AN Set PR ROM Tot Ing [PDF]

Zitiervorschau

PORTOFOLIU LA ANALIZĂ MATEMATICĂ

CERINTA I. Scrieti holograf (de mana) un rezumat de 1000 de cuvinte (2 pagini A4) pentru fiecare parte din cele opt parti al cursului de Analiză matematică: 1. Calcul diferențial pe R 2. Calcul integral pe R 3. Integrale improprii. Serii 4. Interpolare polinomială 5. Derivate parțiale de ordinul întai. Aplicații 6. Derivate parțiale de ordin superior. Aplicații 7. Integrala dublă. Aplicații 8. Integrala triplă. Aplicații

CERINTA II. Tehnoredactare: (DOAR ENUNTURI, FARA REZOLVARI, tehnoredactate in word) a. Rezolvati exercitiile de mai jos, scriind de mana b. Tehnoredactați in Word 3 variante de exercitii (doar enunturi, fara rezolvare) similare cu cele de mai jos

2

1.1.

Probleme propuse

1.1.1. Studiați derivabilitatea funcțiilor: f ( x )=|ln x−2019|; i) ii) f ( x )=min{ x2 +2 x , 6 x−3 }; f ( x )=¿; iii) 1 x k sin ,∧x ≠ 0 f ( x ) = , k ≥ 2. iv) x 0 ,∧x=0

{

1.1.2. Calculați derivatele funcțiilor: i) 4 x5 +8 x 2−16 x +2019; 2017 ii) √ x−15 √3 x +( √3 x ) ; iii) iv)

2 ln x+5 e x −9 x; ( x +3 ) log 3 x +3 x;

v)

( x 3 + x−1) ln x ; x−ln x ; x+ ln x x2017 −1 . x 2017 +1

vi) vii)

1.1.3. Calculați derivatele următoarelor funcții f : D ⊂ R → R: x3 ex i) ; f ( x )=ln + x +2 x−7 ii) iii) iv) v)

1−x 2 f ( x )= , x ≠ ±1; 1+ x 2 cos 5 (3 x ) f ( x )= 3 ; sin (5 x ) f ( x )=sin(sin(sin x ));

√ 3

arcsin x −( x +2) √ 1−x 2 ; f ( x )= 2

vii)

f ( x )=ln (x−√ 1−x 2)−ln (x + √ 1−x 2); f ( x )=x 2017 ∙ 2017 x;

viii)

f ( x )=(x + 2017)√ x;

ix)

f ( x )=x x .

vi)

3

3

2017

1.1.4. Calculați derivatele de ordinul n pentru funcțiile: i) f ( x )=sin 2 x , x ∈ R ; ii) f ( x )=e x ( x2 +3 x +1) , x ∈ R ; iii) f ( x )=(1+ x)α , α >0 , x >−1. 3

1.1.5. Verificați dacă au loc următoarele relații: i)

2 2 x 2+1 (1+ x ) √ + , x ≠ 0; x ( x +1 ) f ( x )+ f ( x )=x (1+ x ) , unde f ( x )= x 3x

ii)

f ' ' ( x ) + f ' ( x ) + f ( x )=0 ,unde f ( x )=e

iii)

x f '(x) 2 x 2 f ( x) − − f ( x ) =0 , unde f ( x )=π e π , x ≠0. x π

2

'

2 2

−x 2

(a cos √23 x +b sin √23 x ) , x ∈ R ; 2

( )

''

1.1.6. Arătați că au loc următoarele inegalități: x3 π tg x > x + , x ∈ 0 , ; i) 3 2

( )

x3 arcsin x > x + , x ∈¿; 6 arctg x ln (1+ x)> , x> 0; 1+ x b−a b b−a ≤ ln ≤ , 00; ∫ x √ x 2 + x +1 dx; ∫ √ x 2+ a2 dx , a ≠ 0.

