Cap04 Soluzioni AmaldiBlu [PDF]

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Amaldi L’Amaldi per i licei scientifici.blu, Vol. 1

CAPITOLO 4 ● IL LAVORO E L’ENERGIA

Problemi  di  paragrafo   1   No, la forza da applicare diminuisce ma la distanza aumenta, quindi il lavoro compiuto resta costante.

2   1  J   =   1  kg  ×   1  m

!

1  s

!

= 10!  g  ×   10!  cm

!

1  s

!

= 10! erg.

3   Quando la componente della forza parallelo allo spostamento ha verso opposto a esso.

4   𝑊!"! = 𝐹!"! ∙ 𝑠 = 𝐹! + 𝐹! + 𝐹! + ⋯ ∙ 𝑠 = 𝐹! ∙ 𝑠 + 𝐹! ∙ 𝑠 + 𝐹! ∙ 𝑠 + ⋯ = 𝑊! + 𝑊! + 𝑊! + ⋯

5   𝑊 = 𝐹𝑠 = 2,0  N 10  m = 20  J

6   𝑊 = −𝐹𝑠 = − 3,4×10!  N 62  m = −2,1×10! J

7   𝑊 = 𝐹𝑠 cos 𝛼 = 1300  N 26  m cos 45° = 2,4×10! J

 8   𝑊 = −𝐹𝑠 cos 𝛼   →   cos 𝛼 =

−𝑊 320  J = = 0,76   →  𝛼 = 40° 𝐹𝑠 12  m (35  N)

9   𝑊 = −𝐹! 𝑠 = −𝑚𝑔ℎ = −21 70  kg 9,8  m/s ! 130  m = −1,9×10!  J

10   𝑊!"! = −𝐹! 𝑙! − 𝐹! 𝑙! = − 564  N 7,2  m − 652  N 5,1  m = −7,4×10!

11   Le due forze hanno uguale intensità e formano tra loro un angolo di 50°, quindi la nave si sposta lungo la bisettrice dell’angolo, formando un angolo di 25° con le funi: il lavoro di ciascun rimorchiatore è 𝑊 = 𝐹𝑠 cos 25°   = 6,2×10!  N 18  m cos 25° = 1,0×10!  J

12   Indicata con T la tensione incognita, il lavoro totale è 𝑊!"! = 𝑇 10m +

! !

𝑇 + 70N

6m = 860  J

da cui 𝑇 = 50  N 1

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13   L’intensità della forza di attrito è uguale a quella della componente della forza-peso parallela al terreno; inoltre in un secondo lo sciatore percorre 10 m; il lavoro della forza d’attrito è 𝑊 = −𝐹! sin 30° 𝑠   = 70kg 9.8m/s !

1 10m = −3,4×10!  J 2

14   • Quando la forza è negativa il suo verso è opposto al moto del carrello, che viene così rallentato; il lavoro che compie è negativo. • Il lavoro totale è 𝑊!"! =

1 4,8m + 3,2m 2

12N −

1 2,2m + 1,4m 2

6N = 37  J

15   • 𝑊! = 𝐹! 𝑠   = 46  N 4,0  m = 1,8×10!  J • 𝑊! = −𝐹! 𝑠   = −0,29 15  kg 9,8  m/s ! 4,0  m = −1,7×10!  J • 𝑊!"! = 𝑊! + 𝑊! = 184  J + −171  J = 13  J

16   Per avere una buona accelerazione bisogna aumentare la forza, ma F = P/v, dove P è la potenza e v la velocità, quindi v deve diminuire. Per questo motivo c’è bisogno di un rapporto di trasmissione più basso e quindi di scalare la marcia.

17   Δt W W P Δt e P2 = → 1 = 2 e P1 = P2 2 Δt1 Δt 2 P2 Δt1 Δt1 Se Δt1 > Δt 2 , allora P1 < P2 . P1 =

18   Nel grafico lavoro-tempo la pendenza della retta è uguale alla potenza, per cui la potenza erogata nel primo intervallo di tempo è maggiore.

19   La pendenza della retta tangente al grafico diminuisce, per cui la potenza erogata diminuisce col passare del tempo.

20   Dalla formula che definisce la potenza: ∆𝑡 =

𝑊 9,6×10!  J = = 1,5 × 102 s 𝑃 64×10!  W

2

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21   𝑃=

𝑊 6,30×10!  J = = 389  W ∆𝑡 27×60  s

22   La potenza impiegata per mantenere costante la velocità del furgone è 𝑃 = 80  kW − 15  kW = 65  kW e quindi la velocità è 𝑣=

𝑃 65  kW = = 16  m/s 𝐹 4,0×10! N

23   Da W = Fs e P = W/t si ottiene 𝐹=

𝑃𝑡 21  KW 1800  s   = = 7,6×10!  N 50  km 𝑠

24   Dalla definizione di potenza: 𝑃!!! =

50  kJ − 0  kJ ≅ 1,7 × 102  W 5,0×60  s

𝑃!!! =

60  kJ − 50  kJ ≅ 42  W 4×60  s

𝑃!"#$% =

60  kJ − 0  kJ ≅ 1,1 ×102  W 9×60  s

25   A velocità costante la somma vettoriale delle forze è nulla: 𝐹!"#"$% − 𝛽𝑣!"# = 0 𝐹!"#"$% ! 800,0  N ! 𝑃 = 𝐹!"#"$% 𝑣!"# = = = 1600W 𝛽 400,0  kg/s

26   Poiché la velocità è costante, la forza sviluppata dal motore è pari alla componente della forza peso: 1 𝑃 = 𝐹𝑣! = 𝑚𝑔 senθ v! = 80,0  kg   9,8  m  s !! 20  m  s !! = 7,8×10!  W 2

27   1 1 𝐾! = 𝑀! 𝑣!! = 𝑀! 4𝑣!! = 2𝑀! 𝑣!! 2 2 1 1 𝐾! = 𝑀! 𝑣!! = 2𝑀! 𝑣!! = 𝑀! 𝑣!! 2 2 L’automobile con maggiore energia cinetica, a parità di sistema frenante, impiega più tempo a frenare, quindi l’automobile di massa 𝑀! si ferma prima. 3

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28   Solo la componente della forza in direzione dello spostamento compie lavoro. Perciò si può procedere  con la stessa dimostrazione vista nel testo usando la componente ,𝐹! = 𝐹 cos 𝜑  𝑥 al posto di F .

29   Quando l’oggetto è fermo e rimane fermo oppure quando la forza è perpendicolare allo spostamento.

30   1 𝐾 = 100  kg 2

1000  m 38×   3600  s

!

= 5,6×10!  J

31   Dal teorema dell’energia cinetica: 1 1000  m 𝑊! = 1200  kg 80×   2 3600  s 𝑊! =

1 1200  kg 2

100×

!

1000  m   3600  s

− 60×

1000  m   3600  s

!

− 80×

!

= 1,3×10!  J

1000  m   3600  s

!

= 1,7×10!  J

32   Il lavoro compiuto dai freni del camion è: 3 𝑊 = −𝐹𝑑 = − 𝑀𝑔𝑑 10 Dal teorema dell’energia cinetica si ricava la velocità finale del camion: 𝑣=

𝑣!! +

2𝑊 = 𝑀

3 𝑣!! − 𝑔𝑑 = 5

90×

1000  m 3600  s

!

