Calculo I [PDF]

Zitiervorschau

´Indice general 1. Funciones 1.1. Funci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1. Funci´on Real de variable real . . . . . . . . . ´ 1.1.2. Algebra de Funciones . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3. Tipos de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.4. Composici´on de Funciones . . . . . . . . . . . 1.1.5. Gr´afica de una Funci´on . . . . . . . . . . . . . 1.1.6. Funciones Polin´omicas . . . . . . . . . . . . . 1.1.7. Teorema Fundamental del Algebra . . . . . . 1.1.8. Ceros complejos de polinomios con coeficientes 1.2. Resoluci´on de Inecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1. Axiomas de Orden . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2. Propiedades de las Desigualdades . . . . . . . 1.2.3. Inecuaciones Polin´omicas . . . . . . . . . . . . 1.2.4. Inecuaciones Racionales . . . . . . . . . . . . 1.3. Valor Absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1. Propiedades del valor absoluto . . . . . . . . . 1.3.2. Ecuaciones que involucran valor absoluto . . . 1.3.3. Inecuaciones que involucran valor absoluto . . 1.4. Modelando con Funciones . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1 1 2 7 10 11 14 17 18 19 22 22 22 23 25 27 28 29 31 33

2. Limites y Continuidad 2.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Limite de Funciones . . . . . . . . . . 2.2.1. Definici´on  − δ de L´ımite . . 2.2.2. Ejemplos de L´ımites Mediante 2.3. Unicidad del L´ımite . . . . . . . . . . 2.4. L´ımites y Acotaci´on . . . . . . . . . . 2.5. C´alculo de L´ımites . . . . . . . . . . 2.5.1. Algebra de L´ımites . . . . . . 2.5.2. Formas Indeterminadas . . . . 2.6. L´ımites y Valor Absoluto . . . . . . . 2.7. Extensiones del Concepto de L´ımite .

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37 37 37 38 39 43 44 45 45 48 51 52

iii

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . la Definici´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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´ AREA DE CIENCIAS BASICAS ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS NOTAS DE CLASE CALCULO DIFERENCIAL ........................................................................................ 2.7.1. L´ımites Laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.8. Tipos de L´ımites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.8.1. L´ımites Infinitos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.8.2. L´ımites en el Infinito. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2.9. As´ıntotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 2.9.1. As´ıntotas Verticales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 2.9.2. As´ıntotas Horizontales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 2.9.3. As´ıntotas Oblicuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 2.10. Funciones Continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 2.10.1. Discontinuidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 2.10.2. Operaciones con Funciones Continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 2.10.3. Continuidad de las Funciones Elementales . . . . . . . . . . . . . . 78 2.10.4. Regla del Emparedado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 2.10.5. Funciones Trigonom´etricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 2.11. Teorema de Bolzano para las funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . 84 2.12. Teorema del valor intermedio para funciones continuas . . . . . . . . . . . 85 2.13. Propiedad de los Valores Extremos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 3. Derivada 3.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. La recta tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1. Idea intuitiva de recta tangente. . . . . . . . 3.2.2. Rectas tangentes no intuitivas . . . . . . . . 3.2.3. La pendiente de la Recta Tangente . . . . . 3.3. La derivada de una funci´on . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1. Derivadas Laterales . . . . . . . . . . . . . 3.3.2. Derivadas de Orden Superior . . . . . . . . 3.3.3. Rectas Tangentes . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Derivada y Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . 3.5. Reglas b´asicas de derivaci´on . . . . . . . . . . . . . 3.6. Derivada de Funciones Trigonom´etricas . . . . . . 3.7. Regla de la cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8. Aplicaciones de la regla de la cadena . . . . . . . . 3.8.1. Derivaci´on impl´ıcita . . . . . . . . . . . . . 3.8.2. Raz´on de cambio . . . . . . . . . . . . . . . 3.9. Derivadas de funciones exponenciales y logar´ıtmicas 3.10. Derivadas de Funciones Trigonom´etricas Inversas . 3.11. Derivaci´on logar´ıtmica . . . . . . . . . . . . . . . . 3.12. Formas indeterminadas. Regla de L’Hˆopital. . . . .

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87 87 87 88 88 89 90 93 94 96 99 100 105 105 107 107 109 113 114 117 118

4. Aplicaciones de la Derivada 125 4.1. Extremos Relativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 4.2. Teorema del Valor Medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 J. Rodriguez C.

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´ AREA DE CIENCIAS BASICAS ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS NOTAS DE CLASE CALCULO DIFERENCIAL ........................................................................................ 4.3. Aplicaciones del Teorema del valor medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 4.3.1. Monoton´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 4.3.2. Derivadas y monoton´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 4.3.3. Esquema para estudiar el crecimiento de una funci´on . . . . . . . . 133 4.3.4. Extremos absolutos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 4.4. Criterio de la derivada segunda para los extremos . . . . . . . . . . . . . . 136 4.4.1. Generalizaci´on de las Condiciones Suficientes . . . . . . . . . . . . . 137 4.4.2. Problemas de Optimizaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 4.5. Concavidad y Convexidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 4.5.1. Esquema para estudiar la curvatura de una funci´on . . . . . . . . . 144 4.6. Representaci´on Gr´afica de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 Bibliograf´ıa

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Cap´ıtulo 1 Funciones 1.1.

Funci´ on

Uno de los conceptos m´as importantes en matem´atica es el de funci´on. El matem´atico franc´es Ren´e Descartes utilizo el t´ermino funci´on por primera vez en 1637 para designar una potencia xn de la variable x. En 1694 el matem´atico alem´an G. W. Leibnitz utiliz´o el t´ermino para referirse a varios aspectos de una curva, como su pendiente. Aunque el concepto de funci´on, en su origen, est´a relacionado con aquellos fen´omenos naturales en los que dos o m´as variables est´an sujetas a cambios que se influyen entre s´ı, no es hasta el siglo XIX cuando Lejeune Dirichlet (1805-1859) define el concepto de funci´on como una relaci´on entre dos variables, definici´on que se acepta hasta hoy d´ıa. Las funciones permiten describir el mundo real en t´erminos matem´aticos, como por ejemplo, las variaciones de la temperatura, el movimiento de los planetas, las ondas cerebrales, los ciclos comerciales, el ritmo card´ıaco, el crecimiento poblacional, etc. En este cap´ıtulo se tratar´an las funciones m´as usuales en la modelizaci´on de fen´omenos en las distintas ciencias y en la vida diaria. Definici´ on 1.1 (Definici´ on de Funci´ on). Una funci´on f de un conjunto A a un conjunto B es una regla que asocia a cada elemento x de un conjunto A, no vac´ıo, con exactamente un elemento, llamado f (x), de B. El conjunto A que aparece en la definici´on de funci´on recibe el nombre de dominio y el conjunto B recibe el nombre de codominio o recorrido. El elemento y ∈ B asociado con x por la funci´on recibe el nombre de imagen de x. La caracter´ıstica esencial de una funci´on es que cada elemento x ∈ A tiene una y sola una imagen en B. De este modo no puede haber dos elemento diferentes en B asociados con un solo elemento x del dominio. Pueden haber elementos en B que no sean imagen de ning´ un elemento de A. Cabe hacer menci´on que no todos los matem´aticos definen el codominio como se ha hecho aqu´ı, algunos definen el recorrido como el subconjunto de B que contiene todas las im´agenes de los elementos de A; en esta terminolog´ıa B no tiene nombre especial. En este 1

´ AREA DE CIENCIAS BASICAS ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS NOTAS DE CLASE CALCULO DIFERENCIAL ........................................................................................ texto trabajaremos con un tipo de funciones llamadas funciones reales de una variable real. Ejemplos 1.1. Si el conjunto de pares ordenados n

o
b2 c2
a2 + , 3, a + b , 3, −c f = 1, a , 2, + bc ac ab representa una funci´on determine el valor de f (2). Soluci´ on.



Dado que f (3) =

a+b , entonces a + b = −c por ser f una funci´on. As´ı que −c f (2) =

a2 b2 c2 + + bc ac ab

Reemplazando c por −(a + b) se tiene a2 b2 (a + b)2 − + b(a + b) a(a + b) ab 2 2 2 a b a + b2 =− − + +2 b(a + b) a(a + b) ab −a3 − b3 + a3 + a2 b + b2 a + b3 = +2 ab(a + b) ab(a + b) +2 = ab(a + b) f (2) = 3

f (2) = −

Ejercicios 1.1. 1- Sea f = {(x, 3), (2, x2 ), (1, 4), (2, 1)} una funci´on encuentre el valor de x. 2- Determine el valor de a y b si el conjunto de pares ordenados f = {(2, 5), (−1, 3), (2, 2a − b), (−1, b − a), (a + b2 , a)} representa una funci´on.

1.1.1.

Funci´ on Real de variable real

Definici´ on 1.2. Funci´ on real de variable real Una funci´on de variable real es una regla que a cada n´ umero real x de un conjunto D ⊆ R, le asocia un u ´nico n´ umero real f (x), llamado imagen de x bajo f . Una funci´on tal se denota f : D ⊆ R 7→ R. J. Rodriguez C.

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´ AREA DE CIENCIAS BASICAS ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS NOTAS DE CLASE CALCULO DIFERENCIAL ........................................................................................ Dominio y Codominio Definici´ on 1.3. Dominio de una funci´ on Se llama dominio de una funci´on a el conjunto de los valores reales en los cuales la funci´ on toma valores reales. Si x es cualquier elemento del dominio D existe entonces un elemento y del codominio C asociado con x bajo la funci´on f . Para indicar lo anterior puede escribirse y = f (x) que se lee y es la imagen de x bajo la funci´on f . A la derecha se escribe el s´ımbolo de la funci´on y luego entre par´entesis el s´ımbolo que representa el elemento t´ıpico de D y a la izquierda se escribe el s´ımbolo que designa la imagen la imagen del elemento de C. Los s´ımbolos est´an unidos por el s´ımbolo de igualdad. Este simbolismo suele utilizarse para designar toda la funci´on f de modo que puede hablarse de la funci´on y = f (x), y tiene dos prop´ositos diferentes: Designa la funci´on completa f y define que y es la imagen de alg´ un punto x en particular. Este doble uso normalmente no causa confusi´on pero en ciertos casos puede suceder y por lo tanto debe acudirse a alg´ un s´ımbolo especial para designar toda la funci´on. Ejemplos 1.2. Determinar el dominio de cada una de las siguientes funciones: √ 1. f (x) = 7 + x √ Df = {x f (x) ∈ R} = {x 7 + x ∈ R} = {x 7 + x ≥ 0} = {x x ≥ −7} = [−7, +∞) 2. g(x) =

x2 x2 − 16 Dg = {x g(x) ∈ R} = {x x2 − 16 6= 0} = R − {x x2 − 16 = 0} = R − {x x = ±4} = (−∞, −4) ∪ (−4, 4) ∪ (4, +∞)

3. h(x) =

x2 + x + 1 x2 − 7x + 12 Dh = {x h(x) ∈ R} = {x x2 − 7x + 12 6= 0} = {x (x − 3)(x − 4) 6= 0} = R − {3, 4} = (−∞, 3) ∪ (3, 4) ∪ (4, +∞) √

4. j(x) =

x2

5−x − 3x + 2

√ Dj = {x j(x) ∈ R} = {x 5 − x ∈ R y x2 − 3x + 2 6= 0} = {x 5 − x ≥ 0 y (x − 2)(x − 1) 6= 0} = (−∞, 5] − {1, 2} = (−∞, 1) ∪ (1, 2) ∪ (2, 5]

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´ AREA DE CIENCIAS BASICAS ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS NOTAS DE CLASE CALCULO DIFERENCIAL ........................................................................................ √ √ 5. G(x) = x + 6 + 8 − x Dh = {x G(x) ∈ R} = {x x + 6 ≥ 0 y 8 − x ≥ 0} = [−6, ∞) ∩ (−∞, 8] = [−6, 8] Ejercicios 1.2.

1- Sea f (x) =

√ 1 5 − x+ √ una funci´on real de variable real determine su dominio. x−2

2- Hallar el dominio de

x2 + 2x + 1 f (x) = √ 9 − 4x2 p √ 3- Encuentre el dominio de f (x) = 4 − 4 − x √ 4- Determine el dominio de f (x) = 5x − x2 x+3 x−6 + 2 − 5x + 4 x − 3x + 2 r r 6 1−x 6- Encuentre el dominio de f (x) = + 6−x 1 − 2x − x2 √ √ 7- Determine el dominio de f (x) = 9 − x2 + x2 − 4 5- Hallar el dominio de f (x) =

x2

8- Encuentre el dominio de f (x) =

1 x2 + 1 +√ 2 x − 7x + 12 6 − x2

9- Hallar el dominio de f (x) = |x + 4| − |x − 4| 10- Para cada una de las siguientes funciones determine el dominio. i) f (x) = 2 ii) f (x) = 2x − 1 iii) f (x) = x2 − 6x + 5 iv) f (x) = x2 − 4x + 5 √ v) f (x) = 3 + x − 1 √ vi) f (x) = 2 − x − 1 √ vii) f (x) = 1 − 4x − x2 + 5 √ viii) f (x) = 4 + 8 − x2 + 2x √ ix) f (x) = 2x + 1 + 3 J. Rodriguez C.

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´ AREA DE CIENCIAS BASICAS ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS NOTAS DE CLASE CALCULO DIFERENCIAL ........................................................................................ √ x) f (x) = 4 − 2x Definici´ on 1.4 (Codominio). El rango de f es el conjunto de todos los posibles valores de f (x) conforme x cambia en todo su dominio. Ejemplos 1.3. Determinar el codominio o rango de cada una de las siguientes funciones: √ 1. f (x) = 7 + x Rf = {f (x) x ∈ Df } = {f (x) f (x) ≥ 0} = [0, ∞) 2. g(x) =

1 x−3 Rg = {g(x) x ∈ Dg } = {g(x) g(x) 6= 0} = R − {0}

Ejemplos 1.4. Las curvas de los tres siguientes ejemplos son gr´aficas de funciones y los puntos A y B no pertenecen a dichas gr´aficas. Determinar dominio, rango y el n´ umero de ra´ıces de cada funci´on a)

Soluci´ on El dominio de la funci´on y = f (x) es: Df = (−1, 7) El rango de la funci´on y = f (x) es: Rf = (−7, 15) La funci´on y = f (x) tiene s´olo una ra´ız, que es negativa.

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´ AREA DE CIENCIAS BASICAS ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS NOTAS DE CLASE CALCULO DIFERENCIAL ........................................................................................ b)

Soluci´ on El dominio de la funci´on y = f (x) es: Df = (−3; 8] − {7}. El rango de la funci´on y = f (x) es: Rf = (−5; 15] − {5}. La funci´on y = f (x) tiene 3 ra´ıces, una negativa y dos positivas. c)

J. Rodriguez C.

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´ AREA DE CIENCIAS BASICAS ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS NOTAS DE CLASE CALCULO DIFERENCIAL ........................................................................................

Soluci´ on  1 , 4 ∪ (4; 7]. El dominio de la funci´on y = f (x) es: Df = 2 El rango de la funci´on y = f (x) es: Rf = [−1, 9]. La funci´on y = f (x) tiene una ra´ız x 6= 4. 

1.1.2.

´ Algebra de Funciones

La mayor´ıa de las funciones que vamos a usar en este curso pertenecen a la clase de las funciones elementales, se llaman as´ı porque pueden obtenerse a partir de ciertos tipos de funciones bien conocidas realizando las operaciones de suma, producto, cociente y composici´on de funciones. Definici´ on 1.5. Dadas dos funciones f, g : A → R, se define su funci´on suma ( producto) como la funci´on que a cada n´ umero x ∈ A asigna el n´ umero real f (x) + g(x) (f (x)g(x)). Dicha funci´on se representa con el s´ımbolo f + g (f g). f como la funci´on que a cada n´ umero x ∈ A con g(x) 6= 0 g f (x) f asigna el n´ umero real . Dicha funci´on se representa por . Tambi´en podemos mulg(x) g tiplicar una funci´on f por un n´ umero α para obtener la funci´on αf que asigna a cada x ∈ A el n´ umero αf (x). El producto de un n´ umero por una funci´on puede considerarse como un caso particular del producto de funciones, pues se identifica el n´ umero α con la funci´on constante que toma como u ´nico valor α. Se define la funci´on cociente de

Proposici´ on 1.1. Cualesquiera sean las funciones f ; g; h : A → R se verifican las siguientes propiedades: Asociativa. (f + g) + h = f + (g + h); Conmutativa. f + g = g + f ;

(f g)h = f (gh)

f g = gf

Distributiva. (f + g)h = f h + gh Ejemplos 1.5. 1.- Dadas las funciones f (x) = x2 − 9; g(x) =

√

2x + 15 y h(x) =

√

10 − 3x, obtener:

i) (f + g)(3) √ √
f + g (3) = f (3) + g(3) = 0 + 21 = 21 J. Rodriguez C.

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´ AREA DE CIENCIAS BASICAS ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS NOTAS DE CLASE CALCULO DIFERENCIAL ........................................................................................ ii) (gf )(−2) 

 √ √ gf (−2) = g(−2)f (−2) = −4 + 15(4 − 9) = −5 11

iii) (gh)(4) 

iv)

h f

 √ √ gh (4) = g(4)h(4) = 8 + 15 10 − 12 √ √ = 23 −2

No existe

(2) √ √ h 10 − 6 4 h(2) 2 (2) = = = =− f f (2) 4−9 −5 5

2.- Determinar:

i) (f + g)(x) 



f + g (x) = f (x) + g(x) = x2 − 9 +

√

2x + 15

ii) (gf )(x) 

 √ gf (x) = g(x)f (x) = 2x + 15(x2 − 9)

iii) (gh)(x) 

iv)

h f

 √ √ gh (x) = g(x)h(x) = 2x + 15 10 − 3x

(x) h

h(x) (x) = = f f (x)

√

10 − 3x x2 − 9

3.- Determinar el dominio de:

i) f , g y h Df = {x | f (x) ∈ R} = R J. Rodriguez C.

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´ AREA DE CIENCIAS BASICAS ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS NOTAS DE CLASE CALCULO DIFERENCIAL ........................................................................................

 Dg = {x | g(x) ∈ R} = {x | 2x + 15 ≥ 0} =

15 − , +∞ 2

 Dh = {x | h(x) ∈ R} = {x | 10 − 3x ≥ 0} = {x | 10 ≥ 3x} =



10 − ∞, 3



ii) g + f El dominio de la funci´on g + f es     15 15 Dg+f = Dg ∩ Df = − , +∞ ∩ R = − , +∞ 2 2 iii) gh El dominio de la funci´on gh es:       15 10 15 10 Dgh = Dg ∩ Dh = − , +∞ ∩ − ∞, = − , 2 3 2 3 iv)

h f  D h = Dh ∩ Df − {x | f (x) = 0} =

   10 10 − ∞, ∩ R − {−3, 3} = − ∞, − {−3, 3} 3 3

f 

10 = (−∞, −3) ∪ (−3, 3) ∪ 3, 3



Ejercicios 1.3. Algebra de Funciones 1.- Dadas las funciones f = {(3, 2), (1, 0), (2, 3), (4, 1)} y g = {(6, 3), (1, 2), (4, 0), (3, 1)}.

Determine la funci´on f 2 +

f . g

2.- Si f + g = {(1, 2), (3, 4), (3, 6)} y f − g = {(1, 2), (2, 2), (3, 2)}. Determine f 2 − g 2 3.- Dadas las funciones :

i) f (x) = 2 ii) g(x) = 2x − 1 iii) h(x) = x2 − 6x + 5 J. Rodriguez C.

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L. Salas M.

´ AREA DE CIENCIAS BASICAS ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS NOTAS DE CLASE CALCULO DIFERENCIAL ........................................................................................ iv) t(x) = x2 − 4x + 5 √ v) L(x) = 2 + x − 1 √ vi) G(x) = 2 − x − 1 √ vii) F (x) = 1 − 4x − x2 + 5 √ viii) R(x) = 4 + 8 − x2 + 2x √ ix) B(x) = 2x + 1 + 3 √ x) A(x) = 4 − 2x Hallar el dominio de cada una de ellas, Df g , D f  , D f h  , D h  , D hL  , g g t t D L  , D G  , D F R  , D A  y D B  G F B B A

1.1.3.

Tipos de Funciones

Definici´ on 1.6. Una funci´on f es par si f (−x) = f (x) Una funci´on f es impar si f (−x) = −f (x) Ejemplos 1.6. R Probar que f (x) = x4 + 1 es una funci´on par. En efecto, f (−x) = (−x)4 + 1 = x4 + 1 = f (x) entonces f es par. R Probar que f (x) = x + x3 es una funci´on impar. En efecto, f (−x) = (−x) + (−x)3 = −x − x3 = −(x + x3 ) = −f (x) entonces f es impar. R La funci´on f es par, y su gr´afica para x > 0 es la figura siguiente: a) Complete la gr´afica de f . b) Obtenga su dominio, ra´ıces y rango.

Soluci´ on a) La gr´afica completa es: b) Su dominio es Df = (−∞, −2) ∪ (2, ∞) Su rango Rf = {−4} ∪ [−2, 4] Sus ra´ıces: −8, -4, 4 y 8. J. Rodriguez C.

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L. Salas M.

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1.1.4.

Composici´ on de Funciones

Definici´ on 1.7. Sean f : A → R y g :
B → R funciones con f (A) ⊆ B. La funci´on h : A → R dada por h(x) = g f (x) para todo x ∈ A se llama composici´on de g con f y se representa por h = gof . La funci´on gof , solamente est´a definida cuando la imagen de f est´a contenida en el dominio de g. La composici´on de funciones es asociativa. Ejemplos 1.7. Composici´ on de Funciones 1.- Dadas las funciones f (x) =

√

12 − x y g(x) = |8 − 4x|, obtener el dominio de f ;

(f og)(x) y el dominio de f og.

Soluci´ on El dominio de f es: Df = {x | f (x) ∈ R} = {x | 12 − x ≥ 0} = {x | x ≤ 12} = (−∞, 12] La composici´on de (f og)(x) es (f og)(x) = f [g(x)] = f (|8 − 4x|) = J. Rodriguez C.

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p p 12 − |8 − 4x| = 2 3 − |2 − x| L. Salas M.

´ AREA DE CIENCIAS BASICAS ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS NOTAS DE CLASE CALCULO DIFERENCIAL ........................................................................................ El dominio de f og es Df og = {x ∈ Dg | g(x) ∈ Df } = {x ∈ Dg | g(x) ∈ (−∞, 12]} = {x ∈ Dg | g(x) ≤ 12} = {x ∈ Dg | |8 − 4x| ≤ 12} = {x ∈ Dg | − 12 ≤ 8 − 4x ≤ 12} = {x ∈ Dg | − 12 − 8 ≤ −4x ≤ 12 − 8} = {x ∈ Dg | − 20 ≤ −4x ≤ 4} −20 4 = {x ∈ Dg | ≥x≥ } = {x ∈ Dg | 5 ≥ x ≥ −1} −4 −4 = [−1, 5]

2.- Dadas las funciones f (x) =

√

2

9 − x, g(x) = |x − 4| y h(x) = x − 4, obtener

(f og)(x) as´ı como los dominios de las funciones f ,h y f og.

f  h

y

Soluci´ on √ f (x) 9−x (x) = = 2 h h(x) x −4

f 

(f og)(x) = f [g(x)] = f [|x − 4|] =

p 9 − |x − 4|

Df = {x | f (x) ∈ R} = {x | 9 − x ≥ 0} = {x | x ≤ 9} = (−∞, 9] Dh = R Df og = {x ∈ Dg | g(x) ∈ Df } = {x ∈ Dg | g(x) ∈ (−∞, 9]} = {x ∈ Dg | g(x) ≤ 9} = {x ∈ Dg | |x − 4| ≤ 9]} = {x ∈ Dg | − 9 ≤ x − 4 ≤ 9} = {x ∈ Dg | − 9 + 4 ≤ x ≤ 9 + 4} = [−5, 13]

3.- Si f (x) = x2 +4x+1, encuentre dos funciones g para las cuales (f og)(x) = x2 +6x+6.

