Mate 6 1er Trimestre [PDF]

Zitiervorschau

Edición anotada para el profesorado

PRIMARIA

6

Matemáticas El libro Matemáticas para el 6.o curso de Primaria es una obra colectiva concebida, diseñada y creada en el Departamento de Ediciones Educativas de Santillana Educación, S. L., dirigido por Teresa Grence Ruiz. En su elaboración ha participado el siguiente equipo: TEXTO Y EDICIÓN José Antonio Almodóvar Herráiz Jordi Bosch Argelich Ana de la Cruz Fayos (Libro anotado) Jesús Escudero Martín Pilar García Atance (Libro anotado) Silvia Marín García (Libro anotado) Carlos Pérez Saavedra (Libro anotado) Magdalena Rodríguez Pecharromán Domingo Sánchez Figueroa Manuel Santiago Espejo ILUSTRACIÓN Agustín Comotto Carlos Díaz Herrera Eduardo Leal Uguina EDICIÓN EJECUTIVA José Antonio Almodóvar Herráiz DIRECCIÓN DEL PROYECTO Domingo Sánchez Figueroa DIRECCIÓN Y COORDINACIÓN EDITORIAL DE PRIMARIA Maite López-Sáez Rodríguez-Piñero

Presentación del proyecto Saber Hacer cumple cuatro años. Es un proyecto de éxito, pero, como la realidad educativa es cambiante, ha llegado el momento de actualizarlo. Por eso ha nacido Saber Hacer Contigo. Saber Hacer Contigo incorpora importantes innovaciones metodológicas y pedagógicas que los docentes nos han reclamado para su práctica educativa, de ahí su nombre. El objetivo primordial es desarrollar en el alumnado las capacidades imprescindibles para los futuros ciudadanos y ciudadanas del siglo XXI: Las habilidades de comunicación La comunicación es uno de los ejes esenciales del proyecto. A través de diferentes programas, presentes en todas las áreas, se trabajan las destrezas comunicativas: – Tiempo para hablar. Comunicación oral. – Tiempo para leer. Competencia lectora. – Tiempo para escribir. Comunicación escrita.

Las destrezas de pensamiento Aprender a pensar y desarrollar el razonamiento lógico son otros de los ejes de Saber Hacer Contigo. Para ello se trabajan aquellas estrategias y rutinas que son necesarias para lograr un aprendizaje autónomo y eficaz, con el objetivo de que los alumnos y las alumnas adquieran habilidades de pensamiento de orden superior: – Fortalecer la comprensión y sintetizar las ideas más importantes. – Retener y recordar la información. – Interrelacionar conocimientos entre sí.

La interiorización de estas estrategias y rutinas facilitará el control del pensamiento y una mayor eficacia a la hora de aplicar los nuevos conocimientos. A lo largo de las unidades se incluye una sección destinada al entrenamiento del pensamiento, que se destaca con un icono de color azul.

La inteligencia emocional La educación de las emociones es esencial para la educación integral del alumnado. Los objetivos fundamentales que se plantean en Saber Hacer Contigo versan en torno a estos aspectos: – La identificación de las emociones propias y ajenas. – La autogestión y la regulación emocional. – La expresión de las emociones. – Las habilidades sociales y la empatía. Un icono de color rojo enmarca las actividades y propuestas encaminadas de forma específica al desarrollo de la inteligencia emocional.

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La creatividad La creatividad implica tener una imaginación viva, ser capaz de adaptarse a diferentes contextos y dar respuestas originales a situaciones o problemas inesperados. En nuestros libros se trabajan básicamente estas capacidades: – La búsqueda de estrategias personales e innovadoras.

El trabajo cooperativo Con el objetivo de que las alumnas y los alumnos desarrollen su capacidad de cooperar y sean capaces de trabajar juntos para alcanzar un objetivo común, en este proyecto se proponen actividades que requieren diferentes niveles de agrupamiento: – Trabajo por parejas.

– La utilización de formas creativas de expresión.

– Trabajo en equipo.

Las actividades que implican poner en juego la creatividad de manera especial se identifican con un icono de color verde.

Aquellas actividades en las que se sugiere trabajar por parejas o en equipo se identifican con distintos iconos.

La autorregulación del aprendizaje En Saber Hacer Contigo el alumnado tiene un papel activo en el proceso de enseñanza y se promueve la reflexión personal sobre su propio aprendizaje, para mejorar el conocimiento de sí mismos y detectar fortalezas y debilidades.

– Trabajo en grupo-clase.

Además, al finalizar cada uno de los trimestres se incluye un pequeño proyecto denominado Cooperamos, en el que se ponen en juego diferentes técnicas de aprendizaje cooperativo.

A lo largo de las unidades se incluyen pequeñas rúbricas para que los alumnos y alumnas tomen conciencia de lo que han aprendido y valoren cómo lo han hecho.

Atendiendo a los últimos avances de la neurociencia, Saber Hacer Contigo también incorpora una propuesta de GAMIFICACIÓN para activar la emoción y la curiosidad del alumnado, grandes palancas del aprendizaje. En el proyecto se ofrecen dinámicas propias del juego que ayudarán a transformar el aula, creando un ambiente estimulante y motivador.

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Índice

Comenzamos............................................................. 9 Unidad 1. Números naturales. Potencias................ 12 Unidad 2. Divisibilidad........................................... 32 Unidad 3. Números enteros.................................... 50 Unidad 4. Ángulos y circunferencia........................ 68 Cooperamos............................................................. 84 Terminamos el trimestre.......................................... 86 Unidad 5. Fracciones. Operaciones ........................ 88 Unidad 6. Números decimales. Operaciones........ 108 Unidad 7. División de números decimales............ 124 Unidad 8. Medida................................................ 142 Cooperamos........................................................... 160 Terminamos el trimestre........................................ 162 Unidad 9. Proporcionalidad y porcentajes ........... 164 Unidad 10. Área de figuras planas ...................... 182 Unidad 11. Cuerpos geométricos. Volumen ......... 200 Unidad 12. Probabilidad y estadística.................. 218 Cooperamos........................................................... 234 Repaso final........................................................... 236 Saber más.............................................................. 241

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Cuadro de contenidos Unidades

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Información y actividades

1. Números naturales. Potencias

• Números de hasta nueve cifras • Expresión polinómica de un número • Operaciones combinadas • Raíz cuadrada • Potencias • Números romanos Tratamiento de la información. Gráficos lineales

2. Divisibilidad

• Múltiplos y divisores • Criterios de divisibilidad • Cálculo de todos los divisores

3. Números enteros

• Números enteros • Suma y resta de enteros • Comparación de enteros • Coordenadas cartesianas Tratamiento de la información. Proyecto con gráficos lineales

4. Ángulos y circunferencia

• Tipos de ángulos • Simetría y traslación • Semejanza

5. Fracciones. Operaciones

• Números mixtos • Suma de fracciones • Fracciones equivalentes • Resta de fracciones • Reducción a común denominador • Multiplicación de fracciones • Comparación de fracciones • División de fracciones Tratamiento de la información. Histogramas

6. Números decimales. Operaciones

• Comparación y aproximación • Suma y resta de decimales

7. División de números decimales

• División de decimales • Problemas con decimales • Obtención de cifras en el cociente • Expresión decimal de una fracción Tratamiento de la información. Proyecto con histogramas

8. Medida

• Longitud, capacidad y masa • Superficie • Volumen con un cubo unidad • El metro cúbico. Submúltiplos

9. Proporcionalidad y porcentajes

• Proporcionalidad • Problemas de porcentajes • Porcentajes • Escalas: planos y mapas Tratamiento de la información. Análisis de gráficos de barras y lineales

10. Área de figuras planas

• Base y altura • Área de paralelogramos • Área del triángulo

11. Cuerpos geométricos. Volumen

• Poliedros • Volumen de prismas y pirámides • Cuerpos redondos • Volumen de cuerpos redondos Tratamiento de la información. Análisis de pictogramas e histogramas

12. Probabilidad y estadística

• Frecuencia absoluta y relativa • Media y moda

• Números primos y compuestos • M.c.m. y m.c.d. • Problemas de m.c.m. y m.c.d.

• La circunferencia. Longitud • El círculo y las figuras circulares • Posiciones relativas con rectas

• Multiplicación de decimales • Estimación de operaciones

• El metro cúbico. Múltiplos • Volumen y capacidad • Sistema sexagesimal

• Área de polígonos regulares • Área del círculo • Área de figuras planas

• Mediana y rango • Probabilidad

Solución de problemas

Cálculo mental

Saber hacer

Matemáticas manipulativas

• Pasos para resolver un problema

• Sumar 1.001, 2.001, 3.001... • Restar 1.001, 2.001, 3.001...

• Elegir un presupuesto

• Juega con las potencias

• Relacionar enunciado y resolución

• Sumar 999, 1.999, 2.999... • Restar 999, 1.999, 2.999...

• Organizar un campamento

• Juega con los múltiplos

• Sacar conclusiones de un enunciado

• Sumar por compensación (I) • Sumar por compensación (II)

• Interpretar datos geográficos

• Juega con los números enteros

• Elaborar tablas de informaciones

• Restar por compensación (I) • Restar por compensación (II)

• Realizar un diseño

• Juega con los ángulos

• Extraer datos de la resolución

• Multiplicar por decenas, centenas y millares • Dividir entre decenas, centenas y millares

• Estudiar la pureza de una joya

• Juega con las fracciones

• Cambiar los datos

• Multiplicar decimales por 10, 100... • Dividir decimales entre 10, 100...

• Analizar la Bolsa

• Juega con los decimales

• Explicar qué se ha calculado

• Multiplicar un número natural por 2 • Dividir un número natural entre 2

• Entender la etiqueta de un producto

• Juega con las divisiones

• Elegir preguntas que se pueden resolver

• Multiplicar un número natural por 5 • Dividir un número natural entre 5

• Analizar datos hidrológicos

• Juega con la medida

• Escribir la pregunta que se responde con unos cálculos

• Multiplicar un número natural por 11 • Multiplicar un número natural por 9

• Interpretar información científica

• Juega con los porcentajes

• Anticipar una solución aproximada

• Multiplicar un número natural por 4 • Dividir un número natural entre 4

• Diseñar envases

• Juega con las áreas

• Elegir la solución correcta

• Calcular el 10 % de un número • Calcular el 50 % de un número

• Trabajar con densidades

• Juega con cuerpos geométricos

• Determinar varias soluciones

• Calcular el 20 % de un número • Calcular el 25 % de un número

• Realizar un control de calidad

• Juega con la probabilidad

7

Iconos utilizados en este libro Las actividades en las que tendrás que trabajar junto con un compañero o compañera están marcadas con este símbolo.

EN

C

SA MIENT

RE

EM

8

O

P

En aquellas actividades en las que aparezca este icono, tendrás que cooperar con los demás y trabajar en equipo.

AT I V I D A

Este icono identifica las actividades en las que tendrás que ejercitar de forma especial tu capacidad de reflexión para sacar conclusiones.

D

Con las propuestas que encontrarás en la sección de creatividad tendrás que poner en juego tu imaginación para aportar ideas originales.

OCIONES

Las actividades que aparecen señaladas con este icono te animarán a expresar lo que sientes y a ponerte en el lugar de los demás.

Comenzamos • ¿Cuántos días han durado tus vacaciones de verano? ¿Eran más de 100 o menos? • ¿Has usado los números en alguna situación? ¿Eran números decimales? ¿Y las fracciones? • ¿En qué momentos has usado las operaciones? ¿Te acordabas de cómo se hacían? • ¿Has usado en algún momento unidades de medida? ¿Cuáles eran?

9 ES0000000093922 929017_U00_009_011_81775.indd 9

Comenzamos Lea en voz alta las preguntas o pida a sus alumnos y alumnas que vayan leyendo las preguntas una a una. Propicie en cada una de ellas que respondan libremente y fomente un debate en común con sus respuestas. Trabaje en especial las situaciones en las que durante las vacaciones han usado los números, las operaciones o las unidades de medida que aprendieron el curso pasado.

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En caso de que tengan dificultades para recordar situaciones relacionadas con las matemáticas, ayúdelos con pequeñas sugerencias mediante preguntas como: ¿hicisteis algún reparto?, ¿comprasteis algún recuerdo?, ¿cuánto dinero os devolvieron en esa compra?, ¿qué distancia viajasteis?...

Comenzamos 1

Forma números con estas palabras y escríbelos con cifras. Después, descomponlos. dos

SU GER E N CI A S

Recuerde en clase los contenidos trabajados en cursos anteriores y muéstreles que en este van a seguir avanzando en muchos de ellos.

s iento dosc

mil setecientos

cuarenta cinco

2

Escribe la fracción representada en cada caso y cómo se lee.

3

Descompón estos números decimales y escribe cómo se leen. 4,5 27,2

4

503.217

5

0,38 7,06

512.989

4 7

503.300

3 7

5 7

7,25 8

7,189 7,209

7,4 7,191

Calcula las siguientes operaciones. 2.368 1 4.996 7.502 2 3.987 1.256 3 308 4.375 : 137

6

24,137 358,501

Ordena cada grupo de números de menor a mayor.

530.012

LibroMedia Comparación de números.

noventa

7 4 1 5 5 2 5 1 9 9 11 9 2 7 7 2 13 2 5 5

3,59 1 2,725 14,8 2 3,196 2,7 3 3,45 39 3 12,48

Clasifica estas figuras planas y cuerpos geométricos.

LibroMedia Operaciones.

10

Soluciones

ES0000000093922 929017_U00_009_011_81775.indd 10

1 R. M. (Respuesta Modelo). Setecientos noventa mil cinco.

790.005 5 7 CM 1 9 DM 1 5 U 2 4/6, cuatro sextos. 8/12, ocho doceavos. 12/5, doce quintos.

7/2, siete medios. 4 U 1 5 d; 4 unidades y 5 décimas 3     2 D 1 7 U 1 2 d; 27 unidades y 2 décimas   3 d 1 8 c; 38 centésimas

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 7 U 1 6 c; 7 unidades y 6 centésimas  2 D 1 4 U 1 1 d 1 3 c 1 7 m; 24 unidades y 137 milésimas  3 C 1 5 D 1 8 U 1 5 d 1 1 m; 358 unidades y 501 milésimas 503.217 , 503.300 , 512.989 , 530.012 4    3/7 , 4/7 , 5/7  7,189 , 7,191 , 7,209 , 7,25 , 7,4 , 8 7.364   11/5   6,315 5    3.515   7/9   11,604  386.848   2/7   9,315  c 5 31, r 5 128   11/5   486,72

7

Completa en tu cuaderno. 3,5 km 5 … m 7,25 dm 5 … mm 4.200 m 5 … hm 3.750 cm 5 … dam

0,28 kl 5 … dl 920 dl 5 … dal 7,9 hl 5 … cl 45.000 ml 5 … hl

4,2 hm2 5 … m2 72.000 cm2 5 … m2 9.000 dm2 5 … m2 0,06 km2 5 … m2 8

LibroMedia Problemas.

0,28 g 5 … mg 0,072 hg 5 … dg 4.500 kg 5 … t 15.000 g 5 … kg 5 h 5 … min 12 min 5 … s 2.710 s 5 … min y … s 930 min 5 … h y … min

Resuelve los siguientes problemas.

S U GER EN CIAS

Un grupo musical vendió la primera semana de enero 29.356 copias de su disco; la segunda, 3.690 copias más que la primera; la tercera, igual que la segunda, y la última, 1.500 copias menos que la segunda. ¿Cuántos discos vendió el grupo en total en enero?

Señale la utilidad de las matemáticas para resolver situaciones reales y comente que este curso van a aprender a resolver situaciones nuevas.

En la fiesta de comienzo de curso, los cuatro quintos de los 420 estudiantes del colegio han venido disfrazados y el resto no. ¿Cuántos estudiantes no han venido disfrazados?

Laura ha organizado 1.080 archivos informáticos en carpetas. La mitad los ha puesto en carpetas de 27 archivos cada una, y el resto en carpetas de 180 archivos cada una. ¿Cuántas carpetas ha obtenido en total? Mercedes está pintando su casa. Si ya ha pintado los tres octavos, ¿qué parte le queda por pintar? Marina tenía que caminar 32 km. Ha hecho ya tres etapas de 9,75 km cada una. ¿Cuántos metros le faltan por recorrer? Una película dura 2 horas y 35 minutos. Luis ha visto ya 97 minutos. ¿Cuánto tiempo de película le falta por ver?

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6 Triángulo equilátero acutángulo, cuadrilátero trapezoide,

triángulo escaleno obtusángulo, paralelogramo romboide, pirámide pentagonal, esfera, prisma hexagonal. 3.500 m 7     725 mm   42 hm   3,75 dam   42.000 m2   7,2 m2

  2.800 dl   280 mg   9,2 dal   72 dg   79.000 cl   4,5 t   0,45 hl   15 kg  300 min  720 s

 90 m2  45 min y 10 s  60.000 m2  15 h y 30 min 29.356 1 2 3 33.046 1 31.546 5 126.994. Vendió 126.994 discos. 8    4/5 de 420 5 336; 420 2 336 5 84. Han venido 84 sin disfraz.  (1.080 : 2) : 27 5 20; (1.080 : 2) : 180 5 3 20 1 3 5 23. Ha obtenido 23 carpetas.  8/8 2 3/8 5 5/8. Le quedan por pintar 5/8.  32 2 3 3 9,75 5 2,75; 2,75 km 5 2.750 m. Le faltan 2.750 m.  2 h y 35 min 5 155 min. 155 2 97 5 58. Le faltan 58 minutos.

Antes de empezar Cálculo mental

Pequeños problemas

Suma 1.001, 2.001, 3.001… a números de cuatro cifras

SU GER E N CIA S 1.475

1 2.000

3.475

1. Un canal de vídeos tenía el año pasado 2.765 personas suscritas. Este año tiene 3.001 más. ¿Cuántas tiene este año?

2.345 1 1.001 5.062 1 4.001

1 2.001

Recuerde con la clase cómo se leían, descomponían y comparaban números de hasta siete cifras.

Calcula mentalmente

11

8.123 1 2.001 1.915 1 5.001

3.476

3.582 1 3.001 7.048 1 6.001

2. En la tienda recaudaron en enero 4.576 €. Este mes han recaudado 2.001 € menos. ¿Cuánto dinero han recaudado este mes?

Resta 1.001, 2.001, 3.001… a números de cuatro cifras 2 2.001

3.638

2 2.000

1.638

2.345 2 1.001 8.495 2 6.001 21

3.514 2 2.001 9.982 2 7.001

1.637

3. Dos protectoras de animales han recaudado 4.715 € y 1.001 € para una campaña. ¿Cuánto dinero han obtenido en total?

4.768 2 3.001 6.917 2 5.001

Un número, suma o resta Escribe 6.234 como una suma en la que un sumando sea: 1.001

2.001

3.001

Escribe 1.432 como una resta con sustraendo: 1.001

2.001

3.001

¿Qué sabes ya? Números de hasta siete cifras

LibroMedia Números de hasta siete cifras.

Productos de factores iguales

U. de millón

CM

DM

UM

C

D

U

2

0

0

7

8

0

0

Factores

Producto

7 3 7 3 7 5 343 Factores

2.007.800 5 2 U. de millón 1 7 UM 1 8 C

Producto

10 3 10 3 10 3 10 5 10.000

2.007.800 5 2.000.000 1 7.000 1 800 2.007.800 1

dos millones siete mil ochocientos

Descompón cada número y escribe cómo se lee. 3.604.059

7.186.002

7.200.000 2

3

7.530.906

7.192.000

Calcula el valor de cada producto repetido y escribe, en cada caso, el factor que se repite y cuántas veces lo hace. 3333333 434343434 2323232

Compara los números de la actividad 1 y contesta.

53535

¿Cuál es el número mayor? ¿Y el menor?

737

10 3 10 3 10

12 ES0000000093922 929017_U01_012_031_80871.indd 12

Soluciones

¿Qué sabes ya? 1 R. M. 3.604.059 5 3 U. de millón 1 6 CM 1

Un número, suma o resta R. M.  5.233 1 1.001 5 6.234

04/02/2019 13:07:00

 2.433 2 1.001 5 1.432

Pequeños problemas 1 2.765 1 3.001 5 5.766. Tiene 5.766 personas suscritas. 2 4.576 2 2001 5 2.575. Han recaudado 2.575 €. 3 4.715 1 1.001 5 5.716. Han obtenido 5.716 €.

1 4 UM 1 5 D 1 9 U F Tres millones seiscientos cuatro mil cincuenta y nueve. 2 Menor F 3.604.059 , 7.186.002 , 7.192.000 ,

, 7.200.000 , 7.530.906 G Mayor

3 R. M. Factor: 3. Se repite 4 veces.

3 3 3 3 3 3 3 5 81

S U GER EN CIAS

Puede pedir al alumnado que invente algún sistema propio para expresar números grandes (trabaje sobre todo las potencias de 10). Deberán justificar las ventajas de ese sistema.

1

Números naturales. Potencias

Tiempo para leer

Tiempo para hablar

Las estrellas se agrupan en galaxias, que son grupos de millones de estrellas junto con fragmentos de roca y gas. Las galaxias pueden adoptar distintas formas siendo las más comunes las elípticas y las espirales.

• ¿Qué es un millón? ¿Cómo se escribe ese número? ¿Cuántas cifras tiene?

La estrella más cercana a nuestro planeta es el Sol y los dos están situados en una galaxia que es la Vía Láctea. Solamente en nuestra galaxia hay más de 200.000 millones de estrellas. Muchas de ellas son como nuestro Sol y otras incluso son más grandes y brillantes. Se cree que en el universo hay aproximadamente unos 100.000 millones de galaxias, así que el número total de estrellas del universo es un número enorme, mucho mayor de lo que puedas imaginar.

• ¿Cuál es el número mayor que conoces? ¿Cómo se lee? ¿Cuántas cifras tiene? • ¿Puedes escribir otro número mayor que el número de la actividad anterior? ¿Cómo lo haces? ¿Podrías escribir otro más grande todavía?

LibroMedia Los signos matemáticos.

• Los números nos sirven para expresar cantidades. ¿Qué otros usos tienen? Pon ejemplos.

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Tiempo para leer Pida a un alumno o alumna que lea el texto y coméntelo con la clase. Pregunte su opinión sobre los enormes números que aparecen y reflexione sobre la utilidad que tendría poder representarlos de manera abreviada.

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Tiempo para hablar  1 U. de millón 5 1.000.000 U. Tiene 7 cifras.  R. M. 999.999.999. Se lee: Novecientos noventa y nueve millones novecientos noventa y nueve mil novecientos noventa y nueve. Tiene 9 cifras.  R. M. Sí. Añadiendo una unidad, una decena…  R. M. Para ordenar, codificar...

Números de hasta nueve cifras Estos son los nueve primeros órdenes de unidades.

LibroMedia Los números de hasta nueve cifras.

Centena Decena Unidad de millón de millón de millón

Centena Decena Unidad de millar de millar de millar Centena Decena Unidad

Recuerda que nuestro sistema de numeración es decimal, es decir, 10 unidades de un orden forman una unidad del orden inmediato superior.

10 U 5 1 D 10 D 5 1 C 10 C 5 1 UM 10 UM 5 1 DM…

Fíjate en la equivalencia de cada orden con las unidades.

SU GER E N CI A S

Deje clara la manera de leer estos números ya que suele plantear dificultades. Indique el diferente significado de los puntos y cómo a veces no se escriben.

1U51U

1 UM 5 1.000 U

1 U. de millón 5 1.000.000 U

1 D 5 10 U

1 DM 5 10.000 U

1 D. de millón 5 10.000.000 U

1 C 5 100 U

1 CM 5 100.000 U

1 C. de millón 5 100.000.000 U

El número 730.508.024 tiene nueve cifras.

10

730.508.024 5 7 C. de millón 1 3 D. de millón 1 5 CM 1 8 UM 1 2 D 1 4 U 5 5 700.000.000 1 30.000.000 1 500.000 1 8.000 1 20 1 4 730.508.024

setecientos treinta millones quinientos ocho mil veinticuatro

En el sistema de numeración decimal, 10 unidades de un orden forman una unidad del orden inmediato superior.

1

LibroMedia Números de hasta nueve cifras: descomposición.

2

Escribe en tu cuaderno los números anterior y posterior a cada uno. 2.000.000

40.000.000

800.000.000

9.999.999

69.999.999

499.999.999

Descompón cada número y escribe cómo se lee.

RECUERDA

3

.

.

… millones …

mil

…

4.057.193

216.530.047

9.820.641

503.960.204

37.104.270

710.008.506

85.319.002

978.300.290

Escribe con cifras los siguientes números. Tres millones veintiséis mil novecientos setenta.

LibroMedia Números de hasta nueve cifras: lectura.

Ocho millones ciento dos mil cuarenta. Setenta y dos millones seiscientos cuatro mil doscientos. Ochocientos quince millones cuatrocientos treinta mil sesenta y siete.

14

Soluciones

ES0000000093922 929017_U01_012_031_80871.indd 14

1.999.999 2 2.000.001 1  

04/02/2019 13:07:04

3.026.970 3    69.999.998 2 70.000.000

  9.999.998 2 10.000.000

 799.999.999 2 800.000.001

  39.999.999 2 40.000.001

 499.999.998 2 500.000.000

2 R. M. 4.057.193 5 4 U. de millón 1 5 DM 1

1 7 UM 1 1 C 1 9 D 1 3 U F Cuatro millones cincuenta y siete mil ciento noventa y tres.

 8.102.040

  72.604.200   815.430.067

26.030.792 . 25.814.620 4    83.150.441 . 83.150.370  45.370.904 , 46.000.003  674.209.503 , 678.051.004  715.280.600 . 93.740.205  803.126.345 . 802.999.999

1 4

Compara cada pareja de números.

5

26.030.792 y 25.814.620

674.209.503 y 678.051.004

RETO

83.150.441 y 83.150.370

715.280.600 y 93.740.205

45.370.904 y 46.000.003

803.126.345 y 802.999.999

Un billón es un millón de millones. ¿Cómo escribirías ese número? ¿Cuál sería su número anterior? ¿Y el posterior?

Piensa y compara en tu cuaderno. 4 U. de millón 1 5 CM 1 2 UM 12.602.752

1 D. de millón 1 3 CM

7 C. de millón 1 8 D. de millón 6

4.060.874

710.000.000

S U GER EN CIAS

Ordena de mayor a menor cada grupo. 285.103.490 65.790.234

285.073.000 428.190.000

286.640.999 63.999.000

Comente que en los países anglosajones un billón es mil millones, es decir, es mil veces menor que nuestro billón. Pídales que investiguen o traten de deducir qué es un trillón.

290.640.233

425.200.818

Problemas 7

LibroMedia Números de hasta nueve cifras: comparación.

Observa la tabla y aproxima al orden indicado. A los millares, el diámetro de cada planeta. A los millones, la distancia de cada uno al Sol. Diámetro (km)

HAZLO ASÍ Para aproximar a los millares compara la cifra de las centenas con 5. Para aproximar a los millones compara la cifra de las centenas de millar con 5.

Mercurio: 4.879 5.000 58.000.000 57.910.000

4.879

57.910.000

Venus

12.104

108.210.000

Tierra

12.742

149.600.000

Marte

6.779

227.940.000

139.822

778.340.000

Mercurio

Júpiter

LibroMedia Números de hasta nueve cifras: páginas web.

