Matematiikka tutuksi [lecture notes] [PDF]

Zitiervorschau

Heikki Junnila MATEMATIIKKA TUTUKSI

0. Merkinn¨ oist¨ a ja lyhenteist¨ a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1. Reaaliluvut ja niiden laskutoimitukset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2. Luonnolliset luvut, kokonaisluvut ja rationaaliluvut.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7 3. Polynomit ja murtolausekkeet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 4. Lineaariset yhden muuttujan yht¨ al¨ ot. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 5. Koordinaatisto. Funktion kuvaaja. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 6. Lineaariset yht¨ al¨ oryhm¨ at. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 7. Toisen asteen yht¨ al¨ o. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 8. Toisen asteen yht¨ al¨ oryhm¨ at. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 9. Suhde ja verranto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 10. Jonot. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 11. Ep¨ ayht¨ al¨ ot. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 12. Todenn¨ ak¨ oisyys. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 13. T¨ arkeit¨ a funktioita. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 14. Derivaatta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 15. Integraali. (Puuttuu viel¨ a.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

1

2

Luku 0. Merkinn¨ oist¨ a ja lyhenteist¨ a Merkint¨ a a ∈ A tarkoittaa, ett¨ a a on joukon A alkio eli a kuuluu joukkoon A . Jos a

ei kuulu joukkoon A , niin merkit¨ aa ¨n a ∈ / A.

Joukko on alkioidensa muodostama kokonaisuus: A = {a : a ∈ A} ; t¨ aten kaksi

joukkoa A ja B ovat samat, A = B , jos ja vain jos A :lla ja B :ll¨ a on samat alkiot.

Tyhj¨ a joukko on se joukko, jolla ei ole yht¨ aa ¨n alkiota; tyhj¨ ast¨ a joukosta k¨ aytet¨ aa ¨n merkint¨ aa ¨ ∅ . Yksi¨ o on sellainen joukko, jolla on t¨ asm¨ alleen yksi alkio, eli muotoa {a}

oleva joukko.

Jos A ja B ovat sellaisia joukkoja, ett¨ a jokainen joukon B alkio on joukon A alkio, niin sanomme, ett¨ a B on A :n osajoukko ja merkitsemme B ⊂ A tai A ⊃ B . Jos on

voimassa B ⊂ A ja B 6= A , niin sanotaan, ett¨ a B on A :n aito osajoukko ja k¨ aytet¨ aa ¨n merkint¨ aa ¨ B & A.

Kahden joukon A ja B yhdistysjoukko (lyhyesti: A :n ja B :n yhdiste) on joukko A ∪ B = {x : x ∈ A tai x ∈ B} , siis niiden alkioiden joukko, jotka kuuluvat joko joukkoon

A tai joukkoon B (tai molempiin). Joukkojen A ja B leikkausjoukko (lyhyesti: A :n ja

B :n leikkaus) on joukko A ∩ B = {x : x ∈ A ja x ∈ B} , siis niiden alkioiden joukko, jotka

kuuluvat sek¨ a joukkoon A ett¨ a joukkoon B . Joukkojen A ja B erotusjoukko (lyhyesti: A :n ja B :n erotus) on joukko ArB = {x : x ∈ A ja x ∈ / B} , siis niiden joukon A alkioiden joukko, jotka eiv¨ at kuulu joukkoon B (toisinaan puhutaan my¨ os joukon B komplementista joukossa A ). Kahden tai useamman joukon v¨ alisi¨ a suhteita havainnollistaan k¨ atev¨ asti nk. Vennin kaavioiden avulla. Esimerkiksi kahden joukon ja kolmen joukon tapauksiin liittyv¨ at Vennin kaaviot voimme piirt¨ aa ¨ seuraavan n¨ ak¨ oisiksi.

A

C

A

B 1

B

Vennin kaavioiden avulla n¨ aemme seuraavien yht¨ al¨ oiden paikkansapit¨ avyyden: A∪B = B∪A , A∩B = B∩A A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C , A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) , A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) A r (B ∪ C) = (A r B) ∩ (A r C) , A r (B ∩ C) = (A r B) ∪ (A r C).

Annamme viel¨ a lukuohjeita loogisille merkeille ⇒ , ⇔ , ∀ ja ∃ : P ⇒Q

“ P :sta seuraa Q ” tai “jos P , niin Q ”.

P ⇔Q

“ P jos ja vain jos Q ”.

∀x

“jokaisella x ” tai “kaikilla x ”.

∀x ∈ A

“jokaisella joukon A alkiolla x ”.

∀xP (x)

“jokaisella x on ominaisuus P (x) ” tai “jokainen x toteuttaa ehdon P (x) ”

∃x

“on olemassa x ” tai “jollain x ”.

2

Luku 1. Reaaliluvut ja niiden laskutoimitukset Merkitsemme reaalilukujen joukkoa R :ll¨ a. Reaalilukuja voimme havainnollistaa lukusuoran avulla. Kiinnit¨ amme joltain suoralta ` yhden pisteen, jota merkitsemme 0 :lla ja tarkastelemme aluksi jompaakumpaa pisteest¨ a 0 alkavaa suoran ` osaa (puolisuoraa), jota merkitsemme `+ :lla. T¨ am¨ an j¨ alkeen samaistamme puolisuoran `+ pisteet niiden et¨ aisyyksiin pisteest¨ a 0 , jolloin meill¨ a on esitys ep¨ anegatiivisille reaaliluvuille: t¨ ass¨ a esityksess¨ a janan 0 x pituus on x . Merkitsemme ep¨ anegatiivisten reaalilukujen joukkoa `+ yleens¨ a symbolilla R+ (positiivisten reaalilukujen joukko on R+ r {0} ). T¨ am¨ an j¨ alkeen tarkastelemme toista 0 :sta alkavaa ` :n puolisuoraa `− . Jokaisella x ∈ `+ on olemassa t¨ asm¨ alleen yksi sellainen y ∈ `− , ett¨ a pisteill¨ a x ja y on sama et¨ aisyys pisteeseen 0 ; merkitsemme t¨ at¨ a y :t¨ a −x :ll¨ a ja merkitsemme my¨ os x :¨ aa ¨ −y :ll¨ a. Piste −x esitt¨ aa ¨ pisteen x vastalukua (ja k¨ aa ¨nt¨ aen: −(−x) = x ). Merkitsemme joukkoa `− symbolilla R− : t¨ am¨ a joukko koostuu ep¨ apositiivisista reaaliluvuista. Reaalilukuihin liittyy olennaisesti niiden v¨ alinen j¨ arjestys sek¨ a niiden v¨ aliset laskutoimitukset. Reaaliluvut voidaan my¨ os m¨ aa ¨ritell¨ a aksiomaattisesti j¨ arjestyksen ja laskutoimitusten ominaisuuksien avulla, mutta t¨ ass¨ a tyydymme lukusuoran antamaan havainnolliseen kuvaan. Peruslaskutoimitukset ovat yhteenlasku ja kertolasku. Yhteenlasku liitt¨ aa ¨ kahteen reaalilukuun x ja y niiden summan x + y ja kertolasku liitt¨ aa ¨ lukuihin x ja y niiden tulon x · y (lyhyesti: xy ). Ep¨ anegatiivisten reaalilukujen x ja y summalla on selke¨ a tulkinta lukusuoralla: kun siirr¨ amme janan 0 x janan 0 y jatkeeksi suoralla ` , niin saamme yhdisteen¨ a janan 0 x + y . Erityisesti n¨ aemme t¨ aten, ett¨ a kahden ep¨ anegatiivisen luvun summa on ep¨ anegatiivinen. Yhteenlaskun laskus¨ aa ¨nt¨ o j¨ a: x+y =y+x

(x + y) + z = x + (y + z) 3

0+x=x

y = −x ⇔ x + y = 0 .

Koska p¨ atee, ett¨ a (x + y) + z = x + (y + z) , voimme k¨ aytt¨ aa ¨ n¨ aille summille yhteist¨ a merkint¨ aa ¨ x + y + z . Vastaavasti my¨ os merkinn¨ at x + y + z + u, x + y + z + u + v , jne., tulevat hyvin m¨ aa ¨ritellyiksi. K¨ ayt¨ amme my¨ os seuraavaa yksinkertaistettua merkint¨ aa ¨: merkitsemme symbolilla x − y reaalilukujen x ja y erotusta x + (−y) ; t¨ am¨ a merkint¨ a m¨ aa ¨rittelee reaalilukujen v¨ ahennyslaskun. Huomaa, ett¨ a v¨ ahennyslaskun laskus¨ aa ¨nn¨ ot poikkeavat yhteenlaskus¨ aa ¨nn¨ oist¨ a: esimerkiksi yleisesti ei p¨ ade, ett¨ a x − y = y − x tai x − (y − z) = (x − y) − z) . T¨ aten v¨ ahennyslaskun yhteydess¨ a sek¨ a tekij¨ oiden j¨ arjestys ett¨ a niiden ryhmittely on t¨ arke¨ a! Erotuksen x − y vastaluku on y − x , eli −(x − y) = y − x , sill¨ a (x − y) + (y − x) = (x + (−y)) + (y + (−x)) = x + (−x) + y + (−y) = 0 + 0 = 0 . Kertolaskun laskus¨ aa ¨nt¨ o j¨ a: xy = yx

(xy)z = x(yz)

x(y + z) = xy + xz

(−x)y = −(xy)

0x = 0 .

Samoin kuin yhteenlaskun yhteydess¨ a, merkinn¨ at xyz, xyzu , jne., tulevat hyvin m¨ aa ¨ritellyiksi. S¨ aa ¨nt¨ o 0+x = x sanoo, ett¨ a 0 on yhteenlaskun neutraalialkio. Reaalilukujen joukossa on my¨ os kertolaskun neutraalialkio, luku 1 , joka m¨ aa ¨r¨ aytyy ehdosta 1x = x . My¨ os vastaluvuilla ja niiden laskus¨ aa ¨nn¨ oll¨ a ( x − x = 0 ) on (osittainen) vastineensa kertolaskun yhteydess¨ a: jokaisella x ∈ R r {0} on olemassa t¨ asm¨ alleeen yksi sellainen y ∈ R , ett¨ a xy = 1 . Lukua y kutsutaan ( 0 :sta poikkeavan) luvun x k¨ aa ¨nteisluvuksi ja sit¨ a merkit¨ aa ¨n joko

1 x

:ll¨ a tai x−1 :lla. Siis x ·

1 x

= x · x−1 = 1 kun x 6= 0 .

Viel¨ a yksi merkint¨ a ja laskutoimitus: jos x, y ∈ R ja y 6= 0 , niin merkitsemme symbolilla

x y

lukujen x ja y osam¨ aa ¨r¨ aa ¨ x · y1 . T¨ am¨ a m¨ aa ¨rittelee reaalilukujen jakolaskun.

Sanomme, ett¨ a x on lausekkeen lauseke

x y

x y

osoittaja ja y sen nimitt¨ aj¨ a. On muistettava, ett¨ a

on m¨ aa ¨ritelty vain nimitt¨ a j¨ an y ollessa 0 :sta poikkeava!

Edell¨ a mainittujen laskus¨ aa ¨nt¨ o jen avulla voimme johtaa laskutoimitusten muita ominaisuuksia. Voimme esimerkiksi luonnehtia osam¨ aa ¨r¨ aa ¨ seuraavasti: 4

— Yht¨ al¨ oll¨ a ax = b , miss¨ a a 6= 0 , on yksik¨ asitteisen¨ a ratkaisuna x = b a

on yht¨ al¨ on ax = b ratkaisu, koska a ·

Toisaalta, jos ax = b , niin x = 1 · x = (a ·

b 1 1 a = a · (b · a ) = a · ( a 1 ) · x = ( a1 · a) · x = a1 a

Toisena esimerkkin¨ a johdamme seuraavan tuloksen:

b a

.

· b) = (a · a1 ) · b = 1 · b = b .
· (ax) = a1 · b = b · a1 = ab .

— Jos xy = 0 , niin x = 0 tai y = 0 . Olkoon xy = 0 ja x 6= 0 . T¨ all¨ oin y = 1 · y = (x · x1 ) · y =

1 x

· (xy) =

1 x

· 0 = 0.




Laskutoimitusten ohella R :n “perusstruktuuriin” kuuluu j¨ arjestys, reaalilukujen keskin¨ ainen suuruusj¨ arjestys. M¨ aa ¨rittelemme j¨ arjestyksen seuraavasti: x ≤ y ⇐⇒ y − x ∈ R + ja sanomme, ett¨ a “ x on pienempi tai yht¨ asuuri kuin y ” tai ett¨ a “ y on suurempi tai yht¨ asuuri kuin x ” kun x ≤ y . Merkint¨ a y ≥ x tarkoittaa samaa kuin merkint¨ a x ≤ y. Vastaavan “tiukan” j¨ arjestyksen (“pienempi”, “suurempi”) < m¨ aa ¨rittelemme asettamalla x < y ⇐⇒ x ≤ y ja x 6= y . Jokaisella x ∈ R on voimassa x ≥ 0 ⇐⇒ 0 ≤ x ⇐⇒ x − 0 ∈ R+ ⇐⇒ x ∈ R+ . T¨ aten ep¨ anegatiivisten reaalilukujen joukko on R+ = {x ∈ R : x ≥ 0} . Vastaavasti positiivisten reaalilukujen joukko on R+ r {0} = {x ∈ R : x > 0} . Ep¨ apositiivisten reaalilujen joukko on R− = {x ∈ R : x ≤ 0} ja negatiivisten R− r {0} = {x ∈ R : x < 0} . Tuttu intuitiivinen kuva reaalilukujen keskin¨ aisest¨ a suuruusj¨ arjestyksest¨ a saadaan ottamalla lukusuoraksi joku vaakasuora ja R+ :ksi 0 :sta oikealle suuntautuva puolisuora: t¨ all¨ oin x < y jos ja vain jos x sijaitsee lukusuoralla y :n vasemmalla puolella. J¨ arjestyksen perusominaisuudet ovat seuraavat: kaikilla x, y, z ∈ R on voimassa x≤x 

x ≤ y tai y ≤ x

(x ≤ y ja y ≤ x) ⇒ x = y

(x ≤ y ja y ≤ z) ⇒ x ≤ z .

On voimassa x − x = 0 ja n¨ ain ollen x ≤ x .

Jos ei ole voimassa x ≤ y , niin on voimassa y − x ∈ / R+ ja siten y − x ∈ R− , mutta t¨ ast¨ a

seuraa, ett¨ a −(y − x) ∈ R+ eli x − y ∈ R+ eli y ≤ x . Olkoon x ≤ y ja y ≤ x . T¨ all¨ oin y − x ∈ R+ ja x − y ∈ R+ , joten x − y ∈ R+ ja −(x − y) ∈ R+ . Koska 0 on ainoa ep¨ anegatiivinen luku jonka vastalukukin on ep¨ anegatiivinen, on oltava x − y = 0 eli x = y . Olkoon x ≤ y ja y ≤ z . T¨ all¨ oin y − x ∈ R+ ja z − y ∈ R+ ja t¨ ast¨ a seuraa, ett¨ a  (y − x) + (z − y) ∈ R+ eli z − x ∈ R+ ; t¨ aten x ≤ z . 5

Reaaliluvun x itseisarvo |x| on x :n et¨ aisyys lukusuoran pisteest¨ a 0 ; t¨ aten |x| = x kun x ∈ R+ ja |x| = −x kun x ∈ R− . Itseisarvo |x| on aina ep¨ anegatiivinen ja negatiiviselle luvulle x on voimassa x = −|x| . Huomaa, ett¨ a luvuilla x, y ∈ R on sama itseisarvo, |x| = |y| , jos ja vain jos on voimassa x = y tai x = −y . Muista my¨ os laskus¨ aa ¨nt¨ o: |x · y| = |x| · |y| . Kahden luvun erotuksen itseisarvolla on seuraava t¨ arke¨ a tulkinta lukusuoralla: luku |x − y| ilmoittaa lukusuoran pisteiden x ja y et¨ aisyyden toisistaan. T¨ ast¨ a geometrisesta tulkinnasta johtuu my¨ os seuraavan, kaikille reaaliluvuille x , y ja z voimassaolevan ep¨ ayht¨ al¨ on nimitys: |x − z| ≤ |x − y| + |y − z|

6

(“kolmioep¨ ayht¨ al¨ o”) .

Luku 2. Luonnolliset luvut, kokonaisluvut ja rationaaliluvut

Reaalilukujen joukolla on osajoukkojen R+ ja R− lis¨ aksi er¨ ait¨ a muitakin t¨ arkeit¨ a osajoukkoja. Luonnolliset luvut (jotka liittyv¨ at “lukum¨ aa ¨riin”) muodostavat joukon N , jota voidaan luonnehtia pienimp¨ an¨ a R :n osajoukkona A , jolla on seuraavat kaksi ominaisuutta: (a) 0 ∈ A ; (b) jos x ∈ A , niin x + 1 ∈ A . Joukko N koostuu luvuista 0 , 1 , 2 , 3 , 4 ,..., miss¨ a 2 = 1 + 1 , 3 = 2 + 1 , 4 = 3 + 1 , jne. Annettu m¨ aa ¨ritelm¨ a sis¨ alt¨ aa ¨ induktioperiaatteen: Olkoon P on sellainen luonnollisten lukujen ominaisuus, jolle on voimassa (a) luvulla 0 on ominaisuus P (b) aina kun luvulla x ∈ N on ominaisuus P , niin my¨ os luvulla x + 1 on ominaisuus P T¨ all¨ oin (“induktioperiaatteen nojalla”) jokaisella luonnollisella luvulla on ominaisuus P Lyhyemmin ilmaistuna, induktioperiaate on seuraava: Jokaiselle luonnollisten lukujen ominaisuudelle P p¨ atee, ett¨ a jos on voimassa (a) P (0) ja (b) (∀n ∈ N)(P (n) ⇒ P (n + 1)) , niin on voimassa (∀n ∈ N)P (n) . Induktion ei v¨ altt¨ am¨ att¨ a tarvitse “alkaa 0 :sta”, sill¨ a voimme helposti johtaa periaatteesta seuraavan muunnelman: Jokaiselle luonnollisten lukujen ominaisuudelle P p¨ atee, ett¨ a jos on voimassa (a) P (n0 ) ja (b) (∀n ≥ n0 )(P (n) ⇒ P (n + 1)) , niin on voimassa (∀n ≥ n0 )P (n) . Induktioperiaatteen nojalla n¨ aemme “rekursiivisten m¨ aa ¨ritelmien” oikeellisuuden. Esimerkiksi voimme m¨ aa ¨ritell¨ a luonnollisen luvun n kertoman n! rekursiivisesti asettamalla 0! = 1 ja (n + 1)! = n! · (n + 1) . Soveltamalla induktioperiaatetta ominaisuuteen P , joka on niill¨ a luvuilla n ∈ N , joilla luku n! on hyvin m¨ aa ¨ritelty, n¨ aemme ett¨ a luku n! on hyvin m¨ aa ¨ritelty jokaisella n ∈ N . M¨ aa ¨ritelm¨ a voitaisiin antaa my¨ os hieman ep¨ am¨ aa ¨r¨ aisell¨ a kaavalla n! = 1 · 2 · · · n , joka ilmaisee selv¨ asti sen, ett¨ a n! on luku, joka saadaan kertomalla kesken¨ aa ¨n n ensimm¨ aist¨ a positiivista luonnollista lukua 1, ..., n . Voimme tehd¨ a kaavan t¨ asm¨ alliseksi ottamalla k¨ aytt¨ oo ¨n merkinn¨ an “yleistetylle tulolle”. 7

Olkoot n ja m luonnollisia lukuja, n ≤ m . M¨ aa ¨rittelemme lukujen xn , xn+1 , ..., xm Pm (yleistetyn) summan i=n xi rekursiivisesti kaavoilla ! n k+1 k X X X xi = xn ja xi = xi + xk+1 i=n

ja (yleistetyn) tulon

Qm

i=n

n Y

i=n

i=n

k+1 Y

k Y

xi kaavoilla

xi = x n

ja

xi =

i=n

i=n

i=n

Sanomme, ett¨ a luvut xn , ..., xm ovat summan

xi

Pm

i=n

!

· xk+1 .

xi ja tulon

Qm

i=n

xi tekij¨ oit¨ a. Yhteen-

ja kertolaskun vastaavista laskus¨ aa ¨nn¨ oist¨ a seuraa, ett¨ a my¨ os yleistetyss¨ a summassa ja tulossa voimme vaihtaa tekij¨ oiden j¨ arjestyst¨ a ja ryhmitell¨ a tekij¨ oit¨ a muuttamatta summan tai tulon arvoa; t¨ aten on esimerkiksi voimassa n n n X X X yi . xi + (xi + yi ) = i=1

i=1

i=1

Samoin voimme yleist¨ aa ¨ muitakin laskus¨ aa ¨nt¨ o j¨ a: esimerkiksi s¨ aa ¨nt¨ o x(y + z) = xy + xz yleistyy muotoon x

n X

yi =

i=1

n X

xyi .

i=1

Yleistetty¨ a tulomerkint¨ aa ¨ k¨ aytt¨ am¨ all¨ a voimme esitt¨ aa ¨ luonnollisen luvun n > 0 kertoQn man muodossa n! = k=1 k . Voimme my¨ os vastaavasti m¨ aa ¨ritell¨ a reaaliluvun x potenssin Q n xn asettamalla xn = i=1 xi , miss¨ a xi = x jokaisella i ; lis¨ aksi sovimme, ett¨ a x0 = 1 .

Potenssi xn , n > 0 , on siis tulo x · x · · · x , miss¨ a tekij¨ oit¨ a on n kappaletta; sanomme, ett¨ a luku n on potenssin xn eksponentti.

Potensseille on voimassa eksponenttien yhteenlaskus¨ aa ¨nt¨ o x n · xk = xn+k sek¨ a tulo-

s¨ aa ¨nt¨ o (x · y)n = xn · y n .

Teht¨ av¨ a Todista kaava

Pn

k=1

k=

n(n+1) 2

.

Ratkaisu. K¨ ayt¨ amme induktiota. V¨ aite p¨ atee muodossa 1 =

1·2 2

kun n = 1 . Oletamme,

ett¨ a v¨ aite on tosi n :lle. Osoitamme, ett¨ a se p¨ atee my¨ os n + 1 :lle. K¨ aytt¨ am¨ all¨ a hyv¨ aksi tekem¨ aa ¨mme oletusta, n¨ aemme olevan voimassa n+1 n X  X n(n + 1) n (n + 1)(n + 2) k + (n + 1) = k= + (n + 1) = ( + 1)(n + 1) = ; 2 2 2 k=1

k=1

t¨ aten v¨ aite p¨ atee n + 1 :lle. Induktioperiaatteen nojalla v¨ aite p¨ atee jokaiselle n ≥ 1 . 8

Teht¨ av¨ a Todista kaava

Pn

k=1

k3 = (

2

Pn

k=1

k) .

Ratkaisu. K¨ ayt¨ amme induktiota. V¨ aite p¨ atee muodossa 1 = 12 kun n = 1 . Oletamme, ett¨ a v¨ aite on tosi n :lle. Osoitamme, ett¨ a se p¨ atee my¨ os n + 1 :lle. K¨ aytt¨ am¨ all¨ a hyv¨ aksi tekem¨ aa ¨mme oletusta (alla toisen yht¨ asuuruusmerkin perusteena) ja edellisen teht¨ av¨ an tulosta (alla sek¨ a kolmannen ett¨ a viimeisen yht¨ asuuruusmerkin perusteena), n¨ aemme olevan voimassa

n+1 X

3

k =

n X

k=1

k=1

 n(n + 1) 2 2

 n2

k

3



n 2 X k + (n + 1)3 = + (n + 1) = 3

k=1

+ (n + 1)3 =

 n2 (n + 1)2  4

+ (n + 1)3 = n+1

 (n + 1)(n + 2) 2  X 2 (n + 2)2 = + (n + 1) (n + 1) = (n + 1)2 = k ; 4 4 2 

2

k=1

(alarivin ensimm¨ ainen yht¨ al¨ o perustuu “binomin neli¨ okaavaan” (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ). Olemme osoittaneet, ett¨ a v¨ aite p¨ atee n + 1 :lle. Induktioperiaatteen nojalla v¨ aite p¨ atee jokaiselle n ≥ 1 . Kokonaislukujen joukko on Z = N ∪ {−n : n ∈ N} . Luonnolliset luvut ovat siis ep¨ anegatiivisia kokonaislukuja. Laajennamme reaalilukujen potenssin m¨ aa ¨ritelm¨ an my¨ os negatiivisille kokonaisluvuille kaavalla x−n =

1 xn

, miss¨ a n ∈ N ja x ∈ R r {0} . Huomaa,

ett¨ a merkint¨ a x−1 t¨ ass¨ akin tarkoittaa luvun x 6= 0 k¨ aa ¨nteislukua Teht¨ avi¨ a: Todista laskus¨ aa ¨nn¨ ot:

xn xk

1 x

.

= xn−k kun x 6= 0 ; (xn )k = xn·k .

Reaaliluku x on rationaaliluku, mik¨ ali on olemassa sellaiset kokonaisluvut n ja k , ett¨ a k 6= 0 ja x =

n k

. Merkitsemme Q :lla kaikkien rationaalilukujen joukkoa, toisin sanoen,

Q = { nk : n, k ∈ Z ja k 6= 0} . Rationaaliluvut koostuvat siis kokonaisluvuista ( n =

n 1

) ja yleisist¨ a “murtoluvuista”.

Palautamme mieleen murtolukuja koskevia laskus¨ aa ¨nt¨ o j¨ a: `n+ km n m + = k ` k`

n −n n − = = k k −k

nm n m = k ` k`

 n −1 k

=

k . n

Kokonaisluvut ovat “harvassa” lukusuoralla, mutta rationaaliluvut ovat “tihe¨ ass¨ a”: kahden eri reaaliluvun v¨ alist¨ a l¨ oytyy aina rationaaliluku. On kuitenkin my¨ os olemassa 9

sellaisia reaalilukuja, jotka eiv¨ at ole rationaalisia. Tunnettu esimerkki t¨ allaisesta “irrationaaliluvusta” on “yksikk¨ oneli¨ on” halkaisijan pituus. M¨ aa ¨rittelemme viel¨ a potenssit, miss¨ a eksponentti on rationaaliluku. T¨ ah¨ an tarvitsemme “juuren” k¨ asitett¨ a. Olkoon k positiivinen kokonaisluku. Koska 0 k = 0 ja koska potenssin xk arvo kasvaa rajatta x :n kasvaessa ( xk → ∞ kun x → ∞ ), niin jokaisella

y ∈ R , y ≥ 0 , on olemassa t¨ asm¨ alleen yksi sellainen x ∈ R , ett¨ a xk = y ; kutsumme t¨ at¨ a √ lukua x ep¨ anegatiiviluvun y k :nneksi juureksi ja merkitsemme sit¨ a joko symbolilla k y p 1 √ tai symbolilla y k . M¨ aa ¨ritelm¨ ast¨ a seuraa, ett¨ a on aina voimassa k y k = y = ( k y)k . x

n k

Jos n ja k > 0 ovat kokonaislukuja ja x positiivinen reaaliluku, niin merkitsemme √ = k xn . My¨ os n¨ aille “rationaalisille potensseille” p¨ atev¨ at tutut potenssilaskus¨ aa ¨nn¨ ot: xq = xq−p , xp

xq xp = xq+p ,

(xq )p = xqp

ja

(xy)q = xq y q .

Juurilausekkeiden laskemisessa on usein k¨ atevint¨ a muuttaa juuret eksponenttimuotoon ja sitten k¨ aytt¨ aa ¨ laskus¨ aa ¨nt¨ o j¨ a. Esimerkki

√ 5 √ 8 √ 6 3 4

1

13

a = 2 30 · 3 2 , sill¨ √ 1 1 5 (23 ) 5 8√ 1 1 85 2 = √ 6 = 1 · 62 = 1 (2 · 3) 3 4 43 (22 ) 3 3

25 2 1

2 3

1

1

3

1

2

1

· 22 · 32 = 25−3 · 22 · 32 = 1

1

1

1

1

13

1

2− 15 · 2 2 · 3 2 = 2 2 − 15 · 3 2 = 2 30 · 3 2 .

10

Luku 3. Polynomit ja murtolausekkeet Olkoon A joukko reaalilukuja. Joukossa A m¨ aa ¨ritellyll¨ a funktiolla tarkoitamme s¨ aa ¨nt¨ oa ¨ tai luetteloa f , joka liitt¨ aa ¨ jokaiseen joukon A alkioon a er¨ aa ¨n reaaliluvun f (a) . Esimerkiksi jokaisella n ∈ N voimme m¨ aa ¨ritell¨ a joukossa A potenssifunktion f s¨ aa ¨nn¨ oll¨ a

f (a) = an .

Voimme ajatella potenssifunktiota f (x) = xn my¨ os “lausekkeen” xn m¨ aa ¨rittelem¨ an¨ a funktiona; t¨ ass¨ a lausekkeessa x on “muuttujasymboli”, jonka paikalle voimme “sijoittaa” reaalilukuja; kun sijoitamme muuttujalle reaalisen “arvon”, niin kyseinen lauseke saa reaalisen “arvon”, mik¨ ali lauseke on m¨ aa ¨ritelty kyseisell¨ a muuttujan arvolla. T¨ allaisen funktion f (luonnollinen) m¨ aa ¨ritysjoukko on niiden reaalilukujen joukko, joilla lauseke on m¨ aa ¨ritelty. Potenssifunktiolla on siis luonnollisena m¨ aa ¨ritysjoukkona kaikkien reaalilukujen joukko √ aa ¨rittelem¨ an “neli¨ o juurifunktion” m¨ aa ¨ritysjoukko on kaikkien ep¨ aR ja lausekkeen x m¨ negatiivisten reaalilukujen joukko R+ . Polynomilauseke, eli lyhyesti polynomi, on muotoa

Pn

i=0

ai xi oleva summa “vakioilla”

ai ∈ R kerrotuista muuttujan x potensseista xi ; sanomme, ett¨ a t¨ ass¨ a lausekkeessa luku

ai on potenssin xi kerroin. Lausekkeen arvo on m¨ aa ¨ritelty jokaisella reaaliluvulla: luvulla Pn i b ∈ R lausekkeella on arvona ain ollen “polynomifunktion” m¨ aa ¨ritysjoukko i=0 ai b . N¨ on koko R . Koska x0 = 1 ja x1 = x , voimme esitt¨ aa ¨ edellisen lausekkeen ja vastaavan

funktion havainnollisemmin seuraavasti: p(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn . Seuraavassa emme juuri tee eroa polynomilausekkeen ja -funktion v¨ alill¨ a vaan k¨ ayt¨ ann¨ oss¨ a samaistamme ne. Polynomin a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn aste on n , mik¨ ali an 6= 0 ; sovimme my¨ os, ett¨ a “nollapolynomin” 0 aste on 0 . 0-asteinen polynomi on muotoa a , miss¨ a a ∈ R , oleva “vakiolauseke”; n¨ am¨ a ovat “triviaaleja polynomeja”. 1. asteen polynomi on muotoa a + bx oleva “binomi” (kun 11

a 6= 0 ) tai muotoa bx oleva “monomi” ja 2. asteen polynomi on joko monomi cx 2 tai binomi a + cx2 (miss¨ a a 6= 0 ) tai bx + cx2 (miss¨ a b 6= 0 ) tai “trinomi” a + bx + cx2 (kun

a 6= 0 ja b 6= 0 ). Polynomien summat ja tulot ovat polynomeja ja niille saamme edell¨ a esitetyn kaltaisen “standardiesityksen” kertomalla ja laskemalla yhteen lausekkeita tavallisten kerto- ja yhteenlaskua sek¨ a potenssiin korotusta koskevien laskus¨ aa ¨nt¨ o jen mukaisesti; lopuksi “yhdistelemme” sellaiset xk -termit, joita esiintyy useamman kerran, s¨ aa ¨nn¨ on cxk + dxk = (c + d)xk mukaisesti. Esimerkki

(1 + 2x + 3x2 + 4x3 ) + (1 + 2x)(3x2 + 4x3 ) = 1 + 2x + 3x2 + 4x3 + [1(3x2 + 4x3 ) + 2x(3x2 + 4x3 )] = 1 + 2x + 3x2 + 4x3 + 3x2 + 4x3 + 6x3 + 8x4 = 1 + 2x + 6x2 + 14x3 + 8x4 .

Edellisen kaltaisissa laskuissa on toisinaan apua seuraavista yht¨ al¨ oist¨ a. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 (a + b)(a − b) = a2 − b2 (a2 + ab + b2 )(a − b) = a3 − b3 (a3 + a2 b + ab2 + b3 )(a − b) = a4 − b4 . Kahden polynomin tulon asteelle p¨ atee yksinkertainen s¨ aa ¨nt¨ o: – Tulon aste on tekij¨ oiden asteiden summa, jos kumpikaan tekij¨ oist¨ a ei ole nollapolynomi. Jos nimitt¨ ain a0 + · · · + an xn 6= 0 on n -asteinen ja b0 + · · · + bk xk 6= 0 on k -asteinen

polynomi, niin “aukikirjoitetussa” tulossa (a0 +· · ·+an xn )(b0 +· · ·+bk xk ) on korkeimpana

x :n potenssina xn+k ja xn+k -termej¨ a on vain yksi, an bk xn+k ; koska an 6= 0 ja bk 6= 0 ,

n¨ aemme, ett¨ a polynomin (a0 + · · · + an xn )(b0 + · · · + bk xk ) aste on n + k .

