Breviar Teoretic [PDF]

Zitiervorschau

BREVIAR TEORETIC ARITMETICĂ ŞI ALGEBRĂ MULŢIMI Relaţii între mulţimi. Mulţimi finite. Apartenenţă

Incluziune, submulţime

A 1

2 5 6

7

1

A

D

2

5 6

B 7

D ⊂ A; D submulþime a lui A B nu este submulþime a lui A

1∈A 7∉A ∅⊂A

„∈“ — aparþine; „∉“ — nu aparþine; „⊂“ — inclus Mulþimea vidã ∅ este submulþime a oricãrei mulþimi.  Orice mulþime este inclusã în ea însãºi. Egalitatea a două mulţimi Considerăm mulţimile C şi D. 

C = {6, 5}

D

5

6 5 ∈ D, 6 ∈ D ⇒ C ⊂ D

        

5 ∈ C, 6 ∈ C ⇒ D ⊂ C D=C

Mulþimile D ºi C sunt egale; fiecare este submulþime a celeilalte. Mulþimi finite Exemple: A = {1, 2, 5, 6}, B = mulþimea elevilor din ºcoala voastrã, C = {0, 2, 4, 6, ..., 2012} sunt mulþimi finite. Operaţii cu mulţimi Reuniunea

Intersecţia

A∪B A 1

2

A∩B

B 5 6

7

A ∪ B = {x | x ∈A sau x ∈B}

A

B

5 7 6 A ∪ B = {x | x ∈A ºi x ∈ B} 1

2

Diferenţa

Diferenţa simetrică

A\B A

A∆B

B\A B

A

5 7 6 A \ B = { x | x ∈A ºi x ∉B} B \ A = { x | x ∈B ºi x ∉A} 1

2

1

1

2

5

6

7

A D B = (A \ B) ∪ (B \ A)

B 7 6 5

(1, 7) (2, 7) (5, 7) (6, 7) (1, 6) (2, 6) (5, 6) (6, 6) (1, 5) (2, 5) (5, 5) (6, 5)

5 6

2

Produsul cartezian

A×B

B

A

B×A (5, 6) (5, 5) (5, 2) (5, 1)

(6, 6) (6, 5) (6, 2) (6, 1)

(7, 6) (7, 5) (7, 2) (7, 1)

5

6

7

B

A × B = {(x, y) | x ∈A ºi y ∈ B}

A 6 5 2 1

B × A = {(y, x) | y ∈B ºi x ∈ A}

def

(a, b) = (c, d) ⇔ a = c ºi b = d.

Mulţimi infinite: , , , 

12

N = {0, 1, 2, 3, ...}

N* = {1, 2, 3, 4, ...}

mulþimea numerelor naturale Z = {..., –2, –1, 0, 1, 2, ...}

mulþimea numerelor naturale nenule Z* = Z \ {0}

mulþimea numerelor întregi

mulþimea numerelor întregi nenule

a * Q =  | a ∈ , b ∈   b 

Q* = Q \ {0}

mulþimea numerelor raţionale

mulþimea numerelor raţionale nenule

I=



{

}

2 , 3 , − 5 , ,...

Toate fracþiile infinite neperiodice sunt

mulţimea numerelor iraţionale

numere raþionale.

R=Q∪I

R* = R \ {0}

mulþimea numerelor reale

mulþimea numerelor reale nenule

Incluziunile  Ì  Ì  Ì  − 3

R\Q

–4,93 Q\Z Z\N

–

9 5

2

p

1 7

0,(3)

–

R 13 2

Q

7,5

Z N –2014

–3 –2 –1

0 1 2 3 4

2014

Scrierea numerelor naturale în baza 10 În baza 10 se utilizeazã cifrele 0, 1, 2, ..., 9. De exemplu, putem scrie: 48 = 4 · 10 + 8 sau 48 = 4 · 101 + 8 · 100 526 = 5 · 100 + 2 · 10 + 6 sau 2 1 0 526 = 5 · 10 + 2 · 10 + 6 · 10 7 342 = 7 · 1 000 + 3 · 100 + 4 · 10 + 2 sau 3 2 1 0 7 342 = 7 · 10 + 3 · 10 + 4 · 10 + 2 · 10 În general, în baza 10:  Un numãr de douã cifre se scrie: ab = a · 10 + b, a ≠ 0, a, b ∈{0, 1, 2, ..., 9}.  Un numãr de trei cifre se scrie: abc = a · 100 + b · 10 + c, a ≠ 0, a, b, c ∈{0, 1, 2, ..., 9}.  Un numãr de patru cifre se scrie: abcd = a · 1 000 + b · 100 + c · 10 + d,   a ≠ 0, a, b, c, d ∈{0, 1, 2, ..., 9}.   Un numãr de m + 1 cifre se scrie: amam – 1...a1a0 = am · 10m + am – 1 · 10m – 1 + ... + a1 · 10 + a0, unde am, am – 1, am –2, ..., a1, a0 ∈{0, 1, 2, ..., 9}, am ≠ 0, m ∈ N*. Propoziţii adevărate şi propoziţii false O propoziþie matematicã este un enunþ despre care are sens sã spunem cã este adevãrat sau fals, într-un anumit context. Dacã o propoziþie este adevãratã, i se atribuie valoarea de adevãr A; dacã este falsã, i se atribuie valoarea de adevãr F. Exemple:  propoziþia p: „3 + 5 = 8“ este adevãratã (A);  propoziþia q: „3 + 5 > 9“ este falsã (F). 13

Împărţirea cu rest a numerelor naturale  Pentru numere naturale: Dacã a ∈ N, b ∈N*, atunci existã q ∈N, r ∈ N astfel încât a = bq + r, cu 0  r < b.

 Pentru numere întregi: Dacã a ∈Z, b ∈Z*, atunci existã q ∈Z, r ∈ Z astfel încât a = bq + r, cu 0  r < |b|. Exemplu: a = – 23, b = – 4 – 23 = (– 4) · 6 + 1   cât rest

Exemplu: a = 23, b = 4 23 = 4 · 5 + 3   cât rest

Divizibilitatea în  şi  Definiţii, divizori, multipli:  În N: a divide b def a | b ⇔ existã c ∈N* astfel încât b = a · c.

 În Z: a divide b def a | b ⇔ existã c ∈Z* astfel încât b = a · c.

 a se numeºte divizor al numãrului natural b;  b se numeºte multiplu al numãrului natural a. Exemplu: 2 | 14; 7 | 14.

 a se numeºte divizor al numãrului întreg b;  b se numeºte multiplu al numãrului întreg a. Exemplu: –2 | 14; 7 | (–14).

Definiţie:

Divizori improprii, divizori proprii în  Divizorii –a, –1, 1 a ai unui numãr întreg a se numesc divizori improprii.

Orice alt divizor al lui a ∈ Z se numeºte divizor propriu. Exemple: DN18 = {1, 2, 3, 6, 9, 18} mulþimea divizorilor naturali ai lui 18; DZ18 = {±1, ±2, ±3, ±6, ±9, ±18} mulþimea divizorilor întregi ai lui 18. Numerele ±2, ±3, ±6, ±9 sunt divizori proprii în Z ai numãrului 18. 14

Divizor comun, multiplu comun, c.m.m.d.c., c.m.m.m.c. Fie a, b, d ∈N*, m ∈N.  d se numeºte divizor comun dacã d | a ºi d | b.  m se numeºte multiplu comun dacã a | m ºi b | m.  Cel mai mare dintre divizorii comuni ai numerelor a ºi b se numeºte c.m.m.d.c. ºi se noteazã (a, b).  Cel mai mic dintre multiplii comuni ai numerelor a ºi b se numeºte c.m.m.m.c. ºi se noteazã [a, b].

Definiţii:



Reþineþi! (a, b) · [a, b] = a · b. N N Exemple: D12 = {1, 2, 3, 6, 12}, D18 = {1, 2, 3, 6, 9, 18}  c.m.m.d.c.(12, 18) = 6; N N M12 = {0, 12, 24, 36, ...}, M18 = {0, 18, 36, ...} c.m.m.m.c.[12, 18] = 36; Verificare: (12, 18) · [12, 18] = 12 · 18.

Numere pare, numere impare {x | x = 2n, n ∈ Z} = {..., –2, 0, 2, 4, ...} mulþimea numerelor pare. {x | x = 2n + 1, n ∈ Z} = {..., –1, 1, 3, ...} mulþimea numerelor impare. Numere prime, numere compuse def

p  2, p ∈N, p numãr prim ⇔ D Zp = {–p, –1, 1, p}. Exemple: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ... Numerele întregi care au divizori proprii se numesc numere compuse. Exemple: 4, 6, 8, 9, 15, 18, 20, 21 ...

