Chapitre 6 Transmaths 1ere S [PDF]

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CHAPITRE

6

Comportement d’une suite

ACTIVITÉS

(page 143)

1 L’aire ajoutée (celle d’un carré) compense exactement l’aire enlevée. 2 a) p1 = 4 × 4 = 16 = 24 ; 5

p2 = 4 × 4 × 2 = 32 = 2 ; p3 = 4 × 4 × 2 × 2 = 64 = 26. b) La suite (pn) est géométrique de raison 2 car la longueur de la ligne brisée est le double de celle du segment initial. Pour tout entier naturel n non nul, pn = 2n+3. c) Oui, car pn ⭓ 1 500 pour n ⭓ 8. Oui, car pn ⭓ 10 000 pour n ⭓ 11.

3 Par construction, à partir de la figure 2, on augmente la « largeur » du quart de l’augmentation précédente : 1 1 1 ᐉ1 = 4, ᐉ2 = 4 + 2, ᐉ3 = 4 + 2 + , ᐉ4 = 4 + 2 + + , 2 2 8 et pour tout entier n (n ⭓ 3), 1 1 1 ᐉn = 4 + 2 + + + … + 2 8 2 × 4n–3 1 1 1 ᐉn = 6 + 1 + + … + n–3 2 4 4 1 1 – n–2 1 2 4 ᐉn = 6 + × < 6 + < 7. 2 3 1 1– 4 Conclusion : la « largeur » ne peut pas dépasser 7 cm.

冢

5 5 5 +9× +9×3× 2 4 8 5 5 5 285 = 3 × + 9 × + 27 × = . 2 4 8 8 On peut conjecturer que : 3 9 27 3 n + + +…+ pn = 5 × 2 4 8 2 p3 = 3 ×

Activité 1

冣

Activité 2 1 La surface coloriée est intérieure au triangle équilatéral 1 513 2513 du départ : son aire ne dépasse pas × 5 × = . 2 2 4 5 15 2 p1 = 3 × = ; 2 2 5 5 75 ; p2 = 3 × + 3 × 3 × = 2 4 4

冤

冢 冣冥

冤

冢 冣

2

冢 冣 冥 n–1

冢 32 冣

n

1–

15 3 3 3 15 1+ + +…+ = × 2 2 2 2 2 3 1– n 2 3 –1 . pn = 15 × 2 3 n pn ⭓ 1 500 ⇔ ⭓ 101. 2 3 Or, la suite géométrique des puissances de est croissante 2 3 12 (q > 1) et avec une calculatrice, ≈ 129,7. 2 Il est donc possible d’obtenir une surface coloriée dont le périmètre est supérieur à 15 m. pn =

冤冢 冣 冥 冢 冣

冢 冣

Activité 3 1 b) Ω(6 ; 6).

冢

冣 冢 冣 冢

冣 冢 冣 冢

冣 冢 冣

冣 冢

冣

7 7 7 7 19 19 19 19 43 ,C ; ,D ; ,E ,F , ; ; 2 2 2 2 4 4 4 4 8 43 43 43 91 91 91 G ; ,H ; ,I ; . 8 8 8 16 16 16 2 On peut conjecturer que les termes de la suite sont de plus en plus « grands » mais qu’ils ne dépassent jamais 6. 1 1 3 a) un+1 – un = un + 3 – un = 3 – un. 2 2 1 b) un < 6 ⇔ – un > – 3 2 1 ⇔ 3 – un > 0, soit un+1 – un > 0. 2 c) Pour tout entier naturel n, le terme de rang n + 1 est strictement supérieur au terme précédent. d) B 1 ;

冢

Chapitre 6 ● Comportement d’une suite

65

PROBLÈME OUVERT Boris a choisi au départ le nombre 20. 1 Les trois suites sont définies par un+1 = un + 10. 2 Antoine est parti d’un nombre strictement inférieur à 20, Boris est parti d’un nombre strictement supérieur à 20.

On peut visualiser cela en traçant, comme dans l’activité 3, 1 les droites d’équations y = x et y = x + 10, sécantes au 2 point Ω(20 ; 20).

