Analyse numerique et optimisation : Une introduction a la modelisation mathematique et a la simulation numerique French 2730212558, 9782730212557 [PDF]


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Table of contents :
Chapitre 1 - Introduction à la modélisation mathématiques et à la simulation numérique......Page 13
Chapitre 2 - Méthode des différences finies......Page 43
Chapitre 3 - Formulation variationnelle des problèmes elliptiques......Page 77
Chapitre 4 - Espaces de Sobolev......Page 93
Chapitre 5 - Études mathématiques des problèmes elliptiques......Page 123
Chapitre 6 - Méthodes des éléments finis......Page 163
Chapitre 7 - Problèmes aux valeurs propres......Page 221
Chapitre 8 - Problèmes d'évolution......Page 247
Chapitre 9 - Introduction à l'optimisation......Page 293
Chapitre 10 - Conditions d'optimalité et algorithmes......Page 313
Chapitre 11 - Méthodes de la recherche opérationnelle ( Rédigé en collaboration avec Stéphane Gaubert)......Page 363
Annexe : Espaces de Hilbert......Page 415
Annexe : Analyse numérique matricielle......Page 421
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Analyse numerique et optimisation : Une introduction a la modelisation mathematique et a la simulation numerique   French
 2730212558, 9782730212557 [PDF]

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0 ∂P v ∂x (x) =  ∂v ∂xi (x , −xN )  xN < 0, ∂x  "  ∂v (x , xN )  xN > 0 ∂x ∂P v (x) =  ∂v ∂xN − ∂x (x , −xN )  xN < 0. 5     %  v   *         ;    "  v   %' "  *'  4        

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       L   P v M %  FC/H   ! $                      √ P %    C = 2    Ω = RN + ! 1 Ω   %  '      C 1     

  8   9       Ω = RN+  0         .  C/   %  1

O P E L ÉCO 2

N

1

N

2

1

1

C E T LY

N

i i

N N

LE O ÉC

Y L O P

H C E T

N

E U IQ

      

∂Ω

ÉC

OLE

T Y L

P O ω0

N H EC



E U IQ yN Q+

φi

y

Q

ωi Ω

  W '   ,   .   

E U I$Q             %       %  N 

 8     9   &   %   &   *   H  "  C E T Y L  O P E L            "  K %   (   CI  FNH! O    *  $ %  C É Ω

(ωi )0≤i≤I

(θi )0≤i≤I

Cc∞ (RN )

θi ∈ Cc∞ (ωi ),

0 ≤ θi (x) ≤ 1,

I 

θi (x) = 1

Ω.

i=0

Pv

Pv =

I 

Pi (θi v),

i=0

: ("    Pi       ωi  5

 θ0 v  &       Ω   P0 (θ0 v) 

    θ0 v  E  (   Ω  ("  i ∈ {1, ..., I}   φi   "   *  ωi      *  Q %   .  C/   J  ##!   

+) wi = (θi v) ◦ ( φ−1 i Q

% Q+ = Q ∩ RN+ .

E U IQ

5 *   wi   & H 1 (Q+)       %    ∂Q+ ∩ RN+  1     RN+ \ Q+  '  *   w˜i ∈ H 1 (RN+ ) $          L  w˜i  '  *   P w˜i ∈ H 1 (RN )             P "   %       RN+ ! $ %  ωi    

Y L O P

Pi (θi v) = (P w ˜ i ) ◦ φi .

H C E T

N

     C 1  φi     %   '        Pi    P 

LE O ÉC

     $



E U     # 

  8   9       "     IQ        '       5

       E N H ("    % "    *         C E T  1 H(div)LY O P 4     

              *   E & % L %  5           %     O  A  "  //! C É •

L2 (Ω)

H 1 (Ω)

    H(div)   &  

H(div) = σ ∈ L2 (Ω)N

  divσ ∈ L2 (Ω)



#C!

