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CAPITOLO 4 ● IL LAVORO E L’ENERGIA
Problemi di paragrafo 1 No, la forza da applicare diminuisce ma la distanza aumenta, quindi il lavoro compiuto resta costante.
2 1 J = 1 kg × 1 m
!
1 s
!
= 10! g × 10! cm
!
1 s
!
= 10! erg.
3 Quando la componente della forza parallelo allo spostamento ha verso opposto a esso.
4 𝑊!"! = 𝐹!"! ∙ 𝑠 = 𝐹! + 𝐹! + 𝐹! + ⋯ ∙ 𝑠 = 𝐹! ∙ 𝑠 + 𝐹! ∙ 𝑠 + 𝐹! ∙ 𝑠 + ⋯ = 𝑊! + 𝑊! + 𝑊! + ⋯
5 𝑊 = 𝐹𝑠 = 2,0 N 10 m = 20 J
6 𝑊 = −𝐹𝑠 = − 3,4×10! N 62 m = −2,1×10! J
7 𝑊 = 𝐹𝑠 cos 𝛼 = 1300 N 26 m cos 45° = 2,4×10! J
8 𝑊 = −𝐹𝑠 cos 𝛼 → cos 𝛼 =
−𝑊 320 J = = 0,76 → 𝛼 = 40° 𝐹𝑠 12 m (35 N)
9 𝑊 = −𝐹! 𝑠 = −𝑚𝑔ℎ = −21 70 kg 9,8 m/s ! 130 m = −1,9×10! J
10 𝑊!"! = −𝐹! 𝑙! − 𝐹! 𝑙! = − 564 N 7,2 m − 652 N 5,1 m = −7,4×10!
11 Le due forze hanno uguale intensità e formano tra loro un angolo di 50°, quindi la nave si sposta lungo la bisettrice dell’angolo, formando un angolo di 25° con le funi: il lavoro di ciascun rimorchiatore è 𝑊 = 𝐹𝑠 cos 25° = 6,2×10! N 18 m cos 25° = 1,0×10! J
12 Indicata con T la tensione incognita, il lavoro totale è 𝑊!"! = 𝑇 10m +
! !
𝑇 + 70N
6m = 860 J
da cui 𝑇 = 50 N 1
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13 L’intensità della forza di attrito è uguale a quella della componente della forza-peso parallela al terreno; inoltre in un secondo lo sciatore percorre 10 m; il lavoro della forza d’attrito è 𝑊 = −𝐹! sin 30° 𝑠 = 70kg 9.8m/s !
1 10m = −3,4×10! J 2
14 • Quando la forza è negativa il suo verso è opposto al moto del carrello, che viene così rallentato; il lavoro che compie è negativo. • Il lavoro totale è 𝑊!"! =
1 4,8m + 3,2m 2
12N −
1 2,2m + 1,4m 2
6N = 37 J
15 • 𝑊! = 𝐹! 𝑠 = 46 N 4,0 m = 1,8×10! J • 𝑊! = −𝐹! 𝑠 = −0,29 15 kg 9,8 m/s ! 4,0 m = −1,7×10! J • 𝑊!"! = 𝑊! + 𝑊! = 184 J + −171 J = 13 J
16 Per avere una buona accelerazione bisogna aumentare la forza, ma F = P/v, dove P è la potenza e v la velocità, quindi v deve diminuire. Per questo motivo c’è bisogno di un rapporto di trasmissione più basso e quindi di scalare la marcia.
17 Δt W W P Δt e P2 = → 1 = 2 e P1 = P2 2 Δt1 Δt 2 P2 Δt1 Δt1 Se Δt1 > Δt 2 , allora P1 < P2 . P1 =
18 Nel grafico lavoro-tempo la pendenza della retta è uguale alla potenza, per cui la potenza erogata nel primo intervallo di tempo è maggiore.
19 La pendenza della retta tangente al grafico diminuisce, per cui la potenza erogata diminuisce col passare del tempo.
20 Dalla formula che definisce la potenza: ∆𝑡 =
𝑊 9,6×10! J = = 1,5 × 102 s 𝑃 64×10! W
2
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21 𝑃=
𝑊 6,30×10! J = = 389 W ∆𝑡 27×60 s
22 La potenza impiegata per mantenere costante la velocità del furgone è 𝑃 = 80 kW − 15 kW = 65 kW e quindi la velocità è 𝑣=
𝑃 65 kW = = 16 m/s 𝐹 4,0×10! N
23 Da W = Fs e P = W/t si ottiene 𝐹=
𝑃𝑡 21 KW 1800 s = = 7,6×10! N 50 km 𝑠
24 Dalla definizione di potenza: 𝑃!!! =
50 kJ − 0 kJ ≅ 1,7 × 102 W 5,0×60 s
𝑃!!! =
60 kJ − 50 kJ ≅ 42 W 4×60 s
𝑃!"#$% =
60 kJ − 0 kJ ≅ 1,1 ×102 W 9×60 s
25 A velocità costante la somma vettoriale delle forze è nulla: 𝐹!"#"$% − 𝛽𝑣!"# = 0 𝐹!"#"$% ! 800,0 N ! 𝑃 = 𝐹!"#"$% 𝑣!"# = = = 1600W 𝛽 400,0 kg/s
26 Poiché la velocità è costante, la forza sviluppata dal motore è pari alla componente della forza peso: 1 𝑃 = 𝐹𝑣! = 𝑚𝑔 senθ v! = 80,0 kg 9,8 m s !! 20 m s !! = 7,8×10! W 2
27 1 1 𝐾! = 𝑀! 𝑣!! = 𝑀! 4𝑣!! = 2𝑀! 𝑣!! 2 2 1 1 𝐾! = 𝑀! 𝑣!! = 2𝑀! 𝑣!! = 𝑀! 𝑣!! 2 2 L’automobile con maggiore energia cinetica, a parità di sistema frenante, impiega più tempo a frenare, quindi l’automobile di massa 𝑀! si ferma prima. 3
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28 Solo la componente della forza in direzione dello spostamento compie lavoro. Perciò si può procedere con la stessa dimostrazione vista nel testo usando la componente ,𝐹! = 𝐹 cos 𝜑 𝑥 al posto di F .
29 Quando l’oggetto è fermo e rimane fermo oppure quando la forza è perpendicolare allo spostamento.
30 1 𝐾 = 100 kg 2
1000 m 38× 3600 s
!
= 5,6×10! J
31 Dal teorema dell’energia cinetica: 1 1000 m 𝑊! = 1200 kg 80× 2 3600 s 𝑊! =
1 1200 kg 2
100×
!
1000 m 3600 s
− 60×
1000 m 3600 s
!
− 80×
!
= 1,3×10! J
1000 m 3600 s
!
= 1,7×10! J
32 Il lavoro compiuto dai freni del camion è: 3 𝑊 = −𝐹𝑑 = − 𝑀𝑔𝑑 10 Dal teorema dell’energia cinetica si ricava la velocità finale del camion: 𝑣=
𝑣!! +
2𝑊 = 𝑀
3 𝑣!! − 𝑔𝑑 = 5
90×
1000 m 3600 s
!
