Verkot [lecture notes] [PDF]

Zitiervorschau

Heikki Junnila

VERKOT LUKU I

JOUKOISTA JA RELAATIOISTA

1. Joukkojen symmetrinen erotus.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 2. Relaation sis¨ alt¨ am¨ at kuvaukset. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Harjoitusteht¨ avi¨ a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 LUKU II 1. 2. 3. 4. 5. 6.

SUHTEIKOT JA VERKOT

Johdanto.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14 Pisteiden asteet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Yhten¨ aisyys. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Kulku suhteikossa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Hamiltonin kulut. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Riippumattomat joukot. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 Harjoitusteht¨ avi¨ a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 LUKU III

1. 2. 3. 4.

VERKON RENKAAT

Renkaiden olemassaolo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 Renkaistot. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Eulerin kulut.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .77 Verkon yksisuuntaistukset. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 Harjoitusteht¨ avi¨ a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 LUKU IV

PUUT

1. Puiden perusominaisuudet.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .92 2. Viritt¨ av¨ at puut. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 3. Suunnatut puut. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Harjoitusteht¨ avi¨ a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

I

Joukoista ja relaatioista

1. Joukkojen symmetrinen erotus. Seuraavassa m¨ aa ¨rittelemme laskutoimituksen k¨ asitteen ja tarkastelemme er¨ ait¨ a laskutoimituksella varustettuja joukkoja, nk. “ryhmi¨ a”. Lopuksi m¨ aa ¨rittelemme annetun joukon potenssijoukossa laskutoimituksen, joukkojen “symmetrisen erotuksen”, jolla varustettuna potenssijoukosta tulee ryhm¨ a. I 1.1 M¨ a¨ aritelm¨ a Olkoon A joukko. Bin¨ aa ¨rioperaatio eli (kaksipaikkainen) laskutoimitus joukossa A on kuvaus A × A → A. Seuraavassa tarkoitamme termill¨ a “laskutoimitus” aina kaksipaikkaista laskutoimitusta. Toisinaan puhumme “joukon A laskutoimituksista” kun tarkoitamme laskutoimituksia joukossa A. Kun ⊗ on laskutoimitus joukossa A, k¨ ayt¨ amme joukon A × A alkion (a, b) kuva–alkiolle ⊗((a, b)) yleens¨ a lyhennetty¨ a merkint¨ aa ¨ a ⊗ b. Joukon A laskutoimituksen ⊗ rajoittuma joukkoon B ⊂ A on kuvaus ⊗|B ×B; t¨ am¨ a kuvaus on joukon B laskutoimitus jos ja vain jos ⊗(B×B) ⊂ B, toisin sanoen, jos ja vain jos kaikilla b, b0 ∈ B on voimassa b ⊗ b0 ∈ B. I 1.2 Esimerkkej¨ a (a) Merkitsemme RelA :lla kaikkien joukon A relaatioiden muodostamaa joukkoa, ts., RelA = P(A × A).

Relaatioiden yhdisteleminen

◦ : (R, Q) 7→ R ◦ Q on laskutoimitus joukossa RelA . Koska kahden kuvauksen A → A yhdistelm¨ a on kuvaus A → A, n¨ aemme, ett¨ a laskutoimituksen ◦ rajoittuma kaikkien kuvausten A → A muodostamaan joukkoon on kyseisen joukon laskutoimitus. Koska kahden injektion (kahden surjektion) yhdistetty kuvaus on

2

1. Joukkojen symmetrinen erotus.

injektio (surjektio), niin my¨ os laskutoimituksen ◦ rajoittuma kaikkien injektioiden (tai kaikkien surjektioiden, tai kaikkien bijektioiden) muodostamaan joukkoon on kyseisen joukon laskutoimitus. (b) Kuvaukset (B, C) 7→ B ∪ C, (B, C) 7→ B ∩ C ja (B, C) 7→ B r C ovat joukon P(A) laskutoimituksia jokaisella joukolla A. Tarkastelemme nyt er¨ ait¨ a laskutoimitusten ominaisuuksia. I 1.3 M¨ a¨ aritelm¨ a Olkoon ⊗ joukon A laskutoimitus. Laskutoimitus ⊗ on assosiatiivinen eli liit¨ ann¨ ainen, mik¨ ali kaikilla a, b, c ∈ A on voimassa a ⊗ (b ⊗ c) = (a ⊗ b) ⊗ c. Laskutoimitus ⊗ on kommutatiivinen eli vaihdannainen, mik¨ ali kaikilla a, b ∈ A on voimassa a ⊗ b = b ⊗ a. M¨ aa ¨ritelmist¨ a seuraa suoraan, ett¨ a laskutoimitus on assosiatiivinen (kommutatiivinen), mik¨ ali se on jonkun assosiatiivisen (kommutatiivisen) laskutoimituksen rajoittuma. I 1.4 Esimerkkej¨ a (a) Relaatioiden yhdisteleminen ◦ on kombinatoriikan kurssimonisteen Lauseen I 1.6 nojalla assosiatiivinen laskutoimitus joukossa RelA . T¨ am¨ a laskutoimitus ei yleens¨ a ole kommutatiivinen: esimerkiksi kuvauksille f, g : [3] → [3], miss¨ a f (1) = 1, f (2) = 3, f (3) = 2 ja g(1) = 2, g(2) = 1, g(3) = 3, on voimassa f ◦ g 6= g ◦ f . (b) Joukon P(A) laskutoimitukset ∪ ja ∩ ovat assosiatiivisia ja kommutatiivisia; sen sijaan laskutoimituksella r ei ole kumpaakaan ominaisuutta, mik¨ ali A 6= ∅. Laskutoimituksella varustettu joukko on pari (A, ⊗), miss¨ a A on joukko ja ⊗ on laskutoimitus joukossa A. I 1.5 M¨ a¨ aritelm¨ a (a) Olkoon (A, ⊗) laskutoimituksella varustettu joukko. Joukon A alkio e on (A, ⊗):n neutraalialkio, mik¨ ali jokaisella a ∈ A on voimassa a ⊗ e = e ⊗ a = a. (b) Olkoon (A, ⊗) laskutoimituksella varustettu joukko, jolla on neutraalialkio e. Joukon A alkio b on A:n alkion a k¨ aa ¨nteisalkio, mik¨ ali on voimassa a⊗b = b⊗a = e.

I. Joukoista ja relaatioista

3

Jos laskutoimituksella varustetulla joukolla (A, ⊗) on neutraalialkio, niin se on yksik¨ asitteinen: jos e ja e0 ovat neutraalialkioita, niin e = e ⊗ e0 = e0 . Mik¨ ali laskutoimitus ⊗ on assosiatiivinen, niin my¨ os k¨ aa ¨nteisalkiot ovat yksik¨ asitteisi¨ a: jos A:n alkiot b ja b0 ovat alkion a k¨ aa ¨nteisalkioita, niin b = b ⊗ e = b ⊗ (a ⊗ b0 ) = (b ⊗ a) ⊗ b0 = e ⊗ b0 = b0 . I 1.6 Esimerkkej¨ a (a) Joukon A identtisyysrelaatio ∆A on laskutoimituksella varustetun joukon (RelA , ◦) neutraalialkio. Jos f on bijektio A → A, niin t¨ all¨ oin f :n k¨ aa ¨nteiskuvaus f −1 on f :n k¨ aa ¨nteisalkio (RelA , ◦):ssa. (b) Tyhj¨ a joukko on (A, ∪):n neutraalialkio ja A on (A, ∩):n neutraalialkio. Algebrassa tarkastellaan yhdell¨ a tai useammalla laskutoimituksella varustettuja joukkoja; m¨ aa ¨rittelemme nyt t¨ allaisista “algebrallisista struktuureista” kaikkein perustavanlaatuisimman. I 1.7 M¨ a¨ aritelm¨ a Ryhm¨ a on assosiatiivisella laskutoimituksella varustettu joukko, jolla on neutraalialkio ja jonka jokaisella alkiolla on k¨ aa ¨nteisalkio. Kommutatiivinen ryhm¨ a eli Abelin ryhm¨ a on ryhm¨ a, jonka laskutoimitus on kommutatiivinen. Er¨ ait¨ a kaikkein t¨ arkeimmist¨ a diskreetiss¨ a matematiikassa esiintyvist¨ a ryhmist¨ a ovat ns. symmetriset ryhm¨ at: I 1.8 Lause Olkoon X joukko. Merkitsemme SX :ll¨ a kaikkien bijektioiden X → X muodostamaa joukkoa. T¨ all¨ oin pari (SX , ◦) on ryhm¨ a. Ryhm¨ an neutraalialkio on X:n identtinen kuvaus ja jokaisella ϕ ∈ SX , alkion ϕ k¨ aa ¨nteisalkio on ϕ:n k¨ aa ¨nteiskuvaus ϕ−1 . Todistus. Harjoitusteht¨ av¨ a. Joukon X symmetrist¨ a ryhm¨ aa ¨ (SX , ◦) merkit¨ aa ¨n yleens¨ a vain lyhyesti SX :ll¨ a. Jos X = [n], niin ryhm¨ ast¨ a k¨ aytet¨ aa ¨n merkint¨ aa ¨ Sn . Esimerkki I 1.4(a) osoittaa, ett¨ a symmetriset ryhm¨ at ovat (nimest¨ aa ¨n huolimatta) yleens¨ a ep¨ akommutatiivisia. Aikaisemmissa esimerkeiss¨ a kohtasimme er¨ ait¨ a potenssijoukon laskutoimituksia; tarkastelemme viel¨ a er¨ ast¨ a t¨ allaista laskutoimitusta. Olkoot D ja E joukkoja. Joukkojen D ja E symmetrinen erotus on joukko (D r E) ∪ (E r D); t¨ ast¨ a joukosta k¨ aytet¨ aa ¨n merkint¨ aa ¨ D∆E. Joukko D∆E koostuu niist¨ a alkioista, jotka kuuluvat joko joukkoon D tai joukkoon E, mutta eiv¨ at molempiin; t¨ aten on voimassa D∆E = (D ∪ E) r (D ∩ E).

4

1. Joukkojen symmetrinen erotus.

I 1.9 Lemma Olkoot C, D ja E joukon A osajoukkoja. T¨ all¨ oin on voimassa: (a) C∆∅ = C ja C∆C = ∅. (b) C∆A = A r C ja C∆(A r C) = A. (c) C∆D = D∆C. (d) (C∆D) ∩ E = (C ∩ E)∆(D ∩ E). Todistus. Kohtien (a),(b) ja (c) tulokset seuraavat suoraan operaation ∆ m¨ aa ¨ritelm¨ an nojalla. Todistetaan kohta (d): (C∆D) ∩ E = [(C r D) ∪ (D r C)] ∩ E = [(C r D) ∩ E] ∪ [(D r C) ∩ E] = [(C ∩ E) r (D ∩ E)] ∪ [(D ∩ E) r (C ∩ E)] = (C ∩ E)∆(D ∩ E) . Joukko–operaatiot ∪ ja ∩ liittyv¨ at loogisiin operaatioihin ∨ (“tai”) ja ∧ (“ja”) seuraavasti: jos E ja F ovat joukkoja, niin alkiolle x p¨ atee, ett¨ a x ∈ E ∪ F ⇐⇒ x ∈ E ∨ x ∈ F ja x ∈ E ∩ F ⇐⇒ x ∈ E ∧ x ∈ F . Joukko–operaatio ∆ puolestaan liittyy loogiseen operaatioon XOR (“exclusive or” eli “tai muttei ja”). Merkit¨ aa ¨n operaatiota XOR symbolilla t; t¨ all¨ oin lauseille P ja Q, lause P t Q on tosi jos ja vain jos jompikumpi, mutta ei kumpikin, lauseista P ja Q on tosi. Toisin sanoen, P t Q ⇐⇒ (P ∨ Q) ∧ [¬(P ∧ Q)]. I 1.10 Lemma Olkoot D ja E joukon A osajoukkoja. T¨ all¨ oin jokaisella a ∈ A on voimassa a ∈ D∆E ⇐⇒ a ∈ D t a ∈ E. Todistus. a ∈ D∆E ⇐⇒ a ∈ (D ∪ E) r (D ∩ E) ⇐⇒ (a ∈ D ∨ a ∈ E) ∧ [¬(a ∈ D ∧ a ∈ E)] ⇐⇒ a ∈ D t a ∈ E . Edellinen tulos tarjoaa meille mahdollisuuden k¨ aytt¨ aa ¨ hyv¨ aksi loogisen operaation t ominaisuuksia tutkiessamme joukko–operaatiota ∆. I 1.11 Lemma Olkoot P , Q ja S lausemuuttujia. T¨ all¨ oin (P t Q) t S ⇐⇒ P t (Q t S).

I. Joukoista ja relaatioista

5

Todistus. V¨ aitetyn ekvivalenssin voimassaolo seuraa totuustaulukosta (jossa T =“tosi” ja F =“ep¨ atosi”): P

Q

S

T T T T F F F F

T T F F T T F F

T F T F T F T F

P t Q (P t Q) t S F F T T T T F F

T F F T F T T F

QtS

P t (Q t S)

F T T F F T T F

T F F T F T T F

Edellisten tulosten avulla voimme nyt helposti todistaa seuraavan tuloksen, joka osoittaa, ett¨ a joukko–operaatio ∆ on assosiatiivinen. I 1.12 Lause Olkoot C, D ja E joukkoja. T¨ all¨ oin on voimassa (C∆D)∆E = C∆(D∆E). Todistus. Jokaiselle alkiolle x on Lemmojen I 1.10 ja I 1.11 nojalla voimassa x ∈ (C∆D)∆E ⇐⇒ (x ∈ C∆D) t (x ∈ E) ⇐⇒ [(x ∈ C) t (x ∈ D)] t (x ∈ E) ⇐⇒ (x ∈ C) t [(x ∈ D) t (x ∈ E)] ⇐⇒ x ∈ C∆(D∆E) . Lemman I 1.9 kohdan (a) nojalla saamme Lauseelle I 1.12 seuraavan korollaarin. I 1.13 Korollaari Olkoon A joukko. T¨ all¨ oin pari (P(A), ∆) on ryhm¨ a. Ryhm¨ an neutraalialkio on ∅ ja jokaisella C ∈ P(A), alkion C k¨ aa ¨nteisalkio on C. Operaation ∆ assosiatiivisuuden nojalla voidaan muotoa (C∆D)∆E ja C∆(D∆E) olevat lausekkeet kirjoittaa muotoon C∆D∆E. Yleisemmin, jos B1 , ...., Bn ovat joukkoja ja n ≥ 2, niin m¨ aa ¨ritell¨ aa ¨n joukko B1 ∆ · · · ∆Bn rekursiivisesti asettamalla B1 ∆ · · · B2 = B1 ∆B2 ja jokaisella 1 < k < n, B1 ∆ · · · ∆Bk+1 = (B1 ∆ · · · ∆Bk )∆Bk+1 . Seuraava tulos antaa yksinkertaisen luonnehdinnan edell¨ a m¨ aa ¨ritellyille joukoille.

¨lta ¨ ma ¨t kuvaukset 2. Relaation sisa

6

I 1.14 Lemma Olkoot B1 , ..., Bn joukkoja ja n > 1. T¨ all¨ oin x ∈ B1 ∆ · · · ∆Bn jos ja vain jos joukossa {i ∈ [n] : x ∈ Bi } on pariton m¨ aa ¨r¨ a alkioita. Todistus. Suoritamme todistuksen induktiolla luvun n suhteen. n = 2 : x ∈ B1 ∆B2 ⇐⇒ |{i ∈ [2] : x ∈ Bi }| = 1 ⇐⇒ luku |{i ∈ [2] : x ∈ Bi }| on pariton . n > 2: Oletamme, ett¨ a v¨ aite p¨ atee n:¨ aa ¨ pienemmille luvuille. Nyt on voimassa x ∈ B1 ∆ · · · ∆Bn ⇐⇒ x ∈ (B1 ∆ · · · ∆Bn−1 )∆Bn ⇐⇒ joko |{i ∈ [n − 1] : x ∈ Bi }| pariton ja x ∈ / Bn tai |{i ∈ [n − 1] : x ∈ Bi }| parillinen ja x ∈ Bn ⇐⇒ |{i ∈ [n] : x ∈ Bi }| pariton . Annamme lopuksi kaavan kahden a ¨a ¨rellisen joukon symmetrisen erotuksen alkioiden lukum¨ aa ¨r¨ alle. I 1.15 Lemma Olkoot C ja D a ¨a ¨rellisi¨ a joukkoja. T¨ all¨ oin |C∆D| = |C| + |D| − 2 · |C ∩ D| . Todistus. On voimassa C∆D = (C r D) ∪ (D r C). Joukot C r D ja D r C ovat erillisi¨ a, joten on voimassa |(C r D) ∪ (D r C)| = |C r D| + |D r C|. Edelleen on voimassa C r D = C r (C ∩ D) ja t¨ ast¨ a seuraa, ett¨ a |C r D| = |C| − |C ∩ D|. Vastaavasti on voimassa yht¨ al¨ o |D r C| = |D| − |C ∩ D|. Edell¨ a esitetyn nojalla p¨ atee, ett¨ a |C∆D| = |C r D| + |D r C| = |C| − |C ∩ D| + |D| − |D ∩ C| = |C| + |D| − 2 · |C ∩ D| . I 1.16 Korollaari Olkoot C ja D a ¨a ¨rellisi¨ a joukkoja, joissa kummassakin on parillinen m¨ aa ¨r¨ a alkioita. T¨ all¨ oin joukossa C∆D on parillinen m¨ aa ¨r¨ a alkioita.

I. Joukoista ja relaatioista

7

¨lta ¨ ma ¨t kuvaukset 2. Relaation sisa Tarkastelemme nyt a ¨a ¨rellisten joukkojen X ja Y v¨ alist¨ a relaatiota R ⊂ X × Y ja etsimme ehtoja, joiden vallitessa R sis¨ alt¨ aa ¨ erityyppisi¨ a kuvauksia X → Y . Jos relaatio f ⊂ R on kuvaus X → Y , niin jokaisella x ∈ X on voimassa f (x) ∈ R{x} ja t¨ aten R{x} 6= ∅. Jos k¨ aa ¨nt¨ aen tied¨ amme, ett¨ a R{x} 6= ∅ jokaisella x ∈ X, niin on intuitiivisesti selv¨ aa ¨, ett¨ a voimme m¨ aa ¨ritell¨ a kuvauksen f : X → Y “valitsemalla” jokaisella x ∈ X kuva-alkioksi f (x) jonkun alkion joukon Y ep¨ atyhj¨ ast¨ a osajoukosta R{x}. T¨ am¨ a intuitiivisesti itsest¨ aa ¨nselv¨ a tulos, kyseisenlaisen yht’aikaisen “valinnan” mahdollisuus, vaatii kuitenkin t¨ asm¨ allisen todistuksen, jonka voimme suorittaa luonnollisten lukujen ominaisuuksien avulla. ¨ arellinen valinta–aksiooma) Olkoon Y a I 2.1 Lause (A¨ ¨a ¨rellinen joukko ja R ⊂ X × Y sellainen relaatio, ett¨ a R{x} 6= ∅ jokaisella x ∈ X. T¨ all¨ oin R sis¨ alt¨ aa ¨ kuvauksen X → Y . Todistus. Koska Y on a ¨a ¨rellinen, on olemassa luku n ∈ N ja bijektio φ : [n] → Y . M¨ aa ¨rittelemme kuvauksen f : X → Y seuraavasti: merkitsemme Ex = φ−1 (R{x}) jokaisella x ∈ X ja merkitsemme kx :ll¨ a ep¨ atyhj¨ an joukon Ex pienint¨ a lukua ja f (x):ll¨ a joukon R{x} alkiota φ(kx ). T¨ all¨ oin f on kuvaus X → Y ja f ⊂ R. Jos R sis¨ alt¨ aa ¨ injektion f : X → Y , niin f on bijektio X → f (X) ja t¨ aten jokaisella A ⊂ X voimassa |f (A)| = |A|; koska f (A) ⊂ R(A), on edelleen voimassa |R(A)| ≥ |A|. Osoitamme, ett¨ a n¨ ain saatu v¨ altt¨ am¨ at¨ on ehto injektion olemassaololle on my¨ os riitt¨ av¨ a. I 2.2 Lause (Hallin Lause) Olkoot X ja Y a ¨a ¨rellisi¨ a joukkoja ja olkoon R ⊂ X ×Y sellainen relaatio, ett¨ a jokaisella A ⊂ X on voimassa |R(A)| ≥ |A|. T¨ all¨ oin R sis¨ alt¨ aa ¨ injektion X → Y . Todistus. Todistamme lauseen v¨ aitteen induktiolla luvun |X| suhteen. Jos |X| = 0, niin tyhj¨ a joukko on injektio X → Y ja v¨ aite on triviaalisti voimassa. Oletamme, ett¨ a |X| > 0 ja v¨ aite on todistettu relaatioille R 0 ⊂ X 0 × Y 0 , miss¨ a |X 0 | < |X|. Tarkastelemme kahta eri tapausta.

8

¨lta ¨ ma ¨t kuvaukset 2. Relaation sisa Oletamme aluksi, ett¨ a jokaisella ∅ 6= A & X on voimassa |R(A)| > |A|.

Olkoon x0 joku X:n alkio. Koska on voimassa |R{x0 }| ≥ |{x0 }|, niin R{x0 } 6= ∅. Olkoon y0 joku joukon R{x0 } alkio eli olkoon voimassa (x0 , y0 ) ∈ R. Merkitsemme X 0 = X r {x0 }, Y 0 = Y r {y0 } ja R0 = R ∩ (X 0 × Y 0 ). Osoitamme, ett¨ a R0 toteuttaa lauseen ehdon. On voimassa R0 (∅) = ∅ ja t¨ aten |R0 (∅)| = |∅|. Jokaisella ∅ 6= A ⊂ X 0 on voimassa A 6= X ja t¨ aten |R(A)| > |A|; t¨ ast¨ a seuraa, koska R(A) ⊂ R0 (A) ∪ {y0 }, ett¨ a |R0 (A)| ≥ |R(A)| − 1 ≥ |A|. Olemme osoittaneet, ett¨ a R0 toteuttaa lauseen ehdon. Koska on voimassa |X 0 | < |X|, niin induktio– oletuksesta seuraa, ett¨ a on olemassa sellainen injektio g : X 0 → Y 0 , ett¨ a g ⊂ R0 . Merkitsemme f = g ∪ {(x0 , y0 )} ja panemme merkille, ett¨ a koska g on injektio ja koska p¨ atee, ett¨ a x0 ∈ / X 0 ja y0 ∈ / Y 0 , niin f on injektio X 0 ∪ {x0 } → Y 0 ∪ {y0 } eli X → Y . Lis¨ aksi on voimassa f ⊂ R, koska g ⊂ R 0 ⊂ R ja (x0 , y0 ) ∈ R. Oletamme seuraavaksi, ett¨ a on olemassa sellainen joukko A ⊂ X, ett¨ a ∅ 6= A 6= X ja |R(A)| = |A|. Merkitsemme S = R ∩ (A × R(A)) ja

T = R ∩ ((X r A) × (Y r R(A))) .

Jokaisella E ⊂ A on voimassa S(E) = R(E) ja t¨ aten edelleen |S(E)| ≥ |E|. Koska |A| < |X|, niin relaatio S sis¨ alt¨ aa ¨ induktio–oletuksen nojalla injektion f : A → R(A). Osoitamme, ett¨ a relaatio T sis¨ alt¨ aa ¨ injektion X r A → Y r R(A); koska A 6= ∅, niin |X r A| < |X| ja induktio–oletuksesta seuraa, ett¨ a v¨ aitteen todistamiseksi riitt¨ aa ¨ n¨ aytt¨ aa ¨, ett¨ a jokaisella E ⊂ X rA on voimassa |T (E)| ≥ |E|. Olkoon siis E joukon X r A osajoukko. Lauseen oletuksen nojalla p¨ atee, ett¨ a |R(E ∪ A)| ≥ |E ∪ A|. Lis¨ aksi on voimassa R(E ∪ A) = R(E) ∪ R(A) ja t¨ aten edelleen |R(E ∪ A)| = |R(E) ∪ R(A)| = |R(E) r R(A)| + |R(A)|. Koska E ⊂ X r A, on voimassa |E ∪ A| = |E| + |A|. Edell¨ a esitetyst¨ a seuraa, ett¨ a on voimassa |R(E) r R(A)| + |R(A)| ≥ |E| + |A| ja t¨ ast¨ a seuraa yht¨ al¨ on |R(A)| = |A| nojalla, ett¨ a |R(E) r R(A)| ≥ |E|. Koska E ⊂ X r A ja T = R ∩ ((X r A) × (Y r R(A))), on voimassa yht¨ al¨ o T (E) = R(E) r R(A) ja t¨ aten edelleen ep¨ ayht¨ al¨ o |T (E)| ≥ |E|. Edell¨ aesitetyn nojalla on olemassa injektio g : X r A → Y r R(A). Nyt n¨ aemme helposti, ett¨ a f ∪ g on injektio X → Y ja f ∪ g ⊂ S ∪ T ⊂ R. Tietyiss¨ a tilanteissa saamme hyvin havainnollisen tulkinnan sille ehdolle, ett¨ a relaatio R ⊂ X × Y sis¨ alt¨ aa ¨ injektion X → Y . Jos esimerkiksi X on jokin ihmisjoukko ja Y on joukko ty¨ oteht¨ avi¨ a ja jos m¨ aa ¨rittelemme relaation R ⊂ X × Y

I. Joukoista ja relaatioista

9

asettamalla (x, y) ∈ R, mik¨ ali henkil¨ o x voi suorittaa ty¨ on y, niin t¨ ah¨ an tilanteeseen liittyv¨ all¨ a ty¨ ollist¨ amisongelmalla on ratkaisu jos ja vain jos on olemassa sellainen injektio f : X → Y , ett¨ a f ⊂ R; kutsumme t¨ allaista injektiota ihmisten X sovittamiseksi ty¨ opaikkoihin Y . Joissakin muissa tilanteissa annetun relaation sis¨ alt¨ am¨ an injektion olemassaolo saa erilaisia tulkintoja; niinp¨ a Hallin lause tunnetaan englanninkielisess¨ a kirjallisuudessa usein nimell¨ a “Hall’s marriage theorem”. Hallin lause antaa siis teoreettisen luonnehdinnan sille, ett¨ a annetulle sovittamisongelmalle l¨ oytyy ratkaisu. Lauseen ehdon voimassaolon tarkistaminen ei kuitenkaan usein ole k¨ ayt¨ ann¨ oss¨ a mahdollista; lauseessa on my¨ os se k¨ ayt¨ ann¨ on puute, ett¨ a se takaa vain “sovituksen” olemassaolon, mutta ei anna mit¨ aa ¨n menetelm¨ aa ¨ eli algoritmia sovituksen konstruoimiseksi. Esit¨ amme nyt er¨ ait¨ a seurauslauseita Hallin lauseelle. Ensimm¨ ainen tulos liittyy nk. erillisten edustajien ongelmaan. Annetussa ihmisjoukossa A on erilaisia ryhmi¨ a, jotka yhdess¨ a muodostavat joukon A osajoukkoperheen A. Tutkimme, mill¨ a ehdoilla on mahdollista l¨ oyt¨ aa ¨ ryhmille A erilliset edustajat eli valita kustakin ryhm¨ ast¨ a B ∈ A edustaja aB siten, ett¨ a aB 6= aC aina kun B 6= C. Toisin sanoen tutkimme, mill¨ a ehdoilla on mahdollista muodostaa sellainen edustajisto T ⊂ A, ett¨ a kaikki ryhm¨ at B ∈ A ovat edustettuina T :ss¨ a ja kukin T :n j¨ asen edustaa vain yht¨ a ryhm¨ aa ¨ B ∈ A. Mik¨ ali t¨ ass¨ a tilanteessa m¨ aa ¨rittelemme relaation R ⊂ A × A asettamalla (B, a) ∈ R ⇐⇒ a ∈ B, niin erillisten edustajien olemassaolo on yht¨ apit¨ av¨ aa ¨ sen kanssa, ett¨ a relaatio R sis¨ alt¨ aa ¨ injektion A → A; S 0 0 0 koska lis¨ aksi jokaiselle A ⊂ A p¨ atee, ett¨ a R(A ) = A , niin Hallin lause antaa

seuraavan tuloksen.

I 2.3 Korollaari (Radon Lause) Olkoon A perhe a ¨a ¨rellisen joukon A osajoukkoja. 0

Perheen A joukoilla on erilliset edustajat jos ja vain jos jokaisella A ⊂ A on S 0 0 voimassa | A | ≥ |A |. Mainitsimme edell¨ a, ett¨ a Hallin lauseen ehdon voimassaoloa voi olla k¨ ayt¨ ann¨ oss¨ a hankala tarkistaa. Seuraavassa korollaarissa esiintyv¨ a (riitt¨ av¨ a, muttei v¨ altt¨ am¨ at¨ on) ehto on paljon yksinkertaisempi ja helpommin tarkistettavissa: I 2.4 Korollaari Olkoon R ⊂ X×Y a ¨a ¨rellisten joukkojen X ja Y v¨ alinen ep¨ atyhj¨ a relaatio. Oletamme, ett¨ a on olemassa sellainen luonnollinen luku k, ett¨ a jokaisella x ∈ X on voimassa |R{x}| ≥ k ja jokaisella y ∈ Y on voimassa |R −1 {y}| ≤ k. T¨ all¨ oin R sis¨ alt¨ aa ¨ injektion X → Y .

¨lta ¨ ma ¨t kuvaukset 2. Relaation sisa

10

Todistus. Riitt¨ aa ¨ n¨ aytt¨ aa ¨, ett¨ a Hallin lauseen ehto on voimassa. Olkoon A joukon X osajoukko. Merkitsemme S = R∩(A×R(A)). T¨ all¨ oin on voimassa S = {(x, y) ∈ S R : x ∈ A} = x∈A {x} × R{x}, joten |S| = Σx∈A |{x} × R{x}| = Σx∈A |R{x}| ≥ Σx∈A k = k|A|. Toisaalta voimme kirjoittaa S =

S

y∈R(A) (R

−1

{y} ∩ A) × {y} ja t¨ aten on voimassa

|S| = Σy∈R(A) |(R−1 {y}∩A)×{y}| = Σy∈R(A) |R−1 {y}∩A| ≤ Σy∈R(A) k = k|R(A)|. Yhdist¨ am¨ all¨ a edelliset lukua |S| koskevat ep¨ ayht¨ al¨ ot (ja ottamalla huomioon, ett¨ a k > 0 koska R 6= ∅), saamme ep¨ ayht¨ al¨ on |R(A)| ≥ |A|. Harjoitusteht¨ av¨ a: Osoita, ett¨ a jos yll¨ a |X| = |Y |, niin R sis¨ alt¨ aa ¨ k erillist¨ a injektiota X → Y . Esimerkki Olkoon X n–joukko. Merkitsemme jokaisella k ≤ n Pk (X) = {A ⊂ X : |A| = k}. Olkoon luonnolliselle luvulle l voimassa ep¨ ayht¨ al¨ ol


n 2,

niin on olemassa sellainen in-

jektio f : Pl (X) → Pl−1 (X), ett¨ a jokaisella A ∈ Pl (X) on voimassa f (A) ⊂ A. Mik¨ ali emme l¨ oyt¨ aisik¨ aa ¨n annetulle sovittamisongelmalle (esim. annetulle ty¨ ollist¨ amisongelmalle) t¨ aydellist¨ a ratkaisua, niin haluaisimme kuitenkin usein l¨ oyt¨ aa ¨ “mahdollisimman hyv¨ an” osittaisen ratkaisun (haluamme esimerkiksi l¨ oyt¨ aa ¨ ty¨ ot¨ a mahdollisimman monelle ty¨ onhakijalle). Seuraava tulos antaa lausekkeen mahdollisimman suuren “osittaisen sovituksen” koolle. I 2.5 Lause Olkoon R ⊂ X × Y a ¨a ¨rellisten joukkojen X ja Y v¨ alinen relaatio. Merkitsemme δ:lla suurinta luvuista |A| − |R(A)|, miss¨ a A ⊂ X. T¨ all¨ oin R sis¨ alt¨ aa ¨ sellaisen injektion f , ett¨ a |f | = |X| − δ.

I. Joukoista ja relaatioista

11

Todistus. Valitsemalla A = ∅ n¨ aemme, ett¨ a δ ≥ 0. Olkoon Z sellainen joukko, ett¨ a |Z| = δ ja Z ∩ Y = ∅. M¨ aa ¨rittelemme relaation Q ⊂ X × (Y ∪ Z) asettamalla Q = R ∪ (X × Z) ja osoitamme, ett¨ a Q toteuttaa Hallin lauseen ehdon. Panemme aluksi merkille, ett¨ a jokaisella A ⊂ X on voimassa Q(A) = R(A) ∪ Z. Koska R(A) ⊂ Y , on voimassa R(A) ∩ Z = ∅ ja t¨ aten edelleen |Q(A)| = |R(A)| + |Z| = |R(A)| + δ. Koska luvun δ m¨ aa ¨rittelyn nojalla p¨ atee, ett¨ a |R(A)| + δ ≥ |A|, niin edellisen nojalla on voimassa |Q(A)| ≥ |A|. Olemme osoittaneet, ett¨ a Q toteuttaa Hallin lauseen ehdon. Kyseisen lauseen nojalla on olemassa sellainen injektio g : X → Y ∪ Z, ett¨ a g ⊂ Q. Merkitsemme f = g ∩ R. T¨ all¨ oin f on relaation R sis¨ alt¨ am¨ a injektio. Osoitamme, ett¨ a f toteuttaa ep¨ ayht¨ al¨ on |f | ≥ |X| − δ. Koska g ⊂ Q = R ∪ (X × Z), on voimassa f = g r {(x, u) ∈ g : u ∈ Z}. Koska g on injektio, on lis¨ aksi |{(x, u) ∈ g : u ∈ Z}| ≤ |Z| = δ. Edellisen nojalla |f | = |g| − |{(x, u) ∈ g : u ∈ Z}| ≥ |g| − δ. Koska g on kuvaus X → Y , on voimassa |g| = |X|. T¨ ast¨ a seuraa yhdess¨ a aikaisemman kanssa, ett¨ a |f | ≥ |X| − δ. Osoitamme lopuksi, ett¨ a |f | ≤ |X| − δ. Kun merkitsemme A = f −1 (Y ), niin f on kuvaus A → Y , joten |f | = |A|. Riitt¨ aa ¨ siis n¨ aytt¨ aa ¨, ett¨ a on voimassa |A| ≤ |X| − δ eli δ ≤ |X r A|. Olkoon B sellainen X:n osajoukko, ett¨ a |B| − |R(B)| = δ. Koska f on injektio, on voimassa |f (B ∩ A)| = |B ∩ A| ja t¨ ast¨ a seuraa, koska f (B ∩ A) ⊂ R(B ∩ A), ett¨ a on voimassa |R(B ∩ A)| ≥ |B ∩ A| ja t¨ aten edelleen |R(B)| ≥ |B ∩ A|. Edellisen nojalla p¨ atee, ett¨ a δ = |B| − |R(B)| ≤ |B| − |B ∩ A| = |B r A|; t¨ ast¨ a seuraa, ett¨ a on voimassa δ ≤ |X r A|.

¨via ¨ Harjoitustehta

12

¨via ¨ lukuun I Harjoitustehta 1. Todista Lause I 1.8. 2. Osoita, ett¨ a symmetrinen ryhm¨ a (SX , ◦) on kommutatiivinen silloin ja vain silloin kun joukossa X on korkeintaan kaksi alkiota. 3. Joukon X metriikka on sellainen kuvaus d : X × X → N, ett¨ a seuraavat ehdot toteutuvat kaikilla x, y, z ∈ X: 1o d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y 2o d(x, y) = d(y, x) Symmetrisyysehto 3o d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) Kolmioep¨ ayht¨ al¨ o Osoita, ett¨ a jos A on ¨ aa ¨rellinen joukko, niin kaava d∆ (B, C) = |B∆C| m¨ aa ¨rittelee metriikan d∆ joukossa X = {B : B ⊂ A}. 4. N¨ ayt¨ a, ett¨ a kaikille joukoille A,B ja C p¨ atee yht¨ al¨ o (A ∩ B)∆(B ∩ C)∆(C ∩ A) = (A ∩ B) ∪ (B ∩ C) ∪ (C ∩ A) . 5. Er¨ aa ¨n matematiikan laitoksen assistenteista A tutkii algebraa ja joukko–oppia, B analyysi¨ a ja geometriaa, C analyysi¨ a ja topologiaa, D analyysi¨ a ja topologiaa, E algebraa ja geometriaa, F geometriaa ja topologiaa, H analyysi¨ a ja joukko–oppia ja I geometriaa ja joukko–oppia. Valitse assistenttien A,B,..., I keskuudesta viiden henkil¨ on toimikunta edustamaan algebran, analyysin, geometrian, joukko–opin ja topologian tutkijoita siten, ett¨ a kukin toimikunnan j¨ asen edustaa vain yht¨ a tutkimusaloistansa. Joukon X osajoukkoperheille A ja B l¨ oytyy yhteiset edustajat, jos voidaan valita sellaiset alkiot xA ∈ A ja yB ∈ B kaikilla A ∈ A ja B ∈ B, ett¨ a {xA : A ∈ A} = {yB : B ∈ B}. 6. Osoita, ett¨ a¨ aa ¨rellisen joukon X osituksilla A ja B on yhteiset edustajat jos ja vain jos on voimassa |A| = |B| ja perheell¨ a A on sellainen esitys A = {AB : B ∈ B}, ett¨ a B ∩ AB 6= ∅ jokaisella B ∈ B. 7. Osoita, ett¨ a jos A ja B ovat ¨ aa ¨rellisen joukon X osituksia ja |A| = |B| kaikilla A ∈ A ja B ∈ B, niin A:lla ja B:ll¨ a on yhteiset edustajat. [Ohje: Hallin lause] 8. Etsi perheille A = B=

n

n

{1, 2, 3}, {4, 5, 6}, {7, 8, 9}, {10, 11, 12}, {13, 14, 15}

{2, 4, 8}, {3, 6, 9}, {5, 10, 15}, {7, 13, 14}, {1, 11, 12}

o

o

ja

yhteiset edustajat.

