1er S (Réparé) [PDF]

Zitiervorschau

Les Mathématiques

en

1

er

S

+125 EXERCICES

Par: Mamadou Macky THIAM Un jeune étudiant en licence2 MPI (Maths Physique et Informatique) à l’UCAD qui a passé son cycle primaire à l’école Sara thilor Bessane (école 4) où il obtiendra son CFEE en 2003 avant d’intégrer le lycée Maba Diakhou Ba et y décrocher son BFEM en 2007 et enfin son BAC S2 en 2010. 2011 - 2012

Les annales THIAM

Mathématiques 1er S2 1

Sommaire

Chapitres

Pages

1) 2) 3)

Polynômes Equations, Inéquations et Systèmes Applications, Généralités sur les fonctions numériques 4) Limites et Continuité 5) Dérivations 6) Etudes de fonctions 7) Suites Numériques 8) Barycentre 9) Produit Scalaire 10) Trigonométrie 11) Géométrie dans l’espace

3à6 7à 9 10 à 14 15 à 18 19 à 21 22 à 27 28 à 30 31 à 33 34 à 36 37 à 38 39

Remerciements :  Dieu le tout puissant et son prophète Mahomet (psl)  Mes parents, frères et sœurs, ami(e)s,….  Le proviseur, le censeur, les surveillants, les professeurs ainsi que tous les élèves du LMDB (Lycée Maba Diakhou BA) Pour vos commentaires et suggestions : [email protected]

La réflexion dans la concentration facilite la résolution du problème. Les annales THIAM

Mathématiques 1er S2 2

1) POLYNOMES Exercice 1 1) Soit P(x) = a

. Supposons que

.

Calculer a, b et c 2) Déterminer le polynôme f(x) du troisième degré tels que : f (-1) = 8 , f(0) = 2 , f(1) = 0 et f(2) = 8 Exercice 2 x2

1 ) Développer, réduire et ordonner : P( x)

Q( x)

1 x

2

x 1

2

1 x 2 2 x 1 et

3

1 x . Préciser le degré de P(x) et Q(x) , ainsi que leur coefficient de

2 x

leur monôme de degré 4. 2) On considère les fonctions polynômes A

x 2 5 x 2 et B

x 2 5 x 1.

Calculer les produits A 2 , B 2 , AB . Pouvait- on prévoir une relation simple entre ces trois Polynômes ? 3) Trouver la somme des coefficients de la fonction polynôme f ( x)

5x 2

5x 2

2

4x 2

3x 2

5

Exercice 3 Soit le polynôme P défini par P(x)= 2x 3

4x 2 18x 36

1) Montrer que P est factorisable par (x+2) 2) Donner une factorisation de P : a) Par la méthode de la division euclidienne b) Par la méthode de H rner 3) Résoudre dans ℝ P(x) = 0 puis P(x) < 0 Exercice 4 Soit g(x) = x3 – 7x + 6. 1) Calculer g(-3) puis factoriser g(x) 2) On pose k(x) =

. Donner le domaine de définition de k(x).

3) Résoudre K(x) = 0 puis K(x) Exercice 5 Soit le polynôme P(x) défini par : P( x)

x3

3x 2

x 2

a) Calculer P(2) puis conclure Les annales THIAM

Mathématiques 1er S2 3

b) Montrer que P(x) peut s’écrire sous la forme P x

x 2 ax 2

bx c , où a, b, et c sont des

réels à déterminer. c) Effectuer la division euclidienne de P(x) par x 2 pour tout x

2

d) En déduire les solutions de l’équation P(x) = 0. Exercice 6 Soit f le polynôme défini par : f(x) = x 4 2 x 3 16x 2

2 x 15 .

1) a) Montrer que (-1) est une racine de f (x). b) Trouver le polynôme Q(x) de degré 3 tel que : f(x) = (x + 1) Q(x). c) Factoriser Q(x) en produit de facteurs du 1er degré. d) En déduire une factorisation complète de f(x).

P( x) . x 5x 6

2) Soit F la fraction rationnelle définie par F(x) =

2

a) Déterminer l’ensemble de définition DF de F. b) Simplifier dans DF, F(x). c) Résoudre dans IR F(x) < 0. Exercice 7 Soit P le polynôme défini par : P ( x ) = ax 3

5x 2

bx

6 où a et b sont des réels.

1) Déterminer a et b tels que : P (-1) = 0 et P (2) = 0. 2) Factoriser P ( x ) en produit de facteurs du 1er degré. 3) Résoudre dans IR a) P(x) 0 ; b) P(x) c) P( x) 0 ;

x

6.

Exercice 8 1) Soit P(x) = 6x4 + 5x3 – 38x² + 5x + 6. Calculer P(2) et P(3). Résoudre dans ℝ P(x) = 0. 2) Soit l’équation (E) : 4x4 + 8x3 - 37x² + 8x + 4 = 0. a) Montrer que 0 ne peut pas être solution de (E). b) En déduire que (E) est équivalente à (E’) : 4x2 + 8x - 37 + c) En posant X = x

8 x

4 = 0. x²

1 , calculer X2 puis déterminer une équation (E’’) d’inconnue X x

déduite de (E’). d) Résoudre (E’’). En déduire les solutions de (E). Exercice 9 On considère l’équation (E) : est équivalente sur

Démontrer que cette équation

à l’équation :

En déduire la

résolution de l’équation (E). Les annales THIAM

Mathématiques 1er S2 4

Exercice 10 : On considère le polynôme P(x) = x3 – 2x² - x + 2 Montrer que 1 est racine de P(x) et en déduire une factorisation de P(x). 2) Résoudre l’équation P(x) = 0et en déduire les solutions des équations : a) (x + 3)3 – 2(x + 3)² - (x + 3) + 2 = 0 1)

b) 3)

-

-

+2=0

Résoudre l’inéquation

.

Exercice 11 a) Trouver un polynôme P de degré 3 tel que : b) On pose : S = 1² + 2² + 3² + + n². n(n 1)(2n 1) Déduire de a) que : S = . 6 Exercice 12 On considère le polynôme P défini par : P( x)

2x3

1)

a- Vérifier que

2)

b- En déduire une factorisation maximale de P.

3)

c – Résoudre dans IR l’inéquation : 3x 4 x

3x 2 12x 20

= - 2 est une racine de P.

2 x 2 10 .

4) 1) Déterminer m pour que l’on puisse mettre (1 2x) en facteur dans le polynôme f défini par: f(x) = 2 x 4

x3

x m.

1) Déterminer alors le deuxième facteur de la factorisation de f. 2) Soit

F(x) =

a F(x) = x

x 2 .Déterminer les réels a, b et c tels que x3 x b

c

x 1 x 1

.

