Angewandte Strömungsmechanik für Praxis und Studium : mit 53 Tabellen und 30 Beispielen [1. Aufl] 9783835101180, 3835101188 [PDF]

Zitiervorschau

Dominik Surek, Silke Stempin

Angewandte Strömungsmechanik für Praxis und Studium

Dominik Surek, Silke Stempin

Angewandte Strömungsmechanik für Praxis und Studium Mit 398 Abbildungen, 53 Tabellen und 30 Beispielen

Teubner

Bibliografische Information der Deutschen Bibliothek Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar. Professor Dr.-Ing. habil. Dominik Surek, geb.1933, studierte von 1954 bis 1959 Strömungstechnik und Strömungsmaschinen an der TH Dresden und promovierte 1965 zum Dr.-Ing. Von 1966 bis 1992 arbeitete er in der Pumpen- und Verdichterindustrie Halle. 1991 Habilitation an der TU Bergakademie Freiberg. 1993 bis 1998 Professor an der Hochschule Merseburg, seit 1998 leitet Prof. Surek das Institut Fluid- und Pumpentechnik Merseburg, Gutachter und Koordinator der AiF „Otto von Guericke“ e.V. Dipl.-Ing. Silke Stempin, geb.1968, studierte von 1989 bis 1994 Verfahrenstechnik an der MartinLuther-Universität Halle-Wittenberg. Von 1994 bis 1999 wissenschaftliche Mitarbeiterin an der Hochschule Merseburg am Lehrstuhl für Strömungsmaschinen. Seit 1999 wissenschaftliche Mitarbeiterin und stellvertretende Direktorin des Instituts Fluid- und Pumpentechnik Merseburg.

1. Auflage Februar 2007

Alle Rechte vorbehalten © B.G.Teubner Verlag / GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2007

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ISBN 978-3-8351-0118-0

Vorwort Die Entwicklung der Strömungsmechanik nahm im vorigen Jahrhundert einen beeindruckenden Verlauf, wobei sich zwei Perioden besonders herausheben. Das ist das Wirken Ludwig Prandtls (1875 bis 1953) am Kaiser-Wilhelm-Institut fur Strömungsforschung in Göttingen (heute Institut für Luft- und Raumfahrt), das zu einer wissenschaftlichen Systematisierung der theoretischen und experimentellen Strömungsmechanik führte, und das ist zum anderen die Periode für die Entwicklung der Fluggeräte und der Flugtechnik einschließlich der Raketen und der Weltraumshuttles mit dem Überschallflug und den Grenzbedingungen von der freien Molekularströmung im Weltraum in den Übergangsbereich der viskosen Strömung bei sehr hohen Machzahlen. Diese erfolgreiche Forschung wirkte sich besonders auch auf die Entwicklung der Strömungsmaschinen und der Vakuumtechnik aus. Bei den Strömungsmaschinen sind insbesondere die Axialverdichter, die Gasturbinen und die Brennkammern zu erwähnen, die schließlich zu den hocheffektiven Strahltriebwerken modemer Flugzeuge führten mit Leistungen bis zu 30 MW. Für die Vakuumtechnik werden Axialverdichter mit Antriebsdrehzahlen bis 90 000 min~^ gefertigt, die ebenfalls im Bereich der freien Molekularströmung arbeiten und die in der Terminologie der Vakuumtechnik als Turbomolekularpumpen bezeichnet werden. In ähnlicher Weise strahlte die Entwicklung der Strömungsmechanik in den Bereich der Verfahrenstechnik und der Biotechnologie aus, wodurch sie stark befruchtet wurden. Die Entwicklung der Strömungsmaschinen für die Flugtechnik verlief auf den Gebieten der Strömungstechnik, der Thermodynamik und der Werkstofftechnik so erfolgreich, dass heute bereits ganze Flugzeugtriebwerke oder wesentliche Komponenten davon auch für stationäre Kraftwerksanlagen erfolgreich eingesetzt werden. Das Buch wendet sich vorrangig an die praktisch tätigen Strömungsingenieure und Freunde der Strömungsmechanik, denen ein systematisierter Stoff in fünfzehn Kapiteln dargeboten wird. Das Buch soll zur Vermittlung bei der Lösung praktischer Strömungsaufgaben dienen. Deshalb wurde auch die Lösung einfacher praktischer Aufgabenbeispiele aufgenommen. In gleicher Weise soll das Buch auch ein Begleiter im Studium der angewandten Strömungsmechanik für die Studierenden der Hochschulen und Universitäten sein. Dabei soll es vorrangig die Gedankengänge und die Arbeitsmethoden bei der Lösung strömungstechnischer Aufgaben im Bereich des Maschinenbaus, des Anlagenbaus und der Verfahrenstechnik vermitteln. Die mathematischen Anforderungen werden bewusst auf einem niedrigen Niveau gehalten, um das Buch einem großen Leserkreis zugängig zu machen. Das Verständnis für die Methoden und Lösungsverfahren der Strömungsmechanik soll dabei entwickelt werden. So wird die Strömung des Kontinuums z. B. in den Gesamtrahmen der Strömungsabläufe, insbesondere jene im Vakuum und im Hochvakuum gestellt. Es werden auch die Grundlagen der Strömungsakustik, die instationären Strömungen, die Strömung in Turbomaschinen, die Grundlagen der Mehrphasenströmung und das wichtige Gebiet der strömungstechnischen Messtechnik behandelt, um dem experimentell tätigen Ingenieur Einblick in die modernen Messverfahren wie z. B. in die Laser-Doppler-Anemometry (LDA), die Particle-ImageVelocimetry (PIV) und in die instationäre Druckmesstechnik zu gewähren. Die Strömungsvorgänge, die in Verbindung mit chemischen Reaktionen ablaufen, wie z. B. Verbrennungsströmungen, Explosionsvorgänge, Dissoziationsvorgänge und auch die lonisationsvorgänge

VI

Vorwort

sind von der Betrachtung ausgeschlossen. Sie werden heute vorwiegend mit dem CFDProgramm Fluent berechnet. Ein herzlicher Dank gilt dem Teubner-Verlag und dem Leiter des Lektorats Technik, Herrn Dr.-Ing. Martin Feuchte, der von Anbeginn dieses Projekt förderte und für die wohlgestaltete Ausstattung des Buches sorgte. Ebenso danken die Autoren Herrn Dipl.-Ing. Mario Reinsdorf für die sorgfältige Anfertigung der Zeichnungen und Tabellen. Herrn Prof Dr. Roland Adler danken die Verfasser für die Durchsicht des Manuskripts. Die Autoren sind den Lesern für Verbesserungsvorschläge und für neue Anregungen dankbar. Dafür steht Ihnen die e-mail-Adresse [email protected] oder die Postadresse Institut Fluid- und Pumpentechnik, Geusaer Straße, 06217 Merseburg zur Verfügung. Dominik Surek

Merseburg, im Januar 2007

1 Einleitung In allen gasförmigen und flüssigen Fluiden treten dreidimensionale Bewegungen auf, gemäß der Erkenntnis von Heraklit „Panta rhei - Alles fließt". Diese Strömungen gibt es in der freien Natur, in der Meteorologie, in umbauten Räumen, in Maschinen, insbesondere in Strömungsmaschinen wie Pumpen, Verdichter, Ventilatoren, in Gas- und Dampfturbinen, in allen technischen Anlagen und in allen Lebewesen. Die Strömungen können stationär oder zeitabhängig sein. Eine große Zahl dieser Strömungsvorgänge kann auf den stationären Charakter und viele davon auch auf eine oder auf zwei Dimensionen reduziert werden. Untersucht man die technischen Druck- und Strömungsbereiche, so erstreckt sich der Druckbereich im Hochvakuum vom Druck von 10"^^ Pa bis zu 0,1 Pa, dem üblichen Atmosphärendruck von 10^ Pa bis in den Überdruckbereich von 10^ Pa=l GPa. Im Bild 1-1 ist die Druckskala für den gesamten technischen Druckbereich mit den unterschiedlichen Strömungsformen dargestellt. Atmosphärischer Zustand

,-15 10-'"

T 10-"

10-^

—rn— 10-^,0

10^10^° p

Bereich des Kontinuums

Vakuum Kinematik der IVIolekularströmung

1—\

10^

^ ^

Pa

Hochdruckbereich

Kviskose Strömung-

Tabelle 1-1 Klassifizierung von Strömungen Molekularströmung Vakuum Fo

h,

m Po P = T7 V = (l + ßpAT) ( l - ß x A p )

(2.12)

•

Bild 2-4 Kompressibilität eines Gases bei der Druckänderung Ap = p - po

2.1.4 Druck Der Druck ist eine skalare Größe. Er stellt das Integral der in einem Behälter auftretenden Stoßkräfte der bewegten Moleküle auf die Begrenzungswände dar. Der Druck stellt also die Normalkraft je Flächeneinheit dar. Normalkraft p=

dF

^^ -.^x (2.13)

=

Flächeneinheit dA Die Einheit des Druckes ist das Pascal (Pa). In der Tabelle 2-4 ist die Druckeinheit von 1 Pa und weitere Druckgrößen durch die Wassersäule veranschaulicht. Wird einem Behälter an einer Stelle mit dem Kolben ein Druck der Größe p = F/A aufgeprägt, so wirkt dieser Druck im gesamten Behälter normal auf die Behälterwände (Bild 2-5). Tabelle 2-4 L1 ^

U— U—

A A ii A

P

•iiiii. Bild 2-5 Druckeinprägung in einem Behälter

Druckeinheiten

IPa

10-^ bar

0,1 mm WS

10 Pa

lO-'^bar

1,0 mm WS

100 Pa

10-^ bar

10 mm WS

133,3 Pa

1 Torr

1 mmHgS

1333 Pa

10 Torr

lOmmHgS

11,64-10-^ Pa ll,64Pa

11,6410-^ bar

1 mm LuftS

11,6410-^ bar

1 m LuftS

Der leicht schwankende atmosphärische Druck auf der Erdoberfläche beträgt im Mittel ca. 100 kPa = 10^ Pa = 1 bar. Er schwankt zwischen pb = 91 kPa und 108 kPa. Ausgehend von

2.1 Physikalische Zustandsgrößen von Fluiden

11

dem atmosphärischen Luftdruck im Bild 2-6, der oft auch als Bezugsgröße genutzt wird, kann der Absolutdruck, der Überdruck und der Unterdruck (Vakuum) definiert werden. Der atmosphärische Druck ist orts- und höhenabhängig. Er wird von allen meteorologischen Stationen und von allen Flughäfen fortlaufend gemessen und aufgezeichnet. Er wird auch bei experimentellen Untersuchungen mit Luft, Gasen und Flüssigkeiten benötigt und er kann mit einem Barometer (U-Rohr- oder Federrohrmanometer) gemessen werden. A

P 1 Pa

1 i

Pu

Pb

^r

t

t Überdruck

1

1

variabler Atmosphärendruck Unterdruck

i

P

Bild 2-6 Druckangaben als Absolut-, Über- oder Unterdrück

Mittels Druckmessgeräten können Absolutdrücke und Differenzdrücke dp ~ Ap als pü oder pu gegenüber dem atmosphärischen Druck gemessen werden. Der Absolutdruck ergibt sich dann aus p= Pb+Pü bei Überdrücken oder p=Pb-pu bei Unterdrücken (Bild 2-6). Mit Transmittem kann der Absolutdruck gemessen werden. Der Messraum von Transmittern ist entsprechend der geforderten Genauigkeit mit absoluten Drücken von p=10" ^ Pa bis 10"^ Pa evakuiert, so dass der Absolutdruck gemessen werden kann.

2.1.5 Temperatur Zur Angabe des Temperaturzustandes existieren vier verschiedene Temperaturskalen, von denen drei willkürlich festgelegt sind. Absolute thermodynamische Temperatur T K AV

UL~t

t=T-To = T-273,15 °C

0 *0

V,

Celsius- Temperaturskala

Ü

Rankine- Temperaturskala

R = 5/9 K

Fahrenheit-Temperaturskala

°F=1R = 5/9K

Bild 2-7 Flüssigkeitsthermometer In der Strömungsmechanik und in der Thermodynamik wird die absolute Temperatur T in K verwendet. Der Nullpunkt T = 0 K der absoluten thermodynamischen Temperatur liegt bei t=-273,15 °C. Die Temperatur kann mittels Flüssigkeitsthermometem durch Temperaturausdehnung einer Flüssigkeit, mit Thermoelementen oder mit Widerstandsthermometem (PTIOO) gemessen werden (Bild 2-7) (Abschn. 15). Das Flüssigkeitsvolumen im Flüssigkeitsthermometer beträgt: V = Vo+AV = V o + A ( L - L o ) = Vo+ßTVo(t-to) Die Celsius-Temperaturskala hat ihren Nullpunkt beim Gefrierpunkt des reinen Wassers.

(2.14)

12

2 Eigenschaften der Fluide

2.1.6 Viskosität als molekülbedingter Impulstransport Die molekulare Viskosität oder Zähigkeit eines Fluids ist eine Eigenschaft, die neben der Normalkraft auch Tangentialkräfte übertragen kann. Diese Tangential- oder Reibungskraft der realen Fluide beschreibt die Viskosität. Die molekulare Viskosität, im Gegensatz zur Wirbelviskosität einer Strömung, entsteht in einer realen Fluidschicht durch den spezifischen Impulstransport der Moleküle je Flächenund Zeiteinheit in der Dimension einer Schubspannung oder eines Druckes. Ein viskoses Fluid ist durch diesen molekularen Impulsaustausch tatsächlich in der Lage, Schubspannungen bzw. Scherkräfte aufzunehmen und zu übertragen. Betrachtet man die Molekularbewegung in einer Schnittebene i eines realen Fluids mit zwei benachbarten Schnittebenen i-1 und i+1 entsprechend Bild 2-8, so kann die Zahl der Moleküle je Zeiteinheit angegeben werden, die aus der Schnittebene i in die Schnittebene i+1 und i-1 wechseln.

Bild 2-8 Impulstransport der Moleküle in drei benachbarten Ebenen i-1, i, i+1 bei jeweils y = konst. mit dem Abstand der freien Weglänge der Moleküle A Die Moleküle besitzen im kartesischen Koordinatensystem (x, y, z) mit den positiven und negativen Koordinatenrichtungen 6 Freiheitsgrade. Die Konstante von Avogadro NA gibt die Anzahl der Moleküle für die Stoffmenge von 1 mol an. Sie beträgt für die Stoffmenge n und die Anzahl der Moleküle in der Stoffmenge N A = — = 6,02214199 10^ V o l " ^ (2.15) n Sie ist für alle Stoffe gleich groß. Die molare Gaskonstante 9t und die Avogadro-Konstante sind auf die Stoffmenge von 1 mol bezogene Größen, deren Quotient die Boltzmann-Konstante k ergibt. Sie beträgt mit der Konstante von Avogadro NA: k =^ = NA

8,31447J.mol ^,^,,,,,,,.,,-23 6,02214199 1 0 ^ V o l K

]_ K

^^.lô)

Damit kann auch die Zahl der Atome oder Moleküle je Volumeneinheit angegeben werden. Die Loschmidtsche Zahl gibt die Zahl der Moleküle, NL= 2,6867775 • 10^^ je m^ eines idealen Gases an. Das entsprechende Molvolumen beträgt Vmoi^22,41383 1/mol für ideale Gase bei p = 101,33 kPa und T = 273,16 K. Mit der Geschwindigkeit in y-Richtung Cy und der betrachteten Fläche A = bx kann die ausgetauschte Zahl der Moleküle angegeben werden. T... 1- ^^ w IM .. • Moleküle nACy Fur die Ebene i-(i+l) betragt sie = Zeit 6

,^ ,r,^ (2.17)

2.1 Physikalische Zustandsgrößen von Fluiden

13

Für die Ebene i-(i-l) beträgt die Zahl der ausgetauschten Moleküle ebenfalls Moleküle

nAc

(2.18) Zeit 6 Setzt man voraus, dass sich entsprechend dem Freiheitsgrad der Moleküle von 6 jev^eils 1/6 aller Moleküle mit der Geschwindigkeit Cx und -Cx in die x-Richtung bev^egt, mit Cy und mit Cy in die y-Richtung und mit c^ und -c^ in die z-Richtung bewegt, so kann folgende Aussage getroffen werden, wenn die mittlere Geschwindigkeit der Moleküle den Betrag c hat und die Geschwindigkeiten immer parallel zu den drei Koordinatenachsen x, y, z verlaufen. Die aus der Ebene i nach oben in die Ebene i+1 bewegten Moleküle besitzen die mittlere Geschwindigkeit, die das strömende Fluid in der Ebene i hat. Diese Moleküle transportieren also den Impuls in y-Richtung. Er beträgt im Mittel mit der Masse eines Moleküls m ^ "

Molekülzahl / x nAcy / x Zdt ^vCx(i+l)-Cxij=——^[^x(i+l)-^xi)

(2.19)

Der Impulsaustausch in der x-Richtung zwischen den Ebenen i und (i-1) beträgt Molekülzahl / x nAc / x =rT^ ^[^x(i-i)-^xi =—-^^[^x(i-i)-^xi (2.20) Zeit ^ ^ 6 Die Differenz dieser beiden Impulsströme je Flächeneinheit durch die Schnittebene i bei y = konst. beträgt damit nAcy / X AI = —^m^Cx(i_i) -Cx(i+i) j (2.21) AI2 =

Die Moleküle, die die Schnittebene i bei y = konstant in positiver y-Richtung passieren, sind im Mittel letztmalig im Abstand A mit Molekülen unterhalb der Schnittebene i zusammengestoßen. Dabei soll der Abstand der Schnittebenen i-1, i und i+1 gleich der mittleren freien Weglänge der Moleküle A sein. Die aus der Schnittebene i-1 nach oben transportierten Moleküle haben also die mittlere Geschwindigkeit, die das Fluid in der Schnittebene i-1 besitzt. Die Geschwindigkeiten der Moleküle in den Schnittebenen i-1 und i+1 Cx(i-l) und Cx(i+1) können durch Taylor-Reihenentwicklung ermittelt werden zu:

9c^(y) A"" d^'c^iy) Cxfi+l) =c^(y) + A ^ ^ ^ + ... + ^^^

(2.23)

Dadurch kann die auf die Fläche und die Zeit bezogene Impulskraft durch die Molekülbewegung in positiver y-Richtung angegeben werden. Es ist die Impulskraft x, die durch den xp Impuls entsteht infolge der Molekülbewegung in der positiven y-Richtung. AI 1 ^ , 3cx 1 , 3cx Toi = = —mncv 2A—- = — m n c ^ A — ^^ AAt 6 ^ ay 3 ^ ay

(2.24)

14

2 Eigenschaften der Fluide

Die Masse M eines Einzelmoleküls und die mittlere Molekülzahl n je Volumen in m^ ergibt die Stoffdichte p für ein ideales Gas p = M n. Damit erhält man für - MMnnCCyv AA==- p- C y A = r| (2.25) — 3 ^ 3 die Stoffgröße r|, die diese Stoffeigenschaft beschreibt und eine Kraft mal Zeiteinheit je Flächeneinheit N s W = Pa s darstellt. Das ist aber die bekannte Dimension der dynamischen Viskosität. Dadurch konnte aus den Geschwindigkeitsgradienten 3cx /dy in drei Schnittebenen eine Proportionalität zur Kraftwirkung durch Impulsaustausch der Molekülbewegung hergeleitet werden. Die Molekülbewegung und der damit verbundene Impulsaustausch der Moleküle stellen also die Ursache für den Impulstransport dar und sie deuten auf die Scherspannung des Fluids mit der Viskosität r| hin. Die Molekülgeschwindigkeit in Luft von TQ = 293,16 K und po = 101,325 kPa beträgt etwa Cy=485 m/s und die freie Weglänge der Moleküle A = 0,1 jim = 10"^ m. Damit beträgt die berechnete dynamische Viskosität r\ nach Gl. 2.25 r| = - l , 2 4 ^ 4 8 5 —10"^m = 20,0510"^Pas (2.26) 3 m^ s Die Tangentialspannung und die Haftbedingung (c=0) der Fluide an der Wand sind also die wesentlichen Unterscheidungskriterien zwischen einem realen und einem idealen Fluid. Unmittelbar an einer Wand können sich die Moleküle nicht mehr bewegen, also ist c=0. Einige besonders wichtige Fluide wie z. B. Wasser, Luft, Wasserstoff oder Stickstoff verfügen über eine sehr geringe Viskosität r|, sodass die Strömung solcher Flüssigkeiten mit geringer Reibung häufig recht gut mit den Gesetzen der idealen Fluide (reibungsfreie Strömung) berechnet werden kann. Die Haftbedingung an der Wand (c = 0) bleibt aber auch bei den Fluiden mit geringer Viskosität bestehen. Die Größe der Tangentialspannung x zwischen den Fluidschichten ist also von der Molekülbewegung, von der Stoffeigenschaft r| und von der Formänderungsgeschwindigkeit dc/dn abhängig. Die dynamische Viskosität ist von der Temperatur und vom Druck abhängig. Die Formänderungsgeschwindigkeit des Fluids dc/dn stellt die Verschiebung der Flüssigkeitsschichten zueinander bei der Bewegung der Moleküle dar. Es ist der Geschwindigkeitsgradient normal zur Hautströmungsrichtung. Das Elementargesetz der Fluidreibung, das auf Newton (1643 bis 1727) zurückgeführt wird, lautet: de T^ri— (2.27) dn Es ist analog dem Hookeschen Gesetz für die Schubspannung in festen Körpern aufgebaut x = G ds/dn, das aussagt, dass die Schubspannung der Größe der Formänderung y = ds/dn proportional ist. Alle Fluide, deren Tangentialspannung zwischen den Schichten und den festen Wänden der Gl. 2.27 folgen, besitzen im Ruhezustand keine Tangentialspannung. Sie werden Newtonsche

2.1 Physikalische Zustandsgrößen von Fluiden

15

Fluide genannt. Sie besitzen eine konstante dynamische Viskosität r| und die Tangentialspannung verläuft linear zur Formänderungsgeschwindigkeit dc/dn (Bild 2-9). Der Quotient aus der dynamischen Viskosität und der Dichte p charakterisiert die kinematische Viskosität. v=

ri

(2.28)

Die Tangentialkraft eines mit der Geschwindigkeit c bewegten Körpers beträgt: FT = x A = r| — A (2.29) dn Tabelle 2-5 Dynamische und kinematische Viskosität von Wasser und von Luft in Abhängigkeit der Temperatur bei p= 101,33 kPa H20 °C 0 10 20 30 40 50 60 80 100 TI-IO-^

Pas

17,92

13,07

10,02

8,05

6,53

5,45

4,66

3,55

2,82

vlO""

mVs

1,79

1,305

1,004

0,81

0,658

0,56

0,477

0,365

0,295

Luft

°C

-20

0

20

40

60

80

100

200

500

TI-IO-"

Pas

16,24

17,16

18,12

18,93

20,03

20,9

21,95

26,11

38,0

v-lO""

mVs

11,6

13,3

15,1

16,9

18,9

20,9

23,1

35,0

96,7

In der Tabelle 2-5 sind die dynamische und die kinematische Viskosität von Wasser und Luft in Abhängigkeit der Temperatur für p = 101,33 kPa angegeben. Tabelle 2-5 enthält die Erkenntnis, dass die dynamische Viskosität von Flüssigkeiten mit steigender Temperatur absinkt und damit die Reibungskräfte von geschmierten Flächen im warmen Betriebszustand geringer werden, die dynamische Viskosität von Gasen und Dämpfen aber mit zunehmender Temperatur ansteigt (Bild 2-10). Weitere Viskositätswerte sind in den Tabellen A3 und A4 und in den Bildern A2 und A4 und A7 bis AlO des Anhangs angegeben.

Bild 2-9 Schubspannung x und dynamische Viskosität r| eines Newtonschen Fluids

Bild 2-10 Temperaturabhängigkeit der dynamischen Viskosität von Flüssigkeiten, Gasen und Dämpfen

2 Eigenschaften der Fluide

16 .de nichtlinear plastischT=TO+T| — Bingham Fluid T=To+r|^ strukturviskoses Fluid pseudoplastisches Fluid de Newtonsches Fluid T = r | ^ dn für Newtonsches Fluid

Es gibt Fluide wie z. B. BinghamFluide (Paste, Harz, Brei oder kömige Suspensionen) und nichtlinear plastische Fluide (Ton, Talg, Fette, Schokoladenmasse), die über eine Ruheschubspannung Xo verfugen (Bild 2-11). Die Tangentialspannung dieser Fluide beträgt:

Dilatantes Fluid

de dn

(2.30)

wobei die dynamische Viskosität konstant oder variabel sein kann. Diese Fluide werden, ebenso wie die dilatanten Fluide (Farben, Silikone, PVC-Pasten) und die strukturviskoBild 2-11 Schubspannung x und scheinbare dynamische Viskosität r|' sen Fluide (Kautschuk, Latex, Klebeines plastischen, Newtonschen-, Nichtnewtonschen-, Dila- stoff, Papierstoff) von der Rheolotanten und Bingham Fluids gie^^ behandelt. de dn

2.1.7 Grenzflächenspannung und Kapillarität Grenzen zwei unterschiedliche nichtmischbare Fluide wie z. B. Luft und Wasser oder Wasser und Quecksilber aneinander, so bilden sich Grenzflächen oder Berührungsflächen mit den entsprechenden Grenzflächenspannungen. Innerhalb von Fluiden treten Anziehungskräfte auf (Kohäsion), die sich im homogenen Fluid gegenseitig aufheben mit Ausnahme in den dünnen Schichten von weniger als 1 jim an der freien Oberfläche (Bild 2-12). Luft Wasser

^ \ ^

Daraus entsteht an der Oberfläche bzw. in der Grenzfläche ein Spannungszustand. Im Bild 2}J^ 13 ist ein gekrümmtes Element dieser Grenzflä1 y\' che herausgeschnitten. An den Rändern werden die entsprechenden Spannungen und Kräfte 1 ^v.J r > / wirksam, die diesen Spannungszustand aufrecht Vs )j erhalten. Werden diese Kräfte auf die Länge des Oberflächenrandes L bzw. ds bezogen, so ergibt Kohäsionskräfte in einer Flüssigkeit ^ich die Grenzflächenspannung ö mit der Diund an der Grenzfläche mension N/m. Diese Grenzflächenspannung von Flüssigkeiten bewirkt, dass die Flüssigkeitsoberflächen bestrebt sind, stets den geringsten Wert anzunehmen. Beispiele dafür sind, dass kleine Flüssigkeitstropfen im Gas oder Gasblasen in Flüssigkeiten stets die Kugelform mit der geringsten Oberfläche annehmen. Die Tropfenform auf festen Oberflächen ist aber von den Oberflächenspannungen des Fluids und der festen Wand abhängig (Bild 2-14). Rheologie, griechisch, Lehre von den Fließeigenschaften der Stoffe

2.1 Physikalische Zustandsgrößen von Fluiden

17

dsv V///////A Petroleum

Wasser

Quecksilber

Bild 2-14 Tropfenbildung verschiedener Flüssigkeiten

Bild 2-13 Geometrie und Spannungen eines Grenzflächenelementes

..^........^. hi

Die Grenzflächenspannung von Flüssigkeiten kann in einer Bügelvorrichtung entsprechend Bild 2-15 durch die Dehnung des Flüssigkeitsfilms von ho auf hi um Ah gemessen werden. Grenzen zwei nichtmischbare Flüssigkeiten aneinender wie z. B. ein Öl auf einer Wasserfläche und grenzen beide an Luft, so stellen sich die Grenzflächenspannungen oder der Kapillardruck nach Bild 2-16 ein.

Flüssigkeitsfilm 0^3

im HH

(T) Gas

ir^ (2) Flüssigkeit

Bild 2-15 Vorrichtung zur Bestimmung der Oberflächenspannung von Flüssigkeiten

Bild 2-16 Grenzflächendruck (Kapillardmck) am Flüssigkeitstropfen

Kapillarkräfte Berühren zwei unterschiedliche Fluide wie z. B. Wasser und Luft, die durch eine Grenzfläche voneinander getrennt sind, eine feste Wand, z. B. das Glasrohr eines U-Rohrmanometers, so tritt außer der Kohäsionskraft innerhalb der Fluide noch die Anziehungskraft durch die feste Wand auf (Adhäsionskraft) (Bild 2-17). Ist die Adhäsionskraft größer als die innere Anziehungskraft (Kohäsionskraft), so wird die Flüssigkeit von der Rohrwand hochgezogen (Bild 2-17a). Solche Flüssigkeiten, z.B. Wasser, nennt man „benetzende Flüssigkeiten" (hydrophile Flüssigkeiten). Sie besitzen einen Wandwinkel von a 90° werden „nichtbenetzende Flüssigkeiten" (hydrophobe Flüssigkeiten) genannt. Durch den Wandeinfluss von Kapillarrohren werden im Kapillarrohr gekrümmte Grenzflächen erzeugt, deren konkave oder konvexe Form von der Oberflächen- und Grenzflächenspannung abhängig ist, die zu einem Krümmungsdruck fähren. Das Spannungsgleichgewicht des benetzenden und nichtbenetzenden Fluids in den U-Rohren von Bild 2-17 beträgt Gi3 - a23 - cJi2 cos a = 0

(2.31)

Darin sind Gi2 Oberflächenspannung zwischen Flüssigkeit und Gas Gl3 Grenzflächenspannung zwischen Gas und fester Wand a23 Grenzflächenspannung zwischen Flüssigkeit und fester Wand. Die benetzende und nichtbenetzende Flüssigkeit kann mit den Grenzflächenspannungen wie folgt charakterisiert werden. (^13 > (^23 ^ oc < 90°

Flüssigkeit steigt in der Randzone der Wand hoch, benetzende oder hydrophile Flüssigkeit, Quarz, Glas, Silikate, Sulfate, Karbonate.

90°

Flüssigkeit sinkt in der Randzone der Wand ab, nichtbenetzende oder hydrophobe Flüssigkeit, Metalle, Graphit, Sulfide.

ai2 > ^ oc = 0 vollständige Wandbenetzung, z.B. Petroleum. Die Grenzflächenspannungen treten in U-Rohren, in Kanülen und in engen Rohrleitungen mit Innendurchmessern von d=0,5 bis 10 mm mit den Kapillarkräften in Verbindung und sie treten in Behältern, insbesondere in Kunststoffbehältern mit geringer Flüssigkeitsfullung von 5 bis 20 mm mit den Gravitationskräften ins Gleichgewicht. Um den Einfluss der Kapillarkräfte und der Grenzflächenspannung bei der Druckmessung mit U-Rohrmanometern zu vermeiden, muss der Flüssigkeitsspiegel stets in der Rohrmitte abgelesen werden, wo die Grenzflächenspannung am geringsten oder bereits Null ist. Der Einfluss der Grenzflächenspannung in U-Rohren kann verringert werden durch: - genügend große Innendurchmesser von d = 6 bis 8 mm der U-Rohre, - Verwendung von Messflüssigkeiten mit geringer Oberflächenspannung, z.B. Äthylalkohol mit ai2 = 0,035 N/m. Wasser zu Luft besitzt eine Oberflächenspannung von öu = 0,0725 N/m und Quecksilber zu Luft Ou = 0,48 N/m.

2.2 Thermische Zustandsgrößen Zur strömungstechnischen Berechnung der kompressiblen Fluide werden auch die thermischen Stoffwerte und einige kalorische Größen benötigt, die nachfolgend charakterisiert werden. Spezifische Wärmekapazität c Die spezifische Wärmekapazität ist die Wärmemenge, um 1 kg eines Stoffes um 1 K von 14,5°C auf 15,5°C zu erhöhen. Sie ist für Flüssigkeiten konstant und sie beträgt für Wasser c=4187 J/kgK. Die spezifische Wärmekapazität idealer Fluide (Flüssigkeiten und Gase) ist

2.2 Thermische Zustandsgrößen

19

nicht druckabhängig. Wohl aber jene der realen Fluide. Bei Gasen ist die spezifische Wärmekapazität von der Zustandsänderung abhängig. Man kennt die isobare spezifische Wärmekapazität Cp = — isochore spezifische Wärmekapazität Cy = — Da bei der Wärmezufuhr an ein Gas bei konstantem Druck neben der Erhöhung der inneren Energie du = Cy dT auch eine Volumenänderungsarbeit am Gas p dv geleistet werden muss, ist die isobare spezifische Wärmekapazität größer als die isochore spezifische Wärmekapazität (cp > Cv). Der Mittelwert der spezifischen Wärmekapazität zwischen den Temperaturen t2 und ti errechnet sich nach Gl. 2.32 - \h - |ti Cn\ to — c„ ti

.+

^P t =

\

t

(2-32)

Die Difierenz der beiden spezifischen Wärmekapazitäten Cp und Cy stellt die spezielle Gaskonstante dar. K —1 R = Cp-Cv = Cp = ( K - 1 ) C V (2.33) Die spezifische Gaskonstante fur einige technische Gase kann der Tabelle A6 entnommen werden. Sie beträgt für Luft bei p = 100 kPa und t = 0° C R = 287,6 J/kgK. Das Verhältnis der beiden spezifischen Wärmekapazitäten stellt den Isentropenexponenten K der idealen Gase dar. K =-^ = l+—= Cy

Cy

—

(2.34)

j__K^ Cp

Die universelle oder molare Gaskonstante 9Î besitzt fur alle Gase den gleichen Wert von 9î=8314,2J/kmolK. Die spezielle Gaskonstante kann aus der universellen Gaskonstante 9Î und der Molmasse M bestimmt werden. R =— (2.35) M Dampfdruck Der Dampf- oder Sättigungsdruck stellt den Grenzdruck eines Stoffes dar, bei dem er sich im Gleichgewicht zwischen der flüssigen und gasförmigen Phase befindet. Die Dampfdruckkurve oder Siedekurve verläuft im p-T-Diagramm (Bild 2-1) vom Tripelpunkt zum kritischen Punkt des Stoffes. Sie trennt den Bereich der flüssigen von der Dampfphase. Der Dampfdruck ist temperaturabhängig. Zu jedem Dampfdruck gehört eine Dampftemperatur (pt, Tt). Der Dampfdruck pt und der Saugdruck ps bzw. die geodätische Saughöhe hs beeinflussen das Kavitationsverhalten von Flüssigkeitspumpen. Deshalb ist der Dampfdruck bei Druckabsenkung in Rohrleitungen oder Pumpen stets zu beachten. Der Dampfdruck und die Verdampfungstemperatur können den Dampftafeln entnommen werden.

3 Hydrostatik und Aerostatik

3.1 Hydrostatische Grundgleichung Wird ein Fluidelement dm beliebiger Geometrie aus einer Fluidmasse herausgetrennt, so müssen an den Schnittflächen Ai bis A5 im Bild 3-1 die Gleichgewichtskräfte Fi bis F5 angebracht werden, um die Fluidmasse im Gleichgewicht zu halten. Bild 3-1 zeigt, das die Kräfte Fi und F2 im Gleichgewicht stehen. Das Kräftedreieck im Bild 3-1 zeigt, dass sich auch die übrigen drei Kräfte an dem Fluidelement im Gleichgewicht befinden. Der Druck beträgt also: (3.1) Fi=PiA

Gravitationsfeld r A 1 Fi

F^

Kräftegleichgewicht Fi +F2=0

t'^'

h|gj

F2= P2A

Bild 3-1 Kräfte an einem ruhenden Fluidelement dm

Bild 3-2 Kräfte am Masseelement im Gravitationsfeld

Wird ein zylindrisches Fluidelement der Masse dm entsprechend Bild 3-2 mit den Abmessungen A und dh dem Potential des Gravitationsfeldes mit der Erdbeschleunigung g unterworfen, so kann das Kräftegleichgewicht dafür aufgestellt werden. Mit dm = p dV = p A dh erhält man aus dem Kräftegleichgewicht die hydrostatische Differenzialgleichung: F2-gdm-Fi=0 (3.2) p2 A - g p A d h - p i A = 0 dp = p 2 - p i = g p d h dp = gp dh

(3.3)

3.1 Hydrostatische Grundgleichung

21

Der Druckgradient im Gravitationsfeld der Erde mit der Erdbeschleunigung g ist abhängig von der Erdbeschleunigung und der Stoffdichte p. Die Druckgradienten dp/dh betragen für die drei folgenden Fluide:

^ = 9,8li^.l,1864 ...63 4 dh

'

«2

dh

'

«2

'

„3 m = 9810 m

-dp^ 9 , 8 l i ^ . l 3 5 4 6 4

für Luft

m N

für Wasser

m N

für Quecksilber m Die Integration der hydrostatischen Differenzialgleichung (Gl. 3.3) ergibt den Druck in einem Flüssigkeitsbehälter entsprechend Bild 3-3 zu. dh

s^

m^

:132886

h

p = Jgpdh = gph

(3.4)

0

Mit Gl. 3.4 wird nur der Überdruck errechnet, der vom Gravitationsfeld ausgeübt wird. Bild 3-3 Flüssigkeitsdruck im Behälter a) Behälter b) Überdruck p durch das Fluid c) Absolutdruck Die beiden Druckgradienten am Fluidelement in den x- und y-Richtungen im Bild 3-2 sind Null, da sich die Drücke in der x- und y-Richtung am zylindrischen Behälter und am Massenelement aufheben. 9p ^ ä p ^ Q dx dy

(3.5)

In ruhenden Fluiden treten nur Drücke auf, die Druckkräfte auf die Behälterwandungen und auf die Oberflächen verursachen. In ruhenden und in idealen Fluiden treten keine Tangentialspannungen (Schubspannungen) und keine Zugspannungen auf Die Anwendungen der hydrostatischen Differentialgleichung sind: 1.

Berechnung der Druckverläufe und des Bodendruckes in flüssigkeitsgefüllten Behältern

2.

Belastung von Behältern, von Schiffsrümpfen und von Bauwerken im Wasserbau

3.

Messung des Druckes mittels U-Rohrmanometem

4.

Dichtemessung von Flüssigkeiten

5.

Ermittlung zulässiger Saughöhen von Flüssigkeiten und Berechnung von Heberleitungen

3 Hydrostatik und Aerostatik

22

Po = 225 kPa

Pb= lOOkPa

Im Bild 3-4 ist ein U-Rohrmanometer zur Messung des Gasdruckes in einem Behälter dargestellt. Der Druck im Behälter po ergibt sich aus dem Druckgleichgewicht in den beiden U-Rohrschenkeln.

tAh

P o + g P o h i = P b + g p M ^ + gpLh2

(3.6)

Po=Pb+gPMAh-g(pohi-pLh2)

(3.7)

hi

po = 2,67 kg/m= To=293K

no-

i 2

Ah 2

Ah

Mit den gegebenen Dichten von PM^IOOO kg/m^ für die Messflüssigkeit Wasser oder für Tetrachlorkohlenstoff oder Quecksilber Bild 3-4 '^ und der Dichte für Luft im Behälter mit po= Gasdruckmessung mit U-Rohrmanometer Po/RTo = 2,67 kg/m^ « pM, können die Luftsäulen im Behälter und im U-Rohrmanometer vernachlässigt werden. Damit ergibt sich der Druck im Behälter zu:

\zji.

Po^Pb+gPM^h Darin sind:

(3.8)

PM die Dichte der Messflüssigkeit, Po der Gasdruck im Behälter.

Die Dichte der Messflüssigkeit (z. B. Quecksilber pq^ = 13546 k g W , Tetrachlorkohlenstoff pTe = 1593,2 k g W oder Wasser pw = 1000 k g W ) ist wesentlich größer als die Dichte der Luft im Behälter und im U-Rohr pM»Po? PLkg 1000 m - = 374,53, Das Dichteverhältnis von Wasser zu Luft bei po=225 kPa beträgt Pw kg PL 2,67 m

3.2 Anwendung der hydrostatischen Grundgleichung Beispiel 3.1 Wie lang muss das U-Rohrmanometer zur Messung des Druckes im Behälter gewählt werden, wenn der Luftdruck im Druckbehälter von po = 225 kPa bei einem barometrischen Druck von pb = 100 kPa mit Wasser pM= 1000 kg/w? als Messflüssigkeit und nachfolgend mit Quecksilber mit PM = 13546 kg/m^ als Messflüssigkeit gemessen werden soll (Bild 3-4). Die Dichte der Luft im Behälter beträgt po = 2,67 kg/m^ bei t = 20 °C und Po=225 kPa. Wasser als Messflüssigkeit Die Luftdichte von PL=1,186 kg/m^ bei pb^lOO kPa im rechten Schenkel des U-Rohres kann vernachlässigt werden. Das Dmckgleichgewicht im U-Rohr lautet: Po+gpoAh = Pb+gpMAh

3.2 Anwendung der hydrostatischen Grundgleichung

Ah =

Ah:

Po-Pb

_

(225-100)-10^ Pa

g(pM-Po)

9,81^^(1000-2,67)^ s m

Pp-Pb

(225-100)-10^ Pa

g(pM-Po)

9,81^(13546-2,67)^

23

: 12,78 mWS, Wasser als Messflüssigkeit

: 0,9408 mHg , Quecksilber als Messflüssigkeit

Näherungsrechnung für P M » P O

AU PL-Pb (225-100)-10^ Pa ^^^^^ ^^ Ah = ^-^—^-^ = -^^ ^- — = 0,9400 mHg gPM 9,81^^.13546^ Mit Rücksicht auf die Standardlänge von U-Rohrmanometem und die Ablesesicherheit wird Quecksilber als Messflüssigkeit und ein Im langes U-Rohrmanometer verwendet. Beispiel 3.2 Im wassergefällten Behälter von Bild 3-5 wird der Wasserspiegel mit dem konstanten absoluten Druck von pB = 200 kPa beaufschlagt. Die Flüssigkeitshöhe im Behälter beträgt h=5,88 m. Zu bestimmen sind: a) Bodendruck im Behälter pßo b) Druckanzeige im U-Rohrmanometer I in Quecksilbersäule c) Druckanzeige im U-Rohrmanometer II in Quecksilbersäule

M '•^Hg

a) Bodendruck im Behälter PBO = P B - P b + g p h = (200-100)l0^Pa + 9 , 8 1 ^ 1 0 ^ ^ - 5 , 8 8 m s m^ = 157,68 kPa b) Druckanzeige im U-Rohrmanometer hi in Hg-Säule Dmckgleichgewicht PB+gpwh = Pb+gpMhi

Bild 3-5 Druckmessung in Behältern

3 Hydrostatik und Aerostatik

24

(200-100)lO^Pa+ 9,81^-10^-5,88m l mi_ - = l,1865mHg gpM 9,8li^.13546^ s m-^ c) Druckanzeige für den Behälterdmck im U-Rohrmanometer h2 in Hg-Säule hi =

Druckgleichgewicht für PHg»PL PB =Pb+gPMh2 h , = M z P ^ = i ? 5 ^ ^ M l ^ = 0,753mHg ^PM 9,8li^.13546^ s^ m^ P2 =gpHg h2 = 9 , 8 1 ^ 1 3 5 4 6 ^ 0 , 7 5 3 m s m P2 =100,06 kPa Für diese Druckmessungen werden zwei U-Rohrmanometer der Längen von 1,50 m und 1,0 m benötigt. 3.2.1 Statische Saughöhe von Flüssigkeiten in Abhängigkeit der Fluidtemperatur und dem barometrischen Druck Wird in einem Saugrohr durch Evakuieren der Luft mittels einer Vakuumpumpe der Druck von pb auf p abgesenkt, so wird die Flüssigkeit durch die Wirkung des äußeren barometrischen Luftdrucks im Saugrohr auf die Höhe hs hochgedrückt. Die maximal mögliche Saughöhe im Saugrohr ist abhängig von der Fluidtemperatur t und dem Luftdruck pb und der Druck p im Saugrohr kann nur bis zum Dampfdruck des Fluids pt abgesenkt werden, weil dann die Flüssigkeit verdampft, die Vakuumpumpe nur noch Dampf fördert und die Flüssigkeitssäule nicht weiter steigen kann. Das Druckgleichgewicht für die Systemgrenzen 1 und 2 im Bild 3-6 lautet: Pb =P + gphs

(3.9)

Daraus folgt für die Saughöhe hs hs = P b - P gp

(3.10)

Mit der Dichte und dem Dampfdruck pt von Wasser in Abhängigkeit der Temperatur entsprechend Tabelle 3-1 kann die maximal mögliche Saughöhe berechnet werden. Die ErgebBild 3-6 Ansaugen einer Flüssigkeit durch nisse sind für pb = 100 kPa und 95 kPa sowie p = Pt entsprechend Gl. 3.10 im Bild 3-7 dargestellt. evakuieren der Saugleitung

3.2 Anwendung der hydrostatischen Grundgleichung Tabelle 3-1

25

Dichte und Dampfdruck von Wasser in Abhängigkeit der Temperatur

t

°c

10

20

30

40

50

60

70

80

90

p

kg/m^

999,7

998,2

995,7

992,8

988,9

983,2

977,7

971,8

965,3

Pt

Pa

1227,5

2337

4241

7374

12334

19920 31160

47360

70110

h '•'• •'s max

10

m 9 8

Pb=100kPa Pb=95kPa^

7 6 5 4

V J

3 2

\

1 0

Bild 3-7 Maximal mögliche Saughöhe von Wasser in Abhängigkeit der Temperatur und des barometrischen Druckes pb

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

3.2.2 Dichtemessung von Flüssigkeiten Da die hydrostatische Differentialgleichung dp/dh = gp von der Erdbeschleunigung g und der Stoffdichte p bestimmt wird, kann die Dichte einer Flüssigkeit durch Vergleich der Ausschlaghöhen von zwei Flüssigkeiten im U-Rohr, von denen die Dichte einer Flüssigkeit bekannt ist, bestimmt werden. Die Dichte ergibt sich aus _^dp ^~gdh

"pM=pHg

Bild 3-8 Dichtebestimmung einer Flüssigkeit

(3.11)

Werden zwei Flüssigkeiten unterschiedlicher Dichte in zwei Behälter gefüllt, die an ein URohrmanometer angeschlossen sind, in dem sich eine Messflüssigkeit mit pM entsprechend Bild 38 befindet, z.B. Quecksilber mit der Dichte von pM=pHg=13546 kg/m^ so stellt sich ein Ausschlag der Messflüssigkeit von Ah=h2-h3 entsprechend dem Dichteunterschied der beiden Flüssigkeiten p und pw ein. Wird in den rechten Behälter Wasser der Dichte pw=1000 kg/m^ eingefällt, so kann damit die Dichte der Flüssigkeit im linken Behälter bestimmt werden.

3 Hydrostatik und Aerostatik

26

Der Druck in den beiden U-Rohrschenkeln beträgt für die Bezugslinie 0-0 im Bild 3-8. Druck im linken U-Rohrschenkel = Druck im rechten U-Rohrschenkel Pb + g p ( h l - h 2 ) + g p H g ^2

=

Pb + g P w (hl - h 3 ) + g p H g ^3

(3.12)

Daraus erhält man die Dichte der unbekannten Flüssigkeit.

P = Pw-

-pHg

^Pw

Ah •pHg

(3.13)

Wird die Flüssigkeit, deren Dichte p zu bestimmen ist, Vakuumpumpe mit einer Vakuumpumpe in einem Glasrohr angesaugt und der Druckgradient Ap/Ah = gp gemessen, so • kann die Dichte der Flüsh sigkeit bestimmt werden y V ' i p=(l/g)(Ap/Ah). So kann Bezugs( die Dichte einer Flüssigkeit ebene auch bestimmt werden, wenn die Flüssigkeit mit unbekannter Dichte und das Wasser von t = 20° C und Bild 3-9 pw = 998,2 kg/m^ durch Vorrichtung zur Bestimmung der Dichte einer Flüssigkeit durch den eine Vakuumpumpe in zwei Vergleich von zwei Flüssigkeitssäulen Glasrohren mit Höhenskala in einer Vorrichtung entsprechend Bild 3-9 angesaugt wird. Durch Vergleich der beiden Flüssigkeitssäulen des Wassers mit pw = 998,2 kg/m^ hi und der Flüssigkeitssäule h mit unbekannter Dichte p kann die Dichte p bestimmt werden. Dafür sind zwei Gleichgewichtsbedingungen fur den Oberflächenspiegel des Wasserbehälters und den Druck der Vakuumpumpe und für den Oberflächenspiegel des Flüssigkeitsbehälters mit unbekannter Dichte p sowie den Druck der Vakuumpumpe aufzustellen. Die Gleichungen lauten: Pb =:p + g p w h i Pb = P + g p h 2 Daraus folgt durch Gleichsetzen von pbbeider Gin. 3.14 und 3.15 hl

(3.14) (3.15)

(3.16)

h2 Beispiel 3.3 Für die gemessenen Flüssigkeitssäulen von hi die zu bestimmende Dichte m^ 0,638 m

m^

512 mm und ho = 638 mm im Bild 3-9 erhält man für

3.3 Überlagerung von zwei Potentialfeldem

27

Die gemessene Dichte der Flüssigkeit entspricht der von Alkohol. Die Dichte von Flüssigkeiten kann auch mit einem Aräometer (Tauchspindel) bestimmt werden, die ebenfalls auf dem hydrostatischen Prinzip beruht.

3.3 Überlagerung von zwei Potentialfeldern Außer dem Potentialfeld der Gravitation treten die Trägheitskräfte als Massenkräfte bei translatorischer Bewegung, die Massenkräfte bei Rotationsbewegung, elektrische und magnetische Potentialfelder bei der Strömung elektrisch leitender Fluide als Potentialfelder auf, wie z. B. in Quecksilber- oder Plasmaströmungen. Unter dem Einfluss der Gravitationskraft Pb ^ bildet sich die freie Oberfläche einer FlüsA sigkeit, als eine horizontale ebene NiveauV ii fläche aus, auf die der Umgebungsluftdruck V ii h2 wirkt. Im Abstand hi bis hn bilden sich weihi tere Niveauflächen mit größerem Druck A oder höherem Potential aus (Bild 3-10). Erst wenn man sehr große Flüssigkeitsoberflächen von Seen oder Meeren betrachtet, wird Bild 3-10 Horizontale Niveauflächen in einem Behälter mit sichtbar, dass sich gekrümmte kugelförmige unterschiedlicher Flüssigkeitsfüllung als Potential- Wasseroberflächen ausbilden, da die Richtung der Gravitationskraft radial zum Erdflächen mittelpunkt gerichtet ist.

1

In Tankfahrzeugen und in Zentrifugen mit freier Flüssigkeitsoberfläche wirken beim Anfahren oder beim Verzögern des Fahrzeuges Beschleunigungen mit konstanter oder variabler Größe (Bild 3-11) oder bei Rotation der Zentrifuge mit konstanter Winkelgeschwindigkeit neben der Gravitationskraft auch die TrägheitsBild 3-11 Verhalten eines Flüssigkeitsspiegels in einem teilgefullten kraft dFr = adm (Bild 3-12). Beide Kesselwagen beim Anfahren mit der Anfahrbeschleuni- Kräfte gdm und adm überlagern sich gung a zu einer resultierenden Potentialkraft dF und es stellt sich im bewegten Kesselwagen eine unter dem Winkel a geneigte Flüssigkeitsoberfläche Potentialfläche, Bild 3-11) ein. Der tana des Neigungswinkels der Potentialfläche im Kesselwagen beträgt: tan a :

adm _ a gdm g

(3.17)

Um die Neigung des Flüssigkeitsspiegels in teilgefullten Kesselwagen beim Beschleunigen oder Verzögern und daraus resultierende nachfolgende Schwingungsvorgänge der Flüssigkeiten gering zu halten, gelten für Tankfahrzeuge besondere Sicherheitsvorschriften bezüglich der Kesselfullung und des Fahrverhaltens.