−

3 9,8  m/s ! 22  m m = 22,26 = 80  km/h 5 s

33   Dal teorema dell’energia cinetica si ricava il lavoro compiuto dal motore: 1 𝑊 = 𝑀𝑣 ! 2 e quindi la potenza media è 1000  m ! 620  kg 100× ! 𝑊 𝑀𝑣 3600  s   𝑃 =   = = = 1,4×10!  W ∆𝑡 2∆𝑡 2 1,8  s

34   Dall’analisi del diagramma della forze si ricava l’espressione della forza di attrito: 𝑓 = 𝜇! 𝑀𝑔 − 𝐹! sin 30° e quindi il lavoro compiuto dalla forza orizzontale totale è 𝑊 = 𝐹! − 𝑓 𝑑 = 𝐹 cos 30° − 𝑓 𝑑 Dal teorema dell’energia cinetica si ricava 𝑣=

=

2𝑊 = 𝑀

2 𝐹! − 𝑓 𝑑 𝑀

2 4  N cos 30° − 0,15 1,6  kg 9,8  m/s − 4  N sin 30° 1,6  kg 4

1,8  m

= 1,8  m/s © Zanichelli 2015

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35   𝑊! = 𝐹! 𝑑 = 35  N × 2,0  m = 70  J 𝑊! = 𝑓! 𝑑 = −30  N × 2,0  m = −60  J Utilizzando il teorema dell’energia cinetica si ottiene la velocità del carrello: 𝑣=

2𝑊!"! = 𝑀

2 𝑊! + 𝑊! = 𝑀

2 10  J = 1,4  m/s 10  kg

36   Dal teorema dell’energia cinetica: 1000 1 1000  kg 54× 3600  m/s 𝑊 ∆𝐾 𝐹= = =2 𝑑 𝑑 16  m

!

= 7,0×10!  N

37   𝑊 = 𝛥𝐾 = 𝐾! − 𝐾! !

Poiché l’oggetto si ferma, 𝑊 = −𝐾, quindi 𝑊 = − 𝑚𝑣!! !

Il lavoro fatto dalla forza-peso e dalla forza F è 𝑊 = −(𝑚𝑔senθ + 𝐹)𝑠 Quindi 1 − 𝑚𝑔senθ + 𝐹 𝑠 =   − 𝑚𝑣!! 2 𝑚𝑣!! (1,0  kg)(4,0  m!  s !! ) 𝑠= = = 0.13  m 2(𝑚𝑔senθ + 𝐹) 2 1,0  kg 9,8  m!  s !! 1 + (10,0  N) 2

38   Dalla relazione che definisce l’energia potenziale si ricava ∆𝑈 = −𝑊 = −𝐹∆𝑥   → 𝐹 = −

∆𝑈 ∆𝑥

39   In B e D la retta tangente ha pendenza nulla, quindi la forza è nulla; in A ed E la pendenza della retta tangente è negativa, quindi la forza è positiva (diretta verso destra), in C la pendenza della retta tangente è positiva, quindi la forza è negativa (diretta verso sinistra).

40   In un grafico U-x il coefficiente angolare della retta tangente al grafico nel punto di ascissa x! è l’opposto della forza esercitata sull’oggetto in x! ; lo si deduce dalla relazione 𝐹=−

∆𝑈 ∆𝑥

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41   𝑊 = 𝐹 ∙ 𝑠 = − 9,6  kg

9,8

m s!

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10  m   = −9,4×10!  J

42   In entrambi i casi: 𝑊 = 𝐹 ∙ 𝑠 = − 640  N 8,0  m   = −5,1×10!  J

43   𝑊! = −𝐹! 𝑑! = − 24  N 8,2  m   = −2,0×10!  J 𝑊! = −𝐹! 𝑑! = − 24  N 7,6  m   = −1,8×10!  J

44   Dalla definizione di energia potenziale: 𝑊!→! = −∆𝑈!" = 𝑈! − 𝑈!   → 𝑈! = 𝑈! − 𝑊!→! = 380  J − 530  J = −150  J 𝑊!→! = −∆𝑈!" = 𝑈! − 𝑈!   ⟹   𝑈! = 𝑈! − 𝑊!→! = −150  J − −420  J = 270  J Se l’energia potenziale in B è nulla, vuol dire che ne aumentiamo il valore di 150 J; quindi tutte le energie devono essere aumentate di 150 J: 𝑈′! = 530  J,      𝑈′! = 420  J

45   Indichiamo con 𝑀 la massa incognita del carrello; il lavoro compiuto da Maurizio è opposto al lavoro della forza di attrito: 𝑊! = −𝑊! = 𝐹!,!" 𝑑!" + 𝐹!,!" 𝑑!" + 𝐹!,!" 𝑑!" = = 𝜇𝑀𝑔𝑑!" + 𝜇 𝑀 + 𝑀! 𝑔𝑑!" + 𝜇 𝑀 + 𝑀! + 𝑀! 𝑔𝑑!" = = 0,22  9,8m/s !   𝑀 6,0  m + 𝑀 + 8,0  kg 17,0  m + 𝑀 + 8,0  kg + 4,0  kg 11,0  m

=

= 1,2×10!  J da cui 𝑀= =

1 𝑊! − 𝑀! 𝑑!" + 𝑑!" − 𝑀! 𝑑!" = 𝑑!" + 𝑑!" + 𝑑!" 𝜇𝑔 1 1200  J − 8,0  kg 28,0  m − 4,0  kg 11,0  m 34  m 0,22 9,8  m/s !  

= 8,5  kg

46   Con (𝑀 = 13  kg) abbiamo che: • 𝑊!,! = −𝑀𝑔ℎ = − 13  kg 9,8  m/s !   2,6  m = −3,3×10!  J •  𝑊!,! = 𝑀𝑔ℎ = 13  kg 9,8  m/s !   2,6  m = 3,3×10!  J • 𝑊!,!!! = 0  J Nel secondo caso (𝑀 = 13  kg, 𝑚 = 0,60  kg): • 𝑊!,!!! = −𝑀𝑔ℎ + 𝑀 + 𝑚 𝑔ℎ = 𝑚𝑔ℎ = 0,60  kg 9,8  m/s !   2,6  m = 15  J 6

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47   • 𝑊! = −𝐹! 𝑑! = − 3,2  N 2𝜋 0,85  m = −17  J Dal teorema dell’energia cinetica 1 1 𝑊!"#!$%& = ∆𝐾 − 𝑊! = 𝑚𝑣 ! − 𝑊! = 2,5  kg 0,92  m/s 2 2

!

+ 17  J = 18  J

La forza applicata dal bambino non è conservativa.

48   • Il lavoro della forza-peso non dipende dalla presenza o meno dell’attrito. Lungo il percorso AB il lavoro della forza-peso è 𝑊!" = −𝐹! 𝑙 sin 30° = −𝑚𝑔𝑙 sin 30° = − 10  kg 9,8  m/s ! 2,0  m 0,5 = −98  J • Lungo il percorso ABC il lavoro della forza-peso è 𝑊!"# = 𝑊!" + 𝑊!" = 0 − 𝐹! ℎ = −𝑚𝑔ℎ = − 10  kg 9,8  m/s ! 1,0  m = −98  J

49   L’energia potenziale della forza-peso è direttamente proporzionale alla massa dell’oggetto, per cui la retta maggiormente inclinata corrisponde a una massa maggiore. Pertanto la massa dell’oggetto B è maggiore.

