Chapitre 3 Les Circuits Electriques Lineaires en Regime Sinusoidal Monophase Permanent [PDF]

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Chapitre 3 : Les Circuits électriques Linéaires en Régime Sinusoïdal Monophasé Permanent

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Chapitre 3

LESS CIRCUITS ELECTRIQUES LINEAIRES EN REGIME SINUSOIDAL MONOPHASE PERMANENT OBJECTIFS Général ƒ Les circuits élémentaires en régime sinusoïdale. Spécifiques ƒ Représentation vectorielle, représentation complexe. ƒ Etude de quelques circuits. ƒ Calcul de puissance en régime sinusoïdal monophasé.

1. DEFINITION 1.1. Définitions Un signal sinusoïdal alternatif s(t) s’exprime de la manière suivante : ‫ ܠ܉ܕ܁‬ǣ ‫ܔ‬′‫ܔ܉ܖ܏ܑܛ܍ܔ܉ܕܑܠ܉ܕ܍܌ܝܜܑܔܘܕ܉‬ ૑ǣ ࢒‫ܖܗܑܜ܉ܛܔܝܘ܉‬ሺ‫܌܉ܚ‬Ǥ ‫ିܛ‬૚ ሻ S(t)=‫ܖܑܛ ܠ܉ܕ܁‬ሺ૑‫ ܜ‬൅ ૎ሻ ‫ ۔‬૑‫ ܜ‬൅ ૎ǣ ‫ܖ܉ܜܖ܉ܜܛܖܑ܍ܛ܉ܐܘ܉ܔ‬é‫܍‬ ‫ە‬ ૎ǣ ‫܍ܔ܉ܑܜܑܖܑ܍ܛ܉ܐܘ܉ܔ‬à‫ ܜ‬ൌ ૙ ‫ۓ‬

1.2. Valeur moyenne La valeur moyenne d’un signal s (t ) périodique de période T est définie par : ଵ

୘

୫୭୷ = ‫׬‬଴ •ሺ–ሻ†– ୘ Pour un signal sinusoïdal, s(t) = Smax sin (ωt +φ) la valeur moyenne est nulle.

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‫ = ܡܗܕ܁‬0

1.3. Valeur efficace La valeur efficace d’un signal s(t ) périodique de période T est définie par : ૚

‫܂‬

‫= ܎܎܍܁‬S= ට ‫׬‬૙ ‫ ܁‬૛ ሺ‫ܜ‬ሻ‫ܜ܌‬ ‫܂‬

La valeur efficace d’un signal sinusoïdal s (t ) = Smax sin(ωt +ɔ) est égale à : S=

‫ܠ܉ܕ܁‬ ξ૛

On peut écrire s(t) sous la forme suivante : s(t) = S ξ૛ sin(ωt +࣐ )

2. REPRESENTATIONS DES GRANDEURS SINUSOIDALES 2.1. Représentation vectorielle de Fresnel Un signal sinusoïdal s(t ) = S ξʹ sin(ωt +߮ ) peut être représenté par un vecteur définit en coordonnée polaire par ሬԦ = ൣξʹ,ሺ߱‫ ݐ‬൅ ߮ሻሿFigure 1. Si tous les signaux sont de même pulsation, on fige l’angle ωt à 0 (instant initial) , le vecteur sera défini par ሬሬԦ =ൣξʹ ,߮ ሿFigure 2.

Figure.1. Représentation vectorielle d’un

Figure.2. Diagrammes figés à t=0

signal sinusoïdal

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Cette description graphique est appelée représentation de Fresnel, elle facilite les opérations linéaires utilisées dans les calculs de réseaux parce que ces opérations conduisent à des constructions géométriques invariantes par rotation. Cependant cette construction devient souvent complexe.

2.2. Représentation complexe Le défaut des diagrammes de Fresnel est levé par une représentation utilisant les nombres complexes.

