Automatique Avancee Chapitre3 2020 2021 [PDF]

Zitiervorschau

Automatique avancée Partie 1: Commande par retour d’état Chapitre 3 : Commandabilité et observabilité

Pr. Amami Benaissa Cycle Ingénieur EEA 2020/2021

Pr. Amami Benaissa, FST Tanger

1

3. Commandabilité et Observabilité Position du problème

• Soit un système linéaire décrit par le modèle d’état suivant:

X (t ) = AX (t ) + Bu (t ) y (t ) = CX (t ) + Du (t ) les quartes matrices A, B, C et D représentent des transformations sur l’espace d’état, l’espace des commandes et l’espaces des sorties. La figure suivante représente les relations entres ces espaces

Pr. Amami Benaissa, FST Tanger

2

3. Commandabilité et Observabilité Position du problème

• Un intérêt majeur de la notion d'état est de renseigner l'utilisateur sur le nombre maximum (n) de variables indépendantes qu'il aura à mesurer ou reconstituer pour générer la meilleure commande possible d'un système • En effet, étant donné un système linéaire pour lequel on souhaite trouver un régulateur linéaire qui assure la stabilité de la boucle fermée ainsi qu'un niveau de performances spécifié a l'avance.

Pr. Amami Benaissa, FST Tanger

3

3. Commandabilité et Observabilité Position du problème •

•

Pae ailleurs dans une représentation d’état, certaines variables d'état sont directement accessibles a la mesure (variables mesurables ), par l'intermédiaire de capteurs classiques (de température, position, vitesse, tension, flux, ...). Elles pourraient, en cela, être considérées comme des sorties. Par contre, d'autres peuvent influencer les sorties sans que leur mesure directe soit possible (variables observables) (coût, complexité de capteur): on peut citer le cas des dérivés d'une accélération ou d'une température par exemple. Enfin, certaines variables d'état ne sont même pas observables (variables non observables), c'est-à-dire qu'elles n'agissent pas sur les sorties du processus et ne sont donc pas perceptibles par la mesure.

Ainsi, à travers une représentation d’état, deux interrogations majeures se posent : •

1. Est-il possible de générer une commande qui permet de faire passer le système d'un état quelconque X(t1) (à l’instant t1) à un autre état quelconque X(t2) (à l’instant t2)? : (Problème de commandabilité)

•

2. En supposant que l'entrée du système est connue, peut-on, par la seule observation des sorties sur un intervalle de temps, [t1, t2] déduire l'état initial X(t1)du système? ( Problème d’observabilité) Essayons de d’examiner ces deux interrogations à travers l'exemple suivant :

•

Pr. Amami Benaissa, FST Tanger

4

3. Commandabilité et Observabilité Position du problème

Soit le système suivant : 1 1 0.75

1 p −1

u

+ 1 p+3

0.25

2 SS1

1

x1

v

0 .5 − p

x3

+

3

+

w

y + 5

+

+ −

x2

1 .5 p+2

x4

1 p +1

x5

4 SS2

SS3

Essayons de représenter ce système par les trois représentations suivantes: - Représentation par variable d’état - Représentation par équation différentielle - Représentation par fonction de transfert Pr. Amami Benaissa, FST Tanger

5

3. Commandabilité et Observabilité Position du problème 1. Représentation par variable d’état

Pour le bloc 1, on peut écrire : X 1 ( p ) 0, 75 = u ( p) p −1



pX1 − X 1 = 0, 75u



•

X 1 = X 1 + 0.75u

Pour le bloc 2, on peut écrire : X 2 ( p) 0, 25 = u ( p) p+3



pX 2 + 3 X 2 = 0, 25u 

•

X 2 = −3 X 2 + 0.25u

Pour le bloc 3, on peut écrire : X1 + X 2 = v X 3 ( p ) 0, 25 = v( p) p



pX 3 = 0, 25v 

pX 3 = 0, 25 ( X 1 + X 2 ) 