Soluci´ on Tenemos:  2   (f og)(x) = f [g(x)] = g(x) + 4 g(x) + 1 y tambi´en f [g(x)] = x2 + 6x + 6 luego 

g(x)

2

J. Rodriguez C.

  2  + 4 g(x)] + 1 = x2 + 6x + 6 ⇔ g(x) + 4 g(x)] − x2 − 6x − 5 = 0 12

L. Salas M.

´ AREA DE CIENCIAS BASICAS ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS NOTAS DE CLASE CALCULO DIFERENCIAL ........................................................................................ Usando a = 1, b = 4 y c = −x2 − 6x − 5 para resolver la cuadr´atica obtenemos: p √ −4 ± 16 − 4(−x2 − 6x − 5) −4 ± 4x2 + 24x + 36 g(x) = = 2 2 √ √ −4 ± 2 x2 + 6x + 9 = = −2 ± x2 + 6x + 9 2 p = −2 ± (x + 3)2 = −2 ± |x + 3| y de aqu´ı tenemos las dos soluciones: p g1 (x) = −2 ± (x + 3)2 = −2 + |x + 3| y

g2 (x) = −2 − |x + 3|

Ejercicios 1.4. Composici´ on de Funciones 1.- En cada uno de los siguientes ejercicios

a. Hallar (f og)(x) y su dominio para cada par de funciones. √ √ i) f (x) = 1 − x2 , g(x) = x √ x2 + 2 , g(x) = ii) f (x) = x2 − x − 2 x2 √ 1 x2 + x − 6 iii) f (x) = 2 , g(x) = x x−2 b. a) Halle f og y su respectivo dominio. b) Halle gof y su respectivo dominio. √ i) f (x) = x2 + 1, g(x) = x x+3 ii) f (x) = x , g(x) = x−1 √ 2x + 3 iii) f (x) = x − 1, g(x) = x−2 √ 2 2 iv) f (x) = x , g(x) = x − x − 2 √ x2 v) f (x) = 2 , g(x) = x − 1 x −1 1 2x − 1 vi) f (x) = √ , g(x) = x+3 x−1 √ 1 vii) f (x) = 2 , g(x) = x − 1 x√ x+3 x viii) f (x) = , g(x) = x−2 x−1 2.- Sea f (x) = x2 − 2x − 1. Encuentre dos funciones g tales que: (f og)(x) = x2 − 3x.

J. Rodriguez C.

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´ AREA DE CIENCIAS BASICAS ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS NOTAS DE CLASE CALCULO DIFERENCIAL ........................................................................................ √ 3.- Sean f (x) = x2 + 1, g(x) = x y h(x) = 1 − x. a) Encuentre [(f og)oh](x) y [f o(goh)](x). b) ¿Qu´e se puede decir de (f og)oh y f o(goh)?.

1.1.5.

Gr´ afica de una Funci´ on

Una de las caracter´ısticas importantes que tienen las funciones reales de una variable real es que podemos tener representaciones geom´etricas de ellas, por medio de una curva en el plano cartesiano, que llamaremos gr´afica de la funci´on. Definici´ on 1.8. Sea f : D ⊆ R 7→ R una funci´on definida en D. Se denomina gr´afica de la funci´on real y = f (x) al conjunto de puntos {(x, y) | y = f (x)}. La gr´afica de una funci´on es de gran relevancia, porque ilustra f´acilmente su dominio, codominio, puntos de inter´es, etcetera. Para representar gr´aficamente una funci´on, es com´ un utilizar un sistema de coordenadas rectangulares o cartesianas, en las cuales, la variable independiente x se representa en el eje horizontal, y la variable dependiente y en el eje vertical. T´ ecnicas B´ asicas para esbozar la gr´ afica de una Funci´ on A continuaci´on se describen algunos pasos a seguir para obtener un esbozo de la gr´afica de y = f (x), por medio de la representaci´on de puntos: H Determinar los puntos de intersecci´on de y = f (x) con cada eje coordenado. H Construir una tabla de valores de f . Escoger un grupo representativo de valores de x en el dominio de f , y construir una tabla de valores (x, f (x)). H Representar los puntos (x, f (x)) considerados en la tabla, en el sistema de coordenadas. H Unir los puntos representados por medio de una curva suave Ejemplos 1.8. 1.- La ecuaci´ on y 2 = x representa a una par´abola en el plano xy. ¿Puede ser conside-

rada esta par´abola como la gr´afica de una funci´on y = f (x)? Justifique su respuesta.

Soluci´ on La par´abola x = y 2 es una curva plana que se abre hacia la derecha con eje horizontal.√A cada n´ umero x > 0 le corresponden dos valores diferentes de y que son y = ± x.

J. Rodriguez C.

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Entonces esta curva no puede ser considerada como la gr´afica de alguna funci´ on y = f (x). 2.- Sea g(x) = 4 − x2 con −2 < x ≤ 52 . Dibujar la gr´ afica de la funci´on, determinar el

dominio, el codominio y la ra´ıces de la funci´on.

Soluci´ on Como g(x) = 4 − x2 , entonces g(x) − 4 = −x2 , as´ı que la gr´afica de la ecuaci´on es una parabola que abre hacia abajo, con v´ertice en (0, 4). Los cortes con el eje x lo obtenemos cuando g(x) = 0, entonces x = ±2, as´ı que la u ´nica ra´ız es x = 2.

 Por lo tanto el dominio de g es: Dg =   9 El rango de g es: Rg = − , 4 4 La funci´on solo tiene una ra´ız x = 2.

J. Rodriguez C.

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5 − 2, 2



L. Salas M.

´ AREA DE CIENCIAS BASICAS ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS NOTAS DE CLASE CALCULO DIFERENCIAL ........................................................................................ 3.- Dada la siguiente funci´ on    −|x + 2| si x < −2  √ g(x) = 4 − x2 si −2 ≤ x ≤ 2    x−2 si x > 2 Obtenga su gr´afica y diga si es par, impar o ninguna de las dos. Determinar su rango y dominio.

Soluci´ on Dado que x < −2, entonces x + 2 < 0, as´ı que |x + 2| = −(x + 2) ⇒ −|x + 2| = x + 2, que es una recta de pendiente 1. √ Sea y = 4 − x2 elevando ambos miembros al cuadrado se tiene y 2 = 4 − x2 y 2 de aqu´ı x√ + y 2 = 4 que es una circunferencia de radio 2 y centro en el origen; as´ı y = 4 − x2 es su semicircunferencia superior y y = x − 2 es una recta de pendiente 1. Por lo tanto

 x+2    √ g(x) = 4 − x2    x−2

si

x < −2

si si

−2 ≤ x ≤ 2 x>2

As´ı que la gr´afica de g es :

No es par ni impar; adem´as Rg = R = Df .

J. Rodriguez C.

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L. Salas M.

´ AREA DE CIENCIAS BASICAS ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS NOTAS DE CLASE CALCULO DIFERENCIAL ........................................................................................ Ejercicios 1.5. 1.- Determinar dominio, ra´ıces, rango y un esbozo de la gr´ afica de la siguiente funci´on.



2 − |x − 3| 1 + 2x − x2

si −3 < x < 1 si x ≥ 1

  4 |x2 + x − 2| f (x) =  1−x

si x < −3 si −3 ≤ x ≤ 1 si x > 1

f (x) = 2.- Dada la funci´ on

a. Trace su gr´afica. b. Determine su dominio, rango y ra´ıces. 3.- Dada la siguiente funci´ on

  |2x + 1| x2 + 1 f (x) =  −4

si x ≤ 0 si 0 < x < 3 si x ≥ 3

obtener la gr´afica de f , su dominio, su rango y sus ra´ıces. 4.- Gr´ afica la funci´on

 |2x + 3|    √ f (x) = 1 − x2    |x − 3|

1.1.6.

si x < −1 si si

−1 ≤ x ≤ 1 x>1

Funciones Polin´ omicas

Las funciones polinomiales son de gran importancia en las Matem´aticas. Estas funciones representan modelos que describen relaciones entre dos variables, las cuales intervienen en diversos problemas y/o fen´omenos que provienen del mundo real. La determinaci´on de las ra´ıces de los polinomios “resolver ecuaciones algebraicas”, est´a entre los problemas m´as viejos de la matem´atica. Algunos polinomios, como f (x) = x2 + 1, no tienen ninguna ra´ız en los n´ umeros reales. Sin embargo, si el conjunto de las ra´ıces posibles se extiende a los n´ umeros complejos, todo polinomio (no constante) tiene por lo menos una ra´ız: ese es el enunciado del teorema fundamental del ´algebra. Hay una diferencia entre la aproximaci´on de ra´ıces y el descubrimiento de f´ormulas cerradas concretas para ellas. Se conocen f´ormulas de polinomios de hasta 4 grado desde el siglo XVI. Pero las f´ormulas para polinomios de quinto grado fueron esquivas para los investigadores durante mucho tiempo. En 1824, Niels Henrik Abel demostr´o el resultado J. Rodriguez C.

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L. Salas M.

´ AREA DE CIENCIAS BASICAS ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS NOTAS DE CLASE CALCULO DIFERENCIAL ........................................................................................ de que no puede haber f´ormulas generales para los polinomios de grado 5 o mayores en t´erminos de sus coeficientes (ver el teorema de Abel-Ruffini). Este resultado marc´o el comienzo de la teor´ıa de Galois que se encarga de un estudio detallado de las relaciones entre las ra´ıces de los polinomios.

1.1.7.

Teorema Fundamental del Algebra

Teorema 1.1. Toda funci´on polinomial compleja f (x) de grado n ≥ 1 se factoriza en n factores lineales (no necesariamente distintos) de la forma f (x) = an (x − r1 )(x − r2 ).....(x − rn )

Donde an , r1 , r2 , ...rn son n´ umeros complejos. Esto es, toda funci´on polinomial compleja de grado n ≥ 1 tiene exactamente n ceros (no necesariamente diferentes). Demostraci´ on.

f (x) = an xn + an−1 xn−1 + ... + a1 x + a0 Por el teorema fundamental del algebra, f tiene al menos un cero, digamos r1 . Entonces por el teorema del factor, x − r1 es un factor y f (x) = (x − r1 )q1 (x) Donde q1 (x) es un polinomio complejo de grado n − 1 cuyo primer coeficiente es an . De nuevo por el teorema fundamental del a´lgebra, el polinomio complejo q1 (x) que tiene el factor x − r2 , de manera que q1 (x) = (x − r2 )q2 (x) Donde q2 (x) es un polinomio complejo de grado n − 2, cuyo primer coeficiente es an . En consecuencia f (x) = (x − r1 )(x − r2 )q2 (x) Al repetir este argumento n veces, se llega a f (x) = (x − r1 )(x − r2 )...(x − rn )qn (x) Donde qn (x) es un polinomio de grado n − n = 0 cuyo coeficiente es an . As´ı, qn (x) = an x0 = an Y entonces, f (x) = an (x − r1 )(x − r2 )...(x − rn ) Se concluye que toda funci´on polinomial compleja f (x) de grado n ≥ 1 tiene exactamente n ceros (no necesariamente diferentes). J. Rodriguez C.

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L. Salas M.

´ AREA DE CIENCIAS BASICAS ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS NOTAS DE CLASE CALCULO DIFERENCIAL ........................................................................................

1.1.8.

Ceros complejos de polinomios con coeficientes reales

Se puede usar el teorema fundamental del a´lgebra para obtener informaci´on valiosa acerca de los ceros complejos de polinomios cuyos coeficientes son n´ umero reales. Teorema 1.2 (Teorema de pares conjugados). Sea f (x) un polinomio cuyos coeficientes son n´ umeros reales. Si r = a + bi es un cero de f , entonces el complejo conjugado r¯ = a − bi tambi´en es un cero de f . En otras palabras, para polinomios cuyos coeficientes son n´ umeros reales, los ceros ocurren en pares conjugados. Demostraci´ on. Sea f (x) = an xn + an−1 xn−1 + ... + a1 x + a0 Donde an , an−1 , ..., a0 , son n´ umeros reales y an 6= 0. Si r = a + bi es un cero de f , entonces f (r) = f (a + bi) = 0, de manera que an rn + an−1 rn−1 + ...a1 r + a0 Se toma el conjugado en ambos lados para obtener an rn + an−1 rn−1 + ...a1 r + a0 =0 an rn + an−1 rn−1 + ... + a1 r + a0 =0 an rn + an−1 rn−1 + ... + a1 r + a0 =0 an rn + an−1 rn−1 + ... + a1 r + a0 =0

Esta u ´ltima ecuaci´on establece que f (r) = 0, es decir r = a − bi es un cero de f , la importancia de este resultado debe ser obvia. Una vez que se sabe que, digamos, 3 + 4i es un cero de un polinomio con coeficientes reales,entonces se sabe que 3 − 4i tambi´en es un cero. Corolario 1.1. Un polinomio f de grado impar con coeficientes reales tiene al menos un cero real. Demostraci´ on. Dado que los ceros complejos ocurren como pares conjugados con coeficientes reales, siempre habr´a un n´ umero par de ceros que no son coeficientes reales. J. Rodriguez C.

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L. Salas M.

´ AREA DE CIENCIAS BASICAS ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS NOTAS DE CLASE CALCULO DIFERENCIAL ........................................................................................ En consecuencia, como f es de grado impar, uno de sus ceros debe ser un n´ umero real. Por ejemplo, el polinomio f (x) = x5 − 3x4 + 4x3 − 5 tiene al menos un cero que es n´ umero real, ya que f tiene grado 5 (impar) y tiene coeficientes reales.

Ejemplo 1.1 (Uso del Teorema de pares conjugados). Un polinomio f de grado 5 cuyos coeficientes son n´ umeros reales tiene los ceros 1, 5i 1 + i encuentre los dos ceros restantes.

y

Soluci´ on . Como f tiene coeficientes que son n´ umero reales, los ceros complejos aparecen, como pares conjugados. Se deduce que −5i, el conjugado de 5i y 1 − i , el conjugado de i + 1 , son los dos ceros restantes. Teorema 1.3. Toda funci´on polinomial con coeficientes reales se factoriza de manera u ´nica en un producto de n factores lineales cuadr´aticos irreducibles. Demostraci´ on . Todo polinomio complejo de f de grado n tiene exactamente n ceros y se factoriza en un producto de n factores lineales. Si sus coeficientes son reales, entonces los ceros que son n´ umeros complejos siempre ocurren como pares conjugados. En consecuencia, si r = a + bi es un cero complejo, tambi´en lo es r¯ = a − bi . Entonces, cuando se multiplican los factores lineales x − r y x − r¯ de f , se tiene (x − r)(x − r¯) = x2 − (r + r¯)x + r¯ r = x2 − 2ax + a2 + b2 Este polinomio de segundo grado tiene coeficientes reales y es irreducible (en los n´ umeros reales). As´ı, los factores de f son factores cuadr´aticos lineales o irreducibles. Teorema 1.4 (Teorema de la ra´ız racional). Sean n ≥ 1, an 6= 0 y suponga que f (x) = an xn + an−1 xn−1 + ... + a2 x2 + a1 x + a0 es un p polinomio de grado n con coeficientes enteros. Si es una ra´ız racional de f (x) = 0, q donde p y q no tienen factores en com´ un distintos de +1, −1, entonces p es un factor de a0 y q es un factor de an . Ejemplos 1.9. Factorizar cada uno de los siguientes polinomios 1.- p(x) = x3 − 6x2 + 5x + 12

Soluci´ on Se procede a obtener los posibles ceros racionales del polinomio, estos son los divisores de la constante 12 los cuales son: ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12 y tenemos que J. Rodriguez C.

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´ AREA DE CIENCIAS BASICAS ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS NOTAS DE CLASE CALCULO DIFERENCIAL ........................................................................................ p(−1) = 0 as´ı que -1 es un ra´ız del polinomio, realizando la division sint´etica se tiene: p(x) = (x + 1)(x2 − 7x + 12) = (x + 1)(x − 3)(x − 4)

(Factorizando el polinomio cuadratico)

2.- p(x) = x4 − 7x3 + 19x2 − 27x + 18

Soluci´ on Como las ra´ıces racionales si las tiene se encuentran entre lo divisores de la constante 18 los cuales son : ±1, ±2, ±3, ±6, , ±9, y, ±18. Realizando las operaciones se tiene que p(2) = 0 as´ı que 2 es una ra´ız polinomio, luego p(x) = (x − 2)(x3 − 5x2 + 9x − 9) Ahora en el polinomio de grado tres q(x) = x3 − 5x2 + 9x − 9 comprobamos que q(3) = 0 y al realizar la division sint´etica obtenemos que p(x) = (x − 2)(x − 3)(x2 − 2x + 3) el polinomio de grado dos no tiene ra´ıces en los reales. Ejercicios 1.6. Factorizar los siguientes polinomios 1.- x6 + 6x5 + 4x4 − 30x3 − 41x2 + 24x + 36 2.- x6 − 6x5 + 4x4 + 30x3 − 41x2 − 24x + 36 3.- 3x7 − 47x6 + 200x5 + 168x4 − 2224x3 + 400x2 + 7296x + 1304 4.- 6x4 − x3 − 7x2 + x − 1 5.- 4x5 + 13x4 − 32x3 − 129x2 − 36x + 108 6.- 16x5 + 16x4 − 41x3 − 63x2 − 28x − 4 7.- 15x4 − 17x3 − 29x2 + 5x + 2 8.- 6x5 + 13x4 − 20x3 − 55x2 − 16x + 12 9.- 12x4 + 5x3 − 51x2 − 20x + 12 10.- x6 − 4x5 − 16x4 + 26x3 + 119x2 + 122x + 40 11.- x5 + 5x4 − x3 − 29x2 − 12x + 36 12.- 21x5 − 20x4 − 73x3 + 36x2 + 52x − 16

J. Rodriguez C.

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1.2. 1.2.1.

Resoluci´ on de Inecuaciones Axiomas de Orden

A partir de los 5 axiomas para la construcci´on de los n´ umeros naturales se puede probar las + siguientes afirmaciones para los reales positivos R cuyas demostraciones no se ver´an aqu´ı. a) Si a ∈ R entonces se cumple una y solo una de las siguientes proposiciones: S a= 0 S a es positivo S (−a) es positivo b) Si a y b ∈ R entonces a + b ∈ R c) Si a y b ∈ R a ∗ b ∈ R Definici´ on 1.9. Un n´ umero real a es negativo si y solo si −a ∈ R+ . Definici´ on 1.10. Para cada par de n´ umeros reales a, b, a es menor que b (que se denota + por a < b si y solo si (b − a) ∈ R . Definici´ on 1.11. Para cada par de n´ umeros reales a, b, a es mayor que b (que se denota por a > b si y solo si (a − b) ∈ R+ . Definici´ on 1.12. Para cada par de n´ umeros reales a ,b, a es mayor o igual que b (que se denota por a ≥ b) si y solo si a > b o a = b. Definici´ on 1.13. Expresiones tales como a < b, a > b, y, a ≥ b. Son llamadas desigualdades. Existen varias propiedades de las desigualdades que nos ser´an u ´tiles en la soluci´on de una inecuaci´on, donde resolver una inecuaci´on significa encontrar todos los valores de las variables o variable que satisfacen a la inecuaci´on.

1.2.2.

Propiedades de las Desigualdades

Sean a, b, c ∈ R 1.

a) Si a < b entonces a + c < b + c b) Si a > b entonces a + c > b + c

2.

a) Si a < b

y

c > 0 ⇒ ac < bc

b) Si a > b y c > 0 ⇒ ac > bc. J. Rodriguez C.

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´ AREA DE CIENCIAS BASICAS ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS NOTAS DE CLASE CALCULO DIFERENCIAL ........................................................................................ 3. a) Si a < b y c < 0 ⇒ ac > bc. b) Si a > b y c < 0 ⇒ ac < bc. 4.

5.

a) Si

a0 y

1.2.3.

c>d⇒a+c>b+d

c > d > 0 ⇒ ac > bd

Inecuaciones Polin´ omicas

En la mayor´ıa de los textos de c´alculo, se suele trabajar la resoluci´on de inecuaciones a partir del m´etodo de las cruces, tambi´en conocido como el m´etodo del cementerio, el procedimiento para resolver inecuaciones utilizando este m´etodo considera entre otros pasos factorizar el polinomio y considerar rectas verticales u horizontales para cada uno de los factores. Este ha sido el m´etodo que de forma tradicional ha sido empleado, pero presenta el inconveniente que para polinomios de grado mayor que 4 resulta tedioso su aplicaci´on por el n´ umero de rectas a considerar. En esta secci´on se presenta un m´etodo alternativo que permitir´a reducir el n´ umero de pasos a considerar al momento de resolver una desigualdad, el cual llamaremos “El m´ etodo del cero”. Teorema 1.5. Sea p(x) un polinomio de grado n con todas sus ra´ıces reales , con ra´ıces r1 de multiplicidad par y r2 de multiplicidad impar, y p(x) ≥ 0. Entonces (x − r2 )(x − r3 ) . . . (x − rN ) ≥ 0 Proposici´ on 1.2. Sea r1 = α + iβ una ra´ız simple de p(x) y p(x) ≥ 0, entonces

p(x) ≥0 (x − r1 )(x − r1 )

Nota 1.1. Del Teorema (1.5) y Proposici´on (1.2) se tiene que si q(x) ≥ 0, entonces el polinomio con las ra´ıces reales simples de multiplicidades impar de q(x) es mayor o igual a cero. Teorema 1.6. Sea p(x) = an xn + an−1 xn−1 + ... + a0 con an > 0 y n ra´ıces reales distintas (r1 < r2 < ... < rn ). p(x) ≥ 0 Entonces 1) Si n es par, el conjunto soluci´on es S = (−∞, r1 ] ∪ [r2 , r3 ] ∪ ... ∪ [rn , +∞) J. Rodriguez C.

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L. Salas M.

´ AREA DE CIENCIAS BASICAS ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS NOTAS DE CLASE CALCULO DIFERENCIAL ........................................................................................ 2) Si n es impar, el conjunto soluci´on S = [r1 , r2 ] ∪ [r3 , r4 ] ∪ ... ∪ [rn , ∞) Demostraci´ on. 1) Supongamos n = 2, as´ı que p(x) = a2 (x − r1 )(x − r2 ) * Si x ≥ r2 se tiene que x > r1 , as´ı que (x − r1 ) > 0 y (x − r2 ), entonces p(x) = a(x − r1 )(x − r2 ) ≥ 0. Luego x ∈ S1 = [r2 , +∞) * Si r1 < x < r2 entonces p(x) < 0 * Si x ≤ r1 , tenemos que x < r2 luego p(x) ≥ 0. Luego x ∈ S2 = (−∞, r1 ] Por lo tanto el conjunto soluci´on viene dado por : S = S1 ∪ S2 = (−∞, r1 ] ∪ [r2 , +∞) 2) Si n = 3 p(x) = a(x − r1 )(x − r2 )(x − r3 ) * Si x ≥ r3 ⇒ x > r1 , x > r2 ⇒ (x − r1 ) > 0, x − r2 > 0, x − r3 ≥ 0 p(x) = a(x − r1 )(x − r2 )(x − r3 ) ≥ 0 S1 = [r3 , +∞)

* Si r2 < x < r3 ⇒ x − r1 ≥ 0, x − r1 ≥ 0, x − r3 < 0 ⇒ p(x) = a(x − r1 )(x − r2 )(x − r3 ) ≥ 0 * Si r1 ≥ x ≥ r2 ⇒ x − r1 ≥ 0, x − r2 < 0, x − r3 < 0 ⇒ p(x) = a(x − r1 )(x − r2 )(x − r3 ) ≥ 0 S2 = [r1 , r2 ]

* Si x < r1 ⇒ x−r1 < 0, x−r2 < 0, x−r3 < 0 ⇒ p(x) = a(x−r1 )(x−r2 )(x−r3 ) < 0; p(x) < 0

J. Rodriguez C.

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´ AREA DE CIENCIAS BASICAS ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS NOTAS DE CLASE CALCULO DIFERENCIAL ........................................................................................ Representaci´ on Gr´ afica de la Soluci´ on de una Desigualdad Ahora representaremos gr´aficamente la soluci´on de una desigualdad, la ra´ıces del polinomio son los ceros quienes son las divisiones de la parte positiva y parte negativa y la uni´on de todos los intervalos que tienen el signo + equivale a los valores de x donde el polinomio es positivo y donde tienen el signo menos representa el conjunto de los x donde el polinomio es negativo. En este caso consideraremos p(x) ≥ 0

As´ı que la soluci´on en este caso viene dada por n−1  S = (−∞, r1 ] ∪ k=1 ∪[r2k , r2k+1 ] ∪ [r2n , ∞)

Y para este caso la soluci´on es n−1  S = [r1 , r2 ] ∪ k=1 ∪[r2k+1 , r2k+2 ] ∪ [r2n+1 , ∞)

1.2.4.