9. Olkoot A ja B sellaisia ¨ aa ¨rellisen joukon X n-osituksia, ett¨ a jokaisella E ⊂ A on voimassa [ |{B ∈ B : B ⊂ E}| ≤ |E| .

I. Joukoista ja relaatioista

13

Osoita, ett¨ a A:lla ja B:ll¨ a on yhteiset edustajat. 10. Pystytk¨ o viittaamaan 14 sanaan MAANANTAI, TIISTAI, KESKIVIIKKO, TORSTAI, LAUANTAI, SUNNUNTAI, TAMMIKUU, MAALISKUU, HUHTIKUU, TOUKOKUU, ELOKUU, SYYSKUU, LOKAKUU, MARRASKUU 14 eri kirjaimella siten, ett¨ a kussakin sanassa esiintyy siihen viittaava kirjain? Esit¨ a viittausj¨ arjestelm¨ a, jos sellainen on olemassa tai perustele, miksi sellaista ei voi olla olemassa. 11. Olkoot X ja Y ¨ aa ¨rellisi¨ a joukkoja. Osoita, ett¨ a relaatio R ⊂ X ×Y sis¨ alt¨ aa ¨ surjektion X → Y jos ja vain jos R sis¨ alt¨ aa ¨ kuvauksen X → Y ja relaatio R −1 sis¨ alt¨ aa ¨ injektion Y → X. 12. Olkoot X ja Y ¨ aa ¨rellisi¨ a joukkoja. Osoita, ett¨ a seuraavat ehdot ovat kesken¨ aa ¨n yht¨ apit¨ avi¨ a relaatiolle R ⊂ X × Y : A. Relaatio R sis¨ alt¨ aa ¨ surjektion joltakin X:n osajoukolta joukolle Y . B. Jokaisella B ⊂ Y on voimassa |R−1 (B)| ≥ |B|. C. Jokaisella A ⊂ X on voimassa |R(A)| ≥ |A| + |Y | − |X|. [Ohje: Hallin Lause ja Lause I 2.5] 13. Kaksoisstokastinen matriisi on sellainen neli¨ omatriisi, jonka luvut ovat ei-negatiivisia ja jossa jokaisen (pysty- tai vaaka-) rivin lukujen summa on yksi. Jokaisella
bijektiolla ϕ : [n] → [n] m¨ aa ¨rittelemme n × n-matriisin P ϕ asettamalla a aij = 1 jos j = ϕ(i) ja aij = 0 jos j 6= ϕ(i). N¨ am¨ a permutaatioPϕ = aij , miss¨ matriisit Pϕ ovat kaksoisstokastisia. N¨ ayt¨ a, ett¨ a jokainen kaksoisstokastinen matriisi voidaan esitt¨ aa ¨ permutaatiomatriisien konveksina kombinaationa (eli muodossa α1 P1 + · · · + αk Pk , miss¨ a Pi :t ovat permutaatiomatriiseja, αi :t ovat ei-negatiivisia reaalilukuja ja α1 + · · · + αk = 1.




[Ohje: Kun M = aij on kaksoisstokastinen n×n-matriisi, merkitse kM = |{(i, j) ∈ [n] × [n] : aij > 0}| ja pane merkille, ett¨ a M on permutaatiomatriisi jos kM = n. Todista v¨ aite induktiolla kM :n suhteen. Kun M on kaksoisstokastinen n×n-matriisi, jolla kM > n, m¨ aa ¨rittele R ⊂ [n] × [n] kaavalla (i, j) ∈ R ⇐⇒ aij > 0. Laske joukon E ⊂ [n] alkioita vastaavien M :n vaakarivien lukujen summa kahdella eri tavalla (“vaakasuunnassa” ja “pystysuunnassa”) osoittaaksesi, ett¨ a |R(E)| ≥ |E|. Hallin lause antaa sellaisen bijektion ϕ : [n] → [n], ett¨ a ϕ ⊂ R. Merkitse a = min{a iϕ(i) : 1 i = 1, ..., n} ja sovella induktio-oletusta matriisiin 1−a (M − aPϕ ).]

Luku II

Suhteikot ja verkot

1. Johdanto. II 1.1 M¨ a¨ aritelm¨ a Suhteikko on pari G = (X, R), miss¨ a X on a ¨a ¨rellinen joukko ja R on joukon X relaatio. Joukon X alkioita kutsutaan suhteikon G pisteiksi ja joukkoa R kutsutaan suhteikon G relaatioksi. Kun G = (X, R) on suhteikko, niin joukon X lis¨ aksi my¨ os joukko R on a ¨a ¨rellinen, koska R ⊂ X × X. Voimme esitt¨ aa ¨ a ¨a ¨rellisen joukon X = {x1 , ..., xn} relaation R monella eri tavalla: voimme esimerkiksi luetella kullakin x ∈ X joukon R{x} alkiot tai voimme esitt¨ aa ¨ relaation R n×n– matriisina (aij ), miss¨ a aij = 1 kun (xi , xj ) ∈ R ja aij = 0 kun (xi , xj ) ∈ / R. Er¨ as hyvin havainnollinen esitysmuoto on geometrinen kaavio, miss¨ a X:n alkiot esitet¨ aa ¨n tason pistein¨ a ja piirret¨ aa ¨n nuoli alkiota x vastaavasta pisteest¨ a alkiota z vastaavaan pisteeseen silloin kun xRz. Esimerkiksi joukon [4] j¨ arjestysrelaation < ja jakorelaation | (x|z kun luku x jakaa luvun z) voimme esitt¨ aa ¨ seuraavasti:

2

3

1

4

2

3

1

4

Luku II. Suhteikot ja verkot

15

M¨ aa ¨rittelemme nyt t¨ ah¨ an geometriseen tulkintaan liittyvi¨ a k¨ asitteit¨ a ja termej¨ a. → = {(z, x)} ja Olkoon X joukko ja x ja z joukon X alkioita. Merkitsemme − xz →∪− → = zx. Joukkoa − → kutsumme xz = {(x, z), (z, x)}; t¨ all¨ oin on voimassa xz = − xz zx xz → l¨ nuoleksi x:st¨ a z:aan; lis¨ aksi sanomme x:n olevan nuolen − xz aht¨ o tai sen alkupiste → maali tai sen loppupiste. Joukkoa xz = zx kutsumme x:n ja z:n olevan nuolen − xz ja z:n yhdysviivaksi tai x:n ja z:n v¨ aliseksi viivaksi ja sanomme, ett¨ a x ja z ovat → = xx kutsumme silmukaksi x:ss¨ viivan xz p¨ aa ¨tepisteet eli p¨ aa ¨t. Joukkoa − xx a. Olkoon G = (X, R) suhteikko ja olkoot x ja z G:n pisteit¨ a. Sanomme, ett¨ a joukko xz ∩R on x:n ja z:n v¨ alinen yhteys suhteikossa G. Otamme lis¨ aksi k¨ aytt¨ oo ¨n seuraavat sanonnat: xz ∩ R = ∅: “pisteet x ja z ovat erill¨ aa ¨n G:ss¨ a ”. − → ⊂ R: “G:ss¨ xz a on nuoli x:st¨ a z:aan” tai “z on x:n seuraaja G:ss¨ a ”. xz ⊂ R: “G:ss¨ a on x:n ja z:n v¨ alinen viiva” tai “x ja z ovat vierekk¨ ain G:ss¨ a ”. − → ⊂ R: “G:ss¨ xx a on silmukka pisteess¨ a x ”. Otamme viel¨ a k¨ aytt¨ oo ¨n seuraavat merkinn¨ at. Kun G = (X, R) on suhteikko, → : − → ⊂ R} symbolilla NG ja G:n niin merkitsemme G:n nuolten joukkoa {− xz xz viivojen joukkoa {xz : xz ⊂ R} symbolilla VG . Huomaamme, ett¨ a on voimassa − → ∈ NG ⇐⇒ − → ⊂ R ⇐⇒ (z, x) ∈ R ⇐⇒ xRz ⇐⇒ x ∈ R{z} xz xz → ⊂ R avulla saamme korjattua ekvivalenssin xRz ⇐⇒ (Ekvivalenssin xRz ⇐⇒ − xz (z, x) ∈ R sis¨alt¨am¨an “nurinkurisuuden”, josta mainitsimme kombinatoriikan monisteen sivuilla 4 ja 5).

Kun G = (X, R) on suhteikko, niin merkitsemme G:n pisteiden joukkoa X symbolilla PG . Panemme merkille, ett¨ a joukot PG ja NG m¨ aa ¨ritt¨ av¨ at yksik¨ asitS teisesti suhteikon G, sill¨ a G = (PG , NG )). Seuraavassa emme yleens¨ a annakaan

suhteikkoa G muodossa (X, R) vaan annamme joukot PG ja NG .

Esit¨ amme suhteikon tavallisesti kuviona, miss¨ a pisteet ovat tason pisteit¨ a. Kahden pisteen x ja z yhteys suhteikossa esitet¨ aa ¨n piirt¨ am¨ all¨ a kuvioon x:st¨ a z:hyn osoittava nuoli silloin kun suhteikossa on nuoli x:st¨ a z:hyn. Jos suhteikossa on

16

1. Johdanto.

pisteit¨ a x ja z yhdist¨ av¨ a viiva, niin piirret¨ aa ¨n joko nuolet molempiin suuntiin tai “kaksisuuntainen nuoli” pisteiden x ja z v¨ alille tai n¨ aiden asemasta viiva (jana tai k¨ ayr¨ a) x:n ja z:n v¨ alille. Suhteikon G piste x on G:n eristetty piste, mik¨ ali x on erill¨ aa ¨n kaikista muista G:n pisteist¨ a. Jos suhteikon pisteiden joukko on tyhj¨ a, niin t¨ all¨ oin my¨ os suhteikon nuolten ja viivojen joukot ja suhteikon relaatio ovat tyhji¨ a; kutsumme suhteikkoa (∅, ∅) “tyhj¨ aksi suhteikoksi” ja muiden suhteikkojen sanomme olevan “ep¨ atyhji¨ a suhteikkoja”. Huomaamme, ett¨ a ep¨ atyhj¨ ass¨ akin suhteikossa voi nuolten joukko olla tyhj¨ a; t¨ allaisessa suhteikossa kaikki pisteet ovat eristettyj¨ a. II 1.2 M¨ a¨ aritelm¨ a Suhteikko G on symmetrinen jos kaikki G:n ep¨ atyhj¨ at yhteydet ovat viivoja. Suhteikko G on silmukaton jos G:ss¨ a ei ole silmukkaa miss¨ aa ¨n pisteess¨ a. Suhteikko G on verkko, jos G on silmukaton ja symmetrinen. → vastaa G:n Suhteikko G on symmetrinen jos ja vain jos jokaista G:n nuolta − xz → T¨ nuoli − zx. aten suhteikko G = (X, R) on symmetrinen jos ja vain jos relaatio R on symmetrinen (eli R−1 = R). Jos tiedet¨ aa ¨n, ett¨ a relaatio R on symmetrinen, niin R m¨ aa ¨r¨ aytyy yksik¨ asitteisesti joukon VG avulla, sill¨ a t¨ ass¨ a tapauksessa R = S VG . Symmetriset suhteikot ja erityisesti verkot annetaankin seuraavassa yleens¨ a antamalla vastaavat P – ja V –joukot.

Jokaista suhteikkoa G = (X, R) vastaa symmetrinen suhteikko Gs = (X, R ∪ R−1 ). Havainnollisesti sanoen, suhteikko Gs saadaan suhteikosta G “muuttamalla jokainen G:n nuoli viivaksi”. Selv¨ astikin, Gs on verkko jos ja vain jos G on silmukaton. Jos G on symmetrinen suhteikko, niin Gs = G. Suhteikkoja ja verkkoja esiintyy mit¨ a moninaisimmissa yhteyksiss¨ a ja usein k¨ aytet¨ aa ¨n eri yhteyksiin havainnollisesti liittyv¨ aa ¨ sanastoa yll¨ a esitetyn sanaston asemesta. Esimerkiksi jokaiseen avaruuden R3 monitahokkaaseen liittyy verkko, jonka pistein¨ a ovat tahokkaan k¨ arjet ja viivoina tahokkaan s¨ arm¨ at. S¨ aa ¨nn¨ ollisiin 6-, 8- ja 12-tahokkaisiin (eli kuutioon, oktaedriin ja dodekaedriin) liittyv¨ at verkot ovat seuraavan kaltaisia:

Luku II. Suhteikot ja verkot

17

Muissa yhteyksiss¨ a voidaan puhua esimerkiksi suhteikon pisteiden ja nuolten asemasta tiloista ja siirtymist¨ a, verkossa vierekk¨ ain olevien pisteiden voidaan sanoa olevan toistensa naapureita jne. Mainitsemme nyt esimerkkej¨ a suhteikkojen esiintymisest¨ a “k¨ ayt¨ ann¨ on tilanteissa”. Esimerkki (a) Kaupungin(osan) katuverkkoa voidaan kuvata verkolla, jonka pistein¨ a ovat katujen risteykset ja viivoina kadunosat, jotka yhdist¨ av¨ at “vierekk¨ aisi¨ a” risteyksi¨ a. Jossain tilanteessa on luontevampaa kuvata katuverkkoa suhteikolla, jossa on viivan asemasta nuoli silloin kun kyseinen kadunosa on yksisuuntainen. (b) Kaupunkien metrokartat saadaan usein havainnollisimmin kuvattua verkkoina. Esimerkiksi Prahan metrokartta on seuraavan n¨ ak¨ oinen.

Dejvicka

Ladvi

Zlicin

Cerny Most Muzeum

Haje

Depo Hostivar

(c) Tietojenk¨ asittelyss¨ a esimerkiksi ohjelmien kulkukaaviot sek¨ a erilaiset datarakenteet (listat yms.) kuvataan usein suhteikkoina. A←A−rB

 A,B

A:B ≺ A↔B

∼

syt=A

18

1. Johdanto.

(d) Etsint¨ apuut, sukupuut ja monet muut haarautuvat rakenteet ja prosessit kuvataan luonnollisesti “puumaisina” suhteikkoina tai verkkoina. (e) Molekyylimalleja annetaan usein verkkoina, joiden pisteet vastaavat atomeja ja viivat atomien v¨ alisi¨ a sidoksia. Seuraavassa kuvataan er¨ ait¨ a parafiinimolekyylin isomeerej¨ a t¨ all¨ a tavalla.

butaani

pentaani

heksaani

M¨ aa ¨rittelemme seuraavaksi tilanteen, jossa kaksi suhteikkoa ovat suhteikkojen teorian kannalta oleellisesti samat eli t¨ am¨ an teorian suhteen ekvivalentit. II 1.3 M¨ a¨ aritelm¨ a Sanomme, ett¨ a suhteikot G ja H ovat isomorfiset ja merkitsemme G ≈ H, jos on olemassa sellainen bijektio ϕ : PG → PH , ett¨ a kaikilla − − − − − − → → ∈ NG jos ja vain jos ϕ(x)ϕ(z) ∈ NH ; t¨ x, z ∈ PG on voimassa − xz allaista bijektiota ϕ kutsutaan suhteikkojen G ja H v¨ aliseksi isomorfismiksi. Huomaamme, ett¨ a jos suhteikot G ja H ovat verkkoja, niin bijektio ϕ : PG → PH on G:n ja H:n v¨ alinen isomorfismi jos ja vain jos kaikilla x, z ∈ PG on voimassa xz ∈ VG ⇐⇒ ϕ(x)ϕ(z) ∈ VH . M¨ aa ¨ritelm¨ ast¨ a seuraa suoraan, ett¨ a jos suhteikot G ja H ovat kesken¨ aa ¨n isomorfiset, niin t¨ all¨ oin joukoissa PG ja PH on yht¨ a monta alkiota, joukoissa NG ja NH on yht¨ a monta alkiota ja joukoissa VG ja VG on yht¨ a monta alkiota. T¨ aten pisteiden, nuolien tai viivojen lukum¨ aa ¨rien laskeminen saattaa toisinaan riitt¨ aa ¨ osoittamaan sen, ett¨ a annetut kaksi suhteikkoa eiv¨ at ole kesken¨ aa ¨n isomorfiset. Usein kahden suhteikon keskin¨ aisen isomorfisuuden tai ei–isomorfisuuden osoittaminen on k¨ ayt¨ ann¨ oss¨ a vaikeaa, varsinkin jos suhteikkojen nuolien ja viivojen lukum¨ aa ¨r¨ at ovat suuria. Seuraavassa kuvassa esiintyy kaksi erin¨ ak¨ oist¨ a verkkoa, jotka voimme kuitenkin suhteellisen helposti n¨ ahd¨ a kesken¨ aa ¨n isomorfisiksi (vasemmanpuoleinen verkko m¨ aa ¨r¨ aytyy hevosen liikkeist¨ a 4 × 4 shakkilaudalla).

Luku II. Suhteikot ja verkot

19

Harjoitusteht¨ av¨ a: Osoita, ett¨ a edell¨ a kuvatut kaksi verkkoa ovat isomorfiset. II 1.5 M¨ a¨ aritelm¨ a Olkoot G ja H suhteikkoja. Suhteikko H on suhteikon G alisuhteikko, jos PH ⊂ PG ja NH ⊂ NG . Suhteikon G pisteiden joukon PG osajoukon A viritt¨ am¨ a G:n alisuhteikko on se G:n alisuhteikko H, joka m¨ aa ¨r¨ aytyy → ∈ NG : {x, z} ⊂ A} nojalla. ehtojen PH = A ja NH = {− xz Panemme merkille, ett¨ a kun R on suhteikon G relaatio, niin joukon A ⊂ PG viritt¨ am¨ an G:n alisuhteikon relaatio on R ∩ (A × A). Otamme k¨ aytt¨ oo ¨n seuraavan merkinn¨ an: jos G1 on G2 :n alisuhteikko, niin merkitsemme G1 ≺ G2 . Jos suhteikon alisuhteikko on verkko, niin sanomme sen olevan suhteikon aliverkko. Verkon pisteiden joukon osajoukon viritt¨ am¨ a verkon alisuhteikko on verkko, jota kutsumme osajoukon viritt¨ am¨ aksi verkon aliverkoksi. II 1.6 Esimerkki Seuraavista suhteikoista G1 on G:n alisuhteikko, G2 on G1 :n aliverkko ja G3 on verkon G2 pisteiden osajoukon {j, l, m, n, o, p, q} viritt¨ am¨ a G2 :n aliverkko. e

e

d

c

j

r

q

j i

k l

d

r

q

h

j

p

k l

m n o

p

m n o

a

f

G

g

r

q

k l

p

j

q

i

b

a

m n o

l

p

m n o

f

G1

G2

G3

20

2. Pisteiden asteet. M¨ aa ¨rittelemme suhteikkojen yhdistelemiseen liittyv¨ an operaation

W

seuraaW vasti: jos H on a ¨a ¨rellinen kokoelma suhteikkoja, niin merkitsemme symbolilla H S S sit¨ a suhteikkoa G, joka m¨ aa ¨r¨ aytyy ehdoista PG = H∈H PH ja NG = H∈H NH . W Jokainen H ∈ H on suhteikon H alisuhteikko. Jos H on a ¨a ¨rellinen ja jokainen W H ∈ H on verkko, niin suhteikko G = H on verkko ja verkko G m¨ aa ¨r¨ aytyy S S t¨ all¨ oin ehdoista PG = H∈H PH ja VG = H∈H VH . W Jos edell¨ a H = {Hi : i ∈ I}, niin voimme korvata merkinn¨ an H merkinn¨ all¨ a W W an i∈[n] Hi i∈I Hi . Jos H1 , ..., Hn ovat suhteikkoja, niin korvaamme merkinn¨ Wn usein merkinn¨ all¨ a i=1 Hi tai merkinn¨ all¨ a H 1 ∨ · · · ∨ Hn . Kuviot ovat kaikkein havainnollisin tapa esitt¨ aa ¨ “pieni¨ a” suhteikkoja mutta jos pisteit¨ a ja nuolia on paljon, tulee kuvioista usein sekavia, eik¨ a niist¨ a ole en¨ aa ¨ hy¨ oty¨ a. T¨ ast¨ a syyst¨ a suhteikkoja esitet¨ aa ¨n my¨ os muilla tavoin, esimerkiksi suhteikon relaation matriisin, eli suhteikon “yhteysmatriisin”, avulla (katso kombinatoriikan monisteen harjoitusteht¨ av¨ aa ¨ I 3). Yksinkertaisimman esitystavan tarjoavat nk. seuraajaluettelot, joissa luetellaan, jokaiselle suhteikon G = (X, R) pisteelle x, kaikki pisteen x seuraajat G:ss¨ a, toisin sanoen, kaikki joukon R −1 {x} alkiot. II 1.7 Esimerkki Edellisen esimerkin verkko G3 esitettyn¨ a seuraajaluetteloiden avulla:

j l m

p,n n

n o

m,l,o n,p

p q

l,o,q p

Mainitsemme lopuksi, ett¨ a useissa sovellutuksissa joudutaan suhteikkojen asemasta tarkastelemaan niin kutsuttuja “painotettuja suhteikkoja”: painotettu suhteikko on pari (X, f ), miss¨ a X on joukko ja f on joukolla X × X m¨ aa ¨ritelty reaaliarvoinen kuvaus. Suhteikko (X, R) voidaan esitt¨ aa ¨ painotettuna suhteikkona (X, f ) asettamalla f (x, z) = 1 kun (x, z) ∈ R ja f (x, z) = 0 kun (x, z) ∈ / R. My¨ os niin kutsutut “monisuhteikot” ja “moniverkot”, joissa kahden pisteen v¨ alill¨ a voi olla useampia nuolia tai viivoja, voidaan esitt¨ aa ¨ painotettuina suhteikkoina.

Luku II. Suhteikot ja verkot

21

2. Pisteiden asteet. Olkoon G = (X, R) suhteikko ja olkoon x G:n piste. T¨ all¨ oin on voimassa → ⊂ R} ja R−1 {x} = {z ∈ X : − → ⊂ R}. Merkitsemme R{x} = {z ∈ X : − zx xz d+ a lukua |R{x}|, eli pisteeseen x saapuvien G:n nuolten lukum¨ aa ¨r¨ aa ¨, ja G (x):ll¨ kutsumme t¨ at¨ a lukua pisteen x tuloasteeksi suhteikossa G. Merkitsemme d − a G (x):ll¨ −1 lukua R {x} , eli pisteest¨ a x l¨ ahtevien G:n nuolten lukum¨ aa ¨r¨ aa ¨, ja kutsumme t¨ at¨ a lukua pisteen x l¨ aht¨ oasteeksi suhteikossa G.

Esimerkkej¨ a (a) Olkoon f kuvaus X → Y . Merkitsemme F :ll¨ a suhteikkoa → : (x, y) ∈ f }. (X ∪ Y, f −1 ) ja panemme merkille, ett¨ a F :n nuolten joukko on {− xy Jokaisella x ∈ X on voimassa d− F (x) = 1. Kuvaus f on injektio jos ja vain jos jokaisella y ∈ Y on voimassa d+ F (y) ≤ 1 ja f on surjektio jos ja vain jos jokaisella y ∈ Y on voimassa d+ F (y) ≥ 1. − (b) Seuraavan suhteikon G pisteelle a on voimassa d+ G (a) = 1 ja dG (a) = 2 ja − pisteelle d on voimassa d+ G (d) = 3 ja dG (d) = 0; suhteikon H pisteelle o on voimassa − d+ H (o) = 1 ja dH (o) = 2:

b

p

d a

c

o

q

G

H

Merkitsemme nG :ll¨ a suhteikon G nuolten lukum¨ aa ¨r¨ aa ¨ eli lukua |NG |. Koska → = {(z, x)}, niin n¨ kaikille x, z ∈ X on voimassa − xz aemme, ett¨ a nG = |R|. Voimme esitt¨ aa ¨ luvun nG my¨ os G:n pisteiden asteiden avulla. II 2.1 Lemma Suhteikolle G = (X, R) on voimassa nG =

X

x∈X

d+ G (x) =

X

d− G (x)

x∈X

Todistus. Edell¨ a totesimme olevan voimassa nG = |R|. Toisaalta p¨ atee, ett¨ a S S R = x∈X ({x} × R{x}) = x∈X (R−1 {x} × {x}) ja t¨ ast¨ a seuraa, ett¨ a on voimassa P P P P + −1 |R| = x∈X |R{x}| = x∈X |R {x}| eli |R| = x∈X dG (x) = x∈X d−1 G (x).

22

2. Pisteiden asteet. Johdamme nyt yht¨ al¨ on verkon viivojen lukum¨ aa ¨r¨ alle. Kun G on verkko, niin

merkitsemme vG :ll¨ a verkon G viivojen lukum¨ aa ¨r¨ aa ¨ eli lukua |VG |. M¨ aa ¨rittelemme verkon G = (X, R) pisteen x asteen dG (x) seuraavasti: dG (x) = |{z ∈ X : xz ⊂ R}| . Luku dG (x) ilmoittaa siis niiden G:n viivojen lukum¨ aa ¨r¨ an, joilla on piste x yhten¨ a p¨ aa ¨n¨ a. Teemme my¨ os seuraavan sopimuksen: jos z on joku “piste”, joka ei kuulu joukkoon PG , niin asetamme dG (z) = 0. II 2.2 Lemma Olkoon x verkon G piste. T¨ all¨ oin on voimassa − dG (x) = d+ G (x) = dG (x).

Todistus. Koska G on verkko, jokaisella z ∈ PG on voimassa → ∈ NG ⇐⇒ − → ∈ NG . xz ∈ VG ⇐⇒ − xz zx Lemman v¨ aite seuraa edellisist¨ a yht¨ al¨ oist¨ a pisteen x eri asteiden m¨ aa ¨ritelmien nojalla. Edellisten lemmojen avulla voimme nyt helposti todistaa seuraavan verkon viivojen lukum¨ aa ¨r¨ aa ¨ koskevan tuloksen. II 2.3 Lause Verkolle G on voimassa X

dG (x) = 2 · vG

x∈PG

Todistus. Koska verkossa ei ole silmukoita ja koska kaikilla x, z ∈ X on voimassa xz = zx = {(x, z), (z, x)}, niin n¨ ahd¨ aa ¨n ett¨ a vG =

1 2

· nG .

Toisaalta Lemmojen II 2.1 ja II 2.2 nojalla on voimassa nG = P P ain ollen 2 · vG = nG = x∈X dG (x). x∈X dG (x). N¨

P

x∈X

d+ G (x) =

Luku II. Suhteikot ja verkot

23

II 2.4 Esimerkki Kuhunkin shakkipelin nappulaan, sotamiest¨ a lukuunottamatta, liittyy verkko, jonka pistein¨ a ovat shakkilaudan ruudut ja jossa viiva “yhdist¨ aa ¨” kahta ruutua, mik¨ ali yhdest¨ a voi siirty¨ a toiseen kyseisell¨ a nappulalla. Kuninkaaseen ja hevoseen liittyv¨ at verkot ovat seuraavan n¨ ak¨ oisi¨ a:

K

H

K¨ aytt¨ am¨ all¨ a edellisen lauseen tulosta voimme helposti laskea edell¨ a kuvattujen verkkojen K ja H viivojen lukum¨ aa ¨r¨ at: Verkossa K laudan “sis¨ aruudun” aste on 8 kun taas “kulmaruutujen” aste 3 ja muiden “reunaruutujen” aste on 5. T¨ aten verkon K viivojen lukum¨ aa ¨r¨ a on puolet luvusta 36 · 8 + 4 · 3 + 24 · 5 eli vK = 210. Verkon H pisteen aste on joko 2,3,4,6 tai 8. Nelj¨ an kulmaruudun aste on 2. Kulmaruutujen viereisten kahdeksan reunaruudun aste on 3. Lopuilla kuudellatoista reunaruudulla on kullakin asteena 4. Jos poistetaan laudan reunaruudut ja tarkastellaan j¨ aljellej¨ aa ¨v¨ an 6 × 6 ruudukon reunaruutuja, niin n¨ ahd¨ aa ¨n, ett¨ a nelj¨ all¨ a kulmaruudulla on asteena 4 ja muilla kuudellatoista reunaruudulla on kullakin asteena 6. Pienemm¨ an ruudukon kuudellatoista sis¨ aruudulla on kullakin asteena 8. T¨ aten verkon H viivojen lukum¨ aa ¨r¨ a on puolet luvusta 4 · 2 + 8 · 3 + 16 · 4 + 4 · 4 + 16 · 6 + 16 · 8 eli vH = 168. Verkko G on s¨ aa ¨nn¨ ollinen, mik¨ ali kaikilla x, y ∈ PG on voimassa dG (x) = dG (y). Jos G on s¨ aa ¨nn¨ ollinen verkko, jonka jokaisen pisteen aste on k, niin sanomme, ett¨ a G on k–s¨ aa ¨nn¨ ollinen verkko. Jos G on n-pisteinen k-s¨ aa ¨nn¨ ollinen verkko, niin saamme Lauseen II 2.3 nojalla seuraavan tuloksen.

P

x∈PG

dG (x) = nk; t¨ aten

24

2. Pisteiden asteet.

II 2.5 Korollaari n-pisteisen k-s¨ aa ¨nn¨ ollisen verkon viivojen lukum¨ aa ¨r¨ a on

nk 2 .

II 2.6 M¨ a¨ aritelm¨ a Suhteikko G on t¨ aydellinen, mik¨ ali kaikilla x, y ∈ PG , jos → tai nuoli − → x 6= y, niin G:ss¨ a on joko nuoli − xy yx. T¨ aydellinen verkko eli t¨ aydellinen suhteikko, joka on verkko, on hyvin yksinkertaista muotoa: jos t¨ aydellisen verkon G pistejoukko on X, niin G:n viivojen joukko on {xy : x, y ∈ X, x 6= y}. Merkitsemme symbolilla KX t¨ aydellist¨ a verkkoa, jonka pistejoukko on X. Verkolle K[n] , miss¨ a n ∈ N, k¨ ayt¨ amme lyhennetty¨ a merkint¨ aa ¨ Kn . Selv¨ astikin, jos |X| = n, niin verkko KX on isomorfinen verkon Kn kanssa. Kun n > 0, niin t¨ aydellinen verkko Kn on n − 1-s¨ aa ¨nn¨ ollinen ja siten Kn :n viivojen lukum¨ aa ¨r¨ a on Korollaarin II 2.5 nojalla

n(n−1) . 2

Seuraavassa kuvassa on vasemmalla kuvattu t¨ aydellinen verkko K 11 ja oikealla er¨ as t¨ aydellinen suhteikko, jonka pisteiden joukko on [7]. 9

6

10

7

8 11 5 7

1

1

6 4 2 5

2 3 4

3

Sanomme verkon G pisteen x olevan parillisasteinen, jos luku dG (x) on parillinen ja paritonasteinen, jos luku dG (x) on pariton. Koska verkon pisteiden asteiden summa on Lauseen II 2.3 nojalla parillinen, saamme lauseelle seuraavan korollaarin. II 2.7 Korollaari Verkon paritonasteisten pisteiden lukum¨ aa ¨r¨ a on parillinen. II 2.8 Esimerkki Osoita, ett¨ a jos talossa on vain yksi ulko–ovi, niin siin¨ a on ainakin yksi huone, jossa on pariton m¨ aa ¨r¨ a ovia.

Luku II. Suhteikot ja verkot

25

Ratkaisu: Merkitsemme talon huoneiden joukkoa H:lla ja merkitsemme u:lla talon ulkopuolta; seuraavassa kutsumme my¨ os u:ta “huoneeksi”. Merkitsemme X = H ∪ {u}. Kaikilla h, j ∈ X, miss¨ a h 6= j, merkitsemme n(h, j):ll¨ a huoneita h ja j yhdist¨ avien ovien lukum¨ aa ¨r¨ aa ¨. Merkitsemme G:ll¨ a sit¨ a verkkoa, jolla PG = X ja VG = {hj : h, j ∈ X, h 6= j ja luku n(h, j) on pariton}. Huomaamme, ett¨ a verkon G pisteen u aste on yksi.

Korollaarin II 2.7 tu-

loksesta seuraa, ett¨ a on olemassa sellainen G:n paritonasteinen piste h, ett¨ a h 6= u. Osoitamme, ett¨ a huoneen h ovien lukum¨ aa ¨r¨ a on pariton. Merkitsemme J = {j ∈ X : n(h, j) > 0} ja J 0 = {j ∈ J : luku n(h, j) on pariton}. On voimassa dG (h) = |J 0 |, joten joukossa J 0 on pariton m¨ aa ¨r¨ a alkioita; t¨ ast¨ a seuraa, ett¨ a luku P P j∈J 0 n(h, j) on pariton. Koska parillisten lukujen summa j∈J rJ 0 n(h, j) on P parillinen, niin huoneen h ovien lukum¨ aa ¨r¨ a j∈J n(h, j) on pariton. Sanomme verkon olevan parillisasteinen, mik¨ ali sen jokainen piste on parillisasteinen ja paritonasteinen, mik¨ ali sen jokainen piste on paritonasteinen. Korollaarin II 2.7 tuloksesta seuraa, ett¨ a paritonasteisessa verkossa on parillinen m¨ aa ¨r¨ a pisteit¨ a. Kombinatoriikan kurssilla johdettiin laatikkoperiaatteen avulla tulos, jonka mukaan jokaisessa v¨ ahint¨ aa ¨nkin kahden henkil¨ on joukossa on kaksi henkil¨ oa ¨, joilla on joukossa sama m¨ aa ¨r¨ a tuttavia. T¨ am¨ a voidaan tulkita verkon pisteiden asteita koskevana tuloksena. II 2.9 Lemma Olkoon G verkko, jossa on ainakin kaksi pistett¨ a. T¨ all¨ oin G:ss¨ a on kaksi eri pistett¨ a x ja z, joille on voimassa dG (x) = dG (z).

¨isyys. 3. Yhtena

26

¨isyys. 3. Yhtena Sovellustenkin kannalta on usein t¨ arke¨ at¨ a tiet¨ aa ¨, “jakautuuko” annettu suhteikko tai verkko useampaan “erilliseen osaan” vai onko se “yhten¨ ainen”. Esimerkiksi, kun kaupungissa suunnitellaan seuraavan kes¨ an katut¨ oit¨ a, on varmistettava, ettei miss¨ aa ¨n vaiheessa synny tilannetta, jossa joku alue j¨ aisi eristyksiin. Tarkastelemme t¨ ass¨ a luvussa suhteikkojen yhten¨ aisyytt¨ a “jakautumattomuuden” kannalta ja seuraavassa luvussa silt¨ a kannalta, miten suhteikon pisteest¨ a “p¨ aa ¨see” toiseen “siirtym¨ all¨ a nuolia pitkin”. → ∈ NG suhOlkoon G suhteikko, olkoon P joukon PG osajoukko ja olkoon − xz → on nuoli joukossa P . teikon G nuoli. Jos x ∈ P ja z ∈ P , niin sanomme, ett¨ a− xz → on nuoli joukosta P . Jos taas x ∈ Jos x ∈ P ja z ∈ / P , niin sanomme, ett¨ a− xz / P ja → on nuoli joukkoon P . z ∈ P , niin sanomme, ett¨ a− xz II 3.1 M¨ a¨ aritelm¨ a Suhteikko G on yhten¨ ainen, jos jokaisella PG :n ep¨ atyhj¨ all¨ a, aidolla osajoukolla P , G:ss¨ a on joko nuoli P :hen tai nuoli P :st¨ a. G on vahvasti yhten¨ ainen, jos jokaisella PG :n ep¨ atyhj¨ all¨ a, aidolla osajoukolla P , G:ss¨ a on nuoli P :hen ja nuoli P :st¨ a. II 3.2 Esimerkkej¨ a (a) Alla kuvatuista suhteikoista, G1 on vahvasti yhten¨ ainen, G2 on yhten¨ ainen muttei vahvasti yhten¨ ainen ja G3 ei ole yhten¨ ainen.

G1

G2

G3

(b) Edelliset suhteikot ovat niin yksinkertaisia, ett¨ a niist¨ a n¨ akyy ensi silm¨ ayksell¨ a, ovatko ne yhten¨ aisi¨ a vai ep¨ ayhten¨ aisi¨ a. Monimutkaisempien suhteikkojen ja verkkojen tapauksessa voi usein olla vaikeaa osoittaa yhten¨ aisyys tai ep¨ ayhten¨ aisyys. Seuraavassa vasemmalla kuvatusta verkosta ei aivan heti n¨ ae, onko verkko yhten¨ ainen vai ei; oikealla puolella olevasta saman verkon esityksest¨ a n¨ akyy, ett¨ a verkko ei ole yhten¨ ainen.

