Cours Enseignement Scientifique [PDF]

Zitiervorschau

Classe de première

ENSEIGNEMENT SCIENTIFIQUE PHYSIQUE CHIMIE

Wulfran Fortin - 2019

1e ENSEIGNEMENT SCIENTIFIQUE PHYSIQUE CHIMIE

ii

Table des matières 1 Une longue histoire de la matière 1.1 Les éléments chimiques . . . . 1.2 Les cristaux . . . . . . . . . . . . 1.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . 1.4 Correction . . . . . . . . . . . .

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1 1 3 6 10

2 Le Soleil, notre source d’énergie 2.1 Le rayonnement solaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Correction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15 15 18 22

3 La Terre, un astre singulier 3.1 La forme de la Terre . . 3.2 La Terre dans l’Univers . 3.3 Exercices . . . . . . . . . 3.4 Correction . . . . . . . .

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27 27 30 31 35

4 Son et musique, porteurs d’information 4.1 Le son, phénomène vibratoire . . . . 4.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Correction . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 La musique et les mathématiques . . 4.5 Le son, une information à coder . . .

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41 41 43 47 49 49

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iii

1e ENSEIGNEMENT SCIENTIFIQUE PHYSIQUE CHIMIE

iv

Chapitre 1

Une longue histoire de la matière 1.1.2

Introduction Aux premiers instants suivant le Big Bang, les premiers éléments H et He permirent l’apparition des premières étoiles, qui durant leur vie puis leur mort ont créé les autres éléments chimiques. Ces éléments forment ainsi toute la matière vivante ou inerte, en s’assemblant en structures plus grandes, des molécules, des cristaux notamment. La stabilité des éléments formés dans les étoiles n’est pas toujours parfaite et cela explique le phénomène de la radioactivité.

1.1

Les éléments chimiques

1.1.1

Joseph von Fraunhofer (1787-1826)

Hans Albrecht Bethe (1906-2005)

Le physicien germano-américain publie en 1939 un article fondamental expliquant comment les étoiles produisent de l’énergie à partie de réactions de fusions nucléaires, ce qui conduit à la création de nouveaux éléments plus lourds que l’hydrogène et l’hélium. D’autres recherches par la suite ont permis de décrire et d’expliquer le cycle de vie de nombreuses étoiles, ainsi que la création de la quasi totalité des éléments chimiques.

1.1.3

Le Big Bang

Différentes observations montrent que l’Univers est en expansion (Edwin Hubble en 1929), qu’il existe un vestige du flash d’une grande explosion (rayonnement fossile découvert en 1964). Ces observations étaient prévues théoriquement à partir des équations de la relativité générales d’Einstein par des physiciens tels Gamov, Friedmann et Lemaître. Cette théorie explique la création des éléments hydrogène et hélium.

Le physicien Bavarois publie en 1814 un article fondamental où il décrit pour la première fois la présence de raies d’absorptions dans le spectre de la lumière du Soleil (figure 1.1). Ces raies d’absorptions correspondent à certains éléments chimiques présents sur la Terre. Par la suite, en équipant les télescopes de spectromètre, on a constaté que les étoiles contiennent les éléments H et He en très grande quantité, ainsi que les autres éléments chimiques en quantités plus faibles.

1.1.4

La nucléosynthèse

Les éléments les plus légers (Hydrogène et Hélium) sont apparus dans l’Univers dès le Big Bang (Figure 1.2). Les éléments suivants furent créés au cœurs des étoiles, à différentes étapes de leur évolutions, de leur naissance, vie et mort plus ou moins violente (géantes rouges, novæ, super novæ). De nombreux types de réactions nucléaires permettent la synthèse de la quasi totalité des éléments connus (fusion de noyaux, fission et spallation, désintégration spontanée, capture nucléaire).

1.1.5

Exemples de réactions

Chaîne de réaction proton-proton Cette chaîne de réaction se produit dans quasiment toutes les étoiles, quelque soit leur taille (figure 1.3 et figure 1.4). Elle consiste en une succession de fusion de noyaux de plus en plus gros, avec dégagement d’énergie (rayons gamma).

Figure 1.1 – Spectre du Soleil observé par J. Von Fraunhofer

1

1e ENSEIGNEMENT SCIENTIFIQUE PHYSIQUE CHIMIE Le cycle CNO (carbone, azote oxygène) Dans le cycle CNO, quatre protons (noyaux d’atome d’hydrogène) fusionnent en utilisant des noyaux de carbone, d’azote et d’oxygène, pour produire une particule alpha (noyau d’atome d’hélium), deux positrons, et deux neutrinos. 411 H + 2e− − → 42 H e + 2ν + 3γ Explosion de super nova À la fin de vie d’une étoile massive, son cœur est constitué de fer qui est l’élément le plus stable, il n’y a plus de réaction nucléaire possible qui peut produire de l’énergie, et l’étoile s’effondre brutalement sur elle même, n’ayant plus aucune force de pression capable de compenser sa propre gravitation. Rapidement, la densité au centre de l’étoile est telle que les couches tombantes rebondissent sur le cœur, ce qui est un processus extrêmement violent et qui libère une énergie phénoménale, l’étoile devient visible pendant quelques mois depuis d’autres galaxies. Pendant cette explosion, de nombreux types de réactions nucléaires ont lieu, des fusions, des captures, des fissions, des désintégrations qui créent presque tous les éléments chimiques. Voici des exemples des réactions durant une explosion de super nova.

Figure 1.2 – Origines des éléments chimiques

— Fission 1 235 0 n + 92 U

1 − → 92 K r + 141 56 Ba + 30 n + énergie 36

— Capture de neutron 56 26 Fe

→ 57 + 10 n − 26 Fe

— Désintégration 59 Fe 26

Figure 1.3 – Branche I de la chaîne de réaction proton proton (d’après Wikipédia)

1.1.6

− − → 59 27 C o + e + énergie

Abondance des éléments

Abondance en masse On peut définir l’abondance en masse d’un élément dans un objet comme étant le rapport entre la masse de l’élément présent dans une certaine masse de l’objet. Cette abondance en masse peut s’exprimer en pourcentage. Un élément lourd va compter plus qu’un élément léger. Abondance en nombre On peut définir l’abondance en nombre d’un élément dans un objet comme étant le nombre total de cet élément présent dans un objet comparé aux nombres des autres éléments présents dans l’objet. Un élément lourd et un élément léger compteront de la même façon. Figure 1.4 – Chaîne de réaction proton proton (d’après Dorottya Szam)

Abondance dans l’Univers L’Univers est principalement composé de deux éléments présents dans les étoiles en très grande quantité : l’hydrogène H et l’hélium H e.

2

CHAPITRE 1. UNE LONGUE HISTOIRE DE LA MATIÈRE Abondance dans la Terre Les principaux éléments qui constituent essentiellement notre planète sont l’oxygène O, l’hydrogène H, le fer Fe, le silicium Si et le magnésium M g.

Applications La radioactivité spontanée est utilisée — en médecine pour des examens et des soins (radiothérapie) — en archéologie pour dater des vestiges — en géologie et sciences de la Terre pour des datations — dans des générateurs radio isotopiques pour fournir de l’énergie pour certaines missions spatiales (Rovers martien Spirit, sondes Voyager, Pioneer, Galileo, New Horizons ...

Abondance dans le Vivant Les êtres vivants sont principalement composés de carbone C, d’hydrogène H, d’oxygène O et d’azote N . Représentations graphiques On peut représenter l’abondance des éléments exprimés en pourcentage à l’aide de graphe en disque (ou « camembère ») ou en graphique bâton.

1.1.7

1.2

Les cristaux

1.2.1

Le chlorure de sodium NaCl

La radioactivité

Isotopes Un élément est caractérisé par le nombre de protons Z présents dans son noyau, le nombre de neutrons peut être différent et pour un élément donné il existe plusieurs isotopes. Par exemple, l’élément hydrogène (Z = 1) possède trois isotopes, l’hydrogène 1 11 H, le deutérium 11 D et le tritium 31 T . Stabilité Dans le noyau d’un élément, il y a une compétition entre des forces répulsives (les protons ayant même charge électrique se repoussent) et attractives (forces électrofaibles et électro forte). Le noyau peut être instable, et il peut se modifier en éjectant certaines particules à très haute énergie, afin de corriger son nombre de neutrons et de protons pour améliorer sa stabilité.

Figure 1.5 – Aspect du chlorure de sodium à l’échelle microscopique : un empilement régulier d’ions C l − (en vert) et N a+ (en gris). L’échelle indiquée correspond à une longueur totale de 6 nm.

Radioactivité La radioactivité est un phénomène où le noyau d’un élément se modifie, ses nombres Z et A changent, il se désintègre, et cela s’accompagne par l’émission de particules et par l’émission de beaucoup d’énergie. Ce phénomène se manifeste par l’ionisation de la matière autour de la source radioactive car ce rayonnement est capable d’arracher les électrons des atomes environnants. C’est la raison de la dangerosité de la radioactivité, et c’est également la propriété qui permet sa détection.

Structure Le chlorure de sodium forme des cristaux d’aspect cubiques lorsqu’il cristallise. Au niveau microscopique (figure 1.5), c’est un empilement régulier d’ions C l − et d’ions N a+ sur un motif cubique : une maille. Cette maille se duplique ensuite par translation dans les trois directions de l’espace pour former le cristal de chlorure de sodium. La maille élémentaire a une forme cubique et sur ses huit sommets ainsi que sur le centre de ses six faces, on trouve une paire d’ion C l − et N a+ .

Définition Le phénomène de la désintégration radioactive est un phénomène — aléatoire pour un atome donné — caractérisée par sa durée de demie vie t 1/2 au bout de laquelle la moitié d’une collection d’un isotope s’est désintégrée — la durée de demi vie est spécifique à un type d’isotope — c’est un phénomène qui émet des particules chargées électriquement et de l’énergie, il ionise la matière environnante

Dénombrement des ions par maille Les ions aux huit sommets du cube appartiennent chacun à huit mailles différentes (voir figure 1.6), donc seul 1/8ème de chaque ion des sommets compte pour une maille. Les ions sur les six faces sont partagés par deux mailles chacun, ils ne comptent que pour moitié pour une maille. Enfin les ions sur les

3

1e ENSEIGNEMENT SCIENTIFIQUE PHYSIQUE CHIMIE son volume V = a3 en m3

douze arrêtes sont partagés par quatre mailles, ils ne comptent que pour 1/4 pour chaque maille. Enfin, il y a un ion au centre de la maille, qui compte totalement pour cette maille. On a donc — pour les ions C l −

V = (0.564 × 109 m)3 = 1.79 × 10−28 m3 Comme il y a 4 fois la formule N aC l dans une maille, on peut calculer la masse de ces ions

1 1 × 8 × C l − + × 6 × C l − = 4C l − 8 2 — pour les ions N a

m=4×

+

M (N aC l) NA

23.0 g.mol −1 + 35.5 g.mol −1 6.022 × 1023 −22 = 3.89 × 10 g =4×

1 × 12 × N a+ + 1 × N a+ = 4N a+ 4 Finalement, pour une maille cristalline, on a 4N aC l.

= 3.89 × 10−25 kg On calcule alors la masse volumique m V 3.89 × 10−25 kg = 1.79 × 10−28 m3 = 2170 kg.m−3

ρ=

= 2.17 g.cm−3 La valeur mesurée est environ 2.16 g.cm−3 , ce qui est conforme avec notre estimation. Neutralité électrique On constate qu’au niveau de la maille cristalline, il y a déjà la neutralité électrique assurée, il y a autant d’ions N a+ et de C l − . Forme géométrique des cristaux Le sel forme des cristaux d’aspect cubiques, qui est la forme de la maille élémentaire. Le cristal est le résultat de l’empilement régulier d’un très grand nombre de mailles élémentaires.

1.2.2

Structure cristalline

Cristal Un cristal est un solide constitué d’un empilement régulier d’atomes, d’ions ou de molécules, décrit microscopiquement par une maille élémentaire, qui par translation dans les trois directions de l’espace, permet de décrire l’ensemble du cristal. La forme de la maille élémentaire, ainsi que la nature et la position des entités chimiques qui constituent ce solide définissent la structure cristalline.

Figure 1.6 – Étapes de la schématisation de la maille élémentaire du chlorure de sodium : a Dessin d’un carré puis d’un cube en fausse perspective (b , c et d). Ensuite, les ions C l − occupent les sommets du cube, ainsi que le centre des faces. Les ions N a+ occupent les arrêtes du cube ainsi que le centre du cube.

Compacité c La compacité c est le rapport entre le volume occupé par les entités chimiques contenues dans une maille et le volume de cette maille. c est inférience à 1.

Masse volumique Sachant que la maille cristalline a pour dimension a = 0.564 nm on peut calculer

c=

4

Volume occupé par les entités volume de la maille

CHAPITRE 1. UNE LONGUE HISTOIRE DE LA MATIÈRE Comme le rayon r d’un atome est égal à la moitié de l’arrête a, on peut calculer le volume de l’atome

Masse volumique ρ Pour calculer la masse volumique ρ d’un cristal, il faut calculer le volume de la maille V puis la masse m de la totalité des éléments d’une maille et faire le rapport de ces deux grandeurs m ρ= V

v=

Comme il n’y a qu’un atome par maille, le volume total des atomes de la maille est

Propriétés physiques macroscopiques La structure cristalline influence les propriétés macroscopiques d’un élément. Par exemple, le carbone C peut cristalliser sous la forme graphite (la mine de crayon) qui est friable et conducteur de l’électricité ou diamant, qui est extrêmement dur et un isolant électrique. Un même matériau peut cristalliser sous différentes formes en fonction de la pression et de la température ambiante.

1.2.3

4  a 3 π 3 2

V =1×v La compacité est donc égale à c= =

V a3 4 a 3 3 π( 2 )

a3 π = 6 = 0.52

Maille cubique simple CS

1.2.4

Maille cubique à face centrée CFC

Figure 1.7 – Dessin d’une maille cubique simple.

Introduction C’est la structure cristalline la plus simple, adoptée par certains métaux, comme le Polonium.

Figure 1.8 – Dessin d’une maille cubique à faces centrées.

Dessin C’est un simple cube, dont les sommets sont occupés par un atome (figure 1.7). Les atomes sont en contact, leur rayon vaut la moitié de l’arrête du cube.

Introduction C’est une structure simple adoptée par plusieurs métaux, comme l’or par exemple. Dessin C’est un cube, dont les 8 sommets et les 6 faces sont occupés par un atome figure 1.8).

Nombre d’atome par maille Chaque atome au coin du cube (8 en tout) est partagé par 8 cubes adjacents. Il y a donc en tout 8×

Nombre d’atome par maille Chaque atome au coin du cube (8 en tout) est partagé par 8 cubes adjacents. Chacun des atomes sur les 6 faces sont partagés par deux cubes adjacents. Il y a donc en tout

1 × atome = 1 atome 8

pour une maille cubique simple.

8×

Compacité Le volume de la maille est V = a3

1 1 × atome + 6 × × atome = 4 atomes 8 2

pour une maille cubique à face centrée.

5

1e ENSEIGNEMENT SCIENTIFIQUE PHYSIQUE CHIMIE Compacité Le volume de la maille est

trouver la présence de microcristaux au sein de certains tissus (os, ivoire, coquilles, calcul rénaux).

V = a3 Comme le rayon r d’un atome est égal au quart de la diagonale d’une arrête a, on peut calculer le volume d’un atome  p 3 2a 4 v= π 3 4

1.3

Réactions de nucléosynthèse 1 QCM page 22, faire les questions 4, 5 et 6.

Comme il y a quatre atome par maille, le volume total des atomes de la maille est V =4×v La compacité est donc égale à € p Š3 4 × 34 π 42a c= a3 =

2

Exercice 2 page 23.

3

Exercice 4 page 24.

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Exercice 8 page 25.

Abondance des éléments

p 16 2×2×a3 3 π 64 3 a

5 On donne dans le tableau 1.1 l’abondance en pourcentage en masse des éléments constituant la Terre. Représenter sous forme de camembert puis de diagramme bâton les proportions des différents éléments.

p 2π 6 = 0.74 =

1.2.5

Exercices

Élément

Du cristal à la roche

Fe O Si Mg Ni Autres

Cristallisation La cristallisation d’un composé est un processus qui est influencé par les conditions physiques telles la vitesse de refroidissement, la pression, la présence d’impuretés. — une vitesse rapide de refroidissement synthétise des cristaux de petites tailles — les impuretés provoquent l’apparition de nombreux cristaux qui ne croissent pas de façon homogène et identique — de très fortes pressions peuvent engendrer des structures cristallines différentes pour un même composé (il existe par exemple plusieurs types de structures pour la glace en fonction de la température et de la pression subie).

proportion en masse (en %) 35 30 15 13 2.4 < 2% chacun

Table 1.1 – Abondance en masse des éléments dans la Terre 6 On donne dans le tableau 1.2 l’abondance en pourcentage en masse des éléments constituant un être humain. Représenter sous forme de camembert puis de diagramme bâton les proportions des différents éléments.

