Declic 1ere S [PDF]

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Sommaire

Livret

Vocabulaire ensembliste et logique Ensembles de nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Géométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Relations et ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Proposition, conjonctions « et » et « ou » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Implication et équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Quantificateurs « pour tout… », « il existe… » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Négation d’une proposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Des outils pour démontrer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

II II II III III IV IV V V

Formulaire

Calcul numérique et littéral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI Probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI Géométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII Suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII Fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIII

Calculatrice Casio Je retiens les principales touches de la GRAPH 35+ E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J’étudie une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J’étudie une suite définie par récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

X XI XI

Calculatrice TI

Je retiens les principales touches de la TI 82-Advanced . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XII J’étudie une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XIII J’étudie une suite définie par récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XIII

Calculatrice NumWorks

Je retiens les principales touches de la NumWorks. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XIV J’étudie une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XV J’étudie une suite définie par récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XV

Écriture d’un programme

Tableau récapitulatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XVI LIVRET

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I

Vocabulaire ensembliste et logique

a Ensembles de nombres Les réels et les entiers

• ℕ est l’ensemble des entiers naturels : ℕ = {0 ; 1; 2 ;…} . • ℤ est l’ensemble des entiers relatifs : ℤ = {…; − 1; 0 ; 1;…} . • 𝔻 est l’ensemble des nombres décimaux, c’est-à-dire l’ensemble k des nombres qui s’écrivent sous la forme n avec k ∈Z et n ∈N. 10 • ℚ est l’ensemble des nombres rationnels, c’est-à-dire l’ensemble a des nombres qui s’écrivent comme quotient de deux entiers avec b a ∈Z et b un entier relatif non nul. • ℝ est l’ensemble des nombres réels, c’est-à-dire l’ensemble des abscisses des points d’une droite graduée. ℝ regroupe tous les nombres connus en Première. • R \ {a} est l’ensemble des réels autres que a. On lit « ℝ privé de a ». Les intervalles de ℝ

• [ a ; b ] est l’ensemble des réels compris entre a et b inclus : x ∈[ a ; b ] ⇔ a ! x ! b • [ a ; +∞[ est l’ensemble des réels supérieurs ou égaux à a. • ]−∞ ; b[ est l’ensemble des réels strictement inférieurs à b.

Exemples

• 59 appartient à ℕ, ℤ, 𝔻, ℚ et ℝ. • −13 n’appartient pas à ℕ mais appartient à tous les autres ensembles. 4 • appartient à 𝔻, ℚ et ℝ. 5 1 • n’appartient pas à 𝔻 mais il 3 appartient à ℚ et ℝ. • 2 n’appartient pas à ℚ mais il appartient à ℝ. Remarque On note aussi R∗ l’ensemble R \ {0} des réels non nuls, R + l’ensemble [ 0 ; +∞[ et R − l’ensemble ]−∞ ; 0 ] .

Remarque Pour exclure de l’intervalle une de ses extrémités, on tourne le crochet vers l’extérieur de l’intervalle. Par exemple : x ∈ ]a ; b ] ⇔ a < x ! b

b Géométrie En géométrie plane

AB : distance entre les points A et B, longueur du segment [AB]. [AB]: segment d’extrémités A et B. (AB) : droite passant par A et B. [AB) : demi-droite d’origine A passant par B. !!!" AB : vecteur d’origine A et d’extrémité B. ABC : triangle de sommets A, B et C. ! ABC : angle de sommet B et de côtés [BA) et [BC). Avec des coordonnées

◗ (O ; I ; J ) désigne un repère : • le point O est l’origine du repère. • la droite orientée (O ; I ) est l’axe des abscisses ; le point I définit l’unité sur cet axe. • la droite orientée (O ; J ) est l’axe des ordonnées ; le point J définit l’unité sur cet axe. ◗ Les coordonnées d’un point dans un repère se notent ( x ; y ) . x ◗ Les coordonnées d’un vecteur dans un repère se notent   .  y

Remarque Pour nommer un polygone, on nomme consécutivement ses sommets en suivant ses côtés. Par exemple, les côtés du quadrilatère ABCD sont [AB], [BC], [CD]et [DA]. D C

A

B

Le segment [AC]est une diagonale de ce quadrilatère.

Remarque Un repère du plan peut être : ➀ défini par trois points non alignés O, I et J. Ce repère est alors noté (O ; I ; J ) . ➁ défini par ! un !" point O et deux vecteurs i et j non colinéaires. " !" Ce repère est alors noté O ; i ; j .

