Vipp 2-TP-17 [PDF]

Zitiervorschau

République Algérienne Démocratique et Populaire Ministère de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique Université des Sciences et de la Technologie Houari Boumediene

Faculté de Génie Civil Domaine Sciences et Technologies

Mémoire de Master Filière :Génie Civil Spécialité :Travaux Publics Thème

ETUDE D'UN PONT DROIT A POUTRES MULTIPLES EN BETON PRECONTRAINTE PAR POST-TENSION Présenté par : AZZOUG Chahrazed widad BENARAB Aicha imene

Soutenu publiquement le 21/06/2017 devant le jury composé de : Président : Mr. CHENNIT Promoteur : Mr . SAICHIT Examinateurs : Mr.CHENNIT Meme . FERGANI Meme . CHIHEB

JUIN 2017

Remerciment Cette thèse n’aurait jamais vu le jour sans l’aide de Dieu, le tout puissant, pour nous avoir donné la santé, le courage, la patience, la volonté et la force nécessaire, pour affronter toutes les difficultés et les obstacles à travers notre Chemin d’étude. Nous souhaitons exprimer nos plus profonds remerciements à notre promoteur Mr K. SAICHI pour son encadrement efficace et qualifié, c’est grâce à ses précieux conseils et remarques que nous avons pu faire ce modeste travail. Nous tenons également remercier nos très chers parents pour leur soutien et leur patience. Nous remercions aussi tous les enseignants d’U.S.T.H.B exclusivement celle de la faculté de Génie civil et notre encadreur Mr S. BEZZOU pour l’aide qu’ils nous ont apporté. Enfin, nous tenons à remercier tous ceux et celles de prés ou de loin qui nous ont aidé d’une façon ou d’une autre à élaborer notre travail.

Dédicaces Tout d’abord, je remercie Dieu de m’avoir donné la force d’accomplir ce travail Que je dédie à mes très chers parents pour leur amour, leur soutien et leur confiance. Rien n’aurait été possible sans eux

A ma mère LILA et mon père ABDELNACER, qui n’ont jamais cessés de m’encourager et de sacrifier pour que je puisse franchir tout obstacle durant toutes mes années d’études, Que dieu me les garde en très bonne santé.

A mes chères sœurs AMEL et YESMIN et mon frère MOHAMED.

A mes grandes mères AKILA et DJAMILA que je leur souhaite une longue vie. A l’hommage de mes grands pères BRAHIM et MBAREK

A toutes mes amies, spécialement mon binôme IMENE, ASMA Et REDA qui m’a aidé et soutenu.

Je remercie Mr SAFRI qui m’a encouragé.

A toutes celles et ceux qui m’ont apportés aide et soutien pour accomplir ce travail A toute la famille AZZOUG , BELLOUZ et KHELLOUFI.

Merci à tous… AZZOUG Chahrazed

Dédicaces Tout d’abord je remercie Dieu de m’avoir donné la force d’accomplir ce travail, que je dédie à Mes parents pour leurs amours, leurs soutiens et leur confiances Rien n’aurait possible sans eux.

A ma chère mère HABIBA et mon père DJOUDI qui n’ont pas cessé de m’encourager et de sacrifier pour que je puisse franchir tout obstacle durant toutes mes années d’études, que dieu me la garde en très bonne santé.

A mes frères Med Yacine et Rabah que dieu les préservent et les gardent en bonne santé aussi longtemps que possible. Et je remercie surtout mon oncle BOUBKEUR et ma tante SADJIA A mes tantes SOUAD ;HAKIMA ;DALILA ;CHAFIKA A ma grand-mère que dieu la garde SAKINA A l’hommage de ma tante HAYET et mon grand père SAADI ,et mon oncle LAID ;NADIR

A toute la famille BENARAB qui m’a accompagné durant ce long parcours.

Une deuxième personne qui ma beaucoup aidé pendant toutes mais années d’études, mon très chère ami HAMZA A mes chères amies Asma ;Hamida et ma binôme Chahra

A toute la promotion 2017 (travaux publics)

Merci a tous BENARAB Aicha Imene

SOMMAIRE

CHAPITRE I : Présentation de l’ouvrage

INTRODUCTION.................................................................................................................... 32 I.1. Position de l’ouvrage ........................................................................................................ 32 I.2. Description de l’ouvrage ................................................................................................... 32 I.3.

Les données fonctionnelles ............................................................................................ 33

I.3.1. Tracé en plan ................................................................................................................. 33 I.3.2. Profil en long................................................................................................................. 33 I.3.3. Profil en travers ............................................................................................................. 34 I.4.

Données naturelles ......................................................................................................... 34

I.4.1. Données géotechniques.................................................................................................. 34 I.4.2. Données topographiques ................................................................................................ 34 I.4.3. Données sismologiques .................................................................................................. 35 I.4.4. Données hydrauliques .................................................................................................... 35 I.4.5. Données climatiques ...................................................................................................... 35 I.5. Choix du type d’ouvrage ................................................................................................... 36

CHAPITRE II : Caractéristiques mécaniques des matériaux

II.1. Le béton ........................................................................................................................... 40 II.2. La résistance du béton ..................................................................................................... 40 II.3. Contraintes limites : ......................................................................................................... 41 II.4. Déformation longitudinale du béton ................................................................................ 43 II .6. Les aciers ........................................................................................................................ 44

CHAPITRE III : Caractéristiques géométriques de la poutre

III. 1. Vérification des dimensions de la poutre : ..................................................................... 48 III.1.1. Hauteur de la poutre : .................................................................................................. 48 III.1.2. Epaisseur de l’âme de la poutre.................................................................................... 48 III.1.3. La table de compression .............................................................................................. 49 III.1.4. Le talon........................................................................................................................ 49

III.1.3. Hourdis ........................................................................................................................ 50 III.2. Les équipements du tablier :........................................................................................... 50 III.3. Calcul des caractéristiques géométriques de la poutre : .................................................. 52 III.4. Application numérique pour les différentes sections de la poutre: ................................ 53

CHAPITRE IV : Calcul longitudinal

IV.1. Calcul des charges permanentes (poids propres) : .......................................................... 61 IV.2. Caractéristiques du pont (surcharges règlementaires) : .................................................. 66 IV.3. Les surcharges : ............................................................................................................... 66 IV.3.1. Systéme de charge A: ................................................................................................... 67 IV.3.2. systéme de charges B : ................................................................................................. 68 VI.3.3. Surcharge militaire de type MC120 : [RCPR Art.4.10.1.2] ......................................... 70 VI.3.4. Surcharges exceptionnelles D240 : ................................................................................ 71 VI.4. Surcharges sur les trittoirs :............................................................................................ 72 VI.5. Coefficient de majoration dynamique : .......................................................................... 72 VI.6. Application a la poutre : ................................................................................................. 72 VI.7. Application a dalle : ....................................................................................................... 73 VI.8. Evaluation des efforts du aux charges et surcharges : ................................................... 74 VI.8.1. Determination de la section critique : ......................................................................... 74 VI.8.2. Calcul des efforts du aux differents chargements : ..................................................... 77 Récapitulatif des moments et efforts tranchants pour les différentes sections :....................... 84

CHAPITRE V : Répartition transversale des efforts

V.1. Choix de la méthode : ....................................................................................................... 87 V.2. Méthode de GUYON–MASSONNET: ........................................................................... 88 V.2.1. Principe de la méthode: ................................................................................................ 88 V.2.2 Détermination des paramètres α et θ : ............................................................................ 90 V.2.3. Détermination du coefficient de répartition transversal : ............................................. 93 V.2.4. Calcul des coefficients de répartition K α max pour les différents chargements .......... 96 V.3. Calcul des efforts dans chaque poutre .............................................................................. 97

V.4. Combinaison des efforts aux états limites ...................................................................... 101

CHAPITRE VI : Etude du platelage

VI.1. Etude de la flexion transversale : .................................................................................. 105 VI.1.1. Détermination des paramètres sans dimensions : ...................................................... 105 VI.1.2. Détermination du coefficient

: ............................................................................. 105

V.1.3. Détermination des moments transversaux :................................................................. 110 VI.1.4.Calcul du ferraillage : .................................................................................................. 112 VI.2. Etude de la flexion locale : ........................................................................................... 113 VI.2.1. Determination de Lx : ................................................................................................. 113 IV.2.2. Calcul des moments a l’encastrement et en travée : ................................................. 114 IV.2.3 Calcul du ferraillage : ................................................................................................. 119 Le ferraillage final de la dalle . .............................................................................................. 119

CHAPITRE VII : Etude de l’entretoise d’about

VII.1. Schématisation statique de l’entretoise d’about .......................................................... 124 VII.2. Calcul des sollicitations ............................................................................................... 125 VII.3. Ferraillage longitudinal de l’entretoise d’about .......................................................... 127 VII.5. Ferraillage transversal :................................................................................................ 128 VII.6. Vérification de l’appui : ............................................................................................... 130

CHAPITRE VIII : Etude de la précontrainte

VIII.1. Caractéristiques géométriques de la poutre ............................................................... 133 VIII.1.1. Dimensionnement de l’effort de précontrainte ........................................................ 133 VIII.1.2. Détermination du nombre de cables ........................................................................ 135 VIII.1.3. Tracé des cables...................................................................................................... 138 VIII.1.4. Position et analyse de chaque câbles en différentes sections: ................................ 142 VII.2. Calcul des caractéristiques nettes et homogènes des sections : ................................... 143

VII.3 . Calcul des pertes dans les armatures de précontrainte : ............................................. 145 VII.3.1 . Pertes de tension instantanées : ............................................................................... 146 VII.3 . Pertes differées : ......................................................................................................... 154 VIII.4. Présentation des résultats finaux : ............................................................................. 158 VII.5. Détermination du fuseau de passage........................................................................... 159

Chapitre IX : Calcul justificatif des poutres

IX. Phases de construction : ................................................................................................... 162 IX.2. Justifications des contraintes à l’ELS : ......................................................................... 163 IX.3. Justification des contraintes tangentielles : .................................................................. 170 IX.3.1. Détermination de la contrainte normale « σ x » ......................................................... 171 IX.3.2. Détermination de la contrainte tangentielles « τ x » .................................................. 171 IX.3.3. Ferraillage passif longitudinal :.................................................................................. 175 IX.4. Justification de la poutre à l’ELU : ............................................................................... 177 IX.4.1. Justification des contraintes normales : .................................................................... 177 IX.4.2. Justification des contraintes tangentielles : ................................................................ 181 IX.5. Calcul justificatif réglementaire en section particulières ............................................. 183 IX.5.1. Etude de la zone d’about : .......................................................................................... 183 IX.5.1.1. Étude de la première zone de régularisation : ......................................................... 184 IX.5.1.2. Étude de la deuxième zone de régularisation : ....................................................... 187 IX.5.2.Étude de la zone d’appui : ........................................................................................... 191 IX.5.2.1. Équilibre de la bielle d’about : ................................................................................ 191 IX.6. Equilibre du coin inférieur : .......................................................................................... 195

Chapitre X : Calcul des déformations

X.1. Calcul des flèches : ......................................................................................................... 196 X.2. Calcul des rotations ....................................................................................................... 201 X.3. Calcul des déplacements horizontaux : .......................................................................... 203

Chapitre XI : Etude des appareils d’appuis

XI.1 Dimensionnement des appareils d’appui ....................................................................... 206 XI.1.Surface de l’appareil d’appui : ...................................................................................... 207 XI.1.2. Détermination de la hauteur : .................................................................................... 207 XI.1.3.Dimensionnement en plan de l’appareil d’appui : ...................................................... 208 XI.1.4.Hauteur totale de l’appareil d’appui : ......................................................................... 208 XI.1.5. Dimensionnement du dé d’appui : ............................................................................. 209 XI.2. Répartition des efforts horizontaux sur les appuis : ...................................................... 209 XI. 2.1.Calcul des rigidités : ................................................................................................... 209 XI.2.2.Évaluation des efforts horizontaux et leurs répartitions : ........................................... 211 XI.2.2.1.Action dynamique : .................................................................................................. 211 XI.2.2.2. Actions statiques : ................................................................................................... 213 XI.3. Vérification des appareils d’appui : .............................................................................. 214 XI.3.1.Vis à vis de la contrainte due à l’effort normal :......................................................... 214 XI.3.2.Vis à vis de la contrainte due à l’effort horizontal (cisaillement) : ............................ 214 XI.3.3.Vis avis de la contrainte de cisaillement due à la rotation d’appui : ........................... 215 XI.3.4.Condition de non cheminement : ................................................................................ 216 XI.3.5. Condition de non soulèvement :................................................................................. 216 XI.3.6. Condition de non glissement : .................................................................................... 216 XI.3.7 .Vérification des dimensions des frettes : ................................................................... 216 XI.4.Étude du Dé d’appui : .................................................................................................... 217 XI.5.Etude des joints de chaussée : ........................................................................................ 218 XI.5.1.Calcul du joint : ........................................................................................................... 219

Chapitre XII : Etude sismique

X.1. Application du RPOA pour les ponts neufs : ................................................................. 222 X.2. Calcul parasisimique : .................................................................................................... 222 X.2.1. Classe de pont :........................................................................................................... 222 X.2.2. Classification des zones sismiques :........................................................................... 223 X.2.3. Coefficient d’accélération de zone : ........................................................................... 223

X.2.4. Classification du sol : .................................................................................................. 224 X.2.5. Facteur de correction d’amortissement ....................................................................... 224 X.3. Evaluation des efforts sismiques ................................................................................... 224 XI.3.1. Composante horizontale du séisme (RPOA.art.3.2.1.1) : .......................................... 224 X.3.2. séisme longitudinal ( R.P.O.A.art.4.3.1.3.1) : ............................................................. 225 X.3.3. Séisme transversale. (RPOA. Art .4.3.1.3.2) :............................................................. 229 XI.3.4. Composante verticale du séisme : ............................................................................. 231 XI. 4. Combinaison des composantes de l’action sismique : ................................................ 235

Chapitre XIII : Etude de la pile

XIII.1. Étude du chevêtre : ..................................................................................................... 237 XIII.1.1.Evaluation des efforts dans le chevêtre : .................................................................. 237 XIII.1.2 Calcul des sollicitations :......................................................................................... 238 XIII.1.3.Ferraillage du chevêtre : ........................................................................................... 239 IX.2. Etude des voiles : ......................................................................................................... 242 IX.2.1. Evaluation des efforts : .............................................................................................. 242 IX.2.2. Ferraillage du fut voile: ............................................................................................. 245

Chapitre XIV : Etude de la culée

XIV.1. Etude des élèments de la culée : ................................................................................. 248 XIV.1.1. Mur garde grève : .................................................................................................... 248 XIV.1.1.1. Evaluation des efforts :......................................................................................... 249 XIV.1.1.2. Ferraillage du mur garde grève : .......................................................................... 251 XIV.1.2. Corbeau d’appui: ..................................................................................................... 252 XIV.1.3. La dalle de transition : ............................................................................................ 253 XIV.1.3.1. Evaluation des efforts :......................................................................................... 253 XIV.1.3.2. Ferraillage de la dalle de transition : .................................................................... 255 XIV.1.4. Le mur en retour : .................................................................................................... 257 XIV.1.4.1. Partie triangulaire du mur en retour (A) :............................................................. 258 XIV.1.4.2. Partie rectangulaire du mur en retour (B): ........................................................... 260

XIV.1.5. Etude du mur de front : ........................................................................................... 264 XIV.1.5.1. Evaluations des efforts appliqués sur le mur de front: ........................................ 264 XI.1.5.2. Ferraillage du mur frontal : .................................................................................... 269

Chapitre XV : Etude de la fondation

XIV.1.Évaluation des efforts agissant sur la semelle : ........................................................... 274 XIV.2. Eude de la semelle sous pile : .................................................................................... 275 XIV.2.1.Etude de la stabilité de la semelle : .......................................................................... 276 XIII.2.2. Ferraillage de la semelle sous pile :......................................................................... 277 XIV.2.3.Armatures inferieures transversales : ....................................................................... 277 XIV.3. Eude de la semelle sous culée : .................................................................................. 279 XIV.4.Combinaison d’action : ............................................................................................... 282 XIV.5. étude de la stabilité de la semelle : ............................................................................. 282 XIV.6. ferraillage de la semelle sous culée : .......................................................................... 283

Conclusion Annexe Bibliographie

LISTE DES FIGURE

Chapitre I : Présentation de l’ouvrage. Figure I.1 : Photo du site de l’ouvrage…………………………………………………...…..32 Figure I.2 : Tracé en plan de l’ouvrage………………………………………………………33 Figure I.3 : Profil el long de l’ouvrage…………………………………………………….....33 Figure I.4 : Profil en travers de l’ouvrage……………………………………………………34

Chapitre II : Caractéristique mécanique des matériaux. Figure II.1 : Diagramme contraintes – déformations des aciers passifs……………………..45 Figure II.2 : Diagramme contraintes- déformations des aciers actifs ………………………46

Chapitre III : Caractéristiques géométriques de la poutre. Figure III.1 : Section d’about………………………………………………………………...54 Figure III.2 : Section intermédiaire…………………………………………………………..56 Figure III.3 : Section médiane………………………………………………………………..58

Chapitre IV : Calcule longitudinal. Figure IV.1 : Dalle…………………………………………………………………………...61 Figure IV.2 : Poutre …………………………………………………………………………62 Figure IV.3 : Les sections de la poutre ……………………………………………………...62 Figure IV.4 : Revêtement……………………………………………………………….……63 Figure IV.5 : Trottoir………………………………………………………………………...63 Figure IV.6 : Corniche…………………………………………………..………………….64 Figure IV.7 : Coffrage perdu ………………………………………………………………...64 Figure IV.8 : Glissières………………………………………………………………………64 Figure IV.9 : garde corps……...………………………………………………………….…65 Figure IV.10 : Entretoises d’about ……..……………………………………………………65 Figure IV.11 : Système Bc ………………………………………………………….………..68 Figure IV.12 : Système Bt ………………………………………………………………...…70 Figure IV.13 : Système Br ………………………………………………………………...…70 Figure IV.14 : Système MC120 ………………………………………………….………..…..71

Figure IV.15 convoie exceptionnelle D240 ……………………………………….…………71 Chapitre V : Répartition transversal des efforts. Figure V.1 : La répartition des charges sinusoïdale……………………………………….....89 Figure V.2 : Le grillage de poutre…………………………………………………………....89 Figure V.3 : La section équivalente …………………………………………………………91 Figure V.4 : Largeur réelle et active………………………………………………………….93

Chapitre VI : Etude du platelage. Figure VI.1 Ferraillage de la dalle..........................................................................................122 Chapitre VII : Etude de l’entretoise d’about. Figure VII.1 : Schéma de ferraillage longitudinal de l’entretoise d’about………………….124 Figure VII.2 : Ferraillages de l’entretoise d’about…………………………………….……129

Chapitre VIII : Etude de la précontrainte. Figure VIII.1 : Procédé de la mise en tension……………………………………………….133 Figure VIII.2 : Disposition des appareils d’encrage dans la section d’about………………139 Figure VIII.3 : Disposition des câbles dans la section médiane…………………………….139 Figure VIII.4 : Tracé des câbles……………………………………………………………..141 Figure VIII.5 : perte par glissement…………………………………………………………148

Chapitre IX : justification des poutres. Figure IX.1 : Diagramme des déformations et des contraintes à l’ELU……………………178 Figure IX.2 : Zone de concentration des contraintes………………………………………..184 Figure IX.3 : Zone d’about………………………………………………………………….184 Figure IX.4 : Ferraillage de la 1ère zone de régularisation…………………………………187 Figure IX.5 : Concentration des contraintes………………………………………………...187 Figure IX.6 : Section équivalente…………………………………………………………...188 Figure IX.7 : Ferraillage de la zone d’about………………………………………………...190 Figure IX.8 : Rupture de la bielle et du coin inférieur………………………………………191 Figure IX.9 : La résultante des forces…………………………………………………….....191

Figure IX.10 : Représentation de la bielle d’about……………………………………….....192 Figure IX.11 : Coin inférieur………………………………………………………………..193 Figure IX.12 : Plan de rupture………………………………………………………………194

Chapitre X : Calcul des déformations. Figure X.1 : Récapitulatif des déformations………………………………………………..196 Figure X.2 : Coupe longitudinal de la poutre…………………………………………….…197 Figure X.3 : Diagramme des moments dus à la précontrainte Mp, M ………………………199 Figure X.4 : Diagramme des moments dû à la surcharge D240 de M et M…………………..200 Figure X.5 : Diagramme des moments dus à la précontrainte M et M……………………...202

Chapitre XI : Etude des appareils d’appuis. Figure XI.1 : L’appareil d'appui……………………………………………………………..207 Figure XI.2 : Appareil d’appui………………………………………………………………208 Figure XI.3 : Schématisation de dé appui…………………………………………………...209 Figure XI.4 : Déformations d’appareil d’appui……………………………………………..214 Figure XI.5 : Ecrasement des l’appareil……………………………………………………..214 Figure XI.6 : Déplacement de l’appareil…………………………………………………….214 Figure XI.7 : Rotation de l’appareil………………………………………………………...215 Figure XI.8 : Ferraillage du Dé d’appui……………………………………………………..218 Figure XI.9 : Joint de chaussée…………………………………………………...…………219 Figure XI.10 : Détail joint de chaussée (type GPE 80)……………………………………..220

Chapitre XII : Etude sismique. Figure XII.1 : séisme longitudinal…………………………………………………………..225 Figure XII.2 : Vue en plane des fûts………………………………………………………...229 Figure XII.3 : Modélisation du pont au séisme vertical……………………………………..232 Figure XII.4 : Diagramme du moment induit par le séisme vertical M (MN.m)…………...234 Figure XII.5 : Diagramme de l’effort tranchant induit par le séisme vertical T (MN)……...234

Chapitre XIII : Etude de la pile. Figure XIII.1 : Dimension de la console du chevêtre……………………………………….239 Figure XIII.2 : Schéma statique de la console………………………………………………240 Figure XIII.3 : ferraillage du chevêtre……………………………………………………...242 Figure XIII.4 : la distribution des efforts sur le voile……………………………………….243 Figure XIII.5 : Ferraillage du fut voile ……………………………………………………..246

Chapitre XIV : Etude de la culée. Figure XIV.1 : la culée……………………………………………………………………..248 Figure XIV.2 : Poussée des terres sur le mur garde grève………………………………….249 Figure XIV.3 : Poussée de la charge locale située en arrière du mur………………………250 Figure XIV.4 : Ferraillage mur garde grève………………………………………………..252 Figure XIV.5: Ferraillage du mur garde grève et du corbeau d’appui……………………..253 Figure XIV.6 : Schéma de la dalle de transition……………………………………………253 Figure XIV.7 : Ferraillage de la dalle de transition…………………………………………257 Figure XIV.8: Forces appliquées sur le mur en retour………………………………………258 Figure XIV.9: Ferraillage du mur en retour (A)…………………………………………….260 Figure XIV.10 : Schéma statique du mur en retour (B)……………………………………..261 Figure XIV11 : Ferraillage du mur en retour (B)……………………………………………264 Figure. XIV.12: Ferraillage du mur de front………………………………………………...272

Chapitre XV : Etude de la fondation. Figure XV.1 : Coupe transversale du ferraillage de la semelle (sous pile)…………………279 Figure XV.2 : Coupe transversale du ferraillage de la semelle sous culée………………….284

LISTE DES TABLEAUX

Chapitre II : Caractéristique mécanique des matériaux. Tableau II.1 : valeurs de la contrainte admissible pour la superstructure……………………42 Tableau II.2 : valeurs de la contrainte admissible pour l’infrastructure. ……………………42 Tableau II.3 : valeurs de la contrainte limite de compression de béton à l’ELS…………….42 Tableau II.4 : valeurs du module de déformation instantanée……………………………….43 Tableau II.5 : valeurs du module de déformation différé……………………………………43

Chapitre III : Caractéristiques géométriques de la poutre. Tableau III.1 : épaisseur de chaque section………………………………………………….49 Tableau III.2 : Récapitulatif des caractéristiques géométriques de la poutre...………………59

Chapitre IV : Calcule longitudinal. Tableau IV.1 : Classes du pont……………………………………………………………….66 Tableau IV.2 : Valeurs de A et de qA ………………………………………………………..68 Tableau IV.3 : Coefficient bc ………………………………………………………………..69 Tableau IV.4 : Valeurs de coefficient de majoration dynamique δ………………………….74 Tableau IV.5 : Valeurs des moments et efforts tranchants sous la charge permanente……...77 Tableau IV.6 : Valeurs des moments et efforts tranchants sous la charge A……………...…78 Tableau IV.7 : Valeurs des moments et efforts tranchants sous la charge du trottoir…..……79 Tableau IV.8 : Valeurs des moments et efforts tranchants sous Mc120 et D240………………80 Tableau IV.9 : valeurs du moment fléchissant sous Bc. …………………………………….81 Tableau IV.10 : valeurs de l’effort tranchant sous Bc..………………………………….…..82 Tableau IV.11 : Valeurs des moments et efforts tranchants sous la charge Bc………………83 Tableau IV.12 : Valeurs des moments et efforts tranchants sous la charge B……………….83 Tableau IV.13 : Valeurs des moments et efforts tranchants sous la charge Br. ………..……84 Tableau IV.14 : Récapitulatif des moments et efforts tranchants pour les différentes sections……………………………………………………...……………………………...…85

Chapitre V : Répartition transversal des efforts. Tableau V.1 : Valeur de a, b et le rapport a/b………………….……………………………..92 Tableau V.2 : Valeur de K en fonction de a/b………………….……………………………92 Tableau V.3 : Valeur de K en fonction de a/b………………….……………………………92 Tableau V.4 : positions réelles et actives des poutres…….…………………………….….…94 Tableau V.5 : Les valeurs de

K0

pour  = 0.659……….………………………………….…94

Tableau V.6 : Les valeurs de K 1 pour  = 0.659………………………………………..……95 Tableau V.7 : Les valeurs de Kα pour  = 0.659…………………………………………...…95 Tableau V.8 : Valeurs de Kα pour les différentes poutres. ……………………………...……95 Tableau V.9 : Valeurs de Kα max revenant à chaque poutre. …………………………..…...…97 Tableau V.10 : Valeur de M et T de la poutre n°4. ……………………………………..……98 Tableau V.11 : Valeur de M et T de la poutre n°5. ……………………………………..……99 Tableau V.12 : Valeur de M et T de la poutre n°6. …………………………………...……100 Tableau V.13 : Les combinaisons à l’ELU et à l’ELS………………………………………101 Tableau V.14 : Les combinaisons des charges pour la poutre N°4……………………….…101 Tableau V.15 : Les combinaisons des charges pour la poutre N°5……………………….…102 Tableau V.16 : Les combinaisons des charges pour la poutre N°6……………………….…102 Tableau V.17 : Valeurs de Mmax et de Tmax à ELU et ELU………………………………….103

Chapitre VI : Etude du platelage. Tableau VI.1 : Valeurs de μ0.10-4 pour θ = 0.659………………………………………..….106 Tableau VI.2 : Valeurs de μ1.10-4 pour θ = 0,659…………………………………………...106 Tableau VI.3 : Valeurs de μα.10-4 pour θ = 0,659…………………………………………...107 Tableau VI.4 : Valeurs de μ0.10-4 pour 3θ = 1,977………………………………………….107 Tableau VI.5 : Valeurs de μ1.10-4 pour 3θ = 1,977………………………………………….107 Tableau VI.6 : Valeurs de μα.10-4 pour 3θ = 1,977………………………………………….108 Tableau VI.7 : valeurs de μαmax pour θ =0.734 et 3θ = 1,977………………………………109 Tableau VI.8 : valeurs de Pm………………………………………………………………...110 Tableau VI.9 : Résultats des moments transversaux max…………………………………...111 Tableau VI.10 : Combinaison des moments à l’ELS ET L’ELU…………………………...111 Tableau VI.11 : Ferraillage à l’ELU et à l’ELS……………………………………………..112

Tableau VI.12 : Valeurs de M et T sous différentes charges………………………………..118 Tableau VI.13 : Combinaisons des moments………………………………………………..118 Tableau VI.14 : Les moments max………………………………………………………….118 Tableau VI.15 : Ferraillage à l’ELU et l’ELS………………………………………….........119 Tableau VI.16 : Récapitulatif des vérifications de non poinçonnement…………………….121

Chapitre VII : Etude de l’entretoise d’about. Tableau VII.1 : Ferraillage longitudinal de l’entretoise d’about……………………………127

Chapitre VIII : Etude de la précontrainte. Tableau VIII.1 : Les caractéristiques géométriques de la section médiane (poutre + dalle).134 Tableau VIII.2 : Les caractéristiques géométriques de la section médiane (poutre seule)………………………………………………………………………………………...137 Tableau VIII.3 : Récapitulatif des distances des courbures des câbles. ……..……………...142 Tableau VIII.4 : Positions et angles des différents câbles. …………….…………………...143 Tableaux VIII.5 : Caractéristiques géométriques nettes de la poutre et la poutre +dalle…..144 Tableau VIII.6: Caractéristiques géométriques homogènes de la poutre + dalle. ………….145 Tableau VIII.7 : Pertes par frottement en différentes sections. ……………………..………147 Tableau VIII.8 : Valeurs de σM et de d……………………….…………………………….149 Tableau VIII.9: Pertes par glissement. ……………………….……………………………..149 Tableau VIII.10 : Effet de la 1ère famille sur elle-même……………………….……..……..151 Tableau VIII.11 : Effet de la dalle sur la 1ère famille……………………….……………….151 Tableau VIII.12 : Effet de la 2ème famille sur la 1ère famille………………………………...152 Tableau VIII.13 : Effet des compléments sur la 1ère famille. ……………………………….153 Tableau VIII.14 : Effet des compléments sur la 2ème famille. ……………………….……...153 Tableau VIII.15 : Pertes par déformation instantanée……………………….……………...154 Tableau VIII.16 Vérification des contraintes au 28ème jour. ……………………….……...154 Tableau VIII.17 Les pertes par retrait du béton. ……………………….…………..……….155 Tableau VIII.18 : Pertes par relaxation des armatures. .……………………….…..………..156 Tableau VIII.19 Pertes par relaxation des armatures. ……………………….…………..….157 Tableau VIII.20 Récapitulatif des pertes totales……………………….…………..………..158 Tableau VIII.21 Valeurs des pertes totales..……………………….…………..……………158

Tableau VIII.22 : Fuseau de passage……………………….…………..……..…………….160

Chapitre IX : Justification des poutres. Tableau IX.1 : Caractéristiques nettes pour le calcul de

x

et

x

pour les 3 dernières

phases..………………………………………………………………………………………172 Tableau IX.2 : Caractéristiques homogènes pour le calcul de

x

et

x

pour les 3 dernières

phases………………………………………………………………………………………..173 Tableau IX.3 : Vérification des contraintes tangentielles…………………………………...175 Tableau IX.4 : Forces de précontrainte……………………………………………………...189 Tableau IX.5 : Valeurs des contraintes de cisaillement……………………………………..189

Chapitre X : Calcul des déformations. Tableau X .1 : Valeurs des moments dus à la précontrainte………………………………...198 Tableau X.2 : Récapitulation des flèches totales à vide et en charge……………………….201 Tableau X.3 : Récapitulation des rotations totales à vide et en charge……………………...203

Chapitre XI : Etude des appareils d’appuis. Tableau XI.1 : Récapitulatif des déplacements et des rigidités des appuis………………….211 Tableau XI.2 : Effets de freinage sous A(l)…………………………………………………212 Tableau XI.3 : Récapitulatif des efforts dynamiques………………………………………..212 Tableau XI.4 : Récapitulatif des efforts statiques. ………………………………………….213 Tableau XI.5 : Récapitulatif des contraintes de cisaillement………………………………..215 Chapitre XII : Etude sismique. Tableau XII.1 : Classification des ponts…………………………………………………….223 Tableau XII.2 : Coefficient d’accélération de zone…………………………………………223 Tableau XII.3 : Répartition des charges verticales en chaque 6,48 m. …………………..…233

Chapitre XIII : Etude de la pile. Tableau XIII.1 : Valeurs des charges et surcharges aux états limites………………………238

Tableau XIII.2 : Evaluation des efforts……………………………………………………..239 Tableau XIII.3 : Ferraillage longitudinal du chevêtre………………………………………240 Tableau XIII.4 : Valeurs des charges permanentes…………………………………………243 Tableau XIII.5 : Sollicitations sismiques sur le mur voile …………………………………244 Tableau XIII.6 : Combinaisons sismiques…………………………………………………..245

Chapitre XIV : Etude de la culée. Tableau XIV.1 : Valeurs de M ⁄Ken fonction de h. …………………….…………………250 Tableau XIV.2 : Valeurs de M et T…………………….…………………………………...255 Tableau XIV.3: Combinaisons des efforts. …………………….…………………………..255 Tableau XIV.4 : Ferraillage de la dalle de transition. …………………….………………...256 Tableau XIV.5 : Valeurs de M et T à l’ELU et l’ELS. …………………….………………259 Tableau XIV.6 : ferraillage vertical du mur en retour (A) …………………….…………...259 Tableau XIV.7 : ferraillage horizontal du mur en retour (A) …………………….………..260 Tableau XIV. 8: Représentation schématique des cas de charges……………………….…262 Tableau XIV.9 : moments aux états limites en MN/ml pour différent cas de charges. ….…262 Tableau XIV.10 : récapitulatif des coefficients de poussée………………….…………..…266 Tableau XIV.11 : Valeurs des moments dus aux poussées en (C.N) et (C.S)………………267 Tableau XIV.12 : Valeurs des moments dus aux efforts horizontaux………………………267 Tableau XIV.13 : Récapitulatif des moments maximums dus aux charges horizontales…..268 Tableau XIV.14 : Les valeurs des moments dus aux charges verticales……………………268 Tableau XIV.15 : Sollicitations les plus défavorables. ……………………………….…….269

Chapitre XV : Etude de la fondation. Tableau XV.1 : Les différents efforts agissants à la base de la semelle…………………….275 Tableau XV.2 : Récapitulatif des combinaisons d’action…………………………………...276 Tableau XV.3 : récapitulatif des contraintes. ………………………………………………277 Tableau XV.4 : Valeurs du moment fléchissant sous la pile ………………………………278 Tableau XV.5 : Ferraillage de la semelle sous pile………………………………………….278 Tableau XV.6 : valeurs agissant sur la semelle…………………………………………..….281 Tableau XV.7 : récapitulatif des combinaisons d’action……………………………………282 Tableau XV.8 : Récapitulatif des contraintes ………………………………………………282 Tableau XV.9 : Ferraillage de la semelle sous culée……………………………………..…283

NOTION ET SYMBOLES

CHAPITRE II : Caractéristiques mécaniques des matériaux.

f cj f tj γb f bu σ bc E ij E Vj fe Es σs σs Ep γs

f prg f peg F Ap Ф Φ ρ 1000

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

Résistance caractéristique du béton à la compression à j jours. Résistance caractéristique du béton à la traction à j jours. Coefficient de sécurité du béton. Résistance caractéristique du béton à l’ELU. Contrainte limite de compression du béton. Module d’élasticité longitudinal instantané du béton. Module d’élasticité longitudinal différé du béton. Limite élastique des aciers passifs. Module d’élasticité longitudinal de l’acier passif. Contrainte de traction de l’acier passif. Contrainte limite de traction de l’acier passif. Module d’élasticité longitudinal de l’acier actif. Coefficient de sécurité de l’acier. Limite de rupture garantie des aciers actifs. Limite élastique garantie des aciers actifs. Coefficient de frottement en courbe. Section des aciers actifs. Diamètre de la gaine. Coefficient de frottement en ligne. Relaxation à 1000 heures des aciers actifs.