Definiţie:

Numere prime între ele Douã numere a, b ∈N* pentru care (a, b) = 1 se numesc prime între ele. Exemple: (2, 3) = 1; (3, 5) = 1; (5, 9) = 1. Descompunerea unui numãr în produs de puteri de numere prime Exemple: 18 2 18 = 2 · 32 12 2 12 = 22 · 3 9 3 6 2 3 3 3 3 1 1 Observăm că: C.m.m.d.c. (12, 18) = 2 · 3 = 6; c.m.m.m.c. [12, 18] = 22 · 32 = 36.

|

|

15

Proprietăţi ale relaţiei de divizibilitate în N *

1.

a | a , ∀a ∈N .

2.

1 | a , ∀a ∈N.

3.

a | 0 , ∀a ∈N .

4.

a|b * ⇒ a = b, ∀a, b ∈N . b|a

5.

a|b * ⇒ a | c, ∀a, b ∈N , c ∈N. b|c

6.

a|x * ⇒ a | x + y, ∀a ∈N , x, y ∈N. a|y

6'.

a|x * ⇒ a | x – y, ∀a ∈N , x  y ∈N. a|y

7.

a | x ⇒ a | xy, a ∈N*, unde x, y ∈N.

8.

a | x ºi b | x * ⇒ ab | x, unde a, b ∈N , x ∈N. (a, b) = 1

*

} } } }

}

Definiţie:

Fracţii O pereche ordonatã de numere întregi de forma

Definiţie:

Definiţie:

Exemple:



O fracþie

5 15 −342 29 2 581 . , , , , 4 10 39 −3 100 a (b ≠ 0) se numeºte:  subunitarã, dacã a < b; b  echiunitarã, dacã a = b;  supraunitarã, dacã a > b

a c a c Douã fracþii ºi se numesc echivalente, ºi scriem =  , dacã ad = bc. b d b d Acestea se obþin amplificând sau simplificând o fracþie datã. 15 3 6 sunt echivalente. Exemplu: , , 10 2 4 2)

Definiţie:

Amplificarea:

3 6 = . 2 4

(2

Simplificarea:

(5

30 15 3 = = . 20 10 2

O fracþie care nu se mai poate simplifica se numeºte fracþie ireductibilã. Exemple:

16

a (b ≠ 0) se numeºte fracþie. b

3 5 8 , , . 2 6 7

Definiţie:

Fracþiile care au numitorul o putere a lui 10 (adicã 10, 100, 1 000, 10 000 etc.) se numesc fracþii zecimale finite. Exemple:

543 3 49 37 527 . , , , 10 100 1 000 10 000

Scrierea fracţiilor sub formă zecimală

partea fracþionarã

35 478 579 7 138 = 13,8; = 0,07; = 0,579; = 3,5478 10 000 1 000 100 10 partea întreagã

Transformarea fracţiilor zecimale finite în fracţii ordinare 25 8 34 1 234 567 2,5 = ; 0,34 = ; 0,008 = ; 12,34567 = . 10 1 000 100 100 000 

Nu toate fracþiile ordinare se pot transforma în fracþii zecimale finite! 19 19,00000... 150 Exemplu: 150 15 0 0,1266... =4 00 =3 00 1 000 900 = 1000 900 100 Fracþia zecimalã 0,12666... se scrie 0,12(6) ºi se numeºte fracþie zecimalã periodicã cu perioada 6.

|

Fracţii periodice simple 175 48 Exemple: = 58,(3); = 4,(36) etc. 3 11 Fracţii periodice mixte Exemple: 12,34(567) ; partea neperiodicã

partea periodicã

1,2(345); 1,23(45); 1,234(5); 0,32(7) etc. 17

Transformarea unei fracţii periodice simple în fracţie ordinară 15 238 3 0,(3) = ; 0,(15) = ; 0,(238) = ; 99 999 9 2,(6) = 2

6 9

sau 2,(6) =

26 − 2 24 = ; 9 9

21 1 521 − 15 1 506 = sau 15,(21) = ; 99 99 99 34 872 − 34 34 838 872 = 34,(872) = 34 sau 34,(872) = . 999 999 999 Proba se face prin împãrþirea numãrãtorului la numitor. 15,(21) = 15



Transformarea unei fracţii periodice în fracţie ordinară 25 − 2 23 126 − 12 114 = = 0,2(5) = ; 0,12(6) = ; 90 90 900 900 315 − 3 312 346 − 34 312 = 0,3(15) = ; 3,4(6) = ; = 990 990 90 90 51137 − 511 50 626 = 5,11(37) = ; 9 900 9 900 12,3(456) = 

123 456 − 123 123 333 = . 9 990 9 990

Proba se face prin împãrþirea numãrãtorului la numitor.

Numere; terminologia specifică; reprezentare pe axă Numere naturale 0

1

2

3

N = {0, 1, 2, 3, ..., n, ...}; N* = {1, 2, 3, ..., n, ...};

Numere întregi –3 –2

–1

0

1

2

3

numere opuse



Z = {..., –n, ..., –2, –1, 0, 1, 2, ..., n, ...}; Z = Z \ {0};  – a este opusul numãrului a.

18

*

Numere raţionale Se numeşte număr raţional mulţimea fracţiilor echivalente cu o fracţie dată. –3

–2

–1

a  Q =  a, b ∈ , b ≠ 0 ; b  



1 2 2 3 −4 ,  , 4 6 −8

2

3 7 3

reprezintă numărul raţional

m  * Q = Q \ {0}; Z =  m ∈  , deci Z ⊂ Q. 1   a b este inversul numãrului raþional (a, b ≠ 0); b a 6 25 2 2 291 numãr raþional sub formã fracþionarã: , ; , , 5 100 3 990 numãr raþional sub formã zecimalã: 1,2; 0,25; 0,(6); 2,3(14). fracþii finite fracþii infinite periodice

          



1

          



0

Numere iraţionale Toate numerele infinite neperiodice sunt numere iraþionale. Numerele – d , d , unde d nu este pãtrat perfect, sunt numere iraþionale.

– 2

2

1 0

2

1

|x| =

x0 {–x,x, dacã dacã x < 0

se numeºte modulul numãrului real x.

|x|  0, oricare ar fi x ∈R.

Proprietăţi x = [x] + {x}, [x] ∈ Z, 0 Ÿ {x} < 1 Exemple: [3,27] = 3; {3,27} = 0,27; [–3,27] = –4; {–3,27} = 0,73.

k

x

k+1

{

Definiţie:

Numere reale  Reunind mulþimea numerelor raþionale cu mulþimea numerelor iraþionale obþinem mulþimea numerelor reale.

[x] {x}

partea fracþionarã a numãrului x

partea întreagã a numãrului x

19

Compararea şi ordonarea numerelor reale 

Dacã a, b ∈N* ºi a < b, atunci



Dacã a, b ∈R+ ºi a < b, atunci:  an < bn (n ∈N*);







a b n n < ºi > (n ∈N*). n n a b

a < b ;



1 1 < . a b

Dintre douã numere negative este mai mare cel cu valoarea absolutã mai micã: a, b < 0 ºi |a| < |b|, atunci a > b. a b a b.

Intervale în R: definiţii, reprezentări pe axă Fie a, b ∈R ºi a < b. Intervale mãrginite: (a, b) = {x ∈ R | a < x < b}

a

[a, b] = {x ∈R | a  x  b}

[

a

[a, b) = {x ∈ R | a  x < b}

[

a

(a, b] = {x ∈ R | a < x  b} Intervale nemãrginite:

(

(

a

[a, +∞) = {x ∈R | a  x}

(–∞, a] = {x ∈R | x  a}

x x x

a

(a, +∞) = {x ∈R | a < x}

(–∞, a) = {x ∈ R | x < a}

x

(

[

x x

a )

a ]

)

b ]

b )

b ]

+∞ +∞ +∞ +∞

b x

+∞

x

+∞ +∞ +∞

a

Proprietăţi ale operaţiilor cu numere reale Adunarea 1. Asociativitatea: (a + b) + c = a + (b + c), oricare ar fi a, b, c ∈R. 2. Elementul neutru este 0: a + 0 = 0 + a = a, oricare ar fi a ∈R. 3. Opusul oricãrui numãr real a este –a: a + (–a) = (–a) + a = 0. 4. Comutativitatea: a + b = b + a, oricare ar fi a, b ∈R. 20

Înmulţirea 1. Asociativitatea: (a · b) · c = a · (b · c), oricare ar fi a, b, c ∈R. 2. Elementul neutru este 1: a · 1 = 1 · a = a, oricare ar fi a ∈ R. 1 3. Inversul oricãrui numãr real nenul a este  : a 1 1 * a · = · a = 1, oricare ar fi a ∈ R . a a 4. Comutativitatea: a · b = b · a, oricare ar fi a, b ∈.

