11 Exercices + Corrigés en Torsion++ [PDF]

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EXERCICES : TORSION (Version du 3 février 2012 (11h36))

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To. 1. Déterminer le diamètre d de l’arbre d’une machine de 149.2 kW tournant à la vitesse de 120 t/min. On suppose que la contrainte d’utilisation en torsion τ adm = 20 N mm 2 . Réponse :

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To. 2. Un arbre cylindrique creux, en acier, de diamètre extérieur d = 25 cm et intérieur d i = 15 cm , tourne à 1000 t/min. Quelle est la puissance développée, en watts, sachant que : τ adm = 60 N mm 2 . Réponse :

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P = 16.78 MW .

To. 3. Un arbre de diamètre d = 90 cm tourne à la vitesse de 45 t/min. Déterminer la puissance transmise sachant que la contrainte tangentielle maximum est de 30 N/mm2. Réponse :

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d = 144.6 mm .

P = 20.2 kW .

To. 4. Calculer l’épaisseur qu’il faudrait donner à un arbre tubulaire en acier dont le diamètre extérieur d = 80 mm . La puissance à transmettre P = 30 kW à 300 t/min. La contrainte admissible sera prise égale à 35 N/mm2. Dans ces conditions, quel serait l’angle relatif de torsion (en °/m) ? Réponses :

d i = 73.9 mm

θ = 0.498 ° m . !

k d = 0.9



d i = 72 mm ;

τ os = 74.3 N mm 2 .

To. 6. Le moment de torsion maximum transmis par un arbre est de 500 Nm pour un taux de travail de 20 N/mm2. Calculer successivement : a) le diamètre de l’arbre plein; b) les diamètres de l’arbre creux ayant une même résistance mais dont le poids serait réduit de moitié. Réponses :

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> 0.9 !!!) 

To. 5. Un essai de torsion est effectué sur des échantillons d’os de fémur. Les échantillons (ou éprouvettes) testés ont un diamètre de 1.9 mm. Les essais fournissent un couple de torsion moyen de rupture de 10 Ncm. Déterminer la contrainte tangentielle à la rupture de l’os. Réponse :

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(k d

a) d = 50 mm

b) d = 61 mm et d i = 49 mm .

To. 7. L’axe transmettant le mouvement d’un régulateur à l’appareil de régulation d’une turbine a une longueur l égale à 6 m et doit effectuer un mouvement angulaire de 60° en transmettant un couple de torsion de 1500 Nm. La rotation relative des sections initiale et finale ne peut dépasser 1 % de 60°, afin que l’appareil de régulation fonctionne normalement. Quel doivent être : a) le diamètre de l’axe plein, sachant que G = 80 000 N mm 2 ; b) le diamètre extérieur de l’arbre creux équivalent de 8 mm d’épaisseur; c) les contraintes maximales dans les deux cas. Réponses :

© R. Itterbeek

a) d = 102.3 mm

b) d = 126 mm c) τ max = 6.9 N mm 2 et 9 N mm 2 .

Résistance des Matériaux - Torsion (exercices sup.)

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To. 8. Une barre en fer rond de 2 m de longueur reçoit un effort de 5000 N à l’extrémité d’un levier de 1200 mm. Quel diamètre faut-il lui donner, si on accepte une contrainte de 50 N/mm2 ? Quel est l’angle de torsion correspondant ? Réponses :

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a) G = 64 030 N mm 2 b) ϕ = 18 ° .

To. 10. La figure ci-dessous représente une barre de torsion de suspension de véhicule. Cette barre est en acier spécial ( G = 80 000 N mm 2 ). On adopte un coefficient de sécurité de 2. La variation de section en A et B provoque une concentration de contrainte. ( K t = 2 ). a) Déterminer le moment de torsion maximal que peut supporter la barre pour vérifier la condition de résistance ( τ adm = 500 MPa ). b) Déterminer le moment de torsion maximal que peut supporter la barre pour vérifier la condition de déformation (rigidité) ( ϕ AB ≤ 4 ° ).