Structure vitreuse Dans le cas où le refroidissement est extrêmement rapide, il n’y a pas de cristallisation, et à l’échelle microscopique, il n’y a pas d’ordre : on obtient un verre, un solide qui a la même structure qu’un liquide (désordre). On trouve ainsi ces verres dans des coulées de lave où le refroidissement brutal des roches n’a pas permis une croissance des cristaux.

Élément C H O N Ca Autres

proportion en masse (en %) 18 10 65 3 2 < 1% chacun

Table 1.2 – Abondance en masse des éléments dans un être humain

Du microscopique au macroscopique Beaucoup de solides peuvent avoir une structure polycristalline. Une roche est composée de différents minéraux formant des cristaux agglomérés entre eux. Un métal a aussi une structure polycristalline au niveau microscopique. Dans le monde vivant, on peut aussi

6

7

Exercice 1 page 23.

8

Exercice 5 page 24.

CHAPITRE 1. UNE LONGUE HISTOIRE DE LA MATIÈRE 10 Le technetium 99m est un élément radioactif utilisé en médecine nucléaire pour diagnostiquer une embolie pulmonaire. Sa demi vie est t = 6 heures. Une dose contenant N0 = 2.4×1013 noyaux de technetium 99m est injectée à un patient devant subir un examen des poumons. a. Déterminer le nombre de noyaux radioactifs encore présents dans l’organisme au bout de 12 heures. b. Calculer au bout de combien de temps il ne reste dans l’organisme que N = 1.5×1012 atomes de technetium 99m ? 11 On note R le quotient du nombre d’atome de carbone 14 par le nombre d’atomes de carbone 12 dans un échantillon de lin (figure 1.9). Des analyses réalisées sur les bandelettes d’une momie indiques la présence de 67 noyaux de carbone 14 pour 1.0×1014 noyaux de carbone 12. En supposant que la momie a été emmaillotée avec des bandelettes de lin fraîchement tissé, estimer l’âge de la momie.

Radioactivité 9 QCM a. Au bout de deux demi-vies, la proportion des noyaux radioactifs qui se sont désintégrés dans un échantillon est de 1. 100% 2. 50% 3. 75% b. Les atomes de la centaine d’éléments chimiques stables existants résultent 1. de transformations nucléaires 2. de transformations physiques 3. de transformations chimiques c. Un noyau radioactif et 1. un noyau stable 2. un noyau instable 3. un noyau durable d. La demi vie t 1/2 d’un échantillon de noyaux radioactifs identiques est 1. instable 2. variable 3. constante e. L’instant de désintégration d’un noyau radioactif individuel est 1. aléatoire 2. prévisible 3. déterminé f. La demi vie d’un noyau radioactif est la durée au bout de laquelle 1. le tiers des noyaux présents dans un échantillon se sont désintégrés

Figure 1.9 – Évolution du rapport R en fonction du temps.

2. la moitié des noyaux présents dans un échantillon se sont désintégrés

12 QCM Un échantillon datant de 20000 ans contient un quart seulement de la quantité initiale N0 d’un isotope radioactif.

3. le nombre de noyaux présents dans un échantillon a doublé g. Un échantillon de matière radioactive contient initialement 2.0 × 1010 noyaux. Au bout de deux demi vies, l’échantillon contient

a.La demi vie de cet isotope est de 1. 5000 ans

1. 1.0 × 1010 noyaux radioactifs

2. 10000 ans 3. 15000 ans

9

2. 5.0 × 10 noyaux radioactifs

b.Dans 10000 ans, la quantité restante d’isotope radioactif sera

9

3. 2.5 × 10 noyaux radioactifs h. Un échantillon de matière radioactive contient initialement 1.2 × 1012 noyaux. Ce nombre de noyaux vaut 1.5 × 1011 au bout de

1. 2.

1. une demi vie

3.

2. de deux demi vies

N0 6 N0 8 N0 16

c.L’échantillon ne contiendra plus que de l’isotope radioactif au bout de

3. de trois demi vies

7

N0 64

noyaux

1e ENSEIGNEMENT SCIENTIFIQUE PHYSIQUE CHIMIE 1. 60000 ans 2. 30000 ans 3. 25000 ans d. Le rapport de carbone 14 par rapport au carbone 12 dans la biosphère 1. diminue au cours de la vie de l’individu 2. est constant, même après la mort de l’individu 3. est constant, uniquement durant la vie de l’individu 13 On trouve naturellement sur Terre les éléments de numéro atomique Z < 93 à l’exception du technétium Z = 43 et du prométhium Z = 61. L’institut d’astrophysique spatiale d’Orsay a montré que le bismuth 209 (209 83 Bi) que l’on croyait stable, est un émetteur de particule alpha. Sa demi vie a été évaluée à 1.9 × 1019 ans. Il se désintègre en thallium 4 205 selon la réaction 209 → 205 83 Bi − 81 T l + 2 H e. a. Donner la signification du nombre 209 ou 205 pour le bismuth ou le thallium. b. À l’aide de l’énoncé et de la réaction de désintégration du bismuth 209, définir ce que représente une particule alpha. c. Définir la demi vie. d. Expliquer pourquoi il est possible de trouver l’élément 209 83 Bi sur Terre alors qu’il est instable.

Figure 1.10 – Évolution du rapport 14 C/12 C en fonction du temps.

Les cristaux 15 L’argent est un métal cristallisant dans le réseau cubique à face centrées. La longueur de l’arrête de la maille cubique est a = 4.09×10−10 m, la masse d’un atome d’argent est m = 1.79 × 10−25 kg. a. Combien y a t il d’atome d’argent par maille élémentaire ? b. Exprimer puis calculer la masse totale mm de ces N atomes. c. Exprimer puis calculer le volume V de la maille. d. Exprimer puis calculer la masse volumique ρ de l’argent.

14 Sur le site de Nataruk au Kenya, des chercheurs ont mis en évidence les restes humains de vingt-huit individus. Les analyses au carbone 14 révèlent que la proportion 14 C/12 C présente dans les ossements constitue 30 % de la composition de 14 C/12 C mesurée dans l’atmosphère. La courbe 1.10 présente la loi de décroissance du carbone 14 dans un échantillon : la proportion d’atome de carbone 14 est donnée par rapport au nombre d’atomes du même isotope initialement présents. a. Expliquer pourquoi il est possible de considérer que la proportion d’atomes de carbone 14 présents dans les ossements est égale à la proportion d’atomes de carbone 14 présentes dans l’atmosphère au moment du décès. b. Évaluer la date du décès. c. Évaluer la demi vie du carbone 14 à l’aide du graphique.

16 a. Le chlorure de sodium est constitué d’un empilement régulier 1. d’atomes 2. d’ions 3. de molécules b. Une structure cristalline est définie par une maille élémentaire 1. isolée 2. répétée périodiquement 3. toujours cubique c. L’expression de la masse volumique ρ d’un échantillon de masse m et de volume V est

d. Deux équations de réaction nucléaires son données 1 14 1 → 14 0n + 7 N − 6 C + 1H 14 6 C

1. ρ = m × V 2. ρ = 3. ρ =

0 − → 14 7 N + −1 e

V m m V

d. Un réseau cristallin est défini par

Parmi ces deux équations, indiquer celle qui correspond à la désintégration du carbone 14 dans l’atmosphère. e. Justifier la nature des particules 10 n et 0−1 e.

1. une maille 2. une maille et la position des atomes dans la maille

8

CHAPITRE 1. UNE LONGUE HISTOIRE DE LA MATIÈRE rayon d’un atome de polonium vaut r = 167.6 pm et sa masse est m = 3.4 × 10−25 kg. a. Décrire le motif du cristal de polonium. b. Déterminer le nombre d’atomes de polonium effectivement présents dans la maille. c. Indiquer le volume et la masse de ces atomes présents dans la maille. d. Calculer le volume de la maille et la compacité du cristal de polonium. e. Donner la masse volumique du polonium et comparer votre résultat à la valeur tabulée ρ = 9.22 × 103 kg.m−3 .

3. la nature des atomes qui le constitue e. Un échantillon de matière contient de l’aragonite de formule C aCO3(s) et de l’oxyde de magnésium de formule M gO(s) . Cet échantillon de matière peut constituer 1. une maille 2. un cristal 3. une roche f. L’empilement des entités dans un verre se fait 1. avec un ordre géométrique rigoureux

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2. avec un ordre géométrique approximatif

a. Laquelle des deux représentations de la

3. sans ordre géométrique g. L’objet pouvant être constitué de cristaux est 1. un liquide 2. un verre 3. une coquille de mollusque h. On peut trouver des cristaux 1. dans les roches 2. dans les végétaux 3. dans certains organes d’un être humain 17 Le chlorure de césium cristallise dans un système cubique simple de paramètre de maille a = 412 pm. Des ions Cs+ sont présents sur chaque sommet du cube et un ion C l − au centre. On donne les rayions ioniques rCs+ = 167 pm et rC l − = 181 pm. a. Dessiner la maille cristalline du chlorure de césium. b. Préciser le sens du terme « paramètre de maille » c. Déterminer le motif de ce cristal et expliquer pourquoi il s’agit d’une structure cubique simple. d. Indiquer si les ions situés sur la diagonale du cube (Cs+ ,C l − ,Cs+ ) sont tangents.

Figure 1.11 – Deux structures adoptées par SiO2 (dessin Wikipédia). figure 1.11 peut correspondre à un cristal ? à du verre ? Justifier votre réponse. b. Pourquoi certaines roches contiennent-elles une structure vitreuse ? 21 L’or est un métal constitué d’atomes de symbole Au. Sa structure cristalline est cubique à face centrées. Son paramètre de maille vaut a = 408 pm, la masse d’un atome d’or vaut m = 3.27 × 10−25 kg. a. Représenter la maille en perspective cavalière (ou fausse perspective). b. Déterminer le nombre d’atome d’or par maille. c. En déduire la masse volumique ρ de l’or et la comparer à la valeur de référence ρ = 1.93 × 104 kg.m−3 .

18 L’argon solide permet d’étudier les molécules très instables en les immobilisant à très basse température dans une matrice solide qui empêche les contacts et les réactions de décomposition. L’argon appartient à la famille des gaz nobles. Il cristallise à une température inférieure à 83.9 kelvins en structure cubique faces centrées de paramètre de maille a = 543 pm. a. Représenter la maille du cristal d’argon, sachant que le motif de la structure cristalline est un atome d’argon. b. En considérant que les atomes voisins sont tangents, déterminer le rayon des atomes d’argon dans le cristal.

22 Le cuivre est un métal constitué d’atomes de symbole Cu qui cristallise dans la structure cubique à faces centrées. Le paramètre de maille vaut a = 361 pm et la masse de l’atome de cuivre m = 1.05 × 10−25 kg. a. Représenter la maille en perspective cavalière.

19 Le polonium cristallise en un réseau cubique simple où les atomes d’une maille cubique se trouvent sur chaque sommet de la maille. Le paramètre de la maille vaut a = 335.2 pm, le

9

1e ENSEIGNEMENT SCIENTIFIQUE PHYSIQUE CHIMIE Abondance des éléments

b. Déterminer le nombre d’atome de cuivre par maille. c. En déduire la masse volumique ρ du cuivre et la comparer à la valeur de référence ρ = 8.9 × 103 kg.m−3 .

1.4

5 Pour tracer le diagramme camembert, on ajoute au tableau de valeur une colonne angle en degré, qui représentera le pourcentage de l’élément. On utilise la proportion suivante 360 o correspond à 100 % donc 3.60 o correspond à 1.00 %, on multiplie la colonne des proportion par 3.60 pour calculer la colonne des angles. On peut ensuite tracer le diagramme camembert (ou en disque). Voir figure 1.12.

Correction

Réactions de nucléosynthèse 1 QCM page 22. Voir correction page 282. 2 1. Z est le numéro atomique, il représente le nombre de protons dans le noyau. A est le nombre de masse, il représente la somme du nombre de protons et du nombre de neutron présents dans le noyau. 2. Hydrogène 1 : 1 H, 1 proton 0 neutron. Hydrogène 2 : 21 H, 1 proton 1 neutron. Hydrogène 3 : 31 H, 1 proton 2 neutron. 3. Une fusion mélange deux noyaux pour en obtenir un plus gros, c’est donc la réaction b. Dans l’autre réaction, la masse ne change pas, il y a juste une émission d’un électron. 3 1. Hélium 4 contient 2 protons et 2 neutrons 4 2 H e. Le béryllium 8 4 Be. Le carbone 12 12 6 C.

contient 4 protons, 4 neutrons contient 6 protons et 6 neutrons

Figure 1.12 – Diagrammes camembert et en bâton des proportions en masse des éléments terrestres.

2. En utilisant le schéma de l’exercice on peut écrire 4

6 Pour tracer le diagramme camembert, on ajoute au tableau de valeur une colonne angle en degré, qui représentera le pourcentage de l’élément. On utilise la proportion suivante 360 o correspond à 100 % donc 3.60 o correspond à 1.00 %, on multiplie la colonne des proportion par 3.60 pour calculer la colonne des angles. On peut ensuite tracer le diagramme camembert (ou en disque). Voir figure 1.13.

H e + 4H e − → 8 Be + γ

et 4

H e + 8 Be − → 12 C + γ

3. On voit que deux noyaux se sont mélangés pour former un noyau plus gros, il s’agit d’une fusion. 4 1. 1 H + 1 H − → 2 H + γ, le rayon gamma est un photon (de la lumière) qui transporte énormément d’énergie. 2. 1 H + 2 H − → 32 H e. 3 3 3. 2 H e + 2 H e − → 42 H e + 21 H. 4. On part de l’équation de la question précédente, et on remplace les premiers termes 3 2H e 1

7 Exercice 1 page 23. 1. Pour convertir les ppm en % , on divise par 10000 les concentrations en ppm. 2. Voir diagramme 1.14. 8 Exercice 5 page 24. 1. En choisissant les trois plus grandes valeurs, on trouve L’oxygène, le silicium et l’aluminium. 2. Pour calculer les tailles des secteurs, on fait la somme des masses et elle correspond 360o et ensuite on utilise un tableau de proportion pour en déduire l’angle du secteur à dessiner. Voir figure 1.15. 3. Ils sont issus d’une étoile ayant explosé. Les débris ont formé un nuage de poussière qui s’est effondré sur lui même donnant naissance au Soleil et au système solaire.

+ 32 H e − → 42 H e + 21 H

H + 2H + 1H + 2H − → 42 H e + 21 H 21 H + 22 H − → 42 H e + 21 H

21 H + 2(1 H + 1 H) − → 42 H e + 21 H 61 H − → 42 H e + 21 H 4 H− → 1

Radioactivité

4 2H e

9 a. On divise par deux, deux fois de suite, on arrive donc à 25 % d’éléments restants, les autres

10

CHAPITRE 1. UNE LONGUE HISTOIRE DE LA MATIÈRE c. La réponse est 2, il se désintègre à partir d’une certaine date. d. La demie vie est un paramètre constant, qui ne dépend que de la nature de l’isotope qu’on étudie. e. La date à laquelle se désintègre un élément est inconnue elle est aléatoire. On sait qu’il y a simplement une probabilité de désintégration telle qu’après une demi vie, la moitié des isotopes seront désintégrés. La bonne réponse est 1. f. La bonne réponse est 2. g. Au bout de deux demi périodes, on divise deux fois de suite par deux la quantité initiale, il reste donc 2.0 × 1010 ×

1 1 × = 0.5 × 1010 = 5.0 × 109 2 2

La bonne réponse est la 2. h. On calcule les valeurs pour plusieurs demi vies en divisant par deux à chaque fois (voir tableau 1.3). La bonne réponse et la 3.

Figure 1.13 – Diagrammes camembert et en bâton des proportions en masse des éléments dans un être humain.

