Aktive Schalldämpfung in einem Kanal [PDF]

Zitiervorschau

l

Diss. ETH Nr. 13038

Aktive Schalldämpfung in einem Kanal ABHANDLUNG zur Erlangung des Titels DOKTOR DER TECHNISCHEN WISSENSCHAFTEN der EIDGENÖSSISCHEN TECHNISCHEN HOCHSCHULE ZÜRICH

vorgelegt von MENGBIN ZHANG Magister Maschineningenieur Shaanxi, China geboren am 26. Februar 1962 in Tianshui, Ganshui, China

Angenommen auf Antrag von Prof. Dr. H. P. Geering, Referent Prof. Dr. L. Guzzella, Korreferent

Zürich 1999

111

Vorwort Diese Arbeit entstand am Institut für Mess- und Regeltechnik der ETH Zürich und ist ein Beitrag zur aktiven Schalldämpfung. Für die grosszügige Unterstützung der Arbeit und das entgegengebrachte Vertrauen möchte ich hier Herrn Prof. Dr. H. P. Geering ganz herzlich danken. Im weitern gilt mein Dank: Herrn Prof. Dr. L. Guzzella für die Übernahme des Korreferates Herrn Dr. E. Shafai und Dr. C. Roduner für die hilfreiche Unterstützung Herrn K. Ruhm für die Betreuung des Ausbaus der Versuchsanlage und die Beratung in Messtechnik Herrn G. Bammatter für die Unterstützung bei der Programmierung des DSPs Herrn Dr. U. Christen für die fachkundigen Vorschläge und Informationen meinen Bürokollegen Dr. S. Baltisberger, Thomas Schubiger und Dr. A. Hamdy für die hilfreiche Unterstützung in allen Belangen Roger Wimmer für die gute Zusammenarbeit bei dieser Arbeit in der Anfangsphase Herrn 0. Brachs für die prompte und zuverlässige Erledigung aller handwerklichen Arbeiten Allen anderen Institutsangehörigem, die in irgendeiner Weise zum Gelingen dieser Arbeit beigetragen haben, insbesondere Roberto Cirillo, Esther Baumann, Michael Simons, Carlos Cuellar, Stefan Menzi, Dr. Christopher H. Onder, Simon Ginsburg und Oliver Tanner Brigitte Rohrbach für die sprachliche Korrektur dieses Berichtes sowie für die Unterstützung in allen Belangen meiner Familie für die Unterstützung und Geduld. Ganz besonderer Dank gebührt der SECC (State Education Commission of China), deren finanzielle Unterstützung im ersten Jahr diesen Aufenthalt in Zürich ermöglicht hat.

Zusammenfassung Das Ziel dieser Arbeit war, sowohl adaptive als auch robuste nicht-adaptive Regleralgorithmen für die Schalldämpfung im Kanal zu entwickeln und ihre Dämpfungsfähigkeit experimentell vergleichend zu erproben. Für die Modellbildung der Schallausbreitung im Kanal wird die Methode der Systemidentifikation im Frequenzbereich verwendet. Die hohe Modellordnung und die grosse Bandbreite des Frequenzbereiches führen typischerweise bei dieser Methode zu einem numerischen Problem. Für eine Reduktion dieses numerischen Problems ist eine verbesserte Identifikationsprozedur erarbeitet und für die Modelliernng angewendet worden. Das erzielte Modell mit der Ordnung 44 weist eine gute Übereinstimmung mit der Messung im Frequenzbereich von 20 Hz bis zu 1000 Hz auf. Für die robuste nicht-adaptive Regelung wurde die Hoa-Reglerentwurfsmethode eingesetzt. Sowohl eine Regelung oder eine Steuerung allein als auch eine Kombination der Regelung mit einer Steuerung (2-DOF) sind mit dieser Methode ausgelegt und untersucht worden. Wegen der Totzeit des Sekundärpfades wird die Wirkung der Regelung stark eingeschränkt. In der Kombinationsstruktur spielt die Steuerung eine dominante Rolle. Die Dämpfungsfähigkeit der Steuerung ist jedoch stark von den Modellierungsfehlern abhängig. Die Kombinationsstruktur zeigt im Vergleich zur Regelung sowie Steuerung allein ein besseres Resultat. Für die adaptive Regelung werden verschiedene aus der Literatur bekannte Strukturen, wie FXLMS und FULMS, vorgestellt. Grosse Vorteile dieser adaptiven Regleralgorithmen sind einerseits ihre Steuerungsstruktur und andererseits die Anpassungsfähigkeit an Veränderungen der Strecke durch adaptive Regelung. Das Problem der adaptiven Regelung liegt vor allem im Kompromiss zwischen Stabilität und Konvergenzrate. Da die vorhandenen adaptiven Regleralgorithmen die Modellfehler des Sekundärpfades nicht berücksichtigen, führt das adaptive System zur Instabilität, falls der Adaptionsverstärkungsfaktor gross wird. Ein neuer, robust-stabiler FULMS-Algorithmus ist hergeleitet und erprobt worden. Die Resultate der experimentellen Untersuchungen zeigen, dass dieser neue Algorithmus sowohl stabil ist, als auch eine schnelle Konvergenz aufweist.

VI

Abstract The goal of this work was to develop adaptive and robust non-adaptive control algorithms for active noise cancellation in a duct and to experimentally test their performante in the cancellation of noise. To model the propagation of Sound in the duct, System identification methods in the frequency domain were used. The high Order of the model and the desire for active noise cancellation in a wide frequency band give rise to numerical Problems. An advanced identification procedure is developed here to solve this Problem. The model obtained is of Order 44 and Showsa good fit with the measured data in the frequency range from 20 Hz up to 1000 Hz. The H, Synthesis method is used to design the robust non-adaptive controllers. Both feedback controls, and feedforward controls, and the combination of feedforward and feedback controls (2-DOF) have been synthesized and tested. Due to the time delay of the secondary path, the Performance of the feedback control is limited. In the combination of feedforward and feedback control, the feedforward Controller plays a dominant role. The Performance of the feedforward Controller is very dependent on model errors. Nevertheless, the combination of feedforward and feedback control Showsa better Performance. For adaptive control, several known methods, such as FXLMS and FULMS, are introduced. The most significant advantages of adaptive control are its feedforward structure and its ability to adapt to the changes of the plant. The major Problem of the adaptive control is the trade-off between stability and convergence time. Since the existing algorithms do not take into account the model error of the secondary path, the adaptive System is unstable if the gain in the adaptation loop is large. A new, robust, and stable FULMS algorithm has been derived and implemented. The experimental results show that the new algorithm is both stable and rapidly tonverging.

IX

Symbolverzeichnis Abkürzungen ANC ARX AVC ASAC

CN CF DSP FDSID FIR FULMS FXLMS IIR IV LMS

LQG LS LTR MIM0 MSE ISA-Bus PEM PHS-Bus

SISO

Aktive Schalldämpfung (active noise control) Controlled Autoregressive Aktive Schwingungsdämpfung (active Vibration control) Aktive strukturelle Schalldämpfung (active structural acoustic control) Konditionszahl (condition number) Kostenfunktion (tost function) Digitalsignalprozessor (digital Signal processor) Systemidentifikation im Frequenzbereich (frequency domain System identification) Nichtrekursive (Filter) (finite impulse response) Filtered-U-LMS(-Verfahren) (filtered-U-LMS) Filtered-X-LMS(-Verfahren) (filtered-X-LMS) Rekursive (Filter) (infinite impulse response) Hilfsvariable(-Verfahren) (instrumental variables) Kleinste quadratische Mittelung (least mean squares) Linear Quadratic Gaussian Kleinste Quadrate (least squares) Loop Transfer Recovery Mehrgrössen(-System) (multiple input multiple output) Quadratische Mittelung des Fehlers (mean-Square error) Industry Standard architecture Bus Prediction-Error-Methode (prediction error method) 32-bit peripheral high-speed bus (von der Firma ‘dSPACE’) Eingrössen(-System) (Single input Single output)

Allgemeine Operatoren 44 AT

B diag{ . ..>

Ableitung von a nach x Transponierte Matrix Konjugierte Komplexe des Vektors 23 Diagonaler Matrixoperator

X

Erwartungswertoperator Kreisschaltungsoperator (linear fractional transforms) Imaginärteil der komplexen Zahl J-iJacobische Matrix der Vektorfunktion X Besselfunktion m -ter Ordnung Signalraum, in dem die L, -Norm des Signals endlich ist Signalraum, in dem die H, -Norm des Signals endlich ist Neumannfunktion m -ter Ordnung Verbundwahrscheinlichkeitsdichtefunktion Raum der reellen Zahlen Realteil der komplexen Zahl Prädiktor Faltungsoperator Gradient der Funktion F(x) gegen x Parameterfehler Absolutewerte oder Amplitude L, -Norm des Signals Hoo -Norm des Signals und des Systems Kostenfunktion Absolute Kostenfunktion Kostenfunktion aufgrund N-Gruppe von Daten Minimaler, i-ter und maximaler Singuralwert der Matrix A

JqJ* 1 Pd6 7. ) R Re{ . ..} w+ *

- 1)

w-4 w> 14 IIXII 2 IIGII, w 5,(4 kJ/(‘) o(A), q(A), WA) Allgemeine Symbole Al, A2, A3, A4 C b-N DG) DIDR* DK

fe fc fn

M Wz1

l3W U-W

Verstärker (S. 24, Bild 2-l) Schallgeschwindigkeit Nennerpolynom einer Übertragungsfunktion Imaginär-teil des Zählerpolynoms auf einer Frequenz Realteil des Zählerpolynoms auf einer Frequenz Durchmesser des Kanals Eckfrequenz eines Tiefpassfilters Cutoff-Frequenz eines Kanals Resonanzfrequenz eines Kanals

XI

G(s)

Allgemeines System

Gk(s>

System nach Reduktion der (n-k) Ordnung

%

%27 G21

und G,,

‘,ld,

‘12d,

Gc

&)

,Ge(s)

Die vier Übertragungsfunktionen der Versuchsanlage (S. 24, Bild 2-2), die die kontinuierlichen oder diskreten Übertragungsfunktionen sowie die ImpulsantwortsVektoren formulieren. G,, und G,, werden auch Sekundärpfad und akustische Rückführung genannt. Vereinfachte Modellstruktur (S. 51, Bild 3-12) Übertragungsfunktionen der Teilsysteme mit den festen und zu identifizierenden Parameter

G,(s) Jg”)

Übertragungsfunktionen der Teilsysteme von G(s)

G0 i K

Verstärkungsfaktor von G(s) Integralindex Regler Feedback-Regler Regler Feedforward-Regler Zentraler Regler Reduzierter Regler Regler ohne ‘Resonanzüberhöhung’ Frequenzindex Integral Abstand zwischen dem Lautsprecher Ll und dem Fehlermikrophon Ml Kreisverstärkung eines SISO-Regelsystems Länge des Kanals Lautsprecher Ll (Rauschenquelle) und Lautsprecher L2 (Aktor) (S. 24, Bild 2- 1) Anzahl der Mittelungen der geschätzten Parameter (S. 60) Maximaler Betrag von S auf dem ganzen Frequenzband Maximaler Betrag von S auf einem bestimmten Frequenzband Positive Zahl

Kb KcT Kf Ko Kr

K OU 1 L 1,

M

LO

LK

Ll, L2 M Ml

M2 ML

b-4

XI1

Ml, M2 n N NW %* NR* nL 544 nF nP

nQ na nb nP nw m nct 4

s S t T Ta Td

T ZW T zwo

Tl, T2, T3 WC

bl [SI [SI

Fehlermikrophon M 1 und Referenzmikrophon M2 (S. 24, Bild 2- 1) Zeitindex Integral Zählerpolynom einer Übertragungsfunktion Imaginär-teil des Zählerpolynoms auf einer Frequenz Realteil des Zählerpolynoms auf einer Frequenz Anzahl der Lautsprecher Anzahl der Fehlermikrophone Dimension eines FIR-Filters Dimension der abgebrochen Impulsantwort von G,, Dimension der abgebrochen Impulsantwort von G,, Dimension des rekursiven Polynoms der ARX-Struktur Dimension des nichtrekursiven Polynoms der ARXStruktur Anzahl der Pole eines Systems Dimension des Gewichtungsvektors eines adaptiven Reglers Anzahl der Nullstellen eines Systems Dimension des Zählerpolynoms einer Übertragungsfunktion Dimension des Nennerpolynoms einer Übertragungsfunktion Dimension der zu identifizierenden Parameter Komplexe Frequenz Empfindlichkeit eines SISO-Regelsystems Zeit Komplementäre Empfindlichkeitsfunktion eines SISORegelsystems Abtastperiode Totzeit eines Systems Übertragungsfunktion eines erweiterten Systems Übertragungsfunktion eines erweiterten Systems beim offenen Kreis Tiefpassfilter (S. 24, Bild 2- 1) Steuerbarkeitsmatrix eines Systems

XI11

[rad/s] [rad/s] [rad/s]

Beobachtbarkeitsmatrix eines Systems Zeitdiskrete komplexe Variable, im Kapitel 1 als Koordinate Koeffizient des Zählerpolynoms einer Übertragungsfunktion Koeffizient des Zählerpolynoms einer Übertragungsfunktion Positive Zahl Minimaler Wert der Hm -Norm Leaky-Faktor Dämpfungskoeffizient Wahrer Parametervektor und der i-te Parameter Geschätzter Parametervektor und der i-te geschätzten Parameter Phase Konditionszahl Hilfsparameter des Lagrange-Prinzips Koeffizient der Levenberg-Marquardt-Methode Verstärkungsfaktor der Adaption Standardabweichung des Messsignals u auf der Frequenz 03~ Störungssignal Grenzwerte der äusseren Störung Regressionsvariable Kreisfrequenz Bandbreite eines Regelsystems Kreisresonanzfrequenz

Symbole in Kapitel 1 ei k

k,, k, m PC*)

Pm

[N/m2] [N/m2]

Fehlersignal Wellenzahl Projektion des Vektors der Wellenzahl k auf der z -Achse und in radialer Richtung Anzahl der Schwingungsknoten entlang dem Winkel cp Schalldruck Amplitude des Schalldrucks

XIV

o-7CP, z) RW 4,

R2

T(t),

T,

kLY,Z)

Yi -wd, 2, YlO Si? WP)~

vo

Zylindrische Koordinate Schalldruckverteilung in radialer Richtung Beliebige Konstanten Schalldruckfunktion von Zeit t und ihre Amplitude Anzahl der Schwingungsknoten in radialer Richtung r Dreidimensionale rechtwinklige Koordinate Ausgangssignal Schalldruckverteilung in z -Achse und ihre Amplitude Wurzel der Mode (1,0) Phasenreserve Schalldruckverteilung in Winkel cpund ihre Amplitude

Symbole in Kapitel 3 Polynome des ARX-Modells A(z-l), B(z-l) %yl e(n) E . und ER., EI. E,. und E,,. 7EIm. Gp(* 1

w 1 KJ@ Pi

Q(n) u u(n) u mU-1

‘R. ‘1. Yd, V, VW Y

Kovarianzfunktion Prädiktionsfehler Prädiktionsfehler und sein Realteil sowie Imaginär-teil Prädiktionsfehler und sein Realteil sowie Imaginärteil bezüglich der Messwerte Übertragungsfunktion des Signalkanals des PEMModells Übertragungsfunktion des Rauschenkanals des PEMModells Verstärkungsmatrix der rekursiven Methode Der i-te Pol Rekursive Matrix Wahre Amplitude des Eingangssignals des Systems Zeitdiskretes Eingangssignal Komplexe Amplituden des gemessenenEingangssignals Komplexe Amplitude des Eingangssignals auf der Frequenz cul Realteil und Imaginärteil des Eingangssignals Komplexe Amplituden der Störungen am Eingang und Ausgang Weisses Rauschen Wahre Amplitude des Ausgangssignals des Systems

xv

v(n) YrnY*l

‘,. ‘1. ‘i -an> A F

Zeitdiskretes Ausgangssignal Komplexe Amplitude des gemessenenAusgangssignals Komplexe Amplitude des Ausgangssignals auf der Frequenz o1 Realteil und Imaginärteil des Ausgangssignals i-te Nullstelle Hilfsvariable Konstante (Varianz) Normalisierte Prädiktionsfehlermatrix Gradient der Prädiktionsfehler

Symbole in Kapitel 4 Dimension des Ausgangsvektors eines erweiterten Systems Dimension des Eingangsvektors eines erweiterten Systems Lösung der zweiten Riccati-Gleichung Parameter(-System) der Q -Reglerparametrierung Steuersignal (Eingangsvektor 2 des erweiterten Systems) Führungssignal (Eingangsvektor 1 des erweiterten Systems) (dynamische) Gewichtungselemente Zustandsvariable und ihre Schätzung Lösung der ersten Riccati-Gleichung Messsignal (Ausgangsvektor 2 des erweiterten Systems) Regelsignal (Ausgangsvektor 1 des erweiterten Systems) Reelle Zahl

w,2

?lml, 2

P

Q u(t) w(t) W x, x X YW zu> a Gll Gl2 iG21 G221

Kurzschreibweise für ein erweitertes System

H-1 ‘4

Bl

B2

Cl

41

42

c2

D2,

D22

Kurzschreibweise für die Zustandsraumdarstellung eines erweiterten Systems

XVI

Symbole in Kapitel 5

44 ,BG) A,, B,, C,, D, BR, Br 44 eA(t) 44 %23 g12 nv

P px, p, P,(n) R r

W* W max W), x XI(.), x’ v(n) % a,@ aB ß w r\ 5, P 2)A> ‘B

Gewichtungsvektor des adaptiven IIR-Reglers Matrix der Zustandsbeschreibung eines Systems Kugelraum mit dem Radius R, r Fehlersignal Hilfsfehlersignal Ausgang des offenen Kreises Sekundärpfadvektor und seine Elemente Dimension der Zustandsvariable eines Systems Positive reelle Matrix Leistung des Eingangssignals und ihre Schätzung Leistung des Fehlersignals Radius eines Kugelraums Autokorrelation des Eingangssignals Positive reelle Matrix Eingangsvektor eines adaptiven IIR-Reglers Gefiltertes Eingangssignal eines adaptiven IIR-Reglers Eingangssignal Kandidaten der Lyapunov-Funktion Gewichtungsvektor und seine Elemente des adaptiven Reglers Optimaler Regler Maximaler stabiler Gewichtungsvektor Eingangsvektor eines adaptiven FIR-Reglers Gefiltertes Eingangssignal eines adaptiven FIR-Reglers Ausgang des adaptiven Filters Normalisierter Verstärkungsfaktor Glättungsfaktor Erweitertes Fehlersignal Zustandsvariable Restwert der Kostenfunktion Positive reelle Zahl Leaky-Faktor

XVII

Inhaltsverzeichnis 111

Vorwort

V

Zusammenfassung Abstract

VI

Symbolverzeichnis

IX XVII

Inhaltsverzeichnis

1

1 Einführung 1.1 Prinzip der aktiven Schalldämpfung ........................... 1.1.1 1.1.2 1.1.3 1.1.4 1.15

Wellengleichungen und ihre Lösungen. ................... Schallausbreitung in einem Kanal. ....................... EbeneWelleineinemKanal............................. Superposition und destruktive Interferenz ................. Physikalische Beschränkungen der ANC ..................

1.2 Anwendungen der ANC 1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.2.4 1.2.5

.....................................

ANC im Kopfhörer. .................................. ANC imKana1.. .................................... ANCimRaum.......................................17 Aktive Schwingungsisolation ........................... Aktive strukturelle Schalldämpfung .....................

.2 .2 .6 9 10 12 14 15 .16 19 .20

1.3 Problemstellung der Dissertation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 1

2 Versuchsanlage

23

2.1 Akustischer Kanal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25 2.2 Das Echtzeit-System und seine Software-Umgebung ............. 2.2.1 Hardware-Struktur des Echtzeit-Systems .................

.26 .26

l l l

XVIII

2.2.2 Software-Struktur des Echtzeit-Systems. . . . . . . . . . . . . . . . . . .26

29

3 Modellbildung 3.1 Systemidentifikation im Frequenzbereich ...................... 3.1.1 3.1.2 3.1.3 3.1.4 3.1.5

.3 1

Gnxndlage..........................................3 2 .42 Aufbau des Messsystems ............................. .43 Messung der Totzeit ................................. .44 Teilbereiche und bekannte Teilsysteme .................. Modellreduktion und Verarbeitung der nicht-minimalen Phase. 50

3.2 Systemidentifikation im Zeitbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .52 3.2.1 Einige Methoden der Systemidentifikation im Zeitbereich . . . .52 3.2.2 LMS-Verfahren zur Systemidentifikation. . . . . . . . . . . . . . . . . .58

4 Robuste Steuerung und Regelung für aktive Schalldämpfung 4.1 Grundlage der robusten Regelung ............................ 4.1.1 Allgemeines Problem der robusten Regelung. ............. 4.1.2 Empfindlichkeit und komplementäre Empfindlichkeit. ...... 4.2 Beschränkungen der Empfindlichkeit

.........................

4.2.1 Bode-Integral-Theorem. .............................. ...................... 4.2.2 ‘Resonanzüberhöhung'-Phänomen 4.3 Steuerungsentwurf ........................................ 4.3.1 Gewichtungsschema für die Steuerung. .................. 4.3.2 Voller Regler und reduzierter Regler ..................... 4.3.3 Experimente und Resultate ............................. 4.4 Regelungsentwurf. ........................................ 4.4.1 Gewichtungsschema für die Regelung ................... 4.4.2 Experimente und Resultate ............................

63 .64 .64 .69 .72 .72 .75 .79 .79 82 85 .86 .86 .89

4.5 Kombination der Steuerung und Regelung . . . . . . . . . . . . . . , . . . . . . .90

XIX

4.5.1 Gewichtungsschema für die Kombination ................ 4.5.2 Ordnungsreduktion des kombinierten Reglers ............. 4.5.3 Experimente und Resultate ............................

97

5 Adaptive aktive Schalldämpfung 5.1 LMS-Adaptionsverfahren.

5.2

.90 .94 .96

.99

..................................

5.1.1 Prinzip ............................................ 5.1.2 Analyse der Eigenschaften des LMS-Verfahrens ........... 5.1.3 Modifiziertes LMS-Verfahren .........................

.99 101 103

........................................

106

FXLMS-Verfahren

5.2.1 Herleitung des FXLMS-Verfahrens .................... 5.2.2 Experimente und Resultate ............................ 5.2.3 Kommentare ....................................... 5.3 Akustische Rückführung und FULMS-Verfahren 5.3.1 5.3.2 5.3.3 5.3.4

................

Neutralisation der akustischen Rückführung .............. FULMS-Verfahren .................................. Experimente und Resultate ............................ Kommentare ......................................

5.4 Stabiles FULMS-Verfahren ................................. ........... 5.4.1 Grundlage der Stabilitätsanalyse nach Lyapunov 5.4.2 Fehlermodelle und Stabilität der Adaption. ............... 5.4.3 Stabiles FULMS-Verfahren .......................... 5.5 Robust-stabiles FULMS-Verfahren ........................... 5.5.1 Robust-stabile Methoden ............................. 5.5.2 Robust-stabiles FULMS-Verfahren mit ‘Leaky’ ........... 5.5.3 Experimente und Resultate. ...........................

.106 108 110 111 112 114 117 .118 120 121 124 .130 134 134 138 139

6 Abschliessende Bemerkungen

141

Anhang

143

Literaturverzeichnis

157

1

Einführung

Im alltäglichen Leben werden wir von Lärm fast überall belastet, in Wohnungen, in Fahr- und Flugzeugen, in Büros, in Fabriken usw. Unter langfristiger Belastung von Lärm werden Schädigungen der Hörfähigkeit, Probleme des Kreislaufsystems, Störungen des Schlafes usw. ausgelöst. Sehr starker Lärm (oberhalb -120 dB) kann Hörverlust oder andere organische Schäden verursachen, im Extremfall sogar tödlich wirken. Deshalb hat die Schalldämpfung eine sehr grosse Bedeutung. Für die Schalldämpfung können verschiedenen Strategien verwendet werden. Man kann Lärm durch direkte Verarbeitungen der Lärmquelle eliminieren oder reduzieren. Z.B. kann man den von mechanischer Drehbewegung verursachten Lärm durch eine Erhöhung der Genauigkeit des Wellenlagers reduzieren oder durch einen Entwurf ohne Drehbewegungselement ganz beseitigen. Man kann Lärm auf dem Pfad der Lärmausbreitung auch durch Isolation dämpfen. Für das obere Beispiel der mechanischen Drehbewegung kann ein Feder-MasseDämpfungselement z.B. als Lager benutzt werden, so dass eine kleinere Amplitude der Schwingung auf den Boden übertragen werden kann. Andererseits kann man das Drehbewegungselement mit Dämmaterial umstellen, um die Schallausbreitung zu behindern. Man kann auch einen Schalldicht-Raum für Hörer oder einen Ohrschützer damit ausbauen. Die oben erwähnten Methoden gehören zur passiven Schalldämpfung. Sie ist sehr wirkungsvoll, wenn die Frequenzen des zu dämpfenden Lärmes höher als 500 Hz sind. Bei tiefen Frequenzen verlangt sie sehr dickes Dämmaterial oder grosse Federn. Da nimmt das Gewicht und das Volumen des Systems zu. Die aktive Schalldämpfung (active noise control), die aktiv einen Gegenschall durch Lautsprecher erzeugt, hat diese Lücke geschlossen. Wegen der Beschränkungen der Rechengeschwindigkeit des Prozessors sowie

2

1 Einführung

Quermoden (Cross mode) des Schallfeldes ist die ANC nur in den tiefen Frequenzen ( dz2

=

(1.1.7)

-k;

w”)ar2--1 1

a2R(,)+J

1 &? +

(1.1.8)

r R &

Nach dem gleichen Argument sollen die beide Terme der linken Seite der Gleichung (1.1.8) jeweils konstant sein:

(1.1.9)

Setzen wir die Gl. (1.1.9) in die Gl. (1.1.8) ein, wird die Gl. (1.1.8) wie folgt umgeschrieben:

1 R(r)

a2R(r) ar2

+ --1

1

l%(r)

+ k2-

r R(r)

Jr

r

~2~ = o

*

’

(1.1.10)

wobei k, k,, k,. und m konstant sind und es die folgende Beziehung gibt:

k;+kf

= k2.