Luku II. Suhteikot ja verkot

27

Jos suhteikko ei ole yhten¨ ainen, niin sanomme sen olevan ep¨ ayhten¨ ainen. → ∈ NG on voimassa − →∈ Jos G on symmetrinen suhteikko, niin jokaisella − xz zx NG ; t¨ ass¨ a tapauksessa on selv¨ aa ¨, ett¨ a G on yhten¨ ainen jos ja vain jos G on vahvasti yhten¨ ainen; lis¨ aksi, G on yhten¨ ainen jos ja vain jos jokaisella joukon PG ep¨ atyhj¨ all¨ a, aidolla osajoukolla P on olemassa G:n viiva, jonka toinen p¨ aa ¨tepiste on joukon P ja toinen joukon PG r P alkio (t¨ allaisen viivan sanotaan olevan joukkojen P ja PG r P v¨ alinen viiva). Osoitetaan nyt, ett¨ a yleisen suhteikon G tapauksessa, G:n yhten¨ aisyytt¨ a voidaan luonnehtia G:t¨ a vastaavan symmetrisen suhteikon G s avulla. II 3.3 Lause Seuraavat ehdot ovat kesken¨ aa ¨n yht¨ apit¨ avi¨ a suhteikolle G: A. G on yhten¨ ainen. B. Gs on yhten¨ ainen. C. Gs on vahvasti yhten¨ ainen. Todistus. Koska Gs on symmetrinen suhteikko, niin ehdot B ja C ovat kesken¨ aa ¨n yht¨ apit¨ av¨ at. A=⇒B: Koska PG = PGs ja NG ⊂ NGs , niin suhteikon Gs yhten¨ aisyys seuraa suhteikon G yhten¨ aisyydest¨ a. B=⇒A: Oletetaan, ett¨ a Gs on yhten¨ ainen. Osoitetaan, ett¨ a t¨ all¨ oin my¨ os G on yhten¨ ainen. Olkoon P joukon PG ep¨ atyhj¨ a, aito osajoukko. Koska PGs = PG ja → joka on joko nuoli P :st¨ Gs on yhten¨ ainen, niin on olemassa Gs :n nuoli − xz, a tai → on joko nuoli P :hen tai nuoli P :st¨ → ∈ NGs , on nuoli P :hen; t¨ all¨ oin − zx a. Koska − xz → ∈ NG tai − → ∈ NG ; kummassakin tapauksessa G:ss¨ voimassa joko − xz zx a on joko nuoli P :hen tai nuoli P :st¨ a. On osoitettu, ett¨ a G on yhten¨ ainen.

¨isyys. 3. Yhtena

28

Yhten¨ aisyydell¨ a ja vahvalla yhten¨ aisyydell¨ a on merkityst¨ a my¨ os sellaisten suhteikkojen tapauksessa, joilla ei ole n¨ ait¨ a ominaisuuksia. Osoitamme seuraavaksi, ett¨ a jokainen suhteikko voidaan “jakaa” mahdollisimman suuriin (vahvasti) yhten¨ aisiin “osiin”. II 3.4 M¨ a¨ aritelm¨ a Suhteikon G alisuhteikko H on G:n (vahvasti) yhten¨ ainen komponentti, jos H on (vahvasti) yhten¨ ainen, eik¨ a mill¨ aa ¨n G:n (vahvasti) yhten¨ aisell¨ a alisuhteikolla J ole voimassa J 6= H ja H ≺ J . Suhteikon G (vahvasti) yhten¨ aiset komponentit ovat siis maksimaalisia G:n (vahvasti) yhten¨ aisi¨ a alisuhteikkoja. N¨ ayt¨ amme, ett¨ a jokainen G:n komponentti on pistejoukkonsa viritt¨ am¨ a G:n alisuhteikko. II 3.5 Lemma Olkoon H suhteikon G (vahvasti) yhten¨ ainen komponentti. T¨ all¨ oin H on joukon PH viritt¨ am¨ a G:n alisuhteikko. Todistus. Merkit¨ aa ¨n J :ll¨ a joukon PH viritt¨ am¨ aa ¨ G:n alisuhteikkoa. T¨ all¨ oin on voimassa H ≺ J . Koska H on (vahvasti) yhten¨ ainen ja koska on voimassa P J = PH ja NH ⊂ NJ , suhteikko J on (vahvasti) yhten¨ ainen. Koska H on komponentti, on voimassa J = H. N¨ ayt¨ amme seuraavaksi, ett¨ a jokainen suhteikko voidaan “jakaa” komponentteihin. Aluksi todistamme er¨ ait¨ a aputuloksia. II 3.6 Lemma Olkoon H a ¨a ¨rellinen kokoelma (vahvasti) yhten¨ aisi¨ a suhteikkoja. Oletetaan, ett¨ a kokoelmalla H on sellainen j¨ asen M , ett¨ a jokaisella H ∈ H on W voimassa PH ∩ PM 6= ∅. T¨ all¨ oin suhteikko H on (vahvasti) yhten¨ ainen. W Todistus. Merkit¨ aa ¨n G = H. Olkoon joukolle P voimassa ∅ 6= P & PG . Merkit¨ aa ¨n J = {H ∈ H : PH ⊂ P }, K = {H ∈ H : PH ⊂ PG r P } ja L = H r (J ∪ K). Osoitetaan, ett¨ a on voimassa L 6= ∅. Jos M ∈ L, niin L 6= ∅. Oletetaan, ett¨ a M ∈ / L. T¨ all¨ oin M ∈ J ∪ K. Oletetaan, ett¨ a vaikkapa M ∈ J eli PM ⊂ P . Olkoon x joukon PG rP piste. Koska x ∈ PG , niin on olemassa sellainen H ∈ H, ett¨ a x ∈ PH . Suhteikolle H on voimassa x ∈ PH ∩ (PG r P ) ja ∅ 6= PH ∩ PM ⊂ PH ∩ P ; t¨ ast¨ a seuraa, ett¨ aH∈ / J ja H ∈ / K ja t¨ aten H ∈ L. On osoitettu, ett¨ a jos M ∈ J , niin L 6= ∅ ja aivan samoin n¨ ahd¨ aa ¨n, ett¨ a jos M ∈ K, niin L 6= ∅. Olkoon H kokoelman L j¨ asen. T¨ all¨ oin PH 6⊂ P ja PH 6⊂ PG r P . Merkit¨ aa ¨n Q = PH ∩ P ja pannaan merkille, ett¨ a ∅ 6= Q & PH . Koska suhteikko H on

Luku II. Suhteikot ja verkot

29

(vahvasti) yhten¨ ainen, niin H:ssa on nuoli joukosta Q tai (ja) nuoli joukkoon Q. Koska jokainen H:n nuoli on my¨ os suhteikon G nuoli ja koska Q ⊂ P ja PH r Q ⊂ PG r P , niin suhteikossa G on nuoli joukosta P tai (ja) nuoli joukkoon P . On osoitettu, ett¨ a suhteikko G on (vahvasti) yhten¨ ainen. II 3.7 Lemma Olkoon K suhteikon G (vahvasti) yhten¨ ainen alisuhteikko. Oletetaan, ett¨ a PK 6= ∅. T¨ all¨ oin on olemassa t¨ asm¨ alleen yksi G:n (vahvasti) yhten¨ ainen komponentti H, jolle on voimassa PH ∩ PK 6= ∅. Komponentille H on lis¨ aksi voimassa K ≺ H. Todistus. Merkit¨ aa ¨n C = {L : L on G:n (vahvasti) yhten¨ ainen alisuhteikko ja W PL ∩ PK 6= ∅}. T¨ all¨ oin K ∈ C, joten C 6= ∅. Merkit¨ aa ¨n H = C. T¨ all¨ oin H on G:n alisuhteikko ja on voimassa K ≺ H ja PH ∩ PK 6= ∅. Osoitetaan, ett¨ a H on G:n (vahvasti) yhten¨ ainen komponentti. Koska jokaisella L ∈ C on voimassa PL ∩ PK 6= ∅, niin Lemman II 3.6 tuloksesta seuraa, ett¨ a H on (vahvasti) yhten¨ ainen. Toisaalta, jos J on G:n (vahvasti) yhten¨ ainen alisuhteikko, jolle on W voimassa H ≺ J , niin on voimassa J ∈ C ja t¨ aten J ≺ C = H. Edellisen nojalla H on G:n (vahvasti) yhten¨ ainen komponentti.

Jos H 0 on sellainen G:n (vahvasti) yhten¨ ainen komponentti, ett¨ a PH 0 ∩PK 6= ∅, W niin t¨ all¨ oin H 0 ∈ C; t¨ ast¨ a seuraa, ett¨ a on voimassa H 0 ≺ C = H ja edelleen, ett¨ a on voimassa H = H 0 .

II 3.8 Lause Olkoon G ep¨ atyhj¨ a suhteikko, olkoon K G:n kaikkien yhten¨ aisten komponenttien joukko ja olkoon Kv kaikkien G:n vahvasti yhten¨ aisten komponenttien joukko. T¨ all¨ oin perheet {PH : H ∈ K} ja {PH : H ∈ Kv } ovat joukon PG osituksia. Todistus. Jokaisella x ∈ PG , G:n alisuhteikko Kx = ({x}, ∅) on vahvasti yhten¨ ainen; lis¨ aksi jokaiselle G:n alisuhteikolle J on voimassa x ∈ PJ ⇐⇒ Kx ≺ J . Lauseen tulos seuraa n¨ ain ollen Lemman II 3.7 tuloksesta, koska viimeksimainitun tuloksen nojalla jokaisella x ∈ PG , relaatio Kx ≺ H p¨ atee t¨ asm¨ alleen yhdelle G:n (vahvasti) yhten¨ aiselle komponentille H. Yll¨ a olevan lauseen nojalla suhteikon G piste x on t¨ asm¨ alleen yhden G:n (vahvasti) yhten¨ aisen komponentin piste; kyseist¨ a komponenttia kutsutaan pisteen x (vahvasti) yhten¨ aiseksi komponentiksi suhteikossa G.

¨isyys. 3. Yhtena

30

II 3.9 Esimerkkej¨ a (a) Esimerkin II 3.2(a) suhteikko G2 on yhten¨ ainen, joten sill¨ a on vain yksi yhten¨ ainen komponentti, nimitt¨ ain G2 . Verkolla G2 on kaksi vahvasti yhten¨ aist¨ a komponenttia, sisemm¨ an neli¨ on pisteiden viritt¨ am¨ a alisuhteikko ja ulomman neli¨ on pisteiden viritt¨ am¨ a alisuhteikko. (b) Esimerkin II 3.2(b) verkon oikeanpuoleisesta esityksest¨ a n¨ akee helposti, ett¨ a kyseisell¨ a verkolla on kaksi yhten¨ aist¨ a komponenttia, mustien pisteiden joukon viritt¨ am¨ a aliverkko ja harmaiden pisteiden joukon viritt¨ am¨ a aliverkko. (b) Alla vasemmalla kuvatun verkon pisteiden a ja s yhten¨ aiset komponentit ovat seuraavat: j

i v

h u

g t

f

n

i

h

g

f v

u

t

s

o

p

q

r

m o

p

q

r

k a

j

s

l b

c

d

e

a

b

c

d

e

Osoitamme viel¨ a, ett¨ a suhteikon G yhten¨ aisten komponenttien nuolten ja viivojen joukot “jakavat” G:n vastaavat joukot. II 3.10 Lause Olkoon G suhteikko ja olkoon K G:n kaikkien yhten¨ aisten komponenttien joukko. T¨ all¨ oin perhe {NH : H ∈ K} on joukon NG ositus ja perhe {VH : H ∈ K} on joukon VG ositus. → ∈ NG , G:n alisuhteikko K− Todistus. Jokaisella − xz → xz , jonka pistejoukkona on → on yhten¨ {x, z} ja nuolten joukkona {− xz}, ainen. Lis¨ aksi jokaiselle G:n alisuhteikol→ ∈ NJ jos ja vain jos K− le J p¨ atee, ett¨ a− xz → xz ≺ J . Lemman II 3.7 tuloksesta seuraa → ∈ NH . n¨ ain ollen, ett¨ a on olemassa t¨ asm¨ alleen yksi H ∈ K, jolle on voimassa − xz Viivoja koskeva tulos todistetaan samalla lailla, tarkastelemalla nyt G:n ali→ − → xz, zx}. suhteikkoja Kxz , joilla on pistejoukkona {x, z} ja nuolten joukkona {− Edellisess¨ a todistuksessa esiintyv¨ at G:n alisuhteikot Kxz ovat vahvasti yhten¨ aisi¨ a ja t¨ aten Lemman II 3.7 tuloksesta seuraa, ett¨ a my¨ os perhe {V H : H on G:n vahvasti yhten¨ ainen komponentti} on joukon VG ositus. Vastaava tulos ei p¨ ade nuolten tapauksessa, kuten n¨ aemme tarkastelemalla edellisess¨ a todistuksessa esiintyv¨ aa ¨, muotoa K− am¨ an vahvasti yhten¨ aiset komponentit ovat → xz olevaa suhteikkoa: t¨ → ole kummankaan komponentin nuoli. alisuhteikot ({x}, ∅) ja ({z}, ∅), eik¨ a nuoli − xz

Luku II. Suhteikot ja verkot

31

My¨ osk¨ aa ¨n Esimerkin II 3.2(a) suhteikossa G2 ulommasta sisemp¨ aa ¨n neli¨ oo ¨n viev¨ a nuoli ei kuulu kumpaankaan G2 :n vahvasti yhten¨ aiseen komponenttiin. Voimme panna merkille, ett¨ a jos H ja J ovat suhteikon G yhten¨ aisi¨ a komponentteja ja H 6= J , niin Lauseiden II 3.8 ja II 3.10 sek¨ a Lemman II 3.5 tuloksista seuraa, ett¨ a G:ss¨ a ei ole nuolta, jonka toinen p¨ aa ¨tepiste olisi joukossa P H ja toinen joukossa PJ . Jos G on verkko, niin jokainen G:n yhten¨ ainen komponentti on Lemman II 3.5 nojalla verkko ja n¨ ain ollen, Lauseen II 3.3 nojalla, vahvasti yhten¨ ainen; t¨ ast¨ a seuraa, ett¨ a verkon tapauksessa yhten¨ aiset komponentit ovat vahvasti yhten¨ aisi¨ a komponentteja ja k¨ aa ¨nt¨ aen. Esit¨ amme lopuksi er¨ aa ¨n pisteiden ja viivojen lukum¨ aa ¨ri¨ a koskevan ep¨ ayht¨ al¨ on, joka p¨ atee kaikille yhten¨ aisille verkoille. Ep¨ ayht¨ al¨ on todistuksessa k¨ ayt¨ amme hyv¨ aksi seuraavaa aputulosta. II 3.11 Lemma Olkoon H sellainen a ¨a ¨rellinen kokoelma ep¨ atyhji¨ a suhteikkoja, W ett¨ a suhteikko H on yhten¨ ainen. T¨ all¨ oin voidaan kirjoittaa H = {Hi : i ∈ [n]} siten, ett¨ a jokaisella 1 < i ≤ n on voimassa PHi ∩ PHj 6= ∅ jollain j < i. Todistus. Merkit¨ aa ¨n n = |H| ja G =

W

H. Jos n = 0, niin ei ole mit¨ aa ¨n todis-

tamista. Jos n = 1, niin kirjoittamalla H = {H1 } saadaan H:lle vaadittu esitys. Oletetaan, ett¨ a n > 1. Valitaan H1 :ksi mielivaltainen kokoelman H j¨ asen ja osoitetaan, ett¨ a suhteikot H2 , ..., Hn voidaan valita rekursiivisesti niin, ett¨ a jokaisella S i−1 i = 2, ..., n on voimassa 1o Hi ∈ / {Hj : 1 ≤ j < i} ja 2o PHi ∩ j=1 PHj 6= ∅. Olkoon

k ∈ [n] sellainen luku, ett¨ a k > 1 ja suhteikot Hi , i ∈ [k − 1] on jo valittu niin,

ett¨ a ehdot 1o ja 2o toteutuvat jokaisella 1 < i < k. Osoitetaan, ett¨ a Hk voidaan Sk−1 valita niin, ett¨ a ehdot 1o ja 2o toteutuvat i:n arvolla k. Merkit¨ aa ¨n P = j=1 PHj . Jos P = PG , niin jokaisella H ∈ H on voimassa PH ∩ P 6= ∅, joten Hk :ksi voidaan

t¨ ass¨ a tapauksessa valita mik¨ a tahansa kokoelman H r {Hj : j < k} suhteikko. Oletetaan, ett¨ a P 6= PG . T¨ all¨ oin ∅ 6= P & PG , joten suhteikon G yhten¨ aisyyden → joukkoon P tai joukosta P . Pannaan merkille, ett¨ → ei nojalla G:ss¨ a on nuoli − xy a− xy ole mill¨ aa ¨n i ∈ [k − 1] suhteikon Hi nuoli; n¨ ain ollen jollain H 0 ∈ H r {Hj : j < k} → ∈ NH 0 . Koska nuolen − → yksi p¨ on voimassa − xy xy aa ¨tepiste on joukossa P , niin on voimassa PH 0 ∩ P 6= ∅; t¨ aten voidaan valita Hk = H 0 .

¨isyys. 3. Yhtena

32

Panemme merkille, ett¨ a jos edellisess¨ a lemmassa kokoelman H suhteikot ovat W yhten¨ aisi¨ a, niin lemman antama v¨ altt¨ am¨ at¨ on ehto suhteikon H yhten¨ aisyydelle on my¨ os riitt¨ av¨ a.

II 3.12 Lemma Olkoon H = {Hi : i ∈ [n]} sellainen a ¨a ¨rellinen kokoelma (vahvasti) yhten¨ aisi¨ a suhteikkoja, ett¨ a jokaisella 1 < i ≤ n on voimassa P Hi ∩ PHj 6= ∅ W jollain j < i. T¨ all¨ oin suhteikko G = H on (vahvasti) yhten¨ ainen. Todistus. Lemman II 3.6 tuloksesta seuraa induktiolla luvun k suhteen, ett¨ a jo
W Wk kaisella k ∈ [n], suhteikko i=1 Hi = ainen. i 1. Merkitsemme vG = n. Jokaisella v ∈ VG merkitsemme Hv :ll¨ a sit¨ a G:n aliverkkoa, jolla on pisteiden joukkona v:n p¨ aa ¨tepisteiden muodostama 2-joukko ja viivojen joukkona {v}. Merkitsemme H = {Hv : v ∈ VG }. Koska G on yhten¨ ainen, niin G:ss¨ a ei W ole eristettyj¨ a pisteit¨ a ja t¨ ast¨ a seuraa, ett¨ a on voimassa H = G. Lemman II

3.11 nojalla H:lla on sellainen esitys H = {Hi : i ∈ [n]}, ett¨ a jokaisella 1 < i ≤ n S on voimassa PHi ∩ j 1, koska S S PHi on 2-joukko, joka leikkaa joukkoa j 0 ja Jn−1 = Rn−1 {y}. T¨ all¨ oin Jn = Rn {y}, sill¨ a induktio–oletusta hyv¨ aksik¨ aytt¨ aen n¨ aemme jokaisella z ∈ X olevan voimassa z ∈ Jn ⇐⇒ ∃ sellainen G:n kulku (x0 , ..., xn ), ett¨ a x0 = z ja xn = y →1 ⊂ R ⇐⇒ ∃ sellainen G:n kulku (x1 , ..., xn ), ett¨ a xn = y ja − zx ⇐⇒ ∃ sellainen x1 ∈ Rn−1 {y}, ett¨ a z ∈ R{x1 }
⇐⇒ z ∈ R Rn−1 {y} ⇐⇒ z ∈ Rn {y} . II 4.10 Korollaari Suhteikossa G = (X, R) on kulku pisteest¨ a x pisteeseen y jos ja vain jos x ∈ R∞ {y}.

5. Hamiltonin kulut. N¨ aimme edell¨ a, ett¨ a jokaisessa vahvasti yhten¨ aisess¨ a suhteikossa on kulku (itse asiassa kierros), joka k¨ ay jokaisessa suhteikon pisteess¨ a. Seuraavaksi tarkastelemme sellaisia suhteikkoja, joissa on kulku tai kierros, joka k¨ ay jokaisessa suhteikon pisteess¨ a t¨ asm¨ alleen yhden kerran. M¨ a¨ aritelm¨ a Olkoon G suhteikko. Hamiltonin kulku G:ss¨ a on yksinkertainen kulku G:ss¨ a, joka k¨ ay jokaisessa G:n pisteess¨ a. Hamiltonin kierros on suljettu Hamiltonin kulku, joka ei ole muotoa (x, y, x). “Hamiltonin kulut” ovat saaneet nimens¨ a irlantilaisen matemaatikon W.R. Hamiltonin mukaan, joka ensimm¨ aisen¨ a eksplisiittisesti tutki n¨ ait¨ a kulkuja. Hamilton osoitti, ett¨ a jokaisessa avaruuden s¨ aa ¨nn¨ olliseen monitahokkaaseen liittyv¨ ass¨ a verkossa (kuten Luvussa II 1 mainituissa kuutioon ja s¨ aa ¨nn¨ olliseen 12– tahokkaaseen liittyviss¨ a verkoissa) on Hamiltonin kulku; v. 1856 h¨ an esitti “pelin”, joka perustui erilaisten Hamiltonin kierrosten etsimiseen s¨ aa ¨nn¨ olliseen 12– tahokkaaseen liittyv¨ ast¨ a verkosta ja h¨ an onnistui jopa kauppaamaan pelin lelutehtailijalle. Kun esit¨ amme s¨ aa ¨nn¨ ollisen dodekaedrin sopivan tasoprojektion avulla,

42

5. Hamiltonin kulut.

niin saamme siihen liittyv¨ alle verkolle seuraavanlaisen esityksen, josta n¨ akyy helposti, ett¨ a verkossa on Hamiltonin kierros.

Harjoitusteht¨ av¨ a. Osoita, ett¨ a yll¨ a kuvatussa verkossa on Hamiltonin kierros. “Hamiltonin kulkuja” oli kuitenkin erilaisissa konkreettisiss¨ a yhteyksiss¨ a tarkasteltu jo paljon ennen Hamiltonia. Esimerkiksi er¨ aa ¨t ikivanhat shakkipelin eri nappuloiden liikkeisiin liityv¨ at ongelmat voidaan palauttaa Hamiltonin kulkujen etsimiseen nappuloiden siirtojen m¨ aa ¨r¨ aa ¨mist¨ a verkoista. Esimerkki Tarkastelemme j¨ alleen shakkipelin kuninkaaseen ja hevoseen liittyvi¨ a verkkoja (katso Esimerkki¨ a II 2.5):

K

H

On triviaalia, ett¨ a verkossa K on Hamiltonin kulku ja lukija voi aivan helposti my¨ os l¨ oyt¨ aa ¨ K:sta Hamiltonin kierroksen. Paljon mielenkiintoisempi ongelma on se, onko verkossa H Hamiltonin kulkua tai kierrosta. T¨ am¨ a ongelma on ikivanha, mutta se tunnetaan kuitenkin usein “Eulerin ongelman” nimell¨ a, koska suuri 1700–luvun matemaatikko Leonard Euler oli ensimm¨ ainen, joka tarkasteli ongelmaa matemaattiselta kannalta; h¨ an julkaisi siit¨ a kirjoitelman “Ratkaisu er¨ aa ¨seen kiinnostavaan ongelmaan, jonka tutkiminen n¨ aytt¨ aa ¨ mahdottomalta”.

Luku II. Suhteikot ja verkot

43

My¨ os verkossa H on Hamiltonin kierros. Hamiltonin kulkua verkossa H kutsutaan “ratsun marssiksi”. N¨ ait¨ a ratsun marsseja on l¨ oytynyt tuhansia ja kiinnostavimpia ovat sellaiset, joilla on joitakin s¨ aa ¨nn¨ onmukaisuusominaisuuksia. Lukija voi helposti itsekin konstruoida ratsun marsseja valitsemalla aloitusruudun mielivaltaisesti ja soveltamalla sen j¨ alkeen joka askeleella nk. Warnsdorfin s¨ aa ¨nt¨ oa ¨: seuraavaksi siirryt¨ aa ¨n sellaiseen ruutuun, josta on pienin mahdollinen m¨ aa ¨r¨ a siirtoja “vapaisiin” ruutuihin; s¨ aa ¨nt¨ o voi tosin joskus (harvoin) johtaa umpikujaan, mutta yleens¨ a se toimii halutulla tavalla. Seuraavassa kuvassa on vasemmalla esitetty yksi (Warnsdorfin s¨ aa ¨nn¨ on avulla konstruoitu) ratsun marssi piirt¨ am¨ all¨ a kulun askelina olevat viivat n¨ akyviin; kuva ei m¨ aa ¨r¨ aa ¨ “kulkusuuntaa”, mutta valitsemalla “l¨ aht¨ opiste” saadaan viivoja seuraamalla m¨ aa ¨ritetty¨ a ratsun marssi. Keskell¨ a on esitetty yksi ratsun marssi numeroimalla shakkilaudan ruudut ratsun kulun m¨ aa ¨r¨ aa ¨m¨ ass¨ a j¨ arjestyksess¨ a; t¨ am¨ an marssin on l¨ oyt¨ anyt 1800-luvun suomalaissyntyinen shakkimestari Jaenisch (=J¨ anis) ja sill¨ a on se h¨ amm¨ astytt¨ av¨ a lis¨ aominaisuus, ett¨ a ruutujen numerointi antaa “puolittaisen taikaneli¨ on”: jokaisen vaakarivin numeroiden summa on sama luku (260) ja jokaisen pystyrivin numeroiden summa on sama luku (260). Alla oikealla on esitetty Jaenischin keksim¨ an marssin kulku piirt¨ am¨ all¨ a sen m¨ aa ¨r¨ aa ¨m¨ at viivat n¨ akyviin; t¨ ast¨ a esityksest¨ a n¨ akee, ett¨ a marssilla on “puolimaagisuuden” lis¨ aksi muitakin s¨ aa ¨nn¨ onmukaisuus– ja symmetriaominaisuuksia. 50 11 24 63 14 37 26 35 23 62 51 12 25 34 15 38 10 49 64 21 40 13 36 27 61 22 9

52 33 28 39 16

48 7

60 1

20 41 54 29

59 4

45 8

53 32 17 42

6

47 2

57 44 19 30 55

3

58 5

46 31 56 43 18

Jaenischin ja muiden shakin harrastajien l¨ oyt¨ am¨ at “puolimaagiset” ratsun marssit her¨ attiv¨ at kysymyksen, onko olemassa sellaista ratsun marssia, joka antaisi “oikean” taikaneli¨ on (jolloin my¨ os kummankin p¨ aa ¨halkaisijan numeroiden summa

44

5. Hamiltonin kulut.

on sama “maaginen” luku 260)? T¨ am¨ a ongelma ratkesi v. 2003 kun G. Stertenbrink ja J.C. Meyrignac onnistuivat tietokoneen avulla luettelemaan kaikki mahdolliset “puolimaagiset” ratsun marssit: niit¨ a l¨ oytyi 140 oleellisesti erilaista, eik¨ a mik¨ aa ¨n niist¨ a ollut oikeasti “maaginen”. Jos x ¯ on Hamiltonin kulku suhteikossa G, niin x ¯ on my¨ os Hamiltonin kulku suhteikossa Gs ; t¨ ast¨ a seuraa, ett¨ a suhteikko Gs on yhten¨ ainen ja n¨ ain muodoin, Lauseen II 3.3 nojalla, suhteikko G on yhten¨ ainen. Toisaalta, jos x ¯ on G:n Hamiltonin kierros, niin Lauseen II 4.6 tuloksesta seuraa, ett¨ a G on vahvasti yhten¨ ainen. Vahva yhten¨ aisyysk¨ aa ¨n ei ole riitt¨ av¨ a ehto Hamiltonin kulun olemassaololle. II 5.2 Esimerkkej¨ a (a) Alla kuvattu verkko on yhten¨ ainen ja t¨ aten vahvasti yhten¨ ainen, mutta siin¨ a ei ole Hamiltonin kulkua, koska jokainen kulku, joka k¨ ay kaikissa verkon pisteiss¨ a, k¨ ay ainakin kaksi kertaa verkon “keskipisteess¨ a” d.

c a

d

b

(b) Poistetaan shakkilaudan ruudukosta kaksi vastakkaista kulmaruutua ja tarkastellaan t¨ am¨ an typistetyn ruudukon viritt¨ am¨ aa ¨ hevosen liikkeiden m¨ aa ¨r¨ aa ¨m¨ an verkon H aliverkkoa H 0 :

Osoitetaan, ettei verkossa H 0 ole Hamiltonin kulkua, toisin sanoen, ettei typistetyss¨ a ruudukossa ole hevosen marssia. Ratkaisu: Hevosen liikkuessa ruudun v¨ ari vaihtuu jokaisella siirrolla. T¨ aten, jos verkossa H 0 olisi Hamiltonin kulku, niin valkoisten ja mustien ruutujen lukum¨ aa ¨r¨ at voisivat erota toisistaan korkeintaan yhdell¨ a (jos kulku olisi kierros, niin

Luku II. Suhteikot ja verkot

45

lukum¨ aa ¨rien olisi oltava samat). Koska yll¨ a kuvatussa typistetyss¨ a ruudukossa on 32 mustaa ruutua ja 30 valkoista ruutua, niin siihen liittyv¨ ass¨ a verkossa H 0 ei voi olla Hamiltonin kulkua. (c) Edellisess¨ a esimerkiss¨ a k¨ aytetty p¨ aa ¨ttely on usein k¨ aytt¨ okelpoinen Hamiltonin kulkuihin liittyviss¨ a tarkasteluissa. Annetaan sen k¨ ayt¨ ost¨ a toinenkin esimerkki osoittamalla, ettei alla kuvatussa verkossa ole Hamiltonin kulkua.

Ratkaisu: Merkit¨ aa ¨n kyseist¨ a verkkoa G:ll¨ a. Verkossa G on viisi pistett¨ a, joiden aste on nelj¨ a; merkit¨ aa ¨n n¨ aiden viiden pisteen joukkoa A:lla ja merkit¨ aa ¨n joukkoa PG r A B:ll¨ a. Pannaan merkille, etteiv¨ at mitk¨ aa ¨n kaksi joukon A pistett¨ a ole vierekk¨ ain G:ss¨ a eiv¨ atk¨ a mitk¨ aa ¨n kaksi joukon B pistett¨ a ole vierekk¨ ain G:ss¨ a; t¨ ast¨ a seuraa, ett¨ a jos x ¯ = (x0 , ..., xn ) on kulku G:ss¨ a, niin jokaisella i ∈ [n] on voimassa xi ∈ A ⇐⇒ xi−1 ∈ B ja t¨ ast¨ a seuraa edelleen, ett¨ a joukkojen {i ≤ n : xi ∈ A} ja {i ≤ n : xi ∈ B} alkioiden lukum¨ aa ¨r¨ at voivat erota toisistaan korkeintaan yhdell¨ a. Koska on voimassa |A| = 5 ja |B| = 8, niin edellisest¨ a seuraa, ettei mik¨ aa ¨n yksinkertainen kulku verkossa G voi kulkea kaikkien G:n pisteiden kautta. Yleens¨ a on vaikeaa p¨ aa ¨tell¨ a onko annetussa suhteikossa tai annetussa verkossa Hamiltonin kulkua. Tunnetaan kyll¨ a monia suhteellisen yksinkertaisia riitt¨ avi¨ a ehtoja Hamiltonin kulun olemassaololle, mutta yksinkertaisia v¨ altt¨ am¨ att¨ omi¨ a ja riitt¨ avi¨ a ehtoja ei ole l¨ oytynyt. Ei my¨ osk¨ aa ¨n tunneta mit¨ aa ¨n “tehokkaita” algoritmeja, joiden avulla voitaisiin selvitt¨ aa ¨ onko annetussa suhteikossa Hamiltonin kulkua vai ei. Annetaan nyt er¨ as riitt¨ av¨ a ehto Hamiltonin kulun olemassaololle. On triviaalia, ett¨ a t¨ aydellisess¨ a verkossa on Hamiltonin kulku. Osoitetaan nyt, ett¨ a my¨ os jokaisessa t¨ aydellisess¨ a suhteikossa on Hamiltonin kulku. Todistetaan ensin er¨ as aputulos.

46

5. Hamiltonin kulut.

II 5.3 Lemma Olkoon G t¨ aydellinen suhteikko, olkoon x ¯ = (x0 , ..., xn ) kulku G:ss¨ a ja olkoon u sellainen G:n piste, joka ei kuulu joukkoon P (¯ x). T¨ all¨ oin on olemassa sellainen 0 ≤ j ≤ n + 1, ett¨ a jono z¯ = (z0 , ..., zn+1 ), miss¨ a zi = xi kun i < j, zj = u ja zi = xi−1 kun i > j, on kulku suhteikossa G. −→0 , niin voimme valita j = 0 ja jos G:ss¨ Todistus. Jos G:ss¨ a on nuoli − ux a on nuoli −− → x n u, niin voimme valita j = n + 1. −→0 eik¨ → Oletamme, ettei G:ss¨ a ole nuolta − ux a nuolta − x− aydellin u. Koska G on t¨ → −−→ nen, niin G:ss¨ a on t¨ all¨ oin nuolet − x− a ep¨ atyhj¨ an joukon 0 u ja uxn . Merkitseme k:ll¨ A = {i ∈ [n] : − x→ a 1 ≤ k < n. i u ∈ NG } suurinta lukua ja panemme merkille, ett¨ Osoitamme, ett¨ a luvulla j = k + 1 on lemmassa vaadittu ominaisuus. M¨ aa ¨rittelemme jonon z¯ kuten lemmassa. Koska 1 < j < n + 1 ja koska jono (x0 , ..., xn ) on kulku G:ss¨ a, niin n¨ aemme, ett¨ a jono z¯ on kulku G:ss¨ a, mik¨ ali G:ss¨ a on nuolet − −→ −−→ −→ x− a on nuoli − x− j−1 u ja uxj . Koska j − 1 = k ja k ∈ A, G:ss¨ j−1 u. Luvun k mak−−→ simaalisuudesta seuraa, ett¨ a k+1 ∈ / A eli j ∈ / A. T¨ aten G:ss¨ a ei ole nuolta x j u; −→j . t¨ ast¨ a seuraa G:n t¨ aydellisyyden nojalla, ett¨ a G:ss¨ a on nuoli − ux II 5.4 Lause Jokaisessa t¨ aydellisess¨ a suhteikossa on Hamiltonin kulku. Todistus. Olkoon G ep¨ atyhj¨ a t¨ aydellinen suhteikko. Merkitsemme n:ll¨ a suurinta lukua k, jolla on olemassa sellainen kulku z¯ = (z0 , ...zk ) suhteikossa G, ett¨ a |P (¯ z )| = k + 1; panemme merkille, ett¨ a 0 ≤ n < |PG |. Olkoon x ¯ = (x0 , ..., xn ) sellainen kulku G:ss¨ a, ett¨ a |P (¯ x)| = n + 1. Osoitamme, ett¨ a P (¯ x) = PG . Teemme vastav¨ aitteen: on olemassa u ∈ PG r P (¯ x). Edellisen lemman nojalla on olemassa sellainen kulku z¯ = (z0 , ..., zn+1 ) G:ss¨ a, ett¨ a P (¯ z ) = P (¯ x) ∪ {u}. Koska |P (¯ x)| = n + 1 ja u ∈ / P (¯ x), on voimassa |P (¯ z )| = n + 2. T¨ am¨ a on ristiriidassa luvun n maksimaalisuuden kanssa. T¨ aten vastav¨ aite on v¨ aa ¨r¨ a ja on voimassa P (¯ x) = PG . Koska |P (¯ x)| = n + 1, kulku x ¯ on yksinkertainen; n¨ ain ollen x ¯ on Hamiltonin kulku. Jos (x0 , ..., xn ) on Hamiltonin kulku suhteikossa G, niin piste x0 on selv¨ astikin suhteikon G juuri. T¨ aten saamme seuraavan tuloksen. Korollaari Jokaisella ep¨ atyhj¨ all¨ a t¨ aydellisell¨ a suhteikolla on juuri.

