TD Vibration en Torsion Des Arbres [PDF]

Zitiervorschau

Travaux dirigés (vibration en torsion des rotors). Exercice 1 : Obtenir la fréquence propre de torsion d’un système de rotor en surplomb comme indiqué sur la figure ci-dessous.

L’extrémité B1 de l’arbre est encastrée, le diamètre de l’arbre est de 10 mm, et la longueur de la portée est de 0.2 m. le disque D1 est mince et a une masse de 10 kg et son moment d’inertie polaire est de 0.02Kg.m2. On prend G=80000Mpa et on néglige la masse de la tige. Solution : 1. La raideur en torsion de l’arbre peut être obtenu comme suit :

Kt=

GJ = l

π (0.01)4 32 =392.7 Nm/rad 0.2

0.8 ×10 11 ×

2. En conséquence, la fréquence propre de torsion est : ω nf =

Kt 392.7 = =140.12rad / s=22.3 Hz Ip 0.02

√ √

Par conséquent si le rotor présente une variation de couple cyclique sur une période 1/22.3 secondes, le rotor peut alors subir la résonnance sous les variations de torsions. Avoir une comparaison avec la fréquence propre de flexion, la raideur a la flexion est donné par :

Kb=

3 EI = l3

3 ×2.1 ×1011 × 3

0.2

π (0.01)4 64

=3.87 ×104 N /m

En conséquence, la fréquence propre de flexion est : ω nf =

Kb 3.87 ×10 4 = =62.21 rad /s=9.9 Hz m 10

√ √

Si le même rotor présente un léger déséquilibre, et si le rotor tourne au-delà de 9.9 Hz là le rotor pourrai subir la résonnance sous des vibrations de flexions. Pour le cas présent, la fréquence propre de flexion est très inférieure à la fréquence propre de torsion.

Exercice 2 : Détermination des fréquences propres et des formes de mode pour un système à rotor comme illustré sur la figure suivante, on négligera la masse de la tige. La longueur de l’arbre fait 1 mètre de long et 0,015 mètre de diamètre. On prendra G = 0,8 × 1011 N /m2. Les disques ont comme moment d’inertie : I p 1=0.01 kg . m2 et I p 2=0.015 kg .m2

Solution : La raideur de l’arbre peut être obtenu par : GJ Kt= = l

π (0.015)4 32 =397.61 Nm/rad 1.0

0.8 ×10 11 ×

La fréquence propre est donnée par : ω nf 1=0 et ωnf 2=

√

(0.01+ 0.015)×397.61 =257.43 rad /s 0.01× 0.015

Les déplacements relatifs sont : A 1 −I p 2 −0.015 = = =−1.5 A2 I p1 0.01 Ce qui signifie que le disque 1 aurait une amplitude de déplacement angulaire 1,5 fois supérieure au disque 2 mais dans la direction opposée. La position du nœud peut être obtenue comme : l 1 I p 2 0.015 = = =1.5 et l 1 +l 2=l=1m l 2 I p1 0.01 Par conséquent, nous obtenons l’emplacement du nœud comme suit : l 1=0.6 m (c’est-à -dire a 0,6 m du disque 1). Il est possible de montrer que les deux rotors ont la même fréquence propre.

Kt1=

GJ = l1

π (0.015)4 32 =662.68 Nm/rad 0.6

0.8 ×1011 ×

Et : K = GJ = t2 l2

Alors : ω 1nf 2= Et : ω 2nf 2=

π (0.015)4 32 =994.03 Nm/rad 0.4

0.8 ×1011 ×

Kt 1 662.68 = =257.43 rad /s I p1 0.01

√ √

Kt 2 994.03 = =257.43 rad / s I p2 0.015

√ √

Exercice 3 : Considérons un arbre en gradin avec deux disques, comme illustré à la figure suivante.

Les dimensions de l’arbre sont : l 1=0.5 m ,l 2=0.3 m, l 3=0.2 m, d 1=0.015m , d 2=0.012m , d 3=0.01 m. On prend G = 0,8 × 1011 N /m2. Les moments d’inertie polaires des disques sont : I p 1=0.015 kg . m 2 et I p 2=0.01kg .m2 Déterminer les fréquences propres des différents mode et l'emplacement du nœud. Solution : Représentons les segments d’arbre vers la gauche, le milieu et la droite sous les formes 1, 2 et 3, respectivement. Pour le présent problème, l'arbre a les données suivantes :

Pour l’arbre en gradins, la première étape consisterait à obtenir la longueur équivalente par rapport à une valeur de référence (arbre 3 qui a un diamètre de 0,01 m). On a alors :

Par conséquent, la rigidité équivalente peut être calculée comme suit : K te =

G J e 0.8 × 1011 ×0.982 ×10−9 = =177.14 Nm /rad le 0.4435

Par conséquent : l e 1=0.0987 m et l e2 =0.1447 m. La fréquence propre du système peut être calculée comme suit :

Les déplacements relatifs du système sont : A 1 −I p 2 −0.01 = = =−0.667 A2 I p1 0.015 Ce qui signifie que le disque 1 aurait une amplitude 0,667 fois supérieure au disque 2 mais dans la direction opposée. Il est intéressant de noter que le déplacement relatif reste le même, peu importe les caractéristiques de l’arbre et sa rigidité. Cependant, la position du nœud dépend des caractéristiques de l’arbre et de sa rigidité, et peut être obtenu comme suit : l ne1 I p 2 0.01 = = =0.667 et l ne1 +l ne 2 =l e =0.4435 m l ne2 I p 1 0.015 Par conséquent, nous obtenons l'emplacement du nœud par : l ne2=0.266 malors , l ne 1=0.1775m Cela signifie que le nœud sera dans le deuxième segment. L’emplacement dans le système serait alors : m m e l ne 1−l e1 0.1775−0.0988 = = = =1.1924 et m+n=0.1447 m n ne l ne 2−l e2 0.266−0.2 Par conséquent, nous avons la position du nœud du système : n=0.137 m et m=0.163 m