Übungsbuch zur numerischen Mathematik: Aufgaben, Lösungen und Anwendungen [2nd ed.] 3834812129, 9783834812124 [PDF]

Zitiervorschau

Robert Plato Übungsbuch zur numerischen Mathematik

Robert Plato

Übungsbuch zur numerischen Mathematik Aufgaben, Lösungen und Anwendungen 2., überarbeitete Auflage STUDIUM

Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar.

Dr. Robert Plato Fachbereich Mathematik Universität Siegen Walter-Flex-Straße 3 57068 Siegen E-Mail: [email protected]

1. Auflage 2004 2., überarbeitete Auflage 2010 Alle Rechte vorbehalten © Vieweg +Teubner | GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2010 Lektorat: Ulrike Schmickler-Hirzebruch | Nastassja Vanselow Vieweg +Teubner ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media. www.viewegteubner.de Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Umschlaggestaltung: KünkelLopka Medienentwicklung, Heidelberg Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier. Printed in Germany ISBN 978-3-8348-1212-4

v

Vorwort zur zweiten Auflage Für diese Neuauflage habe ich Aktualisierungen, Korrekturen und stilistische Änderungen vorgenommen, außerdem sind einige Aufgaben und dazugehörige Lösungen hinzugekommen. Frau Schmickler-Hirzebruch und Frau Vanselow vom Verlag Vieweg/Teubner möchte ich für die gewohnt gute Zusammenarbeit und Verbesserungsvorschläge danken. Hinweise zu diesem Lehrbuch erreichen mich nun unter der Email-Adresse [email protected]. Siegen, im Dezember 2009

Robert Plato

Vorwort zur ersten Auflage In dem vorliegenden Buch werden Übungsaufgaben zur Numerischen Mathematik und die dazugehörigen Lösungswege vorgestellt. Dabei werden die folgenden grundlegenden Themen behandelt: 

Interpolation, schnelle Fouriertransformation und Integration,



direkte und iterative Lösung linearer Gleichungssysteme,



iterative Verfahren für nichtlineare Gleichungssysteme,



numerische Lösung von Anfangs- und Randwertproblemen bei gewöhnlichen Differenzialgleichungen,



und Eigenwertaufgaben bei Matrizen sowie Approximationstheorie.

Die in Vorlesungen oder durch ein Selbststudium erlernten Kenntnisse zu diesen Themen lassen sich durch die hier vorgestellten Übungsaufgaben vertiefen, und die dazugehörigen Lösungswege sollen eine Lernkontrolle ermöglichen. In dem ersten Teil des Buches sind die Übungsaufgaben formuliert, darunter auch einige Programmieraufgaben. Außerdem werden in diesem ersten Teil noch Anwendungen der diskreten Fouriertransformation in der Audio- und Bildkompression vorgestellt. Im zweiten Teil des Buches finden Sie dann vollständige Lösungen zu den im ersten Teil vorgestellten Übungsaufgaben. Die Ergebnisse zu den Programmieraufgaben sind allerdings aus Platzgründen zumeist nur teilweise wiedergegeben. Es ist noch zu beachten, dass diese numerischen Ergebnisse je nach verwendeter Hardund Software geringfügig variieren können. Auf die Angabe der zugehörigen Codes ( die meisten davon sind von mir in C oder Matlab beziehungsweise Octave erstellt worden ) wird ebenfalls aus Platzgründen verzichtet. Diese finden Sie teilweise auf der zu dem vorliegenden Übungsbuch gehörenden Webpage http://www.math.tu-berlin.de/numerik/plato/viewegbuch.

vi

Vorwort

Dort wird auch eine Liste der eventuell anfallenden Korrekturen zu diesem Übungsbuch erstellt. Die vorgestellten “theoretischen Übungsaufgaben“ ( damit sind alle Aufgaben bis auf die Programmieraufgaben gemeint ) sind in erster Linie für Studierende der Mathematik-, Physik- und Informatik-Studiengänge an Universitäten gedacht. Bei einigen der Aufgaben handelt es sich um reine Rechenaufgaben, die auch für andere Studiengänge geeignet sind. Die verwendeten Notationen und Lösungshinweise orientieren sich an dem Buch [26]. Allerdings handelt es weitgehend um standardisierte Bezeichnungen, so dass die Übungsaufgaben und deren Lösungen auch gut in Begleitung zu anderen einführenden Monografien über Numerik einsetzbar sein sollten. Die meisten der hier vorgestellten Übungsaufgaben sind von mir als betreuender Assistent in Numerikvorlesungen an der TU Berlin verwendet worden. Einige dieser Aufgaben habe ich dabei aus früheren Lehrveranstaltungen übernommen und stammen nicht von mir. Ein paar der in diesem Buch verwendeten Übungsaufgaben sind dann noch an der Christian-Albrechts-Universität zu Kiel entstanden, wo ich in den Jahren 2000 bis 2002 Numerikvorlesungen gehalten habe. Ich möchte abschließend Dipl. Math. Oliver Pfeiffer danken, der das Manuskript gelesen und viele wertvolle Verbesserungsvorschläge gemacht hat. Selbstverständlich sind aber alle in diesem Übungsbuch auftretenden inhaltlichen und stilistischen Mängel mir anzulasten. Dem DFG-Forschungszentrum “Mathematik für Schlüsseltechnologien“ ( FZT 86 ) in Berlin danke ich für Unterstützung und Frau SchmicklerHirzebruch sowie Frau Rußkamp vom Vieweg Verlag für die angenehme Zusammenarbeit. Berlin, im August 2004

Robert Plato

vii

Inhaltsverzeichnis Vorwort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

v

I Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1 Polynominterpolation – Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

2 Splinefunktionen – Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

3 Diskrete Fouriertransformation. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

3.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

3.2 Diskrete Cosinustransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3.3 Audiokompression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3.3.1 Audiosignale, Abtastung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3.3.2 Speicherplatzbetrachtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3.3.3 Audioaufzeichnung in komprimierter Form . . . . . . . . . . . . 15 3.3.4 Die Dekodierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.3.5 MP3-Dateien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.4 Zweidimensionale diskrete Fouriertransformation . . . . . . . . . . . . 18 3.5 Zweidimensionale diskrete Cosinustransformation . . . . . . . . . . . 21 3.6 Kompression digitaler Bilder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.6.1 Speicherplatzbetrachtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.6.2 Das Komprimierungsformat JPEG . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.6.3 Ein Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.7 Kompression digitaler Videodateien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 4 Lineare Gleichungssysteme – Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . 26 5 Nichtlineare Gleichungssysteme – Aufgaben . . . . . . . . . . . . . 34 6 Numerische Integration – Aufgaben

. . . . . . . . . . . . . . . . 37

7 Einschrittverfahren für Anfangswertprobleme – Aufgaben . . . . . . . . 39 8 Mehrschrittverfahren für Anfangswertprobleme – Aufgaben . . . . . . . 43 9 Randwertprobleme bei gewöhnlichen Differenzialgleichungen – Aufgaben. . 51 10 Gesamtschritt-, Einzelschritt- und Relaxationsverfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme – Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 11 Verfahren der konjugierten Gradienten, und GMRES-Verfahren – Aufgaben . 61 12 Eigenwertprobleme – Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 13 Numerische Verfahren für Eigenwertprobleme – Aufgaben

. . . . . . . 66

14 Peano-Restglieddarstellung – Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . 69 15 Approximationstheorie – Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

viii

Inhaltsverzeichnis

II Lösungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 1 Polynominterpolation – Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 2 Splinefunktionen – Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 3 Diskrete Fouriertransformation – Lösungen . . . . . . . . . . . . . . 90 4 Lineare Gleichungssysteme – Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . 99 5 Nichtlineare Gleichungssysteme – Lösungen . . . . . . . . . . . . . 120 6 Numerische Integration – Lösungen

. . . . . . . . . . . . . . . . 127

7 Explizite Einschrittverfahren für Anfangswertprobleme bei gewöhnlichen Differenzialgleichungen – Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 8 Mehrschrittverfahren für Anfangswertprobleme bei gewöhnlichen Differenzialgleichungen – Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 9 Randwertprobleme bei gewöhnlichen Differentialgleichungen – Lösungen

. 159

10 Gesamtschritt-, Einzelschritt- und Relaxationsverfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme – Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 11 Verfahren der konjugierten Gradienten, und GMRES-Verfahren – Lösungen . 185 12 Eigenwertprobleme – Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 13 Numerische Verfahren für Eigenwertprobleme – Lösungen

. . . . . . . 196

14 Peano-Restglieddarstellung – Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . 203 15 Approximationstheorie – Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

1

Teil I 1

Aufgaben

Polynominterpolation – Aufgaben

Aufgabe 1.1. Für drei gegebene Funktionen f; g; h W R N  D ! R und einen Häufungspunkt x  2 R N von D zeige man Folgendes: (a) f . x / D O. g. x / / für D 3 x ! x 

H)

f . x / D O. g. x / / für D 3 x ! x  .

(b) f . x / D O. g. x / / und g. x / D O. h. x / / für D 3 x ! x  H) f . x / D O. h. x / / für D 3 x ! x  . (c) O. f . x / / O. g. x / / D O. . f g /. x / / für D 3 x ! x  . (d) O. O . f . x / / / D O . O. f . x / / / D O. f . x / / für D 3 x ! x  . Aufgabe 1.2. Man zeige Folgendes: Für gegebene paarweise verschiedene Stützstellen x0 ; x1 ; : : : ; xn 2 R ist die Abbildung R nC1 ! …n ; . f0 ; f1 ; : : : ; fn />  P linear, wobei P das jeweilige Interpolationspolynom bezeichnet. Aufgabe 1.3 (Hermite-Interpolation). Man zeige: Zu paarweise verschiedenen reellen Zahlen x0 ; x1 ; : : : ; xr sowie nichtnegativen ganzen Zahlen m0 ; m1 ; : : : ; mr 2 N0 mit P r ./ 2 R für  D 0; 1; : : : ; mj  1 und j D0 mj D n C 1 und vorgegebenen Zahlen fj j D 0; 1; : : : ; r existiert genau ein Polynom P 2 …n mit der Eigenschaft

P ./ . xj / D fj./

 D 0; 1; : : : ; mj  1; j D 0; 1; : : : ; r:

für

Aufgabe 1.4. Zu paarweise verschiedenen reellen Zahlen x0 ; x1 ; : : : ; xn weise man für die induzierten lagrangeschen Basispolynome Folgendes nach: (a)

n X kD0

(b)

Lk . x /  1; n X

Lk . 0 / xks

kD0

8 < D

1 0 : .1/n x0 x1    xn

für s D 0; für 1  s  n; für s D n C 1:

Aufgabe 1.5. Gegeben seien n C 1 paarweise verschiedene Stützstellen x0 ; x1 ; : : : ; xn . Die Stützkoeffizienten bezüglich der ersten m C 1 Stützstellen x0 ; x1 ; : : : ; xm ( mit 0  m  n ) seien durch

k.m/ D

m Y sD0 s¤k

1 xk  xs

definiert. (a) Man weise für m  1 die Identität

für k D 0; 1; : : : ; m

Pm kD0

k.m/ D 0 nach.

2

Kapitel 1 Polynominterpolation

(b) Man weise für m D 0; 1; : : : ; n  1 die folgende Rekursionsbeziehung nach:

k.mC1/ D

.m/

k xk  xmC1

für k D 0; 1; : : : ; m:

(c) Unter Ausnutzung der in (a) und (b) angegebenen Identitäten formuliere man .n/ einen Algorithmus zur Berechnung der Stützkoeffizienten k für k D 0; 1; : : : ; n. Außerdem bestimme man den dabei anfallenden Rechenaufwand in der Form “anq C O. nq1 / arithmetische Operationen“. Aufgabe 1.6. Zu n C 1 Stützstellen x0 ; x1 ; : : : ; xn seien die zugehörigen Stützkoeffizienten mit

k D

n Y sD0 s¤k

1 xk  xs

für k D 0; 1; : : : ; n

bezeichnet. Die Stützstellen seien zudem äquidistant gelegen, xj D xj 1 C h für j D 1; 2; : : : ; n. Man zeige Folgendes: (a) Es gilt

k D . 1 /k

hn  n  nŠ k

für k D 0; 1; : : : ; n:

(b) Es gilt

0 D

hn ; nŠ

k D k1

nkC1 k

für k D 1; 2; : : : ; n:

Aufgabe 1.7. Die Stützstellen x0 ; x1 ; : : : ; xn seien äquidistant gelegen, xj D xj 1 C h für j D 1; 2; : : : ; n. Für zugehörige Stützwerte f0 ; f1 ; : : : ; fn sind die aufsteigenden Differenzen k fj 2 R der Ordnung k definiert durch

0 fj k

 fj

WD fj ; WD 

j D 0; 1; : : : ; n;

k1

fj C1  

k1

fj ;

j D 0; 1; : : : ; n  k; k D 1; 2; : : : ; n:

Man weise nach, dass das Interpolationspolynom P 2 …n zu den Stützpunkten . x0 ; f0 /; . x1 ; f1 /; : : : ; . xn ; fn / die Darstellung

P.x / D

n k1 X k f 0 Y kD0

kŠhk

. x  xs /;

x 2 R;

sD0

besitzt. Aufgabe 1.8. Zu den drei Stützpunkten . xj ; tan2 . xj / / für j D 0; 1; 2 mit den Stützstellen x0 D =6; x1 D =4 und x2 D =3 berechne man unter Verwendung des Schemas von Neville das zugehörige Interpolationspolynom.

3

Aufgaben

Aufgabe 1.9. Zu gegebenen paarweise verschiedenen Stützstellen x0 ; x1 ; : : : ; xn 2 R und Stützwerten f0 ; f1 ; : : : ; fn 2 R weise man für die zugehörigen dividierten Differenzen Folgendes nach, n X

f Πx0 ; : : : ; xn  D

fk

n ı Y

. xk  xs /:

sD0 s¤k

kD0

Aufgabe 1.10. ( Unabhängigkeit der dividierten Differenzen gegenüber der Anordnung der Stützpunkte ) Seien . x0 ; f0 /; . x1 ; f1 /; : : : ; . xn ; fn / 2 R 2 und . y0 ; g0 /; . y1 ; g1 /; : : : ; . yn ; gn / 2 R 2 Stützpunkte mit zugehörigen dividierten Differenzen f Œ x0 ; : : : ; xn  und g Œ y0 ; : : : ; yn . Man zeige: Wenn

¹ . xj ; fj / W j D 0; 1; : : : ; n º D ¹ . yj ; gj / W j D 0; 1; : : : ; n º

(1.1)

erfüllt ist, so gilt f Œ x0 ; : : : ; xn  D gŒ y0 ; : : : ; yn : Aufgabe 1.11. Man bestimme in der newtonschen Darstellung das Interpolationspolynom zu den folgenden Stützpunkten:

j

0

1

2

xj

5

2

1

0

1

fj

17

8

21

42

35

3

4

Im Folgenden bezeichnet C Œ a; b  die Menge der stetigen Funktionen f W Œ a; b  ! R, und für r D 1; 2; : : : bezeichnet C r Œ a; b  die Menge der r -fach stetig differenzierbaren Funktionen f W Œ a; b  ! R. Aufgabe 1.12. Man zeige, dass es zu jeder Funktion f 2 C Œ a; b  und paarweise verschiedenen Stützstellen x0 ; x1 ; : : : ; xn 2 Œ a; b  sowie für " > 0 ein Polynom P gibt mit max jP. x /  f . x /j

x 2 Πa;b 

P. xj / D f . xj /

 ";

für j D 0; 1; : : : ; n:

Aufgabe 1.13. Seien '0 ; '1 ; : : : ; 'n W C Πa; b  ! R lineare Funktionale und V  C Πa; b  ein . n C 1 /-dimensionaler linearer Teilraum. (a) Man zeige, dass die verallgemeinerte Interpolationsaufgabe bestimme v 2 V

mit

'j . v / D 'j . f /

für j D 0; 1; : : : ; n

(1.2)

genau dann für jedes f 2 C Œ a; b  eindeutig lösbar ist, wenn die Funktion f D 0 nur v D 0 als verallgemeinerte Interpolierende besitzt. (b) Sei die verallgemeinerte Interpolationsaufgabe (1.2) für jedes f 2 C Œ a; b  eindeutig lösbar und Ln W C Œ a; b  ! V der zugehörige Interpolationsoperator, das heißt, Ln f D v . Man weise nach, dass Ln eine lineare Abbildung ist und für f 2 C Œ a; b  gilt

Ln f D f

”

f 2 V:

4

Kapitel 1 Polynominterpolation

Aufgabe 1.14. Für paarweise verschiedene Stützstellen x0 ; x1 ; : : : ; xn 2 Œ a; b  bezeichne Ln W C Œ a; b  ! …n den “Polynominterpolations-Operator“, das heißt,

. Ln f /. xj / D f . xj /

für j D 0; 1; : : : ; n

. f 2 C Πa; b  /:

Man weise Folgendes nach:

°

sup jj Ln f jj1 W f 2 C Πa; b ; jj f jj1 D 1

wobei jj

´

± D

max x2Πa;b 

n Y n X kD0 sD0 s¤k

μ ˇ x  xs ˇ ˇ ˇ ; x x k

s

jj1 WD max¹ j . x /j W x 2 Œ a; b  º die Maximumnorm bezeichnet.

Aufgabe 1.15. Es bezeiche P 2 …2 das Interpolationspolynom zur Funktion f .x/ D ln x und den drei Stützstellen x0 D 1; x1 D 11 und x2 D 12. (a) Geben Sie eine möglichst gute Abschätzung für den größtmöglichen Interpolationsfehler an der Stelle x D 11:1 an. (b) Geben Sie eine möglichst gute Abschätzung für den größtmöglichen Interpolationsfehler auf dem Intervall Œ 10; 12  an. Aufgabe 1.16. Die Tschebyscheff-Polynome der zweiten Art sind folgendermaßen erklärt,

Un . cos  / D

sinΠ. n C 1 /  sin 

für  2 . 0;  /

für n D 0; 1; : : : :

Man zeige Folgendes: (a) Für t 2 . 1; 1 / gilt

U0 . t / D 1;

U1 . t / D 2t;

UnC1 . t / D 2 t Un . t /  Un1 . t /

(1.3) für n D 1; 2; : : : :

(1.4)

(b) Eine Fortsetzung des Definitionsbereichs von Un auf ganz R mittels der Setzungen in (1.3)–(1.4) liefert Polynome Un vom genauen Grad n mit führenden Koeffizienten 2n ( für n D 0; 1; : : : ). (c) Es gilt Tn0 . t / D nUn1 . t / für t 2 Œ 1; 1  . n D 1; 2; : : : /. Hierbei bezeichnet Tn das Tschebyscheff-Polynom der ersten Art vom Grad n. (d) Es besitzt das Polynom Un nur einfache Nullstellen, die zudem alle in dem Intervall . 1; 1 / liegen . n D 1; 2; : : : /. (e) Für n D 0; 1; : : : berechne man jeweils die beiden Werte Un . 1 / und Un . 1 /. Aufgabe 1.17 (Numerische Aufgabe). Mit einem Polynom vom Grad  n interpoliere man die Funktion f . x / WD 1=. 25x 2 C 1 /; x 2 Œ 1; 1 ;  

in äquidistanten Stützstellen xj D 1 C 2j=n; j D 0; 1; : : : ; n, in den Nullstellen tj;nC1 ; j D 1; 2; : : : ; n C 1 des . n C 1 /-ten TschebyscheffPolynoms TnC1 .

Man wähle hierbei n D 10 und erstelle jeweils einen Ausdruck des Funktionsverlaufs.

5

2

Splinefunktionen – Aufgaben

Im Folgenden bezeichne

 D

®

a D x0 < x1 < : : : < xN D b

¯

(2.1)

eine Zerlegung eines gegebenen Intervalls Œ a; b . 1 Aufgabe 2.1. Im Folgenden bezeichnet C Œ a; b  den Raum derjenigen stetigen Funktionen f W Œ a; b  ! R, die stückweise stetig differenzierbar sind. Gegeben sei eine Zerlegung (2.1) des Intervalls Œ a; b  und Stützwerte f0 ; f1 ; : : : ; fN 2 R, und s sei die zugehörige interpolierende lineare Splinefunktion. Man zeige Folgendes: 1 Œ a; b  mit f . xj / D fj für j D 0; 1; : : : ; N gilt: (a) Für jede Funktion f 2 C

(i) jj f 0  s 0 jj22 D jj f 0 jj22  jj s 0 jj22 . (ii) Für eine beliebige ( bzgl.  ) lineare Splinefunktion

jj f 0  s 0 jj2  jj f 0 

0

gilt die Abschätzung

jj2 : W Πa; b  ! R die Notation

Hierbei wird für eine stetige Funktion

jj jj2 WD

Z

b

a

j . x /j2 dx

1=2

verwendet. (b) Die interpolierende lineare Splinefunktion s löst das Variationsproblem

jj f 0 jj2 ! min

1 für f 2 C Œ a; b  mit f . xj / D fj

für j D 0; 1; : : : ; N:

Aufgabe 2.2. Gegeben seien eine Zerlegung (2.1) des Intervalls Œ a; b  sowie Stützwerte f0 ; f1 ; : : : ; fN 2 R. (a) Man weise nach, dass es für jede Zahl f00 2 R genau einen interpolierenden quadratischen Spline s gibt, der der Zusatzbedingung s 0 . x0 / D f00 genügt. Man gebe einen Algorithmus zur Berechnung von s an. (b) Gesucht ist nun die interpolierende quadratische Splinefunktion s mit periodischen Randbedingungen s 0 . x0 / D s 0 . xN /. Man treffe Aussagen über Existenz und Eindeutigkeit von s . Aufgabe 2.3. Gegeben seien eine Zerlegung (2.1) des Intervalls Œ a; b  sowie zu interpolierende Werte f0 ; f1 ; : : : ; fN 2 R. Man zeige Folgendes: (a) Eine interpolierende kubische Splinefunktion s 2 S;3 mit vollständigen Randbedingungen s 0 . a / D f00 und s 0 . b / D fN0 ( mit gegebenen reellen Zahlen f00 und fN0 ) besitzt unter allen interpolierenden Funktionen f 2 C 2 Œ a; b  mit der Eigenschaft f 0 . a / D f00 und f 0 . b / D fN0 im quadratischen Mittel die geringste Krümmung, es gilt also jj s 00 jj2  jj f 00 jj2 :

6

Kapitel 2

Splinefunktionen

(b) Eine interpolierende kubische Splinefunktion s 2 S;3 mit periodischen Randbedingungen besitzt unter allen interpolierenden Funktionen f 2 C 2 Œ a; b  mit f 0 . a / D f 0 . b / und f 00 . a / D f 00 . b / im quadratischen Mittel die geringste Krümmung: jj s 00 jj2  jj f 00 jj2 : (c) Unter Ausnutzung der minimalen Krümmungseigenschaft weise man nach, dass jeweils höchstens eine interpolierende kubische Splinefunktion s 2 S;3 mit natürlichen, vollständigen beziehungsweise periodischen Randbedingungen existiert. Aufgabe 2.4. Auf dem Intervall Œ 1; 1  seien die Knoten x0 D 1; x1 D 0 und x2 D 1 gegeben. Welche Eigenschaften eines natürlichen kubischen Splines bezüglich der zugehörigen Zerlegung besitzt die folgende Funktion, und welche besitzt sie nicht?

²

f .x /

D

. x C 1 / C . x C 1 /3 für 1  x  0; 4 C . x  1 / C . x  1 /3 für 0 < x  1:

Aufgabe 2.5. Man berechne diejenige natürliche kubische Splinefunktion s W Œ0; 2 ! R zur Zerlegung  D ¹ 0 D x0 < x1 D 1 < x2 D 2 º, die die Interpolationsbedingungen s.0/ D 1; s.1/ D 2; s.2/ D 0 erfüllt. Aufgabe 2.6. Gegeben seien die Stützpunkte

k

0

1

2

3

4

5

xk

3

2

1

0

1

2

fk

9

4

1

0

1

4

Man stelle das zugehörige lineare Gleichungssystem für die Momente der interpolierenden kubischen Splinefunktion mit natürlichen Randbedingungen auf. Aufgabe 2.7. Gegeben seien eine äquidistante Zerlegung  D ¹ 0 D x0 < x1 < : : : < xN D 1 º des Intervalls Œ 0; 1 ; es gilt also xj D xj 1 C h für j D 1; 2; : : : ; N , mit h D 1=N . Man betrachte auf diesem Intervall die Funktion f . x / D sin. 2x / und die dazugehörige interpolierende kubische Splinefunktion s 2 S;3 mit natürlichen Randbedingungen. Wie groß muss die Zahl N gewählt werden, damit auf dem gesamten Intervall die Differenz zwischen s und f betragsmäßig kleiner als 1012 ausfällt. Aufgabe 2.8. Betrachte die Funktion f . x / D sin. Lx / mit einer positiven ganzen Zahl L und x 2 Œ 0;   und die äquidistanten Stützstellen xk D 2k=N für k D 0; 1; : : : ; N . Man gebe sowohl für die interpolierende lineare Splinefunktion als auch für die interpolierende kubische Splinefunktion mit natürlichen Randbedingungen eine ( von N und L abhängende ) Abschätzung für den Interpolationsfehler an. Aufgabe 2.9. Gegeben sei eine zweimal stetig differenzierbare Funktion f W Œ a; b  ! R und eine Zerlegung (2.1) des gegebenen Intervalls. Für den zugehörigen interpolierenden linearen Spline s 2 S;1 weise man mithilfe der taylorschen Formel die folgende Fehlerabschätzung nach:

js 0 . x /  f 0 . x /j



1 jj f 00 jj1 hmax 2

für

x 2 Πa; b ;

x 62 ¹ x0 ; : : : ; xN º;

7

Aufgaben

wobei hmax WD maxj D0;:::;N 1 ¹ xj C1 xj º den maximalen Knotenabstand bezeichnet. Aufgabe 2.10 (Numerische Aufgabe). Zur Interpolation beliebig verteilter Punkte

. x0 ; f0 /; . x1 ; f1 /; : : : ; . xN ; fN / 2 R 2 lassen sich kubische Splinekurven verwenden: Man bestimmt eine interpolierende kubische Splinefunktion s1 zu den Werten . t0 ; x0 /; . t1 ; x1 /; : : : ; . tN ; xN / 2 R 2 und eine zweite interpolierende kubische Splinefunktion s2 zu den Werten . t0 ; f0 /; . t1 ; f1 /; : : : ; . tN ; fN / 2 R 2 . Hierbei wählt man q t0 D 0; tj D tj 1 C . xj  xj 1 /2 C . fj  fj 1 /2 für j D 1; 2; : : : ; N: Die gewünschte interpolierende kubische Splinekurve ist dann . s1 . t /; s2 . t / / mit t 2 Œ 0; tN . Diesen Ansatz wende man auf die folgenden Punkte an:

j xj fj

0 1.5 0.75

1 0.9 0.9

2 0.6 1.0

3 0.35 0.8

4 0.2 0.45

5 0.1 0.2

6 0.5 0.1

7 1.0 0.2

8 1.5 0.25

Dabei sollen die interpolierenden kubischen Splinefunktionen s1 und s2 natürliche Randbedingungen erfüllen. Man erstelle einen Ausdruck des sich ergebenden Kurvenverlaufs.

8

3

Diskrete Fouriertransformation

3.1

Aufgaben

Aufgabe 3.1. Für gerades N seien . N C 1 / Stützstellen x0 < x1 < : : : < xN und Stützwerte f0 ; f1 ; : : : ; fN 2 C gegeben, mit xN  x0 < 2 . Man zeige Folgendes: (a) Es gibt genau ein trigonometrisches Polynom der Form

T .x / D

A0 2

C

N=2 X

. Ak cos kx C Bk sin kx /;

(3.1)

kD1

mit komplexen Koeffizienten Ak und Bk , das die Interpolationsbedingungen T . xj / D fj für j D 0; 1; : : : ; N erfüllt. (b) Sind die Stützwerte f0 ; f1 ; : : : ; fN alle reell, so sind es auch alle Koeffizienten Ak ; Bk des zugehörigen interpolierenden trigonometrischen Polynoms der Form (3.1). Aufgabe 3.2. Sei wieder N eine gerade positive Zahl. Man zeige: (a) Für reelle Zahlen x1 ; x2 ; : : : ; xN ist die Funktion

t. x / D

N Y

sin

sD1

x  xs 2

ein trigonometrisches Polynom von der Form (3.1) mit reellen Koeffizienten Ak ;

Bk . (b) Man zeige, dass das interpolierende trigonometrische Polynom zu den Stützstellen in Aufgabe 3.1 und zu den Stützwerten f0 ; f1 ; : : : ; fN 2 C identisch ist mit

T .x / D

N X kD0

fk t . x /; tk . xk / k

mit

tk . x / WD

N Y

sin

sD0 s¤k

x  xs : 2

Hinweis zu (a): Für U n WD span ¹1 1; sin x; cos x; : : : ; sin n x; cos n x º weise man Folgendes nach: 

für beliebige Zahlen b; c 2 Œ 0; 2  gilt w . x / WD sin



g1 2 U n ; g2 2 U m

H)

x  b sin x  c 2 U ; 1 2 2

g1 g2 2 U nCm :

Aufgabe 3.3. Es bezeichne nun D2 W C N ! C N die folgende lineare Abbildung:

D2 c WD . cj 1 C 2cj  cj C1 /j D0;::;N 1 ;

mit

c D . c0 ; c1 ; : : : ; cN 1 /; c1 WD cN 1 ;

cN WD c0 ;

und außerdem sei

M D diag. 0 ; 1 ; : : : ; N 1 / 2 C N N

mit

k WD 4 sin2 . k=N / 2 R für k D 0; 1; : : : ; N  1:

9

Aufgaben

Man zeige Folgendes:

D2 D F 1 M F; . D2  I /1 D F 1 . M  I /1 F

.  2 C;

 ¤ k für k D 0; 1; : : : ; N  1 /:

Hierbei bezeichnet F W CN ! C N die diskrete Fouriertransformation. Aufgabe 3.4. (a) Zu einem gegebenen Datensatz f0 ; f1 ; : : : ; fN 1 komplexer Zahlen sei der Datensatz dQ0 ; dQ1 ; : : : ; dQN 1 komplexer Zahlen definiert durch N 1 X fj e i.2j C1/k=N dQk D k

N

für k D 0; 1; : : : ; N  1

(3.2)

j D0

mit gegebenen Koeffizienten k ¤ 0 für k D 0; 1; : : : ; N  1. Man zeige

fj D

N 1 X kD0

dQk i.2j C1/k=N e k

für j D 0; 1; : : : ; N  1:

(b) Zu einem gegebenen Datensatz f0 ; f1 ; : : : ; fn1 reeller Zahlen mit n 2 N sei der transformierte Datensatz d0 ; d1 ; : : : ; dn1 reeller Zahlen definiert durch

dk D

n1  . 2j C 1 /k  k X f j cos n 2n

für k D 0; 1; : : : ; n  1

(3.3)

j D0

mit gegebenen Koeffizienten k ¤ 0 für k D 0; 1; : : : ; n  1. Man zeige:

fj D

n1  . 2j C 1 /k  X dk d0 C 2 cos für j D 0; 1; : : : ; n  1: 0 k 2n

(3.4)

kD1

Lösungshinweis: Man verwende Teil (a) dieser Aufgabe mit den Setzungen N D 2n und fN 1j D fj für j D 0; 1; : : : ; n  1 beziehungsweise N k D k für k D 1; 2; : : : ; n und zeige für diese Situation noch dQN k D dQk für k D 1; 2; : : : ; n. Aufgabe 3.5. Für n 2 N sei f0 ; f1 ; : : : ; fn1 ein gegebener Datensatz reeller Zahlen. (a) Man zeige, dass mit den Koeffizienten dk aus (3.3) für das trigonometrische Polynom

p.  / D

n1 X dk d0 C 2 cos k 0 k kD1

Folgendes gilt:

p

 2j C 1   D fj 2n

für j D 0; 1; : : : ; n  1:

(3.5)

10

Kapitel 3 Diskrete Fouriertransformation .n/

(b) Es sei P 2 …n1 das Interpolationspolynom zu den Stützpunkten . tj C1 ; fj / für

j D 0; 1; : : : ; n  1, wobei tj.n/ C1 D cos. . 2j C 1 / = . 2n / / die Nullstellen des Tschebyscheff-Polynoms Tn der ersten Art vom Grad n bezeichnet. Man zeige, dass mit den Koeffizienten dk aus (3.3) Folgendes gilt: d

P. x / D 0 C 2 0

n1 X kD1

dk T . x /: k k

(3.6)

Aufgabe 3.6 (Numerische Aufgabe ( FFT )). Man berechne entsprechend der Vorgehensweise in Teil (b) der Aufgabe 3.5 das Interpolationspolynom P 2 …n1 zu den beiden Funktionen

f . x / D x 1=3 ;

x 2 Π0; 64 

f . x / D log. x /;

bzw.

x 2 . 0; 1 

für die Werte n D 2m für m D 2; 4; : : : ; 10 und mit den Stützstellen aus Teil (b) der Aufgabe 3.5, wobei hierfür das Intervall Œ 1; 1  affin-linear auf Œ 0; 64  beziehungsweise Œ 0; 1  zu transformieren ist. Die Koeffizienten d0 ; d1 ; : : : ; dn1 ( mit den Faktoren k D 2 für k D 0; 1; : : : ; n  1 ) des Interpolationspolynoms P in der Darstellung (3.6) berechne man mit der schnellen Fouriertransformation. Man berechne außerdem den auftretenden Fehler an ( den linear zu transformierenden ) Stellen xj D 1 C j =10 für j D 1; 2; : : : ; 20: Pn1 Zur Auswertung von P. x / D d0 =2 C kD1 dk Tk . x / verwende man die folgende Variante des Horner-Schemas:

bn WD bnC1 WD 0; P. x /

D

bk WD 2 x bkC1  bkC2 C dk für k D n  1; n  2; : : : ; 0;

. b0  b2 /=2:

(3.7)

Man weise noch die Richtigkeit der Identität (3.7) nach. Aufgabe 3.7. Sei Mq D ¹ 0; 1; : : : ; 2q 1 º. Man zeige: die Bit-Umkehr q W Mq ! Mq ist bijektiv mit q1 D q , und weiter gilt für r D 0; 1; : : ::

r . k / D rC1 . 2k /; r

2 C r . k / D rC1 . 2k C 1 /;

k 2 Mr ; ......

:

Aufgabe 3.8. Gegeben seien äquidistante Stützstellen

xj1 D j1 L1 =N1 2 Π0; L1 

für j1 D 0; 1; : : : ; N1  1;

yj2 D j2 L2 =N2 2 Π0; L2 

für j2 D 0; 1; : : : ; N2  1:

Weiter seien

fj1 ;j2 2 C für gegebene Stützwerte. Man zeige:

j1 D 0; 1; : : : ; N1  1; j2 D 0; 1; : : : ; N2  1

11

Aufgaben

(a) Das trigonometrische Polynom in zwei Veränderlichen

p. x; y / D

NX 1 1 NX 2 1

dk1 ;k2 e ik1 2x=L1 e ik2 2y=L2

k1 D0 k2 D0

mit komplexen Koeffizienten dk1 ;k2 2 C besitzt die Interpolationseigenschaft

p. xj1 ; yj2 / D fj1 ;j2

für j1 D 0; 1; : : : ; N1  1;

j2 D 0; 1; : : : ; N2  1;

genau dann, wenn . dk1 ;k2 /k1 D0::N1 1;k2 D0::N2 1 die zweidimensionale diskrete Fouriertransformierte ( siehe dazu Seite 18 ) des Datensatzes . fj1;j2 /j1 D0::N1 1;j2 D0::N2 1 ist. (b) Die trigonometrische Funktion in zwei Veränderlichen

r. x; y / D

N1X =21

=21 N2X

dk1 ;k2 e ik1 2x=L1 e ik2 2y=L2

k1 DN1 =2 k2 DN2 =2

mit komplexen Koeffizienten dk1 ;k2 2 C besitzt die Interpolationseigenschaft

r. xj1 ; yj2 / D fj1 ;j2

für j1 D 0; 1; : : : ; N1  1;

j2 D 0; 1; : : : ; N2  1;

genau dann, wenn . dk1 N1 =2;k2 N2 =2 /k1 D0::N1 1;k2 D0::N2 1 die zweidimensionale diskrete Fouriertransformierte des Datensatzes . . 1 /j1Cj2 fj1 ;j2 /j1 D0::N1 1;j2 D0::N2 1 ist. Aufgabe 3.9 (Numerische Aufgabe). ( Zweidimensionaler FFT-Algorithmus, Datenkompression, Datenglättung ) Für die Funktion f W Œ ;    Œ ;   ! R definiert durch p p ² sin. x 2 C y 2 /; falls x 2 C y 2  ; f . x; y / D sonst 0 bestimme man die Funktionswerte von f auf einem äquidistanten Gitter der Weite h D 2=. N  1 /, mit N D 32. Diese Werte versehe man mit aus dem Intervall Œ 0:2; 0:2  zufällig ausgewählten Störungen. Mit diesen fehlerbehafteten Werten führe man eine zweidimensionale diskrete Fouriertransformation ( siehe hierzu Seite 18 ) durch. Von den gewonnenen diskreten Fourierkoeffizienten vernachlässige man die betragsmäßig kleinsten 98% ( durch Setzen auf null ), und anschließend rekonstruiere man daraus auf dem Gitter näherungsweise die Werte von f mittels der zweidimensionalen diskreten Fourier-Rücktransformation. Man verwende dabei jeweils den FFT-Algorithmus. Erstellen Sie Plots der störungsfreien und der fehlerbehafteten Funktion sowie von der Rekonstruktion. Aufgabe 3.10. Man wandele eine Sekunde eines Kanals einer beliebigen unkomprimierten Audiodatei in das Ascii-Format um. Unter dem Betriebssystem Linux gelingt eine solche Umwandlung von Audiodateien im WAV-Format zum Beispiel mit dem

12

Kapitel 3 Diskrete Fouriertransformation

Programm sox. Auf der Webseite zu diesem Buch findet sich eine Beispieldatei im Textformat. Auf die Audiodaten im Ascii-Format wende man wahlweise eine diskrete Fouriertransformation oder eine diskrete Cosinustransformation ( die Definition hierfür finden Sie in dem nachfolgenden Abschnitt ) an. Anschließend eliminiere man 30% der höchsten Frequenzen und führe dann eine inverse diskrete Fouriertransformation beziehungsweise eine inverse diskrete Cosinustransformation ( siehe hierzu den nachfolgenden Abschnitt 3.2 ) durch. Das Resultat sollte nur einen geringen oder sogar keinen hörbaren Unterschied zur Originaldatei aufweisen.

3.2

Diskrete Cosinustransformation

Es folgt nun eine kurze Einführung in die Grundlagen der diskrete Cosinustransformation, die bei der Lösung von Aufgabe 3.10 benötigt wird. (a) Die in Aufgabe 3.4 betrachteten Transformationen bezeichnet man als diskrete Cosinustransformation beziehungsweise als inverse diskrete Cosinustransformation. Für die diskrete Cosinustransformation gilt die Matrixdarstellung

d D

1 Cf; n

C WD . ck;j /k;j D0;::: ;n1 2 R nn mit ck;j D k cos

 . 2j C 1 /k  2n

(3.8)

mit den Notationen f D . f0 ; f1 ; : : : ; fn1 /> und d D . d0 ; d1 ; : : : ; dn1 />. (b) Die in (3.3) und (3.8) auftretenden Faktoren k werden zumeist wie folgt gewählt:

k

² p 2; falls k D 0 D 2 sonst.

(3.9)

Mit dieser speziellen Wahl der Koeffizienten k gilt für die inverse diskrete Cosinustransformation die Matrixdarstellung

f D

1 > C d: 2

Wegen (3.8) gilt dann

1 n das heißt,

C

1

p1 C 2n

D

1 > C 2

bzw.

 1 p

2n

C

1

D

 1 p

2n

C

> ;

(3.10)

ist eine orthogonale Matrix.

(c) Wegen des Zusammenhangs mit Teil (a) der Aufgabe 3.4 ist klar, dass sich – im Fall n D 2p mit p 2 N – sowohl die diskrete Cosinustransformierte als auch die inverse diskrete Cosinustransformierte eines gegebenen Datensatzes mit dem FFTAlgorithmus jeweils in O. n log2 . n / / arithmetischen Operationen berechnen lassen. (d) Die diskrete Cosinustransformation ermöglicht – wie schon die diskrete Fouriertransformation – eine Datenkompression, indem in den transformierten Datensätzen hochfrequente Anteile vernachlässigt werden. ( Hierzu interpretiert man die Zahlen d0 ; d1 ; : : : ; dn1 als Koeffizienten trigonometrischer Interpolationspolynome; für mehr Details siehe Teil (a) der Aufgabe 3.5. )

13

Aufgaben

(e) Sowohl für die diskrete Cosinustransformation als auch die inverse diskrete Cosinustransformation existieren zweidimensionale Versionen. Diese Transformationen sind bei der Kompression von digitalen Bildern von erheblicher Bedeutung und werden ab Seite 21 behandelt.

3.3

Audiokompression

Die diskrete Fouriertransformation und die diskrete Cosinustransformation lassen sich bei der komprimierten Speicherung von Audiosignalen sinnvoll einsetzen. Einige Details hierzu werden im Folgenden vorgestellt.

3.3.1 Audiosignale, Abtastung Der durch ein Audiosignal verursachte Schalldruck wird in Dezibel, kurz dB, gemessen und nimmt typischerweise Werte zwischen 0 Dezibel ( Stille ) und 120 Dezibel ( Schmerzgrenze ) an. Eine Erhöhung des Schalldrucks um 10 Dezibel wird als eine Verdoppelung der Lautstärke wahrgenommen. Der zeitliche Verlauf des Schalldrucks lässt sich in Form einer Funktion f . t / darstellen. Dieser Kurvenverlauf wird üblicherweise skaliert dargestellt mit Werten zwischen 1 und 1. Dabei erhalten Werte erhöhten Drucks ein positives Vorzeichen, und Werte verminderten Drucks ein negatives Vorzeichen. Beispiel 3.11. In einem ersten Beispiel werden 10 Millisekunden aus einem ersten Teil eines Kanals des Stückes Forever and for always von Shania Twain dargestellt. .. .... ..... ..... ..... . . .. ......... ..... .......... ... .. ...... .... .... ... ..... ............ .... ...... ... ..... .... ....... .... ... ..... .... . ... ..... . . ............... ... .... ....... .. .. ...... ........ .... ....... .... .. .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....... . . . . .. . .. .... ..... . .. . . . ...... ... .... ........ ...... ....... ... ....... ............... ... ... .... .. .... .............. .... .. .. ........ .... ... ........... .... ... ... .... ... ... .. .. ... .. ... ...... ..... ....... .. . . ....... .. .. ..... ....... ... .. .. .. ... ..... .. ... ... ... ....... .. ........ . . .......... ........... ......... .... ...... .. .... ......... .... .. ..... ...... .. .... .... .... ........ .... .... ............. .... .... .... ...... .... .... . . . . . .......... .... .... ........... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... .. .. .. . . . . . .. . .. . .. . . . . .. .. .. . .. .. ... .. ... .. ... ...... ... ........ .. .... ... ... .......... ... .. ... ... . .. ... .. ... .... .. ....... .... ... ... .. .. ...... ..... .. ... .. .. .. ... ...... .. .. ... ... ..... .... .. .. ..... .. ... .. ... .. ...... ...... ... ... ... ... .. ... . ... .. ... ... ... ... ... .. ... .... ... .... ...... .. ... .. ... . .. . .. ... .. ... .... .. ... .. ........ ........ .. .. ... ... .. .. ... .... .... .. .. .. .... ... .... .. .. .. . ... ... ... ... ....... ... ......... ...... .. ... .. ... ........ ... .. ........ .... ..... .. .. ....... ......... .... ....... .... ........ .... .... .... ........ ........ .... .... ....... ......... .... . . . . . . ......... ... . ........ .... .... .... .... .... ...... ....... . . ... ... ........... ........ ....... .......... . . . . ... . .. .. .. ..... . .. .... ... . .... .... ... .. .. ..... ....... .... ........... ... .. .. ............ . ... ...... ... ...... ... ..... ........ ... ..... .... ...... ... ... ... ..... ... .. ...... .. .. .. .. .. .... .. .... .. .. ... ... .. .... .... ....... .. ..... ...... ... ........ ... ...... .. ...... ... ... .. .... .... ... .... ... ... ... .. ... ... .. ..... .. . . .... .. .... .. .. . .... ..... .... .. .. .. .. .. .. ... ......... ... ...... ... ... ... .. ..... .... ... ... .... ....... ... .. .. .. .... ..... .. ... .. .. ... . ..... ... .. ... .. ..... .... ......... .. .. ... .. ..... . ... ... .... .. . . ..... . . . . . . . . . .... . . . . .. . .. .. ... ... . .. . .... ... .. ...... .. ..... ... ... ..... .... . ... .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . .... ... .. .. . ... .. .. ... .. ...... ......... .. ... ... .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... .... .... ... . .... ... .. .. .. ..... .... . . . . . ..... . . . . . . . . . . . . . .. ...... .. .... .... ..... . ..... .. .... . ...... .. ... . . . . .. . . . . . . . . ....... ........ .. .. .... ...... .... .... . ... .. ....

0:4 6

0

0:4

- t

2:5ms

5ms

10ms

Bild 3.1: Darstellung von 10 Millisekunden aus Forever and for always von Shania Twain.

M Abtastung des Audiosignals Bei der Aufzeichnung wird das Audiosignal in gewissen Abständen gemessen ( “abgetastet“ ). Für eine Aufnahme in CD-Qualität ist eine Messung des Amplitudenwertes

14

Kapitel 3 Diskrete Fouriertransformation

44100 mal in der Sekunde erforderlich, die Abtastrate beträgt also etwa 44 Kilohertz.1 Die Signale werden jeweils in den gleichen Zeitabständen gemessen, also alle 1/44100 Sekunden einmal. Die Vorgehensweise der Abtastung ist in Bild 3.2 illustriert. Die zu den diskreten Zeitpunkten gemessenen Amplitudenwerte sind dabei durch vertikale Linien veranschaulicht.

0:4

0

0:4

... ...... ... ... ...... .. ... .. .... ........ ..... . .. . ... ...... ...... ... .... .. .... ...... .............. .. .. ... ......... .. ...... . . . . . . . . . . . . ... .... .... .... .... . .. ..... ... ......... ..... . . .. ....... ... ............... . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . ... . . . . . ..... . .. .. . .. ... .. ... .............. ... ..... ... .... .... .. ... .. ... ..... .. .......... .. ......... .. ..... .. .. .... ... .. .. .. .. ..... ... ..... ...... .. .. ... .. ... .. .. .. .. ... .. .. ... ... .... ... ... ..... .. .... ... ... .... .... .... .... .... ..... .. .... ............. ... ... .... .... ... .... ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... ... ... .......... ... ... ... ... ... .... . . . . . ... ... ... .. . . . . . .... ... ... ... ... ... ... .. . ....... ..... . . .... ... ..... . . . . .............................. ... .. .. .. .. .. .. ... ... ....... .... .. .... .... ... ... ... ... .. ......... ..... .. ... ... .. ... ... ... ... .. .. ... ...... ........ .. . .. .. ... ... ... ... ... ... ... ... ......... ... .. .... .................... ..... ... ... ... .. .. .. ... ... ... ... ...... .... ... ... ... .. ... .. .. .. ... ... .. ... ..... ... .. .... ... ... .. .. ... ... .. ... .. ... ... ....... .. .. .. .. ... .. .. ... ... ..... . . ..... ... ... ... ... ... ... .... ... ... .. ... .... ... .... ..... ... .. ....... ............ .... ... ..... ... .... ... .. ..... .. .... ... ..... ..... .... ... .. .. ... ....... ......

0:5ms

t

1:0ms

Bild 3.2: Illustration zur Abtastung eines Audiosignals. In einer Millisekunde werden etwa 44 Abtastungen vorgenommen.

Auflösung für die abgetasteten analogen Werte des Audiosignals Bei Aufnahmen in CD-Qualität werden die abgetasteten Amplitudenwerte jeweils auf einen der in Frage kommenden 65536 D 216 gleichverteilten Werte zwischen einem maximal zulässigen und einem minimal zulässigen Wert ( oft sind dies die Werte 1 beziehungsweise 1 ) gerundet. Dieser Rundungsprozess wird in diesem Zusammenhang als Quantisierung bezeichnet. Bei der hier betrachteten Auflösung spricht man von einer 16 Bit-Auflösung.

3.3.2 Speicherplatzbetrachtungen Im Folgenden wird der erforderliche Speicherplatzbedarf für Audioaufnahmen in CDQualität berechnet: 

Pro Abtastung werden 16 Bit zur näherungsweisen Abspeicherung eines Amplitudenwerts benötigt.



Pro Sekunde fallen 44.100 Abtastungen an,



Außerdem wird Stereoton abgespeichert, was zwei Monokanälen entspricht.

Insgesamt werden demnach

44:1 16 2 Kilobits = 1400 Kilobits pro Sekunde für die Aufnahme benötigt, wobei 1 Kilobit gleich 1000 Bit sind. Diese Zahl wird auch als Bitrate bezeichnet und als Vergleichskriterium herangezogen. Hier tabellarisch einige andere Bitraten: 1

Einzelheiten zur Notwendigkeit für eine solche Abtastrate werden in Abschnitt 3.3.3 vorgestellt.

15

Aufgaben

Klangqualität Analogtelefon Kurzwelle

Bandbreite 2.5 Kilohertz 4.5 Kilohertz

Modus mono mono

Bitrate 8 Kilobits pro Sekunde 16 Kilobits pro Sekunde

Im MPEG-1 Layer 3-Audioformat ( Näheres zu diesem Format wird in Abschnitt 3.3.5 auf Seite 17 vorgestellt ) ist zum Beispiel eine Bitrate von 128 Kilobit pro Sekunde möglich, also einem Zehntel der erforderlichen Bitrate für Audiosignale in CDQualität. Dazu mehr im Abschnitt 3.3.3. Bemerkung 3.12. Für ein Audiosignal in CD-Qualität werden also für einen Zeitraum von einer Minute 1:4 Kilobits 60 Sekunden 84:7 Megabits 10:6 Megabyte Sekunde Speicherplatz benötigt. Auf einer 700 Megabyte-CD lassen sich demnach etwa

700 MB

66 Minuten 10:58MB=min Musik in CD-Qualität abspeichern.

M

3.3.3 Audioaufzeichnung in komprimierter Form In diesem Abschnitt wird beschrieben, wie die ungefähre Vorgehensweise bei einer Audiokompression ist. Der Einfachheit halber soll dabei ein Zeitintervall von einer Sekunde betrachtet werden. Zunächst berechnet man aus den in dieser Sekunde gewonnenen 44100 Amplitudenwerten die zugehörige diskrete Fouriertransformierte. Diese stimmen mit den Entwicklungskoeffizienten eines interpolierenden trigonometrischen Polynoms überein ( vergleiche Teil (a) der Aufgabe 3.8 ) und lassen sich daher näherungsweise als Frequenzspektrum des eigentlichen Audiosignals interpretieren. Alternativ lassen sich auch die Koeffizienten aus Teil (b) der Aufgabe 3.8 oder die diskrete Cosinustransformierte verwenden. Filterung, Maskierung, Kompression Nach Bestimmung des Frequenzspektrums des gegebenen Audiosignals f . t / ist man in der Lage, gewisse Anteile aus diesem Frequenzspektrum mit dem Ziel der Datenkompression herauszufiltern. Hierfür kommt Folgendes in Frage: 

Die hochfrequenten Anteile wird man weglassen können, da diese sowieso nur schwer wahrzunehmen sind. Im MP3-Format werden tatsächlich Frequenzen oberhalb von 16 kHz herausgefiltert.



Tritt bei einer Frequenz ein gegenüber benachbarten Frequenzen sehr lauter Anteil auf, so kann man die benachbarten Frequenz bei der näherungsweisen Rekonstruktion vernachlässigen. In diesem Zusammenhang spricht man von einer Maskierung.

Diese Betrachtungen betrafen ein Mono-Audiosignal. Bei Zweikanal-Audiosignalen kann man sich außerdem im niederfrequenten Frequenzbereich unterhalb 100 Hertz

16

Kapitel 3 Diskrete Fouriertransformation

auf ein Monosignal beschränken, da hier eine räumliche Ortung nur schwer möglich ist. Quantisierung der reduzierten Anzahl der Amplitudenwerte Als Resultat der beschriebenen Vorgehensweise speichert man für jede Sekunde anstelle der 44100 Amplitudenwerte einen gewissen Anteil der auftretenden 44100 diskreten Fourierkoeffizienten ab. Dafür ist noch eine Quantisierung der Fourierkoeffizienten nötig, typischerweise in einer 16Bit-Auflösung. Mit etwa 10 Prozent der gerundeten Fourierkoeffizienten, das sind etwa 4400 Amplitudenwerte pro Sekunde, erhält man dabei ein akzeptables Ergebnis. Die zugehörige Bitrate 140 Kilobits / Sekunde für zwei Kanäle ist eine typische Bitrate für das Audiokompressionsformat MP3. Bemerkung 3.13. Eine geringere Auflösung ( zum Beispiel 8 Bit ) bei der Quantisierung der diskreten Fourierkoeffizienten führt beim Abspielen des zur Funktion fQ gehörenden Audiosignals zu einer “verwaschenen“ Wiedergabe. Dagegen führt eine geringere Auflösung bei der Quantisierung des analogen Audiosignals zu einem erhöhten Rauschen. M Zusätzlich zu der vorgestellten Kompressionstechnik lassen sich Textdateien mit komprimierten Audiodaten nochmals verlustfrei komprimieren. Eine gängige Vorgehensweise ist die Huffmann-Kodierung, bei der für häufiger auftretende Zeichenketten kürzere Bitdarstellungen verwendet werden. Zusammenfassung der Enkodierung Die in diesem Abschnitt 3.3.3 vorgestellte Vorgehensweise zur Kodierung von Audiodaten ist in Bild 3.3 noch einmal schematisch zusammengefasst.

Digitale Audiodaten

FFT

.........................................

Maskierung Fourier.......................................................... koeffizienten

Komprimierte Audiodaten im Frequenzbereich

Textkompression ...........................................................................................

modifiz. Menge Fourierkoeffizienten ... ... .. ... .. ......... ....

Quantisierung

modifiz./quantierte Menge Fourierkoeffizienten

Bild 3.3: Schematische Vorgehensweise bei der Enkodierung von digitalen Audiosignalen Hier können nicht alle weiteren Möglichkeiten der Kodierung erläutert werden, wie sie beispielsweise bei der Spezifikation MP3 festgelegt sind. Dort wird zum Beispiel für jeweils 1152 Amplitudenwerte ( also die Audiodaten für 26 Millisekunden ) mittels einer diskreten Fouriertransformation oder einer diskreten Cosinustransformation

17

Aufgaben

ein Frequenzspektrum bestimmt, wobei sich die Zeiträume aber überlappen, damit Artefakte an den Übergängen vermieden werden. Die so berechneten Frequenzen werden dann insgesamt 32 Subbändern zugeordnet und anschließend gemäß der in diesem Abschnitt vorgestellten Richtlinien komprimiert. Weitere Details finden sich in zahlreichen im Internet abgelegten Artikel. Links auf solche Artikel finden Sie auf der Webseite zu diesem Buch.