Pr. Amami Benaissa, FST Tanger

•

X 3 = 0.25 X 1 + 0.25 X 2 6

3. Commandabilité et Observabilité Position du problème 1. Représentation par variable d’état

Pour le bloc 4, on peut écrire : X 4 ( p) −1,5 = v( p) p+2



pX 4 + 2 X 4 = −1,5v  pX 4 + 2 X 4 = −1,5 X 1 − 1,5 X 2

•

X 4 = −2 X 4 − 1.5 X 1 − 1.5 X 2

Pour le bloc 5, on peut écrire : X 3 + X 4 + v = w  X 3 + X 4 + X1 + X 2 = w X 5 ( p) 1 =  w( p ) p +1

pX 5 = − X 5 + w  pX 5 = − X 5 + w  pX 5 = − X 5 + X 3 + X 4 + X 1 + X 2

•

X 5 = X1 + X 2 + X 3 + X 4 − X 5 Pr. Amami Benaissa, FST Tanger

7

3. Commandabilité et Observabilité Position du problème 1. Représentation par variable d’état Finalement on obtient l’équation d’état suivante :  X 1  1     X 2  0  X  = -0.5  3   X 4  -1.5     X 5  1

0

0

0

-3

0

0

-0.5 0

0

-1.5

0

-2

1

1

1

0   X 1  0.75   0   X 2  0.25 0   X 3  + 0  u, y = 1     0   X 4  0  -1  X 5  0 

1

1 1

 X1    X2  1  X 3    X4  X   5

Forme I

Comme on pouvait s’y attendre (puisqu’on avait 5 blocs dynamiques d’ordre 1 le modèle est d’ordre 5. D’après la forme 1 les modes du système – qui sont définis par les facteur de l’équation caractéristiques de la matrice A - sont donnés par :

det ( pI − A) = ( p − 1)( p + 3)( p)( p + 2)( p + 1) et on retrouve bien les 5 modes qui apparaissent sur la structure indiquée sur la figure? Pr. Amami Benaissa, FST Tanger

8

3. Commandabilité et Observabilité Position du problème 2. Représentation par équation différentielle Cherchons pour le même système un modèle sous forme de l’équation différentielle liant la sortie y à l’entrée u. Un tel modèle pourrait se déduire de la forme 1 en éliminant les 5 variables x1 à x5. On peut de la même façon – ce qui est plus simple – écrire les équations différentielles de chaque système et éliminer les variables v et w entre :

ss1

••

•

••

•

•

v + 2 v − 3v = u + 2u ••

ss2

w+ 2 w = v − v

ss3

y+ y = w+ 2w

•

•

En dérivant la dernière équation et en tenant compte des équations précédentes •• • •• on obtient : •• •

y + y = w+ 2 w = v − v

En dérivant à nouveau et compte tenu des équations précédentes, on obtient : •••

••

••

•

•••

•

y+ y = v −v ••

3 y + 3 y = 3v − 3v •  ••• •• •   •• •   ••  •  y + 4 y + 3 y = v + 3 v − v − 3v =  v + 2 v − 3 v  +  v + 2 v − 3v  =  u + 2 u  +  u + 2u         

•••

••

•

•••

••

•

Pr. Amami Benaissa, FST Tanger

9

3. Commandabilité et Observabilité Position du problème 2. Représentation par équation différentielle •••

••

•

••

•

y + 4 y + 3 y = u + 3 u + 2u

Forme II

Cette équation différentielle est seulement d’ordre 3. Son équation caractéristique est :

p 3 + 4 p 2 + 3 p = p( p + 3)( p + 1) Par comparaison avec l’équation forme I, on voit qu’on a perdu  trace  des modes (p-1) et (p+2)

Pr. Amami Benaissa, FST Tanger

10

3. Commandabilité et Observabilité Position du problème 1. Représentation par fonction de transfert

y ( p) ( p + 2) ( p − 1)( p + 1) ( p + 2) ( p + 2) = F1 ( p) F2 ( p) F3 ( p) = = u ( p) ( p − 1)( p + 3) p( p + 2) ( p + 1) p( p + 3) y ( p) ( p + 2) = u ( p ) p ( p + 3)

