Chapitre 2 Les Erreurs de Mesure [PDF]

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Chapitre 2 : Les erreurs de mesure

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Chapitre 2

LES ERREURS DE MESURE OBJECTIFS Général  Faire acquérir à l’apprenant les notions d’erreur et d’incertitude. Spécifiques  Connaître les différents types d’erreurs et d’incertitudes, ainsi que leurs méthodes de calcul.  Savoir exprimer un résultat de mesure sous les deux formes.

1. INTRODUCTION Aucune mesure n'est parfaite. Quelque soit le soin apporté à sa mise en œuvre, la précision de l'appareil, la compétence de l'opérateur, le respect des règles de manipulation et de contrôle sévère de tous les paramètres d'influence, il restera toujours une incertitude sur la mesure. Tous les efforts accomplis dans le domaine de l'instrumentation visent à faire tendre cette incertitude vers une valeur de plus en plus faible, tout en sachant qu‘il ne sera jamais possible de l'annuler. C'est pourquoi toute mesure, pour être complète, doit comporter la valeur mesurée et les limites de l'erreur possible sur la valeur donnée.

2. CLASSIFICATION DES ERREURS Suivant les causes, on a deux types d'erreurs :

2.1. Les erreurs systématiques C'est toute erreur due à une cause connue ou connaissable. Elles ont pour causes : 2.1.1. La méthode de mesure Parfois la méthode de mesure choisie entraîne une perturbation sur la grandeur à mesurer (par exemple : pour la mesure d'une résistance ou d'une puissance ; on a à choisir entre le montage amont et aval).

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2.1.2. L'opérateur Parfois, lors d'une mesure, l'aiguille ou le spot lumineux s'immobilise entre deux traits de la graduation ce qui oblige l'opérateur à estimer une fraction de division de l'échelle de lecture, il en résulte une erreur inévitable. 2.1.3. L’appareil de mesure La classe de précision d'un appareil de mesure dépend des imprécisions de fabrication, de calibrage et de conception. Plus la fabrication est soignée, plus l'erreur est petite. De plus l'erreur dépend du réglage de zéro électrique ou mécanique et de la courbe d'étalonnage de l'appareil. Remarque : On peut remédier aux erreurs systématiques par un bon réglage de zéro, un bon étalonnage et une appréciation de la fraction de division, en tenant compte des erreurs de méthode dans la mesure en les calculant.

2.2. Les erreurs aléatoires C'est toute erreur qui n'obéit à aucune loi connue lorsqu'elle est prise sur un seul résultat. Elle obéit aux lois de la statistique lorsque le nombre de résultats devient très grand. Elles peuvent provenir de : 2.2.1. L’opérateur Pour les multimètres analogiques avec plusieurs échelles imbriquées de façon compliquée et graduée d'une façon ambiguë sur un même cardon, l'opérateur peut se tromper sur l'échelle de lecture. Ajoutons à cela le défaut de parallaxe qui est une erreur que l'on commet lors d'une lecture « en biais » lorsque l'aiguille est toujours un peu écartée de l'échelle. 2.2.2. L'appareil A cause des influences extérieures comme la position, la température, l'humidité de l'air, les champs parasitaires magnétiques ou électriques, l'instrument peut fausser une mesure. Exemples : Les champs parasitaires magnétiques peuvent rendre impossible la mesure par induction aux environs d'un transformateur. Egalement, la position (horizontale ou verticale) d'utilisation des appareils de mesure est aussi décisive. Ces appareils doivent être utilisés conformément à la position indiquée sur le cardon. 2.2.3. Le montage Les mauvais contact, à savoir : serrage des pièces, état de surface, fils de connexion…, et le défaut d'isolement, qui peut causer un courant de fuite, sont à l'origine des erreurs.

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Remarque : Pour remédier aux erreurs aléatoires, il suffit que les montages soient clairs et soignés et les paramètres mis en jeu soient bien connus et maîtrisés. En effet, il suffit d'utiliser un bon oscilloscope possédant un réglage qui permet d'éliminer la rotation du faisceau. On peut aussi réduire ces erreurs en faisant une série de mesures et en calculant la valeur moyenne arithmétique. Suivant l'expression de la mesure on a deux types d'erreurs :  

L'erreur absolue L'erreur relative

3. ERREUR ABSOLUE, INCERTITUDE ABSOLUE Soient :  X : la valeur mesurée de la grandeur  Xe : la valeur théorique exacte de la même grandeur L’erreur absolue, notée  X , est l'écart qui existe entre la valeur mesurée et sa valeur théorique exacte exprimée avec la même unité.

