Chapitre I Automatique Avancee PDF [PDF]

Zitiervorschau

Chapitre 1: Rappels

Département Génie Electrique

Pr. Amami Benaissa Cycle Ingénieur EEA Pr. Benaissa Amami FST Tanger, 2017-2018

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Chapitre 1: Rappels

Définition de l’asservissement

1.

En automatique, un asservissement est un algorithme dont l'objet principal est de forcer la sortie ou l’état d’un système à atteindre le plus rapidement possible sa valeur de consigne (la valeur souhaitée en sortie) et de limiter l'écart par rapport à cette dernière, quelles que soient les perturbations externes ou internes. Le principe général est de comparer la consigne et l'état (la sortie) du système de manière à le corriger efficacement. On parle également de système commandé par rétroaction négative ou en boucle fermée «feedback en anglais». L'objet d'application de l'automatique est appelé « système ». Un système se caractérise par ses grandeurs d'entrée et de sortie. Les grandeurs d'entrée sont les grandeurs qui agissent sur le système. Il en existe deux types :  

Les commandes : Elles sont calculées, puis appliquées au système (elles sont maitrisables). Les perturbations : Elles sont en général inconnues. Elles dépendent de l’environnement ou des caractéristiques physiques du système.

Figure 1

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Chapitre 1: Rappels

Figure 2 Le transmetteur adapte et standardise le signal issu du capteur

Figure 3

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Chapitre 1: Rappels

2.

Classification des systèmes

La classification des systèmes peut se faire par rapport à plusieurs concepts : la nature de la variable temps « t », le type d’équations, le nombre des entrées/sorties, la nature de ces paramètres. A. Systèmes continu et discret : Les systèmes se classent en fonction du type des signaux qu’ils traitent : analogiques, discrets, hybrides. La variable considérée est le temps « t ». 1. Système continu (analogique) : C’est des systèmes constitués de composants analogiques. Ils traitent des signaux continus ou analogiques 2. Système discret (échantillonné, ou numérique) : C’est des systèmes constitués d’au moins d’un composant qui traite que des signaux discrets, ou la variable temps « t » est échantillonnée. B. Systèmes linéaire et non linéaire Les systèmes sont classés selon la nature de leurs équations : équations linéaires ou non linéaires. 1. Système linéaire : Un système est dit linéaire si la variation de sa sortie est proportionnelle à la variation de son entrée. Il a des équations à paramètres constants, indépendantes des fonctions non linéaires et ces signaux sont découplés. Il peut être représenté par un modèle d’état ou fréquentiel. 2. Système non linéaire Un système est dit non linéaire si la variation de sa sortie est non proportionnelle à la variation de son entrée. Ces équations dépendent des fonctions non linéaires et/ou ces signaux sont couplés. Il peut être représenté seulement par un modèle d’état non linéaire. C. Systèmes mono-entrée/mono-sortie et multi-entrées/multi-sorties Cette classification se base sur le nombre des entrées/sorties du système. Il existe deux classes de systèmes : 1. Système mono-entrée/mono-sortie : C’est un système à une seule entrée et une seule sortie. Il est simple à modéliser, à analyser et à commander, à cause de l’absence du couplage. 2. Système multi-entrées/multi-sorties C’est un système au moins à deux entrées et/ou deux sorties. On parle dans ce cas de la matrice de transferts (MT) au lieu de fonction de transfert.

 H ( p ) H 12 ( p )  H ( p )   11 ,  H 12 ( p ) H 22 ( p )  y (t ) y (t ) y (t ) y (t ) H 11 ( p )  1 , H 12 ( p )  1 , H 21 ( p )  2 , H 22 ( p )  2 u1 (t ) u 2 (t ) u 1 (t ) u 2 (t ) y (p)   y ( p )  H 11 ( p )U 1 ( p )  H 12 ( p )U 2 ( p ) Y (p)   1   1  y 2(p)   y 2 ( p )  H 21 ( p )U 1 ( p )  H 22 ( p )U 2 ( p ) Pr. Benaissa Amami FST Tanger, 2017-2018

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Chapitre 1: Rappels La théorie d’analyse et de commande de ces systèmes est plus complexe par rapport à la classe précédente, en particulier dans l’espace fréquentiel, où leur modèle est une matrice de transfert. D. Systèmes invariable et variable dans le temps (stationnaire/non stationnaire) Les systèmes peuvent être classés selon la nature de leurs paramètres. Ces derniers sont fixes ou variables par rapport au temps. 1. Système invariable dans le temps (stationnaire)! C’est un système où tous les paramètres de son modèle sont fixes. En pratique, cette caractéristique dépend des conditions de fonctionnement. Ces systèmes nécessitent une théorie de commande simple. 2. Système variable dans le temps (non stationnaire) : C’est un système qui contient au moins un paramètre variable dans le temps. En général, les variations des paramètres d’un système dépendent du mode de fonctionnement. La théorie de commande de ces systèmes est relativement complexe.

3.

Modélisation des systèmes

En automatique, La modélisation des systèmes est une étape nécessaire pour leur analyse et leur commande. 3.1.

Modèle de connaissance

Les modèles de connaissance sont élaborés à partir des lois de la physique (électricité, mécanique) ou de la chimie. Les paramètres d'un tel modèle ont alors une interprétation physique directe : tension, température, pression, courant, accélération, force.... On exprime les lois physiques connues régissant le fonctionnement du système et en enduit la (les) relation(s) mathématique(s) cherchée(s) (par exemple fonction de transfert, équation différentielle etc..). Par contre, ils sont en général difficiles à déterminer et de mise en œuvre complexe. L’objectif :f étant d’expliciter le fonctionnement d’un système par une relation mathématique. Exemple Circuit RC

Uc(t )  Ri (t )  E (t ) dUc  E (t ) dt dUc Uc(t )  T  E (t ) dt Uc(t )  RC

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T  RC

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Chapitre 1: Rappels 3.2.

