Cohomologie Galoisienne: Cours au Collège de France, 1962–1963 [5e ed.] 3540580026, 9783540580027, 0387580026, 9780387580029 [PDF]

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Lecture Notes in Mathematics Editors: A. Dold, Heidelberg E Takens, Groningen

5

S rin er

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Tokyo

Jean-Pierre Serre

Cohomologie Galoisienne Cinqui~me 6dition, r6vis6e et compl6t6e

~ Springer

Auteur Jean-Pierre Serre Coll~ge de France 3 rue d'Ulm F-75231 Paris Cedex 05, France

2nd printing 1997 (with minor corrections)

Cataloging-in-Publication Data applied for.

Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme Serre, Jean-Pierre: Cohomologie galoisienne / Jean-Pierre Serre. - 5. 6d., r6v. et compl~t~e, 2nd print. - Berlin ; Heidelberg ; New York ; Barcelona ; Budapest ; Hong Kong ; London ; Milan ; Paris ; Santa Clara ; Singapore ; Tokyo : Springer, 1997 (Lecture notes in mathematics ; 5) ISBN 3-540-58002-6

Mathematics Subject Classification (1991): 12Gxx, 20E18, 20Gxx, 22Exx ISSN 0075- 8434 ISBN 3-540-58002-6 Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York ISBN 0-387-58002-6 Springer-Vedag New York Berlin Heidelberg ISBN 3-540-06084-7 4e 6dition Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York ISBN 0-387-06084-7 4th edition Springer-Verlag New York Berlin Heidelberg

This work is subject to copyright. All rights are reserved, whether the whole or part of the material is concerned, specifically the rights of translation, reprinting, re-use of illustrations, recitation, broadcasting, reproduction on microfilms or in any other way, and storage in data banks. Duplication of this publication or parts thereof is permitted only under the provisions of the German Copyright Law of September 9, 1965, in its current version, and permission for use must always be obtained from Springer-Vedag. Violations are liable for prosecution under the German Copyright Law. Springer-Verlag is a part of Springer Science+Business Media © Springer-Vedag Berlin Heidelberg 1973, 1994, 1997 Printed in Germany Typesetting: Camera-ready TEX output by Armin Koellner SPIN: 10989852 46/3111-54321- Printed on acid-free paper

INTRODUCTION A LA PREMII~RE ]~DITION (1964) Ces notes reproduisent avec quelques modifications un cours fait au Coll~ge de France pendant l'ann~e 1962-1963. On y trouvera ~galement un texte in~dit de Tate (Annexe au Chap. I), et un autre de Verdier, tous deux consacr~s h la dualit~ des groupes profinis. Une r~daction pr~liminaire de ces notes, due ~ Michel Raynaud, m ' a ~t~ tr~s utile; je l'en remercie vivement.

INTRODUCTION A LA CINQUI]~ME I~DITION (1994) Cette nouvelle ~dition a ~t~ r~alis~e en ~ Springer-Verlag, que j'ai plaisir ~ remercier.

par les soins de M. KSllner et

J'ai profit6 de l'occasion pour faire une s~rie de modifications: - mise ~ jour de la bibliographie; - mise h jour des probl~mes et conjectures mentionn6s dans le texte; - adjonction de nombreux exercices, d'un index, et de plusieurs annexes (r~sum~s de cours, notamment). Pour faciliter les r6f6rences, rancienne num6rotation des propositions, lemmes et th6or~mes a ~t~ conserv6e. Les passages nouveaux sont, le plus souvent, imprim6s en caract~res plus petits que le texte original.

Jean-Pierre Serre

Table d e s mati~res

Chapitre I. C o h o m o l o g i e des groupes profinis § 1.Groupes profinis ................................................. 1.1. Ddfinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. S o u s - g r o u p e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. I n d i c e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. P r o - p - g r o u p e s et p - g r o u p e s de Sylow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5. P r o - p - g r o u p e s libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 2 3 4 5 6

§ 2. C o h o m o l o g i e ..................................................... 2.1. Les G-modules discrets .......................................... 2.2. Cochaines, cocycles, cohomologie ................................. 2.3. Basses dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Fonctorialit~ ................................................... 2.5. Modules induits ................................................ 2.6. C o m p l d m e n t s ..................................................

8 8 8 10 11 12

§ 3. D i m e n s i o n c o h o m o l o g i q u e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1. La p - d i m e n s i o n cohomologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. D i m e n s i o n cohomologique s t r i c t e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. D i m e n s i o n c o h o m o l o g i q u e des s o u s - g r o u p e s et des e x t e n s i o n s . . . . . . . . 3.4. C a r a c t d r i s a t i o n des g r o u p e s profinis G tels que cdp(G) < 1 . . . . . . . . . . 3.5. M o d u l e d u a l i s a n t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15 15 16 17 19 22

§ 4. Cohomologie des p r o - p - g r o u p e s ...................................

25 25 27 30 32 35

4.1. 4.2. 4.3. 4.4. 4.5.

Modules simples ............................................... Interprdtation de HI: gdndrateurs ................................ Interprdtation de H2: relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . U n thdor~me de Safarevi~ ....................................... Groupes de Poincard ............................................

§ 5. C o h o m o l o g i e n o n abdlienne ....................................... 5.1. Ddfinition de H ° et de H I ....................................... 5.2. Espaces principaux homog~nes sur A - nouvelle ddfinition de H I (G, A) 5.3. Torsion ....................................................... 5.4. Suite exacte de cohomologie associde ~ un sous-groupe .............. 5.5. Suite exacte de cohomologie associde ~ un sous-groupe distingud ...... 5.6. Cas d'un sons-groupe ab~lien distingud ............................ 5.7. Cas d'un sous-groupe central .................................... 5.8. C o m p l d m e n t s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.9. U n e propridt6 des g r o u p e s d e d i m e n s i o n c o h o m o l o g i q u e < 1 . . . . . . . . . .

9

42 42 43 44 47 49 50 52 54 54

viii

Table des m a t i ~ r e s

I n d i c a t i o n s b i b l i o g r a p h i q u e s s u r le C h a p i t r e I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

Annexes 1. ( J . T a t e ) - Q u e l q u e s

th~or~mes de dualitd ..........................

2. ( J - L . V e r d i e r ) - D u a l i t ~ darts la c o h o m o l o g i e d e s g r o u p e s p r o f l n i s . . . 1. M o d u l e s i n d u i t s e t c o - i n d u i t s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. H o m o m o r p h i s m e s locaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Le thd~or~me d e dualit~ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. A p p l i c a t i o n d u th&)r~me d e dualit6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. L ' i n ~ g a l i t 6 d e G o l o d - S a f a r e v i ~ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. E n o n c ~ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. D 6 m o n s t r a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59 64 64 67 69 73 77 77 78

C h a p i t r e II. C o h o m o l o g i e g a l o i s i e n n e - cas c o m m u t a t i f § 1. G d n d r a l i t d s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1. C o h o m o l o g i e galoisienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. P r e m i e r s e x e m p l e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

82 82 83

§ 2. C r i t ~ r e s d e d i m e n s i o n c o h o m o l o g i q u e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1. U n r~sultat auxiliaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Cas o h p est ~gal ~ la c a r a c t ~ r i s t i q u e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. C a s o h p e s t different de la caract~ristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

85 85 86 87

§ 3. C o r p s d e d i m e n s i o n _~ 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1. D~finition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. R e l a t i o n avec l a propri4t4 (C1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. E x e m p l e s d e c o r p s d e d i m e n s i o n < 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

88 88 89 90

§ 4. T h ~ o r ~ m e s d e t r a n s i t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

93 93 93 95

4.1. 4.2. 4.3. 4.4.

E x t e n s i o n s alg~briques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Extensions transeendantes ....................................... Corps locaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D i m e n s i o n e o h o m o l o g i q u e d u g r o u p e de Galois d ' u n corps d e n o m b r e s algdbriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5. L a propri~t~ ( C r ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

97 97

§ 5. C o r p s p - a d i q u e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1. P ~ p p e l s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. C o h o m o l o g i e d e s G k - m o d u l e s finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3. P r e m i e r e s a p p l i c a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4. C a r a c t 4 r i s t i q u e d ' E u l e r - P o i n c a r ~ (cas ~l~mentaire) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5. C o h o m o l o g i e n o n ramifi6e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6. Le g r o u p e d e Calois d e la p - e x t e n s i o n m a x i m a l e d e k . . . . . . . . . . . . . . . 5.7. C a r a c t 4 r i s t i q u e d ' E u l e r - P o i n c a r ~ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.8. G r o u p e s de t y p e m u l t i p l i c a t i f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

100 100 100 103 103 105 105 108 112

§ 6. C o r p s d e n o m b r e s a l g ~ b r i q u e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

115 115 116 118

6.1. M o d u l e s finis - d~finition des g r o u p e s P~(k, A) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2. Le th~or~me d e p r o p r e t ~ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3. E n o n c ~ s des th~or~mes d e P o i t o u e t Tare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

I n d i c a t i o n s b i b l i o g r a p h i q u e s sur le C h a p i t r e II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

119

Table des mati~res

ix

Annexe. C o h o m o l o g i e galoisienne des e x t e n s i o n s transcendantes pures (R6sum~ des cours de 1991-1992) ..................................... 1. U n e s u i t e e x a c t e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Le c a s l o c a l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. C o u r b e s a l g 6 b r i q u e s e t c o r p s d e f o n c t i o n s d ' u n e v a r i a b l e . . . . . . . . . . . . . . . .............................................. 4. L e c a s o h K = k ( T ) 5. N o t a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. A n n u l a t i o n p a r c h a n g e m e n t d e b a s e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7. C o n d i t i o n s d e M a n i n , a p p r o x i m a t i o n f a i b l e e t h y p o t h ~ s e d e S c h i n z e l . . . . 8. B o r n e s d u c r i b l e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

120 120 121 121 122 123 124 125 126

Chapitre III. C o h o m o l o g i e galoisienne non c o m m u t a t i v e 1. Formes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1. 1.2. 1.3. 1.4.

Tenseurs ...................................................... Exemples ..................................................... Vari~t4s, groupes alg~briques, etc ................................. E x e m p l e : les k - f o r m e s d u g r o u p e S L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Corps de dimension _< 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1. 2.2. 2.3. 2.4.

R a p p e l s s u r les g r o u p e s l i n ~ a i r e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N u l l i t ~ d e H 1 p o u r les g r o u p e s l i n ~ a i r e s c o n n e x e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Le th~or~me de Steinberg ....................................... P o i n t s r a t i o n n e l s s u r les e s p a c e s h o m o g ~ n e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Corps de dimension < 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1. 3.2.

L a c o n j e c t u r e II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exemples .....................................................

4. Th$or~mes de flnitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1. L a c o n d i t i o n ( F ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. C o r p s d e t y p e ( F ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. F i n i t u d e d e l a c o h o m o l o g i e d e s g r o u p e s l i n ~ a i r e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4. F i n i t u d e d ' o r b i t e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5. L e c a s r6el . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6. C o r p s d e h o m b r e s a l g ~ b r i q u e s ( t h ~ o r ~ m e d e B o r e l ) . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7. U n c o n t r e - e x e m p l e a u " p r i n c i p e d e H a s s e " . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Indications bibliographiques sur le Chapitre I I I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

128 128 130 131 132 135 135 137 139 141 146 146 147 149 149 150 151 153 154 156 156 161

A n n e x e . C o m p l d m e n t s de c o h o m o l o g i e galoisienne ( R ~ s u m ~ d e s c o u r s d e 1990-1991) ........................................................ 1. N o t a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. L e c a s o r t h o g o n a l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. A p p l i c a t i o n s e t e x e m p l e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. P r o b l ~ m e s d ' i n j e c t i v i t 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. L a f o r m e t r a c e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. L a t h d o r i e d e B a y e r - L e n s t r a : b a s e s n o r m a l e s a u t o d u a l e s . . . . . . . . . . . . . . . 7. C l a s s e s d e c o h o m o l o g i e n ~ g l i g e a b l e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

162 162 162 164 166 167 168 170

Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

171

Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

180

Chapitre I

Cohomologie des groupes profinis

§ 1. Groupes profinis

1.1. Ddfinition On appelle groupe profini un groupe topologique qui est limite projective de groupes finis (munis chacun de la topotogie discrete). Un tel groupe est compact et totalement discontinu. R6ciproquement: P r o p o s i t i o n 0. Un groupe topologique compact totalement discontinu est profini. Soit G un tel groupe. Comme G est totalement discontinu et localement compact, les sous-groupes ouverts de G forment une base de voisinages de 1, cf. Bourbaki TG III, §4, n°6. Un tel sous-groupe U est d'indice fini dans G puisque G est compact; ses conjugu~s gUg -1 sont en hombre fini et leur intersection V est un sous-groupe ouvert normal de G. De tels V forment donc une base de voisinages de 1; l'application canonique G -* (lim G/V est injective, continue, et d'image dense; comme G est compact, c'est un isomorphisme. Donc G est profini. Les groupes profinis forment une cat6gorie (les morphismes ~tant les homomorphismes continus) oh les produits infinis et les limites projectives existent.

Exemples. 1) Soit L/K une extension galoisienne de corps commutatifs. Le groupe de Galois G(L/K) de cette extension est, par construction m~me, limite projective des groupes de Galois G(LjK) des extensions galoisiennes finies L d K contenues dans L/K; c'est donc un groupe profini. 2) Un groupe analytique compact sur le corps p-adique Qp est profini (en tant que groupe topologique). En particulier, SL~(Zp), Sp2n(Zp), ... sont des groupes profinis. 3) Soit G u n groupe discret, et soit G la limite projective des quotients finis de G. Le groupe G est appel~ le groupe profini associd d G; c'est le s6par6 compl~t~ de G pour la topologie d~finie par les sous-groupes de G d'indice fini; le noyau de G --* G est l'intersection des sous-groupes d'indice fini de G. 4) Si M est un groupe ab61ien de torsion, son dual M* = Horn(M, Q / Z ) , muni de la topologie de la conve~'gence simple, est un groupe profini commutatif. On obtient ainsi une anti-6quivalence (dualit6 de Pontrjagin): groupes ab61iens de torsion ¢==~ groupes profinis commutatifs.

1.2. Sous-groupes

3

Exeraice8.

1) Montrer qu'un groupe profini commutatif sans torsion est isomorphe ~ un produit (en g~n~ral infini) de groupes Zp. [Utiliser la dualit~ de Pontrjagin pour se ramener au th~or~me disant que tout groupe ab~lien divisible est somme directe de groupes isomorphes ~ Q ou ~ un Qp/Zp, cf. Bourbaki A VII.53, exerc. 3.] 2) Soit G = SL,~(Z), et soit f l'homomorphisme canonique G -* lip SL~(Zp). (a) Montrer que f est surjectif. (b) Montrer l'~quivalence des deux propri~t~s suivantes: (bl) f est un isomorphisme; (b2) tout sous-groupe d'indice fini de SLy(Z) est un sous-groupe de congruence. [Ces propri~t~s sont connues pour ~tre vraies si n ~ 2 et fausses s i n = 2.]

1.2.

Sous-groupes

T o u t sous-groupe ferm~ H d ' u n groupe profini G est profini. De plus, l'espace homog~ne G / H est c o m p a c t totalement discontinu. 1. Si H e t K sont deux sous-groupes fermds du groupe profini G, avec H D K , il existe une section continue s : G / H --~ G / K .

Proposition

(Par "section", on entend une application s : G / H --* G / K dont le compos~ avec la projection G / K ~ G / H est l'identit~.) On va utiliser deux lemmes: 1. Soit G un groupe compact et soit (Si) une ]amiUe filtrante ddcroissante de sous-groupes fermds. Soit S = A S~. L 'application canonique

Lemme

G / S --~ lim G/S~ est alors un homdomorphisme. E n effet, cette application est injective, et son image est dense; c o m m e l'espace de d~part est c o m p a c t , le lemme en r~sulte. (On aurait pu aussi invoquer Bourbaki, T G III.59, cot. 3 ~ la prop. 1.) 2. La proposition 1 est vraie lorsque H / K est ]ini. Si de plus H e t K sont distinguds dans G, l'extension

Lemme

1 ---* H / K ~

G/K

~G/H

,1

est scindde (cf. n ° 3.4) au-dessus d'un sous-groupe ouvert de G / H . Soit U un sous-groupe ouvert distingu~ de G tel que U N H C K . La restriction de la projection G / K --~ G / H ~ l'image de U est alors injective (et c'est un h o m o m o r p h i s m e lorsque H e t K sont distinguds, ce qui d~montre la deuxi~me pattie du lemme). Son application r~ciproque est donc une section sur l'image de U (qui est ouverte); on la prolonge en une section sur G / H t o u t entier par translation. D 6 m o n t r o n s m a i n t e n a n t la prop. t. O n p e u t supposer que K = 1. Soit X l'ensemble des couples (S, s), oh S est un sous-groupe ferm6 de H , et s est une

4

§ 1. Groupes profinis

section continue G / H --* G/ S. On ordonne X en convenant que ( S, s) > (S', s') si S C S r et si s ~ est le compos~ de s e t de G / S -* G/S'. Si (S~, s~) est une famille totalement ordonn@e d'~l@ments de X , et si S = n s ~ , on a G / S = ~im G/S~ d'apr~s le lemme 1; les si d@finissent donc une section continue s : G / H --~ G/S; on a (S, s) ~ X. Cela montre que X est un ensemble ordonn~ inductif. D'apr~s le th~or~me de Zorn, X contient un ~l~ment maximal (S,s). Montrons que S = 1, ce qui ach~vera la d@monstration. Si S @tait distinct de 1, il existerait un sous-groupe ouvert U de G tel que S N U ~ S. En appliquant le lemme 2 au triplet (G, S, S N U), on obtiendrait une section continue G / S --, G / ( S N U), et en la composant avec s : G / H ~ G / S , cela donnerait une section continue G / H --* G / ( S n U), contrairement au fait que (S, s) est maximal.

Exercices. 1) Soit G u n groupe profini op@ra~t continfiment sur un espace compact totalement discontinu X. On suppose que G op~re librement, i.e. clue le fixateur de tout @l~ment de X est @gal ~ 1. Montrer qu'il existe une section continue X / G --~ X. [Raisonner comme pour la prop. 1.] 2) Soit H u n sous-groupe ferm~ d'un groupe profini G. Montrer qu'il existe un sous-groupe ferm@ G ~ de G qui est tel que G = H . G ~, et qui est minimal pour cette propri@t&

1.3. Indices On appelle hombre surnaturel un produit formel [ I pnp, o~t p parcourt l'ensemble des nombres premiers, et oh np est un entier _> 0 ou +oo. On d~finit de mani~re ~vidente le produit, le pgcd et le p p c m d'une famille quelconque de nombres surnaturels. Soit G u n groupe profini, et soit H u n sous-groupe ferm@ de G. On d@finit l'indice (G : H) de H dans G comme le ppcm des indices (G/U : H / ( H n U)), pour U parcourant l'ensemble des sous-groupes ouverts distingu@s de G. On voit facilement que c'est aussi le p p c m des indices (G : V) pour V ouvert contenant H. P r o p o s i t i o n 2. (i) Si K C H C G son$ des groupes profinis, on a (G: K) = (G: H). (H: K) . (ii) Si (Hi) est une famille filtrante dgcroissante de sous-groupes ]ermgs de G, et si g = n H i , on a ( G : H ) = p p c m ( G : Hi). (iii) Pour que H soit ouvert dans G, il faut et il su•t que (G : H) soit un nombre naturel (i.e. un @l@ment de N ) . D@montrons (i): si U est ouvert distingu@ dans G, posons Gu = G/U, Hu = H/(H N U), Ku = K/(K A U). On a Gu D Hu D Ku, d'oh

(Gu : K u ) = (Gu : Hu) " (Hu : K u ) • On a par d@finition p p c m ( G u : K u ) = (G : K ) et p p c m ( G u : Hu) = (G : H). D'autre part, les H N U sont cofinaux dans l'ensemble des sous-groupes ouverts distingu@s de H; il en r@sulte que p p c m ( H v : K u ) = ( H : K), d'o5 (i). Les assertions (ii) et (iii) sont imm@diates. Noter qu'en particulier on peut parler de l'ordre (G : 1) d'un groupe profini G.

1.4. Pro-p-groupes et p-groupes de Sylow

5

Exercices. 1) Soit G u n groupe profini, et soit n u n entier ~ 0. Montrer l'~quivalence des propri~t~s suivantes: (a) n e s t premier ~ l'ordre (G : 1) de G. (b) L'application x ~-* x n de G dans G est surjective. (b') L'application x ~-~ x '~ de G dans G est bijective. 2) Soit G u n groupe profini. D~montrer l'~quivalence des trois propri~t~s suivantes: (a) La topologie de G est m~trisable. (b) On a G = lira Gn, oil les Gn (n > 1) sont fnis et les homomorphismes Gn+l ~ Gn sont surjectlfs. (c) L'ensemble des sous-groupes ouverts de G est d~nombrable. Montrer que ces propri~t~s entra~nent: (d) I1 existe un sous-ensemble d~nombrable dense dans G. Construire un exemple off (d) est v~rifi~e, mais pas (a), (b), (c) [prendre pour G le dual d'un Fp-espace vectoriel de dimension infinie d~nombrable]. |

,,

.

3) Soit H u n sous-groupe ferm~ d'un groupe profini G. On suppose H ~ G. Montrer qu'il existe x E G tel qu'aucun conjugu~ de x n'appartienne ~ H [se ramener au cas off G est fini]. 4) Soit g un ~l~ment d'un groupe profini G, et soit Cg = (g) le plus petit sousgroupe ferm~ de G contenant g. Soit l i P np l'ordre de Ca, et soit I l'ensemble des p tels que np = ~ . Montrer que:

I-I z, × 1] z/p ° p z pEl

p~l

1.4. Pro-p-groupes et p-groupes de Sylow Soit p un n o m b r e premier. Un g r o u p e profini H est appel~ un pro-p-groupe si c'est une limite projective de p-groupes, ou, ce qui revient au m~me, si son ordre est une puissance de p (finie ou infinie, bien entendu). Si G est un g r o u p e profini, un sous-groupe H de G est appel~ un p-groupe de Sylow de G si c'est un pro-p-groupe et si (G : H ) est premier ~ p. P r o p o s i t i o n 3. Tout groupe profini G posskde des p-groupes de Sylow, et ceuxci sont conjuguds. O n utilise le lemme suivant (Bourbaki, T G 1.64, prop. 8): Lemme

3. Une liraite projective d'ensembles finis non rides est non vide.

Soit X la famille des sous-groupes ouverts distingu~s de G. Si U E X , soit P ( U ) l'ensemble des p-groupes de Sylow du g r o u p e fini G / U . En appliquant le lemme 3 au syst~me projectif des P ( U ) , on obtient une famille coh~rente H u de p-groupes de Sylow des G / U , et l'on v6rifie ais6ment que H = lim H u est un p-groupe de Sylow de G, d'ofi la premiere pattie de la proposition. De m~me, si H e t H ~ sont deux p-groupes de Sylow de G, soit Q(U) l'ensemble des x E G / U qui t r a n s f o r m e n t l'image de H dans celle de HI; en appliquant le lemme 3 aux Q(U), on volt que lim Q(U) ~ O, d'ofi un x E G tel que x H x -1 = H ~. O n d 6 m o n t r e par le m~me genre d ' a r g u m e n t s :

6

§ 1. Groupes profinis

P r o p o s i t i o n 4. (a) Tout pro-p-sous-groupe de G est contenu dans un p-groupe de Sylow de G. (b) Si G --* G r est un morphisme surjectif, l'image d'un p-groupe de Sylow de G est un p-groupe de Sylow de G ~.

Exemples. 1) Le groupe Z a pour p-groupe de Sylow le groupe Zp des entiers p-adiques. 2) Si G est analytique compact sur Qp, les p-groupes de Sylow de G sont ouverts (cela r6sulte de la structure locale bien connue de ces groupes). L'ordre de G est donc le produit d'un entier naturel par une puissance de p. 3) Soit G un groupe discret. La limite projective des quotients de G qui sont des p-groupes est un pro-p-groupe, not~ Gp, et appel6 le p-compldtd de G; c'est le plus grand quotient de G qui soit un pro-p-groupe. Exercice. Soit G u n groupe discret tel que G ~b = G/(G, G) soit isomorphe h Z (par exemple le groupe fondamental du compl~mentaire d'un noeud dans R3). Montrer que le pcompl~t6 de G est isomorphe h Zp.

1.5. Pro-p-groupes

libres

Soit I un ensemble, et soit L(I) le groupe discret fibre engendr~ par des ~l~ments x~ indexes par I. Soit X la famille des sous-groupes distingu~s M de L(I) tels que: a) L ( I ) / M est un p-groupe fini, b) M contient presque t o u s l e s x~ (i.e. tous sauf un hombre fini). Posons F ( I ) = lim L ( I ) / M . Le groupe F ( I ) est un pro-p-groupe que l'on appelle le pro-p-groupe fibre engendr~ par les xi. L'adjectif "libre" est justififi par le rfisultat suivant: P r o p o s i t i o n 5. Si G est un pro-p-groupe, les morphismes de F ( I ) dans G correspondent bijectivement aux famiUes (gi)iEl d'dldments de G qui tendent vers zdro suivant le filtre des compldmentaires des parties finies. [Lorsque I e s t fini, la condition lim gi = 1 est supprim~e; d'ailleurs, les compl~mentaires des parties finies ne forment pas un filtre... ] De faqon plus precise, on associe ~ un morphisme f : F ( I ) --~ G la famille (g~) = (f(xi)). Le fait que la correspondance ainsi obtenue soit bijective est imm~diat.

Remarque. A cStd de F ( I ) , on peut d~finir le groupe F~(I) limite projective des L ( I ) / M pour les M v~rifiant seulement a). C'est le p-compl~t~ de L(I); les morphismes de F~ (I) dans un pro-p-groupe G correspondent bijectivement aux families quelconques (g~)iel d'~l~ments de G. On verra plus loin (n ° 4.2) que Fs(I) est libre, c'est-h-dire isomorphe ~ un F ( J ) , pour J convenable.

1.5. Pro-p-groupes libres

7

Lorsque I = [1,n], on 6crit F(n) ~ la place de F ( I ) ; le groupe F(n) est le pro-p-groupe libre de rang n. On a F(0) = {1} et F(1) est isomorphe au groupe additif Zp. On va donner une repr6sentation explicite du groupe F(n): Soit A(n) l'alg~bre des s6ries formelles associatives (non n6cessairement commutatives) en n ind6termin~es tl, . . . , to, ~ coefficients dans Z v (c'est ce que Lazard appelle "l'alg~bre de Magnus"). [Le lecteur qui n'aime pas les s6ries formelles "non n6cessairement commutatives" d6finira A(n) comme un compl~t6 de l'algbbre tensorielle du Zp-module (Zp)n.] Muni de la topologie de la convergence simple des coefficients, A(n) est un anneau topologique compact. Soit U le groupe multiplicatif des 616ments de A de terme constant ~gal g 1. On v6rifie ais~ment que U est un pro-p-groupe. C o m m e U contient les 616ments 1 4- ti, la prop. 5 montre qu'il existe un morphisme 0 : F(n) -~ U qui applique x, sur 1 4-t~ pour tout i.

Proposition

6 (Lazard). Le morphisme O : F(n) ~ U est injectif. [On peut donc identifier F(n) au sous-groupe ferm6 de U engendr6 par les

1 4- ti.] On d6montre m6me un r6sultat plus fort. Pour l'6noncer, convenons d'appeler

Zv-alg~bre d ' u n pro-p-groupe G la limite projective des alg~bres des quotients finis de G, ~ coefficients dans Zp; cette alg~bre sera not6e Zp[[G]]. On a:

Proposition

7. II existe un isomorphisme continu ~ de Zp[[F(n)]] sur A(n) qui transforme xi en 1 + ti. On ddfinit sans difficult6s l'homomorphisme a : Zp[[F(n)]] --~ A(n). D ' a u t r e

part, soit I l'id~al d'augmentation de Zp[[F(n)]]; les propri6t6s ~I6mentaires des p-groupes finis montrent que les puissances de l'id6al I tendent vers 0. C o m m e les xi - 1 appartiennent ~ I, on en d6duit qu'il existe un homomorphisme continu

~ : A(n) --* Zv[[(F(n)] ] qui applique t~ sur xi - 1. I1 n ' y a plus alors qu'~ v~rifier que ~ o ~ -- 1 et o ~ = 1, ce qui est imm6diat.

Remarques. 1) Lorsque n = 1, la prop. 7 montre que la Zp-alg~bre du groupe F = Zp est isomorphe £ l'alg~bre Zp[[T]], laquelle est un anneau local r~gulier de dimension 2. C'est l~ le point de d6part de l'6tude, faite par Iwasawa, des "F-modules", cf. [143], ainsi que Bourbaki AC VII.§ 4. 2) On trouvera dans la th~se de Lazard [101] une ~tude d6taill~e de F(n), bas~e sur les prop. 6 et 7. Par exemple, si l'on filtre A(n) par les puissances de l'id~al d ' a u g m e n t a t i o n I , la filtration induite sur F(n) est celle de la suite centrale descendante, et le gradu6 associ6 est la Zp-alg~bre de Lie libre engendr~e par les classes Ti des ti. La filtration d~finie par les puissances de (p, I ) est ~galement int~ressante.

§ 2. Cohomologie

2.1. L e s G - m o d u l e s

discrets

Soit G u n groupe profini. Les groupes ab61iens discrets sur lesquels G op~re continfiment forment une cat6gorie ab6lienne CG, qui est une sous-cat6gorie pleine de la cat6gorie de tousles G-modules. Dire qu'un G-module A appartient CG signifie que le fixateur de tout 61~ment de A est ouvert dans G, ou encore que l'on a:

A = UAU , lorsque U parcourt l'ensemble des sous-groupes ouverts de G (comme d'habitude, A U d~signe le sous-groupe de A form~ des ~l~ments invariants par U). Un ~l~ment A de CG sera appel~ un G-module discret (ou m~me simplement un G-module si aucune confusion ne peut en r~sulter). C'est pour ces modules que la cohomologie de G va ~tre d~finie.

2.2. Cochaines,

cocycles, cohomologie

Soit A E Cc. Nous noterons Cn(G, A) l'ensemble des applications continues de G n dans A (noter que, puisque A est discret, "continue" ~quivaut ~ "localement constante"). On d~finit le cobord

d:Cn(G,A)

~Cn+I(G,A)

par la formule usuelle

(df)(gl,..., gn+l) = g l ' / ( g 2 , . . . , gn+l)

-~- E(--X)'f(gl,''-, i----1

gigi+l,...,gn+l)

+(-1)"+1f(91,... ,gn) On obtient ainsi un complexe C*(G,A) dont les groupes de cohomologie Hq(G,A) sont appel~s les groupes de cohomologie de G d coe~cients dans A. Lorsque G est fini, on retrouve la d~finition habituelle de la cohomologie des groupes finis; le cas g~n~ral peut d'aiUeurs se ramener ~ celui-l~, grace ~ la proposition suivante:

2.3. Basses dimensions

9

8. Soit (Gi) un syst~me projeetif de groupes pro]inis, et soit (Ai) un syst~me inductif de Gi-modules discrets (les homomorphismes Ai --~ Aj 6tant compatibles en un sens 6vident avec les morphismes Gj --~ Gi). Posons G = lira Gi, A = lim Ai. On a alors Proposition

Hq(G,A) = lim Hq(G~,Ai)

pour tout q > O.

En effet, on voit sans difficult6s que l'homomorphisme canonique

lira C*(a,, A 4 ~

c * ( a , A)

est un isomorphisme, d'ofi le r~sultat en passant & l'homologie. C o r o l l a i r e 1. Soit A un G-module discret. On a:

Ha(G, A) = lim Hq(G/U,A v)

pour tout q >_O,

lorsque U parcourt l'ensemble des sous-groupes ouverts distinguds de G. En effet, G = lim G / U et A = lim A v. C o r o l l a i r e 2. Soit A un G-module discret. On a:

Hq(G, A) = lim Ha(G, B)

pour tout q > 0

lorsque B parcourt l'ensemble des sous-G-modules de type fini de A. En effet, on a A = lim B. C o r o l l a i r e 3. Pour q > 1, les groupes Hq(G, A) sont des groupes de torsion. Lorsque G est fini, ce rdsultat est classique. Le cas g~n6ral s'en d6duit, gr&ce au corollaire 1. On pourra donc facilement se ramener au cas des groupes finis, qui est bien connu (voir par exemple Cartan-Eilenberg [25], ou "Corps Locaux" [145]). On en d6duit par exemple que les Hq(G, A) sont nuls, pour q > 1, lorsque A est un injectif de C c (les A U dtant alors injectifs sur les G/U). C o m m e la cat6gorie C c a suffisamment d'injectifs (mais pas suffisamment de projectifs), on voit que les foncteurs A ~ Hq(G, A) sont les foncteurs ddrivds du foncteur A ~ A c, c o m m e il se doit.

2.3. Basses

dimensions

H ° ( G , A) = A a, comme d'habitude. H 1(G, A) est le groupe des classes d'homomorphismes croisds continus de G dans A. H2(G, A) est le groupe des classes de syst~mes de facteurs continus de G dans A. Si A est fini, c'est aussi le groupe des classes d'extensions de G par A (d~monstration standard, reposant sur l'existence d'une section continue, d~montr~e au n ° 1.2).

10

§ 2. Cohomologie

Remarque. Ce dernier exemple sugg~re de d~finir les Hq(G,A) lorsque A est un Gmodule topologique quelconque, en partant des cochMnes continues. Ce genre de cohomologie se rencontre effectivement dans les applications, cf. [148].

2.4. F o n c t o r i a l i t ~ Soient G e t G ' deux groupes profinis, et soit f : G --* G ' un morphisme. Soient A E Ca, A' E CG,. On a la notion de morphisme h : A' ---* A compatible avec f (c'est un G-morphisme, lorsqu'on regarde A ~ comme un G-module au moyen de f ) . Un tel couple (f, h) d6finit par passage ~ la cohomologie des homomorphismes

H q ( G ' , A ')

~ Hq(G,A) ,

q >_ O.

Ceci s'applique n o t a m m e n t lorsque H est un sous-groupe ferm~ de G, et que A = A' est un G-module discret; on obtient les homomorphismes de restriction Res :

Hq(G,A) ---~ H q ( H , A ) ,

q >_O.

Lorsque H est ouvert d'indice fini n dans G, on d~finit (par exemple, par passage ~ la limite ~ partir des groupes finis) les homomorphismes de corestric-

tion C o r : g q ( H , A) ~

Hq(G, A ) .

On a Cor o Res = n, d'o~: Proposition

9. Si (G : H) = n, le noyau de Res : Hq(G,A) ---* H q ( H , A ) est

annuld par n. C o r o l l a i r e . Si (G : H) est premier d p, Res est injectif sur la composante p-primaire de Ha(G, A). [Ce corollaire s'applique n o t a m m e n t au cas oh H est un p-groupe de Sylow de G.] Lorsque (G : H ) est fini, le corollaire r6sulte directement de la proposition pr6c~dente. On se ram~ne h ce cas en ~crivant H comme intersection de sousgroupes ouverts, et appliquant la prop. 8.

Exercice. Soit f : G --~ G' un morphisme de groupes profinis. (a) Soit p u n nombre premier. Prouver l'6quivalence des propri~t6s suivantes: (lp) L'indice de f(G) darts G' est premier ~ p. (2p) Pour tout G'-module p-primaire A, l'homomorphisme HI(G ', A) --* H ~(G, A) est injectif. [Se ramener au cas oh G e t G' sont des pro-p-groupes.] (b) D~montrer l'6quivalence de: (1) f est surjectif. (2) Pour tout G'-module A, l'homomorphisme H 1(G', A) --* H ~(G, A) est injectif. (3) M~me 6nonc6 que (2), en se bornant aux G'-modules A qui sont finis.