Application (page 149)

EXERCICES

1 a) La fonction racine carrée est strictement croissante sur [0 ; + ∞[ : la suite (un) est strictement croissante. 1 b) Pour tout entier naturel n, un+1 – un = > 0 : la suite (un) 5 est strictement croissante.

6

1. et 2.

2

a) Pour tout entier naturel n non nul, un+1 – un = – n < 0 : la suite (un) est strictement décroissante à partir de l’indice 1. Remarque : u0 = u1 = 2.

3x – 2 . x+1 > 0 : f est strictement croissante sur [0 ; + ∞[,

b) un = f(n) avec f(x) =

5 (x + 1)2 donc la suite (un) est strictement croissante.

f’(x) =

3

a) Pour tout entier naturel n, 23 8 u un > 0 et n+1 = 2 = < 1 : 3 9 un la suite (un) est strictement décroissante. b) Pour tout entier naturel n, un+1 – un = (n – 4)2 – (n –5)2 = 2n – 9. un+1 – un > 0 ⇔ n ⭓ 5 ; donc la suite (un) est strictement croissante à partir de l’indice 5.

u4

0

5

u1

u0 10

n → +∞

7

1. et 2. 1

u0

0

u1

u2 u3 u4 1

3. On peut conjecturer que la suite (un) est strictement croissante et que lim un = 1. n → +∞

8

1. et 2.

u2

3. On peut conjecturer que la suite (un) est strictement décroissante et que lim un = 0.

Remarque : la fonction x 哫 (x – 5)2 est strictement croissante sur [5 ; + ∞[.

4 Pour tout entier naturel n non nul, un+1 3n > 1 : la suite (un) est strictement croissante. = un n+1

u3

1. et 2.

2

1

u4 1 u0

0

u1

u2 u3 2

3. On peut conjecturer que la suite (un) est strictement croissante et que lim un = 2. n → +∞

66

0

u1 u3

1

2 u0 u2 u4

1 3. La suite prend alternativement les valeurs 2 et . Elle 2 n’est pas monotone.

9

D’où m = 7. 25 L’aire du carré est alors égale, en cm2, à 6 et le côté 4 25 5 mesure 6 soit 3 ≈ 0,078 cm. 4 4

1. et 2.

4

17 1. a) Pour tout entier n ⭓ 3, 2 – n ⭐ – 1 donc un < 0. u1 –1

u0 0

u3 1

u4 2

u2 3

4

5

6

3. La suite (un) n’est pas monotone. On peut cependant conjecturer que lim un ≈ 1,33. n → +∞

10

1 < 10–4 ⇔ 1n > 104 ⇔ n > 108, soit m = 108. 1n

11

1 < 10–5 ⇔ n + 5 > 105, soit m = 99 995. n+5

12

2 < 10–6 ⇔ n2 > 2 × 106 n2 ⇔ n > 1 00013, soit m = 1 415.

13 –10–4 < – 5 < 0 ⇔ 0 < 5 < 10–4 2n + 1 2n + 1 ⇔ 5 × 104 < 2n + 1, soit m = 25 000. 14 –10–6 < – 1n < 10–6 ⇔ 0 < 1n < 10–6 ⇔ 3n > 106,

3 3 soit, avec une calculatrice, m = 13.

15 3 – 10–4 < 3 + 1 < 3 + 10–4 ⇔ –10–4 < 1 < 10–4 n

n

⇔ n > 104, soit m = 10 000.

16 Considérons la suite des aires en cm2 : 25 25 ,u = … 4 3 16 Par construction, (un) est la suite géométrique de premier terme u1 = 25 et telle que, pour tout entier naturel n, 25 un = n–1 . 4 25 un < 0,01 ⇔ n–1 < 0,01 ⇔ 4n–1 > 2 500. 4 Avec une calculatrice : 45 = 1 024 et 46 = 4 096. u1 = 25, u2 =

EXERCICES

b) un = f(n) où f est la fonction affine strictement décroissante x 2 sur [0 ; + ∞[ définie par f(x) = – + . 3 3 La suite (un) est donc (strictement) décroissante. 2. a) um ⭐ –105 ⇔ 2 – m ⭐ – 3 × 105 ⇔ m ⭓ 2 + 3 × 105. Le plus petit entier naturel m tel que um ⭐ –105 est donc 300 002. b) La suite étant décroissante, pour tout n ⭓ 300 002, un ⭐ um ⭐ –105 et un ∈ ]– ∞ ; –105[. 3. um ⭐ A ⇔ 2 – m ⭐ 3A ⇔ m ⭓ 2 – 3A. Quel que soit le nombre A, on trouve un indice m à partir duquel, la suite étant décroissante, tous les termes sont inférieurs à A : lim un = – ∞. n → +∞