−
3 9,8 m/s ! 22 m m = 22,26 = 80 km/h 5 s
33 Dal teorema dell’energia cinetica si ricava il lavoro compiuto dal motore: 1 𝑊 = 𝑀𝑣 ! 2 e quindi la potenza media è 1000 m ! 620 kg 100× ! 𝑊 𝑀𝑣 3600 s 𝑃 = = = = 1,4×10! W ∆𝑡 2∆𝑡 2 1,8 s
34 Dall’analisi del diagramma della forze si ricava l’espressione della forza di attrito: 𝑓 = 𝜇! 𝑀𝑔 − 𝐹! sin 30° e quindi il lavoro compiuto dalla forza orizzontale totale è 𝑊 = 𝐹! − 𝑓 𝑑 = 𝐹 cos 30° − 𝑓 𝑑 Dal teorema dell’energia cinetica si ricava 𝑣=
=
2𝑊 = 𝑀
2 𝐹! − 𝑓 𝑑 𝑀
2 4 N cos 30° − 0,15 1,6 kg 9,8 m/s − 4 N sin 30° 1,6 kg 4
1,8 m
= 1,8 m/s © Zanichelli 2015
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35 𝑊! = 𝐹! 𝑑 = 35 N × 2,0 m = 70 J 𝑊! = 𝑓! 𝑑 = −30 N × 2,0 m = −60 J Utilizzando il teorema dell’energia cinetica si ottiene la velocità del carrello: 𝑣=
2𝑊!"! = 𝑀
2 𝑊! + 𝑊! = 𝑀
2 10 J = 1,4 m/s 10 kg
36 Dal teorema dell’energia cinetica: 1000 1 1000 kg 54× 3600 m/s 𝑊 ∆𝐾 𝐹= = =2 𝑑 𝑑 16 m
!
= 7,0×10! N
37 𝑊 = 𝛥𝐾 = 𝐾! − 𝐾! !
Poiché l’oggetto si ferma, 𝑊 = −𝐾, quindi 𝑊 = − 𝑚𝑣!! !
Il lavoro fatto dalla forza-peso e dalla forza F è 𝑊 = −(𝑚𝑔senθ + 𝐹)𝑠 Quindi 1 − 𝑚𝑔senθ + 𝐹 𝑠 = − 𝑚𝑣!! 2 𝑚𝑣!! (1,0 kg)(4,0 m! s !! ) 𝑠= = = 0.13 m 2(𝑚𝑔senθ + 𝐹) 2 1,0 kg 9,8 m! s !! 1 + (10,0 N) 2
38 Dalla relazione che definisce l’energia potenziale si ricava ∆𝑈 = −𝑊 = −𝐹∆𝑥 → 𝐹 = −
∆𝑈 ∆𝑥
39 In B e D la retta tangente ha pendenza nulla, quindi la forza è nulla; in A ed E la pendenza della retta tangente è negativa, quindi la forza è positiva (diretta verso destra), in C la pendenza della retta tangente è positiva, quindi la forza è negativa (diretta verso sinistra).
40 In un grafico U-x il coefficiente angolare della retta tangente al grafico nel punto di ascissa x! è l’opposto della forza esercitata sull’oggetto in x! ; lo si deduce dalla relazione 𝐹=−
∆𝑈 ∆𝑥
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41 𝑊 = 𝐹 ∙ 𝑠 = − 9,6 kg
9,8
m s!
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10 m = −9,4×10! J
42 In entrambi i casi: 𝑊 = 𝐹 ∙ 𝑠 = − 640 N 8,0 m = −5,1×10! J
43 𝑊! = −𝐹! 𝑑! = − 24 N 8,2 m = −2,0×10! J 𝑊! = −𝐹! 𝑑! = − 24 N 7,6 m = −1,8×10! J
44 Dalla definizione di energia potenziale: 𝑊!→! = −∆𝑈!" = 𝑈! − 𝑈! → 𝑈! = 𝑈! − 𝑊!→! = 380 J − 530 J = −150 J 𝑊!→! = −∆𝑈!" = 𝑈! − 𝑈! ⟹ 𝑈! = 𝑈! − 𝑊!→! = −150 J − −420 J = 270 J Se l’energia potenziale in B è nulla, vuol dire che ne aumentiamo il valore di 150 J; quindi tutte le energie devono essere aumentate di 150 J: 𝑈′! = 530 J, 𝑈′! = 420 J
45 Indichiamo con 𝑀 la massa incognita del carrello; il lavoro compiuto da Maurizio è opposto al lavoro della forza di attrito: 𝑊! = −𝑊! = 𝐹!,!" 𝑑!" + 𝐹!,!" 𝑑!" + 𝐹!,!" 𝑑!" = = 𝜇𝑀𝑔𝑑!" + 𝜇 𝑀 + 𝑀! 𝑔𝑑!" + 𝜇 𝑀 + 𝑀! + 𝑀! 𝑔𝑑!" = = 0,22 9,8m/s ! 𝑀 6,0 m + 𝑀 + 8,0 kg 17,0 m + 𝑀 + 8,0 kg + 4,0 kg 11,0 m
=
= 1,2×10! J da cui 𝑀= =
1 𝑊! − 𝑀! 𝑑!" + 𝑑!" − 𝑀! 𝑑!" = 𝑑!" + 𝑑!" + 𝑑!" 𝜇𝑔 1 1200 J − 8,0 kg 28,0 m − 4,0 kg 11,0 m 34 m 0,22 9,8 m/s !
= 8,5 kg
46 Con (𝑀 = 13 kg) abbiamo che: • 𝑊!,! = −𝑀𝑔ℎ = − 13 kg 9,8 m/s ! 2,6 m = −3,3×10! J • 𝑊!,! = 𝑀𝑔ℎ = 13 kg 9,8 m/s ! 2,6 m = 3,3×10! J • 𝑊!,!!! = 0 J Nel secondo caso (𝑀 = 13 kg, 𝑚 = 0,60 kg): • 𝑊!,!!! = −𝑀𝑔ℎ + 𝑀 + 𝑚 𝑔ℎ = 𝑚𝑔ℎ = 0,60 kg 9,8 m/s ! 2,6 m = 15 J 6
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47 • 𝑊! = −𝐹! 𝑑! = − 3,2 N 2𝜋 0,85 m = −17 J Dal teorema dell’energia cinetica 1 1 𝑊!"#!$%& = ∆𝐾 − 𝑊! = 𝑚𝑣 ! − 𝑊! = 2,5 kg 0,92 m/s 2 2
!
+ 17 J = 18 J
La forza applicata dal bambino non è conservativa.
48 • Il lavoro della forza-peso non dipende dalla presenza o meno dell’attrito. Lungo il percorso AB il lavoro della forza-peso è 𝑊!" = −𝐹! 𝑙 sin 30° = −𝑚𝑔𝑙 sin 30° = − 10 kg 9,8 m/s ! 2,0 m 0,5 = −98 J • Lungo il percorso ABC il lavoro della forza-peso è 𝑊!"# = 𝑊!" + 𝑊!" = 0 − 𝐹! ℎ = −𝑚𝑔ℎ = − 10 kg 9,8 m/s ! 1,0 m = −98 J
49 L’energia potenziale della forza-peso è direttamente proporzionale alla massa dell’oggetto, per cui la retta maggiormente inclinata corrisponde a una massa maggiore. Pertanto la massa dell’oggetto B è maggiore.