3 Hydrostatik und Aerostatik

28

Beim Beschleunigen oder Verzögern des Fahrzeugs auf geneigten Fahrbahnen verstärkt sich dieser Beschleunigungseinfluss. Eine hohe anwendungstechnische Bedeutung haben FlüssigkeitsTangente oberflächen in rotierenden Behältern (Zentrifugen) nach Bild 3-12 erlangt. Die Gravitationskraft beträgt dFo =gdm = gpdV

Bild 3-12 Flüssigkeitsspiegel in einem ruhenden und rotierenden Behälter (Zentrifuge) dF^ = a d m = cû rdm = cû rpdV

(3.18)

Die Zentrifugalkraft beträgt bei Rotation mit der Winkelgeschwindigkeit CO und der Umfangsgeschwindigkeit u=Cûr:

(3.19)

Wird ein zylindrischer Behälter mit der Flüssigkeitsfullung h im Ruhezustand in Rotation mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit co versetzt, so wird der Flüssigkeit neben der Gravitationskraft dFo = gdm auch die Zentrifugalkraft dF^ = azdm aufgeprägt. Aus beiden Kräften bildet sich die resultierende Kraft dF = ÖFQ + dF^ , die wieder normal auf der Flüssigkeitsoberfläche steht (Bild 3-12). Die Rotation des Behälters überträgt die Drehung von der Behälterwand durch die Tangentialspannung im realen viskosen Fluid an das Fluid, bis die gesamte Fluidmasse mit konstanter Winkelgeschwindigkeit der Behälterwand co rotiert. Die Flüssigkeit verhält sich bei co^ konstant wie ein rotierender Festkörper. Die Oberfläche des Fluidelements dm beim Radius r stellt sich gemäß der beiden überlagerten Potentialkräfte unter dem Winkel a ein. Der Tangens dieses Neigungswinkels beträgt: (O^rdm dz dF^ tan a = — = - ^ = gdm dr dFr

co^r

(3.20)

Der Neigungswinkel ist vom Quadrat der Winkelgeschwindigkeit co, von der Erdbeschleunigung g abhängig und er steigt linear mit dem Radius r an. Die Höhenkoordinate z der Fluidoberfläche ist eine Funktion des Radius z(r). Sie folgt aus Gl. 3.20 dz =

r dr

(3.21)

Integriert man die Gl. 3.21, so erhält man die Gleichung für die Konturhöhe z(r) des Flüssigkeitsspiegels bei Rotation

3.3 Überlagerung von zwei Potentialfeldem 2

29

2

z(r) = — — + konst. g 2

(3.22)

Die Integrationskonstante kann mit Hilfe der Koordinaten im Scheitelpunkt S der Fluidkontur bei r = 0 und z = z^in ™t der Zentrifugalkraft Null und der horizontalen Tangente bestimmt werden zu konst. = Zj^jjj

(3.23)

Damit lautet die Lösungsgleichung für die Fluidkontur z(r) im rotierenden Behälter: z(r) = ^ r 2 + z ^ i ,

(3.24)

Das ist die Gleichung eines Rotationsparaboloids. Das vom Rotationsparaboloid der Höhe z^ax umschlossene Volumen ist gerade halb so groß wie das Volumen des zylindrischen Behälters gleicher Höhe (Zmax-Zmin)Es ist also auch halb so groß wie das durch die Rotation bewegte Auffällvolumen V A = 7rro^(h-Zmin). Für das Volumen außerhalb der Kontur des Rotationsparaboloids V im Bild 3-12 kann also geschrieben werden 2 V = TirQ vZj^^x " ^ m i n /

I

2 V^max " ^ m i n / "

I

v^max " ^ m i n /

yj.Zj)

Wird dieses Volumen dem durch Rotation bewegten stationären Auffällvolumen VA im Bild 312 gleich gesetzt, so erhält man ^-(Zmax-Zmin)=^r0^(h-Zmin)

(3-26)

Daraus können die maximal ansteigende Flüssigkeitskontur z^ax, die minimale Flüssigkeitshöhe im Behälter z^in, die statische Auffällhöhe h und die Gleichung fär die Oberflächenfunktion z(r) der im Behälter rotierenden Flüssigkeit ermittelt werden. Die maximal ansteigende Flüssigkeitskontur Zmaxiiïi Behälter folgt aus Gl. 3.26 2

2

2

2

Zmax = - ^ V ^ + ^min = ^ V ^ + ^ 2g 4g Die minimale Flüssigkeitshöhe im Behälter beträgt: Zmin=h--—ro^ 4g Die Gleichung für die Kontur des Rotationsparaboloids im rotierenden Behälter lautet:

^^-^^^

(3.28)

3 Hydrostatik und Aerostatik

30

2

2

z(r) = h + 4g

r,^

-1

(3.29)

['0)

Die Form der Oberfläche des Rotationsparaboloids ist Abhängig von der Auffüllhöhe der Flüssigkeit h im Ruhezustand, von der Winkelgeschwindigkeit CO und dem Außenradius des Flüssigkeitsbehälters ro sowie von der Erdbeschleunigung g. Sie ist aber unabhängig von der Dichte der Flüssigkeit. Beispiel 3.4 Ein zylindrischer Zentrifugenbehälter mit dem Durchmesser von d = 800 mm*^ und der Höhe von h^ax ^ 2,0 m wird mit h = 900 mm Flüssigkeit gefüllt (Bild 3-12). Mit welcher Drehzahl darf der Behälter rotieren, wenn der Flüssigkeitsspiegel gerade den oberen Behälterrand von h^ax = 2,0 m erreichen darf? Aus Gl. 3.29 folgt fiir z(ro) = K^x = 2,0 m, h = 900 mm und r = ro = 400 mm. 2

2

z(ro) = h + 4g 4-9,81^(2 m-0,9m) s 0,4^ m^

4g(z(ro)-h) ro

: 16,42 s"

Drehzahl CO

16,42 s"^

= 2,61 s"^ =156,8 min"^

'2K'

3.4 Hydrostatischer Druck und kommunizierende Gefäße Der hydrostatische Druck ist die Normalkraft FN auf eine betrachtete Fläche Normalkraft P =

Fläche

A

(3.30)

Wird einem Fluidsystem ein Druck durch eine Normalkraft F^ aufgeprägt, so wirkt dieser Druck im gesamten Raum oder Behälter. Wirkt die Normalkraft unter dem Einfluss der Gravitationskraft dp/dh = g p, so erhält man die hydrostatische Grundgleichung in der Form 11

p = Po+dp = po+ j g p d h = po+gph

(3.31)

h=0 Wird in ein Rohrsystem mit zwei vertikalen Schenkeln nach Bild 3-13 eine Flüssigkeit gefüllt, so stellen sich in beiden Schenkeln die gleichen Drücke und Flüssigkeitshöhen ein. Die Berechnung der Drücke kann für eine frei wählbare Bezugslinie z.B. 0-0 erfolgen, die höchstens in der Linie des niedrigsten Flüssigkeitsspiegels liegen soll (Bild 3-13), aber auch nicht außerhalb des betrachteten Rohrleitungssystems liegen sollte.

3.5 Grundlagen der Hydraulik

31 P2

Pb

Pb

T1

Pi i

J-0-

i

iZ_

Lv

hl = h2

•

J

h2

J 1 0

Bild 3-13 Kommunizierendes Gefäß mit einer homogenen Flüssigkeit

h

'1

i

Aht 1

iL

i

hs h2

^

L

J

/ ^r

Bild 3-14 Kommunizierendes Gefäß

Wenn auf einer Bezugslinie I-I im betrachteten System nach Bild 3-14 entsprechend der hydrostatischen Grundgleichung dp/dh = gp die Drücke pi und p2 herrschen, so kann das Druckgleichgewicht für die Bezugslinie 0 - 0 oder I - I angegeben werden: Pl+gphj =p2+gph2

(3.32)

Schreibt man das Druckgleichgewicht für die um hi verschobene Bezugslinie I - I, so erhält man mit dem gleichen Ergebnis sofort den Druck auf den linken Schenkel von Bild 3-14. Pl =P2 +gph3 =P2 +gp(h2 - h l )

(3.33)

Dieses Resultat besagt, dass der auf der linken Seite des Rohrsystems lastende Druck pi um den Betrag gp(li2 - hi) größer sein muss als der Druck p2. Der Ansatz der beiden Druckgleichgewichte zeigt auch, dass die Wahl der Bezugslinie frei ist. Sie sollte nur zweckmäßig gelegt werden, damit der Rechenaufwand gering wird. Wirkt auf beide Flüssigkeitsschenkel der gleiche Druck p, z. B. der Atmosphärendruck pb ein, so stellen sich die Flüssigkeitsspiegel bei gleicher Höhe ein (Bild 3-13). Ungleiche Flüssigkeitsspiegel als Trennflächen können sich bei gleichem statischem Druck auf beide Spiegel nur einstellen, wenn zwei nicht mischbare Flüssigkeiten unterschiedlicher Dichte eingefüllt werden, z. B. Quecksilber und Wasser oder Wasser und Öl. Kommunizierende Röhren und Gefäße werden als U-Rohrmanometer zur Druckmessung und als Kanalwaage zur Höhennivellierung verwendet.

3.5 Grundlagen der Hydraulik Mit Hilfe von Drücken in hydraulischen Anlagen lassen sich große Kräfte übertragen, z. B. in Baggern, in Baumaschinen und in Hebevorrichtungen. Wird der Druck durch eine Hydraulikpumpe in einem Behälter erhöht, so kann durch Anordnung von Kolben mit großer Fläche A eine große Kraft erzeugt werden (Bild 3-15). Die Kräfte auf die beiden Kolben mit den Flächen Ai und A2 bei gleichem Niveau hi=h2 betragen mit dem Druck p F i = p A i und F2=pA2 (3.34) Liegen die beiden Kolben auf unterschiedlichen Niveauhöhen hi und h2, dann beträgt das Gleichgewicht für die beiden Niveauhöhen hi und h2, bezogen auf die Bezugslinie, 0 - 0 entsprechend Bild 3-16 mit

32

3 Hydrostatik und Aerostatik

Fi

F2

^r

-

LW

MH

-^

T

ik

Ai

nPb

dz 1• • A2

P2

•

hi

A

h

hJ

h:

P ^0-

A2

'i

Bild 3-15 Hydraulische Kolben

Bild 3-16 Hydraulische Kolben mit unterschiedlichen Niveauhöhen F2

Pl = P b + - ^ u n d P2 ^ P b + T ^

(3.35)

A2 F

F

P b + - r - + g p h l = P b + - ^ + gph2 Al A2 Das Kräfteverhältnis beträgt dann mit p = F/A

II

AL 1+ gph2

F2

A2

1—

(3.36)

(3.37)

P2

Befinden sich die beiden Kolben auf gleichem Niveau, dann ist das Verhältnis der Kräfte gleich dem Verhältnis der Kolbenflächen

IL = AL

(3.38) F2 A2 Die beiden Kolben fuhren bei der Bewegung allerdings unterschiedliche Wege s aus und erreichen auch unterschiedliche Kolbengeschwindigkeiten c. Da die verdrängten Volumina bei der Kolbenbewegung gleich sind, erhält man V = AiSi=A2S2

(3.39)

Daraus folgt das Verhältnis der Kolbenwege

iL

A^

d^

für kreisförmige Kolben. (3.40) Al dl Die Kolbenwege einer hydraulischen Anlage verhalten sich umgekehrt proportional zu den Kolbenflächen und bei kreisförmigen Kolbenflächen umgekehrt proportional zum Quadrat der Kolbendurchmesser. S2

Das Hubvolumen verhält sich proportional zur Kolbenfläche A und zum Kolbenweg s: V=As Die Bewegungsgeschwindigkeiten der Kolben c verhalten sich proportional zum fließenden Volumenstrom V und umgekehrt zur Kolbenfläche A mit

3.6 Druckkraft auf Behälterwand mit Flüssigkeitsfällung

33

V

(3.41)

c =-

Bei konstantem Volumenstrom im System verhalten sich die Kolbengeschwindigkeiten umgekehrt zu den Kolbenflächen (3.42)

CiAi=C2A2 ^^A2_ C2

(3.43)

Ai

Beispiel 3.5 Mit Hilfe einer Handpresse mit dem Zylinderdurchmesser von d = 60 mm^ entsprechend Bild 3-17 soll ein Prüfdruck im Zylinder von p = 12,0 MPa erzeugt werden. Wie lang ist der Hebelarm Li der Handpresse auszuführen, wenn die Handkraft FH = 50 N nicht übersteigen soll? E = p A = p - d ^ = 12,0 MPa • - • 0,06^ m^ = 33,93kN 4 4 Aus dem Drehmoment um den Punkt A folgt Li =L2+0,2 m = :

Fl

33,93 kN ^ ^ 135,72 m 0,2 m = ^ 0,2 m = 0,05 kN

1

! 200 i , }

4


>^>/^>>>>>>>>> Bahnlinie

xo ^^ ^ ^ ^ ^//

a)

b)

Bild 4-2 Stromlinie und Bahnlinie bei a) stationärer Rohrströmung, b) Laufradströmung im Absolutsystem

Die Stromlinien, Bahnlinien und Streichlinien können mittels Farbstoffen oder Schwebeteilchen (Tracer) in Gasen, z.B. teilchenbeladener Rauch, sichtbar gemacht werden. Mittels einer Hochgeschwindigkeitskamera mit ca. 5000 Bildern pro Sekunde ergeben sich die Richtungen der Geschwindigkeitsvektoren.

4.2 Erhaltungssätze der Strömungsmechanik Liegt der Verlauf eines Strömungsfeldes oder einer Stromlinie c(s) fest, so wird oft nach dem Energieinhalt und nach den Kraftwirkungen oder nach dem auf die Strömung wirkenden Moment gefragt. Die Antwort auf diese Fragen kann mit Hilfe der Erhaltungssätze gegeben werden. - Die Eulersche Bewegungsgleichung in Richtung der Stromlinie beschreibt die Bahnlinienkoordinaten in der Strömungsrichtung. • Aus der tangentialen Richtung erhält man die Bernoulligleichung. • Die Gleichung für die Normalkomponente führt zur radialen Druckgleichung der Strömung auf einer gekrümmten Stromlinie. - Durch Integration der Eulerschen Bewegungsgleichung in der tangentialen Richtung längs einer Stromlinie erhält man die Energiegleichung (Bernoulligleichung), die Aufschluss über den Energiezustand der Strömung gibt. Da die Dichte p des Fluids einen wesentlichen Einfluss auf den Energiezustand der Strömung nimmt, wird die Bernoulligleichung • für die Strömung des inkompressiblen Fluids, p=konst., • für die Strömung des kompressiblen Fluids, p^konst. abgeleitet. - Wird die Frage nach der Kraftwirkung auf ein Fluidelement in der Strömung gestellt, so kann die Frage mit Hilfe des Impulssatzes beantwortet werden. Ein Teilchen der Masse dm mit der Geschwindigkeit c besitzt den Impuls I = c dm. Die Impulskraft ist gleich der zeitlichen Impulsänderung dF = dl/dt = d (c dm)/dt.

4.2 Erhaltungssätze der Strömungsmechanik

47

- Schließlich wird für rotierende Strömungen der Drehimpuls mit Hilfe des Drehimpulssatzes zu bilanzieren sein, der die Grundlage für die Strömung in rotierenden radialen Laufrädem darstellt. In der Strömungsmechanik werden also folgende Erhaltungssätze formuliert: - Kontinuitätsgleichung, Masseerhaltungssatz - BernouUigleichung, Energieerhaltungssatz - Impulserhaltungssatz und Drallsatz 4.2.1 Bewegungsgleichung für ein Fluidelement Die Strömungsmechanik benutzt vorrangig die Eulersche- und nicht die Lagrange-Darstellung der Bewegungsvorgänge, d.h. man benutzt die raumfeste Betrachtung der Strömung und nicht die körperbezogene Lagrange-Darstellung. Die Eulersche Bewegungsgleichung kann aus dem Kräftegleichgewicht der an einem Fluidteilchen in Strömungsrichtung angreifenden Kräfte, das sich auf der Stromlinie bewegt, mit Hilfe des Newtonschen Grundgesetzes gewonnen werden. Bei Bewegung eines Fluidteilchens auf einer Stromlinie entsprechend Bild 4-3 greifen folgende Kräfte in der Bewegungsrichtung eines Fluidteilchens an: - Trägheitskraft a dm - Druckkraft

p dA

- Potentialkraft aus dem Höhenpotential g m sin a ~ g m dh / ds - Reibungskraft Ts dA akustische Schwingkraft

I

dt ds \" Stromlinie

dnn=pdV BA^PdA gdrnf^ ^ d m sina Bild 4-3 Kräfte an einem Fluidelement dm=p dV Die Bewegungsgleichung für das Fluidteilchen dm im Bild 4-3 lautet mit den Kraftanteilen Trägheitskrafl + Druckkraft + Komponente der Gravitationskraft

Schubspannungskraft = 0

(4.1)

48

4 Grundlagen der Strömungsmechanik

dm a + dm

^ + dmg dm ^ =0 (4.2) p 3s 3s p 3n Da die Geschwindigkeit c(t, s) sowohl von der Zeit als auch von der Ortskoordinate s auf der Stromlinie abhängt, muss bei der Berechnung der substantiellen Beschleunigung a=dc/dt für die Geschwindigkeitsänderung de das totale Differential von c(t,s) eingesetzt werden. Mit c=ds/dt folgt: de dt

=I

3c ds

ac

+

3t

3s dt

3c 3c = — + c öS — ai 3t 3s

z

(4.3)

substantielle = lokale + konvektive Beschleunigung Beschleunigung Beschleunigung Bei einer instationären Strömung setzt sich die substantielle Beschleunigung also aus dem lokalen und dem konvektiven Anteil der Beschleunigung zusammen. Die lokale Beschleunigung eines Fluidteilchens entsteht durch die zeitliche Geschwindigkeitsänderung in einem konstanten Raumpunkt 3c 3t

3t ' 3t ' 3t

Eine lokale Beschleunigung tritt nur in zeitveränderlichen, d.h. instationären Strömungen auf, nicht in stationären Strömungen. Die konvektive Beschleunigung eines Fluidelements resultiert aus der Bewegung des Fluids zum veränderten Raumpunkt des Strömungsfeldes mit veränderlicher Geometrie und veränderlicher Geschwindigkeit, wie z.B. die Strömung in einer Düse, im Diffusor oder in einem Schleusenkanal bei der Füllung der Schleusenkammer. Für die konvektive Beschleunigung einer räumlichen Strömung kann mit c=ds/dt und mit dem Nabla Operator geschrieben werden: 3c ds 3c / „\ 3c 3c 3c ,^ ^^ ^ — = c — = c(c-V)=Cx—+ c — + c^— (4.5) ds dt ds dx •" dy dz Für die eindimensionale instationäre Strömung mit der x-Koordinate als Stromlinie lautet die Gleichung für die Trägheitskraft mit Gl. 4.5, mit — = 0 und mit — = 0 3y 3z dma = p d v f — + c — 1

ydt

(4.6)

3s J

Für die Gl. 4.2 folgt daraus die Form der Bewegungsgleichung: ^ (de 3c^ ^ 1 3p ^ 3h ^ 1 3TS ^ ,, ^, dm — + c — +dm ^ + dmg dm ^ =0 (4.7) (^ 3t 3s J p 3s 3s p 3n Wird diese Gl. 4.7 durch dm dividiert, so erhält man die Bewegungsgleichung eines Fluidelements auf der Stromlinie in der s-n- Ebene von Bild 4-3 für die instationäre Strömung.

4.2 Erhaltungssätze der Strömungsmechanik de 3t

de 1 3p 3s p 3s

9h 1 3Xs 3s p 3n

49

(4.8)

Mit dem Ansatz für die Tangentialspannung Xs für ein Newtonsches Fluid, auch Schubspannung genannt, und mit der dynamischen Viskosität r|=pv (Abschn. 2) 3c

de 3n

'an

3n

3 3c 3n pv 3n

(4.9) 3^ :pv3n2

(4.10)

erhält man die Eulersche Bewegungsgleichung in Richtung der Stromlinie s. 3c 3t

3c 3s

1 3p p 3s

3h 3s

d'c =0 9n^

(4.11)

Die Eulersche Bewegungsgleichung des Fluidteilchens für die stationäre Strömung mit der lokalen Beschleunigung 3c/3t=0 besitzt die Form: 3c 1 3p 3h 3^c ^ (4.12) c— +— ^ +g V—- =0 3s p 3s 3s 3n Die Eulersche Bewegungsgleichung für die reibungsbehaftete stationäre Strömung normal zur Hauptströmungsrichtung lautet mit der Zentrifugalkraft dma„=pdV^- + c -

(4.13)

mit der Druckkraft : ^ d V = ^ d n d A = 3pdA 3n 3n

(4.14)

mit der Komponente der Gravitationskraft entsprechend Bild 4-3 g dm cos a = g p dV — 3n

(4.15)

und mit der Reibungskraft dm 3x^1 P äs

,

3 c 3s2

(4.16)

ergibt sich die Bewegungsgleichung normal zur Strömungsrichtung (in Richtung n) pdV — + p d A 3 - p + — d r | d A 3 - g p s i n a d A d r = 0 r l 3r

(4.17)

4 Grundlagen der Strömungsmechanik

50

Nach Division durch dm = p dV erhält man daraus das radiale Druckgleichgewicht fur ein Fluidelement auf einer gekrümmten Stromlinie nach Bild 4-3: 2

1 3p ah (4.18) p 3r ^ 3r Bei Gasströmungen mit der geringen Dichte von p«pFi kann die Gravitationskraft vernachlässigt werden, sodass dafür die Gl. 4.18 für das radiale Gleichgewicht geschrieben werden kann: C

(4.19) r öx Die radialen Druckgleichungen Gin. 4.18 und 4.19 sind für die stationäre reibungsfreie inkompressible (p=konst.) und kompressible (p^^konst.) Fluidströmung gültig. Die Gleichung 4.19 besagt, dass der Druckgradient pcVr mit den Drücken aus den Feldgrößen im Gleichgewicht steht. Für eine stationäre horizontale ebene Parallelströmung mit r^oo und 3h/3r =1 wird c^/r=0 und die Gl. 4.18 geht in die hydrostatische Grundgleichung (Gl. 3.3) über. ap (4.20) ^gp 3h Die Integration der hydrostatischen Grundgleichung ergibt die Potentiallinien (Drucklinien) in einem Flüssigkeitsbehälter nach Bild 4-4 h i Potentiallinien

hi

p = gph + pb (4.21) Die radiale Druckgleichung Pb (Gl. 4.19) zeigt auch, dass die Druckverteilung in einer Rohrleitung mit gekrümmter r=cxD Wand, wie z.B. im Rohrbogen oder in einer Düse orthogonal zur Hauptströmungsrichtung, infolge der gekrümmten Wandkontur mit steigendem Krümmungs0 P radius, also zur Rohrmitte Bild 4-4 Potentiallinien und Dmckverteilung in einem ruhenden Wasserbe- der Venturidüse (Venturi 1746-1822) im Bild 4-5, cken unter dem Einfluss der Gravitation ansteigt.

Bild 4-5 Radiale Dmckverteilung in einer Venturidüse

Die Gleichungen für die radiale Druckverteilung quer zur Hauptströmungsrichtung (Gin. 4.18 und 4.19) zeigen, dass sich bei einer Strömung auf gekrümmter Bahn ein Druckanstieg quer zur Strömungsrichtung einstellt, der mit zunehmendem Krümmungsradius ansteigt

4.2 Erhaltungssätze der Strömungsmechanik

51

(Bild 4-5). Deshalb darf der Wanddruck nicht in Rohrkrümmern und in anderen gekrümmten Rohren gemessen werden, da der Druck von der Lage der Messbohrung am Umfang abhängig ist. Nur bei geraden Rohrleitungen und in geraden Kanalströmungen ist der statische Druck im Rohrquerschnitt entsprechend Gl. 4.20 gleich dem Wanddruck. Analog dazu können die Erhaltungssätze für die instationäre dreidimensionale, kompressible und reibungsbehaftete Strömung formuliert werden, die zu den Navier-StokesschenGleichungen fähren, wenn die Bewegungsgleichungen für die beiden anderen Koordinaten y und z analog zu Gl. 4.11 aufgeschrieben werden. Der mathematische Aufwand dafür ist infolge der beiden zusätzlichen Ortskoordinaten y und z sowie der freien Parameter Zeit t, Dichte p und der Reibung T unvergleichlich höher [1][2][3]. Die Bewegungsgleichungen eines Fluidelements für die dreidimensionale Strömung werden für die drei Koordinaten eines kartesischen Koordinatensystems oder für ein zylindrisches Koordinatensystem aufgestellt. Sie führen zu den Navier-Stokesschen Bewegungsgleichungen. Die Navier-Stokesschen Bewegungsgleichungen sind analytisch nicht geschlossen lösbar. Nur für einige einfache Spezialfälle wurden Lösungen erzielt [1][2][3]. Mit Hilfe der Rechentechnik, Computational Fluid Dynamics (CFD) werden aber beliebige Näherungslösungen hoher Genauigkeit erreicht [4] [5]. Die Diskretisierung der Navier-Stokesschen Gleichungen und der Eulerschen Bewegungsgleichung erfolgt heute rechentechnisch mittels dem finite Differenzenverfahren. Dafür kann z.B. die finite Elementmethode (FEM) genutzt werden. Angewandt wird hauptsächlich die finite Volumenmethode (FVM). Für spezielle Randbedingungen können damit effektive Rechenverfahren entwickelt werden. Es gibt aber auch leistungsfähige kommerzielle Computational Fluid Dynamics (CFD)Software wie z.B. CFX TASCflow engineering Software oder auch die Software STAR-CD. Damit können Fahrzeugumströmung, Flugzeugumströmung, Profilumströmung, Laufraddurchströmung berechnet und Strömungs- und Produktoptimierungen vorgenommen werden wie z.B. die Pumpen- und Turbinenauslegung, Berechnung von Kaplan- und Franzisturbinen, Strömungsberechnung eines Rührers, Auslegung und Optimierung von Strömungsgetrieben, Berechnung von Zwei- und Dreiphasengemischen und die Berechnung von Partikelbahnen in einem Zyklon. Nahezu alle technischen Aufgaben der Strömungsmechanik und der Strömungsmaschinen werden heute mit numerischen Berechnungsmethoden wie z.B. CFX TASCflow, STAR-CD, FLUENT oder Fluid Dynamics Analysis Package (FIDAP) gelöst.

4.2.2 BernouUigleichung In Strömungen von Fluiden treten vier unterschiedliche Energieformen auf, deren Summe stets konstant ist. Es sind dies die - spezifische Druckenergie

p/p

- spezifische dynamische Energie c72 - spezifische Potentielle Energie des Gravitationsfeldes gh - spezifische Schwingungsenergie und abgestrahlte Schallenergie dW/dV=dpdt/dAds=Idt/ds die nur in instationären viskosen Strömungen auftritt.

52

4 Grundlagen der Strömungsmechanik

Da die spezifische Schwingungsenergie (Druckschwingung) gegenüber den anderen drei spezifischen Energieanteilen gering ist, kann sie meist vernachlässigt werden. Der auftretende effektiv abgestrahlte Schalldruck beträgt nur Pscheff/Peff^lO^ bis 6,0-10"^ des Effektivwertes von Gas- oder Flüssigkeitsdruckschwingungen [6][7] und Abschn.l2. Gemäß dem Energieerhaltungssatz im Kontrollraum einer Stromlinie oder eines Strömungsfeldes bei Strömungsvorgängen ohne Energie- oder Wärmeaustausch (Strömungsmaschinen oder Wärmetauscher) bleibt die Gesamtenergie konstant. Auf der Stromlinie oder im Strömungsfeld kann also nur eine Umwandlung der Energieformen in eine andere der drei Energieformen erfolgen. Der Energieerhaltungssatz bzw. die BernouUigleichung kann entweder aus - dem Newtonschen Grundgesetz bzw. in der Folge aus der Eulerschen Bewegungsgleichung (Gl. 4.8 oder Gl. 4.12) - oder aus dem Energiesatz abgeleitet werden. Hier wird die Energiegleichung (BernouUigleichung) aus dem Newtonschen Grundgesetz bzw. aus der Eulerschen Bewegungsgleichung abgeleitet. Benutzt man die Eulersche Bewegungsgleichung für einen Stromfaden bei instationärer reibungsfreier Strömung (dTjdn=0), so erhält man nach Umformung von Gl. 4.8 die folgende Beziehung: de de l dp dh d — + c— + — ^ + g — = — — + - + gh + — = 0 3t 9s p 3s 3s 3s 3t

(4.22) ^ ^

In der eckigen Klammer stehen die spezifischen Energien der drei genannten Energieanteile 2

— 2

2

spezifische dynamische Energie

-—- = — , s^ kg 3

2

P P-ix^i 1 - i T ^ i Pam m J — speziiische Duckenergie des statischen Druckes = -—- = — , P kg s^ kg gh spezifische geodätische Energie des Gravitationsfeldes m^ J kg s2 3c rn — lokale Beschleunigung auf der Stromlinie —-. 3t s^ Die Energiegleichung (BernouUigleichung) erhält man durch Integration der Gl. 4.22 entlang des Weges s auf der Stromlinie von Si bis S2 für die stationäre inkompessible Strömung mit p=konst. gemäß Bild 4-6.

si

si

4.2 Erhaltungssätze der Strömungsmechanik

2

p

*

'

2

53

(4.24)

+^ + g h 2 + —ds P J 9t si

h A Kontrollraum A h2

„A\J

--r:=ii=^^*^\ ^ ^ - * '

^..^J'^f^c^M^,^

]

'^K^yf^

h

"^4^

i

Bild 4-6 Kontrollraum einer Stromröhre mit Stromfaden

Am Eintritt in den Kontrollraum ® ist Si=0 und damit auch die spezifische Energie der Bef 3c schleunigung an der Stelle ® I — ds = 0 . Die lokale Beschleunigung tritt nur bei der statioJ 3t si

nären Strömung im Verlauf der Strömung von ® nach (D auf. Deshalb steht das Glied der lokalen Beschleunigung auf der rechten Seite der Bemoulligleichung. Gl. 4.24 sagt aus, dass die Summe der drei Energieanteile bei der Strömung im Kontrollraum konstant bleibt. S2

Für eine inkompressible stationäre Strömung mit | — ds = 0 lautet die Bemoulligleichung: J ot at*

2

p

2

p

(4.25)

Man nennt sie zu Ehren von Daniel Bernoulli (1700-1782) Bemoulligleichung und die Integrationskonstante die Bemoullische Konstante H. Die Summe dieser drei Energieanteile auf einer Stromlinie ist konst. Die Größen der einzelnen spezifischen Energieanteile können jedoch variieren. Sind fünf Parameter dieser Gleichung bekannt, so kann der sechste Parameter bestimmt werden. Nimmt man die Kontinuitätsgleichung (Gl. 4.34) hinzu, so lassen sich mit diesen beiden Gleichungen zwei unbekannte Größen eines Strömungsfeldes berechnen. Damit können viele technische Aufgaben in den zu wählenden Grenzen ® und (Dgelöst werden. Gl. 4.25 wurde für die spezifischen Energien aufgeschrieben. Multipliziert man diese Gleichung mit p, so erhält man die Bemoulligleichung für die Drücke: ^ c i ^ +Pl + g p h l ^\'^l

+P2 +g Ph2

(4.26)

4 Grundlagen der Strömungsmechanik

54

Dividiert man die Gl. 4.25 durch die Fallbeschleunigung g, so kann diese Gleichung auch als Höhengleichung aufgeschrieben werden: ^1

Pl

2g

gp

1

^2

2g

+ — + 112(4.27) gp

Im Bild 4-7 sind die variablen Höhenanteile der Bemoulligleichung für eine gekrümmte Düse graphisch dargestellt.

Bild 4-7 Graphische Darstellung der Höhenanteile der B emoulligleichung

Wird die Bemoulligleichung (Gl. 4.27) für einen offenen Behälter mit konstantem Flüssigkeitsspiegel und Ausfluss aufgeschrieben, so erhält man die Ausflussgleichung von Torricelli (1608-1647).

4.2.3 Ausflussgleichung von Torricelli Wenn die Behälterfläche Ai » A2 ist, kann die Geschwindigkeit des Fluids an der Oberfläche Ci«C2 , Ci ~ 0 gesetzt werden und der Ausflussvolumenstrom aus dem Rohr an der Stelle (D ist nur vom Potential der Gravitation abhängig. Die Ausflussgeschwindigkeit aus dem Rohr für die verlustfreie Strömung kann also durch Anwendung der Bemoulligleichung (Gl. 4.25) für das Bild 4-8 errechnet werden. Die Bemoulligleichung für die Anlage im Bild 4-8 lautet: Pl+gphi=p2+-^C2^

(4.28)

Mit den Randbedingungen pi = P2 = pb, Ci ~ 0 und h2=0 erhält man die Ausflussgleichung von Torricelli C2 t C2=Co

Bild 4-8 Ausfluss aus einem Wasserbehälter mit konstantem Flüssigkeitsspiegel

= V2gh

(4.29)

Die Geschwindigkeit im Rohr ist bei konstantem Rohrquerschnitt konstant. Es ist also C2 = Co. Der statische

4.2 Erhaltungssätze der Strömungsmechanik

55

Druck am Rohraustritt wird dem gesamten Strahl von dem Umgebungsdruck pb aufgeprägt. Der geringste statische Druck p^in in der Rohrleitung stellt sich unmittelbar nach dem Rohreintritt an der Stelle 0 ein. Er beträgt: = Po = P b + g p ( h i - h o ) - - ^ c ^

(4.30)

Er ist um so geringer, je länger die Ausflussrohrleitung ho und je größer die Ausflussgeschwindigkeiten sind. Es ist darauf zu achten, dass der minimale statische Druck in der Rohrleitung den Dampfbildungsdruck pt nicht unterschreitet, weil sonst Kavitation in der Rohrleitung eintritt. Dadurch sind die Rohrlänge und auch der Rohrdurchmesser in den Abmessungen begrenzt. Durch eine Düse oder einen Diffusor wird der statische Druck in der Ausflussgleichung angehoben oder gesenkt. Der ausfließende Massenstrom aus einem Behälter durch eine Heberleitung wird durch die Länge der Heberleitung bestimmt, wie sich mit Gl. 4.29 leicht nachweisen lässt. Erfolgt der Ausfluss des Fluids aus einem geschlossenen Behälter mit konstantem Fluidspiegel und dem statischen Druck pi > pb, dann wird die Ausflussgeschwindigkeit vergrößert. Sie beträgt dann nach Gl. 4.28 2ghi+-(pi-Pb)

(4.31)

4.2.4 Kontinuitätsgleichung Der Massenerhaltungssatz verlangt, dass die Masse in einem geschlossenen System konstant bleibt. In einem offenen System mit Massenzu- und Abfluss muss der abfließende Massenstrom m 2 gleich dem zufließenden Massenstrom m^ sein, wenn die Forderung der konstanten Masse erhalten sein soll. Die Kontinuitätsgleichung stellt den Massenerhaltungssatz für offene, durchströmte Systeme dar. Sie besagt, dass der ausströmende Massenstrom rh2 aus einem abgegrenzten System entsprechend Bild 4-9, gleich dem einströmenden Massenstrom riij sein muss. Die (1) Bilanzierung des Massenstromes Bild 4-9 erfolgt entlang der Systemgrenzen. Durchströmte Düse mit Systemgrenzen Dabei liefern die masseundurchlässigen Düsenwände keinen Beitrag, sondern nur der Eintrittsquerschnitt Ai mit Ci und rh^ und Systemgrenzen

der Austrittsquerschnitt A2 mit C2 und rh2 . Es gilt fiir die Düse im Bild 4-9: m(t) = j p ( x , t ) d V V

mit dV = c dA erhält man

(4.32)

56

4 Grundlagen der Strömungsmechanik

m(t) = Jp(x,t)cdA

(4.33)

A

Darin ist p(x,t) eine Feldgröße der Strömung. Ist die Feldgröße p (Dichte) von der Koordinate und von der Zeit unabhängig, so kann fur den Massestrom geschrieben werden: m(t) = p f d V ^ p [cdA = konst. (V)

(4.34)

(A)

Diese Gleichung ist gültig für die inkompressible Strömung mit p=konst. Für ein Fluid konstanter Dichte kann auch der Spezialfall der Kontinuitätsgleichung mit c=c(x) geschrieben werden:

1
0,5Re d Re

(5.6)

Im Bereich der Kontinuumströmung (gasdynamische Strömung) müssen folgende Bedingungen erfüllt sein: Kn = — = — < 0,01 ^ A < 0,01 d und die Machzahl < 0,01 Re (5.7) d Re Das Kontinuum beginnt erst, wenn die freie Weglänge der Moleküle A wesentlich kleiner ist als die Bezugslänge d (A 2320 auf. Der turbulente Impulsaustausch im Rohrquerschnitt fuhrt außerhalb der Grenzschicht zu einer veränderten Geschwindigkeitsverteilung mit einer gleichmäßigen Verteilung und geringerer Maximalgeschwindigkeit gegenüber dem Geschwindigkeitsprofil bei laminarer Strömung (Bild 6-13).

Bild 6-13 Turbulentes Geschwindigkeitsprofil

Im Gegensatz zur laminaren Strömung kann die Schubspannung und der Druckverlust der turbulenten Strömung nicht theoretisch, sondern nur unter Nutzung von experimentellen Versuchswerten näherungsweise berechnet werden. Eine Ausnahme bildet das Blasiusgesetz für die hydraulisch glatte Wand. Die Querbewegung der Fluidteilchen überlagert sich mit der turbulenten Hauptströmung. Dadurch ist der Druckverlust bei der turbulenten Strömung mit Ap-c^^"^ nicht so eindeutig von der Geschwindigkeit abhängig, wie bei der laminaren Strömung [3].

Bei der turbulenten Strömung in nichtkreisförmigen Rohrquerschnitten ist durch den turbulenten Austausch der Strömung das Geschwindigkeitsprofil ausgeglichener. Dadurch wird der Schubspannungsanteil auf den Wandbereich beschränkt. Deshalb hat die Geometrie bei der turbulenten Strömung keinen Einfiuss mehr auf den Druckverlustbeiwert, allerdings ist die kritische Reynoldszahl für den Umschlag laminar-turbulent kleiner als für die Strömung im kreisförmigen Rohr Rekrit2320 bis Re=10l ^

X=f

21g Re

(6.32)

-^2

VI 2,51

Für den Übergangsbereich von der glatten zur rauen Rohrwand kann die implizite Gl. 6.33 von Colebrook benutzt werden ?i=f(Re, k/d). 1 -^2

2,0lg| ^ ^

(6.33)

+ 0,27^

ReV^

d

Für die ausgebildete Rauigkeitsströmung im Rohr, bei der die Rauigkeitserhebungen der Wand die Grenzschichtdicke durchstoßen gilt Gl. 6.34 ?i=f(d/k), die nur von der relativen Rauigkeit abhängig ist. ^

X-

-^2

(6.34)

•2,01g 0,27 Mit der Gl. 6.35 ist auch die Grenzkurve für die ausgebildete Rauigkeitsströmung im Colebrook -Diagramm (Bild 6-16) angegeben. Die Gleichung lautet: Reo =198-

1,138-2,01g

(6.35)

Diese Grenzlinie für den Beginn der ausgebildeten Rauigkeitsströmung ist im ColebrookDiagramm als strichpunktierte Linie im Bild 6-16 enthalten. Mit Rücksicht auf die Größe der Zahlenwerte der relativen Rauigkeit wird oft der Kehrwert d/k angegeben. Im Bild 6-14 sind drei Beispiele technischer Rauigkeiten mit den Rauigkeitstiefen dargestellt. Die technischen Oberflächenrauigkeiten von Rohren sind im Neuzustand mit k=0,0012 mm sehr gering, sie können nach längerem Gebrauch durch Abrasion und Verkrustungen aber Werte bis k = 4,0 mm erreichen (Tabelle 6-2).

6 Stationäre inkompressible Strömung; Hydrodynamik

86

Tabelle 6-2

Oberflächenrauigkeiten von Rohren aus unterschiedlichen Werkstoffen Rohrwerkstoff

Zustand der Rohrwand

Gezogene Rohre aus Metall (Cu, neu, technisch Messing, Bronze, Leichtmetall), glatt Glas oder Plexiglas Gummidruckschlauch neu, unversprödet

Rauigkeit k in mm 0,0012 bis 0,0015 0,0016

Walzhaut gebeizt, neu verzinkt Walzhaut bituminiert, neu galvanisiert verrostet oder leicht verkrustet stark verkrustet neu mit Gusshaut neu bituminiert leicht angerostet verkrustet neu

0,02 bis 0,06 0,03 bis 0,04 0,07 bis 0,16 0,04 bis 0,1 0,01 bis 0,05 0,008 0,15 bis 0,2 bis 3,0 0,2 bis 0,6 0,1 bis 0,13 0,5 bis 1,5 bis 4,0 0,03 bis 0,1

Drainagerohre aus gebranntem Ton

neu

0,07

Betonrohre

neu mit Glattstrich neuer Stahlbeton Schleuderbeton, neu

0,3 bis 0,8 0,1 bis 0,15 0,2 bis 0,8

Nahtlose Stahlrohre Längsgeschweißte Stahlrohre Benützte Stahlrohre

Gusseiserne Rohre Asbestzementrohre

Der Rohrreibungsbeiv^ert für eine wasserdurchströmte Rohrleitung mit dem Innendurchmesser di= 50 mm, der Oberflächenrauigkeit von k = 0,1 mm, der mittleren Strömungsgeschwindigkeit von c = 3 m/s und der kinematischen Viskosität von Wasser v = 10"^ m^/s beträgt mit der Reynoldszahl Re = d c/v = 1,5 10^; À = f (Re, d/k = 500) = 0,0246. Die zulässigen mittleren Geschwindigkeiten in Rohrleitungen sind stoffabhängig und sie sollen betragen: für Flüssigkeiten

c=0,5 ... 3,2 m/s

für Flüssigkeits-Feststoffgemische c=0,4 ... 2,0 m/s für Luft und technische Gase

c=15 ... 40 m/s

Detaillierte Angaben über die zulässigen Geschwindigkeiten verschiedener Fluide sind in der Tabelle AI 1 im Anhang angegeben.

6.3 Reibungsbehaflete Rohrströmung Tabelle 6-3

87

Gleichungen zur Bestimmung der Rohrreibungsbeiwerte bei laminarer und turbulenter Strömung für hydraulisch glatte und hydraulisch raue Rohrwand laminare Strömung

Re 225

hydraulisch glatt 0,006

10' cdi,

L. Prandtl u. Th.v. Kânjnân

64^

x=

I

lO'j

Blasiusgesetz Nikuradse

d 2

o

10^

Re>2320

10"^ 10^ 10^ 10^ Re

5. Das Geschwindigkeitsverhältnis weicht somit von dem Geschwindigkeitsverhältnis der Couette-Strömung in Rohrleitungen mit einem Kreisquerschnitt mit dem Geschwindigkeitsverhältnis ojQ^^y=\l2 ab. Der Druckabfall im ebenen Spalt beträgt damit: dp

Äpi2 ^

dx

3r|c^^

L

(6.66)

h^

Für einen ebenen Spalt der Breite b und der Höhe y=2h kann durch Integration der Geschwindigkeit c(y) über die Spalthöhe auch der Volumenstrom bestimmt werden. Er beträgt: +h V:

b

| y c ( y ) d y = - b ^ ^ \-\^ (6.67) :2bhCr 2ri dx \ y=-h Die Bewegungsgleichung (Gl. 6.61) ist auch für ebene Spalte mit einer ruhenden und einer bewegten Wand entsprechend Bild 6-36 gültig, nur ändern sich dafür die Randbedingungen c(-h)=0 und c(h)=Co. Die Durchströmung des ebenen Spalts wird insbesondere durch die obere bewegte Wand beeinflusst, während an der unteren ruhenden Wand die Haftbedingung mit c=0 gültig ist. Für diese Randbedingungen lautet die Lösung von Gl. 6.61:

J J r| dx y=-h

2r| dx

1-1^

+ - ^ ( h + y) m i t - ^ = konst. (6.68) 2h dx

Dabei überlagert sich die Durchflussströmung infolge des Druckgradienten mit der Scherströmung der oberen bewegten Platte mit c=Co (Bild 6-36a). Bei der Strömung ohne Druckgradient in der Hauptströmungsrichtung dp/dx=0 verschwindet der Durchfluss V und es stellt sich nur die Scherströmung, verursacht durch die obere bewegte Platte, ein (Bild 6-36b). Die lineare Geschwindigkeitsverteilung dafür ergibt sich aus Gl. 6.68 für dp/dx=0 zu: c(y) = ^ i + ^ ,

mr^^o

2 l

dx

h )

(6.69)

Diese Strömung nennt man Couetteströmung. Couette (1848 bis 1943) berechnete diese Strömung 1890. Sie wird mitunter auch als Schichtenströmung bezeichnet. Gl. 6.68 zeigt, dass sich das Geschwindigkeitsprofil im ebenen Spalt mit einer ruhenden und einer bewegten Wand aus der Überlagerung der durch einen Druckgradienten dp/dx hervorgerufenen Geschwindigkeit und der Geschwindigkeit der Schleppströmung der bewegten Wand zusammensetzt. Im Bild 6-36 sind vier Geschwindigkeitsprofile mit verschieden großen negativen und positiven Druckgradienten dp/dx mit jeweils einer bewegten Wand dargestellt.

6 Stationäre inkompressible Strömung; Hydrodynamik

106

Das Bild 6-36 zeigt auch, dass bei großen Druckgradienten in der Nähe der ruhenden Wand Rückströmungen auftreten können, während die Zähigkeitsströmung an der bewegten Wand das Fluid in positiver Richtung gegen den Druckanstieg bewegt. Diese Strömung weist auf große Zähigkeitskräfte r|dc/dy an der Wand hin. Co

^^-^

c)

Co

\\\\\\\\\\V

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ W \ c = =0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ c = 0 ruhende Wand d) ruhende Wand Bild 6-36 dp

^P

n

P2>Pi'd7>0 Ha=-10

Ha=-20 Rückströmung

Geschwindigkeitsprofile einer Spaltströmung zwischen ruhender und bewegter Wand mit Druckabfall und Druckanstieg

6.7 Strömung in keilförmigen Axial- und Radialspalten von Lagern In keilförmigen Spalten mit einer bewegten und einer ruhenden Wand, wie sie in Gleitlagern mit dem ruhenden Gleitschuh oder mit der ruhenden Lagerschale und der bewegten Welle auftreten, stellt sich ein anderer Druck- und Geschwindigkeitsverlauf als in Bild 6-36 ein. Wird der Gleitschuh mit einem Winkel a in der Strömungsrichtung angestellt, so erhält man daraus die Strömung in hydrodynamischen Gleitlagern und die Lagertheorie von Sommerfeld (1868 bis 1951) [6] [7], die sowohl für radiale als auch axiale Gleitlager angewandt wird. Die Strömung im engen Lagerspalt erzeugt einen so hohen Druck im dünnen Schmierfilm (Öl, Wasser oder in neuerer Zeit auch Luft für hochtourige Gleitlager), dass die rotierende Wellenscheibe auf dem ruhenden Gleitschuh berührungsfrei laufen kann (Bild 6-37).

6.7 Strömung in keilförmigen Axial- und Radialspalten von Lagern

107

Dmckverteilung Wellen- r Scheibe - f Gleitschuh

Bild 6-37 Kippbewegliche Segmente eines axialen Gleitlagers 6.7.1 Strömung im keilförmigen Axiallagerspalt Im Bild 6-37 ist ein axiales Gleitlager dargestellt, das als Kippsegmentlager mit zehn ruhenden Lagersegmenten ausgeführt ist. Die Kippsegmentlagerung ist im Punkt der größten Flächenpressung angeordnet, die sich zwischen x/L=0,58 bis 0,60 einstellt. Der Schmierfilm mit variablem Druckgradienten dp/dx stellt sich im konischen Spalt der variablen Spaltweite von ho bis hl ein und trägt die rotierende Wellenscheibe mit der Umfangsgeschwindigkeit u, die fest mit der Welle verbunden ist. Im Bild 6-38 ist der angestellte Gleitschuh eines axialen Kippsegmentlagers, der um den Zapfen kippen kann, mit der Geschwindigkeits- und Druckverteilung im keilförmigen Spalt dargestellt. Für die Geschwindigkeit im konischen Spalt kann die Gl. 6.61 herangezogen werden. Die Strömung im keilförmigen Spalt ist aber keine Parallelströmung. Deshalb ist der Geschwindigkeitsverlauf aus Kontinuitätsgründen von zwei Ortskoordinatenrichtungen abhängig c(x, y), während der Druck im ebenen konischen Spalt nur von der x-Koordinate abhängig ist p(x), aber nicht mehr konstant bleibt, wie die folgende Differentialgleichung zeigt: r|

d c(x, y) _ 3p(x) dx dy'

(6.70)

Bild 6-38 Geschwindigkeitsprofil und Druckverteilung im geneigten Axiallagerspalt Um einen Druck im Spalt aufzubauen, muss eine Beziehung zwischen der Spaltweite h(x) und dem Druckgradienten dp/dx(x) vorgegeben werden. Im Spalt mit konstanter Spaltweite stellt sich kein Druckgradient ein.

6 Stationäre inkompressible Strömung; Hydrodynamik

108

Aus Bild 6-38 können folgende Geometriebedingungen für den geringen Winkel a ~ tan a entnommen werden: tan a ^ a =

hi-h(x)

hl-ho

h(x) = hi - x t a n a - h j

(6.71) x ^ h j -dx

(6.72)

dh = - tan adx ~ - a d x

(6.73)

Durch zweimalige Integration von Gl. 6.70 erhält man den Geschwindigkeitsgradienten und die Geschwindigkeit: 9c 9p(x) ^ , ,. ^ , . ,. , . 1 3p 2 Ci ^ r| — = y + Cj und die Geschwmdigkeit c = ^ y + — ^ y + C2 dy dx 2r| dx r\ Aus den Randbedingungen

^^^.x (6.74)

y=0: c(x,0)=u=cûr

folgt

(6.75)

y=h(x): c(x,h)=0

liefert

C2 = c = u

Ci = - ^ Ç ^ - ^ - r J T ^ (6.76) 2 dx h(x) Die Geschwindigkeitsverteilung im Spalt ist von y und x bzw. von y und h abhängig c(x,y) somit ergibt sich die Geschwindigkeitverteilung im Spalt zu: . , 1 dp/ 2 ur ^\ (^ y 1 fi y Y Kx) dp^ c(x,y) = — - f (y^ - y h ( x ) j + u l - - f = l--fu - ^ y - ^ 2r|dx' ' [ h(x)j ^ h ( x ) | 2r| dx J

(6.77)

Der Volumenstrom als Schmiermittelstrom im Spalt beträgt nach Einsetzen der Geschwindigkeit c(x,y) aus Gl. 6.73: h

h

V = .J.„,., = .j[,-^|„-^,^) dy

0

(6.78)

0

Wird der Volumenstrom V , der durch den Lagerspalt strömt, auf die Lagerbreite b bezogen und integriert, so erhält man für den Volumenstrom: V _ h(x) b ~ 2

U--

h^(x)dp 6r) dx

h(x) 2

h^(x) dp 12ri dx

(6.79)

Die Reibungskraft an der rotierenden Lagerscheibe und am ruhenden Gleitschuh bei y=0 beträgt: FR = AXQ = b L r |

:bLCi y=0

-bL r|

u

h dp +

(6.80)

h(x) 2 dx Die Reibungskraft am oberen ruhenden Gleitschuh bei y=h beträgt: = -bL

FRG = A X G = b L r | y=h

u

h dp

(6.81)

6.7 Strömung in keilförmigen Axial- und Radialspalten von Lagern

109

Der Druckgradient dp/dx kann für die ebene Strömung nach Reynolds angegeben werden zu: dp V = 6r| (6.82) dx h'(x) h^(x) b Für eine vorgegebene oder bekannte Spaltgeometrie h(x) (Bild 6-38) kann nun auch der Druckverlauf p(x) bzv^. der Überdruckverlauf p(x)-po im Spalt berechnet werden, wenn der äußere Druck im Lager außerhalb des Spalts po bekannt ist. Der Druck po entspricht in der Regel dem Ölversorgungsdruck der Ölpumpe. Der Druckverlauf im Spalt ist abhängig von der Spaltgeometrie h(x), b, von der Geschwindigkeit der rotierenden Lagerscheibe u, von dem Ölvolumenstrom V und von der dynamischen Viskosität des Öls r|. Aus Gleichung Gl. 6.79 kann nach Umstellen für den Druckgradienten dp und nach Integration der Druckverlauf errechnet werden: 12r|

PW-Po x=0

h(x),

h'(x)

x=0

P(x)-Po=

12r| V f dh — ]—; a b J h^(x)

P(x)-Po =

611 a

dx

- I d x : 6r| b x=0

6r|u f dh ]—; 0^ / h^(x)

h'(x)

12r|V

J

dx

(6.83)

h'(x)

x=0

(6.84)

(6.85)

h(x)

h'(x)

Außerhalb des Lagerspalts beträgt der Druck im Lagergehäuse p=p(x=0)=p(x=L)=po. Daraus folgt aus Gl. 6.85 für den Volumenstrom durch den Spalt für p(x)-po=0: 1

b

(6.86) (6.87)

""(ho+hi)

Der Volumenstrom V im konischen Spalt ist also nur von der Umfangsgeschwindigkeit der rotierenden Lagerscheibe und von der Spaltgeometrie abhängig. Er ist auf die Breite b des Lagers bezogen. Wird der Volumenstrom V aus Gl. 6.87 in der Gl 6.85 eingesetzt, so erhält man für den Druckverlauf im Spalt: P(x)-Po =

6r|u ( h i - h ( x ) ( h ( x ) - h o ) a

(6.88)

h^(x)(ho+hi)

Der Druckgradient im Schmierspalt beträgt: dp dx

6riu h'(x)

h(x)-

2hnh 0^1 (ho+hi)

(6.89)

6 Stationäre inkompressible Strömung; Hydrodynamik

110

Am Anfang des Spaltes bei x=0 mit li(x)=lii ist der Druckgradient im Koordinatensystem von Bild 6-38 positiv (dp/dx>0). Der Druckverlauf weist ein Maximum auf, bevor er wieder absinkt und bei x=L den größten negativen Druckgradienten annimmt (Bild 6-38). Die Stelle des Druckmaximums im Spalt folgt aus der Gl. 6.89 fiir dp/dx=0 zu: h(x)pmax=-;-^

(6.90)

Aus Gin. 6.88 und 6.90 erhält man das Druckmaximum, das die Bewegung der rotierenden Lagerscheibe erzeugt. Es ist: ^2

-Po

3riu ( h l - h o ) ' 2 a hohi(ho+hi)

hi-ho -rjuL2 hohi(ho+hi)

(6.91)

Das Druckmaximum wird entsprechend Gl. 6.90 bei h(x)=2hohi/(ho+hi) erreicht. X

r

aL

2h f 1— (ho+hi)

2h f 1— (ho+hi)

(6.92) L/b

10

2 php

1^

1

) 1

102-P^ riUmb

Pb

0,4

11,0

11 Um

I2 [llUm

/

/

0,5

'é

0,6 0,7 1,0

/ / 7/

0,7

u

//////X ^////// i 1' F

i

L/b 1,0 0,7 0,6 0,5 0,4

O

C

f y

L

^ 1

0,1

0,2

0,4

X 11

1

\

0,6 0,81

*

^^ 4

6

8 10

t h^-ho Bild 6-39 Tragzahl lO^pho^/riUmb und Reibkennzahl |i[pb/r|UnJ^^^ in Abhängigkeit von L/b nach Drescher [19]

6.7 Strömung in keilförmigen Axial- und Radialspalten von Lagern

111

Die Gl. 6.92 zeigt, dass ein Druckaufbau im Schmierspalt des Lagers nur bei keilförmigen Schmierspalten mit tana = (hi - ho)/L erfolgen kann. In einem parallelwandigen Spalt mit tana = 0 ist der Druck gleich dem aufgeprägten äußeren Druck p(x) = po und es stellt sich die Scherströmung im Spalt entsprechend Bild 6-3 6b ein. Der Druckaufbau im konischen Spalt ist vom Kehrwert der dritten Potenz der Spaltv^eite (1/hi^) abhängig. Diese Abhängigkeit zeigt, dass der Druck im Spalt umso größer wird, je kleiner die Spaltweite ist, d. h. der Druckaufbau im Gleitlager steigt mit zunehmender Lagerbelastung und zunehmender Exentrizität der Welle in der Lagerschale in Radiallagem an und zwar mit der dritten Potenz des Kehrwertes der Spaltweite. Wird mit dem Druck p(x), mit der Lagergeometrie ho und b sowie mit der dynamischen Viskosität r| des Fluids eine Belastungszahl p ho^/(riUnib) gebildet, die auch oft als Tragzahl bezeichnet wird und über der Spaltgeometrie ho/t = ho(hi - ho) dargestellt ist (Bild 6-39), so erkennt man den Belastungsverlauf in einem Axiallager, das nach dem Erfinder als Mitchellager bezeichnet wird. Das günstigste Spalthöhenverhältnis eines Kippsegmentlagers soll hi/ho~ 1,25 betragen, wobei sich bei einem Wellendurchmesser von d=200 mm ein Keilwinkel von a= 0,36° einstellt. Werden die Keilflächen in das Gleitstück eines Axiallagers fest eingebaut, so kann das Höhenverhältnis größer ausgeführt werden bis zu hi/ho= 1,50. Der Keilwinkel des Schmierspalts beträgt dann a=0,01° bis 2°. Der Stützpunkt des Gleitstücks soll entsprechend der Druckverteilung im Spalt bei x/L = 0,58 bis 0,60 angeordnet werden [19]. Durch die endliche Breite b der Gleitstücke wird in den ausgeführten Gleitlagern nur eine geringere zulässige Belastungszahl erreicht. Aus der Druckverteilung im Lagerspalt kann durch Integration auch die resultierende Druckkraft und damit die zulässige Belastungskraft des Gleitstückes ermittelt werden. Die Normalkraft FN beträgt: L