O

Contesta y razona tu respuesta. Vas a jugar a un juego en el que tienes que escribir un número de 9 cifras, el que quieras, y mostrarlo a tus compañeros, que habrán escrito otros números también de 9 cifras. Gana el que haya escrito el número menor, pero, si dos personas han escrito un número que tenga igual la cifra de las centenas de millón, perderán ambas.

EN

SAMIENT

EJEMPLO

Distancia al Sol (km)

P

¿Qué número escribirías? ¿Por qué?

15 ES0000000093922 929017_U01_012_031_80871.indd 15

04/02/2019 13:07:05

.      .      . 5  

Reto

290.640.233 . 286.640.999 . 285.103.490 . 285.073.000 6  

1.000.000.000.000

  428.190.000 . 425.200.818 . 65.790.234 . 63.999.000 7  

Mercurio Venus Tierra Marte Júpiter

A los millares 5.000 12.000 13.000 7.000 140.000

A los millones 58.000.000 108.000.000 150.000.000 228.000.000 778.000.000

999.999.999.999 2 1.000.000.000.001 Pensamiento R. L.

Operaciones combinadas Para calcular operaciones combinadas, es necesario seguir este orden:

LibroMedia Operaciones combinadas.

1.º Calcula las operaciones que hay dentro de los paréntesis. 2.º Calcula las multiplicaciones y divisiones en el orden en que aparecen. 3.º Calcula las sumas y restas en el orden en que aparecen. 6 1 (7 2 3) : 2

(3 1 1) 3 (7 2 4) 2 2

614:2

4

8:2231435

3 2 2

3

4231435

612

12 2 2

4 2 3 1 20

8

10

1 1 20 21

SU GER E N CI A S

Al hacer la actividad 1 muestre cómo las mismas cifras, usando paréntesis y cambiando los signos, pueden dar lugar a resultados muy diferentes.

6 1 (7 2 3) : 2 5 6 1 4 : 2 5 6 1 2 5 8 (3 1 1) 3 (7 2 4) 2 2 5 4 3 3 2 2 5 12 2 2 5 10 8 : 2 2 3 1 4 3 5 5 4 2 3 1 4 3 5 5 4 2 3 1 20 5 1 1 20 5 21

Al resolver operaciones combinadas, primero calculamos los paréntesis, después las multiplicaciones y divisiones y, por último, las sumas y restas.

1

LibroMedia Operaciones combinadas I.

2

Copia en tu cuaderno. Después, calcula y relaciona cada expresión con su resultado. 20 2 5 3 2

30

8 2 (6 1 4) : 2

0

15 2 3 3 4 1 1

49

(20 2 5) 3 2

10

82614:2

3

(15 2 3) 3 4 1 1

4

20 3 5 2 2

98

82624:2

4

15 2 3 3 (4 1 1)

0

Piensa qué operación debes hacer primero y calcúlala. PRESTA ATENCIÓN

LibroMedia Operaciones combinadas II.

3

9 2 20 : 4

40 : 8 2 (1 1 3)

1.º Paréntesis.

35 : 5 3 6

(9 2 4) 1 3 3 6

2.º Multiplicaciones y divisiones.

4 3 (7 1 3)

10 2 7 1 12 : 3

3.º Sumas y restas.

81332

(9 2 3) : 2 2 1

72518:416

9 2 (4 1 1) 1 7 3 6

9 : (7 2 6) 2 (2 1 5)

416:23529

6 : 3 1 8 3 (5 2 3)

(7 1 1) 1 (8 2 3) 3 4

Completa los huecos para que los resultados sean ciertos. 81

3 2 5 18

(

2 4) : 2 5 5

10 :

3356

2 3 (3 1

) 5 14

16

Soluciones

ES0000000093922 929017_U01_012_031_80871.indd 16

20 2 5 3 2 5 10 1  

 8 2 (6 1 4) : 2 5 3

  (20 2 5) 3 2 5 30

 8 2 6 1 4 : 2 5 4

  20 3 5 2 2 5 98

 8 2 6 2 4 : 2 5 0

  15 2 3 3 4 1 1 5 4   (15 2 3) 3 4 1 1 5 49   15 2 3 3 (4 1 1) 5 0

04/02/2019 13:07:06

4 2  

  1

 42

  23

 40

  7

 14

  2

 10

  46

  2

 10

  18

  28

  514

  55

3   5 5

  54

1 4

Calcula cada operación combinada. Después, elige y escribe la oración correspondiente.

LibroMedia Operaciones combinadas. Expresiones numéricas.

HAZLO ASÍ

5

92423

9242352 A 9 le resto 4 y al resultado le resto 3.

9 2 (4 2 3)

9 2 (4 2 3) 5 8 A 9 le resto la diferencia de 4 y 3.

92413

91433

93423

9 2 (4 1 3)

(9 1 4) 3 3

9 3 (4 2 3)

RETO

Calcula: [8 2 (2 1 3)] : (2 1 1) Los corchetes [ ] se usan para agrupar expresiones en las que haya paréntesis.

Escribe la expresión numérica y calcúlala. A 6 le sumo 3 y el resultado lo multiplico por 2.

S U GER EN CIAS

A 6 le resto la suma de 3 y 2.

Señale la importancia de leer con cuidado las expresiones en lenguaje usual de las operaciones combinadas para poder saber a qué operación combinada se refieren.

Multiplico 6 por la diferencia de 3 y 2. Divido 6 entre 3 y al resultado le resto 2.

Problemas 6

Resuelve el problema de dos formas en tu cuaderno, utilizando cada vez una de las expresiones indicadas. Roberto prepara por la mañana 45 bocadillos y vende 38. Por la tarde, prepara 30 y vende 27. ¿Cuántos bocadillos le han quedado sin vender? mañana 2

tarde 1

2

prepara

vende 2(

1

)5

O

Piensa y escribe.

EN

SAMIENT

1

5

Copia estas expresiones en tu cuaderno poniendo los paréntesis necesarios para que sean ciertas.

7243359

LibroMedia Operaciones combinadas. Problemas.

2372652 416:255

P

8221551

17 ES0000000093922 929017_U01_012_031_80871.indd 17

04/02/2019 13:07:06

8 4  

 21

 33

Reto

  2

 39

 9

[8 2 (2 1 3)] : (2 1 1) 5 [8 2 5] : 3 5 3 : 3 5 1

R. M. A 9 le resto 4 y al resultado le sumo 3. (6 1 3) 3 2 5 18 5     6 2 (3 1 2) 5 1

  6 3 (3 2 2) 5 6   6:32250

45 2 38 1 30 2 27 5 10 6     45 1 30 2 (38 1 27) 5 10

Pensamiento (7 2 4) 3 3 5 9

2 3 (7 2 6) 5 2

(4 1 6) : 2 5 5

8 2 (2 1 5) 5 1

Potencias Raúl tiene varias cajas de botes de tomate. En cada caja hay 3 filas con 3 botes en cada una. Las cajas están en paquetes de 3 cajas y Raúl tiene 3 paquetes. ¿Cuántos botes tiene?

LibroMedia Potencias.

Número de botes por caja 33359 3 3 3 3 3 5 27 Número de botes por paquete 3 3 3 3 3 3 3 5 81 Número de botes en total

Raúl tiene 81 botes de tomate.

SU GER E N CI A S

Muestre la similitud entre la multiplicación y la potencia como forma de expresar de forma abreviada la repetición de una operación.

Los productos de factores iguales se expresan en forma de potencia. Las potencias están formadas por una base y un exponente. Potencia Exponente: número de veces (4) que se repite el factor.

3 3 3 3 3 3 3 5 34

Base: factor que se repite (3). Los productos anteriores se expresan como potencias y se leen así: 32

33

3 al cuadrado o 3 elevado a 2.

34

3 al cubo o 3 elevado a 3.

3 a la cuarta o 3 elevado a 4.

Una potencia es un producto de factores iguales. El factor que se repite se llama base y el número de veces que se repite es el exponente.

LibroMedia Elementos de la potencia.

1

2

LibroMedia Lectura de potencias.

Expresa cada producto como potencia. Después, escribe su base y su exponente. 636

53535

2323232

43434343434

838

73737

838383838

3333333333333

Bases 4

5 7

4

LibroMedia Potencias. Verdadero o falso.

3

Forma todas las potencias posibles y escribe cómo se leen.

10

Expresa cada potencia con cifras en tu cuaderno y rodea su exponente.

Exponentes 2

3 6

7

Nueve al cuadrado

8 elevado a 7

Dos al cubo

3 elevado a 9

Tres a la octava

7 elevado a 8

Seis a la cuarta

10 elevado a 6

Ocho a la sexta

9 elevado a 5

Piensa y contesta. ¿Cuál es el valor de una potencia de base 1? ¿Y de una potencia de base 0? ¿Cuál es el valor de una potencia cuyo exponente es 1?

18 ES0000000093922 929017_U01_012_031_80871.indd 18

Soluciones

7

9  Exponente: 2      8   Exponente: 7 3  

62. Base: 6. Exponente: 2.   1  

 24. Base: 2. Exponente: 4.

  82. Base: 8. Exponente: 2.  

 85. Base: 8. Exponente: 5.

  53. Base: 5. Exponente: 3.  

 46. Base: 4. Exponente: 6.

  73. Base: 7. Exponente: 3.  

 37. Base: 3. Exponente: 7.

2 42, 43, 46, 47, 52, 53, 56, 57, 72, 73, 76, 77, 102, 103, 106, 107



04/02/2019 13:07:07

2

R. M. 42 F Cuatro elevado a dos o cuatro al cuadrado.

 23 Exponente: 3      39  Exponente: 9  38 Exponente: 8      78  Exponente: 8  64 Exponente: 4      106  Exponente: 6  86 Exponente: 6      95  Exponente: 5 De base 1: 1.     De base 0: 0. 4    El valor es igual a la base.

1 5

Calcula el valor del cuadrado y el cubo de los números del 1 al 10. PRESTA ATENCIÓN

2

22

32

42

52

3

3

3

43

53

1

1

Las potencias de exponente 2 se llaman cuadrados.

2

3

S U GER EN CIAS

Escriba en la pizarra la lista de los diez primeros cuadrados perfectos y cubos perfectos.

Las potencias de exponente 3 se llaman cubos. 6

Fíjate bien en las bases y exponentes de las potencias. Sin calcular, compara cada pareja y escribe en tu cuaderno la mayor de ellas. 27

24

94 65

74

95

Problemas 7

RETO

Calcula en tu cuaderno: 23 3 24 5 8 3 … 5 … 2314 5 27 5 …

S U GER EN CIAS

¿Qué observas? ¿A qué crees que será igual 22 3 26?

Pida a los estudiantes que investiguen cómo realizar operaciones con las potencias de la misma base, de manera similar a lo visto en el Reto.

Resuelve. Expresa las operaciones que hagas en forma de potencia. En un barrio hay 9 urbanizaciones. Cada urbanización tiene 9 bloques. En cada bloque hay 9 rellanos. En cada rellano hay 9 pisos. ¿Cuántos pisos hay en todas las urbanizaciones? Un club de ajedrez fue fundado por 3 amigas. Tuvo éxito y cada año el número de socios era el triple del año anterior. ¿Cuántos socios tenía el club en el quinto año? En un videojuego el número de pruebas que hay que superar en cada nivel es el doble de las del nivel anterior. Si en el nivel 1 hay dos pruebas, ¿cuántas habrá en el nivel 9?

C

RE

AT I V I D A

D

LibroMedia Potencias. Pilas.

Inventa y calcula. Juana ha inventado una operación usando las potencias y la suma. 4  3 5 43 1 4 5 68 ¿Cuál es el resultado de 3  4? La operación , ¿es conmutativa? Inventa una nueva operación que use las potencias y calcula varios ejemplos con ella.

19 ES0000000093922 929017_U01_012_031_80871.indd 19

5 Cuadrados: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100

Cubos: 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1.000 6 27 . 24    65 , 95    94 . 74

94 5 6.561 Hay 6.561 pisos. 7     35 5 243 Tenía 243 socios.   29 5 512 Habrá 512 pruebas.

04/02/2019 13:07:09

Reto 23 3 24 5 8 3 16 5 128

23 1 4 5 27 5 128

El producto de potencias de la misma base es igual a la potencia de la misma base y exponente la suma de sus exponentes. 22 3 26 5 28 5 256. Creatividad  34 1 3 5 84

No es conmutativa.

 R. M.: 2 ◊ 3 5 23 2 2 5 6

3 ◊ 1 5 31 2 3 5 0

Potencias de base 10. Expresión polinómica En la clase de 6.º A han calculado varias potencias de base 10.

LibroMedia Expresión polinómica de un número.

¡El exponente y el número de ceros coinciden!

101 5 10 102 5 10 3 10 5 100 103 5 10 3 10 3 10 5 1.000 104 5 10 3 10 3 10 3 10 5 10.000 105 5 10 3 10 3 10 3 10 3 10 5 100.000

106 5 10 3 10 3 10 3 10 3 10 3 10 5 1.000.000

Una potencia de base 10 es igual a la unidad seguida de tantos ceros como indica el exponente.

LibroMedia Potencias de base 10 I. 1

Escribe el valor de cada potencia. 104

2

3

105

108

106

109

Averigua el exponente de cada potencia. 10

LibroMedia Potencias de base 10 II.

103

5 100.000

10

5 10.000.000

10

5 100.000.000

100 5 10

100.000 5 10

1.000 5 10

10

10

10

5 1.000

5 1.000.000

5 10.000

Escribe la expresión polinómica de cada número.

HAZLO ASÍ Descomponlo primero y luego utiliza las potencias de 10. 47.093 5 4 3 10.000 1 7 3 1.000 1 9 3 10 1 3 5 4 3 104

LibroMedia Expresión polinómica de un número.

4

1 7 3 103

1 9 3 10 1 3

7.125

500.390

60.342

3.090.800

89.071

70.250.230

209.506

901.600.000

Escribe en tu cuaderno el número correspondiente a cada expresión polinómica. 7 3 105 1 6 3 104 1 8 3 102 1 2 3 10 1 5 9 3 106 1 3 3 105 1 5 3 103 1 4 3 10 2 3 106 1 1 3 105 1 7 3 102 1 3 8 3 107 1 5 3 106 1 1 3 105 1 4 3 103 1 6 3 102 1 9 3 3 107 1 2 3 104 1 102 1 8 3 10

20

Soluciones 10.000 1  

ES0000000093922 929017_U01_012_031_80871.indd 20

  100.000

  1.000.000

  100.000.000

  1.000.000.000

5 2  

  7

  8

  2

  5

  3

  3

  6

  4

  1.000

7.125 5 7 3 103 1 1 3 102 1 2 3 10 1 5 3     60.342 5 6 3 104 1 3 3 102 1 4 3 10 1 2

04/02/2019 13:07:11

 89.071 5 8 3 104 1 9 3 103 1 7 3 10 1 1  209.506 5 2 3 105 1 9 3 103 1 5 3 102 1 6  500.390 5 5 3 105 1 3 3 102 1 9 3 10  3.090.800 5 3 3 106 1 9 3 104 1 8 3 102

 70.250.230 5 7 3 107 1 2 3 105 1 5 3 104 1 2 3 102 1 3 3 10  901.600.000 5 9 3 108 1 1 3 106 1 6 3 105 760.825 4    9.305.040

  2.100.703   85.104.609

  30.020.180

1

Raíz cuadrada Juan es repostero y quiere cortar una tarta cuadrada en 25 raciones cuadradas iguales. ¿Cuántas raciones habrá en cada lado de la tarta?

LibroMedia Raíz cuadrada.

Para hallarlo, hay que buscar el número que multiplicado por sí mismo nos dé 25, es decir, el número cuyo cuadrado es 25. Ese número es la raíz cuadrada de 25 y se escribe • 25. 3 3 3 5 32 5 9 4 3 4 5 42 5 16 5 3 5 5 52 5 25

• 25 5 5

S U GER EN CIAS

La raíz cuadrada de 25 es 5.

Escriba la lista de los diez primeros cuadrados perfectos y debajo la raíz cuadrada de cada uno. Pregunte a los estudiantes qué creen que ocurre con la raíz cuadrada de los números que no son cuadrados perfectos. Hágales después que digan entre qué dos números puede estar dicha raíz.

2

• 25 5 5 porque 5 5 25.

En cada lado de la tarta habrá 5 raciones.

La raíz cuadrada de un número es otro número que, elevado al cuadrado, es igual al primero.

1

Observa y completa para cada cuadrado en tu cuaderno. Cada lado tiene … cuadrados. En total hay … cuadrados. El cuadrado de … es … La raíz cuadrada de … es …

2

Halla primero cada cuadrado y después escribe el valor de la raíz. 32

3

4

72

•9

92

• 49

• 81

82

• 64

102

• 100

LibroMedia Raíces cuadradas I.

Calcula cada raíz en tu cuaderno y explica por qué tiene ese valor. • 36

• 25

• 49

•1

EJEMPLO

• 36 5 … porque 62 es …

• 16

•4

• 64

•9

Piensa y contesta. ¿Qué número tiene como raíz cuadrada 0? ¿Y 1?

21 ES0000000093922 929017_U01_012_031_80871.indd 21

Soluciones

1 R. M. Cada lado tiene 2 cuadrados.

En total hay 4 cuadrados. El cuadrado de 2 es 4. La raíz cuadrada de 4 es 2.  82 5 64; • 64 5 8 2  32 5 9; • 9 5 3   72 5 49; • 49 5 7  102 5 100; • 100 5 10  92 5 81; • 81 5 9

04/02/2019 13:07:12

• 36 5 6 porque 62 5 36. 3    • 25 5 5 porque 52 5 25.

• 16 5 4 porque 42 5 16.   • 4 5 2 porque 22 5 4.  

 • 49 5 7 porque 72 5 49.  • 1 5 1 porque 12 5 1.

• 64 5 8 porque 82 5 64.   • 9 5 3 porque 32 5 9.  

4 El 0 tiene como raíz cuadrada 0.

El 1 tiene como raíz cuadrada 1.

Números romanos Los romanos utilizaban siete letras mayúsculas para escribir los números. Fíjate en el valor de cada una.

LibroMedia Números romanos.

Los números se escriben combinando las letras siguiendo estas reglas: REGLA DE LA SUMA. Una letra colocada a la derecha de otra de igual o mayor valor le suma a esta su valor. XV

10 1 5 5 15

LXI

50 1 10 1 1 5 61

REGLA DE LA RESTA. Las letras I, X y C colocadas a la izquierda de cada una de las dos letras de mayor valor que le siguen le restan a esta su valor. IV

52154

XL

50 2 10 5 40

REGLA DE LA REPETICIÓN. Las letras I, X, C y M se pueden repetir tres veces como máximo. Las letras V, L y D no se pueden repetir.

LibroMedia Números romanos. Reglas.

III

1111153

CCC

100 1 100 1 100 5 300

REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN. Una raya encima de una letra o grupo de letras multiplica por mil su valor. Se utiliza para escribir números mayores o iguales a 4.000. IV

1

4 3 1.000 5 4.000

VII

7 3 1.000 5 7.000

Aplica las reglas y escribe el valor de cada número romano. Regla de la resta

Regla de la suma

LibroMedia Números romanos.

XI

LV

CL

IV

XL

CD

CXX

MDC

MMC

IX

XC

CM

Regla de la multiplicación

2

V

VI

IVCCX

Escribe en números romanos estas series. 1, 2, 3, … hasta 9.

PRESTA ATENCIÓN

10, 20, 30, … hasta 90.

Piensa bien las reglas que debes aplicar.

100, 200, 300, … hasta 900. 1.000, 2.000, 3.000, … hasta 9.000. 3

XCLV

Aplica las reglas y escribe el valor de cada número. CXXV

DLXVI

MXCIX

IVD

XVXXXV

MDXII

CDXCII

MMCCIV

XIICV

XLCXLII

22 ES0000000093922 929017_U01_012_031_80871.indd 22

Soluciones 11 1  

04/02/2019 13:07:13

I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX 2    55

  150

  120

 1.600

  2.100

  4

 40

  400

  9

 90

  900

  5.000

 6.000

  4.210

 X, XX, XXX, XL, L, LX, LXX, LXXX, XC  C, CC, CCC, CD, D, DC, DCC, DCCC, CM  M, MM, MMM, IV, V, VI, VII, VIII, IX 125 3     90.055

  1.099

  15.035

 1.512

  2.204

  40.142

 566

  4.500

 492

  12.105

1 4

Escribe en números romanos.

HAZLO ASÍ 2.340 5 2.000 1 300 1 40 MM 2.340

5

CCC

XL

MMCCCXL

578

4.291

649

3.875

712

14.653

935

26.212

1.254

39.106

S U GER EN CIAS

Averigua los posibles valores de cada letra tapada. El valor del número romano debe cumplir la descripción dada. Es un número de tres cifras. La suma de sus cifras es 10.

RETO

¿Cuál crees que es el valor de este número romano? ¿Por qué?

Es el mayor número de tres cifras.

XLV

El paso de número decimal a romano suele plantear dificultades. Muestre la importancia de descomponer el número y expresar el valor de cada cifra en el sistema romano. Señale la importancia de comprobar que el número romano obtenido cumple las reglas y su valor es el correcto.

MXCIX

XII Sus cifras son pares. VIDCCCX

Problemas 6

Escribe en números romanos cuándo nació cada artista.

Francisco de Goya 1746

Vincent van Gogh 1853

Frida Kahlo 1907

AT I V I D A

D

Sofonisba Anguissola 1535

LibroMedia Números romanos. Torres.

RE

Resuelve e inventa.

C

Escribe este número en números romanos. Utiliza las letras obtenidas y las otras que se dan para formar el nombre de un ave.

150

AÓHN

Inventa tú acertijos similares a este.

23 ES0000000093922 929017_U01_012_031_80871.indd 23

DLXXVIII 4  

5

04/02/2019 13:07:17

 IVCCXCI

MDXXXV 6  

 MMMDCCCLXXV

  DCCXII

 XIVDCLIII

Reto

  CMXXXV

 XXVICCXII

12 3 1.000 3 1.000 5 12.000.000

  MCCLIV

 XXXIXCVI

Creatividad

C  

C  

X, L o C

 MDCCXLVI

  MDCCCLIII

  DCXLIX

 CL HALCÓN  R. L.

  MCMVII

COMPRUEBO MI PROGRESO 1

LibroMedia Compruebo mi progreso. 2

5

Descompón cada número y escribe cómo se lee.

Escribe con cifras y calcula. Ocho al cubo.

5.301.987

7.023.508

Dos a la séptima.

24.076.410

60.900.340

Nueve al cuadrado.

365.800.092

904.007.600

Cuatro elevado a 5. Diez elevado a 6.

Escribe en cifras estos números.

Uno elevado a 7.

Ciento dos millones noventa y ocho mil quinientos sesenta.

6

Setenta millones doscientos cuarenta y tres mil cinco. Nueve millones seiscientos veinte mil doscientos siete.

Expresa cada número utilizando una potencia de base 10. 100.000

Cuatrocientos ochenta millones setecientos seis mil ciento noventa.

7

El menor número de 9 cifras. El mayor número de 7 cifras. 8

El menor número impar de 6 cifras.

Pregunte al alumnado qué contenidos nuevos les resultan más complicados y por qué. Refuerce el trabajo sobre ellos con actividades que pueden ser propuestas por los propios estudiantes.

80.000

500.000

Escribe los números indicados.

SU GER E N CI A S

Cien millones

4.000

Setecientos sesenta millones seiscientos doce mil ciento uno. 3

Diez millones

1.000.000

9.000.000

Escribe la expresión polinómica de cada número. 3.567

7.010.045

15.094

30.608.001

607.108

204.600.070

Escribe el número. 8 3 105 1 3 3 102 1 7 3 10 1 4 2 3 106 1 9 3 104 1 3 3 102

El mayor número par de 8 cifras.

3 3 107 1 1 3 105 1 9 3 103 1 8 3 10 1 3 109 1 4 3 108 1 6 3 106 1 3 3 105 9

Todos los números comprendidos entre 389.999.998 y 390.000.002.

Calcula. • 36

• 100

• 25

• 49

10 Escribe. 4

Calcula.

El valor de los números

12 2 (9 2 5)

18 : 3 2 1 1 7

7 3 6 1 10

20 2 (5 2 2) 3 6

8 1 32 : 4

7 1 12 : 4 3 5

35 : (7 2 2)

10 1 8 : 2 2 (7 1 4)

(15 1 3 ) 3 4

16 : 8 1 (9 2 3 ) 3 2

20 2 8 3 2

(6 1 2) 3 5 : (9 1 1)

XXXIV CCLXXXI DCXX VICL

Con números romanos

XLIX MCM MCXII XIDLXI

68 134 3.765 11.590

93 759 5.492 24.546

24

Soluciones

ES0000000093922 929017_U01_012_031_80871.indd 24

8      52    16   7   72   4 4  

1 R. M. 5.000.000 1 300.000 1 1.000 1 900 1 80 1 7

Se lee: cinco millones trescientos un mil novecientos ochenta y siete. 2 R. M. 102.098.560

9.999.999 3     99.999.998

04/02/2019 13:07:18

  100.000.000   100.001

  389.999.999, 390.000.000, 390.000.001

 12    2      22   3   14    4 83 5 512 5    27 5 128 5

  92 5 81

  106 5 1.000.000

  45 5 1.024 3

  17 5 1 7

10 6  

  4 3 10

  10

  8 3 104

 106

  5 3 105

  10 8

  9 3 106

3 3 103 1 5 3 102 1 6 3 10 1 7 7 R. M.  

1 Problemas 11 Piensa y contesta.

12 ¿En qué año ocurrió? Escribe.

Manuel parte un tablero en 4 trozos iguales. Después, cada uno de ellos lo parte en otros 4 y así sucesivamente. ¿Cuántos trozos tendrá después de cinco veces? 1.º

Llegada a América: MCDXCII. Llegada a la Luna: MCMLXIX. Invención de la bombilla: MDCCCLXXIX. Invención del microscopio: MDXC.

2.º

Rita ha hecho un puzle cuadrado con 81 piezas cuadradas iguales. ¿Cuántas piezas ha puesto en cada lado del puzle? ¿Cuántas habría puesto si el puzle tuviera 17 piezas menos?

S U GER EN CIAS

Anime a los estudiantes a no quedarse nunca con dudas respecto a la resolución de una actividad. Señale la importancia de avanzar con seguridad en el aprendizaje.

13 Observa los precios y calcula.

¿Cuántos días hay que ir como mínimo para que resulte más barato sacar un bono de 10 días que entradas diarias? ¿Y para un bono de 20 días?

Precios 7€ – Entrada de 1 día 55 € – Bono de 10 días – Bono de 20 días 95 € 2 €/día – Alquiler de patines

Explica qué entrada le conviene sacar a cada uno y cuánto le costaría ir: – Andrea va a ir a patinar 8 días y no tiene patines propios. – Miguel quiere ir 13 días durante las vacaciones. No necesita alquilar patines. – Tomás piensa ir 2 veces a la semana durante 8 semanas. Tiene que alquilar patines.

¿CÓMO LO HE HECHO? Responde en tu cuaderno. ¿Sé leer y escribir números y aproximarlos? ¿Calculo operaciones combinadas, potencias y raíces? ¿Sé utilizar los números romanos? Pon una nota a tu trabajo en esta unidad.

25 ES0000000093922 929017_U01_012_031_80871.indd 25

800.374 8  

04/02/2019 13:07:20

5

 30.109.080

  2.090.300

4 5 1.024. Tendrá 1.024 trozos. 11    • 81 5 9. Ha puesto 9. • 64 5 8. Habría puesto 8.