Luku II. Suhteikot ja verkot

47

Harjoitusteht¨ av¨ a. Etsi Hamiltonin kulku luvussa II.2 (s. 24) kuvatusta seitsem¨ an pisteen t¨ aydellisest¨ a suhteikosta. Onko suhteikossa Hamiltonin kierrosta? T¨ aydellisess¨ a suhteikossa ei ole v¨ altt¨ am¨ att¨ a Hamiltonin kierrosta, kuten n¨ ah→ − d¨ aa ¨n esimerkiksi tarkastelemalla suhteikkoa H: PH = {1, 2} ja NH = {12}. Edell¨ a totesimme, ett¨ a v¨ altt¨ am¨ at¨ on ehto Hamiltonin kierroksen olemassaololle on suhteikon vahva yhten¨ aisyys; osoitamme nyt, ett¨ a t¨ am¨ a v¨ altt¨ am¨ at¨ on ehto on t¨ aydellisen suhteikon tapauksessa my¨ os riitt¨ av¨ a. II 5.5 Lause T¨ aydellisess¨ a suhteikossa on Hamiltonin kierros jos ja vain jos suhteikko on vahvasti yhten¨ ainen. Todistus. Olkoon H vahvasti yhten¨ ainen t¨ aydellinen suhteikko. Osoitamme, ett¨ a H:ssa on Hamiltonin kierros. Tyhj¨ a jono on tyhj¨ an suhteikon Hamiltonin kierros, joten voimme olettaa, ett¨ a H on ep¨ atyhj¨ a suhteikko. T¨ all¨ oin H:ssa on ainakin nolla–askelisia yksinkertaisia kierroksia (x). Panemme merkille, ett¨ a jos x ¯ on yksinkertainen kierros H:ssa, niin x ¯:n askelten lukum¨ aa ¨r¨ a on korkeintaan sama kuin H:n pisteiden lukum¨ aa ¨r¨ a; t¨ ast¨ a seuraa, ett¨ a H:ssa on sellainen yksinkertainen kierros z¯ = (z0 , ..., zm ), ett¨ a jokaisen muun H:n yksinkertaisen kierroksen askelten lukum¨ aa ¨r¨ a on korkeintaan m. Osoitamme, ett¨ a z¯ on Hamiltonin kierros eli ett¨ a P (¯ z ) = PH . Teemme vastav¨ aitteen: P (¯ z ) 6= PH . Merkitsemme P = PH r P (¯ z ). T¨ all¨ oin ∅ 6= P & PH . Tarkastelemme kahta eri tapausta: Tapaus 1o . Oletamme, ett¨ a on olemassa sellainen joukon P piste p ja sellaiset − → ja py. − → Huomaamme, ett¨ joukon P (¯ z ) pisteet x ja y, ett¨ a H:ssa on nuolet xp a on oltava m > 0, koska muuten olisi x = y ja (x, p, x) olisi 2-askeleinen yksinkertainen kierros H:ssa. Lemman II 4.1(c) nojalla voimme olettaa, ett¨ a on voimassa x = z0 . Olkoon y = zk , miss¨ a k = m jos x = y. Merkitsemme ` = min{i ∈ [k] : − →i ∈ NH }. Jos ` > 1, niin − −− → px pz ast¨ a seuraa t¨ aydellisyyden nojalla, `−1 6∈ NH ja t¨ −→ ett¨ a − z− am¨ a ehto p¨ atee my¨ os tapauksessa ` = 1, koska z0 = x. Nyt `−1 p ∈ NH ; t¨ n¨ aemme, ett¨ a z¯0 = (z0 , ..., z`−1 , p, z` , ...zm ) on yksinkertainen kierros H:ssa; t¨ am¨ a on kuitenkin ristiriidassa luvun m maksimaalisuuden kanssa, sill¨ a kierroksen z¯0 askelten lukum¨ aa ¨r¨ a on m + 1. Tapaus 2o . Oletamme, ettei mill¨ aa ¨n joukon P pisteell¨ a p ole olemassa joukon P (¯ z) → ∈ NH ja − → ∈ NH . T¨ pisteit¨ a x ja y, joille olisi voimassa − xp py all¨ oin suhteikon

48

5. Hamiltonin kulut.

H t¨ aydellisyydest¨ a seuraa, ett¨ a on voimassa P = Q ∪ R, miss¨ a R = {r ∈ P : → − → ∈ NH jokaisella x ∈ ry ∈ NH jokaisella y ∈ P (¯ z )} ja Q = {q ∈ P r R : − xq P (¯ z )}. Vahvan yhten¨ aisyyden nojalla H:ss¨ a on nuoli joukosta P ja t¨ ast¨ a seuraa, koska H:ssa ei ole nuolta joukosta Q joukkoon P (¯ z ) = PH r P , ett¨ a on voimassa → − R 6= ∅. Vahvan yhten¨ aisyyden nojalla H:ssa on nuoli ab, miss¨ a a 6∈ R ja b ∈ R. Koska H:ssa ei ole nuolta joukosta P (¯ z ) joukkoon R, on voimassa a ∈ Q. Nyt (z0 , a, b, z1, ..., zm) on m + 2–askeleinen yksinkertainen kierros H:ssa ja t¨ am¨ a on ristiriidassa luvun m maksimaalisuusominaisuuden kanssa. Koska molemmat tapaukset johtivat ristiriitaan, vastav¨ aite on v¨ aa ¨r¨ a ja z¯ on Hamiltonin kierros H:ssa. Annamme lopuksi er¨ aa ¨n k¨ aytt¨ okelpoisen riitt¨ av¨ an (muttei v¨ altt¨ am¨ att¨ om¨ an) ehdon Hamiltonin kierroksen olemassaololle verkossa. Todistuksessa tarvitsemme seuraavaa apulausetta. II 5.6 Lemma Olkoon (x0 , ..., xn ) Hamiltonin kulku verkossa H. Jos H:ssa ei ole Hamiltonin kierrosta, niin on voimassa dH (x0 ) + dH (xn ) < pH . Todistus. Oletamme, ettei H:ssa ole Hamiltonin kierrosta; panemme merkille, ett¨ a t¨ all¨ oin x0 xn ∈ / VH . Panemme my¨ os merkille, ett¨ a koska (x0 , ..., xn) on Hamiltonin kulku muttei kierros, niin pH = n + 1. Merkitsemme A = {i ∈ [n] : x0 xi ∈ VH } ja B = {j ∈ [n] : xn xj ∈ VH } ja panemme merkille, ett¨ a dH (x0 ) = |A| ja dH (xn ) = |B|. Jokaisella i ∈ A on voimassa i − 1 ∈ / B, sill¨ a muussa tapauksessa jono (x0 , xi , xi+1 , ..., xn−1 , xn , xi−1 , xi−2 , ..., x1, x0 ) olisi Hamiltonin kierros verkossa H. Edellisen nojalla joukossa {0, ..., n} on ainakin |A| alkiota j, miss¨ a j < n, jotka eiv¨ at kuulu joukkoon B; koska my¨ osk¨ aa ¨n luku n ei kuulu joukkoon B, saamme ep¨ ayht¨ al¨ on |B| < n+1−|A| eli dH (x0 )+dH (xn ) < pH .

II 5.7 Lause Olkoon G sellainen verkko, jonka pisteiden lukum¨ aa ¨r¨ a on suurempi kuin kaksi ja jonka kaikille pisteille a 6= b p¨ atee, ett¨ a jos a ja b eiv¨ at ole vierekk¨ ain G:ss¨ a, niin dG (a) + dG (b) ≥ pG . T¨ all¨ oin verkossa G on Hamiltonin kierros.

Luku II. Suhteikot ja verkot

49

Todistus. Merkitsemme W = {xy : x, y ∈ PH , x 6= y ja xy ∈ / VH } ja esit¨ amme joukon W muodossa {v1 , ..., vm}. Merkitsemme jokaisella 0 ≤ i ≤ m Hi :ll¨ a ehtojen PHi = PG ja VHi = VG ∪ {vj : j ∈ [i]} m¨ aa ¨r¨ aa ¨m¨ aa ¨ verkkoa. Panemme merkille, ett¨ a H0 = G ja Hm on t¨ aydellinen verkko. T¨ aydellisess¨ a verkossa Hm on enemm¨ an kuin kaksi pistett¨ a ja t¨ aten Hm :ss¨ a on Hamiltonin kierros. Osoitamme, ett¨ a my¨ os verkossa H0 = G on t¨ allainen kierros. Teemme vastav¨ aitteen: H0 :ssa ei ole Hamiltonin kierrosta. Merkitsemme k:lla lukujoukon {i ∈ [m] : Hi :ss¨ a on Hamiltonin kierros} pienint¨ a lukua ja merkitsemme edelleen Hk−1 = H, Hk = J ja vk = v. T¨ all¨ oin verkossa J on Hamiltonin kierros, mutta verkossa H ei ole. Osoitamme, ett¨ a verkossa H on Hamiltonin kulku. Olkoon x ¯ = (x0 , ..., xt ) Hamiltonin kierros verkossa J . Koska PH = PJ ja VH = VJ r {v}, on jollain i ∈ [t] oltava voimassa xi−1 xi = v: muussa tapauksessa x ¯ olisi Hamiltonin kierros my¨ os verkossa H. Lemman II 3.1(c) nojalla voimme olettaa, ett¨ a on voimassa x0 x1 = v. Kierroksen x ¯ yksinkertaisuudesta seuraa nyt, ett¨ a jokaisella 1 < i ≤ n on voimassa xi−1 xi 6= v ja t¨ ast¨ a seuraa, ett¨ a jono x ¯0 = (x1 , ..., xn ) on kulku verkossa H; jono x ¯0 on Hamiltonin kulku, koska on voimassa xn = x0 ja t¨ aten {x1 , ..., xn} = {x0 , ..., xn }. Edellisen lemman nojalla on voimassa dH (x1 ) + dH (xm ) < pH . Koska G on H:n aliverkko ja PG = PH , niin edellisest¨ a seuraa, ett¨ a dG (x1 )+dG (xm ) < pG ; t¨ ast¨ a ep¨ ayht¨ al¨ ost¨ a seuraa kuitenkin ristiriita lauseen oletuksen kanssa, sill¨ a pisteet x1 ja xm eiv¨ at ole vierekk¨ ain G:ss¨ a, koska x1 xm = x0 x1 = v = vk ei ole G:n viiva. II 5.8 Korollaari Verkossa G on Hamiltonin kierros, mik¨ ali |PG | > 2 ja jokaisella x ∈ PG on voimassa dG (x) ≥ 12 pG . Edellisten tulosten nojalla voimme p¨ aa ¨tell¨ a, ett¨ a alla olevista verkoista l¨ oytyy Hamiltonin kierrokset (etsi!) 10 9

8

11

8

7

12

7

1

6

2

5

3 4

9

8

10

6

7

1

5

2

4

3

9

10

6

1

5

2

4

3

50

6. Riippumattomat joukot.

6. Riippumattomat joukot. Luvussa I 2 esitetty Hallin lause antaa v¨ altt¨ am¨ att¨ om¨ an ja riitt¨ av¨ an ehdon sille, ett¨ aa ¨a ¨rellisten joukkojen X ja Y v¨ alinen relaatio R ⊂ X × Y sis¨ alt¨ aa ¨ injektion X → Y . Tarkoituksenamme on t¨ ass¨ a luvussa esitt¨ aa ¨ Hallin lauseen seurauksia verkoille. M¨ aa ¨rittelemme ensin tilanteeseen sopivaa terminologiaa. II 6.1 M¨ a¨ aritelm¨ a Olkoon G verkko. Joukko E ⊂ PG on riippumaton pistejoukko, jos mitk¨ aa ¨n kaksi joukon E pistett¨ a eiv¨ at ole vierekk¨ ain G:ss¨ a. Joukko W ⊂ VG on riippumaton viivajoukko, jos mill¨ aa ¨n kahdella joukon W viivalla ei ole yhteisi¨ a p¨ aa ¨tepisteit¨ a. Merkitsemme jokaisella viivajoukolla W ⊂ VG joukon W viivojen p¨ aa ¨tepisteiden joukkoa {x ∈ PG : xy ∈ W jollain y ∈ PG } symbolilla PW . Joukon W viritt¨ am¨ a G:n aliverkko on ehtojen PH = PW ja VH = W m¨ aa ¨ritt¨ am¨ a verkko H. Huomaamme, ett¨ a viivajoukon viritt¨ am¨ ass¨ a verkossa ei ole eristettyj¨ a pisteit¨ a. Panemme my¨ os merkille, ett¨ a verkon G viivajoukko W on riippumaton jos ja vain jos W :n viritt¨ am¨ a G:n aliverkko on 1-s¨ aa ¨nn¨ ollinen. Riippumattomille viivajoukoille k¨ aytet¨ aa ¨n usein eri tilanteisiin sopivaa, “v¨ arikk¨ aa ¨mp¨ aa ¨” terminologiaa. Riippumattomalle viivajoukolle W k¨ aytet¨ aa ¨n toisinaan nimityst¨ a “parijako” (engl. “matching”), koska W “jakaa” pistejoukon P W pareihin {x, y}, xy ∈ W . Voimme my¨ os kutsua 1-s¨ aa ¨nn¨ ollisi¨ a verkkoja “pariverkoiksi”. Sanomme, ett¨ a viivajoukko W ⊂ VG peitt¨ aa ¨ pistejoukon Q ⊂ PG , mik¨ ali Q ⊂ PW . Sanomme my¨ os, ett¨ a pistejoukko P peitt¨ aa ¨ viivajoukon W , mik¨ ali jokaisella W :n viivalla on ainakin yksi p¨ aa ¨tepiste joukossa P . Panemme merkille, ett¨ a verkon kaikkien pisteiden joukko peitt¨ aa ¨ kaikkien viivojen joukon, mutta kaikkien viivojen joukko ei peit¨ a verkon eristettyj¨ a pisteit¨ a. Viivajoukko W ⊂ VG on t¨ aydellinen parijako verkossa G, mik¨ ali W on riippumaton ja W peitt¨ aa ¨ joukon PG . Huomaamme, ett¨ a jos verkossa on t¨ aydellinen parijako, niin verkon pisteiden lukum¨ aa ¨r¨ a on parillinen, eik¨ a verkossa ole eristettyj¨ a pisteit¨ a. Toteamme seuraavaksi, ett¨ a verkon riippumattomat piste- ja viivajoukot liittyv¨ at verkon relaation sis¨ alt¨ amiin injektioihin.

Luku II. Suhteikot ja verkot

51

II 6.2 Lemma Olkoon G = (X, R) verkko. (a) Jos E on G:n riippumaton pistejoukko ja f ⊂ R on injektio E → X, niin G:n viivajoukko {pf (p) : p ∈ E} on riippumaton. (b) Jos G:n riippumaton viivajoukko W peitt¨ aa ¨ G:n pistejoukon D, niin R sis¨ alt¨ aa ¨ injektion D → X. Todistus. Harjoitusteht¨ av¨ a. Olkoon G = (X, R) verkko. Jokaisella pistejoukolla A ⊂ X on voimassa aten luku |R(A)| ilmaisee niiden R(A) = {b ∈ X : ab ∈ VG jollain a ∈ A}. T¨ G:n pisteiden lukum¨ aa ¨r¨ an, joihin on viiva joukosta A. Sanomme, ett¨ a Hallin ehto toteutuu G:n pistejoukolle E, mik¨ ali |A| ≤ |R(A)| jokaisella A ⊂ E. Jos Hallin ehto toteutuu G:n riippumattomalle pistejoukolle E, niin voimme soveltaa Hallin lausetta (Lause I 2.2) relaatioon R ∩ (E × X); n¨ ain saamme edellisen lemman nojalla seuraavan tuloksen, jota voi kutsua Hallin lauseeksi verkoille. II 6.3 Lause Verkon G = (X, R) riippumaton pistejoukko E on jonkun G:n riippumattoman viivajoukon peitt¨ am¨ a jos ja vain Hallin ehto toteutuu joukolle E. Verkko G on kaksijakoinen, jos joukko PG on kahden riippumattoman joukon yhdiste. Selv¨ astikin kaksijakoisen verkon jokainen aliverkko on kaksijakoinen ja verkko on kaksijakoinen, mik¨ ali verkon jokainen komponentti on kaksijakoinen. II 6.4 Esimerkki M¨ aa ¨ritelm¨ an II 1.3 j¨ alkeisess¨ a esimerkiss¨ a tarkasteltiin verkkoa G, jonka pistein¨ a ovat 4 × 4 shakkilaudan ruudut ja jossa kahta ruutua yhdist¨ aa ¨ viiva jos ja vain jos shakkipelin hevosnappula p¨ aa ¨see yhdell¨ a “hypyll¨ a” ruudusta toiseen. Verkko G on kaksijakoinen, koska ruudun v¨ ari aina vaihtuu hevosen hypyss¨ a. Verkon esitys “tyypillisen¨ a” kaksijakoisena verkkona ei kuitenkaan ole kovin havainnollinen ja monet verkon ominaisuudet tulevat paremmin n¨ akyviin verkon alkuper¨ aisest¨ a tai sen aikaisemmin tarkastellusta isomorfisesta esityksest¨ a:

52

6. Riippumattomat joukot. L¨ oyd¨ amme G:st¨ a helposti t¨ aydellisen parijaon.

Alla G:n vasemmanpuoli-

sissa esityksiss¨ a n¨ akyy nelj¨ a yksinkertaiseen kierrokseen liittyv¨ aa ¨ viivajoukkoa R1 , R2 , R3 , R4 , joiden pistejoukot PR1 , PR2 , PR3 , PR4 ovat kesken¨ aa ¨n erilliset. On voimassa PR1 ∪ PR2 ∪ PR3 ∪ PR4 = PG ja jos valitsemme kustakin joukosta Ri kahden viivan riippumattoman osajoukon Ui , niin U1 ∪ U2 ∪ U3 ∪ U4 on t¨ aydellinen parijako verkossa G. Alla oikeanpuolimmaisessa G:n esityksess¨ a n¨ akyy t¨ all¨ a tavalla muodostettu t¨ aydellinen parijako.

Edellist¨ a lausetta k¨ aytet¨ aa ¨n usein kaksijakoisen verkon G tapauksessa valitsemalla E:ksi jompikumpi niist¨ a kahdesta riippumattomasta joukosta, joiden yhdisteen¨ a joukko PG on esitetty. Monia tilanteita, joissa Hallin lausetta sovelletaan, voidaan luontevasti kuvailla kaksijakoisen verkon avulla. Esimerkiksi Luvussa I 2 mainittu ty¨ ollist¨ amisongelma, miss¨ a henkil¨ oit¨ a X sovitetaan ty¨ opaikkoihin Y , voidaan esitt¨ aa ¨ verkon G avulla, miss¨ a PG = X ∪ Y ja VG = {xy : henkil¨ o x voi suorittaa ty¨ on y}. Joukon X peitt¨ av¨ a G:n riippumaton viivajoukko vastaa henkil¨ oiden X sovittamista ty¨ opaikkoihin Y . II 6.5 Lause Olkoon verkko G = (X, R) kaksijakoinen ja `-s¨ aa ¨nn¨ ollinen, miss¨ a ` > 0. T¨ all¨ oin verkossa G on t¨ aydellinen parijako. Todistus. Jokaisella x ∈ X on voimassa |R{x}| = ` = |R −1 {x}| ja t¨ ast¨ a seuraa Korollaarin I 2.4 nojalla, ett¨ a R sis¨ alt¨ aa ¨ injektion f : X → X. Esit¨ amme G:n pisteiden joukon X muodossa A ∪ B, miss¨ a joukot A ja B ovat riippumattomia. T¨ all¨ oin f |A on kuvaus A → B ja f |B on kuvaus B → A ja t¨ ast¨ a seuraa f :n injektiivisuuden nojalla, ett¨ a |A| = |B|. T¨ aten f |A on bijektio A → B. Lemman II 6.2 nojalla G:n viivajoukko W = {af (a) : a ∈ A} on riippumaton. Lis¨ aksi W peitt¨ aa ¨ sek¨ a joukon A ett¨ a joukon B, joten W on G:n t¨ aydellinen parijako.

Luku II. Suhteikot ja verkot

53

Edellinen tulos ei p¨ ade yleisille s¨ aa ¨nn¨ ollisille verkoille. Esimerkiksi 2-s¨ aa ¨nn¨ ollisess¨ a “kolmioverkossa” K3 ei ole t¨ aydellist¨ a parijakoa. Luvussa I 2 tarkistelimme t¨ aydellist¨ a parijakoa vastaavan “t¨ aydellisen sovituksen” olemassaolon lis¨ aksi my¨ os “mahdollisimman hyv¨ an osittaisen sovituksen” olemassaoloa. Seuraava tulos on verkkoteoreettinen vastine mahdollisimman hyv¨ an osittaisen sovituksen olemassaoloa koskevalle lauseelle I 2.5. II 6.6 Lause Olkoon A verkon G = (X, R) riippumaton pistejoukko. Merkitsemme δA :lla suurinta luvuista |D| − |R(D)|, miss¨ a D ⊂ A. T¨ all¨ oin joukolla A on sellainen osajoukko E, ett¨ a |E| = |A| − δA ja E on jonkun G:n riippumattoman viivajoukon peitt¨ am¨ a. Todistus. T¨ am¨ a tulos seuraa Lauseesta I 2.5 Lemman II 6.2 sek¨ a Lausetta II 6.3 edelt¨ av¨ an huomion nojalla. Todistamme nyt edellisen lauseen avulla kaksijakoisia verkkoja koskevan “K¨ onigin lauseen”. II 6.7 Lause Olkoon G kaksijakoinen verkko. T¨ all¨ oin G:n suurikokoisin riippumaton viivajoukko on samankokoinen kuin pienikokoisin G:n pistejoukko, joka peitt¨ aa ¨ G:n kaikkien viivojen joukon. Todistus. Merkitsemme I = {W ⊂ VG : W on riippumaton} ja i = max{|W | : W ∈ I} sek¨ a C = {C ⊂ PG : C peitt¨ aa ¨ joukon VG } ja c = min{|C| : C ∈ C}. Jos C ∈ C ja W ∈ I, niin jokaisella xy ∈ W on voimassa {x, y} ∩ C 6= ∅; t¨ ast¨ a seuraa W :n riippumattomuuden nojalla, ett¨ a |C| ≥ |W |. T¨ am¨ an huomion nojalla p¨ atee ep¨ ayht¨ al¨ o c ≥ i. Osoitamme viel¨ a, ett¨ a c ≤ i. Olkoon G = (X, R). Koska G on kaksijakoinen, on olemassa sellaiset G:n riippumattomat pistejoukot A ja B, ett¨ a X = A∪B ja A ∩ B = ∅. Merkitsemme δA = max{|D| − |R(D)| : D ⊂ A}. Lauseen II 6.6 nojalla on olemassa sellainen joukko E ⊂ A, ett¨ a |E| = |A| − δA ja E on jonkun G:n riippumattoman viivajoukon peitt¨ am¨ a. Lauseen I 2.5 todistuksen viimeisen kappaleen sis¨ alt¨ am¨ a p¨ aa ¨ttely osoittaa, ett¨ a E on suurikokoisin A:n osajoukko, joka on jonkun G:n riippumattoman viivajoukon peitt¨ am¨ a; t¨ ast¨ a puolestaan seuraa, koska E ⊂ A ja A on G:n “kaksijaon toinen tekij¨ a”, ett¨ a |E| = i. Edell¨ a esitetyn nojalla p¨ atee, ett¨ a i = |A| − δA .

54

6. Riippumattomat joukot. Todistuksen loppuun saattamiseksi osoitamme, ett¨ a c ≤ |A| − δA . Olkoon

joukolle F ⊂ A voimassa |F | − |R(F )| = δA . N¨ aemme helposti, ett¨ a verkon G pistejoukko (A r F ) ∪ R(F ) peitt¨ aa ¨ kaikki verkon G viivat. N¨ ain ollen c ≤ |(A r F ) ∪ R(F )| = |A| − |F | + |R(F )| = |A| − δA . Riippumattomilla viivajoukoilla ja riippumattomilla pistejoukoilla on yhteys verkon “viivaverkon” v¨ alityksell¨ a. II 6.8 M¨ a¨ aritelm¨ a Verkon G viivaverkko on se verkko L(G), jolla PL(G) = VG ja jossa v w ∈ VL(G) jos ja vain jos v, w ∈ PL(G) , v 6= w ja G:n viivoilla v ja w on yhteinen p¨ aa ¨tepiste. Suoraan pisteiden ja viivojen riippumattomuuden m¨ aa ¨ritelmien nojalla saamme seuraavan tuloksen. II 6.9 Lemma Olkoon G verkko ja W ⊂ VG . T¨ all¨ oin W on G:n riippumaton viivajoukko jos ja vain jos W on L(G):n riippumaton pistejoukko. Verkon G riippumattomuusluku ρ(G) on max{|R| : R ⊂ PG ja R on riippumaton} ja G:n riippumattomuusindeksi ν(G) on max{|W | : W ⊂ VG ja W on riippumaton}. Edellisen lemman nojalla p¨ atee yht¨ al¨ o ν(G) = ρ(L(G)). Jos G on kaksijakoinen, niin K¨ onigin lauseen nojalla luku ν(G) ilmoittaa my¨ os pienimm¨ an kaikki viivat peitt¨ av¨ an pistejoukon koon. Esit¨ amme viel¨ a yhden sovelluksen Hallin lauseelle. II 6.10 Lause Olkoot E ja F sellaisia verkon G riippumattomia pistejoukkoja, ett¨ a |F | = ρ(G) ja E ∩ F = ∅. T¨ all¨ oin on olemassa sellainen injektio ϕ : E → F , ett¨ a xϕ(x) ∈ VG jokaisella x ∈ E. Todistus. Olkoon G = (X, R). Merkitsemme S = R ∩ (E × F ) ja osoitamme, ett¨ a relaatio S sis¨ alt¨ aa ¨ injektion E → F . Hallin lauseen nojalla riitt¨ aa ¨ n¨ aytt¨ aa ¨, ett¨ a jokaisella A ⊂ E on voimassa |S(A)| ≥ |A|. Teemme vastav¨ aitteen: on olemassa sellainen joukko D ⊂ E, ett¨ a |S(D)| < |D|. Merkitsemme F 0 = (F r S(D)) ∪ D ja panemme merkille, ett¨ a |F 0 | > |F |. Koska |F | = ρ(G), joukko F 0 ei ole riippumaton. Olkoot x ja y sellaisia F 0 :n pisteit¨ a, ett¨ a xy ∈ VG . Joukon F riippumattomuuden nojalla {x, y} 6⊂ F . Olkoon siis vaikkapa x ∈ D. T¨ all¨ oin y ∈ S{x} ⊂ S(D) ja t¨ ast¨ a seuraa, koska y ∈ F 0 , ett¨ a y ∈ D. Nyt x, y ∈ D,

Luku II. Suhteikot ja verkot

55

mutta t¨ am¨ a on ristiriidassa joukon D riippumattomuuden kanssa. Vastav¨ aite on edellisen nojalla v¨ aa ¨r¨ a ja voimme p¨ aa ¨tell¨ a Hallin lauseen avulla, ett¨ a relaatio S sis¨ alt¨ aa ¨ injektion ϕ : E → F . Koska S ⊂ R, jokaisella x ∈ E on voimassa xϕ(x) ∈ VG . Lemman II 6.1(a) ja edellisen lauseen nojalla p¨ atee seuraava tulos: II 6.11 Korollaari Olkoot E ja F sellaisia verkon G riippumattomia pistejoukkoja, ett¨ a |F | = ρ(G) ja E ∩ F = ∅. T¨ all¨ oin |E| ≤ ν(G). Jos edellisen lauseen tilanteessa ehto E ∩ F = ∅ ei ole voimassa, niin voimme soveltaa lausetta joukkoihin E 0 = E r F ja F , jolloin saamme seuraavan tuloksen. II 6.12 Korollaari Olkoot E ja F verkon G riippumattomia pistejoukkoja ja olkoon |F | = ρ(G). T¨ all¨ oin on olemassa sellainen injektio ϕ : E → F , ett¨ a jokaisella x ∈ E on voimassa joko ϕ(x) = x tai xϕ(x) ∈ VG . Johdamme viel¨ a vastaavan tuloksen verkon riippumattomille viivajoukoille: II 6.13 Korollaari Olkoot U ja W verkon G riippumattomia viivajoukkoja ja olkoon |W | = ν(G). T¨ all¨ oin on olemassa sellainen injektio θ : U → W , ett¨ a jokaisella v ∈ U , viivoilla v ja θ(v) on yhteinen p¨ aa ¨tepiste. Todistus. Lemman II 6.9 nojalla U ja W ovat G:n viivaverkon L(G) riippumattomia pistejoukkoja ja |W | = ρ(L(G)). Korollaarin II 6.12 nojalla on olemassa sellainen injektio θ : U → W , ett¨ a jokaisella v ∈ U on voimassa joko θ(v) = v tai vθ(v) ∈ VL(G) ; kummassakin tapauksessa G:n viivoilla v ja θ(v) on yhteinen p¨ aa ¨tepiste.

¨via ¨ Harjoitustehta

56

¨via ¨ lukuun II Harjoitustehta 1. N¨ ayt¨ a, ett¨ a viereiset kaksi verkkoa eiv¨ at ole kesken¨ aa ¨n isomorfiset.

2. Osoita, ett¨ a verkot

eiv¨ at ole kesken¨ aa ¨n isomorfiset. 3. Perustele kohdissa a) ja b) miksi annetut kaksi verkkoa eiv¨ at ole kesken¨ aa ¨n isomorfiset. (a)

(b)

Luku II. Suhteikot ja verkot

57

4. Olkoon S suhteikko, jolla on seuraajaluettelo a: bcf c: bdf e: def b: adf d: e f: Etsi S:n relaation matriisi sek¨ a transitiivinen sulkeuma (n¨ am¨ a on m¨ aa ¨ritelty kombinatoriikan monisteen harjoitusteht¨ aviss¨ a I.3 ja I.10). 5. Piirr¨ a verkko, jolla on seuraajaluettelo a: bfgi d: ce g: acj j: ghi b: ac e: dfhi h: cej c: bdgh f: ae i: aej [Ohje: a,b,c,d,e,f reunalle, j keskelle.] 6. Etsi suhteikon S: a: e c: b e: d g: b b: cf d: ae f: g yhten¨ aiset komponentit. 7. Olkoon S suhteikko, jolla on seuraajaluettelo: a:ae

b:c

c:bh

f :i

g:b

h:eh

d:d

e:g

i:df

Etsi S:n vahvasti yhten¨ aiset komponentit. 8. Verkko G on kaksijakoinen jos joukolla PG on sellainen esitys PG = A ∪ B, etteiv¨ at mitk¨ aa ¨n kaksi joukon A pistett¨ a ole vierekk¨ ain G:ss¨ a eiv¨ atk¨ a mitk¨ aa ¨n kaksi joukon B pistett¨ a ole vierekk¨ ain G:ss¨ a. Pane merkille, ett¨ a jos kaksi verkkoa G ja H ovat kesken¨ aa ¨n isomorfiset, niin G on kaksijakoinen jos ja vain jos H on kaksijakoinen ja k¨ ayt¨ a t¨ at¨ a huomiota hyv¨ aksesi sen osoittamiseen, ett¨ a alla kuvatut kaksi verkkoa eiv¨ at ole kesken¨ aa ¨n isomorfiset.

9. Olkoon Y ¨ aa ¨rellinen perhe tasoon piirrettyj¨ a ympyr¨ oit¨ a. Merkit¨ aa ¨n G:ll¨ a verkkoa, jonka pistejoukon muodostavat ne alueet, joihin perheen Y ympyr¨ at jakavat tason ja jossa kahta aluetta yhdist¨ aa ¨ viiva silloin kun niiden reunojen leikkaukseen sis¨ altyy (surkastumaton) ympyr¨ ankaari. N¨ ayt¨ a, ett¨ a verkko G on kaksijakoinen. [Ohje: tarkastele niiden ympyr¨ oiden Y ∈ K lukum¨ aa ¨r¨ aa ¨, joiden sis¨ apuolella alue A ∈ PG on.]

¨via ¨ Harjoitustehta

58

10. Tutki ovatko seuraavat kaksi verkkoa kesken¨ aa ¨n isomorfiset:

11. N¨ ayt¨ a, ett¨ a alla kuvatut verkot eiv¨ at ole kesken¨ aa ¨n isomorfiset. (Vasemmanpuoleinen verkko tunnetaan nimell¨ a Petersenin verkko ja oikeanpuoleinen nimell¨ a Herschelin verkko).

12. Osoita, ett¨ a kahdessa edellisess¨ a teht¨ av¨ ass¨ a vasemmalla kuvatut verkot ovat isomorfisia ehtojen PG = P2 [5] ja VG = {AB : A, B ∈ P2 [5] ja A ∩ B = ∅} m¨ aa ¨r¨ aa ¨m¨ an verkon G kanssa. 13. Onko verkko G isomorfinen verkon H tai verkon I kanssa? Perustele vastauksesi!

G

H

I

14. On k¨ aytett¨ aviss¨ a kaksi eri v¨ ari¨ a. V¨ aritet¨ aa ¨n kuuden pisteen t¨ aydellisen verkon K 6 jokainen viiva jommallakummalla v¨ arill¨ a. Osoita, ett¨ a n¨ ain v¨ aritetyst¨ a verkosta l¨ oytyy yksiv¨ arinen kolmio (toisin sanoen, l¨ oytyy kolme verkon pistett¨ a a, b ja c siten, ett¨ a viivoilla ab, bc ja ca on kaikilla sama v¨ ari). 15. N¨ ayt¨ a, ett¨ a edellisen teht¨ av¨ an johtop¨ aa ¨t¨ os ei p¨ ade verkossa K5 . ˜ jolla on samat pisteet kuin G:ll¨ Verkon G komplementti on se verkko G, a ja jossa kahden eri pisteen x, y ∈ PG v¨ alill¨ a on viiva jos ja vain x:n ja y:n v¨ alill¨ a ei ole viivaa G:ss¨ a.

Luku II. Suhteikot ja verkot

59

16. Osoita, ett¨ a kesken¨ aa ¨n isomorfisten verkkojen komplementit ovat kesken¨ aa ¨n isomorfiset. 17. Osoita, ett¨ a on olemassa tasan kaksi kesken¨ aa ¨n ep¨ aisomorfista verkkoa, joissa on 5 pistett¨ a ja 8 viivaa. [Ohje: tarkastele komplementteja.] 18. Montako kesken¨ aa ¨n ep¨ aisomorfista 5-pisteist¨ a ja 7-viivaista verkkoa on olemassa? [Ohje: tarkastele komplementteja.] 19. Jos L on ¨ aa ¨rellinen perhe joukkoja, niin merkit¨ aa ¨n GL :ll¨ a sit¨ a verkkoa, jonka pisteiden joukkona on L ja jonka viivojen joukko koostuu niist¨ a viivoista AB, miss¨ a A, B ∈ L, A 6= B ja A ∩ B 6= ∅; t¨ allaista verkkoa GL kutsutaan joukkoverkoksi. Osoita, ett¨ a jokainen verkko on isomorfinen jonkun joukkoverkon kanssa. [Ohje: Tarkastele joukkoja, jotka koostuvat niist¨ a verkon viivoista, joilla on annettu verkon piste toisena p¨ aa ¨tepisteen¨ a.] 20. Laske seuraavan verkon viivojen lukum¨ aa ¨r¨ a:

21. Ikosaedri on s¨ aa ¨nn¨ ollinen monitahokas, jonka tahkoina on t = 20 tasasivuista kolmiota. Mik¨ a on ikosaedrin s¨ armien lukum¨ aa ¨r¨ a s? (Tarkastele verkkoa, jonka pistein¨ a ovat tahkot ja viivat vastaavat s¨ armi¨ a.) 22. Mik¨ a on ikosaedrin k¨ arkien lukum¨ aa ¨r¨ a k, kun Eulerin kaavan (katso Luvun V harjoitusteht¨ av¨ aa ¨ 17) nojalla on k − s + t = 2, ja montako s¨ arm¨ aa ¨ kohtaa toisensa samassa k¨ arjess¨ a? 23. (a) Osoita, ett¨ a jos on olemassa ep¨ atyhj¨ a n–pisteinen k–s¨ aa ¨nn¨ ollinen verkko, niin k < n ja jompikumpi luvuista n tai k on parillinen. ˜ (b) Osoita, ett¨ a jos G on n–pisteinen k–s¨ aa ¨nn¨ ollinen verkko, niin G:n komplementti G on n − k − 1–s¨ aa ¨nn¨ ollinen. (c) Olkoon n parillinen. Osoita, ett¨ a on olemassa n–pisteinen 1–s¨ aa ¨nn¨ ollinen verkko; n¨ ayt¨ a lis¨ aksi, ett¨ a verkko on yhten¨ ainen vain tapauksessa n = 2. (d) Verkko G on rengasverkko, jos G:ss¨ a on sellainen yksinkertaisen kierros (x 0 , ..., xn ), ett¨ a n > 2, PG = {x0 , ..., xn−1 } ja VG = {xi xi−1 : i = 0, ..., n − 1}. N¨ ayt¨ a, ett¨ a jokainen rengasverkko on 2–s¨ aa ¨nn¨ ollinen. (e) Osoita, ett¨ a kun n on parillinen, niin liitt¨ am¨ all¨ a sopivasti yhteen kaksi rengasverkkoa saadaan yhten¨ ainen n–pisteinen 3–s¨ aa ¨nn¨ ollinen verkko.

¨via ¨ Harjoitustehta

60

Seuraavissa teht¨ aviss¨ a osoitetaan, ett¨ a edellisen teht¨ av¨ an (a)–kohdan v¨ altt¨ am¨ at¨ on ehto “k < n ja luku nk on parillinen” on my¨ os riitt¨ av¨ a ehto sille, ett¨ a on olemassa n–pisteinen k–s¨ aa ¨nn¨ ollinen verkko, miss¨ a k > 1 (tapaus k = 1 on k¨ asitelty edellisen teht¨ av¨ an (c)–kohdassa). 24. Osoita, ett¨ a n-pisteinen 2k–s¨ aa ¨nn¨ ollinen verkko Gn,2k , miss¨ a 0 < 2k < n, voidaan konstruoida seuraavasti: m¨ aa ¨rittele joukon [n] pisteille p ja q “et¨ aisyys” ρ(p, q):lla ottamalla ρ(p, q):ksi pienempi luvuista |p − q| ja n − |p − q|; pane merkille, ett¨ a jos asm¨ alleen kaksi alkiota, joiden 0 < i < 12 n, niin jokaisella p ∈ [n], joukossa [n] on t¨ ρ–et¨ aisyys p:st¨ a on i; valitse verkon Gn,2k pisteiden joukoksi P ja viivojen joukoksi {pq : p, q ∈ P, p 6= q ja ρ(p, q) ≤ k}. 25. Pane merkille, ett¨ a jos luku n on parillinen, niin edellisess¨ a teht¨ av¨ ass¨ a tarkastellulla joukon [n] et¨ aisyysfunktiolla ρ on seuraava ominaisuus: jokaisella p ∈ P , joukossa [n] on t¨ asm¨ alleen yksi alkio, jonka ρ–et¨ aisyys p:st¨ a on 21 n. Olkoon n parillinen, k pariton ja 1 < k < n. Osoita, ett¨ a n–pisteinen k–s¨ aa ¨nn¨ ollinen verkko G n,k voidaan konsruoida lis¨ aa ¨m¨ all¨ a edellisess¨ a teht¨ av¨ ass¨ a konstruoituun verkkoon G n,k−1 viivat pq, miss¨ a p, q ∈ P ja ρ(p, q) = 12 n. 26. Osoita kahden edellisen teht¨ av¨ an avulla, ett¨ a jos luonnollisille luvuille n ja k p¨ atee, ett¨ a 1 < k < n ja luku nk on parillinen, niin t¨ all¨ oin on olemassa yhten¨ ainen n– pisteinen k–s¨ aa ¨nn¨ ollinen verkko. Seuraavassa on kuvattu muutamia s¨ aa ¨nn¨ ollisi¨ a verkkoja, jotka on konstruoitu edellisiss¨ a teht¨ aviss¨ a kuvatulla menetelm¨ all¨ a: 9

8 7

10 10

9

11

8 9 11 6

8

12

7 1

1

7

1

6

5

2

6

2

2 5 4 3

4

5

3

Verkon G esitys tasossa (esitys avaruudessa) on pari G =

3 4



{ap : p ∈ PG }, {Lpq :



pq ∈ VG } , miss¨ a ap on tason piste (avaruuden piste) jokaisella p ∈ PG ja Lpq on pisteiden ap ja aq yhdysjana. Jos esityksen janat leikkaavat toisiaan ainoastaan p¨ aa ¨tepisteiss¨ aa ¨n, niin sanotaan, ett¨ a kyseess¨ a on verkon G yksinkertainen esitys tasossa tai avaruudessa. Jos verkolla G on yksinkertainen esitys tasossa, niin sanotaan, ett¨ a G on tasoverkko. Huomautus: Esimerkiksi monet t¨ ass¨ a kirjassa olevat verkkojen kuvat antavat verkoille esityksi¨ a tasossa. Kuitenkin monissa kuvissa verkon viivoja esitet¨ aa ¨n k¨ ayrill¨ a eik¨ a janoilla. Voidaan osoittaa, ett¨ a esimerkiksi yll¨ a annettu tasoverkon m¨ aa ¨ritelm¨ a

Luku II. Suhteikot ja verkot

61

ei muutu sis¨ all¨ olt¨ aa ¨n, vaikka sallittaisiin viivojen esitt¨ aminen tasok¨ ayrill¨ a. T¨ aten verkko on tasoverkko jos ja vain jos se voidaan piirt¨ aa ¨ tasoon (siis paperille) siten, ett¨ a pisteiden yhdysviivat (joiden ei tarvitse olla suoria) leikkaavat toisiaan korkeintaan p¨ aa ¨tepisteiss¨ aa ¨n. 27. Osoita, ett¨ a jokaisella verkolla on yksinkertainen esitys avaruudessa (ei tarvitse todistaa tarkasti, pelkk¨ a esityksen kuvailu riitt¨ aa ¨). [Ohje: esit¨ a verkon pisteet avaruuden pallopinnan pistein¨ a.] 28. Osoita, ett¨ a verkko on tasoverkko jos ja vain jos sill¨ a on yksinkertainen esitys pallon pinnalla (t¨ ass¨ a esityksess¨ a k¨ aytet¨ aa ¨n pisteit¨ a yhdist¨ avi¨ a ympyr¨ ankaaria pisteiden yhdysjanojen asemasta). 29. Alla on kuvattu viiden pisteen t¨ aydellinen verkko K5 sek¨ a kuusipisteinen “t¨ aydellinen kaksijakoinen verkko” K3,3 .