6r|ub

J(P( x ) - p o ) d x :

ho

a

=0

hi+ho

(6.93)

Die tangentiale Kraft im Axiallager ¥j beträgt für den ruhenden Gleitschuh bei y=h: L 1^

FT x=0

de , riub dx =—— dy a

6^^i^^-2J^ hi+ho

(6.94)

ho

Die Tangentialkraft an der rotierenden Lagerscheibe bei y=0 beträgt:

H

x=0

de dy

dx: y=0

r|ub a

hl - h n

6-^ ^-41n| hi+ho

ho]

(6.95)

6.7.2 Strömung im radialen Gleitlager Eine unbelastete Welle ohne Eigenlast (F=0) läuft bei Rotation in einer Lagerschale zentrisch und der Fluiddruck des Schmiermittels ist im gesamten Lagerspalt konstant (Bild 6-40a). Die zentrische Wellenlage stellt sich real für die unbelastete Welle bei hoher Drehzahl ein (ay^oo), Die ruhende Welle liegt auf der Lagerschale auf (Bild 6-40c). Wird die rotierende Welle belastet, so weicht sie von der Mittenlage aus (Bild 6-40b), so dass das Schmiermittel von der

6 Stationäre inkompressible Strömung; Hydrodynamik

112

Welle infolge der Schubspannung durch den Spalt veränderlicher Höhe h((p) mitgenommen wird. Dadurch entsteht eine ungleichförmige Druckverteilung im Lagerspalt mit einer resultierenden Kraft, die im stationären Betrieb mit der äußeren radialen Wellenbelastung im Gleichgewicht steht.

a)

co^oo

Bild 6-40 Exzentrizität der Welle und Spalthöhe im Lager in Abhängigkeit der Drehzahl a) unbelastete Welle im Lager, b) belastete und ausgelenkte Welle im Lager, c) belastete Welle im Ruhezustand bei co=0 Unter der Vorraussetzung, dass die Spaltweite h klein ist gegenüber dem Wellenradius r^ (h/r^«!) kann die Spaltströmung lokal als ebene Strömung betrachtet werden. Dafür gilt für rw+h((p) nach Bild 6-40b mit h2=hmin: r ^ + h((p) = r ^ + hjnin + e (l + cos cp)

(6.96)

wobei e die Exzentrizität der Welle darstellt und (p den Umfangswinkel. ho ist die Spaltweite bei zentrischer Wellenlage (Bild 6-40a). Daraus folgt für die winkelabhängige Spaltweite: h (9) = hj^in + e (1 + cos cp)

(6.97)

Dabei ist der tangentiale Geschwindigkeitsgradient wesentlich kleiner als der radiale (l/r)3u/9(p « 9u/3r, so dass für die örtlich ebene Strömung die folgende Differentialgleichung geschrieben werden kann:

a^u,

(6.98) r 9(p dr' Für den Radius r kann näherungsweise der konstante Wellenradius rw geschrieben werden. Damit vereinfacht sich die Gl. 6.98 weiter zu: •

^

J_dp_

-

d\

= r{-

9

(6.99)

ar^

Durch diese Vereinfachung kann das radiale Gleitlager ebenso wie das axiale Gleitlager berechnet werden. Der Lagerradius beträgt rG=rw+h((p) mit dr=dh. Dabei ist h((p) die variable Spaltweite. Damit kann die Differentiationsgleichung 6.99 geschrieben werden: 1 ^P-dh^ d u,^ =(6.100) r|rw dcp

6.7 Strömung in keilförmigen Axial- und Radialspalten von Lagern

113

Nach zweimaliger Intgration der Gl. 6.100 erhält man: 1 dp h^((p)+Cih((p)+C, 2r|rw d(p Die Randbedingungen für die Gl. 6.101 lauten:

(6.101)

U(p(h) =

Für h=0 ist: U(p(h)=cûrw=C2 und für h=hi: U(p(hi)=0

C^

1 dp 2r|rw dcp

Damit lautet die Gl. für die Geschwindigkeitsverteilung im Spalt: u^(h) = - ^ f ^ \ ( ( p ) ( h ( c p ) - h i ) + - ^ ( h i - h ( ( p ) )

(6.102)

Damit kann der Volumenstrom im Spalt ermittelt werden, wenn eine konstante mittlere Spaltweite ho und V / b =uho/2 eingeführt werden. b Der Druckgradient in Umfangsrichtung im Spalt beträgt für die mittlere Spaltweite ho und V/b=uho/2:

f 1 ap ^6r|ur^ 9(p [h^((p)

(6.104) h^((p)J

Damit ergibt sich die Druckdifferenz im Lagerspalt zu: Ap((p) = P i - P 2 = 6 r | u r w

f

-r

T^—K

(6.105)

Die Geschwindigkeit im Spalt C(p lässt sich näherungsweise mit Gl. 6.68 für die konstante Spaltweite bestimmen. .X

1 2

(ho +y) ho

ö)rw ( 2 (^

y ho

(6.106)

Die Schubspannung an der Wellenoberfläche mit u=cûrw beträgt damit: T((p) = r | ^ ^ = r|dy 'h((p)

(6.107)

Somit kann die tangentiale Reibungskraft auf der Welle mit der Lagerfläche A=27rrwb ermittelt werden: Fx((p)=x((p)A = ^ c û r w ^ b

(6.108)

Darin ist b die Lagerbreite, die etwa b/rw=0,8...1,2 beträgt. Das Reibmoment der Welle im Lager beträgt: .,/ \ ^ / \ 27rbr|corw^ M((p)= Fj(cp) rw = ü " y ^

(6.109)

6 Stationäre inkompressible Strömung; Hydrodynamik

114

Diese Gl. 6.108 stellt das Reibmoment für den Grenzfall mit konstanter Spaltweite ho = konst. dar, die sich bei gering belasteten schnelllaufenden Wellen ohne exzentrischer Wellenlage im Lager einstellen (Bild 6-40). Wird die Welle mit der Normalkraft F^ belastet, so weicht die Welle seitlich zu dieser Kraft aus und es stellt sich eine exzentrische Lage e mit der keilförmigen Spaltgeometrie ein. Mit Gl. 6.66 beträgt der Druckgradient im Spalt: dp dp 1 V (6.110) - ^ = — ^ = 3ur| h^((p) buh^((p)J dx rdcp Darin ist die x-Koordinate in Umfangsrichtung gerichtet x = rcp oder dx = rdcp (Bild 6-41). Pmax Diese Rechnung wurde erstmals von A. SomBild 6-41 merfeld 1904 (1868 bis 1951) ausgeführt. Sie Dmckverteilung entlang des Radiallagerführt zu dem Reibmoment M entsprechend Gl. umfanges bei konstanter Kraftrichtung F 6.106. Wird daraus ein dimensionsloses Reibmoment gebildet, so erhält man die Kennzahl, die zu Ehren von A. Sommerfeld als Sommerfeldsche Zahl bezeichnet wird. FT^h

N ^^0 So = 2bcorwr|rw' 10^ ^ ^

^ M/Q/

M F^h

BTI

(6.111)

^ ^ TTTl

M [\p(

10^ fflji

1^

^ 2 S>0

Ä "^o^

1

?/

SK ^^

10'

^^n^

'o, ^

^c? ^^o ri 1

TsJ

^11M^A/SÖ rr

•^>

1 *^'

^P

^ ^%?ï ^^n

mi

? ^Tvi

1 1

10-1 10"

ÏO 10"

10"

1

10

Bild 6-42 Auslegungsdiagrammfiirradiale Gleitlager nach Vogelpohl [17]

10^

910^

2brw^û>r|

6.7 Strömung in keilförmigen Axial- und Radialspalten von Lagern

115

Die Sommerfeldzahl stellt das Verhältnis der Druckkraft zur Reibungskraft im Lagerspalt dar. Vogelpohl (1900 bis 1975) [17] stellte die Abhängigkeit der Reibungskennzahl M/(hoFN) von der Sommerfeldzahl dar. Sie bewegt sich im Zahlenbereich von So=2-10"^ bis 10^ (Bild 6-42). Je größer die Sommerfeldzahl ist, desto geringer wird das dimensionslose Reibungsmoment von M/(hoFN) = 0,1 bis 2,0. Deshalb sind die Gleitlager möglichst mit Sommerfeldzahlen von So = FNho^/(2br^cor|) = 2 bis 10^ auszulegen. (Bild 6-42). Der im Lagerspalt strömende Fluidvolumenstrom beträgt: ^ ^ o > r ^

(6.112)

Der notwendige Kühlvolumenstrom kann nach Angaben von Vogelpohl [17] berechnet werden zu Yv =

; mit V in 1/s; M in Nm und AT in K. 1700 AT

Beispiel 6.3 +0,06

Das Radiallager eines Turbokompressors mit dem Lagerdurchmesser von ÖLQ = ITQ =180 mm, der Lagerbreite von b=500 mm und der Drehzahl von n=3000 min'^ ist auszulegen. Das Gleitlager ist mit 0

einer Sn-Legierung ausgekleidet. Die Welle hat einen Durchmesser von d ^ = 2 r ^ =179,82" ' mm. Die Lagerbelastung beträgt FN=220000 N . Die Viskosität des Schmieröls beträgt bei der Lagertemperatur von t=60 °C r|=3610"^ Pa s, bei einer Umgebungstemperatur von tu=20 °C. Zu bestimmen sind: a) der zentrische Lagerspalt ho b) die Sommerfeldzahl So c) das Reibmoment im Lager M d) Verlauf der Spaltweite h(cp), des Druckes p((p), der Schubspannung x((p) und des Reibmomentes M für 9=0 bis 2% e) der umlaufende Schmierölvolumenstrom V f)

der erforderliche Kühlvolumenstrom V^

a)

Berechnung des Lagerspaltes Der maximale Lagerspalt beträgt: hl = (d + 0,06mm) - ( d ^ - 0,06mm) = (180mm + 0,06mm) - (179,82mm - 0,06mm) = 0,30mm Der minimale Lagerspalt beträgt: h2 =(d + 0 m m ) - ( d w + 0 m m ) = (180mm + 0mm)-(179,82mm + 0mm) = 0,18mm Damit stellt sich ein Schmierspalt von h2=0,18 mm bis hi=0,30 mm in Drehrichtung der Welle ein und der Öffnungswinkel des keilförmigen Spalts beträgt (hi-h2^ arctani -^

(0,30mm-0,18mm : 0,012° \ = arctan 7i-180mm ^• . r. . • . 1 hi+ho 0,30mm + 0,18mm ^ ^ , Die mittlere Spaltweite beträgt hg = = = 0,24mm . b)

Winkelgeschwindigkeit und Sommerfeldzahl Winkelgeschwindigkeit Cû = 27in = 27i-50- = 314,16s s spez. Lagerbelastung

6 Stationäre inkompressible Strömung; Hydrodynamik

116

220000N : 2446,89kPa 0,50m •0,17982m

FN

bd^

Sommerfeldzahl, Gl. 6.111 220000N(O,24

FN^O"

So = 2 2bconirw

c)

10"V)^

1

= 1,542

2•0,5m-314,16-•0,08991m-36 lO'^Pas (0,0899Im)^ s Reibungsmoment, Gl. 6.109 M:

27iFNho _ 27ibr|Cûr^

2-7i0,5m36 10"^Pas314,16-^(0,08991m)^

0,24 • 10" V So ho Das dimensionslose Reibmoment im Lager beträgt: M

107,6Nm

FN ho

220000N • 0,24 • 10"^ m

- = 107,6 Nm

: 2,038

Damit ist die dimensionslose Reibungskennzahl M/(FNho) eine Funktion der Sommerfeldzahl So. d) Die Spaltweite h((p) im Lager wird mit der Gl. 6.97, der Druckverlauf im Spalt p((p) mit Gl. 6.105, der Schubspannungsverlauf auf der Wellenoberfläche T((p) mit der Gl. 6.107 und das Reibmoment der Welle im Lager mit Gl. 6.109 über dem Umfang der Welle von (p=0 bis 2n fiir die Exzentrizität der Welle von e=0,18 mm berechnet. Die Resultate sind im Bild 6-43 über dem abgewickelten Umfang des Lagers von (p=0 bis 2K dargestellt. Der geringste Lagerspalt stellt sich bei (p=7i mit h=0,18 mm ein und der größte Druck im Lagerspalt stellt sich bei (p=127° fiir die Viskosität des Öles von r|=0,036 Pa s ein.

e)

2" " 2" ^ umlaufender Schmierölvolumenstrom, Gl. 6.112

Bild 6-43 Verlauf der Spaltweite h((p), des Druckes p((p), der Schubspannung an der Wellenoberfläche T((p) und des Reibmomentes M((p) der Welle im Lager bei einer Exzentrizität von e=0,18mm

0,08991m 314,16- 0,24 10" m • 0,5m 3 1 s = 1,695 • 10"^ — = 101,72 2 s mm erforderlicher Kühlvolumenstrom fiir die Differenz der Lagertemperatur von AT=40K V=

Yv -

r^CQhpb

Mco 1700AT

107,6Nm^ 314,16s 1700 40K

1 0,497- = 29,82s mm

Der Schmiervolumenstrom von V =101,7 1/min reicht als Kühlvolumenstrom zur Abfiihr der entstehenden Reibungswärme aus.

6.8 Düsen- und Diffiisorströmung

117

6.8 Düsen- und Diffusorströmung 6.8.1 Düsenströmung In Düsen erfolgt eine Beschleunigung der Strömung zur Erzeugung hoher Geschwindigkeit. Dabei wird die statische Druckenergie Ap/p in dynamische Energie c^/2 gemäß Bild 6-44 umgesetzt. Beispiele ausgeführter Düsen sind z. B. die Düsen in Peltonwasserturbinen, in Spritzdüsen für Feuerwehrschläuche oder Düsen von Springbrunnen und Wasserfontainen sowie Düsen für Triebwerke von Flugzeugen und Raketen. In Dampf- und Gasturbinen werden ebenfalls zur Beschleunigung der i c l 2 C2 Eintrittströmung in das Laufradschaufelgitter besonders geformte Düsen eingesetzt (Bild 6-44b). Charakteristisch für Düsen ist, dass eine beliebig große Druckenergie Ap/p in dynamische Energie umgewandelt werden kann. Bei der Düsenströmung treten Reibungsverluste auf, die mit dem Druckverlustbeiwert Ç beschrieben werden können. Bild 6-44 Düsen zur Beschleunigung der Eintrittsströmung a) Spritzdüse b) Turbineneintrittsdüse

Bild 6-45 Geschwindigkeitsprofil am Düsenaustritt

Durch den Druckabfall bei der beschleunigten Strömung in Düsen wird auch Energie in die Grenzschichtbereiche transportiert, sodass die Geschwindigkeitsprofile in der Düse fülliger werden (Bild 6-45) und die Strömung nicht von der Wand ablöst. Düsen werden für Querschnittverhältnisse von A2/Ai= 0,06 bis 0,50 gestaltet, wobei die bezogene Düsenlänge L/ri = 1,60 bis 2,50 beträgt (Bild 6-45). Besonders hohe Anforderungen an das Geschwindigkeitsprofil am Düsenaustritt und den Gleichformigkeitsgrad werden an die Austrittsdüsen von Windkanälen gestellt, damit ein großer Messquerschnitt mit gleichförmiger Geschwindigkeit bereit gestellt werden kann. Die Abweichung von der Gleichförmigkeit des Geschwindigkeitsprofils soll dabei Ac/Cmax ^ 0,02 betragen.

6 Stationäre inkompressible Strömung; Hydrodynamik

118

Düsen sollten möglichst immer mit kreisförmigem Querschnitt ausgeführt werden, weil in quadratischen und rechteckigen Düsenquerschnitten Sekundärströmungen und dadurch höhere Verluste auftreten. (T) (2) Düsen, sogenannte Normdüsen, werden auch als Messeinrichtungen für Gas- und Flüssigkeitsvolumenströme eingesetzt, wobei der Druckabfall in der Düse als äquivalente Messgröße benutzt wird (vgl. Abschnitt 15 Strömungstechnische Messtechnik). Zu beachten ist, dass in Düsen beträchtliche Impulskräfte P2A2 auftreten, sodass sie entspreBild 6-46 chend zu befestigen sind. Das Kräftegleichgewicht an der Düse gilt insbesondere auch für ortsveränderliche Düsen an flexiblen Schläuchen, wie z. B. Feuerlöschdüsen (Bild 6-46). Deshalb werden die Spritzdüsen und der Feuerwehrschlauch aus Sicherheitsgründen stets von zwei Personen gehalten. Die Kontinuitätsgleichung ergibt: Ci A j = c;2A2 C2 = C i

(6.113)

Ai

(6.114)

Die Druckkräfte betragen mit den absoluten Drücken pi und P2: P l A i = - d i pi A

^

j2

(6.115) P2-Pb

(6.116)

P2 A2 =—a2P2 ; Die Impulskräfte betragen: riici - m c 2 = 0

(6.117)

Damit erhält man die Kräftebilanz aus dem Impulssatz: mci +pi Aj - m c 2 - P 2 A2 = 0

(6.118)

Wird die Düse durch Öffnen des Wasserhahns angefahren, so kommt noch die instationäre Kraft

3m ^^^ am h J 3t hinzu.

at J

(6.119)

6.8 Düsen- und Diffiisorströmung

119

6.8.2 Kegeldiffusoren Diffusoren dienen zur Verzögerung der Strömung und zum Druckrückgewinn aus der Strömung. Die Verzögerung der Strömung erfolgt entsprechend der Kontinuitätsgleichung (Gl. 4.38) durch Querschnittsvergrößerung. Da die Strömung in Diffusoren reibungsbehaftet verläuft, wird nicht der gesamte Verzögerungsanteil der dynamischen Energie (p/2)(ci^ - C2^) in Druck umgesetzt, sondern nur ein Anteil, vermindert um die spezifische Reibungsarbeit Da die Strömung nur eine begrenzte Verzögerung verträgt, müssen vorgegebene Verzögerungsverhältnisse C2/C1 oder bestimmte Erweiterungswinkel von konischen Diffusoren eingehalten werden, weil sonst die Strömung von der Wand ablöst und größere Verluste verursacht. Diffusoren werden als Kegeldiffusoren, als kegelförmige Multidiffusoren, als einfache oder mehrfache Rechteckdiffusoren, als Radialdiffusoren oder auch als spezielle Diffusoren wie z.B. Kaplankrümmer in axialen Wasserturbinen ausgeführt. Sie werden zur Verzögerung der Strömung in Gas- und Flüssigkeitsrohrleitungen, in lufttechnischen und in verfahrenstechnischen Anlagen, als Radialdiffusoren in ein- und mehrstufigen Radialverdichtern, in mehrstufigen Radialpumpen, in Wasserturbinen zur Vergrößerung der Gefällehöhe und in Strahlpumpen (Gas-, Dampf- und Flüssigkeitsstrahlpumpen) eingesetzt. In Strahlpumpen dienen sie außer zum Druckaufbau auch zur Strahlmischung des Treibstrahls hoher Geschwindigkeit mit dem Schleppstrahl geringerer Geschwindigkeit. Im Bild 6-47 sind ein Kegeldiffusor und ein zylindrischer Multidiffusor dargestellt. In Diffusoren (Bild 6-47) wird die Strömung verzögert und der Verzögerungsanteil der Strömung Ci^p/2 [1- (c2/ci)^] in Druck umgesetzt (Austrittsdiffusoren in Strömungsmaschinen, in Wasserturbinen oder in lufttechnischen Anlagen). i

^Jô^^^

Pi

ii

P2

^C1

C2

rTi Ai

T2 A2

02

d2 di [

f


8,5 • 10^ bis lO"^ nach einer kurzen laminaren Anlaufstrecke turbulent. Am Strahlrand bildet sich ein Wirbelgebiet aus und durch die Reibungswirkung am Strahlrand wird ruhendes Fluid aus der Strahlumgebung in den Freistrahl aufgenommen und mitbewegt (Bild 6-55). Dadurch breitet sich der Strahl aus, während sich die Geschwindigkeit am Strahlrand verringert und der vom Strahl transportierte Massenstrom rii ansteigt. In der Strahlmitte bildet sich ein Strahlkem bis zur Länge von XQ = d/m, in dem die Austrittsgeschwindigkeit Co erhalten bleibt. Außerhalb des Strahlkems bildet sich eine Mischzone. Bei Strahllängen von x > XQ nimmt die Geschwindigkeit in der Strahlmitte ab. Es wird Cmax(x) Fr^\R~ i=l

»

(6.187)

1

Somit kann für den Gesamtwiderstand bestehend aus den Einzelwiderständen R[ bis Rn geschrieben werden: 1

\^

1

T.

1

(6.188)

i=i V ^ Wird in diese Gl. 6.188 der in Gl. 6.184 ermittelte Einzelwiderstand Ri eingesetzt, so erhält man für den Gesamtwiderstand für die parallelgeschalteten Rohrleitungen die Gl. 6.189. 8p

1

R=

n2

1

i=l

1

(6.189)

2 r TT

di

m'-''^

i=ii Ci+?^i

di

Der Druckverlust Ap der parallelgeschalteten Rohrleitungen beträgt mit Gl. 6.189:

6.11 Rohmetzberechnung

Ap = R V ^

8p

141

V^

(6.190)

,2 r

=nki+^i

Li_

Die durch jeden Rohrleitungsstrang strömenden Einzelvolumenströme betragen: (6.191) Die Druckverlustbeiwerte Ç müssen für die Rohrverzweigungen oder für die Knoten ermittelt werden (Tabelle A8). Die Rohreibungsbeiwerte X werden entsprechend Abschnitt 6.3 für die verschiedenen Strömungsformen ermittelt. Rohrnetze für die Gas- und Wasserversorgung werden heute mit speziell entwickelten Programmen berechnet, die gleichzeitig auch die Rohrleitungsoptimierung und die Verlustminimierung ermöglichen. Für kleinere Rohrleitungsnetze können auch kommerzielle CFDProgramme, z.B. ANSYS CFX eingesetzt werden. Beispiel 6.5 Zwei parallel geschaltete Trinkwasserverbraucher werden durch zwei Abzweigleitungen der NWi 50 und NW2 80 und einer Länge von Li=25 m und L2=30 m aus einer Versorgungsleitung mit VQ =90 m^/h versorgt (Bild 6-66). Der erste Verbraucher liegt auf dem Niveau der Versorgungsleitung. Der zweite Verbraucher liegt auf einem 16 m höheren Niveau als der Verbraucher 1 in einer Entfernung von L2=30 m vom Abzweig. Mit welchem Druck muss das Wasser an der Verzweigungsstelle ankommen, wenn der Verbraucher 1 mit dem Volumenstrom von Vj =50 mVh und pi=300 kPa und der Verbraucher 2 mit V2 =40 mVh und p2=220 kPa versorgt werden soll? Die Wandrauigkeiten der neuen Leitungen betragen k=0,2 mm. Wie groß muss der Durchmesser di sein, damit die Versorgungsbedingung mit V^ =50 mVh und pi=300 kPa für gleiche Strömungsgeschwindigkeiten in beiden Leitungen (ci=C2) erfüllt wird?

Bild 6-66 Verzweigung einer Trinkwasserversorgungsleitung

pi=300kPa DN50

Gegeben sind: Wasser von t= 14 °C p=998,4 kg/m^ kinematische Viskosität des Wassers v=10-^m2/s Çi=0,84 ^2=0,89 In allen Leitungen kann turbulente Strömung erwartet werden.

6 Stationäre inkompressible Strömung; Hydrodynamik

142

Lösung: 2

2

.,>

4 0,025^

Tido

71-0,1 m

2

(^

d2

J

+ gh2p

s

Tidf

40,0139 m s _ 7,0871-0,05^2 _m2

4V,

4-0,0111-

4Vi

ci^

do

^ ^ ^7ld^ ^^ ^ . . o 2 j =^^^^T 71-0,08^ m^ . 0,1m-3,18— Reo = - 0 ^ = ^ = 318300 = 3,18 • 10^ 10,-6 m

. 0,05m-7,08— Rei = - ^ = r - ^ = 353950 = 3,54 • 10^ V -6 m 10"

. 0,08m-2,21 — Reo = ^ - ^ = ^ - ^ = 176640 = 1,77 10^ 10 -6 m

ko _ 0,2mm ^ ^ ^ ^ - 3 A = M l 5 E = 4.10"^ • ^ 100mm dj 50mm

= M E E = 2 510"^ 80mm

Strömungsbereich : 5 1^20 und hoher Geschwindigkeit muss jedoch die Kompressibilität bei der Auslegung der Ventilatoren berücksichtigt werden. Dabei muss nicht unbedingt die strenge kompressible Rechnung ausgeführt werden. Die Auslegungsrechnung von Ventilatoren kann auch mit dem Mittelwert der Dichte pm zwischen dem Saugund Druckstutzen vorgenommen werden. Turboverdichter, Dampf- und Gasturbinen werden dagegen stets kompressibel berechnet.

7.5 Ruhegrößen und kritischer Zustand

163

7.5.2 Kritischer Zustand Der kritische Zustand eines Gases ist als Zustand des Gases definiert, in dem die Gasgeschwindigkeit die Schallgeschwindigkeit erreicht c*=a* mit den Zustandsgrößen p*, T*, p*, a* und M*. Ebenso wie die Ruhegrößen (Gl. 7.68) eines Fluids charakterisieren auch die kritischen Größen die Bemoullische Konstante auf einer Stromlinie. Deshalb muss auch das Verhältnis dieser beiden Bernoullischen Konstanten wieder eine konstante Größe sein, die für alle Stromlinien den gleichen Wert hat, d. h. sie ist von der Strömung unabhängig und nur von der Stoffgröße K des Fluids abhängig (Gin. 7.74 bis 7.77). Aus Gl. 7.69 für den Ruhezustand und für den kritischen Zustand können die folgenden Verhältniswerte im kritischen und im Ruhezustand mit a^=KRT ermittelt werden. Verhältnis der Schallgeschwindigkeiten im kritischen Zustand und im Ruhezustand: a

(7.74) K+ 1

Temperaturverhältnis für den kritischen Zustand und den Ruhezustand:

IL

a

2

ao

K+ 1

(7.75)

Druckverhältnis für den kritischen Zustand und den Ruhezustand: K-l P_ K+1 Po Dichteverhältnis für den kritischen Zustand und den Ruhezustand:

(7.76)

(7.77)

Po U + lJ

Bei diesen Verhältniswerten bezogen auf die Zustandsgrößen im Ruhezustand ao, TQ, po und po wird der kritische Zustand einer Luftströmung erreicht, d.h. wenn der Druck in einem Behälter beim Ausströmvorgang von po=100 kPa auf p=p*=52,8 kPa (p*/po=0,528) abgesenkt wird, so erreicht die Strömung an der Austrittsöffnung die Schallgeschwindigkeit c=c*=a* und die Machzahl erreicht den Wert M=1,0. Die kritischen Verhältniswerte sind nur von der Gasart abhängig und sie stellen damit Stoffwerte dar. In der Tabelle 7-5 sind die kritischen Verhältniswerte für einige gebräuchliche Gase und Dämpfe zusammengestellt. Hervorzuheben sind darin die Werte für Luft und für zweiatomige Gase.

* 1^1,40

iL = 0,528 Po

* P_^= 0,634 Po

T

* = 0,833

a = 0,913 ao

7 Stationäre kompressible Strömung; Gasdynamik

164 Tabelle 7-5

Kritische Zustandsgrößen einiger Gase und Dämpfe

Gasart

K

K/(K-1)

P*/Po

P*/po

TVTO

a*/ao

Einatomig Zweiatomig Dreiatomig

1,666 1,400 1,333

0,487 0,528 0,540

0,649 0,634 0,630

0,750 0,833 0,857

0,866 0,913 0,926

Helium Luft

1,666 1,400

2,502 3,500 4,003 2,502 3,500

0,487 0,528

0,649 0,634

0,750 0,833

0,866 0,913

Heißdampf

1,333

4,003

0,540

0,630

0,857

0,926

Sattdampf

1,135

8,407

0,577

0,616

0,937

0,968

Der Isentropenexponent K von Gasen nimmt mit steigendem Druck zu und er sinkt mit steigender Temperatur ab. Im Bild A5 der Anlage ist der Isentropenexponent von Luft in Abhängigkeit der Temperatur und des Druckes nach Baehr, H. D. und Schwier, K [3] angegeben. Daraus wird sichtbar, dass für Luftströmungen bei p = 100 kPa im Temperaturbereich von T=175 K bis 450 K mit dem Isentropenexponent K = 1,40 gerechnet werden kann.

7.6 Geschwindigkeitsdiagramm der Energiegleichung Wird die Energiegleichung (Gl. 7.68) für den Ruhezustand und für einen beliebigen Strömungszustand auf einer Stromlinie umgeformt und auf die Schallgeschwindigkeit ao bezogen, so erkennt man, dass die Energiegleichung eine Ellipsengleichung mit den Koordinatenabschnitten ag und ag

darstellt (Gl. 7.78).

K-1

\^ ^a^^

(7.78)

ao

ao

Der Ausdruck ag

K-1

K-1

Cmax stellt nach Gl. 7.60 die maximale Ausströmgeschwindigkeit

aus einem Druckbehälter in das absolute Vakuum bei p=0 und T=0 dar, sodass die Ellipsengleichung auch in der Form geschrieben werden kann. 2

^a^^

/

+

1

(7.79)

ao Diese Gleichung stellt das Quadrat der Schallgeschwindigkeit auf einer Stromlinie zum Quadrat der Ruheschallgeschwindigkeit und das Quadrat der Geschwindigkeit c zum Quadrat der erreichbaren Maximalgeschwindigkeit dar. Wird diese Ellipsengleichung mit den Koordina-

7.6 Geschwindigkeitsdiagramm der Energiegleichung

tenabschnitten ^0=J^ .Po_ und Crr Po

K-1

165

im Bild 7-11 grafisch dargestellt, so erhält

man eine Viertelellipse, in der das gesamte Spektrum der kompressiblen Strömung vom Ruhezustand aus über die Unterschallströmung bis zum kritischen Zustand und der Überschallströmung enthalten ist. Die Ellipsenkontur zeigt auch, wie Unterschallströmung sich die örtliche SchallgeschwinM — = 0,528, unterkritische Ausströmung Po Po Ausströmgeschwindigkeit, Gl. 7.59: 0,4

C2 =

2,8 180 kPa 100^17 1Ï80 0,4 2,07 kg

= 3 0 6 , 7 6 - = 1104,33— s h

Austrittstemperatur, GL 7.66: 2 I 306,76— T. = To - - ^ = 293,16K-J^ ^-/— = 247,91 K ^Cp 2 1039,7 kgK Abkühlung des Gases um AT=45,25 K auf t2=-25,25 °C Austrittsmachzahl, Gl. 7.52: 306,76M.=^ =

C2

A / Ï ^

= 0,956 1,4-296,8

kgK

•247,91K

Beispiel 7.4 Für eine Luftströmung mit der spezifischen Wärmekapazität von Cp= 1004,7 J/kgK und der Geschwindigkeit von Ci=160 m/s bei Ti=305 K ist die Temperaturerhöhung im Staupunkt AT=T2-Ti eines umströmten Körpers bei C2=0 m/s zu errechnen. Aus der BemoulHgleichung (Gl. 7.66) folgt: ci ^^P

s ^ • = 12,74K 2-1004,7 ^ kgK

7.7 Beschleunigte kompressible Strömung

167

7.7 Beschleunigte kompressible Strömung In Düsen, Blenden, verengten Kanälen, in Schaufelgittem von Strömungsmaschinen (Dampfund Gasturbinen) treten durch Querschnittveränderungen oder durch Umsetzung potentieller Energie, z. B. der Enthalpie in Geschwindigkeitsenergie, beschleunigte Strömungen auf. In Messdüsen, Venturidüsen und in Messblenden wird die beschleunigte Strömung zur Messung von Volumenströmen und Massenströmen genutzt. Das h-s-Diagramm im Bild 7-13 zeigt die Enthalpieumsetzung Ah = hi - h2 in dynamische Energie in einer Düse. Eine beschleunigte Gasströmung kann aber auch durch Wärmezufuhr oder bei der reibungsbehafteten Rohrströmung mit konstantem Querschnitt Ai = A2 = A (Bild 7-14) auftreten. Die spezifische Reibungsarbeit (spezifische Enthalpiedifferenz) Ahy =X

Lc^

wird dem Gas als d 2 Dissipationswärme zugeführt (Bild 7-13). Dadurch steigt die Temperatur und die Dichte des Gases p=p/(RT) sinkt bei konstantem Druck (Verlauf der Zustandsänderung auf der Drucklinie p2=konst. im Bild 7-13).

h U^

f

Pi

®r

J kg

ii

1 — = konst. \P

Ahp

s=konst/

V/

h2 h2

^r

©

C2>C1

C1

V2

;;

.C2

®

a)

Ah

® ds •^—•

s

J kg-K

Bild 7-13 Zustandsverlauf einer isentropen (reibungsfreien) und einer polytropen (reibungsbehafteten) beschleunigten Düsenströmung

(l^-x

b) Bild 7-14 Beschleunigte reibungsbehaftete Gasströmungen a) im Rohr mit konstantem Querschnitt, b) in einer Unterschalldüse

Die Bemouüigleichung der Gasdynamik in der Schreibweise von Gl. 7.66 zeigte, dass sich die Wand im Staupunkt und in der Grenzschicht mit der Haftbedingung an der Wand c = 0 umströmter Körper bei hohen Geschwindigkeiten aufheizen kann. Diese Erscheinung erfordert, dass die Schaufeln von Gasturbinen gekühlt und das Weltraumshuttles mit einer hitzebeständigen Wand ausgerüstet werden müssen, damit sie beim Eintritt in die Erdatmosphäre mit der viskosen Strömung und mit Machzahlen von M = 20 bis 25 durch Temperaturerhöhung nicht beschädigt werden. Die Dichteveränderung führt aus Kontinuitätsgründen m = pV = pcAbei konstantem Rohrquerschnitt zur Beschleunigung der Strömung im Maß der Dichteabsenkung.

168

7 Stationäre kompressible Strömung; Gasdynamik

^ = 21^ = £L Cl P2A2 P2

(7.80)

Nachfolgend werden folgende charakteristische beschleunigte Gasströmungen untersucht. - reibungsbehaftete kompressible Rohrströmung, - reibungsbehaftete isotherme kompressible Rohrströmung, - reibungsbehaftete adiabate kompressible Rohrströmung, - Aus- und Durchflussfunktion von Gasen, - isentrope und adiabate Strömung in Düsen und Blenden, - Flächen-Geschwindigkeitsbeziehung für beschleunigte Strömung in Düsen, Überschalldüsen - Betriebsverhalten von Überschalldüsen. Expandierende beschleunigte Strömungen sind auch die Verbrennungsströmungen, die Flammenströmungen und Explosionsströmungen, die stets in Verbindung mit chemischen Reaktionen verlaufen. Sie treten auf in Brennkammern von Kraftwerken und von Gasturbinen, in den Zylindern von Verbrennungsmotoren (Otto- und Dieselmotoren) und im Treibstrahl von Flugzeugtriebwerken und Weltraumraketen. Diese Strömungen sind mathematisch zugänglich. Sie stellen instationäre Spezialgebiete der Strömungsmechanik dar, z.B. [7][8][9][10][11]. Sie werden hier nicht behandelt. 7.7.1 Reibungsbehaftete kompressible Rohrströmung Die reibungsbehaftete kompressible Strömung in Gasleitungen mit konstantem oder variablem Querschnitt A stellt eine beschleunigte Strömung mit Wärmezufuhr dar. Die Reibungsarbeit an der Rohrwand Ahy =?t

Lc^

wird dem Gas als Dissipationsenergie zugeführt. Die Energied 2 zufuhr führt zur Temperaturerhöhung dT, zur Dichteabsenkung und damit zur Beschleunigung der Strömung auch bei konstantem Rohrquerschnitt. Diese beschleunigte Gasströmung tritt in Luft-, Gas- und Dampfrohrleitungen sowie in Gaspipelines auf Übliche mittlere Strömungsgeschwindigkeiten betragen c = 12 m/s bis 50 m/s (s. Tabelle All). In Gas- und Dampfrohrleitungen tritt bei den geringen kinematischen Viskositäten von v = 10"^ m^/s bis v= 20- lO"*" eine turbulente Strömung mit Reynoldszahlen von Re = 8 • 10%is 8 • 10^ auf Infolge der Wandschubspannung x und der Wandhaftung mit c = 0 stellt sich in Gasrohrleitungen ein parabolisches Temperaturprofil ein mit der Maximaltemperatur an der Wand und mit der geringsten Temperatur in der Rohrmitte (Bild 7-15). ////////////////////^,,////////////////////////////////////////// T

^^^^^CS.

^tfv ^^•1i

AT

Bild 7-15 Geschwindigkeits- und Temperaturverlauf bei reibungsbehafteter Rohrströmung

r

'

1

TJ J7

^^^^y

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyjyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy

^ X

c(r)

T(r)

Die Energiezufuhr der spezifischen Reibungsarbeit fuhrt infolge der Dichteänderung zur Beschleunigung der Strömung auch bei konstantem Rohrquerschnitt.

7.7 Beschleunigte kompressible Strömung

169

Die Eulersche Bewegungsgleichung für die reibungsbehaftete Strömung eines Newtonschen Fluids lautet unter Vernachlässigung des Gravitationsanteils gemäß Bild 7-15: dp dx cdc + - ^ + — = 0 P

(7.81)

P

Mit der thermischen Zustandsgieichung der idealen Gase p/p=RT in der differentiellen Schreibweise d(p/p)=RdT erhält man nach der Differenziation ^ - ^ =^ (7.82) p p T und mit der Kontinuitätsgleichung rh = p cA in der differentiellen Form für die Rohrleitung mit konstantem Rohrquerschnitt, A= konst. folgt: ^ +^ = 0 (7.83) P c Setzt man die Kontinuitätsgleichung für A=konst. (Gl. 7.83) in Gl. 7.82 ein und ersetzt den Druck p durch p = R p T, so ergibt sich die Gleichung für die Druckänderung infolge einer Temperatur- und Geschwindigkeitsänderung durch Zufuhr von Wärme- oder Dissipationsénergie:

dp^^^rdT P

l T

de

(7.84)

c '

Wird Gl. 7.84 in Gl. 7.81 eingeführt, so erhält man mit der spezifischen Reibungsenergie T/p=?i(c72)(x/dh) die Differentialgleichung für die kompressible reibungsbehaftete Rohrströmung de c dx cdc + R d T - R T — + > :L =0 c 2 dh

(7.85)

Wenn der Temperaturverlauf T(x) entlang der Rohrachse bekannt ist, liefert diese Gleichung die Geschwindigkeit entlang der Rohrachse c(x). Sie kann in einfacher Weise zunächst für die isotherme Rohrströmung für T=konst. gelöst werden. Die Integration dieser Gleichung ergibt die Bemoulligleichung für die reibungsbehaftete kompressible Strömung. 2

^

2

2

+ RTi + RTi I n ^ = ^ ^ + RT2 + X—— 2 ^ ^ ci 2 ^ 2 4A

(IM)

7.7.2 Reibungsbehaftete isotherme kompressible Rohrströmung In langen erdverlegten nichtisolierten Gasrohrleitungen wie z.B. in Pipelines und Gasversorgungsleitungen mit gutem Wärmeaustausch mit dem Erdreich nehmen die Rohrleitungen und das Gas annähernd die konstante Temperatur des Erdreichs an und es findet ein Wärmeaustausch dq statt (Bild 7-16). Bei konstanter Temperatur vereinfacht sich die Eulersche Bewegungsgleichung für die kompressible reibungsbehaftete Rohrströmung (Gl. 7.85) zu:

7 Stationäre kompressible Strömung; Gasdynamik

170

c^dx RT A c de + À :0 2 du

c) i

T

®

L

^^m^^ ^

T(x)=konst. c(x)_

02

.

Ci

P2

(7.87)

Der Rohrreibungsbeiwert \ ist aueh bei kompressibler Untersehallströmung (M 0,2 ist der Druckverlust also stets kompressibel mit Gl. 7.89 oder Gl. 7.96 zu berechnen. Dabei ist zu beachten, dass sich für das Geschwindigkeitsverhältnis C1/C2 und für die Rohrlänge Grenzwerte ergeben, die nicht überschritten werden sollen, da sie zu Verdichtungsstößen führen können. Ein anderer Grenzwert für die unbedingte kompressible Berechnung von Druckverlusten in Gasrohrleitungen ist das Verhältnis des Druckverlustes Ap zum absoluten Eintrittsdruck pi von Ap/pi > 0,08. Durch Reihenentwicklung von Gl. 7.96 erhält man den Druckverlust für die inkompressible Rohrströmung für p=konst. [12] zu: Ap = P i - P 2 = ^ ^ ^ C i 2 d 2

(7.97)

Beispiel 7.5 Für eine Erdgasverteilungsleitung mit dem Innendurchmesser von d=65mm^ und der Länge von L=4,0 km, die nicht isoliert in 1,20 m Tiefe im Erdreich verlegt wurde, ist der Druckverlust für die Gasgeschwindigkeit von c=16 m/s in einer neuen Kunststoffrohrleitung mit der Oberflächenrauigkeit von k=0,10 mm zu berechnen. Der absolute Druck beträgt p=480 kPa, die Gasdichte p=0,80 kg/m^ und die kinematische Viskosität v=15,8 10"^ mVs. Reynoldszahl nach Gl. 5.10: 16"^ 0,065 m s —65822,8 ( 15,8 10-^ i ^ s relat ive Oberflächenrauigkeit: Re:

cd v

d _ 65 mm k ~ ~ÖJÖ mm

650

Rohrreibungsbeiwert aus Colebrookdiagramm:

7.7 Beschleunigte kompressible Strömung

173

À = f | R e , - 1=0,025 Dmckverlust nach GL 7.96: Ap = P i - P 2 = P i ^ l - J l - ^ ^ c 2

0,025-4000 m 0,80 m^ 1^2 m^

:480kPa l - i l -

0,065 m-480-10^ Pa

16"^^

:198,6kPa

Ap = 198,6 kPa Die inkompressible Rechnung nach Gl. 7.97 ergibt einen Druckverlust von Ap=157,5 kPa. Daraus ergibt sich eine Differenz für den Druckverlust der kompressiblen und der inkompressiblen Rechnung von A(Ap)=41,l kPa. Bezogen auf den Druckverlust der kompressiblen Rechnung von Ap= 198,6 kPa entspricht dieser Wert einer Abweichung von 20,7%. Das Verhältnis des Druckverlustes Ap zum Eintrittsdruck nimmt den folgenden Wert an. Ap Pi

198,6kPa = 0,414 480 kPa

Somit beträgt der absolute Druck am Ende der betrachteten Erdgasleitung p2 = pi - Ap = 480kPa -198,6 kPa=281,4kPa.

7.7.3 Reibungsbehaftete adiabate kompressible Rohrströmung Bei isolierten Gasrohrleitungen, aber auch bei kurzen nichtisolierten Gasversorgungsleitungen, bei Anlagen für den pneumatischen Transport oder bei Rohrpostanlagen kann der Wärmeaustausch durch die Rohrwand näherungsweise vernachlässigt werden, sodass die kompressible Rohrströmung adiabat für q=konst. berechnet werden kann. Die kompressible adiabate Rohrströmung kann mit der Eulerschen Bewegungsgleichung für die eindimensionale Strömung ,

dp

. c^ dx

P

2 dh

:0

(7.98)

mit der Kontinuitätsgleichung m = p c A oder mit m / A = p c für A=konst. und mit der thermischen Zustandsgieichung für die idealen Gase p=RpT berechnet werden, wenn man auch die Definitionsgleichung für die Schallgeschwindigkeit a = (Kp/p)^^^ =(KRT)^^^ und die für die Machzahl M = c/a beachtet. Führt man die Zustandsgrößen a und M in die Gl. 7.98 ein, so ergibt sich die Beziehung: de c

dp X dx -+ = 0 KM^ P 2 dh 1

(7.99)

7 Stationäre kompressible Strömung; Gasdynamik

174

Werden in diese Gl. 7.99 die Kontinuitätsgleichung für den konstanten Rohrquerschnitt, die thermische Zustandsgieichung für das ideale Gas und die Energiegleichung (Gl. 7.67) eingeführt, so ergibt sich nach der Integration die Beziehung: In (c_2_]

(7.100) M^(K-I)

Eine beschleunigte Strömung mit Zunahme der Machzahl im adiabat durchströmten Rohr kann nur im Unterschallbereich (M^ -1) < 0, d. h. M < 1,0 auftreten (Bild 7-18). Der Grenzwert der Machzahl M = 1,0 für die mit Unterschall durchströmte Rohrleitung kann als Bezugswert in Gl. 7.100 benutzt werden. Umgeformt ergibt sich die Gl. 7.101: In

'^1 l Cr

2\

1

-In 1 +

^i^M? 1-

M^(K-I)

l P2r

1

11

gestellt. Bei variierten Machzahlen von Mi=0,02 bis 0,5 stellen sich die abfallenden Verläufe Ci/c2 ein (Bild 7-19). Ebenfalls aufgetragen ist der Verlauf der Grenzmachzahl mit M2Gr ^1Löst man Gl. 7.102 nach ?iL/dh auf, so erhält man: 1 Ml

. (K-1)

V

2\

1-

1^2

(7.103)

Im Bild 7-20 ist die Lösung der Gleichung 7.103 für die Eintrittsmachzahl Mi in Abhängigkeit der Rohrleitungsgeometrie XL/d für die adiabate Strömung von Luft (K^1,4) und für die isotherme Strömung von Luft (K^1,0) dargestellt.

7.7 Beschleunigte kompressible Strömung

175 Nach Kenntnis des Machzahlverlaufs M = f(x) können auch das Temperatur-, das Druck-, das Dichte- und das Geschwindigkeitsverhältnis T/T 1 ; p/pi; p/pi und c/ci für die adiabate Rohrströmung ermittelt werden. Das Temperaturverhältnis folgt aus dem Energiesatz (Gl. 7.71) T _ 2 + (K-1)M^

Bild 7-19 cl Geschwindigkeitsverhältnis bei kompressibler adiabater Rohrströmung für Luft und zweiatomige Gase mit K^l,4

Ti

Das Temperaturverhältnis T2/T1 zwischen den Punkten ® und (D von Bild 7-18 beträgt: (7.105)

1-

2

(7.104)

Ti ~ 2 + ( K - 1 ) M ^

^1

Das Verhältnis der Temperatur T zur Ruhe- oder Totaltemperatur TQ = T^ = T H

folgt aus 2cp

der Bemoulligleichung (Gl. 7.66) zu: T

T T+

,

1+

2 c,

1

K-1

(7.106) ^2

M^

Das Druckverhältnis beträgt für die adiabate Rohrströmung:

Pl

Ml M

c Ti

(7.107)

Aus der thermischen Zustandsgieichung und der Kontinuitätsgleichung für A = konst. folgt das Dichteverhältnis für die adiabate Rohrströmung: _P_ Pl

c

Ml M

T

(7.108)

Das Geschwindigkeitsverhältnis c/ci beträgt für die adiabate Rohrströmung: Q_ _ p]__ Jv^ V^ ci~

p

"MI^TI

(7.109)

7 Stationäre kompressible Strömung; Gasdynamik

176

Die Verhältniswerte der Gl. 7.104 bis 7.109 sind im Bild 0,9 7-21 in Abhängigkeit des 0,8 Machzahlverhältnisses M/Mi dargestellt. Das Bild zeigt, 0,7 dass das Druck- und das 0,6 Temperaturverhältnis mit 0,5 steigender Machzahl abneh\ ^ = =1,0 0,4 men und das Geschwindigkeitsverhältnis c/ci sowie die 0,3 K= 1 , 4 ^ Machzahl mit zunehmendem 0,2 Machzahlverhältnis ansteigen. 0,1 Mit den Gl. 7.107 bis 7.109 0 können für T = Ti auch die 0 10 12 14 16 20 8 Verhältniswerte für die iso^d thermen Gasströmungen in Bild 7-20 Machzahlverlauf einer Gasströmung im Rohr mit konstantem Quer- Rohrleitungen, d. h. für erdverlegte Gasrohrleitungen, schnitt bei adiabater und isothermer Zustandsänderung mit Wärmeaustausch ermittelt werden. Bei der adiabaten Rohrströmung stellt sich natürlich auch eine Entropieerhöhung ein, die zu beachten ist. Mit Hilfe der Gl. 7.18 für die spezifische Enthalpie, mit der thermischen Zustandsgleichung für die idealen Gase (Gl. 7.3) und mit der Beziehung für die Gaskonstante R= (K-1) CV lautet die Gleichung für die spezifische Entropie: 1,0

4-''

ds

T

p

T

(1

(7.110)

Nach der Integration zwischen den Stellen 1 und 2 in Bild 7-18 erhält man die spezifische Enthalpieänderung bezogen auf die spezifische Wärmekapazität bei konstantem Volumen: As

S-Sj

In-

•(K-l)lnP^ Pl

Kln-

-(K-l)ln£^ Pl

(7.111)

Diese Gl. 7.111 gibt Auskunft über die Entropieerhöhung bei der adiabaten Rohrströmung von Gasen. Der Ruhedruckverlust in einer Rohrleitung bei adiabater Strömung beträgt: As

Po =e Po,l

R

(7.112)

Die spezifische Entropieänderung kann auch in der folgenden Form geschrieben werden:

7.7 Beschleunigte kompressible Strömung

177

s-Sn , h/hn K^-li l - h / h n - = In —-\In —

3,0

_P_ Pi

_P_ Pi

(7.113)

l-hj/ho

hi/hn 1 Mr=o,y/0,3

2,5 2,0 0,5 1,5

T

c

1,0 0,5 0

^J1 IVI-|

0 5 ^ ^0,3 _P_ 0,5 Pi 1 n 1 1 K1

1

=0,1

Mi =0,1

0,3 8

9^10

Bild 7-21 Mi Zustandsgrößen in Abhängigkeit des Machzahlverhältnisses für die adiabate Rohrströmung

Die spezifische Entropieänderung ist im h/ho-As/Cy - Diagramm (Bild 7-22) grafisch dargestellt. Eingetragen sind Linien konstanter bezogener Stromdichte pc/(po/co)kr, also die möglichen Zustandskurven des Rohres. Nach Gl. 7.112 lassen sich Kurven konstanten Druckabfalls vom jeweils zuzuordnenden Druck pi und allgemein von poj angeben. Die Abszisse kann auch als Drosselfaktorkoordinate und die Ordinate als Machzahl - Koordinate interpretiert werden. Die Abhängigkeit der bezogenen spezifischen Enthalpie h/ho von der bezogenen Machzahl M / M Q ist entsprechend Gl. 7.61 im Bild 7-23 dargestellt.

1,00

Bild 7-22 h/ho-As/cv-Diagramm für adiabate Zustandsänderungen in Rohrleitungen mit konstantem Querschnitt (Fanno-Kurven)

7 Stationäre kompressible Strömung; Gasdynamik

178

Der Zustandsverlauf entlang des Rohres ergibt sich vom zuzuordnenden Aushn gangspunkt auf der Ordinate entlang der eingetragenen Linien für A = konst. Der jeweilige Ruhezustand po, To, Po folgt über die Parallele zur Ordinate (As= 0) bei h/ho = 1- ^tir Ermittlung des Ausgangszustands auf der Ordinate wurden für die dimensionslose Darstellung auch die A= konst.- bzw. pc= konst.-Linien (sog. Fanno-Kurven) genutzt. Sie wird auf die „Kritische Stromdichte" (poCo)kr bezogen. Bei isentroper Entspannung vom Ausgangzustand (po,i bzw. hoj) gelangt man mit zunehmender Geschwindigkeit und abnehmendem Druck über die bekannte Gleichung von Saint Bild 7-23 "^0 Abhängigkeit der bezogenen spezifischen Enthalphie Vemant und Wantzel zur erreichten Geschwindigkeit. vom Machzahlverhähnis Beispiel 7.6 Für eine isolierte Dampfleitung mit dem Innendurchmesser von d = 80 mm 0 und der Länge von 800 m ist das Geschwindigkeitsverhältnis C1/C2, fiir q=konst., fiir die Dampfgeschwindigkeit von Ci = 22 m/s und ti = 250 °C in der Stahlrohrleitung mit der Oberflächenrauigkeit von k = 0,1 mm, das Temperaturverhältnis T2/T1, das Druckverhältnis p2/pi am Ende der Rohrleitung zum Anfangsdruck sowie der Druckverlust zu berechnen. Die Damp^arameter betragen pi=l,0 MPa, ti=250 °C, Ti=523,16 K, Dichte pi = 4,29 kg/m^ die kinematische Viskosität v = 51,6 T0~^ m^/s und der Isentropenexponent K = 1,33, Gaskonstante R = 461,52 J/kgK. Reynoldszahl der Dampfströmung, Gl. 5.10:

Re:

cd ^

22 —•0,08 m s = 34108,53 51,6-10-^^

Relative Oberflächenrauigkeit: d _ 80 mm k

0,1 mm

:800

Rohrreibungsbeiwert aus Colebrookdiagramm: ?i = f iRe, - 1 = 0 , 0 2 2 Schallgeschwindigkeit des Dampfes, Gl.7.49: Si = ^[}^

= 1,33-461,52^—-523,16 K =566,68 — Y kgK s

7.7 Beschleunigte kompressible Strömung

179

Machzahl, Gl.7.52: 22^ Ml = - = - = 0,039 ^ 566,68Geschwindigkeitsverhältnis mit Gl. 7.102 und Endgeschwindigkeit C2 bei Vernachlässigung des Beschleunigungsanteils, die für geringe Geschwindigkeiten zulässig ist. 2 0 , 0 2 2 . ^ ^ ^ 1 , 3 3 0,039^ 0,08 m 2+ (1,33-1) 0,039^

2X^KMI^ _5L

2 + (K-l)Mi

C2

^2

= 0,745

— 2 2 — = 29,53m/s 0,745 s

Temperaturverhältnis und Endtemperatur T2 , Gl. 7.105: \2~

^ = l + Ji^M,^ 1 Ti

:1.1^1^.0,039^

2

1-

T2 = — • Tj = 0,999 • 523,16 K = 522,64 K Es tritt eine geringe Abkühlung von AT=T2-Ti=0,52 K ein. Dichteverhältnis und Dichte p2 , Gl. 7.108: P^ = ^

Pl

= 0,745

C2

P2 = Pl.p, =0,745.4,294 = 3,204 Pl

m

m

Dmckverhältnis, Enddruck p2 und Dmckverlust, Gl. 7.107: £ 1 ^ P2_2i =0,745 • 0,999 =0,744 Pl Pl Ti P2 = £ ^ • Pl = 0,744 • 1000 kPa = 744,00 kPa Pl Dmckverlust Ap = pi - p2 = 1000 kPa - 744 kPa =256 kPa

0,745

: 0,999

7 Stationäre kompressible Strömung; Gasdynamik

180

7.7.4 Aus- und Durchflussfunktion für Gase Mit Hilfe der Kontinuitätsgleichung rii = pcA und der Ausströmgeschwindigkeit in Gl. 7.59 kann der ausfließende theoretische Massenstrom aus einem Druckbehälter oder der durchfließende Massestrom durch eine Düse (Bild 7-24) berechnet werden. Er beträgt:

m = A2

2K

(7.114)

-PoPo

Darin ist die Durch- oder Ausflussfunktion ^ enthalten, sie lautet: K+1

^

K-1

(7.115) Po

PoJ Ist die Ausflussfunktion bekannt, so kann der theoretisch ausfließende Massenstrom rii bestimmt werden. Er beträgt: m = ^A2V2poPo

(7.116)

Wird schließlich noch die Strahlkontraktion 8 und der Düsenbeiwert a und mit a = f(Re, (d/D)) = 0,60 bis 1,20 oder der Druckverlustbeiwert Ç berücksichtigt, so beträgt der ausfließende Massenstrom: Bild 7-24 Durchfluss durch eine Venturidüse

m = 8a^A272poPo

(7.117)

7.7.5 Berechnung der Durchflussfunktion Die Durchflussfunktion in Gl.7.115 ist nur abhängig vom Isentropenexponent K, d. h. von der Gasart und vom Druckverhältnis p/po; ^ = f (K, p/po). Die Durchflussfunktion steigt mit sinkendem Druckverhältnis p/po an und sie erreicht beim K

kritischen Druckverhältnis p*/po = (2/(K + 1))^~1 ihren Maximalwert. Danach sinkt sie wieder ab, weil die Flächen-Geschwindigkeitsbeziehung in dieser Gleichung unberücksichtigt blieb. In Wirklichkeit bleibt jedoch der erreichte Maximalwert der Durchflussfunktion ^ und auch der erreichte maximal ausströmende Volumen- und Massenstrom im gesamten Druckbereich p/po unterhalb des kritischen Druckverhältnisses (p/po)krit konstant.