 1.406.300.000

6 9  

  10

  5

  7

1492     1969     1879    1590 12  

34 10  

  49

  LXVIII

  XCIII

Hay que ir, por lo menos, 8 días. 13  

  1.900

  CXXXIV

  DCCLIX

  281

Hay que ir, por lo menos, 14 días.

  620

  1.112

  MMMDCCLXV

  VCDXCII

 Bono de 10 días 1 patines: 55 1 2 3 8 5 71 €

  6.150

  11.561

  XIDXC

  XXIVDXLVI

 Bono de 10 días 1 3 entradas de un día: 55 1 3 3 7 5 76 €  Bono de 20 días 1 patines: 95 1 2 3 16 5 127 €

SABER HACER Elegir un presupuesto LibroMedia Elegir un presupuesto.

A María y a su familia les encanta la astronomía y han decidido ir a ver una exposición sobre la exploración espacial en un país vecino. Ida

En la agencia de viajes les han preparado varios presupuestos para elegir:

Vuelta

22 Jul 2019

28 Jul 2019

Lunes

Domingo

Número de habitaciones: 1

Presupuesto 1

Adultos: Niños: Bebés:

105 € por persona. Menores de 12 años gratis.

2

2

0

Presupuesto 2

Edad de los niños: 12

90 € por persona. Menores de 9 años gratis. De 9 a 12 años pagan la mitad.

8

Además, hay vuelos de ida y vuelta con un importe por persona de 258 € más 95 € de tasas de aeropuerto. En la agencia les dicen que los menores de 9 años tienen el vuelo y las tasas incluidos en el precio del hotel. 1

Averigua qué presupuesto es mejor para la familia y halla el precio total.

2

Escribe cómo se leen, expresa polinómicamente y aproxima los números de la noticia.

SU GER E N CI A S

Haga una puesta en común de las variaciones en los presupuestos hechos por los estudiantes. Señale la importancia de considerar todas las condiciones a la hora de obtener el precio final.

La exposición fue visitada en Francia por 609.380 personas y en toda Europa por 2.009.271 personas.

3

Cambia las condiciones y los precios de los dos presupuestos y pide a tu compañero o compañera que halle cuál es el mejor y su precio total. Después, comprueba que lo ha hecho bien.

26

Soluciones

ES0000000093922 929017_U01_012_031_80871.indd 26

1 Presupuesto 1: 105 3 2 1 (258 1 95) 3 3 5 1.269 €

04/02/2019 13:07:22

Aproximadamente 600.000 personas en Francia. 2.009.271 se lee dos millones nueve mil doscientos setenta y uno.

Presupuesto 2: 90 3 2 1 90 : 2 1 (258 1 95) 3 3 5 1.284 €

2.009.271 5 2 3 106 1 9 3 103 1 2 3 102 1 7 3 10 1 1

El mejor presupuesto es el primero.

Aproximadamente 2.000.000 de personas en Europa.

Pagarán 1.269 €. 2 609.380 se lee seiscientos nueve mil trescientos

ochenta. 609.380 5 6 3 105 1 9 3 103 1 3 3 102 1 8 3 10

3 R. L.

1

MATEMÁTICAS MANIPULATIVAS

Juega con las potencias

Material de aula Fichas de colores.

Material: Ocho fichas por participante, de colores diferentes. Papel y lápiz. Número de jugadores: 2 Reglas del juego:

Bases

2

3

4

5

Exponentes

1

2

3

4

Se dibuja sobre una hoja de papel un tablero como este.

RESULTADOS

Por turnos, cada participante elige un número de la fila de las bases y otro de la fila de los exponentes. Después, calcula mentalmente la potencia y sitúa una ficha sobre el resultado. En caso de que el jugador o jugadora se equivoque de resultado o ese resultado esté ocupado, pierde su turno.

4

9

4

25

5

27

2

125

8

625

16

81

256

64

16

3 S U GER EN CIAS

El cálculo mental de las potencias más comunes se refuerza de manera sencilla con este juego. Una vez dominado, puede ampliar el tablero y practicar con los cuadrados y cubos perfectos.

Ganador : Gana quien primero consiga 3 fichas de su color en raya.

1

Un jugador tiene ocupadas las casillas con los números 3 y 81. ¿Qué base y qué exponente elegirías para que tu contrincante no gane la partida?

Retos matemáticos Segunda escritura del 100

Socorro

¿Sabrías obtener el número 100 utilizando solo números que contengan la cifra 3, las operaciones de suma, resta, multiplicación, división y algún paréntesis?

¿Cuál es el valor de cada letra?

La mayor y la menor Sabemos que:

I

S

1

S

O

S

O

S

A115B125C235D145E25

Fácil

¿Qué letra representa el número mayor?

¿Cuál es el número de dos cifras que es igual al doble del producto de sus cifras?

¿Cuál representa la menor?

27 ES0000000093922 929017_U01_012_031_80871.indd 27

Juega con las potencias 1 Base: 5  Exponente: 3  53 5 125

Retos matemáticos Segunda escritura del 100 R. M. 33 3 3 1 3 : 3

La mayor y la menor

04/02/2019 13:07:23

E es la mayor de todas y D es la menor. Socorro O 5 0 S 5 1 Fácil 36 5 3 3 6 3 2

I59

Solución de problemas Pasos para resolver un problema LibroMedia Pasos para resolver un problema.

Paloma sacó 5 entradas para el teatro. Entregó para pagar 3 billetes de 50 € y 2 de 20 €, y le devolvieron 5 €. ¿Cuánto costaba cada entrada? Para resolver el problema seguimos estos pasos: 1.º Comprende. ¿Cuánto costaba cada entrada?

Pregunta Datos

Pagó con 3 billetes de 50 € y 2 de 20 €. Le devolvieron 5 €.

2.º Piensa qué hay que hacer. 1.º Hay que hallar cuánto dinero entregó Paloma. Multiplica el valor de cada billete por el número de ellos y suma los productos. 2.º Hay que hallar el precio total de las entradas. Resta al dinero que entregó el dinero que le devolvieron. 3.º Hay que hallar el precio de cada entrada. Divide el precio total de las entradas entre el número de entradas que compró.

SU GER E N CI A S

Las fases de resolución son ya conocidas por los estudiantes. Haga hincapié, no obstante, en la importancia de la fase de comprobación y la de reflexión sobre el proceso que van a seguir (a menudo los alumnos y alumnas les dedican menos tiempo del que debieran).

3.º Calcula. 1.º 3 3 50 1 2 3 20 5 150 1 40 5 190 2.º 190 2 5 5 185 3.º 185 : 5 5 37 Solución: Cada entrada costaba 37 €. 4.º Comprueba. Revisa si está bien hecho.

Resuelve los problemas siguiendo los pasos adecuados. 1

En un depósito había 12.045 ℓ de agua y se llenaron 38 cisternas de 250 ℓ y 70 bidones de 15 ℓ. ¿Cuántos litros de agua quedaron en el depósito?

2

Álvaro compró una mesa de jardín por 56 €, dos tumbonas de 47 € cada una y cuatro sillones de 35 €. Entregó para pagar 300 €. ¿Cuánto dinero le devolvieron?

3

En una fábrica han envasado 10.000 kg de naranjas. De ellos, han puesto 5.680 kg en bolsas de 5 kg y el resto en bolsas de 2 kg. ¿Cuántas bolsas han obtenido en total?

4

Inventa con tu compañero o compañera un problema y resolvedlo siguiendo estos pasos.

28 ES0000000093922 929017_U01_012_031_80871.indd 28

Soluciones pág. 28

1 12.045 2 (250 3 38 1 70 3 15) 5 1.495

Quedaron 1.495 litros. 2 300 2 (56 1 2 3 47 1 4 3 35) 5 10

Le devolvieron 10 €. 3 10.000 2 5.680 5 4.320; 5.680 : 5 1 4.320 : 2 5 3.296

Han obtenido 3.296 bolsas. 4 R. L.

04/02/2019 13:07:24

Soluciones pág. 29 1 R. M. 30.705.200  F se lee treinta millones

setecientos cinco mil doscientos.

2 R. M. 4.080.258  F 8 DM 5 80.000 U   8 U

576.632      2.074     177.625 3   28.084 4    231.370

  86.100

 40.670

  671.400

  388.773

 796.450

  728.424

1

REPASO ACUMULATIVO 1

2

Escribe cada número y cómo se lee.

Multiplica.

3 D. de millón 1 7 CM 1 5 UM 1 2 C

476 3 59

581 3 70

4 C. de millón 1 9 DM 1 8 UM 1 3 U

6.805 3 34

937 3 850

6 C. de millón 1 2 U. de millón 1 1 C 1 8 D

350 3 246

746 3 900

2.079 3 187

1.208 3 603

Escribe en cifras. Después, escribe el valor en unidades de las cifras 8 en cada número.

5

4.903 : 67

7.452 : 36

Treinta y ocho millones ochocientos catorce mil seiscientos noventa.

36.873 : 51

86.743 : 285

79.350 : 482

296.985 : 479

18.330 : 390

657.900 : 860

Ochocientos veintinueve millones trescientos mil ochocientos ochenta.

6

6.027 2 3.953

5 105

1 64 5 453 52 2

456.932 1 37.651 1 82.049

5 23

93

5 243

3 30 5 240 342 :

2 106 5 48

273.105 2 95.480

En esta página se proponen actividades de repaso de las operaciones básicas para poder llegar a las unidades siguientes con los algoritmos practicados recientemente. Recuérdelos con los estudiantes en caso de que se presenten dificultades con alguno.

Averigua el factor desconocido de cada operación. 93 1

Calcula. Haz la prueba de las restas.

S U GER EN CIAS

Divide y haz la prueba.

Cuatro millones ochenta mil doscientos cincuenta y ocho.

Quinientos ochenta y dos millones setecientos ocho mil seis.

3

4

5 57

: 8 5 208

Problemas 7

Un autobús sale de la estación con 46 personas. En la primera parada se bajan 5 personas y suben 12, y en la segunda se bajan 20 y suben 3. ¿Cuántas personas continúan en el autobús?

9

En un montacargas han metido 2 cajas de 85 kg cada una y 45 paquetes de 8 kg cada uno. El peso máximo que admite el montacargas es de 600 kg. ¿Cuántos kilos más se pueden cargar en él?

8

Ester ha comprado 3 cajas de pastas de fresa y 4 cajas de pastas de chocolate. Después, ha repartido las pastas entre las 8 mesas del comedor. ¿Cuántas pastas ha puesto en cada mesa?

10 Elsa compró 16 m de tela roja y 18 m de tela

verde. Ha hecho 5 manteles de cada color, todos de 2 m de largo. ¿Cuántos metros de tela le han sobrado? 11 En un colegio hay 3 clases de 5.º y 3 de 6.º,

con 24 estudiantes en cada clase de 5.º y 26 estudiantes en cada clase de 6.º. Hoy han faltado 5 estudiantes de 5.º y 4 de 6.º. ¿Cuántos estudiantes de 5.º y 6.º han ido hoy al colegio? ¿A qué curso han ido más estudiantes? 12 Ana tiene la mitad del triple de años de Sara.

Luis tiene 32 años, el doble que Sara. ¿Cuántos años tiene Ana?

29 ES0000000093922 929017_U01_012_031_80871.indd 29

c 5 73, r 5 12 5  

04/02/2019 13:07:25

  c 5 207, r 5 0

9 600 2 (2 3 85 1 45 3 8) 5 70 kg.

  c 5 723, r 5 0

  c 5 304, r 5 103

10 16 2 5 3 2 1 18 2 5 3 2 5 14 m de tela.

  c 5 164, r 5 302

  c 5 620, r 5 5

11 3 3 24 2 5 5 67    3 3 26 2 4 5 74

  c 5 47, r 5 0

  c 5 765, r 5 0

12 6     389

  29

  27

  6

  154

  8

  1.664

7 46 2 5 1 12 2 20 1 3 5 36 personas. 8 (3 3 16 1 4 3 24) : 8 5 18 pastas.

67 1 74 5 141 estudiantes en total. Más en 6.º. 12 Luis: 32

Triple de Sara: 16 3 3 5 48

Sara: 32 : 2 5 16 Ana: 48 : 2 5 24

TRATAMIENTO DE LA INFORMACIÓN Interpretar gráficos lineales de dos características Material de aula Lámina de aula de Tratamiento de la información.

Patricia trabaja en una oficina y ha representado en el gráfico el número de correos y llamadas que tuvo cada día de la semana pasada. Llamadas

Correos

22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0

El viernes tuvo 18 llamadas y 10 correos. El número de llamadas aumentó del jueves al viernes.

Lunes

SU GER E N CI A S

1

Represente en la lámina de aula algunos ejemplos de gráficos lineales y trabaje la interpretación con la clase. Señale cómo las subidas y bajadas de las líneas nos marcan la evolución en el tiempo.

Martes

Miércoles Jueves

Viernes

Observa el gráfico anterior y contesta. ¿Qué día hubo más llamadas? ¿Qué día hubo menos correos? ¿Cuántas llamadas y correos hubo el martes? ¿Qué días aumentaron los correos respecto al día anterior? ¿Qué día disminuyeron las llamadas respecto al día anterior?

2

La veterinaria ha representado el peso en kilos de dos perros durante varios años. Observa el gráfico y contesta. Trisky 26 Peso en kg

22

20

18 14

16

22

18

Roco 24

22

20

24

18

18

2017

2018

10 6 2 0 2014

2015

2016

Año

¿Qué perro pesaba más en 2016? ¿En qué año pesó más cada perro? ¿En qué años disminuyó el peso de cada perro respecto al año anterior? ¿En qué año fue mayor la diferencia de peso entre Trisky y Roco?

30

Soluciones

ES0000000093922 929017_U01_012_031_80871.indd 30

El martes. El viernes. 1     20 llamadas y 12 correos. 20 1 12 5 32

04/02/2019 13:07:26

Trisky. 2    Trisky pesó 24 kg en 2016 y en 2018. Roco pesó 22 kg en 2017.

  El jueves.

 Trisky: en 2017. Roco: en 2015 y en 2018.

  El miércoles y el jueves.

 En 2018.

1 Representar gráficos lineales de dos características Material de aula Lámina de aula de Tratamiento de la información.

Pablo ha anotado en la tabla los botes de mermelada de cada clase que gastó cada mes en su nuevo restaurante. Ciruela

Enero

8

10

Febrero

12

6

Marzo

14

18

Abril

18

10

Mayo

16

12

Fresa

Ciruela

18 N.º de botes

Fresa

14 10 6 2 0

E

F

M

A

My Mes

S U GER EN CIAS

1

Prepare unos ejes rotulados en la lámina de aula y pida a dos estudiantes que salgan. Deberán ir representando en el gráfico los valores que les vayan diciendo los demás. Después, se trabajará la interpretación del gráfico obtenido.

Copia y completa el gráfico de arriba en tu cuaderno. Después, contesta. ¿En qué meses gastó más mermelada de fresa que en el mes anterior? ¿En qué meses gastó menos mermelada de ciruela que en el mes anterior? ¿En qué meses gastó más mermelada de ciruela que de fresa?

2

Haz en tu cuaderno una tabla con los refrescos de cada sabor vendidos por Ana cada día en su tienda. Después, copia el gráfico y represéntalos en él. Cola

De cada sabor, vendió Martes 3 refrescos menos que el lunes. Vendió 27 refrescos Miércoles de cola y 6 menos de limón. Vendió 15 de limón Jueves y 6 más de cola.

N.º de refrescos

Lunes Vendió 27 refrescos de cola y 21 de limón.

27 21 15 9 3 0

Vendió 27 refrescos Viernes de cola y 15 menos de limón.

Limón

L

M

X

J

V

¿Qué día vendió menos refrescos de cola? ¿Y más de limón? ¿En qué días vendió más refrescos de limón que el día anterior? ¿Qué días vendió más refrescos de cola que de limón?

31 ES0000000093922 929017_U01_012_031_80871.indd 31

04/02/2019 13:07:29

Soluciones

El jueves, 21. El lunes y el miércoles, 21. 2  

Febrero, marzo y abril.  1   18 14 10 6 2 0

 Febrero y abril. 

 Enero y marzo.

 El miércoles.  Todos. 27 21 15 9

E 

F 

M 

A 

My

3 0

L M X  J  V

Antes de empezar Cálculo mental

Pequeños problemas

Suma 999, 1.999, 2.999… a números de cuatro cifras

Calcula mentalmente

1.875

1 2.000

3.875

21

1. En 1975 Valcotos tenía 6.875 habitantes. Hoy tiene 2.999 habitantes más. ¿Cuántos habitantes tiene ahora?

2.345 1 999 3.582 1 2.999 5.062 1 3.999 8.123 1 4.999 1.915 1 6.999 7.048 1 8.999

1 1.999

3.874

2. El año pasado se sembraron 7.825 hectáreas de cereal. Este año se han sembrado 3.999 menos. ¿Cuántas hectáreas se han sembrado este año?

Resta 999, 1.999, 2.999… a números de cuatro cifras

SU GER E N CIA S

Es muy importante que el alumnado domine el algoritmo de la división para que pueda abordar con éxito la unidad. Deje claras las relaciones entre los términos de la división.

2.345 2 999 4.582 2 1.999 5.062 2 2.999 8.138 2 6.999 6.457 2 3.999 7.694 2 4.999

2 999

3.718

2 1.000

2.718

11

2.719

3. En una tienda vendieron el año pasado 7.235 bolsas de plástico. Este año, se ha reciclado más y han vendido 3.999 bolsas menos. ¿Cuántas bolsas han vendido?

Un número, suma o resta Escribe el número 4.178 como resultado de: Una suma en la que un sumando sea 2.999. Una resta en la que un término sea 999.

¿Qué sabes ya? División exacta y división entera Una división es exacta si su resto es cero. Si no lo es, es una división entera. Una división está bien hecha si verifica la prueba de la división.

LibroMedia División exacta y división entera.

División entera Dividendo

654 5 15 130 resto 0 4

1

División exacta divisor cociente

Dividendo

912 3 012 304 resto 0

r,d

d3c1r5D

d3c5D

4,5

5 3 130 1 4 5 654

3 3 304 5 912

divisor cociente

Calcula estas divisiones y haz la prueba. ¿Cuáles son exactas? 1.375 : 8

9.093 : 3

17.984 : 5

12.360 : 4

21.029 : 7

32 ES0000000093922 929017_U02_032_049_80869.indd 32

Soluciones Un número, suma o resta   4.178 5 2.999 1 1.179   4.178 5 5.177 2 999

Pequeños problemas 1 6.875 1 2.999 5 9.874. Tiene 9.874 habitantes ahora. 2 7.825 2 3.999 5 3.826. Han sembrado 3.826 hectáreas.

04/02/2019 13:09:32

3 7.235 2 3.999 5 3.236

Han vendido 3.236 bolsas.

¿Qué sabes ya? 1.375 : 8  F c 5 171, r 5 7 F División entera 1    9.093 : 3 F c 5 3.031, r 5 0 F División exacta  17.984 : 5 F c 5 3.596, r 5 4 F División entera  12.360 : 4 F c 5 3.090, r 5 0 F División exacta  21.029 : 7 F c 5 3.004, r 5 1 F División entera

S U GER EN CIAS

2

Muestre a los estudiantes que muchos productos se venden en grupos con igual número de elementos. Señale la relación con la multiplicación (¿cuántos elementos hay en total?) y la división (¿cuántos grupos hay?, ¿cuántos elementos tiene cada grupo?).

Divisibilidad

Tiempo para leer

Tiempo para hablar

Desde la prehistoria el ser humano ha utilizado la miel como alimento y como sustancia medicinal por sus propiedades.

• Una tienda ha comprado 3 cajas de frascos grandes y 5 cajas de frascos medianos. ¿Cuántos frascos grandes ha comprado? ¿Y medianos?

La miel es una sustancia viscosa, de color amarillento más o menos oscuro y sabor dulce, que producen las abejas a partir del néctar de las flores. La almacenan en panales y les sirve como alimento. Los apicultores cogen los panales y extraen la miel, que luego se refina en una planta de envasado y más tarde se envasa en frascos. Sonia es apicultora y tiene una máquina que envasa 1.920 frascos por hora. Los frascos grandes se agrupan en cajas de una docena y los medianos en cajas de 20 unidades.

LibroMedia Pitágoras y los pitagóricos.

• Si la máquina solo envasara frascos de un tipo, ¿cuántas cajas de frascos grandes envasaría cada hora? ¿Y de frascos medianos? • Los pedidos a las tiendas se sirven en cajas enteras. Para comprar 150 frascos grandes, ¿cuántas cajas hay que pedir? ¿Sobrará algún frasco? ¿Y para comprar 80 medianos?

33 ES0000000093922 929017_U02_032_049_80869.indd 33

Tiempo para leer Lea con los alumnos y alumnas el texto y pídales que comenten libremente sus impresiones sobre él. Señale que en los procesos industriales muchas veces se producen agrupaciones de objetos en conjuntos con el mismo número.

Tiempo para hablar   3 3 12 5 36. Ha comprado 36 frascos grandes. 5 3 20 5 100. Ha comprado 100 frascos medianos.

04/02/2019 13:09:34

 1.920 : 12 5 160. Envasaría 160 cajas. 1.920 : 20 5 96. Envasaría 96 cajas.  150 : 12 F c 5 12, r 5 6 Hay que pedir 13 cajas de frascos grandes. 13 2 6 5 7. Sobrarán 13 frascos grandes. 80 : 20 F c 5 4, r 5 0 Hay que pedir 4 cajas de frascos medianos y no sobrará ningún frasco.

Múltiplos de un número Quique hace una colección de naves extraterrestres que venden en el quiosco. En cada bolsita hay 3 naves. ¿Puede comprar 12 naves? ¿Y 14 naves?

LibroMedia Múltiplos de un número.

Según el número de bolsitas que compre, Quique puede tener estas naves:

Material de aula Fichas de colores.

N.º de bolsitas

0

1

2

3

4

5

N.º de naves

330 0

331 3

332 6

333 9

334 12

335 15

Quique puede comprar 12 naves, pero no 14. Fíjate: Quique puede no comprar ninguna nave o comprar 3, 6, 9, 12, 15… Los números 0, 3, 6, 9, 12, 15… son múltiplos de 3. Quique no puede comprar 14 naves. El número 14 no es múltiplo de 3.

SU GER E N CI A S

Para comprobar si un número es o no múltiplo de otro, hacemos una división.

Haga grupos con el mismo número de fichas de colores. Muestre cómo el número total de fichas al unir distintos grupos será múltiplo de ese número de fichas de cada grupo.

¿Es 12 múltiplo de 3?

¿Es 14 múltiplo de 3?

12 3 0 4

14 3 2 4

La división es exacta. 12 5 3 3 4 12 sí es múltiplo de 3.

La división es entera. 14 5 3 3 4 1 2 14 no es múltiplo de 3.

Los múltiplos de un número se obtienen multiplicando dicho número por los números naturales: 0, 1, 2, 3, 4… Un número a es múltiplo de otro b si la división a : b es exacta.

LibroMedia Múltiplos.

1

Calcula y explica cómo lo has hecho. Los seis primeros múltiplos de 2.

0, 2…

Los siete primeros múltiplos de 5. 2

LibroMedia Múltiplos de un número. Refrescos.

3

Los ocho primeros múltiplos de 6. Los diez primeros múltiplos de 9.

Haz la división y contesta. Razona tu respuesta. ¿Es 42 múltiplo de 7?

¿Es 54 múltiplo de 4?

¿Es 156 múltiplo de 12?

¿Es 60 múltiplo de 8?

¿Es 135 múltiplo de 5?

¿Es 378 múltiplo de 16?

Resuelve. Natalia compra las latas de refresco en paquetes de 6. ¿Puede comprar 72 latas? ¿Y 82 latas?

34

Soluciones

ES0000000093922 929017_U02_032_049_80869.indd 34

0, 2, 4, 6, 8, 10 1     0, 5, 10, 15, 20, 25, 30   0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42   0, 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81 2 R. M. 42 : 7 F c 5 6, r 5 0 F 42 es múltiplo de 7

porque la división es exacta.   60 no es múltiplo de 8.

04/02/2019 13:09:36

 54 no es múltiplo de 4.  135 es múltiplo de 5.  156 es múltiplo de 12.  378 no es múltiplo de 16. 3 72 : 6 F c 5 12, r 5 0 F Puede comprar 72 latas

en paquetes de 6. 82 : 6 F c 5 13, r 5 4 F No puede comprar 82 latas en paquetes de 6.

2

Divisores de un número Marta va a pegar 21 fotografías en su álbum. Quiere poner en cada hoja el mismo número de fotos y que no le sobre ninguna. ¿Puede poner 3 fotos en cada hoja? ¿Y 4 fotos?

LibroMedia Divisores de un número.

Si pone 3 fotos en cada hoja: 21 3 0 7

No le sobra ninguna foto. La división es exacta.

Sí puede poner 3 fotos en cada hoja. El número 3 es divisor de 21.

Material de aula Fichas de colores.

Si pone 4 fotos en cada hoja: 21 4 1 5

Le sobra 1 foto. La división es entera.

No puede poner 4 fotos en cada hoja. El número 4 no es divisor de 21.

Fíjate: La división 21 : 3 es exacta.

21 es múltiplo de 3. 3 es divisor de 21.

S U GER EN CIAS

Un número b es divisor de otro a si la división a : b es exacta. Si b es divisor de a, a es múltiplo de b, y, si a es múltiplo de b, b es divisor de a.

1

2

Haz cada división y contesta. Razona tu respuesta. ¿Es 6 divisor de 46?

¿Es 5 divisor de 80?

¿Es 17 divisor de 544?

¿Es 9 divisor de 72?

¿Es 8 divisor de 186?

¿Es 24 divisor de 456?

Observa los términos de cada división exacta y completa. 30 : 5 5 6 30 es … de 5. 5 es … de 30.

56 : 8 5 7

28 : 7 5 4

56 es … de 8. 8 es … de 56.

54 : 6 5 9 y 54 : 9 5 6 3

Muestre un montón de fichas de colores. Pida que las repartan en grupos con igual número de fichas. Señale que ese número de fichas y el número de grupos son divisores del número inicial de fichas.

▶

45 : 9 5 5

… es múltiplo de … … es divisor de …

… es múltiplo de … … es divisor de …

LibroMedia Divisores.

… es múltiplo de … y de … … y … son divisores de …

Resuelve. Rafa ha hecho 40 croquetas.

LibroMedia Divisores de un número. Croquetas.

¿Puede repartirlas en partes iguales en 8 platos sin que le sobre ninguna? ¿Y en 9 platos? Contesta a las preguntas anteriores si hubiera hecho 45 croquetas.

35 ES0000000093922 929017_U02_032_049_80869.indd 35

Soluciones

R.M. 46 : 6 F c 5 7, r 5 4 F 6 no es divisor de 46 1   porque la división no es exacta.

  9 es divisor de 72.   5 es divisor de 80.   8 no es divisor de 186.   17 es divisor de 544.   24 es divisor de 456.

04/02/2019 13:09:38

30 es múltiplo de 5. 2  

 28 es múltiplo de 7.

  5 es divisor de 30.   7 es divisor de 28.  56 es múltiplo de 8.

 45 es múltiplo de 9.