2.5. Modules induits

11

2.5. M o d u l e s i n d u i t s Soit H u n sous-groupe ferm6 du groupe profini G, et soit A E C H. Le module induit A* = M H ( A ) est d6fini comme l'ensemble des applications continues a* de G dans A telles que a*(hx) = h. a*(x) si h E H , x E G. Le groupe G op~re sur A* par la formule: =

Pour H = (1}, on ~crit MGA; les G-modules ainsi obtenus sont appel~s induits ("co-induits" dans la terminologie de [145]). Si l'on associe ~ tout a* E M H ( A ) sa valeur au point 1, on obtient un homomorphisme M H ( A ) ~ A qui est compatible avec l'injection de H dans G (cf. n ° 2.4); d'ofi des homomorphismes

Hq(G, MH(A)) ~

Ha(H, A) .

10. Les homomorphismes Hq(G, M ~ ( A ) ) -~ Hq(H,A) ddfinis cidessus sont des isomorphismes.

Proposition

On note d ' a b o r d que, si B E Co, on a H o m e ( B , M ~ ( A ) ) = H o m H ( B , A). On en tire le fait que le foncteur M H transforme injectifs en injectifs. C o m m e d ' a u t r e part il est exact, la proposition en r~sulte, par un th~or~me de comparaison standard. C o r o l l a i r e . La cohomologie d'un module induit est nulle en dimension > 1. C'est le cas particulier H -- { 1}. La proposition 10, due ~ Faddeev et Shapiro, est tr~s utile: elle permet de ramener la cohomologie d'un sous-groupe ~ celle du groupe. Indiquons comment on peut, de ce point de vue, retrouver les homomorphismes Res et Cor: (a) Si A E CG, on d~finit un G-homomorphisme injectif

i: A

,M~(A)

en posant: i(a)(x)

=

x.a.

Par passage £ la cohomologie, on vdrifie que l'on obtient la restriction R e s : Hq(G, A) --* Hq(G, M ~ ( A ) ) = U q ( S , A) . [Pour H = (1}, on a donc obtenu un ]oncteur d'effacement, souvent utile.] (b) Supposons H ouvert dans G, et soit A E CG. On d~finit un Ghomomorphisme surjectif

, : M H ( A ) --~ A en posant:

~(a*) =

Z xEG/H

x.a*(x-1) ,

12

§ 2. Cohomologie

formule qui a un sens puisque x.a*(x -x) ne d d p e n d que d e la classe d e x m o d H . P a r p a s s a g e h la cohomologie, 7r d o n n e la corestriction C o r : gq(H, A) = Ha(G, MH(A)) --* gq(G, A) . E n effet, c ' e s t lh un m o r p h i s m e d e foncteurs c o h o m o l o g i q u e s qui coincide avec la t r a c e en d i m e n s i o n z~ro.

Exerciees. 1) On suppose H distingud dans G. Si A E Ca, on fait op6rer G sur M~(A) en posant ga*(x)=g..(g-1 ). Montrer que H op~re trivialement, ce qui permet de consid~rer clue G/H op~re sur M H ( A ) ; montrer que les operations ainsi d~finies commutent aux opdrations de G d~finies dans le texte. En d$duire, pour chaque entier q, une operation de G/H sur Hq(G, M~(A)) = Hq(H,A). Montrer que cette opdration coincide avec l'opdration naturelle (cL n ° suivant). Montrer que M~(A) est isomorphe h MC/H(A) si H op~re trivialement sur A. En d~duire, lorsque (G : H) e.st fini, les formules:

Ho(G/H, MH(A)) = A

et

Hi(G/H, MH(A)) = 0 pour i > 1.

2) On suppose que (G : H) = 2. Soit E l'homomorphisme de G sur ( J : l } de noyau H. En faisant op~rer G sur Z par ~, on obtient un G-module Ze. (a) Soit A E CG, et soit Ae = A ® Ze. Montrer que l'on a une suite exacte de G-modules: 0 ---~ A ----~ Ma(A) n ~ A~ ~ O . (b) En ddduire la suite exacte de eohomologie

.....

H'(G,A) ~

H'(H,A) -----* Cot n , (G,A~) ~

H'+I(G,A)

,... ,

et montrer que, si x e Hi(G, Ae), on a 5(x) = e . x (cup-produit), oh e est un ~ldment de H i ( G , Ze) que l'on explicitera. (c) Application au cas off 2. A = 0, d'ofi A~ = A. [Ceci est l'analogue profini de la suite exacte de Thom-Gysin pour les rev~tements de degr~ 2, un tel rev~tement ~tant identifi~ h u n fibrd en spheres de dimension 0.]

2.6.

Compl6ments

O n laisse a u lecteur le soin de t r a i t e r les p o i n t s s u i v a n t s (qui s e r o n t utilis~s d a n s la suite): a) Cup produits Propri~t~s v~ri~es, n o t a m m e n t p a r r a p p o r t a u x suites exactes. F o r m u l a i r e : R e s ( x . y) = Res(x) • R e s ( y ) Cor(x. Res(y)) = Cor(x) .y .

2.6. Compl4ments b) Suite

spectrale des

13

extensions de groupes

Si H est u n sous-groupe distinguG ferm~ de G, et si A E CG, le g r o u p e G / H op~re de fa~on n a t u r e l l e sur les H q ( H , A), et ces o p e r a t i o n s sont continues. O n a u n e suite spectrale:

H P ( G / H , H q ( H , A)) ==, H n ( G , A ) . E n basses d i m e n s i o n s , cela d o n n e la suite exacte

0 - - , H a ( G / H , A H)

~HI(G,A)

--~ HI(H,A)G/"

. , H 2 ( G / H , A H)

, H2(G,A) .

Exercices (relations entre cohomologie des groupes discrets et des groupes profinis). 1) Soit G u n groupe discret, et soit G ~-* K un homomorphisme de G dans un groupe profini K. On suppose que l'image de G est dense dans K. Pour tout M E CK, on a des homomorphismes

Hq(K,M)-----* H q ( G , M ) ,

q>_O.

On se bornera ~ la sous-catdgorie C~: de CK form6e des M finis. (a) Montrer l'6quivalence des quatre propri6t~s suivantes:

A,~. Hq(K, M ) ---* Hq(G, M ) est bijecti] pour q < n e t injecti] pour q = n + 1 (quel que soit M E C~).

B,~. Hq(K, M ) -~ Hq(G, M) est suvjectif pour tout q n et tout G-module discret A qui est un groupe de torsion p-primaire. (iii) On a Hn+I(G, A) = 0 lorsque A est un G-module discret simple annuld par p. Soit A un G-module de torsion, et soit A = ( ~ A(p) sa d~composition canonique en composantes p-primaires. On volt facilement que Hq(G, A(p)) s'identifie la composante p-primaire de Ha(G, A). L'~quivalence de (i) et (ii) en r~sulte. L'implication (ii) =~ (iii) est triviale. D'autre part, si (iii) est v~rifi~, un argument de d~vissage imm~diat montre que H n + I ( G , A) = 0 lorsque A est fini, et annul~ par une puissance de p; par limite inductive (cf. prop. 8, cot. 2) le m~me r~sultat s'dtend ~ t o u t G-module discret A qui est un groupe de torsion p-primaire. On en d~duit (ii) en raisonnant par r~currence sur q: on plonge A dans le module induit M e ( A ) , et on applique rhypoth~se de r~currence ~ M c ( A ) / A , qui est encore un module de torsion p-primaire. P r o p o s i t i o n 12. Supposons que cdp(G) n. La suite exacte 0 fournit la suite exacte

~Ap---~A

P,A

,0

16

§ 3. Dimension cohomologique

Hq(G, Av) ~

Hq(G,A) v

Hq(G,A ) .

Pour q > n, on a Ha(G, Av) = 0 par hypoth6se. La multiplication par p e s t donc injective dans Hq(G, A), ce qui signifie bien que la composante p-primaire de ce groupe est r~duite h 0. C o r o l l a i r e . Si cd(G) n.

3.2. D i m e n s i o n cohomologique stricte Gardons les m6mes hypotheses et notations que ci-dessus. La p-dimension cohomologique stricte de G, not6e scdv(G), est la borne inf~rieure des entiers n tels que: (**) Pour tout A E CG, on a Hq(G,A)(p) = 0 pour q > n. [C'est la m~me condition que (*), ~ cela pros qu'on ne suppose plus que A soit un module de torsion.] On pose encore scd(G) = supscdv(G); c'est la dimension cohomologique stricte de G. P r o p o s i t i o n 13. scdp(G) est dgal d cdv(G ) ou d cdv(G ) + 1. II est clair que scdv(G ) _> cdv(G ). I1 faut donc prouver que scdv(G ) < cdv(G ) + 1 . Soit A E Co, et formons la d6composition canonique du morphisme p : A --* A. Elle consiste en deux suites exactes: 0

,N

,A

~ I ---~0,

0

, I

~A

~Q - - ~ 0

,

avec N = Ap, I = pA, Q = A/pA, le compos~ A --* I --* A 6tant la multiplication par p. Soit q > cdv(G ) + 1. Comme N e t Q sont des groupes de torsion p-primaires, on a Hq(G, N) = Hq-I(G,Q) = O. Il en r6sulte que

Hq(G,A) ---* Hq(G,I)

et

Hq(G,I) ~

Hq(G,A)

sont injectifs. La multiplication par p dans Ha(G, A) est donc injective, ce qui signifie que Ha(G, A)(p) = O, et d6montre que scdv(G ) < cdv(G ) + 1, cqfd.

Exemples. 1) Prenons G = Z. On a cdq(G) = 1 pour tout p (c'est imm~diat, cf. par exemple [145], p. 197, prop. 2). D'autre part, H2(G, Z) est isomorphe H i ( G , Q / Z ) = Q / Z , d'ofi scdv(G ) = 2.

3.3. Dimension cohomologique des sous-groupes et des extensions

17

2) Soit p ~ 2, et soit G le groupe des transformations affines x ~-~ ax + b, avec b E Zp, et a E Up (groupe des unit6s de Zp). On peut montrer que cdp(G) = scdp(G) = 2 [utiliser la prop. 19 d u n ° 3.5]. 3) Soit / un nombre premier, et soit Ge le groupe de Galois de la cl5ture alg~brique Qt du corps e-adique Ql. Tate a montr~ que l'on a cdp(Gt) = scdp(Ge) = 2 pour tout p, cf. chap. II, n ° 5.3.

Exercice. Montrer que scdp(G) ne peut pas ~tre ~gal h 1.

3.3. Dimension

cohomologique

des sous-groupes

et des

extensions Proposition

14. Soit H u n sous-groupe fermd d'un groupe profini G. On a cdp(H) _< cdp(G) scdp(H) < scdp(G)

avec dgalitd dans chacun des cas suivants: (i) (G : H) est premier d p. (ii) H est ouvert darts G, et cdp(G) < +oo. On ne s'occupera que de cdp, le raisonnement ~tant analogue pour scdp. Si A est un H - m o d u l e discret de torsion, M n (A) est un G-module discret de torsion et Hq (G, MH ( A ) ) = Hq (n , A ), d'oh ~videmment l'in~galit~ cdp(H) < cdp(G) . L'in~galit~ en sens inverse r~sulte, dans le cas (i), du fait que Res est injectif sur les composantes p-primaires (corollaire h la proposition 9). Dans le cas (ii), posons n = cdp(G), et soit A un G-module discret de torsion tel que Hn(G,A)(p) ~ O. On va voir que Hn(H,A)(p) ~ O, ce qui montrera bien que cdp(H) = n. Pour cela, il suffit de prouver le lemme suivant: L e m m e 4. L 'homomorphisme Cor : Hn(H, A) ~ Hn(G, A) est surjectif sur les

composantes p-primaires. En effet, soit A* = M ~ ( A ) , et soit 7r : A* --* A l'homomorphisme d~fini au n ° 2.5, b). Cet homomorphisme est surjectif, et son noyau B e s t de torsion. On a donc Hn+I(G, B)(p) = 0, ce qui montre que

H'~(G, A*)

, H'~(G, A)

est surjectif sur les composantes p-primaires. C o m m e cet homomorphisme s'identifie h la corestriction (cf. n ° 2.5), le lemme en r~sulte. C o r o l l a i r e 1. Si Gp est un p-groupe de Sylow de G, on a cdp(G) = cdp(Gp) = cd(Gp)

et

scdp(G) = scdp(Gp) = scd(Gp) .

18

§ 3. Dimension cohomologique C'est 6vident.

C o r o l l a i r e 2. Pour que cdp(G) = 0 il est ndcessaire et su~isant que l'ordre de G soit premier d p. C'est 6videmment suffisant. Pour montrer que c'est n~cessaire, on peut supposer que G est un pro-p-groupe (cf. cot. 1). Si G ~ {1}, il existe un homomorphisme continu de G sur Z / p Z , d'apr6s une propri6t6 616mentaire des p-groupes (cf. par exemple [145], p. 146). On a alors H i ( G , Z / p Z ) ¢ 0, d'ofi cdp(G) > 1. C o r o l l a i r e 3. Si cdp(G) ~ 0,co, l'exposant de p dans l'ordre de G est infini. Ici encore, on peut supposer que G est un pro-p-groupe. Si G 6tait fini, la partie (ii) de la proposition montrerait que cdp(G) = cdp({1}) = 0, contrairement l'hypoth~se. Donc G est infini. C o r o l l a i r e 4. Supposons que cdp(G) = n soit fini. Pour que scdp(G) = n, il faut et il suI]it que la condition suivante soit vdrifide: Pour tout sous-groupe ouvert H de G, on a H n + I ( H , Z)(p) = 0. La condition est ~videmment n6cessaire. Inversement, si elle est v6rifi6e, on a H n + t ( G , A ) ( p ) = 0 pour tout G-module discret A qui est isomorphe $ u n MH c [xz m'~j, avec m > 0. Mais tout G-module discret B de type fini sur Z e s t isomorphe ~ un quotient A / C d'un tel A (prendre pour H un sous-groupe ouvert distingu~ de G operant trivialement sur B). C o m m e Hn+2(G, C)(p) est nul, on en d~duit que H n + I ( G , B)(p) = 0, et par passage ~ la limite ce r~sultat s'~tend tout G-module discret, cqfd. La prop. 14 admet le compl~ment suivant:

Proposition 14'. Si G est sans p-torsion, et si H est un sous-groupe ouvert de G, on

a

cdp(G) = cdp(H)

et

scdp(G) = scdp(H) .

Vu la prop. 14, tout revient k montrer que cdp(H) < cx) entraSne cdp(G) < oo; voir l~-dessus [149], ainsi que [151], p. 98, et Haran [66]. P r o p o s i t i o n 15. Soit H un sous-groupe distingud fermd d'un groupe profini G. On a l'indgalitd: c@(G) < cd~(H) + c d p ( G / H ) . On utilise la suite spectrale des extensions de groupes:

E~2J = H i ( G / H , H i ( H , A)) ==~ H n ( G , A) . Soit donc A un G-module discret de torsion, et prenons n > cdp(H) + c d p ( G / H ) . Si i + j = n, on a, soit i > cdp(G/H), soit j > c @ ( H ) , et la composante p-primaire de E~ 'j est nulle dans les deux cas. D'ofi la nullit~ de la composante p-primaire de Hn(G, A), cqfd.

3.4. Caract~risation des groupes profinis G tels que cdv(G ) < 1

19

Remarque. Supposons que n = c @ ( H ) et m = c d p ( G / H ) soient finis. La suite spectrale fournit alors un isomorphisme canonique: Hn+m(G, A)(p) = H m ( G / H , H n ( H , A))(p) . Cet isomorphisme p e r m e t de donner des conditions pour que cdp(G ) soit dgal c d p ( H ) + c d p ( G / H ) , cf. n ° 4.1. Exercices. 1) Montrer que, dans l'assertion (ii) de la prop. 14, on peut remplacer l'hypoth~se "H est ouvert dans G" par la suivante "l'exposant de p dans (G : H) est fini". 2) Les notations 6tant celles de la proposition 15, on suppose que l'exposant de p dans (G : H) n'est pas nul (i.e. cdv(G/H ) ~ 0). Montrer que l'on a l'in6galit6 scdp(G) < cdp(H) + scdv(G/H ). 3) Soit n un entier. On suppose que, pour tout sous-groupe ouvert H de G, les composantes p-primaires de H'~+I(H, Z) et Hn+2(H, Z) sont nulles. Montrer que scdv(G ) < n . [Si Gp est un p-groupe de Sylow de G, on montrera que Hn+I(Gp,Z/pZ) = 0, et on appliquera la prop. 21 du n ° 4.1 pour prouver que cdp(G) _< n.]

3 . 4 . Caract~risation des groupes profinis G tels que cdp(G) _~ 1 Soit 1 --* P --~ E ~ W -~ 1 une extension de groupes profinis. Nous dirons q u ' u n g r o u p e profini G poss~de la propridtd de rel~vement pour l'extension pr6c6dente si t o u t morphisme f : G --* W se relive en un morphisme f ' : G -* E (i.e. s'il existe fr tel que f = u o f ' ) . Cela ~quivaut ~ dire que l'extension 1

,P

,El

,G

~1,

image r6ciproque de E par f , est scindde (i.e. a d m e t une section continue G --* E I qui est un homomorphisme). P r o p o s i t i o n 16. Soit G u n groupe profini et soit p un nombre premier. Les propridtds suivantes sont dquivalentes: (i) cd~(G) < 1. (ii) Le groupe G poss~de la propridtd de rel~vement pour les extensions 1 --* P ~ E --* W --~ 1 o~ E est fini, et o~ P e s t un p-groupe abdlien annuld par p. (ii bis) Toute extension de G par un p-groupe abdlien fini annuld par p est scindde. (iii) Le groupe G poss~de la propridtd de reI~vement pour les extensions 1 ---* P --~ E -* W --* 1 o~ P est un pro-p-groupe. (iii bis) Toute extension de G par un pro-p-groupe est scindde. (Il s'agit, bien entendu, d'extensions dans la cat~gorie des groupes profinis.)

20

§ 3. Dimension cohomologique

I1 est clair que (iii) ¢~ (iii bis) et que (ii bis) ~ (ii) =~ (ii bis), consid~rons une extension 1

,P

,Eo

(ii). Pour prouver que

,G---~I

de G par un p-groupe ab~lien fini P annul~ par p. Choisissons un sous-groupe ouvert normal H de E0 tel que H N P = 1; la projection Eo --~ G identifie H un sous-groupe ouvert normal de G. Posons E = E o / H et W = G / H . On a une suite exacte 1 ---~ P ,E ,W ,1. D'apr~s (ii), le morphisme G -* W se relive ~ E. C o m m e le carr~ E0

, G

E

,W

est cart~sien, on en d~duit que G se relive dans E0, i.e. que Eo est scind~e. D'oh (ii bis). La correspondence entre ~l~ments de H2(G, A) et classes d'extensions de G par A (cf. n ° 2.3) montre que (i) ¢~ (ii bis). On a (iii bis) ~ (ii bis) trivialement. Reste donc ~ montrer que (ii bis) entraine (iii bis). On s'appuie pour cela sur le lemme suivant: L e m m e 5. Soit H un sous-groupe ]erred distingud d'un groupe profini E, et soit H ~ un sous-groupe ouvert de H. Il existe alors un sous-groupe ouvert H " de H, contenu dens H ~, et distingud dens E. Soit N le normalisateur de H ~ dans E, c'est-~-dire l'ensemble des x E E tels que x H t x -1 = H ~. C o m m e x H t x -1 est contenu dans H , on voit que N e s t l'ensemble des dl~ments qui appliquent un compact (~ savoir H ~) dens un ouvert (~ savoir H ' , considdr~ comme sous-espace de H ) . I1 s'ensuit que N e s t ouvert, donc que les conjugu~s de H ~ sont en nombre fini. Leur intersection H n r~pond aux condition pos~es. Revenons maintenant & la d~monstration de (ii bis) ~ (iii bis). Soit 1 --* P -~ E --* G --* 1 une extension de G par un pro-p-groupe P. Soit X l'ensemble des couples (P~, s), oh P~ est ferm~ darts P e t distingu~ dens E, et oh s est un rel~vement de G dens l'extension 1

, P/P'

, E/P'

, G ---, 1 . !

!

C o m m e au n ° 1.2, on ordonne Z en convenant que (P{, Sl) > (P~, s~) si P~ C P~ et si s2 est le compos~ de Sl evec la projection E / P { -~ E/P~. L'ensemble X est inductif. Soit (P~, s) un dldment maximal de X; tout revient ~ montrer que l'on aPl=l. Soit E~ l'image r~ciproque de s(G) dens E. On a une suite exacte 1

,pI

,E8

,G---~I.

3.4. Caxact~risation des groupes profinis G tels que cd~(G) ~ 1

21

Si P ' ¢ 1, le l e m m e 5 m o n t r e qu'il existe un s o u s - g r o u p e o u v e r t P ~ de PC, d i s t i n c t de P~, e t distingud d a n s E . P a r d6vissage ( P ~ / P ~ ~tant un p - g r o u p e ) , on p e u t s u p p o s e r que P ~ / P ~ est ab~lien et annul~ p a r p. Vu (ii bis), l ' e x t e n s i o n

1 -----. P ~ / P ~ ---* E ~ / P ~

, G

, 1

est scind~e. D'ofl un rel~vement de G d a n s E s / P ~ et a fortiori d a n s E / P '~. Ceci c o n t r e d i t le c a r a c t ~ r e m a x i m a l de (P~, s). O n a d o n e b i e n P~ = 1, ce qui ach~ve la d ~ m o n s t r a t i o n . Corollaire.

Un pro-p-groupe libre F ( I ) est de dimension cohomologique < 1.

V~rifions p a r e x e m p l e la propri~t~ (iii bis). Soit E / P = G une e x t e n s i o n de G = F ( I ) p a r u n p r o - p - g r o u p e P , et soient x~ les g~n~rateurs c a n o n i q u e s de F ( I ) . Soit u : G --* E une section continue p a s s a n t p a r l'~l~ment n e u t r e (cf. prop. 1), et soient ei -- s(xi). P u i s q u e les xi t e n d e n t vers 1, il en est de m ~ m e des e,, et la prop. 5 m o n t r e qu'il existe un m o r p h i s m e s : G --* E t e l que s ( x i ) = ei. L ' e x t e n s i o n E est donc scind~e, cqfd.

Exercices. 1) Soit G u n groupe et soit p un nombre premier. Consid~rons la propri~t~ suivante: (.p). Pour toute extension 1 --* P --* E --* W --* 1, oh E est fini et oh P e s t un p-groupe, et pour tout morphisme surjecti/ f : G --* W , il existe un morphisme surjectif ff : G ~ E qui relive f. (a) Montrer que cette propri~t~ ~quivaut ~ la conjonction des deux suivantes: (lp). cdp(G) _< 1. (2p). Pour tout sous-groupe ouvert distingu~ U de G, et tout entier N >_ 0, il existe z l , . . . , Z N E H I ( U , Z / p Z ) tels que les ~l~ments s(z~) (s E G/U, 1 < i < N ) soient lin~airement ind~pendants sur Z / p Z . [On commencera par montrer qu'il suffit d'exprimer (*p) dans les deux cas suivants: (i) tout sous-groupe de E se projetant sur W est ~gal ~ E; (ii) E est produit semi-direct de W par P , et P e s t un p-groupe ab~lien annul~ par p. Le cas (i) ~quivaut ~ (lp) et le cas (ii) ~ (2p).] (b) Montrer que, pour v~rifier (2p), il suffit de consid~rer les sous-groupes U assez petits (i.e. contenus dans un sous-groupe ouvert fix~). 2) (a) Soient G et G J deux groupes profinis v~rifiant (,p) pour tout p. On suppose qu'il existe une base (Gn) (resp. (G'n)) de voisinages de l'414ment neutre dans G (resp. G ~) form6e de sous-groupes ouverts distingu6s tels que G/G,~ (resp. G~/G~) soit r6soluble pour tout n. Montrer que G e t G' sont isomorphes. [On construira pax r6currence s u r n deux suites d6croissantes (Hn), ( H i ) , avec Hn C G~, H i C G~, Hn et H i ouverts distingu~s dans G e t G ~, et une suite coh6rente (f,~) d'isomorphismes G / H~ -~ G' / H~.] (b) Soit L l e groupe libre (non ab61ien) engendr6 par une famille d6nombrable d'616ments (xi); soit Lr.s = ~ L / N , pour N distingu~ dans L, contenant presque t o u s l e s xl, et tel que L / N soit r~soluble et fini. Montrer que Lres est un groupe pror6soluble (i.e. limite projective de groupes r6solubles finis) m6trisable qui v~rifie (,p) pour tout p; montrer, en utilisant (a), que tout groupe profini v6rifiant ces propri6t6s est isomorphe ~ L .... [Cf. Iwasawa, [751.1 3) Soient G u n groupe fini, S u n p-groupe de Sylow de G, et N le normalisateur de S dans G. On suppose que S a la "propridtd d'intersection triviale", i.e. S ~ g S g - ~ = 1 si g q~ N.

22

§ 3. Dimension eohomologique (a) Si A est un G-module fini p-primaire, montrer que l'applieation Res: H~(G, A) ~

Hi(N, A) = Hi(S, A) N/s

e.st un isomorphisme pour tout i > 0. [Utiliser la caract@risation de l'image de Res donn@e dans [25], Chap. XII, th. 10.1.] (b) Soit 1 --* P --~ E --* G --* 1 une extension de G par un pro-p-groupe P. Montrer que tout rel~vement de N dans E se prolonge en un rel~vement de G. [Se ramener au cas off P est commutatif fmi, et utiliser (a) avec i -- 1, 2.] 4) Donner un exemple d'extension 1 --* P --* E --* G --, 1 de groupes profinis aymat les propri@t6s suivantes: (i) P est un pro-p-groupe. (ii) G est fini. (iii) Un p-groupe de Sylow de G se relive dams E. (iv) G ne se relive pas dans E [Pour p > 5, on peut prendre G = SL2(Fp), E = SL2(Zp[w]), off w e s t une racine primitive p-i~me de l'unit@.]

3.5. M o d u l e dualisant Soit G u n groupe profini. Nous noterons C~ (resp. C~) la cat@gorie des Gmodules discrets A qui sont des groupes finis (resp. des groupes de torsion). La cat@gorie C 0 s'identifie ~ la cat@gorie lin~ C/c des limites inductives d'objets de C/a. On d@signera par (Ab) la cat@gorie des groupes ab61iens. Si M E (Ab) on posera M* = H o m ( M , Q / Z ) , et on munira ce groupe de la topologie de la convergence simple ( Q / Z 6tant consid@r@ comme discret). Lorsque M est un groupe de torsion (resp. un groupe fini), son dual M* est profini (resp. fini). On obtient ainsi (cf. n ° 1.1, exemple 4) une @quivalence ("dualit@ de Pontrjagin") entre la cat@gorie des groupes ab@liens de torsion et la cat6gorie oppos6e g celle des groupes profinis commutatifs. P r o p o s i t i o n 17. Soit n u n entier > O. Faisons les hypotheses suivantes: (a) cd(G) 1. Pour que scdp(G) = n + 1, il faut et il suJ:fit

qu'il existe un sous-groupe ouvert H de G tel que I H contienne un sous-groupe isomorphe d Qp/Zlo. Dire que I H contient un sous-groupe isomorphe ~ Q p / Z p 6quivaut k dire que H o m g ( Q p / Z p , I) ¢ 0, ou encore que H'~(H, Qp/Zp) ¢ 0. Mais Hn(H, Qp/Zp) est la composante p-primaire de Hn(H, Q / Z ) , lui-m~me isomorphe ~ H n+l (H, Z) (utiliser la suite exacte habituelle

0

,z

,Q--~Q/Z---,0

ainsi que l'hypoth~se n >_ 1). La proposition r~sulte donc du cor. 4 ~ la prop. 14.

Exemples. 1) Prenons G = 7,, n = 1. Soit A E C 0, et notons a l'automorphisme de A d6fini par le g6n6rateur canonique de G. On v6rifie facilement (cf. [145], p. 197) que Hi(G, A) s'identifie ~ AG = A / ( a - 1)A. On en conclut que le module dualisant de G est le module Q / Z , avec op6rateurs triviaux. On retrouve en particulier le fait que scdp(G) = 2 pour tout p. 2) Soit Q t la clSture alg~brique du corps i-adique Ql, et soit G le groupe de Galois de Q t sur Ql- On a cd(G) = 2, et le module dualisant correspondant est le groupe ~ de toutes les racines de l'unit6 (chap. II, n ° 5.2). La proposition pr6c~dente redonne le fait que scdp(G) = 2 pour tout p, cf. chap. II, n ° 5.3.

§ 4. Cohomologie des pro-p-groupes

4.1. Modules

simples

P r o p o s i t i o n 20. Soit G un pro-p-groupe. Tout G-module discret annuld par p et simple est isomorphe h Z / p Z (avec op6rateurs triviaux). Soit A un tel module. I1 est clair que A est fini, et on peut le consid~rer comme un G / U - m o d u l e , off U est un sous-groupe ouvert distingu6 convenable de G. On est ainsi ramend au cas oh G est un p-groupe (fini), cas qui est bien connu (cf. par exemple [145], p. 146). C o r o l l a i r e . Tout G-module discret fini et p-primaire admet une suite de composition dont les quotients successifs sont isomorphes d Z/pZ. C'est ~vident. P r o p o s i t i o n 21. Soient G un pro-p-groupe et n u n entier. Pour que cd(G) _~ n, il ]aut et il sui~it que Hn+I(G, Z / p Z ) -- 0. Cela r6sulte des prop. 11 et 20. C o r o l l a i r e . Supposons que cd(G) soit dgal h n. Si A est un G-module discret fini, p-primaire, et non nul, on a H n ( G , A) ~ O. En effet, d'apr~s le corollaire ~ la prop. 20, il existe un homomorphisme surjectif A --* Z / p Z . Comme cd(G) _< n, l'homomorphisme correspondant: H'~(G, A) ----* H n ( V , Z / p Z )

est surjectif. Mais la prop. 21 montre que H n ( G , Z / p Z ) ~ 0. D'ofi le r~sultat. La proposition suivante pr6cise la prop. 15: P r o p o s i t i o n 22. Soient G u n groupe profini et H un sous-groupe ]ermg distingud de G. On suppose que n = cdp(H) et m = c d p ( G / H ) sont finis. On a l'ggalitd cdp(G) = n + m dans chacun des deux cas suivants: (i) H est un pro-p-groupe et H n ( H , Z/pZ) est fini. (ii) H est contenu dans le centre de G.

26

§ 4. Cohomologie des pro-p-groupes

Soit ( G / H ) ~ un p - g r o u p e de Sylow de G / H , et soit G' son i m a g e r~ciproque d a n s G. O n sait que c d p ( G ~) < c d p ( G ) < n + m , et que cdp(G~/H) = m. Il suffira d o n c de p r o u v e r que c d p ( G ~) = n + m , en d ' a u t r e s t e r m e s on peut supposer que G / H est un pro-p-groupe. O n a d ' a u t r e p a r t (cf. n ° 3.3):

Hn+m(G, Z / p Z ) = H m ( G / H , H'~(H, Z / p Z ) ) . D a n s le cas (i), Hn(H, Z / p Z ) est fini et non nul ( P r o p o s i t i o n 21). I1 s ' e n s u i t que H m ( G / H , H'~(H, Z / p Z ) ) est non nul (cor. k la prop. 21), d'ofi H'~+'~(G, Z / p Z ) 0 et c d p ( G ) = n + m. D a n s le cas (ii), le g r o u p e H est ab61ien, donc p r o d u i t d i r e c t de ses sousg r o u p e s de Sylow H r . D ' a p r ~ s la prop. 21, on a Hn(Hp, Z / p Z ) ~ 0 et c o m m e H p est f a c t e u r d i r e c t d a n s H , il s ' e n s u i t que Hn(H, Z / p Z ) ¢ 0. D ' a u t r e p a r t , les o p e r a t i o n s de G / H s u r Hn(H, Z / p Z ) sont triviales. E n effet, d a n s le cas d ' u n Hq(H, A) quelconque, ces o p e r a t i o n s p r o v i e n n e n t de l ' a c t i o n de G sur H (par a u t o m o r p h i s m e s int~rieurs) et s u r A (cf. [145l, p. 124), et ici ces d e u x actions s o n t triviales. E n t a n t que G/H-module, Hn(H, Z / p Z ) est donc i s o m o r p h e u n e s o m m e d i r e c t e ( Z / p Z ) (I), l ' e n s e m b l e d ' i n d i c e s I ~ t a n t non vide. O n a donc:

Hn+m(G, Z / p Z ) = Hra(G/H, Z / p Z ) (I) ~ O, ce qui ach~ve la d ~ m o n s t r a t i o n c o m m e ci-dessus.

Exercice. Soit G un pro-p-groupe. On suppose que Hi(G, Z / p Z ) est de dimension finie n~ sur Z/pZ pour tout i, et que n~ = 0 pour i assez grand (i.e. cd(G) < -I-c~). On pose E(G) = ~ ( - 1 ) i n ~ ; c'est la caract~ristique d'Euler-Poincard de G. (a) Soit A un G-module discret, d'ordre fini pa. Montrer que les Hi(G, A) sont finis. Si p,~(A) d~signe leur ordre, on pose:

x(A) = Z ( - 1 ) ~ n ~ ( A ) • Montrer que x(A) = a . E(G). (b) Soit H u n sous-groupe ouvert de G. Montrer que H possL~ie les m~mes propri6t6s que G, et que l'on a E(H) = ( G : g ) . E(G). (c) Soit X / N = H une extension de G pax un pro-p-groupe N v6rifiant les m~mes propri6t6s. Montrer qu'il en est de m~me de X et que l'on a E(X) = E(N) • E(G). (d) Soit G1 un pro-p-groupe. On suppose qu'il existe un sous-groupe ouvert G de G1 v6rifiant les propri6t6s ci-dessus. On pose E(G1) = E(G)/(GI : G). Montrer que ce nombre (qui n'est plus n6cessairement entier) ne d6pend pas du choix de G1. G6n6raliser (b) et (c). Montrer que E(G1) ~ Z :=~ G1 contient un 616ment d'ordre p (utiliser la prop. 14t). (e) On suppose que G est un groupe de Lie p-adique de dimension ~ 1. Montrer, en utilisant les r6sultats de M. Lazaxd ([102], 2.5.7.1) que l'on a E(G) = O. (f) Soit G le pro-p-groupe d~fini par deux g~n~rateurs x, y e t pax la relation x n = 1. Soit H le noyau de l'homomorphisme f : G --* Z/pZ tel que .f(x) = 1, f(y) = O. Montrer que H est libre de base {xiyx-i}, 0 _< i p, appliquer l'hypoth~se de rdcurrence ~ la restriction de j: ~ G*.] (d) D~luire de (c) que tout sous-groupe d'indice ]ini de G est ouvert. [J'ignore si cette propridtd s'dtend ~ tousles groupes profinis G qui sont topologiquement de type fini.]