7.7 Beschleunigte kompressible Strömung

0,6 0,5

181

/HeliumK=l,66 ' ' '/^//Luft 1^1,40 überhitzter Wasserdampf K= 1,30 1 ^ a und geringer Dichte (de Laval-Düse). Im Überschallbereich der de LavalDüse mit M>1,0 ist A*/A2 ^ 2,222 kg/m^. Die de Laval-Düse besitzt einen engsten Querschnitt von A* = 0,0030 m^ und ein Querschnittsverhältnis von A 2/A* = 20. Zu prüfen und zu berechnen sind: a) arbeitet die de Laval-Düse im überkritischen Bereich, b) die Zustandsgrößen am Düsenaustritt C2, a2 und M2 bei isentroper Expansion, c) der Volumen- und Massenstrom in der Düse, d) das erforderliche Querschnittsverhältnis A1/A2 der de Laval-Düse und den neuen Austrittsquerschnitt A2' für einen Entspannungsdruck von p2 = 220 kPa bei sonst gleichen Parametern. Expansionsdmckverhältnis, Tabelle 7-5: p9

0,42MPa

^,^

p

^^,^

,

, . . 1

^

^^ Pl - —2,8 MPa = 0,15 < — = 0,540 überkritischer Bereich Düsenaustrittsgeschwindigkeit, Gl. 7.59:

7.7 Beschleunigte kompressible Strömung

193

K-l1~

=•

2K

pi

K-lpi

K

1-

0,33

2 1,33 2800kPa C2--

1-0,15^^

: 843,68 -

l'^^-lll,90 4 Schallgeschwindigkeit am Austritt der Düse, Gl. 7.49: a2 = J K R T 2 =

y

1,33-461,52^—•373K= 478,49 —

kgK

s

Machzahl am Düsenaustritt, Gl. 7.52: .m

843,68C2__

Mo

^2

S_

:1,76

478,49 m

c) Volumenstrom am Düsenaustritt, Gl. 7.37: V2 = A2 C2 = ^ A * C 2 = 20 • 0,0030m^ • 843,68— = 50,62Massenstrom, Gl. 7.37: m = p2V2 = P 2 ^ A

C2 =

A = 2 , 2 2 2 ^ • 20 • 0,0030m^ • 843,68— = 1 1 2 , 4 8 ^ m-^ s s 1 K-1

d)

C'2 =

2K

pi

1-

(K-l)Pl

0,33

2 1,33 2800kPa (1,33-1)11,90 kg/m^

220 ^"133"

1^2800

Schallgeschwindigkeit ^\=^2 fur ^ i^^x

= 887,35— s

194

7 Stationäre kompressible Strömung; Gasdynamik

Machzahl 7.52: , 887,35"^ M2 = — = ^ = 1,85 ^2 4 7 8 , 4 9 S

Querschnittsverhältnis A1/A2, Gl. 7.133: 1,85^-1

M2^-l

r 220kPa ^ i : ^ ; ^ : ^ ^ 2800kPa j

KM2^

A2

[ Pi ^

Dampfdichte: 92=^

220kPa

= RT2

461,52

kg 373K

^

kgK neuer Austrittsquerschnitt A'2 Gl. 7.37: 113,36^ A; ^2 -

^ , , P2C2

s

_ n AQU ^ 2 — yj^yjy

y

111

1,28- ^•887,35"^ n1-^ S

7.7.8 Betriebsverhalten von Überschalldüsen De Laval-Düsen müssen exakt im Auslegungspunkt, d.h bei dem vorgegebenen Druckverhältnis pi/p2 betrieben werden, ansonsten setzt bei zu hohem Gegendruck p2 ein Verdichtungsstoß mit einer Strahlablösung in der Düse ein und die vorgesehene Endgeschwindigkeit wird nicht erreicht oder bei zu geringem absoluten Druck hinter der Düse gibt es am Austritt eine Strahlexpansion, wobei der Druck sprungartig auf den Austrittsdruck sinkt (Bild 7-38). Folgt der Druck in einer Überschalldüse im überkritischen Bereich nicht dem Druckverlauf p(x) gemäß Gl. 7.134, kann sich die Strömung in der Düse nicht isentrop an den Austrittszustand P2 annähern, sondern sie verändert sich sprunghaft auf den Druck P2', die Dichte P2' und die Temperatur T2'. Sinkt der Druck p2'am Düsenaustritt unter den Auslegungsdruck p2'p2 dargestellt.

7.8 Verdichtungsstoß

195 Strahlkontur für P2'P2

Strahleinschnürung P2'>P2 P2

y S2-S

Strahlexpansion P2' 1,0 auch P2 /pi > 1?0 ist, d. h. der Druck steigt an (Verdichtungsstoß). Bei Strömungen im Unterschallbereich MiSi weist auf die verlustbehaftete Zustandsänderung während des Verdichtungsstoßes hin (Gin. 7.160 und 7.161). Zu beachten ist auch, dass der Ruhedruck po2 nach dem Verdichtungsstoß verringert wird und demzufolge auch die Ruhedichte verkleinert wird, aber die Ruhetemperatur konstant bleibt T,02" Für das Totaldruckverhältnis nach dem Verdichtungsstoß Pt2 /Pi erhält man mit dem Totaltemperaturverhältnis und mit Cp = KR/(K-1)

7.8 Verdichtungsstoß

201

K - 1 C^ = 1+= 1+ 2CpT 2 KRT

Tt

(7.162)

Mit der Isentropengleichung K-l

P )

, K - l ^2 :1 + M^

(7.163)

und mit der Stoßgleichung P2 / p i Gl. 7.154 erhält man für das Totaldruckverhältnis nach dem Stoß zu dem Druck pi vor dem Stoß: K

Pt2

P2 Pt2

Pl

Pl P2

1+

2K

K+1

k-l)I I+-Ï=1M^-

K-l

(7.164)

Der Druck p^2 ist der mit einem Pitot- oder Prandtlrohr gemessene Totaldruck einer Überschallströmung nach dem geraden Verdichtungsstoß, pi ist der statische Druck der ungestörten Anströmung vor dem Verdichtungsstoß. Das Verhältnis Pt2 / P l steigt mit zunehAs À Pt2 mender Anströmmachzahl an Bild 7-42. .Pt1 0,5

Mi

Pt2

1

Pl

/

k/ /

1

1P2

1 /

>/

P2_

T2

/

/

1 Mi Bild 7-42 Zustandsänderungen beim senkrechten Verdichtungsstoß in Abhängigkeit der Anströmmachzahl Mi

Im Bild 7-42 sind die Verhältniswerte der Stoßbeziehungen in Abhängigkeit der Anströmmachzahl vor dem Stoß im Bereich von Ml = 1 bis 5 dargestellt. Das Druckverhältnis P2/P1? das Druckverhältnis Pt2 / P l ' das Temperaturverhältnis T2 /T^ und das Dichteverhältnis P2 / P i steigen beim senkrechten Verdichtungsstoß mit zunehmender Anströmmachzahl Ml zunehmend stärker an (Bild 7-42). Das Geschwindigkeitsverhältnis 6 2 / c ^ und auch das Totaldruckverhältnis Pt2 /Ptl nehmen ab. Die Energiegleichung (Gl. 7.152) und auch die Bernoullische Konstante gelten über den Verdichtungsstoß hinweg. Aus dieser Bedingung können auch die Ruhegrößen po,Po,To und âg nach dem Verdichtungsstoß abgeleitet werden. Bei konstanter Größe der Bemoullischen Konstante bleiben folgende Größen konstant:

7 Stationäre kompressible Strömung; Gasdynamik

202

Ruheenthalpie ho = Cp To, Ruhetemperatur To, Ruheschallgeschwindigkeit SLQ = y KRTQ . Das Verhältnis der Ruhedrücke ist gleich dem Verhältnis der Ruhedichten

Po2/por

p02 /Poi < 1- Für das Ruhedruckverhältnis beim senkrechten Stoß gilt: 1

Pol

Pol

P02

P02

1 +^ ( M . ^ - I )

r-

K-1

1-

K+l

kM"

K

K-1

(7.165)

Mi^

Der Verdichtungsstoß verläuft nicht isentrop sondern polytrop mit dem Entropieanstieg. Allerdings ist die Zunahme der spezifischen Entropie As/R bei geringer Anströmmachzahl Mi gering, jedoch stets größer als beim schiefen Verdichtungsstoß. Beispiel 7.9 Wie groß sind das Druck- und Geschwindigkeitsverhältnis p2 /pb C2 /ci einer Überschallströmung von Luft mit Ml = 1,8, Ti=293,16 K, pi=200 kPa, K^1,4 und R=287,6 J/kgK nach einem senkrechten Verdichtungsstoß? Anzugeben sind auch der Druck und die Geschwindigkeit nach dem Verdichtungsstoß. Das Dmckverhältnis für den senkrechten Verdichtungsstoß beträgt nach Gl. 7.154 Pi

K+r

^

^

2,4 ^

^

P2 = 3,61-200 kPa = 722,0 kPa Schallgeschwindigkeit, Gl. 7.136 und Geschwindigkeit ai = J K R T I = j l , 4 • 287,6^— • 293,16K = 343,6 ' ^ ' \' kgK ' q = a i - M l =343,6—1,8 = 618,41 s Geschwindigkeitsverhältnis, Gl. 7.155 2 Ci

M / - l ^ ^ _ 2.(1,8--!)^^^^^^ Ml

K+ l

(1,4 + 1)1,8^

62 = — c i = — M i a i = — M I ^ K R T I Ci

Ci

Ci

= 0,424-l,8- 11,4-287,6^—-293,16 K =262,21 — ^' kgK s Beispiel 7.10 Ein Überschallwindkanal wird in der Messstrecke mit der Machzahl von Mi=2,0 betrieben. Der statische Druck im Luftstrahl beträgt pi=105 kPa und die Temperatur ti=20 °C, Ti=293,16 K, K=l,4. In der Versuchsstrecke stellt sich ein senkrechter Verdichtungsstoß ein. Wie groß sind der statische Druck hinter dem Verdichtungsstoß p2 , die Machzahl M2 , das Totaldruckverhältnis pi2 /p2 ? der Totaldruck P12 und die Totaltemperatur Tt2?

7.8 Verdichtungsstoß

203

Dmckverhältnis aus GL 7.154 (MI^-I)=I+

Pi

K+r

^

2-1,4

^

(2,0^-1)= 4,50

2,4

P2 =4,50 105kPa = 472,50 kPa Machzahl M2 hinter dem Verdichtungsstoß, Gl. 7.158: 2 + (K-1)MI^

Mn

'2KMI^-(K-1)

2 + (0,4-2,0^)

: 0,577

^(2,8-2,0^)-0,4

Totaldmckverhältnis bei isentroper Strömung hinter dem Stoß aus Gl. 7.159: -|3,5

Pt2 P2

1+ ^ M 2 ^ 2 ^

Pt2 =P2

Pt2 P2

K-l

l + M o•0.577^ ,577^

= 1,25

2

: 1,25 • 472,50 kPa = 590,63 kPa

Temperaturverhältnis nach dem Verdichtungsstoß, Gl. 7.163: K-1

1+-

-Ml

2

:1,80

Totaltemperatur hinter dem Verdichtungsstoß Tt2 =T2 +

: 2cp

fr ^ = 293,16K1,80 = 527,69K ' At2

Mittels de Laval-Düsen kann der Druck der Strömung stark herabgesetzt werden und die Geschwindigkeit auf Werte über der Schallgeschwindigkeit gesteigert werden. Jedoch muss darauf geachtet werden, dass de Laval-Düsen im Auslegungspunkt betrieben werden und am Austritt keine Verdichtungsstöße auftreten. 7.8.2 Schiefer Verdichtungsstoß Schiefe Verdichtungsstöße entstehen bei der Umlenkung von Überschallströmungen an konkaven oder konvexen Kanalumlenkungen (Bild 7-43), an Ecken in de Laval-Düsen, an Schaufelprofilen und an Flugkörpern (Bild 7-44). Während eine Stromlinie durch einen senkrechten Verdichtungsstoß ohne Richtungsänderung hindurchtritt, Stoßfront des schiefen Verdichtungsstoßes erfahrt sie bei dem schiefen Verdichtungsstoß eine Richtungsänderung zur Stoßfront hin (Bild 7-43). Bild 7-43 Verdichtungsstoß an einer konkaven Wandecke mit Strömungsablenkung

7 Stationäre kompressible Strömung; Gasdynamik

204

Mit den Bilanzgleichungen (Gin. 7.151 bis 7.153) für den senkrechten Verdichtungsstoß können auch die Zustandsänderungen fur den schiefen Verdichtungsstoß bestimmt werden, wenn man beachtet, dass nur die Normalkomponente Cin der Anströmgeschwindigkeit zur Stoßfront einen senkrechten Stoß mit der Verzögerung auf C2n erfährt und die parallel zur Stoßfront verlaufende Geschwindigkeitskomponente unverändert bleibt C2t= Cit(Bild 7-44). Dabei wird die eindimensionale Strömung auf eine zweidimensionale Überschallströmung erweitert. Stoßfront Kontrollraum

P2

/---

ß=Unnlenkwinkel Keil

Bild 7-44 Kontrollraum für einen schiefen Verdichtungsstoß mit den Normal- und Tangentialkomponenten der Geschwindigkeit PlCln +Pl =92^2n

Sind die Anströmparameter Cl, Cin, pi, pi, der Stoßwinkel a und der Isentropenexponent K bekannt, weiterhin auch C2 und C2n, P2 und p2, dann können die Stoßbeziehungen und die Bemoulligleichung für ein ideales Gas bei adiabater Zustandsänderung abgeleitet werden. Es gilt: Impulsgleichung für den schiefen Verdichtungsstoß in Normalrichtung zur Stoßfront (Bilder 7-43 und 7-44):

+P2

(7.166)

In der Tangentialrichtung ist die Geschwindigkeit nach dem Stoß unverändert: Cit = C2t Die Kontinuitätsgleichung für den schiefen Verdichtungsstoß lautet: PlCln =P2C2n

(7.167)

Mit den Geschwindigkeitsbeziehungen nach Bild 7-44 P 2 _ 2, Cl — C i n ^

Cit

2

^2^ =C2n^+C2t^ und Cit = C2t=Ci cosa erhält man die Energiegleichung -In 2

Pl _ C2n K - 1 Pl 2

P2 K - 1 P2

(7.168)

Da die tangentiale Geschwindigkeitskomponente beim schiefen Verdichtungsstoß keine Verdichtung erfährt, können die folgenden Winkelbeziehungen aufgeschrieben werden. Die Stoßbeziehungen lauten mit tana=Cin/cit, tan(a - ß) =C2n /^it ^^^ Cit=C2t:

7.8 Verdichtungsstoß

205

t a n ( a - ß ) _ C 2 n cit ^ C2n (7.169) tan a ^2t '-In Das Geschwindigkeitsverhältnis 62/01 für den schiefen Verdichtungsstoß erhält man mit den beiden Winkelbeziehungen und mit dem Geschwindigkeitsverhältnis für den geraden Stoß 62/ci in Gl. 7.155: •^2n

£2 _ sin(a-ß) _

sin a c 2n sin (a - ß) Cjjj

sma sin(a - ß)

(MJ sina)^ - 1

(7.170)

K + 1 (Mjsina)^

sin a Die Geschwindigkeit hinter dem schiefen Verdichtungsstoß beträgt damit: F-

2~

2

( Pl

2

-

^2-V^2n +^21 =Ci.cos a + |—^-sma P2

(7.171)

Wenn nur noch die Normalkomponenten der Geschwindigkeit Cin und C2n den Verdichtungsstoß beeinflussen, wird auch die kritische Schallgeschwindigkeit an beim schiefen Verdichtungsstoß verändert. Die Temperatur des Gases vor dem Stoß Ti wird nicht verändert, jedoch die Geschwindigkeit von Ci auf cin und 62 auf C2n • Mit den beiden Beziehungen für die örtliche Schallgeschwindigkeit a (Gin. 7.49 und 7.68) Po P

V Po

1^-1 c 2

K-1 2

=Jan

--

V

(7.172)

und für die kritische Schallgeschwindigkeit a mit Gl. 7.74 2K

2 K PO

1 K + 1 Po

V K+1

-RTn

(7.173)

V K+1

erhält man für die kritische Schallgeschwindigkeit an nach dem schiefen Verdichtungsstoß 2

2

'K + 1

K-1 K+ 1

2 ''

(7.174)

Damit können auch die kritischen Machzahlen vor und nach dem schiefen Verdichtungsstoß angegeben werden. Sie betragen vor dem schiefen Verdichtungsstoß Mn =Cin/an und nach ^' * ^ * dem schiefen Verdichtungsstoß M^ =C2n /^n . Die Machzahl hinter dem schiefen Verdichtungsstoß beträgt analog zu Gl. 7.158: M.

M 2n sin(a-ß)

2 + (K-l)Mf sin^a 1 sin(a-ß)^2KM^sin^a-(K-l)

(7.175)

7 Stationäre kompressible Strömung; Gasdynamik

206

Die Machzahl hinter dem schiefen Verdichtungsstoß ist in der Regel M 2 < 1,0 , da eine Verzögerung der Geschwindigkeit einsetzt. Es wird aber nur die Normalkomponente M2n < 1 in den Unterschallbereich verzögert. Dadurch kann hinter dem Verdichtungsstoß in Abhängigkeit vom Stoßwinkel a durchaus Überschallgeschwindigkeit herrschen M2 > 1,0 (Bild 7-48). Beim schiefen Verdichtungsstoß steigt die spezifische Entropie um den folgenden bezogenen Betrag an: 1

l + ^^(M?sin^a-l) S2'

R

:ln

K

(7.176)

(K + 1 ) Mi ^sm —^

a 2 + (K-l)Mf sin^ a Da beim schiefen Verdichtungsstoß nur die Normalkomponente der Geschwindigkeit Cin und die Anströmmachzahl Min>l auf Unterschall verzögert werden (c2n < ^in , M2nPi tind C2aM (Bild 745b). Wird ein stumpfer Keil mit einem großen Keilwinkel ß von der Überschallströmung angeströmt, so löst sich die Stoßlinie vom Keil ab und stellt sich als gekrümmte Stoßfront vor dem Keil ein (Bild 7-45c). Bild 7-45 Machsche Linien unter au und Stoßfronten mit a von schiefen Verdichtungsstößen an unterschiedlichen Körperformen a - Stoßwinkel aM - Machscher Winkel ß - Keilwinkel Der Zusammenhang zwischen dem Keilwinkel ß und dem Stoßwinkel a im Bild 7-45 ergibt sich mit C2t=Cit aus Gl. 7.155:

7.8 Verdichtungsstoß

207

tan(a-ß)_C2n Cj^ _ C2n _ (K-l)Mf sin^ a + 2 tan a C2t Cj^ Cj^ (K + 1)MI^ sin^ a

(7.177)

Daraus kann nun schließlich der Keilwinkel ß als Maß fur die Umlenkung der Strömung ermittelt werden zu: ß = arctan

2cota(M^sin^a-lJ

(7.178)

Mi^(K + cos(2a))+2 Werden die Resultate der Gl. 7.175 und 7.178 für konstante Parameter der An- und Abströmmachzahlen Miund M2 ausgewertet und graphisch dargestellt, so ergibt sich das Diagramm im Bild 7-46. Das Ergebnis zeigt, dass bei kleinen Keilwinkeln von ß = 0 bis 45,6° fur alle Anströmmachzahlen von Mi = 1,2 bis oo zwei Lösungen, d. h. zwei unterschiedliche schiefe Verdichtungsstöße mit unterschiedlichen Stoßwinkeln a auftreten. Die Stoßintensität für den schiefen Verdichtungsstoß kann aus der Entropiebedingung ( §2 -Si)>0 abgeleitet werden. Für eine Anströmmachzahl von Misina > 1 ist der Stoßwinkel a durch den Machschen Winkel aM=arcsin(l/Mi) nach unten begrenzt. Der Stoßwinkel des schiefen Verdichtungsstoßes bewegt sich also zwischen f 1 (7.179) < a < 90° (Xyi= arcsm Mi

Den schiefen Verdichtungsstoß mit dem geringen Stoßwinkel a=0 bis -61° nennt man den schwachen Verdichtungsstoß (ausgezogene Linien für Mi = konst. im Bild 7-46), hinter dem auch nach dem Verdichtungsstoß Überschallgeschwindigkeit (M2> 1,0) herrscht.

0

5

Bild 7-46 Zusammenhang zwischen Stoßwinkel a, Umlenkwinkel ß, sowie Zu- und Abströmmachzahl Mi und M2

Bei großen Stoßwinkeln von a> 6 r bis 90 ° tritt ein starker schiefer Verdichtungsstoß auf, bei dem die Strömungsgeschwindigkeit in den Unterschallbereich transformiert wird (M2< 1) (gestrichelte Linien für Ml = konst. im Bild 7-46). Bild 7-46 zeigt auch, dass sich in Abhängigkeit von der Anströmmachzahl Ml ein Maximalwert für den Umlenkwinkel

7 Stationäre kompressible Strömung; Gasdynamik

208

ßmax einstellt. Ist der Keilwinkel des angeströmten Körpers ß größer als ßmax, so löst sich der schiefe Verdichtungsstoß von der Körperkontur ab. Dieser Maximalwert des Keilwinkels liegt in Abhängigkeit der Anströmmachzahl zwischen ßmax = 4° und 45,6° für K = 1,40 und Anströmmachzahlen von Ml -^ oo. Unmittelbar vor der Körperkontur entsteht dann ein senkrechter Verdichtungsstoß mit dem Stoßwinkel a = 90°. Zwischen der abgehobenen Stoßfront und der Körperkontur bildet sich ein begrenztes Unterschallgebiet aus. Der abgehobene Verdichtungsstoß hat im allgemeinen eine gekrümmte Stoßfront, die mit zunehmender Entfernung in eine gerade Linie übergeht. Die Stoßfront stellt eine Druckwelle dar. Die in der Stoßfront enthaltene Energie nimmt mit zunehmender Entfernung vom Stoßköper ab. Dadurch geht die Stoßwelle mit dem Winkel a in die Machsche Linie über und der Stoßwinkel a geht in den Machschen Winkel au über. Zunehmende Entfernung vom Stoßkörper: Stoßwelle

Machsche Welle,

a=

Stoßwinkel a :

Machscher Winkel, unterer Grenzwinkel für den schiefen Stoß

(Xyi = arcsm — = arcsmI M l

Praktisch stellt sich bei Überschallströmungen von Mi = 1,0...3,0 ein schwacher Verdichtungsstoß mit geringen Stoßwinkeln bis a = 60° ein. Bei sehr kleinen Umlenkwinkeln bzw. Keilwinkeln von ß < 2° entsteht ein schwacher schiefer Verdichtungsstoß, der sich als Machsche Linie unter dem Machschen Winkel aM mit geringer Druckstörung 3p ausbreitet (Bild 747a). Bei stufenweiser konkaver Umlenkung einer Überschallströmung können mehrere Machsche Verdichtungslinien entstehen, die einen Fächer bilden (Bild 7-47b).

Stoßfront Mi > M2 > 1,0^ Stoßfächer

777777777777. a)

b)

Bild 7-47 Formen von schiefen Verdichtungsstößen a) schiefer Verdichtungsstoß mit ß < 2° und Machscher Linie b) schiefe Stoßfächer an einer gekrümmten Umlenkkontur Ist der Keilwinkel ß eines mit Überschall angeströmten Körpers groß (ß > 60° bis 68°), wie bei stumpfen Körpern, so bildet sich an der Körperspitze kein anliegender schiefer Verdichtungsstoß aus, wie aus Bild 7-48 hervorgeht. Die Stoßlinie hebt von der Körperspitze nach vorn ab und sie hat eine gekrümmte Form, wie im Bild 7-48 dargestellt. Bei den stumpfen Körpern entsteht unmittelbar vor der Körperspitze ein senkrechter Verdichtungsstoß mit dem

7.8 Verdichtungsstoß

209 Stoßwinkel a = 90 ° und einem lokal begrenzten Unterschallgebiet M2 < 1, das danach wieder in ein Überschallgebiet übergeht (Bild 748).

Stoßfront

Pi Ci

_

,ß^60°

Mi>1

Keil

P2 Mo > 1

'2 P2 Co

Die beim schiefen Verdichtungsstoß umgesetzte Strömungsenergie der Druckwelle wird durch den Reibungseinfluss mit zunehmender Entfernung von der Stoßfront vermindert, sodass die starke Druckstörung des Stoßes bei großer Entfernung in die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Schallwelle mit a und dem Machschen Winkel aM übergeht.

Bild 7-48 Abgehobener Verdichtungsstoß mit gekrümmter Stoßfront am stumpfen Körper 7.8.3 Schiefer Verdichtungsstoß in der Hodographenebene Durch die Nichtlinearität der Stoßbeziehungen kann das Druckverhältnis nicht explizit in Abhängigkeit vom Umlenkwinkel angegeben werden. Jedoch kann das Druckverhältnis p2 /pi und ß für alle Werte der Stoßintensität berechnet werden, sodass P2 /pi=f(ß) graphisch dargestellt werden kann. Es ergibt sich eine herzförmige Kurve (Strophoide), deren unterer Teil die schwache und deren oberer Teil die starke Lösung wiedergibt (Bild 7-49). Damit kann für jeden Umlenkwinkel das Druckverhältnis aus der Graphik abgelesen werden. Zur Ergänzung der Darstellung der Strömung in der physikalischen Ebene wird die Hodographenebene benutzt. In ihr bilden die Geschwindigkeitskomponenten Cx/a und Cy/a die Koordinaten. Die Hodographenebene ermöglicht ein einfaches Bild der Lösung der Sprungbedingungen für den schrägen Verdichtungsstoß. 0

P

Ci/a*

P4

Cy/a*

Bild 7-49 Stoßpolare (Strophoide) mit den bezogenen Geschwindigkeitskomponenten vor und hinter dem schiefen Verdichtungsstoß

Die Geschwindigkeitsvektoren werden in der Hodographenebene für alle Werte eingetragen. Die entstehende Kurve stellt die Stoßpolare dar. Gebräuchlich ist die

7 Stationäre kompressible Strömung; Gasdynamik

210

Darstellung mit den dimensionslosen Geschwindigkeiten Cx und Cy, die auf die kritische Schallgeschwindigkeit a bezogen sind. Die Hodographenebene wird dann durch einen Kreis mit dem Radius R=[(K+1)/(K-1)]^^^ begrenzt. Die Schalllinie (Mi*=l) stellt sich als ein Kreis mit dem Radius R=l für Mi =1 dar (Bild 7-49). Die schwache Lösung ist durch den Punkt Pi, die starke Lösung durch den Punkt P2 und die Geschwindigkeit beim Durchgang der Strömung durch den senkrechten Stoß durch den Punkt P3 gegeben (Bilder 7-49 und 7-50). Für jede Anströmmachzahl Mi ergibt sich eine Stoßpolare. Im Bild 7-51 sind die Stoßpolaren für vier verschieden große Anströmmachzahlen dargestellt.

Cy/a*

Zur Ermittlung von C2/a trägt man den Winkel ß ein und findet auf den Stoßpolaren den Punkt Pi. Fällt man das Lot vom Koordinatenursprung 0 auf die Verlängerung der Linie P1-P4, so erhält man die Tangentialkomponente c/a der Geschwindigkeit und die beiden Normalkomponenten der Strömung vor (cin/a*) und nach dem schiefen Verdichtungsstoß (C2n/a*).

Die Gleichungen für den schiefen Verdichtungsstoß lassen sich nach dem Vorschlag von Busemann [14] in Form der Stoßpolaren auch graphisch ' Unterschall darstellen (Bild 7-50). In dem PolaBild 7-50 rendiagramm liegen die Endpunkte Stoßpolare für den schiefen Verdichtungsstoß nach der Geschwindigkeiten vor und hinBusemann [14] ter dem Verdichtungsstoß auf der Strophoide (Herzkurve)und zeigen den Unter- und Überschallbereich an. Die Druckerhöhung beim Verdichtungsstoß kann auch in Stoßdiffüsoren genutzt werden. Solche Vorschläge gehen auf Oswatitsch [4] zurück (Bild 7-52). Um den spezifischen Entropieanstieg As und die Verluste bei der Stoßverdichtung gering zu halten, werden dafür mehrere schiefe Verdichtungsstöße (1; 2 ;3) genutzt, mit denen die Geschwindigkeit bis in die Nähe der kritischen Schallgeschwindigkeit a abgesenkt wird und danach ein senkrechter Verdichtungsstoß (4) mit geringer Machzahl den Stoßvorgang abschließt (Bild 752). Strophoide\ Überschall \

M i < M 2 < M 3 < M 4 Cy/a^

Bild 7-51

Stoßpolaren für vier Anströmmachzahlen nach Busemann [14]

Bild 7-52 Stoßdiffiisor mit drei schiefen Verdichtungsstößen und einem senkrechten Verdichtungsstoß nach Oswatitsch [4]

211

7.8 Verdichtungsstoß

7.8.4 Expansion von Überschallströmungen und Prandtl-Meyer-Strömung Bei kontinuierlicher Umlenkung einer reibungslosen Überschallströmung durch viele infinitesimal schwache schiefe Verdichtungsstöße bleibt die Entropie nahezu konstant. Eine Vergrößerung des Umlenkwinkels hat eine Abnahme der Geschwindigkeit und eine Zunahme des Druckes zur Folge. Umgekehrt kann der Umlenkwinkel auch kontinuierlich bis auf die Horizontalströmung verkleinert, die Geschwindigkeit vergrößert und der Druck abgesenkt werden, sodass das Gas expandiert (Bild 7-53). Stoßlinien

Stoßlinien

Bild 7-53 Stetige Umlenkung einer reibungsfreien Überschallströmung a) isentrope Kompression und b) isentrope Expansion Eine stetig gekrümmte Kontur erzeugt in einer Überschallströmung eine isentrope Kompression, wenn der Umlenkwinkel zunimmt und eine Expansion, wenn der Umlenkwinkel abnimmt. Würde man eine diskontinuierliche Expansion annehmen, wie im Bild 7-53b gezeigt, müsste die Normalkomponente der Geschwindigkeit zunehmen und Druck, Dichte und Temperatur müssten abnehmen. Aus den Stoßbeziehungen würde dann eine Entropieabnahme folgen. Das steht aber im Widerspruch zum zweiten Hauptsatz der Thermodynamik; deshalb kann eine Expansion nur isentrop und somit nur stetig verlaufen. Für isentrope die Gleichung derung über tungsstoß zu der Form:

• Umlenkbereich

>Mi>1

Strömungen reduziert sich für die Geschwindigkeitsäneinen schwachen Verdicheiner Differentialgleichung

dß = -cota— = - V M ^ - 1 —

(7.180)

c c Das Integral dieser Gleichung wurde 1908 von Prandtl und Meyer angegeben. Deshalb nennt man diese Strömung die Prandtl-Meyer-Strömung. Zur Integration

Bild 7-54 Umströmung einer Ecke mit Überschallgeschwindigkeit (Prandtl-Meyer-Strömung) wird zunächst das Quadrat der Geschwindigkeit mit Hilfe der Energiegleichung durch den Machschen Winkel ŒM ausgedrückt. c^=sm ŒM

— . -1 K+1

(7.181) COS

a 2M

Durch Differenziation dieses Ausdrucks kann die Differentialgleichung für die Geschwindigkeitsänderung umgeformt werden:

7 Stationäre kompressible Strömung; Gasdynamik

212

A* P*_^

P1 Ti Pi

-1 ^^^

-da = -dß

P2 K+1

P2

Ci

^

•

T*^^ c* M*

(7.182)

K-1

T2 C2

M2

X

Strahlexpansion mit schiefem Verdichtungsstoß

Verdichtungswellen

+ tan a

Die Integration dieser Gl. 7.182 liefert den sogenannten PrandtlMeyer-Winkel y und den Zusammenhang zwischen dem PrandtlMeyer-Winkel y und dem Umlenkwinkel bzw. dem Keilwinkel ß, mit denen man die Strömung mit den Radien R=l für Mi=l und K+1

für Ml mit den K-1 Epizykloiden darstellen kann. Werden konvexe Ecken oder Kanten von einem Gas mit Überschallgeschwindigkeit umströmt, so wird das Gas auf eine höhere GeschwinBild 7-55 digkeit beschleunigt und es tritt Betriebszustände einer de Laval-Düse mit der Prandtl-Meyer- eine isentrope Expansion des Gases Strömung bei Strahlexpansion und Strahleinschnürung für ein. Bei der Umströmung von konabweichende Austrittsdrücke P2' kleiner oder größer als p2 kaven Ecken erfolgt dagegen eine Kompression der Überschallströmung. R

Strahleinschnürung mit schiefem Verdichtungsstoß

Erfolgt die Zuströmung an einer Ecke mit der Schallgeschwindigkeit c=a, M=l, so geht die ebene Parallelströmung hinter der Ecke wiederum in eine expandierte Parallelströmung mit vergrößerter Geschwindigkeit und größerem Stromlinienabstand S2 über (Bild 7-54). Die beiden Überschallströmungen vor- und hinter der Ecke werden durch das sektorförmige Übergangsgebiet verbunden, das von den strahlenförmig ausgehenden Machschen Linien (gestrichelte Linien im Bild 7-54) begrenzt wird. Jede Machsche Linie schneidet die Stromlinien unter dem gleichen Winkel, d.h. auf jeder Machschen Linie, die vom Eckpunkt ausgeht ist die Machzahl M und auch der Gaszustand gleich. Der Gaszustand und damit auch die Gasgeschwindigkeit im Umlenkbereich ist nur von der Winkelkoordinate a abhängig c(a). Da sich die Strömung im Überschallbereich befindet und M>1 ist, kann auch die kritische Machzahl in Abhängigkeit der Winkelkoordinate a oder günstiger in Abhängigkeit des Keil- oder Eckenwinkels ß angegeben werden M (ß). Diese Prandtl-Meyer-Strömung fährt auch bei Überschalldüsen nach de Laval bei Betrieb mit zu geringem Druck P2' 0 In der viskosen reibungsbehafteten Strömung erfahrt die Drehung eine zeitliche Änderung doydt, wenn in der Strömung eine Trägheitskraft wirkt. Die zeitliche Änderung der Drehung beträgt dann:

8.1 Differentialgleichung von Laplace

223

dco

3cû

3cû

9cû

(8.5) — + —c "dT" 3t dx " ^ a y ' ^ Die Winkelbeschleunigung œ = dco/dt in Gl. 8.5 wirkt auf das Fluid in Strömungsbereichen mit großen Geschwindigkeitsgradienten und bewirkt einen Umsatz von kinetischer Energie in Dissipationsenergie (erhöhte Wärmebewegung der Moleküle).

z

Bild 8-3 Drehung eines Massenpunktes im kartesischen Koordinatensystem

Bei der Drehung eines Massenpunktes m um die Drehachse (z-Achse) beträgt die Geschwindigkeit c=Cûr. Die Geschwindigkeitskomponenten Cx und Cy im kartesischen Koordinatensystem nach Bild 8-3 betragen mit c = cor: Cx = - c sin a = -cor sin a = -coy Cy = c cos a = cor cos a = cox

(8.6) (8.7)

Darin betragen der sin und cos des Winkels a sina = y/r und cosa = x/r. Die partiellen Ableitungen der Geschwindigkeitskomponenten nach den beiden Ortskoordinaten X und y ergeben die beiden Drehungen 9c,

3c, (8.8) =-&> dy Der arithmetische Mittelwert aus beiden Winkelgeschwindigkeiten ergibt die mittlere Drehung eines Fluidteilchens. - = CO und

2[dx

dy

= —(a) + co)=cû

(8.9)

Die Bedingung der Drehungsfreilieit für eine Potentialströmung lautet für (0=0: 9cy

3c^

3y

dz

:0 (8.10) dx dy Analog können die Bedingungen der Drehungsfreiheit für das dreidimensionale Strömungsfeld um die z- und y-Achse des kartesischen Koordinatensystems entsprechend Bild 8-3 formuliert werden.

=0

und

(8.11)

^ - ^ =0 (8.12) dz dx Sind diese Bedingungsgleichungen nicht erfüllt, so drehen die Fluidteilchen um die entsprechenden Koordinatenachsen. Damit steht nun mit Gl. 8.10 die dritte erforderliche Bestimmungsgleichung zur Verfügung, mit der die Strömungsparameter der zweidimensionalen Strömung Cx, Cy und p berechnet werden können. Längs von Stromlinien ist die Drehung konstant, sie kann sich nur normal zu einer Stromlinie \|/ ändern.

224

8 Zweidimensionale Potentialströmung

Die Geschwindigkeitsänderungen in den Koordinatenrichtungen eines infinitesimalen Fluidbereiches beträgt: dcx de y

_9cx 9c X dx + dy dx 3c y 7t^

dx +

3c y 7^7

dy

(8.13) (8.14)

Sie werden durch die Streckung, die Verformung und durch die Drehung eines Fluidteilchens verursacht. Die partiellen Differentiale (dcjdx)dx und (3cy/3x)dx stellen die Streckung eines Fluidelements dar. Dagegen stellen die partiellen Differentiale (9cx/9y)dy und (3cy/3y)dy die Verformung und die Drehung des Fluidelements dar. Wenn Gl. 8.10 nach Helmholtz die Drehung darstellt, dann ist aCx _ ^Cy

- ^ =- ^ (8.15) dy dx = Cû die halbe Drehung eines Fluidteilchens und die Hälfte des Ausdrucks 9cx/3y stellt die Deformation des Teilchens im Bild 8-4 dar. Werden die x- und y-Begrenzungen eines infinitesimalen Fluidteilchens um die gleichen Winkel da= a) dß verdreht, dann Bild 8-4 Verformung eines flächenhaften Fluidelements durch Streckung und erfährt das FluidDrehung teilchen keine Dreha) Potential drehungsfrei, b) drehungsbehaftet ung (Bild 8-4a). Das quadratische Fluidelement bleibt in seiner Form quadratisch erhalten. Werden die beiden Begrenzungslinien durch die wirkenden Geschwindigkeitsgradienten 3cx/3y und 3cy/3x und mit 3cy/9x > 9cx/3y um unterschiedliche Winkel verdreht, da > dß, dann erfährt das Teilchen eine Drehnung (Bild 8-4b). Das Fluidelement wird aus der quadratischen in die rhombische Geometrie verformt.

8.1 Differentialgleichung von Laplace Die Differentialgleichung für die Drehungsfreiheit (Gl. 8.10 bis Gl. 8.12) stellt die Laplace'sehe Differentialgleichung dar, die nun zu lösen ist. Die Lösung der Laplace'sehen Differentialgleichung gelingt mit einer Potentialfunktion 0(x,y), die nachfolgend eingeführt wird.

8.1 Differentialgleichung von Laplace

225

8.1.1 Potentialfunktion Die Potentialfunktion O zur Lösung der Laplace'sehen Differentialgleichung muss folgende Bedingungen erfüllen. Die erste partielle Ableitung der Potentialfunktion 30/3x muss gleich der Geschwindigkeitskomponente in der x-Richtung sein und die partielle Ableitung der Potentialfunktion O nach der y-Koordinate 30/3y ist gleich der y-Komponente der Geschwindigkeit. Es gilt also: Cx

so und dx

SO Cv •

>

dy

(8.16)

Werden die Geschwindigkeitskomponenten aus Gl. 8.16 in die Gleichung für die Drehungsfreiheit ( Gl. 8.10) eingesetzt, so erhält man:

a^o a^o =0 (8.17) 3y3x dxdy Damit ist die Bedingung der Drehungsfreiheit für die Potentialströmung, die durch das Potential 0(x,y) beschrieben wird, erfüllt. Werden die Geschwindigkeitskomponenten Cx und Cy aus Gl.8.16 in die Kontinuitätsgleichung der zweidimensionalen Strömung (3cx/3x)+(3cy/9y)=0 (Gl.8.3) eingesetzt, so erhält man die Potentialgleichung.

a^o a^o ^

+^

=0

(8.18)

Diese Potentialgleichung stellt die Laplace'sche Differentialgleichung dar. In dieser Gleichung sind die beiden Bedingungen der Drehungsfreiheit und der Kontinuitätsbedingung ^2 ^2 g2 vereinigt. Mit dem Laplace-Operator A = —— + ——H — kann die Laplace'sche Differendx dy dz zialgleichung für die räumliche Strömung geschrieben werden. AO = 0 (8.19) Mit den beiden Gleichungen 8.16 können nun die Geschwindigkeitskomponenten c^ und Cy an jeder Stelle des Geschwindigkeitsfeldes, z.B. in denen der Bilder 8-la und b bestimmt werden. Dafür muss aber die Potentialfünktion 0(x,y) gefunden werden, die die Potentialgleichung, d.h. die Kontinuitätsbedingung und die Drehungsfreiheit erfüllt. Das Potential kann ebenso zur Lösung instationärer Potentialströmungen benutzt werden. 8.1.2 Stromfunktion Die Potentialfunktion O stellt die Lösung der Differentialgleichung für die Drehungsfreiheit (Gl. 8.10) dar. Nun wird eine Funktion \|/(x,y), die Stromfunktion gesucht, die die Kontinuitätsgleichung (Gl. 8.3) erfüllt.

8 Zweidimensionale Potentialströmung

226

—^ +—^ = 0 3x dy

(8.20)

Die Kontinuitätsgleichung weist darauf hin, dass die Stromfunktion \|/ die folgenden Bedingungen erfüllen muss: d\\f , d\\f -und c = (8.21) dy ^ dx Setzt man diese Geschwindigkeitskomponenten nach Differenziation in die Kontinuitätsglei chung (Gl. 8.20) ein, so ist sie erfüllt, wie Gl. 8.22 zeigt.

d\

d\

=0 (8.22) dydx dxdy Setzt man die Ableitungen der Geschwindigkeitskomponenten c^ und Cy aus Gl. 8.21 in die Differentialgleichung für die Drehungsfreiheit ein, so erhält man:

^ ^ ^ =0 (8.23) dx^ dy^ Das ist die Differentialgleichung der Stromfünktion \|/(x,y). Mit dem Laplace-Operator A lautet die Gleichung für die dreidimensionale Potentialgleichung: A\\f = 0 (8.24) Die Linien \j/=konstant im Strömungsfeld stellen die Stromlinien dar. Die Linien O=konstant im Strömungsfeld stellen die Äquipotentiallinien dar, die orthogonal zu den Stromlinien verlaufen (Bild 8-5). Äquipotentiallinien Stromlinien Oi O2 O3=konst. y^

Bildet man von der Stromfunktion \|/(x,y) das totale Differential 3\|/ , 9\|/ , d\|/ = - ^ d x + - ^ d y : -Cydx + c^dy dx dy

.\|/2

\|/3=konst.

(8.25)

und setzt es für die \|/=konstant-Linie (\|/=konst.) ein, so erhält man aus Gl. 8.25 das Geschwindigkeitsverhältnis Cy/Cx.

dy (8.26) dx Bild 8-5 Potential- O und Stromlinien ^ einer Gl. 8.26 sagt aus, dass die Tangente an die Potentialströmung Linie \|/=konstant in jedem Punkt mit der Richtung der Geschwindigkeit c = Cx+Cy übereinstimmt. Deshalb stellen die \|/=konstantLinien definitionsgemäß Stromlinien dar. Bildet man von der Potentialfünktion O das totale Differential, so erhält man: 90 dO =

30 dx +

dy = Cxdx + Cydy = 0

dx dy Daraus folgt für das Geschwindigkeitsverhältnis:

(8.27)

8.2 Potentialströmung um Kreiszylinder

227

dy dx

(8.28)

Aus dem Vergleich der beiden Gin. 8.26 und 8.28 ist ersichtlich, dass die Äquipotentiallinien orthogonal zu den \|/=konstant-Linie verlaufen.

8.2 Potentialströmung um Kreiszylinder Die potentialtheoretische Umströmung eines Kreiszylinders stellt eine einfache Anwendung der Potentialtheorie dar. Wird ein unendlich langer Kreiszylinder von einer Parallelströmung mit c^ entsprechend Bild 8-6 angeströmt und umströmt, so erfüllt die Potentialfunktion O die Bedingung der Umströmung mit: O: ^c^x 1+2 2 x^ +y^ r ist der Vektor für den Zylinder im Polarkoordinatensystem Coo ist die Anströmgeschwindigkeit des Zylinders in unendlicher Entfernung. Die Potentialfunktion muss folgende Bedingungen erfüllen:

(8.29)

- In großer Entfernung vom Kreiszylinder muss die Störung durch den Zylinder abklingen, d.h. es sind: Cx=Coo und Cy=0. - Auf dem gesamten Kreis, d.h. auch im Lee-Bereich verläuft die Richtung der Geschwindigkeit in Richtung der Tangente an den Kreiszylinder (Bild 8-6). Daraus ergeben sich die beiden Geschwindigkeitskomponenten auf dem unendlich langen Kreiszylinder zu: 2 y

ao

2 ~^

2

2xyr

(8.30)

(8.31)

Bild 8-6 Potentialtheoretische Umströmung langen Kreiszylinders

eines Der Kreiszylinder soll unendlich lang sein, um Einflüsse der Randabströmung an den Zylinderenden auszuschließen. Diese beiden Gleichungen müssen die beiden o.g. Bedingungen erfüllen. Es ist • r=(x^+y^)^^^ ^ ex. ; c^^Coo; Cy=0 • auf der Kreiskontur ist:

x=r cosa; y=r sina; r=(x +y ) = r (cos a + sin a)

Cx=2Coo sin a

(8.32)

Cv=-2Coo sina cosa=-CooSin2a

(8.33)

8 Zweidimensionale Potentialströmung

228

Damit beträgt die resultierende Geschwindigkeit auf der Kreiskontur: 1

(cx^+Cy^)2 = 2 c ^

(sin^a)

. 2

+ sm

2

a cos

: 2 c ^ sin a

a

(8.34)

Der Tangens der Geschwindigkeit auf der Kreiskontur beträgt: 2

dy c^ tana = ^ - = — dx c.,

2 c ^ sin a 2c oo sin a cos a

sin a

(8.35)

cos a

Die Stromfunktion \|/ für die Umströmung des unendlich langen Kreiszylinders lautet: 2

¥ = c^y 1 - - 2 2 x^ + y ^

(8.36)

Durch die partielle Ableitung der Stromfunktion nach den beiden Koordinaten x und y können ebenfalls die Geschwindigkeitskomponenten errechnet werden. Sie betragen: d\\f = Ce

,_k±i!l

2y%2

2 = c.

y

2 -X

2

(8.37)

3y d\\f

2xyr

(8.38)

(x^^rF 8.2.1 Geschwindigkeits- und Druckverteilung um den Kreiszylinder In den beiden Staupunkten des Kreiszylinders bei a=0 und a=K ist die Geschwindigkeit nach G Ap Gl- 8-^4 c=0. Das Maximum der Geschwindigkeit wird bei a = K/2 für sin K/2 = 1 mit c = 2Cco erreicht. Der potentialtheoretische Geschwindigkeitsund Druckverlauf auf dem Kreiszylinder ist im Bild 8-7 dargesteüt. Mit Hilfe der Bemoulligleichung kann auch die Druckverteilung auf der Oberfläche des Kreiszylinders ermittelt werden. Für die inkompressible Strömung lautet die Bemoulligleichung für h=konstant: r X viskose '.-f Strömung PotentialStrömung -2

"^

P 2 P 2 + -^C^^=p + ^C^

(8.39)

Daraus 2 folgt die auf2 den Staudruck der Anströmung bezogene Druckdifferenz auf der ZylinderfQ 2 Oberfläche Ap/ — c ^ 2

Bild 8-7 Druck- und Geschwindigkeitsverteilung der Potentialströmung auf einem Kreiszylinder und Druckverlauf der viskosen Strömung mit Strömungsablösung

8.2 Potentialströmung um Kreiszylinder

Ap

_p-Po

229

/ 2c ^ sin a

:l-4sin a (8.40) P^2 £ 2 2 2 Das bezogene Druckmaximum auf dem Kreiszylinder stellt sich als Staudruck bei den Winkein a=0 und a=K mit Ap = p - p ^ =(p/2)c^

in den Staupunkten ein. Das Druckminimum

wird bei a=K/2 und a=(3/2)-7rmit Ap / c i ( p / 2 ) = - 3 erreicht (Bild 8-7). Am Außendurchmesser des Kreiszylinders stellt sich also bei der Umströmung ein erheblicher Unterdruck ein. Die aus der Potentialtheorie ermittelte Äquipotentiallinien Druckverteilung stimmt nur im StauO1O2O3 y punktbereich mit dem Druckverlauf der viskosen Strömung überein. Durch Stromlinien Reibungsverluste und durch Strömungs¥3 ¥2 ablösung bei Verzögerung der Strömung y i =konst. im hinteren Teil des Zylinders ergibt sich ein anderer Druckverlauf als potentialtheoretisch errechnet (Bild 8-7). Die Strom- und Äquipotentiallinien der Zylinderumströmung sind im Bild 8-8 Bild 8-8 dargestellt. Strom- und Äquipotentiallinien der Kreiszylindemmströmung Beispiel 8.1 Für die gegebenen Potential- und Stromfunktionen O und \|/ sind die Strom- und Äquipotentiallinien des Potentialströmungsfeldes und die Geschwindigkeit zu ermitteln. Gegeben sind: Potentialfunktion

O = c^ocX + Cy^y und

Stromfunktion

\|/ = c^ocy - CyooX

mit Cxoo=12 m/s, Cyoo=3,2 m/s. Die Geschwindigkeiten betragen: Cv

ao _

=-

dx

(8.41)

— Cxoo

_ao_

(8.42)

^^"ay"'^°^ Äquipotentiallinien O=konst. Stromlinien \(/=konst.

Bild 8-9 Potentialfeld einer zweidimensionalen Parallelströmung

Die Stromlinien \)/=konst. stellen nach Gl. 8.35 Geraden mit dem Anstieg von m 3,2dy _ ^ (8.43) = 15° dar. arctana = ^^ = dx 12^ Das Geschwindigkeitsfeld ist im Bild 8-9 dargestellt. Eine zur x- Achse des kartesischen Koordinatensystems parallele Strömung besitzt die Potentialfunktion und die Stromfunktion mit Cvoo=0:

8 Zweidimensionale Potentialströmung

230

(8.44)

0 = Cx^x

(8.45) ^ Ebenso kann das Geschwindigkeitsfeld und das Druckfeld einer Staupunktströmung mit der Potentialfunktion O = a(x - y ) und der Stromfunktion \|/ = 2 a x y potentialtheoretisch berechnet werden, wie nachfolgend gezeigt wird. Potentialtheoretische Staupunktströmung Ein einfacher Ansatz für das Potential einer ebenen Staupunktströmung lautet: 0 = ax^ - b y ^ \(/=konst. y Hyperbeln

(8.46) O=konst.

Aus der Laplace-Gleichung (Gl. 8.18) folgt die Bedingung a + b = 0. Für symmetrische ebene Strahlen oder auch für rotationssymmetrische Fluidstrahlen ist a = b. Daraus folgt die Stromfunktion F = ay^ der ebenen Strömung in der Nähe eines Staupunktes. 0 = a(x^-y^)

(8.47)

^ = 2axy

(8.48)

Die Stromlinien in der x-y-Ebene werden durch die folgende Differentialgleichung bestimmt:

Bild 8-10 Äquipotential- und Stromlinien einer Staupunktströmung

dy ^ ^y ^ y dx c^ X

(8.49)

Es sind die gleichseitigen Hyperbeln (Bild 810). Nach Integration der Gl. 8.49 erhält man

In y = - In X + Konst. bzw. xy = Konst. ^ y =

Konst.

(8.50)

Das ist die Hyperbelgleichung. Die Stromlinien der ebenen Staupunktströmung stellen also gleichseitige Hyperbeln (Bild 8-10) und für die räumliche Staupunktströmung eines kreisrunden Fluidstrahls kubische Hyperbeln der Funktion xy = Konst. dar. Die Äquipotentiallinien O sind die dazu orthogonalen Hyperbeln. X

2

-y

2

O

=-

(8.51)

Die Geschwindigkeitskomponenten der ebenen Staupunktströmung betragen Cx=2ax, Cy=-2ay: c^ = = 2ax "" ax d^ -2 a y

¥

(8.52) (8.53)

8.3 s ingularitätenverfahren

231

Für die räumliche Staupunktströmung betragen die drei Geschwindigkeitskomponenten Cx=2ax; Cy = -2ay und c^ = 2az. Der Druck beträgt für eine stationäre Strömung (Bild 8-10): 2 Die Potentialtheorie behandelt nur ideale, d.h. reibungslose Strömungen. Deshalb ist sie auch nur dort erfolgreich anwendbar, wo reale Strömungen mit geringer Reibung, ohne Strömungsablösung vorliegen, wie z.B. im vorderen Bereich der Kreiszylinder- oder Kugelumströmung. Die Abweichungen steigen aber auf der Leeseite des Zylinders, wo in Wirklichkeit das Wirbelgebiet der abgerissenen Strömung vorliegt, das potentialtheoretisch nicht erfasst werden kann. Die Potentialströmung kann aber bei der Anwendung für ein schlankes Profil erfolgreich genutzt werden (Bild 8-12).