ത ൌ ‡୨ሺ୵୲ା஦ሻ On utilise le fait que s(t ) est la partie réelle du nombre complexe,  ഥ est l’amplitude de s (t ) et (ω.t +φ) sa phase. Le module de  Remarques Les grandeurs complexes sont notées en lettres majuscules surlignées. Dans le plan complexe, un nombre complexe peut être représenté par un vecteur définit en coordonnée polaire par =ൣܵξ2, ™– ൅ ɔ]

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Schéma

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Condensateur

Self

ou

Inductance

Résistance

Eléments

3.1. Eléments de base

ୢ୲ ஠

஠

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തതത ‫܈‬۱ =

‫ܒ‬۱૑

૚

=-

തതതେത=ഥୡ ഥୡ 

തതതେത= ୍ౙ = -j  ୨େன

ഥ

۱૑

‫ܒ‬

େன

୍ഥౙ

ഥୡ = ୡ ξʹ‡୨ன୲

തതത ‫= ۺ܈‬j‫ۺ‬૑

തതതത୐ = തതത୐ ഥ୐ 

തത തത୐ =jLɘ ഥ୐

ഥ୐ = ୐ ξʹ‡୨ன୲

ത‫܈‬തത‫܀‬ത=R

തതതത തതത തതത ୖ = ୖ . ୖ

തതതത ഥ  ୖ =R ୖ

തതത ୰ =R. ୰ ξʹ‡୨ன୲

ഥ୰ = ୰ ξʹ‡୨ன୲

Expression complexe

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ଶ

—ୡ (t) Lɘ ୡ ξʹ •‹ሺ ɘ– െ )

—ୡ = ‫‹ ׬‬ୡ dt େ

ଵ

‹ୡ (t)= ୡ ξʹ •‹ ɘ–

ଶ

୐ ሺ–ሻ=Lɘ ୐ ξʹ •‹ሺ ɘ– ൅ )

୐ =L

ୢ୧ై

‹୐ (t)= ୐ ξʹ •‹ ɘ–

—୰ (t)= R. ୰ ξʹ •‹ ɘ–

—ୖ =R.‹ୖ

‹୰ (t) = ୰ ξʹ •‹ ɘ–

Expression instantanée

3. CIRCUITS ELEMENTAIRES EN REGIME SINUSOIDAL

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Diagramme vectoriel

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Remarques et propriétés : • En régime sinusoïdal alternatif la tension aux bornes d’un dipôle est proportionnelle au courant qui le traverse aussi bien entre les grandeurs complexes qu’efficaces. Le coefficient de proportionnalité est l’impédance (notée par la lettre ܼҧ, exprimée en Ohm). ഥ ୙

୙

୍

୍

ത = ฺZ = On a  ҧ

ଵ

• L’inverse de l’impédance est l’admittance ഥ = ഥ . ୞ • Le condensateur déphase le courant par rapport à la tension de • La bobine déphase le courant par rapport à la tension de -

ૈ ૛

ૈ ૛

• Toutes les lois et les théorèmes de calcul d’un circuit à courant continu sont applicables aux circuits alternatifs.

3.2. Associations d'éléments L’introduction de l’impédance caractérise le fait que la tension et le courant sont maintenant liés de manière linéaire. Cette propriété nous permet d’énoncer des règles d’assemblage pour les impédances (ce qui était vrai pour la résistance s’applique désormais à l’impédance).