(1.1.11)

Die die harmonische Schwingung beschreibenden Lösungen der Gleichungen (1.1.6), (1.1.7) und (1.1.9), die uns interessieren, können wie folgt hergeleitet werden:

1.1 Prinzip der aktiven Schalldämpfung

5

T(t) = TOcos(at + 13~) Z(z) = 2, cos (k,z + IYJ wPp> = v(ps(mcp + 6,A

(1.1.12)

wobei o = kc ist, und T,, Zu, v0 und 6,, 6,, IY, beliebige Konstanten sind. Die Differentialgleichung (1.1.10) kann wie folgt umgeschrieben werden:

(1.1.13)

Das ist eine allgemeine Besselgleichung. Ihre Lösung kann wie folgt formuliert werden: R(r)

= R,J,m(krr)

+

R2N,(krr)

7

(1.1.14)

wobei R, und R, beliebige Konstanten sind. JB,(k,r) ist die Besselfunktion m -ter Ordnung und N,( k,r) ist die Neumannfunktion m -ter Ordnung. Weil lim IN,(k,r)l

= 00

t-+O

ist, muss dann R, = 0

(1.1.15)

sein. Die Besselfunktion m -ter Ordnung ist wie folgt definiert:

J&p)

Do (-l)i(r/2)” +2i, m = o 1 2 = c 7 , , ... . i!(i + m)! i=o

Das Bild l-l zeigt die Besselfunktionen der Ordnungen m = 0, 1,2.

(1.1.16)

1 Einführung

6

Setzen wir die GI. (1.1.12), (1.1.14) und (1.1.15) in die GI. (1.1.4) ein, bekommen wir die harmonische komplette Lösung der Wellengleichung: po-, 2, CP7 9 = c P,cos(mcp + ++Jcos(Q

+ “9,).&(k,r)cos(~t

+ fit)

m

(1.1.17) für die beliebigen Konstanten m und k, .

I

-0.5’ 0

2

4

6

8

IO

12

Y

Bild l-l

Bessel-Funktion JBm( y) für die Ordnungen m = 0, 1, 2.

1.1.2 Schallausbreitung in einem Kanal Wenn die Schallausbreitung in einem Kanal beschränkt wird, muss die Lösung der Wellengleichung noch zusätzliche Randbedingungen erfüllen. Für eine solide Wand des Kanals ist die Geschwindigkeit der Partikel entlang der Radiusrichtung an der Wand null, das entspricht: Mc

z90, t> = 0. ar Y = DK/2

Setzen wir die Gl. (1.1.17) in die GI. (1.1.18) ein, erhalten wir:

(1.1.18)

1.1 Prinzip der aktiven Schalldämpfung

aJfjm(kf-r) ar

= jBm(k,DK/2)

7

= 0.

(1.1.19)

Y = DK/2

D.h. es existieren im Kanal mit dem Durchmesser D, nur die Moden der Schallausbreitung, welche die obigen Bedingung erfüllen. Die Tabelle l-l listet die ersten 16 Wurzeln der Ableitung der Besselfunktion j~~(y,,,) auf.

Tabelle l-l

Die ersten 16 Wurzeln j,,(ym,,)

Für m = 0, v = 0 ist die Wurzel von jB,( y,,) null ( yoO = 0 ). Weil ist, resultiert k, = 0. Nach der GI. (1.1.11) erhalten wir: Ymv = k,D,/2

d.h. die Ausbreitungsrichtung des Schalls im Kanal ist die Richtung der zAchse. Weil m = 0 und k, = 0 sind, ist die Verteilung des Schalldrucks über den Querschnitt gleichmässig (vgl. Gl. (1.1.12)). Mit anderen Worten: der Schalldruck jedes Punktes im Querschnitt ist gleichphasig. Deshalb existiert nur eine ebene Welle im Kanal. Mit der Zunahme der Schallfrequenz werden die hohen Moden der Schallausbreitung angeregt. Das Bild l-2 zeigt die Verteilungen des Schallfelds der hohen Moden im Querschnitt des Kanals: Wenn m = 0 ist, wird die Verteilung des Schalldrucks über den Winkel cp gleichphasig. Die dünnen Kreise zeigen die Schwingungsknoten (nodal circles), auf denen die Schwingungsamplitude der Partikel null ist. Wenn v = 0 ist, wird die Verteilung des Schalldrucks entlang dem Radius gleichphasig. Die dünnen Linien zeigen wieder die Schwingungsknoten.

8

1 Einführung

Wenn m = 2 ist und der Winkel cp sich 27~ dreht, wird die Phasenveränderung des Schalldrucks entlang Winkel cpden Wert 47~erreichen. Das bedeutet, dass alle 90 Oein Schwingungsknoten auftritt. m=l