Ridicarea la putere cu exponent întreg Fie a ∈R, n ∈N*. an = a⋅  a ⋅ a ⋅ ... ⋅ a , n  2.

Fie a, b ∈R, p, q ∈Z*. ap · aq = ap + q

n factori

a = a; a0 = 1, a ≠ 0 1n = 1; 0n = 0 1 a–n = n , a ≠ 0 a 1, n par (–1)n =  −1, n impar



a p : a q = a p – q, a ≠ 0 (a p)q = a pq

1



(a · b) p = a p · b p (a : b) p = a p : b p, b ≠ 0 −p

p

a b   =   , a, b ≠ 0 b a ... 01 10–n = 0, 00 

...0 10 n =100  n zerouri

n cifre

Radicali Definiţii:

Fie a ∈Q, a  0. Numãrul a se numeºte pãtrat perfect dacã existã x ∈Q astfel încât a = x2. Fie a ∈Q, a  0. Numãrul a se numeºte rãdãcina pãtratã a numãrului a ( a este numãrul pozitiv al cãrui pãtrat este a).

Proprietãþi: 2 1. a = a, a ∈Q+ .

( )

2. a  0, a ∈Q+ . Reguli de calcul cu radicali a ⋅ b = a ⋅ b , a, b ∈Q+ a b = a 2 b , a, b ∈Q+ x a ⋅ y b = xy ab , a, b ∈Q+ x a ± y a = ( x ± y ) a , a ∈Q+ Raţionalizarea numitorilor b) x x b = ab a b a− b

)

x a+ b

a+ b

)

x a− b

= =

(

x a− b a −b

)

3.

a nu existã dacã a < 0.

4.

a 2 = |a|, a ∈Q.

a = b

a b

a 2 b = a b , a ∈Q, b ∈Q+ x a y b

=

(x a )

n

x a , a, b ∈Q , y b y, b ≠ 0 + = x n a n , a, b ∈Q+

Exemple: 3) 2 2 3 = 3 3 2− 3

)

2

(

x a+ b a −b 2

)

, a, b ∈Q+ , b ≠ 0

1 2+ 3

3+ 2

)

5 3− 2

= =

2− 3 = 2− 3 4−3

(

5 3+ 2 9−2

) = 5 (3 + 2 ) 7

21

Medii *

*

Fie a, b ∈R , p, q ∈N . a+b ma = este media aritmeticã 2 pa + qb map = este media aritmeticã ponderatã p+q mg = ab este media geometricã Exemple: Fie a = 3 – 5 , b = 3 + 5 . ma =

3− 5 +3+ 5 = 3; 2

mg =

(3 − 5 ) (3 + 5 ) =

9 − 5 = 2.

Rapoarte şi proporţii a RaportulProprietatea numerelor raþionale a ºi b (b ≠ 0)aeste numãrul . Definiţii. fundamentală proporţiilor b Raportul a douã mãrimi este raportul mãsurilor lor exprimate cu aceeaºi unitate de mãsurã. Numãrul r =

a a se numeºte valoarea raportului . b b

Egalitatea a douã rapoarte

a c = (b, d ≠ 0) se numeºte proporþie. b d

a c = produsul extremilor este egal cu produsul mezilor: ad = bc. b d Aflarea unui termen necunoscut a c = b d  Într-o proporþie

a=

bc d

b=

ad c

c=

ad b

d=

bc a

Proporţii derivate a−b c−d = b d

a b = c d

d c = b a

a+b c+d = b d

a c = b−a d −c

a c−a = b d −b

a c = b d a a+c = b b+d 22

a c = b+a d +c

Matematică pentru Evaluarea Naţională 2014

Şir de rapoarte egale a c e x a + c + e + ... + x = = = ... = = b d f y b + d + f + ... + y Proporţionalitate directă, proporţionalitate inversă

{a, b, c}

direct proporþionale



{a, b, c}

invers proporþionale

a b c = = x y z a b c = = 1 1 1 x y z

{x, y, z}

{x, y, z}

Definiţie:

Procente Fie p ∈Q*+ . Raportul



p se numeºte raport procentual. 100

a p = se numeºte procent. b 100 p Notãm p%. Avem p% din a = · a. Exemplu: 15% din 700 = 105. 100  Aflarea unui numãr când cunoaºtem p% din el: 100 p ·x=a⇒x=a· . Exemplu: 15% din x = 105 ⇒ x = 700. p 100  Aflarea raportului procentual: a ⋅100 p a 3 p = ⇒p= . Exemplu: = ⇒ p = 37,5. b b 100 8 100 Numãrul p din proporþia

Probabilitatea realizării unui eveniment numãrul cazurilor favorabile evenimentului numãrul cazurilor posibile Exemple: 1. Într-o urnã sunt 17 bile albe ºi 13 bile negre. Se extrage o bilã.  Probabilitatea ca bila extrasã sã fie albã este: 17 numãrul bilelor albe = 30 numãrul total al bilelor



p=

(

)

2. Se aruncã douã zaruri. Numãrul cazurilor posibile este 36 (toate perechile (x, y), unde x, y sunt numere naturale de la 1 la 6). 1  Probabilitatea sã aparã dubla 3: (existã 1 caz favorabil: (3, 3)). 36 2 1 ((2; 5) ºi (5; 2)).  Probabilitatea sã aparã 2, respectiv 5: = 36 18 Breviar teoretic — Aritmetică şi algebră

23

CALCUL ALGEBRIC Reguli de calcul cu numere reale reprezentate prin litere ax + bx + cx = (a + b + c) · x a · (x + y + z) = ax + ay + az (a + b) · (x + y + z) = ax + ay + az + bx + by + bz   Formule de calcul prescurtat

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca (a + b)(a – b) = a2 – b2 Descompunerea în factori

Metoda factorului comun: ab + ac = a(b + c) ab – ac + ad = a(b – c + d) Utilizarea formulelor de calcul prescurtat: a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 a2 – 2ab + b2 = (a – b)2 a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc = (a + b + c)2 a2 – b2 = (a + b)(a – b) Exemple: 4x 2 + 6xy + 9y 2 = (2x + 3y)2 4x 2 – 6xy + 9y 2 = (2x – 3y)2 4x 2 – 9y2 = (2x – 3y)(2x + 3y) Gruparea termenilor ºi metode combinate:  ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y) = (x + y)(a + b)  ax + ay – bx – by = a(x + y) – b(x + y) = (x + y)(a – b)  a(x2 ± 2xy + y2) = a(x ± y)2  x2 ± 2xy + y2 – a2 = (x ± y)2 – a2 = (x ± y – a)(x ± y + a)  a2 – b2 – c2 + 2bc = a2 – (b2 + c2 – 2bc) = a2 – (b – c)2 = (a – b + c)(a + b – c) Exemple: 5x2 – 30x + 45 = 5(x2 – 6x + 9) = 5(x – 3)2 ; 4x2 + 4x + 1 – 16y 2 = (2x + 1)2 – 16y2 = (2x + 1 – 4y)(2x + 1 + 4y).

24

Matematică pentru Evaluarea Naţională 2014

Rapoarte de numere reale reprezentate prin litere  amplificarea

 simplificarea (c

c)

a ac , b, c ≠ 0 = b bc  adunarea sau scãderea a c a±c , b ≠ 0 ± = b b b  puterea cu exponent natural n an a *   = n , b ≠ 0, n ∈N b b  puterea cu exponent întreg negativ −n bn a *   = n , a, b ≠ 0, n ∈N b a

a a:c , b, c ≠ 0 = b b:c  înmulþirea a c a⋅c ⋅ = , b, d ≠ 0 b d b⋅d  împãrþirea a c a d   : = ⋅ , b, c, d ≠ 0 b d b c

FUNCŢII

Sistem de axe ortogonale; reprezentarea punctelor în plan y axa ordonatelor ordonata punctului M

y

M(x, y)

axa absciselor x

0

x abscisa punctului M



Oricãrei perechi ordonate (x, y) i se poate asocia un punct M din plan.

Definiţie:

Noţiunea de funcţie Fiind date douã mulþimi nevide, A ºi B, ºi o lege de corespondenþã care face ca fiecãrui element x din A sã-i corespundã un unic element y din B, spunem cã am definit o funcþie pe A cu valori în B ºi scriem f : A → B. Exemplu: 1 2 3 2 domeniul de definiþie

1 2 3 4 5 6

f (x) = x 2

legea de corespondenþã

Im f = {y ∈B | y = f (x), x ∈A} imaginea funcþiei

codomeniul (mulþimea în care funcþia ia valori)

25

Definiţie:

Funcţii de tipul f : A → R, f (x) = ax + b, unde a, b ∈R, A = mulţime finită

 

Fie f : A → B. Prin graficul funcþiei f vom înþelege mulþimea Gf = {(x, f (x)) | x ∈A} ⊂ A × B. y

Deci (a, b) ∈Gf ⇔ f (a) = b ºi a ∈A, b ∈B. Graficul Gf al unei funcþii f are tot atâtea elemente câte are ºi domeniul A.