4.3. Interpr6tation de H2: relations Soit F u n pro-p-groupe, et soit R u n sous-groupe ferm6 distingud de F . Soient r l , . . . , r n E R. Nous dirons que les r~ engendrent R (comme sous-groupe distingu6 de F ) si les conjugu6s des ri engendrent (au sens alg6brique) un sousg r o u p e dense de R. I1 revient au m~me de dire que R e s t le plus petit sous-groupe ferm6 distingu6 de F contenant les ri. P r o p o s i t i o n 26. Pour que les ri engendrent R (comme sous-groupe distingu6 de F), il ]aut et il s u ~ t que tout dl~ment 7r E H i ( R ) F/n qui s'annule sur les ri

soit ggal h O. [On a H i ( R ) = Hom(R/R*, Z / p Z ) et le g r o u p e F I R op~re sur R/R* par a u t o m o r p h i s m e s int~rieurs. Il op~re donc sur H i ( R ) - c'est un cas particulier des r~sultats d u n ° 2.6.] Supposons que les conjugu~s g ri g - 1 des r~ engendrent un sous-groupe dense de R, et soit ~ un ~l~ment du g r o u p e H i ( R ) F/R tel que Ir(ri) = 0 pour t o u t i. Puisque ~ est invariant par F / R , on a ~ ( g x g -1) = ~r(x) pour g E F et x E R. O n en conclut que v s'annule sur les g r i g -1, donc sur R, d'ofi ~ -- 0. Inversement, supposons cette condition v~rifi~e, et soit R ' le plus petit sousg r o u p e ferm~ distingu~ de F contenant les ri. L'injection R ' --+ R d~finit un homomorphisme ]:Hi(R) -* H I ( R ' ) , d'ofi par restriction un h o m o m o r p h i s m e f : H i ( R ) F --* HI(RI) F. Si Ir E K e r ( f ) , ~ s'annule sur R I, donc sur les ri, et = 0 par hypoth~se. O n en conclut que K e r ( f ) ne contient a u c u n ~l~ment non nul invariant par F. Vu le corollaire g la prop. 20, ceci entraine K e r ( f ) = 0, et la prop. 23 m o n t r e que R ' --* R e s t surjectif, d'ofi R ' = R, cqfd. C o r o l l a i r e . Pour que R puisse ~tre engendrd par n dldments (comme sousg r o u p e distingu~ de F), il faut et il su]flt que

d i m H l ( R ) F/R < n . C ' e s t ~videmment n~cessaire. Inversement, si dim H l ( R ) F/R < n, la dualit~ existant entre H i ( R ) et R/R* m o n t r e qu'il existe n dl~ments ri E R tels que (r,, ~r) = 0 pour t o u t i entraine r -- 0. D'ofi le r~sultat cherch~.

Remarque. La dimension de H I (R) F/R sera appel~e le rang du sous-groupe distingud R.

4.3. Interpr6tation de H2: relations

31

On va appliquer ce qui pr6cbde au cas oil F est 6gal au pro-p-groupe libre F(n), et on posera G = F I R (le groupe G est donc d6crit "par g6n6rateurs et relations").

Proposition 27.

Les deux conditions suivantes sont dquivalentes: (a) Le sous-groupe t t est de rang fini (comme sous-groupe distingu6 de F ( n ) ). (b) H2(G) est de dimension finie. Si ces conditions sont vdrifides, on a l'dgalitd: r=n-hl

+h2 ,

o~ r e s t le rang du sous-groupe distingud R, et hi = dimH~(G). (Noter que hi est le rang du groupe G.)

On applique la suite exacte d u n ° 2.6, en tenant compte de H 2 ( F ( n ) ) = O. On trouve: 0

, Hi(G)

) H i ( f (n))

, H i ( R ) G ~ , H2(G)

~0 .

Cette suite exacte montre que H i ( R ) G e t H2(G) sont simultan6ment finis ou infinis, d'oh la premiere partie de la proposition. La deuxi~me pattie r6sulte aussi de cette suite exacte (former la somme altern6e des dimensions). C o r o l l a i r e . Soit G u n pro-p-groupe tel que H I ( G ) et H2(G) soient f n i s . Soit Xl, . . . , xn un systdme minimal de gdndrateurs de G. Le nombre r des relations entre les xi est alors dgal d la dimension de H2(G). [Les xi d~finissent un morphisme surjectif F ( n ) --~ G, de noyau R, et le rang de R (comme sous-groupe distingue) est par d~finition, le "nombre des relations entre les xi" .] En effet, l'hypoth~se suivant laquelle les xi forment un syst~me minimal de g~n6rateurs 6quivaut ~ dire que n = dim H I (G), cf. corollaire ~ la prop. 25. La proposition montre que r = h2, cqfd. Remarque. La d6monstration de la prop. 27 utilise de fa~on essentielle l'homomorphisme 5 : H i ( R ) G --~ H2(G), d~fini au moyen de la suite spectrale, i.e. par "transgression". On peut en donner une d~finition plus 616mentaire (cf. HochschildSerre [72]): on part de l'extension 1

~ R/R*

+ F/R*

~ G ----+ 1 ,

noyau ab61ien R / R * . Si r : R / R * --~ Z / p Z est un ~l~ment de H * ( R ) G, ~ transforme cette extension en une extension E~ de G par Z / p Z . La classe de E~ dans H2(G) est alors 6gale £ - 5 ( ~ ) . En particulier, sous les hypotheses du corollaire, on obtient une d6finition directe de l'isomorphisme 5: H i ( R ) c

, H2(G) .

32

§ 4. Cohomologie des pro-p-groupes

4.4. Un th~or~me

de Safarevi~

Soit G un p-groupe fini. Soit n(G) le nombre minimum de g~n~rateurs de G, et r(G) le nombre de relations entre ces g~n~rateurs (dans le pro-p-groupe libre correspondant). On vient de voir que n(G) = dim H i ( G ) et r(G) -- dim H2(G). [On pourrait aussi faire intervenir le nombre minimum R(G) de relations d~finissant G comme groupe discret. II est trivial que R(G) >_ r(G), mais je ne vois aucune raison (pas plus en 1994 qu'en 1964) pour qu'il y ait toujours ~galit~.] P r o p o s i t i o n 28. Pour tout p-groupe fini G, on a r(G) >_ n(G). La diffdrence r ( a ) - n ( a ) est gale au rang du grou g 3 ( a , Z). La suite exacte 0 --* Z --* Z --* Z / p Z --* 0 fournit la suite exacte de cohomologie: 0 ----* H i ( G )

, H2(G, Z) P, H2(G, Z) ----* H2(G)

) H3(G, Z)p ---* 0 ,

off H3(G, Z)p d~signe le sous-groupe de H3(G, Z) form4 des 414ments annul4s par p. Comme G est fini, tous ces groupes sont finis, et en faisant le produit altern4 de leurs ordres, on trouve 1. Ceci donne l'4galit4: r(a) = n(a) - t ,

avect=dimHa(a,z)p.

I1 est clair que t e s t aussi le nombre de facteurs cycliques de H3(G, Z), i.e. le rang de ce groupe, d'oh la proposition. Le r~sultat ci-dessus conduit ~ se poser la question suivante: la difference r(G) - n(G) peut-elle ~tre petite? Par exemple, peut-on avoir r(G) - n(G) = 0 pour de grandes valeurs de n(G)? [Dans les seuls exemples connus, on a n(G) = O, 1, 2 ou 3, cf. exerc. 2. I1 n'en est rien. Dans [135], en 1962, Safarevid fait la conjecture suivante: (*) - La diffdrence r(G) - n(G) tend vers l'infini avec n(G). Peu de temps apr~s, Golod et Safarevi6 [56] ont d4montr4 cette conjecture. Plus pr4cis4ment (voir Annexe 3): T h 4 o r ~ m e 1. Si G est un pro-p-groupe fini ~ 1, on a r(G) > n(G)2/4. (L'in4galit4 prouv4e dans [56] est 14g~rement moins bonne. Celle donn4e cidessus est due ~ Gaschiitz et Vinberg, cf. [27], Chap. IX.) La raison pour laquelle Safarevi6 s'int4ressait ~ cette question ~tait: T h 4 o r ~ m e 2 (cf. [135], [136]). Si la conjecture (*) est vraie (ce qui est le cas), le probl~me classique des "tours de corps de classes" admet une rdponse ndgative, i.e. il existe des "tours" infinies. De faqon plus pr4cise: T h 4 o r ~ m e 2'. Pour tout p, il existe un corps de nombres k, et une extension galoisienne infinie L / k qui est non ramifide et dont le groupe de Galois est un pro-p-groupe.

4.4. Un th~or~me de Safarevi~

33

En particulier: C o r o l l a i r e 1. Il existe un corps de nombres k tel que route extension finie de k air un nombre de classes divisible par p.

C o r o l l a i r e 2. Il existe une suite croissante de corps de nombres ki, de degrds ni --* oo et de discriminants Di, tels que IDa[1/n~ soit inddpendant de i.

La d~monstration du th. 2' s'appuie sur le r~sultat suivant: P r o p o s i t i o n 29. Soit K / k une extension galoisienne non ram(fide d'un corps de hombres k, dont le groupe de Galois G est un p-groupe fini. On suppose que K n'a aucune extension cyclique non rami]ide de degrd p. On note rl (resp. r2) le hombre de conjuguds rdels (resp. complexes) de k. On a alors: r(G) -


1, et soit G u n pro-p-groupe. Nous dirons que G est un groupe de Poincard de dimension n si G v~rifie les conditions suivantes: (i) Hi(G) = Hi(G, Z / p Z ) est fini pour tout i. (ii) d i m H n ( G ) = 1. (iii) Le cup-produit

H'(G) × H~-~(G) ---* H~(G) ,

i > 0 quelconque,

est une forme bilindaire non d6gdn6rde. O n peut exprimer plus bri~vement ces conditions en disant que l'alg~bre

H*(G) est de dimension finie, et v~rifie la dualit4 de Poincar4. Noter que la condition (iii) entraine que Hi(G) = 0 pour i > n. O n a donc cd(G) = n. Exemples. 1) Le seul groupe de Poincar4 de dimension 1 est Zp (~ isomorphisme pros). 2) Un g r o u p e de Poincar4 de dimension 2 est appel4 un groupe de Demugkin (cf. [147]). P o u r un tel groupe, on a d i m H 2 ( G ) = 1, ce qui m o n t r e (cf. n ° 4.3) que G peut 8tre d4fini par une seule relation

R ( x l , . . . , Xd) = 1 ,

off

d = r a n g ( G ) = dim H I ( G ) .

Cette relation n'est d'ailleurs pas quelconque. O n peut la mettre sous forme canonique, cf. Demu~kin [43], [44], [45] ainsi que L a b u t e [92]. Par exemple, si p # 2, on p e u t prendre: R=x

ph

1 (xl,x2)(x3,z4)'"(x2m-I,Z2m),

m=ldimH

I(G), h = l , 2 , . . . , o o ,

ph

en c o n v e n a n t que x 1 = 1 si h = oo. 3) M. L a z a r d [102] a montr4 que, si G est un groupe analytique p-adique de dimension n, c o m p a c t et sans torsion, alors G est un g r o u p e de Poincar4 de dimension n. Cela fournit une bonne provision de tels groupes ( a u t a n t - et m~me plus - que d'alg~bres de Lie de dimension n sur Qp).

36

§ 4. Cohomologie des pro-p-groupes

Si G est un groupe de Poincar~ de dimension n, la condition (i), jointe au corollaire ~ la prop. 20, montre que les H i ( G , A) sont finis, pour tout A fini. C o m m e d ' a u t r e part, on a cd(G) = n, le module dualisant I de G est d~fini (cf. n ° 3.5). On va voir qu'il fournit une vraie "dualit~ de Poincar~": P r o p o s i t i o n 30. Soit G un pro-p-groupe de Poincard de dimension n, et soit I son module dualisant. Alors: (a) I e s t isomorphe d Q p / Z p comme groupe abdlien. (b) L'homomorphisme canonique i : H n ( G , I) -* Q / Z est un isomorphisme de H n ( G , I) sur Q p / Z p (identifid h u n sous-groupe de Q / Z ) . (c) Pour tout A E CIG et tout entier i, le cup-produit

Hi(G,A) x

Hn-i(a,A)

, Hn(G,I) = Qn/Zp

met en dualitd les deux groupes finis Hi(G, A) et H n - i ( G , A).

[On note CG / la cat4gorie des G-modules discrets finis qui sont p-primaires. Si A est un G-module, on pose A = Horn(A, I ) , cf. n ° 3.5.] La d4monstration se fait en plusieurs 4tapes: (1) - Dualit4 lorsque A est annuld par p. C'est alors un Z / p Z - e s p a c e vectoriel. Son dual sera not4 A* (on verra plus tard qu'il s'identifie £ .4). Le cup-produit d4finit pour tout i une forme bilin4aire H i ( G , A ) x H " - i ( G , A *)

~Hn(G) = Z / p Z .

Cette forme est non ddgdndrde. En effet, c'est vrai lorsque A = Z / p Z par d~finition m~me des groupes de Poincar~. Vu le corollaire ~ la prop. 20, il suffit donc de montrer que, si l'on a une suite exacte 0 -~ B --* A --* C --* 0, et si notre assertion est vraie pour B et pour C, elle est vraie pour A. Cela r~sulte d'un petit diagramme de t y p e standard. Plus pr~cis~ment, la forme bilin6aire ~crite ci-dessus ~quivaut ~ la donn~e d ' u n homomorphisme ai : H i ( G , A)

, H n - i ( G , A*)* ,

et dire qu'elle est non d4g4n4r4e signifie que ~i est un isomorphisme. D'autre part, on a la suite exacte: 0 ---* C*

} A* - - * B* - - * 0 .

En passant aux suites exactes de cohomologie, et en dualisant, on obtient le diagramme: •..--,

Hi-I(G,C)

--,

Hi(G,B)

1

-

l

--~ H i ( G , A )

--* H i ( G , C )

+

+

l

~

...

l

... __, HJ+I(G,C*) * - , H J ( G , B * ) * - . H J ( G , A * ) * --. H i ( G , C * ) * -~ ...

avec j = n -- i.

4.5. Groupes de Poincar~

37

On v~rifie, par un simple calcul de cochaines, que les carr6s extraits de ce diagramme sont eommutatifs au signe pros [de faqon plus precise, les carr6s marqu6s + sont commutatifs, et le carr~ marqu~ - a pour signature (-1)i]. C o m m e les fl~ches verticales relatives h B e t C sont des isomorphismes, il en est de m~me de celles relatives ~ A, ce qui d6montre notre assertion. (2) - Le sous-groupe Iv de I formd des dldments annulds par p e s t isomorphe d

z/pz. Prenons A annul~ par p. Le r~sultat que r o n vient de d~montrer prouve que Hn(G, A)* est fonctoriellement isomorphe ~ H o m e ( A , Z / p Z ) . D ' a u t r e part, la d~finition m~me du module dualisant montre qu'il est aussi isomorphe HomG(A, Ip). Vu l'unicit~ de l'objet repr~sentant un foncteur donn~, on a bien

xp = Z/pZ. (3) - Le module dualisant I e s t isomorphe (comme groupe abdlien) d Z/pkZ ou

a Qp/Zp. Cela r~sulte de la relation Ip = Z / p Z , et des propri~t~s ~ldmentaires des groupes de torsion p-primaires. (4) - Si U est un sous-groupe ouvert de G, U est un groupe de Poincar~ de dimension n, et Cot : Hn(U) --" Hn(G) est un isomorphisme. Soit A ~- MU(Z/pZ). On v~rifie facilement que A* est isomorphe h A et la dualit~ d~montrde dans (1) prouve que Hi(U) et Hn-~(U) sont duaux l'un de l'autre. En particulier, d i m H n ( U ) = 1, et comme Cot : Ha(U) --, Hn(G) est surjectif (n ° 3.3, lemme 4), c'est un isomorphisme. Enfin, il n'est pas difficile de montrer que la du~litd entre H~(U) et H'~-~(U) est bien celle du cup-produit. (5) - Pour tout A c C Gf ~ posons Ti(A) = 4lim Hi(U,A), pour U ouvert dans G .... (les homomorphismes ~tant ceux de corestriction). On a alors T~(A) = 0 pour

i ~ n, et Tn(A) est un foncteur exact en A (~ valeurs dans la catdgorie des groupes profinis abdliens). Il est clair que les T i forment un foncteur cohomologique (le foncteur lira ~tant exact sur la cat~gorie des groupes profinis). Pour montrer que T i -- 0 pour i ~ n, il suffit donc de le prouver pour A -~ Z/pZ. Mais alors les Hi(U) sont duaux des Hn-i(U), et on est ramen~ ~ prouver que lim Hi(U) = 0 pour j ~ 0, les homomorphismes ~tant ceux de restriction, ce qui est trivial (et vrai pour tout groupe profini et tout module). Une fois ddmontr~e la nullit~ des T i, i ~ n, l'exactitude de T ~ est automatique. (6) - Le groupe I est isomorphe ~ Qp/Zp, comme groupe abdlien. On sait que Hn(U, A) est dual de HomU(A, I). En passant ~ la limite, on en d~duit que Tn(A) = lim Hn(U, A) est dual de lim HomU(A, I). Vu (5), le foncteur Hom(A, I) est exact; cela signifie que I e s t Z-divisible, et, en comparant avec (3), on volt qu'il est isomorphe h Qp/Zp.

38

§ 4. Cohomologie des pro-p-groupes

(7) - L'homomorphisme Hn(G, I) - , Qv/Zv est un isomorphisme. Le groupe des Z-endomorphismes de I est isomorphe ~ Zv (op6rant de faqon 6vidente). Comme ces operations commutent ~ l'action de G, on voit que HomG(I, I) = Zp. Mais d'autre part, HomG(I, I) est aussi 6gal au dual de Hn(G, I), cf. n ° 3.5. On a donc un isomorphisme canonique Hn(G, I) --* Qp/Zp, et il n'est pas difficile de voir que c'est l'homomorphisme i. (8) - Fin de la ddmonstration. II reste la partie (c), autrement dit la dualit6 entre Hi(G, A) et Hn-~(G, A). Cette dualit6 est vraie pour A = Z/pZ, par hypoth~se. A partir de l~, on proc~de par d6vissage, exactement comme dans (1). I1 suffit simplement d'observer que, si 0 --* A -~ B -~ C -~ 0 est une suite exacte dans C G~ I la suite 0 -* C --, /~ --* A --~ 0 est aussi exacte (cela provient de ce que I est divisible): on peut utiliser le m~me genre de diagramme. C o r o l l a i r e . Tout sous-groupe ouvert d'un groupe de Poincard est un groupe de Poincard de m~me dimension. On l'a vu en cours de route.

Remarques. 1) Le fait que I soit isomorphe h Q v / Z v montre que A est canoniquement isomorphe d A (comme G-module). On a une excellente dualit6. 2) Notons Up le groupe des unit6s p-adiques (61~ments inversibles de Zv). C'est le groupe des automorphismes de I. Comme G op~re sur I, on voit que cette op6ration est donn6e par un homomorphisme canonique

x:G

,Up.

Cet homomorphisme est continu; il d6termine I (~ isomorphisme pros); on peut dire qu'il joue le r61e de l'homomorphisme d'orientation lrl - , {±1} de la topologie. Noter que, puisque G est un pro-p-groupe, X prend ses valeurs dans le sousgroupe U (1) de Up form6 des 616ments - 1 mod p. L'homomorphisme X est l'un des invariants les plus int6ressants du groupe G: a) Lorsque G est un groupe de Demufikin (i.e. n = 2), G est d6termin6 isomorphisme pros par les deux invariants suivants: son rang, et l'image de X dans Up, cf. Labute [92], th. 2. b) La dimension cohomologique stricte de G d~pend de Im(x): P r o p o s i t i o n 31. Soit G u n pro-p-groupe de Poincard de dimension n, et soit X : G -~ Up l'homomorphisme qui lui est associd. Pour que scd(G) soit @al n + 1, il faut et il su]:fit que l'image de X soit finie. Dire que Im(x) est finie revient h dire qu'il existe un sous-groupe ouvert U de G tel que x(U) = {1}. Or cette derni~re condition signifie que I U contient (et est en fait 6gal h) Qp/Zp. D'ofi le r6sultat, en vertu de la prop. 19.

4.5. Groupes de Poincar~

39

Remarque. La s t r u c t u r e du g r o u p e U(v1) est bien et s i p = 2, il est isomorphe ~ {=t=1} x prop. 31 p e u t donc se reformuler ainsi: P o u r p ~ 2, scd(G) = n + 1 ~quivaut Pour p = 2, scd(G) = n + 1 ~quivaut

connue: si p ~ 2, il est isomorphe ~ Zv, Z2 (cf. par exemple [145], p. 220). La ~ dire que X est trivial. £ dire que x(G) = (1} ou {=t=l}.

Exemple. Supposons que G soit un groupe analytique p-adique de dimension n, et soit L(G) son alg~bre de Lie. D'apr~s Lazard ([102], V.2.5.8), la caract~re X associd ~ G est donn~ par: X(S) -- detAd(s) (s E G), oh Ad(s) d6signe l'automorphisme de L(G) d6fini par t ~-* sts -1. En particulier, on a scdp(G) = n + 1 si et seulement si Trad(x) = 0 pour tout x e L(G); c'est le cas si L(G) est une alg~bre de Lie r~ductive. La proposition suivante est utile dans l'6tude des groupes de Demu~kin: P r o p o s i t i o n 32. Soit G u n pro-p-groupe, et soit n u n entier > 1. Supposons que H i ( G ) soit fini pour i 1, et soit p u n diviseur premier de C a r d ( P ) . Par hypoth~se, on a p E I. Soit R un p-groupe de Sylow de P. Nous allons distinguer deux cas: a) R e s t distingu~ dans P. C'est alors l'unique p-groupe de Sylow de P , et il est distingu~ dans E. On a l e s extensions:

5.9. Une propri6t~ des groupes de dimension cohomologique < 1 1 1

~R ,

~E---~E/R

P / R ----* E / R - - ~

55

~1 W

, 1 .

C o m m e C a r d ( P / R ) < C a r d ( P ) , l'hypoth~se de r6currence montre que l'homomorphisme f : G --* W donnd se relbve en g : G --* E / R . D ' a u t r e part, puisque R e s t un p-groupe, la prop. 16 du n ° 3.4 m o n t r e que g se relive en h : G -* E. O n a bien ainsi relevd f . b) R n'est pas distingud dans P . Soit E ~ le normalisateur de R dans E, et soit P~ le normalisateur de R dans P . O n a P ' = E ' M P . D ' a u t r e part, l'image de E ~ dans W e s t 6gale ~ W t o u t entier. En effet, s i x E E, il est clair que x R x -1 est un p-groupe de Sylow de P , et la conjugaison des groupes de Sylow entraine l'existence d ' u n y E P tel que x R x - I = y R y -1. O n a alors y - i x E E ' , ce qui m o n t r e que E = P . E ~, d ' o h notre assertion. O n d6duit de l~ l'extension: 1

*PI----*E'----~W

~1.

C o m m e C a r d ( P ' ) < C a r d ( P ) , l'hypothbse de r6currence m o n t r e que le morphisme f : G --* W se relive en h : G --, E ' , et c o m m e E ' est un sous-groupe de E , cela achbve la d6monstration. C o r o l l a i r e 1. Toute extension de G par un groupe profini P dont l'ordre n'est divisible que par des hombres premiers appartenant it I e s t scindde. Le cas off P e s t fini se d6duit directement de la proposition pr6cddente et du lemme 2 du n ° 1.2. O n passe de l~ au cas g6n6ral par Zornification, c o m m e au n ° 3.4 (volt aussi exerc. 3). Remarque. Le corollaire pr6c6dent redonne le fait q u ' u n e extension d ' u n groupe fini A par un g r o u p e fini B est scind6e lorsque |es ordres de A et de B sont premiers entre eux (cf. Zassenhaus, [189], Chap. IV, § 7). Un groupe profini G est dit projectif (darts la cat6gorie des groupes profinis) s'il a la propri6t6 de rel~vement pour toute extension; cela revient ~ dire que, pour tout morphisme surjectif f : G' --- G, oh G' est profini, il existe un morphisme r : G --, G' telquefor= 1. C o r o U a i r e 2. Si G esg un groupe profini, les propridggs suivanges song gquivalenges: (i) G est projectif. (ii) cd(G) < 1. (iii) Pour tout hombre premier p, les p-groupes de Sylow de G song des pro-p-groupes libres. L'6quivalence (ii) ¢* (iii) est connue. L'implication (i) =~ (ii) est claire (cf. prop. 16). L'implication (ii) =~ (i) r6sulte du cor. 1, appliqu6 au cas oh I e s t l'ensemble de tons les nombres premiers. Exemples de groupes projectifs: Ca) le compl6t6 d'un groupe libre (discret) pour la topologie des sons-groupes d'indice fini; (b) un produit direct 1-Iv Fp, off chaque F v est un pro-p-groupe libre.

56

§ 5. Cohomologie non abdlienne

Proposition

4 6 . Les hypotheses dtant ceUes de la prop. 45, soit

1

~A

~B---~C

~1

une suite exacte de G-groupes. Supposons que A soit fini, et que tout hombre premier divisant l'ordre de A appartienne d I. Alors l'application canonique H i ( G , B) --* H i ( G , C) est surjective. Soit (cs) un cocycle d e G h valeurs d a n s C. Si 7r ddsigne l ' h o m o m o r p h i s m e B --* C, soit E l ' e n s e m b l e des couples (b, s), avec b G B , s E G, t e l s q u e lr(b) = cs. O n m u n i t E d e la loi de c o m p o s i t i o n suivante (cf. exerc. 1 d u n ° 5.1): (b, s ) . (b', s ' ) =

(b.~b', ss')

.

Le fait que css, = cs .'cs, m o n t r e que lr(b.'U) = c~s,, ce qui r e n d licite la d6finition prdcddente. O n vdrifie t o u t d e s u i t e que E , m u n i d e c e t t e loi de c o m p o s i t i o n et de la t o p o l o g i e i n d u i t e p a r celle d u p r o d u i t B x G, est un g r o u p e c o m p a c t . O n a des m o r p h i s m e s 6 v i d e n t s A --* E et E --* G, qui font d e E une extension de G par A. V u l e corollaire 1 ~ la p r o p . 45, c e t t e e x t e n s i o n est scindde. Il existe donc u n e s e c t i o n c o n t i n u e s ~-- es qui est un m o r p h i s m e de G d a n s E . Si l'on dcrit es E E sons la f o r m e (b~, s), le fait que s ~-* e~ soit un m o r p h i s m e se t r a d u i t p a r le fait que b, est u n cocycle d e G d a n s B r e l e v a n t le cocycle c8 donn6. D'ofi la proposition.

Soit 1 -* A --* B ---* C --. 1 une suite exacte de G-groupes. Si A est fini, et si c d ( G ) < 1, l'applieation canonique H I ( G , B ) --* HX(G,C) est surjective.

Corollaire.

C ' e s t le cas p a r t i c u l i e r oh I e s t l ' e n s e m b l e d e t o u s les n o m b r e s premiers.

Ezercices. 1) Soit 1 --* A --- B --* C --* 1 une suite exacte de G-groupes, avec A abdlien fini. Le procddd utilisd dans la ddmonstration de la prop. 46 attache h tout c G ZI(G, C) une extension Ec de G par A. Montrer que l'action de G sur A d~duite de cette extension est celle de cA, et que l'image de Ec dans H2(G, cA) est dgale h l'dldment A(c) ddfini au n ° 5.6. 2) Soit A un G-groupe fini, d'ordre premier h l'ordre de G. Montrer que l'on a H 1(G, A) = 0. [Se ramener au cas fini, o~t le r ~ u l t a t est connu: c'est une consdquence du th6or~me de Feit-Thompson disant que les groupes d'ordre impair sont r6solubles.] 3) Soit 1 --* P --* E --* G --* 1 une extension de groupes profinis, off G e t P satisfont aux hypotheses du cor. 1 ~ la prop. 45. Soit E ' un sous-groupe fermd de E se projetant sur G, et minimal pour cette propri6t6 (cf. n ° 1.2, exerc. 2); soit P ' = P A E'. Montrer que P ' = 1. [Sinon, il existerait un sous-groupe ouvert P " de P ' , normal dans E ' , avec P " ~ P ' . En appliquant la prop. 45 ~ l'extension 1 --* P ' / P " ---* E~/P" --* G --* 1, on en ddduirait un rel~vement de G darts E ' / P " , d'oh un sous-groupe fermd E" de E ' , se projetant sur G, et tel que E~'n P ' = P " ; cela contredirait le caract~re minimal de E'.] En d6duire une autre ddmonstration du cor. 1 h la prop. 45. 4) (a) Soit P u n groupe profini. D6montrer l'6quivalence des propri6t6s suivantes: (i) P e s t limite projective de groupes nilpotents finis. (ii) P e s t produit direct de pro-p-groupes.

5.9. Une propri~t~ des groupes de dimension cohomologique < 1

57

(iii) Pour tout p premier, P a un seul p-groupe de Sylow. Un tel groupe est dit pronilpotent. (b) Soit f : G --~ P u n morphisme surjectif de groupes profinis. On suppose que P est pronilpotent. Montrer qu'il existe un sous-groupe pronilpotent P ' de G tel que f ( P ' ) = P. [Ecrire P comme quotient d ' u n produit F = I ] p Fp, oh les Fp sont des pro-p-groupes libres, et relever F --, G en F --~ G grace au cot. 2 de la prop. 45.] Lorsque P e t G sont des groupes finis, on retrouve un r~sultat connu, cf. Huppert [74], m 3 . 1 0 . ) 5) Montrer que tout sous-groupe ferm~ d'un groupe projectif est projectif.

Indications bibliographiques sur le Chapitre I

La presque totalit~ des r~sultats des §§ 1, 2, 3, 4 est due h Tate. Tate lui-m~me n'a rien publiC; toutefois, certains de ses r~sultats ont ~t~ rddig~s par Lang, puis par Douady (cf. [47], [97], [98]). D'autres (notamment les d~monstrations reproduites au n ° 4.5) m'ont ~t~ communiques directement. Exceptions: le n ° 3.5 (module dualisant), et le n ° 4.4 (th~or~me de Safarevi~). Le § 5 (cohomologie non ab~lienne) est tir~ d'un article de Borel-Serre [18]; il est directement inspir~ de la cohomologie non ab~lienne des faisceaux; sous ce rapport, l'expos~ fait par Grothendieck h Kansas [58] est particuli~rement utile.

A n n e x e 1. (J. Tate) - Q u e l q u e s thdor dualit

mes de

T r a d u c t i o n l i b r e d ' u n e l e t t r e d a t ~ e d u 28 m a r s 1963

•.. Tu es inutilement prudent en ce qui concerne le module dualisant: aucune hypoth~se de finitude n ' e s t n~cessaire. De faqon g~n~rale, soit R u n anneau topologique dans lequel les id~aux bilat~res ouverts forment un syst~me fondamental de voisinages de 0. Si I est un tel ideal et si M est un R - m o d u l e , soit MI = H o m R ( R / I , M ) le sous-module de M form~ des ~l~ments annul4s par I. Soit C ( R ) la cat6gorie des R - m o d u l e s M qui sont r6unions des MI. Soit T : C(R) ° --~ (Ab) un foncteur additif contravariant t r a n s f o r m a n t limites inductives en limites projectives. Un tel foncteur T e s t exact d gauche si et seulement si il est reprdsentable. Lorsque R e s t discret, ce r~sultat est bien connu: l'application M = H o m n ( R , M ) --* H o m ( T ( M ) , T ( R ) ) d6finit un m o r p h i s m e de foncteurs aM : T ( M ) ~ H o m n ( M , T ( R ) ) qui est bijectif lorsque M est libre, donc aussi p o u r t o u t M si T e s t exact ~ gauche (utiliser une r~solution libre de M). Dans le cas g~n6ral, si I est un id6al bilat~re ouvert de R, la cat6gorie C ( R / I ) est une sous-cat6gorie pleine de C ( R ) , et le foncteur d'inclusion C ( R / I ) --, C ( R ) est exact et c o m m u t e ~ lin~. Il s'ensuit que, si T e s t exact gauche, il en est de m 6 m e de sa restriction ~ C ( R / I ) , et, p o u r t o u t M E C ( R / I ) , on a un isomorphisme fonctoriel (,)

T ( M ) --~ H o m n ( M , T ( R / I ) ) .

Si l'on applique c e c i / , M = R/Io, o~ Io D I, on voit que r ( R / l o ) = T(R/I)~o. En posant E = l i m 1 ~ o T ( R / I ) , on en d6duit T ( R / I o ) = Ex0; a p p l i q u a n t la formule (,) I0, on en tire

T(M) = HomR(M,E)

pour t o u t M E C(R/Io).

Enfin, si M est arbitraire, on a:

T ( M ) = tim T(MIo) = lim n o m R ( M 1 0 , E ) = H o m R ( M , E ) . Bien entendu, l'additivit~ de T suffit ~ d~finir le m o r p h i s m e fonctoriel

aM : T ( M )

, HomR(M, E) ,

et le bon ~nonc~ consiste k dire que les trois propri~t~s suivantes sont ~quivalentes: T e x a c t / ~ gauche, T o ~ ----i ~ _ o T }iil) Tsemi-exact,(Toli_m)-:-*(li, l_m_moT) surjectif, e t a M e s t i n j e c t i f p o u r t o u t M (iii) aM est bijectif pour t o u t M .

Soit m a i n t e n a n t G un groupe profini. Si A E CG et si S est un sous-groupe ferm6 de G, on posera:

60

Annexe 1. (J. Tate) - Quelques th6or~mes de dualit6

Dr(S,A) = lim Hr(V,A) * , VDS

la limite ~tant prise sur les sons-groupes ouverts V de G contenant S, et par rapport aux transposfs Cor* des homomorphismes de corestriction. [On rappelle que, si B e s t un groupe ab61ien, on note B* le groupe H o m ( B , Q / Z ) . ] Les Dr(S, A) forment u n foncteur homologique contravariant: g toute suite exacte 0 --* A' --* A --* A" --, 0 correspond use suite exacte:

• ..

, Dr(S,A) ---* Dr(S,A')

, Dr-I(S,A") ~

D~_I(S,A)

,...

On pose Dr(A) = Dr({1}, A); du fait que G / U op~re sur Hr(U, A), on a Dr(A) 6 Ca. En particulier, posons: Er = Dr(Z) = lint Hr(G, ZIG~U])*

E'~ = ~

D r ( Z l m Z ) = lim~g r ( G , (ZlmZ)[e/U])*

.

U , rn

O n peut appliquer ce qu'on a dit au d6but aux anneaux topologiques R = Z[G] = ~ _ Z[G/U]

et

R' = ZIG] = Jim (Z/mZ)[G/U].

On a C(R) = Ca, C(R') = C~. D'o~t (en prenant pour T le foncteur Hr(G, morphismes fonctoriels

aM : Hr(G, M)* ----* HomG(M, Er)

pour M 6 CG

Homa(M,E')

pour M 6 C~.

' : H q G , M)" ---. aM

)*) des

Comme T transforme ~ en ~im, on en d6duit l'6quivalence des trois conditions suivantes: aM est bijectif pour tout M 6 CG, aM est injectif pour tout M • CG, scd(G) _< r. M~me chose en remplaGant aM par a~4, C a par C~, et scd(G) par cd(G). Supposons maintenant cd(G) < r. On a alors:

Er+, = Dr+1(Z) = Dr(Q/Z) = ~

Hr(U, Q/Z)*

---lin~Homu(Q/Z, E') = U Horn(Q/Z, E') u . On retrouve ainsi ton crit~re: scdp(G) = r + 1 ~

(E'r) e contient un sous-groupe isomorphe g Qp/Zp.