50   Il lavoro maggiore è compiuto sulla Terra. La forza-peso dell’oggetto sulla Luna vale circa 1/6 di quella sulla Terra, quindi il lavoro necessario per sollevare di 1 m l’oggetto sulla Luna è circa 1/6 del lavoro necessario sulla Terra.

51   • 𝛥𝑈! = 𝑚𝑔ℎ! = 1,0  kg   9,8  m/s !   −1,0  m = −9,8  J • 𝛥𝑈! = 𝑚𝑔ℎ! = 30  kg   9,8  m/s !   2,0  m = 20  J • 𝛥𝑈! = 𝑚𝑔ℎ! = 30  kg   9,8  m/s !   0  m = 0  J

52   • 𝑊! = 𝑈! = 𝑚𝑔ℎ! = 0,400  kg   9,8  m/s !   2,50  m = 9,8  J • 𝛥𝑈 = −𝑈! = −9,8    

53   • 𝛥𝑈! = 𝐹! 𝛥ℎ = 6,4  ×10!  N   4,0  m = 2,6×10!  J •

𝛥𝑈!

!"#$%#&

•

𝛥𝑈!

!"!

= − 𝛥𝑈!

!"#$%"

= −2,6×10!  J

= 0  J

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54   • 𝑈! = 𝑚𝑔𝛥ℎ! = 30  kg   9,8  m/s !   3,1  m = 9,1×10!  J • 𝑈! = 𝑚𝑔𝛥ℎ! = 30  kg   9,8  m/s !   6,1  m = 1,8×10!  J • 𝛥𝑈 = 𝑚𝑔𝛥ℎ = 30  kg   9,8  m/s !   −3,0  m = −8,8×10!  J

55   𝑊 = 𝑀!"! 𝑔ℎ = (8,0  h)

200 h

70  kg 9,8  m/s ! 500  m = 5,5×10!  J

56   La relazione tra l’energia potenziale U e l’altezza h è lineare: la pendenza della retta è 𝑚=

∆𝑈 395  J − 0  J 395 3950 = = =  J m 5,0  m − 1,7  m 3,3 33 ∆ℎ

e l’equazione della retta è 𝑈 ℎ = 𝑚 ℎ − 1,7 =

3950  J m 33

ℎ − 1,7  m

L’energia potenziale al suolo è 𝑈 0 = − 1,7  m

3950  J =   −2,0×10!  J 33  m

57   Il grafico corretto è quello della figura A: una parabola con la concavità rivolta verso l’alto.

58   1 𝑈! = 𝑘𝑥 ! 2 1 𝑈!! = 𝑘 3𝑥 2

!

= 9𝑈!

59   Perché la forza non è costante, e dunque la relazione 𝑊 = 𝐹 ∙ 𝑠 non può essere utilizzata.

60   La variazione di energia potenziale è uguale per entrambe, perché non dipende dalla lunghezza a riposo, ma dall’allungamento.

61   1 1 𝑈 = 𝑘𝑠 ! = × 180   N m 0,14  m 2 2

!

= 1,8  J

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62   𝑘=

2𝑈 2𝑊 2 0,72  J = ! = ! 𝑠 𝑠 0,060  m

!

= 4,0×10!  N m

63   Il lavoro e l’energia potenziale elastica sono uguali a 1 1 𝑊 = 𝑈 = 𝑘𝑠 ! = 240   N m 0,10  m 2 2

!

≅ 1,2  J

64   1 0,10  J 𝑈 = 𝑘𝑠 !   → 𝑘 = 2× 2 0,022  m

!

= 4,1× 102  N/m

65   L’energia potenziale elastica della molla è direttamente proporzionale al quadrato della deformazione: 𝑈 ! = 4𝑈 = 4× 400  J = 1600  J   →   ∆U = 1200  J

66   • La costante elastica della molla è 𝑘=

𝐹 5,0  N = = 5,0×10!  N/m 𝑠 1,0×10!!  m

• Il grafico 𝐹 − 𝑥 è

•

Il lavoro compiuto dalla forza elastica è 1 1 𝑊 = 𝑈! − 𝑈! = 𝑘 𝑠!! − 𝑠!! = 500  N/m 1,0×10!!  m ! − 1,5×10!!  m 2 2 ≅ −3,1×10!!  J Lo stesso risultato si ottiene calcolando l’area sotto il grafico F-x.

!

67   1 1 𝐹 𝑈! = 𝑘𝑠 ! = 𝑘 2 2 𝑘  

!

1 𝐹 ! 1 𝑚𝑔 = = 2 𝑘 2 𝑘

!

1 52  kg 9,8  m/s !   = = 1,1×10!  J 2 1,2×10!  N/m 9

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68   La distanza della posizione iniziale dalla posizione di equilibrio è l’ampiezza A dell’oscillazione della lastra: dalla condizione di equilibrio 𝑘𝐴 = 𝑚𝑔 ricaviamo la costante elastica della molla 𝑘=

𝑚𝑔 𝐴

La massima energia potenziale elastica è raggiunta quando la lastra è al punto più basso: 1,6  kg 9,8  m/s ! 0,048  m 1 1 𝑚𝑔 ! 𝑚𝑔𝐴 𝑈!"# = 𝑘𝐴! = 𝐴 = = = 0,38  J 2 2 𝐴 2 2

69   • Le forze che ciascuna molla applica sull’altra hanno uguale modulo, in virtù del terzo principio della dinamica, quindi i due allungamenti 𝑥! e 𝑥! soddisfano le relazioni 𝑘! 𝑥! = 𝑘! 𝑥! 𝑥! + 𝑥! = 𝐿 − 𝑙! − 𝑙! da cui si ricavano le espressioni

•

𝑥! =

𝐿 − 𝑙! − 𝑙! 𝑘! 0,40  m 120  N/m = = 0,22  m 𝑘! + 𝑘! 220  N/m

𝑥! =

𝐿 − 𝑙! − 𝑙! 𝑘! 0,40  m 100  N/m = = 0,18  m 𝑘! + 𝑘! 220  N/m

Le energie potenziali delle due molle sono ! 1 1 𝐿 − 𝑙! − 𝑙! 𝑘! 1 𝑈! = 𝑘! 𝑥!! = 𝑘! = 100  N/m 𝑘! + 𝑘! 2 2 2 ! 1 1 𝐿 − 𝑙! − 𝑙! 𝑘! 1 𝑈! = 𝑘! 𝑥!! = 𝑘! = 120  N/m 𝑘! + 𝑘! 2 2 2

0,40  m 120  N/m 220  N/m 0,40  m 100  N/m 220  N/m

!

= 2,4  J !

= 2,0  J

70   Poiché l’energia cinetica K è positiva o nulla, risulta 𝐸!"## = 𝐾 + 𝑈 ≥ 𝑈 per cui la prima affermazione è vera, mentre la seconda è falsa (l’energia potenziale può essere negativa).

71   Nessuno dei due: la velocità alla fine del piano si ricava dal teorema dell’energia cinetica ℰ! = ℰ!   → 𝑣 =

2𝑔ℎ

per cui la velocità raggiunta dipende solo da h, che è la stessa per entrambi.