D

7 C

5

Exemplu: Fie funcþia numericã f : {0, 1, 2, 3} → R, datã prin f (x) = 2x + 1. Gf = {(0, 1), (1, 3), (2, 5), (3, 7)} iar reprezentarea sa geometricã este mulþimea punctelor: A, B, C, D.

B

3 1 A

x

1 2 3

0

Funcţii de tipul f : R → R, f (x) = ax + b, unde a, b ∈R Cum domeniul de definiþie este R, atunci Gf este o mulþime infinitã ºi se reprezintã într-un sistem de axe ortogonale printr-o dreaptã. y y

b a=0

b

−

x



Un punct M(x, y) ∈Gf ⇔ y = ax + b. Reþineþi! Pentru o trasare rapidã a graficului este suficient sã-i determinãm douã puncte.

ECUAŢII ŞI INECUAŢII Rezolvarea în R a ecuaţiilor de forma ax + b = 0, a ∈R*, b ∈R ax + b = 0, x ∈D ⇔ ax = – b ⇔ x = – 

26

b a

x 0 Gf  b  Gf ∩ Ox =  − , 0 , Gf ∩ Oy = (0, b)  a 

Gf

0 

a≠0

b . a

b b  b ∈D ⇒ S = −  .  Dacã – ∉D ⇒ S = ∅. a a  a Am notat D domeniul de definiþie al ecuaþiei ºi S mulþimea soluþiilor. Exemplu: 3 –7x + 3 = 0 ⇔ –7x = – 3 ⇔ x = . 7  3  În Q avem S = ∅, dar în R avem S =   .  7  Dacã –

Rezolvarea în R a ecuaţiilor de forma ax 2 + bx + c = 0, unde a, b, c ∈R, a ≠ 0

*

Pentru a rezolva în R ecuaþia ax2 + bc + c = 0, a ≠0, a, b, c ∈R, calculãm discriminantul D = b2 – 4ac. Vom avea urmãtoarele situaþii: I. D < 0 ⇒ S = ∅.

 b II. D = 0 ⇒ S = −  .  2a 

 −b − ∆ −b + ∆  , III. D > 0 ⇒ S =  . 2a   2a *  Notă: Această temă nu este cuprinsă în programa pentru evaluare naţională. Rezolvarea în R × R a sistemelor de două ecuaţii liniare cu două necunoscute Metoda substituþiei (exemplu) y = 5− x y = 5− x y + x = 5 ⇔ ⇔ ⇔  2 x − 15 + 3x = 0 2 x − 3 y = 0  2 x − 3 (5 − x ) = 0 y = 5− x y = 5− x x = 3 ⇔ ⇔ ⇒ S = {(3, 2)} .  5 x − 15 = 0 x = 3   y = 2 Etapele metodei substituþiei: se rezolvã o ecuaþie în raport cu o necunoscutã;  înlocuind în cealaltã ecuaþie, se obþine o ecuaþie cu o singurã necunoscutã, care se rezolvã, obþinându-se o componentã a soluþiei;  revenind la substituþia fãcutã, se obþine cealaltã componentã a soluþiei. Metoda reducerii (exemplu)  x + 4 y = 11 ⋅ 3 3x + 12 y = 33 ⇔  2 x − 3 y = 0 ⋅ 4  8 x − 12 y = 0 

11x / = 33 ⊕ x = 3 x = 3 x = 3 x = 3 ⇔ ⇔ ⇔   x + 4 y = 11 3 + 4 y = 11 4 y = 8 y = 2 Etapele metodei substituþiei:  se înmulþeºte convenabil fiecare termen (dintr-o ecuaþie sau din ambele) cu acelaºi numãr;  adunând sau scãzând membru cu membru noile ecuaþii, se eliminã una dintre necunoscute;  se determinã cealaltã necunoscutã, apoi se înlocuieºte în una dintre ecuaþiile iniþiale. Rezolvarea în R a inecuaţiilor de forma ax + b Ÿ 0 (), a ∈R*, b ∈R b − a +∞ b –∞ ]  Dacã a > 0: ax + b Ÿ 0 ⇔ x Ÿ – a b –∞ +∞  Dacã a < 0: ax + b Ÿ 0 ⇔ x  – [ a b − a Analog, pentru formele . Exemple: 3 3 1. 2x + 3 < 0 ⇔ 2x < –3 ⇔ x < – . 2. –2x + 3  0 ⇔ –2x  –3 ⇔ 2x Ÿ 3 ⇔ x Ÿ . 2 2 3 3. –2x – 3 > 0 ⇔ –2x > 3 ⇔ 2x < –3 ⇔ x < – . 2 27

GEOMETRIE

MĂSURARE ŞI MĂSURI Unităţi de măsură pentru lungime mm



















28

m

dam

hm

km

1 mm = 0,001 m 1 m = 0,1 dam 1 cm = 0,01 m 1 m = 0,01 hm 1 dm = 0,1 m 1 m = 0,001 km Reþineþi! Dacã transformãm o unitate mai micã într-o unitate mai mare, împãrþim la 10, 100, 1 000, ... Unităţi de măsură pentru arie cm2

dm2

m2

dam2

hm2

km2

submultiplii metrului pãtrat multiplii metrului pãtrat 1 m2 = 1 000 000 mm2 1 dam2 = 100 m2 2 2 2 1 m = 10 000 cm 1 hm = 10 000 m2 1 m2 = 100 dm2 1 km2 = 1 000 000 m2 Reþineþi! Dacã transformãm o unitate mai mare într-o unitate mai micã, înmulþim cu 100, 10 000, 1 000 000, ... 1 mm2 = 0,000001 m2 1 m2 = 0,01 dam2 1 cm2 = 0,0001 m2 1 m2 = 0,0001 hm2 2 2 1 dm = 0,01 m 1 m2 = 0,000001 km2 Reþineþi! Dacã transformãm o unitate mai micã într-o unitate mai mare, împãrþim la 100, 10 000, 1 000 000, ... 1 ha = 10 000 m2 1 ar = 100 m2 Unităţi de măsură pentru volum mm3



dm

submultiplii metrului multiplii metrului 1 m = 1 000 mm 1 dam = 10 m 1 m = 100 cm 1 hm = 100 m 1 m = 10 dm 1 km = 1 000 m Reþineþi! Dacã transformãm o unitate mai mare într-o unitate mai micã, înmulþim cu 10, 100, 1 000, ...

mm2



cm

cm3

dm3

m3

dam3

hm3

km3

submultiplii metrului cub multiplii metrului cub 1 m3 = 1 000 000 000 mm3 1 dam3 = 1 000 m3 3 3 3 1m = 1 000 000 cm 1 hm = 1 000 000 m3 3 3 3 1m = 1 000 dm 1 km = 1 000 000 000 m3 Dacã transformãm o unitate mai mare într-o unitate mai micã, înmulþim cu 1 000, 1 000 000, 1 000 000 000, ... 1 mm3 = 0,000000001 m3 1 m3 = 0,001 dam3 3 3 3 1 cm = 0,000001 m 1 m = 0,000001 hm3 3 3 3 1 dm = 0,001 m 1 m = 0,000000001 km3 Dacã transformãm o unitate mai micã într-o unitate mai mare, împãrþim la 1 000, 1 000 000, 1 000 000 000, ...

