9.4 Stewart - SEL - Fracciones Parciales PDF [PDF]

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10.7 F RACCIONES PARCIALES Factores lineales distintos  Factores lineales repetidos  Factores cuadráticos irreductibles  Factores cuadráticos irreductibles repetidos Para escribir una suma o diferencia de expresiones fraccionarias como una sola fracción, buscamos un común denominador. Por ejemplo,

Común denominador 1

1 x

1

2x

1

2x2

3x x

Fracciones parciales

1

1 x

12x 1x

1 1

2x

1

12 1x 12 12 12x 12

3x x

2x2

1

Pero, para algunas aplicaciones de álgebra para cálculo debemos invertir este proceso, es decir, debemos expresar una fracción como 3x/12x2  x  12 como la suma de las fracciones más sencillas 1/1x  12 y 1/12x  12. Estas fracciones más sencillas reciben el nombre de fracciones parciales; en esta sección aprendemos cómo hallarlas. Sea r la fracción racional

P1x 2 Q1x2

r1x2

donde el grado de P es menor que el de Q. Por el Teorema de Factores Lineales y Cuadráticos de la Sección 3.6, todo polinomio con coeficientes reales se puede factorizar completamente en factores cuadráticos lineales e irreductibles, es decir, factores de la forma axb y ax2 bx  c, donde a, b y c son números reales. Por ejemplo,

x4

1x2

1

12 1x2

1x

12

12 1x

12 1x2

12

Después de haber factorizado completamente r del denominador Q, podemos expresar r1x2 como una suma de fracciones parciales de la forma

A 1ax

b2

Ax

y

i

1ax

2

B bx

c2 j

Esta suma se llama descomposición de fracción parcial de r. Examinemos los detalles de cuatro posibles casos.

W Factores lineales distintos Primero consideramos el caso en el que el denominador se factoriza en factores lineales distintos.

CASO 1: EL DENOMINADOR ES UN PRODUCTO DE FACTORES LINEALES DISTINTOS Suponga que podemos factorizar Q1x2 como Q1x2

1a1x

b2 2 # # # 1anx

b1 2 1a2x

bn 2

sin ningún factor repetido. En este caso la descomposición en fracción parcial de P1x2 /Q1x2 toma la forma P1x2 Q1x2

A2

A a1x

b1

a2x

b2

p

An anx

bn

694

C A P Í T U LO 1 0

| Sistemas de ecuaciones y desigualdades Las constantes A1, A2, . . . , An se determinan como en el siguiente ejemplo.

El papiro de Rhind es el documento matemático más antiguo. Es un rollo egipcio escrito en 1650 a.C. por el escriba Ahmes, que explica que es una copia exacta de un rollo escrito 200 años antes. Ahmes dice que su papiro contiene “un estudio completo de todas las cosas, idea de todo lo que existe, conocimiento de todos los oscuros secretos”. En realidad, el documento contiene reglas aritméticas que incluyen multiplicación y división de fracciones y varios ejercicios con soluciones. El ejercicio mostrado aquí dice: “Un montón y su séptimo hacen 19; ¿qué tan grande es el montón?” Para resolver problemas de este tipo, los egipcios usaban fracciones parciales porque su sistema numérico requería que todas las fracciones se escribieran como sumas de recíprocos de números enteros. 7 Por ejemplo, 12 se escribiría como 1 1 . 3 4 El papiro da una fórmula correcta para el volumen de una pirámide truncada, que los antiguos egipcios usaban cuando construyeron las pirámides de Giza. También da la fórmula A A 89 dB 2 para el área de un círculo con diámetro d. ¿Qué tan cercano es esto al área real?

E J E M P LO 1

Factores lineales distintos

Encuentre la descomposición en fracciones parciales de

5x 2x2

3

x El denominador se factoriza como sigue.

S O LU C I Ó N

x3

2x2

x

x2 1x

2

1x

22

1x

12 1x

1x2

22

12 1x

7 x

.