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72   Per la conservazione dell’energia meccanica, quando la molla è totalmente compressa o totalmente allungata, l’energia meccanica è tutta potenziale. Quando la massa transita per la posizione di riposo della molla, l’energia meccanica è puramente cinetica. In questo punto l’energia cinetica raggiunge il suo massimo.

73   No: due grandezze sono inversamente proporzionali quando il loro prodotto è costante, mentre in un sistema conservativo è costante la somma di energia cinetica e potenziale.

74   A:cinetica, B potenziale, C meccanica totale.

75   Dopo metà del tempo totale (ossia il tempo necessario a percorrere i 10 m di altezza), la palla non si trova ancora a metà strada, quindi l’energia potenziale della forza-peso sarà maggiore di quella cinetica.

76  

77   𝐾! = 𝑈! = 𝑚𝑔ℎ = 0,32  kg 9,8  m/s ! 6,7  m = 21  J

78   • •

Per il principio di conservazione dell’energia, l’energia cinetica del sasso è pari all’energia potenziale persa. Quindi 𝐾! = 405  J 𝑣! = 2𝐾! /𝑚 = (810  J  )(2,5  kg  ) = 18  m/s

79   1 𝑣!! 6,2  m/s ! ! 𝑈! = 𝐾!   →  𝑚𝑔ℎ! = 𝑚𝑣!   → ℎ! = = = 2,0  m 2 2𝑔 2 9,8  m/s !

80   1 1 𝑘 𝑈! = 𝐾!   →   𝑘𝑠!! = 𝑚𝑣!!   → 𝑣! = 𝑠! = 0,12  m 2 2 𝑚 11

390  N/m = 1,4  m/s 2,9  kg © Zanichelli 2015

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CAPITOLO 4 ● IL LAVORO E L’ENERGIA

81   Dalla conservazione dell’energia meccanica 1 𝑈! = 𝐾!   →  𝑚𝑔ℎ! = 𝑚𝑣!!   → 𝑣! = 2

2 9,8  m/s ! 1,0  m ≅ 4,4  m/s

2𝑔ℎ! =

82   •

All’imbocco della rampa 1 1 𝐾! = 𝑚𝑣!! = × 50,0  kg × 3,90  m/s 2 2 • All’uscita della rampa

!

= 380  J

𝑈! = 𝑚𝑔ℎ! = 50,0  kg 9,80  m/s ! 0,450  m = 221  J •

Dalla conservazione dell’energia: 1 𝐾! = 𝑚𝑣!! = 𝐾! − 𝑈!   → 𝑣! = 2

2 𝐾! − 𝑈! = 𝑚

2 380,25  J − 220,5  J 50,0  kg

= 2,53  m/s

83   •

L’energia potenziale dei due blocchi è 𝑈!,! = 𝑚! 𝑔ℎ = 4,0  kg 9,8  m/s ! 2,0  m ≅ 78  J 𝑈!,! = 𝑚! 𝑔ℎ = 2,0  kg 9,8  m/s ! 2,0  m ≅ 39  J 𝑈!,! = 0  J 𝑈!,! = 𝑚! 𝑔2ℎ = 2,0  kg 9,8  m/s ! 4,0  m ≅ 78  J

•

Dalla conservazione dell’energia meccanica 𝑈!,! + 𝑈!,! = 𝑈!,! + 𝑈!,! + 𝐾!,! + 𝐾!,!   si ottiene (le velocità dei due blocchi sono uguali) 𝑣! =

2 𝑈!,! + 𝑈!,! − 𝑈!,! − 𝑈!,! = 𝑚! + 𝑚!

2 78  J + 39  J − 78  J 6,0  kg

= 3,6  m/s

84   Per la conservazione dell’energia meccanica 1 𝑚𝑔ℎ = 𝑚𝑣 !   → 𝑣 = 2 𝐹 𝐹 = 𝑘𝛥𝑥; 𝑘 = 𝛥𝑥

2𝑔ℎ =

2(9,8  m/s ! )(2,0  m) = 6,3  m/s

1 1   →   𝑚𝑣 ! = 𝑘𝑠 ! 2 2 ! ! 𝑘𝑠 𝐹𝑠 10  N 0,20  m ! 𝑚= ! = = = 0,10  kg 𝑣 2𝑔ℎ𝛥𝑥 2(9,8  m/s ! )(2,0  m)(0,10  m) 𝐾! + 𝑈!(!) = 𝐾! + 𝑈!

!

12

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CAPITOLO 4 ● IL LAVORO E L’ENERGIA

85   Il modulo della forza elastica è 𝐹 = 𝑘𝑠 da cui 𝑘=

𝐹 250  N = = 3571,4  N/m 𝑠 0.07  m

L’energia potenziale elastica del sistema formato dalla molla e dalla massa, prima che questa venga rilasciata, in assenza di attrito è pari all’energia potenziale gravitazionale all’istante in cui la massa si ferma sul piano inclinato, quindi 1 ! 𝑘𝑠 ! 3571,4  N/m 0.15  m 𝑘𝑠 = 𝑚𝑔ℎ   → ℎ = = 2 2𝑚𝑔 2(3  kg)(9,8  m/s ! )

!

≈ 1,4  m

86   !

Da 𝑊 = 𝐹𝑠 e 𝐾 = 𝑚𝑣 ! , per 𝑊 = 𝐾 si ha !

𝑣=

2𝐹𝑠 = 𝑚

2(50  N)(10  m) = 22  m/s (2,0  kg)

Da 𝑊 = 𝐹𝑠 e 𝑈 = 𝑚𝑔ℎ, per 𝑊 = 𝑈 si ha (50  N)(10  m) 𝐹𝑠 = = 25  m ℎ= 𝑚𝑔 (2,0  kg)(9,8  m/s ! )

87   Il sistema è conservativo. Inizialmente il sistema ha solo energia potenziale elastica, alla fine solo energia potenziale della forza-peso. Il bilancio energetico fornisce la soluzione: 1 ! 𝑘𝑠 = 𝑚𝑔ℎ 2 𝑠=

2𝑚𝑔ℎ = 𝑘

2 0.02  kg 9,8  m/s ! 0,01  m = 2,0  cm 9,8  N/m

88   L’energia cinetica del saltatore viene convertita, durante il salto, in parte in energia potenziale della forza-peso, in parte in energia elastica dell’asta, la quale però viene restituita all’atleta, nel punto più alto, quando l’asta non è più piegata. Una parte dell’energia cinetica dell’atleta viene dispersa in forme di energia diversa da quella meccanica.

89   • Mentre l’oggetto si sposta la sua energia meccanica aumenta, quindi le forze non conservative compiono un lavoro positivo (da x =   −4,0 a x = 6,0 è quasi 300 J). • Sì; in questo caso l’energia meccanica diminuisce e quindi le forze non conservative compiono lavoro negativo.

90   𝑊!" =  ℰ!   − ℰ! = 𝐾! + 𝑈! − 𝐾! + 𝑈! = 32  J + 26  J − 24  J − 45  J = −11  J 13

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CAPITOLO 4 ● IL LAVORO E L’ENERGIA

91   𝑊!" =  ℰ!   − ℰ! = 𝑚𝑔ℎ! − 𝑚𝑔ℎ! = 𝑚𝑔 ℎ! − ℎ!   = 0,32  kg 9,8  m/s !  