Forme I

,

Cette fonction de transfert est de deuxième ordre et ne met en évidence que les modes p et (p+3) Par comparaison avec l’équation forme I, on voit qu’on a perdu trace  des modes (p-1), (p+2), (p+1),

Pr. Amami Benaissa, FST Tanger

11

3. Commandabilité et Observabilité Position du problème Représentations Modes

Structure physique

Modèle d’état

Équation différentielle

Fonction transfert

pp−−11

*

*





p p+ + 33

*

*

*

*

*

*

*

*

p+2

*

*





p +1

*

*

*



p

* mode retenu

de

 mode perdu

Comment expliquer les différences obtenues ? Le problème est d’importance car intuitivement il est clair – à la vue de la figure – que le système a physiquement cinq modes et est en particulier instable alors que les modèles obtenus sous forme d’équation différentielle ou de fonction de transfert sont de 3ème ou de 2ème ordre et stables. Pr. Amami Benaissa, FST Tanger

12

3. Commandabilité et Observabilité Position du problème On comprendra mieux ce qui ce passe si on écrit les équations d’état du système dans une base où la matrice A est sous forme diagonale

~  X   ~1  1  X    ~2   − 3  X  =   ~3    X    ~4    X    5

0

~  X1  3/ 8     ~   X  1 / 24  ~2      X 3  + 1 / 3 u  ~    −2 0  X 4    − 1  X~  0   5

~  X1  ~  X 2  ~  y = 0 8 2 0 1 X 3   X~   ~4  X5   

Pr. Amami Benaissa, FST Tanger

13

3. Commandabilité et Observabilité Position du problème

X 1 = X 1 + 3 / 8u ~ ~ X 2 = −3 X 2 + 1 / 24u

~ X 3 = 1/ 3u ~ ~ X 4 = −2 X 4

~ ~ X5 = −X5

u

1 p −1

X1

3 /8

Commandable Non observable

1/24

1 p+3

X2 8

Commandable Observable

1/3

1 p

1 p+2

1 p +1

X3 2

X4

y

Commandable Observable

Non commandable Non observable Non commandable Observable

X5 1

y = 8X 2 + 2X3 + X5 Pr. Amami Benaissa, FST Tanger

14

3. Commandabilité et Observabilité Position du problème •

On peut remarquer que les cinq modes de système jouent des rôles différents vis à vis de la structure de système:

•

Le mode correspondant à (p-1) ( x1 ), est bien relié à l’entrée u mais n’est pas relié à la sorite. Intuitivement cela signifie que si on peut agir sur lui, par contre, rien dans la sortie, nous exprimerons ce fait en disant qu’une telle variable ou un tel mode est commandable mais Inobservable

•

Les modes correspondant aux facteurs (p+3) et p, ( x2 , x3 ) sont reliés à la fois à l’entrée et à la sortie. Ils sont observables et commandables

•

Quant à la variable ( x4 ) qui n’est reliée ni à l’entrée ni à la sortie, elle sera dite variable non-commndable et non-observable

•

Le mode correspondant au facteur (p+1) ( x5 ) , n’est pas relié à l’entrée. Autrement dit, quelles que soient l’entrée appliquée au système, la variable évoluera librement, uniquement en fonction de sa dynamique et de sa condition initiale : x5 (t ) = x5 (o)e−t  u et on n’aura aucun moyen d’influencer son évolution. Une telle variable sera dite observable mais non-commndable.