Osoita, ettei kumpikaan verkko ole tasoverkko. [Tulkinta verkon K3,3 tapauksessa: seuraavalle “kunnallistekniikkaongelmalle” (“utilities problem”) ei l¨ oydy ratkaisua: voidaanko kolmeen taloon vet¨ aa ¨ putket vesi– kaasu– ja kaukol¨ amp¨ olaitoksilta maan pinnalla siten, ett¨ a putket eiv¨ at mene miss¨ aa ¨n ristiin?] Huomautus. K. Kuratowskin v. 1930 ilmestyneen kuuluisan lauseen mukaan verkot K5 ja K3,3 ovat “tyyppiesimerkkej¨ a” sellaisista verkoista, joilla ei ole yksinkertaista esityst¨ a tasossa: verkko G on tasoverkko jos ja vain jos G ei “sis¨ all¨ a” kumpaakaan verkoista K5 ja K3,3 (“sis¨ alt¨ amisen” t¨ asm¨ allinen m¨ aa ¨ritelm¨ a j¨ atet¨ aa ¨n t¨ ass¨ a antamatta). 30. Olkoon A ¨ aa ¨rellinen joukko ja olkoon G ehtojen PG = P(A)

ja

VG = {BC : B, C ⊂ A ja |B r C| = |C r B| = 1}

m¨ aa ¨r¨ aa ¨m¨ a verkko. M¨ aa ¨rit¨ a verkon G yhten¨ aiset komponentit. 31. Merkit¨ aa ¨n J:ll¨ a suhteikkoa, jonka pistein¨ a ovat luvut 2,3,4,...,50 ja pisteiden n ja k − → v¨ alill¨ a on nuoli nk jos ja vain jos luku n jakaa luvun k. M¨ aa ¨rit¨ a pisteiden 2,13 ja 41 yhten¨ aiset ja vahvasti yhten¨ aiset komponentit suhteikossa J . 32. (a) Anna esimerkki yhten¨ aisest¨ a nelipisteisest¨ a verkosta, jolla on yhten¨ ainen komplementti.

62

¨via ¨ Harjoitustehta (b) N¨ ayt¨ a, ett¨ a kohdan (a) verkko on isomorfinen komplementtinsa kanssa.

33. Osoita, ett¨ a ep¨ ayhten¨ aisen verkon komplementti on yhten¨ ainen. 34. Osoita, ett¨ a verkko G on yhten¨ ainen, mik¨ ali vG >

1 (p − 1)(pG − 2) . 2 G

[Vihjeit¨ a: Edellinen teht¨ av¨ a, Lause II 3.13.] 35. Osoita, ett¨ a verkko G ei ole kaksijakoinen, mik¨ ali vG >

p2G . 4

36. Osoita, ett¨ a jos G on verkko, jossa on n pistett¨ a, m viivaa ja k komponenttia, niin m ≥n−k .

37. Kulkuet¨ aisyys ρG suhteikossa G m¨ aa ¨ritell¨ aa ¨n pisteille x, y ∈ PG seuraavasti: jos G:ss¨ a ei ole kulkua pisteest¨ a x pisteeseen y, niin asetetaan ρG (x, y) = ∞; muussa tapauksessa valitaan ρG (x, y):ksi pienin niist¨ a luvuista n ∈ N, joilla suhteikossa G on n–askeleinen kulku pisteest¨ a x pisteeseen y. (a) Osoita, ett¨ a vahvasti yhten¨ aisen suhteikon kulkuet¨ aisyys toteuttaa harjoitusteht¨ av¨ ass¨ a II 23 m¨ aa ¨ritellyn metriikan ominaisuuden 1o sek¨ a kolmioep¨ ayht¨ al¨ on. (b) Osoita, ett¨ a G:n kulkuet¨ aisyys on metriikka jos ja vain jos G on yhten¨ ainen ja symmetrinen. (Yhten¨ aisen ja symmetrisen suhteikon G tapauksessa puhutaan G:n kulkumetriikasta). 38. Viereinen kuva esitt¨ aa ¨ suhteikkoa G:

c

(a) Suhteikko G on selv¨ asti yhten¨ ainen. Onko G vahvasti yhten¨ ainen? (b) M¨ aa ¨rit¨ a pisteiden a, b ja c v¨ aliset kulkuet¨ aisyydet G:ss¨ a. a

b

Luku II. Suhteikot ja verkot

63

39. Olkoon A ¨ aa ¨rellinen joukko. M¨ aa ¨rittele sellainen yhten¨ ainen verkko G, ett¨ a G:n pisteiden joukko on P(A) ja kulkumetriikka ρG joukossa P(A) on sama kuin harjoitusteht¨ av¨ ass¨ a II 23 tarkasteltu joukon P(A) metriikka d∆ . 40. Osoita, ett¨ a edellisess¨ a teht¨ av¨ ass¨ a m¨ aa ¨ritellyss¨ a verkossa G on Hamiltonin kierros ja n¨ ayt¨ a Hamiltonin kierroksen olemassaolon avulla, ett¨ a¨ aa ¨rellisell¨ a joukolla A on sama m¨ aa ¨r¨ a parillisalkioisia osajoukkoja kuin paritonalkioisia osajoukkoja. 41. Olkoon Bn n-bittijonojen joukko (eli Bn = {0, 1}n ). M¨ aa ¨ritell¨ aa ¨n verkko Bn valitsemalla PBn = Bn ja sopimalla, ett¨ a kun x, y ∈ Bn , niin xy ∈ VBn jos ja vain jos x ja y eroavat toisistaan t¨ asm¨ alleen yhden bitin kohdalla. Kun y ∈ Bn , niin joukko {x ∈ Bn : ρBn (x, y) ≤ k} on verkon Bn k-s¨ ateinen pallo. Kuinka monta 1-s¨ ateist¨ a palloa tarvitaan verkon Bn kaikkien pisteiden peitt¨ amiseen? 42. Gray–koodi on sellainen lukujen 0, 1, ..., 2n − 1 esitys n-bittijonoina, jossa kahta per¨ akk¨ aist¨ a lukua vastaavat jonot eroavat toisistaan vain yhdell¨ a bitill¨ a. (a) Tulkitse lukujen 0, 1, ..., 2n −1 Gray–koodi Hamiltonin kulkuna edellisen teht¨ av¨ an verkossa Bn . (b) Etsi verkosta B3 Hamiltonin kulku ja esit¨ a vastaava Gray–koodi. 43. Etsi Hamiltonin kulut seuraavista t¨ aydellisist¨ a suhteikoista. L¨ oytyyk¨ o kummastakaan suhteikosta Hamiltonin kierrosta? Jos l¨ oytyy, niin etsi sellainen. 7

6 7

6

8

5

1

5

1

4

2 3

4

2 3

44. M¨ aa ¨ritell¨ aa ¨n suhteikko S asettamalla PS = [10] (= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}) ja − → : x, y ∈ [10] , (x − y)(x − y + 1) ≥ 20 , x 6= 2 · y ja y 6= 2 · x}. N¨ NS = {xy ayt¨ a, ett¨ a (a) S on vahvasti yhten¨ ainen; (b) S:ss¨ a ei ole Hamiltonin kierrosta. 45. Edell¨ a on osoitettu, ett¨ a jokaisella ep¨ atyhj¨ all¨ a t¨ aydellisell¨ a suhteikolla on juuri. N¨ ayt¨ a, ett¨ a vahvempikin tulos p¨ atee: jokaisessa ep¨ atyhj¨ ass¨ a t¨ aydellisess¨ a suhteikossa S on sellainen piste, josta on korkeintaan kaksi–askeleinen kulku mihin tahansa muuhun suhteikon pisteeseen. [Ohje: valitse piste, jolla on maksimaalinen l¨ aht¨ oaste.]

¨via ¨ Harjoitustehta

64 46. Etsi verkoista

Hamiltonin kulut, ja n¨ ayt¨ a, ettei kummastakaan l¨ oydy Hamiltonin kierrosta. 47. Etsi Gr¨ otzschin verkosta (kts. teht¨ av¨ a 29) Hamiltonin kierros. 48. Onko teht¨ av¨ an 10 verkoissa Hamiltonin kulkua tai kierrosta? 49. Shakkiturnauksen jokainen osanottaja pelaa yhden pelin jokaisen muun osanottajan kanssa. Osoita, ett¨ a tulosluettelo voidaan j¨ arjest¨ aa ¨ niin, ett¨ a jokainen on voittanut listassa seuraavan tai pelannut t¨ am¨ an kanssa tasapelin. 50. Olkoon G t¨ aydellinen suhteikko. Osoita, ett¨ a on olemassa sellainen joukon P G ositus {P1 , ..., Pk }, ett¨ a 1o Joukkojen Pi viritt¨ am¨ at G:n alisuhteikot ovat vahvasti yhten¨ aisi¨ a. o 2 Jos i < j, niin G:ss¨ a ei ole nuolta joukosta Pj joukkoon Pi . [Ohje. Valitse Pi :ksi joukon PG r joukko.]

S

j 1, verkossa Rn on Hamiltonin kierros jos ja vain jos n on parillinen. 52. Osoita, ett¨ a jos kutsuilla jokaisella vieraalla on muiden joukossa enemm¨ an tuttuja kuin tuntemattomia, niin vieraat voidaan sijoittaa istumaan py¨ ore¨ an p¨ oyd¨ an ¨ aa ¨reen siten, ett¨ a jokainen tuntee molemmat vierustoverinsa. 53. Onko mill¨ aa ¨n alla kuvatuista verkoista Hamiltonin kierrosta? Ent¨ a Hamiltonin kulkua? Etsi kunkin verkon tapauksessa Hamiltonin kierros tai kulku jos sellainen on olemassa.

Luku II. Suhteikot ja verkot

65

8 7

5

8

6

9

9

7

10

6

1

4

1

6

1

5 5

2 4

3

2

3

2

4

3

Verkon G v¨ aritysluku eli kromaattinen luku on pienin lukum¨ aa ¨r¨ a “v¨ arej¨ a”, joilla voidaan “v¨ aritt¨ aa ¨” G:n pisteet siten, ett¨ a mitk¨ aa ¨n kaksi samanv¨ arist¨ a pistett¨ a ei ole vierekk¨ ain G:ss¨ a. T¨ at¨ a lukua merkit¨ aa ¨n χ(G):ll¨ a. 54. N¨ ayt¨ a, ett¨ a verkko on kaksijakoinen jos ja vain jos sen v¨ aritysluku on korkeintaan kaksi. 55. M¨ aa ¨rit¨ a seuraavien verkkojen v¨ aritysluvut.

56. Osoita, ett¨ a Gr¨ otzschin verkon (kts. teht¨ av¨ a 29) v¨ aritysluku on 4. 57. Osoita, ett¨ a verkon G pisteiden lukum¨ aa ¨r¨ alle pG on voimassa ep¨ ayht¨ al¨ o pG ≤ ρ(G) · χ(G) , miss¨ a ρ(G) on Luvussa II 6 m¨ aa ¨ritelty G:n riippumattomuusluku. 58. M¨ aa ¨rit¨ a teht¨ av¨ an 11 verkkojen riippumattomuusluvut. 59. M¨ aa ¨rittelemme verkkojen G ja H tulon G × H asettamalla PG×H = PG × PH ja sopimalla, ett¨ a (v1 , w1 )(v2 , w2 ) ∈ VG×H jos ja vain jos joko w1 = w2 ja v1 v2 ∈ VG a tai v1 = v2 ja w1 w2 ∈ VH . Osoita, ett¨ (a) χ(G × H) ≤ χ(G) · χ(H); (b) ρ(G) · ρ(H) ≤ ρ(G × H).

¨via ¨ Harjoitustehta

66

60. M¨ aa ¨rittelemme “jonoverkon” In asettamalla PIn = [n] ja VIn = {k k + 1 : 1 ≤ k < n}. T¨ allaisten verkkojen p-kertaiset tulot In × In × · · · × In ovat p-kuutioita Inp . (a) Pane merkille, ett¨ a In2 = Rn (kts teht¨ av¨ a 51). (b) M¨ aa ¨rit¨ a verkon Inp v¨ aritysluku χ(Inp ). 61. Todista Lemma II 6.2. 62. Verkon G pisteiden joukon PG osajoukko A on hallitseva eli dominoiva, jos jokainen joukon PG r A piste on vierekk¨ ain jonkun joukon A pisteen kanssa. Verkon G dominointiluku κ(G) on min {|D| : D ⊂ PG on dominoiva}. (a) Olkoon R ⊂ PG maksimaalinen riippumaton joukko (siis R on riippumaton eik¨ a sis¨ ally mihink¨ aa ¨n muuhun riippumattomaan joukkoon). N¨ ayt¨ a, ett¨ a R on dominoiva. (b) Todista (a)-kohdan tuloksen avulla ep¨ ayht¨ al¨ o κ(G) ≤ ρ(G). 63. N¨ ayt¨ a, ett¨ a n–pisteiselle k–s¨ aa ¨nn¨ olliselle verkolle G p¨ atee ep¨ ayht¨ al¨ o n ≤ (k+1)·κ(G). 64. Verkko G on permutaatioverkko, mik¨ ali on olemassa sellainen bijektio ϕ : P G → PG , ett¨ a VG = {xf (x) : x ∈ PG ja f (x) 6= x}. N¨ ayt¨ a, ett¨ a verkko G on permutaatioverkko jos ja vain jos jokainen G:n komponentti on joko 0-, 1- tai 2-s¨ aa ¨nn¨ ollinen. 65. Verkon G k-tekij¨ a on sellainen G:n k-s¨ aa ¨nn¨ ollinen aliverkko H, jolle on voimassa PH = PG . Verkko G on k-jakautuva, mik¨ ali on olemassa sellaiset Sn G:n k-tekij¨at H1 , ..., Hn , ett¨ a joukot VH1 , . . . , VHn ovat kesken¨ aa ¨n erilliset ja i=1 VHi = VG .

(a) N¨ ayt¨ a, ett¨ a verkon G aliverkko H on G:n 1-tekij¨ a jos ja vain jos viivajoukko VH on t¨ aydellinen parijako verkossa G.

(b) Osoita, ett¨ a t¨ aydellinen verkko K4 on 1-jakautuva. (c) N¨ ayt¨ a, ett¨ a Esimerkin II 6.4 verkolla on 2-tekij¨ a. 66. N¨ ayt¨ a, ett¨ a s¨ aa ¨nn¨ ollinen kaksijakoinen verkko on 1-jakautuva. [Ohje: K¨ ayt¨ a Lauseen II 6.5 tulosta.] 67. Todista K¨ onigin ja Egervaryn Lause: Kun M on 0,1-neli¨ omatriisi (eli sellainen n×nmatriisi, jossa esiintyy vain lukuja 0 ja 1), niin suurin m¨ aa ¨r¨ a M :n ykk¨ osi¨ a, joista mitk¨ aa ¨n kaksi eiv¨ at ole samassa vaaka- tai pystyriviss¨ a on sama kuin pienin m¨ aa ¨r¨ a M :n vaaka- ja pystyrivej¨ a, jotka yhdess¨ a sis¨ alt¨ av¨ at kaikki M :n ykk¨ oset.




aa ¨rittele verkko G ehdoilla PG = {v1 , ..., vn } ∪ [Ohje: Olkoon M = aij . M¨ {p1 , ..., pn } ja VG = {vi pj : aij = 1}. K¨ ayt¨ a K¨ onigin Lausetta.]

Luku III

Verkon renkaat

1. Renkaiden olemassaolo. Olemme jo k¨ aytt¨ aneet kulkuja ja kierroksia verkkojen yhten¨ aisyyden ja er¨ aiden muiden ominaisuuksien tutkimisessa. Nyt m¨ aa ¨rittelemme kierrosten avulla renkaan k¨ asitteen ja tarkastelemme renkaiden olemassaoloa. T¨ ass¨ a jaksossa k¨ asitell¨ aa ¨n niit¨ a verkkoja, joilla on paljon renkaita ja seuraavassa jaksossa niit¨ a verkkoja, nk. puita, joilla ei ole laisinkaan renkaita. M¨ a¨ aritelm¨ a Olkoon G verkko ja olkoon W joukko G:n viivoja. Joukko W on G:n rengas, jos on olemassa sellainen yksinkertainen kierros x ¯ = (x0 , ..., xn ) G:ss¨ a, ett¨ a n > 2 ja W = V (¯ x). Toisinaan kutsumme 3-renkaita kolmioiksi, 4-renkaita neli¨ oiksi ja n-renkaita n-kulmioiksi. Esimerkkej¨ a (a) “Renkaan” k¨ asitteess¨ a on pohjalla geometrisluontoisia ideoita: tarkastellaan verkon sis¨ alt¨ ami¨ a kolmioita, neli¨ oit¨ a, viisi- ja kuusikulmioita jne. Esimerkiksi verkosta K6 l¨ oytyy seuraavann¨ ak¨ oisi¨ a viivajoukkoja:

(b) “Neli¨ ot”, “viisikulmiot” jne. eiv¨ at kuitenkaan aina muistuta geometrisi¨ a vakiomallejansa ja toisinaan niiden tunnistaminen verkosta voi olla vaikeaa:

68

1. Renkaiden olemassaolo.

(c) Jos pG > 2 ja jos x ¯ on Hamiltonin kierros verkossa G, niin joukko V (¯ x) on G:n rengas. T¨ aten esimerkiksi edellisess¨ a luvussa kuvattu “ratsun puolimaaginen marssi” m¨ aa ¨ritt¨ aa ¨ er¨ aa ¨n renkaan shakkipelin hevosen liikkeiden m¨ aa ¨r¨ aa ¨a ¨m¨ ass¨ a verkossa H. Seuraavassa on kuvattu kolme yksinkertaisempaa rengasta verkossa H.

Yksinkertainen kierros (x0 , ..., xn ), miss¨ a n ≤ 2, on joko muotoa (x) (tapaus n = 0) tai muotoa (x, y, x) (tapaus n = 2); t¨ aten edellisess¨ a m¨ aa ¨ritelm¨ ass¨ a asetettu ehto “n > 2” sulkee pois tyhj¨ an viivajoukon sek¨ a muotoa {v}, miss¨ a v ∈ V G , olevat joukot verkon G renkaiden joukosta. My¨ ohemmin tarvitsemme seuraavaa yksinkertaista huomiota: jos joukko W on verkon G aliverkon H rengas, niin t¨ all¨ oin W on my¨ os G:n rengas. Yhten¨ aisen verkon tapauksessa voimme antaa yksinkertainen luonnehdinnan niille verkon viivoille, jotka kuuluvat johonkin verkon renkaaseen. Otamme k¨ aytt¨ oo ¨n seuraavan merkinn¨ an: kun G on verkko ja v ∈ V G , niin merkitsemme G − v:ll¨ a sit¨ a G:n aliverkkoa, joka m¨ aa ¨r¨ aytyy ehdoista P G−v = PG ja VG−v = VG r {v} eli sit¨ a verkkoa, jonka saamme poistamalla G:st¨ a viivan v. III 1.1 Lause Yhten¨ aisen verkon G viiva v kuuluu johonkin G:n renkaaseen jos ja vain jos verkko G − v on yhten¨ ainen. Todistus. Olkoot a ja b viivan v p¨ aa ¨tepisteet. V¨ altt¨ am¨ att¨ omyys. Oletamme, ett¨ a v kuuluu johonkin G:n renkaaseen. T¨ all¨ oin on olemassa sellainen yksinkertainen kierros (x0 , ..., xn ) G:ss¨ a, ett¨ a n > 2, x0 = a ja x1 = b. Merkitsemme x ¯ = (x1 , ..., xn) ja z¯ = (xn , ..., x1) ja panemme merkille, ett¨ ax ¯ on kulku verkossa G − v b:st¨ a a:han ja z¯ on kulku G − v:ss¨ a a:sta b:hen. Osoitamme nyt verkon G − v yhten¨ aisyyden Lauseen II 4.8 avulla n¨ aytt¨ am¨ all¨ a,

Luku III. Verkon renkaat

69

ett¨ a kaikilla verkon G − v pisteill¨ a p ja q, verkossa G − v on kulku p:st¨ a q:hun. Olkoot siis p ja q verkon G − v pisteit¨ a. T¨ all¨ oin p ja q ovat verkon G pisteit¨ a ja G:n yhten¨ aisyydest¨ a seuraa Lauseen II 4.8 ja Lemman II 4.3 nojalla, ett¨ a G:ss¨ a on yksinkertainen kulku y¯ = (y0 , ..., yk ) p:st¨ a q:hun. Jos kulku y¯ ei kulje pitkin viivaa v, niin y¯ on kulku verkossa G−v p:st¨ a q:hun. Oletetaan, ett¨ a on olemassa sellainen luku i ∈ [k], ett¨ a yi−1 yi = v. Pannaan merkille, ett¨ a kulun y¯ yksinkertaisuudesta seuraa, ett¨ a jokaiselle j ∈ [k] p¨ atee, ett¨ a jos j 6= i, niin yj−1 yj 6= v. Nyt n¨ ahd¨ aa ¨n, ett¨ a jos yi−1 = a ja yi = b, niin jono (y0 , ..., yi−1 ) ? z¯ ? (yi , ..., yk ) on kulku G − v:ss¨ a p:st¨ a q:hun ja jos yi−1 = b ja yi = a, niin jono (y0 , ..., yi−1) ? x ¯ ? (yi , ..., yk ) on kulku G − v:ss¨ a p:st¨ a q:hun. Olemme osoittaneet, ett¨ a verkko G − v on yhten¨ ainen. Riitt¨ avyys. Oletamme, ett¨ a verkko G − v on yhten¨ ainen. Koska on voimassa a, b ∈ PG = PG−v , niin verkossa G − v on Lauseen II 4.8 ja Lemman II 4.3 nojalla yksinkertainen kulku (z0 , ..., zk ) pisteest¨ a a pisteeseen b. Koska verkossa G − v ei aa ¨rittelemme ole viivaa ab, niin on voimassa k > 1. Merkitsemme n = k + 1 ja m¨ jonon x ¯ = (x0 , ..., xn ) asettamalla xn = a ja xj = zj jokaisella j < n; t¨ all¨ oin x ¯ on yksinkertainen kierros verkossa G. Lis¨ aksi v kuuluu joukkoon V (¯ x) ja t¨ am¨ a joukko on rengas, koska n > 2. Huomaamme, ett¨ a jos v = ab on yhten¨ aisen verkon G viiva, niin verkossa G−v on korkeintaan kaksi komponenttia, nimitt¨ ain pisteiden a ja b komponentit: jos H olisi kolmas komponentti, niin yhten¨ aisest¨ a verkosta G l¨ oytyisi viiva w joukkojen PH ja PG r PH v¨ alille; koska a ∈ / PH ja b ∈ / PH , niin olisi voimassa w 6= v ja w olisi verkon G − v viiva; t¨ am¨ a on mahdotonta, koska H:n piti olla G − v:n komponentti. Esimerkki Seuraavassa vasemmalla kuvatussa verkossa G kaikki muut G:n viivat kuuluvat johonkin G:n renkaaseen paitsi paksulla piirretty viiva v; oikeanpuolisessa kuvassa n¨ akyv¨ at verkon G − v yhten¨ aiset komponentit.

v

G

G-v

70

1. Renkaiden olemassaolo. Jos v on ep¨ ayhten¨ aisen verkon G viiva, niin voimme soveltaa edellisen lauseen

tulosta siihen G:n yhten¨ aiseen komponenttiin, jonka viiva v on; t¨ aten saamme lauseelle seuraavan yleistyksen. III 1.2 Korollaari Verkon G viiva v kuuluu johonkin G:n renkaaseen jos ja vain jos verkoilla G ja G − v on sama m¨ aa ¨r¨ a yhten¨ aisi¨ a komponentteja. N¨ aemme helposti, ett¨ a verkossa G − v on korkeintaan yksi komponentti enemm¨ an kuin verkossa G. Jos nimitt¨ ain K on G:n kaikkien komponenttien kokoelma ja H ∈ K on se komponentti, jolla v ∈ VH , niin G − v:n yhten¨ aiset komponentit ovat verkot J ∈ K r {H} sek¨ a verkon H − v komponentit; edell¨ a totesimme, ett¨ a verkolla H − v on korkeintaan kaksi komponenttia. Edellisen tuloksen nojalla verkolla on rengas jos ja vain jos sill¨ a on viiva, jonka poistaminen ei lis¨ aa ¨ yhten¨ aisten komponenttien lukum¨ aa ¨r¨ aa ¨. Lauseessa III 2.7 annamme toisen luonnehdinnan renkaan olemassaololle. Seuraavassa lauseessa annamme er¨ aa ¨n k¨ aytt¨ okelpoisen riitt¨ av¨ an, muttei v¨ altt¨ am¨ att¨ om¨ an ehdon sille, ett¨ a verkossa on rengas. III 1.3 Lause Olkoon G ep¨ atyhj¨ a verkko, jolle p¨ atee ep¨ ayht¨ al¨ o v G ≥ pG . T¨ all¨ oin G:ll¨ a on rengas. Todistus. Todistamme lauseen v¨ aitteen induktiolla luvun pG suhteen. Tapauksessa pG = 1 v¨ aite p¨ atee sis¨ all¨ ott¨ om¨ an¨ a, koska t¨ ass¨ a tapauksessa on voimassa vG = 0 < pG . Oletamme, ett¨ a on voimassa pG > 1 ja ett¨ a olemme jo todistaneet v¨ aitteen sellaisille verkoille H, joilla pH < pG . On voimassa vG ≥ pG > 1, joten VG 6= ∅. Olkoon v G:n viiva. Jos v kuuluu johonkin G:n renkaaseen, niin G:ll¨ a on rengas. Oletamme, ettei v kuulu mihink¨ aa ¨n G:n renkaaseen. Olkoot H1 , ..., Hn verkon G − v yhten¨ aiset komponentit, miss¨ a Hi 6= Hj kun i 6= j. Korollaarin III 1.2 nojalla on voimassa n > 1. Lauseiden II 3.10 ja II 3.8 nojalla on voimassa vG−v =

n X

vHi ja pG−v =

i=1

n X

p Hi .

i=1

T¨ ast¨ a seuraa, ett¨ a jollain i ∈ [n] on voimassa vHi ≥ pHi : muussa tapauksessa olisi voimassa vG − 1 = vG−v =

n X i=1

v Hi ≤

n X i=1

(pHi − 1) = pG−v − n = pG − n

Luku III. Verkon renkaat

71

ja t¨ ast¨ a seuraisi ristiriita oletuksen vG ≥ pG kanssa. Olkoon i ∈ [n] sellainen, ett¨ a vHi ≥ pHi . T¨ all¨ oin on voimassa vHi ≥ pHi ja pHi < pG−v = pG , joten induktio– oletuksen nojalla verkolla Hi on rengas R. Selv¨ astikin R on my¨ os verkon G rengas.

III 1.4 Korollaari Olkoon G ep¨ atyhj¨ a verkko, jonka jokaisen pisteen aste on suurempi kuin yksi. T¨ all¨ oin G:ll¨ a on rengas. Todistus. Koska jokaiselle x ∈ PG p¨ atee, ett¨ a dG (x) ≥ 2, niin Lauseen 2.2.3 nojalla on voimassa 2 · vG =

X

dG (x) ≥

x∈PG

X

2 = 2 · |PG | = 2 · pG .

x∈PG

N¨ ain ollen on voimassa vG ≥ pG ja Lauseen III 1.9 nojalla G:ll¨ a on rengas. N¨ ayt¨ amme viel¨ a, ett¨ a edellist¨ a tulosta on mahdollista hieman vahvistaa. III 1.5 Korollaari Olkoon G verkko, jossa on ainakin kaksi pistett¨ a. Oletetaan, ett¨ a on olemassa sellainen a ∈ PG , ett¨ a jokaisen muun G:n pisteen aste on suurempi kuin yksi. T¨ all¨ oin G:ll¨ a on rengas. Todistus. Tarkastelemme kahta eri tapausta. Oletamme aluksi, ett¨ a a on G:n eristetty piste. Merkitsemme G0 :lla joukon PG r {a} viritt¨ am¨ aa ¨ G:n aliverkkoa. Koska a on G:n eristetty piste, niin jokaisella b ∈ PG r {a} on voimassa dG0 (b) = dG (b). N¨ ain ollen ep¨ atyhj¨ an verkon G0 jokaisen pisteen aste on suurempi kuin yksi. Korollaarin III 1.4 nojalla verkossa G0 on rengas W . Joukko W on my¨ os verkon G rengas. Oletamme seuraavaksi, ett¨ a a ei ole G:n eristetty piste. T¨ all¨ oin on voimassa dG (a) ≥ 1. Koska jokaiselle x ∈ PG r {a} p¨ atee, ett¨ a dG (x) ≥ 2, niin Lauseen II 2.3 nojalla on voimassa 2 · vG =

X

x∈PG

dG (x) ≥ 1 +

X

2 = 1 + 2 · |PG r {a}| = 2 · pG − 1.

x∈PG r{a}

ast¨ a seuraa, koska vG on kokonaisluku, ett¨ a N¨ ain ollen on voimassa vG ≥ pG − 21 ; t¨ on voimassa vG ≥ pG . Lauseen III 1.3 nojalla G:ll¨ a on rengas.

72

2. Renkaistot.

2. Renkaistot. III 2.1 M¨ a¨ aritelm¨ a Olkoon G verkko. Joukon VG osajoukko W on verkon G S renkaisto, jos on olemassa sellainen erillinen perhe R G:n renkaita, ett¨ a W = R. Merkitsemme verkon G kaikkien renkaistojen muodostamaa perhett¨ a symbo-

lilla R(G). Huomaamme, ett¨ a annetun m¨ aa ¨ritelm¨ an nojalla sek¨ a tyhj¨ a viivajoukko ett¨ a jokainen G:n rengas on G:n renkaisto. Seuraavat kuvat esitt¨ av¨ at er¨ ait¨ a renkaistoja shakkipelin hevosen liikkeisiin liittyv¨ ass¨ a verkossa H:

Seuraavassa luonnehdimme renkaistoja pisteiden asteiden avulla. Todistamme ensin er¨ aa ¨n aputuloksen. III 2.2 Lemma Olkoon H verkon renkaan viritt¨ am¨ a aliverkko. T¨ all¨ oin jokaisella x ∈ PH on voimassa dH (x) = 2. Todistus. Olkoon H verkon G renkaan R viritt¨ am¨ a G:n aliverkko. Verkossa G on olemassa sellainen yksinkertainen kierros x ¯ = (x0 , ..., xn), ett¨ a n > 2 ja R = V (¯ x). Verkko H m¨ aa ¨r¨ aytyy ehdoista PH = {x1 , ..., xn } ja VH = {x0 x1 , ..., xn−1xn }. Olkoon nyt x verkon H piste. Merkitsemme I = {i ∈ {0, ..., n} : xi = x}. Olkoon i joukon I alkio. Jos i ∈ / {0, n}, niin kierroksen x ¯ yksinkertaisuudesta seuraa, ett¨ a I = {i}. T¨ ass¨ a tapauksessa on voimassa {y ∈ PH : xy ∈ VH } = {xi−1 , xi+1 }; lis¨ aksi kulun x ¯ yksinkertaisuudesta seuraa yhdess¨ a ep¨ ayht¨ al¨ on n > 2 kanssa, ett¨ a on voimassa xi−1 6= xi+1 ; n¨ ain ollen on voimassa dH (x) = |{xi−1 , xi+1 }| = 2.

Luku III. Verkon renkaat

73

Jos taas i ∈ {0, n}, niin I = {0, n} ja {y ∈ PH : xy ∈ VH } = {x1 , xn−1 }; kulun x ¯ yksinkertaisuudesta yhdess¨ a ep¨ ayht¨ al¨ on n > 2 kanssa seuraa, ett¨ a x 1 6= xn−1 , joten dH (x) = |{x1 , xn−1 }| = 2. III 2.3 Lause Olkoon G verkko. Joukon VG osajoukko W on G:n renkaisto jos ja vain jos joukon W viritt¨ am¨ a G:n aliverkko on parillisasteinen. Todistus. V¨ altt¨ am¨ att¨ omyys. Oletamme, ett¨ a W on renkaisto. T¨ all¨ oin on olemasSn sa sellaiset G:n erilliset renkaat R1 , ..., Rn, ett¨ a W = i=1 Ri . Merkitsemme H:lla

joukon W viritt¨ am¨ aa ¨ G:n aliverkkoa ja merkitsemme jokaisella i ∈ [n], H i :ll¨ a joukon Ri viritt¨ am¨ aa ¨ G:n aliverkkoa. Lemman III 2.2 tuloksen nojalla kaikilla x ∈ P H

ja i ∈ [n] on voimassa joko dHi (x) = 2 tai dHi (x) = 0. Koska joukot R1 , ..., RN Sn ovat erillisi¨ a ja koska p¨ atee, ett¨ a W = i=1 Ri , jokaisella x ∈ PH on voimassa Pn dH (x) = i=1 dHi (x); t¨ ast¨ a seuraa, ett¨ a luku dH (x) on parillinen. Riitt¨ avyys. Todistamme induktiolla joukon VG osajoukon alkioiden lukum¨ aa ¨r¨ an suhteen, ett¨ a jos osajoukon viritt¨ am¨ a G:n aliverkko on parillisasteinen, niin osajoukko on renkaisto. Jos alkioiden lukum¨ aa ¨r¨ a on nolla, niin osajoukko on tyhj¨ a ja t¨ aten renkaisto. Olkoon nyt n > 0 sellainen luku, ett¨ a olemme jo todistaneet v¨ aitteen niille joukoille V ⊂ VG , joilla |V | < n. Olkoon W ⊂ VG sellainen joukko, ett¨ a |W | = n ja W :n viritt¨ am¨ a G:n aliverkko H on parillisasteinen. Jokaisella x ∈ PH on voimassa dH (x) ≥ 2, joten Korollaarin III 1.4 nojalla H:ssa on rengas T . Merkitsemme J :ll¨ a viivajoukon T viritt¨ am¨ aa ¨ G:n aliverkkoa. Lemman III 2.2 nojalla verkko J on parillisasteinen. Merkitsemme K:lla viivajoukon W rT viritt¨ am¨ aa ¨ G:n aliverkkoa. Jokaisella x ∈ PK on voimassa dK (x) = dH (x) − dJ (x); t¨ ast¨ a seuraa, ett¨ a verkko K on parillisasteinen. Koska on voimassa |W r T | < |W | = n, niin induktio–oletuksesta seuraa, ett¨ a joukko W r T on G:n renkaisto. T¨ aten S on olemassa sellainen erillinen perhe R G:n renkaita, ett¨ a R = W r T . KosS ka W ∩ T = ∅, niin perhe R0 = R ∪ {T } on erillinen. Lis¨ aksi on voimassa S 0 S R = ( R) ∪ T = (W r T ) ∪ T = W . Olemme osoittaneet, ett¨ a joukko W on renkaisto.

III 2.4 Korollaari Verkko G on parillisasteinen jos ja vain jos joukko VG on renkaisto.