13,3  m − 1,2  m

= 38  J

92   ℰ! = 𝑈! = 𝑊!" + ℰ! = 𝑊!" + 𝑈!   ⟹ ℎ! = =

𝑈! 𝑊!" + 𝑈! 𝑊!" = = + ℎ! 𝑚𝑔 𝑚𝑔 𝑚𝑔

12  J + 1,4  m = 8,2  m 0,18  kg 9,8  m/s !

93   1 𝑊!" = ℰ! − ℰ! = 𝐾! − 𝑈! = 𝑚𝑣!! − 𝑚𝑔ℎ!   2 1 = 0,024  kg 5,2  m ! − 9,8  m/s ! 23  m 2

= −5,1  J

94   1 1 𝑊!" = ℰ! − ℰ! = 𝐾! − 𝑈! = 𝑚𝑣!! − 𝑚𝑔ℎ! = 1,5  kg 6,3  m 2 2

!

− 9,8  m/s ! 3,2  m

= −17  J

95   !

L’energia meccanica iniziale è ℰ! = 𝑘𝐴! ; quella finale è ℰ! = ℰ! + 0,50  J !

L’ampiezza di oscillazione finale 𝐴′ è 𝐴! =

=

2ℰ! = 𝑘 0,20  m

2ℰ! + 2 0,5  J = 𝑘 !

+

𝑘𝐴! + 1,0  J = 𝑘

𝐴! +

1,0  J 𝑘

1,0  J = 0,30  m 20  N/m

96   Il sistema non è conservativo, a causa del lavoro compiuto dal motore. Dal bilancio energetico ricaviamo 1 1 1 ! 𝑊!"#"$% = ℰ! − ℰ! = 𝑚𝑣!! + 𝑚𝑔ℎ − 𝑚𝑣!! = 𝑚 𝑣 − 𝑣!! + 𝑔ℎ 2 2 2 !

= 2200  kg

1 6,0  m/s 2

!

− 10  m/s

!

14

+ 9,8  m/𝑠 ! 5,6  m/s

= 5,0×10!  J

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CAPITOLO 4 ● IL LAVORO E L’ENERGIA

97   Dal grafico, l’energia cinetica K dopo 7,5 s è 𝐾 ≈ 250  mJ, quindi 𝑣=

2𝐾 ≈ 𝑚

0,500  J   ≈ 3  m/s 0.06  kg

Dal grafico si deduce che l’energia potenziale è massima è 𝑈 = 600  mJ a 𝑡 = 0  s, perciò ℎ!"# =

𝑈 0,600  J ≈   ≈  1  m   𝑚𝑔 0,06  kg   9,8  m/s !

L’energia meccanica all’istante 𝑡 = 0  s è ℰ! = 600  mJ e all’istante 𝑡 = 3  s è ℰ! ≈ 500  mJ, quindi diminuisce di una quantità pari a ℰ! − ℰ! ≈ 100  mJ

98   1 ℎ = 𝑔𝑡 ! 2 Per la conservazione dell’energia meccanica nel vuoto: 𝑈! + 𝐾! = 𝑈! + 𝐾! 𝑈! = 𝐾! quindi 𝑚𝑔ℎ = 𝐾! → 𝐾! = 𝑚𝑔

! !

!

𝑔𝑡 ! = 𝑚 𝑔𝑡

!

!

Nel secondo esperimento definiamo 𝐸!" l’energia dissipata dalla forza non conservativa (attrito con il gas): 𝐾!! + 𝑈!! + 𝐸!" = 𝐾!! + 𝑈!! 𝑈!! + 𝐸!" = 𝐾!! !

ma 𝑈!! = 𝑈! = 𝐾! = 𝑚 𝑔𝑡

!

!

1 𝐸!" = 𝐾!! − 𝐾! = 𝐾!! − 𝑚 𝑔𝑡 2

!

= 182,1  J −

1 1,0  kg 2

9,8

m s!

2,0  s

!

= −10  J

99   •

Dalla conservazione dell’energia meccanica 1 𝑚𝑔ℎ!"# = 𝑚𝑔ℎ!"# + 𝑚𝑣 ! 2 𝑣=

•

2𝑔 ℎ!"# − ℎ!"# =

2(9,8  m/s ! )(0,5  m) = 3,1  m/s

Il lavoro delle forze d’attrito 1 𝑊!""#$"% = ℰ! − ℰ! = 𝑚𝑣!! + 𝑚𝑔ℎ!"# − 𝑚𝑔ℎ!"# 2 1 = 50  kg 2,0  m/s ! − 50  kg 9,8  m/s !   0,5  m = −145  J 2

15

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CAPITOLO 4 ● IL LAVORO E L’ENERGIA

100   •

•

•

La componente della forza peso nella direzione dello spostamento è 𝑃! = 𝑚𝑔 cos 45° = 1,5    kg 9,8  m/s ! 0,707 = 10,4  N La lunghezza s del piano inclinato è pari a 𝑠 = 2  m 2 = 2,8  m, quindi il lavoro della forza peso relativo allo spostamento lungo tutto il piano inclinato è 𝑊! = 𝑃! 𝑠 = 10,4  N 2,8  m = 29  J Il modulo della forza di attrito è 𝐹! = 𝜇𝑁, dove N è la reazione vincolare del piano inclinato 𝑁 = 𝑚𝑔 sin 45° = 1,5    kg 9,8  m/s !   0,707 = 10,4  N   𝐹! = 0,10 10,4  N = 1,04  N   →   𝑊! = 𝐹! ∙ 𝑠 = − 1,04  N 2,8  m = −2,9  J L’energia dissipata è pari al lavoro delle forze non-conservative 𝑊!" = 𝐾! + 𝑈! − (𝐾! + 𝑈! ) Per il teorema dell’energia cinetica, detto 𝑊!"! il lavoro totale compiuto sul blocco di legno 𝐾! − 𝐾! = 𝑊!"! = 𝑊! + 𝑊! = 29  J − 2,9  J ≈ 26  J e 𝑈! − 𝑈! = −𝑚𝑔ℎ = − 1,5    kg 9,8  m/s !   2,0  m = −29,4  J quindi 𝑊!" = 26  J − 29,4  J = −3,4  J Dato che 𝐾! = 0 𝐾! ≈ 26  J   → 𝑣! =

2 26  J ≈ 5,9  m/s 1,5  kg

101   Il modulo della forza d’attrito è 𝐹! = 𝜇𝑁 = 𝜇𝑚𝑔 = 0,10 12  kg 9,8  m/s ! = 11,76  N e compie sulla slitta un lavoro pari a 𝑊!""#$"% = −𝐹! 𝑥, dove x è la distanza percorsa dalla slitta. Per il teorema lavoro-energia: 𝑊!""#$"% = 𝐾! + 𝑈! − 𝐾! + 𝑈! da cui l’equazione 1 1 𝑚𝑣!! 1 12  kg 2,1  m/s ! −𝐹! 𝑥 = − 𝑚𝑣!   → 𝑥 = = 2 2 𝐹! 2 11,76  N

16

!

≈ 2,3  m

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CAPITOLO 4 ● IL LAVORO E L’ENERGIA

Problemi  generali   1   !

!

!

!