Date (en demi période) 0 t 1/2 2 × t 1/2 3 × t 1/2

Nombre de noyaux 1.2 × 1012 0.6 × 1012 3 × 1011 1.5 × 1011

Table 1.3 – Calcul de l’exercice 9 question h. . 10 a. On calcule les atomes restant à chaque durée de demi vie. Au départ N0 = 2.4 × 1013

Figure 1.14 – Diagrammes en bâton des proportions en nombre des éléments dans la Galaxie.

Au bout de 6 heures N1 = 1.2 × 1013 Au bout de 12 heures N2 = 6.0 × 1012 b. On continue le calcul. Au bout de 18 heures N3 = 3.0 × 1012 Au bout de 24 heures N4 = 1.5 × 1012 Figure 1.15 – Diagrammes en disque des proportions en masse des éléments dans la croûte terrestre.

Il faut attendre 24h. 11 On calcule la valeur de R R=

75 % sont désintégrés, donc la bonne réponse est la n° 3. b. Ils ont été créés par des réactions nucléaires au cœur des étoiles, la bonne réponse est la 1.

67 = 6.7 × 10−13 = 6.7 × 10−11 % 1.0 × 1014

soit R = 670 × 10−15

11

1e ENSEIGNEMENT SCIENTIFIQUE PHYSIQUE CHIMIE b.

Ensuite on lit la durée sur le graphique et on trouve t = 2900 ans, soit presque trois millénaires.

mm = N × m = 4 × 1.79 × 10−25 kg

12 a. S’il reste 1/4 de la quantité initiale, c’est que deux demi périodes se sont écoulées, on a divisé par deux deux fois de suite. Donc t 1/2 = 10000 ans, la bonne réponse est la n° 2. b. La durée totale écoulée sera 30000 ans, soit trois demi périodes, on divise trois fois de suite par deux, il restera N0 1 1 1 N0 × × × = 2 2 2 8 c. N0 1 1 1 1 1 1 = N0 × × × × × × 64 2 2 2 2 2 2

= 7.16 × 10−25 kg c.

V = a3 = (4.09 × 10−10 m)3 = 6.84 × 10−29 m3

d.

mm V 7.16 × 10−25 kg = 6.84 × 10−29 m3 = 1.05 × 104 kg.m−3

ρ=

soit 6 durées de demi vie donc 60000 ans, c’est la réponse 1. d. La bonne réponse est la 3, tant que l’individu est vivant, son carbone se renouvelle lors de son alimentation, et son rapport est identique au rapport atmosphérique. À sa mort, le renouvellement ne se fait plus et le carbone 14 disparaît progressivement en se désintégrant.

16 a. 2, b. 2, c. 3, d. 2, a. 2, e. 3, f. 3, g. 3, h. 1, 2 et 3. 17 a. Voir figure 1.16.

13 a. Ces nombres sont les nombres de masse, la somme du nombre de protons et du nombre de neutrons présent dans le noyau de l’élément. b. On voit dans la formule que la particule alpha s’écrit 42 H e, c’est un noyau d’hélium. c. C’est la durée au bout de laquelle la moitié des noyaux d’un échantillon d’isotope se sont désintégrés. d. Sa durée de demi vie est très longue comparée à l’age de la Terre ( 4.5 × 109 ans), beaucoup d’éléments ne se sont pas encore désintégrés. 14 a. Durant la vie, du carbone atmosphérique est fixé par photosynthèse dans les plantes, la composition isotopique sera la même que celle de l’atmosphère car le renouvellement est permanent durant la vie de la plante. b. On fait une lecture graphique pour 30 %, et on lit la date 10000 ans. c. On lit la durée pour laquelle on passe de 100% à 50%, on trouve t 1/2 = 5500 ans environ. d. c’est la deuxième équation qui est une désintégration. La première est une fission. e. 10 n est un neutron, la deuxième est un électron.

Figure 1.16 – Structure cubique centrée du chlorure de césium. b. Le paramètre de maille est la longueur a de l’arrête du cube. c. Le motif du cristal est constitué d’un ion césium (placé à la coordonnée (0, 0, 0) dans le cube et d’un ion chlorure placé au centre du cube , à la coordonnée ( 2a , 2a , 2a ). On déplace ensuite ce motif dans les trois directions de l’espace de façon à avoir le césium sur le coin d’un cube et on peut alors décrire l’ensemble du cristal. d. On va mesurer dans un premier temps la longueur d’une diagonale du cube, qui passe par son centre, à savoir la distance AB sur la figure 1.16. On utilise la formule permettant de calculer une distance entre deux points en coordonnées cartésiennes

Les cristaux 15 a. Comme le réseau est cubique à face centrée, il y a un atome sur chacun des huit coins, l’atome étant partagé entre 8 mailles adjacentes, il y a aussi six atomes sur les six faces, chaque atome étant partagé entre deux mailles, on peut donc calculer le nombre d’atomes par maille N=

AB =

Æ

(x A − x B )2 + ( yA − yB )2 + (zA − zB )2

donc ici on trouve que p AB = 3a = 713 pm

1 1 × 8 + × 6 = 4 atomes 8 2

12

CHAPITRE 1. UNE LONGUE HISTOIRE DE LA MATIÈRE c. En utilisant la formule du volume d’une sphère, en prenant pour rayon le rayon atomique, on calcule que 4 3 Vat ome = πrat ome 3 4 = π(167.6 × 10−12 m)3 3 = 1.97 × 10−29 m3

Ensuite, si les ions sont en contact sur cette diagonale, on doit avoir que la longueur AB = rCs+ + 2 × rC l − + rCs+ = 696 pm On constate que cette distance correspond quasiment à la longueur de la diagonale. 18

a. Voir figure 1.17.

La masse de l’atome de la maille est m = 3.4 × 10−25 kg . d. Le volume de la maille est le volume d’un cube d’arête a donc Vmaille = a3 = (335.2 pm)3 = 3.76 × 10−29 m3 La compacité c est le rapport entre le volume occupé par les atomes de la maille sur le volume de la maille, donc ici c= Figure 1.17 – Structure cubique à face centrée de l’argon.

e. La masse volumique du cristal est le rapport entre la masse des atomes d’une maille et le volume de la maille donc

b. On utilise le schéma sur la figure 1.17. Par application du théorème de Pythagore, on peut écrire que a2 + a2 = (4 × rAr )2 soit rAr 19

1.97 × 10−29 m3 = 0.52 3.76 × 10−29 m3

ρ=

3.4 × 10−25 kg = 9.03 × 103 kg.m−3 3.76 × 10−29 m3

On retrouve quasiment la même valeur que la valeur tabulée. 20 a. La structure a étant désordonnée, il s’agit d’un verre, alors que la structure b étant très ordonnée, il s’agit du cristal. b. Elles ont une structure vitreuse elles se sont refroidies très rapidement, et le processus de cristallisation n’a pas eu le temps de se faire. Ce sont par exemple les laves volcaniques.

p 2 = × a = 384 pm 4

a. Voir figure 1.18. Les atomes de Polonium

21 a. On peut reprendre le schéma d’un autre exercice, comme la figure 1.17 en remplaçant l’argon par l’or. b. Dans une maille cubique à face centrée, 8 atomes occupent les sommets du cube et sont partagés parmi 8 mailles, 6 atomes sont sur les faces du cube et sont partagés par deux mailles, on peut donc calculer le nombre d’atome par maille N=

c. Masse volumique

Figure 1.18 – Structure cubique du polonium.

mmaille Vmaille N × mat ome = a3 4 × 3.27 × 10−25 kg = (408 × 10−12 m)3

ρ=

occupent les sommets d’un cube d’arêtes a. b. Il y a 8 atomes sur chaque sommet du cube. Chaque atome est partagé entre 8 mailles adjacentes, donc N=

1 1 × 8 + × 6 = 4 atomes 8 2

1 × 8 = 1 atome 8

= 1.93 × 104 kg.m−3

13

1e ENSEIGNEMENT SCIENTIFIQUE PHYSIQUE CHIMIE On retrouve la valeur de référence. 22 a. On peut reprendre le schéma d’un autre exercice, comme la figure 1.17 en remplaçant l’argon par le cuivre. b. Dans une maille cubique à face centrée, 8 atomes occupent les sommets du cube et sont partagés parmi 8 mailles, 6 atomes sont sur les faces du cube et sont partagés par deux mailles, on peut donc calculer le nombre d’atome par maille N=

1 1 × 8 + × 6 = 4 atomes 8 2

c. Masse volumique mmaille Vmaille N × mat ome = a3 4 × 1.05 × 10−25 k g = (361 × 10−12 m)3

ρ=

= 8.9 × 103 k g.m−3 On retrouve la valeur de référence.

14

Chapitre 2

Le Soleil, notre source d’énergie Introduction Le Soleil est notre principale source d’énergie. Il permet le rythme des saisons, la Vie sur Terre grâce à la photosynthèse, il est la source d’énergie pour la dynamique atmosphérique et océanique. C’est également l’étoile la plus proche de la Terre et il permet de comprendre de façon fine le fonctionnement stellaire et comprendre ensuite le fonctionnement de l’Univers.

2.1

Le rayonnement solaire

2.1.1

Source de l’énergie du Soleil

Structure Le Soleil se structure de façon schématique en trois couches (figure 2.1). Le cœur qui représente 25% de la taille de l’étoile est très dense, 150 g.cm−3 , très chaud, 15000000 K, il est composé d’un plasma de protons et d’électrons, les protons fusionnent pour former des noyaux d’hélium ce qui est la source de la libération d’une énorme quantité d’énergie. Cette énergie s’évacue lentement à travers la zone radiative, qui représente environ 70 % de la taille du Soleil, puis elle est évacuée dans la zone convective où la matière est brassée. À sa surface, la température du Soleil n’est plus que de 5780 K, et elle permet le rayonnement de la lumière visible.

Figure 2.1 – Structure simplifiée du Soleil.

Source d’énergie C’est essentiellement la réaction de fusion de l’hydrogène en hélium qui est la cause de la libération de l’énergie du Soleil 411 H − → 42 H e + 201 e+ + énergie Spectre du Soleil Le spectre du Soleil est un spectre continu, qui présente de fines raies d’absorptions à cause des éléments chimiques constituant son atmosphère. C’est un spectre très similaire au spectre d’un corps noir dont la surface est à une température de 5780 K (figure 2.2).

Figure 2.2 – Spectre du Soleil mesuré depuis l’espace (modifié d’après Wikipédia)

15

1e ENSEIGNEMENT SCIENTIFIQUE PHYSIQUE CHIMIE 2.1.2

Équivalence masse et énergie

Puissance P et énergie E La puissance P est l’énergie libérée ou reçue pendant une seconde. Pour mesurer une puissance P (en watt W ), il faut donc mesurer l’énergie E (en joule J) pendant une durée ∆t (en seconde s) puis calculer le rapport P=

E ∆t

Si on connaît la puissance reçue ou libérée P pendant une durée ∆t, on peut calculer l’énergie reçue E en modifiant la formule précédente E = P × ∆t Énergie totale rayonnée par le Soleil On peut mesurer au niveau de la Terre l’énergie reçue à chaque seconde, par rayonnement sur une surface de 1 m2 , et qu’on appelle la constante solaire K Figure 2.3 – Le Soleil rayonne de l’énergie de façon isotrope autour de lui, chaque seconde, au niveau de la Terre, une surface de 1 m2 est traversée par une quantité d’énergie de 1367 J.

K = 1367 W.m−2 Le Soleil et la Terre sont séparés d’une distance D = 1.496 × 1011 m. Imaginons que l’énergie rayonnée par le Soleil traverse à chaque instant une sphère dont il est le centre et dont le rayon est la distance Soleil-Terre. Voir figure 2.3. Cette sphère a une surface

C’est une perte très faible pour le Soleil. En effet, comme le Soleil a une masse totale de 1.989 × 1030 kg, pour consommer la totalité du Soleil, il faudrait une durée

S = 4πr 2

1.989 × 1030 4.27 × 109 = 4.65 × 1020 s

et on sait que pour 1 m2 de cette sphère, il y a une puissance rayonnée valant K. On peut alors connaître la puissance totale rayonnée P

∆t =

= 14700 milliard d’années

P =S×K = 4π × r 2 × K

2.1.3

et en faisant l’application numérique

Le rayonnement du Soleil

Loi de Planck Un objet dense et chaud va émettre un rayonnement lumineux dont la distribution de l’énergie en fonction de la longueur d’onde du rayonnement est donnée par la loi de Planck, qui dépend de sa température de surface (figure 2.4).

P = 4π × (1.496 × 10 ) × 1367 11 2

= 3.845 × 1026 W Équivalence masse et énergie Einstein a proposé que la perte de masse ∆m et l’énergie libérée ∆E sont reliées par la relation

Loi de Wien La loi de Wien relie la température de surface T d’un objet exprimée en degré Kelvin à la longueur d’onde λmax en m pour laquelle il y a un maximum d’émission de rayonnement.

∆E = ∆m × c 2 avec la vitesse de la lumière c = 3.00 × 108 m.s−1 . On peut donc calculer la masse perdue par le Soleil à cause de son rayonnement en modifiant cette formule

λmax =

2.898 × 10−3 T

La relation entre la température T en degré kelvin K et la température θ en degré Celsius o C est

∆E c2 3.845 × 1026 = (3.00 × 108 )2

∆m =

T = θ + 273.15 Loi de Wien et étoiles On utilise la loi de Wien pour mesurer la température de surface des étoiles,

= 4.27 × 109 k g

16

CHAPITRE 2. LE SOLEIL, NOTRE SOURCE D’ÉNERGIE Capter l’énergie du Soleil Pour capter l’énergie transportée par le rayonnement solaire, il faut un objet plan ayant une certaine surface S en m2 capable d’absorber ce rayonnement. Plus la surface de collecte est grande, plus l’énergie captée chaque seconde sera grande. Voir figure 2.5 Pcaptée = S × Prayonnée On utilisera les unités suivantes — Pcaptée en watt (W ) — S en mètre carré (m2 ) — Prayonnée en watt par mètre carré (W.m−2 )

Figure 2.4 – Loi de Planck, rayonnement d’un corps en fonction de sa température de surface. La longueur d’onde λmax correspondant au maximum d’émission d’énergie dans le spectre permet de calculer la température de surface du corps en appliquant la loi de Wien.

en déterminant dans leur spectre la longueur d’onde λmax pour laquelle on a un maximum d’émission de lumière puis en appliquant la loi de Wien.

2.1.4

Figure 2.6 – Pour capter l’énergie rayonnée par le Soleil, le plan du capteur doit être perpendiculaire aux rayons solaires, de manière à être en incidence normale i = 0o .

Énergie reçue sur la Terre

Puissance radiative du Soleil Le Soleil rayonne de la lumière ultra violette, visible, infra rouge et radio. Ce rayonnement transporte de l’énergie et on peut donc définir une puissance radiative qui sera l’énergie transportée pendant chaque seconde par le rayonnement du Soleil. Voir figure 2.2.

Cette surface doit être orientée convenablement par rapport aux rayons du Soleil, perpendiculairement à eux, pour capter la totalité du rayonnement. Dans le cas contraire, on ne capte qu’une fraction de ce rayonnement. On peut montrer géométriquement que Pcaptée = cos i × S × Prayonnée avec les unités suivantes — Pcaptée en watt (W ) — i angle d’incidence en degré ou radian — S en mètre carré (m2 ) — Prayonnée en watt par mètre carré (W.m−2 )

2.1.5

Variation temporelle et géographique de l’énergie reçue sur la Terre

variation journalière Dans une journée, la hauteur du Soleil au dessus de l’horizon varie du levé au couché du Soleil, et donc l’angle des rayons du Soleil avec la surface horizontale du sol change, l’énergie reçue sera maximale quand le Soleil est dans l’axe du méridien Sud.

Figure 2.5 – L’énergie rayonnée par le Soleil captée est proportionnelle à la surface du capteur (sol, panneau photovoltaïque, panneau solaire, ...).