m=O

m=2

yl()=l.M YOO’O v=lo

0 y11=.5.33

yol=3.83

yo2=7.02

m=3

y20=3.0.5

~~~=4.20

@ yzl=6.71

@B yy=8.02

y22=9.97

y32=11.3.5

Bild l-2 Verteilungen des Schallfelds der hohen Moden in der Querfläche des Kanals (aus Eriksson [ 191) Aus dem Bild l-2 sehen wir, dass in einem Kanal die ebene Welle nur dann existiert, wenn m = 0 und v = 0 ist. Erst bei höheren Frequenzen, wenn die Bedingung k,D,/2

= yio = 1.84

(1.1.20)

erfüllt ist, entsteht ein erster Modus, der keine ebene Welle ist. Die Schallfrequenz, die die obere Gleichung erfüllt, wird als Cutoff-Frequenz f, (cutoff frequency) eines Kanals bezeichnet. Sie kann aus der Gl. (1.1.20) einfach hergeleitet werden:

krc fc~--&&?$.

1 84c K

K

(1.1.21)

1.1 Prinzip der aktiven Schalldämpfung

9

1.1.3 Ebene Welle in einem Kanal Wie im letzten Unterkapitel diskutiert, wird sich der Schall in einer ebenen Welle in einem Kanal ausbreiten, wenn die Schallfrequenz nicht höher als die Cutoff-Frequenz des Kanals ist. In diesem Fall sind m = 0 und k, = 0, und die Wellengleichung wird wie folgt vereinfacht:

Pb-7CP, z, 0 = pc& 6

= P0cos(kz+19,)cos(ot+6,)

(1.1.22)

Die Verteilung des Schalldrucks entlang der Achse des Kanals lautet: PM

(1.1.23)

= POcos (kz + 19~).

In unserem Versuch wird ein Lautsprecher an einem Ende des Kanals montiert (b ei z = 0). Seine Membran bewegt sich, wenn der Schall vom Lautsprecher erzeugt wird. Aber bei der Diskussion der Reflexion des Schalls kann er vereinfacht als eine starre Oberfläche betrachtet werden, weil die Bewegungsamplitude der Membran des Lautsprechers bezüglich der Schallwellenlänge vernachlässigt werden kann. Deshalb soll die Geschwindigkeit der Partikel entlang der Achse in diesem Punkt null sein; das entspricht: aP(4 = 0. a.2 z=o

Setzen wir die Gl. (1.1.23) in die obige Gleichung ein, erhalten wir 6, = 0. An der anderen Seite ist der Kanal offen. Dort lautet die Randbedingung:

p(z)Iz=LK = kLK = in + t, wobei L, die Länge des Kanals ist.

Pocos (kLK)

= 0,

i = 0, +l, f2, . . . ,

10

1 Einführung

Daraus erhalten wir die Resonanzfrequenzen f, des Kanals:

f,

=

(2i + l)c,

4L

i

= 0, 1, 2, . . . . .

(1.1.24)

K

Für einen Kanal von 3 m Länge bei 20 “C (c = 343 m/s) frequenzen: 28.58 Hz, 85.75 Hz, 142.92 Hz, usw.

sind die Resonanz-

1.1.4 Superposition und destruktive Interferenz Die von der Gleichung (1.1.1) oder (1.1.2) beschriebene Wellengleichung ist linear. D.h. wenn zwei Schalldruckfunktionen p 1(Y, cp,Z, t) und p2( r, cp, z, t) zwei Lösungen der Wellengleichung (1.1.2) 2

a2 -+!A+l -- a2+ a2 P#-7 r ar r2 aq2 az21 Lar2

CP,G 0 = L +Pl(&

- a2+i-- a+i -- a2+ - a2 P#-7 Y&- r2 aq2 az2 1 t ar2

CP,z-9t) = -

c2at

cp, z, t>

und

i a2

7P2(C

CP,c 0

c2 at

sind, wird die Summe der zwei Schalldruckfunktionen auch eine Lösung der Wellengleichung:

a2+i a I --i a2+ a2 (Pik l-ar2 r ar r2 aq2 az21 i a2 = 2 --g(Pl(rT

weil alle Operationen

CP,G Q + P#,

CP,G 0 + P2k

($42, w,

CP,2, 0)

1.1 Prinzip der aktiven Schalldämpfung

11

a a2 --a2 a2 und a2 S 2 av2 aT2 dz2 linear sind. Der resultierende Schalldruck p( r, cp, Z, t) ist eine Summe der zwei Schalldrücke: Po-9 q, 2, 1) = pl(r,

cp, z, t> + p2k

(f-42, t>.

(1.1.25)

Das ist das Prinzip der Superposition, auf dem die aktive Schalldämpfung basiert. Wenn die Schwingungsrichtungen, die Amplituden und Frequenzen der zwei Wellen p1 (Y, cp,z, t) und p2( r, cp,z, t) auf einem Punkt identisch sind, und wenn die beiden 180” Phasendifferenz haben, löscht der Schalldruck sich auf diesem Punkt aus. Das heisst destruktive Interferenz. Aber eine totale Auslöschung ist eine sehr schwierige Aufgabe, die wir in einem einfachen Beispiel zeigen können. Wenn das Lärmsignal p 1(t) ein harmonischer Ton wäre: pl(t)

= Pocosm:

und der Gegenschall p2( t) eine Amplitudenabweichung von AP hätte: pl(t)

= (Po + AP)cosot

würde der folgende restliche Schalldruck p(t) PO)

resultieren:

= APcos at.

Wenn die Amplitudendifferenz von 1 dB auftritt, d.h.:

201og(pn;oAp)

= 1 [dB] ,

1 Einführung

12

entspricht: 1

2ö AP = 10 -1, P, wird die maximale Dämpfung auf

2Olog(P,) - 2Olog(AP) = -2Olog beschränkt. Die gleiche Beschränkungslimite kann erreicht werden, wenn eine Phasendifferenz von 5 Oauftritt. Bei einer Amplitudendifferenz von 3 dB oder einer Phasendifferenz von 20 Oist nur noch eine Dämpfung von ca. 8 dB möglich. Im ungünstigsten Fall tritt keine Dämpfung, sondern sogar eine Verstärkung der Störung auf.

1.1.5 Physikalische Beschränkungen der ANC Fuller et al. [25] haben die Faktoren, welche die Anwendung der ANC einschränken, in den folgenden drei Punkten zusammengefasst:

A)

.

Räumliche Grösse (spatial extent),

.

Spektrale Grösse (spectral extent) und

.

Passive Dämpfung (passive damping). Räumliche Grösse

Wenn die räumliche Ausdehnung grösser ist als die Wellenlänge, welche ihrer Cutoff-Frequenz entspricht, dann existieren die Moden mit hoher Ordnung im Schallfeld. Daraus folgt eine komplizierte Schallverteilung. Zur Zeit gibt es noch keine Lösung für die aktive Dämpfung von Schall mit Moden hoher Ordnung.

1.1 Prinzip der aktiven Schalldämpfung

13

Obwohl hier die Moden hoher Ordnung vernachlässigt werden, gibt es auch keine ebene Welle mehr wegen der Reflexion von der unregelmässigen Begrenzungsfläche. Falls die Schallquelle als eine Punktquelle betrachtet wird, und der Aktor genügend nahe bei der Schallquelle liegt, könnte ein SISOANC-System eine perfekte Schalldämpfung erzielen. Sonst muss mit einem mehrkanaligen ANC-System gerechnet werden. Der Effekt der Schalldämpfung mit dem mehrkanaligen ANC-System ist abhängig davon, wie gut die Verteilung des zu dämpfenden Schalls durch mehrere verteilte Aktoren wiedergegeben werden kann. B)

Spektrale Grösse

Dämpfung von Geräuschen mit engem Frequenzband ist viel einfacher als im breitbandigen Fall. Der Lärm, der z. B. von einer rotierenden Maschine oder von einem Transformator erzeugt wird, hat ein enges Spektrum. Dabei braucht der Regler nur eine hohe Verstärkung im engen Frequenzbereich aufzuweisen, und das zu dämpfende System ist nur in einem engen Frequenzbereich zu identifizieren. Dazu kann ein nichtakustischer Sensor als Referenzsensor verwendet werden, um das aus der akustischen Rückführung verursachte Problem zu vermeiden, welches im Unterkapitel 5.3.1 diskutiert wird. C) Passive Dämpfung

Ein Regler, der das Rauschen perfekt auslöschen kann, muss die Dynamik des Sekundärpfades invertieren, wie wir im Unterkapitel 4.2.2 diskutieren werden. Ein fehlerhaftes Modell des Sekundärpfades kann eine zusätzliche Phasenverschiebung 66 durch die Unbestimmtheit der Position des Poles Ao auslösen. Für ein Schwingungssystem zweiter Ordnung gilt die folgende approximative Beziehung (Gueler et al. [36]) in der Nahe der Resonanzfrequenz:

(1.1.26) wobei 5 der passive Dämpfungskoeffizient und O, die Resonanzfrequenz des

14

1 Einführung

Schwingungssystems ist. Wenn 4 = 0 ist, erreicht die zusätzliche Phasenverschiebung 6-9 einen Winkel von 180 O.Mit der minimalen Phasereserve 66,, für die Stabilität und der Unbestimmtheit der Position der Poles ALUmuss der Dämpfungskoeffizient < die folgende Beziehung für die robuste Stabilität erfüllen:

(1.1.27) Die Gl. (1.1.27) weist darauf hin, dass ein grösserer Dämpfungskoeffizient c die Robustheit des Systems erhöht. Obwohl die Beziehung (1.1.27) unter Annahme des SISO-Systems hergeleitet wurde, gilt sie approximativ auch für MIMO-Systeme (Gueler et al. [36]).

1.2 Anwendungen der ANC Wie wir im Unterkapitel 1.1.5 diskutiert haben, ist die Grösse des Raums, in dem Schall zu dämpfen ist, im Verhältnis zur Schallwellenlänge eine wesentliche Beschränkung der ANC. Erfolgreiche Anwendungen der ANC werden dort gefunden, wo der Raum als ein Punkt (z.B. Kopfhörer) oder als eine Linie (z.B. ein Kanal) betrachtet werden kann. Wenn der Raum dreidimensional (z.B. eine Kabine eines Autos oder eines Flugzeugs) ist, nehmen die Dämpfungsfähigkeit und Bandbreite der ANC deutlich ab. In den folgenden drei Unterkapiteln werden die Anwendungen der ANC in Kopfhörer, im Kanal und in der Kabine eines Fahrzeuges vorgestellt. In den Unterkapiteln 1.2.4 und 1.2.5 werden wir die aktive Schwingungsisolation und die aktive strukturelle Schalldämpfung präsentieren.

1.2 Anwendungen der ANC

15

1.2.1 ANC im Kopfhörer Der Raum eines Kopfhörers im Verhältnis zur Schallwellenlänge ist sehr klein. Das ist der ideale Fall für Anwendung der ANC. Verschiedene Strategien der Regelung sind dafür durchgeführt worden. Ein Feedforward-Adaptionsfilter in Ohrgeräten hat das Signal-Rausch-Verhältnis um 30 dB erhöht (Huang et al. [45]). Rafaely und Elliott [80] haben einen adaptiven Feedback-Regler, der eine IMC-Struktur (Internal Model Control) aufweist, verwendet. Dabei ist eine Dämpfung von mehr als 50 dB für eine periodische Störung mit enger Bandbreite erreicht worden. In diesem Gebiet entstand auch ein erstes kommerzielles Produkt der ANC, ein Militärpilot-Kopfhörer (Gauger [28]). Tausende solcher Kopfhörer sind seit Juli 1989 in den Luftstreitkräften der USA eingesetzt worden. Dabei wird ein allgemeiner Feedback-Regler benutzt. Das Bild l-3 zeigt seine Struktur. Das Resultat der Experimente zeigte, dass er den Lärm bis auf 30-40 dB reduzieren kann. Im Vergleich zum passiv gedämpften Kopfhörer ist er um 12 -18 dB besser.

-

Control Rules

Control Signal to Actuator (speaker) Actual Sound Heard

Bild l-3

Kopfhörer mit ANC (aus Gauger [28])

Signal from Detector (Microphone)

16

1.2.2 ANC im Kanal Schall breitet sich in einem Kanal in ebener Welle aus, wenn die maximale Frequenz des Schalls kleiner als die Cutoff-Frequenz des Kanals ist. Das gehört zum einfachsten Fall der Schallausbreitung, und das ist auch ein idealer Fall, um verschiedene Strategien und verschiedene Algorithmen der Regelung zu vergleichen und zu prüfen. Deshalb wird der Kanal als Versuchsanlage in vielen Referenzen verwendet, die in Kapitel 4 und 5 zitiert werden. Tatsächlich gibt es jedoch viele Lärmprobleme, die als Lärmprobleme in einem Kanal betrachtet werden können, z.B. Lärm im Entlüftungskanal durch Ventilator, Lärm im Rohr der zentralen Klimaanlage usw. Eine erfolgreiche Anwendung der ANC in Kanal wurde von Pelton et al. [76] beschrieben. In

einem neuen Gebäude von 50,000 m2 Fläche wurden 85 ANC-Systeme für 33 Ventilatoren wegen der hohen Lärmleistung eingesetzt. Die 85 ANC-Systeme arbeiten unabhängig voneinander. Das Bild l-4 zeigt das Systemblockbild eines der ANC-Systeme. Die Resultate der Messungen haben gezeigt, dass eine Dämpfung des Lärms im Büro um mehr als 10 dB im Frequenzbereich 63 - 1000 Hz erreicht wird.

ANC

Elbow Fan

Reference Microphone

Secondary Loudspeaker

u

Error Microphone

Transition Piece

Bild l-4 Anwendung der ANC in Kanal von Pelton et al. [76] (aus Kuo [56], S. 276)

1.2 Anwendungen der ANC

17

1.2.3 ANC im Raum Das akustische Feld in einem Raum mit einer unregelmässigen Form, z.B. in einer Kabine eines Autos ist viel komplizierter als dasjenige in einem Kanal. Wegen Reflexion wird der Schall an einem Punkt gedämpft und in einem anderen Punkt vergrössert, wenn man ein SISO-ANC-System verwendet. Deshalb soll das mehrkanalige ANC-System mit mehreren Mikrophonen und mehreren Lautsprechern für Schalldämpfung in einem Raum verwendet werden. Das Ziel der ANC in einem Raum ist es, Lärm in der Nähe der Mikrophone zu dämpfen. Dabei sollen die Mikrophone so nahe wie möglich an den Ohren der Hörenden positioniert werden. Wenn das mehrkanalige ANC-System nL Lautsprecher und nM Fehlermikrophone hat, wird der Sekundärpfad eine nL x nM Übertragungsfunktionsmatrix. Das System wird noch komplizierter, wenn es zudem mehrere Referenzmikrophone enthält. Eine vereinfachte Version hat nur ein Referenzsignal, und zwar wird ein nichtakustischer Sensor als Referenzsensor verwendet (d.h. keine akustische Rückführung). Das Bild l-5 zeigt ein 1 XnLXnM mehrkanaliges ANC-System. Gawron et al. [29] haben ein vierkanaliges ANC-System eingesetzt und ein Adaptionsverfahren im Frequenzbereich angewendet. Der adaptive Regler weist eine Feedforward-Struktur auf und wird direkt von der Inversion des Sekundärpfades (eine Matrix) bestimmt. Das Bild l-6 zeigt die Positionen der Mikrophone im Auto und die Resultate der Experimente mit und ohne ANC-System.

Lärm-

/ Sensor4 As

Bild l-5

rl

u

,

Ein 1 x n LT x n1VlII mehrkanalipes ANC-Svstem ” -,------

18

1 Einführung

Verteilung der Mikrophone

I

I ß ß (3 ß 0 c3

Ohne Regelung

[

30dB

Mit Regelung

Bild l-6 Resultate der ANC in der Kabine eines Autos (aus Gawron et al. [29]) Perry et al. [77] haben einen anderen Versuch der ANC in einem Personenwa-

gen beschrieben. Dabei werden 6 Lautsprecher und 8 Mikrophone verwendet. Das Referenzsignal kommt aus dem Motorsteuergerät. Die Ausgänge der 8 Fehlermikrophone modifizieren den Regler nach Adaptionsverfahren im Zeitbereich.

1.2 Anwendungen der ANC

19

1.2.4 Aktive Schwingungsisolation Schall wird durch Schwingung erzeugt. Wenn wir z.B. die Ausbreitung der Schwingungen vom Motor zum Wagenaufbau isoliert haben, können wir den Lärm eliminieren, der von der Schwingung des Wagenaufbaus verursacht wird. Im Vergleich zur ANC liegt der Vorteil dieses aktiven Schwingungsisolations-Systems (active isolation of vibrations) darin, dass das System mit wenigen Aktoren ein gutes Resultat erzielen kann, weil bei der Schwingungsisolation das zu lösende Problem nur mit zwei Dimensionen (Aktoren verteilt in einer Ebene) umgeht, während der aus der Schwingung erzeugte Schall doch ein Problem in drei Dimensionen ist. Das Bild l-7 zeigt die Struktur eines von Freudenberg erfundenen aktiven Lagers (Fuller et al. [26]). Es besteht aus einem Hydrauliklager und einem aktiven SchwingungsisolationsSystem (elektromagnetische Aktoren im Bild l-7 und einem adaptiven Regler). Unter 25 Hz spielt das Hydrauliklager eine wesentliche Rolle, während in den Frequenzen höher als 25 Hz das aktive Schwingungsisolations-System die notwendige Dämpfung liefert. Im Versuch von McDonald et al. wird der Motor eines Volkswagen Golf GT116 auf drei solche aktive Lager gesetzt (Fuller et al. [26]). Das Bild 1-8 zeigt die Resultate der Schwingungsdämpfung. Der Schwingungsaufnehmer misst die Schwingungen der 2. Ordnung der Drehfrequenz des Motors in der Nähe der Füsse des Fahrers.

Without

active control

3 3000

4000

5000

6000

7000

Engine Speed (RPM)

Bild l-7 Aktives Lager von Freudenberg (aus Fuller [26], s. 202)

Bild l-8 Resultate der aktiven Isolation der Schwingungen des Motors (aus Fuller [26] S. 203)

20

1 Einführung

Eine ähnliche Anwendung, die aktive Schwingungsisolation eines Rotors eines Helikopters, wurde von Staple [95] beschrieben. Die Schwingungen in der Kabine und im Cockpit werden um 72% bzw. 82% reduziert, während ein sehr gutes passives System nur 47% bzw. 63% der Schwingungen des Rotors dämpfen kann. Eine andere Anwendung dieser Forschungsrichtung heisst aktive Aufhängung (active Suspension) eines Fahrzeuges. Natürlich ist das wichtige Ziel dieses Systems nicht die Schalldämpfung, sondern die Beschleunigungs- und die Schwingungsdämpfung für Bequemlichkeit. Die Referenzen zu diesem Thema können in einem IEE Colloquium [46] und den Proceedings von AVEC’94 [3] gefunden werden.

1.2.5 Aktive strukturelle Schalldämpfung Wenn eine Störungskraft auf eine elastische Struktur wirkt und die beanspruchten Teile der Struktur elastisch verformt, wird die Struktur zu mechanischen Schwingungen angeregt. Diese Schwingungen werden dann von den Aussenflächen auf die umgebende Luft übertragen und so als Schall abgestrahlt. Die aktive strukturelle Schalldämpfung (ASAC Active Structural Acoustic Control) übt aktive Kräfte auf die Struktur aus, so dass die Deformation der Struktur und schliesslich der Schall gedämpft wird. Weil wir nur einige Moden der Schwingungen der Struktur, die die starke Schallabstrahlung im Hörfrequenzbereich erzeugen, zu dämpfen brauchen, dürfen weniger Aktoren im Vergleich zur ANC oder AVC (active Vibration control) eingesetzt werden. Das Bild l-9 zeigt eine Anwendung der ASAC für die Dämpfung der Schallabstrahlung eines elektrischen Transformators (Fuller et al. [25]). Die Piezokeramik-Aktoren @ werden auf den Wänden des 7.5 MVA Transformators montiert. Die Mikrophone @ werden als Fehlermikrophone benutzt, die in das Schallfeld gestellt werden. Dabei wird ein auf dem FXLMS-Verfahren (siehe Unterkapitel 5.2) basierendes Mehrkanal-Adaptionssystem @

1.3 Problemstellung der Dissertation

21

eingesetzt. Die aktiven Platten mit grosser Fläche 0 werden an den Wänden des Transformators montiert, um die Eigenschaft der Schalldämpfung bei der Frequenz 120 Hz zu verbessern. Die Resultate zeigen, dass das System eine Schalldämpfung von 8-10 dB auf den wesentlichen Tönen (120,240, 360 Hz) erreicht hat.

Transformer

Controller.Electronics

Signals

to piezoelectric

patches

and active

6

Panels

Bild l-9 Anwendung der aktiven strukturellen Schalldämpfung für Dämpfung der Schallradiation eines Transformators (aus Fuller [25])

1.3 Problemstellung der Dissertation In den letzten zehn Jahren hat sich die ANC rasch mit modernerer digitaler Prozessortechnik entwickelt. Über verschiedene Regelungsstrategien, z.B. Feedbackregelung, Feedforwardregelung, modellbasierte robuste Regelung und adaptive Regelung sowie ihre verschiedenen Algorithmen ist schon berichtet worden. Dabei ist nicht nur das SISO-ANC-System verwendet worden, sondern auch mehrkanalige ANC-Systeme sind in der Praxis eingesetzt worden. Wir haben auch über mehrere Anwendungen in verschiedenen Gebieten, z.B. für einen Punkt, einen Kanal und einen Raum im letzten Unterkapitel gesprochen. Aber einige grundsätzliche Probleme sind noch nicht gelöst worden. Welche Rolle kann eine Feedbackregelung z.B. in ANC spielen?

22

1 Einführung

Welche Beschränkungen gibt es für die Feedbackregelung? Wie kann man mit modernen robusten Entwurfsmethoden bessere Resultate bei nichtminimalphasigem und nicht passiv gedämpftem System erzielen? Für die adaptive Schalldämpfung liegt ihr grosses Problem in der langsamen Konvergenzrate. Mit der Entwicklung der digitalen Prozesstechnik darf ein komplizierterer Algorithmus in Echtzeit eingesetzt werden. Deshalb fragen wir, ob ein neuer Algorithmus ohne Berücksichtigung seiner Rechenkomplexität ein stabiles Resultat mit schneller Konvergenzrate erzielen kann? Die vorliegende Dissertation wird solche Fragen im eindimensionalen Schallfeld (in einem Kanal) beantworten. Die erhaltenen Folgerungen können auch auf MIMO-Systeme ausgedehnt werden. Im Kapitel 2 werden wir die Versuchsanlagen, besonders den akustischen Kanal und das Echtzeit-System vorstellen. Im Kapitel 3 wird die Regelstrecke im Frequenzbereich und im Zeitbereich modelliert. Durch die Anwendung der Systemidentifikation im Frequenzbereich soll ein Modell mit kleinem Modellierungsfehler erhalten werden, um hohe Schalldämpfung mit nicht-adaptiver Steuerung und/oder Regelung zu erreichen, weil der Effekt der ANC mit der nicht-adaptiven Steuerung sehr abhängig von den Modellierungsfehlern ist. Ein wichtiger Grund, warum die robuste Regelung in der ANC im Kapitel 4 bei uns ein gutes Resultat erzielt hat, liegt darin, dass wir ein Modell mit einem sehr kleinen Modellierungsfehler erhalten haben. Im Unterkapitel 3.2 wird eine on-line Modellierungsmethode im Zeitbereich vorgestellt. Diese Methode hat einen einfachen Algorithmus angewendet, um die Modelle in der adaptiven Regelung verwenden zu können. Im Kapitel 4 beschäftigen wir uns mit dem robusten Reglerentwurf für die ANC. Im Unterkapitel 4.1 werden wir die Grundlage der robusten Regelung vorstellen. Im Unterkapitel 4.2 werden die Beschränkungen der Regelung in der ANC analysiert und diskutiert. In den restlichen Unterkapiteln werden drei Regelungsstrategien beschrieben: die Steuerung, die Regelung und die Kombination der Steuerung und Regelung. In Kapitel 5 werden verschiedene Adaptionsverfahren analysiert und die Versuche beschrieben. Im Unterkapitel 5.5 haben wir ein neues robust-stabiles Adaptionsverfahren hergeleitet und ein stabiles Resultat mit schneller Konvergenzrate erhalten. In Kapitel 6 werden die Schlussfolgerungen gezogen.

2

Versuchsanlage

Das Bild 2-l zeigt das Signalwirkbild der Versuchsanlage. Der Schall breitet sich in einem einseitig offenen Kanal aus. Ll und L2 sind zwei Lautsprecher, die hier als Lärmquelle und Sekundärquelle verwendet werden. Ml und M2 sind zwei Mikrophone, die als Fehlermikrophon (error microphone) und Referenzmikrophon (reference microphone) nach Terminologie in der ANC genannt werden. Die Leistungsverstärker Al und A2 liefern ausreichende Leistung für die zwei Lautsprecher. Die Verstärker A3 und A4 verstärken die Signale der Mikrophone, um sie an den Spannungsbereich (fl0 V) des Analog-Digital-Wandlers (A/D) anzupassen.Tl, T2 und T3 sind drei Tiefpassfilter 6. Ordnung. Tl und T2 werden als Antialiasfilter verwendet, während T3 zur Glättung des treppenförmigen Ausgangssignals des Digital-Analog-Wandlers (D/A) benutzt wird. Als Eckfrequenz dieser drei Tiefpassfilter wird hier 1 kHz gewählt. Ein dynamischer Analysator (S&A) erzeugt weisses Rauschen und gleichzeitig misst und speist er die Resultate der aktiven Schalldämpfung, die durch Vergleich der spektralen Leistungsdichte ohne aktive Regelung und mit aktiver Regelung dargestellt werden. Beim Echtzeit-System von ‘dSPACE’ handelt es sich um ein Zweiprozessor-System. Der PC-Prozessor (Pentium) dient als Hostprozessor. Auf dem Targetprozessor findet die Echtzeit-Regelung statt. Hier handelt es sich um einen Digital-Signal-Prozessor (DSP) TMS320C40 von Texas Instruments. Die beide Prozessoren tauschen Daten via Dualport-RAM aus. Der Targetprozessor ist über einen eigenen Bus mit einem Interface-B oard (DS220 1) verbunden.

24

2 Versuchsanlage

Ll

Ml

M2

Bild 2- 1 Signalwirkbild der Versuchsanlage

Das im Bild 2-l beschriebene System kann als ein Mehrgrössensystem mit zwei Eingängen und zwei Ausgängen betrachtet werden, wie im Bild 2-2 dargestellt ist. Die vier Übertragungsfunktionen G,,, G,,, G,, und G,, bestimmen die ganze Regelstrecke. G,, wird als Sekundärpfad in der ANC bezeichnet, und G, ist die akustische Rückführung. Lärmquelle Ll __---Q “G21

Fehlermikrophon Ml G,, ----% / Y

%2 ,

*.

Referenz- 0 mikrophon M2

0

G22.

,,’

w

Sekundärquelle L2

Bild 2-2 Vier Übertragungsfunktionen

Die ganze Versuchsanlage kann in zwei Teile gegliedert werden: den akustischen Kanal und das elektrische Teilsystem. Das elektrische Teilsystem enthält das Echtzeit-System und die allgemeinen Geräten (Analysator, Tiefpassfilter) und Bauteile (Verstarker). Im folgenden werden wir den akustischen Kanal und das Echtzeit-System sowie seine Software-Umgebung vorstellen.

2.1 Akustischer Kanal

2.1

25

Akustischer Kanal

Die Versuchsanlage besteht aus zwei PVC-Rohren. Das Bild 2-3 zeigt ihre geometrische Grösse und die Positionen der Mikrophone. Die zwei Rohre schneiden sich im Winkel von 30”. Dieser spitze Winkel kann teilweise die Leistung der akustischen Rückführung reduzieren. Aber diese Verbesserung ist beschränkt, weil sich der Schall wegen seiner grossen Wellenlänge mit starker Diffraktionsfähigkeit ausbreitet. 3.0 m

4

Bild 2-3 Signalwirkbild der Versuchsanlage Die Rohrwanddicke ist 4 n-rm. Wir können hier annehmen, dass es keine Deformation des Rohres im experimentellen Bereich des Schallpegels gibt. Der Durchmesser des Rohres ist 0.2 Meter. Nach Gl. (1.1.21) ist die CutoffFrequenz des Kanals:

f,=

1.84~ _ 1.84 x 343(m/s) s 1oo5 Hz 3.14 x 0.2(m) 7cDK

Die maximale Frequenz der zu dämpfenden Rauschen soll kleiner als diese Cutoff-Frequenz sein, damit nur eine ebene Welle existiert. Wegen der Kreuzung der zwei Röhren ist das Schallfeld im Bild 2-3 viel komplizierter als dasjenige in einem eindimensionalen Rohr. Es gibt dann mehrere Resonanzfrequenzen, die die von der Länge des Kanals (3.0 m) festgelegte Resonanzfrequenz enthalten. Dieses Phänomen können wir später aus den Frequenzgängen der Übertragungsfunktionen G,,, G,,, G,, und G,, sehen. Die erste Resonanzfrequenz liegt auf