50 Il lavoro maggiore è compiuto sulla Terra. La forza-peso dell’oggetto sulla Luna vale circa 1/6 di quella sulla Terra, quindi il lavoro necessario per sollevare di 1 m l’oggetto sulla Luna è circa 1/6 del lavoro necessario sulla Terra.
51 • 𝛥𝑈! = 𝑚𝑔ℎ! = 1,0 kg 9,8 m/s ! −1,0 m = −9,8 J • 𝛥𝑈! = 𝑚𝑔ℎ! = 30 kg 9,8 m/s ! 2,0 m = 20 J • 𝛥𝑈! = 𝑚𝑔ℎ! = 30 kg 9,8 m/s ! 0 m = 0 J
52 • 𝑊! = 𝑈! = 𝑚𝑔ℎ! = 0,400 kg 9,8 m/s ! 2,50 m = 9,8 J • 𝛥𝑈 = −𝑈! = −9,8
53 • 𝛥𝑈! = 𝐹! 𝛥ℎ = 6,4 ×10! N 4,0 m = 2,6×10! J •
𝛥𝑈!
!"#$%#&
•
𝛥𝑈!
!"!
= − 𝛥𝑈!
!"#$%"
= −2,6×10! J
= 0 J
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54 • 𝑈! = 𝑚𝑔𝛥ℎ! = 30 kg 9,8 m/s ! 3,1 m = 9,1×10! J • 𝑈! = 𝑚𝑔𝛥ℎ! = 30 kg 9,8 m/s ! 6,1 m = 1,8×10! J • 𝛥𝑈 = 𝑚𝑔𝛥ℎ = 30 kg 9,8 m/s ! −3,0 m = −8,8×10! J
55 𝑊 = 𝑀!"! 𝑔ℎ = (8,0 h)
200 h
70 kg 9,8 m/s ! 500 m = 5,5×10! J
56 La relazione tra l’energia potenziale U e l’altezza h è lineare: la pendenza della retta è 𝑚=
∆𝑈 395 J − 0 J 395 3950 = = = J m 5,0 m − 1,7 m 3,3 33 ∆ℎ
e l’equazione della retta è 𝑈 ℎ = 𝑚 ℎ − 1,7 =
3950 J m 33
ℎ − 1,7 m
L’energia potenziale al suolo è 𝑈 0 = − 1,7 m
3950 J = −2,0×10! J 33 m
57 Il grafico corretto è quello della figura A: una parabola con la concavità rivolta verso l’alto.
58 1 𝑈! = 𝑘𝑥 ! 2 1 𝑈!! = 𝑘 3𝑥 2
!
= 9𝑈!
59 Perché la forza non è costante, e dunque la relazione 𝑊 = 𝐹 ∙ 𝑠 non può essere utilizzata.
60 La variazione di energia potenziale è uguale per entrambe, perché non dipende dalla lunghezza a riposo, ma dall’allungamento.
61 1 1 𝑈 = 𝑘𝑠 ! = × 180 N m 0,14 m 2 2
!
= 1,8 J
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62 𝑘=
2𝑈 2𝑊 2 0,72 J = ! = ! 𝑠 𝑠 0,060 m
!
= 4,0×10! N m
63 Il lavoro e l’energia potenziale elastica sono uguali a 1 1 𝑊 = 𝑈 = 𝑘𝑠 ! = 240 N m 0,10 m 2 2
!
≅ 1,2 J
64 1 0,10 J 𝑈 = 𝑘𝑠 ! → 𝑘 = 2× 2 0,022 m
!
= 4,1× 102 N/m
65 L’energia potenziale elastica della molla è direttamente proporzionale al quadrato della deformazione: 𝑈 ! = 4𝑈 = 4× 400 J = 1600 J → ∆U = 1200 J
66 • La costante elastica della molla è 𝑘=
𝐹 5,0 N = = 5,0×10! N/m 𝑠 1,0×10!! m
• Il grafico 𝐹 − 𝑥 è
•
Il lavoro compiuto dalla forza elastica è 1 1 𝑊 = 𝑈! − 𝑈! = 𝑘 𝑠!! − 𝑠!! = 500 N/m 1,0×10!! m ! − 1,5×10!! m 2 2 ≅ −3,1×10!! J Lo stesso risultato si ottiene calcolando l’area sotto il grafico F-x.
!
67 1 1 𝐹 𝑈! = 𝑘𝑠 ! = 𝑘 2 2 𝑘
!
1 𝐹 ! 1 𝑚𝑔 = = 2 𝑘 2 𝑘
!
1 52 kg 9,8 m/s ! = = 1,1×10! J 2 1,2×10! N/m 9
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68 La distanza della posizione iniziale dalla posizione di equilibrio è l’ampiezza A dell’oscillazione della lastra: dalla condizione di equilibrio 𝑘𝐴 = 𝑚𝑔 ricaviamo la costante elastica della molla 𝑘=
𝑚𝑔 𝐴
La massima energia potenziale elastica è raggiunta quando la lastra è al punto più basso: 1,6 kg 9,8 m/s ! 0,048 m 1 1 𝑚𝑔 ! 𝑚𝑔𝐴 𝑈!"# = 𝑘𝐴! = 𝐴 = = = 0,38 J 2 2 𝐴 2 2
69 • Le forze che ciascuna molla applica sull’altra hanno uguale modulo, in virtù del terzo principio della dinamica, quindi i due allungamenti 𝑥! e 𝑥! soddisfano le relazioni 𝑘! 𝑥! = 𝑘! 𝑥! 𝑥! + 𝑥! = 𝐿 − 𝑙! − 𝑙! da cui si ricavano le espressioni
•
𝑥! =
𝐿 − 𝑙! − 𝑙! 𝑘! 0,40 m 120 N/m = = 0,22 m 𝑘! + 𝑘! 220 N/m
𝑥! =
𝐿 − 𝑙! − 𝑙! 𝑘! 0,40 m 100 N/m = = 0,18 m 𝑘! + 𝑘! 220 N/m
Le energie potenziali delle due molle sono ! 1 1 𝐿 − 𝑙! − 𝑙! 𝑘! 1 𝑈! = 𝑘! 𝑥!! = 𝑘! = 100 N/m 𝑘! + 𝑘! 2 2 2 ! 1 1 𝐿 − 𝑙! − 𝑙! 𝑘! 1 𝑈! = 𝑘! 𝑥!! = 𝑘! = 120 N/m 𝑘! + 𝑘! 2 2 2
0,40 m 120 N/m 220 N/m 0,40 m 100 N/m 220 N/m
!
= 2,4 J !
= 2,0 J
70 Poiché l’energia cinetica K è positiva o nulla, risulta 𝐸!"## = 𝐾 + 𝑈 ≥ 𝑈 per cui la prima affermazione è vera, mentre la seconda è falsa (l’energia potenziale può essere negativa).
71 Nessuno dei due: la velocità alla fine del piano si ricava dal teorema dell’energia cinetica ℰ! = ℰ! → 𝑣 =
2𝑔ℎ
per cui la velocità raggiunta dipende solo da h, che è la stessa per entrambi.