2.2.6. Găsiți formule de recurență pentru: I =∫ cos n x dx ; I 2n=∫ x n sin x dx ; I 3n=∫ ln n x dx . 1 n

i) ii) iii) iv) v) vi) vii)

i) ii) iii) iv) v) vi)

i)

2.2.7. Folosind metoda schimbarii de variabile, calculați integralele: 1+ x dx ,|x|0 ; √x 2 sin x cos x ∫ sin2 x +2 dx 2 dx ; ∫ xx 4−1 +1 1 ∫ x ln x ln( ln x ) dx , x >0; 2

∫ e x +ln x dx , x >0. 2.2.8. Calculați următoarele integrale nedefinite de funcții raționale: 1 ∫ x ( x +1 ) ( x +2) dx ; x2 +3 x−2 ∫ ( x −1)2 ( x 2−x +1)2 dx ; 3 dx ; ∫ 5xx3−1 −x x3 ∫ ( x+ 3 )2 ( x+ 6)2 dx ; 1 ∫ x 4 + x 2+ 1 dx ; 2 1 dx , x >−1. ∫ x 3+x x−x+ 2 +2 x+ 2 2.2.9. Calculați următoarele integrale nedefinite de funcții raționale trigonometrice: 1 ∫ 2 sin x −cos x+ 9 dx ; 6

3−sin x

ii)

∫ 3+cos x dx ;

iii)

∫ (1−cos x)2 dx ;

iv)

∫ 1−sin 4 x dx;

v)

∫ sin x cos 2 x dx , x> 0 ;

vi)

∫ tg2 x +tg x +1 dx , x> 0.

cos x 1

1

tg x

2.2.10. Calculați integralele: e x +cos x sin x I =∫ x dx , J=∫ x dx . e + sin x+cos x e +sin x +cos x

2.2.11. Folosind formula lui Leibniz-Newton, calculați: x

1

1

t

∫ e dt ;∫ sh x dx ; ∫ ch x dx 0

−x

0

2.2.12. Să se calculeze: 1

π /4

1 x x , 4 }dx ; ∫ max {sin 3 x , sin x }dx . 4 −π / 4

()

∫ min { −1

1 n 2.2.13. Calculând în două moduri integrala ∫ x (1+ x ) dx, arătați că 0

C0n C 1n C nn 2 n+2−1 2n+1−1 ¿ + + …+ = − ,∀n∈N . 2 3 n+2 n+2 n+1 2.2.14. Calculați, folosind metoda integrării prin părți: e

∫ ln 1

π 4

2017 2

2

x dx ;∫ x sin x dx ; ∫ e 0

1

x

( √ x + 2 1√ x ) dx .

2.2.15. Folosind formula integrării prin părți, arătați că I m ,n =

m! n ! (b−a)m +n+1 , ( m+n+1 ) ! 7

unde b

I m ,n =∫ (x−a)m ( b−x )n dx , m ,n ∈ N . a

2.2.16. Calculați următoarele integrale, folosind metoda schimbării de variabile: 1 2

ln 2

∫ √ e x−1 dx ; ∫ 0

2

(arcsin x ) +(arccos x)

√1−x 2

−1 2

π 4

2

dx ;∫ ln(1+tg x ) dx . 0

2.2.17. Fie f : R → R, dată prin −x 2+1 ,∧x ←1 2 f ( x )= x , x ∈[−1,1] . x2 +1 ,∧x> 1 2

{

i)

Studiați derivabilitatea funcției f. 1

f (e−x ) dx . Calculați ∫ x 0 f (e )

ii)

2.2.18. Se consideră funcțiile f : R → R, g : R+¿ → R ¿ definite prin: ¿

arctg x

f ( x )=

∫ 0

2

√x

e tg t dt ; g ( x ) =∫ sin t 2 dt . 1 x '

Să se calculeze f ' ( x ) și g (x). 2.2.19. i) Arătați că dacă f :[−1,1]→ R este o funcție continuă, atunci 2π