CHAPITRE III : Caractéristiques géométriques des poutres. hp

ep bt b

B V´ V I i² ρ

: : : : : : : : : :

Hauteur de la poutre. Épaisseur de l’âme. Largeur totale des talons. Largeur de la table de compression Section brute. Distance entre le centre de gravité de la section et la fibre inférieure. Distance entre le centre de gravité de la section et la fibre supérieure. Moment d’inertie de la section. Rayon de giration. Coefficient de rendement géométrique de la section.

CHAPITRE IV : Calcul des efforts longitudinaux.

ρb lc

n

lv

a1

: : : : :

Masse volumique du béton. Largeur chargeable. Nombre de voies. Largeur d’une voie. Coefficient dépendant de la classe du pont et du nombre de voies chargées.

a2 bc

G Q

: : :

δ

δ´

: : :

Coefficient dépendant de la largeur de la voie. Coefficient de pondération du convoi Bt . Charge permanente. Charge d’exploitation. Coefficient de majoration dynamique (poutre). Coefficient de majoration dynamique (dalle).

CHAPITRE V : Répartition transversale des efforts.

α θ b0 l0 ρP ρE γP γE

IP IE I0 Im Kα 2b n

: : : : : : : : : : : : : : :

Paramètre de torsion. Paramètre d’entretoisement. Espacement des poutres. Espacement des entretoises. Rigidité flexionnelle d’entretoise. Rigidité flexionnelle de l’entretoise par unité de longueur. Rigidité torsionnelle de la poutre par unité de longueur. Rigidité torsionnelle de l’entretoise par unité de longueur. Moment d’inertie propre de la poutre principale. Moment d’inertie propre de l’entretoise. Moment d’inertie propre de la section d’about. Moment d’inertie propre de la section médiane. Coefficient de répartition transversale. Largeur active. Nombre de poutres.

CHAPITRE VI : Étude du platelage.

μα l x et l y Mt Ma Qu Uc

: :

: : : :

Coefficient de répartition. Dimensions de panneau de dalle. Moment entravée. Moment à l’encastrement. Charge concentrée à l’ELU. Largeur d’impact de la roue.

CHAPITRE VII : Étude des entretoises d’about.

Rv n

: :

Résistance des vérins dans l’entretoise. Nombre de poutres.

CHAPITRE VIII : Étude de la précontrainte.

Pmin PI PII Bn Bbr In Ibr σ bt1 σ bt2

P0 n γ f eP

σ sup σ inf V

m Vm VM XK Xd α(x) (ΔσP) g (ΔσP) bi σP 0 rm (ΔσP) ρ (ΔσP)flu (ΔσP) r

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

Précontrainte minimale. Valeur caractéristique maximale de la précontrainte. Valeur caractéristique minimale de la précontrainte. Section nette. Section brute. Moment d’inertie de la section nette. Moment d’inertie de la section brute. Contrainte limite de traction du béton dans la fibre inférieure. Contrainte limite de traction du béton dans la fibre supérieure. Effort à l’origine. Nombre de câbles Excentricité du câble moyen. Contrainte sur la fibre supérieure. Contrainte sur la fibre inférieure. Effort tranchant limite. Nombre de gaines par lit. Effort tranchant minimum. Effort tranchant maximum. Longueur de la partie en courbe du câble / à l’appui. Longueur de la partie rectiligne du câble. Somme vectorielle des déviations du câble. Perte de tension par glissement. Perte de tension par déformation instantanée du béton. Tension à l’origine. Rayon moyen de la pièce. Perte due à la relaxation de l’acier. Perte due au fluage du béton. Perte due au retrait du béton.

CHAPITRE IX : Calcul justificatif des poutres.

Δσinst Δσ d σ bt

 bc

σ x y 

Vred S(y) b n(y) Mu ,Nu Nbt Pm St

: : : : : : : : : : : :

Pertes instantanées. Pertes différées. Contrainte admissible de traction. Contrainte admissible de compression. Contrainte normale longitudinale. Effort tranchant réduit. Moment statique / au centre de gravité de la poutre. Largeur nette de la section au niveau y. Sollicitations agissant sur la section / Ap. Contrainte de traction dans le béton. Valeur probable de la précontrainte. Espacement des armatures transversales.

CHAPITRE X : Étude des déformations.

fg fp fc fD θg θD θP Δhmax

: : : : : : : :

Flèche due aux charges permanentes. Flèche due à la précontrainte. Flèche de construction. Flèche due à la surcharge D240. Rotation due aux charges permanentes. Rotation due à la surcharge D240 . Rotation due à la précontrainte. Déplacement maximal à l’appui.

CHAPITRE XI : Étude des appareils d’appui et joint de chaussée.

Ri τH τN αT αt f σe:

: : : : : : :

Rigidité d’un appui. Contrainte de cisaillement due à l’effort horizontal. Contrainte de cisaillement due à l’effort normal. Angle de rotation de l’appareil d’appui. Angle de rotation d’un feuillet élémentaire. Coefficient de frottement. Limite d’élasticité en traction de l’acier constitutif des frettes.

CHAPITRE XII : Évaluation des efforts sous l’action sismique.

A S  Sae T  d F E

: : : : : : : : :

Coefficient d’accélération de la zone. Coefficient du site. Taux d’amortissement critique. Spectre de réponse élastique. La période élastique. Facteur de correction de l’amortissement. Déplacement. Force sismique. Action sismique limité au mouvement d’ensemble.

CHAPITRE XIII : Étude de la pile.

R I h p yi ei Ki b0

: : : : : : : :

Réaction d’appui des fûts. Entre axe des fûts. Hauteur du chevêtre. Résultante des charges. Excentricité de Ri / au barycentre. Excentricité de P / au barycentre. Caractéristique élastique de l’appui. Épaisseur fictif de la paroi du chevêtre.

D Mt τu (v) τu (Mt Ns Hs εh λ Lf λ γf ea Mu*, Nu* Mu , Nu

: : : : : : : : : : : : : :

Diamètre du plus grand cercle inscriptible dans la section du chevêtre.de torsion. Moment Contrainte de cisaillement dû à l’effort tranchant. Contrainte de cisaillement dû à la torsion. Effort normal dû au séisme. Effort horizontal dû au séisme. Accélération sismique horizontale. Élancement de la pièce. Longueur de flambement. Élancement admissible. Coefficient de majoration (pour tenir compte du flambement). Excentricité additionnelle. Efforts exercés sur le fût. Efforts exercés admissible.

CHAPITRE XIV : Étude de la culée.

Ns PE Mp Mf Tv TH Cgh C’gh

 δ

β

: : :

Effort normal du séisme. Poussée des terres. Moment fléchissant d’une charge située en arrière du mur garde grève. Moment fléchissant du au freinage. Effort tranchant dû aux efforts verticaux. Effort tranchant dû aux efforts horizontaux. Moment du à l’action des poussées sue le mur garde grève. Moment du à l’action du freinage. Angle de frottement interne du sol. Angle de frottement interne sol-béton. Angle d’inclinaison de la culée / à la verticale.

:

: : : : : : :

CHAPITRE XV : Étude des fondations. K Ci  E Cu L B

: : : : : : : :

Facteur donné par le fascicule 62 Titre V. Résistance moyenne à la pénétration relative dans la couche considérée. Facteur qui dépend de la nature du sol. Désigne la hauteur de la couche. Module d’élasticité du béton. Module de réaction du sol. longueur de la semelle. largeur de la semelle

Ф

:

diamètre du fut.

σm

:

contrainte admissible du sol.

hi

INTRODUCTION GENERAL

Introduction générale

On appelle un pont tout ouvrage permettant à une voie de circulation de franchir un obstacle naturel ou une autre voie de circulation. La conception d’un pont doit satisfaire un certain nombre d’exigences puisqu’il est destiné à offrir un service aux usagers. On distingue les exigences fonctionnelles qui sont les caractéristiques permettant au pont d’assurer sa fonction d’ouvrage de franchissement, et les exigences naturelles qui sont l’ensemble des éléments de son environnement influents sur sa conception. Le dimensionnement d’un pont constitue un travail de synthèse des différentes disciplines, telles que la statique, la dynamique, la résistance des matériaux, et le calcul des fondations. Le caractère spécifique du calcul des ponts réside dans l’interdépendance des éléments de structure soumis simultanément à des sollicitations combinées.

Il est également essentiel de veiller à lui donner des formes et proportions permettant une intégration satisfaisante dans le site. Pour ce faire, nous avons divisé notre mémoire en deux parties :  La superstructure : 

Détermination des caractéristiques des matériaux et la géométrique des poutres.



Détermination de la poutre la plus sollicitée par la méthode de « GUYON

MASSONET » , après calcul des efforts longitudinaux et leur répartition transversale des poutres.  Ferraillage de la dalle en béton armé (flexion transversale, flexion locale) et calcul des entretoises d’about. 

Dimensionnement et vérification de la précontrainte.



Calcul des déformations et dimensionnement des appareils d’appui.



Évaluation des efforts de l'ouvrage sous l’action du séisme.  L’infrastructure



Étude de la pile et de la culée.



Étude des fondations.

CHAPITRE I Présentation de l’ouvrage

Chapitre I

Présentation de l’ouvrage INTRODUCTION

Dans le cadre de l’élaboration de notre projet de fin d’étude l’organisation national de contrôle technique des travaux publics (C.T.T.P) à proposée la conception est l’étude d’un passage supérieure situé au niveau de PK 13 + 415 pour cela elle a mis à notre disposition les données suivantes :    

Tracé en plan de site Profil en long de site Profil en travée du site Le rapport de sol.

I.1. Position de l’ouvrage Le présent document présente la Note de Calcul du tablier de l'ouvrage OA 09 PS 05, situé au PK 13+415 sur la pénétrante autoroutière reliant MOSTAGANEM à l’Autoroute EST-OUEST dans la Wilaya de MOSTAGANEM.

Notre pont

Figure I.1 : Photo du site de l’ouvrage I.2. Description de l’ouvrage

 Tablier : L'ouvrage est un pont à poutre multiples, précontraintes par poste tension, dans le sens longitudinal, il est constitué de deux travées isostatiques de 24.70 m de portée chacune. Dans le sens transversal, l'ouvrage est constitué d'un seul tablier. Le tablier comporte six ( 06) poutres de 1.30 m de hauteur espacées de 1.86 m, d'un hourdis de 25 cm d'épaisseur coulé sur place, d'une chape d'étanchéité type monocouche de 4 mm d'épaisseur et d'une couche de revêtement en béton bitumineux de 8 cm d'épaisseur. USTHB FGC 2017

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Chapitre I

Présentation de l’ouvrage

I.3. Les données fonctionnelles I.3.1. Trace en plan Le tracé en plan est la ligne définissant la géométrie de l’axe de la voie portée, destinée sur un plan de situation et répétée par coordonnées de ces points caractéristiques

Figure I.2 : Tracé en plan de l’ouvrage I.3.2. Profil en long Le profil en long est la ligne située sur l’axe de l’ouvrage, définissant en élévation du tracé en plan, il doit être défini en tenant compte de nombreux paramètres liés aux contraintes fonctionnelles de l’obstacle le franchit ou aux contraintes naturelles, il présente une longueur de 72.53 m

Figure I.3 : Profil el long de l’ouvrage

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Chapitre I

Présentation de l’ouvrage

I.3.3. Profil en travers Le profil en travers est l’ensemble des éléments qui définissent la géométrie et l’équipement de la voie dans le sens transversal. Le profil en travers de notre chaussée est défini par :      

Largeur roulable : 7,6 m Largeur total : 11.10 m Largeur de trottoir : 1.75 m ( y compris la corniche ) Nombre de voies : 2 vois ( 3.8 m chaque vois ) Dévers en toit : 2.46 % Dimensions des appareils d’appuis : ( 300 x 400 x 65 ) mm3

- Les poutresz reposent sur des appareils d'appuis en élastomère fretté .

Figure I.4 : Profil en travers de l’ouvrage I.4. Données naturelles I.4.1. Données géotechniques Les données géotechniques du sol sont évidemment fondamentales dans l’étude d’un ouvrage, non seulement pour le choix de type de fondation mais elles constituent l’un des éléments de la conception de projet. Elles sont obtenues à partir d’une reconnais reconnaissance sance qui donne les informations sur le terrain naturel tel que les paramètres mécaniques de résistance, paramètre rhéologique pour les problèmes de tassement et le fluage et la perméabilité pour les problèmes d’épuisement ou de bétonnage dans les fouilles. I.4.2. Données onnées topographiques Il convient de disposer d’un levé topographique et d’une vue en plan du site indiquant les possibilités d’accès, ainsi que les aires disponibles pour les installations du chantier, l’indication de repère de niveau, les stockages …etc.

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Chapitre I

Présentation de l’ouvrage

I.4.3. Données sismologiques Un séisme est une succession de déplacements rapides imposés aux fondations d’un ouvrage. En général, le séisme est caractérisé par un spectre de réponse que ce soit des déplacements, vitesses ou des accélérations. Sur un ouvrage rigide, les efforts sont identiques à ceux d’une accélération uniforme présentant une composante horizontale de direction quelconque et une composante verticale La région de MOSTAGHANEM est classée comme une zone de forte sismicité selon le règlement parasismique Algérien, (RPOA 2008). I.4.4. Données hydrauliques Dans le cas du franchissement d’un cours d’eau, il est indispensable d’en connaître parfaitement l’importance des crues, débit, charriage éventuel de corps flottants susceptible de heurter les piles, mais le plus grand danger réside dans les affouillements, qui furent par le passé la cause la plus fréquente d’effondrement de pont en cours d’eau, les techniques modernes de fondation permettent d’éviter ce type d’accident. D’une manière générale, on cherchera, bien sûr à limiter autant que possible le nombre d’appuis en tel site, pour d’évidentes raisons économiques. I.4.5. Données climatiques  La température : Les effets de température sont bien pris en compte dans le calcul des constructions, elle a son effet au niveau des joints de chaussée et des appareils d’appui (±10°C).  La neige : Les effets de la neige ne sont pas pris en considération dans le calcul des ponts, mais ils peuvent se produire dans certains cas particuliers (Ouvrage en phase de construction).  Le vent : En réalité, l’action du vent induit une pression dynamique sur un pont Dans les structures rigides telles que les ponts en béton, il est généralement suffisant de la considérer comme une pression statique, par contre les ponts souples (ex: pont à haubans), il est nécessaire de mener une étude approfondie sur la variation de l’action du vent pour apprécier la contribution de leur comportement dynamique. Les efforts engendrés sur les structures par le vent, sont fixés par (Fascicule 61, Titre II) on prend une surcharge du vent répartie de 125Kg/m2 soit 0,125 t/m2. La ville de MOSTAGHANEM bénéficie d’un climat chaud

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Chapitre I

Présentation de l’ouvrage

I.5. Choix du type d’ouvrage A la recherche de la solution engendrant le meilleur profit technico-économique tout en respectant les contraintes naturelles et fonctionnelles imposées. Le concepteur doit connaître l’éventuel des solutions possibles, avec leurs sujétions, leurs limites et leurs coûts. Comme dans le domaine des ouvrages d’art, la solution d’un problème de franchissement d’un obstacle n’est pas unique, la prochaine partie de notre travail comporte une analyse des différentes variantes existantes, leurs avantages, leurs inconvénients et leurs modes de construction qui dispose de matériel spécifique. Suite au recueil des données naturelles et fonctionnelles, on peut éliminer les ponts dalles en béton précontraint coulée en place vue à la circulation des eaux, ce qui engendre une grande difficulté d’étayage et de coffrage. On a opté à proposer trois variantes les plus adaptées et faire une étude comparative selon les avantages et les inconvénients que représente chaque variante.

I.5.1. Ponts à poutres en béton précontraint : Le tablier est formé de travées indépendantes, constituée chacune par un nombre de poutres préfabriquées à talon, âme et semelle supérieure. Son principe consiste à reprendre le poids propre de la poutre par une armature active qui est la précontrainte et soit par prétention ou par post tension. Signalant que la prétention s’adapte sur des portées allant jusqu'à 30 m, et une gamme de portées comprises entre 30 à 50 m pour la poste tension Avantages : Les avantages qu’offre ce type d’ouvrage sont liés pratiquement à la Préfabrication    

Maîtrise de la préfabrication des poutres. Préfabrication des poutres pendant la réalisation des fondations. Simplicité et rapidité d’exécution, se qui réduit les délais et les coûts. Le fonctionnement isostatique de ce type de structure la rend insensible aux tassements différentiels des appuis et aux effets du gradient thermique.  Le béton est toujours comprimé.

Inconvénients: Le principal inconvénient des suites de travées indépendantes provient de la présence  D’un joint de chaussée au-dessus de chaque appui (inconfort, risques de dégradations, pénétration d’eau, etc...).  Surcoût de transport des poutres préfabriquées si le chantier est loin du site de fabrication.

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Chapitre I

Présentation de l’ouvrage

 La hauteur des poutres et leurs poids qui augmentent au fur et à mesure que leur portée augmente.  La pile intermédiaire se trouve dans le lit d’oued.

I.5.2. Ponts en béton précontraint construits par encorbellement : Ces ponts sont construits à partir des piles en confectionnant des voussoirs qui s’adaptent d’une manière très performante aux actions mécaniques telles que la torsion, soit dans des ateliers de préfabrication, soit directement dans des coffrages portés par des équipages mobiles ; ces voussoirs sont fixés, à l’aide de câbles de précontrainte, symétriquement aux extrémités de la portion de tablier déjà construite. Lorsque ces extrémités atteignent le voisinage de la clé des deux travées situées de part et d’autre de la pile considérée, on dit que l’on a construit un fléau. Le tablier à hauteur variable devient plus économique et esthétique et il s’adapte sur une gamme de portées allant de 70 à 200 m. Avantages:  Ouvrages comportant des piles très hautes (construction est devenue économique grâce aux coffrages glissants) et franchissant des vallées larges et profondes (cintre onéreux).  Nécessité de dégager sur la voie franchie un gabarit de circulation ou de navigation pendant la construction (cintre gênant).  Réduction et meilleure utilisation des coffrages, limités à la longueur d’un voussoir.

Inconvénients :  Pour des portés inférieurs à 50 m la construction par encorbellement est plus coûteuse que les travées indépendantes à poutres préfabriquées.  Nécessité de disposer d’un personnel qualifié pour la vérification de la pose des gaines et des câbles et leur mise en tension.  Nécessité de disposer d’un matériel adéquat pour l’exécution. I.5.3. Ponts à tabliers mixtes : Dans les tabliers métalliques à poutres ou caissons sous chaussée, la dalle peut être constituée d’un hourdis en béton armé ou précontraint reliée à la semelle supérieure par des éléments de liaison appelés connecteurs, dont le rôle est d’éviter tout glissement relatif du tablier par rapport aux poutres. Avantages :  Rapidité et simplicité de mise en œuvre.  Possibilité de franchir de grandes portées avec une grande compétitivité.

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Chapitre I

Présentation de l’ouvrage

 Simplicité d’usinage des poutres à âme pleine.  Possibilité d’extension et de réparation des poutres. Inconvénients :    

Risques de corrosion de l’acier surtout en présence d’un milieu agressif. Risque de voilement, déversement des poutres. Nécessite de visites périodiques et entretien courant. Sensibilité au gradient thermique.

Justification du choix de la variante :

Types

Pont à poutres précontraintes.

Pont construit par encorbellement successif.

Economie.

+

-

-

Entretient.

+

+

-

Esthétique.

-

+

-

Exécution.

+

-

+

Critères

Pont à tablier mixte.

Conclusion En fait il n’y a aucune variante qui répond à toutes les sujétions mais on a tendance à opter pour le pont à poutres en béton précontraint par post-tension à travées indépendantes qui nous semble celui qui peut satisfaire le mieux les conditions imposées et qui fera l’objet de notre étude. Le précontrainte par pré tension est un procédé industriel, dont les éléments réalisés par ce procédés sont transportés sur site, vu la distance de l’atelier de préfabrication au site, l’état dégradé des routes et la géométrie souvent sinueuse, ce procédé n’a pas été choisi car les contraintes et les inconvénients liés au transport de ces poutres préfabriqués sont multiples et il y’a risque d’apparition de fissure ou éclatement du béton. Pour cela on a choisit la précontrainte par post tension qui est surtout utilisée pour des ponts de grandes portées.

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CHAPITRE II Caractéristiques mécaniques des matériaux

Chapitre II

Caractéristiques mécaniques des matériaux Introduction :

Pour la réalisation de notre ouvrage, on utilise le béton armé et béton précontraint qui sera conforme aux règles techniques de constructions et de calcul des ouvrages. Béton armé： Fascicule 62-Titre I (Section II) - BAEL 91 modifié 99 - Béton précontraint： Fascicule 62 –Titre I (Section II) / BPEL 91 - Règlement parasismique： RPOA version 2008 -

Ces règles nous définissent aussi les deux états limites pour lesquelles notre ouvrage devra être vérifié, ces deux états limites sont : ELU : c’est l’état au-delà duquel les matériaux dépassent les portances maximales entrainant ainsi la rupture de l’ouvrage ELS : c’est l’état qui définit les conditions limites d’exploitations et de durabilité, par une limitation des flèches et de l’ouverture des fissures II.1. Le béton II.1.1. Définition : Un béton est défini par la valeur de sa résistance à la compression à l’âge de 28 jours dite valeur caractéristique requise ou spécifiée. Celle-ci notée f C28 , est choisie a priori compte tenu des possibilités locales et des règles de contrôle qui permettent de vérifie qu’elle est atteinte. II.2. La résistance du béton II.2.1. Résistance caractéristique à la compression : C’est la caractéristique mécanique essentielle du béton, elle est mesurée à l’âge de 28 jours noté f c28 . La résistance caractéristique du béton à la compression à « j » jours d’âge est donnée par :

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j ≤ 28 jours

fcj = j ×

j ≤ 28jours

fcj = j ×

fc28 4.76 + 0.83j fc28 1.4 + 0.95j

pour fc28 ≤ 40 MPa pour fc28 > 40 MPa

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Chapitre II

Caractéristiques mécaniques des matériaux

 pour la superstructure:  pour l’infrastructure:

fc28 = 35 MPa fc28 = 27 MPa

II.2.2. Résistance caractéristique à la traction : À l’âge de 28 jours la résistance caractéristique à la traction est conventionnellement définie par la relation : f t28  0.6  0.06f

 pour la superstructure:  pour l’infrastructure:

c28

ft28 = 2.7 MPa fc28 = 2.22 MPa

II.3. Contrainte limite : Un état limite est celui dans lequel une condition requise d’une construction ou l’un de ces éléments est strictement satisfaite, on distingue :  Les états limites ultimes (E.L.U) qui correspondent à la limite : - Soit de l’équilibre statique. - Soit de la résistance. - Soit de la stabilité de forme.

La contrainte limite de compression du béton à l’E.L.U est définie par la formule suivante : f bu 

0.85 θ  γ

f c28 b

γ b  1.50 Dans le cas d’une situation durable ou transitoire SDT γ b  1.15 Dans le cas d’une situation accidentelle SA

θ : Coefficient qui dépond de la durée probable « t » d’application de la combinaison d’action considérée. Il dépond les valeurs suivantes :

1 θ =

0.9

si

t > 24h

si 1h ≤ t ≤ 24h

0.85

USTHB FGB 2017

Si

t < 1h

Page 41

Chapitre II Fc28 ( MPa)

35

Caractéristiques mécaniques des matériaux b

fbu ( MPa) θ=1

fbu ( MPa ) θ = 0.90

fbu ( MPa ) θ = 0.85

1.50

19.83

20.04

23.33

1.15

25.86

28.74

30.43

Tableau II.1 : valeurs de la contrainte admissible pour la superstructure

Fc28 ( MPa)

27

b

fbu ( MPa) θ=1

fbu ( MPa ) θ = 0.90

fbu ( MPa ) θ = 0.85

1.50

15,3

17

18

1.15

19,96

22,17

23,47

Tableau II.2 : valeurs de la contrainte admissible pour l’infrastructure

 Les états limites de service (E.L.S) : La contrainte limite de compression du béton à l’E.L.S est définie par la formule suivante : 0.5 ∙ fc28 Sigma =

( En service )

0.6 ∙ fc28 ( En construction )

sigma

Ouvrage en construction

Superstructure ( MPa)

21

Infrastructure (MPa)

16,2

Tableau II.3 : valeurs de la contrainte limite de compression de béton à l’ELS

USTHB FGB 2017

Page 42

Chapitre II

Caractéristiques mécaniques des matériaux

II.4. Déformation longitudinale du béton 

Module de déformation instantanée du béton

Pour un chargement d’une durée d’application inférieur à 24 h le module de déformation instantanée du béton E ij est égal à :

Eij = 11000 √fcj Superstructure (MPa) Eij

35982

Infrastructure (MPa) 33000

Tableau II.4 : valeurs du module de déformation instantanée 

Module de déformation différé du béton

Pour un chargement d’une durée d’application supérieur à 24 h le module de déformation instantanée du béton E vj est égal à : Evj =

Superstructure (MPa) 12103

Evj

Infrastructure (MPa) 11000

Tableau II.5 : valeurs du module de déformation différé II.5. Coefficient de poisson : Le coefficient de poisson ν représente la variation relative de dimension transversale D’une pièce soumise à une variation relative de dimension longitudinale. Le coefficient ν du béton pour un chargement instantané est de l’ordre de 0,3 mais il diminue avec le temps pour se rapprocher de la valeur 0,2.Au cas d’un béton fissuré, ν devient nul. On retiendra pour les calculs de béton précontraint la valeur : ν = 0,2

pour un béton non fissuré (ELS)

ν = 0

pour un béton fissuré (ELU)

USTHB FGB 2017

Page 43

Chapitre II

Caractéristiques mécaniques des matériaux

II .6. Les aciers II.6.1. Les aciers passifs On utilise des armatures d’acier de hautes adhérences qui ont pour caractéristiques :    

Nuance Limite d’élasticité Module d’élasticité Poids volumique

FeE 400. fe = 400 MPa Es = 2.105 MPa 78.5 KN/m3

 Contrainte limite : Cette contrainte limite dépend de type de la fissuration et de cas de situation. À l’état limite ultime ( ELU ) la contrainte σ s sera déterminée par la formule suivante : σ = Avec :

γs = 1 ( Situation accidentelle )

⇒ .