10
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72 Per la conservazione dell’energia meccanica, quando la molla è totalmente compressa o totalmente allungata, l’energia meccanica è tutta potenziale. Quando la massa transita per la posizione di riposo della molla, l’energia meccanica è puramente cinetica. In questo punto l’energia cinetica raggiunge il suo massimo.
73 No: due grandezze sono inversamente proporzionali quando il loro prodotto è costante, mentre in un sistema conservativo è costante la somma di energia cinetica e potenziale.
74 A:cinetica, B potenziale, C meccanica totale.
75 Dopo metà del tempo totale (ossia il tempo necessario a percorrere i 10 m di altezza), la palla non si trova ancora a metà strada, quindi l’energia potenziale della forza-peso sarà maggiore di quella cinetica.
76
77 𝐾! = 𝑈! = 𝑚𝑔ℎ = 0,32 kg 9,8 m/s ! 6,7 m = 21 J
78 • •
Per il principio di conservazione dell’energia, l’energia cinetica del sasso è pari all’energia potenziale persa. Quindi 𝐾! = 405 J 𝑣! = 2𝐾! /𝑚 = (810 J )(2,5 kg ) = 18 m/s
79 1 𝑣!! 6,2 m/s ! ! 𝑈! = 𝐾! → 𝑚𝑔ℎ! = 𝑚𝑣! → ℎ! = = = 2,0 m 2 2𝑔 2 9,8 m/s !
80 1 1 𝑘 𝑈! = 𝐾! → 𝑘𝑠!! = 𝑚𝑣!! → 𝑣! = 𝑠! = 0,12 m 2 2 𝑚 11
390 N/m = 1,4 m/s 2,9 kg © Zanichelli 2015
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81 Dalla conservazione dell’energia meccanica 1 𝑈! = 𝐾! → 𝑚𝑔ℎ! = 𝑚𝑣!! → 𝑣! = 2
2 9,8 m/s ! 1,0 m ≅ 4,4 m/s
2𝑔ℎ! =
82 •
All’imbocco della rampa 1 1 𝐾! = 𝑚𝑣!! = × 50,0 kg × 3,90 m/s 2 2 • All’uscita della rampa
!
= 380 J
𝑈! = 𝑚𝑔ℎ! = 50,0 kg 9,80 m/s ! 0,450 m = 221 J •
Dalla conservazione dell’energia: 1 𝐾! = 𝑚𝑣!! = 𝐾! − 𝑈! → 𝑣! = 2
2 𝐾! − 𝑈! = 𝑚
2 380,25 J − 220,5 J 50,0 kg
= 2,53 m/s
83 •
L’energia potenziale dei due blocchi è 𝑈!,! = 𝑚! 𝑔ℎ = 4,0 kg 9,8 m/s ! 2,0 m ≅ 78 J 𝑈!,! = 𝑚! 𝑔ℎ = 2,0 kg 9,8 m/s ! 2,0 m ≅ 39 J 𝑈!,! = 0 J 𝑈!,! = 𝑚! 𝑔2ℎ = 2,0 kg 9,8 m/s ! 4,0 m ≅ 78 J
•
Dalla conservazione dell’energia meccanica 𝑈!,! + 𝑈!,! = 𝑈!,! + 𝑈!,! + 𝐾!,! + 𝐾!,! si ottiene (le velocità dei due blocchi sono uguali) 𝑣! =
2 𝑈!,! + 𝑈!,! − 𝑈!,! − 𝑈!,! = 𝑚! + 𝑚!
2 78 J + 39 J − 78 J 6,0 kg
= 3,6 m/s
84 Per la conservazione dell’energia meccanica 1 𝑚𝑔ℎ = 𝑚𝑣 ! → 𝑣 = 2 𝐹 𝐹 = 𝑘𝛥𝑥; 𝑘 = 𝛥𝑥
2𝑔ℎ =
2(9,8 m/s ! )(2,0 m) = 6,3 m/s
1 1 → 𝑚𝑣 ! = 𝑘𝑠 ! 2 2 ! ! 𝑘𝑠 𝐹𝑠 10 N 0,20 m ! 𝑚= ! = = = 0,10 kg 𝑣 2𝑔ℎ𝛥𝑥 2(9,8 m/s ! )(2,0 m)(0,10 m) 𝐾! + 𝑈!(!) = 𝐾! + 𝑈!
!
12
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85 Il modulo della forza elastica è 𝐹 = 𝑘𝑠 da cui 𝑘=
𝐹 250 N = = 3571,4 N/m 𝑠 0.07 m
L’energia potenziale elastica del sistema formato dalla molla e dalla massa, prima che questa venga rilasciata, in assenza di attrito è pari all’energia potenziale gravitazionale all’istante in cui la massa si ferma sul piano inclinato, quindi 1 ! 𝑘𝑠 ! 3571,4 N/m 0.15 m 𝑘𝑠 = 𝑚𝑔ℎ → ℎ = = 2 2𝑚𝑔 2(3 kg)(9,8 m/s ! )
!
≈ 1,4 m
86 !
Da 𝑊 = 𝐹𝑠 e 𝐾 = 𝑚𝑣 ! , per 𝑊 = 𝐾 si ha !
𝑣=
2𝐹𝑠 = 𝑚
2(50 N)(10 m) = 22 m/s (2,0 kg)
Da 𝑊 = 𝐹𝑠 e 𝑈 = 𝑚𝑔ℎ, per 𝑊 = 𝑈 si ha (50 N)(10 m) 𝐹𝑠 = = 25 m ℎ= 𝑚𝑔 (2,0 kg)(9,8 m/s ! )
87 Il sistema è conservativo. Inizialmente il sistema ha solo energia potenziale elastica, alla fine solo energia potenziale della forza-peso. Il bilancio energetico fornisce la soluzione: 1 ! 𝑘𝑠 = 𝑚𝑔ℎ 2 𝑠=
2𝑚𝑔ℎ = 𝑘
2 0.02 kg 9,8 m/s ! 0,01 m = 2,0 cm 9,8 N/m
88 L’energia cinetica del saltatore viene convertita, durante il salto, in parte in energia potenziale della forza-peso, in parte in energia elastica dell’asta, la quale però viene restituita all’atleta, nel punto più alto, quando l’asta non è più piegata. Una parte dell’energia cinetica dell’atleta viene dispersa in forme di energia diversa da quella meccanica.
89 • Mentre l’oggetto si sposta la sua energia meccanica aumenta, quindi le forze non conservative compiono un lavoro positivo (da x = −4,0 a x = 6,0 è quasi 300 J). • Sì; in questo caso l’energia meccanica diminuisce e quindi le forze non conservative compiono lavoro negativo.
90 𝑊!" = ℰ! − ℰ! = 𝐾! + 𝑈! − 𝐾! + 𝑈! = 32 J + 26 J − 24 J − 45 J = −11 J 13
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CAPITOLO 4 ● IL LAVORO E L’ENERGIA
91 𝑊!" = ℰ! − ℰ! = 𝑚𝑔ℎ! − 𝑚𝑔ℎ! = 𝑚𝑔 ℎ! − ℎ! = 0,32 kg 9,8 m/s !