17

1e ENSEIGNEMENT SCIENTIFIQUE PHYSIQUE CHIMIE variation annuelle La Terre a un axe de rotation incliné de 23o par rapport à son plan orbitale autour du Soleil, voir figure 3.11. La hauteur maximale du Soleil au dessus de l’horizon sud peut varier de plus ou moins 23o durant l’année, et donc l’énergie reçue sur le sol peut varier de façon importante. Cela explique la présence de saisons dans les hémisphères nord et sud de la Terre, à cause des importantes variations de température qui en résultent. Voir les figures 2.8, 2.9 et 2.10.

ture de surface la plus élevée. b. Identifier quelle étoile est plutôt d’aspect rouge et laquelle est plutôt d’aspect bleutée. c. Grâce à la loi de Wien, déterminer la température de surface des deux étoiles et confirmer ou infirmer votre prévision de la question a. Donnée Loi de Wien λmax × T = 2.90 × 10−3 m.K. 4 Aldébaran est l’étoile la plus brillante de la constellation du Taureau. Il s’agit d’une géante jaune-orange en fin de vie qui est 45× plus volumineuse que notre Soleil. Le profil spectral de cette étoile est représenté sur la figure 2.12. a. Montrer que le profil spectral est cohérent avec la couleur de l’étoile indiquée dans l’énoncé. b. En utilisant la loi de Wien, calculer la valeur de la température de surface de cette étoile. c. Comparer la température de surface d’Aldébaran et celle du Soleil. 5 Pour mesurer la température de la lave, les vulcanologues utilisent des pyromètres optiques. Ces appareils comparent la couleur de la lumière émise par un corps chaud avec la couleur d’un filament incandescent dont on connaît la température. La mesure se fait sans contact avec l’objet chaud. a. La température de la lave éjectée par un volcan est comprise entre 600 o C et 1300 o C. Déterminer l’intervalle de longueurs d’onde dans laquelle se produit l’émission maximale. b. Expliquer l’intérêt du pyromètre optique pour les volcanologues.

variation géographique En se déplaçant vers le pole nord ou le pole sud, on constate que la hauteur au dessus de l’horizon du Soleil baisse, et donc les rayons sont très inclinés par rapport au sol qui reçoit une quantité d’énergie plus faible : c’est pourquoi la température aux pôles est bien plus faible qu’à l’équateur. Ce fait est universel dans le système solaire.

2.2

Exercices

1 Corriger les affirmations suivantes en les argumentant. 1. La masse du Soleil est une constante, elle ne varie pas. 2. Le Soleil n’émet que de la lumière visible. 3. Le spectre d’émission du Soleil ne dépend pas de sa température.

6 Le Soleil présente un maximum d’émission à une longueur d’onde λmax 1 = 500 nm, pour l’étoile Sirius, ce maximum est à λmax 2 = 290 nm, et pour l’étoile Antarès à λmax 3 = 810 nm. a. Sur un même graphique, tracer les allures des spectres des rayonnements émis par chaque étoile. b. En déduire la couleur de chaque étoile dans le ciel nocturne, sachant qu’une apparaît blanche, une autre rouge et la dernière bleue. c. Classer ces étoiles par températures croissantes.

4. La loi de Wien permet d’estimer la température au cœur d’une l’étoile. 2 a. Écrire la relation d’Einstein exprimant l’équivalence énergie-masse en rappelant la signification de chaque terme et son unité. b. En supposant que le Soleil rayonne une énergie de 3.8×1029 J en une seconde, calculer la valeur de la diminution de masse correspondante. c. Donner la signification de chaque terme de la loi de Wien et l’unité associée. d. En supposant que la longueur d’onde correspondant à l’intensité maximale du Soleil vaut 480 nm, calculer la valeur de la température de surface du Soleil. Données — vitesse de la lumière c = 3.00 × 108 m.s−1 — loi de Wien λmax × T = 2.90 × 10−3 m.K — conversion kelvin et degré Celsius T [K] = θ [o C] + 273

7 Les moyennes mensuelles des températures à Paris et à Melbourne (Australie) sont données dans les tableaux 2.1 et 2.2. a. Représenter sur un même graphique l’évolution de la température au cours de l’année dans chaque ville. b. Comparer les deux graphiques, pourquoi les courbes sont-elles décalées ? c. Calculer la valeur moyenne de la température, au cours de l’année dans chaque ville. d. Expliquer la différence de température moyenne entre les deux villes. 8 Le tableau 2.3 présente le relevé de température dans la ville de Saint Quentin Roupy heure par heure le 15 novembre 2018.

3 Dans le ciel de printemps, deux étoiles sont facilement identifiables : Arcturus étoile la plus brillante de la constellation du Bouvier, et Spica, la principale étoile de la constellation de la Vierge. On représente l’allure de leur profils spectraux sur la figure 2.11. a. Prévoir laquelle de ces deux étoiles à la tempéra-

18

CHAPITRE 2. LE SOLEIL, NOTRE SOURCE D’ÉNERGIE

Figure 2.7 – L’axe de rotation de la Terre est incliné de 23.5 o et pointe de façon constante vers l’étoile polaire. Durant l’année, les rayons du Soleil n’arrivent pas avec le même angle sur la surface du globe, ce qui induira les saisons.

Figure 2.8 – Le 21 juin, date du solstice d’été, le Soleil est au plus haut sur l’horizon, et l’énergie reçue par unité de surface sur le sol est maximale, la température augmente vite.

Figure 2.9 – Aux équinoxes du 21 septembre et du 21 mars, la durée du jour et de la nuit est identique, partout sur la Terre..

2018. 9 La puissance rayonnée par le Soleil mesurée au sommet de l’atmosphère terrestre vaut environ 1.4 kW.m−2 . a. Expliquer pourquoi cette perte d’énergie par rayonnement s’accompagne nécessairement d’une perte de masse du Soleil. b. Sachant que la puissance rayonnée couvre une sphère de rayon R = 1.5 × 1011 m, évaluer l’énergie libérée par le Soleil en une seconde.

a. Calculer la température moyenne relevée à Saint Quentin Roupy pour cette journée. b. Les météorologues calculent plutôt la température moyenne quotidienne en faisant la demi somme de la température maximale et de la température minimale. Comparer les deux méthodes. c. La normale saisonnière calculée sur la période 1981-2001 vaut 6.5 o C en novembre. Calculer l’écart à cette normale à la date du 15 novembre

19

1e ENSEIGNEMENT SCIENTIFIQUE PHYSIQUE CHIMIE

Figure 2.12 – Spectres de l’étoile Aldébaran. Mois Figure 2.10 – Le 21 décembre, date du solstice d’hiver, le Soleil est au plus haut bas l’horizon, et l’énergie reçue par unité de surface sur le sol est minimale, la température baisse vite.

J F M A M J J A S O N D

Température (o C) 5.2 7.3 10.8 15.2 19 22.4 24.2 23.9 20.7 14.8 9.7 6

Table 2.1 – Températures mensuelles à Paris (48 o N ) Mois J F M A M J J A S O N D

Figure 2.11 – Spectres des étoiles Arcturus et Spica.

c. En déduire la variation de masse du Soleil transformée chaque seconde. d. Calculer en % le rapport de la masse perdue sur la masse totale du Soleil et commenter ce résultat. Données — Une sphère de rayon R a pour surface S = 4πR2 — masse du Soleil MS = 2 × 1027 tonnes 10 a. Expliquer l’origine des saisons sur la Terre par un texte court et un schéma légendé. b. Relier la position des grandes zones climatiques observées sur Terre et la puissance solaire reçue. c. Schématiser la configuration pour laquelle la puissance reçue sur une surface plane est maximale.

Température (o C) 21 21.3 19.5 16.4 13.7 11.4 10.7 11.8 13.5 15.4 17 19.3

Table 2.2 – Températures mensuelles à Melbourne (37 o S)

d. Expliquer pourquoi la masse du Soleil diminue en permanence. 11 Vénus, Mars et la Terre sont des planètes telluriques assez proches les unes des autres dans le sys-

20

CHAPITRE 2. LE SOLEIL, NOTRE SOURCE D’ÉNERGIE Heure 1h 2h 3h 4h 5h 6h 7h 8h 9h 10 h 11 h 12 h 13 h 14 h 15 h 16 h 17 h 18 h 19 h 20 h 21 h 22 h 23 h 0h

Température (o C) 5.9 5.8 5.4 5.5 5.8 5.7 5.5 5.4 5.4 5.5 5.8 5.6 6.1 6.1 6.4 6.5 6.7 7.1 7.4 7.5 7.5 7.4 7.0 6.9

Mois

Vénus

Terre

Mars

J F M A M J J A S O N D

462 460 463 462 464 461 462 460 465 462 465 463

5 8 11 14 16 22 25 24 20 16 11 6

−49 −41 −40 −38 −36 −35 −36 −36 −42 −49 −54 −57

Table 2.4 – Températures mensuelles sur Mars, la Terre et Vénus Vénus ? b. Sur un graphique, représenter les variations annuelles de la température de Mars et de la Terre. c. Calculer la moyenne des températures sur une année pour chaque planète. d. Rappeler la cause de l’existence des saisons sur la Terre. e. En analysant le graphique précédent et les valeurs des angles d’inclinaisons des axes de rotation des planètes, prévoir si des saisons existent aussi sur Vénus et sur Mars. 12 Le 21 juin à Toulouse la hauteur du Soleil prend les valeurs suivantes — vers 11h10min, la hauteur au dessus de l’horizon est 50o — vers 14h10min, la hauteur au dessus de l’horizon est 70o — vers 19h30min, la hauteur au dessus de l’horizon est 20o a. Considérons un faisceau de rayons solaires de 1 m2 de section. Calculer la surface horizontale éclairée par un tel faisceau aux trois instants cités. b. On admet que le faisceau lumineux a une puissance de 1000 W . Calculer la puissance solaire reçue par m2 aux trois instants. c. Décrire comment évolue la puissance solaire reçue par m2 sur une surface horizontale au cours de la journée. d. Expliquer pourquoi la masse du Soleil diminue en permanence.

Table 2.3 – Températures à Saint Quentin Roupy le 15 novembre 2018

tème solaire. Les documents suivants donnent pour chaque planète l’angle d’inclinaison de son axe de rotation par rapport à l’écliptique (figure 2.13) et les moyennes mensuelles des températures de surface en degré (o C) relevées dans des conditions proches. On donne dans le tableau 1.1 l’abondance en pourcentage en masse des éléments constituant la Terre. Représenter sous forme de camembert puis de diagramme bâton les proportions des différents éléments. a. Que peut-on dire de la température de surface de

13 Le graphique 2.14 montre la variation de déclinaison du Soleil (à midi solaire) en fonction de l’année dans l’hémisphère nord. Pour calculer la hauteur h du Soleil au dessus de l’horizon en un lieu donné, il faut faire le calcul suivant h = 90o + déclinaison − latitude du lieu Figure 2.13 – Inclinaison des axes de rotation de Vénus, la Terre et Mars.

a. Sachant que la latitude de Nice vaut 43.7o , calculer la hauteur du Soleil à Nice à Midi heure solaire

21

1e ENSEIGNEMENT SCIENTIFIQUE PHYSIQUE CHIMIE de la lumière dans le vide (en mètre par seconde). b. On connaît la variation d’énergie et la vitesse de la lumière, on veut calculer la variation de masse qu’on isole dans la formule du a pour obtenir ∆m =

∆E c2

et en effectuant le calcul ∆m =

c. λmax (en mètre) est la longueur d’onde pour laquelle on a un maximum d’émission de rayonnement. T (en kelvin) est la température de surface du corps qui émet un rayonnement. d. On isole la température T dans la formule de la loi de Wien et on obtient

Figure 2.14 – Déclinaison du Soleil dans l’hémisphère nord.

lors des équinoxes et des solstices. b. Calculer la puissance solaire reçue par m2 sur une surface horizontale éclairée par un faisceau de rayons solaires de section 1 m2 et de puissance 1000 W pour les quatre dates précédentes. c. Décrire comment évolue la puissance solaire reçue par mètre carré sur une surface horizontale au cours de l’année.

2.3

3.8 × 1029 J = 4.2 × 1012 kg (3.00 × 108 m.s−1 )2

T=

2.90 × 10−3 m.K λmax

et on calcule la température en kelvin T=

2.90 × 10−3 m.K = 6040 K 480 × 10−9 nm

puis on calcule la température θ connaissant la température T par la formule

Correction

θ = T − 273 1 — Faux, la masse du Soleil décroît lentement du fait de la transformation de la masse en énergie lors des réactions de fusion nucléaires qui se produisent dans son cœur. — Faux, le Soleil émet un spectre de rayonnement électromagnétique continu qui s’étend du domaine des ondes radio jusqu’aux ultra violet et aux rayons X. L’essentiel de l’énergie est émis dans le spectre visible. — Faux, l’allure du spectre d’émission est un spectre d’émission d’un corps noir dont la position de la longueur d’onde du maximum d’émission dépend de la température de surface de l’objet. — Faux, la loi de Wien ne donne accès qu’à la température de surface de l’étoile. Pour connaître la température interne, il faut utiliser les lois de la physique nucléaire et ensuite fabriquer des modèles mathématiques du fonctionnement interne de l’étoile puis confronter les résultats du modèle aux observations expérimentales. 2

et donc

θ = 5770 o C

3 a. D’après la loi de Wien, si la température augmente, alors la longueur d’onde du maximum d’émission décroît. Donc l’étoile la plus chaude a une longueur d’onde du maximum d’émission plus faible, et c’est l’étoile Spica. b. L’étoile Arcturus paraît rouge, son maximum d’émission étant dans la partie rouge du spectre visible vers 650 nm, contrairement à Spica où l’émission de fait vers l’ultra violet (en dessous de 400 nm). c. On isole la température T dans la loi de Wien −3 T = 2.90×10 et on peut alors calculer les tempéλmax ratures de surface des deux étoiles TSpica =

2.90 × 10−3 = 24000 K 120 × 10−9

2.90 × 10−3 = 4300 K 680 × 10−9 On confirme la prévision de la première question. TArcturus =

a. La relation d’Einstein s’écrit

4 a. On constate que le maximum de lumière émise se situe vers 580 nm qui est la partie jaune orangée du spectre visible. b. 2.90 × 10−3 T= = 5000 K 580 × 10−9

∆E = ∆m × c 2 ∆E est l’énergie (en joule) libérée correspondant à la perte de masse ∆m (en kilogramme) , c est la vitesse

22

CHAPITRE 2. LE SOLEIL, NOTRE SOURCE D’ÉNERGIE soit une température θ = 4700 o C c. C’est une température plus basse que celle du Soleil qui est voisine de 5700 o C. 5 a. On utilise la loi de Wien pour calculer les longueurs d’ondes où se trouve le maximum d’émission de lumière λmax =

2.90 × 10−3 T

et on peut alors calculer la plage de longueur d’onde en étant attentif au choix des unités à respecter dans cette formule λmax 1 =

2.90 × 10−3 = 3300 nm 600 + 273

λmax 2 =

2.90 × 10−3 = 1800 nm 1300 + 273

et

Figure 2.16 – Températures mensuelles à Paris et Melbourne durant l’année.

Ces maximums d’émission sont dans l’infra rouge. b. La mesure de température se fait à distance (plusieurs mètres) et le vulcanologue est ainsi protégé de la très forte chaleur de la lave et de l’intense rayonnement infra rouge qui le tuerait sinon.

d’une demi année. c. Température moyenne à Paris 14.9 o C et à Melbourne 15.9 o C. d. Melbourne est un peu plus proche de l’équateur, le Soleil est en moyenne plus haut sur l’horizon et le sol reçoit plus d’énergie par unité de surface. Il peut aussi y avoir une autre explication, Melbourne est une ville portuaire et l’océan peut tempérer les variations de température, il y a peu-t-être aussi des courants marins qui influencent le climat ( c’est le cas dans l’Atlantique avec le Gulf Stream).

6 a. Voir figure 2.15. b. On utilise la valeur de la position de la longueur

8 a. La température moyenne de la journée est 6.2 o C. b. Méthode des météorologues t m = 5.4+7.5 = 2 6.5 o C, on a une valeur légèrement surestimée, mais elle reste proche du calcul exact de la moyenne. C’est une méthode plus rapide de calcul, et qui correspondant à une contrainte technologique : les thermomètres des stations météo ne pouvaient garder «en mémoire» que les valeurs maximale et minimale des températures journalières, grâce à de petits index qui étaient poussés par le mercure contenu dans le tube du thermomètre. Au moment du relevé, on n’avait que ces deux valeurs, puis les index étaient replacés au contact du mercure pour la journée suivante. c. En utilisant le résultat de la première question l’écart est de 0.3 o C.