Exercice 13

1 xx 1 1 1 2 3 3 4

1) Déterminer les réels A et B tels que 2) En déduire la somme S =

1 1 2

A x

B

. x 1 1 ..... n n 1

Exercice 14 On veut ressoude l’équation (E) : 2x⁴ – 9x3 +14x² - 9x + 2 = 0

Les annales THIAM

Mathématiques 1er S2 5

1) Vérifier que 0 n’est pas solution de (E) et établir que l’équation (E) équivaut à l’équation 1 1 (E1) : 2 x ² 9 x 14 0 . x² x 1 2) On pose u = x . Calculer u². x Etablir que l’équation (E1) 2u² - 9u + 10 = 0 3) Résoudre dans IR l’équation 2u² - 9u + 10 = 0. En déduire les solutions de l’équation (E) . 4) Adapter la méthode pour résoudre : x4 + x3 – 4x² + x + 1 = 0. 5) Trouver le polynôme P(x) de degré 3 défini par :P(x) – P(x – 1) = x² et P(0) = 0. En déduire que la somme Sn = 1² + 2² + 3² + . . . + n² =

n(n 1)(2n 1) . 6

Exercice 15 a) Développer : ( x² bx c)² . b) Déterminer les réels m et p tels que : x4 + - 2x3 - x² + mx + p soit le carré d’un trinôme du second degré. c) Démontrer que : x4 + 4x 3 + 14x² + 20x + 25 est le carré d’un trinôme que l’on déterminera. d) Démontrer que x(x + 1) (x + 2)(x + 3) + 1 est le carré d’un trinôme. Exercice 16 Soit l’équation 1) a) Définir l’équation .Vérifier que l’équation proposée devient posant b) En déduire y et calculer ensuite

en

2) Soit l’équation (E) a) Vérifier que 0 n’est pas solution de et que si b) Montrer en posant

est une solution alors l’est aussi

que résoudre l’équation (E) revient a résoudre

. En déduire X puis calculer x Exercice 17 Q(x) est un polynôme de degré 3 qui est divisible par (x + 1) et (x – 2) et dont la division par (x – 1) et (x + 3) donne respectivement comme reste 2 et 9 : Trouver le polynôme Q(x). Exercice 18 Calculer ( x 2

px q) 2 et montrer que x 4

6x3

7x2

6 x 1 est le carré d’un polynôme du

second degré que l’on déterminera.

Les annales THIAM

Mathématiques 1er S2 6

2) EQUATIONS, INEQUATIONS & SYSTEMES Exercice 1 1) Résoudre dans ℝ les équations suivantes : a)

b) (

)

2) Résoudre dans ℝ les inéquations suivantes : a)

b)

Exercice 2 Résoudre les équations suivantes : a) b) Exercice 3 1) Résoudre dans IR chacune des équations et inéquations suivantes : a) 2x2 +3x -2 = x2+x –2 d) 3 x 2 9

b) x2 +x - 3

2x

1

c) x

x 2

8

0

x

2) Résoudre dans IR :

5x 2

4x 1

4x 2

12 x 7

0

Exercice 4 1) Résoudre dans IR : 1 x2

2 x

2) mx On donne cas : a) b) c)

4 0;

2x

2

x 3

x 1; ( x

2

x)( x

2

x 1 0; x 1

x 2)

2

4

x 1 x 1

2 , m IR ; m 1 x 2 2mx 5 0 . Déterminer m pour que l’équation admette dans chaque

deux solutions positives. deux solutions négatives deux solutions de signe contraire x y 7 ; d) Résoudre dans IR 2 : xy 10

x2

y2

7

x

y 6

xy 16

2 x xy 2 y 3

Exercice 5 L’équation :

admet deux solutions distinctes x’ et x’’.Sans calculer x’ et x’’,

déterminer les valeurs de Exercice 6

;

;

;

;

Résoudre les équations et inéquations suivantes :

Les annales THIAM

Mathématiques 1er S2 7

5

2 x2

x 2 1 0 c)

a)

2x 3 1 x

b)

d)

x 2

e) 5 x 2 1 

x 4

x 1

3x 2

3x f)

x 4

x 4

2x 2

2x 1 

x 1

Exercice 7 Résoudre dans IR³ par la méthode du pivot de GAUSS

2 x 3 y 5z a) 4 x y 2 z x 2y

d)

z

11 4 x 2 y 3z 2 2x y 2z 6 8 ; b) 2 x 3 y z 1 c) x y z 1 2

x 2 y 5z 4 x y 2z 6 2 x 3 y 7 z 10

3x

e)

y 2z 1

x 3y 4z 2x y 2z 3x

2y

x 5y z

9 2

3z

4

9

1

1

1

x 3

y 1

z 2

2

1

1

x 3

y 1

z 2

3

1

1

x 3

y 1

z 2

7 0 8

Exercice 8 Résoudre chacun des systèmes proposés dans

par la méthode du pivot de GAUSS : x y z t 1

;

x

y z t

2

x

y z t

1

x

y z t

2

Exercice 9 1) Soit m un paramètre réel. Résoudre en discutant suivant m l’équation suivante: mx 2 (m 1) x m 1 2) Résoudre dans IR :

a)

1 4x 2

0;

4x

b)

1 x 1

0.

1 x 1

Exercice 10 Déterminer les valeurs de m pour lesquelles l’équation suivante :

x²

4m x

m 5

0 , admette deux solutions distinctes positives

Exercice11 Soit (E ) : 1) Discuter suivant les valeurs de m l’existence et le signe des racines 2) Pour quelles valeurs de m a-t-on

? avec

Les annales THIAM

les deux racines Mathématiques 1er S2

8

3) Pour quelles valeurs de m a-t-on Exercice 12 On considère le polynôme P(x) = 2x3 – 5x² - 3x + 2 dont a, b et c sont ses racines. Sans calculer ses racines, déterminer a +b + c ; abc ;

+ + .

2°) soit l’équation (E) (2m – 4) x² - 2(m – 2) x + m -1 = 0 Déterminer les valeurs de m pour lesquelles (E) admet deux solutions non nulles de signes contraires. 3°) Déterminer les valeurs de m pour lesquelles (E) admet deux solutions positives 4°) Dans le cas où (E) admet deux solutions distinctes exprimer m en fonction de S et P (somme et produit) puis trouver une relation indépendante de m entre S et P. Exercice 13 (* * *) A- On considère l’équation m 1 x 2 2m x m 1 0 1) a) Calculer ∆’ et étudier son signe. b) Etudier suivants les valeurs de m, l’existence des solutions de (***). x IR 2) Déterminer m pour que m 1 x 2 2m x m 1  0 , 3) Montrer que si (***) admet deux solutions x’ et x’’, elles vérifient une relation indépendante de m 4) Déterminer m pour que les racines x’, x’’ vérifient : 1 x'  2  x'' . 5) x’ et x’’ étant les solutions de (***), former une équation du second degré ayant pour solutions x’ - 2x’’ et x’’- 2x’ . Déterminer m pour que la différence entre une solution de (***) et le double de l’autre

soit égale à – 3. B- On considère les équations : x 2 7 x 2m 0 (1) et x 2 5x m 0 (2) . Déterminer m de manière que l’une des solutions de (1) soit le double de l’une des solutions de (2). Exercice 14 On considère la fonction polynôme H(X) = X 3 On note ,

5X 2

3X

1.

et ses trois racines (elles existent !).

1) Ecrire en fonction de 2) Montrer que Sachant que

=2-

+

,

et la forme totalement factorisée de H(X).

+ =5;

5 et

+

+

= 3 et

= - 1.

= 1, calculer simplement la troisième racine .