Pr. Amami Benaissa, FST Tanger

15

3. Commandabilité et Observabilité Position du problème •

• • • • • • •

On voit sur la base de ces exemples qu’on peut donc être amener, dans le cas général, à distinguer 4 catégories de variables : Variable commandable et inobservable (comme x1 ) C/INO Celle commandable et observable (comme x2 , x3) C/O Celle non-commandable et non-observable (comme x4 ) INC/INO Celle incommandable et observable (comme x5 ) INC/O Si on se reporte à l’exemple précédent on remarquera également que : Les modes  perdus  dans la représentation différentielle (p-1) et (p+2) sont les modes nonobservables du système. Les seuls modes  conservés  par la fonction de transfert p et (p+3) et sont les modes qui sont à la fois commandable et observables. Équation différentielle

Fonction de transfert

Équation d’état C/ INO

*





C/O

*

*

*

INC/INO

*





INC/O

*

*



• •

* : Mode conservé par la représentation  : Mode non conservé par la représentation0

Toute représentation par équation différentielle ne représente que la partie observable (commandable ou non) d’un système Toute représentation par fonction de transfert ne représente que la partie commandable et observable du système

Pr. Amami Benaissa, FST Tanger

16

3. Commandabilité et Observabilité Exemple

• Considérons le cas d'une automobile vu comme processus. L'accélérateur est supposé être la seule commande de ce système, sa vitesse la grandeur de sortie. Les états considérés sont : • - Vitesse de rotation du moteur, • - Niveau de charge des batteries • -; le moteur entraînant l'alternateur, • - La masse du véhicule, • - L'état d'un phare ( allumé ou éteint ). • Quels sont les variables commandables, observables, non commandables et non obserbvables. Expliquer pourquoi ?

Pr. Amami Benaissa, FST Tanger

17

3. Commandabilité et Observabilité Exemple

Pr. Amami Benaissa, FST Tanger

18

3. Commandabilité et Observabilité Exemple

• • •

•

• •

Interprétations : L'action sur l'accélérateur permet de contrôler les trois premiers états, ils sont commandable. La connaissance de la vitesse du véhicule et de la commande appliquée permettent d'extrapoler celle du moteur. Cet état est observable. De même, il est possible de déterminer la masse de l'automobile qui obéit à la relation fondamentale de la dynamique. Cet état est également observable. L'état d'un phare est indépendant de l'action sur la pédale d'accélérateur, cet état est non commandable. La vitesse du véhicule et la position de la pédale de l'accélérateur ne nous renseignent; ni sur l'état du phare, ni sur le niveau de charge de la batterie qui sont des états inobservables

Pr. Amami Benaissa, FST Tanger

19

3. Commandabilité et Observabilité Commandabilité

• •

• •

Définition On dit qu’un système est complètement commandable s’il est possible quel que soit l’intervalle [t1 t2] et quelque soit l’état X2, de déterminer un signal de commande u(t) sur [t1 t2] qui amène le système de n’importe quel état X(t1) = X1 vers l’état X(t2) = X2 Un système sera commandable si tout ses états sont commandable. Le système X (t ) = AX (t ) + Bu (t ) est commandable si et seulement si le rang de sa matrice de commandabilité Qc = B AB ........A B  est égale à la dimension de l’espace d’état c’est-à-dire : n −1

rang  B AB ........A n −1B  = rang QC = n , ou det QC  0 •

On dit que la paire (A,B) est commandable.

Pr. Amami Benaissa, FST Tanger

20

3. Commandabilité et Observabilité Forme canonique de commandabilité ou forme compagne commandable •

Soit le système, avec la paire (A,B) commandable

X (t ) = AX (t ) + Bu (t ) y (t ) = CX (t ) + Du (t ) •

.On définit la matrice carrée suivante M où les ai sont les coefficients de polynôme caractéristique du système det ( pI n − A ) =  n + an −1 n −1 + ........ + a1 + a0 = 0

• •

On a alors le théorème 1 suivant: Si la matrice de commandabilité Qc est régulière, alors le changement de base définit par X (t ) = Q −1Z (t ) avec Q = (QC M )−1 donne lieu à la représentation suivante:

Z (t ) = Ac Z (t ) + B cu (t ) y (t ) = C c Z (t ) + Du (t )

Pr. Amami Benaissa, FST Tanger

21

3. Commandabilité et Observabilité Forme canonique de commandabilité ou forme compagne commandable

où

Q = (QC M ) est la matrice de transformation mettant la matrice A sous forme compagne Ac c’est-à-dire les coefficients qui apparaissent dans matrice Ac sont au signe près les coefficients des puissances de p dans le polynôme caractéristique : −1

det ( pI − A ) = p n + an −1 p n −1 + ........ + a1 p + a0 = 0 Cette représentation s’appelle forme canonique de commandabilité ou forme compagne commandable La paire ( Ac , B c ) ainsi définit est toujours commandable