74

2. Renkaistot. Edellisen lauseen tulos on eritt¨ ain k¨ aytt¨ okelpoinen kun yrit¨ amme p¨ aa ¨tell¨ a,

onko annettu viivajoukko renkaisto vai ei. Esimerkiksi edellisell¨ a sivulla kuvattujen viivajoukkojen tapauksissa on helpompaa tarkistaa niiden viritt¨ amien verkkojen parillisasteisuus kuin esitt¨ aa ¨ joukot erillisten renkaiden yhdistein¨ a. Olkoon G verkko. Korollaarin I 1.13 nojalla pari (P(VG ), ∆) on ryhm¨ a. Osoitamme nyt Lauseen III 2.3 avulla, ett¨ a joukon P(VG ) osajoukko RG on ryhm¨ an (P(PG ), ∆) aliryhm¨ a. III 2.5 Lause Olkoot W1 ja W2 verkon G renkaistoja. T¨ all¨ oin joukko W1 ∆W2 on G:n renkaisto. Todistus. Merkit¨ aa ¨n W0 = W1 ∆W2 . Jokaisella i ∈ {0, 1, 2} merkit¨ aa ¨n Hi :ll¨ a joukon Wi viritt¨ am¨ aa ¨ G:n aliverkkoa. Lauseen III 2.3 nojalla p¨ atee, ett¨ a verkot H1 ja H2 ovat parillisasteisia sek¨ a ett¨ a joukko W0 on G:n renkaisto, mik¨ ali verkko H0 on parillisasteinen. Olkoon x verkon H0 piste. Merkitsemme V :ll¨ a niiden G:n viivojen muodostamaa joukkoa, joilla on x yhten¨ a p¨ aa ¨tepisteen¨ a ja pannaan merkille, ett¨ a dHi (x) = |Wi ∩ V |; t¨ aten joukoissa W1 ∩V ja W2 ∩V on verkkojen H1 ja H2 parillisasteisuuden nojalla parilliset m¨ aa ¨r¨ at alkioita. Koska W0 = W1 ∆W2 , niin Lemman I 1.9 nojalla on voimassa W0 ∩ V = (W1 ∩ V ) ∆ (W2 ∩ V ) . Edellisest¨ a seuraa Korollaarin I 1.16 nojalla, ett¨ a joukossa W0 ∩ V on parillinen m¨ aa ¨r¨ a alkioita; t¨ aten luku dH0 (x) = |W0 ∩ V | on parillinen. On n¨ aytetty, ett¨ a verkko H0 on parillisasteinen. Esimerkki Seuraava kuva esitt¨ aa ¨ “kirjekuoriverkon” kahta renkaistoa U ja W sek¨ a niiden symmetrist¨ a erotusta U ∆W .

U

W

U

W

Luku III. Verkon renkaat

75

Koska ryhm¨ an (P(VG ), ∆) neutraalialkio ∅ on G:n renkaisto ja koska jokainen ryhm¨ an alkio on itsens¨ a k¨ aa ¨nteisalkio, niin Lauseen III 2.5 tuloksesta seuraa, ett¨ a pari (R(G), ∆) on ryhm¨ a (ryhm¨ an (P(VG ), ∆) “aliryhm¨ a”). Ryhm¨ aa ¨ (R(G), ∆) kutsutaan verkon G renkaistoryhm¨ aksi. Lauseen III 2.5 avulla voimme todistaa viel¨ a er¨ aa ¨n luonnehdinnan renkaan olemassaololle verkossa. Todistamme ensin seuraavan apulauseen. III 2.6 Lemma Olkoot a ja b verkon G pisteit¨ a, a 6= b ja olkoot x ¯ ja y¯ yksinkertaisia kulkuja G:ss¨ a pisteest¨ a a pisteeseen b. T¨ all¨ oin joukko V (¯ x)∆V (¯ y ) on G:n renkaisto. Todistus. Olkoon x ¯ = (x0 , ..., xn ) ja y¯ = (y0 , ..., yk ). Tarkastellaan nelj¨ aa ¨ eri tapausta. Tapaus 1: On voimassa ab ∈ V (¯ x) ja ab ∈ V (¯ y ). T¨ all¨ oin kulkujen x ¯ ja y¯ yksinkertaisuudesta seuraa, ett¨ a on voimassa x ¯ = (a, b) = y¯ ja t¨ aten V (¯ x)∆V (¯ y ) = ∅. Tapaus 2: On voimassa ab ∈ V (¯ x) ja ab ∈ / V (¯ y ) . T¨ all¨ oin x ¯ = (a, b) ja kulku / V (¯ y ), on voimassa z¯ = (y0 , ...., yk , y0 ) on yksinkertainen kierros G:ss¨ a. Koska ab ∈ k > 1 ja t¨ ast¨ a seuraa, ett¨ a kulun z¯ askelten lukum¨ aa ¨r¨ a on suurempi kuin kaksi. N¨ ain ollen V (¯ z ) on G:n rengas. Lis¨ aksi on voimassa V (¯ z ) = V (¯ x) ∪ V (¯ y) = V (¯ x)∆V (¯ y ). Tapaus 3: On voimassa ab ∈ V (¯ y ) ja ab ∈ / V (¯ x) . T¨ am¨ a tapaus k¨ asitell¨ aa ¨n aivan samoin kuin Tapaus 2. Tapaus 4: On voimassa ab ∈ / V (¯ x) ja ab ∈ / V (¯ y ). T¨ all¨ oin n > 1 ja k > 1. Merkit¨ aa ¨n G0 :lla ehtojen PG0 = PG ja VG0 = VG ∪ {ab} m¨ aa ¨r¨ aa ¨m¨ aa ¨ verkkoa. Kulut x ¯0 = (x0 , ..., xn , x0 ) ja y¯0 = (y0 , ..., yk , y0 ) ovat yksinkertaisia kierroksia verkossa G0 ja kummankin askelten lukum¨ aa ¨r¨ a on suurempi kuin kaksi; t¨ aten U = V (¯ x0 ) ja W = V (¯ y 0 ) ovat G0 :n renkaita. Lauseen III 2.5 nojalla joukko U ∆W on G0 :n renkaisto. Koska U = V (¯ x) ∪ {ab} ja W = V (¯ y ) ∪ {ab}, on voimassa U ∆W = V (¯ x)∆V (¯ y ); n¨ ain ollen joukko V (¯ x)∆V (¯ y ) on renkaisto. Luonnehdimme nyt renkaan olemassaoloa kulkujen avulla. III 2.7 Lause Verkossa G on rengas jos ja vain jos on olemassa sellaiset G:n pisteet a ja b, ett¨ a a 6= b ja G:ss¨ a on ainakin kaksi eri yksinkertaista kulkua pisteest¨ aa pisteeseen b.

76

2. Renkaistot.

Todistus. V¨ altt¨ am¨ att¨ omyys. Renkaan olemassaolosta seuraa lauseessa mainitun ehdon voimassaolo: jos nimitt¨ ain G:ss¨ a on rengas, niin t¨ all¨ oin G:ss¨ a on yksinkertainen kierros (x0 , ..., xn ), miss¨ a n > 2; t¨ ass¨ a tapauksessa voidaan valita a = x1 ja b = x0 , jolloin (x1 , ..., xn ) ja (x1 , x0 ) ovat kaksi eri yksinkertaista kulkua pisteest¨ a a pisteeseen b. Riitt¨ avyys. Oletetaan, ett¨ a on olemassa sellaiset G:n pisteet a ja b ja sellaiset G:n yksinkertaiset kulut x ¯ ja y¯ pisteest¨ a a pisteeseen b, ett¨ a a 6= b ja x ¯ 6= y¯. Lemman III 2.6 nojalla joukko V (¯ x)∆V (¯ y ) on G:n renkaisto. Lis¨ aksi n¨ ahd¨ aa ¨n, koska x ¯ ja y¯ ovat yksinkertaisia kulkuja a:sta b:hen ja x ¯ 6= y¯, ett¨ a V (¯ x) 6= V (¯ y ): jos vaikkapa x ¯ = (x0 , ..., xn ) ja y¯ = (y0 , ..., yk ) ja jos merkit¨ aa ¨n j = max{i : (x0 , ..., xi ) = x) r V (¯ y ). Edellisest¨ a (y0 , ..., yi )}, niin t¨ all¨ oin on voimassa j < n ja xj xj+1 ∈ V (¯ seuraa, ett¨ a G:n renkaisto V (¯ x)∆V (¯ y ) on ep¨ atyhj¨ a; t¨ aten verkossa G on rengas. Todistamme lopuksi renkaistojen avulla seuraavan t¨ arke¨ an luonnehdinnan verkon kaksijakoisuudelle. III 2.8 Lause Verkko G on kaksijakoinen jos ja vain jos jokaisessa G:n renkaassa on parillinen m¨ aa ¨r¨ a viivoja. Todistus. V¨ altt¨ am¨ att¨ omyys.

Olkoon R kaksijakoisen verkon G rengas.

On

olemassa sellainen G:n yksinkertainen kierros x ¯ = (x0 , x1 , x2 , x3 , . . . , xn ), ett¨ a R = V (¯ x). Kirjoitamme PG = A ∪ B, miss¨ a joukot A ja B ovat riippumattomia ja A ∩ B = ∅. Olkoon vaikkapa voimassa x0 ∈ A. Jokaisella 1 ≤ i ≤ n pisteet xi−1 ja xi ovat vierekk¨ ain G:ss¨ a, joten p¨ atee, ett¨ a xi−1 ∈ A ⇐⇒ xi ∈ B. Koska x0 ∈ A, edellisest¨ a seuraa induktiolla, ett¨ a xk ∈ A kun k on parillinen ja xk ∈ B kun k on pariton. Koska xn = x0 ∈ A, luku n on parillinen. N¨ ain ollen R:n viivojen lukum¨ aa ¨r¨ a |V (¯ x)| = n on parillinen. Riitt¨ avyys. Oletamme, ett¨ a jokaisessa verkon G renkaassa on parillinen m¨ aa ¨r¨ a viivoja. Osoitamme, ett¨ a G on kaksijakoinen. Aikaisemman huomion nojalla riitt¨ aa ¨ n¨ aytt¨ aa ¨, ett¨ a jokainen G:n yhten¨ ainen komponentti on kaksijakoinen. Olkoon H verkon G yhten¨ ainen komponentti ja olkoon a verkon H piste. Jokaisella x ∈ P H merkitsemme f (x):ll¨ a pienint¨ a lukua n, jolla H:ssa on n-askeleinen kulku a:sta x:¨ aa ¨n. N¨ ayt¨ amme, ett¨ a joukko A = {x ∈ PH : luku f (x) on parillinen} on riippumaton verkossa H. Teemme vastav¨ aitteen: on olemassa sellaiset pisteet x, y ∈ A, ett¨ a

Luku III. Verkon renkaat

77

xy ∈ VH . Merkitsemme n = f (x) ja k = f (y). T¨ all¨ oin on olemassa n-askeleinen kulku x ¯ pisteest¨ a a pisteeseen x ja k-askeleinen kulku y¯ pisteest¨ a a pisteeseen y. Panemme merkille, ett¨ a lukujen n ja k minimaalisuuden nojalla kulut x ¯ ja y¯ ovat yksinkertaisia. Olkoon vaikkapa voimassa n ≤ k. T¨ all¨ oin z¯ = x ¯ ?(x, y) on yksinkertainen kulku pisteest¨ a a pisteeseen y. Lemman III 2.6 nojalla joukko V (¯ y )∆V (¯ z) on H:n renkaisto. Koska luku |V (¯ y )| = k on parillinen ja luku |V (¯ z )| = n + 1 on pariton, Lemman I 1.15 tuloksesta seuraa, ett¨ a renkaistossa V (¯ y )∆V (¯ z ) on pariton m¨ aa ¨r¨ a viivoja. Edellisest¨ a seuraa, ett¨ a jossain H:n renkaassa on pariton m¨ aa ¨r¨ a viivoja, mutta t¨ am¨ a on ristiriita, koska jokainen H:n rengas on my¨ os G:n rengas. N¨ ain ollen vastav¨ aite oli v¨ aa ¨r¨ a ja joukko A on riippumaton verkossa H. Vastaavasti n¨ aemme, ett¨ a joukko B = {x ∈ PH : luku f (x) on pariton} on riippumaton verkossa H. Olemme osoittaneet, ett¨ a H on kaksijakoinen.

3. Eulerin kulut. Kuten edell¨ a mainitsimme, ainakaan toistaiseksi ei ole l¨ oytynyt mit¨ aa ¨n v¨ altt¨ am¨ att¨ omi¨ a ja riitt¨ avi¨ a ehtoja, joiden avulla voisi helposti p¨ aa ¨tell¨ a onko annetussa verkossa Hamiltonin kulkua vai ei. Tarkastelemme nyt kulkuja, jotka verkon pisteiden asemesta luettelevat yksinkertaisesti verkon viivat; t¨ allaisia kulkuja kutsutaan Eulerin kuluiksi. Osoitamme seuraavassa, ett¨ a Eulerin kulkujen olemassaololle l¨ oytyy luonnehdinta yksinkertaisella ehdolla, jonka voimassaolo on usein helposti tarkastettavissa annetun verkon tapauksessa. III 3.1 M¨ a¨ aritelm¨ a Olkoon G verkko. Eulerin kulku verkossa G on sellainen kulku (x0 , ..., xn ) G:ss¨ a, ett¨ a jokainen G:n viiva esiintyy t¨ asm¨ alleen yhden kerran jonossa (x0 x1 , ..., xn−1 xn ). Jos Eulerin kulku (x0 , ..., xn) on kierros, niin sanomme sen olevan Eulerin kierros. Kulku x ¯ = (x0 , ..., xn ) verkossa G on t¨ aten Eulerin kulku G:ss¨ a jos ja vain jos seuraavat kaksi ehtoa toteutuvat:(1) kaikilla 0 < i < j ≤ n on voimassa x i−1 xi 6= xj−1 xj ; (2) V (¯ x) = VG . Koko verkkoteorian voi katsoa alkaneen v. 1736 ilmestyneest¨ a artikkelista, jossa L. Euler ratkaisi seuraavan nk. K¨ onigsbergin siltojen ongelman.

78

3. Eulerin kulut.

III 3.2 Esimerkki K¨ onigsbergin kaupungin (nyk. Kaliningrad) l¨ api virtaavan Pregel–joen ja sen sivuhaaran rantoja sek¨ a Kneiphof in saarta yhdist¨ am¨ aa ¨n oli rakennettu alla olevan kaavakuvan mukaiset seitsem¨ an siltaa:

Kaupunkilaiset olivat pohtineet seuraavaa ongelmaa: Olisiko mahdollista kulkea jotakin reitti¨ a pitkin kaikkien seitsem¨ an sillan yli kulkematta mink¨ aa ¨n sillan yli kahteen kertaan? Ongelman ratkaisemiseksi yritet¨ aa ¨n kuvata sit¨ a verkkojen avulla. Annetaan aluksi jokien erottamille maa–alueille ja maa–alueita yhdist¨ aville silloille nimet ja muodostetaan t¨ am¨ an j¨ alkeen alla oikeanpuolisen kuvion mukainen “verkko”, jonka pistein¨ a ovat maa–alueet m, n, k, l ja viivoina maa–alueita yhdist¨ av¨ at sillat a, b, c, d, e, f, g. a

b

f

m a b

m k e l c n

d g

k c d

f e

l

g

n

Valitettavasti kuvion “verkko” ei ole verkko annetun m¨ aa ¨ritelm¨ an mieless¨ a, koska verkon m¨ aa ¨ritelm¨ ast¨ a seuraa, ett¨ a verkon kahden pisteen v¨ alill¨ a voi olla vain

Luku III. Verkon renkaat

79

yksi viiva. Saamme m¨ aa ¨ritelm¨ an mukaisen verkon ottamalla pisteiksi sek¨ a kaikki maa–alueet ett¨ a kaikki sillat ja ottamalla viivoiksi kaikki ne viivat pi, joilla sillan i toinen p¨ aa ¨ sijaitsee alueella p; t¨ am¨ a verkko on kuvattu alla olevassa kuvassa.

m a

b

f

d

e g

k c

l

n N¨ aemme helposti, ett¨ a K¨ onigsbergin siltojen ongelma palautuu Eulerin kulun etsimiseen yll¨ a kuvatusta verkosta. Seuraavassa annamme luonnehdinnan Eulerin kulun olemassaololle verkon parillisasteisuuden ja yhten¨ aisyyden avulla. Kyseisen luonnehdinnan todistamisessa voimme k¨ aytt¨ aa ¨ hyv¨ aksi aikaisempia renkaistoja koskevia tuloksia. III 3.3 Lemma Jos verkossa on Eulerin kierros, niin verkon viivat muodostavat renkaiston. Todistus. Todistamme v¨ aitteen induktiolla verkon viivojen lukum¨ aa ¨r¨ an suhteen. Jos viivojen lukum¨ aa ¨r¨ a on nolla, niin viivojen joukko on tyhj¨ a ja t¨ aten renkaisto. Olkoon nyt n > 0 sellainen luonnollinen luku, ett¨ a v¨ aite p¨ atee niille verkoille, joissa on v¨ ahemm¨ an kuin n viivaa. N¨ ayt¨ amme, ett¨ a v¨ aite p¨ atee t¨ all¨ oin my¨ os n– viivaisille verkoille. Olkoon G n–viivainen verkko, jossa on Eulerin kierros. Jos VG on rengas, niin v¨ aite p¨ atee verkolle G. Oletamme, ettei VG ole rengas. Olkoon x ¯ = (x0 , ..., xn ) Eulerin kierros verkossa G. Koska VG ei ole rengas, niin kulku x ¯ ei ole yksinkertainen. T¨ aten on olemassa sellaiset luvut 0 < i < j ≤ n, ett¨ a x i = xj . Merkitsemme y¯ = (xi , ..., xj ) ja z¯ = (x1 , ...xi ) ? (xj , ..., xn ); panemme merkille, ett¨ a y¯ ja z¯ ovat kierroksia verkossa G. Koska x ¯ on Eulerin kulku G:ss¨ a, niin on voimassa V (¯ y ) ∩ V (¯ z ) = ∅ ja V (¯ y ) ∪ V (¯ z ) = VG . Merkitsemme H:lla joukon V (¯ y)

80

3. Eulerin kulut.

ja K:lla joukon V (¯ z ) viritt¨ am¨ aa ¨ G:n aliverkkoa; t¨ all¨ oin VH = V (¯ y ) ja VK = V (¯ z ). Koska x ¯ on Eulerin kierros verkossa G, niin y¯ on Eulerin kierros verkossa H ja z¯ on Eulerin kierros verkossa K. Koska p¨ atee, ett¨ a |VH | = |V (¯ y )| < n = vG ja |VK | = |V (¯ z )| < n = vG , niin induktio–oletuksesta seuraa, ett¨ a joukot VH ja VK ovat renkaistoja. T¨ ast¨ a seuraa, koska VH ∩ VK = ∅, ett¨ a joukko VH ∪ VK = VG on renkaisto. Yhten¨ aisen verkon tapauksessa p¨ atee my¨ os edellisen tuloksen k¨ aa ¨nteistulos. III 3.4 Lemma Jos yhten¨ aisen verkon viivat muodostavat renkaiston, niin verkossa on Eulerin kierros. Todistus. Todistamme induktiolla luvun n suhteen, ett¨ a jos yhten¨ aisen verkon viivojen joukko on n:n erillisen renkaan yhdiste, niin verkossa on Eulerin kierros. V¨ aite p¨ atee triviaalisti tapauksissa n = 0 ja n = 1. Oletamme nyt, ett¨ a n > 1 ja ett¨ a olemme jo todistaneet v¨ aitteen niille yhten¨ aisille verkoille, joiden viivojen joukko on n − 1:n erillisen renkaan yhdiste. Olkoon G sellainen yhten¨ ainen verkko, S ett¨ a sen kaikkien viivojen joukolla on esitys VG = W, miss¨ a W on erillinen perhe G:n renkaita ja |W| = n. Todistamme v¨ aitteen verkolle G. Merkitsemme jokaisella

W ∈ W G(W ):ll¨ a renkaan W viritt¨ am¨ aa ¨ G:n aliverkkoa; panemme merkille, ett¨ a W verkko G(W ) on yhten¨ ainen. On voimassa G = W ∈W G(W ) ja t¨ ast¨ a seuraa Lemman II 3.11 nojalla, koska G on yhten¨ ainen, ett¨ a joukolla W on sellainen

esitys W = {Wi : i = 1, ..., n}, ett¨ a jokaisella 1 < i ≤ n on voimassa PG(Wi ) ∩ Wn−1 PG(Wj ) 6= ∅ jollain j < i. Merkitsemme G0 = i=1 G(Wi ). Verkko G0 on Lemman

II 3.12 nojalla yhten¨ ainen. Induktio–oletuksen nojalla verkossa G0 on Eulerin kierros x ¯ = (x0 , ...., xk ). Olkoon luvulle j ≤ n − 1 ja G:n pisteelle p voimassa p ∈ PG(Wn ) ∩ PG(Wj ) . Olkoon z¯ sellainen yksinkertainen kierros verkossa G, ett¨ a Wn = V (¯ z ); voimme olettaa, ett¨ a z¯ on pisteest¨ a p l¨ ahtev¨ a kierros. Koska p ∈ P (G(Wj )) ⊂ PG0 = P (¯ x), on olemassa sellainen luku l ≤ k, ett¨ a xl = p. Nyt n¨ aemme helposti, ett¨ a jono (x0 , ..., xl ) ? z¯ ? (xl , ..., xk ) on Eulerin kierros verkosssa G. Seuraavassa lauseessa luonnehdimme sellaisia verkkoja, joissa ei ole eristettyj¨ a pisteit¨ a ja joissa on Eulerin kulku. Eristettyjen pisteiden puuttumista koskeva rajoitus ei ole kovin oleellinen, sill¨ a eristetyill¨ a pisteill¨ a ei ole merkityst¨ a Eulerin kulun olemassaololle: jos nimitt¨ ain G ja H ovat verkkoja, joille p¨ atee, ett¨ a VG = VH , niin verkossa G on Eulerin kulku jos ja vain jos verkossa H on Eulerin kulku.

Luku III. Verkon renkaat

81

III 3.5 Lause Olkoon G verkko, jossa ei ole eristettyj¨ a pisteit¨ a. T¨ all¨ oin verkossa G on Eulerin kierros jos ja vain jos G on yhten¨ ainen ja parillisasteinen. Todistus. V¨ altt¨ am¨ att¨ omyys. Jos G:ss¨ a on Eulerin kierros, niin G on Lemman III 3.3 ja Korollaarin III 2.4 nojalla parillisasteinen; koska G:ss¨ a ei ole eristettyj¨ a pisteit¨ a, niin Eulerin kierros k¨ ay jokaisessa G:n pisteess¨ a ja G on t¨ aten Lauseen II 4.8 nojalla yhten¨ ainen. Riitt¨ avyys. Lemma III 3.4 ja Korollaari III 2.4. Luonnehdimme seuraavaksi niit¨ a eristettyj¨ a pisteit¨ a vailla olevia verkkoja, joissa on sellainen Eulerin kulku, joka ei ole kierros. III 3.6 Lause Olkoon G verkko, jolla ei ole eristettyj¨ a pisteit¨ a ja olkoot a ja b G:n pisteit¨ a, a 6= b. T¨ all¨ oin G:ss¨ a on Eulerin kulku pisteest¨ a a pisteeseen b jos ja vain jos G on yhten¨ ainen, pisteet a ja b ovat paritonasteisia ja kaikki muut G:n pisteet ovat parillisasteisia. Todistus. K¨ ayt¨ amme todistuksessa hyv¨ aksi seuraavaa konstruktiota: valitsemme jonkin “pisteen” q, joka ei kuulu joukkoon PG ja m¨ aa ¨rittelemme uuden verkon G0 asettamalla PG0 = PG ∪ {q} ja VG0 = VG ∪ {aq, qb}. Panemme merkille, ett¨ a koska G:ss¨ a ei ole eristettyj¨ a pisteit¨ a, niin my¨ osk¨ aa ¨n verkolla G 0 ei ole eristettyj¨ a pisteit¨ a. V¨ altt¨ am¨ att¨ omyys. Oletamme, ett¨ a verkossa G on sellainen Eulerin kulku x ¯ = (x0 , ..., xn ), ett¨ a x0 = a ja xn = b. N¨ aemme helposti, ett¨ a jono (q, x0 , ..., xn , q) on Eulerin kierros verkossa G0 . N¨ ain ollen G0 on Lauseen III 3.5 nojalla parillisasteinen. Jokaisella x ∈ PG r {x0 , xn } on voimassa dG (x) = dG0 (x), joten verkko G on parillisasteinen pisteess¨ a x. Toisaalta, jos y = x0 tai y = xn , niin dG (y) = dG0 (y) − 1 ja t¨ ast¨ a seuraa, ett¨ a verkko G on paritonasteinen pisteess¨ a y. N¨ ain ollen verkossa G on t¨ asm¨ alleen kaksi paritonasteista pistett¨ a, nimitt¨ ain pisteet x0 = a ja xn = b. Toisaalta, koska G:ss¨ a ei ole eristettyj¨ a pisteit¨ a, niin Eulerin kulku x ¯ k¨ ay jokaisessa G:n pisteess¨ a. Lauseen II 4.8 nojalla verkko G on yhten¨ ainen. Riitt¨ avyys.

Oletamme, ett¨ a G on yhten¨ ainen ja ett¨ a a ja b ovat ainoat G:n

paritonasteiset pisteet. Verkon G0 pisteen y aste m¨ aa ¨r¨ aytyy seuraavasti. Jos y ∈ PG r {a, b}, niin dG0 (y) = dG (y). Jos y ∈ {a, b}, niin dG0 (y) = dG (y) + 1. Jos y = q, niin dG0 (y) = 2. Edellisen nojalla verkko G0 on parillisasteinen. Verkon G

82

3. Eulerin kulut.

yhten¨ aisyydest¨ a seuraa, ett¨ a my¨ os verkko G0 on yhten¨ ainen. Lauseen III 3.5 nojalla verkossa G0 on Eulerin kierros x ¯ = (x0 , ..., xn ); voidaan olettaa, ett¨ ax ¯ on G0 :n pisteest¨ a q l¨ ahtev¨ a kierros eli ett¨ a x0 = xn = q. Koska x ¯ on Eulerin kierros, niin on voimassa x0 x1 6= xn−1 xn ; t¨ ast¨ a seuraa, koska aq ja qb ovat ainoat verkon G0 viivat, joilla on piste q toisena p¨ aa ¨tepisteen¨ a, ett¨ a on voimassa {x 1 , xn−1 } = {a, b} ja xi 6= q jokaisella 0 < i < n. Edellisen nojalla p¨ atee, ett¨ a {x1 x2 , ..., xn−2 xn−1 } = VG0 r {qa, bq} = VG . Edell¨ a esitetyst¨ a seuraa, ett¨ a jono y¯ = (x1 , ..., xn−1 ) on Eulerin kulku verkossa G. Koska {x1 , xn−1 } = {a, b}, niin on voimassa joko x1 = a ja xn−1 = b tai x1 = b ja xn−1 = a; ensimm¨ aisess¨ a tapauksessa y¯ on Eulerin kulku G:ss¨ a pisteest¨ a a pisteeseen b ja j¨ alkimm¨ aisess¨ a tapauksessa (xn−1 , ..., x1) on Eulerin kulku G:ss¨ a pisteest¨ a a pisteeseen b. Korollaarin II 2.7 nojalla verkon paritonasteisten pisteiden lukum¨ aa ¨r¨ a on parillinen; erityisesti, jos paritonasteisia pisteit¨ a on korkeintaan kaksi kappaletta, niin joko niit¨ a on t¨ asm¨ alleen kaksi kappaletta tai sitten verkko on parillisasteinen. N¨ ain ollen Lauseiden III 3.5 ja III 3.6 tulokset voidaan yhdist¨ aa ¨ seuraavalla tavalla. III 3.7 Korollaari Eristettyj¨ a pisteit¨ a vailla olevassa verkossa on Eulerin kulku jos ja vain jos verkko on yhten¨ ainen ja siin¨ a on korkeintaan kaksi paritonasteista pistett¨ a. III 3.8 Esimerkkej¨ a. (a) Korollaarin III 3.7 tuloksesta seuraa, ettei kaikkia K¨ onigsbergin siltoja voi ylitt¨ aa ¨ kulkematta jonkun sillan yli useampaan kertaan, sill¨ a Esimerkiss¨ a III 3.2 mainitussa verkossa on nelj¨ a paritonasteista pistett¨ a. (b) Ongelma: Onko mahdollista suorittaa shakkipelin ratsulla per¨ akk¨ ain kaikki sallitut siirrot yhteen suuntaan toistamatta mit¨ aa ¨n siirtoa edes toiseen suuntaan? Ratkaisu: Ongelma palautuu Eulerin kulun etsimiseen shakkipelin hevoseen liittyv¨ ast¨ a verkosta H, jota olemme tarkastelleet aikaisemmissa esimerkeiss¨ a. Verkon H kahdeksalla “nurkkaruudun viereisell¨ a reunaruudulla” on asteena kolme. T¨ aten verkossa H ei ole Eulerin kulkua ja ongelmassa mainittua teht¨ av¨ aa ¨ ei ole mahdollista suorittaa.

Luku III. Verkon renkaat

83

(c) Teht¨ av¨ at, joissa pyydet¨ aa ¨n piirt¨ am¨ aa ¨n joku kuvio “yhteen kertaan kyn¨ aa ¨ nostamatta”, palautuvat Eulerin kulkujen etsimiseen kuvioita vastaavista verkoista. Seuraavassa er¨ ait¨ a t¨ allaisia kuvioita:

4. Verkon yksisuuntaistukset. Suhteikon sanotaan olevan yksisuuntainen, mik¨ ali siin¨ a ei ole kahta “vastak→ − → − kaista” nuolta ab ja ba. Verkko on yksisuuntainen vain siin¨ a triviaalissa tapauksessa, ett¨ a sill¨ a ei ole yht¨ aa ¨n viivaa; kuitenkin my¨ os ep¨ atriviaaleihin verkkoihin liittyy yksisuuntaisia suhteikkoja, joiden tarkastelu saattaa selvitt¨ aa ¨ verkon rakennetta. ~ on verkon G yksisuuntaistus, jos M¨ a¨ aritelm¨ a Olkoon G verkko. Suhteikko G ~ on yksisuuntainen ja G ~ s = G. G ~ on siis G:n yksisuuntaistus, mik¨ ~ on saatu G:st¨ M¨ aa ¨ritelm¨ an mukaisesti G ali G a → ja − → xy yx valitsemalla jokaisella xy ∈ VG , jompikumpi, mutta ei molempia, nuolista − joukkoon NG ~. Jos G on yhten¨ ainen verkko, niin jokainen G:n yksisuuntaistus on Lauseen II 3.3 nojalla yhten¨ ainen. Tarkastelemme nyt er¨ ait¨ a yhten¨ aisyytt¨ a voimakkaampia ominaisuuksia verkkojen yksisuuntaistusten yhteydess¨ a. T¨ aydellisen verkon jokainen yksisuuntaistus on t¨ aydellinen suhteikko, joten Lauseen II 5.4 korollaari osoittaa, ett¨ a t¨ aydellisen verkon jokaisella yksisuuntaistuksella on juuri. Mielivaltaisen yhten¨ aisen verkon tapauksessa p¨ atee seuraava heikompi tulos.

84

4. Verkon yksisuuntaistukset.

III 4.1 Lause Olkoon G yhten¨ ainen verkko ja olkoon a G:n piste. T¨ all¨ oin G:ll¨ a ~ ett¨ ~ juuri. on sellainen yksisuuntaistus G, a a on G:n Todistus. Koska G on yhten¨ ainen, niin jokaisella y ∈ PG on olemassa kulku pisteest¨ a a pisteeseen y. Jokaisella y ∈ PG merkitsemme f (y):ll¨ a pienint¨ a lukua n ∈ N, jolla G:ss¨ a on n–askeleinen kulku a:sta y:hyn. −−→ Jokaisella v ∈ VG valitsemme sellaisen nuolen av bv , ett¨ a av bv = v ja f (av ) ≤ −−→ ~ joka m¨ f (bv ). T¨ all¨ oin suhteikko G, aa ¨r¨ aytyy ehdoista P ~ = PG ja N ~ = {av bv : G

G

v ∈ VG }, on verkon G yksisuuntaistus. ~ juuri. Olkoon y G:n ~ piste. T¨ Osoitamme, ett¨ a a on suhteikon G all¨ oin y ∈ PG , joten G:ss¨ a on kulku (x0 , ..., xn) a:sta y:hyn, miss¨ a n = f (y). Osoitamme, ett¨ a ~ Teemme vastav¨ (x0 , ..., xn ) on my¨ os kulku suhteikossa G. aitteen: on olemassa −−→ ~ sellainen i ∈ [n], ett¨ a − x− i−1 xi ei ole suhteikon G nuoli. Koska xi−1 xi ∈ VG ja − −−→ / N ~ , niin − −−→ x− x− ast¨ a seuraa joukon NG i−1 xi ∈ i xi−1 ∈ NG ~ ja t¨ ~ alkioiden valinnan G nojalla, ett¨ a on voimassa f (xi ) ≤ f (xi−1 ). Koska (x0 , ..., xi−1 ) on i−1 – askeleinen kulku G:ss¨ a pisteest¨ a a pisteeseen xi−1 , niin on voimassa f (xi−1 ) ≤ i − 1. N¨ ain ollen p¨ atee, ett¨ a f (xi ) ≤ f (xi−1 ) ≤ i − 1. Olkoon (y0 , ..., yk ) sellainen kulku G:ss¨ a a:sta xi :hin, ett¨ a k = f (xi ). T¨ all¨ oin on voimassa k = f (xi ) ≤ i − 1. Mutta nyt (y0 , ..., yk , xi+1 , ..., xn) on kulku G:ss¨ a a:sta y:hyn ja t¨ am¨ an kulun askelten lukum¨ aa ¨r¨ a on k + (n − i) ≤ n − 1; t¨ am¨ a on ristiriidassa sen kanssa, ett¨ a n = f (y). ~ on t¨ Edellisen nojalla vastav¨ aite on v¨ aa ¨r¨ a ja suhteikossa G aten kulku (x0 , ..., xn ) pisteest¨ a a pisteeseen y. Yleens¨ a annetulla yhten¨ aisell¨ a verkolla on useita eri yksisuuntaistuksia, joilla on annettu verkon piste juurena. III 4.2 Esimerkki Alla molemmat oikealla puolella olevat suhteikot ovat vasemmalla kuvatun verkon G yksisuuntaistuksia ja kummallakin on G:n piste c juurena. d a

h c

b

e

G

d g

f

a

h c

b

e

G1

d g

f

a

h

c b

e

G2

g f

Luku III. Verkon renkaat

85

Huomaamme, ett¨ a edellisen esimerkin verkossa on rengas. Seuraava tulos selitt¨ aa ¨ t¨ am¨ an huomion. III 4.3 Lause Jos verkolla on kaksi eri yksisuuntaistusta, joilla on yhteinen juuri, niin verkossa on rengas. Todistus. Oletamme, ett¨ a verkolla G on kaksi eri yksisuuntaistusta, joilla kummallakin on piste a ∈ PG juurena. Verkko G on yhten¨ ainen koska sill¨ a on juurellinen yksisuuntaistus. M¨ aa ¨rittelemme funktion f : PG → N ja verkon G yksisuun~ kuten edellisen lauseen todistuksessa. Oletuksemme nojalla G:ll¨ taistuksen G a on ~~ , ett¨ ~~ = ~ ja piste a on G ~ :n juuri. sellainen yksisuuntaistus G aG 6 G → ∈ N ~ ja − → ∈ N ~~ . Merkitsemme Olkoon G:n pisteille x ja y voimassa − xy yx G G m = f (x). Luvun f (x) m¨ aa ¨rittelyn nojalla verkossa G on kulku x ¯ = (x0 , . . . , xm ) pisteest¨ a a pisteeseen x. Luvun f (x) minimaalisuuden nojalla kulku x ¯ on yk→ ∈ N ~ , on voimassa f (y) ≥ f (x) ja t¨ sinkertainen. Koska − xy ast¨ a seuraa, ett¨ a G

y 6∈ {x0 , . . . , xm }. Edellisen nojalla y¯ = (x0 , . . . , xm , y) on yksinkertainen kulku ~~ juuri, suhG:ss¨ a pisteest¨ a a pisteeseen y. Toisaalta, koska a on my¨ os suhteikon G −− → − → ~~ on yksinkertainen kulku z¯ pisteest¨ teikossa G a a pisteeseen y. Koska x m y = xy ei ~~ nuoli, on voimassa z¯ 6= y¯. ole suhteikon G Edell¨ a esitetyn nojalla verkossa G kaksi eri yksinkertaista kulkua pisteest¨ aa → ∈ N ~ , on voimassa y 6= a. Lauseen III 2.7 nojalla verkossa pisteeseen y. Koska − xy G

G on rengas. Tietyiss¨ a k¨ ayt¨ ann¨ on tilanteissa haluaisimme l¨ oyt¨ aa ¨ annetulle (yhten¨ aiselle) ~ ett¨ ~ voidaan kulkea mist¨ verkolle G sellaisen yksisuuntaistuksen G, a suhteikossa G a tahansa pisteest¨ a mihin tahansa muuhun pisteeseen. ~ on sellainen G:n yksiN¨ aemme helposti yll¨ a olevassa esimerkiss¨ a, ett¨ a jos G − suuntaistus, jolla on piste a juurena, niin G:ss¨ a on oltava nuoli → ce; vastaavasti, ~ on sellainen G:n yksisuuntaus, jolla on piste g juurena, niin G:ss¨ ~ a on oltajos G − va nuoli → ec. Emme siis voi yksisuuntaistaa verkkoa G siten, ett¨ a sek¨ a a ett¨ a g olisivat juuria. N¨ ain ollen mik¨ aa ¨n G:n yksisuuntaistus ei ole vahvasti yhten¨ ainen. Luonnehdimme nyt niit¨ a verkkoja, joilla on vahvasti yhten¨ ainen yksisuuntaistus. III 4.4 M¨ a¨ aritelm¨ a Verkko G on kahdesti yhten¨ ainen, mik¨ ali verkko G − v on yhten¨ ainen jokaisella v ∈ VG .