3.3.4 Die Dekodierung Die in dem Abschnitt 3.3.3 vorgestellte Vorgehensweise liefert komprimierte Audiodateien mit der reduzierten Menge von diskreten Fourierkoeffizienten. Für die musikalische Wiedergabe ist nun eine näherungsweise Berechnung der Funktionswerte von fQ. t / zu 44100 im Zeitintervall 0  t  1 gleichverteilten Zeitpunkten erforderlich – und zwar aus den diskreten Fourierkoeffizienten der komprimierten Audiodatei. Hierfür kann wiederum der FFT-Algorithmus verwendet werden. Dies ist wichtig, denn dieser schnelle Algorithmus kann in Echtzeit die erforderlichen Umrechnungen vornehmen. Die Vorgehensweise bei der Dekodierung ist schematisch in Bild 3.4 zusammengefasst.

Komprimierte Audiodaten im Frequenzbereich

Dekompression von Text modifiz./quantierte Menge ................................................................... Fourierkoeffizienten ... ... ... ... ... .. ........ .....

Inverse FFT

Digitale Audiodaten

Bild 3.4: Schematische Vorgehensweise bei der Dekodierung von digitalen Audiosignalen

3.3.5 MP3-Dateien Die in Abschnitt 3.3.3 beschriebene Vorgehensweise zur En- und Dekodierung von Audiodateien ist Bestandteil des MP3-Standards. Hier wird kurz erläutert, was sich hinter diesem und einigen dazugehörigen Begriffen verbirgt. 

MP3 bedeutet MPEG 1 Audio Layer3 und ist ein von der MPEG entwickelter Standard zur Audiokompression. Es handelt sich um einen offenen Standard, so dass jeder günstig in den Besitz der zugehörigen En- und Decoder gelangen kann. Die Spezifikation lässt gewisse Freiheiten, so sind Bitraten von 32 bis über 320 Kilobits pro Sekunde möglich.

18 

Kapitel 3 Diskrete Fouriertransformation

MPEG ist eine Kurzform für Motion Picture Experts Group, an der auch das Fraunhofer Institut für integrierte Schaltungen beteiligt ist. Diese nahm 1988 ihre Arbeit auf mit Projekten zur Video- und Audiokompression. Der erste Standard ist MPEG 1, der auch die drei genannten Audiostandards MPEG 1 Audio Layer 1, 2 und 3 beinhaltet. Dabei sorgen die Standards Audio Layer 1 und 2 für höhere Kompressionsraten mit dem Preis des erhöhten Qualitätsverlusts. Neben MPEG 1 gibt es noch die Nachfolgestandards MPEG 2 aus dem Jahr 1994 sowie die Standards MPEG 3 und MPEG 4.

3.4

Zweidimensionale diskrete Fouriertransformation

In den Aufgaben 3.8 und 3.9 wird die zweidimensionale diskrete Fouriertransformation benötigt, die hier nun kurz vorgestellt wird. Zu einem gegebenem Datensatz von N1 N2 komplexen Zahlen

fj1 ;j2 2 C für

j1 D 0; 1; : : : ; N1  1; j2 D 0; 1; : : : ; N2  1

(3.11)

bezeichnet der Datensatz

dk1 ;k2 D

N1 1 NX 2 1 1 X fj1 ;j2 e ij1 k1 2=N1 e ij2 k2 2=N2 ; k1 D 0; 1; : : : ; N1  1; N1 N2 j1 D0 j2 D0 k2 D 0; 1; : : : ; N2  1(3.12)

die zweidimensionale diskrete Fouriertransformierte des Datensatzes (3.11). Hierbei p bezeichnet wieder i D 1. Im Folgenden werden ohne Beweis einige wichtige Eigenschaften der zweidimensionalen diskreten Fouriertransformation und der zugehörigen Rücktransformation vorgestellt. (a) Die zweidimensionale diskrete Fouriertransformierte eines Datensatzes mit N1 N2 komplexen Zahlen lässt sich als eine Hintereinanderausführung von eindimensionalen diskreten Fouriertransformationen realisieren. Die Vorgehensweise wird nachfolgend genauer beschrieben. (i) Zunächst führt man für die Indizes j2 D 0; 1; : : : ; N2  1 jeweils eine eindimensionale diskrete Fouriertransformation von der Form

ek1 ;j2 D

N1 1 1 X fj1 ;j2 e ij1 k1 2=N1 N1

für k1 D 0; 1; : : : ; N1  1

j1 D0

durch. Die prinzipielle Vorgehensweise ist in Bild 3.5 dargestellt. (ii) Anschließend wird für die Indizes k1 D 0; 1; : : : ; N1  1 jeweils eine eindimensionale diskrete Fouriertransformation von der Form

dk1 ;k2 D

N2 1 1 X ek1 ;j2 e ij2 k2 2=N2 N2

für k2 D 0; 1; : : : ; N2  1

j2 D0

durchgeführt. Eine schematische Darstellung der Vorgehensweise ist in Bild 3.6 angegeben.

19

Aufgaben

f0;0 f1;0 :: :

f0;1 f1;1 :: :



fN1 1;0 fN1 1;1 #F e0;0 e1;0 :: :

#F e0;1 e1;1 :: :

f0;N2 1 f1;N2 1 :: : fN1 1;N2 1





eN1 1;0 eN1 1;1

#F e0;N2 1 e1;N2 1 :: : eN1 1;N2 1

Bild 3.5: Realisierung der zweidimensionalen diskreten Fouriertransformation als Hintereinanderausführung von eindimensionalen diskreten Fouriertransformationen – Teilschritt (i)

e0;0 e0;1    e0;N2 1

F !

d0;0 d0;1    d0;N2 1

e1;0 e1;1    e1;N2 1

F !

d1;0 d1;1    d1;N2 1

:: :

:: :

:: :

eN1 1;0 eN1 1;1    eN1 1;N2 1

F !

dN1 1;0 dN1 1;1    dN1 1;N2 1

Bild 3.6: Realisierung der zweidimensionalen diskreten Fouriertransformation als Hintereinanderausführung von eindimensionalen diskreten Fouriertransformationen – Teilschritt (ii)

(b) Zu der Darstellung der zweidimensionalen diskreten Fouriertransformierten eines Datensatzes als Hintereinanderausführung eindimensionaler diskreter Fouriertransformationen existiert eine Matrixdarstellung. Sie lautet

E D

1 V F; N1 1

D D . N12 V 2 E >/> D

1 EV 2 N2

(3.13)

20

Kapitel 3 Diskrete Fouriertransformation

mit den Notationen

0

0

1

B B B F D B B @

f0;0



f0;N2 1

:: :

::

:: :

:

C C C C; C A

V1

fN1 1;0    fN1 1;N2 1 0

0

1

B B B E D B B @

e0;0



e0;N2 1

:: :

::

:: :

:

B B B B D B B B @

C C C C; C A

V2

eN1 1;0    eN1 1;N2 1

B B B B D B B B @

1

0 B d0;0    d0;N2 1 B B :: :: :: D D B : : : B @ dN1 1;0    dN1 1;N2 1

C C C C; C A

1

1

1

ppp

1

!

!2

ppp

1

1

C ! N1 1 C C p p p ! 2.N1 1/ C C; 1 !2 !4 C pp pp pp pp pp C p p p p p A 2 N1 1 2.N1 1/ p p p .N1 1/ 1! ! ! 1 ppp 1 1 1 1 C p p p  N2 1 C 1  2 C p p p  2.N2 1/ C C; 1 2 4 C pp pp pp pp pp C p p p p p A 2 1  N2 1  2.N2 1/ p p p  .N2 1/

! WD e i2=N1 ;

 WD e i2=N2 :

Die angegebenen Matrizen haben demnach die Formate

D 2 CN1N2 ;

V2 2 C N2N2 ;

E 2 C N1N2 ;

V1 2 C N1 N1 ;

F 2 CN1N2 ;

und die Matrizen V 1 2 CN1N1 und V 2 2 CN2 N2 sind ( komponentenweise ) konjugiert komplex zu den symmetrischen Matrizen V1 beziehungsweise V2 . Aus der Darstellung (3.13) erhält man unmittelbar die Identität

D D

1 V F V 2: N1 N2 1

(3.14)

(c) Aus der Darstellung (3.14) erhält man wegen der bekannten Identitäten



1 1 V N1 1

D V1 ;



1 1 V N2 2

D V2

( siehe etwa [26, Korollar 3.3] ) unmittelbar die zweidimensionale diskrete FourierRücktransformation

F D V1 DV2 : Hieraus ergibt sich dann die Komponentendarstellung

fj1 ;j2 D

NX 1 1 NX 2 1 k1 D0 k2 D0

dk1 ;k2 e ij1 k1 2=N1 e ij2 k2 2=N2 ;

j1 D 0; 1; : : : ; N1  1; j2 D 0; 1; : : : ; N2  1:

(3.15)

(d) Sind die Zahlen N1 und N2 Zweierpotenzen, so lässt sich mit dem FFT-Algorithmus jeder der in Teilschritt (i) beschriebenen N2 eindimensionalen diskreten

21

Aufgaben

Fouriertransformation der Länge N1 in O. N1 log2 . N1 / / arithmetischen Operationen durchführen, und entsprechend lässt sich jeder in Teilschritt (ii) beschriebenen N1 eindimensionalen diskreten Fouriertransformation der Länge N2 in O. N2 log2 . N2 / / arithmetischen Operationen realisieren. Insgesamt lässt sich also die zweidimensionale diskrete Fouriertransformation in

N2 O. N1 log2 . N1 / / C N1 O. N2 log2 . N2 / / D O. N1 N2 log2 . N1 N2 / / arithmetischen Operationen durchführen.

3.5

Zweidimensionale diskrete Cosinustransformation

Wegen der bereits angesprochenen Bedeutung bei der Kompression digitaler Bilder soll hier noch kurz die zweidimensionale diskrete Cosinustransformation vorgestellt werden. Zu einem gegebenen Datensatz

fj1 ;j2 2 C für

j1 D 0; 1; : : : ; n1  1; j2 D 0; 1; : : : ; n2  1

(3.16)

bezeichnet

dk1 ;k2 D

1 1 nX 2 1  . 2j1 C 1 /k1    . 2j2 C 1 /k2   1;k1 2;k2 nX fj1 ;j2 cos cos ; n1 n2 2n1 2n2

j1 D0 j2 D0

(3.17)

für k1 D 0; 1; : : : ; n1  1;

k2 D 0; 1; : : : ; n2  1 ( mit gegebenen Koeffizienten 1;k1 ¤ 0 für k1 D 0; 1; : : : ; n1  1 und 2;k2 ¤ 0 für k2 D 0; 1; : : : ; n2  1 ) die zweidimensionale diskrete Cosinustransformierte des Datensatzes (3.16). Im Folgenden werden einige wichtige Eigenschaften der zweidimensionalen diskreten Cosinustransformation und der zugehörigen Rücktransformation vorgestellt. (a) Die zweidimensionale diskrete Cosinustransformation lässt sich wie die zweidimensionale diskrete Fouriertransformation als eine Hintereinanderausführung eindimensionaler diskreter Cosinustransformationen realisieren. Hierzu schreibt man (3.17) in der Form

dk1 ;k2 D

2 1 ° 1 1  . 2j1 C 1 /k1   ±  . 2j2 C 1 /k2   2;k2 nX 1;k1 nX f cos j1 ;j2 cos n2 n1 2n1 2n2

j2 D0

j1 D0

für k1 D 0; 1; : : : ; n1  1;

k2 D 0; 1; : : : ; n2  1; was gleichbedeutend ist mit

1

1

D D n n . C2 . C1 F />/> D n n C1 F C2> 1 2 1 2

(3.18)

22

Kapitel 3 Diskrete Fouriertransformation

mit den Notationen

0

B f0;0 B : : F D B B : @ fn1 1;0

 :: :

f0;n2 1 :: :

1

0

C C C; C A

B d0;0 B : : D D B B : @ dn1 1;0

   fn1 1;n2 1

.1/ C1 WD . ck;j /k;j D0;::: ;n1 1 2 R n1 n1

1 d0;n2 1 :: :

.2/ ck;j

mit

C C C 2 R n1n2 ; C A

   dn1 1;n2 1

.1/ ck;j D 1;k cos

mit

.2/ /k;j D0;::: ;n2 1 2 R n2 n2 C2 WD . ck;j

 :: :

 . 2j C 1 /k  ; 2n1

 . 2j C 1 /k  D 2;k cos : 2n2

(b) Wählt man die Koeffizienten 1;k und 2;k jeweils wie in (3.9),

² p

1;k D

² p

2; falls k D 0; 2 sonst,

2;k D

2; falls k D 0; 2 sonst,

so gewinnt man mit den Darstellungen

 1 n1

C1

1

D

 1

1 > C ; 2 1

n2

C2

1

D

1 > C ; 2 2

( vergleiche Seite 12 ) und der Darstellung (3.18) aus Teil (a) unmittelbar die zweidimensionale diskrete Cosinusrücktransformation

F D

1 > C DC2 : 4 1

Die Komponentendarstellung hierfür lautet

fj1 ;j2 D

n1 1 nX 2 1  . 2j1 C 1 /k1    . 2j2 C 1 /k2   1 X 1;k1 2;k2 dk1 ;k2 cos cos 4 2n1 2n2 k1 D0 k2 D0

für j1 D 0; 1; : : : ; n1  1;

j2 D 0; 1; : : : ; n2  1: (c) Sind die Zahlen n1 und n2 Zweierpotenzen, so lässt sich jede der in Teil (a) beschriebenen eindimensionalen diskreten Cosinustransformation mit dem FFT-Algorithmus durchführen. Damit lässt sich die zweidimensionale diskrete Cosinustransformation in

n2 O. n1 log2 . n1 / / C n1 O. n2 log2 . n2 / / D O. n1 n2 log2 . n1 n2 / / arithmetischen Operationen realisieren, wobei sich diese Abschätzung genau wie bei der zweidimensionalen diskreten Fouriertransformation auf Seite 20 herleiten lässt.

3.6

Kompression digitaler Bilder

3.6.1 Speicherplatzbetrachtungen Bei jeder Aufnahme mit einer digitalen Kamera werden für jeden Bildpunkt sowie für jede der drei Grundfarben jeweils 8 Bit verwendet. Insgesamt fallen also pro Bildpunkt 3 Byte zu speichernde Daten an. Bei einer optischen Auflösung von zum Beispiel 1600 1200 D 1:92 Millionen Bildpunkten würde so bei jeder unkomprimierten

23

Aufgaben

Aufnahme ein Speicherbedarf von etwa 5.5 Megabyte anfallen. Ein solcher Speicherbedarf lässt sich durch Komprimierung ohne nennenswerte Qualitätseinbußen auf ein Megabyte reduzieren. Dies gelingt mit der zweidimensionalen diskreten Fouriertransformation oder der zweidimensionalen diskreten Cosinustransformation, wobei in der Praxis meistens Letztere verwendet wird. Speziell für das Komprimierungsformat JPEG werden hierzu einige Details vorgestellt.

3.6.2 Das Komprimierungsformat JPEG Bei dem Komprimierungsformat JPEG wird das zu komprimierende Bild in Blöcke von 8 8 Pixeln unterteilt. Auf jeden einzelnen Block wird dann jeweils eine zweidimensionale diskrete Cosinustransformation angewandt. Anschließend reduziert man die Anzahl der hochfrequenten Anteile, wobei der Reduktionsgrad variabel einstellbar ist und den Kompressionsgrad festlegt. Die verbliebenen Frequenzen werden dann abgespeichert. Für jede Bildbetrachtung ist dann eine Dekodierung in Form einer inversen diskreten Cosinustransformation erforderlich.

3.6.3 Ein Beispiel Es soll noch eine digitales Graustufenbild und eine mögliche Komprimierung vorgestellt werden. Das Originalbild ist in Bild 3.7 dargestellt. Es besitzt eine Auflösung von 512 512 Pixeln, mit einer “Farbtiefe“ von 256 Graustufen pro Pixel.

Bild 3.7: Unkomprimierte digitale Aufnahme

24

Kapitel 3 Diskrete Fouriertransformation

Für die Komprimierung ist das komplette digitale Bild entsprechend der Vorgehensweise aus Teil (b) der Aufgabe 3.8 transformiert worden. Anschließend sind 75 Prozent der transformierten Koeffizienten zu null gesetzt worden, und zwar diejenigen zu hochfrequenten Anteilen. Das Ergebnis ist in Bild 3.8 dargestellt.

Bild 3.8: Komprimierte digitale Aufnahme

3.7

Kompression digitaler Videodateien

Noch deutlicher als bei der digitalen Fotografie wird die Notwendigkeit der Kompression bei der Speicherung digitaler Videodateien. Beispiel 3.14. Der Speicherplatzbedarf für Videodateien im PAL-Format berechnet sich folgendermaßen: 

Jedes zu speichernde Bild besteht aus 720 576 Bildpunkten.



Für jeden Bildpunkt werden üblicherweise für jede der drei Grundfarben jeweils 8 Bit verwendet, insgesamt werden also pro Bildpunkt 24 Bit zur näherungsweisen Abspeicherung benötigt.



Pro Sekunde fallen 25 Bilder an.

Das ergibt insgesamt ein Datenvolumen von

720 576 24 25=8 D 29:7 Megabyte pro Sekunde bzw.

25

Aufgaben

29:7 60 D 1:78 Gigabyte pro Minute. Dazu kommt noch das Datenvolumen für die Audiosignale. Auf einer DVD mit einem Speichervolumen von 4.38 GB könnten in unkomprimierter Form lediglich knapp zweieinhalb Minuten Film untergebracht werden. M Hier ist also in jedem Fall eine Datenkompression erforderlich. Bei den einzelnen MPEG-Standards werden hierfür zum Beispiel nicht die einzelnen Bilder gespeichert, sondern lediglich die Änderungen aufeinander folgender Bilder. Für weitere Einzelheiten sei wieder auf die Webseite zu diesem Buch verwiesen, wo zahlreiche Links auf Internetbeiträge zu diesem Thema zu finden sind.

26

4

Lineare Gleichungssysteme – Aufgaben

Aufgabe 4.1. Man löse das lineare Gleichungssystem



104 1 1 1



x1 x2

 D

  1 2

einmal mit dem Gauß-Algorithmus ohne Pivotsuche und einmal mit dem Gauß-Algorithmus inklusive Pivotsuche. Dabei verwende man jeweils eine dreistellige dezimale Gleitpunktarithmetik. ( Hierbei ist nach jeder Operation das Zwischenergebnis auf drei gültige Dezimalstellen zu runden. ) Aufgabe 4.2. Zur Lösung eines linearen Gleichungssystems Ax D b mit einer Tridiagonalmatrix

0

A

D

a11 a12

B Ba B 21 B B B B B @

1

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

p

pp

p

pp

aN;N 1

C C C C C 2 R N N C C aN 1;N C A aN N

( es gilt aj k D 0 sowohl für k  j  2 als auch für k  j C 2 ) vereinfache man den Gauß-Algorithmus in geeigneter Weise und gebe die zugehörige Anzahl der arithmetischen Operationen an. Aufgabe 4.3. Es sei A D . aj k / 2 R N N eine Bandmatrix, das heißt, mit gewissen ganzen Zahlen 0  p  N  1 und 0  q  N  1 gilt aj k D 0 für k < j  p und für k > j C q:

0

a11 p p p a1;qC1

B p B pp p p p B B Ba B pC1;1 A D B pp B p B B B @

pp pp

1

pp

p

pp

p

p

p

aN;N p

C C C C pp C p C C : aN q;N C C C pp pp C p p A p p p aN N

Zur Lösung von linearen Gleichungssystemen Ax D b mit einer solchen Bandmatrix A gebe man einen modifizierten Gauß-Algorithmus an, der mit höchstens p. 3 C 2q /. N  1 / arithmetischen Operationen auskommt. Aufgabe 4.4. Zur Lösung eines linearen Gleichungssystems Ax D b mit einer Matrix A 2 R N N wird der Gauß-Algorithmus betrachtet und dabei die folgende Notation

27

Aufgaben

verwendet:

1 .s/ .s/    a a sN C B ss B p pp C .N sC1/.N sC1/ B p D B p p C C 2 R A @ .s/ .s/ aN s    aN N 0

B .s/

für s D 1; 2; : : : ; N:

(4.1)

(a) Man zeige: Ist die Matrix A symmetrisch, so sind auch die Matrizen B .1/ ; B .2/ ; : : : ; B .N / symmetrisch. (b) Man zeige weiter: Ist die Matrix A symmetrisch und positiv definit, so sind auch die Matrizen B .1/ ; B .2/ ; : : : ; B .N / alle symmetrisch und positiv definit und der Gauß-Algorithmus ist durchführbar. (c) Man gebe einen auf symmetrische Matrizen zugeschnittenen Gauß-Algorithmus an und berechne die dabei anfallende Zahl der arithmetischen Operationen. Aufgabe 4.5. Die Matrix A D . aj k / 2 R N N sei diagonaldominant, das heißt,

jajj j 

N X

jaj k j

für j D 1; 2; : : : ; N;

kD1 k¤j

und außerdem sei die Matrix A regulär. Man weise nach, dass der Gauß-Algorithmus ohne Pivotwahl durchführbar ist. Aufgabe 4.6. Sei P 2 R N N eine Permutationsmatrix und  die zugehörige Permutation. Man zeige: (a) Mit der Darstellung

0 B P D @ e.1/

1 C : : : e.N / A

mit einer Permutation  W ¹ 1; : : : ; N º ! ¹ 1; : : : ; N º gilt die Identität

0

1

B C P 1 D @ e 1 .1/ : : : e 1 .N / A :

(b) Die Spaltenvektoren von P sind paarweise orthonormal zueinander, P 1 D P >: Aufgabe 4.7 (Numerische Aufgabe). Man schreibe einen Code, der den Gauß-Algorithmus einmal ohne Pivot-, einmal mit Spaltenpivot- und schließlich mit Totalpivot-

28

Kapitel 4

Lineare Gleichungssysteme

suche durchführt. Bei Letzterem werden, ausgehend von der Notation

0

A.s/

.1/ .1/ a11 a12    .2/ B a22    B B pp p B D B .s/ B ass    B pp @ p

1 .1/ a1N .2/ C a2N pp C C p C N N ; .s/ C 2 R C asN C pp p A

1 b1.1/ B b .2/ C B 2p C B p C B p C D B .s/ C 2 R N ; B bs C B pp C @ p A 0

b .s/

.s/ .s/ aN s    aN N

.s/ bN

beim Übergang A.s/ ! A.sC1/ ; b .s/ ! b .sC1/ zunächst Indizes p; q 2 ¹ s; s C 1; : : : ; N º mit

ˇ .s/ ˇ ˇ ˇ ˇ a ˇ  ˇ a.s/ ˇ; pq jk

j; k D s; s C 1; : : : ; N;

.s/

bestimmt und apq als Pivotelement verwendet. Man teste das Programm anhand des Beispiels Ax D b mit

0

ı

 :: : :: : :: :

0

0 :: :

1

1

C 1C C C N N 1C C 2 R C 1C A 1

B B 1 ı B B : A D B 0 B 1 : : B : B :: ı @ 1 1    1

1 1 C ı C B C B ı C B B 1 C ı C b D B C 2 RN : C B : C B :: A @ 2 N 0

Für N D 20 und ı D 0:1 sowie für jede Pivotstrategie gebe man die Werte x1 ; x2 ; : : : ; xN aus. Aufgabe 4.8. Man zeige: Eine Matrix A 2 R N N besitzt eine LR-Faktorisierung mit einer regulären oberen Dreiecksmatrix R genau dann, wenn die Hauptuntermatrizen von A von der Form

0

a11 p p p a1n

@ ppp

pp

p

1

pp  p A 2 Rn n

an1 p p p ann

für n D 1; 2; : : : ; N

alle regulär sind. Aufgabe 4.9. Für eine symmetrische, positiv definite Matrix A D . aj k / 2 R N N zeige man Folgendes: (a) es gilt ajj > 0 (b) es gilt

aj2k

für j D 1; 2; : : : ; N ,

< ajj akk

für j; k D 1; 2; : : : ; N;

j ¤ k,

(c) und der betragsmäßig größte Eintrag von A liegt auf der Hauptdiagonalen. Aufgabe 4.10. Man rechne nach, dass bei der Berechnung einer LR-Faktorisierung einer gegebenen Matrix A 2 R N N gemäß der Parkettierung von Crout insgesamt . 2N 3 =3 / . 1 C O. 1=N / / arithmetische Operationen anfallen. Der Einfachheit halber ist der Algorithmus hier nochmals angegeben ( siehe auch [26, Schema 4.4] ). Dabei werden die Notationen A D . aj k /; L D . `j k / und R D . rj k / verwendet.

29

Aufgaben

for n D 1 W N for k D n W N

rnk D ank  

for j D n C 1 W N

`j n D

n1 X

`ns rsk ;

sD1

aj n 

n1 X

end

`js rsn

ı

rnn ;

end

sD1

end Schema 4.1: LR-Faktorisierung nach Crout Aufgabe 4.11. Man zeige Folgendes: (a) Die Menge der skalierten ( die Diagonaleinträge sind alle D 1 ) unteren Dreiecksmatrizen L 2 R N N bildet bezüglich der Matrixmultiplikation eine Untergruppe in R N N . (b) Die Menge der regulären oberen Dreiecksmatrizen R 2 R N N bildet bezüglich der Matrixmultiplikation eine Untergruppe in R N N . (c) Die Darstellung A D LR einer nichtsingulären Matrix A 2 R N N als Produkt einer skalierten unteren Dreiecksmatrix L und einer regulären oberen Dreiecksmatrix R ist eindeutig ( sofern sie existiert ). Aufgabe 4.12. Gegeben sei die Matrix

0

1 1 2 3 4 B 2 8 6 14 C B C @ 3 6 a 15 A 4 14 15 30 mit einem reellen Parameter a . Man berechne die zugehörige LR-Faktorisierung beziehungsweise gebe an, für welchen Wert des Parameters a diese nicht existiert. Aufgabe 4.13. Die Matrix A 2 R N N sei symmetrisch und positiv definit. Man gebe einen Algorithmus zur Gewinnung einer Faktorisierung A D R R> an. Hierbei bezeichnet R D . rj k / 2 R N N eine obere Dreiecksmatrix mit rjj > 0 für alle j . Man begründe zudem die Durchführbarkeit dieses Verfahrens. Aufgabe 4.14. Für die Matrix

0

1 2 1 0 0 0 B 1 2 1 0 0 C B C B 0 1 2 1 0 C B C @ 0 0 1 2 1 A 0 0 0 1 2 berechne man per Hand die zugehörige Cholesky-Faktorisierung. Aufgabe 4.15. Es sei A D . aj k / 2 R N N eine symmetrische, positiv definite Bandmatrix der Bandbreite p , das heißt, aj k D 0 für j; k mit jj  k j  p . Man weise

30

Kapitel 4

Lineare Gleichungssysteme

nach, dass in der Cholesky-Faktorisierung A D LL> die untere Dreiecksmatrix L eine Bandmatrix der Bandbreite p ist. Aufgabe 4.16. Gegeben seien die Matrizen

 A D

 101 99 ; 99 101

 B D

 101 99 : 99 101

(a) Berechne die Konditionszahlen cond1 . A / und cond1 . B /. (b) Für die Vektoren

b D

  1 ; 1

...... ........

b D

  ı ; ı

b b D

..... .........



ı ı



mit einer kleinen reellen Zahl ı > 0 löse man die Gleichungssysteme

Ax D b;

A. x C

..... ..........

. . A. x C ..............b x / D b C ..............b b:

.

x / D b C .............. b; .

.

Man vergleiche die jeweiligen relativen Fehler jj.............. x jj1 =jj x jj1 und jj..............b x jj1 =jj x jj1 mit . . der allgemeinen Fehlerabschätzung jj............. x jj=jj x jj  cond. A / jj............. b jj=jj b jj. Aufgabe 4.17. Für diese Aufgabe verwende man das folgende Theorem über die Singulärwertzerlegung einer Matrix: Zu einer nichtsingulären Matrix A 2 R N N existieren orthonormale Matrizen U; V 2 R N N und eine Diagonalmatrix † D diag. 1 ; : : : ; N / 2 R N N mit Zahlen 1  2  : : :  N > 0, so dass Folgendes gilt: ./

A D V † U >: Die Faktorisierung . / heißt Singulärwertzerlegung der Matrix A, und die Zahlen 1 ;

2 ; : : : ; N werden als Singulärwerte der Matrix A bezeichnet. (a) Man zeige: Für jeden Vektor x 2 R N gilt ausgehend von der Darstellung als PN Linearkombination x D kD1 ck uk die Identität

Ax D

N X

ck k vk ;

kD1

wobei u1 ; u2 ; : : : ; uN 2 R N und v1 ; v2 ; : : : ; vN 2 R N die paarweise orthonormalen Spaltenvektoren der Matrizen U 2 R N N beziehungsweise V 2 R N N bezeichnen. (b) Man gebe die Werte von jj A jj2; jj A1 jj2 sowie cond2 . A / über die Singulärwerte der Matrix A an. (c) Zur Lösung des linearen Gleichungssystems Ax D b beziehungsweise dessen fehlerbehafteten Version

A. x C x / D b C b

31

Aufgaben

gebe man mithilfe der Matrix U jeweils diejenigen Vektoren b 2 R N beziehungsweise b 2 R N an, für die die folgenden Gleichungen erfüllt sind:

jj b jj2 D jj A jj2jj x jj2 ; jj x jj2 D jj A1 jj2 jj b jj2; jj x jj2 jj x jj2

D cond2 . A /

jj b jj2 : jj b jj2

Aufgabe 4.18. Für eine reguläre Matrix A 2 R N N sei B 2 R N N eine Näherung für A1 und jj  jj W R N N ! R eine beliebige submultiplikative Matrixnorm. Man zeige:

jj A1  B jj jj A1 jj

 min¹ jj AB  I jj; jj BA  I jj º;

jj BA  I jj  cond. A /jj AB  I jj



cond. A /2jj BA  I jj:

Zu Testzwecken betrachte man die beiden Matrizen

0

A D @

9999 9998

1

0

A;

B D @

9999:9999 9997:0001 10001

10000 9999

1 A;

9998

und berechne die Matrizen BA  I 2 R N N sowie AB  I 2 R N N . Aufgabe 4.19. (a) Es sei B D . bj k / 2 R N N eine reguläre Matrix, die zudem zeilenäquilibriert ist, das heißt, N X

jbj k j D 1

für j D 1; 2; : : : ; N:

kD1

Man zeige, dass für jede reguläre Diagonalmatrix D 2 R N N die folgende Abschätzung gilt: cond1 . B /  cond1 . DB /: (b) Sei A 2 R N N eine reguläre Matrix. Man zeige: Es gibt eine Diagonalmatrix D 2 R N N , so dass DA zeilenäquilibriert ist, und dann gilt cond1 . DA /  cond1 . A /: Aufgabe 4.20. Es sei A D . aj k / 2 R N N eine reguläre Matrix. Man leite mithilfe der QR-Faktorisierung die hadamardsche Determinantenabschätzung

j det Aj



N Y kD1

X N

jaj k j2

1=2

j D1

her. Aufgabe 4.21. Es sei A 2 R M N ( mit 1  N  M ) eine Matrix mit maximalem Rang.

32

Kapitel 4

Lineare Gleichungssysteme

(a) Man gebe einen Algorithmus zur Gewinnung einer Faktorisierung A D QR an, wobei Q 2 R M N eine Matrix mit der Eigenschaft Q>Q D I und R 2 R N N eine obere Dreiecksmatrix ist. (b) Wie lässt sich mit einer solchen Faktorisierung die Lösung des Minimierungsproblems jj Ax  b jj2 ! min für x 2 R N gewinnen? Aufgabe 4.22. Man zeige für eine nichtsinguläre Matrix A 2 R N N und Vektoren u; v 2 R N : (a) Im Fall v>A1 u ¤ 1 gilt die Sherman-Morrison-Formel

. A C uv> /1 D A1 

A1 uv>A1 : 1 C v>A1 u

(b) Im Fall v>A1 u D 1 ist die Matrix A C uv> singulär. Aufgabe 4.23. Transformieren Sie die Matrix

0

0 B0 A D B @1 0

1 0 0 0

1 0 1C C 1A 1

mittels Householdertransformationen auf obere Dreiecksgestalt. Aufgabe 4.24 (Numerische Aufgabe). Man schreibe einen Code zur Lösung eines linearen Gleichungssystems mittels Householdertransformationen. Man teste das Programm anhand des Beispiels Ax D b mit

0

ı

0

 :: : :: : :: :

0 :: :

B B 1 ı B B : A D B 0 B 1 : : B : B :: ı @ 1 1    1

1

1

0

C 1C C C N N ; 1C C 2 R C C 1A 1

1 C ı ı 1 C ı :: :

1

C B C B C B C B b D B C 2 RN ; C B C B @3  N C ıA 2N

mit N D 20 und ı D 0:1. Man gebe den Lösungsvektor x D . x1 ; x2 ; : : : ; xN /> aus. Aufgabe 4.25. Es bezeichne im Folgenden A 2 R M N ( mit 1  N  M ) eine Matrix und b 2 R M sei ein gegebener Vektor. Man weise nach, dass (a) eine Lösung der Normalengleichung

A>Ax D A>b auch eine Lösung des Minimierungsproblems jj Ax  b jj2 ! min für x 2 R N darstellt, (b) und dass umgekehrt jede Lösung des Minimierungsproblems auch eine Lösung der Normalengleichung ist.

33

Aufgaben

Aufgabe 4.26. Zu den Stützpunkten

j

0

1

2

3

yj

0

1

2

3

fj

0

1

2

0

bestimme man dasjenige Polynom p. y / D a0 C a1 y C a2 y 2 zweiten Grades, welches die Summe der Fehlerquadrate 3 X

. p. yj /  fj /2

j D0

minimiert. Hierzu löse man die zugehörige Normalengleichung unter Verwendung einer Cholesky-Faktorisierung.

34

5

Nichtlineare Gleichungssysteme – Aufgaben

Aufgabe 5.1. Gegeben sei die Gleichung

x C ln x D 0; deren eindeutige Lösung x im Intervall Œ 0:5; 0:6  liegt. Zur approximativen Lösung dieser Gleichung betrachte man die folgenden fünf Iterationsverfahren:

xnC1 WD  ln xn ; xnC1 WD

xnC1 WD e xn ;

axn C e xn ; aC1

xnC1 WD

xnC1 WD . xn C e xn /=2; (5.1) an xn C e xn : an C 1

(5.2)

Welche der drei in (5.1) angegebenen Verfahren sind lokal linear konvergent? Man bestimme in (5.2) Werte a 2 R beziehungsweise a0 ; a1 ; : : : 2 R, so dass sich jeweils ein quadratisch konvergentes Verfahren ergibt. Aufgabe 5.2. Die Funktion ln. x / soll an der Stelle x D a > 0 näherungsweise berechnet werden. Dies kann beispielsweise mit dem Newton-Verfahren zur Bestimmung einer Nullstelle der Funktion

f . x / D ex  a geschehen. Man gebe die zugehörige Iterationsvorschrift an und weise quadratische Konvergenz nach. Kann man die Konvergenzordnung p D 3 erwarten? Schließlich berechne man für a D 1 und Startwert x0 D 1 die ersten vier Iterierten x1 ; : : : ; x4 . Auf wie viele Nachkommastellen genau stimmen diese mit dem tatsächlichen Wert 0 D ln. 1 / überein? Aufgabe 5.3. Zu einer kontraktiven Funktion ˆ W R N ! R N mit der Kontraktionskonstanten 0 < L < 1 bezeichne x 2 R N den Fixpunkt von ˆ, und der Vektor x0 2 R N sei beliebig. Die Folge x0ı ; x1ı ; : : : sei gegeben durch .

x0ı WD x0 C .............. x0 ; ı WD ˆ. xnı / C xnC1

... ..........

xnC1

für n D 0; 1; : : :;

.

wobei jj.............. xn jj  ı für n D 0; 1; : : : gelte bezüglich einer gegebenen Vektornorm jj  jj W R N ! R und einer gewissen Fehlerschranke ı > 0. Man zeige Folgendes:

jj xnı  x jj



ı Ln C . . L C 2 /ı C jj x1ı  x0ı jj / 1L 1L

Aufgabe 5.4. Es sei ˆ W R 2 ! R 2 definiert durch

  1 u ˆ v D 2

sin u

C v 1 C 4 1 C sin v C u

! :

für n D 1; 2; : : : :

35

Aufgaben

(a) Man untersuche die Kontraktionseigenschaft von ˆ jeweils bezüglich jj  jj1 und jj  jj2 . (b) Man berechne den Fixpunkt x 2 R 2 von ˆ mittels der gewöhnlichen Fixpunktiteration, für den Startwert x0 D . 0; 0 />. Wie oft ist bei Verwendung der a prioriFehlerabschätzung zu iterieren, bis

jj xn  x jj2  102 garantiert werden kann? Die entsprechende Frage stellt sich bei Anwendung der a posteriori-Fehlerabschätzung. Aufgabe 5.5. Gegeben sei das nichtlineare Gleichungssystem

μ

uv C u  v  1 D 0; uv D 0:

(5.3)

(a) Man bestimme die exakten Lösungen des nichtlinearen Gleichungssystems (5.3). (b) Für die Startwerte

x0 D

  0 0

und

x0 D

  1 1

führe man jeweils den ersten Iterationsschritt des Newton-Verfahrens durch. Aufgabe 5.6. Für eine reguläre Matrix A 2 R N N ist die inverse Matrix X D A1 offensichtlich eine Lösung der nichtlinearen Gleichung

X 1  A D 0:

(5.4)

Das Newton-Verfahren zur Lösung der Gleichung (5.4) führt auf das Verfahren von Schulz

XnC1 WD Xn C Xn . I  AXn /

für n D 0; 1; : : : :

Man zeige: für jede Startmatrix X0 2 R N N mit jj I  AX0 jj  q < 1 ( mit einer gegebenen submultiplikativen Matrixnorm jj  jj W R N N ! R ) konvergiert die Matrixfolge X0 ; X1 ; : : :  R N N gegen die Matrix A1 mit den Abschätzungen

jj Xn  A1 jj



jj X0 jj jj I  AXn jj 1q



jj X0 jj .2n / q ; 1q

n D 0; 1; : : : :

Aufgabe 5.7 (Numerische Aufgabe). Man schreibe ein Programm zur Lösung eines nichtlinearen Gleichungssystems mittels der folgenden Variante des Newton-Verfahrens:

xnC1

D

xn  AnF . xn /

für n D 0; 1; : : :;

mit

AkpCj D . Dxkp F /1

für

j D 0; 1; : : : ; p  1; k D 0; 1; : : : :

36

Kapitel 5 Nichtlineare Gleichungssysteme

Hierbei bezeichnet Dx F die Jacobi-Matrix der Abbildung F im Punkt x . Man breche die Iteration ab, falls die Bedingung jj xn  xn1 jj2  tol erstmalig erfüllt ist oder falls n D nmax gilt. Hier sind p 2 N; nmax 2 N0 und tol > 0 frei wählbare Parameter. Man teste das Programm anhand des Beispiels

F

    sin. u / cos. v / u WD v u2 C v 2  3

D

  0 0 ;

mit den Parametern tol D 104 und nmax D 100 sowie mit den folgenden Startwerten beziehungsweise den folgenden Werten von p :

  1 1 ; p D 1I   3 D 3 ; p D 1I

  1 1 ; p D 5I   3 D 3 ; p D 5:

(a) x0 D

(b) x0 D

(c) x0

(d) x0

Aufgabe 5.8. Die Funktion f 2 C 1 Œ a; b  sei streng monoton wachsend und konvex mit einer Nullstelle x 2 Œ a; b . Man zeige, dass für jeden Startwert x0 2 Œ x ; b  die Näherungen xn des Newton-Verfahrens gegen x konvergieren mit

xnC1  xn

für n D 0; 1; : : : :

37

6

Numerische Integration – Aufgaben

Aufgabe 6.1. Gegeben sei eine Unterteilung  W a  x0 < x1 < : : : < xn  b des Intervalls Πa; b . Man zeige, dass es eindeutig bestimmte Zahlen a0 ; a1 ; : : : ; an 2 R gibt mit n X

ak P. xk / D

kD0

Z b a

P. x / dx

für alle P 2 …n :

Aufgabe 6.2. Zu einer beliebigen Unterteilung a  x0 < : : : < xn  b des Intervalls P Œ a; b  bezeichne In . f / D . b  a / nkD0 k f . xk / eine Quadraturformel. Man zeige, dass ihr Genauigkeitsgrad  2n C 1 ist; es gibt also ein Polynom P 2 …2nC2 mit

In . P / ¤

Rb a

P. x / dx .

Aufgabe 6.3. Man bestimme die Koeffizienten a0 ; a1 ; a2 2 R durch Koeffizientenvergleich in geeigneten Taylorentwicklungen so, dass die Quadraturformel

I2 . f / D a0 f . a / C a1 f zur näherungsweisen Berechnung von keitsgrad besitzt.

Rb a

aCb 2

C a2 f . b /

f . x / dx einen möglichst hohen Genauig-

Aufgabe 6.4. Zu einer 2 -periodischen stetigen Funktion f W R ! R und den Stützstellen xj D 2j=. N C 1 / mit j D 0; 1; : : : ; N für gerades N 2 N bezeichne Tf das interpolierende trigonometrische Polynom von der Form N=2 X A0 C . Ak cos kx C Bk sin kx /: 2

. Tf /. x / D

kD1

Weiter bezeichne Qf WD

R 2

0 . Tf /. x / dx . Man zeige, dass sich Qf schreiben lässt a f . x / mit ( von f unabhängigen ) positiven Gewichten ak > 0 für k kD0 k k D 0; 1; : : : ; N .

als Qf D

PN

Aufgabe 6.5. Man weise mithilfe der euler-maclaurinschen Summenformel für N 2 N die folgende Identität nach, N X kD1

k3 D



N .N C 1/ 2

2

:

Aufgabe 6.6. Man weise nach, dass das Funktionensystem . Un /n2N0 der Tschebyscheff-Polynome der zweiten Art bezüglich des Skalarprodukts h u; v i D p R1 2 dx ein Orthogonalsystem bildet. u. x / v. x / 1  x 1

38

Kapitel 6 Numerische Integration

Aufgabe 6.7 (Numerische Aufgabe). Man berechne die vier bestimmten Integrale Z 0:5 0

1 16x 2 C 1

dx;

Z 2 x 2 0

e

dx;

Z =2 0



cos

x 2 sin 3x dx; 2

Z =2 p 0

j cos 2x j dx;

numerisch durch Extrapolation der Trapezsummen T1 . hj / unter Anwendung der Romberg-Schrittweite h0 D b  a und hj D hj 1 =2 für j D 1; 2; : : : . Genauer: Mit den Notationen

Pkm;:::;k 2 …m ;

Pkm;:::;k . h2j / D T1 . hj /

für j D k  m; : : : ; k;

berechne man für k D 0; 1; : : : die Werte

Pkm;:::;k . 0 /

für m D 0; 1; : : : ; min¹ k; m º:

(6.1)

Man breche mit k DW k ab, falls

m C 1  k  12;

ˇ ˇ Pkm

 ;:::;k

ˇ . 0 /  Pkm C1;::: ;k . 0 / ˇ  "

oder aber

k D 13 8

erfüllt ist ( mit m D 4 und " D 10 ). Man gebe für jedes der vier zu berechnenden Integrale die Werte (6.1) für k D 0; 1; : : : ; k in einem Tableau aus, jeweils auf acht Nachkommastellen genau.

39

7

Explizite Einschrittverfahren für Anfangswertprobleme bei gewöhnlichen Differenzialgleichungen – Aufgaben

Aufgabe 7.1. Man forme das Anfangswertproblem

y100 D t 2  y10  y22 ; y200 D t C y20 C y13 ; y1 . 0 / D 0;

y2 . 0 / D 1;

y10 . 0 / D 1;

y20 . 0 / D 0

in ein Anfangswertproblem für ein System erster Ordnung um. Aufgabe 7.2. (a) Für das Anfangswertproblem

y 0 D . 1 C jy j /1

auf Π0; b ;

y. 0 / D y0 ;

(7.1)

weise man Existenz und Eindeutigkeit der Lösung nach. (b) Seien y und v Lösungen der Differenzialgleichung in (7.1) mit den Anfangswerten y. 0 / D y0 beziehungsweise v. 0 / D v0 . Man weise Folgendes nach:

jy. t /  v. t /j



e t jy0  v0 j

für t 2 Œ 0; b :

Zur näherungsweisen Bestimmung einer Lösung des Anfangswertproblems

y 0 D f . t; y /

für t 2 Œ a; b ;

y. a / D y0 ;

(7.2)

werden im Folgenden explizite Einschrittverfahren

u`C1 D u` C h` '. t` ; u` I h` /

für ` D 0; 1; : : : ; n  1I

u0 WD y0

(7.3)

betrachtet mit einer Verfahrensfunktion ' W Œ a; b   R N  R C ! R N und einem noch nicht näher spezifizierten Gitter beziehungsweise Schrittweiten der Form



D

¹ a D t0 < t1 < : : : < tn  b º;

h` WD t`C1  t`

für ` D 0; 1; : : : ; n  1:

(7.4) (7.5)

Aufgabe 7.3. Für ein Einschrittverfahren (7.3) zur Lösung des Anfangswertproblems

y 0 D f . t; y /; y. a / D y0 lässt sich der lokale Verfahrensfehler allgemein auch für beliebige Punkte . t; y / 2 Œ a; b   R N definieren, . t; h / WD y C h'. t; y I h /  z. t C h /;

0  h  b  t;

(7.6)

40

Kapitel 7

Einschrittverfahren für Anfangswertprobleme

wobei z W Œ t; b  ! R N die Lösung des Anfangswertproblems z 0 D f . s; z /; s 2 Œ t; b  mit Anfangswert z. t / D y bezeichnet. Entsprechend lässt sich der Begriff Konsistenzordnung p  1 für beliebige Punkte . t; y / 2 Œ a; b   R N verallgemeinern. Man zeige: Für jedes Einschrittverfahren (7.3) zur Lösung des Anfangswertproblems y 0 D f . t; y /; y. a / D y0 mit einer verallgemeinerten Konsistenzordnung p  1 gilt die Konsistenzbedingung

'. t; y I 0 /

D

für . t; y / 2 Œ a; b   R N :

f . t; y /

Aufgabe 7.4. Man betrachte das Anfangswertproblem

y 0 D g. t /;

t 2 Πa; b ;

(7.7)

y. a / D 0;

(7.8)

mit einer gegebenen hinreichend glatten Funktion g W Πa; b  ! R. Wendet man das Euler-Verfahren mit konstanter Schrittweite h D . b  a /=N auf das Anfangswertpro-

Rb

blem (7.7)–(7.8) an, so erhält man eine Näherungsformel für das Integral a g. t / dt . Gleiches gilt für das Verfahren von Heun. Man gebe beide Nährungsformeln für das Integral sowie jeweils obere Schranken für den von der Zahl h abhängenden Integrationsfehler an. Aufgabe 7.5. Gegeben sei das Anfangswertproblem

y 0 D t  t 3;

y. 0 / D 0:

Zur Schrittweite h sollen mit dem Euler-Verfahren Näherungswerte u` für y. t` /; t` D ` h, berechnet werden. Man gebe y. t` / und u` explizit an und zeige, dass an jeder Stelle t der Fehler für h D t=n ! 0 gegen null konvergiert. Aufgabe 7.6 (Numerische Aufgabe). Man löse die van der Pol’sche Differenzialgleichung

y 00  . 1  y 2 /y 0 C y D 0;

y. 0 / D 2;

y 0. 0 / D 0

für  D 0 und  D 12 numerisch mit dem Euler-Verfahren, dem modifizierten EulerVerfahren sowie dem klassischen Runge-Kutta-Verfahren der Ordnung p D 4. Dabei verwende man jeweils einmal die konstante Schrittweite h D 0:025 und einmal die konstante Schrittweite h D 0:0025 und gebe tabellarisch die Näherungswerte an den Gitterpunkten t D 0:5; 1:0; 1:5; : : : ; 15; an. In der nachfolgenden Aufgabe wird zur Lösung des Anfangswertproblems (7.2) im eindimensionalen Fall N D 1 das Taylor-Verfahren betrachtet, bei dem es sich um ein Einschrittverfahren mit der Verfahrensfunktion

'. t; y I h / WD

p1 X j D0

.j

hj f Œ j  . t; y / C 1 /Š

(7.9)

41

Aufgaben

handelt. Hierbei ist p 2 N und es werden die Notationen f Π0  WD f und

f Πj  WD

@f Πj 1  @f Πj 1  C f @t @y

für j D 1; 2; : : : ; p  1

verwendet, wobei noch die Funktion f W Œ a; b   R ! R als p -fach differenzierbar vorausgesetzt ist. Das zugehörige Einschrittverfahren u`C1 D u` C h'. t` ; u` I h / definiert ein Einschrittverfahren mit der Konsistenzordnung p . Aufgabe 7.7. Gegeben sei das Anfangswertproblem

y0 D 1  y

y. 0 / D 0:

auf Π0; 1 ;

(7.10)

(a) Man bestimme für jede Zahl p 2 N die zugehörige Verfahrensfunktion ' des Taylor-Verfahrens. (b) Man löse das Anfangswertproblem (7.10) mit dem zur Verfahrensfunktion (7.9) gehörenden Einschrittverfahren der Ordnung p D 2 näherungsweise mit der konstanten Schrittweite h D 1=n und schätze den Fehler bei t D 1 ab. Aufgabe 7.8. Man weise nach, dass das durch die Verfahrensfunktion

'. t; y I h / D

1 . k C 4k2 C k3 /; 6 1

k1 D f . t; y /;

k2 D f . t C

h ;y 2

C

h k /; 2 1

k3 D f . t C h; y C h. k1 C 2k2 / /; gegebene Einschrittverfahren ( einfache Kutta-Regel ) die Konsistenzordnung p D 3 besitzt. Aufgabe 7.9. Zur Lösung des Anfangswertproblems y 0 D f . t; y /; y. a / D y0 sei für jedes p > 0 ein Einschrittverfahren p -ter Ordnung gegeben. Es wird angenommen, dass dieses Einschrittverfahren p -ter Ordnung für jeden Schritt die Rechenzeit pT0 benötigt und in t D b den Wert der gesuchten Funktion mit einem Fehler Khp approximiert. Die Konstanten K und T0 sollen vom jeweiligen Verfahren unabhängig sein. Man bestimme für p und einen vorgeschriebenen Fehler "  K in t D b die größtmögliche Schrittweite h D h. p; " / und die zugehörige Gesamtrechenzeit T D T . p; " /. Wie verhält sich T in Abhängigkeit von p und welches ist die optimale Konsistenzordnung popt D popt . " /? Wie verhält sich popt in Abhängigkeit von "? Der Einfachheit halber sei angenommen, dass die Zahlen p und N ( wobei der Zusammenhang h D . b  a /=N besteht ) reell gewählt werden dürfen. Thema der folgenden Aufgabe ist die Umsetzung einer Schrittweitensteuerung anhand einer konkreten Rechnerübung. Zuvor soll die allgemeine Form einer Schrittweitensteuerung kurz in Erinnerung gerufen werden. Für ein explizites Einschrittverfahren u`C1 D u` C h'. t` ; u` I h / zur Lösung eines Anfangswertproblems y 0 D f . t; y /; y. a / D y0 hat sie folgende Gestalt:

42

Kapitel 7

Seien

t0 D a;

repeat

u0 D y0 ;

Einschrittverfahren für Anfangswertprobleme

` D 0;

h.0/ > 0;

" > 0.

k D 0;

repeat if k D 0

then h D h.0/

w D u` C

h '. t` ; u` I h2 2

/;

v D u` C h'. t` ; u` I h /; until ı  "; t`C1 D t` C h; until t`  b ;

else h D

 " 1=.pC1/ ı

u`C1 D w C ı D

h

end;

h '. t` 2

C h2 ; w I

jj v  u`C1 jj ; 2p  1

h 2

/;

k D k C 1;

` D ` C 1;

Hintergründe hierzu finden Sie beispielsweise in [26]. Aufgabe 7.10 (Numerische Aufgabe). Man löse numerisch die gewöhnliche Differenzialgleichung

y 0 D 200 t y 2

für t  3;

y. 3 / D

1 ; 901

mit dem Standard-Runge-Kutta-Verfahren der Ordnung p D 4 unter Verwendung der oben angegebenen Schrittweitensteuerung. Zur Berechnung jeder neuen Schrittweite h` starte man mit h.0/ D h`1 ( beziehungsweise im Fall ` D 0 mit h.0/ WD 0:02 ) und korrigiere solange bis "=3  ı .k/  3" oder k D 20 erfüllt ist, wobei " D 107 . Für ` D 1; : : : ; 50 gebe man die Näherungswerte in t` sowie y. t` /; h`1 und die Anzahl der Versuche k zur Bestimmung der Schrittweite h` an.