γs = 1.15 (Situation durable ou transitoire)

⇒

σ S10 = 400 MPa σ S10 = 347,826 MPa

À l’état limite de service ( ELS ) la contrainte σ s sera déterminée par la formule suivante : 

Si la fissuration est préjudiciable ( F.P ) : σ = min (



fe ; 110 f

.η)

Si la fissuration est très préjudiciable ( F.T.P ) : σ = min (

fe ; 90 f

.η )

Avec : n=1

⇒

Treillis soudés et ronds lisses.

n = 1,6

⇒

Aciers à haute adhérence.

USTHB FGB 2017

Page 44

Chapitre II

Caractéristiques mécaniques des matériaux s

f su - 10 ‰

- εe

εe εe

s

10‰ 10‰

fsu Figure II.1 : Diagramme contraintes – déformations des aciers passifs

II.6.2. Les aciers de précontraintes : Les armatures de précontrainte doivent satisfaire aux prescriptions du titre II (armatures en acier à haute résistance pour construction en béton précontraint par pré ou post-tension) du fascicule 4 (fourniture d´aciers et autres métaux) du CCTG. Ces armatures doivent, soit être agréées par le ministre concerné, soit bénéficier d´une autorisation de fourniture ou d´une autorisation d´emploi. Dans le cas de la précontrainte par post-tension, la catégorie (fils, barres ou torons) d´armatures à utiliser est définie par l´arrêté d´agrément du procédé de précontrainte. Dans le cas de la précontrainte par pré-tension, seuls peuvent être utilisés les torons et les fils autres que les fils ronds et lisses. On adopte le câble à très basse relaxation (TBR) qui est conforme à la norme française XP A35-045, Euro norme 10138-3/1860 S7 - 15.2 et l’article 2.1 du Fascicule 62-Titre I (Section Ⅱ).

 Caractéristiques mécaniques : Câble n° 1 : Câbles 12T15 Super classe 1860 TBR. 

Limite de rupture garantie

fprg = 1 860 Mpa



Limite élastique garantie

fpeg = 1 600 MPa



Module d’élasticité

Ep = 200 000 Mpa



Section des câbles

Ap = 1800 mm²



Coefficient de frottement en courbe

f = 0.18 rd-1

USTHB FGB 2017

Page 45

Chapitre II

Caractéristiques mécaniques des matériaux



Coefficient de perte de tension pas unité de longueur ф (m-1) = 0.002



Glissement par recul d’encrage

g = 3 mm



Coefficient de répartition transversale

μ0 = 0.43



Relaxation des câbles à 1000 heures

ρ1000 = 2.5 %



Diamètre de la gaine

ф = 0.085 m

Diagramme contrainte – déformation Le calcul en état limite ultime sortant du domaine élastique, il est nécessaire de connaître la relation entre contrainte et déformation aux différents stades de calcul. σ p MPa

1,06 Fpeg Fpeg 0,9 Fpeg

0 1

7,1064

20

(‰) εpp ‰)

Figure II.2 : Diagramme contraintes- déformations des aciers actifs

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Page 46

CHAPITRE III Caractéristiques géométriques de la poutre

Chapitre III

Caractéristiques géométriques des poutres Introduction

Les poutres sont des pièces de forme allongée en métal, en béton armé ou en béton précontraint qui servent a supporter le plancher « dalle du pont » avec les charges d’exploitations. La forme des poutres est généralement en « I », section de caractéristiques bien adaptées à la gamme de portées de ce type d’ouvrage.

III. 1. Vérification des dimensions de la poutre : La stabilité des structures est fonction de la « solidité » des sections qui la composent. En effet, si l’on place une section de dimensions faibles à un endroit où les sollicitations sont importantes, il risque d’y avoir rupture. Le but de la mécanique des structures est naturellement de choisir la forme la plus adaptée pour la poutre. Des critères tels que l’économie nous poussent à trouver les dimensions les plus justes.

III.1.1. Hauteur de la poutre : La hauteur des poutres est un paramètre très important, car elle influe directement sur le comportement du tablier pendant le service surtout en présence du vent. La réduction de la hauteur des poutres conduit à une augmentation considérable des quantités d’acier de précontrainte. C’est pourquoi on considère généralement un élancement optimal. Lorsque la portée des poutres dépasse les 20 m, la hauteur de la poutre doit être vérifiée : L L − 0,2 ≤ hp ≤ + 0,2 20 20

On a L = 25.7 0 m Donc : 1.085 m ≤ hp ≤ 1.485 m Nous prenons une hauteur de : hp = 1.30 m III.1.2. Epaisseur de l’âme de la poutre Les âmes comportent souvent des épaississements à proximité des appuis pour s'adapter à l'intensité de l'effort tranchant; D’autre part, des renforcements de la zone d'about sont nécessaires pour assurer une bonne diffusion de l'effort de précontrainte. Les différentes épaisseurs doivent satisfaire la condition suivante :

ep ≥ USTHB FGC 2017

+9 Page 48

Chapitre III

Caractéristiques géométriques des poutres

ep : épaisseur de l’âme en (cm) Pour hp = 1.5 m on a ep ≥ 12.25 m

SECTION

ep

About

44

Intermédiaire

32

Médiane

18

Tableau III.1: épaisseur de chaque section III.1.3. La table de compression  Largeur de la table de compression : Pour alléger les poutres, dans le but d'en faciliter la manutention, on serait tenté de réduire le plus possible la largeur des tables de compression. Toutefois, pour prévenir tout risque de déversement pendant les opérations de manutention, on ne descendra pas en dessous d'une largeur voisine de 60 % de la hauteur La largeur doit êtres supérieure à : 0.6 hp = 0.6 × 1.3 = 0.78 m Nous prenons une largeur de b = 1,00 m

 Epaisseur de la table de compression

L’épaisseur extrême est aussi faible que possible, mais, en pratique, elle ne pourra guère descendre en dessous de 10 cm, dimension nécessaire pour la bonne mise en place des armatures passives On fixe e = 11 cm III.1.4. Le talon Les talons des poutres, constituant la fibre inférieure de la structure, sont dimensionnés par la flexion et doivent permettre de loger les câbles de précontrainte dans de bonnes conditions d'enrobage et d'espacement

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Page 49

Chapitre III

Caractéristiques géométriques des poutres

 Largeur du talon : La largeur du talon doit vérifier l’inégalité suivante : 40 cm ≤ b ≤ 55 cm Nous prenons b = 44 cm satisfaisant l’inégalité ci-dessus bt = 44 cm

↔ 40 ≤ 44 ≤ 55

⇒

veri iée

 Epaisseur du talon : La partie verticale du talon ou pied de talon est généralement comprise entre 0,10 m et 0,20 m pour des largeurs de talons variant de 0,60 m à 0,90 m. on a et = 18 cm III.1.5. Hourdis L’hourdis est une dalle en béton armé ou en béton précontraint, qui maintien les poutres et sert de couverture pour le pont. En effet, elle est destinée à recevoir la couche de roulement. La dalle  Largeur de la dalle : La largeur de la dalle est égale à la largeur de la chaussée roulable y compris les trottoirs  L’épaisseur de la dalle :

Ld = 11.1 m

La dalle doit rependre les efforts de flexion transversale transmis par le chargement; l’épaisseur de la dalle est comprise entre 18 et 25 cm On fixe ed = 20 cm III.2. Les équipements du tablier : Trop souvent considérés comme accessoires, les équipements jouent un rôle fondamental dans la conception, le calcul et la vie de l’ouvrage. Tout d’abord, ce sont eux qui permettent à un pont d’assurer sa fonction vis-à-vis des usagers. En second lieu, par le poids qu’ils représentent, ils sont l’un des éléments du dimensionnement et du calcul de la structure.

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Page 50

Chapitre III

Caractéristiques géométriques des poutres

 Les revêtements du tablier :

Ils comprennent essentiellement une couche d’étanchéité de 1 cm et une couche de roulement de 7cm  Trottoirs : Le rôle des trottoirs est de protéger les piétons en les isolants. La largeur des trottoirs y compris la corniche est de 1,75 m pour chaque côté.  Les corniches :

Les corniches ont essentiellement un rôle esthétique; situées à la partie haute des tabliers, elles sont toujours bien éclairées et dessinent donc la ligne de l’ouvrage; en plus de ce rôle esthétique intrinsèque, la corniche doit également servir de larmier afin d’éviter le ruissellement des eaux de pluie sur les parements de la structure porteuse; en Algérie en utilise souvent les corniches en béton armé préfabriqué. III.2.1. Dispositifs de retenue :  Les gardes corps : En plus de leur fonction de retenue des piétons, les garde-corps ont souvent une fonction esthétique ; leur hauteur est de H = 1,10 m. [Fascicule 61 titre II]  Glissière de sécurité : Le rôle de ces glissières est de démunie les conséquences des accédant de la route, tel qu’elles sont aidées les véhicules pour le freinage. Elles agissent essentiellement au niveau des roues des véhicules, elles sont relativement esthétiques et résistantes mais seuls les véhicules légers. Elles sont classées en trois catégories les suivantes : - Les glissières rigides - Les glissières souples - Les glissières élastiques

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Page 51

Chapitre III

Caractéristiques géométriques des poutres

III.3. Calcul des caractéristiques géométriques de la poutre : Après avoir subdivisé chaque section en petites sections, nous allons déterminer les paramètres géométriques de la poutre par le biais des relations ci-dessous.

.

 Section rectangulaire :

B=b∙h

;

 Section triangulaire :

B= b∙h

;

 Centre de gravité :

Y =

 Moment d’inertie :

I = ∑ I + ∑. Bi(Y   −  Y )²

 Rayon de giration :

i =

 Rendement géométrique :

ρ=

USTHB FGC 2017

I=

I=

.

∑ ∑

.

′

Page 52

Chapitre III

Caractéristiques géométriques des poutres

III.4. Application numérique pour les différentes sections de la poutre III.4.1. Application numérique pour la section d'about :  poutre seule 

B = ( 0.11 × 1 ) + ( (0.06 × 0.28 ) / 2 ) ×2 + ( 0.06 + 1.13 ) × 0.44



∑ BiYi = ( 0.11 × 1.245 ) + ( 0.0168 × 1.17 ) + ( 0.5236 × 0.565 )



V= Y =



V = 1.3 – 0.7197 = 0.580 m



I1 =



I2 = I3 =



I4 =



∑ I = 0.0619 m4



∑. Bi ( Y   −  Y )² = 0.0419



I = ∑ I + ∑. Bi ( Y   −  Y )² = 0.0619 + 0.0419 = 0.1038 m4



i2 = 0.1038 / 0.6504 = 0.1596 m3



ρ=

∑

’

=

∑

× .

.

= .

× .

× .

. .

×

USTHB FGC 2017

.

.

= 0.4681 m3

= 0.7197 m

1.1092 × 10-4 m4

= =

.

= 0.6504 m2

1.68 × 10-6 m4

6.179 × 10-2 m4

= 0.3821

Page 53

Chapitre III

Caractéristiques géométriques des poutres

 poutre + dalle = 1.1154 m2



B = 0.6504 + ( 1.86 × 0.25 )



∑ BiYi = 0.4681 + ( 1.86 × 0.25 × 1.425 ) = 1.1307 m3



V’ = Yg =



V = 1.55 –1.0137 = 0.5363 m



Idalle =



∑ I = 0.0619 + 2.42 × 10-3 = 0.0643 m4



∑. Bi(Y   −  Y )



I = ∑ I + ∑. Bi ( Y   −  Y )



i2 = 0.2061 / 1.1154 = 0.1848 m3



ρ=

.

= 1.0137 m

.

.

×

.

= 2.42 × 10-3 m4

= 0.1418

. .

×

.

= 0.2061 m4

= 0,3399

1,86 m 0.25 m

Dale 1m

0,11 m 0,06 m

Section d’about 0,28 m

1,13 m

0,44 m

Figure III.1 : Section d’about

USTHB FGC 2017

Page 54

Chapitre III

Caractéristiques géométriques des poutres

III.4.2. Application numérique pour la section intermédiaire :  poutre seule  B = ( 0.11 × 1 ) + ( 0.06 × 0.31 ) + ( 0.06 ×0.38 )+( 0.03 × 0.03 ) + ( 0.95 × 0.32 ) + ( 0.06 × 0.09 ) + ( 0.18 × 0.44 ) = 0.5409 m2  ∑ Bi ∙ Yi = ( 0.11 × 1.245 ) + ( 0.0186 × 1.17 ) + ( 0.0228 × 1.16 ) + ( 9 × 10-4 × 1.12 )+ ( 0.304 × 0.655 ) + ( 5.4 × 10-4 × 0.21 )+ ( 0.0792 × 0.09 ) = 0.3921 m3 ∑

.

=



V’ = Yg =



V = 1.3 – 0.7249 = 0.5751 m



I1 =



I2 = I3=



I4 =



I5 = I6 =



I7 =



I8 =I9 =



I10= (



∑ I = 0.0232 m4



∑. Bi ( Y   −  Y )² = 0.0737



I = ∑ I + ∑. Bi ( Y   −  Y )² = 0.0232 + 0.0737 = 0.0969 m4



i2 = 0.0969 / 0.5409 = 0.1791 m3



ρ=

∑

× .

.

× .

× .

.

.

1.86 × 10-6 m4

6.84 × 10-6 m4

= 2.25 × 10

.

× .

× .

×

USTHB FGC 2017

m4

= 2.28 × 10

m4

= 1.215 × 10

) =2.138 × 10

. .

=

=

× .

.

1.1092 × 10-4 m4

= .

= 0.7249 m

.

.

m4

m4

= 0.4296 Page 55

Chapitre III

Caractéristiques géométriques des poutres

 poutre + dalle

= 1.0059 m2



Bi = 0.5409 + (1.86× 0.25)



∑ BiYi = 0.3921 + ( 1.86 × 0.25 × 1.425 ) = 1.0547 m3



V’ = Yg = 1.0485 m



V = 1.55 –1.0485 = 0.5015 m



Idalle =



∑ I = 0.0232 + 2.42 × 10-3 = 0.0256 m4



∑ Bi ( Y   −  Y )



I = ∑ I + ∑. Bi ( Y   −  Y )



i2 = 0.184 / 1.0059 = 0.1829 m3



ρ = 0.5015 × 1.0485 = 0.3478

.

×

.

= 2.42 × 10-3 m4

= 0.1584 = 0.184 m4

0.1829

1,86 m 0.25 m 1m 0,11 m 0,06 m 0,31 m 0,83 m

0,06 m

0,09 m

0,03

0,18 m 0,03 0,44 m

Figure III.2 : Section intermédiaire USTHB FGC 2017

Page 56

Chapitre III

Caractéristiques géométriques des poutres

III..4.3. Application numérique pour la section médiane :  poutre seule  B =( 0.11 × 1 ) + ( 0.06 × 0.3 8) + ( 0.06 × 0.31 ) + ( 0.1 × 0.1 ) + ( 0.95×0.18 ) + ( 0.13 × 0.2 ) + ( 0.18 × 0.44 ) = 0.4376 m2  ∑ BiYi = ( 0.11 × 1.245 ) + ( 0.0228 × 1.16 ) + ( 0.0186 × 1.17 ) + ( 0.01× 1.0967 ) + ( 0.171 × 0.475 ) + ( 0.026 × 0.2467 ) + ( 0.0792 × 0.09 ) = 0.2909 m3 ∑ Bi Yi

0.2909



V’ = Yg =



V = 1.3 – 0.6647 = 0.6353 m



I1 =



I2 = I3 =



I4 =



I5 = I6 =



I7 =



I8 = I9 =



I10 =



∑ I = 0.0133 m4



∑. Bi ( Y   −  Y ) ² = 0.086



I = ∑ I + ∑. Bi ( Y   −  Y ) ² = 0.0133 + 0.086 = 0.0994 m4



i2 = 0.0994 / 0.4376 = 0.2271 m3



ρ =

=

∑ Bi

× .

.

= .

× .

× .

.

.

1.86 × 10-6 m4

6.84 × 10-6 m4

= 2.78 × 10

× .

.

1.1092 × 10-4 m4 =

=

.

× .

×

m4

= 2.889 × 10 = 2.138 × 10

.

USTHB FGC 2017

m4

= 1.286 × 10 × .

.

= 0.6647 m

0.4376

.

m4 m4

= 0.5378 Page 57

Chapitre III

Caractéristiques géométriques des poutres

 poutre + dalle = 0.9026 m2



B = 0.4376 + ( 1.86 × 0.25 )



∑ BiYi = 0.2909 + ( 1.86 × 0.25 × 1.425 ) = 0.9535 m3



V’ = Yg =



V = 1.55 – 1.0564 = 0.4936 m



Idalle =



∑ I = 0.0133 +2.42 × 10-3 = 0.0157 m4



∑ Bi ( Y   −  Y )



I = ∑ I + ∑. Bi ( Y   −  Y )



i2 = 0.1689 / 0.9026 = 0.1871 m3



ρ

=

.

.

= 1.0564 m

.

×

.

= 2.42 × 10-3 m4

= 0.1532

0.1871 1.0564 × 0.4936

= 0.0157 + 0.1532 = 0.1689 m4

= 0.3588

1,86 m 0.25 m 1m 0,11 m 0,06 m 0,31 m 0,65 m

0,13 m

0,20 m

0,10

0,18 m 0,10 0,44 m

Figure III.3 : Section médiane USTHB FGC 2017

Page 58

Chapitre III

Caractéristiques géométriques des poutres

Section d’about

Section intermédiaire

Section médiane

Poutre

Poutre + Dalle

Poutre

Poutre + Dalle

Poutre

Poutre + Dalle

B m

0.6504

1.1154

0.5409

1.0059

0.4376

0.9026

V m

0.7197

1.0137

0.7249

1.0485

0.6647

1.0564

V m

0.5803

0.5363

0.5751

0.5015

0.6353

0.4936

I m

0.1038

0.2061

0.0969

0.1840

0.0994

0.1689

i m

0.1596

0.1848

0.1791

0.1829

0.2271

0.1871

ρ

0.3821

0.3399

0.4296

0.3478

0.5378

0.3588

Tableau III.2 : Récapitulatif des caractéristiques géométriques de la poutre.

USTHB FGC 2017

Page 59

CHAPITRE IV Calcul longitudinal

Chapitre IV

Calcul longitudinal Introduction

Dans ce chapitre on va calculer les charges et les surcharges que le pont doit supporter car il a une fonction porteuse, les actions appliquées à un ouvrage peuvent être :  Permanentes  Variables Nous commencerons par le poids propre du tablier, les surcharges réglementaires auxquelles sera soumis le pont ainsi que leur disposition sur le tablier. IV.1. Calcul des charges permanentes (poids propres) : Le poids d’un élément est égal à sa masse volumique multiplié par son volume.  Poids de la dalle ( hourdis ) : La dalle est en béton armé qui sert de couverture pour le pont, elle est destinée a recevoir la couche de roulement.

0.25 m 11.1 m 25.7 m Figure IV.1 : Dalle Longueur de la dalle : Ld = 25.7 m Largeur de la dalle : ld = 11.1 m Epaisseur de la dalle : ed = 0.25 m Pd = ρ . Vd = ρ . Ld . ld .ed Avec : ρ : poids volumique du béton est égale à : 2.5 t/m3. Pd = 2.5 ∙ 25.7 ∙ 11.1 ∙ 0.25 Pd = 178.29 t Le poids de la dalle par mètre linéaire : gd =

=

. .

USTHB FGC 2017

= 6.94 t/ml

Page 61

Chapitre IV

Calcul longitudinal

 poids propre des poutres :

Figure IV.2 : Poutre Pour le calcul de la poutre, on la divise en cinq sections selon la variation de la section - S1 = 0.65 m2

avec

l1 = 0.60 m

- S2 = 1.12 m2

avec

l2 = 4.70 m

- S3 = 0.43 m2

avec

l3 = 7.43 m

- S4 = (S2+ S1)/2 = 0.885 m

avec

l4 = 0.05 m

- S5 = (S2+ S3)/2 = 0.775 m

avec

l5 = 0.07 m

S1

S4

0.60 m

0.05m

S2

4.7 m

S5

S3

0.07m

7.43 m

Figure IV.3 : Les sections de la poutre

Le poids des poutres est égale à : Pp = 2 . n . ρ . Σ Si . Li Pp = 2 ∙ 6 ∙ 2.5 ( 0.65 ∙ 0.6 + 1.12 ∙ 4.7 + 0.43 ∙ 7.43 + 0.885 ∙ 0.05 + 0.775 ∙ 0.07 ) Pp = 268.422 t Le poids de la poutre par mètre linéaire : gp =

é

=

USTHB FGC 2017

. .

= 10.44 t/ml

Page 62

Chapitre IV

Calcul longitudinal

 poids du revêtement : 0.087 m

2.46 %

2.46 %

0.8 m

7.6 m

Figure IV.4 : Revêtement

prev

=

ρ

. L . Srev

Avec : ρ

= 2.20 t/ml

lc

= 7.6 m

L

= 25.7 m

Srev = 0.96 m2 Prev = 2.2 ∙ 25.7 ∙ 0.96 Prev = 54.28 t Le poids du revêtement par mètre linéaire :

grev =

=

. .

= 2.11 t/ml

 Poids du trottoir : 1,5 m

Le poids du trottoir est égale à: Ptr = n x Str x L x ρb

2,5 %

Str = S1 - ( 2 x S2 ) = 0.2810 - ( 2 x 0.0095 ) 22

Str = 0.262 m2.

TUBE PVC ∅110 mm

Ptr = 2 x 2.5 x 25.7 x 0.262 Ptr = 33.67 t

Figure IV.5 : Trottoir

Le poids du trottoir par mètre linéaire :

gtr = 33.667 / 25.7 = 1.31 t/ml

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Page 63

Chapitre IV

Calcul longitudinal

 Poids des corniches :

2

49

Pcor = n x Scor x L x ρb 15

Scor = 0.2088 m

P cor = 2 x 0.2088 x 25.7 x2.5 P cor = 26.83 t

53

Le poids des corniches par mètre linéaire g cor = 26.83/25.7 = 1.04 t/ml Figure IV.6: Corniche  Poids du coffrage perdu: Pcp = ρtol .(n-1) . lcp .L . e Avec :

l   1.m 5

5

ρtol = 7.150 t/ m2 n = 6 poutres. lcp = 0.86 + 0.05 ∙ 2 = 0.96 m

0.86 m

L = 25.7 m

1.86 m

e = 0.001 m Pcp = 7.150 x ( 6-1 ) x 0.96 x 25.7 x 0.001

Figure IV.7 : Coffrage perdu Pcp = 0.88 t

Le poids du coffrage perdu par mètre linéaire : gcp = 0.88 / 25.7 = 0.03 t/ml  Poids des glissières pGlis = 2 x qgl x L qg l = 0.1 t/ml Pgl = 2 x0.1x25.7 Pgl = 5.14 t Le poids de glissières par mètre linéaire : gGlis = 5.14/25.7 = 0.20 t/ml

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Figure IV.8 : Glissières

Page 64

Chapitre IV

Calcul longitudinal

 Poids des gardes corps :

Figure IV.9 : garde corps pgc = 2 x qgl x L qgl = 0.1 t/ml Pg l = 2 x 0.1 x 25.7 Pgl = 5.14 t Le poids de gardes corps par mètre linéaire ggc = 5.14 / 25.7 = 0.20 t/ml  Poids des entretoises d'about : pent = 2 (n-1) ∙ ρb ∙ V 1m

e = 0.25 m.

1m

ST = S1 + 2S2 ST = 0.86 x 0.8 + 2 x (( 0.69 + 0.63 )/2 ) x 0.28 ST = 1.0576 m2

S1

1.3 m

S2

S2

50

pent = 2 ( 6 -1 ) x 2.5 x 1.0576 x 0.25 pent = 6.61 t Poids des entretoises d'about par métre linéaire :

1.86m cm

Figure IV.10 : Entretoises d’about

gent = 6.61 / 25.7 = 0.26 t/ml

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Page 65

Chapitre IV

Calcul longitudinal

 Poids total Pcp = Pdalle + Ppoutres + Pcoffrages perdus + Pentretoise + Prevt + Ptrot + Pcor + Pglis + Pgc Pcp

=

178.29 + 268.422 + 0.88 + 6.61 + 54.28 + 33.67 + 26.83 + 5.14 + 5.14 PT = 579.26 t

Le poids total par mètre linéaire : PT = 579.26 / 25.70 (faux) entretoise n’est pas répartie sur tt la poutre gT = 22.54 t/ml IV.2. Caractéristiques du pont ( surcharges réglementaires ) :  Classe du pont : Les ponts peuvent être classés de différentes façons suivant leurs fonctions, les matériaux utilisés, la structure, le type de travées, ainsi que l’importance de l’ouvrage L’ouvrage étudié est un pont route, sa classification se fera en fonction de sa largeur roulable On distingue trois classes de ponts, en fonction de leur largeur roulable : Classe du pont

Largeur roulable

I

Lr ≥ 7 m

II

5,50 m < Lr < 7 m

III

Lr < 5,50 m

Tableau IV.1 : Classes du pont Dans notre cas Lr = 7.6 m

⇒

Pont de classe I (1er classe).

 Largeur roulable Lr : La largeur roulable est définie comme la largeur comprise entre les dispositifs de retenue ou bordures. Elle est égale dans notre cas à : Lr = 7.6 m  Largeur chargeable Lc : Elle ce déduit de la largeur roulable, dans notre cas L = L = 7.6 m

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Page 66

Chapitre IV

Calcul longitudinal

 Nombre de voies La détermination du nombre de voies est donnée selon la relation suivante : n=E

.

=E

= 2 voies n = 2 voies

 Largeur d’une voie lv : La largeur d’une voie est en fonction du nombre de voies et la largeur chargeable selon la relation suivante :

lv =

.

=

lv = 3,8 m IV.3. Les surcharges : On distingue plusieurs type de chargements, entre autres des charges sur la chaussée et des charges sur les trottoirs, ces charges routières sont divisées en deux groupes : charges générales (A et B) et charges exceptionnelles IV.3.1. Système de charge A Le système de charges A est une charge uniforme dont l’intensité A(L) dépend de la longueur chargée (L) et les facteurs a1 et a2 dépendent du nombre de voies chargées et de la classe de l’ouvrage, cette charge vaut A = a1.a2.A(l) pour une portée de l ≤ 200 m. Applicable sur une ou plusieurs voies. L’évaluation de la charge A en kN/m2 se fait par la formule établie dans l’article 4.1 et 4.2 du Fascicule 61, selon la longueur du pont.* A(l) = 230 +

[ kg/m² ]

Avec :

l : longueur chargée en (m). a2 : coefficient de pondération qui dépend de la classe du pont. a2 =

=

,

= 0.921

.

Avec : lv0 = 3,5 ( vpont de 1ère classe) lv0 = 3,5 ( largeur de la voie) A(l) = 230 +

.

= 1210.93 [ Kg/m² ] A( l ) = 1.211 t/m2

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Page 67

Chapitre IV

Calcul longitudinal

On doit vérifier que : a1 × A(l) > 400 - 0,2 l A (24.7) . a1 > 400 – 0,2 ∙ 24.7 1.211 a1 > 0. ,395 qA = A. n. lv Ce qui nous amène à tracer le tableau suivant : Nombre de voies

a1

a2

A (t/m²)

qA (t/m)

1

1

0.921

1.211

4.602

2

1

0.921

1.211

9.204

Tableau IV.2 : Valeurs de A et de qA Pour les deux voies,

a1 × A(l) > 400 - 0,2l

est donc Vérifiée.

IV.3.2. Système de charges B : s’applique uniquement au pont de première classe. Le système de charges B comprend trois (3) types de systèmes distincts dont il y a lieu d’examiner indépendamment les effets pour chaque élément des ponts : - Le système Bc se compose de deux camions de type 30t. - Le système Bt se compose de groupes de deux essieux dénommés « tandems » 32t. - Le système Br se compose d’une roue isolée de type 10 t. Le système Bc et Br s’applique a toute les classe de ponts contrairement au système Bt qui IV.3.2.1. Système de charge Bc Le système est composé de deux camions type à trois essieux, et ayant un poids de 30 t pondéré par un coefficient bc qui dépend de la classe du pont et le nombre de voies chargées.

Figure IV.11 : Système Bc USTHB FGC 2017

Page 68

Chapitre IV

Calcul longitudinal

On dispose sur la chaussée au plus autant de files ou convois de camions que la chaussée comporte de voies de circulation et l’on place toujours ces files dans la situation la plus défavorable pour l’élément considéré.  Disposition dans le sens transversal : nombre maximale de files que l’on peut disposer égale au nombre de voies de circulation, il ne faut pas en mettre plus, même si cela est géométriquement possible, les files peuvent être accolées ou non.  Disposition dans le sens longitudinal : nombre de camions est limité à deux, la distance des deux camions d’une même file est déterminée pour produire l’effet le plus défavorable. Le sens de circulation peut être dans un sens ou dans l’autre à condition que les deux camions circulent dans le même sens. Le coefficient bc : Il est en fonction de la classe du pont, et du nombre de files considérées ; il est donné dans le tableau suivant : Nombre de voies considérées

Classe du pont

1

2

3

4

≥5

Première classe

1.2

1.1

0.95

0.8

0.7

Deuxième classe

1

1

-

-

-

Troisième classe

1

0.8

-

-

-

Tableau IV.3 : Coefficient bc Notre pont et de la première classe : bc 1voie = 1.2 ; bc 2voies = 1.1 IV.3.2.2. Système de charge Bt : Un tandem du système Bt comporte deux essieux tous deux à roues simples munies de pneumatiques et répondant aux caractéristiques suivantes : - Masse portée par chaque essieu 16 t. - Distance entre deux essieux 1.35 m. - Distance d’axe en axe des deux roues d’un essieu 2 m. La surface d'impact de chaque roue (portant 8t) sur la chaussée est un rectangle uniformément chargé dont :  le côté transversal : mesure 0,60 m et le nombre de camion est égale à un.  le côté longitudinal : mesure 0,25 m autant de camions est limité à deux.

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Page 69

Chapitre IV

Calcul longitudinal

Les valeurs des charges Bt sont multipliées par un coefficient « bt » fonction de la classe du pont : Première classe bt = 1 Deuxième classe bt = 0.9 Il est soumis à la même disposition que le système Bc. Ses caractéristiques sont définies dans la figure ci-dessous :

Figure IV.12 : Système Bt IV.3.2.3. Système Br Le système Br se compose d’une roue isolée transmettant un effort de 10 t à travers une surface d’impact rectangulaire de 0,6m  0,3m, elle peut être placée n’ importe où sur la largeur roulable afin d’avoir le cas le plus défavorable

.

Figure IV.13 : Système Br VI.3.3. Surcharge militaire de type MC120 : [RCPR Art.4.10.1.2] Les ponts doivent être calculés pour supporter les véhicules de type Mc120, les véhicules 4 Mc 120 peuvent circuler en convois : - Dans le sens transversal : un seul convoi (le nombre des véhicule est limité à un). USTHB FGC 2017

Page 70

Chapitre IV

Calcul longitudinal

- Dans le sens longitudinal : la limite entre deux convois successifs est de 30,5 m. La charge répartie est égale à : QMc120 =

.