Les annales THIAM

Mathématiques 1er S2 9

3) APPLICATIONS et GENERALITES SUR LES FONCTIONS NUMERIQUES Exercice 1 Soient f : IR

IR

g : IR

xx 4

IR

xx

, h : IR\

x 2

IR\ x

8

2x 1 x 1

i:

1;

IR

x 1 x

1) f, g, h et i sont-elles des applications ? Justifier 2) i est-elle injective ?surjective ? bijective ? 3) Montrer que h est bijective et déterminer hˉ¹ Exercice 2 Soit f définie par f ( x)

5 x

2

1

2

1) Montrer que f est minorée par -2 sur IR 2) Montrer que f est majorée par 3 su IR 3) En déduire que f est bornée sur IR Exercice 3 Soit f définie par

f ( x)

2 4 x 1

1) Déterminer Df 2) f admet-elle un minimum ? Si oui le déterminer Exercice 4 Soit

f : IR \ x

IR x 2 2x 1

1) Justifier que f est une application 2) f est-elle injective ? 3) f est-elle surjective ? 4) f est-elle bijective ? Si oui déterminer sa fonction réciproque. Exercice 5, 6, 7 (Voir le CIAM 1er S et Faire les exos 4, 7 et 12 de ce chapitre)

Les annales THIAM

Mathématiques 1er S2 10

Exercice 8 On considère les applications suivantes : f : IR -

1 2

IR -

1 2

x

x 1 1 2x

1 2

g: IR -

IR 1 2x 1

x

1) Démontrer que f est une application bijective; déterminer sa bijection réciproque f –1. 2) Démontrer que g est une application bijective; déterminer sa bijection réciproque g –1. 3) a) déterminer l’application composée g0f. b) Démontrer que g0f est une application bijective ; déterminer sa bijection réciproque. 4) Vérifier que f –10g—1 = (g0f) —1 Exercice 9 On considère deux applications f et g définies par : f : IR

2

IR

x

x 1 x 2

1

g : IR

et

4

IR x

2

1 2x x 4

1) Montrer que f et g sont des applications bijectives et déterminer leurs bijections réciproques f-1 et g-1. 2) Déterminer l’application composée fog et montrer qu’elle est bijective.Déterminer (fog)-1. 3) Vérifier l’égalité (fog)-1= g-1of-1. Exercice 10 1) Soit f(x)=

x 2 Calculer 2x 1

3x 1 Calculer G  F ( x)

2) Soit G( x) 3) Soit H ( x)

f (3 x 1) ; f ( x 2 ) ; f (1 x)

et

f ( x)

F  G( x)

2 x 2 1 3 . Trouver trois fonctions f, g et K tels que H ( x)

K  f  g ( x)

Exercice 11 Soit f : IR x

IR

x

2

1 4x 5

a) Calculer f ( 4- x ) après avoir montrer que f est une application b) En déduire que la courbe C représentative de f dans un repère orthogonal admet un axe de symétrie ( D ) dont on précisera une équation. Exercice 12 Les annales THIAM

Mathématiques 1er S2 11

Montrer que la courbe représentative admet l’élément de symétrie précisé 1) f ( x)

x 2 4x 3 2 x 2 8x 9

2) f ( x)

1 x3 x2 x centre de symétrie S 2 1 2x 4x 1

4) f ( x)

1 2x 1 centre de symétrie S 2 x 1

axe de symétrie x

2

Exercice 13 Le plan est muni d’un Soit l’application f : IR \

IR x 3 x 1 et C sa courbe représentative

x 1) f est-elle bijective ? 2) Déterminer fof

f ( x)

3) a) Déterminer les réels a et b tels que

a x 1

b.

a En déduire que C est l’image C la courbe de la fonction g définie par g(x) = x transformation du plan dont on précisera

par la

b)Construire (C ) et (C)

A c) Montrer que le point

1 1 est centre de symétrie de C

Exercice 14 On pose T ( x)

x2 x 1

et h( x) 3x 2

1) Calculer l’image de -5 par la fonction T. 2) Déterminer l’expression explicite de hoT(x). 3) Déterminer la période de f(x) = cos( 7x + 4) On donne f : IR +

) puis de g(x) = sin2x cosx.

IR

Les annales THIAM

Mathématiques 1er S2 12

x  x3

x2

4 x 3 Déterminer tous les antécédents de -1 par f

Exercice 15 Soient f : IR \

IR

x

g : IR

2x 3 x 1

IR

deux fonctions

2x 5 x

x

1) Déterminer Dfog et Dgof 2) Donner l’expression de (fog)(x) et de (gof)(x) 3) a) f est-elle une application ? f :I

IR soit une application

b) Sinon déterminer un intervalle I de IR tel que b) Montrer que I J est une application bijective où J est un intervalle IR à préciser c) Déterminer fˉ¹(x) Exercice 16 Indiquer en justifiant votre réponse la parité de chaque fonction : On donne

( x) x sin 2 x ;

( x)

x x ;

x . 1 x2

( x)

Exercice 17 1) Pour chacune des fonctions trouver le domaine de définition puis étudier la parité. a) f ( x)

2 x

2 x

2 x

2 x

; b) f(x) =

2)Soit f la fonction définie par f(x) =

1 1

x ; c) f(x) = x

(1 x)(2 x) x² x

2 2x . x 2

a)Trouver le domaine de définition de f et étudier sa parité. b) Montrer que le point M (2 ; - 2) est centre de symétrie à la courbe de f. Exercice 18 Le but de cette exercice est de comparer les deux fonctions f et g définies par : f(x) = 1 x

et g(x) = 1 +

1) Montrer que f(x)

0 et

x sur l’intervalle 2

g(x)

2) Calculer en fonction de x : f(x)

2

0

1;

pour tout x

et : g(x)

2

Les annales THIAM

1;

.

. Mathématiques 1er S2

13

3) Démontrer que f(x)

2

< g(x)

2

pour tout x

.

1;

4) En déduire une comparaison de f et g sur l’intervalle

1;

Exercice 19 1) Soient f et g les fonctions définies de IR vers par IR : f(x) = 2x2 – 1 et g(x) = 4x3 - 3x. a) f et g sont-elles injectives ? surjectives ? bijectives b) Démontrer que fog = gof. 1) On pose h une fonction définie sur IR vérifiant l’égalité : 4h (-x) + h(x) = 4x2 + x a) Ecrire l’égalité correspondante à (1) en remplaçant le x par – x. b)

Montrer alors que h est une fonction paire puis en déduire h(x)

Exercice 20 1) Démontrer que la courbe C représentative de f dans un repère orthogonal O , i , j admet la droite (D) pour axe de symétrie. f: x

x 4 8x 3

25x 2

36x

(D) : x = - 2

2) On considère la fonction f définie sur IR par : x

2x 2 x

2

3x 2x

3 2

.

a) Calculer f (2 – x). b) Démontrer que f(2-x) + f(x) est une constante. c) En déduire que la courbe (C) de f admet un centre de symétrie I dont on précisera les coordonnées. 3) Soit la fonction fa : IR x

IR

x 2 ax 1

,

x 3

a IR

Déterminer a pour que la courbe C représentative de fa admette le point J (3, 1) pour centre de symétrie.