Polynomin jako tekij¨ oihin tarkoittaa polynomin esitt¨ amist¨ a ep¨ atriviaalien alempiasteisten polynomien tulona. Esimerkiksi yll¨ a viimeisen s¨ aa ¨nn¨ on mukaisesti polynomi 1 − x 4 12

jakaantuu tekij¨ oihin 1+x+x2 +x3 ja 1−x , eli on voimassa 1−x4 = (1+x+x2 +x3 )(1−x) . Kyseisess¨ a tekij¨ oihinjaossa toinen tekij¨ a on 1-asteinen ja t¨ am¨ a tilanne liittyy polynomin “nollakohtien” m¨ aa ¨ritt¨ amiseen. Polynomin (tai muunkin lausekkeen tai funktion) nollakohta on sellainen m¨ aa ¨ritysjoukon luku, jolla lausekkeen (tai funktion) arvona on 0. Yhteys tekij¨ oihin jakoon on seuraava: polynomilla a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn on luku

b ∈ R nollakohtana jos ja vain jos voimme esitt¨ aa ¨ polynomin muodossa a 0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn = (b − x)(c0 + c1 x + · · · + cn−1 xn−1 ) . On ilmiselv¨ aa ¨, ett¨ a b on polynomin (b − x)(c0 + c1 x + · · · + cn−1 xn−1 ) nollakohta; k¨ aa ¨nteisen v¨ aitteen paikkansapit¨ avyyden n¨ aemme jakamalla (esimerkiksi “jakokulmassa”) polynomia a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn polynomilla b − x ja tarkastelemalla sit¨ a, “meneek¨ o jako tasan” vai ei. Edellinen polynomien nollakohtien luonnehdinta antaa yl¨ arajan ep¨ atriviaalin polynomin nollakohtien lukum¨ aa ¨r¨ alle. – Kun n > 0 , niin n :nnen asteen polynomilla on korkeintaan n nollakohtaa. N¨ aemme v¨ aitteen paikkansapit¨ avyyden k¨ aytt¨ am¨ all¨ a induktiota asteen suhteen. V¨ aite p¨ atee kun n = 1 , sill¨ a 1. asteen polynomi on muotoa a + bx , miss¨ a b 6= 0 , ja t¨ allaisella

polynomilla on − ab ainoana nollakohtana. Jos v¨ aite p¨ atee luvulle n ja jos e on n + 1 :nnen

asteen polynomin p(x) nollakohta, niin p(x) :ll¨ a on tekij¨ oihin jako p(x) = q(x)(x−e) ; tulon astetta koskevan s¨ aa ¨nn¨ on nojalla polynomin q(x) aste on n ja siten q(x) :ll¨ a on korkeintaan n nollakohtaa. Koska p(x) = q(x)(x − e) , niin jokaiselle r ∈ R on voimassa: p(r) = 0 ⇒ (q(r) = 0 tai r = e) . Siten kaikki p(x) :n nollakohdat e :t¨ a lukuunottamatta ovat q(x) :n nollakohtia ja p(x) :ll¨ a on siis korkeintaan n + 1 nollakohtaa. Induktioperiaatteen nojalla v¨ aite p¨ atee jokaisella n > 0 . Muista yll¨ a olevasta sana “korkeintaan”: esimerkiksi 2. asteen polynomilla 1 + x 2 ei ole yht¨ aa ¨n nollakohtaa, koska jokaisella r ∈ R on voimassa 1 + r 2 ≥ 1 . Sanomme, ett¨ a polynomi c0 + · · · + ck xk jakaa polynomin a0 + · · · + an xn , mik¨ ali

polynomi c0 + · · · + ck xk on mukana jossain polynomin a0 + · · · + an xn tekij¨ oihin jaossa. Esimerkki (a) Kaikkia polynomeja ei voida jakaa tekij¨ oihin. Esimerkiksi polynomi 1 + 2x + 2x2 ei jakaannu tekij¨ oihin, sill¨ a tekij¨ oiden olisi oltava 1-asteisia ja edell¨ a mainitusta tuloksesta seuraa, ett¨ a polynomilla on nollakohta, mik¨ ali sill¨ a on 1-asteinen tekij¨ a; 13

polynomilla 1 + 2x + 2x2 ei kuitenkaan ole nollakohtia, sill¨ a jos olisi 1 + 2b + 2b2 = 0 , niin olisi 2( 21 + b)2 =

1 2

+ 2b + 2b2 = (1 + 2b + 2b2 ) −

1 2

= 0 − 21 , mik¨ a on mahdotonta.

(b) Testaamme jakamalla, jakaako polynomi 1 + 2x + 2x2 polynomin 1 + 6x2 + 4x3 + 8x5 . Jakaminen sujuu samaan tapaan vaiheittain kuin lukujen jakaminen (esim. jakokulmassa) ja t¨ ass¨ a haluamme joka vaiheessa pienent¨ aa ¨ jaettavana olevan polynomin astetta. Koska

8x5 2x2

= 4x3 , saamme aluksi “jakoviivan p¨ aa ¨lle” monomin 4x3 ja jaettavasta

polynomista 1 + 6x2 + 4x3 + 8x5 v¨ ahennet¨ aa ¨n 4x3 (1 + 2x + 2x2 ) , jolloin j¨ aa ¨nn¨ okseksi tulee 1 + 6x2 − 8x4 . Koska

−8x4 2x2

= −4x2 , lis¨ aa ¨mme seuraavaksi jakoviivan p¨ aa ¨lle monomin −4x2 ja v¨ a-

henn¨ amme edellisest¨ a j¨ aa ¨nn¨ oksest¨ a (eli polynomista 1 + 6x2 − 8x4 ) polynomin −4x2 (1 + 2x + 2x2 ) , jolloin j¨ aa ¨ 1 + 10x2 + 8x3 . Seuraavassa vaiheessa lis¨ aa ¨mme viivan p¨ aa ¨lle 4x ja v¨ ahenn¨ amme edellisest¨ a j¨ aa ¨nn¨ oksest¨ a 4x(1 + 2x + 2x2 ) ; j¨ aa ¨nn¨ okseksi j¨ aa ¨ 1 − 4x + 2x2 . Seuraavaksi lis¨ aa ¨mme viivan ylle vakiotermin 1 ja v¨ ahenn¨ amme edellisest¨ a j¨ aa ¨nn¨ oksest¨ a 1(1 + 2x + 2x2 ) , jolloin uudeksi j¨ aa ¨nn¨ okseksi tulee −6x . Viimeinen jakoj¨ aa ¨nn¨ os on alempaa astetta kuin jakaja 1 + 2x + 2x2 , joten emme voi en¨ aa ¨ jatkaa jakoa. Tulokseksi saimme 1 + 6x2 + 4x3 + 8x5 = (1 + 4x − 4x2 + 4x3 )(1 + 2x + 2x2 ) − 6x . Jako ei siis mennyt tasan ja polynomi 1 + 2x + 2x2 ei jaa polynomia 1 + 6x2 + 3x3 + 8x5 . Edellisen laskun vaiheet lyhyemmin: 1 + 6x2 + 4x3 + 8x5 = 4x3 (1 + 2x + 2x2 ) + (1 + 6x2 − 8x4 ) . 1 + 6x2 − 8x4 = −4x2 (1 + 2x + 2x2 ) + (1 + 10x2 + 8x3 ) . 1 + 10x2 + 8x3 = 4x(1 + 2x + 2x2 ) + (1 − 4x + 2x2 ) . 1 − 4x + 2x2 = 1(1 + 2x + 2x2 ) + (−6x) . Teht¨ av¨ a Suorita edellinen jakolasku jakokulmassa. 14

(Ohje: Kirjoita polynomit “eksponenttien laskevassa j¨ arjestyksess¨ a” ja lis¨ aa ¨ niihin “puuttuvat termit” muodossa 0 xk ; t¨ ass¨ a siis jakaja tulee muotoon 2x2 + 2x + 1 ja jaettava muotoon 8x5 + 0x4 + 4x3 + 6x2 + 0x + 1 .) Yll¨ a kuvattu jakomenetelm¨ a ja induktio polynomin p(x) asteen suhteen antavat seuraavan tuloksen: – Kun p(x) on polynomi ja q(x) on ep¨ atriviaali polynomi, niin on olemassa sellaiset polynomit o(x) (“osam¨ aa ¨r¨ a”) ja j(x) (“jakoj¨ aa ¨nn¨ os”), ett¨ a p(x) = q(x) · o(x) + j(x) ja j(x) :n aste on pienempi kuin q(x) :n. K¨ ayt¨ ann¨ oss¨ a polynomit o(x) ja j(x) l¨ oytyv¨ at jakamalla p(x) :¨ aa ¨ q(x) :ll¨ a. Edellisess¨ a esimerkiss¨ a osoitimme, ett¨ a jos p(x) = 1 + 6x2 + 4x3 + 8x5 ja q(x) = 1 + 2x + 2x2 , niin jakolasku antaa osam¨ aa ¨r¨ an o(x) = 1 + 4x − 4x2 + 4x3 ja jakoj¨ aa ¨nn¨ oksen j(x) = −6x . Murtolauseke on muotoa

p(x) q(x)

oleva lauseke, miss¨ a osoittajalauseke p(x) ja nimitt¨ a-

j¨ alauseke q(x) ovat polynomeja. Tulkitsemme my¨ os polynomin p(x) murtolausekkeeksi, nimitt¨ a j¨ an¨ a vakiopolynomi 1 . Rationaalifunktio on sellainen funktio f , joka m¨ aa ¨r¨ aytyy jonkin murtolausekkeen avulla. Rationaalifunktion f (x) =

p(x) q(x)

m¨ aa ¨ritysjoukko on

kaikkien reaalilukujen joukko, josta on poistettu nimitt¨ a j¨ apolynomin nollakohdat, toisin sanoen, joukko {r ∈ R : q(r) 6= 0} . Rationaalifunktion lauseketta voidaan toisinaan “sievent¨ aa ¨” jakamalla pois sek¨ a osoittajasta ett¨ a nimitt¨ a j¨ ast¨ a niiden yhteinen tekij¨ a. Esimerkki Funktiolle f (x) =

1+6x+6x2 +4x3 +8x5 1+x−2x3 3 5

saadaan yksinkertaisempi lauseke kun

havaitaan, ett¨ a 1 + 6x + 6x2 + 4x + 8x = (1 + 4x − 4x2 + 4x3 )(1 + 2x + 2x2 ) (t¨ am¨ a seuraa

edellisest¨ a esimerkist¨ a) ja 1 + x − 2x3 = (1 + 2x + 2x2 )(1 − x) (Tarkista!). Supistamalla pois osoittajan ja nimitt¨ a j¨ an yhteinen tekij¨ a 1 + 2x + 2x2 , saamme funktion f lausekkeen

muotoon

1+4x−4x2 +4x3 1−x

Lausekkeet

.

1+6x+6x2 +4x3 +8x5 1+x−2x3

ja

1+4x−4x2 +4x3 1−x

m¨ aa ¨ritt¨ av¨ at saman funktion, sill¨ a mo-

lempien lausekkeiden nimitt¨ a jill¨ a on ainoana nollakohtana x = 1 ; funktioilla on siten sama m¨ aa ¨ritysjoukko ja lis¨ aksi funktioiden arvot t¨ ass¨ a yhteisess¨ a m¨ aa ¨ritysjoukossa ovat samat; toisin sanoen, funktiot ovat samat. Toisinaan lausekkeen sievent¨ aminen muuttaa funktion m¨ aa ¨ritysjoukkoa: sievennetyn lausekkeen nimitt¨ a j¨ all¨ a voi olla v¨ ahemm¨ an nollakohtia kuin alkuper¨ aisell¨ a nimitt¨ a j¨ all¨ a. 15

Esimerkki

Tarkastelemme funktiota f (x) =

1+2x+x2 1−x2 2

. Sek¨ a osoittaja ja nimitt¨ a j¨ a

jakautuvat tekij¨ oihin: 1+2x+x2 = (1+x)2 ja 1−x = (1−x)(1+x) . Edellisen nojalla f :n lauseke voidaan supistaa muotoon

1+x 1−x

; t¨ am¨ an lausekkeen m¨ aa ¨ritt¨ am¨ a funktio kuitenkin

poikkeaa f :st¨ a m¨ aa ¨ritysjoukon suhteen: funktion f m¨ aa ¨ritysjoukko on {r ∈ R : 1 − x 2 6= 0} = R r {−1, 1} , mutta lausekkeen

1+x 1−x

m¨ aa ¨ritt¨ am¨ all¨ a funktiolla on m¨ aa ¨ritysjoukkona

{r ∈ R : 1 − x 6= 0} = R r {1} . Huolimatta edellisest¨ a esimerkist¨ a, rationaalifunktioita pidet¨ aa ¨n usein k¨ ayt¨ ann¨ oss¨ a samoina, jos jommankumman lauseke on saatu toisen lausekkeesta supistamalla. Mahdollinen m¨ aa ¨ritysjoukkojen ero on kuitenkin pidett¨ av¨ a mieless¨ a kun etsit¨ aa ¨n nollakohtia tai ratkaistaan “rationaalisia” yht¨ al¨ oit¨ a. Koska kahden luvun osam¨ aa ¨r¨ a on 0 t¨ asm¨ alleen silloin kun osoittajana on 0 n¨ aemme, ett¨ a murtolausekkeen nollakohtia ovat ne osoittajalausekkeen nollakohdat, jotka eiv¨ at ole nimitt¨ aj¨ alausekkeen nollakohtia. Esimerkki Edellisen esimerkin lausekkeella

1+2x+x2 1−x2

ei ole nollakohtia, koska osoittajan

ainoa nollakohta −1 on my¨ os nimitt¨ a j¨ an nollakohta. Sen sijaan supistetulla lausekkeella 1+x 1−x

on −1 nollakohtana. Murtolausekkeiden summat ja tulot ovat murtolausekkeita seuraavan m¨ aa ¨ritelm¨ an

mukaisesti: p(x) s(x) p(x)t(x) + q(x)s(x) + = q(x) t(x) q(x)t(x)

ja

p(x) s(x) p(x)s(x) · = . q(x) t(x) q(x)t(x)

Koska on voimassa {r ∈ R : q(r)t(r) 6= 0} = {r ∈ R : q(r) 6= 0 ja t(r) 6= 0} n¨ aemme, ett¨ a sek¨ a summa- ett¨ a tulolausekkeen m¨ aa ¨ritysjoukko on alkuper¨ aisten lausekkeiden m¨ aa ¨ritysjoukkojen leikkaus. Mainitsemme lopuksi, ett¨ a edell¨ a polynomien jakamisen yhteydess¨ a mainitusta tuloksesta seuraa, ett¨ a murtolauseke esitt¨ aa ¨ muodossa o(x) +

j(x) q(x)

p(x) q(x)

, miss¨ a jakajapolynomi q(x) on ep¨ atriviaali, voidaan

, miss¨ a o(x) ja j(x) ovat polynomeja ja j(x) :n aste on pie-

nempi kuin q(x) :n aste.

16

Luku 4. Lineaariset yhden muuttujan yht¨ al¨ ot Yleinen yhden muuttuja yht¨ al¨ o on muotoa s(x) = t(x) , miss¨ a s(x) ja t(x) ovat lausekkeita, joissa mahdollisesti esiintyy “muuttuja”eli “tuntematon” x (yhteen tai useampaan kertaan) ja sen lis¨ aksi vain reaalisia vakioita, laskutoimituksiin ja funktioihin liittyvi¨ a ma√ temaattisia merkkej¨ a (kuten + , − , · , ja sin ) ja sulkumerkkej¨ a (kutsumme n¨ ait¨ a “ x -lausekkeiksi” ja sanomme my¨ os, ett¨ a s(x) = t(x) on “ x -yht¨ al¨ o”).

Esimerkki Polynomi a0 + a1 x + · · · an xn on x -lauseke. √ 1 al¨ oit¨ a. 3x + π = |7x − π 3 | , 1 − 2x2 + 3x3 = x6 ja (1 + x)(1 − x− 3 ) = 1 − x4 ovat x -yht¨ Yht¨ al¨ on s(x) = t(x) ratkaisemisella tarkoitamme kaikkien niiden reaalilukujen r l¨ oyt¨ amist¨ a, jotka ovat yht¨ al¨ on ratkaisuja eli toteuttavat ehdon s(r) = t(r) ; yht¨ al¨ on ratkaisujoukko on {r ∈ R : s(r) = t(r)} .

Yht¨ al¨ on s(x) = t(x) ratkaisemisella joukossa A ⊂ R tarkoitamme kaikkien niiden

reaalilukujen r ∈ A l¨ oyt¨ amist¨ a, jotka ovat yht¨ al¨ on ratkaisuja. Toisinaan yht¨ al¨ oit¨ a on

helpompi ratkaista “paloittain”: jaamme reaaliluvut kahteen tai useampaan joukkoon ja etsimme ratkaisut kussakin joukossa erikseen. Sanomme, ett¨ a yht¨ al¨ ot s(x) = t(x) ja u(x) = v(x) ovat yht¨ apit¨ av¨ at, jos niill¨ a on sama ratkaisujoukko. Sanomme my¨ os, ett¨ a yht¨ al¨ ot s(x) = t(x) ja u(x) = v(x) ovat yht¨ apit¨ av¨ at joukossa A ⊂ R , jos niill¨ a on samat ratkaisut joukossa A . Yht¨ al¨ oiden ratkaisemi-

nen perustuu usein reduktioon, jossa yht¨ al¨ oit¨ a muutetaan vaiheittain yksinkertaisemmiksi, s¨ ailytt¨ aen yht¨ apit¨ avyys alkuper¨ aiseen yht¨ al¨ oo ¨n, kunnes saavutetaan yht¨ al¨ o, joka osataan ratkaista. Jos suoritamme yht¨ al¨ on jommankumman puolen lausekkeessa esiintyv¨ an laskutoimituksen (laskus¨ aa ¨nt¨ o jen mukaisesti!) tai vaihdamme lausekkeen termien tai osalausekkeiden j¨ arjestyst¨ a tai ryhmittely¨ a (laskus¨ aa ¨nt¨ o jen mukaisesti!), saamme alkuper¨ aisen kanssa yht¨ apit¨ av¨ an yht¨ al¨ on; osalausekkeiden kohdalla k¨ ayt¨ amme tavallisten laskus¨ aa ¨nt¨ o jen muunnelmia, kuten esimerkiksi seuraavia s¨ aa ¨nt¨ o j¨ a (lukuohje: α(x)p = (α(x))p ): α(x)β(x) + α(x)γ(x) = α(x)(β(x) + γ(x)), α(x)p α(x)q = α(x)p+q , (α(x)p )q = α(x)pq , 1 . 0α(x) = 0, 1α(x) = α(x), α(x)0 = 1, α(x)1 = α(x) ja α(x)−1 = α(x) 17

√ x − 3(1 + x + x2 ) = 0 on yht¨ apit¨ av¨ a yht¨ al¨ on 3x2 + x − 3 − √ 3x − 3x2 = 0 kanssa ja t¨ am¨ a yht¨ al¨ o on yht¨ apit¨ av¨ a yht¨ al¨ on x − 3 − 3x = 0 kanssa Esimerkki Yht¨ al¨ o 3x2 +

√

Laskutoimitusten suorittamisen ja termien siirtelyn lis¨ aksi seuraavat kaksi muunnosta s¨ ailytt¨ av¨ at x -yht¨ al¨ oiden yht¨ apit¨ avyyden – saman x -lausekkeen lis¨ aa ¨minen yht¨ al¨ on kummallekin puolelle. – yht¨ al¨ on kummankin puolen kertominen samalla x -lausekkeella, jonka kaikki arvot ovat nollasta poikkeavia. Lineaarinen yhden muutujan yht¨ al¨ o voidaan ratkaista edellisten muunnosten avulla. Kyseisenlainen yht¨ al¨ o on muotoa ax + b = cx + d , miss¨ a a, b, c, d ∈ R ; tapauksessa a 6= c yht¨ al¨ o ratkeaa seuraavasti: – lis¨ aa ¨mme vakion −b yht¨ al¨ on molemmille puolille, jolloin saamme yht¨ apit¨ av¨ an yht¨ al¨ on ax = cx + d − b ; – lis¨ aa ¨mme edellisess¨ a vaiheessa saadun yht¨ al¨ on molemmille puolille termin −cx , jolloin saamme yht¨ apit¨ av¨ an yht¨ al¨ on (a − c)x = d − b ; – kerromme yht¨ al¨ on molemmat puolet luvulla x=

d−b a−c

1 a−c

, jolloin saamme yht¨ apit¨ av¨ an yht¨ al¨ on

.

Viimeisest¨ a yht¨ al¨ ost¨ a n¨ aemme, ett¨ a ratkaisuja on t¨ asm¨ alleen yksi, luku

d−b a−c

; yht¨ al¨ on

d−b ratkaisujoukko on siten { a−c }.

My¨ os tapauksessa a = c , saamme (kuten yll¨ a) yht¨ al¨ on ax + b = cx + d kanssa ekvivalentin yht¨ al¨ on (a − c)x = d − b , mutta koska a − c = 0 , viimeksi kirjoitettu yht¨ al¨ o on ekvivalentti yht¨ al¨ on 0 = d − b kanssa; t¨ am¨ a yht¨ al¨ o joko toteutuu tai ei, x :st¨ a riippumatta. Jos d − b = 0 eli jos b = d , niin yht¨ al¨ o toteutuu x :st¨ a riippumatta, eli ratkaisujoukko on koko R . Jos taas b 6= d , niin yht¨ al¨ o ei toteudu ( x :st¨ a riippumatta) eli ratkaisujoukko on tyhj¨ a. K¨ ayt¨ ann¨ oss¨ a suoritamme usein edell¨ a mainittuja muunnoksia yksinkertaistetussa muodossa: voimme esimerkiksi siirt¨ aa ¨ termin yht¨ al¨ on toiselta puolelta toiselle kun samalla kerromme termin −1 :ll¨ a (eli muutamme termin “vastatermikseen”) sen sijaan, ett¨ a ensin lis¨ aisimme molemmille puolille termin vastatermin ja sitten korvaisimme termin ja sen vastatermin summan 0 :lla. 18

Lineaariset yhden muutujan yht¨ al¨ ot ovat kaikkein yksinkertaisimpia yht¨ al¨ oit¨ a, mutta niiden avulla voidaan kuitenkin ratkaista monia “k¨ ayt¨ ann¨ on ongelmia”. Seuraavassa pari esimerkki¨ a intialaisen Baskhara Akaryan teoksesta “Vija Ganita” (1100-luvulta). Teht¨ av¨ a Joku sanoo “Anna minulle 100, niin minulla on kaksi kertaa niin monta kuin sinulla, yst¨ av¨ ani!” Yst¨ av¨ a vastaa: “Jos sin¨ a annat minulle 10, tulen min¨ a kuusi kertaa niin rikkaaksi kuin sin¨ a.” Montako oli kummallakin? Baskharan ratkaisu (modernisoituna): Merkitsemme x :ll¨ a sit¨ a, mit¨ a “yst¨ av¨ alle” j¨ aisi, jos h¨ an antaisi pyydetyt 100; t¨ all¨ oin ensin puhuneella olisi 2x . Aluksi “yst¨ av¨ all¨ a” on siis ollut 100 + x ja ensin puhuneella 2x − 100 . “Yst¨ av¨ an” vastauksen perusteella saamme yht¨ al¨ on (x + 100) + 10 = 6[(2x − 100) − 10] . Ratkaisemme yht¨ al¨ on yht¨ apit¨ avyyksien kautta: (x + 100) + 10 = 6[(2x − 100) − 10] x + 110 = 6[2x − 110] x + 110 = 12x − 660 770 = 11x 70 = x “Yst¨ av¨ all¨ a” oli siis alunperin 100 + x = 170 ja ensin puhuneella 2x − 100 = 40 . Tarkista, ett¨ a ratkaisu “toimii”! Esimerkki Mehil¨ aisparvesta istuu viidennes kadambakukalle, kolmannes silindrikukalle; kolme kertaa niin paljon kuin noiden kahden erotus lent¨ aa ¨ kutajakukalle. Yksi mehil¨ ainen, joka oli j¨ aljell¨ a, liitelee sinne t¨ anne ilmassa jasmiinin ja pandanuksen makean tuoksun houkuttelemana. Sano minulle, armas neitonen, mehil¨ aisten lukum¨ aa ¨r¨ a. Ratkaisu: Merkitsemme x :ll¨ a parven mehil¨ aisten lukum¨ aa ¨r¨ aa ¨. Saamme yht¨ al¨ on x−[

x x x x + + 3( − )] = 1 5 3 3 5 19

Ratkaisemme yht¨ al¨ on yht¨ apit¨ avyyksien kautta: x−[

x x x x + + 3( − )] = 1 5 3 3 5 8x 2x x−[ + 3( )] = 1 15 15 8x 6x + ]=1 x−[ 15 15 14x x−[ ]=1 15 x =1 15 x = 15

Huom! Ratkaisu on v¨ aa ¨r¨ a, sill¨ a 15 mehil¨ aist¨ a ei ole “parvi”! Virhe lienee suomennoksessa? Esimerkki Er¨ aa ¨n 18-numeroisen luvun kaksi ensimm¨ aist¨ a numeroa muodostavat luvun 10. Jos t¨ am¨ a 10 siirret¨ aa ¨n luvun loppuun, niin saatu luku on viisi kertaa alkuper¨ aist¨ a suurempi. M¨ aa ¨rit¨ a t¨ am¨ a luku. Ratkaisu: Merkitsemme x :ll¨ a sit¨ a 16-numeroista lukua, joka saadaan kun alusta j¨ atet¨ aa ¨n 10 pois. Saamme yht¨ al¨ on 100x + 10 = 5(x + 1017 ) . Ratkaisemme yht¨ al¨ on: 100x + 10 = 5(x + 1017 ) 20x + 2 = x + 1017 19x = 1017 − 2 Kun jaamme luvun 1017 − 2 , eli luvun 99999999999999998 luvulla 19 (jakokulmassa!), saamme tulokseksi 5263157894736842 . Kysytty luku on siis 105263157894736842 . Lukua kutsutaan “Feniks-luvuksi”, koska se “melkein s¨ ailyy” kun sit¨ a kerrotaan 2:lla, 3:lla, 4:ll¨ a,... (Kokeile ja mieti, mit¨ a tuo tarkoittaa; laske my¨ os summa, joka saadaan kun se luku, jossa 10 oli siirretty loppuun, pannaan keskelt¨ a poikki ja osat lasketaan yhteen.) Lineaaristen yhden muuttujan yht¨ al¨ oiden avulla voidaan ratkaista ongelmia, jotka liittyv¨ at prosenttilaskuihin, tasaiseen liikkeeseen, vipuihin, korkoihin, verrantoihin yms. Annamme muutamia esimerkkej¨ a. 20

Esimerkki Laboratoriossa tarvitaan 750 grammaa 2-prosenttista suolaliuosta. Saatavilla on vain 5-prosenttista liuosta ja vett¨ a. Paljonko n¨ ait¨ a on sekoittava halutun liuoksen valmistamiseksi? Ratkaisu: 750 grammassa 2-prosenttista suolaliuosta on

2 750g 100

= 15g suolaa.

Jos

nyt merkitsemme x :ll¨ a tarvittavan 5-prosenttisen liuoksen m¨ aa ¨r¨ aa ¨, niin saamme yht¨ al¨ on 5 100 x

= 15g , josta ratkaisemme x = 300g . Tarvitsemme siis 300g 5-prosenttista liuosta ja

450g vett¨ a. Esimerkki Kuningas Hieronin kultaseppele painoi 10 kiloa. Kun se upotettiin vedell¨ a t¨ aytettyyn astiaan, vuoti

5 8

litraa vett¨ a yli. Kulta painaa 20 kertaa ja hopea 10 kertaa

niin paljon kuin sen syrj¨ aytt¨ am¨ a vesim¨ aa ¨r¨ a. Paljonko seppeleess¨ a oli hopeaa? Ratkaisu: Vesilitra painaa tunnetusti yhden kilon, joten ylivuotaneen veden paino on

5 8

kiloa. Merkitsemme y :ll¨ a hopean m¨ aa ¨r¨ aa ¨ (kiloissa) seppeleess¨ a, jolloin siin¨ a on kultaa 10−y kiloa. Seppeleen hopea syrj¨ aytt¨ aa ¨ vett¨ a

1 y 10

kiloa ja kulta

1 (10−y) 20

kiloa. Saamme

nyt yht¨ al¨ on 1 5 1 y + (10 − y) = . 10 20 8 Ratkaisemme yht¨ al¨ on: 1 5 1 y + (10 − y) = 10 20 8 2y + 10 − y = 20 ·

5 8

25 − 10 2 5 y= . 2

y=

Seppeleess¨ a oli siis kaksi ja puoli kiloa hopeaa, joten hopean osuus oli 25%. Esimerkki Vaunujen etupy¨ or¨ an keh¨ an pituus on kaksi ja takapy¨ or¨ an kolme metri¨ a. Kuinka pitk¨ an matkan vaunu on kulkenut, kun etupy¨ or¨ a on tehnyt 100 kierrosta enemm¨ an kuin takapy¨ or¨ a ja montako kertaa py¨ or¨ at ovat t¨ all¨ oin py¨ or¨ aht¨ aneet? Ratkaisu: Merkitsemme z :lla vaunun kulkemaa matkaa (metreiss¨ a); t¨ all¨ oin etupy¨ or¨ a on py¨ or¨ aht¨ anyt

z 2

ja takapy¨ or¨ a

z 3

kierrosta. Saamme yht¨ al¨ on z z − = 100 . 2 3 21

Yht¨ al¨ on ratkaisu:

z z − = 100 2 3 3z − 2z = 600 z = 600 .

Vaunu oli siis kulkenut 600 metri¨ a. Etupy¨ or¨ a oli py¨ or¨ aht¨ anyt

600 2

eli 300 kertaa ja taka-

p¨ oyr¨ a 100 kierrosta v¨ ahemm¨ an eli 200 kertaa. Esimerkki Pekka l¨ ahtee py¨ or¨ all¨ a tapaamaan 10km p¨ aa ¨ss¨ a asuvaa Mattia ja Matti l¨ ahtee 15 minuuttia my¨ ohemmin Pekkaa vastaan k¨ avellen. Pekan vauhti on 20km tunnissa ja Matin 5km tunnissa. Kuinka pitk¨ alle Pekka on p¨ aa ¨ssyt heid¨ an kohdatessaan? Ratkaisu: Merkitsemme z :lla matkaa (kilometreiss¨ a), jonka Pekka on polkenut heid¨ an kohdatessaan. Tasaista liikett¨ a hallitsee yht¨ al¨ o “matka=nopeus × aika”. Pekka on siis ehtinyt polkea ajassa

z 20

z 20

tuntia kohtaamishetkell¨ a ja Matti on n¨ ain ollen k¨ avellyt matkan 10 − z

tuntia − 15 minuuttia eli

z 20

−

1 4

tuntia. Saamme yht¨ al¨ on

10 − z = 5 · ( Ratkaisu:

1 z − ). 20 4

z 1 − ) 20 4 200 − 20z = 5z − 25 10 − z = 5 · (

225 = 25z z = 9. Pekka on siis polkenut yhdeks¨ an kilometri¨ a. Esimerkki 12 metrin pituisen, kevyest¨ a aineesta valmistetun lankun toisessa p¨ aa ¨ss¨ a on 40 kilon ja toisessa 100 kilon paino. Mist¨ a kohden lankkua on tuettava, jotta se pysyisi tasapainossa? Ratkaisu: Vipua hallitsee yht¨ al¨ o, jonka mukaan tasapainotilassa molempiin p¨ aihin vaikuttavat “staattiset momentit” (=voima × vaikutuspisteen et¨ aisyys tukipisteest¨ a) ovat yht¨ asuuret. Merkitsemme z :lla tukipisteen et¨ aisyytt¨ a (metrein¨ a) siit¨ a lankun p¨ aa ¨st¨ a, jossa on 40 kilon paino. Saamme siis yht¨ al¨ on 40z = 100(12 − z) , josta ratkaisemme z = Tukipiste on siis noin 3m ja 43cm et¨ aisyydell¨ a raskaamman painon p¨ aa ¨st¨ a. 22

60 7

.