Figure 2.15 – Aspect des spectres d’émissions de Sirus, du Soleil et d’Antarès. d’onde du maximum d’émission : Sirius est bleue ( 290 nm), le Soleil est blanc (milieu du spectre visible , à 500 nm) et Antarès parait rouge ( 810 nm). c. De la plus froide à la plus chaude : Antarès, Soleil et Sirius, en utilisant la loi de Wien. 7 a. Voir figure 2.16. b. On observe un décalage de six mois des températures. Melbourne est dans l’hémisphère sud et Paris dans l’hémisphère nord, les saisons sont décalées

9 a. L’origine de l’énergie du Soleil est une fusion thermonucléaire qui se fait avec une perte de masse, qui est transformée en énergie. b. On calcule la surface de la sphère centrée sur le

23

1e ENSEIGNEMENT SCIENTIFIQUE PHYSIQUE CHIMIE c. Les rayons sont perpendiculaires à la surface. d. C’est une réaction de fusion nucléaire qui est à l’origine de la libération d’énergie, et cela se fait avec une transformation de masse en énergie.

Soleil et de rayon la distance Terre Soleil S = 4π × (1.5 × 1011 m)2 = 2.8 × 1023 m2 Chaque mètre carré de cette surface est traversé à chaque seconde par une énergie de 1400 J donc au total à chaque seconde l’énergie libérée par le Soleil vaut E = S × 1.4 kJ = 3.96 × 1026 J

11 a. La température de surface de Vénus ne varie pas, elle reste constante toute l’année. b. Voir graphique 2.18. c. Moyenne annuelle des températures

c. En utilisant la relation d’Einstein, on peut calculer la variation de masse ∆m =

3.96 × 1026 ∆E = = 4.4 × 109 k g c2 (3.0 × 108 )2

d. masse perdue =

4.4 × 109 k g × 100 = 2 × 10−19 % 2 × 1030 k g

La masse perdue à chaque seconde est extrêmement faible comparée à la masse totale du Soleil. 10 a. L’axe de rotation de la Terre est incliné par rapport au plan de l’écliptique d’un angle de 23.5o et cet axe garde une direction constante par rapport aux étoiles. Pendant sa révolution autour du Soleil, les zones à proximité des pôles ont une durée d’ensoleillement variable et les rayons solaires ont un angle d’incidence sur le sol qui varie, l’énergie reçue varie durant l’année ce qui provoque le cycle de saisons. Voir figure 2.17. b. La puissance solaire reçue est faible aux pôles

Figure 2.18 – Températures mensuelles sur une année, sur la Terre et sur Mars. θTerre = 14.8 o C θMars = −42.8 o C d. La Terre présente un cycle des saisons du fait de l’inclinaison de son axe de rotation par rapport au plan de l’écliptique. e. Comme Mars a un axe de rotation incliné sur son orbite, de la même façon que la Terre, on observera un cycle de saisons sur Mars. Chaque année martienne (687 jours terrestre), on observe de gigantesques tempêtes de sable qui obscurcissent le ciel martien, ce qui fut fatal à deux rovers américains (Spirit et Opportunity) qui sont morts de froid, à court d’énergie, leurs panneaux solaires étant incapables de produire suffisamment d’électricité pour réchauffer les deux robots. Vénus par contre, n’a pas de cycles de saisons, la température y est constante. Son atmosphère est très différente de l’atmosphère terrestre, très dense, très chaude, très acide. Elle fut explorée durant les années 70 et 80 par toute une série de sondes russes, les sondes Vénéra dont plusieurs ont survécu quelques heures à la surface (à 400 o C et 90 bar). 12 a. Voir figure 2.19. La surface éclairée est

Figure 2.17 – Comme l’axe de la Terre est incliné sur son orbite, l’éclairement au sol varie pendant l’année et l’énergie reçue par mètre au carré varie également, ce qui induit le cycle des saisons. car le Soleil est très bas au dessus de l’horizon, les pôles sont recouverts de glace. Au contraire, sur la bande équatoriale, le Soleil est toujours très haut au dessus de l’horizon et la durée jour nuit constante, dans cette bande équatorial les températures sont en moyenne plus élevées. Les bandes intermédiaires connaissent des climats variables avec des saisons marquées (saisons des pluies comme la mousson, saisons européennes hivers, printemps, été, automnes).

égale à S =

24

1 sin(h)

donc

CHAPITRE 2. LE SOLEIL, NOTRE SOURCE D’ÉNERGIE — pour 50o S = — pour 70o S = o

— pour 20 S =

1 sin(50o ) 1 sin(50o ) 1 sin(20o )

= 1.31 m2 = 1.06 m2 = 2.92 m2

Figure 2.19 – Relation entre hauteur h du Soleil et surface éclairée au sol S. b. La puissance reçue par unité de surface K sera le rapport entre la puissance reçue P et la surface éclairée S. On a P = 1000 W . Donc ici 1000 W −2 — pour 50o K = 1.31 m2 = 763 W.m 1000 W −2 o — pour 70 S = 1.06 m2 = 943 W.m 1000 W −2 — pour 20o S = 2.92 m2 = 342 W.m c. La puissance solaire reçue par mètre au carré croît jusqu’à midi solaire, quand le Soleil est le plus haut sur l’horizon, puis elle décroît ensuite, pour être nulle la nuit. d. La source d’énergie du Soleil est une réaction de fusion nucléaire, qui transforme une partie de la masse en énergie. 13

a. Solstice d’été, déclinaison = 23.5o donc h = 90o + 23.5o − 43.7o = 69.8o

Équinoxes, déclinaison = 0.0o donc h = 90o + 0.0o − 43.7o = 46.3o Solstice d’hivers, déclinaison = −23.5o donc h = 90o − 23.5o − 43.7o = 22.8o b. On réutilise les formules de l’exercice précédent (figure 2.19) et sachant que K = 1000S W on trouve que K = 1000 W × sin(h) — pour le solstice d’été h = 69.8o K = 1000 W × sin(69.8o ) = 938 W.m−2 — pour les équinoxes h = 46.3o K = 1000 W × sin(46.3o ) = 723 W.m−2 — pour le solstice d’hiver h = 22.8o K = 1000 W × sin(22.8o ) = 388 W.m−2 c. L’énergie par surface éclairée est minimale au solstice d’hiver et maximale au solstice d’été.

25

1e ENSEIGNEMENT SCIENTIFIQUE PHYSIQUE CHIMIE

26

Chapitre 3

La Terre, un astre singulier Introduction La forme et le mouvement de notre planète ont progressivement été compris durant l’Histoire, par étapes successives qui modélisaient des mesures de plus en plus précises les phénomènes astronomiques.

3.1

La forme de la Terre

3.1.1

Histoire de la mesure du méridien

Une observation historique Durant l’Antiquité, des voyageurs en Égypte avaient fait les observations suivantes — Syène (l’actuelle Assouan) et Alexandrie sont situées sur le même méridien — la distance entre Syène et Alexandrie est connue (environ 788 km) — au solstice d’été (vers le 21 juin), le Soleil est à la verticale à Syène, il n’y a pas d’ombres, mais à Alexandrie, les rayons du Soleil sont inclinés de 7o 120 par rapport à la verticale

Figure 3.1 – Modèle d’Anaxagore pour mesurer la distance Terre Soleil.

Interprétation d’Anaxagore (500-428 av. J.C.) Anaxagore pensait que la Terre était plate. À partir de cette hypothèse, il propose un calcul permettant d’estimer la distance du Soleil à la Terre grâce aux observations des voyageurs égyptiens (voir figure 3.1). Il trouva que le Soleil serait ainsi à une km distance H = t788 an(7.2o ) = 6240 km de la Terre supposée plate. Mais ce modèle n’arrive pas à expliquer d’autres phénomènes comme la variabilité de la durée du jour et de la nuit, la forme de l’ombre de la Terre sur la Lune lors d’une éclipse de Lune, la disparition sous l’horizon des bateaux qui s’éloignent sur la mer.

— les rayons envoyés par le Soleil arrivent sur Terre parallèles entre eux — les droites sécantes des parallèles forment des angles alternes égaux — les arcs de cercles qui reposent sur des angles égaux sont semblables En raisonnant à partir de l’observation de l’aspect de l’ombres d’un cadran solaire hémisphérique (Scaphe), il fait la première estimation de la longueur du méridien terrestre. Voir figure 3.2. L’arc formé par les villes de Syène et d’Aléxandrie mesure 788 km de long, il représente un angle α = 7.2o . Donc pour la totalité de la circonférence de la Terre, on a par proportionnalité que le cercle méridien mesure

Interprétation d’Ératosthène (276-194 av. J.C) . Ératosthène reprend les observations des voyageurs égyptiens, et ajoute plusieurs hypothèses supplémentaires — la Terre est une sphère

788 km × 360o = 39400 km 7.2o

27

1e ENSEIGNEMENT SCIENTIFIQUE PHYSIQUE CHIMIE Connaissant le périmètre de la Terre, on en déduit son rayon car périmètre = 2π × rayon donc r a y on = 6270 km La valeur exacte est 6370 km.

Figure 3.3 – Extrait des cartes des triangles utilisés par Delambre et Méchain pour mesurer la longueur de la méridienne.

Figure 3.2 – Modèle d’Ératosthène pour mesurer la taille de la Terre.

Mesure de la longueur du méridien Pour réaliser une carte générale précise de la France, il fût décidé à trois reprises de mesurer la longueur du méridien de Paris, de 1683 à 1718, de 1739 à 1740, et pour définir le mètre étalon, de 1792 à 1799. Cette dernière mesure a été faite par Méchain (1744-1804) et Delambre (1749-1822), en partant de Dunkerque jusqu’à Barcelone (voir figure 3.3). La technique utilisée pour mesurer cette longueur est la triangulation. On repère dans le paysage des points remarquables qui forment des triangles, on mesure les angles des sommets des triangles, et pour un des triangles, on mesure très précisément la longueur d’un de ses cotés (voir figure 3.4). On utilise ensuite la loi des sinus (voir figure 3.5) pour déterminer de proche en proche les longueurs des cotés des triangles. Plusieurs instruments de mesures furent nécessaires. Une horloge très précise et un cercle de Borda permirent de mesurer la latitude des lieux ainsi que la direction de la méridienne. Le cercle répétiteur de Borda (figure 3.6) fût aussi utilisé pour mesurer avec grande précision les angles des sommets des triangles. Le cercle était équipé de lunettes avec un réticule pour les visées ainsi que de petites loupes pour lire précisément les graduations sur des rapporteurs.

Figure 3.4 – La mesure de la base c ainsi que des angles αi permet de calculer grâce à la loi des sinus les autres distances a, b, d, e, f et g.

3.1.2

Repérage géographique

Sphère La Terre étant sphérique, pour donner sa position sur cette sphère, il faudra préciser deux angles, la longitude ( long. ou λ) et la latitude (lat. ou φ) mesurés à partir d’une origine (voir figure 3.7).

28

CHAPITRE 3. LA TERRE, UN ASTRE SINGULIER

Figure 3.5 – La loi des sinus relie la valeur des angles au sommet d’un triangle et la longueur des cotés du triangle. Figure 3.7 – Pour se repérer sur le globe terrestre, on définit la longitude λ et la latitude φ d’un lieu à partir du méridien de Greenwich et de l’équateur.

Figure 3.6 – Cercle de Borda utilisé par Méchain et Delambre. Figure 3.8 – La longueur d’un arc de méridien se calcule à partir de la différence de latitude et du diamètre de la Terre.

Latitude (lat. ou φ) La latitude permet de repérer sur une sphère un cercle parallèle à l’équateur. Cet angle varie de 0o à 90o , et on précise si on va vers le pôle nord (N ou signe +) ou vers le pôle sud (S ou signe −).

angle ∆α exprimé en degré. ∆α = φ1 − φ2

Longitude (long. ou λ) La longitude permet de préciser sur quel arc de méridien on se situe. On utilise le méridien de Greenwich comme origine. Cet angle varie de 0o à 180o et on précise si on se déplace vers l’ouest de Greenwich (symbole O ou signe −) ou vers l’est de Greenwich (symbole E ou signe +).

Ensuite, sachant qu’un cercle méridien a un périmètre de 40000 km et qu’il correspond à un arc de 360o , on réalise une proportion pour trouver la longueur de l’arc l=

∆α × 40000 km 360o

Voir figure 3.8. Arc de méridien Pour calculer la longueur d’un arc de méridien, on doit connaître la différence de latitude entre les deux extrémités de l’arc, on a un

Arc de parallèle La mesure de la longueur d’un arc de parallèle nécessite de connaître la différence

29

1e ENSEIGNEMENT SCIENTIFIQUE PHYSIQUE CHIMIE

Figure 3.9 – La longueur d’un arc de parallèle se calcule à partir de la différence de longitude et du diamètre du cercle parallèle, dont le périmètre dépend de la longitude. de longitudes entre les deux points extrêmes de l’arc ∆long. et on doit aussi connaître la latitude de ces points pour calculer le périmètre du cercle parallèle à l’équateur. Il a un rayon R = RTerre × cos(latitude) et donc son périmètre serait P = 40000 km × cos(latitude) Finalement la longueur de l’arc de parallèle sera L=

∆long. × 40000 km × cos(latitude) 3600

Figure 3.10 – Le plus court chemin entre deux points sur Terre est un arc de cercle, dont le centre est le centre de la Terre.

plan de l’orbite terrestre s’appelle l’écliptique. L’axe de la Terre est incliné d’un angle de 23, 5 o par rapport à la normale à l’écliptique, et pointe approximativement vers l’étoile polaire. Le mouvement sur l’orbite se fait dans le sens trigonométrique, si on regarde la Terre en étant du coté nord de l’écliptique. La Terre tourne sur elle même en 23h 56min 4s, dans le sens trigonométrique, par rapport aux étoiles, de manière à ce que Soleil se lève à l’Est et se couche à l’Ouest, en se plaçant à la surface de l’hémisphère nord terrestre. Voir figure 3.11.

Voir figure 3.9. Du géocentrisme vers l’héliocentrisme Plus court chemin Le plus court chemin sur une sphère entre deux points à sa surface est un arc d’un cercle centré sur la sphère et passant par ces deux points. Voir figure 3.10. coordonnées sexagésimal Pour mesurer les angles, on peut utiliser une expression décimale de l’angle mais aussi une expression sexagésimale en degré (o ), minute (0 ) et seconde (00 ), avec pour convention que 1o = 60 0 et 1 0 = 60 00

3.2

La Terre dans l’Univers

3.2.1

La Terre autour du Soleil

Orbite de la Terre Si on décrit le mouvement de la Terre par rapport aux étoiles, elle parcourt une trajectoire quasiment circulaire de rayon R = 1.50 × 1011 m, appelé l’unité astronomique UA en une durée de 365.24 jours. Le

Le géocentrisme En apparence, les astres du ciel tournent tous dans le même sens autour de la Terre, et pendant longtemps, les humains pensaient que la Terre était le centre de l’Univers, on parle alors de géocentrisme. Cependant, cette description du Monde se heurtait à plusieurs problèmes pour interpréter des observations et des mesures astronomiques de plus en plus précises. Mouvement rétrograde des planètes Quand on note sur une carte la position d’une planète par rapport aux étoiles, vue depuis la Terre, on observe que la planète semble reculer sur son chemin au cours de l’année. Ce mouvement, appelé mouvement rétrograde, était connu depuis l’antiquité. Il y a eu différents essais de modélisation à partir de cercles centrés sur la Terre pour décrire ce mouvement étrange. Le modèle héliocentrique facilitera l’explication de ce phénomène optique, du à la composition du mou-

30

CHAPITRE 3. LA TERRE, UN ASTRE SINGULIER

plan de l'écliptique 150 000 000 km

vers l'étoile polaire

sens de rotation de la Terre

sens du déplacement de la Terre

Figure 3.11 – Mouvement de la Terre autour du Soleil, par rapport aux étoiles.

vement de la Terre et de la planète autour du Soleil.

est du à un phénomène de synchronisation du mouvement et de dissipation d’énergie car la Lune et la Terre ne sont pas des astres totalement rigides, ils se déforment et perdent ainsi un peu d’énergie.

Phases de Vénus et de Mercure Quand Galilée observa la première fois Vénus avec sa lunette vers 1610, il vît des phases et une variation du diamètre apparent de Vénus (voir figure 3.13) qui ne peuvent s’expliquer que dans le cadre d’un modèle héliocentrique du système solaire (voir figure 3.14).