18 a) La fonction définie par f(x) = 2 x2 est strictement

3 croissante sur [0 ; + ∞[ : (un) est strictement croissante. Les termes de la suite sont clairement positifs. 3 3 un ⭓ 106 ⇔ n2 ⭓ × 106 ⇔ n ⭓ 1 000 . 2 2 3 Or 1 000 ≈ 1 224,7 ; donc m = 1 225 et pour tout entier 2 naturel n ⭓ 1 225, un ∈ I. b) Pour tout entier naturel n, un est strictement positif et un+1 5 = > 1 : la suite est strictement croissante. un 2 5 n ⭓ 2 × 105. un ⭓ 105 ⇔ 2 Avec une calculatrice : 2,513 ≈ 149 011 et 2,514 ≈ 372 529 ; donc, à partir de l’indice m = 14, tous les termes de la suite sont dans l’intervalle I.

4

4

冢 冣

19 1. Pour tout entier naturel n, un+1 – un = – 2 × 5n(5 – 1) < 0 : la suite est strictement décroissante. 2. un ⭐ –106 ⇔ 2 × 5n ⭓ 106 ⇔ 5n ⭓ 500 000. Avec une calculatrice : 58 = 390 625 et 59 = 1 953 125 ; donc, à partir de l’indice m = 9, tous les termes de la suite sont dans l’intervalle I.

Activités de recherche (page 154)

24 Étude d’une suite définie par récurrence • Les outils : – Représentation de fonctions affines. – Propriétés des suites géométriques. – Sens de variation d’une suite.

• Les objectifs : – Savoir visualiser une suite. – Utiliser une suite géométrique pour étudier le comportement d’une suite. – Vérifier une accumulation. Chapitre 6 ● Comportement d’une suite

67

1. a) v0 = u0 – 2 = 2.

1 Pour tout entier naturel n, vn+1 = un+1 – 2 = un + 1 – 2. 2 1 1 vn+1 = (un – 2) = vn : 2 2 1 la suite (vn) est géométrique de raison . 2 1 n 1 b) vn = 2 × = n–1 . 2 2 1 c) La raison est strictement comprise entre 0 et 1 : 2 la suite (vn) est strictement décroissante. 2. a) Pour tout entier naturel n, un = vn + 2 et un+1 – un = vn+1 – vn < 0 : la suite (un) est strictement décroissante. 1 Pour tout entier naturel n, un = 2 + n–1 . 2 1 b) Pour tout entier naturel n, n–1 > 0, donc un > 2. 2 1 c) 2 < un < 2,000 1 ⇔ 0 < n–1 < 10–4 ⇔ 2n–1 > 104. 2 Avec une calculatrice : 213 = 8 192 et 214 = 16 384 ; d’où m = 15.

冢 冣

25 Étude d’une ligne brisée • Les outils : – Propriétés d’un triangle équilatéral. – Propriétés des suites géométriques. – Somme des premiers termes d’une suite géométrique. • L’objectif : – Savoir étudier le comportement d’une somme. 1. a) Tous les triangles sont rectangles avec un angle aigu π de mesure : ce sont des demi-triangles équilatéraux. 3 d1 = 213, d2 = 13. 1 1 b) OA1 = OA0, OA2 = OA1, ... 2 2 13 13 1 et A0A1 = OA0 × , A1A2 = OA1 × = A0A1. 2 2 2 1 Par construction, pour tout entier naturel n, dn+1 = dn : 2 1 la suite (dn) est géométrique de raison . 2 13 c) d0 = 213 et pour tout entier naturel n, dn = n–1 . 2 2. a) Pour tout entier naturel n, un+1 – un = dn > 0 : la suite (un) est strictement croissante. 1 1– n 1 1 1 2 = 413 1 – n . b) un = d0 1 + + … + n–1 = d0 × 1 2 2 2 1– 2 13 3. a) Pour tout entier naturel n, un = 413 – n–2 > 413. 2 1 b) lim n = 0 : n → +∞ 2 on peut conjecturer que lim un = 413, c’est-à-dire 2A0A1…