Exemple: G = Z, E~ -- Q / Z , d'o~t E2 = Horn(Q/Z, Q / Z ) = Z. On en conclut que, pour tout M 6 CG, on a:

H2(G, M)* = HomG(M, Z ) . Si cd(G) = scd(G) = r, alors bien stir E~ est le sons-module de torsion de E~. Exemple: si G = G(Qp/Qp), la th6orie du corps de cla~ses local montre que E2 = li.n~~'*, oh K* d4signe la compactification naturelle du groupe multiplicatif K*, le corps K parcourmat l'ensemble des extensions finies de Qp; le groupe ~ = E~ est bien le sons-groupe de torsion de E2.

Passons/~ un thdor~me de dualitd. Le mieux que je puisse faire est le dr61e de fourbi suivant:

A n n e x e 1 . (J. Tate) - Quelques th4or~mes de dualit4

61

Ddfinition. Si A 6 C o , on dit que cd(G, A) < n si Hr(s, A) = 0 pour t o u t r :> n et tout sous-groupe ferm~ S de G. L e m m e 1. Soit A 6 Co. Les trois propridtds suivantes sont dquivalentes: (i) c d ( G , A ) = 0. (ii) Pour tout sous-groupe ouvert distingud U de G, le G/U-module A v est coho-

mologiquement trivial. (iii) Pour tout couple U, V, avec V D U, formd de sous-groupes ouverts distinguds

de G, l'homomorphisme N : Ho(V/U,A U) ~

H°(V,U,A U)

ddfini par la trace est bijectif. L'4quivalence de (ii) et (iii) r~sulte du th. 8, p. 152, de [145], appliqu4 h q = - 1 , 0. D ' a u t r e part, si (i) est v6rifi4, la suite spectrale HP(V/U, Hq(U, A)) ::~ H(V, A) d4g6nbre; comme sa limite est triviale, on en conclut que HP(V/U, A v) = 0 pour p # 0, d ' o h (ii). Inversement, si (ii) est v6rifi4, on a:

HP(V,A) = lin~ HP(V/U,A v) = 0

pour p # 0,

d'ofi HP(S, A) = lim~vDs HP(V, A) = 0 pour tout sous-groupe term6 S de G, ce qui d4montre (i). Soit m a i n t e n a n t A 6 Co, et soit

0

,A---*X°---,X1---*

...

une r~solution canonique de A, par exemple celle donn4e par les cochaines homog~nes continues (non n~cessairement "~quivariantes"). Soit Z " le groupe des cocycles de X n. O n a la suite exacte: (1)

O ----* A

- - - ~ X 0 ------¢ X 1 .

.

.

.

.

X n-1

---4 Z n ---¢0.

L e m m e 2. cd(G, A) < n ¢=:v cd(G, Z '~) = 0. E n effet, pour t o u t r # 0, on a:

g r ( s , Z") = Hr+I(S, Z "-1) . . . . .

H r + " ( S , A) .

T h ~ o r ~ m e 1. Si cd(G, A) 1: K'(X)

= K°(Z'(X))

Z I + I ( x ) = coker(e~) ,

,

~ = ~(Z'(X)), ji+x = j I ( z , ( x ) )

,

d ~-1 = e ~ o j i . On a d~fini ainsi u n complexe K * ( X ) fonetoriel en X, et u n morphisme fonetoriel ¢ : id --* K* faisant de K * ( X ) une r~solution de X. P r o p o s i t i o n 1.4. K* est un foncteur covariant, additif, exact, commutant aux limites inductives filtrantes. Pour tout entier positif i et pour tout G-module discret X , le Gmodule K~ ( X ) est cohomologiquement trivial (i.e. cd(G, K ' ( X ) ) = O, c]. A n n e x e 1).

66

Annexe 2. (J-L. Verdier) - Dualit6 dans la cohomologie des groupes profinis

La derni~re assertion est ~vidente car les K~(X) sont des modules induits. Pour prouver la premiere assertion, il suffit de prouver que K ° ( X ) est un foncteur exact en X et qu'il commute aux limites inductives fiitrantes. Soit: 0---~ X ' - - * X - - ~ X " ---~0 une suite exacte de G-modules discrets. La suite: 0 - - * X '° - - , X ° ~

X "° ---* 0

des groupes ab61iens sous-jacents, est exacte. On en d~duit imm~diatement que la suite:

0~

MG(X'0) ---* MG(XO) ---* MG(X"0) ~

0

est exacte. Soit de m~me X~ un syst~me inductif fi]trant de G-modules discrets et X -- l i n ~ X~. Soit m le morphisme canonique n_~(K°(X~)) --~ K°(X) . c~

Le morphisme m est ~videmmentinjectif; montronsqu'il est surjectif. Pour cela, il suffit de montrer que toute application continue: a : G --* X, se factorise par un X~. Or G 6tant compact et X discret, I'hnage de G par a est finie. Cette image est donc contenue dans l'image, dans X, d'un X~.

Ddfinition 1.5. Toute r~solutionde X, fonctorielleen X, poss~dant les propri~t6s de la proposition 1.4, sera appelde foncteur rdsolvant (cf. T6hoku [59]). P r o p o s i t i o n 1.6. Soient (K[,el) et (K~,E2) deux ]oncteurs rdsolvants, ll existe un foncteur rdsolvant ( K~, ea) et deux morphismes de ]oneteurs rdsolvants

tels que le diagramme suivant soit eommutatif : id ~

K;

• 21 g~ - ~ g~ Soit K~(X) le complexe simple associ~ au double complexe: K~(K~(X)). Le foncteur K [ ~tant exact, le complexe K~(X) est acyclique saul en dimension z~ro. Le foncteur X ~-* K~ (X) est exact et commute aux limites inductives filtrantes. De plus pour tout entier i > O, Kia(X) est cohomologiquement trivial car il est somme directe de Gmodules cohomologiquement triviaux. Enfm les morphismes d'injection des complexes K [ (X) et K~ (X) dans le double complexe g~ (K~(X)) d6finissent des morphismes de complexes m 3 : K~' ---~ g ~ m3

*

fonctoriels en X, qui induisent un isomorphisme sur les objets de cohomologie, tels que le diagramme suivant soit commutatif:

x

-~ KHx)

K~(X)-~ K;(X) ce qui permit de d~finirle morphisme ea et ach~ve la d~monstration.

2. Homomorphismes locaux

§ 2.

67

Homomorphismes locaux

Ddfinition 2.1. Soient S u n sous-groupe ferm6 de G, X et Y deux G-modules discrets. On posera: H o m s ( X , Y) = ~

Horny(X, Y) ~

VDS

lim H o m o ( X v , Y) _Z., lira H o m a ( X , v Y ) , VDS

VDS

les ]imites inductives 6tant prises suivant le systbme projectifdes sous-groupes ouverts V contenant S. Le groupe H o r n s ( X , Y) sera appel~ le groupe des homomorphismes locaux en S. Lorsque S -- {1), on posera H o m s ( X , Y) = Horn(X, Y). P r o p o s i t i o n 2.2. Soit U un sous-groupe fermd de G, contenant S et normalisant S. 1) Le 9roupe U / S op&e sur H o r n s ( X , Y), faisant de H o r n s ( X , Y ) un U/S-module discret topologique; de plus: H ° ( U / S, H o r n s ( X , Y)) = H o m u ( X , Y). 2) Si Y est injecti], on a c d u / s ( H o m s ( X , Y ) ) = O. 3) Les foncteurs ddrivds droits de Y ~-* H o m s ( X , Y) (~ valeurs dans la cat6gorie des U/S-modules) sont:

Ext,(X, Y) = lin~_Ext'(X, y) _Z_, ~ VDS

Exta(Xv,' Y) ~ ~

VDS

lim Extc(X,' v V )

•

VDS

Ddmonstration. 1) On v~rifie sans diflicult6s que H o m ( X , Y) est le plus grand sousmodule de H o m z ( X , Y) sur lequel G op~re continfiment et que H o m ( X , y ) S = H o m s ( X , Y) . L'assertion s'en d6duit imm6diatement. 2) I1 faut montrer que, pour tout sous-groupe U et tout entier i > 0, H'(U/S, Horns(X, Y)) = 0 . Or tout sous-groupe ouvert V' contenant S contient un sous-groupe ouvert V, contenant S e t normalis6 par U. On en d~duit que H ° ( U / S , H o r n s ( X , Y)) = l i ~ H ° ( U • V/V, H o r n y ( X , Y)) , VDS

la limite 6tant prise sur les sous-groupes V normalis~s par U. Par suite, d'aprks chap. I, § 1, prop. 8, on peut supposer que S est ouvert. Soit Z" une r~solution (index6e par les entiers n4gatifs) du U/S-module Z, par des U/S-modules libres de type fini. On a alors: H*(U/S, Homs(X,Y))

= H* ( H o m•u / s ( Z • , H o m s ( X , Y ) ) 1 .

Mais, S 6tant ouvert, on a H o m s ( X , Y) = Horns(X, Y). I1 vient Mors en utilisant les isomorphismes canoniques: H * ( U / S , H o m s (X, Y)) = H . (Homu(X, . . H. o m z ( Z , Y))) . Les termes du complexe Z" sont des sommes directes de modules isomorphes ~ Z ( U / S ) . Par suite, les termes du complexe H o m ~ ( Z ' , Y) sont des sommes directes de modules t H o m ~ / s d ~ i g n e le complexe des morphismes.

68

Annexe 2. (J-L. Verdier) - Dualit6 darts la cohomologie des groupes profinis

isomorphes ~ H o m z ( Z ( U / S ) , Y ) . Or Y est G-injectif, donc U-injectif. Par suite, d'aprbs la prop. 1.3, le U-module H o m z ( Z ( U / S ) , Y ) est injectif. Les termes du complexe Hom~.(Z °, Y) sont donc des U-modules injectifs. De plus, les modules de cohomologie de ce complexe sont tout nuls, sauf en dimension z6ro oh l'on a H ° (Hom~. ( Z ' , Y)) = Y. Le complexe Hom~. (Z °, Y) e_st donc une r6solution injective du U-module Y. On a donc H (U/S, H o m s ( X , Y)) = E x t u ( X , Y) . Mais Y, 6tant G-injectif, est U-injectif, c.q.f.d. 3) L'assertion est claire. C o r o l l a i r e 2.3. ll existe une suite spectrale: E~ 'q = HP(U/S, E x t , ( X , Y)) ==~ Ext~+q(X, Y) . C'est la suite spectrale des foncteurs compos~s (prop. 2.2, (1)) qui s'applique ici cause de la prop. 2.2, (2). P r o p o s i t i o n 2.4. Lorsque X est de type fini (en tant que groupe abdlien ou bien en tant que G-module, c'est la m~me chose), ou bien lorsque S est ouvert, on a: H o r n s ( X , Y) = n o m s ( X , Y )

et

E x t , ( X , Y) = E x t ' ( X , Y) .

Le cas S ouvert est trivial. Supposons clue X soit de type fini. Le groupe G op~re alors sur X, par l'interm6diaire de G / V ' oh V' est un sons-groupe ouvert invariant assez petit. On en d6duit que pour tout sous-groupe ouvert V assez petit: H o m v ( X , Y) = Homz(X, y V ) et par suite, X ~tant de type fini en tant que groupe ab~lien: Horn(X, Y) = Homz(X, Y) • La proposition s'en d~duit ais~ment. C o r o l l a i r e 2.5. Lorsque U est ouvert (par exemple U = G), la suite spectrale 2.3 devient: HP(U/S, E x t , ( X , Y)) ~ Ext~]+q(x, Y) . Lorsque X est de type fini, ou bien lorsque S est ouvert, cette suite spectrale devient: HP(U/S, E x t , ( X , Y) ~

Ext~+q(Z, Y) .

En particulier, lorsque X est de type fini, on a: Hr(U, E x t , ( X , Y)) ==~ Ext[y+q(X, Y) . Cette suite spectrale fournit la suite exacte illimitde: 0 -~ H I ( u , H o m z ( X , Y) --* E x t ' : (X, Y) --* H°(U, E x t z ( X , Y ) ~ H2(U, Homz(X, Y)) ~ . . . • .. --* HP(U, H o m z ( X , Y)) --* E x t , ( X , Y) --* H p - I ( u , E x t z ( X , Y)) L H p+I (U, Homz(X, Y)) --~ - • •

3. Le th6orbme de dualit6

69

Remarques 2.6. 1) Soit V un sous-groupe ouvert invariant de G. Pour tout couple de G-modules X et Y, le groupe ab61ien Ext~,(X,Y) est muni d'une structure de G/V-module. Cette structure de G / V - m o d u l e peut se d6finir simplement de la mani~re suivante: E x t , ( X , Y) est fonctoriellement isomorphe ~ E x t ~ ( X v , Y). Or, (prop. 1.3 (5)) X v est muni d'une structure de G/V-module ~ droite. On en d6duit que, pour tout foncteur contravariant F , b, valeur darts la cat6gorie des groupes ab61iens, F ( X v ) est un G / V module ~ gauche. Soit S u n sous-groupe ferm6 de G, invariant. La remarque pr6c~dente nous permet d'obtenir facilement la structure de G/S-module de E x t , ( X , Y). En effet, le G/S-module E x t , ( X , Y) est la limite inductive des G/S-modules E x t , ( X , Y), la limite 6tant prise sur les sous-groupes ouverts V invariants et contenant S. 2) Lorsque X = Z, Ext~,(Z, Y) -- Hi(V, Y) est donc muni d'une structure de G/Vmodule. Supposons que G op~re trivialement sur Y. La structure de G/V-module de Hi(V, Y) est alors d6duite des op6rations de G sur V par automorphismes int6rieurs. 3) Soient V un sous-groupe ouvert de G, X un G-module. On a alors les isomorphismes: Hi(V, X ) ~ HI(G, v X ) ~ Hi(G, X v ) , le premier isomorphisme 6tant d6fini g partir des isomorphismes de la prop. 1.3 (1), le second 6tant d6fini ~ l'aide de l'isomorphisme de la prop. 1.3 (2), iv : X v --~ v X . Soit V' un-sous-groupe ouvert invariant de G, contenu dans V. L'homomorphisme canonique: v X --+ v, X d6finit un homomorphisme canonique: Hi(V, X) ~ H i ( V ', X), qui n'est autre que la restriction. De m6me, l'homomorphisme canonique: X v , --+ X v d~finit un homomorphisme: H~(V ', X) --* Hi(V, X ) qui n'est autre que la corestriction.

§ 3.

Le th~or~me de dualit~

Nous noterons C l'une des cat6gories: -

-

CG cat6gorie des G-modules discret topologiques, C b sous-cat6gorie pleine de C a des G-modules de torsion,

- C~ sous-cat6gorie pleine de C a des G-modules de p-torsion. Pour simplifier l'6criture, le foncteur H°(G, ) sera not6 F . Soient X ° et Y" deux complexes d'une cat6gorie additive quelconque. Horn ° ( X ' , Y ' ) d6signera le complexe simple des morphismes de X ° dans Y ' . Lorsqu'on utilisera un foncteur r6solvant (D6finition 1.5), il s'agira toujours d'un foncteur r6solvant g valeur dans C et non pas seulement ~ valeur dans C a . Le foncteur K" de la prop. 1.4 est, lorsque l'argument est un objet de C, g valeur dans C). P r o p o s i t i o n 3.1. Soient A un groupe abdlien, X ~ K * ( X ) un foncteur rdsolvant. 1) Le foncteur X ~-+ H o m ~ b ( F K * ( X ) , A) de C d valeur dans les complexes de groupes abdliens, est reprgsentable. En d'autres termes, il existe un eomplexe Uc(A) d'objets de C et un isomorphisme de foneteurs: " * (X), A) -----* ~ Homc(X A : HOmAb(FK °,

rc(A)).

Le complexe Fc(A) est fonctoriel en A. Le foncteur: A ~-+ Fc(A) est unique d isomorphisme unique pr~s.

70

Annexe 2. (J-L. Verdier) - Dualit4 dans la cohomologie des groupes profinis 2) Le complexe Fc(A) ne ddpend pas, ?~ homotopie pros, du foncteur rgsolvant

choisi. 3) Lorsque A est un groupe abdlien injectif, les objets du complexe Fc(A) sont injectifs.

4) Soit X ~ K*(X) un foncteur rdsolvant de Co, qui, lorsque X est un objet de Cb (resp. de C~), est a valeur dans 6~a (resp. C~). Fcb(A ) est le sous-complexe de torsion de Fcc (A). Le complexe Fc~ (A) est la pattie p-primaire de Pc~ (a). 5) Lorsque A est un groupe abglien injectif, les objets de cohomologie de Fc( A) sont donnds par les formules suivantes:

a) C = Ca H - q ( ~ c ~ ( A ) ) = lira Homz(nq(v , Z), A), V, cor

la limite inductive dtant prise sur les sous-groupes ouverts et les morphismes de corestrictions. La structure de G-module est dgfinie par la structure de G-module d droite de Ha(v, Z) lorsque V e s t invariant dans G. b) C = C b H - a ( F c b ( A ) ) = nn~ H o m z ( H q ( V , Z / m Z ) , a ) V, cor,va

c) c = c ~ H-q(Fc~(A)) =

h~

Homz(Hq(V,Z/pmZ),A)

V, e o r ,~,n

Ddmonstration. 1) D'apr~s les propri6t4s des foncteurs r4solvants (D6finition 1.5) le foncteur: X ~-* H o m ( F K i ( X ) , A ) est contravariant, exact ~ gauche, et il transforme limite inductive filtrante en limite projective filtrante. Comme la cat6gorie C est localement noeth&ienne (cf. Gabriel [52], chap. 2), ce foncteur est repr4sentable (cf. Gabriel [52], chap. 2, n ° 4 ou encore darts ce cours, chap. I, § 3, lemme 6). L'o.ssertion s'en d4duit ais~ment. 2) Soient K [ et K~ deux foncteurs r4solvaats; pour d6montrer l'assertion, on peut supposer, d'apr~s la prop. 1.6, qu'il existe un morphisme de r~solution m : K [ --* K~. On en d6duit un morphisme fonctoriet en A ~ : Fc, I(A) --* Fc,2(A) qui poss~de la propri6t6 suivante: pour tout objet X de C le morphisme d6duit de m: H o m e (X, Pc,, (A))

, H o m c " (X, Fc,2(A)) -

induit un isomorphisme sur les groupes de cohomologie. O n en d~duit que le morphisme m est un isomorphisme h homotopie pr~s. 3) Clair. 4) Clair. 5) Etudions le cas C = CG. L'isomorphisme A induit sur les groupes de cohomologie un isomorphisme: A

q: n o m z ( g q ( G , X ) , A )

~. H - q ( n o m o ( X ,

Fc~(A)) .

Prenant X = Z v et passant h la limite inductive sur les sous-groupes ouverts, on obtient le r4sultat annonc~. On proc&te de m~me pour les autres cas. On d4signera par R(Ab) (resp. R(C)), la cat~gorie des complexes finis (i.e. ne comportant qu'un nombre fini d'objets non nuls) de groupes ab41iens (resp. d'objets

3. Le thdor~me de dualit~

71

de C) 2. Lorsque le foncteur F est de dimension cohomologique finie sur C, il existe des foncteurs r~solvants fnis (i.e. tel que pour tout objet X de C, K ° (X) soit un complexe fini): si on consid~re le foncteur r~solvant donn~ par la prop. 1.4, les Z i, pour i assez grand, sont cohomologiquement triviaux. Soit donc X ~-* K * ( X ) un foncteur r~solvant fini. On le prolonge & la cat~gorie R(C) de la mani~re suivante: si X* est un objet de R(C) on pose:

K * ( X °) = complexe simple associfi au complexe double: K i ( X j) . P r o p o s i t i o n 3.2. Supposons que F soil de dimension cohomologique finie sur C. Soient X ---* g * ( x ) un loncteur rdsolvant fini, X ° un objet de R(C), A ° un objet de R(Ab). 1) Il exisSe un foncteur A* ~ F o ( A °) d valeur dans R(C) et un isomorphisme bi-fonctoriel:

,4: Hom'Ab(FK*(X'), A') -% Homb(X °, Pc(A°)). 2) L'isomorphisme A ddfinit un homomorphisme de complexes (i.e. commutant avec la diff4rentielle) de degrd zgro:

#: F K * F c ( A ' ) ---* A" tel que l'isomorphisme ,4 -1 soit le eomposd des homomorphismes: Homc(X ,F(A ))~

HOmAb(FK ( X ) , F K

Fc(A ))-~

HOmAb(FK ( X ) , A ) .

Ddmonstration. La d4monstration de (1) est triviale & partir de la prop. 3.1 (1). Pour d4montrer l'assertion (2), on transpose les d4monstrations classiques sur les foncteurs adjoints. Soit X* un objet de R(C). Nous d4signerons par H~(G, X ' ) le i-~me groupe d'hypercohomologie de F(X*). Soit de plus Y* un autre objet de R(C); nous d~signerons par E x t ~ ( X °, Y°) le i-~me hyperext (cf. [25], chap. XVII, n ° 2). Cette notation, o~ C n'intervient pas, n ' a p p o r t e cependant pas de confusion grace au L e m m e 3.3. Un objet I, injectif dans C, est injectif dans Ca. Le cas C = Ca 4tant trivial, ~tudions par exemple le cas C = Cb. Soit J un injectif de C a . I1 est clair clue le sous-objet de torsion j t de J e s t un injectif de C~ et que tout objet de C 0 se plonge dans un injectif de ce type. II nous suffit donc de montrer que J~ est un injectif de C a . Mais J, 4tant injectif, est facteur direct du module induit injectif M c ( J °) off j 0 est le groupe ab41ien injectif sous-jacent & J. On en d4duit que j t est facteur direct de M c ( J ° ) ~ = M a ( J °t) qui est injectif dans Ca. Le cas C = C~ se d4montre de mani~re analogue.

Dgfinition 3.4. Un complexe dualisant de C est un complexe fini D ° de C muni de ~ : H°(G, D °) --* Q / Z un homomorphisme tel que les homomorphismes compos~s: H i ( G , X °) x Exta~(X °, D °) ~

H ° ( G , D 0) ~

Q/Z

(la premiere fl~che 4tant ddfinie par le cup-produit), d~finissent des isomorphismes de foncteurs: E x t b ' ( X ' , D °) -% Homz(H~(G, X°), Q / Z ) . 2 Les morphismes de R(Ab) (resp. R(C)) sont les homomorphismes de complexes, i.e. conservant le degr4 et commutant avec la diff~rentielle.

72

Annexe 2. (J-L. Verdier) - Dualit6 dans la cohomologie des groupes profinis

L'unicit6 du complexe dualisant est explicit~e par la proposition ci-dessous. Soit X ° un objet de R(C). Une r~solution injective de X" est un homomorphisme de complexes X ° --, Inj(X °) dans un complexe dont tousles objets de degr4 n4gatif sont nuls sauf at, plus un nombre fini d'entre eux, homomorphisme qui induit un isomorphisme sur les objets de cohomologie. I1 existe des r6solutious injectives ([25], chap. XVII). Les r4solutions injectives sont uniques K homotopie pr~s. P r o p o s i t i o n 3.5. Soient ( D~ , Q1) et ( D~, 82) deux complexes dualisants de C, Inj(D~) et Inj(D~) deux rdsolutions injeetives. Il existe un isomorphisme h homotopie pros et un seul: s : Inj(DT) ~ Inj(D~)

qui soit compatible avec ~1 et Q2. Nous ne d6montrerons pas cette proposition. T h ~ o r ~ m e 3.6. Soit G u n groupe profini de dimension cohomologique finie (resp. de p-dimension cohomologique finie). Les catdgories CG, C t , C~ (resp. C p) poss~dent des complexes dualisants. En effet l'isomorphisme A de la prop. 3.2 donne, en passant h la cohomologie, des isomorphismes: A q: Homz(Hq(G, X°), Q / Z ) -7-, E x t ~ q ( x °, F c ( q / z ) )

.

De plus, le (2) de la prop. 3.2 permet de d4finir un homomorphisme

~ : H°(C, rc(q/Z))

~ q/z

et la deuxi~me paxtie de l'aesertion (2) ainsi que la d4finition du cup-produit montrent que l'isomorphisme A-lq est d6fini par l'homomorphisme compos& Ext~q(X ", F c ( q / z ) )

x Hq(a, X') ~

H°(G, F c ( q / z ) )

~-~ Q / Z .

Nous noterons I" (resp. ~t, resp. I'P) le complexe de G-modules injectifs Fca (Q/Z) (resp. F c ~ ( Q / Z ) , resp. F c ~ ( Q / Z ) ) obtenu d'apr~s la prop. 3.1 h l'aide d'un foncteur r6solvant quelconque s. Les objets de cohomologie de ces complexes sont dorm's par les formules de la prop. 3.1 (5). Changer de foncteur r~solvant revient k remplacer les complexes I, ~'t ~p par des complexes homotopiquement 6quivalents. Lorsque, par exemple, G est de dimension cohomologique finie, le complexe I est homotope h u n complexe injectif fini et le th4orbme 3.6 montre que l'isomorphisme de 0-foncteurs:

A_q : H o m z ( H q ( a , X), Q / Z ) ---* H - q ( H o m S ( X , D)

X 6 ob(CG)

(d~fini par la proposition 3.1 sans hypoth~e sur G) est d4fini ici par un cup-produit. P r o p o s i t i o n 3.7. Soit G un groupe profini et soit H un groupe opdmnt sur G, possddant la propridtd suivante: pour tout sous-groupe ouvert V de G, il existe un sous-groupe ouvert V' contenu dans V, invariant par H e t par G. Alors, pour tout entier q, H op~re sur H-q('D et si on ddsigne par hq l'opdration d'un h 6 H sur H-q('D, on a la fo~nule: hq(ga) = h(g)hq(a)

g6G,

a 6 H-"(I).

a Lorsqu'aucune confusion n'en r~sultera on dcrira simplement I (resp. I t, IP).

4. Application du thdorbme de dualit4

73

En d'autres termes, H op&re sur le G-module H-q(~[) de faUGh compatible avec les automorphismes de H sur G. De plus, si H --- G e t si G op~re sur lui-m~me par automorphismes intdrieurs, l'opdration de G sur H-q('f) n'est autre que l'opdration naturelle de G sur H - q ( [ ) . Enfin on a l e s m~mes rdsultats pour les complexes "[t et -[P. En effet, d'apr~s la prop. 3.1 H - q ( I ) = lim n o m z ( H q ( V , Z), Q / Z ) . V, c o r

Lorsque V e s t invariant par H et par G, H opbre sur H o m z ( H - q ( V , Z), Q / Z ) de fa~on compatible avec les op4rations de G qui, eUes, s'obtiennent ~ partir des op&ations de G sur V par automorphismes int6rieurs. D'oh le r 6 s u l t a t e n p assant ~ la limite inductive. On refait le m6me raisonnement pour les complexes I t et I p. P r o p o s i t i o n 3.8. Soient G un groupe profini, V un sous-groupe ouvert invariant. 1) Le V-module H - q ( ' f v ) est canoniquement isomorphe au V-module obtenu en restreignant les scalaires dans le G-module H - q ( ' f c ) . 2) Rdciproquement, G op~re sur V par automorphismes intdrieurs et vdrifie la condition de la prop. 3.7. It op~re donc sur H - q ( I v ) . Le G-module ainsi obtenu est canoniquement isomorphe d H - q ( I c ) . On a des r6sultats analogues avec les complexes ~t et I'P. Ddmonstration. La premiere assertion est 6vidente h partir des formules de la prop. 3.1. La deuxi~me assertion se d6duit imm&tiatement de la prop. 3.7. Les deux derni~res propositions nous serviront g d6terminer le complexe dualisant de G connaissant celui de V.

§ 4.

Application du th6or~me de dualit6

Ddfinition ,~. 1. Soient G un groupe profini, p u n nombre premier. Le groupe G est dit de Cohen-Macaulay strict en p st: 1) G est de p-dimension cohomologique finie. 2) Le complexe I ~ n ' a qu'un seul objet de cohomologie non nul. 3) Les objets de cohomologie de I~ sont injectifs en tant que groupes ab61iens. Remarques ,~.,9.. 1) Si G est de Cohen-Macaulay strict en p e t si cdp(G) = n, l'objet de cohomologie non nul de I ~ est H - ~ ( I ~ ) . C'est donc le module dualisant de G (chap. I, § 3, n ° 5). 2) Par analogie avec la th6orie de la duaiit6 dams les anneaux locaux, on dit que G est un groupe de Cohen-Macaulay en p s'il poss~de les deux premieres propri6t6s de la d6finition 4,1. Je ne connais pas de groupe de Cohen-Macaulay qui ne soit pas de Cohen-Macaulay strict.

74

Annexe 2. (J-L. Verdier) - Dualit~ darts la cohomologie des groupes profinis

Soit G u n groupe de Cohen-Macaulay en p. Nous noterons I'P = H - " ( I ~ ) (n -- cdp(G)) le module dualisant de G. Le th~or~me de dualit~ s'~crit alors: A _ q : H o m z ( H q ( G , X ) , Q / Z ) - - ~ E x t ~ - q ( x , I'~)

X 6 ob(C~).

En effet, on peut prendre comme complexe dualisant le eomplexe r4duit au seul objet I'P en degr~ - n e t z~ro ailleurs. L'isomorphisme de dualit4 est d4fini k l'aide du cupproduit et de l'homomorphisme canonique Q : H " ( G , I p) -~ Q / Z . Nous poserons S q ( G ) = Hq(G, Z/pZ). P r o p o s i t i o n 4.3. Soit G u n groupe profini tel que cdp(G) = n. Les deux propridtds suivantes sont dquivalentes: 1) G est de Cohen-Macaulay strict en p. 2) Pour tout q # n, li_~v, cor Homz(Hq(Y), Q / Z ) = {0}. Ddmonstration. 1) =~ 2). En effet en posant X = Z / p Z v dans la formule de dualit~ on obtient l'isomorphisme: Homz(Hq(V), Q/Z)

~ , Ext~z-q(Z/pZ, IP) .

En passant ~ la limite inductive sur les sous-groupes ouverts, on obtient le r6sultat. (On utilise la prop. 2.4.) 2) =~ 1). Les foncteurs X H ~mmv,cor Homz(Hq(V, X), Q / Z ) forment un 0-foncteur. Le G-module Z / p ~ Z a d m e t t a n t une suite de composition ~ quotients Z / p Z , on en d4duit que pour tout entier m: lin~ Homz(Hq(Y, Z / p m Z ) , Q / Z ) = {0}

q# n

V~cor

d'ofi, en utilisant la prop. 3.1 (5), le fait clue G est de Cohen-Macaulay. Reste ~ montrer que le module dualisant I'P est divisible. Or le th6or~me de dualit4 nous donne, encore une lois en passant ~ la limite sur les sous-groupes ouverts, l'isomorphisme: U x t ~ ( Z / p Z , I p) ---. lim H o m z ( H " - l ( V ) , Q / Z ) V, cor

d'oh le r&sultat (on suppose n > 0, le cas n -- 0 ~tant trivial). Soit G un groupe d e Cohen-Macaulay strict en p. Soit X un G-module fini de p-torsion. On posera: X = Homz(X,I'P). C'est un G-module discret de p-torsion. Le foncteur X ~-~ .~ est exact (I'P est divisible). P r o p o s i t i o n 4.4. L 'isomorphisme de dualitd ddfinit un isomorphisme de O-]oncteurs: n o m z ( g q ( G , X), Q / Z ) _T_., g " - q ( G , X ) , l'isomorphisme dtant ddJini par le cup-produit:

Hq(G,X) x H"-q(G,X) u___. H.(G,~p) et l'homomorphisme canonique: Q: H n ( G , I "p) - - * q / Z

.

4. Application du th~or~me de dualit~

75

Ddmonstration. En effet, le th~or~me de dualit~ s'~crit:

H o m z ( H ° ( G , X), Q / Z ) - ~ E x t ~ - q ( X , I'P) . Mais X est de type fini et I'P est divisible. Le corollaire 2.5 nous fournit alors un isomorphisme: E x t ~ - q ( X , I'P) ~

s n - q ( G , Homz(X, IP)) = Hn-q(G, X )

d'ofi l'isomorphisme annoncd. Le fait que l'isomorphisme de dualitd soit ddfini par le cup-produit fournit la seconde partie de la proposition. Ddfinition 4.5. Un groupe profini G est dit de Poincard en p si G est de CohenMacaulay strict en p et si le module dualisant de G est isomorphe, en tant que groupe ab~lien, ~ Q p / Z p .

P r o p o s i t i o n 4.6. Soit G u n pro-p-groupe tel que cdp(G) = n. Les propridtds suivantes sont dquivalentcs: 1) G est un groupe de Pomcard en p. 2) Les Hq(G) sont des espaces vectoriels de dimension finie; Hn(G) est de dimension 1; le cup produit: Hq(G) × H'~-q(G) v_~ Hn(G ) est une forme bilindairc non ddgdndrde. 1) ~ 2). Remarquons d ' a b o r d que le sons-G-module de I'P: noyau de la multiplication par p, est isomorphe ~ Z / p Z en tant que groupe ab61ien et que G y op~re trivialement (G est un pro-p-groupe). Ecrivons l'isomorphisme de dualit6: nomz(H'~(G), Q/Z) ~

HomG(Z/pZ, IP) - ~ Z / p Z ,

ce qui montre que H n (G) est de dimension 1. Ensuite le G-module Z / p Z ~tant isomorphe au C-module Z / p Z , la prop. 4.4 fournit un isomorphisme: Homz(Hq(G), Z / p Z ) - ~ H'~-q(G) ,

ce qui montre que les espaces vectoriels Hq(G) sont isomorphes ~ leurs biduaux et que par suite ils sont de dimension finie. De plus, on v6rifie ais6ment, k l'aide de la prop. 4.4, que l'isomorphisme pr6c6dent est d6fini par le cup-produit: Hq(G) × H'~-q(G) ~

H"(G) ,

et que par suite ce cup-produit est non d6g6n6r~. 2) ~ 1). Cette implication a d6jh 6t6 d~montr~e (chap. I, § 4, n ° 5, d6monstration de la prop. 30). P r o p o s i t i o n 4.7. Soit G u n groupe profini de p-dimension cohomologique finie. Supposons qu'il existe un sous-groupe ouvert V de G qui soit de Cohen-Macaulay en p (resp. de Cohen-Macaulay strict en p, resp. de Poincarg en p). Alors G est de CohenMacaulay en p (resp . . . . ). La rdciproque est vraie i.e. si G est de Cohen-Macaulay en p (resp . . . . ), tout sous-groupe ouvert V de G est de Cohen-Macaulay cn p (resp . . . . ). Ces ~nonc~s sont triviaux ~ partir des d~finitions et de la prop. 3.8. Lazard a montr6 que, si G est un groupe analytique de dimension n sur Qp, tous les sous-groupes ouverts de G assez petits sont des groupes de Poincar6. On a done:

76

Annexe 2. (J-L. Verdier) - Dualit~ dans la cohomologie des groupes profinis

C o r o l l a i r e 4.8. Soit G u n 9roupe analytique de dimension n sur Qn, compact, de pdimension cohomologique finie. Alors G est un groupe de Poincarg en p de dimension n. Exercices. 1) Soit G u n groupe profini dont l'ordre est divisible par pOO. Montrer que

H ° ( I ~ ) -- {0}. 2) Soit G u n l'&luivalence:

groupe de Cohen-Macaulay en p et soit n = cdp(G). Montrer

G de Cohen-Macaulay strict en p ~

tim H o m z ( H n - l ( V ) , Q / Z ) = {0} .