Unităţi de măsură pentru capacitate ml





cl

dl

l

dal

hl

kl

submultiplii litrului multiplii litrului 1 l = 1 000 ml 1 dal = 10 l 1 m = 100 cl 1 hl = 100 l 1m= 10 dl 1 kl = 1 000 l Reþineþi! Dacã transformãm o unitate mai mare într-o unitate mai micã, înmulþim cu 10, 100, 1 000, ... 1 ml = 0,001 l 1 l = 0,1 dal 1 cl = 0,01 l 1 l = 0,01 hl 1 dl = 0,1 l 1 l = 0,001 kl Reþineþi! Dacã transformãm o unitate mai micã într-o unitate mai mare, împãrþim la 10, 100, 1 000, ... Relaþia de legãturã între unitãþile de volum este 1 dm3 = 1l Unităţi de măsură pentru masă mg

cg

dg

g

dag

submultiplii gramului submultiplii kilogramului 1 g = 1 000 mg 1 g = 100 cg 1g= 10 dg 1 mg = 0,001 g 1 cg = 0,01 g 1 dg = 0,1 g 1 q = 100 kg chintalul

hg

kg

1 dag = 10 g 1 hg = 100 g 1 kg = 1 000 g 1 g = 0,1 dag 1 g = 0,01 hg 1 g = 0,001 kg 1 t = 1 000 kg tona

Unităţi de măsură pentru timp 

Unitatea principalã de mãsurã pentru timp este secunda (s). Alte unitãþi:  minutul:  ora:  ziua:  sãptãmâna:  luna:  anul:  deceniul:  secolul:  mileniul:

1 min = 60 s 1 h = 60 min = 3 600 s 1 zi = 24 h 1 sãptãmânã = 7 zile 1 lunã are 28, 29, 30 sau 31 zile 365 zile sau 366 zile (an bisect) 10 ani 100 ani 1 000 ani 29

FIGURI ŞI CORPURI GEOMETRICE Punctul, dreapta, planul, semiplanul, semidreapta, segmentul de dreaptă, unghiul Noþiunile primare nu se definesc, ci se descriu prin exemple. A Punctul nu are „întindere“. A, B ∈d B A C∉d d C d = AB Dreapta este nemãrginitã ºi „nu are grosime“. B A ∈a B∉a d d ⊂ AB a AB ⊄ a Planul este comparabil cu suprafaþa unei ape liniºtite (presupusã nemãrginitã). A

  

Dreapta este o mulþime de puncte, numite coliniare. Planul este o mulþime de puncte, numite coplanare. Planul conþine drepte.

Semidreapta este mãrginitã la un capãt, numit origine.

C ∈[AB D ∉[AB Semidreapta deschisã (AB sau semidreapta închisã [AB.

Segmentul de dreaptã este mãrginit la ambele capete.

C ∈[AB] D ∉[AB] Segmentul deschis (AB) sau segmentul închis [AB].

A

D

D

O dreaptã inclusã într-un plan îl împarte în douã semiplane. a

A

B C

C B

C ∈(dA B ∈[dA D ∉[dA

D d A B C

În desen am haºurat semiplanul deschis (dA. Douã semidrepte având aceeaºi origine formeazã un unghi.

A O

B

Notãm  AOB sau AOB . 30

UNGHIURI FORMATE DE DOUĂ DREPTE TĂIATE DE O SECANTĂ Douã drepte a, b tãiate de o secantã s formeazã urmãtoarele perechi de unghiuri:  alterne interne: 3 , 5 , 4 , 6 s

( ) ( )  alterne externe: (1, 7 ) , ( 2 , 8 )  corespondente: (1, 5 ) , ( 2 , 6 ) , (3 , 7 ) , ( 4 , 8 )  interne de aceeaºi parte a secantei: ( 4 , 5 ) , (3 , 6 )  externe de aceeaºi parte a secantei: (1, 8 ) , ( 2 , 7 )

a

1 2 4 3

b

5 6 8 7

Axioma lui Euclid Printr-un punct exterior unei drepte se poate duce o paralelã ºi numai una la dreapta datã. Criterii de paralelism s a 4 6 b 4 ≡ 6 ⇒ a || b

s

s

a

a

s 2

a

4

4 b 5

b 8

b 7

4 ≡ 8 ⇒ a || b

4 , 5 supl. ⇒ a || b

2 , 7 supl. ⇒ a || b

Axiomele geometriei în spaţiu A1 Douã puncte distincte determinã o dreaptã. A2 Trei puncte necoliniare determinã un plan. A B E Punctele A, B determinã dreapta AB. G F E, F, G necoliniare determinã planul (EFG).

 Existã puncte exterioare unei drepte. d C

C ∉d.

A3 Dacã douã puncte ale unei drepte aparþin unui plan, atunci dreapta este inclusã în plan. b

I

 Existã puncte exterioare unui plan. H a H ∉a A4 Dacã douã plane au un punct comun atunci au o dreaptã comunã. g L

J

 I, J ∈b ⇒ IJ ⊂ b

δ K

A5 Spaþiul este o mulþime de puncte. Planele ºi dreptele sunt submulþimi ale spaþiului.

 K, L ∈δ ∩ g ⇒ δ ∩ g = KL

31

Determinarea planului I. Trei puncte necoliniare determinã un plan. A planul (ABC)

B C II. O dreaptã ºi un punct care nu îi aparþine determinã un plan. D

III. Douã drepte paralele determinã un plan. b planul (b, c) c

IV. Douã drepte concurente determinã un plan. d

e

planul (D, a)

a

planul (e, d)

Poziţiile relative a două drepte în spaţiu Drepte coplanare paralele a∩b=∅ a a

concurente a ∩ b ≠ ∅

a∩b=∅ a

a I b

A

b

a

a, b ⊂ a; a || b



Drepte necoplanare

b

a

a, b ⊂ a; a ∩ b = {I}

b ⊂ a; a ∩ a = {A}

Poziţiile relative ale unei drepte faţă de un plan Dreapta este paralelã cu planul d

Dreapta este inclusã în plan

a

Dreapta este inclusã în plan d A

d

a

a d || a

d⊂a

d⊂a

Poziţiile relative a două plane Plane secante

Plane paralele

a a

d b

b a || b 32

a∩b=d

Definiţie:

Unghiul a două drepte în spaţiu Unghiul a douã drepte în spaþiu este orice unghi ascuþit sau drept cu vârful în orice punct al spaþiului având laturile paralele cu dreptele date. Drepte perpendiculare în spaţiu

d

g

a

( )

def a ⊥ b ⇔ m a , b = 90° b

d, g necoplanare A O B OA || d     ⇒ d , g = OAB OB || g 

( )

Definiţie:

Dreapta perpendiculară pe un plan Se numeºte dreaptã perpendicularã pe un plan o dreaptã care este perpendicularã pe orice dreaptã din plan.

Criteriul de perpendicularitate  Dacã o dreaptã este perpendicularã pe douã drepte concurente dintr-un plan, atunci ea este perpendicularã pe plan.

d

}

d⊥a ⇒d⊥a a⊂a

a a

}

d

d⊥a a, b ⊂ a ⇒ d ⊥ (a, b) a∩b≠∅

b a a

Teoreme de perpendicularitate şi paralelism Douã plane perpendiculare pe aceeaºi dreaptã sunt paralele. a ⊥ d ⇒ a || b b⊥d

}

a

Douã drepte perpendiculare pe acelaºi plan sunt paralele. a ⊥ a ⇒ a || b b⊥a

}

b

a

d

b

a

33

Definiţii:

Perpendiculare şi oblice O dreaptã care intersecteazã un plan, dar nu este perpendicularã pe plan, se numeºte oblicã faþã de plan. d d ∩ a = {P} def P ⇔ d este oblicã faþã de planul a  a ≠ 90° m d, a

( )

}

A

Se numeºte distanþa de la un punct la un plan lungimea segmentului care uneºte punctul dat cu piciorul perpendicularei duse din punct pe plan.

P

a

def

AP ⊥ a ⇔ d(A, a) = AP

Definiţie:

Distanţa dintre două plane paralele Se numeºte distanþa dintre douã plane paralele lungimea unui segment cuprins între cele douã plane ºi perpendicular pe ele.

A

a

}

AB ⊥ a ⇒ d(a, b) = AB AB ⊥ b

B

b

Definiţie:

Definiţie:

Proiecţii ortogonale pe un plan

a

Se numeºte proiecþia unei figuri geometrice pe un plan mulþimea proiecþiilor punctelor acelei figuri pe plan.

A

A′B′C′ = praABC

34

A

Se numeºte proiecþia unui punct pe un plan piciorul perpendicularei duse din acel punct pe plan. A′ = pra A, AA′ este proiectanta punctului A pe a

a

A′

C B C′

A′ B′

Proiecţia unei drepte pe un plan d 

Teoremå: Proiecþia unei drepte pe un plan este o dreaptã sau un punct.

d

d′ a

{A} = prad

d′ = prad Definiţie:

A

a

d

Se numeºte unghiul unei drepte cu un plan unghiul pe care aceastã dreaptã îl face cu proiecþia ei pe plan. (d, a) = (d, d′), unde d′ = prad

A a

d′

Lungimea proiecţiei unui segment pe un plan 

B

Lungimea proiecþiei unui segment pe un plan este egalã cu lungimea segmentului înmulþitã cu cosinusul unghiului format de dreapta suport a segmentului cu planul. Aplicaþie: A′B′ = 5 cm, AB = 10 cm. A′B′ 1 5 = ⇒ u = 60°. Avem cos u = = 2 AB 10

A u A′ B′ a A′B′ = AB cos u

Teorema celor trei perpendiculare

d⊥a a⊥b a, b ⊂ a

d

}

⇒c⊥b a

Distanþa de la un punct la o dreaptã MP ⊥ a a⊥b ⇒ MA ⊥ b ⇒ d(M, b) = MA a ∩ b = {A} a, b ⊂ a

}

b

a P M

a

c A c

a P

b A

Teoremele reciproce ale teoremei celor 3 perpendiculare Prima teoremå reciprocå a teoremei celor trei perpendiculare d d⊥a c c⊥b ⇒a⊥b a a, b ⊂ a P a ∩ b = {A} a

}

A doua teoremå reciprocå a teoremei celor trei perpendiculare d d⊥a c a⊥b ⇒d⊥a a c⊥b P a, b ⊂ a a

}

b A

b A 35

Unghiul diedru

Definiţii:

Se numeºte unghi diedru figura geometricã formatã de douã semiplane delimitate de aceeaºi dreaptã. Se numeºte unghi plan asociat unui unghi diedru unghiul determinat de douã semidrepte conþinute respectiv în semiplanele ce formeazã diedrul, ambele având originea pe muchia diedrului ºi fiind perpendiculare pe aceasta. a ⊥ d, b ⊥ d ⇒ (a, b) este unghiul plan al diedrului de muchie d.

a d

b

Definiţie:

Plane perpendiculare 

Douã plane se numesc perpendiculare dacã formeazã un unghi diedru drept.