∫ xf ¿ ¿ 0

ii) Calculați: 2π

x dx . ∫ 1+x cos 2 cos x 0

2.2.20. Folosind integrala definită, să se calculeze: π ; 4

[ ]

i)

lungimea graficului funcției f ( x )=ln (cos x ), x ∈ 0 ,

ii)

aria domeniului mărginit de curbele: 8

acos t−acos 2t (cardioidă) {x=2 y=2 asin t −asin2 t iii)

lungimea curbei de ecuații x=acos t √ cos 2t π ( AB ) y=asin t √ cos 2 t , A ( t=0 ) , B t= 6 z=at volumul corpului obținut prin rotirea arcului de cicloidă x=a(t −sint ) , t ∈ [ 0,2 π ] . y=a (1−cos t )

{

iv)

( )

{

3.3.

Probleme propuse

3.3.1. Studiați convergența următoarelor integrale și în caz de convergență calculați valoarea acestora: ∞

i)

2

∫ e x dx ; 0 ∞

ii)

∫ x 2019 e− x dx ; 0 ∞

iii)

∫ 1

1 dx ; x √ x 2−1

∞

iv)

∫ cos x dx ; 0 ∞

v)

x dx . ∫ 3 arctg 2 2 0 √ (x +1)

3.3.2. Considerăm integrala 1

B ( p , q )=∫ t p−1( 1−t)q−1 dt , p , q>0 0

(funcția Beta a lui Euler). Arătați că: i) ii)

B este convergentă, pentru orice p , q>0; B ( p , q )=B ( q , p ) ;

9

iii) iv)

q−1 B ( p , q−1 ) , p>0 ,q >1; p+ q−1 ( p−1 ) ! ( q−1 ) ! B ( p , q )= , p , q ∈ N¿. ( p+q−1 ) ! B ( p , q )=

3.3.3. Considerăm integrala ∞

Γ ( p , q )=∫ t p−1 e−t dt , p>0 0

(funcțiaGama a lui Euler). Arătați că: v) vi) vii) viii)

Γ este convergentă, pentru orice p>0; Γ ( p+1 )= p Γ ( p ), pentru orice p>0; Γ ( n+1 ) =n !, pentru orice n ∈ N ; Γ ( p ) Γ ( q) ¿ B ( p , q )= , p,q∈N . Γ ( p +q)

3.3.4. Utilizând funcțiile Beta și Gamma, calculați integralele: ∞

i)

7

∫ x 2 e−x dx ; 0 1

ii)

∫ x 14 (1−x 3 )6 dx ; 0 1

iii) iv)

∫( 0 π 2

1 x

dx ;

n

∫ e−x dx ; 0 ∞

vi)

)

p−1

∫ sin 4 x cos 2 x dx ; 0 ∞

v)

ln

q

∫ x p e−x dx , p>−1 , q> 0. 0

3.3.5. Studiați convergența următoarelor integrale și în caz de convergență calculați valoarea acestora: i)

π 2

∫ ln (sin x)dx ; 0 1

ii)

∫ −1

1 dx ; √ x −3 x +2 2

10

1 e

∫ x ln1 2 x dx ;

iii)

0

3.3.6. Studiați convergența seriilor: ∞

i¿ ∑ n =1

1 n

n √n

∞

nn ; n!

;∑ n =1

∞

∞

1 π ; arcsin . n ∑ 2n n=2 (lg n) n=1

ii ¿ ∑

3.3.7. Se consideră a> 0. Studiați convergența următoarelor serii: ∞

i¿ ∑ n =1

∞

an an ;∑ n ; √ n ! n=1 n

∞

ii ¿ ∑ a lnn , a ≠ 1; n=1

∞

iii ¿ ∑ n=1

(

n

n5 +n+ a a . n5

)

3.3.8. Stabiliți natura seriilor: π 1−cos ∞ ∞ ∑ n 1 ; ∑ n ln(n+1)n . n =2 √ ln n n=1

√

4.2.