86

4. Verkon yksisuuntaistukset. Lemman III 1.2 nojalla saamme seuraavan tuloksen.

III 4.5 Lause Verkko on kahdesti yhten¨ ainen jos ja vain jos verkko on yhten¨ ainen ja sen jokainen viiva kuuluu johonkin renkaaseen. Seuraava tulos antaa perustelun yll¨ a k¨ aytt¨ oo ¨nottamallemme nimitykselle. III 4.6 Lemma Verkko G on kahdesti yhten¨ ainen jos ja vain jos jokaisella joukon PG aidolla, ep¨ atyhj¨ all¨ a osajoukolla P , verkossa G on ainakin kaksi viivaa joukkojen P ja PG r P v¨ alill¨ a. Todistus. Harjoitusteht¨ av¨ a. III 4.7 Lause Verkolla on vahvasti yhten¨ ainen yksisuuntaistus jos ja vain jos verkko on kahdesti yhten¨ ainen. Todistus. V¨ altt¨ am¨ att¨ omyys. Oletamme, ett¨ a verkolla G on vahvasti yhten¨ ainen ~ Osoitamme edellisen lemman avulla, ett¨ yksisuuntaistus G. a verkko G on kahdesti ~ on vahvasti yhten¨ ainen. Olkoon P joukon PG ep¨ atyhj¨ a aito osajoukko. Koska G − → − ~ a on nuoli → yhten¨ ainen, G:ss¨ ab joukkoon P ja nuoli cd joukosta P . On voimassa → − → − ~ on yksisuuntainen, ett¨ ~ on G:n ab 6= cd ja t¨ ast¨ a seuraa, koska G a ab 6= cd. Koska G yksisuuntaistus, niin ab ja cd ovat G:n viivoja; lis¨ aksi kumpikin n¨ aist¨ a viivoista on joukkojen P ja PG r P v¨ alinen viiva. Olemme osoittaneet, ett¨ a edellisen lemman ehto toteutuu. Riitt¨ avyys. Oletamme, ett¨ a verkko G on kahdesti yhten¨ ainen. Osoitamme, ett¨ a G:ll¨ a on vahvasti yhten¨ ainen yksisuuntaistus.

V¨ aite p¨ atee triviaalisti jos

|PG | = 1, joten voimme olettaa, ett¨ a |PG | 6= 1. Lauseen III 4.5 nojalla voimme Sn kirjoittaa VG = i=1 Ri , miss¨ a kukin Ri on rengas. Jokaisella i ∈ [n] on olemassa

sellainen yksinkertainen kierros x ¯i = (xi0 , ..., xini ) verkossa G, ett¨ a Ri = V (¯ xi ). Panemme merkille, ett¨ a G:ss¨ a ei ole eristettyj¨ a pisteit¨ a ja ett¨ a t¨ aten on voimassa Sn PG = i=1 P (¯ xi ). ~ seuraavasti. Olkoon v verkon G M¨ aa ¨rittelemme G:n yksisuuntaistuksen G viiva. Merkitsemme k:ll¨ a ep¨ atyhj¨ an lukujoukon {i ∈ [n] : v ∈ Ri } pienint¨ a lukua. Olkoon j ∈ [nk ] se luku, jolle p¨ atee, ett¨ a v = xkj−1 xkj . Suunnistamme viivan v −− − − → valitsemalla nuolen xkj−1 xkj joukkoon NG ~. ~ on vahvasti yhten¨ Osoitamme, ett¨ a G ainen. Olkoon P joukon P ~ = PG G

ep¨ atyhj¨ a aito osajoukko. Koska G on yhten¨ ainen, viivajoukko V = {pq ∈ V G : p ∈

Luku III. Verkon renkaat

87

P ja q ∈ PG r P } on ep¨ atyhj¨ a. Merkitsemme k:lla joukon {i ∈ [n] : V ∩ Ri 6= ∅} pienint¨ a lukua. Lemman II 4.1(c) nojalla voimme olettaa, ett¨ a xk0 xk1 on joukkojen P ja PG r P v¨ alinen viiva. Oletamme, ett¨ a vaikkapa xk0 ∈ P ja xk1 ∈ / P ; tapauksen xk0 ∈ / P ja xk1 ∈ P voimme k¨ asitell¨ a aivan vastaavasti. Merkitsemme j:ll¨ a suurinta niist¨ a luvuista i ∈ [nk ], joilla xki ∈ / P . Panemme merkille, ett¨ a on voimassa j < nk , −−k−→k −− −−→ k k k k koska xnk = x0 ∈ P . Nyt x0 x1 on nuoli joukosta P ja xj xj+1 on nuoli joukkoon P . Lis¨ aksi n¨ am¨ a nuolet kuuluvat joukkoon NG a luvun k minimaalisuudesta ~ , sill¨ seuraa, ettei kumpikaan joukkojen P ja PG rP v¨ alisist¨ a viivoista xk0 xk1 ja xkj xkj+1 voi kuulua mihink¨ aa ¨n joukkoon Ri , miss¨ a i < k. Olemme osoittaneet, ett¨ a suhteikko ~ on vahvasti yhten¨ G ainen. Edellisen lauseen tulos antaa esimerkiksi riitt¨ av¨ an ja v¨ altt¨ am¨ att¨ om¨ an (joskin teoreettisen) ehdon sille, ett¨ a jossakin kaupungissa kaikki kadut voitaisiin tehd¨ a yksisuuntaisiksi ilman, ett¨ a estett¨ aisiin p¨ aa ¨sy¨ a mist¨ aa ¨n paikasta mihink¨ aa ¨n toiseen paikkaan. Lauseessa III 4.7 luonnehdimme niit¨ a verkkoja, joilla on sellainen yksisuuntaistus, jossa jokaisesta pisteest¨ a p¨ aa ¨see kulkemaan mihin tahansa muuhun pisteeseen. Luonnehdimme viel¨ a sellaisia verkkoja, joilla on “kulkukelvoton” yksisuuntaistus. III 4.8 Lemma Verkko G on kaksijakoinen jos ja vain jos G:ll¨ a on sellainen yk~ ett¨ ~ on korkeintaan yksiaskeleinen. sisuuntaistus G, a jokainen kulku suhteikossa G Todistus. V¨ altt¨ am¨ att¨ omyys. Olkoot A ja B sellaisia verkon G riippumattomia pistejoukkoja, ett¨ a PG = A ∪ B ja A ∩ B = ∅. Kaikki G:n viivat ovat joukkojen A ~ se verkon G yksisuuntaistus, jossa jokainen n ∈ N ~ ja B v¨ alisi¨ a viivoja. Olkoon G G

~ a on joko muotoa (), on nuoli joukosta A joukkoon B. T¨ all¨ oin jokainen kulku G:ss¨ tai muotoa (x) jollain x ∈ PG , tai muotoa (a, b) joillain a ∈ A ja b ∈ B. ~ ett¨ Riitt¨ avyys. Oletamme, ett¨ a G:ll¨ a on sellainen yksisuuntaistus G, a jokainen ~ a on korkeintaan yksiaskeleinen. Merkitsemme kulku G:ss¨ ~ nuolen alkupiste} A = {x ∈ PG : x on jonkun G:n ~ nuolen p¨ ja panemme merkille, ett¨ a mik¨ aa ¨n joukon A piste ei ole mink¨ aa ¨n G:n aa ¨tepiste; t¨ ast¨ a seuraa, ett¨ a A on verkon G riippumaton pistejoukko. Koska mik¨ aa ¨n ~ nuolen alkupiste, my¨ joukon B = PG r A piste ei ole mink¨ aa ¨n G:n os joukko B on riippumaton.

88

¨via ¨ Harjoitustehta

¨via ¨ lukuun III Harjoitustehta 1. Osoita, ett¨ a verkon G aliverkko H on jonkun G:n renkaan viritt¨ am¨ a jos ja vain jos H on 2-s¨ aa ¨nn¨ ollinen ja yhten¨ ainen. [Huom. T¨ am¨ a t¨ asment¨ aa ¨ Lemman III 2.2 tulosta.] 2. N¨ ayt¨ a, ett¨ a tetraedriin liittyv¨ ass¨ a verkossa (eli verkossa K4 ) ei ole kahta erillist¨ a rengasta. 3. N¨ ayt¨ a, ett¨ a tetraedriin liittyv¨ an verkon renkaiden lukum¨ aa ¨r¨ a on seitsem¨ an. 4. Osoita, ett¨ a viiden pisteen t¨ aydellisess¨ a verkossa K5 ei ole kahta kesken¨ aa ¨n erillist¨ a neli¨ ot¨ a (eli 4-rengasta). 5. N¨ ayt¨ a, ett¨ a jos verkon K5 jokainen viiva v¨ aritet¨ aa ¨n joko siniseksi tai punaiseksi, niin v¨ aritetyst¨ a verkosta l¨ oytyy yksiv¨ arinen rengas. P¨ ateek¨ o vastaava tulos verkolle K 4 ? 6. Olkoon A joukon [n] k-osajoukko, miss¨ a k > 2. N¨ ayt¨ a, ett¨ a t¨ aydellisess¨ a verkossa K n (k−1)! on t¨ asm¨ alleen sellaista k-rengasta, joiden viivojen p¨ aa ¨tepisteet ovat joukossa 2 A. [Ohje: Jokaiseen tuollaiseen renkaaseen liittyy kaksi joukon A syklist¨ a permutaatiota (katso kombinatoriikan monisteen teht¨ av¨ aa ¨ II 47).] 7. Johda edellisen teht¨ av¨ an avulla lauseke verkon Kn renkaiden lukum¨ aa ¨r¨ alle. Vertaa lausekkeesi antamaa tulosta tapauksessa n = 4 yll¨ a teht¨ av¨ ass¨ a 2 annettuun lukuun. 8. Alla olevassa Petersenin verkon P esityksess¨ a n¨ akyy selv¨ asti uloimpien viivojen muodostama 5-rengas. N¨ ahd¨ aa ¨n my¨ os helposti ett¨ a sisimpien viivojen muodostama t¨ ahtikuvio on P :n 5-rengas, joka on erillinen ulommasta 5-renkaasta. N¨ ayt¨ a, ett¨ a vastaava tilanne p¨ atee verkon P jokaisen 5-renkaan kohdalla (eli ett¨ a jos R on mielivaltainen P :n 5-rengas, niin P :ss¨ a on R:st¨ a erillinen 5-rengas).

9. Osoita edellisen teht¨ av¨ an avulla, ett¨ a Petersenin verkon kaikkien 5-renkaiden joukko voidaan esitt¨ aa ¨ kuuden eri 10-viivaisen renkaiston yhdisteen¨ a. 10. Osoita, ettei Petersenin verkossa ole yht¨ aa ¨n kolmiota tai neli¨ ot¨ a.

Luku III. Verkon renkaat

89

11. Osoita, ett¨ a verkko on kaksijakoinen (katso Luvun II harjoitusteht¨ av¨ a 8) jos ja vain jos verkon jokaisessa renkaassa on parillinen m¨ aa ¨r¨ a viivoja. 12. Osoita, ett¨ a verkko G on rengasverkko jos ja vain jos G on yhten¨ ainen ja 2– s¨ aa ¨nn¨ ollinen (katso Luvun I harjoitusteht¨ av¨ a 23). 13. Osoita, ett¨ a t¨ aydellisen verkon SnK2n+1 kaikkien viivojen joukolle V l¨oytyy sellainen esitys renkaistona: V = i=1 V (¯ xi ), ett¨ a kulut x ¯i ovat K2n+1 :n Hamiltonin kierroksia. Oletetaan, ett¨ a tasoverkko G on esitetty yksinkertaisesti tasossa (katso Harjoitusteht¨ av¨ a II 37). Voidaan osoittaa, ett¨ a esityksen janat jakavat tason ¨ aa ¨rellisen moneen osaan, joista kullakin on janojen muodostama murtoviiva “reunana”; n¨ aist¨ a osista yksi on rajoittamaton ja muut rajoitettuja. Kyseisi¨ a tason osia kutsutaan tasoverkon alueiksi. Esimerkiksi alla kuvattu verkko jakaa tason rajoittamattomaan alueeseen A sek¨ a rajoitettuihin alueisiin B,C,D,E,F ja G.

A

C A

B

F

A

D E

G A

14. Osoita, ett¨ a tasoverkon jokaista rajoitettua aluetta reunustavan murtoviivan sis¨ alt¨ amien janojen joukko (tarkemmin: n¨ ait¨ a janoja vastaavien verkon viivojen joukko) on verkon rengas. Osoita, ett¨ a kaikki n¨ am¨ a renkaat yhdess¨ a viritt¨ av¨ at verkon renkaistoryhm¨ an (toisinsanoen, ett¨ a jokainen verkon renkaisto voidaan esitt¨ aa ¨ muodossa R1 ∆ · · · ∆Rk , miss¨ a Ri ’t ovat alueiden reunoihin liittyvi¨ a renkaita). Osoita my¨ os, ett¨ a n¨ am¨ a “reunarenkaat” ovat toisistaan riippumattomat siin¨ a mieless¨ a, ettei mit¨ aa ¨n niist¨ a voida esitt¨ aa ¨ muiden reunarenkaiden symmetrisen¨ a erotuksena. 15. Dominopalikan kummassakin p¨ aa ¨ss¨ a on 0 − 6 pistett¨ a. Todista, ett¨ a kaikki dominopalikat (yksi kutakin tyyppi¨ a) voidaan sovittaa yhteen umpinaiseksi renkaaksi, jossa palikoiden toisiaan koskettavissa p¨ aiss¨ a on sama pisteluku. Onko t¨ am¨ a mahdollista, jos pisteit¨ a on 0 − 5? Luonnehdimme edell¨ a Eulerin kulun olemassaoloa vain verkkojen tapauksessa, mutta tuloksilla on my¨ os vastineet yleisille suhteikoille. Olkoon S suhteikko ja olkoon x ¯ = (x0 , ..., xn ) kulku suhteikossa S. Sanomme, ett¨ ax ¯ on Eulerin kulku pitkin suhteikon S nuolia, mik¨ ali jokainen S:n nuoli esiintyy t¨ asm¨ alleen yhden kerran jonossa − − → − − − − − → (x0 x1 , ..., xn−1 xn ); jos x ¯ on lis¨ aksi kierros, niin sanomme, etta se on Eulerin kierros pitkin suhteikon S nuolia. 16. N¨ ayt¨ a, ett¨ a eristettyj¨ a pisteit¨ a vailla olevassa suhteikossa S on nuolia pitkin kulkeva − Eulerin kierros jos ja vain jos S on yhten¨ ainen ja d+ S (x) = dS (x) jokaisella x ∈ PS .

¨via ¨ Harjoitustehta

90

[Ohje: muunna Lauseen IV 3.5 todistusta.] 17. Osoita edellisen teht¨ av¨ an avulla, ett¨ a jokaisessa yhten¨ aisess¨ a verkossa on nuolia pitkin kulkeva Eulerin kierros. 18. Osoita, ett¨ a jos S on eristettyj¨ a pisteit¨ a vailla oleva suhteikko, niin S:ss¨ a on nuolia pitkin kulkeva Eulerin kulku S:n pisteest¨ a a S:n pisteeseen b, miss¨ a a 6= b, jos + + − ja vain jos S on yhten¨ ainen, d− S (a) = dS (a) + 1, dS (b) = dS (b) + 1 ja jokaisella − x ∈ PS r {a, b} on voimassa d+ S (x) = dS (x). [Ohje: Teht¨ av¨ an 15 tulos ja Lauseen IV 3.7 todistus.] 19. Aseta 8 nollaa ja 8 ykk¨ ost¨ a renkaaksi niin, ett¨ a jokainen yhdistelm¨ a 0000, 0001, . . . , 1111 esiintyy siin¨ a kerran. (Vihje: Nuolia pitkin kulkeva Eulerin kulku suhteikossa, jonka pisteet ovat 000, 001, . . . , 111.)



0 0 20. Olkoon S suhteikko, jolla on pistejoukkona [4] ja yhteysmatriisina  1 Etsi suhteikosta S (a) nuolia pitkin kulkeva Eulerin kulku; 1 (b) Hamiltonin kulku. (Mik¨ ali sellainen kulku on olemassa).

1 0 1 0

1 0 0 1



0 1 . 0 0

21. Todista Lauseen III 4.3 k¨ aa ¨nteistulos: Jos yhten¨ aisess¨ a verkossa G on rengas, niin G:ll¨ a on kaksi eri yksisuuntaistusta, joilla on yhteinen juuri. −− −−→ ~ [Ohje: Olkoon W = {x i xi+1 : i = 0, 1, . . . , n − 1} G:n rengas ja G sellainen G:n yksi~ nuolien suunsuuntaistus, jolla on juuri a. Muuta joukon W viivoja vastaavien G:n tauksia kahdella eri tavalla: kierroksen (x0 , x1 , . . . , xn ) kulkusuunnan mukaisiksi tai kulkusuunnan vastaisiksi. N¨ ayt¨ a, ett¨ a saaduilla kahdella G:n yksisuuntaistuksella on kummallakin a juurena.] 22. Etsi seuraavassa kuvatuille verkoille vahvasti yhten¨ aiset yksisuuntaistukset.

23. Olkoon G verkko. Osoita Korollaarin II 2.4 avulla, ett¨ a jos G ei jo valmiiksi ole parillisasteinen, niin G voidaan tehd¨ a parillisasteiseksi “lis¨ aa ¨m¨ all¨ a yksi piste”, toisin sanoen, on olemassa sellainen parillisasteinen verkko H, ett¨ a PG ⊂ PH , |PH r PG | = 1 ja G on joukon PG viritt¨ am¨ a H:n aliverkko. 24. Osoita Eulerin Lauseen (III 3.5) ja edellisen teht¨ av¨ an avulla, ett¨ a jokaisella verkolla ~ G on sellainen yksisuuntaistus G, ett¨ a jokaisella x ∈ PG on voimassa |d+ (x) − ~ d− (x)| ≤ 1. ~ G

G

Luku III. Verkon renkaat

91

25. Etsi edellisen teht¨ av¨ an mukainen yksisuuntaistus seuraaville verkoille:

26. N¨ ayt¨ a, ett¨ a verkon G aliverkko H on G:n 2-tekij¨ a jos ja vain jos H on 2-s¨ aa ¨nn¨ ollinen ja PH = PG . [Muistutus: k-tekij¨ a m¨ aa ¨riteltiin teht¨ av¨ ass¨ a II 65.] 27. Olkoon k > 0. N¨ ayt¨ a, ett¨ a jokaisella 2k-s¨ aa ¨nn¨ ollisell¨ a verkolla on 2-tekij¨ a. [Ohje: Riitt¨ aa ¨ n¨ aytt¨ aa ¨, ett¨ a 2k-s¨ aa ¨nn¨ ollisen verkon G jokaisella komponentilla on 2-tekij¨ a, joten voit olettaa, ett¨ a G on yhten¨ ainen. Olkoon (x0 , x1 , . . . , xn ) Eulerin kierros G:ss¨ a ja PG = {p1 , . . . , pm }. Merkitse A = {q1 , . . . , qm } ja B = {r1 , . . . , rm }. M¨ aa ¨rittele verkko H ehdoilla PH = A ∪ B ja VH = {qi rj : (pi , pj ) = (x` , x`+1 ) jollain i = 0, . . . , n − 1}. Huomaa, ett¨ a H on kaksijakoinen ja k-s¨ aa ¨nn¨ ollinen. Konstruoi H:n t¨ aydellisen parijaon avulla 2-tekij¨ a G:lle.] 28. Olkoon k > 0. Osoita, ett¨ a jokainen 2k-s¨ aa ¨nn¨ ollinen verkko on 2-jakautuva. [Ohje: K¨ ayt¨ a edellisen teht¨ av¨ an tulosta samaan tapaan kuin teht¨ av¨ ass¨ a II 66 k¨ aytettiin Lauseen II 6.5 tulosta.]

Luku IV

Puut

1. Puiden perusominaisuudet. IV 1.1 M¨ a¨ aritelm¨ a Olkoon G verkko. G on renkaaton, jos G:ll¨ a ei ole yht¨ aa ¨n rengasta. G on puu, jos G on renkaaton ja yhten¨ ainen. IV 1.2 Esimerkki Seuraava kuva esitt¨ aa ¨ puita, joilla on korkeintaan viisi pistett¨ a:

On helppo n¨ ahd¨ a, ett¨ a kuvassa on esitetty siin¨ a mieless¨ a kaikki korkeintaan viisipisteiset puut, ett¨ a jokainen t¨ allainen puu on isomorfinen jonkin kuvassa n¨ akyv¨ an puun kanssa. Seuraavassa kuvassa on puolestaan esitetty isomorfiaa vaille kaikki erilaiset kuusipisteiset puut.

Aikaisempien tulosten avulla voidaan johtaa t¨ arke¨ a yht¨ al¨ o, joka vallitsee puun pisteiden ja viivojen lukum¨ aa ¨rien v¨ alill¨ a.

Luku IV. Puut

93

IV 1.3 Lause Jokaiselle ep¨ atyhj¨ alle puulle T on voimassa yht¨ al¨ o vT = p T − 1

Todistus. Olkoon T puu. Koska T on yhten¨ ainen, niin Lauseen II 3.13 nojalla on voimassa ep¨ ayht¨ al¨ o vT ≥ pT − 1. Toisaalta, koska T on renkaaton, niin Lauseen III 1.3 nojalla p¨ atee ep¨ ayht¨ al¨ o vT < pT . Yhdist¨ am¨ all¨ a edelliset kaksi ep¨ ayht¨ al¨ oa ¨ saamme halutun yht¨ al¨ on vT = pT − 1. Edellisen lauseen yht¨ al¨ o ei luonnehdi puita verkkojen joukossa, kuten n¨ aemme vaikkapa tarkastelemalla verkkoa K3 ∨({4}, ∅), joka koostuu yhdest¨ a kolmiosta sek¨ a yhdest¨ a eristetyst¨ a pisteest¨ a. Puun renkaattomuuden ja Lauseen III 2.8 nojalla saamme seuraavan tuloksen. IV 1.4 Lause Jokainen puu on kaksijakoinen. IV 1.5 M¨ a¨ aritelm¨ a Puun T piste x on T :n lehti, mik¨ ali dT (x) = 1. IV 1.6 Lause A. Jos puulla on v¨ ahint¨ aa ¨nkin kaksi pistett¨ a, niin sill¨ a on ainakin kaksi lehte¨ a. B. Jos ep¨ atyhj¨ an puun kaikki pisteet ovat lehti¨ a, niin puussa on t¨ asm¨ alleen kaksi pistett¨ a. Todistus. A. Olkoon T puu, |PT | ≥ 2. Korollaarin III 1.5 nojalla T :ll¨ a on sellaiset pisteet x ja y, ett¨ a x 6= y, dT (x) ≤ 1 ja dT (y) ≤ 1. Koska T on yhten¨ ainen, T :ss¨ a ei ole eristettyj¨ a pisteit¨ a; t¨ ast¨ a seuraa, ett¨ a dT (x) = dT (y) = 1. B. Olkoon T sellainen ep¨ atyhj¨ a puu, ett¨ a jokaisella x ∈ PT on voimassa dT (x) = P 1. T¨ all¨ oin on voimassa x∈PT dT (x) = pT . Lauseen II 2.3 nojalla p¨ atee, ett¨ a P a seuraa, ett¨ a pT = 2 · vT . Koska Lauseen IV x∈PT dT (x) = 2 · vT . Edellisest¨

1.3 nojalla p¨ atee, ett¨ a vT = pT − 1, niin saadaan yht¨ al¨ o pT = 2 · (pT − 1) ja t¨ ast¨ a seuraa vaadittu yht¨ al¨ o pT = 2. Annamme esimerkin Lauseen IV 1.3 k¨ ayt¨ ost¨ a puiden tarkastelussa. Teht¨ av¨ a Laske puun 3-asteisten pisteiden lukum¨ aa ¨r¨ a, kun puussa on niiden lis¨ aksi vain kuusi lehte¨ a, yksi 2-asteinen ja yksi 4-asteinen piste.

94

1. Puiden perusominaisuudet.

Ratkaisu. Olkoon T teht¨ av¨ an puu. Jokaisella n ∈ N merkitsemme an = |{x ∈ PT : dT (x) = n}|. On siis voimassa a1 = 6, a2 = 1 = a4 ja an = 0 kun n > 4. Puulle T p¨ atee Lauseen IV 1.3 nojalla, ett¨ a vT = pT − 1. Lis¨ aksi on voimassa P yht¨ al¨ ot 2vT = a x∈PT dT (x) = 6 · 1 + 1 · 2 + a3 · 3 + 1 · 4 = 12 + 3 · a3 sek¨ pT = a1 + a2 + a3 + a4 = 8 + a3 . Edellisen nojalla on voimassa 12 + 3a3 = 2(pT − 1) = 14 + 2a3 ja t¨ ast¨ a saamme a3 :lle arvoksi 2, joka on siis T :n 3-asteisten pisteiden lukum¨ aa ¨r¨ a. Luonnehdimme Lauseessa III 2.8 verkon kaksijakoisuutta verkon renkaiden koon avulla; lauseen ehto toteutuu triviaalisti renkaattomalle verkolle, joten saamme seuraavan tuloksen. IV 1.7 Lause Jokainen puu on kaksijakoinen. Esit¨ amme nyt er¨ ait¨ a v¨ altt¨ am¨ att¨ omi¨ a ja riitt¨ avi¨ a ehtoja sille, ett¨ a verkko on puu. Luonnehdimme aluksi puita kulkujen avulla. IV 1.8 Lause Verkko G on puu jos ja vain jos kaikilla x, y ∈ PG , miss¨ a x 6= y, on olemassa t¨ asm¨ alleen yksi yksinkertainen kulku G:ss¨ a pisteest¨ a x pisteeseen y. Todistus. Koska G:ss¨ a on jokaisella z ∈ PG kulku pisteest¨ a z pisteeseen z, Lauseen II 4.8 ja Lemman II 4.3 tuloksista seuraa, ett¨ a G on yhten¨ ainen jos ja vain jos kaikilla x, y ∈ PG , miss¨ a x 6= y, G:ss¨ a on ainakin yksi yksinkertainen kulku pisteest¨ a x pisteeseen y. Toisaalta, Lauseen III 2.7 nojalla, G on renkaaton jos ja vain jos kaikilla x, y ∈ PG , miss¨ a x 6= y, G:ss¨ a on korkeintaan yksi yksinkertainen kulku pisteest¨ a x pisteeseen y. N¨ ain ollen G on yhten¨ ainen ja renkaaton jos ja vain jos lauseen ehto on voimassa. Seuraavaksi luonnehdimme puita “minimaalisina yhten¨ aisin¨ a verkkoina” ja “maksimaalisina renkaattomina verkkoina”. Otamme k¨ aytt¨ oo ¨n seuraavat nimitykset. Olkoot G ja H verkkoja. Jos PG = PH ja VG & VH , niin sanomme, ett¨ aH on saatu lis¨ aa ¨m¨ all¨ a G:hen viivoja tai ett¨ a G on saatu poistamalla H:sta viivoja. IV 1.9 Lause Seuraavat ehdot ovat kesken¨ aa ¨n yht¨ apit¨ av¨ at ep¨ atyhj¨ alle verkolle G: A. G on puu. B. G on yhten¨ ainen, mutta jokainen verkko, joka on saatu poistamalla G:st¨ a viivoja, on ep¨ ayhten¨ ainen. C. G on renkaaton, mutta jokaisella verkolla, joka on saatu lis¨ aa ¨m¨ all¨ a G:hen viivoja, on rengas.

Luku IV. Puut

95

Todistus. A=⇒B ja A=⇒C: Oletamme, ett¨ a G on puu. T¨ all¨ oin G on yhten¨ ainen ja renkaaton ja Lauseen IV 1.3 nojalla on voimassa yht¨ al¨ o vG = pG −1. Olkoon nyt H verkko, joka on saatu poistamalla G:st¨ a viivoja. T¨ all¨ oin on voimassa p H = pG ja vH < vG , joten vH < vG = pG − 1 = pH − 1. Lauseen II 3.13 nojalla verkko H on ep¨ ayhten¨ ainen. Olemme osoitettaneet, ett¨ a ehto B on voimassa. Olkoon H 0 verkko, joka on saatu lis¨ aa ¨m¨ all¨ a G:hen viivoja. T¨ all¨ oin on voimassa p 0H = pG ja 0 0 vH > vG , joten vH > vG = pG − 1 = p0H − 1. Lauseen III 1.3 nojalla verkolla H 0

on rengas. Olemme osoittaneet, ett¨ a ehto C on voimassa. B=⇒A: Oletamme, ett¨ a ehto B p¨ atee. T¨ all¨ oin G on yhten¨ ainen, joten G on puu, mik¨ ali G on renkaaton. Verkon G renkaattomuus seuraa Lauseen III 1.1 tuloksesta, sill¨ a jokainen muotoa G − v, miss¨ a v ∈ VG , oleva verkko on saatu poistamalla G:st¨ a viivoja. C=⇒A: Oletamme, ett¨ a ehto C p¨ atee. Koska G on renkaaton, ehdon A todistamiseksi riitt¨ aa ¨ n¨ aytt¨ aa ¨, ett¨ a G on yhten¨ ainen. Teemme vastav¨ aitteen: G on ep¨ ayhten¨ ainen. Olkoon H sellainen yhten¨ ainen verkko, joka on saatu lis¨ aa ¨m¨ all¨ a G:hen viivoja ja jolla luku |VH | on pienin mahdollinen. Koska ehto C p¨ atee, verkossa H on rengas W . Koska verkko G on renkaaton, on olemassa viiva v ∈ W r V G . Lauseen III 1.1 nojalla verkko H 0 = H − v on yhten¨ ainen. T¨ am¨ a on kuitenkin ristiriidassa luvun |VH | minimaalisuuden kanssa, sill¨ a H 0 on saatu lis¨ aa ¨m¨ all¨ a G:hen viivoja ja |VH 0 | < |VH |. IV 1.10 Korollaari Seuraavat ehdot ovat kesken¨ aa ¨n yht¨ apit¨ av¨ at ep¨ atyhj¨ alle verkolle G: A. G on puu. B. G on yhten¨ ainen ja vG ≤ pG − 1. C. G on renkaaton ja vG ≥ pG − 1. Todistus. Puun m¨ aa ¨ritelm¨ an ja Lauseen IV 1.3 nojalla on voimassa A=⇒B ja A=⇒C. B=⇒A: Oletamme, ett¨ a ehto B on voimassa. Osoitamme, ett¨ a t¨ all¨ oin edellisen lauseen ehto B on voimassa. Olkoon H verkko, joka on saatu poistamalla G:st¨ a viivoja. T¨ all¨ oin on voimassa vH < vG ja pH = pG , joten vH < vG ≤ pG − 1 = pH −1. Edellisest¨ a seuraa Lauseen II 3.13 nojalla, ett¨ a verkko H on ep¨ ayhten¨ ainen. Olemme n¨ aytt¨ aneet, ett¨ a edellisen lauseen ehto B on voimassa; lauseen nojalla verkko G on puu.

¨va ¨t puut. 2 Viritta

96

C=⇒A: Oletamme, ett¨ a ehto C on voimassa. Osoitamme, ett¨ a t¨ all¨ oin edellisen lauseen ehto C p¨ atee. Olkoon H verkko, joka on saatu lis¨ aa ¨m¨ all¨ a G:hen viivoja. T¨ all¨ oin vH > vG ja pH = pG , joten vH > vG ≥ pG − 1 = pH − 1. Edellisest¨ a seuraa Lauseen III 1.3 nojalla, ett¨ a verkossa H on rengas. Olemme n¨ aytt¨ aneet, ett¨ a G toteuttaa edellisen lauseen ehdon C; kyseisen lauseen nojalla G on puu.

¨va ¨t puut. 2 Viritta Puita voidaan k¨ aytt¨ aa ¨ hyv¨ aksi my¨ os sellaisten verkkojen tapauksessa, jotka eiv¨ at ole puita. Otamme k¨ aytt¨ oo ¨n seuraavan k¨ asitteen. IV 2.1 M¨ a¨ aritelm¨ a Olkoon G verkko. Verkon G aliverkko H on G:n viritt¨ av¨ a puu, mik¨ ali H on puu ja PH = PG . IV 2.2 Esimerkki Alla on esitetty t¨ aydellisen nelj¨ an pisteen verkon viritt¨ avi¨ a puita:

IV 2.3 Lause Verkolla G on viritt¨ av¨ a puu jos ja vain jos G on yhten¨ ainen. Todistus. V¨ altt¨ am¨ att¨ omyys. Oletamme, ett¨ a G:ll¨ a on viritt¨ av¨ a puu H. Koska H on G:n yhten¨ ainen aliverkko, jolle p¨ atee, ett¨ a PH = PG , n¨ aemme verkon G olevan yhten¨ ainen. Riitt¨ avyys. Oletamme, ett¨ a G on yhten¨ ainen. Merkitsemme H = {H < G : H on yhten¨ ainen ja PH = PG }. Panemme merkille, ett¨ a on voimassa H 6= ∅ koska G ∈ H. Merkitsemme n:ll¨ a lukujoukon {vH : H ∈ H} pienint¨ a lukua. Olkoon T sellainen joukon H alkio, ett¨ a

Luku IV. Puut

97

vT = n. Osoitamme, ett¨ a T on G:n viritt¨ av¨ a puu. Koska T ∈ H, on voimassa yht¨ al¨ o PT = PG ; n¨ ainollen T on G:n viritt¨ av¨ a puu, mik¨ ali T on puu. K¨ ayt¨ amme t¨ am¨ an osoittamiseen Lauseen IV 1.9 ehdon B antamaa puiden luonnehdintaa. Koska T ∈ H, verkko T on yhten¨ ainen. Olkoon nyt L verkko, joka on saatu poistamalla T :st¨ a viivoja. T¨ all¨ oin on voimassa vL < vT = n, joten luvun n m¨ aa ¨ritelm¨ ast¨ a seuraa, ett¨ aL∈ / H; t¨ ast¨ a puolestaan seuraa, koska PL = PT = PG , ett¨ a verkko L ei ole yhten¨ ainen. Olemme osoittaneet, ett¨ a Lauseen IV 1.9 ehto B on voimassa. Verkko T on kyseisen lauseen nojalla puu. Yll¨ a esitetty todistus antaa seuraavan menetelm¨ an yhten¨ aisen verkon G viritt¨ av¨ an puun l¨ oyt¨ amiseksi: poistetaan G:st¨ a viivoja niin pitk¨ aa ¨n kuin t¨ am¨ a on mahdollista tekem¨ att¨ a saatavaa verkkoa ep¨ ayhten¨ aiseksi; viimeiseksi saatu verkko on G:n viritt¨ av¨ a puu. Toinen menetelm¨ a, joka perustuu Lauseen IV 1.9 ehtoon C, on seuraava: aloitetaan verkosta (PG , ∅) ja lis¨ at¨ aa ¨n viivoja joukosta VG niin kauan kuin t¨ am¨ a on mahdollista ilman, ett¨ a saatavassa verkossa on yht¨ aa ¨n rengasta. Jokaisella puulla on vain yksi viritt¨ av¨ a puu, mutta yleens¨ a yhten¨ aisell¨ a verkolla on useampia eri viritt¨ avi¨ a puita. Laskemme nyt montako viritt¨ av¨ aa ¨ puuta n–pisteisell¨ a yhten¨ aisell¨ a verkolla voi olla, toisin sanoen, laskemme t¨ aydellisen verkon Kn viritt¨ avien puiden lukum¨ aa ¨r¨ an. Todistamme ensin er¨ ait¨ a aputuloksia. IV 2.4 Lemma Olkoon T puu, jossa on v¨ ahint¨ aa ¨n kolme pistett¨ a ja olkoon A ⊂ PT joukko T :n lehti¨ a. T¨ all¨ oin joukon PT r A viritt¨ am¨ a T :n aliverkko T 0 on puu. Lis¨ aksi on olemassa sellainen kuvaus f : A → PT r A, ett¨ a VT = VT 0 ∪ {af (a) : a ∈ A}. Todistus. Osoitamme aluksi kuvauksen f olemassaolon. Olkoon a joukon A alkio. T¨ all¨ oin a on T :n lehti, joten on olemassa t¨ asm¨ alleen yksi sellainen x ∈ PT , ett¨ a ax ∈ VT ; merkitsemme t¨ at¨ a alkiota x f (a):lla. Osoitamme, ett¨ a f (a) ∈ / A. Yhten¨ aisess¨ a verkossa T on viiva v ep¨ atyhjien joukkojen {a, f (a)} ja PT r {a, f (a)} v¨ alill¨ a. Koska af (a) ∈ VT , T :n lehti a ei voi olla viivan v p¨ aa ¨tepisteen¨ a ja t¨ ast¨ a seuraa, ett¨ a f (a) on v:n p¨ aa ¨tepiste. Edellisen nojalla p¨ atee, ett¨ a f (a) ei ole T :n lehti; t¨ aten f (a) ∈ / A. Olemme osoittaneet, ett¨ a f on kuvaus A → PT r A. Joukossa {af (a) : a ∈ A} ovat kaikki ne T :n viivat, joilla on p¨ aa ¨tepiste joukossa A; koska kaikki muut T :n viivat ovat joukon PT r A viritt¨ am¨ an T :n aliverkon viivoja, on voimassa VT = VT 0 ∪ {af (a) : a ∈ A}.