  8 es divisor de 56.   9 es divisor de 45. 40 : 8 F c 5 5, r 5 0 F Puede repartirlas. 3  

40 : 9 F c 5 4, r 5 4 F No puede repartirlas.

 45 : 8 F c 5 5, r 5 5 F No puede repartirlas. 45 : 9 F c 5 5, r 5 0 F Puede repartirlas.

Criterios de divisibilidad Los criterios de divisibilidad son formas de comprobar si un número es divisor de otro.

LibroMedia Criterios de divisibilidad.

2 es divisor de un número, es decir, ese número es divisible por 2 si su última cifra es par. 50 es divisible por 2 porque es par. 71 no lo es porque es impar. Un número es divisible por 3 si la suma de sus cifras es múltiplo de 3. 15 es divisible por 3 porque 1 1 5 5 6, y la división 6 : 3 es exacta. 26 no es divisible por 3 porque 2 1 6 5 8, y la división 8 : 3 no es exacta. Un número es divisible por 9 si la suma de sus cifras es múltiplo de 9. 99 es divisible por 9 porque 9 1 9 5 18, y la división 18 : 9 es exacta. 47 no es divisible por 9 porque 4 1 7 5 11, y la división 11 : 9 no es exacta.

SU GER E N CI A S

Un número es divisible por 5 si su última cifra es 0 o 5. 85 es divisible por 5; 54 no lo es.

Muestre la relación entre múltiplo, divisor y divisible Indique que son formas de expresar una misma realidad. Señale que los criterios nos permiten saber de forma rápida la relación de divisibilidad entre dos números sin tener que dividir.

Un número es divisible por 10 si su última cifra es 0. 370 es divisible por 10; 407 no lo es.

1

Calcula diez múltiplos de 2, 3, 5, 9 y 10 y comprueba que todos ellos cumplen su criterio de divisibilidad.

2

Aplica los criterios de divisibilidad y averigua qué números son divisibles por 2, por 3, por 5, por 9 o por 10.

6

4 40

45

LibroMedia Criterios de divisibilidad.

3

12 90

18

54 27

30

70 60

36

50

¿Hay algún número que sea divisible por 2, por 3 y por 5 a la vez? ¿Hay algún número que sea divisible por 2, por 3 y por 9 a la vez? ¿Hay algún número que sea divisible por todos ellos?

Aplica los criterios de divisibilidad y encuentra todos los números que cumplan cada condición. Comprendidos entre 118 y 167 y que sean divisibles por 5. Comprendidos entre 118 y 167 y que sean divisibles por 10. Comprendidos entre 306 y 323 y que sean divisibles por 3. Comprendidos entre 306 y 323 y que sean divisibles por 9.

4

Completa los huecos con cifras en tu cuaderno para que se cumpla cada condición.

7

LibroMedia Números divisibles.

Es divisible por 5. Es divisible por 9. Es divisible por 3 y 5. Es divisible por 2, 3, 5, 9 y 10.

36

Soluciones

ES0000000093922 929017_U02_032_049_80869.indd 36

 705, 720, 735, 750, 765, 780 y 795  

Un número divisible por 10 es divisible por 5. 5  

R. M. Múltiplos de 2: 12, 14, 16, 18, 20… 1  

Un número divisible por 5 no siempre es divisible por 10.

Son divisibles por 2 porque todos acaban en cifra par. 30, 60 y 90   2  

 18, 36, 54 y 90  

 Un número divisible por 10 es divisible por 2. Un número divisible por 2 no siempre es divisible por 10.

 90

120, 125, 130, 135, 140, 145, 150, 155, 160 y 165 3     120, 130, 140, 150 y 160 

 309, 312, 315, 318 y 321 

 Un número es divisible por 6 si lo es por 2 y por 3.   315

R. M. Basta con que la última cifra sea 0 o 5. Por ejemplo, 715. 4  

  702, 711, 720, 729, 738, 747, 756, 765, 774, 783 y 792

  720

 Un número es divisible por 4 si el número formado por sus dos últimas cifras es divisible por 4. Verdadero, porque el producto es número par. 6  

04/02/2019 13:09:39

2 5

Piensa y contesta. Un número que sea divisible por 10, ¿es divisible también por 5? ¿Y a la inversa? Un número que sea divisible por 10, ¿es divisible por 2? ¿Y a la inversa?

RETO

Escribe varios múltiplos de 11 de tres cifras y fíjate en los valores de las cifras que ocupan lugares pares e impares. ¿Cuál crees que es el criterio de divisibilidad por 11? Compruébalo en otros múltiplos que tengan más cifras.

Escribe varios números múltiplos de 6. ¿Son todos divisibles por 2? ¿Y por 3? ¿Cuál podría ser el criterio de divisibilidad por 6? Escribe varios números múltiplos de 4 y observa el número formado por sus dos últimas cifras. ¿Es múltiplo de 4? ¿Cuál podría ser el criterio de divisibilidad por 4? 6

LibroMedia Criterios de divisibilidad. Piensa.

Escribe verdadero o falso para cada frase. Si multiplicas entre sí dos números divisibles por 2, el resultado es divisible por 2. Si multiplicas varios números y uno de ellos es divisible por 10, el resultado también será divisible por 10.

S U GER EN CIAS

Señale que si un número b es divisible por otro número a todos los números divisibles por b serán también divisibles por a, pero no a la inversa. Exprese la misma relación usando las palabras múltiplo y divisor.

Problemas 7

Resuelve. En una central lechera tienen leche para rellenar 9.870 briks. ¿Cuáles de estas opciones pueden llevar a cabo? Opción 1. Envasar los briks de 3 en 3. Opción 2. Envasar los briks de 9 en 9. Opción 3. Envasar los briks de 6 en 6. Opción 4. Envasar la mitad de los briks de 6 en 6 y el resto de 3 en 3.

O

LibroMedia Criterios de divisibilidad. Verdadero o falso.

Piensa y contesta.

EN

SAMIENT

Opción 5. Envasar la mitad de los briks de 3 en 3 y el resto de 5 en 5.

La escalera que sube a la vieja torre del reloj tiene 22 escalones. Pedro los sube de 1 en 1, comenzando por el primer escalón. Ruth los sube de 2 en 2, comenzando por el segundo. Y Celia los sube de 3 en 3, comenzando por el tercero. ¿Cuáles son los escalones que solo pisan dos personas?

P

37 ES0000000093922 929017_U02_032_049_80869.indd 37

  Verdadero, porque el producto es múltiplo de 10. 7 9 1 8 1 7 1 0 5 24

04/02/2019 13:09:40

Reto

Opción 1 F Se puede llevar a cabo porque 9.870 es múltiplo de 3.

121, 132, 143… La suma de las cifras en posición par es igual a la suma de las cifras en posición impar.

Opción 2 FNo porque 9.870 no es múltiplo de 9.

Pensamiento

Opción 3 F Sí porque 9.870 es múltiplo de 6.

Los escalones que solo pisan dos personas son todos menos los múltiplos de 2 y de 3, es decir, los múltiplos de 6 y los que no son múltiplos de 2 y tampoco de 3. Estos son todos los escalones excepto el 5, el 6, el 7, el 11, el 12, el 13, el 17, el 18 y el 19.

Opción 4 F 9.870 : 2 5 4.935. No porque 4.935 no es múltiplo de 6. Opción 5 F 4.935 es múltiplo de 3. 4.935 es múltiplo de 5. Sí se pueden envasar según esta opción.

Cálculo de todos los divisores de un número Ramón quiere repartir 10 sándwiches en bolsas, de manera que en cada bolsa haya el mismo número de sándwiches. No quiere que le sobre ninguno. ¿Cuántos sándwiches puede poner en cada bolsa?

LibroMedia Cálculo de todos los divisores de un número.

Para averiguarlo, calcula todos los divisores de 10 así: 1.º Divide 10 entre los números naturales 1, 2, 3, 4… De cada división que sea exacta obtienes dos divisores: el divisor y el cociente. 2.º Deja de dividir cuando el cociente sea igual o menor que el divisor.

Material de aula Fichas de colores.

10 00

1 10

10 2 0 5

1 y 10

2y5

10 3 1 3

Como 3 5 3, deja de dividir.

No hay divisores.

Los divisores de 10 son 1, 2, 5 y 10.

SU GER E N CI A S

Realice el cálculo de divisores de un número de forma manipulativa, entregando un grupo de fichas al alumnado y pidiéndole que las agrupen en grupos iguales de todas las formas posibles.

En cada bolsa puede poner 1, 2, 5 o 10 sándwiches.

1

Calcula todos los divisores de cada número y contesta. 14

11 20

2

18 13

31 30

¿Qué número tiene más divisores? ¿Cuántos son? ¿Qué números tienen solamente dos divisores?

Contesta y razona tu respuesta. ¿Puedes escribir todos los múltiplos de un número? ¿Puedes hallar todos sus divisores? ¿Cuántos divisores tiene un número como mínimo? ¿Cuáles son?

LibroMedia Divisores de un número.

3

Resuelve. El profesor de Educación Física quiere hacer, con sus 20 alumnos y alumnas, equipos con el mismo número de personas y que no quede ninguna sola. ¿Cuántas personas puede poner en cada equipo? Elías quiere poner 15 fotos en su álbum. En cada página quiere poner el mismo número de fotos y que no le sobre ninguna. ¿Cuántas fotos puede poner en cada página?

LibroMedia Divisibilidad. Pelotas.

Pablo tiene que enviar 30 libros. Quiere hacer cajas con el mismo número de libros y que no sobre ninguno. ¿Cuántos libros puede poner en cada caja? ¿Cuántas cajas necesitará en cada caso?

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Soluciones 1 Div (11) 5 {1, 11}  Div (13) 5 {1, 13}  Div (31) 5 {1, 31}

Div (14) 5 {1, 2, 7, 14}  Div (30) 5 {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30} Div (20) 5 {1, 2, 4, 5, 10, 20}  Div (18) 5 {1, 2, 3, 6, 9, 18}   El número con más divisores es 30. Tiene 8 divisores.   11, 13 y 31 tienen solo dos divisores. No, los múltiplos de un número son infinitos. 2   Sí, el número de divisores de un número es finito.

04/02/2019 13:09:41

 Un número tiene 2 divisores como mínimo: 1 y él mismo. Div (20) 5 {1, 2, 4, 5, 10, 20} F Puede poner 2, 4, 5, 10 3   y 20 personas en cada equipo.

 Div (15) 5 {1, 3, 5, 15} F Puede poner 1, 3, 5, 15 fotos en cada página.  Div (30) 5 {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30} F Puede poner 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 libros en cada caja. Necesitará 30, 15, 10, 6, 5, 3, 2, y 1 cajas, respectivamente.

2

Números primos y compuestos Marcos tiene 13 cartas y Rocío, 14. Cada uno quiere repartir sus cartas en montones, de forma que cada montón tenga el mismo número de cartas y no sobre ninguna. ¿Cuántas cartas puede poner Marcos en cada montón? ¿Y Rocío? Calcula los divisores de 13

Calcula los divisores de 14

Divisores de 13

Divisores de 14

1 y 13

1, 2, 7 y 14

Marcos solo puede hacer los montones de dos formas: poniendo 1 o 13 cartas en cada montón.

Rocío puede hacer los montones de cuatro formas distintas: poniendo 1, 2, 7 o 14 cartas en cada montón.

El número 13 solo tiene dos divisores. Por eso se llama número primo.

El número 14 tiene más de dos divisores. Por eso se llama número compuesto.

LibroMedia Números primos y compuestos.

Un número es primo si solo tiene dos divisores: 1 y él mismo. Un número es compuesto si tiene más de dos divisores.

1

Calcula todos los divisores de cada número e indica si es primo o compuesto. 8

2

10

12

17

21

23

24

25

29

S U GER EN CIAS

Escribe los números del 2 al 30 y sigue estos pasos para hallar los que son primos.

2

3

4

5

1.º El 2 es primo, rodéalo. Desde 2, cuenta de 2 en 2 y tacha los múltiplos de 2.

7

8

9

10 11

12 13 14 15 16

2.º El 3 es primo, rodéalo. Desde 3, cuenta de 3 en 3 y tacha los múltiplos de 3 que no estén ya tachados.

17 18 19 20 21

3.º El 5 es primo, rodéalo. Desde 5, cuenta de 5 en 5 y tacha los múltiplos de 5 que no estén ya tachados.

22 23 24 25 26

4.º Los números no tachados son primos. Rodéalos.

27 28 29 30 101 100 99 98 97 96 95 94 93 92 91

D AT I V I D A

RE

C

Comente que todo número natural es primo o compuesto y señale que puede determinarse obteniendo sus divisores. La criba de Eratóstenes y las disposiciones geométricas de los primos suelen resultarles muy interesantes y pueden combinarse.

6

Piensa y dibuja. El matemático Stanislaw Ulam colocó los números en espiral y rodeó en rojo los primos hasta el 100. Observó que parecían agruparse formando líneas. Coloca tú los números de otra forma y rodea los primos. ¿Observas algo especial?

102 65 64 63 62 61 60 59 58 57 90 103 66 37 36 35 34 33 32 31 56 89 104 67 38 17 16 15 14 13 30 55 88 105 68 39 18

5

4

3

12 29 54 87

106 69 40 19

6

1

2

11 28 53 86

107 70 41 20

7

8

9

10 27 52 85

108 71 42 21 22 23 24 25 26 51 84 109 72 43 44 45 46 47 48 49 50 83 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82

39 ES0000000093922 929017_U02_032_049_80869.indd 39

Soluciones 1 Div (8) 5{1, 2, 4, 8}

Div (10) 5{1, 2, 5, 10} Div (12) 5{1, 2, 3, 4, 6, 12} Div (17) 5{1, 17} Div (21) 5{1, 3, 7, 21} Div (23) 5{1, 23} Div (25) 5{1, 5, 25} Div (29) 5{1, 29} Div (24) 5{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} Primos F 17, 23 y 29 Compuestos F 8, 10, 12, 21, 24 y 25

04/02/2019 13:09:43

2 Son primos los números 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 y 29.

Creatividad R. L.

Mínimo común múltiplo El autobús azul pasa por la parada de Sol cada 6 minutos y el rojo cada 9 minutos. A las 4 de la tarde han coincidido los dos en la parada. ¿Cuántos minutos, como mínimo, han de pasar para que vuelvan a coincidir?

LibroMedia Mínimo común múltiplo.

1.º Como el autobús azul pasa cada 6 minutos y el autobús rojo cada 9, calcula los primeros múltiplos de 6 y 9. Múltiplos de 6: 0, 6, 12, 18, 24, 30, 36… Múltiplos de 9: 0, 9, 18, 27, 36, 45…

SU GER E N CI A S

Haga ver al alumnado que el número de múltiplos comunes es infinito y que se trata de escoger el menor de ellos. Muestre que el método se puede aplicar a dos, tres o más números.

2.º Busca cuántos minutos han de pasar para que vuelvan a coincidir, es decir, buscamos los múltiplos comunes a ambos números. Múltiplos comunes de 6 y 9: 0, 18, 36… 3.º Averigua cuántos minutos como mínimo han de pasar para que vuelvan a coincidir, es decir, elige el menor múltiplo común distinto de cero. El menor múltiplo común distinto de 0 es 18. Este número es el mínimo común múltiplo de 6 y 9 y se escribe m.c.m. (6 y 9) 5 18.

El autobús rojo y el azul volverán a coincidir dentro de 18 minutos.

El mínimo común múltiplo de dos o más números es el menor múltiplo común distinto de cero de ambos números.

LibroMedia Mínimo común múltiplo. 1

Calcula.

RECUERDA Busca los múltiplos comunes a los números y elige, entre ellos, el menor distinto de cero.

LibroMedia Mínimo común múltiplo de tres números.

2

m.c.m. (2 y 5)

m.c.m. (4 y 7)

m.c.m. (3 y 5)

m.c.m. (5 y 8)

m.c.m. (3 y 6)

m.c.m. (3, 6 y 9)

Piensa y calcula. Andrea va a casa de sus abuelos cada 3 días y su primo David los visita cada 4 días. Hoy han coincidido los dos. ¿Cuántos días como mínimo han de pasar para que ambos vuelvan a coincidir?

LibroMedia Mínimo común múltiplo. Verdadero o falso.

3

Piensa y contesta. Pon ejemplos si lo crees necesario. El m.c.m. de dos números, ¿puede ser menor que ellos? ¿Puede ser igual a alguno de ellos?

40

Soluciones

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04/02/2019 13:09:45

El m.c.m. de dos números no puede ser menor 3  

m.c.m. (2 y 5) 5 10 1  

  m.c.m (4 y 7) 5 28

  m.c.m. (3 y 5) 5 15

  m.c.m (5 y 8) 5 40

  m.c.m. (3 y 6) 5 6

  m.c.m (3, 6 y 9) 5 18

2 m.c.m. (3 y 4) 5 12

Como mínimo, han de pasar 12 días para que vuelvan a coincidir en casa de sus abuelos.

que ellos, porque un número siempre es menor que sus múltiplos, excepto el 0.  El m.c.m. de dos números sí puede ser igual a alguno de ellos. Por ejemplo: m.c.m (3, 6) 5 6.

2

Máximo común divisor En la clase de Plástica quieren cubrir una cartulina de 16 cm de largo por 12 cm de ancho con fotos cuadradas iguales lo más grandes posible. ¿Cuánto debe medir el lado de cada foto?

LibroMedia Máximo común divisor.

1.º Como las fotos deben cubrir la cartulina completa, el lado de la foto debe ser un divisor de 16 y de 12. Calcula los divisores de 16 y 12: Divisores de 16: 1, 2, 4, 8 y 16. Divisores de 12: 1, 2, 3, 4, 6 y 12. 2.º Como las fotos han de ser cuadradas, su largo será igual que su ancho. Busca los divisores comunes a ambos números. Divisores comunes de 16 y 12: 1, 2 y 4.

S U GER EN CIAS

3.º El lado de la foto tiene que ser lo más grande posible. Elige el mayor divisor común de 16 y 12. El mayor divisor común de 16 y 12 es 4. Este número es el máximo común divisor de 16 y 12 y se escribe m.c.d. (16 y 12) 5 4.

El lado de cada foto medirá 4 cm.

El máximo común divisor de dos o más números es el mayor divisor común de esos números.

1

Comente que el número de divisores comunes es limitado y se trata de hallar el mayor de todos ellos (el menor es 1). Señale que el método es válido también para cualquier grupo de números.

Calcula.

RECUERDA Busca todos los divisores de los números, halla los comunes y elige el mayor. 2

m.c.d. (8 y 10)

m.c.d. (15 y 27)

m.c.d. (9 y 15)

m.c.d. (20 y 26)

m.c.d. (10 y 12)

m.c.d. (16, 24 y 32)

LibroMedia Máximo común divisor I.

Lee y contesta en tu cuaderno.

O

LibroMedia Máximo común divisor de tres números.

Piensa y razona si esta frase es correcta o no.

EN

SAMIENT

Lucía tiene un bidón con 10 litros de zumo de naranja y otro con 6 litros de zumo de limón. Llena con el zumo de cada bidón, sin mezclarlos, botellas de igual capacidad y no le sobra nada. ¿Qué capacidad tendrán, como máximo, las botellas? ¿Cuántas botellas obtendrá en ese caso?

Si el máximo común divisor de dos números es 1, esos dos números son primos.

P

41 ES0000000093922 929017_U02_032_049_80869.indd 41

04/02/2019 13:09:46

Soluciones

Pensamiento

m.c.d. (8 y 10) 5 2 1  

 m.c.d. (15 y 27) 5 3

  m.c.d. (9 y 15) 5 3

 m.c.d. (20 y 26) 5 2

  m.c.d. (10 y 12) 5 2

 m.c.d. (16, 24, 32) 5 8

2 m.c.d. (10 y 6) 5 2 F Cada botella tendrá como

máximo 2 ℓ de capacidad.

10 : 2 5 5 F Obtendrá 5 botellas de zumo de naranja. 6 : 2 5 3 F Obtendrá 3 botellas de zumo de limón.

Que el 1 sea el m.c.d. de dos números no significa que sean primos, si no que es el único divisor común que tienen. Por ejemplo, m.c.d. (15 y 8) 5 1, y ni 15 ni 8 son primos.

Problemas de m.c.m. y de m.c.d. Gonzalo tiene tiras rojas de 4 cm y tiras azules de 6 cm. Ha hecho un listón con tiras rojas y otro con tiras azules. Los dos listones tienen la misma longitud y, además, es la menor posible. ¿Cuál es la longitud de los listones?

LibroMedia Problemas de m.c.m. y de m.c.d.

1.º La longitud del listón debe ser múltiplo de 4 y 6.

m.c.m. (4 y 6) 5 12

2.º La longitud del listón debe ser la menor posible. m.c.m. (4 y 6) 5 12

La longitud de los listones es de 12 cm.

Un terreno rectangular de 120 m de largo y 80 m de ancho se divide en parcelas cuadradas lo más grandes posible sin que sobre nada de terreno. ¿Cuánto medirá el lado de cada parcela?

SU GER E N CI A S

Pida siempre que razonen por qué han hallado el m.c.d o el m.c.m. para evitar que lo calculen de forma irreflexiva. Muestre la importancia de determinar si la solución obtenida tiene sentido o no.

1.º El lado de cada parcela debe ser un divisor de 120 y de 80.

m.c.d. (120 y 80) 5 40

2.º El lado debe ser lo más grande posible. m.c.d. (120 y 80) 5 40

1

Piensa y resuelve. Un semáforo se pone rojo cada 14 segundos y otro semáforo cada 8 segundos. A las 9:30 los dos semáforos estaban en rojo. ¿Cuántos segundos pasarán hasta que vuelvan a estar los dos en rojo por primera vez?

El lado de cada parcela medirá 40 m.

¿Calculo múltiplos o divisores? ¿Calculo el máximo o el mínimo?

Ángela tiene 10 refrescos y 15 zumos. Los coloca en bolsas con igual número de bebidas, todas del mismo tipo, de manera que haya el mayor número posible en cada bolsa y no sobren. ¿Cuántas bebidas debe poner en cada bolsa? Alfredo tiene una tablilla rectangular de 18 cm de largo y 20 cm de ancho. Corta la tablilla en cuadrados iguales lo más grandes posible. ¿Cuánto mide el lado de cada cuadrado?

LibroMedia Problemas de m.c.m. y de m.c.d.

Iván tiene gripe y toma un jarabe cada 8 horas y una pastilla cada 12 horas. Acaba de tomarse las dos medicinas juntas. ¿Dentro de cuántas horas tomará por primera vez de nuevo las dos medicinas juntas?

42

Soluciones

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m.c.m. (14 y 8) 5 56 F Pasarán 56 segundos hasta que 1   vuelvan a estar en rojo a la vez.

  m.c.d. (10 y 15) 5 5 F Debe poner 5 bebidas en cada bolsa.   m.c.d. (18 y 20) 5 2 F El lado de cada cuadrado mide 2 cm.   m.c.m. (8 y 12) 5 24 F Dentro de 24 h tomará las dos medicinas de nuevo.

26/02/2019 14:21:13

m.c.m. (12 y 9) 5 36 F Han de pasar 36 días. 2    m.c.d. (12 y 16) 5 4 F Cada trozo será de 4 cm.  m.c.d. (20 y 15) 5 5 20 : 5 5 4 cajas de 5 kg de cerezas en cada una. 15 : 5 5 3 cajas de 5 kg de fresas en cada una.  m.c.d. (18, 20 y 14) 5 2 F Cada garrafa será de 2 ℓ.

2 2

Piensa y resuelve. Antonio tiene una tienda de ropa y calzado. Cada 12 días se traslada a otra ciudad para comprar ropa, y cada 9 días, para comprar calzado. Hoy ha ido a la ciudad y ha comprado ropa y calzado. ¿Cuántos días han de pasar hasta que vuelva a comprar ropa y calzado a la vez? Marina tiene un listón de madera de 16 cm y otro de 12 cm. Quiere cortar los dos listones en trozos de igual tamaño, de manera que no le sobre nada. ¿Cuál será la longitud máxima de cada trozo?

LibroMedia Clases de atletismo.

RETO

Calcula el mínimo común múltiplo de estos dos resultados: m.c.m. (5 y 10) m.c.d. (14 y 21)

S U GER EN CIAS

La invención de situaciones por parte de los estudiantes en las que se tenga que hallar el m.c.m. o el m.c.d. es siempre interesante porque les ayuda a comprender bien el concepto. Haga una puesta en común con las propuestas aportadas.

En una frutería había 20 kg de cerezas y 15 kg de fresas. Hicieron cajas de igual peso y tipo de fruta, todas del mayor peso posible, y no sobró fruta. ¿Cuántas cajas obtuvieron? En la lechería de Martín hay 3 depósitos, uno con 18 litros, otro con 20 y otro con 14. La leche se envasa en garrafas de igual capacidad procurando que sea la mayor posible, sin que sobre leche. ¿Cuál es la capacidad de cada garrafa? 3

Lee y escribe en tu cuaderno para cada enunciado una pregunta y su solución. Roberto y su hermana Tania tienen la misma cantidad de dinero. Roberto solo tiene monedas de 2 € y Tania solo tiene billetes de 5 €. Pregunta: …

Solución: m.c.m. (2 y 5) 5 …

…

Natalia va a clase de natación cada 8 días, Luis cada 6 días y Gema cada 10. Hoy han coincidido los tres en la piscina. Juan tenía 24 rosas y 20 claveles. Quiere hacer ramos lo más grandes posible, todos con igual número de flores, y todas del mismo tipo, sin que sobre ninguna.

Piensa y escribe.

C

RE

AT I V I D A

D

LibroMedia Exhibición escolar. Dos parejas de números distintos que tengan el mismo m.c.d. ¿Se te ocurre alguna forma de obtener otras de forma fácil? Dos parejas de números distintos que tengan el mismo m.c.m. ¿Sabrías escribir una regla para obtener otras fácilmente?

43 ES0000000093922 929017_U02_032_049_80869.indd 43

¿Qué cantidad de dinero tiene cada uno como mínimo? 3   Cada uno tiene 10 €.   ¿Cuántos días pasarán como mínimo hasta que vuelvan a coincidir? m.c.m. (8, 6 y 10) 5 120 F Pasarán 120 días.   ¿Cuántas rosas pondrá en cada ramo como máximo? m.c.d. (24 y 20) 5 4 F Pondrá 4 rosas.

04/02/2019 13:09:49

Reto  m.c.m. (5 y 10) 5 10     m.c.d. (14 y 21) 5 7 Creatividad  R. M. m.c.d. (10 y 15) 5 5     m.c.d. (20 y 15) 5 5 R. L.  R. M. m.c.m. (3 y 4) 5 12     m.c.m. (2 y 12) 5 12 R. L.

COMPRUEBO MI PROGRESO 1

7

Contesta. ¿Cómo calcularías los diez primeros múltiplos de 7? Escríbelos.

LibroMedia Compruebo mi progreso.

Si multiplicas dos números primos entre sí, ¿el resultado será un número primo? ¿Y si multiplicas dos números compuestos? ¿Y un primo y un compuesto?

¿Cómo calcularías todos los divisores de 40? Hállalos. 2

Calcula todos los divisores de cada número y contesta. 12

17

38

14

13

24

¿Qué números son primos? ¿Por qué? ¿Cuáles son compuestos? 3

8

Explica qué es el m.c.m. y el m.c.d. de una pareja de números.