13,3 m − 1,2 m
= 38 J
92 ℰ! = 𝑈! = 𝑊!" + ℰ! = 𝑊!" + 𝑈! ⟹ ℎ! = =
𝑈! 𝑊!" + 𝑈! 𝑊!" = = + ℎ! 𝑚𝑔 𝑚𝑔 𝑚𝑔
12 J + 1,4 m = 8,2 m 0,18 kg 9,8 m/s !
93 1 𝑊!" = ℰ! − ℰ! = 𝐾! − 𝑈! = 𝑚𝑣!! − 𝑚𝑔ℎ! 2 1 = 0,024 kg 5,2 m ! − 9,8 m/s ! 23 m 2
= −5,1 J
94 1 1 𝑊!" = ℰ! − ℰ! = 𝐾! − 𝑈! = 𝑚𝑣!! − 𝑚𝑔ℎ! = 1,5 kg 6,3 m 2 2
!
− 9,8 m/s ! 3,2 m
= −17 J
95 !
L’energia meccanica iniziale è ℰ! = 𝑘𝐴! ; quella finale è ℰ! = ℰ! + 0,50 J !
L’ampiezza di oscillazione finale 𝐴′ è 𝐴! =
=
2ℰ! = 𝑘 0,20 m
2ℰ! + 2 0,5 J = 𝑘 !
+
𝑘𝐴! + 1,0 J = 𝑘
𝐴! +
1,0 J 𝑘
1,0 J = 0,30 m 20 N/m
96 Il sistema non è conservativo, a causa del lavoro compiuto dal motore. Dal bilancio energetico ricaviamo 1 1 1 ! 𝑊!"#"$% = ℰ! − ℰ! = 𝑚𝑣!! + 𝑚𝑔ℎ − 𝑚𝑣!! = 𝑚 𝑣 − 𝑣!! + 𝑔ℎ 2 2 2 !
= 2200 kg
1 6,0 m/s 2
!
− 10 m/s
!
14
+ 9,8 m/𝑠 ! 5,6 m/s
= 5,0×10! J
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CAPITOLO 4 ● IL LAVORO E L’ENERGIA
97 Dal grafico, l’energia cinetica K dopo 7,5 s è 𝐾 ≈ 250 mJ, quindi 𝑣=
2𝐾 ≈ 𝑚
0,500 J ≈ 3 m/s 0.06 kg
Dal grafico si deduce che l’energia potenziale è massima è 𝑈 = 600 mJ a 𝑡 = 0 s, perciò ℎ!"# =
𝑈 0,600 J ≈ ≈ 1 m 𝑚𝑔 0,06 kg 9,8 m/s !
L’energia meccanica all’istante 𝑡 = 0 s è ℰ! = 600 mJ e all’istante 𝑡 = 3 s è ℰ! ≈ 500 mJ, quindi diminuisce di una quantità pari a ℰ! − ℰ! ≈ 100 mJ
98 1 ℎ = 𝑔𝑡 ! 2 Per la conservazione dell’energia meccanica nel vuoto: 𝑈! + 𝐾! = 𝑈! + 𝐾! 𝑈! = 𝐾! quindi 𝑚𝑔ℎ = 𝐾! → 𝐾! = 𝑚𝑔
! !
!
𝑔𝑡 ! = 𝑚 𝑔𝑡
!
!
Nel secondo esperimento definiamo 𝐸!" l’energia dissipata dalla forza non conservativa (attrito con il gas): 𝐾!! + 𝑈!! + 𝐸!" = 𝐾!! + 𝑈!! 𝑈!! + 𝐸!" = 𝐾!! !
ma 𝑈!! = 𝑈! = 𝐾! = 𝑚 𝑔𝑡
!
!
1 𝐸!" = 𝐾!! − 𝐾! = 𝐾!! − 𝑚 𝑔𝑡 2
!
= 182,1 J −
1 1,0 kg 2
9,8
m s!
2,0 s
!
= −10 J
99 •
Dalla conservazione dell’energia meccanica 1 𝑚𝑔ℎ!"# = 𝑚𝑔ℎ!"# + 𝑚𝑣 ! 2 𝑣=
•
2𝑔 ℎ!"# − ℎ!"# =
2(9,8 m/s ! )(0,5 m) = 3,1 m/s
Il lavoro delle forze d’attrito 1 𝑊!""#$"% = ℰ! − ℰ! = 𝑚𝑣!! + 𝑚𝑔ℎ!"# − 𝑚𝑔ℎ!"# 2 1 = 50 kg 2,0 m/s ! − 50 kg 9,8 m/s ! 0,5 m = −145 J 2
15
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CAPITOLO 4 ● IL LAVORO E L’ENERGIA
100 •
•
•
La componente della forza peso nella direzione dello spostamento è 𝑃! = 𝑚𝑔 cos 45° = 1,5 kg 9,8 m/s ! 0,707 = 10,4 N La lunghezza s del piano inclinato è pari a 𝑠 = 2 m 2 = 2,8 m, quindi il lavoro della forza peso relativo allo spostamento lungo tutto il piano inclinato è 𝑊! = 𝑃! 𝑠 = 10,4 N 2,8 m = 29 J Il modulo della forza di attrito è 𝐹! = 𝜇𝑁, dove N è la reazione vincolare del piano inclinato 𝑁 = 𝑚𝑔 sin 45° = 1,5 kg 9,8 m/s ! 0,707 = 10,4 N 𝐹! = 0,10 10,4 N = 1,04 N → 𝑊! = 𝐹! ∙ 𝑠 = − 1,04 N 2,8 m = −2,9 J L’energia dissipata è pari al lavoro delle forze non-conservative 𝑊!" = 𝐾! + 𝑈! − (𝐾! + 𝑈! ) Per il teorema dell’energia cinetica, detto 𝑊!"! il lavoro totale compiuto sul blocco di legno 𝐾! − 𝐾! = 𝑊!"! = 𝑊! + 𝑊! = 29 J − 2,9 J ≈ 26 J e 𝑈! − 𝑈! = −𝑚𝑔ℎ = − 1,5 kg 9,8 m/s ! 2,0 m = −29,4 J quindi 𝑊!" = 26 J − 29,4 J = −3,4 J Dato che 𝐾! = 0 𝐾! ≈ 26 J → 𝑣! =
2 26 J ≈ 5,9 m/s 1,5 kg
101 Il modulo della forza d’attrito è 𝐹! = 𝜇𝑁 = 𝜇𝑚𝑔 = 0,10 12 kg 9,8 m/s ! = 11,76 N e compie sulla slitta un lavoro pari a 𝑊!""#$"% = −𝐹! 𝑥, dove x è la distanza percorsa dalla slitta. Per il teorema lavoro-energia: 𝑊!""#$"% = 𝐾! + 𝑈! − 𝐾! + 𝑈! da cui l’equazione 1 1 𝑚𝑣!! 1 12 kg 2,1 m/s ! −𝐹! 𝑥 = − 𝑚𝑣! → 𝑥 = = 2 2 𝐹! 2 11,76 N
16
!
≈ 2,3 m
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CAPITOLO 4 ● IL LAVORO E L’ENERGIA
Problemi generali 1 !
!
!
!