-----4 V~cor

3) Soit G u n groupe de p-dimension cohomologique 1. Alors G est un groupe de Cohen-Macaulay strict en p. 4) Soient F ( J ) un p-groupe libre, { a i } i e j les g6n6rateurs, (a~) les sous-groupes ferm~s engendr~s par les g6n6rateurs. Montrer que le module dualisant de F ( J ) est

iEJ

Annexe

3. - L ' i n 6 g a l i t 6 d e G o l o d - S a f a r e v i ~

II s'agit de prouver l'6nonc6 suivant (cf. n ° 4.4): Th6orhme

1. Si G est un p-groupe ~ 1, on a r > d2/4, avec

d= dimH~(G,Z/pZ)

et

r = dimH2(G,Z/pZ)

.

O n va voir que ce th~or~me provient d ' u n r~sultat gfin~ral sur les alg~bres locales.

§ 1.

Enoncfi

Soit R u n e alg~bre de dimension finie sur un corps k, et soit I un id6al bilat~re de R. O n fait les h y p o t h ~ e s suivantes: (a) R = k ~ / . (b) I e s t nilpotent. Ces hypotheses entrainent que R e s t un anneau local (non n & e s s a i r e m e n t commutatif) de radical I et de corps r4siduel k, cf. Bourbaki AC II, n ° 3.1. Si P e s t un R - m o d u l e (g gauche), de type fini, les Torff(P, k) sont des k-espaces vectoriels de dimension finie. On posera:

t~(P) = dim~ Toria(P, k) . Soit m = to(P) = dimk P / I . P . Si ¢ 1 , . . . , a~m est une k-base de P / I . P , soient x l . . . . , xm des rel~vements dans P de ~ 1 , . . . ,era. D'apr~s le l e m m e de Nakayama, les x~ engend r e n t P . Ils d6finissent done un m o r p h i s m e surjeetif

x:Rm----,p, et l'on a Ker(x) C I . R m. Ceci s'applique n o t a m m e n t ~ P = k, avec m -- 1, xl = 1 et Ker(x) = I. O n a:

to(k) = 1 , tt (k) = dimk TOrlR(k, k) = dimk I / I 2 ,

t2(k) = dimk Tor~(k, k) = dimk T o r ~ ( l , k) . Nous allons d6montrer: Th6or~me

1'. Si I ~ O, on a t2(k) > t l ( k ) 2 / 4 .

Cet ~noncd entraine le th. 1. En effet, si l'on prend k = F v e t R = Fv[G], l'alg~bre R e s t une alghbre locale dont le radical I e s t l'id~al d'augrnentation de R (cela r~sulte, par exemple, de la prop. 20 d u n ° 4.1). De plus, on a Tor~(k, k) -- H~(G, Z / p Z ) , d'ofi

ti(k) = dim Hi(G, Z / p Z ) = dim HI(G, Z / p Z ) , puisque Hi(G, Z / p Z ) et H i ( G , Z / p Z ) sont d u a u x l'un de l'autre. D'ofi le th. 1.

78

A n n e x e 3. L'indgMit6 de Golod-Safarevi~

§ 2.

D6monstration

Posons d = t l ( k ) et r = t2(k). On a: d=tl(k)=to(I)=dimkl/12

r=t2(k)=ta(l).

et

L'hypoth~se I ~ 0 &tuivaut h d > 1. D'apr~s ce qui a dtd dit plus haut, il existe une suite exacte O -.-~ d - - - . Rd ----. I -.-~ O , avec J C I . R d. C o m m e r = t l ( I ) = t 0 ( J ) , on voit que J est isomorphe ~ un quotient de R r. D ' o h une suite exacte R r - _ ~ Rd......~ I.......~ O ,

avec Im(6) = g C I . R d (ddbut d ' u n e rgsolution m i n i m a l e de I, cf. e.g. [24], [66]). E n faisant le p r o d u i t tensoriel de c e t t e suite exacte par R / r ' , o/l n e s t un entier > 0, on obtient la suite exacte (R/I'~) ~ ~

( R / I ' ~ ) d -----, I l I '~+' ~

O.

Mais le fait que l'image de e soit contenue dans I • R d montre que l ' h o m o m o r p h i s m e ( R / I ' ~ ) ~ ---, ( R / I ' ~ ) d se factorise par ( R / I n - l ) ~. O n obtient ainsi une suite exacte (R/r*-l) ~

, (R/In) ~ ~

I / I n+x ~

O.

D'ofi l'indgalit6 d . dimk R / I '~ < r . d i m k R / I '~-1 + dimk I / I "~+1 , valable p o u r t o u t n > 1. Si l'on pose a(n) = d i m k R / I n, ceci s'6crit: (*.)

d" a(n) < r . a ( n -

1) + a ( n + 1) - 1

(n >_ 1).

Une premiere consdquenee de ( . . ) est l'indgalitd r > 1. En effet, s i r = O, on a d . a(n) 1, puisque Ap = r). Posons A ( n ) = a(n) - Aa(n - 1) .

On a A ( n + 1) - ~ A ( n ) : a ( n + 1) - (A + # ) a ( n ) + A~aCn - 1) = a(,~ + 1) - d . aCn) + r . ~ ( n - 1 ) ,

ce qui p e r m e t de rdcrire (*n) sous la forme: (*~n)

A ( n + 1) - p A ( n ) >_ 1

pour n > 1.

Or on a a(0) = 0, a(1) = 1, a(2) = d + 1, d ' o h A(0) = 0, A(1) = 1, A(2) = d + 1 - A = 1 + #. O n ddduit alors de (.~), par r~currence sur n, que A(n) > 1 + # +... + pn-,

( n >_ 1).

C o m m e # > 1, ceei entra~ne A ( n ) > n. C'est absurde puisque a ( n ) , donc aussi A ( n ) , est c o n s t a n t p o u r n grand. O n a donc bien d z - 4r < 0, eqfd.

2. D 6 m o n s t r a t i o n

79

Exercice. Soit G u n pro-p-groupe. O n pose d = dim H i ( G , Z / p Z ) , r = dim H2(G, Z / p Z ) et l'on suppose clue d et r sont finis (de sorte que G est "de pr6sentation finie"). (a) Soit R la limite projective des alg~bres Fp[G/U], off U p a r c o u r t l'ensemble des sous-groupes ouverts n o r m a u x de G. Montrer que R est une Fp-alg~bre locale, de radical I = K e r : R --* F v. (b) M o n t r e r que I n est de codimension finie darts R. O n pose a(n) = dim R / I n. Montrer que dim 1/12 = d, et que, si on ~crit I sous la forme R d / J , on a d i m J / I J = r, cf. B r u m e r [24] et U a r a n [66]. En d~duire que l'in~galit~ (*n) est encore valable (m~me d~monstration). (c) On suppose d > 2 et r _ 1, premier d la caractdristique de k. Soit Izn le groupe des racines n-i~mes de l'unitd (dans ks). On a:

Hl(k, pn) = k*/k *n .

84

§ 1. G~n6ralit~s On a une suite exacte: ' #n

1

' Gm

n

Gm

~

1 ,

oh n d~signe rendomorphisme x ~-* x n. D'oh la suite exacte de eohomologie:

k* n k*

, Hl(k,#n) ~

H l ( k , Gm) .

Le corollaire en r~sulte puisque H i ( k , Gin) = 0, d'apr~s la prop. 1.

Remarques. 1) Le m~me argument montre que H2(k, IZn) s'identifie h Brn(k), noyau de la multiplication par n dans Br(k). 2) Si/z~ est contenu dans k*, on peut identifier #n ~ Z / n Z en faisant choix d'une racine primitive n-i~me de l'unit~. Le corollaire ci-dessus donne done un isomorphisme entre les groupes:

k*/k *n

et

Hom(Gk,Z/nZ) = HI(k,Z/nZ) .

On retrouve la classique "th~orie de Kummer", cf. Bourbaki A.V. § l l . n ° 8.

§ 2. Crit

res de dimension cohomologique

Dans les paragraphes suivants, on note Gk le groupe de Galois de ks~k, o6 ks est une cl6ture s6parable de k. Ce groupe est d6termin6 ~ isomorphisme (non unique) pr~s. S i p est un nombre premier, on note Gk(p) le plus grand quotient de Gk qui soit un pro-p-groupe; le groupe Gk (p) est le groupe de Galois de l'extension ks(p)/k; cette extension est appel6e la p-extension maximale de k. On se propose de donner des crit~res permettant de calculer la dimension cohomologique de Gk et des Gk(p), cf. Chap. I, § 3.

2.1. Un

r~sultat

auxiliaire

P r o p o s i t i o n 2. Soit G u n groupe profini, et soit G(p) = G / N le plus grand quotient de G qui soit un pro-p-groupe. Supposons que cdv(N ) _< 1. Les applications

canoniques Hq(G(p), Z/pZ)

, Hq(G, Z / p Z )

sour alors des isomorphismes. En particulier, cd(G(p)) < cdv(G ). Soit N / M le plus grand quotient de N qui soit un pro-p-groupe. Il est clair que M est distingu~ dans G, et que G/M est un pro-p-groupe. Vu la d6finition de G(p), ceci entraine M = N. Ainsi, tout morphisme de N dans un pro-pgroupe est trivial. En particulier, on a Hi(N, Z / p Z ) = 0. D'autre part, puisque cdp(N) < 1, on a H'(N,Z/pZ) = 0 pour i > 2. Il r~sulte alors de la suite spectrale des extensions de groupes que l'homomorphisme

Hq(G/N, Z/pZ)

, Hq(G, Z/pZ)

est un isomorphisme pour tout q >_ 0. L'in6galit~ cd(G/N) 2 r~sulte des th~or~mes plus precis de Tate et Poitou qui seront ~noncds au n ° suivant. Soit T u n e partie de V contenant S, et soit P~(k,A) le sous-groupe de PI(k,A) form~ des ~l~ments (x~) tels que xv E H~r(kv, A ) pour tout v ~ T. Il est clair que P~(k, A) est compact, et que r~ciproquement tout sous-ensemble compact de pI(k,A) est contenu dans l'un des P~(k,A). Il nous suffira donc de prouver que l'image r~ciproque XT de P~(k, A) dans Hi(k, A) est finie. Par d~finition, un ~l~ment x E HI(k,A) appartient ~ XT si et seulement si il est non ramifi~ en dehors de T. D~signons, comme ci-dessus, par K / k une extension galoisienne finie de k telle que GK op~re trivialement sur A, et soit T ' l'ensemble des places de K prolongeant les places de T. On voit facilement que l'image de XT dans Hi(k, A) est form~e d'~l~ments non ramifies en dehors de T; comme le noyau de H l(k, A) --* HI(K, A) est fini, on est donc ramen~ k montrer que ces ~l~ments sont en hombre fini. Ainsi (quitte ~ remplacer k par K), on peut supposer que Gk op~re trivialement sur A. On a alors Hi(k, A) -- Hom(Gk, A). Si ~o e Hom(Gk, A), ddsignons par k(~) l'extension de k correspondant au noyau de ~; c'est une extension ab~lienne, et ~a d~finit un isomorphisme du groupe de Galois G(k(~o)/k) sur un sous-groupe de A. Dire que to est non ramifi~ en dehors de T signifie que l'extension k(~o)/k est non ramifi~e en dehors de T. C o m m e les extensions k(~) sont de degr~ borne, le th~or~me de finitude que nous voulons d~montrer est une consequence du r~sultat plus precis suivant: L e m m e 6. Soit k un corps de hombres algdbriques, soit r un entier, et soit T

un ensemble ]ini de places de k. II n'existe qu'un hombre fini d'extensions de degrg r de k qui soient non ramifides en dehors de T. On se f a m i n e tout de suite au cas oh k ~- Q. Si E est une extension de Q de degr~ r non ramifi~e en dehors de T, le discriminant d de E sur Q n'est divisible que par des nombres premiers p appartenant ~ T. De plus, l'exposant de p dans d est born~ (cela r~sulte, par exemple, du fait qu'il n'existe qu'un nombre fini d'extensions du corps local Qp qui soient de degr~ < r, cf. Chap. III, n ° 4.2; voir aussi [145], p. 67). Les discriminants d possibles sont donc en nombre fini. C o m m e il n'existe q u ' u n nombre fini de corps de hombres ayant un discriminant donn~ (th~or~me d'Hermite), cela d~montre le lemme.

118

§ 6. Corps de nombres alg6briques

6.3. E n o n c f s d e s t h 6 o r ~ m e s d e P o i t o u et T a t e Conservons les notations pr6c6dentes, et posons A ~ = Horn(A, Gin). Le th6or~me de dualit6 du cas local, joint ~ la prop. 19 du n ° 5.5, entrMne que P°(k, A) est dual de p2(k,A~) et P I ( k , A ) est dual de P I ( k , A ' ) [il faut faire un peu attention aux places archim6diennes - cela marche, grace A la convention faite au d6but d u n ° 6.1.]. Les trois th6or~mes suivants sont nettement plus difficiles. Nous nous bornerons ~ les 6noncer: T h ~ o r ~ m e A . Le noyau de fl

: HI(k,A) f~ : H 2 ( k , A ') --, H H2(k,,,A ') sont en dualitd.

--* [ I H I ( k ~ , A )

et celui de

On observera que cet 6nonc6, appliqu6 au module X , entraine la finitude du noyau de f2; le cas i = 2 du th6or6me 7 r6sulte imm~diatement de 1~. T h 6 o r 6 m e B . Pour i > 3, l'homomorphisme

f~ : g ' ( k , A ) ---* 1-I H ' ( k ~ , A ) est un isomorphisme. [Bien entendu, on peut se borner aux places v qui sont r6elles, i.e. telles que k~ = R.] T h ~ o r 6 m e C . On a une suite exacte:

04

H°(k,A) (fini)

--* l - I g ° ( k v , A ) ~ H 2 ( k , A ' ) * ~ (compact)

(compact)

HI(k,A) (discret)

~,,

I] Hl(kv, A) ~/ (loc.compact)

0 *-- H ° ( k , A ' ) * ~ H H 2 ( k , , A ) (fini)

(discret)

~- H 2 ( k , A ) (discret)

~ gl(k,A') * (compact)

Tous les homomorphismes qui figurent dans cette suite sont continus. (On a not6 G* le dual - au sens de Pontrjagin - du groupe localement compact G.) Ces th6or~mes sont 6nonc6s dans l'expos6 de Tate $ Stockholm [171], avec de br~ves indications sur les d6monstrations. D'autres d6monstrations, dues Poitou, se trouvent dans le s6minaire de Lille de 1963, cf. [126]. Voir aussi Haberland [65] et Milne [116].

Indications bibliographiques sur le Chapitre II

La situation est tout ~ fait analogue £ celle du Chapitre I: presque t o u s l e s r~sultats sont dus £ Tate. La seule publication de Tate ~ ce sujet est son expos~ ~ Stockholm [171], qui contient une foule de r~sultats (beaucoup plus qu'il n'a ~t~ possible d'exposer ici), mais tr~s peu de d~monstrations. Heureusement, les d~monstrations du cas local ont ~t~ r~dig~es par Lang (notes polycopi~es); d'autres se trouvent dans l'expos~ de Douady au s~minaire Bourbaki [47]. Mentionnons ~galement: 1) L'int~r~t de la notion de "dimension cohomologique" (pour le groupe de Galois Gk d'un corps k) a ~t~ signal~ pour la premiere lois par Grothendieck, propos de son ~tude de la "cohomologie de Weil". La prop. 11 d u n ° 4.2 lui est due. 2) Poitou a obtenu les r~sultats du § 6 ~ peu pros en m~me temps que Tate. Il a expos~ ses d~monstrations (qui semblent diff~rentes de celles de Tare) dans le sdminaire de Lille [126]. 3) Poitou et Tate ont dt~ tous deux influences par les rdsultats de Cassels, relatifs ~ la cohomologie galoisienne des courbes elliptiques, cf. [26].

Annexe - Cohomologie galoisienne des extensions transcendantes pures [Le texte qui suit reproduit, avec des changements mineurs, le r4sum4 des cours de la chaire d'Alg~bre et G~om4trie, publi4 dans l'Annuaire du CoU~ge de France, 1991-1992, p. 105-113.]

Le cours a comport4 deux parties.

Cohomologie de

1.

k(T)

Il s'agit de r4sultats essentiellement connus, dus ~ Faddeev [50], Scharlau [138], Arason [3], Elman [49]. . . . On peut les r4sumer comme suit:

§ 1.

Une suite exacte

Soient G u n groupe profini, N un sous-groupe distingu4 ferm4 de G, F l e quotient G / N , et C un G-module discret sur lequel N op~re trivialement (i.e. un F-module). Faisons l'hypoth%se: (1.1) H ~ ( N , C ) = 0 pour tout i > 1. La suite spectrale H ° (U, H ° (N, C)) =~ H" (G, C) d4g6n~re alors en une suite exacte: (1.2) • .. , g ' ( P , C ) ~ H~(G,C) r H , - I ( U , H o m ( N , C ) ) - - ~ H i + l ( p , C ) . . . . L'homomorphisme r : H i ( G , C ) ~ H~-I(F, H o m ( N , C ) ) figurant dans (1.2) est d4fini de la mani~re suivante (cf. Hochschild-Serre [72], Chap. II): Si a est un ~14ment de Hi(G, C), on peut repr4senter a par un cocycle a ( g l , . . . , gl) qui est normalis4 (i.e. 4gal ~ 0 lorsqu'un des g, est 4gal ~ 1), et qui ne d4pend que de 91 et des images 72 . . . . ,7i de g2,... ,g~ dans F. Pour 72,... ,7~ fix4s, l'application de N dans C d~finie pax n ~-~ a(n, g 2 , . . . , g i ) (n 6 N), est un 41~ment b(72,..., ~ ) de Horn(N, C) et la (i - 1)-cocha~ne b ainsi d4finie sur F est un (i - 1)-cocycle ~ valeurs dans Hom(N, C); sa classe de cohomologie est r(a). Faisons l'hypoth~se suppl6mentaire: (1.3)

L'extension

1 ----* N ----* G ----* F

~1

est scmdge.

L'homomorphisme H~(F, C) ---* Hi(G, C) est alors injectif, et (1.2) se r4duit ~ la suite exacte:

(1.4)

0

, H' (F, C) ---* H' (G, C) -/-* H'-' (F, Horn(N, C)) ---* 0.

2. Le cas local § 2.

121

Le cas local

Si K est un corps, on note Ks une clSture sdparable de K, et l'on pose GK = G ( K s / K ) . Si C est un G g - m o d u l e (discret), on dcrit H I ( K , C) h la place de H i ( G K , C). Supposons que K soit muni d'une valuation discrgte v, de corps rdsiduel k(v); notons Kv le compl6t6 de K pour v. Choisissons un prolongement de v h Ks; soient D et I les groupes de d~composition et d'inertie correspondants; on a D -~ G ~ . et D / I ~- G~(~). Soit n u n entier > 0, premier h la caract6ristique de k(v), et soit C u n GK-module tel que n C = 0. Faisons l'hypoth~se suivante:

C est non ramifid en v

(2.1)

(i.e. l op~re trivialement sur C).

On peut alors appliquer h la suite exacte 1 - , I --* D --* Gk(~) --* 1 les r~sultats du § 1 (les hypoth~ses (1.1) et (1.3) se v~rifient sans difficultY). Le Gk(~)-module Horn(I, C) s'identifie h C ( - 1 ) -- Hom(#,~, C), oh p~ d~signe le groupe des racines n-i~mes de l'unit~ (dans k(v)~ ou dans Ks, cela revient au m~me). Vu (1.4), cela donne la suite exacte: (2.2)

0 ~

HiCk(v), C) ----* H i ( K v , C) -Y--* H i - l ( k ( v ) , C ( - 1 ) ) ---* 0 .

Soit a C H i ( K, C) et soit c~v son image (par restriction) dans H i ( K ~ , C). L'dl6ment r(av) de H i - l ( k ( v ) , C ( - 1 ) ) est appel~ le rdsidu de ct en v, est not6 r~(c~). S'il est non nul, on dit que t~ a un p61e en v. S'il est nul, on dit que a est rdgulier (ou "holomorphe") en v; dans c e c n s , a , s'identifie h u n dldment de H i ( k ( v ) , C ) , qui est appel~ la valeur de ct en v, et not6 a(v).

§ 3.

Courbes

alg6briques et corps de fonctions d'une variable

Soit X une courbe projective lisse connexe sur un corps k, et soit K = k ( X ) le corps de fonctions correspondant. Soit X l'ensemble des points fermds du schdma X. Un dldment x de _X peut ~tre identifi~ ~ une valuation discrete de K, triviale sur k; on note k(x) le corps rdsiduel correspondant; c'est une extension finie de k. Comme ci-dessus, soit n un entier > 0, premier k la caract6ristique de k, et soit C u n Gk-module tel que n C = 0. Le choix d ' u n plongement de ks dans Ks ddfinit un homomorphisme GK ---* Gk, ce qui permet de considdrer C comme un Gg-module. Pour tout x E X , l'hypothbse (2.1) est satisfaite. Si c~ E H I ( K , C), on peut donc parler du r~sidu rx(c~) de c~ en x; on a rx(a) e g ~ - l ( k ( x ) , e ( - 1 ) ) . On ddmontre: (3.1) On a r~:(c~) = 0 pour tout x e X saul un hombre fini (autrement dit l'ensemble des pSles de c~ est fini). De faqon plus pr6cise, soit L / K une extension galoisienne finie de K assez grande pour que c~ provienne d ' u n 61~ment de H i ( G ( L / K ) , CL), oh CL = H°(GL, C). On a r~(a) = 0 pour tout x en lequel l'indice de ramification de L / K est premier h n. (3.2) On a la "formule des rdsidus": Z C o r k k(x) r~(~) = 0 xex

dans Hi-1 (k, C ( - 1 ) ) ,

off wor k ' ~ k(x) : H ' - l ( k ( x ) , C ( - 1 ) ) --* H ' - l ( k , C ( - 1 ) ) striction relativement h l'extension k ( x ) / k .

ddsigne l'homomorphisme de core-

122

Annexe. Cohomologie galoisienne des extensions transcendantes pures

(Pr6cisons ce clue l'on entend pax Cor~ si F / E est une extension finie: c'est le produit de la corestriction galoisienne nsuelle (correspondant h Pinclnsion GF --* GE) par le degr6 ins6parable [F : E]~. Le compos6 Cor~ o Res~ est 6gal h la multiplication pax I F : E].)

Application Soit f E K*, et soit D = )-~xex_ n x x le diviseur de f. Supposons D disjoint de l'ensemble des p61es de a. Cela permet de d6finir un 616ment a(D) de Hi(k, C) par la formule a ( D ) = Z n~wor k(~) k a(x). ~.

xelDI

On d~Iuit de (3.2) la formule suivante: (3.3)

c~(D) =

~

Corkk(=)(f(x))'rx(a) ,

x p S l e d v t~

o~: (f(x)) est l'61~ment de H l ( k ( x ) , pn) d6fini par l'~16ment f(x) de k(x), v/a la th~orie de Kummer; rx(a) e H i - l ( k ( x ) , C ( - 1 ) ) est le r~sidu de t~ en x; (f(x)).r~ (a) est le cup-produit de (f(x)) et de r~(a) dans Hi(k(x), C), relativement l'application bilin6aire/zn x C ( - 1 ) --* C. Lorsque c~ n'a pas de p61es, (3.3) se r6duit a(D) = 0 , analogue cohomologique du thdor~me d'Abel. Cela permet d'associer h (~ un homomorphisme du groupe des points rationnels de la jacobienne de X dans le groupe Hi(k, C); pour i = 1, on retrouve une situation 6tudi~e dans le cours de 1956-1957, cf. Groupes Algdbriques et Corps de Classes [144].

§ 4.

L e c a s o h K ---- k ( T )

C'est celui oh X est la droite projective P1. Du fait que X poss~ie tin point rationnel, l'homomorphisme canonique Hi(k, C) -+ H i ( K , C) est injectif. Un 616ment de HI(K, C) est dit constant s'il appartient ~ Hi(k, C). On d6montre: (4.1) Pour que ~ E H I ( K , C) soit constant, il faut et il suj~it que rx(a) = 0 pour tout x E X (i.e. que a n'ait pas de pSles). (4.2) Pour tout x E X_, soit gx e H i - l ( k ( x ) , C ( - 1 ) ) . x saul un nombre fini, et que: k(x)

~--~ Cor~

0x=0

Supposons que O= = 0 pour tout

dansHi-l(k,C(-1)).

Il existe alors a 6 H i ( K , C) tel que r~(a) = 0= pour tout x E X . On peut r~sumer (3.1), (3.2), (4.1), (4.2) par la suite exacte: (4.3) 0 ~Hi(k,C) ~ HI(K,C) ~ ~)Hi-l(k(x),C(-1)) ~ H i - I ( k , C ( - 1 ) ) --~ O. xex_

5. Notations

123

Remarque. Soit a • H i ( K , C ) , et soit P~ l'ensemble de ses p61es. Les dnoncds ci-dessus mont r e n t que a est d4termind sans ambiguitd par ses rdsidus, et par sa valeur en un point rationnel de X non contenu dans Pa. En particulier, la valeur de a peut se calculer p a r t i r de ces donn~es. Voici un formule p e r m e t t a n t de faire un tel calcul si oo ~ P~: (4.4)

=

(oo) +

-

~EPa

oh (~(x) est la valeur de a en un point rationnel x • X ( k ) , x ~ P~, x ~ oo; a(cx~) est la valeur de a au point cx); (x - y) est l'dldment de H 1( k ( y ) , / ~ ) ddfini par x - y; (x - y).ru(a ) est le cup-produit de (x - y) par le r~sidu r~(a), calculd dans H~(k(y), C); k est la corestriction: H ' ( k ( y ) , C) --* H i ( k , C). C or k(u) Cela se ddduit de (3.3), appliqud tt la fonction f ( T ) = x - T, dont le diviseur D est

(x) - (oo). Gdndralisation d plusieurs variables Soit K = k(T1,...,71,,) le corps des fonctions de l'espace projectif P m de dimension m. T o u t diviseur irrdductible W de P m ddfinit une valuation discrete v w de K. L'dnoncd suivant se ddduit de (4.1) par rdcurrence sur m: (4.5) Pour que c~ • H i ( K , C )

soit constant (i.e. a p p a r t i e n n e h H i ( k , C ) ) , il faut et il su~it que c~ n'ait de p6le en aucune valuation v w (et l'on p e u t m6me se borner aux W distincts de l'hyperplan h l'infini, i.e. on p e u t se placer sur l'espace a~ine de dimension m, et non sur l'espace projectif).

2. § 5.

Application: spdcialisation du groupe de Brauer Notations

Ce sont celles du § 4, avec i = 2 et C = p , , d'ofi C ( - 1 ) = Z / n Z . O n a H 2 ( K , C ) = B r . ( K ) , noyau de la multiplication par n dans le groupe de B r a u e r B r ( K ) . La suite exacte (4.3) s'dcrit alors: 0 ---* Brn(k) ~

Brn(K) ~

~ H l ( k ( x ) , Z / n Z ) ---* H i ( k , Z / n Z ) ~ xex

0.

Elle est due ~t D.K. Faddeev [50]. Soit a E B r n ( K ) , et soit P~ C X l'ensemble de ses p61es. S i x E X ( k ) est un point rationnel de X = P1, et s i x ~ Pa, la valeur de a en x est un ~ldment a ( x ) de Brn(k). O n s'int~resse h la variation de a ( x ) avec x, et en particulier h l'ensemble V i a ) des x tels q u e a ( x ) = 0 ("lieu des zdros de a " ) . O n aimerait c o m p r e n d r e la s t r u c t u r e de V(c~). ( P a r exemple, si k est infini, est-il vrai que V(c~) est, soit vide, soit de cardinal dgal celui de k?) Le cas oh n = 2 et oh a est un symbole (f, g), avec f, g E K*, est particuli~rement intdressant, h cause de son interpretation en termes du fibrg en coniques de base X d$fini par l'dquation homog~ne

U2 - f(T)V 2 -

g ( T ) W2 = 0 .

124

Annexe. Cohomologie galoisienne des extensions transcendantes pures

L'dtude de V(a) peut &re abordde de plusieurs points de vue. Le eours en a envisagd trois: annulation de a par changement de base rationnel (cf. § 6), conditions de Marlin et approximation faible (cf. § 7), bornes du crible (cf. § 8).

§ 6.

Annulation par changement de base

On suppose, pour simplifier, que k est de caractdristique 0. Soit c~ e B r , ( K ) , avec g = k(T) comme ci-dessus. Soit f ( T ' ) une fonction rationnelle en une variable T~; supposons f non constante. Si l'on pose T = f(T~), on obtient un plongement de K dans K ~ = k(T'). D'o/L par changement de base, u n ~ldment f * a de B r n ( g ' ) . On dit clue c~ est tug par K ' / K (ou par f) si f * ~ = 0 dans Br,~(g'). S'il en est ainsi, on a a(t) = 0 pour tout t E X ( k ) qui n'est pas un p61e de a, et qui est de la forme f ( t ' ) , avec t' E P l ( k ) . En particulier, Y(a) est non vide (et mfime de cardinal ~gal h eelui de k). On peut se demander s'il y a une rdciproque. D'o5 la question suivante: (6.1) Supposons V ( a ) non vide. Existe-t-il une fonction rationneUe non eonstante f qui rue a ? Voici une variante ~ point base de (6.1): (6.2) Soit to E Y(&). Existe-t-il f comme dans (6.1), telle que to soit de la ]orme f(t~o), avec t~o e P l ( k ) ? On sait (Yanchevskii [188]) que (6.2) a une rdponse positive si k est local hens~lien ou si k = R. Lorsqu'on ne fait pas d'hypothb~se sur k, on n ' a de rdsultats clue pour n = 2. Pour les dnoncer, introduisons la notation suivante: (6.3)

d(a) = degP~ = ~ [k(x) : k] . zEP~

(L'entier d(c~) est le hombre de p~les de ~, multiplicitds comprises.) T h 6 o r ~ m e 6.4 (Mestre [112]). La question (6.2) a une rdponse positive lorsque n = 2 et d(a) < 4. Remarques. 1) La ddmonstration du th. 6.4 donne des informations suppldmentaires sur les corps K ' = k(T') qui tuent ~; par exemple, on peut s'arranger pour que [K' : K] = 8. 2) Mestre a ~galement obtenu des r~sultats dans le c a s n = 2, d(c~) = 5. Voiei une consdquenee du th. 6.4 (cf. [113]): T h ~ o r ~ m e 6.5. Le groupe SL2(FT) a la propridtd "GaiT", i.e. eat groupe de Galois d'une extension galoisienne Q-rdguli&e de Q(T). En particulier il existe une infinitd d'extensions galoisiennes de Q, deux k deux disjointes, dont le groupe de Galois est SL2(F7). I1 y a des r~sultats analogues pour les groupes A~12, 6-Ae et 6-A7.

7. Conditions de Martin, approximation faible et hypothbze de Schinzel § 7.

Conditions Schinzel

de Manin,

approximation

faible et

hypoth~se

125 de

On suppose maintenant que k est un corps de nombres algdbriques, de degr~ fini sur Q. Soit ,U l'ensemble de ses places (archimg 0 tels clue Pi(n) soit un n o m b r e premier pour i -- 1 . . . . ,m.]

Remarque. Le th. 7.6 p e u t ~tre 6tendu aux syst~mes d'dquations as(x) = 0, oh les as sont des ~16ments de B r n ( K ) en hombre fini. O n doit alors remplacer S u b ( a ) par l'ensemble des ~ E B r n ( K ) tels que, pour t o u t x E _X, r x ( ~ ) a p p a r t i e n n e au sous-groupe de Hl(k(x), Z / n Z ) engendr~ par les r ~ ( a , ) .

§ 8.

Bornes

du crible

O n conserve les n o t a t i o n s ci-dessus, et l'on suppose (pour simplifier) que k -- Q. Si

x e X(k) = P I ( Q ) , on n o t e H(x) la hauteur de x: s i x = p/q ofl p e t q sont des entiers premiers entre eux, on a H(x) = sup(Ip I, Iql). Si H --* c~, le nombre des x tels que g ( x ) < H est cH 2 + O(H. log H ) , avec c = 12/7r 2. Soit N~(H) le h o m b r e des x e V(t~) tels que H(x) < H. O n aimerait connaitre la croissance de Na(H) q u a n d H --* oo. Un a r g u m e n t de crible [155] p e r m e t en t o u t cas d ' e n donner une majoration. Pour Snoncer le r6sultat, convenons de n o t e r ex(c~) l'ordre du r6sidu r x ( a ) de a en x (pour x E X ) ; on a e x ( a ) = 1 si x n'est pas un pSle de a. Posons (S.l) 5(a) = Z ( I - 1/ex(a)) • xEx Th~or~me

8.2.

On a N~(H) > H2/(logH) '(•) pour H assez grand, si V(a) ~ O? (Pour un r~sultat encourageant dans cette direction, voir Hooley [73].)

Remarque. II y a des 6nonc6s analogues p o u r les corps de nombres, et p o u r les syst~mes d'6quations ai(x) = 0; on dolt alors remplacer ex(a) par l'ordre du groupe engendr6 par les r x ( a l ) .

Chapitre III

Cohomologie galoisienne non commutative

§ 1. F o r m e s

Ce paragraphe est consacr~ ~ l'illustration d'un "principe" g~n~ral, qui s'~nonce approximativement ainsi: Soit K/k une extension de corps, et soit X un "objet" d~fini sur k. Nous dirons qu'un objet Y, d~fini sur k, est une K/k-forrae de X si Y devient isomorphe ~ X lorsqu'on ~tend le corps de base ~ K. Les classes de telles formes (pour la relation d'~quivalence d~finie par les k-isomorphismes) forment un ensemble E(K/k, X).

Si K/k est galoisienne, on peut dtablir une correspondance bijeetive entre E(K/k, X) et HI(G(K/k),A(K)) oit A(K) ddsigne le groupe des K-automorphismes de X. I1 serait ~videmment possible de justifier cet 6nonc6 en d6finissant axiomatiquement la notion d' "objet d6fini sur k", celled' "extension des scalaires", et en leur imposant certaines propri6t6s simples. Je ne m'aventurerai pas jusque l~, et je me bornerai $ traiter deux cas particuliers: celui des espaces vectoriels munis de tenseurs, et celui des vari6t6s alg6briques (ou des groupes alg6briques). Le lecteur que le cas g6n6ral int6resse pourra se reporter $ l'expos6 VI du s6minaire Grothendieck [64], intitul6 "Categories fibr~es et descente"; voir aussi Giraud [54].

1.1. Tenseurs Cet exemple est discutd en d~tail dans [145], Chap. X, § 2. R~sumons-le rapidement: L' "objet" est un couple (V, x), off V est un k-espace vectoriel de dimension finie, et x un tenseur sur V d'un type (p, q) fix& On a donc

x e T~(V)

= TP(V)

® Tq(V *) .

