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TOPOGRAPHIE GENERALE 2
CHEMINEMENTS PLANIMETRIQUES
1/Introduction Pour connaître les coordonnées (X, Y) d'un point P, il faut s’appuyer sur des points existants : par exemple les points A et B de la figure 1. Si ces derniers sont trop loin du point P ou ne peuvent être visés directement en raison d’obstacles, on utilise des points intermédiaires pour arriver jusqu'au point cherché (points 1 et 2 de la figure 1.). On parle de parcours polygonal ou de cheminement.
Figure 1 : Parcours polygonal
2/ Méthodologie des mesures Soit deux points A et B, tel que
:
X
j Xj
Өij D
i
Xi
Y Yj
Yi
Alors on a : 𝑋𝑗 = 𝑋𝑖 + 𝐷 𝐶𝑂𝑆 𝜃𝑖𝑗 ; 𝑌𝑗 = 𝑌𝑖 + 𝐷 𝑆𝐼𝑁 𝜃𝑖𝑗 Pour faire ces calculs, il faut connaître les distances horizontales mesurées sur le terrain, et les orientements Өij de chaque tronçon. 1
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3/ Cheminement polygonal 3-1/ cheminement ouvert. Observations Le cheminement ouvert, ou ligne polygonale, est une ligne brisée orientée définie géométriquement par - Une origine connue en coordonnées rectangulaires dans le système STT ; - Une direction de référence à l’origine dont l’orientement est connu ; - Les angles azimutaux des côtés successifs, y compris celui à l’origine entre la direction de référence et le premier côté ; - Les longueurs des côtés réduites au système de projection. - Les angles sont mesurés avec un théodolite, les distances au distancemètre, au ruban ou au stadimètre.
Calcul : Soit un cheminement ouvert ,(voir figure 2) de n côtés, d’origine 0 et d’extrémité n. L’orientement de départ Өd , les angles αi de deux côtés successifs ainsi que les longueurs Di des côtés sont connus. On veut déterminer les coordonnées des sommets i (i varie de 1 à n). Les coordonnées du sommet de l’origine 0 sont connues.
Figure 2 : Cheminement ouvert
La transmission des orientements consiste à calculer les orientements des côtés successifs à partir de l’orientement de départ et des angles polygonaux :
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Les composantes en abscisses et ordonnées des vecteurs successifs, appelées coordonnées relatives valent :
ET
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3-2/ Cheminement encadré : Observations : Le cheminement encadré est défini géométriquement par les mêmes données que celles du cheminement ouvert auxquelles s’ajoutent : - l’orientement d’une direction de référence à l’extrémité n ; - les coordonnées de l’extrémité n ; - la mesure de l’angle polygonal à l’extrémité entre le dernier côté n et la direction de référence. Calcul : Soit un cheminement encadré ,(voir figure 3) de n côtés, d’origine 0 et d’extrémité n. L’orientement de départ Өd , l’orientement de fermeture Ө f , les angles αi de deux côtés successifs ainsi que les longueurs Di des côtés sont connus. On veut déterminer les coordonnées des sommets i (i varie de 1 à n - 1). Les coordonnées du sommet de l’origine 0 et de l’extrémité n sont connues.
Figure 3 : Cheminement encadré
Compensation des erreurs angulaires : Du fait de l’imprécision des orientements de référence imposés Ө d et Ө f , comme celle des angles polygonaux mesurés, l’orientement de fermeture ainsi calculé à partir de l’orientement de départ est la somme des angles corresponds à un orientement approché voisine de l’orientement Ө f. -
Ecart d’orientement connu : ∆𝜽𝒄 = 𝜽𝒅 − 𝜽𝒇 . 𝒎 Ecart d’orientement mesuré : ∆𝜽𝒎 = 𝜽𝒎 𝒅 − 𝜽𝒇 = − ∑ 𝜶𝒊 ± 𝒏. 𝟐𝟎𝟎 𝒂𝒗𝒆𝒄 𝒊 𝒗𝒂𝒓𝒊𝒆 𝒅𝒆 𝟏 𝒂 𝒏.
-
Ecart de fermeture angulaire : 𝒇𝜽 = ∆𝜽𝒄 − ∆𝜽𝒎 . Vérification 𝒇𝜽 ≤ 𝑻𝜽 ; 𝑻𝜽 ∶ 𝑻𝒐𝒍é𝒓𝒂𝒏𝒄𝒆 𝒂𝒏𝒈𝒖𝒍𝒂𝒊𝒓𝒆. .