43

8

Mehrschrittverfahren für Anfangswertprobleme bei gewöhnlichen Differenzialgleichungen – Aufgaben

Einführung der grundlegenden Notationen Ein Mehrschrittverfahren oder genauer m-Schrittverfahren zur näherungsweisen Bestimmung einer Lösung des Anfangswertproblems y 0 D f . t; y /; y. a / D y0 besitzt auf einem äquidistantem Gitter t` D a C `h für ` D 0; 1; : : : ; n die Form m X

  ˛j u`Cj D h' t` ; u` ; : : : ; u`Cm I h ;

` D 0; 1; : : : ; n  m:

(8.1)

j D0

Typischerweise setzt man u0 WD y0 , und die weiteren Startwerte u1 ; : : : ; um1 2 R N sind in einer hier nicht weiter spezifizierten Anlaufrechnung zu ermitteln. Nach dieser Anlaufrechnung wird für jedes ` 2 ¹ 0; 1; : : : ; n  m º so verfahren, dass aus den dann bereits bestimmten Näherungen u` ; : : : ; u`Cm1 2 R N gemäß der Verfahrensvorschrift (8.1) die Näherung u`Cm 2 R N berechnet wird mit der Zielsetzung

u`Cm y. t`Cm /: Hier bezeichnet y W Œ a; b  ! R N die Lösung des vorgegebenen Anfangswertproblems. Eine wichtige Rolle bei der Bestimmung der Güte eines Mehrschrittverfahrens spielt der lokale Verfahrensfehler, der im Punkt . t C h; y. t C h / / und bezüglich der Schrittweite h die folgende Form besitzt:



. t; h / WD

m X



˛j y. t C j h /

 h'. t; y. t /; y. t C h /; : : : ; y.t C mh/ I h /;

j D0

0 < h 

bt : m

Das Mehrschrittverfahren (8.1) besitzt die Konsistenzordnung p  1, falls für den lokalen Verfahrensfehler die Abschätzung

jj . t; h / jj 

C hpC1

für a  t  b;

0  h  H;

gilt mit einer Konstanten C und einer hinreichend kleinen Zahl H > 0 sowie mit einer nicht näher spezifizierten Vektornorm jj  jj W R N ! R. Ein weiterer wichtiger Begriff ist die Nullstabilität eines m-Schrittverfahrens (8.1). Diese liegt per Definition dann vor, falls für das erzeugende Polynom

. /

WD

˛m m C ˛m1 m1 C : : : C ˛0 2 …m

die folgende Bedingung erfüllt ist:

. / D 0 . / D 0;

j j D 1

H) j j  1I H) ist einfache Nullstelle von :

(8.2)

μ (8.3)

44

Kapitel 8

Mehrschrittverfahren für Anfangswertprobleme

Die Bedingung (8.3) wird als dahlquistsche Wurzelbedingung bezeichnet. Schließlich wird noch die folgende Lipschitzbedingung an die Verfahrensfunktion ' W Œ a; b   . R N /mC1  R C ! R N aus der Verfahrensvorschrift (8.1) eine Rolle spielen,

ˇˇ ˇˇ ˇˇ '. t; v0 ; : : : ; vm I h /  '. t; w0 ; : : : ; wm I h / ˇˇ



L'

m X

9 > =

jj vj  wj jj

j D0

> ;

N

. vj ; wj 2 R /:

(8.4)

Das grundlegende Resultat in der Theorie der Mehrschrittverfahren stellt die folgende Aussage dar:

Ein nullstabiles m-Schrittverfahren (8.1) mit der Konsistenzordnung p  1 und einer der Lipschitzbedingung (8.4) genügenden Funktion ' besitzt die Konvergenzordnung p , das heißt, zu jeder Konstanten c  0 und beliebigen Startwerten u0 ; u1 ; : : : ; um1 2 R N mit jj u`  y. t` / jj  chp für ` D 0; 1; : : : ; m  1 lässt sich der globale Verfahrensfehler in der Form max jj u`  y. t` / jj



`Dm;:::;n

Khp

abschätzen. Ist in der Verfahrensvorschrift (8.1) die Funktion ' von der speziellen Form

'. t; v0 ; : : : ; vm I h /

m X

D

ˇj f . t C j h; vj /;

(8.5)

j D0

so wird (8.1) als lineares m-Schrittverfahren bezeichnet. Für den lokalen Verfahrensfehler eines linearen m-Schrittverfahrens gilt

. t; h /

D

p X D0



m X



j ˛j  j

1

ˇj

j D0

y ./ . t /  h C O. hpC1 / Š bt für 0 < h  ; m

9 > = > ;

(8.6)

was man leicht mittels Taylorentwicklungen der Lösung y und ihrer Ableitung y 0 im Punkt t erhält. Demnach besitzt ein lineares m-Schrittverfahren für alle Anfangswertprobleme mit hinreichend glatten Funktionen f W Œ a; b   R N ! R N die Konsistenzordnung p genau dann, wenn die Koeffizienten ˛j und ˇj das folgende lineare Gleichungssystem erfüllen: m X j D0



j  ˛  j 1 ˇj



D

0

für  D 0; 1; : : : ; p:

(8.7)

45

Aufgaben

Aufgaben Aufgabe 8.1. Man zeige, dass ein lineares m-Schrittverfahren genau dann für alle Anfangswertprobleme mit hinreichend glatten Funktionen f W Œ a; b   R ! R die Konsistenzordnung p besitzt, wenn mit der Notation

L Πy. t /; h  WD



m X

˛j y. t C j h /  h ˇj y 0 . t C j h /



j D0

die Beziehungen LŒ t 0 ; h  D LŒ t 1 ; h  D : : : D LŒ t p ; h  D 0 erfüllt sind. Aufgabe 8.2. Man bestimme mittels der in (8.7) genannten Bedingungen die genaue Konsistenzordnung des Verfahrens von Milne, das die folgende Form besitzt,

u`C2  u` D

 h f . t`C2 ; u`C2 / C 4f . t`C1 ; u`C1 / C f . t` ; u` / : 3

Aufgabe 8.3. Für das Mehrschrittverfahren

u`C3 C . u`C2  u`C1 /  u`

D

h

 3C  f . t`C2 ; u`C2 / C f . t`C1 ; u`C1 / 2

bestimme man die von 2 R abhängige Konsistenzordnung p . Für welche Werte von 2 R ist das Verfahren nullstabil? Aufgabe 8.4. Man zeige, dass für jede Zahl m 2 N ( bis auf Normierung ) genau ein lineares Mehrschrittverfahren m X

m X

˛j u`Cj D h

j D0

ˇj f . t`Cj ; u`Cj /

j D0

mit der Konsistenzordnung 2m existiert, aber keines mit der Konsistenzordnung 2m C 1. Lösungshinweis: Für die Konsistenzordnungen p D 2m und p D 2mC1 betrachte man jeweils das zugehörige Konsistenz-Gleichungssystem (8.7) für die Unbekannten ˛0 ; ˛1 ; : : : ; ˛m ; ˇ0 ; ˇ1 ; : : : ; ˇm . Aufgabe 8.5. (a) Für die homogene Differenzengleichung

u`C3  4u`C2 C 5u`C1  2u` D 0;

` D 0; 1; : : :

gebe man die allgemeine Lösung an. (b) Man löse folgende Differenzengleichungen: (i) (ii) (iii) (iv)

u`C2  2u`C1  3u` u`C1  u` u`C1  u` u`C2  2tu`C1 C u`

D D D D

0; 2` ; `; 0;

u0 u0 u0 u0

D D D D

0; 0; 0; 1;

u1 D 1;

u1 D t 2 . 1; 1 /:

46

Kapitel 8

Mehrschrittverfahren für Anfangswertprobleme

In der nachfolgenden Aufgabe werden die Rückwärtsdifferenzen benötigt. Für einen gegebenen Datensatz g0 ; g1 ; : : : ; gr 2 R N sind die zugehörigen Rückwärtsdifferenzen r j g 2 R n für 0  j    r rekursiv erklärt durch

r 0 g

D g ;

r j g

D r j 1 g  r j 1 g1 ;

 D 0; 1; : : : ; r;  D j; j C 1; : : : ; r

. j D 1; 2; : : : ; r /:

Beispielsweise lässt sich zu insgesamt r C 1 äquidistanten Stützstellen x` D x0 C ` h für ` D 0; 1; : : : ; r ( mit Zahlen x0 2 R und h > 0 ) sowie zu gegebenen Vektoren g0 ; g1 ; : : : ; gr 2 R N das zugehörige eindeutig bestimmte ( vektorwertige ) interpolierende Polynom P 2 …N r mittels geeigneter Rückwärtsdifferenzen darstellen:

P. xr C sh /

D

r X

  j . 1 /j s j r gr

für s 2 R :

(8.8)

j D0

Aufgabe 8.6. (a) Man zeige, dass jede Lösung y W Œ a; b  ! R der Differenzialgleichung 2. Ordnung

y 00 D f . t; y /;

t 2 Πa; b ;

(8.9)

der folgenden Identität genügt,

y. t C h /  2y. t / C y. t  h / Z 1   D h2 . 1  s / f . t C sh; y. t C sh / / C f . t  sh; y. t  sh / / ds 0

für t; t ˙ h 2 Œ a; b  :

9 > > = (8.10)

> > ;

(b) Zur numerischen Lösung einer Anfangswertaufgabe für (8.9) setze man in (8.10) t D t`Cm1 und ersetze die Funktion f . s; y. s / / durch das Polynom P 2 …m1 , welches die Stützpunkte . t`Cj ; f`Cj / für j D 0; 1; : : : ; m  1 interpoliert, wobei die übliche Notation f`Cj D f . t`Cj ; u`Cj / verwendet wird. Daraus leite man die expliziten linearen Störmer-Verfahren

u`Cm  2u`Cm1 C u`Cm2

D

h2

m1 X

j r j f`Cm1

für ` D 0; 1; : : : ; n  m

j D0

mit den Koeffizienten

j D . 1 /j

Z 1 0

.1  s/

 s  j

C

 s  j

ds

her. Für m D 2 und m D 3 gebe man die Verfahren an. Aufgabe 8.7. Man beweise: Für ein nullstabiles lineares Mehrschrittverfahren der Konsistenzordnung p gilt

1 . h / D e h C O. hpC1 /

für h ! 0;

47

Aufgaben

wobei 1 . h / die Nullstelle des Polynoms

Q. ; h / D . /  h . / mit 1 . h / ! 1 . 0 / D 1 für h ! 0 bezeichnet. Hier ist . / D ˛m m C ˛m1 m1 C : : : C ˛0 das erzeugende Polynom mit ˛m ¤ 0, und es bezeichnet . / WD ˇm m C : : : C ˇ0 . Aufgabe 8.8. Das m-schrittige BDF-Verfahren hat die Gestalt m X 1 j D1

j

r j u`Cm

D

hf`Cm

für ` D 0; 1; : : : ; n  m:

Für die Fälle m D 1; 2; 3 rechne man die BDF-Formeln aus und überprüfe jeweils die Nullstabilität. Aufgabe 8.9. Das zweischrittige Verfahren

  u`C2 C 4u`C1  5u` D h 4f . t`C1 ; u`C1 / C 2f . t` ; u` /

(8.11)

besitzt unter den üblichen Glattheitsvoraussetzungen die Konsistenzordnung p D 3. Ist es nullstabil? Man wende es mit der Schrittweite h > 0 und Startwerten u0 D 1 und u1 D e h auf die Testgleichung y 0 D y; y. 0 / D 1 an und zeige, dass mit t ¤ 0 und h D h` D t=` für ` ! 1 Folgendes gilt:

u` D



 ` 1 C O. h4 / e t =` C O. h4 / 

1 h4 216



1 C O. h /



`  5  3h C O. h2 / ;

und dabei der erste Summand für ` ! 1 gegen e t konvergiert und der zweite Summand sich für große ` wie



t 4 . 5 /` 3t =5 e 216 `4

verhält. Aufgabe 8.10 (Numerische Aufgabe). Man löse numerisch die Testgleichung

y 0 D y;

y. 0 / D 1;

mit dem 

zweischrittigen Verfahren (8.11) mit den Startwerten u0 D 1 und u1 D eh ;



und für D 0 und D 9 mit dem dreischrittigen Verfahren

u`C3 C . u`C2  u`C1 /  u`

D

h

 3C  f . t`C2 ; u`C2 / C f . t`C1 ; u`C1 / 2

( vergl. Aufgabe 8.3 ) mit den Startwerten u0 D 1; u1 D eh und u2 D e 2h . Die Schrittweite sei jeweils h D 0:01. Geben Sie tabellarisch zu den Gitterpunkten t D t` D `h; ` D 2; 3; : : : ; 100 die exakte Lösung y. t /, die Näherung uh . t / und im 4

`

t .5/ 3t =5 e an. Falle des ersten Verfahrens  216 `4

48

Kapitel 8

Mehrschrittverfahren für Anfangswertprobleme

Aufgabe 8.11 (Numerische Aufgabe). Man löse die Testgleichung

y 0 . t / D y. t /;

t 2 Π0; 15 ;

y. 0 / D 1; für  D 1 und  D 1 jeweils mit den beiden folgenden Prädiktor-Korrektor-Verfahren: 1. Das Verfahren von Milne besitzt Prädiktor und Korrektor .0/

u`C4 D u` C .C1/

u`C4

4 h. 2f`C3  f`C2 C 2f`C1 / 3

D u`C2 C

 1  ./ h f`C4 C 4f`C3 C f`C2 3

für  D 0; 1; : : : :

2. Das Verfahren von Hamming besitzt den gleichen Prädiktor wie das Verfahren von Milne, und der Korrektor ist hier .C1/

u`C4



9 u 8 `C3

C

1 u 8 `C1

D

 3  . / h f`C4 C 2f`C3  f`C2 : 8

./

./

Hierbei bedeutet f` D f . t` ; u` / und f`C4 D f . t`C4 ; u`C1 /. Für die Anlaufrechnung verwende man das klassische Runge-Kutta-Verfahren und für die Korrektoriteration das Abbruchkriterium ju.C1/  u./ j `C4 `C4 5 . /

 ju`C4 j



10

:

Man verwende jeweils die Schrittweite h D 0:1 und gebe tabellarisch zu den Gitterpunkten t D 0:1; 0:2; 0:3; : : : ; 1:0; 2:0; 3:0; : : : ; 15; die exakte Lösung y. t /, die Näherung uh . t /, den Fehler uh . t /  y. t / und die Anzahl der durchgeführten Iterationsschritte an. Es wird nun die logarithmische Norm  Œ   W KN N ! R behandelt, die zu gegebener Matrixnorm jj  jj W KN N ! R C folgendermaßen definiert ist,

jj I C hA jj  1 ; h!0C h

 ΠA  WD lim

A 2 KN N :

Hierbei wird noch angenommen, dass die zugrunde liegende Matrixnorm durch eine Vektornorm induziert ist. Aufgabe 8.12. Man weise nach, dass für jede Matrix A 2 R N N die folgenden Identitäten erfüllt sind:

° 1 Œ A  D

max

j D1;:::;N

ajj C

N X kD1 k¤j

± jaj k j ;

° 1 Œ A  D

max kD1;:::;N

akk C

N X

± jaj k j ;

j D1 j ¤k

wobei 1 Π  die durch die Maximumnorm jj  jj1 W R N ! R induzierte logarithmische Norm bezeichnet, und 1 Π  ist die durch die Summennorm jj  jj1 W R N ! R induzierte logarithmische Norm.

49

Aufgaben

Aufgabe 8.13. Man zeige: (a) Für eine durch eine Vektornorm jj  jj W C N ! R induzierte logarithmische Norm  Œ   W CN N ! R gilt die Ungleichung

ΠA  

max Re 

2. A /

für A 2 CN

N

:

Gilt hier im Allgemeinen Gleichheit? (b) Ist die Norm jj  jj W KN ! R durch ein Skalarprodukt h ;  i W KN  KN ! R induziert, so gilt für die zugehörige logarithmische Norm die Darstellung

ΠA  D

max

x2K N ; jj x jjD1

für A 2 KN

Reh Ax ; x i

N

;

wobei man im reellen Fall K D R den Term Reh Ax ; x i durch h Ax ; x i ersetzen kann. Aufgabe 8.14. Für die Matrix

 A D

10 12 12 20

 2 R 22

berechne man die logarithmischen Normen 1 Œ A ; 1 Œ A  und 2 Œ A . Aufgabe 8.15. Diskretisierung der Wärmeleitungsgleichung mit Neumann-Randbedingungen

@u @t

D

@u . 0; t / @x

D

@2 u C f . x; t /; @x 2 @u . 1; t / D 0; @x

a  x  b;

0  t  1; ......

u. x; 0 / D g. x /;

axb

führt mithilfe zentraler Differenzenquotienten erster und zweiter Ordnung ( bei äqui. distanter Ortsschrittweite ............. x D 1=N ) auf ein Anfangswertproblem für ein System von N C 1 gewöhnlichen Differenzialgleichungen

y 0 . t / D Ay. t / C z. t /;

y. 0 / D z0

mit einer geeigneten Matrix A 2 R .N C1/.N C1/ . Man gebe eine logarithmische Norm an, bezüglich der  Œ A   0 gilt. Aufgabe 8.16. Man weise

ΠA  D

lim

ln jj e hA jj

h!C0

h

für A 2 R N

nach. Hinweis: Zunächst zeige man

ΠA  D

jj e hA jj  1 : h h!C0 lim

N

50

Kapitel 8

Mehrschrittverfahren für Anfangswertprobleme

Aufgabe 8.17. Man weise nach, dass für Matrizen A; B 2 R N N und nichtnegative Zahlen c 2 R ; c  0 Folgendes gilt,

 ΠcA  D c ΠA ;

ΠA C B 



 ΠA  C  ΠB :

Aufgabe 8.18. Sei 1 Œ   W R N N ! R die zu jj  jj1 W R N ! R gehörende logarithmische Norm. Man weise für 0 ¤ A 2 R N N die folgende Äquivalenz nach:

1 ΠA   0

”

jj I C hA jj1  1

80:

Man zeige noch, dass für injektive Operatoren L die Matrix A positiv definit ist. Aufgabe 9.12. Gegeben sei das Randwertproblem

Lu

D

u 00 C xu D x 3 C x 2 C 2 für x 2 Œ 0; 1 ; u. 0 / D u. 1 / D 0:

Wie lautet das ritzsche Gleichungssystem, wenn als Ansatzfunktionen trigonometrip sche Polynome sj . x / D 2 sin jx für j D 1; 2; : : : ; N verwendet werden? Aufgabe 9.13. Es seien p; q; g 2 C Œ a; b  gegebene Funktionen mit q. x /  0 für x 2 Œ a; b . Weiterhin sei y 2 C 2 Œ a; b  eine Lösung des Anfangswertproblems

y 00 . x / C p. x /y 0 . x / C q. x /y. x / D g. x / y. a / D ˛;

für x 2 Œ a; b ;

0

y . a / D ˇ;

wobei ˛; ˇ 2 R gegebene Zahlen sind. Man zeige: Genügt die Funktion z 2 C 2 Œ a; b  der Differenzialungleichung

z 00 . x / C p. x /z 0 . x / C q. x /z. x /  g. x / und ist

z. a /  ˛;

für x 2 Œ a; b ;

z 0. a /  ˇ

erfüllt, so gilt

z 0 . x /  y. x /

z. x /  y. x /;

für x 2 Œ a; b :

Aufgabe 9.14. Man betrachte das Randwertproblem u 00 D f . x; u; u 0 /; u. a / D ˛; u. b / D ˇ mit einer stetig partiell differenzierbaren Funktion f W Œ a; b   R 2 ! R, die die folgenden Bedingungen erfülle,

0
0. Sei u.  ; s / Lösung des Anfangswertproblems

u 00 D f . x; u; u 0 /

für x 2 Œ a; b ;

u. a / D ˛;

u 0 . a / D s:

(a) Für die Ableitung der zum Einfachschießverfahren gehörenden Abbildung F . s / D u. b ; s /  ˇ weise man die Ungleichungen 1  F 0 . s /  2 für s 2 R nach, mit den Konstanten

1 WD

 1 1  exp. L. b  a / / > 0; L

2 WD

  2 exp . L. b  a /=2 / sinh c . b  a /=2 c mit

r 4K c WD L 1 C 2 : L

(b) Man weise nach, dass das Iterationsverfahren

s .nC1/ D ˆ. s .n/ / WD s .n/  F . s .n/ /

für n D 0; 1; : : :

für jeden Startwert s .0/ und jeden Wert 0 < < 2=2 gegen die ( einzige ) Nullstelle s der Funktion F konvergiert. Für D 2=. 1 C 2 / weise man die folgende a prioriFehlerabschätzung nach:

js .n/  s j



    n jF . s .0/ /j 2 1 2 C 1 1

für n D 0; 1; : : : :

Aufgabe 9.15. Zur Lösung des Randwertproblems

u 00 D 100 u

auf Π0; 3 ;

u. 0 / D 1;

u. 3 / D e 30 ;

betrachte man die Lösung u.  ; s / des Anfangswertproblems u 00 D 100 u; u. 0 / D 1; u 0 . 0 / D s . Man berechne u. 3 ; s" / für s" D s . 1 C " /, wobei s die Lösung der Gleichung u. 3 ; s / D e30 bezeichnet und " > 0 beliebig ist. Ist in diesem Fall das einfache Schießverfahren eine geeignete Methode zur Lösung des vorliegenden Randwertproblems? Aufgabe 9.16 (Numerische Aufgabe). Man löse numerisch das Randwertproblem

u 00 . x / C 6x. 1  x /u 0 . x / C u. x /2 u. 0 / D u. 1 / D 0;

D

x 4 C 10x 3  17x 2 C 6x  2; x 2 Π0; 1 ;

mit dem Einfachschießverfahren. Zur Nullstellensuche verwende man das NewtonVerfahren einmal mit Startwert s .0/ D 1 und einmal mit s .0/ D 20. Die jeweiligen Anfangswertprobleme löse man numerisch mit dem expliziten Eulerverfahren mit Schrittweite h D 1=30. Man gebe die Näherungen vj zu den Gitterpunkten xj D j h; j D 0; 1; : : : ; 30, tabellarisch an.

56

10

Gesamtschritt-, Einzelschritt- und Relaxationsverfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme – Aufgaben

Aufgabe 10.1. Für jede Matrix H 2 R N N sind die folgenden Aussagen äquivalent: (i) es existiert eine Vektornorm jj  jj W C N ! R, so dass für die induzierte Matrixnorm gilt jj H jj D r . H /; (ii) jedem Eigenwert  2 C von H mit jj D r . H / entsprechen nur lineare Elementarteiler. Aufgabe 10.2. (a) Welche der drei Matrizen

1 1 0 1 @1 1 0A 0 1 1

1 2 0 1 @1 1 0A ; 0 1 1

1 2 0 1 @1 2 0A ; 0 1 2

0

0

0

ist strikt diagonaldominant? Soweit dies möglich ist, ziehe man daraus jeweils Schlussfolgerungen über die Konvergenz des Gesamtschrittverfahrens. (b) Zu Testzwecken soll für jede der genannten Matrizen sowie jeweils der rechten Seite b D . 0; 0; 0 /> das dazugehörige lineare Gleichungssystem näherungsweise mit dem Gesamtschrittverfahren gelöst werden. Als Startvektor verwende man jeweils x .0/ D . 1; 1; 1 />. Man gebe jeweils eine allgemeine Darstellung der n-ten Iterierten x .n/ 2 R 3 an und diskutiere die Ergebnisse im Hinblick auf Konvergenz. Aufgabe 10.3. Gegeben seien die Matrizen

0 A

D

0 B B0 B B1 @ 1

1 0 0 0

0 1 0 1

0

1

1 C 0C C; 1C A 0

B

D

0 B B1 B B0 B B @0 2

1 0 0 0 2

0 0 0 2 0

0 0 1 0 0

1 1 C 1C C 0C C: C 0A 1

Man zeige, dass A irreduzibel beziehungsweise B reduzibel ist. Aufgabe 10.4. Zu gegebener Matrix A D . aj k / 2 R N N und beliebigen Indizes j; k 2 ¹ 1; 2; : : : ; N º mit j ¤ k heißt eine Familie von Indizes j0 ; j1 ; : : : ; jM 2 ¹ 1; 2; : : : ; N º mit j0 D j und jM D k eine die Indizes j und k verbindende Kette, falls ajs1 ;js ¤ 0 gilt für s D 1; 2; : : : ; M . Man zeige Folgendes: Eine Matrix A 2 R N N ist irreduzibel genau dann, wenn für alle j; k 2 ¹ 1; 2; : : : ; N º mit j ¤ k eine die Indizes j und k verbindende Kette existiert.

57

Aufgaben

Aufgabe 10.5. Sei A D . aj k / 2 R N N eine irreduzibel diagonaldominante Matrix mit ajj > 0 für j D 1; 2; : : : ; N . Man zeige: (a) Für alle Eigenwerte  2 C von A gilt Re  > 0: (b) Ist die Matrix A symmetrisch, so ist sie auch positiv definit.

A 2 R N N betrachte man Zerlegungen A D Aufgabe 10.6. Für zwei Matrizen A; b bCb b jeweils in Diagonal- sowie linken und D C L C R beziehungsweise b ADD LCR rechten Anteil. Man zeige: wenn A eine M-Matrix ist und die beiden Ungleichungen b sowie L C R  b b  0 erfüllt sind, so ist auch b 0DD LCR A eine M-Matrix und 1 1 b es gilt mit 0  A  A . Aufgabe 10.7. Für eine Matrix A D . aj k / 2 R N N beweise man die Äquivalenz der folgenden vier Aussagen: (i) A ist M-Matrix; (ii) A C sI ist M-Matrix für alle s  0; (iii) es gibt eine Matrix B 2 R N N mit B  0 und eine Zahl s > r . B /, so dass die Identität A D sI  B gilt; (iv) die Nichtdiagonaleinträge aj k ; j ¤ k; der Matrix A sind nichtpositiv, und alle Eigenwerte von A besitzen einen positiven Realteil, . A /  ¹  2 C W Re  > 0 º: Aufgabe 10.8. Gegeben sei das lineare Randwertproblem

u 00 . x / C

1 u 0 . x / D '. x / für 0 < x < 1; 1Cx

u. 0 / D 0; u. 1 / D 0: (10.1)

Diskretisierung von (10.1) mit zentralen Differenzenquotienten zweiter beziehungsweise erster Ordnung bei konstanter Gitterweite h D 1=N führt auf ein lineares Gleichungssystem von der Form Av D b . Man zeige Folgendes: (a) Für h < 2 ist A 2 R .N 1/.N 1/ eine M-Matrix. (b) Für die Hilfsfunktion

. x / D 

. 1 C x /2

2

ln. 1 C x / C

2 x. x 3

C 2 / ln 2

und mit den Notationen v D . vj /j D1;::: ;N 1 mit vj D . xj / und xj D j h für j D 1; 2; : : : ; N  1 sowie für e D . 1; 1; : : : ; 1 /> 2 R N 1 weise man die Abschätzung

jj Av  e jj1 

1 2 h 4

( und damit . Av /j  1  h2 =4 für j D 1; 2; : : : ; N  1 ) nach. (c) Es gibt eine von h unabhängige Konstante M mit der Eigenschaft jj A1 jj1  M . Man gebe eine solche Konstante M an. (d) Für die Lösung u von (10.1) und die Lösung v 2 R N 1 des Gleichungssystems 1 Av D b gilt mit der Notation z D . u. xj / /jND1 die Abschätzung jj v z jj1  K h2 mit einer von h unabhängigen Konstanten K .

58

Kapitel 10 Gesamtschritt-, Einzelschritt- und Relaxationsverfahren

Aufgabe 10.9. Für eine gegebene M-Matrix A 2 R N N weise man die folgenden Abschätzungen nach:

r . H. !2 / /



r . H. !1 / / < 1

für 0 < !1  !2  1:

Hierbei bezeichnet H. ! / D . D C !L /1 . . 1  ! /D  !R /, mit der Zerlegung A D D C L C R in Diagonal- sowie unteren und oberen Anteil. Aufgabe 10.10. Im Folgenden wird das Randwertproblem

u 00 . x / C p. x /u 0 . x / C r. x /u. x / D '. x /;

x 2 Πa; b ;

u. a / D u. b / D 0; betrachtet mit Funktionen p; r; ' 2 C Œ a; b  mit r. x /  0 für x 2 Œ a; b . Eine Diskretisierung der Ableitungen mittels zentraler Differenzenquotienten bei konstanter Schrittweite h D . b  a /=N führt mit den Notationen xj D a C j h; pj D p. xj /; 'j D '. xj / und rj D r. xj / für j D 1; 2; : : : ; N  1 sowie

0

1 h p / 2 1

2 . 1  B B B B . 1 C h p / 2 . 1  h2 p2 / B 2 2 B 1 B pp pp A D 2B p p . 1 C h2 p3 / h B B B B pp p 2 . 1  h2 pN 2 / B B @ . 1 C h2 pN 1 / 2

C C C C C C C C C C C C C C A

1 und D D diag. r1 ; r2 ; : : : ; rN 1 /; b D . 'j /N j D1 , auf das Gleichungssystem . A C

D /u D b:

(a) Man zeige, dass A C D eine M-Matrix ist, falls Folgendes erfüllt ist,

h max jp. x /j < 2; x 2 Πa;b 

min¹ Re  W  2 . A / º C

inf x 2 Πa;b 

r. x / > 0:

(b) Im Fall p. x /  0 und h  . b  a /=2 ist A C D eine M-Matrix, wenn Folgendes erfüllt ist,   2 h2   4 C : inf r. x / >  12 b  a ba x 2 Œ a;b  Aufgabe 10.11. Ist die Matrix

0

A0

1 2 1 C 1 B 1 p p p p p p C 2 R .N 1/.N 1/ D 2B p p p p p p 1 A h @ 1 2

59

Aufgaben

mit h D 1=N positiv definit beziehungsweise eine M-Matrix beziehungsweise konsistent geordnet? Man bestimme als Funktion von h die Eigenwerte von I  D 1 A und den zugehörigen Spektralradius r . I  D 1 A /, den optimalen Parameter ! für das Relaxationsverfahren sowie den Spektralradius r . H. ! / / der entsprechenden Iterationsmatrix H. ! /. ( Die verwendeten Notationen sind die Gleichen wie in Aufgabe 10.9 ). Aufgabe 10.12. Man weise nach, dass reguläre Dreiecksmatrizen konsistent geordnet sind. Aufgabe 10.13. Gegeben sei eine Block-Tridiagonalmatrix von der speziellen Form

0

A

1

B B b1 D B B B a1 D p p p B B B pp B 0 p B @

D

C C C pp C p C  C 2 RN N C pp p bM 1 D C C A aM 1 D B

mit der Diagonalmatrix D D diag. b11 ; : : : ; bKK /, wobei 0 ¤ bjj die Diagonaleinträge von B 2 R KK bezeichne. Mit der Zerlegung B D D C L C R entsprechend (10.15) und mit

J .˛/

D

˛D 1 L C ˛1 D 1 R;

0 ¤ ˛ 2 C;

gelte J . ˛ / D S˛ J . 1 /S˛1 für 0 ¤ ˛ 2 C mit einer geeigneten Transformationsmatrix S˛ 2 R KK . Man zeige, dass die Matrix A konsistent geordnet ist. Aufgabe 10.14. Es sei

0 B A D @

A11 p p p A1M ppp

AM1

1

ppp C p A p p p AMM pp

eine quadratische Matrix mit quadratischen Diagonalblöcken Ajj ; j D 1; 2; : : : ; M , und die Diagonalmatrix D D diag. A11; : : : ; AN N / sei nichtsingulär. Weiter bezeichne 1 0 1 0 A12 p p p A1M C B C B p pp C B C B A21 p pp C B C; B ; R D B L D B pp p C pp AM 1;M C A @ A @ p AM1 p p p AM;M 1 und

H. ! /

D

. D C !L /1 . . 1  ! /D  !R /

. ! ¤ 0 /:

In den folgenden Teilaufgaben (a) und (b) seien für eine Zahl p > 1 die Eigenwerte von

J .˛/

D

˛D 1 L C ˛ .p1/ D 1 R;

0 ¤ ˛ 2 C;

(10.2)

60

Kapitel 10 Gesamtschritt-, Einzelschritt- und Relaxationsverfahren

unabhängig von ˛ , es gelte also . J . ˛ / / D . J . 1 / / für ˛ ¤ 0: Man weise Folgendes nach: (a) Ist  2 . D 1 . L C R / / erfüllt und die Zahl  2 C eine Lösung der Gleichung

.  C !  1 /p

D

p1 ! p p ;

(10.3)

so gilt  2 . H. ! / /. Ist umgekehrt 0 ¤  2 . H. ! / / und erfüllt  die Gleichung (10.3), dann ist  2 . D 1 . L C R / /. (b) Für  ¤ 0 gilt

 2 . D 1 . L C R / /

p 2 . H. 1 / /;

”

und r . D 1 . L C R / /p D r . H. 1 / /. (c) Sei nun A von der speziellen Gestalt

1

0 A11 0   

A

D

B B B A21 B B B 0 B B B pp B p @ 0

0

A1M

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

ppp

pp

p

pp

p

pp

p

0

0

C C C C C C: C C C C A

   0 AM;M 1 AMM

Man zeige, dass mit p D M  2 die Eigenwerte der Matrix J . ˛ / aus (10.2) unabhängig von ˛ sind. Aufgabe 10.15 (Numerische Aufgabe). Zur numerischen Lösung des Randwertproblems

u 00 . x / C u. x / D e x ;

x 2 Π0; =2 ;

u. 0 / D u. =2 / D 0;

betrachte man auf einem äquidistanten Gitter der Gitterweite h D Differenzenschema

vj C1  . 2  h2 /vj C vj 1 D h2 e zj

 2N

das zugehörige

für j D 1; 2; : : : ; N  1;

(10.4)

mit zj D j h. Für N D 30 beziehungsweise N D 200 bestimme man eine approximative Lösung von (10.4) mithilfe des Relaxationsverfahrens mit den folgenden Relaxationsparametern, ! D 0:1; 0:2; 0:3; : : : ; 2:0; 2:1, wobei die Iteration jeweils abgebrochen werden soll, wenn mehr als 1000 Iterationen ( für N D 200 mehr als 2000 Iterationen ) benötigt werden oder falls

jj x .n/  x .n1/ jj1  105 ausfällt. Als Startwert wähle man jeweils x .0/ D 0. Für jede Wahl des Parameters ! gebe man die Anzahl der benötigten Iterationsschritte n, jj x .n/  x .n1/ jj1 und den .n/ Fehler maxj D1;:::;N 1 jxj  u. zj /j tabellarisch an.

61

11

Verfahren der konjugierten Gradienten, und GMRES-Verfahren – Aufgaben

Aufgabe 11.1. Zu gegebener symmetrischer, positiv definiter Matrix A 2 R N N und einem Vektor b 2 R N sei n die kleinste natürliche Zahl mit Kn . A; b /DK n C1 . A; b /. Man zeige: x D A1 b ist Linearkombination von n Eigenvektoren der Matrix A. Aufgabe 11.2. Zu gegebener symmetrischer, positiv definiter Matrix A 2 R N N und einen Vektor b 2 R N zeige man: Für jeden Index n ist rn D Axn  b identisch mit dem Gradienten des Energiefunktionals J . x / D 12 x >Ax  x>b an der Stelle xn , es gilt also rn D rJ . xn /. Aufgabe 11.3. Sei A 2 R N N eine symmetrische, positiv definite Matrix. Man weise für das CG-Verfahren für n D 1; 2; : : : ; n ( mit n wie in Aufgabe 11.1 ) die folgenden Darstellungen nach: (a)

xn D qn . A /b

qn 2 …n1 geeignet;

mit

rn D pn . A /b

mit

pn. t / D 1  tqn . t /:

Pn1

(b) Der zur Entwicklung qn . t / D kD0 ck t k gehörende Koeffizientenvektor . c0 ; : : : ; cn1 /> 2 R n ist Lösung des linearen Gleichungssystems

10

0 ppp

> 2

>

b A b b A b C B c0 C B b Ab CB B C CB B C B b>A2 b > 3 > nC1 C B p p p b A b b A b C B c1 C B C CB B C B C B p C pp pp C B pp C B p pp p p p CB p C B p CB B C A@ @ A > n > nC1 > 2n1 b A b b A b ppp b A b cn1

1

0

1

> n

>

D

B b b C C B C B B b>Ab C C B C: B C B pp C B p C B C B A @ > n1 b A b

Aufgabe 11.4. Zu gegebener symmetrischer, positiv definiter Matrix A 2 R N N weise man für das CG-Verfahren die folgenden Beziehungen nach ( für n D 0; 1; : : : ; n , wobei die Zahl n die gleiche Bedeutung wie in Aufgabe 11.1 hat ): (i)

rn>dn

(iii)

jj dn jj22

(v) jj xnC1 jj2

D jj rn jj22 ;

dn

D jj rn jj22

n X kD0

n X

1

kD0

jj rk jj2

(iv) dn>dk

D

jj rn jj22 jj dk jj22 jj rk jj22

jj xn jj2 . n  n  1 /; (vi) jj rn jj2



jj dn jj2 :

D jj rn jj42 

(ii)

; 2

rk ; jj rk jj22 für k  n;

62

Kapitel 11 CG- und GMRES-Verfahren

Aufgabe 11.5. Es bezeichne

0

1 0 1 B1 0 C N N C A D B ; @ ppp ppp A 2 R 1 0

0 1 1 B0C N C b D B @ ppp A 2 R ; 0

x

0 1 0 B ppp C N C D B @0A 2 R ; 1

so dass x die eindeutige Lösung des linearen Gleichungssystems Ax D b darstellt. Man zeige: Das GMRES-Verfahren liefert die Vektoren x1 D x2 D : : : D xN 1 D 0 und xN D x , das heißt, das GMRES-Verfahren liefert in den Schritten n D 1; 2; : : : ; N  1 keine Approximationen an die Lösung x , auch eine schrittweise Verbesserung tritt nicht auf.

63

12

Eigenwertprobleme – Aufgaben

Aufgabe 12.1. (a) Gegeben seien die komplexen Tridiagonalmatrizen

0

d1

B Bb B 2 A D B B @ 0

c2 d2 :: :

::

:

::

:

bN

0

1

0

d1

B B b B 2 B D B B @ 0

C C C C; cN C A dN

c2 d2 :: :

0 ::

:

::

:

bN

cN

1 C C C C: C A

dN

Man zeige: Eine komplexe Zahl  ist Eigenwert der Matrix A genau dann, wenn die Zahl  ein Eigenwert der Matrix B ist. (b) Für die reelle symmetrische Tridiagonalmatrix

0

d1

B Bb B 2 A D B B @ 0

b2 d2 :: :

0

::

:

::

:

bN

1

C C C  C 2 RN N C bN A dN

sei

dk D dN C1k für k D 1; 2; : : : ; N;

bk D bN C2k für k D 2; 3; : : : ; N;

erfüllt. Man weise nach: Eine Zahl  2 C ist Eigenwert der Matrix A genau dann, wenn  ein Eigenwert von A ist. (c) Man zeige, dass die Eigenwerte der Tridiagonalmatrix

0

0

B Bb B 2 A D B B @ 0

b2 0 :: :

0

::

:

::

:

bN

1

C C C  C 2 CN N C bN A 0

symmetrisch zur Zahl 0 liegen und Folgendes gilt,

²

det A D

. 1 /N=2jb2 b4 : : : bN j2 ; 0

falls N gerade; sonst,

Aufgabe 12.2. Für eine symmetrische Matrix A 2 R N N und einen Vektor x D . xj / 2 R N mit xj ¤ 0 für j D 1; 2; : : : ; N bezeichne

dj WD

. Ax /j

xj

für j D 1; 2; : : : ; N:

Man zeige: Für jede Zahl  2 R enthält das Intervall Œ   %;  C %  mit % WD max1j N jdj  j mindestens einen Eigenwert der Matrix A.

64

Kapitel 12 Eigenwertprobleme

Aufgabe 12.3. Zu gegebener Jordanmatrix

0 1 01 B  ::: C C 2 CN N A WD B @ A :: : 1 0  mit lediglich einem auftretenden Jordanblock und für eine Störungsmatrix B 2 CN N bezeichne k .  /; k D 1; 2; : : : ; N , die Eigenwerte der fehlerbehafteten Matrix A C B , mit einer Zahl  2 C. Man weise mit dem Satz von Gerschgorin ( der auch für komplexe Matrizen richtig ist ) Folgendes nach: (a)

max jk .  /  j  . jj B jj1 C 1 /j j1=N

1kN

für j j  1:

(b) Die Abschätzung in (a) ist in Bezug auf den Exponenten 1=N von j j nicht zu verbessern.

SN

Aufgabe 12.4. Sei A D . aj k / 2 R N N eine irreduzible Matrix, und G D sD1 Gs bezeichne die Vereinigung der Gerschgorin-Kreise. Man zeige: Für jeden Eigenwert  der Matrix A mit  2 @G gilt auch  2 @Gs für s D 1; 2; : : : ; N; und alle Komponenten eines zu  gehörenden Eigenvektors sind betragsmäßig gleich groß. Aufgabe 12.5. Man zeige Folgendes: Für eine symmetrische Matrix A 2 R N N enthält jedes Intervall der Form Œ   jj Ax  x jj2 ;  C jj Ax  x jj2  mit einer Zahl  2 R und einem Vektor x 2 R N mit jj x jj2 D 1 mindestens einen Eigenwert der Matrix A. Aufgabe 12.6. Für eine symmetrische Matrix A 2 R N N mit den Eigenwerten 1  2  : : :  N weise man Folgendes nach:

k

D

N kC1

D

max

min

x>Ax ; x>x

k D 1; 2; : : : ; N ;

(12.1)

min

max

x>Ax ; x>x

......

(12.2)

MR N linear 0¤x2M dim MDk MR N linear 0¤x2M dim MDk ..

:

..

Aufgabe 12.7. Seien A; .............. A 2 R N N symmetrische Matrizen, und für B 2 ¹ A; .............. A; A C.............. A º bezeichne 1 . B /  2 . B /  : : :  N . B / die angeordneten Eigenwerte der Matrix B . .

(a) Durch Angabe einer geeigneten Matrix .............. A zeige man, dass die bekannten Abschätzungen ( siehe etwa [26] ) .

k . A / C N ............... A /  k . A C

.... ..........

.

A /  k . A / C 1 ............... A / für k D 1; 2; : : : ; N;

nicht zu verbessern sind. .

(b) Falls ............... A positiv definit ist, so gilt

k . A / 

.

k . A C .............. A /

für k D 1; 2; : : : ; N:

65

Aufgaben

Aufgabe 12.8. Es besitze eine symmetrische Matrix A 2 R N N mit monoton fallend angeordneten Eigenwerten 1  2  : : :  N eine rechte untere Dreiecksform,

0

0

ppp p pp p pp

0

a1N

1

B pp pp C p B p pp p C C A D B p B 0 pp C ; A @ aN1 aN 2 p p p aN N

mit

aj k D akj

für alle j; k:

Man zeige: es gilt k  0 für alle Indizes k  bN=2c, und außerdem gilt k  0 für alle Indizes k  dN=2e C 1. Hierbei bezeichnet bxc die größte ganze Zahl  x , und dxe ist die kleinste ganze Zahl  x .

66

13

Numerische Verfahren für Eigenwertprobleme – Aufgaben

Aufgabe 13.1. Man weise nach, dass eine obere Hessenbergmatrix durch eine Ähnlichkeitstransformation mit einer Diagonalmatrix so umgeformt werden kann, dass die unteren Nebendiagonaleinträge nur die Werte null oder eins annehmen. Aufgabe 13.2. Man zeige: Für eine gegebene reguläre Matrix T D . v1 j : : : jvN / 2 R N N besitzt die Inverse T 1 genau dann eine LR-Faktorisierung, wenn Folgendes gilt, span ¹ e1 ; : : : ; em º \ span ¹ vmC1 ; : : : ; vN º D ¹ 0 º

für m D 1; : : : ; N  1;

wobei en 2 R N den n-ten Einheitsvektor bezeichnet. Aufgabe 13.3. Es sei A 2 R N N eine symmetrische Matrix mit Eigenwerten 1 D 2 D : : : D r ; jr j > jrC1 j  jN j. Mit der Vektorfolge z .mC1/ D Az .m/ ; m D 0; 1; : : :, werde die Folge der Rayleigh-Quotienten . z .m/ />z .mC1/

rm D

jj z .m/ jj22

für m D 0; 1; : : :

gebildet mit einem Startvektor z .0/ , der einen Anteil im Eigenraum von A zum Eigenwert 1 besitze. Man weise Folgendes nach: Für einen Eigenvektor x zum Eigenwert 1 gilt

ˇ2m  ˇ ˇ ˇ rm D 1 C O ˇ rC1 ˇ ; 1

sgn. rm /m

.m/

z jj z .m/ jj2

ˇm  ˇ ˇ ˇ D x C O ˇ rC1 ˇ 1

für m ! 1:

Aufgabe 13.4. Im Folgenden werden die Voraussetzungen und Notationen aus Aufgabe 13.3 übernommen, wobei jedoch die Eigenschaft der Symmetrie der Matrix A ersetzt wird durch die schwächere Eigenschaft der Diagonalisierbarkeit. Man zeige: ˇm  ˇ ˇ ˇ rm D 1 C O ˇ rC1 ˇ für m ! 1: (a) 1 (b) Falls der s -te Eintrag des Anteils des Startvektors z .0/ im Eigenraum von A zum Eigenwert nicht verschwindet, so gilt

zs.mC1/ zs.m/

ˇ  ˇ  ˇ rC1 ˇm D 1 C O ˇ ˇ 1

für m ! 1: .m/

Hierbei ist der Index s 2 ¹ 1; 2; : : : ; N º fest gewählt, und zs Eintrag des Vektors z .m/ .

bezeichnet den s -ten

67

Aufgaben

Aufgabe 13.5. Es sei A 2 R N N eine diagonalisierbare Matrix mit Eigenwerten 1 ; 2 ; : : : ; N ; für die 2 D 1 < 0 und j2 j > j3 j  : : :  jN j gelte. Für die Vektoriteration z .mC1/ D Az .m/ ; m D 0; 1; : : : weise man Folgendes nach ( jj  jj bezeichne eine beliebige Vektornorm ): (a) Falls z .0/ einen Anteil im Eigenraum von A zum Eigenwert 1 besitzt, so gilt für einen Eigenvektor x1 zum Eigenwert 1 Folgendes:

ˇ ˇ2m   z .2m/ C z .2mC1/ ˇˇ 1 ˇˇ D x1 C O ˇˇ 3 ˇˇ ˇˇ 1 z .2m/ C z .2mC1/ ˇˇ 1

für m ! 1:

(b) Falls z .0/ einen Anteil im Eigenraum von A zum Eigenwert 2 besitzt, so gilt für einen Eigenvektor x2 zum Eigenwert 2 Folgendes:

ˇ ˇ2m   z .2m/  z .2mC1/ ˇˇ 1 ˇˇ D x2 C O ˇˇ 3 ˇˇ ˇˇ 1 z .2m/  z .2mC1/ ˇˇ 1

für m ! 1:

Aufgabe 13.6. Zur Bestimmung einer einfachen und betragsmäßig dominanten Nullstelle 1 2 C des Polynoms n X

p. x / D

ak x k

an D 1

mit

kD0

wird im Folgenden die Rekursion

xmCn D 

n1 X

m D 0; 1; : : :;

ak xmCk ;

kD0

betrachtet. Hierbei sind x0 ; x1 ; : : : ; xn1 2 R vorgegebene hinreichend allgemeine Startwerte. Durch Anwendung der Vektoriteration auf die Transponierte der frobeniusschen Begleitmatrix zu p. x / weise man Folgendes nach:

xmC1 xm

ˇ ˇm  ˇ ˇ 1 C O ˇ 2 ˇ

D

1

für m ! 1;

wobei 2 2 C eine nach 1 betragsmäßig größte Nullstelle des Polynoms p sei. Aufgabe 13.7 (Numerische Aufgabe). Für die Matrix A D . aj k / 2 R N N mit

²

aj k D

N  j C 1; falls k  j; N  k C 1 sonst,

bestimme man für N D 50 und N D 100 mit dem LR-Verfahren numerisch jeweils sowohl den betragsmäßig kleinsten als auch den betragsmäßig größten Eigenwert. .m/ Sei Am D . aj k /; m D 0; 1; : : :; die hierbei erzeugte Matrixfolge. Man breche das Verfahren ab, falls m D 100 oder .m1/

"m WD

max kD1;:::;N

jakk

.m/

 akk j

.m1/ jakk j



0:05

erfüllt ist. Man gebe außer den gewonnenen Approximationen für die gesuchten Eigenwerte auch die Werte "1 ; "2 ; : : : an.

68

Kapitel 13

Numerische Verfahren für Eigenwertprobleme

Anmerkungen zur Bedeutung ausgewählter Aufgaben Aufgabe 13.2 ist für den Beweis der Konvergenz des QR -Verfahrens zur Bestimmung der Eigenwerte einer Matrix von Bedeutung, und Aufgabe 13.4 zeigt, dass die Konvergenz bei symmetrischen Matrizen besser ist als unter der schwächeren Bedingung der Diagonalisierbarkeit.

69

14

Peano-Restglieddarstellung – Aufgaben

In [26] werden lineare Fehlerfunktionale R W C 1 Πa; b  ! R von der Form

Rf

D

n X

˛k f . xk / C ˇ

kD0

Z b a

für f 2 C 1 Œ a; b 

f . x / dx

betrachtet. Dabei sind x0 ; x1 ; : : : ; xn 2 Œ a; b  paarweise verschiedene Stützstellen, und ˛k und ˇ 2 R sind gegebene Koeffizienten. Weiter bezeichnet C 1 Œ a; b  den Raum der stückweise stetigen Funktionen auf dem Intervall Œ a; b . Es wird vorausgesetzt, dass das Funktional R für ein r  0 auf dem Raum der Polynome vom Höchstgrad r verschwindet. Die Funktionen

Km . t / WD

1 R . . x  t /m C/ mŠ x

für t 2 Œ a; b 

. m D 0; 1; : : : ; r /

werden als Peano-Kerne bezeichnet. Für m  1 sind die Peano-Kerne Km auf dem Intervall Œ a; b  stetig, und der Peano-Kern K0 ist stückweise stetig. Es gelten die Identitäten

Rf

D

Z b a

f .mC1/ . t /Km . t / dt für f 2 C mC1 Œ a; b  . m D 0; 1; : : : ; r /: (14.1)

Falls außerdem R. x rC1 / ¤ 0 erfüllt ist und der Peano-Kern Kr auf dem Intervall Œ a; b  sein Vorzeichen nicht wechselt, so gilt die Darstellung

Rf

D ~f .rC1/ . /

für f 2 C rC1 Œ a; b 

(14.2)

mit einer geeigneten Zwischenstelle D . f / 2 Πa; b  und der Konstanten ~ D R . x rC1 /

. rC1 /Š

:

Aufgabe 14.1. Gegeben seien allgemeine Fehlerfunktionale der Form

Rf D

n0 X

˛0k f . x0k / C

kD0

n1 X

˛1k f 0 . x1k / C : : : C

kD0

ns X

˛sk f .s/ . xsk / C ˇ

kD0

Z b a

f . x / dx

für f 2 C s Œ a; b 

mit s  0 und reellen Koeffizienten ˛j k . Man zeige, dass die Darstellungen (14.1) und (14.2) für Werte m D s; s C 1; : : : ; r ihre Gültigkeit behalten. Aufgabe 14.2. Gegeben sei ein Funktional R W C 1 Œ a; b  ! R von der Form (14.1), welches auf dem Raum …r verschwindet, und m sei eine ungerade Zahl mit 1  m  r . Man zeige: falls

Rf

b D Rf

für f 2 C mC1 Œ a; b 



b mit f

 aCb 2

 x  x 2 Π ba ; ba  2 2

Cx



WD f

 aCb 2

70

Kapitel 14 Peano-Restglieddarstellung

erfüllt ist, so ist der Peano-Kern Km symmetrisch bezüglich des Mittelpunkts des betrachteten Intervalls, das heißt,

Km . aCb C x / D Km . aCb  x/ 2 2

für x 2 Œ 0;

ba 2

:

R1

f . x / dx mit f 2 R1 C Œ 1; 1  betrachte man im Folgenden die Quadraturformel Qf WD 1 P . x / dx , wobei das Polynom P 2 …5 die Lösung der folgenden hermiteschen InterpolationsAufgabe 14.3. Zur näherungsweisen Berechnung des Integrals 1

1

aufgabe bezeichnet,

P . xj / D f . xj /;

P 0 . xj / D f 0 . xj /;

für x0 D 1; x1 D 0; x2 D 1:

Man kann zeigen ( und darf für die Lösung dieser Aufgabe verwenden ), dass die Quadraturformel von der Form

Qf

D

7 1 0 16 7 1 0 f . 1 / C f . 1 / C f .0/ C f .1/  f . 1 / (14.3) 15 15 15 15 15

ist und den Genauigkeitsgrad 5 besitzt. (a) Man berechne den Peano-Kern K5 zu der Quadraturformel Q und zeige, dass dieser sein Vorzeichen nicht wechselt. (b) Man bestimme unter Verwendung von (a) eine Fehlerdarstellung für die betrachtete Quadraturformel.

71

15

Approximationstheorie – Aufgaben

Aufgabe 15.1. Man weise nach, dass der Vektorraum C Œ a; b  zusammen mit der Maximumnorm jj  jj1 nicht strikt normiert ist. Aufgabe 15.2. In einem Vektorraum V mit innerem Produkt h ;  i sei U  V ein endlich-dimensionaler linearer Unterraum mit gegebener Basis u1 ; u2 ; : : : ; um , und Pm es sei u 2 U ein Element mit der Darstellung u D kD1 ˛k uk . Man zeige: Das Element u ist genau dann ein U -Proximum an ein gegebenes Element v 2 V , wenn die Koeffizienten ˛1 ; ˛2 ; : : : ; ˛m dem folgenden linearen Gleichungssystem genügen, m X

h uk ; uj i ˛k

D

h v ; uj i

für j D 1; 2; : : : ; m:

kD1

Aufgabe 15.3. Man weise für die Folge von Funktionen p .  1 /n T2nC1 . t / p pn . t / D ; t >0 2n C 1 t

. n D 0; 1; : : : /

Folgendes nach: ./

pn 2 …n ; p max jpn . t /j t

0t 1

p

max jpn . t /j t

0t 1

pn . 0 / D 1;

(15.1)

D

1 2n C 1

(15.2)

D

min

für n D 0; 1; : : :;

p

max jp. t /j t:

p2…n 0t 1 p.0/D1

(15.3)

Hierbei bezeichnet T2nC1 2 …2nC1 das Tschebyscheff-Polynom der zweiten Art vom Grad 2n C 1. Die Eigenschaft . / ist so zu verstehen, dass zu der Funktion pn eine Fortsetzung nach 0 und darüber hinaus auf die negative reelle Halbachse existiert, welche ein Polynom von Grad  n darstellt. Aufgabe 15.4. Man überlege sich, dass für die Folge von Funktionen

pn . t /

D

1  TnC1 . 1  2t / ; 2 . n C 1 /2 t

0¤t 2R

. n D 0; 1; : : : /

Folgendes gilt:

pn 2 …n ;

pn . 0 / D 1;

max jpn . t /j t

D

max jpn . t /j t

¤

0t 1 0t 1

1 . n C 1 /2 min

(15.4) für n D 0; 1; : : :;

max jp. t /j t:

p2…n 0t 1 p.0/D1

(15.5) (15.6)

72

Kapitel 15

Approximationstheorie

Aufgabe 15.5. Es ist p  0 bezüglich der Maximumnorm ein …n1 -Proximum an die Funktion f . t / D sin 3t; t 2 Œ 0; 2  genau dann, wenn n  5 gilt. Aufgabe 15.6. Sei U  C Œ a; b  ein haarscher Raum der Dimension dim U D n. Weiter seien n paarweise verschiedene Stützstellen x1 ; x2 ; : : : ; xn 2 Œ a; b  sowie n reelle Zahlen f1 ; f2 ; : : : ; fn 2 R gegeben. Man zeige, dass genau ein Element u 2 U mit der Interpolationseigenschaft

u. xj / D fj existiert.

für j D 1; 2; : : : ; n

73

Teil II 1

Lösungen

Polynominterpolation – Lösungen

Lösung zu Aufgabe 1.1. (a) Nach Voraussetzung existiert insbesondere für " D 1 eine Umgebung U  R N des Punktes x  und eine Konstante K  0, so dass jf . x /j  Kjg. x /j für alle x 2 U \ D gilt. Damit ist (a) schon nachgewiesen. (b) Nach dem ersten Teil der Annahme existieren eine Umgebung U1  R N des Punktes x  und eine Konstante K  0, so dass für alle x 2 U \ D

jf . x /j  K1 jg. x /j

gilt. Desweiteren existieren gemäß dem zweiten Teil der Annahme eine Umgebung U2  R N des Punktes x  und eine Konstante K2  0, so dass

jg. x /j  K2 jh. x /j

für alle x 2 U \ D:

Damit gilt auch

jf . x /j  K1 jg. x /j  K1 K2 jh. x /j „ƒ‚… DW K

für alle x 2 U 1 \ U 2 \D;

„ ƒ‚ … DW U

wobei die Menge U als Durchschnitt zweier Umgebungen von x  selbst wieder eine Umgebung von x  darstellt. (c) Für den Nachweis der Implikation “H) “ sind zwei Funktionen r; s W R N  D R mit den Eigenschaften r. x / D O. f . x / / und s. x / D O . g. x / / für D 3 x ! zu betrachten. Es ist nachzuweisen, dass . rs /. x / D O. . fg /. x / / für D 3 x ! erfüllt ist. Hierzu sei " > 0. Dann existiert eine Umgebung U1  R N des Punktes und eine Konstante K > 0, so dass

jr. x /j  Kjf . x /j

für alle x 2 U 1 \ D

! x x x

(L-1.1)

gilt. Zu "1 WD "=K existiert nach Annahme eine Umgebung U2  R N mit

js. x /j  "1 jg. x /j

für alle x 2 U 2 \ D:

(L-1.2)

Die beiden Abschätzungen (L-1.1) und (L-1.2) ergeben

j. rs /. x /j  Kjf . x /j  "1 jg. x /j D "jf . x /g. x /j für alle x 2 U 1 \ U 2 \D; „ ƒ‚ … DW U womit die Aussage von (c) nachgewiesen ist.