8.3 Singularitätenverfahren Das Singularitätenverfahren befasst sich mit singulären^ Punkten im mathematischen Sinn wie z.B. Quellen, Senken, Wirbel und ihren Auswirkungen auf die Umgebung. In den singulären Punkten oder Linien ist die Kontinuitätsbedingung nicht mehr erfüllt. Durch unterschiedliche geometrische Anordnung solcher Singularitäten in einem geometrischen Gebiet oder durch Überlagerung verschiedener Singularitäten, wie z.B. Quelle mit einer Parallelströmung oder einer Senke mit einer Parallelströmung oder einer Senke mit einem Wirbel (einer Rotation) können verschiedene Strömungsfelder generiert werden und auf deren Konturen die Geschwindigkeits- und Druckverteilungen bestimmt werden. 8.3.1 Quell- und Senkenströmung Quell- und Senkenströmungen stellen Elementarströmungen im Raum dar. Bild 8-11 zeigt eine Quellströmung mit dem Quellvolumenstrom V, der aus dem singulären Punkt entspringt und der durch die folgende Potentialfunktion \|/^ Stromlinien beschrieben wird. Die Äquipotentiallinien sind Äquipotential linien konzentrische Kreise und die Radialstrahlen V2 sind die Stromlinien. V 2 2 (8.55) In 27rb Fließt der Volumenstrom zum singulären Punkt hin, dann liegt keine Quelle sondern eine Senkenströmung mit negativem Volumenstrom vor.

o=

V ^ I n l Vx^+y^ (8.56) 27rb ' ^ Die Wurzel aus den Quadraten x^ und y^ stellt 0 =

Bild 8-11 Strom- und Äquipotentiallinien einer Quellströmung

singular, lat. singularis - vereinzelt, zum Einzelnen gehörig

232

8 Zweidimensionale Potentialströmung / 2

2

den Radius r = ^jx + y der Aquipotentiallinien dar. Somit sind die Aquipotentiallinien der Quellströmung konzentrische Kreise um den singulären Punkt mit den Radien ri bis rn fur die Potentiallinien Oi bis On. Die Geschwindigkeitskomponenten in der Quellströmung ergeben sich aus den partiellen Ableitungen der Potentialfunktion nach den beiden freien Variablen x undy.

_ao_a^_ 3x

ay

vx

^^^^^^

27ib(x^+y^)

90 _ 3\|/ _ Vy Cy = — = - ^ = ; , 3y äx 27rb(x^+y^)

(8.58)

Daraus ergibt sich die resultierende Geschwindigkeit der Quellströmung mit c = J c ^ + c

/ 5 y VVx +y 2 V =V^x'+c/ = ^ , \ =^— ^

27ib(x^+y^) 27rbr 27ib(x^+y Für die Senkenströmung beträgt die resultierende Geschwindigkeit:

(8.59)

^+c^^ = (8.60) ^ 27rbr Die Geschwindigkeiten der Quell- und Senkenströmung sind bei konstanter Ergiebigkeit dem Radius der Quelle bzw. Senke umgekehrt proportional, d.h. sie steigen mit Annäherung an die Singularität an und sie nehmen im Nullpunkt des Koordinatensystems den Wert unendlich an. Der Nullpunkt stellt den singulären Punkt dar, der sich als Faden über die gesamte Breite erstreckt. Die unendliche Geschwindigkeit im singulären Punkt stellt nur einen theoretischen Wert der Potentialströmung dar, der tatsächlich nicht erreicht wird. Außerhalb der Singularität gilt in jedem Punkt P(x,y) des Strömungsfeldes die Kontinuitätsgleichung für die inkompressible Strömung im Kreiszylinder der Breite b mit V = 27rrbc. Da der Volumenstrom eine konstante Größe darstellt, nimmt die Strömungsgeschwindigkeit bei der Quelle und bei der Senke mit abnehmendem Radius zu. •^|^x

V c=

(8.61) 27rbr Schließlich ist zu prüfen, ob die Quell- und Senkströmungen drehungsfrei sind. Dafür muss die Potentialfunktion O die Laplace'sehe Differentialgleichung (Gl. 8.18) erfüllen. Die zwei partiellen Ableitungen der Potantialfünktion lauten: V (x^+y^)-2x^ 3^0 (8.62) 2nh (x2+y2)2 3x2 3^0

V (x2+y2)-2y2

2Kb (x2+y2)2 3y^ Die Summe dieser beiden partiellen Ableitungen ist Null, wie Gl. 8.64 zeigt.

(8.63)

8.3 Singularitätenverfahren

233

9^0^3^0^v(x^+y^-2x^+x^+y^-2y^)^^ dx^ dy^ 27rb(x^+y^) Stromfunktion der Quellströmung kann 9 0 _ 3\|/ Cy = T;— = - ^ ^ berechnet werden. Es gilt: dx dx

Die

^ = - [c^dx = 0

f —^^—— = 0 ^

durch

(8.64) Integration

der

Beziehung

arctan-

(8.65)

-^ ^

8.3.2 Überlagerung von Parallel- und Quellströmung Durch die Überlagerung verschiedener Grundströmungen können neue Potentialströmungsfelder entwickelt werden, die eine technische Bedeutung haben können. Dazu gehören Parallelströmungen mit Singularitätenströmungen folgender Art: Parallelströmung mit Quellströmung zur Entwicklung von Stromlinienkonturen Parallelströmung mit Senkenströmung Quellströmung mit Senkenströmung als Dipolströmung Potentialwirbel durch Vertauschen der Strom- und Potentiallinien einer Quellströmung Aufbau von Stromlinienkörpem durch Quell- und Senkenverteilungen Profilentwicklung und Schaufelentwurf durch Quell- und Senkenverteilung potentialtheoretische Berechnung der instationären Flüssigkeitsbewegungen bewegter Flüssigkeitsoberflächen (Wellenbewegung) Auf den Konturen der entwickelten Körper und in ihrer Umgebung können mit Hilfe des Singularitätenverfahrens die Druck- und Geschwindigkeitsverteilungen berechnet werden. Dafür kann die CFD-Software ANSYS CFX, Fluid Dynamics Analysis Package (FIDAP) in den Versionen FIDAP 8.7.2 oder Fluend benutzt werden. Wird eine Parallelströmung mit der Strömungsgeschwindigkeit Cxoo=Coo und Cyoo =0, die parallel zur X-Achse verläuft mit dem Potential Op= CxooX und mit der Stromfunktion \}/p= c^ooy mit einer Quellströmung mit der Äquipotentialfunktion OQ=-^lnr

(8.66)

und der Stromfunktion ^ Q " ^ ^

(^-^^^

Znb überlagert, so erhält man die Gesamtfunktion durch Addition beider Funktionsanteile V O = Op + OQ = CxooX + Inr

(8.68)

27ib

und

V \i/ = \i/p+\i/Q =Cxooy + —— oc. 27rb

(8.69)

8 Zweidimensionale Potentialströmung

234

Der lineare Charakter der Laplace'sehen Differentialgleichung erlaubt die Addition der Potentialsfunktions- oder Stromfunktionsanteile unterschiedlicher Grundströmungen. Aus Gl. 8.69 können für vorgegebene Stromfunktionswerte \j/i bis \|/n die Stromlinien berechnet werden. Diese Stromlinien sind masseundurchlässig, d.h. jede Stromlinie könnte auch durch eine reibungslose Wand ersetzt werden. Dadurch würde an der übrigen Strömung und auch an der Druck- und Geschwindigkeitsverteilung nichts verändert werden. Die Geschwindigkeitsverteilung auf der Kontur für \\f=0 oder \j/=konstant erhält man wieder durch die Superpositionierung der beiden Grundströmungen. Die beiden Geschwindigkeitsanteile der überlagerten Parallel- und Quellströmung ergeben sich aus Bild 8-12. Die Geschwindigkeitskomponenten im kartesischen Koordinatensystem im Punkt P bei a im Bild 8-12 betragen:

Bild 8-12 Geschwindigkeitskomponenten und Cx=c^-CyCosa (8.70) resultierende Geschwindigkeit auf der Kontur \\f=0 von zwei überlagerten Potential- Cy =Cy sin a (8.71) strömungen Quell- und Parallelströmung Die resultierende Geschwindigkeit auf der Kontur der Stromlinie \|/=0 beträgt: ;=VCx^+Cy^ =V(c

- Cy COS Of + Cy sin a = ••^c^^

-2c^CvCosa + Cv^(l-2sin^a)

(8.72)

Innerhalb der Kontur mit der Stromfunktion \|/=0 fließt der Quellstrom V und außerhalb der Stromfunktion \\f=0 die von der Quellströmung beeinflußte Parallelströmung. 8.3.3 Überlagerung von Parallel- und Senkenströmung Wird eine x-parallele Strömung mit dem Potential einer Senke mit O=

Inr (8.73) 27ib V und \\f(8.74) -a 27rb überlagert, so erhält man das Spiegelbild von Bild 8-12, das im Bild 8-13 dargestellt ist. Werden die Strömungskonturen \\f=0 der überlagerten Parallelströmungen mit der Quelle und der Senke gleicher Ergiebigkeit zusammengefugt, so erhält man einen Stromlinienkörper, auf dessen Kontur die Druck- und Geschwindigkeitsverteilung berechnet werden kann. Wird eine Parallelströmung mit einer Quell- und Senkenströmung mit verteilter Ergiebigkeit V und - V überlagert, so lassen sich Trag- oder Schaufelprofile potentialtheoretisch entwickeln, deren Druck- und Geschwindigkeitsverteilungen leicht bestimmt werden können. Günstige

8.3 s ingularitätenverfahren

235

Profile erhält man wenn die Quell- und Senkenverteilungen z.B. nach einer Glauert'sehen Reihe angeordnet werden [1] und mit einer Parallelströmung überlagert werden.

Bild 8-13 Überlagerung einer Parallelströmung mit einer Senke

Werden auf der x-Achse in einigem Abstand eine Quelle und eine Senke gleicher Ergiebigkeit angeordnet und von einer Parallelströmung überlagert, so wird der aus der Quelle ausströmende Volumenstrom V von der Senke aufgenommen und es entsteht ein geschlossener umströmter Körper mit der Stromlinie \\f=0. Der Körper wird um so schlanker, je geringer die Ergiebigkeiten der Quelle und der Senke sind und je größer ihr Abstand ist (Bild 8-14). Durch Anordnung mehrerer Quellen und Senken unterschiedlicher Intensität auf der X-Achse können stromlinienförmige Körper wie z.B. Profile entwickelt werden, deren Druckverteilung auf der Oberfläche potentialtheoretisch bestimmt werden kann.

Bild 8-14 Überlagerung einer Parallelströmung mit einer Quell- und einer Senkenströmung 8.3.4 Gestaltung umströmter Körper mittels Singularitäten Werden auf einer Linie der Parallelströmung (z.B. auf der Stromlinie einer Parallelströmung) viele Quellen und Senken angeordnet, so erhält man eine Quell-Senken-Strecke an der die örtliche Quellintensität durch den Ausdruck dV(s) / ds angegeben werden kann. Die örtliche Quellstärke auf der Quellstrecke beträgt dann dV = [dV(s)/ds]ds. In einem beliebigen Punkt des Potentialfeldes P kann dafür die différentielle Potential- und Stromfunktion angegeben werden, das von einer auf der Linie angeordneten Quelle induziert wird. Werden in den Gleichungen für die Äquipotentiallinien O, die Stromlinien \|/ und die Geschwindigkeitskomponenten c^ und Cy für die Punktquelle Gin. 8.55; 8.57; 8.58 und 8.65 die Koordinate x durch die Koordinate (x-s) und die Quellstärke V durch die différentielle Größe der linear verteilten Quellstärke dV = [dV(s)/ds]ds ersetzt (Bild 8-15), so ergeben sich die Gin. 8.75 bis 8.76

8 Zweidimensionale Potentialströmung

236

dO =

V ( x - s ) ^ + y ^ dV(s) 27rb

ds

(8.75)

ds

^xp ^ ^^^tan [(x - s)/ y] dv(s) ^^ 2 7rb ds

(8.76)

Die Geschwindigkeitskomponenten betragen: (x-s)

dV(s)

27rb[(x-s)^+y^]

ds

90 ^^ dCy =

ao ^y

dV(s)

27rb[(x-s)^+y^]

ds

(8.77)

ds

(8.78)

^'

Durch Integration der Äquipotentialfunktion dO, der Stromfunktion d\|/ und der Geschwindigkeitskomponenten über die Linienlänge s = 0 bis 1 für eine vorgesehene Quell- und Senkenbelegung kann die Kontur und die Geschwindigkeitsverteilung auf einem ebenen oder rotationssymmetrischen Vollkörper oder Halbkörper (Bilder 8-12, 8-15 und 8-16) errechnet werden. Die Gestaltung eines Vollkörpers erfordert im vorderen Teil abnehmende Quellverteilung und im hinteren Körperteil eine zunehmende Senkenverteilung (Bild 8-16). dV' i ds y

1

-V S

s ^ X

^

y^i i 'R

^

^!

^

1/2

Bild 8-15 Symmetrisches Tropfenprofil mit der stetigen Quell- und Senkenströmung ± V(s)

^ ^ _ ^ • Bild 8-16 Tropfenprofil mit Ellipsoidkontur [x/(l/2)]^+y^/R^=l mit der linearen Quell- und S enkenverteilung

8.3.5 Potentialwirbel Vertauscht man in der ebenen Quellströmung das Potential O und die Stromfunktion \}/, so erhält man den Potentialwirbel, dessen Intensität als Zirkulation F bezeichnet wird (Bild 817). Das Potential lautet:

8.3 s ingularitätenverfahren

Aquipotentiallinien O

237

0 =

a 2Kb und die Stromfunktion

Stromlinien \|/

\\f =

Inr = 2Kb

*

•

mit

^ Inf-^x^+y^ 1(8.80) 2Kb

r = ^J^

Daraus ergeben sich komponenten mit: 30 Bild 8-17 Strom- und ÄquipotentialHnien eines Potentialwirbels mit dem Geschwindig keitsverlauf

(8.79)

(8.81)

die

Geschwindigkeits-

3\|/ _

r y 2Kb r^ äy" r

(8.82) X

(8.83) dy dx 2Kb j Anschaulicher wird das Geschwindigkeitsfeld, wenn es in Polarkoordinaten geschrieben wird. Dann beträgt die Radialkomponente Cj-=0 und die Tangentialkomponente Cu=c stellt die resultierende Geschwindigkeit des Wirbels dar. Cy=-

r (8.84) 27ibr b ist darin die Tiefe des Wirbelfadens in der zKoordinate.

r m Bild 8-18 Geschwindigkeitsverlauf im Potentialwirbel und beim starren Körper

Gl. 8.84 sagt aus, dass die Geschwindigkeit im Potentialwirbel mit steigendem Radius r abnimmt. Im Unendlichen (r^oo) erreicht die Geschwindigkeit den Wert c=0 und im Koordinatenursprung bei r=0 den Wert c^oo (Bild 8-18). Dieser Wert c(r=0)^oo wird im realen Wirbel natürlich nicht erreicht. Er reißt im Kern auf und erreicht dadurch nur einen endlichen Wert. Der Potentialwirbel liefert also das besonders im Turbinenbau für die Zirkulationsverteilung genutzte Gesetz der Zirkulation:

c^r = konstant ; c^ir^ = Cu2r2 - ^u^* - konstant

(8.85)

Die resultierende bzw. die Umfangsgeschwindigkeit eines Wirbels beträgt nach Gl. 8.85 Cu=Cui^ = T ^ r 27rb r

(8.86)

r Die Überlagerung der Wirbelströmung O =

a mit einer Parallelströmung O = c^x liefert 27ib das Stromlinienbild im Bild 8-19 mit der Erklärung des Magnuseffektes z.B. am FlettnerRotor. Je nach Intensität der Wirbelströmung können sich auf dem Zylinder des Wirbels ein

8 Zweidimensionale Potentialströmung

238

oder zwei Staupunkte oder bei sehr starker Zirkulation kein Staupunkt einstellen (Bild 8-19). Die Potentialfunktion für diese Überlagerung lautet: ^l\

(

(8.87)

a) Bild 8-19 Geschwindigkeitsfeld einer Wirbelströmung in einer Parallelströmung a) mit zwei Staupunkten, schwacher Wirbel b) mit einem Staupunkt, starker Wirbel c) ohne Staupunkt, sehr starker Wirbel Die Äquipotentialfunktion lautet für die Wirbelströmung in der Parallelströmung

0 = c, r + —

cos a

r

(8.88)

a 27ib

V

und die Stromfünktion ¥ = c,

r ,(

r

sm a H

r

(8.89)

In

27rb \ V Die radialen und die tangentialen Geschwindigkeitskomponenten Polarkoordinatensystem: 1-

Cf

= - C .

1-

betragen

R

dann

im

(8.90)

cos a

R

(8.91)

sm a + 27rbr

Die resultierende Geschwindigkeit auf dem rotierendem Kreis beträgt n2 / 2 , 2 \Zr + C t =C,

1-1^

cos a + i

1-1^

Auf der Zylinderoberfläche bei r=R ist die Geschwindigkeit Cr=0. Die Druckverteilung auf der Kontur r=R beträgt:

sm a + 27rbrc^

(8.92)

8.3 s ingularitätenverfahren

239 n2

Ap

(8.93)

- 2 sin a 27lbRc. Pc 2 2 Das Stromlinienbild ist von der Größe der Zirkulation F abhängig. Dafür kann man folgende drei Fälle unterscheiden:

Auf der Kontur der Wirbelströmung stellen sich zwei

Zirkulation F < 47rRc^

Staupunkte S ein (Bild 8-19a). Es stellt sich nur ein Staupunkt auf der y-Achse ein (Bild 8-

Zirkulation F = 47iRc,

19b). Es stellt sich kein Staupunkt auf der Kontur ein (Bild 8-19c).

Zirkulation F > 47iRc^

Oberhalb der Wirbelströmung sind die Stromlinien sehr dicht. Folglich ist die Geschwindigkeit entsprechend der Kontinuitätsgleichung sehr groß und der statische Druck klein. Unterhalb des Zylinders mit dem großen Stromlinienabstand ist die Geschwindigkeit geringer und dafür der statische Druck größer. Die resultierende Strömung aus Parallelströmung und Zirkulationsströmung übt also eine Kraft F aus, deren Richtung im ersten Quadraten des kartesischen Koordinatensystems liegt (Wirkung des Flettner-Rotors). 8.3.6 Dipolströmung Ordnet man auf der x-Achse eine Quelle mit dem Volumenstrom V und eine Senke mit der gleichen Intensität - V im Abstand von 2xo an, so erhält man folgendes komplexe Strömungspotential : T:r \

V

F(z) =

In

1 Z + Xo

m 2nh

27rb

a

a

27rb

z + xo

In-

•^0

(8.94) 2xr

Läßt man nun den Abstand zwischen der Quelle und der Senke 2xo so gegen Null gehen, dass das Produkt aus dem Volumenstrom der Quelle ab dem Abstand 2xoV = M konstant bleibt, dann lautet die Funktion des Strömungspotentials In F(z) = — lim 27rb xo^o

Z + Xo

In z-xo

2xr

M 27ibz

(8.95)

M wird als Dipol bezeichnet. Dabei muss die Ergiebigkeit der Quelle ins unendliche ansteigen. Die Äquipotential- und Strömungsfunktion lauten dafür mit x=r cosa und r^ =x^+y^: M cosa

o = 27rb

M rcosa 27rb

M 27rb ( x ^ + y ^ )

Stromfunktion mit y=rsina und r^=x^+y^:

(8.96)

8 Zweidimensionale Potentialströmung

240

M sin a r

¥ = - 27rb

M rsina 2nh r^

M 2nh ( x ^ + y ^ )

(8.97)

Die Äquipotentiallinien O stellen Kreise dar, deren Mittelpunkte auf der x-Achse liegen und die alle den Koordinatenursprung tangieren. Äquipotentiallinien O=konst.

Stromlinien \|/=konst.

Äquipotentiallinien O=konst.

Stromlinien konst.

a) Bild 8-20 Potentialfeld a) Quell- und Senkenpotential gleicher Ergiebigkeit; b) Dipol Die Stromlinien \|/ des Dipols stellen Kreise dar, die durch den Koordinatenursprung verlaufen und deren Mittelpunkte auf der y-Achse liegen (Bild 8-20b). Diese Strömung nennt man eine Dipolströmung. Dipole kommen außer in der Strömungslehre auch in der Akustik als akustische Dipolquellen (Abschn.l2), in der Nachrichtentechnik und in der Empfangstechnik als Sender und Empfangsantennen vor. Die Geschwindigkeiten eines Dipols betragen: M c^ = ^cosa (8.98) 27rbr" M (8.99) Cy=-sma 27rbr^ In der Tabelle 8-1 sind die Potential- und Stromfunktionen einiger wichtiger zweidimensionaler Strömungen zusammengestellt.

8.4 Strömungskraft auf einen Körper Die Kraftwirkung auf einen Körper (Bild 8-21) kann man mit Hilfe des Impulssatzes oder aus der Druckverteilung auf einer Körperkontur ermitteln. Da die Potentialtheorie die Geschwindigkeits- und die Druckverteilung auf den Körperkonturen (Stromlinie \|/=0) liefert, kann die Kraftwirkung errechnet werden. Der Druckverlauf folgt aus der Bemoulligleichung für eine Stromlinie (Körperkontur). P 2

=H

Damit beträgt die Strömungskraft auf den Körper:

(8.100)

8.4 Strömungskraft auf einen Körper

241

F = -Jp5(55)dA + J^5^5dA A

(8.101)

A

wobei n der Normalenvektor auf der Kontur des Kontrollraumes ist (Bild 8-21). Die Potentialfunktion O der ebenen Strömung soll betragen 0 = CxX + f(x,y) (8.102) Darin muss die Funktion f(x, y) die Laplace'sehe Differenzialgleichung (Gl. 8.18) erfüllen. Die Geschwindigkeitskomponenten Cx und Cy in den Koordinatenrichtungen betragen: 3f(x,y) (8.103) c^ = c , dx 3f(x,y) (8.104) Cy=dy Die Geschwindigkeitskomponenten in Normalen- und Tangentialrichtung des Kontrollraumes betragen: ^^(^Icosa+^cost-al

dx

j

-i

3y

l^a

J

c„+^£(^losf^_aV-cosa ax I 12 dy

Bild 8-21 Strömungskörper und umliegendes Kontrollvolumen

(8.105) (8.106)

Die partiellen Ableitungen der Funktion f(x, y) nach dx und dy verschwinden im Unendlichen. Der Kontrollraum im Bild 8-21 kann also so groß gewählt werden, dass die Quadrate der Ableitungen von f(x, y) vernachlässigbar klein werden. Damit können die Komponenten Fx und Fy für die Kraft geschrieben werden. ds

(8.107)

K

ds (8.108) — cos — a 2 1^2 Darin ist das Element des Kontrollraumes ds=dy/cosa und ds=dx/cos[(7r/2)-a]. Damit verschwinden die ersten Integrale in den Gin. 8.107 und 8.108. Das zweite Integral in Gl. 8.107 für die Kraftkomponente Fx stellt den Volumenfluss durch die Kontrollgrenze dar und verschwindet ebenfalls. Das Profil erfahrt also in der Potentialströmung keine Widerstandskraft (Fx=0). Die Kraftkomponente Fy quer zur Anströmrichtung beträgt mit c^ = c ^ und c^ = c^ : 1

Fy = - p c ^ JHtds

(8.109)

0 1

Das Integral 6 c^ds = F stellt die Zirkulation dar. Die Gleichung Fy = -p Coo F ist die Glei0

chung von Kutta-Joukowski, die zur Auftriebsberechnung dient.

242

8 Zweidimensionale Potentialströmung

Tabelle 8-1

Wichtige Potentialfunktionen

Singularität Stromlinien \|/=konst. YA

Stromfunktion

Potential

c.

Parallelströmung

CooY

Vf

Quelle V

-Inz 27ib

27rb

InJx ^

V

V

y arctan— Inh X

+y

V

27lbx2+y2

y

27lbx2+y2

Senke V

V

-Inz 27ib

27rb

Wirbel

r 27ib

r

Inz

M

X

^fW ^Yr

27rbx^ + y-

V y 27ib x ^ + y ^

27ibx2+y2

'27ibx2 + y2

r

M

M

27ibx^ + y^

f(x^-y^)

X 2_L..2

27cb

27ibx^+y^

27ibz

2

y arctan— 27rb X

— InVx^+y^

arctan — 27ib X

Dipol M

Eckenströmung

y

V

V

In^x ^ ^ y ^

y^-x^

27lb(x^+y2)

M

X

2xy

27lb(x^+y^)

axy

-ay

VI Parallelströmung und Quelle

V , CooXH

Cooy +

Inr 27ib

V

V

oc

X

Coo+-

27ib x^2 _+L , .r2

27rb

V y 27rbx^+y^

27ibCoo

Parallelströmung und Dipol, Zylinderumströmung Zylinderumströmun^ und Wirbel

(

,2

^

.2

^ ^ 2 X +y

Cooy

^ ^ X

Cooy

1X

2

+ y

^

2 2

1-

+y

2 X

+

a

-2CooSinacosa

^ 2

2c^sin

Inr

a

+

- 2 c ^ sin a cos a

r

r .

+ y

r , 27rb

2c^sin

2

sma

-cos a 27rbr

27ibr

27ib Parallelströmung und Wirbel

r CooX + — — a

27ib

Cooy+ - — I n r 27ib

Coo+-

r

y

27ibx^2 +. ,.2 y

r

X

27rb x^2 +. y 2

9 Grenzschichtströmung Durch das Haften des Fluids an der Wand von umströmten und durchströmten Körpern wird eine dünne Fluidschicht in der Wandnähe durch die Reibungskraft bis auf c=0 abgebremst. In dieser dünnen Schicht steigt die Geschwindigkeit von c=0 an der Wand auf den Wert der Geschwindigkeit der reibungsarmen oder reibungslosen Außenströmung Coo. Für diese Schicht hat Ludwig Prandtl 1904 den Begriff der Grenzschicht eingeführt, die eine Reibungsschicht darstellt (Bild 9-1). Die Dicke der abgebremsten Schicht, der Grenzschicht, wird mit ô(x) bezeichnet. Sie nimmt mit zunehmendem Strömungsweg x zu, da immer mehr Fluid von der Reibung erfasst wird. Die Grenzschichtdicke ô(x) ist also um so größer, je größer die Zähigkeit des Fluids ist. Bei sehr kleiner Zähigkeit wie z. B. bei Luft mit v = 15,2 • 10"^ m^/s, aber großer Anströmgeschwindigkeit Coo, kann die tangentiale Schubspannung T in der Grenzschicht infolge des großen Geschwindigkeitsgradienten 9c/3y zwischen der Wand mit c = 0 und der reibungslosen Außenströmung, also normal zur Hauptströmungsrichtung, ebenfalls erhebliche Werte erreichen.

0=0,99 c.

Bild 9-1 Laminare Grenzschicht an einer längs angeströmten dünnen ebenen Platte Die tangentiale Reibungsspannung ist für Newtonsche Fluide von der dynamischen Viskosität r| und dem Geschwindigkeitsgradienten in der reibenden Schicht normal zur Hauptströmungsrichtung 3c/3y abhängig. Sie beträgt: de dy

(9.1)

Damit liegt bei der Umströmung von Körpern oder bei der Durchströmung von Rohren oder Kanälen durch Fluide mit geringer Viskosität ein Modell vor, in dem die Strömung in zwei Bereiche unterteilt werden kann: • Die Grenzschicht in Wandnähe, in der die Reibungskraft FR=XA ZU berücksichtigen ist. • Die Strömung außerhalb der Reibungsschicht als Potentialströmung, in der die tangentiale Reibungskraft infolge ihrer geringen Größe vernachlässigt werden kann. Durch diese Aufteilung von Strömungen ist die theoretische Berechnung der Grenzschicht (reibungsbehaftete wandnahe Schicht) erst möglich geworden.

244

9 Grenzschichtströmung

Gleichwohl kann festgestellt werden, dass die dreidimensionalen reibungsbehafteten Strömungen durch die Navier-Stokesschen Gleichungen beschrieben werden und berechnet werden können. Durch die analytische Lösung der Navier-Stokesschen Gleichungen können eine Reihe von technischen Anwendungen berechnet [1] oder durch Näherungslösungen mit Hilfe von Computern abgeschätzt werden. Die Grenzschicht wächst mit zunehmender Lauflänge am umströmten Körper an, bleibt aber am Körper anliegend (Bild 9-1). Werden die Zähigkeitskräfte in der Grenzschicht sehr groß, die Grenzschicht sehr dick und der Druckanstieg infolge dessen größer, so treten Rückströmungen auf Dadurch wird das verzögerte Fluid in die reibungsarme Außenströmung getragen und die Grenzschicht löst sich vom umströmten Körper ab. Diese Grenzschichtablösung vom Körper geht stets mit einer Wirbelbildung und mit einem hohen Energieverlust einher und sie führt zu einem so genannten Totwassergebiet, wie z.B. hinter Zylindern, Kugeln oder Brückenpfeilern (Bild 9-2).

Bild 9-2 Totwassergebiet hinter einer angeströmten Kugel mit Grenzschichtablösung In der Grenzschicht ist die Zähigkeitskraft F^=Ar|dc/dy von der gleichen Größenordnung wie die Trägheitskraft FT=mdc/dx=pcAdc/dx. Außerhalb der Grenzschicht verschwindet die Zähigkeitskraft und es wirkt nur noch die Trägheitskraft. In der Grenzschicht ist der Geschwindigkeitsgradient orthogonal zur Wandoberfläche 3c/3y von der Größenordnung des Geschwindigkeitsprofils Coo/8, sodass für die auf die Volumeneinheit bezogene Reibungskraft geschrieben werden kann:

V

dy

52

9.1 Begriffe der Grenzschichtströmung Die drei wesentlichen Begriffe der Grenzschichtströmung sind die Grenzschichtdicke, die Verdrängungsdicke und die Impulsverlustdicke. Sie werden nachfolgend erläutert. 9.1.1 Grenzschichtdicke Die Grenzschicht beginnt an der Wandoberfläche mit c=0 und sie reicht definitionsgemäß bis zu dem Punkt in der Außenströmung in dem die Geschwindigkeit auf den Wert von 99% der ungestörten Außenströmung angestiegen ist (Bild 9-1). Der Übergang von der Grenzschicht zur ungestörten Potentialströmung erfolgt asymptotisch. c(x,y) = 0,99c^(x)

(9.3)

Die Genzschichtdicke ist von der Lauflänge x auf dem umströmten Körper abhängig. Damit kann die Grenzschichtdicke ermittelt werden. Aus dem Gleichgewicht der auf die Plattenlänge 1 bezogenen Trägheitskraft und der auf die Grenzschichtdicke 8 bezogenen Reibungskraft in der Grenzschicht kann die Grenzschichtdicke abgeschätzt werden. Es gilt:

9.1 Begriffe der Grenzschichtströmung

1

245

(9.4)

= r|-

und aus Gl. 9.2 folgt mit der kinematischen Viskosität v=r|/p für die Grenzschichtdicke L

(9.5)

mit der Reynoldszahl der Plattenströmung Re=cl/v. Die Grenzschichtdicke ist also proportional zu 1/vRe oder genauer proportional zur Wurzel der kinematischen Viskosität vv und proportional zur Wurzel der Plattenlänge v i . Sie kann Werte bis zu einigen mm Dicke (8=2 bis 8 mm) annehmen.

9.1.2 Verdrängungsdicke Die Geschwindigkeit der Grenzschicht hat bereits nach einem sehr geringen Abstand von der Wand von 5=2 mm bis 5 mm je nach Plattenlänge von 1=0,4 m bis 1=1,0 m die Geschwindigkeit der Außenströmung Coo erreicht. Als Grenzschicht kann man also den Wandabstand definieren, in dem die durch Reibung verringerte Strömungsgeschwindigkeit c(x, y) herrscht. Die Verdrängungsdicke ôi einer Grenzschicht ergibt sich aus Gl. 9.6, indem das Geschwindigkeitsdefizit in der Grenzschicht gegenüber der ungestörten Außenströmung der Vergleichsgröße öl (Verdrängungsdicke) gleich gesetzt wird. = J ( C o o - C x )dy

(9.6)

y=0

Darin ist 8i die Verdrängungsdicke (Bild 9-3). oo

\

dy

(9.7)

y=0

Die Verdrängungsdicke einer Grenzschicht gibt an, um welchen Betrag die Stromlinien der Außenströmung durch den Einfluss der Grenzschicht mit geringerer Geschwindigkeit nach auBild 9-3 ßen verdrängt werden. Bei einer längs Geschwindigkeitsverlauf für eine laminare und turbulente angeströmten ebenen Platte beträgt die Grenzschicht an einer ebenen Platte mit den entsprechenVerdrängungsdicke etwa 1/3 der den Verdrängungsdicken ôi Grenzschichtdicke.

9 Grenzschichtströmung

246 9.1.3 Impulsverlustdicke

Wendet man für den Kontrollraum der Grenzschicht (Bild 9-4) den Impulssatz an, so kann damit eine weitere geometrische Größe der Grenzschicht ermittelt werden, die Impulsverlustdicke Ô2. Der Druck ist im gesamten Grenzschichtgebiet konstant, er wird der Grenzschicht von der Außenströmung aufgeprägt. Die Volumenkräfte können infolge ihrer geringen Größe vernachlässigt werden. Damit können die Impulskräfte und die Reibungskraft für die Grenzschicht angegeben werden.

X Bild 9-4 Kontrollraum fiir die Grenzschicht an einer Platte mit Impulsgrößen Der Eintrittsimpulsstrom in die Grenzschicht beträgt für die Plattenbreite b: i E = ^ =F= pAci=pcibh

(9.8)

dt Es gibt zwei Austrittsimpulsstromanteile. An der Grenze (D tritt der Impulsstrom I ^ n U i =pb Jcx(y)dy

(9.9)

y=0 und am Begrenzungsrand zu Außenströmung tritt der Austrittsimpulsstrom I^ aus: h

Uo =pbCoo

J

( c ^ - C x ) d y = pbc^

y=0

J

c^

dy

(9.10)

y=0

Die Differenz dieser Ein- und Austrittsimpulsströme I E ~ I A I "^AO ~ ^W stellt den Impulsstromverlust l y dar, der die Widerstandskraft Fw an der Platte durch Reibung darstellt. Die Impulskraft beträgt damit:

9.1 Begriffe der Grenzschichtströmung

247

h F = -^ = i v = F w = p b j c ^ ( c ^ - c j d y .

(9.11)

Da der Integrand außerhalb der Grenzschicht verschwindet, kann die Integration auch bis ins Unendliche erfolgen. Somit beträgt die Widerstandskraft durch die Grenzschicht an der Platte: Fw=pb j c ^ ( c ^ - c j d y

(9.12)

y=0 Führt man nun für das Integral in Gl. 9.12

l c x ( c ^ - C x ) d y = c^Ô2 den spezifischen Imy=0

pulsstrom mit der Impulsverlustdicke 82 ein, so erhält man für die Impulsverlustdicke Ô2(x):

Ô2(x)= j ' ^ " ^ ^ ' ^ ^

^

Cx(x,y)

dy

(9.13)

Co

y=0

Die so definierte Impulsverlustdicke Ô2(x) ist ein Maß für den durch die Haftung an der Wand verursachten Impulsverlust, d.h. die Wandhaftung einer Strömung übt auf den umströmten Körper eine Reibungskraft aus, die von der Strömung aufgebracht werden muss. Man kann also die Reibungskraft der Strömung an einem Körper durch die Ermittlung des Geschwindigkeitsprofils an der Hinterkante von Bild 9-4 ermitteln, wie aus Gl. 9.13 sichtbar wird. Die Impulsverlustdicke für eine Plattenströmung beträgt etwa Ô2 = —S = 0,125ôder Grenz8 schichtdicke. Die Impulsverlustdicke kann für die Strömung längs einer ebenen oder schwach gekrümmten Wand mit einem Druckgradienten verallgemeinert werden, indem in der Gl. 9.13 die Anströmgeschwindigkeit Coo durch die Geschwindigkeit am Rande der Grenzschicht cg ersetzt wird. ô(x)

52(x)=

f^

1 - ^

dy

(9.14)

0

Die an einer laminar umströmten ebenen Platte auftretende Impulsverlustdicke beträgt Ô2 (x) = 0,665 x / ^ R e ^ . Mit diesen drei Größen ist die Geometrie der Grenzschicht an dünnen ebenen Platten oder leicht gekrümmten Wänden beschrieben. Nun sollen die Berechnungsgrundlagen für die Grenzschichten bereitgestellt werden.

9 Grenzschichtströmung

248

9.2 Grenzschichtgleichungen Ludwig Prandtl zeigte 1904 [2] in welcher Art die Viskosität in Strömungen mit großen Reynoldszahlen (Re>10^) Einfluss auf die Strömung nimmt und wie man dafür die NavierStokesschen Gleichungen vereinfachen kann, um Näherungslösungen für diese Strömungen mit großen Reynoldszahlen zu erhalten [1][2]. Prandtl richtete seine Betrachtungen auf zweidimensionale Strömungen mit geringem Viskositätseinfluss, d.h. für große Reynoldszahlen. Dabei können folgende zwei Bereiche unterschieden werden. • Eine sehr dünne Strömungsschicht in Wandnähe, in der der Geschwindigkeitsgradient normal zur Wand 3cx/3y groß ist. Diese Strömungsschicht wird Grenzschicht genannt. In dieser Grenzschicht erreicht die Tangentialspannung T=r|dCx/dy infolge des großen Geschwindigkeitsgradienten auch bei Fluiden mit geringer dynamischer Viskosität beträchtlich große Werte. • Im Bereich außerhalb der Grenzschicht treten keine großen Geschwindigkeitsgradienten normal zur Hauptströmungsrichtung auf, sodass für geringe Viskositäten auch keine nennenswerten Tangentialspannungen auftreten und die Strömung als reibungsfreie Potentialströmung betrachtet werden kann. Die Grenzschicht ist um so dünner, je kleiner die kinematische Viskosität des Fluids ist oder je größer die Reynoldszahl Re=cô/v=cpS/r| ist. Sie ist der Wurzel aus der kinematischen Viskosität proportional ô ~ Vv (Gl.9.5). Die Grenzschicht ist auch stets wesentlich kleiner als die umströmte Körperlänge ô«l. Die Navier-Stokes-Gleichungen für die zweidimensionale Strömung lauten: 9c^

3c^

9c, - + c,

3c = —-+v 3y dx

de y 3c ^ - + c, dx 3y

9p 3y

(9.15) 3x2

' d Cy 3 Cy —f^+—f^ 3x^ 3y^

(9.16)

Die Kontinuitätsgleichung lautet: 3cx

3cy

3x

3y

(9.17)

Mit den Randbedingungen entsprechend Bild 9-5 folgt für: y=0: Cx=Cy=0 Grenzschicht

y=oo: Cx=Coo Bild 9-5 Grenzschicht auf Tragflügelprofil

einem

umströmten

9.2 Grenzschichtgleichungen

249

Außerdem muss zur Zeit t=0 • im gesamten Strömungsbereich eine Grenzschichtströmung vorgegeben sein, • die Geschwindigkeitskomponente Cy normal zur Wand muss klein sein gegenüber der Geschwindigkeit Cx parallel zur Wand Cy0 auf, wie die Grenzschichtgleichung (Gl. 9.25) mit Cx=Cy=0 für y=0 zeigt f:^2

9%

pv

y=0

dp dx

(9.30)

Für den Druckgradienten in der Grenzschicht dp/dx=0 ist auch die Krümmung des Grenzschichtprofils unmittelbar an der Wand Null (Bild 9-7). :0 X

-^

Jy=0

Daraus folgt fur eine

(9.31)

9.3 Eigenschaften der Grenzschichten

Beschleunigte

Strömung

Gleichförmige Strömung

Verzögerte

Strömung

— < 0 , Krümmung des Profils dx

— = 0 , Krümmung des Profils dx

— > 0 , Krümmung des Profils dx

253

^ Ô ist dp/dx = 0. ^> ^^ ^ Die Grenzschichtgleichung lautet StP< X für diese Bedingungen: i

.

L_

i

•

Bild 9-9 Grenzschicht an einer ebenen parallel umströmten Platte

ac, 3c, a^c, dx - + c, dy - = v-9y^

(9.40)

9.5 Plattengrenzschicht

257

^ +^ =0 (9.41) dx dy Die Randbedingungen für die Grenzschicht lauten (Bild 9-9): y=0: Cx=Cy=0 y=oo: Cx=Coo Die Geschwindigkeitsprofile c(y) sind bei allen Koordinaten x affin zueinander, d.h. sie sind mit geeigneten Maßstabsfaktoren deckungsgleich. Bezugsgrößen dafür sind: Coo für Cx: Cx/Coo, S(x) für y: y/8(x). Die Ähnlichkeitsbeziehung für die Geschwindigkeitsprofile lautet: r V ^ (9.42) 8(x) Die Grenzschichtdicke kann mit Hilfe von Gl. 9.5 abgeschätzt werden ô = L / y Re^ . Wird die Stromfünktion \|/(x, y) für die ungestörte Potentialströmung eingeführt, so erhält man ^ = Vvxc^f(r|)

(9.43)

wobei f(r|) eine dimensionslose Stromfünktion darstellt. Daraus kann mit Gl. 8.21 die Geschwindigkeitskomponente Cx in der Grenzschicht ermittelt werden. Sie beträgt dy

3r| dy

- = c,

(9.44)

dy

Für die Normalkomponente der Geschwindigkeit in der Grenzschicht Cy erhält man mit Gleichung 8.21 '^"

'dx

(9.45)

Mit Cx und Cy können auch alle partiellen Ableitungen gebildet werden, die in den Gleichungen 8.20 und 9.40 vorkommen. Damit kann schließlich die Differentialgleichung für die Stromfunktion ^ in der folgenden Form aufgeschrieben werden:

Bild 9-10 Laminares Grenzschichtprofil für die ebene Platte

Re

1/2

ff" + 2f" = 0 (9.46) Gl. 9.45 stellt eine gewöhnliche nichtlineare Differentialgleichung 3. Ordnung dar, die mittels Reihenansatz von Blasius gelöst wurde [6]. Die laminare Grenzschicht für eine ebene Platte ist im Bild 9.10 dargestellt. Die auf die Lauflänge x bezogene Grenzschichtdicke beträgt (9.47)

9 Grenzschichtströmung

258

Die Grenzschichtdicke einer ebenen Platte nimmt mit der Wurzel aus der Lauflänge gedämpft zuo-x^^l

9.6 Umschlag der Strömung laminar-turbulent Die Erhöhung der Reynoldszahl Re in Rohrleitungen und Kanälen ebenso wie bei der Umströmung von Körpern fuhrt zum Übergang der laminaren in die turbulente Strömungsform. Eine Erhöhung der Reynoldszahl wird durch die Vergrößerung der Trägheitskraft m dc/dx und die Senkung der Zähigkeitskraft erreicht, wobei die Turbulenz der Strömung zunimmt. Während der Umschlag der laminaren in die turbulente Strömung in der kreisrunden Rohrleitung bei RCkrit. = 2320 (Re = 2300 bis 2550) erfolgt (vgl. Abschn. 6), erfolgt der Umschlag der laminaren in die turbulente Strömung an einer ebenen Platte erst bei größeren Reynoldszahlen. Der Umschlag der laminaren in die turbulente Grenzschicht kann auch mit der CFDSoftware ANSYS CFX für beliebige geometrische Formen berechnet werden. Bei der parallel angeströmten ebenen Platte mit scharfer Vorderkante erfolgt der Grenzschichtumschlag laminar-turbulent bei Reynoldszahlen von Rekrit=|^7;^|

(9.48)

=3,5 10nislO^ krit

aminare Unterschicht

Bild 9-11 Laminare und turbulente Grenzschicht a) Grenzschichtverlauf laminar-turbulent b) laminare und turbulente Geschwindigkeitsprofile

Bild 9-12 Übergang der laminaren in die turbulente Grenzschichtströmung

9.7 Turbulente Grenzschicht

259

Durch Verkleinerung des Turbulenzgrades in der Zuströmung (Abschn. 9.8.1) kann die kritische Reynoldszahl noch weiter erhöht werden. Der Übergang der laminaren in die turbulente Strömung geht am deutlichsten aus der Geschwindigkeitsverteilung in der Grenzschicht (Bild 9-11) und aus dem plötzlichen Anwachsen der Grenzschichtdicke hervor. Der Übergang von der laminaren in die turbulente Strömung wird im Bild 9-12 schematisch als Stabilitätsproblem angedeutet.

9.7 Turbulente Grenzschicht Oberhalb einer bestimmten Reynoldszahl schlägt die laminare Grenzschicht in die turbulente Grenzschicht um, wobei sich durch die unregelmäßigen Geschwindigkeitsschwankungen ein größerer Impulsaustausch gegenüber der laminaren Grenzschicht einstellt. Dadurch steigt die mittlere Geschwindigkeit und der Geschwindigkeitsgradient in der Wandnähe gegenüber dem laminaren Geschwindigkeitsprofil an (Bild 9-1 Ib). Durch den vergrößerten Geschwindigkeitsgradienten quer zur Hauptströmungsrichtung (dc/dy)y=o wird auch die Wandschubspannung in der Grenzschicht vergrößert Xw=nh-

(9.49)

Der Beginn der turbulenten Grenzschicht ist von der Wandgeometrie, von der Wandrauigkeit, von der Wandtemperatur und von Störungen in der reibungsfreien Außenströmung (Potentialströmung) abhängig. Treten Störungen in der reibungsfi'eien Außenströmung unterhalb der kritischen Reynoldszahl auf, so klingen sie im Laufe der Zeit ab. Oberhalb der kritischen Reynoldszahl werden auftretende Störungen durch Unregelmäßigkeiten im Geschwindigkeitsprofil oder erhöhte Rauigkeiten angefacht. Eine turbulente Mischbewegung bewirkt nicht nur den Impulsaustausch zwischen der wandnahen Schicht und der Potentialströmung, sie fördert auch den Stoff- und Wärmeaustausch in Strömungsfeldem mit Konzentrations- oder Temperaturschichtungen. Die Berechnungsverfahren dafür beruhen auf empirischen Ansätzen, die die turbulenten Zähigkeitskräfte mit den zeitlichen Mittelwerten der Geschwindigkeit verbinden. Die Ansätze für die Impulsübertragung stammen aus dem Jahr 1877 von Boussinesq [7]. Analog zur Schubspannung der molekularen Viskosität x=ri dc/dy wurde die turbulente Schubspannung Xt als eine Impulsaustauschgröße eingeführt. Damit kann für die turbulente Schubspannung geschrieben werden: dc^ Xt=-pc;c' = C , - - ^ dy

(9.50)

Die Impulsaustauschgröße stellt aber keine Stoffeigenschaft wie die dynamische Viskosität r| dar, sondern sie ist eine von Größe und der Verteilung der Geschwindigkeit c^ abhängige Funktion. Anstelle der turbulenten Austauschgröße Cx wird zweckmäßigerweise die scheinbare turbulente kinematische Viskosität Vt=Cx/p verwendet, die der molekularen, kinematischen

260

9 Grenzschichtströmung

Viskosität v=r|/p entspricht [8] aber größere Werte annehmen kann. Damit kann für die turbulente Schubspannung geschrieben werden: Xt=pvt^ (9.51) dy Mit dieser Gl. 9.51 kann die Bewegungsgleichung der zweidimensionalen inkompressiblen turbulenten Strömung nach [1] geschrieben werden: dc^ dx

dc^ ^ dx

1 3p d (v+Vf)—p dx "dy 3y

(9.52)

^ +^ =0 dx dy Die Lösung dieser Gleichung erfordert die Kenntnis von Vt bzw. Cx vom Geschwindigkeitsfeld. Den ersten Ansatz dafür stellt der Prandtlsche Mischungsweg dar.

9.7.1 Prandtlscher Mischungsweg Einen Ansatz für den Zusammenhang zwischen der turbulenten Austauschgröße C^ und dem Geschwindigkeitsfeld gab Prandtl 1925 an [9]. Dafür wird eine zweidimensionale Strömung betrachtet, die im gesamten Strömungsfeld die gleiche Richtung hat und deren Geschwindigkeitsbetrag sich nur auf unterschiedlichen Stromlinien ändert. Die Gleichung für diese Kanalströmung lautet: Cx=c^(y);cy=0;c,=0

(9.54)

In dieser Kanalströmung tritt die folgende Schubspannungskomponente auf (ic Xt = - p c ; cy = p V t — ^

(9.55)

^ dy Der Prandtlsche Mischungsweg lässt sich wie folgt deuten. Die Größe der turbulenten Wirbelzähigkeit Vt berücksichtigt den gegenüber der laminaren reibungsbehafteten Strömung größeren Energiebedarf in den Wirbeln und beim Wirbelzerfall. Das Verhältnis der turbulenten Wirbelviskosität zur molekularen Viskosität kann einem Reynoldszahlverhältnis entsprechend der Energiebilanz der Wirbel gleich gesetzt werden v+ Re ^ = ^^^= V

Rcinin

c1 ^'

^cl

(9.56)

vRe^in

Setzt man diese turbulente Wirbelzähigkeit Vt in die Gl. 9.55 ein, so erhält man die Beziehung ^ - c l ^ (9.57) P ày Gl. 9.57 stellt den spezifischen Energieverbrauch je Masseneinheit der turbulenten Wirbelströmung dar. Das Verhältnis der turbulenten Schubspannung x bezogen auf die Fluiddichte besitzt die Dimension des Quadrats einer Geschwindigkeit. Deshalb bezeichnet man die Wurzel aus x/p als Schubspannungsgeschwindigkeit.

9.7 Turbulente Grenzschicht

261

Die turbulenten Strömungen können in zwei Bereiche eingeteilt werden: • freie turbulente Strömung • turbulente Wandgrenzschichten In freien turbulenten Strömungen ist die turbulente Wirbelzähigkeit Vt unabhängig vom Geschwindigkeitsgradienten dCx/dy der Hauptströmung (z.B. Einzelwirbel und Überlagerungen von Wirbelfeldern mit einer Parallelströmung). Mit dem Ansatz für die turbulente Wirbelzähigkeit Vt~Cxl kann auch die Grenzschichtgleichung des zweidimensionalen und des kreisrunden Freistrahls gelöst werden. Die turbulente Wirbelzähigkeit ist von der Geschwindigkeit im Wirbelinneren Cw, dessen Wellenlänge À=l/f und der minimalen Reynoldszahl RCmin abhängig. _ c^À

(9.58)

^^min

Sie ist in der Regel größer als die molekulare Zähigkeit. Schließlich kann die turbulente Wirbelzähigkeit entsprechend Gl. 9.58 auch der mittleren Geschwindigkeit der Hauptströmung c^ und einer charakteristischen Länge L, z.B. dem Rohroder Strahldurchmesser d proportional gesetzt werden Vt-CmL. Dividiert man die turbulente Wirbelzähigkeit Vt durch die Schubspannungsgeschwindigkeit -^T / p , so erhält man eine Länge, die als Bezugslänge in Grenzschichten verwendet werden kann. Es ist: ^t _

2

pvt _ mv\ / . III

(9.59)

Die innere Geschwindigkeit im Wirbel Cw in einer Grenzschicht ist proportional dem Geschwindigkeitsgradienten dCx/dy auf einer Weglänge y, die proportional der Wirbelgröße L ist. Folglich ist die turbulente Wirbelzähigkeit y

ifdc ^x ^ dy

(9.60)

Unmittelbar an der Wand bei y=0 und Cx=0 (Haftbedingung) muss auch die Wirbelgröße gegen Null gehen, sodass in unmittelbarer Wandnähe laminares Fließen, in der laminaren Unterschicht einsetzt. Der Mischungswegansatz lautet damit: x ^ p y2x^' ^ Kde. ^ ^

(9.61)

Wenn sich die Grenzschicht in Strömungsrichtung nur wenig ändert, so gilt dcJdx-^0, Cy^O und dp/dx-^0, es tritt also kein Druckgradient in Strömungsrichtung auf, dann ist auch die Schubspannung in der Grenzschicht konstant 3T/9y=0. Mit diesem Gradienten 3x/9y=0 kann die Gl. 9.61 für den Mischungswegansatz integriert werden. Nach der Trennung der Variablen in Gl. 9.61 ergibt sich

262

9 Grenzschichtströmung

dc.=

- ^ ^

(9.62)

VpK y Die Integration der Gl. 9.62 liefert das Ergebnis (9.63) X Iny + Konst. pK Diese Gleichung ist für die gesamte Grenzschicht gültig außer der laminaren Unterschicht in unmittelbarer Wandnähe, in der die Wirbelgröße gegen Null geht. In der laminaren Unterschicht ist der Newtonsche Schubspannungsansatz gültig T =r | ^

(9.64)

dy Nach Integration über y erhält man xy = r|Cx +Konst. = pvCx +Konst.