c44&)

= 343/(4 x 3.0) = 28.6 Hz.

26

2.2

2 Versuchsanlage

Das Echtzeit-System und seine Software-Umgebung

2.2.1 Hardware-Struktur

des Echtzeit-Systems

Das Bild 2-4 zeigt die Struktur des Echtzeit-Systems von ‘dSPACE’. Der Hostcomputer basiert auf dem 133 MHz Pentium-II- Prozessor. Er tauscht die Daten mit dem DSP (TMS320C40) via den Dual-Port-Memory. Der DSP realisiert den Regelalgorithmus und verwaltet die Interfaces, welche 20 A/DKanäle, 8 D/A-Kanäle und die digitalen I/O-Interfaces enthalten. Der DSP und die Interfaces transportieren die Daten per PHS-Bus. Bei der Echtzeit-Simulation spielt der DSP eine Rolle als Prozessrechner. Er liest die Daten ein und gibt die Daten aus. Er realisiert den Algorithmus des Reglers und tauscht die Information mit dem Hostcomputer aus. Der Hostcomputer stellt die Daten dar und nimmt die Befehle von der Tastatur auf.

IS A-Bus j?

ISA-Bus

Input

, Dual-Port ’ DSP 4 ’ Interface i 4 Memory output PHS-Bus Global-Bus Bild 2-4 Hardware-Struktur des Echtzeit-Systems

2.2.2 Software-Struktur

des Echtzeit-Systems

Das Echtzeit-System ‘dSPACE’ unterstützt zwei Betriebsarten, in ‘Simulink’Umgebung und in C-Umgebung. In der ‘Simulink’-Umgebung wird das Regelsystem von einem Block ‘Discrete State-Spate’ oder von einer ‘SFunction’ in ‘Simulink’ implementiert. Die Bauteile der Echtzeit-Interfaces

2.2 Das Echtzeit-System und seine Software-Umgebung

27

(A/D, D/A usw.) werden auch von der Bibliothek von ‘dSPACE’ geliefert. Das in ‘Simulink’ aufgebaute Regelsystem wird vom ‘Realtime-Workshop’ in CCode übersetzt und mit dem Echtzeit-Interface in Maschinen-Code des DSPs übertragen. Die ‘TRACE’-Toolbox zeigt die Signale, die in ‘Simulink’ markiert werden, auf dem Bildschirm oder speichert sie als Matlab-Daten. Die ‘COCKPIT’-Toolbox stellt einen Weg zur Einstellung der Parameter des Systems zur Verfügung. Man kann die Echtzeit-Simulation mit ‘COCKPIT’ starten oder stoppen. Die Struktur dieser Betriebsart ist im Bild 2-5 skizziert. Der Vorteil dieser Betriebsart liegt darin, dass der Umstieg von der Simulation zur Echtzeit-Simulation einfach ist. Aber in dieser Betriebsart muss die SFunktion in C-Sprache geschrieben werden, wobei die die Fähigkeit des DSPs nicht ganz ausnützt werden kann. Ausserdem ist der vom ‘Realtime-Workshop’ übersetzte C-Code des Simulink-Blocks nicht kompakt. Deshalb können in dieser Betriebsart, wenn hohe Abtastfrequenzen gefordert werden, keine komplizierten Algorithmen, wie z.B. für adaptive Regler, erzeugt werden.

I

I

1 MATLAB

t

(

Workshop 1 Realtime

TRACE

DSP

4

’

COCKPIT

Bild 2-5 Software-Struktur des ‘dSPACE’- Betriebsart 1

2 Versuchsanlage

28

Das ‘dSPACE’ stellt auch eine zweite Betriebsart zur Verfügung. Dabei läuft die Software nicht mehr in Matlab, sondern in der C-Umgebung, wie im Bild 2-6 dargestellt. Die in C geschriebene ‘main()’ Funktion kann die Bibliothek des Echtzeit-Systems aufrufen und das Echtzeit-System installieren. Sie kann andere C-Files oder Assembler-Files aufrufen und die Daten sowie die Variablen mit den anderen Files austauschen. Sie kann die ‘Trace-Service’- und ‘Cockpit-Service’-Funktionen aufrufen, so dass diese zwei leistungsfähigen Toolboxes in C-Umgebung benutzt werden können. Weil die Funktionen in Assembler geschrieben werden können, kann die Rechenzeit des Algorithmus dramatisch verkürzt werden. In der adaptiven aktiven Schalldämpfung wird diese Betriebsart verwendet. Die Funktionen der On-line-Identifikation und des adaptiven Reglers werden in Assembler geschrieben, während die Initialisierung des Hardware, der Variablen und die Kommunikationen zwischen den verschiedenen Files in C geschrieben werden. Im Anhang B wird ein Beispiel eines C-Programms gegeben.

1

Realtime Interface

C-File

AssemblY-

File

1

C-Compiler

Bild 2-6 Software-Struktur des ‘dSPACE’- Betriebsart 2

3

Modellbildung

Moderne Regelungstechnik basiert auf dem Modell der Strecke, sowohl für die nichtadaptive Regelung, als auch für die adaptive Regelung. Deshalb ist die erste Aufgabe zur aktiven Schalldämpfung die Modellbildung der Strecke (Schallfeld). Ein Modell eines Schallfeldes kann durch die physikalische Modellierung erhalten werden oder durch die Systemidentifikation, d.h. durch die Schätzung aus den experimentellen Daten der Eingangs- und Ausgangssignale der Strecke. Einige frühere Arbeiten (Tichy et al. [97], Snyder et al. [92]) haben durch die Anwendung der physikalischen Modellbildungsmethode die Schalldruckgleichung in einem idealen eindimensionalen Kanal begründet. Diese Gleichung ist nützlich, um den Mechanismus aktiver Schalldämpfung und Schalldruckverteilung in der Nähe der Schallquelle (Trinder et al. [98]) zu verstehen, und um die Mikrophone und Lautsprecher optimal zu positionieren (Curtis et al. [13]). Wu et al. [102] haben ein Zustandsraummodell des eindimensionalen Schallfeldes nach dem physikalischen Prinzip aufgebaut. Um das gesamte Modell des aktiven Schalldämpfungssystems zu bilden, braucht man weiter die Modellierung der Lautsprecher und Mikrophone (Radcliffe [79]). In unserem Fall ist es wegen der Kreuzung der zwei Rohre fast unmöglich, durch eine physikalische Modellierung ein Modell in Form von Übertragungsfunktionen zu erhalten. In diesem Kapitel beschränken wir uns auf die Systemidentifikation. Im Vergleich zu anderen Strecken hat ein akustisches System eine hohe Ordnung und eine Totzeit, die nicht vernachlässigt werden darf, obwohl angenommen wird, dass der Schall sich in ebener (eindimensionale) Welle in einem Kanal ausbreitet. Wegen der hohen Ordnung der Strecke wird die zu minimierende Kostenfunktion sehr kompliziert. Das könnte zur Konvergenz der Parameter gegen ein lokales Minimum führen.

30

3 Modellbildung

Die Methoden der Systemidentifikation können grob in zwei Arten gegliedert werden: Systemidentifikation im Frequenzbereich und Systemidentifikation im Zeitbereich. Die Modellstruktur der Systemidentifikation im Frequenzbereich ist eine Übertragungsfunktion, die ein zeitkontinuierliches System beschreibt, während die Modellstruktur der Systemidentifikation im Zeitbereich mit einer Differenzengleichung präsentiert wird, die eine Approximation eines zeitkontinuierlichen Systems ist. Die Systemidentifikation im Frequenzbereich hat noch einen anderen Vorteil. Sie kann intuitiv im physikalischen Sinne erklärt und geprüft werden. Das gilt besonders bei einem Schallfeld in einem Kanal. Zum Beispiel sollten die Frequenzen, in welche die Pole des Modells fallen, mit den Resonanzfrequenzen des Kanals übereinstimmen. Wegen der unterschiedlichen Rollen des Modells in der nichtadaptiven und in der adaptiven Regelung sind die Anforderungen an das Modell auch ungleich. Die wichtigste für die nichtadaptive Regelung ist die Genauigkeit des Modells. Die robuste Regelung kann ausreichende Stabilitätsreserven haben, obwohl Modellierungsfehler existieren, aber die Dämpfungsfähigkeit der Regelung ist sehr abhängig von den Modellfehlern. Eine Methode der Systemidentifikation im Frequenzbereich, die von Schoukens et al. [85] vorgestellt wurde, ist eine konsistente Schätzung, obwohl äusseresRauschen nicht nur am Eingang, sondern auch am Ausgang des zu identifizierenden Systems existiert und kein weisses Rauschen ist. Ausserdem sind die modernen modellbasierten Entwurfsmethoden, z.B. LQG/ LTR, H, und Hm (Geering [31]), Entwurfsmethoden im Frequenzbereich. Deshalb ist es günstig, die Systemidentifikation im Frequenzbereich für den Entwurf des nichtadaptiven Reglers anzuwenden. Im Gegensatz dazu ist die Anforderung an die Genauigkeit des Modells für die adaptive Regelung nicht so streng wie für die nichtadaptive Regelung, weil die adaptive Regelung eine Adaption auf Parameterveränderungen realisiert.

3.1 Systemidentifikation im Frequenzbereich

31

Zudem wird die Rechenkomplexität des Identifikationsverfahrens wichtig, weil die Systemidentifikation hier on-line durchgeführt wird und die Abtastfrequenz identisch wie diejenige in der adaptiven Regelung sein soll, um die Umrechnungsfehler der Abtastperiode in der Identifikation und in der Regelung zu vermeiden, Im Unterkapitel 3.1 werden wir das System für den Entwurf des nichtadaptiven Reglers im Frequenzbereich identifizieren und im Unterkapitel 3.2 das System für die adaptive Regelung im Zeitbereich modellieren.

3.1

Systemidentifikation im Frequenzbereich

Der Prozess der Systemidentifikation im Frequenzbereich wird allgemein in zwei Schritte geteilt. Zuerst wird ein nichtparametrisches Modell der Übertragungsfunktion von der Spektrumsanalyse des Eingangs- und Ausgangssignals oder Swept-Sine-Analyse ([39]) erhalten. In einem zweiten Schritt wird ein parametrisches Modell so geschätzt, dass es sich dem im ersten Schritt erhaltenen nichtparametrischen Modell anpasst. Hong et al. [40] und Naastad et al. [70] haben das nichtparametrische Modell durch einen dynamischen Analysator erhalten. In ihrem zweiten Schritt haben Hong et al. ein rationales Polynom als das parametrische Modell gewählt, während Naastad et al. ein ChebyshevPolynom angewendet haben, so dass ein besseres Resultat erzielt werden konnte. Schoukens et al. [85] haben die Maximum-Likelihood Schätzungsmethode zur Identifikation eines linearen Systems im Frequenzbereich entwikkelt. Das mit dieser Methode resultierende Modell zeigt gute Robustheit und Genauigkeit. Sie unterstützt die Teilsystem-Identifikation und ist in Matlab in der Toolbox ‘Frequency Domain System Identifikation Toolbox’ (FDSIDToolbox, Kollar [53]) vorhanden. In diesem Unterkapitel werden wir diese Methode anwenden, um das Modell des Systems zum Entwurf des nichtadaptiven Reglers zu bilden.

32

3 Modellbildung

3.1.1 Grundlage Wie oben erwähnt wurde, ist FDSID (Frequency Domain System Identifikation) eine Maximum-Likelihood Schätzung. In diesem Unterkapitel werden wir ihr Prinzip und ihre Eigenschaften vorstellen. Dann werden wir über die numerische Stabilität des Algorithmus diskutieren. Am Schluss wird die Verarbeitung der bekannten Teilsysteme vorgestellt. A)

Maximum-Likelihood

Schätzung

Das Bild 3-l stellt die von Rauschen gestörten Messungen eines linearen Systems im Frequenzbereich dar. Die Übertragungsfunktion G(s) beschreibt das zu modellierende System. Die Systemgleichung lautet:

Y, = W)( Um- V,,>+ V,,

(3.1.1)

1% Bild 3-l

Messungen eines linearen Systems

wobei U, und Y, die gemessenenEingangs- und Ausgangssignale sind, die von den Eingangs- und Ausgangsrauschen V, und V, gestört werden. Das wahre Eingangssignal U = U, - V, und das wahre Ausgangssignal Y= Y, - Vy bleiben unbekannt. Die Messungen werden mit den Frequenzen col, 1 = 1, 2, . . ., L durchgeführt. Gemäss Gl. (3.1.1) kann die Systemgleichung der Identifikation wie folgt geschrieben werden: Ynd = G(jo,,

e)( Um,- Vul) + Vyl, Z = 1,2, . . .. L,

(3.1.2)

3.1 Systemidentifikation im Frequenzbereich

33

und G(jw,, e) weist die folgende Struktur auf:

(3.1.3)

wobei Td die Totzeit des Systems ist und N(jc~, 0) , D(jo, 8) das Zählerpolynom und Nennerpolynom der Übertragungsfunktion sind. Die Werte N(jol, 8) und O(jo,, 8) Z = 1,2, . . . , L sind komplexe Zahlen:

Sie werden wie folgt parametriert:

wal,

8) =

5

ai - (jq)‘,

z = 1, 2, . . . . L

(3.1.5)

i=O nß-1 wml,

C

0) =

ßi ’ (jwl)i + (jW,)““,

Z = 1, 2, . ..) L,

i=O

wobei

8 = =

[

ao c$ . . . a,,

[

eo8,

ßo ßl

T

...

1

***

ß -1 nß

1 T

(3.1.6)

enBml

der zu identifizierende Parametervektor mit der Dimension y28 = na + 12ß + 1 ist. N,,(jq, e), N,,(jo,, e), D,,(jo,, 8) und D,,(jo,, 0) werden in der folgenden Diskussion als NR1,N, DRl und D,, einfach notiert. Wenn das Eingangsrauschen Vnl ein mittelwertfreies Gausssches Rauschen ist, und wenn G(jol, 0) eine fehlerfreie Schätzung ist, wird das geschätzte

34

3 Modellbildung

Ausgangsrauschen Vyl = Y,, - Y, auch ein mittelwertfreies GaussschesRauschen. D.h. diese zwei Ereignisse treten gleichzeitig auf. Nach der MaximumLikelihood-Methode soll ihre Verbundwahrscheinlichkeitsdichtefunktion pd( V,, Vr) (joint probability density function) einen maximalen W :rt erreichen, wenn die obigen Annahmen wahr sind:

wobei V,, und V,, die konjugiert-komplexe Werte der Rauschensignale V,, und Vyl sind. Hier sind:

V Ul = Um, - Ul = URml - UR, + jVJIm, - Ul,) V yl = Y,, - Y, = ‘Rml-

Die Log-Likelihood-Funktion

(3.1.8)

Y,, + .i(YIm, - Y,$-

wird wie folgt geschrieben:

L( U, Y, 8) = konst -

Um einen maximalen Wert der obigen Funktion zu erreichen, soll die folgende Funktion einen minimalen Wert erhalten:

Hier wird das Lagrange-Prinzip zur Minimierung der Kostenfunktion (3.1.10) angewendet unter der Beschränkung: Y, = G(jol,

@Ul,

Z = 1,2, . . .. L.

(3.1.11)

3.1 Systemidentifikation im Frequenzbereich

35

Das entspricht:

e

-.iqTd

N(jc+

e)u,- D(jq, w, = 0.

(3.1.12)

Diese Gleichung kann weiter ausführlich geschrieben werden:

ER1 = cOs(~~Td)(NRju~~

- NIlU,,)

- (DR,YR,

= 0

-DI~Y,~)

EI1 = COS(~~Td)(NR~UI~ - (D,,y,,

+ NI~UR,)

+ D,,y,,)

+ sin(alTd)(N~lUI/

+ NI,UR~)

- S~~(~~T,~)(NRIUR~-NIIUII)

= O-

(3.1.13)

Die erweiterte Kostenfunktion nach dem Lagrange-Prinzip lautet:

(3.1.14)

+ C( ‘RIERl

+ ‘IIEIl).

Z=l

Die optimale Lösung von (3.1.14) wird folglich durch die notwendigen Bedingungen:

bestimmt. Daraus erhalten wir:

36

3 Modellbildung

‘Rl

(3.1.15)

= ‘Rm1

+ $,( cos @lTd)N,, - sin(mlTd)NRl)l % = uIrnl - ~~~[hRl(-CoS(~lTd)N~l + h&os((olTd)N]R ‘Rl

= YRd

+ Ofh~lD~l

YIl = yIrnl + O;l(-hRIDIl

+ sin(qTd)NRl) + sin(olTd)Nil))l

+ Heldöl) + ‘,lDRl)

ER, = 0 E,, = 0

für Z = 1, 2, . ..L. Aus den obigen Gleichungen erhalten wir:

E Im1

h Rl = fürZ = 1,2 ,..., L,

wobei

ERml = CoS((WITd)NRIURml

+ sin(olTd)(NRlu~~l %l

= cos ( OITd) cN,, u,, - sin(alTd)(NRIURml

(3.1.17)

- NIIUIml

+ N,,“R,,,)-(D,,

‘Rm1 - D,l ‘r,l))

+ N,I u,,,) - N,,U,,l)-(D,l

ylm, + D,, ‘,,,)-

3.1 Systemidentifikation im Frequenzbereich

37

Setzen wir die GI. (3.1.15), (3.1.16) und (3.1.17) in Gl. (3.1.14) ein, erhalten wir die neue zu minimierende Kostenfunktion, die nur Funktion der einzigen Variablen 8 ist:

(3.1.18)

wobei

Em =

[

Z,(q)

Ym(02)

... Em(COL il T

(3.1.19)

und -jalTd/2 Zm(q)

= e

N(jal,

(+wq7

q2

e> Ulpll-

D(jWlT

‘)Yml

(3.1.20)

+ 0,2,1D(jq, e)12)1’2 ’

1 = 1,2 ,..., L. Die Beziehung der Kostenfunktion und der Parameter 8, die in GI. (3.1.18) formuliert wird, ist nichtlinear. Eine Schätzung 0 der wahren Parameter 8 wird durch die numerische Optimierungsmethode, die Gauss-NewtonMethode oder die Levenberg-Marquardt-Methode erhalten. Nach der GaussNewton-Methode lautet der (i+l)te Schritt der Berechnung des neuen Parametervektors (Schoukens [85], S. 90):

3 Modellbildung

38

Re{JrJi}A6i+

(3.1.21)

,

1 = -Re

wobei A6 i+l

= 6 i+l

(3.1.22)

-ei

und

aem(ml>aE,(c;ol> aEm(al> ... aeO, i

Ji =

aent3 - 1, i

sel, i

ae,(63,) aE,(o,) aE,(@ aEmi . .. -= i36i

L

aeO, i

ael, i

...

. *.

ae,(aL>

qyl(~L)

aeO, i

sel, i

ab,

... ...

- 1, i

(3.1.23)

... asrn@L) al,

- 1, (

eine L x ne Jacobische Matrix ist. Nach der Levenberg-Marquardt-Methode ist die Updategleichung wie folgt (Schoukens [85], S. 49):

ReC JrJi

+ kL,I}AGi

+ 1 = -Re

,

(3.1.24)

wobei eine Konstante h,, eingeführt wird, um die Stabilität des Algorithmus zu erhöhen. Wenn h,, = 0 ist, führt der Algorithmus auf die Gauss-NewtonMethode zurück.

3.1 Systemidentifikation im Frequenzbereich

B)

39

Eigenschaften

Die Gleichung (3.1.18) folgt aus der Annahme, dass die Rauschen am Eingang und Ausgang des Systems eine Gauss-Verteilung aufweisen und unkorreliert sind. Die auf der Kostenfunktion (3.1.18) basierende Parameterschätzung weist eine gute Robustheit auf, und ist unter einer schwächeren Annahme (Schoukens et al. [85], Unterkapitel 3.4) noch konsistent, d.h. lim 6(L) L-+-m

(3.1.25)

= 8.

Solche schwächeren Annahmen können in zwei Fälle gegliedert werden: Fall 1: Rauschen V, und V, sind instationäre unkorrelierte Rauschen mit uni-

form begrenzter Varianz. Fall 2: Rauschen Vu und V, sind korrelierte Rauschen mit stationären ersten,

zweiten und vierten Momenten. Es soll hier betont werden, dass die obigen Annahmen keine Anforderung an die Dichtefunktion der Rauschen gestellt haben. Wenn das Eingangs- und das Ausgangsrauschen korreliert sind, wird die Kovarianz nicht null sein. Nach einer gleichen Herleitung (Pintelon et al. [78]) wie A wird die neue Kostenfunktion modifiziert als

-jwzTdN(jq, e) um1 - D(jq, e)y,, 2 e +wq~ q2 + ~~~~D(jw,, e)12 - 2Re{ CND,}’

(3.1.26)

wobei

CND,

= cuyle-IWzTdN(jol,

e)D(jw,,

e)

(3.1.27)

-

40

3 Modellbildung

gilt. Die Kovarianz des Eingangs- und Ausgangsrauschens ist wie folgt definiert:

(3.1.28)

C) Algorithmus

und numerisches Problem

Das Minimierungsproblem der GI. (3.1.18) oder der GI. (3.1.26) wird mit den numerischen Methoden (Gauss-Newton (GN) und Levenberg-Marquardt (LM)) gelöst, die in Gl. (3.1.21) und (3.1.24) formuliert wurden. Diese zwei Algorithmen enthalten eine Inversion der Matrix (JH Ji) . Die numerische Stabilität der Berechnung ist dann sehr abhängig von der Konditionszahl K (condition number) der Jacobischen Matrix J, die wie folgt definiert ist:

K(J)

= -O(J)

o(J)’

(3.1.29)

wobei 0 und 0 der maximale und der minimale Singularwert der Jacobischen Matrix J sind. Die Grösse von K bestimmt die Genauigkeit der Lösung Ah aus der Gl. (3.1.21). Der relative Fehler 11A8/2/11811 2 ist proportional zur Multiplikation von K mit der Summe der relativen Fehler 11 AZumj 2’llEml12 und IIAJll 2’11 Jl12m Deshalb ist es notwendig, die Konditionszahl K bei der Berechnung zu reduzieren. Die Matlab-FDSID-Toolbox stellt sowohl die GN- und LM-Algorithmen als auch den LM-Algorithmus mit der Singularwertzerlegung (Singular value decomposition), welcher die kleinere Konditionszahl K aufweist, zur Verfügung.

41

3.1 Systemidentifikation im Frequenzbereich

D)

Bekanntes Teilsystem

Wenn ein Teilsystem des zu identifizierenden Systems bekannt ist (möglicherweise von einer früheren Identifikation), d.h.

G(s) = &>

(3.1.30)

Ge(s),

wobei Gf( s) und Ge(s) die bekannte und noch zu identifizierende Teilübertragungsfunktion von G(s) sind, ist es nicht günstig, die Parameter des bekannten Teilsystems nochmals zu identifizieren. Deshalb wird das zu identifizierende Modell in diesem Fall modifiziert: Y

-A-r

Ge(s)(Uml

V - V,,) + -d-

Z = 1, 2, . . .. L.

(3.1.31)

Gf (s)’

Gf (4

Der Einfluss des bekannten Teilsystems kann durch eine modifizierte Kostenfunktion c (0) aus den Messdaten ausgeschlossenwerden: -.iqTd

e &IN’(jq,

e

N (jq,

e>um1 - D%al,

e)12 + 6~llN”(jal,

0) Fm12

(3.1.32)

e)12 - 2Re{ CI’b,>

wobei Ne(jm, 0) und De(jm, 0) das Zähler- und das Nennerpolynom der zu identifizierenden Teilübertragungsfunktion sind. Die anderen modifizierten Daten sind:

Fm1 = (Yml’Gf(jw,)) 6$ = c$/lGf(jq)12 CiD,

= Cuvle-jozTdNe( jq,

e>De(jq,

e),

wobei Zuyl = %yl /Gf (jw,) ist. Dieser modifizierte Algorithmus ist von der

42

3 Modellbildung

Funktion ‘modifyfv’ in der FDSID-Toolbox implementiert, die mehrmals in unserem Identifikationsprozess benutzt wird.

3.1.2 Aufbau des Messsystems Das Bild 3-2 zeigt ein Messsystem für die Identifikation der Übertragungsfunktion G, 1(s) . SigLab ist ein Signalanalysator ([ 171).Er enthält ein zweikanaliges A/D- und D/A-Interface mit hoher Abtastfrequenz. Er funktioniert in der Matlab-Umgebung und stellt eine Bibliothek für Systemidentifikation und Signalanalyse zur Verfügung. Hier benutzen wir ihn als Generator weissen Rauschens und als zweikanaligen A/D-Wandler. Hier soll darauf hingewiesen werden, dass das Glättungsfilter T3 und das Antialiasfilter T2 von der Messkette ausgeschlossen sind, so dass das zu identifizierende System eine tiefere Ordnung aufweist. Diese zwei Filter werden separat identifiziert.

1 SigLab (A/D und D/A) 4

101

A3

Computer (Matlab) Bild 3-2 Messsystem für die Identifikation der Übertragungsfunktion von G, 1(s) Zur Varianzanalyse werden 10 Messungen durchgeführt. Bei jeder Messung wird das zu identifizierende System mit demselben weissen Rauschen-Vektor angeregt, so dass eine Mittelung im Zeitbereich realisierbar ist. Jede Messung liest jeweils 8192 Daten des Anregungssignals und des Antwortsignals des zu identifizierenden Systems mit der Abtastfrequenz 5120 Hz ein.

3.1 Systemidentifikation im Frequenzbereich

43

3.1.3 Messung der Totzeit Wie wir oben erwähnt haben, ist das grosse Problem zur Identifikation eines akustischen Modells in einem Kanal seine hohe Ordnung, die zur komplizierten Kostenfunktion und schliesslich zu einer Konvergenz gegen ein lokales Minimum führt. Deshalb ist es nützlich, das zu identifizierende System in mehrere Teilsysteme zu teilen und separat zu identifizieren. Am einfachsten wird ein System in eine Totzeit und ein Teilsystem ohne Totzeit gegliedert. Die Korrelationstechnik der Anregungssignal- und Ausgangssignaldaten wird effektiv zur Ermittelung der Totzeit verwendet. Das Bild 3-3 zeigt die Korrelationsfunktion zwischen den Anregungs- und den Antwortdaten. Die Zeit vom Null zum ersten Gipfel der Korrelationsfunktion bedeutet die Totzeit, hier T, = 16/5120 = 3.13 ms.

-

0.15

5 p\ 0.1 Vr>

-

4

T,=(16/5120)s = 3.13ms

b

wh 0.05 0 -0.05

.--- - - - - -_- ----- --- ----- - -.. . . .. -.-.-----_-----_-. .- -----_-_---_------- --- - ----------------- - - - -

0

5

10

15

20

25

30

Verzögerung Bild 3-3 Korrelationsfunktion zwischen dem Anregungs- und dem Antwortsignal Wenn angenommen wird, dass die Totzeit des zu identifizierenden Systems nur von der Ausbreitungszeit des Schalls verursacht wird, kann die Totzeit einfach durch das physikalische Prinzip der Schallausbreitung gerechnet werden:

T, = ($/“),

(3.1.33)

44

3 Modellbildung

wobei Z, der Abstand zwischen dem Lautsprecher Ll und dem Fehlermikrophon Ml und c die Schallgeschwindigkeit in der Luft ist (hier Z, = 1.0 m und c = 343 m/s bei 20°C). Setzen wir diese Daten in die Gl. (3.1.33) ein, so bekommen wir einen Approximationswert der Totzeit T, = 2.92 ms. Sie ist ein bisschen kleiner als der Wert, der von der Korrelationstechnik geschätzt wird, weil sie alle anderen Faktoren, z.B. die Totzeiten des Lautsprechers, des Tiefpassfilters, des Mikrophons usw. vernachlässigt hat.

3.1.4 Teilbereiche und bekannte Teilsysteme Die Ordnung des Teilsystems ohne Totzeit bleibt noch hoch, wenn das Modell im Frequenzbereich von 20 Hz bis 1000 Hz zu bilden ist. Die FDSID-Toolbox stellt eine Teilbereiche-Identifikation (subfit) zur Verfügung. Diese Methode teilt den gesamten Frequenzbereich in mehrere Teilbereiche, wo die Teilsysteme mit der tiefen Ordnung identifiziert werden. Aber jedes Teilsystem hat einen Einfluss auf die anderen Teilbereiche. Deshalb wird die Funktion ‘modifyfv’ in der FDSID-Toolbox zur Beseitigung dieser Einflüsse benutzt. Bei unserem Versuch wird der Frequenzbereich 20 - 1000 Hz in die zwei Teilbereiche 20 Hz - 500 Hz und 500 Hz - 1000 Hz geteilt. In diesen zwei Teilbereichen weist das System ungefähr gleiche Ordnung auf. Die gesamte Übertragungsfunktion G(s) ist eine Multiplikation der zwei Teilübertragungsfunktionen G,(s) und G,(s) , die in den zwei Teilbereichen identifiziert werden, und der Übertragungsfunktion des Totzeitelements: -ST, G(s) = e G,(W&)

-

(3.1.34)

Um die gemeinsamen Einflüsse zu beseitigen, ist der Identifikationsprozess wie folgt: Zuerst wird G,(s) mit einer bekannten Totzeit T, im ersten Frequenzbereich 20 - 500 Hz identifiziert; dann werden die Einflüsse von G,(s) und T, aus den Daten im zweiten Band 500 - 1000 Hz mit Hilfe der Funktion ‘modifyfv’ gefiltert; schliesslich wird Gb(s) im zweiten Band aus den

3.1 Systemidentifikation im Frequenzbereich

45

gefilterten Daten identifiziert. Das Bild 3-4 zeigt eine Messung mit einem dynamischen Analysator und ein nach der obigen Prozedur identifiziertes Modell der Übertragungsfunktion G,, (s) . Aus dem Bild 3-4 können wir deutlich sehen, dass das Modell im ersten Frequenzbereich eine grosse Abweichung von der Messung hat. Deshalb soll ein Iterationsprozess verwendet werden, wie ihn die FDSID-Toolbox empfohlen hat. D.h. man soll wieder die Teilübertragungsfunktion Ga(s) nach der Filterung von G,(s) identifizieren. Wenn das Resultat noch nicht zufriedenstellend ist, soll man den Iterationsprozess weiterführen. Das Bild 3-5 zeigt ein Resultat mit einmaliger Iteration.