冢

冣

冢

冣

n → +∞

26 Narration de recherche Le calcul des premiers termes permet de conjecturer que la suite (un) est la suite des entiers naturels à partir de 3. Preuve : Considérons la somme sn = 3 + 5 + 7 + … + (2n + 1). sn = (1 + 2) + (1 + 2 × 2) + (1 + 3 × 2) + … + (1 + n × 2) 68

n(n + 1) = n2 + 2n. 2 s D’où, pour tout entier naturel n non nul, un = n = n + 2. n La suite est clairement croissante et lim un = + ∞. sn = n + 2(1 + 2 + 3 + … + n) = n + 2 ×

n → +∞

27 Narration de recherche 1 (1 + n) . = (1 + n) + n2(1 + n) 1 + n2 D’où, pour tout entier naturel n, un > 0. un+1 1 + n2 = 106, donc un < 10–6 dès que n > 103. De la même manière, pour tout nombre A (A ⭓ 0…), 1 0 < un < dès que n dépasse 1A. A

28 TP – Une approche du nombre d’or 1. a) u4 = 5, u5 = 8, u6 = 13, u7 = 21, u8 = 34, u9 = 55, u10 = 89. b) On peut conjecturer que la suite (un) est croissante et que lim un = + ∞. n → +∞

u1 u u 3 5 8 = 1, v1 = 2 = 2, v2 = 3 = , v3 = , v4 = , u0 u1 u2 2 3 5 13 21 34 55 89 v5 = , v6 = , v7 = , v8 = , v9 = . 8 13 21 34 55 b) On peut conjecturer que la suite (vn) n’est pas monotone et que lim vn = L ≈ 1,618. 2. a) v0 =

n → +∞

4. a)

i 1

a 1 1

b 1 2

c

v

2

2 3 2 2 3 3 2 5 3 3 5 5 3 a + b → c : un+1 est remplacé par un+2 = un+1 + un b → c : un est remplacé par un+1 u b → v : vn est remplacé par vn+1 = n+2 un+1 a

29 TP – Au voisinage de la limite a) À la ligne 7, u0 prend la valeur 1. b) C’est la fonction qui permet de « passer » de un à un+1 car f(un) = un+1. c) La boucle fonctionne tant que u ∉ I = ]L – r ; L + r[. Elle s’arrête dès que u ∈ I. d) L13 : c’est le passage de un à un+1 : L14 : on incrémente l’indice n (il devient n + 1). e) • I = ]2,99 ; 3,01[, soit r = 0,01. Les termes de la suite appartiennent à I à partir de l’indice 14. • I = ]2,999 8 ; 3,000 2[, soit r = 0,000 2. Les termes de la suite appartiennent à I à partir de l’indice 23. • I = ]3 – 10–6 ; 3 + 10–6[, soit r = 10–6. Les termes de la suite appartiennent à I à partir de l’indice 36. x f) On remplace la ligne 22 par F1(x) = + 2 et on saisit 2 L = 4.

Entraînement (page 158)

EXERCICES

2. La suite (un) est strictement décroissante.

DE TÊTE 30 u0 = 5, u1 = 6, u2 = 7, u3 = 8, u4 = 9,… On conjecture que la suite est strictement croissante. un = f(n) avec f(x) = x + 5 : f est affine strictement croissante, il en est de même pour la suite (un).

31 u0 = 1, u1 = –1, u2 = – 3, u3 = – 5, u4 = – 7,… On conjecture que la suite est strictement décroissante. un = f(n) avec f(x) = – x + 1 : f est affine strictement décroissante, il en est de même pour la suite (un). 1 1 1 1 32 u1 = , u2 = , u3 = , u4 = ,…

2 4 6 8 On conjecture que la suite est strictement décroissante. 1 un = f(n) avec f(x) = . 2x 1 Sur ]0 ; + ∞[, f est dérivable et f’(x) = – 2 < 0 : f est 2x strictement décroissante, il en est de même pour la suite (un).