Les annales THIAM

Mathématiques 1er S2 14

4) LIMITES ET CONTINUITE Exercice 1 1) Calculer les limites suivantes :

lim x

lim

1

x² 1 x 1

x 4

x 0

3x 4

x 1 1

x² 1 x3 8 lim ; x 2 ; xlim9 x 2 1 x

; lim x 1

; xlim x 3

x 9 x

x 3 2x ; lim x

x ² 3x 1

1

2

; lim x 3

3

x 1 2 x 6 3

;

x ² 7x 4 ;

2) Calculer les limites suivantes :

1 2x 2 1) lim 2 x 2 x 5 x 3x 3 3) lim

x2

x

2) lim

9x 2

6) lim 3x 1 x

1 x 1 x

x 1

3x 1 2x 5

4) lim 2 x 1 x

3

7) lim x

0

1

2

x 5

x 5 3

x2

5) lim x

1 cos x sin x

0

8) lim x

x 2

2 x

1 cos x sin x

3) Calculer les limites au point indiqué 1) f ( x)

5x 2 5x

4) f ( x)

7) f ( x)

x 5

2x

9) f ( x)

2) f ( x)

,a

x 1 x 3 x2

;a

1 x

; 5) ;

x 3 a

x 1 4

1

6) f ( x)

3 ; 8) f ( x)

x 1 1 3x; a

1 ,a 1 x2 2x3

5x 2

x2

x4

1 cos x ; a x sin x

. 10) f ( x)

x

x 1 ; a x 2x 3

1 3) f ( x)

,a

2

( 1)

0;

0;

x 2

4x 1 3

,a

2 ;

Exercice 2

1) Soit la fonction définie par f ( x)

x 1 x 2 4 sur 2 ; 2 2 x 3 x 11 sur ;2 x 3

Etudier la continuité de f en 2 2) f ( x)

1 x , si x 1 1 x si x  1

Etudier la continuité de f en -1

Les annales THIAM

Mathématiques 1er S2 15

3) Soit k ( x)

1 x 2 si x 1 2x 2 si x  1 x 2

a) Etudier la continuité de k en -1 b) Etudier la continuité de f en 0

Exercice 3

Soit la fonction f définie par :

a) Donner le domaine de définition de f b) Ecrire f sans la valeur absolue et calculer les limites aux bornes de Df. c) Etudier la continuité de f en x = 1 et en x = 4 ; Exercice 4

On considère la définie par

1) 2) 3) 4) 5)

Déterminer le domaine de définition de f(x) et calculer les limites aux bornes de Df. Etudier la continuité et la dérivabilité de f en 0. Etudier la continuité et la dérivabilité de f en 2. Calculer la dérivée de f et dresser son tableau de variation. Etudier les branches infinies.

Exercice 5 1) On donne g(x)

; pour quelle valeur de a f est-elle continue en 1 ?

2) Soit h(x) =

; trouver a et b pour que h soit continue en .

Exercice 6 Soit f la fonction définie par :

Etudier la continuité de f sur son ensemble de définition. -

Déterminer un prolongement par continuité de f à droite de 2 Déterminer les limites de f en – 1 ; 1 ; - et +

Exercice 7

Les annales THIAM

Mathématiques 1er S2 16

x ² 3x 2

f ( x)

x3 8

1°/ Etudier la continuité au point 2 de la fonction définie par :

f (2) 2°/ a) Soient f une fonction et m un réel tels que f ( x)

3

, si x

2

1 12

2x 5 si x 2 et f(2) = m. x 2

Quelle valeur faut il donner à m pour que f soit continue en 2 ? b) On donne f ( x)

x² 1 , si x 1 x 1 f (1) 2

Etudier la continuité de f en 1 ; en -1 et en 3. Exercice 8 f ( x)

x

x

2

si x x 2 ) Soit f la fonction définie par 1 f(2) 3 1- Etudier la continuité de f sur son ensemble de définition 2- Déterminer un prolongement par continuité à droite de 2 3- Déterminer les limites de f en –1 ; 1 ; et + x( x

2

2

Exercice 9

La courbe ci contre est la courbe représentative d’une fonction f. 1°/ 2°/ 3°/ 4°/

Déterminer le domaine de définition de f. Déterminer les limites de f. Préciser les branches infinies. Construire les courbes g ( x) f ( x 1) ; h( x)

Les annales THIAM

f ( x ) ; L( x )

f ( x) ; K ( x)

f x

Mathématiques 1er S2 17

5°/ Résoudre graphiquement l’équation f(x) = m avec m un paramètre réel. Exercice 10   Le plan est muni du repère O; i ; j . On considère les fonctions f et g de représentations

graphiques C f et Cg . f ( x)

1 3 x 6

x

1 ( x 3 3x 2 3

et g ( x)

x 3)

Compléter les tableaux de valeurs suivants

x f(x)

-2

-1

0

1 2 3

a) Tracer les courbes C f et Cg dans le même repère b) Préciser la position relative des courbes C f et Cg

x

-2

-1

0

1 2 3

g(x)

c) Déterminer la position relative de C f par rapport à l’axe des abscisses ; En déduire le signe de f(x) suivant les valeurs de x . 2) Comparer f(x) et g(x) suivant les valeurs de x. 3) Déterminer graphiquement l’image par f de l’intervalle l’intervalle

2; 2 puis l’image par G de

1;1

4) Déterminer les points d’intersection de C f avec la droite

d’équation y

x 1

Déterminer les positions relatives de C f et . 5) Représenter dans le même repère la fonction f ( x)

1 ( x3 3

x)

« La possibilité est le principe de l’essence, la perfection est le principe de l’existence. » LEIBNIZ Les annales THIAM

Mathématiques 1er S2 18

5) DERIVATION Exercice 1 Calculer f ’ dans chacun des cas suivants après avoir donner Df 1)

f ( x)

2)

f ( x)

3)

f ( x)

4)

f ( x)

5)

f ( x)

6)

f ( x)

7)

f ( x)

4 x 4 7 x3 3 x x3

8)

f ( x)

( x 1) 2

9)

f ( x)

10) f ( x) 11) f ( x)

12) f ( x)

13) f ( x)

9x 3

x3

3x

2x 3

2 4x 2

18x

x 1 3x( x 1) 1 x x 1 2 x 4x 5

x2

x 1

x 1 x 1

3

x 1 x 1 2

x 1

x2 1 2x 2

3x

x2

3

2x

x2 2x

2

2 x 11

2

2x 3

x2

15) f ( x)

x( x 2 1 x)

17) f ( x)

18) f ( x)

9

3( x 1)

14) f ( x)

16) f ( x)

36

x 1 1 3x

x 1

2

x 3 2x 3 x2 3

4x 6 ( x 2 3 x 7 )3

19) f ( x)

x x 1

20) f ( x)

4x x

1 2

Les annales THIAM

Mathématiques 1er S2 19

1

21) f ( x)

3x 2 22) f ( x) 23) f ( x)

2x

x

1 3

x 2

4x 1 3 1 cos x x sin x 1 x 4

24) f ( x) 1 cos

x

25) f ( x)

2 sin

1 x

Exercice 2 Soit la fonction f définie par

f ( x)

x 1 x 1

x

1) Déterminer Df 2) Calculer f ’ la fonction dérivée de f 3) Soit g(x) = f ’(x) a) Donner Dg b) Calculer g ‘(x) Exercice 3 Etudier les dérivabilités de f au point a indiqué : 1) f ( x)

5x ,a 2 5x

4) f ( x)

x3

x2

x 1 x 2x 3

2 / 5 ; 2) f ( x)

2

3 , a 0 ; 5) f ( x)

x x

1 2

1

, a

1 ; 3) f ( x)

a

1 ; 6)

f ( x)

2 3 1, a

x 1 2 x 3

;a

0;

3

Exercice 4 Soit f la fonction définie par

f ( x) 3 2 x si x  0 f ( x)

2x 3

x , si x

0.