Inecuaciones Racionales

M´ etodo del Cero N Se factoriza el polinomio N Se organizan los factores de tal modo que la inc´ognita quede escrita en la parte izquierda de cada par´entesis y con signo positivo N Se calculan las ra´ıces del polinomio o los ceros del polinomio. N Se ubican en la recta real las respectivas ra´ıces o los ceros calculados en el paso anterior. N A la derecha de la ra´ız de mayor, se se˜ nala con un signo m´as y a la izquierda con un signo menos. N Seguidamente se alternan los signos en cada una de las ra´ıces siguientes. J. Rodriguez C.

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L. Salas M.

´ AREA DE CIENCIAS BASICAS ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS NOTAS DE CLASE CALCULO DIFERENCIAL ........................................................................................ N Si el sentido de la inecuaci´on es >, la soluci´on estar´a constituida por todos los intervalos, en la recta resultado, se˜ nalados con el signo m´as; en cambio si el sentido de la inecuaci´on es 0 se tiene (x − 2)(x − 3) ≤ 0 Luego el conjunto soluci´on es: S = [2, 3] J. Rodriguez C.

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´ AREA DE CIENCIAS BASICAS ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS NOTAS DE CLASE CALCULO DIFERENCIAL ........................................................................................

3.- x5 − 9x4 + 37x3 − 53x2 − 24x + 76 < 0

Soluci´ on Factorizando el polinomio se tiene que p(x) = (x − 2)2 (x + 1)(x2 − 6x + 19) as´ı que (x − 2)2 (x + 1)(x2 − 6x + 19) < 0 Ahora como (x − 2)2 ≥ 0 entonces (x + 1)(x2 − 6x + 19) < 0 Pero hay que tener presente que x = 2 es una ra´ız del polinomio y por lo tanto no hace parte del conjunto soluci´on. Por otra parte x2 − 6x + 19 = (x − 3)2 + 10 > 0 as´ı que x+1 0 5.- x5 − 5x4 + 6x3 + 10x2 − 23x − 21 > 0

1.3.

Valor Absoluto  |x| =

x si x ≥ 0 −x si x < 0

Aplicando esta definici´on a expresiones de la forma ax + b se tiene:  b   ax + b si x ≥ −    a ax + b si ax + b ≥ 0 |ax + b| = = −(ax + b) si ax + b < 0   b   −(ax + b) si x < − a J. Rodriguez C.

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´ AREA DE CIENCIAS BASICAS ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS NOTAS DE CLASE CALCULO DIFERENCIAL ........................................................................................ Ejemplo 1.2.  x+8 si x + 8 ≥ 0 |x + 8| = −(x + 8) si x + 8 < 0  |x + 8| =

x+8 si x ≥ −8 −(x + 8) si x < −8

Para efectos de lograr mayor claridad podemos resumir esta informaci´on en la tabla siguiente:

|x + 8|

1.3.1.

(−∞, −8) -(x+8)

[−8, ∞) x+8

Propiedades del valor absoluto

A continuaci´on enunciaremos algunas propiedades del valor absoluto, las cuales podr´ıan ser utilizadas para facilitar el trabajo en la resoluci´on de ecuaciones o inecuaciones que incluyen valor absoluto.

1. |x| ≥ 0 2. |x| = 0 ⇔ x = 0 El valor absoluto igualado a cero se puede suprimir. 3. |x|2 = |x2 | = x2 El valor absoluto elevado al cuadrado se puede suprimir. 4. |x| = | − x| Dentro del valor absoluto se puede cambiar de signo. 5.

√

x2 = |x|

6. −|x| ≤ x ≤ |x| 7. |x + y| ≤ |x| + |y| 8. |xy| = |x||y| 9. |x| ≤ p ⇔ −p ≤ x ≤ p   x ≥ p o 10. |x| ≥ p ⇔  x ≤ −p J. Rodriguez C.

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L. Salas M.

´ AREA DE CIENCIAS BASICAS ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS NOTAS DE CLASE CALCULO DIFERENCIAL ........................................................................................

1.3.2.

Ecuaciones que involucran valor absoluto

A continuaci´on resolveremos algunas ecuaciones que involucran valor absoluto, para esto utilizaremos, siempre que sea posible, algunas propiedades enunciadas anteriormente y en los que no sea posible aplicar alguna de dichas propiedades, resolveremos las ecuaciones correspondientes usando la definici´on de valor absoluto. Adem´as es importante tener en cuenta que toda ecuaci´on que involucre valor absoluto se puede resolver usando la definici´on. Ejemplos 1.11. Resolver cada una de las siguientes ecuaciones: a. |2x − 1| = 5

Soluci´ on

1 on El cero de la expresi´on del valor absoluto es x = , as´ı que estudiaremos la ecuaci´ 2   h  1 1 en los intervalos − ∞, y ,∞ 2 2  h1  1 − ∞, ,∞ 2 2 |x − | =  −(2x − 1) = 5 2x − 1 = 5 −2x + 1 = 5 2x = 6 −2x = 4 x=3 x = −2 x=3 S1 = {−2} S2 = {3} Por lo tanto el conjunto soluci´on de la ecuaci´on es S = {−2, 3} b. |x − 2| + |x − 3| = 8

Soluci´ on Los ceros de las expresiones dentro del los valores absolutos son x = 2, 3, entonces  estudiaremos la ecuaci´on en los intervalos − ∞, 2 , [2, 3) y [3, ∞)

|x − | + |x − | =  (−∞, 2) [2, 3) −(x − 2) − (x − 3) = 8 (x − 2) − (x − 3) = 8 −2x + 5 = 8 1=8 −2x = 3 1=8 −3 1=8 x= 2 n −3 o S2 = ∅ S1 = 2 J. Rodriguez C.

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[3, ∞) (x − 2) + (x − 3) = 8 2x − 5 = 8 2x = 13 13 x= 2 n 13 o S3 = 2 L. Salas M.

´ AREA DE CIENCIAS BASICAS ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS NOTAS DE CLASE CALCULO DIFERENCIAL ........................................................................................ Por lo tanto el conjunto soluci´on de la ecuaci´on es n −3 13 o S= , 2 2 Ejercicios 1.8. 1.- |4x − 12| = 8 2.- |x − 6| = 5 3.- |2x − 1| = 4 + x 4.- |3 − x| + x = 4 5.- |x − 1| + |x − 2| = 8 − x 6.- 4|x − 3| − 2 = x 7.- |3 − 2x| + x = 4 8.- 2|5 − 3x| = x + 8

x − 1 =2 x+1

9.-

10.- 2|2 − x| + |2x − 1| = x 11.- |3 − 2x| − 3|x + 2| − x = 0

J. Rodriguez C.

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´ AREA DE CIENCIAS BASICAS ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS NOTAS DE CLASE CALCULO DIFERENCIAL ........................................................................................

1.3.3.

Inecuaciones que involucran valor absoluto

Resolveremos inecuaciones que involucran valor absoluto de expresiones de la forma ax+b, donde a y b son constantes con a 6= 0 y x es una variable real. Para esto utilizaremos la definici´on de valor absoluto, y en los casos en donde sea posible usar alguna de las propiedades estudiadas, las aplicaremos, con el fin de facilitar el procedimiento de resoluci´on. Ejemplos 1.12. 1.- |3x − 15| < 6

Soluci´ on |3x − 15| < 6 ⇔ −6 < 3x − 15 < 6 ⇔ 9 < 3x < 21 ⇔ 3 < x < 7 Por lo tanto la soluci´on S = (3, 7) 2.- |x − 6| + 2x ≥ 8

Soluci´ on x − 6 se hace cero en x = 6, as´ı que analizaremos la inecuaci´on en los intervalos (−∞, 6), [6, ∞)

|x − | + x ≥  (−∞, 6) [6, ∞) −(x − 6) + 2x ≥ 8 (x − 6) + 2x ≥ 8 x+6≥8 3x − 6 ≥ 8 14 x≥2 x≥ 3  14 [2, ∞) , ∞) 3  14 S1 = [2, 6) S2 = , ∞) ∩ [6, ∞) = [6, ∞) 3 Por lo tanto el conjunto soluci´on de la inecuaci´on es S = [2, 6) ∪ [6, ∞) = [2, ∞) 3.- |x − 3| + |x + 3| < 8

Soluci´ on Los ceros en los valores absolutos son -3, 3 luego estudiaremos la inecuaci´on en los intervalos (−∞, −3), [−3, 3) y [3, ∞) J. Rodriguez C.

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L. Salas M.

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|x − | + |x + | <  (−∞, −3) [−3, 3) −(x − 3) − (x + 3) < 8 −(x − 3) + (x + 3) < 8 −2x < 8 6 −4 6 9 − x 11.- |x| − 3|6 − x| ≥ x

J. Rodriguez C.

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L. Salas M.

´ AREA DE CIENCIAS BASICAS ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS NOTAS DE CLASE CALCULO DIFERENCIAL ........................................................................................

1.4.

Modelando con Funciones

Ejemplo 1.3. Las dimensiones de un rect´angulo pueden variar, pero no su ´area que debe ser de A cm2 . Considerando que uno de sus lados mide x cm, expresar el per´ımetro P del rect´angulo en t´erminos de x. Soluci´ on. Considerando un rect´angulo con base de longitud x cm y altura de longitud y cm,

se tiene que el per´ımetro es P = 2x + 2y

(1.1)

A = xy

(1.2)

y su a´rea es De la ecuaci´on (1.2) tenemos que A x De la ecuaci´on (1.3) y la ecuaci´on (1.1) se tiene que y=

P = 2x + 2

(1.3)

A x

Ejemplo 1.4. Las dimensiones de un paralelep´ıpedo (caja con caras laterales rectangulares) pueden variar, pero no su volumen que debe ser igual a V m3 . Considerando que la caja tiene base cuadrada con lado de longitud igual a x m, expresar el ´area A de la superficie total del paralelep´ıpedo en funci´on de x. Soluci´ on. Puesto que la caja tiene base y tapa cuadradas de lado x m y altura de longitud y m, el a´rea total es A = 2x2 + 4xy (1.4) y el volumen es V = x2 y

(1.5)

V , reemplazando y en la ecuaci´on (1.4) resulta que x2 V V A = 2x2 + 4x 2 = 2x2 + 4 x x

De la ecuaci´on (1.5) se tiene que y =

J. Rodriguez C.

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L. Salas M.

´ AREA DE CIENCIAS BASICAS ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS NOTAS DE CLASE CALCULO DIFERENCIAL ........................................................................................

Ejemplo 1.5. a. Exprese el ´area A de un cuadrado en funci´on de su per´ımetro P . b. Exprese el per´ımetro P de un cuadrado en funci´on de su ´area A. Soluci´ on.

a. Se sabe que el ´area de un cuadrado es A = x2

(1.6)

P = 4x

(1.7)

Tambi´en se sabe que su per´ımetro es:

P De la ecuaci´on (1.7 se tiene que: x = . Reemplazando x en la ecuaci´on (1.6) 4 tenemos, P2 A= 16 J. Rodriguez C.

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L. Salas M.

´ AREA DE CIENCIAS BASICAS ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS NOTAS DE CLASE CALCULO DIFERENCIAL ........................................................................................ b. De la ecuaci´on (1.6) despejamos x y obtenemos: √ x= A Sustituyendo x en la ecuaci´on (1.7) se tiene √ P (A) = 4 A

Ejemplo 1.6. Un terreno tiene la forma de un rect´angulo con dos semic´ırculos adosados a dos de sus lados opuestos. Si el per´ımetro del terreno es de 800 m, hallar el ´area A del terreno en funci´on de la longitud l de uno de los lados del rect´angulo. Soluci´ on. Dibujemos primero el terreno. Su per´ımetro de 800 m es igual a

P = 800 = 2h + 2π

l = 2h + πl 2

(1.8)

Su area es

l2 (1.9) 4 Si queremos expresar esta a´rea en funci´on exclusivamente de l tenemos que sustituir el otro lado h en t´erminos de l y esto lo podemos hacer pues de la ecuaci´on (1.8) se tiene A = lh + π

800 − πl 2 Reemplazando h en la ecuaci´on (1.9) se tiene: h=

A=

J. Rodriguez C.

1600 − πl 4

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L. Salas M.

´ AREA DE CIENCIAS BASICAS ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS NOTAS DE CLASE CALCULO DIFERENCIAL ........................................................................................ Ejemplo 1.7. Una torre tiene la siguiente forma: Un cono recto truncado cuyos radios de base son 2R y R y cuya altura es R, sostiene un cilindro de radio R y de altura 2R. Este u ´ltimo sostiene, a su vez, una semiesfera de radio R. Exprese el ´area S de la secci´ on transversal de la torre como funci´on de la distancia x que media entre la secci´on y la base inferior del cono. Soluci´ on. Sabemos que πR2 , S2 = 4R2 , 2 Como la altura total es hT = 2x4R, entonces S1 =

R=

S3 = 3R2 .

x2 x ⇒ R2 = 2 4

El ´area total es

πR2 ST = S1 + S2 + S3 = + 4R2 + 3R2 = 2 Por lo tanto:

 ST =

J. Rodriguez C.



 π + 7 R2 2

 2 π x +7 2 4

36

L. Salas M.

Cap´ıtulo 2 Limites y Continuidad 2.1.

Introducci´ on

El concepto de l´ımite es uno de los m´as importantes en el an´alisis matem´atico. Sobre el concepto de l´ımite reside la definici´on de continuidad de una funci´on en un punto as´ı como la de derivabilidad de una funci´on en un punto. En particular, vamos a desarrollar suficiente destreza de c´alculo como para poder determinar, para cualquier funci´on, la existencia del l´ımite en un punto, es decir, la existencia de una cantidad real finita a la que converge la funci´on al aproximarse a dicho punto, tanto desde valores superiores como inferiores a ´el. Se afirma la existencia del l´ımite cuando los l´ımites por arriba y por debajo del punto considerado arrojan el mismo resultado num´erico. Estos l´ımites reciben el nombre de l´ımites laterales. Cuando coinciden, el l´ımite existe y su valor es el de los dos l´ımites laterales. Investigar la existencia de l´ımite conlleva efectuar el c´alculo expl´ıcito de los l´ımites laterales que muy a menudo supone resolver indeterminaciones como por ejemplo: 0 ∗ ∞ . ¿Qu´e significa 0 ∗ ∞ ? B´asicamente significa que al buscar el l´ımite de una expresi´on, si substituimos la variable por el valor al que tiende, obtenemos algo que tiende a 0 por algo que tiende a ∞ . Dependiendo del “grado”o la “fuerza”con la que la primera parte de la funci´on tiende a 0 y la segunda a ∞ , la “indeterminaci´on”puede arrojar un valor nulo, real (finito) o infinito.

2.2.

Limite de Funciones

La idea de limite de una funci´on tiene que ver con la predicci´on de su comportamiento en un punto en base al exhibido en sus proximidades. As´ı se dice que f tiene limite L en c si para valores de entrada x cada vez m´as pr´oximos a c la funci´on toma valores de salida f (x) cada vez m´as pr´oximos a L.

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´ AREA DE CIENCIAS BASICAS ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS NOTAS DE CLASE CALCULO DIFERENCIAL ........................................................................................ La definici´on anterior es clara desde un punto de vista intuitivo. No obstante es imprecisa por lo que es necesario dar una definici´on rigurosa formalizando especialmente la expresi´on “cada vez mas pr´oximos”.

2.2.1.

Definici´ on  − δ de L´ımite

Definici´ on 2.1. Sea f una funci´on real con dominio D. Supongamos que D contiene intervalos de la forma (a, c) y (c, b). Se dice que un numero real L es l´ımite de f cuando x tiende a c y se escribe l´ım f (x) = L

x→c

si s´olo si para cada  > 0 existe un δ > 0 tal que si 0 < |x − c| < δ entonces |f (x) − L| < . Obs´ervese que en la definici´on anterior se ha incluido la condici´on de que sea 0 < |x − c| < δ. Esto quiere decir que la condici´on |f (x) − L| <  solo es necesario que se cumpla para los x pertenecientes al intervalo (c − δ, c + δ) distintos del propio c. Esto se hace porque al hablar de limites no interesa tanto lo que ocurre exactamente en el punto c como el comportamiento de la funci´on en los alrededores de dicho punto. Por ello es posible preguntar por el limite de una funci´on en un punto en el que no este definida, siempre y cuando si lo este alrededor de dicho punto. Al excluir el punto c en la definici´on de l´ımite, tambi´en puede ocurrir que a´ un estando la funci´on definida en c y existiendo el l´ımite L en dicho punto, fuera L 6= f (c). Gr´aficamente:

J. Rodriguez C.

38

L. Salas M.

´ AREA DE CIENCIAS BASICAS ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS NOTAS DE CLASE CALCULO DIFERENCIAL ........................................................................................

2.2.2.

Ejemplos de L´ımites Mediante la Definici´ on

Los ejemplos siguientes muestran como se puede usar la definici´on formal de l´ımite para calcular l´ımites de casos simples. No obstante, el principal uso de dicha definici´on es poder establecer propiedades generales sobre limites. Ejemplo 2.1. Sean c y k n´ umeros reales cualesquiera. Entonces, l´ım k = k.

x→c

Soluci´ on:. En efecto, sea  > 0 y supongamos 0 < |x−c| < δ para un δ > 0 por determinar. Haciendo f (x) = k y L = k en la definici´on de l´ımite se tiene |f (x) − L| = |k − k| = 0 <  independiente de δ. Por tanto la definici´on de l´ımite se satisface tomando δ como cualquier n´ umero positivo, por ejemplo δ = 1. Ejemplo 2.2. Sea c un n´ umero real cualquiera. Entonces, l´ım x = c.

x→c

Soluci´ on:. En efecto, sea  > 0 y supongamos |x − c| < δ para un δ > 0 por determinar. Haciendo f (x) = x y L = c en la definici´on de l´ımite se tiene |f (x) − L| = |x − c| < δ por lo que eligiendo δ ≤  resulta |f (x) − L| = |x − c| < 

Ejemplo 2.3. Sea c un n´ umero real cualquiera. Entonces, l´ım x2 = c2

x→c

Soluci´ on:. En efecto, sea  > 0 y supongamos |x − c| < δ para un δ > 0 por determinar. Haciendo f (x) = x2 y L = c2 en la definici´on de l´ımite se tiene |f (x) − L| = |x2 − c2 | = |(x − c)(x + c)| = |x − c||x + c| < δ|x + c| = δ|x − c + 2c| ≤ δ(|x − c| + 2|c|) < δ(δ + 2|c|) J. Rodriguez C.

39

L. Salas M.

´ AREA DE CIENCIAS BASICAS ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS NOTAS DE CLASE CALCULO DIFERENCIAL ........................................................................................ Eligiendo δ ≤ 1 resulta, |x2 − c2 | < δ(1 + 2|c|). Si, a su vez escogemos δ≤

 1 + 2|c|

finalmente se obtiene |x2 − c2 | < . Por tanto la definici´on de l´ımite se satisface eligiendo    δ < m´ın 1, 1 + 2|c|

Ejemplo 2.4. Sea c un n´ umero real cualquiera. Entonces, 1 1 = . x→c x c l´ım

Soluci´ on:. En efecto, sea  > 0 y supongamos |x − c| < δ para un δ > 0 por determinar. Haciendo 1 1 f (x) = y L = en la definici´on de l´ımite se tiene x c 1 1 |f (x) − L| = − x c c − x = xc =

|x − c| |x||c|


0 y supongamos 0 < |x−c| < δ para un δ > 0 por determinar. Haciendo f (x) = |x| y L = |c| en la definici´on de l´ımite, se tiene |f (x) − L| = ||x| − |c|| ≤ |x − c| < δ por lo que eligiendo δ ≤  resulta |f (x) − L| < 

Tambi´en es posible utilizar la definici´on anterior para probar la no existencia de l´ımite. Ejemplo 2.7. El l´ımite

x x→c |x| l´ım

no existe Soluci´ on:. En efecto supongamos que existe el l´ımite L. Tomemos  = 12 . Por la definici´on de l´ımite existen δ > 0 tal que para todo 0 < |x| < δ se satisface |f (x) − L| <  = En particular tomando x =

δ 2

1 2

se tendr´a δ  1 − L < f 2 2

J. Rodriguez C.

42

L. Salas M.

´ AREA DE CIENCIAS BASICAS ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS NOTAS DE CLASE CALCULO DIFERENCIAL ........................................................................................ y an´alogamente tomando x = − 2δ 1  δ − L < f − 2 2 Como por la propia definici´on f se tiene f

δ 

 δ =1 y f − = −1 2 2

resulta δ   δ  2 = f −f − 2 2 δ   δ  −L+L−f − = f 2 2 δ   δ ≤ f − L + f − − L 2 2 1 1 + 2 2 =1


0. 2 Por ser L l´ımite de f , existe un δ1 > 0 tal que si 0 < |x − c| < δ1 entonces,

J. Rodriguez C.

 |f (x) − L| < . 2 43

L. Salas M.

´ AREA DE CIENCIAS BASICAS ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS NOTAS DE CLASE CALCULO DIFERENCIAL ........................................................................................ An´alogamente, por ser K l´ımite de f , existe un δ2 > 0 tal que si 0 < |x − c| < δ2 entonces,

 |f (x) − K| < . 2 Sea δ = m´ın(δ1 , δ2 ) y escojamos un x0 ∈ D tal que 0 < |x0 − c| < δ. Entonces, |L − K| = |L − f (x0 ) + f (x0 ) − K| ≤ |f (x0 ) − L| + |f (x0 ) − K|   + 2 2 1 = |L − K| 2 lo que es una contradicci´on. Por tanto, si existen dos l´ımites L y K, estos han de ser iguales. Teorema 2.1. Si existe l´ımite de una funci´on en un punto, el l´ımite es u ´nico.

2.4.

L´ımites y Acotaci´ on

Supongamos que existe l´ım f (x) = L.

x→c

Tomando  = 1 en la definici´on de l´ımite podemos asegurar que existe un δ > 0 tal que si 0 < |x − c| < δ entonces |f (x) − L| <  = 1 Por consiguiente, |f (x)| = |L + (f (x) − L)| ≤ |L| + |f (x) − L| < |L| + 1. para todo 0 < |x −Sc| < δ. Esto prueba que la funci´on f est´a acotada en el intervalo perforado (c − δ, c) (c, c + δ). J. Rodriguez C.

44

L. Salas M.

´ AREA DE CIENCIAS BASICAS ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS NOTAS DE CLASE CALCULO DIFERENCIAL ........................................................................................ Si c pertenece al dominio de f eligiendo K = m´ax{|L| + 1, |f (c)|} se verifica |f (x)| ≤ K para todo x ∈ (c − δ, c + δ). Teorema 2.2. Si existe l´ım f (x) = L

x→c

la funci´on esta acotada en un intervalo centrado en x = c En consecuencia funciones no acotadas no poseen l´ımite. Por ejemplo las funciones 1/x o 1/x2 no poseen limite en x = 0. M´as adelante veremos que algunas de estas funciones no acotadas poseer´an l´ımite en sentido infinito. El rec´ıproco es falso, una funci´on acotada no necesariamente posee l´ımite como se muestra en el ejemplo  x +1 si x > 0 f (x) = = −1 si x < 0 |x|

2.5.

C´ alculo de L´ımites

De forma intuitiva, el l´ımite de una funci´on en un punto c se puede calcular a partir de una tabla de valores de salida correspondientes a valores pr´oximos a c, o bien mediante la representaci´on gr´afica de la funci´on en un intervalo que contenga c. De forma exacta los l´ımites se calculan usando reglas de computaci´on desarrolladas a partir de esta teor´ıa. A continuaci´on enunciaremos las reglas b´asicas para el c´alculo de l´ımites. En cap´ıtulos posteriores se expondr´an otros m´etodos como la f´ormula de L’Hopital o los desarrollos en serie de potencias.

2.5.1.

Algebra de L´ımites

A continuaci´on exponemos las reglas que combinan el proceso de l´ımite con las operaciones aritm´eticas. Todas ellas se obtienen directamente a partir de la definici´on de l´ımite y omitiremos su demostraci´on. Teorema 2.3. Supongamos l´ım f (x) = L

x→c

y

l´ım g(x) = M

x→c

y k constante. Entonces, J. Rodriguez C.