2

12 1x

22

22

Esto nos da la descomposición en fracciones parciales 5x 7 A B 3 2 x 1 x 1 x 2x x 2

C x

2

Multiplicando cada lado por el común denominador, 1x  12 1x 12 1x  22, obtenemos

5x

7

12 1x

A1x A1x 1A

2

22

3x B

12 1x

B1x

22

B1x

C2x 2

13A

2

x

22 22

C1x

12A

B2x

12 1x

C1x 2

12

12 Expanda

2B

C2 Combine términos semejantes

Si dos polinomios son iguales, entonces sus coeficientes son iguales. Así, como 5x  7 no tiene término en x2, tenemos A  B  C  0. Del mismo modo, comparando los coeficientes de x vemos que 3A  B  5, y al comparar términos constantes obtenemos 2A  2B  C  7. Esto lleva al siguiente sistema de ecuaciones lineales para A, B y C.

A c3A 2A

B B 2B

C

Ecuación 1: Coeficientes de x 2

0 5 7

C

Ecuación 2: Coeficientes de x Ecuación 3: Coeficientes constantes

Usamos eliminación de Gauss para resolver este sistema.

A cA A

2B 2B 4B

C 3C 3C

A cA A

2B 2B 2B

3C 3C 3C

0 5 7

Ecuación 2 + (–3) × Ecuación 1 Ecuación 3 + (–2) × Ecuación 1

0 5 3

Ecuación 3 + (–2) × Ecuación 2

De la tercera ecuación obtenemos C  1. Sustituyendo a la inversa, encontramos que B  1 y A  2. Entonces, la descomposición en fracción parcial es 3

x

5x 2x2

7 x

2 2

x

1 1

x

AHORA INTENTE HACER LOS EJERCICIOS 3 Y 13

1 1

x

2 Q

El mismo método funciona en los casos restantes. Establecemos descomposición en fracciones parciales con las constantes desconocidas A, B, C…. Entonces multiplicamos cada lado de la ecuación resultante por el común denominador, simplificamos el lado derecho de la ecuación e igualamos coeficientes. Esto da un conjunto de ecuaciones lineales que siempre tendrán una solución única (siempre que la descomposición en fracciones parciales se haya establecido correctamente).

W Factores lineales repetidos A continuación consideramos el caso en el que el denominador se factoriza en factores lineales, algunos de los cuales son repetidos.

| Fracciones parciales 695

S E C C I Ó N 10.7

CASO 2: EL DENOMINADOR ES UN PRODUCTO DE FACTORES LINEALES, ALGUNOS DE LOS CUALES SON REPETIDOS Suponga que la factorización completa de Q1x2 contiene el factor lineal ax + b repetido k veces; esto es, Óax + bÔk es un factor de Q1x2. Entonces, correspondiendo a cada factor, la descomposición en fracciones parciales para P1x)/Q1x2 contiene A1 ax

E J E M P LO 2

A2 1ax

b

b2

Ak

p

2

1ax

b2 k

Factores lineales repetidos

x2 1 . x1x 12 3 S O LU C I Ó N Como el factor x  1 está repetido tres veces en el denominador, la descomposición en fracciones parciales tiene la forma Encuentre la descomposición en fracciones parciales de

x2 x 1x

1 12 3

A x

B x

C 1x

1

D 12

1x

2

12 3

Multiplicando cada lado por el común denominador, x1x  123, da

x2

1

A1x 3

A1x 1A

12 3

Bx1x 2

3x

B2x3

3x 1 3A

12 2

Cx1x 3

12

B1x 2B

12 2

2x

Dx

13A

C2x2

C1x2

x2 B

x2

C

Dx Expanda

D2x

A Combine términos semejantes

Igualando coeficientes, obtenemos las siguientes ecuaciones.

A 3A d 3A A

B 2B B

C C

D

Coeficientes de x3

0 1 0 1

Coeficientes de x2 Coeficientes de x Coeficientes constantes

Si reacomodamos estas ecuaciones al poner la última en la primera posición, fácilmente podemos ver (usando sustitución) que la solución del sistema es A  1, B  1, C  0, D  2, de modo que la descomposición en fracciones parciales es

x2 x1x

1 12 3

1 x

1 x

2 1

1x

12 3

AHORA INTENTE HACER LOS EJERCICIOS 5 Y 29

Q

W Factores cuadráticos irreductibles Ahora consideramos el caso en el que el denominador tiene factores cuadráticos irreductibles distintos.