-
Compensation angulaire : 𝑪𝜽 = −
-
Calcul des angles compensés :
-
Calcul des orientements compensés. : 𝜽𝒊
𝒇𝜽
𝒏 𝒄𝒐𝒎𝒑 𝜶𝒊
; 𝒏, 𝒏𝒐𝒎𝒃𝒓𝒆 𝒅𝒆𝒔 𝒂𝒏𝒈𝒍𝒆𝒔 𝒂 𝒄𝒐𝒓𝒓𝒊𝒈𝒆𝒓. = 𝜶𝒎𝒆𝒔 + 𝒄𝜽 . 𝒊 𝒄𝒐𝒎𝒑
𝒄𝒐𝒎𝒑 = (𝜽𝒅 ±𝒏 𝟐𝟎𝟎) + ∑ 𝜶𝒊 .
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Compensation des erreurs linéaires : Du fait de l’imprécision des coordonnées de 0 et n et celles des coordonnées relatives ∆X et ∆Y ainsi calculées à partir de celles de l’origine 0 et de la somme algébrique des D, correspond à une extrémité voisine de l’extrémité exacte.
-
Variations linéaires connues
∆𝑋𝐶 = 𝑋𝑛 − 𝑋0 ; -
∆𝑌 𝐶 = 𝑌𝑛 − 𝑌0
Variations linéaires mesurées
∆𝑋𝑚 = ∑ 𝐷𝑖 cos 𝜃𝑖−1 ,𝑖 -
;
∆𝑌 𝑚 = ∑ 𝐷𝑖 sin 𝜃𝑖−1 ,𝑖
Erreurs de fermeture planimétrique
𝑓𝑥 = ∆𝑋𝐶 − ∆𝑋𝑚 -
𝑐𝑜𝑚𝑝
= ∆ 𝑋𝑖𝑚𝑒𝑠 + 𝐶𝑖𝑥 ;
𝑐𝑜𝑚𝑝
∆𝑌𝑖
𝑦
= ∆ 𝑌𝑖𝑚𝑒𝑠 + 𝐶𝑖
Calcul des coordonnées des différents points de cheminement
𝑐𝑜𝑚𝑝
𝑋𝑖+1
𝑓𝑦 = ∆𝑌 𝐶 − ∆𝑌 𝑚
Calcul des variations de coordonnées composées
∆𝑋𝑖
-
;
𝑐𝑜𝑚𝑝
= 𝑋𝑖 + ∆𝑋𝑖+1
;
𝑐𝑜𝑚𝑝
𝑋𝑖+1
𝑐𝑜𝑚𝑝
= 𝑋𝑖 + ∆𝑋𝑖+1
La norme du vecteur de fermeture planimétrique : √𝑓𝑥2 + 𝑓𝑦2 - Vérification : f < Tf ; Tf : tolérance linéaire. - Compensation linéaire : Il faut répartir f X et f Y sur les coordonnées relatives (∆X et ∆Y) proportionnellement aux longueurs des côtés
𝑓 𝐷𝑖 𝐷𝑖
𝑐𝑥𝑖 = ∑𝑥
;
𝑓𝑦 𝐷𝑖
𝑐𝑦𝑖 = ∑
𝐷𝑖
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Exercice 1 Un topographe fait le levé d’une polygonale de base pour un tracé routier.il relève les résultats suivant : On donne : − − −
AB = 82.43m ; BC= 46.59m ; CD = 69.63m ; DE = 73.99m Orientement de la direction AB ; 𝜃AB = 298.8453 gr. Orientement de la direction EF ; 𝜃EF =208.7888 gr. Les coordonnées du point A : XA= 1465.767 m et YA= 261.896 m. Les coordonnées du point E : XE = 1502.273 m et Y E= 49.307 m. Les tolérances : 0.08gr sur l’écart de fermeture angulaire et 10 cm sur celui de la fermeture linéaire.
On demande de : 1/ Calculer et compenser les angles à droites aux points sommets B ; C ; D et E. 2/Calculer les orientements 𝜃 BC ; 𝜃CD ; 𝜃 DE 3/Calculer les coordonnées des points B ; C ; D et E Remplir le tableau du document réponse(1).
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comp. (gr)
Point S Angle
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Orient
Distance
(gr)
(m)
∆X= D cos(Θ)
∆Xcompensées
Comp
∆Y= D sin(Θ)
Cix
+
-
Ciy
+
-
+
A
B
C
D
E CONTROLE
∑=
∆Ycompensées
Comp
∑=
∑=
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-
+
-
X
Y
(m)
(m)
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3-3/Cheminement fermé : Observations : C’est un polygone, calculé comme un cheminement, dont un sommet tient lieu à la fois d’origine et d’extrémité. Si l’orientement et les coordonnées à l’origine sont connues les observations consistent à mesurer les angles polygonaux αi et les distances réduites Di.
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POINT
Angle compensé(gd)
Orient.(gd)
Distance (m)
∆Xmes(m) +
-
Cx
∆Xcomp(m) + -
∆Ymes(m) +
-
Cy
∆Ycomp(m)
X(m)
Y(m)
7926.4 2
1160.81
C
A 147.730 B 104.815 C 177.590 A
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