45

L. Salas M.

´ AREA DE CIENCIAS BASICAS ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS NOTAS DE CLASE CALCULO DIFERENCIAL ........................................................................................ 1. Regla de la suma. l´ım[f (x) + g(x)] = L + M x→c

2. Regla de la diferencia l´ım[f (x) − g(x)] = L − M

x→c

3. Regla de la multiplicaci´on por una constante l´ım kf (x) = kL

x→c

4. Regla del producto l´ım f (x)g(x) = LM

x→c

5. Regla del cociente l´ım

x→c

L f (x) = g(x) M

siempre que M 6= 0. 6. Regla de los Radicales l´ım

x→c

p √ n n f (x) = L

con n entero positivo y L > 0 para n par. Las reglas de la suma y del producto por una constante se pueden combinar en una sola regla l´ım[αf (x) + βg(x)] = αL + βM. x→c

Tanto esta regla como la del producto pueden extenderse mediante inducci´on matem´atica a un n´ umero cualquiera de funciones obteni´endose el siguiente resultado. Corolario 2.1. Si l´ım f1 (x) = L1 , l´ım f2 (x) = L2 , . . . , l´ım fn (x) = Ln

x→c

x→c

x→c

entonces 1. l´ım[k1 f1 (x) + k2 f2 (x) + · · · + kn fn (x)] = k1 L1 + k2 L2 + · · · + kn Ln

x→c

2. l´ım[f1 (x)f2 (x) . . . fn (x)] = L1 L2 . . . Ln

x→c

Ejemplo 2.8. Si p(x) = a0 + a1 x + · · · + an xn entonces l´ım p(x) = p(c)

x→c

J. Rodriguez C.

46

L. Salas M.

´ AREA DE CIENCIAS BASICAS ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS NOTAS DE CLASE CALCULO DIFERENCIAL ........................................................................................ Soluci´ on. En efecto, puesto que l´ım x = c x→c

aplicando la propiedad 2 del corolario anterior, para todo entero k > 0 se tiene k k h z }| { i h z }| { i l´ım x = l´ım xx . . . x = cc . . . c = ck . k

x→c

x→c

Utilizando la regla 1 del corolario anterior y teniendo en cuenta que el l´ımite de una constante es la propia constante, resulta l´ım p(x) = l´ım[a0 + a1 x + · · · + an xn ]

x→c

x→c

= a0 l´ım 1 + a1 l´ım x + · · · + an l´ım xn x→c

x→c

x→c

= a0 + a1 c + · · · + an c n = p(c)

Ejemplo 2.9. Si r(x) =

p(x) q(x)

es una funci´on racional y q(c) 6= 0 entonces l´ım r(x) = r(c)

x→c

Soluci´ on. En efecto, puesto que p y q son polinomios se tiene l´ım p(x) = p(c) y

x→c

l´ım q(x) = q(c)

x→c

basta aplicar la regla del cociente para obtener l´ım r(x) = l´ım

x→c

x→c

p(x) p(c) = = r(c). q(x) q(c)

Nota 2.1. Observamos que los l´ımites de las funciones polin´omicas y racionales coinciden con el valor de la expresi´on en el punto siempre que est´en definidas en ´el. Lo mismo ocurre en general con todas las funciones algebraicas, es decir con las funciones generadas mediante sumas, restas, multiplicaciones,divisiones y extracci´on de ra´ıces, en aquellos puntos en que sea aplicable la regla de los radicales. J. Rodriguez C.

47

L. Salas M.

´ AREA DE CIENCIAS BASICAS ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS NOTAS DE CLASE CALCULO DIFERENCIAL ........................................................................................

2.5.2.

Formas Indeterminadas

La regla del cociente establece que si l´ım f (x) = L y

x→c

l´ım g(x) = M 6= 0

x→c

entonces, L f (x) = x→c g(x) M l´ım

Ahora bien, ¿que ocurre si M = 0? En primer lugar veamos que si existe el l´ımite K del cociente, entonces L debe ser cero. En efecto, L = l´ım f (x) x→c h f (x) i = l´ım g(x) x→c g(x) f (x) l´ım g(x) = l´ım x→c g(x) x→c = KM = 0 Por tanto, siendo M = 0 es condici´on necesaria para que halla l´ımite del cociente que L = 0. Dicho de otra forma, si L 6= 0 y M = 0 no existe el limite del cociente. La cuesti´on que se plantea ahora es que si L = M = 0 existir´a el l´ımite del cociente y si este ser´a igual a 1. La repuesta es que puede ocurrir cualquier cosa, que no exista el l´ımite o que exista y tome cualquier valor. Por ejemplo l´ım

x→0

λx =λ x

para cualquier λ. Por otra parte x 1 = l´ım 2 x→0 x x y dicho l´ımite no existe ya que el u ´ltimo l´ımite corresponde al caso L 6= 0 y M = 0. l´ım

x→0

Por ello, el l´ımite de un cociente en el que el numerador y denominador tiendan ambos a 0 se dice que es una forma indeterminada del tipo 0/0. Dos t´ecnicas simples para resolver estas formas indeterminadas consisten en la cancelaci´on de ceros y racionalizaci´on de la fracci´on. Ejemplo 2.10 (Cancelaci´ on de ceros). x3 + 3x2 + x + 3 . x→−3 x2 + x − 6

Calcular l´ım

J. Rodriguez C.

48

L. Salas M.

´ AREA DE CIENCIAS BASICAS ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS NOTAS DE CLASE CALCULO DIFERENCIAL ........................................................................................ Soluci´ on. Haciendo x = −3 en el numerado y denominador observamos que se trata de una forma del tipo 0/0. Factorizando el numerador y el denominador y cancelando los ceros comunes a ambos resulta una forma determinada, es decir una expresi´on cuyo l´ımite es calculable mediante sustituci´on. En efecto, (x + 3)(x2 + 1) (x2 + 1) x3 + 3x2 + x + 3 = l´ ım = l´ ım = −2 x→−3 (x + 3)(x − 2) x→−3 (x − 2) x→−3 x2 + x − 6 l´ım

Ejemplo 2.11 (Racionalizaci´ on). Calcular el limite x l´ım √ . x→0 x+4−2 Soluci´ on. Haciendo x = 0 en el numerador y denominador observamos que se trata de una forma del tipo √ 0/0. Ahora, racionalizamos el denominador multiplicando denominador y numerador por x + 4 + 2. Con ello resulta, √ x x x+4+2 √ l´ım √ = l´ım √ x→0 x→0 x+4−2 x+4−2 x+4+2 √ x( x + 4 + 2) = l´ım x→0 x+4−4 √ x( x + 4 + 2) = l´ım x→0 x √ = l´ım ( x + 4 + 2) x→0

=4 x−8 Ejemplo 2.12. Calcule l´ım √ 3 x→8 x−2 Soluci´ on. √ Para resolver este l´ımite√se puede considerar que t = 3 x, entonces x = t3 ; adem´as cuando x → 8 sucede que t → 3 8 = 2 Luego x−8 t3 − 8 l´ım √ = l´ ım x→8 3 x − 2 t→2 t − 2 (t − 2)(t2 + 2t + 4) = l´ım t→2 t−2 2 = l´ım(t + 2t + 4) t→2

= 12

J. Rodriguez C.

49

L. Salas M.

´ AREA DE CIENCIAS BASICAS ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS NOTAS DE CLASE CALCULO DIFERENCIAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .√ .......................................................... x−8 Ejemplo 2.13. Calcule l´ım √ 3 x→64 x−4 Soluci´ on. Para eliminar tanto a la ra´ız cuadrada como a la ra´ız c´ ubica, obtenemos el m´ınimo com´ un m´ ultiplo de los indices 2 y 3 que es 6, proponemos el cambio de variable x = t6 Si x = t6 , entonces t =

√ 6

Luego

x;adem´as cuando x → 64, sucede que t →

√ 6

64 = 2

√ √ x−8 t6 − 8 √ l´ım √ = l´ ım x→8 3 x − 4 t→2 3 t6 − 4 (t3 − 8) = l´ım 2 t→2 t − 4 (t − 2))(t2 + 2t + 4) = l´ım t→2 (t − 2)(t + 2) 2 (t + 2t + 4) = l´ım t→2 (t + 2) 12 = =3 4

√ 3 x−1 Ejemplo 2.14. Calcule l´ım √ 4 x→1 x−1 Soluci´ on. Para eliminar tanto a la ra´ız cuarta como a la ra´ız c´ ubica, obtenemos el m´ınimo com´ un 12 m´ ultiplo de los indices 4 y 3 que es 12, proponemos el cambio de variable x = t Si x = t12 , entonces t = Luego

J. Rodriguez C.

√

12

x; adem´as cuando x → 1, sucede que t →

√

12

1=1

√ √ 3 12 3 x−1 t −1 l´ım √ = l´ım √ 4 12 4 x→1 x − 1 t→1 t − 1 (t4 − 1) = l´ım 3 t→2 t − 1 (t − 1)(t + 1)(t2 + 1) = l´ım t→2 (t − 1)(t2 + t + 1) (t + 1)(t2 + 1) = l´ım t→2 (t2 + t + 1) 4 = 3

50

L. Salas M.

´ AREA DE CIENCIAS BASICAS ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS NOTAS DE CLASE CALCULO DIFERENCIAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .√ ....................................................... x + x − 12 Ejemplo 2.15. Calcule l´ım √ x→9 x−3 Soluci´ on. Para eliminar a la ra´ız cuadrada, proponemos el cambio de variable x = t2 Si x = t2 , entonces t =

√ 2

x; adem´as cuando x → 9, sucede que t →

√ 2

9=3

Luego √ t2 + t − 12 x + x − 12 = l´ım l´ım √ t→3 x→9 t−3 x−3 (t + 4)(t − 3) = l´ım t→3 (t − 3) (t + 4) = l´ım t→3 1 =7

2.6.

L´ımites y Valor Absoluto

Las siguientes propiedades establecen la relaci´on entre los l´ımites y valor absoluto. Ambas se obtienen de forma f´acil a partir de la definici´on de l´ımite y debiera hacerse como ejercicio.

Teorema 2.4. Si l´ım f (x) = L

x→c

entonces, l´ım |f (x)| = |L|

x→c

En particular l´ım |x| = |c|.

x→c

El rec´ıproco es falso como lo muestra la funci´on sign(x). En efecto,   1 si x > 0 0 si x = 0 sign(x) =  −1 si x < 0 por lo que l´ım |sign(x)| = 1

x→0

J. Rodriguez C.

51

L. Salas M.

´ AREA DE CIENCIAS BASICAS ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS NOTAS DE CLASE CALCULO DIFERENCIAL ........................................................................................ mientras que l´ım sign(x) x→0

no existe. No obstante el rec´ıproco es cierto cuando L = 0 pudi´endose afirmar el siguiente resultado Teorema 2.5. Si l´ım f (x) = 0

x→c

si solo si l´ım |f (x)| = 0

x→c

2.7. 2.7.1.

Extensiones del Concepto de L´ımite L´ımites Laterales

Al considerar la definici´on de l´ımite cuando x tiende hacia c se puede exigir que los valores de x sean siempre mayores que c o siempre menores que c. Se obtienen as´ı los conceptos los conceptos de l´ımite por la izquierda y l´ımite por la derecha. Definici´ on 2.2. Sea f una funci´on real de dominio D, c y L n´ umeros reales. Supongamos que D contiene un intervalo de la forma (c, d). Se dice que f tiene l´ımite por la derecha en c si y solo si para cada  > 0 existe un δ > 0 tal que si x ∈ D y c 0 tal que si x ∈ D y c−δ 2

Calcular: J. Rodriguez C.

53

L. Salas M.

´ AREA DE CIENCIAS BASICAS ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS NOTAS DE CLASE CALCULO DIFERENCIAL ........................................................................................ 1.- l´ım f (x) 3.- l´ım f (x) 5.- l´ım f (x) − + x→1

x→1

2.- l´ım f (x)

x→2

4.- l´ım f (x)

6.- l´ım f (x)

x→2−

x→1+

x→2

Soluci´ on. Encontramos que: 1. l´ım− f (x) = l´ım− (−2) = −2 x→1

x→1

2. l´ım+ f (x) = l´ım+ (x2 − 3) = (1)2 − 3 = 1 − 3 = −2 x→1

x→1

3. l´ım f (x) = −2 ya que l´ım− f (x) = l´ım+ f (x) = −2 x→1

x→1

x→1

4. l´ım− f (x) = l´ım− (x2 − 3) = 1 x→2

x→2

5. l´ım+ f (x) = l´ım+ (2 − x) = 0 x→2

x→2

6. l´ım f (x) no existe ya que l´ım− f (x) 6= l´ım+ f (x) x→2

x→2

x→2

Ejemplo 2.18. Dada la funci´on  g(x) =

ax + 11 si x < 3 x2 − 8x + 16 si x > 3.

Determinar el valor de la constante a que asegura la existencia del l´ım g(x). x→3

Soluci´ on. Calculamos l´ım− g(x) = l´ım− (ax + 11) = 3a + 11 x→3

x→3

l´ım g(x) = l´ım+ (x2 − 8x + 16) = 9 − 24 + 16 = 1

x→3+

x→1

Luego: l´ım g(x)

x→3

existe ⇔ l´ım− g(x) = l´ım+ g(x) ⇔ 3a + 11 = 1 ⇔ 3a = −10 ⇔ a = − x→3

x→3

10 3

Ejemplo 2.19. Considerar  f (x) =

x2 + 3 si x ≤ 1 x + 1 si x > 1

 y considerar

g(x) =

x2 si x ≤ 1 2 si x > 1

Calcular: J. Rodriguez C.

54

L. Salas M.

´ AREA DE CIENCIAS BASICAS ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS NOTAS DE CLASE CALCULO DIFERENCIAL ........................................................................................ 1.- l´ım f (x)g(x) 2.- l´ım f (x)g(x) 3.- l´ım f (x)g(x) − + x→1

x→1

x→1

Soluci´ on. Tenemos: l´ım f (x)g(x) = l´ım− f (x) × l´ım− g(x) = l´ım (x2 + 3) × l´ım x2 = 4 × 1 = 4

x→1−

x→1

x→1

x→1

x→1

l´ım f (x)g(x) = l´ım+ f (x) × l´ım+ g(x) = l´ım (x + 1) × l´ım (2) = 2 × 2 = 4

x→1+

x→1

x→1

x→1

x→1

Como ambos limites existen y son iguales a 4 se tiene: l´ım f (x)g(x) = 4

x→1

2.8.

Tipos de L´ımites

2.8.1.

L´ımites Infinitos.

A veces ocurre que cuando aproximamos a un punto los valores que un funci´on toma en sus proximidades se hacen cada vez mayores superando cualquier n´ umero positivo prefijado. En este caso diremos que tiene l´ımite m´as infinito en dicho punto. Por otra parte si los valores se hacen cada vez menores superando cualquier n´ umero negativo prefijado se dice que tiene l´ımite menos infinito en dicho punto. En ambos casos la funci´on no esta acotada y se dice que se “dispara en las proximidades del punto”.

Definici´ on 2.4. Sea f una funci´on real con dominio D. Supongamos que D contiene intervalos de la forma (a, c) y (c, d). Se dice que f tiene l´ımite +∞ en c si y solo si para cada M > 0 existe un δ > 0 tal que si x ∈ D y 0 < |x − c| < δ se verifica f (x) > M En cuyo caso se escribe l´ım f (x) = +∞.

x→c

An´alogamente, Definici´ on 2.5. Sea f una funci´on real con dominio D. Supongamos que D contiene intervalos de la forma (a, c) y (c, d). Se dice que f tiene l´ımite −∞ en c si y solo si para cada N < 0 existe un δ > 0 tal que si x ∈ D y 0 < |x − c| < δ J. Rodriguez C.

55

L. Salas M.

´ AREA DE CIENCIAS BASICAS ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS NOTAS DE CLASE CALCULO DIFERENCIAL ........................................................................................ se verifica f (x) < N En cuyo caso se escribe l´ım f (x) = −∞.

x→c

As´ı mismo existen cuatro tipo posibles de l´ımites laterales infinitos cuya definici´on formal se deja al lector l´ım+ f (x) = +∞ o´ l´ım+ f (x) = −∞ x→c

x→c

l´ım f (x) = +∞ o´

x→c−

l´ım f (x) = −∞

x→c−

Los l´ımites infinitos no son en realidad l´ımites ya que ±∞ no son n´ umeros sino s´ımbolos. No obstante las reglas algebraicas de l´ımites pueden aplicarse siempre que no conduzcan a formas indeterminadas del tipo ∞,

−∞,

∞ × 0,

∞ , ∞

1∞ ,

∞0

Ejemplo 2.20. En la situaci´on del dibujo, se dice que el L´ımite cuando x se acerca por la derecha de c es +∞, ya que a medida que la x se acerca a c, la funci´on se hace cada vez mayor: l´ım+ f (x) = +∞ x→c

de igual forma se puede definir cuando nos acercamos por la izquierda.

J. Rodriguez C.

56

L. Salas M.

´ AREA DE CIENCIAS BASICAS ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS NOTAS DE CLASE CALCULO DIFERENCIAL ........................................................................................ Ejemplo 2.21.

De igual modo se define el l´ımite es −∞ cuando nos acercamos a c (por la derecha o por la izquierda).

Puede ocurrir que uno de los l´ımites laterales sea finito y otro infinito, o cualquier combinaci´on entre ellos, tal como lo demuestra la gr´afica de la derecha

Antes de presentar algunos ejemplos se necesitan dos teoremas de l´ımites que implican l´ımites “infinitos” Teorema 2.6. Si n es cualquier entero positivo, entonces 1.) l´ım+

1 = +∞ xn

2.) l´ım−

1 = +∞ si n es par xn

3.) l´ım−

1 = −∞ si n es impar. xn

x→0

x→0

x→0

Teorema 2.7. Si c es un n´ umero real cualquiera, l´ım f (x) = 0 y l´ım g(x) = M y M 6= 0 entonces x→c

x→c

1.) Si M > 0 y f (x) → 0 a trav´es de valores positivos de f (x), entonces l´ım

x→c

J. Rodriguez C.

57

g(x) = +∞ f (x) L. Salas M.

´ AREA DE CIENCIAS BASICAS ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS NOTAS DE CLASE CALCULO DIFERENCIAL ........................................................................................ g(x) 2.) Si M > 0 y f (x) → 0 a trav´es de valores negativos de f (x), entonces l´ım = −∞ x→c f (x) g(x) = −∞ x→c f (x)

3.) Si M < 0 y f (x) → 0 a trav´es de valores positivos de f (x), entonces l´ım

g(x) = +∞ x→c f (x)

4.) Si M < 0 y f (x) → 0 a trav´es de valores negativos de f (x), entonces l´ım El teorema tambi´en es v´alido si se sustituye x → c por x → c+ o x → c−

El teorema anterior indica una manera de distinguir un limite infinito,adem´as establece la necesidad de hacer uso de los l´ımites laterales para ver si el limite existe o no. Dado que se quiere dejar de lado las tablas y pasar de la intuici´on que estas nos brindan aun punto de vista m´as formal introduciremos la siguiente notaci´on. Nota 2.2. l´ım f (x) = 0 ( o l´ım+ f (x) = 0)

x→b−

x→b

f se va acercando por la derecha a cero entonces se dice que el l´ımite es equivalente a 0+ . Como se ilustra en la gr´afica de la derecha

Del mismo modo l´ım− f (x) = 0 ( x→b

o l´ım+ f (x) = 0) f se va acercando x→b

por la izquierda a cero entonces se dice que el l´ımite es equivalente a 0− . Como se ilustra en la gr´afica de la derecha

Ejemplo 2.22. √ √ 25x−34x √ Calcular l´ım+ √ x→0 3 3 x + 2 4 x Soluci´ on. El m´ınimo com´ un m´ ultiplo de los indices de las ra´ıces es 60, por lo tanto realizando el cambio de variable x = t60 para eliminar las ra´ıces.√Cuando x → 0+ , note que t → 0 (t puede ser positivo o negativo), sin embargo como 4 x = t15 debe ser positivo, entonces J. Rodriguez C.

58

L. Salas M.

´ AREA DE CIENCIAS BASICAS ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS NOTAS DE CLASE CALCULO DIFERENCIAL ........................................................................................ t → 0+ √ √ 25x−34x 2t12 − 3t15 t12 (2 − 3t3 ) √ l´ım+ √ = l´ ım = l´ ım x→0 3 3 x + 2 4 x t→0+ 3t20 + 2t15 t→0+ t15 (3t5 + 2) (2 − 3t3 ) 2 = l´ım+ 3 5 = + = +∞ t→0 t (3t + 2) 0

Ejemplo 2.23. Calcular l´ım− x→3

[|x|] − x 3−x

Soluci´ on.

l´ım−

x→3

2.8.2.

2−3 [|x|] − x = + 3−x 0 −1 = + = −∞ 0

L´ımites en el Infinito.

Hasta ahora hemos considerado lo que ocurre a los valores de una funci´on conforme la variable independiente se acerca m´as y m´as a un n´ umero real concreto es decir cuando x tiende a un n´ umero real finito c. A veces interesa saber lo que ocurre cuando la variable independiente se aleja m´as y m´as de cualquier n´ umero real, siempre en sentido positivo o bien siempre en sentido negativo, es decir cuando x tiende a +∞ o −∞ seg´ un sea el caso. Formalmente: Definici´ on 2.6. Sea f una funci´on real con dominio D. Supongamos que D contiene un intervalo de la forma (a, +∞). Se dice que f tiene l´ımite L en +∞ si y s´olo si para cada  > 0 existe un n´ umero real N > 0 tal que si x ∈ D y x>N se verifica |f (x) − L| < . En cuyo caso se escribe l´ım f (x) = L

x→+∞

An´alogamente, Definici´ on 2.7. Sea f una funci´on real con dominio D. Supongamos que D contiene un intervalo de la forma (−∞, a). Se dice que f tiene l´ımite L en −∞ si y s´olo si para cada  > 0 existe un n´ umero real N < 0 tal que si x ∈ D y x 0; por tanto, |x| = x. As´ı se tiene 4x 2 + 4x + 2 x l´ım √ = l´ım rx x→+∞ 2x2 − 1 x→+∞ 1 2− 2 x 2 x→+∞ x→+∞ x =r 1 l´ım 2 − l´ım 2 x→+∞ x→+∞ x 4+0 4 =√ =√ 2−0 2 l´ım 4 + l´ım

2. Como el mayor exponente de x es √ 2 y se tiene bajo el signo radical, se divide el numerador y el denominador entre x2 , que equivale a |x|. Al efectuar la divisi´on se tiene, 4x + 2 l´ım f (x) = l´ım √ x→−∞ 2x2 − 1 2 4x √ +√ 2 x2 = l´ım √x x→−∞ 2x2 − 1 √ x2 2 4x + |x| |x| = l´ım r x→−∞ 1 2− 2 x

x→−∞

Debido a que x → −∞, x < 0; por tanto, |x| = −x. As´ı se tiene 4x 2 + 4x + 2 −x x l´ım √ = l´ım r 2 x→−∞ x→−∞ 2x − 1 1 2− 2 x 2 l´ım −4 + l´ım x→−∞ x→−∞ x =r 1 l´ım 2 − l´ım 2 x→−∞ x→−∞ x −4 −4 + 0 =√ =√ 2−0 2

J. Rodriguez C.

62

L. Salas M.

´ AREA DE CIENCIAS BASICAS ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS NOTAS DE CLASE CALCULO DIFERENCIAL ........................................................................................
√ √ Ejemplo 2.26. Calcule l´ım x − 1 − 2x − 1 x→∞

Soluci´ on. Note que si se sustituye x por infinito se obtiene una forma indeterminada ∞ − ∞.
√ √ √ √ √ √

x − 1 + 2x − 1
√ l´ım x − 1 − 2x − 1 = l´ım x − 1 − 2x − 1 √ x→∞ x→∞ x − 1 + 2x − 1 −x
√ = l´ım √ x→∞ x − 1 + 2x − 1 −x r = l´ım r x→∞
1 1 2 1
 x 2 − 2 + x2 − 2 x x x x −x r = l´ım r 1 x→∞ 1
1
 2 |x| − − + x x2 x x2 Como x → ∞ se tiene que x > 0, as´ı que |x| = x entonces l´ım

x→∞

√

x−1−

√

−x r r 1 1
1
 2 − 2 + − 2 x x x x x −1 r = l´ım r x→∞ 1
1
 1 2 − 2 + − 2 x x x x −1 = + = −∞ 0


2x − 1 = l´ım

x→∞

5

1

3x 3 − 2x 3 + 1 √ Ejemplo 2.27. Calcule l´ım 4 x→−∞ 2x 3 + 2x − 2 3 x5 3 Soluci´ on. Realizando la sustituci´on x = t3 para eliminar las ra´ıces, se obtiene: 5

1

3x 3 − 2x 3 + 1 3t5 − 2t + 1 √ l´ım = l´ ım 4 x→−∞ 2x 3 + 2x − 2 3 x5 x→−∞ 2t4 + 2t3 − 2 t5 3 3 1 1 3−2 4 + 5 t t = l´ım 2 2 x→−∞ 2 + − t t2 3 3 9 = 2 =− 2 −3

J. Rodriguez C.

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L. Salas M.