(9.65)

Die Integrationskonstante ist Null, weil für y=0 auch Cx=0 ist. Wird die Geschwindigkeit Cx in Gl. 9.63 auf die Schubspannungsgeschwindigkeit ^ x / p und die Koordinate y auf die Länge •Jr\v/x bezogen, so erhält man die Gl. 9.66

+ Konst. VK

(9.66)

V

P Den Ausdruck 1/vK hat Nikuradse in [10][11] mit dem Wert 1/vK =2,5 und die Konstante in Gl. 9.66 mit 5,5 ermittelt. Somit lautet die Mischungsweggleichung: yjI— - ^ = 2,5 In J L P _ + 5^5 = 2,5 In y — + 5,5 X V yr|v

(9.67)

Damit kann der Geschwindigkeitsverlauf in der turbulenten Grenzschicht berechnet werden. Im Bild 9-13 sind die Grenzschichtprofile für eine Luft- und Wasserströmung an einer ebenen Platte für folgende Parameter dargestellt. Luft: pL=l,24 kg/m^; v=15,2-10"^ mVs; x= 1,135 Pa, Coo=25 m/s Wasser: pL=1000 kg/m^; v=MO"^ m7s; x= 0,159 Pa, Coo=4 m/s Häufig wird die Gleichung 9.67 durch die folgende Potenzgleichung angenähert

9.8 Turbulenz und Turbulenzgrad

263

16 ^4 mm 12

10 8 6 4 2 0

Luftj

Wasser

(9.68)

Der Exponent n ist reynoldszahlabhängig Re=cl/v. Er nimmt für Rey/ noldszahlen von Re=10^ bis 2-10^ — ^— Werte von n=l bis 10 an und er führt 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 somit zum bereits bekannten 1/7r m Potenz-Gesetz für turbulente StröBild 9-13 ^ Geschwindigkeitsprofil in der turbulenten Grenzschicht an mungen (Abschn. 6.3.5). einer ebenen Platte für eine Luftströmung Coo=25 m/s und eine Wasserströmung Coo=4 m/s /

1

9.8 Turbulenz und Turbulenzgrad In turbulenten Strömungen ist nur die lokale Geschwindigkeit in ihrem zeitlichen Mittelwert konstant. Die momentanen Geschwindigkeiten eines dreidimensionalen Geschwindigkeitsfeldes Cx(t), Cy(t) und Cz(t) setzen sich aus den jeweiligen Mittelwerten und den überlagerten zeitabhängigen Schwankungsgeschwindigkeiten CxXO, CyXt) und c^it) zusammen, wie der hochaufgelöste Geschwindigkeitsverlauf einer turbulenten Strömung im Bild 9-14 für eine eindimensionale Strömung im Bereich von t=5ms zeigt. Die momentane lokale Geschwindigkeit einer eindimensionalen Strömung besteht also aus dem Mittelwert c^ ^^^ ^^^ Schwankungsgeschwindigkeit CxXt). Die Turbulenz kann mit dem Reynolds'sehen Spannungstensor modelliert werden. ^30 c j t ) = c~ ^+c;(t) (9.69) 25 U j l / A , ^ ^ Die mittlere Geschwindigkeit wird r I I I ^ i'^cx(t) ^ JIL20 durch Integration der lokalen Momentangeschwindigkeit über ein Zeitintervall von t=0 bis T berech10 net: 5 0

L

^_z^^^^5i

l.u^Ay.^..j^J

^x = Y |^x(t)dt

-5 0 1 2 3 4 t ^36 Bild 9-14 Hochaufgelöster Geschwindigkeitsverlauf einer turbulenten Strömung

(9.70)

0 ^^^ zeitliche Mittelwert der Schwankungsgeschwindigkeit im betrachteten Zeitintervall ist Null.

T

^ ( t ) = ;|:jc,(t)dt = 0

(9.71)

9 Grenzschichtströmung

264

Das Zeitintervall muss groß gegenüber der Schwankungszeit sein, sodass mindestens 40000 bis 50000 Einzelwerte erfasst werden, um von der Integrationszeit unabhängig zu sein. Wird aller 5 |is ein Messwert gewonnen, so soll die Integrationszeit mindestens 0,2 s bis 0,5 s betragen. Günstiger ist natürlich eine Integrationszeit von T=0,5 s bis 1 s. Wird die Auswertung für kleinere Datensätze vorgenommen, so können sich Unterschiede im Ergebnis einstellen. Der RMS-Wert (rootmean-square-Wert) charakterisiert (Cx')^-Verlaufs Cx'(t) die Intensität der Schwankungs11 k geschwindigkeit der turbulenten s Strömung.

[ji F

k n

ftn/\ 1

licx'wy

CX'RMS

Cx'-Verlaufe

0

1

RMS =

;(t)'dt

(9.72)

1

Im Bild 9-15 ist ein vergrößerter Auszug der GeschwindigkeitsBild 9-15 schwankung mit dem RMS-Wert Schwankungsgrößen Cx'(t), (Cx)^ und RMS-Wert von Cx'(t) von CxXO angegeben. Wesentlich für die Turbulenz ist die Reynoldsche oder turbulente Schubspannung, t ms"

(9.73) die aus dem reynoldschen Spannungstensor resultiert. Die turbulente Schubspannung kann die molekulare Schubspannung eines Stoffes übersteigen. de Y

(9.74) dn In turbulenten Strömungen setzt sich die Schubspannung aus der Summe der molekularen und der turbulenten Schubspannung zusammen. ^r|-

x = x + Xt = r i - - ^ - p c ; C y (9.75) dn ^ Die turbulente Schubspannung Tt ist proportional zur Dichte des Fluids und zum Produkt der Schwankungsgeschwindigkeiten Cx', Cy' und Cz'.

9.8.1 Turbulenzgrad Mit Hilfe der turbulenten Geschwindigkeitsschwankungen kann auch der Turbulenzgrad einer Strömung bestimmt werden. Er ergibt sich aus der Wurzel der quadratischen Schwankungsgrößen bezogen auf die ungestörte Anströmgeschwindigkeit Coo

Tu =

(9.76)

Der Turbulenzgrad kann Werte von Tu = 0,1 % bis 5,0 % annehmen. In Windkanälen wird der Turbulenzgrad der Strömung durch Strömungsgleichrichter und Siebe besonders klein

9.8 Turbulenz und Turbulenzgrad

265

gehalten mit Werten von Tu < 5 • 10 .In abgelösten Strömungen und in Seitenkanalverdichtem können Turbulenzgrade mit Werten von Tu = 60 % bis 95 % und darüber auftreten. In einer isotropen turbulenten Strömung gibt es keine Vorzugsrichtung der Strömung. Darin ist = c. = c^ .In unmittelbarer Wandnähe ist die turbulente Strömung stets anisotrop.

Damit beträgt der Turbulenzgrad für die isotrope Turbulenz (9.77)

Tu = 60 50 m

R- — o

,S|

Cx i

FN*>:^

Ta

Ac'

i y

m s.

\ALA

9i VS. ^•JTTS

T * ^ \» ^

30

^\ — \ \

CK

Ar / /

\.

4-

'•

9.

'C2

^^ A c \

^^

•'/

[

a)

9

0,3

h0,04

b) '

-^—'

0,4

0,08

/

^

0-

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8

0,12 C K

1

\AL

20

0,16 'Ac;

]

0,5

0,6

^72" 0 0,8

r

0,7

9

Bild 9-16 a) Geschwindigkeitsverlauf und b) Differenz der mittleren Geschwindigkeit sowie Verhältnis aus der Differenz der mittleren Geschwindigkeiten an den Messtellen 1 und 2 zur mittleren Geschwindigkeit CK bei s/rK=0,91 und n=3000 min'^ [12] Mittels zweier hochfrequenter Geschwindigkeitssonden kann die Isotropie bzw. die angenäherte Isotropie einer hochgradig turbulenten Maschinenströmung experimentell nachgewiesen werden [12] [13]. Im Bild 9-16 sind zwei Geschwindigkeitskomponenten der turbulenten Strömung in einem Seitenkanalverdichter in Abhängigkeit der Lieferzahl cp und auch die Abweichungen der beiden Geschwindigkeitskomponenten Ac' und ACVCK dargestellt. Die Abweichungen von der Isotropie werden neben dem stochastischen Einfluss von der Durchflussgeschwindigkeit Cm ~ 9 und von der erzwungenen turbulenten Wirbelströmung beeinflusst. Die Mittelwerte der Geschwindigkeit nehmen dabei Werte von Cm = 32 bis 52 m/s an. Daraus kann gefolgert werden, dass es keine mathematisch strenge isotrope Turbulenz gibt. Da an der turbulenten Strömung ein großes Spektrum von Geschwindigkeitsschwingungen beteiligt ist, kann die Geschwindigkeitsschwankung und auch die zugehörige instationäre Druckschwankung im Frequenzspektrum dargestellt werden (Bild 9-17). Bei einer typischen Erregerfrequenz von f= 2,40 kHz stellt sich eine herausragende Amplitude von 223 Pa ein. Wird ein Mittelwert der Schwankungsgrößen im Frequenzspektrum gefordert, so kann die Mittelwertbildung sowohl im Zeitbereich als auch im Frequenzbereich vorgenommen werden (Bild 9-18). Die Mittelwertbildung im Zeitbereich lautet: 1

:;(t)=M^x(t) dt t=o

Die Mittelwertbildung im Frequenzbereich lautet:

(9.78)

9 Grenzschichtströmung

266 1

c'x(t) = M c ; ( t ) e - icot dt

(9.79)

t=0

Mit Hilfe der turbulenten Schwankungsgrößen c^ , Cy und c^ kann die turbulente kinetische Energie E der Strömung definiert werden. T=200ms

Original-Druckmessung für 40000 Daten bei der IVIesszeit t=0,2 s (12 Scliaufeldurchgänge mit 1000 Werten für t=5 ms dargestellt)

P 3 kPa

p(f)=

PA300

Pa

0 kM^4^^4^

Jpi(t)e-'»'dt t=o

\\3A= 223 Pa

150

0 Jtata tarnriU IMié M M « 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3 4 5 1 0 f kHz t ms Bild 9-17 Gasdruckschwingung für 12 Schaufeldurchgänge und dazugehöriges Frequenzspektrum für t=200 ms N=6

P(t)arith=TTZPi(*) i=1

Parith

kPa^ -2

f^U/^M 1

Original-Druckmessung für 48 Schaufeldurchgänge (12 Schaufeldurchgänge dargestellt)

p

3

^

2

3 , 4 5 t ms

T=20ms

P(f)=

T-20ms p(f ) =

300

jPi(t)e-'-*.dt

PA

150

.300

Pa

kPa ö |>^V^..rHvH^ Pa^^^ k W U ^ U - U I kPa o^^^^@^;i§o K4/w44^ P 3, , , ,

K ^ V ^ H f ^ U ^ n i i ni ftiffi

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 910 f kHz

1 N=6

kPa 0 |^jfV4^*4fV^

-NHpâ'^SSH^tUuu P 3 .Pajff>4^MV4vi rj^°U^ü.i.iJ.[J

jPi(t)arithe-'"^dt t=o

P(f)arith=7TXPi(f)

PA300

300

'^ i=1

Parith

Pa

150 0 1 2 3 4 5 6 7 8 910 f kHz

0 1 2 3 4 5 6 7 8 910 0 1 2 3 4 5 f kHz t ms Bild 9-18 Vergleich der Mittelwertbildung im Frequenzbereich einer Messung für 6 aufeinanderfolgende Zeitsignale im Seitenkanal eines SeitenkanalVerdichter s [12] [13]

9.8.2 Energietransport in turbulenten Strömungen Die Schwankungsgeschwindigkeit der turbulenten Strömung entzieht der mittleren Bewegung durch die turbulente Schubspannung ständig Energie, die schließlich durch Dissipation in Wärme umgesetzt wird. Für eine isotrope Turbulenz kann die Dissipation nach C. Taylor [14] in der folgenden Form angegeben werden:

9.8 Turbulenz und Turbulenzgrad

267

(9.80) dx Die Reynoldszahl der isotropen Turbulenz wird mit der mittleren Schwankungsgeschwindigkeit Cx in der Form gebildet :15V

Re:

C;'L

(9.81)

Darin ist L eine charakteristische Länge der Turbulenzstruktur, z. B. die Größe der Turbulenzballen. Ist die Reynoldszahl der Turbulenz genügend groß, so kann eine lokale Isotropie der turbulenten Strömung z. B. in Grenzschichten und Rohrleitungen auftreten. Bei der kritischen Reynoldszahl der Kugel beträgt der Widerstandsbeiwert c^ = 0,4 und er fällt plötzlich ab (Bild 10-3). Dieser Abfall ist stark vom Turbulenzgrad der Anströmung im Windkanal abhängig. Die kritische Reynoldszahl der Kugel beträgt RCkrit^ cd/v = 1,5 • 10^ bis 3,8 • lOl Die turbulente Schubspannung wird vorwiegend von den großen Turbulenzballen erzeugt. Infolge der Instabilität der turbulenten Strömung mit den großen Turbulenzelementen zerfallen diese Turbulenzelemente (Wirbel) in Wirbel kleinerer Abmessungen, wobei die Geschwindigkeitsgradienten der Schwankungen dc'^ I dx, 3cy / dy und dc^ I dz immer größer werden, sodass eine Dissipation in Wärmeenergie stattfindet. E4 m Energiespektral' dichte

Bild 9-19 Energiespektrum als Funktion der Wellenzahl Großwirbel

energie- trägheitshaltige beherrschter Wirbel Unterbereich

Bereich größter Dissipation

Die von der Hauptströmung durch die turbulente Schubspannungen an die großen Turbulenzelemente übertragene Energie ist von der Viskosität des Fluids abhängig. Diese Energie wird von den großen Turbulenzelementen an die kleineren übertragen (Bild 9-19), wobei die Spektraldichte der Energie von der Wellenzahl k = co/c = InIX mit der Wellenlänge X, d. h. eben von der Größe der Turbulenzballen abhängig ist und bei einer mittleren Größe der Turbulenzballen die größten Werte erreicht. Das Energiespektrum der Turbulenzballen erstreckt sich über alle Wellenzahlen k bzw. über die Größe aller Turbulenzballen X. Der Energiefluss der Wirbel stellt eine stetige Energieübertragung von großen zu kleinen Turbulenzballen dar, d. h. von kleinen Wirbelzahlen k = InlX zu großen Werten k. Dieser Mechanismus ist der Grund dafür, dass bei turbulenten Strömungen der Reibungswiderstand c^ und die Verteilung der mittleren Geschwindigkeit nur schwach von der Reynoldszahl abhängig sind, obwohl die Energieverluste in der turbulenten Strömung von der Viskosität verursacht werden.

10 stationäre Umströmung von Körpern und Profilen Alle ruhenden und festeingebauten Körper wie z.B. zylindrische Masten, Drähte, Gebäude, Türme werden von Luft unterschiedlicher Geschwindigkeit umströmt. Fahrzeuge, Flugzeuge und Schiffe bewegen sich in das ruhende oder bewegte Fluid hinein. Der Umströmungsvorgang eines Körpers ist unabhängig davon, ob er ruhend umströmt wird wie z.B. im Windkanal oder ob er in das ruhende Fluid hineinbewegt wird wie z.B. das Flugzeug und das Auto. Deshalb können die Modelle oder auch die Großausführungen von Fluggeräten, Shuttles oder Autos in Windkanälen untersucht werden. Die Modelle werden mit definierten Anströmbedingungen (Coo, poo, Too) und mit einem definierten Turbulenzgrad Tu angeströmt.

10.1 Widerstand umströmter Körper Wesentlich für die Umströmung und für den Strömungswiderstand ist die Ausbildung der Grenzschicht auf dem umströmten Körper und die Art der Strömungsablösung, wenn sie auftritt. Im Bild 10-1 ist die Umströmung einer Kugel und eines nichtgewölbten Tragflügelprofils dargestellt.

g\

K\

realer Druck p Potehtialtheoretischer Druckverlauf

Bild 10-1 Druck- und Geschwindigkeitsverlauf an ruhenden Körpern a) Umströmung einer Kugel b) Umströmung eines nichtgewölbten Tragflügelpofiles Bei der größten Dicke des Körpers wird die maximale Geschwindigkeit erreicht (Bild 10-1). Die Umströmung und besonders der Widerstandsbeiwert des umströmten Körpers sind auch von der Reynoldszahl und der Oberflächenrauigkeit des Körpers abhängig [1][2]. Nur bei der Potentialströmung stellt sich bei der Kugelumströmung der im Bild 10-la symmetrische

10.1 Widerstand umströmter Körper

269

Druck- und Geschwindigkeitsverlauf mit dem starken Druckanstieg im hinteren Teil der Kugel und auch hinter dem Profil ein. Bei der realen Strömung im viskosen Fluid löst die Strömung bei dem Druckanstieg im hinteren Teil des Körpers ab und es bildet sich ein „Totwassergebiet" in dem der Druck nicht ansteigen kann (Bild 10-la). Der Ablösepunkt und damit die Größe des Totwassergebietes, das oft als Nachlauf bezeichnet wird und damit auch die Größe des Widerstandsbeiwertes c^ sind reynoldszahlabhängig. Bei laminarer Körperumströmung mit der Reynoldszahl ReReKr=(2,0...3,8)10^ a)Grenzschichtablösung bei a=120° b)Dmckverteilung auf der Kugel

]P24 s betragen.

11.5 Wirbelablösung hinter umströmten Körpern Werden stumpfe, kugelförmige oder zylindrische Körper von einem Fluid angeströmt, so löst die Strömung infolge des statischen Druckanstiegs hinter dem Körper ab und es bilden sich paarweise Wirbel, die den Strömungswiderstand des Körpers erhöhen und eine Wirbelzone ausfüllen. Im Bild 11-10 ist ein gegenläufiges Wirbelpaar hinter einer querangeströmten Platte von B. Eck [5] dargestellt. Dieses instationäre Wirbelpaar wird oft auch als Anfahrwirbel der Platte bezeichnet, wenn die Platte in der Strömung bewegt wird. Die Gesamtzirkulation aller Wirbel in einem unendlich ausgedehnten Strömungsgebiet ist nach dem Helmholtzschen Wirbelsatz Null. Diskontinuitäts- oder Trennflächen im Geschwindigkeitsfeld hervorgerufen durch Bild 11-10 Profil- oder Körperumströmungen führen Wirbelpaar hinter einer querangeströmten Platte ^^^^^^jj^ ^^^ Wirbelbildung (Abschn. 10). nach Eck [5] ov /

11 Instationäre Strömung

302

11.5.1 Kârmânsche Wirbelstraße Löst die Strömung an den Kanten umströmter Körper, wie z. B. an Brückenpfeilern in Flüssen, an Einbauten in stromungstechnischen Anlagen, an Schornsteinen oder an engen Fjordeinläufen bei Flut infolge eines zu großen Druckanstiegs ab, so bilden sich paarweise Wirbel, die sich zu einer Wirbelstraße formieren. Sie wurden von Theodore von Karman entdeckt und werden deshalb nach ihm als Kârmânsche Wirbelstraße benannt (Bild 11-11). Coo

r^ v_

i

A

^=^

^=^

^

K^CJJ

Kviyy

< ^ \Kyj

'i

b J

l^^_A^

A Ablösepunkt

^^

if^^.w

1

r

Die periodische Wirbelablösung beginnt bei Reynoldszahlen von Re ~ 40. Sie bleibt bis zur kritischen Reynoldszahl von Rckrit. = 2 • 10^ stabil erhalten [6] [7] [8].

^ r

Aus der Anströmgeschwindigkeit Coo, der Ablösefrequenz f und der Bild 11-11 Körperdicke d kann die Kârmânsche Wirbelstraße hinter einem umströmten Körper Strouhalzahl Sr als Verhältnis der lokalen zur konvektiven Beschleunigung bzw. als Verhältnis der beiden Trägheitskräfte ermittelt werden. Sie beträgt: •
,ff(m 0

0

(12.7)

12.3 Schallfeld und Schallfeldgrößen

309

Die Schallintensität besitzt die Maßeinheit W/m^, bestehend aus dem Skalarprodukt des Schallintensitätsvektors mit dem Flächenvektor, wobei der Flächenvektor stets orthogonal zum Flächenelement ausgerichtet ist (Bild 12-5). ^ak

1

IdA

(12.8)

Für eine kugelförmige Schallquelle beträgt die Intensität im Abstand r I(r):

^ak

^ak

(12.9) A 4nr' Die Schallintensität als spezifische Schallleistungsgröße im Freifeld nimmt mit dem Reziprokenwert des Quadrates der Entfernung von einer punktförmigen Bild 12-5 v...^^ bbene Schallquelle ab. Ausschnitt eines Schallfeldes mit dem I rr") r •^ Normalenvektor der Schallschnelle und der = (12.10^ Schallintensität 12 (r) rj Die Schallintensität dient zur Bestimmung der durch eine Fläche tretenden Schallleistung und als Zwischenstufe zur Bestimmung der Schallleistung einer Schallquelle. Für eine ebene fortschreitende Welle besteht für die Schallintensität folgender Zusammenhang mit anderen Schallfeldgrößen Pak I=Psch v = Ea = - — (12.11) wobei E die Schallenergiedichte in Ws/m^ und a die Schallgeschwindigkeit in m/s darstellt.

12.3.4 Schallleistung und Schallleistungspegel Die Schallleistung einer Schallquelle stellt die je Zeiteinheit von einer Schallquelle abgegebene Schallenergie dar. Sie beschreibt die Quellstärke einer Schallquelle, aber nicht des Schallfeldes. Durch jede geschlossene Hüllfläche um eine Schallquelle tritt die gleiche Schallleistung hindurch, unabhängig von ihrer Entfernung und ihrer Form. Damit beträgt die Schallleistung: ^ak

: fdivIdV= [îndA= fpv dA V

A

(12.12)

A

Der Schallleistungspegel ermöglicht die Angabe der Schallemission einer Schallquelle. Der Schallleistungspegel ist das logarithmierte Verhältnis der Schallleistung Pak einer Schallquelle zu einer Bezugsschallleistung von Pako=10"^^ W=l pW. Pak (12.13) 10"^^ W ^akO Damit ergibt sich für eine Schallleistung von Pak=lW ein Schallleistungspegel von Lak= =120 dB. L a k = 1 0 1 g ^ = 101g

310

12 Grundlagen der Akustik und Aeroakustik

12.4 Schallquellen Eine Schallquelle sendet einen Wechseldruck aus und prägt ihn dem atmosphärischen Umgebungsdruck auf. Der Wechseldruck wird Schalldruck genannt. Jeder schwingende Körper, jede schwingende Saite, jedes schwingende Fluid und jede schwingende Luftsäule stellt eine Schallquelle dar. Schallquellen entstehen im ruhenden und im bewegten Fluid durch • Massenstromschwankungen und durch ein äußeres instationäres Kraftfeld • Schwankungen der Drücke, der Impulsgrößen p Vi Vj und der Schubspannungen T in der Grenzschicht • Entropiespannungen in der Strömung durch Wärmetransport Diese Schallquellen entstehen in folgenden Strömungen: • Wirbelströmungen • turbulente Grenzschichtströmungen • Freistrahlen • aeropulsive Strömungen • durch äußere Kräfte • Resonanztöne entstehen bei der Anregung von Strömungsgebieten mit der Eigenfrequenz, durch schwingende Luftsäulen oder durch rotierende Schaufeln in Maschinen. Beispiele für Schallquellen sind Musikinstrumente (Streich- und Blasinstrumente), Orchester, Stimmbänder, Lautsprecher, Pressluftwerkzeuge, Maschinen, Fahrzeuge, Flugzeuge. Die ersten vier sind angestrebte Schallquellen, die übrigen sind meist störende Schallquellen. In Strömungen treten in den Grenzschichten und in Wirbeln örtliche oder auch ausgedehnte instationäre Strömungsvorgänge auf, die mit instationären Druckschwankungen verbunden sind. Ein geringer Teil dieser Gasdruckschwankungen wird als Luftschall in Form von Longitudinalwellen an die Umgebung abgestrahlt.

12.4.1 Aeroakustische Schallquellen Die aeroakustischen Schallquellen sind in die Strömungsformen eingebetet, die von den Navier-Stokes-Gleichungen beschrieben werden. Zur Berechnung aeroakustischer Vorgänge werden diese Schallquellen auf bekannte Schallabstrahler (Quelltherme) zurückgeführt. Diese Reduzierung wird als aeroakustische Analogie bezeichnet. Da Strömungsvorgänge durch die Navier-Stokes-Gleichungen beschrieben werden, können die aeroakustischen Analogien auch aus den Navier-Stokes-Gleichungen abgeleitet werden und sie führen zu der inhomogenen akustischen Wellengleichung für die Lösungen bekannt sind. In der inhomogenen akustischen Wellengleichung werden die akustischen Quellen durch Quellterme beschrieben, die aus Druck- und Geschwindigkeitsfluktuationen, aus Impulsgrößen, aus Spannungsfluktuationen und aus äußeren Kräften bestehen. Um diese Quellterme von der akustischen Variablen unabhängig zu machen, werden Näherungsansätze eingeführt, die schließlich zur linearisierten Gleichung führen, die die Ausbreitung der akustischen Wellen in einem ruhenden homogenen Fluid beschreibt. Das Fluid selbst wird durch die turbulenten Fluktuationen und durch die äußeren Kräfte akustisch angeregt. Die Strömungsakustischen Vorgänge resultieren also aus der Strömung, die durch folgende Gleichungen beschrieben werden.

12.4 Schallquellen

311

• Kontinuitätsgleichung dp 3(pVi)

(12.14)

mit m als dem äußeren Massenfluss • Bewegungsgleichung p—^ + p C j ^ ^ = -^r-^ + ^ ^Xj 3xi 3xj at

2_d_ 3xj

dxi

avj

3 ôxj

• Impulskontinuitätsgleichung 3(pvi) d ^ + ^(pviVj+Pij)=fi+mvi

at

ax.

+fl-

(12.15)

(12.16)

mitpij = pôij-Xij

Darin ist Xi j die Schubspannung und ôi j das Kronecker -Delta.

12.4.2 Akustische Wellengleichung Schwingungen, die sich wellenförmig ausbreiten, verknüpfen immer zwei Zustandsgrößen derart miteinander, dass jede zeitliche Änderung einer Zustandsgröße eine entsprechende örtliche Änderung der anderen Zustandsgröße bewirkt. Solche Abhängigkeiten gibt es bei der kompressiblen Strömung zwischen der Geschwindigkeit c und der Dichte p, in der Akustik im ruhenden homogenen Schallfeld zwischen dem Schalldruck psch und der Schallschnelle Vj oder der Dichte p und im elektromagnetischen Feld zwischen der elektrischen Feldstärke C und der magnetischen Feldstärke H. Die Abhängigkeiten können immer von zwei Gleichungen beschrieben werden. Für ein Schallfeld in einem ruhenden elastischen Fluid können diese Gleichungen aus dem Erhaltungssätzen der Strömungsmechanik (Gl. 12.14 bis 12.16) abgeleitet werden. Dafür wird das ruhende Strömungsfeld additiv in die mittleren Größen und die Schwankungsgrößen für die Geschwindigkeit, den Druck und die Dichte aufgespaltet. P = Pi+Pi P = Pi+Pi' Da im ruhenden Fluid die mittlere Geschwindigkeit Vi= 0 ist, können die Erhaltungsgleichungen der Strömungsmechanik für die Schwankungsgrößen (akustische Störungsgrößen) aufgeschrieben werden, z.B. Pi'=Psch fiir den Schalldruck. Die Massenkontinuitätsgleichung für die Schwankungsgrößen lautet dann:

ap' avi' - ^ + p—- :0

(12.17)

dt axj Die Impulskontinuitätsgleichung für die Schwankungsgrößen lautet: ^^i

at

I ^0 ^P' ^ Q

p axj

(12.18)

312

12 Grundlagen der Akustik und Aeroakustik

Wird Gl. 12.17 partiell nach der Zeit abgeleitet, so erhält man: ^

+P

^

=0

(12.19)

Die Gl. 12.18 partiell nach der Ortskoordinate Xj abgeleitet und mit p multipliziert ergibt:

Wird der Ausdruck pavi7(axiat) in Gl. 12.19 durch den gleichen Ausdruck in Gl. 12.20 substituiert, dann ergibt sich die Bestimmungsgleichung für die Dichteschwankung p':

^ - 4 ^

=0

(12.2,)

Die partielle Ableitung der Gl. 12.17 nach Xi ergibt die folgende Gleichung: 'P'

ataxj

. P ^

=0

dxf

(12.22)

Differenziert man nun die Gl. 12.18 partiell nach t und multipliziert sie mit p/ao^, so erhält man:

âtaxj

si at^

Wird wiederum der Ausdruck ap7(ataxi) in Gl. 12.23 durch den gleichen Ausdruck in Gl. 12.22 ersetzt, so erhält man nach Division durch p die Gl. 12.24 als Bestimmungsgleichung für die Geschwindigkeitsschwankung Vi', die als Schallschnelle bezeichnet wird:

±^-^.^-4^.0 Sil 3t^

axf

at^

(.2.24,

axi^

Die Bestimmungsgleichungen für die Dichteschwankung p' (Gl. 12.21) und die Schallschnelleschwankung Vi' (Gl. 12.24) besitzen die gleiche Struktur. Damit weisen die Dichteschwankung p' und die Schallschnelleschwankung vi' die gleiche Abhängigkeit von Ort und Zeit auf und gehören somit zur gleichen Schallwelle, deren allgemeine Lösung mit der akustischen Wegauslenkung ^ lautet (Bild 12-4): ^ - a ^ ^

=0

(12.25)

Aus der partiellen Differenzialgleichung fur die Dichteschwankung Gl. 12.21 kann mit 3p'=9p7ao'^ und 3^p'=9^p7ao^ auch die partielle Differenzialgleichung fur die Druckschwankung p' angegeben werden:

1 a V 9^p' = 0

al dt^ axf

(12.26)

12.4 Schallquellen

313

12.4.3 Analogie von Lighthill Eine akustische Analogie wurde erstmalig 1952 von Lighthill (1924-1998) erstellt [1][2]. In der Analogie von Lighthill werden die instationären turbulenten Fluktuationen einer freien Strömung, z.B. eines Freistrahls oder eines Triebwerkstrahles durch Monopol-, Dipol- und Quadrupolquellen in dem selben Volumen beschrieben (Bild 12-6). Weitere akustische Analogien sind die CurieAnalogie, die eine LöMonopol sung der LighthillAnalogie für schallharte Oberflächen darstellt und die Analogie von Ffowcs Williams - Hawkings [3] O Aufpunkt für aeroakustische Quellen mit relativer Bewegung zu einer schallharten Oberfläche. Ausgangspunkt für die Q^ Entstehung von StröBild 12-6 mungsgeräuschen ist ein Modell der Lighthill-Analogie für Strömungsfelder instationäres Strömungsfeld mit Druckwechselvorgängen, Massenstrom- oder Volumenstrompulsationen, Schubspannungsfluktuationen und Entropieänderungen. Lighthill führt die Schallerzeugung durch Strömungsvorgänge auf einen akustischen Vorgang zurück, in dem er die stochastischen Strömungserscheinungen in pulsierende Teilchen transformiert. Dieses Vorgehen wird Lighthill-Analogie genannt. Die daraus abgeleitete inhomogene Wellengleichung stellt die Hauptgleichung der Strömungsakustik dar, mit deren Hilfe eine Analogie, zwischen der Wellengleichung der klassischen Akustik für ein ruhendes Fliud und einer turbulenzbehafteten Fluidströmung hergestellt wird. Die Turbulenz führt darin zu den nichtlinearen Gliedern der inhomogenen Wellengleichung. Bei der Ableitung der inhomogenen Wellengleichung werden keinerlei Voraussetzungen getroffen, so dass die Gleichung eine allgemeine Gültigkeit besitzt. Es werden auch keine Voraussetzungen für spezielle Zustandsänderungen getroffen, wie z.B. bei der Ableitung der Schallgeschwindigkeit im Kapitel 7. Dadurch werden von der inhomogenen Wellengleichung alle Strömungsvorgänge von Fluiden mit ihren strömungsmechanischen und strömungsakustischen Wirkungen erfasst. Strömungsfeld

Modell (Elementarstrahler)

Schallfeld

12.4.4 Inhomogene akustische Wellengleichung Lighthill leitete die aerodynamische Schallerzeugung aus den Grundgleichungen der Strömungsmechanik ab (Gin. 12.14 bis 12.16). Daraus ergibt sich die inhomogene Wellengleichung, indem die Kontinuitätsgleichung partiell nach der Zeit und die Impulsgleichungen partiell nach den Ortskoordinaten abgeleitet werden. Die Differenz dieser beiden differenzierten Gleichungen ergibt die folgende Gleichung:

314

12 Grundlagen der Akustik und Aeroakustik

a^p

d^p

dm a ( m v i + f i )

3^(pViVj-Tij)

1

(12.27)

^

Um Gl. 12.27 in eine Wellengleichung für die Fluiddichte zu überfuhren muss auf beiden ^2

Seiten der Ausdruck a Q —z- subtrahiert werden. 3x. Damit ergibt sich die Gleichung 12.27 zu:

d^p a^p dt^

52p ^^ 9(mvi+fi) a'(pviVj-Xij)

dx^

dx^

1

3t

ax;

3XiaXj

1

2a'p „ . , „ , 9x2

-^

1

Nach Umformung erhält man die inhomogene Wellengleichung für die Dichte a^p

2a^P_3rii

—^~^o — ^ - ^ T : 9t 3x c)t i

3(mvi +fi) _ 3^(pVj Vj +Pij - a g p S i j ) _ =^; dXj

+

=^;—^; dXjdX; -^

- ^

(iz.zy;

Der nachfolgende Ausdruck q in der inhomogenen Differenzialgleichung stellt den akustischen Quellterm dar. 9m 9t

9 ( m v i + f i ) , 3^ (^Vi V j + P i j - a ^ pSjj) 9xj

9xj 9xj

Der Ausdruck Tij = p vi Vj + pij - ao^p ôij wird als Lighthill-Tensor bezeichnet [4][5][6]. Wird zur Gl. 12.27 der Ausdruck (l/ao^)(9^p/9t^) addiert, so erhält man eine inhomogene Wellengleichung für den Druck in der folgenden Form: 1 9^p 9 ^ p ^ 9 m ao 9t^

9xf

5t

9(mvi+fi)^ 3^(pViVj-Xij)^ 9xi

9xi 9xj

1 9^t^-pa^) ag

^^^^^^

9t^

Diese beiden Gleichungen stellen Wellengleichungen dar, denn die Variablen Dichte p und Druck p erscheinen auf beiden Seiten der Gleichungen. Sie enthalten die elementare Aussage, dass in der Strömung die Massenstrom- und die Impulskontinuität besteht. Vergleicht man diese beiden Gleichungen (Gin. 12.29 und 12.31) mit der homogenen Wellengleichung (Gl. 12-21 und Gl. 12.26), so erkennt man, dass die linken Seiten der Gin. 12.29 und Gl. 12.31 die Ausbreitungseigenschaften von akustischen Wellen beschreiben und die rechten Seiten die akustischen Quellterme im Fluid enthalten. Untersucht man das Inhomogenitätsfeld der akustischen Wellengleichung im Bereich außerhalb des Strömungsbereiches, d.h. im ruhenden akustischen Feld, dann können dafür folgende Feststellungen getroffen werden. •

In diesem Gebiet sind der Massenstromfluss rh und die Kräfte fi Null

•

In diesem Bereich ist auch die Impulsstromdichte p vi Vj mit den Schallschnellen Vi und Vj vemachlässigbar

•

In diesem Gebiet sind auch die Zähigkeitswirkungen vernachlässigbar (Xi j=0)

•

Bei isentroper Zustandsänderung im Strömungsfeld gilt für das Schallfeld p-ao^p = p'-ao^p'=0

12.4 Schallquellen

315

Die Quellglieder auf der rechten Seite der inhomogenen Wellengleichung können also als akustische Elementarstrahler betrachtet werden, fur die Lighthill die Multipole einführte. Monopol als pulsierende Kugel, Dipol als schwingende Kugel mit starrer Oberfläche und den Quadrupol als verformende und pulsierende Kugel (Bild 12-6). Die drei Glieder des Quellterms stellen folgende physikalischen Strömungsgrößen dar [1][2]. Monopolquelle dt stellt die zeitliche Änderung des Massenflusses bezogen auf das Volumen dar. Sie kann als pulsierende Kugel aufgefasst werden, die expandiert und sich wieder zusammenzieht und dabei Longitudinalwellen räumlich aussendet (Bild 12-6). —

Dipolquelle

9xj stellt ein Feld von volumenbezogenen Wechselkraftquellen oder Impulskraftquellen dar. Das Modell ergibt zwei entgegengesetzt pulsierende Kugeln (Bild 12-6).

dx^dxj

(pCiCj+Pij-pa^Si^

Quadrupolquelle

stellt ein Feld von Spannungsfluktuationen und Druckschwankungen je Volumeneinheit dar. Das Modell ist eine sich deformierende Kugel ohne Masse- und Schwerpunktänderung (Bild 12-6). Die Schallquellen bewegen sich im ruhenden Fluid oder relativ zum bewegten Fluid. Die Ableitung der inhomogenen Wellengleichung zeigt, dass auch in den Quelltermen die reale Strömung und die Schallerzeugung in der Strömung mit dem Wechseldruck des Schalls enthalten sind. In der Tabelle 12-5 sind die drei Elementarstrahler, mit der Abhängigkeit ihrer Leistungsgröße Pak von der Fluiddichte p, der Machzahl M und der Geschwindigkeit c dargestellt. Darin sind auch die Strömungsformen angegeben, die durch die verschiedenen Elementarstrahler charakterisiert werden können. Die Schallleistung der drei verschiedenen Elementarquellen steigt mit der Fluiddichte p, mit der dritten Potenz der Geschwindigkeit c und mit unterschiedlicher Potenz der Machzahl von M bis M^. Der instationäre Volumen- oder Massenfluss beeinflusst das Strömungsgeräusch mit der dritten Potenz der Geschwindigkeit und linear mit der Machzahl. Wechselkräfte und Impulskräfte einer Strömung (Dipolquellen) beeinflussen die Schallleistung mit der dritten Potenz der Geschwindigkeit und mit der dritten Potenz der Machzahl. Die Quadrupolquelle als Modell der freien Wirbel beeinflusst die Schallleistung mit der Dichte, mit der dritten Potenz der Geschwindigkeit und mit der fünften Potenz der Machzahl der Strömung. In einem realen Schallfeld, z. B. in einer turbulenten Wirbelströmung oder bei einer Druckschwingung in einer Strömungsmaschine treten alle drei Elementarstrahler mit unterschiedlicher Intensität gleichzeitig auf Die Tabelle 12-5 zeigt, dass die Wechselkräfte einer Dipolquelle und die freien Wirbel einer Quadrupolquelle in Gasströmungen mit höherer Machzahl

12 Grundlagen der Akustik und Aeroakustik

316

die Schallleistung stärker beeinflussen (mit der dritten bzw. mit der fünften Potenz) als die Volumenpulsation der Monopolquelle. Das ist auch der Grund dafür, das in Wasserströmungen mit den geringeren Geschwindigkeiten freie Wirbel und Freistrahlen mit Quadrupolcharakter nur geringe oder unbedeutende Wirkung auf die Schallleistung nehmen. Tabelle 12-5

Charakterisierung von Strömungsformen durch Elementarstrahler und die Abhängigkeit der Schallleistung Pak

Elementarstrahler

Strömungsform

Schallleistung

Pulsierende Ausströmung aus (Volumenfluss, Masse- und Rohren, Ventilen von Kolbenmaschinen, Kavitationsblasen, Pak~P c ' Volumenstrompulsation) a Sierenen, VerbrennungsmotoModell: pulsierende Kugel ren Monopol

Dipol (Wechselkraft, Impulskrafl) Modell: 2 pulsierende Kugeln Mit +,-

Wirbelablösung an umströmten Körpern, Wirbelstraßen, Ungleichmäßigkeiten in der Anströmung von Körpern und Schaufelgittern von Turboverdichtem, Ventilatoren und Kreiselpumpen

Turbulente Mischzonen von Freistrahlen, turbulente Strö(freie Wirbel) mungen und turbulente GrenzModell: eine sich verformende schichten, Ausströmgeräusche und pulsierende Kugel aus Überdruck- und Sicherheitsventilen, Armaturen und Rohrleitungen

3 PMC^

6

Pak~P^~pMV a^

Quadrupol

c'

5 3

a

12.5 Akustische Umsetzung von Strömungen Die Abhängigkeit der akustischen Vorgänge von den strömungsmechanischen Abläufen kann durch einen Umsetzungsgrad r| als Verhältnis der entstehenden Schallleistung der Strömung zur Leistung des Strömungsfeldes angegeben werden [6] [7] : r| = -

Pak

(12.32)

"mech mit den Bezugswerten Pako = 10'^^ W und Pmecho = 10^ W. Der Schallleistungspegel beträgt: Pak (12.33) PakO In der Tabelle 12-6 sind die strömungsmechanisch-akustischen Leistungsumsetzungsgrade einiger Strömungen angegeben. Nützlich ist auch das Verhältnis der Effektiws^erte des Schalldruckpegels zum Effektivwert der Druckschwingung eines Strömungsfeldes Lp = 101g

12.5 Akustische Umsetzung von Strömungen

317

Pscheff ^r

(12.34)

Peff

der Werte von 10"^ bis 610"^ erreicht [8] [9] [10]. In der Tabelle 12-7 und im Bild 12-7 sind die Druckschv^ingungsverhältnisse einer Ventilströmung und eines Seitenkanalkompressors angegeben. Die Leistungsschallwirkungsgrade nehmen in Abhängigkeit des Strömungsfeldes Werte an von r| = 10"^ bis 5 • 10"^, die mit steigender Machzahl zwischen M = 0,3 bis 6 ansteigen. 20 Pscheff ^Q4

\ PQrh(t) A ' 15-HJ 1 1

Peff PschA PA

Pscheff

Tl l l'-r

Pef^

•io:10-N PschA PA

~~*

-1^

'

1-

+

—J

0,5 0,2 0,4 0,6 0,7 0,3 0,1 Bild 12-7 Cp Verhältniswerte der Effektivwerte des Schalldmckes zum Effektivwert der Gasdruckschwingung in einem Kompressor und Verhältniswert der Amplitudenanteile der Druckschwingungen in Abhängigkeit der Lieferzahl (P=CK/U

Tabelle 12-6

Strömungsmechanisch-akustischer Umsetzungsgrad

Strömung

Leistungsumsetzungsgrad

Rotierender Zylinder mit glatter Oberfläche Turbulente Grenzschicht Wirbellärm einer Versuchsschallquelle Freistrahl Ventilatoren Schiffsschraube Hubkolbenverdichter Tabelle 12-7

p ^mech

3 • 10-^ 6,5- 10-^ M^ 10-^... 6 • 10"^ 10"^ M 3 • 10-^ 10-^... 10-^ 5 • 10-^

Verhältnis der Effektivwerte des Schalldrucks und der Fluidschwingung

Strömung

Effektivwertverhältnis Pscheff Peff

Ventilströmung Kompressor

(2 ... 6) 10-^ (4...19) 10-"^ (Bild 12-7)

12 Grundlagen der Akustik und Aeroakustik

318

12.6 Schallmessung Zur Beurteilung von Schall und Schallquellen werden die Schallfeldgrößen genutzt. Diese aus Messungen oder Berechnungen gewonnenen Schallfeldgrößen ermöglichen die Beurteilung von Schallfeldem und Geräuschen unterschiedlicher Art unter einheitlichen Gesichtspunkten, insbesondere in Hinsicht auf vorgeschriebene Grenzwerte. Es gibt drei Verfahren zur Messung der Schallfeldgrößen: kontinuierliche Messung während des gesamten Beurteilungszeitraumes, Messung während ausgewählter Zeiten innerhalb des Beurteilungszeitraumes und die Stichprobenmessung. Die Schallmessung kann • im schallabsorbierenden Raum • im Direktfeld oder • im Freifeld mit reflektierender Ebene meist mit dem Hüllflächenverfahren vorgenommen werden. Als Direktfeld wird das Schallfeld in einem geschlossenen Raum bezeichnet, in dem der Schall ohne Reflexion zum Messort gelangt. Das Freifeld wird auch als Direktfeld bezeichnet, da auch hier keine Reflexionen auftreten. Freifeldbedingungen können künstlich in reflexionsarmen Räumen geschaffen werden, da der gemessene Schall nur von der Schallquelle abgestrahlt wird und keine Reflexionsanteile enthält. Während das Direktfeld oder das Diffusfeld durch die raumakustischen Eigenschaften des Umgebungsraumes bestimmt werden, wird die Schallquelle von einem Nahfeld und einem Femfeld umgeben. Das Nahfeld ist ein in unmittelbarer Nähe der Schallquelle vorhandener Bereich des Schallfeldes (Bild 12-8). Danach folgt das Fernfeld. Die Abgrenzung zwischen Nahfeld und Fernfeld einer Schallquelle ist nur bedingt möglich. Sie hängt davon ab, welcher Restphasenwinkel zwischen Schalldruck und Schallschnelle zugelassen wird. Übersichtlich ist die Grenze zwischen beiden Feldern am Beispiel eines /|._|. X Y~ Strahlers nullter Ordnung als Monopol Bild 12-8 (pulsierende Kugel) darzustellen. Dieses Schallfeldstmktur in einem halbhalligen Raum Feld ist gekennzeichnet durch die Bedingung (ûr«l, wobei CO die Kreisfrequenz und r die Entfernung von der Schallquelle darstellt. Im Femfeld einer sich ausbreitenden Kugelwelle sind der Schalldruck psch und die Schallschnelle V phasengleich. Der ortsabhängige Amplitudenverlauf des Schalldruckes Psch verändert sich umgekehrt proportional zur Entfernung von der Schallquelle. Die Ortsabhängigkeit der Schallschelle ist definiert durch Gl. 12.35: Nahfeld

Fernfeld

12.6 Schallmessung

319

(12.35) Bei Schallquellen, die nicht auf einen Strahler nullter Ordnung zurückzufuhren sind, ist die Angabe einer Nahfeld-Femfeld-Grenze schwieriger. Hierbei sind auch die Größenabmessungen der Schallquelle zu berücksichtigen. Bei Maschinenmessungen geht man davon aus, dass das Femfeld (o>r»l) beginnt, wenn der Abstand des Messpunktes das zweifache der größten Maschinenabmessung beträgt. 12.6.1 Schallmessgrößen Die wichtigsten Messgrößen in der Akustik sind der Schalldmck psch, der Schalldmckpegel Lp in dB sowie die Leistungsgrößen Schallintensität I, Schallleistung Pak und der Schallleistungspegel Lak.

12.6.2 Schalldruck- und Schalldruckpegelmessung Die Schalldmckmessung kann mittels eines hochfrequenten Dmcksensors (z.B. Kulitesonde) oder mittels eines Mikrofons als Schalldmck psch oder als Schalldmckpegel mit einem Schalldmckpegelmessgerät gemessen werden. Bei der Schalldmckpegelmessung beginnt der Pegelbereich meist bei OdB und endet bei ca. 150-160dB (180dB). Bei der Messung des Schalldmckes geht man davon aus, dass sich die Schallquelle im Femfeld wie ein Kugelstrahler nullter Ordnung verhält. Befindet sich eine Schallquelle in einem geschlossenem Raum mit ideal reflektierenden Wänden, so wird in jedem Punkt des Raumes der gleiche Schalldmckpegel gemessen, weil die von der Schallquelle abgestrahlten Schallwellen von den Wänden vollständig reflektiert werden. Es liegt ein diffuses Feld vor, das auch als Hallfeld bezeichnet wird. Ein Hallfeld liegt dann vor, wenn folgende Bedingung erfüllt ist: Raumvolumen V >

1000

(12.36)

wobei fmin in Hz die kleinste zu berücksichtigende Frequenz ist und V das Raumvolumen in m^ Bei Schallmessungen in Maschinenräumen wird das Hüllflächenverfahren genutzt. Dabei werden die Maschinen durch die Oberfläche eines Quaders umhüllt. Um diesen Quader wird die Messfläche meist im Abstand von Im gelegt (Bild 129). In jedem der n Messpunkte wird der Schalldmck oder Schalldmckpegel gemessen. Bei zeitlich veränderlichem Schalldmckpegel wird Bild 12-9 Messpunkte für die Schalldruck- und Schall- der äquivalente Schalldmckpegel durch zeitliche pegelmessung im Im-Abstand an einem Kom- Mittelung bestimmt. Bei Messungen in Maschipressor nenräumen tritt mitunter ein Fremdgeräusch auf, so dass die Messwerte einer Fremdgeräuschkorrektur unterzogen werden müssen. Dazu wird für jeden Messpunkt ein Korrekturwert ermittelt und von dem gemessenen Wert abgezogen.

12 Grundlagen der Akustik und Aeroakustik

320

Aus den für alle Messpunkte ermittelten Schalldruckpegeln wird dann ein räumlich gemittelter Schalldruckpegel mit Gl. 12.37 errechnet: /. n A ^pAi • .0,1U,, (12.37) 10 dB LpA^lOlg i=l

Der Einfluss des Messraumes muss durch einen weiteren Korrekturfaktor berücksichtigt werden. Er umfasst den Einfluss der Umgebung des Messobjektes z.B. Schallreflexionen an Decken, am Boden an Wänden und durch Gegenstände in der Umgebung außerhalb der Hüllfläche sowie die Schallabsorption im Raum zwischen Messobjekt und der Hüllfläche. Unter Schallabsorption wird die Umsetzung der kinetischen Schwingungsenergie des Schallfeldes in Wärme verstanden. Der Schallabsorptionsgrad a, auch Dämpfung genannt, beträgt: _'55,3V '

absorbierte Schallenergie = 1 - exp a =auftretende Schallenergie

TiSia

(12.38)

mit der Schallgeschwindigkeit a nach Gl. 7.49 Mit Hilfe des Schallabsorptionsgrades a können akustische Messräume beurteilt werden. Der Hallradius rn ist ein Maß für den Übergang des Direktfeldes in ein diffuses Schallfeld (Bild 12-8). Der Hallradius beträgt rH=0,l

V

(12.39)

Darin sind V der Rauminhalt des Messraumes in m^, Th die Nachhallzeit in s und rn der Hallradius in m. Die Schallabsorptionsfläche AA lässt sich durch Messen der Nachhallzeit Th des Raumes (Bild 12-10) nach Gl. 12.40 bestimmen: (12.40) Ah

Darin ist Th die Nachhallzeit des Raumes, in der der Schalldruckpegel um 60 dB nach Abschalten der Schallquelle abfallt. V ist das Raumvolumen. Damit ergibt sich der Korrekturfaktor mit dem Messflächeninhalt A der Hüllfläche und der Schallabsorptionsfläche AA: Bild 12-10 Abnahme des Schalldmckpegels nach Abschalten der Schallquelle

K = 101g|l + - - ^ | d B

(12.41)

Der korrigierte Schalldruckpegel trägt:

be-

12.6 Schallmessung

321

(12.42)

LpA=LpA+K = LpA+101g 1 + AA/A

Für die Schalldruckmessung gibt es genormte Messverfahren, z.B. DIN-ISO 45630-1 und 2, die einzuhalten sind. Der Schalldruckpegel Lp in dB kann mit Hilfe der Gl. 12.2 auch aus dem Schalldruck errechnet werden. Um tiefer gehende Informationen über die im Schall enthaltenen Frequenz- und Energieanteile zu erhalten reicht die Kenntnis des Gesamtschalldruckpegels nicht aus. Dazu wird der Schall in seine Frequenzanteile zerlegt und eine Frequenzanalyse vorgenommen oder die spektrale Leistungsdichte bestimmt. Je nach Breite der Frequenzbänder B=fo-fu, in die das Geräusch zerlegt wird, erhält man ein Schmalband-, das Terz- oder das Oktavspektrum (Bild 12-11). Das Schmalbandspekt100 1 rum besitzt eine FrequenzbandOktavspek trum Lp 1 breite von AfnSchmal = l,028Afn. 90 1 A1Oktav/ dB Terz 1 SchmalBeim Terzspektrum beSpektrum — • r / 1 trägt die Bandbreite mit AfnTerz = 80 1 A ^Terz y - ^ / / l,26Afn.iTerz (Abschu. 12.1). Sie V\ A A r 70 nimmt ebenfalls mit steigender 1 A / Mittenfrequenz zu. Beim Oktav60 S Dhma band spektri m spektrum beträgt die Bandbreite ß ji 50 der Frequenz Afnoktav^ 2,0Afn.ioktav5 so dass sich ein Afschma 1 40 relativ grobes Frequenzspektrum 30 ergibt. Für Maschinenuntersu1 chungen wird vorzugsweise das 2010' 2 5 10^ 2 5 10^ 2 5 10^ Terzspektrum genutzt. f Hz Bild 12-11 Einfluss der Analysebandbreite (Filter) auf das Schalldmckpegelspektmm, Schmalbandspektmm fiir

"A mv^ •

J «w VIr Y k

!/•

\i

tt' L

AfnSchmarl,028Afn.iSchmab TerZSpektrum für AfnTerz=l,26Afn.iTerzUnd O k t a V S p e k t r u m AfnOktav=2Afn.ioktav

12.6.3 Schallintensitätsmessung Da sich die Schallintensität als Produkt des Schalldruckes Psch und der Schallschnelle v darstellt (Gl. 12.11), müssen bei der Ermittlung der Schallintensität beide Schallfeldgrößen gemessen werden. Sie wird als Zweimikrofontechnik bezeichnet. Die Messung des Schalldruckes erfolgt mit einem Mikrofon. Für die Messung der Schallschnelle werden MiniaturUltraschallempfanger verwendet. Sie werden nah beieinander in Messrichtung angeordnet. Die im Empfangersignal auftretende Frequenzänderung des Ultraschallsignals durch den Dopplereffekt kann als Maß fur die Schallschnelle benutzt werden. Gebräuchlich ist auch, den in der Eulerschen Bewegungsgleichung enthaltenen Zusammenhang zwischen Schalldruck und Schallschnelle dp/dr = -p dvn/dt auszunutzen. Damit berechnet sich die SchallschnelleKomponente in einer beliebigen Raumrichtung r nach Integration zu:

12 Grundlagen der Akustik und Aeroakustik

322

1

Vn(t) = - — [ Po i

dp seh (t) dt dr

(12.43) Leitung Messsignal 1 Psch1

Psch1

Psch2

Leitung IVIesssignal 2

Psch2

a)

Schallfeld

b)

Bild 12-12 Mikrofonanordnung für die Zweimikrofontechnik zur Messung der Schallintensität a) axiale Anordnung b) parallele Anordnung Zur Bestimmung des Differenzialquotienten des Schalldrucks dpsch(t)/dr, wird der Schalldruck an zwei dicht benachbarten Orten, deren Verbindungslinie in der Raumrichtung r liegt, gemessen. Die hierbei eingesetzten Mikrofone weisen ein spezielles Phasenverhalten auf und sind in einem kleinen Abstand Ar auf einer Achse oder nebeneinander angeordnet (Bild 1212). Die Mikrofone messen sowohl die Schalldrücke Pschi und psch2 an beiden Orten oder die Schalldruckpegel. Daraus ergibt sich ein Messfehler, der vom Mikrofonabstand, von der Frequenz und von der Anordnung der Mikrofone abhängig ist und für die Schalldruckpegelwerte im Bild 12-13 als Funktion der Frequenz dargestellt ist. Somit kann die Gl. 12.43 auch geschrieben werden als 1

dt v„(t) = - — f Psch2(t)-Pschl(t) Ar

(12.44)

Po 0i

0-, ALp -9-

2nnnn \

^^^

^ ^

>

\

-R-

^^^^^^

Ol

ALp Ar=50mm — -2-

6nnnn

-R-

?