Luku 5. Koordinaatisto. Funktion kuvaaja. Olkoot a ja b kaksi oliota (esim. reaalilukua). Joukko {a, b} on joko yksi¨ o {a} (kun

a = b ) tai kaksio {a, b} (kun a 6= b ). Joukkoon {a, b} ei liity (merkinn¨ ast¨ a huolimatta) mit¨ aa ¨n a :n ja b :n v¨ alist¨ a j¨ arjestyst¨ a, sill¨ a {a, b} = {b, a} , mutta toisinaan haluaisimme

liitt¨ aa ¨ a :han ja b :hen my¨ os j¨ arjestyksen: “ensin a sitten b ” tai toisinp¨ ain. Otamme t¨ ah¨ an tarkoitukseen k¨ aytt¨ oo ¨n merkinn¨ an (a, b) ja puhumme a :n ja b :n m¨ aa ¨ritt¨ am¨ ast¨ a j¨ arjestetyst¨ a parista. J¨ arjestettyjen parien olennainen ominaisuus on seuraava: (a, b) = (i, j) jos ja vain jos on voimassa sek¨ a a = i ett¨ ab=j . Vastaavan ominaisuuden kautta voimme my¨ os m¨ aa ¨ritell¨ a j¨ arjestetyt kolmikot, j¨ arjestetyt nelik¨ ot jne; k¨ ayt¨ amme n¨ aille samanlaista merkint¨ aa ¨ kuin j¨ arjestetyille pareille. Siten esimerkiksi (a, b, c, d, e) = (i, j, k, l, m) jos ja vain jos a = i, b = j, c = k, d = l ja e = m . Olkoot A ja B joukkoja. Merkitsemme A × B :ll¨ a joukkoa {(a, b) : a ∈ A ja b ∈ B} .

Sanomme, ett¨ a joukko A × B on joukkojen X ja Y karteesinen tulo.

Voimme havainnollistaa joukkoa A × B vaikkapa seuraavankaltaisilla kuvioilla:

B

B

A

A

Karteesisten tulojen avulla voimme antaa graafisia esityksi¨ a monille matemaattisille k¨ asitteille. 23

Esimerkki Merkitsemme A :lla luonnollisten lukujen 1, 2, ..., 12 muodostamaa joukkoa. Seuraavat kuviot havainnollistavat er¨ ait¨ a joukon A alkioiden v¨ alisi¨ a suhteita:

12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

b≤a

12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

b = 11 − a

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

b=2+a

Aikaisemmin olemme samaistaneet reaaliluvut lukusuoran pisteiden kanssa. Voimme my¨ os samaistaa reaalilukuparit (euklidisen) tason pisteiden kanssa, jolloin saamme tasolle esityksen karteesisena tulona R × R . Menettelemme t¨ ass¨ a seuraavasti. Otamme tasosta

kaksi toisiaan leikkavaa suoraa `x ja `y koordinaattiakseleiksi; x -akseliksi ja y -akseliksi.

Samaistamme suorien pisteet reaalilukujen kanssa siten, ett¨ a suorien leikkauspiste vastaa kummallakin suoralla lukua 0 . Nyt jokainen tason piste P vastaa reaalilukuparia seuraavasti: euklidisen geometrian s¨ aa ¨nt¨ o jen nojalla pisteen P kautta kulkee t¨ asm¨ alleen yksi x -akselin suuntainen suora `x,P ja t¨ asm¨ alleen yksi y -akselin suuntainen suora `y,P . Sanomme, ett¨ a P :n x -koordinaatti on se luku, joka on x -akselilla sill¨ a kohdalla, jossa suora `y,P leikkaa x -akselin ja P :n y -koordinaatti on se luku, joka on y -akselilla sill¨ a kohdalla, jossa suora `x,P leikkaa y -akselin. Samaistamme nyt pisteen P reaalilukuparin (a, b) kanssa, miss¨ a a on P :n x -koordinaatti ja b on P :n y -koordinaatti. Yll¨ a kuvailtu samaistus antaa koordinaattiakseleille seuraavat esitykset: `x = {(r, 0) : r ∈ R} ja

`y = {(0, r) : r ∈ R} .

Tarkastamme (vaikkapa) j¨ alkimm¨ aisen esityksen paikkansapit¨ avyyden. Olkoon r reaaliluku ja P sit¨ a vastaava piste lukusuoralla `y . T¨ all¨ oin pisteen P kautta kulkeva suora `x,P leikkaa y -akselin `y pisteess¨ a P , joten P :n y -koordinaatti on r . Toisaalta on voimassa `y,P = `y , joten suora `y,P leikkaa x -akselin lukua 0 vastaavassa x -akselin pisteess¨ a; t¨ aten P :n x -koordinaatti on 0 . Edellisen nojalla y -akselin piste P samaistuu lukuparin (0, r) kanssa. 24

Tavallisesti valitsemme ensimm¨ aiseksi suoraksi (“ x -akseliksi”) jonkun vaakasuoran ja toiseksi suoraksi (“ y -akseliksi”) jonkun ensimm¨ aist¨ a vastaan kohtisuorassa olevan suoran (siis pystysuoran); puhumme t¨ all¨ oin tavallisesta suorakulmaisesta koordinaatistosta. Suorakulmaisen koordinaatiston antama samaistus joukon R × R ja euklidisen tason v¨ alill¨ a n¨ aytt¨ aa ¨ seuraavalta:

(-5,8)

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

9 8 7 6 5 4 3 2 1

P

1 2 3 4 5 6 7 8 9

-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9

(-6,-4)

Yll¨ a olevasta kuvasta voimme lukea pisteen P koordinaatit, jotka ovat (likim¨ aa ¨r¨ aisesti) 4, 3 ja 2, 7 . Piste P samaistetaan joukon R × R pisteeseen (4, 3; 2, 7) . Paria (0, 0)

vastaavaa pistett¨ a kutsumme origoksi.

Seuraavassa samaistamme aina euklidisen tason suorakulmaisen koordinaatiston avulla joukon R2 = R × R kanssa. T¨ am¨ a samaistus mahdollistaa “geometrian algebrallista-

misen”: voimme esitt¨ aa ¨ geometrisia objekteja (kuten suoria ja ympyr¨ oit¨ a) reaalilukuja koskevien lausekkeiden ja yht¨ al¨ oiden avulla ja sitten johtaa n¨ aiden objektien ominaisuuksia ja suhteita laskemalla lausekkeiden arvoja, ratkomalla yht¨ al¨ oit¨ a, jne. Pytagoraan lauseen avulla saamme yksinkertaisen lausekkeen tason kahden pisteen et¨ aisyydelle eli pisteiden yhdysjanan pituudelle. Kuten seuraava kuva osoittaa, pisteiden (a, b) ja (c, d) yhdysjana on hypotenuusana (=suoraa kulmaa vastap¨ aa ¨t¨ a olevana sivuna) suorakulmaisessa kolmiossa, jonka kateettien (=kahden muun sivun) pituudet ovat |a − c| ja |b − d| . Pytagoraan lauseen mukaan hypotenuusan pituuden neli¨ o on kateet-

tien pituuksien neli¨ oiden summa. T¨ aten pisteiden (a, b) ja (c, d) yhdysjanan pituus on p p |a − c|2 + |b − d|2 eli (a − c)2 + (b − d)2 . 25

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

9 8 7 d 6 5 4 3 2 b 1

(c,d)

d-b (a,b)

c-a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 a c -1 -2 -3

K¨ aytt¨ am¨ all¨ a hyv¨ aksi edellist¨ a et¨ aisyyden lauseketta, voimme antaa ympyr¨ alle “algebrallisen” esityksen. Geometrisen m¨ aa ¨ritelm¨ an mukaan “ympyr¨ a on niiden pisteiden ura, joiden et¨ aisyys kiinte¨ ast¨ a pisteest¨ a on vakio”. Jos korvaamme vanhahtavan “uran” sanalla “joukko”, saamme ympyr¨ alle seuraavan esityksen, kun kiinte¨ an¨ a pisteen¨ a (eli keskipisteen¨ a) on piste (a, b) ja vakioet¨ aisyyten¨ a (eli s¨ ateen¨ a) on positiivinen reaaliluku r : {(x, y) ∈ R2 : Sanomme, ett¨ a

p

p (x − a)2 + (y − b)2 = r} .

(x − a)2 + (y − b)2 = r on (a, b) -keskisen ja r -s¨ ateisen ympyr¨ an yht¨ al¨ o.

Usein esit¨ amme yht¨ al¨ on yht¨ apit¨ av¨ ass¨ a muodossa (x − a)2 + (y − b)2 = r 2 . Yleens¨ a emme anna ympyr¨ aa ¨ joukkona kuten yll¨ a, vaan ilmoitamme vain ympyr¨ an yht¨ al¨ on, koska yht¨ al¨ o m¨ aa ¨ritt¨ aa ¨ joukon. Sama p¨ atee muihinkin geometrisiin objekteihin: puhumme esimerkiksi “suorasta y = 3x − 4 ” tai “parabelista y = x2 + 8 ”. T¨ all¨ oin “kahden muuttujan yht¨ al¨ o”, eli muotoa s(x, y) = t(x, y) oleva yht¨ al¨ o, miss¨ a s(x, y) ja t(x, y) ovat “ x, y -lausekkeita”, esitt¨ aa ¨ ratkaisujoukkoaan {(a, b) ∈ R2 : s(a, b) = t(a, b)} . Sanomme t¨ ass¨ akin yhteydess¨ a, ett¨ a kaksi yht¨ al¨ oa ¨ ovat kesken¨ aa ¨n yht¨ apit¨ av¨ at, jos niill¨ a on sama ratkaisujoukko. Samoin kuin edell¨ a yhden muuttujan yht¨ al¨ on tapauksessa, saamme annetun yht¨ al¨ on kanssa yht¨ apit¨ av¨ an yht¨ al¨ on jos suoritamme sen lausekkeiden sis¨ alt¨ ami¨ a laskutoimituksia, ryhmittelemme osalausekkeita uudelleen, siirr¨ amme osalausekkeita yht¨ al¨ on toiselta puolelta toiselle, kerromme yht¨ al¨ on kummatkin puolet lausekkeella, joka ei saa arvoa 0, jne. (s¨ aa ¨nt¨ o jen mukaisesti!). Esimerkki M¨ aa ¨rit¨ a yht¨ al¨ on x2 − 6x + y 2 + 4y − 12 = 0 ratkaisujoukko. 26

Ratkaisu. “T¨ aydenn¨ amme neli¨ ot” x - ja y -termeille: kun lis¨ aa ¨mme yht¨ al¨ on molemmille puolille luvut 9, 4 ja 12, saamme yht¨ apit¨ av¨ an yht¨ al¨ on (x2 − 6x + 9) + (y 2 + 4y + 4) = 25 ;

t¨ am¨ a on yht¨ apit¨ av¨ a yht¨ al¨ on (x − 3)2 + (y + 2)2 = 52 kanssa. T¨ aten ratkaisujoukkona on

ympyr¨ a, jonka keskipiste on (3, −2) ja s¨ ade on 5 .

Voimme ajatella asiaa my¨ os k¨ aa ¨nteisesti: kyse ei ole pelk¨ ast¨ aa ¨n “geometrian algebrallistamisesta” vaan my¨ os “algebran geometrisoinnista”. Yht¨ a hyvin kuin yht¨ al¨ o esitt¨ aa ¨ ympyr¨ aa ¨, my¨ os ympyr¨ a esitt¨ aa ¨ yht¨ al¨ oa ¨. Alkeellisimmillaan geometrisointi on pelkk¨ aa ¨ havainnollistamista, mutta asialla on syv¨ allisempi¨ akin ulottuvuuksia (joihin emme t¨ ass¨ a p¨ aa ¨se k¨ asiksi). Analyysi on se matematiikan alue, jossa tutkitaan funktioiden ominaisuuksia (ei pelk¨ ast¨ aa ¨n “reaalimuuttujan reaalifunktioiden”, joita edell¨ a on tarkasteltu). Euklidisen tason esitys joukkona R2 tarjoaa mahdollisuuksia my¨ os “analyysin geometrisointiin” (ja k¨ aa ¨nt¨ aen). T¨ ass¨ a on keskeisen¨ a “funktion kuvaajan” k¨ asite. Olkoon f joukossa A ⊂ R m¨ aa ¨-

ritelty funktio. Funktion f kuvaaja on tason pistejoukko

Kf = {(a, f (a)) : a ∈ A} ; t¨ ass¨ a joukko A esitet¨ aa ¨n x -akselin osajoukkona ja jokaisen joukon A pisteen a kohdalla on kuvaajan piste luvun f (a) ilmaisemalla korkeudella ( x - akselista mitattuna, positiivinen korkeus yl¨ osp¨ ain ja negatiivinen alasp¨ ain). Reaalimuuttujan reaaliarvoisen funktion kuvaaja antaa usein paljon tietoa funktion “k¨ aytt¨ aytymisest¨ a”. Esimerkiksi mahdolliset nollakohdat sek¨ aa ¨a ¨riarvokohdat (ne kohdat, joissa funktion arvo on suurimmillaan tai pienimmill¨ aa ¨n) saattavat selv¨ asti n¨ aky¨ a kuvaajasta. Seuraavissa kuvissa esitet¨ aa ¨n er¨ aiden polynomifunktioiden kuvaajia:

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

9 8 7 6 5 4 3 2 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9

-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

9 8 7 6 5 4 3 2 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9

-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

9 8 7 6 5 4 3 2 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9

-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9

27

Vasemmanpuolinen kuva esitt¨ aa ¨ funktiota f (x) = −1 −

1 x 10

+

1 2 x ; 10

kuvasta n¨ akyy,

ett¨ a funktiolla on nollakohta sek¨ a -3:n ja -2:n v¨ alill¨ a ett¨ a 3:n ja 4:n v¨ alill¨ a; lis¨ aksi funktiolla on a ¨a ¨riarvokohta jossain 1:n l¨ ahell¨ a. Keskimm¨ ainen kuva esitt¨ aa ¨ funktiota f (x) = 5 −

8 1000 (8x

+ 7x2 − x3 ) ; funktiolla on

nollakohta l¨ ahell¨ a −7 :¨ aa ¨ (laske f (−7) !) ja “lokaalit” a ¨a ¨riarvokohdat jossain −1 :n ja 5 :n

l¨ ahist¨ oll¨ a.

Oikeanpuolinen kuva esitt¨ aa ¨ funktiota f (x) =

21 2

+

3 3 2000 (x

+ x4 ) ja kuvasta n¨ akyy

nollakohdat −9 :n ja 9 :n l¨ ahell¨ a (laske f (−9) ja f (9) !) sek¨ aa ¨a ¨riarvokohta jossain −3 :n

l¨ ahell¨ a.

Funktion ominaisuuksien geometrinen tulkinta kuvaajan avulla onnistuu erityisen hyvin kaikkein yksinkertaisimpien funktioiden tapauksessa.

Esimerkiksi vakiofunktion

f (x) = a kuvaaja on x -akselin suuntainen suora “korkeudella” a . My¨ os muiden ensimm¨ aisen asteen polynomifunktioiden kuvaajat ovat suoria. Seuraavat kuvat esitt¨ av¨ at funktion f (x) = a + bx kuvaajia er¨ aill¨ a vakioiden a ja b arvoilla.

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

9 8 7 6 5 4 3 2 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9

-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

9 8 7 6 5 4 3 2 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9

-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

9 8 7 6 5 4 3 2 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9

-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9

(Vasemmalla a = 1 ja b = 1 , keskell¨ a a = − 51 ja b = 1 ja oikealla a =

3 10

ja b = −2 .)

Kaikki suorat, lukunnottamatta y -akselin suuntaisia pystysuoria, voidaan esitt¨ aa ¨ en-

simm¨ aisen asteen polynomien kuvaajina. Voimme my¨ os esitt¨ aa ¨ suorat yht¨ al¨ oiden avulla ja t¨ all¨ oin saamme esitetty¨ a my¨ os pystysuorat. Tulemme toimeen mahdollisimman yksinkertaisilla yht¨ al¨ oill¨ a, lineaarisilla kahden muuttujan yht¨ al¨ oill¨ a. T¨ allainen yht¨ al¨ o on yleisimmill¨ aa ¨n muotoa ax + by + c = px + qy + r , mutta “termej¨ a siirtelem¨ all¨ a” se saadaan yht¨ apit¨ av¨ aa ¨n muotoon (a − p)x + (b − q)y + (c − r) = 0 eli (merkint¨ o j¨ a muuttamalla) muotoon a0 x + b0 y + c0 = 0 .

Yht¨ al¨ o ax + by + c = 0 esitt¨ aa ¨ suoraa aina paitsi siin¨ a tapauksessa, ett¨ a on voimassa a = 0 = b ; t¨ all¨ oin yht¨ al¨ o on muotoa c = 0 ja sen ratkaisujoukko on koko taso R 2 (silloin kun c = 0 ) tai tyhj¨ a joukko (silloin kun c 6= 0 ). 28

Jos yht¨ al¨ oss¨ a ax + by + c = 0 on y :n kerroin b nollasta poikkeava, niin yht¨ al¨ o voidaan ratkaista y :n suhteen: saamme yht¨ apit¨ av¨ an yht¨ al¨ on y = − ab x −

c b

eli muotoa y = αx + γ

olevan yht¨ al¨ on. T¨ allaisen yht¨ al¨ on ratkaisujoukko on {(a, b) ∈ R 2 : b = αa + γ} eli joukko {(a, αa + γ) : a ∈ R} ; kyseess¨ a on siis 1. asteen polynomifunktion f (x) = αx + γ kuvaaja. Jos yht¨ al¨ oss¨ a ax + by + c = 0 on voimassa a 6= 0 ja b = 0 , niin saamme yht¨ apit¨ av¨ an

yht¨ al¨ on x = − ac eli muotoa x = γ olevan yht¨ al¨ on. Yht¨ al¨ on x = γ ratkaisujoukko

{(a, b) ∈ R2 : a = γ} on {(γ, b) : b ∈ R} eli y -akselin suuntainen suora, joka leikkaa x -akselin pisteess¨ a γ. Suorien yht¨ al¨ oist¨ a voimme usein suoraan p¨ aa ¨tell¨ a suorien geometrisi¨ a ominaisuuksia. aen ett¨ a a 6= 0 Esimerkiksi suora ax + by + c = 0 leikkaa x -akselin pisteess¨ a − ac , edellytt¨ ja y -akselin pisteess¨ a − cb , edellytt¨ aen ett¨ a b 6= 0 . Suoran y = ax + c yht¨ al¨ ost¨ a n¨ akyy

suoran kulmakerroin a : luku a ilmaisee suoran “jyrkkyyden” tai “kasvunopeuden”. Kulmakertoimen arvo on 0 x -akselin suuntaisille vaakasuorille y = c . Kulmakertoimen arvoa ei ole m¨ aa ¨ritelty y -akselin suuntaisille pystysuorille. Suoran kulmakerroin voidaan my¨ os esitt¨ aa ¨ lukuna tan(α) , miss¨ a α on se kulma, joka muodostuu kun suoraa leikataan jollain x -akselin suuntaisella suoralla (t¨ ass¨ a syntyy yleens¨ a nelj¨ a kulmaa ja niist¨ a valitaan se joka “osoittaa oikealle ja yl¨ os”). Edelliset kuvat esitt¨ av¨ at suoria, joilla on kulmakertoimet 1 , − 51 ja

1 3

ja kuten n¨ aist¨ a

esimerkkikuvistakin n¨ akyy, “nousevan” suoran kulmakerroin on positiivinen ja “laskevan” negatiivinen. Kulmakertoimen avulla voimme luonnehtia suorien yhdensuuntaisuutta ja kohtisuoruutta. Suorat ` ja `0 ovat yhdensuuntaiset jos ja vain jos joko (a) ne ovat molemmat y -akselin suuntaisia pystysuoria tai (b) niill¨ a on sama kulmakerroin. Suorat ` ja ` 0 ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan jos ja vain jos joko (a) toinen on x -akselin ja toinen y akselin suuntainen tai (b) suoralla ` on kulmakerroin k , suoralla `0 on kulmakerroin k 0 ja n¨ aille on voimassa k · k 0 = −1 . Usein on hy¨ o dyllist¨ a kirjoittaa suoran yht¨ al¨ o johonkin m¨ aa ¨r¨ attyyn muotoon, josta voidaan suoraan lukea tiettyj¨ a suoran ominaisuuksia. Saman asian toinen puoli on, ett¨ a suoralle voidaan usein kirjoittaa yht¨ al¨ o tiettyjen geometristen ominaisuuksien nojalla: esimerkiksi, suora on m¨ aa ¨r¨ atty jos (a) tunnetaan kaksi suoran pistett¨ a tai (b) tunnetaan yksi suoran piste ja suoran kulmakerroin. N¨ aiss¨ a tilanteissa suoralla on seuraavanlaiset yht¨ al¨ ot: 29

(a) pisteiden (p, q) ja (r, s) kautta kulkevalla suoralla on yht¨ al¨ o y−q =

s−q (x − p) , mik¨ ali r 6= p r−p

ja

x = p , mik¨ ali p = r .

(b) jos suora kulkee pisteen (p, q) kautta ja sen kulmakerroin on k , niin suoralla on yht¨ al¨ o y = k(x − p) + q .

Esimerkki M¨ aa ¨rit¨ a viereisiss¨ a kuvissa esitettyjen suorien

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

9 8 7 6 5 4 3 2 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9

-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9

yht¨ al¨ ot:

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

9 8 7 6 5 4 3 2 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9

-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9

Ratkaisu. Vasemmanpuolinen suora kulkee pisteiden (1, 3) ja (4, 1) kautta, joten sille saadaan yht¨ al¨ o y−3=

1−3 4−1 (x

− 1) eli, yht¨ apit¨ av¨ asti, yht¨ al¨ o 3y = 11 − 2x .

Oikeanpuolinen suora leikkaa molemmat koordinaattiakselit samalla et¨ aisyydell¨ a ori-

gosta ja suoran suunta on nouseva; t¨ ast¨ a voimme p¨ aa ¨tell¨ a, ett¨ a suoran kulmakerroin on 1. Koska suora kulkee pisteen (0, 4) kautta, saamme sille yht¨ al¨ on y = 1 · (x − 0) + 4 eli y = x + 4.

30

Luku 6. Lineaariset yht¨ al¨ oryhm¨ at Suorien ax + by + c = 0 ja αx + βy + γ = 0 leikkauspiste on sellainen tason piste (p, r) , joka toteuttaa kaksi yht¨ al¨ oa ¨ 

ap + br + c = 0 αp + βr + γ = 0 .

yht¨ aaikaisesti. Sanomme, ett¨ a piste (p, r) on yht¨ al¨ oryhm¨ an  ax + by + c = 0 (∗) αx + βy + γ = 0 ratkaisu. Leikkauspisteen m¨ aa ¨ritt¨ aminen tapahtuu siis ratkaisemalla suorien yht¨ al¨ oiden muodostama yht¨ al¨ oryhm¨ a. Muotoa (∗) olevaa ryhm¨ aa ¨ kutsutaan lineaariseksi yht¨ al¨ opariksi. Se voidaan ratkaista esimerkiksi sijoitus- tai eliminointimenetelm¨ all¨ a. N¨ am¨ a menetelm¨ at soveltuvat my¨ os kolmen tai useamman lineaarisen yht¨ al¨ on muodostaman ryhm¨ an ratkaisemiseen. Sijoitusmenetelm¨ ass¨ a valitsemme jommankumman (mieluummin “helpomman”) kahdesta yht¨ al¨ ost¨ a ja ratkaisemme siit¨ a “yhden muuttujan toisen muuttujan suhteen”, sitten sijoitamme saadun lausekkeen kyseisen muuttujan paikalle toiseen yht¨ al¨ oo ¨n, jolloin saamme toista muuttujaa koskevan lineaarisen yht¨ al¨ on; kun ratkaisemme tuon lineaarisen yht¨ al¨ on, olemme ratkaisseet alkuper¨ aisen ryhm¨ an toisen muuttujan suhteen; ryhm¨ an ratkaisun ensimm¨ aisen muuttujan suhteen saamme sijoittamalla sille alussa l¨ oyt¨ am¨ aa ¨mme lausekkeeseen toisen muuttujan ratkaisun. Esimerkki valaisee menetelm¨ aa ¨ paremmin kuin yleinen kuvailu.  x + 4y + 6 = 0 Esimerkki Ratkaistaan yht¨ al¨ oryhm¨ a 3x + 2y + 4 = 0 Ratkaisu. Ensimm¨ aisest¨ a yht¨ al¨ ost¨ a voimme helposti ratkaista x :n, jolloin saamme x = −4y − 6 . Sijoitamme saadun lausekkeen x :n paikalle toiseen yht¨ al¨ oo ¨n, jolloin saamme yh-

t¨ al¨ on 3(−4y−6)+2y+4 = 0 ; t¨ all¨ a yht¨ al¨ oll¨ a on ratkaisuna y = − 75 . Kun sijoitamme t¨ am¨ an

y :n arvon x :n lausekkeeseen −4y − 6 , saamme x :lle ratkaisuksi x = − 25 . Yht¨ al¨ oryhm¨ an  2 x = −5 . ratkaisu on siis y = − 57 31

Eliminointimenetelm¨ ass¨ a johdamme ryhm¨ an kahdesta yht¨ al¨ ost¨ a uuden yhden muuttujan yht¨ al¨ on laskemalla “puolittain” yhteen (tai v¨ ahent¨ am¨ all¨ a toisistaan) sopivilla reaaliluvuilla kerrotut alkuper¨ aiset yht¨ al¨ ot. Ratkaisemme uuden yht¨ al¨ on ja sitten sijoitamme ratkaisun kyseisen muuttujan tilalle jompaankumpaan (“helpompaan”) alkuper¨ aisist¨ a yht¨ al¨ oist¨ a, jolloin saamme yht¨ al¨ on, jossa esiintyy vain toinen tuntematon; ratkaisemalla t¨ am¨ a yht¨ al¨ on saamme ryhm¨ an ratkaisun. Esimerkki Ratkaisemme edellisen esimerkin ryhm¨ an netelm¨ all¨ a.



x + 4y + 6 = 0 eliminointime3x + 2y + 4 = 0

Ratkaisu. Kerromme j¨ alkimm¨ aisen yht¨ al¨ on 2:lla, jolloin saamme (yht¨ apit¨ av¨ an) yht¨ al¨ o x + 4y + 6 = 0 Kun v¨ ahenn¨ amme j¨ alkimm¨ aisest¨ a yht¨ al¨ ost¨ a edellisen, saamme parin 6x + 4y + 8 = 0 yht¨ al¨ on 5x + 2 = 0 , jolla on ratkaisuna x = − 25 . Kun sijoitamme t¨ am¨ an ratkaisun

ax :n paikalle ensimm¨ aiseen yht¨ al¨ oo ¨n, saamme yht¨ al¨ on − 25 + 4y + 6 = 0 ja siten yht¨

l¨ on 4y +

28 5

= 0 , josta ratkaisemme y = − 57 . T¨ aten olemme johtaneet ryhm¨ alle saman

ratkaisun kuin edell¨ a sijoitusmenetelm¨ all¨ a. Annamme muutamia “k¨ ayt¨ ann¨ on sovelluksia” lineaarisille yht¨ al¨ opareille. Esimerkki Bakteeriviljelm¨ an massa lis¨ aa ¨ntyi 35% vuorokaudessa. Viljelm¨ a koostuu kahdesta bakteerikannasta: kannasta E, joka lis¨ aa ¨ntyy 15% vuorokaudessa ja kannasta S, joka lis¨ aa ¨ntyy 80% vuorokaudessa. Montako prosenttia viljelm¨ an massasta oli alussa bakteeria E? Ratkaisu. Merkitsemme m :ll¨ a viljelm¨ an kokonaismassaa, x :ll¨ a kannan E prosenttiosuutta ja y :ll¨ a kannan S prosenttiosuutta (alussa). Viljelm¨ ass¨ a olevan bakteerin E massa oli alussa oli

x 100 m

135 100 m ,

ja bakteerin S massa oli

bakteerin E massa oli 

y 100 m .

115 x 100 100 m

Vuorokauden kuluttua koko viljelm¨ a massa

ja S:n massa oli

x + y = 100 115 x 180 y 100 100 m + 100 100 m =

180 y 100 100 m .

Saamme yht¨ al¨ oparin

135 100 m.

J¨ alkimm¨ ainen yht¨ al¨ o saadaan yht¨ apit¨ av¨ aa ¨n muotoon 115x + 180y = 13500 . Yht¨ al¨ opa x + y = 100 ri saadaan ratkaistua sijoitusmenetelm¨ all¨ a. Ratkaisemme ensin 115x + 180y = 13500 ensimm¨ aisest¨ a yht¨ al¨ ost¨ a x = 100 − y ja sijoitamme toiseen, jolloin saamme yht¨ al¨ on 32

115(100 − y) + 180y = 13500 , jonka saamme yht¨ apit¨ av¨ aa ¨n muotoon 65y = 2000 , josta ratkaisemme y =

400 13

. Sijoitamme lopuksi arvon

jolloin saamme x :lle arvon

900 13

400 13

y :lle x :n lausekkeeseen 100 − y ,

∼ 69 . Viljelm¨ ast¨ a oli siis aluksi noin 69% bakteeria E.

Esimerkki Lasipurkissa on yhden ja viiden markan kolikoita yhteens¨ a 154 kappaletta. Voiko purkin sis¨ alt¨ am¨ a raham¨ aa ¨r¨ a olla 467mk? Ratkaisu. Merkitsemme x :ll¨ a markan kolikoiden lukum¨ aa ¨r¨ aa ¨ ja y :ll¨ a viiden markan koli x + y = 154 koiden lukum¨ aa ¨r¨ aa ¨. T¨ all¨ oin ratkaistavaksi tulee yht¨ al¨ opari ja ratkaisujen x + 5y = 467 pit¨ aisi olla luonnollisia lukuja. Ratkaisemme yht¨ al¨ oparia eliminointimenetelm¨ all¨ a: v¨ ahenn¨ amme j¨ alkimm¨ aisest¨ a yht¨ al¨ ost¨ a puolittain edellisen, jolloin saamme yht¨ al¨ on 4y = 313 . Mik¨ aa ¨n y :n kokonaislukuarvo ei toteuta edellist¨ a yht¨ al¨ oa ¨, joten n¨ aemme, ett¨ a kolikoiden yhteissumma ei voi olla 467mk! Esimerkki Vene tekee joella 100km matkan my¨ ot¨ avirtaan nelj¨ ass¨ a tunnissa ja vastavirtaan viidess¨ a tunnissa. Mik¨ a on veneen nopeus (virtaamattomassa vedess¨ a) ja mik¨ a on virran nopeus? Ratkaisu. Merkitsemme x :ll¨ a veneen nopeutta (virtaamattomassa vedess¨ a) ja y :ll¨ a virran nopeutta (yksikk¨ on¨ a km/tunnissa). My¨ ot¨ avirtaan matka sujuu nopeudella x + y ja vastavirtaan nopeudella x − y .

K¨ aytt¨ am¨ all¨ a tasaiseen nopeuteen liittyv¨ aa ¨ kaavaa  (x + y)4 = 100 . Ratkaisemme edellisen (matka=nopeus × aika), saamme yht¨ al¨ oparin (x − y)5 = 100  x + y = 25 kanssa yht¨ apit¨ av¨ an yht¨ al¨ oparin eliminointimenetelm¨ all¨ a. Laskemme yht¨ ax − y = 20 l¨ ot puolittain yhteen, jolloin saamme yht¨ al¨ on 2x = 45 , josta ratkaisemme x = 22, 5 ; sijoitamme sitten t¨ am¨ an x :n arvon parin j¨ alkimm¨ aiseen yht¨ al¨ oo ¨n, jolloin saamme yht¨ al¨ on 22, 5 − y = 20 ; t¨ am¨ an ratkaisu on y = 2, 5 . Veneen nopeus on siis 22, 5 km/t ja virran nopeus on 2, 5 km/t. Esimerkki M¨ aa ¨rit¨ a ympyr¨ a, joka kulkee pisteiden (0, 0) , (2, 2) ja (−1, 4) kautta. Ratkaisu. Merkitsemme (x, y) :ll¨ a etsityn ympyr¨ an keskipistett¨ a. Keskipiste on yht¨ a kaukana kaikista kolmesta annetusta pisteest¨ a, joten saamme yht¨ al¨ ot p p p (x − 0)2 + (y − 0)2 = (x − 2)2 + (y − 2)2 = (x + 1)2 + (y − 4)2 . 33

Kaksi ep¨ anegatiivista lukua ovat samat jos ja vain jos niiden neli¨ o juuret ovat samat; t¨ aten saamme edellisten nojalla yht¨ al¨ ot (x − 0)2 + (y − 0)2 = (x − 2)2 + (y − 2)2 = (x + 1)2 + (y − 4)2 . Edelliset yht¨ al¨ ot antavat meille yht¨ al¨ oparin  (x − 0)2 + (y − 0)2 = (x − 2)2 + (y − 2)2 (x − 0)2 + (y − 0)2 = (x + 1)2 + (y − 4)2 . Kun suoritamme yht¨ al¨ oiss¨ a esiintyv¨ at neli¨ oo ¨n korotukset, saamme yht¨ apit¨ av¨ an yht¨ al¨ oparin  x2 + y 2 = x2 − 4x + 4 + y 2 − 4y + 4 x2 + y 2 = x2 + 2x + 1 + y 2 − 8y + 16 . Kaikki neli¨ otermit “kumoutuvat” viimeisist¨ a yht¨ al¨ oist¨ a ja saamme lineaarisen yht¨ al¨ oparin   x+y−2=0 0 = −4x + 4 − 4y + 4 eli “sievennettyn¨ a” 2x − 8y + 17 = 0 . 0 = 2x + 1 − 8y + 16 Ratkaisemme viimeisen yht¨ al¨ oparin sijoitusmenetelm¨ all¨ a. Ylemm¨ ast¨ a yht¨ al¨ ost¨ a saamme x = 2 − y ja kun sijoitamme alempaan x :n tilalle lausekkeen 2 − y , saamme yht¨ al¨ on −10y + 21 = 0 , josta ratkaisemme y =

21 10

. Edelleen saamme x = 2 −

21 10

1 = − 10 . Etsityn

1 21 ympyr¨ an keskipiste on siis (− 10 , 10 ) . Ympyr¨ an s¨ ade on keskipisteen et¨ aisyys ympyr¨ an q √ 21 2 442 1 2 pisteest¨ a (0, 0) eli (− 10 ) + ( 10 ) = 10 .