33 Deux termes consécutifs sont de signes contraires (et non nuls) : la suite n’est pas monotone.

34 35 36 37

44 1. u1 = 1,1 ; u2 = 0,325 ; u3 ≈ 0,147 88 ; … ; u4 = 0,091 506 25. Le calcul des premiers termes fait penser que la suite est strictement décroissante. 1,1 1 1,1n+1 1,1n – 2 = 1,1n – 2. un+1 – un = 2 (n + 1)2 n2 (n + 1) n 1,1n = 2 (0,1n2 – 2n – 1). n (n + 1)2 Pour tout entier naturel n, un+1 – un est du signe du trinôme 0,1n2 – 2n – 1. Δ = 4,4 ; le trinôme admet donc deux racines : 2 – 54,4 2 + 54,4 n1 = < 0 et n2 = ≈ 20,5. 0,2 0,2 Le trinôme est strictement positif pour n ⭓ 21 : la suite (un) est strictement croissante à partir de l’indice 21.

冤

45 1. Si (un) est croissante, alors f est croissante. 2.

G

u7 F

u6 E

u5 D

u4

lim un = 0.

C

u3

n → +∞

B

u2

lim un = 1.

u1

n → +∞

冥

A

Ꮿf

lim un = 3.

n → +∞

1

lim un = – ∞.

0

n → +∞

1

2

3

4

5

6

7

n

1 , u201 ∈ I. 38 u201 =

La suite (un) est strictement croissante et f n’est pas monotone.

39 u100 = 10 100, u100 ∈ I.

46 1. La suite semble tendre vers 1. 2. De même, la suite semble tendre vers 1.

1 005

SENS DE VARIATION 40 Corrigé dans le manuel. 41 vn+1 – vn = (n + 1)2 – 10(n + 1) + 26 – n2 + 10n – 26 = 2n + 1 – 10 = 2n – 9. Pour n ⭓ 5, vn+1 – vn > 0 : la suite (un) est strictement croissante.

42 1. f’(x) = 6x2 – 60x + 54 = 6(x – 9)(x – 1) x f’(x)

0 +

1 0

–

9 0

+∞ +

47 1. Pour tout entier naturel n, un+1 – un = n + 1 > 0 : la suite (un) est strictement croissante. n(n + 1) n(n + 1) 2. un = ; > 2 011 ⇔ n2 + 2n – 4 022 > 0. 2 2 Le trinôme n2 + 2n – 4 022 admet deux racines, n1 < 0 et n2 ≈ 62,9 ; il est donc strictement positif pour n ⭓ 63. Il existe donc bien des termes de la suite supérieurs à 2 011 : tous ceux d’indice supérieur ou égal à 63. De même : n2 + n > 2 000 000 ⇔ n ⭓ 1 414. 48

f(x) 2. f est strictement croissante sur [9 ; + ∞[ : la suite (un) est strictement croissante à partir de l’indice 9. –4 43 1. f’(x) = 3 < 0 sur ]0 ; + ∞[, donc f est strictement

x décroissante sur ]0 ; + ∞[.

Chapitre 6 ● Comportement d’une suite

69

49 Faux : 1,999 999 < u1001 < 2.

1 1 1 – 1 + n = n+1 > 0 : la suite (un) est 2n+1 2 2 strictement croissante. 1 4. Pour tout entier naturel n, > 0 donc un < 1. 2n 1 1 5. < ⇔ 2n > 106. 2n 106 Avec une calculatrice, on obtient n ⭓ 20. 3. un+1 – un = 1 –

50 1. un = f(n) avec f(x) = x2. f est strictement croissante sur [0 ; + ∞[ donc la suite (un) est strictement croissante. 2x + 1 2. vn = g(n) avec g(x) = . x+3 La fonction g est définie est dérivable sur ]– 3 ; + ∞[ = I. 5 g’(x) = > 0 donc g est strictement croissante sur I (x + 3)2 et la suite (vn) est strictement croissante.

51 m = 8 165.

52 m = 31.

53 m = 5 002.

54 m = 5 × 107.

2 . La fonction f est définie x+1 est dérivable sur ]–1 ; + ∞[ donc sur I = ]0 ; 2]. –2 f’(x) = < 0 sur I, donc f est strictement décroissante (x + 1)2 sur I, et la suite (un) est strictement décroissante. Pour tout naturel n, un > 0 et un < u0 = 2, donc un ∈ ]0 ; 2].