/Gm n

/l2mm

\Ar=5Ömm -8-

a)

0,63

1,25

_L_r—10

20

2,5

f

kHz

-831,5

b)

63

125

250

500 f

1000 Hz

Bild 12-13 Messfehler des Schalldmckpegels durch a) Mikrofonabstand b) den Phasenfehler cp bei unterschiedlichen Mikrofonabständen Ar nach [11] Der Schalldruck psch(t) wird aus dem arithmetrischen Mittelwert der beiden gemessenen Schalldrücke Pschi(t) tind Psch2(t) bestimmt. Psch(t)=-

Pschl(t) + Psch2(t)

(12.45)

12.7 Messauswertung, Frequenzanalyse und spektrale Leistungsdichte

323

Die Schallintensität ergibt sich damit zu: I^^)_Psohl(t) + Psch2(t)|[p 2poAr J

^^)_^

^^)]^^

(12.46)

12.6.4 SchalUeistungs- und SchalUeistungspegelmessung Zur Messung der Schallleistung wird die Schallquelle von einer Fläche A umhüllt. Auf dieser Hüllfläche wird das Schallfeld gemessen. Zur Messung der abgestrahlten Schallleistung einer Schallquelle werden folgende Messverfahren genutzt: - Messung im reflexionsarmen Raum auf der Hüllfläche der Schallquelle fiir hängende Schallquelle - Messung im reflexionsarmen Halbraum mit festem, schallhartem Boden auf der Hüllfläche oberhalb des Bodens - Messung im Hallraum. Da sich im Hallraum ein Diffusfeld ausbreitet, indem überall der gleiche Schalldruck herrscht, kann nach Kalibrierung des Raumes die Schallleistung der Schallquelle bestimmt werden. - Messung in beliebiger Umgebung mit Fremdschall oder Reflexionen. Diese Messung erfasst die nach außen abgestrahlte Schallleistung und auch die von außen durch die Hüllfläche durchstrahlende Störschallleistung. Zur Messung der Schallleistung können Mikrofone und Schallintensitätsmessgeräte verwendet werden, z.B. der Zweikanal-Echtzeit-Analysator 2144 mit Schallintensitätssonde 3548 und mit zwei Mikrofonen 4181 der Fa. Brühl & Kjaer. Bei Messungen nach dem Intensitätsverfahren ist der Messpunktabstand so zu wählen, dass die Richtcharakteristik erfasst wird. Die Schallintensitätsmessgeräte liefern nur dann ein korrektes Ergebnis, wenn der Schall senkrecht durch die Hüllfläche tritt und kein Störschall vorhanden ist. Die emittierte Schallleistung einer Schallquelle ist für alle Entfernungen gleich. Die abgestrahlte Schallleistung kann auch mit Hilfe der Schallintensität berechnet werden, indem um das Objekt eine geschlossene Kontrollfläche gelegt wird, innerhalb derer keine andere Schallquelle vorhanden sein darf Befindet sich die Schallquelle auf einem schallharten Untergrund, so kann sie von einer Halbkugel mit beliebigem Radius als Kontrollfläche umschlossen werden (Bild 12-5). Wird die Schallleistung durch Integration der Schallintensität ermittelt, so hat eine außerhalb der Kontrollfläche liegende Störquelle keinen Einfluss auf die Schallleistung des Messobjektes innerhalb der Kontrollfläche. Diese Methode erfordert einen hohen Messaufwand. Der Schallleistungspegel Lak gibt die Schallemission einer Schallquelle als Schallenergiegröße an.

12.7 Messauswertung, Frequenzanalyse und spektrale Leistungsdichte Da der Schalldruckpegel mit Gl. 12.2 und auch die Schallleistung mit Gl. 12.12 aus dem Schalldruck berechnet werden können, bestehen für vorgegebene Schalldruckverhältnisse Pschi-Psch2 auch bestimmte Schallleistungsverhältnisse Paki-Pak2? die mit dem Quadrat des

12 Grundlagen der Akustik und Aeroakustik

324

Schalldruckverhältnisses ansteigen. Der Schalldruck psch ist dabei stets der Effektivwert des zeitlich schwankenden Schalldruckes Psch(t)- Für diese Verhältniswerte des Schalldruckes kann auch die zugehörige Schallpegeldifferenz AL=Li-L2 angegeben werden. In der Tabelle 12-8 sind die Schallleistungswerte und die Schalldruckpegelwerte in Abhängigkeit des Schalldruckverhältnisses angegeben. Diese Tabelle zeigt, dass eine Verdopplung des Schalldruckes einer Schallquelle eine Schalldruckpegelerhöhung von ALp=6 dB ergibt. Wird der Schalldruck oder der Schalldruckpegel in neun Messpunkten der Oberfläche für die Genauigkeitsklasse 2 gemessen, so muss daraus der arithmetische Mittelwert gebildet werden, wenn sich der Maximalwert und der Minimalwert der Messung nicht um mehr als 5 dB voneinander unterscheiden. Bei größeren Differenzen AL>5 dB muss die Mittelwertbildung für den Schalldruckpegel mit Hilfe der Gl. 12.31 erfolgen. Tabelle 12-8

Schalldmckpegeldifferenzen ALp und Schallleistungen in Abhängigkeit der Schalldmckverhältnisse pschi/psch2

Schalldruckver, ...^ . Pschl naltnis Psch2 Schallleis)tungsverhältnis Pakl

Pschl

Pak2

^Psch2 ^

Schalldmckpegeldifferenz in dB ALp = L i - L 2

1

1,12

1,26

1,4

1,58

1,8

2,0

3,2

10

31,6

2 1

1,26

1,58

2,0

2,51

3,2

4

10

100

1000

1

2

3

4

5

6

10

20

30

0

Da die Schallempfmd20 lichkeit des menschlichen 15 D dB Ohres im Frequenzbe10 ^ / ^ 5 reich unterschiedlich ist, A C ^ 0 wird der Schall im FreB+C =^:^ y ^ -5 quenzbereich bewertet. B^ ^ -10 Die Kurven gleicher >^ y^ ^ -15 Lautstärke im Bild 12-3 -20 zeigen, dass die Lautstär-25 /k ke nicht nur von der Fre-30 \ / quenz (Tonhöhe), sondern -35 / auch vom absoluten -40 n1 5 10^ Schalldruck abhängig ist. 10^ 10^ 10 f Hz Um diese Einflüsse zu Bild 12-14 Bewertungskurven A, B, C und Dfiirden Schallpegel berücksichtigen, werden für die Schallbewertung vier Bewertungskurven A, B, C und D herangezogen, die im Bild 1214 dargestellt sind. Der Schall wird mit der Bewertungskurve A bewertet und als Schallpegel in dB(A) angegeben. Wird von einer Schallquelle ein Ton mit konstantem Schalldruck und der Frequenz von 1000 Hz (etwa der Ton H'') ausgesandt, so entsteht beim Hören ein bestimmtes Lautstärkeempfinden (Bewertungskurve A). Sendet die Schallquelle nun einen Ton von 100

ALp

y

y Y

sd

12.7 Messauswertung, Frequenzanalyse und spektrale Leistungsdichte

325

Hz (etwa den Ton Gis der dritten Oktave) mit gleichem Schalldruck wie beim 1000 Hz-Ton aus, so empfindet das Ohr eine um 19 dB geringere Lautstärke (Bild 12-14). Diesen Einfluss berücksichtigt die Bewertungskurve A, indem sie den aufgenommenen Schalldruckpegel in dieser Weise frequenzabhängig bewertet. Für die Aeroakustik und für den Flugzeuglärm ist es sinnvoll die Bewertungscharakteristik D heranzuziehen, die im Frequenzbereich zwischen f=25 bis 1000 Hz in der Nähe der Bewertungskurve B liegt. Der zeitliche Verlauf der Schalldruckmessung wird in der Regel in einem Diagramm dargestellt (Bilder 12-2 und 12-15). Dafür wird auch das Frequenzspektrum angefertigt (Bild 12-2). 12.7.1 Frequenzanalyse Bei der Frequenzanalyse wird die Lautstärke der Schallquelle in mehrere Frequenzbänder der Fouriertransformation unterteilt und in jedem Frequenzband der Schalldruck gemäß Bilder 12-2 und 12-15 oder der Schalldruckpegel Lp bestimmt. Während bei der Fouriertransformation üblicherweise konstante Bandbreiten für die Frequenz gewählt werden, nimmt die Brandbreite der Frequenz beim Oktav- und beim Terzspektrum proportional zur Mittenfrequenz zu, wie die Angaben der Mittenfrequenzen und die jeweiligen unteren und oberen Frequenzen für das Oktav- und Terzspektrum in der Tabelle 12-9 zeigen. Die Mittenfrequenz ist der geometrische Mittelwert der unteren fu und oberen Grenzfrequenz fo mit f j ^ = y f^ f o .

80

pktavspektrumL^jWJ

75

MiMj-y

dB

70

65 60 55

1 Uji/W miiHj IXKI

rrn4i> rt\ r>

1 1 1 Kl 11*! 1 terzspektrum 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 NI IÄI 50 45 40

al^yf

1Tn OLO CNCN

2-

b)

1 1 1 1 1 1 1

O ^

CO CD

Hz S

Hz

O o

O O O CO Lo

O o

\^

I O _r rj

Terzmittenfrequenzen LO CM -«-

O LO CN

O O LO

/ \

Hli

O C D CO _ r

O _: ^

o^ '^"

co^ CO"

coo

kHz

O rvT ^

Oktavmittenfrequenzen

o '^

CD

kHz

Drei benachbarte Terzen bilden eine Oktave. Deshalb werden für die Frequenzanalyse von Strömungsgeräuschen Terzspektren mit Frequenzbereichen von f=20 Hz bis 20 kHz genutzt (Bild 12-15 und Abschnitt 12.1). In der Tabelle 12-9 sind die unteren und oberen Frequenzen sowie die Mittenfrequenzen als geometrische Mittelwerte für ein Oktav- und Terzspektrum nach lEC 225 angegeben. Das in Tabelle 12-9 angegebene Terzspektrum kann entsprechend dieser Systematik zu kleineren und größeren Frequenzen erweitert werden. Bild 12-15 Schalldmck und Frequenzspektren a) Zeitsignal eines Schalldruckes b) Terzspektrum und Oktavspektrum eines Turbokompressors für neun Messpunkte im ImAbstand

12 Grundlagen der Akustik und Aeroakustik

326 Tabelle 12-9

Mittenfrequenzen f j ^ = ^f^ f ^ , untere fu und obere Frequenzen fo der Oktav- und Terzspektren nach lEC 225 Oktavspektrum f^ Hz 16 31,5 63 125 250 500 1000 2000 4000 8000 16000 Hz 11,2 22,4 44 90 180 355 710 1400 2800 5600 11200 fu 44 90 180 355 710 1400 2800 5600 11200 22400 f„ Hz 22,4 Terzspektrum f^ Hz 1000 1250 1600 2000 2500 3150 4000 5000 6300 8000 10000 fu Hz 891 1122 1413 1778 2239 2818 3548 4467 5623 7079 8913 fo Hz 1122 1413 1778 2239 2818 3548 4467 5623 7079 8913 11220

12.7.2 Spektrale Schallleistungsdichte Neben dem fouriertransformierten Frequenzspektrum wird zur frequenzabhängigen Schallbewertung auch die spektrale Schallleistungsdichte (power spectrum density, PSD) genutzt [12]. Die spektrale Leistungsdichte ist die Fouriertransformation der zeitlichen Kreuzkorrelationsfunktion, z.B. pschi(t)Psch2(t+x). Sie gibt die frequenzbezogene spezifische Leistung für Frequenzintervalle oder für den entsprechenden Pegelwert in dB an. Sie bietet eine höhere Auflösung der Spektralanalyse. Die Kreuzkorrelationsfünktion für ein stochastisches und stationäres Drucksignal lautet: T

Spsch(^)= lim - fpschl(t)Psch2(t + x)dt

(12.47)

0

Wird diese Korrelationsfunktion Spsch('c) einer erneuten Fouriertransformation unterzogen, so erhält man die spektrale Leistungsdichte oder das entsprechende Leistungsdichtespektrum: Gpsch(f) = 2 jSp,eh(^)e"J^^^'dx mr f >0 PSD"140

130 dB 120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 30

2fs

I

il il

im l i ' n n Ilokilllll.lill"

50

10^

2

12.8 Schallmessgeräte

3

(12.48) Mit der Kreuzkorrelationsdichte entsprechend Gl. 12.48 kann auch die Kohärenz (pxy^(f) zwischen zwei Signalen berechnet werden. Im Bild 12-16 ist der Pegel der spektralen Leistungsdichte des Schalldruckes für eine Maschinenuntersuchung dargestellt, in dem die Amplitudenspitze bei der Schaufeldrehfrequenz von fs= z f= 900 Hz sichtbar ist. Bild 12-16 Leistungsdichtespektrum PSD (power spectrum density) eines Turbokompressors bei der Drehfrequenz von f=50 Hz

Als Schallmessgeräte werden verwendet: • Schallanalysatoren mit integriertem Schallpegelmesser • Mikrofone mit Analysator, Mikrofone als hochwertige Kondensatormikrofone

12.9 Addition von Schallpegeln und Summenregel

327

• Lärmdosimeter und Pegelschreiber Ein Messgerät für die Schall- oder Schwingungsmessung besteht aus einem oder mehreren elektromechanischen Wandlern, den elektrischen Verstärkern und den Bewertungsfiltem, die zur Signalverarbeitung und zur Umwandlung in eine geeignete Anzeigegröße dienen (Bild 1217). Diese Messkette muss kalibriert oder geeicht werden. Ein Schallpegelmessgerät fur den Luftschall darf möglichst nicht auf mechanische Schwingungen und Erschütterungen ansprechen. Umgekehrt muss ein Messgerät für den Körperschall unempfindlich gegen Luftschall sein.

Generator

Verstärker

^HJlH>H Filter

Wandler

physik. Größe

o

analoge elektrische Größe

weitere Auswertung

I Verstärker Verstärk

Verstärker

>H-nH> Wandler

Filter

Messobjekt

Anzeige

D0

Bewertung A,B,C oder D Bewertung

Bild 12-17

Aufbau einer Messkette zur Ermittlung von Schallkenngrößen 12.8.1 Mikrofon Der wichtigste Sensor für die Schallmessung ist das Mikrofon. Es gibt • Kondensatormikrofon • piezoelektrisches Mikrofon • elektrodynamisches Mikrofon Die Übertragungseigenschaften der Mikrofone werden durch die Relativbewegung von zwei elastisch verbundenen Körpern erzeugt, der Membran mit der geringen Masse mM und dem Gehäuse mit der großen Masse mQ. Gehäuse und Membran bilden einen mechanischen Resonator. Der Schalldruck psch der geringen Größe von psch = 0,1 mPa bis 0,5 mPa übt auf die Membran die Kraft aus, die in der Messeinrichtung verarbeitet wird. Bevorzugt verwendet werden für genaue Messungen Kondensatormikrofone mit großer Kapazität von 20 pF und sehr geringem Elektrodenabstand von ca. 20 jim, um eine hohe Empfindlichkeit und einen Frequenzgang für 31,5 Hz bis 10 kHz zu erreichen. Die Empfindlichkeit steigt linear mit der Membranfläche. Die Resonanzfrequenz wird von der Größe der Membranfläche kaum beeinflusst. Piezoelektrische Mikrofone (Kristallmikrofone) bestehen aus einer dünnen Membran aus piezoresistivem Werkstoff, die vom Schalldruck psch auf Biegung beansprucht wird. Die dadurch hervorgerufene Ladungsänderung in der Keramik wird als Messgröße von den Elektroden weitergeleitet.

12.9 Addition von Schallpegeln und Summenregel Beflnden sich in einem Raum (Fertigungs- oder Maschinenhalle) mehrere Schallquellen unterschiedlicher Schallintensität, so überlagern sich die Schalldruck- und die Schallleistungspegel.

12 Grundlagen der Akustik und Aeroakustik

328

Bei der Bildung des Summenpegels eines zusammengesetzten Schallfeldes werden die 2

2

Schallleistungsgrößen Pg^^p v- , die Schallintensität I und die Schallleistung Pak der beteiligten Schallquellen des überlagerten Schallfeldes aufsummiert. Liegen von den zu addierenden Einzelschallquellen nur die Schalldruckpegel vor, so müssen daraus vorerst die quadrierten Schalldrücke berechnet werden Psch=PscholO^^/"

(12-49)

Der Summenpegel des Schalldruckes für die überlagerten inkohärenten Schallquellen beträgt: 11

f^2 Lpj;

=101gio

Pschl "^Psch2 "^Psch3 "^•••"^Pschn

„2 PschO

\ = \0\g——

= 1 0 1 g ' y lO^'^^P'

^0

(12.50)

M

Werden z.B. zwei Schallpegel Lpi+Lp2 addiert, so erhält man

/

Lp2~Lpi »

Lpi =101gflO°'''^P' +10°''^"^ l = 1 0 1 g lO^'lLp. 1 + 10

10

(12.51)

Der Schallpegel der Schallquelle 1 beträgt (12.52)

Lpi=101gl0'^''^'" Damit kann für den Gesamtschallpegel der beiden Schallquellen geschrieben werden:

/

Lp2-Lpi ^

Lpi+2 = L p i + A L p = L p i + 1 0 1 g 1 + 10

ALp3,00 ^^2,50 2,25 2,00 1,75 1,50 1,25 1,00 0,75 0,50 0,25 0

10

(12.53)

/ Lp22V^ ALp = 1 0 lg 1 + 10 10

MNI \ \| |\|

NJ

h^l f> r^^l

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

17-4^ 1011 1 2 1 3 1 4 1 5 Lpi-Lp2 dB

Bild 12-18 Korrekturschallpegel ALp für zwei Schallquellen in Abhängigkeit der Schallpegeldifferenz Lpi-Lp2

Stellt

einen Korrekturschallpegel dar, der die Erhöhung des Schalldruckpegels Lp in dB durch den Schallpegel der Schallquelle 2 angibt. Im Bild 12-18 ist der Korrekturschallpegel ALp in Anhängigkeit der Schallpegeldifferenz Lpi-Lp2=0 bis 15 dB für das Schalldruckpegelverhältnis Lpi/Lp2>l,0 dargestellt. Der Korrekturschallpegel nimmt Werte von ALp=0,20 bis 3,0 dB an. Diese Beziehungen können ebenso für die Schallschnelle v , die Schallintensität I und für die Schallleistung Pak ermittelt werden.

13 Grundlagen der Strömung in Turbomaschinen Zu den Turbomaschinen gehören rotierende Maschinen mit beschleunigter Strömung: Gasturbinen, Dampfturbinen, Wasserturbinen, Windturbinen und Maschinen mit verzögerter Strömung: Turboverdichter, Kreiselpumpen, Ventilatoren, Turbolader, Strömungswandler (Strömungsgetriebe, Strömungskupplungen und Retarder, die ein Turbinen- und ein Pumpenlaufrad enthalten). Im rotierenden Laufrad von Turbomaschinen wird die Energie des strömenden Fluids verändert. In Turbinen wird die Energie und auch die spezifische Energie des Gases, des Dampfes oder des Wassers vermindert, um daraus mechanische Arbeit an der Welle zu gewinnen zum Antrieb von Generatoren oder von anderen Maschinen. Turboverdichter und Kreiselpumpen werden von Elektromotoren, Gasturbinen oder Verbrennungsmotoren angetrieben, wobei mechanische Arbeit an der Welle zugeführt wird, um die Fluidenergie des Gases kompressibel oder inkompressibel bei Pumpen und Ventilatoren zu erhöhen. Im Laufrad wird die Arbeit durch Dralländerung übertragen. Dabei wird die Zuströmung des Fluids in die Abströmrichtung mit dem Winkel ß2 umgelenkt. Entsprechend dem Drallmoment stellt die zeitliche Dralländerung des Fluids im Laufrad das Drehmoment M dar, das mit der Winkelgeschwindigkeit (O = 27m die mechanische Leistung P = coM ergibt. Diese mechanische Leistung ist eine abgegebene Leistung bei Turbinen und eine zugeführte Leistung bei Kompressoren und Pumpen.

13.1 Bauarten von Turbomaschinen Entsprechend der geometrischen Gestaltung der Turbomaschinen und besonders der Laufräder und der Durchströmrichtung des Fluids unterscheidet man die folgenden Grundbauarten (Bild 13-1):

Axialmaschine Bild 13-1

Diagonalmaschine Radialmaschine Seitenkanalmaschine

Bauarten von Strömungsmaschinen

- Radialmaschinen mit radialer Abströmrichtung des Fluids - Diagonalmaschinen mit diagonaler Abströmrichtung des Fluids

Freistrahlturbine

13 Grundlagen der Strömung in Turbomaschinen

330

- Axialmaschinen mit axialer Zu- und Abströmung des Fluids - Sonderbauarten wie z. B. Seitenkanalmaschinen, Freistrahl- oder Peltonturbinen In diesen geometrischen Formen werden sowohl Turbinen als auch Pumpen und Kompressoren gebaut.

Bild 13-2 Ausführungen radialer Strömungsmaschinen a) Einstufige Radialmaschine, b) Stufe einer mehrstufigen Radialmaschine

Bild 13-3 Kombinationen unterschiedlicher Stufen a) Strömungswandler mit Pumpe P und Turbine T b) Abgasturbolader mit Abgasturbine T und Verdichter V

^ a)

\c

11 W

b)

Bild 13-4 Axialmaschinen mit verstellbaren Laufschaufeln a) Kaplanturbine mit verstellbaren Laufschaufeln b) Diagonalmaschine z.B. Dériazturbine Diese Grundbauformen fächern sich weiter auf in ein- und mehrstufige Maschinen (Bild 13-2) und in Maschinenkombinationen aus Kompressoren und Turbinen (Flugzeugtriebwerke) (Bild 1-3) aus Flüssigkeitspumpe und Turbine wie beim Strömungswandler (Bild 13-3a) oder aus Gasturbine und Kompressor (Abgasturbolader für Verbrennungsmotoren) (Bild 13-3b). Den unterschiedlichen geometrischen Bauformen sind unterschiedliche Hauptparameter und Drehzahlen zugeordnet, aus denen sich auch konkrete Einsatz- und Betriebsbereiche ergeben. Auch Axialmaschinen, z. B. Axialpumpen, können unterschiedlich mit feststehenden Laufschaufeln oder mit verstellbaren Laufschaufeln als Kaplanwasserturbinen oder Kaplanpumpen hergestellt werden (Bild 13-4). Bezüglich der Schaufelgitter in den Laufrädern existieren unterschiedliche Bauformen, z. B. radiale Laufräder mit einfach oder räumlich gekrümmten Schaufeln (Bild 13-5), profiliertenoder nichtprofilierten Schaufeln (Bild 13-6).

13.2 Strömung im rotierenden radialen Laufrad

Bild 13-5 Radiale Laufräder mit unterschiedlicher Schaufelgeometrie a) einfach gekrümmte Schaufel b) räumlich gekrümmte Schaufel

331 Axiale Laufräder mit profilierten Schaufeln entsprechend NACAProfil oder unprofilierte Schaufeln wie z. B. für kleine Axialventilatoren (13-6), feststehende Axialschaufeln, im Ruhezustand einstellbare Axialschaufeln oder verstellbare Axialschaufeln für Wasserturbinen mit unterschiedlichen Fallhöhen bzw. unterschiedlichen spezifischen Nutzarbeiten.

Bild 13-6 Schaufelformen a) profilierte Schaufel b) unprofilierte Schaufel mit konstanter Dicke

13.2 Strömung im rotierenden radialen Laufrad Das Laufrad und damit auch die Schaufeln und das Fluid rotieren mit der Winkelgeschwindigkeit CO = Inn , wobei die Umfangsgeschwindigkeit des Laufrades u = cor = 27rnr beträgt. Dadurch ändert sich die Umfangsgeschwindigkeit des Fluids im radialen Laufrad vom Laufradeintritt mit uj = 27rnri von Ui=20 bis 100 m/s bis zum Laufradaustritt U2 = 27rnr2 von U2= 80 bis 520 m/s. Durch dieses rotierende Laufrad fiießt der Volumenstrom des Fluids hindurch mit zwei Geschwindigkeiten, mit der Relativgeschwindigkeit w und der Absolutgeschwindigkeit c, die vom Betrachtungspunkt im rotierenden oder ruhenden System abhängig sind (Bild 13-7).

13.2.1

Absolut- und Relativgeschwindigkeit

Ein auf dem Laufrad mitrotierender Beobachter (Relativsystem) würde die Relativgeschwindigkeit w beobachten. Der vom ruhenden Standort betrachtende Beobachter (Absolutsystem) sieht im durchsichtigen Laufrad nur die Absolutgeschwindigkeit c (Bilder 13-7 und 13-8). Er erkennt nicht die Relativgeschwindigkeit w. Die Absolutgeschwindigkeit im ruhenden Beobachtungssystem setzt sich vektoriell aus der Umfangsgeschwindigkeit und der Relativgeschwindigkeit c = ü + w zusammen (Bild 13-8). Dabei liegt zwischen der Umfangsgeschwindigkeit ü und der Relativgeschwindigkeit w der Schaufelwinkel ß und zwischen der Umfangsgeschwindigkeit ü und der Absolutgeschwindigkeit c der Strömungswinkel a.

13 Grundlagen der Strömung in Turbomaschinen

332

13.2.2 Geschwindigkeitsdreiecke am Laufradein- und Austritt Ein hoher Wert der übertragenen spezifischen Nutzarbeit erfordert eine große Umfangsgeschwindigkeit U2 = CO r2 = 2 71 n r2, d. h. einen großen Laufradradius r2, eine hohe Drehzahl und einen geringen Austrittswinkel a2 bzw. einen großen Schaufelaustrittswinkel ß2. W1

W2 =Cim Ci=Cim

X/ | C 22 ^^^ ^

A

TC2rr

Bild 13-7 Geschwindigkeitsdreiecke am Ein- und Austritt des U2 Cu2 Laufrades fiir drallfreie M Laufrad eintritt Laufrad au stritt Eintrittsströmung Wie Bild 13-7 zeigt, lassen sich die Strömungsverläufe im rotierenden Laufrad sehr einfach mit der Relativgeschwindigkeit w = c - ü beschreiben, die ein mitrotierender Beobachter wahrnimmt. Er bewegt sich mit der Umfangsgeschwindigkeit u und sieht die Relativgeschwindigkeit w im Schaufelkanal.

/\h

02^^^^

In ruhenden Leiträdern oder in Umlenkkanälen von Strömungsmaschinen ist co = 0. In diesen Bauteilen wird keine Energie mit dem Fluid ausgetauscht. Es ist also Y = 0 und Ap=pY=0. Leiträder und Umlenkkanäle müssen neben der Verzögerung und der Umlenkung der Strömung die Reaktionsmomente der Strömung aufnehmen und an das Maschinengehäuse übertragen.

13.3 Eulergleichung der Turbomaschinen An einem Fluidelement dm = p dV = p A ds, das sich im Laufrad auf der Stromlinie s mit der Geschwindigkeit w im Relativsystem (mitrotierender Beobachter) bewegt, greifen folgende sechs Kräfte an (Bild 13-8): s Stromlinie

Bild 13-8 Geschwindigkeiten und Kräfte im rotierenden radialen Laufrad Trägheitskraft, Druckkraft, Gravitationskraft, Zentrifugalkraft, Corioliskraft und Reibungskraft, deren Komponenten in Stromlinienrichtung miteinander im Gleichgewicht stehen. Da die Corioliskraft senkrecht auf der Stromlinie und damit auch senkrecht auf der Relativgeschwindigkeit steht, nimmt sie keinen Einfluss auf die Bewegung des Teilchens auf der Stromlinie.

13.3 Eulergleichung der Turbomaschinen

333

Die Kräfte und die Kraftkomponenten der Gravitationskraft und der Zentrifugalkraft in Bewegungsrichtung der Stromlinie im Bild 13-8 betragen dw Trägheitskraft Fj = m a = p A ds Druckkraft

Fp =(p + ^ d s ) A - p A = A ^ d s 3s ds

Gravitationskraftkomponente

T7

Zentrifugalkraftkomponente

F^ = m a 2 sm a = p A ds CO r — ds F^ = x A = xUds

Reibungskraft

FQ

•

K A

^^

= g m sm a = g P A ds — ds

Für das Kräftegleichgewicht in Bewegungsrichtung auf der Stromlinie s kann geschrieben werden: A j dw . 3p , A j dh . j 2 dr ^^, /io ix pAds + A - ^ d s + gpAds pAdsco r — + TUds = 0 (13.1) dt 3s ds ds Die Lösung der Gl. 13.1 erfolgt analog zur Lösung der Eulerschen Bewegungsgleichung im Abschn. 6. [1][2]. Sie fuhrt zur Eulergleichung der Turbomaschinen, die jedoch nachfolgend eleganter aus dem Drehmomentensatz der Turbomaschinen abgeleitet wird. Für Turbomaschinen zur Förderung kompressibler Fluide (Gase und Dämpfe), wie Turboverdichter, Gas- und Dampfturbinen, ist die äußere spezifische Arbeit, die auch als technische Vi

Arbeit bezeichnet wird

— ,von der Art der Zustandsänderung während der Kompression J p Pi

oder Expansion abhängig. Bei der verlustbehafteten Expansion in Turbinen wird die spezifische Nutzarbeit gegenüber der isentropen Expansion verringert und bei der verlustbehafteten Kompression muss die aufgewandte spezifische Arbeit gegenüber der isentropen Zustandänderung vergrößert werden, um die Verluste zu decken. Die schwierigste Aufgabe bei der Lösung der Eulergleichung der Turbomaschinen ist die Berechnung der spezifischen Reibungsarbeit im Laufrad xUds bzw. der integralen s

Größe

fX U ds, die aus der spezifischen Reibungsarbeit auf den Schaufelflächen, der spezifiJ pA 0

sehen Reibungsarbeit an den Innen- und Außenseiten der Trag- und Deckscheiben und aus den Sekundärströmungsverlusten im Laufrad besteht. Zu deren Berechnung benutzt man heute zwei- bzw. dreidimensionale Verfahren auf der Grundlage der Navier-Stokesschen Gleichungen in Verbindung mit verschiedenen Turbulenzmodellen. Wissenswert ist aber, dass die spezifische Reibungsarbeit bei der beschleunigten Strömung in Turbinen infolge nichtauftretender Strömungsablösung auf den Laufschaufeln geringer ist als bei der verzögerten Strömung mit Druckerhöhung in Pumpen und Kompressoren.

13 Grundlagen der Strömung in Turbomaschinen

334

13.4 Drehmomentensatz für Turbomaschinen Die Eulergleichung der Turbomaschinen kann in einfacher Form mit Hilfe des Drehmomentensatzes abgeleitet werden. Das von der Strömung auf das Laufrad einer Pumpe ausgeübte Drehmoment zwischen dem Schaufeleintritt 1 und dem Schaufelaustritt 2 kann aus dem Drehimpulssatz rCu=konst. abgeleitet werden (Bild 13-9). Das Drehmoment beträgt: (13.2)

M = m(cu2r2-Cuiri)

Darin ist rh der Massenstrom, Cui^i der Austrittsdrall aus dem Laufrad und Cuiti der Eintrittsdrall (Abschn. 4.2.7). Die vom Laufrad abgegebene theoretische mechanische Leistung beträgt damit: p = CûM = m(u2 c^2 ~^l ^ul)

(13.3)

Die theoretische Laufradleistung kann aber auch aus der umgesetzten Strömungsenergie berechnet werden zu P= m Y, wobei m der durchströmende Massestrom ist und Y die auf die Masseneinheit bezogene spezifische Nutzarbeit Y Durch Gleichsetzen beider Leistungen P=(jL)M = r h ( u 2 C ^ 2 ~ ^ l ^ u l ) - ^ ^ Y erhält man die übertragene spezifische Nutzarbeit. m

•("

(13.4)

2Cu2-UlCul, ^2

Mit Hilfe dieser Eulerschen Turbinengleichung kann die im Laufrad einer Radialpumpe an das Fluid übertragene spezifische Nutzarbeit entsprechend Bild 13-9 berechnet werden, wenn die Geometrie des Laufrades und die Umfangskomponenten der absoluten Ein- und Austrittsgeschwindigkeiten bekannt sind.

Bild 13-9 Meridianschnitt und Zirkularprojektion eines Pumpenlaufrades Die Umfangskomponenten der absoluten Ein- und Austrittsgeschwindigkeiten Ci und C2 betragen mit den Zu- und Abströmwinkeln ai und a2 der Absolutgeschwindigkeiten am Ein- und Austritt Cui = Cicosai und Cu2 = C2COsa2. Führt man diese Komponenten in die Eulersche Turbinengleichung ein, so erhält man für die übertragene spezifische Nutzarbeit mit u=(or:

13.5 Strömung in Axialmaschinen Y = (û(r2 C2 cosa2 -r^ c^ cosaj)

335 (13.5)

Das übertragene Drehmoment ergibt sich aus Gl. 13.3 und Gl. 13.5 für die mittlere Stromlinie bei rim M = m — = m(r2 C2 cosa2 -^m ^l cosa^)

(13.6)

CO

und die im Laufrad übertragene verlustlose Leistung ergibt sich zu p = cûM = mY = (jL)m(r2 C2 cosa2 -^m ^i cosa^)

(13.7)

Damit kann die Berechnung einer Strömungsmaschine (Pumpe oder Turbine) erfolgen. Eine große spezifische Nutzarbeit wird durch eine hohe Winkelgeschwindigkeit co bzw. hohe Drehzahl, durch einen drallfreien Eintritt in das Laufrad mit dem Eintrittswinkel ai = 90° (rimCiCosai = 0) und durch eine hohe Umfangskomponente der Austrittsströmung Cu2 erreicht (Bild 13-7).

13.5 Strömung in Axialmaschinen 13.5.1 Axiale ebene Schaufelgitter Die Strömung in den Schaufelgittem axialer und radialer Turbomaschinen wird zunächst als Potentialströmung betrachtet. Wird das Schaufelgitter in einem koaxialen Zylinderschnitt bei dem Radius r abgewickelt, so entsteht ein ebenes unendlich langes Schaufelgitter (Bild 13-10) mit den angegebenen Geschwindigkeitsverhältnissen für den Kontrollraum zwischen 0 und 3. Die Meridiangeschwindigkeit Cm beträgt: Cm = Co sin ao = C3 sin a3 = c^j = c^2

(13.8)

Die Umfangskomponenten der Absolutgeschwindigkeiten in den Punkten 0 und 3 von Bild 13-10 betragen: CuO-CQ cosag =Cj^ cotao

(13.9)

Cu3-C3 cosa3 =Cj^ cota3

(13.10)

Die Ebenen 0 und 3 sind Ebenen, in denen die Zu- und Abströmgeschwindigkeiten vom Schaufelgitter noch unbeeinflusst sind. Werden diese Gleichungen in die Eulergleichung eingeführt, so erhält man mit U3=Uo und ACu=Cu3-Cuo die übertragene reibungsfreie spezifische Nutzarbeit AY AY = uCjn (cota3 - c o t a o ) = uAc^

(13.11)

bzw. die Förderhöhe der reibungsfreien Strömung uCm uAc„ H = —^(cota3-cotao) = (13.12) g g Mit der Druckzahl ^=Y/(u2^/2) und mit der Lieferzahl (p=cju erhält man die Eulergleichung in der dimensionslosen Form:

13 Grundlagen der Strömung in Turbomaschinen

336 ^ = 2(p(cota3-cotao)

(13.13)

Die relative Anströmgeschwindigkeit Woo beträgt mit Acu = Awu und Wuoo = u - ACu/2 - Cuo (Bild 13-10) 2

2

2

A2

^Ac,

2

-CuO

Woo =Cm+Wuoo =Cin + u -

= c^ +

^u3 + w uO

(13.14)

Der Strömungswinkel ßoo der ungestörten Anströmung beträgt: tanß^=^^

(13.15) Ac, -CuO

Pumpen und Verdichter werden in der Regel mit Cuo^O ausgelegt, sodass man für den Strömungswinkel ßoo erhält /Koaxialschnitt Cm (13.16) tanß^ = Ac. \

i

Die Umlenkung der Strömung im Schaufelgitter erfolgt durch die geometrische Form der Schaufeln und durch die unterschiedlichen Druckverteilungen auf den Schaufelsaug- und Druckseiten bzw. durch die Schaufelkräfte. Der infinitesimale Massenstrom zwischen zwei Schaufeln mit dem Abstand t beträgt d rh ^pc^tdr im ebenen Schnitt des Schaufelkanals beim Radius r. Er erfährt die Umlenkung ACu=Awu=Wu3-Wuo und er verursacht dadurch die tangentiale Schaufelkraft Ft Ft = dm(Wu3 - Wuo) = ptbCjn(Wu3 - Wuo) = = ptbCin(Cu3-Cuo)

Vom Schaufelelement wird die gleich große Schaufelkraft als Reaktionskraft entsprechend der Geschwindigkeitsdifferenz Awu=(Wu3Wuo)=Cu3-Cuo ausgeübt. In axialer Richtung wirkt an der Schaufel die Kraft Fa, hervorgerufen durch die Differenz des statischen Druckes und die Geschwindigkeitsdifferenz „..,„,„ Bild 13-10 Axialmaschine mit dem abgewickelten ebenen Schaufelgitter mit Geschwindigkeitsdreiecken a) Axialmaschine b) abgewickeltes ebenes Schaufelgitter c) Geschwindigkeitsdreiecke

F , = ( p o - p 3 ) t b + Ç(c?„0-Cm3)tb (13.18) 2 Aus der BernouUigleichung folgt die Druckdiffe^enz im Kontrollraum zwischen den Ebenen 0 ^ j o.

13.5 Strömung in Axialmaschinen

(P0-P3) = ^ ( w 3 - w ^ )

337

(13.19)

und aus Bild 13-10 kann fur die Relativgeschwindigkeit entnommen werden: W3 -Wo = c ^ +w^3 - ( c ^ +w^o)= w^3 - w ^ o

(13.20)

sodass die Axialkraft für Cnio=Cni3=Cni lautet: Fa=^tb(w23-w2o)

(13.21)

Der Quotient aus Normal- und Tangentialkraft ist dem Cotangens des Winkels ßoo gleich, d.h. die resultierende Kraft F^ = -^/F^ + F^ steht bei reibungsfreier Strömung senkrecht auf dem Geschwindigkeitsvektor Woo und sie stellt die Auftriebskraft der Schaufel dar. Das Verhältnis der Axialkraft Fa zur Tangentialkraft Ft beträgt: Fa 1 ( W U 3 - W U Q ) 1 w^3+w^Q 1 — =- ^ ^ " T = -(cotß3-cotßo) Ft 2 c ^ ( W u 3 - W u o ) 2 c^ 2 mit dem Cotangens des ungestörten Anströmwinkels ßoo cotß^=|(cotß3-cotßo)

(13.22)

(13.23)

Die resultierende Auftriebskraft FA beträgt mit Gin. 13.17 und 13.21

F A = P tb(Wu3-Wuo) C m + - ( w u 3 + W u o ) ^

(13.24)

Darin ist r = t ( w ^ 3 - w ^ o ) = tAw^

(13.25)

die Zirkulation F um das radiale Schaufelelement dr und der Ausdruck in der eckigen Klammer von Gl. 13.24 stellt entsprechend Bild 13-10 die Umlenkung der Relativgeschwindigkeit Woo dar. Die resultierende Auftriebskraft ergibt sich aus der Dichte p, der Zirkulation s

r= p w ds , der mittleren relativen Geschwindigkeit Woo und der Breite des Schaufelelements 0

b zu: FA^pbFw^

(13.26)

13.5.2 Belastungszahl von Schaufelgittern Analog zum Auftrieb des Einzelprofils kann auch die Auftriebskraft bei reibungsfreier Strömung ermittelt werden.

338

13 Grundlagen der Strömung in Turbomaschinen

FA=yCAwilb

(13.27)

Der Auftriebsbeiwert CA als dimensionslose Größe der Auftriebskraft ist nach KuttaJoukowski proportional der Zirkulation. Mit den Gin. 13.25, 13.26 und 13.27 ergibt sich das Produkt aus dem Auftriebsbeiwert CA und dem Teilungsverhältnis 1/t zu o^'- = 2 ^ ^ = ^ ^ = ^ ^ t w^ uw^ (p w ^ Mit sinßoo=Cni/Woo folgt für CAI/I

(13.28)

C A - = —sinß^ t (p

(13.29)

13.5.3 Belastungszahl und Widerstandsbeiwert unter Berücksichtigung der Reibung Bei reibungsbehafteter Strömung wirkt außer der Auftriebskraft auch noch die WiderstandsP 2 kraft Fw auf das Schaufelelement der Breite b, die durch den Reibungsdruckverlust Çy ~^m verursacht wird und in Richtung von Woo wirkt. Der Druckverlustbeiwert ^y setzt sich aus dem Profil- und dem Randverlust der Schaufel im Gitter zusammen. Dadurch wird sowohl die Auftriebskraft als auch die Axialkraft der reibungsbehafteten Strömung gegenüber der reibungslosen Strömung beeinflusst. Durch die reibungsbehaftete Strömung wird die Tangentialkraft fiir eine unveränderte Umlenkung Awu=Wu3-Wuo nicht beeinflusst. Damit ergibt sich die resultierende Kraft für die reibungsbehaftete Strömung F = A/FA+FW

(13.30)

Der Widerstandsbeiwert c^ wird analog zum Auftriebsbeiwert CA definiert als C w = ^ ^

(13.31)

pwilb Das Verhältnis der Widerstandskraft zur Auftriebskraft bzw. der dimensionslosen Werte beträgt tan£ = ^ FA

=^

(13.32)

CA

Da CA »CW ist und sich nur kleine Gleitwinkel 8 einstellen, kann tan 8-8 gesetzt werden. 8 wird als Gleitzahl bezeichnet (Abschn.lO). Damit betragen die Schaufelkräfte in tangentialer und axialer Richtung des Schaufelgitters: Ft = F A sinß^+F^cosß,^ = - ^ C A w i l b ( s i n ß ^ + 8 c o s ß ^ )

(13.33)

Mit Gl. 13.28 erhält man die tangentiale Kraft Ft, die axiale Kraft Fa und die Auftriebskraft FA mit Cm=WooSinß^: Ft = p t b c ^ ( C u 3 - C u o ) = P t b w ^ Ac^sinß^ (13.34) Fa =Faid-Fay = FA c o s ß ^ - F ^ sinß^ (13.35)

13.5 Strömung in Axialmaschinen

339

P 2 lb(cosß^ - £ s i n ß ^ ) (13.36) 2^AW. Die im Schaufelgitter erreichbare Umlenkung der Strömung Ac^ und die daraus resultierende spezifische Arbeitsübertragung bei reibungsbehafteter Strömung für ro=r3 ergibt sich aus den Gin. 13.33 und 13.34 zu 1 w, -(l + 8C0tß^) (13.37) Ac„ = Aw„ =c i t 2 Für die vorgegebene Umlenkung ACu bzw. für die spezifische Arbeitsübertragung kann die Belastungszahl CAI/I bei reibungsbehafteter verzögerter Gitterströmung ermittelt werden: 1

2 Ac, 1 (13.38) w ^ [l + ecotß, t Die Auftriebsbeiwerte können Profiltafeln oder Polardiagrammen entnommen werden (Abschn. 10). Sie betragen etwa CA~ 0,8... 1,4. Für das Teilungsverhältnis t/1 wird mit Rücksicht auf eine geringe Gleitzahl 8 bzw. einen hohen Wirkungsgrad t/1 > 0,5...0,6 gewählt, sodass die zulässige Belastungszahl Cp\li ~ 1,6...2,33 beträgt. Damit können die Schaufelschnitte des Profils von ri bis ra bei r=konst. bestimmt werden. Die Auslegung der Gitter erfolgt meist für konstante Arbeitsübertragung für alle Schaufelschnitte ACu(r)=konst. Werden bekannte Profile wie z.B. NACA-Profile (Abschn. 10) verwendet, so sind damit die Beiwerte CA und Cw bekannt, sodass das Gitter mit 1/t gestaltet werden kann. Für ruhende Leitradgitter von radialen Leiträdern sind in Gl. 13.38 Woo durch Coo, ßoo durch aoo zu ersetzen. Die Auslegung von Axialgittem kann entsprechend der Gitterbelastung nach verschiedenen Verfahren erfolgen: 1. nach der Theorie der Einzelprofile unter Berücksichtigung der Nachbarschaufeln für \l//(p=0... 0,6(1,6), 2. nach dem Singularitätenverfahren für \|//(p=0,6 ... 2,0 (4,5), 3. mittels der CFD-Programme ANSYS, CFX, FIDAP oder STAR-CD. Erfolgt die Auslegung von Windturbinen oder Schiffsschrauben nach der Theorie der Einzelprofile, so muss der Einfiuss der Nachbarschaufeln auf die Strömungsverhältnisse am Profil und auf die Zirkulation berücksichtigt werden. 2,5 CAG ^ Der Einfiuss Nachbarschaufeln auf die StröCAE 10°l 10° mung des zu betrachtenden Profils wird nach "2,0 Sßs [3] [4] durch Korrektur der Auftriebsbeiwerte s=20 w ^ / CAG 1,5 (13.39) ^AG ^AE 30^ ^CAE 1,0 berücksichtigt, wobei die Verhältniswerte -40° ^ CAG/CAE als Funktion des Staffelungswinkels und 0,5 OU des Teilungsverhältnisses gegeben sind (Bild 60° " ^ -90° 0 13-11). Die Berechnung der radialen und axia0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5^3,0 len Pumpen-, Verdichter- und Turbinenlaufräder sowie der gesamten Maschinen erfolgt heute Bild 13-11 mit Hilfe der CFD-Programme ANSYS CFX, Gittereinflussfaktor CAQ/CAE fiir Kreisbogenschaufeln FIDAP oder STAR-CD. CA

n

J-iß

r

13 Grundlagen der Strömung in Turbomaschinen

340

13.6 Ähnlichkeitskennzahlen von Turbomaschinen Die Strömungsvorgänge und die Energieübertragung in Turbomaschinen werden durch die Gesetze der Strömungsmechanik und der Thermodynamik beschrieben. Vielfach lassen sich bekannte Resultate von Turbomaschinen auch auf geometrisch ähnliche Maschinen übertragen, wenn neben der geometrischen Ähnlichkeit auch die physikalische Ähnlichkeit der Strömungsmaschinen gegeben ist und die dafür beschreibenden Größen bekannt sind. Die geometrische Ähnlichkeit von Körpern und Maschinen wird durch einen dimensionslosen Maßstabsfaktor der charakteristischen Abmessungen bestimmt. Für die physikalische Ähnlichkeit muss analog dazu für jede physikalische Einflussgröße wie z.B. Geschwindigkeit, Druck, Temperatur, Dichte, Viskosität und spezifische Energie ein dimensionsloser Maßstabsfaktor gebildet werden, der Ähnlichkeitskennzahl oder Ähnlichkeitskenngröße genannt wird. Stimmen die Ähnlichkeitskennzahlen zweier Maschinen bei der Modellbetrachtung überein, so sind die beiden Maschinen ähnlich. Die Ähnlichkeitsmechanik bietet also den Vorteil, dass für große Wasserturbinen oder für große Radialpumpen zunächst eine geometrisch und physikalisch ähnliche Modellmaschine gebaut und experimentell untersucht werden kann, bevor die Großausführung gebaut wird. Die Vielzahl der physikalischen Einflussgrößen auf die Turbomaschinen erlaubt nicht immer die strenge Einhaltung der physikalischen Ähnlichkeit zwischen der Modell- und der Originalmaschine. Deshalb wird häufig nur eine teilweise Ähnlichkeit für die Haupteinflussgrößen eingehalten. Die Ähnlichkeitskennzahlen werden analog zu den Hauptparametem der Maschinen ermittelt, die in der Tabelle 13-1 für eine Kreiselpumpe angegeben sind. Tabelle 13-1 Hauptparameter und dimensionslose Kennzahlen von Kreiselpumpen Hauptparameter

Symbol

Nennvolumenstrom

V

Spezifische Nutzarbeit oder Förderhöhe

Y H

Dimensionslose Kennzahl

h

^

^ kg m

Lieferzahl Dmckzahl

„_Cm2_ y\) —

xp_

V

—

U2 Y

27inr2A2 _ gH

U2/2

Spezifische Drehzahl Antriebsdrehzahl

N

min'^

(pV2 Schnelllaufzahl xpl/4

Laufraddurchmesser

d2

m

Durchmesserzahl

Antriebsleistung

P

W

Leistungszahl

Wirkungsgrad

ri=pVY/PK

Kavitationsempfmdlichkeit

NPSH m

v = (p^ ri

Kavitationszahl

2 g NPSH

In^n^Tj

13.6 Ähnlichkeitskennzahlen von Turbomaschinen

341

13.6.1 Lieferzahl Die Lieferzahl cp ist definiert als die Meridiangeschwindigkeit am Laufradaustritt 0^2 bezogen auf die Umfangsgeschwindigkeit U2.

9=

^m2 U2

(13.40)

Nur im Ausnahmefall wird die Lieferzahl cp bei Pumpen für den Laufradeintritt definiert als 9 = Cmi/ui, z.B. dann, wenn das Kavitationsverhalten der Maschine zu beurteilen ist. Für Radialverdichter wird die Lieferzahl cp = Cni/u2 mit einer fiktiven Meridiangeschwindigkeit definiert. Das ist jene Meridiangeschwindigkeit c^, die sich ergeben würde, wenn der Volumenstrom des Verdichters im Druckstutzen bezogen auf den Zustand im Saugstutzen ps, Ts durch den Stimquerschnitt des Laufrades strömt A = (71/4) d2^. Daraus folgt die Lieferzahl cp für Turbokompressoren, für die sich sehr kleine Beträge einstellen. (p:

4V U2

Au2

(13.41)

TT^d^n

Bei Axialmaschinen ist die Meridiangeschwindigkeit Cm entsprechend dem Geschwindigkeitsdreieck im Bild 13-12 in der gesamten Maschine konstant. Für die Radien r = ro = ri = r2 = rs gilt Cm = Cmo = Cmi = Cj^i = 0^3. Entsprechend dem Geschwindigkeitsdreieck für ein Axialgitter gilt: (13.42)

ACu=U-

^ - ^ u O + w ^ o - ^ m (cot a + cot ß)

(13.43)

1 cot a + cot ß

(13.44)

(p:

u

Bild 13-12 Geschwindigkeitsdreieck für Austritt eines Axialgitters

den Ein- und

13.6.2 Druckzahl Die Druckzahl ^ stellt die übertragene spezifische Nutzarbeit Y, bezogen auf die spezifische Energie des Laufrades am Umfang des Laufrades U2^/2 dar.

^

ui/2

Ap 0^2 2 2 ZK n r2

(13.45)

Bezieht man die Euler sehe Turbinenhauptgleichung auf U2^/2, dann erhält man eine dimensionslose Schreibweise der Eulerschen Turbinenhauptgleichung in der Form

13 Grundlagen der Strömung in Turbomaschinen

342

2AY

^ =-

nl

2u

1"3

nl L

'"0

2 c ^ 2 pt, der den Sättigungsdruck des Fluids übersteigt, so ist das Phasengleichgewicht zwischen der Dampfblase und der Flüssigkeit gestört, sodass der in der Blase enthaltene Dampf schlagartig kondensiert. Dadurch wird die Blasenwand durch den höheren Druck der umgebenden Flüssigkeit nach innen beschleunigt. Am Ende der Blasenimplosion erreicht die Geschwindigkeit hohe Werte, die sich mit Hilfe der Rayleighschen Gleichung bestimmen lässt. Sie beträgt: 2p-Pt R.

(13.88)

-1

Darin ist p der Druck der umgebenden Flüssigkeit, pt der Dampfdruck in der Blase, Ro und Rg sind die Blasenradien zu Beginn und am Ende der Blasenimplosion. Die Berechnung der konzentrischen Blasenimplosion nach Rayleigh geht von idealisierten Voraussetzungen aus und sie stellt damit eine Modellvorstellung entsprechend Bild 13-2la dar [12]. In realen Strömungen implodieren die Kavitationsblasen asymmetrisch entsprechend Bild 13-2Ib. Beim Durchstoßen des Flüssigkeitsstrahls durch die Blase entstehen kurzzeitig sehr hohe örtliche Drücke bis zu 100 MPa und darüber, die die Festigkeit metallischer Werkstoffe übersteigen können. Implodieren Kavitationsblasen in der Nähe metallischer Wände, so kommt es zur Werkstoffzerstörung. Die Asymmetrie der Blasendeformation wird durch Druckgradienten der Strömung oder durch den Einfluss angrenzender Wände verursacht. Der Druckverlauf am Eintritt einer Laufschaufel ist mit und ohne Kavitation am Schaufeleintritt im Bild 13-22 dargestellt. Die Größe der Blasen zu Beginn der Implosion beträgt etwa 1mm bis 5 mm Durchmesser. Die Kavitation wird zuerst akustisch mit Hilfe eines Unterwassermikrofons hörbar. Für die technische Feststellung von Kavitation in Maschinen werden folgende Kavitationskriterien genutzt:

gpNPSH

b)/Druckverlauf bei / Kavitation

Bild 13-22 Dmckverlauf auf einer D^ckveilauf ohne Pumpenschaufel Kavitation a) ohne Kavitation b) bei Kavitation auf der Schaufel

• akustischer Kavitationsbeginn; • Visueller Kavitationsbeginn, wenn erste Kavitationsblasen sichtbar werden; • beginnender Förderhöhenabfall, z B. in einer Pumpe;

13.11 Kavitation

355

• Förderhöhenabfall von 3 %; • Vollkavitation, dabei wird der Strömungsquerschnitt teilweise versperrt, die Förderhöhe einer Kreiselpumpe wird vermindert oder sie sinkt auf H ^ 0 ab und der Wirkungsgrad wird ebenfalls vermindert; • durch die Blasenimplosion setzen typische, knisternde Kavitationsgeräusche und Schwingungen ein. • Es setzt eine Kavitationserosion mit Materialabtrag am Laufrad oder Gehäuse ein mit begrenzter Lebensdauer des Laufrades von etwa 40 000 bis 60 000 Betriebsstunden. Das meist genutzte Kavitationskriterium für Kreiselpumpen ist der Förderhöhenabfall von 3%, weil es sich auf einfache Weise experimentell bestimmen lässt. Bei der numerischen Laufradauslegung wird in der Regel auch die Druckverteilung und das Kavitationsverhalten berechnet. Die NPSE- oder NPSH-Kennlinien werden fiir Kreiselpumpen angegeben. Die Kavitationsströmung in Strömungsmaschinen unterliegen auch den Ähnlichkeitsgesetzen bei geometrisch ähnlichen Maschinen, sodass der Kavitationsbeiwert G definiert wurde. Er beträgt: . =^ i =

(.3.89)

Mit Hilfe des Kavitationsbeiwertes o können auch NPSE^- bzw. NPSH^-Werte auf andere geometrisch ähnliche Maschinen mit dem Quadrat des Laufraddurchmessers d2 und der Drehzahl umgerechnet werden. Die NPSH-Werte von zwei Pumpen verhalten sich bei gleicher Flüssigkeit wie: NPSH (NPSH)M

(13.90) l2M ^M

Die dimensionslose Kavitationszahl a wird hauptsächlich im Wasserturbinenbau und in Wasserkraftanlagen wie z. B. in Pumpspeicherwerken benutzt. Die Definitionsgleichung lautet: a =^ ^ ^

(13.91)

Pc^ 2

Darin ist c die lokale Geschwindigkeit im Kavitationsgebiet und pt der thermodynamische Sättigungsdruck der Förderflüssigkeit. Sinkt die Kavitationszahl unter (G. ^

0,21

fei ; N s \ ^. -L ^ ^ ^ ^ ^ \ •^ ^ ^ ^ * S

Î ', V * * -4 "i -' "^ '^ •* ^ ^ ^ ^ ^ ^ •*

0

Partikelbild aus zweitem Laserpuls

0,223

Autokorrelation

Bild 15-28 Schematischer Messaufbau für die Geschwindigkeitsmessung mittels Particel-ImageVelocimetry (PIV)

0,196

^liJ^--0,04 0,170

Bild 15-29 Geschwindigkeitsfeld im Seitenkanal eines Verdichters

15.2 Geschwindigkeitsmessung

389

In einem Resonator mit zwei Spiegelflächen bilden die Lichtwellen durch Reflexion eine stehende Welle. Dadurch erreicht die Energiedichte der Strahlung durch Verstärkung ein Maximum. Der Resonator ist in starkem Maße von der Ausrichtgenauigkeit der beiden Spiegel und von thermischen Einflüssen abhängig. Der Verlauf der Energiedichte über dem Strahlquerschnitt entspricht einer Gauss'sehen Verteilungsfunktion. Im Dual-Nd: YAG-Laser sind zwei identische Laser montiert, die über einen gemeinsamen Strahlaustritt entlang der gleichen optischen Achse verlaufen. Dadurch kann der Pulsabstand zwischen zwei Pulsen von Tp = 10 ns bis 100 ns und darüber stufenlos gesteuert werden. Die untere Begrenzung ist nur durch die Leistungsfähigkeit der Steuerung bedingt. Der geringste zeitliche Abstand zwischen zwei Laserpulsen aus dem gleichen Resonator beträgt etwa 2 |is. Die Pulsenergie des Laserstrahls von Ep < 0,27 J wird durch die Pulsdauer gesteuert. Diese Steuerung der Pulsenergie ist notwendig, um dadurch die Belichtung bei der Aufnahme der PIV-Bilder (Bild 15-29) steuern zu können [6] [7].