74

Kapitel 1 Polynominterpolation

Lösung zu Aufgabe 1.2. Zu gegebenen Stützwerten f0 ; f1 ; : : : ; fn 2 R und g0 ; g1 ; : : : ; gn 2 R bezeichne P 2 …n und Q 2 …n die jeweiligen interpolierenden Polynome. Für beliebige reelle Koeffizienten a und b gilt dann

aP C bQ

2

…n ;

. aP C bQ /. xj / D aP. xj / C bQ. xj / D afj C bgj

für j D 0; 1; : : : ; n:

Damit ist aP C bQ das interpolierende Polynom zu den Stützpunkten . xj ; afj C bgj / 2 R 2 für j D 0; 1; : : : ; n und die Linearität der Interpolationsabbildung somit nachgewiesen. Lösung zu Aufgabe 1.3. Es wird zunächst die Eindeutigkeitsfrage diskutiert. Hierzu seien P; Q 2 …n zwei Polynome, die den Interpolationsbedingungen genügen. Dann gilt für die Differenz P  Q Folgendes:

P  Q 2 …n ;

. P  Q /./ . xj / D 0

für

 D 0; 1; : : : ; mj 1 ; j D 0; 1; : : : ; r: Pr

Damit ist P  Q ein Polynom vom Grad  n mit mindestens j D0 mj D n C 1 verschiedenen Nullstellen, wobei diese jetzt entsprechend ihren Vielfachheiten gezählt werden. Damit gilt notwendigerweise ( siehe beispielsweise Fischer [5, Abschnitt 1.3] ) P  Q  0 beziehungsweise P  Q. Für den Existenzbeweis betrachtet man den Ansatz

P. x / D

n X

˛k x k

kD0

mit den Koeffizienten ˛0 ; ˛1 ; : : : ; ˛n . Die Interpolationsbedingungen sind dann gleichbedeutend mit

P ./ . xj / D

n X

a;j;k ˛k D fj./

für

kD0

 D 0; 1; : : : ; mj  1; j D 0; 1; : : : ; n;

(L-1.3)

mit den Koeffizienten

² a;j;k D

k. k  1 / : : : . k   C 1 /xjk 0; Pr

für   k; sonst.

Hierbei handelt es sich um ein System von j D0 mj D n C 1 linearen Gleichungen für die n C 1 Unbekannten ˛0 ; ˛1 ; : : : ; ˛n . Wegen der vorliegenden Eindeutigkeit des ./ vorliegenden Interpolationsproblems ist klar, dass (L-1.3) im Fall fj D 0 für  D 0; 1; : : : ; mj  1 und j D 0; 1; : : : ; r nur die triviale Lösung ˛0 D ˛1 D : : : D ˛n D 0 besitzt. Die zugehörige Systemmatrix ( die letztlich noch von der Anordnung der Gleichungen abhängt ) besitzt demnach einen trivialen Nullraum und ist somit auch regulär, das lineare Gleichungssystem (L-1.3) besitzt also eine Lösung.

75

Lösungen

Lösung zu Aufgabe 1.4. (a) Die konstante Funktion f D 1 wird durch das konstante Polynom P D 1 2 …0 interpoliert, wobei die spezielle Lage der Stützstellen ohne Bedeutung ist. Die lagrangesche Interpolationsformel liefert dann

1 D

n X

f . xk / Lk . x / D kD0 „ƒ‚ … D1

n X

Lk . x /:

kD0

(b) Im Fall s D 0 erhält man die Lösung unmittelbar aus Teil (a). Im Fall 1  s  n betrachtet man die Funktion f . x / D x s . Diese wird durch das Polynom P. x / D x s 2 …s interpoliert, wobei dies wie schon in Teil (a) unabhängig von der Lage der Stützstellen ist. Mit der lagrangeschen Interpolationsformel erhält man dann

0 D f .0/

D

n X

f . xk / Lk . 0 / D

kD0

n X

Lk . 0 /xks :

kD0

In der Situation s D n C 1 schließlich betrachtet man die Funktion f . x / D x nC1 . Hier gilt f .nC1/ . x /  . n C 1 /Š, und die Darstellung für den Interpolationsfehler ergibt n X

Lk . 0 /xknC1 D P. 0 /

kD0

D

P. 0 /  f . 0 /

D



! . 0 / f .nC1/ . / . n C 1 /Š

D . 1 /n x0  x1  : : :  xn ;

wobei P 2 …n das zugehörige interpolierende Polynom bezeichnet und die Notation !. x / WD . x  x0 /    . x  xn / verwendet wird, und bezeichnet eine Zwischenstelle. Lösung zu Aufgabe 1.5. (a) Für die ersten m C 1 Stützstellen x0 ; x1 ; : : : ; xm ( mit 0  m  n ) sind die lagran.m/ geschen Basispolynome Lk 2 …m ; k D 0; 1; : : : ; m, von der Form

L.m/ k .x /

D

k.m/

m Y

. x  xs /

für k D 0; 1; : : : ; m:

sD0 s¤k .m/

Für jeden Index k besitzt das lagrangesche Basispolynom Lk führenden Koeffizienten

k.m/

2 …m demnach den

und lässt sich damit in der Form

L.m/ k .x /

D

k.m/ x m C qm1 . x /

schreiben mit einem von k abhängenden Polynom qm1 2 …m1 . Andererseits gilt Pm .m/ nach Teil (a) der Aufgabe 1.4 die Identität kD0 Lk . x /  1, so dass im Fall m  1 notwendigerweise

Pm

kD0

k.m/ D 0 gilt.

(b) Die angegebene Darstellung erhält man wie folgt:

k.m/ xk  xmC1

D

 Y m sD0 s¤k

 1 1 xk  xs xk  xmC1

D

mC1 Y sD0 s¤k

1 xk  xs

D

k.mC1/ :

76

Kapitel 1 Polynominterpolation

(c) Ein möglicher Algorithmus sieht so aus:

0 D 1; for m D 0 to n  1 do for k D 0 to m do

k D k =. xk  xmC1 / end m X

mC1 D 

k

kD0

end Für jeden Wert des Indexes m fallen in der inneren Schleife mit k als Laufindex insgesamt 2. m C 1 / arithmetische Operationen an. Für die Berechnung des Koeffizienten mC1 werden nochmals . m C 1 / arithmetische Operationen benötigt. Insgesamt ergeben sich damit n1 X

3. m C 1 /

D

3

mD0

n X

D

m

mD1

3

n. n C 1 / 2

D

3 2 n 2

C O. n /

arithmetische Operationen. Lösung zu Aufgabe 1.6. (a) Im Falle äquidistanter Stützstellen erhält man für die Stützkoeffizienten Folgendes:

k

D

n Y sD0 s¤k

1 xk  xs

./

D

n Y sD0 s¤k

D hn . 1 /nk

1 1 kŠ . n  k /Š

.k

1  s /h

D

D

hn

 k1 Y sD0

1 ks

 n ı hn . 1 /nk k nŠ

 Y n sDkC1

1 ks



für k D 0; 1; : : : ; n:

(b) Aus der Darstellung . /, verwendet mit dem Index k  1 anstelle k , folgt unmittelbar 1 1 k1 D hn . 1 /nkC1 . k  1 /Š . n  k C 1 /Š und damit

k1

nkC1 k

D

hn . 1 /nk

1 1 kŠ . n  k /Š

D

k ;

wobei in der letzten Identität erneut die Darstellung . / eingeht. Lösung zu Aufgabe 1.7. Mittels vollständiger Induktion über k wird

k fj kŠhk

D f Πxj ; : : : ; xj Ck ;

j D 0; 1; : : : ; n  k; k D 0; 1; : : : ; n;

(L-1.4)

nachgewiesen. Die Aussage der vorliegenden Aufgabe erhält man dann aus der newtonschen Interpolationsformel. Die Identität (L-1.4) ist im Fall k D 0 aufgrund der

77

Lösungen

Definition 0 fj D fj für j D 0; 1; : : : ; n offensichtlich richtig. Es wird nun vorausgesetzt, dass die Identität (L-1.4) für ein 0  k  n  1 richtig ist. Dann berechnet man

kC1 fj

D k fj C1  k fj

D

kŠhk . f Œ xj C1 ; : : : ; xj C1Ck   f Œ xj ; : : : ; xj Ck  /

D kŠhk . xj C1Ck  xj /f Œ xj ; : : : ; xj C1Ck  D kŠhk . k C 1 /h f Œ xj ; : : : ; xj C1Ck  ƒ‚ … „ D .kC1/ŠhkC1

für j D 0; 1; : : : ; n  k  1, und der Induktionsschritt “k ! k C 1 “ ist damit abgeschlossen. Lösung zu Aufgabe 1.8. Die Stützstellen sowie die zugehörigen Funktionswerte sind in der folgenden Tabelle aufgelistet:

x tan2 x

=6 1=3

=4 1

=3 3

Das Neville-Schema liefert hier das folgende Ergebnis:

P0 . x / D

1 ; 3

P1 . x / D 1;

P01 . x / D

8 x  1; 

P2 . x / D 3;

P12 . x / D

24 x  5; 

P012 . x / D

96 2 32 x   x C 3: 2

Dabei berechnen sich die Einträge folgendermaßen:

P01 . x / D

.x

 x0 /P1 . x /  . x  x1 /P0 . x / x1  x0

D

.x

 =6 /  . x  =4 /=3 D . = 4/   = 6

.x

 =4 /3  . x  =3 / .  = 3/   = 4

8 x 1 

beziehungsweise

P12 . x / D

.x

 x1 /P2 . x /  . x  x2 /P1 . x / x2  x1

D

D

24 x 5 

sowie

P012 . x / D D D

.x

 x0 /P12 . x /  . x  x2 /P01 . x / x2  x0

.x  6 



 6

/. 24  x  5/  .x  . = 3/   = 6

16 2 8  x  8x C x C  3 2

 3

/. 8 x  1 /

 D

96 2 32 x   x C 3: 2

Lösung zu Aufgabe 1.9. Die newtonsche Interpolationsformel für das interpolierende Polynom P 2 …n zu den Stützpunkten . x0 ; f0 /; . x1 ; f1 /; : : : ; . xn ; fn / zeigt,

78

Kapitel 1 Polynominterpolation

dass der führende Koeffizient von P mit der dividierten Differenz f Œ x0 ; : : : ; xn  übereinstimmt. Andererseits folgt aus der lagrangeschen Interpolationsformel, dass der führende Koeffizient von P mit der Zahl n X

fk

n ı Y

. xk  xs /

sD0 s¤k

kD0

übereinstimmt. Daraus folgt unmittelbar die in der Aufgabenstellung angegebene Identität. Lösung zu Aufgabe 1.10. Seien P 2 …n und Q 2 …n die zu den ( beliebigen ) Stützpunkten . x0 ; f0 /; . x1 ; f1 /; : : : ; . xn ; fn / 2 R 2 und . x0 ; g0 /; . x1 ; g1 /; : : : ; . xn ; gn / 2 R 2 gehörenden interpolierenden Polynome. Die newtonsche Interpolationsformel ( siehe zum Beispiel [26, (1.9)] ) liefert

P. x / D f Œ x0  C f Œ x0 ; x1 . x  x0 / C : : : : : : C f Œ x0 ; : : : ; xn . x  x0 /. x  x1 /    . x  xn1 /; Q. x / D gŒ y0  C gŒ y0 ; y1 . x  y0 / C : : : : : : C gŒ y0 ; : : : ; yn . x  y0 /. x  y1 /    . x  yn1 /; damit ist f Œ x0 ; : : : ; xn  führender Koeffizient von P und g Œ y0 ; : : : ; yn  ist führender Koeffizient von Q. Wenn nun (1.1) erfüllt ist, so folgt P  Q, und damit stimmen natürlich auch die führenden Koeffizienten von P und Q überein, was die Aussage der Aufgabe nach sich zieht. Lösung zu Aufgabe 1.11. Die dividierten Differenzen haben die folgenden Werte:

f Πx0  f Πx1  f Πx2  f Πx3  f Πx4 

D D D D D

17 8 21 42 35

f Πx0 ; x1  f Πx1 ; x2  f Πx2 ; x3  f Πx3 ; x4 

D D D D

3 13 f Πx0 ; x1 ; x2  D 4 21 f Πx1 ; x2 ; x3  D 4 f Πx0 ; : : : ; x3  D 0 Π 7 f x2 ; x3 ; x4 D 14 f Πx1 ; : : : ; x4  D 6 f Πx0 ; : : : ; x4  D 1

Diese Werte berechnen sich dabei folgendermaßen:

f Πx0 ; x1  D

f Πx1   f Πx0  x 1  x0

D

8  17 2 C 5

f Πx1 ; x2  D

f Πx2   f Πx1  x 2  x1

D

21  8 1

f Πx2 ; x3  D

42  21 1

D 21;

D 3; D 13;

f Πx3 ; x4  D

35  42 1

f Πx0 ; x1 ; x2  D

f Πx1 ; x2   f Πx0 ; x1  x 2  x0

D

f Πx1 ; x2 ; x3  D

21  13 2

f Πx2 ; x3 ; x4  D

D 4;

f Πx0 ; : : : ; x3  D

44 0  .  5/

f Πx0 ; : : : ; x4  D

6  0 6

D 0;

D 1:

13 C 3 4

D 7;

D 4; 7  21 2

f Πx1 ; : : : ; x4  D

D 14;

14  4 1  .  2/

D 6;

79

Lösungen

Das interpolierende Polynom lautet damit

P. x / D 17  3. x C 5 / C 4. x C 5 /. x C 2 /  . x C 5 /. x C 2 /. x C 1 /x: Lösung zu Aufgabe 1.12. Die lagrangeschen Basispolynome L0 ; L1 ; : : : ; Ln 2 …n ( zu den gegebenen Stützstellen x0 ; x1 ; : : : ; xn ) sind stetig, daher gilt max jj Lk jj1 DW K < 1;

kD0;:::;n

wobei jj  jj1 die Maximumnorm für reellwertige, auf dem Intervall Œ a; b  definierte stetige Funktionen bezeichnet. Nach dem Satz von Weierstraß gibt es ein Polynom Q mit jj Q  f jj1  " = M , wobei die Konstante M wie folgt gewählt wird:

M D 1 C K. n C 1 /: Das Polynom

P WD Q C

n X

. f . xk /  Q. xk / /Lk

kD0

leistet dann das Gewünschte:

P. xj / D Q. xj / C

n X

Dıj k

‚ …„ ƒ . f . xk /  Q. xk / / Lk . xj / D Q. xj / C f . xj /  Q. xj /

kD0

D f . xj /

für j D 0; 1; : : : ; n;

und

jj P  f jj1  jj Q  f jj1 C

n X

jj f  Q jj1 jj Lk jj1

kD0



n X " " C K M M

D

";

kD0

wobei wie üblich ıj k das Kronecker-Symbol bezeichnet, das heißt, es gilt ıjj D 1 und ıj k D 0 für j ¤ k . Lösung zu Aufgabe 1.13. Man betrachtet hier die lineare Abbildung

A W V ! R nC1 ;

v  . 'j . v / /j D0;::: ;n :

Wegen der Identität dim V D n C 1 ist die lineare Abbildung A injektiv genau dann, wenn sie bijektiv ist. (a) “H) “: Offensichtlich wird für die Funktion f D 0 die verallgemeinerte Interpolationsaufgabe (1.2) durch die Funktion v D 0 gelöst, die nach Voraussetzung die einzige Lösung ist. “(H “: Nach Voraussetzung ist die Abbildung A injektiv und damit auch bijektiv. Für jede stetige Funktion f W Œ a; b  ! R existiert demnach genau eine Funktion v 2 V , die der Interpolationsbedingung (1.2) genügt.

80

Kapitel 1 Polynominterpolation

(b) Man betrachtet hier die Abbildung

Q W C Πa; b  ! R nC1 ;

f  . 'j . f / /j D0;::: ;n :

Die Abbildung Q ist linear und demnach auch die Abbildung Ln D A1 Q. Weiter löst für eine Funktion f 2 V genau v D f das gegebene Interpolationsproblem (1.2) und daher gilt Ln f D f . Schließlich ist für jede stetige Funktion f W Œ a; b  ! R die Eigenschaft Ln f 2 V erfüllt, die Identität Ln f D f impliziert also f 2 V . Lösung zu Aufgabe 1.14. Man betrachtet hier die stetige Funktion

D

g. x /

n n Y X kD0 sD0 s¤k

ˇ x  xs ˇ ˇ ˇ

für x 2 Œ a; b :

xk  xs

Die Aufgabenstellung besteht also darin, die Identität

±

°

sup jj Ln f jj1

W

f 2 C Πa; b ; jj f jj1 D 1

D

jj g jj1

(L-1.5)

herzuleiten, wobei es genügt, anstelle der Identität in (L-1.5) die zwei Ungleichungen “ “ und “ “ nachzuweisen. Für den Nachweis der Ungleichung “ “ betrachtet man eine beliebige stetige Funktion f W Œ a; b  ! R und einen beliebigen Punkt x 2 Œ a; b . Dann gilt

j. Ln f /. x /j



n X

jf . xk /j

n Y sD0 s¤k

kD0

ˇ x  xs ˇ ˇ ˇ xk  xs



jg. x /j jj f jj1



jj g jj1  jj f jj1

und damit auch max j. Ln f /. x /j

x2Πa;b 



jj g jj1  jj f jj1 :

Die Ungleichung “ “ in (L-1.5) ist damit nachgewiesen, und für die Herleitung der Ungleichung “ “ wählt man zu einem beliebigen Punkt x 2 Œ a; b  eine stetige Funktion f W Œ a; b  ! R mit der Eigenschaft n  Y x  xs  f . xk / D sgn sD0 s¤k

xk  xs

für k D 0; 1; : : : ; n;

jj f jj1 D 1:

Dann gilt

jj Ln jj1  j. Ln f /. x /j

D

n n Y X kD0 sD0 s¤k

ˇ x  xs ˇ ˇ ˇ xk  xs

D

jg. x /j

mit dem beliebigen gewählten Punkt x 2 Œ a; b , und dann gilt auch

jj Ln jj1 

max jg. x /j D jj g jj1 :

x2Πa;b 

Die Ungleichung “ “ in (L-1.5) ist damit ebenfalls nachgewiesen.

81

Lösungen

Lösung zu Aufgabe 1.15. Gemäß der Darstellung [26, (1.14)] gilt für jedes x 2 Œ 10; 12  die Fehlerdarstellung

f . x /  P. x /

. x  10 /. x  11 /. x  12 / f 000 . / 6

D

(L-1.6)

mit einer Zwischenstelle D . x / 2 Π10; 12 . Wegen

1

f 0. x / D x ;

f 00 . x / D 

1 ; x2

f 000 . x / D

2 x3

nimmt die Fehlerdarstellung (L-1.6) hier die Form

f . x /  P. x / D . x  10 /. x  11 /. x  12 /

1 3 3

an. (a) Im Fall x D 11:1 erhält man die Fehlerdarstellung

f . 11:1 /  P. 11:1 / D 1:1  0:1  . 0:9 /

1 3 3

D 

0:033

3

mit einer Zwischenstelle D . 11:1 / 2 Œ 10; 12 , und damit ergibt sich die Fehlerabschätzung 0:033 jf . 11:1 /  P. 11:1 /j  D 0:33  104 : 103 (b) Wir bestimmen zunächst das Betragsmaximum der Funktion

!. x / WD . x  10 /. x  11 /. x  12 /;

x 2 Π10; 12 :

Es gilt

!. x / D . x  10 /. x 2  23x C 132 / D x 3  33x 2 C 362x  1320; ! 0 . x / D 3x 2  66x C 362: Eine kurze Rechnung liefert die Nullstellen z1=2 von ! 0 : es gilt

! 0 . z1=2 / D 0

q für z1=2 D 11 ˙

1 : 3

Eine weitere Rechnung liefert

q  q 1 q 1 1 2 1  1 C D  1 D  ; 3 3 3 3 3 3 3 q q q q q q        1 1 1 C !. z2 / D 1  13  13  1  13 D 1  13 3 3 q q   1 D 1  13 D 23 13 : 3

!. z1 / D



1C

q q  1 1

Es sind 10; 11 und 12 die einzigen Nullstellen der Funktion ! , daher gilt max x2Π10;12 

j!. x /j D

2 3

q

1 : 3

82

Kapitel 1 Polynominterpolation

Außerdem gilt

D 103 ;

max 13 2Π10;12  

insgesamt erhält man nun die Lösung zu dieser Aufgabe: sup x2Œ 10;12 



1 3

D

2 9

jf . x /  P. x /j D

sup 2Π10;12 

q



1 3

ˇ ˇ

ˇ 1 ˇ 3



sup x2Π10;12 

sup x2Π10;12 

ˇ ˇ

1 .x 3. x /3

ˇ  10 /. x  11 /. x  12 / ˇ

j. x  10 /. x  11 /. x  12 /j D

1 3

 103 

2 3

q 

1 3

 103 0:1283  103 :

Lösung zu Aufgabe 1.16. (a) Man benötigt hier die Identität sin. . k C 1 / / C sin. . k  1 / /

D

für ; k 2 R : (L-1.7)

2 sin. k / cos 

Die in der Aufgabenstellung angegebenen Darstellungen für U0 und U1 sind klar:

U0 . cos  / D

sin  sin 

D 1;

U1 . cos  / D

sin 2 sin 

./

D 2 cos ;

wobei die Identität . / unmittelbar aus (L-1.7) mit der speziellen Wahl k D 1 resultiert. Die angegebene Rekursionsformel für die Polynome Un erhält man so:

Un . cos  /

D ./

D

sinΠ. n C 1 /  sin 

./

D

2 cos  sin . n /  sin Œ. n  1 /  sin 

2. cos  /Un1 . cos  /  Un2 . cos  /

für n  1;

 2 . 0;  /:

Hierbei ergibt sich die Identität . / aus (L-1.7) angewandt mit k D n, und die Identität . / folgt unmittelbar aus der Definition der Polynome Uk . (b) Die Eigenschaft Un 2 …n und die Aussage über die führenden Koeffizienten werden nun simultan per vollständiger Induktion nachgewiesen. Offensichtlich ist per Definition U0 ein Polynom vom Grad null mit führendem Koeffizienten eins, und U1 ist ein Polynom vom Grad eins mit führendem Koeffizienten zwei. Für den Induktionsschritt nehmen wir nun an, dass die Aussage der Aufgabe für n D 0; 1; : : : ; m richtig ist mit einer Zahl m  2. Dann liefert die Rekursionsformel (1.4) Folgendes: GradDmC1

‚ …„ ƒ UmC1 . t / D 2 t Um . t /  Um1 . t /; „ƒ‚… „ ƒ‚ … Grad D m

2 …m1

und der führende Koeffizient von UmC1 berechnet sich gleichzeitig zu 2  2m D 2mC1 . (c) Sei zunächst t kein Randpunkt, t 2 . 1; 1 /. Dann wählt man  2 . 0;  / mit cos  D t und erhält für n  1

n sin. n /

D

d cos. n / d

D

d T . cos  / d n

D

Tn0 . cos  /  sin 

83

Lösungen

beziehungsweise

Tn0 . cos  / D n

sin. n / sin 

D nUn1 . cos  /:

Das ist die geforderte Aussage für t 2 . 1; 1 /. Aus Stetigkeitsgründen gilt sie dann auch für die beiden Randpunkte t D 1 und t D 1. (d) Die Zahlen .n/

uj

D cos

 j 

für j D 1; 2; : : : ; n

nC1

sind paarweise verschieden und liegen alle in dem offenen Intervall . 1; 1 /. Zudem gilt

Un . u.n/ j /



D Un cos

 j 

D

nC1

sin . j /

D

j sin. . n C 1 / nC1 / j

sin. nC1 /

D

sin. j = . n C 1 / /

für j D 1; 2; : : : ; n:

0

(e) Hier geht man so vor:

Un . 1 / D

./

D

lim Un . cos  /

!0C

Un . 1 / D

./

D

lim Un . cos  /

!

. n C 1 / cos Œ. n  1 / 

D

1

. n C 1 / cos Œ. n  1 / 

lim lim

n C 1;

. n C 1 / cos Œ. n  1 / 

cos 

!

D

D

cos 

!0C

. 1 /n . n C 1 /;

wobei die Identitäten . / und . / jeweils aus der Regel von de L’Hospital folgen. Lösung zu Aufgabe 1.17. Die zu interpolierende Funktion f . x / WD 1=. 25x 2 C 1 / für x 2 Œ 1; 1  stellt eine Transformation der Funktion aus dem klassischen Beispiel von Runge dar. In Bild 1.1 sind die numerischen Ergebnisse für n D 10 dargestellt. 1.2

2

1 1.5 0.8

1 0.6

0.4 0.5

0.2 0 0

−0.2 −1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

−0.5 −1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Bild 1.1: Numerische Ergebnisse für äquidistante Stützstellen ( links ) beziehungsweise solchen Stützstellen, die sich aus linear transformierten Tschebyscheff-Nullstellen ( rechts ) ergeben. Die Funktion f ist durchgezogen, das interpolierende Polynom jeweils gestrichelt dargestellt.

84

2

Splinefunktionen – Lösungen

Lösung zu Aufgabe 2.1. (a) (i) Zunächst berechnet man Folgendes: Z b

jj f 0  s 0 jj22 D

a

0 2 jj2

. f 0  s 0 /2 . x / dx D

 2

D

jj f

D

jj f 0 jj22  2

Z b a

Z b a

Z b

®

a

¯ f 0 . x /2  2f 0 . x /s 0 . x / C s 0 . x /2 dx

f . x /s . x / dx C jj s 0 jj22 0

0

. f 0  s 0 /. x /s 0 . x / dx  jj s 0 jj22

./

D

jj f 0 jj22  jj s 0 jj22 :

Hierbei erhält man die Identität . / aus dem Verschwinden des letzten auftretenden Integrals, was sich durch Zerlegung des Integrationsintervalls ergibt: Z b a

. f 0  s 0 /. x /s 0 . x / dx

N Z x X k

D

kD1 N X

./

D

Z x k 0

sk

kD1

xk1

„

. f 0  s 0 /. x / dx ƒ‚ …

xk1

. f 0  s 0 /. x /s 0 . x / dx

D

0:

. f s /. xk /  . f s /. xk1 /

„ ƒ‚ … „ D0

ƒ‚

…

D0

Hierbei erhält man die Identität . / aus der Eigenschaft, dass die Ableitung s 0 auf jedem der betrachteten Teilintervalle Œ xk1 ; xk  einen konstanten Wert annimmt, der hier mit sk0 bezeichnet sei. Man wendet nun die in (i) gewonnene Identität mit den Stützpunkten fj D f . xj /  . xj / für j D 0; 1; : : : ; N und mit der Funktion f  anstelle von f an. Die interpolierende lineare Splinefunktion für die Funktion f  ist s  und man erhält

jj f 0  s 0 jj22 D jj . f   jj f 0 

/0  .s 

/ 0 jj22

./

D

jj . f 

/ 0 jj22  jj . s  / 0 jj22 „ ƒ‚ … 0

0 2 jj2 ;

wobei die angesprochene Anwendung des Teils (i) dieser Aufgabe tatsächlich in die Identität ./ eingeht. (b) Mit (i) aus Teil (a) aus dieser Aufgabe erhält man

0



jj f 0  s 0 jj22

D

jj f 0 jj22  jj s 0 jj22

beziehungsweise

jj s 0 jj2  jj f 0 jj2 1 für jede Funktion f 2 C Œ a; b  mit f . xj / D fj für j D 0; 1; : : : ; N .

85

Lösungen

Lösung zu Aufgabe 2.2. Für jeden Index j 2 ¹ 0; 1; : : : ; N  1 º macht man auf dem Intervall Œ xj ; xj C1  den lokalen Ansatz

s. x / D aj C bj . x  xj / C cj . x  xj /2 DW pj . x / für x 2 Œ xj ; xj C1 : (L-2.1) Aus diesem Ansatz erhält man sowohl im Fall (a) als auch im Fall (b) die Bedingungen

pj . xj / D fj

für j D 0; 1; : : : ; N  1;

pj . xj C1 / D fj C1

......

pj0 . xj C1 /

D

pj0 C1 . xj C1 /

(L-2.2)

;

(L-2.3)

für j D 0; 1; : : : ; N  2:

(L-2.4)

Mit der Notation

hj WD xj C1  xj

für j D 0; 1; : : : ; N  1

führt dies auf die Setzungen

aj cj cN 1

./

D

fj

für j D 0; 1; : : : ; N  1;

D

bj C1  bj ; 2hj

D

fN  fN 1 b  N 1 : hN 1 h2N 1

./

bj C bj C1 D 2

fj C1  fj hj

für j D 0; 1; : : : ; N  2; (L-2.5)

Hierbei ergeben sich die Identitäten . / und . / aus den Gleichungen (L-2.2) beziehungsweise (L-2.4), und die verbleibenden Identitäten resultieren aus (L-2.3). Für die Lösung der beiden Aufgabenteile (a) und (b) werden nun jeweils lineare Gleichungssysteme zur Bestimmung von b0 ; b1 ; : : : ; bN  1 hergeleitet. (a) Hier ist b0 D f00 und man erhält das lineare Gleichungssystem

0

1 B1 1 B 1 1 B B :: :: B : : B :: :: @ : : 1 1

1 0 b0 1 b1 C CB :: C CB : C CB B CB : C C B :: C C CB A@ : C :: A bN 1

0

D

1 f00 2. f1  f0 /= h0 B C B C 2. f2  f1 /= h1 B C :: B C: B C : B C :: @ A : 2. fN 1  fN 2 /= hN 2

Dieses lineare Gleichungssystem ist eindeutig lösbar, was zum Beispiel daraus folgt, dass die Determinante der auftretenden Matrix gleich eins ist. Ein möglicher Algorithmus zur Berechnung der Koeffizienten in dem lokalen Ansatz (L-2.1) lautet folgendermaßen:  



Setze aj D fj für j D 0; 1; : : : ; N  1 sowie b0 D f00 . f  fk Berechne bkC1 D 2 kC1  bk für k D 0; 1; : : : ; N  2. hk bkC1  bk Berechne ck D für k D 0; 1; : : : ; N  2. 2hk

86



Kapitel 2

Berechne cN 1 D

Splinefunktionen

fN  fN 1 b  N 1 . 2 h hN 1 N 1

(b) Hier gilt zusätzlich

b0

D ./

D

p00 . x0 / WD pN0 1 . xN / bN 1 C 2

D

bN 1 C 2cN 1 hN 1

fN  fN 1  2bN 1 ; hN 1

wobei die Identität . / unmittelbar aus der Darstellung (L-2.5) folgt. Daraus resultiert unmittelbar f  fN 1 b0 C bN 1 D 2 N ; hN 1 und man erhält das folgende lineare Gleichungssystem:

0

1 1 B 1 1 B :: :: B : : B @ 1 1 1 1 „ ƒ‚ DW A

1 0 b0 1 b1 C CB CB : C B C B :: C C CB A @ :: C : A bN 1 …

0

D

1 . f1  f0 /= h0 B C . f2  f1 /= h1 B C :: B C : 2B C: B C :: @ A : . fN  fN 1 /= hN 1

Eine Determinantenentwicklung der Matrix A nach der N -ten Zeile liefert

² det A D 1 C . 1 /1CN

D

0; 1

falls N gerade; sonst:

Für gerade Zahlen N ist die Interpolationsaufgabe also eindeutig lösbar, für ungerade Zahlen N hingegen nicht. Lösung zu Aufgabe 2.3. (a) Aufgrund der Annahmen s 0 . a / D f00 und s 0 . b / D fN0 ist die Bedingung (b) aus [26, Theorem 2.7] erfüllt, die Aussage des genannten Theorems liefert dann

jj f 00 jj22  jj s 00 jj22

D

jj f 00  s 00 jj22



0:

(b) Periodische Randbedingungen an die kubische Splinefunktion bedeuten

s 0 . a / D s 0 . b /;

s 00 . a / D s 00 . b /;

Daher ist [26, Theorem 2.7, Bedingung (c)] erfüllt, und die Aussage des genannten Theorems liefert dann

jj f 00 jj22  jj s 00 jj22

D

jj f 00  s 00 jj22



0:

(c) Seien s1 ; s2 2 S;3 zwei interpolierende kubische Splinefunktionen, die beide eine der drei genannten Randbedingungen erfüllen. Dann ist

s WD s1  s2 2 S;3

87

Lösungen

eine kubische Splinefunktion, die in allen vorgegebenen Knoten verschwindet, s. xj / D 0 für j D 0; 1; : : : ; N . Außerdem ist eine der beiden folgenden Randbedingungen erfüllt: (i)

s 00 . a / D s 00 . b / D 0 beziehungsweise

s 0 . a / D s 0 . b / D 0:

(ii)

In jedem der beiden genannten Fälle liefert [26, Theorem 2.7] angewandt mit f D 0 die Identität jj s 00 jj2 D 0 beziehungsweise s 00  0, so dass die kubische Splinefunktion s notwendigerweise ein Polynom vom Grad  1 ist. Außerdem besitzt s die beiden verschiedenen Nullstellen x0 D a und xN D b , so dass notwendigerweise s verschwindet, das heißt, s  0. Lösung zu Aufgabe 2.4. Mit den Setzungen

p0 . x / D . x C 1 / C . x C 1 /3 p1 . x / D 4 C . x  1 / C . x  1 /

 1  x  0;

für 3

für 0 < x  1

erhält man

p00 . x / D 1 C 3. x C 1 /2 ; p10 . x /

2

D 1 C 3. x  1 / ;

p000 . x / D 6. x C 1 /

für

p100 . x /

für 0  x  1;

D 6. x  1 /

p00 . 0 / D 4 D p10 . 0 /;

p0 . 0 / D 2 D p1 . 0 /;

 1  x  0;

p000 . 0 / D 6;

p100 . 0 / D 6;

p000 . 1 / D 0 D p100 . 1 /: Die Funktion f besitzt also alle Eigenschaften einer kubischen Splinefunktion mit natürlichen Randbedingungen bezüglich der zugehörigen Zerlegung bis auf eine Einzige: die zweite Ableitung ist im Punkt x D 0 nicht stetig. Lösung zu Aufgabe 2.5. Wir gehen von dem lokalen Ansatz

s. x / D aj C bj . x  xj / C cj . x  xj /2 C dj . x  xj /3 DW pj .x/; für x 2 Œ xj ; xj C1 ;

j D 0; 1;

aus und berechnen die Koeffizienten entsprechend der Vorgehensweise in [26, Abschnitt 2.4]. Das lineare Gleichungssystem [26, (2.12)] zur Berechnung der Momente reduziert sich hier auf die eine Gleichung

4s100 D g1 D 6. 0  2 /  6. 2  1 / D 12  6 D 18; wobei h0 D h1 D 1 berücksichtigt ist. Daraus ergibt sich 2c1 D s100 D  92 : Mit den Darstellungen (2.13) und (2.14) erhält man weiter

b0 D

 21 1 9 3 7  C0 D1 C  D ; 1 6 2 4 4

b1 D

02 1 3 1  . 0  9 / D 2 C D  ; 1 6 2 2

d0 D





a0 D 1;

 9 3  0 =3 D  ; 4 4 a1 D 2:

d1 D



0C

9 3 =3 D ; 4 4

88

Kapitel 2

Splinefunktionen

Wir erhalten damit

p1 .x/ D 1 C

7 3 x  x3; 4 4

p2 .x/ D 2 

1 9 3 . x  1 /  . x  1 /2 C . x  1 /3 : 2 4 4

Lösung zu Aufgabe 2.6. Hier gilt hj D 1 für j D 0; 1; : : : ; 4, die benachbarten Knoten haben also jeweils den Abstand eins. Das lineare Gleichungssystem [26, (2.12)] nimmt hier demnach die folgende Form an:

4s100 C s200 s100 C 4s200 C s300 s200 C 4s300 C s400 s300 C 4s400

D D D D

g1 g2 g3 g4

mit den rechten Seiten

g1 D 6. f2  f1  . f1  f0 / /

D

6. 3  . 5 / / D 12;

g2 D 6. f3  f2  . f2  f1 / /

D

6. 1  . 3 / / D 12;

g3 D 6. f4  f3  . f3  f2 / /

D

6. 1  . 1 / / D 12;

g4 D 6. f5  f4  . f4  f3 / /

D

6. 3  1 / D 12:

Lösung zu Aufgabe 2.7. Es ist jj f .4/ jj1 D 1, und [26, Theorem 2.16] liefert mit der Konstanten C D 3=4 die Fehlerabschätzung js. x /  f . x /j  h4 für x 2 Œ 0; 1 . Der Fehler fällt also sicher kleiner als 1012 aus, wenn h4 D N 4 < 1012 beziehungsweise 1012=4 D 103 D 1000 < N gilt. Lösung zu Aufgabe 2.8. Hier gilt

f 00 . x / D L2 sin. Lx /;

f .4/ . x / D L4 sin. Lx /

und damit max jf 00 . x /j D L2 ;

x2Π0; 

max jf .4/ . x /j D L4 :

x2Π0; 

Für die interpolierende lineare Splinefunktion s zur gegebenen Zerlegung des vorgegebenen Intervalls ergibt sich daraus und nach [26, Theorem 2.4] die Fehlerabschätzung 2 1  L2  2 : max js. x /  f . x /j  8 N x2Œ 0;  Für die interpolierende kubische Splinefunktion s zur gegebenen Zerlegung des vorgegebenen Intervalls und mit natürlichen Randbedingungen ergibt sich nach [26, Theorem 2.16] die Fehlerabschätzung max js. x /  f . x /j  .   L /4 

x2Π0; 

1 : N4

Lösung zu Aufgabe 2.9. Auf jedem Teilintervall . xj ; xj C1 / ist die Ableitung s 0 eine konstante Funktion mit

s 0. x / D

s . xj C1 /  s . xj / hj

für xj < x < xj C1

mit hj WD xj C1  xj : (L-2.6)

89

Lösungen

Es wird nun für f eine möglichst ähnliche Darstellung hergeleitet. Hierzu werden zwei Taylorentwicklungen der Funktion f in dem Punkt x 2 . xj ; xj C1 / vorgenommen:

f . xj C1 / D f . x / C . xj C1  x /f 0 . x / C f . xj / D f . x / C . xj  x /f 0 . x / C

 x /2 00 f . ˛j /; 2

. xj C1

. xj

 x /2 00 f . ˇj /; 2

mit gewissen Zwischenstellen ˛j ; ˇj 2 Œ xj ; xj C1 . Subtraktion der letzten beiden Gleichungen und eine anschließende Division durch hj liefert

f 0. x /

D

. xj C1  x /2 00 . x  xj /2 00 f . xj C1 /  f . xj /  f . ˛j /  f . ˇj /: hj 2hj 2hj (L-2.7)

Die Subtraktion “(L-2.6)–(L-2.7)“ ergibt dann . x  xj /2 00  x /2 00 f . ˛j / C f . ˇj / 2hj 2hj

. xj C1

s 0. x /  f 0. x / D

(L-2.8)

unter Berücksichtigung der Identitäten s. xj / D f . xj / und s. xj C1 / D f . xj C1 /. Aus der Darstellung (L-2.8) erhält man dann die geforderte Abschätzung:

js 0 . x /  f 0 . x /j 

 1

. xj C1  x /2 C . x  xj /2 jj f 00 jj1 2hj „ ƒ‚ …



1 h jj f 00 jj1 : 2 j

 h2 j

Lösung zu Aufgabe 2.10. Die Splinekurve ist in Bild 2.1 dargestellt. Die neun zu interpolierenden Punkte sind dabei mit den Symbolen “C “ gekennzeichnet.

6

C

.......................... ....... ........ ....... ..... ....... ..... ........ .... . . ......... .. . .......... . . ............ ... . ............... . ................... ... . ................ . . . ... . . . . . ... ... ... .. . . .. .. ... ... ... . .. .. .. ............................ ..... ............................... ... .................... .............. ..... ............. ....... .............. ................ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................

C

1=2

C

C

C 0

C

0

C

1=2

C

C -

1

Bild 2.1: Darstellung der interpolierenden Splinekurve

90

3

Diskrete Fouriertransformation – Lösungen

Lösung zu Aufgabe 3.1. Man überlegt sich zunächst die beiden folgenden Aussagen: (i) Jedes reelle trigonometrische Polynom von der Form (3.1) lässt sich in der Form N=2 X

T .x / D

ck e ikx D

kDN=2

 X N

 ck.N=2/ e ikx e i.N=2/x

für x 2 R

(L-3.1)

kD0

schreiben mit komplexen Koeffizienten ck.N=2/ für k D 0; 1; : : : ; N . (ii) Umgekehrt lässt sich jede Funktion von der Form (L-3.1) als ein reelles trigonometrisches Polynom von der Form (3.1) darstellen. Wir beginnen mit dem Nachweis der Aussage (ii). Ausgehend von der Darstellung (L-3.1) erhält man

T .x / D

N=2 X

ck . cos kx C i sin kx /

kDN=2

D c0 C

N=2 X



. ck C ck / cos kx C i. ck  ck / sin kx



kD1

D

N=2  X A0 C Ak cos kx C Bk sin kx 2

(L-3.2)

kD1

mit den Koeffizienten

A0 D 2c0 ;

DW S ‚ …„ ƒ      1 1 ck Ak D i i ck Bk

für k D 1; 2; : : : ; N=2:

(L-3.3)

Die Darstellung (L-3.2) stimmt mit derjenigen in (3.1) überein, was den Nachweis der Aussage (ii) komplettiert. Für den Nachweis der Aussage (i) stellt man als Erstes fest, dass die in (L-3.3) auftretende Matrix S wegen det S D 2i ¤ 0 regulär ist. Damit existieren zu vorgegebenen Koeffizienten Ak ; Bk ( für alle in Frage kommenden Indizes k ) Koeffizienten ck.N=2/ für k D 0; 1; : : : ; N , die den Bedingungen in (L-3.3) genügen. Ausgehend von der Darstellung in (L-3.2) führt man die vorgestellten Umformungen in der umgekehrten Richtung aus und gelangt so zu der Darstellung (L-3.1). Damit sind die Aussagen (i) und (ii) über die alternative Darstellung der reellen trigonometrischen Polynome abgeschlossen, und im Folgenden wird die Darstellung (L-3.1) verwendet. (a) Es ist klar, dass das vorgegebene Interpolationsproblem äquivalent zu der Forderung

p. eixj /

D

ei.N=2/xj fj

T . x / WD p. x /e

i.N=2/x

für j D 0; 1; : : : ; N

mit

p 2 …N (L-3.4)

91

Lösungen

ist. Es ist bereits bekannt, dass dieses Interpolationsproblem (L-3.4) eindeutig lösbar ist und damit auch das in dieser Aufgabe betrachtete Interpolationsproblem. (b) In der vorliegenden Situation gilt

fj

D fj D T . xj /

N=2 X

D

ck e ikxj

N=2 X

D

kDN=2

ck e ikxj

kDN=2

für j D 0; 1; : : : ; N . Wegen der Eindeutigkeit der Lösung des vorgegebenen Interpolationsproblems gilt notwendigerweise

ck D ck



für

N 2

N ; 2

 k 

und damit A0 D 2c0 2 R beziehungsweise

Ak D ck C ck D ck C ck D 2 Re ck 2 R ; Bk D i. ck  ck / D 2i2 Im ck 2 R

für k D 1; 2; : : : ; N=2:

Lösung zu Aufgabe 3.2. (a) Im Folgenden werden die Räume

Un D span ¹ 1; sin x; cos x; : : : ; sin nx; cos nx º

für n D 1; 2; : : :

genauer betrachtet. (i) Für Zahlen b; c 2 Œ 0; 2  betrachte man die Funktion

w. x / D sin Es gilt w 2 U1 , denn

w. x / D D

1 2 1 2

° cos cos

x b 2

bc 2

b c 2

 sin

xc



 cos x 



1 2

bCc 2

b Cc 

cos

für x 2 R :

2

2

±

cos x 

1 2

sin

b Cc 2

sin x:

(ii) Wir sind fertig, wenn für beliebige Indizes n; m  1 die Implikation

g1 2 Un ; g2 2 Um

H)

g1  g2 2 UnCm

(L-3.5)

nachgewiesen ist. Dieser Nachweis wird im Folgenden geführt. Für zwei Funktionen g1 2 Un und g2 2 Um existieren Darstellungen .1/

g1 . x / D

a0 2

g2 . x / D

a0 2

C

.2/

C

n X



kD1 m  X

 ak.1/ cos kx C bk.1/ sin kx ;

a`.2/ cos `x C b`.2/ sin `x



`D1 .r/

.r/

mit gewissen reellen Koeffizienten as und bs für r D 1; 2 und jeweils alle in Frage kommenden Indizes s . Damit gelten auch die Darstellungen

g1 . x / D

n X kDn

ck.1/ e ikx

DW

r1 . e ix /;

g2 . x / D

m X `Dm

c`.2/ e i`x

DW

r 2 . e ix /

92

Kapitel 3 Diskrete Fouriertransformation

mit

r1 . z / D

n X

ck.1/ z k ;

m X

r2 . z / D

kDn

c`.2/ z `

`Dm

und den Koeffizienten ./ cs WD cs./ WD

1 2



 as./  ibs./ ;

c0./ WD

./

a0 2

für  D 1; 2 und jeweils alle in Frage kommenden Indizes s . Es gilt dann

r. z / WD r1 . z /  r2 . z /

D

n X

m X

ck.1/ c`.2/ z kC`

kDn `Dm

mit den Koeffizienten

X

c WD

nCm X

D

c z

D. nCm /

ck.1/ c`.2/ :

kC`D

Damit gilt auch X

c D

ck.1/ c`.2/ D

kC. ` /D

X

.1/ .2/ ck c`

D

kC`D

X

ck.1/ c`.2/

D

c

kC`D

und somit nCm X

. g1 g2 /. x / D r. eix / D

c e i x D

nCm  X  d0 C d cos x C e sin x 2

D1

D. nCm /

mit den Koeffizienten

d D 2 Re c ;

e D 2 Im c

für   1;

d0 D 2c0 :

Damit ist die Implikation (L-3.5) und somit auch Teil (a) der Aufgabe nachgewiesen. Teil (b) folgt unmittelbar aus der Eigenschaft tk . xj / D 0 für alle Indizes j; k mit j ¤ k. Lösung zu Aufgabe 3.3. Mit den Notationen

v .k/ WD



1; ! k ; ! 2k ; : : : ; ! .N 1/k

>

2 CN

für k D 0; 1; : : : ; N  1

mit ! D e i2=N gilt

. D2 v .k/ /j

./

D

ei.j 1/k2=N C 2e ij k2=N  e i.j C1/k2=N    eik2=N C 2  e ik2=N e ij k2=N D

D

4 sin

D



2  2 cos

 k2  N

vj.k/

 k  .k/ vj ; N

wobei die Identität . / auch für die Situationen j D 0 beziehungsweise j D N  1 richtig ist, denn es gilt

eiN k2=N D 1 D v0.k/ ;

.k/ eik2=N D ei.N 1/k2=N D vN 1 :

93

Lösungen

Damit gilt also

D2 v .k/ D k v .k/

für k D 0; 1; : : : ; N  1:

Weiter gilt

F 1 ek D v .k/ ;

Fv .k/ D ek

für k D 0; 1; : : : ; N  1;

wobei ek 2 R N den k -ten Einheitsvektor bezeichnet. Daraus erhält man

FD2 F 1 ek D FD2 v .k/ D F. k v .k/ / D k Fv .k/ D k ek

für k D 0; 1; : : : ; N  1:

Dies ist gleichbedeutend mit FD2 F 1 D M beziehungsweise mit D2 D F 1 M F . Damit gilt aber auch für  2 C

D2  I D F 1 . M  I /F: Damit sind die beiden Aussagen der vorliegenden Aufgabe nachgewiesen. Lösung zu Aufgabe 3.4. (a) Zwischen dem transformierten Datensatz dQ WD . dQ0 ; dQ1 ; : : : ; dQN 1 /> 2 C N und der diskreten Fouriertransformierten d WD . d0 ; d1 ; : : : ; dN 1 /> 2 CN von f WD . f0 ; f1 ; : : : ; fN 1 /> 2 CN besteht wegen

dQk D k



 N 1 1 X fj e ij k2=N eik=N N j D0

„

ƒ‚ D dk

für k D 0; 1; : : : ; N  1

…

der Zusammenhang

dQ D Dd

D WD diag. k e ik=N W k D 0; 1; : : : ; N  1 /:

mit

Mit der diskreten Fourier-Rücktransformation

0 @

f0 pp p

1 A

0 D

V@

fN 1

d0 pp p

1 A

mit

dN 1

V WD . ! kj /k;j D0;::: ;N 1 2 CN N ; ! WD ei2=N ;

erhält man schließlich

f D Vd D VD 1 dQ beziehungsweise in Komponentenschreibweise

fj D

N 1 X kD0

e ik=N

dQk ij k2=N e k

D

N 1 X kD0

dQk i.2j C1/k=N e k

für j D 0; 1; : : : ; N  1:

94

Kapitel 3 Diskrete Fouriertransformation

(b) Wegen der Symmetriebedingung an den vorgegebenen Datensatz erhält man

dQk

D ./

D

D

k N k N

N=21 X °

 ± fj e i.2j C1/k=N C ei.2N 22j C1/k=N

j D0 N=21 X °

fj



j D0

C e i.2j C1/k=N „ ƒ‚ … D 2 cos. . 2j C 1 /k=N / ......

±

(L-3.6)

n1 k X fj cos. . 2j C 1 /k=2n / n

(L-3.7)

j D0

für k D 0; 1; : : : ; N  1, wobei in . / die Identität

e i.2N 22j C1/k=N

D

ei.2j C1/k=N  . eiN k2=N /1 „ ƒ‚ … D1

verwendet wird. Die gerade gewonnene Darstellung für den transformierten Datensatz bedeutet insbesondere

dQk D dk

für k D 0; 1; : : : ; n  1;

und außerdem erhält man

± n1 ° k X f j cos. . 2j C 1 /. N  k /=N / n

dQN k D

j D0

n1 °  ± k X fj cos . 2j C 1 /  . 2j C 1 /k=N n

D

./

D

dk

j D0

für k D 1; 2; : : : ; n, wobei in . / Additionstheoreme der Form cos. x C 2 / D cos x und cos. x C  / D  cos x eingehen. Man beachte, dass diese Symmetrieeigenschaft insbesondere

dQn D 0

(L-3.8)

bedeutet. Nun lässt sich mit Hilfe von Teil (a) die gesuchte Darstellung für den Datensatz f0 ; f1 ; : : : ; fn1 herleiten:

fj

D

N=21 ± X ° dk  i.2j C1/k=N d0 C 2  e i.2j C1/.N k/=N e 0 k kD0

N=21 X °

±  e i.2j C1/k=N C j 2 C  „ ƒ‚ … kD0 D ei.2j C1/k=N n1  . 2j C 1 /k  X dk C 2 cos für j D 0; 1; : : : ; n  1:

D

d0 C 2 0

D

d0 0

kD0

k

dk  k

......

2n

95

Lösungen

Lösung zu Aufgabe 3.5. (a) Die Lösung erhält man unmittelbar mit Teil (b) der Aufgabe 3.4. (b) Es gilt Tk 2 …k für k D 1; 2; : : : ; n  1 und damit offensichtlich P 2 …n1 . Die Interpolationseigenschaft erhält man wiederum unmittelbar mit Teil (b) der Aufgabe 3.4: für j D 0; 1; : : : ; n  1 gilt

 . 2j C 1 /  .n/ Tk . tj.n/ C1 / D cos. k arccos. tj C1 / / D cos k

für k D 1; 2; : : : ; n  1:

2n

Lösung zu Aufgabe 3.6. Es wird zunächst die Richtigkeit der Identität (3.7) nachgewiesen. Zunächst überlegt man sich mit der Notation

² ak D

d0 =2; falls k D 0; dk sonst

mittels vollständiger Induktion die Richtigkeit der Identität m2 X

P. x / D

kD0

ak Tk . x / C . am1  bmC1 /Tm1 . x / C bm Tm . x /

(L-3.9)

für m D n  1; n  2; : : : ; 1:

Die Darstellung (L-3.9) ist wegen bn D 0 und bn1 D dn1 richtig für m D n  1. Wir nehmen nun an, dass sie für ein m  2 richtig ist. Man berechnet dann Folgendes:

P. x / D

m2 X kD0

D

m3 X kD0

ak Tk . x / C . am1  bmC1 /Tm1. x / C bm . 2 x Tm1 . x /  Tm2 . x / / ƒ‚ … „ ./

D Tm . x /

ak Tk . x / C . am2  bm /Tm2 . x / C . am1  bmC1 C 2xbm /Tm1 . x /; „ ƒ‚ … ./

D bm1

wobei die Identität . / gerade die Rekursionsformel für Tschebyscheff-Polynome der ersten Art darstellt, und Identität . / resultiert unmittelbar aus der Definition des Koeffizienten bm1 . Damit ist die Darstellung (L-3.9) für m D n  1; n  2; : : : ; 1 nachgewiesen. Für m D 1 liefert diese Darstellung (L-3.9) Folgendes:

P. x / D D

 d0

  b2 T0 . x / C b1 T1 . x / „ƒ‚… „ƒ‚… Dx D 1 b0  b2 ; 2

./

D

d0  b2 C 2

1 . b0 2

C b2  d 0 /

2

wobei die Identität . / aus der Definition für b0 folgt. Die Identität (3.7) ist damit nachgewiesen. Es werden nun einige numerische Resultate vorgestellt. Es werden die Fehler lediglich an ausgewählten Stellen und für einige der erforderlichen Werte von n ( dies entspricht hier der Anzahl der Stützstellen ) angegeben:

96

Kapitel 3 Diskrete Fouriertransformation

f . x / D x 1=3 , n D 4 x Absoluter Fehler in x 0:9 0.048 0:6 0.073 0:3 0.020 0.0 0.3 0.6 0.9

f . x / D x 1=3 , n D 64 x Absoluter Fehler in x 0:9 0.000250 0:6 0.000072 0:3 0.000035

0.043 0.012 0.024 0.006

0.0 0.3 0.6 0.9

0.000034 0.000019 0.000018 0.000013

f . x / D x 1=3 , n D 1024 x Absoluter Fehler in x 0:9 0:187 106 0:6 0:033 106 0:3 0:015 106 0.0 0:019 106 0.3 0:008 106 0.6 0:008 106 0.9 0:010 106

f . x / D ln. x /, n D 4 x Absoluter Fehler in x 0:9 0.139 0:6 0.187 0:3 0.048

f . x / D ln. x /, n D 64 x Absoluter Fehler in x 0:9 0.00386 0:6 0.00105 0:3 0.00051

f . x / D ln. x /, n D 1024 x Absoluter Fehler in x 0:9 0:175 104 0:6 0:031 104 0:3 0:014 104 0.0 0:017 104 0.3 0:007 104 0.6 0:008 104 0.9 0:009 104

0.0 0.3 0.6 0.9

0.0 0.3 0.6 0.9

0.00045 0.00027 0.00026 0.00020

0.103 0.028 0.057 0.013

Lösung zu Aufgabe 3.7. (i) Zunächst wird die Identität q2 D I nachgewiesen, wobei hier I die identische

Abbildung auf der Menge Mq D ¹ 0; 1; : : : ; 2q  1 º bezeichnet. Für k D Mq beliebig gilt nämlich

q . k / D

q1 X

c` 2`

mit

Pq1 `D0

b` 2` 2

c` D bq1`

`D0

und somit

q2 . k / D q . q . k / / D

q1 X

cq1` 2` D

`D0

q1 X

b` 2`

`D0

wegen cq1` D bq1.q1`/ D b` . Pr1 (ii) Für jede Zahl k D `D0 b` 2` 2 Mr gilt

2k D

r1 X `D0

b` 2`C1 D

r X

b`1 2` 2 MrC1 „ƒ‚… `D1 DW c`

(L-3.10)

97

Lösungen

und somit ( mit der Setzung c0 D 0 )

rC1 . 2k / D

r X

cr` 2` D

`D0

r1 X

br1` 2` D r . k /:

`D0

Pr

` `D0 c` 2

Ausgehend von der Darstellung (L-3.10) erhält man 2k C 1 D Setzung c0 D 1 ) und dann

rC1 . 2k C 1 / D

r X

cr` 2` D 2r C

`D0

r1 X

( mit der

br1` 2` :

„`D0 ƒ‚

…

r . k /

Lösung zu Aufgabe 3.8. Für Teil (a) hat man nur einzusetzen:

p. xj1 ; yj2 / D

NX 1 1 NX 2 1

Dj1 =N1

‚…„ƒ

Dj2 =N2

‚…„ƒ dk1 ;k2 e ik1 2 xj1 =L1 e ik2 2 yj2 =L2 ;

k1 D0 k2 D0

und die Lösung folgt nun unmittelbar aus der Definition der zweidimensionalen diskreten Fourier-Rücktransformation. Im Fall (b) ergibt eine Umindizierung Folgendes:

r. x; y / D

NX 1 1 NX 2 1

dk1 N1 =2;k2 N2 =2 e i.k1 N1 =2/2x=L1 e i.k2 N2 =2/2y=L2

k1 D0 k2 D0

‚ D eiN1 x=L1 e iN2 x=L2

NX 1 1 NX 2 1

DW p.x/ …„

ƒ

dk1 N1 =2;k2 N2 =2 e ik1 2x=L1 e ik2 2y=L2

k1 D0 k2 D0

mit einem trigonometrischen Polynom p , das von der Form aus Teil (a) zu dieser Aufgabe ist. Aus eben diesem Teil (a) sowie den Darstellungen

e iN1 xj1 =L1 D eij1  D . 1 /j1 ;

e iN2 yj2 =L2 D e ij2  D . 1 /j2 ;

ergibt sich nun die Lösung von Teil (b). Lösung zu Aufgabe 3.9. Die numerischen Ergebnisse ( nacheinander störungsfreie und fehlerbehaftete Funktion sowie die Rekonstruktion ) sehen so aus:

98

Kapitel 3 Diskrete Fouriertransformation

1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 5 10 15 20 25 30

1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 5 10 15 20 25 30

1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 5 10 15 20 25 30

99

4

Lineare Gleichungssysteme – Lösungen

Lösung zu Aufgabe 4.1. Ohne Pivotsuche ergeben sich nach dem ersten und einzigen Eliminationsschritt die folgende Matrix und die folgende rechte Seite:



  4    4 104 10 1 1 10 1 D ; D 0 1  104 0 9999 0 104       1 1 1 D ; D 104 2 2  104

wobei jeweils im letzten Schritt gerundet worden ist. Für die nach dem Runden gewonnene Näherungslösung gilt damit x2 D 1; 104 x1 C 1 D 1 und somit x1 D 0. Bei Anwendung des Gauß-Algorithmus mit Pivotsuche sind ein Zeilentausch sowie ein Eliminationsschritt erforderlich. Die Matrix- bzw. Vektoroperationen sehen hier konkret so aus:



 1 1 104 1   2 H) 1

     1 1 1 1 1 1 D D ; 0 0:9999 0 1 0 1  104       2 2 2 D D ; 1  2  104 0:9998 1 

H)

wobei jeweils im letzten Schritt gerundet worden ist. Für die nach dem Runden gewonnene Näherungslösung x D . x1 ; x2 /> gilt damit x2 D 1; x1 D 1. Ein Vergleich zeigt, dass dies eine vernünftige Näherung an die exakte Lösung

x2 D

9998 ; 9999

x1 D

10000 ; 9999

darstellt. Dagegen ist die Differenz zwischen der durch den Gauß-Algorithmus ohne Pivotsuche gewonnenen Näherung und der exakten Lösung erheblich. Lösung zu Aufgabe 4.2. Ein vereinfachter Gauß-Algorithmus für Tridiagonalmatrizen ist in Schema 4.1 angegeben. for j D 1; 2; : : : ; N  1 `j D aj C1;j = ajj ;

bj C1 D bj C1  `j bj ; aj C1;j C1 D aj C1;j C1  `j aj;j C1 I end Schema 4.1: Gauß-Algorithmus für Tridiagonalmatrizen Dabei fallen 5. N  1 / D 5N C O. 1 / arithmetische Operationen an, was man leicht nachrechnet.