1) Déterminer l’ensemble de définition de f 2) Etudier la dérivabilité de f en 0. Que peut-on en déduire pour la courbe de f au point d’abscisse0 ? 3) Préciser le(s) équation(s) de(s) tangente(s) en 0. Exercice 5 Déterminer le domaine de dérivabilité des fonctions suivantes, puis calculer f ‘ fonction dérivée de f Les annales THIAM

Mathématiques 1er S2 20

a ) f ( x) d ) f ( x)

5

x2

x

3 (x

2

1

; b) f ( x )

3 ; e) f ( x ) 5x 9 ) 4

2x 2

x 1

; c) f ( x)

x2

x 2 ; f ) f ( x) 2 x

sin x

x 2 x2

3x 1 5

x

tan x 1.

Exercice 6 On considère la fonction définie par f(x) = 1) a) Déterminer le domaine de définition de f. b) Montrer que pour tout x Df, f(x) . c) Etudier la parité de f ; expliquer pourquoi on peut étudier f sur d) Calculer la limite de

quand x tend vers +

.

; en déduire l’existence d’une

asymptote oblique. e) Dresser le tableau de variation de f puis tracer Cf. 2) Soit g(x) = a) Déterminer le domaine et étudier la parité de g b) Quelles sont les coordonnées des points d’intersection avec la première bissectrice. c) Calculer g’(x) et dresser son tableau de variation. d) Soit h la restriction de g sur

; montrer que h est bijective.

Exercice 7 Factoriser le polynôme p(x) = 1 – x4.

Soit la fonction (x) =

1

1 x4 x

1) Déterminer l’ensemble de définition de . 2) Etudier la continuité et la dérivabilité de 3)

Montrer que

en 1.

admet un prolongement par continuité en 0.

4) Soit g ce prolongement ; étudier la dérivabilité de g en 0.

Le succès passe par la persévérance !!!! Les annales THIAM

Mathématiques 1er S2 21

6) ETUDES DE FONCTIONS Exercice 1 Dans chaque cas déterminer D f : f ( x)

x 2 3x 1 x 2 1 x3

f ( x)

f ( x)

f ( x)

¨x

x 1 x x2

1 x4 x

f ( x)

x

2

1

f ( x)

si x 0

f ( x)

2x 1

2

7 6x

x2

f ( x)

x

4

1

f ( x)

3x 2 2 x

x 1 si x  0 x

1 x x 3

1 3

x2 1

Exercice 2 Soit f(x) =

1 3 x 4

3x 1

1) Déterminer le domaine de définition de f et calculer les limites aux bornes de Df. 2) Etudier les variations de f. 3) Déterminer l’équation de la tangente à Cf au point d’abscisse 0. 4) Tracer la courbe représentative de f et ( ) dans un repère orthonormé. Exercice 3 Soit f la fonction définie par : f (x) =

2x 5

1) Déterminer l’ensemble Df de définition de f et calculer les limites de f aux bornes de Df. 5 2) Calculer f ‘(x) pour x et dresser le tableau de variation de f. , 2 3) Représenter graphiquement f dans un repère orthonormé O, i, j . Exercice 4: Soit g(x) = x

4 x2

1) Déterminer Dg et les limites aux bornes de Dg. En déduire une asymptote verticale à Cg. 2) a) Résoudre dans IR x 3 8 0 b) Calculer g ‘ et donner son signe c) Dresser le tableau de variation de g d) Montrer que la droite (D) : y = x est une asymptote oblique à Cg et étudier sa position par rapport à (D). e) Déterminer l’équation de la tangente T à Cg au point d’abscisse -1 f) Tracer Cg, (D) et T dans le même repère. Exercice 5 Les annales THIAM

Mathématiques 1er S2 22

Soit h(x) = ax b

1 3 x

1).Donner Dh. 2).Sachant que h(2) = 1 et h ‘(2) = 0, montrer que a = -1 et b = 2. 3). Montrer que y = - x + 2 est asymptote à (Ch). 4).Etudier les variations de h. 5). Montrer que le point d’intersection des asymptotes de (Ch) est un centre de symétrie de (Ch). 6). Construire la courbe (Ch). Exercice 6 Soit la fonction g définie par g(x) =

2x 2

x 5

x2

x 6

Déterminer l’ensemble de définition de g et l’écrire sous forme de réunion d’intervalle Calculer les limites aux bornes de Dg et en déduire les asymptotes à Cg. g est elle paire, impaire ? Déterminer les réels a, b, c tels que : pour tout x Dg ; b c g(x) = a + . x 2 x 3 5) En déduire le calcul de g’(x) et étudier son signe. 6) Déterminer les coordonnées des points d’intersection de Cg avec les axes de coordonnées. 7) Tracer Cg , les asymptotes et le point d’abscisse -2. Exercice 7 1) 2) 3) 4)

Soit f la fonction numérique de la variable réelle x définie par f(x) =

x2

x 2 x 1

On appelle (Cf) la représentation graphique de f dans un repère O, i, j unité graphique 1 cm. 1) Déterminer l’ensemble de définition Df de f, puis étudier les limites aux bornes de Df. 2-)a.) Montrer que la droite (D) d’équation y = x est une asymptote oblique à (Cf) et préciser l’autre asymptote. b.)Etudier la position de (Cf) par rapport à (D). 3) Montrer que le point S(-1 ; -1) est centre de symétrie de (Cf). 4) Déterminer pour tout x

Df, f ‘(x), puis établir le tableau de variation de f.

5).a) Montrer que Cf rencontre l’axe des abscisses aux points A et B d’abscisses respectives xA = - 2 et xB = 1. b) Donner une équation de la tangente à (Cf) en A, puis une équation de la tangente à (Cf) en B. Les annales THIAM

Mathématiques 1er S2 23

6) Construire (Cf), les asymptotes et les tangentes en A et en B. Exercice 8 On considère la fonction f(x) = x 2 2 x 1 . 1) 2) 3) 4) 5)

Déterminer le domaine de définition de f et calculer . Etudier la dérivabilité de f en x0 = - 1et interpréter géométriquement le résultat. Etudier les branches infinies de (Cf) en + . Calculer la dérivée de f et dresser son tableau de variation. Soit g la restriction de f sur . Montrer que g est bijective de vers un intervalle J à préciser.

Exercice 9 Soit f la fonction définie par f ( x)

x ² 3x 6 . x 1

1) Déterminer Df et calculer les limites aux bornes de Df. Préciser les asymptotes éventuelles. c 2) Ecrire f(x) sous la forme f ( x) ax b en déterminant les réels a, b et c puis x 1 déduire que la droite d’équation y = x – 2 est une asymptote oblique. 3) Calculer f’(x) la dérivée de f et dresser son tableau de variation. 4) Montrer que I(1 ; - 1) est centre de symétrie. Exercice 10 Soit f la fonction définie par

f ( x) 3 2 x si x  0 f ( x)

2x 3

x , si x

0.

5) Déterminer l’ensemble de définition de f 6) Etudier la dérivabilité de f en 0. Que peut-on en déduire pour la courbe de f au point d’abscisse0 ? 7) Préciser le(s) équation(s) de(s) tangente(s) en 0.