La notion de k-isomorphisme de deux objets (V,x) et (V',x') est claire. Si K est une extension de k, et si (V, x) est un objet d~fini sur k, on obtient un objet (VK, XK) d~fini sur K e n prenant pour VK l'espace vectoriel V ®k K et pour XK l'~l~ment x ® 1 de T~(VK) = T~(V) ®k K. Cela d~finit sans ambigu~t~ la notion de K/k-forme de (V, x); nous noterons E(K/k) l'ensemble de ces formes (~ isomorphisme pros). Supposons d'autre part que K / k soit galoisienne, et soit

1.1. Tenseurs

129

A ( K ) le groupe des K - a u t o m o r p h i s m e de (VK,xK); si s E G ( K / k ) et f E A ( K ) , on d~finit ~f • A ( K ) par la formule: s f = ( l ® s ) o f o (1 ® s - l ) . [Si f est repr6sent6 par une matrice (aij), s f est repr6sent6 par la matrice (~a~j).] On d6finit ainsi une structure de G(K/k)-groupe sur A(K), et l'ensemble H I ( G ( K / k ) , A ( K ) ) est bien d~fini. Soit maintenant ( V ' , x ' ) une K/k-forme de (V,x). L'ensemble P des isomorphismes de (V~., x~¢) sur (VK, XK) est muni de faqon 6vidente d'une structure d'espace homog~ne principal sur A ( K ) , et ddfinit donc un dl~ment p de HS(G(K/k), A(K)), cf. Chap. I, n ° 5.2. En faisant correspondre p h ( V ' , x ' ) on obtient une application canonique

O: E ( K / k ) --* H I ( G ( K / k ) , A ( K ) ) .

Proposition 1. L 'application 0 ddfinie ci-dessus est bijective. La d~monstration est donnde dans [145], loc. cit. Indiquons seulement que l'injectivit~ est triviale, et que la surjectivit~ r~sulte du lemme suivant: L e m m e 1. Pour tout entier n, on a H I ( G ( K / k ) , G L ~ ( K ) ) = 0. (Pour n = 1 on retrouve le "th~or~me 90" bien connu.)

Remarque. Le groupe A ( K ) est en fait d~fini pour toute k-alg~bre commutative K; c'est le groupe des K-points d'un certain sous-groupe alg~brique A de G L ( V ) . Du point de vue matriciel, on obtient les ~quations de A en explicitant la relation TPq(f)x = x [il convient de noter que le groupe alg~brique A ainsi d4fini n'est pas n~cessairement "lisse" sur k (en t a n t que schema) - son faisceau structural peut par exemple avoir des ~l~ments nilpotents non nuls (cf. n ° 1.2, exerc. 2)]. D'apr~s les conventions du Chap. II, § 1, on pourra ~crire H I ( K / k , A) h la place de H 1(G(K/k), A(K)). Lorsque K = ks, on 6crira simplement H 1(k, A). La proposition prdcddente ne nous permet d'~tudier que les extensions galoisiennes. La proposition suivante permet souvent de se ramener h ce cas: 2. Soit g la sous-alg~bre de Lie de gI(V) formde des dldments laissant invariant x (au sens infinitesimal - cf. Bourbaki, LIE I, § 3). Pour que le groupe algdbrique A des automorphismes de (V, x) soit lisse sur k, il faut et il suffit que sa dimension soit dgale h ceUe de g. Si cette condition est rdalisde, toute K/k-fo~ne de (V, x) est aussi une ks/k-fo~rae.

Proposition

Soit L l'anneau local de A en l'~l~ment neutre, et soit m son ideal maximal. On constate facilement que g n'est autre que l'espace tangent ~ A en l'~l~ment neutre, a u t r e m e n t dit |e dual de m / m 2. C o m m e dim(A) = dim(L), on voit que l'~galit~ dim(g) = dim(A) signifie que L e s t un anneau local r~gulier, ou encore que A est lisse sur k en l'~l~ment neutre

130

§ 1. Formes

(donc partout, par translation). Cela d6montre la premiere assertion. Soit d'autre part (V ~, x') une K/k-forme de (V, x), et soit P la k-vari~t~ des isomorphismes de (V ~, x') sur (V, x) [on laisse au lecteur le soin de la d~finir en forme au moyen d ' u n foncteur - ou au moyen d'~quations explicites]; le fait que (V ~, x ~) et (V, x) soient K-isomorphes montre clue P(K) est non vide. On volt alors que PK et AN sont K-isomorphes; en particulier PK est lisse sur K , et il en r~sulte clue P est lisse sur k. D'aprks un r6sultat 61~mentaire de g6amCtrie alg6brique, les points de P t~ valeurs dans k8 sont denses dans P. L'existence d'au moins un tel point suffit ~ assurer que (V, x) et (V', x ~) sont ks-isomorphes, cqfd.

1.2. Exemples a) Prenons pour tenseur x une forme bilin6aire altern6e non d~g~n~rde. Le groupe A est le groupe symplectique S p attach~ ~ cette forme. D'autre part, la th~orie 616mentaire des formes altern6es montre que toutes les formes de x sont triviales (i.e. isomorphes ~ x). D'oh: Proposition

3. Pour route extension galoisienne K / k , on a H i ( K / k , Sp) = 0.

b) Supposons la caract~ristique diff~rente de 2, et prenons pour x une forme bilin6aire sym6trique non d~g~n~r~e. Le groupe A est le groupe orthogonal O(x) d~fini par x. On en conclut: P r o p o s i t i o n 4. Pour route extension galoisienne K/k, l'ensemble H i ( K / k , O(x))

est en correspondance bijective avec l'ensemble des ]ormes quadratiques ddfinies sur k qui sont K-dquivalentes d x. Pour p = 2, il faut remplacer la forme bilin6aire sym6trique par une forme quadratique, ce qui oblige ~ abandonner le cadre des espaces tensoriels (cf. exercice 2). c) Prenons pour x un tenseur de type (1, 2), ou, ce qui revient au m~me, une structure d' alg~bre sur V. Le groupe A est alors le groupe des automorphismes de cette alg~bre, et g l'alg~bre de Lie de ses ddrivations. Lorsque V = M n ( k ) les K/k-formes de V sont simplement les alg~bres centrales simples de rang n 2 sur k, neutralis~es par K ; le groupe A s'identifie au groupe projectif P G L n ( k ) , et l'on obtient ainsi une interpretation de H l ( K / k , P ( 3 L n ) en termes d'alg~bres centrales simples, cf. [145], Chap. X, § 5.

Exercices. 1) Montrer que toute d~rivation de Mn(k) est int6rieure. Utiliser ce fait, combin~ avec la prop. 2, pour retrouver le th6or~me suivant lequel toute alg~bre centrale simple admet un corps neutralisant galoisien sur le corps de base. 2) Soit V un espace vectoriel sur un corps de caract6ristique 2, soit F une forme quadratique sur V, et soit bF la forme bilin~aire associ~e. Montrer que l'alg~bre de Lie g du groupe orthogonal O(F) est fortune des endomorphismes u de V tels clue bF(a,u(a)) = 0 pour tout a. Calculer la dimension de {] en supposant la forme bF non d~g6n6r~e (ce qui entra~ne dimV -~ 0 mod 2); en d~duire la lissit~ du groupe O(F) dans ce cas. Ce r~sultat subsiste-t-il lorsque bF est d~g~n6r~e?

1.3. Vari~t~s, groupes alg~briques, etc. 1.3. Vari~t~s,

groupes

alg~briques,

131

etc.

Nous prenons maintenant comme objet une varidtd algdbrique (resp. un groupe alg6brique, resp. un espace homog~ne alg6brique sur un groupe alg6brique). Si V e s t une telle vari6t6, d6finie sur un corps k, et si K est une extension de k, on note A(K) le groupe des K-automorphismes de VK (muni ~ventuellement de sa structure de groupe, resp. d'espace homog~ne). On d~finit ainsi un foncteur A u t v v~rifiant les hypotheses du Chap. II, § 1. Soit maintenant K / k une extension galoisienne de k, et soit V' une K/kforme de V. L'ensemble P des K-isomorphismes de V~ sur VK est ~videmment un espace principal homog~ne sur le G(K/k)-groupe A(K) = A u t y ( K ) . On d6finit ainsi, comme au n ° 1.1, une application canonique

~ : E ( g / k , V) ----, H l ( g / k , A u t v ) . Proposition

5. L 'application 9 est injective. Si V e s t quasi-projective, eUe est

bijective. L'injectivit~ de ~ est triviale. Pour 6tablir sa surjectivit~ (lorsque V e s t quasiprojective), on applique la m6thode de la "descente du corps de base" de Weil. Cela revient simplement ~ ceci: Supposons pour simplifier que K / k soit finie, et soit c = (cs) un 1-cocycle de G(K/k) dans A u t v ( K ) . En combinant cs avec les automorphismes 1 ® s de VK, on fait op~rer le groupe G(K/k) sur VK; la vari~t~ quotient:

cY = (VK)/G(K/k) est alors une K/k-forme de V Ice quotient existe du fait que V a dt~ suppos~e quasi-projective]. On dit que cV s'obtient en tordant V au moyen du cocycle c (cette terminologie est visiblement compatible avec celle du Chap. I, n ° 5.3). Il est facile de voir que l'image de cV par ~ est 6gale h la classe de cohomologie de c; d'o~ la surjectivit6 de 8. C o r o U a i r e . Si V e s t un groupe algdbrique, l'application 0 est bijective. On sait en effet que toute vari6t6 de groupe est quasi-projective.

Remarques. 1) I1 r~sulte de la prop. 5 que deux vari~t~s V e t W ayant m~me ]oncteur d'automorphismes ont des K/k-formes qui se correspondent bijectivement ( K ~taut une extension galoisienne de k). Exemples: alg~bres d'octonions

~. ~

alg~bres centrales simples de rang n 2 alg~bres semi-simples involution

groupes simples de type G2 vari~tds de Severi-Brauer de dimension n - 1

z

~

groupes classiques ~ centre trivial

132

§ 1. Formes

2) Le f o n c t e u r A u t v n'est pas t o u j o u r s reprgsentable (dans la cat4gorie des k-sch4mas); de plus, m ~ m e s'il est repr4sentable, il se p e u t que le schema qui le repr4sente ne soit pas de t y p e fini sur k, c'est&-dire ne d4finisse pas u n "groupe alg4brique" a u sens h a b i t u e l du terme.

1.4. Exemple: les k-formes du groupe S L . On suppose n >_ 2. Le groupe S L , est un groupe semi-simple d4ploy6 simplement connexe dont le systbme de racines est irr4ductible de type (A,~_,). Le schema de Dynkin correspondant est: •

sin=2,

et

:

:

...

-- s i n > 3 .

Son groupe d'automorphismes est d'ordre 1 s i n = 2 et d'ordre 2 s i n > 3. Cela entraine que le groupe Aut(SLn) est connexe si n = 2, e t a deux composantes connexes s i n :> 3. Il a y int4r6t ~ s4parer ces deux cas: Le cas n = 2 On a Aut(SL2) = S L 2 / # 2 = P G L 2 . Or ce groupe est aussi le groupe des automorphismes de l'alg~bre de matrices M2. On en d4duit (cf. Remarque 1) d u n ° 1.3) que les k-formes de SL2 et de M2 se correspondent bijectivement. Or celles de M2 sont les alg~bres centrMes simples de rang 4 sur k, autrement dit les alg~bres de quaternions. On obtient ainsi une correspondance:

k-formes de SL2 ¢=~ alg~bres de quaternions sur k . Explicitons cette correspondance: a) Si D est une alg~bre de quaternions sur k, on lui associe le groupe SLD (cf. n ° 3.2), qui est une k-forme de SL2; les points rationnels de ce groupe s'identifient aux 41~ments de D de norme r~duite 1. b) Si L est une k-forme de SL2, on montre (en utilisant par exemple les r4sultats g4n~raux de Tits [179]) que L poss~de une repr4sentation k-lin~aire 02 : L - - - + G L v de dimension

4, qui est ks-isomorphe

,

~ la s o m m e

direete de d e u x

copies de la

repr4sentation standard de SL2; de plus, cette repr4sentation est unique, g isomorphisme pr~s. Le commutant D = EndG(V) de 02 est l'alg~bre de quaternions correspondant h L. (Lorsque k est de caract4ristique 0, on trouvera d'autres descriptions de D, ~ partir de l'alghbre de Lie de L, dans Bourbaki LIE VIII, § 1, exerc. 16 et 17.) Le c a s n > 3 Le groupe Aut(SLn) est engendr4 par sa composante neutre PG:Ln et par l'automorphisme externe x ~-* tx-x (rappelons que tx d4signe la transpos4e d ' u n e matrice x). Consid~rons alors l'alg~bre M 2 = M n x M n , munie de l'involution

(x,u)H(~,~)" =('y,'~). On peut plonger G L n dans le groupe multiplicatif de M 2 par x ~-* (x, tx-1), et l'on obtient ainsi le groupe des ~14ments u de M 2 tels que u.u ° = 1. A for~iori, on obtient ainsi un plongement de SL,,. De plus, ces plongements donnent des identifications A u t ( G L , ) = A u t ( S L , ) -- A u t ( M 2, *) ,

1.4. Exemple: les k-formes du groupe SL,~

133

ofl A u t ( M ~ , *) d~signe le groupe des automorphismes de l'alg~bre h involution ( M 2, ,). E n r a i s o n n a n t comme dans le c a s n = 2, on ddduit de 1~ clue les k-]ormes de SL,~ (ainsi que celles de G L n ) correspondent aux alg~bres d involution ( D, *) jouissant des proprigtds suivantes: (i) D est semi-simple et [D : k] = 2n 2. (ii) Le centre K de D est une k-alg~bre gtale de rang 2, i.e. k x k, ou une extension q u a d r a t i q u e sdparable de k. (iii) L'involution • est "de deuxi~me esp~ce", i.e. elle i n d u i t sur K l ' u n i q u e automorphisme n o n trivial de K . De fa~on plus prdcise, la k-forme de GL,~ associ~e k (D, ,) est le groupe unitaire U o ; ses k-points sont les dl~ments u de D tels que u • u* -- 1. Q u a n t ~t la k-forme de SL,~, c'est le groupe spdciat unitaire S U p ; ses k-points sont |es ~ldments u de D tels que u . u* = 1 et Nrd(u) = 1, off Nrd : D --* K d~signe la norme rdduite. O n a u n e suite exacte: 1 ---* S U p ----* U D ~

G ~ ----* 1 ,

off G ~ d6signe le tordu du groupe G m par le caract~re e : G~ --* { + l } associ6 h l'alg~bre quadratique K / k . (Autre d6finition de e: il donne l'action du groupe de Galois Ga sur le sch6ma de Dynkin.) Deux cos particuliers m~ritent d'etre mentionnds explicitement: a) Formes intdrieures. On a K = k x k, i.e. ~ = 1. L'alg~bre ~ involution (D, .) se ddcompose alors en D -- ,4 × A °, off "4 est centrale simple de rang n 2, "4o est l'alg~bre oppos~e, et l'involution est (x, y) ~ (y, x). Le groupe S U p correspondant n'est autre que S L y , cf. n ° 3.2. Noter que "4 e t / t o d o n n e n t des groupes isomorphes. b) Cas hermitien. C'est celui off K est u n corps, et D est une alg~bre de matrices M r ( K ) . O n v$rifie facilement que l'involution * est de la forme x ~-~ q t~.q-1 , oh 5: est le conjugu~ de x par l'involution de K , et q est u n dldment hermitien inversible de M,~(K), ddfini ~ multiplication p r ~ par u n ~l~ment de k*. La k-forme de SL,~ associ~ ~t (D, , ) n ' e s t autre que le groupe unitaire unimodulaire SUq ddfini par q (vu comme forme h e r m i t i e n n e sur K ) . Ses k-points rationnels sont les ~l~ments u de G L ~ ( K ) satisfaisant ~: q = u.q.t~ et det(u) = 1 . Remarque. II y a des r ~ u l t a t s analogues pour les autres groupes classiques, eL Well [184] et Kneser [871 (si la caract~ristique est ~ 2), et Tits [178] (si la caract~ristique est 2). Exercices. 1) M o n t r e r que Pautomorphisme x ~-* tx-1 de SL~ coincide avee l~automorphisme

2) Montrer que A u t ( G L 2 ) = {+1} x Aut(SL2). E n dd~duire la classification des k-formes de G L 2 . 3) Le groupe d ' a u t o m o r p h i s m e s de la droite projective P1 est P G L 2 . En d~duire que les k-formes de P1 (i.e. les eourbes projectives lisses a b s o l u m e n t irr~ductibles de genre 0) correspondent aux k-formes de SL2 ainsi q u ' a u x alg~bres de quaternions. Si k est de earaet~ristique ¢ 2, eette correspondance associe ~. l'alg~bre de quaternions i 2 = a, j2 = b, i j = - j i , la eonique de P2 d'~quation Z 2 = a X 2 + b Y 2.

134

.... 3~3

§ 1. Formes Si k est de caractdristique 2, l'alg~bre de quaternions d~finie par i 2 + i = a, j2 = b, 1 = i + 1, correspond ~ la conique d ' ~ l u a t i o n

X 2 + X Y + a Y 2+bZ 2 = 0

( a E k , b E k * - c f . Chap. II, n° 2.2).

§ 2. Corps de dimension _ 1

Sauf mention expresse du contraire, le corps de base k est suppos~ parfait. On r~serve le nom de "groupe alg~brique" aux schemas en groupes sur k qui sont de type fini et lisses (ce sont essentiellement les "groupes alg~briques" de Weil, ~ cela pros que nous ne les supposons pas n~cessairement connexes). Si A est un tel groupe, on ~crit H i ( k , A) ~ la place de Hl(-k/k, A), -k d~signant une clSture alg~brique de k, cf. n ° 1.1.

2 . 1 . R a p p e l s s u r les g r o u p e s l i n ~ a i r e s (a~f~rences: eorel [16], norel-Tits [20], Chevalley [34], Demazure-Gabriel [41], Demazure-Grothendieck [42], Platonov-Rapinchuk [125], Rosenlicht [129], Steinberg [166], Tits [177].) Un groupe alg~brique L e s t dit lin~aire s'il est isomorphe £ un sous-groupe d'un groupe GLn; il revient au m~me de dire que la vari~t~ alg~brique sousjacente ~ L e s t a~iue. Un groupe lin~aire U est dit unipotent si, lorsqu'on le plonge dins G L n , tous ses ~l~ments sont unipotents (et cela ne d~pend pas du plongement choisi). Pour cela, il faut et il suffit que U admette une suite de composition dont les quotients successifs sont isomorphes au groupe additif Ga ou au groupe Z / p Z (en caract~ristique p). Ces groupes sont peu int~ressants du point de r u e cohomologique:

Proposition

6. Si U est un 9roupe lindaire unipotent connexe, on a

Hl(k,U) = O . [Cet ~nonc~ ne s'~tend pas au cas d'un corps de base imparfait, cf. exerc. 3.] Cela rdsulte du fait que H i ( k , Ga) -- 0 (Chap. II, Prop. 1). Un groupe lin~aire T e s t appel~ un tore s'il est isomorphe (sur k) ~ un produit de groupes multiplicatifs. Un tel groupe est d~termin~ ~ isomorphisme pros par son groupe des caract~res X ( T ) = Horn(T, G,n), qui est un Z-module libre de rang fini sur lequel op~re continfiment G(-k/k). Tout groupe lindaire connexe r~soluble R poss~de un plus grand sous-groupe unipotent U, qui est distingu~ dins G. Le quotient T = R / U est un tore, et R

136

§ 2. Corps de dimension _< 1

est produit semi-direct de T et de U. (Cette ddcomposition p e u t s'effectuer sur le corps de base.) T o u t g r o u p e lin~aire L possL~de un plus grand sous-groupe distingufi r~soluble connexe R, appel~ son radical. Lorsque R = 1 et que L est connexe, on dit que L est semi-simple; dans le cas g~n~ral, la c o m p o s a n t e neutre (L/R)o de L / R est semi-simple. Ainsi, t o u t groupe lin~aire a d m e t une suite de composition dont les quotients successifs sont de r u n des quatre types suivants: G o , un tore, un g r o u p e fini, un groupe semi-simple. U n sous-groupe P de L est dit parabolique lorsque L / P est une vari~t~ complete; si P e s t en o u t r e r~soluble et connexe, on dit que P e s t un sous-groupe de Borel de L. Tout sous-groupe parabolique contient le radical R de L. Supposons k algfibriquement clos, et L connexe. Les sous-groupes de Borel B de L peuvent fitre caract~ris~s par l'une des propri~t~s suivantes: a) sous-groupe r~soluble connexe maximal de L. b) sous-groupe parabolique minimal de L. E n outre, les sous-groupes de Borel sont conjugufis entre eux, et ~gaux ~ leurs normalisateurs. [On n o t e r a que, lorsque k n'est pas algfibriquement clos, il peut n'exister a u c u n sous-groupe de Borel de L qui soit d~fini sur k - cf. n ° 2.2.] U n sous-groupe C d ' u n g r o u p e lin~aire L est appel~ u n sous-groupe de Cartan s'il est nilpotent et ~gal h la c o m p o s a n t e neutre de son normalisateur. Il existe au moins un sous-groupe de C a f t a n dfifini sur k, et ces sous-groupes sont conjugu~s (sur k, mais pas en gfin~ral sur k). Lorsque L est semi-simple, les sous-groupes de C a f t a n ne sont autres que les tores maximaux.

Exercices. 1) Soient L un groupe r~ductif connexe, et P u n sous-groupe parabolique de L. Montrer que l'application H 1(k, P) --* H 1(k, L) est injective. [On sait, cf. Borel-Tits [20], th. 4.13, que L(k) op~re transitivement sur les kpoints de l'espace homog~ne LIP. Cela entraine (Chap. I, prop. 36), clue le noyau de Hi(k, P) --* H l(k, L) est trivial. Conclure par un argument de torsion, l 2) (d'aprEs J.Tits) Soient B et C des sous-groupes alg~briques d'un groupe lin~aire D, et soit A = B N C. On suppose que les alg~bres de Lie de A, B, C et D satisfont aux conditions: LieA=LieBNLieC

et

LieB+LieC=LieD.

I1 en r~sulte que B/A ---*D/C est une immersion ouverte. On suppose que D(k) est dense pour la topologie de Zariski (c'est le cas si D est connexe, et k est parfait infini). (a) Montrer que le noyau de Hi(k, B) ---+Hi(k, D) est contenu dans l'image de H l(k, A) -~ H 1(k, S). [Si b • Zl(k, B) est un cobord dans D, et si l'on tord l'inclusion B/A ---* D/C par b, on trouve b(B/A) --* b(D/C) = D/C. Comme les points rationnels de D/C sont dense.s, l'ouvert b(B/A) de b(D/C) a un point rationnel. Conclure en utilisant la prop. 36 du Chap. I.] (b) M~me ~nonc~, avec B remplac~ par C. (c) En d~duire que, si HI(k,A) = 0, le noyau de HI(k,B) ---*HI(k,D) est trivial. En particulier, si Hi(k, A) et Hi(k, D) sont tous deux 0, il en est de m~me de Hi(k, B) et de H t (k, C).

2.2. Nullit~ de H 1 pour les groupes lin~aires connexes

137

3) Soit ko un corps de caract6ristique p, et soit k = ko((t)) le corps des s6ries formelles en une variable sur ko. C'est un corps imparfait; lorsque/co est alg6briquement clos, c'est un corps de dimension < 1 (c'est m6me un corps (C1), cf. Chap. II, n ° 3.2). Soit U le sous-groupe de Ga × Go form~ des couples (y, z) v~rifiant l'~quation yP - y = tz p. Montrer que c'est un groupe unipotent connexe de dimension 1, lisse sur k. D~terminer Hi(k, U) et montrer que ce groupe n'est pas rdduit ~ 0 s i p ~ 2. Montrer que l'on a un r~sultat analogue en caract~ristique 2 en prenant l'~quation y2 + y = tz a.

2.2.

Nullit~

de H t pour

les groupes

lin6aires

connexes

T h 6 o r 6 m e 1. Soit k un corps. Les quatre propridtds suivantes sont dquivalentes: (i) H i ( k , L) = 0 pour tout groupe algdbrique lindaire L connexe. (i') H i ( k , L) = 0 pour tout groupe algdbrique semi-simple L. (ii) Tout groupe algdbrique lindaire L contient un sous-groupe de Borel ddfini Bur k .

(ii') Tout groupe algdbrique semi-simple L contient un sous-groupe de Borel ddfini sur k. De plus, ces propridtds entrainent que dim(k) _< 1 (cf. Chap. II, § 3). (On rappelle que k est suppos6 parfait.) On proc6de par 6tapes: (1) (ii) ¢v (ii'). C ' e s t trivial. (2) (ii') =:~ dim(k) < 1. Soit en effet D un corps gauche de centre une extension finie k' de k, avec [D : k'] = n 2, n >_ 2. Soit S L D le k ' - g r o u p e alg6brique c o r r e s p o n d a n t (cf. n ° 1.4 et n ° 3.2); c'est un groupe semi-simple dont les k'-points rationneis s'identifient aux 616ments de D de n o r m e r~duite 1. Soit L = R k , / k ( S L D ) le k-groupe alg6brique d6duit de ce groupe par restriction des scalaires ~ la Weil (cf. [119], [185]). Ce groupe est semi-simple ~ 1. Si (ii') est v6rifi~, il contient un 616ment unipotent ~ 1, ce qui est absurde. On a donc bien dim(k) < 1. (3) (i') ~ dim(k) _< 1. Soit K une extension finie de k, et soit L un K - g r o u p e alg6brique. D6finissons c o m m e ci-dessus le groupe RK/k(L); les k-points de ce groupe f o r m e n t ce que l'on a appel6 au Chap. I, n ° 5.8, l'induit de L(k). O n a HI(K,L) = gl(k, RK/k(n)) ,

loc. cit.

Si L est semi-simple, R K / k ( L ) l'est aussi, et l'on a donc H i ( K , L) = O, vu l'hypoth~se (i'). A p p l i q u a n t ceci au groupe P G L n (n arbitraire) on en conclut que le g r o u p e de Brauer de K est nul, d'ofi dim(k) _< 1. (4) dim(k) < 1 =~ H 1(k, R) = 0 lorsque R est r~soluble. Le groupe R e s t extension d ' u n tore par un groupe unipotent. C o m m e la cohomologie de ce dernier est nulle, on volt q u ' o n est ramen6 au cas off R e s t un tore, cas qui est trait~ dans [145], p. 170. (5) (i) ¢=~ (i'). L'implication (i) =~ (i') est triviale. Supposons (i') v6rifi6. D ' a p r 6 s (3) et (4), on a H i ( k , R) = 0 lorsque R e s t r6soluble, d'ofi (i) en utilisant la suite exacte des H 1 .

138

§ 2. Corps de dimension < 1 (6) (i') ~=~ (ii'). On s'appuie sur le lemme g6n6ral suivant:

L e m m e 1. Soient A un groupe algdbrique, H u n sous-groupe de A, et N le normalisateur de H dans A. Soient c un 1-cocycle de G ( K / k ) d valeurs dans A(-k), et soit x E H I ( k , A ) la classe de cohomologie correspondante. Soit cA le groupe algdbrique obtenu en tordant A au moyen de c (A operant sur lui-m~me par automorphismes int6rieurs). Les deux conditions suivantes sont dquivalentes: (a) x appartient h l'image de H I ( k , N ) -~ HI(k,A), (b) Le groupe cA contient un sous-groupe H ~ dd]ini sur k qui est conjugud de H (sur la clSture alg6brique k de k). C'est une simple cons6quence de la prop. 37 du Chap. I, appliqu6e ~ l'injection de N dans A; il faut simplement remarquer que les points de A / N correspondent bijectivement aux sous-groupes de A conjugu6s de H , et de m~me pour c(A/N). Revenons h la d~monstration de (i') ~ (ii). Si (ii) est vraie, et si on applique le lemme 1 h u n sous-groupe de Borel B du groupe semi-simple L, on voit que Hi(k, B) --* Hi(k, L) est surjectif. Comme d'apr~s (2) et (4), on a Hi(k, B) = O, il en r~sulte bien que H I (k, L) est nul. Inversement, supposons (i') v~rifi~e, et soit L un groupe semi-simple. On se ram~ne tout de suite au cas off le centre de L e s t trivial (le centre ~tant d~fini comme sous-sch~ma en groupes, non n~cessairement lisse), ce que l'on exprime en disant que L e s t un groupe adjoint. D'apr~s Chevalley [42], cf. aussi [35], il existe une forme Ld de L qui est ddployde, et L se ddduit de Lu par torsion au moyen d'une classe x E Hl(k, Aut(Ld)). Mais la structure du groupe Aut(Ld) a dtd d6termin~e par ChevaUey; c'est le produit semi-direct E . Lu, off E est un groupe fini, isomorphe au groupe d'automorphismes du diagramme de Dynkin correspondant. Tenant compte de l'hypoth~se (i~), on voit que Hl(k, Aut(Ld)) s'identifie h HI(k, E). Mais les 61~ments de E (identifi~ un sous-groupe de Aut(Ld)) laissent stable un sous-groupe de Borel B de Ld; si donc N d6signe le normalisateur de B dans Aut(Ld), on voit que

HI(k, N) ---* Hi(k, Aut(La)) est surjectif. En appliquant le lemme 1, on en d~duit que L contient un sousgroupe de Borel d~fini sur k, cqfd.

Remarque. Les groupes semi-simples poss~dant des sous-groupes de Borel d~finis sur k sont dits quasi-ddployds. T h ~ o r ~ m e 2. Lorsque k est de caractdristique zdro, les quatre propridtds du thdor~me 1 sont dquivalentes aux deux suivantes: (iii) Tout groupe algdbrique semi-simple non rdduit d l'dldment neutre contient un dldment unipotent ~ 1. (iv) Toute alg~bre de Lie semi-simple g ~ 0 contient un dldment nilpotent ~ O.

2.3. Le th~or~me de Steinberg

139

L'~quivalence de (iii) et (iv) r~sulte de la th~orie de Lie. L'implication (ii ~) =~ (iii) est triviale. Pour d~montrer l'implication en sens inverse on raisonne par r~currence sur la dimension du groupe semi-simple L. On peut supposer L ~ 0. Choisissons un sous-groupe parabolique minimal P de L d~fini sur k (cf. G o d e m e n t [55]), et soit R son radical. Le quotient P / R est semi-simple et ne poss~de aucun ~l~ment unipotent ~ 1. Sa dimension est strictement inf~rieure celle de L du fait que L poss~de au moins un ~l~ment unipotent ~ 1 (Godement, loc. cir., th. 9). Vu l'hypoth~se de r~currence, on a donc P = R, ce qui signifie que P est un sous-groupe de Borel de L.

2.3. Le th~or~me de Steinberg C'est la rdciproque du th. 1: T h d o r ~ m e 1' ("conjecture I" de [t46]). Si k est parfait et dim(k) < 1, les propridtds (i), . . . , (ii') du th. 1 sont satisfaites. E n particulier, on a H I ( k , L) = 0 pour tout groupe lindaire connexe L. Ce th~or~me est dfi h Steinberg [165]. I1 avait 6t6 d'abord d6montr6 dans les cas particuliers suivants: a) Lorsque k est un corps fini (Lang [96]) On a alors un r6sultat plus g6n6ral: H i ( k , L) = 0 pour tout groupe alg~brique connexe L (non n6cessairement lin6aire). La d6monstration repose sur la surjectivit6 de l'application x ~-* x -1 • F ( x ) , off F est l'endomorphisme de Frobenius de L, cf. Lang, loc. cir. b) Lorsque L e s t rdsoluble, ou semi-simple de type classique (le cas Da trialitaire ~tant exclu), c]. [146]. La d6monstration utilise l'exerc. 2 ci-apr~s. c) Lorsque k est un corps (C1) de caractdristique 0 (Springer [162]). Utilisant le th6or~me 2, on volt qu'il suffit de montrer l'inexistence d'une alg~bre de Lie semi-simple 9, non r~duite ~ 0, dont t o u s l e s ~16ments sont semisimples; on peut ~videmment supposer que la dimension n de 9 est minimale. Soit r le rang de if. Si x E g, le polyn6me caract~ristique d e t ( T - ad(x)) est divisible par T~; soit f r ( x ) le coefficient de T ~ dans ce polynSme. I1 est clair que f~ est une fonction polynomiale de degr~ n - r sur l~. C o m m e k est (C1), il s'ensuit qu'il existe x ~ 0 dans g tel que f r ( x ) = 0. Soit c le centralisateur de x dans g; comme x est semi-simple, le fait que f~(x) soit nul signifie que dim c > r; comme x ~ 0, on a dim c < n. On sait (cf. Bourbaki, LIE I, § 6, n ° 5) que c est produit d'une alg~bre ab~lienne par une alg~bre semi-simple. Vu l'hypoth~se de r~currence, cette derni~re est r6duite h 0; donc c e s t commutative, d'ofi l'in6galit~ dim(c) < r, et l'on obtient une contradiction. Ddmonstration du thdor~me 1'. Elle repose sur le r~sultat suivant, qui se d6montre par une construction explicite, que l'on trouvera dans Steinberg [165]:

140

§ 2. Corps de dimension < 1

T h ~ o r ~ m e 2'. Soit L un groupe semi-simple simplement connexe (cf. n ° 2.2) quasiddployd, et soit C une classe de conjugaison de L(ka) formde d'dldments semi-simples rdguliers. Si C est rationneUe sur k (i.e. stable par l'action de Gk), elle eontient un point rationnel sur k. (Cet ~nonc~ est vrai sur tout corps k: on n ' a besoin, ni de l'hypoth~se dim(k) ~ 1, ni de l'hypoth~se que k est parfait, cf. Borel-Springer [19], II.8.6.) C o r o l l a i r e . Soit L un 9roupe semi-simple eonnexe quasi-ddployd. Pour tout dldment x de H i ( k , L) il existe un tore maximal T de L tel que x appartienne h l'image de H I (k, T) -~ H ~(k, L). Indiquons comment le corollaire se dg~luit du th. 2'. Vu Lang [96], on peut supposer que k est infini. Soit a = (a~) un cocycle de Gk darts L ( k , ) repr6sentant x. Le groupe L op~re par automorphismes int~rieurs sur lui-m~me, donc aussi sur son rev&tement universel L. On peut tordre L e t L par a; on obtient des groupes aL et aL. Soit z un ~l~ment semi-simple r4gulier de ~L, rationnel sur k (un tel 4l~ment existe du fait que k est infini). Soit C la classe de conjugaison de z dans ~L(k,) = L(ks)_I1 est clair que C est stable par Gk. Vu le th. 2' il existe donc z0 E C N L(k). Soit T l'unique tore maximal de L contenant z0, et soit T son image dans L (qui est un tore maximal de L). Le centralisateur de zo est T. Ceci montre que L / T = L / T s'identifie ~ la classe de conjugaison C. Par construction, le tordu de L I T par a contient u n point rationnel (~ savoir z). On en conclut que a ( L / T ) a un point rationnel. D'apr~s la prop. 37 du Chap. I, cela montre que la classe de a appartient l'image de H I ( k , T ) dans HI(k, L), cqfd. Revenons ~ la d~monstration du th. 1I. Supposons k parfait et dim(k) _ 3, ce q u ' o n supposera). Son rev@tement universel est le groupe S p i n q des spineurs. O n a une suite exacte: 1

~ #2 ~

S p i n q - - ~ SOq ~

1 ,

avec #2 = { + 1 } .

D'apr~s le n ° 5.7 du Chap. I, on en d@duit la suite exacte de cohomologie: Spinq(k)

~SOq(k)

~ k*/k .2 ~

Hl(k, Spinq)

~ Hl(k, SOq) ~ , Br2(k) ,

148

§ 3. Corps de dimension < 2

puisque HI(k,#2) L'homomorphisme

=

k*/k .2 et H2(k, p2) -- Br2(k), cf. Chap. If, n ° 1.2.