Dal bilancio energetico ℰ! = ℰ! + 𝑊!" → 𝑚𝑣!! + 𝑚𝑔ℎ! = 𝑚𝑣!! + 𝑚𝑔ℎ! + 𝑊!" si ricava la velocità richiesta 𝑣! =
=
𝑣!! + 2𝑔 ℎ! − ℎ! + 10! m 50× 3600 s
2𝑊!" 𝑚
!
+2
9,8 m/s !
2 −3,3×10! J −3,1 m + = 7,0 m 80 kg
2
•
𝛥ℎ! = 𝑟 → 𝛥𝑈 = 𝑚𝑔𝛥ℎ! = 𝑚𝑔𝑟 = 30,0 kg 9,8 m/s ! 2,00 m = 588 J 𝛥ℎ! = 𝑟 1 − 2 2 𝛥𝑈 = 𝑚𝑔𝛥ℎ! = 𝑚𝑔𝑟 1 − 2 2 = 30,0 kg 9,8 m s ! 2,00 m 1 − 2 2 = 172 J 𝛥ℎ! = 0 m → ΔU = 𝑚𝑔𝛥ℎ! = 0 J
•
Nel moto di salita
• •
3 1 −𝑚𝑔ℎ − 𝐹ℎ = − 𝑚𝑣!! 2 Nella discesa: 𝑚𝑔ℎ − 𝐹ℎ = 𝐾! Sottraendo membro a membro la seconda equazione dalla prima: 1 −2𝑚𝑔ℎ = − 𝑚𝑣!! − 𝐾! 2 𝑣! = •
2 (2𝑚𝑔ℎ − 𝐾! ) = 𝑚
2 2 2,0 kg 9,8 m 𝑠 ! 3,0 m − (36,6 J) = 9,0 m/s 2,0 kg
Il modulo della forza è 𝐾! 36,6 J 𝐹 = 𝑚𝑔 − = 2,0 kg 9,8 m 𝑠 ! − = 7,4 N ℎ 3,0 m
4 Il sistema è conservativo, quindi 1 1 𝐸! = 𝐸! → 𝑚𝑣!! + 𝑚𝑔ℎ! = 𝑚𝑣!! + 𝑚𝑔ℎ! 2 2 𝑣! =
𝑣!! + 2𝑔𝛥ℎ =
90,0 m 3,6 s
!
+ 2 9,8 m s ! (20,0 m − 11,0 m) = 28,3 m s = 102 km/h
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5 Il sistema è conservativo. Da un bilancio energetico si ricavano le due velocità richieste. • Nel primo caso 1 𝑚𝑣 ! + 𝑚𝑔ℎ! = 𝑚𝑔ℎ! 2 ! da cui 𝑣! =
2𝑔 ℎ! − ℎ! =
• Nel secondo caso da
! !
2𝑔𝑙 1 − cos 37° = !
𝑚𝑣!! + 𝑚𝑔ℎ! = 𝑚𝑣!! + 𝑚𝑔ℎ! si ricava !
2𝑔 ℎ! − ℎ! + 𝑣!! =
𝑣! =
2 9,8 m/s ! 30 m 1 − cos 37° = 11 m/s
2 9,8 m/s ! 30 m 1 − cos 37° + 4,0 m/s
!
= 12 m/s
6 !
!
!
!
• ℰ! = 𝑚𝑣 ! + 𝑚𝑔ℎ =
0,80 kg 1,1 m s
!
!
+ 0,80 kg 9,8 m s
0,5 m = 4,4 J
• Se il carrellino arrivasse alla base, dal teorema lavoro-energia si avrebbe 1 1 𝑚𝑣!! = 𝑚𝑔ℎ! + 𝑚𝑣!! + 𝑊!" 2 2 dove 𝑊!" è il lavoro fatto dalle forze non-conservative, in questo caso della forza d’attrito quindi 𝑊!""#$"% = − 5 N 1,0 m = −5 J 𝑣!! =
2 2 𝑚𝑔ℎ! + 𝑊!" + 𝑣!! = 𝑚 0,80 kg
0,80 kg 9,8 m s ! 0,5 m − 5 J + 1,1 m s
= −1,5 m! s ! m 𝑣!! non può avere un valore negativo, quindi il carrello non arriva alla base.
7 Dal teorema lavoro-energia si ha 𝑚𝑔ℎ! = 𝑚𝑔ℎ! + 𝐹! ⋅ 𝑠 𝑚𝑔 ℎ! − ℎ! = −𝐹! 𝑠 dove s è il percorso del nuotatore dentro l’acqua. Prendendo la superficie dell’acqua come riferimento per il calcolo delle quote: ℎ! − ℎ! = −5 m − 10 m = −15 m 𝐹! =−𝑚𝑔 ℎ! − ℎ!
𝑠 = −(60 kg)(9,8 m/s ! )(−15 m)/(5 m) ≈ 1800 N
𝐹! ha la stessa direzione dello spostamento e verso opposto.
18
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!
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CAPITOLO 4 ● IL LAVORO E L’ENERGIA
8 •
Dal teorema lavoro-energia si ha 1 𝑚𝑣!! = −𝑊! = −𝐹! ⋅ 𝑠 = 𝐹! 𝑠 2 𝐹! = 𝜇𝑁 = 𝜇𝑚𝑔 = 0,70 80 kg 9,8 m/s ! = 549 N 𝑠=
𝑚𝑣!! 80 kg 4,0 m/s = 2𝐹! 2(549 N)
!
≈ 1,2 m
• Il lavoro compiuto dalle forze d’attrito é 1 1 𝑊! = − 𝑚𝑣!! = − 80 kg 4,0 m s 2 2
!
= 640 J
9 Il sistemo è conservativo. 𝐾! + 𝑈! = 𝐾! + 𝑈! 1 1 𝑚𝑣!! = 𝑘𝑥 ! → 𝑥 = 2 2
𝑚𝑣!! = 𝑘
1,0 kg 1,5 m s (80 N m)
!
= 0,17 m
10 Il sistemo è conservativo. 𝐾! + 𝑈! = 𝐾! + 𝑈! 1 𝑚𝑔ℎ! = 𝑘𝑥 ! → 𝑥 = 2
2𝑚𝑔ℎ! = 𝑘
!
2 4,0 kg (9,8 m s )(0,1 m) = 16 cm (300 N m)
11 1 1 ℰ! = 𝑚𝑣!! ℰ! = 𝑚𝑔𝑎 + 𝑘 𝑏 − 𝑎 ! 2 2 1 1 𝑚𝑣!! = 𝑚𝑔𝑎 + 𝑘 𝑏 − 𝑎 ! 2 2 𝑚𝑣!! − 2𝑚𝑔𝑎 1,0 kg 10 m s ! − 2 1,0 kg (9,8 m s ! )(0,50 m) = = 90 N m 𝑘= 𝑏−𝑎 ! 1,5 m − 0,50 m !