Sijoitusmenetelm¨ an avulla voimme my¨ os johtaa ratkaisun “yleiselle” ryhm¨ alle (∗) .

Oletamme aluksi, ett¨ a ryhm¨ ass¨ a (∗) on a 6= 0 . T¨ all¨ oin voimme ratkaista 1. yht¨ al¨ ost¨ a

x :n y :n suhteen, jolloin saamme tulokseksi x = − ab y −

c a

. T¨ am¨ an j¨ alkeen sijoitamme

saadun x :n lausekkeen toiseen yht¨ al¨ oo ¨n, jolloin saamme yht¨ al¨ on α(− ab y − ac ) + βy + γ = 0 . Kertomalla yht¨ al¨ on puolittain a :lla ja yhdistelem¨ all¨ a termej¨ a, saamme yht¨ apit¨ av¨ an yht¨ al¨ on (aβ − αb)y + aγ − αc = 0 . Edellytt¨ aen, ett¨ a aβ − αb 6= 0 , saamme y :lle ratkaisun y =

αc−aγ aβ−αb

; sijoittamalla t¨ am¨ a ratkaisu y :n paikalle x :n lausekkeeseen x = − ab y −

αc−aγ saamme x :lle ratkaisun x = − ab aβ−αb − ac , sievennettyn¨ a, x =

bγ−βc aβ−αb

Jos siis a 6= 0 ja aβ − αb 6= 0 , niin ryhm¨ all¨ a (∗) on ratkaisuna ( bγ−βc x = aβ−αb (#) αc−aγ y = aβ−αb . 34

.

c a

,

Seuraavaksi panemme merkille, ett¨ a edell¨ a ei tarvita ehtoa “ a 6= 0 ”. Oletamme siis vain, ett¨ a on voimassa aβ − αb 6= 0 ja osoitamme, ett¨ a parilla (∗) on ratkaisuna (#) . K¨ asittelimme jo tapauksen a 6= 0 , joten voimme nyt olettaa, ett¨ a on voimassa a = 0 . T¨ all¨ oin 0 6= aβ − αb = −αb , joten on oltava α 6= 0 ja b 6= 0 . Lis¨ aksi ryhm¨ an (∗)

ensimm¨ ainen yht¨ al¨ o tulee muotoon by + c = 0 , josta voimme ratkaista y = − cb . Kun

sijoitamme t¨ am¨ an arvon toiseen yht¨ al¨ oo ¨n, saamme yht¨ al¨ on αx − β bc + γ = 0 , jolle on

ratkaisuna x =

1 βc α( b

− γ) eli x =

βc−bγ αb

; t¨ am¨ a on sama kuin yll¨ a (#) :ssa oleva ratkaisu

x :lle (koska a 6= 0 ). My¨ os y :n ratkaisu y = − cb on sama kuin (#) :ssa (koska a = 0 ja α 6= 0 ). Ehdon aβ − αb 6= 0 vallitessa ryhm¨ all¨ a (∗) on siis ratkaisu (#) . Oletamme nyt, ett¨ a on voimassa aβ − αb = 0 eli aβ = αb ja ratkaisemme ryhm¨ an (∗) t¨ ass¨ a tapauksessa jakamalla tarkastelun useampaan osaan. Triviaalit tapaukset. N¨ aill¨ a tarkoitamme niit¨ a tapauksia, joissa toinen (tai molemmat) ryhm¨ an yht¨ al¨ oist¨ a on triviaali (eli muotoa c = 0 tai γ = 0 ). Triviaalin yht¨ al¨ on ratkaisujoukko on joko tyhj¨ a tai koko R2 , jolloin ryhm¨ an ratkaisujoukko on joko tyhj¨ a tai sama kuin toisen yht¨ al¨ on ratkaisujoukko (joka on ep¨ atriviaalissa tapauksessa suora ja triviaalissa tapauksessa tyhj¨ a tai koko R2 ). J¨ at¨ amme triviaalitapaukset erikseen tarkastelematta ja panemme vain merkille, ett¨ a n¨ aiss¨ a tapauksissa ryhm¨ all¨ a joko ei ole yht¨ aa ¨n ratkaisua tai niit¨ a on a ¨a ¨rett¨ om¨ an paljon (kaikki tason pisteet tai jonkun suoran pisteet). Tapaus b 6= 0 ja β 6= 0 : T¨ ass¨ a tapauksessa saamme (∗) :n kanssa yht¨ apit¨ av¨ an ryhm¨ an  y = − ab x − bc a ab = α an yht¨ al¨ oihin γ . Koska ehdosta aβ = αb seuraa, ett¨ β , niin ryhm¨ y = −α βx− β liittyvill¨ a suorilla on t¨ ass¨ a tapauksessa sama kulmakerroin ja suorat ovat siten yhdensuuntaiset; jos yht¨ al¨ ot esitt¨ av¨ at eri suoria (tapaus

c b

6=

γ β

), niin yht¨ al¨ oryhm¨ all¨ a (∗) ei ole yht¨ aa ¨n

ratkaisua, mutta jos ne esitt¨ av¨ at samaa suoraa (tapaus

c b

=

γ β

), niin kyseisen suoran kaikki

pisteet ovat parin (∗) ratkaisuja. 

ax + c = 0 . Jos nyt αx + γ = 0 a = 0 tai α = 0 , niin kyseess¨ a on triviaalitapaus. Oletamme, ett¨ a on voimassa a 6= 0 Tapaus b = 0 ja β = 0 : T¨ ass¨ a tapauksessa ryhm¨ a (∗) on muotoa

γ . ja α 6= 0 . T¨ all¨ oin ryhm¨ an yht¨ al¨ ot m¨ aa ¨ritt¨ av¨ at kaksi pystysuoraa, x = − ac ja x = − α

Ryhm¨ all¨ a ei ole ratkaisuja, jos suorat ovat eri suoria (tapaus suorat yhtyv¨ at (tapaus

c a

=

γ α

c a

6=

γ α

), mutta jos suorat

), niin kyseisen suoran kaikki pisteet ovat ratkaisuja. 35

Tapaus b = 0 ja β 6= 0 : Tapaus on triviaali: koska aβ = αb = 0 ja β 6= 0 , niin a = 0 . Tapaus b 6= 0 ja β = 0 : T¨ am¨ akin on triviaalitapaus, sill¨ a on oltava α = 0 . Sanomme, ett¨ a ryhm¨ all¨ a (∗) on yksik¨ asitteinen ratkaisu, mik¨ ali sill¨ a on t¨ asm¨ alleen yksi ratkaisu. Geometrisesti tulkittuna yksik¨ asitteinen ratkaisu tarkoittaa sit¨ a, ett¨ a ryhm¨ an yht¨ al¨ ot esitt¨ av¨ at suoria, jotka eiv¨ at ole kesken¨ aa ¨n yhdensuuntaiset. Yhteenvetona edellisest¨ a tarkastelusta voimme todeta seuraavan asiaintilan:  ax + by + c = 0 on yksik¨ asitteinen ratkaisu jos ja vain jos aβ − αb 6= 0 . – Ryhm¨ all¨ a αx + βy + γ = 0 Tarkastelemme seuraavaksi esimerkin valossa, miten sijoitus- ja eliminointimenetelm¨ at toimivat kolmen lineaarisen yht¨ al¨ on ryhm¨ an ratkaisemisessa. T¨ allaisen ryhm¨ an yleinen muoto on (∗∗)

(

ax + by + cz + d = 0 αx + βy + γz + δ = 0 ox + py + qz + r = 0 .

Esimerkki Ratkaise yht¨ al¨ oryhm¨ a ( x + 2y + z − 1 = 0

2x − y + 2z + 3 = 0 3x − y − 2z + 4 = 0 .

Ratkaisu. Huomaamme, ett¨ a kahdesta ylemm¨ ast¨ a yht¨ al¨ ost¨ a saamme kerralla eliminoitua kaksi muuttujaa, kun kerromme ensin ylemm¨ an yht¨ al¨ on 2:lla ja sitten v¨ ahenn¨ amme ylemm¨ ast¨ a yht¨ al¨ ost¨ a puolittain alemman. Saamme t¨ aten yht¨ al¨ on 5y − 5 = 0 , josta ratkaisemme y = 1 . Sijoitamme sitten y :lle arvon 1 kahteen viimeiseen yht¨ al¨ oo ¨n, jolloin saamme n 2x + 2z + 2 = 0 . Laskemalla t¨ am¨ an parin yht¨ al¨ ot yhteen saamme yht¨ al¨ on yht¨ al¨ oparin 3x − 2z + 3 = 0 5x + 5 = 0 , josta ratkaisemme x = −1 . Lopuksi ratkaisemme z :n ylemm¨ ast¨ a yht¨ al¨ ost¨ a sijoittamalla sinne saadut x :n ja y :n arvot: saamme yht¨ al¨ on −1 + 2 + z − 1 = 0 , jonka ratkaisuna on z = 0 . Yht¨ al¨ oryhm¨ an ratkaisu on siis x = −1 , y = 1 ja z = 0 .  ax + by + c = 0 Osoitimme edell¨ a, ett¨ a lineaarisella yht¨ al¨ oparilla on yksik¨ asitαx + βy + γ = 0 teinen ratkaisu jos ja vain jos ehto aβ − αb 6= 0 toteutuu. Kolmen yht¨ al¨ on ryhm¨ alle 36

(∗∗) p¨ atee vastaava tulos, mutta v¨ altt¨ am¨ att¨ om¨ an ja riitt¨ av¨ an ehdon mieleenpainamiseksi m¨ aa ¨rittelemme t¨ ass¨ a yhteydess¨ a er¨ aa ¨n lis¨ ak¨ asitteen. K¨ ayt¨ amme merkint¨ aa ¨ a b c α β γ o p q

yht¨ al¨ oryhm¨ an (∗∗) determinantille. T¨ ass¨ a merkinn¨ ass¨ a siis ryhm¨ an yht¨ al¨ oiden x -, y - ja z termien (t¨ ass¨ a j¨ arjestyksess¨ a) kertoimet on asetettu n¨ akyviin, kussakin yht¨ al¨ oss¨ a esiintyv¨ at kertoimet omalle rivilleen. a b α β o p

Determinantin arvo m¨ aa ¨ritell¨ aa ¨n seuraavasti: c γ = aβq + bγo + cαp − cβo − aγp − bαq . q

Edellisen m¨ aa ¨ritelm¨ an voi helposti palauttaa mieleen seuraavan kuvion avulla: m¨ aa ¨ritel-

m¨ an kuusi termi¨ a ovat tuloja luvuista, jotka esiintyv¨ at kuvion kuudella vinojanalla: a b c a b α β γ α β o p q o p T¨ ass¨ a on determinanttia “jatkettu oikealle” toistamalla kaksi vasemmanpuolista pystyrivi¨ a. Merkkis¨ aa ¨nt¨ o: “laskevat (  ) tulot + -merkill¨ a ja nousevat (  ) tulot − -merkill¨ a”.

Aikaisemmalla lineaarisen yht¨ al¨ oparin ratkaisun yksik¨ asitteisyytt¨ a koskevalla tulok-

sella on seuraava vastine kolmen lineaarisen yht¨ al¨ on ryhm¨ an tapauksessa: ( ax + by + cz + d = 0 – Ryhm¨ all¨ a αx + βy + γz + δ = 0 on yksik¨ asitteinen ratkaisu jos ja vain jos ox + py + qz + r = 0

a α o

b β p

c γ 6= 0. q

Esimerkki Edellisess¨ a esimerkiss¨ a l¨ oysimme kolmen yht¨ al¨ on ryhm¨ alle ( x + 2y + z − 1 = 0 2x − y + 2z + 3 = 0 3x − y − 2z + 4 = 0 ratkaisun (−1, 1, 0) . Koska yht¨ al¨ oryhm¨ an determinantti on 1 2 1   2 −1 2 = 1·(−1)·(−2)+2·2·3+1·2·(−1)− 1·(−1)·3+1·2·(−1)+2·2·(−2) = 25 , 3 −1 −2 voimme p¨ aa ¨tell¨ a ettei ryhm¨ all¨ a ei ole muita ratkaisuja.

Annamme lopuksi esimerkin siit¨ a, miten ep¨ alineaarisia yht¨ al¨ oryhmi¨ a voidaan joskus ratkaista lineaaristen ryhmien ratkaisumenetelmill¨ a. 37

( xy + 2xz − 5yz = −4 . Esimerkki Ratkaise ryhm¨ a xy − xz + 3yz = 2 2xy + xz − 4yz = 1 Ratkaisu. Kun merkitsemme u = xy , v = xz ja w = yz , niin saamme teht¨ av¨ an ryhm¨ an tilalle lineaarisen ryhm¨ an

u + 2v − 5w = −4 u − v + 3w = 2 2u + v − 4w = 1 . Ratkaisemme t¨ am¨ an yht¨ al¨ oryhm¨ an eliminointimenetelm¨ all¨ a. Kun laskemme 2. ja 3. yh(

t¨ al¨ on puolittain yhteen, saamme yht¨ al¨ on 3u − w = 3 . Seuraavaksi kerromme 3. yht¨ al¨ on

puolittain luvulla 2 ja v¨ ahenn¨ amme saadusta yht¨ al¨ ost¨ a puolittain ryhm¨ an 1. yht¨ al¨ on; t¨ al-

l¨ oin saamme yht¨ al¨ on 3u − 3w = 6 eli, yht¨ apit¨ av¨ asti, u − w = 2 . Sitten ratkaisemme n 3u − w = 3 yht¨ al¨ oparista eliminointimenetelm¨ all¨ a u = 21 ja w = − 32 . Kun sijoitamu−w =2 me n¨ am¨ a arvot u :n ja w :n tilalle alkuper¨ aisen ryhm¨ an 2. yht¨ al¨ oo ¨n, saamme ratkaistua v = −6 .

1 2 −5 Yll¨ a tarkastellun lineaarisen ryhm¨ an determinantti 1 −1 3 on 2 1 −4   1 · (−1) · (−4) + 2 · 3 · 2 + (−5) · 1 · 1 − (−5) · (−1) · 2 + 1 · 3 · 1 + 2 · 1 · (−4) = 6 ,

joten edell¨ a l¨ oydetty ratkaisu u =

1 2

, v = − 23 ja w = −6 on t¨ am¨ an lineaarisen ryhm¨ an

ainoa ratkaisu. Koska lineaarinen ryhm¨ a saatiinalkuper¨ aisest¨ a ryhm¨ ast¨ a “sijoituksilla” 1  xy = 2 u = xy , v = xz ja w = yz , niin yht¨ al¨ oryhm¨ a apit¨ av¨ a alkuper¨ aisen xz = − 23 on yht¨  yz = −6 ryhm¨ an kanssa. Ratkaisemme viel¨ a viimeisen yht¨ al¨ oryhm¨ an. Sen ratkaisuille p¨ atee, ett¨ a x 6= 0 , y 6= 0

ja z 6= 0 . Voimme siis olettaa, ett¨ a y 6= 0 . T¨ all¨ oin saamme 1. yht¨ al¨ ost¨ a x=

sijoitamme t¨ am¨ an 2. yht¨ al¨ oo ¨n, saamme

1 z 2y

1 2y

; kun

= − 32 ja edelleen z = −3y . Sijoittamalla

saadun z :n lausekkeen 3. yht¨ al¨ oo ¨n saamme −3y 2 = −6 eli y 2 = 2 ; t¨ am¨ an yht¨ al¨ on √ √ √ √ ratkaisut ovat y = 2 ja y = − 2 . Tapauksessa y = 2 saamme z = −3y = −3 2 ja √ √ √ √ 1 2 2 1 x = 2y 2 saamme vastaavasti z = 3 2 ja x = − = 2√ . Tapauksessa y = − = 4 4 . 2 √ √ √ √ √ √ Olemme saaneet kaksi ratkaisua, ( 42 , 2, −3 2) ja (− 42 , − 2, 3 2) . Sijoittamal xy = 21 la n¨ aemme, ett¨ a kumpikin ratkaisu todella toteuttaa yht¨ al¨ oryhm¨ an ain xz = − 32 ; n¨  yz = −6 ollen t¨ am¨ an ryhm¨ an, ja siten my¨ os alkuper¨ aisen yht¨ al¨ oryhm¨ an, ainoat ratkaisut ovat √ √ √ √ √ √ ( 42 , 2, −3 2) ja (− 42 , − 2, 3 2) . 38

Luku 7. Toisen asteen yht¨ al¨ o Yhden muuttujan toisen asteen yht¨ al¨ o on muotoa px2 + qx + r = sx2 + tx + u oleva yht¨ al¨ o, mutta siirtelem¨ all¨ a ja yhdistelem¨ all¨ a termej¨ a saamme sen yht¨ apit¨ av¨ aa ¨n muotoon ax2 + bx + c = 0 ; t¨ am¨ an yht¨ al¨ on ratkaiseminen on sama teht¨ av¨ a kuin toisen asteen polynomin ax2 + bx + c nollakohtien etsiminen. Aikaisemmin osoitimme, ett¨ a polynomin nollakohdat liittyv¨ at l¨ aheisesti polynomin tekij¨ oihin jakoon. Toisen asteen polynomille ax2 + bx + c voimme muotoilla aikaisemmat havainnot seuraavasti: reaaliluku r on polynomin ax2 + bx + c nollakohta jos ja vain jos voimme kirjoittaa polynomin muotoon a(x − r)(x − s) jollain s ∈ R . Tekij¨ oihin jaosta n¨ aemme suoraan toisen asteen polynomin nollakohdat ja toisinaan nollakohdat selvi¨ av¨ atkin helpoimmin jakamalla polynomi ensin tekij¨ oihin. Esimerkki (a) Polynomilla x2 − 4 on tekij¨ oihin jako (x − 2)(x + 2) , joten yht¨ al¨ on

x2 − 4 = 0 ratkaisut ovat 2 ja −2 .

(b) Polynomilla x2 + (p + q)x + pq on tekij¨ oihin jako (x + p)(x + q) ja t¨ aten polynomin nollakohdat ovat −p ja −q .

(c) Kohdan (b) perusteella l¨ oyd¨ amme polynomille x2 +3x+2 tekij¨ oihin jaon (x+1)(x+2) ; t¨ ast¨ a p¨ aa ¨ttelemme, ett¨ a yht¨ al¨ on x2 + 3x + 2 = 0 ratkaisut ovat −1 ja −2 .

(d) Kohdan (b) perusteella l¨ oyd¨ amme polynomille x2 + x − 6 tekij¨ oihin jaon (x + 3)(x − 2) ;

t¨ ast¨ a p¨ aa ¨ttelemme, ett¨ a yht¨ al¨ on x2 + x − 6 = 0 ratkaisut ovat −3 ja 2 .

Toisen asteen polynomilla, esimerkiksi polynomilla f (x) = x2 + 1 , ei v¨ altt¨ am¨ att¨ a ole yht¨ aa ¨n nollakohtaa; t¨ aten toisen asteen yht¨ al¨ oll¨ a ei aina ole ratkaisuja. Jos kuitenkin laajennamme lukualuetta reaaliluvuista “kompleksilukuihin”, niin tilanne muuttuu: jokaisella toisen asteen yht¨ al¨ oll¨ a on ainakin yksi “ratkaisu” kompleksilukujen joukossa. √ all¨ a lausekkeella ei ole reaalista arOtamme k¨ aytt¨ oo ¨n symbolin ı lausekkeelle −1 ; t¨

voa, koska millek¨ aa ¨n reaaliluvulle r ei p¨ ade yht¨ al¨ o r 2 = −1 ; kutsumme i :t¨ a imagin¨ aa ¨riyksik¨ oksi. Kompleksilukujen joukko C saadaan liitt¨ am¨ all¨ a reaalilukuihin imagin¨ aa ¨riyksikk¨ oı ja sen j¨ alkeen “sulkemalla joukko R ∪ {i} yhteen- ja kertolaskun suhteen”: vaadimme t¨ ass¨ a, ett¨ a tavalliset laskus¨ aa ¨nn¨ ot pysyv¨ at voimassa ja ett¨ a “luku” ı toteuttaa laskus¨ aa ¨nn¨ on 39

i · ı = −1 eli i2 = −1 . Jokainen kompleksiluku z voidaan esitt¨ aa ¨ muodossa z = a + bı ,

miss¨ a a, b ∈ R . Toisin sanoen, C = {a + bı : a, b ∈ R} .

Kompleksiluvun a + bı esitys reaalilukujen a ja b avulla on yksik¨ asitteinen. Reaaliluku r tulee t¨ ass¨ a esityksess¨ a muotoon r + 0ı , mutta k¨ ayt¨ amme lyhyemp¨ aa ¨ merkint¨ aa ¨ r my¨ os kompleksiluvulle r + 0ı . Samoin k¨ ayt¨ amme lyhyemp¨ aa ¨ merkint¨ aa ¨ bı puhtaasti imagin¨ aa ¨riselle kompleksiluvulle 0 + bı . Palaamme kompleksilukujen ominaisuuksiin my¨ ohemmin. T¨ ass¨ a tarvitsemme vain kompleksilukujen antamaa mahdollisuutta muodostaa negatiivisten lukujen neli¨ o juuria: √ √ √ √ 2 jos r on positiiviluku, niin voimme asettaa −r = r · ı , sill¨ a ( r · ı)2 = r · ı2 = r · (−1) = −r .

Palaamme nyt toisen asteen yht¨ al¨ on ratkaisemiseen. Kelpuutamme t¨ ast’edes my¨ os kompleksilukuja yht¨ al¨ on ratkaisuiksi. Palautamme aikaisemmasta mieliin seuraavan tuloksen: toisen asteen polynomilla on korkeintaan kaksi nollakohtaa. V¨ aite osoitettiin edell¨ a vain reaalisten nollakohtien tapauksessa, mutta samat p¨ aa ¨ttelyt toimivat my¨ os vaikka kelpuuttaisimme kompleksilukujakin nollakohdiksi. T¨ aten on voimassa seuraava tulos: –Toisen asteen yht¨ al¨ oll¨ a on korkeintaan kaksi ratkaisua. Aloitamme toisen asteen yht¨ al¨ on ratkaisujen etsimisen yksinkertaisesta mutta t¨ arke¨ ast¨ a erikoistapauksesta. Olkoon s ∈ R . T¨ all¨ oin on voimassa √ √ –Yht¨ al¨ on x2 = s ratkaisut ovat s ja − s . √ √ (Luvut s ja − s ovat selv¨ asti ratkaisuja; lis¨ aksi n¨ am¨ a ovat eri lukuja silloin kun s 6= 0 ,

joten t¨ ass¨ a tapauksessa ei voi olla muita ratkaisuja. Toisaalta yht¨ al¨ oll¨ a x 2 = 0 ei ole muita ratkaisuja kuin 0 .) √ Voimme ilmaista edellisen v¨ aitteen lyhyemmin seuraavasti: x2 = s ⇐⇒ x = ± s . Yleinen tapaus voidaan palauttaa edelliseen erikoistapaukseen k¨ aytt¨ am¨ all¨ a neli¨ oksi

t¨ aydent¨ amist¨ a. Jos yht¨ al¨ oss¨ a ax2 + bx + c = 0 on a = 0 , niin kyseess¨ a on lineaarinen yht¨ al¨ o, joita tarkastelimme edell¨ a. Oletamme, ett¨ a a 6= 0 (jolloin yht¨ al¨ o on tosiaan “toista astetta”). Saamme nyt yht¨ apit¨ av¨ an yht¨ al¨ on jakamalla puolittain a :lla: c b x2 + x + = 0 . a a 40

Kun muistamme “binomin neli¨ on” kaavan (p + q)2 = p2 + 2pq + q 2 , niin voimme edet¨ a seuraavasti: kirjoitamme ensin yht¨ al¨ on yht¨ apit¨ av¨ aa ¨n muotoon x2 + 2

b c x=− 2a a

ja sitten “t¨ aydenn¨ amme vasemman puolen neli¨ oksi” lis¨ aa ¨m¨ all¨ a yht¨ al¨ on molemmille puolille b 2 luvun ( 2a ) eli luvun

b2 4a2

. Saamme siten yht¨ al¨ on x2 + 2

jonka voimme kirjoittaa muotoon 

b b2 c b2 x+ 2 = − + 2 , 2a 4a a 4a

b x+ 2a

2

=

b2 − 4ac . 4a2

Erikoistapauksen nojalla viimeinen yht¨ al¨ o toteutuu t¨ asm¨ alleen silloin kun r b b2 − 4ac =± . x+ 2a 4a2 Kun viel¨ a kirjoitamme oikean puolen muotoon

√ ± b2 −4ac 2a

ja siirr¨ amme termin

b 2a

, niin

saamme toisen asteen yht¨ al¨ on ax2 + bx + c = 0 ratkaisukaavan x=

−b ±

√

b2 − 4ac 2a

Ratkaisukaavassa neli¨ o juuren alla olevaa lauseketta D = b2 − 4ac kutsutaan yht¨ a-

l¨ on ax2 + bx + c = 0 diskriminantiksi. Diskriminantin arvo m¨ aa ¨r¨ aa ¨ yht¨ al¨ on reaalisten ratkaisujen lukum¨ aa ¨r¨ an: – Jos D < 0 , niin yht¨ al¨ oll¨ a ei ole reaalisia ratkaisuja. – Jos D = 0 , niin yht¨ al¨ oll¨ a on yksi reaalinen ratkaisu. – Jos D > 0 , niin yht¨ al¨ oll¨ a on kaksi reaalisia ratkaisua. Esimerkki Ratkaise yht¨ al¨ o x2 + 3x − 4 = 0 . Ratkaisu. Ratkaisukaavasta saamme ratkaisun x = ovat

−3+5 2

= 1 ja

−3−5 2

= −4 .

Esimerkki Ratkaise yht¨ al¨ o x2 − 4x + 5 = 0 . 41

√ −3± 9+16 2

=

−3±5 2

, joten ratkaisut

Ratkaisu. Ratkaisukaava antaa x = 4+2ı 2

ratkaisut ovat

= 2 + ı ja

4−2ı 2

√ 4± 16−20 2

=

√ 4± −4 2

=

√ 4± 4 ı 2

=

4±2ı 2

= , joten

= 2 − ı.

Toisen asteen yht¨ al¨ on ax2 + bx + c = 0 ratkaisuja voidaan my¨ os tutkia graafisesti, tarkastelemalla polynomifunktion f (x) = ax2 + bx + c kuvaajaa. Seuraavassa kuvassa on esitetty funktion f (x) = ax2 + bx + c kuvaaja tietyill¨ a vakioiden a , b ja c arvoilla.

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

9 8 7 6 5 4 3 2 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9

f (x) =

2 5

− 25 x +

9 8 7 6 5 4 3 2 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9

1 2 x 10

f (x) = 1 −

9 8 7 6 5 4 3 2 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9

-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9

7 x 20

+

1 2 x 20

f (x) =

21 2

+

7 x 10

− 15 x2

Vasemmanpuolisen funktion m¨ aa ¨ritt¨ am¨ an yht¨ al¨ on diskriminantti on 0 ja funktiolla 31 on yksi nollakohta pisteess¨ a x = 2 ; keskell¨ a diskriminatti on − 400 ja funktiolla ei ole

nollakohtia; oikealla diskriminatti on

791 100

ja funktiolla on kaksi nollakohtaa, kuten kuvasta

n¨ akyy. Teht¨ av¨ a M¨ aa ¨rit¨ a oikeanpuolisen funktion nollakohdat. Riippumatta vakioiden a , b ja c arvoista, funktion f (x) = ax2 + bx + c kuvaaja on aina paraabeli. Vakiot vaikuttavat paraabelin muotoon ja sijaintiin. Jos a > 0 , niin paraabeli on yl¨ osp¨ ain aukeava ja jos a < 0 , niin paraabeli on alasp¨ ain aukeava. Esit¨ amme lopuksi er¨ aa ¨n “k¨ ayt¨ ann¨ on esimerkin” toisen asteen yht¨ al¨ on ratkaisusta. Esimerkki Lentokone nousee kent¨ alt¨ a ja lent¨ aa ¨ tasaisella 400 kilometrin tuntinopeudella suoraan kohti it¨ aa ¨. Puoli tuntia koneen l¨ ahd¨ on j¨ alkeen purkautuu kent¨ alt¨ a 100 kilometri¨ a pohjoiseen sijaitseva tulivuori. Purkaus synnytt¨ aa ¨ paineaallon, joka etenee 1000 kilometrin tuntinopeudella. Kuinka kauas kone on ehtinyt lent¨ aa ¨ kun paineaalto saavuttaa sen? 42

Ratkaisu. Merkitsemme t :ll¨ a aikaa (tunneissa), joka on kulunut tulivuorenpurkauksesta ja s(t) :ll¨ a matkaa, jonka kone on ehtinyt lent¨ aa ¨ hetkell¨ a t . T¨ all¨ oin s(0) = 21 400 = 200 ja s(t) = 200 + 400t = 200(1 + 2t) (kilometreiss¨ a). Pytagoraan lauseen mukaan lentokoneen p 1002 + s(t)2 kilometri¨ a. Toisaalta paineaalto on et¨ aisyys tulivuoresta hetkell¨ a t on

hetkell¨ a t edennyt 1000t kilometrin matkan tulivuorelta. Paineaalto tavoittaa koneen sill¨ a p hetkell¨ a t , jolloin on voimassa 1000t = 1002 + s(t)2 . Saamme yht¨ al¨ on 106 t2 = 104 + s(t)2 . Kun sijoitamme yht¨ al¨ oo ¨n s(t) :n paikalle lausekkeen 200(1 + 2t) , saamme yht¨ al¨ on

106 t2 = 104 + 2002 (1 + 2t)2 ja t¨ ast¨ a saamme sievent¨ am¨ all¨ a yht¨ al¨ on 84t2 − 16t − 5 = 0 . Ratkaisukaava antaa t=

16 ±

√ √ 16 ± 1936 16 ± 44 162 + 4 · 84 · 5 = = . 2 · 84 168 168

Negatiivinen t :n arvo ei t¨ ass¨ a kelpaa, joten yht¨ al¨ on ratkaisu on t =

60 168

=

15 42

. Ratkaisun

15 m¨ aa ¨ritt¨ am¨ all¨ a hetkell¨ a kone on 200 + 400 42 ∼ 343 kilometrin p¨ aa ¨ss¨ a kent¨ alt¨ a.

43

Luku 8. Toisen asteen yht¨ al¨ oryhm¨ at Toisen asteen yht¨ al¨ opari on muotoa (∗)



ax2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f = 0 αx2 + βxy + γy 2 + δx + y + φ = 0 ,

miss¨ a a, b, . . . , f ja α, β, . . . , φ ovat reaalilukuja. Yht¨ al¨ oparin ratkaisu m¨ aa ¨ritell¨ aa ¨n samoin kuin lineaarisen yht¨ al¨ oparin ratkaisu: etsimme niit¨ a tason pisteit¨ a (p, q) ∈ R 2 , joille p¨ atee, ett¨ a 

ap2 + bp q + cq 2 + dp + eq + f = 0 αp2 + βp q + γq 2 + δp + q + φ = 0 .