,

% divσ        σ     ' &  #(

E U IQ

$ %  *  "      B'         

    !

'    )     

T Y POL 

σ, τ  =

E L O

    ! σH(div) =

ÉC

N H EC

##!

(σ(x) · τ (x) + divσ(x)divτ (x)) dx





σ, σ

 H(div)     *  

5

     1 ' %             *                "         &  

D(   #C/!

% &   " Ω           C      Ω = R    Cc∞ (Ω)N

1

   H(div)

N +

,      H(div)  "         (      

 *   O  %        "     1 ' % H 1 (Ω) 0 +  σ   & H(div)   8  ':1)*+) )1 &!5*'+'1% &): :,-51',*: /           9'*'9':)*1 5*) %*)0(')   , . )    0  30,30'%1%: ;5.-'1.1'2):         .      ;     A   )0+'+) CC       %: %   $' !22 "    v ∈ H01 (Ω)    vV · ∇v dx = 0. Ω

"                   E       H01 (Ω) $ * 1 J(v) = 2



  |∇v|2 + vV · ∇v dx −





f v dx. Ω

E U IQ

   L  M 5 "            #   ,    ,   .

H C E T

N

>)0+'+) CC    +         !   

$ Ω  :      + $%:  xN = 0  B     f  f (x , xN ) = f (x , −xN ) "       !  B :  "   !    +         Ω+ = Ω ∩ {xN > 0}         >   Ω ∩ {xN = 0}

LE O ÉC

Y L O P

  "     

-

N H EC

E U IQ

)9.0;5) CC N  ,   .        0 f  ;"< 6

  ? L2 (Ω)A            .0         f ∈ H −1 (Ω) ;   L8  M     0

u H m+2 (Ω) ≤ C f H m (Ω) .

Ω u ∈ H01 (Ω)

H m (Ω)

  "     



N H EC

E U IQ

*      5     "  $  5  " ;       8    H m (Ω) N/2'    "$ -"$$ u ∈ H01 (Ω)  =,9 " $  "$ "   ))"$"  C 2 (Ω), $ )" '  Ω " $  -" /$  RN   C ∞ ' "  f ∈ C ∞ (Ω)'    "$ u ∈ H01 (Ω)  =,9 "   $ C ∞ (Ω),

,0,--.'0) CC

)9.0;5) CC     0              9     ∆uA    0          .     uA   ?      8  A       1,51):   .     u   ?  H   V E  GA           .     N = 1       [  .   .      ,   8            .    •

T Y POL

N H EC

E U IQ

)9.0;5) CC  5     "  $   '  "  &  .0             /        

        ? :  . 0 ;     6   " #         :'*(5-'?0):A ,6?6    6    ,  ,  0     .          56      "  $   '  "  &  8  9   A 0   ,        8 0 ; ,6?6   ? ,   0. H 1 (Ω)<  ,#       8 ; ,6?6    8   .0<    0 / 

LE O ÉC

Y L O P

  "     

$

Γ0

T Y L ΘP O Ω

ÉC

OLE Γ2

 "

N H EC

E U IQ Ω

Γ2

Γ1

Θ Γ0

Γ1

W       Ω ,  Θ ;          π 0 ,    J          #     

LE O ÉC

"   #   

N H EC



E U IQ

     µ > 0  (2µ + N λ) > 0     H 1  A 

   ,     B ;  X            A .    " 6  <     C > 0      |e(v)|2 dx ≥ C |∇v|2 dx

LE O ÉC

T Y POL Ω



    v ∈ H01 (Ω)N  5  A     ,     *   ;   A .   *   <     C > 0   A     v ∈ H01 (Ω)N A   |v|2 dx ≤ C Ω

|∇v|2 dx. Ω

3 A         ?   .    2 2µ|e(v)| dx + λ|divv|2 dx ≥ C v 2H 1 (Ω) . Ω



E U IQ

 5  67      ,    ,          8   .   ;""&1%0')50): ; .   8        <  

LE O ÉC



f · v dx −



g · v ds. ∂ΩN

>)0+'+) CC "   u ∈ V  $          !      u      V  $ * J(v)     ! & L  I   $   -   >)0+'+) CC ) Ω      RN      :  

