Cours Commande Mode Glissant PDF [PDF]

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Commande par mode glissant

Plan du cours

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

8. 9. 10. 11.

Introduction Exemple introductif Idée de base Dynamique du système à commander Dynamique de glissement Dynamique de convergence vers la surface de glissement La loi de commande  La commande équivalente  La commande discontinue  Loi de commande globale Retour à l’exemple (application de la commande discontinue) Phénomène de réticence (chattering) Retour à l’exemple (application de la commande globale) Quelle solution pour le problème de réticence ?

2

Introduction

Commande par mode glissant

Introduction Début des années 60  besoin de robustesse en aéronautique Découverte même avant l’utilisation du terme robustesse : Les ingénieurs automaticiens cherchaient des lois de commande insensibles aux variations dans la système à commander La commande par mode glissant est relativement simple à implémenter (par rapport à d’autres approches de commande) Elle fait partie des commandes dites à structure variable Elle s’applique à la fois aux systèmes linéaires et aux systèmes non linéaires Robuste par rapport aux perturbations externes Robuste aussi par rapport aux incertitudes/variations des paramètres, etc Différentes applications : Régulation, poursuite de trajectoires, poursuite de modèle, observateurs, etc La commande par mode glissant est une suite logique de la commande discontinue (dans sa forme la plus facile : commande bang-bang) 3

Exemple introductif

Commande par mode glissant

Exemple Introductif On considère le système mécanique suivant (masse-ressort-amortisseur) : : La masse : la position de la masse : Coefficient de raideur du ressort : Coefficient d’amortissement : Force appliquée sur la masse

La dynamique de ce système s’écrit :

On souhaite faire converger vers avec la commande Pour cela on considère la loi de commande suivante :

4

Exemple introductif On remplace cette loi de commande

Commande par mode glissant

dans la dynamique système, on obtient :

Si l’on considère : La dynamique en boucle-fermée ci-dessus peut s’écrire :

Si on considère les états (position) et (vitesse) Cette dynamique peut être mis sous forme d’équation d’état suivante :

C’est un système autonome dont le comportement dépend de la condition initiale sur les états et des paramètres .

5

Exemple introductif

Commande par mode glissant

Simulation du comportement en boucle-fermée du système résultant pour :

Pour ce choix de paramètres 1 Position Vitesse

0.8

Position et vitesse

0.6

0.4

0.2 0

-0.2

-0.4 -0.6 0

10

20

30

40

50

60

temps (sec) 6

Exemple introductif

Commande par mode glissant

Si on trace le plan de phase

du système en boucle-fermée on obtient :

0.4 0.3 0.2

Point d’équilibre

Condition initiale

0.1

x2

0 -0.1 -0.2 -0.3 -0.4 -0.5 -0.6 -0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x1

La commande proposée amène le système au point souhaité MAIS la convergence est lente ! 7

Idée de base

Commande par mode glissant

Idée de base L’idée de base de la commande consiste en deux étapes : o Amener le système sur un hyperplan de commutation stable (surface de 1 glissement) 2 o Converger sur la surface de glissement vers le point d’équilibre désiré

1

2

8

Système à commander

Commande par mode glissant

Dynamique du système à commander On considère le cas générale d’un système non linéaire dont la dynamique s’écrit :

Avec

deux fonctions non linéaires, avec

L’objectif de la commande est la stabilisation du système autour du point d’équilibre : Dans la suite l’approche de commande sera détaillée en se basant sur ce modèle non linéaire Néanmoins, elle reste valide pour les systèmes linéaires dont la dynamique s’écrit :

9

Dynamique de glissement

Commande par mode glissant

Dynamique de glissement La dynamique de

est stable pour

Soit la variété : Donc :

La dynamique de est stable si La variété est une surface appelée ’surface de commutation’ ou ’surface de glissement’ Sur la surface de glissement définie par est stable, donc converge vers 0, le déplacement est gouverné par La vitesse de convergence dépend de la valeur de Mais sur cette surface donc converge aussi vers 0 L’évolution sur la surface de glissement est indépendante de et Si au départ, le point initial n’est pas sur la surface de glissement, il faudra amener le système sur cette surface 10

Dynamique de convergence

Commande par mode glissant

Dynamique de convergence vers la surface de glissement On a :

Pour évaluer la stabilité, on considère la fonction de Lyapunov suivante :

Stabilité asymptotique si :

est définie positive est définie négative

Étant donné que : donc

est définie positive

Calculons maintenant sa première dérivée :

11

Loi de commande

Commande par mode glissant

La lois de commande est définie négative si : est :

La commande équivalente :

Soit : La commande équivalente est définie par :

est définie négative si :

Pour quel choix de

ceci est vérifié ? 12

Loi de commande Cela est vérifié pour le choix suivant de

Commande par mode glissant

:

Pour ce choix on a :

est définie négative car :

La commande discontinue : La commande discontinue et le deuxième terme de l’expression ci-dessus: La commande globale : La commande proposée comporte deux termes : le premier correspond à une commande continue et le deuxième correspond à une commande discontinue.