Huomautus Edell¨ a hyv¨ aksyimme toisen asteen yht¨ al¨ oille my¨ os kompleksilukuja ratkaisuiksi, mutta koska t¨ ass¨ a haluamme ryhm¨ an ratkaisujen olevan joukossa R 2 , emme nyt kelpuuta x :lle tai y :lle kompleksisia ratkaisuja! Aikaisemmin luonnehdimme ep¨ atriviaalin lineaarisen yht¨ al¨ oparin ratkaisuja parin yht¨ al¨ oiden m¨ aa ¨ritt¨ amien suorien leikkauspistein¨ a. Toisen asteen yht¨ al¨ oparin ratkaisuja voidaan my¨ os yleens¨ a luonnehtia parin yht¨ al¨ oiden m¨ aa ¨ritt¨ amien k¨ ayrien leikkauspistein¨ a. Olemme edell¨ a jo tavanneet kaksi k¨ ayr¨ atyyppi¨ a, jotka voidaan m¨ aa ¨ritell¨ a toisen asteen yht¨ al¨ on avulla, nimitt¨ ain muotoa x2 + y 2 + dx + ey + f = 0 olevan yht¨ al¨ on m¨ aa ¨ritt¨ am¨ an ympyr¨ an ja muotoa y = ax2 + bx + c olevan yht¨ al¨ on m¨ aa ¨ritt¨ am¨ an paraabelin. Osoittautuu, ett¨ a kahden muuttujan toisen asteen yht¨ al¨ ot m¨ aa ¨ritt¨ av¨ at vain muutamaa “tyyppi¨ a” olevia k¨ ayri¨ a. Perustyypit ovat seuraavat. –Ellipsi: esimerkiksi muotoa

x2 a2

2

+ yb2 = 1 oleva yht¨ al¨ o m¨ aa ¨ritt¨ aa ¨ ellipsin (jonka “akseleina”

ovat koordinaattiakselit). –Paraabeli: esimerkiksi muotoa y = ax2 + c oleva yht¨ al¨ o m¨ aa ¨ritt¨ aa ¨ paraabelin (jonka “johtosuora” on x -akselin suuntainen ja “akseli” on y -akseli) –Hyperbeli: esimerkiksi muotoa

x2 a2

−

y2 b2

= 1 oleva yht¨ al¨ o m¨ aa ¨ritt¨ aa ¨ hyperbelin (jonka

“akseleina” ovat koordinaattiakselit). 44

Seuraavassa ellipsin

x2 100

2

+ y25 = 1 , paraabelin y =

3 2 x 20

− 6 ja hyperbelin

x2 4

2

− y5 = 1

kuvaajat.

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

9 8 7 6 5 4 3 2 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9

-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

9 8 7 6 5 4 3 2 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9

-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

9 8 7 6 5 4 3 2 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9

-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9

Edell¨ a ei ole mainittu lainkaan ympyr¨ aa ¨ ; t¨ am¨ a johtuu siit¨ a, ett¨ a ympyr¨ a on erikoistapaus ellipsist¨ a. Voimme my¨ os m¨ aa ¨ritell¨ a kahden muuttujan toisen asteen yht¨ al¨ on avulla koko tason, tyhj¨ an joukon, yhden pisteen joukon, yhden suoran tai kahden suoran yhdisteen, mutta (koko tasoa lukuunottamatta) n¨ am¨ a tulkitaan usein “degeneroituneiksi” ellipseiksi, paraabeleiksi tai hyperbeleiksi. Ellipsit, hyperbelit ja paraabelit m¨ aa ¨ritell¨ aa ¨n geometrisesti seuraavasti: –Ellipsi on niiden pisteiden ura, joiden kahdesta kiinte¨ ast¨ a pisteest¨ a laskettujen et¨ aisyyksien summa on vakio. Kyseisi¨ a pisteit¨ a kutsutaan ellipsin polttopisteiksi. –Hyperbeli on niiden pisteiden ura, joiden kahdesta kiinte¨ ast¨ a pisteest¨ a laskettujen et¨ aisyyksien erotus on vakio. Kyseisi¨ a pisteit¨ a kutsutaan hyperbelin polttopisteiksi. –Paraabeli on niiden pisteiden ura, joiden et¨ aisyys kiinte¨ ast¨ a pisteest¨ a on sama kuin et¨ aisyys kiinte¨ alle suoralle. Kyseist¨ a pistett¨ a kutsutaan paraabelin polttopisteeksi ja kyseist¨ a suoraa paraabelin johtosuoraksi. Voimme antaa kaikille kolmelle k¨ ayr¨ atyypille viimeisen m¨ aa ¨ritelm¨ an mukaisen esityksen johtosuoran ja polttopisteen avulla: olkoon ` joku suora ja p piste, joka ei ole suoralla; t¨ all¨ oin jokaiseen positiivilukuun r liittyy kartioleikkaus: “niiden pisteiden ura, joilla et¨ aisyys pisteeseen p on r kertaa et¨ aisyys suoralle ` ”. Kartioleikkaus on ellipsi kun r < 1 , paraabeli kun r = 1 ja hyperbeli kun r > 1 . 45

Termi “kartioleikkaus” johtuu siit¨ a geometrisesta seikasta, ett¨ a ellipsit, hyperbelit ja paraabelit voidaan esitt¨ aa ¨ tason ja kartiopinnan leikkausk¨ ayrin¨ a. Edellisess¨ a kuvassa esitetyt toisen asteen k¨ ayr¨ at ovat kaikki “p¨ aa ¨akselimuodossa”, joka tarkoittaa sit¨ a, ett¨ a niiden akselit ja johtosuorat ovat koordinaattiakselien suuntaisia. K¨ ayrien yht¨ al¨ oiden kannalta t¨ am¨ a merkitsee sit¨ a, ett¨ a yht¨ al¨ oiss¨ a ei esiinny lainkaan xy termej¨ a. Seuraavassa kuvaamme er¨ ait¨ a ellipsej¨ a ja hyperbelej¨ a, joilla on akseleina suorat y = x ja y = −x .

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

9 8 7 6 5 4 3 2 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9

9 8 7 6 5 4 3 2 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9

9 8 7 6 5 4 3 2 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9

-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9

Yll¨ a ellipsin yht¨ al¨ o on x2 + y 2 + 56 xy = 20 , keskell¨ a olevan hyperbelin yht¨ al¨ o on x2 + y 2 − 4xy = 1 ja oikealla olevan hyperbelin yht¨ al¨ o on xy = 5 . Palaamme nyt yht¨ al¨ oparin  ax2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f = 0 (∗) αx2 + βxy + γy 2 + δx + y + φ = 0 , ratkaisemiseen. T¨ am¨ ankin parin ratkaisemiseen voi yritt¨ aa ¨ k¨ aytt¨ aa ¨ eliminointi- ja sijoitusmenetelmi¨ a; n¨ aill¨ a menetelmill¨ a saamme yht¨ al¨ oist¨ a (∗) johdetuksi yht¨ al¨ on, jossa esiintyy vain toinen tuntemattomista x, y , mutta ongelmana on se, ett¨ a saatu yht¨ al¨ o saattaa olla nelj¨ att¨ a astetta ja t¨ allaisen yht¨ al¨ on ratkaisukaavat ovat sangen monimutkaisia. T¨ ast¨ a syyst¨ a johdamme muotoa (∗) olevalle ryhm¨ alle ratkaisun vain er¨ aiss¨ a helpoissa erikoistapauksissa. Esimerkki Ratkaise ryhm¨ a 

x2 + y 2 + 3x + 5y + 8 = 0 x2 + y 2 + x + 4y − 2 = 0 .

Ratkaisu. V¨ ahent¨ am¨ all¨ a ylemm¨ ast¨ a yht¨ al¨ ost¨ a alemman, saamme yht¨ al¨ on 2x + y + 10 = 0 , josta ratkaisemme y = −2x − 10 . Kun sijoitamme ylemp¨ aa ¨n yht¨ al¨ oo ¨n y :n paikalle 46

lausekkeen −2x − 10 , saamme yht¨ al¨ on x2 + (−2x − 10)2 + 3x + 5(−2x − 10) + 8 = 0 eli

yht¨ al¨ on 5x2 + 33x + 58 = 0 . Viimeisen yht¨ al¨ on diskriminantti on 332 − 4 · 5 · 58 = −71 , joten yht¨ al¨ oll¨ a ei ole (reaalisia) ratkaisuja. Siten alkuper¨ aisell¨ a yht¨ al¨ oryhm¨ all¨ ak¨ aa ¨n ei ole ratkaisuja. Esimerkki Ratkaise ryhm¨ a 

x2 + y 2 − 2x + y − 2 = 0 x2 + y 2 + x + 4y − 11 = 0 .

Ratkaisu. V¨ ahent¨ am¨ all¨ a alemmast¨ a yht¨ al¨ ost¨ a ylemm¨ an, saamme yht¨ al¨ on 3x+3y−9 = 0 , josta ratkaisemme y = 3 − x . Kun sijoitamme ylemp¨ aa ¨n yht¨ al¨ oo ¨n y :n paikalle lausekkeen

3 − x , saamme yht¨ al¨ on x2 + (3 − x)2 − 2x + 3 − x − 2 = 0 eli yht¨ al¨ on 2x2 − 9x + 10 = 0 . Viimeisen yht¨ al¨ oll¨ a on ratkaisuna x = y :n arvot ovat 3 − 2 = 1 ja 3 −

5 2

=

1 2

√ 9± 81−4·2·10 2·2

=

9±1 4

eli x = 2 ja x =

5 2

. Vastaavat

. Yht¨ al¨ oryhm¨ an ratkaisut ovat siten (2, 1) ja ( 25 , 21 )

Geometrisesti tulkittuna edellisten yht¨ al¨ oryhmien ratkaisussa haetaan kahden ympyr¨ an leikkauspisteit¨ a; seuraavista kuvista n¨ akyv¨ at ryhmien yht¨ al¨ oiden m¨ aa ¨ritt¨ am¨ at ympyr¨ at.

-3 -2 -1

3 2 1

1 2 3

-3 -2 -1

-1 -2 -3

3 2 1

1 2 3

-1 -2 -3

Kahteen ympyr¨ aa ¨n liittyv¨ a ryhm¨ a voidaan aina ratkaista edellisen kaltaisella toisen asteen termien eliminoinnilla. Vastaavanlaisella eliminoinnilla voimme ratkaista muitakin ryhmi¨ a, joiden yht¨ al¨ oiss¨ a ei ole lainkaan xy -termej¨ a. Teht¨ av¨ a M¨ aa ¨rit¨ a edell¨ a ensimm¨ aisess¨ a kuvassa olevan ellipsin ja paraabelin leikkauspisteet. 47

Ratkaisu. Ellipsin ja paraabelin leikkauspisteet m¨ aa ¨r¨ aytyv¨ at ryhm¨ ast¨ a 

y2 x2 100 + 25 − 1 = 0 3 2 x −y−6=0 20

.

eli ryhm¨ ast¨ a 

x2 + 4y 2 − 100 = 0 3x2 − 20y − 120 = 0 .

Kun kerromme ylemm¨ an yht¨ al¨ on puolittain 3 :lla ja v¨ ahenn¨ amme saadusta yht¨ al¨ ost¨ a puolittain alemman yht¨ al¨ on, saamme yht¨ al¨ on 12y 2 + 20y − 180 = 0 , jolla on ratkaisuna y =

√ −20± 202 +4·12·180 2·12

=

√ −20±4 25+3·180 24

=

√ −5± 565 6

.

Saamme kaksi ratkaisua, liki-

m¨ aa ¨r¨ aisesti y ∼ 3, 1 ja y ∼ −4, 8 . Kun ratkaisemme ylemm¨ ast¨ a yht¨ al¨ ost¨ a x :n, saamp aten kumpaakin y :n ratkaisua vastaa kaksi x :n ratkaisua. Kun me x = ±2 25 − y 2 ; t¨

y ∼ 3, 1 , niin x ∼ ±7, 8 ja kun y ∼ −4, 8 , niin x ∼ ±2.8 . Kaiken kaikkiaan saamme siis yht¨ al¨ oparille nelj¨ a ratkaisua, likim¨ aa ¨r¨ aisesti (7, 8; 3, 1) , (−7, 8; 3, 1) , (2, 8; −4, 8) ja (−2, 8; −4, 8) . Seuraava kuva esitt¨ aa ¨ yht¨ al¨ oparia graafisesti.

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

9 8 7 6 5 4 3 2 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9

-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9

48

Luku 9. Suhde ja verranto Kahden luvun a ja b suhde on yksinkertaisesti niiden osam¨ aa ¨r¨ a

a b

, mutta puhuessam-

me suhteesta ajattelemme, ett¨ a osam¨ aa ¨r¨ a ilmaisee tarkastelutilanteessa jotain olennaista noiden lukujen erosta, esimerkiksi jotain olennaisempaa kuin niiden erotus; ajatuksena on, ett¨ a “suhdetta” voi k¨ aytt¨ aa ¨ kuvaamaan joidenkin muidenkin lukujen eroa. Jos kaksi lukuparia a, b ja c, d ovat “samansuhteiset”, niin saamme verrannon a c = . b d Verrantoa

a b

=

c d

merkit¨ aa ¨n usein kirjoittamalla a : b = c : d ja t¨ ast¨ a merkitsemista-

vasta juontuu seuraava terminologia: a ja d ovat verrannon a ¨a ¨rimm¨ aiset j¨ asenet ja b ja c sen keskimm¨ aiset j¨ asenet. Jos kerromme ristiin verrannossa

a b

=

c d

, niin saamme yht¨ al¨ on ad = bc . Sanallisesti:

verrannon a ¨a ¨rimm¨ aisten j¨ asenten tulo on yht¨ a suuri kuin keskimm¨ aisten j¨ asenten tulo. Verrantoja voidaan hyvin havainnollistaa geometristen esimerkkien avulla; antiikin aikoina suurin motivaatio verrantojen tutkimiseen tulikin geometrian parista. Esimerkiksi yhdenmuotoisuusoppi liittyy l¨ aheisesti verrantoihin. Kahdelle kolmiolle yhdenmuotoisuus merkitsee sit¨ a, ett¨ a kolmioiden kulmat ovat samat. a

β

γ a ˜ c

γ

β

b

˜b c˜ α

α

49

Yhdenmuotoisuudesta seuraa, ett¨ a kolmioiden vastaavien sivujen pituuksien suhteet ovat samat. N¨ ain ollen edellisen kuvan kolmioille on voimassa b c a = = . ˜b a ˜ c˜ T¨ am¨ a on esimerkki “toisiinsa verrannollisista suureista” ja verrannon idean merkitys tuleekin esiin varsinaisesti vasta kun tarkastelemme t¨ allaisia suureita. N¨ aiss¨ a tilanteissa meill¨ a on kaksi ryhm¨ aa ¨ lukuja, jotka pareittain vastaavat toisiaan (kuten yll¨ a a vastaa a ˜ :ta, b vastaa ˜b :t¨ a ja c vastaa c˜:t¨ a yhdenmuotoisuuden kautta). Olkoot vaikkapa a 1 , a2 , ..., an ja b1 , b2 , ..., bn kaksi t¨ allaista ryhm¨ aa ¨. Sanomme, ett¨ a n¨ am¨ a luvut (tai “suureet”) ovat kesken¨ aa ¨n suoraan verrannolliset, mik¨ ali ne “muuttuvat samassa suhteessa” eli mik¨ ali on voimassa bi ai = kaikilla i, j ∈ {1, ..., n} . aj bj Jos panemme merkille, ett¨ a edellinen ehto on yht¨ apit¨ av¨ a sen kanssa, ett¨ a kaikilla i, j on voimassa

ai bi

=

aj bj

, niin voimme ilmaista asian yksinkertaisemmin: luvut a1 , ..., an ja

b1 , ..., bn ovat kesken¨ aa ¨n suoraan verrannolliset jos ja vain jos on olemassa sellainen luku r , ett¨ a jokaisella i on voimassa

ai bi

= r eli ai = rbi . Sanomme, ett¨ a r on lukujen a1 , ..., an

ja b1 , ..., bn verrannollisuuskerroin. Arkiel¨ am¨ ass¨ a verrantoja k¨ aytet¨ aa ¨n l¨ ahes yht¨ a usein kuin yhteenlaskua. Esimerkiksi kaupassa monien tuotteiden m¨ aa ¨r¨ a on suoraan verrannollinen niiden hintaan: yksi kilo ( = p1 ) p¨ ahkin¨ oit¨ a maksaa 8€ ( = h1 ), kaksi kiloa ( = p2 ) maksaa 16€ ( = h2 ), puolitoista kiloa ( = p3 ) maksaa 12€ ( = h3 ) jne. Hinnoilla h1 , ..., hn ja painoilla p1 , ..., pn on h1 p1

€ . kg Verrannollisuuskerroin annetaan usein prosenttiluvun avulla. Esimerkiksi kaupassa

verrannollisuuskertoimena “kilohinta”

eli 8

voi olla useampia eri tuotteita tarjolla p% alennettuun hintaan ja t¨ all¨ oin n¨ aiden tuotteiden alkuper¨ aiset hinnat ja niiden alennetut hinnat ovat kesken¨ aa ¨n suoraan verrannolliset, verrannollisuuskertoimena

1 p 1− 100

=

100 100−p

.

Verrantojen k¨ ayt¨ ann¨ on merkitys perustuu suurelta osin siihen, ett¨ a jos tied¨ amme verrannon kolme j¨ asent¨ a, niin voimme laskea nelj¨ annen; esimerkiksi verrannosta saamme, ett¨ a a=

bc d

ja b =

ad c

a b

=

c d

. N¨ ain ollen voimme usein ratkoa toisiinsa verrannollisiin

suureisiin liittyvi¨ a laskuteht¨ avi¨ a ilman, ett¨ a erikseen m¨ aa ¨rit¨ amme verrannollisuuskerrointa: riitt¨ aa ¨, ett¨ a muodostamme verrannon, jossa etsim¨ amme suure on ainoa tuntematon ja sitten ratkaisemme “verrantoyht¨ al¨ on”. 50

Esimerkki (a) Vaatekaupan kaikki tuotteet on alennettu samalla alennusprosentilla. Jos ennen 84 euroa maksanut takki maksaa nyt 70 euroa, niin mink¨ ahintainen oli ennen pusero, joka nyt maksaa 20 euroa. Ratkaisu. Merkitsemme x :ll¨ a puseron alkuper¨ aist¨ a hintaa. Saamme verrannon josta ratkaisemme x = 84 ·

20 70

84 x

=

70 20

,

= 24 . Pusero maksoi siis ennen 24 euroa.

(b) Auton jarrutusmatka on se matka, jonka auto kulkee sen j¨ alkeen kun sit¨ a on alettu jarruttaa (t¨ aydell¨ a teholla). Tied¨ amme, ett¨ a jarrutusmatka on suoraan verrannollinen auton nopeuden neli¨ oo ¨n. Jos auton jarrutusmatka nopeudesta 90km/t oli 60 metri¨ a, niin paljonko se on nopeudesta 120km/t? Ratkaisu. Merkitsemme x :ll¨ a jarrutusmatkaa nopeudesta 120km/t ja kirjoitamme verrannon

60 x

=

902 1202

ja ratkaisemme x = 60 ·

1202 902

2 = 60 · ( 120 90 ) = 60 ·

16 9

=

320 3

∼ 106 eli

jarrutusmatka on noin 106 metri¨ a kun nopeus on 120km/t. Sanomme, ett¨ a luvut a1 , a2 , ..., an ja b1 , b2 , ..., bn ovat kesken¨ aa ¨n k¨ aa ¨nt¨ aen verrannolliset, mik¨ ali ne “muuttuvat k¨ aa ¨nteisess¨ a suhteessa” eli mik¨ ali on voimassa ai bj = aj bi

kaikilla i, j ∈ {1, ..., n} .

Jos panemme merkille, ett¨ a edellinen ehto on yht¨ apit¨ av¨ a sen kanssa, ett¨ a kaikilla i, j on voimassa ai · bi = aj · bj , niin voimme ilmaista asian yksinkertaisemmin: luvut a1 , ..., an ja b1 , ..., bn ovat kesken¨ aa ¨n k¨ aa ¨nt¨ aen verrannolliset jos ja vain jos on olemassa sellainen luku r , ett¨ a jokaisella i on voimassa ai · bi = r eli ai =

r bi

.

Esimerkki Vesis¨ aili¨ o t¨ ayttyy 56 minuutissa kun siihen lasketaan vett¨ a putkesta, jonka sis¨ ahalkaisija on 5cm. Kuinka nopeasti s¨ aili¨ o t¨ ayttyisi, jos t¨ aytt¨ oputken sis¨ ahalkaisija olisi 10cm? Ratkaisu. Oletamme t¨ ass¨ a, ett¨ a veden virtausm¨ aa ¨r¨ a putkessa on suoraan verrannollinen putken poikkileikkauksen pinta-alaan. Koska pinta-ala on suoraan verrannollinen putken sis¨ ahalkaisijan neli¨ oo ¨n (kaavan A = π · r 2 nojalla, miss¨ a r on s¨ ade eli halkaisijan puolikas), niin virtausm¨ aa ¨r¨ a on suoraan verrannollinen putken sis¨ ahalkaisijan neli¨ oo ¨n. Toisaalta 51

s¨ aili¨ on t¨ ayttymisaika on k¨ aa ¨nt¨ aen verrannollinen putkesta tulevan veden virtausm¨ aa ¨r¨ aa ¨n; n¨ ain ollen t¨ ayttymisaika on k¨ aa ¨nt¨ aen verrannollinen putken sis¨ ahalkaisijan neli¨ oo ¨n. Kun merkitsemme x :ll¨ a aikaa, jossa s¨ aili¨ o t¨ ayttyisi sis¨ ahalkaisijaltaan kymmensenttisen putken kautta, niin saamme edellisen nojalla verrannon 52 x = 2 56 10

eli

x 1 = , 56 4

josta ratkaisemme x = 14 . Astia t¨ ayttyisi siis 14 minuutissa kymmensenttisen putken kautta. Palaamme viel¨ a “geometrisiin verrantoihin”. Kahden positiiviluvun a ja b keskiverto eli geometrinen keskiarvo on seuraavan verrantoyht¨ al¨ on ratkaisu

eli x =

√

x a = , x b ab . Geometrisesti keskiverto voidaan tulkita seuraavan teht¨ av¨ an ratkaisuksi:

etsi neli¨ o, jolla on sama ala kuin annetulla suorakaiteella. Keskiverto liittyy my¨ os seuraavaan konstruktioteht¨ av¨ aa ¨n: etsi annetulta janalta piste, joka jakaa janan kahteen osaan siten, ett¨ a koko janan ja suuremman osan (pituuksien) suhde on sama kuin suuremman ja pienemm¨ an osan suhde. T¨ allaisessa jaossa suurempi osa on pienemm¨ an osan ja koko janan keskiverto (pituuksiltaan). Jakoa kutsutaan kultaiseksi leikkaukseksi ja sit¨ a pidet¨ aa ¨n esteettisesti hyvin miellytt¨ av¨ an¨ a. Kultaista leikkausta on k¨ aytetty paljon hyv¨ aksi kuva- ja rakennustaiteessa, varsinkin antiikin Kreikassa. Kultainen luku eli kultainen suhde on suuremman ja pienemm¨ an osan pituuksien suhde kultaisessa jaossa. Kultaista lukua merkit¨ aa ¨n symbolilla φ . Teht¨ av¨ a M¨ aa ¨rit¨ a φ :n arvo. Ratkaisu. Merkitsemme x :ll¨ a suuremman osan pituutta sellaisessa kultaisessa jaossa, jossa pienemm¨ an osan pituus on 1 . T¨ all¨ oin φ =

x 1

= x . Lis¨ aksi koko janan pituus on

1 + x , joten saamme verrannon x 1+x = . x 1 2 Kertomalla ristiin saamme yht¨ al¨ on 1 + x = x eli x2 − x − 1 = 0 . Ratkaisukaava antaa x= siis

√ 1± 1+4 : 2 √ φ = 1+2 5

Negatiivinen ratkaisu ei kelpaa t¨ ass¨ a, joten ratkaisu on x = ∼ 1.618 52

√ 1+ 5 2

. T¨ aten

Luku 10. Jonot Reaalilukujen j¨ arjestetyt parit (a, b) , kolmikot (a,b,c), nelik¨ ot (a, b, c, d) ja yleiset “n-ik¨ ot” (a1 , ..., an) ovat esimerkkej¨ a lukujonoista. N¨ aiden a ¨a ¨rellisten jonojen lis¨ aksi tarkastelemme my¨ os a ¨a ¨rett¨ omi¨ a (eli p¨ aa ¨ttym¨ att¨ omi¨ a) jonoja (a 1 , a2 , . . .) . K¨ ayt¨ amme jonoille n

∞

my¨ os merkint¨ o j¨ a (ai )i=1 ja (ai )i=1 . ¨ arellinen jono voidaan m¨ Luku ak on jonon (a1 , ...) k ’s j¨ asen eli termi. A¨ aa ¨ritell¨ a yksinkertaisesti luettelemalla sen termit, mutta t¨ am¨ a ei onnistu a ¨a ¨rett¨ om¨ an jonon tapaukses¨ aret¨ sa. A¨ on jono m¨ aa ¨ritell¨ aa ¨n yleens¨ a joko m¨ aa ¨rittelem¨ all¨ a sen termit jonkun lausekkeen tai kaavan avulla, eli “analyyttisesti”, tai k¨ aytt¨ am¨ all¨ a termeille rekursiivista m¨ aa ¨ritelm¨ aa ¨. Esimerkkej¨ a (a) Kaava ak =

√ k

k m¨ aa ¨rittelee a ¨a ¨rett¨ om¨ an jonon

analyyttisesti.

1,

√

2,

√ √
3 3, 4 4, ... ∞

(b) Ehdot a1 = 1 ja ak+1 = (k + 1)an m¨ aa ¨rittelev¨ at a ¨a ¨rett¨ om¨ an lukujonon (k!)k=1 rekursiivisesti. ∞

(c) Ehdot a0 = a1 = 1 ja ak+1 = ak−1 + ak m¨ aa ¨rittelev¨ at a ¨a ¨rett¨ om¨ an lukujonon (ak )k=0 rekursiivisesti. Lukuja ak kutsutaan Fibonacin luvuiksi. Aritmeettinen jono on sellainen (¨ aa ¨rellinen tai a ¨a ¨ret¨ on) lukujono (a 1 , a2 , ...) , ett¨ a kahden per¨ akk¨ aisen termin erotus on vakio, eli on olemassa sellainen d ∈ R , ett¨ a a k −ak−1 = d jokaisella k > 1 ; t¨ all¨ oin on voimassa a1 = a1 + (1 − 1)d ja jokaiselle k p¨ atee, ett¨ a jos ak = a1 + (k − 1)d , niin ak+1 = ak + d = a1 + (k − 1)d + d = a1 + kd . Induktioperiaatteen nojalla saamme t¨ aten aritmeettisen jonon k :nnelle termille lausekkeen ak = a1 + (k − 1)d akk¨ aisten termien erotuksena on 1. Esimerkkej¨ a (a) Jono (k)∞ k=1 on aritmeettinen, per¨ (b) Tien vieress¨ a on puhelintolppia tasaisin v¨ alimatkoin. Jos merkitsemme ak :ll¨ a et¨ aisyyta n on t¨ a tien alkupisteest¨ a k :nteen tolppaan, saamme aritmeettisen jonon (ak )nk=1 , miss¨ tolppien lukum¨ aa ¨r¨ a. 53

Tied¨ amme aikaisemmasta, ett¨ a aritmeettisen jonon (k)nk=1 termien summa on

n(n+1) 2

;

t¨ am¨ an tiedon avulla voimme laskea mielivaltaisen a ¨a ¨rellisen aritmeettisen jonon termien summan. – Jos aritmeettisen jonon (ak )nk=1 per¨ akk¨ aisten termien erotus on d , niin n X

ak = na1 +

k=1

(n − 1)n a1 + a n d=n 2 2

N¨ aemme t¨ am¨ an seuraavasta yht¨ al¨ oketjusta n X

k=1

ak =

n X

k=1

(a1 + (k − 1)d) =

= na1 + d

n X

n X

a1 +

k=1

(k − 1) = na1 + d

k=1

= na1 + d

n X

k=1 n−1 X

(k − 1)d

k

k=1

a1 + a1 + (n − 1)d a1 + a n (n − 1)n =n =n . 2 2 2

Esimerkki Tien pituus on 50 kilometri¨ a. Tien varteen asennetaan s¨ ahk¨ otolppia 50 metrin v¨ alein. Ensimm¨ ainen tolppa on pystytetty tien alkuun ja loput tuhat tolppaa on kasattu tien alkuun, mist¨ a kuorma-auto vie niit¨ a paikoilleen, 20 tolppaa yhdess¨ a kuormassa. Kuinka pitk¨ an matkan kuorma-auto joutuu kulkemaan ennen kuin kaikki tolpat ovat paikoillaan? Ratkaisu. Ensimm¨ aisell¨ a (edestakaisella) matkalla auto kulkee 2 × (20 × 50) metri¨ a eli kaksi kilometri¨ a, toisella 2 + 2 = 4 kilometri¨ a, kolmannella 4 + 2 = 6 kilometri¨ a, jne.; viimeisen eli 50. matkan pituus on kaksi kertaa tien pituus eli 100 km. Kuljetusmatkojen pituudet muodostavat aritmeettisen jonon (2k)50 a olevan k=1 . Jonon termien summa on yll¨ kaavan nojalla 50 2+100 = 2550 . Kuorma-auto joutuu siis kulkemaan 2550 km ennen kuin 2 urakka on valmis (tai 2500 km, mik¨ ali auto ei lopuksi palaa tien alkuun). Esimerkki Kulhoon mahtuu 5000 lasihelme¨ a. Kulhoa t¨ aytet¨ aa ¨n helmill¨ a panemalla sinne ensin 100 helme¨ a ja sitten lis¨ aa ¨m¨ all¨ a helmi¨ a, joka kerralla 10 helme¨ a enemm¨ an kuin edellisell¨ a. Monennellako kerralla kulho t¨ ayttyy? 54

Ratkaisu. Saamme aritmeettisen jonon (100, 110, 120, ...) , jolla a1 = 100 ja d = 10 . n :nnen lis¨ ayksen j¨ alkeen helmi¨ a on kulhossa n · 100 +

(n−1)n 2

· 10 = 5n(19 + n) . Pid¨ amme

n :¨ aa ¨ tuntemattomana ja ratkaisemme yht¨ al¨ on 5n(19 + n) = 5000 eli yht¨ al¨ on n 2 + 19n − 1000 = 0 . Ratkaisukaava antaa n = joten ratkaisu on

√

4361−19 2

√ −19± 192 +4000 2

. Negatiivinen rtakaisu ei t¨ ass¨ a kelpaa,

∼ 23, 5 . T¨ am¨ a merkitsee sit¨ a, ett¨ a kulho tulee t¨ ayteen 24.

lis¨ ayskerralla. Geometrinen jono on sellainen (¨ aa ¨rellinen tai a ¨a ¨ret¨ on) lukujono (a 1 , a2 , ...) , ett¨ a kahden per¨ akk¨ aisen termin suhde on vakio, eli on olemassa sellainen r ∈ R , r 6= 0 , ett¨ a ak ak−1

= r jokaisella k > 1 ; t¨ all¨ oin on voimassa a1 = a1 · r 1−1 ja jokaiselle k p¨ atee, ett¨ a

jos ak = a1 · r k−1 , niin ak+1 = ak · r = a1 · r k−1 · r = a1 · r k . Induktioperiaatteen nojalla saamme t¨ aten geometrisen jonon k :nnelle termille lausekkeen ak = a1 · r k−1 Edellisen nojalla geometrinen jono on aina muotoa (a, ar, ar 2, . . .) joillain a 6= 0 ja r 6= 0 . Esimerkkej¨ a (a) Jos r 6= 0 , niin jono (1, r, r 2 , r 3 , . . .) , eli jono (r k−1 )∞ k=1 , on geometrinen, per¨ akk¨ aisten termien suhteena on r . (b) Pankkitilill¨ a oli vuonna 2001 a euroa. Joka vuodenvaihteessa tilille lis¨ at¨ aa ¨n korko, joka on 5% tilin saldosta. Vuonna 2002 tilill¨ a on a + on

105 a 100

+

5 105 ( a) 100 100

=

105 a(1 100

+

5 ) 100

5 a 100

=

105 a 100

euroa, vuonna 2003 siell¨ a

105 2 = ( 100 ) a euroa. Merkitsem¨ all¨ a sk :ll¨ a tilin saldoa

vuonna 2000 + k saamme geometrisen jonon (s1 , s2 , ...) , jonka ensimm¨ ainen termi on a ja per¨ akk¨ aisten termien suhde on

105 100

105 k−1 ; toisin sanoen, sk = ( 100 ) a jokaisella k = 1, 2, ...

(c) Jos yhdist¨ amme n -kulmion vierekk¨ aisten sivujen keskipisteet viivoilla, saamme n kulmion sis¨ aa ¨n uuden n -kulmion. Voimme tehd¨ a saman uudelle n -kulmiolle, jolloin saamme senkin sis¨ aa ¨n n -kulmion. Jatkamalla saamme jonon sis¨ akk¨ aisi¨ a n -kulmioita. Seuraavassa kuvassa on esitetty t¨ allaiset jonot: vasemmanpuolisen jonon alkuna on s¨ aa ¨nn¨ ollinen viisikulmio ja oikeanpuolisen s¨ aa ¨nn¨ ollinen kuusikulmio.