Exercice 11

Soit la fonction f définie par :

d) Donner le domaine de définition de f e) Ecrire f sans la valeur absolue et calculer les limites aux bornes de DF. f) Etudier la continuité de f en x = 1 et en x = 4 ; Exercice 12 : Soit la fonction f définie de R vers R par : f(x) = x + 1) Trouver le domaine de définition de f. 2) Calculer les limites aux bornes de Df 3) Montrer que f est bijective sur et déterminer sa bijection réciproque f-1 Exercice 13 Les annales THIAM

Mathématiques 1er S2 24

Soit h( x)

x 2 2 x 11 2 x 2 2x 3

.

1) Déterminer le domaine de définition de h Puis calculer les limites aux bornes de Dh et préciser les asymptotes à (Ch). 2) Calculer h ' ( x) ; en déduire les sens de variations de h . 3) Dresser le tableau de variation de h . 4) Déterminer les points communs de (Ch) avec les axes. 5) Construire avec soin (Ch) ainsi que les asymptotes. 6) Soit k(x) = h(x) . Construire (Ck) à l’aide de (Ch) sans nouvelle étude. 7) Résoudre graphiquement en indiquant le nombre et le signe des solutions de l’équation

h( x)

m , m décrit IR.

Exercice 14 Etudier en fonction de a la limite de f : x 

x3

3x 2 x

(a 1) x 3 3a 2

4x 3

quand

x tend vers + ∞ ; - ∞ ; et 3. Exercice 15 .Soit R( x)

4x a . 2 x ax b 2

1) Déterminer les réels a et b pour que (CR) admette des extrema en x = - 2 et en x = 1

Problème 1 Soit la fonction h définie par h(x) =

+1

1) Ecrire h sans les valeurs absolues. 2) a) Déterminer le domaine de définition de h notée Dh. b) Etudier la dérivabilité de h en 0 et en 2et interpréter géométriquement les résultats. 3) Calculer h’(x) sur les intervalles où h est dérivable, et donner son signe. 4) Dresser le tableau de variation de h.

Problème 2

Les annales THIAM

Mathématiques 1er S2 25

x 1 Soit f la fonction définie par f(x) =

3

2

, si x 0 x 1 x , si x  0 x2 1

1).Justifier que Df = IR – {- 1} puis calculer les limites aux bornes de Df. En déduire les asymptotes parallèles aux axes. 2).a.) Etudier la continuité de f en 0. b.)Etudier la dérivabilité de f en 0 puis interpréter graphiquement ces résultats. 3) Montrer que Cf admet une asymptote oblique (D) en 4) Calculer f ‘(x) sur

; 1 

Calculer f ‘(x) sur

dont on précisera l’équation.

1; 0 et donner son signe sur cette réunion d’intervalles

et donner son signe sur cet intervalle.

0;

5) En déduire le tableau de variation de f sur son domaine. 6) Construire Cf ainsi que les asymptotes. On précisera les équations des demi-tangentes au point d’abscisse x = 0 et le point commun à Cf et (OX) sur

; 1 .

Problème 3 Soit f la fonction numérique définie sur 0 ;

* Pour x 0 et x

1

*

f ( x)

x

f (1)

1 . 2

par : x 1 x 1

1) Etudier la continuité et la dérivabilité de f en x0 1. 2) Calculer lim f ( x) . x

Prouver que Cf possède une asymptote oblique en

notée ( ).

3) Etablir le tableau de variations de f. 4) Etudier la position de Cf par rapport à ( ) . Les annales THIAM

Mathématiques 1er S2 26

5) Tracer Cf dans un repère orthonormé.

Problème 4 PARTIE A : On considère la fonction numérique

1. Déterminer l’ensemble de définition 2. Etudier la continuité de en 3. Etudier la dérivabilité de en

de

définie par :

puis calculer les limites aux bornes de

interpréter graphiquement ces résultats.

PARTIE B : On considère la fonction numérique 1. Déterminer l’ensemble de définition 2. a) Déterminer les réels

de

définie par :

puis calculer les limites aux bornes de

est une asymptote oblique à la courbe

. c) Etudier la position de la courbe par rapport à l’ asymptote oblique 3. Calculer la fonction dérivée de puis dresser le tableau de variation de

en

.

est centre de symétrie de la courbe

5. Donner l’équation de la tangente à la courbe 6. Tracer la courbe

.

tels que :

b) Montrer que la droite

4. Montrer que le point

.

au point d’abscisse

dans le plan muni d’un repère orthonormé O, i, j

Problème 5 Soit la fonction définie par : 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8)

Montrer que le domaine de définition de f est IR. Calculer les limites aux bornes du domaine. Ecrire f sans les valeurs absolues. Etudier la continuité et la dérivabilité de f en 0 ; interpréter les résultats. Etudier la continuité et la dérivabilité de f en – 1 ; interpréter les résultats. Donner l’équation de la tangente (T) en x0= 1. Calculer la dérivée de f sur les intervalles où f est dérivable. Dresser le tableau de variation de f.

Les annales THIAM

Mathématiques 1er S2 27

7) SUITES NUMERIQUES Exercice 1 Soit la suite (U n ) définie par

et pour tout

, un

1 un 3

1

2

1/Calculer u1 , u 2 , u3 . 2/ Soit la suite ( vn ) définie par vn u n 3 Montrer que ( vn ) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. 3/ Exprimer vn en fonction de n. En déduire l’expression de u n en fonction de n. 4 / Exprimer en fonction de n, la somme S n v0 v1 ..... vn . Exercice 2 Soit (U n ) la suite définie par U 0

1 et On considère la suite (Vn ) définie par

1) Montrer que (Vn ) est arithmétique ; préciser son premier terme et sa raison 2) Exprimer (Vn ) puis (U n ) en fonction de n Exercice 3 Soit ( u n ) une suite arithmétique telle que

u 4 = 5 et u11 = 19.

1/ Calculer la raison a de la suite et le terme u 0 . 2/ Exprimer le terme général u n en fonction de n puis u n

et

1

u 2n en fonction de n.

3/ Quel est le sens de variation de la suite ( u n ) ? Justifier votre réponse Exercice 4 1/ Déterminer la raison r d’une suite arithmétique sachant que P0 = 8 et P3 = 17. Exprimer Pn+1 en fonction de n. 2/ Calculer P0 + P1 + P2 + …. + P 20. 3/ Déterminer le terme P30. Exercice 5 Soit la suite (Un) définie par : 1) Calculer et . 2) Montrer que pour n IN ; Un 3) Soit Vn =

.

0.

pour tout n :

a) Prouver que (Vn) est une suite géométrique : préciser son premier terme et sa raison. b) Exprimer Vn puis Un en fonction de n. Calculer la limite de Un quand n tend vers + Les annales THIAM

Mathématiques 1er S2 28

c) Calculer Sn = 4) Calculer

et

. En déduire S’n = .

.

Exercice 6 1/ Préciser si les suites suivantes sont arithmétiques ou géométriques , justifier votre réponse : n 1. 2 2/. Etudier le sens de variation de la suite (Tn) précédente. Et calculer Tn 1 et Tn

a) U n

2n

1

; b) Vn

5

n 2

; c) Tn

3 en fonction

de n. Exercice 7 est une suite géométrique de premier terme

et de raison

1. Déterminer les réels et pour que l’équation et . 2. On pose la suite définie par :

ait pour solution .