12 • Il sistema non è conservativo: la forza di attrito compie un lavoro pari a 𝑊!" = −𝐹𝐿 = 3,0×10! J • Dal bilancio energetico tra la partenza dalla prima collinetta e l’arrivo sulla seconda (entrambi a velocità nulla) ℰ! = ℰ! + 𝑊!" → 𝑚𝑔ℎ! = 𝑚𝑔ℎ! + 𝑊!" ricaviamo l’altezza raggiunta ℎ! = ℎ! +
𝑊!" 𝐹𝐿 30 N 10 m = ℎ! − = 10 m − = 9,6 m 𝑚𝑔 𝑚𝑔 70 kg 9,8 m/s ! 19
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CAPITOLO 4 ● IL LAVORO E L’ENERGIA
13 •
−𝐹 = 𝑚𝑎 da cui 𝑎 = −𝐹/𝑚 v = v0 + at con v0 = 180, 0 km/h = 50, 0 m/s F t m mv (1500 kg)(50,0 m/s) F= 0 = = 1,50 × 104 N t (50,0 s) da 𝑎 = −𝑣! /𝑡 1 1⎛ v ⎞ 1 1 s = x − x0 = v0t + at 2 = v0t − ⎜ 0 ⎟ t 2 = v0t = (50,0 m/s)(50,0 s)=1250,0 m 2 2⎝ t ⎠ 2 2 0 = v0 −
•
W = − Fs = −(1500 N)(1,25 × 103 m) = −1,88 × 106 J
14 A velocità massima costante l’accelerazione è nulla: 𝐹!"#"$% = −𝛽𝑣!"# − 𝑚𝑔 sin 𝜃 = 0 𝑃 − 𝛽𝑣!"# − 𝑚𝑔 sin 𝜃 = 0 𝑣!"# Risolvendo l’equazione di secondo grado: 𝑣!"#
𝑚𝑔 sin 𝜃 =− + 2𝛽
𝑚𝑔 sin 𝜃 2𝛽
!
!
1200 kg 9,8 m s
𝑃 + = 𝛽
2 40 kg s
1 2
!
+
40 kW = 6,5 m/s 40 kg s
15 • Dalle leggi del moto: 𝐹 cos 30° 𝐹 cos 30° ∆𝑡 → 𝑣! = 𝑣! − ∆𝑡 𝑚 𝑚 𝐹 cos 30° 1 𝐹 cos 30° = 𝑣! − ∆𝑡 ∆𝑡 + ∆𝑡 𝑚 2 𝑚
𝑣! = 𝑣! + 𝑎∆𝑡 = 𝑣! + 1 𝑠 = 𝑣! ∆𝑡 + 𝑎 ∆𝑡 2 = 𝑣! ∆𝑡 −
!
1 𝐹 cos 30° ∆𝑡 2 𝑚
!
= 20 m/s 3,0 s −
!
1 2 3 N ( 3 2) 3,0 s 2 3,0 kg
!
= 56 m
• Usando la definizione, il lavoro risulta uguale a 𝑊 = 𝐹 ∙ 𝑠 = 𝐹𝑠 cos 30° = 𝐹 cos 30° 𝑣! ∆𝑡 −
1 𝐹 cos 30° ∆𝑡 2 𝑚
!
m 1 2× 3 N × 3 2 3,0 s − 3,0 s ! = 1,7×10! J s 2 3,0 kg Usando il teorema dell’energia cinetica si ottiene, naturalmente, lo stesso risultato: = 2 3 N
3 2
20
1 1 1 ! 𝑊 = 𝑚 𝑣!! − 𝑣!! = 𝑚 𝑣!! − 𝑣! − 𝑎∆𝑡 = 𝑚 𝑣! 𝑎∆𝑡 − 𝑎∆𝑡 2 2 2 1 1 𝐹 cos 30° = 𝑚𝑎∆𝑡 𝑣! − 𝑎∆𝑡 = 𝐹 cos 30° ∆𝑡 𝑣! − ∆𝑡 2 2 𝑚 = 2 3 N ( 3 2) 3,0 s
20
! !
−
! ! ! ! ( ! !) !,! !"
!
20
3,0 s
!
= 1,7×10! J J © Zanichelli 2015
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CAPITOLO 4 ● IL LAVORO E L’ENERGIA
16 •
𝐹! = 𝜇! 𝐹! con 𝐹! = 𝑚𝑔 𝑊 = −𝜇! 𝑚𝑔𝑠
1 𝑊 = 𝐾! − 𝐾! = −𝐾! = − 𝑚𝑣!! 2 𝑣!! (100 m! 𝑠 ! ) 𝜇! = = = 0,51 2𝑔𝑠 2(9,8 m s ! )(10 m) • 𝐹! = 𝑚𝑎 → −𝜇! 𝑚𝑔 = 𝑚𝑎 → 𝑎 = −𝜇! 𝑔 𝑣 = 𝑣! − 𝜇! 𝑔𝑡 dove t è il tempo necessario affinché la velocità sia 1/8 di quella iniziale: 𝑣! = 𝑣! − 𝜇! 𝑔𝑡 8 7𝑣! 7(10 m s) 𝑡= = = 1,8 s 8𝜇! 𝑔 8×0,51(9,8 m s ! )
17 A causa della forza di attrito il sistema non è conservativo. Il lavoro della forza di attrito 𝐹! è 𝑦!"# 𝑦!"# 𝑊!" = −𝐹! = 𝜇! 𝑚𝑔 cos 30° sin 30° sin 30° Dal bilancio energetico 1 𝑦!"# ℰ! = ℰ! + 𝑊!" → 𝑈! = 𝐾! + 𝑊!" → 𝑚𝑔𝑦!"# = 𝑚𝑣!! − 𝜇! 𝑚𝑔 cos 30° sin 30° 2 Semplificando si ricava 5,0 m/s ! 𝑣!! 2𝑔 2× 9,8 m/s ! 𝑦!"# = = = 0,75 m cos 30° cos 30° 1 + 𝜇! sin 30° 1 + 0,4× sin 30°
18 1 1 𝑘𝛥𝑥 ! = 𝑚𝑣 ! 2 2 𝑘 𝑚 Il moto è uniformemente accelerato lungo l’asse y e rettilineo uniforme lungo l’asse x del sistema di riferimento scelto: 1 𝑦 = ℎ − 𝑔𝑡 ! → 2 𝑥 = 𝑣𝑡 𝑣 = 𝛥𝑥
𝑡=
2ℎ 𝑔
𝑥 = 𝛥𝑥
𝑘 2ℎ 2ℎ𝑘 = 𝛥𝑥 = 0,10 m 𝑚 𝑔 𝑚𝑔
2(1,0 m)(3,0 N m) = 25 𝑐m (0,1 kg)(9,8 m s ! )
21
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CAPITOLO 4 ● IL LAVORO E L’ENERGIA
19 • Il lavoro delle forze non conservative è dato dalla differenza tra l’energia meccanica nel punto in cui l’oggetto si trova e l’energia meccanica iniziale (160 J). Il grafico è
• Dal bilancio energetico si ottiene che la variazione dell’eventuale energia potenziale 𝑈 associata alla forza conservativa è ∆𝑈 = −∆𝐾 + 𝑊!" Dal momento che ∆𝐾 e 𝑊!" non sono uguali, ∆𝑈 non è zero, per cui è presente una forza conservativa.
20 !