Frequenz [Hz]

Frequenz [Hz]

Bild 3-4 Messung und Modell ohne Iteration von G 1t (ja)

Bild 3-5 Messung und Modell mit einmaliger Iteration von G l 1( j o)

Obwohl mit Hilfe der Teilbereiche-Methode jedes zu identifizierende Teilsystem eine tiefe Ordnung hat, bleibt die Konditionszahl doch noch hoch. Wie im Unterkapitel 3.1.1 diskutiert wird, verursacht die hohe Konditionszahl numerische Instabilität und grössere Parameterfehler. Das Problem kann dadurch gemildert werden, dass jede Teilübertragungsfunktion G,(s) und G,(s) in zwei weitere Teilübertragungsfunktionen Gfa (s) , Gea(s) und Gf,( s) , Geb(s) geteilt werden (Zhang et al. [ 105]), d.h. -s T, G(s) = e (Gfu(s)Geu(s))(~fb(s)~eb(s)).

(3.1.35)

46

3 Modellbildung

Die Teilübertragungsfunktionen Gf a(s) und Gf b(s) bestehen aus den ausgewählten Polen und Nullstellen von G,(s) und G,(s) , die den kleinerem Unsicherheitsbereich aufweisen. Das Berichtfile (mit Suffix .rep), das beim Identifikationsprozess von der Funktion ‘elis’ in FDSID-Toolbox erzeugt wird, gibt die Pole, Nullstellen und ihre Unsicherheitsbereiche. Die Funktionen GEU(s) und Geb(s) sind die restlichen zu identifizierenden Teilübertragungsfunktionen. Der ganze Identifikationsprozesses wird im Bild 3-6 präsentiert. Für die identifizierte Übertragungsfunktion G, 1(s) werden die Ordnung 44 und die relative Ordnung eins gewählt. Die Teilübertragungsfunktion G 11a(s) im ersten Frequenzbereich hat die Ordnung 22 mit der relativen Ordnung eins, darunter bilden acht Pole und acht Nullstellen die feste Teilübertragungsfunktion G’1l a(s) . Die Teilübertragungsfunktion G l 1b(s) im zweiten Frequenzbereich hat die Ordnung 22 mit der relativen Ordnung null. Die gleiche Anzahl der Pole und Nullstellen wie Gfl 1,(s) bildet die feste Teilübertragungsfunktion C,f 1b(s) . Das nach dem empfohlenen Identifikationsprozess erhaltene Modell GI 1(s) kann in folgender Pole-Nullstellen-Struktur formuliert werden:

G,,(s)

0

= G$z

-T,s

(“-Z,,)(S-Z,,_1)...(J-z1) (S-Pn,)(S-Pn,_l)...(s-P1)’

(3.1.36)

wobei G,, = 0.0799, np = 44, nz = 43 , T, = 3.13 ms sind. Die Pole Pi, i = 1, 2, . . . . np und Nullstellen zi> i = 1, 2, . . ., nz werden im Bild 3-7 gezeigt. Ein Teil des Pole/Nullstellen-Bildes wird im Bild 3-8 vergrössert. Das Bodediagramm der gemessenen und geschätzten Übertragungsfunktion GIB (s) ist im Bild 3-9 dargestellt.

3.1 Systemidentifikation im Frequenzbereich

47

1. G,(s) identifizieren 2. Gf,(s)

1

wählen

3. Den Einfluss von Gf,( S) im ersten Teilbereich herausfiltern 4. Ges(s) identifizieren 5. G,(S) bilden

6. Den Einfluss von G,(s) im zweiten Teilbereich herausfiltern

l

Identifikation von $,(S) analog zu den Schritten l-5 c Den Einfluss von G~(s) im ersten Teilbereich herausfiltern Identifikation von G,(s) analog zu den Schritten 1-5 neues G(S) bilden

Bild 3-6 Identifikationsprozess mit den Teilbereichen und den Teilsystemen

3 Modellbildung

2000 t 0 -2000 t

-6000 t

-8000’ -5000

-4000

-3000

-2000

-1000

-8WO’ -250

0

-2w

-150

-100

-50

0

Bild 3-7 PoUNullstellen-Bild von

Bild 3-8 Teil des PoUNullstellen-

GlW

Bildes von GI 1(s)

I 50

20

g0 3 .-E m

-20

-40 200

100

Frequenz [Hz] Bild 3-9

Messung und Modell von G, 1(s)

Wegen der festen Pole und Nullstellen werden die Ordnungen der zu identifizierenden Teilsysteme im ersten und zweiten Frequenzbereich von 22 auf 14 reduziert. Das verbessert die Konditionszahl der Berechnung. Die Tabelle 3-l zeigt die Konditionszahl (CN) und die Kostenfunktion (CF) der

3.1 Systemidentifikation im Frequenzbereich

49

Identifikationsmethode mit und ohne feste Pole und Nullstellen. Die resultierende Kostenfunktion ist sehr hoch, weil die Varianzen der Rauschen bei den Messungen sehr klein sind (vgl. Gl. (3.1.26)), mit anderen Worten, weil die Anregungssignale gut synchronisiert werden und ein hohes Signal-RauschVerhältnis haben. Jetzt definieren wir eine neue absolute Kostenfunktion

(3.1.37)

Das Bild 3-10 zeigt die absoluten Kostenfunktionen der Modelle mit und ohne die festen Pole und Nullstellen. Aus dem Bild 3-10 können wir ersehen, dass der empfohlene Identifikationsprozess, d.h. das Modell mit den festen Polen und Nullstellen, die Abweichung im Frequenzbereich 100 - 200 Hz verkleinert hat. Dieses Modell weist eine gute Genauigkeit in einem grossen Frequenzintervall auf. Im Kapitel 4 werden wir sehen, dass das Modell gut ist, so dass die Resultate der Simulation mit den Resultaten der Experimente sehr gut übereinstimmen.

Tabelle 3-l Vergleich der Konditionszahl (CN) und der Kostenfunktion (CF) Ohne feste Teilsysteme

Mit festen Teilsystemen

CN für 1. Band

l.O5e+l8

1.754e+12

CN für 2. Band

2.167e+18

1.497e+12

CF für 1. Band

1.2956e+6

1.2483e+6

CF für 2. Band

9.0417e+4

9.0302e+4

CF für ganzes Band

1.4097e+6

1.3681e+6

l

50

3 Modellbildung

-0.5

100

1000

Frequenz [Hz] Bild 3-10 Absolute Kostenfunktionen der Modelle mit und ohne feste Pole und Nullstellen

Das Resultat der Identifikation des Teilsystems G,, wird in Anhang A.2 beschrieben.

3.1.5 Modellreduktion und Verarbeitung der nicht-minimalen Phase Das Bild 3-11 zeigt die vereinfachte Systemstruktur (ohne akustische Rückführung) für die ANC mit robuster Regelung oder Steuerung. Wegen akustischer Resonanz enthalten die zwei Übertragungsfunktionen G, 1(s) und C,,(s) einen gemeinsamen Teil G,(s) . Ziehen wir den gemeinsamen Teil G,(s) heraus, bekommen wir ein reduziertes Modell (siehe Bild 3- 12), das die Ordnung von G,(J) weniger als die Struktur im Bild 3-l 1 aufweist. Das ist günstig, um einen Regler mit tiefer Ordnung zu erhalten, weil die Ordnung des robusten Reglers die Summe der Ordnung von der Strecke und von den Gewichtungsfunktionen aufweist. Deshalb wählen wir bei der Wahl der festen Pole und Nullstellen beim Identifikationsprozess nicht jene Pole und Nullstellen, die kleinere Unsicherheitsbereiche haben, sondern die Pole und Nullstellen, die miteinander näher von G, 1(s) und G12(,s) sind.

51

3.1 Systemidentifikation im Frequenzbereich

Ll Ml

Bild 3- 11 Struktur des akustischen Systems

Bild 3- 12 Reduzierte Struktur des akustischen Systems

Ebenfalls wichtig ist, dass das G,,(s) gezwungenermassen gleiche Nullstellen mit positivem Realteil wie G12(s) hat, so dass GIZd(“) minimalphasig ist. D.h. G,(s) enthält nicht nur die gemeinsamen Pole und Nullstellen von G,,(s) und GIz(s> , sondern auch die Nullstellen mit positivem Realteil und die gesamte Totzeit von GIz(s). Eine solche Struktur (siehe Bild 3-12), in denen G12d(,s) minimalphasig ist, ist gut zum Entwurf des robusten Reglers, besonders beim Steuerungsentwurf. Darüber werden wir im Unterkapitel 4.2.2 ausführlich diskutieren.

3 Modellbildung

52

3.2

Systemidentifikation im Zeitbereich

Die Methoden der Systemidentifikation im Zeitbereich sind in mehreren Büchern (Ljung [61], Söderström et al. [94]) sowie im Vorlesungsskript von Shafai [86] diskutiert worden. Hier werden wir eine kurze Zusammenfassung einiger häufig benutzter Identifikationsmethoden liefern, die besonders in ANC angewendet werden, und einen Vergleich der Eigenschaften im Unterkapitel 3.2.1 machen. Zur on-line Identifikation wird die LMS-Identifikationsmethode im Unterkapitel 3.2.2 verwendet, und die Resultate der Identifikation werden präsentiert.

3.2.1 Einige Methoden der Systemidentifikation im Zeitbereich

A)

LS (Least-Squares)-Ve$ahren

Die Systemidentifikationsmethoden im Zeitbereich basieren auf dem gleichen Prinzip. Zuerst wird eine Modellstruktur gewählt, dann wird ein Prädiktor festgelegt und eine Kostenfunktion definiert, schliesslich wird der Parametervektor durch die Minimierung der Kostenfunktion erhalten. Das LS-Verfahren ist die gründlichste Identifikationsmethode. Es wird eine ARX-Modellstruktur (autoregressiv) zugrunde gelegt:

A(z-l)Yo = B(z-l)u(n)+v(n),

(3.2.1)

wobei u(n) und y(n) das Anregungs- und Antwortssignal des zu identifizierenden Systems sind und v(n) als ein stationäres weisses Rauschen mit dem Erwartungswert E{ v( n) } = 0 und der Varianz E{ v2( n) } = 11 modelliert wird. A(z-l) und B(z-l) sind die zu schätzenden Parameterpolynome:

A(.$)

= 1 + alz

B(z-l)

= b,z-’

-1

+a2z

-2

+ . ..anaz

-na

+ b2z-2 + . . . + bnbz-nb

(3.2.2)

3.2 Systemidentifikation im Zeitbereich

53

Der Prädiktor der LS-Methode lautet:

jqnpz - 1) = = [-y(n-1)

-y(n-2)

. . . -y(n-na)

u(n-1)

. . . u(n - nhd k-2-4>

die Regressionsvariable und

8 = [

=

al a2 . . . ans b, . . .

. . . eno-l

(3.2.5)

T

1

der zu schätzende Parametervektor mit der Dimension ne = na + nb ist. Der Prädiktionsfehler (prediction error) wird wie folgt definiert: e(n) = Yb>-w+-

1).

(3.2.6)

Die Kostenfunktion der LS-Methode lautet:

(3.2.7)

Zur Minimierung der Kostenfunktion ist die notwendige Bedingung wie folgt:

&(e)

= 0.

(3.2.8)

54

3 Modellbildung

Daraus erhalten wir den mit der LS-Methode identifizierten Parametervektor

(3.2.9)

8~s ist eine konsistente Schätzung vom wahren Wert 8, wenn v(n) ein stationäres weisses Rauschen und das Eingangssignal eine persistente Anregung ist. Aber in der Praxis kann die Bedingung, dass v(n) ein stationäres weisses Rauschen ist, oft nicht erfüllt werden. Um dieses Problem zu lösen, werden die zwei Modifikationsmethoden Hilfsvariable-Verfahren (IV, instrumental variables) und PEM-Verfahren (prediction error method) eingeführt. Das IV-Verfahren hat eine Hilfsvariable als eine Gewichtung der Kostenfunktion eingeführt, so dass die Parameterschätzung noch konsistent ist, obwohl das Ausgangsrauschen v(n) kein weisses Rauschen mehr ist. Das PEM-Verfahren schätzt nicht nur den Signalpfad (vom Eingang zum Ausgang des Systems), sondern auch den Rauschpfad (vom weissen Eingangsrauschen zum Ausgang), um diese strengen Bedingungen (weisses Rauschen am Ausgang) zu meiden. B)

IV -Verfahren

Im Vergleich zum LS-Verfahren wird die Kostenfunktion im IV-Verfahren wie folgt definiert:

I[

1

Sj@>= g WMn, 0) T i z(n)e(n,e) , [n=l n= 1

(3.2.10)

wobei Z(n) eine Hilfsvariable ist. Sie ist so gewählt, dass sie unkorreliert mit dem Rauschen am Ausgang des Systems ist. Die obige Kostenfunktion wird damit minimiert, dass der Parametervektor durch

3.2 Systemidentifikation im Zeitbereich

55

(3.2.11)

gegeben ist. Und diese Schätzung ist konsistent, obwohl das Rauschen am Ausgang des Systems nicht Weiss ist. Es gibt mehrere Möglichkeiten, eine Hilfsvariable für ein System zu wählen. Eine mögliche Wahl der Hilfsvariable für das SISO-System ist:

Z(n)

=

1) . . . u(n-nb)

1u(n-

C) Prediction-Error-Methode

u(n-nb-1)

. . . u(n-nb-na)

1.

(PEM)

Im Vergleich zur LS-Methode weist die PEM nur eine andere Modellstruktur wie folgt auf:

Yb>

= Gp(zwl,

8)u(n)

+ H(z-‘,

e)v(n),

(3.2.12)

wobei v(n) ein weisses Rauschen mit dem Erwartungswert E{v(n)} = 0 und der Varianz E{v(n)2} = A ist und die Funktionen G, und H die folgenden Bedingungen erfüllen: .

G,(O, e> = 0,

.

H(O,e)

= I.

Der Rauschpfad H (z-l, 0) filtert weisses Rauschen v(n) , um ein nichtweisses Rauschen am Ausgang des Systems H(z-‘, 8)v(n) aufzubauen. Der optimale Prädiktor der PEM lautet: F(nln - i;e)

= [I-H-l(z-l;e)]y(n)

und der Prädiktionsfehler ist:

+~-‘(z-~;e)G~(z-~;e)u(n)

(3.2.13)

56

3 Modellbildung

ehe)

= Hel(zvl;B)[y(t)

(3.2.14)

- Gp(z-‘;e)u(n)].

Aus der Gl. (3.2.14) können wir erkennen, dass der Prädiktionsfehler keine lineare Funktion des Parametervektors 8 mehr ist. Dann können wir keine analytische Lösung der Schätzung 6 wie in der LS- und IV-Methode bekommen. Die numerische Optimierungsmethode, z.B. die im Unterkapitel 3.1.1 erwähnte Gauss-Newton-Methode, wird zur Suche nach der optimalen Schätzung 6 angewendet. Wenn für die Kostenfunktion für den skalaren Fall (einziger Ausgang) eine gleiche Formulierung wie in der LS-Methode gewählt wird, d.h.

5~@>

= i E

e2(n, e)

n=l

und die Gauss-Newton-Methode angewendet wird, bekommen wir die Parameterschätzung nach (n+ 1) Iterationen:

6(n + 1) = 8(n)

(3.2.15) N C

-1 Wn,

bO)vT(n,

&n>>

C

I[

n=l

N

n=l

vh

&Wh

Q(n))

1

wobei

v(n,

e) = jae(-$

e)]’

E Knf3x i

(3.2.16)

und j~,~ein Verstärkungsfaktor der Optimierung sowie ne die Dimension der zu identifizierenden Parameter ist.

3.2 Systemidentifikation im Zeitbereich

D)

57

Rekursive Parameteridentifikation

Die LS- und IV-Methoden sind nicht rekursiv. Jede Schätzung braucht N Messungen vom Eingangs- und Ausgangssignal. Das passt nicht zu der on-line Identifikation. Eine rekursive Parameteridentifikation erhält eine neue Schätzung 6( n + 1) dadurch, dass die letzte Schätzung 6(n) mit den momentanen Daten modifiziert wird. Die rekursive Parameteridentifikation der LS-Methode lautet:

6(n + 1) = 6(n) + K,(n)e(n)

(3.2.17)

e(n) = y(n) - cp(n)l

Q(n) = Q

-l I[

2 n=l

v(n, &n>)e(n,

G(n))

1

besteht noch aus N Messungen. Söderström et al. ([94], S. 331) haben eine rekursive PEM-Methode für ein skalares System gegeben.

58

3 Modellbildung

3.2.2 LMS-Verfahren zur Systemidentifikation Die rekursive Methode (Gl. (3.2.17)) ermöglicht eine on-line Parameteridentifikation. Aber sie erfüllt die Anforderung in ANC nicht, die mit hoher Abtastfrequenz (2 kHz - 10 kHz) arbeitet, weil der Update der Matrix Q(n) aufwendig ist. Die ne x ne Matrix Q(n) entsteht dadurch, dass die Kostenfunktion eine Mittelung der Quadrate der Prädiktionsfehler ist (siehe GI. (3.2.7)). Das LMS-Verfahren, das eine dominante Rolle in ANC spielt und auch im Kapitel 5 ausführlich diskutiert wird, definiert das Quadrat des momentanen Prädiktions-fehlers als Kostenfunktion:

5(n) =

(3.2.18)

e2(n).

Es hat eine gleiche Modellstruktur und einen Prädiktor wie die LS-Methode, d.h.

A(z-‘)y(n)

= B(z-‘>u(n)

+ v(n),

(3.2.19)

y(nln - 1) = cp’(n)e.

Wenn A(z-l)

= 1 ist, beschreibt das Modell (3.2.19) ein FIR-Filter.

Ein Gradient-Verfahren wird zur Minimierung die Kostenfunktion (3.2.19) benutzt: G(n + 1) = G(n) - (p/2)Vk(n),

(3.2.20)

wobei 1-1der Verstärkungsfaktor der Adaption ist, welcher die Konvergenzrate und die Stabilität der Adaption bestimmt. Der Gradient Vc( n) ist wie folgt definiert:

3.2 Systemidentifikation im Zeitbereich

59

(3.2.21)

Er kann wie folgt geschrieben werden:

Vc(n) = 2e(n)Ve(n).

(3.2.22)

Setzen wir die GI. (3.2.6) und (3.2.3) in die G1.(3.2.22) ein, erhalten wir:

wn>

= -2ewP(n) -

(3.2.23)

Aus den GI. (3.2.23) und (3.2.20) folgt das LMS-Verfahren: 6(n + 1) = 6(n) + pe(n)cp(n).

(3.2.24)

Aus der obigen Gleichung können wir entnehmen, dass das LMS-Verfahren keine Berechnung einer Matrix oder ihrer Inversion braucht. Dieses Verfahren ist so einfach, dass nicht nur die Parameter des Systems in der Abtastperode (1 ms - 2 ms) identifiziert werden, sondern auch ein weisses Rauschen als Anregungssignal erzeugt wird. Deshalb brauchen wir keine Veränderung der Hardware bei der Umschaltung zwischen Identifikation und Regelung, wenn wir das LMS-Verfahren zur Identifikation des Sekundärpfades (vom Aktor L2 zum Fehlermikrophon Ml) anwenden. Die Abtastfrequenz bei der Identifikation und Regelung sind auch identisch. Das beseitigt den Umrechnungsfehler des Modelles, der wegen der ungleichen Abtastfrequenzen bei der Identifikation und Regelung verursacht würde. Es ist bewiesen worden (Widrow und Stearns [lOl] Kap. 6), dass das LMSVerfahren eine erwartungstreue (unbiased) Schätzung liefert. Über die anderen Eigenschaften der LMS-Methode werden wir im Unterkapitel 5.1.2 diskutieren.

60

3 Modellbildung

Um die Einflüsse äusserer Rauschen weiter zu mildem, wird der Parametervektor schliesslich noch über seine letzten M Schätzungen gemittelt: N+M-1 c

(3.2.25)

Rn>.

n=N Das Schema der Parameteridentifikation ist im Bild 3-13 dargestellt. Der Ablauf der Parameteridentifikation ist im Bild 3- 15 skizziert. Der Amplitudengang des aus den geschätzten Parametern resultierenden Modells und eine vom dynamischen Analysator durchgeführte Messung des Sekundärpfades sind im Bild 3-14 dargestellt. Das Modell weist eine FIR-Struktur der Ordnung 128 auf. Vom Bild 3-14 können wir ersehen, dass es grössere Modellierungsfehler gibt. Wegen der Selbstregulierungsfähigkeit eines adaptiven Reglers ist dieses Modell anwendbar in adaptiver aktiver Schalldämpfung. Aber es soll hier darauf hingewiesen werden, dass das nach der Struktur der Identifikation im Bild 3- 13 erhaltene Modell noch die dynamischen Eigenschaften vom D/Aund A/D-Wandler enthält, die bei der Messung mit dem Analysator nicht berücksichtigt worden sind. Sekundärquelle t-#-/-q

---+

FehlerMikrophon 7

GI V

Weissrauschen-

Real-Time Computer System Bild 3-13 Struktur der Parameteridentifikation mit dem LMS-Verfahren

61

3.2 Systemidentifikation im Zeitbereich

-40

Frequenz [Hz] Bild 3-14 Amplitudengänge des Modells des Sekundärpfades G,, mit Ordnung 128 und der Messung mit einem Analysator

3 Modellbildung

62

4 1

Das weisse Rauschen erzeugen 4 D/A Wandler starten I

I

Den Ausgangswert des Modells berechnen I

I

Das Signal des Mikrophones Ml einlesen

1

1

Den Schätzungsfehler e berechnen

1

Den Modellparameter mit dem LMS-Verfahren berechnen

Den erhaltenen Parameter mitteln 1

Bild 3-15 Ablaufdiagramm zur Modellbildung des Sekundärpfades mit dem LMS-Verfahren

4 Robuste Steuerung und Regelung für aktive Schalldämpfung

In der aktiven Schalldämpfung (ANC) spielt die adaptive Regelung mit Steuerungsstruktur eine dominante Rolle. Sie ist auch erfolgreich, wie wir im Kapitel 5 vorstellen werden. In den letzten Jahren sind aber immer mehr Berichte über die Anwendung der nicht-adaptiven Steuerung oder/und Regelung in ANC erschienen. Der Grund dieser Forschungen liegt darin, dass das nichtadaptive Regelsystem keine Adaptionszeit braucht, um eine gute Schalldämpfung rechtzeitig zu erreichen. Hu et al. [43] haben z.B. mit der ModelMatthing-Technik die H, -, Z, - und Hm -Regler für Steuerung in ANC entworfen. Kaiser et al. [51] haben einen Hm -Regler für Steuerung in ANC verwendet. Man hat auch versucht, die robuste Regelung in ANC zu verwenden (Fluder et al. [23], Bai et al. [4], Wu et al. [103]). Ein Regelsystem in ANC braucht kein Referenzmikrophon M2, das zur Messung des Rauschens in einer Steuerungsstruktur verwendet wird. Das Referenzmikrophon M2 muss nahe bei der Lärmquelle und weit weg vom Lautsprecher L2 liegen, so dass der resultierende Regler (Filter) kausal ist. Diese Anforderung ist in der Praxis nicht immer erfüllbar. Ausserdem nimmt das Referenzmikrophon nicht nur das Rauschen, sondern auch das Regelungssignal auf. Das führt zum Problem der akustischen Rückführung, welche die Verschlechterung der Eigenschaften und Instabilität verursacht (siehe Unterkapitel 5.3). Der Nachteil der Regelung ist offenbar. Wegen der Totzeit des Sekundärpfades kommt ein Kompromiss zwischen Dämpfungsleistung und Stabilität im Schalldämpfungssystem in Frage. Hong et al. [41] haben einen Regler ohne ‘Resonanzüberhöhung’-Phänomen aus einer allgemeinen Regelstruktur

4 Robuste Steuerung und Regelung für aktive Schalldämpfung

64

hergeleitet und gezeigt, dass der resultierende Regler eine Steuerungsstruktur aufweisen muss. Deshalb haben viele Autoren (Imai et al. [47], Mehta et al. [66], Hu [44], Bai et al. [5], Zhang et al. [106]) einen aus einem Feedback- und Feedforward-Regler kombinierten Regler ausgelegt, um die Vorteile der Steuerung und Regelung zu kombinieren. In diesem Kapitel werden wir uns mit den Entwürfen der robusten Steuerung und Regelung für ANC beschäftigen. Im Unterkapitel 4.1 werden wir die Grundlage der robusten Regelung zusammenfassen. Im Unterkapitel 4.2 werden einige Beschränkungen der robusten Regelung diskutiert, und es wird ein Regler ohne ‘Resonanzüberhöhung’ hergeleitet. In den restlichen Unterkapiteln werden wir die robuste Steuerung, Regelung und die Kombination von Steuerung und Regelung entwerfen, versuchen und bewerten.

4.1

Grundlage der robusten Regelung

Es gibt schon mehrere Lehrbücher (Geering [31], Green et al. [34], Skogestad et al. [89], Zhou [107]), die robuste Regelungstechnik vorstellen. Hier werden wir nur einige Begriffe, Definitionen und Theoreme zusammenfassen, die zur Diskussionen unserer Probleme notwendig sind.

4.1.1 Allgemeines Problem der robusten Regelung

A)

Problemstellung

Das Bild 4-l zeigt das grundsätzliche Signalflussbild des robusten Regelsystems, wobei G(s) die erweiterte Regelstrecke und K(s) der zu entwerfende Regler ist. Der Signalvektor w(t) E xnml enthält alle äusseren Eingangssignale, z.B. Störungen, Rauschen und Führungssignale (Schallsignal von der Lärmquelle bei aktiver Schalldämpfung). Der Ausgangsvektor z(t) E xnp2 ist

4.1 Grundlage der robusten Regelung

65

der Fehlersignalvektor, der alle zu minimierenden Signale enthält. YW E xnp2 ist der gemessene Vektor (Ausgangssignal des Fehlermikrophones), und u(t) E Knm2 ist der Steuervektor der Regelstrecke.

Bild 4-l

Signalflussbild des robusten Regelsystems

Für die erweiterte Regelstrecke G führen wir die folgende symbolische Kurzschreibweise ein:

(4.1.1)

G=

Hier soll darauf hingewiesen werden, dass identische Symbole G, 1, G,,, G,, und G,, wie bei der Regelstrecke im Bild 2-2 benutzt wird: Wir nehmen an, dass w(t) aus der Lärmquelle Ll erzeugt wird, u(t) das Regelsignal vom Aktor L2 ist, z(t) das Signal vom Fehlermikrophon Ml ist und y(t) das Messsignal vom Referenzmikrophon M2 ist. Die erweitere Regelstrecke kann mit dem folgenden Zustandsraummodell formuliert werden:

w

= Ax(t) + Blw(t)

+ B2u(t)

x(0) = 0 z(t) = c,xw

+ Qw

+ q,uw

YW =

+ Q4Q)

+ J)&w

C,W

oder in Kurzschreibweise:

(4.1.2)

4 Robuste Steuerung und Regelung für aktive Schalldämpfung

66

(4.1.3)

G=

Die resultierende Übertragungsmatrix von w(t) nach z(t) kann wie folgt formuliert werden: T zw = G,, + G,,K(I

- G22K)-1G21.

(4.1.4)

Die Suboptimierung sucht einen Regler K, so dass die Norm der Übertragungsmatrix Tz, kleiner ist als ein bestimmter Wert y. Die häufig benützte Norm ist die HDO-Norm, die wie folgt definiert ist: I(TIIDo= svO(T(jo))

w

3

(4.1.5)

wobei 0 der maximale Singularwert ist. B)

Hoo -Problem

Für ein Hoo -Problem sucht man eine Klasse von Reglern, welche die folgende Ungleichung erfüllen: (4.1.6)

C) Die Lösung des Hoo -Problems

Die notwendigen Voraussetzungen (für einen genügend grossen Wert von y auch hinreichend) für die Existenz einer Lösung des Ha-Problems sind wie folgt (Geering et al. [32]):

a>[A, B,1stabilisierbar b) [A, c,J detektierbar

67

4.1 Grundlage der robusten Regelung

4 WDll> < Y 4 Rang(Dzl) = np2 e) Rang(D,,)

= nm2

hat vollen Kolonnen-Rang für alle CU

hat vollen Kolonnen-Rang für alle CU

Um die Struktur des Hm-Reglers deutlich ersehen zu können, machen wir weiter die folgenden vereinfachenden Annahmen: a, 41

= 0 und D,, D12] =

b) DT12[cl

C>

= 0

[OI 1

[! [II4

0

DT21 =

D21

Definieren wir

Ä =

A + y-2BlBTX

3 = f2XB2B,TX

und

- C,TC,,

können wir jetzt das Theorem des H, -Problems einfacher wie folgt formulieren:

Theorem 4-l

Die Lösung des H, -Problems. Unter den obigen Voraus-

setzungen existiert eine Klasse des Reglers K = F,(K,, 4-2), die die Regelstrecke stabilisiert

Q) (siehe das Bild

und die Ungleichung (4.1.6) er@llt, wenn

die folgenden notwendigen und hinreichenden Bedingungen erjiillt werden:

4 Robuste Steuerung und Regelung für aktive Schalldämpfung

68

X 2 0 ist eine Lösung der algebraischen Riccati-Gleichung

o=

so dass Re{h[A

ATX + XA + X(f2BlB;

+ (ym2BlBT-

B,Bl)X]}

- B,B,T)X + C;CI

< 0, und

P 2 0 ist eine Lösung der folgenden algebraischen Riccati-Gleichung: 0 = so dass Re{h[Ä

ÄP+PÄT+PSP+BIB~

+ PS]} < 0,

wobei A + [Y-~B,B;

Kc =

- B,B,T]X - PC;C, -B;

X

-c2

PC;

B, + f2PXB2

0

I

I

0

und Q eine beliebig stabile propere Übertragungsfunktion Ungleichung

------_ ; YFfrqT

YO)

J