¨va ¨t puut. 2 Viritta

98

Renkaattoman verkon T aliverkko T 0 on renkaaton, joten T 0 on puu, mik¨ ali T 0 on yhten¨ ainen. Olkoon P joukon PT 0 ep¨ atyhj¨ a, aito osajoukko. Merkitsemme P 0 = P ∪ {a ∈ A : f (a) ∈ P } ja panemme merkille, ett¨ a P 0 on joukon PT ep¨ atyhj¨ a ja aito osajoukko. Yhten¨ aisess¨ a verkossa T on sellainen viiva xy, ett¨ a x ∈ P 0 ja y ∈ PT r P 0 . Jokaisella a ∈ A ∩ P 0 on voimassa f (a) ∈ P 0 ja t¨ ast¨ a seuraa, ett¨ a x∈ / A; vastaavasti, jokaisella a ∈ A r P 0 on voimassa f (a) ∈ / P 0 ja t¨ ast¨ a seuraa, ett¨ ay∈ / A. Edellisen nojalla p¨ atee, ett¨ a x ∈ P ja y ∈ PT 0 r P ; koska t¨ ast¨ a seuraa aytt¨ aneet T 0 :n olevan yhten¨ ainen. my¨ os, ett¨ a xy ∈ VT 0 , olemme n¨ IV 2.5 Lemma Olkoon S ep¨ atyhj¨ a puu, olkoon A sellainen joukko, ett¨ a A ∩ PS = ∅ ja olkoon f kuvaus A → PS . T¨ all¨ oin ehtojen PG = PS ∪ A ja VG = VS ∪ {af (a) : a ∈ A} m¨ aa ¨r¨ aa ¨m¨ a verkko G on puu ja jokainen A:n alkio on puun G lehti. Todistus. Panemme merkille, ett¨ a on voimassa pG = pS + |A| ja vG = vS + |A| ja n¨ ainollen pG − vG = pS − vS . Lauseen IV 1.3 nojalla on voimassa pS − vS = 1. Edellisen nojalla p¨ atee, ett¨ a pG −vG = 1 ja t¨ ast¨ a seuraa Korollaarin IV 1.10 nojalla, ett¨ a G on puu, mik¨ ali G on yhten¨ ainen. Olkoon p jokin puun S piste. Osoitamme, ett¨ a jokaisella x ∈ PG , G:ss¨ a on kulku pisteest¨ a x pisteeseen p. Jos x ∈ PS , niin t¨ all¨ oin S:ss¨ a on kulku x ¯ pisteest¨ a x pisteeseen p ja x ¯ on my¨ os kulku verkossa G. Jos taas x ∈ A, niin t¨ all¨ oin S:ss¨ a on kulku (x0 , ..., xn) pisteest¨ a f (x) pisteeseen p ja t¨ ass¨ a tapauksessa (x, x0 , ..., xn ) on kulku G:ss¨ a x:st¨ a p:hen. Olemme n¨ aytt¨ aneet, ett¨ a jokaisella x ∈ PG , G:ss¨ a on kulku x:st¨ a p:hen; t¨ ast¨ a seuraa Lauseen II 4.8 nojalla, ett¨ a G on yhten¨ ainen. Edell¨ a esitetyn nojalla G on puu. Jokaisella a ∈ A, piste a on G:n lehti, sill¨ a af (a) on ainoa G:n viiva, jolla on a p¨ aa ¨tepisteen¨ a. K¨ aytt¨ am¨ all¨ a hyv¨ aksi edellisi¨ a lemmoja sek¨ a summa- ja erotusperiaatetta voimme nyt m¨ aa ¨ritt¨ aa ¨ t¨ aydellisen verkon viritt¨ avien puiden lukum¨ aa ¨r¨ an. IV 2.6 Lause Jokaisella n ∈ N∗ , verkon Kn viritt¨ avien puiden lukum¨ aa ¨r¨ a on nn−2 . Todistus. Merkitsemme jokaisella n ∈ N∗ , πn :ll¨ a verkon Kn viritt¨ avien puiden lukum¨ aa ¨r¨ aa ¨ ja panemme merkille, ett¨ a jokaisessa n–pisteisess¨ a t¨ aydellisess¨ a verkossa on sama m¨ aa ¨r¨ a viritt¨ avi¨ a puita. Osoitamme induktiolla luvun n suhteen, ett¨ a jokaisella n ∈ N∗ on voimassa πn = nn−2 .

Luku IV. Puut

99

Verkot K1 ja K2 ovat puita, joten on voimassa π1 = π2 = 1; n¨ ainollen yht¨ al¨ o πk = k k−2 p¨ atee, kun k = 1, 2. Olkoon nyt n > 2 sellainen luku, ett¨ a jokaisella k < n on voimassa πk = k k−2 . Osoitamme summa– ja erotusperiaatteen (Lause A 2.5) avulla, ett¨ a on voimassa πn = nn−2 . Merkitsemme T :ll¨ a verkon Kn kaikkien viritt¨ avien puiden muodostamaa kokoelmaa ja jokaisella a ∈ [n] merkitsemme Ta = {T ∈ T : T a on puun T lehti}. Merkitsemme edelleen TA = a∈A Ta jokaisella ∅ 6= A ⊂ [n]. S Lauseen IV 1.6 nojalla on voimassa T = a∈[n] Ta . Summa– ja erotusperiaatteen (kombinatoriikan monisteen Lause II 2.3) nojalla on voimassa X πn = |T | = (−1)|A|+1 TA .

(∗)

∅6=A⊂[n]

Osoitamme, ett¨ a jokaisella ∅ 6= A ⊂ [n] on voimassa |TA | = (n − |A|)n−2 . Yht¨ al¨ o p¨ atee, jos A = [n], sill¨ a t¨ ass¨ a tapauksessa TA = ∅ Lauseen IV 1.6 ja ep¨ ayht¨ al¨ on n > 2 nojalla. Olkoon nyt A joukon [n] ep¨ atyhj¨ a aito osajoukko. Puu T ∈ T kuuluu joukkoon TA jos ja vain jos jokainen A:n alkio on T :n lehti. Edellisen ja Lemman IV 2.4 nojalla on jokaisella T ∈ TA olemassa sellainen kuvaus fT : A → [n] r A ja sellainen puu S(T ), ett¨ a PS(T ) = [n] r A ja VT = VS(T ) ∪ {afT (a) : a ∈ A}. Merkitsemme S:ll¨ a t¨ aydellisen verkon K[n]rA viritt¨ avien puiden muodostamaa joukkoa ja panemme merkille, ett¨ a jokaisella T ∈ TA on voimassa S(T ) ∈ S. M¨ aa ¨rittelemme kuvauksen ψ : TA → ([n] r A)A × S asettamalla ψ(T ) = (fT , S(T ) jokaisella T ∈ TA . Kuvaus ψ on injektio, koska jokainen T ∈ TA m¨ aa ¨r¨ aytyy kuva–alkiostaan ψ(T ) ehtojen PT = [n] ja VT = VS(T ) ∪ {afT (a) : a ∈ A} kautta. Kuvaus ψ on my¨ os surjektio, sill¨ a jokaisella (f, S) ∈ ([n] r A)A × S, jos m¨ aa ¨rittelemme verkon G kuten Lemmassa IV 2.5, niin t¨ all¨ oin kyseisen lemman nojalla p¨ atee, ett¨ a G ∈ TA ja toisaalta n¨ aemme helposti, ett¨ a on voimassa ψ(G) = (f, S). Edellisen nojalla kuvaus ψ on bijektio. T¨ aten on voimassa |TA | = ([n] r A)A × S ja n¨ ainollen |TA | = (n − |A|)|A| · |S|. Lis¨ aksi p¨ atee, ett¨ a |S| = πn−|A| . Koska 0 < n − |A| < n,

induktio–oletuksesta seuraa, ett¨ a πn−|A| = (n−|A|)n−|A|−2 . Edell¨ a esitetyn nojalla on voimassa |TA | = (n − |A|)|A| · (n − |A|)n−|A|−2 = (n − |A|)n−2 . Koska jokaiselle ∅ 6= A ⊂ [n] on voimassa |TA | = (n−|A|)n−2 ja koska jokaisella
i ∈ [n], joukon [n] i–alkioisten osajoukkojen lukum¨ aa ¨r¨ a on ni , saamme yht¨ al¨ on

¨va ¨t puut. 2 Viritta

100 Pn

i+1 n n−2 . Voimme kirjoittaa viimeisen i=1 (−1) i (n − i)
P n yht¨ al¨ on oikean puolen muotoon nn−2 − i=0 (−1)i ni (n − i)n−2 . Kombinatoriikan
Pn monisteen Korollaarin II 3.14 nojalla p¨ atee, ett¨ a i=0 (−1)i ni (n − i)n−2 = 0 ja n¨ ain saamme halutun yht¨ al¨ on πn = nn−2 .

(*) nojalla yht¨ al¨ on πn =




Huomautus Koska Esimerkiss¨ a IV 2.2 kuvattiin 16 eri viritt¨ av¨ aa ¨ puuta verkolle K4 , niin edellisen lauseen nojalla siin¨ a kuvattiin kaikki verkon K4 viritt¨ av¨ at puut. Voimme k¨ aytt¨ aa ¨ verkon viritt¨ avi¨ a puita hyv¨ aksi tutkiessamme verkon renkaita ja renkaistoja. IV 2.7 Lemma Olkoon T verkon G viritt¨ av¨ a puu ja olkoon v joukon VG r VT alkio. T¨ all¨ oin on olemassa sellainen G:n rengas R, ett¨ a R r VT = {v}. Todistus. Olkoon v = xy. T¨ all¨ oin x 6= y ja x, y ∈ PG = PT . Lauseen IV 1.8 nojalla verkossa T on yksinkertainen kulku x ¯ = (x0 , ..., xn) pisteest¨ a x pisteeseen y. Koska T on G:n aliverkko, niin x ¯ on kulku my¨ os verkossa G. Koska x n x0 = v ∈ VG , niin jono x ¯0 = (x0 , ..., xn , x0 ) on kierros verkossa G. Kulun x ¯ yksinkertaisuudesta seuraa, ett¨ a my¨ os kierros x ¯0 on yksinkertainen. Koska x0 x1 ∈ VT ja x0 xn = v ∈ / VT , niin on voimassa xn 6= x1 ja t¨ aten n > 1. Edellisen nojalla kierros x ¯0 on v¨ ahint¨ aa ¨n kolmiaskeleinen; n¨ ain ollen joukko R = V (¯ x0 ) on G:n rengas. Lis¨ aksi on voimassa R r VT = V (¯ x0 ) r V (¯ x) = {xn x0 } = {v}. Osoitamme nyt, ett¨ a edellisess¨ a lemmassa mainittu rengas on yksik¨ asitteisesti m¨ aa ¨r¨ atty. IV 2.8 Lemma Olkoon T verkon G viritt¨ av¨ a puu ja olkoot Q ja Q0 sellaisia G:n renkaistoja, ett¨ a Q r VT = Q0 r VT . T¨ all¨ oin Q = Q0 . Todistus. Lauseen III 2.5 nojalla joukko Q∆Q0 on G:n renkaisto. Koska QrVT = Q0 r VT , niin Q∆Q0 ⊂ VT . T¨ aten Q∆Q0 on puun T renkaisto. Koska T on renkaaton, niin renkaisto Q∆Q0 on tyhj¨ a; t¨ ast¨ a seuraa Korollaarin I 1.13 nojalla, ett¨ a Q = Q0 . Olkoon T verkon G viritt¨ av¨ a puu. Merkitsemme jokaisella v ∈ VG r VT , R(v, T ):ll¨ a Lemmojen IV 2.7 ja IV 2.8 yksik¨ asitteiseksi osoittamaa G:n rengasta. Kutsumme n¨ ait¨ a renkaita R(v, T ), v ∈ VG rVT , verkon G perusrenkaiksi viritt¨ av¨ an puun T suhteen.

Luku IV. Puut

101

IV 2.9 Lause Olkoon T verkon G viritt¨ av¨ a puu ja olkoon V joukon VG r VT osajoukko. T¨ all¨ oin on olemassa t¨ asm¨ alleen yksi sellainen G:n renkaisto Q, ett¨ a Q r VT = V . Todistus. Renkaiston Q yksik¨ asitteisyys seuraa Lemman IV 2.8 tuloksesta, joten riitt¨ aa ¨ todistaa Q:n olemassaolo. Esit¨ amme joukon V muodossa, {v1 , ..., vn }, miss¨ a vi 6= vj kun i 6= j. Merkitsemme Q = R(v1 , T )∆ · · · ∆R(vn , T ) ja panemme merkille, ett¨ a koska joukot R(vi , T ), i ∈ [n], ovat G:n renkaita, niin joukko Q on Lauseen III 2.5 nojalla G:n renkaisto. Osoitamme, ett¨ a Q r VT = V . Olkoon w joukon VG r VT alkio. T¨ all¨ oin jokaiselle i ∈ [n] p¨ atee Lemman IV 2.7 nojalla, ett¨ a w ∈ R(vi , T ) ⇐⇒ vi = w; t¨ ast¨ a seuraa Lemman I 1.14 nojalla, ett¨ a on voimassa w ∈ Q ⇐⇒ |{i ∈ [n] : w ∈ R(vi , T )}| pariton ⇐⇒ |{i ∈ [n] : vi = w}| = 1 ⇐⇒ ∃ sellainen i ∈ [n], ett¨ a vi = w ⇐⇒ w ∈ V . Edell¨ a esitetyn nojalla on voimassa Q r VT = V . Yll¨ a oleva todistus osoittaa, ett¨ a yhten¨ aisen verkon viritt¨ av¨ aa ¨n puuhun liittyv¨ at perusrenkaat “viritt¨ av¨ at” G:n renkaistoryhm¨ an (R(G), ∆): IV 2.10 Korollaari Olkoon T yhten¨ aisen verkon G viritt¨ av¨ a puu ja olkoon Q verkon G renkaisto. T¨ all¨ oin joukossa VG r VT on sellaiset viivat v1 , ..., vn , ett¨ a Q = R(v1 , T )∆ · · · ∆R(vn , T ). Lauseen IV 2.9 avulla voimme m¨ aa ¨r¨ at¨ a yhten¨ aisen verkon renkaistojen lukum¨ aa ¨r¨ an. Olkoon T yhten¨ aisen verkon G viritt¨ av¨ a puu. Lauseen IV 2.9 nojalla on olemassa sellainen kuvaus ϕ : P(VG r VT ) → R(G), ett¨ a jokaisella V ∈ P(VG r VT ) on voimassa {Q ∈ R(G) : Q r VT = V } = {ϕ(V )}. Kuvaus ϕ on selv¨ astikin injektio, mutta se on my¨ os surjektio, sill¨ a Lauseen IV 2.9 nojalla jokaiselle Q ∈ R(G) p¨ atee, ett¨ a Q = ϕ(Q r VT ). N¨ ainollen kuvaus ϕ on bijektio ja on voimassa |R(G)| = |P(VG r VT )| = 2|VG rVT | . Koska Lauseen IV 1.3 nojalla on voimassa |VG r VT | = vG − vT = vG − (pT − 1) = vG − pG + 1, niin saamme seuraavan tuloksen. IV 2.11 Korollaari Yhten¨ aiselle verkolle G on voimassa |R(G)| = 2vG −pG +1

102

3. Suunnatut puut.

3. Suunnatut puut. Puita esiintyy mit¨ a erilaisimmissa yhteyksiss¨ a (sukupuut, etsint¨ apuut,...). Usein puun kaikki pisteet eiv¨ at ole tarkastelun kannalta samanarvoisia, vaan joku niist¨ a on valittu “alkupisteeksi” (yhteinen esi–is¨ a tai –¨ aiti, etsinn¨ an alkutilanne,...). “Alkupisteen” valinnan lis¨ aksi on k¨ ayt¨ ann¨ oss¨ a esiintyviss¨ a puissa usein my¨ os m¨ aa ¨r¨ atty puun viivoille suunnistus ja t¨ all¨ oin puu tulisi itse asiassa esitt¨ aa ¨ suhteikkona, jolla on “alkupiste” juurena ja jossa nuolet osoittavat “alkupisteest¨ a poisp¨ ain”. Seuraavassa lauseessa osoitamme, ett¨ a kyseisenlainen suunnistus m¨ aa ¨r¨ aytyy yksik¨ asitteisesti puun rakenteen ja “alkupisteen” valinnan nojalla. Olkoon a puun T piste. Koska T on yhten¨ ainen ja renkaaton, Lause III 4.1 osoittaa, ett¨ a T :ll¨ a on sellainen yksisuuntaistus T~ , ett¨ a piste a on suhteikon T~ juuri ja Lause III 4.3 osoittaa, ettei piste a ole mink¨ aa ¨n muun T :n yksisuuntaistuksen juuri. N¨ ain ollen saamme seuraavan tuloksen. IV 3.2 Lause Olkoon a puun T piste. T¨ all¨ oin T :ll¨ a on t¨ asm¨ alleen yksi sellainen yksisuuntaistus T~ , ett¨ a a on T~ :n juuri. Lauseen III 4.1 todistus antaa menetelm¨ an edellisen lauseen yksik¨ asitteiseksi osoittaman yksisuuntaistuksen l¨ oyt¨ amiseksi: viiva v ∈ VT korvataan sill¨ a nuolella − → jolle p¨ ahemp¨ an¨ a” pistett¨ a a xy, atee, ett¨ a xy = v ja piste x on verkossa T “l¨ kuin piste y. Havainnollisempi tapa kyseisen yksisuuntaistuksen l¨ oyt¨ amiseksi on seuraava: otamme puusta kiinni pisteen a kohdalta ja ravistelemme, kunnes kaikki puun viivat roikkuvat pystysuorassa; t¨ am¨ an j¨ alkeen suuntaamme viivat siten, ett¨ a kaikki nuolet osoittavat alasp¨ ain. Seuraavassa k¨ ayt¨ amme merkint¨ aa ¨ T~(a) sille puun T yksisuuntaistukselle, jolla on piste a juurena. Kutsumme muotoa T~(a) olevia suhteikkoja suunnatuiksi puiksi. IV 3.3 M¨ a¨ aritelm¨ a Suunnattu puu on sellainen yksisuuntainen juurellinen suhteikko J , ett¨ a J :t¨ a vastaava symmetrinen suhteikko J s on puu. Suunnatusta puusta k¨ ayt¨ amme yleens¨ a muotoa T~ olevaa merkint¨ aa ¨, jolloin T tarkoittaa jotain puuta ja T~ jotain sen juurellista yksisuuntaistusta. Panemme

Luku IV. Puut

103

merkille, ett¨ a suunnatulla puulla on vain yksi juuri: t¨ am¨ a seuraa yksisuuntaisuudesta sek¨ a siit¨ a tuloksesta (Lause IV 1.8), ett¨ a puun pisteest¨ a toiseen on olemassa vain yksi yksinkertainen kulku. Termi “juuri” on verraten vakiintunut. Huolimatta t¨ ah¨ an terminologiaan liittyvist¨ a mielikuvista, suunnatut puut kuvataan usein siten, ett¨ a “juuri” tulee piirrett¨ av¨ an kuvion ylimm¨ aiseksi pisteeksi. Otamme nyt k¨ aytt¨ oo ¨n lis¨ aa ¨ suunnattuihin puihin liittyv¨ aa ¨ havainnollista sanastoa. IV 3.3 M¨ a¨ aritelm¨ a Suunnatun puun T~ piste b on T~ :n lehti, mik¨ ali d−T~ (b) = 0. Olkoon a suunnatun puun T~ juuri. N¨ aemme helposti, ett¨ a a on T~ :n lehti jos ja vain jos a on T~ :n ainoa piste. Lukija voi harjoitusteht¨ av¨ an¨ a osoittaa, ett¨ a jos T~ :ll¨ a on a:n lis¨ aksi muitakin pisteit¨ a, niin sen piste b on lehti jos ja vain b 6= a ja b on T :n lehti. N¨ aiden tulosten ja Lauseen IV 1.6 nojalla saamme seuraavan tuloksen. IV 3.4 Lause Jokaisella suunnatulla puulla on ainakin yksi lehti. Usein on tarpeellista arvioida suunnatun puun lehtien lukum¨ aa ¨r¨ aa ¨ puun muiden ominaisuuksien avulla tai, k¨ aa ¨nt¨ aen, arvioida muita puuhun liittyvi¨ a suureita lehtien lukum¨ aa ¨r¨ an avulla. M¨ aa ¨rittelemme nyt er¨ ait¨ a suunnattuihin puihin liittyvi¨ a tunnuslukuja. Panemme merkille, ett¨ a jokaisella suunnatun puun T~(a) pisteell¨ a c, suhteikossa T~(a) on yksinkertainen kulku x ¯ = (x0 , ..., xk ) juuresta a pisteeseen c ja koska x ¯ on kulku my¨ os puussa T , niin Lauseen IV 1.8 tuloksesta seuraa, ett¨ a x ¯ on ainoa kulku suhteikossa T~(a) , jolla on vaadittu ominaisuus; t¨ am¨ a osoittaa, ett¨ a voimme yksik¨ asitteisesti m¨ aa ¨ritell¨ a pisteen c korkeuden T(a) :ssa. IV 3.5 M¨ a¨ aritelm¨ a Olkoon T~ suunnattu puu ja olkoon a sen juuri. A. T~ :n piste c on korkeudella k T~ :ssa, mik¨ ali suhteikossa T~ on yksinkertainen kulku x ¯ = (x0 , ..., xk ) juuresta a pisteeseen c. B. T~ :n n:s taso on joukko {c ∈ PT : c on korkeudella n T~ :ssa}. C. T~ :n korkeus on suurin luvuista k, joilla T~ :n k:s taso on ep¨ atyhj¨ a. D. T~ :n haaraisuus on suurin luvuista d−T~ (c), miss¨ a c on T :n piste.

104

3. Suunnatut puut. Esit¨ amme nyt ep¨ ayht¨ al¨ on, joka vallitsee suunnatun puun lehtien lukum¨ aa ¨r¨ an

ja edell¨ a m¨ aa ¨riteltyjen tunnuslukujen v¨ alill¨ a. IV 3.6 Lause Olkoon suunnatun puun T~ pisteiden lukum¨ aa ¨r¨ a p, korkeus k, haaraisuus h ja lehtien lukum¨ aa ¨r¨ a l. T¨ all¨ oin on voimassa lh ≤ p(h − 1) + 1 ≤ hk+1

Todistus. Olkoon a T~ :n juuri. Ep¨ ayht¨ al¨ ot toteutuvat triviaalisti, jos T~ :ssa ei ole muita pisteit¨ a kuin a. Merkitsemme PT~ = P ja oletamme, ett¨ a P 6= {a}. Merkitsemme jokaisella n ∈ N, Ln :ll¨ a T~ :n n:tt¨ a tasoa. Osoitamme induktiolla n:n suhteen, ett¨ a jokaisella n ∈ N on voimassa |Ln | ≤ hn . Koska L0 = {a}, niin ep¨ ayht¨ al¨ o toteutuu n:n arvolla 0. Oletamme, ett¨ a n > 0 ja ep¨ ayht¨ al¨ ot on jo todistettu arvolle n − 1. Jokainen joukon Ln alkio on jonkun joukon Ln−1 alkion seuraaja suhteikossa T~ : jos s ∈ Ln ja jos x ¯ = (x0 , ..., xn) on yksinkertainen kulku a:sta s:¨ aa ¨n, niin xn−1 ∈ Ln−1 ja xn = s on xn−1 :n seuraaja T~ :ssa. Jokaisella t ∈ Ln−1 , pisteen t seuraajien lukum¨ aa ¨r¨ a d−T~ (r) on pienempi tai yht¨ asuuri kuin luku h. N¨ ainollen on voimassa |Ln | ≤ |Ln−1 | · h; koska induktio–oletuksen nojalla p¨ atee, ett¨ a |Ln−1 | ≤ hn−1 , niin saadaan vaadittu ep¨ ayht¨ al¨ o |Ln | ≤ hn . Sk Koska k = max{n ∈ N : Ln 6= ∅}, niin on voimassa P = n=0 Ln ja t¨ aten edelleen

p = |P | = Σkn=0 |Ln | ≤ Σkn=0 hn =

1 − hk+1 . 1−h

T¨ ast¨ a saadaan lauseen oikeanpuolinen ep¨ ayht¨ al¨ o p(h − 1) + 1 ≤ h k+1 . Suhteikon T~ nuolien lukum¨ aa ¨r¨ a, eli puun T viivojen lukum¨ aa ¨r¨ a vT , voidaan Lemman II 2.1 nojalla esitt¨ aa ¨ muodossa vT = Σx∈P d− (x). Merkit¨ aa ¨n L:ll¨ a T~ :n ~ T

lehtien muodostamaa joukkoa. Koska jokaisella x ∈ L on voimassa d−T~ (x) = 0, niin edellinen yht¨ al¨ o voidaan kirjoittaa muotoon vT = Σx∈P rL d−T~ (x). Koska jokaisella x ∈ P on voimassa d−T~ (x) ≤ h, niin viimeisest¨ a yht¨ al¨ ost¨ a seuraa ep¨ ayht¨ al¨ o vT ≤ |P rL|·h. Pannaan merkille, ett¨ a |L| = l ja |P rL| = |P |−|L| = p−l; t¨ ast¨ a seuraa, ett¨ a vT ≤ (p − l)h. Lauseen IV 1.3 nojalla on voimassa vT = pT − 1 eli vT = p − 1. Edell¨ aesitetyst¨ a seuraa ep¨ ayht¨ al¨ o p − 1 ≤ (p − l)h eli lauseen vasemmanpuolinen ep¨ ayht¨ al¨ o.

Luku IV. Puut

105

IV 3.7 Korollaari Olkoon suunnatun puun T~ korkeus k, haaraisuus h ja lehtien lukum¨ aa ¨r¨ a l. T¨ all¨ oin on voimassa l ≤ hk Edellisi¨ a ep¨ ayht¨ al¨ oit¨ a voidaan k¨ aytt¨ aa ¨ hyv¨ aksi mm. etsint¨ apuiden yhteydess¨ a: IV 3.8 Esimerkki Niin kutsutussa v¨ aa ¨r¨ an kolikon ongelmassa pit¨ aa ¨ etsi¨ a annetusta kolikkojoukosta mahdollinen v¨ aa ¨r¨ a raha kun tiedet¨ aa ¨n, ett¨ a v¨ aa ¨r¨ a kolikko on eripainoinen kuin oikeat, kesken¨ aa ¨n samanpainoiset, kolikot. Apuv¨ alineen¨ a on tasavarsivaaka, joka n¨ aytt¨ aa ¨ joko punnittavien samanpainoisuuden tai eripainoisten punnittavien painoj¨ arjestyksen. Ongelmasta on monta versiota, mutta t¨ ass¨ a tarkastelemme vain yht¨ a yksinkertaista tapausta: tied¨ amme, ett¨ a kuuden kolikon joukossa on yksi v¨ aa ¨r¨ a raha ja teht¨ av¨ an¨ a on selvitt¨ aa ¨, mik¨ a on v¨ aa ¨r¨ a kolikko ja onko se painavampi vai kevyempi kuin muut. Teht¨ av¨ a voidaan ratkaista kolmella punnituksella: seuraavassa kuvattu puu osoittaa, miten voidaan menetell¨ a. Tutkittavat kolikot on numeroitu 1, 2, 3, 4, 5, 6. Puun mustalla merkityt pisteet vastaavat punnituksia ja niiden viereen on merkitty vaakakuppien sis¨ alt¨ o; punnituksen j¨ alkeen haaraudutaan alaoikealle, jos oikeanpuoleisen vaakakupin sis¨ alt¨ o osoittautuu painavammaksi kuin vasemmanpuoleisen; alavasemmalle, jos vasemmanpuoleisen kupin sis¨ alt¨ o osoittautuu painavammaksi kuin oikeanpuoleisen; suoraan alasp¨ ain, jos kuppien sis¨ all¨ ot osoittautuvat samanpainoisiksi. Puun lehdet vastaavat “etsinn¨ an” lopputulosta: niihin on merkitty v¨ aa ¨r¨ aksi osoittautuneen kolikon numero ja sen per¨ aa ¨n merkki “+”, jos v¨ aa ¨r¨ a kolikko oli oikeita painavampi ja merkki “-”, jos v¨ aa ¨r¨ a kolikko oli oikeita kevyempi.

12

1

2

1+

2+

5

6

4

5-

6-

4-

56

3

4

1

3+

1

4+

5

6

5+

6+

3

1

2

3-

1-

2-

106

¨via ¨ Harjoitustehta Korollaarin IV 3.7 tuloksesta seuraa, ett¨ a kaksi punnitusta ei aina riit¨ a v¨ aa ¨-

r¨ an kolikon l¨ oyt¨ amiseen kuuden kolikon joukosta ja sen painon poikkeamissuunnan m¨ aa ¨ritt¨ amiseen. Mahdollisia lopputuloksia on kaksitoista ja kuhunkin etsint¨ amenetelm¨ aa ¨n liittyv¨ an suunnatun puun haaraisuus on korkeintaan kolme; jos jossakin menetelm¨ ass¨ a selvitt¨ aisiin kahdella punnituksella, niin vastaavan suunnatun puun korkeus olisi kaksi, joten sen lehtien lukum¨ aa ¨r¨ a olisi korkeintaan yhdeks¨ an.

¨via ¨ lukuun IV Harjoitustehta 1. Esit¨ a kaikki (isomorfiaa vaille) erilaiset n–pisteiset puut kun n = 7 ja kun n = 8. 2. Osoita, ett¨ a jokainen puu on kaksijakoinen verkko. 3. Olkoon k luonnollinen luku ja olkoon T sellainen puu, ett¨ a jokaisen T :n pisteen aste on joko 1 tai k. Merkit¨ aa ¨n p:ll¨ a T :n pisteiden lukum¨ aa ¨r¨ aa ¨ ja l:ll¨ a T :n lehtien lukum¨ aa ¨r¨ aa ¨. (a) Osoita, ett¨ a jos k = 3, niin luku p on parillinen ja on voimassa l = p2 + 1. (b) Osoita, ett¨ a jos k ≥ 3, niin l > p2 . 4. Olkoon T puu, jonka pisteet ovat korkeintaan 4 asteisia. Laske 3–asteisten pisteiden lukum¨ aa ¨r¨ a, kun tiedet¨ aa ¨n, ett¨ a 1–asteisia pisteit¨ a on 6, 2–asteisia 1 ja 4–asteisia 1. 5. (a) N¨ ayt¨ a, ett¨ a 10-pisteisess¨ a paritonasteisessa puussa on ainakin kuusi lehte¨ a. (b) Anna esimerkki 10-pisteisest¨ a paritonasteisesta puusta, jonka lehtien lukum¨ aa ¨r¨ a on kuusi. 6. Olkoon G t¨ aydellinen nelj¨ an pisteen verkko ja olkoon W ⊂ VG 3-joukko. Osoita, ett¨ a joko W on G:n rengas tai W on G:n viritt¨ av¨ an puun viivojen joukko. 7. Korollaarin IV 2.11 tuloksesta seuraa, ett¨ a yhten¨ aisen verkon G renkaiden lukum¨ aa ¨r¨ a on yksi jos ja vain jos G:ll¨ a on yht¨ a monta pistett¨ a kuin viivaa; luonnehdi t¨ allaisia verkkoja G renkaiden ja puiden avulla. 8. Luonnehdi renkaiden avulla niit¨ a kahdesti yhten¨ aisi¨ a verkkoja G, joilla (a) vG = pG . (b) vG = pG + 1. 9. Olkoon G yhten¨ ainen verkko. Verkon G leikkausjoukko on sellainen osajoukko Q ⊆ VG , jolla verkko G − Q on ep¨ ayhten¨ ainen. Olkoon T G:n viritt¨ av¨ a puu. Osoita, ett¨ a jokainen G:n leikkausjoukko sis¨ alt¨ aa ¨ ainakin yhden T :n viivan. 10. Olkoon T puu, jossa on ainakin kaksi pistett¨ a, joiden aste on suurempi kuin kaksi. Mik¨ a on T :n lehtien pienin mahdollinen lukum¨ aa ¨r¨ a?

Luku IV. Puut

107

11. Olkoot T ja T 0 puita, joilla ei ole yhteisi¨ a viivoja. N¨ ayt¨ a, ett¨ a verkko T ∨ T 0 on puu 0 jos ja vain jos puilla T ja T on t¨ asm¨ alleen yksi yhteinen piste. 12. Olkoon T n–pisteinen puu. Mik¨ a on T :n lehtien pienin ja suurin mahdollinen lukum¨ aa ¨r¨ a? 13. N¨ ayt¨ a, ett¨ a jos puussa T on k–asteinen piste, niin T :ss¨ a on ainakin k lehte¨ a. 14. N¨ ayt¨ a, ett¨ a jokaiselle verkolle G p¨ atee, ett¨ a vG ≥ pG − k, miss¨ a k on G:n komponenttien lukum¨ aa ¨r¨ a, ja ett¨ a yht¨ asuuruus on voimassa jos ja vain jos G on renkaaton. [Ohje j¨ alkimm¨ aiseen kohtaan: Tarkastele G:n komponentteja.] 15. M¨ aa ¨rit¨ a alla kuvatun verkon viritt¨ avien puiden lukum¨ aa ¨r¨ a.

16. Etsi verkon G: a: bcd b: ad viritt¨ av¨ at puut.

c: ad

d: abc

17. Alla vasemmalla on kuvattu Herschelin verkko ja oikealla Gr¨ otzschin verkko. Selvit¨ a kummankin verkon tapauksessa, onko verkolla kahta viritt¨ av¨ aa ¨ puuta, joilla ei ole yhteisi¨ a viivoja.

18. Luvun III harjoitusteht¨ av¨ an 13 tuloksesta seuraa Korollaarin IV 2.11 nojalla, ett¨ a tasoverkon G renkaistoryhm¨ an alkioiden lukum¨ aa ¨r¨ a on 2a−1 , miss¨ a a on G:n m¨ aa ¨r¨ aa ¨mien tasoalueiden lukum¨ aa ¨r¨ a. Johda t¨ ast¨ a Korollaarin IV 2.11 avulla seuraava tulos: Olkoon G yhten¨ ainen tasoverkko, jolla on p pistett¨ a, v viivaa ja a aluetta. T¨ all¨ oin on voimassa p−v+a =2 (Eulerin kaava)

108

¨via ¨ Harjoitustehta

19. Johda Eulerin kaavan avulla yht¨ al¨ o avaruuden monitahokkaan k¨ arkien, s¨ armien ja tahkojen lukum¨ aa ¨rien v¨ alille. 20. Laske Petersenin verkon renkaiden lukum¨ aa ¨r¨ a. [Ohje: Korollaari IV 2.11 ja Luvun III harjoitusteht¨ av¨ at 8 ja 9.] 21. Olkoon S yksisuuntainen suhteikko, jolla on juuri a. Osoita, ett¨ a S on suunnattu + + puu jos ja vain jos d S (a) = 0 ja d S (b) = 1 jokaisella b ∈ PS r {a}. 22. N¨ ayt¨ a edellisen teht¨ av¨ an tuloksen avulla, ett¨ a jos suunnatulla puulla T~ :ll¨ a on juuren ~ a lis¨ aksi muitakin pisteit¨ a, niin piste b on T :n lehti jos ja vain b 6= a ja b on puun T lehti. 23. Olkoon suunnatun puun T~ haaraisuus h ja lehtien lukum¨ aa ¨r¨ a ` ja olkoon r T~ :n haarautumispisteiden lukum¨ aa ¨r¨ a (eli niiden pisteiden lukum¨ aa ¨r¨ a, jotka eiv¨ at ole `−1 . lehti¨ a). Osoita, ett¨ a on voimassa r ≥ h−1 24. Olkoon T~ suunnattu puu, jonka jokaisella haarautumispisteell¨ a on d seuraajaa. N¨ ayt¨ a, ett¨ a T~ :n haarautumispisteiden lukum¨ aa ¨r¨ a r ja lehtien lukum¨ aa ¨r¨ a ` toteuttavat ehdon (d − 1)r = ` − 1.

25. Olkoon n luonnollinen luku. Osoita, ett¨ a on olemassa n–pisteinen suunnattu puu, jonka jokaisella haarautumispisteell¨ a on t¨ asm¨ alleen kaksi seuraajaa, jos ja vain jos n on pariton. 26. Yksi kahdestatoista kolikosta on v¨ aa ¨r¨ a ja eroaa muista painoltaan (kevyempi tai painavampi). Montako punnitusta tasavarsivaa’alla tarvitaan v¨ aa ¨r¨ an kolikon l¨ oyt¨ amiseksi ja sen laadun selvitt¨ amiseksi? 27. Olkoon n ∈ {1, 2, . . . , 40}. Teht¨ av¨ an¨ a on m¨ aa ¨ritt¨ aa ¨ n kysymyksill¨ a, jotka ovat tyyppi¨ a ”onko n ≤ a?” jollakin a ∈ N. Montako kysymyst¨ a tarvitaan? Suunnatun puun T~ Matula–luku M (T~ ) m¨ aa ¨ritell¨ aa ¨n rekursiivisesti puun korkeuden k(T~ ) suhteen seuraavalla tavalla. Olkoon a T~ :n juuri. Jos k(T~ ) = 0 eli jos T~ :ll¨ a ei ole ~ a:n lis¨ aksi mit¨ aa ¨n muita pisteit¨ a, niin asetetaan M (T ) = 1. Oletetaan, ett¨ a k(T~ ) > 0 ~ ~ ja ett¨ a M (S) on jo m¨ aa ¨ritelty kaikille niille suunnatuille puille Y , joilla k(Y ) < k(T~ ). Merkit¨ aa ¨n Na :lla pisteen a seuraajien muodostamaa joukkoa ja pannaan merkille, W ett¨ a joukon PT~ r {a} viritt¨ am¨ a aliverkko on esitett¨ aviss¨ a muodossa b∈Na Sb , miss¨ a Sb on kyseisen aliverkon pisteen b yhten¨ ainen komponentti. Jokaisella b ∈ N a , suhteikon T~ alisuhteikko Sb on suunnattu puu, jolle on voimassa k(Sb ) < k(T~ ); t¨ aten luku M (Sb ) on m¨ aa ¨ritelty. Nyt m¨ aa ¨ritell¨ aa ¨n luku M (T~ ) tulona, jonka tekij¨ oin¨ a ovat luvut p(M (Sb )), b ∈ Na ; t¨ ass¨ a merkint¨ a p(i) tarkoittaa i:nnett¨ a alkulukua, siis i:nnett¨ a lukua jonossa 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, ...

Luku IV. Puut 28. Laske seuraavien suunnattujen puiden Matula–luvut.

~ , ett¨ ~ ) = 12. 29. Konstruoi sellaiset suunnatut puut T~ ja Y a M (T~ ) = 7 ja M (Y

109