55

Yll¨ a kuvattuihin “aidosti geometrisiin” jonoihin liittyy my¨ os geometrisia lukujonoja. Voimme esimerkiksi tarkastella oikeanpuoliseen kuvioon liittyv¨ aa ¨ lukujonoa (s 1 , s2 , . . .) , miss¨ a sk on k :nnen kuusikulmion sivun pituus. N¨ aemme t¨ am¨ an lukujonon geometrisuuden seuraavasti: kun tarkastelemme k :nnen ja k + 1 :n kuusikulmion v¨ aliin j¨ aa ¨v¨ aa ¨ tasakylkist¨ a kolmiota ja puolitamme kolmion kannan vastaisen 120◦ kulman, saamme kaksi (samanlaista) suorakulmaista kolmiota, joilla hypotenuusan pituus on puolet luvusta s k ja 60◦ asteista kulmaa vastap¨ aa ¨t¨ a olevan sivun pituus on puolet luvusta sk+1 ; t¨ aten suhde sk+1 sk

on yht¨ asuuri kuin sin 60◦ eli

lukujen suhteena

√

3 2

√

3 2

. Jono (s1 , s2 , . . .) on siis geometrinen, per¨ akk¨ aisten

. Vastaavanlainen p¨ aa ¨ttely osoittaa, ett¨ a my¨ os vasemmanpuolisen

kuvion viisikulmioiden sivujen pituuksien jono on geometrinen; t¨ am¨ an jonon per¨ akk¨ aisten termien suhde on sin 54◦ eli

√

5+1 4

eli

φ 2

, miss¨ a φ on edell¨ a tarkasteltu “kultainen luku”!

S¨ aa ¨nn¨ ollisen n -kulmion ala on suoraan verrannollinen kuvion sivun pituuden neli¨ oo ¨n. T¨ ast¨ a seuraa, ett¨ a my¨ os kummankin yll¨ a kuvatun jonon kulmioiden pinta-alat muodostavat geometrisen jonon. Aikaisemmin mainitsimme polynomien tekij¨ oihin jaon yhteydess¨ a kaavat 1 − x 2 =

(1 − x)(1 + x) , 1 − x3 = (1 − x)(1 + x + x2 ) ja 1 − x4 = (1 − x)(1 + x + x2 + x3 ) . Induktiolla voimme n¨ aytt¨ aa ¨ (N¨ ayt¨ a!), ett¨ a jokaisella n = 1, 2, 3... on voimassa 1 − xn = (1 − x)(1 + x + x2 + x3 + · · · + xn−1 ) . Jakamalla yht¨ al¨ on puolittain 1 − x :ll¨ a (silloin kun se on mahdollista), saamme seuraavan yht¨ al¨ on 1 + x + x2 + · · · + xn−1 = 56

1 − xn 1−x

kun x 6= 1 .

Kertomalla edellisen yht¨ al¨ on puolittain reaaliluvulla a saamme lausekkeen a ¨a ¨rellisen geometrisen jonon termien summalle. – Kaikilla a, r ∈ R , r 6= 1 , ja jokaisella n = 1, 2, . . . on voimassa a + ar + ar 2 + · · · + ar n−1 = a

1 − rn 1−r

Annamme nyt muutamia esimerkkej¨ a “geometrisen summan” k¨ ayt¨ ost¨ a. Esimerkki (a) Akilleus ja kilpikonna. Antiikin aikaisen paradoksin mukaan Akilleus ei voi kilpajuoksussa saavuttaa kilpikonnaa, jos kilpikonnalle annetaan etumatkaa. Oletetaan vaikkapa ett¨ a etumatka on 100 metri¨ a, Akilleus juoksee 20 metri¨ a sekunnissa ja kilpikonna “juoksee” kaksi senttimetri¨ a sekunnissa. Akilleus juoksee etumatkan kiinni viidess¨ a sekunnissa, mutta t¨ an¨ a aikana kilpikonna on edennyt kymmenen senttimetri¨ a. Akilleus juoksee 10 cm matkan

5 1000

sekunnissa, mutta silloin kilpikonna on edennyt

1 10

millimetri¨ a. Eli

alkaa n¨ aytt¨ aa ¨ silt¨ a, ett¨ a aina kun Akilleus p¨ aa ¨see sinne, miss¨ a kilpikonna oli, niin kilpikonna onkin jo ehtinyt kauemmaksi, eli silt¨ a, ettei Akilleus koskaan saavuta kilpikonnaa. Miss¨ a vika? “Ratkaisu” Tasaisen nopeuden kaavasta “matka=aika × nopeus”, saamme lineaarisen yht¨ al¨ on sille ajanhetkelle t , jolloin Akilleus saavuttaa kilpikonnan: 100 + Yht¨ al¨ on ratkaisu on t =

5000 999

2 · t = 20 · t . 100

∼ 5, 005 eli “todellisuudessa” Akilleus saavuttaa kilpikonnan

1 noin 5 200 sekunnin p¨ aa ¨st¨ a. Paradoksin kuvailussa tuo aika pilkotaan yh¨ a pieneneviin

osiin, jolloin rupeaa n¨ aytt¨ am¨ aa ¨n, ettei Akilleus milloinkaan saa kilpikonnaa kiinni. Tarkastellaan asiaa seuraavasti: merkit¨ aa ¨n a1 :ll¨ a aikaa, joka Akilleukselta menee etumatkan kiinniottamiseen, a2 :lla aikaa, joka Akilleukselta menee kilpikonnan ajassa a1 kulkeman matkan suorittamiseen, a3 :lla aikaa, joka Akilleukselta kuluu kilpikonnan ajassa a2 kulkeman matkan suorittamiseen, jne. Koska kilpikonna kulkee ajassa a matkan 2 a · 100 (metri¨ a) ja Akilleus juoksee tuon matkan

a1 = 5 (sekunttia) ja an+1 =

2 a· 100 20

an 1000

57

=

a 1000

sekunnissa, niin on voimassa

jokaisella n = 1, 2, . . .

T¨ aten paradoksissa tarkastellut aikav¨ alit muodostavat geometrisen jonon, jonka ensimm¨ ainen termi on 5 ja jossa per¨ akk¨ aisten termien suhde on

1 1000

. Geometrisen summan kaavan

nojalla on voimassa   1 )n 1 − ( 1000 5000 5 1 1000 = − . =5 1− a1 + a 2 + · · · + a n = 5 1 n 1000 999 999 999 · 10n−1 1 − 1000 T¨ ast¨ a n¨ aemme, ett¨ a aika on paradoksissa pilkottu osiin, joiden yhteenlaskettu kesto ei milloinkaan ylit¨ a

5000 999

sekunttia, eli sit¨ a aikaa, joka Akilleukselta kului kilpikonnan kiin-

nisaamiseen. Oikea johtop¨ aa ¨t¨ os ei siis ole, ettei Akilleus saavuta “koskaan” kilpikonnaa, vaan ettei Akilleus saavuta kilpikonnaa “koskaan ennen kuin

5000 999

sekunnin p¨ aa ¨st¨ a”.

(b) Maailman tunnetut o ¨ljyvarat riitt¨ av¨ at er¨ aa ¨n arvion mukaan t¨ am¨ anvuotisella kulutuksella viel¨ a 40 seuraavaa vuotta. Kauanko ne kest¨ aisiv¨ at, jos kulutus kasvaisi 5% joka vuosi? Ratkaisu. Merkitsemme a :lla nykyist¨ a vuosikulutusta ja m :ll¨ a tunnettujen o ¨ljyesiintym a

mien arvioitua kokonaissis¨ alt¨ oa ¨, jolloin siis vuodessa. Ensi vuonna kulutus on

105 100 a ,

= 40 . Oletamme, ett¨ a kulutus kasvaa 5%

2 ¨ a kuluu n :n seuseuraavana ( 105 100 ) a jne. Oljy¨

raavan vuoden aikana 105 a+ 100



105 100

2

a+ ···+



105 100

n

a.

Geometrisen summan kaavan nojalla edelliselle summalle saadaan lauseke   n   105 n ) 1 − ( 100 105 21 = 21a −1 . a 105 100 20 1 − 100
n
Haluamme l¨ oyt¨ aa ¨ pienimm¨ an n :n arvon, jolle p¨ atee, ett¨ a 21a 21 − 1 ≥ m . Koska 20

21 n 21 n 61 m = 40a , ratkottavaksi tulee ep¨ ayht¨ al¨ o 21 20 − 1 ≥ 40 eli ( 20 ) ≥ 21 . Koska

21 21 22 ) ∼ 2, 79 ja ( 21 ∼ 2, 93 ep¨ ayht¨ al¨ on oikean puolen luvulla on likiarvona 2,90 ja koska ( 20 20 )

n¨ aemme, ett¨ a arvioitu o ¨ljy loppuisi 5% kasvavalla kulutuksella noin 22 vuoden p¨ aa ¨st¨ a. Yll¨ a ensimm¨ aisess¨ a esimerkiss¨ a olemme jo kohdanneet jonoja, jotka eiv¨ at ole sen paremmin aritmeettisia kuin geometrisiakaan. Tarkastelemme viel¨ a yht¨ a erityist¨ a jonoa, joka ei ole kumpaakaan noista kahdesta tyypist¨ a. 58

¨ aret¨ am¨ a on esiA¨ ont¨ a lukujonoa (1, 21 , 13 , 41 , . . .) kutsutaan harmoniseksi jonoksi. T¨ merkki jonosta, jonka termit “l¨ ahenev¨ at nollaa” indeksin kasvaessa. Sama ominaisuus on my¨ os niill¨ a geometrisilla jonoilla, joissa per¨ akk¨ aisten termien suhde on itseisarvoltaan pienempi kuin 1, mutta n¨ aill¨ a jonoilla on toinenkin ominaisuus, joka puuttuu harmoniselta jonolta. Yll¨ a ‘Akilleus ja kilpikonna’ - paradoksin yhteydess¨ a n¨ aimme, ett¨ a geometrisella jonolla, jonka per¨ akk¨ aisten termien suhde on

1 1000

, on se ominaisuus, ett¨ a jonon termien

a ¨a ¨relliset summat pysyv¨ at rajoitettuina; sama p¨ aa ¨ttely antaa saman johtop¨ aa ¨t¨ oksen jonolle (a, ar, ar 2, . . .) , miss¨ a |r| < 1 . Harmoniselle jonolle t¨ am¨ a johtop¨ aa ¨t¨ os ei p¨ ade, mink¨ a n¨ aemme ryhmittelem¨ all¨ a jonon 2n − 1 :n ensimm¨ aisen termin summan seuraavasti: 1+



1 1 + 2 3



+



1 1 1 1 + + + 4 5 6 7



+ ···+



1 2n−1

1 + ···+ n 2 −1



T¨ am¨ an ryhmittelyn k :nnessa ryhm¨ ass¨ a on 2k−1 yhteenlaskettavaa, joista kukin on suurempi kuin

1 2k

; t¨ aten k :nnen ryhm¨ an summa on arvoltaan suurempi kuin

Koska ryhmi¨ a on n kappaletta, koko summan arvo on suurempi kuin

n 2

2k−1 2k

=

.

. N¨ ain n¨ aemme,

ett¨ a harmonisen jonon termien a ¨a ¨relliset summat voivat olla “mielivaltaisen suuria”.

59

1 2

Luku 11. Ep¨ ayht¨ al¨ ot Meill¨ a on k¨ ayt¨ oss¨ a nelj¨ a merkint¨ aa ¨ a < b , a > b , a ≤ b ja a ≥ b kuvaamaan reaalilukujen a ja b keskin¨ aist¨ a suuruusj¨ arjestyst¨ a. Kutsumme n¨ aiss¨ a merkinn¨ oiss¨ a esiintyvi¨ a symboleita < , > ja ≤ ja ≥ “j¨ arjestysmerkeiksi”. Koska ehdot a < b ja b > a ovat kesken¨ aa ¨n yht¨ apit¨ av¨ at, sanomme merkkien < ja > olevan toistensa k¨ aa ¨nteismerkkej¨ a. Samalla perusteella sanomme merkkien ≤ ja ≥ olevan toistensa k¨ aa ¨nteismerkkej¨ a. Jotta emme seuraavassa joutuisi toistamaan asioita moneen kertaan, k¨ ayt¨ amme v¨ alill¨ a “yleissymbolia” ./ esitt¨ am¨ aa ¨n jotakin nelj¨ ast¨ a merkist¨ a < , > , ≤ tai ≥ . Yleinen yhden muuttuja ep¨ ayht¨ al¨ o on muotoa s(x) ./ t(x) oleva kaava, miss¨ a s(x) ja t(x) ovat x -lausekkeita. Sanomme my¨ os, ett¨ a s(x) ./ t(x) on “ x -ep¨ ayht¨ al¨ o”. Esimerkki 3x +

√

1

π ≤ |7x − π 3 | , 1 − 2x2 + 3x3 > x6 ja (1 + x)(1 − x− 3 ) ≥ 1 − x4 ovat

x -ep¨ ayht¨ al¨ oit¨ a. Ep¨ ayht¨ al¨ on s(x) ./ t(x) ratkaisemisella tarkoitamme kaikkien niiden reaalilukujen r l¨ oyt¨ amist¨ a, jotka ovat ep¨ ayht¨ al¨ on ratkaisuja eli toteuttavat ehdon s(r) ./ t(r) ; ep¨ ayht¨ al¨ on ratkaisujoukko on {r ∈ R : s(r) ./ t(r)} . Ep¨ ayht¨ al¨ on ratkaisemisella joukossa A ⊂ R tarkoitamme kaikkien niiden reaalilukujen

r ∈ A l¨ oyt¨ amist¨ a, jotka ovat ep¨ ayht¨ al¨ on ratkaisuja. Toisinaan ep¨ ayht¨ al¨ oit¨ a on helpompi

ratkaista “paloittain”: jaamme reaaliluvut kahteen tai useampaan joukkoon ja etsimme ratkaisut kussakin joukossa erikseen. Sanomme, ett¨ a kaksi ep¨ ayht¨ al¨ oa ¨ on kesken¨ aa ¨n yht¨ apit¨ avi¨ a, jos niill¨ a on sama ratkaisujoukko. Sanomme my¨ os, ett¨ a kaksi ep¨ ayht¨ al¨ oa ¨ on yht¨ apit¨ avi¨ a joukossa A ⊂ R , jos niill¨ a on samat ratkaisut joukossa A . Ep¨ ayht¨ al¨ oiden ratkaiseminen perustuu usein reduktioon, jossa ep¨ ayht¨ al¨ oit¨ a muutetaan vaiheittain yksinkertaisemmiksi, s¨ ailytt¨ aen yht¨ apit¨ avyys alkuper¨ aiseen ep¨ ayht¨ al¨ oo ¨n, kunnes saavutetaan ep¨ ayht¨ al¨ o, joka osataan ratkaista. Jos suoritamme ep¨ ayht¨ al¨ on jommankummalla puolella lausekkeessa esiintyv¨ an laskutoimituksen (laskus¨ aa ¨nt¨ o jen mukaisesti!) tai vaihdamme lausekkeen termien tai osalausekkeiden j¨ arjestyst¨ a tai ryhmittely¨ a (laskus¨ aa ¨nt¨ o jen mukaisesti!), saamme alkuper¨ aisen kanssa yht¨ apit¨ av¨ an ep¨ ayht¨ al¨ on. 60

√ Esimerkki Ep¨ ayht¨ al¨ o 3x2 + x − 3(1 + x + x2 ) ./ 0 on yht¨ apit¨ av¨ a ep¨ ayht¨ al¨ on 3x2 + √ √ x − 3 − 3x − 3x2 ./ 0 kanssa ja t¨ am¨ a ep¨ ayht¨ al¨ o on yht¨ apit¨ av¨ a ep¨ ayht¨ al¨ on x − 3 − 3x ./ 0 kanssa

Laskutoimitusten suorittamisen ja termien siirtelyn lis¨ aksi my¨ os er¨ aa ¨t muut muunnokset s¨ ailytt¨ av¨ at ep¨ ayht¨ al¨ oiden yht¨ apit¨ avyyden. Yksi n¨ aist¨ a on ep¨ ayht¨ al¨ on k¨ aa ¨nt¨ aminen, joka antaa seuraavat yht¨ apit¨ avyydet. – Ep¨ ayht¨ al¨ ot s(x) < t(x) ja t(x) > s(x) ovat yht¨ apit¨ av¨ at. – Ep¨ ayht¨ al¨ ot s(x) ≤ t(x) ja t(x) ≥ s(x) ovat yht¨ apit¨ av¨ at. Lausekkeen lis¨ aa ¨minen ep¨ ayht¨ al¨ on molemmille puolille antaa seuraavat yht¨ apit¨ avyydet. – Ep¨ ayht¨ al¨ ot s(x) < t(x) ja s(x) + r(x) < t(x) + r(x) ovat yht¨ apit¨ av¨ at. – Ep¨ ayht¨ al¨ ot s(x) ≤ t(x) ja s(x) + r(x) ≤ t(x) + r(x) ovat yht¨ apit¨ av¨ at. Kuvailemme alla kolmannen muunnoksen, ep¨ ayht¨ al¨ on kertomisen puolittain, vaikutusta vain muotoa s(x) < t(x) olevaan ep¨ ayht¨ al¨ oo ¨n, mutta vastaavat yht¨ apit¨ avyydet p¨ atev¨ at, jos alla merkit ‘ < ’ ja ‘ > ’ korvataan merkeill¨ a ‘ ≤ ’ ja ‘ ≥ ’.

– Ep¨ ayht¨ al¨ ot s(x) < t(x) ja r(x) · s(x) < r(x) · t(x) ovat yht¨ apit¨ av¨ at, mik¨ ali r(a) on positiivinen jokaisella a .

– Ep¨ ayht¨ al¨ ot s(x) < t(x) ja r(x) · s(x) > r(x) · t(x) ovat yht¨ apit¨ av¨ at, mik¨ ali r(a) on negatiivinen jokaisella a .

Lineaarinen yhden muutujan ep¨ ayht¨ al¨ o voidaan ratkaista edellisten muunnosten avulla. Kyseisenlainen ep¨ ayht¨ al¨ o on muotoa ax + b ./ cx + d , miss¨ a a, b, c, d ∈ R ; tapauksessa a 6= c ep¨ ayht¨ al¨ o ratkeaa seuraavasti:

– lis¨ aa ¨mme vakion −b ep¨ ayht¨ al¨ on molemmille puolille, jolloin saamme yht¨ apit¨ av¨ an yht¨ al¨ on ax ./ cx + d − b ;

– lis¨ aa ¨mme edellisess¨ a vaiheessa saadun ep¨ ayht¨ al¨ on molemmille puolille termin −cx , jolloin

saamme yht¨ apit¨ av¨ an ep¨ ayht¨ al¨ on (a − c)x ./ d − b ; – kerromme yht¨ al¨ on molemmat puolet luvulla

1 a−c

, ja tarkastelemme kahta eri tapausta: d−b a−c . d−b x/. a−c

Tapaus (a) Jos a − c > 0 , niin saamme yht¨ apit¨ av¨ an ep¨ ayht¨ al¨ on x ./ Tapaus (b) Jos a − c < 0 , niin saamme yht¨ apit¨ av¨ an ep¨ ayht¨ al¨ on

, miss¨ a /. on

merkin ./ k¨ aa ¨nteismerkki.

Kohtien (a) ja (b) ep¨ ayht¨ al¨ oist¨ a n¨ aemme suoraan ratkaisun: jos esimerkiksi ./ on < ja a − c = 2 , niin ratkaisujoukko on {r ∈ R : r >

ratkaisujoukko on {r ∈ R : r ≤ d − c} .

61

c−d 2 }

ja jos ./ on ≥ ja a − c = −1 , niin

My¨ os tapauksessa a = c , saamme (kuten yll¨ a) ep¨ ayht¨ al¨ on ax + b ./ cx + d kanssa ekvivalentin ep¨ ayht¨ al¨ on (a − c)x ./ d − b , mutta koska a − c = 0 , viimeksi kirjoitettu ep¨ ayht¨ al¨ o on ekvivalentti ep¨ ayht¨ al¨ on 0 ./ d − b kanssa; t¨ am¨ a ep¨ ayht¨ al¨ o joko toteutuu tai

ei, x :st¨ a riippumatta. Riippuen siit¨ a, toteutuuko ehto 0 ./ d − b vai ei, ratkaisujoukko on joko koko R tai tyhj¨ a.

K¨ ayt¨ ann¨ oss¨ a suoritamme usein edell¨ a mainittuja muunnoksia yksinkertaistetussa muodossa: voimme esimerkiksi siirt¨ aa ¨ termin ep¨ ayht¨ al¨ on toiselta puolelta toiselle kun samalla kerromme termin −1 :ll¨ a (eli muutamme termin “vastatermikseen”) sen sijaan, ett¨ a en-

sin lis¨ aisimme molemmille puolille termin vastatermin ja sitten korvaisimme termin ja sen vastatermin summan 0 :lla. Voimme tarkastella yhden muuttujan ep¨ ayht¨ al¨ on ratkaisua my¨ os graafisesti: jos ep¨ ayht¨ al¨ o on vaikkapa s(x) < t(x) , niin siirrymme yht¨ apit¨ av¨ aa ¨n ep¨ ayht¨ al¨ oo ¨n s(x) − t(x) < 0 , piirr¨ amme funktion y = s(x) − t(x) kuvaajan ja yrit¨ amme kuvasta selvitt¨ aa ¨, mill¨ a kohdin

kuvaaja on x -akselin alapuolella: jos funktio on riitt¨ av¨ an yksinkertainen, niin usein kuva sek¨ a tieto funktion nollakohdista riitt¨ aa ¨ ep¨ ayht¨ al¨ on ratkaisujoukon selvitt¨ amiseen. Teht¨ av¨ a Ratkaise ep¨ ayht¨ al¨ o x2 < x + 10 .

Ratkaisu. Muunnamme ensin ep¨ ayht¨ al¨ on yht¨ apit¨ av¨ aa ¨n muotoon x2 − x − 10 < 0 . Funktion f (x) = x2 − x − 10 kuvaaja n¨ aytt¨ aa ¨ seuraavalta:

Kuvasta n¨ aemme, ett¨ a ep¨ ayht¨ al¨ o f (x) < 0 toteutuu funktion f kahden nollakohdan v¨ aliin j¨ aa ¨v¨ all¨ a lukusuoran osalla. Lasketaan f :n nollakohdat toisen asteen yht¨ al¨ on ratkaisukaavasta:

1±

√

1 + 40 . x= 2 n √ Ep¨ ayht¨ al¨ on ratkaisujoukko on siten r ∈ R : 1−2 41 < r
0 koska x ≥ 0 ), saamme yht¨ apit¨ av¨ an ep¨ ayht¨ al¨ on  2 1 20 − 2 x − ≥ 4x + 4 . 5 ≤ Suorittamalla neli¨ oo ¨n korotuksen ja sievent¨ am¨ all¨ a p¨ aa ¨dymme ep¨ ayht¨ al¨ oo ¨n x 2 + 58 x − 199 25

0 . Koska funktion f (x) = x2 + 58 x −

199 25

kuvaaja on yl¨ osp¨ ain aukeava paraabeli, n¨ aem-

me ett¨ a viimeinen ep¨ ayht¨ al¨ o toteutuu funktion nollakohtien v¨ alisell¨ a lukusuoran osalla. Nollakohdat saadaan toisen asteen yht¨ al¨ on ratkaisukaavasta: q √ 796 − 85 ± 64 −8 ± 860 25 + 25 x= = . 2 10 Toinen nollakohta on negatiivinen ja toisella on likiarvona 2,13. T¨ aten hiekkalaatikon sivun pituus voi olla korkeintaan 2 metri¨ a ja 13 senttimetri¨ a. Usein joudumme ratkomaan ep¨ ayht¨ al¨ oit¨ a, joiden lausekkeissa esiintyy osalausekkeiden itseisarvoja. Itseisarvolausekkeista voimme pyrki¨ a p¨ aa ¨sem¨ aa ¨n eroon k¨ aytt¨ am¨ all¨ a seuraavia itseisarvon ominaisuuksia: – |z| < r ⇐⇒ −r < z < r .

– |z| = r ⇐⇒ z = −r tai z = r .

– |z| > r ⇐⇒ z < −r tai z > r . 63

N¨ aiden v¨ aitteiden paikkansapit¨ avyys selvi¨ aa ¨ seuraavasta kuvasta: f(x)=|x| y=r

-r

r

Teht¨ av¨ a Ratkaise ep¨ ayht¨ al¨ o |3x − 4| > 4 + | − x − 8| . Ratkaisu. Yll¨ a kolmantena olevan itseisarvos¨ aa ¨nn¨ on mukaan ratkaistava ep¨ ayht¨ al¨ o toteutuu t¨ asm¨ alleen silloin kun jompikumpi ep¨ ayht¨ al¨ oist¨ a 3x − 4 < −4 − | − x − 8| tai

3x − 4 > 4 + | − x − 8| toteutuu. Ratkaisemme erikseen n¨ am¨ a ep¨ ayht¨ al¨ ot.

Ep¨ ayht¨ al¨ o 3x − 4 < −4 − | − x − 8| on yht¨ apit¨ av¨ a ep¨ ayht¨ al¨ on 3x < −| − x − 8| kanssa;

kun kerromme t¨ am¨ an ep¨ ayht¨ al¨ on puolittain luvulla −1 , saamme yht¨ apit¨ av¨ an ep¨ ayht¨ al¨ on

−3x > | − x − 8| ; yll¨ a ensimm¨ aisen¨ a olevan s¨ aa ¨nn¨ on mukaan t¨ am¨ a on yht¨ apit¨ av¨ a kak-

soisep¨ ayht¨ al¨ on −(−3x) < −x − 8 < −3x kanssa. Kaksoisep¨ ayht¨ al¨ on ratkaisut ovat niit¨ a

lukuja, jotka ovat sek¨ a ep¨ ayht¨ al¨ on 3x < −x − 8 ett¨ a ep¨ ayht¨ al¨ on −x − 8 < −3x ratkaisuja. Ratkaisemme seuraavaksi n¨ am¨ a kaksi ep¨ ayht¨ al¨ oa ¨. Ratkaisemme ep¨ ayht¨ al¨ on 3x < −x − 8 yht¨ apit¨ avyyksien kautta: 3x < −x − 8 4x < −8 x < −2 . Ratkaisemme ep¨ ayht¨ al¨ on −x − 8 < −3x yht¨ apit¨ avyyksien kautta: −x − 8 < −3x 2x < 8 x 4 + | − x − 8| on yht¨ apit¨ av¨ a ep¨ ayht¨ al¨ on 3x − 8 > |−x − 8| kanssa

ja t¨ am¨ a ep¨ ayht¨ al¨ o on yll¨ a ensimm¨ aisen¨ a olevan s¨ aa ¨nn¨ on mukaan yht¨ apit¨ av¨ a kaksoisep¨ ayht¨ al¨ on −(3x − 8) < −x − 8 < 3x − 8 kanssa. Kaksoisep¨ ayht¨ al¨ on ratkaisut ovat niit¨ a lukuja,

jotka ovat sek¨ a ep¨ ayht¨ al¨ on −(3x−8) < −x−8 ett¨ a ep¨ ayht¨ al¨ on −x−8 < 3x−8 ratkaisuja. Ratkaisemme ep¨ ayht¨ al¨ on −(3x − 8) < −x − 8 yht¨ apit¨ avyyksien kautta: −(3x − 8) < −x − 8 −3x + 8 < −x − 8 16 < 2x x>8. Ratkaisemme ep¨ ayht¨ al¨ on −x − 8 < 3x − 8 yht¨ apit¨ avyyksien kautta: −x − 8 < 3x − 8 0 < 4x x>0.

Koska ehto r > 0 toteutuu aina jos ehto r > 8 toteutuu, ep¨ ayht¨ al¨ oiden −(3x − 4)
8} . T¨ am¨ a on siis ep¨ ayht¨ al¨ on 3x − 4 > 4 + | − x − 8| ratkaisujoukko.

Alkuper¨ aisen ep¨ ayht¨ al¨ on ratkaisujoukko on ep¨ ayht¨ al¨ oiden 3x − 4 < −4 − | − x − 8| ja

3x − 4 > 4 + | − x − 8| ratkaisujoukkojen yhdiste, eli joukko {r ∈ R : r < −2 tai r > 8} .

Edellisen itseisarvoep¨ ayht¨ al¨ on ratkaisu oli helppo, mutta kuitenkin pitk¨ a, koska jouduimme tarkastelemaan monia eri tapauksia. Joissain tilanteissa voimme v¨ ahent¨ aa ¨ tapauksiin jakoa (tai v¨ altt¨ aa ¨ sen kokonaan) siirtym¨ all¨ a itseisarvosta sen sis¨ alt¨ am¨ an lausekkeen neli¨ oo ¨n seuraavien tulosten avulla: – |z|2 = z 2 .

– Jos u ≥ 0 ja v ≥ 0 , niin ep¨ ayht¨ al¨ ot u ./ v ja u2 ./ v 2 ovat kesken¨ aa ¨n yht¨ apit¨ av¨ at. Teht¨ av¨ a Ratkaise ep¨ ayht¨ al¨ o |3x − 4| > | − x − 8| .

Ratkaisu. Koska itseisarvot ovat aina ep¨ anegatiivisia, ep¨ ayht¨ al¨ o |3x − 4| > | − x − 8|

on yht¨ apit¨ av¨ a ep¨ ayht¨ al¨ on |3x − 4|2 > | − x − 8|2 kanssa. Koska |z|2 = z 2 , voimme

kirjoittaa edellisen ep¨ ayht¨ al¨ on muotoon (3x − 4)2 > (−x − 8)2 . Suorittamalla neli¨ oo ¨n

korotukset, saamme ep¨ ayht¨ al¨ on 9x2 − 24x + 16 > x2 + 16x + 64 , joka on yht¨ apit¨ av¨ a 65

ep¨ ayht¨ al¨ on 8x2 − 40x − 48 > 0 ja edelleen ep¨ ayht¨ al¨ on x2 − 5x − 6 > 0 kanssa. Koska funktion f (x) = x2 −5x−6 kuvaaja on yl¨ osp¨ ain aukeava paraabeli n¨ aemme, ett¨ a ep¨ ayht¨ al¨ o

f (x) > 0 toteutuu kaikkialla muualla paitsi f :n mahdollisten nollakohtien v¨ aliin j¨ aa ¨v¨ all¨ a lukusuoran osalla. Kaavasta (x + p)(x + q) = x2 + (p + q)x + pq n¨ aemme, ett¨ a polynomilla

x2 − 5x − 6 on tekij¨ oihin jako (x − 6)(x + 1) . T¨ aten funktiolla f on kaksi nollakohtaa,

6 ja −1 . Ep¨ ayht¨ al¨ on f (x) > 0 , ja siten my¨ os alkuper¨ aisen ep¨ ayht¨ al¨ on, ratkaisujoukko on edellisen nojalla {r ∈ R : r < −1} ∪ {r ∈ R : r > 6} .

T¨ allaista neli¨ oo ¨n korottamisen menetelm¨ aa ¨ voidaan usein my¨ os k¨ aytt¨ aa ¨ silloin, kun ratkottavana on ep¨ ayht¨ al¨ oit¨ a (tai yht¨ al¨ oit¨ a), joissa esiintyy neli¨ o juurilausekkeita. Edell¨ a olemme tarkastelleet vain yksitt¨ aisi¨ a yhden muuttujan ep¨ ayht¨ al¨ oit¨ a, mutta monet ongelmat johtavat ep¨ ayht¨ al¨ oihin tai ep¨ ayht¨ al¨ oryhmiin, joissa esiintyy kaksi tai useampia muuttujia. Kahden muuttujan ep¨ ayht¨ al¨ oiden ratkaisujoukko voidaan tulkita tason R 2 osajoukoksi ja t¨ allaisten ep¨ ayht¨ al¨ oiden ratkaisemisessa graafisilla tarkasteluilla on viel¨ a suurempi merkitys kuin yhden muuttujan ep¨ ayht¨ al¨ on tapauksessa. Esimerkki Seuraavassa on varjostamalla kuvattu er¨ aiden kahden muuttujan ep¨ ayht¨ al¨ oiden ratkaisujoukkoja.

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

9 8 7 6 5 4 3 2 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9

9 8 7 6 5 4 3 2 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9

-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

9 8 7 6 5 4 3 2 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9

-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9

Vasemmanpuolinen kuvio esitt¨ aa ¨ ep¨ ayht¨ al¨ on 10(y + 1) > x(x − 1) ratkaisujoukkoa,

keskimm¨ ainen ep¨ ayht¨ al¨ on x > 2y − 2 ratkaisujoukkoa ja oikeanpuolinen ep¨ ayht¨ al¨ oparin 5 11 x

>y>

1 4 800 x

−

1 3 400 x

− 10 ratkaisujoukkoa.