Teoremå:  Dacã un plan conþine o dreaptã perpendicularã pe alt plan, atunci cele douã plane sunt perpendiculare. d⊂a ⇒a⊥b d⊥b

d a

}

b

Definiţii:

Definiţii:

Simetria în plan Spunem cã douã puncte A ºi A′ sunt simetrice faþã de un punct O, dacã O este mijlocul segmentului [AA′].

Spunem cã un punct O este centrul de simetrie al unei figuri geometrice plane dacã orice punct al figurii are simetric faþã de O tot un punct al figurii.

Spunem cã douã puncte distincte sunt simetrice faþã de o dreaptã s, dacã dreapta s este mediatoarea segmentului determinat de cele douã puncte.

O

A′

A ºi A′ sunt simetrice faþã de O

O

F

O este centrul de simetrie al figurii F

s

A

A′

O A, A′ sunt simetrice faþã de dreapta s

s Spunem cã o figurã geometricã planã admite o axã de simetrie s dacã orice punct al figurii are simetric faþã de dreapta s tot un punct al figurii.

36

A

F s este axa de simetrie a figurii F

Triunghiul Triunghiul oarecare, perimetrul ºi aria 

PABC = a + b + c



AABC =

A

perimetrul triunghiului

baza · înãlþimea 2

aria triunghiului

c

sau AABC = AB · AC · sin A 2 

()

()

b a

B

C D

()

 +m C  +m B  = 180°. m A

 ACD este unghi exterior triunghiului ABC. Triunghiul isoscel A

[AB] ≡ [AC] ⇔ B ≡ C B C Triunghiul echilateral  =m C  = 60°. A [AB] ≡ [BC] ≡ [CA] ⇔ m A = m B 

l h l B

l



C



PABC = 3l; l 3 h= ; 2 l2 3 AABC = . 4

()

()

()

Linii importante în triunghi Definiţie:

Mediatoarea

A

Mediatoarea unui segment este perpendiculara dusã prin mijlocul segmentului.

Punctul de intersecþie a mediatoarelor unui triunghi este centrul cercului circumscris triunghiului.



O B

Definiţie:

Bisectoarea



A

Bisectoarea unui unghi este semidreapta cu originea în vârful unghiului care împarte unghiul în douã unghiuri congruente.

Punctul de intersecþie a bisectoarelor unui triunghi este centrul cercului înscris.



I B

Definiţie:

Mediana



C A

Mediana este dreapta care trece printr-un vârf al triunghiului ºi mijlocul laturii opuse.

Punctul de intersecþie a medianelor se numeºte centrul de greutate al triunghiului.



C

G B

M

C

Definiţie:

Înălţimea

A

Înãlþimea este perpendiculara dusã dintr-un vârf al triunghiului pe

latura opusã.  Punctul de intersecþie a înãlþimilor se numeºte ortocentrul triunghiului.

H B

M

C

Definiţie:

Linia mijlocie în triunghi Segmentul care uneºte mijloacele a douã laturi ale unui triunghi se numeºte linie mijlocie.

Teorema asupra liniei mijlocii  Într-un triunghi, segmentul care uneºte mijloacele a douã laturi este paralel cu cea de-a treia laturã ºi are lungimea egalã cu jumãtate din lungimea acesteia.  MN || BC  MN linie mijlocie ⇒  BC  MN = 2 Teorema reciprocå a teoremei asupra liniei mijlocii [AM] ≡ [MB] BC ⇒ [AN] ≡ [NC] ºi MN = 2 MN || BC

}

Aplicaþie: Fie M, N mijloacele laturii [AB], respectiv [AC] ale unui triunghi. Atunci mijloacele înãlþimii, bisectoarei ºi medianei din vârful A aparþin dreptei MN.

A N

M B

C A N

M B

M B

C

A N

C

Criteriile de congruenţă a triunghiurilor A

A′

Definiţie:

B

C

} } } } }

B′

C′

[AB] ≡ [A′B′]; A ≡ A′; def [BC] ≡ [B′C′]; B ≡ B′; ⇔ DABC ≡ DA′B′C′ [CA] ≡ [C′A′]; C ≡ C′

Cazul LUL

[AB] ≡ [A′B′] [BC] ≡ [B′C′] B ≡ B′ B ≡ B′

Cazul ULU

[BC] ≡ [B′C′] C ≡ C′

Cazul LLL

[AB] ≡ [A′B′] [BC] ≡ [B′C′] [CA] ≡ [C′A′]

Cazul LUU

[AB] ≡ [A′B′] B ≡ B′ C ≡ C′

⇔ DABC ≡ DA′B′C′

⇔ DABC ≡ DA′B′C′

⇔ DABC ≡ DA′B′C′

⇔ DABC ≡ DA′B′C′

Criteriile de asemănare a triunghiurilor

Definiţie:

A

}

B

A′

C

A ≡ A′; B ≡ B′; def ⇔ DABC ~ DA′B′C′ C ≡ C′ AB BC AC = = A′ B′ B′C ′ A′C ′

Criteriul 1 de asemãnare: AB AC A ≡ A′; ⇒ DABC ~ DA′B′C′ = A′ B′ A′C ′ Criteriul 2 de asemãnare: A ≡ A′; B ≡ B′ ⇒ DABC ~ DA′B′C′ Criteriul 3 de asemãnare: AB BC AC = = ⇒ DABC ~ DA′B′C′ A B ′′B C ′′A C ′′

B′

C′

A

Teoreme Fie triunghiul ABC ºi punctele D ∈ AB, E ∈AC.  Teorema lui Thales AD AE DE || BC ⇒ = DB EC

B

C

D

 Teorema reciprocå a teoremei lui Thales AD AE = ⇒ DE || BC DB EC

E

A D B

E

 Teorema fundamentalå a asemånårii AB AC BC = = =r. DE || BC ⇒ DADE ~ DABC ⇒ AD AE DE

E C D A

B

C

Triunghiul dreptunghic Triunghiul dreptunghic oarecare A AB ⊥ AC sau m A = 90°

()

B C D

AB ⋅ AC AABC = 2

Triunghiul dreptunghic isoscel A m A = 90°

()

[AB] ≡ [AC] ⇔ B

Teorema înålÆimii m A = 90° ⇒ AD2 = BD · DC AD ⊥ BC

()

}

Teorema catetei m A = 90° ⇒ AB2 = BC · BD, AC2 = BC · CD AD ⊥ BC

()

}

Teorema lui Pitagora  m A = 90° ⇒ BC 2 = AB 2 + AC 2

()

AB 2 = BC 2 – AC 2 AC 2 = BC 2 – AB 2

Teorema reciprocå a teoremei lui Pitagora BC 2 = AB 2 + AC 2 ⇒ m A = 90°

()

Rapoarte constante în triunghiul dreptunghic c b A sin B = , cos B = a a c b b c tg B = , ctg B = c b B C a sin B 1 , ctg B = tg B = cos B tg B sin B = cos C

C

() ()

 = 45°  =m C ⇔m B

Tabele trigonometrice a

30°

45°

60°

sin a

1 2

2 2

3 2

cos a

3 2

2 2

1 2

1

3

funcþia

1

tg a

3

ctg a

1

1

3

3

Patrulaterul convex Suma mãsurilor unghiurilor unui patrulater convex este 360°.