15.2.7 Laser-Speckle-Anemometrie Die Laser-Speckle-Anemometrie stellt wiederum eine flächenhafte Messung des Geschwindigkeitsfeldes mittels eines Laser-Lichtschnitts dar. Dabei wird zuerst die zweidimensionale Fotografie der Partikelbewegungen in der ausgewählten Bildebene des Strömungsfeldes aufgenommen und danach wird eine rechnergestützte Auswertung der Geschwindigkeit im fotografischen Bild vorgenommen. Speckies werden die Doppelabbildungen der von der Strömung bewegten Partikel genannt. Die Messauswertung muss mittels leistungsfähigen Bildverarbeitungsmethoden erfolgen, sodass die praktische Nutzung der Laser-Speckle-Anemometrie nur wenig verbreitet ist.

15.2.8 Optische- und Schlierenmessverfahren Die Ausbreitungsgeschwindigkeit von Licht in Gasen ist von der Gasart und der Dichte abhängig. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit des Lichts in einem Gas ist immer geringer als im Vakuum. Dadurch kann der Brechungsindex n eines Gases als Verhältnis der Lichtgeschwindigkeit im Vakuum Co zu der in einem realen Gas angegeben werden. n =-^ (15.8) c Wenn ein Lichtstrahl eine Fluidgrenze zwischen zwei Gasen mit unterschiedlichem Brechungsindex durchflutet, so wird er abgelenkt. Durchlaufen Lichtstrahlen unterschiedliche optische Wege in einem Gas, so entsteht ein Gangunterschied. Die optische Weglänge LQ stellt die Strecke des Lichtstrahles im Vakuum dar, die er in der Zeit t zurücklegen würde, in der der Lichtstrahl in einem Gas mit dem Brechungsindex n den Weg L zurücklegt. Lo=nL (15.9) Auf dieser Basis können Geschwindigkeiten, Strömungen, Temperatur- und Dichteverteilungen in Gasen optisch gemessen werden. - Optische Verfahren zur Dichtemessung - Stromliniendarstellung von Strömungen - Geschwindigkeitsmessung in Strömungen - Turbulenzmessung

15 Strömungstechnische Messtechnik

390

Schlierenmessverfahren Wird zwischen einem Messobjekt (Gasströmung) und einer Abbildungsebene ein Brennpunkt erzeugt, in dem zwei Strahlenbündel fokussiert werden, dann erhält man eine Schlierenoptik, mit der die Schlieren einer Strömung sichtbar gemacht werden können (Bild 15-30). Neben dem Brennpunkt stellt man eine sogenannte Schlierenkante auf, von der das Licht, das von der Schliere abgelenkt wird, abgefangen wird, sodass es nicht auf dem Lichtschirm erscheint [8] [9]. Die Schlierenkante soll auch den halben Brennpunkt abdecken, um die Empfindlichkeit der Schlierenoptik zu vergrößern. Die Schlieren erscheinen in Abhängigkeit ihrer Stärke und Richtung in unterschiedlichen GrauKonkavspiegel tönen auf der Bildfläche. Die Grautöne der Schlieren stellen die Intensitätsverteilung der Dichte dp/dy des strömenden Gases dar. dE^^ dy

Spiegel

(15.10)

Als Lichtquellen werden vorwiegend Hochdruckgasentladungslampen verwendet, deren Licht in einer Sammellinse gebündelt wird, bevor es die Spaltblende passiert.

Die Abbildung der Dichtegradienten dp/dy in der Strömung erfolgt dadurch, dass die infolge von Dichtegradienten im Sammellinse Fluid gebrochenen Lichtstrahlen die Schlierenschneide passieren können und die ungebrochenen Lichtstrahlen durch Bild 15-30 Bildebene eine zweite Blende abgeschnitten werden. Schlierenmessanlage Dadurch werden die Strömungsbereiche mit einem positiven Dichtegradienten heller und jene mit einem negativen Dichtegradienten (also geringerer Dichte) dunkeler dargestellt. Fällt der Lichtstrahl durch ein Strömungsgebiet ohne Dichtegradient, so wird die Lichtintensität durch die Schlierenblende nur abgeschwächt, aber weder aufgehellt noch abgedunkelt. Schlierenkante

Neu ist der Smart-Pixel Sensor als Photomischdetektor oder Photonic Mixer Device (PMD) als ein Halbleiterbauelement auf der Basis der Standard CMOS-Technologie. Er ist in der Lage, Entfernungen im Raum direkt zu erkennen und somit Entfernungen und Geschwindigkeiten direkt zu messen.

15.3 Temperaturmessung Um Strömungszustände eindeutig beschreiben zu können, werden die Zustandsgrößen Druck, Temperatur und die Geschwindigkeit benötigt. In strömenden Fluiden kennt man die statische

15.3 Temperaturmessung

391

Temperatur T und die Totaltemperatur TQ = T +

2c,

1 + ^ ^ M ^ I (Gl. 7.66), die sich

im Staupunkt einer Strömung einstellt. Die Temperatur kann mit Hilfe folgender Geräte gemessen werden: • Widerstandsthermometer in Ein- bis Vierleiterschaltung • Thermoelement • Flüssigkeitsthermometer • Wärmestrahlungsthermometer für die berührungslose Messung

15.3.1 Widerstandsthermometer Da der Widerstand von Werkstoffen temperaturabhängig ist, kann die Temperatur durch die Widerstandsmessung etwa entsprechend der Funktion Gl. 15.11 bestimmt werden. R(T) = Ro[l + a ( T - T o ) + ß(T-To)2]

(15.11)

Darin sind a und ß die Temperaturkoeffizienten der metallischen Leiterwerkstoffe. Die Widerstandskennlinien R=f(T) eines Eisenwiderstandes, eines Kupferwiderstandes und eines Platin-Widerstandsthermometers in der Form des PT 100 sind im Bild 15-31 dargestellt. Der elektrische Widerstand eines WiderStandsthermometers kann direkt durch Messen von Spannung und Strom R(T) = U/I ermittelt R werden. Die Messgenauigkeit eines solchen direkten Verfahrens ist jedoch gering, weil die Messgeräte für die Spannung und den Strom vom elektrischen Strom durchflössen werden. Kupfen Dabei entsteht ein Spannungsabfall, der das Messergebnis beeinflusst. Außerdem wird dabei auch die Summe aller elektrischen Wi^^piatin derstände der Messschaltung gemessen. Um diese Einflüsse zu vermeiden, wird für die Widerstandsmessung eine Wheatstonesche 0 0 200 400 600 Brückenschaltung verwendet (Bild 15-32). Eine Spannungsquelle von U = 24 V versorgt T °C Bild 15-31 zwei Spannungsteiler mit den Widerständen Widerstandsverhältnisse von Metallen in Ri bis R4. Die Spannung UM, an den VerbinAbhängigkeit der Temperatur dungsleitungen der Widerstände Ri, R2 und R3, R4 stellt den Messwert dar. 8

Bild 15-32 Wheatstonesche Messbrücke

Eisen/

Für anspruchsvolle Temperaturmessungen mit hoher Genauigkeit werden Widerstandsthermometer in Dreileiterschaltung oder Vierleiterschaltung zur Messbrücke verwendet (Bilder 15-33 und 15-34). Für sehr genaue Temperaturmessungen verwendet man PT-100-Widerstandsthermometer in Vierleiterschaltung oder als Kompensationsschaltung mit Nullabgleich. Die Bezeichnung PT 100 beschreibt die international genorm-

15 Strömungstechnische Messtechnik

392

ten Widerstandsthermometer in den verschiedenen Schaltungsarten mit Platin als Widerstandswerkstoff mit R= 100 Q bei der Temperatur von 0 °C. Dadurch besteht eine einheitliche Beziehung zwischen dem Widerstand R = f (T) im Temperaturbereich von t = 0 °C bis 850 °C.

r\

Bild 15-33 Widerstandsthermometer in Dreileiterschaltung

5

RM(T)I4

""^'' X von den beiden Werkstoffen und der Tempera40-| \ T^H 7 ^ 1 turdifferenz Ti - TQ abhängt.

mV 30

^ N i Cr-Ni

U = k(Ti-To)

(15.12)

Darin ist k der Proportionalitätsfaktor der beiden Thermo Werkstoffe.

20

Die Messgröße bei der Temperaturmessung mittels Thermoelement ist die Thermospan10 nung. Das ist die für den Stromfluss verantwortliche Spannung zwischen den beiden ver0 bundenen Leitern. Dafür ist stets eine Ver0 400 800 1200 gleichsmessstelle erforderlich, die auf einem T °C konstanten Temperatumiveau von t=0°C (EisBild 15-35 Thermospannungsverlauf unterschiedlicher wasser in einem Thermogefaß) gehalten wird. Werkstof^aarungen fiir Thermoelemente Bedingt durch den Temperaturunterschied zwischen der Messstelle und der Vergleichsstelle fließt ein Strom, der der Temperaturdifferenz (TpTo) der beiden Messstellen proportional ist. Es wird aber nicht der Strom gemessen, sondern die als Thermokraft bezeichnete Thermospannung zwischen den beiden Messstellen, die ebenfalls zur Temperaturdifferenz AT^TpTo proportional ist. Wird mit dem Thermoelement die Temperatur Ti=0°C gemessen und herrscht an der Vergleichsmessstelle ebenfalls die Temperatur To=0°C so fließt kein Thermostrom und die Thermospannung ist Null. Die Thermospannung U wird mit einem hochempPt Rh-Pt

15.3 Temperaturmessung

393

findlichen Spannungsmessgerät gemessen, wobei der Thermospannungskoeffizient a in mV/K, die spezifische Thermospannung der beiden Leiterpaarungen angibt Ti=To+U/a. Die Thermospannungskoeffizienten für drei Werkstoffpaarungen sind in der Tabelle 15-1 und die Kennlinienverläufe von drei Werkstoffpaarungen im Bild 15-35 dargestellt. Tabelle 15-1

Thermospannungskoeffizienten von drei Werkstof^aarungen für Thermoelemente

Werkstoffpaarung

Temperaturbereich t

°C

mV a

Platin-Rhodium/Platin

0...400

K 0,00855

Nickel-Chrom/Nickel

0...1000

0,0411

Eisen/Konstantan

0...800

0,0565

Bild 15-36 U=konst. Thermoelementschaltung für eine Temperaturmessung mittels Kompensationsschaltung für T=konst.

Die Werkstoffkombination NiCr/Ni hat sich infolge der hohen Thermospannung als ein weitverbreitetes Standard-Thermoelement herausgebildet. Bei modernen Thermoelementen wird zur Vereinfachung als Vergleichsmessstelle eine Kompensationsbrückenschaltung mit einem temperaturabhängigen Halbleiterwiderstand (Thermistor) und drei temperaturunabhängigen Widerständen in der Vierleiterschaltung verwendet. Die Brückenausgleichsspannung verändert sich bei konstanter Speisespannung der Kompensationsbrücke linear mit der Temperatur des Halbleiterwiderstands (Bild 15-36). Die Thermospannung muss vom Thermoelement über geschirmte Ausgleichsleitungen mit der Vergleichsmessstelle oder mit der Kompensationsbrücke verbunden werden. Von der Kompensationsbrücke fähren die Messleitungen zum Präzisionsspannungsmessgerät. Zur Justierung der Messschaltung kann in die Messleitung ein einstellbarer Abgleichwiderstand eingeschaltet werden (Bild 15-36). Die Thermoelemente werden zum mechanischen und elektrischen Schutz mit einem dünnen Edelstahlmantel umgeben. Dadurch wird jedoch die Zeitkonstante des Thermoelements etwas vergrößert. Die Vergrößerung der Zeitkonstante kann vermieden werden, wenn die Lötstelle des Thermoelements mit dem Schutzmantel verbunden wird. Die Zeitkonstante des Thermoelements ist auch vom Durchmesser des Schutzmantels abhängig, deshalb werden die Schutzmanteldurchmesser möglichst klein ausgeführt mit d=0,25 mm bis d=2,5 mm mit Ansprechzeiten von T=10 ms bis 0,3 s. Infolge der relativ hohen Zeitkonstanten werden ummantelte Thermoelemente zur örtlichen Temperaturmessung in Strömungsfeldem für kleine Geschwindigkeiten und stationäre Strömungen eingesetzt. Für Strömungen mit hohen Geschwindigkeiten und für die Temperaturmessung in Grenzschichten werden spezielle Thermoelemente verwendet. 15.3.3 Strahlungsthermometer Zur berührungslosen punktweisen oder flächenhaften Temperaturmessung in Strömungen oder auf Oberflächen kann die Wärmeabstrahlung, insbesondere die Infrarot-Thermographie geïLWtzt weïden. Das Veïfahïen basiert awf deï Eigenschaft von Stoffen, die an iteeï Obeïfiache eine elektromagnetische Strahlung aussenden. Die elektromagnetische Strahlung liegt

15 Strömungstechnische Messtechnik

394

jenseits des sichtbaren Lichtes bei Wellenlängen von ?L=10"^ m bis 7,7-10"^ m bzw. bei Frequenzen von f=10^^ bis 3,9-10^"^ Hz. In diesem Wellenlängenbereich erfolgt die Wärme- oder Temperaturstrahlung, in der wie bei jeder Strahlung eine Absorption, Reflexion und die Transmission der Strahlung auftreten. Die Energiebilanz É der Wärmestrahlung, die auf einen Körper trifft, ist gleich der absorbierten E ^ , der reflektierten E R und der transmittierten Energie E j E —EA

(15.13)

+EÜ + E I

Wird diese Gleichung auf den gesamten Energiestrom É bezogen, so erhält man mit l = p+a +x

(15.14)

den Absorptionsgrad p = E ^ / E, den Reflektionsgrad a = E R / E und den Transmissionsgrad T = E j / E . Auf dieser Basis werden verschiedene Strahlungspyrometer gefertigt: • Gesamtstrahlungspyrometer (Bild 15-37) • Teilstrahlungspyrometer • Bandstrahlungspyrometer oder Farbpyrometer für begrenzte Frequenzbereiche Mit dem Gesamtstrahlungspyrometer Messobjekt wird die von der Oberfläche eines Körpers ausgehende gesamte Strahlung, d.h. Objektiv die Strahlung aller ausgesendeten FreEmpfänger quenzen gemessen. Damit können etwa 90% der Gesamtstrahlung gemessen werden. Die Temperaturdifferenz der strahlenden Oberfläche beträgt dann (15.15) AT = T 1Bild 15-37 Linsen-Thermoelementpyrometer

wobei 8 den Gesamtemissionsgrad darstellt.

Bei Linsenpyrometem mit einer Blende, einer Kalibrierblende und einem Filter kann der Frequenzbereich für die Empfindlichkeit des Pyrometers durch die optischen Eigenschaften der verwendeten Linsen oder durch spezielle Filter eingeschränkt und damit auch der Messbereich auf bestimmte Temperaturbereiche z.B. t=700 °C eingeschränkt werden.

15.4 Volumenstrom- und Massenstrommessung 15.4.1 Messprinzipien Bei den Volumenstrom- und Massenstrommessgeräten unterscheidet man folgende Ausführungen: - volumetrische Messgeräte (Flügelradzähler, Ovalradzähler, Ringkolbenzähler, Trommelzähler) (Bild 15-38) - Voltmannzähler

15.4 Volumenstrom- und Massenstrommessung

395

• Schwebekörper-Messgerät (Bild 15-38c) • Wirkdruckmessgeräte, Drosselgeräte (Düsen und Blenden) • Wirbelstabmessgeräte auf der Basis der Kârmânschen Wirbelablösung und der Messung der Wirbelfrequenz f ~ c, die über die Strouhalzahl Sr = f d/c der Geschwindigkeit proportional ist. • Elektrische Volumenstrommessgeräte, Magnetisch-induktive Messgeräte für elektrisch leitende Flüssigkeiten und Ultraschallmessgeräte für große und sehr große Rohrdurchmesser, die vorrangig in der Wasserversorgung genutzt werden.

ESSES3

V b) a) Bild 15-38 Beispiele volumetrischer Volumenstromzähler und Schwebekörper a) Flügelradzähler mit Axialflügel, b) Ovalradzähler, c) Schwebekörper

15.4.2 V o l u m e n s t r o m m e s s g e r ä t e Im Bild 15-39 ist eine Messdüse für die Volumenstrommessung von Flüssigkeiten oder Gasströmen dargestellt. Der Druckverlauf zeigt den Wirkdruck Ap = Pi-p2 an, der in einem URohrmanometer angezeigt wird.

H

Ap

Apv

Der Wirkdruck Ap ergibt sich aus der BernouUigleichung (Gl. 4.27) für die Systemgrenzen zwischen 1 und 2 mit hi = h2 zu Ap=gpAh=pi-p2=(p/2)(c2^-Ci^). Mit der Kontinuitätsgleichung V = c A = C i A i = C2A2 und mit dem Flächenverhältnis A2/Ai= (d2/di)^ erhält man die Geschwindigkeit im engsten Düsenquerschnitt zu

2Ap/

Ah

dl (15.16)

pM

»C/

Bild 15-39 Volumenstrommessdüse mit dem Wirkdruck Ap und dem bleibenden Dmckverlust Apv

4^

PgpMAh/

und der Volumenstrom beträgt dann V2 = A2C2 = '- Tl^i^i-

15 Strömungstechnische Messtechnik

396

Der Volumenstrom kann also mit den Düsendurchmessem di und d2, dem Wirkdruck Ap und der Fluiddichte p berechnet werden. Zu beachten ist, dass sich der Wirkdruck aus dem Ausschlag Ah der Messflüssigkeit mit der Dichte PM im U-Rohrmanometer ergibt zu Ap=gpM Ah. für m < 0,444 "

a

O 2i ^

(N O

o" O en ^"

o

(N OO^

oo" 00

^"

00 un 0\ o r\i un^ oo^ un^ r4^ rNj^ un^ un^ 00^ r-" r-" m" oo" oo" i > " Os" en r\| o\ oo un 00 un r^ (N r^ r^ r^ r^

^^

^"

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MD" 1-H

00

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o

.22 S

S ë

00

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0)

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1^

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^" O

en

en

CM

un O

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o

1—i

un

00

oo

00

U

0^ o

1-H

un o"

o

o

>tf^>. vs. > ^[j|[

10- 6 -

10- 7 0,1

N 1 JK\

1 Bild AlO

10

10^

10^ ^

,r,

P kPa Kinematische Viskosität v von Wasserdampf

10"^

18 Anhang

420

Cv

kJ

20 18 16 14

kg-K 12

10 9 8 7 6 5

\ \ . \ ^o

%

^Ù>^xr^ 1

^.'v^/t0,1 MPa

< ^ ^ r^_

1 0

100

200

300

400

500

600

700

800

600

700

800

Werte aus VDI-Wärmeatlas (2002), 9.Auflage

Cp kJ ^^ kg-K

20 18 ^^ 14 ^2 10 9 8 7 6 5

\ w^)

g^

^s^^g^

0,1 MPa

^4^^

^^

1 0

100

200

300

400

500

Werte aus VDI-Wärmeatlas (2002), 9.Auflage

Bild A l l

Spezifische Wärmekapazität Cy und Cp von Wasserdampf

18 Anhang

421

0

100

300

400

500

600

700

100

200

300

400

500

600

700

t

Bild A13

800

t °C Isentropenexponent K von Wasserdampf

Bild AI2

0

200

800

°C

Schallgeschwindigkeit c von Wasserdampf

422

18 Anhang Realgasfaktor Z von Luft

Realgasfaktor i [vor 1 Sauerstoff |1,02'

\^

z |i,oo-

/\

t=100°C t=80°C^ t=60°C J=50°C. ^^40X

0,980,96-

-^o°c ^^r ÜQ s^-v^ö

0,94-

1092-

s(^ '

X

^

à

L°0

///

^O

J

k90(}

10 p MPa^y

5^ t=o°c 0

2,3 7

2,2 2,1 2,0 1,9 1,8 1,7

0

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 P MPa Realgasfaktor Z von Stickstoff

1 1,10' z

T1,04

4j> ^ j ^

|l,02

7

^r/ ~>x o

te; iä |r~

|l,06

1,1

17]

c

T1,08

"i,o

^

1,5

oCi /

'/V

/ T

/5^/ J

0,8

Vs^A

0,7

^yxcÀ ^ 0

V/

p MPa2(

1,4

^^(c

1,3

^ ^

1,2

f\\\

4^700°C

w r

VoQ/l

'^/A ^o""^ (^

t=800°C

0,9

T1,00

|o,98 1,6 |o,96

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 p MPa Realgasfaktor Z von Wasserdampf

t=600°C

1

0,6

t=5£)0°C

t=25 o°c 0,5 / / 1t=300°C 0,4

viOU

t=50 0°C

C \

\ t= 4c50°C t~40 o°c

0,3 0,2

J Druck MPa

1,0

0,1

\

0,9

0

1,1

0,1

t °C 100 150 0,9848 0,9890

1 0,5 0

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 p MPa

Werte aus VDI-Wärmeatlas (2002), 9.Auflage

Bild AI 4

— 1 1 — 0

— —

200 0,9949 0,9732 0,9434

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 P MPa

Realgasfaktoren Z von Luft, Sauerstoff, Stickstoff und Wasserdampf

423

18 Anhang

Tabelle A8

Dmckverlustbeiwerte Ç von Einlaufstücken, Rohrverzweigungen und Drosselgeräten T-Stücke für Stromtrennung

Einlaufstücke

^ scharflcantig abgerundet mit kugelförmig mit nach Einlaufkante j Î geradem Boden innen abgerundetem Hals scharf Ç=0,5 3,0 a=75° 60° 45° 3,0 Ç=0,87 Ç=0,73 gebrochen Ç=0,25 0,55 0,20 0,05 0,6 0,7 0^ Abzweigstücke Die Ç-Werte beziehen sich auf den Querschnitt vor der Trennung bzw. Vereinigung V = Gesamtvolumenstrom; Va = ab- bzw. zufließender Volumenstrom Cd = Widerstand im Hauptrohr; Ça = Widerstand im Abzeigrohr Minuszeichen bedeutet Druckgewinn Trennung Vereinigung Vd, : ,Vd Vr-|Vd Vdrn ^

Va/V 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

' Va Cd 0,04 -0,08 -0,05 0,07 0,21 0,35

Ça 0,95 0,88 0,89 0,95 1,10 1,28

Fva Ça 0,90 0,68 0,50 0,38 0,35 0,48

Cd 0,04 -0,06 -0,04 0,07 0,20 0,33

Zusammengesetzte Leitungsstücke

Ça -1,20 -0,40 0,08 0,47 0,72 0,91

Cd 0,04 0,17 0,30 0,41 0,51 0,60

Cd 0,04 0,17 0,19 0,09 -0,17 0,54

Ça -0,92 -0,38 0,00 0,22 0,37 0,37

Ausgleichsstücke

w^M Ç=2,0...2,5 Ç=3 Ç=4...5 Dmckverlustbeiwerte für Normdüsen und Normblenden in Abhängigkeit des Öffnungsverhältnisses Normdüse dl

Normblende

Plattrohr-Lyrabogen Ç=0,2 Wellrohrausgleicher Ç=0,2 Fahenrohr-Lyrabogen Ç=l,4 Absperrschieber mit Reduzierstücken in Abhängigkeit vom Durchmesserverhältnis und vom Reduzierwinkel ß J 1 L , 6r 1 dl

Jr-1.

B>Nffi-€3

m^

.300 iNorm Diende '200 100 0

ß=12° V/ ^\

^

0

1Normdüse^ M^^^^_^

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5 0,6 (d/D)2 0,32 0,39 0,45 0,50 0,55 0,63 0,71 d/D (d/D)2 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,40 0,50 Normdüse 3 2 1 0,5 0,3 C 1 17 7 Normblende 4 Ç |249 102 53 31 19 1 9

1 0 1,0 1,2 1,4 1,6 D/d '•'ö Drosselgeräte in Abhängigkeit des Öffnungsverhältnisses ( Ap'=Wirkdruck) (d/D)2 0,05 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 (pl-p2)/Ap' 0,90 0,81 0,65 0,52 0,42 0,33 0,27 360 81 16,3 5,8 2,6 1,3 0,75 Ç

424

18 Anhang

Tabelle A9

Dmckverlustbeiwerte Ç von Rohrbögen und Kniestücken

a) Kreisbogenkrümmer

glatt

a

15°

R/d=l

2 4 6 10

Ç

rauh

45°

60°

90°

90°

0,03 0,03 0,03 0,03 0,03

22,5° 0,04 0,04 0,04 0,04 0,04

0,14 0,09 0,08 0,07 0,07

0,19 0,12 0,10 0,09 0,07

0,21 0,14 0,11 0,09 0,11

0,51 0,30 0,23 0,18 0,20

b) Segmentkrümmer

c) Faltenrohrbogen 90°

a

15°

22,5°

30°

45°

60°

90°

Anzahl der Rundnähte

1

1

2

2

3

3

Ç

0,06

0,08

0,1

0,15

0,2

0,25

400 2,2

500 2,2

d) Zusammengesetzte Krümmer aus 2-90°

C180-2Ç

C=0,40

ÇRK=3Ç

e) Gusskrümmer 90°

NW

c

50 1,3

100 1,5

200 1,8

300 2,1

f) Kniestücke Ô

iî?

glatte rauhÇ

22,5° 0,07 0,11

30°

45°

60°

90°

0,11 0,17

0,24 0,32

0,47 0,88

1,13 1,27

g) Kniestücke L

1/d glatt Ç rauhÇ

0,71 0,51 0,51

0,943 0,35 0,41

1,174 0,33 0,38

1,42 0,28 0,38

1,86 0,29 0,39

2,56 0,36 0,43

6,25 0,40 0,45

h) Kniestücke

0110^'°

3 0 ^

1/d glatte rauhÇ

1,23 0,16 0,30

1,67 0,16 0,28

2,37 0,14 0,26

i) Kniestücke

1/d glatt Ç rauhÇ

1,76... 6,0 0,15 ...0,2 0,3 ...0,4

3,77 0,16 0,24

18 Anhang

425

Tabelle AlO

Widerstandsbeiwerte cw umströmter Körper in Abhängigkeit der Geometrie und der Reynoldszahl Cw

Kugel

Cw

Cw

Kreiszylinder

Rotationsellipsoid

-•f-^td

" " " ^ - ^ 1 0 3 < R e < 2 - 10^ Re = 4- 10^ Re = 10^

0,47 0,09 0,13

Halbkugel

b 0,75 0,6 R e < 9 - 10'^:l/d=l 0,63 R e > 5 - 10^:t/d = 2 0,2 R e < 5 - 10^ 0,21 2 0,68 3 0,1 R e > 5 - 10^ 5 0,74 5 0,06 10 0,82 10 0,083 40 0,98 20 0,094 oo 1,20 0,35 Re>510^: Kegel (o. Boden) Kegel (schlank) Halbkugel -

ohne Boden mit Boden Kreiszylinder

^0

ohne Boden mit Boden P risma

^

|d

a>C

1 =1 d

0,34 0,40

Kreisplatte

1,33 1,17

0,58

a = 30° 60° Prisma

0,34 0,51

a =90°:l =5 a

1,56 2,03 0,92 1,54

2 Kreisplatten in Reihe

1—^

0,81

oo

a = 45°

5 oo

Kreisringplatte

1,12

^

^

1 - = 2,5 a

0,91 0,85 0,87 0,99

2 4 7

- (

D

Rechteckplatte

1 =1

0,93 0,78 ^1,5 1,04 2 1,52 3 Rechteckplatte mit Boden

1,22

J ^ =1 h 2 4 10 18

d - = 0,5 E>

oo

Prisma, dreiec kig

Cw

Profilstab

1,10 1,15 1,19 1,29 1,40 1,90

Wink(îl-Profil

Doppel-T-Profil

h

1,2

Winkel-Profil

]h 2,04

2,0

1,45

h b/h = oo

a = 90° a = 60° a=h

1,55 1,2 (1,1) 2,0 (1,3)

1,8

p^

PI

-^

1,83

1,72

h b —

h

-=. cx

b

b

— ^ oo

h

— ^ oo

h

18 Anhang

426 Tabelle A l l

Empfohlene mittlere Strömungsgeschwindigkeiten

Fluid

Rohrleitungsart

Flüssigkeit

FlüssigkeitsFeststoffsuspensionen

Luft und Gas

Dampf Gas-Flüssigkeitsgemisch

10 Bild A15

2

Transportleitung Saugleitung von Pumpen Druckleitung von Pumpen Pipelines Hydraulikanlagen Transportleitung Saugleitung von Pumpen Druckleitung von Pumpen Transportleitung Saugleitung von Kompressoren Druckleitung von Kompressoren Pipelines Transportleitung Dampfturbinen Transportleitung

3 4 5 678910^

2

Mittlere Geschwindigkeit c m/s 1,0 bis 2,5 0,5 bis 1,2 1,0 bis 2,5 1,0 bis 2,5 c(p)=2,0 bis 6,0 0,60 bis 2,2 0,5 bis 1,0 0,8 bis 2,0 12 bis 45 12 bis 28 15 bis 30 20 bis 45 15 bis 45 80 bis 160 12 bis 25

3 4 5 678910^ d mm

Wirtschaftliche Strömungsgeschwindigkeiten in Rohrleitungen

18 Anhang 10^ =!r Ho

427

^^^

ß-

1—rI I

sTvN

A -

nn 4 Q

10ßD A -

\ti\v\ 7

TN

'

1

6-

10

^^

N ' /

\l

â"^'f

6/l -

z

10

6-

///

\^

^N'^O

^'4

r

'\l

pK=6000 kg/m^ Ns

f1

^\l

T=293 K Korndurchmesser dK=210"^bis 10mm

\ K1 N

fi

\^

4610"^2

1 ^

^^

\\

^\^

\\

\

^1

[\l

^^ \^

"^^

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-pr— x^

V

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x'fe N^

k411

^ ^

''jt\

%%

\\

^î

"^'>l|

^

IJ

^

H

pK=8C)00 kg/m^ 1 N^

\

D A -

Po=101,33kPa

\^ ^\

kgW^

Y Y K = 5 0 0 kg/iTi"^

1 1 ^v

\

10 ß

\

4

1\

^b _ \

>v\

/!/y

\ /

A 4 oZ

pix

1 X^

^N

//

'II,

k

10-^2

h'

T 1 KM

1 1 11s^x^

A- K=1500kg/m^ Lf \ M

—r-

fe

/^

pK=4000 kg/m^ M ^. 1 1 \^ N^PK-30C;u Kg/m ^v^ -i '^ '^ ^\

'4

f, PK=2000kg/m^ \/j

4 610"''2

^i

^^

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46 1 2

M

"^^!=l ^^N

1 \^

\

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N^ \' 1

t

T

O-

^ Z

r?nF T " n—^VTr\ N ^ ^% ^""^•^J '\^\ p

v^i

mm

Sinkgeschwindigkeit kugeHger Einzeheilchen in ruhendem Wasser

19 Sachwortverzeichnis 251,302 Ablösepunkt Abscheider 373 Absperrorgan 101 Adiabate Strömung 173 Aeroakustik 303 Aeroakustische Schallquelle 310 Aerodynamik 144 Aerodynamisches Prinzip 158 Aerosol 359 Aerostatik 42 Aggregatzustand 6 Ähnliche Strömungen 257 Ähnlichkeitsgesetze 65 Ähnlichkeitsparameter 68, 340 Ähnlichkeitskennzahlen 67, 340 Ähnlichkeitstheorie 65 Akustik 303 Akustische Analogie 310,313 Akustische Summenregel 327 Akustische Wellengleichung 311 ,313,314 Akustischer Quellterm 314 Akustischer Elementarstrahler 313 ,315,323 Analysebänder 321 Anemometer 384, 386 Anfahrwirbel 301 Anstellwinkel 278 282 Anströmgeschwindigkeit Anströmmachzahl 201,286 Äquipotentiallinien 227 ,231,233 Archimedisches Prinzip 40 Armatur 100 Atmosphärischer Druck 10 Atmosphärenzustand 1 Auftrieb 39, 42, 274 , 276, 278 Auftriebsbeiwert 283 39,42 Auftriebskraft, thermische Ausfluss 54 , 180,290 Ausflussvolumenstrom 54, 296 Ausflussgeschwindigkeit 54, 290 , 292, 296 Ausgebildete Rohrströmung 80, 84, 85 12 Avogadro-Konstante Axialgitter 335,339

Axialpumpe Axialturbine Axialzyklon

329,335 330 375

Bahnlinie 45 Barometrischer Druck 24 Beschleunigung, konvektive 48 Beschleunigung, lokale 48 Beschleunigung, substantielle 48 Beschleunigungsdruck 289 Bestpunkt (BEP) 283 Bemoullische Gleichung 51,53, 230, 390 Bemoullische Konstante 53, 130, 158 Bewegungsgleichung 47, 289 Bewegungsgröße 57 Bewertungskurve 325 Bezugsschallleistung 309 Bezugszustand 149 Bingham-Fluide 69,73 Bingham-Zahl 70 Blasenströmung 354 354 Blasenwolke Blasius-Gesetz 82, 84, 89, 92, 257 Blasius-Gleichung 84 182 Blende Bodendruck 33 12 Boltzmann-Konstante Brückenschaltung 393 Colebrookdiagramm Cordierdiagramm Corioliskraft Couetteströmung Dampf Dampfblase Dampfdruck Dampfturbine Deckwalze Diagonalmaschine Diagonalpumpe Dichte

82 345 332,397 105 ^, 164, 353 353 19,354 192 130 330 329 7, 8, 24

19 Sachwortverzeichnis

429

Dichtspalt 350 Diffusor 117, 119,352 Dilatation 3 65, 67, 340 Dimensionsanalyse 313,315 Dipol Dipolströmung 240 Direktfeld 318,320 Dispersion 359,371 Dissipation 223 DPIV 386 Drallsatz 47,61 47 Drehimpuls Drehmoment 334, 335 334 Drehmomentensatz Drehung 223, 225 Drehungsbehaftete Strömung 223 214, 224 Drehungsfreiheit Drehvektor 223 Dreiatomige Gase 149 Druck 10 Druckabfall 71,96 Druckbehälter 22 Druckmessung 22, 375, 380, 396 Druckschwingung 152, 155, 306, 317, 381 Druckseite 277 Drucksensor 376,380 Druckstörung 298,314 Druckstoss 290,297 Drucktransmitter 380 Druckverlauf 21, 50, 107, 277 Druckverlustbeiwert 71, 82, 95 Druckwelle 298 Druckwiderstand 271 Druckzahl 341,345 Durchflussmessregeln 395 Durchflussvolumenstrom 180 Durchflusskoeffizient 103 Durchmesser 32,336 Durchmesserzahl 344 Durtonleiter 303 Düse 117, 182 Düsenströmung 117 Dynamische Strömungsbedingung 48 Dynamische Viskosität 14,73 Ebene Platte

256, 273, 279

Ebene Strömung 109 Ebene Unterschallströmung 218 Eckenumströmung 212 149, 164 Edelgas 52, 382 Effektivwert Eigenfrequenz 381 Einatomiges Gas 149, 164 Eindimensionale isentrope Strömung 185 Einlaufstrecke 71 212 Einschnürung 298 Elastische Rohrleitung 9,298 Elastizität Elastizitätsmodul 9,297 313,315 Elementarquelle Elementarstrahler, akustisch 313,315 Energiedichte 383 Energiegleichung 52, 157, 159,289 Energiespektrum 267 Energietransport 266 Enthalpie 148 Entropie 148, 196 Erdatmosphäre 43 Erdbeschleunigung 61 Erdgaspipeline 172 Erhaltungssätze 46 Euler-Zahl 70 Eulersche Bewegungsgl. 49, 68, 104, 367 Eulersche Darstellung 47 Eulersche Hauptgleichung 332 Expansion 211 Expansionseinfluss 211 Fanno-Kurve 178, 196 Federrohrmanometer 379 Feinmessmanometer 378 318 Femfeld 358,, 360, 361 Feststoff Flächen-Geschwindigkeits-Beziehung 183 Flächenträgheitsmoment 42 Flachwasseranalogie 131 Flachwasserströmung 128 Flotation 358 Flugzeug 3,277 Fluidelement 47 Fluid-Struktur Wechselwirkung 64 Flüssigkeitsmanometer 378

430

Flüssigkeitsschwingung 293 Formwiderstand 93 Fortpflanzungsgeschwindigkeit 298 Fourier-Transformation 156, 306, 325,381 Freifeld 309,318 Freistrahl 123, 126 Freistrahlturbine 329 Frequenz 303,304 Frequenzanalyse 324,381 Frequenzbereich 303,307 Frequenzspektrum 155,306 Froude-Zahl 68 ,70,371 362 Gasblasen Gasdruckschwingung 152, 155, 306,381 144, 159 Gasdynamik Gasdynamische Grundgleichung 213 Gaskonstante 7,8, 147,149 Gasströmung 144, 153,173 Gasturbine 4,330 Gaußsche Verteilung 360 Gemisch 361 372 Gemischgeschwindigkeit 361,371 Gemischtransport 305,318 Geräuschquelle 128,132 Gerinneströmung Gesamtdruck 289 148 Gesamtenergie Geschwindigkeit 76, 86, 125, 331,383 Geschwindigkeitsdreieck 332, 336,341 Geschwindigkeitsprofil 263 Geschwindigkeitsschwankung 79,383 Gibbsche Gleichung 145 Gittereinflussfaktor 339 Gleichgewichtslage 42 Gleitlager 106,338 Gleitzahl 280 Göttinger Profil 276 Grashof-Zahl 70 Gravitationskonstante 20,27 Gravitationskraft 39, 128, 367, 3 74 Grenzfläche 16 Grenzschichtablösung 244 Grenzschichtdicke 244 Grenzschichtgleichungen 248 Grenzschichtströmung 243

19 Sachwortverzeichnis Grenzschichttheorie

243

Haftbedingung 71,251 Hagen-Zahl 68,70, 105 Hagen-Poiseuille-Gesetz 75 Helmholtzsche Wirbelsätze 282 Helmholtz-Zahl 70 Hitzdraht-Anemometer 384 Hitzdrahtsonde 385 Hodographenebene 209 Holographische Interferometrie 386 Homogene Wellengleichung 311 Homogenes Gemisch 371 Hookesches Gesetz 153 Hörbereich 305,307 Hörschwelle 305,307 Hufeisenwirbel 281 Hydraulik 8,31 Hydraulische Presse 33 Hydraulischer Durchmesser 74 Hydraulischer Transport 359,371 Hydrodynamik 71 Hydrostatik 20,43 Hydrostatischer Auftrieb 39 Hydrostatische Grundgleichung 20 Hydraulischer Widder 295 Hyperbolische Diff-Gleichung 218 Hyperschallströmung 156,276 Hypersonische Strömung 156,165 Ideales Gas Implosion Impuls Impulsgleichung Impulskraft Impulssatz Impulsmomentensatz Impulsverlustdicke Induktiver Messumformer Induzierter Widerstand Inhomogene Wellengleichung Inkompressible Potentialströmung Innere Energie Instationäre Druckmessung Instationäre Geschwindigkeit Instationäre Messung

145 353 57, 125 58 57 57 334 246 380,395 272,281 311,313 221 147,159 380 290 381

19 Sachwortverzeichnis

Instationäre Strömung 289 Instationärer Druck 380 308,321 Intensität, Schall Irreversible Zustandsänderung 148 Isentrope 150 Isentrope Zustandsänderung 150, 153,201 Isentropenexponent 149 Isentropengleichung 150, 153,201 Isobare 148, 151 Isochore 151 Isotachen 221 Isotherme 151 Isotherme Zustandsänderung 151, 169 Isotrope Turbulenz 265 Kalorische Zustandsgieichung 147 Kammerton 303 Kapillarität 16 Kapillarkräfte 17 302 Karmansche Wirbelstraße Kaplanturbine, -diffusor 123,330 Kapselfedermanometer 379 Kavitation 353 Kavitationszahl 70, 340, 355 Kegeldiffusor 119 384 Kegelsonde Keilwinkel 206 Kennfeld 357 Kennlinie 357 Kinematische Viskosität 15,73 Knudsen 67, 144 Knudsenströmung 67, 144 Knudsen-Zahl 67, 70, 144 Kolbenströmung 364 Kommunizierende Gefäße 30 Kompensationsschaltung 393 Komplexe Strömungsfunktion 226 Kompressible Strömung 157, 167 Kompression 211 Kompressibilitätskoeffizient 9 Kompressor 329, 341 Kontinuitätsgleichung 55, 185, 190 Kontinuum 1,6 Kontraktionsziffer 182 Kontrollfläche 57 Kontrollraum 53, 58, 246

431

Kontrollvolumen 58 Konzentration 361 Komdurchmesser 358,359 Korngröße 360 Körperschall 310,326 Körperschwerpunkt 42 Körperumströmung 268 Kräftegleichgewicht 47 Kreisbogenplatte 279 Kreiselpumpe 329, 340 Kreiszylinder 269 Kritische Geschwindigkeit 163 , 368, 372 Kritische Mach-Zahl 163,165 Kritische Reynolds-Zahl 269 Kritische Schallgeschwindigkeit 163,189 Kritischer Zustand 163, 164 384 Kugelsonde Kugelumströmung 268, 274 Kulitesonde 319,380 Lackieren 358 Lagerströmung 106 Lagrangesche Darstellung 47 Laminare Grenzschicht 243, 257 Laminare Strömung 72, 79, 137 Laplacesche Gleichung 215,225 Laser-Anemometer 386 Laser-Doppler-Anemometer 386 Laser-Spekle-Anemometer 389 Lauflänge 257 Laufrad 331 Laufradgitter 332,336 Lautstärke 305,, 307, 324 Lautstärkepegel 305, 307 Laval, de 183 183,184 Laval-Düse Leistung 334,346^, 348, 352 Leistungsdichtespektrum 326 Leistungszahl 346 Leiteinrichtungen 352 Leitradgitter 339 Lieferzahl 341 Lighthill-Analogie 313 Lighthill-Tensor 314 Linearisierte Potentialgleichung 216 Longitudinalwelle 308,315

432

Loschmidtsche Zahl Luftdruck Luftschall Mach-Zahl Machscher Kegel Machsche Linie Machscher Winkel Manometer Maschinenlärm Massenfluss Massenstrom Massenstrompulsation Masseträgheitskraft Mehrphasenströmung Meridiangeschwindigkeit Meridianschnitt Messblende Messbohrung Messbrücke Messfehler Messfläche Metazentrum Mikrofon Mittelwert Mittlere Geschwindigkeit Mischungsweg Modell Modellgas Molekularströmung Molekül Moll Molltonleiter Moment Momentengleichgewicht Monopol NACA-Profil Nachhallzeit Nachlauf Nahfeld Navier-Stokes-Gleichungen Newtonsches Fluid Nicht-Newtonsches Fluid Nikuradse-Diagramm Normalenvektor

19 Sachwortverzeichnis

12 11,21 310,326 7, 70, 154, 165 154,206 154,206 157,206 378 305,317,327 311 397 305,310 48, 335 358 335,341 334 396 376 380,391 377 320, 321 41 322,327 322 384 262 65 146 1,66 6, 12, 67 303 303 113 334 313,315 277 320 269 318 51 73 73 82 309

Normalkraft Normblende Normdüse Nußelt-Zahl Nutzleistung Oberflächenrauigkeit Oberflächenspannung Oberflächenwellen Öffnungsvorgang Oktave, Oktavschritt Oktavspektrum Originalausführung Ovalradzähler

10,30, 111 10 182, 396 182,396 70 352 82,86 16, 18 272 298 304 321,325 65 395

Parallelströmung 228, 234, 236 139 Parallelgeschaltete Rohrleitungen 363, 365 Partikel Pfropfenströmung 364 365 Phasengeschwindigkeit 386, 388 PIV Pitot-Rohr 376 379 Plattenfeder Pneumatischer Transport 358,371 151 Polytrope Potential 54, 226, 237 27,61 Potentialfeld Potentialfunktion 214,225 Potentialgleichung 214 Potentialfelder 27 Potentialströmung 213,221 226, 232 Potentialtheorie Potentialwirbel 61,237 90,92 Potenzgesetz 326 Power Spectrum Density (PSD) 211 Prandtl-Meyersche-Strömung 383 Prandtlrohr Prandtlsche Grenzschichtgleichung 249 260 Prandtlscher Mischungsweg 87 Prandtlsches Widerstandsgesetz Prandtl-Zahl 70 Profil 269, 276, 279 277 Profildicke 276 Profilform Profilpolare 283, 285, 287 278 Profilwiderstand

433

19 Sachwortverzeichnis Profilwölbung Pumpe Quadrupol Quarz Quelle

277 330

313,315 380 233, 236, 305

Radialdiffusor 122 Radialgitter 330 Radialkompressor 329 Radialpumpe 329 Radialrad 214,331 Radialturbine 330 Radformkennzahl 344 Radseitenreibung 346 Raketen 144 Raue Oberfläche 93, 94 Raumkonzentration 361,369 Reaktionsmoment 335 Reales Gas 8, 146 Realgasfaktor 8, 146 Reflexion 386,394 Reibungswiderstand 253,271 Reibungsbehaftete Strömung 75, 273 Reibungsbeiwert 88, 132, 349 Relative Rauigkeit 94, 348 Resonanz 310 Resonanzfrequenz 327 Resonanzton 310 Reversible Zustandsänderung 150 Reynolds-Zahl 68, 70, 79, 276 Rheologie 73 RMS-Wert 264 Rohreinlaufströmung 71 Rohrerweiterung 96 Rohrkrümmer 98,99 Rohrleitung 71, 137 Rohmetz 134 Rohrreibungsbeiwert 88 Rohrströmung 71,74 Rohrturbine 330 Rohrverengung 95, 136 Rossby-Zahl 70 Rotationssymmetrische Strömung 230, 237 Rotierende Scheibe 347 Rückströmung 106, 252, 357

Ruhedruck Ruheenthalpie Ruhegrößen Ruhetemperatur Ruhezustand

145, 176,200 159 145, 161, 191,200 145, 200 28,73, 145, 161

82 Sandrauigkeit 329, 350 Saugseite 320 Schallabsorptionsgrad Schallanregung 154,310 Schallausbreitung 152,315 Schalldruck 156,305, 307,319 307,319 Schalldruckpegel 51,308 Schallenergie 309 Schallemission Schallfeld 152, 307,318 Schallgeschwindigkeit 7, 152, 189, 200, 299 308,321 Schallintensität Schallleistung 309, 322 309, 322 Schallleistungspegel 326 Schallmessgerät Schallmessgrößen 319 Schallmessung, Schalldruckmessun 318 Schallnahe Strömung 165,, 176 Schallschnelle 308 Schallschnellepegel 308 Schallquelle 154,310 Schaufel 280,331 Schaufelfläche 280,331 Schaufelgitter 335 Schaufelkraft 336 Scherströmung 105 Schichtenströmung 105 Schiefer Verdichtungsstoß 203,209 Schießendes Wasser 130 Schlanke Körper 216, 218, 270 Schleichende Strömung 104 Schlierenmesstechnik 389 Schlierenmessverfahren 390 Schließvorgang 298,300 Schmalbandanalyse 321 Schmerzgrenze 307 Schnelllaufzahl 343 Schrägrohrmanometer 378 Schubspannung 73 Schubspannungsgeschwindigkeit 251, 262

434

Schüttdichte 362, 371 Schwacher Verdichtungsstoß 207 Schwere wellen 272 S chwerkraftabscheider 372 41 Schwimmachse Schwimmen 40 Schwingbeschleunigung 308,313 Schwingung 293,381 Seitenkanalpumpe 329 Seitenkanalmaschine 329 Sekundärströmung 81 Senke 233,236 Senkrechter Verdichtungsstoß 197 6, 144 Shuttle Singularitätenverfahren 232 Sinkgeschwindigkeit 367, 372 Skelettlinie 277, 278 Sommerfeld-Zahl 70, 115 Spaltströmung 106 Spannweite 277, 280 Spektraldichte 267 Spektrale Leistungsdichte 326 Spezifische Arbeit, Nutzarbeit 148 Spezifische Energie 148 Spezifische Energiekapazität 147 Spezifische Enthalpie 148, 176 Spezifische Entropie 148, 176 Spezifische Drehzahl 343 Spezifische Wärme 147 Spezifische Wärmekapazität 7, 18 Sphärizität 361 Spiegelhöhe 21,54 Sprühstrahl 358 Stabilität 41,80 Starker Verdichtungstoß 207 Stationäre Gasströmung 144, 157 Stationäre Strömung 57 Statischer Auftrieb 39 Staubabscheidung 372 Staudruck 383 Staudrucksonden 384 Staupunkt 160 ,221,384 Staupunktströmung 160,221 Stoffdichte 14 Stokessche Gleichung 248 Stokes-Zahl 70

19 Sachwortverzeichnis

Stoßdiffusor Stoßheber Stoßintensität Stoßpolare Stoßpolarendiagramm Stoßverluste Stoßwinkel Strahlexpansion Strahlkontraktion Strahlpumpe Strahlungsthermometer Strähnenströmung Stromfaden Stromfunktion Stromlinie Stromröhre Strömung Strömungsform Strömungskupplung Strömungsmaschine Strömungswandler Strophoide Strouhal-Zahl Stuttgarter Profil Subsonische Strömung Summenregel Supersonische Strömung Suspension Systemgrenze

210 295 207 209 209 210 204, 206 181 , 194,211 182,211 127 393 364 45 226, 257 45., 124, 227 45 45 74 330 329 330 209 70, 302 285 156, 165 327 156, 165 358,359 145

T-s-Diagramm Tangentialkraft Tangentialspannung Technische Arbeit Temperaturkoeffizient Temperaturmessung Temperaturschichtung Terz, Terzschritt Terzspektrum Thermische Zustandsgieichung Thermischer Auftrieb Thermodynamik Thermoelement Thermoleiter Thermowerkstoff Ton, Tonskala

151 254 253 148 391 390 42 304 321,325 8, 146 42 145 392 392 393 303

435

19 Sachwortverzeichnis

Tonleiter 303 54 Torricelli-Gleichung Totaldruck 383 Totalenthalpie 159 Totaltemperatur 160 Totwassergebiet 244 Tragflügel 276, 277, 280 Tragflügelprofil 276 Trägerfluid 365 Trägheitskraft 366 Transonische Strömung 165 362 Transportkonzentration Triebwerk 3 Tripelpunkt 19 4,330 Turbine Turbinengleichung 334 Turbokompressor 115, 329, 330 Turbulente Rohrströmung 79,82,138 82, 259 Turbulente Grenzschicht 80, 258 Turbulente Strömung 259 Turbulente Schubspannung Turbulentes Geschwindigkeitsprofil 258 Turbulenz 263, 268 263, 264, 268 Turbulenzgrad U-Rohr-Manometer 11,294 Überschallströmung 156, 165, 197 ,203,217 332,342 Umfangsgeschwindigkeit Umschlag 258 Umströmung 268, 274, 285 Unterschallströmung 156, 165,218 250, 252, 254 Universelles Wandgesetz Vakuum Vakuumpumpe Ventil Venturidüse Verdichtungsstoß Verdrängungsdicke Viskosität Viskose Strömung Vogelpohl Volumenänderungsarbeit Volumenstrommessung Wandanbohrung

6 26 100 50, 180 195, 197, 203 245 ][2, 14,71 1,73, 144, 230 115 148 394 376

Wandhaftung 250 82 Wandrauigkeit Wandschubspannung 250 Wärmeleitung 391 Wassergefalle 128 Wassersprung 130 Wasserturbine 123 Wheatstonesche Brücke 391 Wellenausbreitung 153,,305, 308 Wellenfortpflanzungsgeschwind. 153,308 Wellengleichung 311,314 Wellenlänge 261,304,, 388, 394 Wellenwiderstand 272 Widerstand 268,270,,278,281 Widerstandsbeiwert 93 Widerstandsgesetz 273 Widerstandsthermometer 391 Windkanal 202, 268 216 Windturbine Wirbel 61,95,, 260, 358 Wirbelablösung 96, 301 Wirbelstraße 302 Wirbelgeräusch 310 63 Wirbellinie Wirbelpaar 301 Wirbelröhre 62 222 Wirbelsätze Wirbelstromprinzip 396 Wirbelvektor 223 Wirbelzähigkeit 260 260 Wirbelzerfall 10, 272 Wirbelzopf Wirkdruck 395 Wirkungsgrad 346 Zähigkeit Zentrifuge Zentrifugalkraft Zirkulation Zirkulationsströmung Zustandsänderung Zustandsgrößen Zweiatomige Gase Zweimikrofontechnik Zweiphasenströmung Zyklonabscheider

12 28 28, 375 237, 284 277 19, 146,, 197,204 7, 145 149, 164 322 358, 362 374, 375