9

Calcula. m.c.m. (6 y 10)

m.c.m. (7 y 14)

m.c.m. (10 y 16)

m.c.m. (6, 8 y 12)

10 Calcula.

Piensa y completa en tu cuaderno. Usa las palabras múltiplo, divisor y divisible.

4

Piensa y contesta.

42 es … de 7.

9 es … de 90.

8 es … de 24.

60 es … por 5.

60 es … por 6.

40 es … de 8.

m.c.d. (9 y 12)

m.c.d. (20 y 40)

m.c.d. (15 y 18)

m.c.d. (8, 38 y 62)

11 Calcula y contesta.

¿Es 24 múltiplo de 3?

24

¿Cuál es el m.c.m. (24 y 3)? ¿Y el m.c.d. (24 y 3)?

3

Estudia la divisibilidad por 2, por 3, por 5, por 9 y por 10 de cada número.

¿Es 56 múltiplo de 7?

7

¿Cuál es el m.c.m. (56 y 7)? ¿Cuál es el m.c.d. (56 y 7)?

56

SU GER E N CI A S

50

Pregunte al alumnado qué contenidos de la unidad le han resultado más complicados y trabájelos en común. Realice distintas actividades potenciando que unos estudiantes ayuden a otros.

18

5

120

24 90

180

12 Fíjate en los resultados de la actividad 11

y contesta.

75

Si un número a es múltiplo de b, ¿cuál es el m.c.m. (a y b)? ¿Y el m.c.d. (a y b)?

Busca y escribe. Los números menores de 40 que son divisibles por 2 y por 9.

¿Cuál será el m.c.m. (36 y 9)? ¿Y su m.c.d.? 13 Averigua y contesta.

Los números comprendidos entre 20 y 50 que son divisibles por 5 y por 9. 2

Los números menores de 60 que son divisibles por 2, por 3 y por 5. Los números menores de 50 que son divisibles por 5 pero no por 10. 6

Piensa y contesta. Un número de 81 cifras formado por 80 treses y un 6 al final, ¿es múltiplo de 3? ¿Es divisible por 2?

3

5

11

Los números 2 y 5, ¿son primos? ¿Cuál es su m.c.d.? ¿Y su m.c.m.? Los números 3 y 11, ¿son primos? ¿Cuál es su m.c.d.? ¿Y su m.c.m.? Si dos números son primos, ¿cuál es su m.c.d.? ¿Y su m.c.m.?

44

Soluciones

ES0000000093922 929017_U02_032_049_80869.indd 44

Divisibles por 3 F 24, 120, 180, 18, 90 y 75 Divisibles por 5 F 50, 120, 180, 90 y 75 Divisibles por 9 F 180, 18 y 90 Divisibles por 10 F 50, 120, 180 y 90

Multiplicando 7 por 0, 1, 2, 3... hasta 9 1   Múltiplos de 7 5 {0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63…}   Div (40) 5 {1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40}

18 y 36 5  

Son primos 17 y 13: sus únicos divisores son 1 y él mismo. 2    divisor 

  divisible 

  divisor 

4 Divisibles por 2 F 50, 24, 120, 180, 18 y 90

 30

 5, 15, 25, 35 y 45

6 80 3 3 1 6 5 246 F 2 14 1 6 5 12 F es divisible por 3.

El número termina en cifra par F es divisible por 2.

  Son compuestos 12, 14, 38 y 24. múltiplo  3  

 45

 divisible 

 múltiplo

7 En ningún caso el número obtenido será primo. 8 R. L.

04/02/2019 13:09:51

2 Problemas 14 Resuelve.

15 Piensa y resuelve.

Gerardo tiene que empaquetar 18 cafeteras en cajas, todas con igual número de cafeteras y que no sobre ninguna. ¿De cuántas formas lo puede hacer Gerardo? Un cuento tiene entre 100 y 110 páginas. Si las cuentas de 2 en 2, no sobra ninguna, y si las cuentas de 3 en 3, tampoco. ¿Cuántas páginas puede tener el cuento?

S U GER EN CIAS

Proporcione a los alumnos y las alumnas 3 números, por ejemplo, 12, 14 y 18. Pregúnteles cuál es su m.c.d. y m.c.m. Después, dígales que se añade un nuevo número al conjunto, por ejemplo, el 20. Pídales que investiguen cómo afecta al valor del m.c.m. y del m.c.d. Pruebe con números nuevos mayores, menores y comprendidos entre los números iniciales.

Quiero colocar 20 rosas, 16 margaritas y 12 claveles en jarrones. En cada jarrón pongo el mismo número de flores, todas de igual tipo, y no me sobran. ¿Cuántas flores como máximo puedo poner en cada jarrón? Paula tiene un reloj que suena cada 30 minutos y otro cada 15 minutos. A las 9 de la mañana los dos relojes han sonado. ¿Cuántos minutos, como mínimo, han de pasar hasta que vuelvan a coincidir? Yolanda parte una tela, de 20 m de largo por 8 m de ancho, en piezas cuadradas lo más grandes posible y sin que le sobre nada de tela. ¿Cuánto mide el lado de cada pieza?

16 Resuelve.

Angie está estudiando los hábitos de un animal y ha colocado cuatro cámaras que hacen una foto cada cierto tiempo. Cámara 1

4 minutos

Cámara 3

5 minutos

Cámara 2

6 minutos

Cámara 4

8 minutos

A las 8 de la mañana las cuatro cámaras han coincidido y han hecho todas una fotografía. ¿Cuántos minutos, como mínimo, pasarán hasta que vuelvan a coincidir las cámaras 1 y 2? ¿Y las cámaras 3 y 4? ¿Cuántos minutos pasarán hasta que coincidan las cámaras 1, 2 y 3? ¿Y las cámaras 2, 3 y 4? ¿A qué hora volverán a coincidir por primera vez las cuatro cámaras?

¿CÓMO LO HE HECHO? Responde en tu cuaderno. ¿Sé calcular múltiplos y divisores? ¿Uso correctamente los criterios de divisibilidad? ¿Reconozco si un número es primo o compuesto? ¿Sé resolver problemas de m.c.d. y m.c.m.? Pon una nota a tu trabajo en esta unidad.

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04/02/2019 13:09:53

30 9  

m.c.d. (20, 16 y 12) 5 4 F Puedo poner 4 flores. 15  

3 10  

 m.c.m. (30 y 15) 5 30 F Han de pasar 30 minutos.  m.c.d. (20 y 8) 5 4 F El lado mide 4 metros. Cámaras 1 y 2 F m.c.m. (4 y 6) 5 12 F 12 min 16   Cámaras 3 y 4 F m.c.m. (5 y 8) 5 40 F 40 min  Cámaras 1, 2 y 3 F m.c.m. (4, 6 y 5) 5 60 F 60 min Cámaras 2, 3 y 4 F m.c.m. (6, 5 y 8) 5 120 F 120 min  m.c.m. (4, 6, 5 y 8) 5 120 F 120 min 5 2 h Volverán a coincidir a las 10 de la mañana.

11 12 13 14

 80   14   24  3   20   2   Sí  24; 3   Sí   56; 7   m.c.m. (a y b) 5 a; m.c.d. (a y b) 5 b      36; 9   Sí; m.c.d. 5 1; m.c.m. 5 10    Sí; m.c.d. 5 1; m.c.m. 5 33   El m.c.d. de dos primos es 1, y el m.c.m. es su producto.   Div (18) 5 {1, 2, 3, 6, 9 y 18} F 6 formas.   Hay que buscar un múltiplo de 6 entre 100 y 110. Puede tener 102 o 108 páginas.

SABER HACER Organizar un campamento LibroMedia Organizar un campamento.

En el mismo pueblo donde Sara tiene su planta de envasado, una asociación juvenil celebra habitualmente campamentos. Sara a menudo colabora con ellos en las tareas de organización y ayuda a la hora de los juegos, la comida, el alojamiento…

SU GER E N CI A S

La actividad 2 propone un reto para el alumnado. En ella el divisor no será el número de elementos del grupo, sino el número de grupos. Además, en el enunciado aparece la palabra "mínimo", que les puede llevar a calcular el mínimo sin pensar. Haga una puesta en común para asegurarse de que comprenden bien la situación.

1

Piensa y resuelve. La semana pasada en el campamento hubo entre 70 y 80 campistas. Se hicieron grupos de 2 para una carrera y de 9 para un concurso, y nadie quedó sin participar. ¿Cuántos campistas asistieron? Sara tiene 40 botes de refresco y los quiere repartir en bolsas de manera que en cada una haya el mismo número de refrescos. ¿De cuántas formas puede hacerlo? Para la merienda Sara tiene 20 bocadillos de jamón y 12 bocadillos de chorizo. Quiere hacer platos con el mismo número de bocadillos, todos del mismo tipo, y que no sobre ninguno. Si lo hace de manera que el número de bocadillos en cada plato sea el máximo posible, ¿cuántos platos obtendrá?

2

Resuelve con tu compañero o compañera. En el campamento de esta semana hay 30 chicas y 18 chicos. Para una actividad se quieren hacer grupos mixtos, todos con la misma composición de chicos y chicas, de manera que el número de grupos total sea el mínimo posible. ¿Cómo pueden hacerlo? ¿Cuántos grupos se obtendrán en total? ¿Cuántas personas habrá en cada grupo?

46

Soluciones

ES0000000093922 929017_U02_032_049_80869.indd 46

Buscamos un múltiplo de 18 entre 70 y 80. 1   Asistieron 72 campistas.   Div (40) 5 {1, 2, 4, 5, 8, 10, 20 y 40} F Puede hacerlo de 8 formas diferentes.   m.c.d. (20 y 12) 5 4 F Pondrá 4 bocadillos por plato. 20 : 4 5 5 F 5 platos de bocadillos de jamón. 12 : 4 5 3 F 3 platos de bocadillos de chorizo.

04/02/2019 13:09:56

Div (30 y 18) 5 2, 3 y 6. Como queremos el menor número 2   de grupos tomaremos el menor divisor común, 2.  Se obtendrán 2 grupos.  30 : 2 5 15 F Habrá 15 chicas por grupo. 18 : 2 5 9 F Habrá 9 chicos por grupo. Por tanto, en cada grupo habrá 24 personas.

2

MATEMÁTICAS MANIPULATIVAS

Juega con los múltiplos Número de participantes: 5 Reglas del juego: Se toman los números 2, 3, 4, 5, 6 y 7 de las tarjetas numéricas y se barajan.

4

3

Material: Baraja de tarjetas numéricas, papel y lápiz.

2

7

Por turnos, uno de los participantes ocupa el puesto de controlador del juego. Este será el encargado de: – Extraer dos cartas que mostrará a los demás. Estos serán los números de los que hay que calcular múltiplos. – Anotar en una hoja los múltiplos que se van diciendo. – Determinar si los múltiplos que se dicen son correctos o ya se han dicho. – Decidir si un participante se demora en decir un múltiplo cuando le corresponde. – Elegir el orden en que los participantes jugarán.

5

Material de aula Baraja de tarjetas numéricas.

6 S U GER EN CIAS

Saque dos tarjetas con números para formar un número de dos cifras. Pida a los estudiantes que averigüen, en un tiempo dado, todos los divisores que puedan. Amplíe el campo numérico a números de tres cifras si lo estima oportuno.

Una vez extraídas las dos cartas, el primer participante tendrá que decir en voz alta un múltiplo del número de la primera carta. Si este es correcto, el segundo dirá un múltiplo de la segunda carta. Si es correcto, el tercero tiene que decir un múltiplo de la primera carta que sea distinto al que ya se ha dicho. El juego continúa en el orden establecido diciendo alternativamente múltiplos de los números de ambas cartas. Un jugador o jugadora pierde si se demora en decir un múltiplo, el múltiplo es incorrecto o ya se ha dicho. Obtiene 1 punto el último participante que queda tras ser eliminados los demás. Ganador: Gana el participante que consigue primero 3 puntos. 1

Di dos múltiplos de 6 distintos de 12, 24, 30 y 36.

Retos matemáticos Conejos y palomas

Un euro

En una granja hay conejos y palomas. Todos los animales tienen en total 30 ojos y 44 patas. ¿Cuántos conejos y palomas hay?

Sin utilizar monedas de 2 céntimos, ¿cómo se puede conseguir 1 € con 50 monedas?

47 ES0000000093922 929017_U02_032_049_80869.indd 47

Juega con los múltiplos R. M. 60 y 66 1  

Retos matemáticos Conejos y palomas Todos los animales tienen 2 ojos. Como hay 30 ojos: 30 : 2 5 15 F Hay 15 animales en total. Por tanteo:

26/02/2019 14:21:16

4 conejos y 11 palomas F 4 3 4 1 11 3 2 5 38 patas 5 conejos y 10 palomas F 5 3 4 1 10 3 2 5 40 patas 7 conejos y 8 palomas F 7 3 4 1 8 3 2 5 44 patas Hay 7 conejos y 8 palomas. Un euro 40 monedas de 1 céntimo, 2 monedas de 10 céntimo y 8 monedas de 5 céntimos.

Solución de problemas Relacionar enunciado y resolución Escribe qué resolución corresponde a cada problema y su solución.

SU GER E N CI A S

Agrupe a los estudiantes por parejas y pídales que escriban un problema y su resolución en dos hojas diferentes. Después, mezcle problemas y soluciones y expóngalos ante la clase. Los alumnos y alumnas deberán emparejar cada problema con su resolución. Haga una puesta en común para comprobar que todos han hecho las asociaciones correctamente.

Juan tenía 4 bolsas con 20 kg de nueces cada una. Vendió el lunes 35 kg y el martes 25 kg. ¿Cuántos kilos le quedaron?

A

Luisa tenía 35 €, Marta 25 € y Teo 4 billetes de 20 €. ¿Cuánto dinero tenían los tres juntos?

B

En cada uno de los 4 vagones de un tren iban 20 personas. En una parada bajaron 35 personas y subieron 25. ¿Cuántas personas quedaron?

C

4 3 20 5 80 1

80 2 35 5 45 45 1 25 5 70

4 3 20 5 80 2

35 1 25 5 60 80 2 60 5 20

4 3 20 5 80 3

35 1 25 5 60 80 1 60 5 140

El problema A se resuelve con los cálculos del cartel 2. Solución: Le quedaron 20 kilos. Escribe tú en tu cuaderno la resolución y la solución de los problemas B y C.

1

Copia en tu cuaderno, asocia cada problema con su resolución y escribe su solución. Susana envasó 30 kg de manzanas, 20 kg de peras y 40 kg de naranjas. Las puso en bolsas de 5 kg. ¿Cuántas bolsas obtuvo? Carmen tenía 30 €. Gastó 20 € en un libro y su tío le dio 40 € por su cumpleaños. Gastó el dinero que tenía en 5 camisetas de igual precio. ¿Cuánto le costó cada camiseta? En la tienda tenían 30 abrigos. Vendieron 20 y el resto lo repartieron en 5 lotes iguales. ¿Cuánto costaba cada lote si el precio de un abrigo era de 40 €?

30 2 20 5 10 A

1

10 : 5 5 2 2 3 40 5 80 30 2 20 5 10

B

2

10 1 40 5 50 50 : 5 5 10

30 1 20 5 50 C

3

50 1 40 5 90 90 : 5 5 18

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Soluciones pág. 48

04/02/2019 13:10:00

Soluciones pág. 49

El problema B se resuelve con los cálculos del cartel 3.

R. M. Cinco millones cincuenta mil seis. 1  

El problema C se resuelve con los cálculos del cartel 1.

10.000.006     987.654.321     9.899.999 2   R. M. 10.000.006 5 10.000.000 1 6

Problema A - cartel 3. Solución: Susana obtuvo 18 bolsas. 1     Problema B - cartel 2. Solución: Cada camiseta le costó 10 €.

3

  Problema C - cartel 1. Solución: Cada lote costaba 80 €.

IVDXCII     XIIXLVII     3.466     14.740 4  

5 9  

5 0  

5 0  

23      42      56     104 5   475.285 6  

  76.734

5 1  

5 9  

50

2

REPASO ACUMULATIVO 1

2

4

Escribe cómo se lee cada número. 5.050.006

3.800.070

4.592

MMMCDLXVI

98.150.203

60.201.804

12.047

XIVDCCXL

120.008.900

706.099.470

5

Escribe cada número y halla su descomposición. El menor número par de ocho cifras que acaba en 6. El mayor número impar de nueve cifras con todas sus cifras distintas.

6

El mayor número de siete cifras cuya cifra 8 vale 800.000 U. 3

Escribe en números romanos o calcula.

Completa cada hueco en tu cuaderno. 89.789.898 ,

0.000.000

12.310.006 . 12.3 208. 99

04 , 208.

9.187 00 , 208.200

.989 . 998.991 . 998.99

7

Expresa como potencia y escribe su base y su exponente. 23232

53535353535

434

10 3 10 3 10 3 10

Calcula. 275.286 1 199.999

189 3 406

719.084 2 535.801

4.587 : 59

903.104 2 67.909

75.087 : 264

Resuelve estas operaciones combinadas. 5342633

9 2 (9 2 3 3 2)

20 2 (4 1 2) 3 3

6 1 2 3 8 2 11

6332511

8 2 (5 2 3) 2 2

329:312

10 : (6 2 1) 2 1

S U GER EN CIAS

Anime al alumnado a abordar las actividades de repaso como una forma de tener siempre presentes los contenidos más importantes del curso y poder así entender más fácilmente lo trabajado en las unidades posteriores.

Problemas 8

9

En la caja de una tienda hay 18 billetes de 20 € y 7 de 10 €. Un cliente paga un jersey de 40 € con un billete de 50 €. ¿Cuánto dinero habrá en la caja después de esa venta?

10 Luis tiene 11 años. Su madre tiene el triple

Mónica envasó su cosecha de 800 kg de manzanas en bolsas de 5 kg. Después, guardó la mitad de las bolsas en cajas de 40 kg cada una. ¿Cuántas bolsas obtuvo Mónica? ¿Y cuántas cajas?

11 Para pagar una cena, un grupo de 5 amigos

de años que él y su abuelo muchos más. La suma de las edades de los tres es 99 años. ¿Cuántos años tiene el abuelo de Luis? pone 30 € cada uno. Les devuelven 3 billetes de 10 € y dejan 5 € de propina. ¿Cuánto dinero han gastado en total? 12 De los 510 alumnos y alumnas de un colegio,

la mitad son chicos y de ellos un tercio comen en casa. ¿Cuántos chicos del colegio comen en casa? 13 En una tienda han comprado 20 lavadoras

a 350 € cada una y han subido su precio 35 €. ¿Cuántas lavadoras, como mínimo, tienen que vender para no perder dinero? ¿Qué beneficio podrán obtener como máximo?

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04/02/2019 13:10:01

  183.283

 c 5 77, r 5 44

  835.195

 c 5 284, r 5 111

2 7     2

10 11 3 3 5 33  99 2 11 2 33 5 55

Tiene 55 años.

  14

 6

 4

11 30 3 5 2 3 3 10 1 55 125. Han gastado 125 €.

  2

 11

 1

12 (510 : 2) : 3 5 85. Comen en casa 85 chicos.

8 18 3 20 1 7 3 10 1 40 5 470 € 9 800 : 5 5 160. Obtuvo 160 bolsas.

40 : 5 5 8. Hay 8 bolsas en cada caja. (160 : 2) : 8 5 10. Obtuvo 10 cajas en total.

13 20 3 350 5 7.000  350 1 35 5 385

7.000 : 385 F c 5 18, r 5 70 F Tendrían que vender 19 lavadoras para no perder dinero. 385 3 20 5 7.700  7.700 2 7.000 5 700 Obtendrán 700 €.

Antes de empezar

Material de aula Lámina de aula de Tratamiento de la información.

Cálculo mental

Pequeños problemas

Suma por compensación: suma y resta

Calcula mentalmente

14

56 1 27 5 60 1 23 5 83 24

49 1 26

38 1 16

39 1 58

88 1 31

69 1 57

78 1 43

89 1 35

57 1 14

1. Alejandro tenía 78 € y su tía le dio otros 27 €. ¿Cuánto dinero reunió Alejandro? 2. Lidia hizo el martes 31 km en bicicleta y el miércoles 47 km. ¿Cuántos kilómetros recorrió en bicicleta entre los dos días?

Suma por compensación: resta y suma 23

53 1 28 5 50 1 31 5 81

SU GER E N CIA S

Represente en la lámina de aula unos ejes de coordenadas y varios puntos para que los alumnos y alumnas digan sus coordenadas. Después, pida a un estudiante que salga y dibuje un punto cuyas coordenadas serán dadas por usted.

13

41 1 26

82 1 39

51 1 38

42 1 57

61 1 47

53 1 16

81 1 69

43 1 65

3. En un centro de artes marciales hay apuntados a kárate 33 chicos y 49 chicas. ¿Cuántas personas hay apuntadas?

Un número, varias sumas Escribe el número 72 como resultado de una suma en la que un término sea: 28

56

49

67

¿Qué sabes ya? Representación de números en la recta

Coordenadas de un punto La primera coordenada es la del eje horizontal y la segunda es la del eje vertical.

Recuerda cómo se representan los números. 1 0

LibroMedia Coordenadas de un punto.

1

1,3

2,5

1

2

5

3

B

4

D

3

Escribe cada número representado.

A

2

C

1

5 2

6

3

8

9

0

1

2

3

4

5

A (3, 2)

Representa en una recta numérica los siguientes números. 2

LibroMedia Coordenadas de un punto.

7

4,5 3 1,8 4 2,7

Piensa en dos números naturales o decimales, uno mayor que el otro. Si los representas en la recta numérica, ¿cuál de los dos está más a la derecha? ¿Ocurre siempre?

6

7 8

9 10

B (5, 4)

4

Escribe las coordenadas de los puntos C y D en tu cuaderno.

5

Representa en tu cuaderno estos puntos. E (2, 4)

G (5, 0)

I (6, 1)

F (4, 2)

H (0, 5)

J (1, 3)

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Soluciones

¿Qué sabes ya? 1 5,5    6,7    7,2    8,3

Un número, varias sumas   28 1 44  

  49 1 23  

04/02/2019 13:09:06

 56 1 16  

  67 1 5

Pequeños problemas 1 78 1 27 5 105. Reunió 105 €. 2 31 1 47 5 78. Recorrió 78 km. 3 33 1 49 5 82. Hay apuntadas 82 personas.

2 1 2 3 4

3 El mayor. Sí. 4 C(7, 1), D(9, 3)

S U GER EN CIAS

3

Comente la lectura y las temperaturas sobre cero y bajo cero. Pregúnteles cómo se suelen expresar (con el signo 2). Razone en común las preguntas planteadas.

Números enteros

Tiempo para leer

Tiempo para hablar

Dos lugares tienen diferentes climas cuando la cantidad de lluvia y las temperaturas son distintas en ellos.

• Las temperaturas de un lugar, ¿en qué se miden? ¿Qué quiere decir que una temperatura está bajo cero o sobre cero?

Las zonas próximas al ecuador son, en general, más cálidas, y cerca de los polos el clima suele ser más frío. Hay otros factores que también influyen en el clima, como la altitud del lugar o su cercanía al mar.

• La temperatura máxima en Moscú, ¿en qué estación tiene lugar? ¿Está por debajo o por encima de 0 ºC? ¿Y la temperatura mínima?

Klaipeda, una ciudad a orillas del mar Báltico, y Moscú, la capital de Rusia, situada en el interior, tienen la misma latitud. Klaipeda tiene veranos muy suaves e inviernos fríos, aunque sin bajar normalmente de 15 ºC bajo cero, mientras que en Moscú se superan los 40 ºC a la sombra en verano y los 30 ºC bajo cero en invierno.

LibroMedia La mosca y sus coordenadas.

• ¿Qué temperatura es más baja: 30 ºC bajo cero o 15 ºC bajo cero? ¿Cuál está más lejos de 0 ºC? • ¿Qué diferencia en grados hay entre las temperaturas máxima y mínima en Moscú?

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5

04/02/2019 13:09:07

Tiempo para hablar

H

 En oC (grados centígrados). Bajo cero es más fría que 0 oC y sobre cero es más cálida.

E J

F I G

 La máxima en verano. Por encima de 0 oC. La mínima en invierno. Por debajo de 0 oC.   30 oC bajo cero es más baja y está más lejos de 0 oC.   30 1 40 5 70. Hay 70 grados de diferencia.

Números enteros Lucía vive en un edificio con 4 plantas de viviendas y 2 plantas de sótano. Fíjate en cómo se indica cada planta en el cuadro del ascensor.

SU GER E N CI A S

– La planta baja se indica con el número 0.

Muestre que para cada número natural existe un número entero asociado, que se forma añadiendo el signo 2. Señale que hay infinitos números enteros negativos y que el 0 no es ni positivo ni negativo.

– Las 4 plantas de viviendas, por encima de la planta 0, se indican con los números 11, 12, 13 y 14. – Las 2 plantas de sótano, por debajo de la planta 0, se indican con los números 21 y 22. Los números 22, 21, 0, 11, 12, 13, 14 son números enteros. Los números enteros positivos son: 11, 12, 13, 14, 15, … Los números enteros negativos son: 21, 22, 23, 24, 25, … El número 0 es un número entero, pero no es positivo ni negativo.

Los números enteros son: …, 24, 23, 22, 21, 0, 11, 12, 13, 14, … Los números enteros positivos son: 11, 12, 13, 14, … Los números enteros negativos son: 21, 22, 23, 24, ...

1

Clasifica en tu cuaderno los números enteros de cada grupo. PRESTA ATENCIÓN

LibroMedia Números enteros positivos y negativos.

18, 17, 0, 25, 23, 9, 1, 22

Los números enteros positivos también se pueden escribir sin el signo 1.

EJEMPLO

2

Enteros positivos

211, 27, 10, 25, 0, 134, 234 65, 0, 273, 143, 220, 212, 40

18, … Enteros negativos

25, …

Observa el esquema del ascensor y contesta. Si Pablo está en la planta 11 y sube, ¿a qué pisos puede ir? ¿Qué tipo de números enteros son los que corresponden a los pisos superiores a la planta 0? Jon está en la planta baja. ¿Qué número representa esa planta? Carla está en la planta 0 y baja en el ascensor. ¿A qué pisos puede ir? ¿Qué tipo de números enteros son los que corresponden a los pisos inferiores a la planta 0?

LibroMedia Números enteros.

52

Soluciones

ES0000000093922 929017_U03_050_067_80870.indd 52

Enteros positivos: 1, 17, 18, 9 1   El 0 que no es positivo ni negativo. Enteros negativos: 22, 23, 25   Enteros positivos: 10, 25, 134 El 0 que no es positivo ni negativo. Enteros negativos: 27, 211, 234

04/02/2019 13:09:08

 Enteros positivos: 40, 143, 65 El 0 que no es positivo ni negativo. Enteros negativos: 212, 220, 273 12 y 13. Enteros positivos. 2    El 0.  21 y 22. Enteros negativos.

3 Problemas 3

¿Qué temperatura marca cada termómetro? Contesta.

LibroMedia El termómetro y los números enteros.

EJEMPLO 115 110

4

5 grados 5 ºC

115 110

15

15

0

0

25

25

210

210

23 grados 23 ºC

RETO

115

115

115

115

110

110

110

110

15

15

15

15

0

0

0

0

25

25

25

25

210

210

210

210

¿Qué significa que una cuenta en un banco está en números rojos? ¿Cómo expresarías una deuda en euros con un número entero?