5 : SOq(k) --~ k*/k .2 est la aortae spinorielle (Bourbaki A IX.§ 9). Quant ~ rapplication A : H l ( k , SOq)

, Br2(k) ,

elle est li~e ~ l'invariant de Hasse-Witt w2 par la formule suivante: s i x E H l ( k , SOq) et si qx ddsigne la forme quadratique ddduite de q par torsion au m o y e n de x, on a A ( x ) = w2(qx) - w2(q), cf. Springer [60], ainsi que Annexe, § 2.2. N o t e r que H i ( k , S O q ) peut ~tre identifid ~ l'ensemble des classes de formes quadratiques de rang n qui ont m~me discriminant (dans k*/k .2) que q. C o m p t e t e n u de la suite exacte de cohomologie ci-dessus, on en ddduit:

Pour que H i ( k , S p i n q ) soit rdduit d O, il faut et il s u ~ t que les deux conditions suivantes soient satisfaites: (i) La norme spinorielle 5: S O q ( k ) --* k * / k .2 est surjective. (ii) Toute forme quadratique de rang n, qui a l e m~me discriminant et le m~me invariant de Hasse-Witt que q, est isomorphe d q. D'aprks Merkurjev-Suslin, ces conditions sont satisfaites si cd2(Gk) 0, index~e par les nombres premiers. Soit Gp la puissance Np-i~me du groupe Zp et soit G le produit des Gp. Montrer que G est de type (F), bien qu'il ne puisse pas ~tre topologiquement engendr4 par un nombre fini d'~l~ments.

4.2. Corps de type (F) Soit k un corps. Nous dirons que k est de type (F) si k est parfait et si le groupe de Galois G(-k/k) est de t y p e (F) au sens precedent. Cette derni~re condition revient dire que, p o u r t o u t entier n, il n'existe q u ' u n n o m b r e fini de sous-extensions de k (resp. de sous-extensions galoisiennes) qui soient de degr~ n sur k.

Exemptes de corps de type (F). a) Le corps R des nombres rdels. b) U n corps fini. [En effet, un tel corps a d m e t une seule extension de degr6 donn6 - d'ailleurs son g r o u p e de Galois est Z et petit donc fitre topologiquement engendr6 par un seul 61dment.] c) Le corps C ( ( T ) ) des sgries ]ormelles en une variable sur un corps algfibriquement clos C de cara~t6ristique z6ro. [Mfime a r g u m e n t que dans le cas pr6c6dent, en r e m a r q u a n t que les seules extensions finies de C((T)) sont les corps C((T1/n)), d'apr~s le th~or~me de Puiseux (cf. [145], p. 76).] d) U n corps p-adique (autrement dit une extension finie de Qp). C'est 1~ un r~sultat bien connu. O n peut par exemple le d6montrer de la mani~re suivante; t o u t e extension finie de k s'obtient en faisant d ' a b o r d une extension non ramifi~e, puis une extension t o t a l e m e n t ramifi~e. C o m m e il n ' y a q u ' u n e seule extension non ramifi6e d ' u n degr~ donn~, on est rameng au cas totalement ramifid. Or

4.3. Finitude de la cohomologie des groupes lin6aires

151

une telle extension est donn~e par une "~quation d'Eisenstein" T n + a l T n-1 + • .- + an -- 0, off les a~ appartiennent ~ l'id~al m a x i m a l de l'anneau des entiers de k, et off an est une uniformisante. L'ensemble de ces ~quations forme un espace compact pour la topologie de la convergence des coefficients; d ' a u t r e part, on sait que deux dquations voisines d~finissent des extensions isomorphes (c'est une consequence du "lemme de Krasner", cf. par exemple [145], p. 40, exercices 1 et 2). D'ofi la finitude cherch~e. [On a en fait des r~sultats beaucoup plus precis: i) Krasner [91] a calcul~ explicitement le nombre des extensions de degr4 n d'un corps p-adique k. Le r~sultat s'~nonce (et se d~montre) plus simplement si l'on "compte" chaque extension avec un certain poids, cf. [152]. De faqon plus precise, si U est une extension totalement ramifi~e de degrd n de k, l'exposant du discriminant de k'/k peut s'~crire sons la forme n - 1 + c(U), off c(k') est un entier > 0 (composante "sauvage"). Si l'on ddfinit le poids w(k r) de U par la formule

w(k') = q-C(k') , off q est le nombre d'~l~ments du corps r~siduel, on a la formule de masse suivante (cf. [152], th. 1): W

(k r) ~ - - - n ~

kI

o5 U parcourt l'ensemble des extensions totalement ramifi~es de k, de degr~ n, contenues dans k. ii) Iwasawa [76] a montr~ que le groupe G(-k/k) peut ~tre topologiquement engendr~ par un nombre fini d'~l~ments (le r~sultat n'est pas mentionn~ explicitement, mais c'est une consequence facile du th. 3, p. 468).]

Exercice. Soit k un corps parfait. On suppose que, pour tout entier n _> 1 et toute extension finie K de k, le quotient K * / K *nest fini. Montrer que k ne poss~de qu'un nombre fini d'extensions galoisiennes rdsolubles de degr4 donn~ premier ~ la caract&ristique de k. Application au cas p-adique?

4.3. F i n i t u d e de la cohomologie des groupes lin~aires Th~orhme

4. Soit k un corps de type (F), et soit L un 9roupe algdbrique lindaire

ddfini sur k. L'ensemble H I ( k , L ) est fini. O n proc~de par ~tapes: (i) Le g r o u p e L e s t fini (i.e. de dimension z~ro). L'ensemble L(k) des points de L rationnels sur k est alors un G(k/k)-groupe fini, et on p e u t lui appliquer la prop. 8. D'ofi la finitude de

H i ( k , L) = Hi(G(-k/k), L(k)) . (ii) Le g r o u p e L est rdsoluble connexe. E n appliquant le cot. 3 de la prop. 39 du Chap. I, on se ram~ne au cas off L est u n i p o t e n t et au cas off L e s t un tore. Dans le premier cas, on a HI(k, L) = O,

152

§ 4. Th~or~mes de finitude

cf. prop. 6. Supposons donc que L soit un tore. I| existe alors une extension galoisienne finie kJ/k telle que L soit k'-isomorphe ~ u n produit de groupes multiplicatifs Gin. Comme H 1(k', Gin) est nul, on en conclut que H 1(k', L) = 0, donc que H ~(k, L) s'identifie ~ H 1(k'/k, L). En particulier, s i n = [k' : k], on a nx = 0 pour tout x E Hi(k, L). Consid~rons alors la suite exacte:

0

~Ln

,L

n-~L

,0,

et la suite exacte de cohomologie qui lui est associ~e. On voit que H:(k,L~) s'applique sur le noyau de HI(k, L) 2. HI(k, L), c'est-k-dire sur Hi(k, L) tout entier. Comme Ln est fini, le cas (i) montre que Hi(k, L,) est fini, et il est de m~me de HI(k, L). (iii) Cas gdndral. On utilise le r~sultat suivant, dfi ~ Springer: L e m m e 6. Soit C un sous-groupe de Cartan d'un groupe lindaire L, et soit N

le normalisateur de C dans L. L'application canonique Hi(k, N) --* HI(k,L) est surjective. (Ce r6sultat est valable sur tout corps parfait k.) Soit x E HI(k,L), et soit c u n cocycle repr6sentant x. Soit cL le groupe obtenu en tordant L au moyen de c. D'apr~s un th~or~me de Rosenlicht ([130], voir aussi [16], th. 18.2), le groupe eL poss~de un sous-groupe de Cartan C' d6fini sur k; lorsqu'on dtend le corps de base ~ k, les groupes C et C ' sont conjugu6s. D'apr~s le lemme 1 du n ° 2.2 il s'ensuit que x appartient ~ l'image de Hi(k, N) dans Hi(k, L), ce qui dfimontre le lemme. Revenons maintenant ~ la d6monstration du th6orbme 4. Soit C un sousgroupe de Cartan de L, d6fini sur k, et soit N son normalisateur. D'apr~s le lemme pr6c6dent, il suffit de prouver que H 1(k, N) est fini. Or le quotient N / C est fini; d'aprbs (i), Hi(k, N / C ) est fini. D'autre part, pour tout cocycle c valeurs dans N, le groupe tordu cC est r~soluble connexe, et Hi(k, cC) est fini d'aprhs (ii). Appliquant alors le cot. 3 de la prop. 39 du Chap. I, on en ddduit bien que H t (k, N) est fini, cqfd. C o r o l l a i r e . Soit k un corps de type (F). a) Les k-formes d'un groupe semi-simple dgfini sur k sont en hombre fini (~ isomorphisme pros). b) IIen est de m~me des k-formes d'un couple (V,x), o~ V est un espace vectoriel et x un tenseur (cf. n ° 1.1). Cela r6sulte du fait que, dans les deux cas, le groupe d'automorphismes de la structure 6tudi~e est un groupe alg~brique lin6aire.

Remarques. 1) Si k est un corps de caract~ristique z~ro et de type (F), on peut montrer que les k-formes de tout groupe alg6brique lin6aire sont en hombre fini; il faut

4.4. Finitude d'orbites

153

pour cela ~tendre le th~or~me 4 ~ certains groupes non alg6briques, ceux qui sont extensions d ' u n g r o u p e discret "de t y p e arithm6tique" par un g r o u p e lin6aire; p o u r plus de d~tails, cf. Borel-Serre [18], § 6. 2) Soit k0 un corps fini, et soit k -- ko((T)). Le th~or~me 4 ne s'applique pas k (ne serait-ce que parce que k n'est pas parfait - on p e u t d'ailleurs m o n t r e r que H I (k, Z / p Z ) est infini, s i p est la caract~ristique de k). Toutefois, on p e u t prouver que Hi(k, L) est fini lorsque L e s t rdducti] connexe. [Principe de la d6monstration (d'apr~s J. Tits): Soit k = ko((t)). On a dim(k) _< 1. D'apr~s Borel-Springer ([19], n ° 8.6), cela entralne U~(k,L) = O, cf. n ° 2.3. On a donc H~(k, L) = H~(k/k, i). Or la thdorie de Bruhat-Tits ([23], Chap. III, n ° 3.12) montre que H I (k/k, L) se plonge dans une r~union finie d'ensembles de cohomologie du type H ~(ko, L 0 , oh les L~ sont des groupes alg~briques lindaires (non n~cessairement connexes) sur le corps r4siduel ko. D'apr~s le th. 4, appliqud ~ ko, chacun des H ~(ko, L 0 est fini. Il en est donc de m~me de H~(k/k, L), cqfd.]

4.4.

Finitude

d'orbites

5. Soit k un corps de type (F), soit G u n groupe algdbrique ddfini sur k, et soit V un espace homog~ne de G. Le quotient de V(k) par la relation d'dquivalence dgfinie par G(k) est ]ini.

Th6or~me

L'espace V e s t r6union d ' u n hombre fini d'orbites de la c o m p o s a n t e neutre de G; cela p e r m e t de se ramener au cas o~ G est connexe. Si V(k) = 0, il n ' y a rien d~montrer. Sinon, soit v E V(k) et soit H l e stabilisateur de v. L ' a p p l i c a t i o n canonique G / H --, Y d~finit une bijection de ( G / g ) ( k ) sur Y(k). D'apr~s le cot. 1 de la prop. 36 du Chap. I, le quotient de (G/H)(k) par G(k) s'identifie au noyau de l'application canonique ~ : Hi(k, H) --* HI(k, G). I1 suffit donc de prouver que cette application est propre, i.e. que c~-1 transforme un ensemble fini en un ensemble fini. Soit L l e plus grand sous-groupe lin6aire connexe de G, soit M = L n H, et soient A = G/L, B = HIM. D'apr~s un th~or~me de Chevalley, A est une vari6t6 ab~lienne, et B s'envoie injectivement dans A. O n a un d i a g r a m m e c o m m u t a t i f :

H l ( k , g ) --~ HI(k,G) g I (k, B) ~-~ g 1 (k, A) C o m m e M est lindaire, le th6or~me 4 (combin6 h la prop. 39 du Chap. I) m o n t r e que 7 est propre. D ' a u t r e part, d'apr~s le th~or~me de "complete r~ductibilit6" des vari6t~s ab61iennes, il existe une vari~tfi abdlienne B ~ de m6me dimension que B e t u n h o m o m o r p h i s m e A --* B ~ tels que le compos~ B --* A --* B ~ soit surjectif; de plus, B ~ et A --* B t peuvent 6tre d6finis sur k. C o m m e le noyau de B --* B ~ est fini, r a r g u m e n t utilis~ ci-dessus m o n t r e que le compos6 Hi(k, B) --* Hi(k, A) --, Hi(k, B t) est propre. It s'ensuit que ~ e s t propre, donc aussi 5 o 7 = / 3 o ~, d ' o h la propret6 de a, cqfd.

154

§ 4. Th~or~mes de finitude

C o r o l l a i r e 1. Soit k un corps de type (F), et soit G u n groupe algdbrique lindaire ddfini sur k. Les totes maximaux (resp. les sous-groupcs de Caftan) de G ddfinis sur k forment un hombre fiui de classes (pour la conjugaison par les 616ments de G(k)). Soit T u n tore maximal (resp. un sous-groupe de Cartan) de G d6fini sur k (s'il n ' y en a pas, il n ' y a rien ~ d6montrer); soit H son normalisateur dans G. C o m m e tous leg totes m a x i m a u x (resp . . . . ) sont conjugu6s sur k, ils correspondent bijectivement aux points de l'espace homog~ne G/H; ceux qui sont d6finis sur k correspondent aux points de G / H rationnels sur k; d'apr~s le th6or~me 5, ils se r6partissent en un nombre fini de classes modulo G(k), d'oh le r6sultat cherch& C o r o l l a i r e 2. Soit k un corps de caractgristique zdro de type (F), et soit G un

groupe semi-simple ddfini sur k. Les dldments unipotents de G(k) ]orment un hombre fini de classes (pour la conjugaison par les 616ments de G(k)). M6me ddmonstration que le cor. 1, en utilisant le fait (d6montr6 par Kost a n t [89]) que les 616ments unipotents de G(k) se r6partissent en un hombre fini de classes.

Exercices. On d~signe par k un corps de type (F). 1) Soit f : G --* G' un homomorphisme de groupes alg6briques. On suppose que le noyau de f e s t un groupe lin6aire. Montrer que l'application correspondante HI(k, G) --~ HI(k, G') est propre. 2) Soit G un groupe alg6brique, et soit K une extension finie de k. Montrer que l'application Hi(k, G) --* HI(K, G) est propre. [Appliquer l'exercice 1 au groupe

G' = nK/kCC).]

4 . 5 . L e c a s r6el Les rdsultats des n °s pr&~dents s'appliquent bien entendu au corps R. Certains peuvent d'ailleurs s'obtenir de f~.~on plus simple par des arguments topologiques. Ainsi par exemple le th~or~me 5 r~sulte du fait (d~montr~ par Whitney) que toute vari&d alg~brique r6elle n ' a qu'un nombre fini de composantes connexes. Nous allons voir que, pour certains groupes, on peut aller plus loin et d&erminer explicitement H 1. Partons d'un 9roupe de Lie compact K. Soit R l'alg~bre des fonctions continues sur K qui sont combinaisons lin~aires de coefficients de representations matricieUes (complexes) de K. Si R0 d~signe la sous-alg~bre des fonctions rdelles de R, on a R = R 0 ® R C . On sait (cf. par exemple ChevaUey, [32], Chap. Vi) que R0 est l'alg~bre afiine d'un R-groupe alg6brique L. Le groupe L ( R ) des points r6els de L s'identifie ~ K ; le groupe L ( C ) est appel~ le complexifid de K. Le groupe de Galois g = G ( C / R ) op~re sur L(C).

4.5. Le cas rdel

155

T h d o r ~ m e 6. L'application canonique ~ : H I ( g , K ) --. H I ( 9 , L ( C ) ) est bijecrive. ( C o m m e 1~ opbre trivialement sur K , H i ( g , K ) est l'ensemble des classes dans K , m o d u l o conjugaison, des dldments x tels que x 2 = 1.) Le g r o u p e g opbre sur l'algbbre de Lie de L ( C ) ; les dldments invariants forment l'alg~bre de Lie t de K , et les dldments anti-invariants forment un suppldmentaire p de t. L'exponentielle ddfinit un isomorphisme analytique rdel de p sur une sous-varidtd fermde P de L ( C ) ; il est clair que x P x -1 = P pour t o u t x E K ; de plus (Chevalley, loc. cit.) t o u t dldment x E L ( C ) s'dcrit de mani~re unique sous la forme z = xp, avec x E K et p E P . Ces rdsultats dtant rappelds, montrons que s est surjectif. Un 1-cocycle de g dans L ( C ) s'identifie h u n dldment z E L ( C ) tel que z~ = 1. Si l'on dcrit z sous la forme xp, avec x E K et p E P , on trouve x p x p -1 = 1 (car ff = p - l ) , d'ofi p = x 2. x - l p x . Mais x - l p x appartient ~ P , et l'unicitd de la ddcomposition L ( C ) = K . P montre que x 2 = 1 et x - l p x = p. Si Px est la pattie de P formde des dldments c o m m u t a n t h x, on voit facilement que Px est l'exponentielle d ' u n sous-espace vectoriel de p. O n en conclut que l'on peut dcrire p sous la forme p = q2, avec q E Pz. O n en tire z = qxq et c o m m e ~ = q - l , on voit que le cocycle z e s t cohomologue au cocycle x, qui est h valeurs dans K . M o n t r o n s m a i n t e n a n t que H i ( 9 , K ) --* H I ( I L L ( C ) ) est injectif. Soient x E K et x ~ E K deux dldments tels que x 2 = 1, x ~2 = 1, et supposons qu'ils soient cohomologues dans L ( C ) , c'est-h-dire qu'il existe z E L ( C ) tel que x ~ = z - i x - 5 . Ecrivons z sous la forme z = yp, avec y E K et p E P . O n a: x ~ = p-ly-lxyp-1

,

d'oh

x ~.x~-lpx~ = y-lxy.p-1

.

Appliquant ~ nouveau l'unicitd de la ddcomposition L ( C ) = K • P , on en tire x ~ = y - l x y , ce qui signifie que x et x t sont conjuguds dans K , et achbve la ddmonstration. Exemples. (a) Supposons que K soit connexe, et soit T l'un de ses totes maximaux. Soit T2 l'ensemble des t E T tels que t 2 = 1. O n sait que t o u t dldment x E K tel que x 2 = 1 est conjugud d ' u n dldment t E T2; de plus, deux dldments t, t ~ de T2 sont conjuguds dans K si et seulement si ils sont transformds Pun de l'autre par un dldment du groupe de W e y l W de K. Il rdsulte donc du thdorbme 6 que H i ( R , L) = H 1 ({j, L ( C ) ) s'identifie d l'ensemble quotient T 2 / W .

(b) P r e n o n s pour K le groupe des a u t o m o r p h i s m e s d ' u n g r o u p e c o m p a c t semi-simple connexe S. Soit A (resp. L) le groupe algdbrique associd ~ K (resp. ~ S). O n sait que A est le groupe des a u t o m o r p h i s m e s de L. Les dldments de H i ( R , A) correspondent donc aux ]ormes rdelles du g r o u p e L, et le thdorbme 6 redonne la classification de ces formes au moyen des classes d' "involutions" de S (rdsultat dfi ~ Elie C a f t a n ) .

156

§ 4. Th6or~mes de finitude

4.6. Corps

de hombres

alg6briques

(thdor6me

de Borel)

Soit k un corps de hombres algdbriques. Il est clair que k n'est pas de type (F). On a toutefois le thdor~me de finitude suivant: T h d o r ~ m e 7. Soit L un 9roupe algdbrique lindaire ddfini sur k, et soit S u n ensemble fini de places de k. L'application eanonique

ws : g l ( k , L )

' H HI(kv, L) v~t8

est propre. Puisque les H l ( k v , L ) sont f n i s (cf. th~orhme 4), on peut modifier S volont~, et en particulier supposer que S = 0 (auquel cas on ~crit w au lieu de ws). De plus, quitte ~ tordre L, on est ramen~ ~ montrer que le noyau de w est fini; en d'autres termes: T h d o r ~ m e 7'. Les dldments de H i ( k , L) qui sont nuls localement sont en nombre fini. Sous cette forme, le thdor~me a dtd ddmontrd par Borel lorsque L e s t rdductif connexe ([14], p. 25). Le cas d'un groupe lindaire connexe se famine immddiatement au prdcddent. I1 est moins facile de se ddbarrasser de l'hypothbse de connexion; je renvoie pour cela ~ Borel-Serre [18], § 7.

4.7. Un

contre-exemple

au

"principe

de Hasse"

Conservons les notations du n ° 4.6. II existe des exemples importants off l'application w: H 1(k, L) ' H H1 (k~, L) est injective; c'est notamment le cas lorsque L e s t un groupe projectif ou un groupe orthogonal. On peut se demander si ce "principe de Hasse" s'6tend tons les groupes semi-simples. Nous Mlons voir qu'il n'en est rien. L e m m e 7. Il existe un G(-k/k)-module fini A tel que l'application canonique de H i ( k , A) dans I]~ H l ( kv, A) ne soit pas injective. On commence par choisir une extension galoisienne finie K / k dont le groupe de GMois G jouisse de la propri~t~ suivante: Le ppcm des ordres des groupes de ddcomposition des places v de k est strictement infdrieur d l'ordre n de G. [Exemple: k = Q, g = Q ( v / ~ , v / ~ ) ; le groupe G est de type (2, 2) et ses sous-groupes de d~composition sont cycliques d'ordre 2 ou r~duits ~ l'dl~ment neutre. Des exemples analogues existent sur tout corps de nombres.] Soit E = Z/nZ[G] l'alg~bre du groupe G sur l'anneau Z / n Z , et soit A l e noyau de l'homomorphisme d'augmentation E --, Z / n Z . Comme la cohomologie

4.7. Un contre-exemple au "principe de Hasse"

157

de E est triviale, la suite exacte de cohomologie montre que H I ( G , A) = Z / n Z . Soit x un g6n6rateur de HI(G,A), soit q le p p c m des ordres des groupes de d6composition Gv, et soit y = qx. On a 6videmment y 7~ 0; d ' a u t r e part, puisque tout 616ment de H 1(G, A) est annul6 par q, l'image de y dans les H 1 (G., A) est nulle. C o m m e HI(G,A) s'identifie ~ un sous-groupe de HI(k,A), on a bien construit un 61~ment non nul y E Ht(k, A) dont toutes les images locales sont nulles. L e m m e 8. II existe un G(-k/k)-module fini B tel que l'application canonique de

H2( k, B) dans 1-Iv H2( kv, B) ne soit pas injective. C'est nettement moins trivial. On peut proc~der de deux fa~ons: (1) On commence par construire un G(-k/k)-module fini A v~rifiant la condition du lemme 7. On pose e n s u r e B = A' = Hom(A,k*) . D'apr~s le th~or~me de dualit~ de Tate (Chap. II, n ° 6.3, th. A), les noyaux des applications

HI(k,A) ~

H H'(kv,A)

et

H2(k,B) ~

10

H H2(k,,B) 11

sont en dualitY. C o m m e le premier est non nul, il en est de m~me du second. (2) Construction explicite: On prend pour B une extension:

0

, ]z,.,

* B ---, Z / n Z

,0

off #n d~signe le groupe des racines n-ibmes de l'unit~. On choisit B de telle sorte que, du point de vue de sa seule structure de groupe ab~lien, ce soit la somme directe Z / n Z $ #n; sa structure de G(-k/k)-module est alors d~termin~e par un ~l~ment y du groupe H l(k, H o m ( Z / n Z , #n)) = H 1(k, #n) = k*/k *n • C o m m e filament de H2(k, B), on va prendre l'image canonique 5 d'un ~l~ment x E H2(k, #n); un tel ~l~ment s'identifie h un ~l~ment d'ordre divisant n du groupe de Brauer Br(k), et comme tel il est ~quivalent h la donn6e d'invariants locaux Xv E ( ~ Z ) / Z v~rifiant les conditions habituelles (~-']~xv = O, 2Xv = 0 s i v est une place r~elle, et Xv = 0 s i v est une place complexe). On veut s'arranger pour que ~ ne soit pas nul, mais soit nul localement. La premiere condition revient dire que x n'appartient pas h l'image de d : Hi(k, Z/nZ) ~ HZ(k, #~). Cette application n'est pas difficile h expliciter; tout d'abord le groupe HI(k, Z/nZ) n'est autre que le groupe des homomorphismes X : G(k/k) ---, ( ~ Z ) / Z ; d'apr~s la th~orie du corps de classes, X s'identifie h u n homomorphisme du groupe des classes d'id~les de k dans ( ~ Z ) / Z ; on notera (X,) les composantes locales de XOn v~rifie alors sans difficult~s que le cobord dx de X est l'fil~ment de H2(k, #n) dont les composantes locales (dx)~, sont ~gales h Xv(Y). La premiere condition portant sur x est donc la suivante:

158

§ 4. Th6or6mes de finitude (a) Il n'existe pas de caract~re X ~ H~( k, Z / n Z )

tel que xv = Xv(Y) pour

tout v. E n e x p r i m a n t que 5 s ' a n n u l e localement, on o b t i e n t de m~me: (b) Pour tout place v, il existe ~ov e H~(kv, Z / n Z ) tel que x~ = ~o~(y). Exemple num~rique: k = Q, y = 14, n = 8, x~ = 0 pour v ~ 2, 17 et X2 ~- - - X 1 7 : 1 . Il faut v~rifier les conditions (a) et (b): Vdrification de (a) - Supposer que l'on ait un caract~re global X tel que X- (14) = x~. On va examiner la somme ~ X~(16) (qui devrait ~tre nuUe, puisque X s'annule sur les id~le principaux). Il est bien connu que 16 est une puissance 8-i~me dans les corps locaux Qp, p # 2 (cf. Artin-Tate, [6], p. 96); on a donc X~(16) = 0 pour v ~ 2. D ' a u t r e part, on a 144 =- 16 rood Q~s [cela revient h voir que 74 E Q~s, ce qui rSsulte du fait que - 7 est un carr~ 2-adique]. On en d6duit X2(16) = 4X2(14) = ~, 1 et la somme des X~(16) n'est pas nulle. C'est la contradiction cherch~e. Vdrification de (b) - Pour v ~ 2, 17, on prend ~ = 0. Pour v = 2, on prend le caract~re de Q [ ddfini par la formule ~2(a) = w ( a ) / 8 , off w(a) ddsigne la valuation de c~; on a bien ~o2(y) = qo2(14) = t . Pour v = 17, on remarque que le groupe multiplicatif (Z/17Z)* est cyclique d'ordre 16, et admet pour g~n~rateur y -- 14 [il suffit de v~rifier que 14s --- - 1 mod 17, or 2s -- 1 mod 17, et 7s = ( - 2 ) 4 = - 1 m o d 17]. Il existe donc un caract~re ~01v du groupe des unit6s 17-adiques qui est d'ordre 8 et prend la valeur - ~ sur y; on le prolonge n'importe comment en un caract~re d'ordre 8 de Q~7, et cela ach~ve la v~rification de (b). [Cet exemple m ' a ~t~ signal~ par Tate. Celui que j'avais utilis~ primitivement ~tait plus compliqu~.] 9. Soit B u n G(k/k)-module fini, et soit x ~ H2(k, B). II existe un groupe semi-simple connexe S ddfini sur k, dont le centre Z contient B, et qui jouit des deux propridtd suivantes: (a) L'dldment x donnd appartient a l'image de d : H~(k, Z / B ) --* H2(k, B). (b) On a H~(k~,S) = 0 pour route place v de k. Lemme

Soit n u n e n t i e r > 1 tel que n B -- O. O n p e u t t r o u v e r une e x t e n s i o n galoisienne finie K / k assez g r a n d e p o u r que les t r o i s c o n d i t i o n s s u i v a n t e s soient r~alis6es: i) B est un G(K/k)-module; ii) l'~l~ment x donn~ p r o v i e n t d ' u n ~l~ment x' e H 2 ( G ( K / k ) , B); iii) le corps K c o n t i e n t les racines n-i~mes d e l'unit~. Soit B ~ = H o r n ( B , Q / Z ) le d u a l de B; o n p e u t ~ v i d e m m e n t ~crire B ~ c o m m e q u o t i e n t d ' u n m o d u l e l i b r e sur Z / n Z [ G ( K / k ) ] . P a r dualitY, on en conclut que l'on peut plonger B dans un module Z libre de rang q sur Z / n Z [ G ( K / k ) ] . D u fait que Z est libre, on a H 2 ( G ( K / k ) , Z ) = 0 et il existe u n 61~ment y E H I ( G ( K / k ) , Z / B ) tel que dy ~ = x~; l'~l~ment y~ d~finit un dl~ment y E H I ( k , Z / B ) , e t il est clair que dy = x. T o u t r e v i e n t donc ~ t r o u v e r u n g r o u p e s e m i - s i m p l e S a y a n t p o u r c e n t r e Z et v~rifiant la c o n d i t i o n (b) d u lemme. P o u r cela, p a r t o n s d u g r o u p e L = S L n x . . - x S L n (q facteurs). Si l'on consid~re L c o m m e un g r o u p e alg~brique s u r K , son centre est i s o m o r p h e Z / n Z x ... x Z / n Z ( t o u s l e s ~l~ments d u c e n t r e sont r a t i o n n e l s sur le corps de base p u i s q u ' o n a pris la p r e c a u t i o n de s u p p o s e r que K c o n t i e n t les racines n-i~mes de l'unit~). Soit S le g r o u p e RK/a(L) o b t e n u ~ p a r t i r de L p a r r e s t r i c t i o n d u corps de b a s e de K ~ k. Le c e n t r e d e S est i s o m o r p h e ( c o m m e G(-k/k)-module) la s o m m e d i r e c t e de q copies d e

4.7. Un contre-exemple au "principe de Hasse"

RK/k(Z/nZ) =

159

;

on p e u t done l'identifier au module Z introduit plus haut. I1 reste enfin h v~rifier la condition (b). Or il est facile de voir que S est isomorphe sur kv au p r o d u i t des groupes Ri~../k. (L), oh w p a r c o u r t l'ensemble des places de K prolongeant v (cf. Weil, [185], p. 8); on a done bien H l ( k , , S) = I-[~]v H I ( K ~ , L) = 0 puisque la cohomologie de SL~ est triviale. Nous p o u v o n s m a i n t e n a n t fabriquer le contre-exemple eherch6: 8. Il existe un groupe algdbr~que semi-simple connexe G ddfini sur k et un dldment t E H I ( k , G ) tels que: (a) On a t ~ 0 . (b) Pour tout place v de k l'image t, de t dans H I ( k , , G ) est triviale.

Th~or~me

D'apr~s le lemme 8, il existe un G(k/k)-module fini B e t un ~l~ment x E H2(k, B) tel que x ~ 0 et que les images locales x, de x soient toutes nulles. Soit S u n groupe semi-simple v~rifiant les conditions du lemme 9 par r a p p o r t au couple (B, x). D'apr~s ces conditions, le centre Z de S contient B, et il existe un ~l~ment y E Hi(k, Z / B ) tel que dy = x. Soit G le g r o u p e S / B , et soit t l'image de y dans Hi(k, G). Nous allons voir que le couple (G, t) v~rifie les conditions du th~or~me. (a) - Soit A : Hi(k, G) - , H2(k, B) l'op~rateur de cobord d~fini par la suite exacte 1 - , B --* S -~ G --, 1. Le d i a g r a m m e c o m m u t a t i f :

HI(k,Z/B)

d H2(k,B) id

HI(k,G )

,a H 2 ( k , B )

m o n t r e qua A(t) = dy = x. C o m m e x ~ 0, on a bien t ~ 0. (b) - O n utilise la suite exacte:

Hl(k

,S)

,

Le m~me a r g u m e n t qua ci-dessus m o n t r e qua A ( t . ) = x. = 0; c o m m a H l(k,,, S) = 0 (cf. lemme 9), on a b i e n t . = 0, cqfd.

Reraarques. 1) La construction pr~c~dente donne des groupes G qui sont "strictement interm~diaires" entre simplement connexe et adjoint. Cela conduit ~ se demander si le "principe de Hasse" est vrai dans ces deux cas extremes. C'est le cas, comma l'ont montr~ une s~rie de travaux culminant en celui de Chernousov [30] sur Es (pour un expos6 d'ensemble, voir Platonov-Rapinchuk [125], Chap. 6). Lorsque G est simplement connexe, on a m~me le r~sultat suivant, conjectur~ par M. Kneser [85] (at d~montr~ par lui pour les groupes classiques, cf. [85], [87]): L'application canonique H I(k,G) --* [I HI( k~, G) est bijeetive. (Le produit est 6tendu aux places v telles qua k~ -~ R; pour les autres places, on a d'ailleurs H l ( k , , a ) = 0, cf. [861.)

160

§ 4. Th6or~mes de finitude

Ainsi, par exemple, si G est de type G2, H l (k, G) a 2r 616ments, oh r est le nombre de places r6elles de k. 2) T. Ono a utilis6 une construction analogue ~ celle du lemme 9 pour construire un groupe semi-simple dont le nombre de Tamagawa n'est pas un entier, cf. [121]. Cela a amen~ Borel (voir [15]) ~ poser la question suivante: y a-t-il des relations entre le hombre de Tamagawa et la validit~ du prineipe de Hasse? La r~ponse est affirmative: voir l~-dessns Sansue [137], ainsi que Kottwitz [90], qui utilise le principe de Hasse pour d~montrer la conjecture de Weft suivant laquelle le hombre de Tamagawa d ' u n groupe simplement connexe est ~gal ~ 1. (Inversement, il y a de nombreux cas oh l'on peut d~luire le principe de Hasse d ' u n calcul de nombres de Tamagawa.)

Indications bibliographiques sur le Chapitre III

Le contenu du § 1 est "bien connu" mais n'est expos6 nulle part de mani~re satisfaisante - le present cours inclus. Les conjectures I e t II ont ~t~ exposOes au Colloque de Bruxelles [146], en 1962. Les th~or~mes 1, 2, 3 sont dus ~ Springer; les deux premiers figurent dans son expos6 £ Bruxelles [162], et il m'a communiqu~ directement la d~monstration du th~or~me 3. D'apr~s Grothendieck (non publiS), on pent ddmontrer un r~sultat un pen plus fort, h savoir la nullit8 des " H 2 non ab61iens" sur tout corps de dimension _< 1. Le § 4 est extrait presque sans changements de Borel-Serre [18]; j'ai simplement ajout6 la construction d'un contre-exemple au "principe de Hasse". ***

Voici enfin une br~ve |iste de textes relatifs aux divers types de groupes semi-simples et contenant (explicitement ou non) des r~sultats de cohomologie galoisienne: Groupes semi-simples gdndraux: Grothendieek [60], Kneser [85], [86], Tits [175], [177], [178], [179], [lS0], Springer [162], Borel-Serre [18], Borel-Tits [20], Steinberg [165], Harder [67], [68], nruhat-Tits [23], Chap. III, Sansuc [137], Platonov-Rapinchuk [125l, Host [132]. Groupes classiques e~ alg~bres d involution: Well [184], Grothendieck [63], Tits [178], Kneser [87], Merkurjev-Suslin [109], Bayer-Lenstra [9l, Bayer-Parimala [10]. Groupes orthogonaux et ]ormes quadratiques: Witt [187], Springer [159], [160], Delzant [40], Pfister [124], Milnor [117], Lam [94], Arason [3], Merkurjev [107], [108], Scharlau [139l, Jacob-Rost [78]. Groupe G2 et oetonions: Jacobson [79], van der Blij-Springer [12], Springer [163]. Groupe F4 et alg~bres de Jordan exceptionnelles: Albert-Jacobson [2], Springer [161], [163], Jacobson [80], McCrimmon [105], Petersson [122], Host [131], PeterssonRacine [123]. Groupe Ea: Chernousov [30].