´ AREA DE CIENCIAS BASICAS ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS NOTAS DE CLASE CALCULO DIFERENCIAL ........................................................................................ Ejemplo 2.28. Considere la funci´on  x−1  √ si x ≤ −1    x2 − 2x − x h(x) = √     x+5−2 si x > −1 x+1 a) Calcule l´ım h(x) x→−∞

b) ¿Existe el l´ım h(x)? Justifique su repuesta. x→−1

Soluci´ on. √ a) Como x → −∞, se tiene x = −|x| = − x2 , entonces dividiendo numerador y denominador entre x x−1 x2 − 2x − x 1 1− x = √ 2 x − 2x −1 x 1 1− x = √ x2 − 2x − √ −1 x2 1 1− x = −r 2 x − 2x −1 x2 1 1− x = −r 2 1− −1 x

h(x) = √

Por lo que 1 − x1 1 l´ım h(x) = l´ım − q =− x→−∞ x→−∞ 2 1 − x2 − 1 b) Calculemos los limites laterales de h(x) en x = −1. Multiplicando numerador y J. Rodriguez C.

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L. Salas M.

´ AREA DE CIENCIAS BASICAS ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS NOTAS DE CLASE CALCULO DIFERENCIAL ........................................................................................ √ denominador por x + 5 + 2 se tiene √ √ x+5−2 x+5+2 √ h(x) = x+1 x+5+2 x+5−4 √ = (x + 1)( x + 5 + 2) (x + 1) √ = (x + 1)( x + 5 + 2) 1 = √ ( x + 5 + 2) Entonces

1 1 1 l´ım + h(x) = l´ım √ =√ = x→−1 ( x + 5 + 2) x→−1 4 4+2

y tambi´en −1 − 1 −2 x−1 l´ım − h(x) = l´ım √ =p =√ 2 2 x→−1 x→−1 x − 2x − x 3+1 (−1) − 2(−1) − (−1) Por lo tanto no existe el l´ım h(x), ya que l´ım + h(x) 6= l´ım − h(x) →−1

x→−1

x→−1

Ejemplo 2.29. √
Calcular: l´ım 3 x3 + 2x2 − x x→−∞

Soluci´ on. l´ım

x→−∞

√ 3


 1 x3 + 2x2 − x = l´ım (x3 + 2x2 ) 3 − x x→−∞  3   1 2 1 (x + 2x2 ) 3 − x (x3 + 2x2 ) 3 + (x3 + 2x2 ) 3 x + x2 = l´ım   2 1 x→−∞ (x3 + 2x2 ) 3 + (x3 + 2x2 ) 3 x + x2 (x3 + 2x2 ) − x3 = l´ım   2 1 x→−∞ (x3 + 2x2 ) 3 + (x3 + 2x2 ) 3 x + x2 2x2 = l´ım  2  1 x→−∞ x3 (x + x2 ) 3 + x x3 (1 + x2 ) 3 + x2 2x2 = l´ım 2 1 x→−∞ x2 (x + 2 ) 3 + x2 (1 + 2 ) 3 + x2 x x 2x2 = l´ım   2 1 x→−∞ x2 (x + 2 ) 3 + (1 + 2 ) 3 + 1 x x 2 2 2 = l´ım = = 2 1 x→−∞ (x + 2 ) 3 + (1 + 2 ) 3 + 1 1+1+1 3 x

J. Rodriguez C.

x

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L. Salas M.

´ AREA DE CIENCIAS BASICAS ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS NOTAS DE CLASE CALCULO DIFERENCIAL ........................................................................................ Ejemplo 2.30. Dada la funci´on  √ 5x2 + 3x + 1   √  si x ≤ −4   2x2 − 3 f (x) =   16 − x2   √  si −4 < x < 1 5 − x2 + 9 Determinar los l´ımites laterales en x = −4 y el l´ımite en −∞. Soluci´ on. Tenemos para x 6= 0 r  3 1 2 5+ √ x + 5x2 + 3x + 1 x x2 = r  f (x) = √ 2x2 − 3 3 x2 2 − 2 x r  3 1 |x| 5+ + 2 x x r = 3 2− 2 |x| x r 3 1 5+ + 2 x x = r 3 2− 2 x Por lo tanto

r

1 3 √ 5+ + 2 5 x x r =√ l´ım f (x) = l´ım  x→−∞ x→−∞ 2 3 2− 2 x Cuando x → −4− el l´ımite lo calculamos por evaluaci´on p 5(−4)2 + 3(−4) + 1 69 p l´ım − f (x) = = x→−4 29 2(−4)2 − 3 Cuando x → −4+ , se cumple que −4 < x < 1. Se tiene que √ 16 − x2 16 − x2  5 + x2 + 9  √ √ √ f (x) = = 5 − x2 + 9 5 − x2 + 9 5 + x2 + 9 √ √ (16 − x2 )(5 + x2 + 9) (16 − x2 )(5 + x2 + 9) = = 25 − (x2 + 9) 16 − x2 + 9 √ = 5 + x2 + 9 J. Rodriguez C.

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L. Salas M.

´ AREA DE CIENCIAS BASICAS ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS NOTAS DE CLASE CALCULO DIFERENCIAL ........................................................................................ Por lo tanto √ √ l´ım + f (x) = l´ım + (5 + x2 + 9) = 5 + 25 = 10 x→−4

2.9.

x→−4

As´ıntotas

Una primera aplicaci´on del c´alculo de l´ımites consiste en el c´alculo de las as´ıntotas de una funci´on. Hay tres tipos de as´ıntotas: Verticales, Horizontales y Oblicuas (aunque de hecho las as´ıntotas horizontales son un caso particular de ´estas.)

2.9.1.

As´ıntotas Verticales

Definici´ on 2.8. Una as´ıntota vertical de una funci´on f (x) es una recta vertical x = c si al menos uno de los enunciados es verdadero: l´ım f (x) = +∞

x→c+

l´ım f (x) = −∞

x→c+

l´ım f (x) = +∞

x→c−

l´ım f (x) = −∞

x→c−

Las posibles as´ıntotas verticales de una funci´on se encuentran entre los puntos que no est´an en el dominio de la funci´on, aquellos que anulan el denominador en las funciones racionales,etc... Para determinar si un punto constituye una as´ıntota vertical de la funci´on, se tiene que cumplir que alguno de los l´ımites laterales de la funci´on en el punto sea ±∞. En tal caso,se dir´a que la funci´on posee una as´ıntota vertical en dicho punto por el lado en el cu´al dicho l´ımite sea ±∞. Ejemplo 2.31. Determine la as´ıntota vertical de la gr´afica de la funci´on f y dibujarla. √ f (x) = J. Rodriguez C.

x2 − 9 x−3

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L. Salas M.

´ AREA DE CIENCIAS BASICAS ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS NOTAS DE CLASE CALCULO DIFERENCIAL ........................................................................................ Soluci´ on:. √ p x2 − 9 Calculemos el l´ım+ , como x → 3+ , x − 3 > 0; de modo que x − 3 = (x − 9)2 . x→3 x−3 As´ı p √ (x − 3)(x + 3) x2 − 9 p l´ım+ = l´ım+ x→3 x→3 x−3 (x − 3)2 p p (x − 3) (x + 3) = l´ım+ p √ x→3 (x − 3) x − 3 p (x + 3) = l´ım+ √ x→3 x−3 √ 6 = + = +∞ 0 Por lo tanto x = 3 es una as´ıntota vertical

´ GRAFICA 2.9.2.

As´ıntotas Horizontales

Definici´ on 2.9. La recta y = b es una as´ıntota horizontal de la gr´afica de la funci´on f si al menos una de las proposiciones siguientes es verdadera: l´ım f (x) = b

x→+∞

l´ım f (x) = b

x→−∞

Las as´ıntotas horizontales, si existen, indican el valor al que se acerca la funci´on cuando la variable independiente x se hace muy grande o muy peque˜ na. Ejemplo 2.32. Obtenga las as´ıntotas horizontales de la gr´afica de la funci´on definida por f (x) = √

x x2 + 4

y util´ıcelas para dibujar la gr´afica de f Soluci´ on. Primero hallaremos l´ım f (x) x→∞

l´ım f (x) = l´ım √

x→∞

x→∞

J. Rodriguez C.

x x2 + 4 68

L. Salas M.

´ AREA DE CIENCIAS BASICAS ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS NOTAS DE CLASE CALCULO DIFERENCIAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .√ ............................................. Dividiendo numerador y denominador por x2 tenemos x √ 2 x l´ım √ = l´ım r x 2 x→∞ x + 4 x→∞ x2 4 + 2 2 x x x |x| = l´ım r x→∞ 4 1+ 2 x Como x → +∞, x > 0; por tanto |x| = x. As´ı, x x l´ım √ = l´ım r x x→∞ x2 + 4 x→∞ 4 1+ 2 x l´ım 1 = r x→∞ 4 1 + l´ım 2 x→∞ x 1 =√ =1 1+0 Por lo tanto y = 1 es una as´ıntota horizontal de la gr´afica de f . Ahora consideraremos l´ım f (x) x→−∞

l´ım f (x) = l´ım √

x→−∞

x→−∞

x x2 + 4

Dividiendo numerador y denominador por

√ x2 tenemos

x √ 2 x l´ım √ = l´ım r x x→−∞ x2 + 4 x→−∞ x2 4 + x2 x2 x |x| = l´ım r x→∞ 4 1+ 2 x J. Rodriguez C.

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L. Salas M.

´ AREA DE CIENCIAS BASICAS ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS NOTAS DE CLASE CALCULO DIFERENCIAL ........................................................................................ Como x → −∞, x < 0; por tanto |x| = −x. As´ı, x x l´ım √ = l´ım r −x 2 x→−∞ x + 4 x→−∞ 4 1+ 2 x l´ım −1 x→−∞ =r 4 1 + l´ım 2 x→∞ x −1 =√ = −1 1+0 As´ı que y = −1 es una as´ıntota horizontal de la gr´afica de f .

´ GRAFICA 2.9.3.

As´ıntotas Oblicuas

Definici´ on 2.10. La recta y = mx + b es una as´ıntota oblicua de la gr´afica de la funci´ on f si al menos una de las proposiciones siguientes es verdadera: l´ım [f (x) − mx − b] = 0

x→+∞

l´ım [f (x) − mx − b] = 0

x→−∞

Nota 2.3. Una recta y = mx + n es una as´ıntota oblicua de la funci´on f (x) cuando existen y son  finitos  los l´ımites: f (x) m = l´ım y x→∞ x n = l´ım (f (x) − mx) x→∞ Las as´ıntotas horizontales son un caso particular de las oblicuas para el caso en que m = 0. Ejemplo 2.33. Estudiar las as´ıntotas oblicuas de f (x) =

x2 x+1

Soluci´ on:.

2  x    x2 x + 1 Calculemos m y n: m = l´ım = l´ım =1 x→∞ x x2 + x  2  x→∞  2    x x − x2 − x −x n = l´ım −x = = = −1 x→∞ x+1 x+1 x+1 Por lo tanto f (x) tiene una as´ıntota oblicua en y = x − 1 cuando x → +∞.

Podemos comprobar que cuando x → −∞ tiene la misma as´ıntota oblicua. As´ı que la gr´afica de la funci´on es

J. Rodriguez C.

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L. Salas M.

´ AREA DE CIENCIAS BASICAS ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS NOTAS DE CLASE CALCULO DIFERENCIAL ........................................................................................

3x2 Ejemplo 2.34. Para la funci´on f definida por f (x) = √ determine: x2 − 9 a. Dominio y ra´ıces. b. As´ıntotas verticales y horizontales. c. Bosquejo gr´afico. Soluci´ on. S a. D = {x ∈ R | x2 −9 > 0} = {x ∈ R | (x−3)(x+3) > 0} = (−∞, −3) (3, ∞) 3x2 √ = +∞ ⇒ x = 3 b. l´ım+ x→2 x2 − 9

es una as´ıntota vertical.

Como f es par, entonces x = −3 tambi´en es as´ıntota vertical y l´ım − f (x) = +∞ x→−2

3x2 4 = l´ım √ x→±∞ x2 − 9 x→±∞ 1 x2 − 9 x2 4 = l´ım √ 2 x→±∞ x −9 √ x4 4 = +∞ = l´ım r x→±∞ 1 9 − x2 x4 Por lo tanto f no tiene as´ıntotas horizontales l´ım √

c. La gr´afica de la funci´on f es:

J. Rodriguez C.

71

L. Salas M.

´ AREA DE CIENCIAS BASICAS ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS NOTAS DE CLASE CALCULO DIFERENCIAL ........................................................................................

2.10.

Funciones Continuas

El t´ermino continuo tiene el mismo sentido en matem´aticas que en el lenguaje ordinario. As´ı se dice que una funci´on es continua a lo largo de un intervalo incluido en su dominio la gr´afica no presenta interrupciones o saltos. Es decir, cuando no es necesario levantar el l´apiz del papel para dibujarla. Las funciones continuas son las funciones que normalmente describen los fen´omenos del mundo alrededor nuestro. As´ı ocurre con la posici´on de un veh´ıculo o con su velocidad. No obstante se conocen tambi´en fen´omenos que no presentan este comportamiento. Por ejemplo, los ´atomos de una mol´ecula de hidr´ogeno solo pueden vibrar a determinados niveles discretos de energ´ıa, los ´atomos emiten luz en frecuencias discretas y no es un espacio continuo, etc. Definici´ on 2.11. Sea f una funci´on real con dominio D. Se dice que f es continua en el punto c si y s´olo si: 1. f est´a definida en c, es decir c ∈ D. 2. Existe l´ımite de f cuando x tiende a c. 3. Se verifica l´ım f (x) = f (c)) x→c

Si en las condiciones 2 y 3 de la definici´on anterior se substituye el l´ımite cuando x → c por el l´ımite cuando x → c+ (resp. x → c− ) diremos que la funci´on es continua por la derecha o continua por la izquierda respectivamente en c. Una funci´on es continua en un intervalo abierto (a, b) ⊂ D si es continua en cada punto c ∈ (a, b). Cuando una funci´on digamos que es continua en un intervalo cerrado [a, b] J. Rodriguez C.

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L. Salas M.

´ AREA DE CIENCIAS BASICAS ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS NOTAS DE CLASE CALCULO DIFERENCIAL ........................................................................................ entenderemos que se trata de una funci´on continua en el intervalo (a, b), continua por la derecha en a y continua por la izquierda en b. Una funci´on se dice que es continua si es continua en punto de su dominio D.

2.10.1.

Discontinuidades

Cuando una funci´on f no sea continua en un punto c perteneciente a su dominio diremos que es discontinua en dicho punto. Tambi´en diremos que es discontinua en aquellos puntos que no perteneciendo al dominio si existen intervalos a izquierda y derecha de dichos puntos completamente contenidos en el dominio de la funci´on. Un tipo particular de discontinuidades se producen cuando existe l´ımite L de f cuando x tiende a c pero f no est´a definida en c o bien f (c) 6= L. En este caso se dice que f presenta una discontinuidad evitable en c ya que basta redefinir f haciendo f (c) = L para que sea continua en ese punto. En los dem´as casos, es decir cuando no existe el l´ımite, diremos que las discontinuidades son no evitables. En concreto, si existen los l´ımites por la izquierda y por la derecha en c pero ´estos no coinciden entre s´ı, se dice que f presenta una discontinuidad de salto y cuando no exista uno o ambos l´ımites laterales se dice que la discontinuidad es esencial. Ejemplo 2.35. La funci´on  f (x) =

2x − 1 si x 6= 1 3 si x = 1

Soluci´ on. En efecto, l´ım f (x) = l´ım(2x − 1) = 1 6= f (1) = 3 →1

→1

Por tanto la funci´on no es continua en x = 1. La discontinuidad es evitable ya que basta definir f ∗ (1) = 1 para que la nueva funci´on ∗

f (x) =



2x − 1 si x 6= 1 3 si x = 1

sea ahora continua. Ejemplo 2.36. La funci´on f (x) =

sen x x

presenta una discontinuidad evitable en x = 0. J. Rodriguez C.

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L. Salas M.

´ AREA DE CIENCIAS BASICAS ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS NOTAS DE CLASE CALCULO DIFERENCIAL ........................................................................................

Figura 2.1: Discontinuidad evitable Soluci´ on. La expresi´on no esta definida en x = 0 por tanto la funci´on no es continua en dicho punto. No obstante, hemos demostrado que sen x =1 x→0 x l´ım

Por consiguiente, definiendo  sen x  si x 6= 0  x ∗ f (x) =   1 si x = 0 es continua en toda la recta. Dicha funci´on se conoce como la extensi´on continua de f (x).

Figura 2.2: Discontinuidad evitable en x = 0 Ejemplo 2.37. La funci´on f (x) =

1 x2

presenta una discontinuidad esencial en x = 0. J. Rodriguez C.

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L. Salas M.

´ AREA DE CIENCIAS BASICAS ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS NOTAS DE CLASE CALCULO DIFERENCIAL ........................................................................................ Soluci´ on. En efecto, no existe l´ımite finito cuando x tiende a 0, la funci´on se hace cada mas grande en las proximidades de x = 0. Independientemente del valor que asignemos a la funci´on en 0 la discontinuidad sigue presente. Se dice que es una discontinuidad infinita.

Figura 2.3: Discontinuidad infinita en x = 0 Ejemplo 2.38. La funci´on 1 f (x) = sen , x presenta una discontinuidad esencial en x = 0.

x 6= 0

Soluci´ on. La funci´on oscila infinitamente entre +1 y -1 en las proximidades de x = 0. Por tanto, no existe l´ımite. La funci´on presenta una discontinuidad oscilatoria.

Figura 2.4: Discontinuidad Oscilatoria en x = 0

Ejemplo 2.39. Dada f (x) =

x2 + 5x , obtener: x2 + 4x − 5

a. Puntos de discontinuidad y su clasificaci´on b. As´ıntotas verticales y horizontales. J. Rodriguez C.

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L. Salas M.

´ AREA DE CIENCIAS BASICAS ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS NOTAS DE CLASE CALCULO DIFERENCIAL ........................................................................................ c. Esbozo de la gr´afica Soluci´ on. a. Como x2 + 4x − 5 = (x + 5)(x − 1) = 0 ⇔ x = −5 x = 1 resulta que el dominio es D = R − {−5, 1} Calculemos l´ım f (x) y l´ım± f (x). x→−5

x→1

f (x) =

x x(x + 5) = (x − 1)(x + 5) x−1

Por lo que

x −5 5 = = x−1 −5 − 1 6 y la discontinuidad en x = −5 es removible. l´ım f (x) = l´ım

x→−5

x→−5

En cambio

x = ±∞ x→1 x→1 x − 1 y la discontinuidad en x = 1 es esencial infinita. l´ım± f (x) = l´ım±

b. Acabamos de probar que la recta x = 1 es as´ıntota vertical. Para hallar las as´ıntotas horizontales calculamos x 1 l´ım f (x) = l´ım =1 = x→±∞ x→±∞ x − 1 1 − x1 Por lo que la recta y = 1 es as´ıntota horizontal. c. Sabemos que f (0) = 0. La gr´afica de la funci´on f es:

J. Rodriguez C.

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L. Salas M.

´ AREA DE CIENCIAS BASICAS ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS NOTAS DE CLASE CALCULO DIFERENCIAL ........................................................................................

2.10.2.

Operaciones con Funciones Continuas

La regla del c´alculo proporcionan las siguientes propiedades de las funciones continuas. Teorema 2.9. Sean f y g funciones con el mismo dominio D, f y g son continuas en c. Entonces

c ∈ D y supongamos que

1. La funci´on suma f + g es continua en c. 2. La funci´on diferencia f − g es continua en c. 3. la funci´on producto por una constante kf es continua en c. 4. La funci´on producto f g es continua en c. 5. La funci´on cociente f /g es continua en c, siempre que g(c) 6= 0. √ 6. la funci´on n f es continua en c. 7. La funci´on |f | es continua en c. El siguiente resultado nos asegura que el s´ımbolo de l´ımite y las funciones continuas son intercambiables. Teorema 2.10 (L´ımites y composici´ on). Sean f y g funciones reales. Si l´ım f (x) = L x→c

y g es continua en L se verifica l´ım g(f (x)) = g(L)

x→c

es decir l´ım g(f (x)) = g(l´ım f (x))

x→c

x→c

Corolario 2.2. La composici´on de funciones continuas es a su vez continua. Teorema 2.11. Sea f una funci´on uno-uno definida en un intervalo I. Entonces, si f es continua, su inversa f −1 es as´ı mismo continua. Ejemplo 2.40. Considere la funci´on  3x2 − a si x < 1    b√ si x = 1 g(x) =  x + 3 − 2   si x > 1 x2 − 1 Determinar los valores a y b para que la funci´on g sea continua en x = 1. J. Rodriguez C.

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L. Salas M.

´ AREA DE CIENCIAS BASICAS ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS NOTAS DE CLASE CALCULO DIFERENCIAL ........................................................................................ Soluci´ on. Para que g sea continua en x = 1, se tiene que cumplir que l´ım g(x) = g(1) es decir que x→1

l´ım g(x) = b Calculemos

x→1

√ l´ım+ g(x) = l´ım+

x→1

x→1

= l´ım+ x→1

= l´ım+ x→1

= l´ım+ x→1

= l´ım+ x→1

x+3−2 x2 − 1
√
√ x+3−2 x+3+2
√
x2 − 1 x+3+2 x+3−4

√
x−1 x+1 x+3+2 x−1

√
x−1 x+1 x+3+2 1 1 1
√
= √ = 8 x+1 x+3+2 (1 + 1)( 1 + 3 + 2)

1 As´ı, l´ım+ g(x) = b ⇒ b = . x→1 8 Por otra parte l´ım− g(x) = 3 − a ⇒ 3 − a = x→1

2.10.3.

23 1 ⇒a= 8 8

Continuidad de las Funciones Elementales

Ya sabemos que las funciones polin´omicas son continuas en tods los puntos y tambi´en las racionales salvo en los ceros del denominador. Tambi´en es f´acil analizar la continuidad de las funciones algebraicas. Por ejemplo f (x) =

√

x

es continua para todo x > 0. Es continua por la derecha en x = 0 y no est´a definida para x < 0. En general las funciones algebraicas son continuas en aquellos puntos en que son v´alidas las reglas del cociente y la de los radicales. Es decir se deben excluir los ceros de los denominadores y los puntos en que los subradicandos correspondientes a los radicales pares sean negativos. En los ceros de estos radicales se examina la continuidad lateral.

2.10.4.

Regla del Emparedado

Teorema 2.12. Sean f , g y h tres funciones definidas en D tales que f (x) ≤ h(x) ≤ g(x) J. Rodriguez C.

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L. Salas M.

´ AREA DE CIENCIAS BASICAS ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS NOTAS DE CLASE CALCULO DIFERENCIAL ........................................................................................ para todo x ∈ D. Supongamos que D contiene intervalos de la forma (a, c) y (c, b) y que l´ım f (x) = l´ım g(x) = L

x→c

x→c

Entonces l´ım h(x) = L

x→c

Demostraci´ on. Dado que f (x) ≤ h(x) ≤ g(x) Entonces l´ım f (x) ≤ l´ım h(x) ≤ l´ım g(x)

x→c

x→c

x→c

As´ı que L ≤ l´ım h(x) ≤ L x→c

Por tanto l´ım h(x) = L

x→c

Teorema 2.13. l´ım sen x = 0 y

x→0

l´ım cos x = 1

x→0

Demostraci´ on. Consideremos el tri´angulo ABC de la figura contenido en la circunferencia de radio unidad. Mediante la f´ormula de Pit´agoras y teniendo en cuenta que la longitud de la cuerda AB

d se deduce es menor que la del arco AB 2 2 2 d = x2 AB + AC = AB < AB

J. Rodriguez C.

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L. Salas M.