Probleme propuse

4.2.1. Determinați polinomul de interpolare Lagrange pentru datele: i) x -1 0 2 y 3 0 7 ii) x 1 2 3 4 y 3 2 4 5 11

iii) x y

1 2

2 5

3 10

4 5 17 26

4.2.2. Determinați polinomul de interpolare Lagrange al funcției ce trece prin punctele

A (−1,1 ) , B ( 0,2 ) ,C (4,0). 4.2.3. Scrieți polinomul de interpolare utilizând formula lui Newton pentru datele x y2

-1 0 1 2 1 0 -1

4.2.4. Fie funcția f ∶ ( 0 , ∞ ) → R ,definită prin lgx. Se presupune că se cunosc valorile funcției în punctele echivalente x 0=1000 , x1 =1010 ,… … ….. , x5 =1050. Să se găsească, folosind polinom Newton de gradul 3, valoarea funcției în x=1044și în x=1006. Se dă tabelul de valori : x 1000 1010 1020 1030 1040 1050

f (x) 3,0000000 3,0043214 3,0086002 3,0128372 3,0170333 3,30211893

4.2.5. Determinați polinomul Taylor-Maclaurin de gradul 5 pentru funcțiile: sin x ,cos x , √7 x , x ∈ R . 4.2.6. Considerăm f :[0 , π ]→ R , f ( x )=sin x și x 0 , x 1 ,… , x n ∈[0 , π ] distincte. Arătați că →

Rn (x )n → ∞ 0. 4.2.7. Determinați diferența de ordinul 4 a funcției f : R → R , f ( x ) =e 2 x+1 .

5.2.

Probleme propuse

5.2.1. Folosind definiția, să se calculeze derivatele parțiale ale următoarelor funcții în punctele specificate:

12

2

i)

f ( x , y )=2 x3 y−e x în ( 0,0 ) ;

ii)

f ( x , y )=√ x2 + y 2 în ( 1,1 ) ;

iii)

f ( x , y )=ln (1+ x + y 2 ), în (1,1 ) ;

iv)

f ( x , y , z )= y e xz , în ( 0,0,0 ) , ( 1,1 ,1 ) .

5.2.2. Să se studieze diferențiabilitatea funcțiilor: i)

ii)

f ( x , y )=

{

xy , x2+ y2≠ 0 2 2 , în ( 0,0 ) ; √x + y 0 , x 2+ y 2 =0 1 tg x

{

f ( x , y )= (1+ xy ) , ( x , y ) ≠(0 , e) , în ( 0 , e ) . 0 , ( x , y ) ≠(0 , e)

5.2.3. Calculați derivatele parțiale de ordinul întâi pentru funcțiile: i)

f ( x , y )=2 x2018 y −e xy + √ x 2+ y 2 ;

ii)

f ( x , y )=( x 2018 + y 2018)e−(x

iii)

f ( x , y )= y arcsin( xy)+ x arccos(xy);

iv)

f ( x , y )=x y + y x +2018 x + y 2018 .

2018

+y

2018

)

;

5.2.4. Calculați derivatele parțiale de ordinul întâi pentru funcțiile: i)

f ( x , y , z )=ln(xy+ yz)+ √ 1+(xy + yz )2 ;

ii)

f ( x , y , z )=arccos

iii)

f ( x , y , z )=x y + y z + z x .

z

( x

x+ y+z x+ y + z 2 − 1− ; xyz xyz

)

√

(

)

y

5.2.5. Verificați dacă i)

2 xy

ii)

x

∂f ∂f −x =0 ,unde f ( x , y )=e x+ y ∂x ∂y

2

∂f ∂f ∂f +y + z =f , unde f ( x , y , z )=√ x2 +2 y 2+ 3 z 2 . ∂x ∂y ∂z

13

6.2.