Dal bilancio energetico ℰ! = ℰ! + 𝑊!"   →   𝑚𝑣!! + 𝑚𝑔ℎ! = 𝑚𝑣!! + 𝑚𝑔ℎ! + 𝑊!" si ricava la velocità richiesta 𝑣! =

=

𝑣!! + 2𝑔 ℎ! − ℎ! + 10! m 50× 3600  s

2𝑊!" 𝑚

!

+2

9,8  m/s !

2 −3,3×10!  J −3,1  m + = 7,0  m 80  kg

2  

•

𝛥ℎ! = 𝑟   → 𝛥𝑈 = 𝑚𝑔𝛥ℎ! = 𝑚𝑔𝑟 = 30,0  kg 9,8  m/s !   2,00  m = 588  J 𝛥ℎ! = 𝑟 1 − 2 2   𝛥𝑈 = 𝑚𝑔𝛥ℎ! = 𝑚𝑔𝑟 1 − 2 2 = 30,0  kg 9,8   m s ! 2,00  m 1 − 2 2 = 172  J 𝛥ℎ! = 0  m   → ΔU = 𝑚𝑔𝛥ℎ! = 0  J

•

Nel moto di salita

• •

3   1 −𝑚𝑔ℎ − 𝐹ℎ = − 𝑚𝑣!! 2 Nella discesa: 𝑚𝑔ℎ − 𝐹ℎ = 𝐾! Sottraendo membro a membro la seconda equazione dalla prima: 1 −2𝑚𝑔ℎ = − 𝑚𝑣!! − 𝐾! 2 𝑣! = •

2 (2𝑚𝑔ℎ − 𝐾! ) = 𝑚

2 2 2,0    kg 9,8   m 𝑠 ! 3,0  m − (36,6  J) = 9,0  m/s 2,0  kg

Il modulo della forza è 𝐾! 36,6  J 𝐹 = 𝑚𝑔 − = 2,0  kg 9,8   m 𝑠 ! − = 7,4  N ℎ 3,0  m

4   Il sistema è conservativo, quindi 1 1 𝐸! = 𝐸! →   𝑚𝑣!! + 𝑚𝑔ℎ! = 𝑚𝑣!! + 𝑚𝑔ℎ! 2 2 𝑣! =

𝑣!! + 2𝑔𝛥ℎ =

90,0 m 3,6 s

!

+ 2 9,8   m s ! (20,0  m − 11,0  m) = 28,3   m s = 102  km/h

17

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CAPITOLO 4 ● IL LAVORO E L’ENERGIA

5   Il sistema è conservativo. Da un bilancio energetico si ricavano le due velocità richieste. • Nel primo caso 1 𝑚𝑣 ! + 𝑚𝑔ℎ! = 𝑚𝑔ℎ! 2 ! da cui 𝑣! =

2𝑔 ℎ! − ℎ! =

• Nel secondo caso da

! !

2𝑔𝑙 1 − cos 37° = !

𝑚𝑣!! + 𝑚𝑔ℎ! = 𝑚𝑣!! + 𝑚𝑔ℎ!        si ricava !

2𝑔 ℎ! − ℎ! + 𝑣!! =

𝑣! =

2 9,8  m/s ! 30  m 1 − cos 37° = 11  m/s

2 9,8  m/s ! 30  m 1 − cos 37° + 4,0  m/s

!

= 12  m/s

6   !

!

!

!

• ℰ! = 𝑚𝑣 ! + 𝑚𝑔ℎ =

0,80  kg 1,1   m s

!

!

+ 0,80  kg 9,8   m s

0,5  m = 4,4  J

• Se il carrellino arrivasse alla base, dal teorema lavoro-energia si avrebbe 1 1 𝑚𝑣!! = 𝑚𝑔ℎ! + 𝑚𝑣!! + 𝑊!" 2 2 dove 𝑊!" è il lavoro fatto dalle forze non-conservative, in questo caso della forza d’attrito quindi 𝑊!""#$"% = − 5  N 1,0  m = −5  J 𝑣!! =

2 2 𝑚𝑔ℎ! + 𝑊!"   + 𝑣!! = 𝑚 0,80  kg

0,80  kg 9,8   m s ! 0,5  m − 5  J + 1,1   m s

= −1,5   m! s ! m 𝑣!! non può avere un valore negativo, quindi il carrello non arriva alla base.

7   Dal teorema lavoro-energia si ha 𝑚𝑔ℎ! = 𝑚𝑔ℎ! + 𝐹! ⋅ 𝑠   𝑚𝑔 ℎ! − ℎ! = −𝐹! 𝑠 dove s è il percorso del nuotatore dentro l’acqua. Prendendo la superficie dell’acqua come riferimento per il calcolo delle quote: ℎ! − ℎ! = −5  m − 10  m = −15  m 𝐹! =−𝑚𝑔 ℎ! − ℎ!

𝑠 = −(60  kg)(9,8  m/s ! )(−15  m)/(5  m) ≈ 1800  N

𝐹! ha la stessa direzione dello spostamento e verso opposto.

18

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!

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CAPITOLO 4 ● IL LAVORO E L’ENERGIA

8   •

Dal teorema lavoro-energia si ha 1 𝑚𝑣!! = −𝑊! = −𝐹! ⋅ 𝑠   = 𝐹! 𝑠 2 𝐹! = 𝜇𝑁 = 𝜇𝑚𝑔 = 0,70 80  kg 9,8  m/s !   = 549  N 𝑠=

𝑚𝑣!! 80  kg 4,0  m/s = 2𝐹! 2(549  N)

!

≈ 1,2  m

• Il lavoro compiuto dalle forze d’attrito é 1 1 𝑊! = − 𝑚𝑣!! = − 80  kg 4,0 m s 2 2

!

= 640  J

9   Il sistemo è conservativo. 𝐾! + 𝑈! = 𝐾! + 𝑈! 1 1 𝑚𝑣!! = 𝑘𝑥 !   → 𝑥 = 2 2

𝑚𝑣!! = 𝑘

1,0  kg 1,5 m s (80 N m)

!

= 0,17  m

10   Il sistemo è conservativo. 𝐾! + 𝑈! = 𝐾! + 𝑈! 1 𝑚𝑔ℎ! = 𝑘𝑥 !   →  𝑥 = 2

2𝑚𝑔ℎ! = 𝑘

!

2 4,0  kg (9,8   m s )(0,1  m) = 16  cm (300 N m)

11   1 1 ℰ! = 𝑚𝑣!!                ℰ! =  𝑚𝑔𝑎 + 𝑘 𝑏 − 𝑎 ! 2 2 1 1 𝑚𝑣!! = 𝑚𝑔𝑎 + 𝑘 𝑏 − 𝑎 ! 2 2 𝑚𝑣!! − 2𝑚𝑔𝑎 1,0  kg 10 m s ! − 2 1,0  kg (9,8   m s ! )(0,50  m) = = 90   N m 𝑘= 𝑏−𝑎 ! 1,5  m − 0,50  m !