Observa y escribe en qué nivel se encuentra cada punto. 1300 m 1200 m 1100 m

S U GER EN CIAS

Comente con la clase distintas situaciones reales en las que aparecen los números enteros y su significado en cada caso. Haga una puesta en común con las ideas aportadas para expresar de otra forma los números negativos y comente algunas maneras de representarlos históricamente.

0m 2100 m 2200 m

C

RE

AT I V I D A

D

2300 m

Piensa e inventa.

LibroMedia Números enteros. Altura y profundidad.

Normalmente expresamos los números enteros negativos usando un signo especial, el signo 2. ¿Se te ocurre alguna otra manera de expresar los enteros positivos y los enteros negativos? Explícala y di cuáles son sus ventajas y sus inconvenientes.

53 ES0000000093922 929017_U03_050_067_80870.indd 53

04/02/2019 13:09:11

Reto

o

10 grados o 10 C 3     14 grados o 14 C

Que el titular debe dinero al banco. Mediante un número negativo.

  27 grados o 27 oC

Creatividad

  25 grados o 25 oC o

4

F 1100 m

F 2300 m

F 2200 m

F 1300 m

R. M. Con un código de colores; por ejemplo, los números en rojo representan números negativos y los verdes, números positivos.

La recta entera. Comparación de enteros Ayer, Claudia anotó las temperaturas que se alcanzaron en su ciudad por la mañana, por la tarde y por la noche. ¿Cuál fue la temperatura mínima? ¿Cuál fue la máxima?

LibroMedia La recta entera. Comparación de enteros.

Mañana

Tarde

Noche

25 ºC

14 ºC

22 ºC

Para averiguar cuáles fueron la temperatura mínima y la máxima:

Material de aula Lámina de aula de Tratamiento de la información.

1.º Representamos los números en la recta entera. A la izquierda del 0, representamos los números enteros negativos. A la derecha del 0, representamos los números enteros positivos. Números enteros negativos

26

25

24

23

22

Números enteros positivos

0

21

11

12

13

14

15

16

17

18

SU GER E N CI A S

Dibuje en la lámina de aula la recta entera rotulando solamente el 0. Después, vaya enunciando distintos números enteros para que algún alumno o alumna salga a representarlos en ella.

2.º Observamos la posición de los puntos en la recta entera. El número menor es el que está situado más a la izquierda. En este caso: 25. El número mayor es el que está situado más a la derecha. En este caso: 14.

La temperatura mínima fue 25 ºC y la máxima fue 14 ºC.

1

Copia la recta en tu cuaderno y completa los números que faltan. 28

LibroMedia La recta entera.

26 25

…

…

0

…

22

…

11

13

…

…

…

16 17

19

2

Escribe el número anterior y el posterior a cada número: 24, 13, 0, 22, 25.

3

Busca cada pareja de números en la recta entera y compáralos, escribiendo el signo adecuado.

25

LibroMedia Comparación de enteros.

…

4

24

23

22

21

0

11

12

13

14

15

23 y 13

23 y 22

21 y 24

22 y 25

0 y 24

15 y 23

Piensa y escribe. Seis números enteros mayores que 24.

Seis números enteros menores que 11.

Seis números enteros menores que 27.

Seis números enteros mayores que 12.

54

Soluciones

ES0000000093922 929017_U03_050_067_80870.indd 54

 21 . 24

1 27, 24, 23, 21, 12, 14, 15, 18 2 25, 24, 23

12, 13, 14

04/02/2019 13:09:13

23 , 13 3  

21, 0, 11 23, 22, 21

26, 25, 24

 0 . 24

 22 . 25

 23 , 22

 15 . 23

23, 22, 21, 0, 11, 12 4 R. M.  

 28, 29, 210, 211, 212, 213



 0, 21, 22, 23, 24, 25



 13, 14, 15, 16, 17, 18

3 5

Ordena los números según se indica.

HAZLO ASÍ Ordena de mayor a menor: 12, 25 y 27.

¿Puedes escribir un número que sea el menor de todos los números enteros negativos? ¿Por qué?

1.º Representa los números en la recta entera o imagina cómo están colocados. 28

27

26

25

24

23

22

21

LibroMedia Ordenar números enteros.

RETO

0

11

12

2.º Escribe los números en el orden en el que están, de derecha a izquierda. 12 . 25 . 27

De mayor a menor

De menor a mayor

S U GER EN CIAS

26, 24 y 2

0, 210 y 26

211, 29 y 13

28, 4 y 27

15, 25 y 8

0, 210 y 26

11, 25 y 23

212, 10 y 214

Dibuje en la recta entera un número. Pregunte a la clase qué otro número entero está a la misma distancia del 0 que él. Comente también que cualquier número entero negativo es menor que todo número entero positivo.

Problemas 6

Resuelve.

Modelo A 222 ºC

La temperatura aconsejable para estos modelos de congelador es de 224 ºC. ¿Qué modelos de congelador tienen una temperatura inferior a la aconsejable? Modelo B 227 ºC

Modelo D 223 ºC

O

Lee y averigua qué número entero es en cada caso.

EN

SAMIENT

¿Cuáles de ellos tienen una temperatura superior?

Modelo C 225 ºC

Jaime ha escrito el menor número comprendido entre 23 y 13. ¿Qué número ha escrito Jaime?

P

Lucía ha escrito el mayor número que está entre 27 y 25. ¿Qué número ha escrito Lucía? Teo ha escrito el mayor número negativo comprendido entre 29 y 12. ¿Qué número ha escrito Teo?

LibroMedia Números enteros. Hucha.

Julia ha escrito el menor número negativo que está entre 27 y 11. ¿Qué número ha escrito Julia?

55 ES0000000093922 929017_U03_050_067_80870.indd 55

04/02/2019 13:09:17

  0 . 26 . 210

Reto

  13 . 29 . 211

  4 . 27 . 28

  25 , 15 , 8

  210 , 26 , 0

No. Para cualquier número negativo siempre existe el número entero anterior que es menor que este.

  25 , 23 , 11

  214 , 212 , 10

Pensamiento

2 . 24 . 26 5  

Modelos B y C. 6     Modelos A y D.

  22     26     21     26

Suma y resta de números enteros María, Paula, Andrea y Jaime han utilizado el ascensor.

LibroMedia Suma y resta de enteros.

María y Paula suben. María estaba en el primer piso (11) y sube 2 pisos. Paula estaba en el segundo sótano (22) y sube 4 pisos. ¿A qué piso llega cada una?

Material de aula Lámina de aula de Tratamiento de la información.

Estaba

Pisos que sube

Llega

María

11

12

13

Paula

22

14

12

María llega al tercer piso y Paula al segundo. Andrea y Jaime bajan. Andrea estaba en el tercer piso (13) y baja 4 pisos. Jaime estaba en el primer sótano (21) y baja 2 pisos. ¿A qué piso llega cada uno?

SU GER E N CI A S

Las operaciones con enteros se realizan de forma intuitiva sin explicitar ningún algoritmo. Use la lámina de aula para representar la recta entera y que los estudiantes la utilicen para ayudarse en sus cálculos.

Estaba

Pisos que baja

Llega

Andrea

13

24

21

Jaime

21

22

23

Andrea llega al primer sótano y Jaime al tercero.

1

Observa el esquema de un aparcamiento y averigua a qué planta irá cada coche. 13 12 11 0

LibroMedia Suma y resta de enteros. Aparcamiento.

21 22 23

Sube 2 plantas.

Baja 2 plantas.

Sube 3 plantas.

Baja 3 plantas.

Sube 2 plantas.

Baja 3 plantas.

56 ES0000000093922 929017_U03_050_067_80870.indd 56

Soluciones 1 Coche rojo, planta 0

04/02/2019 13:09:20

Subió 4 grados. 2   Coche morado, planta 0

Coche verde, planta 0

Coche amarillo, planta 22

Coche azul, planta 11

Coche naranja, planta 23

 Subió 3 grados.  Subió 7 grados.  22 oC.

3 2

Lee y resuelve. Ayer, en la ciudad se alcanzaron estas temperaturas:

9 : 00

15 : 00

21 : 00

25 ºC

21 ºC

12 ºC

De las 9 de la mañana a las 3 de la tarde, ¿la temperatura subió o bajó? ¿Cuántos grados?

LibroMedia Suma y resta de números enteros. Problemas.

RETO

Mario debía 85 € y le han prestado 25 € más. ¿Cuánto dinero debe ahora? Expresa las cantidades con un número entero negativo.

De las 3 de la tarde a las 9 de la noche, ¿la temperatura subió o bajó? ¿Cuántos grados?

S U GER EN CIAS

Proponga a los alumnos y alumnas que inventen problemas propios similares a los trabajados en esta doble página y que los propongan a los demás. Resuélvalos en común.

¿Cuántos grados subió la temperatura desde las 9 de la mañana hasta las 9 de la noche? Si de las 9 de la mañana a las 9 de la noche la temperatura solo hubiera subido 3 grados, ¿cuál sería la temperatura a las 9 de la noche? 3

Observa la profundidad a la que está cada pez y contesta. 0m 250 m

Pez espada

2100 m

Besugo

2150 m 2200 m

Bonito

2250 m

Merluza

2300 m

¿Está la merluza a más de 100 m bajo el nivel del mar? ¿Está el besugo a más de 150 m bajo el nivel del mar?

LibroMedia Suma y resta de números enteros. Altura y profundidad.

¿Qué pez está a mayor profundidad? ¿Y a menor? Si el pez espada sube 100 m, ¿a qué profundidad estará?

O

Piensa y contesta. Pon ejemplos.

EN

SA MIENT

Si el bonito baja 150 m, ¿a qué profundidad estará?

Si debes una cantidad de dinero y te prestan más, ¿debes más dinero que antes?

P

Si debes dinero y cobras una cantidad que usas para pagar esa deuda, ¿sigues debiendo dinero? ¿De qué depende que debas o no?

57 ES0000000093922 929017_U03_050_067_80870.indd 57

Sí. Está a 150 m bajo el nivel del mar. 3  

04/02/2019 13:09:21

Reto

  No. Está a 100 m bajo el nivel del mar.

85 1 25 5 110

  El pez espada. El bonito.

Debe 110 € o bien tiene 2110 €.

  A 2150 m.

Pensamiento

  A 2200 m.

  Debes más dinero que antes.  Si la cantidad que cobras es mayor que la que debes, no seguirás debiendo dinero. Si es menor, seguirás debiendo dinero.

Coordenadas cartesianas Observa cómo son los ejes de coordenadas cartesianas:

LibroMedia Coordenadas cartesianas.

Cada eje es una recta entera.

Segundo cuadrante

Primer cuadrante

Son perpendiculares y se cortan en el 0.

14

Dividen la cuadrícula en cuatro partes llamadas cuadrantes.

13 12 11

Ahora, fíjate en los puntos que ha representado Guillermo y en las coordenadas de cada uno.

Material de aula Lámina de aula de Tratamiento de la información.

0 24 23 22 21

11 12 13 14 21 22 23

(13, 11) (21, 13)

(23, 22) (12, 23)

24

Tercer cuadrante

Cuarto cuadrante

Fíjate en que las coordenadas de un punto son positivas o negativas según el cuadrante en el que se encuentra.

SU GER E N CI A S

1

Trabaje la interpretación y representación de puntos dibujando unos ejes cartesianos en la lámina de aula. Caracterice los puntos de cada cuadrante y de los ejes de coordenadas.

Escribe en tu cuaderno las coordenadas de cada punto y, después, contesta. 16 E

15 B

14 13 F

26 25 24 23 22 21 C

A

12 11 0 11 12 13 14 15 16 21 22 H

23 24 G

25 26

D

A (…, …)

E (…, …)

B (…, …)

F (…, …)

C (…, …)

G (…, …)

D (…, …)

H (…, …)

¿Qué puntos tienen la primera coordenada positiva? ¿En qué cuadrantes están? ¿Qué puntos tienen la segunda coordenada positiva? ¿En qué cuadrantes están? ¿De qué signo son las coordenadas de los puntos del primer cuadrante? ¿Y de los puntos del cuarto?

¿De qué signo son las coordenadas de los puntos del segundo cuadrante? ¿Y de los puntos del tercero?

LibroMedia Coordenadas cartesianas y cuadrantes.

Si un punto tiene sus coordenadas del mismo signo, ¿en qué cuadrante puede estar? 2

Observa los ejes de coordenadas de la actividad anterior y escribe tres puntos: Cuya primera coordenada sea igual a la del punto A. ¿En qué cuadrante está cada uno? Cuya segunda coordenada sea igual a la del punto H. ¿De qué cuadrantes podrías haberlos elegido?

58

Soluciones

ES0000000093922 929017_U03_050_067_80870.indd 58

1 A(13, 13), B(24, 14), C(24, 22), D(12, 24), E(14, 15)

F(22, 12), G(22, 25), H(15, 23)   A, D, E, H

04/02/2019 13:09:24

 La primera negativa y la segunda positiva. Las dos coordenadas son negativas.

1.er C: A y E 4.o C: D y H er

o

  A, B, E, F 1. C: A y E 2. C: B y F   Las dos coordenadas son positivas. La primera positiva y la segunda negativa.

 En el primero si son positivas o en el tercero si son negativas. 1.er C: I(13, 14), J(13, 11)  4.o C: K(13, 22) 2 R. M.    4.o C: I(11, 23), J(12, 23)    3.er C: K(22, 23) 3 A(12, 0), B(24, 0), C(0, 15), D(0, 23), E(23, 12),

F(15, 12), G(13, 14), H(13, 24)  0        0

3 3

Escribe las coordenadas de cada punto y contesta. Fíjate en que los puntos que están sobre los ejes tienen una coordenada igual a cero.

RETO

C

15 G

14 13 E

F

12 11 0

B 26 25 24 23 22 21

LibroMedia Coordenadas cartesianas. Verdadero o falso.

Escribe las coordenadas de los puntos simétricos del punto A (12, 23) respecto al eje horizontal y al eje vertical.

16

A

11 12 13 14 15 16 21

22 D 23

H

24 25

S U GER EN CIAS

26

Trabaje la representación de figuras planas a partir de su descripción y de las coordenadas de algunos de sus vértices. Señale cómo las coordenadas cartesianas nos permiten conectar la geometría con los números.

¿Cuál es la primera coordenada de los puntos situados en el eje vertical? ¿Y la segunda de los puntos sobre el eje horizontal? 4

Dibuja unos ejes de coordenadas en tu cuaderno y representa.

5

(13, 14)

(12, 22)

(25, 0)

(15, 23)

(21, 25)

(0, 16)

(22, 15)

(23, 22)

(0, 23)

(24, 12)

(14, 0)

(0, 0)

Escribe las coordenadas de los vértices de cada figura. 15 14 13 12

28 27 26 25 24 23 22 21

11 0 11 12 13 14 15 16 17 18 21

LibroMedia Coordenadas cartesianas. Puntos.

23

O

13 12

Lee y contesta.

EN

SAMIENT

25

El punto verde y el punto amarillo son simétricos respecto al eje horizontal. ¿Cómo son los puntos azul y naranja? ¿Y los puntos verde y rojo?

11 0 26 25 24 23 22 21

11 12 13 14 15 16 21 22

P

23

59 ES0000000093922 929017_U03_050_067_80870.indd 59

4

04/02/2019 13:09:27

5 (27, 13), (26, 11), (23, 11), (22, 13), (25, 14)

(13, 11), (17, 11), (17, 14), (13, 14) (25, 23), (23, 24), (14, 24), (16, 23), (14, 22), (23, 22) Reto Horizontal: (12, 13)    Vertical: (22, 23) Pensamiento Simétricos respecto al eje vertical. No son simétricos respecto a ningún eje.

COMPRUEBO MI PROGRESO 1

LibroMedia Compruebo mi progreso.

2

Explica qué son los números enteros y di ejemplos de situaciones en las que se utilicen.

5

De menor a mayor. De mayor a menor.

Escribe un número entero que asocies a cada situación.

De mayor a menor.

La temperatura mínima fue de 2 grados bajo cero. La biblioteca está en el cuarto piso. El avión voló a 800 m sobre el nivel del mar.

¿Cuál es el mayor de todos los números? ¿Cuál es el menor? 6

Los números enteros mayores que 210 y menores que 21.

Los buzones de un bloque de pisos están en la planta baja. 3

Los números enteros comprendidos entre 25 y 15.

Calca el esquema y dibuja. 130 m

7

120 m 0m

SU GER E N CI A S

En caso de dificultades al realizar las actividades represente en la lámina la recta entera para que puedan ayudarse de ella.

220 m

Contesta usando un número entero. María bajó de la tercera planta al primer sótano. Después, subió 3 plantas. ¿A qué planta llegó?

110 m 210 m

Piensa y escribe. Los números enteros mayores que 23 y menores que 13.

Han encontrado una nueva especie de pez a 800 m bajo el nivel del mar.

Material de aula Lámina de aula de Tratamiento de la información.

Ordena los números de cada grupo de la actividad 4 según se indica.

Gerardo subió del segundo sótano a la cuarta planta. Después, bajó 5 plantas. ¿A qué planta llegó?

230 m

Martín bajó del cuarto sótano al sexto sótano. Después, subió tres plantas y más tarde subió otras tres. ¿A qué planta llegó?

Un pez rojo a 10 m bajo el nivel del mar y uno amarillo a 20 m bajo el nivel del mar. Un pájaro azul a 30 m sobre el nivel del mar y un pájaro verde a 10 m sobre el nivel del mar.

8

Escribe en tu cuaderno las coordenadas de los puntos de cada recta y contesta.

¿Qué pájaro y qué pez están a la misma distancia del nivel del mar? Explica por qué.

13 12 11

4

Representa en la recta entera y contesta.

24 23 22 21

11 12 13 14 21

15, 12, 22, 0, 24

22

21, 13, 25, 23

23

27, 14, 28, 16, 29 ¿Cuál es el mayor número representado con un punto rojo? ¿Y con un punto azul? ¿Cuál es el menor número representado con un punto verde?

¿Qué condición cumplen las coordenadas de cada punto de la recta roja? ¿Y las de cada punto de la recta verde? ¿Qué punto de la cuadrícula cumple las dos condiciones? ¿Hay alguno más?

60

Soluciones

ES0000000093922 929017_U03_050_067_80870.indd 60

5 24 , 22 , 0 , 12 , 15

13 . 21 . 23 . 25

1 R. L.

22    14     1800    2800    0 2   3 R. G.

 16  29

16 . 14 . 27 . 28 . 29 22, 21, 0, 11, 12 6    29, 28, 27, 26, 25, 24, 23, 22

  210  220      130  110   El pez rojo y el pájaro verde están a 10 m. 4 R. G.

  Rojo: 15  Azul: 13

04/02/2019 13:09:28

 29

 24, 23, 22, 21, 0, 11, 12, 13, 14 12      21      0 7  

3 Problemas 9

Representa cada instalación en un plano en tu cuaderno.

10 Resuelve.

Patricia y Ana están jugando a las cartas.

Sonia está haciendo un proyecto urbanístico y estas son las coordenadas de los vértices de las instalaciones.

12 puntos

14 puntos

25 puntos

23 puntos

Patricia tiene la carta roja y la azul, y Ana tiene la morada y la amarilla. ¿Cuántos puntos tiene cada una? Un producto está a 5 grados bajo cero. Para consumirlo debe estar a 3 grados. ¿Cuántos grados ha de subir su temperatura? Gimnasio: (13, 14), (11, 14), (13, 21), (11, 21).

S U GER EN CIAS

Un submarino estaba a 150 m bajo el nivel del mar. Primero, descendió 50 m y, después, ascendió 100 m. ¿A qué profundidad está ahora?

Parque: (25, 26), (21, 26), (0, 13), (21, 11), (25, 11).

Pida a los alumnos y alumnas que preparen en una tarjeta un problema en el que se usen los números enteros. Después, recoja todas y repártalas al azar, de manera que cada alumno resuelva el problema recibido. Haga una puesta en común con algunos de ellos.

11 Resuelve.

Concha trabaja en la sección de congelados de un supermercado y coloca los productos según la temperatura de conservación que cada uno necesita. CONGELADOR 1 220 ºC CONGELADOR 2 212 ºC CONGELADOR 3 28 ºC

PRODUCTO 1 Entre 222 ºC y 218 ºC PRODUCTO 2 Entre 215 ºC y 25 ºC PRODUCTO 3 Entre 222 ºC y 210 ºC

¿En qué congeladores puede guardar cada producto? ¿Por qué? Un producto se debe guardar a una temperatura inferior a 15 grados bajo cero. ¿Hay algún congelador para guardarlo? ¿Y si se tuviera que guardar a una temperatura superior a 5 grados bajo cero?

¿CÓMO LO HE HECHO? Responde en tu cuaderno. ¿Conozco los números enteros y sé compararlos? ¿Sé resolver problemas donde aparezcan enteros? ¿Sé utilizar las coordenadas cartesianas? Pon una nota a tu trabajo en esta unidad.

61 ES0000000093922 929017_U03_050_067_80870.indd 61

04/02/2019 13:09:30

8 (22, 22), (21, 21), (12, 12), (21, 11), (11, 21), (12, 22)

  Son iguales. 9

 Son opuestas.

 El (0, 0).

Patricia: 23    Ana: 11 10    Debe subir 8 grados.  A 100 m bajo el nivel del mar o a 2100 m. Producto 1 F Congelador 1 11   Producto 2 F Congeladores 2 y 3 Producto 3 F Congeladores 1 y 2  El congelador 1.      No hay congelador.

SABER HACER Interpretar datos geográficos LibroMedia Interpretar datos geográficos.

Seguro que has comprobado que la temperatura en tu ciudad varía a lo largo del año, y en algunos casos esa variación puede ser muy grande. La siguiente tabla recoge las temperaturas registradas en julio y en diciembre en algunos lugares de nuestro planeta. Lugar

Julio

Diciembre

San Petersburgo

18 ºC

27 ºC

Zaragoza

23 ºC

6 ºC

El Cairo

28 ºC

15 ºC

Desierto de Gobi

38 ºC

243 ºC

Sin embargo, todos estos valores están muy lejos de la temperatura máxima y la mínima registradas en el planeta. La más alta se alcanzó el 13 de septiembre de 1922 en el desierto de El Azizia, en Libia, donde el termómetro llegó a los 57 ºC. En el otro extremo, la temperatura más baja registrada en la Tierra se alcanzó el 21 de julio de 1983; este día, el termómetro en la base meteorológica de Vostok, en la Antártida, alcanzó los 89 ºC bajo cero.

SU GER E N CI A S

El trabajo con las temperaturas de su localidad es motivador para el alumnado y le permite apreciar la utilidad de sus aprendizajes. Si hay estudiantes de distintas localidades pueden ordenar o comparar todas las temperaturas aportadas.

1

Dibuja una recta entera en tu cuaderno y representa en ella las temperaturas de la tabla de arriba.

2

Expresa las temperaturas más extremas registradas en nuestro planeta usando números enteros.

3

Piensa y contesta. ¿Cuántos grados de diferencia hay entre la temperatura más alta y la más baja registradas en el planeta?

4

Busca y calcula. Buscad información sobre las temperaturas máxima y mínima del año pasado en vuestra localidad o provincia, representadlas en una recta numérica y calculad la diferencia en grados entre una y otra.

62

Soluciones

ES0000000093922 929017_U03_050_067_80870.indd 62

2 Libia: 157 C    

Vostok: 289 oC

1 250

230

04/02/2019 13:09:31

o

210 0 10 30 50 Grados (ºC)

3 Hay 146 grados de diferencia. 4 R. L.

3

MATEMÁTICAS MANIPULATIVAS

Juega con los números enteros

Material de aula Lámina de aula de Tratamiento de la información.

Material: Papel y lápices de colores. Número de jugadores: 4 Reglas del juego: Se dibuja en una hoja de papel una tabla de 25 casillas formada por 5 filas y 5 columnas. Se nombran las columnas con letras de la A a la E y las filas con números del 1 al 5. Cada persona elige un lápiz de color distinto al del resto.

A

B

C

D

E

1

210

13

19

24

17

2

18

110

26

211

15

3

21

212

112

12

0

4

27

111

25

28

23

Por turnos, los participantes escriben, cada uno con su lápiz de color, un número comprendido 5 14 29 11 22 entre 212 y 112 en alguna casilla libre. Comienza la primera persona escribiendo el 212 y continúan las siguientes escribiendo los números de forma consecutiva y en orden ascendente.

16

S U GER EN CIAS

La suma que realizan en el juego no es con el algoritmo usual sino de forma intuitiva. Para ayudarles en caso de dificultades puede dibujar la recta entera en la lámina de aula.

Una vez completada la tabla, la primera persona escribirá, sin que los demás lo vean, una letra correspondiente a una columna, y el segundo participante, un número de una fila. Los mostrarán a la vez y se elegirá el número correspondiente a la columna y la fila que han escrito. La persona que escribió el número en esa casilla se lo anota en un papel. Se tacha la casilla, y las otras dos personas eligen una nueva columna y una nueva fila. La partida se acaba tras obtener 12 números de la tabla. En ese momento cada persona suma los números que ha anotado en su papel y consigue 1 punto quien logre la suma mayor. Ganador : Gana quien consiga primero 3 puntos.

1

Has anotado los números 16, 22, 210 y 12. ¿Cuál ha sido tu suma en esa ronda?

Retos matemáticos Edades

Los números que faltan Completa este cuadrado mágico sabiendo que la suma de los números de las filas y de las columnas es el mismo número negativo.

7 24

27 1

0 25

4 21

22 6

Juan tiene 8 años más que Enrique, y Ricardo, 2 años menos que Juan. ¿Cuántos años hay de diferencia entre Ricardo y Enrique?

63 ES0000000093922 929017_U03_050_067_80870.indd 63

Juega con los números enteros 1 24

Retos matemáticos Los números que faltan

7 24

0 25 Edades Hay seis años de diferencia.

04/02/2019 13:09:34

26 27 1

4

12 21

23 22 13

6

15 28

Solución de problemas Sacar conclusiones de un enunciado LibroMedia Sacar conclusiones de un enunciado.

Marta quería vender 150 kg de castañas. Las envasó en bolsas de 3 kg y cada una la vendió a 4 €. El viernes vendió 10 bolsas, el sábado 2 bolsas más que el viernes y el domingo vendió las que le quedaban. ¿Qué frases de las siguientes son correctas? A. B. C. D.

El sábado vendió 2 bolsas. El viernes obtuvo 40 €. El domingo vendió 8 bolsas. Obtuvo en total 200 €. Fíjate en la frase A. El sábado no vendió 2 bolsas, sino 2 bolsas más que el viernes. El viernes vendió 10, por lo que el sábado vendió 12 bolsas. La frase A es falsa. Averigua qué ocurre con el resto de frases y copia en tu cuaderno las verdaderas.

SU GER E N CI A S

Pida a cada estudiante que escriba en una hoja un enunciado. Después, la pasará a otro compañero o compañera, que escribirá distintas conclusiones extraídas de él. Más tarde, el primer estudiante analizará si las conclusiones extraídas son correctas o no.

Lee el enunciado, piensa y escribe en tu cuaderno las frases correctas. 1

En un gimnasio hay 5 grupos de aeróbic de 10 personas cada uno. En cada uno de los 3 grupos de la mañana hay 7 mujeres y el resto son hombres. En cada grupo de la  tarde hay 6 mujeres y 4 hombres.

2

Paula llegó la penúltima en una carrera de 5 corredores. Luis llegó antes que Sara y después que Teo. Sara llegó antes que Paula, y Paula llegó antes que Antonio.