3.2.2

Phases de la Lune Les phases lunaires s’expliquent facilement par un jeu d’ombre et de lumière en fonction de la position de la Lune par rapport au Soleil et à la Terre. Voir figure 3.16. Calendriers Le mouvement de la Lune a été utilisé par de nombreuses civilisations et cultures pour établir des calendriers lunaires en orient, en Asie et en Amérique du sud. Ces calendriers ont été progressivement abandonnés (sauf pour les fêtes religieuses juives et musulmanes par exemple) au profit du calendrier grégorien qui est synchronisé sur la rotation de la Terre autour du Soleil, gardant ainsi les saisons aux mêmes dates de l’année. Voir figure 3.17.

La Lune autour de la Terre

Taille La Lune est un satellite naturel de la Terre qui n’a pas d’atmosphère à cause de sa taille et sa masse (7.35 × 1022 k g) insuffisantes pour retenir une atmosphère, la vitesse nécessaire pour échapper à son attraction (2.38 × 103 m.s−1 ) étant voisine de celle des molécules d’un gaz aux températures courantes sur la Terre (500 m.s−1 ) . Orbite La Lune décrit une trajectoire presque circulaire autour de la Terre, tournant dans le sens trigonométrique si on regarde la Lune en étant du coté nord de la Terre. Le rayon de ce cercle est d’environ 385000 km en moyenne, mais il varie légèrement. Cette orbite est inclinée de 5o par rapport à l’écliptique. Voir figure 3.15.

3.3

Exercices

1 Savoir redessiner le schéma du modèle d’Ératosthène, figure 3.2. 2

Savoir calculer la longueur du méridien ter-

restre grâce à la méthode d’Ératosthène, en partant de la figure 3.2 et en prenant pour valeurs — distance Syène-Aléxandrie 788 km — angle α = 7.2o

Mois synodique ou lunaison Le mois synodique est l’intervalle de temps séparant deux conjonctions consécutives de la Lune et du Soleil. Sa durée est d’environ 29.5 jours mais elle peut fluctuer de quelques heures, le mouvement de la Lune étant perturbé par l’attraction du Soleil.

3 Rappeler la formule mathématique permettant de relier le périmètre p d’un cercle de rayon R. 4 À partir de la formule précédente, isoler le paramètre R. 5 Une sphère a un rayon de 100 m, calculer son périmètre p en km.

Jour lunaire Une journée sur la Lune dure 29.5 jours terrestres, car la rotation de la Lune sur elle même est synchronisée sur le mois synodique et la Lune présente toujours la même face à la Terre. Cela

6 Un astre a un périmètre de 2.13 × 107 m. De quelle planète s’agit-il ?

31

1e ENSEIGNEMENT SCIENTIFIQUE PHYSIQUE CHIMIE

Mouvement apparent de Mars en 2016 - d'après Dominic Ford - https://in-the-sky.org

Figure 3.12 – Mouvement apparent de Mars par rapport aux étoiles, vu depuis la Terre.

Figure 3.14 – Explication héliocentrique des phases de Vénus.

385 000 km 5o

D'après Statis Kalyvas - The Venus Transit 2004 - eso.org

orbite de la Lune plan de l'écliptique

Figure 3.15 – La Lune suit une trajectoire quasi circulaire autour de la Terre en 29.5 j, cette orbite étant inclinée de 5o par rapport au plan de l’orbite terrestre.

D'après Galileo Galilei vers 1610.

Figure 3.13 – Observations des phases de Vénus par un astronome moderne et par Galilée.

Calculer à l’aide de la formule des sinus les angles aux différents sommets. On remarquera au préalable que la relation de Pythagore peut s’appliquer à ce triangle.

— Mars a un diamètre de 6794 km — Vénus a un rayon de 6052 km — Mercure a un diamètre de 4880 km 7 Soit un triangle (ABC). On donne la longueur des cotés AB = 3 cm, BC = 4 cm et AC = 5 cm.

8 Cet exercice illustre le principe du mesure de la longueur du méridien de Paris par Delambre et Méchain de Dunkerque à Barcelone. On utilise le

32

CHAPITRE 3. LA TERRE, UN ASTRE SINGULIER

nouvelle Lune

premier quartier

dernier quartier

pleine Lune

Figure 3.16 – La position relative de la Lune par rapport à la Terre et au Soleil explique l’aspect du satellite vu depuis la Terre. f. Calculer la longueur de la méridienne E F .

schéma de la figure 3.18. On veut mesurer sur cette figure la longueur E F qui joue le rôle de notre méridienne. On utilise pour cela un système de 4 triangles. On décompose le méridien E F en E I + I J + J K + K F . Les résultats numériques seront donnés à 0.01 près. a. On a mesuré la base AB = 7.5, et les trois angles Ô Ô Ô B AE = 56.0o , A BE = 45.0o et A E F = 30.0o Ô — calculer A EB — déterminer AE b. On considère maintenant le triangle AE I. — calculer Ed IA — déterminer E I — déterminer AI c. On mesure deux nouveaux angles Õ BAC = 45.0o et o Õ = 67.0 ABC Õ — déterminer AC B — déterminer AC d — déterminer A IJ — déterminer I J — déterminer AJ — déterminer J C Õ d. On mesure deux nouveaux angles AC D = 64.0o o Õ et CAD = 54.0 Õ — déterminer C JK — déterminer J K — déterminer C K Õ e. On mesure DC F = 46.0o Õ — déterminer C KF Õ — déterminer K F C — déterminer K F

9 On donne les coordonnées géographiques de trois villes — Monaco φ = 43.7o N , λ = 7.4o E — Berne φ = 46.9o N , λ = 7.4o E — Pise φ = 43.7o N , λ = 10.4o E Le rayon de la Terre est R T = 6370 km. a. Réaliser un schéma représentant la demi-sphère Nord de la Terre et positionner Monaco et Berne, ainsi que leurs latitudes et longitudes. Faire apparaître l’arc de cercle entre ces villes sur le schéma. b. Calculer la plus courte distance qui les sépare. c. En constatant que Monaco et Pise sont sur le même parallèle, calculer la distance qui les sépare le long de ce parallèle. d. Ces distances calculées permettent-elles de savoir s’il est plus court d’atteindre Pise ou Berne depuis Monaco en voiture ? 10 Un promeneur part d’un point situé à Grayan-et-l’Hôpital dont les coordonnées GPS sont 45o 250 19.4300 N et 1o 90 30.3700 O. Il marche en direction du sud, quasiment selon un méridien. Sa position finale est 45o 150 7.2600 N et 1o 100 4.1300 O.. Le rayon de la Terre vaut R = 6400 km. a. Calculer la distance de déplacement du promeneur selon un parallèle en considérant que la distance à l’axe de rotation de la Terre est constante et vaut r = R × cos(45o ). b. Calculer cette distance sur un méridien.

33

1e ENSEIGNEMENT SCIENTIFIQUE PHYSIQUE CHIMIE

Figure 3.17 – Sur ce calendrier Grégorien (le calendrier officiel en occident), on a indiqué la succession des phases lunaires (nouvelle lune, premier quartier, pleine lune, dernier quartier) et on constate qu’un mois lunaire dure environ 29.5 jours.

c. Déduire la distance parcourue en utilisant le théorème de Pythagore sur une Terre estimée localement plate.

c. Ce chemin est-il le plus court pour relier les deux villes ? Justifier. d. Montrer que la longueur du parallèle passant par Ulaangom est d’environ 25712 km. e. Calculer la longueur de l’arc de parallèle qui relie Ulaangom et Cracovie. f. Ce chemin est-il le plus court pour relier les deux villes ? g. La distance la plus courte entre Ulaangom et Cracovie est 4933 km. Pour un avion qui consomme 300 L de kérosène pour 100 km, quelle est la différence de consommation entre les deux trajets ?

11 Delambre et Méchain ont mesuré un arc de méridien égal à 551584 toises. La latitude de Dunkerque est 51o 020 0900 N et celle de Barcelone 41o 210 4500 N . a. Calculer la longueur du quart du méridien en toise en considérant la Terre parfaitement sphérique. b. Déduire de la question précédente la valeur du mètre en toise. c. Expliquer pourquoi le mètre ne correspond pas tout à fait à la valeur telle que 1 toise = 1.9493 m.

13 La figure 3.19 représente les trajectoires de Mars et de la Terre autour du Soleil. Les positions sont indiquées tous les 18 jours. a. Estimer grâce aux différentes échelles de temps et d’espace

12 On considère trois villes dont on donne les coordonnées géographiques approximatives — Chittagong (Bangladesh) 92o E, 22.5o N — Cracovie (Pologne) 20o E, 50o N — Ulaangom (Mongolie) 92o E, 50o N a. Quelles villes sont sur le même méridien ? Quelles villes sont sur le même parallèle ? b. Calculer la longueur de l’arc de méridien qui relie Ulaangom et Chittagong.

— la distance Terre-Soleil et la période de rotation de la Terre autour du Soleil — la distance Mars-Soleil et la période de rotation de Mars autour du Soleil b. Quelle est la forme de la trajectoire de Mars dans

34

CHAPITRE 3. LA TERRE, UN ASTRE SINGULIER E

3.4

Correction

1 Voir le cours. 2 Voir le cours. A

3

I

p =2×π×R

B

4 R=

5 On calcule dans un premier temps le périmètre en mètre puis on convertit le résultat en kilomètre

J

D

p = 2 × π × 100 = 628 m

C

K

p 2×π

donc p = 0.628 km 6 Dans un premier temps on calcule le rayon de l’astre en mètre R=

F

2.13 × 107 m = 3.39 × 106 m 2×π

puis on convertit la valeur du rayon en kilomètre Figure 3.18 – Principe de mesure de la méridienne.

R = 3.39 × 103 km ce qui correspond à un rayon de 3390 km et à un diamètre de 6780 km, il s’agit donc de la planète Mars. 7 On dessine un triangle quelconque (voir figure 3.23) et on écrit la formule des sinus (voir le cours)

un repère héliocentrique ? c. Décrire le mouvement de Mars par rapport à un référentiel géocentrique : le centre de ce référentiel est la Terre et les axes du référentiel pointent vers des directions fixes dans l’espace (vers des étoiles lointaines). Pour cela, on utilisera une feuille libre sur laquelle on dessine un référentiel cartésien Ox y dont le centre est la Terre, puis on place l’origine sur la Terre en posant cette feuille sur la figure 3.19 et on décalque la position de Mars à la même date sur la feuille libre. On procède ensuite de la même façon après avoir déplacé l’origine à la position de la Terre suivante. d. Chercher sur le WWW à l’aide d’un moteur de recherche des informations relatives aux mots clefs cycles et épicycles.

sin(β) sin(γ) sin(α) = = BC AC AB On ne connaît que trois paramètres sur les six de l’équation, il y a une indétermination. On remarque cependant que le théorème de Pythagore s’applique dans le cas du triangle de l’exercice AB 2 + BC 2 = AC 2 ce qui signifie qu’il y a un angle droit et β = 90o . On a donc la formule suivante, en remplaçant les valeurs sin(γ) sin(α) 1.0 = = 4 5 3 et donc sin(α) = 45 et sin(γ) = 53 , on a donc — α = 53.1o — β = 90.0o — γ = 36.9o et la somme des angles fait bien 180o , ce qui est attendu dans un triangle

14 a. Identifier sur la figure 3.20 la pleine lune,la nouvelle lune, le dernier quartier et le premier quartier. b. Placer sur les schémas de la figure 3.21 la position des phases illustrées sur la figure 3.20.

53.1 + 90.0 + 36.9 = 180.0o

c. À partir de la figure 3.22, donner l’ordre des phases illustrées dans la figure 3.20.

35

1e ENSEIGNEMENT SCIENTIFIQUE PHYSIQUE CHIMIE

250 13

200

10

11

12

Mars

9

Terre

8

Soleil 7

14 15

150

6 7

16 8

6 27

26

5

5

25

28

4 24

17

100

9

29

3

y ( en millions de kilomètres)

18

2

19 11

20

1

1 21

32

21

2

22

31

0

3

23 30

10

50

4

12

-50

20

33

22

13

-100

19

34

23

14

35

24

-150

18

15

35

17

16 25

34 26

-200

33 27

28

30

29

31

32

-250 -250

-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

250

x ( en millions de kilomètres)

Figure 3.19 – Trajectoires de la Terre et de Mars autour du Soleil. IL y a un intervalle de temps de 18 jours entre deux points de chaque trajectoire.

met d’écrire que a)

b)

c)

sin(45) sin(79) = AE 7.5

d)

et donc AE = 5.40. b. Ed IA = 180 − 30 − 56 = 94o

Figure 3.20

Comme

Ô 8 a. Pour calculer A EB, on utilise le fait que la somme des angles d’un triangle est égale à 180o . Donc Ô A EB = 180 − 56 − 45 = 79.0

sin(56) sin(94) = EI 5.40

alors E I = 4.65. Pour calculer AI, on sait que

o

sin(30) sin(94) = AI 5.40

Pour calculer AE, on utilise la loi des sinus qui per-

36

CHAPITRE 3. LA TERRE, UN ASTRE SINGULIER 2

1

I

3

4

II

4

1

III

V

3

2

2

1 3

4

d On peut alors calculer A J I = 180 − 45 − 86 = 49o . Comme sin(45) sin(49) = IJ 2.71 alors I J = 2.54. Comme sin(86) sin(49) = AJ 2.71 alors AJ = 3.58.

4

IV

2

1

d A I J = 180 − 94 = 86o

3

4

1 3

2

Comme les points E I J sont sur la même droite

2

1

VI

3

4

J C = AC − AJ = 7.45 − 3.58 = 3.87 4

1

VII

1 3

2

4

VIII

d. Les droites I J K et AJ C se croisant en J, on a Õ d A JI = C J K donc

3

2

Õ C J K = 49o Figure 3.21

alors J K = 3.78. Comme

3

2

sin(67) sin(49) = CK 3.87 alors C K = 3.17. Õ Õ e. L’angle C K F est égal à D K J et donc

2

1 II

sin(64) sin(180 − 49 − 64) = JK 3.87

4

1

I

Comme

3

4

Õ C K F = 180 − 67 = 113o Õ K F C = 180 − 113 − 46 = 21.0o

Figure 3.22

Comme

sin(46) sin(21.0) = KF 3.17 alors K F = 6.36. f.

B

E F = 4.49 + 2.54 + 3.78 + 6.36 = 17.16 La figure 3.24 représente le résultat des calculs à la bonne échelle, avec les angles respectés.

A C

9

a. Voir figure 3.25.

b. Comme les deux villes sont sur un même méridien, on calcule la différence de latitude puis on prend la proportion d’un périmètre terrestre qui correspond à cet intervalle angulaire.

Figure 3.23

et donc AI = 2.71 . c. Õ AC B = 180 − 45 − 67 = 68o

∆φ = 46.9 − 43.7 = 3.2o Sachant que le périmètre terrestre est p = 2 × π × 6370 km et qu’il correspond à 360o , la distance la plus courte à la surface de la sphère entre les deux villes sera

Comme sin(67) sin(68) = AC 7.50

d=

alors AC = 7.45.

37

3.2 × 2 × π × 6370 = 356 km 360

1e ENSEIGNEMENT SCIENTIFIQUE PHYSIQUE CHIMIE d. Pise semble être la ville la plus proche, ce qui est vrai si on se déplace à la surface de la sphère terrestre. Cependant, en regardant une carte, on constate que la mer méditerranée sépare Monaco et Pise, il faudra donc la contourner, ce qui augmente la distance à parcourir.

E 79 30 5.4

A

2.71 94

86 45

7.

56 45 54

4.49

I

45 67

7.5

B

10 Dans cet exercice, on va au préalable convertir les angles exprimés en degrés, minutes et secondes en degrés décimaux — 45o 250 19.4300 N = 45+25/60+19.43/3600 = 45.42206o N — 1o 90 30.3700 O = 1.15844o O — 45o 150 7.2600 N = 45.25202o N — 1o 100 4.1300 O = 1.16781o O a. Sur un parallèle, on calcule la différence de longitude

2.54

J 3.