Réponses : !

ϕ = 166 . °.

To. 9. Soit une éprouvette cylindrique en cuivre de 25 mm de diamètre soumise à un couple de 210 Nm lors d’un essai de torsion. L’angle de torsion mesuré est de 4.9 ° pour une longueur de 1 m. a) Calculer le module d’élasticité transversal G du cuivre testé. b) On suppose que l’éprouvette mesure 1.8 m. Déterminer l’angle de torsion qui serait engendré par un couple qui produirait une contrainte de cisaillement de 14 daN/mm2. Réponses :

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d = 85 mm ;

a) M t = 392 699 Nmm

b) M t = 584 865 Nmm .

To. 11. On considère un arbre dont la forme est cylindrique entre les sections A et B. Un calcul préliminaire a permis de déterminer le moment de torsion entre les sections A et B, à savoir : M t = 50 Nm . Cet arbre est en acier pour lequel G = 8 10 4 MPa et τ e = 180 MPa . On adopte un coefficient de sécurité de 3. Si de plus, on s’impose une valeur limite pour l’angle unitaire de torsion θ adm = 0.25 ° m . On demande de déterminer le diamètre de cet arbre dans les deux cas. Réponses :

© R. Itterbeek

d t = 16.2 mm et d θ = 34.8 mm .

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Exercices récapitulatifs !

Rto.1. Deux arbres de transmission de même longueur transmettent la même puissance de 100 CV à la même vitesse de 1500 tr/min. Le premier est plein, le second est creux, τadm des deux arbres : 200 N/mm2. ( G = 79 000 N mm 2 et ρ = 7.8 kg dm 3 ) a) Calculez, sans tenir compte de la déformation, le diamètre intérieur de l’arbre creux, sachant que le diamètre extérieur est égal à 2 d. Comparez les poids des deux arbres. b) Calculez ces arbres en tenant compte d’une déformation de 1/4 °/m. Comparez les poids des deux arbres. Réponses :

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Arbre plein : d = 23 mm Arbre creux : d = 46 mm d i = 44.5 mm (Risque de flambement possible ( k d > 0.9 ! ) Arbre plein : d = 31 mm Arbre creux : d = 62 mm d i = 61 mm

m = 6.48 kg m = 166 . kg m = 118 . kg m = 151 . kg

RTo.2. Soit un arbre de transmission creux (diamètre extérieur : 100 mm, diamètre intérieur : 60 mm) avec quatre roues dentées 1, 2, 3 et 4. Les roues 1 et 3 sont motrices avec M 1 = 17 kNm et M 3 = 32 kNm . Les roues 2 et 4 sont réceptrices avec M 4 = 10 kNm . a) Déterminer le couple récepteur M2 sur la roue 2 assurant l’équilibre de l’arbre. b) Calculer la contrainte de torsion maximum sur l’arbre. Indiquer le tronçon le plus chargé. c) Déterminer l’angle de torsion total entre les deux extrémités A et B. Prendre G = 80 000 N mm 2 .

Réponses :

a) M 2 = − 39 kNm

b) τ 2 − 3 = 129 N mm 2

c) ϕ = ϕ 1 − ϕ 2 + ϕ 3 − 0.0139 rad = − 0.79 °

© R. Itterbeek

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RTo.3. Un moteur électrique de 12 kW transmet sa puissance à un réducteur de vitesse schématisé cidessus. Déterminer le diamètre de l’arbre supérieur sachant que la déformation angulaire relative totale en charge des trois arbres ne peut dépasser 0.25 °/m, en ne tenant pas compte du jeu d’engrènement des dentures. Les arbres sont supposés ne travailler qu’en torsion et ne comporter aucun changement de section. La tension au cisaillement maximale admissible est de 100 N/mm2.

Réponse :

© R. Itterbeek

d 3 = 54.45 mm 

55 mm .

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