´ AREA DE CIENCIAS BASICAS ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS NOTAS DE CLASE CALCULO DIFERENCIAL ........................................................................................ Pero BC = sen x y AC = 1 − cos x. Por tanto, sen2 x + (1 − cos x)2 < x2 Por consiguiente, −|x| < sen x < |x| y

− |x| < 1 − cos x < |x|

o bien, −|x| < sen x < |x| y 1 − |x| < cos x < 1 + |x| Cuando x tiende a 0, tambi´en —x— tiende a 0. Por tanto, por la regla del emparedado resulta l´ım sen x = 0 y l´ım cos x = 1 x→0

x→0

Teorema 2.14. sen x =1 x→0 x l´ım

Este l´ımite constituye otro ejemplo de la forma indeterminada del tipo 0/0. Demostraci´ on. Ahora consideraremos la circunferencia de radio unidad y los tri´angulos OAB y OCB de la figura. Para un arco positivo x suficientemente peque˜ no el a´rea del tri´angulo OAB es menor que

la del sector OAB correspondiente y ´esta a su vez menor que la del tri´angulo OCB. Es decir; 1 1 1 sen x < x < tan x 2 2 2 multiplicando por 2 y dividiendo por sen x se obtiene 1< J. Rodriguez C.

x 1 < senx cos x 80

L. Salas M.

´ AREA DE CIENCIAS BASICAS ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS NOTAS DE CLASE CALCULO DIFERENCIAL ........................................................................................ Tomando rec´ıprocos resulta sen x cos x < < 1. x Dicha relaci´on es v´alida tambi´en es v´alida, para arcos negativos ya que cos x = cos(−x)
0 existe un δ > 0 tal que: f (c) −  < f (x) < f (c) +  siempre que c − δ < x < c + δ Tomando el δ correspondiente a  = transforma en

(2.1)

f (c) (esta epsilon es positiva) entonces (2.1) se 2

f (c) f (c) < f (x) < 3 siempre que c − δ < x < c + δ 2 2 As´ı que f (x) > 0 en este intervalo y por tanto f (x) y f (c) tienen el mismo signo. Si

f (c) < O se toma  = −

f (c) y se llega a la misma conclusi´on. 2

Teorema 2.16. Teorema de Bolzano. Sea f continua en cada punto del intervalo cerrado [a, b] y supongamos que f (a) y f (b) tienen signos opuestos. Existe entonces por lo menos un c en el intervalo abierto (a, b) tal que f (c) = 0. Demostraci´ on. Supongamos que f (a) < 0 y f (b) > 0 tal como se muestra en la figura Definamos S = {x ∈ [a, b] f (x) ≤ 0}, S 6= ya que f (a) < 0. S est´a acotado superiormente puesto que es un conjunto no vac´ıo de n´ umeros reales, as´ı que tiene extremo superior al cual lo llamaremos c. Probaremos que f (c) = 0. J. Rodriguez C.

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L. Salas M.

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Como f (c) es un n´ umero real entonces f (c) > 0, o , f (c) < 0, o , f (c) = 0. Si f (c) > 0 entonces existe un intervalo (c − δ, c + δ) tal que f (x) > 0 para todo x ∈ (c − δ, c + δ). Por tanto ning´ un punto de S puede ser mayor que c − δ, luego c − δ es una cota superior de S, pero c − δ < c y c = sup S absurdo, por lo tanto f (c) 6> 0. Si f (c) < 0, entonces existe un intervalo (c − δ, c + δ) o [c, c + δ) si c = a, en el cual f es negativa y por tanto f (x) < 0 para alg´ un x > c, luego c no es una cota superior de S, absurdo. Por lo tanto f (c) 6< 0 y queda s´olo la posibilidad f (c) = 0 y adem´as a < c < b puesto que f (a) < 0 y f (b) > 0.

2.12.

Teorema del valor intermedio para funciones continuas

La propiedad de los valores intermedios expresa que una funci´on continua en un intervalo [a, b] toma, al menos una vez todos los valores comprendidos entre los valores alcanzados en los extremos a y b. As´ı un ascensor de un edificio de 10 plantas que sube primero desde la planta baja a la s´eptima para bajar a la cuarta y luego subir a la u ´ltima, ha pasado alguna vez por cada una de las plantas. Teorema 2.17 (Propiedad de los valores intermedios). Sea f una funci´on continua en el intervalo cerrado [a, b].Si x1 < x2 son dos puntos cualesquiera de [a, b] tales que f (xl ) 6= f (x2 ), la funci´on f toma todos los valores comprendidos entre f (x1 ) y f (x2 ) por lo menos una vez en el intervalo (x1 , x2 ). Demostraci´ on. Supongamos que f (x1 ) < f (x2 ) y sea λ tal que f (x1 ) < λ < f (x2 ). Sea g(x) = f (x) − λ una funci´on definida en [x1 , x2 ]. g es continua en cada punto de [x1 , x2 ] y se tiene:

J. Rodriguez C.

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L. Salas M.

´ AREA DE CIENCIAS BASICAS ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS NOTAS DE CLASE CALCULO DIFERENCIAL ........................................................................................ g(xl ) = f (xl ) − λ < 0 y g(x2 ) = f (x2 ) − λ > 0. Aplicando el Teorema de Bolzano a g existe un c ∈ (x1 , x2 ) tal que g(c) = 0 entonces existe un c ∈ (x1 , x2 ) tal que f (c) = λ Aunque el teorema asegura la existencia de un punto c en el que alcanza el valor intermedio λ, no dice como encontrarlo. Para ello es necesario resolver la ecuaci´on f (x) = λ. Gr´aficamente el teorema significa que toda linea horizontal comprendida entre las l´ıneas horizontales correspondientes a f (a) y f (b) debe cortar a la gr´afica de f al menos una vez. En particular si una funci´on continua en un intervalo es positiva en un extremo y negativa en el otro, debe ser cero en alg´ un punto del intervalo. Esto permite localizar las soluciones de una ecuaci´on f (x) = 0, siempre que f sea continua, buscando intervalos en que la funci´on cambie de signo. Corolario 2.4 (Teorema de Bolzano). Sea f una funci´on continua en el intervalo cerrado [a, b] y supongamos que f (a) y f (b) son de signos distintos y ninguno cero. Entonces, existe al menos un c ∈ (a, b) tal que f (c) = 0, es decir la ecuaci´on f (x) = 0 posee al menos una ra´ız entre a y b.

2.13.

Propiedad de los Valores Extremos

Teorema 2.18. [Propiedad de los valores extremos] Sea f una funci´on continua en el intervalos cerrado [a, b]. Existe un c ∈ [a, b] tal que f (c) es un valor m´aximo, es decir f (x) ≤ f (c) para toda x ∈ [a, b]. Asimismo, existe existe un d ∈ [a, b] tal que f (d) es un valor m´ınimo, es decir f (d) ≤ f (x) para todo x ∈ [a, b] El teorema asegura que una funci´on continua en un intervalo cerrado siempre alcanza un m´aximo y un m´ınimo absoluto en dicho intervalo. Lo que no dice es cu´antas veces se alcanzan, ni donde, ni como localizarlos. A pesar de ello el teorema es de gran utilidad pr´actica como se ver´a m´as adelante.

J. Rodriguez C.

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L. Salas M.

Cap´ıtulo 3 Derivada 3.1.

Introducci´ on

Los or´ıgenes del C´alculo estuvieron motivados por el deseo de resolver diversos problemas vinculados al movimiento de los cuerpos, as´ı como problemas de tipo geom´etrico de im´ portancia en Optica y problemas de c´alculo de valores m´aximos y m´ınimos de una funci´on dada. Simplificando, podemos destacar dos problemas principales: R Determinar la tangente a una curva en un punto (el problema de las tangentes). R Determinar el a´rea encerrada por una curva (el problema de las cuadraturas). Son los conceptos de derivada e integral, respectivamente, los que permiten resolver satisfactoriamente dichos problemas. Mientras que el concepto de integral tiene sus ra´ıces en la antig¨ uedad cl´asica, la otra idea fundamental del C´alculo, la derivada, no se formul´o hasta el siglo XVII. Fue el descubrimiento efectuado por Sir Isaac Newton (1642 - 1727) y Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 - 1716) de la relaci´on entre estas dos ideas, tan dispares en apariencia, lo que inici´o el magn´ıfico desarrollo del C´alculo. Si bien los trabajos de Newton y Leibniz son decisivos por sus aportaciones e influencia, no hay que olvidar que ellos son el punto culminante de un largo proceso en el que han participado cient´ıficos de la talla de Johannes Kepler (1571 - 1630), Ren´e Descartes (1596 - 1650), Pierre de Fermat (1601 - 1665), John Wallis (1616 -1703) e Isaac Barrow (1630 - 1677) en

3.2.

La recta tangente

En la primera mitad del siglo XVII no se conoc´ıan m´etodos generales para calcular la tangente a una curva en un punto de la misma. Este problema se presentaba con frecuencia en mec´anica, en ´optica y en geometr´ıa, y generalmente se resolv´ıa, de forma geom´etrica, con t´ecnicas adaptadas a cada caso particular. La dificultad est´a en que, siendo la tangente una recta, se precisa conocer dos puntos de la misma, o bien un punto y su pendiente, para poderla determinar. 87

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3.2.1.

Idea intuitiva de recta tangente.

Todo el mundo tiene una idea clara de lo que es la recta tangente a una circunferencia en uno de sus puntos, pero si tratamos de generalizar esa idea a otras curvas nos encontramos con cuestiones que esa idea no resuelve. \ Puede la recta tangente cortar a la curva en m´as de un punto?. \ Puede atravesar la recta tangente a la curva por el punto de tangencia?.

Definici´ on 3.1. Se llama tangente a una curva en un punto P a la recta que pasa por P con la misma direcci´on que la curva.

3.2.2.

Rectas tangentes no intuitivas

En un punto de inflexi´on la tangente atraviesa la curva. Pudi´endose distinguir tres tipos de puntos de inflexi´on: de tangente vertical, de tangente horizontal y de tangente oblicua.

J. Rodriguez C.

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L. Salas M.

´ AREA DE CIENCIAS BASICAS ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS NOTAS DE CLASE CALCULO DIFERENCIAL ........................................................................................ En un punto anguloso de desvi´o brusco o de retroceso, la curva o bien no tiene tangente o la tangente es vertical. La tangente no puede ser oblicua, ya que en este caso la correspondencia no seria funci´on.

En los puntos de discontinuidad no se define la recta tangente.

3.2.3.

La pendiente de la Recta Tangente

Supongamos que queremos hallar la recta tangente a una curva de ecuaci´on cartesiana y = f (x) en el punto (a, f (a)). La estrategia, usada primero por Pierre de Fermat y m´as tarde por Newton, consiste en aproximar la tangente por rectas secantes cuyas pendientes s´ı pueden calcularse directamente. En particular, consideremos la recta que une el punto (a, f (a)) con un punto cercano, (x, f (x)), de la gr´afica de f . Esta recta se llama una secante (recta que corta a la curva, pero no es tangente a la curva). La pendiente de esta secante es: f (x) − f (a) x−a Observa que una recta secante es una buena aproximaci´on de la recta tangente, siempre que el punto (x, f (x)) est´e muy cerca de (a, f (a)). Estas consideraciones llevan a definir la recta tangente a la gr´afica de f en el punto (a, f (a)) como la recta que pasa por dicho punto y cuya pendiente es igual al l´ımite: f (x) − f (a) x→a x−a l´ım

As´ı que la pendiente de la recta tangente se define tan α = l´ım

x→x0

f (x) − f (x0 ) x − x0

Ejemplo 3.1. ¿Cu´al es la pendiente de la recta tangente a la gr´afica de y = x2 + 1 en el punto P = (1, 2)? Soluci´ on:. La pendiente de la recta tangente viene dada por: m = l´ım

x→x0

J. Rodriguez C.

f (x) − f (x0 ) x − x0 89

L. Salas M.

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donde (x0 , y0 ) = (1, 2), as´ı que x2 + 1 − 1 − 1 x2 − 1 = l´ım x→1 x→1 x − 1 x−1 x+1 (x − 1)(x + 1) = l´ım =2 = l´ım x→1 x→1 x−1 1

m = l´ım

3.3.

La derivada de una funci´ on

Definici´ on 3.2. Se dice que una funci´on f : I 7→ R es derivable en un punto a ∈ I, si existe el l´ımite: f (x) − f (a) l´ım x→a x−a Expl´ıcitamente, f es derivable en a si hay un n´ umero L ∈ R verificando que para cada n´ umero  > 0 existe alg´ un n´ umero δ > 0 tal que para todo ∈ I con x 6= a y |x − a| < δ se tiene que f (x) − f (a) − L ≤  x−a Dicho n´ umero L se llama derivada de f en a lo representaremos por f 0 (a) (notaci´ on debida a Lagrange). La notaci´on de Lagrange tiene la gran ventaja de poner de manifiesto que al aplicar la operaci´on de derivaci´on a una funci´on obtenemos una nueva funci´on, que est´a definida en todos los puntos donde la funci´on dada sea derivable. Es usual considerar funciones derivadas definidas en intervalos.

J. Rodriguez C.

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L. Salas M.

´ AREA DE CIENCIAS BASICAS ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS NOTAS DE CLASE CALCULO DIFERENCIAL ........................................................................................ Leibniz interpretaba ese s´ımbolo como un “cociente diferencial”pues ´el lo entend´ıa as´ı: como un cociente de cantidades infinitesimales, y lo manejaba como un cociente; por ejemplo, se puede multiplicar o dividir, seg´ un convenga, por dx o df (x). A partir del u ´ltimo tercio del siglo XIX, fueron totalmente abandonados los problemas que planteaban el uso de cantidades infinitesimales. Por eso, la interpretaci´on de Leibniz de la derivada, aunque intuitiva, no es la que se sigue en la gran mayor´ıa de los cursos de c´alculo. A pesar de lo dicho, es frecuente, sobre todo en libros de ingenier´ıa, usar la notaci´on de Leibniz y manejarla como ´el lo hac´ıa. Creo que esto es u ´til porque la notaci´on de Leibniz tiene una gran fuerza heur´ıstica, y no debe presentar ning´ un problema, siempre que no acabes creyendo que una derivada, tal como la hemos definido, es un cociente de infinit´esimos. Y siempre que dicha notaci´on se use como un mero simbolismo y no se hagan demostraciones apoyadas en su supuesta significaci´on. Una dificultad de la notaci´on de Leibniz es que no es c´omoda para representar la dedf (x) es la funci´on derivada f 0 (x), rivada en un punto concreto. Podemos entender que dx df (a) df (x) pero ¿c´omo indicamos la derivada en punto concreto a? Las notaciones y (a) dx dx son confusas. Lo que suele hacerse es escribir: df (x) dx x=a df que, realmente, es una notaci´on inc´omoda. Una posible mejora ser´ıa escribir (x) para dx df representar f 0 (x), en cuyo caso (a) indicar´ıa f 0 (a). dx La verdad es que la mayor´ıa de los libros de ingenier´ıa que usan estas notaciones lo hacen sin preocuparse mucho por su significado, y esa es una causa importante de que muchas veces no se entienda bien lo que escriben. Las notaciones son importantes y hay que manejarlas cuidadosamente. Y todav´ıa m´as, cuando una notaci´on se supone que tiene un significado casi m´agico, y que por su fuerza simb´olica ella sola, por s´ı misma, proporciona demostraciones. Definici´ on 3.3. Dada una funci´on f : I 7→ R derivable en todo punto de I, la funci´ on 0 derivada de f es la funci´on f : I 7→ R que a cada punto x ∈ I hace corresponder la derivada de f en dicho punto. Nota 3.1. f (x) − f (a) f (a + h) − f (a) se puede escribir tambi´en de la forma l´ım x→a h→0 x−a h

a) El limite l´ım J. Rodriguez C.

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L. Salas M.

´ AREA DE CIENCIAS BASICAS ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS NOTAS DE CLASE CALCULO DIFERENCIAL ........................................................................................ f (x) − f (a) b) A la expresi´on, se le llama cociente incremental y se expresa de la x−a forma: ∆f ∆y f (x) − f (a) = = ∆x ∆x x−a Con lo cual la derivada no es m´as que el l´ımite del cociente incremental cuando el incremento de x tiende a cero. ∆f (a) ∆x→0 ∆x

f 0 (a) = l´ım

Ejemplo 3.2. Sea f (x) = 2x2 + 3x + 1 Determine f 0 (4). Soluci´ on. f (4 + h) − f (4) 2(h + 4)2 + 3(h + 4) + 1 − 45 = l´ım h→0 h→0 h h 2h2 + 16h + 32 + 3h + 14 + 1 − 45 2h2 + 19h = l´ım = l´ım h→0 h→0 h h = l´ım (2h + 19) = 19

f 0 (4) = l´ım

h→0

Ejemplo 3.3. Sea f (x) = |x − 3|. Determine si existe f 0 (3). Soluci´ on. f (3 + h) − f (3) |3 + h − 3| − |3 − 3| |h| = l´ım = l´ım h→0 h→0 h→0 h h h Realizando los limites laterales se tiene que f 0 (3) = l´ım

l´ım−

h→0

|h| −h = l´ım− = −1 y h→0 h h

l´ım+

h→0

|h| h = l´ım+ = 1 h→0 h h

|h| no existe. Observe la gr´afica de f Note que pese a que f es h→0 h

Por tanto f 0 (3) = l´ım

continua en 3, no es derivable en este valor. Note que cuando x se acerca por la izquierda a 3, la pendiente de la recta tangente a f en x es -1, en cambio por la izquierda es 1. Esto se debe a que en x = 3 la gr´afica tiene un pico. J. Rodriguez C.

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´ AREA DE CIENCIAS BASICAS ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS NOTAS DE CLASE CALCULO DIFERENCIAL ........................................................................................ √ Ejemplo 3.4. Sea f (x) = x. Encontrar la derivada de la funci´on. Soluci´ on. √ √ √ √ √ x+h− x x+h− x x+h+ x = l´ım .√ f (x) = l´ım √ h→0 h→0 h h x+h+ x h 1 1 = l´ım √ √ = l´ım √ √ = √ h→0 h( x + h + 2 x x) h→0 ( x + h + x) √

0

3.3.1.

Derivadas Laterales

Definici´ on 3.4. Se dice que f es derivable por la izquierda en a si existe el l´ımite: l´ım

x→a xa

f (x) − f (a) x−a

El valor de dicho l´ımite se llama la derivada por la derecha de f en a y lo notaremos por f 0 (a+ ). Teniendo en cuenta la relaci´on que hay entre el l´ımite de una funci´on en un punto y los l´ımites laterales, es claro que: i) Si a = maxI, entonces la derivabilidad de f en a es lo mismo que la derivabilidad por la izquierda de f en a. ii) Si a = minI, entonces la derivabilidad de f en a es lo mismo que la derivabilidad por la derecha de f en a. iii) Si a no es un extremo de I, entonces equivalen las afirmaciones: a) f es derivable en a. b) Las derivadas por la izquierda y por la derecha de f en a existen y coinciden. Ejemplo 3.5. Calcular las derivadas laterales de la funci´on valor absoluto, en el origen de coordenadas. Soluci´ on:.

J. Rodriguez C.

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´ AREA DE CIENCIAS BASICAS ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS NOTAS DE CLASE CALCULO DIFERENCIAL ........................................................................................ f (x) = |x| f (x) − f (0) |x| x f 0 (0+ ) = l´ım+ = l´ım+ = l´ım+ = 1 x→0 x→0 x→0 x x−0 x |x| −x f (x) − f (0) 0 − = l´ım− = l´ım+ = −1 f (0 ) = l´ım− x→0 x→0 x→0 x−0 x x Luego la funci´on f no es derivable en el origen.

3.3.2.

Derivadas de Orden Superior

Definici´ on 3.5. (Derivadas de orden superior) Dada la funci´on f se define: 1. La primera derivada de f como la funci´on f 0 (x). 2. La segunda derivada de f : f 00 (x)

o

d2 f dx2

f 000 (x)

o

d3 f dx3

como la derivada de f 0 (x). 3. La tercera derivada de f :

como la derivada de f 00 (x). 4. En general, la n-´esima derivada de f : f (n) (x)

o

dn f dxn

como la derivada de f (n−1) (x). Ejemplo 3.6. Encontrar la segunda derivada de la funci´on f (x) = definici´on.

√

x utilizando la

Soluci´ on. En el ejemplo (3.4), se determino la primera derivada de f :

1 f 0 (x) = √ , por lo tanto: 2 x √ √ x− x+h 1 1 √ √ √ − √ f 0 (x + h) − f 0 (x) 2 x x+h 2 x+h 2 x 00 f (x) = l´ım = l´ım = l´ım h→0 h→0 h→0 h √h √ h √ √ √ √ x− x+h x− x+h x+ x+h √ = l´ım √ √ = l´ım √ √ √ h→0 h2 x x + h h→0 h2 x x + h x+ x+h −h −1 √ √ = l´ım √ √ = l´ım √ √ √ √ h→0 h2 x x + h( x + x + h) h→0 2 x x + h( x + x + h) −1 −1 √ = √ = √ √ √ 2 x x( x + x) 4x x

J. Rodriguez C.

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´ AREA DE CIENCIAS BASICAS ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS NOTAS DE CLASE CALCULO DIFERENCIAL ........................................................................................ Definici´ on 3.6. Sea A ⊆ R, diremos que una funci´on f : A 7→ R es de clase C 1 si es derivable y f 0 es una funci´on continua. Si n es un n´ umero natural cualquiera, diremos que f es de clase C n si f es n veces derivable y la derivada n-´esima f (n) es continua. Por u ´ltimo, si una funci´on admite derivadas de cualquier orden diremos que es de clase ∞ C . Usaremos la siguiente notaci´on C 1 (A) = {f : A 7→ R | existe f 0 y es continua}, C 2 (A) = {f : A 7→ R | existe f 00 y es continua} En general, C n (A) = {f : A 7→ R | existe f (n) y es continua}, C ∞ (A) = {f : A 7→ R | existe f (n) para todo n natural y es continua} Se tiene la siguiente cadena de inclusiones: C ∞ (A) ⊆ C (n+1) (A) ⊆ C n (A) ⊆ · · · ⊆ C 2 (A) ⊆ C 1 (A) ⊆ C(A); donde C(A) denota al conjunto de las funciones continuas en A. Para comprobar que las inclusiones son estrictas, tenemos que encontrar funciones de clase n que no sean de clase n + 1. ¿C´omo buscamos una funci´on con estas propiedades? La respuesta es sencilla: consideremos la funci´on valor absoluto (o cualquiera otra con un pico) y, aunque todav´ıa no hemos hablado de ello, calculemos una primitiva. Dicha primitiva se puede derivar una vez (obtenemos la funci´on valor absoluto) pero no se puede volver a derivar. Si queremos que se pueda derivar m´as veces s´olo tenemos que integrar m´as veces. Esto es lo que hacemos en el ejemplo siguiente. Ejemplo 3.7. La funci´on f : R 7→ R definida como  (x − a)n+1 si x ≥ a f (x) = 0 si x < a es de clase C n pero no de clase C n+1 . No es dif´ıcil comprobar que la derivada de orden n + 1 no es continua en a:  (n + 1)(x − a)n si x ≥ a 0 f (x) = 0 si x < a



00

f (x) =

(n + 1)n(x − a)n−1 si x ≥ a 0 si x < a

y as´ı sucesivamente f J. Rodriguez C.

(n)

 (x) =

(n + 1)!(x − a) si x ≥ a 0 si x < a 95

L. Salas M.

´ AREA DE CIENCIAS BASICAS ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS NOTAS DE CLASE CALCULO DIFERENCIAL ........................................................................................ Esta funci´on no es derivable en x = a porque las derivadas laterales existen y no coinciden.  (n + 1)! si x ≥ a (n+1) f (x) = 0 si x < a Obs´ervese que la funci´on f no es de clase n + 1 porque no existe la derivada no porque no sea continua.

3.3.3.

Rectas Tangentes

Definici´ on 3.7. Supuesto que f es derivable en a, la recta de ecuaci´on cartesiana: y = f (a) + f 0 (a)(x − a) se llama recta tangente a la gr´afica de f en el punto (a, f (a)), y tambi´en recta tangente a f en x = a. Cuando f 0 (a) 6= 0, la recta de ecuaci´on: y = f (a) −

1 f 0 (a)

(x − a)

es la recta normal a la gr´afica de f en el punto (a, f (a)), y tambi´en recta normal a f en x=a

J. Rodriguez C.

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L. Salas M.