= 18.032 t/ml

Figure IV.14 : Système MC120 VI.3.4. Surcharges exceptionnelles D240 : Le système comporte une remorque de trois éléments de quatre lignes, de deux essieux de 240 t de poids total reparti au niveau de la chaussée sur un rectangle uniformément chargé de 3.2 m de largeur sur 18.6 m de longueur. cette surcharge n’est pas multipliée par un coefficient de majoration dynamique et quelle n’engendrent pas d’effort de freinage. QD240 = 240 / 18.6 = 12.903 t/ml

Figure IV.15 convoie exceptionnelle D240

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Page 71

Chapitre IV

Calcul longitudinal

VI.4. Surcharges sur les trottoirs : RCPR Art.4.12] Nous appliquons sur les trottoirs une charge uniformément répartie de 150 kg/m2 de façon à produire l’effet maximal envisagé les deux trottoirs peuvent ne pas être charges simultanément - Dans le sens transversal, chaque trottoir est chargé dans sa totalité. - Dans le sens longitudinal les zones chargées sont choisies de la manière la plus défavorable. VI.5. Coefficient de majoration dynamique (RCPR Art.4.6) : Le coefficient de majoration dynamique est noté δ est applicable pour les surcharges B et M (militaires). Ce coefficient est déterminé par la formule : δ 1 β  α 1

0,6 1 4

G



0,4 1  0,2  L

Q

Avec L : représente la longueur de l’élément exprimé en mètre, L=24.7 m. G : charge permanente de l’élément. Q : le tonnage des camions chargés.( la charge B ou M maximal prise avec pondération appliquée

à l’élément)

VI.6. Application à la poutre : 

Système B :

G = PT = 579.26 t L = 24.7 m QB = max ( bc.Bc , bt.Bt , Br ) = max ( 1,1 × 30 × 2 × 2 ; 1×32 ×2 ×1 ; 10 ) QB = 132 t

L = 24.7 m α = 0.0673

⇒

δB = 1.1

β = 0.0323  Système militaire : G = PT = 579.26 t L = 24.7 m QM = 110 t USTHB FGC 2017

Page 72

Chapitre IV

Calcul longitudinal

L = 24.7 m ⇒

α = 0.0673

δM =

1.09

β = 0.0272 I.7. Application à la dalle : δ' = 1 + α’+ β’ Avec α’ = β’ =

0,4 1  0,2  L' 0,6 1 4

G' Q'

L’ = min ( max ( lr , l0 ) ; L ) l0 = V ( n-1 ) Avec : V : l’entre axe des poutres n : nombre de poutres L’ = min (max (7.6 ; 9.3) ; 24.7) G’ = ( PT – Pp – Pentr ) ∙

′

⇒

L’ = 9.3 m

= ( 579,26 – 268,422 - 6.61 ) x ( 9.3 / 24.7)

G’ = 114.547 t 

Système B :

G’ = 114.574t L’ = 9.3 m Q’B = max ( bc.Bc , bt.Bt , Br ) = max (1.1 ∙ 30 ∙ 2 ; 1 ∙ 32 ∙ 2 ; 10 ) Q’B = 66 t L = 9,3 m α’ = 0.1399

⇒

δ’B = 1.215

β’ = 0.0755

USTHB FGC 2017

Page 73

Chapitre IV 

Calcul longitudinal

Système militaire :

G’ = 114.574 t

Q’M = 110 t

L = 24.7 m ⇒

α’ = 0.1399

δ’M = 1.256

β’ = 0.1161 poutres

Dalle

δB

1.1

1.215

δM

1.09

1.256

Tableau IV.4 : Valeurs de coefficient de majoration dynamique δ VI.8. Evaluation des efforts dus aux charges et surcharges : Nous allons à présent déterminer le moment fléchissant et l’effort tranchant sous l’effet des charges permanentes et des surcharges dans la direction longitudinale et transversale, respectivement avec le « Théorème de BARRE » et la méthode de « GUYONMASSONNET » La position la plus défavorable vis-à-vis du moment fléchissant pour les charges uniformément réparties (A, G, Mc120, qtrot) est obtenue à mi- travée. Pour les charges concentrées, il faut déterminer la position critique X. Pour cela, on applique le « Théorème de BARRE ». VI.8.1. Détermination de la section critique :  Théorème de barré : Le moment fléchissant est maximal au droit d’un essieu lorsque ce dernier et la résultante générale du convoi occupent des positions symétriques par à rapport au milieu de la poutre. Généralement le maximum absolu à lieu au droit de l’un des essieux les plus voisins de la résultante R La charge critique trouvée doit vérifier la double inégalité suivante : P ≤

R. xΣ ≤ L

P + P

1/ Sous Bc : La section critique notée « X » est la position des essieux donnant l’effort le plus défavorable en faisant dérouler le convoi sur la travée dans les deux sens de la circulation.

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Page 74

Chapitre IV

Calcul longitudinal P3=12t

P1=6t

P2=12t

P5=12t P6=12t

P4=6t R 1,05

3,45

9,45 m

7,05 m

6

R   Pi  30 t i 1

X R/P1 

P X P i

i

 9,45 m

i

D’après le théorème de barré, on a deux charges (P3 et P4) de part et d’ d’autre autre de la résultante R.  1er cas : P3 critique (p3 = pk) On place R et P3symétriquement par rapport au milieu de la poutre. Pour que P3 soit critique, il faut que : P ≤ 9

×

≤

. .

≤ 15

⇒

R. X ≤ L

P + P

9 ≤ 12.91 ≤ 15

Vérifiée, donc : P3 est critique.

Vérification du débordement des charges : X

= 6 < 10.625 m

X

= 10,5 < 14.074 m

Pas de débordement

 Calcul du moment Mmax p1=6t

M

=

R xΣ − L

USTHB FGC 2017

p2=12t p3=12t

R

p4=6t

p5=12t

p6=12t

P d

Page 75

Chapitre IV (

Mmax =

. .

 2ème cas :

Calcul longitudinal )²

– (3 × 6 + 6 × 1,5) = 110.14 t.m

P4 critique (P4 = Pk)

On place R et P4symétriquement par rapport au milieu de la poutre. Pour que P4 soit critique, il faut que : P ≤ .

XΣ = 12.35 + ×

15 ≤

R. X Σ ≤ L

P + P

= 12.875 m

.

≤ 15+3

.

⇒

15 ≤ 12.91 ≤ 18 ⇒ Vérifiée

Donc : P3 est critique . Vérification du débordement des charges :

X

= 6

X

= 10,5 < 11.825 m

< 12.875 m

⇒

Pas de débordement

 Calcul du moment Mmax : M

=

Mmax =

Rx − L

P d

30 ( 12.875 )² – ( 3 × 10.5 + 6 × 6 + 6 × 4.5 ) 24.7

Mmax = 106.835 t.m Donc : Le moment maximum engendré par le convoi Bc est Mx max = 110.14 t.m situé dans la section la plus dangereuse à X ∑= 10.625m de l'appui A et la charge critique est P3. Mmax = 110.14 t.m

(Pour une file de roue) P1

2/ Sous Bt :

R

P2

R = ∑ Pi = 16 t X∑ =

−

.

 Test de la charge critique :

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1,35 m

= 12.0125 m 12,0125 m

12,0125 m

Page 76

Chapitre IV

Calcul longitudinal P ≤

.

0 ≤

≤ 0+8

.

R. X Σ ≤ L

⇒

P + P

⇒

0 ≤ 7.781 ≤ 8

Vérifiée

Donc : P1 peut être une charge critique.  Calcul du moment Mmax : M

−∑P d

=

Mmax

=

(

.

)² .

( Pour une file de roue )

– (0) Mmax = 93.47 t.m

Donc : la section critique qui donne Le moment maximum engendré par le convoi Bt est à X ∑ = 12.0125 m de l'appui A. Mmax = 93.47 t.m ( pour une seul file de roue ) IV.5.2 . Calcul des efforts dus aux différents chargements : A / Charges uniformément réparties :

 Calcul des efforts dus à la charge permanente (G) : G = 22.54 t/ml

M=G ×Ω= G ×

.

T = G (Ω + Ω ) = G

Les résultats sont donnés dans le tableau IV.5 : Charge et surcharge

Efforts

0

L/8

L/4

3L/8

XΣ (Bc )

L/2

M (t.m)

0

752.031

1289.196

1611.496

1685.393

1718.929

T (t)

278.369

217.206

144.804

72.402

40.451

0

G

Tableau IV.5 : Valeurs des moments et efforts tranchants sous la charge permanente  Calcul des efforts dus aux surcharges A: USTHB FGC 2017

Page 77

Chapitre IV

Calcul longitudinal

 Moments fléchissant : M = q . Ω= q .

.

qA = A. n. Lv A = a1 . a2 . A (l) ( kg/m3 )

A(l) = 230 +

Avec : b : longueur chargée

q =



4.69.204 t/m 02 t/m

n = 2 voies chargées n=1voie chargée.

Effort tranchant : T = q .Ω = q .

b 2L

Avec :

Les valeurs des moments et efforts tranchants pour les différentes sections sont résumés dans le tableau IV.6 : Charge et surcharge

Nombre de voie 1

A 2

Efforts

0

L/8

L/4

3L/8

XΣ

L/2

M (t.m)

0

153.542

263.216

329.020

344.107

350.954

T (t)

48.207

39.655

31.560

23.981

20.821

17.003

M (t.m)

0

307.085

526.431

658.039

688.215

701.909

T (t)

96.415

79.310

63.120

47.961

41.641

34.007

Tableau IV.6 : Valeurs des moments et efforts tranchants sous la charge A  Calcul des efforts dus aux Surcharge de trottoir : Disposition de la surcharge de trottoirs :

USTHB FGC 2017

Page 78

Chapitre IV

Calcul longitudinal

M = q .Ω = q .

ab 2

T = q .Ω = q .

b 2L

Avec : qtrott = 0.15 t/m2. Ltrott = 1.75 m. qtr = 0.15 x Ltrott x n qtr =

0.263 t/m

n = 1 trottoir chargé.

0.525 t/m

n = 1 trottoir chargé.

Ce qui nous permet d'établir le tableau IV-7 : Charge et surcharge

Trottoir

Nombre de voie

Efforts

0

L/8

L/4

3L/8

X

L/2

1

M (t.m)

0

8.758

15.014

18.767

19.628

20.019

T(t)

1.853

1.418

1.042

0.724

0.602

0.463

M (t.m)

0

17.516

30.028

37.535

39.256

40.037

T (t)

3.705

2.837

2.084

1.447

1.203

0.926

2

Tableau IV.7 : Valeurs des moments et efforts tranchants sous la charge du trottoir. 

Calcul des efforts dus aux Surcharge Mc120 et D240 :

Pour ce type de charge, il s’agît de déterminer la position du convoi sur le tablier de façon à produire l’effet le plus défavorable, comme représenter sur le schéma ci-dessous :

 Pour le calcul de l’air :

USTHB FGC 2017

Page 79

Chapitre IV

Calcul longitudinal



Moment fléchissant :

Ω

⟹ y = y ⟹ Ω



Effort tranchant :

Ω

= (y + y ) ∙

. .

= 2−

Avec : y1 = y2 =

–

L : Portée (24.7 m). l

=

6,1 m

l

=

18.6 m

q

=

q

=

18,033 t/ml 12.903 t/ml

Charge et surcharge

Nombre de voie

Mc120

1

D240

Efforts

0

L/8

L/4

3L/8

XΣ

L/2

M (t.m)

0

341.486

585.404

731.755

765.311

780.539

T(t)

115.966

98.835

81.703

64.572

57.012

47.441

M (t.m)

0

404.243

692.988

866.235

905.957

923.984

T(t)

149.633

119.634

89.634

59.635

46.396

29.635

2

Tableau IV.8 : Valeurs des moments et efforts tranchants sous Mc120 et D240 B/ Charges concentrées :  Calcul des efforts dus au système des Surcharges B : 1/ Effort dus au convoi Bc : Il s’agit de chercher la position des essieux qui donne l’effort le plus défavorable en faisant dérouler le convoi sur la travée dans les deux sens de la circulation.  Moment fléchissant : Pour les différentes sections, on fait dérouler le convoi dans les deux sens de la circulation afin d’obtenir le moment maximum en chaque section.

M= 2 . n . bc . δB . ∑ pi . yi

USTHB FGC 2017

Page 80

Chapitre IV Section (m)

Calcul longitudinal Sens de circulation

Disposition la plus défavorable

Mmax (t.m) 2 ∙ n ∙ bc ∙ δB

0

_

a=0

0

b =24.7 m L/8

P 6 P5

a = 3,09

→

P6

→

P5

P4

P3

P2 P1

54.57 ∙ 2 ∙ n ∙ bc ∙ δB

b=21.61 L/4 P5

a = 6.18

P3

P2 P1

85.35 ∙ 2 ∙ n ∙ bc ∙ δB

b=18.52 3L/8

P1 P2

a = 9.2625

←

P3

←

P3

P5

P6

107.82 ∙ 2 ∙ n ∙ bc ∙ δB

b=15.4375 X∑ a = 10.63

P1

P2

P3 P4

P5

P6

110.16 ∙ 2 ∙ n ∙ bc ∙ δB

b= 14.08 L/2

P1 P2

←

a = 12.35

P3

P4

P5 P6

P3

106.65 ∙ 2 ∙ n ∙ bc ∙ δB

b = 12.35 Tableau IV.9 : valeurs du moment fléchissant sous Bc.

 Effort tranchant : La position la plus défavorable vis-à-vis de l’effort tranchant sous Bc est donnée par le déroulement de la surcharge vers la droite. T = 2 . n . bc . δ . ∑pi . yi

USTHB FGC 2017

Page 81

Chapitre IV Section (m) x=0

Calcul longitudinal Disposition la plus défavorable P6

P5

P4

P3

P2

Tmax(t)

P1

a=0

21.39 ∙ 2 ∙ n ∙ bc ∙ δB

b = 24.7 L/8

P4

P5

P6

P3

P2

P1

a =3.09

17.64 ∙ 2 ∙ n ∙ bc ∙ δB

b = 21.61 L/4

P5 P4

P6

P3

P2 P1

a = 6.18

13.89 ∙ 2 ∙ n ∙ bc ∙ δB

b = 18.52 3L/8

P5

P6

P4 P3

P1

P2

a = 9.26

10.41 ∙ 2 ∙ n ∙ bc ∙ δB

b = 15.44 X∑

P4 P3

P5

P6

P2

P1

a = 10,63

8.79 ∙ 2 ∙ n ∙ bc ∙δB

b = 14.07 L/2

P6

P5

P4

P3

P2

P1

a = 12.35

6.9 ∙ 2 ∙ n ∙ bc ∙ δB

b = 12.35 Tableau IV.10 : valeurs de l’effort tranchant sous Bc.

USTHB FGC 2017

Page 82

Chapitre IV Charge et surcharge

Calcul longitudinal

Nombre de voie

Efforts

0

L/8

L/4

3L/8

X

L/2

M (t.m)

0

67.50

225.324

284.64

290.82

281.556

T (t)

56.47

46.57

36.67

27.48

23.21

18.22

M (t.m)

0

264.12

413.09

521.84

533.17

516.19

T (t)

103.53

85.38

67.23

50.38

42.54

33.40

1 Bc 2

Tableau IV.11 : Valeurs des moments et efforts tranchants sous la charge Bc

2/ Effort dus au convoi Bt : On dispose le convoi Bt, tel représenté sur la figure ci-dessous, afin d’obtenir le moment de flexion maximum et l'effort tranchant maximum dans chaque section: 8t

y1

Li M Σ a

8t

8t y1

Li TΣ

y2

8t

b

a

M = 16 (y + y ). n. b . δ

b

T = 16 (y + y ). n. b . δ

D'où les valeurs calculées et représentées dans le tableau IV.12: Charge et surcharge

Nombre de voie

Efforts

0

L/8

L/4

3L/8

X

L/2

M (t.m)

0

92.125

157.08

194.865

202.899

205.48

T (t)

34.238

29.838

25.438

21.038

19.096

16.638

M (t.m)

0

184.250

314.160

389.730

405.798

410.960

T (t)

68.476

59.676

50.876

42.076

38.193

33.276

1 Bt 2

Tableau IV.12 : Valeurs des moments et efforts tranchants sous la charge B

USTHB FGC 2017

Page 83

Chapitre IV

Calcul longitudinal

3/ Effort dus au convoi Br : La charge Br sera disposée pour obtenir l'effet maximum tel que représenté dans la figure ciBr dessous Br y

LiTΣ y

Li MΣ a

b

a

M = 10. y. δ

b

T = 10. y. δ

D'où les valeurs calculées sont représentées dans le tableau IV.13 : Charge et surcharge

Br

Nombre de voie

Efforts

0

L/8

L/4

3L/8

X

L/2

M (t.m)

0

29.717

50.944

63.680

66.600

67.925

T(t)

11

9.625

8.250

6.875

6.268

5.500

1 roue

Tableau IV.13 : Valeurs des moments et efforts tranchants sous la charge Br.

 Récapitulatif des moments et efforts tranchants pour les différentes sections :

Le tableau IV.14

regroupe l'ensemble des sollicitations maximales calculées sous les

différents chargements et pour les différentes sections :

USTHB FGC 2017

Page 84

Chapitre IV

Calcul longitudinal

Charges et surcharges

Nombre de voies

Efforts

0

G

/

M (t.m)

0

T (t)

278.369

217.206

144.804

72.402

40.451

0

M (t.m)

0

153.542

263.216

329.020

344.107

350.954

T (t)

48.207

39.655

31.560

23.981

20.821

17.003

M (t.m)

0

307.085

526.431

658.039

688.215

701.909

T (t)

96.415

79.310

63.120

47.961

41.641

34.007

M (t.m)

0

67.50

225.324

284.64

290.82

281.556

T (t)

56.47

46.57

36.67

27.48

23.21

18.22

M (t.m)

0

264.12

413.09

521.84

533.17

516.19

T (t)

103.53

85.38

67.23

50.38

42.54

33.40

M (t.m)

0

92.125

157.08

194.865

202.899

205.48

T (t)

34.238

29.838

25.438

21.038

19.096

16.638

M (t.m)

0

184.250

314.160

389.730

405.798

410.960

T (t)

68.476

59.676

50.876

42.076

38.193

33.276

M (t.m)

0

29.717

50.944

63.680

66.600

67.925

T (t)

11

9.625

8.250

6.875

6.268

5.500

M (t.m)

0

341.486

585.404

731.755

765.311

780.539

T (t)

115.966

98.835

81.703

64.572

57.012

47.441

M (t.m)

0

404.243

692.988

866.235

905.957

923.984

T (t)

149.633

119.634

89.634

59.635

46.396

29.635

M (t.m)

0

8.758

15.014

18.767

19.628

20.019

T (t)

1.853

1.418

1.042

0.724

0.602

0.463

M (t.m)

0

17.516

30.028

37.535

39.256

40.037

T (t)

3.705

2.837

2.084

1.447

1.203

0.926

1 A 2 1 Bc 2 1 Bt 2 Br Mc120 D240

/ / /

1 Trottoir 2

L/8

L/4

3L/8

X∑

L/2

752.031 1289.196 1611.496 1685.393 1718.929

Tableau IV.14 : Récapitulatif des moments et efforts tranchants pour les différentes sections

USTHB FGC 2017

Page 85

CHAPITRE V Répartition transversale des efforts

Chapitre V

Répartition transversale des efforts Introduction

Après avoir évalué les efforts longitudinaux les plus défavorables en différentes sections, nous procédons à la répartition transversale de ces efforts sur les différentes poutres afin de trouver la poutre la plus sollicitée, et pour cela, nous utiliserons selon la rigidité de l’entretoise, l’une des deux méthodes :  La méthode de « GUYON – MASSONNET ».  La méthode de « COURBON ». V.1. Choix de la méthode : La valeur de la rigidité de l’entretoise « r » permet de déterminer la méthode à utiliser, elle est définie par la formule suivante : =

∙ 2∙

×

Avec : n : nombre de poutres. v : entraxe des poutres. Ip : Mt d’inertie de la poutre. IE : Mt d’inertie de l’entretoise. L : portée de la travée. 

r < 0.3 : l’entretoise est infiniment rigide, la méthode de COURBON est recommandée.



r ≥ 0.3 : la rigidité réelle de l’entretoise est prise en compte, la méthode de GUYONMASSONNET est adéquate.

Notre pont n’ayant pas des entretoises intermédiaires. C’est la dalle qui va jouer le rôle d’entretoise avec un espacement fictif de 1m.

0.25 m

1m

I =

∙

=

USTHB FGC 2017

× ,

⇒

IE = 1,302 .10-3 m4

Page 87

Chapitre V

Répartition transversale des efforts

Les sections de la poutre sont variables, on utilise alors la formule suivante pour le calcul de son inertie : + (

=

–

)×

Avec:

8 3

Ip : moment d’inertie propre de la poutre principale. Ia : moment d’inertie de la section d’about ( poutre + dalle ). Im : moment d’inertie de la section médiane ( poutre + dalle ). Pour notre poutre : Ia = 0.1624 m4 Im = 0.1689 m4 D’où: = 0.2061 + 0.1689– 0.2061 ×

= 0.175 m =

∙ 2∙

×

=

6 ∙ 1.86 × 2 ∙ 24.7

0.175 1,302. 10

= 0.769 > 0.3 Nous allons travailler avec la méthode de GUYON – MASSONNET V.2. Méthode de GUYON–MASSONNET: MASSONNET:

La méthode de GUYON-MASSONNET MASSONNET,, appelée également méthode des coefficients de répartition transversale,, est celle la plus adaptée pour l’étude de notre pont. Elle apporte des résultats satisfaisants par rapport aux autres méthodes, car la rigidité transversale du tablier n’est pas négligeable. Cette méthode a pour but, de déterminer le moment fléchissant, et l’effort tranchant revenant à chaque poutre en utilisant le coefficient de répartition transversale qui dépend essentiellement du paramètre de torsion « α » et du paramètre d’entretoisement « θ ». Elle consiste à exploiter pour chaque chargement la ligne d’influence du coefficient de répartition transversale et cela pour les différentes excentricités de charges : (e=b ; e=¾b ; e=½b ; e=¼b ; e=0) Ett pour les neufs sections de la largeur de dalle : (y=±b ;

y=±¾b

;

y = ± ½ b ; e = ± ¼ b ; y = 0 ).

On déplacera les charges de façon à obtenir les plus grandes ordonnées et on retiendra pour le calcul des efforts l’excentricité qui offre les plus grandes valeurs des coefficients. On pourra ainsi

USTHB FGC 2017

Page 88

Chapitre V

Répartition transversale des efforts

déterminer les facteurs de répartition transversale (Kα, µα) et les sollicitations (moment fléchissant, effort tranchant) avec exactitude dans n’importe quelle partie du tablier. Dans le cas des ponts à poutres multiples, la section d’étude sera imposée par la position de la poutre, ce qui nous amène à tracer le less lignes d’influences pour les différentes excentricités de charge et on retiendra la section qui offre les plus grandes valeurs des coefficients. V.2.1. Principe de la méthode : La méthode est basée sur deux hypothèses 1/ La répartition transversale des charges sur les différentes poutres est la même que si le tablier est sollicité par des forces qui varient suivant une fonction sinusoïdale dans le sens longitudinal. .

P (x) = P1 sin P1 : Valeur constante du chargement. gement. L : Portée des poutres. P1 sin

.

: Le premier terme de développement en série de fourrier de la charge P x  . y

 π.x  P x   P1 sin    L 

x

Figure V.1 : La répartition des charges sinusoïdale 2/ Le grillage de poutre réelle est assimilé à une dalle orthotrope présentant les mêmes rigidités moyennes à la flexion et à la torsion dont l’équation aux dérivées partielles est : p(x,y) = p

d4w dx 4

+ (p+E)

d4w dx 2 .dy 2

+ E

d4w dy 4

2b

Figure V.2 : Le grillage de poutre USTHB FGC 2017

Page 89

Chapitre V

Répartition transversale des efforts

V.2.2. Détermination des paramètres α et θ : La rigidité torsionnelle  , et le coefficient d’entretoisement  sont donnés respectivement par les formules suivantes :  =

p =

γp  γE 2 ρ p .ρ E E.I p v E.I E u

E =

p =

1.

Cp

;

4

ρp ρE

rigidité flexionnelle de la poutre par unité de longueur. rigidité flexionnelle de l’entretoise par unité de longueur. rigidité torsionnelle de la poutre par unité de longueur.

v

CE u

E =

avec 0    1

b = L

rigidité torsionnelle de l’entretoise par unité de longueur

Calcul du paramètre d’entretoisement « θ »

IE = 1,3021 .10-3 m4 Les sections de la poutre étant variables, on calcul son moment d’inertie par l’expression suivante : Ip =

Ia + ( Im-Ia )

8 3

Ip : moment d’inertie propre de la poutre principale IE : moment d’inertie propre de l’entretoise Ia : moment d’inertie de la section d’about ( poutre + dalle ) Im : moment d’inertie de la section médiane ( poutre + dalle )

Ip =

Ia + ( Im-Ia )

8 3

= 0.2061 + ( 0.1689 − 0.2061 ) ×

Ip = 0.175 m4 Pour : U =1 m

;

v = 1.86 m

Ip = 0.176 m4

;

;

IE = 1,302 .10-3 m4

On a : 2b = n × v

P =

. .

⇒

b=

×

=

×

.

= 5.58 m

× E = 0.0941 E

USTHB FGC 2017

Page 90

Chapitre V .

E =

∙

× E = 1.302 ∙ 10-3 E



θ=

Répartition transversale des efforts

=



.

. .

,

×

θ = 0, 659 2. Calcul du paramètre de torsion « α » : Dans le but de simplifier les calculs de la rigidité torsionnelle,, nous substituons la section réelle par une section équivalente. h0 + h1 + h2 = 1, 30 m h0 + 0.18.h1 + 0.44.h2 = 0.4376 m2 On fixe: h0 = 0,14 m h1 + h2 = 1, 16 Figure V.3 : La section équivalente 0.18.h1 + 0.44.h2 = 0.2976 h1 = 0.818 m = 81.8 cm h2 = 0.341 m = 34.1 cm Cp =  K.a.b3 .G + CE =

1 . a .b3.G 6

Avec : G =

E 2 (1  ν)

a b3.G

 : Coefficient de poisson (  = 0,15 )

G : module d’élasticité transversale E : module de Young

G =

E 2 (1  ν)

=

E 2 (1  0.15)

=>

G =

E 2.3

Les valeurs de a, b et le rapport a/b sont représentées dans le tableau suivant

USTHB FGC 2017

Page 91

Chapitre V

Répartition transversale des efforts

Section 1 2 3

a 1 0.818 0.44

b 0.14 0.18 0.341

a/b 7.142 4.544 1.290

Tableau V.1 : Valeur de a, b et le rapport a/b 1

1.5

2

3

4

∞

0.141

0.196

0.229

0.263

0.281

1/3

a/b K

Tableau V.2 : Valeur de K en fonction de a/b Les valeurs de K sont calculées par interpolation à partir du tableau (IV-2) : a/b

7.142

4.544

1.290

K

1/3

1/3

0.173

Tableau V.3 : Valeur de K en fonction de a/b Cp = [ (

× 1×0.143 +

×0.818×0.183 + 0.173 × 0.44 × 0.3413 ) + × 1.86×0.253 ] × G

Cp = 0.01037 × G ×1×0.253 × G

CE = .

p = E =

.

× G = 5.575 × 10-3 G

2.604 × 10−3 1

 =

( . √ .

CE = 2.604 × 10-3 G

=>

×

×

G = 2.604 ×10-3 G

.

) .

× ×

×

.

=>

 = 0.160

D’où :  = 0.160  = 0.659

USTHB FGC 2017

Page 92

Chapitre V

Répartition transversale des efforts

V.2.3. Détermination du coefficient de répartition transversal : Le coefficient de répartition transversale K est le rapport du déplacement vertical w ( x ,y ) d’un point de la construction sous l’effet d’une charge linéaire P(x), à celui w0(x) au même point sous l’effet d’une charge uniformément répartie sur la largeur du pont pont, il dépend de : - La valeur de . - La valeur de . - L’excentricité relative e/b de la charge linéaire. - L’ordonnée relative y/b du point considéré. Avec : w0 (x)= w0 sin x / L K = K0 + (K1 - K0) ∙ α 0.05

0 <  ≤ 0.1

K = K0 + ( K1 - K0 ) ∙ α [ 1-ee ( 0.065 -  ) / 0.663]

0.1 <  ≤ 1

K = K0 + ( K1 - K0 ) D’où

 1

α

K1 : obtenu pour α = 1 K2 : obtenu pour α = 0

Largeur active et position active Cette méthode est valable seulement si on considère une largeur active de la construction (2b), donc il est nécessaire que les positions transversales réelles des poutres soient réduites à leurs positions actives

Largeur réelle : ( n-1) . v Largeur active : 2b = n . v Figure V.4 : Largeur réelle et active

USTHB FGC 2017

Page 93

Chapitre V

Répartition transversale des efforts

Largeur active :

2b = n ∙ v = 6 ∙ 1.86 = 11.16 m

Largeur réelle :

(n -1) . v = (6 – 1 ) . 1.86 = 9.3 m

Position active = ( n -1) / n ∙ Position réelle n : nombre de poutres = 6. v : entre axe des poutres. Les positions actives et réelles des poutres sont représentées dans le tableau suivant : N° de la poutre

poutre 4

poutre 5

poutre 6

position réelle (m)

0.93

2.79

4.65

position active (m)

0.775

2.325

3.875

0.139 b

0.417 b

0.694 b

position active en f(b) (m)

Tableau V.4 : positions réelles et actives des poutres Pour le calcul de K0 et K1 nous utiliserons les formules d’interpolation suivantes : K0 = K0 (1) + [ K0 (2) –K0 (1) ] . ( - 1) / (2 - 1) K1 = K1 (1) + [ K1 (2) –K1 (1) ] . ( - 1) / (2 - 1) Avec: 1 = 0.65 <  = 0.659 < 2 = 0.7 α = 0.160 Les valeurs de K sont récapitulées dans les tableaux suivants :  Les valeurs de e y

-b

K0

3

pour  :

b 4



b 2



b 4

0

b 4

b 2

3

b 4

b

0

0,1495

0,6086

1,0534

1,4268

1,5969

1,4268

1,0534

0,6086

0,1495

b/4

-0,2885

0,1529

0,5987

1,0405

1,4268

1,6319

1,5246

1,2451

0,9212

b/2

-0,5190

-0,1702

0,1942

0,5987

1,0534

1,5246

1,9026

2,0646

2,1380

3b/4

-0,6490

-0,4211

-0,1702

0,1529

0,6086

1,2451

2,0646

2,9774

3,8401

b

-0,7496

-0,6490

-0,5190

-0,2885

0,1495

0,9212

2,1380

3,8401

5,9081

Tableau V.5 : Les valeurs de

USTHB FGC 2017

K0

pour  = 0.659

Page 94

Chapitre V

Répartition transversale des efforts

 Les valeurs de e

3

-b

y

K1

pour  :

b 4



b 2



b 4

0

b 4

b 2

3

b 4

b

0

0,7412

0,8540

0,9957

1,1516

1,2395

1,1516

0,9957

0,8540

0,7412

b/4

0,5202

0,6254

0,7649

0,9483

1,1516

1,2906

1,2571

0,9766

1,0614

b/2

0,3736

0,4647

0,5888

0,7649

0,9957

1,2571

1,4663

1,5157

1,5051

3b/4

0,2780

0,3562

0,4647

0,6254

0,8540

1,1566

1,5157

1,8578

2,0841

b

0,2101

0,2780

0,3736

0,5202

0,7412

1,0614

1,5051

2,0841

2,7712

b 4

b

Tableau V.6 : Les valeurs de K1 pour  = 0.659  Les aleurs de K α pour  : e

3

-b

y

b 4



b 2



b 4

0

b 4

b 2

3

0

0,3496

0,6916

1,0339

1,3338

1,4760

1,3338

1,0339

0,6916

0,3496

b/4

-0,0151

0,3126

0,6549

1,0093

1,3338

1,5165

1,4342

1,1544

0,9686

b/2

-0,2172

0,0445

0,3276

0,6549

1,0339

1,4342

1,7551

1,8790

1,9240

3b/4

-0,3356

-0,1583

0,0445

0,3126

0,6916

1,2152

1,8790

2,5989

3,2464

b

-0,4251

-0,3356

-0,2172

-0,0151

0,3496

0,9686

1,9240

3,2464

4,8475

Tableau V.7 : Les valeurs de Kα pour  = 0.659 Les positions actives des poutres ne coïncident pas avec les ordonnées (y) figurant sur le tableau des K.On va interpoler pour chaque position en utilisant la formule suivante : K = K (y1) + [ K (y2) – K (y1) ] . ( yp – y1) / (y2 – y1) Avec :

y1  poutre  y2

Après interpolation on obtient les résultats suivants : Poutre Poutre 4 Poutre 5 Poutre 6

Y

-b

-3b/4

-b/2

-b/4

0

b/4

b/2

3b/4

b

0,139

0,1468

0,4809

0,8232

1,1534

1,3969

1,4354

1,2565

0,9489

0,6938

0,417

-0,1501

0,1335

0,4363

0,7725

1,1335

1,4615

1,6486

1,6384

1,6068

0,694

-0,3091

-0,1129

0,1079

0,3893

0,7683

1,2643

1,8513

2,4376

2,9502

Tableau V.8 : Valeurs de Kα pour les différentes poutres. USTHB FGC 2017

Page 95

Chapitre V

Répartition transversale des efforts

V.2.4. Calcul des coefficients de répartition Kmax pour les différents chargements Après avoir tracé les lignes d’influence de Kα (Voir annexe A) pour les différentes poutres, on dépose le chargement de manière à avoir l’effet maximum pour chaque cas, afin de déterminer pour chaque chargement le coefficient de répartition résultant 1/ Cas de charges concentrées

Kα

=

∑ py ∑ p

Pi : Charge concentrée. yi : Ordonnée des lignes d’influence de K au droit de pi. Comme dans le sens transversal, les charges pi ont la même valeur alors : K

=

∑y n

n : nombre de charges.