ഥ = σ‫ܑܖ‬ୀ૚ ‫܈‬ഥ଍ ‫ܢ‬ Association en série

૚ ‫܈‬ത

૚

= σ‫ܑܖ‬ୀ૚ ഥ

‫܈‬଍

Association en parallèle

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େன

ଵ

= Z‡୨஦

େ

ଵ

େன

ଵ

‫‹ ׬‬c(t) dt

=ሺ+jLɘ - j

+ ቁ ҧ ଵ

–‰ɔ ൌ ୖ

ిಡ

୐னି

 ൌ  ටଶ ൅ ቀɘ െ ቁ ; େன ֜൞ భ

୎ୡன

୍ҧ

ୢ୲

ୢ୧

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la représentation de Fresnel suivante:

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En considérant le courant I comme origine des phases on a

ത= R+jLɘ-j

ഥ =R+ jLɘ ҧ + 

u(t)= R*i(t)+L

Circuit RLC série

3.3. Etude de quelques circuits

୨୐ன

ଵ

୨୐ன

ଵ

ଵ ୖమ

ୖ

େனି

భ ైಡ

൅ ቀɘ െ –‰Ʌ ൌ

ൌට

ഥ = തതതത +jCɘሻ

+jCɘሻ = Y‡୨஘ ฺ ൞

ୖ

ଵ

ҧ =ቀ +

i(t)=‹ୖ ሺ–ሻ+‹୐ ሺ–ሻ+‹ୡ ሺ–ሻ

Circuit RLC parallèle

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ଵ ୐ன

ቁ;

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la représentation de Fresnel suivante:

En considérant le courant U comme origine des phases on a

ୖ

ഥ=ቀ + 

ଵ

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۱૑

૚

૚ ቁ; ۱૑

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L૑૙ =

۱૑૙

૚

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pour une pulsation ω0 dite pulsation de résonance tel que :

En traçant la courbe I=f(ω) on remarque que I est maximal

ට‫܀‬૛ ାቀ‫ۺ‬૑ି

I=

‫܃‬

֜le circuit est capacitif

D’après l’équation (2) on a :

Si L࣓ ൏

Si L૑ ൐ ۱૑ ֜le circuit est inductif

૚

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۷ ૚ ቁ; ‫ۺ‬૑

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C૑૙ =

‫ۺ‬૑૙

૚

pour une pulsation ω0 dite pulsation de résonance tel que :

En traçant la courbe U=f(ω) on remarque que U est maximal

ට‫܀‬૛ ାቀ۱૑ି

U=

D’après l’équation (2) on a :

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େனబ

୙బ

ୖ

୙బ

େ =Cɘ଴ ଴

୐னబ

୐ =

ୖ =

Qv= ‫= ܃‬

‫ۺ܃‬

‫܃‬

‫܋܃‬

=

‫܀‬

‫ۺ‬૑૙

= ‫܀‬۱૑૙

૚

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la bobine supérieure à la tension d’alimentation.

peut avoir une tension aux bornes du condensateur ou de

Qv peut être notamment supérieur à l’unité c’est à dire on

suit :

۷

۷

‫܀‬ ‫ۺ‬૑૙

=R࡯࣓૙

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courant intense dans le condensateur ou la bobine.

QI peut être supérieur à l’unité c’est à dire on peut avoir un

۷

۷

‫ۿ‬۷ = ‫ = ۺ‬۱ =

On définit le facteur de surtension ou de qualité comme On définit le facteur de surintensité ou de qualité comme suit

ୡ =

୍బ

UL = Lɘ଴ ଴

U = R ଴

Pour ω =ω0 on a :

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Pour ω =ω0 on a:

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4. CONSIDERATIONS ENERGETIQUE EN REGIME SINUSOIDAL 4.1. Puissance instantanée On définit la puissance instantanée par : p( t) = u(t)*i(t) En régime sinusoïdal u(t )= U ξʹ sinωt et i (t )=I ξʹsin(ωt −φ) par conséquent on aura: p (t ) =UI cos φ +UI cos (2ωt – φ)

La puissance instantanée est la somme de la puissance moyenne (UI cos φ ) et de la puissance fluctuante (fréquence double).