$         >  !!/     ∂Ω "   

  $  



f · (M x + b) dx + Ω

g · (M x + b) ds = 0 ∂Ω

E U IQ

∀b ∈ RN , ∀M = −M t ∈ RN ×N

N H EC

        M   $   $ $     H 1 (Ω)N $    + $   $ @   *A  (  ! 2

E L O

T Y POL

)9.0;5) CC    :           6         #  1    A      ,   .        #   ;  '  
0  2µ + λ > 0

H C E T

N

E U IQ

>)0+'+) CC   $    ! .  !!   λ  µ     "

Y L O P

  ! .  !!         λ  µ      * ( B     $      ! .  

LE O ÉC

−div(µ∇u) − ∇((µ + λ)divu) = f   Ω.

  "     

$

N H EC

E U IQ

1      A  30,/-?9) &5 +':.'--)9)*1 .*1'3-.*A  #  ,        )  0   ,    ?     ,  0           '     8             ,           ,                     00  ,0 '        6     ,   .

LE O ÉC

T Y POL

>)0+'+) CC                 :   $            $              : %*  Ω  * L > 0     ω ( 4 ω       *  RN −1  M    λ  µ     G   ( Ω = ω × (0, L)(   x ∈ Ω(    x = (x , xN )  0 < xN < L  x ∈ ω             ⎧ −div (2µe(u) + λ tr(e(u)) Id) = 0 ⎪ ⎪ ⎨ σn = g  =0 u ⎪ ⎪ ⎩ (σn) · n = 0

  Ω  ∂ω × (0, L)  ω × {0, L}  ω × {0, L}

N H EC

E U IQ

;"$
0   .    D          ;"&<     ,   0   D A          0   8    6         1      ,   D      

T Y POL

N H EC

)9.0;5) CC  0  % ;"&<     :'93-'@% ,  6  ,  D  .      0 ;     '9.1',* '*1)0*)  ;$<   ?   ,   = 0 V 

  6     )  Vh A ,6?6  ?        J  . uh ∈ Vh    a(uh , vh ) = L(vh ) ∀ vh ∈ Vh .

;$
$"' "   A∗ = A,

%@*'1',* CC A

E U IQ

Y L O P

" A $ )) "$ $ $"$   V $ V , $ "  A " *$ )"-  Ax, x > 0 )  " " x ∈ V $$ $ ,

%@*'1',* CC

LE O ÉC

  (     $    



N H EC

E U IQ

@    ,   )            6 I     0   0  /   .   ,   )                    6 I       +,93.+1):           )     ,          

LE O ÉC

T Y POL

:$  $/ K ⊂ V " " ) " '  " "  " (un )n≥1 $"  K ' $ ) " &" $   " un $-0$" $ K , :$  $/ K ⊂ V " " "-$" ) " '  " "  " (un )n≥1 $"  K ' $ ) " &" $   " un $-0$" $ V ,

%@*'1',* CC





  0    A  V     ) A    60    V   8 0 7  A    ,   .    )  9 (A   60     I  8 0       ,  .        .

E U IQ

)99) CC 8$ $ )   @/" V  $$ $*$'  /  $"   $" > ) ",

N H EC

%9,*:10.1',*C ' ,      ) A       

T Y POL

    46       )  (en )n≥1  '   6   0  ?  0    8 *   A   n = p  

E L O

en − ep 2 = en 2 + ep 2 − 2en , ep  = 2,

C " "  & )   @/" " $ )) "$ $ É $"$   $ , $ "  " ) "  0 )   /  $"    .  ,   6   en ,     ' #

%@*'1',* CC V

V

W

W



A

A

 V " "-$" ) " $ W ,

A

1    .A           A     A       0 xn  V A        6     Axn .   W  W  V     ) A                ' ,   .  W  V     ) A    ,   .