CASO 3: EL DENOMINADOR TIENE FACTORES CUADRÁTICOS IRREDUCIBLES, NINGUNO DE LOS CUALES ESTÁ REPETIDO Suponga que la factorización completa de Q1x2 contiene el factor cuadrático ax 2 bx c (que no se puede factorizar más). Entonces, en correspondencia con esto, la descomposición en fracciones parciales de P1x2/Q1x 2 tendrá un término de la forma Ax B 2 ax bx c

696

C A P Í T U LO 1 0

| Sistemas de ecuaciones y desigualdades

E J E M P LO 3

Factores cuadráticos distintos

Encuentre la descomposición en fracciones parciales de S O LU C I Ó N

2x2 x 4 . x3 4x

Como x3  4x  x1x2  42, que no se puede factorizar más, escribimos

2x2 x 4 x3 4x

A x

Bx x2

C 4

Multiplicando por x1x2  42, obtenemos

2x 2

x

42

1Bx

C2x

B2x 2

Cx

4A

A1x 2

4

1A

Igualando coeficientes tendremos las ecuaciones

A B cA C A 4A

Coeficientes de x2

2 1 4

Coeficientes de x Coeficientes constantes

entonces A  1, B  1 y C  1. La descomposición en fracciones parciales es

2x2 x 4 x3 4x

1 x

x x2

1 4 Q

AHORA INTENTE HACER LOS EJERCICIOS 7 Y 37

W Factores cuadráticos irreductibles repetidos A continuación consideramos el caso en el que el denominador tiene factores cuadráticos irreductibles, algunos de los cuales están repetidos.

CASO 4: EL DENOMINADOR TIENE UN FACTOR CUADRÁTICO IRREDUCTIBLE REPETIDO Suponga que la factorización completa de QÓxÔ contiene el factor Óax 2 bx cÔk, 2 donde ax bx c no se pueden factorizar más. Entonces la descomposición en fracciones parciales de P1x 2/Q1x2 tendrá los términos A1x B1 ax 2 bx c

E J E M P LO 4

A2 x B2 Óax 2 bx cÔ2

p

Ak x Bk Óax 2 bx cÔk

Factores cuadráticos repetidos

Escriba la forma de la descomposición en fracciones parciales de

x 5 3x 2 12x x 3Óx 2 x 1ÔÓx 2

1 2Ô3

S O LU C I Ó N

x 5 3x 2 12x x Óx 2 x 1ÔÓx 2 3

A x

1 2Ô3 B x2

C x3

Dx x

2

E x

1

Fx x2

AHORA INTENTE HACER LOS EJERCICIOS 11 Y 41

G 2

Hx I Óx 2 2Ô2

Jx Óx 2

K 2Ô3 Q

| Fracciones parciales 697

S E C C I Ó N 10.7

Para hallar los valores de A, B, C, D, E, F, G, H, I, J y K en el Ejemplo 4, tendríamos que resolver un sistema de 11 ecuaciones lineales. Aun cuando es posible, esto ciertamente requeriría de una gran cantidad de trabajo. Las técnicas que hemos descrito en esta sección aplican sólo a funciones racionales P1x2/ Q1x2 en las que el grado de P es menor que el grado de Q. Si éste no es el caso, primero debemos usar división larga para dividir Q en P.

E J E M P LO 5

Uso de división larga para preparar para fracciones parciales

Encuentre la descomposición en fracciones parciales de

2x4

x3

2x 2

x 2

7

S O LU C I Ó N Como el grado del numerador es mayor que el grado del denominador, usamos división larga para obtener

2x 2 2x 4 2x 4

x

4x3 2x2 x3 2x2 x

4x 3 4x 3

2x 2 2x 2

x 4x

7

5x

7

2x4

4x3 2x2 x3 2x2 x

x 2

7

2x

3

x

5x 2x2

7 x

2

El término restante ahora satisface el requisito de que el grado del numerador sea menor que el grado del denominador. En este punto proseguimos como en el Ejemplo 1 para obtener la descomposición

2x4

4x3 2x2 x 2x2 x

x 2

3

7

2

2x

x

1 1

x

1 1

x

2 Q

AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 43

10.7 EJERCICIOS CO N C E P TO S

HABILIDADES

1-2 Q Para cada función racional r, escoja de 1i2-1iv2 la forma apropiada para su descomposición en fracciones parciales.