2/ Cas de charges uniformément reparties Ω L Ω: Aire de la ligne d’influence qui sera calculée par la méthode des trapèzes. K

=

L : Largeur chargée. Ω

=

ΔL . y + y + 2. (y + y + ⋯ + y 2

)

La formule de K max devient : K

=

1 . (y + y + 2. (y + y + ⋯ + y 2n

)

n : nombre d’intervalle.

yo

yi

∆L

USTHB FGC 2017

yn

L

Page 96

Chapitre V Les valeurs de

Répartition transversale des efforts sont données par le tableau ci-dessous

Charge et surcharge

Impact

K P4

K P5

K P6

G

/

1

1

1

1 voie

1.347

1.492

1.534

2 voies

1.148

1.062

0.914

1 voie

1.370

1.567

1.807

2 voies

1.284

1.351

1.318

1 voie

1.355

1.548

1.697

2 voies

1.251

1.246

1.165

Br

1 roue

1.435

1.649

2.360

Mc120

1C

1.267

1.389

1.454

D240

-

1.356

1.196

0.907

Trottoir 1

0.839

1.624

2.660

Trottoirs 2

0.337

0.012

-0.196

1.176

1.636

2.464

A

Bc

Bt

Trottoirs

2 Trottoirs

Tableau V.8 : Valeurs de Kα max revenant à chaque poutre. V.3. Calcul des efforts dans chaque poutre M(x) = ML(x) KMAX / n T(x) = TL(x) KMAX / n Avec : n:

nombre de poutres.

M(x) : moment fléchissant revenant a une poutre. ML(x) : moment longitudinal. T(x) :

effort tranchant revenant a une poutre.

TL(x) : effort tranchant longitudinal

USTHB FGC 2017

Page 97

Chapitre V

Répartition transversale des efforts

 Valeur de M et T de la poutre n°4 :

Charges

Impact

G

/ 1 voie

A

2 voies 1 voie

Bc

2 voies

Bt

Br Mc120

D240

Trottoir

K 1

1.347 1.148

1.370 1.284

1 voie

1.355

2 voies

1.251

1 roue

1.435

1 char

1.267

-

1.356

1 Trott

0.839

2Trotts

1.176

Effort

0

L/8

L/4

3L/8

L/2

M (t.m)

0,000

125,339

214,866

268,583

280,899

286,488

T (t)

46,395

36,201

24,134

12,067

6,742

0,000

M (t.m)

0,000

34,317

58,829

73,536

76,908

78,438

T (t)

10,774

8,863

7,054

5,360

4,653

3,800

M (t.m)

0,000

58,756

100,724

125,905

131,678

134,299

T (t)

18,447

15,175

12,077

9,177

7,967

6,507

M (t.m)

0,000

15,413

51,449

64,993

66,404

64,289

T (t)

12,894

10,633

8,373

6,275

5,300

4,160

M (t.m)

0,000

56,522

88,401

111,674

114,098

110,465

T (t)

22,155

18,271

14,387

10,781

9,104

7,148

M (t.m)

0,000

20,805

35,474

44,007

45,821

46,404

T (t)

7,732

6,738

5,745

4,751

4,313

3,757

M (t.m)

0,000

38,416

65,502

81,259

84,609

85,685

T (t)

14,277

12,442

10,608

8,773

7,963

6,938

M (t.m)

0,000

7,107

12,184

15,230

15,929

16,245

T (t)

2,631

2,302

1,973

1,644

1,499

1,315

M (t.m)

0,000

72,110

123,618

154,522

161,608

164,824

T (t)

24,488

20,871

17,253

13,635

12,039

10,018

M (t.m)

0,000

91,359

156,615

195,769

204,746

208,820

T (t) M (t.m) T (t) M (t.m) T (t)

33,817 20,924 0,000 0,363 0,000

27,037 16,729 1,225 0,278 3,433

20,257 12,534 2,099 0,204 5,885

13,478 8,339 2,624 0,142 7,357

10,485 6,488 2,745 0,118 7,694

6,698 4,144 2,799 0,091 7,847

Tableau V.9 : Valeur de M et T de la poutre n°4.

USTHB FGC 2017

Page 98

Chapitre V

Répartition transversale des efforts

 Valeur de M et T de la poutre n°5 :

Charges

Impact

G

/

1 voie

K

Effort

0

L/8

L/4

3L/8

1

M (t.m)

0,000

125,339

214,866

268,583

280,899

286,488

T (t)

46,395

36,201

24,134

12,067

6,742

0,000

M (t.m)

0,000

38,181

65,453

81,816

85,568

87,271

T (t)

11,987

9,861

7,848

5,963

5,177

4,228

M (t.m)

0,000

54,354

93,178

116,473

121,814

124,238

T (t)

17,065

14,038

11,172

8,489

7,370

6,019

M (t.m)

0,000

17,629

58,847

74,338

75,952

73,533

T (t)

14,748

12,163

9,577

7,177

6,062

4,758

M (t.m)

0,000

59,471

93,014

117,501

120,052

116,229

T (t)

23,312

19,225

15,138

11,344

9,579

7,521

M (t.m)

0,000

23,768

40,527

50,275

52,348

53,014

T (t)

8,833

7,698

6,563

5,428

4,927

4,293

M (t.m)

0,000

38,263

65,241

80,934

84,271

85,343

T (t)

14,220

12,393

10,565

8,738

7,931

6,910

M (t.m)

0,000

8,167

14,001

17,501

18,304

18,668

T (t)

3,023

2,645

2,267

1,889

1,723

1,512

M (t.m)

0,000

79,054

135,521

169,401

177,169

180,695

T (t)

26,846

22,880

18,914

14,948

13,198

10,983

M (t.m)

0,000

80,579

138,136

172,670

180,587

184,181

T (t)

29,827

23,847

17,867

11,887

9,248

5,907

M (t.m)

40,501

32,381

24,261

16,141

12,558

8,021

T (t)

0,000

2,370

4,064

5,080

5,313

5,418

M (t.m)

0,505

0,387

0,284

0,197

0,164

0,126

T (t)

0,000

4,776

8,188

10,235

10,704

10,917

1.492

A 2 voies

1 voie

1.062

1.567

Bc 2 voies

1 voie

1.351

1.548

Bt 2 voies

1.246

Br

1 roue

1.649

Mc120

1 char

D240

-

1.196

1 Trott

1.624

2Trotts

1.636

1.389

Trottoir

L/2

Tableau V.10 : Valeur de M et T de la poutre n°5.

USTHB FGC 2017

Page 99

Chapitre V

Répartition transversale des efforts

 Valeur de M et T de la poutre n°6 :

Charges G

Impact /

1 voie

K

Effort

0

L/8

L/4

3L/8

1

M (t.m)

0,000

125,339

214,866

268,583

280,899

286,488

T (t)

46,395

36,201

24,134

12,067

6,742

0,000

M (t.m)

0,000

39,256

67,296

84,119

87,977

89,727

T (t)

12,325

10,138

8,069

6,131

5,323

4,347

M (t.m)

0,000

46,779

80,193

100,241

104,838

106,924

T (t)

14,687

12,082

9,615

7,306

6,343

5,180

M (t.m)

0,000

20,329

67,860

85,724

87,585

84,795

T (t)

17,007

14,025

11,044

8,276

6,990

5,487

M (t.m)

0,000

58,018

90,742

114,631

117,120

113,390

T (t)

22,742

18,755

14,768

11,067

9,345

7,337

M (t.m)

0,000

26,056

44,427

55,114

57,387

58,117

T (t)

9,684

8,439

7,195

5,950

5,401

4,706

M (t.m)

0,000

35,775

60,999

75,673

78,792

79,795

T (t)

13,296

11,587

9,878

8,170

7,416

6,461

M (t.m)

0,000

11,689

20,038

25,047

26,196

26,717

T (t)

4,327

3,786

3,245

2,704

2,465

2,163

M (t.m)

0,000

82,753

141,863

177,329

185,460

189,151

T (t)

28,102

23,951

19,799

15,648

13,816

11,497

M (t.m)

0,000

61,108

104,757

130,946

136,950

139,676

T (t)

22,620

18,085

13,550

9,015

7,014

4,480

M (t.m)

66,337

53,038

39,738

26,438

20,569

13,138

T (t)

0,000

3,883

6,656

8,320

8,702

8,875

M (t.m)

0,761

0,582

0,428

0,297

0,247

0,190

T (t)

0,000

7,193

12,331

15,414

16,121

16,442

1.534

A 2 voies

1 voie

0.914

1.807

Bc 2 voies

1 voie

1.318

1.697

Bt 2 voies

1.165

Br

1 roue

2.360

Mc120

1 char

D240

-

0.907

Trott 2

2,66

2 Trots

2,464

1.454

Trottoir

L/2

Tableau V.11 : Valeur de M et T de la poutre n°6.

USTHB FGC 2017

Page 100

Chapitre V

Répartition transversale des efforts

V.4. Combinaison des efforts aux états limites Après avoir déterminé l’effort tranchant et le moment fléchissant sous les différentes charges en fonction des différentes sections, il revient par la suite de combiner ces efforts à l’ELU et à l’ELS pour toutes les poutres, en utilisant les règles du B.P.E.L. - G : l’ensemble de l’action permanente défavorable. = , Pour les charges d’exploitation des ponts routiers (fasc. 61. titre II) charges sur chaussées, sur remblais, sur trottoirs, sur passerelles piétons, sur garde-corps. = , Pour les charges d’exploitation étroitement bornées ou de caractère particulier convois militaire, exceptionnels. Les combinaisons des charges pour les différentes poutres sont données par les tableaux suivant : Combinaison

1 2 1 2

ELU ELS

1,35G + [1,6max(A,B)+trott] 1,35 [G + max (Mc120, D240)] G + 1,2[max(A,B) + trot] G + max (Mc120, D240)

Tableau V.12 : Les combinaisons à l’ELU et à l’ELS  Combinaison des efforts pour la poutre N° 4 Combinaisons

Effort M(t.m)

1,35G +[1,6max(A,B)+trott] T (t)

ELU

M(t.m) 1,35 [G + max (Mc120, D240)] T (t) M(t.m) ELS

G + 1,2[max(A,B) + trot] T (t) M(t.m) G + max (Mc120, D240) T (t)

x=0 1 98,082 0 108,286 0 72,981 0 80,212

x = L/8

x = L/4

x = 3L/8

263,661 451,554

564,261

590,088 601,782

83,598

65,017

45,312

35,978

292,542 501,500

626,875

655,621 668,667

85,372

59,928

34,698

25,354

196,179 335,980

419,839

439,055 447,755

62,246

48,461

33,833

26,899

216,697 371,481

464,352

485,645 495,309

63,238

25,702

18,781

44,391

X

Tableau V.13 : Les combinaisons des charges pour la poutre N°4 USTHB FGC 2017

Page 101

L/2

23,992

13,524

17,994

10,018

Chapitre V

Répartition transversale des efforts

 Combinaison des efforts pour la poutre N° 5 : Combinaisons

Effort M(t.m)

1,35G +[1,6max(A,B)+trott] T (t) ELU

M(t.m) 1,35 [G + max (Mc120, D240)] T (t) M(t.m) G + 1,2[max(A,B) + trot] T (t)

ELS

M(t.m) G + max (Mc120, D240) T (t)

x=0

x = L/8

x = L/4

x = 3L/8

X

L/2

1

264,979

439,609

550,904

574,379

585,742

99,931

87,273

69,902

50,816

41,553

29,500

0

277,989

476,55

595,69

623,01

635,403

102,899

81,065

58,115

36,471

26,919

14,826

1

197,168

327,02

409,821

427,273

435,725

74,369

65,002

52,125

37,961

31,081

22,125

0

205,918

353,00

441,252

461,49

470,669

76,222

60,048

43,048

27,015

19,940

10,983

Tableau V.14 : Les combinaisons des charges pour la poutre N°5

 Combinaison des efforts pour la poutre N° 6 Combinaisons

Effort M(t.m)

1,35G +[1,6max(A,B)+trott] T (t) ELU M(t.m) 1,35 [G + max (Mc120, D240)] T (t) M(t.m) G + 1,2[max(A,B) + trot] T (t) ELS M(t.m) G + max (Mc120, D240) T (t)

x=0

x = L/8

x = L/4

x = 3L/8

X

L/2

1

262,968

435,941

546,472

567,000

568,49

99,020

90,389

75,940

58,660

49,847

38,046

0

280,924

481,584

601,980

629,585

642,11

100,571

81,205

59,310

37,415

27,753

15,520

1

195,659

324,270

406,496

421,739

422,784

73,685

67,339

56,654

43,844

37,301

28,534

0

208,092

356,729

445,911

466,359

475,64

74,497

60,152

43,933

27,715

20,558

11,497

Tableau V.15 : Les combinaisons des charges pour la poutre N°6

USTHB FGC 2017

Page 102

Chapitre V

Répartition transversale des efforts Conclusion

L’étude analytique grâce à la méthode de GUYON – MASSONNET nous a permis de déterminer les efforts engendrés pas chaque chargement dans chaque poutre de l’ouvrage étudié. Dans notre cas, La poutre la plus sollicitée est la poutre n° 04 L’effet maximum est obtenu à : -

X = 0 pour T X = L/2 pour M

Les valeurs qui seront utilisées pour le dimensionnement de la précontrainte et la justification des poutres sont :

ELU ELS

M ( t.m )

668,667

T ( t.m )

495,309

M ( t.m )

108,286 80,212

T ( t.m )

Tableau V.16 : Valeurs de Mmax et de Tmax à ELU et ELU

USTHB FGC 2017

Page 103

Chapitre VI Etude du platelage

Chapitre VI

Etude du platelage Introduction

Le platelage de notre ouvrage est une dalle en béton armé coulée sur place ou préfabriqué, qui sert de couverture pour le pont. Cette dalle est destinée à recevoir la couche de roulement (revêtement, chape d’étanchéité) et les surcharges et à transmettre ces derniers aux poutres. Puisque notre tablier est dépourvu d’entretoises intermédiaires, l’hourdis à un rôle d’entretoisement et il assure par conséquent la répartition transversale des efforts dans le tablier. Pour l’étude du tablier, nous allons donc considérer deux types de flexion :  La flexion transversale.  La flexion locale. VI.1. Etude de la flexion transversale : La flexion transversale est due à la flexion longitudinale des poutres entraînant la déformation de la dalle. Elle sera étudiée en utilisant la méthode de « GUYON-MASSONNET ».

La méthode préconisée a pour but :  Déterminer les valeurs de μ0 , μ1 , μα pour (θ et 3 θ) , les deux termes de développement de la série de FOURRIER.  Tracer les lignes d’influence du coefficient de répartition transversale ( ) pour chaque poutre suivant (θ et 3 θ).  Déterminer les valeurs de (μ+ max) et (μ- max) pour chaque type de chargement. VI.1.1. Détermination des paramètres sans dimensions : Vu que notre ouvrage est droit ( δ = 100 gr ) les valeurs de α et de θ calculées dans le chapitre précédant restent inchangées. Soit :

α’ = α = 0.160 θ’ = θ = 0.659

VI.1.2. Détermination du coefficient

:

Pour le calcul du coefficient nous utilisons les formules d’interpolation qui tiennent compte de l’influence des coefficients de répartition La formule d’interpolation utilisée est donnée par : ∙ √α

 USTHB FGC 2017

Page 105

Chapitre VI

Etude du platelage

Avec : : correspondant à α = 0 pour un coefficient de poisson ν = 0 : correspondant à α = 1 pour un coefficient de poisson ν = 0.15 Sachent que et  seront déterminés par interpolation et cela pour 1 θ = 0.659

et

3 θ = 1.977

en différentes positions théoriques. Pour un calcul rigoureux nous considérons les deux premiers termes de la série de Fourier de chaque charge : ⇒

 θ )

3θ ⇒

 θ)

θ

Les valeurs de µ0 et µ1 pour  = 0.659 sont représentées dans les tableaux suivants :

-b

-3b/4

-b/2

-b/4

0

b/4

b/2

3b/4

b

0

-1457,57

-802,51

-98,31

752,66

1853,71

752,66

-98,31

-802,51

-1457,57

b/4

-900,16

-581,96

-232,16

216,81

848,60

1729,93

365,04

-828,27

-1959,44

b/2

-426,77

-310,17

-178,12

4,24

13831,98

708,95

1303,05

-460,27

-2162,70

3b/4

-112,31

-89,60

-62,72

-15,59

47,32

160,56

330,01

555,55

-1686,34

b

0

0

0

0

0

0

0

0

0

Tableau VI.1 : Valeurs de μ0.10-4 pour θ = 0.659.

-b

-3b/4

-b/2

-b/4

0

b/4

b/2

3b/4

b

0

-444,14

-332,13

-151,01

241,86

1111,87

12377,12

-151,01

-332,13

-438,83

b/4

-329,25

-302,44

-248,44

-105,04

257,29

1096,68

187,49

-264,99

-544,93

b/2

-227,54

-233,02

-232,54

-201,38

-81,09

250,53

1038,47

33,31

-603,35

3b/4

-125,76

-137,74

-151,17

-159,12

-140,73

-49,04

214,14

843,90

-502,73

b

0

0

0

0

0

0

0

0

0

Tableau VI.2 : Valeurs de μ1.10-4 pour θ = 0,659.

USTHB FGC 2017

Page 106

Chapitre VI

Etude du platelage

Les valeurs de µα pour  = 0,659 et α = 0,160 sont représentées dans les tableaux suivants : -b

-3b/4

-b/2

-b/4

0

b/4

b/2

3b/4

b

0

-38,77

-143,98

-172,09

37,54

815,14

37.54

-172,09

-143,98

-31,34

b/4

-100,89

-190,63

-254,95

-233,78

20,76

843,37

116,47

-39,68

20,87

b/2

-147,84

-202,16

-254,31

-283,62

-5646,31

67,16

932,64

230,74

20,38

3b/4

-131,14

-157,00

-186,55

-216,54

-215,95

-132,88

167,80

959,24

-29,29

B

0

0

0

0

0

0

0

0

0

Tableau VI.3 : Valeurs de μα.10-4 pour θ = 0,659 Les valeurs de µ0 et µ1 pour 3 = 1.977 sont représentées dans les tableaux suivants :

-b

-3b/4

-b/2

-b/4

0

b/4

b/2

3b/4

b

0

26,56

-17,39

-90,85

-82,80

569,89

-82,80

-90,85

-17,39

26,56

b/4

6,99

4,76

-18,38

-88,59

-81,93

568,95

-86,17

-91,24

11,44

b/2

-0,69

3,40

4,22

-18,49

-88,21

-77,64

578,95

-96,11

-207,32

3b/4

-0,75

0,60

2,67

1,80

-18,57

-67,81

-20,31

554,81

-676,82

b

0

0

0

0

0

0

0

0

0

Tableau VI.4 : Valeurs de μ0.10-4 pour 3θ = 1,977.

-b

-3b/4

-b/2

-b/4

0

b/4

b/2

3b/4

b

0

-6,59

-14,86

-36,81

-42,56

410,52

-42,56

-36,81

-14,86

-6,59

b/4

-1,76

-4,49

-13,67

-36,42

-42,55

410,17

-43,92

-40,91

-23,23

b/2

-0,45

-1,25

-4,17

-13,63

-36,66

-43,57

406,44

-56,11

-72,92

3b/4

-0,26

-0,64

-1,93

-5,96

-16,00

-33,24

-6,49

489,59

-163,04

b

0

0

0

0

0

0

0

0

0

Tableau VI.5 : Valeurs de μ1.10-4 pour 3θ = 1,977. USTHB FGC 2017

Page 107

Chapitre VI

Etude du platelage

Les valeurs de µα pour  = 1.977 et α =0,160. Sont représentées dans le tableau suivant :

-b

-3b/4

-b/2

-b/4

0

b/4

b/2

3b/4

b

0

-19,85

-13,85

-15,20

-26,47

346,78

-26,47

-15,20

-13,85

-19,85

b/4

-5,27

-8,19

-11,79

-15,56

-26,80

346,65

-27,02

-20,78

-37,09

b/2

-0,35

-3,11

-7,53

-11,68

-16,04

-29,94

337,44

-40,11

-19,16

3b/4

-0,06

-1,13

-3,77

-9,07

-14,98

-19,41

-0,97

463,50

42,47

b

0

0

0

0

0

0

0

0

0

Tableau VI.6 : Valeurs de μα.10-4 pour 3θ = 1,977.  Surface d’influence µ α max : Après avoir tracé les lignes d’influence du coefficient « μα » pour les différentes valeurs de b(y). On procède au chargement le plus défavorable donnant les surfaces d’influence maximales positives et négatives de « μαmax ». 

Cas de charges concentrées :

μ αmax = ∑ Yimax Avec : Yi ordonnée de la charge Pi 

Cas de charges réparties :

μ αmax = Ωmax Avec : Ω = ( L / 2 ) [ Y0 + Yn + ( Y1+Y2+…+Yn-1 ) Ω : Aire limitée par les extrémités du chargement, calculée par la méthode des trapèzes. L : la valeur de l’intervalle choisi. Les valeurs de μαmax pour θ et 3θ sont données respectivement dans les tableaux suivants :

USTHB FGC 2017

Page 108

Chapitre VI

Etude du platelage

Y=0 μ+ G 1V A 2V 1V Bc 2V 1V Bt 2V Br Mc120

Trottoirs

D240 Trottoir G Trottoir D 2 Trottoirs

Θ 3θ Θ 3θ Θ 3θ Θ 3θ Θ 3θ Θ 3θ Θ 3θ Θ 3θ Θ 3θ Θ 3θ Θ 3θ Θ 3θ Θ 3θ

328.12 332 1320.28 465.2 674.05 391.4 745.8 326.1 1120.3 515 745.8 336.2 805.7 375.9 815.1 346.8 656.8 332.3 1343.55 481.9 / / / / / /

Y=b /4 μ-

/ / / / / / 157.5 42.6 / / 124.7 42.4 / / 172.1 26.5 / 48.3 / / 175.9 29.7 170 29.7 429.7 37.1

Y=b/2

Y=3b /4

μ+

μ-

μ+

μ-

μ+

μ-

469.4 340.3 1564.6 473.7 684.3 403.1 729.5 325.8 286.5 512 736 325.8 871.6 366.2 843.3 346.7 598.2 332.3 990.2 403.3 / / 57.79 / / /

/ / 880.38 69.17 / / 457.2 40.4 / / 459 40.4 834.3

/ 346.4 1266 447.48 / 400.2 677.9 314.4 248.1 286.8 677.9 360.3 / 289.1 932.6 337.4 509.4 302.8 / / /

214.2 / 1487.67 72.02 150.6 / 833.8 43.6 945.9 61.5 833.9 43.6 700.8 42 564.6 29.9 793.3 39.5 1257.8 65.8 321.43 50.3 / 3.5 100.94 62.48

220.9 692.5 456 231.3 / 200.6 623.6 298.2 256 269.1 421.7 207.6 17.6 184.1 854.7 402.2 340.2 211.9 / / / / 929.8 285.18 622.18 284.9

/ / 905.79 62.84 446.4 / 486 31.3 752.6 43.6 418.2 31.3 654 37.7 216.5 19.2 387.7 25.6 763.66 56.7 262.5 493.1 / 1.2 / /

255 27 243.6 48.2 / / 272.7 12.5 / / 257.8 50.5 / 310.13 / 46.93 /

Tableau VI.7 : valeurs de μαmax pour θ =0.734 et 3θ = 1,977

USTHB FGC 2017

Page 109

Chapitre VI

Etude du platelage

V.1.3. Détermination des moments transversaux : Les moments fléchissant par unité de largeur de la dalle M y et M y sont définis par la formule : My ± = Pm . b . (µ+µ3) b : demie largeur active Pm est défini selon le cas de charge par les formules suivantes :  Charges uniformément réparties sur une longueur L (A, G, trott) :

Pm = 4q /  L  Charges uniformément réparties sur une longueur 2C :

C

C

Pm = ( 4q /  ) ∙ sin( c / L ) L

 Charges concentrées : P1

Pi

P2

d1

Pm = ( 2 / L ) Σ ( Pi .sin (  di / L ))

d2 di

 Remarque:

L

- Les systèmes Bc et Bt sont majorés par le coefficient de majoration dynamique «  B » et pondérés par les coefficients bc et bt respectivement. - Le système M est majoré par le coefficient de majoration dynamique «  M ». - Le calcule trigonométrique se fait en radian. Les valeurs de Pm pour les différentes charges sont regroupées dans le tableau suivant : Chargement

G

A

Bc

Bt

Br

Mc120

D240

Trott

Pm(t/m2)

2.586

1.542

1.788

1.290

0.810

4.343

4.753

0.191

Tableau VI.8 : valeurs de Pm

USTHB FGC 2017

Page 110

Chapitre VI

Etude du platelage

Les valeurs des moments transversaux sont dans le tableau suivant : M (tm/ml)

M (tm/ml)

0.9525

b 4 1,1684

b 2 0,4998

3b 4 1,3180

0

b 4 0

b 2 0,3091

3b 4 0

1.5362

1,7537

1,4742

0,5913

0

0,8170

1,3419

0,8334

0.6167

0,9356

0,3443

0,1726

0

0

0,1296

0,3841

1V

1.5593

1,5352

1,4435

1,3410

0,2911

0,7239

1,2764

0,7525

2V

2.1807

1,0648

0,7133

0,7002

0

0

1,3434

1,0617

1V

0.9460

0,9283

0,9077

0,5502

0,1461

0,4366

0,7672

0,3930

2V

1.0331

1,0822

0,2528

0,1763

0

0,7294

0,6494

0,6048

Br

0.6378

0,6533

0,6972

0,6900

0,1090

0,1548

0,3264

0,1294

Mc120

3.0103

2,8320

2,4719

1,6803

0,1470

0,8881

2,5346

1,2579

D240

4.8409

3,6954

0

0

0

0

3,5101

2,1755

Trot1

0

0

0

0

0,0219

0,0304

0,0396

0,0805

Trot2

0

0,0062

0,0275

0,1295

0,0213

0,0054

0,0004

0,0001

Y

0

Charges G A

Bc

Bt

Trottoirs

0

Tableau VI.9 : Résultats des moments transversaux max. 