49

87

68 64 7 3.1 46

3.78

K

C

113

D 6.36

∆φ = 1.16781 − 1.15844 = 9.37 × 10−3 21

o

puis on calcule le périmètre à cette latitude p = 2π × R × cos(45o ) = 28434 km

F

et on en déduit la longueur de l’arc de cercle parallèle

Figure 3.24 – En rouge et en bleu, valeurs mesurées, en vert et en violet, valeurs calculées.

dp =

60o

9.37 × 10−3o × 2843 = 0.740 km 360 o

50o

b. Pour un méridien, la différence de latitude est

40o 30o 20

∆λ = 45.42206 − 45.25202 = 0.17004o Berne

o

10o

Le périmètre du méridien est

Monaco

p = 2π × 6400 = 40212 km

7.4o E

0o

et la longueur de l’arc de méridien est dM = Figure 3.25 – Monaco et Berne sont sur le même méridien.

c. Distance totale parcourue Ç D = d M 2 + d p 2 = 19 km

c. On doit dans un premier temps calculer la différence de longitude entre les deux villes

11 a. On convertit en degrés décimaux les valeurs de l’énoncé. — 51o 020 0900 N = 51 + 2/60 + 9/3600 = 51.03583o N — 41o 210 4500 N = 41.36250o N Puis on calcule la différence de latitude

∆λ = 10.4 − 7.4 = 3.0o Ensuite, on doit déterminer le rayon du cercle parallèle correspondant à la latitude des deux villes r = R T × cos(φ) = 6370 × cos(43.7) = 4605 km On en déduit le périmètre de ce cercle

∆φ = 51.03583 − 41.36250 = 9.67333o

p = 2π × 4605 = 28900 km

et on en déduit alors la fraction de périmètre terrestre correspondant

Puis la distance séparant les deux villes d=

0.17004o × 40212 = 19 km 360o

3.0o × 28900 = 241 km 360o

f =

38

9.67333o ×p 360o

CHAPITRE 3. LA TERRE, UN ASTRE SINGULIER On connaît f , on peut calculer p p=

b. Dans le repère héliocentrique, c’est à dire de centre le Soleil et d’axes pointant vers des étoiles lointaines et fixes, la trajectoire de Mars est quasiment circulaire. En réalité, elle est légèrement elliptique. c. Voir la correction, figure 3.26.

360o × 551584 9.67333o

p = 20527599 toise Le quart de méridien correspond à d = 5131899 toises Or la longueur du méridien en mètre est égal à 2π × 6370000 = 40023890 m Soit pour l’arc mesuré par Méchain et Delambre 9.67333o × 40023890 = 1075456 m 360o On aurait donc la correspondance 1 toise =

1075456 = 1.94976 m 551584

La différence est due au léger applatissement de la Terre (le « bourrelet équatorial») car la Terre n’est pas parfaitement solide et à cause de sa rotation en 24 h, elle s’aplatit légèrement. 12 a. Chittagong et Ulaangom sont sur le même méridien, Cracovie et Ulaangom sont sur le même parallèle. b. ∆φ = 50 − 22.5 = 27.5o donc la longueur de l’arc de méridien est 27.5 360 × 40000 km = 3055 km. c. Ce chemin est le plus court car le cercle portant l’arc passe par le centre de la Terre (c’est un cercle méridien). d. 40000 km × cos(50o ) = 25712 km e. d = 25712 × 92−20 360 = 5142 km f. Ce chemin n’est pas le plus court, le cercle portant l’arc de parallèle ne passe pas par le centre de la Terre. g. La différence de distance à parcourir est 5142 − 4933 = 200 km soit une surconsommation de 600 L de kérosène.

Figure 3.26 – Trajectoires de Mars dans un référentiel géocentrique. d. Voir par exemple les sites — http://ressources.univ-lemans.fr/

AccesLibre/UM/Pedago/physique/02/ divers/ptolemee.html — https://www.persee.fr/doc/crai_ 0065-0536_1974_num_118_1_12960 — https://www.earthobservatory. nasa.gov/features/OrbitsHistory

14 a. a) est la nouvelle lune, b) est le premier quartier, c) est le dernier quartier et d) est la pleine lune. b. Pour le dessinI, on a 1 − c, 2 − d, 3 − b et 4 − a. Pour le dessin II, on a 1 − d, 2 − b, 3 − a et 4 − c. Pour le dessin III, on a 1 − b, 2 − d, 3 − c et 4 − a. Pour le dessin IV, on a 1 − a, 2 − b, 3 − d et 4 − c. Pour le dessin V, on a 1 − a, 2 − c, 3 − d et 4 − b. Pour le dessin VI, on a 1 − d, 2 − b, 3 − a et 4 − c. Pour le dessin VII, on a 1 − b, 2 − d, 3 − c et 4 − a. Pour le dessin VIII, on a 1 − a, 2 − b, 3 − d et 4 − c. c. Pour la figure I, on a l’ordre 1 − c, 2 − a, 3 − b et 4 − d. Pour la figure I I, on a l’ordre 1 − c, 2 − d, 3 − b et 4 − d.

13 a. En utilisant l’échelle des distances — la distance Terre-Soleil est environ 150 × 106 km — la distance Terre-Soleil est environ 230 × 106 km En utilisant le fait qu’il y a 18 jours entre deux points et que l’on commence à compter à partir de 1 — la période de rotation de la Terre autour du Soleil est de 18 × (21.25 − 1) = 369 jours (la valeur exacte est 365.25 jours). — la période de rotation de Mars autour du Soleil, en utilisant la durée pour parcourir une demie orbite, est de 2 × 18 × (20.1 − 1) = 687 jours (la valeur exacte est 689 jours).

39

1e ENSEIGNEMENT SCIENTIFIQUE PHYSIQUE CHIMIE

40

Chapitre 4

Son et musique, porteurs d’information 4.1.2

Introduction L’être humain perçoit le monde à l’aide de signaux dont certains sont de nature sonore. De l’Antiquité jusqu’à nos jours, il a combiné les sons de manière harmonieuse pour en faire un art, la musique, qui entretient des liens privilégiés avec les mathématiques. L’informatique permet aujourd’hui de numériser les sons et la musique. La compréhension des mécanismes auditifs s’inscrit dans une perspective d’éducation à la santé.

4.1

Le son, phénomène vibratoire

4.1.1

Nature du son

Son pur

Définition Pour un son pur, la variation de pression suit une loi sinusoïdale dont on peut mesurer la période T (en seconde s) et la fréquence f (en Hertz Hz). On a la relation f =

1 T

Exemple Un diapason émet un son pur à une fréquence fixe. Voir figure 4.2.

diapason microphone

Définition Les sons que nous percevons sont des ondes de pression qui se propagent de proche en proche dans l’air jusqu’à nos oreilles, où le tympan transforme ces variations de pressions en vibrations qui sont transmises à l’oreille interne où des cellules ciliées de la cochlée transforment ces vibrations en influx nerveux. Voir figure 4.1.

période T=2.27 ms

amplitude

0

1

2

3

4

fréquence f = 440 Hz

5

6

7

8

9

t (ms)

Figure 4.2 – Un diapason émet une vibration acoustique pure à une fréquence de 440 Hz et le signal est une sinusoïde.

Remarque L’être humain est capable d’entendre des sons sur une gamme de fréquence allant de 20 Hz à 20000 Hz environ. Certains animaux sont sensibles à des fréquences plus basses (infrasons) ou plus élevés (ultrasons).

4.1.3

Figure 4.1 – Schéma de l’appareil auditif humain, d’après «Cours élémentaire de Physique», Édouard Branly, 1898

Son composé

Définition Un son émis par un instrument de musique est un son composé, il est périodique et émis à une certaine fréquence f0 , mais la forme du signal

41

1e ENSEIGNEMENT SCIENTIFIQUE PHYSIQUE CHIMIE

4.1.4

contribution à l'amplitude du signal

n’est plus sinusoïdale. En fait, il y a une somme de plusieurs signaux sinusoïdaux de fréquences croissantes f0 , 2 × f0 , 3 × f0 , etc. ...

Fréquence fondamentale et harmoniques

Définition Tout signal périodique de fréquence f0 peut être décomposé en une somme de signaux sinusoïdaux de fréquences f i multiples de f0 , c’est à dire f i = n × f0 avec n = 1, 2, 3 et c.. La fréquence f0 s’appelle la fréquence fondamentale, les fréquences f i s’appellent les harmoniques. Voir figure 4.3.

1.00 0.75 0.50 0.25 0.00

f0

2 f0

3 f0

4 f0

5 f0

fréquence

Figure 4.4 – Représentation du spectre du signal de la figure 4.3 avec les contributions du fondamental et des harmoniques. 440 Hz

niveau d'intensité sonore

signal fréquence f0

fondamental fréquence f0

0

harmonique 1 fréquence 2 f0

200

400

600

800

1000

1200

1400

fréquence (Hz)

harmonique 2 fréquence 3 f0 harmonique 3 fréquence 4 f0

Figure 4.5 – Spectre en fréquence du son d’un diapason. On ne voit qu’un seul pic de fréquence à 440 Hz.

Figure 4.3 – Un signal périodique quelconque peut se décomposer en une somme de signaux sinusoïdaux, le fondamental de même fréquence f0 et les harmoniques de fréquences n × f0 , n avec n = 1, 2, 3 et c...

920 Hz 1380 Hz

0

Définition L’analyse spectrale d’un son permet d’obtenir le spectre en fréquences d’un son, c’est à dire la représentation graphique de l’amplitude de ses composantes sinusoïdales en fonction de la fréquence.

200

400

600

800

1000

1200

1400

fréquence (Hz)

Exemple de spectre sonore Un diapason a un spectre en fréquence de son pur (voir figure 4.5). Une corde de guitare a un spectre en fréquence composé de plusieurs harmoniques multiples d’une fréquence fondamentale à 460 Hz (voir figure 4.6).

4.1.5

460 Hz

niveau d'intensité sonore

harmonique 4 fréquence 5 f0

Figure 4.6 – Spectre en fréquence du son d’une corde de guitare. On voit plusieurs pics de fréquences multiples du fondamental à 460 Hz.

Niveau d’intensité sonore

watt par mètre au carré (W.m−2 ). L’oreille humaine perçoit des signaux sonores dont l’intensité est comprise entre une valeur minimale I0 = 1.0 ×

Définition L’intensité sonore I caractérise l’intensité du signal reçu par l’oreille. Elle s’exprime en

42

CHAPITRE 4. SON ET MUSIQUE, PORTEURS D’INFORMATION 10−12 W.m−2 (seuil d’audibilité) et une valeur maximale égale à 25 W.m−2 (seuil de douleur).

4.1.6

Production d’une fréquence sonore par une corde vibrante

Définition Certains instruments de musique produisent du son grâce à une corde tendue mise en vibration — en la pinçant : harpe, clavecin, guitare, ... — en la frappant : piano, doucemelle, ... — en la frottant : violon, violoncelle, ... La fréquence du son composé produit par une corde dépend de plusieurs paramètres — la longueur de la corde : le son est plus grave si la corde est longue — la tension de la corde : le son est plus aigu si la corde est tendue — la masse linéique de la corde (masse pour un mètre de corde), si la corde est lourde, elle vibre moins vite, et le son est plus grave. La vibration de la corde se décompose en une somme de vibrations plus simples, appelés modes de vibration dont les fréquences correspondent aux harmoniques du signal sonore. Voir figure 4.8.

Remarque On constate que l’intervalle d’intensité sonore que l’oreille perçoit est très grand (1013 ), il n’est pas commode de comparer une faible intensité sonore à une forte intensité sonore avec une échelle linéaire. On va utiliser un outil mathématique spécial, la fonction logarithme décimal y = log(x), inventée en 1614 par le mathématicien écossai John Napier of Merchiston (1550-1617). Cette fonction utilisée pour simplifier les calculs faits à la main, permet également de représenter des valeurs très différentes sur un même graphique. Si y = log(x) alors x = 10 y Définition Le niveau d’intensité sonore L est défini par I L = 10 × log I0

corde masse m

avec — I0 l’intensité du seuil d’audibilité en W.m−2 — I l’intensité du son perçu en W.m−2 — L s’exprime en décibel acoustique (dBA)

vibreur

f0

2 f0

Échelle des intensités sonores I et des niveaux d’intensités sonores L La figure 4.7 représente l’intensité sonore I et le niveau d’intensité sonore L sur le même graphe. On précise différents seuils (audibilité, risque, danger et douleur), ainsi que des exemples de situations sonores.

3 f0

4 f0 niveau d'intensité sonore L ( en dBA)

intensité sonore I ( en W.m-2) 102

140

1

120

10-2

100

10-4

80

-6

60

10-8

40

10-10

20

10-12

0

10

avion au décollage

Figure 4.8 – Modes de vibration d’une corde, f0 est la fréquence fondamentale, d’où découle les fréquences harmoniques qui en sont des multiples entiers.

douleur salle de concert danger risque

salle de classe

4.2

Exercices

conversation

1 Questionnaire à choix multiple. a. Un son pur est associé à un signal dépendant du temps de façon

vent léger seuil audible

1. rectangulaire Figure 4.7 – Échelle de niveaux d’intensité sonore.

2. triangulaire 3. sinusoïdale

43

1e ENSEIGNEMENT SCIENTIFIQUE PHYSIQUE CHIMIE b. Un signal périodique de fréquence f peut se décomposer en trois signaux sinusoïdaux de fréquences de valeurs respectives 1. f , 1.5 × f et 2 × f 2. f , 2 × f et 3 × f 3. 2 × f , 4 × f et 8 × f c. Le niveau d’intensité sonore d’un son, exprimé en décibel (dB) est lié à la puissance par unité de surface, en watt par mètre carré (W.m−2 ) du signal associé à ce son selon une échelle

1 ms par div.

1. à barreaux 2. linéaire

Figure 4.9

3. logarithmique d. Si l’intensité sonore d’un son est deux fois plus importante

note 1

note 2

1. la fréquence de son signal associé double 2. sa puissance par unité de surface double 3. son niveau d’intensité sonore double e. Dans un instrument à vent, la production d’un son est due à 1. la vibration de l’air dans le tuyau

2 ms par div.

2 ms par div.

2. la vibration d’une corde 3. la percussion d’une corde

Figure 4.10

f. La relation liant l’intensité sonore I et le niveau d’intensité sonore L est 1. L = 10 × log II0

note. d. Calculer la fréquence de chaque note, puis valider ou invalider la réponse du b.

2. I = 10 × log IL0 3. I = 10 × log

I0 L

4 Répondre aux questions suivantes en analysant les signaux donnés sur la figure 4.11. a. Quel signal a été émis par un diapason ? b. Quel signal correspond à la note la plus aiguë ? Argumenter la réponse c. Quels signaux ont été émis par le même instrument de musique ? Argumenter la réponse. d. Quels signaux correspondent aux notes les plus fortes ? e. Quels signaux correspondent aux notes les plus graves ?

g. Le niveau d’intensité sonore s’exprime en 1. Hertz (Hz) 2. Watt par mètre carré (W.m−2 ) 3. décibel (dB) h. Une corde vibrante produit un son composé dont la fréquence fondamentale est 1. proportionnelle à la longueur l de la corde 2. inversement proportionnelle à la longueur l de la corde

5 Répondre aux questions suivantes en analysant les spectres donnés sur la figure 4.12. a. Parmi les deux spectres, déterminer celui qui correspond à une note jouée par un diapason. b. L’autre spectre correspond à une note jouée par un violon. Ce son a-t-il le même timbre que celui du diapason ? c. Ces deux spectres ont ils la même hauteur ? d. Donner pour chacun de ces deux spectres les harmoniques présentes.

3. proportionnelle au carré de la longueur l de ma corde 2 Mesurer la période T puis la fréquence f du signal sonore dont on donne l’enregistrement sur la figure 4.9. 3 On considère les deux notes dont les signaux sont représentés sur la figure 4.10. a. Ces deux notes sont-elles jouées par le même instrument ? Justifier la réponse. b. Quelle-est la note la plus aiguë ? c. Déterminer la période T en seconde de chaque

6 On s’intéresse aux sons produits par un piano. Un système d’acquisition informatisé permet l’enre-

44

CHAPITRE 4. SON ET MUSIQUE, PORTEURS D’INFORMATION

signal 1

Note

signal 2

signal 3

Fréquence (Hz) 262 278 294 312 330 350 371 393 416 441 467 495 524

Do 3 Do# Ré Ré# Mi Fa Fa# Sol Sol# La La# Si Do

signal 4

Table 4.1 – Notes et fréquences signal 5

signal 6

c. On a réalisé l’analyse spectrale de deux instruments. Ces deux sons ont-ils la même hauteur ? L’oreille humaine peut-elle les différencier ? d. Le spectre a) correspond à l’un des sons produits sur les fig.1 et fig.2. À quelle figure correspond le spectre ? 7 La puissance par unité de surface transportée par une onde sonore est quantifiée par son intensité sonore. Si l’intensité sonore d’un son vaut I1 = 1.0 × 10−4 W.m−2 , son niveau d’intensité sonore I est multipliée par 2, le niveau d’intensité sonore L du son augmente de +3 dB. Déterminer les valeurs L2 , L3 et L4 des niveaux d’intensité sonore correspondant aux intensités sonores

signal 7

0,2 ms par div. 5 mV par div.