3-12 Q Escriba la forma de la descomposición en fracciones parciales de la función (como en el Ejemplo 4). No determine los valores numéricos de los coeficientes.

4

1. r1x2 ii(i)

A x

2. r1x 2

i(ii) (iii) (iv)

3.

B x

(ii)

2 B

A (iii) x

ii(i)

222

x1x

x

C 1x

2

1 A

x

1

x2

Ax x

1x

22 B

x

2

2

2

Cx D 1x 22 2

x 3x 1x 22 2 1x

5 42

7.

x2 32 1x2

42

B 1

x

1x

11.

C 4

x3 4x2 1x2 12 1x2

Cx x2

x2 D 4

5.

8.

2 22

x3 x 52 3 1x2

10.

1 2x

52 2

12.

x 3x

2

x

4

1 x4

x3 1

x4

1

x4 x2 1 x2 1x2 42 2 1x3

1 12 1x2

12

13-44 Q Encuentre la descomposición en fracciones parciales de la función racional.

C 2

x12x

4.

22

5.

9.

B 1

1x

4

Bx x2

A x

222

B

B

A x

A (iv) x

2x 8 1 2 1x2 4 2

1x

A x

1 12 1x

4 13.

1x

2 12 1x

12

14.

1x

2x 12 1x

12

698

15. 17. 19. 21. 23. 25.

C A P Í T U LO 1 0 5 1 2 1x

1x x

9 4

x2 x2

14 2x 8

8x2

x 10x

x

9x2 2

2x

x

6 8x

4x x4

x x2

26.

4

28.

2x 12x

2

18.

24.

3

1 x2

4x2

x x1x

30.

9

x 2 2x3

32.

2x

35.

3 3x

x x3

39.

2x3 1x x

41.

2

x4

34.

22x2 53x 41 1x 2 2 2 1x 3 2 2

37.

1

x2

7x 5 2 2 1x2 1 2 1

x5

2x4 x3 x 5 x 2x2 x 2 3

x5

3x4 3x3 4x2 4x 1x 22 2 1x2 22

2

ax x2

3 x

ax3 1x2

3x2 3x 27 2 2 12x2 3x 9 2

1x

2

13x

5x 13 2 2 1x2 4x 4 2

x 12x

4 522

3

2

3x

x

2x

3

x 2x 2x3

3x2 3

x

A x

B 1

x

1

(c ) 5x 2x

12x 8x2

1 1

20 16

2x 8 x 2x 2 2

40.

x2 2x4

42.

2x2 x 8 1x2 4 2 2

x 1 3x2 1

Ax x2 Q

B 1

Cx 1x2

D 12 2

DISCUSIÓN

Q

REDACCIÓN

47. Reconocimiento de descomposiciones en fracciones parciales Para cada expresión, determine si ya es una descomposición en fracciones parciales o si puede descomponerse más.

(a) 4x

bx2 12 2

DESCUBRIMIENTO

x 2

x

4

x4

b 1

46. Determine A, B, C y D en términos de a y b.

7x 3 2x2 3x

x3

12

45. Determine A y B en términos de a y b.

x

3x2 36. 4 x 38.

x3 x2 x x1x2 1 2 2

44.

2

10x 27x 14 1x 1 2 3 1x 2 2 3x3

43.

12 4x

2

33.

6 32

8x 22. 2 2x

9x

3

16.

20.

4

x 27. 3 x

31.

42

12 2

2

29.

| Sistemas de ecuaciones y desigualdades

1 x

1 1

x

2 1x

1

12

x

(b)

1 2

1x x 1x2

(d)

12 2 2 12 2

48. Ensamble y desensamble de fracciones parciales La siguiente expresión es una descomposición en fracciones parciales

2 x

1 1

1x

1 12 2

x

1

Use un común denominador para combinar los términos en una fracción. A continuación, use las técnicas de esta sección para hallar su descomposición en fracciones parciales. ¿Obtuvo usted de nuevo la expresión original?