A. Hay 50 personas en aeróbic.

A. Teo llegó antes que Luis.

B. Hay 2 grupos por la tarde.

B. Teo llegó el primero.

C. Hay más mujeres que hombres.

C. Sara llegó antes que Antonio.

D. Hay más hombres que mujeres por la tarde.

D. Sara fue la cuarta.

E. Hay más personas por la tarde que por la mañana.

E. Antonio fue el último. F. Luis llegó el segundo.

64 ES0000000093922 929017_U03_050_067_80870.indd 64

Soluciones pág. 64 Correctas: B y D. 1 Correctas: A, B, C. 2 Correctas: A, B, C, E, F.

04/02/2019 13:09:36

Soluciones pág. 65 1 R. M. 7.999.998 2 8.000.000

8 2    39

  0

  11

  54

  15

  43

  8

1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48 3    4

  5 3

4 R. M. 4 5 4 3 4 3 4 5 64

  48

  90

3

REPASO ACUMULATIVO 1

4

Escribe en tu cuaderno el número anterior y el posterior a cada uno. 7.999.999

43

18.789.900

5

23.899.989 489.999.999 800.999.999

6 2

3

Escribe en forma de producto y calcula su valor.

Realiza estas operaciones combinadas. 4 3 (2 1 3) 2 12

9 1 6 3 2 2 10

(6 2 3) 3 5 1 24

7341533

(7 1 5) : 2 2 6

12 : 2 1 8 3 6

18 : (5 2 2) 1 9

4 1 2 3 7 2 10

7

Calcula. Todos los divisores de 48. m.c.d. (12 y 20)

m.c.m. (12 y 16)

m.c.d. (15 y 40)

m.c.m. (18 y 15)

8

52

28

63

74

Expresa usando una potencia. 10.000

10.000.000

1.000.000

100.000.000

S U GER EN CIAS

Pregunte qué contenidos de los vistos hasta ahora les han resultado más complicados. Refuerce el trabajo con ellos con las actividades de esta página o proponiendo otras. Pídales que no se queden con dudas para poder avanzar con seguridad.

Escribe y calcula su valor. Siete al cuadrado.

Cinco a la cuarta.

Seis al cubo.

Diez a la quinta.

Escribe el número y cómo se lee. 2 3 103

6 3 107 1 4 3 102

5 3 105

8 3 104 1 3 3 103

7 3 106

2 3 106 1 8 3 105 1 7

Calcula. •9

• 64

• 16

• 36

• 25

Problemas 9

Esta mañana en un quiosco han recibido 12 cajas con 18 revistas cada una. Por la tarde todavía quedaban sin vender 3 cajas enteras y 2 revistas. ¿Cuántas revistas vendieron por la mañana?

13 Pablo tiene una tienda de deportes. Esta

mañana ha pedido 25 camisetas a 21 € cada una y 10 chándales menos, cada uno el triple de caro que una camiseta. ¿Cuánto pagará en total por el pedido?

10 Para pagar una factura, Luisa entrega

7 billetes de 50 € y 3 billetes de 20 €. Le han devuelto una moneda de 2 € y 2 monedas de 20 céntimos. ¿Cuál era el precio de la factura? 11 Celia tiene 11 años y su padre tiene 35 más

que ella. ¿Cuántos años tendrá su padre cuando ella tenga el doble de edad que ahora? 14 Cada día del mes de enero, Irene corre

12 Miguel envasó 156 bolígrafos en bolsas

15 km, salvo los jueves, que tiene que ir a un cursillo. ¿Cuántos kilómetros corrió Irene en enero como máximo?

de 4 y las bolsas obtenidas en cajas de 5. ¿Cuántas bolsas quedaron sin envasar? ¿Y bolígrafos fuera de las cajas?

65 ES0000000093922 929017_U03_050_067_80870.indd 65

4

04/02/2019 13:09:37

6

10 5  

 10

72 5 49   6  

  63 5 216  

7

 10

 10

  54 5 625  

2.000 F Dos mil. 7 R. M.   3      8     4     6     5 8   9 12 3 18 2 (3 3 18 1 2) 5 160

Vendieron 160 revistas. 10 7 3 50 1 3 3 20 2 2 2 2 3 0,20 5 407,60

El precio de la factura es 407,60 €.

8

  105 5 100.000

11 46 1 11 5 57

Tendrá 57 años. 12 Quedaron 4 bolsas sin envasar.

Quedaron 16 bolígrafos fuera de las cajas. 13 25 3 21 1 (25 2 10) 3 (3 3 21) 5 1.470

Pagará 1.470 €. 14 (31 2 4) 3 15 5 405

Corrió 405 km.

TRATAMIENTO DE LA INFORMACIÓN Relacionar gráficos lineales con tablas y otros gráficos En la secretaría de un gimnasio han representado en un gráfico el número de socios y socias que han tenido en los últimos meses.

Material de aula Lámina de aula de Tratamiento de la información.

También han anotado los datos en una tabla. Socios

Socias

N.º de personas

90

Socios

Socias

60

30

Marzo

70

Abril

50 30

Mayo

10 0

Junio M

A

My

J

Jl

Julio

Mes

Trabaje en común las actividades 1 y 2 representando en la lámina de aula los gráficos correspondientes. Después, utilícelos para trabajar la interpretación con distintas preguntas.

1

Añade una columna a la tabla anterior con el número total de personas cada mes, y representa los datos en tu cuaderno en un gráfico lineal de una característica.

N.º total de personas

Completa tú la tabla en tu cuaderno.

SU GER E N CI A S

270 210 150 90 30 0 M

My

J

Jl

Mes

X

J

V

Día

Representa en tu cuaderno el gráfico lineal de los postres pedidos cada día en un restaurante. Después, contesta. Fruta

16 14 12 10 8 6 4 2 0

Flan N.º de postres

N.º de postres

2

A

L

M

X

J

14 10 6 2 0

V

L

M

¿Entre qué días aumentó el consumo de cada tipo de postre? ¿Qué día se pidieron más postres en total?

66 ES0000000093922 929017_U03_050_067_80870.indd 66

Soluciones 1

04/02/2019 13:09:40

Aumentó el consumo de los dos de X a J. 2    Se pidieron más postres el lunes.

270 210

14

150

10

90

6

30 0

2 0 M 

 A 

My 

J 

J

L M X J  V

3 Realizar un proyecto con gráficos lineales Vamos a realizar un proyecto usando los gráficos lineales. Seguiremos estos pasos:

Material de aula Lámina de aula de Tratamiento de la información.

1.º Realizar el recuento de los datos y anotarlos en la tabla. 2.º Representarlos en un gráfico lineal de dos características. 3.º Responder a varias preguntas y plantear otras a los demás.

1

Pregunta a tus compañeros y compañeras en qué mes del año cumplen años. Anota bien los datos y completa la tabla en tu cuaderno. No olvides incluir tus datos. E

F

M

A

My

J

Jl

A

S

O

N

D

S U GER EN CIAS

Alumnos

Una vez completada la tabla en común, haga que los estudiantes representen los datos en la lámina de aula. Después, trabaje las preguntas de la actividad 3 en común.

Alumnas

2

Representa en tu cuaderno los datos en un gráfico lineal de dos características.

26

Alumnos

22 N.º de personas

Alumnas

18 14 10 6 2 0

3

E

F

M

A

My

J

Jl

A

S

O

N

D

Fíjate en el gráfico que has representado y contesta. ¿En qué meses hay más cumpleaños de alumnas? ¿En qué meses hay menos cumpleaños de alumnos? ¿En qué meses hay menos cumpleaños de alumnas que de alumnos? ¿Hay algún mes sin cumpleaños? ¿Y con más de 4 cumpleaños? ¿En qué meses hay más cumpleaños en total?

4

Inventa otras preguntas similares a las de la actividad 3 y plantéalas a tus compañeros y compañeras. Comprueba que puedan responderse usando el gráfico.

67 ES0000000093922 929017_U03_050_067_80870.indd 67

Soluciones 1 R. L. 2 R. L. 3 R. L. 4 R. L.

04/02/2019 13:09:42

Antes de empezar Material de aula Lámina de aula de Tratamiento de la información.

Cálculo mental

Pequeños problemas

Resta por compensación: suma el mismo número

Calcula mentalmente

13

63 2 27 5 66 2 30 5 36 13

54 2 19

42 2 17

47 2 29

51 2 27

72 2 28

71 2 46

64 2 38

99 2 86

Resta por compensación: resta el mismo número 23

59 2 23 5 56 2 20 5 36 23

SU GER E N CIA S

Represente en la lámina de aula distintos ángulos y pida a los estudiantes que los clasifiquen. Recuerde los elementos de un ángulo y también cómo se miden y trazan.

35 2 11

84 2 23

46 2 31

75 2 33

45 2 22

79 2 54

62 2 42

82 2 74

1. Lola tiene 14 años y su madre tiene 37 años. ¿Cuántos años más tiene su madre? 2. A las pruebas del equipo de balonmano del colegio se apuntaron 28 aspirantes, de ellos 19 son chicas. ¿Cuántos chicos se apuntaron? 3. Para hacer un trabajo de investigación, Mario ha visitado 46 páginas web y ha consultado 27 libros menos. ¿Cuántos libros ha usado?

Un número, varias restas Escribe dos restas que al realizarlas por compensación den como resultado: 74

35

86

28

¿Qué sabes ya? Tipos de ángulos

LibroMedia Tipos de ángulos.

LibroMedia Tipos de ángulos.

Agudo

Recto

Obtuso

Llano

Completo

Mide menos de 90º.

Mide 90º.

Mide más de 90º y menos de 180º.

Mide 180º.

Mide 360º.

1

Mide estos ángulos y clasifícalos.

2

Dibuja un ángulo de cada tipo: agudo, recto, obtuso, llano y completo.

68 ES0000000093922 929017_U04_068_083_81075.indd 68

Soluciones

04/02/2019 13:09:11

3 46 2 27 5 19. Ha usado 19 libros.

¿Qué sabes ya?

Un número, varias restas R. M.  89 2 15

101 2 27

  109 2 23

131 2 45

Obtuso: 145o 1  

 Agudo: 35o

 49 2 14

71 2 36

  49 2 21

62 2 34

 Recto: 90o

 Llano: 180o

Pequeños problemas 1 37 2 14 5 23. Tiene 23 años más. 2 28 2 19 5 9. Se apuntaron 9 chicos.

2 R. L.

Material de aula Lámina de aula de Tratamiento de la información.

S U GER EN CIAS

María

4

Sara

Dibuje en la lámina de aula tres bolas. Pida a un alumno o alumna que salga y dibuje la trayectoria que debería seguir una de las bolas para impactar con las otras dos y que diga qué tipo de ángulo se forma.

Pilar

Ángulos y circunferencia

Tiempo para leer

Tiempo para hablar

El billar es un juego muy antiguo que se remonta a las culturas griega y egipcia. En principio se jugaba sobre el suelo hasta que, en el siglo xv, un ebanista construyó una mesa apropiada.

• ¿Cuánto mide el ángulo representado en cada jugada? ¿Qué tipo de ángulo es: recto, agudo u obtuso?

Una variante muy popular del juego consiste en conseguir el mayor número posible de carambolas, es decir, que la bola que se golpea con el taco dé a las otras dos.

• Si María hubiese dado con la bola blanca a la amarilla y luego a la roja, ¿qué tipo de ángulo habría sido?

Antes de hacer una tirada, cada jugador o jugadora piensa la dirección que debe seguir la bola a la que golpea. Esta bola debe dar a otra de las bolas y rebotar con el ángulo adecuado para golpear también a la tercera bola.

• ¿Y si Pilar hubiese dado con la bola blanca a la bola amarilla antes que a la roja?

LibroMedia Ángulos en Egipto.

Si se falla comienza el turno del siguiente para intentar conseguir una carambola.

69 ES0000000093922 929017_U04_068_083_81075.indd 69

Tiempo para leer

04/02/2019 13:09:17

Tiempo para hablar

Pregunte si alguna vez han jugado al billar, a qué tipo de billar, si conocen cómo se juega... Muestre la presencia de la geometría en él y, sobre todo, de los ángulos a la hora de chocar las bolas.

 María: recto, 90o Sara: obtuso, 130o Pilar: agudo, 45o

Realice en común las actividades planteadas aprovechando para relacionar las respuestas con los conocimientos previos sobre ángulos.

 Recto de 90o

 Agudo de 45o

Ángulos Ángulosconsecutivos consecutivosyyadyacentes adyacentes Observa cada pareja de ángulos y sus elementos comunes.

LibroMedia Ángulos consecutivos y adyacentes.

Ángulos consecutivos

W A

Ángulos adyacentes

Los dos ángulos tienen en común el vértice y también uno de sus lados.

Material de aula Lámina de aula de Tratamiento de la información.

Los ángulos son consecutivos y sus lados no comunes están en la misma recta.

Ángulos opuestos por el vértice Se forman al cortarse dos rectas. Los ángulos enfrentados miden lo mismo.

SU GER E N CI A S

Pida a distintos alumnos y alumnas que salgan y representen en la lámina de aula ejemplos propios de los ángulos trabajados.

W D

W C

W B

W A

W B

W D

W C

W W A5C W5D W B

1

Clasifica cada pareja de ángulos.

2

Calca el dibujo y marca del mismo color cada pareja de ángulos opuestos por el vértice.

LibroMedia Ángulos consecutivos y adyacentes.

¿Los ángulos que has pintado del mismo color miden lo mismo? Compruébalo.

LibroMedia Ángulos consecutivos y adyacentes. Verdadero o falso.

3

Razona en tu cuaderno si cada oración es correcta. Todos los ángulos adyacentes son consecutivos. Los ángulos opuestos por el vértice son adyacentes.

70

Soluciones

ES0000000093922 929017_U04_068_083_81075.indd 70

Verdadera, por definición. 3  

1 Consecutivos: todos. Adyacentes: la segunda y la cuarta pareja. 2

04/02/2019 13:09:21

  Sí, miden lo mismo.

 Falso. No son ángulos consecutivos y, por tanto, no son adyacentes.

Ángulos complementarios y suplementarios Observa cuánto mide cada ángulo rojo. W A 5 32º

W B

W B 5 58º

W C

W E

W 5 105º E

W5W C A1W B 5 32º 1 58º 5 90º

LibroMedia Ángulos complementarios y suplementarios.

FW

W 5 75º D

W A

4

W D

W 1E W 5 75º 1 105º 5 180º FW 5 D

W es un ángulo recto. El ángulo rojo C

El ángulo rojo FW es un ángulo llano.

WyE W son ángulos suplementarios. D

W W son ángulos complementarios. AyB

Material de aula Dominó de ángulos.

Dos ángulos son complementarios si su suma es igual a 90º. Dos ángulos son suplementarios si su suma es igual a 180º.

1

Observa los ángulos y contesta. W H

W 5 50º G

W complementarios ¿Cómo son los ángulos W J y K: o suplementarios? ¿Por qué?

W ¿Cómo lo has calculado? ¿Cuánto mide el ángulo K?

Calcula el ángulo que se indica. El ángulo complementario

27º

81º

63º

40º

El ángulo suplementario

24º

42º

148º

126º

S U GER EN CIAS

Muestre una ficha del dominó elegida al azar. Deberán decir el complementario y el suplementario de cada uno de los dos ángulos que aparecen en ella.

O

Piensa y contesta. Dos ángulos consecutivos: – ¿Pueden ser complementarios? – ¿Son siempre complementarios? – ¿Pueden ser suplementarios?

EN

SA MIENT

W ¿Cómo lo has calculado? ¿Cuánto mide el ángulo H?

W J 5 130º

W K

2

W y H: W complementarios ¿Cómo son los ángulos G o suplementarios? ¿Por qué?

LibroMedia Ángulos complementarios y suplementarios.

P

Dos ángulos adyacentes: – ¿Pueden ser complementarios? – ¿Son siempre suplementarios?

71 ES0000000093922 929017_U04_068_083_81075.indd 71

04/02/2019 13:09:24

Soluciones

Pensamiento

Son complementarios. Forman un ángulo recto. 1     90o 2 50o 5 40o

 Dos ángulos adyacentes no pueden ser complementarios ya que siempre son suplementarios.

  Son suplementarios. Forman un ángulo llano.   180o 2 130o 5 50o 63o 2  

  27o

 Dos ángulos consecutivos pueden ser complementarios o suplementarios, pero no siempre lo son.

 9o

  156o

 138o

 50o

  32o

 54o

Simetría y traslación LibroMedia Simetría y traslación. Si doblamos por la recta roja, las dos manos coinciden. Es una simetría. La recta roja es el eje de simetría y las manos son simétricas.

Material de aula Lámina de aula de Tratamiento de la información.

A

Si doblamos por la recta roja o por la recta azul, las dos partes de la figura coinciden. La recta roja y la recta azul son ejes de simetría de la figura.

Si movemos la figura A 8 cuadritos a la derecha, obtenemos la figura B. Realizamos una traslación.

B

1

Averigua qué figuras no son simétricas respecto a la recta roja y explica por qué.

2

Calca las figuras y repasa solamente las rectas que sean ejes de simetría.

SU GER E N CI A S

Trabaje la obtención de figuras simétricas a una misma figura dada usando distintos ejes. Deje clara la forma de obtención y comente que la orientación de las figuras cambia.

¿Cuántas rectas has repasado en cada figura? ¿Podrías dibujar en el círculo más rectas que sean ejes de simetría? ¿Cuántos ejes de simetría tiene el círculo?

LibroMedia Simetría y traslación.

3

Calca y traza. La figura simétrica de la figura verde respecto al eje rojo.

La figura que se obtiene al trasladar la figura naranja 10 cuadritos a la izquierda.

LibroMedia Ejes de simetría.

72

Soluciones

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1 Las caras no son simétricas. Cambia el pelo.

Los jarrones no son simétricos, es la misma figura trasladada. 2



  Tres      Cuatro     Cuatro   Cualquier recta que pase por el centro.   Infinitos.

04/02/2019 13:09:28

3

4

Semejanza Mario tenía en la cuadrícula pequeña la figura roja y la ha reproducido en la cuadrícula grande.

LibroMedia Semejanza.

Las dos figuras tienen la misma forma, pero distinto tamaño. Son figuras semejantes. Mario ha hecho una semejanza.

1

Figura 3

Copia las cuadrículas 2 y 3 y reproduce la figura amarilla en ellas. Figura 1 B

W A

W B C

2

Figura 2

A F

E

S U GER EN CIAS

Comente la relación de la semejanza con el proceso de fotocopiado a tamaños mayores y menores. Señale que la relación entre las longitudes de dos lados correspondientes es siempre la misma y que los ángulos no varían.

D

Mide en cada figura de la actividad 1 y completa la tabla. Después, contesta. Segmento AB

Ángulo W A

Segmento CD

W Ángulo B

Figura 1 Figura 2 Figura 3

¿Cuánto mide el segmento AB en la figura 1? ¿Y en la figura 2? ¿Qué relación encuentras entre las dos medidas? ¿Qué relación encuentras entre las medidas del segmento CD en la figura 1 y en la figura 3? ¿Cuánto mide el ángulo W A en la figura 1? ¿Y en la figura 2? ¿Y en la figura 3?

O

Piensa y contesta. Los mapas son representaciones semejantes a la realidad. Imagina un mapa en el que 1 cm en el mapa representa en la realidad 4 km, es decir, 400.000 cm. ¿Qué distancia separa en el mapa a dos pueblos que están a 20 km? Una distancia real de 120 km, ¿cuántos centímetros mide en el mapa?

EN

SAMIENT

W? ¿Es igual el ángulo W A en las tres figuras? ¿Y el ángulo B

P

73 ES0000000093922 929017_U04_068_083_81075.indd 73

04/02/2019 13:09:32

Soluciones

 En la segunda figura las medidas son la mitad.  En la tercera figura las medidas son el doble.

1 R. G. 2

 Ver tabla con las medidas. `

`

AB

CD

A

B

F1

1,8 cm

1,2 cm

90°

63°

F2

0,9 cm

0,6 cm

90°

63°

F3

3,6 cm

2,4 cm

90°

63°

 Los ángulos no varían. Pensamiento  Les separan 5 cm en el mapa.   Mide 30 cm en el mapa.

La circunferencia. Elementos La circunferencia es una línea curva cerrada y plana, cuyos puntos están todos a la misma distancia del centro.

LibroMedia Elementos de la circunferencia.

Semicircunferencia

Los elementos de la circunferencia son los siguientes: Centro. Es el punto equidistante de todos los puntos de la circunferencia.

Radio

Radio. Es un segmento que une el centro con un punto de la circunferencia.

Diám

Centro

etro

Arco

Cuerda. Es un segmento que une dos puntos de la circunferencia.

a erd

Cu

Diámetro. Es una cuerda que pasa por el centro. Su longitud es el doble de la longitud de un radio. Arco. Es la parte de la circunferencia comprendida entre dos puntos. Semicircunferencia. Es un arco igual a la mitad de la circunferencia.

1

SU GER E N CI A S

Traza una circunferencia con centro en un punto O y de 3 cm de radio. Marca en la circunferencia tres puntos A, B y C. ¿A qué distancia están estos puntos del centro O? Dibuja los radios y compruébalo.

Agrupe a los estudiantes en parejas y pida que cada uno haga un dibujo usando el compás. Después, lo pasará al otro miembro de la pareja para que intente reproducirlo. Comente algunos de ellos en común.

Dibuja un diámetro. ¿Cuánto mide? Compruébalo. 2

3

Traza una circunferencia y dibuja. Un radio.

Un diámetro.

Una cuerda.

Un arco.

Una semicircunferencia.

Dibuja una estrella como la de la derecha siguiendo estos pasos. Después, contesta. 1.º Dibuja una circunferencia de 2 cm de radio. 2.º Traza un diámetro RS.

R

3.º Abre el compás los 2 cm que mide el radio, pincha en el punto R y traza un arco que corte a la circunferencia en los puntos M y N.

M

N

P

Q

4.º Traza tres cuerdas: MN, MS y NS. 5.º Abre el compás los 2 cm que mide el radio, pincha en el punto S y traza un arco que corte a la circunferencia en los puntos P y Q.

S

6.º Traza tres cuerdas: PQ, RP y RQ. ¿Qué polígono forman las cuerdas trazadas en el punto 4.º? Clasifícalo según sus lados y según sus ángulos. ¿Cómo es el hexágono central: regular o irregular?

74 ES0000000093922 929017_U04_068_083_81075.indd 74

Soluciones Están a 3 cm de distancia. 1   2 R. M.

04/02/2019 13:09:34

Forman un triángulo equilátero, acutángulo. 3    El diámetro mide 6 cm.

 Es un hexágono regular.

El número p y la longitud de la circunferencia

4

Félix bordea con una cuerda la rueda de una bicicleta para ver cuánto avanza cada vez que gira una vuelta.

LibroMedia El número p y la longitud de la circunferencia.

Al estirar la cuerda, Félix observa que la longitud es un poco más de 3 veces el diámetro de la rueda. L F

60 cm

60 cm

60 cm

60 cm

Félix comprueba que: Al dividir la longitud de la circunferencia entre el diámetro del círculo, el cociente tiene un valor aproximado de 3,14. Ese número se llama p (pi).

L 5 p 5 3,14 d

La longitud de la circunferencia es, aproximadamente, el producto de 3,14 por el diámetro, es decir, 3,14 por 2 veces el radio.

L5p3d5p323r

Observa cómo calcula la longitud que avanza cada vez que gira la rueda cuyos radios miden 30 cm.

30 cm

S U GER EN CIAS

Realice en común la medición, de manera similar a la vista en esta página, del perímetro de distintos objetos circulares para que el alumnado interiorice mejor la presencia de p.

L 5 3,14 3 2 3 30 cm 5 188,4 cm

La longitud de la circunferencia es igual al producto de 3,14 por su diámetro. L5p3d523p3r

1

Mide en milímetros el diámetro de cada circunferencia y calcula su longitud.

2

Traza una circunferencia de 5 cm de radio y calcula su longitud.

3

Resuelve.

LibroMedia Longitud de la circunferencia.

O

Piensa y calcula.

EN

SAMIENT

El diámetro de las ruedas de una bicicleta mide 70 cm. ¿Cuántos centímetros avanzará la rueda cada vez que dé una pedalada si con cada pedalada la rueda gira 2 veces la vuelta completa?

Si el diámetro de una circunferencia es igual que el radio de otra, ¿su longitud es también igual?

LibroMedia Longitud de la circunferencia. Bicicleta.

r 5 20 cm

P

d 5 20 cm

75 ES0000000093922 929017_U04_068_083_81075.indd 75

Soluciones 1 3,14 3 13 5 40,82 mm

3,14 3 25 5 78,5 mm 2 R. G.

3,14 3 5 3 2 5 31,4 cm

04/02/2019 13:09:39

3 2 3 (70 3 3,14) 5 439,6 cm

Pensamiento La longitud de la primera será la mitad que la longitud de la segunda.

El círculo y las figuras circulares El círculo es una figura plana formada por una circunferencia y su interior.

LibroMedia Figuras circulares.

Las principales figuras circulares son las siguientes:

SU GER E N CI A S

Una vez que todas las alumnas y alumnos hayan realizado individualmente la actividad 2, corríjala en común comprobando que todos tienen claro el proceso de trazado de las figuras circulares.

Sector circular

Segmento circular

Es la parte del círculo limitada por dos radios y uno de sus arcos.

Es la parte del círculo limitada por una cuerda y uno de sus arcos.

Semicírculo

Corona circular

Es la mitad del círculo. Está limitado por un diámetro y una de sus semicircunferencias.

Es la parte del círculo limitada por dos circunferencias que tienen el mismo centro (concéntricas).

1

Escribe el nombre de cada figura circular.

2

Dibuja cada figura circular y explica cómo lo has hecho. EJEMPLO

Un sector circular

Un segmento circular

1.º Dibujo una circunferencia. 2.º Trazo dos radios.

Un semicírculo

3.º Repaso uno de sus arcos. Una corona circular

4.º Coloreo el interior.

3

Piensa y contesta. Si trazas dos radios, ¿cuántos sectores circulares puedes colorear?

LibroMedia Figuras circulares. Piensa.

Si trazas una cuerda, ¿cuántos segmentos circulares puedes colorear? Si trazas un diámetro, ¿cuántos semicírculos puedes colorear? El semicírculo, ¿es un sector circular? ¿Por qué? El semicírculo, ¿es un segmento circular? ¿Por qué?

76

Soluciones

ES0000000093922 929017_U04_068_083_81075.indd 76

1 Semicírculo  Segmento circular  Sector circular 2 Segmento circular: se dibuja una circunferencia y una cuerda,

y se colorea una de las dos partes en que queda dividida.

Semicírculo: se dibuja una circunferencia y un diámetro, y se colorea una parte.



Corona circular: Se dibujan dos circunferencias concéntricas y se colorea la parte comprendida entre las dos.

04/02/2019 13:09:43

Dos 3    Dos  Dos  Sí, en el que los dos radios forman un diámetro.  Sí, en el que la cuerda es un diámetro.

Posiciones relativas de rectas y circunferencias

4

Una recta puede tener las siguientes posiciones respecto a una circunferencia. Exterior

Tangente

Secante

No tienen ningún punto en común.

Tienen un punto en común.

Tienen dos puntos en común.

LibroMedia Posiciones relativas de rectas y circunferencias.

Dos circunferencias pueden tener las siguientes posiciones entre sí. Exteriores

Interiores

Tangentes exteriores

Tienen un punto en común.