55 un = f(n) avec f(x) =

1 1 56 un = – 3 + 2 , soit un = f(n) avec f(x) = – 3 + 2 .

n x La fonction f est définie et dérivable sur ]0 ; + ∞[. –2 f’(x) = 3 < 0 sur ]0 ; + ∞[, donc f est strictement décroissante x sur ]0 ; + ∞[. La suite (un) est strictement décroissante. Pour tout entier naturel n, un > – 3 et un ⭐ u1 = – 2, donc un ∈ ]– 3 ; – 2].

57 Corrigé dans le manuel.

61 1. u2 = 0,95 × u1. 2. La suite (un) est géométrique de premier terme 100 000 et de raison 0,95. 3. 0,95n × 100 000 < 50 000 ⇔ 0,95n < 0,5. Avec une calculatrice : 0,9513 ≈ 0,51 et 0,9514 ≈ 0,48 ; donc en 2014, la population sera, pour la première fois, inférieure à 50 000 habitants.

62 Corrigé dans le manuel. 63 1. a) La suite (Pn) est arithmétique car la production augmente régulièrement d’une même quantité. b) P6 = P1 + 5r = 14 000 P1 + P2 + … + P6 = 3(P1 + P6) = 66 000, donc P1 + P6 = 22 000 et P1 = 8 000 et r = 1 200. c) Pn ⭓ 2P1 ⇔ 8 000 + (n – 1) × 1 200 ⭓ 2 × 8 000 20 ⇔n–1⭓ 3 donc au bout de 8 années. 2. a) Q5 = Q1 × 1,14 = 73 205. b) Qn ⭓ 2Q1 ⇔ 1,1n–1 ⭓ 2 ⇔ n – 1 ⭓ 8, donc au bout de 9 années. 64 Corrigé dans le manuel. d

58 1. v0 = 0, v1 = 1, v2 = 4, v3 = 9, v4 = 16.

65 1. dn = 20n .

w0 = 0, w1 = 10, w2 = 20, w3 = 30, w4 = 40. On conjecture la stricte croissance de ces deux suites, qui résulte de la stricte croissance, sur [0 ; + ∞[, des deux fonctions associées, la fonction carré x 哫 x2 et la fonction linéaire x 哫 10x. 2. vn > 10 000 ⇔ n > 100 ; N1 = 100. wn > 10 000 ⇔ n > 1 000 ; N2 = 1 000. 3. vn > 1 000 000 ⇔ n > 1 000 ; N’1 = 1 000. wn > 1 000 000 ⇔ n > 100 000 ; N’2 = 100 000. N’1 < N’2 : c’est encore vrai. vn > 10p ⇔ n2 > 10p ; N1 = 510p. wn > 10p ⇔ n > 10p–1 ; N2 = 10p–1. N2 > N1 ⇔ 10p–1 > 510p ⇔ 102p–2 > 10p ⇔ 10p–2 > 1. N2 est donc toujours supérieur à N1 pour p > 2.

2. dn
100 ⇔ n ⭓ 7. 100 0 2 100 Donc 7 heures sont nécessaires à l’élimination de 99 % du médicament. 1 2 3 66 1. u2 = , u3 = , u4 = .

2 3 4 2. On peut conjecturer que : n–1 pour tout entier naturel n, un = n n (n + 1) – 1 1 = 3. un+1 = = . n+1 n+1 n–1 2– n La conjecture est vraie pour le rang suivant.

AVEC LES TICE 67 1. b) La suite (un) semble strictement croissante. c) un est de la forme 1 + n × 0,001. 2. a) Les termes sont strictement positifs. un+1 = 1,001 > 1 : la suite (un) est strictement croissante. un n b) vn = 1 + . 1 000 4. 1,00415 ≈ 1 + 15 × 0,004 = 1,06.