´ AREA DE CIENCIAS BASICAS ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS NOTAS DE CLASE CALCULO DIFERENCIAL ........................................................................................ √ Ejemplo 3.8. Determine la ecuaci´on de la recta tangente a y = x + 7 en x = 2. Soluci´ on. 1. Punto de Tangencia: Cuando x = 2, se tiene que: y = 3, por lo tanto el punto de tangencia es (2, 3) 2. La pendiente mT √ f (x) − f (2) x+7−3 mT = l´ım = l´ım x→2 x→2 x−2 √ x−2 √ x+7−3 x+7+3 (x + 7) − 9 √ √ = l´ım = l´ım x→2 x→2 x−2 x+7+3 (x − 2)( x + 7 + 3) (x − 2) 1 √ = l´ım = l´ım √ x→2 (x − 2)( x + 7 + 3) x→2 ( x + 7 + 3) 1 = 6 3. La intersecci´on con el eje Y : bT 1 Dado que mT = y la recta tangente pasa por (2, 3), se tiene que 6 1 1 bT = y − mT x = 3 − 2 = 3 − 6 3 8 = 3 Por lo tanto la ecuaci´on de la recta tangente es: 1 8 y = x+ 6 3 x−1 Ejemplo 3.9. Determine el punto de intersecci´on de las rectas tangentes a y = en x+1 x = −3 y en x = 3 respectivamente. Soluci´ on. 1. Puntos de tangencia: R Si x = −3 entonces y = 2. Por lo tanto, la primer tangente (T1 ) pasa por (−3, 2) J. Rodriguez C.

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L. Salas M.

´ AREA DE CIENCIAS BASICAS ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS NOTAS DE CLASE CALCULO DIFERENCIAL ........................................................................................ 1 R Si x = 3 entonces y = . Por lo tanto, la segunda tangente (T2 ) pasa por 2  1 3, . 2 2. Las pendientes mT1 y mT2 (x + h − 1) x − 1 − f (x + h) − f (x) (x + h + 1) x + 1 0 f (x) = l´ım = l´ım h→0 h→0 h h (x + h − 1)(x + 1) − (x − 1)(x + h + 1) (x + h + 1)(x + 1) = l´ım h→0 h (x + h − 1)(x + 1) − (x − 1)(x + h + 1) h→0 h(x + h + 1)(x + 1)

= l´ım

2h 2 = l´ım h→0 h(x + h + 1)(x + 1) h→0 (x + h + 1)(x + 1) 2 = (x + 1)2

= l´ım

Por lo tanto, mT1 = f 0 (−3) =

1 1 y mT2 = f 0 (3) = 2 8

3. Las intersecciones con el eje Y : bT1 y bT2 . 1 Recta T1 : pasa por (−3, 2) y mT1 = . As´ı que 2 1 7 bT1 = y − mT1 x = 2 + 3 = 2 2 1 1 Recta T2 : pasa por 3, y mT2 = . As´ı que 2 8 

bT2 = y − mT2 x =

1 1 1 − 3= 2 8 8

4. Ecuaciones de las tangentes: Ecuaci´on recta (T1 ): y=

x 7 + 2 2

(3.1)

y=

x 1 + 8 8

(3.2)

Ecuaci´on recta (T2 ):

J. Rodriguez C.

98

L. Salas M.

´ AREA DE CIENCIAS BASICAS ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS NOTAS DE CLASE CALCULO DIFERENCIAL ........................................................................................ 5. Puntos de intersecci´on de las tangentes: Sustituyendo el valor de y dado por (3.1) en (3.2): x 1 x 7 + = + ⇒ x = −9 2 2 8 8 Sustituyendo x = −9 en cualquiera de las ecuaciones se obtiene que y = −1. Por lo tanto el punto de intersecci´on de las tangentes es (−9, −1).

3.4.

Derivada y Continuidad

Teorema 3.1. Si una funci´on es derivable en un punto, entonces es continua en dicho punto. Demostraci´ on:. En efecto, si f : I 7→ R es derivable en a, de la igualdad f (x) = f (a) + (x − a)

f (x) − f (a) (x − a)

(x ∈ I, x 6= a)

se sigue que l´ım f (x) = f (a) es decir, f es continua en a. x→a

Ejemplo 3.10. Comprobar que la funci´on f (x) = |x2 − 9| es continua en el punto x = 3, pero no es derivable en dicho punto. Comprobar el resultado gr´aficamente. ¿En qu´e otro punto tampoco ser´a derivable?. Soluci´ on:.

|x2 − 9| h 0 i f (x) − f (3) f (3) = l´ım = l´ım = x→3 x→3 x − 3 x−3 0  2 (x − 3)(x + 3) |x − 9|   = l´ ım =6 l´ ım   x→3 x − 3 x→3 x − 3 x>3 = |x2 − 9| −(x − 3)(x + 3)   l´ ım l´ım = −6   x→3 x − 3 = x→3 x−3 x 0. x→0

Soluci´ on 1 ln t Supongamos t = , y como x → 0+ entonces t → +∞, adem´as xα ln x = − α . x t As´ı que ln t l´ım+ xα ln x = − l´ım α = 0 t→+∞ x→0 t J. Rodriguez C.

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L. Salas M.

´ AREA DE CIENCIAS BASICAS ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS NOTAS DE CLASE CALCULO DIFERENCIAL ........................................................................................ 2. (00 ) Demostrar que l´ım+ xx = 1. x→0

Soluci´ on

l´ım xx = l´ım+ ex ln x = l´ım+ E(x ln x)

x→0+

x→0

x→0


= E l´ım+ x ln x = E(0) = e0 x→0

=1 3.) (∞ − ∞) Calcular l´ım+

1 x

x→0

Soluci´ on

l´ım+

x→0

4.) (1∞ )

1 x

−

−

1  sen x

 sen x − x  h 0 i 1  = [∞ − ∞] = l´ım+ = x→0 sen x x sen x 0 cos x − 1  cos x − 1  x = l´ım+ = l´ım+ sen x x→0 cos x + x→0 x cos x + sen x x cos x − 1 l´ım x→0+ x = sen x l´ım+ cos x + l´ım+ x→0 x→0 x 0 = =0 1+1 1

Calcular l´ım+ (cos x) x2 . x→0

Soluci´ on

1


1 ln(cos x) 2 x→0 x→0 x
1 ln(cos x)
= E l´ım+ 2 ln(cos x) = E l´ım+ x→0 x→0 x x2 − sen x
 − sen x = E l´ım+ cos x = E l´ım+ x→0 x→0 2x cos x 2x 1 1
=E − = e− 2 2 1

l´ım+ (cos x) x2 = l´ım+ e x2 ln(cos x) = l´ım+ E

x→0

J. Rodriguez C.

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L. Salas M.

´ AREA DE CIENCIAS BASICAS ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS NOTAS DE CLASE CALCULO DIFERENCIAL ........................................................................................ 5.) (00 ) Calcular l´ım+ xtan x . x→0

Soluci´ on



l´ım+ xtan x = l´ım+ E tan x ln x = E l´ım+ tan x ln x

x→0

x→0

x→0

1
ln x
x = E l´ım+ −1 x→0 x→0 cot x sen2 x 2

− sen x − sen x = E l´ım+ = E l´ım+ l´ım+ sen x x→0 x→0 x→0 x x 0 = E(0) = e = 1

= E l´ım+

J. Rodriguez C.

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L. Salas M.

Cap´ıtulo 4 Aplicaciones de la Derivada 4.1.

Extremos Relativos

Definici´ on 4.1. Sea f una funci´on de valores reales definida en un conjunto S de n´ umeros reales. a Se dice que la funci´on f tiene un m´aximo absoluto en el conjunto S si existe por lo menos un punto c ∈ S tal que f (x) ≤ f (c)

para todo

x∈S

El n´ umero f (c) se le llama m´aximo absoluto de f en S. a Se dice que la funci´on f tiene un m´ınimo absoluto en el conjunto S si existe por lo menos un punto c ∈ S tal que f (x) ≥ f (c)

para todo

x∈S

El n´ umero f (c) se le llama m´ınimo absoluto de f en S. Definici´ on 4.2. Sea f una funci´on de valores reales definida en un conjunto S de n´ umeros reales. a f tiene un m´aximo relativo en un punto c ∈ S si existe un cierto intervalo abierto I que contiene c tal que f (x) ≤ f (c) para todox ∈ I ∩ S. a El concepto de m´ınimo relativo se define del mismo modo con la desigualdad invertida. Es decir, un m´aximo relativo en c es un m´aximo absoluto en un cierto entorno de c, si bien no es necesariamente un m´aximo absoluto en todo el conjunto S. Definici´ on 4.3. Un n´ umero que es o un m´aximo relativo o un m´ınimo relativo de una funci´on f se denomina valor extremo o extremo de f . 125

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Nota 4.1. En el caso particular de funciones definidas en intervalos, los extremos relativos s´olo se pueden alcanzar en puntos del interior del intervalo, nunca en los extremos. Al igual que la monoton´ıa, la noci´on de extremo relativo no tiene nada que ver la continuidad o derivabilidad de la funci´on en un principio. S´olo depende del valor de la funci´ on en un punto y en los puntos cercanos. Los extremos relativos tambi´en se denominan ´optimos locales, dando lugar a los t´erminos m´aximo local y m´ınimo local. Teorema 4.1. Anulaci´ on de la derivada en un extremo interior. Sea f : A ⊆ R 7→ R derivable en a ∈ A. Si f tiene un extremo relativo en un punto interior a de A, entonces f 0 (a) = 0. Demostraci´ on. Definamos en A una funci´on Q como sigue:  f (x) − f (a)   si x 6= a x − a Q(x) =   0 f (a) si x = a Como f 0 (a) existe, se tiene que Q(x) → Q(a) cuando x → a, as´ı que Q es continua en a. Queremos demostrar que Q(a) = 0. As´ı que para conseguirlo, probaremos Q(a) > 0 y Q(a) < 0 nos llevan a una contradicci´on. Supongamos que Q(a) > 0.Por la propiedad de conservaci´on del signo de las funciones continuas, existe un intervalo que contiene a a en el que Q(x) es positiva. Por lo tanto f (x) > f (a) cuando x > a y f (x) < f (a) cuando x < a, entonces f no tiene un extremo en a. Luego Q(a) > 0 no se cumple. En forma similar se prueba que Q(a) < 0 no se cumple. Por lo tanto Q(a) = 0, as´ı que f 0 (a) = 0. Definici´ on 4.4. Se dice que c es un punto cr´ıtico de f si f 0 (c) = 0, o no existe f 0 (c) Nota 4.2. Es importante notar que extremos de f son puntos cr´ıticos, pero no todo punto cr´ıtico es extremo relativo. El teorema 4.1 supone que la derivada f 0 (c) existe en el J. Rodriguez C.

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extremo. Es decir, el teorema 4.1 nos dice que, en ausencia de puntos angulosos, la derivada necesariamente debe anularse en un extremo, si ´este se presenta en el interior de un intervalo. N´otese que los puntos candidatos a ser extremo relativo est´a entre aquellos que verifican la condici´on necesaria anterior y aquellos donde la derivada de la funci´on no existe.

4.2.

Teorema del Valor Medio

El teorema del valor medio para derivadas es importante en C´alculo porque muchas de las propiedades de las funciones pueden deducirse f´acilmente a partir de ´el. Antes de demostrar el teorema del valor medio, examinaremos uno de sus casos particulares a partir del cual puede deducirse. Este caso particular recibe el nombre de Teorema de Rolle en honor al matem´atico frances Michel Rolle quien fue su descubridor. Teorema 4.2 (Teorema de Rolle). Sea f una funci´on continua en todos los puntos de un intervalo cerrado [a, b] y derivable en cada punto del intervalo abierto (a, b). Supongamos tambi´en que f (a) = f (b) Entonces existe por lo menos un punto c en el intervalo abierto (a, b) tal que f 0 (c) = 0. Demostraci´ on. Supongamos que f 0 (x) 6= O para todo x ∈ (a, b), por el teorema de los valores extremos para funciones continuas, f debe alcanzar su m´aximo absoluto M y su m´ınimo absoluto m en alg´ un punto del intervalo cerrado [a, b]. El teorema 4.1 nos dice que ning´ un extremo puede ser alcanzado en puntos interiores (de otro modo ser´ıa nula la derivada all´ı). Luego, ambos valores extremos son alcanzados en los extremos a y b. Pero como f (a) = f (b), esto significa que m = M , Y por tanto f es constante en [a, b]. Esto contradice el hecho de que f 0 (x) 6= 0 para todo x ∈ (a, b). Resulta pues que f 0 (c) = 0 por lo menos en un c que satisfaga a < c < b, lo que demuestra el teorema. J. Rodriguez C.

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Teorema 4.3. Teorema del valor medio para derivadas. Si f es una funci´on continua en todo un intervalo cerrado [a, b] que tiene derivada en cada punto del intervalo abierto (a, b), existe por lo menos un punto c interior a (a, b) para el que f (b) − f (a) = f 0 (c)(b − a) (4.1) Demostraci´ on. Para aplicar el teorema de Rolle necesitamos una funci´on que tenga valores iguales en los extremos a y b. A fin de construirla, modificamos f en la forma siguiente: h(x) = f (x)(b − a) − x[f (b) − f (a)] Entonces h(a) = h(b) = bf (a) − af (b) y como h es continua en [a, b] y derivable en (a, b), entonces aplicando el teorema de Rolle existe un c ∈ (a, b) tal que h0 (c) = 0, as´ı que f 0 (c)(b − a) − [f (b) − f (a)] = 0. Por lo tanto f 0 (c) =

f (b) − f (a) b−a

Ejemplo 4.1. Emplee el Teorema del valor medio para demostrar que: ex − 1 ≤ xex para todo n´ umero real x. Soluci´ on. Sea f (t) = tet − et + 1, y apliquemos el teorema del valor medio a la funci´on f sobre cada intervalo cerrado de la forma [0, x] para x > 0, y [x, 0] para x < 0. En efecto existe un c ∈ (0, x) tal que f (x) − f (0) = xf 0 (c) xex − ex + 1 = xcec ≥ 0 xex − ex + 1 ≥ 0 Por lo tanto ex − 1 ≤ xex para x ≥ 0.

J. Rodriguez C.

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L. Salas M.

´ AREA DE CIENCIAS BASICAS ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS NOTAS DE CLASE CALCULO DIFERENCIAL ........................................................................................ Ahora aplicando el teorema del valor medio al intervalo cerrado [x, 0] para x < 0. En efecto existe un c ∈ (x, 0) tal que f (0) − f (x) = −xf 0 (c) −xex + ex − 1 = −xcec ≤ 0 −xex + ex − 1 ≤ 0 As´ı que ex − 1 ≤ xex En conclusi´on para todo x ∈ R se cumple que ex − 1 ≤ xex Ejemplo 4.2. Es importante comprobar que el teorema del valor medio puede dejar de cumplirse si hay alg´ un punto entre a y b en el que la derivada no existe. Por ejemplo, la funci´on f (x) = |x| es continua en todo el eje real y tiene derivada en todos los puntos del mismo excepto en 0. En la figura se ha dibujado su gr´afica en el intervalo [−2, 3]. La pendiente de la cuerda que une A y B es: 3−2 1 f (3) − f (−2) = = 3 − (−2) 3+2 5 1 pero la derivada no es igual a en ning´ un 5 punto.

4.3. 4.3.1.

Aplicaciones del Teorema del valor medio Monoton´ıa

Definici´ on 4.5. Sea f una funci´on definida en un intervalo (a, b). Se dice que f es creciente en el intervalo (a, b) si ∀x1 , x2 ∈ (a, b) talque x1 < x2 entonces f (x1 ) ≤ f (x2 )

J. Rodriguez C.

129

L. Salas M.

´ AREA DE CIENCIAS BASICAS ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS NOTAS DE CLASE CALCULO DIFERENCIAL ........................................................................................ Definici´ on 4.6. Se dice que una funci´on f es creciente en x = a si existe un entorno de a para el que se cumple: 1. f (a) ≤ f (x) para todo punto x de dicho entorno y con a < x 2. f (a) ≥ f (x) para todo punto x de dicho entorno y con a > x. Definici´ on 4.7. Sea f una funci´on definida en un intervalo (a, b). Se dice que f es decreciente en el intervalo (a, b) si ∀x1 , x2 ∈ (a, b) talque x1 < x2 entonces f (x1 ) ≥ f (x2 )

Definici´ on 4.8. Se dice que una funci´on f es decreciente en x = a si existe un entorno de a para el que se cumple: 1. f (a) ≥ f (x) para todo punto x de dicho entorno y con a < x 2. f (a) ≤ f (x) para todo punto x de dicho entorno y con a > x.

Definici´ on 4.9. Cuando las desigualdades de las definiciones anteriores son estrictas, hablamos de funci´on estrictamente creciente o decreciente

4.3.2.

Derivadas y monoton´ıa

Teorema 4.4. Sea f una funci´on continua en un intervalo cerrado [a, b] y que admite derivada en cada punto de un intervalo abierto (a, b). Tenemos entonces: ¶ Si f 0 (x) ≥ 0 para todo x ∈ (a, b), f es creciente en [a, b]. · Si f 0 (x) ≤ 0 para todo x ∈ (a, b), f es decreciente en [a, b]. ¸ Si f 0 (x) > 0 para todo x ∈ (a, b), f es estrictamente creciente en [a, b]. ¹ Si f 0 (x) < 0 para todo x ∈ (a, b), f es estrictamente decreciente en [a, b]. º Si f 0 (x) = 0 para todo x ∈ (a, b), f es constante en [a, b]. Demostraci´ on.

J. Rodriguez C.

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L. Salas M.

´ AREA DE CIENCIAS BASICAS ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS NOTAS DE CLASE CALCULO DIFERENCIAL ........................................................................................ ¸ Supongamos x, y ∈ [a, b] tal que a ≤ x < y ≤ b, y apliquemos el teorema del valor medio al intervalo cerrado [x, y]. De donde f (y) − f (x) = f 0 (c)(y − x) donde x < c < y

(4.2)

As´ı que f (y) − f (x) > 0, luego f (y) > f (x), con lo que f es estrictamente creciente. ¹ Supongamos x, y ∈ [a, b] tal que a ≤ x < y ≤ b, y apliquemos el teorema del valor medio al intervalo cerrado [x, y]. De donde f (y) − f (x) = f 0 (c)(y − x) donde x < c < y

(4.3)

As´ı que f (y)−f (x) < 0, luego f (y) < f (x), con lo que f es estrictamente decreciente. º Supongamos x, y ∈ [a, b] tal que a ≤ x < y ≤ b, y aplicando el teorema del valor medio al intervalo cerrado [x, y]. Se tiene que f (y) = f (x) con lo que f es constante en [a, b].

A partir de esta proposici´on, el estudio de la monoton´ıa de una funci´on derivable en un dominio se puede realizar estudiando el signo de su funci´on derivada en dicho dominio. Este m´etodo, ser´a una potente herramienta a la hora de conocer las caracter´ısticas gr´aficas de una funci´on dada algebraicamente. Ejemplo 4.3. Estudiemos la monoton´ıa de f (x) = x3 − 3x2 + 3 definida en R. Soluci´ on. À f 0 (x) = 3x2 − 6x ⇒ f 0 (x) = 0 ⇒ x1 = 0

y

x2 = 2.

Á Estudiando el signo de la derivada con las ra´ıces calculadas: f es creciente en (−∞, 0) ∪ (2, ∞) y decreciente en (0, 2)

J. Rodriguez C.

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L. Salas M.

´ AREA DE CIENCIAS BASICAS ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS NOTAS DE CLASE CALCULO DIFERENCIAL ........................................................................................ Es evidente que la monoton´ıa en la gr´afica se corresponde con los visto estudiando el signo de la derivada. Una interpretaci´on de esto bastante interesante para la comprensi´on de este apartado es observar lo que ocurre con las pendientes de las tangentes a la gr´afica en los intervalos. Se puede observar que en los intervalos en los que la funci´on es creciente, las rectas tangentes tambi´en lo son y en los que la funci´on es decreciente, las rectas tangentes son decrecientes tambi´en.

Esto era de esperar, ya que, seg´ un vimos en la interpretaci´on geom´etrica de la derivada, la pendiente de la recta tangente en un punto coincid´ıa con la derivada en dicho punto.

Nota 4.3. En general, el rec´ıproco de la proposici´on anterior, no es cierto, es decir, no todas las funciones derivables en un punto y crecientes (o decrecientes) en el punto tienen porque tener derivada positiva (o negativa).Lo u ´nico que podemos asegurar es que si una funci´on es derivable y creciente (decreciente), entonces f 0 (a) ≥ 0 (f 0 (a) ≤ 0

Ejemplo 4.4.

Consideremos la funci´on f (x) = x3 en su gr´afica, se trata de una funci´on creciente en todo su dominio y, en particular en x = 0. Sin embargo, es evidente que no es positiva ya que f 0 (0) = 0

El teorema 4.4 podemos emplearlo para demostrar que se presenta un extremo siempre que la derivada cambia de signo. Teorema 4.5. Supongamos f continua en un intervalo cerrado [a, b] y que existe la derivada f 0 en todo punto del intervalo abierto (a, b), excepto acaso en un punto c. ¶ Si f 0 (x) es positiva para todo x < c y negativa para todo x > c, f tiene un m´aximo relativo en c. · Si, f 0 (x) es negativa para todo x < c y positiva para todo x > c, f tiene un m´ınimo relativo en c. J. Rodriguez C.

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L. Salas M.

´ AREA DE CIENCIAS BASICAS ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS NOTAS DE CLASE CALCULO DIFERENCIAL ........................................................................................ Demostraci´ on. En el caso ¶, el teorema 4.4 ¶ nos dice que f es estrictamente creciente en [a, c] y estrictamente decreciente en [c, b]. Luego f (x) < f (c) para todo x 6= c en (a, b), con lo que f tiene un m´aximo relativo en c. Esto demuestra ¶ y la demostraci´on de · es completamente an´aloga.

4.3.3.

Esquema para estudiar el crecimiento de una funci´ on

1) Calculamos el dominio de la funci´on 2) Calculamos la derivada de la funci´on 3) Calculamos los puntos donde la derivada es cero, es decir, resolvemos la ecuaci´on f 0 (x) = 0 4) Estudiamos el signo que tiene la derivada en cada uno de los intervalos en que queda dividida la recta real al considerar los puntos cr´ıticos (puntos con derivada cero) y los puntos donde la funci´on no es derivable o no es continua Ejemplo 4.5. Estudiar el crecimiento de la funci´on f (x) = x3 − 12x + 6 Soluci´ on. Domf = R, la funci´on es continua y derivable en el dominio por ser una funci´on polin´omica.

f 0 (x) = 3x2 − 12 ;

f 0 (x) = 0 ⇔ 3(x + 2)(x − 2) = 0 ⇔ x = 2 x = −2

x f 0 (x) f (x) x < −2 Positiva(+) Crece −2 < x < 2 Negativa(−) Decrece x>2 Positiva(+) Crece Por lo tanto: La funci´on es creciente en (−∞, −2) ∪ (2, ∞) La funci´on es decreciente en (−2, 2) J. Rodriguez C.

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L. Salas M.

´ AREA DE CIENCIAS BASICAS ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS NOTAS DE CLASE CALCULO DIFERENCIAL ........................................................................................ La funci´on tiene un m´aximo relativo en (−2, 22) y un m´ınimo relativo en (2, −10)

Teorema 4.6. (del valor intermedio para la derivada). Sea I un intervalo abierto y f : I 7→ R derivable. Entonces f 0 (I) es un intervalo. Nota 4.4. El teorema del valor intermedio para la derivada no es una consecuencia del teorema del valor intermedio. Ser´ıa necesario que la funci´on fuera de clase C 1 para garantizarnos la continuidad de la derivada. Sin embargo, se pueden encontrar funciones derivables cuya derivada no es una funci´on continua La primera aplicaci´on del teorema del valor intermedio para la derivada es que el estudio de la monoton´ıa se simplifica sobremanera. Una vez que sabemos que la derivada no se anula (en un intervalo), basta evaluar en un punto arbitrario para saber su signo. √ √ Ejemplo 4.6. Estudiemos la monoton´ıa de la funci´on f (x) = 1 + x − 1 + x para x > 0. Soluci´ on. Para ello, veamos cu´ando se anula la derivada: √ √ 1 1 =0⇔ x= x+1⇔x=x+1 f 0 (x) = √ − √ 2 x 2 x+1 Por tanto, f 0 no se anula nunca. El teorema del valor intermedio para las derivadas nos asegura que f es estrictamente mon´otona en R+ . En efecto, si la derivada cambiase de signo, tendr´ıa que anularse, cosa que no ocurre.

Una vez que sabemos que f 0 tiene el mismo signo en todo R+ , podemos averiguar dicho signo evaluando en cualquier punto. Por ejemplo f 0 (1) > 0, con lo que f es estrictamente creciente. Lo que hemos visto en el ejemplo anterior, lo podemos repetir con cualquier funci´on cuya derivada no se anule. Corolario 4.1. Sea I un intervalo abierto y f : I 7→ R una funci´on derivable con f 0 (x) 6= 0, para todo x ∈ I. Entonces f es estrictamente mon´otona.