No tienen ningún punto en común.

1

Tangentes interiores

Secantes

S U GER EN CIAS

Tienen dos puntos en común.

Observa la figura y completa. La recta naranja es … a la circunferencia azul y es … a la circunferencia roja.

Pida a cada estudiante que realice un dibujo en el que aparezcan distintas circunferencias y rectas, cada una de un color. Después, lo pasará a su compañero o compañera para que escriba frases usando las posiciones relativas.

La recta verde es … a la circunferencia … y es … a la circunferencia … Las circunferencias … y … son … 2

Copia la figura de la actividad 1 y dibuja. Una recta tangente a la circunferencia roja y secante a la circunferencia azul. Una circunferencia interior a la circunferencia roja y exterior a la circunferencia azul.

Piensa y dibuja.

C

RE

AT I V I D A

D

LibroMedia Posiciones relativas de rectas y circunferencias.

Usando regla y compás, haz un dibujo en el que aparezcan todas las posiciones posibles de rectas y circunferencias. Escribe debajo cuántos casos de cada posición hay en tu dibujo.

77 ES0000000093922 929017_U04_068_083_81075.indd 77

Soluciones

04/02/2019 13:09:50

2 R. M.

La recta naranja es tangente a la circunferencia azul 1   y es exterior a la circunferencia roja.   La recta verde es secante a la circunferencia roja y es exterior a la circunferencia azul.   Las circunferencias azul y roja son secantes.

Creatividad R. L.

COMPRUEBO MI PROGRESO 1

LibroMedia Compruebo mi progreso.

6

Escribe qué tipos de ángulos reconoces en el dibujo.

Copia la figura de la actividad 5 y colorea. Después, contesta. Un arco AC. Una semicircunferencia. Un sector circular. Un segmento circular.

2

¿Podías haber repasado otro arco AC? ¿Y otra semicircunferencia?

Dibuja en tu cuaderno. Dos ángulos consecutivos, uno agudo y otro obtuso.

¿Cuántos sectores circulares puedes colorear? ¿Qué radios y arcos los limitan?

Dos ángulos adyacentes, sin que ninguno sea agudo.

¿Cuántos segmentos circulares puedes colorear? ¿Qué cuerdas y arcos los limitan?

Dos ángulos opuestos por el vértice que sean obtusos.

7

Mide y calcula la longitud de cada circunferencia.

8

Observa y escribe cómo es cada recta respecto a cada circunferencia.

9

Escribe cómo son entre sí la circunferencia verde y cada una de las otras tres.

Dos ángulos complementarios, midiendo uno de ellos 70º. Dos ángulos suplementarios, midiendo uno de ellos 100º.

SU GER E N CI A S

3

Anime al alumnado a realizar distintas composiciones plásticas utilizando los contenidos aprendidos en la unidad. Después, muestre algunas de ellas y pida que señalen qué elementos aparecen en ella.

Dibuja una figura semejante a la siguiente de manera que el lado AB ocupe 8 cuadritos. B

A

4

5

Traza la figura simétrica respecto al eje rojo. Después, traslada la figura que has obtenido 6 cuadritos a la derecha.

Observa y completa. El punto O es …

10 Observa y escribe el color de

A

C

dos circunferencias que sean: Interiores.

El segmento AB es … El segmento OC es …

Secantes.

O

El segmento AD es …

Tangentes interiores.

D B

78

Soluciones

ES0000000093922 929017_U04_068_083_81075.indd 78

04/02/2019 13:09:54

el centro.  5  

1 Se distinguen ángulos opuestos por el vértice, adyacentes,

  un radio. 

  una cuerda.

 Se pueden colorear 4 sectores circulares.

consecutivos y suplementarios.

 Se pueden colorear 2 segmentos circulares.

2 R. G. 3

  un diámetro. 

Se podía repasar otro arco y otra semicircunferencia. 6 R. G.  

Verde F d 5 14 mm F L 5 43,96 mm 7  

4

 Naranja F r 5 1 cm F L 5 6,28 cm 8 Recta naranja: tangente a circunferencia roja y secante a la azul.



Recta verde: secante a circunferencia roja y exterior a la azul.

4 Problemas 11 Piensa y resuelve.

12 Resuelve.

María es carpintera y ha dibujado una mesa rectangular que mide 2 cm de ancho y 3,5 cm de largo. Quiere construirla en la realidad de forma que sea 80 veces mayor. ¿Cuánto medirán los lados en la realidad? ¿Cuánto mide el perímetro del diseño? ¿Y el perímetro en la realidad? ¿Qué relación hay entre los perímetros?

Eva quiere poner una valla alrededor de una piscina circular de 4 m de diámetro. Cada metro de valla cuesta 5 €. ¿Cuánto cuesta en total la valla?

S U GER EN CIAS

Una rueda de un triciclo mide 12,5 cm de radio. ¿Cuántos centímetros avanza la rueda cada vez que da una vuelta completa? ¿Cuántas vueltas tiene que dar para recorrer 471 cm?

Pida a los estudiantes que calculen la longitud de varias circunferencias a partir de sus radios. Después, haga que sumen una misma cantidad a todos los radios y vuelvan a calcular la longitud de las nuevas circunferencias. Pregúnteles qué diferencia hay en todos los casos entre la longitud inicial y la nueva longitud y si esa diferencia depende del radio (sería la misma para una naranja que para la Tierra).

13 Resuelve.

El ayuntamiento ha diseñado unas pistas para la práctica del ciclismo. Ha preparado varios circuitos que comienzan y terminan en un mismo punto. Luisa y Miguel harán el circuito verde y azul, respectivamente.

400 m

Silvia ha decidido recorrer el circuito rojo porque piensa que es el más corto. ¿Crees que tiene razón Silvia? ¿Quién recorrerá más distancia? ¿Podrías diseñar otro circuito con la misma propiedad?

¿CÓMO LO HE HECHO? Responde en tu cuaderno. ¿Reconozco los tipos de ángulos? ¿Sé realizar simetrías, traslaciones y semejanzas? ¿Reconozco los elementos de la circunferencia? ¿Resuelvo problemas de longitudes de circunferencias? Pon una nota a tu trabajo en esta unidad.

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04/02/2019 13:09:58

9 Con la roja secante, con la azul tangente y con la amarilla exterior.

2 3 3,14 3 2 3 5 5 62,8 F Cuesta 62,8 € en total. 12  

10 R. M.

 2 3 3,14 3 12,5 5 78,5 F Avanza 78,5 cm. 471 : (2 3 3,14 3 12,5) 5 6 F Da 6 vueltas. 13 Lverde 5 2 3 3,14 3 100 3 2 5 1.256 m Lazul 5 2 3 3,14 3 200 5 1.256 m Lroja 5 (2 3 3,14 3 400) : 2 5 1.256 m   No, todos los circuitos tienen la misma longitud.  Todos recorrerán la misma distancia.  R. L.

  Azul y verde  

  Verde y roja  

  Roja y azul

En la realidad, los lados medirán 1,6 m y 2,8 m. 11     El perímetro del diseño mide 2 3 (2 1 3,5) 5 11 cm. El perímetro en la realidad mide 2 3 (1,6 1 2,8) 5 8,8 m.   El perímetro en la realidad es igual al del diseño multiplicado por 80.

SABER HACER Realizar un diseño LibroMedia Realizar un diseño.

Las vidrieras son una estructura decorativa que ha sido muy utilizada a lo largo de la historia. Están formadas por piezas de vidrio, generalmente de colores variados, unidas entre sí para formar personajes, paisajes o motivos geométricos. Charo es artesana y realiza vidrieras en su taller. Le han hecho un encargo y está pensando cómo llevarlo a cabo. 1

Dibuja en tu cuaderno. Construye el diseño de la vidriera, realizando traslaciones del motivo base y haciendo después distintas simetrías.

SU GER E N CI A S

2

Pida a los alumnos y las alumnas que realicen, sobre cuadrícula, distintos diseños y que formen cenefas a partir de ellos usando simetrías y traslaciones. Comente en común algunos de ellos.

Piensa y contesta. ¿Qué figuras componen el diseño? Charo construye la vidriera de forma que el diámetro del círculo del diseño mide 1,2 metros en la realidad. ¿Cuáles son las dimensiones de la figura roja en la realidad? ¿Cuál es su perímetro? ¿Cuánto miden la base y la altura de la figura amarilla en la realidad? En un diseño anterior, Charo había dibujado un cuadrado que tenía 6 cuadraditos en cada lado. ¿Cuánto medía el perímetro de ese cuadrado en la realidad?

3

Calcula y resuelve. ¿Cuánto mide la longitud de la circunferencia verde en el diseño? ¿Cuánto medirá en la realidad?

80

Soluciones

ES0000000093922 929017_U04_068_083_81075.indd 80

1 R. L.

Un círculo, dos rectángulos y dos triángulos. 2     1,2 : 6 5 0,2 La figura roja mide 0,2 m de ancho y 0,4 m de alto. Su perímetro en la realidad es: 2 3 (0,2 1 0,4) 5 1,2 m. La base de la figura amarilla mide en la realidad 0,8 m y su altura mide 0,2 m.

04/02/2019 13:10:00

 (6 3 0,2) 3 4 5 4,8 El perímetro del cuadrado mide 4,8 m en la realidad. En el diseño, el radio de la circunferencia es de 0,6 cm. 3   L 5 2 3 3,14 3 0,6 5 3,768 cm  En la realidad medirá 3,768 m.

4

MATEMÁTICAS MANIPULATIVAS

Juega con los ángulos

?

Material: Dominó de ángulos.

150 °

Número de jugadores: 4

100 °

55 °

Material de aula Dominó de ángulos.

330 °

?

Reglas del juego: Se ponen todas las fichas bocabajo en el centro de la mesa y se mueven hasta mezclarlas bien. Cada participante elige 5 fichas sin que los demás las vean.

45 °

Comienza el juego el jugador o la jugadora que tiene la ficha en la que aparece 20º, que la coloca bocarriba en medio de la mesa. Por turnos, y en contra del sentido de las agujas del reloj, cada participante debe colocar una ficha enlazada con los valores de uno de los extremos libres de las fichas que hay sobre la mesa.

130 °

115 °

120 °

?

?

75 °

85 °

?

95 °

?

70 °

40 °

?

40 °

S U GER EN CIAS

Pida al alumnado que amplíe el dominó realizando ellos mismos otras fichas. También puede pedirles que hagan un dominó de figuras circulares o de posiciones relativas de circunferencias y rectas.

Si no tiene ninguna ficha que pueda colocar sobre la mesa, pasa su turno. Ganador: Gana el primer jugador o jugadora que se quede sin fichas.

1

¿Qué ficha se puede colocar a la derecha? Dibuja dos ángulos consecutivos que se puedan colocar a la izquierda.

50 °

60 °

?

120 °

? 200 °

160 °

100 °

?

Retos matemáticos Alcantarillas

Halla el radio de este círculo.

¿Por qué las tapaderas de las alcantarillas suelen hacerse redondas, y no de forma cuadrada?

8

cm

El radio

81 ES0000000093922 929017_U04_068_083_81075.indd 81

Juega con los ángulos A la derecha se puede colocar una ficha que tenga escrito 1   o dibujado un ángulo de 80o.   R. M. Se pueden dibujar, por ejemplo, dos ángulos consecutivos y complementarios en el que uno de ellos mida 50o.

Retos matemáticos

04/02/2019 13:10:06

El radio Completando un rectángulo el radio del círculo es igual a la diagonal por tanto mide 8 cm. Alcantarillas Si fuese cuadrada, al ponerla de canto se podría colar por el agujero, pues el lado del cuadrado es menor que su diagonal. Al ser circular, esto no puede ocurrir.

Solución de problemas Elaborar tablas a partir de informaciones LibroMedia Elaborar tablas a partir de informaciones.

En una clínica veterinaria están estudiando qué animales son los más comunes en su consulta. Tienen una serie de datos y quieren expresarlos en forma de tabla para entenderlos mejor. Copia la tabla y complétala en tu cuaderno.

Fueron atendidos 80 mamíferos macho, 40 crías de ave, 12 reptiles hembra y 30 aves hembra. En total, se atendió a 112 hembras, 200 mamíferos, 108 crías, 90 aves y 40 reptiles.

Machos

Hembras

Crías

80

Mamíferos Aves

18

Reptiles

SU GER E N CI A S

Pida a los alumnos y alumnas que busquen informaciones en distintos formatos (folletos comerciales, textos de periódicos o de páginas web) o proporcióneselas usted de manera que expresen los datos que aparecen en ellas en forma de tabla. Después, deberán plantear y resolver problemas con ellos.

1

Observa lo que sucede en la biblioteca y completa la tabla en tu cuaderno. Libros antes de abrir

LIBROS ANTES DE ABRIR Cuentos: 120. Cómics: un cuarto de los cuentos. Teatro: 10 menos que cómics. Poesía: la mitad de los cómics.

Libros prestados

Libros que quedan

Cuentos Teatro Cómics Poesía

LIBROS PRESTADOS Teatro: la mitad de los que había. Poesía: un quinto de los libros prestados de teatro. Cómics: la suma de los libros de teatro y de poesía prestados. Se prestaron 100 libros en total.

82 ES0000000093922 929017_U04_068_083_81075.indd 82

Soluciones

04/02/2019 13:10:08

1

Machos

Hembras

Crías

TOTAL

Mamíferos

80

70

50

200

Aves

20

30

40

90

Reptiles

10

12

18

40

TOTAL

110

112

108

330

Libros

Libros antes de abrir

prestados

Libros que quedan

Cuentos

120

76

44

Teatro

20

10

10

Cómics

30

12

18

Poesía

15

2

13

4

REPASO ACUMULATIVO 1

2

3

5

Escribe el valor de cada cifra 5.

Dibuja una recta entera y representa cada par de números. Después, compáralos.

7.580.500

55.890.400

9.355.321

575.980.000

0 y 22

27 y 22

52.523.200

550.365.900

14 y 21

211 y 24

25 y 0

28 y 23

Escribe cómo se lee cada número de la actividad anterior.

6

Calcula.

Nombra con letras los vértices de cada triángulo y escribe sus coordenadas en tu cuaderno.

(12 2 3 1 4) 3 2 2 18 : 3 1 12

14

(15 1 12) : 3 1 (8 1 9 2 2) 3 4

13

4 3 9 1 20 : 4 2 18 1 9 3 3 20 2 2 3 4 2 15 : 3 2 2 3 2 4

11 0

Piensa y calcula. Ocho múltiplos de 9.

24 23 22 21

11 12 13 14 21

Todos los divisores de 80.

22

S U GER EN CIAS

Recuerde con la clase los contenidos trabajados en este trimestre. Pregúnteles cuáles les han parecido más interesantes y anímelos a seguir avanzando en su aprendizaje.

Cuatro números divisibles entre 3. Seis números divisibles entre 5 y entre 3.

24

Problemas 7

En la planta de envasado de una fábrica, cada hora envasan 1.400 litros de refresco de naranja y 800 litros de limón, todos ellos en envases de 2 litros. ¿Cuántos envases se llenan en 3 días si la fábrica no para nunca?

9

La luz recorre 300.000 km por segundo. Tarda en llegar del Sol a la Tierra 8 minutos y 20 segundos. ¿Cuál es la distancia en kilómetros de la Tierra al Sol?

10 A una conferencia fueron 146 mujeres

y 124 hombres. Un tercio de los asistentes eran personas mayores de 40 años. ¿Cuántas personas menores de 40 años asistieron? 11 En una tienda compraron 25 portátiles a

8

Miguel, en un experimento, congeló una sustancia a 27 grados bajo cero. Después, subió su temperatura 15 grados y, más tarde, la bajó 9 grados. ¿Qué temperatura tenía la sustancia al final?

790 € cada uno y 95 a 590 €. Después de tres meses, habían vendido 12 portátiles de 790 € y 70 de 590 €. El resto de portátiles los vendieron todos a 650 €. ¿Ganaron o perdieron dinero? ¿Cuántos euros? 12 Sara pesa 45 kg, Luis el doble que ella y Teo

la quinta parte de la suma de los pesos de Sara y Luis. ¿Cuánto pesan los tres juntos?

83 ES0000000093922 929017_U04_068_083_81075.indd 83

04/02/2019 13:10:10

Soluciones

6 Rojo: A(23, 3), B(21, 1) y C(3, 2).

1 R. M. 7.580.500: la cifra 5 equivale a 500 y a 500.000 unidades. 2 R. M. 7.580.500: siete millones quinientos ochenta mil quinientos.

32     69    50    3 3   R. M. 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81  R. M. 111, 201, 222, 300 4     1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 40 y 80 5 R. G.   0 . 22



  14 . 21

 R. M. 15, 30, 45, 60, 75, 90

 25 , 0

 211 , 24

 27 , 22

 28 , 23

Verde: D(22, 23), E(4, 23) y F(1, 22). 7 [(1.400 1 800) : 2] 3 72 5 79.200 envases en total. 8 227 1 15 2 9 5 221 oC 9 300.000 3 (8 3 60 1 20) 5 150.000.000 km 10 2/3 3 (146 1 124) 5 180 menores de 40 años. 11 Perdieron 320 €. 12 Sara 45 kg, Luis 90 kg y Teo 27 kg. Entre los tres pesan 162 kg.

COOPERAMOS

Preparamos la fiesta del colegio 1. Organizad la clase en cuatro equipos. Inventad un nombre para vuestro equipo y preparad una hoja en blanco para cada equipo.

Intercambio de sabiduría

2. Fijaos en la situación que os plantean estas imágenes y el texto que las acompaña. Comentad las dudas que tengáis a vuestros compañeros y compañeras y buscad una solución.

SU GER E N CI A S

Muestre la importancia del trabajo cooperativo y de la colaboración de todos para el avance del grupo. Indique que todas las contribuciones son importantes y que debemos respetar siempre el turno de palabra y valorar las aportaciones de los demás.

ucación En el último curso de Ed alumnos los y as mn alu Primaria, las ta. organizan una gran fies ecen ofr Algunos familiares se dar ayu y s ere para preparar tall ada jorn la í As es. ad en las activid to. será un éxi

3. Repartíos a suertes los cuatro ejercicios siguientes, uno por equipo, y haced esto: • Copiad vuestro ejercicio en la parte superior de la hoja y poneos de acuerdo en cuál puede ser la mejor estrategia para resolverlo. • Una vez decidida, tenéis 10 minutos para resolver el ejercicio y encontrar la solución. • Finalizado el tiempo, pasad la hoja al equipo de vuestra izquierda. Al recibir la hoja del equipo de vuestra derecha, tenéis 5 minutos para comentar cómo han resuelto ese ejercicio y anotaréis debajo si tenéis alguna aportación para mejorarlo. • Se continúa con la rotación de las hojas hasta que volváis a tener la hoja inicial. En ese momento, aprovecharéis los conocimientos de todos los equipos para mejorar vuestro ejercicio inicial y, en la misma hoja, resolveréis los otros tres ejercicios.

84

Soluciones

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1 m.c.m (20, 15, 10, 12) 5 60 F 60 minutos

La parada está prevista para las 11:00 h.

2 m.c.d. (54, 72) 5 18 F Pondrán 18 magdalenas en cada bolsa.

54 : 18 5 3 72 : 18 5 4  3 1 4 5 7 7 3 3,67 5 25,69 F Recaudarán 25,69 €.

04/02/2019 13:06:50

EJERCICIOS 1

Cuatro talleres comienzan simultáneamente a las 10:00 h. El de papiroflexia dura 20 minutos; el de collares de pasta, 15 minutos; el taller de maquillaje, 10 minutos, y el de malabares, 12 minutos. Se repiten hasta que el final de los cuatro coincida a la misma hora. En ese momento se hará un descanso. ¿A qué hora está prevista esa parada?

2

Los padres de Ibrahim han elaborado, en su taller de cocina, 54 magdalenas de chocolate y 72 de fresa. El dinero que recauden será para el viaje de fin de curso. Las magdalenas las meterán en bolsas sin mezclar los sabores y contendrán el mayor número de magdalenas posible. Teniendo en cuenta que todas las bolsas deben tener el mismo número de magdalenas y que cada bolsa cuesta 3,67 €, ¿cuánto recaudarán por todas las bolsas?

3

Escribe una pregunta para cada enunciado de forma que su solución sea un número natural y resuélvela.

– Hacemos 13 grupos iguales con los 330 asistentes a la fiesta. – Cortamos 27 m de cinta de un rollo de 50 m para hacer las medallas. – Repartimos dos magdalenas en el desayuno a cada uno de los 330 asistentes a la fiesta. – Repartimos un saco de 1.500 caramelos entre las 100 familias participantes. 4

Como fin de fiesta, cada una de las 100 familias participantes cogerá un número de una caja en la que se meterán tarjetas con los números del 1 al 100. Obtendrán premio todas las familias que hayan sacado un número primo. ¿Cuántos regalos tendrán que hacer?

4. TIEMPO PARA HABLAR. Un miembro de cada equipo expondrá ante toda la clase la resolución de la actividad que les ha correspondido. Los demás grupos realizarán las comprobaciones y correcciones necesarias.

¿CÓMO LO HEMOS HECHO? Responde en tu cuaderno. En la tarea de equipo, ¿todos hemos hecho aportaciones? ¿Nuestro equipo ha podido mejorar alguna de las tareas recibidas? ¿Nos han ayudado las propuestas de los otros equipos? Pon una nota a tu trabajo en equipo.

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¿Cuántas personas habrá en cada grupo? ¿Cuántas 3 R. M.   personas no podrán formar parte de un grupo?

  ¿Cuántos metros de cinta sobrarán?



  ¿Cuántas magdalenas repartimos en total?



  ¿Cuántos caramelos obtendrá cada familia?

04/02/2019 13:06:51

4 Los números primos hasta el 100 son:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97. Así, tendrán que hacer 25 regalos.

REPASO TRIMESTRAL 1

2

PRIMER TRIMESTRE

Descompón cada número y escribe cómo se lee. • 3.450.902

• 85.026.004

• 408.521.207

• 7.053.081

• 60.701.500

• 910.600.040

Expresa cada producto en forma de potencia y escribe cómo se lee. • 43434

• 939

• 6363636

• 535353535

• 33333333333

• 2323232323232

SU GER E N CI A S 3

Realice en común las actividades que los estudiantes consideren más dificultosas o en las que apreciase más dificultades al trabajar la unidad.

4

5

6

7

Compara y escribe el signo . o ,. • 12 y 15

• 23 y 0

• 12 y 29

• 27 y 23

• 0 y 14

• 15 y 25

• 22 y 26

• 28 y 13

• 13 y 23

Dibuja unos ejes cartesianos y representa los puntos. A(22, 11)

D(14, 23)

G(0, 25)

B(24, 23)

E (22, 0)

H (13, 0)

C (12, 15)

F (0, 14)

I (12, 22)

Realiza las siguientes operaciones. • 95.286 1 18.089

• 278 3 897

• 70.794 : 621

• 104.093 2 6.578

• 3.075 3 650

• 41.640 : 382

• 4 3 (7 1 2)

• 18 : 2 2 (5 2 3)

• 9:31234

• 20 2 10 : 2

• (7 1 2) 3 3 2 8

• 12 2 6 3 (10 : 5)

Calcula estas potencias y raíces. 74

85

107

46

19

•4

•9

• 64

• 25

• 36

93

29

36

64

104

•1

• 16

• 100

• 81

• 49

Calcula y escribe. • Los tres primeros múltiplos de 9.

• Cuatro divisores de 24.

• Los seis primeros múltiplos de 2.

• Todos los divisores comunes de 12 y de 20.

• m.c.m. (4 y 10)

• m.c.d. (5 y 9)

• m.c.m. (5 y 15)

• m.c.d. (8 y 20)

• m.c.m. (3, 4 y 8)

• m.c.d. (4, 6 y 8)

86

Soluciones

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113.375  249.366 5  

1 R. M. 3.450.902 5 3.000.000 1 400.000 1 50.000 1 900 1 2

Se lee tres millones cuatrocientos cincuenta mil novecientos dos. 43     64      36     92     55      27 2   12 , 15  23 , 0 3  

 12 . 29

  27 , 23  0 , 14

 15 . 25

  22 . 26  28 , 13

 13 . 23

R. G. 4  

04/02/2019 13:06:53

  114

 97.515  1.998.750

  c 5 109, r 5 2

 36  7

  11

 15  19

  0

6 2.401 32.768 10.000.000 4.096

729

512

729

1 1.296 10.000

2 3 8 5 6 1 4 10 9 7

8

Observa las figuras y contesta.

W A

9

W • ¿Cómo son los ángulos W A y B?

W C

W B

W y D? W • ¿Y los ángulos C

W D

Haz un dibujo en el que uses rectas y circunferencias en distintas posiciones y, después, escribe todas las posiciones relativas y los tipos de ángulos que hayas formado.

10 Piensa y traza sobre una cuadrícula.

• Una figura y su simétrica respecto a un eje horizontal. • Una figura y su trasladada siete cuadritos hacia abajo. • Una figura y su simétrica respecto a un eje vertical. • Una figura y su trasladada cinco cuadritos hacia la izquierda.

S U GER EN CIAS

Pida a los estudiantes que planteen por sí mismos otros problemas en los que se trabajen los contenidos del trimestre.

Problemas 11 Lee atentamente y resuelve.

• En una exposición de bonsáis hay 300 árboles. Un tercio son sabinas y, del resto, un cuarto son pinos. ¿Cuántos pinos hay en la exposición? • Manuel va a su pueblo cada 14 días y Sara va cada 21 días. Hoy se han encontrado los dos allí. ¿Cuántos días pasarán hasta que vuelvan a verse de nuevo en el pueblo? • La rueda de un coche mide 40 cm de radio. ¿Qué distancia recorrerá el coche si esa rueda da 100.000 vueltas? • En una casa, la temperatura interior es de 117 ºC y en la calle es de 27 ºC. ¿Cuántos grados es mayor la temperatura interior que la exterior? • Lolo quiere repartir en bandejas 50 bollos y 30 pastas, de manera que en todas las bandejas haya el mismo número de dulces, que todos sean del mismo tipo y que no sobre ninguno. ¿Cuántos dulces como máximo puede poner en cada bandeja? • En un colegio había 40 cajas de bolígrafos con 15 bolígrafos cada una. Pasado un trimestre, quedaban 27 cajas enteras y faltaban 4 bolígrafos para completar otra. ¿Cuántos bolígrafos se habían utilizado?

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0, 9 y 18 7  

04/02/2019 13:06:56

  R. M. 2, 4, 6 y 12

R. L. 10  

  0, 2, 4, 6, 8 y 10

  1, 2 y 4

1/3 3 300 5 100   1/4 3 200 5 50 pinos 11  

  m.c.m. (4 y 10) 5 20

  m.c.d. (5 y 9) 5 1

 m.c.m. (14 y 21) 5 42 días

  m.c.m. (5 y 15) 5 15

  m.c.d. (8 y 20) 5 4

 2 3 3,14 3 40 3 100.000 5 25.120.000 cm 5 251,2 km

  m.c.m. (3, 4 y 8) 5 24

  m.c.d. (4, 6 y 8) 5 2

 24 oC

Adyacentes (consecutivos y suplementarios). 8     Consecutivos y complementarios. R. L. 9  

 m.c.d. (50 y 30) 5 10 dulces en cada bandeja.  40 3 15 5 600   27 3 15 1 (15 2 4) 5 416 600 2416 5 184 bolígrafos se habían utilizado.