Modèles de représentation, comportemental ou modèle de conduite

Lorsque l'analyse interne du système n'est pas possible (lois internes inconnues, mesures internes impossibles ou difficiles) ou trop complexe, on est amené à considérer le système comme une boite noire. A partir de l'observation des entrées-sorties (comportement externe) et de mesures expérimentales, on établit alors la relation mathématique qui lui correspond au mieux. Ces modèles ne permettent pas, le plus souvent, d'interprétation physique des phénomènes étudiés. Ils sont constitués d'un ensemble de relations mathématiques qui vont relier dans un domaine d'évolution donné, les différentes variables du processus. Les paramètres de tels modèles peuvent n'avoir aucun sens physique particulier connu. Exemple Circuit RC

Par identification

W (p) 

Uc ( p ) E  E ( p ) (1 Tp )

Figure 4

3.3.

Modèles d’entrée/sortie ou approche externe

Les systèmes sont représentés par deux modèles qui dépendent de l’espace utilisé : -

Temporel : La variable utilisée est le temps « t », variable physique et on obtient la description par équation différentielle ou réponse iimpulsionnelle.

-

Complexe : La variable utilisée est l’opérateur de Laplace « p » (ou « s »), variable abstraite et on obtient la description fréquentielle ou fonction de transfert.

Il est calculé en utilisant la transformation de « Laplace » sur le modèle de connaissance, ou de comportement. Les conditions nécessaires pour le calcul du modèle de transfert sont : -

La linéarité des équations différentielles du modèle initial ;

-

Les conditions initiales des équations différentielles sont nulles.

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Chapitre 1: Rappels

Figure 5 Exemple Circuit RC

1. Approche par équation différentielle Uc (t )  Ri (t )  E (t ) dUc  E (t ) dt dUc Uc (t ) T  E (t ) dt Uc (t )  RC

T  RC

Uc(t )( solution génerale)  Uc1 (solution particuliere)  Uc2 ( solution sans sec ond membre) Uc1 ( solution particuliere)  E Uc2 ( solution sans sec ond membre)  Ae Uc(t )  Uc1 (t )  Uc2 (t )  E  Ae

Uc(0)  E  Ae



t T





t T

t T

0

y (t )  Uc (t )  E (1  e

t  T

)

2. Approche par réponse impultionnelle Calculons d’abord la réponse impulsionnelle h(t)

Uc (t )  Ri (t )  E (t ),

T  RC , Uc (t )  RC

dUc  E (t ) dt

à t  0 Uc (t )  0

dUc  E (t ), On pose Uc (t )  h (t ) reponse impulionnelle dt dh (t ) Si E (t )   (t )  E ( p )  1,  h (t ) T  1 et h ( p ) Tph ( p )  1 dt 1 h ( p ) Tp  1   1  h ( p )   Tp  1 

Uc (t ) T

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Chapitre 1: Rappels On se propose d’utiliser le produit de convolution pour déterminer la réponse indicielle y(t) du circuit RC à un échelon d’amplitude E à partir de sa réponse impulsionnelle h(t). t

t 1 t  E  t   y (t )  h (t )* Eu (t )   h (t   )Eu ( )d  E  h (t   )d   E  e T d   Te T   E (1  e T ) T T  0 0 0 0 t

t

t

3. Approche par fonction de transfert Conditions initiales nulles

dUc  E (t ) RC  T dt dUc    Uc(t )  T    E (t )  dt  

Uc(t )  T

 dUc   Uc(t )    T    E (t )   dt  Uc( p )  TpUc( p )  E ( p ) Uc( p )(1  Tp )  E ( p )

W (p) 

Uc ( p ) 1  E ( p ) 1 Tp

avec

E (p) 

E p

E p(1  Tp)   E Uc(t )   1 (Uc( p))   1    p(1  Tp) 

Uc( p)  W ( p) E ( p) 

t      E T Uc(t )   (Uc( p))      E 1  e   p(1  Tp)    1

3.4.

1

Signification physique des pôles

Les pôles d’un système déterminent complétement la dynamique et le comportement de ce système. Exemple Circuit RC

Uc ( p )  E ( p )W ( p ) 

E A B   p (1  pT ) p (1  pT )

(B  AT )  0 A  E   A  E B  ET

Uc ( p ) 

E ET  p (1  pT )

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Chapitre 1: Rappels On remarque que Uc(p) contient 2 pôles, le pôle p1=0 qui est issu de l’entrée et le pôle P2 = -1/T qui est issu du système t  E ET  ET Tt T Uc (t )     E  e  E  Ee  S 1  S 2  T  p (1  pT )  Régime permanent 1

régime transitoire

Le pôle p1=0 est responsable sur régime permanent S1 Le pôle P2 = -1/T est responsable sur le régime transitoire S2

Figure 6

Uc (t ) 

E Régime permanent

 (Ee

t  T

)  S1  S 2

régime transitoire

T  2s E  6 V La solution

Uc (t ) est la somme de deux contributions

S 1 (t ) qui est due à l’entrée via son pôle p1=0 et qui fixe le régime permanent S 2 (t ) qui est due au système via son pôle p2=-1/T et qui cause le régime transitoire Pr. Benaissa Amami FST Tanger, 2017-2018

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