Bild 4-2 Die Menge des robusten Reglers Für Q = 0 bekommen wir den zentralen Regler aller Lösungen: r

(4. 1.7)

ist, welche die

11 Q/ m < y erjUlt (Roduner [82], S. 86).

L -----___

1

69

4.1 Grundlage der robusten Regelung

Dieser zentrale Regler kann gegliedert werden in einen Zustandsbeobachter:

x=

AX + Bly-2B;XA

+ B2u + PC;(JJ - C,X)

(4.1.9)

und einen Zustandsregler:

U = -B;Xk

(4.1.10)

Eine ausführliche Herleitung ohne die vereinfachendem Annahmen kann in den Dissertationen von Christen [9], Roduner [82] und im Vorlesungsskript von Geering [3 l] gefunden werden.

4.1.2 Empfindlichkeit und komplementäre Empfindlichkeit Ein Entwurfsprozess des Hm -Reglers läuft wie folgt ab: Zuerst wählen wir die passenden Gewichtungsfunktionen und bauen die erweiterte Regelstrecke auf; dann errechnen wir den Hm -Regler (mit MATLAB), so dass die Ungleichung (4.1.6) erfüllt wird. Die sogenannten ‘passenden’ Gewichtungsfunktionen sollten die Eigenschaften des Regelsystems so gestalten, dass das Regelsystem ein gutes stationäres und dynamisches Verhalten und gute Robustheit gegen Modellierungsfehler aufweist. Die Empfindlichkeitsfunktion S (sensitivity) und die komplementäre Empfindlichkeitsfunktion T (complementary sensitivity) sind wesentliche Faktoren zur Beschreibung der Eigenschaften und der Robustheit des Regelsystems. Unter der Voraussetzung 11 Tzwll o. < y werden S und T des Regelsystems von den gewählten Gewichtungen gestaltet. Weil das aktive Schalldämpfungssystem in einem Kanal ein SISO-System ist, beschränken wir unsere Diskussion nur auf das SISO-System. Das Bild 4-3 zeigt ein SISO-Regelsystem. Hier ist r(t) das Führungssignal, u(t) das Steuersignal, y(t) das Ausgangssignal und e(t) der Regelungsfehler des Regelsystems. Die Empfindlichkeitsfunktion S ist die Übertragungsfunktion vom Eingang r(t) zum Fehler e(t) :

70

4 Robuste Steuerung und Regelung für aktive Schalldämpfung

s

A-

= l+L,’

(4.1.11)

wobei L, = GK die Kreisverstärkungsfunktion ist. Die komplementäre Empfindlichkeitsfunktion T ist die Übertragungsfunktion vom Eingang r(t) zum Ausgang y(t) :

TC-

Lo l+L,’

(4.1.12)

Bild 4-3 Signalflussbild eines SISO-Regelsystems Aus den Gleichungen (4.1.11) und (4.1.12) kann man unmittelbar die Beziehung zwischen S und T bekommen: S+T

= 1.

(4.1.13)

Die Empfindlichkeitsfunktion S beschreibt die Folgeleistung des Regelsystems. Je kleiner der Betrag von S ist, desto besser ist die Regelungsqualität des Regelsystems. Bezüglich einer Frequenzgewichtung W, schreiben wir die Anforderung der Eigenschaften wie folgt:

IIw,s IIo3< 1.

(4.1.14)

Um die Beziehung zwischen der Robustheit und der komplementären Empfindlichkeitsfunktion T zu erklären, diskutieren wir ein Regelsystem, in dem die Regelstrecke einen multiplikativen Modellierungsfehler hat (siehe Bild 4-4), d.h. die wahre Regelstrecke G = (1 + AW,)G bleibt unbekannt, aber sie liegt in der folgenden Menge:

4.1 Grundlage der robusten Regelung

71

{ & A ist stabil und llA]l, I 1 } . Die Gewichtung W, beschreibt die Grösse der Modellierungsfehler bezüglich den Frequenzen.

K

Bild 4-4 Regelstrecke mit einem multiplikativen Modellierungsfehler

Jetzt ist die Frage, unter welcher Bedingung das Regelsystem stabil ist, obwohl der Modellierungsfehler existiert. Das folgende Theorem gibt eine Antwort (Doyle et al. [16], S. 53):

Theorem 4-2

Robuste Stabilität. Das Regelsystem im Bild 4-4 ist stabil,

genau dann, wenn/ W,TII_ < 1.

Hier soll darauf hingewiesen werden, dass T noch die unveränderte komplementäre Empfindlichkeitsfunktion des nominalen Regelsystems ist, d.h. T= GK/( 1 + GK). Der zweite zu betonende Punkt ist, dass das Theorem 4-2 nur für das Modell des multiplikativen Modellierungsfehlers gilt. Für die anderen Modelle der Modellierungsfehler, z.B. den additiven und den dividierenden Modellierungsfehler, hat die Literatur (Doyle et al. [ 161, S. 55) die entsprechenden Bedingungen gegeben. Weil die Modellfehler allgemein im Hochfrequenzbereich grösser sind, weist die Gewichtung W, normalerweise die Form eines Hochpassfilters auf.

4 Robuste Steuerung und Regelung für aktive Schalldämpfung

72

4.2

Beschränkungen der Empfindlichkeit

Wegen verschiedener Beschränkungen können wir kein Regelsystem mit beliebig guten Eigenschaften erzielen. Solche Beschränkungen existieren sogar bei der idealen Regelstrecke, einem minimalphasigen System, z.B. die Besthränkungen aus der fundamentalen Beziehung S + T = 1 und die BodeIntegral-Beschränkung. Instabile Pole und Nullstellen mit positivem Realteil erschweren solche Beschränkungen. S + T = 1 ist eine fundamentale Beschränkung. Für gute Eigenschaften soll S im Passband sehr klein sein, während T im Sperrband zwecks Robustheit gegenüber hochfrequenten Modellierungsfehlern viel kleiner als eins sein soll. In diesem Unterkapitel werden wir über die Beschränkungen durch das BodeIntegral diskutieren.

4.2.1 Bode-Integral-Theorem Theorem 4-3

Bode-Integral-Theorem.

tisch stabile Kreisverstärkungsfunktion

lim a+-

y: Re(s)

a 20

Angenommen wird eine asympto-

LO(s) und alLJs)l

= 0.

(4.2.1)

Wenn das Regelsystem stabil ist, muss S die folgende Gleichung er$üllen:

J-

logIS(jo

= 0.

(4.2.2)

0

Aus der Gl. (4.2.2) kann entnommen werden, dass die Fläche der Empfindlichkeitsreduktion (log IS( ja)/ < 0) durch die die Fläche der Empfindlichkeitsvergrösserung (loglS(jo)l > 0) ausgeglichen wird. D.h., wenn S in einem Frequenzbereich kleiner als eins ist, muss sie in einem anderen Frequenzbereich grösser als eins sein.

4.2 Beschränkungen der Empfindlichkeit

73

Die im Theorem 4-3 geforderte Bedingung (4.2.1) stellt für die Praxis (beim Entwurf robuster Regler) keine Einschränkung dar. Sie verlangt lediglich, dass die Übertragungsfunktion der Kreisverstärkung LO (s) eine relative Ordnung grösser als eins (d.h. zwei Pole mehr als Nullstellen) haben muss. In Zusammenhang mit einer guten Robustheit gegen hochfrequenten Modellierungsfehler (im Sperrband) wird diese Bedingung ohnehin erfüllt sein, d.h.

(4.2.3) wobei M, eine positive Zahl, cub die Bandbreite des Reglers und eine beliebige Zahl k > 0 ist. Es ist einfach zu ersehen, dass die Gl. (4.2.3) und Gl. (4.2.1) äquivalent sind. Wenn die Kreisverstärkungsfunktion L,(s) instabile Pole enthält, erschwert sich diese Situation, wie im folgenden Theorem (Freudenberg [24]) beschrieben wird:

Theorem 4-4

Allgemeines Bode-Integral-Theorem.

dass die Kreisverstärkungsfunktion

Angenommen wird,

LO(s> N, Pole mit positiven Realteil

i = 1, 2, . . .. NP> hat und die Bedingung (4.2.1) erjZllt. Wenn das Regelsystem stabil ist, muss die EmpJindlichkeit die folgende Gleichung e@llen: Cpi,

P0 log]S(jo)]do

NP = n; c i=l

Re[pil-

(4.2.4)

Das Theorem 4-3 ist ein Spezialfall des Theorems 4-4 bei N, = 0. Weil die rechte Seite der Gleichung (4.2.4) positiv ist, wird die Fläche der Vergrösserung der Empfindlichkeit (log ]S( jw )] > 0 ) grösser als die Fläche der Reduktion der Empfindlichkeit (log]S( jw)l < 0).

4 Robuste Steuerung und Regelung für aktive Schalldämpfung

74

Wenn die Kreisverstärkungsfunktion L,(s) Nullstellen mit positivem Realteil enthält, führt das zum sogenannten ‘Waterbed’-Effekt, welcher im folgenden Theorem (Doyle et al. [ 161, S. 97-99) beschrieben wird.

Theorem 4-5 stärkungsfunktion

Waterbed-Effekt. L,(s)

Angenommen wird, dass die Kreisver-

eine Nullstelle bei z1 mit Re(zl)

> 0 hat. Dann gibt

es zwei positive Konstanten c1 und c2, die nur von 03~, o2 und zl abhängig sind, so dass

c,logM, wobei M,

+ c,logM,

> 0,

der maximale Betrag von S im Frequenzband

(4.2.5) [ ol, cu2] und M,

der maximale Betrag von S bei allen anderen Frequenzen ist.

Das Theorem 4-5 besagt, dass ein grösseres M, > 1 bei den anderen Frequenzen resultiert, wenn M, im ersten Frequenzband viel kleiner als eins ist. Das entspricht einem Wasserbett-Phänomen. Die Eigenschaften der Regelung werden auch durch Beschränkungen der Gewichtungsfunktionen wegen der Pole und Nullstellen mit positivem Realteil verschlechtert. Wenn die Regelstrecke einen Pol p 1 mit Re( { p l } 2 0) und eine Nullstelle z1 mit Re( { z1 } > 0) hat, gibt es dann (für robusten Regler) die folgende Beziehung: (4.2.6)

IwTl = IwT(Pl)T(Pl)I s IIw,(S)T(s)llm < lrn

(4.2.7)

1W,( zI)l < 1 bedeutet, dass man in der Nähe einer Nullstelle mit positivem Realteil (o = Im{zl}) k eine hohe Anforderungen an die Eigenschaften stellen darf. Aus 1WT(pl)l < 1 folgt, dass man keine grosse Stabilitätsreserve in der Nähe eines Poles mit positivem Realteil (03 = Im{ p} ) erhalten kann.

4.2 Beschränkungen der Empfindlichkeit

4.2.2

75

‘Resonanzüberhöhung’-Phänomen

Bevor wir über das ‘Resonanzüberhöhung’-Phänomen sprechen, diskutieren wir noch mal das Signalflussbild des Regelsystems, das im Bild 4-l dargestellt ist. Dieses Signalflussbild beschreibt nicht nur eine Feedback-Struktur, sondern auch eine Feedforward-Struktur sowie die Kombinationsstruktur der Feedback- und Feedforward-Regelung. Wenn z.B. G,, = 0 und G,, = 1 sind, bekommen wir ein Feedforward-Regelsystem, y(t) = w(t) (vgl. Gl. (4.1.1)). Die Gl. (4.1.4) formuliert die Übertragungsfunktion TZw des geschlossenen Kreises. Beim offenen Kreis gleicht die Übertragungsfunktion T,,, das erste Teilsystem in GL (4.1.1) aus: T zwo = G,,.

(4.2.8)

Falls bei einer beliebigen Frequenz der Betrag von TZw grösser ist als derjenige von Tzwo, sprechen wir vom ‘Resonanzüberhöhung’-Phänomen. Jetzt gehen wir vom allgemeinen Regelsystem im Bild 4-l aus und suchen einen Regler für ein Regelsystem ohne ‘Resonanzüberhöhung’. Wir schreiben die Gl. (4.1.4) für ein SISO-System wie folgt um: T zw = F(K)S,

(4.2.9)

wobei F(K)

= %1-

[GllG22

- G12G211K

(4.2.10)

und

SZ11 -L,’

Lo = G,,K.

(4.2.11)

Wenn das Ausgangssignal z der erweiterten Regelstrecke und Messsignal y

76

4 Robuste Steuerung und Regelung für aktive Schalldämpfung

kolloziert sind, d.h.

Cl1 -=-

%2

G21

G22’

(4.2.12)

erhalten wir aus der GI. (4.2.10) die folgende Gleichung F(K)

= G,,.

(4.2.13)

Setzen wir die Gl. (4.2.13) in GI. (4.2.9) ein, so kann die Übertragungsfunktion des Regelsystems wie folgt formuliert werden: T zw = G,,S.

(4.2.14)

Diese Gleichung beschreibt eine Beziehung zwischen der Übertragungsfunktion des offenen Kreises C, 1 und der Übertragungsfunktion des geschlossenen Kreises Tz,. Aufgrund des Bode-Intergrals muss IS( jw)l bei gewissen Frequenzen grösser als eins sein. Aus Gl. (4.2.14) folgt, dass der Betrag von Tzw( ja) bei diesen Frequenzen grösser ist als der Betrag von Cl1 (jcu) , d.h. das ‘Resonanzüberhöhung’-Phänomen tritt auf. In einem Regelsystem mit Rückführungsstruktur sind die beiden Signale z(t) und y(t) kolloziert, weil das erweiterte Ausgangssignal z(t) und das MessSignal y(t) aus dem gleichen Messpunkt kommen, wie im Bild 4-5 gezeigt wird. Es gibt dann die folgende Beziehung:

Gll

= TG21

(52

= Wl G22.

(4.2.15)

Das System, das diese Beziehung aufweist, erfüllt offenbar die Kollozierungsbedingung der beiden Signale (GI. (4.2.12)). Deshalb ist es unvermeidbar, dass das ‘Resonanzüberhöhung’-Phänomen in einem Regelsystem mit der Rückführungsstruktur nur auftaucht, wenn die Kreisverstärkung L, schneller als 20 dB/Dekade abfällt.

4.2 Beschränkungen der Empfindlichkeit

Bild 4-5

77

Regelsystem mit kollozierten Ausgangssignalen

Wenn die beiden Signale nicht kolloziert sind, können wir einen Regler für ein Regelsystem ohne ‘Resonanzüberhöhung’ erhalten, wodurch die Bedingung: F(K)

= 0

(4.2.16)

erfüllt wird (vgl. Gl. (4.2.9)). Setzen wir Gl. (4.2.10) in die obere Gleichung ein, so erhalten wir den Regler für ein Regelsystem ohne ‘Resonanzüberhöhung’ K,, :

K OU =

%l %lG22

(4.2.17)

- G12G21

Dieser Regler K,, erreicht eine perfekte Schalldämpfung, d.h. Tzw = 0. Aber er garantiert nicht, dass das ganze Regelsystem stabil ist. Das folgende Theorem (Hong [41]) hat die Stabilitätsbedingung gegeben:

Theorem 4-6

Regler ohne Resonanzüberhöhung. Es wird angenommen,

dass die erweiterte Regelstrecke G asymptotisch stabil ist. In diesem Fall existiert genau dann ein Regler für ein Regelsystem ohne ‘Resonanzüberhöhung’ K oU, der das System stabilisiert minimalphasig

sind.

und T,,, = 0 resultiert, wenn G,, und G,,

78

Soll ein erhalten folgende (G, 1G,,

4 Robuste Steuerung und Regelung für aktive Schalldämpfung

stabiler Regler für ein Regelsystem ohne ‘Resonanzüberhöhung’ werden (in der Praxis muss der Regler stabil sein), muss er die zusätzliche Bedingung erfüllen (MacMartin [62]): das System - G,,GZ1) ist minimalphasig.

Offenbar existiert kein Regler ohne ‘Resonanzüberhöhung’ für Regelsysteme mit der Rückführungsstruktur. Wegen der Kollozierung zwischen dem Ausgangssignal und dem Messsignal wird das Nennerpolynom des Reglers K,, in diesem Fall null. Deshalb ist eine notwendige Bedingung, um einen Regler für ein Regelsystem ohne ‘Resonanzüberhöhung’ zu erhalten, dass das Ausgangssignal und das Messsignal nicht kolloziert sind. Für ANC sollen das Fehlermikrophon Ml (Ausgangssignal) und das Referenzmikrophon M2 (Messsignal) nicht auf den gleichen Punkt gestellt werden. Nach dem oberen Theorem soll G,, minimalphasig sein. Deshalb soll das Referenzmikrophon M2 so nahe bei der Lärmquelle wie möglich sein, so dass keine Totzeit entsteht. Das Fehlermikrophon Ml soll in der Nähe des Endes des Kanals gelegt werden, so dass das Ausgangssignal des Fehlermikrophons der Schallstärke im Raum entspricht. Dann ist diese Struktur nichts anderes als eine Steuerungsstruktur. In ANC kann eine Steuerungsstruktur auch die Bedingungen des Theorems 4-6 nicht erfüllen, weil das Teilsystem des Sekundärpfades eine Totzeit aufweist, d.h. G,, nicht minimalphasig ist. Um eine perfekte Schalldämpfung zu erreichen, ist es unentbehrlich, die nichtminimale Phase zu verarbeiten (siehe Unterkapitel 3.1 S).

79

4.3 Steuerungsentwurjf

4.3

Steuerungsentwurf

Wie wir im letzten Unterkapitel erfahren haben, ist eine perfekte Schalldämpfung vzw = 0) nur möglich, wenn das Regelsystem eine Steuerungsstruktur hat. Der FXLMS-Algorithmus, der im Gebiet der ANC breit angewendet wird, ist tatsächlich eine adaptive Steuerung. In diesem Unterkapitel werden wir die Hm -Methode zur Reglersynthese für die Steuerung anwenden.

4.3.1 Gewichtungsschema für die Steuerung Eine perfekte Schalldämpfung fordert nicht nur eine Steuerungsstruktur, sondern auch die minimalphasige Eigenschaft von G,, und G,, (vgl. Theorem 46). Hier kommt das Referenzsignal direkt aus dem Ausgangssignal des Signalgenerators, dann ist G,, = 1. Aber G,, ist noch nichtminimalphasig wegen der Totzeit, die wesentlich von der Schallausbreitung vom Aktor L2 zum Fehlermikrophon Ml verursacht wird. Durch die Verarbeitung der nichtminimalen Phase, wie im Unterkapitel 3.1.5 beschrieben, wird garantiert, dass G,,, minimalphasig ist. Deswegen wird die Gewichtungsfunktion W, nicht an den Ausgang des Fehlermikrophons Ml, sondern an den hypothetischen Übereinstimmungspunkt Ml ’ angeschlossen, wie im Bild 4-6 dargestellt wird.

W

Ll

-

’ Glld

Kf

u L2

+ e ’ G12d.

- T ‘6

-

+

Ml’ Bild 4-6

Gewichtungsschema für die Steuerung

G,

-

Ml

80

4 Robuste Steuerung und Regelung für aktive Schalldämpfung

Die Übertragungsmatrix ist:

T ZW

(4.3.1)

wobei sf = G,,, + G,2dKf und Tf = G12dKf sind. Das Hm-Problem ist, einen Regler Kf zu finden, so dass die folgende Ungleichung der Hm -Norm erfüllt wird:

IIT zwIIM wr

1

TWd ’

(4.5.4)

Die ersten und vierten Terme dieser Matrix dienen zur Gestaltung des Feedback-Reglers K, . wd und die Eingangsgewichtung G, ld legen die Empfindlichkeit S fest, während Wz die komplementäre Empfindlichkeit T bestimmt. Der zweite und dritte Term der Matrix (4.5.4) wird für den Entwurf des Feedforward-Reglers Kf verwendet. Da Tyr von S und S von Kf abhängig ist, kann der Feedforward-Regler Kf nicht ganz unabhängig vom Feedback-Regler K, entworfen werden. Umgekehrt beeinflussen die Gewichtungen W, und W, auch den Feedback-Regler K, . Aus diesem Grund führt der Entwurf mit Wd und Wz wie W, und W, im Unterkapitel 4.4 und W, und W, wie Wef und Wyf im Unterkapitel 4.3 zu einem instabilen Feedback-Regler K, . Deshalb werden die Amplituden der Gewichtungen wd und Wz verkleinert, bis der resultierende Feedback-Regler K, nicht nur stabil ist, sondern auch seine maximale Amplitude nicht zu hoch (~30 dB) ist, so dass das ganze Regelsystem robust-stabil ist. Ausserdem werden die Dämpfungskoeffizienten des Bandpassfilters (wd) und des Bandsperrenfilters (Wz) relativ gross gewählt. Wie wir schon im letzten Unterkapitel gesehen haben, wirkt der FeedbackRegler K, nur in einem engen Frequenzband. Im Frequenzband, wo der Feedback-Regler K, fast keine Rolle spielt, nähert sich die Empfindlichkeit S eins an. Dann wird die Übertragungsfunktion Tyr in Gl. (4.5.2) wie folgt umgeschrieben: T

Yr = Glld

+ G12dKf-

(4.5.5)

Die obere Gleichung ist nichts anderes als die Übertragunsfunktion der Steuerung, die im Unterkapitel 4.3.1 definiert wird. Deshalb wird für die Gewichtung W, eine gleiche Übertragungsfunktion wie Wef im Unterkapitel 4.3.1 gewählt.

4.5 Kombination der Steuerung und Regelung

93

Wählen wir die Gewichtung W, identisch wie G, ld, kann der dritte Term in Gl. (4.5.4) wie folgt formuliert werden:

CTyr- w,) wr = cTyr- G,,,) w, = C,,dKfW,-

(4.5.6)

Deshalb wird die Gewichtung W, benutzt, um die Verstärkung des Feedforward-Reglers zu beschränken. Die Gewichtungen wd, Wz, W, und W, werden wie folgt gewählt und ihre Amplitudengänge im Bild 4-19 gezeichnet:

w,

3(s + o.oo1)2

=

(s2 + 800s + 8.825 x 105)(s2 + 900s + 1.0125 x 106) Wz =

(s2 + 900s + 8.425 x 105)(s2 + 1000s + 1.1525 x 106)

(s + o.oo1)2(S + 106)2 w,

=

5 x 1o18 (s2 + 3000s + 6.25 x 1062

)

w,

=

5 x 105(S2 + 4000s + 1.3 x 1oq2

(s + 106)4 w,

= Wi = 10-5 120 80 40 0 -40 -80

Frequenz

[Hz]

Bild 4-19 Amplitudengänge der Gewichtungen

94

4 Robuste Steuerung und Regelung für aktive Schalldämpfung

4.5.2 Ordnungsreduktion des kombinierten Reglers Der nach dem Gewichtungsschema im Bild 4-18 resultierende Regler, der aus K, und Kf besteht, hat 138. Ordnung. Er hat zwei Eingänge und einen Ausgang. Die beiden Teilregler K, , Kf wirken in unterschiedlichen Frequenzbereichen. Hier benutzen wir zur Reduktion des Reglers noch die Balancierung und Ordnungsreduktion mit der Frequenzgewichtung wie im Unterkapitel 4.3.2. Aber die Frequenzgewichtung am Eingang ist hier eine 2 x 2 diagonale Matrix. Die zwei diagonalen Elemente sind Übertragungsfunktionen der zwei Tiefpassfilter mit den Eckfrequenzen f, 1 und fe2. Diese werden 2 x 104 [rad/s] und 1 x 104 [rad/s] ausgewählt. Das Bild 4-20 zeigt den vollen Regler K, , Kf und den um 100 Ordnungen reduzierten Regler K,, , KfY . Im Hochfrequenzbereich unterschiedet sich der reduzierte Feedback-Regler K,, stark vom vollen Feedback-Regler K, . Durch die Verkleinerung der Eckfrequenz fC2 kann man kein besseres Resultat erzielen. Die andere Variante der Ordnungsreduktion dieses kombinierten Reglers ist, den kombinierten Regler zuerst in zwei unabhängige Regler K, und Kf zu zerlegen. Diese zwei Regler werden separat als ein SISO-System wie im Unterkapitel 4.3.2 reduziert. Die Eckfrequenzen der Gewichtungen werden als 2 x 104 [rad/s] und 5 x 103 [rad/s] ausgewählt. Das Bild 4-21 zeigt den vollen Regler und die reduzierten Regler K,, 27. und Kfr 24. Ordnung, deren Rechenzeit kürzer als die des zusammengelegten Reglers K, mit 38. Ordnung ist. Zur Berechnung des neuen Zustandsvektors soll der kombinierte Regler K, 3 8. Ordnung bis zu 38 x 38 = 1444 Multiplikationen und Additionen durchführen, während die zwei separaten Regler K,, und Kfr nur 27 x 27 + 24 x 24 = 1305 Multiplikationen und Additionen brauchen.

4.5 Kombination der Steuerung und Regelung

95

40 20 57 0, z" L .c m" -20 -40

100

1000

Frequenz [Hz]

Bild 4-20 Amplitudengänge der vollen und reduzierten Regler

Bild 4-21 Amplitudengänge der vollen und reduzierten Regler durch separate Reduktion

Das Bild 4-22 zeigt die Simulationsresultate mit dem vollen kombinierten Regler und das Bild 4-23 zeichnet die Simulationsresultate mit dem reduzierten Regler, die jeweils mit den zwei Methoden erhalten werden. Der separate reduzierte Regler hat niedrigere Dämpfung als der zusammen reduzierte Regler im Tieffrequenzbereich wegen der niedrigen Ordnung von Kfr . Aber die Unterschiede unterhalb von -30 dB in der Simulation werden in der Praxis verschwinden. Der separat reduzierte Regler weist die bessere Robustheit wegen der kleineren Reduktionsfehler auf. In der Praxis wird diese Methode benutzt.

-80 -1 O(

Frequenz

[Hz]

Bild 4-22 Simulationsresultate mit dem vollen Regler

Frequenz [Hz] Bild 4-23 Simulationsresultate mit reduziertem Regler durch separate oder nichtseparate Reduktion

96

4 Robuste Steuemng und Regelung für aktive Schalldämpfung

4.5.3 Experimente und Resultate Das Bild 4-24 zeigt die Resultate der Experimente. Der Regler wird mit separater Methode reduziert. Die Feedforward- und Feedback-Teile des Reglers sind jetzt zwei separate Systeme K,, und Kfi-. In ‘Simulink’ werden die Ausgangssignale dieser zwei Regler durch einen Summenblock addiert. Durch der Wirkung der Feedback-Regelung wird die Spitze in der Nähe von 130 Hz, die in der Steuerung nicht gedämpft wird, beseitigt. Aber im anderen Frequenzbereich werden Rauschen ein bisschen vergrössert. Vom praktischen Effekt im Versuch hat die Kombination der Steuerung und Regelung auch bessere Schalldämpfung als die Steuerung oder die Regelung allein.

Frequenz

[Hz]

Bild 4-24 Resultate der Experimente der Kombination der Steuerung und Regelung

5

Adaptive aktive Schalldämpfung

Wir haben schon von den Diskussionen im letzten Kapitel erfahren, dass die Dämpfungsfähigkeit der Regelung wegen der Totzeit stark beschränkt wird, während die Steuerung ein gutes Resultat erzielen kann. Aber die Steuerung ist nicht robust, sie ist sehr abhängig von den Modellierungsfehlern. Bei aktiver Schalldämpfung wird dieses Problem noch kritischer, weil das Schallfeld zeitvariabel ist (Druck- und Temperaturschwankungen). Deshalb ist es natürlich, ein Adaptionsverfahren in die Steuerung einzubeziehen. Eine aktive Schalldämpfung in breitem Frequenzband fordert eine hohe Abtastfrequenz. Aber ein Adaptionsverfahren braucht wegen der on-line Parameterschätzung mehr Rechenzeit als ein Algorithmus mit einem festen Parametersatz. Deswegen ist die Rechenkomplexität neben der Konvergenzrate und der Stabilität auch ein wichtiges Kriterium zur Beurteilung eines Adaptionsverfahrens. Das ist der Grund, warum das Verfahren der kleinsten mittleren Quadrate (Least Mean Squares, LMS), das die kleinste Rechenkomplexität aufweist, eine zentrale Rolle in adaptiver aktiver Schalldämpfung spielt. Diese Tendenz wird bleiben. Matsubara et al. [63] und Ahn et al. [2] haben direkt hardwaremässig realisierte LMS-Verfahren publiziert. Das Bild 5-l zeigt eine Struktur des Systems der adaptiven aktiven Schalldämpfung und das Bild 5-2 stellt sein Signalflussbild dar. Die vier Übertragungsfunktionen G,, , G,, , G,, und G,, sind schon im Unterkapitel 2.1 definiert worden. W ist der Gewichtungsvektor des adaptiven Reglers.

98

5 Adaptive aktive Schalldämpfung

Lärmquelle Ll ---------_ 4 .J + -Referenzmikrophon M2

Fehlermikrophon

-

-/ /

M1 -b 3 /

Bild 5-l Struktur der adaptiven aktiven Schalldämpfung

Bild 5-2 Signalflussbild der adaptiven aktiven Schalldämpfung