100

Kapitel 4

Lineare Gleichungssysteme

Lösung zu Aufgabe 4.3. Sei 1  s  N  1 fest gewählt. Ausgehend von der Annahme, dass die Matrix A.s/ die gleiche Bandstruktur wie die Ausgangsmatrix A besitzt ( für den Fall s D 1 ist dies sicher richtig ) erhält man .s/ ajs

`js D

.s/ ass

D 0

.s/ ask D 0

für j > s C p;

für k > s C q:

Für die auftretenden Indizes j und k gelten damit die folgenden elementaren Implikationen:

k > j C q;

j sC1

k < j  p;

.s/ ask D 0;

H)

k sC1

H)

`js D 0;

so dass sich die Bandstruktur von der Matrix A.s/ auf die Matrix A.sC1/ überträgt. Ein entsprechender Gauß-Algorithmus für Bandmatrizen ist in Schema 4.2 angegeben. for s D 1; 2; : : : ; N  1 for j D s C 1; s C 2; : : : ; s C p `js D ajs = ass ; bj D bj  `js bs ; for k D s C 1; : : : ; min¹ s C q; N º

aj k D aj k  `js ask I end end end Schema 4.2: Gauß-Algorithmus für Bandmatrizen Die Anzahl der dabei anfallenden arithmetischen Operationen lässt sich abschätzen durch N 1 ° X sD1

sCp X j DsC1



1C2C

sCq X

2

±

D

N 1 ° X sD1

kDsC1

sCp X

± . 3 C 2q /

D p. 3 C 2q /. N  1 /:

j DsC1

Lösung zu Aufgabe 4.4. (a) Hier wird vollständige Induktion bezüglich s angewandt. Nach Annahme ist die Aussage richtig für die Matrix B .1/ D A. Im Folgenden wird nun angenommen, dass sie für ein 1  s  N  1 richtig ist. Für die Einträge der Matrix

0 B B B .sC1/ D B @

.sC1/ .sC1/    asC1;N asC1;sC1

pp p

.sC1/ aN;sC1

pp p



.sC1/ aN N

1 C C  C 2 R .N s/ .N s/ A

gilt dann mit den Koeffizienten .s/ ı .s/ `js D ajs ass ;

j D s C 1; s C 2; : : : ; N

101

Lösungen

Folgendes:

`js ‚…„ƒ ./

.sC1/ .s/ .s/ akj D akj  `ks asj

D aj.sC1/ ; k

.s/ ajs

aj.s/  k

D

.s/

ass

.s/ ask

j; k D s C 1; s C 2; : : : ; N;

wobei in der Identität . / an drei Stellen die Symmetrie der Matrix B .s/ eingeht. (b) (i) Wir benötigen das folgende Resultat: Lemma. Ist die Matrix

0 A D @

a

b>

b

C

1 A 2 R N N

mit C 2 R .N 1/.N 1/ sowie b 2 R N 1 und 0 ¤ a 2 R positiv definit ( das heißt, x>Ax > 0 für alle 0 ¤ x 2 R N ), so ist auch die Matrix

S D C 

1 > bb 2 R .N 1/.N 1/ a

positiv definit. Beweis. Sei 0 ¤ x 2 R N 1 . Dann gilt

x>Sx

D

1

x>C x  a . x>b /b >x

1

x>C x  a . b>x /2 :

D

(L-4.1)

Andererseits gilt

0  > a d @ 0 < x b

b> C

1 0   ad C b>x d A A D . d j x> / @ x db C C x 1

D ad 2 C 2db>x C x>C x

für d 2 R :

Daher folgt aus der Identität (L-4.1) die Abschätzung x >Sx > 0, wenn in der vorherigen Rechnung die Zahl d 2 R so gewählt werden kann, dass

ad 2 C 2db>x beziehungsweise

1

 a . b >x /2

D

 >   > 2 b x b x d2 C 2 a d C a

D

0

gilt. Diese quadratische Gleichung besitzt eine Lösung:

d1=2

b>x D  a

r ˙

b>x a

2

 

b>x a

2

D

b>x

 a :

Somit die Matrix S tatsächlich positiv definit und der Beweis des Lemmas damit komplettiert.

102

Kapitel 4

Lineare Gleichungssysteme

(ii) Mithilfe des in Teil (i) angegebenen Lemmas lässt sich aus der positiven Definitheit der Matrix B .s/ die der Matrix B .sC1/ schlussfolgern: Für B .s/ geschrieben in der Form

0 @

.s/ ass

b>

b

Cs

1 A

.s/

.s/

b D . asC1;s ; : : : ; aN s />;

mit

erhält man

B .sC1/ D Cs 

1  .s/ ass

.s/ .s/ ask ajs

 sC1j;kN

D

Cs 

1 .s/ ass

bb>:

Dies komplettiert den Beweis der Aussage (b) der vorliegenden Aufgabe, wenn man .s/ .s/ e1 > 0 gilt und der Schritt B .s/ ! B .sC1/ somit noch bedenkt, dass ass D e> 1B durchführbar ist. Hier bezeichnet e1 D . 1; 0; : : : ; 0 /> 2 R N sC1 den ersten Einheitsvektor. (c) Ein Gauß-Algorithmus für symmetrische Matrizen ist in Schema 4.3 angegeben. for s D 1; 2; : : : ; N  1 for j D s C 1; s C 2; : : : ; N `js D ajs = ass ; bj D bj  `js bs ; for k D s C 1; : : : ; j

aj k D aj k  `js aks I end end end Schema 4.3: Gauß-Algorithmus für symmetrische Matrizen Die Zahl der anfallenden arithmetischen Operationen ist hier N 1 X



N X

3 C

sD1 j DsC1

D

N 1

X

j X

2



D

3

3. N  s / C 2

N .N  1/ C 2

N X

N s X

m



D



3

mD1 N 1 X

3 C 2. j  s /



N 1 X

` C 2

N 1 X sD1

`D1

.N

 s /. N  s C 1 / 2

m. m C 1 /

mD1

3 N. N  1 / C 2 „ ƒ‚ …

D O. N 2 /

N 1 X

sD1 j DsC1

kDsC1

sD1

D

D

N 1 X

m2

mD1

„ ƒ‚ …

2N 1 / D . N 1 /N. 6

C

N 1 X mD1

m

D

1 3 N 3

C O. N 2 /:

„ ƒ‚ … D O. N 2 /

Lösung zu Aufgabe 4.5. Es wird mit vollständiger Induktion über s D 1; 2; : : : ; N  1 nachgewiesen, dass die Matrix B .s/ diagonaldominant und regulär ist, wobei hier die Notation (4.1) aus Aufgabe 4.4 verwendet wird. Für die Ausgangsmatrix B .1/ D A ist

103

Lösungen

dies nach Voraussetzung richtig, und nun sei für ein 1  s  N  1 die Matrix B .s/ .s/ als diagonaldominant und regulär angenommen. Im Fall ass D 0 würden aufgrund .s/ der Diagonaldominanz der Matrix B alle Einträge in deren s -ten Zeile verschwin.s/ den, das heißt, ask D 0 für k D s; s C 1; : : : ; N . Dies steht im Widerspruch zur .s/

angenommenen Regularität der Matrix B .s/ , so dass notwendigerweise doch ass ¤ 0 gilt. Somit ist der Gauß-Eliminationsschritt auf B .s/ anwendbar und liefert die Matrix B .sC1/ D . aj.sC1/ /sC1j;kN 2 R .N s/.N s/ mit k



.sC1/ .sC1/ ; : : : ; ajN aj;sC1

mit den Faktoren



D



.s/ .s/ ; : : : ; ajN aj;sC1

.s/ ı .s/ `js D ajs ass ;



 .s/ .s/  ; : : : ; asN  `js as;sC1 ; j D s C 1; s C 2; : : : ; N;

j D s C 1; s C 2; : : : ; N:

Man erhält nun die Diagonaldominanz der Matrix B .sC1/ : für j D s C 1; s C 2; : : : ; N gilt N X

.sC1/

jaj k

j 

kDsC1 k¤j

N X kDsC1 k¤j



N X

.s/

jaj k j C j`js j

.s/ jajj j

.s/

jask j

kDsC1 k¤j



.s/ jajs j

C

.s/ j jajs .s/ jass j

.s/ .s/ D jajj j  j`js j jasj j



.s/ .s/ j  jasj j jass



.sC1/ jajj j:

Es ist außerdem so, dass die auftretenden Zeilenoperationen den Wert einer Determinante nicht ändern. Ausgehend von der Regularität der Matrix B .s/ erhält man daraus Folgendes:

0

B B 0 ¤ det. B .s/ / D det B @

.s/ ass 0 :: :

.s/ .s/ as;sC1 ; : : : ; asN

B .sC1/

1

C C ./ .s/ det. B .sC1/ /; C D ass A „ƒ‚… ¤0

0

wobei die Identität . / aus einer Determinantenentwicklung nach der ersten Spalte resultiert. Dies bedeutet 0 ¤ det. B .sC1/ / und damit die nachzuweisende Regularität der Matrix B .sC1/ . Der Induktionsschritt “s ! s C 1 “ ist damit abgeschlossen. Lösung zu Aufgabe 4.6. (a) Mit der zweiten Identität aus [26, Theorem 4.10] angewandt mit den Vektoren

aj D e 1 .j / für j D 1; 2; : : : ; N erhält man 0 1 0 @ e 1 .1/

: : : e 1 .N / A P D @ a.1/

1

0

1

: : : a.N / A D @ e1 : : : eN A D I;

wobei a.j / D ej für j D 1; 2; : : : ; N berücksichtigt ist. ( Die Identität k D . j / bedeutet  1 . k / D j und damit a.j / D ak D ej . )

104

Kapitel 4

Lineare Gleichungssysteme

(b) Aus [26, Lemma 4.9] und Teil (a) dieser Aufgabe folgt

0 P>

D

1

@ e 1 .1/

: : : e 1 .N / A

D

P 1 :

Lösung zu Aufgabe 4.7. Im Folgenden sind die numerischen Resultate des GaußAlgorithmus angegeben. Es zeigt sich, das für das vorliegende Problem auf eine Pivotsuche nicht verzichtet werden kann. Es liefern allerdings Spalten- und Totalpivotsuche dieselben Ergebnisse. ohne Pivotisierung x1 = 1.0000 x2 = 1.0000

:: :

:: :

:: :

x11 x12 x13 x14 x15 x16 :: : x19 x20

= = = = = =

1.0000 0.9998 1.0010 1.0156 1.0156 0

:: :

:: :

= =

0 1

mit Spaltenpivotsuche x1 = 1.0000 x2 = 1.0000

:: :

:: :

:: :

mit Totalpivotsuche x1 = 1.0000 x2 = 1.0000

:: :

:: :

:: :

x16 x17 x18 x19 x20

= = = = =

1.0000 0.9997 0.9917 0.9091 1.0000

x16 x17 x18 x19 x20

= = = = =

1.0000 0.9997 0.9917 0.9091 1.0000

Lösung zu Aufgabe 4.8. (H : Diese Richtung der Aussage wird mittels vollständiger Induktion über N geführt. Für N D 1 ist eine Matrix A D . ˛ / 2 R 11 eine Zahl ˛ 2 R. Die Tatsache, dass alle Hauptuntermatrizen regulär sind, ist hier gleichbedeutend mit der Tatsache, dass A eine reguläre Matrix ist beziehungsweise ˛ ¤ 0 gilt. Die LR-Faktorisierung mit einer regulären Matrix R ist dann von der Form

˛ D 1  r;

mit

r ¤ 0:

Wir nehmen nun an, dass die Behauptung richtig ist für N  1 und betrachten dann eine Matrix A 2 R N N , für die alle in der Aufgabenstellung betrachteten Hauptuntermatrizen regulär sind. Die Matrix A lässt sich in der Form

0 B B B B B @

1 AN 1 c>

C b C C C C A aN N

partitionieren mit Vektoren b 2 R N 1 und c 2 R N 1 und einer Matrix AN 1 2 R . N 1 /. N 1 / . Nach Induktionsvoraussetzung gibt es eine skalierte untere Dreiecksmatrix LN 1 D . `j k / 2 R .N 1/.N 1/ mit `jj D 1 für j D 1; 2; : : : ; N  1 und eine

105

Lösungen

reguläre obere Dreiecksmatrix RN 1 D . rj k / 2 R .N 1/.N 1/ mit der folgenden Eigenschaft:

AN 1 D LN 1 RN 1 : Die beiden gesuchten Matrizen L 2 R N N und R 2 R N N setzt man nun in der Form

0

0

1

B B B L D B B @

LN 1 x>

1

B B B R D B B @

C 0C C C; C A 1

C yC C C; C A ˛

RN 1 0

an mit dem Ziel, Vektoren x 2 R N 1 und y 2 R N 1 und eine Zahl ˛ > 0 so zu bestimmen, dass

0 B B B A D B B @

1

B C B b C C Š B C D B B C @ A

AN 1 c>

10

0

CB B 0C CB CB CB A@ 1

LN 1 x>

aN N

1 RN 1 0

C yC C C (L-4.2) C A ˛

gilt. Gleichheit in (L-4.2) liegt genau dann vor, wenn

R> N 1 x D c;

LN 1 y D b; >

x y C ˛ D aN N

(L-4.3) (L-4.4)

gilt. Die beiden in (L-4.3) angegebenen linearen Gleichungssysteme besitzen sicher > 1 ( eindeutige ) Lösungsvektoren y D L1 N 1 b und x D . RN 1 / c , da die Matrix LN 1 2 .N 1/.N 1/ R als skalierte untere Dreiecksmatrix sowieso regulär und die obere Dreiecksmatrix RN 1 2 R .N 1/.N 1/ nach Annahme regulär ist. Auch die Gleichung (L4.4) besitzt eine Lösung ˛ 2 R, mit der dann die Faktorisierung (L-4.2) gültig ist. Wir zeigen abschließend ˛ ¤ 0. Nach Annahme gilt

0

B B det. A / D det B B @

1

LN 1 x>

0

B C B 0C C det B B C @ A 1

1

RN 1 0

C yC C D det. RN 1 / ˛; C A ˛

und wegen det. A / ¤ 0 und det. RN 1 / ¤ 0 folgt schließlich wie behauptet ˛ ¤ 0. H): Nach Annahme existiert für die Matrix A 2 R N N eine Faktorisierung von der Form

1 10 r11 r12 p p p rN N 1 CB B ppp C C CB B `21 1 r22 CB B p pp C pp pp pp B C B pp p p C p p A A@ @ `N1 p p p `N;N 1 1 rN N 0

A

D

(L-4.5)

106

Kapitel 4

Lineare Gleichungssysteme

beziehungsweise in Komponentenschreibweise min¹j;kº

aj k D

X

für j; k D 1; 2; : : : ; N:

`js rsk

(L-4.6)

sD1

Die Gleichungen in (L-4.6) für die Indizes j; k D 1; 2; : : : ; n bedeuten aber wiederum eine Faktorisierung von der Form (L-4.5) mit N ersetzt durch n,

0

a11 B B pp B p @ an1

1

0

p p p a1n 1 B C B `21 pp C pp p p C D B B ppp A @ p p p ann

10 1

pp

pp

p

CB CB CB CB A@

p

r11 r12 p p p rnn r22

pp

p

`n1 p p p `n;n1 1

pp p pp p

1 C C C C A

rnn

und implizieren insbesondere die Regularität der in der Aufgabenstellung angegebenen Hauptuntermatrizen für n D 1; 2; : : : ; N . Lösung zu Aufgabe 4.9. (a) Für den j -ten Einheitsvektor ej 2 R N gilt 0 < e> j Aej D ajj . (b) Für Indizes j ¤ k zieht man den Vektor x D . xs / 2 R N mit

8 < 1; s D j; 0; s ¤ j; s ¤ k; x D : ˛; s D k; mit einem reellen Parameter ˛ heran. Damit erhält man

0 < x>Ax

D

N X

xm . Ax /m

mD1

D

N X

xm . amj C ˛amk /

D

N X mD1

D

xm

N X

amn xn

nD1

ajj C ˛akj C ˛aj k C ˛ 2 akk

mD1

D ajj C 2˛aj k C ˛ 2 akk ; das heißt, die quadratische Gleichung ˛ 2 akk C 2˛aj k C ajj D 0 besitzt keine reelle Lösung. Damit gilt  aj k 2 ajj  < 0 akk akk beziehungsweise die in der Aufgabenstellung angegebene Ungleichung aj2k < ajj akk . (c) Gäbe es Indizes j ¤ k mit

jaj k j > ass

für s D 1; 2; : : : ; N;

so würde insbesondere jaj k j > ajj sowie jaj k j > akk gelten und damit notwendigerweise auch aj2k > ajj akk . Dies stellt einen Widerspruch zu Teil (b) dieser Aufgabe dar.

107

Lösungen

Lösung zu Aufgabe 4.10. Gemäß Schema 4.1 erhält man die folgende Anzahl arithmetischer Operationen: N X

° X N

nD1

kDn

D

N X

2. n  1 / C



2. n  1 / C 1

±

j DnC1

N X

°

± 2. n  1 /. N  . n  1 / /

C 2. n  1 /. N  n / C . N  n /

nD1

D

N X

°

......

2. n  1 /. N  n / C 2. n  1 / C

±

nD1

D

 X N

 4n. N  n /

C O. N 2 /

D

 X  N N X 4 N n n2 C O. N 2 /

nD1

nD1

D

 2.  N N C 1/ N . N C 1 /. 2N C 1 / 4  C O. N 2 /

D

1 2 3 4  N C O. N 2 /

2

2

nD1

6

D

6

2 3 N C O. N 2 /: 3

Lösung zu Aufgabe 4.11. Im Folgenden seien L; L.1/ und L.2/ skalierte untere Dreiecksmatrizen in RN N , und R; R.1/ und R .2/ bezeichne obere Dreiecksmatrizen in R N N . Außerdem bezeichne ek 2 R N den k -ten Einheitsvektor. ./

(a) (i) Die Gleichung Lx D ek bedeutet ausgeschrieben j X

`j k xk D ıj k

für j D 1; 2; : : : ; N;

kD1

und damit x1 D x2 D : : : D xk1 D 0 und xk D 1. Da der Vektor x 2 R N aufgrund des Ansatzes . / mit dem k -ten Spaltenvektor der inversen Matrix L1 2 R N N übereinstimmt, ist diese inverse Matrix wie die Matrix L selbst eine skalierte untere Dreiecksmatrix. .1/ (ii) Die Einträge des Produkts L.1/ L.2/ der Matrizen L.1/ D . `j k / 2 R N N und .2/

L.2/ D . `j k / 2 R N N sind von der Form . L.1/ L.2/ /j k D

N X .1/ .2/ sD1

`js `sk

D 0

für k > j;

denn in dieser Situation gilt für jeden Index s D 1; 2; : : : ; N notwendigerweise s > j .1/ .2/ oder k > s ( und damit `js D 0 beziehungsweise `sk D 0 ). Damit ist das Produkt

L.1/ L.2/ ebenfalls eine untere Dreiecksmatrix. Es ist außerdem skaliert, . L.1/ L.2/ /jj

D

N X .1/ .2/

`js `sj

sD1

D

.2/ `.1/ jj `jj C 0 D 1

für j D 1; 2; : : : ; N:

108

Kapitel 4

Lineare Gleichungssysteme

(b) (i) Die Gleichung Rx D ek bedeutet ausgeschrieben N X

rj k xk D ıj k

für j D 1; 2; : : : ; N;

kDj

und damit xN D xN 1 D : : : D xkC1 D 0 und xk ¤ 0. Der Vektor x 2 R N stimmt mit dem k -ten Spaltenvektor der inversen Matrix R 1 2 R N N überein; diese Matrix ist daher wie die Matrix R selbst eine obere Dreiecksmatrix. .1/ (ii) Die Einträge des Produkts R .1/ R .2/ der Matrizen R.1/ D . rj k / 2 R N N und

R.2/ D . rj.2/ / 2 R N N sind von der Form k . R.1/ R.2/ /j k D

N X .1/ .2/ sD1

rjs rsk

D 0

für k < j;

denn in der vorliegenden Situation gilt für jeden Index s D 1; 2; : : : ; N sicher s < j .1/ .2/ oder k < s ( und damit rjs D 0 beziehungsweise rsk D 0 ). Daher ist das Matrixpro-

dukt R.1/ R .2/ ebenfalls eine untere Dreiecksmatrix. Es ist außerdem regulär, denn es gilt

. R.1/ R.2/ /jj

D

N X .1/ .2/

rjs rsj

D

sD1

.1/ .2/ rjj rjj C 0 ¤ 0 „ ƒ‚ … ¤ 0

für j D 1; 2; : : : ; N:

(c) Aus dem Ansatz

A D L.1/ R.1/ D L.2/ R.2/ erhält man unmittelbar . L.2/ /1 L.1/ D R.2/ . R .1/ /1 . Wegen Teil (a) und (b) dieser Aufgabe kann dies nur bedeuten, dass diese beiden zuletzt betrachteten Matrixprodukte jeweils zugleich skalierte untere und obere Dreiecksmatrizen sind, es gilt also . L.2/ /1 L.1/ D R .2/ . R.1/ /1 D I beziehungsweise

L.1/ D L.2/ ;

R.1/ D R.2/ :

Lösung zu Aufgabe 4.12. Wir verwenden die Vorgehensweise aus [26, Abschnitt 4.3.3], wobei allerdings auf die Pivotsuche verzichtet wird. Dies liefert nacheinander die folgenden Matrizen:

0

1 2 3 B B 2 8 6 B B 3 6 a @ 4 14 15 0 1 2 B B 2 4 ! B B 3 0 @ 4  32

1 4 C 14 C C 15 C A 30

0 !

1 3 4 C 0 6 C C a  9 3 C A 3 5

1

B B 2 B B 3 @ 4

!

2

3

4 0 6 0

0 a9 3

1 B B 2 B B 3 @ 4

2 4 0  32

4

1

C 6 C C 3 C A 14 3 0 a9 3  a9

1 4 C 6 C C: 3 C A 9 5  a9

109

Lösungen

Hierbei bezeichnet die erste Matrix die Ausgangsmatrix, und die in der Matrix L entstehenden Einträge sind unterhalb der Treppe angegeben. Dabei ist noch zu beachten, dass der Algorithmus nur im Fall a ¤ 9 durchführbar ist. Die Matrizen L und R sind also von der Form

0

1 0 B B 2 1 L D B B 3 0 @ 4  32

1 0 C 0C C; 0C A 1

0 0 1 3  a9

0

1 B B0 R D B B0 @ 0

1 2 3 4 C 4 0 6 C C: 0 a9 3 C A 9 0 0 5  a9

Lösung zu Aufgabe 4.13. In einem direkten Ansatz zur Bestimmung einer solchen Faktorisierung A D RR> fasst man diese als N . N C 1 /=2 Bestimmungsgleichungen für die N . N C 1 /=2 gesuchten Zahlen rj k . k  j / auf:

aj k D

N X

1  j  k  N:

rjs rks ;

(L-4.7)

sDk

Aus den Gleichungen in (L-4.7) lassen sich die Einträge der oberen Dreiecksmatrix R 2 R N N spaltenweise von rechts nach links berechnen. Die innerhalb jeder Spalte gewählte Reihenfolge zur Bestimmung der Einträge spielt – abgesehen von der Bestimmung des Diagonaleintrags – keine Rolle. Dies führt auf den im folgenden Schema 4.4 beschriebenen Algorithmus. Bei der Durchführbarkeit des Algorithmus

for k D N; N  1; : : : ; 1

rkk D



akk 

N P

sDkC1

for j

D 1 Wk1

2 rks

1=2

;

rj k D



aj k 

N P

 rjs rks = rkk I

end

sDkC1

end Schema 4.4: Die Faktorisierung A D RR> ist zu beachten, dass zur Berechnung des Diagonaleintrags rkk aus der Matrix R lediglich die Einträge der Spalten s D k C 1; k C 2; : : : ; N benötigt werden. Diese sind entsprechend der Vorgehensweise des Algorithmus tatsächlich zuvor berechnet worden. Für die anschließende Berechnung der Nichtdiagonaleinträge in der k -ten Spalte der oberen Dreiecksmatrix R 2 R N N werden wiederum lediglich die bereits berechneten Einträge aus den Spalten s  k C 1 der Matrix R sowie der zuvor berechnete Diagonaleintrag rkk benötigt. Der Algorithmus ist somit durchführbar.

110

Kapitel 4

Lineare Gleichungssysteme

Lösung zu Aufgabe 4.14. Die Einträge der gesuchten Matrix

0

1 `11 0 0 0 0 B C B `21 `22 0 0 0 C B C C L D B B 0 `32 `33 0 0 C B C @ 0 0 `43 `44 0 A 0 0 0 `54 `55 lassen sich beispielsweise mit dem in Schema 4.5 beschriebenen Algorithmus berechnen. Man erhält so nacheinander die folgenden Werte:

q q p 2; `21 D  12 ; `22 D 2  q q q D 43 ; `43 D  34 ; `44 D 2  q D 65 :

`11 D

`33 `55

q D 2 q D 2

2 3 4 5

q

1 2

D

3 4

D

3 ; q2 5 ; 4

q

`32 D 

2

q3

`54 D 

4 5

Die gesuchte Matrix L in der Cholesky-Faktorisierung hat somit die Form

0 p 1 2 0 0 0 0 q B q C B 1 C 3 0 0 0 B C 2 q2 q B C B 2 4 0  3 0 0C L D B C: 3 q q B C B C 3 5 0 0 0  4 B C q4 q A @ 6 0 0 0  45 5

Lösung zu Aufgabe 4.15. Die Faktorisierung A D LL> bedeutet im Einzelnen k X

aj k D

1  k  j  N:

`js `ks ;

sD1

Auflösung in der zu den Indizes j und k gehörenden Gleichung nach `j k liefert

`j k D



aj k 

k1 X

`js `ks

ı

`kk ;

1  k  j  N:

sD1

Es genügt nun im Folgenden nachzuweisen, dass für jeden Index p C 1  j  N notwendigerweise

`j k D 0

für k D 1; 2; : : : ; j  p

(L-4.8)

gilt, was mittels vollständiger Induktion über k geschieht. Es ist `j1 D aj1 D 0, und es sei nun bereits `j1 D `j 2 D : : : D `j;k1 D 0 gezeigt mit 2  k  j  p . Dann gilt auch

`j k D



aj k  „ƒ‚… D0

 `js `ks = `kk D 0; sD1 „ƒ‚…

k1 X

was den Induktionsbeweis komplettiert.

D0

111

Lösungen

Lösung zu Aufgabe 4.16. (a) Man berechnet

A

1

1 1012  992

D

101 99 99 101

!

! 101 99 ; 99 101

1 400

D

und demnach gilt jj A jj1 D 200; jj A1 jj1 D 1=2 und cond1 . A / D 100. Für die Matrix B berechnet man

B

1

1 1012 C 992

D

101 99 99 101

! D

1 20002

101 99 99 101

!

und demnach

jj B 1 jj1 D

jj B jj1 D 200;

200 1 < ; 20002 100

(b) Der Vektor

1 200

x D

cond1 . B / D

40000 < 2: 20002

  1 1

löst das Gleichungssystem Ax D b , und die Lösungen der fehlerbehafteten linearen Gleichungssysteme lauten

xı D x C

ı 200

  1 1 ;

b xı D x C

ı 2



 1 1 :

Damit gilt

jj x  x ı jj1 jj x jj1

jj x  b x ı jj1 jj x jj1

D 100 ı;

D ı;

während der relative Fehler in den rechten Seiten bezüglich der Maximumnorm in beiden Fällen ı beträgt. Im ersten Fall wird die Störung also erheblich verstärkt, während dies im zweiten Fall nicht der Fall ist. Die in der Aufgabenstellung angegebene Abschätzung überschätzt also in konkreten Fällen den Fehler erheblich, lässt sich jedoch nicht prinzipiell verbessern. Lösung zu Aufgabe 4.17. Im Einzelnen bedeutet die Singulärwertzerlegung Folgendes:

0 A

D

1 0

B C B @ v1 : : : vN A @ „

ƒ‚ D V

…„

1 0

1 ::

C B A @

:

N

ƒ‚ …„ D †

u> 1 :: : u> N ƒ‚ D U>

1 C A …

mit den paarweise orthonormalen Spaltenvektoren v1 ; v2 ; : : : ; vN 2 R N der Matrix V 2 R N N beziehungsweise den paarweise orthonormalen Spaltenvektoren u1 ; u2 ;

112

Kapitel 4

Lineare Gleichungssysteme

: : : ; uN 2 R N derP Matrix U 2 R N N . Für jeden Vektor x 2 R N erhält man so über die N Darstellung x D kD1 ck uk Folgendes: 1 0 1 0 1 0 u>

1 1 N C B C X B C B :: :: C B C uk Ax D ck @v1 : : : vN A B : : A @ A @ kD1 >

N uN 0 1 u> 1 uk B C :: B C ...... ...... D : @ A u> u k N ...... ...... D ek D

N X

D

k ek

......

ck k vk :

kD1

(b) (i) Die Darstellung in (a) liefert für x D

jj Au jj22

N X c2 2

D

k

k



kD1

PN

kD1 ck uk

12

N X c2

12 jj u jj22

D

k

kD1

beziehungsweise jj A jj2  1 . Außerdem erhält man aus der Darstellung in (a) mit der speziellen Wahl x D u1 die Abschätzung jj A jj2  jj Au1 jj2 D 1 . (ii) Die Singulärwertzerlegung für die inverse Matrix A1 ist offensichtlich A1 D U †1 V >, und die Aussage in (i) hierauf angewandt liefert jj A1 jj2 D 1= N . (iii) Die Aussagen aus (i) und (ii) zusammen ergeben cond2 . A / D 1 = N . PN PN (c) Mit der Darstellung x D kD1 ck uk erhält man b D kD1 ck k vk beziehungsweise

jj x jj22

D

N X 2

jj b jj22

ck ;

D

kD1

N X 2 2

ck k :

kD1

Die erste Gleichheit jj b jj2 D jj A jj2jj x jj2 . D 1 jj x jj2 / gilt demnach genau dann, wenn ck D 0 für alle Indizes k mit k ¤ 1 erfüllt ist. PN Genauso erhält man ausgehend von der Darstellung ............... x D kD1 dk uk die Identität

.... ..........

bD

PN

kD1

dk k vk beziehungsweise .

jj.............. x jj22

D

N X

.

dk2 ;

jj.............. b jj22

kD1 ...... ........

1

D

N X

dk2 k2 :

kD1 ..... .........

N1 jj x jj2/

Die zweite Gleichheit jj b jj2 D jj A jj2 jj x jj2 .D gilt demnach genau dann, wenn dk D 0 für alle Indizes k mit k ¤ N erfüllt ist. Aus den hergeleiteten Aussagen ergibt sich, dass die angegebene letzte Identität genau dann richtig ist, wenn sowohl ck D 0 für alle Indizes k mit k ¤ 1 als auch dk D 0 für alle Indizes k mit

k ¤ N erfüllt ist. Lösung zu Aufgabe 4.18. Bei dieser Aufgabe geht es um die Gewinnung von oberen Schranken für den bei der Approximation der Inversen A1 2 R N N durch eine

113

Lösungen

Matrix B 2 R N N auftretenden relativen Fehler. Die Aufgabe zeigt, dass sich dieser relative Fehler in natürlicher Weise abschätzen lässt durch den Abstand des Produkts der Matrizen A und B zur Einheitsmatrix I 2 R N N , wobei die Heranziehung sowohl des Matrixprodukts AB als die des Matrixprodukts BA zulässig ist. Für die Herleitung der angegebenen Abschätzungen verwendet man die folgenden Ungleichungen:

und

jj A1  B jj jj A1 jj

D

jj A1 . I  AB / jj jj A1 jj



jj A1 jjjj I  AB jj jj A1 jj

D

jj I  AB jj

......

D

jj . I  BA /A1 jj jj A1 jj



jj I  BA jjjj A1 jj jj A1 jj

D

jj I  BA jj:

Die beiden oberen Schranken lassen sich gegeneinander abschätzen:

jj BA  I jj D jj . B  A1 /A jj 1

jj AB  I jj D jj A. BA  I /A

jj A1 . AB  I /A jj 

D jj



cond. A /jj AB  I jj;

cond. A /jj BA  I jj:

Diese Abschätzungen legen nahe, dass die beiden oberen Schranken jj AB  I jj und jj BAI jj für den relativen Fehler im Fall cond. A / 1 sehr unterschiedlich ausfallen können. Dies lässt sich auch durch konkrete Beispiele belegen. Die in der Aufgabe angegebene Beispielmatrix B stellt eine Approximation an die Inverse A1 2 R N N der Matrix A 2 R N N dar, die Matrizen AB  I und BA  I jedoch fallen sehr unterschiedlich aus. Das kurze Matlab-Skript A = [9999 9998; 10000 9999]; B = [9999.9999 -9997.0001; -10001 C = inv(A);

D = A*B - eye(2);

9998];

E = B*A - eye(2);

C, D, E

etwa liefert die folgenden Werte:

0

C

104 @

1

0:9999 0:9998 1:0000

0:9999

1:9997

1:9995

0 E 104 @

0

A;

D @

104 104 0

1 A;

0

1 A:

1:9999 1:9997

Lösung zu Aufgabe 4.19. Teil (b) dieser Aufgabe enthält die eigentliche Aussage dieser Aufgabe: Eine Multiplikation der einzelnen Zeilen einer gegebenen Matrix derart, dass in der resultierenden Matrix die Beträge der Einträge in jeder einzelnen Zeile aufsummiert die Zahl eins geben, liefert eine Matrix mit einer Konditionszahl, die jedenfalls nicht schlechter als die der Ausgangsmatrix ist. (a) Mit der Notation D D diag. d1 ; d2 ; : : : ; dN / 2 R N N erhält man

jj DB jj1

D

max

j D1;:::;N

N X kD1

jdj j jbj k j

D

max jdj j:

j D1;:::;N

114

Kapitel 4

Lineare Gleichungssysteme

Weiter erhält man mit der Notation B 1 D . cj k / 2 R N N

jj . DB /1 jj1 D jj B 1 D 1 jj1

D

° 

min

j D1;:::;N

jdj j

±1

max

j D1;:::;N

N X

ˇ 1 ˇ jcj k j ˇ ˇ dk

kD1

jj B 1 jj1 :

Insgesamt ergibt sich cond1 . DB /

D

jj DB jj1 jj . DB /1 jj1



jj B jj1 jj B 1 jj1

D

cond1 . B /:

(b) Mit der speziellen Wahl N ıX dj D 1 jaj k j

für j D 1; 2; : : : ; N

kD1

erhält man N X

jdj aj k j D 1

für j D 1; 2; : : : ; N:

kD1

Die Matrix DA ist also zeilenäquilibriert. Die in Teil (b) angegebene Abschätzung folgt mit Teil (a) dieser Aufgabe, angewandt mit B D DA und mit D 1 als Diagonalmatrix. Lösung zu Aufgabe 4.20. Wir verwenden die Notation A D QR D . a1 j a2 j : : : j aN /, mit der orthogonalen Matrix Q D . q1 j q2 j : : : j qN / 2 R N N und der oberen Dreiecksmatrix R D . rj k / 2 R N N . Die Vektoren ak 2 R N und qk 2 R N für k D 1; 2; : : : ; N bezeichnen dabei die Spaltenvektoren der Matrizen A beziehungsweise Q. Es gilt einerseits

j det Aj D j det Qj j det Rj D „ ƒ‚ … D 1

N Y

jrkk j;

(L-4.9)

kD1

und andererseits gilt

X N

jaj k j2

1=2

./

D jj ak jj2 D

j D1

X k

jrj k j2

1=2

 jrkk j für k D 1; : : : ; N; (L-4.10)

j D1

Pk

wobei die Identität . / aus der Darstellung ak D j D1 rj k qj und der paarweisen Orthonormalität der Vektoren q1 ; q2 ; : : : ; qN resultiert. Eine Anwendung der Abschätzung (L-4.10) in der Darstellung (L-4.9) ergibt die in der vorliegenden Aufgabe angegebene Abschätzung. Lösung zu Aufgabe 4.21. (a) Mit den Notationen

0

1

B C B C C A D B B a1 : : : aN C ; @ A

0

1

C B B C C Q D B B q1 : : : qN C ; @ A

0 R D @

r11 p p p r1N pp

p

1

p pp A (L-4.11)

rN N

115

Lösungen

( mit Vektoren ak ; qk 2 R M ) führt der Ansatz A D QR auf die folgenden Forderungen,

ak D

k X

rj k qj

j D1

mit

für k D 1; 2; : : : ; N;

q1 ; : : : ; qN 2 R M

(L-4.12) paarweise orthonormal:(L-4.13)

Im Folgenden wird beschrieben, wie man mittels einer Gram-Schmidt-Orthogonalisierung eine solche Faktorisierung (L-4.12)–(L-4.13) gewinnt. Algorithmus. ( Gram-Schmidt-Orthogonalisierung für eine Matrix A 2 R M N mit maximalem Rang ) Hier geht man schrittweise für k D 1; 2; : : : ; N so vor: Ausgehend von bereits gewonnenen orthonormalen Vektoren q1 ; : : : ; qk1 2 R M mit span ¹ a1 ; : : : ; ak1 º

span ¹ q1 ; : : : ; qk1 º DW Mk1

D

bestimmt man in Schritt k  1 das Lot von ak auf den linearen Unterraum Mk1  RM ,

b q k WD ak 

k1 X

. a> j qj /qj ;

(L-4.14)

j D1

und nach der Normierung

qk WD

qk b jjb q k jj2

(L-4.15)

sind die Vektoren q1 ; : : : ; qk 2 R M paarweise orthonormal mit span ¹ a1 ; : : : ; ak º

D

span ¹ q1 ; : : : ; qk º:

M

Der Gleichung (L-4.14) entnimmt man unmittelbar die Darstellung

ak

D

jjb q k jj2 qk C „ƒ‚… DW rkk

k1 X

. a> k qj / qj „ ƒ‚ … j D1 DW rj k

für k D 1; 2; : : : ; N;

(L-4.16)

und mit den Notationen aus (L-4.15) beziehungsweise (L-4.16) erhält man nach Abschluss der Gram-Schmidt-Orthogonalisierung die gesuchte Faktorisierung (L-4.12)– (L-4.13) beziehungsweise in Matrixschreibweise und mit der Notation aus (L-4.11) die Faktorisierung A D QR. (b) Es wird zunächst

jj Qz  b jj22 D jj z  Q>b jj22 C jj b  QQ>b jj22 für z 2 R N ; b 2 R M

(L-4.17)

116

Kapitel 4

Lineare Gleichungssysteme

nachgewiesen. Hierzu berechnet man

jj Qz  b jj22 D jj . Qz  QQ>b /  . b  QQ>b / jj22 D 0; siehe unten ‚ …„ ƒ > 2 > > > D jj Qz  QQ b jj2  2 . Qz  QQ b / . b  QQ b / C jj b  QQ>b jj22 ./

D jj Q. z  Q>b / jj22 C jj b  QQ>b jj22

./

D

jj z  Q>b jj22

C

......

;

wobei für den Nachweis der Identität . / noch die folgende Rechnung nachzutragen ist:

. Qz  QQ>b />. b  QQ>b /

D

. z  Q>b />. Q>b  Q>Q Q>b / „ƒ‚… DI

D

0;

und in der Identität . / geht die Isometrieigenschaft jj Qx jj2 D jj x jj2 für x 2 R N ein. Damit ist die Eigenschaft (L-4.17) nachgewiesen. Bei fest gewähltem Vektor b 2 R M ist auf der rechten Seite der Identität (L4.17) der zweite Term konstant, so dass die linke Seite der Identität (L-4.17) minimal ausfällt für z D Q>b . Für die Lösung des eigentlichen Minimierungsproblems jj Ax  b jj2 D jj QRx  b jj2 ! min für x 2 R N ist also ( nach Berechnung des MatrixVektor-Produkts Q>b ) nur noch das gestaffelte Gleichungssystem Rx D Q>b zu lösen. Lösung zu Aufgabe 4.22. (a) Die Lösung ergibt sich unmittelbar aus der folgenden Rechnung:

 . A C uv> / A1  D D

A1 uv>A1  1 C v>A1 u

u. v>A1 u /v>A1 uv>A1 C uv>A1  > 1 1 C v A u 1 C v>A1 u   v>A1 u 1 C 1  I C uv>A1 1 C v>A1 u 1 C v>A1 u „ ƒ‚ … D 0

I 

D

I:

(b) Es gilt u ¤ 0 und

. A C uv> /A1 u D u C u v>A1 u D u  u D 0; „ ƒ‚ … D 1 so dass die Matrix A C uv> einen nichttrivialen Nullraum besitzt und damit singulär ist. Lösung zu Aufgabe 4.23. Auf dem Weg zur Gewinnung einer Triangulierung mittels Householdertransformationen wählt man beziehungsweise berechnet man im ersten

117

Lösungen

Schritt

0 1 1 w1

1 0 WD p @ 1 A 2

00 0 . I  2w1 w1>/ @ 1 0

Ý

0

1 0 0 0

0 1 0 1 1 01 0 0 1A 1A D @ 0 1 0 ; 1 0 0 1 1

denn

0 1 0 1 0 1 1 1 1 2 0 0 > @0A . I  2w1 w1 / 0 D @0A  p p  1  @1A 2 2 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 2 1 1 0A > @ A @ A @ D . I  2w1 w1 / 1 1  p2p2  1  1 1 1 0

0 D

1 0 @ 0A ; 1 0 0

D

1 1 1 @ A: 0 1

Im zweiten Schritt zur Gewinnung einer Triangulierung mittels Householdertransformationen wählt man

w2

1 WD p 2

1 1 0

!

und berechnet

0 B @

1 0 0 0

0

0

0

I  2w2 w2>

0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 B 0 0 1C 0C CB C D B 0 1 C; AB @ 0 1 @ 0 0 0A 1A 0 0 1 0 0 1

denn

1 . I  2w2 w2>/ 0 1

!

1 0 1

D

! 2  p p 1 2 2

1 1 0

! D

! 0 1 : 1

Im dritten und letzten Schritt zur Gewinnung einer Triangulierung mittels Householdertransformationen setzt beziehungsweise berechnet man

w3 WD



1

p p 4C2 2

0

Ý

1 B 0 @ 0 0

p  1C 2 1 0 1 0 0

0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 B C 0 1 0C CB C D B 0 1 p0 C AB @ 0 0 A @ 0 0  2A : 1 > I  2w3 w3 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0

118

Kapitel 4

Lineare Gleichungssysteme

Lösung zu Aufgabe 4.25. (a) Allgemein gilt

jj a C b jj22

jj a jj22 C 2a>b C jj b jj22

D

für a; b 2 R M ;

und damit erhält man für jede Lösung x  2 R N der Normalengleichung und beliebige Vektoren z 2 R N Folgendes:

jj Az  b jj22 D jj A. z  x  / C Ax   b jj22

D0 ‚ …„ ƒ C 2. z  x  /> A>. Ax   b /

D jj A. z  x  / jj22 C jj Ax   b jj22 ......

D



jj Ax   b jj22 ;

und in der letzten Abschätzung liegt Gleichheit vor mit der speziellen Wahl z D x  . Somit ist der Vektor x  auch eine Lösung des angegebenen Minimierungsproblems. (b) Der Nachweis dieses Teils der Aufgabe wird indirekt geführt. Hierzu sei x  2 N R ein Vektor, der keine Lösung der Normalengleichung darstellt, es gilt also r WD A>. b  Ax  / ¤ 0. Für den Vektor z D x  C t r mit einer ( gleich noch etwas zu spezifizierenden ) positiven reellen Zahl t berechnet man dann

jj Az 

D tr ‚ …„ ƒ D jj A. z  x  / C Ax   b jj22

b jj22

D jj r jj2 ‚ …„ ƒ 2t r >A>. Ax   b / C jj Ax   b jj22 ; ƒ‚ …

D t 2 jj Ar jj22 C „ < 0 für t > 0 hinreichend klein

so dass also für hinreichend kleine positive reelle Zahlen t > 0 die Ungleichung jj Az  b jj2 < jj Ax   b jj2 gilt. Damit stellt der Vektor x  2 R N auch keine Lösung des Minimierungsproblems jj Ax  b jj2 ! min für x 2 R N dar. Lösung zu Aufgabe 4.26. Hier ist der Ausdruck jj Ax  b jj2 zu minimieren mit

0

1 1 A D @1 1

0 1 2 3

1 0 1A 4 ; 9

0 1 0 1 b D @2A; 0

xD

a  0 a1 : a2

Die zugehörigen Normalgleichungen lauten A>Ax D A>b , wobei die Matrix und die rechte Seite des linearen Gleichungssystems die folgende konkrete Form besitzen: >

A A D

! 4 6 14 6 14 36 ; 14 36 98

>

A b D

! 3 5 : 9

Es ist nun die Cholesky-Faktorisierung A>A D L>L zu berechnen mit einer unteren Dreiecksmatrix L. Diese untere Dreiecksmatrix ist von der Form

L D

2 p0 0! 3 p5 0 : 7 3 5 2

119

Lösungen

Dies berechnet sich gemäß [26, Schema 4.5] folgendermaßen, wobei die Notation A>A D . bj k / verwendet wird, die Einträge der Matrix A>A werden also mit bj k für 1  j; k  3 bezeichnet:

`11 D 2;

`21 `11 D b21 D 6

`31 `11 D b31 D 14

H)

H)

`21 D 3;

`31 D 7;

p 5; p p p D . 36  7  3 /= 5 D 15= 5 D 3 5;

`22 D . b22  `221 /1=2 D . 14  9 /1=2 D `32 D . b32  `31 `21 / = `22

`33 D . b33  `231  `232 /1=2 D . 98  49  9  5 /1=2 D . 98  94 /1=2 D 2: Man löst nun nacheinander die beiden gestaffelten linearen Gleichungssysteme Lz D

A>b und L>x D z . Dies liefert Folgendes:

2z1 D 3 H) z1 D 3=2; p p p p 3z1 C 5z2 D 5 H) z2 D . 5  9=2 /= 5 D 5  9=. 2 5 /; p 7z1 C 3  5z2 C 2z3 D 9 H)

z3 D . 9  10:5  15 C 13:5 /=2 D 3=2:

Nun ist noch das gestaffelte lineare Gleichungssystem T

L x D z

mit

>

L

D

2 p3 7 p 5 3 5 0 0 0 2

!

zu lösen. Man erhält hier Folgendes:

2a3 D z3 H) a3 D  3=4; p p 5a2 C 3 5a3 D z2 p p p  p H) a2 D 5  9=. 2  5 / C 3  5  3=4 = 5 D 1  . 9=10 / C 9=4 D 47=20; 2a1 C 3a2 C 7a3 D 3=2; H)

a1 D . . 3=2 /  3  . 47=20 / C 7  3=4 /=2 D 3=20:

Damit ist das Polynom

p. y / D 

3 47 3 C y  y2 20 20 4

die gesuchte Lösung des vorgegebenen Ausgleichsproblems.

120

5

Nichtlineare Gleichungssysteme – Lösungen

Lösung zu Aufgabe 5.1. Bei den ersten vier in (5.1) und (5.2) angegebenen Iterationsverfahren handelt es sich jeweils um spezielle Fixpunktiterationen von der Form

xnC1 D ˆ. xn /

für n D 0; 1; : : :

(L-5.1)

mit einer in dem Punkt x differenzierbaren Iterationsfunktionen ˆ. Diese Fixpunktiterationen sind jeweils genau dann ( lokal ) mindestens linear konvergent, wenn x ein Fixpunkt der Funktion ˆ ist und außerdem jˆ 0 . x /j < 1 gilt. Bei dem ersten Verfahren in (5.1) ist die Fixpunktiteration von der Form ˆ. x / D  ln x für x 2 Œ 0:5; 0:6 . Hier gilt

ˆ. x / D x ;

jˆ 0 . x /j D

1 5  x 3

für x 2 Œ 0:5; 0:6 ;

so dass dieses Verfahren nicht lokal konvergent sein kann. Zu dem zweiten Verfahren in (5.1) gehört die Fixpunktiteration ˆ. x / D e x für x 2 Œ 0:5; 0:6 . Hier gilt

ˆ. x / D x ;

jˆ 0 . x /j D x  0:6;

dieses Verfahren ist also mindestens linear konvergent. Die Fixpunktiteration des dritten Verfahrens in (5.1) ist von der Form ˆ. x / D . x C e x /=2 für x 2 Œ 0:5; 0:6 , und dann gilt

ˆ. x / D x ;

jˆ 0 . x /j D

1  x 2



1 ; 4

dieses Verfahren ist also ebenfalls mindestens linear konvergent. Die Fixpunktiteration des ersten Verfahrens in (5.2) lautet ˆ. x / D . ax C ex /= . a C 1 / für x 2 Œ 0:5; 0:6 , und damit gilt

ˆ. x / D x ;

ˆ 0. x / D

a  e x : aC1

Die Wahl a D x ergibt ˆ 0 . x / D 0, so dass das resultierende Verfahren lokal quadratisch konvergent ist. Allerdings ist dieses Verfahren nicht brauchbar, da der Wert a D x ja nicht bekannt ist. Das zweite Verfahren in (5.2) ist im Allgemeinen nicht von der Form (L-5.1). Es soll ja xn x gelten, eine praktikable Variante des vorhergehenden Verfahrens ist also das hier betrachtete zweite Verfahren aus (5.2) mit der speziellen Wahl an D xn für n D 0; 1; : : : . Mit dieser Wahl von an ist dieses Verfahren von der Form (L-5.1) mit x 2 C e x ˆ. x / D ; xC1

121

Lösungen

und es gilt

ˆ 0. x / D

ˆ. x / D x ;

.x

C 2 /. x  e x / ; . x C 1 /2

ˆ 0 . x / D 0:

Das resultierende Verfahren ist also durchführbar und lokal mindestens quadratisch konvergent. Lösung zu Aufgabe 5.2. Es gilt f 0 . x / D e x und damit

ˆ. x / WD x 

f .x / f 0.x /

D x  1 C aex :

Die Iterationsvorschrift lautet also

xnC1 D xn  1 C ae xn

für n D 0; 1; : : : :

Zur Bestimmung der Konvergenzordnung berechnet man

ˆ 0 . ln a / D 1  ae  ln a

ˆ 0 . x / D 1  aex ;

D

1

a a

D 0;

so dass also mindestens quadratische Konvergenz vorliegt. Wegen

ˆ 00 . x / D ae x ;

ˆ 00 . ln a / D

a a

D 1 ¤ 0

liegt keine höhere Konvergenz vor. Die ersten vier Iterierten sind

x1 = 0:3679;

0 Nachkommastellen genau

x2 = 0:0601;

1

......

x3 = 0:0018;

2

......

x4 = 0:0000015641;

5

......

wobei die mit den Ziffern der exakten Lösung übereinstimmenden Nachkommastellen unterstrichen sind. So wird verdeutlicht, dass sich mit jedem Iterationsschritt die Zahl der mit der exakten Lösung übereinstimmenden Nachkommastellen mindestens verdoppelt. Lösung zu Aufgabe 5.3. Für die störungsfreie Folge

xnC1 WD ˆ. xn /

für n D 0; 1; : : :;

gilt die aus [26] bekannte a priori-Fehlerabschätzung

jj xn  x jj



Ln jj x  x0 jj 1L 1

für n D 1; 2; : : :;

und damit erhält man

jj xnı  x jj  jj xnı  xn jj C jj xn  x jj  jj xnı  xn jj C

Ln jj x  x0 jj für n D 1; 2; : : : : (L-5.2) 1L 1

122

Kapitel 5 Nichtlineare Gleichungssysteme

Den letzten Term in (L-5.2) schätzt man so ab: .

jj x1  x0 jj D jj x1  x1ı C x1ı  . x0ı  .............. x0 / jj C jj x1ı  x0ı jj C ı  jj x1  x1ı jj . ...... D jj ˆ. x0 /  ˆ. x0ı /  .............. x1 jj C 

Lı C 2ı

C

:

......