Les combinaisons de MY et MY à l’ELU et l’ELS sont représentées dans le tableau

My(tm/ml)

My+(tm/ml)

ELS

ELU

Combinaison

b/2

3b/4

0

b/4

b/2

3b/4

12.434 4.208

3.033

3.9249

0.437

1.307

2.567

1.698

1,35[G+max(Mc120,D240)] 20,887

6,566

4,012

4,048

0,198

1,199

5,156

2,937

G+1,2[max(B,A)+trot]

9,266

3,280

2,302

3,083

0,376

1,017

1,969

1,371

G+max(Mc120,D240)

15,472

4,864

2,972

2,998

0,147

0,888

3,819

2,176

1,35G+1,6[max (A,B)]

0

b/4

Tableau VI.10 : Combinaison des moments à l’ELS ET L’ELU. USTHB FGC 2017

Page 111

Chapitre VI

Etude du platelage

 Conclusion : D’après les résultats du tableau VI.10 les moments max sont : M + ( tm/ml ) ELU

-

M ( tm/ml ) M + ( tm/ml ) M - ( tm/ml )

ELS

20.887 1m

5.156 15.472 3.819

0.225 m

0.25 m

VI.1.4. Calcul du ferraillage : La dalle est soumise à un moment fléchissant, elle est ferraillée en flexion simple, en fissuration préjudiciable. Avec : fc28 = 35 MPa

; σ͞bc = 0.6 fc28 = 21 MPa

;

Fe = 400 ; γb = 1.5

ft28 = 0.6 + 0.06 fc28 = 2.7 MPa σ͞bc = min ( (2/3) Fe ; 110 ( η . ft28 ) ) = 228.631 Mpa fbu = ( 0,85. fc28 ) / ( 1 . γb ) = 19.833 Mpa Les résultats sont représentés dans le tableau suivant : ELU

ELS

/

Mt

Ma

/

Mt

Ma

Mu(tm/ml)

0,20887

0,05156

Mser(tm/ml)

0,15472

0,03819

bu

0,2080

0,0514

r

0,5794

0,5794

Pivot

B

A

rb

0,2338

0,2338



0,2948

0,0659

Mrb

0,2485

0,2485

A’u (cm²/ml)

0

0

A’ser (cm²/ml)

0

0

Z (m)

0,1985

0,2191

Zr (m)

0,1815

0,1815

Au (cm²/ml)

30,256

6,766

Aser (cm²/ml)

37,275

9,201

A c.n.f (cm²/ml)

3,493

3,493

A c.n.f (cm²/ml)

3,493

3,493

Tableau VI.11 : Ferraillage à l’ELU et à l’ELS. USTHB FGC 2017

Page 112

Chapitre VI

Etude du platelage

 Conclusion : Le ferraillage final en flexion transversale est :



En travée (cm²/ml)

13.958

A l’appui (cm²/ml)

9.201

Condition de non fragilité :

ACNF = 0.23 .b0 .d . ft28 / Fe = 3,493 cm²/ml VI.2. Etude de la flexion locale : La dalle constituant le platelage sera assimilée à un ensemble de panneaux rectangulaires de dimensions LX et LY tel que LX < LY. Ces panneaux seront portés par les poutres principales suivant la direction LY et appuyés sur les entretoises selon LX. VI.2.1. Determination de Lx : On considère la section médiane :

y

a

Lx

a

Lx = v - 2y y = a + 0.18 / 2 tg α = a / 0.27

45°

0.27 m

45°

α = 45° a = 0.27 m

1,86 m

y = 0.36 m v = 1.86 m

D’où : Lx = 1,86 – 2 . 0,36 Lx = 1,14 m Ly = 24.7 m ρ = ( Lx /Ly ) = ( 1.18 / 24.7 ) = 0.046 ≤ 0.4 USTHB FGC 2017

Page 113

Chapitre VI

Etude du platelage

« ρ < 0.4 » donc on a un panneau très allongé. On ne tient compte que du calcul du moment transversal suivant Lx, ce qui signifie que la flexion longitudinale est négligeable. M0y = 0. L’étude de la dalle devient l’étude de longueur lx et de largeur de 1m. VI.2.2. Calcul des moments à l’encastrement et en travée : Les moments aux encastrements et en travées sont exprimés respectivement par Ma = - 0 ,5 M0x Mt = 0,85 M0x Pour le calcul des moments dus aux charges réparties telles que g et A(l) on utilise la formule : M0x = q Pour les efforts tranchants, on applique les formules suivantes :  Sous les charges g et A : Tx =

.

.

; Ty =

 Sous le système B et Mc120 :

u > v → Tx =

; Ty =

u ≤ v → Tx =

; Ty =

1. Sous la charge permanente g :

g = g dalle + g rev =

. . ∙

.

+

. . ∙

.

= 0.903 t/m2

 Moment fléchissant : M0x = g

= g

= 0.903 ( 1.142/8 ) = 0.15 tm/ml

Ma = - 0,50 M0x = -0.50 ∙ 0.15 = -0.08 tm/ml Mt = 0,85 M0x = 0.85 ∙ 0.15 . = 0.13 tm/ml

USTHB FGC 2017

Page 114

Chapitre VI

Etude du platelage

 Effort tranchant : .

Tx =

Ty =

.

.

= =

.

.

= 0.903 ∙ = 0.903 ∙

∙

∙ .

. ∙

∙

. .

.

.

= 0.50

= 0.34

 Sous la charge permanente A : A (ly) = ( 230 +

) ∙ 10-3 = 1.211 t/m2

QA = A (l) = 1.211 t/m2

 Moment fléchissant : M

ox

 qA 

l 2x  1,211  (1.14 8

2

/8)  0.20

tm/ml

D’où : Max = -0.5 Mox = -0.10 t m / ml Max = 0.85 Mox = 0.17 t m / ml

 Effort tranchant :

lx  ly



q A . lx . ly  1.211  1,14  24.7 Tx   2l  l 2  24.7  1.14  y x   q A . lx . ly  1,211  1.14  24.7  Ty  3l 3  24.7  y

 0.67

t/ml

 0.46

t/ml

Pour les systèmes MC120, on utilise les abaques de « PIGEAUD » qui donnent le moment en fonction de l’impact (u,v) et de la longueur de répartition Lx. Avec : u = u0 + hd + hrev v = v0 + hd + hrev Tel que : (u0, v0) : Dimension réelle d’impact. USTHB FGC 2017

Page 115

Chapitre VI

Etude du platelage

hd

: Épaisseur de la dalle.

hrev

: Épaisseur de revêtement.

ξ = 1,5 : Pour un revêtement moins rigide que le béton.

γrev < γd ;

hrev = 0,08 m ;

hd = 0,25 m.

 Sous Br:

u = u0 + hd + ε.hrevêtement v = v0 + hd + ε.hrevêtement u0 = 0.6 m v0 = 0.3 m

⇒

u = 0.6 + 0.25 + 1.5 × 0.08 = 0.97 m v = 0.3 + 0.25 + 1.5 × 0.08 = 0.67 m

 Moment fléchissant :   A partir des abaques de Pigeaud on tire les valeurs de M1 et M2 en fonction de :  u , v  l l x   x u = 0.97 / 1.14 = 0.851 lx M0x = Mi .Q ⇒ v = 0.67 / 1.14 = 0.588 lx M1 = 0.103

M2 = 0.048

Q

= 10 t

Mox = 10 ∙ 0.103 = 1.03 t.m/ml Max = -0.5 ∙ 1.03 = -0.515 t.m/ml Mtx = 0.530 t.m/ml

 Effort tranchant :

Q = 10t u>v ⇒

Tx = ( QBr /3u ) = ( 10 / 3 ∙ 0.97 ) = 3.44 t/ml Ty = ( QBr / ( 2u+ v )) = ( 10 / ( 2 ∙ 0.97 + 0.67 )) = 3.83 t/ml

 Sous Bc :

USTHB FGC 2017

Page 116

Chapitre VI U0 = 0,25 m V0 = 0,25 m

Etude du platelage U = 0.62 m

⇒

u / lx = 0.525 ⇒

V = 0.62 m

M1 = 0.135 t.m ⇒

v / lx = 0.525

M2 = 0.063 t.m

QBc = 6 t Mox = 6 × 0.135 = 0.81 t.m/ml

Max = - 0.405 t.m/ml Mtx = 0.689 t.m/ml

Tx = 3.23 t/ml

⇒

Ty = 3.23 t/ml

 Sous Bt : U0 = 0.60 m

U = 0.97 m

⇒

V0 = 0.25

V = 0.62 m

⇒

u / lx =

0.822

v / lx = 0.525

⇒

M1 = 0.104 tm M2 = 0.051 tm

QBt = 8 t Mox = 8 × 0.104 = 0.832 t.m/ml Max = - 0.416 t.m/ml Mtx = 0.707 t.m/ml

Tx = 2.06 t/ml Ty = 2.34 t/ml

⇒

 Sous la charge Mc120:

U0 = 1.00 m V0 = 6.1 m

⇒

U = 1.37 m V = 6.47 m

⇒

u / lx = 1.161 > 1 v / lx = 5.483 >3

⇒

u / lx = 1 v / lx =3

⇒

M1 = 0.04 tm M2 = 0.0009 tm

QMc120 = 55 (( V.lx ) / ( V.U )) QMc120 = 55 ( (6.47 × 1.18 ) / ( 6.47 × 1.37 )) = 47.37 t Mox = 55 × 0.04 = 2.2 t.m/ml Max = -1.1 tm/ml Mtx = 1.87 tm/ml

USTHB FGC 2017

⇒

Tx = 3.31 t/ml Ty = 2.44 t/ml

Page 117

Chapitre VI

Etude du platelage

 Remarque : Les moments et les efforts tranchants doivent être majorés par les coefficients comme suit : - Les systèmes B sont majorés par δ’B = 1. 215 et pondérés par les coefficients de pondération bc et bt respectivement pour Bc et Bt. - Le système Mc120 par δ M  1,256 Les résultats sont résumés dans le tableau suivant: G

A

Mc120

Br

Bc

Bt

Max (t.m/ml)

-0.08

-0.11

-1.38

-0.63

-0.50

-0.51

Mtx (t.m/ml)

0.14

0.18

2.33

0.64

0.84

0.86

Tx (t/ml)

0.52

0.69

4.16

4.18

3.92

2.50

Ty (t/ml)

0.36

0.47

3.06

4.65

3.92

2.95

Tableau VI.12 : Valeurs de M et T sous différentes charges. Les résultats des moments combinés sont donnés dans le tableau suivant : ELU

ELS

Combinaison

Ma(tm/ml)

Mt(tm/ml)

Combinaison

Ma(tm/ml)

Mt(tm/ml)

1,35 G + 1,6 max B

1.17

1.57

G + 1,2 max B

0.84

1.17

1,35 (G + Mc120)

1.97

3.33

G + Mc120

1.46

2.47

Tableau VI.13 : Combinaisons des moments. Donc les moments max obtenus sont : Moments max (tm/ml) En travée

A l’appui

ELU

3.33

1.97

ELS

2.47

1.46

Tableau VI.14 : Les moments max

USTHB FGC 2017

Page 118

Chapitre VI

Etude du platelage

IV.2.3 Calcul du ferraillage :

1m

Le ferraillage se calculera en flexion simple :

d=

0.25 m

⇒ ft28 = 2,7 MPa

fc28 = 35 MPa

= 0,225 m

Les résultats sont donnés dans les tableaux (V-15) :

ELU

ELS

Travée (My+)

Appui (My)

Travée (My+)

Appui (My)

Mu(MNm)

0.0333

0.0197

Mu (MNm)

0.0247

0.0146

μbu

0,033

0,020

μru

0,234

0,234

Pivot

A

A

Pivot

A

A

Α

0,042

0,025

αrb

0,579

0,579

μlu

0,392

0,392

Mrb

0,2485

0,2485

Α’u

0

0

Α’u

0

0

Z (m)

0,221

0,223

Z (m)

0,182

0,182

Au (cm2/ml)

4,29

2,54

Aser (cm2/ml)

5,95

3,52

ACNF (cm2/ml)

3,493

3,493

ACNF (cm2/ml)

3,493

3,493

Tableau VI.15 : Ferraillage à l’ELU et l’ELS. D’où le ferraillage en flexion locale est : 

En travée :

As = 5,95 cm²/ml



A l’appui :

As = 3,52 cm²/ml

 Conclusion : Le ferraillage final de la dalle sera donc la somme des deux ferraillages (local et transversal).

USTHB FGC 2017

Page 119

Chapitre VI

Etude du platelage

 ferraillage suivant x - En travée : Asx = 13.958 + 5.95 = 19.908 cm²/m - A l’appui : Asx = 9.201 + 3.52 = 12.721 cm²/m

soit : 7T20 ( As = 21.99cm²/ml ) soit : 7T16 (As = 14,07 cm²/ml)

 Condition de non fragilité : A

= 0,23 × b × d ×

= 0.23 × 1 × 0.225 × ( 2.7 / 400 ) = 3.49 cm²/ml

 ferraillage suivant y - En travée : Asy = 6.33 cm²/ml

soit :

6T12 ( 6,78cm²/ml )

- A l’appui : Asy = 3.86 cm²/ml

soit :

6T10 ( 12,06 cm²/ml )



Vérification des armatures minimales : Il faut vérifier que :

≥ 0,0008 ⇒ Aymin ≥ 0,0008 . b0 . h = 0,0008 × 1 × 0,25 Aymin ≥ 2 cm2 /ml. ⇒ Vérifiée Axmin ≥ 0.0008 (

) × b0 × h

Avec : ρ=

l 1.18 = = 0.048 l 24.7

b0 = 1 m h = 0.25 m

Axmin ≥ 2.95 cm2 / ml ⇒ vérifiée 

Vérification des espacements : Suivant x :

Stxmax = min ( 2h ; 22 cm ) = 22 cm

Suivant y:

Stymax = min ( 3h ; 33 cm ) = 33 cm



Vérification de l’effet tranchant : Les armatures transversales ne sont pas nécessaires si les conditions suivantes sont remplies : -

Coulage de la dalle sans reprise de bétonnage.

-

Vu ≤ Vu

USTHB FGC 2017

Page 120

Chapitre VI

Etude du platelage

La dalle étant coulée sur place, il n’y a pas une reprise de bétonnage. Vu = 1,35 ∙ G + 1,6 max ( A ; B ) D’où : V͞u

=

.

Vux = 0.0739

MN/ml.

Vuy = 0.0793

MN/ml

×

×

×

=

,

×

,

×

×

= 0,368

,

Vux =

0.0739

MN/ml < Vu = 0.368.

Vuy =

0.0793

MN/ml
0.286 MN / ml ⇒ vérifiée Donc : La liaison table- nervure est assurée.

USTHB FGC 2017

Page 130

CHAPITRE VIII Etude de la précontrainte

Chapitre VIII

étude de la précontrainte Introduction

La précontrainte est une opération mécanique qui permet de réaliser des ouvrages d’assez grandes portées toute on joignant la sécurité à l’économie. Son objectif est d’imposer aux éléments un effort de compression axial judicieusement appliqué et de supprimer ou fortement limiter les sollicitations de traction sur le béton. Le principe de base est de créer artificiellement une contrainte de compression préalable, pour application de forces additionnelles, telle que l’effort de traction excessif dû aux charges qui n’engendrent qu’une décompression du béton. Le béton précontraint reste donc toujours comprimé ou ne subit que des contraintes de tractions faibles. Autrement dit, le béton précontraint travaille à pleine résistance, ce qui n’est pas le cas du béton armé. On distingue deux modes de précontrainte :  

Précontrainte par post-tension. Précontrainte par pré tension.

 Des définitions sur le béton précontraint :

« A aucun degré, le béton précontraint n’est du béton armé amélioré. Il n’a, avec le béton armé aucune frontière commune » E .FREYSSINET ,1946 « Dans la poutre en béton précontraint, l’acier n’est pas une armature, c’est une force » Y. GUYON  Qualités et défauts du béton précontraint : Comme principaux avantages du béton précontraint, on peut citer :  Une meilleure utilisation de la matière puisque contrairement au béton armé, il n’y a pas de béton tendu inutile (tout au moins en classe I et II).  Le béton situé autour des armatures de précontrainte est toujours comprimé, on limite ainsi sérieusement les risques de corrosion des aciers.  Les armatures à haute limite élastique utilisées en béton précontraint sont moins chères, à force égale, que les aciers de béton armé.  L’effort de précontrainte, agissant en sens inverse des charges extérieures, limite les déformées. On obtient ainsi une diminution des flèches des poutres et donc une diminution de leur hauteur.  La possibilité d’assembler des éléments préfabriqués sans échafaudage ni bétonnage de deuxième phase : ponts construits avec des voussoirs préfabriqués posés en encorbellements successifs, fléaux de couvertures de stade (parc des princes, stade olympique de Montréal, etc.). USTHB FGC 2017

Page 132

Chapitre VIII

étude de la précontrainte

 La possibilité de franchir de plus grandes portées qu’avec des ouvrages en béton armé Comme inconvénients, on retiendra :  La nécessité de fabriquer des bétons plus résistants, principalement avant 28 jours.  La nécessité de disposer d’un personnel qualifié pour la vérification de la pose des gaines et des câbles et pour la mise en tension des câbles.  L’obligation d’attendre que la mise en tension soit faite pour pouvoir décintrer ou décoffrer  Des calculs en général plus complexes que pour les ouvrages en béton armé.  Type de précontrainte : La mise en œuvre de la précontrainte nécessite l’utilisation de matériel spécifique de mise en tension et de blocage des armatures qui font l’objet de divers brevets. Ces différents procédés peuvent se classer en deux principales catégories :  La précontrainte par pré tension ;  La précontrainte par post-tension ;  Procédé utilisé : Le procédé utilisé pour la mise en tension des câbles dans notre cas, est la « post-tension ». Ce type de précontrainte consiste en la mise en tension des câbles déjà enfilés dans des gaines. Coulage et durcissement du béton à l’aide d’un vérin appuyé sur le béton. Une fois que la tension voulue est atteinte, le câble ainsi tendu est bloqué avec un système d’encrage à travers lequel on injecte un coulis de mortier pour protéger les câbles contre la corrosion et assurer l’adhérence entre le câble et le béton.

p

p Gaine Pièce à précontrainte

Vérin

Figure VIII.1 : Procédé de la mise en tension VIII.1. Caractéristiques géométriques de la poutre VIII.1.1. Dimensionnement de l’effort de précontrainte La valeur minimale de précontrainte est donnée par l’expression suivante : USTHB FGC 2017

Page 133

Chapitre VIII P

min

étude de la précontrainte

= sup ( PI ,PII )

Avec : ∆

PI =

×( ′

×

PII =

×

)

×

×

′

′

⇒ Section sous critique. ⇒ Section sur critique.

Nous considérons les caractéristiques géométriques de la section médiane (poutre + dalle). Bnet = 0,95 Bbrut

Inet = 0,9 Ibrut

,

Caractéristique de la section médiane (poutre+dalle)

B (m2)

IG (m4)

Brutte

0.9026

0.1689

Nette

0.8575

0.1520

ρ

,

=

. . ′

V’ (cm)

v(m)

1.0564

0.4936

ρ 0.3588 0.3399

Tableau VIII.1 : Les caractéristiques géométriques de la section médiane ( poutre + dalle ) On a : à ELS :

Mmax = MG + MD240 = 495,308 t.m Mmin = MG = 286,488 t.m

D’où : ∆M = Mmax – Mmin = 208,820 t.m Avec : σ

= - 1,5 × f

σ

=-f

Et:

 = 8.5 cm , d' = 2 = 17 cm , h = 1.3 + 0.25 = 1.55 m

PI =

=

∆

= - 4,05 MPa

= - 2,7 MPa

ρ

×

σ

′σ

ρ .

.

× .

× .

.

×(

. )

.

×(

.

)

× .

= 0.859 MN USTHB FGC 2017

Page 134

Chapitre VIII PII =

.

ρ

.

étude de la précontrainte . σ ′

ρ.

.

=

× .

′

×(

× .

.

× .

. )

.

.

.

= 4,33 MN.

⇒

PI = 0.859 MN PII = 4,33 MN

Pmin = Max [ PI , PII ]

⇒

Pmin = PII = 4,33 MN

Donc : La section est sur-critique. e0 = − ( V’− d’ ) = − ( 1.0564 − 0,17 ) = − 0,8864 m VIII.1.2. Détermination du nombre de câbles  Calcul de p0 : En prend pour les calculs : Câbles 10T15 Super classe 1860 TBR fprg = 1860 MPa ; fpeg = 1600 MPa ;

Ap = 10T15 = 150 × 10 = 1500 mm2

P0 = min (0,8 fprg × Ap; 0,9 fpeg × Ap ) = min (0,8 × 1860 × 1500.10-6 ; 0,9×1600×1500.10-6 ) P0 = min (

2,232 ; 2,160 ) P0 = 2.160 MN.

Pour déterminer le nombre de câbles nécessaires, on doit estimer les pertes totales à 32 %. D’où : Pmin = P0 – 0,32 x P0 = 0,68 x P0 Pmin = 0,68 x P0 On aura : Pmin ≤ 0.75 n P0

⇒ n ≥

On obtient :

n ≥ 2,95

On prend :

n = 3 câbles.

USTHB FGC 2017

,

×

=

, ,

× .

Page 135

Chapitre VIII

étude de la précontrainte

 Vérification de la borne supérieure de précontrainte : Cette vérification revient à s’assurer que P0 n’est pas excessif. On estime les pertes à 32 % de P0, donc : Pmin = P0 − ∆ = 0.75 P0 Pmin × n ≤ σ

× Bn −

∆ ρ×

2,0882

0,68 × 2,16 × 3 ≤ (0.6 × 35)× 0.8575 − 0.3399 × 1.55 4,406 ≤ 14.04 ⇒ (vérifier) Donc : P0 n’est pas excessive.  Détermination du nombre de câbles à l'about: Les câbles d’about doivent être tirés à 100% de P0 avant le coulage de la dalle sur place. Les pertes instantanées sont estimées à 10% de P0 On aura donc : Pm = 0.9 P0 = 0,9 × 2,160 =1.944 MN On considère les caractéristiques nettes de la section médiane (poutre seule). Pour avoir le nombre de câble à l’about, il faut vérifier les deux inégalités données par l’expression suivantes : Fibre supérieure :

σsup ≥ σbt

Fibre inférieure :

σsup ≥ σbc

Avec :

P v  σ sup  B  I Pe0  Mg  1,5 f tj  σ bt  n n   P v σ   Pe0  Mg  0,6 f cj  σ bc inf  Bn I n

Et: V = 0.6353 m V’= 0.6647 m

e0 = − (V’ − d’) = − (0.6647 − 0,17) = − 0,4947 m Bn = 0,95·B= 0.95 × 0.4376 = 0.4157 m2 In = 0.9·I= 0.9 × 0.0994 = 0.0895 m4 USTHB FGC 2017

Page 136

Chapitre VIII

étude de la précontrainte B (m²)

I (m4)

Caractéristiques brutes

0.4376

0.0994

Caractéristique nettes

0.4157

0.0895

V(m)

V’(m)

0.6353

0.6647

Tableau VIII.2 : Les caractéristiques géométriques de la section médiane (poutre seule). .

)=

Mmin = Mg = G (une poutre) × (

×

.

× 10-2 = 1.33 MN.m

1,944  n 0.6353   σ sup  0.4157  0,0895 2,3328  n(  0.4947)  1.33    σ  1,944  n  0.6647 2,3328  n(  0.4947)  1.33   inf 0.4157 0.0895 σ  σ

sup

  3.515

n  9,445

inf

 13,247n

 9.878

 

 4,05 MPa 21 MPa

n ≤ 3,84 n ≤ 2,33

On prend : n = 2 câbles.

 Conclusion : On place deux câbles à l’about et un câble en extrados. 1ère famille : 2 câbles à l’about. 2ème famille : 1 câble en extrados.  Vérification de la section médiane :  Au 7ème jour : On tire les 2 câbles d’about à 50% de P0 et en estimant les pertes à la mise en tension à 10%. σ

= 0,6 fc7

σ

= − 1,5 fc7

Avec :

fcj =

∙

,

,

∙

ftj = 0,6 + 0.06 fcj

fc7 =

⇒

ft7 = 0.6 + 0.06 × 23.18 = 2 MPa

σ

= 0,6 fc7 = 13.91 MPa

σ

= − 1,5 fc7 = 2 MPa

USTHB FGC 2017

×

⇒

,

,

×

=

23.18 MPa

Page 137

Chapitre VIII P = 0,5 n

étude de la précontrainte

– (0,1 ×

)

P = 0.5 × 2 × 0,9 × 2,160 = 1,944 MN

σ sup  6 . 295



σ inf  3,369 

 3 MPa

⇒ Vérifiée

13.91 MPa

 Au 28ème jour : fc28 = 35 MPa ⇒  bc = 0.6 fc28 = 21 MPa. ft28 = 2.7 MPa ⇒  bt = -1.5 ft28 = -4,05 MPa P = n P – ( 0,1 × P ) P = 2 × 0,9 × 2,160 = 3,888 MN sup = 2,415 ≥ - 4,05 MPa. inf = 16,616≤ 21MPa

⇒ (Vérifiée)

 Conclusion : Les phases de mise en tension sont les suivantes:  1ère famille : ( 2 câbles à l’about ) Tirés à 50% de P0 au 7ème jour. Tirés à 100% de P0 au 28àme jour.  2ème famille : (1 câble à l’extrados) Pour le câble de l’extrados on le tire à 100% de P0 après 28ème jour du coulage de la dalle et son durcissement. VIII. 1. 3. Tracé des câbles :  Disposition constructive des câbles : 

Section d’about

Nous disposons les câbles de telle sorte que la résultante des forces de précontrainte coïncide avec le centre de gravité de la section d’about, en prenant un espacement de 0,45 m entre 2 plaques d’encrage successifs à l’about.

∑

.

= 0 ⇒ 2 × V’ = P1 × d1 + P2 ( d1 +Y )

P1 = P2 = P et Y = 0.45 m USTHB FGC 2017

Page 138

Chapitre VIII d1 =

× ’

=

étude de la précontrainte × .

.

⇒

d1 = 0.4947 m d2 = 0.9447 m

y d2 d1

Figure VIII.2 : Disposition des appareils d’encrage dans la section d’about. 

Section médiane :

Au niveau de la section médiane le moment fléchissant est maximal, les armatures de précontrainte doivent donc travailler à leur capacité maxi maximale, male, elles seront disposées de manière anière à avoir une excentricité maximal maximale. En respectant la distance limite autour de chaque gaine de précontrainte, on choisit la disposition suivante : d1 ≥ 1.5 × Φ = 1.5 × 8.5 = 12.75 cm d2 = Φ + d1 = 8.5 + 12.75 = 21.25 cm

21.25 cm

12.75 cm

12.75cm

18.5 cm

12.75cm

Figure VIII.3 : Disposition des câbles dans la section médiane.



Détermination de l’angle de relevage :

L’angle de relevage α est donné par la formule :

USTHB FGC 2017

Page 139

Chapitre VIII

étude de la précontrainte

V V     α  Arc sin  Vm  V  Arc sin  M     P P    

Avec :  α opt : L’optimum théorique de l’angle de relevage est donné par la formule :  V  Vm  α opt  arc sin  M  2P  

 V : Effort tranchant limite que peut supporter la section d’about. V  τ . b n . 0,8 . h

 τ : Contrainte tangentielle limité en état limite de service.  τ  0,4 f tj 

1

2   2  f tj  σ x   3  

 σ x : Contrainte normale au niveau de la fibre neutre. σx 

P B n P  d 

Et : P = 0,68 . n . P0 = 0,68 . 2 . 2,160 = 2,938 MN B n  B P  d   n

π φ2 4

bn  b0  m K φ

Avec :   

φ  8,5 cm : Diamètre de la gaine.



V m : Effort tranchant à vide sous (G).

⇒

Vm = 0.464 MN



VM : Effort tranchant en charge sous (G+D240). ⇒

VM = 0.802 MN

m  1 : Nombre de gaines par lit. K  0,5 : Gaines injectée au coulis de ciment.

B(p+d) = 1.1154 m2 Bn  BP d   n

π φ2 4

= 1.1154 –

×

× .

= 1.1041 m2

bn = b0 – m K Φ = 0.44 – 1 × 0.5 × 0.085 = 0.398 m

σ =

(

)

USTHB FGC 2017

=

, .

= 2,897 MPa Page 140

Chapitre VIII

étude de la précontrainte

ft28 = 2,7 MPa τ = 0,4 × f t28 × ft28 + × σ

= 0,4 × 2,7 × 2,7 + × 2,897

= 2,236 MPa

V = τ × bn × 0.8 × h = 2,236 × 0.398 × 0.8 × 1.55 = 1.104 MPa Donc : 1 = Arc sin 2 = Arc sin α

= Arc sin Vm +V P

= Arc sin

.

= − 6.84 °

. .

= Arc sin = Arc sin

. . .

.

. × .

= 33.37 ° = 12.44 °

1 = - 6,84 °  opti = 12,44 °  2 = 33.37 ° On fixe : 1 = 12° Ou bien :

α1  α 2 2

≈ opti

⇒

12    2  12.44 2

⇒

2 = 12.88 °

Donc :  

1 = 12° ; 2 = 12.88 ° 3 = 25°

pour les câbles d’about. pour le câble de l’extrados.

 Détermination de Xk et Xd :  

Les câbles sont d’un tracé parabolique sur une distance de ( xk + 0.5 ) m. Le repère x , y  a pour origine le point (o) à partir duquel les câbles deviennent rectilignes.

Figure VIII.4 : Tracé des câbles USTHB FGC 2017

Page 141

Chapitre VIII

étude de la précontrainte

 Pour le câble de l’extrados : Y = a x2 ; tg (α) = Lorsque : X = XK

=2ax ;

tg (α) = 2 a Xk

⇒

Lorsque : X = XK + 0,5 ; tg (α) = 2 a (Xk+0.5) De (1) et (2) on a :

YK = t gα

(

. )

α

a= ⇒

…………(1)

y = a (X + 0.5) ……. (2)

……. (3)

La seule inconnue dans l’équation (3) est xK  Pour le câble de l’extrados: Y = a X2 ; tg ( ) =

= 2ax

Lorsque :

X= XK ; tg α = 2a X

⇒ a=

tg α……... (1’)

Lorsque :

X= XK ; Y= Y = Y ⇒ Y = a X

…..…….. (2’)

On remplace (1’) dans (2’), on trouve : YK = tg α ×

………………. (3’)

La seule inconnue dans l’équation (3’) est :xK On a :

Y = Y − di

et

Xd =

−X

Les résultats sont représentés dans le tableau ci-dessous : N°câble

αi (°)

yi (m)

yk (m)

xk (m)

xd (m)

ai (m)

di

1

12,0

0,495

0,368

2,35

10,00

0,0452

0,1275

2

12,88

0,945

0,818

6,11

6,24

0,019

0,1275

3

25

1,3

1,088

4,66

7,69

0,050

0,2125

Tableau VIII.3 : Récapitulatif des distances des courbures des câbles. VIII.1.4. Position et analyse de chaque câbles en différentes sections: Les équations paraboliques des différents câbles sont: Yi = ai (XKi –Xi)2+ di tgα = 2a (X USTHB FGC 2017

−X ) Page 142

Chapitre VIII

étude de la précontrainte

Y1 = 0,0452 (2,35– x)² +0.1275 Y2 = 0,019 (6.11– x)² +0.1275 Y3 = 0,050 (4.66– x)² +0.2125 tgi = dYi / dx. Les positions et angles dans les différentes sections sont donnés dans le tableau suivant Position

-0,5

0

caractéristique 1 2 3 Câble moyen

L/8 -ε

+ε

L/4

3L/8

L/2

Yi(m)

0,495

0,377

0,13

0,13

0,13

0,13

0,13

i (°)

14,45

12,00

0

0

0

0

0

Yi(m)

0,945

0,826

0,298

0,298

i (°)

13,89

12,88

6,45

6,45

0

0

0

Yi(m)

/

/

/

1,3

0,337

0,21

0,2125

i (°)

/

/

/

25

8,958

0

0

Yi(m)

0,72

0,60

0,21

0,58

0,1973

0,16

0,16

i (°)

14,17

12,44

3,23

10,48

2,99

0

0

0,1275 0,1275 0,1275

Tableau VIII.4 : Positions et angles des différents câbles. VII.2. Calcul des caractéristiques nettes et homogènes des sections : Afin de pouvoir calculer les pertes de précontrainte et évaluer les différentes contraintes, les caractéristiques nettes sont calculées pour la poutre seul et la poutre plus dalle dans les différentes sections ainsi que les caractéristiques homogènes qui sont calculé pour la poutre plus dalle. 