Um die Eigenschaften der Adaption zu verbessern, werden viele auf dem LMS-Verfahren basierte Adaptionsverfahren eingeführt. Diese Modifikationen werden nach den verschiedenen Annahmen an die vier Übertragungsfunktionen G, 1 , G,, , G,, und G,, hergeleitet. In allen Herleitungen dieses Verfahrens wird G,, immer als verzögerungsfrei angenommen, d.h. G21 = 1. Diese Annahme verletzt die Allgemeinheit der Analyse nicht, weil wir die Schallwelle am Referenzmikrophon M2 als die neue Schallquelle betrachten können. Mit G,, = 1 bezeichnet GI, die Übertragungsfunktion vom Referenzmikrophon M2 zum Fehlermikrophon MI. Im Unterkapitel 5.1 nehmen wir an, dass der Sekundärpfad auch verzögerungsfrei (G,, = 1) ist und keine akustische Rückführung (G,, = 0) existiert. Daraus kann das LMS-Verfahren (Widrow und Stearns [lOl]) hergeleitet werden. Im Unterkapitel 5.2 wird der Sekundärpfad nicht mehr verzögerungsfrei angenommen, d.h. G,, f 1. Daraus wird das FXLMS-Verfahren (Kuo and Morgan [56]) hergeleitet. Im Unterkapitel 5.3 wird ein noch komplizierterer Fall studiert, wo die akustische Rückführung ebenfalls berücksichtigt wird (G,, # 0). Das resultierende Adaptionsverfahren heisst FULMS-Verfahren (Eriksson [20,2 11, Wang et al. [lOO]). Im Unterkapitel 5.4 werden wir weiter studieren, wie das Adaptionsverfahren modifiziert werden soll, so dass das adaptive System stabil bleibt, wenn der Sekundärpfad nichtminimalphasig ist. Daraus wird das stabile FULMS-Verfahren (Jiang et al. [49]) hergeleitet. Aber dieses stabile FULMS-

5.1 LMS-Adaptionsverfahren

99

Verfahren garantiert noch keine Langzeitstabilität in unserem Versuch, weil die Modellierungsfehler und äusseren Störungen noch nicht berücksichtigt werden. Deshalb wird ein neues robust-stabiles Adaptionsverfahren im letzten Unterkapitel 5.5 hergeleitet und analysiert. Hier soll darauf hingewiesen werden, dass in diesem Kapitel eine HybridNotation verwendet wird. Dabei tauchen die Zeitvariable t (diskret: k) und die Laplacevariable s (diskret: z) gleichzeitig in einer Beziehung auf. Zusätzlich wird die Bezeichnung G,, nicht nur für eine Übertragungsfunktion G12(,s) oder G,,(z) verwendet, sondern auch für den Vektor der Impulsantwort.

5.1

LMS-Adaptionsverfahren

S.l.1

Prinzip

Wie in der Einführung erwähnt wurde, vernachlässigen wir die akustische Rückführung und setzen den Sekundärpfad verzögerungsfrei voraus. Dadurch wird das System der adaptiven Schalldämpfung im Bild 5-l zu einem Identifikationsschema reduziert, das im Bild 5-3 dargestellt ist. Hier ist W der Gewichtungsvektor des Reglers, der als ein nichtrekursives Filter, FIR- Filter (finite impulse response) angesetzt ist, und Adap ist das zu untersuchende Adaptionsverfahren. X

Bild 5-3 Signalflussbild der Systemidentifikation

5 Adaptive aktive Schalldämpfing

100

Das Fehlersignal e des Systems kann wie folgt beschrieben werden:

e(n) = 04 -y(n)

(5.1.1)

= d(n) - WT(n)X(n),

wobei X(n) der Eingangssignalvektor ist, und W(n) dem Gewichtungsvektor des Reglers beim n-ten Update-Schritt entspricht:

X(n) W(n)

=

[

x(n) x(n-

=

1) . . . x(n-nF+

w,(l)

Im LMS-Adaptionsverfahren folgt definiert:

. . . w,,(nF-1)

T

1 1. 1) T

(5.1.2)

wird die zu minimierende Kostenfunktion wie

5(n) =

e2(n).

(5.1.3)

Ein Gradientenverfahren wird zur Minimierung dieser Kostenfunktion benutzt: W(n + 1) = W(n) - (p/2)Vc(n),

(5.1.4)

wobei /..tder Verstärkungsfaktor der Adaption ist, welcher die Konvergenzrate und die Stabilität der Adaption bestimmt, und der Gradient vom Gewichtungsvektor V, als V ohne Index einfach notiert wird. Der Gradient der Kostenfunktion ist:

VS(n) =

2e(n)Ve(n).

(5.1.5)

Aus den Gleichungen (5.1 .l), (5.1.4) und (5.1.5) folgt das LMS-Adaptionsverfahren: W(n+l)

= W(n) + Pe(n>X(n>.

(5.1.6)

101

5.1 LMS-AdaptionsveqGahren

51.2

Analyse der Eigenschaften des LMS-Verfahrens

Wie im Unterkapitel 3.2.2 erwähnt wurde, ist das LMS-Verfahren eine erwartungstreue (unbiased) Schätzung des LS-Verfahrens, ausser wenn der Mittelwert des Signals d ungleich null ist (Clarkson et al. [lO]). Im Gegensatz zum LS-Verfahren benötigt es viel weniger Rechenoperationen und daher auch weniger Rechenzeit. Deshalb spielt das LMS-Verfahren eine wesentliche Rolle in adaptiver aktiver Schalldämpfung. Hassibi et al. [38] haben bewiesen, dass das LMS-Verfahren im Sinne von H, optimal ist. Das bedeutet, dass das LMS-Verfahren eine minimale Leistungsverstärkung vom Rauschensignal d zum Fehlersignal e aufweist. Die anderen Eigenschaften des LMS-Verfahrens sind bereits in mehreren Lehrbüchern (Widrow und Stearns [ 1011, Kuo and Morgan [56], Regalia [8 11) diskutiert worden. Hier werden wir nur die drei wichtigsten Eigenschaften, die Stabilität, Konvergenzrate und Restfehler zusammenfassen. A)

Stabilitätsbedingung

Damit der Gewichtungsvektor W(n) zu seinem wahren Vektor konvergieren kann, muss der Verstärkungsfaktor /J die folgende Bedingung erfüllen:

o “’ an(na) b,( 1) b,(2)

1

. . . b,(nbj

(5.3.2)

T-

Das Fehlersignal des adaptiven Systems ist:

04

(5.3.3)

= d(n) - G12TY(n) nP

= d(n)

-

C

g12(.Mn

- j),

j=O

wobei G,, bedeutet.

die bei np abgebrochene Impulsantwort des Sekundärpfades

Definieren wir einen neuen Gewichtungsvektor W :

W(n)

= [A(n)

B(n)lT

= [W,(O) w,(l)

. . . w,(na+nb)lT

(5.3.4)

und einen neuen Referenzeingangsvektor U :

U(n)

= [X(n) Y(ndT

= [u(O) u(l)

. . . u(na+nbdT.

(5.3.5)

so kann das Ausgangssignal des IIR-Filters (Gl. (5.2.1)) vereinfacht werden als: Yb)

= WT(n) U(n).

(5.3.6)

Dann kann das Fehlersignal in einer ähnlichen Form wie in Gl. (5.2.1) geschrieben werden:

116

5 Adaptive aktive Schalldämpfung

(5.3.7)

e(n) = d(n) - G12*(WT(n)U(n)).

Aber das neue Referenzeingangssignal U ist abhängig vom Gewichtungsvektor W(n), weil das Signal X(n) wegen akustischer Rückführung auch das Ausgangssignal des adaptiven Reglers beinhaltet. In der Standard-Analyse des FULMS-Algorithmus (Eriksson [21]) wird wieder angenommen, dass keine akustischen Rückführung existiert. Eine Analyse mit der Berücksichtigung der akustischen Rückführung wird später in diesem Unterkapitel durchgeführt. Machen wir eine zur GI. (5.2.4) analoge Annahme, dann führt eine ähnliche Herleitung wie im Unterkapitel 5.2.1 zum FULMS-Verfahren: W(n+l)

= w4

(5.3.8)

+ CL44 U’(n),

wobei U’(n) der mit G,, gefilterte Referenzsignalsvektor ist:

T

U’(n)

=

u’(k)

= c

[ u’(n) u’(n-

1) . . . u’(n-na-nb)

g12(i)u(k-i),

k = n,n-

1

(5.3.9)

1, . . . . n-na-nb.

i=O

Wenn wir die Einflüsse der akustischen Rückführung nicht vernachlässigen, führt ein Gradient des Ausgangssignals des Reglers (vgl. Gl. (5.3.1)) zu:

a b(n) = aW(n)y(n)

(5.3.10) na

= w-4

I W(n)

+ C an(i)aW(n)a \ i=O

Cdn

- i)l,(,)l

+c b,(k) k=l

Wegen der akustischen Rückführung ist das Referenzsignal des adaptiven Reglers abhängig vom Gewichtungsvektor:

5.3 Akustische Rückführung und FULMS-Verfahren

117

nQ x(n)

= V’(n) - C 6c&)y(n

- i>,

(5.3.11)

i=O wobei v’(n) das von G,, gefilterte Rauschsignal ist. Deshalb sind die letzten zwei Terme in der GI. (5.3.10) nicht null. Crawford und Stewart [12] haben dieses Problem untersucht und ein FVLMS-Verfahren hergeleitet. Die Voraussetzung dieses Verfahrens ist, dass nicht nur das Modell des Sekundärpfades, sondern auch das Modell der akustischen Rückführung bekannt sein muss. Eine Simulationsuntersuchung ergab, dass das FVLMS-Verfahren eine verbesserung von 3 dB Dämpfung gegenüber dem FULMS-Verfahren bewirkt. Aber in der Praxis ist es in den meisten Fällen schlechter als das FULMS-Verfahren (Crawford und Stewart [ 121).

5.3.3 Experimente und Resultate Um das adaptive System zu stabilisieren, wird hier das ‘Leaky’ LMS-Verfahren (siehe das Unterkapitel 5.1.3.B) angewendet. Durch eine ähnliche Herleitung kann ein ‘Leaky’ FULMS-Verfahren erhalten werden: A(n + 1) = QA(n> - PAX’(n)44

(5.3.12)

B(n + 1) = I+@(n) - pBY’(n - l)e(n), wobei

(5.3.13) aA I-LA = 1+p

X

Hier sind aA und aB die normalisierten Verstärkungsfaktoren der Adaption für das Zählerpolynom A mit der Ordnung na und für das Nennerpolynom B mit der Ordnung nb . Der Gewichtungsfaktor yr, ist in Gl. (5.1.18) definiert worden. Diese Parameter beeinflussen die Dämpfungsfähigkeit, Konvergenz-

118

5 Adaptive aktive Schalldämpfung

rate und Stabilität der Adaption sehr stark. Bei der Festlegung der Ordnung na des Nennerpolynoms ist die gedämpfte Übertragungsfunktion von der Lärmquelle zum Fehlermikrophon umso glätter, je höher die Ordnung nb des Zählerpolynoms gewählt wird. Aber eine zu hohe Ordnung nb führt zur Instabilität des Adaptionsprozesses. Sowohl eine Vergrösserung wie auch Verkleinerung des Gewichtungsfaktors yL können den Adaptionsprozess instabil machen. Bei einem kleinen y L spielt die Bestrafung des Ausgangssignals des adaptiven Reglers keine Rolle. Bei einem grossen yL entsteht die Instabilität in den ersten Schritten der Adaption. In diesem Experiment werden die Parameter wie folgt gewählt: aA = 0.002, aB = 0.001, yL = 2e-7, na = 86, nb = 126, und die Abtastperiode ist 0.00018 s. Das Resultat ist im Bild 5-14 dargestellt.

20

100

800

Frequenz (Hz) Bild 5-14 Resultat des FULMS-Verfahrens

5.3.4 Kommentare Im Vergleich zum Resultat des FXLMS-Verfahrens (siehe Bild 5-7) kann festgestellt werden, dass das FULMS-Verfahren dank seiner IIR-Struktur ein besseres Resultat in einem breiten Frequenzbereich erzielt hat. Aus dem Bild 5-14 geht aber auch hervor, dass die Rauschanteile in der Nähe der Frequenz 350 Hz verstärkt werden. Der Grund der Verstärkung dieser Rauschanteile liegt genau in der IIR-Struktur. Wegen der IIR-Struktur des Reglers im

5.3 Akustische Rückführung und FULMS-Verfahren

119

FULMS-Verfahren ist die Kostenfunktion nicht mehr quadratisch wie im FXLMS-Verfahren, sondern eine rationale Funktion. Daher ist es möglich, dass in diesem Fall die Lösung gegen ein lokales Minimum und nicht gegen ein globales Minimum konvergiert. Es soll hier noch darauf hingewiesen werden, dass die Konvergenzeigenschaft ebenfalls sehr stark vom Schallfeld abhängt. Eine T-Verbindung der zwei Kanäle, wie es im Bild 5-15 gezeigt ist, führt im Vergleich zu einer V-Verbindung mit den gleichen Parametern zu einem besseren Resultat (siehe das Bild 5-16).

L

3.0 m

4

Bild 5- 15 Kanal mit einer T-Verbindung

100

800

Frequenz (Hz) Bild 5-16 Resultat des FULMS-Verfahrens bei dem Kanal mit einer T-Verbindung

120

5.4

5 Adaptive aktive Schalldämpfung

Stabiles FULMS-Verfahren

Wie im Unterkapitel 5.1 gezeigt wurde, weist das LMS-Verfahren eigentlich gute Eigenschaften auf. Aber diese Eigenschaften werden wegen des Sekundärpfades und der akustischen Rückführung verschlechtert. Im Unterkapitel 5.3 haben wir bereits über verschiedene Methoden zur Neutralisation der akustischen Rückführung diskutiert. Wegen der starken Abhängigkeit des Modellfehlers bei der off-line Modellbildung und der nicht-konsistenten Schätzung bei der on-line Modellbildung der akustischen Rückführung sowie der Vereinfachung des Verfahrens (FVLMS-Verfahren) haben diese Methoden die Eigenschaften nur wenig oder gar nicht verbessert. Deshalb konzentrieren wir uns jetzt darauf, die Eigenschaft des Sekundärpfades und die Annahme der Gl. (5.2.4) zu untersuchen. Daraus wird ein stabiles FULMS-Verfahren hergeleitet. Ein adaptives System ist ein nichtlineares zeitvariables System, obwohl die Regelstrecke linear und zeitinvariant ist. Zur Stabilitätsanalyse des nichtlinearen zeitvariablen Systems ist die Lyapunov-Theorie ein leistungsfähiges Werkzeug. Im Unterkapitel 5.4.1 werden einige grundsätzliche Begriffe, Definitionen und Theoreme vorgestellt, die in der Stabilitätsanalyse des adaptiven Systems benötigt werden. Ausführliche Diskussionen über die Lyapunov-Theorie können im Lehrbuch (Slotine und Li [91]) oder im Vorlesungsskript von Shafai [87] gefunden werden. Narendra und Annaswamy [71] haben für adaptive Systeme vier Fehlermodelle (error model) aufgestellt. Im Unterkapitel 5.4.2 werden diese vier Fehlermodelle vorgestellt. Im Unterkapitel 5.4.3 werden sie in aktiver adaptiver Schalldämpfung angewendet. Hier soll darauf hingewiesen werden, dass die Definitionen, Theoreme und Resultate in den Unterkapiteln 5.4.1 und 5.4.2 für zeitkontinuierliche Systeme eingeführt werden, während der adaptive Regler, der in aktiver Schalldämpfung praktisch verwendet wird, zeitdiskret ist. Die für zeitkontinuierliche Systeme gewonnenen Resultate können jedoch direkt auf die zeitdiskreten Systeme ausgedehnt werden (vgl. Narendra et al. [72] und Ionescu et al. [48]).

121

5.4 Stabiles FULMS-Ver$ahren

5.4.1 Grundlage der Stabilitätsanalyse nach Lyapunov In der Stabilitätsanalyse wird zunächst unterschieden, ob das System ein autonomes oder nichtautonomes System ist. Das adaptive System ist ein nichtautonomes System, das mit der folgenden Differentialgleichung beschrieben wird: (5.4.1)

cir = f(779 t> 7

wobei q der Zustandsvektor des Systems ist. Alle Definitionen, Lemmata und Theoreme, die nachfolgend vorgestellt werden, gelten für die nichtautonomen Systeme.

Definition 5-l

Lyapunov-Stabilität

Der Gleichgewichtszustand

q * =O ist stabil zur Zeit tO, falls

b’R > 0,3r > 0, so dass sonst ist der Gleichgewichtszustand

q(to)

E B, a

q(t)

E B,,

‘dt

2

tO,

IJ * =0 instabil.

Wenn q * =0 stabil ist und falls zusätzlich

3r( to) > 0, so dass q( to) E Br 3 >. ist der Gleichgewichtszustand

Ilq (t)ll = 0, ca

IJ * =0 asymptotisch stabil.

Hier ist B, eine offene Kugel mit dem Radius R , B,: (Iq(l < R .

Definition 5-2

Lyapunov-Funktion

Wenn in einer Kugel B, für die skalare Funktion V(q, t) die Bedingung l

V( q, t) positiv-de$nit

l

partielle Abteilungen

l

die Abteilungen

von V(q, t) stetig und

von V(q, t) entlang jeder Zustandstrajektorie

semidefinit ist, d.h.

negativ-

122

5 Adaptive aktive Schalldämpfung

av av. av av wl, 0 = at + $l = at + a;ifol7 0 2 0 erfüllt

sind, dann ist V(TJ, t) eine Lyapunov-Funktion

des nichtautonomen

Systems, das durch die GI. (5.4.1) beschrieben wird.

Definition 5-3

Fallende Funktion

Eine skalare Funktion l

l

V(q, t) ist fallend, falls

V(q, 0) = 0 und eine Zeitinvariante positiv-definite V(q, t) I V,(q);

Funktion V,(q)

existiert, so dass

vt 2 t().

Für ein System existiert nicht nur eine einzige Lyapunov-Funktion. Es ist nützlich, eine Lyapunov-Funktion, deren Abteilung entlang jeder Zustandstrajektorie negativ-definit ist, zu finden, weil eine solche Lyapunov-Funktion des Systems auf die globale asymptotische Stabilität des Systems hinweisen kann:

Theorem 5-l

Globale Stabilität

Falls im ganzen Zustandsraum eine skalare Funktion V(q, t) mit stetigerpartiellen Ableitung l

existiert, so dass

V( q, t) positiv-definit,

l

partielle Abteilungen

von V(q, t) stetig,

l

die Ableitung von V(q, t) entlang jeder Zustandstrajektorie

negativ-

dejinit, l

V( q, t) fallend (decrescent) und

l

V( q, t) radial unbegrenzt, d. h.

lim V(q, t) = 00 lldl + M ist, dann ist der Gleichgewichtszustand tisch stabil.

q * =O global gleichmässig asympto-

123

5.4 Stabiles FULMS-Vetiahren

Die Bedingungen der globalen gleichmässigen asymptotischen Stabilität des Systems sind nur hinreichende Bedingungen. Es ist i.a. schwierig, eine solche Funktion V(x, t) zu finden, deren Ableitung entlang der Zustandstrajektorie negativ-definit ist. Demzufolge ist die Garantie einer asymptotischen Stabilität nicht einfach. Falls nur die schwächere Bedingung der Negativ-Semidefinitheit der Ableitung der Funktion V(q, t) entlang der Zustandstrajektorie erfüllt ist, erlaubt das Barbalats-Lemma, das nachfolgend formuliert wird, auch eine Aussage über asymptotische Stabilität.

Lemma 5-l Barbalats Lemma Wenn die difSerenzierbare Funktion f(t) für t + 00 einen Grenzwert besitzt und ihre Ableitung

f*(t) gleichmässig stetig ist, dann gilt

lim

f(t)

= 0.

t+m

Eine hinreichende Bedingung der gleichmässigen Stetigkeit einer Funktion g(t) ist, dass ihre Ableitung g(t) begrenzt ist. Die Begriffe der SPR-Funktion (strictly positive real function) und des passiven Systems spielen sehr wichtige Rollen in der Stabilitätsanalyse der adaptiven Systeme. Nachfolgend geben wir die Definition der SPR-Funktion und das Kalman-Yakubovich-Lemma.

Definition 5-4

Positiv-reelle und echt-positive-reelle Übertragungsfunktion

Eine Übertragungsfunktion

G(s) ist positiv-reell

Re{ G(s)} 2 0; YRe{s} Sie ist echt-positiv-reell p 2 0 positiv-reell

ist.

(PR: positive real), falls 2 0.

(SPR: strictly positive real), falls

G(s - p) für ein

124

5 Adaptive aktive Schalldämpfung

Lemma 5-2 Kalman-Yakubovich-Lemma Die Übertragungsfunktion

G(s) = C,[sIeines vollständig SISO-Systems

A,]-‘B,

(5.4.2)

steuerbaren, asymptotisch stabilen linearen Zeitinvarianten

fl(t) = AqW + &pw YW = ql(t> ist nur dann SPR, wenn eine positiv-definite Matrix Q existieren, so dass A;P+PAq B;P

Matrix P und eine positiv-dejinite

= -Q

= C,.

5.4.2 Fehlermodelle und Stabilität der Adaption

A)

Fehlermodell

1

Das Fehlermodell 1 hat eine Struktur der Systemidentifikation (siehe Bild 5-17), wie sie bei der Herleitung des LMS-Verfahrens verwendet wird (vgl. Unterkapitel 5.1.1). W * ist der wahre Gewichtungsvektor der Dimension nw des zu identifizierenden Systems und W(t) entspricht dem Gewichtungsvektor des Modells. In diesem Unterkapitel studieren wir nur die Regelstrecke, deren Ausgangssignal d skalar ist.

Bild 5-17 Struktur des Fehlermodells 1

125

5.4 Stabiles FULMS-Verfahren

Wird der Parameterfehlervektor Q(t) der Dimension nw als

(l(t) = w*- W(t)

(5.4.3)

und das Fehlersignal e(t) als

40

= d(t) -&t)

(5.4.4)

= d(t) -y(t)

definiert, dann folgt die Fehlergleichung:

40 = $iWWL

(5.4.5)

wobei y(t), d(t), e(t) E K und X(t) E IJtnW sind. Das Adaptionsgesetz für das Fehlermodell 1 wendet das LMS-Verfahren an: (5.4.6)

c)(t) = -e(t)X(t).

Wenn das Eingangssignal X(t) unbegrenzt (unbounded) ist, soll das Adaptionsgesetz durch Normalisierung modifiziert werden:

4OX(t> w = 1 -+ XT(t)X(t)’

(5.4.7)

Setzen wir die GI. (5.4.5) in die Gl. (5.4.6) ein, bekommen wir die Parameterfehlergleichung:

40) = -x(t)xTwN~h

(5.4.8)

Wählen wir die skalare Funktion V(Q) = QT(t)Q(t)/2, so folgt durch ihre Ableitung entlang jeder Zustandstrajektorie, dass v(q) = -e2( 2 0 ist. Das bedeutet:

t)

l

9 ist begrenzt, weil V(9) eine Lyapunov-Funktion ist.

.

e E L2, weil das Integral

126

5 Adaptive aktive Schalldämpfung

P

W)(t))dt

t0

= -

Pt0

e2(t)dt

= V(@(+)

- V($(t,))

< 00

ist. Wenn X(t) E Lw ist, bekommen wir die folgenden Resultate mit Hilfe von Barbalats Lemma: lim e(t) = 0 und t+-

lim 4(t) = 0. t--+m

Wenn X(t) persistent anregend ist, geht der Parameterfehler gegen null: lim @(t) = 0. t+-

Wenn X(t) nicht begrenzt ist, soll das Adaptionsgesetz (5.4.7) benutzt werden, um wie im Fall X(t) E rp” ein ähnliches Resultat für 4(t) zu erhalten. B)

Fehlermodell

2

Im Fehlermodell 2 kann das Fehlersignal nicht direkt, sondern durch ein dynamisches System gemessen werden (vgl. Bild 5-18). Es wird jedoch angenommen, dass alle Zustandsgrössen des dynamischen Systems messbar sind:

wo = A$lW+B,~7tW(t).

(5.4.9)

eine nq x nq asymptotische stabile Matrix, B, E R nq , und (AT, Bq) steuerbar ist. Das empfohlene Adaptionsgesetz ist:

wobei A,

wobei P E $Izq ’ nq eine symmetrische positiv-definite Matrix ist, so dass die

5.4 Stabiles FULMS-Verfahren

127

ACP + PA, = -Q < 0 erfüllt wird. Mit dem Lyapunov-Gleichung Kandidaten der Lyapunov-Funktion V(q, $) = qT(t)Pq(t) + $T(t)@(t) kann eine ähnliche Stabilitätsanalyse wie in A durchgeführt werden.

Bild 5- 18 Struktur des Fehlermodells 2

C) Fehlermodell

3

Im Fehlermodell 3 ist nur das Ausgangssignal des dynamischen Systems G(s) messbar, dessen Übertragungsfunktion SPR ist (vgl. Bild 5-19).

Bild 5- 19 Struktur des Fehlermodells 3

Die Fehlergleichung des Fehlermodells 3 lautet:

w =A$l(t> +qfww

(5.4.11)

e(t) = ql(t),

wobei

q(t)

E R”n und e(t) E K sind.

Das Adaptionsgesetz ist:

O(t)= -eT(t)X(t).

(5.4.12)

128

5 Adaptive aktive Schalldämpfung

Wird wie vorher die Lyapunov-Funktion

V(ep$1= J-hwt) +~7t)~(t)

(5.4.13)

gewählt, und wird berücksichtigt, dass die Übertragungsfunktion C, (sl - AT)-’ B, SPR ist, so kann mit Hilfe des Kalman-Yakubovich-Lemmas gezeigt werden, dass

e-l, 402 0

(5.4.14)

ist. Durch Anwendung von Barbalats Lemma können dann die gleiche Resultate wie in A erhalten werden. D)

Fehlermodell

4

Das Fehlermodell 4 hat die gleiche Struktur wie das Fehlermodell 3. Im Gegensatz zum Fehlermodell 3 wird hier angenommen, dass die Übertragungsfunktion des dynamischen SISO-Systems G(s) nicht mehr SPR ist. Dieser Fall tritt im aktiven Schalldämpfungssystem wegen einer Totzeit im Sekundärpfad auf. Deshalb entspricht das aktive Schalldämpfungssystem dem Fehlermodell 4. Um dieses Problem zu lösen, wird ein Erweiterungsfehler E eingeführt, so dass das neue System zum Fehlermodell 1 zurückgeführt wird. Die Fehlergleichung lautet wie im Fehlermodell 3:

e(t) = G(s)(W*

- W(t))‘X(t)

(5.4.15)

= G(s$(t)X(t).

Ein zusätzliches Fehlersignal wird definiert als:

eA = [W’(t)G(,s)

- G(s)Vf(t)]X(t).

(5.4.16)

5.4 Stabiles FULMS-Verfahren

129

Die Gl. (5.4.16) kann wie folgt umgeformt werden:

eA = [W’(t)G(s)

= hfWc(s)

- W*TG(s) + W*TG(s) - G(s)#(t)]X(t)

- W&t)lXW

(5.4.17)

+ W>,

wobei der Term 6(t) exponentiell gegen null konvergiert. Für die nachfolgenden Betrachtungen wird dieser Term vernachlässigt. Das Fehlersignal wird mit fehlersignal e(t) erweitert:

eA(t)

wie folgt zu einem neuen Erweiterungs-

E(t) = e(t>+ eA(t)

(5.4.18)

= &t)G(s)X(t). Mit der Einführung eines Signalvektors X’(t) der Dimension n w

X’(t) = WM0

,

(5.4.19)

wird das Erweiterungsfehlersignal (5.4.18) umgeschrieben als

E(t)

= cf(t)X’(t).

(5.4.20)

Dies entspricht dem Fehlermodell 1 (vgl. Gl. (5.4.5)) in A. Deshalb können die Resultate von A direkt benutzt werden. Das Adaptionsgesetz lautet in Analogie zum Fehlermodell 1

4(t) = -&(t)X’(t)

(5.4.21)

oder

OW =

- &(t)X’( t) 1 + Xq t)X’( t)’

wenn das Eingangssignal X(t) unbegrenzt ist.

(5.4.22)

5 Adaptive aktive Schalldämpfung

130

5.4.3 Stabiles FULMS-Verfahren Wenn wir die akustische Rückführung vernachlässigen, wird das System der adaptiven Schalldämpfung vereinfacht, wie es im Bild 5-20 dargestellt ist.

Ll

W

G21

d

9

M2

+

Ll

X

e

Ml

Bild 5-20 Reduziertes System (ohne akustische Rückführung) Das Fehlersignal e kann wie folgt beschrieben werden

(5.4.23)

e = G1,V,-G,,WG,,V, %l = G12

G12G2, -w

!

G21VN

= G,,( W* - w)x, wobei W* = G,,/G,,G,, als wahrer Gewichtungsvektor interpretiert wird. Vergleichen wir die GI. (5.4.23) mit der Gl. (5.4.15), und berücksichtigen wir, dass G,, nicht SPR ist, so können wir feststellen, dass das System der adaptiven Schalldämpfung im Bild 5-20 dem Fehlermodell 4 entspricht. Deshalb kann die Stabilität dieses adaptiven Systems mit dem FXLMS oder dem FULMS-Verfahren nicht garantiert werden. Für ein stabiles FULMS-Verfahren muss das Fehlersignal wie im letzten Unterkapitel erweitert werden:

&(rz) = e(n) + eA(n) = e(n) - W(n)G12(ze1)U(n)+ G&?)W(n)U(n).

(5.4.24)

5.4 Stabiles FULMS-Verfahren

131

Gemäss Gl. (5.4.21) lautet das Adaptionsgesetz: W(n+ 1) = W(n) + po>

u’(n),

(5.4.25)

wobei

U’(n) =

-1

G,,(z

>U(n).

(5.4.26)

Wenn man ein normalisiertes Adaptionsgesetz (5.4.22) benutzt, lautet der zeitvariable Verstärkungsfaktor der Adaption:

CL(n) =

a

(5.4.27)

1 + iI.F(n)U’(n)’

wobei a konstant ist. Das entspricht dem Resultat von Jiang et al. [49,50] und Shinohara et al. [88]. Andere Autoren (Bjarnason [6], Kirn et al. [52]) haben das obige Resultat auf einem anderen Weg erhalten. Sie gingen davon aus, dass die Annahme (5.2.4), d.h. ~,-~(i)

=w,(i),fürk

= 1,2, . . .. np

die Ursache für die schlechte Eigenschaft des LMS-Verfahrens darstellt. Deshalb haben sie auch ein zusätzliches Signal:

eA(n) =c c k=O nP -

812(k>wn(i)u(n

- i-k)

i=o na+nb

C

C

k=O

i=o

g12(k)wn_k(t)u(n-i-k),

eingeführt und ein Erweiterungsfehlersignal definiert:

(5.4.28)

132

5 Adaptive aktive Schalldämpfung

E(n) = e(n> + eA(n)-

(5.4.29)

Werden die Gleichungen (5.3.3) und (5.4.28) in Gl. (5.4.29) eingesetzt, kann das Erweiterungsfehlersignal wie folgt umgeschrieben werden: na+nb

ne

E(n) = d(n) - c

c

k=O

g12(k)wn(i)u(n

- i-k).

(5.4.30)

i=o

Das bedeutet, dass das Erweiterungsfehlersignal nicht mehr von den vorherigen Gewichtungsvektoren des Reglers w,, _ k( i), für k = 1,2, . . ., np , sondern nur noch vom momentanen Gewichtungsvektor wn( i) abhängt. Eine entsprechende Modifikation der Kostenfunktion:

5(n) =

(5.4.3 1)

E2(n)

und die Anwendung des FULMS-Verfahrens zur Bildung des Adaptionsgesetzes führt zum modifizierten FULMS-Verfahren:

nP W n+lCi>

=

w,(i)

+ pE(n)

C

g12(k)u(n

-

i - k).

(5.4.32)

k=O