Seuraava esimerkki valaisee graafisen tarkastelun merkityst¨ a kahden muuttujan ep¨ ayht¨ al¨ oryhmien ratkaisemisessa. Ongelma Ruokalan keitti¨ oss¨ a on j¨ aljell¨ a 30 kanankoipea ja 40 vihannespy¨ orykk¨ aa ¨. Annokseen A tulee kolme kanankoipea ja kaksi vihannespy¨ orykk¨ aa ¨ ja annokseen B kaksi kanankoipea ja nelj¨ a vihannespy¨ orykk¨ aa ¨. Monellako eri tavalla voidaan koivet ja py¨ oryk¨ at jakaa annoksiin A ja B (siten, ettei j¨ aljellej¨ aa ¨vist¨ a en¨ aa ¨ synny yht¨ aa ¨n annosta)? 66

Ratkaisu. Merkitsemme x :ll¨ a annosten A ja y :ll¨ a annosten B lukum¨ aa ¨r¨ aa ¨. On oltava x ≥ 0 ja y ≥ 0 . Jotta koivet riitt¨ aisiv¨ at, on oltava 3x + 2y ≤ 30 ja jotta py¨ oryk¨ at riitt¨ aisiv¨ at, on oltava 2x + 4y ≤ 40 . N¨ am¨ a ep¨ ayht¨ al¨ ot m¨ aa ¨ritt¨ av¨ at seuraavan n¨ ak¨ oisen tasoalueen.

16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

Tied¨ amme my¨ os, ett¨ a x :n ja y :n arvojen on oltava kokonaislukuja. Seuraavassa on esitetty edellisen kuvan alueeseen sis¨ altyv¨ at kokonaislukuparit. 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

Koska vaadittiin my¨ os, ettei j¨ aljellej¨ aa ¨vist¨ a koivista ja py¨ oryk¨ oist¨ a synny yht¨ aa ¨n annosta, kelpuutamme edellisen kuvan kokonaislukupareista vain ne, joiden yl¨ apuolella ja oikealla puolella ei ole merkittyj¨ a kokonaislukupareja. T¨ allaisia on yhdeks¨ an kappaletta: (0, 10), (2, 9), (4, 8), (5, 7), (6, 6), (7, 4), (8, 3), (9, 1) ja (10, 0) . Koivet ja py¨ oryk¨ at voidaan siis jakaa n¨ aill¨ a yhdeks¨ all¨ a eri tavalla annoksiin A ja B.

67

Luku 12. Todenn¨ ak¨ oisyys Matemaattinen todenn¨ ak¨ oisyys antaa mallin monessa yhteydess¨ a havaitulle “tilastollisen frekvenssin stabiilisuudelle ”. Kyseinen stabiilisuus ilmenee siten, ett¨ a jos jotain pitk¨ aa ¨ koe- tai havaintosarjaa toistetaan useampaan kertaan ja kirjataan tietyn lopputuloksen tai havaintoarvon esiintymiskertojen lukum¨ aa ¨r¨ a (eli “frekvenssi”), niin “suhteellinen frekvenssi”, eli frekvenssin suhde kokeen tai havainnon toistokertojen lukum¨ aa ¨r¨ aa ¨n, pysyy “l¨ ahell¨ a” yht¨ a ja samaa lukua; kyseist¨ a lukua kutsutaan kyseisen lopputuloksen tai havaintoarvon tilastolliseksi todenn¨ ak¨ oisyydeksi. Jos esimerkiksi heitet¨ aa ¨n kolikkoa tuhat kertaa ja lasketaan saatujen “klaavojen” lukum¨ aa ¨r¨ a, niin saadun luvun tuhannesosa on joku reaaliluku (joka yleens¨ a ei poikkea paljoa luvusta

1 2

, jollei kolikko ole hyvin v¨ aa ¨ristynyt). Jos sama

koe toistetaan (samalla kolikolla), saadaan uusi suhteellinen frekvenssi, joka osoittautuu olevan “hyvin l¨ ahell¨ a” edellisell¨ a kerralla saatua lukua. Todenn¨ ak¨ oisyyslaskenta kehittyi alunperin uhkapelien teoriana: oli esimerkiksi t¨ arke¨ at¨ a tiet¨ aa ¨, onko pokeria pelattaessa suora “todenn¨ ak¨ oisempi” kuin v¨ ari, tai onko kolmea noppaa heitett¨ aess¨ a “todenn¨ ak¨ oisemp¨ aa ¨” saada kaksi kuutosta kuin ei yht¨ aa ¨n. Jos kyseiset pelit oletetaan “rehellisiksi” (kortit eiv¨ at ole merkityt ja ne on kunnolla sekoitettu, nopat ovat symmetrisi¨ a ja tasapainoisia, jne), niin niiden teoriaa voidaan kehitt¨ aa ¨ “satunnaisuuden” idean pohjalle. Oletetaan, ett¨ a tilanne jakautuu toisistaan erillisiin alkeistapauksiin (esimerkiksi tapaus, jossa pakasta jaettu kortti on ruutuseiska tai tapaus, jossa nopan heiton tulos oli viisi), joiden toteutuminen on “t¨ aysin sattumanvaraista” siin¨ a mieless¨ a, ett¨ a toteutuneen alkeistapauksen asemasta mik¨ a tahansa muu alkeistapaus olisi voinut toteutua “aivan yht¨ a hyvin” (esimerkiksi nopanheiton tuloksena voi “aivan yht¨ a hyvin” olla kakkonen kuin viitonen). Kuvaamme t¨ at¨ a oletusta sanomalla, ett¨ a kaikki alkeistapaukset ovat “yht¨ a todenn¨ ak¨ oisi¨ a”. Seuraavaksi voimme laskea todenn¨ ak¨ oisyyksi¨ a alkeistapausten yhdistelmin¨ a saatavista tapahtumista (esimerkiksi tapahtuma, jossa pakasta jaettavan kortin v¨ ari on punainen). Matematiikassa on luontevaa esitt¨ aa ¨ tapahtumat joukkoina. Olkoon A joku joukko (perusjoukko). Seuraavassa A on aina a ¨a ¨rellinen joukko ja t¨ all¨ oin voimme sopia, ett¨ a 68

jokainen A :n osajoukko on tapahtuma. Alkeistapaukset vastaavat yksi¨ oit¨ a {a} , a ∈ A . Merkitsemme P(A) :lla kaikkien tapahtumien muodostamaa perhett¨ a. Todenn¨ ak¨ oisyys joukolla A on funktio p , joka liitt¨ aa ¨ jokaiseen tapahtumaan B ∈ P(A) sen todenn¨ ak¨ oisyyden p(B) , joka on reaaliluku. Perusjoukko ja sill¨ a m¨ aa ¨ritelty todenn¨ ak¨ oisyysfunktio muodostavat yhdess¨ a todenn¨ ak¨ oisyyskent¨ an. T¨ am¨ a matemaattinen todenn¨ ak¨ oisyyden k¨ asite pyrkii antamaan mallin tilastollisen todenn¨ ak¨ oisyyden k¨ asitteelle ja siksi on luontevaa vaatia, ett¨ a todenn¨ ak¨ oisyysfunktio p toteuttaa seuraavat suhteellisen frekvenssin ominaisuudet: – p(B) ≥ 0 jokaisella B ∈ P(A) . – p(A) = 1 ja p(∅) = 0 . – Jos B, C ∈ P(A) ja B ∩ C = ∅ , niin p(B ∪ C) = p(B) + p(C) . Ehto p(A) = 1 tarkoittaa, ett¨ a varman tapahtuman (eli sen tapahtuman, joka sis¨ alt¨ aa ¨ kaikki alkeistapahtumat) todenn¨ ak¨ oisyys on yksi ja ja ehto p(∅) = 0 tarkoittaa, ett¨ a mahdottoman tapahtuman (eli sen tapahtuman, joka ei sis¨ all¨ a yht¨ aa ¨n alkeistapahtumaa) todenn¨ ak¨ oisyys on nolla. Yll¨ a viimeisen¨ a oleva additiivisuusominaisuus vastaa sit¨ a tilastollisen frekvenssin ominaisuutta, ett¨ a jos koe- tai havaintotulos ei voi olla yht’aikaa toteuttaa ehtoja P ja Q , niin niiden tuloksien frekvenssi, joilla jompikumpi ehdoista P tai Q toteutuu, saadaan laskemalla yhteen niiden tuloksien frekvenssi, joilla P toteutuu ja niiden tuloksien frekvenssi, joilla Q toteutuu. Additiivisuusominaisuus voidaan esitt¨ aa ¨ seuraavassa vahvemmassa muodossa (joka saadaan johdettua heikommasta induktion avulla): – Jos B1 , ..., Bn ∈ P(A) ja Bi ∩ Bj = ∅ kun i 6= j , niin p

n [

i=1




Bi =

n X

p(Bi ).

i=1

Yll¨ a olevat kolme ehtoa riitt¨ av¨ at luonnehtimaan matemaattista todenn¨ ak¨ oisyytt¨ aa ¨a ¨rellisen perusjoukon tapauksessa. T¨ ass¨ a tapauksessa todenn¨ ak¨ oisyys voidaan esitt¨ aa ¨ yksinkertaisemminkin: riitt¨ aa ¨ kun tied¨ amme alkeistapahtumien {a} todenn¨ ak¨ oisyydet p({a}) , sill¨ a muiden tapahtumien B todenn¨ ak¨ oisyydet saadaan ilmaistua n¨ aiden avulla: p(B) =

X

{p({b}) : b ∈ B} .

¨ arett¨ A¨ om¨ an perusjoukon tapauksessa alkeistapausten todenn¨ ak¨ oisyydet eiv¨ at v¨ altt¨ am¨ att¨ a m¨ aa ¨r¨ aa ¨ muiden tapahtumien todenn¨ ak¨ oisyyksi¨ a, kuten seuraava esimerkki osoittaa: 69

Ongelma Jos heit¨ amme tikkaa aivan umpim¨ ahk¨ aisesti tauluun, niin mik¨ a on todenn¨ ak¨ oisyys saada kymppi? Ratkaisu. Saamme mallin t¨ alle tikanheittotilanteelle ottamalla perusjoukoksi tikkataulun m¨ aa ¨ritt¨ am¨ an pistejoukon. Tapahtumat ovat n¨ aiden pisteiden muodostamia joukkoja. (joukko E “esitt¨ aa ¨” tapahtumaa, ett¨ a tikka osui joukkoon E ). Luonteva mitta tapahtuman E todenn¨ ak¨ oisyydelle on joukon E pinta-ala jaettuna koko taulun pinta-alalla. Jos “kympin” s¨ ade on r ja koko taulun s¨ ade on R , niin todenn¨ ak¨ oisyys saada kymppi on πr 2 πR2

r 2 = (R ) .

Alkeistapaukset vastaavat t¨ ass¨ a yhden pisteen joukkoja ja t¨ aten niiden todenn¨ ak¨ oisyys on 0. N¨ ain ollen emme voi esitt¨ aa ¨ tapahtuman “tuli kymppi” todenn¨ ak¨ oisyytt¨ a tapahtumaan sis¨ altyvien alkeistapausten todenn¨ ak¨ oisyyksien summana. Tarkastelemme seuraavassa vain kaikkein yksinkertaisimpia todenn¨ ak¨ oisyyskentti¨ a, symmetrisi¨ a todenn¨ ak¨ oisyyskentti¨ a. N¨ aill¨ a kentill¨ a on a ¨a ¨rellinen perusjoukko ja todenn¨ ak¨ oisyysfunktio on symmetrinen siin¨ a mieless¨ a, ett¨ a kaikilla alkeistapauksilla on sama todenn¨ ak¨ oisyys. Symmetrisen kent¨ an todenn¨ ak¨ oisyydet m¨ aa ¨r¨ aytyv¨ at suoraan perusjoukon koon eli alkioiden lukum¨ aa ¨r¨ an perusteella. Merkitsemme seuraavassa # E :ll¨ a a ¨a ¨rellisen joukon E kokoa. Olkoon voimassa # A = n ja olkoon p symmetrinen todenn¨ ak¨ oisyys joukolla A . P T¨ all¨ oin on voimassa {p({a}) : a ∈ A} = p(A) = 1 ; koska summassa esiintyy sama luku

n kertaa ja koska summan arvo on 1, on voimassa p({a}) =

1 n

jokaisella

a∈A.

Tapahtuman B ⊂ A todenn¨ ak¨ oisyys on summa B :hen sis¨ altyvien alkeistapausten todenP n¨ ak¨ oisyyksist¨ a eli p(B) = {p({a}) : a ∈ B} ; koska t¨ ass¨ a summassa on # B termi¨ a, joista kukin on

1 n

, niin saamme luvulle p(B) seuraavan esityksen: p(B) =

#B . n

Sanallisesti t¨ am¨ a ilmaistaan seuraavasti: –Symmetrisess¨ a todenn¨ ak¨ oisyyskent¨ ass¨ a tapahtuman todenn¨ ak¨ oisyys on tapahtumalle suotuisien alkeistapausten ja kaikkien alkeistapausten lukum¨ aa ¨rien suhde. 70

(“Tapahtumalle suotuisa alkeistapaus” tarkoittaa tapahtumaan sis¨ altyv¨ aa ¨ alkeistapausta.) Edellinen ilmaisu oli aikoinaan todenn¨ ak¨ oisyyden m¨ aa ¨ritelm¨ a. Symmetrisi¨ a kentti¨ a esiintyykin usein uhkapelien (ja muidenkin pelien) yhteydess¨ a. Ongelma Mik¨ a on todenn¨ ak¨ oisyys saada kahta noppaa heitett¨ aess¨ a kaksi parillista silm¨ alukua. Ratkaisu. Yhden (s¨ aa ¨nn¨ ollisen) nopan heittoon liittyy symmetrinen todenn¨ ak¨ oisyyskentt¨ a, jossa on alkeistapauksina “silm¨ aluvut” 1,2,3,4,5 ja 6. Koska kahden nopan heitossa eri noppien antamat tulokset eiv¨ at riipu toisistaan, voimme kuvata kahden nopan heittoa symmetrisell¨ a kent¨ all¨ a, jossa on alkeistapauksina silm¨ alukuparit (n, k) , miss¨ a n, k = 1, ..., 6 . T¨ all¨ oin kaikkia alkeistapauksia on 6 × 6 = 36 kappaletta ja tapahtumalle suotuisia alkeistapauksia on 3 × 3 = 9 kappaletta. Etsitty todenn¨ ak¨ oisyys on siten

9 36

=

1 4

.

Ongelma Mik¨ a on todenn¨ ak¨ oisyys, ettei kolmea noppaa heitett¨ aess¨ a tule yht¨ aa ¨n kuutosta? Ratkaisu. Kolmen nopan heittoon liittyy symmetrinen todenn¨ ak¨ oisyyskentt¨ a, jossa on alkeistapauksina kolmikot (n, k, `) , joita on 6 × 6 × 6 = 216 kappaletta. Tapahtumalle suotuisia alkeistapauksia on 5 × 5 × 5 = 125 kappaletta. Etsitty todenn¨ ak¨ oisyys on siten 125 216

∼ 0, 58 .

Ongelma Mik¨ a on todenn¨ ak¨ oisyys, ett¨ a kolmea noppaa heitett¨ aess¨ a tulee kaksi kuutosta? Ratkaisu. Kuten edellisess¨ a ratkaisussa, alkeistapauksia (n, k, `) on 216 kappaletta. Suotuisat alkeistapaukset ovat muotoa (6, 6, n) , (6, n, 6) tai (n, 6, 6) , miss¨ a n 6= 6 . Kutakin tyyppi¨ a on 5 kappaletta. Koska suotuisa alkeistapaus ei voi olla useampaa kuin yht¨ a tyyppi¨ a (halutaan tasan kaksi kuutosta), on suotuisien yhteism¨ aa ¨r¨ a 3 · 5 = 15 . Etsitty todenn¨ ak¨ oisyys on siten

15 216

∼ 0, 07 .

Symmetristen todenn¨ ak¨ oisyyskenttien tarkastelu on hyvin l¨ aheisess¨ a yhteydess¨ a (¨ aa ¨relliseen) kombinatoriikkaan, joka on oppi (¨ aa ¨rellisist¨ a) lukum¨ aa ¨rist¨ a. Mainitsemme nyt muutamia kombinatorisia perustuloksia, jotka ovat hy¨ o dyllisi¨ a todenn¨ ak¨ oisyyslaskennassa. Annamme tuloksille vain havainnolliset “perustelut”; t¨ asm¨ alliset perustelut vaatisivat induktion k¨ aytt¨ oa ¨. 71

– Jos # A = n , niin # P(A) = 2n . Perustelu. “Poimimme” A :n osajoukon B p¨ aa ¨tt¨ am¨ all¨ a jokaisen alkion a ∈ A kohdalla, otammeko a :n mukaan B :hen vai emmek¨ o ota. Meill¨ a on t¨ ass¨ a n toisistaan riippumatonta “valintaa” (kyll¨ a/ei), joten lopputuloksia on 2 × · · · × 2 = 2n kappaletta. Olkoon # A = n ja k ≤ n . Joukon A k -permutaatio on jono (a1 , ..., ak ) , miss¨ a ai ∈ A jokaisella i ja ai 6= aj kun i 6= j . Joukon A n -permutaatioita kutsutaan A :n permutaatioiksi. Permutaatio j¨ arjest¨ aa ¨ siis joukon alkiot jonoon. – Jos k ≤ n = # A , niin A :n k -permutaatioiden lukum¨ aa ¨r¨ a on n(n − 1) · · · (n − k + 1) . Perustelu. Voimme “poimia” k -jonon (x1 , ..., xk ) valitsemalla alkioksi x1 mink¨ a tahansa alkion joukosta A , alkioksi x2 mink¨ a tahansa alkion joukosta A r {x1 } , alkioksi x3 mink¨ a tahansa alkion joukosta A r {x1 , x2 } , jne. Kohdalla ` meill¨ a on # (A r {x1 , ..., x`−1 }) = n − (` − 1) eri tapaa valita alkio x` . Erilaisia mahdollisuuksia valita jono (x1 , ...xk ) on siten n × (n − 1) × · · · × (n − k + 1) kappaletta. Asettamalla edell¨ a k = n saamme seuraavan tuloksen – Jos # A = n , niin A :n permutaatioiden lukum¨ aa ¨r¨ a on n! Joukon A k -kombinaatio on sellainen A :n osajoukko B , jolla # B = k (eli A :n “ k -osajoukko”). – Jos k ≤ n = # A , niin A :n k -kombinaatioiden lukum¨ aa ¨r¨ a on

n! k!(n−k)!

.

Perustelu. Aikaisemman nojalla A :lla on n(n − 1) · · · (n − k + 1) k -permutaatiota. Jos B ⊂ A ja # B = k , niin B :ll¨ a on k! permutaatiota; toisin sanoen, A :lla on k! sellaista k -permutaatiota (a1 , ..., ak ) , ett¨ a {a1 , .., ak } = B . Edellisen nojalla A :lla on k! kertaa niin monta k -permutaatiota kuin k -kombinaatiota. T¨ aten k -kombinaatioiden lukum¨ aa ¨r¨ a on

n(n−1)···(n−k+1) k!

. Koska n(n − 1) · · · (n − k + 1) =

lukum¨ aa ¨r¨ alle lausekkeen Luvuilla

n! k!(n−k)!

n! k!(n−k)!

n! (n−k)!

, saamme k -kombinaatioiden

.

on kombinatoriikassa keskeinen merkitys ja niille on otettu k¨ aytt¨ oo ¨n

oma merkint¨ a   n! n . = k!(n − k)! k 72

Lukuja

n k




n k

kutsutaan binomikertoimiksi, koska

on termin xk y n−k kertoimena




“aukikerrotussa” binomin x + y potenssissa (x + y)n . Pienill¨ a n :n arvoilla binomikertoimet voi helposti m¨ aa ¨ritt¨ aa ¨ k¨ aytt¨ am¨ all¨ a “Pascalin kolmiota”, josta on seuraavassa esitetty seitsem¨ an ensimm¨ aist¨ a rivi¨ a:

1 1 1 1 1 1 1 Binomikerroin

n k




2

1

3 4

5 6

1

3 6

4

10 15

1 1

10 20

5

1

15

6

1

on kolmiossa (ylh¨ aa ¨lt¨ a laskien) n :nnen vaakarivin k :s luku. Kol-

miota on helppo jatkaa laskemalla uusia rivej¨ a: jokaisen vaakarivin reunimmaiset luvut ovat ykk¨ osi¨ a ja rivin “sis¨ all¨ a” olevaan paikkaan sijoitetaan kahden yl¨ apuolella olevan luvun summa. Kolmio perustuu Pascalin identiteettin¨ a tunnettuun palautuskaavaan, joka

ilmaisee luvut nk lukujen n−1 avulla seuraavasti. i – Jos 0 < k < n , niin on voimassa yht¨ al¨ o

n k




=

n−1 k−1




+

n−1 k




Binomikertoimien v¨ alill¨ a vallitsee monia muitakin mielenkiintoisia yht¨ al¨ oit¨ a, joista monilla on selke¨ a kombinatorinen sis¨ alt¨ o. Esimerkiksi, koska 0! = 1 , saamme yht¨ al¨ ot

n n a joukolla on vain yksi tyhj¨ a ja yksi t¨ aysi osajoukko. 0 = n = 1 , joiden tulkintana on, ett¨
Yht¨ al¨ on n1 = n tulkinta on, ett¨ aa ¨a ¨rellisell¨ a joukolla A on yht¨ a monta alkiota a kuin


n “yksi¨ ot¨ a” {a} . Lukujen nk symmetria parametrin k suhteen, eli yht¨ al¨ o nk = n−k (miss¨ a 0 ≤ k ≤ n ) saa seuraavan tulkinnan: jokaista joukon A k -osajoukkoa B vastaa

yksik¨ asitteisesti sen komplementti A r B , joka on (n − k) -osajoukko. Jos # A = n , niin

luvut n0 , . . . , nn luettelevat joukon A kaikenkokoisten osajoukkojen lukum¨ aa ¨r¨ at; t¨ aten



n saamme aikaisemman tuloksen nojalla identiteetin n0 + n1 + · · · + n−1 + nn = 2n . Palaamme nyt tarkastelemaan symmetrisi¨ a todenn¨ ak¨ oisyyksi¨ a. Seuraavat esimerkit

osoittavat binomikertoimien k¨ aytt¨ okelpoisuuden t¨ ass¨ a yhteydess¨ a. 73

Ongelma Mill¨ a todenn¨ ak¨ oisyydell¨ a saat yhdell¨ a ruudukolla “seitsem¨ an oikein” lottoarvonnassa? Ratkaisu: T¨ aytt¨ aess¨ asi lottokaavakkeesta yhden ruudukon valitset seitsem¨ an lukua joukosta L = {1, 2, ..., 39} , eli valitset joukon L 7 -kombinaation. Lottoarvonnassa arvotaan joukon L seitsem¨ an lukua valitsemalla umpim¨ ahk¨ aa ¨n seitsem¨ an palloa, jotka on numeroitu 1,2,3,...,39. Lukujen arvontaj¨ arjestyksell¨ a ei ole merkityst¨ a, joten my¨ os arvonnan tulos on olennaisesti joukon L 7 -kombinaatio. Saat “seitsem¨ an oikein”, mik¨ ali valitsemasi 7 -kombinaatio on sama kuin arvonnan m¨ aa ¨ritt¨ am¨ a. Arvonnan “umpim¨ ahk¨ aisyyden” nojalla voimme kuvata tilannetta symmetrisen¨ a todenn¨ ak¨ oisyyskentt¨ an¨ a, jossa alkeistapauksina ovat joukon L 7 -kombinaatiot. Kaikkien
an oikein” suotuisia alkeistaalkeistapausten lukum¨ aa ¨r¨ a on 39 7 . Tapahtumalle “seitsem¨

pauksia on vain yksi, joten etsitty todenn¨ ak¨ oisyys on 1 39 7


=

1 · 2···7 1 7!32! = = . 39! 33 · 34 · · · 39 15 380 937

Laskemme lopuksi todenn¨ ak¨ oisyydet saada pokeripeliss¨ a “suoraan jaossa” v¨ ari tai suora. Ongelma Mik¨ a on todenn¨ ak¨ oisyys, ett¨ a hyvin sekoitetun korttipakan p¨ aa ¨llimm¨ aiset viisi korttia ovat kaikki samaa maata? Ratkaisu. Merkitsemme K :lla korttien muodostamaa joukkoa {♥1, ♥2, . . . ♠12, ♠13} . Koska pakka on hyvin sekoitettu, voimme kuvata tilannetta symmetrisen¨ a todenn¨ ak¨ oisyyskentt¨ an¨ a, jossa alkeistapauksina ovat joukon K 5 -kombinaatiot. Kaikkien alkeistapausten
lukum¨ aa ¨r¨ a on 52 oyt¨ aa ¨ksemme etsityn todenn¨ ak¨ oisyyden, meid¨ an on viel¨ a selvitett¨ av¨ a 5 . L¨ tapahtumalle “tuli v¨ ari” suotuisien alkeistapausten lukum¨ aa ¨r¨ a.

Tapahtuma “tuli v¨ ari” jakautuu nelj¨ aa ¨n erilliseen osatapahtumaan: “tuli herttav¨ ari”, “tuli ristiv¨ ari”, “tuli ruutuv¨ ari” ja “tuli patav¨ ari”. Koska pakassa on 13 herttaa, ta
pahtumalle “tuli herttav¨ ari” suotuisia alkeistapauksia on 13 kappaletta ja t¨ aten t¨ am¨ an 5

tapahtuman todenn¨ ak¨ oisyys on
13 5
52 5

=

13! 5!47! 9 · · · 13 33 = = . 5!8! 52! 48 · · · 52 66640 74

Kolmella muulla osatapahtumalla on sama todenn¨ ak¨ oisyys, koska pakassa on 13 korttia kutakin maata. Koska osatapahtumat ovat toisistaan erillisi¨ a, saamme additiivisuuden nojalla tapahtuman “tuli v¨ ari” todenn¨ ak¨ oisyydeksi 4

33 33 = ∼ 0, 002 . 66640 16660

Ongelma Mik¨ a on todenn¨ ak¨ oisyys, ett¨ a hyvin sekoitetun korttipakan p¨ aa ¨llimm¨ aiset viisi korttia muodostavat suoran? Ratkaisu. Kyseiset viisi korttia muodostavat “suoran”, jos niiden numeroiden muodostama joukko N koostuu viidest¨ a per¨ akk¨ aisest¨ a luvusta (eli jos N = A i jollain i = 1, 2, .., 10 , miss¨ a A1 = {1, 2, 3, 4, 5}, A2 = {2, 3, 4, 5, 6}, . . . , A10 = {10, 11, 12, 13, 14} ; huomaa, ett¨ a “¨ ass¨ a” on numeroarvoltaan joko 1 tai 14). Korttien j¨ arjestyksell¨ a ei siis ole v¨ ali¨ a. K¨ ayt¨ amme samaa todenn¨ ak¨ oisyyskentt¨ aa ¨ kuin edellisess¨ a teht¨ av¨ ass¨ a. Tapahtuma “tuli suora” jakaantuu (yll¨ a olevin merkinn¨ oin esitettyn¨ a) 10 erilliseen osatapahtumaan “ N = Ai ”. Tapahtuman todenn¨ ak¨ oisyys on osatapahtumien todenn¨ ak¨ oisyyksien summa, joten riitt¨ aa ¨ laskea osatapahtumien todenn¨ ak¨ oisyydet. N¨ aemme helposti, ett¨ a kaikilla 10 osatapahtumalla on sama todenn¨ ak¨ oisyys. T¨ aten riitt¨ aa ¨ laskea tapahtuman “ N = A 1 ” todenn¨ ak¨ oisyys. Pakassa K on nelj¨ a korttia kutakin numeroa; merkitsemme Ki :ll¨ a niiden nelj¨ an kortin joukkoa, joilla on numerona i . Ne alkeistapaukset, eli viiden kortin ryhm¨ at, joilla N = A 1 , ovat sellaisia, joissa on yksi kortti joukosta K1 , yksi joukosta K2 , yksi K3 :sta, yksi K4 :st¨ a ja yksi joukosta K5 ; t¨ allainen ryhm¨ a voidaan valita 4 × 4 × 4 × 4 × 4 = 1024 eri tavalla. T¨ aten tapahtumalle “ N = A1 ” suotuisia alkeistapauksia on 1024 kappaletta ja t¨ am¨ an tapahtuman todenn¨ ak¨ oisyys on 1024
52 . 5

Tapahtuman “tuli suora” todenn¨ ak¨ oisyys on edell¨ a esitetyn nojalla 10

1024
52 = 10240 5

1·2·3·4·5 128 = ∼ 0, 004 . 48 · 49 · 50 · 51 · 52 3 · 13 · 17 · 49

75

Luku 13. T¨ arkeit¨ a funktioita M¨ aa ¨rittelimme Luvun 3 alussa “funktion” f s¨ aa ¨nt¨ on¨ a tai luettelona, joka liitt¨ aa ¨ jokaiseen reaalilukujoukon A lukuun a reaaliluvun f (a) ja puhuimme my¨ os (algebrallisten) “lausekkeiden” m¨ aa ¨ritt¨ amist¨ a funktioista. Edell¨ a emme ole tarkastelleet juuri muita funktioita kuin polynomifunktioita sek¨ a yleisempien rationaalisten potenssien avulla m¨ aa ¨ritelt¨ avi¨ a funktioita: esimerkiksi itseisarvofunktio f (x) = |x| voidaan esitt¨ aa ¨ muodossa √ f (x) = x2 . T¨ ass¨ a luvussa tarkastelemme my¨ os er¨ ait¨ a funktioita, joille ei l¨ oydy tuollaisia esityksi¨ a. Olkoon a positiivinen reaaliluku. Kuten n¨ aimme Luvussa 2, luvulle a voidaan m¨ aa ¨ritell¨ a potenssit aq , miss¨ a q on mielivaltainen rationaaliluku. Osoittautuu, ett¨ a positiiviluvun a “rationaalisten potenssien” lis¨ aksi voidaan luonnollisella tavalla m¨ aa ¨ritell¨ a a :n potenssit ar , miss¨ a r on mielivaltainen reaaliluku. T¨ aten voimme m¨ aa ¨ritell¨ a positiivilukuun a liittyv¨ an eksponenttifunktion f (x) = ax . Sanomme, ett¨ a a on funktion f kantaluku. Seuraavassa on kuvattu eksponenttifunktioita kantaluvuilla 0,7 ja 1,5 ja 2.

-5 -4 -3 -2 -1

5 4 3 2 1

1 2 3 4 5

-1 -2 -3 -4 -5

-5 -4 -3 -2 -1

5 4 3 2 1

1 2 3 4 5

-5 -4 -3 -2 -1

-1 -2 -3 -4 -5

5 4 3 2 1

1 2 3 4 5

-1 -2 -3 -4 -5

Eksponenttifunktio kuvaa tilanteita, joissa esiintyy “eksponentiaalista kasvua”. Esimerkiksi keskim¨ aa ¨r¨ aist¨ a tietokoneiden laskentatehon lis¨ ayst¨ a kuvaa (jossain m¨ aa ¨rin kiistelty) Mooren laki, jonka mukaan laskentateho kaksinkertaistuu kahden vuoden v¨ alein. Jos siis L0 kuvaa laskentatehoa vaikkapa vuoden 1960 alussa, niin Mooren lain nojalla laskentateho vuoden v alussa saataisiin funktion f (x) = L0 · 2 76

x−1960 2

arvona f (v) .

Olemme jo n¨ ahneet esimerkkej¨ a eksponentiaalisesta kasvusta kun tarkastelimme geometrisi¨ a jonoja Luvussa 10: jos (s1 , s2 , ...) on geometrinen jono, jolla suhdeluku a =

sn+1 sn

on positiivinen, niin jonon termit saadaan vakiolla kerrotun eksponenttifunktion f (x) = s1 · ax arvoina: sn = f (n − 1) jokaisella n = 1, 2, ... . Mik¨ ali suhdeluku a on negatiivinen, jonon termit saadaan ilmaistua vakiolla kerrotun eksponenttifunktion g(x) = s 1 · |a|x avulla muodossa sn = (−1)n−1 g(n − 1) .

