2 3 X ; c) r 1, X 2 3 X ; d) r 1, X 2 3 X ; e) r 1, X 2 3 X ; f) r 2 , Xo 2 1. t e
Soluție:
f
Se realizează operaţia rde împărţire şi se observă că: o
( X 3 2mX 2 3 X 1) : ( X 1) X 2 3 X 1,
care corespunde schemei t Răspunsul corect este a).
h e
d ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE o DE ANALIZĂ MATEMATICĂ c u
DCÎ r.
112
(44)
(45)
2016
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere Matematică Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza” 2016 Facultatea de Pompieri 2006 – 2016 15.
Care este soluţia ecuaţiei: 4 x 2 x 6 0 ?
a) 1; b) 2 ; c) 1 ; d) 0 ; e) 2 ; f) 3 .
Soluţia nr. 1: Deoarece răspunsul este unic, se verifică în parte, fiecare soluţie în ecuaţia din text şi rezultă x 1. Răspunsul corect este c).
Soluţia nr. 2: Ecuaţia se poate rezolva grafic. Fie: f ( x) 4 x 2 x ,
(46)
g ( x) 6 .
(47)
f : R R , f ( x) 4 x 2 x ,
(48)
şi
Se reprezintă grafic funcţiile:
şi g : R R , g ( x) 6 .
(49)
Din intersecţia celor două grafice rezultă soluţia: x 1,
(50)
f g 1.
(51)
respectiv
Răspunsul corect este c). ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ
113
2016
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere Matematică Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza” 2016 Facultatea de Pompieri 2006 – 2016 Soluţia nr. 3: Se face substituţia: 2x t .
(52)
Ecuaţia din text, se mai scrie ca fiind: 4 x 2 x 6 0 22x 2 x 6 0 t 2 t 6 0 .
(53)
Discriminantul ecuaţiei (2) admite valoarea: t b 2 4ac 12 4 1 (6) 25 .
(54)
Soluţiile ecuaţiei (53) sunt: t1, 2
b t 2a
1 5 , 2
(55)
din care rezultă soluţiile t1 3 şi t 2 2 .
(56)
2x t 0 ,
(57)
2 x 2 x 1.
(58)
Deoarece:
se acceptă doar soluţia
Răspunsul corect este c).
16.
Produsul soluţiilor ecuaţiei ln 2 x ln x 0 ( x 0) este:
a) e 2 ; b) 1 ; c) e 1 ; d) e ; e) 2 ; f) e 2 . Soluţia nr. 1: Ecuaţia din text se mai scrie: ln 2 x ln x 0 ln x (ln x 1) 0 .
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ
114
(59) 2016
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere Matematică Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza” 2016 Facultatea de Pompieri 2006 – 2016 Din: ln x 0 x1 e 0 1 .
(60)
Din: ln x 1 0 ln x 1 x2 e .
(61)
Produsul soluţiilor ecuaţiei din text este egal cu: x1 x2 e .
(62)
y ln x .
(63)
Răspunsul corect este d).
Soluţia nr. 2: Notăm:
Ecuaţia din text devine: y 2 y 0 y ( y 1) 0.
(64)
Ultima ecuaţie admite ca soluţii: y1 0 şi y 2 1 .
(65)
Revenind la substituţie, rezultă: x1 1 şi x2 e .
(66)
Produsul soluţiilor ecuaţiei din text este egal cu: x1 x2 e .
(67)
Răspunsul corect este d).
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ
115
2016
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere Matematică Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza” 2016 Facultatea de Pompieri 2006 – 2016 17.
2
1
1 0
; care este suma elementelor matricei Fie ecuaţia matricială X 1 1 1 0
X M 2 ( R) ?
a) 2 ; b) 8 ; c) 2 ; d) 6 ; e) 4 ; f) 5 .
Soluție: Se consideră: 2 1 A 1 1
(68)
1 0 . B 1 0
(69)
X A B.
(70)
şi
Deoarece:
Înmulţim ecuaţia (70) la dreapta cu A 1 şi rezultă: X A A1 B A1 X B A1 ,
(71)
1 0 , A 1 A A A 1 I 2 0 1
(72)
în care
A 1 este matricea inversă pe care trebuie să o evaluăm în continuare şi I 2 este
matricea unitate care reprezintă un element neutru în raport cu operaţia de înmulţire a matricelor în mulţimea M 2 ( R) . Evaluăm inversa matricei A. Matricea transpusă este definită prin: 2 1 . AT 1 1
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ
116
(73)
2016
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere Matematică Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza” 2016 Facultatea de Pompieri 2006 – 2016 Se defineşte matricea: a12 a , A* 11 a 21 a 22
(74)
a11 (1)11 1 1 ;
(75)
a12 (1)12 (1) 1 ;
(76)
a21 (1) 21 (1) 1 ;
(77)
a22 (1) 22 2 2 .