(

)

Exemple

c Fonctions • f : x ! f ( x ) ou f : x ! y est la fonction qui à x associe f ( x ) ou y. • f ( x ) est l’image du réel x par la fonction f . • Df est l’ensemble de définition de f , c’est-à-dire l’ensemble des réels ayant une image par f . • 𝒞f est la représentation graphique ou la courbe représentative de la fonction f dans un repère du plan. C’est l’ensemble des points dont les coordonnées ( x ; y ) sont telles que x ∈D f et f ( x ) = y. • y = f ( x ) est l’équation de la courbe 𝒞f . II © Hachette Éducation 2019 - Déclic 1re Spécialité

1 est la fonction x −1 1 qui à x ≠ 1 associe . x −1 D f = ℝ \ {1} ; f (2) = 1 Le point de coordonnées (2 ; 1) appartient à 𝒞f , car f (2) = 1. La courbe de f a pour équation : f :x!

y=

1 x −1

Exemples

d Relations et ensembles Appartenance

∈ se lit « appartient à » ou « est élément de » et s’utilise entre un élément et un ensemble. Négation : ∉ . Inclusion

⊂ se lit « est contenu dans » ou « est inclus dans » et s’utilise entre deux ensembles. Lorsque deux ensembles A et B vérifient A ⊂ B , on dit que A est un sous-ensemble de B ou encore que A est une partie de B.

B

Pour montrer l’inclusion A ⊂ B , on montre que tout élément de l’ensemble A appartient à l’ensemble B.

A

Un élément de A

Intersection et réunion

Soient I et J deux ensembles. • L’intersection de I et de J, notée I ∩ J, est l’ensemble des éléments appartenant à la fois à l’ensemble I et à l’ensemble J. • La réunion (ou l’union) de I et de J, notée I ∪ J , est l’ensemble des éléments appartenant à au moins l’un des deux ensembles I et J.

Lorsque les ensembles I et J n’ont aucun élément en commun, leur intersection est vide, on note I ∩ J = ∅ . On dit alors qu’ils sont disjoints.

I

J I∩J

I

J I∪J

Complémentaire

Soit A un sous-ensemble d’un ensemble E. On appelle complémentaire de A dans E l’ensemble, noté A , de tous les éléments de E qui n’appartiennent pas à A.

E A A

e Proposition, conjonctions « et » et « ou » Définition

Une proposition est une phrase (comportant un verbe) qui est soit vraie soit fausse. Conjonctions « et » – « ou »

• « et » entre deux propositions (ou entre deux événements) signifie que les deux propositions doivent être simultanément vraies (ou les événements réalisés tous deux). • « ou » entre deux propositions (ou entre deux événements) signifie que l’une des propositions au moins (ou l’un des événements) et peut-être les deux doivent être vraies (ou réalisés). Exemples

• « x > −5 et x < 1 » signifie « −5 < x < 1 ». • Lors du tirage d’une carte dans un jeu de 32, obtenir « un roi » et « un pique » signifie « obtenir le roi de pique ». • « x ∈[ −1; 2] ou x ∈ ]0 ; 3] » signifie « x ∈[ −1; 2] ∪ ]0 ; 3] », soit « x ∈[ −1; 3] ». • Lors du lancer d’un dé cubique, « obtenir un multiple de 3 » ou « obtenir un numéro supérieur à 4 » signifie « obtenir 3, 4, 5 ou 6 ».

• −4 ∈Z mais −4 ∉N . • A ∈( AB ) • 0 ∉ ]2 ; 4]

Exemples

• Tout entier naturel est également un entier relatif. Ainsi : N⊂ Z ℕ est un sous-ensemble (ou une partie) de l’ensemble Z . Plus généralement, on a les inclusions des ensembles de nombres : N⊂ Z ⊂ D⊂ Q ⊂ R • Tout point du segment [AB] appartient à la droite (AB). Ainsi : [ AB ] ⊂ ( AB ) Exemples

• Soient I = {0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8} et J = {0 ; 1; 2 ; 3 ; 4 ; 5} alors : I ∩ J = {0 ; 2 ; 4} et I ∪ J = {0 ; 1; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 8} • L’ensemble des réels x vérifiant x ! 3 ou x > 4 s’écrit : ]−∞ ; 3] ∪ ]4 ; +∞[ • L’ensemble I des entiers pairs et l’ensemble J des entiers impairs sont disjoints. On a ainsi : I ∩ J = ∅ et I ∪ J = ℕ • Si E = ℕ et A est l’ensemble des entiers pairs alors son complémentaire A dans E est l’ensemble des entiers impairs. • Si E = R et A = ]−∞ ; 4 [ alors : A = [ 4 ; +∞[ Exemples

• La proposition « dans un triangle, la somme des angles vaut 180° » est vraie. • La proposition « tout entier pair est multiple de 4 » est fausse. En effet 6 est pair sans être multiple de 4.

Remarque Contrairement à l’utilisation fréquente en français du « ou » comme « ou bien », le « ou » en mathématique est « inclusif », c’est-à-dire qu’il inclut le cas où les deux propositions sont vraies simultanément.