4.2. Puissance active ou puissance moyenne La puissance instantanée se compose d’un terme constant et d’une autre variable de fréquence double de celle du fondamental de valeur moyenne nulle. La puissance active est définit comme étant la valeur moyenne de la puissance instantanée, elle est exprimée en Watt (W) Le terme cos φ est appelé facteur de puissance. P =UI cos φ

4.3. Puissance réactive En régime alternatif sinusoïdal on définit la puissance réactive par la relation suivante : Q =UI sin φ

Cette

puissance

est

liée

à

l’énergie

électromagnétique

et

à

l’énergie

électrostatique emmagasinée puis restituée dans le circuit. Elle est exprimée en Volt Ampère Réactif (VAR).

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4.4. Puissance apparente Le produit UI est un facteur de dimensionnement de la ligne et des appareillages de distribution d’énergie Son importance est grande pour celui qui doit alimenter un poste ou un récepteur. Cette puissance est appelée puissance apparente exprimée en Volt Ampère(VA). S =UI

4.5. Puissance apparente complexe Les expressions de P et Q suggèrent de les caractériser par un nombre complexe noté S appelé puissance apparente complexe. ‫܁‬ത = P + jQ =UI (cosφ+ j sinφ) = UI‫ܒ܍‬૎

ഥ et ത: Relation entre les grandeurs complexe ത,  On a ഥ =U‡୨଴  ҧ = I‡ି୨஦ Soit ҧ‫ = כ‬I‡୨஦ le conjugué de ҧ ഥ . ҧ‫= כ‬UI‡୨஦ = ത Par conséquent on aura:  D’où ഥ ۷ഥ‫כ‬ ‫܁‬ത = P + jQ =‫܃‬ Et S = ඥ‫ ۾‬૛ ൅ ‫ۿ‬૛ =UI

4.6. Puissance consommée par les circuits Soit le circuit suivant :

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On a:

ഥ =(R+jX) ത ฻  ത= 

ഥ ୙

֞ ҧ‫= כ‬

ୖା୨ଡ଼

ഥ ሺୖା୨ଡ଼ሻ୙ ୖమ ାଡ଼మ



ሺୖା୨ଡ଼ሻ

ത =P+JQ =  ഥ = ൝ ୖమାଡ଼మ Par conséquent  ҧ‫כ‬

ଶ

 ൅ Œሻ

ଶ



D’où

P= R۷ ૛ =

‫܀‬

‫܀‬૛ ା‫܆‬

Q=X۷ ૛ =

et

‫܃‬૛ ૛

‫܆‬

‫܀‬૛ ା‫ ܆‬૛

‫܃‬૛

Les puissances consommées par chacun des éléments de base sont rassemblées ci-dessous. ഥ ࢆ

ഥ ,ࢁ ഥሻ φ=ሺࡵ

Résistance

R

0

Inductance

jLɘ

Ɏ ʹ

P

Q

 ଶ P=ቊ ୙మ

0

ୖ

0

Q=ቊ

ɘ ଶ

ଶ

୐ன

ୖమ ାሺ୐னሻ;

Condensateur

-j

ଵ

େன

-

஠

0

ଶ

െ Q=൞

െ

ଵ େன

ଶ

భ ిಡ భ ୖమ ାቀ ቁ; ిಡ

ଶ

4.7. Théorème de conservation des puissances : théorème de Boucherot. La puissance apparente complexe consommée dans un circuit est égale à la somme des puissances complexes consommées dans chaque portion du circuit. En d’autre terme dans un réseau à fréquence constante il y’a conservation d’une part de la puissance active et d’autre part la puissance réactive