Pr. Amami Benaissa, FST Tanger

22

3. Commandabilité et Observabilité Forme canonique de commandabilité ou forme compagne commandable Exemple 1

-1 A = -2

1  dét Qc = 0 la matrice Qc n 'est pas régulière . Le système n 'est pas commandable 2

La matrice contient deux ligne qui sont linéairement dépendant

-1 A = 0

1  dét Qc  0 la matrice Qc est régulière . Le système est commandable -1

Trouvons sa forme de commandabilité. On a

det ( pI − A ) = p 2 + 2 p n −1 + 1  a1 = 2, a2 = 1  1 −1  par conséquent: 2 

  La matrice M est donnée par M = 1 0  d’où Q = (QC M ) =  −1    2 1

 0 Ac = QAQ −1 =   −1

1 , 2 

0  B c = QB =   , 1 

La forme commandable est :

−1

C c = CQ −1 =  1 0  , D = 0

X (t ) = Ac X (t ) + B cu (t ) y (t ) = C c X (t )

Pr. Amami Benaissa, FST Tanger

23

3. Commandabilité et Observabilité Observabilité

•

Définition

•

La stabilisation des systèmes linéaire nécessite souvent un bouclage par retour d’état ce qui implique la connaissance de tous les états du système or, on pratique, il n’est pas possible de mesurer complètent l’état du système pour différentes raisons.

u (t ) = yref − KX (t )

•

On est alors amené à chercher les conditions qui permettent de calculer le vecteur d’état X(t) pour t  t 0 , t f  à partir des données mesurables du système, c’est-à-dire les matrices A, B, C, D, l’entrée u(t) sur l’intervalle t 0 , t f  et la sortie du système y(t) sur l’intervalle t 0 , t f 

Pr. Amami Benaissa, FST Tanger

24

3. Commandabilité et Observabilité Observabilité

•

Définition

•

D’autre pat, il est souvent nécessaire de reconstruire l’état d’un système à partir des mesures disponibles pour les sortie. La notion d’observabilité est alors nécessaire pour s’assurer que la reconstruction de l’état est possible.

•

Le système

X (t ) = AX (t ) + Bu (t ) y (t ) = CX (t ) + Du (t )

est observable si et seulement si le rang de sa matrice d’observabilité Qo est égale à la dimension de l’espace d’état c’est-à-dire :

C  CA   = n , c 'est à dire det Q  0 rang QO = rang  O .   n −1  CA  •

On dit que la paire (A,C) est observable. Pr. Amami Benaissa, FST Tanger

25

3. Commandabilité et Observabilité Observabilité Exemple

Soit le système :

La matrice d’observabilité est

,

elle contient deux colonnes identiques ,donc dét Q0=0. Le système est non observable

Pr. Amami Benaissa, FST Tanger

26

3. Commandabilité et Observabilité Forme canonique d’observabilité ou forme compagne observable

Pr. Amami Benaissa, FST Tanger

27

3. Commandabilité et Observabilité Réalisation minimale Remarques •

Une représentation d'état d'un système est caractérisée par le quadruplet (A, B, C, D)

•

Toute représentation d'état (A, B, C, D) d'un système qui vérifie

G ( p ) = C ( pI − A )−1 B + D

est appelée une réalisation de G(p) •

Une réalisation (A, B, C, D) avec dim(A)=n est une réalisation minimale s'il n'existe pas d'autres réalisations de G(s) de dimension inférieure à n

•

Dans le cas d'un système mono-entrée, mono-sortie, la réalisation minimale correspond à une fraction rationnelle irréductible (pas de simplification des pôles et zéros) Le concept de minimalité est directement relié aux concepts de commandabilité et d’observabilité par le théorème suivant: Théorème: Une réalisation est minimale si et seulement si elle est commandable et observable. Considérons pour simplifier le cas d’un système mono-entrée, mono-sortie dont la fonction de transfert est G(p). Supposons maintenant que nous ayons compensation d’un pôle par un zéro, alors il est clair que la réalisation que nous avons considérée n’est pas minimale et d’après le théorème précédent cette réalisation est soit non-commandable, soit non-observable, soit les deux à la fois.