Der erste Term in (L-5.2) lässt sich folgendermaßen abschätzen: .

ı jj xnı  xn jj D jj ˆ. xn1 / C .............. xn  ˆ. xn1 / jj



ı Ljj xn1  xn1 jj C ı

ı ı  L. Ljj xn2  xn2 jj C ı / C ı D L2 jj xn2  xn2 jj C Lı C ı :: :  X n ı Lk ı  : 

1L

kD0

Diese beiden Abschätzungen zusammen mit (L-5.2) liefern schließlich die in der Aufgabe angegebene Abschätzung. Lösung zu Aufgabe 5.4. (a) (i) Die gegebene Abbildung ˆ W R N ! R N ist bezüglich der Maximumnorm nicht kontrahierend, denn für 0 < s < =2 gilt

ˇˇ  s   ˇˇ ıˇˇ  s   0 ˇˇ ˇˇ ˆ s  ˆ 0 ˇˇ ˇˇ ˇˇ s  0 1 0 1 D D

ˇˇ  sin s

1 ˇˇˇˇ 2s ˇˇ

Cs 4 sin s C s

ˇˇ ˇˇ ˇˇ ˇˇ

D 1

 1  sin s C1 ! 1 2 s

1 . sin s C s / 2s

für s ! 0 C :

(ii) Wir zeigen im Folgenden, dass für x 2 R 2

jj Dx ˆ jj2  L

(L-5.3)

gilt mit einer noch zu spezifizierenden Konstanten 0 < L < 1. Hierzu stellt man als Erstes fest, dass die Matrix

Dx ˆ D

cos u

1 2

1

4

1

!

DW

cos v

1 A; 2

mit

x D

u v

symmetrisch ist. Bei symmetrischen Matrizen stimmt die zugehörige durch die euklidische Vektornorm induzierte Matrixnorm mit dem betragsmäßig größten Eigenwert der Matrix überein, vergleiche [26, (4.35)]. Damit gilt also

jj Dx ˆ jj2 D

1 2

max¹ jj W  2 . A / º;

(L-5.4)

wobei . A / die Menge der Eigenwerte der Matrix A bezeichne. Nun berechnet man det. A  I /

D

 cos u

D 2

   . cos v   /  1  cos u  cos u  C cos v  C cos v  1

4

4

4

123

Lösungen

und damit det. A  I /

”

D 0

 D D



r

2 1  cos u cos u C cos v  cos v C 1 4 4  4 r 2  cos u ˙  cos v C 4 DW 1=2 : 4

1  cos u C cos v 2 4 1 ........ 2

˙

Die Beträge der Eigenwerte 1=2 der Matrix A lassen sich folgendermaßen abschätzen:

j1=2 j 





r

1 ˇˇ cos u ˇˇ C j cos v j C 2 4 1 1 C 1 C 2 4

r

 5 2 4

  ˇ cos u ˇ ˇ C j cos v j 2 C 4 ˇ 4

 C4

5C

D

p

89

8

:

Zusammen mit der Darstellung (L-5.4) erhält man so die folgende Abschätzung:

jj Dx ˆ jj2



p 5 C 89 16

< 0:903;

„ ƒ‚ … DW L

so dass die vorgegebene Abbildung ˆ W R N ! R N bezüglich der euklidischen Vektornorm kontrahierend ist. (b) Mit der speziellen Wahl x0 D . 0; 0 /> erhält man x1 D 12 . 1; 1 />, und die a priori-Fehlerabschätzung aus dem banachschen Fixpunktsatz liefert dann

jj xn  x jj2



Ln jj x  x0 jj2 1L 1

D

Ln 1 p 1L 2

für n D 1; 2; : : : :

Demnach gilt jj xn  x jj2  0:01, falls

Ln 1  p  0:01 1L 2

” Ln  0:01 

p 11  p89 2

1:383  103 16

” n  64: Schließlich zeigen numerische Berechnungen, dass man nach zwölf Iterationen die Approximationen

 x11 D

 1:4935 1:7391 ;

 x12 D

1:4942 1:7397



erhält, so dass mit der Iterierten x12 die gewünschte Genauigkeit erzielt wird:

jj x12  x jj2



L jj x  x11 jj2 0:0081: 1  L 12

124

Kapitel 5 Nichtlineare Gleichungssysteme

Lösung zu Aufgabe 5.5. (a) Die zweite Gleichung uv D 0 bedeutet u D 0 oder v D 0. Im ersten Fall u D 0 wird die erste der zwei Gleichungen zu v  1 D 0 beziehungsweise v D 1, und im zweiten Fall v D 0 wird die erste Gleichung zu u  1 D 0 beziehungsweise u D 1. Es stellen also    

0 1 ;

1 0 ;

die beiden Lösungen des betrachteten nichtlinearen Gleichungssystems dar. (b) Zur Herleitung der Verfahrensvorschrift des zugehörigen Newton-Verfahrens ist die Jacobi-Matrix der Abbildung

 F.x / D

uv C u  v  1 uv

zu berechnen. Sie hat die Form

J .x / D



vC1 u1 v u



für x D . u; v />



für x D . u; v />:

Im Fall des ersten Startvektors x0 D . 0; 0 /> gilt also

J . x0 / D



 1 1 0 0 :

Diese Matrix ist singulär, so dass das Newton-Verfahren hier bereits im ersten Schritt abbricht. Im Fall des zweiten Startvektors x0 D . 1; 1 /> nimmt die Jacobi-Matrix die Form  

2 0 1 1

J . x0 / D

an. Diese Matrix ist regulär, und zur Bestimmung der ersten Iterierten x1 D x0 C 0 ist die Lösung des linearen Gleichungssystems

J . x0 /0 D F . x0 / D 



1C111 1



 D

0 1



zu bestimmen. Diese Lösung lautet 0 D . 0; 1 />, und man erhält die erste Iterierte

      1 0 1 C D 1 1 0 :

x1 D x0 C 0 D

Diese stimmt mit einer der beiden exakten Lösungen des betrachteten nichtlinearen Gleichungssystems überein. Lösung zu Aufgabe 5.6. Mit der Notation Rn D AXn  I für n D 0; 1; : : : erhält man

RnC1 D AXnC1  I

D

A. Xn  Xn . AXn  I / /  I

D AXn  AXn . AXn  I /  I D Rn  AXn Rn

D

Rn2 :

Mittels vollständiger Induktion erhält man daraus n

Rn D . 1 /n R0. 2 / ;

n/

jj Rn jj  q . 2

für n D 0; 1; : : : :

125

Lösungen

Außerdem erhält man aus der Definition für die Matrix R0 die Darstellung A1 D X0 . R0 C I /1 und somit jj A1 jj  jj X0 jj=. 1  q /. Dies führt schließlich auf die in der Aufgabenstellung angegebene Abschätzung:

jj Xn  A1 jj D jj A1 . AXn  I / jj 

jj X0 jj .2n / q 1q



jj X0 jj jj Rn jj 1q

für n D 0; 1; : : : :

Lösung zu Aufgabe 5.7. (a) Hier ist der Stoppindex n D 4, und die gewonnene Iterierte ist



x4 D

 0:789 1:571 :

Diese stellt eine gute Approximation an eine der Lösungen des vorliegenden nichtlinearen Gleichungssystems dar. Der  Stoppindex ist hier n D 8, die gewonnene Näherung ist wiederum x8 D (b) 0:789 : 1:571 (c) In diesem Fall bricht das Verfahren mit n D 22 ab, die zugehörige Näherung ist   0:000 x22 D 1:732 : Diese ist ebenfalls eine gute Approximation an eine der Lösungen. (d) Hier findet kein vorzeitiger Abbruch statt, es gilt also n D nmax D 100, und das Verfahren liefert den Vektor



x100 D

0:99 1090 1:3 1090



:

Damit wird keine der Lösungen des betrachteten nichtlinearen Gleichungssystems angenähert. Lösung zu Aufgabe 5.8. Als Erstes stellt man fest, dass

x 

f .x / < x f 0. x /

für alle x < x  b

(L-5.5)

gilt, denn wegen der Annahmen an die Funktion f gilt f . x / > f . x / D 0 und f 0 . x / > 0 für jedes x < x  b . Es wird im Folgenden noch

x 

f .x / f 0.x /

 x

für x  x  b

(L-5.6)

nachgewiesen. Aus den beiden Abschätzungen (L-5.5) und (L-5.6) erschließt man mittels vollständiger Induktion, dass für einen Startwert x0 > x das Newton-Verfahren eine monoton fallende Folge x1 ; x2 ; : : : mit xn  x für n D 0; 1; : : : liefert, und dann liegt notwendigerweise Konvergenz vor mit einem Grenzwert, der als Fixpunkt der stetigen Iterationsabbildung ( vergleiche [26, Beweis von Theorem 5.6] ) auch eine Nullstelle der Funktion f darstellt und somit mit x übereinstimmt.

126

Kapitel 5 Nichtlineare Gleichungssysteme

Für den Nachweis der Ungleichung (L-5.6) benötigt man das folgende Lemma. Lemma. Für alle konvexen differenzierbaren Funktionen 0

. x /. z  x / 

.z / 

.x /

W Πa; b  ! R gilt

für z; x 2 Œ a; b :

Beweis. Für jede Zahl 0 < t  1 gilt

. x C t. z  x / / 

. x / C t. . z / 

.x //

beziehungsweise .x

C t . z  x //  t

.x /



.z / 

. x /:

Der Grenzübergang t ! 0 liefert die Aussage des Lemmas. Es wird nun die Ungleichung (L-5.6) nachgewiesen. Angenommen, es gilt die Unglei./

chung x  f . x / = f 0 . x / < x für eine Zahl x mit x  x  b . Daraus resultiert unmittelbar der Widerspruch

f . x /



f 0 . x /x C f . x /  f 0 . x /x > 0 D f . x /;

(L-5.7)

so dass die Ungleichung (L-5.6) doch richtig ist. Die erste Abschätzung in (L-5.7) resultiert dabei aus dem angegebenen Lemma, und die zweite Abschätzung in (L-5.7) ist eine unmittelbare Folgerung aus der Ungleichung . /.

127

6

Numerische Integration – Lösungen

Lösung zu Aufgabe 6.1. Die Existenz solcher Koeffizienten erhält man unmittelbar mit den Resultaten über interpolatorische Quadraturformeln. Der Vollständigkeit halber werden hier ein paar Einzelheiten genannt. Die lagrangeschen Basispolynome

Lk . x / D

n Y x  xs

für k D 0; 1; : : : ; n

xk  xs

sD0 s¤k

bilden eine Basis des Raums …n der Polynome vom Grad  n, mit der Basisdarstellung

P D

n X

P. xk /Lk

für P 2 …n :

kD0

Eine Integration dieser Entwicklung liefert nun die Existenz solcher Koeffizienten ak : Z b a

P. x / dx D

n X

P. xk /

kD0

Z b a

„

Lk . x / dx ƒ‚ … DW ak

für P 2 …n :

Seien nun a0 ; a1 ; : : : ; an irgendwelche Koeffizienten, für die die Identität aus der Aufgabenstellung erfüllt ist. Anwendung dieser Identität auf die lagrangeschen Basispolynome liefert die Eindeutigkeit dieser Koeffizienten: Z b a

Lk . x / dx D

n X j D0

aj Lk . xj / D ak „ ƒ‚ … D ıj k

für k D 0; 1; : : : ; n:

Lösung zu Aufgabe 6.2. Sei x 2 Œ a; b  irgendein Punkt mit x 6D xk für k D 0; 1; : : : ; n. Dann betrachtet man das ( eindeutig bestimmte ) Polynom Q 2 …nC1 mit der Eigenschaft

Q. x / D 1;

Q. x0 / D Q. x1 / D : : : D Q. xn / D 0:

Eine Anwendung der vorgegebenen Quadraturformel zur näherungsweisen Integration des Polynoms Q2 2 …2nC2 ergibt Folgendes:

In . Q 2 / D . b  a /

n X

D 0 ‚ …„ ƒ

k Q. xk /2 D 0:

kD0

Auf der anderen Seite ist Q eine auf R nichtnegative stetige Funktion mit Q2 . x / D 1 ¤ 0, so dass 2

Z b a

Q2 . x / dx > 0

gilt. Das Polynom Q2 2 …2nC2 wird also durch die vorgegebene Quadraturformel nicht exakt integriert.

128

Kapitel 6 Numerische Integration

Lösung zu Aufgabe 6.3. Im Folgenden wird versucht, zu gegebener Zahl n 2 N drei reelle Koeffizienten a0 ; a1 und a2 2 R derart zu bestimmen, dass Z b a

P. x / dx D a0 P. a / C a1 P

a Cb  2

C a2 P. b /

für alle P 2 …n (L-6.1)

gilt. Hierzu verwendet man die taylorsche Formel bezüglich des Intervallmittelpunktes . a C b / = 2:

P. x / D

n X P .k/ .. a C b / = 2 / 

kŠ

kD0

x

a C b k 2

für P 2 …n ;

(L-6.2)

wobei das Restglied wegen P .nC1/  0 verschwindet. Integration der Darstellung (L-6.2) liefert Z b a

P. x / dx

D

n X P .k/ .. a C b / = 2 / Z b 

kŠ

kD0

mit

8 < ck D

a

2

:

. L=2 /kC1 .k

C 1 /Š

x

a C b k dx 2

D

n X

ck P .k/

kD0

aCb 2

; falls k gerade;

0 sonst

mit L WD b  a. Im Folgenden wird die rechte Seite der Identität (L-6.1) betrachtet. Hierzu verwendet man die Darstellung (L-6.2) für x D a und x D b :

P. a / D

n X P .k/ .. a C b / = 2 /

kŠ

kD0

P. b / D

n X P .k/ .. a C b / = 2 /

kŠ

kD0

. L = 2 /k für P 2 …n :

. L = 2 /k

Daraus erhält man

I2 . P / D . a0 C a1 C a2 /P

aCb 2

C

n X 1 kD1

kŠ

h

i a Cb  a0 . L = 2 /k C a2 . L = 2 /k P .k/ : 2

(L-6.3) Im Folgenden sollen nun die drei Gewichte a0 ; a1 und a2 so bestimmt werden, dass in der Darstellung (L-6.2) die Koeffizienten des Polynoms P .k/ für die Indizes k D 0; 1; : : : ; n jeweils übereinstimmen. Dies führt auf die folgenden Bedingungen ( es wird hier n  2 vorausgesetzt ):

a0 C a1 C a2 D L; a0

C

a2 D 0;

a0 . L = 2 /2 C a2 . L = 2 /2 D 2

. L=2 /3

3

;

129

Lösungen

wobei die letzte Gleichung mit a0 C a2 D L=3 gleichbedeutend ist. Durch diese drei Gleichungen sind die drei Gewichte a0 ; a1 und a2 bereits eindeutig festgelegt:

a0 D a2 D

L ; 6

4L : 6

a1 D

Dies liefert die simpsonsche Formel. Wir betrachten nun noch die Fälle k D 3 und k D 4 ( mit n D 3 beziehungsweise n D 4 ). Dies führt auf die Bedingungen

a0 C a1 D 0 a0 . L = 2 /4 C a2 . L = 2 /4 D 2

.k D 3/ . L=2 /5

. k D 4 /;

5

wobei die letzte Gleichung mit a0 C a2 D L=5 gleichbedeutend ist. Die angestellten Betrachtungen zeigen also Folgendes: Im ersten Teil stellt sich zunächst heraus, dass die Simpson-Regel einen Genauigkeitsgrad von mindestens Drei besitzt, und jede andere Wahl der Gewichte liefert Quadraturformeln mit einem Genauigkeitsgrad r  2. Für die Simpson-Regel ist die Bedingung für k D 3 erfüllt, nicht jedoch für den Fall k D 4. Die Simpson-Regel besitzt also den Genauigkeitsgrad r D 3. ( Für den Nachweis der Aussage, dass der Genauigkeitsgrad nicht größer ausfällt, ist noch ein geeignetes Polynom anzugeben. Dies ist leicht und geschieht an dieser Stelle nicht. ) Lösung zu Aufgabe 6.4. Mit Aufgabe 3.1 wird klar, dass die Identität

T .x / D

N X kD0

fk t . x /; t k . xk / k

tk . x / WD

mit

N Y

sin

sD0 s¤k

x  xs 2

erfüllt ist. Daher gilt die Identität

Qf D

N X

ak f . xk /

kD0

mit den ( von f unabhängigen ) Gewichten ak D den wird

ak D

2 N C1

 R 2 0

tk . x / dx

ı

tk . xk /. Im Folgen-

für k D 0; 1; : : : ; N

(L-6.4)

nachgewiesen. Hierzu schreibt man ( für fixierten Index k ) die Funktion tk in der Form

tk . x / D

N=2 X

ˇ` e i`x

`DN=2

mit gewissen Koeffizienten ˇN=2 ; ˇ1N=2 ; : : : ; ˇN=2 2 C. Daraus ergibt sich Z 2 0

tk . x / dx D 2ˇ0 C

N=2 X `DN=2 `¤0

ˇ`

Z 2

e i`x dx D 2ˇ0 : „ ƒ‚ … D 0 0

(L-6.5)

130

Kapitel 6 Numerische Integration

Wir betrachten nun die Funktion N X

. x / WD ei.N=2/x tk . x / D

ˇ`N=2 e i`x :

`D0

Damit bilden die Koeffizienten ˇ`N=2 für ` D 0; 1; : : : ; N die diskrete Fouriertransformierte der Funktionswerte der Funktion an den Stellen x0 ; x1 ; : : : ; xN , es gilt also

F 1 . ˇN=2 ; : : : ; ˇN=2 / D . . x0 /;

. x1 /; : : : ; . xN / /:

Damit gilt insbesondere Übereinstimmung in dem mittleren Eintrag,

FN=2 . . x0 /;

D

ˇ0

. x1 /; : : : ; . xN / / D

1 N C1

Dx

./

1 t . xk / N C1 k

D

 ei.N=2/xk „

k ‚…„ƒ 2 i.N=2/ k N C1 e ƒ‚ … D 1

N X

. xj / e

ij.N=2/

2 N C1

j D0

1 t . xk /; N C1 k

D

wobei in . / noch die Eigenschaft . xj / D 0 für j ¤ k eingeht. Die so gewonnene Darstellung des Koeffizienten ˇ0 liefert zusammen mit der Identität (L-6.5) die geforderte Identität (L-6.4) und damit insbesondere die Positivität der Gewichte. Lösung zu Aufgabe 6.5. Die euler-maclaurinsche Summenformel hat in einer einfachen Version die Gestalt Z N g. 0 / g.N / B .0/ C g. 1 / C : : : C g. N  1 / C  g. t / dt D 2 . g 0 . N /  g 0 . 0 / / 2 2 2 0

für g 2 …3 : Hier ist N eine natürliche Zahl, und es gilt B2 . 0 / D 1=6. Diese Formel angewandt mit der Funktion

g. x / D x 3

für x 2 R

2

0

ergibt wegen g . x / D 3x Folgendes:

° NX 1

k3

± C

kD1

N3 2

D

Z N 0

x 3 dx C

1 . 3N 2 12

 0/

N4 N2 C 4 4

D

beziehungsweise N 1 X

k3 D

kD1

D

N4 N2 N3 C  4 4 2

 N . N  1 / 2 2

:

D

N2 . N 2 C 1  2N / 4

D

N2 . N  1 /2 4

131

Lösungen

Lösung zu Aufgabe 6.6. Die Substitution x D cos  mit 0 <  <  liefert die geforderte Lösung: Z cos 0

p Un . x / Um . x / 1  x 2 dx cos  Z 0 p D Un . cos  / Um . cos  / 1  cos2  .  sin  / d

h Un ; Um i D



D D

Z  cos n cos m 0 Z  0

sin 

sin 

sin2  d

cos. n / cos. m / d D 0

Lösung zu Aufgabe 6.7. Für das Integral genden Werte:

R 0:5 0

für n ¤ m:

1=. 16x 2 C 1 / dx ergeben sich die fol-

k

Pk . 0 /

Pk1;k . 0 /

Pk2;k1;k . 0 /

Pk3;:::;k . 0 /

Pk4;:::;k . 0 /

0 1 2 3 4 5 6

0.30000000 0.27500000 0.27596154 0.27657916 0.27673512 0.27677416 0.27678392

0.26666667 0.27628205 0.27678503 0.27678710 0.27678717 0.27678718

0.27692308 0.27681856 0.27678724 0.27678718 0.27678718

0.27681690 0.27678674 0.27678718 0.27678718

0.27678662 0.27678718 0.27678718

Für das Integral

R2 0

2

e x dx ergeben sich die folgenden Resultate:

k

Pk . 0 /

Pk1;k . 0 /

Pk2;k1;k . 0 /

Pk3;:::;k . 0 /

Pk4;:::;k . 0 /

0 1 2 3 4 5 6

1.01831564 0.87703726 0.88061863 0.88170379 0.88198625 0.88205756 0.88207543

0.82994447 0.88181243 0.88206551 0.88208040 0.88208133 0.88208139

0.88527029 0.88208238 0.88208139 0.88208139 0.88208139

0.88203178 0.88208137 0.88208139 0.88208139

0.88208157 0.88208139 0.88208139

Für das Integral

k 0 1 2 3 4 5 6

R =2 0

. cos x = 2 /2 sin 3x dx ergibt sich Folgendes:

Pk . 0 / 0:39269908

Pk1;k . 0 /

Pk2;k1;k . 0 /

Pk3;:::;k . 0 /

Pk4;:::;k . 0 /

0.27768018 0.38394379 0.40859837 0.41465643 0.41616453 0.41654116

0.50113994 0.41936499 0.41681657 0.41667578 0.41666723 0.41666670

0.41391333 0.41664667 0.41666639 0.41666666 0.41666667

0.41669006 0.41666671 0.41666667 0.41666667

0.41666662 0.41666667 0.41666667

Für das Integral

R =2 p j cos 2x j dx schließlich ergeben die Berechnungen Folgendes: 0

132

Kapitel 6 Numerische Integration

k

Pk . 0 /

Pk1;k . 0 /

Pk2;k1;k . 0 /

Pk3;:::;k . 0 /

Pk4;:::;k . 0 /

0 1 2 3 4 5 6 7

1.57079633 0.78539817 1.05313758 1.14695506 1.18005069 1.19174525 1.19587932 1.19734089

0.52359878 1.14238406 1.17822755 1.19108256 1.19564343 1.19725735 1.19782807

1.18363641 1.18061711 1.19193957 1.19594749 1.19736494 1.19786612

1.18056919 1.19211929 1.19601111 1.19738744 1.19787408

1.19216458 1.19602637 1.19739284 1.19787599

:: :

:: :

:: :

:: :

:: :

:: :

1.19813582

1.19813851

1.19813872

1.19813876

1.19813877

12

133

7

Explizite Einschrittverfahren für Anfangswertprobleme bei gewöhnlichen Differenzialgleichungen – Lösungen

Lösung zu Aufgabe 7.1. Mit den Setzungen

z1 . t / D y1 . t /;

z2 . t / D y2 . t /;

z3 . t / D y10 . t /;

z4 . t / D y20 . t /

für t 2 Œ 0; 1  lässt sich das vorgegebene Anfangswertproblem für das System von zwei gewöhnlichen Differenzialgleichungen zweiter Ordnung folgendermaßen schreiben:

z1 0 . t / z2 0 . t / z3 0 . t / z4 0 . t /

D z3 . t / D D z22 . t /  z3 . t / 3 D z1 . t /

z4 . t /

C t2 C z4 . t / C t

mit den Anfangswerten

z1 . 0 / D 0;

z2 . 0 / D 1;

z3 . 0 / D 1;

z4 . 0 / D 0:

Dies stellt ein Anfangswertproblem für ein System von vier gewöhnlichen Differenzialgleichungen erster Ordnung dar mit den vier zu bestimmenden Funktionen z1 ; z2 ; z3 ; z4 . Lösung zu Aufgabe 7.2. Die Existenz beziehungsweise die Eindeutigkeit der Lösung der vorliegenden gewöhnlichen Differenzialgleichung folgt unmittelbar aus dem Satz von Picard und Lindelöf. Man hat nur noch nachzuweisen, dass die Funktion f . t; y / D 1=. 1 C jy j / bezüglich des zweiten Arguments einer globalen Lipschitzbedingung genügt:

ˇ ˇ jf . t; y /  f . t; v /j D ˇ

ˇ

1 1 ˇ  ˇ . 1 C jy j / . 1 C jv j /

 jjy j  jv jj



D

jjy j  jv jj . 1 C jy j / . 1 C jv j /

jy  v j:

Lösung zu Aufgabe 7.3. In einem beliebigen Punkt . t; y / gilt unter den angegebenen Bedingungen für den in (7.6) betrachteten lokalen Verfahrensfehler insbesondere

. t; h / h

D

'. t; y I h / 

z. t C h /  y ! 0 h

für h ! 0:

Die angegebene Konsistenzbedingung erhält man nun wegen '. t; y I h / ! '. t; y I 0 / und . z. t C h /  y /= h ! z 0 . t / D f . t; y / jeweils für h ! 0.

134

Kapitel 7

Einschrittverfahren für Anfangswertprobleme

Lösung zu Aufgabe 7.4. Mit dem Euler-Verfahren erhält man für das vorliegende Anfangswertproblem die Näherungen

u0 D 0;

u1 D 0 C hg. t0 / D hg. t0 /;

u2 D u1 C hg. t1 /

D

h. g. t0 / C g. t1 / /; : : : ;

wobei hier und im Folgenden die Bezeichnung t` D a C `h verwendet wird. Allgemein erhält man mit vollständiger Induktion

uN D h

N 1 X

g. t` /;

`D0

Rb

was einer summierten Rechteckregel zur Approximation des Integrals a g. t / dt entspricht. Nach Theorem 7.10 in [26] über die Konvergenzordnung von Einschrittverfahren beziehungsweise auch mit Theorem 6.18 in [26] über den Fehler bei den summierten Rechteckregeln gilt Z b

uN D

a

g. t / dt C O. h /

für h ! 0:

Nun wird das Verfahren von Heun betrachtet. Es liefert für das vorliegende Anfangswertproblem die Näherungen

D

h . g. t0 / C g. t1 / /; 2

u0 D 0;

u1

0 C

u2 D u1 C

h . g. t1 / C g. t2 / / 2



D

h



g . t0 / g . t2 / C g. t1 / C ;:::; 2 2

und mit vollständiger Induktion erhält man die Darstellung

uN

D

h

 g. t

0/

2

C

N 1 X



g. t` / C

`D1

g . tN / ; 2

Rb

was der summierten Trapezregel zur numerischen Integration des Integrals a g. t /dt entspricht. Nach Theorem 7.10 in [26] über die Konvergenzordnung von Einschrittverfahren beziehungsweise auch mit Theorem 6.19 in [26] über den Fehler bei der summierten Trapezregel gilt

uN D

Z b a

g. t / dt C O. h2 /

für h ! 0:

Lösung zu Aufgabe 7.5. Mittels einer Integration der vorliegenden gewöhnlichen Differenzialgleichung erhält man die exakte Lösung y. t / D t 2 =2t 4 =4 D t 2 . 2t 2 /=4, und das Euler-Verfahren liefert

u`

D ./

D



u`1 C h . `  1 /h  . . `  1 /h /3 h u0 C h h

2 2

. `  1 /` .`  1/ `  h3 2 4

./

D

u0 C h

`1 X



j h  . j h /3



j D1

i D u0 C

 h . `  1 /` 2  h2 . `  1 /` : 4 2

135

Lösungen

Hierbei erhält man die Identität . / durch vollständige Induktion und die Identität . / durch bekannte Summendarstellungen. Im Fall u0 D 0 und t D `h erhält man folglich

u`

D

t2 `  1

`1 2t 4 ` `

!

t2 .2  t2 / 4

D

für ` ! 1:

y. t /

Damit ist die vorliegende Aufgabe gelöst. Lösung zu Aufgabe 7.7. (a) In der vorliegenden Situation gilt f . t; y / D 1  y . Es wird nun mittels vollständiger Induktion über j Folgendes nachgewiesen:

f Πj  D . 1 /j . 1  y /

für j D 0; 1; : : : :

(L-7.1)

Die Identität in (L-7.1) ist für j D 0 offensichtlich richtig, und sie sei nun für ein j  0 als gültig angenommen. Dann berechnet man

f Πj C1  D

@f Πj 

@f Πj   f . t; y / @y

C

@t

0 C . 1  y /. 1 /j . 1  y /. 1 /

D

D . 1 /j C1 . 1  y /; und damit ist (L-7.1) nachgewiesen. Die Verfahrensfunktion ' des Taylor-Verfahrens für p 2 N ist demnach von der Form

'. t; y I h /

D

p X

.

j D1



 h /j 1 . 1  y /: jŠ

(b) In der Situation p D 2 erhält man die Verfahrensfunktion '. t; y I h / D . 1  h=2 /. 1  y /. Die Approximationen des zugehörigen Einschrittverfahrens sind von der Form

u`

D u`1 C '. t`1 ; u`1 I h / D ./

D





1  h 1

h  2

D 

u`1 C h 1 

 h u`1 C h 1  . 1  u`1 / 2

h 2

h `1 i   X h  ` h k  h 1  h 1 u0 C h 1 1  h 1 2

D

......

D

......

2

kD0

C

2

1  Π1  h. 1  h=2 / `  h h 1 2 h. 1  h=2 /

 h  ` C 1  1  h 1 : 2

Hierbei folgt die Identität . / durch vollständige Induktion. Mit der speziellen Wahl u0 D 0 erhält man also ( mit der Schrittweite h D 1=n ) den Wert

un

D

 h  n 1  1  h 1 2

136

Kapitel 7

Einschrittverfahren für Anfangswertprobleme

als Approximation an die exakte Lösung y im Punkt t D 1. Die exakte Lösung y lässt sich bei der vorliegenden einfachen Differenzialgleichung auch angeben, y. t / D 1  e t für 0  t  1. Damit und mit der Taylorentwicklung

h2 h3 C eıh 2 6

e h D 1  h C

für ein 0  ı  1

lässt sich hier der Fehler un  y. 1 / genau angeben:

h i  h n un  y. 1 / D e 1  1  h 1  h

h i h3 n e 1  e h  e ıh

D

2

D . e 1=n /n  e 1=n  eıh

3

h 6

in

6

:

Für die weitere Bearbeitung wird die Ungleichung

j. c C b /n  c n j  njb jc n1

für c > 0;

b > > > > =

> > > Z 1Z 1 Z 1 > > f . t C sh; y. t C sh / / d ds D . 1  s /f . t C sh; y. t C sh / / ds:; 0

0

(L-8.5)

0s 1

s

0

Ersetzung der Zahl h durch die Zahl h in dem in (L-8.5) gewonnenen Resultat liefert

 1

1 y. t  h /  y. t / C y 0 . t / h h2

Z

D

0

1

. 1  s /f . t  sh; y. t  sh / / ds; (L-8.6)

und eine Addition der Resultate in (L-8.5) und (L-8.6) liefert Teil (a) der vorliegenden Aufgabe. (b) Bekanntermaßen ( siehe Darstellung (8.8) ) gilt für das zu den Stützpunkten . t` ; f` /; . t`C1 ; f`C1 /; : : : ; . t`Cm1 ; f`Cm1 / gehörende eindeutig bestimmte interpolierende Polynom P 2 …m die Darstellung

P. t`Cm1 C sh /

D

m1 X

  j . 1 /j s j r f`Cm1

für s 2 R :

(L-8.7)

j D0

Verwendet man die in Teil (a) der vorliegenden Aufgabe gewonnene Darstellung mit den speziellen Setzungen t D t`Cm1 ; t C h D t`Cm und t  h D t`Cm2 und ersetzt

146

Kapitel 8

Mehrschrittverfahren für Anfangswertprobleme

dann noch den Integranden durch das in (L-8.7) auftretende Polynom, so erhält man

u`Cm  2u`Cm1 C u`Cm2 Z 1   D h2 . 1  s / P. t`Cm1 C sh / C P. t`Cm1  sh / ds 0

h2

D

Z

1 0

h2

D

.1  s/

  m1 m1   j   j X X j s r r .1/j s f C . 1 / f `Cm1 `Cm1 ds j j j D0

m1 X h j D0

. 1 /j „

Z

1 0

j D0

   s  i j . 1  s / s C ds r f`Cm1 : j j ƒ‚ … D j

Dies liefert gerade das in der Aufgabenstellung angegebene Störmer-Verfahren. Im speziellen Fall m D 2 ergeben sich unter Beachtung der Identitäten

 s 

D

0

s

 s 

D 1;

0

0

s

D s;

1

1

D s;

D

22

D

h2 f`C1 :

1

r f`C1 D f`C1 ;

r f`C1 D f`C1  f`

die folgenden Gewichte: Z

0 D

1

0

1

.1  s/

 s  0

C

 s  0

Z

ds

D 2  1 D 1; Z 1     D . 1  s / s1 C 1s ds 0

D

2

D

0:

0

1

ˇ

. 1  s / ds

s 2 ˇsD1 ˇ 2 sD0

Das Störmer-Verfahren hat für m D 2 demnach die Form

u`C2  2u`C1 C u`

h2 . 0 r 0 f`C1 C 1 r 1 f`C1 /

D

In der Situation m D 3 lassen sich die Gewichte aus dem Fall m D 2 übernehmen, da diese von der speziellen Wahl von m unabhängig sind, es gilt demnach

0 D 1;

1 D 0:

Für das Gewicht 2 ergibt sich unter Beachtung der Identitäten

 s  2

s .  s  1 / 2

D

r 0 f`C2 D f`C2 ; r 2 f`C2

s

s2 C s ; 2

D

2

D

r 1 f`C2 D f`C2  f`C1 ;

r 1 f`C2  r 1 f`C1

D

s. s  1 / 2

D

D

f`C2  2f`C1 C f` ;

Folgendes: Z

2 D D

1 0

.1  s/

 s 

s3 s 4 ˇˇsD1  3 4 sD0

2

C

D

 s  2

1 : 12

Z

ds

D

1

2 0

. 1  s /s 2 ds

s2  s ; 2

147

Lösungen

Das Störmer-Verfahren hat für m D 3 demnach die Form

  u`C3  2u`C2 C u`C1 D h2 0 r 0 f`C2 C 1 r 1 f`C1 C 2 r 2 f`C2   1 D h2 f`C2 C 0 C . f`C2  2f`C1 C f` / D

h

2

 13 12

12

 1 1  f`C1 C f` : 6 12

f`C2

Lösung zu Aufgabe 8.7. Die Funktion Q. ; h / D . /  h . / kann in der Form

D

Q. ; h /

. ˛m C hˇm /

m Y

.  s . h / /

sD1

geschrieben werden. Wegen Q. ; h / ! . / für h ! 0 und der Nullstabilität ( s . 0 / ¤ 1 für s  2 ) gilt

s2W

1 . h / ! 1 . 0 / D 1

. h ! 0 /;

s . h / ! s . 0 / ¤ 1

.......

:

Die vorliegende Konsistenzordnung p impliziert

Q. eh ; h / D O. hpC1 /

für h ! 0;

und außerdem gilt

j˛m C hˇm j  C s2W

je

h

für jhj  ı; ......

 s . h /j  C

mit geeigneten Zahlen C > 0 und ı > 0. Daraus erhält man

j 1 . h /  e h j  C m j˛m C hˇm j

m Y

je h  s . h /j

D

C m jQ. e h ; h /j

sD1

D O. hpC1 /

für h ! 0:

Lösung zu Aufgabe 8.8. Für den Fall m D 1 besitzt das zugehörige BDF-Verfahren die Form u`C1  u` D h f`C1 für ` D 0; 1; : : : ; n  1;

„ ƒ‚ … D ru`C1

was mit dem impliziten Euler-Verfahren identisch ist. Das zugehörige charakteristische Polynom ist hier . / D  1 mit der einzigen Nullstelle 1 D 1, so dass Nullstabilität vorliegt. Im Fall m D 2 gilt

r 1 u`C2 C

1 2 r u`C2 2

D

D

u`C2  u`C1 C

D

u`C2  u`C1 C

u`C2  u`C1 C

1 . r 1 u`C2  r 1 u`C1 / 2

 1  u`C1  . u`C1  u` / u 2 `C2

 1 3 1 u`C2  2u`C1 C u` D u`C2  2u`C1 C u` ; 2 2 2

148

Kapitel 8

Mehrschrittverfahren für Anfangswertprobleme

und das zugehörige BDF-Verfahren hat demnach folgende Form,

3 1 u  2u`C1 C u` 2 `C2 2

D

für ` D 0; 1; : : : ; n  2:

h f`C2

Das zugehörige charakteristische Polynom ist hier

D

. /

3 2 1

 2 C 2 2

und daher gilt

. / D 0

”

r

2 ˙ 3

D

3 2 4 1

 C ; 2 3 3

D

4 1  9 3

D

2 1 ˙ 3 3

DW

1=2 :

Die beiden Nullstellen des charakteristischen Polynoms lauten folglich

1 D 1;

2 D

1 ; 3

so dass Nullstabilität vorliegt. Im Fall m D 3 schließlich gilt

r 1 u`C3 C

1 2 1 r u`C3 C r 3 u`C3 2 3 1 1 1 . r u`C3  r 1 u`C2 / C . r 2 u`C3  r 2 u`C2 / 2 3

D

r 1 u`C3 C

D

u`C3  u`C2 C C

D

 1 u`C3  2u`C2 C u`C1 2

 1 u`C3  2u`C2 C u`C1  . u`C2  2u`C1 C u` / 3

11 3 1 u  3u`C2 C u`C1  u` ; 6 `C3 2 3

und das zugehörige BDF-Verfahren hat demnach folgende Form,

11 3 1 u  3u`C2 C u`C1  u` 6 `C3 2 3

D

hf`C3

für ` D 0; 1; : : : ; n  3:

Das zugehörige charakteristische Polynom ist hier

. /

D

11 3 3 1

 3 2 C  6 2 3

D

11  3 18 2 9 2 

C



 : 6 11 11 11

Als eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms erkennt man 1 D 1, und eine Deflation liefert 6 . / 7 2 D 2 

C DW b . /: 11  1 11 11 Es gilt

b. / D 0

”

D

7 ˙ 22

r

49 4  22 222

D

p 39 7 ˙ i 22 22

DW

2=3 :

Für die Beträge der beiden weiteren Nullstellen 2=3 des charakteristischen Polynoms gilt demnach 49 39 88 j 2=3 j D C D < 1; 484 222 222 so dass Nullstabilität vorliegt. Damit ist die vorliegende Aufgabe gelöst.

149

Lösungen

Lösung zu Aufgabe 8.9. Die angegebene Konsistenzordnung ergibt sich unmittelbar aus Lemma 8.16 in [26]. Das zu dem Verfahren (8.11) gehörende erzeugende Polynom ist . / D 2 C 4  5 mit den Wurzeln 1=2 D 2 ˙ 3. Es gilt 1 D 1 und 2 D 5, so dass also keine Nullstabilität vorliegt. Anwendung des Verfahrens (8.11) auf die Testgleichung y 0 D y führt auf die Differenzengleichung

u`C2 C 4. 1 C h /u`C1 C . 5 C 2h /u` D 0 für ` D 0; 1; : : : ; n  2: (L-8.8) Das zugehörige charakteristische Polynom lautet

. /

D

2 C 4. 1 C h / C 2h  5;

2 C;

mit den Nullstellen

p 4 C 8h C 4h2 C 5  2h q D 2  2h ˙ 3 1 C 23 h C 49 h2 :

1=2 D 2  2h ˙

Die allgemeine Lösung von (L-8.8) ist demnach

u`

D

c1 1` C c2 2`

für ` D 0; 1; : : : :

(L-8.9)

Anpassung dieser allgemeinen Lösung an die exakten Anfangsbedingungen u0 D 1 und u1 D e h führt auf die beiden gekoppelten linearen Gleichungen u0 D c1 Cc2 D 1 beziehungsweise u1 D c1 1 C c2 2 D e h . Deren Lösung ist

c1

D

2  e h ;

2  1

c2

D

eh  1 :

2  1

(L-8.10)

Zur Beschreibung des Verhaltens der Approximationen u` aus (L-8.9) verwendet man

p

1Cx

D

1 C

1 1 1 3 5 4 x  x2 C x  x C O. x 5 / 2 8 16 128

für x ! 0

und erhält

q

1 C

2 h 3

C

4 2 h 9

D

1 C

1 1 1 3 1 4 h C h2  h C h C O. h5 / 3 6 18 216

für h ! 0. Für die Nullstellen des charakteristischen Polynoms die folgenden Taylorentwicklungen,

 1 1 1 3

1 D 2  2h C 3 1 C h C h2  h C 3

D 1h C

6

18

ergeben sich daraus

 1 4 h C O. h5 / 216

1 2 1 1 4 h  h3 C h C O. h5 / 2 6 72

D e h C O. h4 /

für h ! 0

(L-8.11) (L-8.12)

beziehungsweise

  1

2 D 2  2h  3 1 C h C O. h2 / D 5  3h C O. h2 / 3

(L-8.13)

150

Kapitel 8

Mehrschrittverfahren für Anfangswertprobleme

für h ! 0. Für die Koeffizienten c1 und c2 aus (L-8.10) erhält man mit diesen Darstellungen (L-8.11), (L-8.12) und (L-8.13) die Identitäten 2  1 D 6 C O. h / und

c1 D

2  e h

2  1

D

1 C O. h4 /

c2 D

e h  1

2  1

D



für h ! 0;

1 4 h C O. h5 / 216

für h ! 0:

Mit der Notation h D t=` für einen fest gewählten Wert t ¤ 0 und mit den Startwerten u0 D 1 und u1 D e h nimmt die Lösungsfolge u 2 s. R / der Differenzengleichung (8.11) dann folgende Gestalt an,

u` D c1 1` C c2 2` D . 1 C O. h4 / /. e h C O. h4 / /` 

 ` 1 4 h . 1 C O. h / /  5  3h C O. h2 / 216 (L-8.14)

für h ! 0. Zur Behandlung des ersten Summanden der rechten Seite in (L-8.14) berechnet man noch



e h C O. h4 /

`

D

e t . 1 C O. h4 / /`

!

e t

für h ! 0;

wobei sich die angegebene Konvergenz unter Berücksichtigung von

. 1 C O. h4 / /t = h D exp. t ln. 1 C O. h4 / /= h / D exp. tO. h3 / / ! 1 für h ! 0 ergibt. Für die Bearbeitung des zweiten Summanden der rechten Seite in (L-8.14) berechnet man



` `  3t D . 5 /` 1 C C O. . t=` /2 /  5  3h C O. h2 / 5`    3t D . 5 /` exp ` ln 1 C C O. . t=` /2 / 5`    3t D . 5 /` exp ` ln 1 C C O. . t=` /2 / 5`   3 t ` O. t 2 =` / ` D . 5 / D . 5 /`e 3t =5 . 1 C O. 1 / / e 1 C 5` „ ƒ‚ … „ ƒ‚ … ! 1 ! e 3t =5

für ` ! 1:

Daraus resultiert die in der Aufgabenstellung angegebene Darstellung für u` . Lösung zu Aufgabe 8.10. Es sind hier die Ergebnisse der Verfahren jeweils für ausgewählte Zeiten angegeben, zunächst für das zweischrittige Verfahren (8.11):

151

Lösungen

`

t

u`

y. t /

0 1 2

0.00 0.01 0.02

1.0000 0.9900 0.9802

:: :

:: :

1.0000e+00 9.9005e01 9.8020e01 9.0436e01 8.9821e01 8.7495e01 9.3830e01 5.6654e01 2.3839e+00 6:8096e+00 3.9382e+01 1:9302e+02 9.7591e+02 4:9039e+03

0.9048 0.8958 0.8869 0.8781 0.8694 0.8607 0.8521 0.8437 0.8353 0.8270 0.8187

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

:: :

0.10 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15 0.16 0.17 0.18 0.19 0.20

:: :

:: : 40 60 80 100

0.40 0.60 0.80 1.00

:: : 5:2730e+17 5:6690e+31 6:0947e+45 6:5524e+59



t 4 . 5 /` 3t =5 e 216 `4 2.3287e10 1:1714e09 :: : 4:8007e04 2.4148e03 1:2147e02 6.1099e02 3:0733e01

:: :

1.5459e+00

7:7760e+00 3.9114e+01

1:9675e+02 9.8966e+02

4:9781e+03 :: : 5:3528e+17 5:7556e+31 6:1888e+45 6:6546e+59

:: : 0.6703 0.5488 0.4493 0.3679

Es folgen nun die Resultate des betrachteten dreischrittigen Verfahren:

:: :

`

t :: :

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

0.10 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15 0.16 0.17 0.18 0.19 0.20

:: :

:: :

40 41

0.40 0.41

:: :

:: :

70 71

0.70 0.71

:: :

:: :

100

1.00

u` für ˇ D 9 :: : 9.048e01 8.966e01 8.791e01 9.563e01 9.144e02 8.600e+00

7:614e+01 7.668e+01

7:619e+03 7.581e+04

7:542e+05 :: : 6:802e+25 6.767e+26

:: : 5:878e+38 2.957e+39

:: : 6:5524e+59

u` für ˇ D 0 :: :

y. t / :: :

0.9048 0.8958 0.8869 0.8781 0.8694 0.8607 0.8521 0.8437 0.8353 0.8270 0.8187

0.9048 0.8958 0.8869 0.8781 0.8694 0.8607 0.8521 0.8437 0.8353 0.8270 0.8187

:: :

:: :

0.6703 0.6637

0.6703 0.6637

:: :

:: :

0.4966 0.4917

0.4966 0.4916

:: :

:: :

0.3679

0.3679

152

Kapitel 8

Mehrschrittverfahren für Anfangswertprobleme

Lösung zu Aufgabe 8.11. Es sind die Ergebnisse der Verfahren jeweils für ausgewählte Stellen angegeben.

 D 1:0; t

y. t /

h D 0:1

Verfahren von Milne u` Anzahl Schritte 0.9048 0 0.8187 0 0.7408 0 0.6703 1

Verfahren von Hamming u` Anzahl Schritte 0.9048 0 0.8187 0 0.7408 0 0.6703 1

0.1 0.2 0.3 0.4

0.9048 0.8187 0.7408 0.6703

:: :

:: :

:: :

:: :

:: :

:: :

1.0 2.0 3.0

0.3678 0.1353 0.0050

0.3678 0.1353 0.0050

1 1 1

0.3678 0.1353 0.0050

1 1 1

:: :

:: :

:: :

:: :

:: :

:: :

0.000045 0.000017 0.000006

0.000044 0.000015 0.000003

4 4 5

0.000044 0.000017 0.000006

1 1 1

:: :

:: :

:: :

:: :

:: :

10.0 11.0 12.0

:: :

 D 1:0; t

y. t /

0.1 0.2 0.3 0.4

1.11 1.22 1.35 1.49

:: :

:: :

1.0 2.0 3.0 4.0

:: : 10.0 11.0

:: :

2.72 7.39 20.09 54.60

:: : 22026.47 59874.14

:: :

h D 0:1

Verfahren von Milne u` Anzahl Schritte 1.11 0 1.22 0 1.35 0 1.49 1

:: : 2.72 7.39 20.09 54.60

:: : 22026.47 59874.14

:: :

:: : 1 1 1 1

:: : 1 1

:: :

Verfahren von Hamming u` Anzahl Schritte 1.11 0 1.22 0 1.35 0 1.49 1

:: : 2.72 7.39 20.09 54.60

:: : 22026.77 59875.05

:: :

:: : 1 1 1 1

:: : 1 1

:: :

Lösung zu Aufgabe 8.12. Hier wird nur die Darstellung für 1 Œ   nachgewiesen, die Darstellung für 1 Œ   ergibt sich ganz ähnlich oder einfach aus der Identität 1 Œ A  D 1 Œ A>. Für die Herleitung der Darstellung für 1 Œ   berechnet man für

153

Lösungen

hinreichend klein gewähltes h > 0 Folgendes,

jj I C hA jj1  1 h

1 h

D

>0 für h klein

±  ° ‚ …„ ƒ N X max jaj k j  1 j 1 C hajj j C h



j D1;:::;N

kD1 k¤j

±   ° N X 1 jaj k j  1 1 C h max ajj C h j D1;:::;N

D

kD1 k¤j

° D

max

j D1;::: ;N

N X

ajj C

± jaj k j ;

kD1 k¤j

was wegen 1 Œ A  D limh!0C . jj I C hA jj1  1 /= h die in der Aufgabenstellung angegebene Darstellung liefert. Lösung zu Aufgabe 8.13. Im Folgenden wird einige Male die folgende Identität benötigt,

. 1 C 2ah C bh2 /1=2 D 1 C ah C O. h2 /

für h ! 0

. a; b 2 R /; (L-8.15)

wobei man diese Identität (L-8.15) mittels einer Taylorentwicklung gewinnt: die Funktion f . h / D . 1 C 2ah C bh2 /1=2 ist in einer Umgebung von h D 0 zweimal stetig differenzierbar und es gilt f . 0 / D 1; f 0 . 0 / D a. (a) Sei  2 C ein Eigenwert der Matrix A und x 2 CN ein zugehöriger normierter Eigenvektor, es gilt also Ax D x; jj x jj D 1. Dann berechnet man

jj . I C hA /x jj  1 h

jj . 1 C h /x jj  1 h

D

D

Π. 1 C h Re  /2 C . h Im  /2 1=2  1 h

D

Re  C O. h /

j1 C hj  1 h

D

1 C . Re  /h C O. h2 /  1 h

D

für h ! 0:

Daher gilt

jj I C hA jj  1 h

Re  C O. h /



für h ! 0

und damit

ΠA  D

lim h!0C

jj I C hA jj  1 h



Re :

Es gilt in Teil (a) im Allgemeinen Ungleichheit, was sich leicht mit der in Teil (b) vorgestellten Identität einsehen lässt. Als Beispiele können demnach alle durch Skalarprodukte induzierte Normen beziehungsweise Matrizen A 2 CN N mit der Eigenschaft max

0¤x2C N ; jj x jjD1

Reh Ax ; x i >

max Re 

2. A /

154

Kapitel 8

Mehrschrittverfahren für Anfangswertprobleme

herangezogen werden. Ein spezielles Beispiel ist

 A

D

 0 1 0 0 ;

h x ; y i D x H y:

(b) Es bezeichne im Folgenden

 D

max

x2C N ; jj x jjD1

Reh Ax ; x i :

Für den Nachweis von  Œ A    wählt man einen Vektor x 2 CN ; jj x jj D 1, mit der Eigenschaft Reh Ax ; x i D  und erhält damit Folgendes:

jj . I C hA /x jj  1 h

h . I C hA /x ; . I C hA /x i1=2  1 h

D

D

. 1 C 2h C h2 jj Ax jj2 /1=2  1 h

D

 C O. h /

D

1 C h C O. h2 /  1 h

für h ! 0:

Daher gilt

jj I C hA jj  1 h

 C O. h /



für h ! 0

und damit

ΠA  D

jj I C hA jj  1 h

lim h!0C



:

Für den Nachweis von  Œ A    wählt man einen beliebigen Vektor x 2 CN mit jj x jj D 1 und erhält damit Folgendes:

 …„ ƒ . 1 C 2h Reh Ax ; x i C h2 jj Ax jj2 /1=2  1 h ‚

jj . I C hA /x jj  1 h

 D

D

. 1 C 2h C h2 jj A jj2 /1=2  1 h

 C O. h /

1 C h C O. h2 /  1 h

D

für h ! 0;

wobei die zu dem Ausdruck O. h / gehörende Konstante naheliegender unabhängig von x gewählt werden kann, da die direkt zuvor auftretenden Koeffizienten unabhängig von x sind. Daher gilt

jj I C hA jj  1 h



 C O. h /

für h ! 0

und damit

ΠA  D

lim h!0C

jj I C hA jj  1 h



:

155

Lösungen

Lösung zu Aufgabe 8.14. Hier ist

1 Œ A  D max¹ 10 C 12; 12  20 º D max¹ 2; 8 º D 2; 1 Œ A  D 1 Œ A> D 1 Œ A  D 2; und für die Ermittlung von 2 Œ A  ist die Bestimmung der Eigenwerte der Matrix A erforderlich. Es gilt

0

det. A  I /

D det @

1

10  

12

12

20  

A

D . 10   /. 20   /  144

2 C 30 C 56

D

beziehungsweise det. A  I / D 0

”

 D 15 ˙

p 225  56 D 15 ˙ 13 DW 1=2 ;

das heißt, die Eigenwerte der Matrix A sind 1 D 2 und 2 D 28. Es gilt demnach

2 Œ A  D max¹ 2; 28 º D 2: Lösung zu Aufgabe 8.15. Die zugrunde liegende partielle Differenzialgleichung wird in zweierlei Hinsicht diskretisiert: sie wird bezüglich des Ortsintervalls Œ a; b  lediglich an ausgewählten Punkten betrachtet, die hier äquidistant gewählt seien, .

xj D j .............. x;

für j D 0; 1; : : : ; N;

(L-8.16)

und die partiellen Ableitungen in Ortsrichtung werden dabei jeweils durch zentrale Differenzenquotienten zweiter Ordnung approximiert,



@2 u . xj ; t / D @x 2

μ u. xj 1 ; t / C 2u. xj ; t /  u. xj C1 ; t / . ............... x /2 /; C O. .. (L-8.17) ............. x /2 j D 0; 1; : : : ; N:

Hierbei wird u 2 C 4 . Œ a; b   Œ 0; 1  / angenommen. Vernachlässigung des Restglieds in (L-8.17) führt unmittelbar auf das folgende gekoppelte System von N C 1 gewöhnlichen Differenzialgleichungen,

yj0 . t / D

μ

 1

yj C1 . t /  2yj . t / C yj 1 . t / C f . xj ; t / für t 2 Œ 0; 1 ; (L-8.18) . x /2 .... ..........

j D 0; 1; : : : ; N;

für die Approximationen

yj . t /



für 0  t  1;

u. xj ; t /

j D 0; 1; : : : ; N:

Die Randbedingungen sind ebenfalls noch zu diskretisieren. Hierzu werden die auftretenden partiellen Ableitungen jeweils durch zentrale Differenzenquotienten erster Ordnung approximiert, .