12   • Il sistema non è conservativo: la forza di attrito compie un lavoro pari a 𝑊!" = −𝐹𝐿 = 3,0×10! J • Dal bilancio energetico tra la partenza dalla prima collinetta e l’arrivo sulla seconda (entrambi a velocità nulla) ℰ! = ℰ! + 𝑊!"   →  𝑚𝑔ℎ! = 𝑚𝑔ℎ! + 𝑊!" ricaviamo l’altezza raggiunta  ℎ! = ℎ! +

𝑊!" 𝐹𝐿 30  N 10  m = ℎ! − = 10  m − = 9,6  m 𝑚𝑔 𝑚𝑔 70  kg 9,8  m/s ! 19

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CAPITOLO 4 ● IL LAVORO E L’ENERGIA

13   •

−𝐹 = 𝑚𝑎 da cui 𝑎 = −𝐹/𝑚 v = v0 + at con v0 = 180, 0 km/h = 50, 0 m/s F t m mv (1500 kg)(50,0 m/s) F= 0 = = 1,50 × 104 N t (50,0 s) da 𝑎 = −𝑣! /𝑡 1 1⎛ v ⎞ 1 1 s = x − x0 = v0t + at 2 = v0t − ⎜ 0 ⎟ t 2 = v0t = (50,0 m/s)(50,0 s)=1250,0 m 2 2⎝ t ⎠ 2 2 0 = v0 −

•

W = − Fs = −(1500 N)(1,25 × 103 m) = −1,88 × 106 J

14   A velocità massima costante l’accelerazione è nulla: 𝐹!"#"$% = −𝛽𝑣!"# − 𝑚𝑔 sin 𝜃 = 0 𝑃 − 𝛽𝑣!"# − 𝑚𝑔 sin 𝜃 = 0 𝑣!"# Risolvendo l’equazione di secondo grado: 𝑣!"#

𝑚𝑔 sin 𝜃 =− + 2𝛽

𝑚𝑔 sin 𝜃 2𝛽

!

!

1200  kg 9,8   m s

𝑃 + = 𝛽

2 40 kg s

1 2

!

+

40  kW = 6,5  m/s   40 kg s

15   • Dalle leggi del moto: 𝐹 cos 30°   𝐹 cos 30°   ∆𝑡   → 𝑣! = 𝑣! −   ∆𝑡 𝑚 𝑚 𝐹 cos 30°   1 𝐹 cos 30°   = 𝑣! −   ∆𝑡 ∆𝑡 + ∆𝑡 𝑚 2 𝑚

𝑣! = 𝑣! + 𝑎∆𝑡 = 𝑣! + 1 𝑠 = 𝑣! ∆𝑡 + 𝑎 ∆𝑡 2 = 𝑣! ∆𝑡 −

!

1 𝐹 cos 30°   ∆𝑡 2 𝑚

!

= 20  m/s 3,0  s −

!

1 2 3  N ( 3 2)   3,0  s 2 3,0  kg

!

= 56  m

• Usando la definizione, il lavoro risulta uguale a 𝑊 = 𝐹 ∙ 𝑠 = 𝐹𝑠 cos 30° = 𝐹 cos 30° 𝑣! ∆𝑡 −

1 𝐹 cos 30°   ∆𝑡 2 𝑚

!

m 1 2× 3  N × 3 2   3,0  s − 3,0  s ! = 1,7×10! J s 2 3,0  kg  Usando il teorema dell’energia cinetica si ottiene, naturalmente, lo stesso risultato: = 2 3  N

3 2

20

1 1 1 ! 𝑊 = 𝑚 𝑣!! − 𝑣!! = 𝑚 𝑣!! − 𝑣! − 𝑎∆𝑡 = 𝑚 𝑣! 𝑎∆𝑡 − 𝑎∆𝑡 2 2 2 1 1 𝐹 cos 30°   = 𝑚𝑎∆𝑡 𝑣! − 𝑎∆𝑡 = 𝐹 cos 30° ∆𝑡 𝑣! − ∆𝑡 2 2 𝑚 = 2 3  N ( 3 2) 3,0  s

20

! !

−

! ! !  ! ( ! !)   !,!  !"

!

20

3,0  s

!

= 1,7×10!  J J © Zanichelli 2015

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CAPITOLO 4 ● IL LAVORO E L’ENERGIA

16   •

𝐹! = 𝜇! 𝐹!  con    𝐹! = 𝑚𝑔   𝑊 = −𝜇! 𝑚𝑔𝑠

1 𝑊 = 𝐾! − 𝐾! = −𝐾! = − 𝑚𝑣!! 2 𝑣!! (100   m! 𝑠 ! ) 𝜇! = = = 0,51 2𝑔𝑠 2(9,8   m s ! )(10  m) • 𝐹! = 𝑚𝑎   →   −𝜇! 𝑚𝑔 = 𝑚𝑎   → 𝑎 = −𝜇! 𝑔 𝑣 = 𝑣! − 𝜇! 𝑔𝑡 dove t è il tempo necessario affinché la velocità sia 1/8 di quella iniziale: 𝑣! = 𝑣! − 𝜇! 𝑔𝑡 8   7𝑣! 7(10   m s) 𝑡= = = 1,8  s 8𝜇! 𝑔 8×0,51(9,8   m s ! )

17   A causa della forza di attrito il sistema non è conservativo. Il lavoro della forza di attrito 𝐹! è 𝑦!"# 𝑦!"# 𝑊!" = −𝐹! = 𝜇! 𝑚𝑔 cos 30° sin 30° sin 30° Dal bilancio energetico 1 𝑦!"# ℰ! = ℰ! + 𝑊!" → 𝑈! = 𝐾! + 𝑊!" →  𝑚𝑔𝑦!"# = 𝑚𝑣!! − 𝜇! 𝑚𝑔 cos 30° sin 30° 2 Semplificando si ricava 5,0  m/s ! 𝑣!! 2𝑔 2× 9,8  m/s ! 𝑦!"# = = = 0,75  m cos 30° cos 30° 1 + 𝜇! sin 30° 1 + 0,4× sin 30°

18   1 1 𝑘𝛥𝑥 ! = 𝑚𝑣 ! 2 2 𝑘 𝑚 Il moto è uniformemente accelerato lungo l’asse y e rettilineo uniforme lungo l’asse x del sistema di riferimento scelto: 1 𝑦 = ℎ −   𝑔𝑡 ! → 2 𝑥 = 𝑣𝑡   𝑣 = 𝛥𝑥

𝑡=

2ℎ 𝑔

𝑥 = 𝛥𝑥

𝑘 2ℎ 2ℎ𝑘 = 𝛥𝑥 = 0,10  m 𝑚 𝑔 𝑚𝑔

2(1,0  m)(3,0   N m) = 25  𝑐m (0,1  kg)(9,8   m s ! )

21

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CAPITOLO 4 ● IL LAVORO E L’ENERGIA

19   • Il lavoro delle forze non conservative è dato dalla differenza tra l’energia meccanica nel punto in cui l’oggetto si trova e l’energia meccanica iniziale (160 J). Il grafico è

• Dal bilancio energetico si ottiene che la variazione dell’eventuale energia potenziale 𝑈 associata alla forza conservativa è ∆𝑈 = −∆𝐾 + 𝑊!" Dal momento che ∆𝐾 e 𝑊!" non sono uguali, ∆𝑈 non è zero, per cui è presente una forza conservativa.

20   !