Kuten edellisist¨ a kuvaajista n¨ akyy, eksponenttifunktio kasvaa “hyvin nopeasti” kantaluvun ollessa suurempi kuin yksi. Eksponentiaalinen kasvun h¨ amm¨ astytt¨ av¨ aa ¨ nopeutta kuvaa intialainen taru shakkipelin keksij¨ an pyyt¨ am¨ ast¨ a palkkiosta. Maharadja ihastui suuresti shakkipeliin ja halusi palkita keksij¨ an ruhtinaallisesti. H¨ an lupasi keksij¨ alle palkinnoksi mit¨ a vain t¨ am¨ a haluaisi ja oli pettynyt kun keksij¨ a pyysi vain tietyn m¨ aa ¨r¨ an viljanjyvi¨ a: h¨ an halusi sellaisen m¨ aa ¨r¨ an jyvi¨ a, ett¨ a niist¨ a riitt¨ aisi pelilaudan ensimm¨ aiselle ruudulle yksi jyv¨ a, toiselle kaksi, kolmannelle 4, nelj¨ annelle 8 jne., eli aina seuraavaan ruutuun kaksi kertaa niin monta kuin edelliseen. “Etk¨ o halua mit¨ aa ¨n enemp¨ aa ¨?” kysyi maharadja ja meni pitk¨ aa ¨n ennenkuin h¨ an ymm¨ arsi, ettei mill¨ aa ¨n pystyisi t¨ aytt¨ am¨ aa ¨n keksij¨ an pyynt¨ oa ¨: viimeiselle ruudulle tulevien jyvien m¨ aa ¨r¨ a olisi 2 63 eli suurempi kuin 1018 ja t¨ allainen m¨ aa ¨r¨ a jyvi¨ a olisi tilavuudeltaan moninkertainen maapalloon n¨ ahden! Annamme nyt muutamia esimerkkej¨ a eksponentiaalifunktion hallitsemista tilanteista. Esimerkkej¨ a (a) Lammen vedest¨ a vaihtuu kuukaudessa 10 prosenttia. Montako prosenttia vedest¨ a on vaihtunut vuodessa? Ratkaisu. Jos x ilmaisee nykyhetkest¨ a kulunutta aikaa (kuukausissa), niin “vaihtumat90 x toman” veden osuus saadaan eksponenttifunktion f (x) = ( 100 ) = 0, 9x arvona. Vuoden

kuluttua vaihtumattoman veden osuus on 0, 912 , joten vaihtuneen veden osuus on 1−0, 912 eli noin 0, 516 eli noin 52 prosenttia. (b) Tarkastellaan nk. “korkoa korolle”-tilanteita, jotka liittyv¨ at esimerkiksi talletuksiin tai lainoihin. Oletamme, ett¨ a vaikkapa pankkitilin “alkusaldo” on r euroa ja korkoprosentti on p . Merkitsemme q :lla lukua

p 100

.

Luvussa 10, geometrisen jonon m¨ aa ¨ritelm¨ an j¨ alkeen annetussa Esimerkiss¨ a (b) totesimme, ett¨ a jos korko lis¨ at¨ aa ¨n tilille kerran vuodessa, esimerkiksi aina vuoden lopussa, niin on voimassa: 77

– n :n vuoden lopussa tilill¨ a on (1 + q)n r euroa. Jos vuotuisen koronlis¨ ayksen asemesta korko lis¨ att¨ aisiinkin puolivuosittain, niin prosenttina tulisi k¨ aytt¨ aa ¨ lukua –

n 2

p 2

ja t¨ all¨ oin olisi voimassa:

:n vuoden p¨ aa ¨st¨ a tilill¨ a on (1 + q2 )n r euroa. Jos puolivuotuisen koronlis¨ ayksen asemesta korko lis¨ att¨ aisiinkin p¨ aivitt¨ ain, niin pro-

senttina tulisi k¨ aytt¨ aa ¨ lukua

p 365

ja t¨ all¨ oin olisi voimassa:

– n :n p¨ aiv¨ an p¨ aa ¨st¨ a tilill¨ a on (1 +

q n ) r 365

euroa.

Edelliset tarkastelut johtavat kysymykseen siit¨ a, mik¨ a tilin saldo olisi vuoden p¨ aa ¨st¨ a, jos korkoa lis¨ att¨ aisiin tilille “jatkuvasti”. Edell¨ a esitetyn nojalla n¨ aemme, ett¨ a jos korko lis¨ at¨ aa ¨n kerran vuodessa, niin saldo on vuoden p¨ aa ¨st¨ a (1 + q)r , jos lis¨ at¨ aa ¨n kahdesti, niin saldo on (1 + q2 )2 r ja jos korko lis¨ at¨ aa ¨n p¨ aivitt¨ ain, niin saldoksi tulee (1 +

q 365 r. 365 )

Jos merkitsemme rn :ll¨ a tilin saldoa vuoden p¨ aa ¨st¨ a silloin kun korkoa on lis¨ atty n kertaa vuodessa, niin n¨ aemme vastaavasti kuin edell¨ a, ett¨ a on voimassa rn = (1 + kitsem¨ all¨ a xn = lukujonon ((1 +

n , saamme kirjoitettua rn :n muotoon q 1 x2 1 x1 ahestyv¨ at x1 ) , ((1 + x2 ) , ...) termit l¨

[(1 +

1 xn q ) ] r. xn

q n n) r.

Mer-

Osoittautuu, ett¨ a

m¨ aa ¨r¨ atty¨ a “raja-arvoa”, jota mer-

kit¨ aa ¨n symbolilla e . Kyseess¨ a on luvun π ohella matemaattisen analyysin t¨ arkein luku, “Neperin luku” eli “luonnollisen logaritmin kantaluku”, jolla on likiarvona 2,7183. Saamme siis “jatkuvan koronlis¨ ayksen” tilanteessa, alkusaldon ollessa r ja korkoprosentin p , lausekkeen eq r tilin saldolle vuoden kuluttua, miss¨ a q=

p 100

.

M¨ aa ¨rittelemme seuraavaksi logaritmifunktion eksponenttifunktion “k¨ aa ¨nteisfunktio√ na”, samaan tapaan kuin Luvun 2 lopussa m¨ aa ¨riteltiin juurifunktio g(y) = k y potenssifunktion f (x) = xk (miss¨ a x ≥ 0 ) k¨ aa ¨nteisfunktiona. Palaamme eksponenttifunktion

“k¨ aytt¨ aytymiseen” seuraavassa luvussa, mutta mainitsemme t¨ ass¨ a, ett¨ a jokaisella a > 0 , a 6= 1 , kantalukuun a liittyv¨ an eksponenttifunktion arvojen joukko {a x : x ∈ R} koos-

tuu kaikista positiiviluvuista ja ett¨ a eksponenttifunktio on kantaluvusta a riippuen joko “aidosti v¨ ahenev¨ a” tai “aidosti kasvava”: jos 0 < a < 1 , niin ehdosta x < z seuraa ehto

ax > az ; jos a > 1 , niin ehdosta x < z seuraa ehto ax < az . Kummassakin tapauksessa n¨ aemme, ett¨ a jokaisella positiiviluvulla y on olemassa t¨ asm¨ alleen yksi sellainen reaaliluku x , ett¨ a ax = y . T¨ aten voimme m¨ aa ¨ritell¨ a positiiviluvun y logaritmin log a (y) kantaluvun a > 0 , a 6= 1 , suhteen kaavalla

aloga (y) = y ; 78

n¨ ain saamme my¨ os m¨ aa ¨ritelty¨ a positiivilukujen joukossa logaritmifunktion g(y) = log a (y) . Tapauksissa a = 10 ja a = e k¨ ayt¨ amme logaritmeille erikoismerkint¨ o j¨ a: jokaisella y > 0 kirjoitamme lg(y) = log10 (y) ja ln(y) = loge (y) . Koska logaritmifunktio m¨ aa ¨riteltiin eksponenttifunktion “k¨ aa ¨nteisfunktiona”, voimme p¨ aa ¨tell¨ a eksponenttifunktioiden vastaavista ominaisuuksista, ett¨ a logaritmifunktio on aidosti v¨ ahenev¨ a tai aidosti kasvava sen mukaan, onko sen kantaluku pienempi tai suurempi kuin yksi. Samasta syyst¨ a p¨ atee, ett¨ a logaritmifunktio kasvaa “hyvin hitaasti” kantaluvun ollessa suurempi kuin yksi. Edelliset huomiot n¨ akyv¨ at havainnollisesti seuraavassa kuvassa, joka esitt¨ aa ¨ logaritmifunktioita kantaluvuilla 0,7 ja 1,5 ja 2.

-5 -4 -3 -2 -1

5 4 3 2 1

1 2 3 4 5

-5 -4 -3 -2 -1

-1 -2 -3 -4 -5

5 4 3 2 1

1 2 3 4 5

-5 -4 -3 -2 -1

-1 -2 -3 -4 -5

5 4 3 2 1

1 2 3 4 5

-1 -2 -3 -4 -5

Mainitsemme nyt er¨ ait¨ a eksponetti- ja logaritmifunktioiden ominaisuuksia, joita voidaan k¨ aytt¨ aa ¨ hyv¨ aksi ratkaistaessa eksponentti- ja logaritmiyht¨ al¨ oit¨ a (ja ep¨ ayht¨ al¨ oit¨ a). Panemme merkille, ett¨ a jokaisella a > 0 on voimassa a0 = 1 ja a1 = a ja n¨ ain ollen p¨ atee, ett¨ a loga (1) = 0 ja loga (a) = 1 . Luvun 2 lopussa mainitut rationaalisten potenssien laskus¨ aa ¨nn¨ ot p¨ atev¨ at my¨ os reaalisille potensseille, eli kaikilla a, b > 0 ja x, z ∈ R on voimassa ax az = ax+z ,

ax = ax−z , z a

(ax )z = axz

ja

(ab)x = ax bx .

Kolmen ensimm¨ aisen s¨ aa ¨nn¨ on nojalla saamme seuraavat logaritmin laskus¨ aa ¨nn¨ ot positiiviluvuille a, y ja u :

loga (yu) = loga (y) + loga (u) , loga

y
= loga (y) − loga (u) ja u 79

loga (y u ) = u loga (y) .

Esimerkkej¨ a (a) Ratkaise yht¨ al¨ o 22x+1 · 53−x = 3 . Ratkaisu. Potenssis¨ aa ¨nt¨ o jen nojalla saamme yht¨ al¨ on muotoon (22 )x · 21 · 53 · 5−x = 3 ja edelleen muotoon 2 · 4x · ( 51 )x = 3 ja viel¨ a muotoon ( 54 )x =

3 2

. Ottamalla yht¨ al¨ ost¨ a

puolittain logaritmit (vaikkapa kantaluvun e suhteen), saamme yht¨ al¨ on x · ln( 45 ) = ln( 23 ) , josta voimme ratkaista x :n esimerkiksi muodossa x =

ln(3)−ln(2) ln(4)−ln(5)

.

(b) Ratkaise ep¨ ayht¨ al¨ o lg(x2 + 3) > 5 + lg(x2 − 1) . Ratkaisu. Koska eksponenttifunktio f (x) = 10x on aidosti kasvava, annettu ep¨ ayht¨ al¨ o on yht¨ apit¨ av¨ a ep¨ ayht¨ al¨ on 10lg(2x

2

+3)

> 105+lg(x

2

−1)

kanssa. J¨ alkimm¨ ainen ep¨ ayht¨ al¨ o voidaan kirjoittaa muotoon 2x 2 +3 > 105 (x2 −1) ja t¨ am¨ a voidaan kirjoittaa yht¨ apit¨ av¨ aa ¨n muotoon (105 − 2)x2 < 3 + 105 . Viimeisen ep¨ ayht¨ al¨ on ratkaisujoukko on {x ∈ R : |x|
0 eli kun

|x| > 1 . T¨ aten alkuper¨ aisen ep¨ ayht¨ al¨ on ratkaisujoukkona on {x ∈ R : 1 < |x|
0 luonnollinen luku. T¨ all¨ oin Dxn = nxn−1 . Perustelu. Merkitsemme f (x) = xn ja k¨ ayt¨ amme edellisess¨ a luvussa mainittua binomilausetta. Erotusosam¨ aa ¨r¨ all¨ a on nyt lauseke (x + h)n − xn f (x + h) − f (x) = . h h Binomilauseen nojalla on voimassa n   n   X X n n−k k n n−k k n n n−1 (x + h) = x h = x + nx h+ x h . k k k=0

k=2

Kun sijoitamme saadun lausekkeen aikaisempaan erotusosam¨ aa ¨r¨ an lausekkeeseen, saamme seuraavaa: f (x + h) − f (x) = nxn−1 + h Lausekkeen h ·

Pn

k=2


n k

Pn

k=2


n−k k n   X x h n n−k k−2 n−1 = nx +h· x h . h k

n k

k=2

xn−k hk−2 arvot “saadaan mielivaltaisen pieniksi tekem¨ all¨ a h riit-

t¨ av¨ an pieneksi”. T¨ am¨ a merkitsee sit¨ a, ett¨ a erotusosam¨ aa ¨r¨ all¨ a on raja-arvona luku nx n−1 .

Sama derivointikaava Dxp = pxp−1 p¨ atee my¨ os kun p on mielivaltainen nollasta poikkeava rationaaliluku. Haluamme k¨ aytt¨ aa ¨ edellist¨ a tulosta polynomifunktioiden derivaatan m¨ aa ¨ritt¨ amiseen. Tarvitsemme lis¨ aksi s¨ aa ¨nn¨ ot kahden funktion summan derivaatalle ja vakiolla kerrotun funktion derivaatalla; t¨ allaiset summa- ja tulofunktiot m¨ aa ¨ritell¨ aa ¨n seuraavilla kaavoilla: (f + g)(x) = f (x) + g(x) 89

ja

(rf )(x) = r · f (x) .

N¨ aille on voimassa seuraavat s¨ aa ¨nn¨ ot: jos funktioilla f ja g on derivaatat pisteess¨ a x, niin my¨ os funktioilla f + g ja rf on derivaatta pisteess¨ a x ; lis¨ aksi on voimassa (f + g)0 (x) = f 0 (x) + g 0 (x)

ja

(rf )0 (x) = r · f 0 (x) .

Perustelu: Funktion f + g erotusosam¨ aa ¨r¨ alle pisteess¨ a x on voimassa

(f + g)(x + h) − (f + g)(x) (f (x + h) + g(x + h)) − (f (x) + g(x)) = = h h

f (x + h) − f (x) + g(x + h) − g(x) f (x + h) − f (x) g(x + h) − g(x) = + . h h h Toisin sanoen, summafunktion f +g erotusosam¨ aa ¨r¨ a on summa funktioiden f ja g erotusosam¨ aa ¨rist¨ a. Toisaalta n¨ aemme, ett¨ a erotusosam¨ aa ¨rien raja-arvojen summa on sama kuin niiden summan raja-arvo. T¨ ast¨ a seuraa yll¨ a oleva summafunktion derivaattaa koskeva s¨ aa ¨nt¨ o. Funktion rf erotusosam¨ aa ¨r¨ alle pisteess¨ a x on voimassa (rf )(x + h) − (rf )(x) r · f (x + h) − r · f (x) f (x + h) − f (x) = =r· . h h h Lis¨ aksi p¨ atee, ett¨ a lim

h→0



f (x + h) − f (x) r· h



f (x + h) − f (x) h→0 h

= r · lim

ja t¨ ast¨ a seuraa funktion rf derivaattaa koskeva s¨ aa ¨nt¨ o. Summan derivaattaa koskeva s¨ aa ¨nt¨ o yleistyy induktiolla mielivaltaisen monelle summattavalle: (f1 + · · · + fn )0 (x) = f10 (x) + · · · + fn0 (x) . Jos ajattelemme polynomifunktiota a0 + a1 x + · · · + an xn summana vakiofunktiosta

v(x) = a0 ja vakioilla ai kerrotuista potenssifunktioista xn , niin saamme edell¨ a esitetyn nojalla seuraavan tuloksen: D(a0 + a1 x + · · · + an xn ) = a1 + 2a2 x + · · · + nan xn−1 . 90

Mainitsemme viel¨ a kaksi derivointis¨ aa ¨nt¨ oa ¨, joiden avulla edellisi¨ a tuloksia voi yleist¨ aa ¨. Ne liittyv¨ at tulofunktioon f ·g ja osam¨ aa ¨r¨ afunktioon

f g

, jotka m¨ aa ¨ritell¨ aa ¨n aivan vastaavasti

kuin yll¨ a m¨ aa ¨rittelimme summafunktion f + g . S¨ aa ¨nn¨ ot ovat seuraavat: 0

0

0

(f · g) (x) = f (x)g(x) + f (x)g (x) ja

 0 f 0 (x)g(x) − f (x)g 0 (x) f (x) = . g g(x)2

Koska polynomifunktioilla on derivaatta jokaisessa pisteess¨ a, niin edellisest¨ a osam¨ aa ¨r¨ as¨ aa ¨nn¨ ost¨ a seuraa, ett¨ a rationaalifunktiolla on derivaatta jokaisessa pisteess¨ a, jossa funktio on m¨ aa ¨ritelty. Teht¨ av¨ a M¨ aa ¨rit¨ a funktion f (x) =

x2 −1 2x+4

derivaatta.

Ratkaisu. Merkitsemme g(x) = x2 −1 ja h(x) = 2x+4 . T¨ all¨ oin g 0 (x) = 2x ja h0 (x) = 2 , joten saamme osam¨ aa ¨r¨ an derivointikaavasta: f 0 (x) =

2x(2x + 4) − (x2 − 1)2 x2 + 4x + 1 g 0 (x)h(x) − g(x)h0 (x) = = . h(x)2 (2x + 4)2 2x2 + 8x + 8

Funktion derivaatoilla on suuri merkitys tutkittaessa funktion “k¨ aytt¨ aytymist¨ a”. Sanomme, ett¨ a funktion f m¨ aa ¨ritysjoukon piste a on funktion f maksimikohta, mik¨ ali on olemassa sellainen positiiviluku r , ett¨ a f (x) ≤ f (a) jokaisella a − r < x < a + r . Vastaavasti m¨ aa ¨rittelemme f :n minimikohdan. K¨ ayt¨ amme maksimi- ja minimikohdille yhteist¨ a nimityst¨ aa ¨a ¨riarvokohta. Olkoon a funktion f maksimikohta ja olkoon positiiviluvulla r yll¨ a mainittu ominaisuus. T¨ all¨ oin vaakasuoran y = f (a) yl¨ apuolella ei ole yht¨ aa ¨n sellaista f :n kuvaajan pistett¨ a (x, f (x)) , ett¨ a a − r < x < a + r ; kyseinen vaakasuora on n¨ ain ollen f :n kuvaajan

tangentti pisteen a kohdalla ja t¨ ast¨ a seuraa, ett¨ a jos on olemassa derivaatta f 0 (a) , niin derivaatta on suoran y = f (a) kulmakerroin eli f 0 (a) = 0 . Sanomme, ett¨ a piste a on funktion f derivaatan nollakohta, mik¨ ali f 0 (a) = 0 . Edellisen nojalla jokainen funktion maksimikohta, jossa funktio on derivoituva, on funktion derivaatan nollakohta. Samoin my¨ os minimikohdassa derivaatan arvo on 0 , mik¨ ali funktio on kyseisess¨ a kohdassa derivoituva. Seuraavat kuvat valaisevat funktion derivaatan nollakohtien ja funktion a ¨a ¨riarvokohtien v¨ alist¨ a yhteytt¨ a.

91

Vasemmanpuolisen kuvan itseisarvofunktiolla on mimimikohta pisteess¨ a 0 , mutta funktio ei ole derivoituva kyseisess¨ a pisteess¨ a: funktion kuvaajalla on kyll¨ a x -akseli tangenttina pisteen 0 kohdalla, mutta tangentti ei ole yksik¨ asitteinen, sill¨ a mik¨ a tahansa suora y = ax , miss¨ a |a| < 1 , on my¨ os funktion kuvaajan tangentti pisteen 0 kohdalla.

1 3 2 100 (x − 7x − 8x) + 5 on kaikkialla derivoituva. √ 7± 73 ; kuten kuvasta n¨ akyy, funktiolla on yksi 3

Keskimm¨ aisen kuvan funktio f (x) = Sen derivaatalla on kaksi nollakohtaa,

negatiivinen maksimikohta ja yksi positiivinen minimikohta ja n¨ am¨ a ovat funktion ainoat a ¨a ¨riarvokohdat. N¨ ain ollen

√ 7− 73 3

on maksimikohta ja

Oikeanpuolisen kuvan funktion g(x) =

1 3 100 x

√ 7+ 73 3

on minimikohta.

derivaatalla g 0 (x) =

3 2 100 x

on nollakohta

pisteess¨ a 0 , mutta kuten kuvasta n¨ akyy, piste 0 ei ole g :n a ¨a ¨riarvokohta. Edellisen nojalla p¨ atee, ett¨ a – Derivoituvan funktion a ¨a ¨riarvokohdat ovat funktion derivaatan nollakohtia. T¨ am¨ a tulos on erityisen k¨ aytt¨ okelpoinen polynomifunktioiden yhteydess¨ a. Olkoon f n :nnen asteen polynomifunktio, f (x) = a0 + a1 x + · · · + an xn . Osoitimme aikaisemmin,

ett¨ a f 0 (x) = a1 + 2a2 x + · · · + nan xn−1 . T¨ aten f 0 on astetta n − 1 oleva polynomifunktio. Koska k :nnen asteen polynomifunktiolla on korkeintaan k nollakohtaa, saamme yhdess¨ a edellisen kanssa seuraavan tuloksen: – n :nnen asteen polynomifunktiolla on korkeintaan n − 1 a ¨a ¨riarvokohtaa. T¨ ast¨ a tuloksesta seuraa esimerkiksi, ett¨ a toisen asteen polynomifunktiolla on korkeintaan yksi a ¨a ¨riarvokohta. T¨ am¨ an tied¨ amme jo aikaisemmasta, koska toisen asteen polynomifunktio on paraabeli, joka on joko yl¨ osp¨ ain aukeava, jolloin funktiolla on minimikohta ¨ ariarvokohdan saamme selvitai alasp¨ ain aukeava, jolloin funktiolla on maksimikohta. A¨ tetty¨ a etsim¨ all¨ a derivaatan nollakohdan: funktiolla f (x) = ax2 + bx + c , miss¨ a a 6= 0 , on

b . a ¨a ¨riarvokohta derivaatan f 0 (x) = 2ax + b nollakohdassa eli pisteess¨ a − 2a

92

Ongelma Ymp¨ ar¨ oimme 100 metrin mittaisella k¨ oydell¨ a alueen, joka on muuten suorakulmainen paitsi, ett¨ a toinen “p¨ aa ¨ty” on puoliympyr¨ an muotoinen. Mink¨ alainen alueen on oltava, jotta sen pinta-ala olisi mahdollisimman suuri. Ratkaisu. Merkitsemme x :lla puoliympyr¨ an halkaisijan pituutta (metreiss¨ a), jolloin x on my¨ os suorakulmion yhden sivun pituus:

x

Koska puoliympyr¨ an piirin pituus on lemmat pituudeltaan

1 (100 2

1 2 πx ,

suorakulmion kaksi muuta sivua ovat mo-

− (x + 21 πx)) . Alueen pinta-ala on summa suorakulmion ja

puoliympyr¨ an pinta-aloista eli x · 21 (100 − (x + 21 πx)) + 12 π( x2 )2 . Sievent¨ am¨ all¨ a saamme alueen lausekkeen muotoon A(x) = 50x −

3π + 4 2 x . 8

Funktion A(x) kuvaaja on alasp¨ ain aukeava paraabeli, joten A(x) saa suurimman arvonsa derivaatan nollakohdassa. Koska A0 (x) = 50 − niin derivaatan nollakohta on

200 3π+4

3π + 4 x, 4

∼ 14, 9 . Pinta-ala on siis suurimmillaan kun puoliym-

pyr¨ an halkaisija on noin 15 metri¨ a; suorakaide on t¨ all¨ oin mitoiltaan noin 15 × 19 metri¨ a.

Derivaatan f 0 nollakohdat ovat funktion f “erityispisteit¨ a”. Muiden pisteiden kohdalla voimme vet¨ aa ¨ tiettyj¨ a johtop¨ aa ¨t¨ oksi¨ a derivaatan etumerkin perusteella. Derivaatan tulkinta tangentin kulmakertoimena osoittaa, ett¨ a jos f 0 (a) > 0 , niin funktion arvot “kasvavat pisteen a kohdalla” ja jos f 0 (a) < 0 , niin funktion arvot “v¨ ahenev¨ at pisteen a kohdalla”. Emme m¨ aa ¨rittele noita ilmauksia t¨ asm¨ allisesti, mutta annamme seuraavat m¨ aa ¨ritelm¨ at. Olkoon f funktio ja f :n m¨ aa ¨ritysjoukon osajoukko. Funktio f on kasvava 93

joukossa A , jos f (a) ≤ f (b) aina kun a, b ∈ A ja a < b ja f on v¨ ahenev¨ a joukossa A , jos f (a) ≥ f (b) aina kun a, b ∈ A ja a < b . Sanomme my¨ os, ett¨ a f on aidosti kasvava joukossa A , jos f (a) < f (b) aina kun a, b ∈ A ja a < b ja f on aidosti v¨ ahenev¨ a joukossa A , jos f (a) > f (b) aina kun a, b ∈ A ja a < b . Seuraavat tulokset ovat keskeisi¨ a tutkittaessa funktion f “kasvusuuntaa”. Joukko A on seuraavassa f :n m¨ aa ¨ritysjoukkoon sis¨ altyv¨ a v¨ ali eli sille on voimassa: jos a, c ∈ A ja a < b < c , niin my¨ os b ∈ A . Tyypillisi¨ a v¨ alej¨ a ovat koko R ja muotoa {x ∈ R : p < x < q} olevat joukot. – Jos f 0 (a) ≥ 0 jokaisella a ∈ A , niin f on kasvava v¨ alill¨ a A. – Jos f 0 (a) ≤ 0 jokaisella a ∈ A , niin f on v¨ ahenev¨ a v¨ alill¨ a A. – Jos f 0 (a) > 0 jokaisella a ∈ A , niin f on aidosti kasvava v¨ alill¨ a A. – Jos f 0 (a) < 0 jokaisella a ∈ A , niin f on aidosti v¨ ahenev¨ a v¨ alill¨ a A. N¨ am¨ akin tulokset soveltuvat erityisen hyvin polynomifunktioiden tarkasteluun. Olkoon f n :nnen asteen polynomifunktio. Aikaisemman nojalla f 0 :ll¨ a on korkeintaan n − 1 nollakohtaa. Jos f 0 :lla ei ole yht¨ aa ¨n nollakohtaa, niin f 0 “ei vaihda merkki¨ a” eli derivaatan arvot ovat joko kaikki ep¨ anegatiivisia tai kaikki ep¨ apositiivisia; t¨ ass¨ a tapauksessa f on edellisen nojalla joko kasvava koko R :ss¨ a tai v¨ ahenev¨ a koko R :ss¨ a. Oletamme nyt, ett¨ a f 0 :lla on k nollakohtaa. Luettelemme ne suuruusj¨ arjestyksess¨ a: c1 , ..., ck . Pisteet ci jakavat lukusuoran k + 1 :een osav¨ aliin V0 , ..., Vn , miss¨ a V0 = {x ∈ R : x < c1 } , Vn = {x ∈ R : x > cn } ja V` = {x ∈ R : c` < x < c`+1 } kun 0 < ` < n . Mik¨ aa ¨n n¨ aist¨ a v¨ aleist¨ a ei sis¨ all¨ a f 0 :n nollahtia ja siit¨ a seuraa, ett¨ a f 0 ei vaihda merkki¨ a yhdess¨ ak¨ aa ¨n

n¨ aist¨ a v¨ aleist¨ a; t¨ ast¨ a seuraa edelleen, ett¨ a f on joko kasvava tai v¨ ahenev¨ a kullakin v¨ alill¨ a V0 , ..., Vn . Annamme nyt yhteenvedon edellisest¨ a tarkastelusta: – n :nnen asteen polynimifunktion derivaatalla on korkeintaan n − 1 nollakohtaa ja derivaatan nollakohdat jakavat lukusuoran v¨ aleihin, joista kussakin funktio on joko kasvava tai v¨ ahenev¨ a. Erityisesti, koska potenssifunktion f (x) = xk derivaatan f 0 (x) = kxk−1 ainoa nollakohta on pisteess¨ a 0 , funktio f on sek¨ a v¨ alill¨ a R+ ett¨ a v¨ alill¨ a R− joko kasvava tai 94

v¨ ahenev¨ a. Derivaatan merkki¨ a tutkimalla n¨ aemme, ett¨ a f on aina kasvava v¨ alill¨ a R+ , mutta v¨ alill¨ a R− funktio f on v¨ ahenev¨ a, mik¨ ali luku k on parillinen ja kasvava, mik¨ ali k on pariton. T¨ aten n¨ aemme, ett¨ a funktio f (x) = xk on kasvava koko R :ss¨ a, mik¨ ali luku k on pariton. Aikaisemmin esill¨ a olleet kolmannen asteen polynomifunktiot f (x) = 8x) + 5 ja g(x) =

1 3 100 x

1 3 100 (x

− 7x2 −

havainnollistavat edellist¨ a tulosta; n¨ aiden funktioiden kuvaajat

osoittavat, ett¨ a f on “tyypillinen” kolmannen asteen polynomifunktio kun taas g on erikoistapaus t¨ allaisesta funktiosta. Vasemmanpuoliseen kuvaan on piirretty pystysuorat f :n derivaatan nollakohtien m¨ aa ¨ritt¨ amille kohdille osoittamaan niit¨ a v¨ alej¨ a, joissa funktio f on joko kasvava tai v¨ ahenev¨ a.

Annamme nyt esimerkin edellisen tuloksen k¨ ayt¨ ost¨ a. Teht¨ av¨ a M¨ aa ¨rit¨ a funktion f (x) = x5 − 3x3 + 4x a ¨a ¨riarvokohdat. Ratkaisu. Funktion f derivaattafunktio on f 0 (x) = 5x4 − 9x2 + 4 . M¨ aa ¨rit¨ amme aluksi f 0 :n nollakohdat. Kun merkitsemme z = x2 , saamme yht¨ al¨ ost¨ a 5x4 − 9x2 + 4 = 0 toisen √

81−80 asteen yht¨ al¨ on 5z 2 − 9z + 4 = 0 , jonka ratkaisut ovat 9± 10 eli 1 ja 45 . Koska z = x2 , √ niin x = ± z ; n¨ ain ollen ±1 ja ± √25 ovat yht¨ al¨ on 5x4 − 9x2 + 4 = 0 ratkaisut eli f 0 :n

nollakohdat. Pisteet ±1 ja ± √25 jakavat lukusuoran v¨ aleihin V0 = {x ∈ R : x < −1} , V1 = {x ∈

R : −1 < x < − √25 } , V2 = {x ∈ R : − √25 } < x
1} . Selvit¨ amme kunkin v¨ alin tapauksessa, onko f kyseisell¨ a v¨ alill¨ a kasvava vai v¨ ahenev¨ a. Piste −2 kuuluu v¨ aliin V0 ja on voimassa f 0 (−2) = 5 · 16 − 9 · 4 + 4 = 48 > 0 . T¨ ast¨ a seuraa, ett¨ a f on kasvava v¨ alill¨ a V0 . 95

9 9 6561 81 95 Piste − 10 kuuluu v¨ aliin V1 ja on voimassa f 0 (− 10 ) = 5 · 10000 − 9 · 100 + 4 = − 10000
0 . T¨ ast¨ a seuraa, ett¨ a f on kasvava v¨ alill¨ a V2 . Piste

9 10

9 9 kuuluu v¨ aliin V3 ja on voimassa f 0 ( 10 ) = f 0 (− 10 ) < 0 . T¨ ast¨ a seuraa, ett¨ a

f on v¨ ahenev¨ a v¨ alill¨ a V3 . Piste 2 kuuluu v¨ aliin V4 ja on voimassa f 0 (2) = f 0 (−2) > 0 . T¨ ast¨ a seuraa, ett¨ a f on kasvava v¨ alill¨ a V4 . Edell¨ a esitetyst¨ a saamme jo jonkinlaisen k¨ asityksen f :n kuvaajan muodosta; seuraavassa on siit¨ a hyvin karkea kuvaus.

Jo t¨ allainen karkea kuva osoittaa derivaatan nollakohtien luonteen: pisteet −1 ja

√2 5

ovat f :n maksimikohtia ja pisteet − √25 ja 1 ovat minimikohtia. Koska f 0 :lla ei ole noiden nelj¨ an pisteen lis¨ aksi muita nollakohtia, niin f :ll¨ a ei ole muita a ¨a ¨riarvokohtia. Seuraavassa on hieman todenmukaisempi kuva funktiosta f .

Annamme lopuksi (ilman perusteluja) derivaatan lausekkeet edellisess¨ a luvussa tarkastelluille funktioille. 96

Eksponenttifunktiolla ex , miss¨ a e on Neperin luku, on erityisen yksinkertainen derivointikaava Dex = ex . Muiden kantalukujen a > 0 tapauksessa eksponenttifunktiolla ax on derivaattana Dax = ln(a) · ax . Logaritmifunktiolle ln on voimassa D ln(x) =

1 x

ja kantalukua a > 0 vastaavalle logaritmifunktiolle log a on voimassa D loga (x) =

loga (e) . x

Edellisi¨ a derivaatan lausekkeita k¨ aytt¨ am¨ all¨ a n¨ aemme olevan voimassa: Funktiot ax ja loga (x) ovat kasvavia kun a > 1 ja v¨ ahenevi¨ a kun 0 < a < 1 . Funktio cos on funktion sin derivaattafunktio: D sin(x) = cos(x) ja

D cos(x) = − sin(x) .

Kahdella muulla trigonometrisell¨ a funktiolla on seuraavat derivointikaavat: D tan(x) =

1 cos2 (x)

ja

D cot(x) = −

1 . sin (x) 2

Viimeisist¨ a kaavoista n¨ aemme, ett¨ a tangenttifunktio on kasvava ja kotangenttifunktio v¨ ahenev¨ a kullakin m¨ aa ¨ritteluv¨ alill¨ aa ¨n.

97