(78)
în care
Rezultă că: 1 1 . A* 1 2
(79)
Atunci matricea inversă admite exprimarea: 1 1 A* A* A A* . 1 2 det. A 1 1
(80)
Atunci: 1 0 1 1 1 1 . X B A1 1 0 1 2 1 1
(81)
Suma elementelor matricei X M 2 ( R) este egală cu 4. Răspunsul corect este e).
18.
Dacă x1 , x2 , x3 sunt rădăcinile polinomului f X 3 3 X 2 2 X 2 , să se calculeze
x1 x2 x3 ( x12 x22 x 23 ) .
a) 5 ; b) 8 ; c) 2 ; d) 4 ; e) 4 ; f) 10 .
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ
117
2016
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere Matematică Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza” 2016 Facultatea de Pompieri 2006 – 2016 Soluție: Polinomul are forma: f aX 3 bX 2 cX d X 3 (3) X 2 2 X (2) .
(82)
Se aplică în mod direct relaţiile lui Viète: x1 x2 x3
b 3, a
x1 x2 x2 x3 x3 x1 x1 x2 x3
(83)
c 2, a
(84)
d 2. a
(85)
Atunci: x1 x2 x3 ( x12 x22 x 23 )
x1 x2 x3 ( x1 x2 x3 ) 2 2 ( x1 x2 x2 x3 x3 x1 ) 2 (32 2 2) 10 .
Răspunsul corect este f).
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ
118
2016
(86)
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza” Matematică Facultatea de Pompieri 2006 – 2016 BIBLIOGRAFIE
[1]
*** Grile subiecte – Fizică, algebră şi analiză matematică date la admiterea în Facultatea de Pompieri, www.academiadepolitie.ro.
[2]
Darie, E., Popescu, G. – Exerciţii pentru admiterea în învăţământul tehnic superior, Pompierii Români, nr. 4/2006.
[3]
Darie, E., Popescu, G. – Exerciţii pentru admiterea în învăţământul tehnic superior, Pompierii Români, nr. 5/2006.
[4]
Darie, E., Popescu, G. – Exerciţii pentru admiterea în învăţământul tehnic superior, Pompierii Români, nr. 6/2006.
[5]
Darie, E., Popescu, G. – Exerciţii pentru admiterea în învăţământul tehnic superior, Pompierii Români, nr. 7/2006.
[6]
Darie, E., Popescu, G., Pincu, M. – Exerciţii pentru admiterea în învăţământul tehnic superior, Pompierii Români, nr. 8/2006.
[7]
Darie, E., Popescu, G., Pincu, M. – Exerciţii pentru admiterea în învăţământul tehnic superior, Pompierii Români, nr. 9/2006.
[8]
Popescu, G., Darie, E. – Probleme de algebră şi analiză matematică propuse pentru admiterea în învăţământul superior tehnic, Buletinul Pompierilor, nr. 2/2010, Editura Ministerului Administraţiei şi Internelor, Bucureşti, 2010.
[9]
Popescu, G., Darie, E., Pavel, D. – Rezolvarea unor probleme de algebră şi analiză matematică date la admiterea în Facultatea de Pompieri – Academia de Poliţie „Alexandru Ioan Cuza” în perioada 2004-2010, Buletinul Pompierilor, nr. 2/2010, Editura Ministerului Administraţiei şi Internelor, Bucureşti, 2010.