8.3.1 Caractéristiques géométriques nettes :

B n  B br  n B φ π Q 2  n : nombre de trous : 4  φ : diamètre de la gaine

Avec : Bφ  

v net 

v brut B brut 

y

i

B φ 

B net



et

I n  I br  B br v n  v br   B φ  2

ρ net 

v net  h  v n

 y

i

 v n 

2



I net v n v n B n

USTHB FGC 2017

Page 143

Chapitre VIII

étude de la précontrainte

Les résultats sont regroupés dans le tableau ci-dessous : SECTION

About

2

Nmbr de cable

Intermédiaire

2

2

-0,5

0

Vn (cm) In (cm4) ρn

3

3

L/4

3L/8

L/2

P

0,639

P+D

-ε

+ε

0,639

0,530

0,524

0,421

0,421

0,421

1,104

1,104

0,995

0,989

0,886

0,886

0,886

P

0,720

0,722

0,736

0,730

0,684

0,685

0,685

P+D

1,017

1,018

1,058

1,057

1,073

1,074

1,074

P

0,580

0,578

0,564

0,570

0,616

0,615

0,615

P+D

0,533

0,532

0,492

0,493

0,477

0,476

0,476

P

0,103

0,103

0,094

0,092

0,095

0,094

0,094

P+D

0,205

0,204

0,176

0,175

0,155

0,154

0,154

P

0,387

0,386

0,426

0,422

0,536

0,533

0,533

P+D

0,342

0,340

0,339

0,340

0,343

0,341

0,341

caractéristique

V’n (cm)

3

L/8

Position

Bn (cm2)

3

Médiane

Tableaux VIII.5 : Caractéristiques géométriques nettes de la poutre et la poutre +dalle. 

Caractéristiques géométriques homogènes :

Bh  Bn  K . n . A p

avec : K  5 , coefficient d’équivalence .

n : Nombre de trous. A p : Section des câbles. v h 

B n v n  5 A p .

y

Bh

i

et

v h  h  v h

I h  I n  B n v h  v n   5 Σ v h  y i  Ap 2

ρh 

2

Ih v h . v h . B h

Les caractéristiques géométriques homogènes de la poutre plus dalle sont données dans le tableau suivant :

USTHB FGC 2017

Page 144

Chapitre VIII

étude de la précontrainte

Position caractéristique Bh (m2)

-0,5

0

1,119

V’h (m)

L/8 +ε 1,011

L/4

3L/8

L/2

1,119

-ε 1,010

0,908

0,908

0,908

1,013

1,012

1,045

1,046

1,051

1,051

1,051

Vh (m)

0,537

0,538

0,505

0,504

0,499

0,499

0,499

Ih (m4)

0,207

0,207

0,186

0,187

0,172

0,173

0,173

ρh

0,339

0,340

0,350

0,350

0,362

0,363

0,363

Tableau VIII.6: Caractéristiques géométriques homogènes de la poutre + dalle. VII.3. Calcul des pertes dans les armatures de précontrainte : Les forces de précontrainte appliquées à une structure sont variables selon les sections et en fonction du temps. La chute de tension dans les câbles est due aux pertes de précontrainte qui se produisent entre l’instant de la mise en tension des câbles et la période de service. Elles sont provoquées par les phénomènes liés au comportement des matériaux et au mode de précontrainte. Les pertes de précontraintes se subdivisent en deux familles : - Pertes de tension instantanées. - Pertes de tension différées.  Pertes instantanées :

Elles se produisent dans un temps relativement court ; au moment de la mise en tension des câbles, on distingue :  Pertes par frottement.  Pertes par glissement (recul d’ancrage).  Pertes dues au raccourcissement instantané du béton (non simultanéité de la mise en tension).  Les pertes différées :

Elles se produisent pendant un temps plus au moins long après que la structure ait été précontrainte, on distingue :  Pertes par retrait du béton.  Perte par fluage de béton.  Perte par relaxation des armatures de précontrainte.

USTHB FGC 2017

Page 145

Chapitre VIII

étude de la précontrainte

VIII.3.1 Pertes de tension instantanées : 1) Pertes par frottement : L’expression de la tension le long du câble et de la perte sont donnée par la relation suivante : σ (x) = σ (∆σ )

1 − f α(x) − φ. x =σ

− σ (x)

σ p 0 : Tension à l’origine. f : Coefficient de frottement en courbe et vaut 0,18 rad

-1

α : La déviation angulaire du câble à une distance (x) de l’origine.

αx   θ x   θ 0 θ x  : Angle du câble à une distance (x). θ 0 : Angle du câble à x  0

 : Coefficient de perte de tension par unité de longueur.

=0.002 m-1

p0 =P0/Ap= 2,160 /1500.10-6= 1440 MPa

Le résultat de calcul des pertes par frottement en différentes sections sont donnés dans le tableau VIII.7:

USTHB FGC 2017

Page 146

Chapitre VIII

étude de la précontrainte XK1 2,852 XK2 6,609

0

0,5

-0,5

0

3,5875

3,5875

XK3 4,664

6,6750

9,7625

12.85

XK

L/4

3L/8

L/2

0,252

0,252

0,252

0,252

L/8 Cable

Positions

-

+

0,252

0,252

 (rd)

0

p(x) [MPa]

1440

p(x) [MPa]

0

12,539

75,718

75,718

73,598

84,610

93,502

102,394

 (rd)

0

0,018

0,130

0,130

0,243

0,243

0,243

0,243

p(x) [MPa]

1440

p(x) [MPa]

0

6,031

43,998

43,998

81,893

82,082

90,974

99,866

 (rd)

\

\

\

0

0,280

0,436

0,436

0,436

p(x) [MPa]

\

\

\

1440

1353,996

p(x) [MPa]

\

\

\

0

(p(x))f 1famille (Mpa)

0

9,285

59,858

(p(x))f 2famille (Mpa)

\

\

\

1

2

3

0,043

1427,461 1364,282 1364,282

1433,969 1396,002 1396,002

1366,402

1358,107

1355,390 1346,498

1357,918 1349,026

1337,606

1340,134

1318,011 1309,119

1300,227

86,004

121,989

130,881

139,773

59,858

77,746

83,346

92,238

101,130

0

86,004

121,989

130,881

139,773

Tableau VIII.7 : Pertes par frottement en différentes sections.  Pertes par glissement : Lors du blocage des câbles de précontraintes par le biais d’un système d’ancrage, il se produit un léger mouvement de raccourcissement du câble dans le béton. Ce mouvement est gêné par frottement du câble sur la gaine, ce qui conduit à une chute qui touche généralement une partie du câble à partir de l’ancrage actif .Cette distance est appelée « longueur d’influence du recul d’ancrage » La perte est donnée par :

USTHB FGC 2017

(p)g = p(x) - ’p(x)

Page 147

Chapitre VIII

étude de la précontrainte

σ p MPa 

A

B

 p x M

C

x m  d x

LAB

Figure VIII.5 : perte par glissement

Câble 1 : gEp  1,5 . 10 3.2 . 10 5  300 MPa

On suppose que M  [AB]. d

gEp . l AB σA  σB

Avec : l AB  4,071 m

;

300  4,071  4,588 m 1440  1381,974

d

D’où : M  AB  M  BC

d  4,588 m  L AB  4.071m

σ A  σ B  L AB  σ B  σ C  . x

2

l BC

Avec :

2x.

σ A  1400 MPa  σ B  1366,402.MPa σ  1337,606 MPa  C

On obtient :

x = 3,427 m

et

l AB σ B  σ C   gEp l BC

et

l AB  2,852 m  l BC  9,998 m

d = 6,279 m

σ : est calculée à partir des triangles semblables : σ

= σ +

USTHB FGC 2017

Page 148

Chapitre VIII

étude de la précontrainte

En utilisant la même démarche pour les autres câbles on obtient les résultats suivants : cable d(m) σM

1 6,279 1356,53

2 4,921 1379,03

3 4,034 1365,63

Tableau VIII.8 : Valeurs de σM et de d Les pertes par glissement sont données dans le tableau suivant: σ p x   σ A  2 σ A  σ M 

Avec:

Δσ  x   σ x   σ  x  p g

p

p

XK1 2,852 XK2 6,609 0

0,5

3,5875

3,5875

XK3 4,664

6,6750

9,7625

12.85

-0.5

0

-

+

XK

L/4

3L/8

L/2

1440

1427,461

1364,282 1364,282

1366,402

1355,390

1346,498 1337,61

1273,061

1285,600

1348,779 1348,779

1366,402

1355,390

1346,498 1337,61

166,939

141,860

0

0

1440,0

1433,969

1396,002 1396,002

1358,107

1357,918

1349,026 1340,13

1318,063

1324,094

1362,061 1362,061

1358,107

1357,918

1349,026 1340,13

121,937

109,876

33,941

33,941

0

0

\

\

\

1440

1353,996

1318,011

1309,119 1300,227

\

\

\

1291,250

1353,996

1318,011

1309,119 1300,227

\

\

\

148,750

0,000

0,000

0,000

0,000

144,438

125,868

24,722

24,722

0,000

0

0

0

\

\

\

148,750

0

0

0

0

L/8 CABLE

POSITIONS

σp(x) 1

σ'p(x) (∆σp)g(x) σp(x)

2

σ'p(x) (∆σp)g(x) σp(x)

3

σ'p(x) (∆σp)g(x) (∆σp)g _1F (∆σp )g _2F

15,503

15,503

0

0

0

0

Tableau VIII.9: Pertes par glissement

USTHB FGC 2017

Page 149

Chapitre VIII

étude de la précontrainte

 Pertes par raccourcissement instantané du béton : A chaque mise en tension d’un câble, il résulte un raccourcissement instantané du béton provoquant une chute de tension dans les câbles déjà tirés et ancrés précédemment . L’évaluation des pertes prendra en compte les différentes phases de construction.  Effet de la 1ère famille sur elle-même :   cj : Contrainte de compression sous l’action des charges à la mise en tension au

niveau du câble moyen lx M g x   g p .  x  2 

Δ σ 

rac

Δ σ cj 

 Kj 

M g x  In

Ep Eb ij

Δσ

Avec g p  1.74 t/ml cj





 e 2p1 1   ep 1  n  Ap σ p 0  (Δ σ p f  Δ σ p g  Δ σ rac )      I n B n 

J = 28ème jour

⟹

Eb i28  35981.73 MP

e p1   v   y1 n  2 câbles Ap  1500 . 10 6 m 2

On pose: α = (1/B) + e1²/In

et

β = ( Mg/In ) × e1

 Effet de la 2ème famille sur elle-même : (p ) rac = 0 car on a un seul câble à l’extrados .  Effet de la dalle sur la 1ère famille :

USTHB FGC 2017

Page 150

Chapitre VIII

étude de la précontrainte

0,50

0,00

-0,5

0

3,0875

3,0875

6,1750

9,2625

12,35

L/4

3L/8

L/2

L/8 Positions

-

+

Mg(x)

0

0

0,581

0,581

0,995

1,244

1,327

ep1(m)

0

-0,120

-0,523

-0,517

-0,556

-0,558

-0,558

In (m4’)

0,103

0,103

0,094

0,092

0,095

0,094

0,094

Bn(m2)

0,639

0,639

0,530

0,524

0,421

0,421

0,421

V’(m)

0,720

0,722

0,736

0,730

0,684

0,685

0,685



0

0

-3,242

-3,264

-5,823

-7,350

-7,840

β

1,565

1,705

4,808

4,814

5,631

5,673

5,673

rac(MPa)

16,685

18,286

43,583

43,587

45,385

41,367

39,665

Tableau VIII.10 : Effet de la 1ère famille sur elle-même ( ∆σ ) =

× e

×

g = gdalle+ gcoffrag perdu = 1,2 t/ml Mg = g

∙x

j = 28 éme jours ⟹ Ebi28 = 35981,7294 MPas eP1 = − V’ (PS) + y1 Ep = 2 ∙ 10-5 MPas. 0,50

0,00

POSITIONS

-0,5

0

Mgp+d(x)

0

ep(m)

3,0875

3,0875 L/8

6,1750

9,2625

12,35

L/4

3L/8

L/2

-

+

0

0,400

0,400

0,686

0,858

0,915

0

-0,120

-0,523

-0,517

-0,556

-0,558

-0,558

In m4

 

0,103

0,103

0,094

0,092

0,095

0,094

0,094

rac(MPa)

0

0

-12,427

-12,511

-22,321

-28,173

-30,052

Tableau VIII.11 : Effet de la dalle sur la 1ère famille USTHB FGC 2017

Page 151

Chapitre VIII

0,50

étude de la précontrainte

0,00

3,0875

3,0875

6,1750

9,2625

12,35

L/4

3L/8

L/2

L/8 Position

-0,5

0 -

+

Bn(m2)

1,104

1,104

0,995

0,989

0,886

0,886

0,886

In (m4’)

0,205

0,204

0,176

0,175

0,155

0,154

0,154

ep1(m)

-0,297

-0,416

-0,845

-0,844

-0,945

-0,946

-0,946

ep2(m)

0

0

0

0,243

-0,736

-0,861

-0,861

rac(MPa)

0

0

0

-1,713

61,611

69,984

69,508

Tableau VIII.12 : Effet de la 2ème famille sur la 1ère famille.  Effet de la 2ème famille sur la 1ère famille σ cj  σ p   Δσ f 2  Δσ g 2  Δσ r 2 0 2  Eb ij  Eb /28  36981,7295 Mpa

Avec: Kj = 1 ;



  

j  63

ème

jour



α = (1/B) + (e1×e2) / In

Effet des compléments sur la 1ère famille :

Δσ rac 

Ep Mc  e p1  In Eb ij

lx M g  x c c  2  g  g   g  g  g   0,817 t/ml c T  p d e E  Eb b i28 ij

USTHB FGC 2017

Page 152

Chapitre VIII

étude de la précontrainte

0,50 Position

-0,5

0,00

3,0875

3,0875 L/8

0 -

+

6,1750

9,2625

12,35

L/4

3L/8

L/2

Mc

0

0

0,273

0,273

0,467

0,584

0,623

In (m4’)

0,205

0,204

0,176

0,175

0,155

0,154

0,154

ep1(m)

-0,297

-0,416

-0,845

-0,844

-0,945

-0,946

-0,946

rac(MPa)

0

0

-7,287

-7,287

-15,798

-19,915

-21,243

Tableau VIII.13 : Effet des compléments sur la 1ère famille

 Effet des compléments sur la 2ème famille : Δσ rac 

Mc Ep . ep . 2 In Eb i28

0,5

0

3,0875

3,0875

6,1750

9,2625

12,3500

L/4

3L/8

L/2

L/8 Position

-0,5

0 -

+

Mc

0

0

0,273

0,273

0,467

0,584

0,623

In (m4’)

0,20

0,204

0,176

0,175

0,155

0,154

0,154

ep2(m)

0

0

0

0,243

-0,736

-0,861

-0,861

rac(MPa)

0

0

0

2,102

-12,301

-18,126

-19,334

Tableau VIII.14 : Effet des compléments sur la 2ème famille.

Les résultats de pertes par raccourcissement sont récapitulés dans le tableau (VII-13) :

USTHB FGC 2017

Page 153

Chapitre VIII

étude de la précontrainte 0,5

Position

0

3,0875

3,0875

6,1750

9,2625

12,3500

L/4

3L/8

L/2

L/8 -0,5

0

perte

-

+

Δσrac 1/1(MPa)

16,685

18,286

43,583

43,587

45,385

41,367

39,665

Δσrac D/1(MPa)

0

0

-12,427

-12,511

-22,321

-28,173

-30,052

Δσrac 2/1(MPa)

0

0

0

-1,713

61,611

69,984

69,508

Δσrac C/1(MPa)

0

0

-7,287

-7,287

-15,798

-19,915

-21,243

Δσrac C/2(MPa)

0

0

0

2,102

-12,301

-18,126

-19,334

Tableau VIII.15 : Pertes par déformation instantanée  Vérification des contraintes au 28ème jour Positions

L/4

3L/8

L/2

59,858

83,346

92,238

101,130

24,722

24,722

0

0

0

18,286

43,583

43,587

45,385

41,367

39,665

4,020

4,038

4,099

4,099

4,097

4,086

4,068

Sigma sup

6,290

3,598

-1,674

-1,715

1,420

2,976

3,538

Sigma inf

6,290

9,715

20,021

20,032

18,973

17,227

16,5142

Cables

0,720

0,602

0,213

0,213

0,128

0,128

0,128

Perte

-0,5

0

0

9,285

L/8 -

+

59,858

144,438 125,868

() p rac (MPa)

16,685

Pi

f (MPa) (p)g

Tableau VIII.16 Vérification des contraintes au 28ème jour. VIII.3.2. Pertes différées : A la différence les pertes instantanées se produisent pendant un temps plus au moins long, elles résultent de l’évaluation des caractères des matériaux dans le temps lorsqu’ ils sont soumis aux différentes charges. On distingue : - Pertes par retrait du béton. - Pertes par relaxation des armatures. - Pertes par fluage du béton. USTHB FGC 2017

Page 154

Chapitre VIII

étude de la précontrainte

 Pertes par retrait du béton : Est un phénomène de raccourcissement du béton dans le temps, dû à une évaporation de l’eau excédentaire contenue dans le béton lors de son durcissement. Le retrait du béton est un phénomène de raccourcissement du béton dans le temps, dû à une évaporation de l’eau excédentaire contenue dans le béton lors de son durcissement. Les pertes par retrait su béton sont données par la formule suivante : (∆σ ) = ε 1 − r(t ) E

(MPa)

Avec: r (t0) =

;

ε = 3 ×10-4

rm =

é

(cm)

è

(Nord d’Algérie)

EP = 2 ×105 MPa t0 : Le jour de la mise en tension. Les résultats sont donnés dans le tableau ci-dessous : Section Périmètre

About

Intermédaire

Médiane

P

4,5020

4,5020

4,6126

4,6126

4,7114

4,7114

4,7114

P+D

6,6120

6,6120

6,7226

6,7226

6,8214

6,8214

6,8214

-0,5

0

L/4

3L/8

L/2

8,9268

8,9268

Positions Perte

L/8 -

+

rm (p) [m]

14,1948 14,1948 11,4805

11,3575

8,9268

rm (p+d) [m]

16,6977 16,6977 14,7941

14,7097

12,9823 12,9823 12,9823

r (t0) au 28ème j

0,1798

0,1798

0,2132

0,2150

0,2584

0,2584

0,2584

r (t0) au 63ème j

0,2954

0,2954

0,3212

0,3224

0,3503

0,3503

0,3503

(∆ p) r 1èrefamille

49,214

49,214

47,207

47,099

44,493

44,493

44,493

(∆ p) r 2èmefamille

/

/

40,729

40,654

38,981

38,981

38,981

Tableau VIII.17 Les pertes par retrait du béton.

USTHB FGC 2017

Page 155

Chapitre VIII 

étude de la précontrainte

Pertes par relaxation des armatures

La relaxation est un phénomène de diminution progressive de la tension des câbles dans le temps. La perte par relaxation est donnée par la formule suivante :

(∆σ )ρ = 0,06ρ

μ − μ . σ (x)

Avec :

μ=

σ ( )

=

(σ

∆σ

)

μ = 0,43 ρ

= 2,5(TBR)

fprg = 1860 MPa  1èr famille :

Δσ p x   σ p   Δ σ f1  Δ σ g1  Δ σ rac 2  Δ σ rac 1  Δ σ rac c  Δ σ rac d/1  i 0 1 1 1    2em famille :

σ P i x   σ P 0   Δ σ f 2  Δ σ g 2  Δ σ rac c  Δ σ rac 2  2 2 

Les résultats sont donnés dans le tableau ci-dessous :

Positions Pertes pi(x)

1F

2F

L/8 -0,5

0

1278,877 1286,561

-

+

1331,551

1333,344

L/4

3L/8

L/2

1287,777 1284,500 1280,991

μi

0,688

0,692

0,716

0,717

0,692

0,691

0,689

()1ère F

49,410

50,504

57,101

57,371

50,678

50,209

49,710

pi(x)

/

/

/

1289,148

μi

/

/

/

0,693

0,715

0,714

0,709

()2ème F

/

/

/

50,874

56,915

56,455

55,311

1330,312 1327,245 1319,561

Tableau VIII.18 : Pertes par relaxation des armatures.

USTHB FGC 2017

Page 156

Chapitre VIII

étude de la précontrainte

 Pertes de tension par fluage Au fil du temps, le béton subit des déformations sous l’action des contraintes constantes permanentes de compression et entraîne avec lui les câbles, ce qui provoque une chute de tension. Le BPEL propose une formule simplifiée permettant de calculer cette chute de tension. Elle est comme suit : E (∆σ ) = (σ + σ ). E σ : Contrainte finale dans le béton au niveau du câble moyen de chaque famille, elle est en fonction des charges permanentes et de la précontrainte. σ : Contrainte maximale de compression du béton au niveau du câble moyen de chaque famille, elle est obtenue à la mise en précontrainte. 1ère famille (28ème jour) :   1 e 2n1  Mp σ M  g  e n1  n Ap σ P  Δ σ inst    0 1 B In I n    n   1 e 2n1  M Tg   e n1  n Ap σ P 0  Δσ T     n Ap σ P 0  Δσ T σ b  1 B In I n   n 













2

en en   1  1 2  In   Bn

2ème famille (63ème jour)  M  p d e  σ M  g  e n 2  n Ap σ P 0  Δσ inst In    1 M Tg   e n 2  n Ap σ P 0  Δσ T  σ b  2 B In  n 







 1 e 2n   1 en en    2   n Ap σ P 0  Δσ inst   1 2  2 B 1 B In   n I n   n







e 2n 2   1 en en     n Ap σ P 0  Δσ T   1 2  1 B In  In   n 





En appliquant les formules précédentes, on trouve les résultats dans le tableau ci-dessous : Positions Pertes Δσflu 1ére famille

Δσflu 2ème famiile

L/8 -0,5

0 -

58,548 69,552 155,678 154,402

/

/

/

L/4

3L/8

L/2

202,221

188,937

181,786

210,007

223,918

215,176

+

36,894

Tableau VIII.19 Pertes par relaxation des armatures. USTHB FGC 2017

Page 157

Chapitre VIII

étude de la précontrainte

VIII.4. Présentation des résultats finaux :









Δσ inst  Δσ p Δσ diff  Δσ p

frott

r





  Δ σ 



  Δσ 

 Δ σp 5 Δσ p 6

p rac

g

p flu

ρ

Les résultats finaux des pertes sont représentés dans le tableau ci-dessous :

Positions

L/8 -0,5

0

L/4 -

Pertes

1F

2F

3L/8

L/2

+

ins(MPa)

161,123 153,439 108,449 106,656 152,223 155,500 159,009

 diff(MPa)

148,936 160,853 250,470 249,310 288,946 275,272 267,705

tot(MPa)

310,059 314,292 358,919 355,966 441,169 430,772 426,714

%tot

21,532

21,826

24,925

ins(MPa)

/

/

/

150,852 109,688 112,755 120,439

 diff(MPa)

/

/

/

119,943 296,417 309,946 300,250

tot(MPa)

/

/

/

270,795 406,105 422,701 420,689

%tot

/

/

/

18,805

24,720

30,637

29,915

28,202

29,354

29,633

29,215

Tableau VIII.20 : Récapitulatif des pertes totales Les valeurs des pertes totales sont représentées dans le tableau ci-dessous : Positions

L/8 -0,5

0

tot(MPa)

310,059

%tot

21,532

Perte

L/4

3L/8

L/2

313,380

423,637

426,737

423,701

21,763

29,419

29,634

29,424

-

+

314,292

358,919

21,826

24,925

Tableau VIII.21 Valeurs des pertes totales. On constate donc que le pourcentage des pertes à long terme est de (29.634 %) ne dépasse pas celui des pertes estimées à (32%). USTHB FGC 2017

Page 158

Chapitre VIII

étude de la précontrainte

VIII.7 Détermination du fuseau de passage M min   γ  P  i a  Max   e p  a   Min   c   M min  Pi

  B h . σ bc   1   γ   ρ v h  Pi      B h . σ bt1      γ  ρ v h  1   P i   

Avec :

σ bt1  1,5 f t28  4,05 MPa

Pi  Pm

 cos α

M max  γ  P  i   c  M max  Pi

et

  B h . σ bt1  c   ρ h V h  1  Pi     B h . σ bt2   c  ρ h V h 1  Pi  

       

; σ bt2  f t28  2,7Mpa ; σ bc  0,6 f c28  21 MPa

i

Positions

L/8 -0,5

0

L/4

3L/8

L/2

Σcosαi

1,939

2,900

2,988

3,000

3,000

P1

1,772

1,827

1,695

1,691

1,695

1,551

1,471

1,553

1,354

1,349

1,354

3,551

3,566

3,534

5,299

5,064

5,073

5,084

P2.Σcosαi

3,022

3,029

2,932

4,503

4,046

4,046

4,062

Pi

3,551

3,566

3,534

5,299

5,064

5,073

5,084

Bh

1,119

1,119

1,010

1,011

0,908

0,908

0,908

Vh

0,537

0,538

0,505

0,504

0,499

0,499

0,499

Vh

1,013

1,012

1,045

1,046

1,051

1,051

1,051

ρh

0,339

0,340

0,350

0,350

0,362

0,363

0,363

c’

0,337

0,337

0,313

0,267

0,268

0,269

0,268

C

0,782

0,781

0,789

0,649

0,657

0,658

0,657

γ'

1,024

1,021

0,883

0,531

0,500

0,499

0,498

-

+

1,953

1,994

1,831

1,826

P2

1,559

P1.Σcosαi

Caractètristiques

USTHB FGC 2017

Page 159

Chapitre VIII

étude de la précontrainte

T

1,930

1,922

1,829

1,101

1,053

1,052

1,049

Mmin (MN.m)

0

0

1,254

1,254

2,149

2,686

2,865

MMAX (MN.m)

0

0

2,168

2,168

3,715

4,644

4,953

Mmin/Pi

0

0

0,355

0,237

0,424

0,529

0,564

MMAX/Pi

0

0,000

0,614

0,409

0,734

0,915

0,974

-γ’-( Mmin/Pi )

-1,024

-1,021

-1,238

-0,767

-0,924

-1,029

-1,062

-c’- ( Mmin/Pi )

-0,782

-0,781

-1,144

-0,885

-1,082

-1,187

-1,221

γ-( MMAX/Pi )

1,930

1,922

1,216

0,692

0,320

0,137

0,075

c - ( MMAX/Pi )

0,337

0,337

-0,301

-0,142

-0,465

-0,647

-0,706

a

-0,782

-0,781

-1,144

-0,767

-0,924

-1,029

-1,062

a'

0,337

0,337

-0,301

-0,142

-0,465

-0,647

-0,706

ep

-0,297

-0,416

-0,845

-0,481

-0,876

-0,918

-0,918

Vérification

VRAI

VRAI

VRAI

VRAI

VRAI

VRAI

VRAI

Tableau VIII.22 : Fuseau de passage

Conclusion Le câble moyen est à l’intérieur du fuseau de passage

USTHB FGC 2017

Page 160

CHAPITRE IX Calcul justificatif des poutres

Chapitre IX

Calcul justificatif des poutres Introduction :

Dans ce chapitre, nous allons vérifier si la structure respecte les prescriptions réglementaires en vérifiant, dans chaque phase de construction et de service, si les contraintes normales et tangentielles ne dépassent pas les contraintes limites réglementaires en choisissant la section la plus sollicitée. IX.1. Phases de construction :  Phase 1 : Au 7ème jour, la poutre est sur le banc de préfabrication, les câbles de la première famille sont tirés à 50% de P0 et consomment 50% des pertes instantanées. ∆σinst =

140,795 MPa

 Phase 2 : Les câbles de la 1ère famille sont tirés à 100% de P0, ils consomment 100% des pertes instantanées.