Gemäss Stabilitätsanalyse im Unterkapitel (5.4.3) gehen das Erweiterungsfehlersignal und die Ableitung des Parameterfehlervektors gegen null hm

E(t)

= 0 und

it+-=

lim

t)(t)

= 0,

(5.4.33)

t-m

wenn X(t) E Lm ist. lim

4(t)

= 0 bedeutet, dass der Gewichtungsvektor des

t+--

Reglers gegen einen konstanten Vektor konvergiert, d.h. die Approximation wnmk(i) = w,(i),

, für k = 1, 2, . . .. np

5.4 Stabiles FULMS-Ve$ahren

133

wird erfüllt. Deshalb geht das Hilfssignal eA(n) gegen null (vgl. Gl. (5.4.28)) lim

t+m

eA(t)

= 0.

(5.4.34)

Aus den Gleichungen (5.4.29), (5.4.33) und (5.4.34) folgt unmittelbar, dass lim e(t) = 0.

t+c-

(5.4.35)

Hier soll darauf hingewiesen werden, dass das Erweiterungsfehlersignal in diesen zwei Methoden, die Gl. (5.4.24) und die Gl. (5.4.28), identisch sind. Die GI. (5.4.24) ist eine Vektor-Darstellung der GI. (5.4.28). Im Vergleich zum normalen FULMS-Verfahren hat das stabile FULMS-Verfahren höheren Rechenaufwand. Rupp [83] und Douglas [ 151 versuchten die Komplexität dieses Verfahrens zu reduzieren. Aber diese zwei Methoden sind nur erfolgreich, wenn die Ordnung des Sekundärpfades viel kleiner als die Ordnung des Reglers ist. Das obige Adaptionsverfahren ist im Fall unseres Kanals immer noch nicht langzeitig stabil. Die Ursache liegt darin, dass die Modellierungsfehler und die äusseren Störungen in der Auslegung des adaptiven Reglers noch nicht berücksichtigt werden. Im nächsten Unterkapitel werden wir ein robuststabiles FULMS-Verfahren vorstellen, das gegenüber solchen Einflüsse stabil ist.

134

5.5

5 Adaptive aktive Schalldämpfung

Robust-stabiles FULMS-Verfahren

Das stabile FULMS-Verfahren, das wir im Unterkapitel 5.4 diskutiert haben, kann für unsere akustische Strecke noch keine Langzeitstabilität bewirken. Andere Autoren berichteten jedoch bei der Anwendung dieser Methode von einem stabilen System (Jiang et al. [49, 501 und Shinohara et al. [88])). Da bei der Herleitung des stabilen FULMS-Verfahrens die Modellierungsfehler und die äusseren Störungen nicht berücksichtigt werden, kann die erwünschte Langzeitstabilität bei unserem Fall auf solche Effekte zurückgeführt werden. Für eine Robustheit gegenüber Modellierungsfehlern und äusseren Störungen werden im Unterkapitel 5.5.1 einige robuste Methoden (Narendra et al. [71]) vorgestellt. Diese Methoden weichen allerdings von den Methoden ab, die für ein Regelsystem mit festen Reglerparametern verwendet werden. Insbesondere ist es nicht denkbar, für ein adaptives Regelsystem die Optimierung einer H, oder Hm -Norm on-line durchzuführen. Für unser Experiment wird im Unterkapitel 5.5.2 ein robust-stabiles FULMS-Verfahren mit ‘Leaky’ vorgestellt. Die Resultate der Experimente und ein kurzer Kommentar werden im Unterkapitel 5.5.3 gegeben.

5.5.1 Robust-stabile Methoden Die Fehlergleichung mit äusserer Störung u(t) am Ausgang im Fehlermodell 1 kann wie folgt formuliert werden:

e(t) = qT(t)X(t)

+ v(t).

(5.5.1)

Tatsächlich können die Modellfehler oder die zeitliche Veränderung der Regelstrecke auch als äussere Störungen betrachtet werden (Narendra und Annaswamy [7 11). Der Modellierungsfehler des Sekundärpfades in aktiver Schalldämpfung kann ebenfalls in diese Form zurückgeführt werden, wie im Bild 5-21 illustriert wird.

135

5.5 Robust-stabiles FULMS-Verfahren

d

M2 X

Adaption 4 Bild 5-21 ANC-System mit dem Modellierungsfehler Das Fehlersignal im Bild 5-21 kann wie folgt formuliert werden:

e = G1,V,-&(l

= i;“[/;,l

= G,,(w*

(5.5.2)

+A)wG21vN

- w)G21

- W)X

v,

+

bAwG21V~

+ 2).

Hier kann v = &2AWG,, VN als eine äussere Störung betrachtet werden. Wird ein Erweiterungsfehlersignal wie im Unterkapitel 5.4.2 eingeführt, kann Gl. (5.5.2) in der gleichen Form wie die Gl. (5.5.1) dargestellt werden. Deshalb gilt die GI. (5.5.1) als eine allgemeine Gleichung zur Robustheitsanalyse des adaptiven Systems. Hier nehmen wir an, dass u(t) begrenzt ist, d.h. lwl

5 q) -

A)

Dead Zone

des Systems (vgl. Gl. (5.5.1)) Für das Adaptionsgesetz 4(t) = -e(t)X(t) wählen wir die Funktion V(q) = 41~/2 als Kandidatin der Lyapunov-Funktion, deren Ableitung entlang der Zustandstrajektorien des Systems:

136

5 Adaptive aktive Schalldämpfung

WN

= - e2(t) + V(t)e(t)

nur dann negativ-semidefinit ist, wenn die Ungleichung: lml

> y)

(5.5.3)

erfüllt ist. Eine der einfachsten robusten Methoden ist das Einführen einer ‘Nullpunktunempfindlichkeit’ (dead Zone), die auf Gl. (5.5.3) basiert. Dabei wird die Adaption eingestellt, sobald das Fehlersignal in die Unempfindlichkeitszone { /e(t)1 I u. } eintritt. Somit lautet das LMS-Verfahren mit ‘Nullpunktunempfindlichkeit’ : -e(t)X(t) o

OW =

B)

Die

wenn [e(t)1 > V. wenn Ie(t)1 I ‘uo.

(5.5.4)

IWI -Begrenzung

Wenn da1s Fehlersignal e(t) gegen null konvergiert, kann nicht daraus abgeleitet werden, dass der Parameterfehler Cp(t) ebenfalls gegen null konvergiert. Hingegen wenn der Parameterfehler q(t) divergiert, wird das Fehlersignal e(t) ebenfalls divergieren, was die Instabilität des adaptiven Systems bedeutet. Deshalb soll der Gewichtungsvektor des Reglers begrenzt werden. Wenn eine maximale Konstante W,,, für das stabile adaptive System bekannt ist, kann die folgende Modifikation, 1WI -Begrenzung (bound on 1WI ) genannt, benutzt werden:

OW= -

e(t)X(t)

+ W(t) ( 1 - ~)2fm

(5.5.5)

wobei 1

f(W)

=

I

0

wenn wenn

IwCt>l’ wma,

IW(r)l’ w,a,m

(5.5.6)

5.5 Robust-stabiles FULMS-Verfahren

137

C) Die y-Modifikation

Bei der Anwendung der Methoden A und B wird vorausgesetzt, dass die Informationen über die Störungen (Grenzwert ‘uo) und die Parameter des Reglers (maximal erlaubte Konstante W max) bekannt sind. Eine y-Modifikation beschränkt den Parametervektor W(t) , ohne dass eine solche Voraussetzung nötig ist. Das Adaptionsgesetz der y-Modifikation lautet:

4(t) = - dt>W) + YLWW,

(5.5.7)

wobei yL eine positive Konstante ist. Wir können die Gl. (5.5.7) als ein Resultat des ‘Leaky’-LMS-Verfahrens (vgl. Unterkapitel 5.1.3) mit der Kostenfunktion:

5(n)= e2(n> +r~w’(tww betrachten. D)

Die e -ModiJkation

Die y-Modifikation konvergiert nicht gegen das Minimum der Quadrate des Fehlersignals, sondern sie weist eine Abweichung (bias) auf. Eine e -Modifikation versucht, das Problem zu lösen, indem die Konstante yL durch den Absolutwert des Fehlersignals e ersetzt wird:

00)

= - e(t>X(t> + y,le(t)l

W(t),

(5.5.8)

wobei y, konstant ist. Wenn das Fehlersignal gegen null geht, verschwindet der korrigierende Term in der GI. (5.5.8).

138

5 Adaptive aktive Schalldämpfung

5.5.2 Robust-stabiles FULMS-Verfahren mit ‘Leaky’ Der Amplitudengang des Sekundärpfades weist für einige Frequenzen sehr kleine Werte auf, insbesondere wenn der Kanal lang ist. Das Bild 5-22 zeigt einen Amplitudengang des Sekundärpfades. Die grösseren Modellierungsfehler tauchen bei solchen Frequenzen auf, weil die gemessenen Signale bei diesen Frequenzen schwächer sind, d.h. das Signal-Rausch-Verhältnis bei diesen Frequenzen niedriger ist. Die Modellierungsfehler des Sekundärpfades könnten das adaptive System zur Instabilität führen (Saito et al. [84], Snyder et al. [93]). Ein idealer Regler ist eine Inversion des Sekundärpfades (vgl. Gl. (5.4.23)). Deshalb sollte der Regler genau bei diesen Frequenzen grössere Amplituden des Ausgangssignals aufweisen. Zum Vergleich ist ein Leistungsspektrum des Ausgangssignals des adaptiven Reglers mit dem FULMS-Verfahren auch im Bild 5-22 dargestellt. -10

-20

-30

I

! ( Amnlitudc

-40

-50 100

800

Frequenz [Hz] Bild 5-22 Amplitudengang des Sekundärpfades und Leistungsspektrum des Ausgangssignals mit einem adaptiven Regler Aus dem Bild 5-22 können wir feststellen, dass die Spitze des Leistungsspektrums des Ausgangssignals vom adaptiven Regler genau bei den Frequenzen auftreten, bei denen die Modellierungsfehler gross sind. Deshalb ist es sinnvoll, die Ausgangssignalamplitude des Reglers zu begrenzen. Die ‘Leaky’Modifikation erfüllt diese Anforderung, indem sie auf eine Dämpfung

139

5.5 Robust-stabiles FULMS-Verfahren

verzichtet, wenn die Werte der Übertragungsfunktion des Sekundärpfades bei solchen Frequenzen niedrig sind. Chen et al. [8] haben eine andere Massnahme verwendet. In ihrer Methode besteht der Regler aus einem adaptiven Filter und einem in Serie geschalteten Filter, das den Sekundärpfad invertiert. In der Simulation, ohne die Modellierungsfehler zu berücksichtigen, hat dieses Verfahren ein besseres Resultat erzielt. Es ist uns jedoch wichtiger in der Praxis, robust zu stabilisieren. Wie im Unterkapitel 5.1.3 vorgestellt wurde, wird die Kostenfunktion des robust-stabilen FULMS-Verfahrens mit ‘Leaky’ wie folgt definiert:

5(n)= E2(n) +YLJhWW7

(5.59)

wobei das Erweiterungsfehlersignal E(n) in der Gl. (5.4.24) definiert wird. Wird das LMS-Verfahren zur Minimierung der Kostenfunktion angewendet, so folgt das robust-stabile FULMS-Verfahren: W(n + 1) = VW(n) + p&(n)U’(n)

V=

(5.5.10)

l-Y,P

U’(n) = G,,(z-‘)

U(n) + GT12Y(n - 1).

E(n) = e(n) - WT(n)U’(n)

Wenn ein normalisiertes Adaptionsgesetz verwendet wird, lautet der zeitvariable Verstärkungsfaktor der Adaption: CL(n) =

a

(5.5.11)

1 + lf(n)U’(n)’

wobei a konstant ist.

5.53

Experimente und Resultate

Das robust-stabile FULMS-Verfahren erlaubt die Wahl eines grösseren Verstärkungsfaktors der Adaption. Das führt zu einer rascheren Konvergenzrate. In den Experimenten mit dem robust-stabilen FULMS-Verfahren wurden die

5 Adaptive aktive Schalldämpfung

140

gleichen Parameter na = 86, nb = 126 und yL = 2e-7 wie beim normalen FULMS (siehe das Unterkapitel 5.3.3) gewählt. Nur der Verstärkungsfaktor der Adaption aA = 0.02, aB = 0.01 wurden grösser gewählt. Das Resultat ist im Bild 5-23 dargestellt. Zum Vergleich ist das Resultat des normalen FULMS-Verfahrens ebenfalls im Bild 5-23 darstellt.

100

20

800

Frequenz [Hz] Bild 5-23 Resultate der Experimente Aus dem Bild 5-23 kann festgestellt werden, dass das Resultat mit dem robuststabilen FULMS-Verfahren im Vergleich zum normalen FULMS-Verfahren eine bessere Schalldämpfung aufweist. Der Grund ist, dass in diesem Fall offenbar der grössere Verstärkungsfaktor der Adaption zu einem KonvergenzPunkt rnit einem tiefen Wert der Kostenfunktion geführt hat. Das normale FULMS-Verfahren mit einem gleich grossen Verstärkungsfaktor der Adaption führt ebenfalls zu einem vergleichbar guten Resultat. Die Langzeitstabilität ist jedoch nicht gewährleistet, und das System wird nach ca. 2 Stunden instabil. Im Vergleich zum normalen FULMS-Verfahren weist das robust-stabile FULMS-Verfahren einen komplizierten Algorithmus auf. Dank modernem digitalem Signalprozessor kann trotzdem bei der Anwendung des robust-stabilen FULMS-Verfahrens eine Abtastperiode von 0.00018 Sekunden erreicht werden.

6

Abschliessende Bemerkungen

In der vorliegenden Arbeit wurde aktive Schalldämpfung (ANC, active noise control) im Kanal theoretisch und experimentell untersucht. Die Schwerpunkte der Untersuchungen liegen in der Systemidentifikation, dem robusten Reglerentwurf mit der H, -Methode und dem Entwurf adaptiver Regler. Die Methode der Systemidentifikation im Frequenzbereich kann im allgemeinen ein präzises Modell liefern. Sie stösst jedoch auf numerische Probleme, falls die Ordnung des zu identifizierenden Modells hoch ist und der Frequenzbereich eine grosse Bandbreite aufweist. In einem solchen Fall, der auch bei der Schallausbreitung im Kanal auftritt, wird üblicherweise der Frequenzbereich in mehrere Teilfrequenzbereiche unterteilt und in jedem Bereich ein Teilsystem des zu identifizierenden Gesamtsystems modelliert. Die neu vorgeschlagene Identifikationsprozedur teilt das Teilsystem eines Teilfrequenzbereiches zusätzlich in mehrere Teilsysteme auf. Das Resultat der Identifikation zeigt, dass diese erweiterte Identifikationsprozedur bei der Berechnung eine kleinere Konditionszahl aufweist und einen kleineren Wert der Kostenfunktion erzielt. Eine perfekte Schalldämpfung durch Steuerung setzt einen minimalphasigen Sekundärpfad voraus. Falls der Sekundärpfad nichtminimalphasig ist, muss das Modell des Primärpfades gezwungenermassen die selben Nullstellen mit positivem Realteil wie das des Sekundärpfades besitzen, damit der für die Schalldämpfung verantwortliche Teil des Sekundärpfades minimalphasig ist. Das garantiert eine aktive Schalldämpfung ohne Resonanzüberhöhung. Das Problem der in ANC häufig angewendeten Adaptionsverfahren, z.B. FXLMS- und FULMS-Verfahren, liegt in der langsamen Konvergenzrate. Das stabile FULMS-Verfahren führt ein Erweiterungsfehlersignal ein, um eine

142

6 Abschliessende Bemerkungen

schnellere Konvergenz zu ermöglichen. Diese Methode berücksichtigt aber die Modellierungsfehler des Sekundärpfades nicht, so dass sie in unserem Versuch zur Instabilität führte. Daher wurde ein neues robust-stabiles FULMS-Verfahren, das stabile FULMS-Verfahren mit ‘Leaky’, hergeleitet und erprobt. Das Resultat der Experimente hat gezeigt, dass dieses Verfahren im Vergleich zum normalen FULMS-Verfahren einen zehnmal grösseren Verstärkungsfaktor der Adaption verwenden darf, ohne dass das adaptive Regelsystem instabil wird. Im Vergleich zur adaptiven Regelung kann bereits mit einer nicht-adaptiven Regelung, die als Vorteil keine Adaptionszeit aufweist, eine gute Schalldämpfung erreicht werden. Das totzeitbehaftete System schränkt aber die Bandbreite der Regelung wesentlich ein, so dass keine starke Dämpfungsfähigkeit mit der nicht-adaptiven Regelung allein erzielt werden kann. In einer mit der Hm -Methode kombiniert ausgelegten Steuerung und Regelung (2 DOF) spielt der Steuerungsteil eine wesentliche Rolle. Der Steuerungsteil ist jedoch nicht robust und hängt sehr stark von Modellierungsfehlern ab. Aber bei unveränderten Positionen der Rauschenquelle, der Mikrophone und des Aktuators (Sekundär-Lautsprecher) können Druck- und Temperaturschwankungen im Raum die Eigenschaft dieses Kornpensators nicht stark beeinflussen. Die adaptive Regelung in ANC misst das Lärmsignal beim Referenzmikrophon (Feedforward-Charakter) und modifiziert die Parameter des Reglers zur Minimierung des Fehlersignals aus dem Fehlermikrophon. Sie besitzt eine höhere Schalldämpfungsfähigkeit als die nicht-adaptive, mit der Hm -Methode entworfene Steuerung und/oder Regelung. Deshalb spielt die adaptive Regelung in ANC eine dominante Rolle. Zur Zeit wird der Sekundärpfad in der adaptiven Regelung noch off-line identifiziert. Für ein zeitvariables System ist es notwendig, eine on-line Identifikation des Sekundärpfades durchzuführen. Ausserdem ist der Algorithmus des robust-stabilen FULMS-Verfahrens viel komplizierter als der des normalen FULMS-Verfahrens. Um dieses Verfahren in mehrkanalige ANC-Systeme zu implernentieren, sollten Vereinfachurigen dieses Verfahrens untersucht werden.

Anhang A.l

Ein Beispiel: C-Programm für den Hostcomputer

Der Grossteil des folgenden C-Programms für den Hostcomputer in der 2. Betriebsart von ‘dSPACE’ betrifft die Definition und Deklaration der Variablen und Funktionen. In der ‘main()‘-Funktion wird die Funktion ‘mdlInit()’ aufgerufen, um die Variablen, die in den Assembler-Programmen definiert werden, zu initialisieren. Nach der Einschaltung der Interrupt von den ‘TimerO’ und der Zuweisung der Abtastperiode tritt die ‘main()‘-Funktion in die While-Schleife ein, in welcher die ‘Cockpit-Tool’ immer aufgerufen wird, solange kein Fehler im System entsteht. In jeder Abtastperiode wird das Interrupt-Service-Programm ‘isr-tO()’ aufgerufen, in dem entweder eine Identifikationsfunktion ‘offlinido oder eine Funktion des adaptiven Reglers ‘gsfulms()’ aufgerufen wird, die in Assembler geschrieben wurden. Die Identifikationsfunktion ‘offlinid()’ wird nur aufgerufen, wenn der Sekundärpfad noch nicht modelliert wird. /*dgsfulms.c *******************************************~******~*~******** ANC C-program for the DS 1003 processor board and DS2201 multi-I/O board Adaptive algorithm is called the ‘gsfulms()’ (Guaranteed stable FULMS). The secondary path is modeled by the ‘offlinid()’ 5.2.98 M. Zhang ***********************************************~*******~****************/ #include cstddef.h> #include /* basic real-time environment */ #define BLOCKSIZE 128 /* Define the global variables */ int ORDn = int ORDd = float MUn = float MUd = float ALPHA float SMUn;

86; 126; 0.02; 0.01; = 1.0;

int ONnorm =O; float Leakya, Leakyb, gamma =2e-5;

/* /* /* /*

Order of the numerator of the IIR filter */ Order of the denominator of the IIR filter */ update step size for the numerator */ update Step size for the denominator */

/* update step size normalized by SMUn = ALPHA/ORDn */ /* if 1, normalize */ /* leaky factors, if gamma is 0, without leaky */

144

Anhang

float DT = 0.00018; #define BoardBase OxAO #define TMRO 0

/* define the Sample period */ /* define the ds 1003 board */ /* define the Start time */

/* Define the global variables of the secondary path and A/D */ float G4FIR[BLOCKSIZE]; int G4FIRo=126; float u[2], y, exec-time; unsigned long count0 = 0;

/* /* /* /*

G4FIR: the secondary path, an FIR filter */ define the Order of the FIR filter */ two inputs, one output */ initialize the time counter */

/* Define the global variables of the switches of the Simulation */ int OffLineId = 1; int dspswitch =l; int ContrOn; float Dzone = 2e-4;

/* /* /* /*

if 0, without the identification */ if 0, without the control */ if 0, without the control and update */ Boundaries of the ‘Dead Zone’ */

/* The error flag for CHECK */ volatile int *error =(int *)(DP-MEMBASE

+ DPMEM-SIZE

- 1);

/* Declare the external functions and variables in Assembler */ extern void gsfulms(); extern void offlinid(); extern float *vartab[];

/* the adaptive Controller */ /* off-line modeling */ /* the array of the Pointers to the on-chipRAM “1 /* the array of the Pointers to the on-chipRAM for ID */

extern float *vartabid[]; float *vartab-p, *vartabid-p; /* Function:

mdlInit()

=================================================

* Initialize the global variables of the Parameter -__---------------------------------------------------------___---_-----------------------------------------------------static void mdlInit() int j, 1, nl=BLOCKSIZE; /* Initialize the Parameter of the off-line modeling */ for (j=O; jcnl; ++j) GLCFIRl-j]=O.O; for(l=O; lc2; ++l){ vartabid-p=vartabid[l]; for (j=O; jR7 * ---------------------------------------------------------------------------------------------------------* LD1 @-G4FIRo, IR0 ; n to IR0 LD1 IRO, BK ;BK=n LD1 @Afinputu, AR1 ; AR1 Point to the top of the ‘finputu’ array STF R4, *ARl++% ; store u in the array and Point to its top ST1 ARl, @Afinputu ; store the pointer of the new top SUBI LD1 LDF LDF RPTS MPYF3 ADDF3 ADDF LDF

1, IR0 @AG4FIR, AR0 0.0, RO 0.0, R2 IR0 *ARO++, *ARI++%, RO, R2, R2 RO, R2 R2, R7

;n-1 toIR0 ; AR0 Point to the top of G4FIR ; initialize RO ; initialize R2 ; repeat the next instruction ‘n’ times RO ; multiply and accumulate ; last product accumulated

Anhang

154

*

LD1 BZ

@-ONnorm, RO NOnorm

; check the switch of Norm ; If 0, jump to NOnorm

* * compute reference Signal power * * PAX(n) = (1 - beta) * PAx(n- 1) + beta * x(n) * x(n) *_______________________________________-------------------------------------------------------------------* @POWER,RO ; PAx(n-1) -> RO LDF ; (1 - beta) -> R3 LDF @MBETA,R3 R3 ,RO ; (1 - beta) * PAx(n- 1) -> RO MPYF ; x(n) * x(n) -> Rl MPYF3 R4,R4,Rl @BETA,R2 ; beta -> R2 LDF R2,Rl ; beta * x(n) * x(n) -> Rl MPYF ADDF Rl,RO ;RO+Rl->RO RO,@POWER ; RO -> PAX(n) STF *_______________________________________-------------------------------------------------------------------* * * Invert PAX(n) ----- Reciprocal Algorithm * * (Adapted from the TMS320C40 User’s Guide, 1996, p. 5-35) *_______________________________________-------------------------------------------------------------------* RO, Rl ; RO = V, Rl=XO; INVERSE RCPF MPYF Rl, RO, R2 SUBRF 2.0, R2 MPYF R2, Rl ; end the first iteration (16-bits) * MPYF Rl, RO, R2 SUBRF 2.0, R2 MPYF R2, Rl ; end the second iteration (32-bits) * ; Rl = l/v CMPF @HIEST, Rl ; compare l/PAx with l/Pmin ENORM BN ; if l/PAx < l/Pmin, branch to ENORM LDF @HIEST, Rl ; if l/P”x > l/Pmin, RO = l/Pmin * *k_-----_--______-__----------------------------------------------------------------------------------------* * * Compute the update step size * * mu(n) = (alpha/L) / max[PAx(n), Pmin] *----------------------------------------------------------------------------------------------------------* ENORM LDF @-SMUn, RO ; alpha/L -> RO MPYF Rl, RO ; RO / max[P”x(n), Pmin] STF RO, @-MUn *----------------------------------------------------------------------------------------------------------* * * read the error Signal e *-----__________________________________-------------------------------------------------------------------* NOnorm LD1 1, RO ; ADC channel 1 PUSH RO ; the first argument of the function PUSH Rll ; push the Board-base into Stack CALL -ds220 1ad ; read A/D SUBI 2, SP ; restore

A.3 Ein Assembler-Programm: FULMS-Algorithmus

155

; store the input RO, @u STF LDF RO, R6 5 * ________________________________________---------------------------------------------------*------* * update the new thetaN * * thetaNnew[i] = v * thetaN[i] + mun*finputu[i]*e * ________________________________________------------------------------------------------*--------;BK=nn @-ORDn, BK LD1 Updats BK, IR1 LD1 1, IR1 SUBI ; AR0 Point to the top of the ‘thetaN’ @AthetaN, AR0 LD1 ; R3= MUn LDF @-MUn, R3 ; AR2 Point to the top of the ‘ffinputu’. @Affinputu, AR2 LD1 * ; store the new value and Point to its top R7, *AR2++% STF ; store the new top ST1 AR2, @Affinputu * ; Rl=mu*e MPYF3 R6, R3, Rl @Leakya, R3 LDF ;RC=nn-1 LD1 IRl, RC ; repeat the next block ‘nn’ times LOOP5 RPTB MPYF3 *ARO, R3, R2 MPYF3 *AR2++%, Rl, RO ; RO=(mu*e) * finputu[i], R2 =theta + Rl ADDF RO, R2 ; store the new thetaN and Point to the next value STF R2, *ARO++ LOOP5 *--____________--_-----------------------------------------------------------------------------------------* * * update the new thetaD * * thetaDnew[i] = v * thetaD[i] + mud*foutu[i]*e LD1 LD1 SUBI LD1

@-ORDd, BK BK, IR1 1, IR1 @AthetaD, AR0

;BK=nd

LD1 LDF

@Affoutu, AR2 @-Mud, R3

; AR2 Point to the top of the ‘ffoutu’. ; R3= MUd

MPYF3 LDF LD1 RPTB MPYF3 MPYF3 ADDF STF

R6, R3, Rl ; Rl=mu*e @Leakyb, R3 ; RC = nd-l IRl, RC LOOP6 ; repeat the next block ‘nd’ times “ARO, R3, R2 *AR2++%, Rl, RO RO, R2 ; RO=(mu*e) * foutu[i], R2 =theta + Rl R2, *ARO++ ; save the new thetaD and Point to the next value @Affoutu, AR2 ; AR2 Point to the top of the ‘ffoutu’ . R8, *AR2++% ; store the new value and Point to its top

; AR0 Point to the top of the ‘thetaD’

*

LOOP6

LD1 STF

156

Anhang

; store the new top AR2, @Affoutu ST1 *_____________________-_-------------------------------------------------------------------------------------* * * * * Restore *_______________________________________-------------------------------------------------------------------* POP R4 POP R5 POP RS POPF R6 POPF R7 POP FP RETS

157

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Lebenslauf Mengbin Zham” 26.2.1962

geboren in Tianshui, Provinz Ganshu V. R. China. Sohn der Yongshu geb. Zhang und des Jinwen

1969-1974

Grundschule in Tianshui.

1974-1982

Mittelschule in Tianshui.

1978-1982

Diplomstudium am Shaanxi Institut für Maschinenbau. Fachrichtung: Messgeräte und Messtechnik.

1982-1985

Magisterstudium von Messgeräten und Messtechnik am Beijing Institut für Postgraduierte am Shaanxi Institut für Maschinenbau.

1985-1988

Assistent am Beijing Institut für Maschinenbau in China. Forschungsgebiete: Messtechnik und Messgeräte.

1988-1992

Dozent an der gleichen Hochschule

1992-1994

ausserordentlicher Professor an der gleichen Hochschule.

1994-1995

akademischer Gast am Institut für Mess- und Regeltechnik der ETH Zürich bei Herrn Prof. H. P. Geering.

11. 95-2.99

Mitarbeiter und Doktorand am Institut für Mess- und Regeltechnik Doktorarbeit: Aktive Schalldämpfung.