[10] Popescu, G., Darie, E. – Rezolvarea unor probleme de algebră şi analiză matematică date la admiterea în Facultatea de Pompieri – Academia de Poliţie „Alexandru Ioan Cuza” în perioada 2005-2009, Buletinul Pompierilor, nr. 1/2011, Editura Ministerului Administraţiei şi Internelor, Bucureşti, 2011. [11] Darie, E., Popescu, G. – Rezolvarea subiectelor la disciplina fizică date la concursul de admitere la Facultatea de Pompieri – Academia de Poliţie „Alexandru Ioan Cuza”, sesiunea iulie 2011, Buletinul Pompierilor, nr. 2/2011, Editura Ministerului Administraţiei şi Internelor, Bucureşti, 2011. [12] Popescu, G., Darie, E. – Rezolvarea subiectelor de algebră şi analiză matematică date la admiterea la Facultatea de Pompieri – Academia de Poliţie „Alexandru Ioan Cuza”, sesiunea iulie 2011, Buletinul Pompierilor, nr. 2/2011, Editura Ministerului Administraţiei şi Internelor, Bucureşti, 2011. BIBLIOGRAFIE
119
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza” Matematică Facultatea de Pompieri 2006 – 2016 [13] Darie, E., Popescu, G., Damian, C. – Rezolvarea subiectelor la disciplina fizică date la concursul de admitere la Facultatea de Pompieri – Academia de Poliţie „Alexandru Ioan Cuza”, sesiunea iulie 2012, Buletinul Pompierilor, nr. 2/2012, Editura Ministerului Administraţiei şi Internelor, Bucureşti, 2012. [14] Popescu, G., Darie, E., Damian, C. – Rezolvarea subiectelor de algebră şi analiză matematică date la admiterea în Facultatea de Pompieri – Academia de Poliţie „Alexandru Ioan Cuza”, sesiunea iulie 2012, Buletinul Pompierilor, nr. 2/2012, Editura Ministerului Administraţiei şi Internelor, Bucureşti, 2012. [15] Darie, E., Popescu, G., Damian, C. – Rezolvarea subiectelor la disciplina fizică date la concursul de admitere la Facultatea de Pompieri – Academia de Poliţie „Alexandru Ioan Cuza”, sesiunea iulie 2013, Buletinul Pompierilor, nr. 2/2013, Editura Ministerului Afacerilor Interne, Bucureşti, 2013. [16] Popescu, G., Darie, E., Damian, C. – Rezolvarea subiectelor de algebră şi analiză matematică date la admiterea în Facultatea de Pompieri – Academia de Poliţie „Alexandru Ioan Cuza”, sesiunea iulie 2013, Buletinul Pompierilor, nr. 2/2013, Editura Ministerului Afacerilor Interne, Bucureşti, 2013. [17] Darie, E., Popescu, G., Damian, C. – Rezolvarea subiectelor la disciplina fizică date la concursul de admitere la Facultatea de Pompieri – Academia de Poliţie „Alexandru Ioan Cuza”, sesiunea iulie 2014, Buletinul Pompierilor, nr. 2/2014, Editura Ministerului Afacerilor Interne, Bucureşti, 2014. [18] Popescu, G., Darie, E., Damian, C. – Rezolvarea subiectelor de algebră şi analiză matematică date la admiterea în Facultatea de Pompieri – Academia de Poliţie „Alexandru Ioan Cuza”, sesiunea iulie 2014, Buletinul Pompierilor, nr. 2/2014, Editura Ministerului Afacerilor Interne, Bucureşti, 2014. [19] Darie, E., Popescu, G., Damian, C. – Rezolvarea subiectelor la disciplina fizică date la concursul de admitere la Facultatea de Pompieri – Academia de Poliţie „Alexandru Ioan Cuza”, sesiunea iulie 2015, Buletinul Pompierilor, nr. 2/2015, Editura Ministerului Afacerilor Interne, Bucureşti, 2015. [20] Popescu, G., Darie, E., Damian, C. – Rezolvarea subiectelor de algebră şi analiză matematică date la admiterea în Facultatea de Pompieri – Academia de Poliţie „Alexandru Ioan Cuza”, sesiunea iulie 2015, Buletinul Pompierilor, nr. 2/2015, Editura Ministerului Afacerilor Interne, Bucureşti, 2015. [21] Darie, E., Popescu, G., Damian, C. – Rezolvarea subiectelor la disciplina fizică date la concursul de admitere la Facultatea de Pompieri – Academia de Poliţie „Alexandru Ioan Cuza”, sesiunea august 2016, Buletinul Pompierilor, nr. 2/2016, Editura Ministerului Afacerilor Interne, Bucureşti, 2016, (în curs de apariţie).
BIBLIOGRAFIE
120
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza” Matematică Facultatea de Pompieri 2006 – 2016 [22] Popescu, G., Darie, E., Damian, C. – Rezolvarea subiectelor de algebră şi analiză matematică date la admiterea în Facultatea de Pompieri – Academia de Poliţie „Alexandru Ioan Cuza”, sesiunea august 2016, Buletinul Pompierilor nr. 2/2016, Editura Ministerului Afacerilor Interne, Bucureşti, 2016, (în curs de apariţie).
BIBLIOGRAFIE
121
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ
ISBN: 978-973-745-167-5