ROC

Restitution organisée de connaissances

69 Le calcul des premiers termes semble montrer que

u u –u 68 1. n+1 – 1 > 0 ⇔ n+1 n > 0.

un un Pour tout entier naturel n, un > 0, donc : u si pour tout n, n+1 – 1 > 0, alors un+1 – un > 0 et la suite (un) un est strictement croissante. u 2. a) Si pour tout entier naturel n, un > 0 et n+1 – 1 < 0, u alors la suite (un) est strictement décroissante. n u b) Pour tout entier naturel n, un > 0 et n+1 = 2 > 1 : u la suite (un) est strictement croissante. n Pour tout entier naturel n, n+3 n v vn > 0 et n+1 = 2 × 3 = 2 < 1 : n+1 n+2 vn 3 3 2 la suite (vn) est strictement décroissante.

EXERCICES

Prendre toutes les initiatives pour tout entier naturel n non nul, un = 1 .2 n Remarquons (raisonnement par récurrence en Terminale) que si un = 1 alors un+1 = 1 . n n+1 1 1 – 20 3 70 1. 90 1 + 1 + 12 + … + 119 = 90 × 1 3 3 3 1– 3

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= 135 1 – 1 . 320

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2. Non, car la somme 135 1 – 1 est inférieure à 135. 320

Approfondissement (page 162)

71 1. Pour tout entier naturel n, un > 0 et un+1 = 1 < 1 : la suite (un) est strictement décroissante. 2.

un

2

Avec une calculatrice : 1,535 ≈ 1 456 109 et 1,536 ≈ 2 184 164, donc le premier indice cherché est, pour la suite (Vn), 36. d) Avec 10–10, on trouve 40 000 000 001 pour la suite (Un) et 59 pour la suite (Vn). On peut conjecturer que les termes de la suite (Vn) « s’approchent » beaucoup plus vite de la limite 3 que ceux de la suite (Un).

73 1. u1 = – 1 , u2 = – 5, u3 = 2.

3 2. u3 = u0, donc on peut conjecturer que la suite (un), qui n’est pas monotone, prend de manière cyclique les trois valeurs 2, – 1 et – 5 dans cet ordre. 3 un+1 – 3 –3 u +1 u –3 – 2un+1 – 6 = n+1 = 3. un+3 = n+2 un+1 – 3 un+2 + 1 2un+1 – 2 +1 un+1 + 1

72 1. u0 = –1, u1 = 1, u2 = 5 , u3 = 2, u4 = 11 . 3 5 5 19 65 211 v0 = 1, v1 = , u2 = , u3 = , u4 = . 3 9 27 81 La lecture des premiers termes permet de conjecturer que les deux suites sont croissantes. 2. a) Un = 3 – 3n – 1 = 4 . n+1 n+1 2 b) Vn+1 = 3 – vn – 1 = 2 (3 – vn) = 2 Vn. 3 3 3 La suite (Vn) est géométrique de raison 2 et de premier n+1 3 terme V0 = 2, donc pour tout entier naturel n, Vn = 2 . 3n c) Un ⭐ 10–6 ⇔ 4 ⭐ 10–6 ⇔ n + 1 ⭓ 4 × 106. n+1 Le premier indice cherché est, pour la suite (Un), 4 000 001. n+1 Vn ⭐ 10–6 ⇔ 2 ⭐ 10–6 ⇔ 1,5n ⭓ 2 000 000. 3n

un – 3 +3 un + 1 un+1 + 3 4u un+3 = – =– = – n = un. un – 3 un+1 – 1 –4 –1 un + 1 Donc, u0 = u3 = u6 = … u3n = … = 2, u1 = u4 = u7 = … u3n+1 = … = – 1 , 3 u2 = u5 = u8 = … u3n+2 = … = – 5. La suite (un) est dite périodique, de période 3.

74 1. un+1 = 1 un ; la suite (un) est géométrique de raison

2 1. 2 2. vn+1 – vn = un+1 > 0 : la suite (vn) est strictement croissante. D’autre part, la somme des aires coloriées en vert est inférieure à l’aire du triangle, donc pour tout entier naturel n, vn < 2. Chapitre 6 ● Comportement d’une suite

71

1 n+1 2 = 2 – 1. 3. vn = 1 + 1 + 1 + … + 1 = n 1 2 4 2 2n 1– 2 1 1 n ⇔ 2 > 103 soit n ⭓ 10. 2 – vn < 0,001 ⇔ < 2n 103 1–