La lunghezza dello scivolo è 𝐿 = 𝑅 ! 𝜋 1 ! 𝑚𝑔ℎ − 𝐹 𝑅 = 𝑚𝑣 2 2 Nel caso 𝜋 𝜋𝐹 𝑣 ≠ 0, 𝑚𝑔ℎ − 𝐹 𝑅 > 0 → 𝑚 > 2 2𝑔 𝜋 49 N 𝑚> = 7,9 kg 2(9,8 m s ! )
21 Il sistema è conservativo. 1 𝑚𝑔ℎ! = 𝑚𝑔ℎ! + 𝑚𝑣!! 2 1 𝑚𝑔𝑙 1 − 2 2 = 𝑚𝑣!! 2 𝑣! =
2𝑔𝑙 1 − 2 2 = 9 m/s
22
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CAPITOLO 4 ● IL LAVORO E L’ENERGIA
22 Nelle ipotesi date, dalla conservazione dell’energia si ricava la velocità v dell’uovo nell’istante in cui raggiunge il materassino. 1 𝑚𝑔ℎ = 𝑚𝑣 ! → 𝑣 = 2𝑔ℎ 2 Ipotizzando che la forza frenante esercitata dal materassino sull’uovo sia costante, il moto è uniformemente accelerato 𝑣 1 1 1 𝑎 = → 𝑠 = 𝑎𝑡 ! = 𝑣𝑡 = 2 9,8 m s ! (4,0 m) = 2,0×10!! m 𝑡 2 2 2
23 Il sistema è non conservativo e dal teorema lavoro-energia: ℰ! − ℰ! = 𝑊!" 𝑊!" , è il lavoro fatto dalle forze non conservative, in questo la forza d’attrito: 𝑊!" = −𝜇𝑚𝑔(cos 20°)𝑠 dove s lo spostamento del sistema scimmietta+carrello lungo il piano inclinato. Quindi: 1 𝑚𝑔𝑠 (sin 20°) − 𝑚𝑣!! = −𝜇𝑚𝑔(cos 20°)𝑠 2 𝑣!! 3,0 m s ! 𝑠= = = 0,87 m 2𝑔(sin 20° + 𝜇 cos 20°) 2(9,8 m s! )(0,34 + 0,20×0,94) Quindi il carrello con la scimmietta si ferma a un’altezza h pari a ℎ = 𝑠× sin 20° = 30 cm
24 • La forza di attrito dinamico 𝐹! = 𝜇! 𝑚𝑔 varia con la posizione, da un valore minimo 𝐹!,!"# = 𝜇!,!"# 𝑚𝑔 = 0,1 1,0 kg 9,8 m/s ! = 0,98 N a un valore massimo 𝐹!,!"# = 𝜇!,!"# 𝑚𝑔 = 0,3 1,0 kg 9,8 m/s ! = 2,9 N
• Il lavoro compiuto dalla forza di attrito è l’area sotto il grafico (con il segno negativo): 2,9 N + 0,98 N 1,6 m 𝑊!" = − = −3,1 J 2 • Dal bilancio energetico 1 1 ℰ! = ℰ! + 𝑊!" → 𝑘𝑠 ! = 𝑚𝑣 ! + 𝑊!" 2 2 si ricava la massima compressione 𝑠 della molla: 𝑠=
2 1 𝑚𝑣 ! + 𝑊!" = 𝑘 2
2 1 1,0 kg 2,8 m/s 160 N/m 2
23
!
+ −3,1 J
= 0,10 m
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CAPITOLO 4 ● IL LAVORO E L’ENERGIA
25 •
Dalla conservazione dell’energia: 𝐸! = 𝐸! si ricava: 1 1 𝑈! + 𝑚𝑣!! = 𝑈! + 𝑚𝑣!! 2 2 da cui si ottiene la velocità in B: 𝑣! =
2 𝑈 − 𝑈! + 𝑣!! = 𝑚 !
2 × 20 J − 40 J + 6,0 m/s 4,0 kg
!
= 5,1 m/s
• Il sistema non è conservativo e l’oggetto arriva in 𝑥! = 8,0 m con velocità nulla; il modulo di 𝐹! si ricava da un bilancio energetico: ℰ! = ℰ! + 𝑊!" = ℰ! − 𝐹! 𝑥! − 𝑥! 1 1 𝑈! + 2 𝑚𝑣!! − 𝑈! 20 J + 2 4,0 kg 6,0 m/s ℰ! − ℰ! = = 𝐹! = 𝑥! − 𝑥! 𝑥! − 𝑥! 4,0 m
!
− 40 J
= 13 N
26 Gli allungamenti iniziale e finale della molla sono 𝑠! = 𝐿 − 𝐿! = 12 cm e 𝑠! = 𝐿! − 𝐿! = −8 cm e le energie potenziali iniziale e finale sono 1 1 𝑈! = 𝑘𝑠!! , 𝑈! = 𝑘𝑠!! 2 2 Dal bilancio energetico ricaviamo il lavoro della forza di attrito 𝑊!" = 𝑈! − 𝑈! e da questo il modulo della forza di attrito 𝐹 1 ! 1 ! 𝑘𝑠! − 2 𝑘𝑠! 𝑊!" 1 𝑠!! − 𝑠!! 1 1 2 𝐹= = = 𝑘 = 𝑘 𝑠! + 𝑠! = 120 N/m 0,04 m = 2×10 N 𝑠! − 𝑠! 𝑠! − 𝑠! 2 𝑠! − 𝑠! 2 2
27 −𝜇! 𝑚𝑔 = 𝑚𝑎 → 𝑎 = −𝜇! 𝑔 0 = 𝑣! − 𝜇! 𝑔𝛥𝑡 → 𝜇! =
𝑣! 𝑔𝛥𝑡
1 𝑊 = 𝐾! − 𝐾! → −𝜇! 𝑚𝑔𝑠 = − 𝑚𝑣!! 2 Sostituendo 𝜇! = 𝑣! /(𝑔𝛥𝑡), si ha 𝑣! =
2𝑠 2(3,0 m) = = 6,0 m s 𝛥𝑡 (1,0 s)
24
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CAPITOLO 4 ● IL LAVORO E L’ENERGIA
28 L’energia potenziale totale è la somma dell’energia elastica e di quella della forza-peso: 1 𝑈!"! = 𝑘𝑦 ! + 𝑚𝑔𝑦 2 Applicando la tecnica algebrica del completamento del quadrato si arriva all’espressione richiesta: 1 1 𝑚𝑔 1 𝑚𝑔 𝑚𝑔 𝑦 = 𝑘 𝑦! + 2 𝑦+ 𝑈!"! = 𝑘𝑦 ! + 𝑚𝑔𝑦 = 𝑘 𝑦 ! + 2 2 2 𝑘 2 𝑘 𝑘 1 𝑚𝑔 = 𝑘 𝑦+ 2 𝑘
!
!
−
𝑚𝑔 𝑘
!
1 𝑚! 𝑔! − 2 𝑘
L’energia potenziale totale è rappresentata da una parabola.
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Amaldi L’Amaldi per i licei scientifici.blu, Vol. 1
CAPITOLO 4 ● IL LAVORO E L’ENERGIA
Test 1 D 2 B 3 A 4 C 5 A 6 B 7 A 8 E 9 E 10 E 11 A 12 B 13 A 14 B 15 C 16 C 17 C 18 A e C 19 C 20 A 21 C 22 C 23 A 24 E
25 C 26 C 26
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