@u . a; t / @x

D

@u . b; t / @x

D

.

u. a C .............. x; t /  u. a  .............. x; t / C O. ............... x /2 /; 2.............. x . . u. b C .............. x; t /  u. b  .............. x; t / . C O. ............... x /2 /: . 2.............. x

156

Kapitel 8

Mehrschrittverfahren für Anfangswertprobleme

Dies erscheint auf den ersten Blick wegen des auftretenden Randes nicht sinnvoll, ist aber wegen der in dem System (L-8.18) von Differenzialgleichungen auftretenden . Funktionen y1 . t / u. a............. x; t / und yN C1 . t / u. b C............. x; t / letztlich doch möglich. Man setzt

y1 WD y1 ;

yN C1 WD yN 1 ;

so dass (L-8.18) in ein System von N C 1 Differenzialgleichungen für die N C 1 zu bestimmenden Funktionen y0 ; y1 ; : : : ; yN übergeht. Die Anfangsbedingungen werden naheliegenderweise ebenfalls nur an den Gitterpunkten x0 ; x1 ; : : : ; xN betrachtet und führen auf die Forderung

yj . 0 / D g. xj /

für j D 0; 1; : : : ; N:

Zusammenfassend lässt sich festhalten, dass das zugrunde liegende Anfangs-Randwertproblem für die Wärmeleitungsgleichung durch ein Anfangswertproblem für ein System von gewöhnlichen Differenzialgleichungen approximiert worden ist. In Matrix-Vektor-Schreibweise nimmt dieses folgende Form an:

y 0 . t / D Ay. t / C z. t /

für t 2 Œ 0; 1 ;

y. 0 / D G0 ;

mit den Notationen

0

1 2 2 0 1 f . x0 ; t / C B 1 2 1 C B B C : : C B B f . x1 ; t / C 1 :: :: C B B C C ; z. t / D B B :: C :: :: :: C B : @ A : : : C B @ 1 2 1 A f . xN ; t / 2 2 0

1

y0 . t / B C B y1 . t / C B y. t / D B : C C; A D @ :: A yN . t /

1 .

.............. x /2

sowie dem Startvektor G0 D . g. x0 /; g. x1 /; : : : ; g. xN / / 2 R N C1 . Der verwendete Ansatz zur Diskretisierung des vorgegebenen Anfangs-Randwertproblems wird im übrigen als Linienmethode bezeichnet. Für die resultierende Matrix A gilt offensichtlich 1 Œ A  D max¹ 2  2; 1  2 C 1 º D 0, während etwa 1 Œ A  D max¹ 2  1; 2  2 C 1 º D 1 nicht das Gewünschte leistet. Lösung zu Aufgabe 8.16. Es erweist sich im Folgenden die Identität

ΠA  D

lim h!C0

jj ehA jj  1 h

(L-8.19)

als hilfreich, die man so erhält:

ˇ hA ˇ jj I C hA jj  1 ˇ ˇ jj e jj  1  ˇ ˇ h

D

h

jj

1 1 X . hA /k jj h kŠ

e

hjj A jj



kD2

D

2

jj A jj h ! 0

D

jjj e hA jj  jj I C hA jjj h

1 1 X jj hA jjk h kŠ kD2

für h ! C0:

./





jj e hA  . I C hA / jj h

1 jj hA jj e jj hA jj2 h

157

Lösungen

Dabei geht in . / eine Abschätzung der folgenden Form ein: 1 X xk kDj

 X  1 x kj xj

D

kŠ

kDj

kŠ

 X 1



kDj



x kj xj . k  j /Š

9 > =

ex x j

D

j 2 N0 :

für x  0;

(L-8.20)

> ;

Damit ist die Darstellung (L-8.19) nachgewiesen, die nun die Behandlung der eigentlichen Aufgabenstellung ermöglicht. Es genügt dabei nachzuweisen, dass die Differenz der von h abhängenden Terme der rechten Seiten in (L-8.19) beziehungsweise der Definition der logarithmischen Norm für h ! C0 gegen null konvergieren:

ˇ ˇ jj e hA jj  1 ˇ ˇ ln jj e hA jj  ˇ ˇ h

h

D

j ln jj e hA jj  . jj e hA  1 jj /j h

D

 jj e hA jj  1 2 2 h

./



h

./



2jj A jj2e 2hjj A jj h ! 0

2

. jj e hA jj  1 /2 h

für h ! C0:

Hierbei resultiert . / aus einer Anwendung der Abschätzung (L-8.20), und in der Abschätzung . / ist die Zahl h > 0 hinreichend klein gewählt, so dass jj e hA jj  1=2 erfüllt ist. Letztlich geht in . / eine Abschätzung der Form

j ln. 1 C x /  x j



2x 2

für x  

1 2

(L-8.21)

ein, wobei man diese Abschätzung (L-8.21) mittels einer Taylorentwicklung gewinnt:

d2 1 ln. 1 C x / D  ; . 1 C x /2 dx 2

d 1 ln. 1 C x / D ; 1Cx dx

x > 1;

und daher ln. 1 C x / D x 

1 x2 2 . 1 C ıx / 2

mit

0  ı D ı. x /  1;

x > 1:

Daraus erhält man wegen 1Cıx  1=2 für x  1=2 die Abschätzung (L-8.21). Damit ist die vorliegende Aufgabe gelöst. Lösung zu Aufgabe 8.17. Die in der Aufgabenstellung angegebene Identität erhält man mit der nachfolgenden Rechnung, wobei dort noch c ¤ 0 angenommen ist:

 ΠcA 

D

lim h!0C

jj I C c hA jj  1 h

D

c lim

h!0C

jj I C c hA jj  1 ch

D

c ΠA :

Im Fall c D 0 ist die Aussage wegen  Œ 0  D 0 offensichtlich richtig. Für den Nachweis der in der Aufgabenstellung angegebenen Ungleichung lässt sich beispielsweise Aufgabe 8.16 verwenden,

ΠA C B  D

lim

ln jj e h.ACB/ jj

h!C0

 lim sup h!C0

h ln jj e hA jj

h

./



lim sup

 ln jj e hA jj

h!C0

C lim sup h!C0

ln jj e hB jj

h

h

D

C

ln jj e hB jj



h

 ΠA  C  ΠB :

158

Kapitel 8

Mehrschrittverfahren für Anfangswertprobleme

Die Abschätzung . / erhält man dabei folgendermaßen: ln jj e h

. ACB /

jj

D

ln jj e hA e hB jj



ln. jj e hA jjjj e hB jj /

D

ln jj e hA jj C ln jj e hB jj:

Damit ist die vorliegende Aufgabe gelöst. Lösung zu Aufgabe 8.18. Es wird zunächst 1 Œ A   0 angenommen, was gleichbedeutend mit N X

jaj k j  ajj

für j D 1; 2; : : : ; N

kD1 k¤j

ist. Für eine beliebig gewählte reelle Zahl h mit

0 < hjj A jj1  2

(L-8.22)

hat man für den Nachweis von jj I C hA jj1  1 für jeden Index 1  j  N zwei Situationen zu unterscheiden: (i) Im Fall 1  jajj jh gilt j1 C hajj j D hjajj j  1 beziehungsweise

j1 C hajj j C h

N X kD1 k¤j

jaj k j D h

° X N

± ./ jaj k j  1  1;

kD1

wobei . / eine Folgerung aus der Eigenschaft (L-8.22) ist. (ii) Im Fall hjajj j  1 gilt j1 C hajj j D 1  hjajj j beziehungsweise

j1 C hajj j C h

N X kD1 k¤j

  N X jaj k j D 1 C h ajj C jaj k j „

kD1

ƒ‚  0



1:

…

Insgesamt erhält man so die nachzuweisende Abschätzung jj I C hA jj1  1: Für den Nachweis der anderen Richtung der in der Aufgabenstellung angegebenen Äquivalenz sei nun jj I C hA jj1  1 für alle Zahlen h mit 0 < h  2=jj A jj1 erfüllt. Für alle solche Werte von h gilt dann trivialerweise auch jj I C hA jj1  1  0 beziehungsweise 1 Œ A  D limh!0C . jj I C hA jj1  1 /= h  0. Damit ist die vorliegende Aufgabe gelöst.

159

9

Randwertprobleme bei gewöhnlichen Differentialgleichungen – Lösungen

Lösung zu Aufgabe 9.1. (a) Wegen der Eindeutigkeit der Lösung des betrachteten Randwertproblems (9.1) genügt es zu zeigen, dass Z 1

u. x / D

0

für x 2 Œ 0; 1 

G. x; / '. / d

mit der greenschen Funktion aus (9.2) eine Lösung von (9.1) darstellt. Offenbar gilt u 2 C 2 Œ 0; 1  und u. 0 / D u. 1 / D 0. Zur Berechnung der Ableitungen schreibt man die Funktion u in der Form Z x

u. x / D

0

. x  1 / '. / d C

Z 1 x

x.  1 / '. / d

und erhält damit

u 0. x / D D

°Z

x

0

Z 1 0

„

± °Z1 ±

'. / d C x. x  1 / '. x / C .  1 / '. / d  x. x  1 / '. x /

'. / d  ƒ‚ …

Z 1 x

x

'. / d

Dconst:

und daher u 00 . x / D '. x / für x 2 Œ 0; 1 . (b) Mit Teil (a) zu dieser Aufgabe erhält man

D

i Z 1

. 1  x / d C x. 1  / d 0 x ˇ ˇ h i   

2 ˇx

2 ˇ1  x2 x 2  C x 12  x  D " .1  x / " .1  x / ˇ C x  ˇ 2 2 2 2

D

"x. 1  x /=2

ju. x /j



hZ "

x

0

(c) Die Matrix

x

für x 2 Œ 0; 1 :

1 2 1 p p C 1 B 1 p p p p C 2 R .N 1/.N 1/ B D 2B p p p p p p 1 A h @ 1 2 0

ist nach Theorem 9.10 in [26] regulär und es gilt im Ordnungssinn B 1  0. Daraus ergibt sich

jv j D jB 1 b j  B 1 jb j  "B 1 e

mit

e D . 1; 1; : : : ; 1 / 2 R N 1 :

Die j -te Komponente des Vektors B 1 e schließlich stimmt mit xj . 1  xj /=2 überein, was man dem Beweis von Theorem 9.10 in [26] entnimmt.

160

Kapitel 9 Randwertprobleme

Lösung zu Aufgabe 9.2. (a) Folgt unmittelbar aus der Multiplikation mit 1 in den Ungleichungen in der Definition der inversen Monotonie. (b) “H) “ Für einen Vektor x 2 R N mit Ax D 0 gilt

Ax  0

Ý

x  0;

Ý

Ax  0

x  0

und somit x D 0. Damit existiert die inverse Matrix A1 , und aus der Ungleichung b  0 folgt A1 b  0. Insbesondere ist damit der k -te Spaltenvektor a.k/ D A1 ek der Matrix A1 nichtnegativ für k D 1; 2; : : : ; N , so dass sich insgesamt A1  0 ergibt. “(H “ Für jeden Vektor x 2 R N mit b WD Ax  0 gilt nach Annahme x D A1 b  0. (c) Folgt unmittelbar aus Teil (b) dieser Aufgabe. (d) Aufgrund von Teil (b) dieser Aufgabe existiert genau ein Vektor x 2 R N mit Ax D b . Für diesen Vektor gelten die folgenden Implikationen:

Ax1  Ax

”

A. x  x1 /  0

”

x  x1  0;

Ax  Ax2

”

A. x2  x /  0

”

x2  x  0:

Lösung zu Aufgabe 9.3. (a) Sei 1  j  N  1 ein Index mit der Eigenschaft vj D M WD maxkD0; 1;:::;N vk . Wäre vj 1 < M oder vj C1 < M erfüllt, so ergäbe sich der Widerspruch

aj M D aj vj

./

 bj vj 1 C cj vj C1 < bj M C cj M D . bj C cj /M  aj M;

wobei . / aus der Eigenschaft v  0 folgt. Eine Wiederholung dieses Arguments liefert die Lösung zu diesem Aufgabenteil. (b) Für w D u  v gilt nach Voraussetzung w  0, und aufgrund von Teil a) dieser Aufgabe wird wj für j D 0 oder j D N maximal. Da sowohl w0  0 als auch wN  0 gilt, erhält man somit wj  0 für j D 0; 1; : : : ; N . Lösung zu Aufgabe 9.4. (a) Die Matrix A 2 R .N 1/.N 1/ und der Vektor b 2 R N 1 sind von der Form

0

2 1 1 B A D 2B h @

1

pp p pp p

pp p pp p

1 beziehungsweise

0

1

0 p1 B p2 p p p p2 C B pp pp C C 1 B p p 2h B 1A p pp @ 2 0 B B B B b D B B B @

'1 

1

pp p pp p

pN 1

hp  1 1 1 ˛ 2 2 h

0 1 C 0 r1 C p pp C C @ A C A pN 2 0 rN 1 0 1

C C C pp C p C C 'N 2 C hpN 1  A 1 'N 1  2 1 C ˇ '2

h

2

161

Lösungen

mit den Abkürzungen

pj D p. xj /;

rj D r. xj /;

'j D '. xj /

für j D 1; 2; : : : ; N  1:

Hier ist noch zu beachten, dass die Diskretisierung im Gitterpunkt x1 auf die Gleichung u2  2u1 C u0 u  u0 C p1 2 C r1 u1 D '1 2h h2 führt. Das ist gleichbedeutend mit der Identität

u2  2u1 h2

C p1

 u2 1  hp1 C r1 u1 D '1 C 2  1 ˛; 2 2h h

deren rechte Seite mit dem erstem Eintrag des Vektors b übereinstimmt. Entsprechend ergibt sich der letzte Eintrag des Vektors b . (b) Sei u D . u1 ; u2 ; : : : ; uN 1 / 2 R N 1 ein Vektor mit der Eigenschaft Au D 0. Man setzt noch hilfsweise u0 D uN D 0 und erhält dann mit Aufgabe 9.3 die Lösung zu der vorliegenden Teilaufgabe. Lösung zu Aufgabe 9.5. Es gilt

A D B. I  B 1 P /:

(L-9.1)

Wegen der Regularität der Matrix B ist also die Matrix A regulär genau dann, wenn die Matrix I  B 1 P es ist, und im Folgenden nehmen wir nun an, dass diese beiden zuletzt betrachteten Matrizen tatsächlich regulär sind. Aus der Darstellung (L-9.1) erhält man dann unmittelbar

A1 D . I  B 1 P /1 B 1 :

(L-9.2)

Ist also die Matrix . I  B 1 P /1 nichtnegativ, so ergibt sich aus der Identität (L9.2) unmittelbar die Nichtnegativität der Matrix A1 . Ist andererseits die Matrix A1 nichtnegativ, so ergibt sich aus der Identität (L-9.1) die umgekehrte Implikation “H) “ der in der Aufgabenstellung angegebenen Äquivalenz:

. I  B 1 P /1

D

A1 B

D

A1 . A C P /

I C A1 P  0:

D

Die Ungleichung r . B 1 P / < 1 ergibt sich schließlich aus Satz 9.17 in [26]. Lösung zu Aufgabe 9.6. Für die Matrix G D A1 P gilt G  0 und daher

B 1 P D . A C P /1 P D . I C A1 P /1 A1 P

D

. I C G /1 G  0;

wobei sich implizit die Existenz der Matrix . I C G /1 ergibt. Wir weisen nun die Identität

. B 1 P / D

®

¯  W  2 . A1 P / 1C

(L-9.3)

nach. Für den Nachweis der Teilmengenbeziehung “ “ in (L-9.3) betrachtet man einen Eigenwert  2 C der Matrix G . Für einen Vektor 0 ¤ x 2 C N mit Gx D x folgt dann

162

Kapitel 9 Randwertprobleme

 demnach ist 1C ein Eigenwert der Matrix B 1 P . Für die Verifizierung der Teilmengenbeziehung “ “ in (L-9.3) betrachtet man einen Eigenwert  2 C der Matrix B 1 P . Für einen Vektor 0 ¤ x 2 CN mit . I C G /1 Gx D x ergibt sich nach einfacher Umformung die Identität Gx D . I C G /x und damit  ¤ 1

sowie Gx D 1 x DW x , was den Nachweis der Identität (L-9.3) komplettiert. Die Darstellung (L-9.3) bedeutet zugleich

. I C G /1 Gx D

 x, 1C

. A1 P / D

®  1

¯ W  2 . B 1 P / :

(L-9.4)

Außerdem sind nach dem Satz von Perron die beiden Spektralradien r . B 1 P / und r . A1 P / Eigenwerte der Matrizen B 1 P beziehungsweise A1 P , und für den Spektralradius der Matrix B 1 P gilt nach Aufgabe 9.5 außerdem r . B 1 P / < 1. Dies eingesetzt in die Identitäten (L-9.3) und (L-9.4) liefert die beiden Ungleichungen

r . B 1 P / 

r . A1 P / ; 1 C r . A1 P /

r . A1 P / 

r . B 1 P / ; 1  r . B 1 P /

die unmittelbar auf die nachzuweisende Identität

r . B 1 P / D

r . A1 P / 1 C r . A1 P /

führen. Lösung zu Aufgabe 9.7. Nach Annahme gilt

0  A1 P1  A1 P2 und damit nach Theorem 9.16 in [26]

r . A1 P1 /  r . A1 P2 /: Aufgabe 9.6 liefert nun den Rest,

r . B11 P1 / D

r . A1 P1 / 1 C r . A1 P1 /



r . A1 P2 / 1 C r . A1 P2 /

D r . B21 P2 / < 1:

Lösung zu Aufgabe 9.8. Dies folgt unmittelbar aus der friedrichschen Ungleichung ( siehe Lemma 9.23 in [26] ) angewandt auf die einzelnen Teilintervalle Œ xj 1 ; xj  für j D 1; 2; : : : ; N . Lösung zu Aufgabe 9.9. (a) Partielle Integration liefert

h Lu; v i 2 D

Z b a

0

Π. pu 0 / v C ruv  dx

D

Z b a 0

Πpu 0 v 0 C ruv  dx  pu 0 vjba

D ŒŒ u; v   . pŒ ˛u C u 0 v /. b / C . pu v /. a / für u 2 DL ; v 2 C1 Œ a; b :

163

Lösungen

Wenn also die Funktionen u 2 DL und v 2 C1 Œ a; b  beide die zum Differenzialoperator L gehörenden Randbedingungen erfüllen, so verschwinden in dem zuletzt gewonnenen Ausdruck die letzten beiden Summanden und man erhält

h Lu; v i 2 D ŒŒ u; v :

(L-9.5)

Offensichtlich ist das Skalarprodukt ŒŒ ;   symmetrisch, es gilt also ŒŒ u; v  D ŒŒ v ; u  für u; v 2 C1 Œ a; b . Daraus ergibt sich nun unmittelbar die Symmetrie des Differenzialoperators L:

h Lu; v i D h u; Lv i

für u; v 2 DL :

Die positive Definitheit

c1 jj u jj2



h Lu; u i

für u 2 DL

mit einer gewissen positiven Konstanten c1 erhält man wegen (L-9.5) unmittelbar aus Teil (b) zu dieser Aufgabe. (b) Es gilt

p0 jj u 0 jj22



c1 jj u jj21 C c2 jj u 0 jj21



ŒŒ u; u 

(L-9.6)

für u 2 C1 Œ a; b : Hierbei ergibt sich die erste Ungleichung aus der Nichtnegativität der Funktionen r und der Konstanten ˛ sowie der Existenz einer positiven unteren Schranke p0 für die Funktion p . Die zweite Ungleichung erhält man durch elementare Abschätzungen, mit den Setzungen

c1 D ˛pmax C . b  a /rmax ; mit

pmax D

c2 D . b  a /pmax ;

max p. x /;

x2Πa;b 

rmax D

max r. x /:

x2Πa;b 

Außerdem gilt noch

1 jj u jj1  jj u 0 jj2  2 jj u 0 jj1

für u 2 C1 Œ a; b 

mit u. a / D 0;

(L-9.7)

mit den Setzungen 1 D . b  a /1=2 und 2 D . b  a /1=2 . Hierbei folgt die zweite Abschätzung leicht, und die erste Abschätzung ergibt sich aus der folgenden Rechnung: ./

ju. x /j 

Z x a

ju 0 . /j d 

Z b a

ju 0 . /j d

./



für x 2 Œ a; b ;

. b  a /1=2

Z

b

a

ju 0 . /j2 d

1=2

u 2 C1 Πa; b  mit u. a / D 0:

Hier folgt die Abschätzung . / aus dem Hauptsatz der Differenzialrechnung, und die Abschätzung . / resultiert aus der cauchy-schwarzschen Ungleichung. Die Lösung zu dieser Teilaufgabe ergibt sich nun durch Anwendung der beiden Ungleichungen (L-9.6) und (L-9.7).

164

Kapitel 9 Randwertprobleme

Lösung zu Aufgabe 9.10. (a) Zweimalige partielle Integration liefert Z b

h Lu; v i 2 D

a

Z b

D

a

Z b

D



 . pu 00 / 00 v C ruv dx



 0 0  . pu 00 / v 0 C ruv dx C . pu 00 / vjba



 0 pu 00 v 00 C ruv dx  pu 00 v 0 jba C . pu 00 / vjba

a

für u 2 DL ;

v 2 C2 Πa; b :

Mit der Notation

ŒŒ u; v 

WD

Z b a



 pu 00 v 00 C ruv dx

für u; v 2 C2 Œ a; b 

gilt also

h Lu; v i 2

0

ŒŒ u; v   pu 00 v 0 jba C . pu 00 / vjba für u 2 DL ;

D

v 2 C2 Πa; b :

Wenn die Funktionen u 2 DL und v 2 C2 Œ a; b  beide die zum Differenzialoperator L gehörenden Randbedingungen erfüllen, so verschwinden in dem zuletzt erhaltenen Ausdruck die letzten beiden Summanden und man erhält

h Lu; v i 2 D ŒŒ u; v :

(L-9.8)

Nun ist das Skalarprodukt ŒŒ ;   symmetrisch, es gilt also ŒŒ u; v  D ŒŒ v ; u  für u; v 2 C2 Œ a; b . Daraus ergibt sich unmittelbar die Symmetrie des Differenzialoperators L:

h Lu; v i D h u; Lv i

für u; v 2 DL :

Die positive Definitheit

c1 jj u jj2



h Lu; u i

für u 2 DL

mit einer gewissen positiven Konstanten c1 ist dann wegen (L-9.8) eine leichte Folgerung aus Teil (b) zu dieser Aufgabe. (b) Es gilt

p0 jj u 00 jj22



ŒŒ u; u 



  . b  a / rmax jj u jj21 C pmax jj u 00 jj21

(L-9.9)

2

für u 2 C Œ a; b : Hierbei ergibt sich die erste Ungleichung aus der Nichtnegativität der Funktion r sowie der Existenz einer positiven unteren Schranke p0 für die Funktion p . Die zweite Ungleichung erhält man durch elementare Abschätzungen, mit den Setzungen

pmax D

max p. x /;

x2Πa;b 

rmax D

max r. x /:

x2Πa;b 

165

Lösungen

Zudem gilt noch

1 jj u jj1  jj u 0 jj1  . b  a /1=2 jj u 00 jj2  . b  a /jj u 00 jj1 ba

(L-9.10)

für u 2 C2 Œ a; b  mit u. a / D u 0 . a / D 0; wobei die letzte Abschätzung elementar ist, und die ersten beiden Abschätzungen folgen aus der zweimaligen Anwendung des Hauptsatzes der Differenzialrechnung beziehungsweise der cauchy-schwarzschen Ungleichung ( vergleiche auch die Ungleichungen in (L-9.7) und deren Herleitung ). Die Lösung zu dieser Teilaufgabe ergibt sich nun durch Anwendung der beiden Ungleichungen (L-9.9) und (L-9.10). Lösung zu Aufgabe 9.11. Die Aussage (iii) ist nur eine Umformulierung der Aussage in (ii), und im Folgenden weisen wir die Äquivalenz der Aussagen in (i) und (ii) nach. Vorbereitend wird für ein Element v 2 V und t 2 R der Term jj L. u C tv /  ' jj2 betrachtet:

jj L. u C tv /  ' jj2 D jj Lu  ' C tLv jj2 D jj Lu  ' jj2 C 2thh Lu  ' ; Lv i C t 2 jj Lv jj2: (L-9.11) “(ii) H) (i)“: Hier verschwindet nach Annahme in (L-9.11) der mittlere Term, und daraus folgt insbesondere jj L. u C v /  ' jj  jj Lu  ' jj für alle v 2 V , was gleichbedeutend mit der Aussage in (i) ist. “(i) H) (ii)“: Es wird hier ein Widerspruchsbeweis geführt. Hierzu wird angenommen, dass für einen Vektor v 2 V das in (ii) betrachtete Skalarprodukt nicht verschwindet, was gleichbedeutend mit der Eigenschaft h Lu  ' ; Lv i ¤ 0 ist, und dann kann man o. B. d. A. h Lu  ' ; Lv i < 0 annehmen. ( Falls dies für den Vektor v nicht gilt, so ersetzt man v durch den Vektor v . ) Dies bedeutet noch insbesondere Lv ¤ 0, und dann wird für hinreichend klein gewähltes t > 0 die Summe der letzten beiden Terme in (L-9.11) negativ und damit jj L. u C tv /  ' jj < jj Lu  ' jj im Widerspruch zur Annahme. Die in der Aufgabenstellung angegebene Matrixversion ist eine leichte Folgerung aus (ii), denn die dort getroffene Aussage ist gleichbedeutend mit N X

h Lvk ; Lvj i

D

h ' ; Lvj i

für j D 1; 2; : : : ; N:

kD1

Ist der Operator L injektiv, so ergibt sich für einen beliebigen nichtverschwindenden Vektor c D . c1 ; c2 ; : : : ; cN /> 2 R N Folgendes:

c>Ac D

N X

Πcj ck h Lvk ; Lvj i 

D

N ˝˝ X

j;kD1

D h Lv ; Lv i > 0

N  X ˛˛ ck Lvk ; cj Lvj

kD1

mit

v WD

N X kD1

ck vk :

j D1

166

Kapitel 9 Randwertprobleme

PN

Lösung zu Aufgabe 9.12. Mit dem Ansatz s D kD1 ck sk lautet das Gleichungssystem für die Koeffizienten c1 ; c2 ; : : : ; cN 2 R folgendermaßen:

0 B B B B B @

ŒŒ s1 ; s1  p p p ŒŒ sN ; s1 

10

CB C CB C C B pp C CB p C p CB C A@ A ŒŒ s1 ; sN  p p p ŒŒ sN ; sN  cN pp p

pp p

pp

1

0

1

c1

h ' ; s1 i

B B B B B @

D

pp p

C C C C; C A

(L-9.12)

h ' ; sN i

mit '. x / D x 3 C x 2 C 2, wobei das Skalarprodukt h ;  i beziehungsweise die Bilinearform ŒŒ ;   hier von der speziellen Form

h u; v i D

Z 1 0

ŒŒ u; v  D

uv dx;

Z 1 0

Πu 0v 0

C xuv  dx

sind. Wir verzichten hier auf die detaillierte Berechnung der Einträge der Systemmatrix beziehungsweise der rechten Seite in (L-9.12) und geben lediglich die Resultate an. Die Diagonaleinträge in der Systemmatrix berechnen sich zu

ŒŒ sj ; sj  D .  j /2 

1 2

für j D 1; 2; : : : ; N;

und für alle Indizes j und k mit j ¤ k gilt

8
0:

Damit ist nach Aufgabe 10.7 A  I eine M-Matrix, und wegen D   I ist dann aber nach Aufgabe 10.6 tatsächlich auch A C D eine M-Matrix. (b) Die Matrix

0

A

D

1 2 1 pp pp C 1 B B 1 p p p p C 2 R .N 1/.N 1/ 2 @ p p p p 1 A h 1 2

hat bekanntermaßen die Eigenwerte ( siehe Lemma 9.12 in [26] )

k D

 k  2 1  cos 2 N h

für k D 1; 2; : : : ; N  1:

Nun gilt cos x D 1 

x2 x4 x6 C  cos.  x / 2Š 4Š 6Š



1

x2 x4 C 2 24

für jx j 

 2

mit einer Zahl 0    1, und damit gilt min¹ Re  W  2 . A  I / º



2 1  h 2  h2 2 b  a

1 24

D

 h  2 1  cos 2 ba h

 h 4  ba

D

  2 ba



h2    4 ; 12 b  a

und Teil (a) dieser Aufgabe liefert nun die Lösung zu dem vorliegenden Teil (b). Lösung zu Aufgabe 10.11. (i) Die Matrix A D . aj k / ist irreduzibel diagonaldominant mit aj k  0 für alle Indizes j und k mit j ¤ k , und zudem gilt ajj > 0 für j D 1; 2; : : : ; N  1. Nach den Theoremen 10.19 und 10.33 in [26] ist also A eine M-Matrix. (ii) Es ist die Matrix A symmetrisch mit den Eigenwerten ( siehe wieder Lemma 9.12 in [26] )

k D

 k  1 2  2 cos > 0 2 N h

demnach ist A positiv definit.

für k D 1; 2; : : : ; N  1;

180

Kapitel 10 Gesamtschritt-, Einzelschritt- und Relaxationsverfahren

(iii) Die Matrix

0 I D

1

A

D

B B B B B @

0

1=2 : 1=2 :: :: :

1 C C C  C 2 R .N 1/ .N 1/ :: C : 1=2 A 1=2 0 ::

:

hat die Eigenwerte ( siehe wieder Lemma 9.12 in [26] )

k D cos. kh /

für k D 1; 2; : : : ; N  1

und besitzt demnach den Spektralradius r . I  D 1 A / D cos. h / 1. (iv) Die Matrix A ist konsistent geordnet, demnach gilt

r . H. 1 / /

D

. r . I  D 1 A / /2 D cos2 . h /:

Schließlich ist

! D

1C

2 p 1  cos2 . h /

D

2 1 C sin . h /

2

sowie

r . H. ! / /

D

!  1

D

1  sin2 . h / 1 C sin . h /

1:

Lösung zu Aufgabe 10.12. In der Zerlegung A D D C L C R in Diagonal- sowie unteren und oberen Anteil verschwindet für untere Dreiecksmatrizen A der obere Anteil, R D 0, und damit ist die Matrix

J .˛/

D

˛D 1 L C ˛1 D 1 R

D

˛D 1 L

2

CN

N

eine strikte untere Dreiecksmatrix. Ganz analog ist für reguläre obere Dreiecksmatrizen A die Matrix J . ˛ / eine strikte obere Dreiecksmatrix. In jedem der beiden Fälle gilt also

. J . ˛ / / D ¹ 0 º: Damit ist insbesondere die Menge der Eigenwerte von J . ˛ / unabhängig von der speziellen Wahl ˛ 2 Cn¹ 0 º und daher die reguläre Dreiecksmatrix A tatsächlich konsistent geordnet.

181

Lösungen

b Cb b in Diagonal-, Lösung zu Aufgabe 10.13. Die Zerlegung der Matrix A D D LCR unteren und oberen Anteil besitzt hier die spezielle Form 0

b D B D @

D

1

D

::

:

C A; D 1

0

L B B a1 D L B : B b L D B a2 D : : B :: B : @

::

C C C C C; C C A

:

aM 1 D L

1 R b1 D C B R b2 D C B C B : : C: B b :: :: R D B C C B :: @ : bM 1 D A R 0

Für die Untersuchung der konsistenten Ordnung betrachtet man dann die Matrix

b . ˛ / D ˛D b 1 R b b 1 b L C ˛ 1 D J 0 1 B J . ˛ / ˛ b1 I B B ˛a1 I J . ˛ / ˛ 1 b2 I B B :: B : ˛a2 I B D B B B B B B @

1

::

:

::

:

::

:

::

:

˛aM 1 I und die Transformationsmatrix

b S˛

D

0 B B @

˛ 0 S˛

C C C C C C C C C C C C 1 ˛ bM 1 I C A J .˛/

1 ˛ 1 S˛

::

C C: A

: ˛ M 1 S˛

Man berechnet dann

0

b. 1 / b S ˛J

D

1 0 0 ˛ S J . 1 / ˛ b S ˛ 1 ˛ B C B C B 1 C B ˛ a1 S˛ ˛ 1 S˛ J . 1 / ˛ 1 b2 S˛ C B C B C B C : : 2 : : B C : : ˛ a2 S˛ B C B C B C : : :: :: B C B C B C B C :: M 2 B : bM 1 S˛ C ˛ B C @ A M 1 M 1 ˛ aM 1 S˛ ˛ S˛ J . 1 /

182

Kapitel 10 Gesamtschritt-, Einzelschritt- und Relaxationsverfahren

und anschließend

0

b . 1 /b b S 1 S ˛J ˛

D

1

1 ˛ 1 b1 I B S˛ J . 1 /S˛ B B B ˛a1 I S˛ J . 1 /S˛1 ˛ 1 b2 I B B B :: : B : :: ˛a2 I B B B :: :: B : : B B B :: B : B @ ˛aM 1 I

C C C C C C C C C C: C C C C C 1 ˛ bM 1 I C C A S˛ J . 1 /S˛1

b . 1 /b b S ˛J S 1 Damit gilt b ˛ D J . ˛ /, die Matrix A ist demnach konsistent geordnet. Lösung zu Aufgabe 10.14. (a) Es ist

H. ! / D . D C !L /1 Π. 1  ! /D  !R  D . I C !D 1 L /1 D 1 Π. 1  ! /D  !R  und damit

det D 1  ‚ …„ 1 ƒ  det. I  H. ! / / D det . I C !D L/. I  H. ! / /   D det I C !D 1 L  D 1 Œ . 1  ! /D  !R    D det .  C !  1 /I  !. D 1 L  D 1 R /   D det .  C !  1 /I  !.p1/=p . D 1 L   .p1/ D 1 R /

mit der Wahl  D 1=p . Im Fall  ¤ 0 führt dies auf det. I  H. ! / /



D

det !.p1/=p



C! 1 I  J . / !.p1/=p

 ;

und mit der angenommenen Unabhängigkeit der Menge der Eigenwerte der Matrizen J .  / von dem Parameter  erhält man nun die Äquivalenz det. I  H. ! / / D 0

 ”

det

C! 1 I  . I  D 1 A / „ ƒ‚ … !.p1/=p

 D 0:

J .1/

(i) Ist  D 0 Lösung der Gleichung (10.3), so ist notwendigerweise ! D 1, und wegen H. 1 / D . D C L /1 R gilt dann  D 0 2 . H. 1 / / ( denn das lineare Gleichungssystem Rx D 0 besitzt eine nichttriviale Lösung. ) (ii) Im anderen Fall  ¤ 0 ist die Situation klar: es gilt  2 . H. ! / / genau dann, wenn  D .  C !  1 / = !.p1/=p 2 . I  D 1 A / gilt.

183

Lösungen

(b) Im Fall ! D 1 geht die Gleichung (10.3) über in die Gleichung p D p1 p beziehungsweise  D p ( falls  ¤ 0 ), und die Aussage in diesem Teil der Aufgabe ergibt sich dann unmittelbar. (c) Mit der Transformationsmatrix S˛ D diag. ˛ 0 I1 ; ˛ 1 I2 ; : : : ; ˛ M 1 IM / von Diagonalgestalt erhält man die Ähnlichkeit der Matrizen J . 1 / und J . ˛ /:

S˛ J . 1 /S˛1 0

D

0 0 B B B B ˛A1 A B 22 21 0 B B B 0 ˛ 2 A1 B 33 A32 B B D B B :: B : 0 B B B :: B : B B @ 0 

1 



A1 11 A1M

0

0

0

0

::

:

::

::

:

:

0 ::

1 0 ˛M 2 AM 1;M 1 AM 1;M 2



:: :

:

0

0

1 ˛ M 1 AM;M AM;M 1 0

0

1

0 0 0 B B B B ˛A1 A 0 B 22 21 B B B 0 ˛A1 B 33 A32 B D B B B :: B : 0 B B B :: B : B B @ 0 

C C C C C C C C C C 1 CS C ˛ C C C C C C C C A





0

˛

.M 1/

0 0 ::

:

0 ::

:

::

:

0 :

:: :

0

0

1 AM;M 1 ˛AM;M

0

::

1 0 ˛AM 1;M 1 AM 1;M 2



A1 11 A1M

0

C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C A

D J . ˛ /:

Lösung zu Aufgabe 10.15. Hier sind nur die numerischen Ergebnisse für den Fall N D 200 angegeben. Sie sehen folgendermaßen aus:

184

Kapitel 10 Gesamtschritt-, Einzelschritt- und Relaxationsverfahren

! 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1

Anzahl Iterationen n

jj x .n/  x .n1/ jj1

2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 1671 2000 2000

1.17923e05 2.26469e05 3.34807e05 4.46236e05 5.63158e05 6.87520e05 8.20550e05 9.62224e05 1.11136e04 1.26566e04 1.42147e04 1.57235e04 1.70625e04 1.80087e04 1.81569e04 1.68136e04 1.29671e04 6.08328e05 9.97165e06 4.07149e02 2.58146e+164

max

j D1;:::;N 1

jxj.n/  u. zj /j

1.95169e02 1.81992e02 1.71494e02 1.62188e02 1.53484e02 1.45057e02 1.36684e02 1.28187e02 1.19400e02 1.10157e02 1.00277e02 8.95621e03 7.77967e03 6.47609e03 5.03003e03 3.45422e03 1.84898e03 5.27825e04 3.65800e05 4.51215e02 3.52190e+164

185

11

Verfahren der konjugierten Gradienten, und GMRES-Verfahren – Lösungen

Lösung zu Aufgabe 11.1. Nach Lemma 11.31 in [26] gilt x 2 Kn . A; b /, und die Matrix A ist, aufgefasst als Abbildung A W Kn . A; b / ! K n . A; b /, symmetrisch bezüglich des inneren Produkts h ;  i 2 . Daher besitzt Kn . A; b / eine Basis bestehend aus Eigenvektoren der Abbildung A W Kn . A; b / ! K n . A; b /. Lösung zu Aufgabe 11.2. Elementare Rechnungen zeigen

J .x C h/ D

1 > x Ax 2

C h>Ax C

1 > h Ah 2

 x>b  h>b

D O . h2 /

‚…„ƒ

D

1 > h Ah ; J . x / C . Ax  b / h C 2 >

so dass der Zeilenvektor . Ax  b /> die Jacobi-Matrix der reellwertigen Funktion J und damit Ax  b 2 R N der Gradient von J ist. Lösung zu Aufgabe 11.3. (a) Für die Iterierten des Verfahrens der konjugierten Gradienten gilt xn 2 Kn . A; b / mit

Kn . A; b / D span ¹ b; Ab; : : : ; An1 b º

° n1 X

D

ck Ak b W c0 ; c1 ; : : : ; cn1 2 R

±

kD0

D ¹ qn . A /b W qn 2 …n1 º  R

N

für n D 0; 1; : : : ; n ;

wobei die erste Identität per Definition gilt und die beiden anderen Identitäten offensichtlich richtig sind. Damit gelten die in der Aufgabenstellung angegebenen beiden Darstellungen xn D qn . A /b für ein Polynom qn 2 …n1 beziehungsweise für rn D Axn  b D Aqn . A /b  b D pn . A /b mit dem Polynom pn D 1  tqn 2 …n1 . (b) Die Iterierte xn 2 R N des Verfahrens der konjugierten Gradienten genügt per Definition den beiden Bedingungen

xn 2 Kn . A; b /; Axn  b 2 Kn . A; b /? für n D 0; 1; : : : ; n : Pn1 k Der Ansatz xn D kD0 ck A b mit den Unbekannten c0 ; c1 ; : : : ; cn1 2 R und Verwendung der Basis b; Ab; : : : ; An1 b für das Überprüfen der Eigenschaft Axn  b 2 Kn . A; b /? führt auf die Bedingungen n1 > j  n1 X X > j CkC1 Š ck Ak b A b D b A b D b>Aj b für j D 0; 1; : : : ; n  1; A kD0

kD0

was mit dem in der Aufgabenstellung angegebenen linearen Gleichungssystem übereinstimmt.

186

Kapitel 11 CG- und GMRES-Verfahren

Lösung zu Aufgabe 11.4. (i) Im Fall n  1 gilt dn D rn C ˇn1 dn1 und damit

rn>dn D rn>rn C ˇn1 rn>dn1 „ ƒ‚ …

jj rn jj22 :

D

D0

Außerdem gilt d0 D r0 und damit trivialerweise r0>d0 D jj r0 jj22 . (ii) Diese zweite Identität weist man mittels vollständiger Induktion über n nach. Die Aussage ist im Fall n D 0 trivialerweise richtig, und im Folgenden nehmen wir an, dass für einen Index n mit 1  n  n  1 die Identität

dn1 D jj rn1 jj22

n1 X kD0

rk jj rk jj22

gilt. Dann erhält man

D ˇn1 ‚ …„ ƒ ‚ dn D rn C ˇn1 dn1 D

r jj rn jj22 n 2 jj rn jj2

D

 jj rn jj22

rn  n1 X kD0

jj rn jj22 jj rn1 jj22

rk jj rk jj22

D

D dn1 …„

jj rn1 jj22 jj rn jj22

n1 X

kD0 n X kD0

ƒ

rk jj rk jj22 rk : jj rk jj22

(iii) Eine Anwendung von Teil (ii) dieser Aufgabe liefert

jj dn jj22 D dn>dn

DD n X jj rn jj22

D

j D0

D jj rn jj42

°

n X j;kD0

1 jj rj jj22 jj rk jj22

EE n X rj rk 2 ; jj r jj n 2 jj rj jj22 jj rk jj22 2 rj>rk „ƒ‚…

±

kD0

D

jj rn jj22

n X rk>rk kD0

jj rk jj42

D 0 für j ¤k n X 2

D jj rn jj2

kD0

1 ; jj rk jj22

wobei noch die paarweise Orthogonalität der auftretenden Residuen verwendet wurde. (iv) Der Nachweis wird für fixierten Index k mit vollständiger Induktion über n D k; k C 1; : : : ; n geführt. Für n D k liegt offensichtlich Gleichheit vor. Im Folgenden sei die Identität für einen Index n mit k  n  n  1 erfüllt. Wegen der Eigenschaft > rnC1 2 Kn . A; b /? gilt insbesondere rnC1 dk D 0. Außerdem gilt nach Definition ˇn D 2 2 jj rnC1 jj2 = jj rn jj2 , und so ergibt sich > dnC1 dk

D . rnC1 C ˇn dn />dk ./

D

jj rnC1 jj22 jj rn jj22 jj dk jj22 jj rn jj22 jj rk jj22

D D

0 C

jj rnC1 jj22 > d dk jj rn jj22 n

jj rnC1 jj22 jj dk jj22 ; jj rk jj22

wobei die Identität . / aus der Induktionsannahme resultiert.

187

Lösungen

(v) Es gilt offensichtlich xnC1  x0 D xn  x0 C ˛n dn und daher

jj xnC1  x0 jj22 D jj xn  x0 C ˛n dn jj22

 0 ‚ …„ ƒ D jj xn  x0 jj22 C 2˛n . xn  x0 />dn C ˛n2 jj dn jj22 ......



:

(L-11.1)

Zur Abschätzung des verbliebenen inneren Produktes verwendet man die DarstelPn1 lung xn  x0 D kD0 ˛k dk und erhält

. xn  x0 />dn

D

n1 X

˛k dk>dn

./

D

kD0

n1 X

˛k

kD0

jj rn jj22 jj dk jj22  0; jj rk jj22

(L-11.2)

wobei in der Identität . / Teil ( iv ) dieser Aufgabe verwendet wurde. Aus den beiden Abschätzungen (L-11.1) und (L-11.2) erhält man schließlich die geforderte Abschätzung jj xnC1  x0 jj2  jj xn  x0 jj2 . (vi) Die Lösung ergibt sich folgendermaßen:

jj rn jj22

./

D

./



rn>dn

D

. dn  ˇn1 dn1 />dn

D

 0 ‚ …„ ƒ > jj dn jj22  ˇn1 dn1 dn

jj dn jj22 ;

wobei die Identität . / und die Abschätzung . / aus Teil (i) beziehungsweise Teil (iv) zu dieser Aufgabe folgen. Lösung zu Aufgabe 11.5. Es gilt

Aek D ekC1

für k D 1; 2; : : : ; N  1;

AeN D e1 ;

(L-11.3)

wobei ej 2 R N den j -ten Einheitsvektor bezeichnet. Damit gilt

Kn . A; b / D span ¹ e1 ; e2 ; : : : ; en º

für n D 1; 2; : : : ; N;

und zur Bestimmung der n-ten Iterierten xn 2 Kn . A; b / des GMRES-Verfahrens Pn macht man nun den Ansatz xn D kD1 ck ek . Für die Norm des zugehörigen Residuums ergibt sich dann im Fall n  N  1 n n ˇˇ X ˇˇ2 X ck ekC1  e1 ˇˇ2 D 1 C ck2 ; jj Axn  b jj22 D ˇˇ kD1

kD1

was für verschwindende Koeffizienten minimal wird und somit x1 D x2 D : : : D xN 1 D 0 gilt. Da es sich bei dem GMRES-Verfahren um ein direktes Verfahren handelt, muss es dann notwendigerweise im letzten Schritt die Lösung des vorgegebenen linearen Gleichungssystems liefern.

188

12

Eigenwertprobleme – Lösungen

Lösung zu Aufgabe 12.1. (a) Es genügt, die Aussage

det. A / D . 1 /N det. B /

(L-12.1)

nachzuweisen. Die Lösung zur Aufgabenstellung folgt daraus unmittelbar, indem man in den Matrizen A und B jeweils die Diagonaleinträge dj durch dj   ersetzt für j D 1; 2; : : : ; N . Die Aussage (L-12.1) erhält man, indem in der Matrix A zunächst die Zeilen mit geraden Nummern und anschließend die Spalten mit ungeraden Nummern jeweils mit dem Faktor 1 multipliziert werden. Die Nummerierung der Zeilen erfolgt dabei von oben nach unten bei eins beginnend, und die Nummerierung der Spalten geschieht von links nach rechts, ebenfalls bei eins beginnend. Die resultierende Matrix sei mit C 2 CN N bezeichnet. Insgesamt sind im Zuge der Transformation N Zeilen und Spalten mit einem negativen Vorzeichen versehen worden, so dass sich die Determinante der resultierenden Matrix C 2 CN N um den Faktor . 1 /N von der Zahl det. A / unterscheidet. Diese resultierende Matrix C stimmt mit der Matrix B überein, wie sich im Folgenden herausstellt. Mit der Schreibweise A D . aj k / gilt

aj;j 1 D bj ; ajj

D dj

aj 1;j D cj

für j D 2; 3; : : : ; N;

für j D 1; 2; : : : ; N:

Für gerade Indizes j ist j 1 ungerade, und umgekehrt ist für ungerade Indizes j der Index j  1 gerade, so dass die Nebendiagonaleinträge aj;j 1 D bj beziehungsweise aj 1;j D cj bei der genannten Transformation entweder nicht verändert werden oder mit 1  . 1 / D 1 multipliziert werden und damit den ursprünglichen Wert annehmen. Die Diagonaleinträge ajj D dj werden bei der genannten Transformation in jedem Fall, sowohl für gerade als auch für ungerade Werte von j , mit dem Faktor 1 multipliziert. Damit ist C D B nachgewiesen. (b) Mit der Permutationsmatrix

0

1

1

P D @ ppp1 A 1

189

Lösungen

berechnet man

1 b2 d 1 b2 C C C; C A

0 AP

PAP

B B p D B pp B @ bN dN 1 dN b N 0 dN bN B B bN dN 1 B B :: D B : B B @

p p p d2 p p pp pp pp p

1 ::

:

::

:

::

:

0

1

d1 b2

B C C B b2 d2 : : : C C B C C B C C :: :: :: :: C D B C DW B: : : : : B C C B C C :: @ A : d2 b2 dN 1 bN A b 2 d1 bN dN

Die Matrix B ist aus der Matrix A durch eine Ähnlichkeitstransformation entstanden und besitzt demnach die gleichen Eigenwerte wie A. Die Aussage dieses Teils (b) der vorliegenden Aufgabe folgt nun unmittelbar aus Teil (a) dieser Aufgabe. (c) Für jeden Eigenwert  der Matrix A ist auch  ein Eigenwert von A, was man unmittelbar aus Teil (a) angewandt mit dk D 0 erhält. Dies liefert die angegebene Symmetrie des Spektrums . A / bezüglich der Zahl null. Für den Nachweis der zweiten Aussage über die spezielle Form der Determinante wird das folgende Lemma benötigt. Lemma. Für die Determinanten der Matrizen

0

a1

B B b2 Ts D B B @ 0

c2 a2 :: :

0

1

C C C 2 R ss ; C :: : cs A bs as ::

:

s D 1; 2; : : : ; N;

gilt der folgende rekursive Zusammenhang:

det. TsC1 / D asC1 det. Ts /  bsC1 csC1 det. Ts1 /

für s D 2; 3; : : : ; N  1:

Beweis. Eine Entwicklung der Determinante der Matrix TsC1 nach der letzten Zeile

190

Kapitel 12 Eigenwertprobleme

liefert

0

1

a1 c2

B B b2 a2 : : : B B :: :: B : : cs1 2sC1 bsC1 det B det. TsC1 / D . 1 / B :: „ ƒ‚ … B : as1 B D 1 @ bs 0

C asC1

a1

B B b2 B B B det B B B B @

a2 :: :

::

:

::

:

::

1

a1 c2

1

c2

„ 0

C C C C C C C C cs C ak csC1 A bsC1 asC1

cs1

: as1 bs

ƒ‚ D det. Ts /

cs as bsC1

C C C C C C C C C csC1 A asC1 …

B C B b2 a2 : : : C B C C C asC1 det. Ts / : : D bsC1 det B :: :: c B C s1 B C @ A bs1 as1 bs csC1 0 1 a1 c2 B C B b2 a2 : : : C B C B C C asC1 det. Ts / : : D bsC1 csC1 det B :: :: c C s1 B C @ A bs1 as1 bs csC1 ƒ‚ … „ D det. Ts1 / für s D 2; 3; : : : ; N  1. Dies komplettiert den Beweis. Anwendung des Lemmas mit

as D 0;

cs D bs

liefert det. TsC1 / D jcsC1 j2 det. Ts1 / für s D 2; 3; : : : ; N  1. Wegen

 TN D A;

det. T1 / D det. . 0 / / D 0;

det. T2 / D det

0 b2 b2 0

 D jb2 j2 ;

erhält man so die in Teil (c) dieser Aufgabe angegebene Darstellung für die Determinante der vorgegebenen Matrix A.

191

Lösungen

Lösung zu Aufgabe 12.2. Die Annahme ist gleichbedeutend mit . Ax /j D dj xj für j D 1; 2; : : : ; N beziehungsweise

Ax D Dx;

mit

D D diag. d1 ; d2 ; : : : ; dN /:

Im Fall  2 . A / ist die Aussage der Aufgabenstellung offensichtlich richtig, und im anderen Fall  62 . A / geht man so vor:

jj . A  I /1 jj1 2 jj x jj2  jj . A  I /x jj2 D jj . D  I /x jj2  jj D  I jj2 jj x jj2 beziehungsweise

 min j  j D

2. A /

1 1 D jj . A  I /1 jj1  2 2. A / j  j

jj D  I jj2 „ ƒ‚ …

max

D

max

j D1;:::;N

:

j dj  j

Damit ist die vorliegende Aufgabe gelöst. Lösung zu Aufgabe 12.3. (a) Allgemein gilt für jede Diagonalmatrix D D diag. d1 ; d2 ; : : : ; dN / mit nichtverschwindenden Diagonaleinträgen und für jede Matrix F D . fj k / 2 R N N die Identität D 1 FD D . fj k dk =dj / 2 R N N . Eine Ähnlichkeitstransformation der fehlerbehafteten Matrix A C B mit der Diagonalmatrix D D diag. 1;  1=N ;  2=N ; : : : ;  .N 1/=N / führt demnach auf die Matrix

0 C.  / WD D 1 . A C B /D

B B D B @

  1=N  0

1

0

C C C C bj k  .k1/=N  .j 1/=N :: A 1=N :   ........ C bj k  .kj /=N ::

:

C bj k  .N Ckj /=N :

......

Mit dem Satz von Gerschgorin erhält man nun N

. C.  / /  [ Gj j D1

mit den Gerschgorin-Kreisen

Gj

° D

N X

z 2 C W jz    bjj j  j j1=N C

jbj k jj j.N Ckj /=N

±

kD1 k¤j

° 

z 2 C W jz  j



j j1=N C

N X

jbj k j j j.N Ckj /=N

±

kD1

° 

z 2 C W jz  j



j j1=N . 1 C

N X kD1

± jbj k j / ;

„ ƒ‚ …  jj B jj1

j D 1; 2; : : : ; N:

192

Kapitel 12 Eigenwertprobleme

Damit ist Teil (a) der vorliegenden Aufgabe gelöst. (b) Für den Nachweis dieses Teils betrachtet man die Matrix B D . bj k / 2 R N N mit bN1 D 1 und bj k D 0 sonst und erhält die fehlerbehaftete Matrix

0 A C B

D

B B @

 1

0

1

:  :: C C: A :: : 1  

Zur Bestimmung der Eigenwerte dieser fehlerbehafteten Matrix A C B wird das Polynom p .  / WD det. A C B  I / herangezogen, dessen Nullstellen offensichtlich mit den zu bestimmenden Eigenwerten übereinstimmen. Durch Determinantenentwicklung entlang der ersten Spalte erhält man

0

1  1 0 B C  1 B C B C : : :: :: p .  / D det B C B C @  1 A   0 1 0  1 B C  1 B C B C : : :: :: D .    / det B C B C @  1 A  

1 1 0 B C  1 B C B C N C1 : : B C :: ::  det B C . 1 / C B C @  1 A   0 0 1 1  1 1 B B   1 C C :: :: B B C C : : D .    / det B C C . 1 /N C1  det B C :: :: @ @ A : :  1 A  1

D .    /N C . 1 /N C1 ;

0



 2 C:

Aus p .  / D 0 folgt also j  jN D j j beziehungsweise j  j D j j1=N . Damit liegen alle Nullstellen des Polynoms p beziehungsweise alle Eigenwerte der Matrix A C B notwendigerweise auf einem Kreis mit Radius j j1=N um den Mittelpunkt . Dies liefert das gewünschte Beispiel. Lösung zu Aufgabe 12.4. Nach Annahme gilt

j  ajj j 

N X kD1 k¤j

jaj k j

für j D 1; 2; : : : ; N:

(L-12.2)

193

Lösungen

Sei nun 0 ¤ x 2 CN ein Eigenvektor zum Eigenwert , Ax D x . Man betrachtet dann die beiden Indexmengen

J

K D ¹ 1  k  N W jxk j < jj x jj1 º:

D ¹ 1  j  N W jxj j D jj x jj1 º;

In dieser Situation gelten für jeden Index j 2 J die Ungleichungen

j  ajj j



N X

jaj k j

kD1 k¤j

jxk j jxj j

N X



jaj k j

./



j  ajj j

(L-12.3)

kD1 k¤j

PN

und damit notwendigerweise j  ajj j D kD1; k¤j jaj k j. Die Ungleichung . / ergibt sich hierbei aus den Ungleichungen in (L-12.2). Außerdem ist die Indexmenge K leer. Wäre nämlich K ¤ ¿, so gäbe es wegen der Irreduzibilität der Matrix A Indizes j 2 J und k 2 K mit aj k ¤ 0. Damit ergäbe sich in der vorletzten Ungleichung von (L-12.3) eine echte Ungleichheit und somit der Widerspruch j  ajj j < j  ajj j. Lösung zu Aufgabe 12.5. Es werden zwei Lösungsmöglichkeiten vorgestellt. Zu den reellen Eigenwerten 1 ; 2 ; : : : ; N der symmetrischen Matrix A 2 R N N existieren paarweise orthonormale Eigenvektoren u1 ; u2 ; : : : ; uN 2 R N . Mit der Darstellung eiPN nes Vektors x 2 R N als Linearkombination x D reellen KoeffizikD1 ck uk mit den PN enten c1 ; c2 ; : : : ; cN gilt dann für das Bild Ax die Identität Ax D kD1 ck k uk . Dies führt auf Folgendes: N ˇˇ X ˇˇ2 jj Ax  x jj22 D ˇˇ . k   /ck uk ˇˇ2

D

kD1

. k   /2 ck2

kD1

min . k   /2



N X

kD1;:::;N

N X

c`2 :

`D1 „ƒ‚… D jj x jj2 2

Damit ist die vorliegende Aufgabe durch den ersten Lösungsansatz gelöst. Es folgt nun der zweite und allgemeinere Lösungsansatz:

r . . A  I /1 / D jj B 1 jj D D

max 2. A /

max

1 j  j

0¤y2R N



D

jj B 1 y jj jj y jj

min

x2R N ;jj x jjD1

jj Bx jj



min j  j

1

2. A /

yDBx

D

1

max

0¤x2R N

;

jj x jj jj Bx jj

für B 2 R N

N

D

max

x2R N ;jj x jjD1

1 jj Bx jj

;

wobei jj  jj sowohl eine Vektornorm als auch die induzierte Matrixnorm bezeichnet. Aufgrund der Identität r . B / D jj B jj2 für symmetrische Matrizen B 2 R N N erhält man dann wiederum die Aussage der Aufgabe, was den zweiten Lösungsansatz komplettiert.