∆σinst = 140,795 MPa  Phase 3 : Au 35ème jour, on coule la dalle, les câbles de la 1ère famille vont consommer en plus des pertes instantanées r (t) % des pertes différées, t étant le nombre de jours entre la mise en tension à 100% et cette phase. ∆σd (1er famille ) = r ( 35 − 28 ) % ∙ ∆σdT = 0,0801 ∙ 267,705 ∆σd = 21,455 MPa ∆σrac ( D/1) = - 30,052 MPa

 Phase 4 : Après durcissement de la dalle, on tire les câbles de l’extrados à 100% de P0, ces câbles consomment la totalité des pertes instantanées. Les câbles de la 1ère famille consomment r ( 63-35) % des pertes différées ; dans cette phase on prend en compte l’effet de la 2ème famille sur la 1ère famille. ∆σd (1er famille) = r ( 63-35 ) % ∙ ∆σdT = 0,193 ∙ 267,705 ∆σd = 51,751 MPa ∆σrac ( 2/1) = 69,508 MPa ∆σinst ( 2éme famille ) = 139 ,773 MPa

FGC USTHB 2017

Page 162

Chapitre IX

Calcul justificatif des poutres

 Phase 5 : Mise en place des éléments du tablier au 77éme jour. Les câbles de la 1ère famille et de la 2ème famille consomment r ( 77 – 63 ) % des pertes différées. ∆σd (1er famille ) = r ( 77 – 63 ) % ∙ ∆σdT = r ( 14 ) % ∙ ∆σdT = 0,107 ∙ 267,507 ∆σd (1er famille ) = 28,644 MPa ∆σrac ( C/1) = - 21,243 MPa ∆σd ( 2éme famille ) = r ( 77 – 63 ) % ∙ ∆σdT = r ( 14 ) %

∆σdT = 0,107 ∙ 300,250

∆σd ( 2éme famille ) = 32,115 MPa ∆σrac ( C/2) = - 19,334 MPa  Phase 6 : La mise en service de l’ouvrage, les câbles ont consommé la totalité des pertes. La surcharge maximale correspondant à la combinaison la plus défavorable ( G + D240 ). IX.2. Justifications des contraintes à l’ELS :

 Justification des contraintes normales : On vérifie que la contrainte normale σ ( y ) est comprise entre les contraintes limites σ bc et σ bt Avec :  Phase 1 : Section résistante : Poutre seule et caractéristiques nettes. P1 = ( 1.02 × σP0 − 0,8 × ∆σp ) × n × Ap × K P1 = ( 1.02 × 1440 − 0,8 × 140,795 ) × 2 × 1500 × 0,5 P0

Avec :

=

1440 MPa

∆σp = 140,795 MPa

n=2

et :

K = 0,5

P1 = 2,034 MN σ1 (y) =

+

y =

, ,

+

,

× (

, ,

)

,

y

σ1 (y) = 4,835 + 2,037 y σ1 (v) = 4,835 + 2,037∙ 0,6147 = 6,088 MPa

Vn = 0,6147 m Avec :

Vn’ = 0,6853 m

FGC USTHB 2017

D’où

σ1 (v’) = 4,835 + 2,037 ∙ 0,6853 = 3,441 MPa

Page 163

Chapitre IX

Calcul justificatif des poutres

6,088 MPa ≥ -1,5 ft7 = -2,9865 MPa

( Vérifiée ) Avec :

3,441 MPa ≤ 0,6 fc7 = 13,907 MPa

ft7 = 1,991 MPa fc7 = 23,179 MPa

 Phase 2 : Section résistante : Poutre seule et caractéristiques nettes. σ2 (y) = σ1 (y) + ∆σ2 (y) ∆σ2 (y) =

+

y

,

⇒ ∆σ2 =

+

,

,

∙(

,

,

)

y

σ2 (y) = 4,836 − 12,019 y ∆σ2 (v) = 4,836 − 12,019 ∙ 06147 = - 2,551 MPa

Vn = 0,6147 m Avec :

D’où

Vn’ = 0,6853 m

∆σ2 (v’) = 4,836 − 12,019 ∙ 06853 = 13,073 MPa

σ2 (v) = σ1 (v) + ∆σ2 (v) = 6,088 - 2,551 = 3,538 MPa σ2 (v’) = σ1 (v’) + ∆σ2 (v’) = 3,441 + 13,073 = 16,514 MPa 3,538 MPa ≥ - 1,5 ft21 = - 4,02 MPa

(( Vérifiée Vérifiée) )Avec Avec :

16,514 MPa ≤ 0,6 fc21 = 21 MPa

ft21 = 2,1 MPa fc21 = 35 MPa

 Phase 3 : Section résistante : poutre seule et caractéristiques nettes. σ3 (y) = σ2 (y) + ∆σ3 (y) P1 = (1.02 × σP0 − 0,8 × ∆σp ) × n × Ap × K Avec :

σP0 = 0 MPa ∆σp = -30,052 + 21,455 = - 8,597 MPa

et :

n=2 K =1

P1 = ( 1.02 × σP0 − 0,8 × ∆σp ) × n × Ap × K P1 = ( 1.02 × 0 − 0,8 × - 8,597 ) × 2 × 1500 × 0,5 P1 = 0,0206 MN Mg ( Dalle + Coffrage perdu) = 0,9151 MN.m ∆σ3 ( y ) =

+

(

)

y ⇒

, ,

+

, ,

y

∆σ3 ( y ) = 0,0489 + 9, 694 y

FGC USTHB 2017

Page 164

Chapitre IX

Calcul justificatif des poutres ∆σ3 (v) = 5,932 MPa

Vn = 0,6147 m Avec :

D’où :

Vn’ = 0,6853 m

σ3 (v) = σ2 (v) + ∆σ3 (v) = 3,538

∆σ3 (v’) = - 6,509 MPa + 5,932

σ3 (v’) = σ2 (v’) + ∆σ3 (v’) = 16,514 - 6,509 9,469 MPa ≥ Avec :

- 1,5 ft28 =

10,004 MPa ≤

⇒

σ2 (v) = 9,469 MPa

⇒

σ2 (v’) = 10,004 MPa

-4,05 MPa

0,6 fc28 =

( Vérifiée ) avec :

21 MPa

ft28 = 2,1 MPa fc28 = 25 MPa

 Phase 4 : Section résistante : Poutre + dalle et caractéristiques nettes. σ4 (y) = σ3 (y) + ∆σ4 (y) P1 (1ére famille ) = ( 1.02 × σP0 − 0,8 × ∆σp ) × n × Ap × K P1 (1ére famille ) = ( 1.02 × 0 − 0,8 × 121,26 ) × 2 × 1500 × 10-6 × 1 P1 (1ére famille ) = - 0,291 MPa σP0 = 0 MPa Avec :

n1 = 2

∆σp = 51,751 + 69,508 = 121,26 MPa

et :

K= 1

P1 (2ére famille ) = (1.02 × 1140 − 0,8 × 139,773 ) × 1 × 1500 × 10-6 × 1 P1 (2ére famille ) = 2,035 MPa σP0 = 1140 MPa Avec :

∆σ4 ( y ) = ∆σ4 ( y ) =

n2 = 1 et :

∆σp = 139,773 MPa ( é

)

,

, ,

∆σ4 ( y ) = 1,969

( é

+

)

,

( é

+ ∙(

,

)×

)

( , ,

K= 1

( é

∙ (

)×

,

×y ))

×y

− 9,574 y

Avec :

FGC USTHB 2017

Page 165

Chapitre IX

Avec :

Calcul justificatif des poutres

Vn = 0,4763 m

∆σ4 (v) = 1,969

− 9,574 ∙ 0,4763 = - 2,591

MPa

Vn − 0,25 = 0,2263 m D’où :

∆σ4 (v) = 1,969

− 9,574 ∙ 0,2263 = -0,197

MPa

Vn’ = 1,0737 m

∆σ4 (v’) = 1,969

− 9,574 ∙ (- 1,0737) = 12,255

MPa

σ4 (v) = σ3 (v) + ∆σ4 (v) = 9,469 − 2,591 = 6,878 MPa σ4 (v − 0.25 ) = σ3 (v − 0.2) + ∆σ4 (v − 0.2) = 9,469 − 0,197 = 9,272 MPa σ4 (v’) = σ3 (v’) + ∆σ4 (v’) = 10,004 + 12,249 = 22,253 MPa

6,872 MPa ≥ -1,5 ft28 = - 4,05 MPa

avec :

9,272 MPa ≥ -1,5 ft28 = - 4,05 MPa

22,253 MPa ≤ 0,6 fc28 =

21 MPa

ft28 = 2,1 MPa

( Vérifiée )

⇒

ft28 = 2,1 MPa

Non vérifiée

On a une contrainte de compression à la fibre inferieur qui dépasse la contrainte admissible, ∙(

σ4 (y) = σ3 (y) + ∆σ4 (y) ⇒ σ4 (y) = 22,259 +

,

)

,

= 21 ⇒ M = 0,181 MN.m

 Phase 5 : Section résistante : poutre + dalle et caractéristiques nettes. σ5 (y) = σ4 (y) + ∆σ5 (y) ∆σ5 ( y ) =

( é

)

( é

)

+

( é

)

( é

).

y

P1 (1ére famille ) = ( 1.02 × σP0 − 0,8 × ∆σp ) × n × Ap × K σP0 = 0 MPa Avec :

∆σp = - 21,2427 + 28,6444 = 7,402

n1 = 2 MPa

et :

K= 1

P1 (1ére famille ) = ( 1.02 × 0 − 0,8 × 7,402) × 2 × 1500 × 10-6 × 1 P1 (1ére famille ) = - 0,0178 MPa σP0 = 1440 MPa Avec :

∆σp = 32,127 – 19,334 = 12,792 MPa

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n2 = 1 et :

K= 1

Page 166

Chapitre IX

Calcul justificatif des poutres

P1 (2ére famille ) = ( 1.02 × 0 − 0,8 × 12,792 ) × 1 × 1500 × 10-6 × 1 P1 (2ére famille ) = - 0,0154 MPa ( é

∆σ5 ( y ) = ∆σ4 ( y ) =

,

)

( é

,

+

,

)

(

( é

(

+ ,

∙

,

)×

( é

) (

,

)×

∙

)

y )

,

,

,

,

×y

∆σ4 ( y ) = - 0,0375 + 2,872 y

Avec : ∆σ5 (v) = 1,330 MPa

Vn = 0,4763 m Avec :

Vn = 0,2263 m

∆σ5 (v) = 0,619 MPa

D’où

Vn’ = 1,0737 m

∆σ5 (v’) = - 3,121 MPa

σ5 (v) = σ4 (v) + ∆σ5 (v) = 6,878 + 1,330 = 8,208 MPa σ5 (v − 0.25 ) = σ4 (v − 0.2) + ∆σ5 (v − 0.2) = 8,793 + 0,613 = 9,405 MPa σ5 (v’) = σ4 (v’) + ∆σ5 (v’) = 21 - 3,121 = 17,879 MPa

8,209 MPa ≥ - 1,5 ft28 = - 4,05 MPa 9,405 MPa ≤ - 1,5 fc28 = - 4,05 MPa 17,879 MPa ≤ 0,6 fc28 =

( Vérifiée ) avec :

ft28 = 2,1 MPa fc28 = 35 MPa

21 MPa

 Phase 6 : sous P1 et Mmin , caractéristiques nette. P1 (1ére famille ) = (1.02 × Avec :

P0

− 0,8 × ∆

σP0 = 0 MPa ∆σp = 92,859 MPa

et :

p

) × n × Ap × K n1 = 2 K = 1

P1 (1ére famille ) = (1.02 × 0 − 0,8 × 165,853 ) × 2 × 1500 × 10-6 × 1 P1 (1ére famille ) = - 0,398 MPa P1 (1ére famille ) = (1.02 ×

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P0

− 0,8 × ∆σp ) × n × Ap × K

Page 167

Chapitre IX

Calcul justificatif des poutres

σP0 = 0 MPa

Avec :

n1 = 1

et :

∆σp = 268,124 MPa

K = 1

P1 (2ére famille ) = (1.02 × 0 − 0,8 × 268,124 ) × 1 × 1500 × 10-6 × 1 P1 (2ére famille ) =

∆σ6 ( y ) = ∆σ6 ( y ) =

- 0,322 MPa

( é

)

,

, ,

( é

+

(

)

,

( é

+ ∙

)

) (

,

( é

,

∙

)

,

y )

y

,

∆σ6 ( y ) = - 0,813 + 4,237 y Avec : ∆σ6 (v) = 1,301 MPa

Vh = 0,499 m Avec : Vh - 0,25 = 0,249 m

D’où

Vh’ = 1,051 m

∆σ6 (v) = 0,242 MPa ∆σ6 (v’) = - 5,267 MPa

σ6(v) = σ5 (v) + ∆σ6 (v) = 8,2088 + 1,301 = 9,509 MPa σ6 (v − 0.25 ) = σ5 (v − 0.2) + ∆σ6 (v − 0.2) = 9,405 + 0,242 = 9,647 MPa σ6 (v’) = σ5 (v’) + ∆σ6 (v’) = 17,879 – 5,267 = 12,612 MPa

9,509 MPa ≥ - 1,4 ft28 = - 4,05 MPa 9,647 MPa ≤ - 1,5 ft28 = - 4,05 MPa

( Vérifiée ) avec :

12,612 MPa ≤ 0,6 fc28 = 21 MPa



ft28 = 2,1 MPa fc28 = 35 MPa

En charge : Section résistante Poutre + dalle et caractéristiques homogènes.

σ6 (y) en charge = σ6 (y) a vide sous P2 + σM (y) D240 σM (y) D240 =

=

, ,

y = 12,083 y

Avec :

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Page 168

Chapitre IX

Calcul justificatif des poutres σM (v) =

Vh = 0,4990 m Vh – 0,25 = 0,2490 m Vh’ = 1,0510 m

D’où :

6,029 MPa

σM (v – 0,2 ) = 3,009 MPa σM (v’) = - 12,699 MPa

σ6 (y) à vide sous P2 : P2 (1ére famille ) = ( 0.98 × σP0 − 1,2 × ∆σp ) × n × Ap × K σP0 = 0 MPa

Avec :

n1 = 2

∆σp = 165,853

et :

MPa

K = 1

P2 (1ére famille ) = (0.98 × 0 − 1,2 × 165,853 ) × 2 × 1500 × 10-6 × 1 P2 (1ére famille ) = - 0,597 MPa

P2 (2ére famille ) = ( 0.98 × 0 − 1,2 × 268,124 ) × 1 × 1500 × 10-6 × 1 P2 (2ére famille ) = - 0,483 MPa

σP0 = 0 MPa Avec :

n2 = 1

∆σp = 268,124 MPa

∆σ6 ( y ) = ∆σ6 ( y ) =

( é

,

)

( é

, ,

+

((

)

,

et :

K= 1

( é

+ ∙

,

)

) (

( é

,

∙

)

,

y ))

,

y

∆σ6 ( y ) = - 1,189 + 5,676 y Avec : ∆σ6 (v) = 1,643 MPa

Vh = 0,4990 m Avec : Vh – 0,25 = 0,2490 m

D’où :

Vh’ = 1,0510 m

∆σ6 (v) =

0,224 MPa

∆σ6 (v’) = - 7,093 MPa

Donc :

σ6 (v) a vide sous P2 = σ5 (v) + ∆σ6 (v)

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Page 169

Chapitre IX

Calcul justificatif des poutres

σ6 (v – 0,25 ) a vide sous P2 = σ5 (v – 0,2 ) + ∆σ6 (v – 0,2) = 10,606 + 0,224 = 10,83 MPa σ6 (v’) a vide sous P2 = σ5 (v’) + ∆

6

(v’) = 13,302 - 7,093 = 6,209 MPa

σ5 (v) Avec :

σ5 (v – 0,2 ) = 10,606 MPa σ5 (v’) = 13,302 MPa

Comme : σ6 (y) en charge = σ6 (y) a vide sous P2 + σM (y) D240 Alors :

σ6 (v) en charge = σ6 (v) a vide sous P2 + σM (v) D240 σ6 (v – 0,2 ) en charge = σ6 (v – 0,2 ) a vide sous P2 + σM (v – 0,2 ) D240 = 10,83 + 3,009 = 13,839 MPa σ6 (v’) en charge = σ6 (v’) a vide sous P2 + σM (v’) D240 = 6,209 + 12,699 = - 6,49 MPa 13,839 MPa ≥ - 1,5 ft28 = - 4,05 MPa ( Vérifiée ) avec :

-6,49 MPa ≤ 0,6 fc28 = 21 MPa



ft28 = 2,1 MPa fc28 = 35 MPa

Conclusion :

Les contraintes normales sont justifiées en toutes phases sauf en 4ème, d’où la solution pratique consiste à disposer un contre poids.

IX.3. Justification des contraintes tangentielles : Le but de cette justification est de montrer que les effets d’un effort tranchant engendré par le moment fléchissant et l’effort tranchant normal n’affaiblissent pas la sécurité de l’ouvrage en favorisant notamment la création de fissure d’âme, inclinées par rapport à a la fibre moyenne de la poutre. Les essais effectués sue des poutres en béton précontraint soumises à des efforts de cisaillement ont mis en évidence l’existence de deux modes de rupture du béton : 

1érr mode : par fissuration, pour laquelle la contrainte de cisaillement admissible est donnée par : 2 2   τ 2  0,4f tj f tj  σ x   τ 1 3  

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Page 170

Chapitre IX 

Calcul justificatif des poutres

2 éme mode : par compression-cisaillement, pour laquelle le cisaillement admissible est donnée par : τ2  2.

f tj f cj

 0,6f

cj



2 2    σ x . f tj  σ x   τ 2 3  

Avec :

τ σx

: Contrainte tangentielle.

σt

: Contrainte normal transversale.

: Contrainte normale longitudinale au centre de gravité.

IX.3.1. Détermination de la contrainte normale « σ x » 

Détermination de la largeur de la table de compression :

σ sc est déterminée au niveau du centre de gravité de la section d’about. arctg

1,107 m

2 3 x

b0= 0,44 m b b x

arctg

2 3

0,44 m

b = b0 + 2x = 0,44 + 2 ∙ 0,5 ∙ tg ( arctg ) = 1,107 m Au niveau du centre de gravité : σx (x) =

Avec : P = ∑ Pi cos αi

IX.3.2. Détermination de la contrainte tangentielle : « τ » La contrainte tangentielle est donnée par la formule suivante :

τ=

∙

( )

∙

avec : Vred = Vser − ∑ Pi cos αi

Vred : : effort tranchant réduit. S ( y) : moment statique par rapport au centre de gravité de la poutre.

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Page 171

Chapitre IX

Calcul justificatif des poutres

bn = b0 – n ∙ K ∙ Φ 1,86m

1,00 m

1,3 m

1,55m

Poutre + Dalle

Poutre seule

On résume toutes les caractéristiques des deux sections précédentes dans le tableau IX-1 :

vn m

vn m

Sy m

 

In m 4

Poutre seule

0,561

0,651

0,649

0,094

0,080

Poutre + Dalle

0,671

0,778

0,772

0,133

0,1358

Poutre seule

0,639

/

/

/

/

Poutre + Dalle

0,916

/

/

/

/

 

Bn m

τ sc

σx

3



Tableau IX-1 : Caractéristiques nettes pour le calcul de  x et B (τ ) = B + K. n. Ap V (τ ) = (B . V ) + K. Ap. (y + y ) / B



V (τ ) = h − V (τ )



S(y) (τ ) = V . b

∙



I (τ ) = I + B . (V

− V ) + K. Ap. (V



Poutre seule : B (σ ) = B



Poutre + Dalle : B (σ ) = B (σ )(PS) + (b. h )

−

Poutre seule

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∅ π

(y − V

/ (V . b ) − ( − y ) + (V

x

∅ π

pour les 3 dernières phases

)

−y )

 

2

 

vn m

vn m

Sy m

0,576

0,650

0,650

0,094

Bn m

τ sc

 

2

3

 

In m 4

0,081

Page 172

Chapitre IX

Calcul justificatif des poutres

Poutre + Dalle

0,686

0,774

0,776

0,134

0,137

Poutre seule

1,119

/

/

/

/

Poutre + Dalle

1,396

/

/

/

/

σx

Tableau IX-2 : Caractéristiques homogènes pour le calcul de

x

et  x pour les 3 dernières phases

 Phase 1 : 

Calcul de

x

P1 = ( 1,02 × σP0 − 0,8 × ∆σp ) × n × Ap × K σP0 = 1440 MPa Avec :

n1 = 1 et :

∆σp = 153,439 MPa

K = 0,5

P1 = ( 1,02 × 1440 − 0,8 × 153,439 ) × 1× 1500 × 10-6 × 0,5 P1 = 1,009 MN/cable P2 = ( 0,98 × σP0 − 1,2 × ∆σp ) × 1 × 1500 × 10-6 × 0,5 P0

Avec :

∆

= 1440 MPa

n2 = 1

= 153,439 MPa

p

et :

K = 0,5

P2 = ( 0,98 × 1440 − 1,2 × 153,439 ) × 1 × 1500 × 10-6 × 0,5 P2 = 0,920 MN/cable

τ=

∙

( )

Vred = Vser − ∑ Pi cos αi

;

∙

∙

Avec : Vser =

,

=

∙

,

= 0,215 MN

0,215 - 1,009 (sin12 + sin 12,88) = - 0,219 MN

Vred =

0,215 - 0,920 (sin12 + sin 12,88) = - 0,181 MN

bn = b0 – n ∙ K ∙ Φ

avec : n = 1 , K = 0,5 , Φ = 85 cm

bn = 0,44 – (2 ∙ 0,5 ∙ 0,085 ) = 0,355 m

τ 1 ( P1) =

(

)∙( ,

,

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,

∙ ,

)

= - 0,724 MPa

⇒ τ 21

= 0,524

Page 173

Chapitre IX τ 2 ( P2) = 

(

σ 2 ( x) =

)∙( ,

, ,

Calcul de σ 1 ( x) =

Calcul justificatif des poutres )

∙ ,

⇒ τ 22 = 0,218

= −0,467 MPa

x

(

)

(

)

=

,

=

,

(

,

)

= 3,084 MPa

, (

,

)

,

= 2,812 MPa

Remarque : On a : ftj = 1,991 MPa

σ x  0,4f cj



τ  τ1

Si :

τ 2  0,4f 2

tj

2  σ  f tj  3 

⇒

2    τ1 

≤ 0,4 ∙ 1,991 ( 1,991 + (2/3) 3,084 ) = 3 ,223 MPa

2

τ1 = 0,218 MPa 2 ≤ 0,4 ∙ 1,991 ( 1,991 + (2/3) 2,812 ) = 3,079 MPa

2

τ1 = 0,524 MPa

2

x

2

De la même manière, on fait le calcul pour chaque phase sous P1 et sous P2. Les résultats des différentes phases sont regroupés dans le tableau IX-3 :

Phases

1

2

3

4

ΔVserMN

0,215

0,0000

0,151

0,0000

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5 À vide

En charge

0,100

0,0000

Page 174

Chapitre IX

Calcul justificatif des poutres

r (t0)

/

/

0,052

0,157

0,085

/

P1 (MN)

1,010

1,010

-0,010

-0,030

-0,016

-0,136

P2 (MN)

0,920

0,920

-0,015

-0,045

-0,025

-0,204

ΔPi MN

1,010

1,010

0,015

0,045

0,025

0,204

Vred 1 (MN)

-0,220

-0,435

0,155

0,013

0,107

0,059

Vred 2 (MN)

-0,182

-0,396

0,157

0,020

0,111

0,088

ΔVredMN

0,220

0,435

0,157

0,020

0,111

0,088

Δτ MPa 

/

1,435

0,519

0,054

0,306

0,243

τ MPa 

-0,726

0,709

1,228

1,282

1,587

1,831

Δσx MPa

/

3,085

0,046

0,064

0,035

0,286

σx MPa

3,085

6,170

6,216

6,280

6,315

6,600

τ 2 MPa

0,527

0,503

1,507

1,643

2,520

3,351

 1 MPa 2

3,223

7,359

7,392

7,438

7,462

7,668

Vérification

Vérifiée

Vérifiée

Vérifiée

Vérifiée

Vérifiée

Vérifiée

2

2

Tableau IX-3 : Vérification des contraintes tangentielles. Conclusion : Les contraintes tangentielles sont vérifiées en toute phase de construction et de service. IX.3.3. Ferraillage passif longitudinal : Deux sortes d’armatures passives sont à prévoir dans les ouvrages précontraints, les armatures de peau et les armatures dans les zones tendues. 

Armatures de peau :

Leur rôle est de répartir les effets de retrait différentiel et de variation de température.

 3 cm 2 /ml de la largeur mesurée sur la section droite de l' ouvrage. A s  max  0,1% de la section de la poutre homogène. B ( poutre ) = 0,8856 cm2 ⇒ 0,1 % B = 8,856 

⇒

soit 7HA12 ( 7,92 cm2)

Armatures longitudinales dans les zones tendues :

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Page 175

Chapitre IX

Calcul justificatif des poutres

Leur but est d’équilibrer les sollicitations de traction qui peuvent apparaître dans certaines sections. As 

N bt . f tj Bt  1000 fe . σ bt

Avec : Bt : Air du béton tendu. Nbt : Effort résultant équivalent aux conditions de traction exercé sur Bt .

σ bt : Valeur absolue de la contrainte maximale de traction.

fe : La limite élastique des armatures utilisées fe  400 MPa On a : ht. Y=13,795 m Y=

=

,

⇒

,

=

.

, ,

.

⇒ ht = 0,248 m 1,30 m

D’où : Bt = ht ∙ X = 0,248 ∙ 0,3247 = 0,081 cm2

ht ht

σ bt ∙ Bt

Nbt =

X =X0 ,247 m =

. 3,247 ∙ 0,081 = 0,131 MN

ftj = ft28 = 2,7 MPa fe = 400 MPa Donc : As =

,

+

,

∙ ∙ ,

,

= 3,52 cm2 soit 6T10 ( 4,71 cm2)

IX.4. Justification de la poutre à l’ELU : IX.4.1. Justification des contraintes normales : La justification à l’ELU permet de s’assurer de la résistance d’une structure ou de l’un de ses éléments à la ruine.

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Page 176

Chapitre IX

Calcul justificatif des poutres

Hypothèse de calcul :    

La résistance du béton tendu est négligée. Les sections droites restent planes après déformation. Aucun glissement relatif entre les matériaux (béton acier). Respect de la règle des trois pivots.

Principe et étapes de calcul : Le calcul justificatif consiste à s’assurer que le couple (Nu, Mu) se trouve à l’intérieur de la courbe d’interaction effort normal/moment fléchissant Nu , Mu   

Choisir un diagramme de déformation passant par l’un des 3 pivots. Déterminer y pour le calcul de Δ ε p , Δσ p , N bc .



Faire une comparaison entre N u et Nu qui va nous permettre de faire une modification sur le diagramme de déformation choisi. Vérifier que : M u  M u



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Page 177

Chapitre IX

Calcul justificatif des poutres

Abaques d’interaction. Calcul de la section des armatures

εb

N bc

0,8 y y

dS

dP

Δ ε P

AP

Δ ε P

ε Pm

εs

AS

NP NS

Figure IX-1 : Diagramme des déformations et des contraintes à l’ELU. As ( m2 )

Ap ( m2 )

ds ( m )

dp ( m )

4,71 ∙ 10-4 m2

1500 ∙ 10-6

1,55-0,05 = 1,5

1,55-0,16 = 1,39

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Page 178

Chapitre IX

Calcul justificatif des poutres

 L’état limite ultime est atteint lorsqu’un des deux matériaux (acier, béton) travaillent au maximum, c'est-à-dire que l’un des 3 pivots (A, B, C) est atteint.  On suppose en premier lieu que les deux matériaux travaillent au maximum en même temps εs  10 ‰ et ε bc  3,5 ‰. εp :

Déformation du béton.

ε pm :

Allongement préalable.

Δ σ p m : Contrainte probable dans les armatures de précontrainte sous les actions permanentes. ε p :

Variation d’allongement due à la compression du béton au niveau du câble moyen.

Δ σ bp m : Contrainte dans le béton au niveau du câble moyen sous les actions permanentes et la précontrainte. Δε p :

Variation complémentaire accompagnant la déformation du béton au-delà de la valeur nulle.

Nous avons :

Nu = Pm avec Pm = ( σ m − Δ σ T ) ∙ n ∙ Ap

1ère famille : Pm = ( 1440 – 426,714 ) ∙ 2 ∙ 1500 ∙ 10-6 = 3,040 MN 2ème famille : Pm = ( 1440 – 420,689 ) ∙ 1 ∙ 1500 ∙ 10-6 = 1,529 MN D’où Nu = Pm1 + Pm2 = 4,569 MN Mu = 1,35 ( Mg + D240 ) = 1,35 ( 298,054 + 215,288 ) Pour la vérification, on procède comme suit :  1ère itération : On suppose que le diagramme de déformation passe par des pivots A et B

ε s  10 ‰ et ε bc  3,5 ‰ N u  By  σ bc  A s . σ s  n . A p . σ p



Mu/Ap  By  . σ bc . Zy   As . σs d s  d p εs d y  s ε bc y



y

0,8 = 0,311 m

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ε bc .d ε bc  εs  s





y  ...

3,5  1,5  0,389m 3,5  10

; B(y) = 0,371 m2

Page 179

Chapitre IX ,

Nbc = B(y) ∙

εpm = 

Calcul justificatif des poutres ∙

Pm n ∙ Ap ∙ Ep

Δ ε p  5 .

+

⇒ ∑ε =

y

+∆

ε =



Δ σp = g ∙ (σ

14,28 = 5,077 = Δ σp = 

∙

=

∙

Pm Pm . e 0  M min  e0 B In )

,

,

,

,

∙ ( 1,0737 – 0,16 ) = 7,734 MPa

= 9,01 ‰

,

= 5,077 + 0,193 + 9,01 = 14,28 ‰ σp + 0,9 )5

+ ∆σ + ∆σ )–g∙(

pα2 =

5,077 ‰

= 0,193 ‰

∙

+ ∆

+ 100

pα1 −

,

 3,5 ∙

+ 100

∙

∙

∙( ,

+ 100 (

Δ σp = g ∙ ( 14,28

= 7,358MN

,

dp  y



∙

,

=5∙

Δε p  ε bc .

∙ ,

Avec : σ bpm 

∆ε′ = 5 ∙ 

∙

Ep

,

,

0,371∙ ,

=

σ bpm

,

σ bpm =

=

)–g∙ε

5,077 ) − 0.9 − 0.9

5

5

⇒ σpα1 = 2940,725 MPa ⇒

pα2

= 2698,203 MPa

242,522 MPa

N u = 6,095 MN > N u = 4,569

⇒ La partie comprimée est très importante, il

faut pivoter le diagramme de la déformation autour de A, ε   2ème itération :

> 3,5 ‰

On pivote autour de ε s  10 ‰ et ε bc  3,5 ‰ Supposons que N u  N u , on recherche By  4,569 = B’ ( y ) ∙ 21 – 4,71 × 10-4 × 347,827 – 3 × 1500 × 10-6 × 242,522 ⇒ B’ ( y ) = 0,277 m2 ⇒ 0,8y = εs d y  s ε bc y

0,163 m

⇒ y = 0,203 m

⇒ bc = 1 ,573 ‰

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Page 180

Chapitre IX pm

Calcul justificatif des poutres

= 5,077 ‰

’p = 0,192 ‰ dp  y

’’p = bc ∙

y



9,048 ‰

∑  = pm + ’p + ’’p = 14,317 ‰ σp

14,317 = 5,077 =

+ 100 (

∙

σp ∙

+ 100 (

σp

σp

− 0,9 )5

⇒ pα1 = 2940,725 MPa

− 0,9 )5

⇒ pα1 = 2698,203 MPa

p = 2940,725 – 2698,203 = 242,522 MPa

Nu = 6,095 MN



Calcul de

> Nu = 4,569 ⇒

(vérifiée)

M u / Ap

z(y) = dp – 0,4y = 1,39 – 0.4 x = 1,313 m M u = B(y) ∙ bc ∙ z(y) – As ∙ s (ds – dp) M u = 7,620 MN.m > Mu = 6,687 MN·m

(vérifiée)

Conclusion : Le couple ( Mu , Nu ) se trouve à l’intérieur de la courbe d’interaction dont les contraintes normales à l’ELU sont vérifiées. IX.4.2. Justification des contraintes tangentielles : La justification doit se faire avec l’hypothèse de la formation d’un treillis après la fissuration du béton. Ce calcul justificatif consiste à vérifier : -

Le limite des armatures transversales.

-

Le non écrasement des bielles de béton.



Armatures transversales de peau :

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Page 181

Chapitre IX

Calcul justificatif des poutres

La section de ces armatures doit être telle qu’il ait au moins 2 cm2 d’acier (soit 1 cadre HA12) par mètre de parement. Ces armatures sont disposées parallèlement aux sections droites. 

Minimum d’armatures transversales : A t . fe  0,4 MPa S t . b n . 1,15

Avec : St  min (0.8 h, 3b0, 1 m) = min ( 0,8 ∙ 1,55 ; 3 ∙ 0,44 ; 1 m) = 1

Stmax  1 m On fixe :

At = 2,26 cm2 1 cadre de HA12

D’où : St 

A t .f e 0,4.1,15.bn

=

,

∙

∙

, ∙ ,

∙ ,

= 0,4913 m

bn = b0 – n ∙ K ∙  = 0, 44 – 1 ∙ 0,5 ∙ 0.085 =

0.40

m.

St  0,4913 m on prend St = 40 cm. 

Justification des armatures transversales dans la zone d’appui.

Le but de cette justification est de montrer que les armatures transversales sont suffisantes pour assurer la résistance des parties tendues des treillis constitués par les bielles de béton et ces armatures.  La non rupture des armatures transversales : On doit vérifier : τ u red  τ u 

f tj A t . fe cotg β u  S t . b n . 1,15 3

β u : Angle d’inclinaison des bielles de béton.

La bielle de béton comprimées doivent être comprises entre 25° < βu < 45° tg2 β u 

2 . τ u red σxu

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avec :

σxu 

 P cosα i

i

Bh

Page 182

Chapitre IX τ u red 

Calcul justificatif des poutres

Vu red . S Ih bn

Pm = (p0 - T) ∙ n ∙ Ap = ( 1440 – 402,035 ) ∙ 1500.10-6 = 1,56 MN xu =

,

∙ (

,

).

,

= 2,723 MPa

Vured = Vumax – Pi sini = 1.35 (VG + VD240) – Pi sini = 1,083 - 1,56 ( sin 12 + sin 12,88 ) = 0,411 MN ured =

,

∙ ,

,

∙ ∙

tg 2βu =

= 1,005 MPa

,

∙ ,

=



,

=

0,738 ⇒ βu = 18,22 °

on prend βu = 30 °

τu =

,

∙

,

∙ ,

D’ou : u 

red

∙

∙ cotg ( 30 ) +

∙ ,

= 1,005 MPa