4.3.4.

Extremos absolutos

Acabamos de ver c´omo el estudio de la imagen de una funci´on nos da autom´aticamente, si existen, los extremos absolutos. En el caso de que tengamos garantizado la existencia de dichos extremos antes de estudiar monoton´ıa, es posible ahorrar algunos c´alculos. Eso quiere decir que los extremos absolutos se tienen que alcanzar en uno de los siguientes puntos: J. Rodriguez C.

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L. Salas M.

´ AREA DE CIENCIAS BASICAS ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS NOTAS DE CLASE CALCULO DIFERENCIAL ........................................................................................ a) puntos cr´ıticos, b) extremos del intervalo, o c) puntos donde la funci´on no sea continua o no sea derivable. Ejemplo 4.7. Determine, si existen los extremos absolutos (m´ax. y m´ın.) de la funci´on: f (x) = x4 − 8x2 + 16 en el intervalo [−3, 2] Soluci´ on. Como f es continua en el intervalo dado, la existencia de m´aximo y m´ınimo absoluto est´a garantizada por el teorema (2.18) (propiedad de los valores extremos). Hallemos los puntos cr´ıticos por medio de la derivada. f 0 (x) = 4x3 − 16x = 0 ⇔ 4x(x2 − 4) = 0 4x(x − 2)(x + 2) = 0 ⇒ x = 0 x = 2 x = −2 son los u ´nicos puntos cr´ıticos Los extremos absolutos se escogen entre los siguientes valores: f (−3), f (2), f (0) y f (−2). Hemos reducido el problema de averiguar el valor m´aximo o m´ınimo en todo un intervalo a averiguar el m´aximo o el m´ınimo de cuatro n´ umeros. S´olo hace falta echar un vistazo para encontrarlos: f (−3) = (−3)4 − 8(−3)2 + 16 = 25 f (−2) = (−2)4 − 8(−2)2 + 16 = 0 f (0) = 04 + 802 + 16 = 16 f (2) = (2)4 − 8(2)2 + 16 = 0 Por lo tanto: M´aximo absoluto de f en [−3, 2] es f (−3) = 25 M´ınimo absoluto de f en [−3, 2] es f (−2) = f (2) = 0 Ejemplo 4.8. Considere la funci´on f definida por:  3x − 4 si −3 ≤ x < 1 f (x) = x2 − 2 si 1 ≤ x ≤ 3 Determine los extremos absolutos de f en el intervalo [−3, 3]. Soluci´ on. La funci´on es continua en todos los puntos del intervalo [−3, 3]. Por el teorema (2.18) J. Rodriguez C.

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L. Salas M.

´ AREA DE CIENCIAS BASICAS ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS NOTAS DE CLASE CALCULO DIFERENCIAL ........................................................................................ (propiedad de los valores extremos), f (x) posee m´aximo y m´ınimo absoluto en el intervalo considerado. Para determinarlos, se considera primero la derivada de f :  3 si −3 ≤ x < 1 0 f (x) = 2x si 1 < x ≤ 3 Dado que f 0 (1− ) = 3 y f 0 (1+ ) = 2 , la derivada de f no existe en x = 1 y por lo tanto ´este es un punto cr´ıtico de f . Por otro lado, la derivada no se anula en ning´ un punto del intervalo. En consecuencia, el u ´nico punto cr´ıtico es x = 1. Los extremos absolutos de f se escogen entre los siguientes valores: f (1); f (−3) y f (3) f (1) = 12 − 2 = −1 f (−3) = 3(−3) − 4 = −13 f (3) = 32 − 2 = 7 Por lo tanto: M´aximo absoluto de f en [−3, 3] es f (3) = 7 M´ınimo absoluto de f en [−3, 3] es f (−3) = −13

4.4.

Criterio de la derivada segunda para los extremos

Si una funci´on f es continua en un intervalo cerrado [a, b], el teorema de los valores extremos nos dice que tiene un m´aximo absoluto y un m´ınimo absoluto en alg´ un punto de [a, b]. Si f tiene derivada en cada punto interior, entonces los u ´nicos puntos en los que pueden presentarse los extremos son: ¶ en los extremos del intervalo a y b; · en aquellos puntos interiores x en los que f 0 (x) = O. Los puntos del tipo · se llaman con frecuencia puntos cr´ıticos de f . Para decidir si en un punto cr´ıtico c existe un m´aximo o un m´ınimo (o ni uno ni otro), necesitamos m´as informaci´on acerca de la funci´on f . Ordinariamente el comportamiento de f en un punto cr´ıtico puede determinarse a partir del signo algebraico de la derivada en las proximidades de c. El teorema que sigue hace ver que un estudio del signo de la derivada segunda en las cercan´ıas de e puede tambi´en sernos de utilidad. Teorema 4.7. Condici´ on suficiente de extremo relativo Sea c un punto cr´ıtico de f en un intervalo abierto (a, b); esto es, supongamos a < c < b y que f 0 (c) = O. Supongamos tambi´en que exista la derivada segunda f 00 en (a, b). Tenemos entonces: J. Rodriguez C.

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´ AREA DE CIENCIAS BASICAS ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS NOTAS DE CLASE CALCULO DIFERENCIAL ........................................................................................ ¶ Si f ” es negativa en (a, b), f tiene un m´aximo relativo en c. · Si f ” es positiva en (a, b), f tiene un m´ınimo relativo en c.

4.4.1.

Generalizaci´ on de las Condiciones Suficientes

Proposici´ on 4.1. Sea I un intervalo, a ∈ I y n un n´ umero natural mayor o igual que 2. Sea f : I 7→ R una funci´on de clase n verificando f 0 (a) = f 00 (a) = · · · = f (n−1) (a) = 0;

f (n) (a) 6= 0

a) Si n es impar, i) f (n) (a) > 0, f es estrictamente creciente en a ii) f (n) (a) < 0, f es estrictamente decreciente en a b) Si n es par: i) si f (n) (a) > 0, f tiene un m´ınimo relativo en a, ii) si f (n) (a) < 0, f tiene un m´aximo relativo en a. Ejemplo 4.9. Calcular los extremos relativos de la funci´on f (x) = x6 + 2x4 + 15 Soluci´ on. La derivada de la funci´on es f 0 (x) = 6x5 + 8x3 = 2x3 (3x2 + 4) que se anula solo en x = 0. La derivada segunda es f 00 (x) = 30x4 + 24x2 y al reemplazar x = 0 se tiene f 00 (0) = 0. Como esta derivada se anula la condici´on suficiente (4.7) no nos da informaci´on y hay que aplicar la generalizaci´on de esta. Para ello se halla la derivada tercera f 000 (x) = 120x3 + 48x cuyo valor en x = 0 es f 000 (0) = 0. La derivada cuarta es f (iv) (x) = 360x2 + 48 y su valor en x = 0 es f (iv) (0) = 48 que es positiva y n es un n´ umero par, por lo tanto f tiene en x = 0 un m´ınimo relativo Ejemplo 4.10. La funci´on    1  4   x 2 + sen si x 6= x f (x) =   0 si x = 0 tiene un m´ınimo absoluto en el origen pero no se puede encontrar un intervalo centrado en 0 d´onde la derivada tenga un u ´nico cambio de signo

J. Rodriguez C.

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4.4.2.

Problemas de Optimizaci´ on

En la ciencia, la ingenier´ıa y la administraci´on es frecuente interesarse por los valores m´aximos y m´ınimos de funciones; por ejemplo, una compa˜ n´ıa est´a naturalmente interesada en maximizar los ingresos al mismo tiempo que en minimizar los costos. La proxima vez que el lector vaya al supermercado haga este experimento: mida la altura y el di´ametro de todas las latas que contengan, por ejemplo 16 onza de alimento (28,9 plg3). El hecho de que todas las latas de este volumen especificado tengan las mismas medidas no es una casualidad, puesto que existen dimensiones especificas que minimizaran la cantidad de metal utilizado y, por consiguiente, minimizaran el costo de fabricaci´on a la compa˜ n´ıa. As´ı por el estilo, muchos de los llamados autos econ´omicos tienen aspectos que son notablemente semejantes. No se trata precisamente del simple hecho de que una compa˜ n´ıa copie el ´exito de otra, sino, m´as bien, que para un volumen determinado los ingenieros procuran lograr un dise˜ no que minimice la cantidad de material empleado. ´ Sugerencias Utiles En los ejemplos y problemas que siguen habr´a que interpretar la descripci´on verbal para establecer una funci´on de la cual se busca un valor m´aximo o m´ınimo. Estos son los tipos de problemas verbales que realzan el poder´ıo del c´alculo y proporcionan una de las muchas respuestas posibles a la a˜ neja pregunta de:“¿para que sirve?”A continuaci´on se se˜ nalan los pasos importantes en la soluci´on de un problema de aplicaci´on de m´aximos y m´ınimos. 1) Cuando sea necesario, dibuje una ilustraci´on. 2) Introduzca variables y f´ıjese en toda relaci´on que existe entre ellas. 3) Utilizando todas las variables correspondientes, se escribe la funci´on que hay que optimizar 4) Esta funci´on, normalmente, depender´a de m´as de una variable. Se busca una relaci´on entre ellas, despejando la m´as c´omoda y escribiendo la funci´on a optimizar en t´erminos de una sola variable 5) Se busca el m´aximo o el m´ınimo de f en [a; b]. Para ello se puede proceder: a) Si f es derivable en [a, b], el m´aximo y m´ınimo absoluto se alcanzar´a en un m´aximo o m´ınimo relativo o en un punto de los extremos del intervalo. Por lo tanto, se calculan los extremos relativos comprendidos entre a y b, x1 , x2 , . . . , xn y se calculan f (a), f (x1 ), f (x2 ), . . . , f (xn ), f (b) ; el mayor ser´a el m´aximo absoluto y el menor ser´a el m´ınimo absoluto b) Si hay alg´ un punto de [a, b] en el que f no sea derivable pero s´ı continua, calcularemos adem´as el valor de f en ese punto, pues podr´ıa ser un extremo absoluto J. Rodriguez C.

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´ AREA DE CIENCIAS BASICAS ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS NOTAS DE CLASE CALCULO DIFERENCIAL ........................................................................................ c) Si f no es continua en alg´ un punto de [a, b] se estudiar´a el comportamiento de la funci´on en las cercan´ıas de dicho punto Ejemplo 4.11. Entre todos los rect´angulos que tienen dos de sus v´ertices sobre el eje x positivo y los otros dos v´ertices sobre las rectas y = 3x, y, y = 16 − x. Hallar el rect´angulo de ´area m´axima. Soluci´ on. Hallemos la altura y la base del rect´angulo, las cuales son: altura = y = 3x, y, base= h.

Por otra parte se tiene que y = 16 − x − h, as´ı que h = 16 − x − y entonces h = 16 − x − 3x = 16 − 4x Por lo tanto el a´rea del rect´angulo viene dada por A = 3x(16 − 4x) = 48x − 12x2

(4.4)

Derivando con respecto a x ambos lados de la ecuaci´on (4.4) se tiene A0 = 48 − 24x. Estudio del signo de A0 Si 0 < x < 2; A0 = 48 − 24x > 0; A es est. creciente en (0, 2) Si 2 < x; A0 = 48 − 24x < 0; A es est. decreciente en (2, ∞) Por lo tanto; por la condici´on suficiente de m´aximo local (criterio de la 1a derivada) podemos afirmar que para x = 2 el ´area A = 48 m´axima.

J. Rodriguez C.

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´ AREA DE CIENCIAS BASICAS ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS NOTAS DE CLASE CALCULO DIFERENCIAL ........................................................................................ Ejemplo 4.12. Una pieza rect´angular de papel muy larga tiene 20 cent´ımetros de ancho. Se va a doblar la esquina inferior derecha a lo largo del pliegue que se muestra en la figura, de modo que la esquina apenas toque el lado izquierdo de la p´agina. Calcular el ´area m´ınima de la zona triangular determinada por el doblez. Soluci´ on. El ´area del tri´angulo rect´angulo formado es:

xy 2

(4.5)

20 sen(2θ)

(4.6)

A= El valor de y en t´erminos de θ es : y=

Como x = y tan θ entonces reemplazando y se tiene que el valor de x en t´erminos de θ viene dado por: 10 x= (4.7) cos2 (θ) Reemplazando (4.6) y (4.7) en (4.5) se tiene 50 sen θcos3 θ Derivando ambos miembros de la ecuaci´on (4.8 con respecto a θ A=

(4.8)

dA cos4 θ − 3 sen θ cos2 θ sen θ = −50 dθ sen2 θ cos6 θ 4 cos θ − 3 sen2 θ cos2 θ = −50 sen2 θ cos6 θ 2 cos θ(cos2 θ − 3 sen2 θ) = −50 sen2 θ cos6 θ 2 (cos θ − 3 sen2 θ) = −50 sen2 θ cos4 θ J. Rodriguez C.

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´ AREA DE CIENCIAS BASICAS ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS NOTAS DE CLASE CALCULO DIFERENCIAL ........................................................................................ dA 1 π Si = 0 , entonces cos2 θ − 3 sen2 θ = 0; 3tan2 θ = 1; tan θ = √ ; θ = . dθ 6 3 dA Estudio del signo de dθ  π π dA < 0; A es est. decreciente en 0; Si 0 < θ < ; 6 dθ 6   π dA π π Si < θ; > 0; A es est. creciente en ; 6 dθ 6 2 Por lo tanto; por la condici´on suficiente de m´ınimo local (criterio de la 1a derivada) π podemos afirmar que para θ = el ´area A es minima. 6 Los valores de x y y ser´an: 10 10 40 = π = √ 2 cos ( 6 ) 3 ( 3/2)2 √ 40 3 20 = y= sen(π/3) 3

x=

El ´area del tri´angulo es:

√ 800 3 A= 9

Ejemplo 4.13. Hallar el rect´angulo de ´area m´axima que se puede inscribir en un rombo de diagonales 4 m y 3 m. Soluci´ on. El ´area del rect´angulo es: A = xy

(4.9)

Por semejanza de tri´angulos: x/2 (3 − y)/2 = 2 3/2 de donde y=

12 − 3x 4

(4.10)

Sustituyendo (4.13) en (4.12) se tiene: A= J. Rodriguez C.

12 − 3x2 4 141

(4.11) L. Salas M.

´ AREA DE CIENCIAS BASICAS ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS NOTAS DE CLASE CALCULO DIFERENCIAL ........................................................................................ El ´area del rect´angulo es: A = xy (4.12) Por semejanza de tri´angulos: x/2 (3 − y)/2 = 2 3/2 de donde y=

12 − 3x 4

(4.13)

12 − 3x2 4

(4.14)

Sustituyendo (4.13) en (4.12) se tiene: A=

Derivando con respecto a x la ecuaci´on (4.14) obtenemos dA 3(2 − x) = dx 2

(4.15)

dA d2 A = 0, entonces x = 2 m, y = 3/2 m. As´ı que para x = 2 m, < 0, luego, el a´rea dx dx2 es m´axima en x = 2. El rect´angulo deber´a tener base 2 m altura 1.5 m y ´area 3 m2 Si

4.5.

Concavidad y Convexidad

Definici´ on 4.14. Un punto (a, f (a)) es punto de inflexi´on de f , si f es c´oncava a la izquierda de (a, f (a)) y convexa a su derecha o viceversa. Si f es derivable en un punto de inflexi´on (a, f (a)), entonces la recta tangente a f en dicho punto atraviesa a la gr´afica de f en (a, f (a)) Teorema 4.8. Condiciones suficiente de concavidad y convexidad Si f es una funci´on con derivada segunda continua en x0 , se verifica a) f 00 (x0 ) > 0, la gr´afica de f es convexa en x0 . b) f 00 (x0 ) < 0, la gr´afica de f es c´oncava en x0 Teorema 4.9. Condici´ on necesaria de punto de inflexi´ on Si f es una funci´on con derivada segunda continua en un punto x0 y f tiene en x0 un punto de inflexi´on, entonces f 00 (x0 ) = 0 Teorema 4.10. Condici´ on suficiente de punto de inflexi´ on Si f es una funci´on con derivada tercera continua en un punto x0 y f 00 (x0 ) = 0, si f 000 (x0 ) 6= 0 entonces x0 es un punto de inflexion de f J. Rodriguez C.

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´ AREA DE CIENCIAS BASICAS ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS NOTAS DE CLASE CALCULO DIFERENCIAL ........................................................................................ Definici´ on 4.10. Se dice que una funci´on f es convexa (c´oncava hacia arriba) un punto (a, f (a)) si existe un entorno del punto (a − , a + ) en el que la recta tangente a la curva esta situada por debajo de la gr´afica de la funci´on. Definici´ on 4.11. Se dice que una funci´on f es c´oncava (c´oncava hacia abajo) un punto (a, f (a)) si existe un entorno del punto (a − , a + ) en el que la recta tangente a la curva esta situada por encima de la gr´afica de la funci´on. Definici´ on 4.12. Diremos que una funci´on es convexa un intervalo (a, b) si lo es en todos sus puntos. Definici´ on 4.13. Diremos que una funci´on es c´oncava un intervalo (a, b) si lo es en todos sus puntos. Nota 4.5. Entre los candidatos a puntos de inflexi´on, hay que tener en cuenta no solo aquellos puntos donde que anulan f 00 (x) sino tambi´en donde no existe. Ejemplo 4.14. Estudiar la concavidad, convexidad y hallar los puntos de inflexi´on de las siguientes funciones: a) √ b) f (x) = 5 3x − 1 Soluci´ on. Calculamos sus derivadas de primer y segundo orden son 3 f 0 (x) = p 5 5 (3x − 1)4

y

f 00 (x) =

−12 p 5 25 (3x − 1)9

1 del dominio en el que la 3 funci´on no es derivable, y, estudiar el signo de f 00 (x) antes y despu´es de ´el.  1  1 00 , ∞ se cumple En − ∞, se cumple que f (x) > 0, luego f es convexa y 3 3 1 que f 00 (x) < 0, luego f es c´oncava. Por tanto x = es un punto de inflexi´on de f . 3 Como f 00 (x) 6= 0 solo hay que considerar el punto x =

c) J. Rodriguez C.

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´ AREA DE CIENCIAS BASICAS ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS NOTAS DE CLASE CALCULO DIFERENCIAL ........................................................................................ Las tres proposiciones anteriores se pueden generalizar en el siguiente resultado Proposici´ on 4.2. Si f es una funci´on que tiene derivadas continuas hasta orden n en un punto x0 ∈ D y f 00 (x0 ) = f 000 (x0 ) = · · · = f (n−1) (x0 ) = 0, f (n) (x0 ) 6= 0 entonces a) Si n es par i) f (n) (x0 ) > 0 ⇒ f es convexa en x0 ii) f (n) (x0 ) < 0 ⇒ f es c´oncava en x0 b) Si n es impar entonces x0 es un punto de inflexi´on de f Ejemplo 4.15. Hallar los puntos de inflexion de f (x) =

2x7 x5 + + 25 7 5

Soluci´ on. Se calcula la derivada de segundo orden f 00 (x) = 12x5 +4x3 = 4x3 (3x2 +1) que u ´nicamente se anula en x = 0. Hallando la derivada tercera f 000 (x) = 60x4 + 12x2 cuyo valor en x = 0 es f 000 (0) = 0. Al ser cero esta derivada se calculan las derivadas siguientes en x = 0 hasta encontrar la primera que no se anule, obteni´endose: f (4) (x) = 240x3 + 24x en x = 0 es f (4) (0) = 0 f (5) (x) = 720x2 + 24 en x = 0 es f (5) (0) = 24 Como la primera derivada no nula en x = 0 es de orden impar, n = 5, se concluye que x = 0 es un punto de inflexi´on.

4.5.1.

Esquema para estudiar la curvatura de una funci´ on

1) Calculamos el dominio de la funci´on 2) Calculamos la derivada segunda de la funci´on 3) Calculamos los puntos donde la derivada segunda es cero, es decir, resolvemos la ecuaci´on f 00 (x) = 0 4) Estudiamos el signo que tiene la derivada segunda en cada uno de los intervalos en que queda dividida la recta real al considerar los puntos con derivada segunda cero y los puntos donde la funci´on no es derivable o no es continua Ejemplo 4.16. Determina la curvatura de la funci´on f (x) = x3 − 3x2 + x + 1. Soluci´ on. El dominio de la funci´on es R . Por tanto, trabajaremos sobre todo el conjunto de los n´ umeros reales. Calculamos f 00 (x) = 6x − 6 y resolvemos la ecuaci´on f 00 (x) = 0 ⇒ 6x − 6 = 0 ⇒ x = 1. J. Rodriguez C.

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4.6.

Representaci´ on Gr´ afica de Funciones

Para elaborar gr´aficas de funciones se sugiere seguir los ocho pasos siguientes: 1. Establecer el dominio de la funci´on 2. Establecer la simetr´ıa de las gr´aficas. Es decir, determinar si es par, impar o ninguna. 3. Establecer las as´ıntotas horizontales,verticales u oblicuas 4. Establecer los puntos cr´ıticos 5. Analizar la monoton´ıa. Es decir,determinar los intervalos de crecimiento y los intervalos de decrecimiento. 6. Establecer los extremos relativos. 7. Analizar la concavidad. Es decir, determine los intervalos donde es c´oncava hacia arriba y los intervalos donde es c´oncava hacia abajo. 8. Establecer los Puntos de Inflexi´on. x Ejemplo 4.17. Gr´afica f (x) = 4 x +3 Soluci´ on. Siguiendo los pasos indicados tenemos: Paso 1 Dominio. Dom(f ) = R Paso 2 Simetr´ıa. f (−x) =

x −x =− 4 = −f (x) por lo tanto f es impar. 4 (−x) + 3 x +3

Paso 3 As´ıntotas. Verticales: No hay por qu´e x4 + 3 6= 0 Horizontales: Calculamos l´ımite al infinito x l´ım = l´ım x→∞ x4 + 3 x→∞

x x4 x4 x4

+

3 x4

= l´ım

x→∞

1 x3

1+

3 x4

=

0 =0 1+0

Note que id´entico resultado se obtendr´ıa tomando l´ımite a menos infinito, es decir:

l´ım

x→−∞ x4

x =0 +3

Por tanto el eje x ( y = 0 ) es as´ıntota horizontal tanto para el infinito positivo como para el infinito negativo J. Rodriguez C.

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´ AREA DE CIENCIAS BASICAS ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS NOTAS DE CLASE CALCULO DIFERENCIAL ........................................................................................ Paso 4 Puntos Cr´ıticos. x4 + 3 − 4x4 x4 − 1 = −3 (x4 + 3)2 (x4 + 3)2 (x − 1)(x + 1)(x2 + 1) = −3 (x4 + 3)2

f 0 (x) =

Por lo tanto tenemos que x = 1 y x = −1 son puntos cr´ıticos. Paso 5 Monoton´ıa. Analizando el signo de la primera derivada, se concluye que:

Paso 6 Extremos. Por el criterio de la primera derivada observamos que: 1. En x = −1 la primera derivada cambia de signo, de negativo a positivo, por tanto aqu´ı existe un M´ınimo local. 2. En x = 1 la primera derivada cambia de signo, de positivo a negativo, por tanto aqu´ı existe un M´aximo local. Paso 7 Concavidad: Debemos analizar la segunda derivada  x4 − 1 f (x) = Dx − 3 4 (x + 3)2 4x3 (x4 + 3)2 − 8x3 (x4 + 3)(x4 − 1) 4x3 (x4 + 3) − 8x3 (x4 − 1) = −3 = −3 (x4 + 3)4 (x4 + 3)3 7 3 7 3 7 3 −4x + 20x 4x + 12x − 8x + 8x = −3 = −3 4 3 (x + 3) (x4 + 3)3 √ √ 4 (x2 − 5)(x2 + 5) 3 (x − 5) = 12x 4 = 12 (x + 3)3 (x4 + 3)3 √ √ √ 4 5)(x + 4 5)(x2 + 5) 3 (x − = 12x (x4 + 3)3 00



Entonces

J. Rodriguez C.

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L. Salas M.

´ AREA DE CIENCIAS BASICAS ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS NOTAS DE CLASE CALCULO DIFERENCIAL ........................................................................................ Paso 8 Puntos de Inflexi´on √ √ 4 4 Como la segunda derivada cambia de√signo tanto en x = 0 , x = 5 y x = − 5 entonces √ √ √

existen tres puntos de inflexi´on: − 4 5, f (− 4 5) , (0, 0) y 4 5, f ( 4 5) . En conclusi´on: f 0 (x) f 00 (x) f

x √ x