A n n e x e - Compl galoisienne

ments d e c o h o m o l o g i e

[Le t e x t e qui suit r e p r o d u i t , avec des c h a n g e m e n t s mineurs, le r~sum~ des cours de la chaire d ' A l g ~ b r e et G~om~trie publi~ d a n s l'Annuaire du Coll~ge de France, 1990-1991, p. 111-121.]

Le cours a ~t4 consacr~ au m~me sujet que celui de 1962-1963: la cohomologie galoisienne. Il a surtout insist~ sur les nombreux probl~mes que posent les groupes semisimples lorsque l'on ne fait pas d'hypoth~se restrictive sur le corps de base.

§ 1.

Notations

k est un corps commutatif, suppos6 de caract6ristique ~ 2, pour simplifier; ks est une cl6ture s6parable de k; - G(ks/k) est le groupe de Galois de ks~k; c'est un groupe profini. Si L e s t un groupe alg6brique sur k, on note Hi(k, L) le premier ensemble de cohomologie de G(ka/k) valeurs dans L(k~). C'est un ensemble point& Si C est uu G(ka/k)-module, on d~finit pour tout n > 0 des groupes de cohomologie -

-

H'~(k, C) = Hn(G(ks/k), C) . Par exemple, si C = Z / 2 Z , on a

Hi(k, Z / 2 Z ) = k*/k .2 et

H2(k, Z / 2 Z ) = Br2(k) (noyau de la multiplication par 2 dans le groupe de Brauer de k). L'un des th~mes du cours a 6t~ d'expliciter les relations qui existent (ou qui pourraient exister) entre l'ensemble HI(k,L) pour L semi-simple, et les groupes H'~(k, C) pour C = Z / 2 Z (ou Z / 3 Z , ou tout autre "petit" module sur G(ks/k)). § 2.

Le cas orthogonal

C'est celui qui est le mieux compris, grkce ~ son interpr6tation en termes de classes de formes quadratiques: Soit q une forme quadratique non d6g6n6r~e de rang n > 1 sur k, et soit O(q) le groupe orthogonal de q, vu comme groupe alg6brique sur k. Si x est un 616ment de Hi(k, Q(q)), on peut tordre q par x et l'on obtient une autre forme quadratique qz de m~me rang n que q. L'application x ~-* (q~) d6finit une bijection de Hi(k, O(q)) sur l'ensemble des classes de/ormes quadratiques non ddgdndrdes de rang n sur k. On a un r~sultat analogue pour la composante neutre SO(q) de O(q), ~ condition de se borner aux formes quadratiques ayant m~me discriminant que q. Ainsi, tout invariant des classes de formes quadratiques peut ~tre interpr6t6 comme une fonction sur l'ensemble de cohomologie Hl(k,O(q)), ou sur l'ensemble

Hi(k, SO(q)).

2. Le cas orthogonal

163

2.1. E x e m p l e s d'invariants: les classes de Stiefel-Whitney Ecrivons q comme somme directe orthogonale de formes de rang 1:

q= ( a l ) $ ( a 2 ) ~ . . . $ ( a n ) = (al,a2 . . . . . a,) ,

avecai•k*.

S i m est u n entier > 0, on d6finit u n 616ment w,,,(q) de Hm(k, Z / 2 Z ) par la formule (2.1.1)

Z

w,,(q) =

il q(G) soit ndgligeable. Ce r6sultat ne subsiste pas pour les classes d'ordre pair. D'ailleurs aucune classe de cohomologie (h part 0) d'un groupe cyclique d'ordre 2 n'est n~gligeable, comme on le voit en prenant k = R. (7.2) - Supposons que G soit abglien dldmentaire d'ordre 2r. S i x E Hq(G, Z / 2 Z ) , les propridtgs suivantes sont dquivalentes: (a) x est ndgligeable. (b) La restriction de x d tout sous-groupe d'ordre 2 de G est O. (c) x appartient h l'iddal de l'alg~bre H*(G, Z / 2 Z ) engendrd par les ab(a + b), o5 a et b parcourent H i ( G , Z / 2 Z ) . (I1 y a des r~sultats analogues lorsque G est ab61ien ~l~mentaire d'ordre pr (p ~ 2), et C = Z / p Z . ) (7.3) - Supposons que G soit isomorphe d u n groupe symdtrique S,~. Alors: (a) Si N est impair, tout dldment de Hq(G, Z / N Z ) , q > 1, est ndgligeable. (b) Pour qu'un dldment de Hq(G, Z / 2 Z ) soit ndgligeable, il faut et il s u ~ t que ses restrictions au.T. sous-groupes d'ordre 2 de G soient nulles.

Bibliographie

[1] A. Albert - Structure o] Algebras, A.M.S. Colloquium Publ. 24, Providence, 1961. [2] A. Albert et N. Jacobson - On reduced exceptional simple Jordan algebras, Ann. of Math. 66 (1957), 400-417. [3] J. Arason - Cohomologische Invarianten quadratischer Formen, J. Algebra 36 (1975), 446-491. [4] .... - A proof of Merkurjev's theorem, Canadian Math. Soc. Conference Proe. 4 (1984), 121-130. [5] E. Artin et O. Schreier - Eine Kennzeichnung der reel[ abgeschlossenen KSrper, Hamb. Abh. 5 (1927), 225-231 (= E. Art[n, C.P. 21). [6] E. Artin et J. Tate - Class Field Theory, Benjamin Publ., NewYork, 1967. [7] M. Art[n, A. Grothendieck et J-L. Verdict - Cohomologie Etale des Schdmas (SGA 4), Lect. Notes in Math. 269-270-305, Springer-Verlag, 1972-1973. [8] J. Ax - Proof of some conjectures on cohomological dimension, Proc. A.M.S. 16 (1965), 1214-1221. [9] E. Bayer-Fluckiger et H.W. Lenstra, Jr. - Forms in odd degree extensions and self-dual normal bases, Amer. J. Math. 112 (1990), 359-373. [10] E. Bayer-Fluckiger et R. Parimala - Galois cohomology of classical groups over fields of cohomological dimension < 2, Invent. math. 122 (1995), 195229. [11] E. Bayer-Fluckiger et J-P. Serre - Torsions quadratiques et bases normales autoduales, Amer. J. Math. 116 (1994), 1-63. [12] F. van der Blij et T.A. Springer - The arithmetics of octaves and of the group G2, Indag. Math. 21 (1959), 406-418. [13] A. Borel - Groupes lindaires alg@briques, Ann. of Math. 64 (1956), 20-82 (= Oe. 39). [14] . . . . - Some finiteness properties of adele groups over number fields, Publ. Math. LH.E.S. 16 (1963), 5-30 (= Oe. 60). [15] . . . . . Arithmetic properties of linear algebraic groups, Proc. Int. Congress Math. Stockholm (1962), 10-22 (= Oe. 61). [16] . . . . - Linear Algebraic Groups, 2@me @dition, Springer-Verlag, 1991. [17] A. Borel et Harish-Chandra - Arithmetic subgroups of algebraic groups, Ann. of Math. 75 (1962) 485-535 (= A. Borel, Oe. 58). [18] A. Borel et J-P. Serre - Th@or~mes de finitude en cohomologie galoisienne, Comm. Math. Helv. 39 (1964), 111-164 (= A. Borel, Oe. 64).

172

Bibliographie

[19] A. Borel et T.A. Springer - Rationality properties of linear algebraic groups, Proc. Symp. Pure Math. A.M.S. 9 (1966), 26-32 (= A. Borel, Oe. 76); II, T~hoku Math. J. 20 (1968), 443-497 (= A. Borel, Oe. 80). [20] A. Borel et J.Tits - Groupes r6ductifs, Publ. Math. I.H.E.S. 27 (1965), 55-150 (= A. Borel, Oe. 66); Compl6ments, ibid. 41 (1972), 253-276 (= A. Borel, Oe. 94). [21] Z.I. Borevi6 et I.R. Safarevi6 - Thgovie des Nombres (en russe), 3-i~me 6dition, Moscou, 1985. [22] F. Bruhat et J. Tits - Groupes alg~briques simples sur un corps local, Proc. Conf. Local Fields, Driebergen, 23-26, Springer-Verlag, 1967. [23] " " - G r o u p e s r6ductifs sur un corps local, Publ. Math. I.H.E.S. 41 (1972), 5-252; II, ibid. 60 (1984), 5-184; III, J. Fac. Sci. Univ. Tokyo 34 (1987), 671-688. [24] A. Brumer - Pseudocompact algebras, profinite groups and class formations, J. Algebra 4 (1966), 442-470. [25] H. Cartan et S. Eilenberg - Homological Algebra, Princeton Math. Ser. 19, Princeton, 1956. [26] J.W.S. Cassels - Arithmetic on an elliptic curve, Proc. Int. Congress Math. Stockholm (1962), 234-246. [27] J.W.S. Cassels et A. Fr6hlich (6dit.) - Algebraic Number Theory, Acad. Press, New York, 1967. [28] F. Ch£telet - Variations sur un th~me de H. Poincar~, Ann. Sci. E.N.S. 61 (1944), 249-300. [29] ..... M6thodes galoisiennes et courbes de genre 1, Ann. Univ. Lyon, sect. A-IX (1946), 40-49. [30] V.I. Chernousov - The Hasse principle for groups of type Es, Math. U.S.S.R. Izv. 34 (1990), 409-423. [31] C. Chevalley- D6monstration d'une hypoth~se de M. Artin, Hamb. Abh. 11 (1934), 73-75. [32] . . . . . Theory of Lie Groups, Princeton Univ. Press, Princeton, 1946. [33] " " - S u r certains groupes simples, T~hoku Math. J. 7 (1955), 14-66. [34] . . . . . Classification des groupes de Lie algdbriques, S6m. E.N.S., I.H.P., Paris, 1956-1958. [35] . . . . . Certains schemas de groupes semi-simples, Sdm. Bourbaki 1960/61, expos6 219. [36] J-L. Colliot-Th61~ne et J-J. Sansuc - Sur le principe de Hasse et sur Papproximation faible, et sur une hypoth~se de Schinzel, Acta Arith. 41 (1982), 33-53. [37] J-L. Colliot-Th61~ne et Sir Peter Swinnerton-Dyer - Hasse principle and weak approximation for pencils of Severi-Brauer and similar varieties, J. CreUe 453 (1994), 49-112. [38] P. Dedecker - Sur la cohomologie non ab61ienne I, Can. J. Math. 12 (1960), 231-251; II, ibid. 15 (1963), 84-93.

Bibliographie [39]

173

.... - Three dimensional non-abelian eohomology for groups, Lect. Notes in Math. 92, Springer-Verlag, 1969, 32-64. [40] A. Delzant - D~finition des classes de Stiefel-Whitney d'un module quadratique sur un corps de caract6ristique diff6rente de 2, C.R. Acad. Sci. Paris 255 (1962), 1366-1368. [41] M. Demazure et P. Gabriel - Groupes Algdbriques, Masson, Paris, 1970. [42] M. Demazure et A. Grothendieck - Schdmas en Groupes (SGA 3), Lect. Notes in Math. 151-152-153, Springer-Verlag, 1970. [43] S.P. Demu~kin - Le groupe de la p-extension maximale d'un corps local (en russe), Dokl. Akad. Nauk S.S.S.R. 128 (1959), 657-660. [44] " " - S u r les 2-extensions d'un corps local (en russe), Math. Sibirsk. 4 (1963), 951-955. [45] . . . . . 2-groupes topologiques d~finis par un nombre pair de g~n~rateurs et une relation (en russe), Izv. Akad. Nauk S.S.S.R. 29 (1965), 3-10. [46] J. Dieudonn~ - La Ggom~trie des Groupes Classiques, Ergebn. der Math. 5, Springer-Verlag, 1955. [47] A. Doua~iy - Cohomologie des groupes compacts totalement discontinus, S6m. Bourbaki 1959/60, expos~ 189. [48] D . Dummit et J.P. Labute - On a new characterization of Demu~kin groups, Invent. Math. 73 (1983), 413-418. [49] R.S. Elman - On Arason's theory of Galois cohomology, Comm. Algebra 1 0 (1982), 1449-1474. [50] D.K. Faddeev - Alg~bres simples sur un corps de fonctions d'une variable (en russe), ~ud. Math. Inst. Steklov 38 (1951), 321-344 (trad. anglaise: A.M.S. ~'ansl. Series 2, vol. 3, 15-38). [51] M. Fried et M. Jarden - Field Arithmetic, Ergebn. der Math. 11, SpringerVerlag, 1986. [52] P. Gabriel - Des categories ab61iennes, Bull. Soc. math. b-Yance 90 (1962), 323-448. [53] I. Giorgiutti - Groupes de Grothendieck, Ann. Fac. Sci. Toulouse 26 (1962), 151-207. [54] J. Giraud - Cohomologie Non Ab~lienne, Springer-Verlag, 1971. [55] R. G o d e m e n t - Groupes lin~aires alg~briques sur un corps parfait, S~m. Bourbaki, 1960/61, expos~ 206. [56] E.S. Golod et I.R. Safarevi~ - Sur les tours de corps de classes (en russe), Izv. Akad. Nauk S.S.S.R. 28 (1964), 261-272 (trad. anglaise: I.R. Shafarevich, C.P. 317-328). [57] M.J. Greenberg - Lectures on Forms in Many Variables, Benjamin Puhl., New York, 1969. [58] A. Grothendieck - A general theory of fibre spaces with structure sheaf, Univ. Kansas, Report n ° 4, 1955. [59] . . . . . Sur quelques points d'alg~bre homologique, T6hoku Math. J. 9 (1957), 119-221.

174

[60]

Bibliographie

. . . . . Torsion homologique et sections rationnelles, Sdm. ChevaUey (1958), Anneaux de Chow et Applications, expos6 5. " " -Technique de descente et th~or~mes d'existence en [61] g~m~trie alg~brique. II: le th~or~me d'existence en th~orie formelle des modules, Sgm. Bourbaki, 1959/60, expos~ 195. [62] . . . . . Elements de G6om~trie Alg~brique (EGA), r~dig~s avec la collaboration de J. Dieudonn~, Publ. Math. I.H.E.S. 4, 8, 11, 17, 20, 24, 28, 32, Paris, 1960-1967. [63] . . . . . Le groupe de Brauer I-II-III, Dix exposgs sur la cohomologie des schgmas, 46-188, North Holland, Paris, 1968. [64] " " -Rev~tements Etales et Groupe Fondamental (SGA 1), Lect. Notes in Math. 224, Springer-Verlag, 1971. [65] K. Haberland - Galois Cohomology of Algebraic Number Fields, VEB, Deutscher Verlag der Wiss., Berlin, 1978. [66] D. Haran - A proof of Serre's theorem, J. Indian Math. Soc. 55 (1990), 213-234. [67] G. H a r d e r - 0 b e t die Galoiskohomologie halbeinfacher Matrizengruppen, I, Math. Zeit. 90 (1965), 404-428; II, ibid. 92 (1966), 396-415; III, J. Crelle 2 7 4 / 2 7 5 (1975), 125-138. [68] . . . . . Bericht fiber neuere Resultate der Galoiskohomologie halbeinfacher Gruppen, Jahr. D.M.V. 70 (1968), 182-216. [69] D. Hertzig - Forms of algebraic groups, Proc. A.M.S. 12 (1961), 657-660. [70] G.P. Hochschild - Simple algebras with purely inseparable splitting fields of exponent 1, Trans. A.M.S. 79 (1955), 477-489. [71] .... - Restricted Lie algebras and simple associative algebras of characteristic p, Trans. A.M.S. 80 (1955), 135-147. [72] G.P. Hochschild et J-P. Serre - Cohomology of group extensions, Trans. A.M.S. 74 (1953), 110-134 (= J-P. Serre, Oe. 15) [73] C. Hooley - On ternary quadratic forms t h a t represent zero, Glasgow Math. J. 35 (1993), 13-23. [74] B. Huppert - Endliche Gruppen I, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg, 1967. [75] K. Iwasawa - On solvable extensions of algebraic number fields, Ann. of Math. 58 (1953), 548-572. [76] .... - On Galois groups of local fields, Trans. A.M.S. 80 (1955), 448-469. [77] " " - A note on the group of units of an algebraic number field, J. Math. pures et appl. 35 (1956), 189-192. [78] B. Jacob et M. Rost - Degree four cohomologicat invariants for quadratic forms, Invent. Math. 96 (1989), 551-570. [79] N. J a c o b s o n - Composition algebras and their automorphisms, Rend. Palermo 7 (1958), 1-26. [80] ..... Structure and Representations of Jordan Algebras, A.M.S. Colloquium Publ. 39, Providence, 1968. [81] K. Kato - Galois cohomology of complete discrete valuation fields, Lect. Notes in Math. 967, 215-238, Springer-Verlag, 1982.

Bibliographie

[82]

175

Y. Kawada - Cohomology of group extensions, J. Fac. Sci. Univ. Tokyo 9 (1963), 417-431. - C l a s s formations, Proe. Syrup. Pure Math. 20, 96-114, 183] . . . . A.M.S., Providence, 1969. [84] M. Kneser - Schwache Approximation in algebraischen Gruppen, Colloque de BruxeUes, 1962, 41-52. - E i n f a c h zusammenhtingende Gruppen in der Arithmetik, 185] . . . . Proc. Int. Congress Math. Stockholm (1962), 260-263. Galoiskohomologie halbeinfacher algebraischer Gruppen fiber [8o] . . . . . p-adischen KSrpern, I, Math. Zeit. 88 (1965), 40-47; II, ibid. 89 (1965), 250-272. Lectures on Galois Cohomology of Classical Groups, Tata [87] . . . . . Inst., Bombay, 1969. [ss] H . K o c h - Galoissche Theorie der p-Erweiterungen, Math. Monogr. 10, VEB, Berlin, 1970. 189] B. Kostant - The principal three-dimensional subgroup and the Betti numbers of a complex simple Lie group, Amer. J. Math. 81 (1959), 973-1032. [9o] R. Kottwitz - Tamagawa numbers, Ann. of Math. 127 (1988), 629-646. [91] M. Krasner - Nombre des extensions d'un degr~ donn~ d'un corps p-adique, Colloque C.N.R.S. 143 (1966), 143-169. [92] J.P. L a b u t e - C l a s s i f i c a t i o n of Demu~kin groups, Canad. J. Math. 19 (1967), 106-132. [93] " " - Alg~bres de Lie et pro-p-groupes d~finis par une seule relation, Invent. Math. 4 (1967), 142-158. [94] T.Y. Lam - The Algebraic Theory of Quadratic Forms, Benjamin, New York, 1973. [95] S. Lang - On quasi-algebraic closure, Ann. of Math. 55 (1952), 373-390. [961 " " - Algebraic groups over finite fields, Amer. J. Math. 78 (1956), 555-563. [97] . . . . - Galois cohomology of abelian varieties over p-adic fields, notes polycopides, mai 1959. (981 . . . . . Rapport sur la Cohomologie des Groupes, Benjamin, New York, 1966. [99] . . . . - Algebraic Number Theory, Addison-Wesley, Reading, 1970. [lOO] S. Lang et J. Tate - Principal homogeneous spaces over abelian varieties, Amer. J. Math. 80 (1958), 659-684. [lOl] M. Lazard - S u r les groupes nilpotents et les anneaux de Lie, Ann. Sci. E.N.S. 71 (1954), 101-190. [lO2] " " - G r o u p e s analytiques p-adiques, Publ. Math. LH.E.S. 26 (1965), 389-603. [lO31 Y. M a n i n - Le groupe de Brauer-Grothendieck en g~om6trie diophantienne, Aetes Congr~s Int. Nice (1970), t. I, 401-411, Gauthier-Villars, Paris, 1971. Cubic Forms: Algebra, Geometry, Arithmetic, North Holland, [104] . . . . . 1986.

176

Bibliographie

[1051

K. McCrimmon - The Freudenthal-Springer-Tits constructions of exceptional Jordan algebras, Trans. A.M.S. 139 (1969), 495-510. [lO6] J. Mennicke - Einige endliche Gruppen mit drei Erzeugenden und drei Relationen, Archly der Math. 10 (1959), 409-418. [lO71 A.S. Merkurjev - Le symbole de reste normique en degrd 2 (en russe), Dokl. Akad. Nauk S.S.S.R. 261 (1981), 542-547 (trad. anglaise: Soviet Math. Dokl. 24 (1981), 546-551). " " - Alg~bres simples et formes quadratiques (en russe), Izv. [108] Akad. Nauk S.S.S.R. 55 (1991), 218-224 (trad. anglaise: Math. U.S.S.R. Izv. 38 (1992), 215-221). 1109] A.S. Merkurjev et A.A. Suslin - La K-cohomologie des vari~t6s de SeveriBrauer et l'homomorphisme de reste normique (en russe), Izv. Akad. Nauk S.S.S.R. 46 (1982), 1011-1046 (trad. anglaise: Math. U.S.S.R. Izv. 21 (1983), 307-340). " " - O n the norm residue homomorphism of [11o] degree three, LOMI preprint E-9-86, Leningrad, 1986. . . . . - Le groupe K3 d'un corps (en russe), Izv. [111] Akad. Nauk S.S.S.R. 54 (1990), 522-545 (trad. anglaise: Math. U.S.S.R.

Izv. as (1991), 541-565).

[112]

J-F. M e s t r e - Annulation, par changement de variable, d'~l~ments de Br2(k(x)) ayant quatre pSles, C.R. Acad. Sci. Paris 319 (1994), 529-532. - Construction d'extensions r~guli~res de Q(T) h groupe de [113] . . . . Galois SL2(FT) et M12, C.R. Acad. Sei. Paris 319 (1994), 781-782. [114] J. Milne - Duality in the flat cohomology of a surface, Ann. Sci. E.N.S. 9 (1976), 171-202. [115] . . . . - Etale Cohomology, Princeton Univ. Press, Princeton, 1980. [116] " " - Arithmetic Duality Theorems, Acad. Press, Boston, 1986. [117] J. Milnor - Algebraic K-theory and quadratic forms, Invent. Math. 9 (1970), 318-344. [118] M. Nagata - Note on a paper of Lang concerning quasi-algebraic closure, Mere. Univ. Kyoto 30 (1957), 237-241. [119] J. Oesterl~ - Nombres de Tamagawa et groupes unipotents en caract~ristique p, Invent. Math. 78 (1984), 13-88. [12o1 T. Ono - Arithmetic of algebraic tori, Ann. of Math. 74 (1961), 101-139. [121] " " - On the Tamagawa number of algebraic tori, Ann. of Math. 78

[122] [123] [124]

(1963), 47-73. H.P. Petersson - Exceptional Jordan division algebras over a field with a discrete valuation, J. Crelle 2 7 4 / 2 7 5 (1975), 1-20. H.P. Petersson et M.L. Racine - On the invariants mod 2 of Albert algebras, J. of Algebra 174 (1995), 1049-1072. A. Pfister - Quadratische Formen in beliebigen KSrpern, Invent. Math. 1

(1966), 116-132.

[125]

V.P. Platonov et A.S. Rapinchuk - Groupes Algdbriques et Corps de Nombres (en russe), Edit. Nauka, Moscou, 1991 (trad. anglaise: Algebraic Groups and Number Fields, Acad. Press, Boston, 1993).

Bibliographie

[126]

177

G. Poitou - Cohomologie Galoisienne des Modules Finis, Dunod, Paris, 1967. [127] D. Quillen - The spectrum of an equivariant cohomology ring I, Ann. of Math. 94 (1971), 549-572; II, ibid., 573-602. [1281 L. Ribes - Introduction to profinite groups and Galois cohomology, Queen's Papers in Pure Math. 24, Kingston, Ontario, 1970. [129] M. Rosenlicht - Some basic theorems on algebraic groups, Amer. J. Math. 78 (1956), 401-443. " " - Some rationality questions on algebraic groups, Ann. Mat. [13o] Pura Appl. 43 (1957), 25-50. [131] M. Rost - A (mod 3) invariant for exceptional Jordan algebras, C.R. Acad. Sci. Paris 315 (1991), 823-827. Cohomological invariants, en prdparation. [1321 . . . . . [133] I.R. Safarevi5 - Sur les p-extensions (en russe), Math. Sb. 20 (1947), 351363 (trad. anglaise: C.P. 3-19). " " - Sur l'6quivalence birationnelle des courbes elliptiques (en [134] russe), Dokl. Akad. Nauk S.S.S.R. 114 (1957), 267-270. (trad. anglaise: C.P. 192-196). " " - C o r p s de nombres alg~briques (en russe), Proc. Int. [1351 Congress Math. Stockholm (1962), 163-176 (trad. anglaise: C.P. 283-294). " " - Extensions ~ points de ramification donn~s (en russe, avec [136] r~sum6 fran~ais), Publ. Math. LH.E.S. 18 (1963), 295-319 (trad. anglaise: C.P. 295-316). [137] J-J. Sansuc - Groupe de Brauer et arithm6tique des groupes alg~briques lin6aires sur un corps de nombres, J. Crelle 327 (1981), 12-80. [1381 W. S c h a r l a u - Uber die Brauer-Gruppe eines algebraischen FunktionenkSrpers in einer Variablen, J. Crelle 2 3 9 - 2 4 0 (1969), 1-6. [139] " " - Quadratic and Hermitian Forms, Springer-Verlag, 1985. [140] C. Scheiderer - Real and Etale Cohomology, Lect. Notes in Math. 1588, Springer-Verlag, 1994. [141] A. Schinzel et W. Sierpinski - Sur certaines hypotheses concernant les hombres premiers, Acta Arith. 4 (1958), 185-208; Errata, ibid. 5 (1959), 259. [1421 R. Schoof- Algebraic curves over F 2 with many rational points, J. Number Theory 41 (1992), 6-14. [143] J-P. S e r r e - Classes des corps cyclotomiques (d'apr~s K. Iwasawa), Sdm. Bourbaki 1958-1959, expos6 174 (= Oe. 41). [144] " " - Groupes Algdbriques et Corps de Classes, Hermann, Paris, 1959. Corps Locaux, Hermann, Paris, 1962. [145] . . . . . [146l " " -Cohomologie galoisienne des groupes alg~briques lin6aires, CoUoque de BruxeUes, 1962, 53-67 (= Oe. 53). Structure de certains pro-p-groupes (d'apr~s Demu~kin), Sdm. [147] . . . . . Bourbaki 1962-1963, expos~ 252 (= Oe. 58).

178

[148]

Bibliographic

..... Sur les groupes de congruence des vari~tds abdliennes, Izv. Akad. Nauk S.S.S.R. 28 (1964), 1-20 (= Oe. 62); II, ibid. 35 (1971), 731737 ( = Oe. 89). ..... Sur la dimension cohomologique des groupes profinis, Topology [149] 3 (1965), 413-420 ( = Oe. 66). ..... Reprdsentations Lindaires des Groupes Finis, Hermann, Paris, [150] 1967. " " - Cohomologie des groupes discrets, Ann. Math. Studies 70, 77[151] 169, Princeton Univ. Press, Princeton, 1971 (= Oe. 88). ..... Une "formule de masse" pour les extensions totalement ram[152] ifi~es de degr~ donn6 d'un corps local, C.R. Acad. Sci. Paris 287 (1978), 183-188 (= Oe. 115). - Sur le hombre des points rationnels d'une courbe alg6brique [153] . . . . sur un corps fini, C.R. Acad. Sci. Paris 296 (1983), 397-402 (= Oe. 128). - L'invariant de Witt de la forme Tr(x2), Comm. Math. Helv. [154] . . . . 59 (1984), 651-676 (= Oe. 131). [155] " " - Sp~cialisation des ~l~ments de B r 2 ( Q ( T 1 , . . . , Tn)), C.R. Acad. Sci. Paris 311 (1990), 397-402. [1561 " " - Cohomologie galoisienne: progr~s et probl~mes, Sdm. Bourbaki 1993-1994, expos6 783. [157] S.S. S h a t z - Profinite Groups, Arithmetic, and Geometry, Ann. Math. Studies 67, Princeton Univ. Press, Princeton, 1972. [158] C. Soul6 - K2 et le groupe de Brauer (d'apr~s A.S. Merkurjev et A.A. Suslin), Sdm. Bourbaki 1982-1983, expos6 601 (Astdrisque 105-106, S.M.F., 1983, 79-93). [159] T.A. Springer - Sur les formes quadratiques d'indice z~ro, C.R. Acad. Sci. Paris 234 (1952), 1517-1519. [160[ .... - On the equivalence of quadratic forms, Proc. Acad. Amsterdam 62 (1959), 241-253. [161] " " - The classification of reduced exceptional simple Jordan algebras, Proc. Acad. Amsterdam 63 (1960), 414-422. [162] " " - Q u e l q u e s r6sultats sur la cohomologie galoisienne, Colloque de Bruxelles, 1962, 129-135. [163] .... - Oktaven, Jordan-Algebren und Ausnahmegruppen, notes polycopi6es, GSttingen, 1963. [164] R. S t e i n b e r g - Variations on a theme of Chevalley, Pacific J. Math. 9 (1959), 875-891. [1651 " " - R e g u l a r elements of semisimple algebraic groups, Publ. Math. I.H.E.S. 25 (1965), 281-312. [166} " " -Lectures on Chevalley Groups, notes polycopi~es, Yale, 1967. [1671 A.A. Suslin - Algebraic K-theory and the norm-residue homomorphism, J. Soviet. Math. 30 (1985), 2556-2611. [168] R. Swan - Induced representations and projective modules, Ann. of Math. 71 (1960), 552-578.

Bibiiographie

[169]

179

..... The Grothendieck ring of a finite group, Topology 2 (1963), 85110. [170] J. ' r a t e - WC-groups over p-adic fields, Sdm. Bourbaki 1957-1958, expos6 156. [171] " " - Duality theorems in Galois cohomology over number fields, Proc. Int. Congress Math. Stockholm (1962), 288-295. ]172] . . . . - T h e cohomology groups of tori in finite Galois extensions of number fields, Nagoya Math. J. 27 (1966), 709-719. [173] " " - Relations between K2 and Galois cohomology, Invent. Math. 36 (1976), 257-274. [174] G. Terjanian - Un contre-exemple ~ une conjecture d'Artin, C.R. Acad. Sci. Paris 262 (1966), 612. [175] J. Tits - Groupes semi-simples isotropes, CoUoque de Bruxelles, 1962, 137147. [176] . . . . . Groupes simples et g~om6tries associ6es, Proc. Int. Congress Math. Stockholm (1962), 197-221. [177] " " - Classification of algebraic semisimple groups, Proc. Syrup. Pure Math. 9, vol. I, 33-62, A.M.S., Providence, 1966. [178] . . . . - F o r m e s quadratiques, groupes orthogonaux et alg~bres de Clifford, Invent. Math. 5 (1968), 19-41. [179] . . . . - R e p r e s e n t a t i o n s lin~aires irr4ductibles d'un groupe r6ductif sur un corps quelconque, J. Crelle 247 (1971), 196-220. [180] . . . . - S u r les degr6s des extensions de corps d~ployant les groupes alg6briques simples, C.R. Acad. Sci. Paris 315 (1992), 1131-1138. [181] V.E. Voskresenskii - Totes Algdbriques (en russe), Moscou, 1977. [182] A. Weil - On algebraic groups and homogeneous spaces, Amer. J. Math. 77 (1955), 493-512 (-- Oe. [1955b]). [183] . . . . - T h e field of definition of a variety, Amer. J. Math. 78 (1956), 509-524 ( = Oe. [1956]). [1841 . . . . - A l g e b r a s with involutions and the classical groups, J. Indian Math. Soc. 24 (1960), 589-623 (-- Oe. [1960b]). [185] . . . . . Adeles and Algebraic Groups (notes by M. Demazure and T. Ono), Inst. for Adv. Study, Princeton, 1961; Birkh~iuser, Boston, 1982. Basic Number Theory, Springer-Verlag, 1967. [1861 . . . . . E . W i t t Theorie der quadratischen Formen in beliebigen KSrpern, [1871 J. Crelle 176 (1937), 31-44. [188] V.I. Yanchevskii - K-unirationalit6 des fibr4s en coniques et corps de d~composition des alg~bres centrales simples (en russe), Dokl. Akad. Nauk S.S.S.R. 29 (1985), 1061-1064. [189] H. Z a s s e n h a u s - The Theory o] Groups, 2nd. ed., Chelsea, New York, 1949.

Index

(I.1.5) = chap. I, n ° 1.5 associ6 (groupe profini -/~ un groupe discret)

I.l.1

bon (groupe) 1.2.6 Borel (sous-groupe de -) III.2.1 - (th~or~me d e - ) III.4.6 -

Caxtan (sous-groupe de -) III.2.1 cocycle (de G dans un G-groupe) 1.5.1 cohomologie (d'un groupe profini) 1.2.2 condition (F) III.4.1 conjecture I III.2.3 conjecture II III.3.1 corestriction 1.2.4 Demu~kin (groupe de -) 1.4.5 d~ploy~ (groupe -) III.2.2 dimension < 1 (corps de -) 11.3.1 dimension cohomologique (d'un groupe profini) discret (G-module -) 1.2.1 dualisant (module-) 1.3.5 ensemble de cohomologie (premier -) 1.5.1 Euler-Poincar6 (caract~ristique d'-) 1.4.1,II.5.4 forme

III.1

G-ensemble 1.5.1 G-groupe 1.5.1 Hasse (principe de -)

III.4.7

indice (d'un sous-groupe fermd) induit (module-) 1.2.5 libre (pro-p-groupe -) non ramifi6 (module -)

1.1.5 II.5.5

ordre (d'un groupe profini) p-adique (corps -)

II.5

1.1.3

1.1.3

1.3.1

Index parabolique (sous-groupe-) III.2.1 p-compl6t6 (d'un groupe discret) 1.1.4 p-dimension cohomologique 1.3.1 p-extension maximale (d'un corps) II.2 Poincar6 (groupe de -) 1.4.5 Poitou-Tate (th6or~mes de -) II.6.3 principal (espace - homog~ne) 1.5.2 profini (groupe -) I.l.1 projectif (groupe profini-) 1.5.9 pronilpotent (groupe profini -) 1.5.9 propret6 (th6or~me de-) II.6.2 pro-p-groupe 1.1.4 propri6t6 (C~) II.3.2 propri6t6 (C~) II.4.5 quasi-d6ploy~ (groupe semi-simple -)

III.2.2

radical (d'un groupe alg6brique) III.2.1 rang - (d'un pro-p-groupe) 1.4.2 - (d'un pro-p-groupe libre) 1.1.5 (d'un sous-groupe distingu6) 1.4.3 relbvement (propri~t6 de -) 1.5.9 restriction 1.2.4 -

Safarevi~ (th~or~me de -) 1.4.4 scind4e (extension -) 1.3.4 section (d'une projection sur un quotient) 1.1.2 semi-simple (groupe alg~brique -) III.2.1 Shapiro-Faddeev (th~or~me de -) 1.2.5 simplement connexe (groupe semi-simple -) III.3.1 Springer (th~*or~mede -) III.2.4 Steinberg (th~or~me de -) III.2.3 stricte (dimension cohomologique -) 1.3.2 - (p-dimension cohomologique -) 1.3.2 surnaturel (hombre-) 1.1.3 Sylow (groupes de - d'un groupe profini) 1.1.4 -

Tate (th~or~mes de-) II.5.1,II.5.7 torsion (op6ration de -) 1.5.3 tour (de corps de classes) 1.4.4 unipotent (groupe alg6brique-) Zp-alg~bre (d'un pro-p-groupe)

III.2.1 1.1.5

181

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