Probleme propuse

6.2.1. Calculați derivatele parțiale de ordinul întâi și doi pentru funcțiile: i)

f ( x , y ) = √ x2 + y 2 ; x y

ii)

f ( x , y )=2019 ;

iii)

f ( x , y )=e cos( xy) ;

iv)

f ( x , y )=x 2 y 2 ln(x 4 + y 4) ;

v)

f ( x , y , z )=arcsin

vi)

f ( x , y , z )=e xyz √ x 2 + y 2 + z 2.

x ; yz

6.2.2. Verificați dacă au loc următoarele relații: i)

∂2 f ∂2 f ∂f y x 2+y + =0 , unde f ( x , y )=arctg , x ≠ 0 ; ∂ x ∂ y ∂x x ∂x

ii)

∂ f ∂f ∂f 1 + + = ,unde f ( x , y , z )=ln ( x3 + y 3 + z 3−3 xyz ) . ∂ x ∂ y ∂ z x+ y+ z

6.2.3. Să se efectueze schimbările de variabile indicate pentru următoarele ecuații cu derivate parțiale: i)

∂2 z ∂2 z −2 =0 , S . V .u=x+ 2 y , v=2 x + y ; ∂y∂x ∂ x2

ii)

∂2 z ∂2 z + =0 , S .V . x=r cos θ , y=r sin θ. ∂ x2 ∂ y2

6.2.4. Studiați ce devine ecuația i)

∂2 z ∂2 z ∂z − =3 prin schimbarea de variabile și funcție 2 ∂ x ∂ y ∂ y ∂y x=u− y v=x− y ; w=z+ 3 xy

{ ii)

∂2 z ∂2 z ∂z − = prin schimbarea de variabile și funcție 2 ∂x ∂ y∂ x ∂x

14

3 x=u− y v=x−3 y . 1 w=z+ xy 3

{

6.2.5. Scrieți formula lui Taylor de ordinul doi pentru funcția f : R 2 → R , f ( x , y )=x y în a=( 1,1 ) . 6.2.6. Să se determine punctele de extrem local ale funcțiilor: i)

f ( x , y )=x 2+ y 3−2 x +3 y +4 ;

ii)

f ( x , y )=xy ln(x 2+ y 2) ;

iii)

f ( x , y )=( x + y )e−(x + y ) ;

iv)

f ( x , y , z )=x e y + y e z + z e x ;

v)

1 x y f ( x , y , z )= + + + z , x ≠ 0 , y ≠ 0 , z ≠ 0. x y z

2

2

6.2.7. Determinați punctele de extrem local ale funcției implicite definită de ecuația F ( x , y ) =0, unde i)

F ( x , y ) =x 2−2 xy +5 y 2−2 x +4 y+1

ii)

F ( x , y , z )=x 2+ y 2+ z 2−2 x−2 y−7

6.2.8. Determinați punctele de extrem local condiționat ale funcțiilor: i)

f ( x , y )=xy , știind că x 2+ y 2=1

ii)

f ( x , y )=x 2+ y 2 , știind că ( x−√ 2 ) + ( y−√ 2 ) =9

iii)

f ( x , y , z )=x 2 +2 y 2 −2 z , știind că x + y + z−3=0.

2

2

15

7.2.

Probleme propuse

7.2.1. Calculați: i) ii) iii) iv)

2

1

1

0

1

3

0

1

1

2

∫ dx ∫ x +1 y dy ; √ x dy ; ∫ dx ∫ √ y (1+ xy )

∫ dx ∫ ln ( x + y ) dy ; 0

1

1

√x

∫ dx ∫ √ xy dy . 0

x2

7.2.2. Să se calculeze: i)

∬ x 2 y e xy dx dy , D= [ 0,1 ] × [ 0,2 ] ;

ii)

∬ 1+ x 2 y 2 dx dy , D= [−1,1 ] × [ 0,1 ] ;

D

y

D

iii)

∬ x 2 y sin(x y 2 ) dx dy , D= 0 , π2

[ ]

D

× [ 0,2 ].