E U IQ

>)0+'+) CC "   $     Id       O V    $ 5          &2 

H C E T

N

>)0+'+) CC ) $   O 2       x = (xi )i≥1   

i≥1 |xi | < +∞(       x, y = i≥1 xi yi  ) (ai )i≥1        ( |ai | ≤ C < +∞   i ≥ 1    $     A   Ax = (ai xi )i≥1     A    "   A         limi→+∞ ai = 0 2

LE O ÉC

Y L O P

(

   

N H EC

"

E U IQ

>)0+'+) CC ) U ( V  W     O   ( A 

       V   W (  B         U   V  "   $   AB        A  B     '   $          $ 5    $     

T Y POL

*  

  #     E L O



ÉC

         6      .

4%,0?9) CC " V $ )   @/"   $$ $*$ " A $ )) "$ $ $"$ ' *$ )"-'  " >$"' ) "  V $ V ,   -  ))  A $" $  " (λk )k≥1   " "$" )"  "$ - ' "  &" $ / #/"$$ (uk )k≥1  V   - "  ))  A' - Auk = λk uk )  k ≥ 1.

E U IQ

)9.0;5) CC '    5 & -A  .  H 6  A  0   &%+,93,:'1',* :3)+10.-)     v ∈ V v=

+∞  k=1

E L O

T Y POL

v, uk uk .

N H EC

v = 2

+∞ 

|v, uk |2 .

k=1



>)0+'+) CC        %: %   0  ν > 0    |a(w, v)| ≤ M w V v V     w, v ∈ V



a(v, v) ≥ ν v 2V     v ∈ V.

*   .               A       .   A ? .        = 0 H  /  8  ,# 8   .

V ⊂ H . I     ;&< V    H.

T Y POL

N H EC

E U IQ

,  L I    M .       ,  ,     I  ? v ∈ V   Iv = v ∈ H       ;.   1)   & & 0)1≤i≤N        0                         6% &&

Y L O P

 5 &"        ,          /                 .

LE O ÉC

  (     $    



N H EC

E U $"  $"+ IQ

∂Ω  " Ω $  -" /$ 0   R  ) $  & )" >$" 0 + ∂ΩN " ∂ΩD -  )0+'+) CC        %: %   )0+'+) CC ) Ω     *   "              Ω        >     $  

LE O ÉC

  (     $    

$

N H EC

E U IQ

)9.0;5) CC  ,0       6       :               A ,6?6   0   .    .

−div(A∇u) = λu  Ω u=0   ∂Ω

LE O ÉC

T Y POL

R A(x)     #    . ;.    6   "  0     .       e(u) = ∇u + (∇u)t /2 +    :      . ) µ > 0  2µ + N λ > 0 9 ,0   8     f ;      ,.       <                 ;&-<    ,.      ,        6   &  '   ?       (, u) 0   .    .

−div (2µe(u) + λ tr(e(u)) Id) = u  Ω ;&< u=0   ∂Ω,

ÉC

E L O

R  = ω 2      8    . 0  ;  .        .     .   8   .  :    λ            2  & 

N H EC

 ' $      #  

T Y POL

1   6  A      ,      .6

        )      Pk       .   .    0  1   ;&&0 $  "  0 "$0  0   Ω, H01 (Ω)' *$ )  "#   $" *$ Pk '  $$ ndl , " (λi , ui) ∈ R × H01 (Ω)' )  i ≥ 1'  -  " - "  )) "#$ $ L2 (Ω) )/+  8 #" %,3%' $0 )   $"

4%,0?9) CC V0h

0 < λ1 ≤ λ2 ≤ ... ≤ λi ≤ λi+1 ...