1. I2 = 2.0 × 10−4 W.m−2 2. I4 = 4.0 × 10−4 W.m−2

0

spectre a)

1000 2000 3000 fréquence (Hz)

amplitude

amplitude

Figure 4.11

0

3. I4 = 8.0 × 10−4 W.m−2 8 La puissance sonore P d’une source (en Watt) est la quantité d’énergie acoustique (en Joule) délivrée par la source à chaque seconde. Si le son se propage à la même vitesse dans toutes les directions, la puissance délivrée par la source à un instant donné se répartit alors sur la surface S d’une sphère dont la taille augmente au cours du temps. La puissance sonore qui s’exerce par unité de surface est appelée l’intensité sonore I. Son expression est

spectre b)

1000 2000 3000 fréquence (Hz)

Figure 4.12

gistrement et la visualisation des signaux associés à ces sons. Sur la figure 4.13, on a représenté les signaux sonores en fonction du temps de deux notes, et deux spectres sonores produits par deux instruments de musiques. a. Justifier que les enregistrements (fig.1 et fig.2 ) correspondent à deux notes différentes. b. Identifier les notes correspondantes, sachant que l’on a les correspondances suivantes. Voir table 4.1.

I=

P 4πr 2

a. Rappeler l’expression de la surface S d’une sphère de rayon r. b. Justifier l’expression de l’intensité sonore. c. Le niveau d’intensité sonore L (en dB) se calcule à l’aide de la fonction logarithme gace à la formule L = 10 × log

45

I I0

1e ENSEIGNEMENT SCIENTIFIQUE PHYSIQUE CHIMIE 1 div. = 1.0 ms

figure 1

rènes. e. Comment évolue l’intensité sonore lorsqu’on multiplie le nombre de sources sonores par 2 ? f. Comment évolue le niveau d’intensité sonore lorsqu’on multiplie le nombre de de sources sonores par 2? 10 Un appareil de mesure relève une intensité sonore de 3.2 × 10−2 W.m−2 pour un écouteur de smartphone. On rappelle l’intensité du seuil d’audibilité I0 = 1.0 × 10−12 W.m−2 . a. Calculer le niveau d’intensité sonore correspondant (en dB). b. La puissance fournie est maintenant divisée par deux. Le niveau d’intensité sonore est-il divisé par deux également ?

figure 2

1 div. = 1.0 ms

11 Un coyote est capable de pousser un hurlement d’une puissance sonore P = 10−2 W . a. Rappeler la relation mathématique permettant de calculer la surface d’une sphère S à partir de son rayon r. b. Exprimer l’intensité sonore I à une distance d du coyote sachant que toute la puissance émise est répartie uniformément sur la surface d’une sphère de rayon d. c. Déduire l’expression du niveau d’intensité sonore L dépendant de la distance d au coyote. d. Calculer les niveaux d’intensité sonore à une distance de 10 m, 100 m et 1 km.

spectre a

262 amplitude

524 1048 786

0

200

400

600 800 1000 fréquence ( Hz )

amplitude

262

1200

1400

spectre b

786

524 0

200

400

1048

600 800 1000 fréquence ( Hz )

12 Lors d’un concert, il est primordial que l’ensemble du public puisse percevoir correctement la musique. Les spectateurs à l’avant ne doivent pas être incommodés par le niveau d’intensité sonore, tandis que ceux derrière ne doivent pas être lésés par un niveau trop faible. On considère un concert pour lequel une foule compacte forme un demi disque de telle manière que l’ensemble des spectateurs se trouve à une portée de 100 m maximum et 5 m minimum de l’enceinte. Cette enceinte produit un son qui se propage de manière homogène uniquement dans la demi sphère face à elle. a. Sachant que le son dans un concert peut atteindre 120 dB au plus près des enceintes à l’avant, calculer l’intensité sonore I1 perçue par les premiers spectateurs. b. Sachant que l’intensité sonore est une puissance par unité de surface, en déduire l’expression de I2 en fonction de I1 et les distances considérées. c. Calculer la perte en décibels du niveau d’intensité sonore perçu entre le public à l’avant et le public à l’arrière lors d’un concert. 13 Un saxophoniste joue une note avec un niveau d’intensité sonore de 78.0 dB. Le guitariste joue la même note avec un niveau d’intensité sonore de 80, 0 dB. Indiquer la bonne réponse parmi les propositions suivantes. Lorsque les deux musiciens jouent ensemble le ni-

1310

1200

1400

Figure 4.13

avec I0 = 1.0 × 10−12 W.m−2 qui correspond au seuil d’audibilité (soit un niveau d’intensité sonore de 0 dB). Montrer que si I = I0 alors le niveau d’intensité sonore est de 0 d B. 9 Une sirène d’alarme a une puissance sonore P = 100 W . a. Calculer l’intensité sonore puis le niveau d’intensité sonore en dB à 1 m, 2 m, 4 m, puis 8 m de la source. b. Comment évolue l’intensité sonore lorsqu’on multiplie la distance à la source sonore par 2 ? c. Comment évolue le niveau d’intensité sonore lorsqu’on multiplie la distance à la source par 2 ? d. On associe plusieurs sirènes identiques à la précédente et on mesure le niveau d’intensité sonore à 1 m de l’ensemble. Sachant que les intensités sonores s’ajoutent, calculer le niveau d’intensité sonore avec deux sirène, quatre sirènes, puis huit si-

46

CHAPITRE 4. SON ET MUSIQUE, PORTEURS D’INFORMATION veau d’intensité sonore est de 1. 80 d B car c’est la guitare qui joue le plus fort 2. 79 d B car on doit faire la moyenne des deux 3. 82.1 d B car le niveau sonore augmente un peu lorsque les deux instruments jouent ensemble 14 Un élève s’est fabriqué son propre instrument à cordes. cependant l’une de ses cordes est un peu plus épaisse que celle qu’il avait prévu. a. Quelle sera la conséquence au niveau du son produit par cette corde ? b. Comment compensera t il ce problème lorsqu’il installera cette corde sur son instrument ? 15 Le piano est un instrument de musique à cordes frappées. On rappelle que la fréquence fondamentale f du son est liée à la longueur de la corde l par la relation f = al avec a un coefficient à déterminer par la suite. a. Préciser comment évolue la fréquence fondamentale du son f produit par une corde de piano si l’on augmente sa longueur l. b. Calculer le coefficient a en Hertz par mètre (Hz.m−1 ) pour une corde accordée en la3 à 440 Hz dont la longueur est égale à 85 cm.

1 × 2× L

f (en Hz)

30 40 50 60 70 80 90 100

38 44 49 54 58 62 66 69

Table 4.2 – Notes et fréquences

4.3

Correction

1 a. réponse 3. b. réponse 2. c. réponse 3. d. réponse 2. e. réponse 1. f. réponse 1. g. réponse 3. h. réponse 2. 2 On observe trois périodes qui s’étalent sur 10 divisions, donc 3 × T = 10 × 1 ms soit en isolant la période et en convertissant en seconde les temps

16 Une corde de guitare (M i1 ) a une masse linéique µ et une longueur totale Ltotale . Une fois installée sur la guitare, la longueur de la corde entre deux points d’attache est Lguitare = 65.5 cm. Lorsqu’elle est grattée à vide, cette corde doit émettre une note M i de fréquence fondamentale f = 82.4 Hz. On note T la norme de la tension à exercer sur cette corde pour qu’elle puisse délivrer la fréquence attendue selon la loi f =

T (en N

T=

10 × 1 × 10−3 s = 3.33 × 10−3 s 3

ce qui correspond à une fréquence f f =

1 = 300 Hz T

3 a. Comme la forme des signaux périodiques est identique, on peut supposer qu’il s’agit du même instrument jouant à des fréquences différentes. b. La note la plus aiguë a la fréquence la plus grande donc la période la plus courte, il s’agit de la note 2 sur la figure. c. Pour la note 1 : 3 × T1 = 10 × 2 × 10−3 s donc T1 = 6.667×10−3 s. Pour la note 2 : 5×T2 = 10×2×10−3 s donc T5 = 4.00 × 10−3 s. d. f1 = T11 = 150 Hz et f2 = T12 = 250 Hz, on valide que la note 2 a la plus grande fréquence.

v tT µ

Afin d’étudier cette corde, on réalise une expérience. On fait varier la norme de T de la tension exercée sur la corde et on mesure après excitation de la corde la fréquence fondamentale f du son émis pour une longueur de corde constante égale à Ltotale = 92.9 cm. Les mesures obtenues sont regroupées dans le tableau 4.2. a. Tracer f 2 en fonction de T . b. À partir de la formule reliant f à T , donner une nouvelle formule reliant f 2 à T , avec les paramètres µ et Ltotale . c. À l’aide du graphique de la question a et de la formule de la question b , vérifier que µ = 6 g.m−1 . d. Déduire des questions précédentes la norme T de la tension qu’il faut appliquer à une longueur Lguitare = 65.5 cm de cette corde pour qu’elle émette un son de fréquence fondamentale f = 82.4 Hz à vide.

4 a. Le signal 3 est un son pur, c’est celui du diapason. b. La note la plus aiguë correspond au signal ayant la fréquence la plus grande et donc la période la plus petite, c’est donc le signal 4 où on observe 5 motifs périodiques. c. Les signaux dont le motif périodique est très similaire sont émis par le même instrument, on peut donc faire les regroupements suivants — instrument 1 : signal 1, signal 5 et signal 6 — instrument 2 : signal 2, signal 4 et signal 7

47

1e ENSEIGNEMENT SCIENTIFIQUE PHYSIQUE CHIMIE — instrument 3 : signal 3 d. Il faut regarder l’amplitude de l’onde sonore, ce sont donc les signaux 1, 2, 3 et 4. e. Il faut regarder les périodes les plus grandes, ce sont les signaux 1 et 6.

= 0.497 W.m−2 et

—

dB = 0.124 W.m−2 et

dB b. Elle est divisée par 4. c. Elle est diminue de 6 dB. d. Pour une seule sirène à 1 m, on a I = 7.86 W.m−2 et L = 129 dB. Donc — pour deux sirènes : I2 = 15.7 W.m−2 et L = 132 dB — pour quatre sirènes : I4 = 31.8 W.m−2 et L = 135 dB — pour huit sirènes : I8 = 63.7 W.m−2 et L = 138 dB e. On multiplie par 2 l’intensité sonore. f. On ajoute 3 dB au niveau d’intensité sonore.

5 a. Le spectre b ne comporte que le fondamental, c’est un son pur, c’est le spectre du diapason. b. Le spectre a ayant plus d’harmoniques, son timbre est différent. c. Les deux spectres ont la même hauteur, c’est à dire que la fréquence fondamentale est la même. d. Aucune harmonique n’est présente dans le spectre du diapason. Pour le violon , on distingue les harmoniques 1, 3, 4, 5 et 6.. 6 a. On observe sur la figure 2 qu’il y a plus de motifs périodiques pour la même durée écoulée, la fréquence et donc la note est différente que celle enregistrée sur la figure 1. b. On mesure les périodes puis on calcule les fréquences pour chaque figure — figure 1 : 3 × T1 = 11.5 × 1.0 ms donc T1 = 3.83 × 10−3 s et f1 = 260 Hz, c’est la note Do3. — figure 2 : 5 × T2 = 13 × 1.0 ms donc T1 = 2.6 × 10−3 s et f2 = 385 Hz, c’est la note Sol. c. Les spectres ont même fréquence fondamentale, ils ont donc la même hauteur. Ils ont des amplitudes d’harmoniques différentes, l’oreille pourra les différentier. d. C’est la figure 1.

−2

3.2×10 10 a. L = 10 × log 1.0×10 −12 = 105 dB. b. Non, il diminue de 3 dB car L = 10 × 1.6×10−2 log 1.0×10 −12 = 102 dB

11 b. I =

a. S = 4π × r 2 . P 4π×d 2

P

c. L = 10 × log 4π×d = 10 × log 4π×dP2 ×I0 I0 d. −2 — pour 10 m : L = 10 × log 4π×(10)102 ×1×10−2 = 69 dB −2 — pour 100 m : L = 10 × log 4π×(10)102 ×1×10−2 = 49 dB −2 — pour 1000 m : L = 10 × log 4π×(10)102 ×1×10−2 = 29 dB 12 a. On a 2

7 1. Pour passer de I1 à I2 , on double son intensité donc on doit augmenter de 3 d B le niveau d’intensité sonore et donc L2 = L1 + 3 d B

120 dB = 10 × log

2. Pour passer de I2 à I4 , on double son intensité donc on doit augmenter de 3 d B le niveau d’intensité sonore et donc L4 = L2 + 3 d B et L4 = L1 + 6 d B

donc 12 = log donc

3. Pour passer de I4 à I8 , on double son intensité donc on doit augmenter de 3 d B le niveau d’intensité sonore et donc L8 = L4 + 3 d B et L8 = L1 + 9 d B 8

100 W 4π×(4 m)2 7.96 L = 10 × log 1×10−12 = 117 100 W pour 4 m : I = 4π×(8 m)2 7.96 L = 10 × log 1×10−12 = 111

— pour 4 m : I =

1012 =

I1 1 × 10−12

I1 1 × 10−12

I1 1 × 10−12

et finalement I1 = 1012 × 10−12 = 1 W.m−2

a. S = 4π × r 2

b. I1 =

P b. I = surface sphère = 4π×r 2 c. Si I = I0 alors L = 10 × log 1 = 10 × 0 = 0 d B. puissance sonore

P 4π×(d1 )2

et I2 =

P 4π×(d2 )2

I1 × (d1 )2 =

9 a. On utilise la formule de l’exercice précédent et la définition vue en cours en utilisant une sphère de rayon croissant. 100 W −2 — pour 1 m : I = 4π×(1 et L = m)2 = 7.96 W.m

donc

P = I2 × (d2 )2 4π

et finalement I2 = I1 ×

(d1 )2 (d2 )2

c. On a I1 = 1 W.m−2 , d1 = 5 m et d2 = 100 m 52 −3 donc I2 = 1 × 100 W.m−2 et L = 10 × 2 = 2.5 × 10

7.96 10 × log 1×10 −12 = 129 d B 100 W −2 — pour 2 m : I = 4π×(2 et L = m)2 = 1.99 W.m

−3

7.96 10 × log 1×10 −12 = 123 d B

log 2.5×10 1×10−12 = 94 dB.

48

CHAPITRE 4. SON ET MUSIQUE, PORTEURS D’INFORMATION tension T que l’on va isoler dans la formule ‹ v  tT 1 × f = 2× L µ  ‹2 T 1 f2= × 2× L µ  ‹2 1 µ× f2 = ×T 2× L µ× f2
2 = T

13 Comme les intensités sonores s’ajoutent, on augmente un peu le niveau d’intensité sonore, c’est la réponse 3 qui est juste. 14 a. La corde sera plus lourde, elle vibrera à une fréquence plus basse. b. Il va tendre la corde plus fortement, ou la raccourcir pour augmenter sa fréquence de vibration. 15 a. D’après la formule de l’énoncé, on constate que la fréquence décroît si la longueur de la corde augmente. b. 440 Hz = 0.85a m donc a = 440 × 0.85 = 374 Hz.m−1 . 16 a. Voir graphique 4.14. b. On met au carré les membres de l’égalité

1 2×L

T = µ × f 2 × (2 × L)2 T = 0.006 × (82.4)2 × (2 × 0.655)2 T = 70 N

f2 (en Hz2) 5000

4000

3000

2000

1000

0

0

20

40

60

80

100 T ( en N)

Figure 4.14

f2=

‹2

1



2Ltotale

×

1 ×T µ

C’est une équation de droite de la forme f2 =k×T où on pose k=



1 2Ltotale

‹2

×

1 µ

c. Sur le graphique, on mesure le coefficient directeur de la droite qui passe par l’origine et on trouve 2 −1 qu’il vaut 4761 . 100 = 47.6 Hz .N Si on le calcule avec la formule précédente, on
2 1 1 trouve k = 2×0.929 × 0.006 = 48.3 Hz 2 .N −1 ce qui est presque la même valeur. d. On connaît la longueur, la fréquence, la masse linéique, on cherche la

49

4.4

La musique et les mathématiques

4.5

Le son, une information à coder

4.5.1

Numérisation du signal

4.5.2

Compression de donnée