LIVRET

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III

Vocabulaire ensembliste et logique

f Implication et équivalence Implication

Une proposition conditionnelle ou une implication est une propriété de la forme suivante : « Si la phrase P1 est vraie, alors la phrase P2 est vraie. »

Exemples

Remarque On dit dans ce cas que : • P1 est vraie est une condition suffisante pour que P2 soit vraie. • P2 est vraie est une condition nécessaire pour que P1 soit vraie.

• Si x est un entier, alors x est un réel. • « n est un multiple de 2 » est une condition nécessaire pour « n est un multiple de 6 ». Équivalence

Le symbole ⇔ se lit « équivaut à » ou « si, et seulement si ». Il se place entre deux propositions P1 et P2 et signifie que l’on a Si P est vraie alors P est vraie simultanément : Si P1 est vraie alors P2 est vraie  2 1

Remarque On dit dans ce cas que « P1 est vraie » est une condition nécessaire et suffisante pour que P2 soit vraie (et réciproquement).

Exemples 2 2 2 • ABC un !!!" est!!! " triangle rectangle en A ⇔ BC = AB + AC .

• AB et AC sont colinéaires est une condition nécessaire et suffisante pour que A, B et C soient alignés. Contraposée d’une implication

La contraposée de l’implication « Si la phrase P1 est vraie, alors la phrase P2 est vraie. » est l’implication équivalente : « Si la phrase P2 est fausse, alors la phrase P1 est fausse. »

Exemples

• La contraposée de « si n est un multiple de 6, alors n est un multiple de 3 » est « si n n’est pas un multiple de 3, alors n n’est pas un multiple de 6 ». Réciproque d’une implication

La réciproque d’une implication est l’implication obtenue en permutant hypothèse et conclusion. La réciproque de l’implication « Si la phrase P1 est vraie, alors la phrase P2 est vraie. » est : « Si la phrase P2 est vraie, alors la phrase P1 est vraie. » Cette réciproque n’est pas équivalente à la propriété initiale : elle peut être vraie ou fausse.

Remarque Dès lors qu’une implication est vraie, sa contraposée l’est également. En pratique, il peut être parfois plus simple de démontrer qu’une implication est vraie en démontrant sa contraposée. Remarque On retiendra que la réciproque d’une implication vraie n’est pas systématiquement vraie. Lorsqu’une implication et sa réciproque sont simultanément vérifiées, on a alors une équivalence.

Exemples

• La réciproque de « si n est un multiple de 6, alors n est un multiple de 3 » est « si n est un multiple de 3, alors n est un multiple de 6 ». Cette réciproque est fausse. !!!" !!!" • La réciproque de « si AB et AC sont colinéaires, A, B et C sont !!!" !!!alors " alignés » est « si A, B et C sont alignés, alors AB et AC sont colinéaires ». Cette réciproque est vraie.

g Quantificateurs « pour tout… », « il existe… » • On considère les propositions vraies suivantes. P1 : « Pour tout réel x ! 1, on a x 3 ! x 2 . » P2 : « Quel que soit le triangle considéré, ses hauteurs sont concourantes en un point appelé orthocentre du triangle. » Les locutions « Pour tout… » et « Quel que soit… » sont appelées quantificateurs universels. Les propositions P1 et P2 sont appelées propositions universelles. Pour montrer qu’une proposition universelle est vraie, on montre qu’elle est vraie dans tous les cas (un exemple ne suffit pas !). Pour montrer qu’elle est fausse, il suffit de trouver un cas où elle est mise en défaut. On parle alors de contre-exemple. IV © Hachette Éducation 2019 - Déclic 1re Spécialité

Remarque P1 s’énonce également « Quel que soit le réel x ! 1, on a x 3 ! x 2 ». P2 s’énonce également « dans un triangle, les hauteurs sont concourantes ». Le quantificateur universel est sous-entendu ici. Exemple

La proposition universelle « Pour tout réel x, on a x 3 ! x 2 » est fausse. En effet, x = 0 ,5 est un contre-exemple.

• On considère la proposition suivante. « Il existe un nombre entier à la fois pair et multiple de 3. » Cette proposition est vraie : 6 est un entier pair et multiple de 3. La locution « il existe… » est appelé quantificateur existentiel. Pour montrer qu’une proposition existentielle est vraie, il suffit d’exhiber un exemple. En revanche, pour montrer qu’elle est fausse, il faut montrer qu’elle n’est jamais satisfaite.

h Négation d’une proposition • Soit une proposition P, on Soient deux propositions P1 et P2 appelle (non P) la négation de P. Proposition P Négation de P Si la proposition P est vraie alors (P et P ) ((non P1) ou (non P2)) 1 2 (non P) est fausse et inversement. (P1 ou P2) ((non P1) et (non P2)) • Négation d’une proposition comportant un quantificateur. On considère les deux propositions suivantes : P1 : « tous les élèves de la classe aiment étudier les mathématiques » P2 : « il existe un réel x tel que f ( x ) > 0 » La négation de P1 est : « il existe au moins un élève dans la classe qui n’aime pas étudier les mathématiques ». La négation de P2 est : « pour tout réel x, on a f ( x ) ⩽ 0 ».

i Des outils pour démontrer Contre-exemple

Pour montrer qu’une proposition universelle est fausse, il suffit de donner un exemple qui la met en défaut. Un tel exemple est alors appelé un contre-exemple.