La lunghezza dello scivolo è  𝐿 = 𝑅 ! 𝜋 1 ! 𝑚𝑔ℎ − 𝐹  𝑅 = 𝑚𝑣 2 2 Nel caso 𝜋 𝜋𝐹 𝑣 ≠ 0, 𝑚𝑔ℎ − 𝐹  𝑅 > 0   → 𝑚 > 2 2𝑔 𝜋 49  N 𝑚> = 7,9  kg 2(9,8   m s ! )

21   Il sistema è conservativo. 1 𝑚𝑔ℎ! = 𝑚𝑔ℎ! + 𝑚𝑣!! 2 1 𝑚𝑔𝑙 1 − 2 2 = 𝑚𝑣!! 2 𝑣! =

2𝑔𝑙 1 − 2 2 = 9  m/s

22

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CAPITOLO 4 ● IL LAVORO E L’ENERGIA

22   Nelle ipotesi date, dalla conservazione dell’energia si ricava la velocità v dell’uovo nell’istante in cui raggiunge il materassino. 1 𝑚𝑔ℎ = 𝑚𝑣 !   → 𝑣 = 2𝑔ℎ 2 Ipotizzando che la forza frenante esercitata dal materassino sull’uovo sia costante, il moto è uniformemente accelerato 𝑣 1 1 1 𝑎 =   →  𝑠 = 𝑎𝑡 ! = 𝑣𝑡 = 2 9,8   m s ! (4,0  m) = 2,0×10!!  m 𝑡 2 2 2

23   Il sistema è non conservativo e dal teorema lavoro-energia: ℰ! − ℰ! = 𝑊!" 𝑊!" , è il lavoro fatto dalle forze non conservative, in questo la forza d’attrito: 𝑊!" = −𝜇𝑚𝑔(cos 20°)𝑠 dove s lo spostamento del sistema scimmietta+carrello lungo il piano inclinato. Quindi: 1 𝑚𝑔𝑠 (sin 20°) − 𝑚𝑣!! = −𝜇𝑚𝑔(cos 20°)𝑠 2 𝑣!! 3,0   m s ! 𝑠= = = 0,87  m 2𝑔(sin 20° + 𝜇 cos 20°) 2(9,8   m s!  )(0,34 + 0,20×0,94) Quindi il carrello con la scimmietta si ferma a un’altezza h pari a ℎ = 𝑠× sin 20° = 30  cm

24   • La forza di attrito dinamico 𝐹! = 𝜇! 𝑚𝑔 varia con la posizione, da un valore minimo 𝐹!,!"# = 𝜇!,!"# 𝑚𝑔 = 0,1 1,0  kg 9,8  m/s ! = 0,98  N a un valore massimo 𝐹!,!"# = 𝜇!,!"# 𝑚𝑔 = 0,3 1,0  kg 9,8  m/s ! = 2,9  N

• Il lavoro compiuto dalla forza di attrito è l’area sotto il grafico (con il segno negativo): 2,9  N + 0,98  N 1,6  m 𝑊!" = − = −3,1  J 2 • Dal bilancio energetico 1 1 ℰ! = ℰ! + 𝑊!"   →   𝑘𝑠 ! = 𝑚𝑣 ! + 𝑊!" 2 2 si ricava la massima compressione 𝑠 della molla: 𝑠=

2 1 𝑚𝑣 ! + 𝑊!" = 𝑘 2

2 1 1,0  kg 2,8  m/s 160  N/m 2

23

!

+ −3,1  J

= 0,10  m

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Amaldi L’Amaldi per i licei scientifici.blu, Vol. 1

CAPITOLO 4 ● IL LAVORO E L’ENERGIA

25   •

Dalla conservazione dell’energia: 𝐸! = 𝐸!      si ricava: 1 1 𝑈! + 𝑚𝑣!! = 𝑈! + 𝑚𝑣!! 2 2 da cui si ottiene la velocità in B: 𝑣! =

2 𝑈 − 𝑈! + 𝑣!! = 𝑚 !

2 × 20  J − 40  J + 6,0  m/s 4,0  kg

!

= 5,1  m/s

• Il sistema non è conservativo e l’oggetto arriva in 𝑥! = 8,0  m con velocità nulla; il modulo di 𝐹! si ricava da un bilancio energetico: ℰ! = ℰ! + 𝑊!" = ℰ! − 𝐹! 𝑥! − 𝑥! 1 1 𝑈! + 2 𝑚𝑣!! − 𝑈! 20  J + 2 4,0  kg 6,0  m/s ℰ! − ℰ! = = 𝐹! = 𝑥! − 𝑥! 𝑥! − 𝑥! 4,0  m

!

− 40  J

= 13  N

26   Gli allungamenti iniziale e finale della molla sono 𝑠! = 𝐿 − 𝐿! = 12  cm  e  𝑠! = 𝐿! − 𝐿! = −8  cm e le energie potenziali iniziale e finale sono 1 1 𝑈! = 𝑘𝑠!! , 𝑈! = 𝑘𝑠!! 2 2 Dal bilancio energetico ricaviamo il lavoro della forza di attrito 𝑊!" = 𝑈! − 𝑈! e da questo il modulo della forza di attrito 𝐹 1 ! 1 ! 𝑘𝑠! − 2 𝑘𝑠! 𝑊!" 1 𝑠!! − 𝑠!! 1 1 2 𝐹= = = 𝑘 = 𝑘 𝑠! + 𝑠! = 120  N/m 0,04  m = 2×10  N 𝑠! − 𝑠! 𝑠! − 𝑠! 2 𝑠! − 𝑠! 2 2

27   −𝜇! 𝑚𝑔 = 𝑚𝑎   → 𝑎 = −𝜇! 𝑔 0 = 𝑣! − 𝜇! 𝑔𝛥𝑡   →   𝜇! =

𝑣! 𝑔𝛥𝑡

1 𝑊 = 𝐾! − 𝐾!   →   −𝜇! 𝑚𝑔𝑠 = − 𝑚𝑣!! 2 Sostituendo 𝜇! = 𝑣! /(𝑔𝛥𝑡), si ha 𝑣! =

2𝑠 2(3,0  m) = = 6,0   m s 𝛥𝑡   (1,0  s)

24

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CAPITOLO 4 ● IL LAVORO E L’ENERGIA

28   L’energia potenziale totale è la somma dell’energia elastica e di quella della forza-peso: 1 𝑈!"! = 𝑘𝑦 ! + 𝑚𝑔𝑦 2 Applicando la tecnica algebrica del completamento del quadrato si arriva all’espressione richiesta: 1 1 𝑚𝑔 1 𝑚𝑔 𝑚𝑔 𝑦 = 𝑘 𝑦! + 2 𝑦+ 𝑈!"! = 𝑘𝑦 ! + 𝑚𝑔𝑦 = 𝑘 𝑦 ! + 2 2 2 𝑘 2 𝑘 𝑘 1 𝑚𝑔 = 𝑘 𝑦+ 2 𝑘

!

!

−

𝑚𝑔 𝑘

!

1 𝑚! 𝑔! − 2 𝑘

L’energia potenziale totale è rappresentata da una parabola.

25

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CAPITOLO 4 ● IL LAVORO E L’ENERGIA

Test   1  D   2  B   3  A   4  C   5  A   6  B   7  A   8  E   9  E   10  E   11  A   12  B   13  A   14  B   15  C   16  C   17  C   18  A  e  C   19  C   20  A   21  C   22  C   23  A   24  E  

25  C   26  C   26

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