"  -  )) 0 < λ1,h ≤ λ2,h ≤ ... ≤ λndl ,h ,

E U IQ

 ))&"$ -"$$ F, $ V0h ,   " " i ≥ 1 *&' $  lim |λi − λi,h | = 0.

C E T Y L PO

h→0

HN

;& 
N/2'  $  ""$  

O P LE O ÉC

C E T LY

H k+1 (Ω)

|λi − λi,h | ≤ Ci h2k ,

" 

;& $
)0+'+) C C "  $       ' /( /  /&

E U IQ

>)0+'+) C C ) a  b     0 < a < b(   n ∈ N∗ (  Pn $

H C E T

N

 :9 P  *    *  + n   P (0) = 1 - P ∈ Pn (    P = maxx∈[a,b] |P (x)|  "     

LE O ÉC

  

Y L O P inf P

P ∈Pn

;
)0+'+) CC ) (Li )i∈I          M  V  "   supi∈I Li    V  C  (  J        V  "   J  *   supLi ≤J Li 4    Li 

M *   8   .  ,#    (         

0           .

E U IQ

 J " $ $ "$ $-&   $ $/ $-& K ' " " )$"  $     J   K " $ $  0/ " $/  )$"  $  " $ $/ $-& -$" $" - ,   )  J " " "$" $-&'   &"  )  $ )$"  $ ,

0,3,:'1',* CC

Y L O P

H C E T

N

%9,*:10.1',*C   u         J   K  1,  1)   A

   .   

OLE

∃ δ > 0 , ∀ w ∈ K , w − u < δ =⇒ J(w) ≥ J(u) .

ÉC

;
)0+'+) C C

  $'

;2  V = 2L (Ω) Ω     N 

R ( a(u, v) = Ω uv dx(  L(u) =    J  (u) = u − f 



f u dx  f ∈ L (Ω) '    V  V (

H C E T

N

>)0+'+) C C   $' ;2  V = H01 (Ω) Ω    

Y L O P

RN   $        u, v = (∇u · ∇v + uv) dx.

ÉC

OLE





  -   #    %  



N H EC

E U IQ

  a(u, v) = Ω ∇u · ∇v dx(  L(u) = Ω f u dx  f ∈ L2 (Ω) "        J  (u) = −∆u − f   V  = H −1 (Ω) "  (     V  V  (  J  (u) = u0 4 u0  $     H01 (Ω) 

T Y POL

LE O ÉC

  Ω  ∂Ω

−∆u0 + u0 = −∆u − f u0 = 0

>)0+'+) C C ) Ω     RN         4

N = 1  Ω =]0, 1[ ) L = L(p, t, x)       RN ×R×Ω(    ∂L % #      + p  t   (        ∂L ∂p  ∂t      V = H01 (Ω)  J(v) = L(∇v(x), v(x), x)dx Ω

 "   J      H01 (Ω)   J  (u), w =

  Ω

 ∂L ∂L (∇u(x), u(x), x) · ∇w(x) + (∇u(x), u(x), x)w(x) dx . ∂p ∂t

E U IQ

2 ) N = 1  Ω =]0, 1[(   (  u ∈ H01 (0, 1)    J  (u) = 0(  u    

N H EC

  ∂L   ∂L   ;< u (x), u(x), x − u (x), u(x), x = 0 , ∂p ∂t       $   ]0, 1[  ) L       x  L = L(p, t)   u ∈ C 2 (]0, 1[)      d dx

E L O

T Y POL

   $   E   ;(       

ÉC

   ∂L   u (x), u(x) L u (x), u(x) − u (x) ∂p

     $   [0, 1]

)9.0;5) C C    ,     ( 0  A   8 0       2  * A     .  )    . @     8   J A )     .     u ∈ V ? .   RA  ( 0    4Q   u ,    L ∈ V     ∀w ∈ V

,

lim

δ0+

J(u + δw) − J(u) = L(w) . δ

;"