 X  X  Xe Comme la valeur exacte de la grandeur à mesurer est inconnue, il faut évaluer une limite supérieure de l'erreur absolue qui n'est autre que l'incertitude absolue notée : X  sup   X



4. ERREUR RELATIVE, INCERTITUDE RELATIVE L'erreur relative est le quotient de l'erreur absolue à la valeur exacte. X  Xe X r   Xe Xe Comme il s'agit d'un nombre sans dimension (pas d'unité), on l'exprime généralement en pourcentage (%) : X  Xe X r %   100   100 Xe Xe Egalement, si la valeur exacte de la grandeur est inaccessible, on prendra la limite supérieure de l'erreur relative qui n'est autre que l'incertitude relative : X Xe On peut l'exprimer en % :

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X  100 Xe

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Remarque : les erreurs sont de signe quelconque (positif ou négatif).

5. EXPRESSION DU RESULTAT Le résultat peut s'exprimer de deux façons :

5.1. 1ère façon La valeur adoptée est égale à la valeur mesurée suivie de l'évaluation de l'incertitude absolue :

Xe  X  X unité 5.2. 2ème façon La valeur adoptée est égale à la valeur mesurée suivie de l'évaluation de l'incertitude relative :

 X  Xe  X unité   %  X  Exemples :

R  10   5% ou R  (10.0  0.5) 

6. CALCUL D'INCERTITUDE POUR LES OPERATIONS DE BASE En général, la valeur de la grandeur à mesurer ( Xe ) est obtenue par une relation mathématique : Xe  f (a, b, c, K ) . De ce fait, on peut utiliser l'outil mathématique « calcul de la différentielle » afin de déterminer les incertitudes :  L'incertitude absolue s’exprime sous la forme suivante :

X 

f f f  a   b   c a b,c cte b a,c cte c a,b cte

 L'incertitude relative s’exprime sous la forme suivante :

X f a f b f c       X a b,c cte X b a,c cte X c a,b cte X Appliquons ces deux formules afin de déterminer les incertitudes absolues et relatives dans le cas des opérations de base :

6.1. Somme Cas d'une association de boîtes de résistances en série : R  R1  R 2  R3

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On obtient : R  R1  R2  R3

ou encore

R R1  R 2  R3  R R1  R 2  R3

6.2. Différence Soit : I  I1  I 2 On obtient : I  I1  I 2

ou encore

I I1  I 2  I I1  I 2

6.3. Produit Cas d'une énergie : W  U  I  t On obtient : W  It U  Ut I  UI t

ou encore

W U I t    W U I t

6.4. Quotient Soit : X 

a b

On obtient : X 

a a  2 b b b

ou encore

X a b   X a b

7. CALCUL PRATIQUE DE L’INCERTITUDE 7.1. Cas des appareils analogiques (ou à déviation) Ce type d'appareil a pour principe de donner une déviation d'aiguille sur une échelle graduée proportionnelle à la valeur de la grandeur à mesurer. Ainsi la valeur mesurée sera donnée par la relation suivante :

X Avec :   

C L E

C : le calibre utilisé [unité] L : la lecture (nombre de graduations lues sur l’échelle) E : l’échelle (nombre total de graduations de l’échelle)

Un appareil de mesure à déviation est caractérisé par son indice de classe de précision qui entraîne, suite à son utilisation :



Une incertitude de classe

XC 

Cl  C Classe  Calibre  100 100

De plus, l'opérateur n'étant pas parfait ; il peut commettre une erreur de lecture qui entraîne : Narjess SGHAIER - Fèdia DOUIRI

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

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Une incertitude de lecture

Si on désigne par L la fraction de graduation d’erreur commise (appelée aussi la fraction de division estimé lors de la mesure), l’incertitude de lecture sera donnée par la relation suivante : C  L XL  E 

L’incertitude totale La méthode est aussi une source d'incertitude à évaluer (notée Xméthode ).

D'où l’incertitude totale commise sur une mesure employant un appareil analogique sera la somme de l'incertitude de classe, de l'incertitude de lecture et de l'incertitude de méthode si elle existe : X  XC  XL  Xméthode

7.2. Cas des appareils numériques Pour les appareils à affichage numérique, les constructeurs fournissent sous le nom de précision une indication qui permet de calculer l'incertitude totale sur la mesure. La précision est généralement donnée en pourcentage de la lecture pour chaque gamme. Elle peut être exprimée de deux façons :  1ère façon

X  (x % Lecture  y % Gamme) On obtient donc :

X  Avec :  

xL y G  100 100

G : la gamme utilisée [unité] L : la lecture (affichée directement sur l’afficheur de l’appareil)

 2ème façon

X  (x % Lecture  n po int s) On obtient donc :

X  Avec :  

xL n G  100 N

n : le nombre de points d’erreur commise par appareil N : le nombre total de points de l’appareil

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