194

Kapitel 12 Eigenwertprobleme

Eine Möglichkeit zur Lösung der nachfolgenden Aufgabe beruht auf der Verwendung der positiven Quadratwurzel von symmetrischen, positiv definiten Matrizen, die zunächst kurz allgemein eingeführt werden soll. Für eine symmetrische, positiv definite Matrix B 2 R N N mit den positiven reellen Eigenwerten 1 ; 2 ; : : : ; N und den zugehörigen paarweisen orthonormalen Eigenvektoren u1 ; u2 ; : : : ; uN 2 R N gilt bekanntermaßen die Darstellung

! B D UDU

>

mit

D WD diag. 1 ; : : : ; N /;

U D

u1 : : : uN

;

und dann ist die Matrix B 1=2 2 R N N erklärt durch

B 1=2 D UD 1=2 U >

mit

1=2 D 1=2 WD diag. 1=2 1 ; : : : ; N /:

Diese Definition ist unabhängig von der Sortierung der Eigenwerte und der speziellen Auswahl der zugehörigen orthogonalen Eigenvektoren. Die Matrix B 1=2 2 R N N ist selbst eine symmetrische, positiv definite Matrix mit den positiven reellen Eigen1=2 1=2 1=2 werten 1 ; 2 ; : : : ; N und den zugehörigen paarweise orthonormalen Eigenvektoren u1 ; u2 ; : : : ; uN 2 R N . Die bedeutendste Eigenschaft ist B 1=2 B 1=2 D B , was die Bezeichnung Quadratwurzel begründet. Im Folgenden wird für die Matrix . B 1 /1=2 die naheliegende Kurzform B 1=2 verwendet. Lösung zu Aufgabe 12.6. Bei den beiden Aussagen handelt es sich um Varianten des Satzes von Courant und Fischer, der auch zur Herleitung dieser beiden Aussagen verwendet werden kann. Beispielsweise berechnet man

kC1

D

min

max

LR N linear 0¤x2L? dim Lk

x>Ax x>x

D ./

D

min

max

MR N linear 0¤x2M dim MN k

min

max

U R N linear 0¤x2U dim U DN k

x>Ax x>x

x>Ax : x>x

Hierbei ist in der Identität . / die Ungleichung “ “ offensichtlich richtig ist, und die Ungleichung “ “ ergibt sich aus der Tatsache, dass es zu jedem linearen Unterraum M  R N mit dim M  N  k einen linearen Unterraum U  M mit dim U D N  k > > gibt, und dann gilt max0¤x2M xx>Ax  max0¤x2U xx>Ax . Aus der hergeleiteten Darx x stellung für den Eigenwert kC1 erhält man nach einer Umindizierung die Identität (12.2) der vorliegenden Aufgabe. Die Identität (12.1) lässt sich im Grunde ganz entsprechend herleiten, jedoch wird im Folgenden noch eine weitere elegante Vorgehensweise vorgestellt. Für die vorgegebene symmetrische Matrix A 2 R N N mit den reellen Eigenwerten 1  2  : : :  N wählt man einen Parameter > 0 hinreichend groß, so dass die Matrix A C I 2 R N N symmetrisch und positiv definit ist. Dann ist auch die Matrix . A C I /1 2 R N N symmetrisch und positiv definit und besitzt die Eigenwerte . N C /1  . N 1 C /1  : : :  . 1 C /1 . Die bereits verifizierte Identität

195

Lösungen

(12.2) angewandt auf die Matrix . A C I /1 2 R N N liefert dann

. k C /1 D

D

min

max

U R N linear 0¤y2U dim U Dk

min



max

MR N linear 0¤x2M dim MDk

 D

y>. A C I /1 y ./ D y>y

max

MR N linear dim MDk

x>Ax C x>x

x>Ax C 0¤x2M x >x min

1 1

min

max

MR N linear 0¤x2M dim MDk

x>x x . A C I /x >

;

was die gewünschte Identität (12.1) liefert. Die verwendete Identität . / erhält man nach der Substitution x D . AC I /1=2 y , wobei noch zu beachten ist, dass die Menge der linearen Unterräume der Dimension k unter einer bijektiven linearen Abbildung auf sich selbst abgebildet wird. .

Lösung zu Aufgabe 12.7. Für Teil (a) wählt man einfach ............. A D 0, und Teil (b) erhält . man mit der Abschätzung aus Teil (a) unter Verwendung der Eigenschaft N ................ A /  0. Lösung zu Aufgabe 12.8. Nach Annahme an die vorgegebene Matrix A D . aj k / gilt ej >Aek

D aj k D 0

für alle j; k

mit j C k  N;

wobei ej den j -ten Einheitsvektor im Vektorraum R N bezeichnet. Es wird nun der lineare Unterraum

M D span ¹ e1 ; e2 ; : : : ; ebN=2c º herangezogen. Für jeden Vektor x 2 M erhält man ausgehend von der Darstellung P x D bN=2c kD1 ck ek die Identität

x>Ax

D

bN=2c X

D aj k D 0 ‚ …„ ƒ cj ck ej >Aek D 0:

j;kD1

Die Identitäten (12.1) beziehungsweise (12.2) auf Seite 64 liefern nun

bN=2c  N bN=2cC1  „ ƒ‚ …

min

x>Ax x>x

D

0;

max

x>Ax x>x

D

0:

0¤x2M

0¤x2M

DdN=2eC1

Damit ist die vorliegende Aufgabe gelöst.

196

13

Numerische Verfahren für Eigenwertprobleme – Lösungen

Lösung zu Aufgabe 13.1. Allgemein gilt für jede Diagonalmatrix D D diag. d1 ; d2 ; : : : ; dN / mit nichtverschwindenden Diagonaleinträgen und für jede Matrix A D . aj k / 2 R N N die Identität D 1 AD D . aj k dk =dj / 2 R N N . Die Erfüllung der Forderung aj C1;j dj C1 =dj 2 ¹ 0; 1 º für j D 1; 2; : : : ; N  1 wird also erreicht mit den Setzungen

²

d1 D 1;

dj C1 D

dj =aj C1;j ; 0

falls aj C1;j ¤ 0; sonst:

Lösung zu Aufgabe 13.2. Es besitzt offensichtlich die Matrix T 1 genau dann eine LR-Faktorisierung, wenn eine Faktorisierung der Form ./

T D RL existiert mit einer regulären oberen Dreiecksmatrix R 2 R N N und einer skalierten unteren Dreiecksmatrix L 2 R N N . Hier geht ein, dass sowohl die Menge der regulären oberen Dreiecksmatrizen 2 R N N als auch die Menge der skalierten unteren Dreiecksmatrizen 2 R N N bezüglich der Matrizenmultiplikation jeweils eine Gruppe bilden, vergleiche Aufgabe 4.11. Eine solche Faktorisierung . / für die Matrix T D . v1 j : : : jvN / 2 R N N bedeutet ausgeschrieben N X

vk D r .k/ C

`sk r .s/

für k D 1; 2; : : : ; N;

(L-13.1)

sDkC1

mit

`sk 2 R r

.s/

für 1  k < s  N; N

2R ;

rs.s/ ¤ 0;

rk.s/ D 0

für k D s C 1; s C 2; : : : ; N:

Wir nehmen nun zuerst an, dass eine Darstellung der Form (L-13.1) existiert und weisen span ¹ e1 ; : : : ; em º \ span ¹ vmC1 ; : : : ; vN º D ¹ 0 º

für m D 1; : : : ; N  1 (L-13.2)

nach. Hierzu betrachtet man für einen beliebigen Index 1  m  N  1 ein Element x D . xj / 2 span ¹ e1 ; : : : ; em º \ span ¹ vmC1 ; : : : ; vN º. Die Eigenschaft x 2 span ¹ e1 ; : : : ; em º bedeutet

xmC1 D xmC2 D : : : D xN D 0;

(L-13.3)

./

und die Eigenschaft x 2 span ¹ vmC1 ; : : : ; vN º D span ¹ r .mC1/ ; r .mC2/ ; : : : ; r .N / º impliziert eine Darstellung der Form

x D

N X sDmC1

ˇs r .s/ :

(L-13.4)

197

Lösungen

Hierbei ist die Identität . / eine unmittelbare Konsequenz aus der Darstellung (L13.1). Aus den Identitäten (L-13.3) und (L-13.4) und den Eigenschaften der Vektoren r .mC1/ ; r .mC2/ ; : : : ; r .N / erschließt man nun sukzessive ¤0

0 D xN

N X

D

sDmC1

0 D xN 1 D

N 1 X sDmC1

:: :

.s/ ˇs r N

H)

ˇN D 0;

¤0

.s/ ˇs r N 1

:: :

0 D xmC1

D

‚…„ƒ .N / ˇN rN

D

‚ …„ ƒ .N 1/ ˇN 1 rN 1

H)

ˇN 1 D 0;

¤0

‚ …„ ƒ .mC1/ D ˇmC1 rmC1

H)

ˇmC1 D 0;

und damit x D 0. Die Eigenschaft (L-13.2) ist damit nachgewiesen. Wir nehmen nun umgekehrt an, dass die Eigenschaft (L-13.2) erfüllt ist und konstruieren dann sukzessive Vektoren r .N / ; r .N 1/ ; : : : ; r .1/ 2 R N mit der Eigenschaft (L-13.1). Der erste Schritt ist klar: man setzt r .N / D vN , wobei dann aus (L-13.2) die .N / Eigenschaft r .N / 62 span ¹ e1 ; : : : ; eN 1 º folgt und damit wie gefordert rN ¤ 0 gilt. Wir nehmen nun an, dass für ein 1  m  N  1 die Darstellungen in (L-13.1) für k D N; N  1; : : : ; m C 1 richtig sind und weisen die Darstellung in (L-13.1) für den Index k D m nach. Hierzu wird die Eigenschaft span ¹ e1 ; : : : ; em º ˚ span ¹ vmC1 ; : : : ; vN º D R N

(L-13.5)

benötigt, die aus Dimensionsgründen direkt aus (L-13.2) folgt. Aus (L-13.5) folgt für den Vektor vm die Darstellung

DW r .m/ ‚ …„ ƒ vm

2

m X

˛s es C span ¹ vmC1 ; : : : ; vN º

sD1 . /

D r .m/ C span ¹ r .mC1/ ; r .mC2/ ; : : : ; r .N / º

(L-13.6)

mit gewissen Koeffizienten ˛1 ; ˛2 ; : : : ; ˛m 2 R, wobei die Identität ./ aus den vorausgesetzten Darstellungen in (L-13.1) für k D N; N  1; : : : ; m C 1 folgt. Die spezielle Setzung von r .m/ bedeutet

rs.m/ D 0

für s D m C 1; m C 2; : : : ; N:

Wir weisen abschließend noch .m/ rm ¤ 0 .m/ rm

(L-13.7)

nach. Angenommen, es wäre ˛m D D 0. Daraus folgt dann r .m/ D 0. Im Fall m D 1 ist dies unmittelbar klar, und im Fall m  2 gilt ja sowohl r .m/ 2 span ¹ e1 ; : : : ; em1 º als auch r .m/ 2 span ¹ vm ; : : : ; vN º, und aufgrund von (L-13.2) gilt dann ebenfalls r .m/ D 0. Aus der Eigenschaft r .m/ D 0 und (L-13.6) erhält man dann vm 2 span ¹ vmC1 ; : : : ; vN º, was einen Widerspruch zur linearen Unabhängigkeit der Spaltenvektoren der Matrix T darstellt. Damit gilt tatsächlich (L-13.7).

198

Kapitel 13

Numerische Verfahren für Eigenwertprobleme

Lösung zu Aufgabe 13.3. Nach Annahme gibt es eine Darstellung der Form

z .0/ D

N X

ak xk mit xk 2 N . A  k I /; jj xk jj2 D 1 für k D 1; : : : ; N; (L-13.8)

kD1

wobei die Vektoren xk paarweise orthonormal gewählt werden können. Damit erhält man

z .m/ D Am z .0/ D

N X

DW y ‚ …„ ƒ m ak m k xk D 1

kD1

r X

ak xk C

kD1

N X

ak m k xk (L-13.9)

kDrC1

beziehungsweise

rm D

. z .m/ />z .mC1/ jj z .m/ jj22

D

2mC1 jj y jj22 C 1 2 2m 1 jj y jj2 C

kDrC1

ak2 2mC1 k

kDrC1

ak2 2m k

PN

2mC1 jj y jj22 C O. jrC1 =1 j2mC1 / 1  2m 1 jj y jj22 C O. jrC1 =1 j2m / „ ƒ‚ … D 1  ˇ  ˇ  O. jrC1 =1 j2m / ˇ rC1 ˇ2m D  D 1 1 C C O ˇ ˇ 1 1 jj y jj22 C O. jrC1 =1 j2m /

D

jj y jj22 C OjrC1 j2mC1 2mC1 1 2m 1 jj y jj22 C O. jrC1 j2m /

PN

D

wegen y ¤ 0. Dies liefert die erste Identität der vorliegenden Aufgabe. Für den Nachweis der zweiten Identität der Aufgabe zieht man die Darstellung (L-13.9) heran und erhält daraus unmittelbar

ˇm  ˇ ˇ ˇ .m/ m D y C O ˇ rC1 ˇ 1 z 1

für m ! 1

beziehungsweise mithilfe des nachfolgenden Lemmas sgn. 1 /m

z .m/ jj z .m/ jj2

ˇ

D

ˇ 

y ˇ ˇm C O ˇ rC1 ˇ 1 jj y jj2

für m ! 1:

(L-13.10)

Wegen der bereits nachgewiesenen ersten Identität der vorliegenden Aufgabe gilt notwendigerweise sgn. rm / D sgn. 1 / für hinreichend große Werte von m, was zusammen mit der Identität (L-13.10) die zweite Identität der vorliegenden Aufgabe liefert. Es ist noch das folgende Lemma nachzutragen: Lemma. Für eine Folge x0 ; x1 ; : : :  KN sei

xm D y C O. q m /

für m ! 1

erfüllt mit einer Zahl 0 < q < 1 und einem Vektor y 2 KN mit y ¤ 0. Dann gilt

xm jj xm jj

D

y C O. q m / jj y jj

für m ! 1;

199

Lösungen

wobei jj  jj W KN ! R eine nicht näher spezifizierte Vektornorm bezeichnet. Beweis. Die Aussage erhält man unmittelbar durch die nachfolgenden Rechnungen:

ˇˇ ˇˇ xm ˇˇ

jj xm jj

ˇˇ ˇˇ xm ˇˇ

ˇˇ



y ˇˇ ˇˇ jj y jj



ˇˇ

ˇˇ

jj xm jj



D

ˇ ˇ jj xm jjˇ

D

O. q m / C O. q m / D O. q m /

ˇ

ˇˇ

y ˇˇ xm ˇˇ ˇˇ x ˇˇ C ˇˇ m  ˇˇ jj y jj jj y jj jj y jj

jj xm  y jj 1 1 ˇ  ˇ C jj xm jj jj y jj jj y jj

D

jj xm jj

jjj y jj  jj xm jjj jj xm  y jj C jj xm jjjj y jj jj y jj

für m ! 1:

Dies komplettiert den Beweis des Lemmas. Lösung zu Aufgabe 13.4. Ausgehend von den Identitäten (L-13.8) und (L-13.9), die ebenso für diagonalisierbare Matrizen gültig sind, erhält man m z .m/ D m 1 y C O. jrC1 j /

für m ! 1

(L-13.11)

und berechnet daraus >

rm D

z .m/ z .mC1/ jj z .m/ jj22

D

m > mC1 . m y C O. jrC1 jmC1 / / 1 y C O. jrC1 j / / . 1 m > m m . m 1 y C O. jrC1 j / / . 1 y C O. jrC1 j / /

. y C O. jrC1 =1 jm / />. y C O. jrC1 =1 jmC1 / / 2mC1 1  . y C O. jrC1 =1 jm / />. y C O. jrC1 =1 jm / / 2m 1 „ ƒ‚ … D 1   jj y jj22 C O. jrC1 =1 jm / O. jrC1 =1 jm / D 1 1 C D 1 jj y jj22 C O. jrC1 =1 jm / jj y jj22 C O. jrC1=1 jm / ˇm  ˇ ˇ ˇ D 1 C O ˇ rC1 ˇ ; D

1

wobei in der letzten Identität die Eigenschaft y ¤ 0 eingeht. Dies liefert die erste Identität der vorliegenden Aufgabe. Für den Nachweis der zweiten Identität der Aufgabe zieht man die Darstellung (L-13.11) heran und erhält daraus unmittelbar m zs.m/ D m 1 ys C O. jrC1 j /

für m ! 1

beziehungsweise

zs.mC1/ zs.m/

D

ys C O. jrC1 jmC1 / mC1 1 m 1 ys C O. jrC1 jm / 

D 1 1 C

O. jrC1 =1 j /m ys C O. jrC1 =1 j /

2mC1 ys C O. jrC1 =1 jmC1 / 1  2m ys C O. jrC1 =1 jm / 1 „ ƒ‚ … D 1  ˇ  ˇ ˇ rC1 ˇm C O für m ! 1; D  ˇ ˇ 1 m D

wobei zuletzt noch die Eigenschaft ys ¤ 0 eingeht.

1

200

Kapitel 13

Numerische Verfahren für Eigenwertprobleme

Lösung zu Aufgabe 13.5. Nach Annahme gibt es eine Darstellung der Form

z .0/ D

N X

ak xk ;

mit

xk 2 N . A  k I / für k D 1; 2; : : : ; N:

kD1

Damit erhält man

h N  k m i X m z .m/ D m x C . 1 / a x C a xk ; a 1 1 2 2 k 1 1

kD3

beziehungsweise

v .m/ WD 2m z .2m/ 1

D

w .m/ WD .2mC1/ z .2mC1/ 1

ˇ ˇ2m  ˇ ˇ ; a1 x1 C a2 x2 C O ˇ 3 ˇ 1 ˇ ˇ2m  ˇ ˇ D a1 x1  a2 x2 C O ˇ 3 ˇ 1

für m ! 1:

Damit gilt

  .2mC1/ 1 z .2m/ C z .2mC1/ D v .m/ C w .m/ 1   .2mC1/ 1 z .2m/  z .2mC1/ D v .m/  w .m/ 1

ˇ ˇ2m  ˇ ˇ a1 x1 C O ˇ 3 ˇ ; 1 ˇ ˇ2m  ˇ ˇ a2 x2 C O ˇ 3 ˇ

D D

1

für m ! 1. Mit dem auf Seite 198 vorgestellten Lemma erhält man daraus unmittelbar die Aussage der vorliegenden Aufgabe. Lösung zu Aufgabe 13.6. Die frobeniussche Begleitmatrix zu dem vorgegebenen Pn Polynom p. x / D kD0 ak x k mit an D 1 besitzt die folgende Form:

A WD

00 pp @1 p p

ap 0 1 pp nn ppp A 2 R : pp 0 1 an1

Die Nullstellen des Polynoms p stimmen bekanntermaßen mit den Eigenwerten dieser Matrix A überein, die wiederum identisch sind mit den Eigenwerten der zugehörigen transponierten Matrix

0

>

A

B B WD B B @

0

1

1

pp

p

pp

p

0 1 a0 a1 p p p an1

C C C 2 R nn : C A

Daher können die Nullstellen des Polynoms p beispielsweise näherungsweise mit der Vektoriteration angewandt auf die Matrix A> bestimmt werden. Es gilt allgemein

0

0

1

u0 : C B A> @ :: A un2 un1

D

u1 :: : un1

1

B C B C B C B C; B n1 C @ X a u A k k kD0

201

Lösungen

so dass die Vektoriteration z .mC1/ D A>z .m/ ; m D 0; 1; : : : mit Startvektor z .0/ D . x0 ; x1 ; : : : ; xn1 /> 2 Cn Folgendes liefert:

0

z

B B D B B @

.1/

1

x1 :: : xn1



n1 X

ak xk

0

C C C; C A

z

.2/

B B D B B @

x2 :: : xn



kD0

n1 X

ak x1Ck

1

C C C; C A

kD0

beziehungsweise allgemein

0 z

B B D B B @

.m/

1

xm :: :

xmCn1



n1 X

ak xmCk

C C C C A

für m D 1; 2; : : : :

kD0

Für hinreichend allgemeine Startwerte gilt nach Aufgabe 13.4 auf Seite 66

zs.mC1/ zs.m/

xmCs xmCs1

D

D

ˇ  ˇm  ˇ 2ˇ 1 C O ˇ ˇ 1

für m ! 1

(L-13.12)

für einen Index 1  s  n, und nach einer Umindizierung in (L-13.12) erhält man die Aussage der Aufgabe:

xmC1 xm

D

ˇ ˇm  ˇ ˇ 1 C O ˇ 2 ˇ 1

für m ! 1:

Die Bedingung an die hinreichende Allgemeinheit der Startwerte bedeutet dabei, dass der Anteil des Startvektors z .0/ im Eigenraum zum Eigenwert 1 der Matrix A> nicht verschwindet. Lösung zu Aufgabe 13.7. Es sind die Ergebnisse jeweils für ausgewählte Werte von m angegeben:

m

"m . N D 50 /

"m . N D 100 /

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 59 70 78

2.214 0.573 0.268 0.159 0.123 0.535 0.265 0.141 0.153 0.101 0.123 0.048 — —

4.930 0.860 1.050 2.514 1.725 0.491 0.465 0.269 0.383 0.208 0.205 0.145 0.077 0.048

202

Kapitel 13

Numerische Verfahren für Eigenwertprobleme

Im Fall N D 50 sind die gewonnenen Näherungen 1033:660713700 beziehungsweise 0:256. Zum Vergleich sind noch der exakte größte Eigenwert und der kleinste Eigenwert angegeben: max D 1033:660713759 beziehungsweise min D 0:250. Im Fall N D 100 sind die gewonnenen Näherungen 4093:560474685 beziehungsweise 0:255. Zum Vergleich sind wiederum der exakte größte Eigenwert und der kleinste Eigenwert angegeben: sie lauten max D 4093.560474920 beziehungsweise min D 0:250.

203

14

Peano-Restglieddarstellung – Lösungen

Lösung zu Aufgabe 14.1. Der Beweis verläuft genau wie der Beweis von Theorem 14.4 in [26]. Man hat sich nur zu überlegen, dass der Beweisschritt

Rx

Z

b

f .mC1/ . t /. x  t /m C dt

a



Z b

D

a

f .mC1/ . t /R x . . x  t /m C / dt

(L-14.1)

seine Gültigkeit behält. Für den Nachweis von (L-14.1) genügt es wegen der Linearität des Fehlerfunktionals, sich von der Richtigkeit der Identitäten

dk d xk

Z

b

f .mC1/ . t /. x  t /m C dt

a



Z b

D

a

f .mC1/ . t /

d k . x  t /m C d xk

dt

(L-14.2)

für k D 0; 1; : : : ; m zu überzeugen. Aufgrund der Identitäten

d . x  t /kC dx

D k. x  t /k1 C

für k D m; m  1; : : : ; 2

sind für jeden Wert von t die Funktionen . x  t /m C insgesamt . m  1 /-mal stetig differenzierbar nach x und die Vertauschungsoperationen in (L-14.2) für k  m  1 daher zulässig. Außerdem gilt

d dx

Z

b

a

D

f .mC1/ . t /. x  t /1C dt Z x a

f .mC1/ . t / dt

D



d dx

D Z b a

Z

x

a

f .mC1/ . t /

f .mC1/ . t /. x  t / dt



d . x  t /0C dt; dx

so dass die Vertauschungsoperation in (L-14.2) auch für k D m zulässig ist. Abschließend sei noch angemerkt, dass der Peanokern Ks nur stückweise stetig ist und an den Stellen xs0 ; xs1 ; : : : ; xsns im Falle nichtverschwindender Koeffizienten ˛s0 ; ˛s1 ; : : : ; ˛sns nicht definiert ist. Lösung zu Aufgabe 14.2. Es kann o. B. d. A. die Situation Œ a; b  D Œ c; c  betrachtet werden. Als Erstes betrachtet man ungerade Funktionen f 2 C Œ c; c , das heißt,

f . x / D f . x /

für x 2 Œ 0; c :

b D f und Für solche Funktionen gilt mit der Notation aus der Aufgabenstellung f damit nach Voraussetzung an das Funktional R notwendigerweise Rf D Rf beziehungsweise Rf D 0: Nun ist für jede ungerade Funktion f 2 C mC1 Œ c; c  auch die . m C 1 /-te Ableitung f .mC1/ 2 C Œ c; c  ungerade, falls m C 1 eine gerade Zahl ist. Umgekehrt existiert für solche m zu jeder ungeraden Funktion g 2 C Œ c; c  eine ungerade Funktion

204

Kapitel 14 Peano-Restglieddarstellung

f 2 C mC1 Œ c; c  mit f .mC1/ D g. Den Nachweis dieser Umkehrung führt man mit vollständiger Induktion. Man betrachtet hierzu für beliebige gerade R xbeziehungsweise 2 C Œ c; c  die Stammfunktion F . x / D 0 . y / dy . Damit ungerade Funktionen gilt für alle ungeraden Zahlen m mit 1  m  r Folgendes, Z c c

g. x /Km . x / dx D 0

für ungerade g 2 C Œ c; c :

(L-14.3)

Sei nun ein Punkt x mit der Eigenschaft 0 < x < c fest gewählt. Für " > 0 mit der Eigenschaft Œx  "  "2 ; x C " C "2   Œ 0; c  wähle man nun eine ungerade Funktion g" 2 C Œ c; c  derart, dass max jg" . x /j

x2Πc;c 

D 2 = ";

x 2 Πx  "; x C " ; g" . x / D 2 = "; g" . x / D 0; x 62 Πx  "  "2 ; x C " C "2  gilt. Dann ergibt sich

ˇ ˇZ c ˇ g" . x /Km . x / dx  Km . x / ˇ 0

ˇ2 Z D ˇ "

xC"

x"

Z x"

Km . x /  Km . x / dx C

x""2

g" . x /Km . x / dx C

Z xC"C"2 xC"

ˇ g" . x /Km. x / dx ˇ

  Z xC"C"2 2 Z x" jKm . x /  Km . x /j C jK . x /j dx C jK . x /j dx  sup m m " x""2 xC" x2Πx";xC"  ......



C ......

D

2 2  "  2 sup jKm . x /j " x2Πc;c 

C 4" sup jKm . x /j x2Πc;c 

!

0

für " ! 0:

Ganz analog weist man

ˇZ ˇ

0

c

ˇ g" . x /Km . x / dx C Km . x / ˇ

!

0

für " ! 0

nach und erhält daraus zusammen mit der Eigenschaft (L-14.3) die Identität

Km . x / D Km . x /:

(L-14.4)

Diese Identität (L-14.4) gilt für jeden Punkt x mit der Eigenschaft 0 < x < c , und wegen der Stetigkeit des Peano-Kerns Km gilt die Identität (L-14.4) auch für den Randwert x D c . Lösung zu Aufgabe 14.3. (a) Es ist der Peano-Kern

K5 . t / D

1 Qx . . x  t /5C /  5Š

Z 1 1

. x  t /5C dx



für t 2 Œ 1; 1 

(L-14.5)

205

Lösungen

zu berechnen. Hierbei bedeutet die Verwendung des Indexes x für die Quadraturformel Q, dass das Argument . x  t /m C als Funktion von x aufzufassen ist. Das Integral in (L-14.5) berechnet sich zu Z 1 1

Z 1

. x  t /5C dx D

t

. x  t /5 dx D

1 .x 6

ˇ1  t /6 ˇ t D

1 .1 6

 t /6 :

(L-14.6)

Im Folgenden wird zur Vereinfachung der Rechnungen zunächst der Fall t 2 Œ 0; 1  betrachtet. Für die Quadraturformel in (14.3) erhält man dann wegen

'. 1 / D ' 0 . 1 / D '. 0 / D 0;

mit

'. x / WD . x  t /5C für x 2 Œ 1; 1 

den Wert

Qx . . x  t /5C / D

7 .1 15

 t /5 

5 .1 15

 t /4

für t 2 Œ 0; 1 :

(L-14.7)

Der Peano-Kern K5 in (L-14.5) besitzt also die Darstellung

K5 . t / D D

. 1  t /4

. 14. 1  t /  10  5. 1  t /2 /

5Š30 . 1  t /4

. 5t 2  4t  1 /

5Š30

für t 2 Œ 0; 1 :

(L-14.8)

b b gelten mit der R 1 Notation f . x / D f . x / die beiden Identitäten Qf D Qf und RNun 1 b b D Rf , und mit Aufgabe 14.2 f . x / dx und damit auch R f f . x / dx D 1

1

erschließt man die Symmetrie des Peano-Kerns K5 , das heißt,

K5 . t / D K5 . t /

für t 2 Œ 0; 1 :

(L-14.9)

Der Peano-Kern K5 ist damit berechnet. Die Darstellungen (L-14.8) und (L-14.9) implizieren zudem die Nichtpositivität des Peano-Kerns K5 auf dem Intervall Œ 1; 1 . (b) Mit Teil (a) zu dieser Aufgabe erhält man für Funktionen f 2 C 6 Œ 1; 1  die Darstellung

Qf 

Z 1 1

f . x / dx

Z

D

1

1

 K5 . t / dx  f .6/ . /

für f 2 C 6 Œ 1; 1 

mit Zwischenstellen D . f /. Man berechnet nun noch

5Š

Z 1 0

Z 1 7

D

 t /4  16 . 1  t /6 dt ˇ1 7 1 1 7  156 . 1  t /6 C 15 . 1  t /5 C 76 . 1  t /7 ˇ0 D 156 

D



D

K5 . t / dt

0

15

. 1  t /5 

5 .1 15

1 15

4 315

und erhält daraus zusammen mit (L-14.9) die Fehlerdarstellung

Qf 

Z 1 1

f . x / dx

D



8 f .6/ . / 5Š  315

D



1 f .6/ . /: 4725



1 76

206

15

Approximationstheorie – Lösungen

Lösung zu Aufgabe 15.1. O.B.d.A. sei Œ a; b  D Œ 0; 1 . Ein mögliches Beispiel ist

f . x / D 1;

g. x / D 1  x

für x 2 Œ 0; 1 :

Hier gilt offensichtlich jj f jj1 D jj g jj1 D 1, und die beiden Funktion f und g stimmen nicht überein. Andererseits gilt für jeden Parameter  2 Œ 0; 1 

. 1   /f . x / C g. x / D . 1   / C . 1  x / D 1  x

für x 2 Œ 0; 1 

und damit jj . 1   /f C g jj1 D 1. Der Funktionenraum C Œ 0; 1  versehen mit der Maximumnorm kann demnach nicht strikt normiert sein. Lösung zu Aufgabe 15.2. Nach Theorem 15.24 in [26] ist das Element u genau dann ein U -Proximum an ein gegebenes Element v 2 V , wenn

u  v 2 U ?

(L-15.1)

gilt. Für die Lösung der vorliegenden Aufgabe wird noch die Identität

U ? D ¹w 2 V

W

h w ; uj i D 0 für j D 1; 2; : : : ; m º

(L-15.2)

benötigt, die im Folgenden nachgewiesen wird. Die Teilmengenbeziehung “ “ in (L15.2) ist trivialerweise erfüllt, und für den Nachweis der Relation “ “ sei w 2 V ein Element mit der Eigenschaft h w ; uj i D 0 für j D 1; 2; : : : ; m. Nun lässt sich jedes Element u 2 U als eine Linearkombination von u1 ; u2 ; : : : ; um schreiben, das heißt, es Pm gibt reelle Koeffizienten ˇ1 ; ˇ2 ; : : : ; ˇm mit der Eigenschaft u D kD1 ˇk uk . Daraus erhält man

h w; ui D

m X kD1

ˇk h w ; uk i D 0; „ ƒ‚ … D 0

und die Identität (L-15.2) ist damit nachgewiesen. Die Lösung der Aufgabe erhält man nun unmittelbar aus den Darstellungen (L-15.1)–(L-15.2). Die Eigenschaft “u  v 2 U ? “ ist wegen der Darstellung (L-15.2) äquivalent zu

h u ; uj i D h v ; uj i

für j D 1; 2; : : : ; m;

und die gegebene Basisdarstellung des Elements u resultiert in dem linearen Gleichungssystem aus der Aufgabenstellung, es gilt also

h u ; uj i

D

m X kD1

h uk ; uj i ˛k

D

h v ; uj i

für j D 1; 2; : : : ; m:

207

Lösungen

Lösung zu Aufgabe 15.3. Im Folgenden sei n 2 N0 fest gewählt. Aus der bekannten Darstellung

Tm . cos  / D cos. m /

für 0    

. m D 0; 1; : : : /

(L-15.3)

erhält man unmittelbar T2nC1 . t / D T2nC1 . t / für 1  t  1. Für den Ansatz P2nC1 k kD0 bk t bedeutet dies

T2nC1 . t / D n X

b2k t 2k C

kD0

n X

n X

b2kC1 t 2kC1 D 

kD0

b2k t 2k C

kD0

n X

b2kC1 t 2kC1

für 1  t  1

kD0

Pn

2k beziehungsweise D 0 für 1  t  1. Damit besitzt das TschebyscheffkD0 b2k t Polynom T2nC1 . t / die Darstellung n X

T2nC1 . t / D

ak t 2kC1

für

 1  t  1;

kD0

mit gewissen reellen Koeffizienten a0 ; a1 ; : : : ; an . Für 0 < t  1 gilt dann

p T2nC1 . t / p t

D

n X

ak t k 2 …n ;

kD0

was die erste Aussage in (15.1) liefert. Die Darstellung (L-15.3) ergibt außerdem lim

t !0

T2nC1 . t / t

0 lim T2nC1 .t /

D

D

t !0

. 1 /n. 2n C 1 /;

und damit ist auch die zweite Aussage in (15.1) nachgewiesen. Die Identität (15.2) folgt unmittelbar aus der Eigenschaft (L-15.3), und es verbleibt noch die Optimalitätseigenschaft (15.3) nachzuweisen. Hierzu betrachtet man

p pn . t / t

D

p . 1  tqn . t / / t

D

. t 1  qn . t / /t 3=2 ;

wobei das Polynom qn 2 …n1 durch

qn . t / D

1  pn . t / t

für t 2 R

gegeben ist. Mit Theorem 15.28 in [26] beziehungsweise der anschließenden Bemerkung dort folgert man nun, dass p D qn ein …n1 -Proximum an die Funktion f . t / D t 1 bezüglich der Gewichtsfunktion w. t / D t 3=2 für 0  t  1 darstellt. Die zugehörige Alternante ist

sj D cos2

 j



2n C 1

für j D 0; 1; : : : ; n;

denn es gilt

p pn . sj / sj D

.

 1 /j Cn 2n C 1

für j D 0; 1; : : : ; n:

208

Kapitel 15

Approximationstheorie

Lösung zu Aufgabe 15.4. Im Folgenden sei n 2 N0 fest gewählt. Aus der Darstellung (L-15.3) erhält man unmittelbar TnC1 . 0 / D 1 und damit die erste Aussage in (15.4). Die zweite Aussage in (15.4) erhält man so: lim

t !0

1  TnC1 . 1  2t / 2t

./

D

0 lim TnC1 .t /

t !1

./

D

. n C 1 /Un . 1 /

./

D

. n C 1 /2 ;

wobei Un 2 …n das Tschebyscheff-Polynom der zweiten Art vom Grad n bezeichnet. Dabei resultiert die Identität . / aus der Darstellung (L-15.3), und die Identitäten . / und ./ ergeben sich aus Aufgabe 1.16. Die Identität (15.5) folgt unmittelbar aus der Eigenschaft (L-15.3), und es ist nun noch die Nichtoptimalität (15.6) nachzuweisen. Zu diesem Zweck betrachtet man

D

pn . t /t

. 1  tqn . t / /t

. t 1  qn . t / /t 2 ;

D

wobei das Polynom qn 2 …n1 durch

qn . t / D

1  pn . t / t

für t 2 R

gegeben ist. Das Polynom qn stellt jedoch kein …n1 -Proximum an die Funktion f . t / D t 1 bezüglich der Gewichtsfunktion w. t / D t 2 für 0  t  1 dar. Der maximale Abstand wird nämlich in den Punkten

sj D

1 2

 1  cos

 . 2j C 1 /  nC1

für 0  j  n=2

angenommen, mit

pn . sj /sj D

1 . n C 1 /2

für 0  j  n=2:

Es existiert also keine Alternante, mit der man aus Theorem 15.28 in [26] beziehungsweise der nachfolgenden Bemerkung dort die Optimalität folgern könnte. Lösung zu Aufgabe 15.5. Offensichtlich gilt p 2 …n1 für jedes n  0 und jj f  p jj1 D 1. Weiter besteht die Menge der Elemente s 2 Œ 0; 2 , für die der Abstand der Funktion f zu dem potenziellen Proximum p D 0 maximal wird, aus den sechs Elementen 2j C 1 sj D  für 0  j  5; 6 es gilt also

¹ s0 ; s1 ; : : : ; s5 º

D

¹ s 2 Œ 0; 2  W jf . s /  p . s /j D 1 º:

Genauer gilt

f . sj /  p . sj / D . 1 /j

für 0  j  5:

Damit ist auch klar, dass für jedes 0  n  5 eine Alternante existiert, bei der der Abstand der Funktion f zu p D 0 jeweils maximal ausfällt, beispielsweise ¹ sj W 0  j  n º. Für n  6 existiert eine solche Alternante dagegen nicht mehr.

209

Lösungen

Lösung zu Aufgabe 15.6. Es wird zunächst die Frage der Eindeutigkeit behandelt. Wenn zwei Funktionen u1 und u2 2 U den Interpolationsbedingungen genügen, so gilt

u WD u1  u2 2 U ;

u. xj / D 0

für j D 1; 2; : : : ; n:

Damit besitzt die Funktion u 2 U also mindestens n paarweise verschiedene Nullstellen, so dass nach Annahme notwendigerweise u D 0 beziehungsweise u1 D u2 gilt. Für den Nachweis der Existenz einer interpolierenden Funktion aus U wird für eine beliebige Basis '1 ; '2 ; : : : ; 'n des Raums U der Ansatz

u D

n X

˛k 'k

kD1

betrachtet. Mit diesem Ansatz führen die Interpolationsbedingungen u. xj / D fj für j D 1; 2; : : : ; n auf das System von n linearen Gleichungen n X

˛k 'k . xj / D f . xj /

für j D 1; 2; : : : ; n

(L-15.4)

kD1

für die n Koeffizienten ˛1 ; ˛2 ; : : : ; ˛n . Die in (L-15.4) auftretende Systemmatrix ist aufgrund der bereits nachgewiesenen Eindeutigkeit des Interpolationsproblems in haarschen Räumen injektiv und somit auch regulär. Das lineare Gleichungssystem (L-15.4) und damit auch das vorgegebene Interpolationsproblem besitzen also eine Lösung.

210

Literaturverzeichnis Abschließend wird noch eine Auswahl von Lehrbüchern angegeben, in denen die nötigen Grundkenntnisse zur numerischen Mathematik vermittelt werden und die auch weitere Übungsaufgaben beinhalten. Zu einem kleinen Teil enthalten diese Lehrbücher auch die in diesem Übungsbuch vorgestellten Aufgaben. So findet man zum Beispiel die Aufgaben 1.4, 3.1, 3.2, 9.1 und 9.14 in [7] und [31] beziehungsweise deren früheren Auflagen. In [19] werden neben den Übungsaufgaben zur numerischen Mathematik auch Lösungen mitgeliefert. In [5] und [6] finden Sie die benötigten Grundlagen aus der linearen Algebra beziehungsweise der Analysis. In [18] werden noch weitere Grundlagen der Bildkompression vermittelt. [1] Bärwolf, G.: Numerik für Ingenieure, Physiker und Informatiker. Elsevier, München, 2007. [2] Deuflhard, P. und F. Bornemann: Numerische Mathematik 2. de Gruyter, Berlin, 3. Auflage, 2008. [3] Deuflhard, P. und A. Hohmann: Numerische Mathematik 1. de Gruyter, Berlin, 4. Auflage, 2008. [4] Finckenstein, K. Graf Finck von: Einführung in Numerische Mathematik, Band 1 und 2. Carl Hanser Verlag, München, 1977 & 78. [5] Fischer, G.: Lineare Algebra. Vieweg/Teubner, Wiesbaden, 17. Auflage, 2010. [6] Forster, O.: Analysis 1. Vieweg/Teubner, Wiesbaden, 9. Auflage, 2008. [7] Freund, R. W. und R. H. W. Hoppe: Stoer/Bulirsch: Numerische Mathematik 1. Springer, Berlin, 10. Auflage, 2007. [8] Friedrich, H. und Pietschmann, F.: Numerische Methoden. de Gruyter, Berlin, 2010. [9] Golub, G. und C. F. Van Loan: Matrix Computations. The Johns Hopkins University Press, Baltimore, London, 2. Auflage, 1993. [10] Golub, G. und J. M. Ortega: Wissenschaftliches Rechnen und Differentialgleichungen. Eine Einführung in die Numerische Mathematik. Heldermann Verlag, Berlin, 1995. [11] Golub, G. und J. M. Ortega: Scientific Computing. Teubner, Stuttgart, 1996. [12] Grigorieff, R. D.: Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen, Band 1 und 2. Teubner, Stuttgart, 1972/77. [13] Großmann, Ch. und H.-G. Roos: Numerische Behandlung partieller Differentialgleichungen. Teubner, Stuttgart, 3. Auflage, 2005. [14] Hackbusch, W.: Iterative Lösung großer schwach besetzter Gleichungssysteme. Teubner, Stuttgart, 1991. [15] Hairer, E., S. P. Nørsett und G. Wanner: Solving Ordinary Differential Equations I, Nonstiff Problems. Springer, Berlin, 2. Auflage, 1993.

Literaturverzeichnis

211

[16] Hairer, E. und G. Wanner: Solving Ordinary Differential Equations II, Stiff Problems. Springer, Berlin, 2. Auflage, 1996. [17] Hämmerlin, G. und K.-H. Hoffmann: Numerische Mathematik. Springer, Berlin, 4. Auflage, 1994. [18] Hanke-Bourgeois, M.: Grundlagen der Numerischen Mathematik und des Wissenschaftlichen Rechnens. Vieweg/Teubner, Wiesbaden, 3. Auflage, 2009. [19] Herzberger, J.: Übungsbuch zur Numerischen Mathematik. Vieweg, Braunschweig/ Wiesbaden, 1998. [20] Horn, R. A. und C. R. Johnson: Matrix Analysis. Cambridge University Press, Cambridge, 1. Auflage, Reprint, 1994. [21] Kress, R.: Numerical Analysis. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1998. [22] Krommer, A. und C. Überhuber: Computational Integration. SIAM, Philadelphia, 1998. [23] Mennicken, R. und E. Wagenführer: Numerische Mathematik, Band 1 und 2. Vieweg, Braunschweig/Wiesbaden, 1977. [24] Oevel, W.: Einführung in die Numerische Mathematik. Spektrum, Heidelberg, 1996. [25] Opfer, G.: Numerische Mathematik für Anfänger. Vieweg/Teubner, Wiesbaden, 5. Auflage, 2008. [26] Plato, R.: Numerische Mathematik kompakt. Vieweg/Teubner, Wiesbaden, 4. Auflage, 2010. [27] Reinhardt, H.-J.: Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen. de Gruyter, Berlin, 2008. [28] Roos, H.-G. und H. Schwetlick: Numerische Mathematik. Teubner, Stuttgart, Leipzig, 1. Auflage, 1999. [29] Schwarz, H., und N. Köckler: Numerische Mathematik. Vieweg/Teubner, Stuttgart, 7. Auflage, 2009. [30] Schwetlick, H. und H. Kretzschmar: Numerische Verfahren für Naturwissenschaftler und Ingenieure. Fachbuchverlag Leipzig, 1991. [31] Stoer, J. und R. Bulirsch: Numerische Mathematik 2. Springer-Verlag, Berlin, 5. Auflage, 2005. [32] Strehmel, K. und R. Weiner: Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen. Teubner, Stuttgart, 1995.

212

Index Symbole C Œ a; b , 3 C r Œ a; b , 3 C1 Œ a; b , Raum der stetigen, stückweise stetig differenzierbaren Funktionen, 5 f Œ j  mit f W Œ a; b   R ! R, 41 dxe, die kleinste ganze Zahl  x 2 R, 65 bxc, die größte ganze Zahl  x 2 R, 65 jj f jj1 , Maximumnorm stetiger Funktionen f , 4, 79 r k g , Rückwärtsdifferenzen, 46 jj f jj2 für eine Funktion f W Œ a; b  ! R, 5 m-Schrittverfahren, 43 lineares, 44 L Œ y. t /; h , 45 A Abtastrate, 14 Abtastung eines Audiosignals, 14 Anlaufrechnung für Mehrschrittverfahren, 43 Audiokompression, 15 aufsteigende Differenzen j fk , 2 B Bandmatrix, 26 Cholesky-Faktorisierung, 29 Gauß-Algorithmus, 26 BDF-Formeln, 47 Bildkompression, 22 Bitrate, 14 Bit-Umkehr, 10 Block-Tridiagonalmatrix, 59 C CD-Qualität, 14, 15 CG-Verfahren, 61 Cholesky-Faktorisierung, 29, 32 für Bandmatrizen, 29

D dahlquistsche Wurzelbedingung, 44 Datenglättung, 11 Datenkompression, 11 Dekodierung, 17 Dezibel, kurz dB, 13 diagonaldominante Matrix, 27 Differenzengleichung, 45 charakteristisches Polynom Differenzenquotient zentral, erster Ordnung, 49 zentral, zweiter Ordnung, 49, 51 Differenzenschema, 60 Differenzenverfahren, 51 Differenzialungleichung, 54 diskrete Cosinustransformation, 12 inverse, 11, 12 zweidimensional, 21 diskrete Fouriertransformation, 8 eindimensional, 8, 130 inverse, 11 zweidimensional, 11, 18 zweidimensional, Rücktransformation, 20 diskretes Maximumprinzip, 52 dividierte Differenzen, 3 dominante Nullstelle, 67 Dreiecksmatrix, 29 rechte untere, 65 E Einfache Kutta-Regel, 41 Einfachschießverfahren, 55 Einschrittverfahren, 39 Euler-Verfahren, 40 Runge-Kutta-Verfahren vierter Ordnung, 40, 42 Verfahrensfunktion, 39 einfache Kutta-Regel, 41 Konsistenzbedingung, 40 Konsistenzordnung, 41 lokaler Verfahrensfehler, 39

213

Index

modifiziertes Euler-Verfahren, 40 Schrittweitensteuerung, 41 Taylor-Verfahren, 40 Verfahren von Heun, 40 Energiefunktional J . x / D 12 x>Ax  x>b , 61 Gradient rJ . xn /, 61 Enkodierung, 16 erzeugendes Polynom, 43 euler-maclaurinsche Summenformel, 37 Euler-Verfahren, 40 explizit, 55 implizit, 147 modifiziert, 40 Extrapolation, 38 F Faktorisierung Cholesky-Faktorisierung, 29, 32 LR-Faktorisierung, 28, 29 QR-Faktorisierung, 31 Fehlerfunktional, 69 Fehlerquadratmethode, 54 Fixpunktiteration, 34 a posteriori-Fehlerabschätzung, 34 a priori-Fehlerabschätzung, 34 fehlerbehaftet, 34 Kontraktionseigenschaft, 34 Konvergenzordnung, 34 Fraunhofer Institut für integrierte Schaltungen, 18 friedrichsche Ungleichung, 162 frobeniussche Begleitmatrix, 67, 200 G Gauß-Algorithmus, 26, 27 für Bandmatrizen, 26 für symmetrische Matrizen, 27 mit Pivotsuche, 26 Pivotelement, 28 Pivotsuche, 28 Spaltenpivotsuche, 28 Totalpivotsuche, 28

Genauigkeitsgrad einer Quadraturformel, 37 Gerschgorin-Kreis, 64 Gesamtschrittverfahren, 56 GMRES-Verfahren, 62 Gram-Schmidt-Orthogonalisierung, 115 greensche Funktion, 51 H haarscher Raum, 72 hadamardsche Determinantenabschätzung, 31 Hauptuntermatrizen, 28, 104 Hermite-Interpolation, 1 hermitesches Interpolationsproblem, 70 Hessenbergmatrix, 66 Horner-Schema, 10 Householdertransformation, 32 Huffmann-Kodierung, 16 I implizites Euler-Verfahren, 147 induzierte Matrixnorm, 56 Interpolationspolynom, 1, 2, 74 hermitesches, 1 Neville-Schema, 2 Newton-Darstellung, 3 invers monotone Abbildung, 52 invers monotone Matrix, 51 irreduzible Matrix, 56, 64 J Jordanmatrix, 64 jordansche Normalform, 172 JPEG, 23 K Kilohertz, Anzahl der Schwingungen pro Sekunde/1000, 14 Kompression, 13 Audio, 15 Bild, 22 Video, 24 Konditionszahl einer Matrix, 30, 31 konsistent geordnete Matrix, 59, 60

214 Konsistenzbedingung, 40 Konsistenzordnung, 45 der einfachen Kutta-Regel, 41 des Verfahrens von Milne, 45 des Taylor-Verfahrens, 41 eines Mehrschrittverfahrens, 45 eines Einschrittverfahrens, 40 Optimalität, 41 spezieller Mehrschrittverfahren, 45, 47 Kronecker-Symbol, 79 Krylovraum Kn . A; b /, 61 L lagrangesche Basispolynome, 1, 4 landausche Symbole O; O, 1 lineare Elementarteiler, 56 lineares Gleichungssystem fehlerbehaftet, 30 lineares Randwertproblem, 57 Linienmethode, 156 Lipschitzeigenschaft der Verfahrensfunktion ' , 44 logarithmische Norm, 48, 49 lokaler Verfahrensfehler eines Mehrschrittverfahrens, 43, 44 eines Einschrittverfahrens, 39 LR-Faktorisierung, 28, 29, 66 LR-Verfahren, 67 M M-Matrix, 51, 57, 58 Maskierung, 15 Matrix Cholesky-Faktorisierung, 29 LR-Faktorisierung, 28, 29 QR-Faktorisierung, 31 strikt diagonaldominant, 56 diagonaldominant, 27 invers monoton, 51 irreduzibel, 56 Konditionszahl, 30, 31 konsistent geordnet, 59, 60 lineare Elementarteiler, 56 logarithmische Norm, 48, 49

Index

Quadratwurzel, 193 reduzibel, 56 reguläre Zerlegung A D B P , 52 Singulärwerte, 30 Singulärwertzerlegung, 30 verbindende Kette, 56 zeilenäquilibriert, 31 Mehrschrittverfahren, 43 dahlquistsche Wurzelbedingung, 44 erzeugendes Polynom, 43 globaler Verfahrensfehler, 44 Konvergenzordnung, 44 lineares, 44 lokaler Verfahrensfehler, 43 Nullstabilität, 43 Minimierungsproblem jj Ax b jj2 ! min für x 2 R N , 31 Minimierungsproblem jj Ax b jj2 ! min für x 2 R k , 32 MPEG, Motion Picture Experts Group, 18 N Neville-Schema, 2 Newton-Darstellung des Interpolationspolynom, 3 Newton-Verfahren, 34, 35, 55 Konvergenzordnung, 34 newtonsche Interpolationsformel, 78 Normalengleichung, 32 Nullstabilität, 43 der BDF-Formeln, 47 spezieller Mehrschrittverfahren, 45, 47 O Online-Service zu diesem Buch, v P Parkettierung von Crout, 28 Peanokern, 69 Permutation, 27 Permutationsmatrix, 27 Polynominterpolation

Index

nach Hermite, 70 Prädiktor-Korrektor-Verfahren, 48 von Hamming, 48 von Milne, 48 Proximum, 71, 72 Q

QR-Faktorisierung, 31 Quadraturformel, 37, 38, 70 Genauigkeitsgrad, 37 Taylorabgleich, 37 Quadratwurzel einer symmetrischen, positiv definiten Matrix, 193 Quantisierung eines analogen Audiosignals, 14 von Amplitudenwerten, 16 R Rückwärtsdifferenzen r k g , 46 Randwertproblem, 51 Stabilität, 51 Rayleigh-Quotient, 66 reduzible Matrix, 56 reguläre Zerlegung A D B  P einer Matrix, 52, 53, 178 Relaxationsverfahren, 60 Ritz-Verfahren, 54 Romberg-Schrittweite, 38 Runge-Kutta-Verfahren dritter Ordnung, 41 Runge-Kutta-Verfahren vierter Ordnung, 40, 42, 48 S Schema von Neville, 2 schnelle Fouriertransformation eindimensional, 10 zweidimensional, 11 Schrittweitensteuerung, 41 Sherman-Morrison-Formel, 32 simpsonsche Formel, 129 Singulärwerte einer Matrix, 30 Singulärwertzerlegung einer Matrix, 30 sox, 12 Splinefunktion

215 Approximationseigenschaften, 6 kubisch, 5, 6 linear, 5, 6 lokaler Ansatz, 85 natürliche Randbedingungen, 6 periodische Randbedingungen, 5, 6 quadratisch, 5 vollständige Randbedingungen, 5, 6 Splinekurven, kubische, 7 Störmer-Verfahren, 46 Stützkoeffizienten, 1, 2 strikt diagonaldominante Matrix, 56 strikt normierter Vektorraum, 71 T Taylor-Verfahren, 40 Testgleichung y 0 D y; y. 0 / D 1, 47, 48 Theorem Courant/Fischer, 194 Gerschgorin, 64 Picard/Lindelöf, 133 Weierstraß, 79 Tridiagonalmatrix, 26, 63 Blockgestalt, 59 trigonometrisches Polynom, 8, 37 in zwei Veränderlichen, 11 Interpolation, 10, 11 Tschebyscheff-Polynome der ersten Art Tn , 4, 10, 71, 145 der zweiten Art Un , 4, 37, 208 Twain, Shania, 13 V van der Pol’sche Differenzialgleichung, 40 Vektoriteration, 67 verbindende Kette, 56 Verfahren der konjugierten Gradienten, 61 Verfahren von Hamming, 48 Heun, 40 Milne, 45, 48

216 Runge-Kutta, dritter Ordnung, 41 Runge-Kutta, vierter Ordnung, 48 Schulz, 35 Störmer, 46 Verfahrensfunktion, 39 Videokompression, 24 W Wärmeleitungsgleichung mit NeumannRandbedingungen, 49 Z zeilenäquilibrierte Matrix, 31 zentraler Differenzenquotient erster Ordnung, 57, 58 zweiter Ordnung, 57, 58

Index