Commande équivalente (continue)

Commande discontinue 13

Retour à l’exemple

Commande par mode glissant

Retour à l’exemple On souhaite faire converger

vers

avec la commande

On rappelle la dynamique du système : Qui peut s’écrire sous la forme :

avec : et La loi de commande par mode glissant s’écrira :

Avec :

Si on considère le choix suivant des paramètres de la commande : donc : 14

Retour à l’exemple

Commande par mode glissant

Si on considère, dans un premier lieu, la commande discontinue uniquement :

Évolution dans le plan de phase du système en B.F Point d’équilibre

Condition initiale

0

0.4 0.3

-0.2

0.2

-0.4

0.1

Point d’équilibre

Condition initiale

0

-0.8

-0 . 1

2

x

x2

-0.6

-0 . 2 -0 . 3

-1

-0 . 4

-1.2

-1.4

-0 . 5

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

x1

Commande par mode glissant (discontinue)

1

-0 . 6 -0 . 6

-0 . 4

-0 . 2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x1

Commande précédente (feedforward)

15

Retour à l’exemple

Commande par mode glissant

Évolution des états du système en B.F

1

1

Position Vitesse

Position Vitesse

0.8 0.6

Position et vitesse

Position et vitesse

0.5

0

-0.5

0.4 0.2 0

-0.2 -1 -0.4 -1.5 0

-0.6 0.5

1

1.5

2

2.5

temps (sec)

Commande par mode glissant (discontinue)

3

0

10

20

30

40

50

60

temps (sec)

Commande précédente (feedforward)

16

Retour à l’exemple

Commande par mode glissant

Évolution de l’entrée de commande 5

4

4

3

3

2

2

Commande

Commande

5

1 0 -1 -2

Autour de 2 sec

1 0 -1 -2 -3

-3 -4

-4 -5

-5

2

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

2.0005 2.001 2.0015 2.002 2.0025 2.003 2.0035 2.004 2.0045 2.005

temps (sec)

temps (sec)

17

Phénomène de réticence

Commande par mode glissant

Phénomène de réticence (‘Chattering’ en anglais) Si on fait un zoom sur la commande autour de

on obtient :

5 4 3

Commande

2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 2

2.0005 2.001 2.0015 2.002 2.0025 2.003 2.0035 2.004 2.0045 2.005

temps (sec)

Un mode glissant idéal n’existe pas étant donné qu’il nécessite une commande qui commute avec une fréquence infinie Dans un cas réel la commutation se fait pendant un temps de commutation + la constante de temps des actionneurs  La discontinuité dans le commande produit un comportement dynamique particulier (cf. figure ci-dessus) autours de la surface de glissement, appelé phénomène de réticence (Chattering en anglais) 18

Retour à l’exemple

Commande par mode glissant

Retour à l’exemple Application de toute la commande

0 -0.1 -0.2 -0.3

x2

-0.4

Même avec la commande globale il y a toujours le phénomène de réticence

-0.5 -0.6 -0.7 -0.8 -0.9 -1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

x1 10

5

C’est un des problèmes de la commande par mode glissant

Commande

Peut endommager les actionneurs !

0

Quelle solution peut on envisager ? -5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

temps (sec)

19

Solution du problème de réticence

Commande par mode glissant

Quelle solution pour le problème de réticence ? Afin d’éviter le problème de réticence différentes solutions peuvent être envisagées : Solution 1 : remplacer la fonction Sign

+1

+1

-1 -1

Solution 2 : remplacer la fonction Sign Sigmoïde +1

+1

-1

-1

Solution 3 : Envisager la commande par mode glissant d’ordre supérieur 20

Solution du problème de réticence

Commande par mode glissant

Exemple précédent : Application de la solution  utilisation de la fonction de saturation 0

1

10

Position -0.1

Vitesse

0.6

-0.2

0.4

-0.3

0.2

-0.4

0

Commande

5

x2

Position et vitesse

Avec fonction signe

0.8

-0.5

-0.2

-0.6

-0.4

-0.7

-0.6

-0.8

-0.8

-0.9

0

-1

-1 0.5

0

1

1.5

2

2.5

0.1

0

3

0.2

0.3

0.4

0.6

0.7

0.8

0.9

1

x1

temps (sec)

-5

0

Position Vitesse

0.8

0.5

1

1.5

2

2.5

3

temps (sec)

2

0

1

-0.1 1

0.6

-0.2 0

0.4

Commande

-0.3 0.2

x2

Position et vitesse

Avec fonction saturation

0.5

-0.4

0 -0.5

-1

Pas de réticence !

-2

-0.2 -0.6

-0.4

-3

-0.7

-0.6

-0.8

-0.8 0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

temps (sec)

3.5

4

4.5

5

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

x1

0.6

0.7

0.8

0.9

1

-4

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

temps (sec)

21

5

Choix de la surface de glissement Le choix de la surface de glissement concerne le nombre et la forme des fonctions nécessaires. Ces deux facteurs dépendent de l’application et de l’objectif visé. Pour un système défini par l’équation suivante

La surface de glissement est une fonction scalaire telle que la variable à régler glisse sur cette surface et tend vers l’origine du plan de phase . La forme non linéaire est une fonction de l’erreur sur la variable à réguler x , elle est donnée par :

e(x ) : L’écart entre la variable à régler et sa référence. 𝝀: Une constante positive. r: Le degré relatif, il représente le nombre de fois qu’il faut dériver la surface pour faire apparaître la commande. L’expression de la surface est une équation différentielle dont l’unique solution est e(x) = 0 . L’objectif de la commande est de maintenir la surface à zéro.

La commande par mode de glissement (MG)

U+

Organe de Commande Système à Commander

UDynamique choisie

x xd

Surface de glissement S=0 S>0 S