Démontrer que est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. Problème 1 Darou Salam est un Petit village de la commune de Nioro de 1200 habitants d’après un recensement effectué en 1990.Le taux d’accroissement annuel de cette population est de 5% On désigne par P0 sa population en 1990 et d’une manière générale Pn sa population en (1990+n) n étant un entier 1) Calculer P1

et P2

2) a) Exprimer Pn en fonction Pn

1

de pour n

1

b) En déduire que ( Pn ) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme c) Exprimer Pn en fonction de n Problème 2 Une personne place dans une banque un capital de 100 000 F le 1er janvier 2007 au taux d’intérêt annuel de 5% auquel s’ajoute une prime de 1500. On appelle u 0 le capital initial et u n la valeur acquise en 2007+ n(le capital obtenu en 2007+n ) 1/. Calculer u1 et u2. 2/. Etablir une relation que :

un

1

21 un 20

1500 .

Les annales THIAM

Mathématiques 1er S2 29

3/. On pose Vn

un

30000.

a) Montrer que V n est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. b) Exprimer V n puis u n en fonction de n. c) Quel sera le montant du capital en l’an 2030 ? Problème 3 Un étudiant loue une chambre pour 3 ans. On lui propose deux types de bail. On noter P1 le loyer au premier mois et Pn le loyer au nième mois pour chacun des contrats. 1er contrat : Un loyer de 200 € pour le premier mois puis une augmentation de 5 € par mois jusqu'à la fin du bail. 2ème contrat : Un loyer de 200 € pour le premier mois puis une augmentation de 2% par mois jusqu'à la fin du bail. 1. Calculer, pour chacun des deux contrats, le loyer du deuxième mois puis le loyer du troisième mois. 2. Calculer, pour chacun des deux contrats, le loyer du dernier mois (c'est-à-dire du 36ème mois). 3. Quel est le contrat globalement le plus avantageux pour un bail de 3 ans ? (Justifier à l'aide de calculs) (Remarque de vocabulaire : un bail est un contrat de location)

Les annales THIAM

Mathématiques 1er S2 30

8) BARYCENTRE Exercice 1 Dans un pentagone ABCDE, G1 et G2 sont les centres de gravités respectifs des triangles ABC et ADE. On considère le point G = Bar

(A, 3) ; (B, 1) ; (C,1) ; (D,2) ; (E,2)}

Montrer que les points G, G1 et G2 sont alignés. En déduire une construction de G. Exercice 2 Soit ABC un triangle, P est le point symétrique de C par rapport à B. Q = bar

(A, 3) ; (C, - 1) } et R le point défini par AR

2 AB . 5

Montrer que les droites (AP) ; (BQ) et (CR) sont concourantes. Exercice 3 Soit ABC un triangle. On considère les points A’, B’ et C’ définies par : A’=bar

(B, 3) ; (C, - 9) }

B’=bar

(A, 2) ; (C, - 9) }

C’=bar

(A, 2) ; (B, 3) }

Démontrer que les droites (AA’),(BB’) et (CC’) sont concourantes Exercice 4 ABCD est un parallélogramme .Soit G le barycentre de a) Construire le point G b) Déterminer l’ensemble(E) des points M du plan tel que c) Déterminer et construire l’ensemble (F) des points M du plan tel que (

).(

)=0

Exercice 5 ABC est un triangle rectangle en A tel que : AB=12cm et AC= 5cm 1) Construire K barycentre de

(A, 3) ; (C, 2) } puis G barycentre de

(A, 3) ; (B, 5) ; (C,

2) } 2) Déterminer et construire l’ensemble ( E ) des points M du plan tels que 3MA 5MB 2MC

6MA 4MC

3) Préciser l’ensemble (F ) des points M du plan tels que le vecteur 3MA+5MB+2MC soit orthogonal au vecteur 3MA+2MC. Construire ( F) 4) Construire l’ensemble ( G) des points M tels que 3MA+5MB+2MC=3AC Les annales THIAM

Mathématiques 1er S2 31

5) Quel est l’ensemble (H) des points M du plan tels que 3MA 5MB 2MC

3 AC

puis

Construire (H) Exercice 6 Soit ABC un triangle et isocèle en A avec AB=4cm On désigne par G le barycentre du système

(A, 2) ; (B, 1) ; (C, 1) }

1) Construire G 2) Soit M un point quelconque du plan. Exprimer le vecteur 2MA+MB+MC en fonction de MG 3) Soit V= - 2MA+MB+MC. Montrer que V est indépendant de M 4) Construire le point D tel que AD= V 5) Calculer AD et AG 6) En utilisant les équations précédentes ,déterminer puis construire l’ensemble (E )des points M tels que 2MA MB MC

2MA MB MC

Exercice 7 ABC est un triangle. Les points P, Q et R sont tels que :

,

et

1) Placer les points P, Q et R 2) Exprimer P, Q et R comme barycentre respectifs de A et B, B et C, A et C 3) Démontrer que sont concourantes ( On pourra introduire le point G barycentre de ) Exercice 8 1) On considère un triangle ABC et G le barycentre de 2) Déterminer et construire l’ensemble des points M tels que

. Construire G

3) Soit E l’ensemble des points N tels que a) Montrer que le point B appartient à E b) Déterminer et représenter E 4) Déterminer et représenter l’ensemble F des points P tels que

Exercice 9 Soit A et B deux points distincts du plan. On cherche l’ensemble (H) des points M tels que MA 2. MB 1) montrer que le problème revient à montrer que MA 2 4 MB 2 0 2) Soit I le barycentre de (A ; 1) et (B ; 2) et J le barycentre de (A ; 1) et (B : - 2). Montrer que I et J appartiennent à (H). Les annales THIAM

Mathématiques 1er S2 32

3) Exprimer MA 2 MB en fonction de MI et

MA 2 MB en fonction de MJ .

4) Démontrer que M est un point de (H) si et seulement si MI MJ

0.

En déduire et construire l’ensemble (H). Exercice 10 Soit ABC un triangle de centre de gravité G. a. Montrer que pour tout point M du plan : MA MB MC

3MG

b. Soit O le milieu de BC .Montrer que pour tout point M du plan :

2MA MB MC

2OA

c. Déterminer et représenter l’ensemble des points M du plan tels que : MA MB

MC

2 MA MB

MC

Exercice 11 Soit de

le triangle tel que :

Soit

1. Calculer les longueurs de ses médianes. 2. Construire le point le barycentre de 3. Déterminer et construire l’ensemble des points a)

les milieux respectifs

du plan tels que :

b) c) Exercice 12, 13 et 14 (Voir le CIAM 1er S et Faire les exos 9, 12 et 17 de ce chapitre)

Les annales THIAM

Mathématiques 1er S2 33

9) PRODUIT SCALAIRE Exercice 1 Soit A et B deux points du plan tel que AB=6cm. Déterminer et construire a) L’ensemble (E) des points M du plan tel que b) L’ensemble (F ) des points M du plan tel que Exercice 2 ABDC est un rectangle de centre I tels que AB = a et BC= b Exprimer en fonction de a et b AB.AC ; AD.AC ; AD.BC ; AB.CD ;

AB. CB ; 2AB.AI

Exercice 3 Dans le parallélogramme ABCD , Soit E le projeté orthogonal de C sur (AB) et F sur (DB) Démontrer que BD BF=BC²+BA BE Exercice 4 ABC est un triangle tel que BC = 4 , AI = 3 et I milieu de [BC] .De plus mes BIˆA

AB

AC ; AB 2

AC 2 ; AB 2

3

, calculer

AC 2 . En déduire AB et AC

Exercice 5 Le pan est muni d’un repère orthonormé O, i, j . Soient A (- 4, 1) ; B (-1, 2) et

C (1, - 4).