75 1. a) un+1 – un = 2n – 40 ⭓ 0 pour n ⭓ 6 : la suite (un) est croissante à partir du rang 6. b) u9 = 132 et (un) est croissante à partir du rang 6. Donc pour tout entier naturel n, si n ⭓ 9, alors un > 0. 2. a) vn+1 – vn = 2n+1 – 20(n + 1)2 – 2n + 20n2 = 2n – 40n – 20, soit pour tout entier naturel n, vn+1 – vn = un. b) Si n ⭓ 9, alors un > 0 donc vn+1 – vn > 0 : la suite (vn) est strictement croissante à partir du rang 9. c) v11 = – 372 et v12 = 1 216, et (vn) est strictement croissante à partir du rang 9, donc, à partir du rang 12, vn > 0.

76 1. a) N1 = (1 – 0,012 4) N0 = 0,987 6 N0 : Nk = 0,987 6 Nk–1. b) La suite (Nn) est géométrique de raison 0,987 6. Pour tout naturel n, Nn = (0,987 6)n N0. c) Pour tout naturel n, Nn est strictement positif. N De plus, n = 0,987 6 < 1 : la suite (Nn) est strictement Nn–1 décroissante. 2. (0,987 6)n ≈ 0,40. Avec une calculatrice : (0,987 6)73 ≈ 0,402 et (0,987 6)74 ≈ 0,397. La suite (Nn) étant strictement décroissante, les fragments ont entre 73 et 74 siècles. 77 a) un+1 – un = 2n – 1 ⭓ 0 : la suite (un) est croissante. b)

b) Les suites semblent toujours converger vers 12 et 13. 3. u0 > 0 et un+1 = 1 un + 5 . 2 un

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冣

79 a) Pour tout entier naturel p non nul, up et vp sont strictement positifs. v 2p2 + 5p up > vp ⇔ p < 1 ⇔ 2 < 1. up p +p+1 Le trinôme p2 + p + 1 est toujours strictement positif. up > vp ⇔ p2 + 4p – 1 < 0 ⇔ p ∈ ]0 ; – 2 + 15[. Or cet intervalle ne contient pas de nombre entier ; il n’existe pas de nombre m tel que : ∀p ⭓ m, up > vp ; soit encore : pour tout entier naturel n non nul, un < vn. v 2p2 + 5p wp > vp ⇔ p < 1 ⇔ 2 105. Avec une calculatrice : 213 = 8 192 et 214 = 16 384 ; donc m – 3 = 14 soit m = 17.

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1–

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2. La suite semble croissante et de limite 4.

2 2 + 1) = 16x . C 1. a) f’(x) = 6x(x + 3)2 – 2x(3x 2 (x + 3) (x2 + 3)2 Sur [0 ; + ∞[, f’ est strictement positive sauf en 0 où elle s’annule. f est donc strictement croissante sur [0 ; + ∞[. b) Il en résulte que la suite (un) est strictement croissante. 2. a) Pour tout entier naturel n, un – 3 = – 8 , n2 + 3 donc un – 3 < 0 et un < 3. b) un > 2,999 9 ⇔ un – 3 > – 0,000 1 ⇔ – 8 > – 0,000 1 n2 + 3 ⇔ n2 + 3 > 80 000 ⇔ n2 > 79 997 ⇔ n > 979 997. m = 283.

D 1. a) cn = 4 × 1n–1 . 2

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1 1. a) ∀x ⭓ 1, f(x) – g(x) = 1 – 1 = > 0. x x + 1 x(x + 1) b) ∀n ⭓ 1, 1 > 1 donc 1 – 1 > 0. n n+1 n n+1 1 2. a) un+1 = . (n + 1)(n + 2) u n(n + 1) = n 0 et n+1 = un (n + 1)(n + 2) n + 2 la suite est strictement décroissante. 3. a) ᐉn = 1 – 1 + 1 – 1 + … + 1 – 1 2 2 3 n n+1 1 . =1– n+1 b) ∀n ⭓ 1, 1 > 0 donc ᐉn < 1. n+1 c) 1 – 10–4 < ᐉn ⇔ 1 < 1 n + 1 104 ⇔ n + 1 > 104 ; donc m = 10 002.

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Chapitre 6 ● Comportement d’une suite

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