7.2.3. Calculați următoarele integrale: i)

∬ (5 x 3 +2 y )dx dy , D= {−1 ≤ x ≤ 1,−1≤ y ≤1 } ;

ii)

∬ (1+ xy)2 dx dy , D= {0 ≤ x ≤ 1 ,0 ≤ y ≤ 1 } ;

D

1

D

iii)

1

∬ x + y +1 dx dy , D={x + y ≤3 , y−x ≤1 , x ≥ 0 , y ≥ 0 }. D

2 7.2.4. Calculați ∬ √ xy − y dx dy , unde D este triunghiul de vârfuri D

O ( 0,0 ) , A 1 ( 10,1 ) , A 2 ( 1,1 ) . 7.2.5. Să se calculeze ∬ x D

p−1

y q−1 dx dy , unde

D= { x ≥ 0 , y ≥ 0 , x + y ≤1 } , p , q ≥1.

16

7.2.6. Folosind trecerea la coordonate polare, calculați integralele: i)

∬ √ x 2 + y 2 dx dy , D= {x 2 + y 2 ≤ 4 } ;

ii)

∬ xy e x + y dx dy , D={ x 2 + y 2 ≤ 1 , x ≥0 } ;

iii)

∬ sin( x 2 + y 2) dx dy , D={x 2+ y 2 ≤ a2 , x ≤ 0}.

D

2

2

D

D

7.2.7. Calculați aria domeniilor D1= { x 2−1 ≤ y ≤ 1−x 2 } , D 2={ 1 ≤ xy ≤2 , x ∈ [ 1,2 ] } . 7.2.8. Să se calculeze aria discului de rază r, r>0, folosind trecerea la coordonate polare.

8.2. Probleme propuse 8.2.1. Calculați următoarele integrale triple: i)

∭ x 2017 y 2017 z 2017 dx dy dz , D=[ 0 , a ] × [ 0 , b ] × [ 0 , c ] ;

ii)

∭ ( xyz+ 2 x +3 y + z) dx dy dz ,unde

D

D

D= {−1≤ x ≤ 2 ,0 ≤ y ≤1 ,−1 ≤ z ≤ 0 } ; iii)

xyz

∭ (1+ x 2 + y 2+ z2 )4 dx dy dz , D=[ 0,1 ] × [ 0,1 ] × [ 0,1 ] ; D

iv)

∭ x 3 y 2 z dx dy dz , D={ 0 ≤ x ≤1 , 0 ≤ y ≤ x , 0 ≤ z ≤ xy } ;

v)

∭ ( x + y + z +1)3 dx dy dz ,

D

1

D

D= {( x , y , z ) ∈ R3|x + y + z ≤ 1 , x ≥ 0 , y ≥ 0 , z ≥ 0 } . 8.2.2. Folosind trecerea la coordonate cilindrice, calculați integralele: i)

∭ xyz dx dy dz ,unde D

D= {( x , y , z ) ∈ R3|x 2 + y 2 ≤ R2 , 0≤ x ≤ y ≤ √ 3 x , z ∈ [ 0 , h ] };

17

ii)

∭ D

yz

√ x2 + y 2

dx dy dz ,unde 2

y 3 2 2 2 D= ( x , y , z ) ∈ R x + ≤1 , x + y ≥ 1, x ≥ 0 , y ≥0 , z ∈ [ 0,5 ] . 4

{

|

}

8.2.3. Folosind trecerea la coordonate sferice, calculați integralele: i)

∭ ( x 2+ y 2 + z 2) dx dy dz ,unde D

D= {( x , y , z ) ∈ R3|x 2 + y 2+ z2 ≤ 9 } ; ii)

∭ z dx dy dz ,unde D

D= {( x , y , z ) ∈ R3|x 2 + y 2+( z−1)2 ≤ 1 } .

8.2.4. Calculați volumul domeniului D ⊂R 3, unde

{

D= ( x , y , z ) ∈ R

|

3

x2 y2 z2 + + ≤1 . a2 b2 c 2

}

18