1) Montrer de deux façons différentes que ABC est un triangle rectangle.. 2) Déterminer les coordonnées du point D tel que ABCD soit un parallélogramme. Calculer AC DB . Exercice 6 ABC est un triangle rectangle en A et H le pied de la hauteur ABC issue de A. H se projette orthogonalement en K sur (AC) et en L sur (AB) 1) Faire la figure puis placer le point I isobarycentre de B et C 2) Calculer AB.AK et AC.AL 3) Montrer que

(AB.AL+AC.KA)

4) Traduire par le produit scalaire l’orthogonalité des droites (AH) et (BC) et en déduire que =0 5) Après avoir justifié les égalités et , démonter que (AI) et (KL ) sont perpendiculaires. Exercice 7

Les annales THIAM

Mathématiques 1er S2 34

Soit ABC un triangle tel que AB = 3a ; AC = 4a et BC = 5a où a est un réel strictement positif. On considère f l’application du plan dans IR définie par pour tout point M du plan : f = 5MA² MB² 3MC² 1) Montrer que pour tout point M du plan on a f(M) (A, -5) ; (B, 4) ; (C, 3) }

2MG²

f(G) où G est le barycentre de

2) Exprimer f(G) en fonction de a 3) Soit IR. Discuter suivant les valeurs de la nature des lignes de niveau l’application f 4) Pour , quelle est la ligne de niveau de 12a²

de

Exercice 8 A et B sont deux points tels que AB = 3 ; un point de tel que BI = 1.

est la perpendiculaire en B à la droite (AB). I est

1) Calculer AI AB . 2) Montrer que si M

alors AM

AB

9 . La réciproque est – elle vraie ?

3) Combien y a-t-il de points C tels que AC AB

 9 ? Calculer cos BA C dans chaque cas.

4) Soit O un point du plan tel que OAB soit équilatéral. Déterminer et construire l’ensembles ( E) des points M du plan tels que OM

AB

9.

Exercice 9 Soit ABC un triangle de centre de gravité G , f et g deux applications du plan dans IR définies par : f (M) =

+

+

et g (M) = MA² + MB² + MC².

1) Démontrer que f(M) = 3MG² + f(G), et que f(G) = - 1/2g(G). 2) Calculer g(G) en fonction de AB, AC et BC, et en déduire f (M) en fonction de MG, AB, AC et BC. 3) Dans le cas particulier où ABC est équilatéral de coté a, déterminer l’ensemble des points M tels que f(M) a/2. Exercice 10 Soit A. et B deux points du plan avec AB = 5cm 1) Déterminer la ligne de niveau de l’application M 2) Déterminer la ligne de niveau de l’application M 3) Déterminer la ligne de niveau de l’application M

MA² - MB² relative au réel k = - 5. MA² + MB² relative au réel k = - 4. relative au réel k = - 9/4.

Exercice 11

Les annales THIAM

Mathématiques 1er S2 35

1) Soit ABC un triangle tel que AB = 10, mes ( ( BAˆ C ) Calculer mes ( ACˆ B) et les distances AC et BC.

57 et mes ( ( ABˆ C )

28 .

2) Soit un triangle ABC tel que BC = a = 8 ; AC = b = 7 et AB = c = 10. a) Calculer la longueur IH, sachant que I est milieu de [BC] et H le pied de la hauteur issue de A. b) Calculer l’aire S du triangle ABC. 2 p( p a) 3) a.) A partir de la relation a 2 b 2 c 2 2bc cos A , montrer que 1 cos A bc 2( p b) ( p c) a b c et 1 cos A .( avec P = ). bc 2 b) En déduire la valeur de sinA en fonction de p, a , b et c. c) Démontrer la formule de HERON ALEXANDRIE : S

p( p a)( p b)( p c) ou

S est l’aire du triangle ABC de cotes a, b et c.

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Mathématiques 1er S2 36

10) TRIGONOMETRIE Exercice 1 Démontrer les expressions suivantes 1) 2) 3) Exercice 2 Résoudre dans IR, puis dans ] 0 ; 2 [ 1) tan

tan

2) cos 3) 4) 5) 6)

cos

2 cos² 7cos +3 = 0 2 cos sin cos sin 2cos 2 sin

7)

sin

Exercice 3 En utilisant les formules d’addition, calculer : a) cos

; sin

b) En déduire cos

et tan ; sin

et tan

Exercice 4 En exprimant les formules d’addition, exprimer le produit cosa.cosb en fonction de cos (a +b) et cos (a – b). 2) En posant a +b = p et a – b =q, démontrer que cosp + cosq = 2 cos 3) Calculer cos

cos

puis cos

+ cos

cos

.

. En déduire les valeurs exactes de cos

4) Résoudre cosx + cos2x + cos3x = 0 dans l’intervalle cercle trigo.

et cos .

. Représenter les solutions sur le

Exercice 5 1) Démontrer que pour tout

0,

2

tan Les annales THIAM

Mathématiques 1er S2 37

2) En déduire les valeurs exactes de tan et tan Exercice 6 1) Linéariser sin³a et cos³a 2) En déduire chacun des sommes suivantes A = cos³ B = sin³

cos³

cos³

sin³

cos³

sin³

sin³

Exercice 7 On considère l’équation sin

sin

(1)

1) Résoudre dans IR cette équation puis dans ] trigonométrique. 2) a) Démontrer que sin sin cos²

].Représenter les solutions sur le cercle

b)En déduire que l’équation (1) est équivalente à sin

cos²

cos

c)Parmi les solutions trouvées dans (1), les quelles sont aussi les solution de l’équation 4cos² 2 cos 3) On pose X=cos .Résoudre dans IR En déduire cos

4X² 2X

et cos

Exercice 8 1) a) En remarquant que

, calculer cos

b) En déduire cos

sin

2) Résoudre dans IR :

cos

3) a) Exprimer cos

; sin

et tan

tan sin

2

en fonction de sin

b) Soit l’équation (E ) : cos

2cos²

Montrer que (E) est équivalente à 8sin⁴ (E).

10sin²

puis résoudre dans IR l’équation

Exercice 9 Soit g la fonction définie par : g(x) = sin2x – 2 sinx 1) Démontrer que la g est périodique de période 2 et qu’elle est impaire 2) Etudier la fonction g sur . Tracer la représentation graphique de g dans un repère orthonormé O, i, j .

Les annales THIAM

Mathématiques 1er S2 38

11) GEOMETRIE DANS L’ESPACE

Voir les exercices du CIAM 1 S sur ce chapitre et faire les exos de 1 à 10 er

« Ne t’inquiète pas si tu as des difficultés en maths, je peux t’assurer que les miennes sont plus importantes ! » « L’imagination est bien plus importante que la connaissance »

Albert EINSTEIN (1879-1955)

FIN !!!!!!!!!!!!

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Mathématiques 1er S2

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