•

• •

Vérifier que ces deux systèmes décrivent une réalisation de la même fonction de transfert G(p)

G (p) =

1 1+ p

Pr. Amami Benaissa, FST Tanger

28

Bibliographies et références • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

Techniques de Commande avancée cours de Mr ACHOUR AbdelYazid Maître de conférences « Cours,» Université A.MIRA-BEJAIA Faculté de Technologie Département De Génie électrique Commande automatique des systèmes linéaires continus (Cours avec applications utilisant MATLAB), Viorel Minzu-Bernard Lang, ellipses, 2001. Commande et estimation multivariables (Méthodes linéaires et optimisation quadratique), Eric Ostertag, ellipses, 2006. Analyse et régulation des processus industriels (tome2 régulation numérique), P.Borne - G.Dauphin Tanguy- J.P.Richard- F.Rotella- I.Zambettakis , editions technip, 1993. Systèmes asservis:commande et régulation (tome1 représentations-analyse- performances), Marek Zelazny-Fouad Giri-Taib Bennani, eyrolles, 1993. Systèmes asservis : commande et régulation (tome2 synthese-applications-insrumentation), Marek Zelazny-Fouad Giri-Taib Bennani, eyrolles, 1994. Modélisation et identification des processus tome1, P.Borne - G.Dauphin Tanguy- J.P.Richard- F.Rotella- I.Zambettakis, editions technip, 1992. Identification et commande numérique des procédés industriels, R.Ben Abdnnour-P.Borne-M.Ksouri-F.M ’sahli, editions technip, 2001. Systèmes linéaires, non linéaires, à temps continu à temps discret, représentetion d’état (cours et exercices corrigés), Yves Granjon, Dunod, 2003. Contrôle et régulation (cours et exercices corrigés), Patrick Prouvost, dunod, 2004. Systèmes linéaires et continus 2 édition, Sandrine Le Ballois-Pascal Codron, donod, 2006. Représentation d’état des systèmes linéaires, A.J.Fossard, école nationale supérieure de l’aéronautique et de l’espace, 1983. Systèmes asservis (volume3, asservissement par variables d’état), J.-M.Allenbach, haute école spécialisée de suisse occidentale, 2004. Commande des processus, représentation d’état (notes de cours), M.Jungers-Y.Chitour, ENS de Cachan, 2005 Représentation et analyse des systèmes linéaires (notes de cours version 5), D.Arzelier, LAAS-CNRS. Commande et optimisation des processus P. Borne, G. Dauphin-Tanguy, J.P. Richard, F. Rotella, I. Zambettakis, Edition TECHNIP. Commande et estimation multivariables ; E. Ostertag, Edition ELLIPSES. Application de Matlab 5 et Simulink 2 M. Mokhtari, M. Marie, Edition SPRINGER Commande et optimisation des processus P. Borne, G. Dauphin-Tanguy, J.P. Richard, F. Rotella, I. Zambettakis, Edition TECHNIP. ntroduction à la commande floue, P.Borne-J.Rozinoer-J.Y.Dieulot-L.Dubois, editions technip, 1998. Sites web : UV Automatique ASI 3, INSA de Rou Sites web : M. Chadli, Commande de systèmes linéaires, École Supérieure Sites web : Gonzalo Cabodevila, Analyse et correction des, Systèmes linéaires continus ou, échantillonnés à l'aide des variables d'état, École Nationale Supérieure de Mécanique et des Microtechniques, Version 2010 Cours d’Automatique : Représentations d’ état linéaires des systèmes monovariables , Olivier BACHELIER, ENSI, juin 2017

Pr. Amami Benaissa, FST Tanger

29