Paralelogramul Patrulaterul convex care are laturile opuse paralele se numeºte paralelogram. def

AB || CD; BC || DA ⇔ ABCD paralelogram. Teoremå referitoare la laturi  În orice paralelogram laturile opuse sunt congruente. ABCD paralelogram ⇔ [AB] ≡ [CD] ºi [BC] ≡ [DA]. Teoremå referitoare la unghiuri  În orice paralelogram oricare douã unghiuri opuse sunt congruente ºi oricare douã unghiuri consecutive sunt suplementare. ABCD paralelogram ⇔ A ≡ C; B ≡ D. A, B suplementare. Teoremå referitoare la diagonale  În orice paralelogram diagonalele au acelaºi mijloc. [OA] ≡ [OC]; ABCD paralelogram ⇔ [OB] ≡ [OD].   Definiţie:

{

Dreptunghiul Paralelogramul care are un unghi drept se numeşte dreptunghi. def ABCD paralelogram, m A = 90° ⇔ ABCD dreptunghi.

()

Teoremå referitoare la unghiuri În orice dreptunghi toate unghiurile sunt congruente, deci drepte.  ABCD dreptunghi ⇔ A ≡ B ≡ C ≡ D.

A

B

D

C A

B

D

C A

B

D

C

A D

B O

C

A

B

D

C

A

B

D

C

Definiţie:

Teoremå referitoare la diagonale În orice dreptunghi diagonalele sunt congruente.  ABCD dreptunghi ⇔ [AC] ≡ [BD]. Rombul Paralelogramul care are două laturi consecutive congruente se numeşte romb. def ABCD paralelogram, [AB] ≡ [BC] ⇔ ABCD romb.

A

B

D

C A

D

B C

Teoremå referitoare la laturi În orice romb toate laturile sunt congruente.  ABCD romb ⇔ [AB] ≡ [BC] ≡ [CD] ≡ [DA].

A D

B

Teorema 1 referitoare la diagonale În orice romb diagonalele sunt perpendiculare.  ABCD romb ⇔ AC ⊥ BD.

C A

Definiţie:

Teorema 2 referitoare la diagonale În orice romb diagonalele sunt bisectoare.  ABCD romb ⇔ [BD] bisectoarea unghiului D.

D

B C

Pãtratul Un paralelogram care are un unghi drept şi două laturi consecutive congruente se numeşte pătrat. def ABCD dreptunghi ºi romb ⇔ ABCD pãtrat.

A

B

D

C

Proprietăţile pătratului

Toate unghiurile sunt drepte.

Definiţii:

Toate laturile sunt congruente.

Diagonalele sunt Diagonalele sunt perpenbisectoarele pãtratului. diculare, congruente ºi au acelaºi mijloc.

Trapezul Patrulaterul convex care are două laturi opuse paralele şi celelalte două neparalele se numeşte trapez. def AB | CD ºi AD } BC ⇔ ABCD trapez. Trapezul dreptunghic Trapezul care are una dintre laturile neparalele perpendiculară pe bază se numeşte trapez dreptunghic. def  = 90° ⇔ ABCD trapez, m A ABCD trapez dreptunghic.

()

A

B

D

C A

B

D

Linia mijlocie în trapez Segmentul care uneºte mijloacele laturilor neparalele ale unui trapez se numeºte linia mijlocie a trapezului.

C

Teorema asupra liniei mijlocii în trapez 

A

AB + CD [AM] ≡ [MD]; [BN] ≡ [NC] ⇔ MN || AB; MN = . 2

M

N

D

Teorema reciprocå asupra liniei mijlocii în trapez AB + CD  [AM] ≡ [MD]; MN || AB ⇔ [BN] ≡ [NC]; MN = . 2 Definiţie:

B C

A

B

M

N

D

Trapezul isoscel Trapezul care are laturile neparalele congruente se numeşte trapez isoscel.

C A

def

B

D

ABCD trapez, [AD] ≡ [BC] ⇔ ABCD trapez isoscel.

C

Teoremå referitoare la unghiuri  ABCD trapez isoscel ⇔ A ≡ B ºi D ≡ C.

A

B

D Teoremå referitoare la diagonale  ABCD trapez isoscel ⇔ [AC] ≡ [BD].

C A

B

D

C

Perimetrele şi ariile poligoanelor Paralelogramul A B h

d

l

L

D PABCD = 2(L + l) AABCD = L · l

D C PABCD = 2(L + l) AABCD = L · h AABCD = L · l · sin B

A

Pãtratul

Rombul A l B

Dreptunghiul L A B l

h

C

D PABCD = 4l AABCD = l · h d ⋅d AABCD = 1 2 2

d = L2 + l 2

PABCD = 4l AABCD = l2 d=l 2

C

C

Trapezul A b B

B l

D

l

h D

B PABCD = AB + BC + CD + DA (B + b ) ⋅ h AABCD = 2

C

Cercul coardã diametru

Definiţii:

Mulþimea punctelor din plan situate la distanþa r faþã de punctul O se numeºte cerc de centru O ºi razã r. Segmentul care uneºte douã puncte de pe cerc se numeºte coardã. Coarda care trece prin centrul cercului se numeºte diametru, iar capetele diametrului se numesc puncte diametral opuse.

O

centrul razã

C (O, r)

Definiţii:

Porþiunea dintr-un cerc determinatã de douã puncte distincte ale cercului se numeºte arc de cerc.



arcul mic  AB

Dacã extremitãþile unui arc de cerc sunt diametral opuse, atunci arcul se numeºte semicerc.

semicerc

Toate punctele situate, faþã de centrul cercului, la distanþe mai mici decât raza, formeazã interiorul cercului.

O

Toate punctele situate, faþã de centrul cercului, la distanþe mai mari decât raza, formeazã exteriorul cercului. Mulþimea punctelor cercului C(O, r) reunitã cu interiorul cercului se numeºte disc de centru O ºi razã r: D(O, r).

r

A

B O

interior exterior

O

Definiţii:

Unghi la centru; sector de cerc Un unghi cu vârful în centrul unui cerc se numeºte unghi la centru.

Se numeºte sector de cerc o porþiune dintr-un cerc  cuprinsã între douã raze ale sale ºi arcul pe care îl subîntind.

 

D

A

B

O

(

)

(

 ADB = m AOB m 

B

Într-un cerc, arcelor congruente le corespund coarde congruente. Reciproc, într-un cerc, coardelor congruente le corespund arce congruente. A

)

C

D

  ⇔ [AB] ≡ [CD] AB ≡ CD Matematică pentru Evaluarea Naţională 2014





Diametrul perpendicular pe o coardã Într-un cerc, diametrul perpendicular pe o coardã trece prin mijlocul arcului subîntins de coardã.

O A

Teoremå privind coardele egal depårtate de centru Douã coarde ale unui cerc sunt congruente dacã ºi numai dacã sunt egal depãrtate de centru. [AB] ≡ [CD] ⇔ d(O, AB) = d(O, CD)

B

A

C

B



Teoremå privind arcele cuprinse între coarde paralele Dacã douã coarde ale unui cerc sunt paralele, atunci arcele cuprinse între ele sunt congruente.

A D

D

O

B C

O

 AB || CD ⇒  AB ≡ CD

Definiţie:

Unghiul înscris în cerc



Un unghi cu vârful pe cerc ale cãrui laturi includ douã coarde ale cercului se numeºte unghi înscris în cerc.

O

Mãsura unghiului înscris în cerc este jumãtate din mãsura arcului cuprins între laturile sale.



Poziþiile relative ale unei drepte faþã de un cerc O dreaptã poate avea cu un cerc: a) douã puncte comune b) un punct comun t s r

O

secantã 

d(O, s) < r

O

tangentã 

OT ⊥ t  OT = d(O, t) = r

B

A

( ) ( ) 2  =m  m ( AOB ) ( AB) C

m  ACB =

m  AB

c) niciun punct comun e O

dreaptã exterioarã cercului  d(O, e) > r

T

Tangente dintr-un punct exterior la un cerc  Dintr-un punct exterior unui cerc se pot duce douã tangente ºi numai douã la cerc.

A

O T′

Proprietãþile tangentei dintr-un punct exterior la un cerc a) [TA] ≡ [T ′A]; ′ ; b) [AO este bisectoarea unghiului TAT ′ ; c) [OA este bisectoarea unghiului TOT d) OA este mediatoarea segmentului [TT′].  Mãsura unui unghi cu vârful pe cerc, care are una dintre laturi secantã ºi cealaltã tangentã la cerc, este jumãtate din mãsura arcului cuprins între laturile sale. Aplicaþie:  = 60°. BT = 4 3 cm, m ATB

(

T

A

O

)

B

(

)

 = m ATB  ºi raza r. Se cere mãsura arcului mic BT Soluþie:   m BT m BT  = 120°.  ⇔ 60° = ⇔ m BT m ATB = 2 2  = 30°. Triunghiul TOB este isoscel cu baza (TB). Deducem uºor cã m OTB

(

)

( )

( )

A

Un cerc se numeºte cerc înscris într-un triunghi, dacã laturile triunghiului sunt tangente la cerc.  În acest caz, triunghiul se numeºte circumscris cercului.