‫܁‬ത=σ‫ܑܖ‬ୀ૚ ‫܁‬ഥ଍ ฻ ‫ ۾‬ൌ σ‫ܑܖ‬ୀ૚ ‫ ܑ۾‬et Q= σ‫ܑܖ‬ୀ૚ ‫ܑۿ‬

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5. TRANSPORT DE L’ENERGIE ELECTRIQUE 5.1. Principe et amélioration Les réseaux de transport de l’énergie électrique ont pour objectif le transfert d’une puissance donnée sur une distance souvent importante en considérant une efficacité optimale. Pour assurer cette dernière, il faut augmenter le rendement de la ligne en diminuant le plus possible les pertes. Celles-ci sont essentiellement dues à l’effet Joule dans la ligne. Pour minimiser sa résistance, on utilise des matériaux de faible résistivité (cuivre ou aluminium). Cette caractéristique peut être améliorée grâce à des lignes supraconductrices, encore au stade expérimental. Une section importante favoriserait une diminution de la résistance,

mais

au

détriment

d’une

quantité

excessive

de

matériau

conducteur. Le coût en matière s’accroîtrait rapidement et les contraintes mécaniques sur des lignes aériennes seraient insurmontables. On réalise un compromis en utilisant des lignes en aluminium pour les performances électriques et la faible masse volumique, doublées d’une âme en acier pour assurer le maintien mécanique (l’effet pelliculaire du courant assure la conduction sur la partie périphérique du conducteur). Mais minimiser les pertes, l’action sue la résistance n’est pas la seule possible. En effet, les pertes augmentent suivant le carré du courant (multiplier le courant par deux augmente les pertes d’un facteur quatre). Il est donc important de le diminuer en augmentant la tension en ligne pour une puissance donnée : D’une production dans le domaine de la dizaine de kilovolts (c’est la tension maximale supportable par les isolants des alternateurs), la tension est élevée jusqu’à plusieurs centaines kilovolts pour le transport puis baissées par étapes successives suivants les besoins des usagers. Notons enfin que la puissance à transporter, celle qui est essentielle, est la puissance active. Dans un récepteur, elle dépend du facteur de puissance qui constitue un terme dépréciatif de l’efficacité de la distribution. Il faudra donc assurer à ce facteur une valeur la plus proche possible de l’unité, c’est à dire obtenir une tension et un courant pratiquement en phase. On notera aussi que

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cette condition reste vraie pour les composantes fondamentales de grandeurs non sinusoïdales. 5.2. Amélioration de l’efficacité : relèvement du facteur de puissance Parmi les différents moyens d’optimiser le rendement du transport électrique, l’amélioration du facteur de puissance de l’installation reste la prérogative de son utilisateur. Le fournisseur d’énergie l’incite fermement à agir dans ce sens en l’invitant à relever le facteur de puissance des charges excessivement inductives. Dans la pratique, on ne raisonne pas sur déphasage entre la tension et le courant, mais sur la puissance réactive consommée par la charge. Le fournisseur autorise la consommation d’énergie réactive jusqu’à une certaine limite et facture au client toute consommation excédentaire (système de pénalités). Pour l’utilisateur, le mode d’action consiste à compenser en fournissant de l’énergie réactive grâce à l’emploi de batteries de condensateurs placées en parallèle en entrée de l’installation. Pour les consommations faibles ou quasi-constantes, la compensation peut être fixe. Mais les impératifs industriels ne permettent que rarement ces cas. Dans ces conditions, on a recours à des compensateurs statiques. Ce sont des dispositifs d’électronique de puissance (d’où le terme statique) qui asservissent le facteur de puissance à une valeur souhaitée, tout en éliminant les harmoniques de courants indésirables. Application

ത consommant une puissance active P et Considérons une charge d’impédance  une puissance réactive Q et admettant un facteur de puissance cos૎ Pour améliorer ce facteur on ajoute un condensateur dont on veut déterminer sa valeur C sachant que le circuit équivalent consomme une puissance réactive Q’ et admettant un facteur de puissance cosɔ’.

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On a: Q = Ptgɔ et Q' = Ptgɔ' La puissance réactive consommée par le condensateur sera la différence. −Cω U² = Ptgɔ'− Ptgɔ d’où

C=

‫۾‬൫‫܏ܜ‬૎ି‫܏ܜ‬૎ᇲ ൯ ૑‫܃‬૛

Le diagramme de Fresnel du circuit est le suivant :

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