Raisonnement par l’absurde

Pour montrer qu’un énoncé est vrai, on peut supposer qu’il est faux et aboutir à une absurdité (une contradiction, un résultat faux).

Exemple

Pour montrer que 0 n’a pas d’inverse, on suppose qu’il en a un noté a. Par la définition d’un inverse, on a 0 × a = 1, ou encore 0 = 1. Cette égalité est fausse, donc 0 n’a pas d’inverse.

Remarque La locution « il existe… » signifie « il existe au moins un… ».

Exemples

• La proposition P : « ABCD est un carré » a pour négation (non P) : « ABCD n’est pas un carré ». • On tire une carte dans un jeu de 32 cartes. On note P1 : « la carte est une figure » et P2 : « la carte est un cœur ». Ainsi, (P1 ou P2) : « la carte est une figure ou un cœur ». La négation de (P1 ou P2) est « la carte n’est pas une figure et n’est pas un cœur ».

Remarque La négation d’une proposition universelle (resp. existentielle) est une proposition existentielle (resp. universelle). Exemple

Pour montrer que la proposition universelle « Tous les élèves de la classe sont nés la même année » est fausse, il suffit de citer deux élèves particuliers qui n’ont pas la même année de naissance.

Raisonnement par contraposition

Pour démonter l’implication « Si la phrase P1 est vraie, alors la phrase P2 est vraie. », on peut la remplacer par sa contraposée « Si la phrase P2 est fausse, alors la phrase P1 est fausse. »

Exemple

Pour démontrer la proposition « Si n 2 est pair, alors n est pair », on peut montrer que « Si n est impair, alors n 2 est impair » : n étant impair, il existe un entier k tel que n = 2k + 1 ; on a alors : n = 4k 2 + 4k + 1= 2(2k 2 + 2k ) + 1 2 2k + 2k est un entier, donc n 2 est impair. Raisonnement par disjonction des cas

Pour montrer qu’une proposition universelle est vraie, on peut envisager différents cas de figure recouvrant toutes les possibilités et montrer qu’elle est vraie dans chacun de ces cas.

Exemple

Pour montrer que, pour tout entier naturel n, A = ( n+ 1)( n+ 2) est pair, on peut envisager deux cas : le cas où n est pair et le cas où n est impair. 1er cas : soit n un entier naturel pair. Alors n + 2 est également pair et donc ( n + 1)( n + 2) est le produit de l’entier pair ( n + 2) et d’un autre entier, donc A est également pair. 2e cas : soit n un entier naturel impair. Alors n + 1 est pair et donc ( n + 1)( n + 2) est le produit de l’entier pair ( n + 1) et d’un autre entier, donc A est également pair. Conclusion : on a montré que pour tout n ∈N, ( n + 1)( n + 2) est pair. LIVRET

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V

Formulaire

Calcul numérique et littéral

Opérations sur les fractions Modification ou simplification a×k a = b×k b

Addition et soustraction a c a±c ± = b b b

 b ≠ 0  k ≠ 0

( b ≠ 0)

Multiplication

Division

a c ac × = b d bd ( b, d non nuls )

a c a d ad ÷ = × = b d b c bc ( b, d , c non nuls )

Opérations sur les puissances Pour n et p entiers et a et b réels (a et b non nuls)

a0 = 1, a1 = a

a n × a p = a n+ p

an = a n− p ap

a −n =

n

1 an

n ( a × b )n = a n × b n  a  = a  b bn

Opérations sur les racines carrées Pour a et b deux nombres positifs (b non nul)

a×b = a × b

a a = b b

2

a2 = a , a = a

a+b ≠ a + b a et b non nuls

Développement – Factorisation – Identités remarquables Développement Développement

( a + b )2 = a2 + 2ab + b2 ( a b )2 = a2 2ab + b2 ( a + b ) ( a b ) = a2 b2

k( a + b ) = ka+ kb Factorisation

Factorisation

Règles de calcul sur les inégalités

a!b ⇔ a±c!b±c

±c

a!b ⇔ ka ! kb

×k>0

a!b ⇔ ka ! kb

×k0

a!b a b ⇔ ! k k

÷ k