Centrul cercului înscris într-un triunghi se aflã la intersecþia bisectoarelor triunghiului.

O B

Definiţie:

Cercul circumscris unui triunghi



2

( )

Definiţie:

Se obþine r = 4 cm.

( )

( )

m  AB

A

Un cerc se numeºte circumscris unui triunghi, dacã vârfurile triunghiului sunt situate pe cerc. În acest caz, triunghiul se numeºte triunghi înscris în cerc. Centrul cercului circumscris unui triunghi se aflã la intersecþia mediatoarelor triunghiului.

C

O B

C

Lungimea cercului ºi aria discului; lungimea arcului de cerc; aria sectorului de cerc Lcerc = 2pR; Adisc = pR2 npR 2 npR R ; Asector circular = Larc = 360 180 n° Aplicaþii: 1. Aflaþi raza r ºi lungimea unui cerc cu aria discului egalã cu 20p dm2. Soluþie: pR2 = 20p ⇒ R = 2 5 dm; Lcerc = 2p 5 dm. 2. Aflaþi raza unui cerc având un arc de cerc cu lungimea 15p cm ºi mãsura unghiului la centru corespunzãtor n° = 60°. 60 pR npR ⇔ 15p = ⇒ R = 45 cm. Soluþie: 15p = 180 180

Elemente în poligoane regulate Triunghiul echilateral l

Pãtratul

R

R 30°

O ap

R

l

O R 45°

l=R 3 R ap = 2

O R

ap

l=R 2 ap =

Hexagonul regulat

R 2 2

l

R 60°

R ap

l = R; ap =

R 3 2

P = 6l; A =

3l 2 3 2

Corpuri geometrice. Poliedre Prisma dreaptã Cu baza triunghi echilateral

Cu baza hexagon regulat

Cu baza pãtrat

înãlþime

muchie lateralã

diagonalã

faþã lateralã

vârf muchia bazei

bazã

Paralelipipedul dreptunghic

Cubul D′

înãlþime

A′

lungime 

C

A B Feþele unui cub au formã de pãtrat ºi sunt congruente. D′ C′ C C′ C′ D′ D Desfãºurarea cubului

Feþele unui paralelipiped dreptunghic sunt dreptunghiuri, douã câte douã congruente.

B′

D

lãþime



C′

B′ A′ A

B B′

A′ Piramida V înãlþimea vârful

piramidei

A

B

B

D C baza

piramidei

În funcþie de natura bazei, folosim denumirile: piramidã triunghiularã, patrulaterã, pentagonalã, hexagonalã.

D C

Definiţii:

E

A



Tetraedrul

piramidei faþã lateralã

muchie lateralã

B′

Punctele necoplanare A, B, C, D determinã poliedrul cu cel mai mic numãr de feþe numit tetraedru. Reuniunea feþelor tetraedrului se numeºte suprafaþa tetraedrului.

Definiţie:

V O piramidã care are baza poligon ºi muchiile laterale congruente se numeºte piramidã regulatã. Feþele laterale ale unei piramide regulate sunt triunghiuri isoscele (congruente).



C

apotema piramidei înãlþimea piramidei

M O B

A

apotema bazei

Definiţii:

Piramida regulată, tetraedrul regulat Distanþa de la un vârf la o laturã a bazei se numeºte apotema piramidei. Distanþa de la centrul bazei la o laturã a bazei se numeºte apotema bazei. Un tetraedru cu toate muchiile congruente se numeºte tetraedru regulat.

planul de secþiune

Planul de secþiune este un poligon (cu toate punctele interioare) congruent cu bazele ºi paralel cu acestea. Obþinem douã prisme de acelaºi tip cu prisma iniþialã, dar de înãlþimi mai mici.





în piramidã

în prismã

Secţiuni paralele cu baza în poliedre





planul de secþiune

Planul de secþiune este un poligon asemenea cu baza ºi paralel cu aceasta. Obþinem o piramidã micã, al cãrei vârf este vârful piramidei iniþiale iar baza poligonul (cu toate punctele interioare) ºi un trunchi de piramidã.

Definiţii:

Trunchiul de piramidă



Se numeºte trunchi de piramidã corpul geometric obþinut prin secþionarea unei piramide printr-un plan paralel cu baza, situat între bazã ºi planul de secþiune.

laturã a bazei mici muchie lateralã

baza micã faþã lateralã

Distanþa dintre bazele trunchiului se numeºte înãlþimea trunchiului. laturã a bazei mari

baza mare

Corpuri rotunde Cilindrul circular drept O A

OR

B

Definiţii:







D C

razã generatoare suprafaþã lateralã bazã

A

R

A

D C

B

B

Bazele unui cilindru au formã de disc. Raza fiecãreia dintre baze se numeºte raza cilindrului. Suprafaþa care mãrgineºte cilindrul se numeºte suprafaþa lateralã a cilindrului. Desfãºurarea suprafeþei laterale a unui cilindru este dreptunghi.

Conul circular drept A

V vârf generatoare

B

Definiţii:





O

A

bazã

V A

Baza unui con are formã de disc. Raza bazei se numeºte raza conului. Desfãºurarea suprafeþei laterale a unui con este un sector de disc.

B R

O

Secţiuni paralele cu baza în corpuri rotunde în cilindru circular drept

în con circular drept

planul de secþiune

planul de secþiune

Planul de secþiune este un disc congruent cu bazele ºi paralel cu acestea. Obþinem doi cilindri având aceeaºi razã cu cilindrul iniþial, dar de înãlþimi mai mici.









Planul de secþiune este un disc asemenea cu baza ºi paralel cu aceasta. Obþinem un con mic, al cãrui vârf este vârful conului iniþial, iar baza discul de secþiune ºi un trunchi de con.

Trunchiul de con

Definiţii:

Se numeºte trunchi de con corpul geometric obþinut prin secþionarea unui con circular drept printrun plan paralel cu baza ºi îndepãrtarea conului mic  obþinut.



Distanþa dintre bazele trunchiului de con se numeºte înãlþimea trunchiului. Desfãºurarea suprafeþei laterale a unui trunchi de con este un sector de coroanã circularã.

baza micã suprafaþa lateralã

generatoarea

raza bazei mici înãlþimea trunchiului

raza bazei mari baza mare

Sfera; descriere. Bila

O



R

O

Sferã de centru O ºi razã R S (O, R) S (O, R) = {P | P punct din spaþiu a.î. OP = R} Prin rotaþia unui cerc în jurul unui diametru al sãu obþinem o sferã având raza egalã cu raza cercului de rotaþie ºi centrul în centrul cercului de rotaþie.

R

Bilã de centru O ºi razã R B(O, R)





B(O, R) = {P | P punct din spaþiu a.î. OP  R} Planul de secþiune este un disc asemenea cu baza ºi paralel cu aceasta. Obþinem un con mic, al cãrui vârf este vârful conului iniþial, iar baza discul de secþiune ºi un trunchi de con.

Definiţie:

Secţiuni axiale în corpuri rotunde



Spunem cã un corp geometric admite o axã de simetrie s dacã orice punct al corpului are simetric faþã de dreapta s tot un punct al corpului.

G

G R s

G R s

Secþiunea axialã este triunghi isoscel cu baza dreptunghi de dimensiuni 2R ºi laturile R 2R ºi G

R R s

trapez isoscel cu baza micã r, baza mare R ºi latura neparalelã G

s disc de razã R

Ariile şi volumele corpurilor geometrice Prisma dreaptã

Piramida regulatã

h

h

Al = suma ariilor feþelor laterale At = Al + 2Ab V = Ab · h 

Trunchiul de piramidã regulatã h

Al = suma ariilor feþelor laterale At = Al + Ab A ·h V = b 3

Al = suma ariilor feþelor laterale At = Al + AB + Ab h V = AB + Ab + AB ⋅ Ab 3

(

Raportul volumelor a douã piramide asemenea este cubul raportului de asemãnare. Conul Cilindrul Trunchiul de con r

h

G R

G=h Al = 2pRG At = 2pR(R + G) V = pR2h

R

G2 = h2 + R2 Al = pRG At = pR(R + G) pR2h V = 3

Paralelipipedul dreptunghic b

d c a At = 2(ab + bc + ca) V = abc d = a2 + b2 + c2

G

h

Cubul

a At = 6a2 V = a3 d=a 3

G

h R

G2 = h2 + (R – r)2 Al = pG(R + r) At = Al + AB +Ab ph V = · (R2 + r2 + Rr) 3 Sfera R

d a a Asferei = 4pR2 4pR3 Vbilei = 3

)