Trigonometrie Resolution Equation Trigonometrique PDF [PDF]
Trigonométrie – Résolution d’équation trigonométrique Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche :
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Trigonométrie – Résolution d’équation trigonométrique Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche :
Exercice 1 : résolution d’équation trigonométrique dans en utilisant les valeurs remarquables du cosinus et du sinus d’un angle Exercice 2 : résolution d’équation trigonométrique dans à l’aide des formules fondamentales Exercices 3 et 4 : résolution d’équation trigonométrique dans un intervalle donné de Exercices 5 et 6 : résolution d’équation trigonométrique dans en utilisant les angles associés Exercice 7 : résolution d’équation trigonométrique de degré 2 Exercice 8 : résolution d’équation trigonométrique dans en utilisant les formules de duplication Exercices 9 et 10 : équations trigonométriques difficiles
Remarque : Les relations et formules de cette fiche sont valables pour tout réel .
Trigonométrie – Résolution d’équation trigonométrique – Exercices corrigés © SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée)
1
Exercice 1 (1 question)
Résoudre dans
Niveau : facile
les équations suivantes : √
√
Correction de l’exercice 1
Rappel : Valeurs remarquables dans
Valeurs du cosinus et du sinus d’angles compris entre
√
√ √
√ √
√
√
√
Valeurs du cosinus et du sinus d’angles compris entre
√
√ √
√ √
√
√
√
.
1ère équation (
(
)
)
(
)
3ème équation √
(
2ème équation √
)
(
)
(
)
4ème équation (
)
(
)
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2
Exercice 2 (1 question)
Résoudre dans (
Niveau : facile
les équations suivantes :
)
(
)
(
√
)
(
)
(
)
(
)
Correction de l’exercice 2
Rappel : Résolution d’équation trigonométrique ( )
( )
1ère équation
(
)
(
{
(
(
(
(
)
(
)
(
)
( )
)
(
)
(
(
( )
)
) (
)
( ( (
)
{
) (
(
)
)
)
) )
(
)
2ème équation )
√
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( ( (
)
(
) )
( (
)
) )
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3
3ème équation
(
)
(
(
) (
(
(
)
(
)
)
(
)
( ( (
(
)
)
)
) )
4ème équation )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( (
) )
(
⏟
( (
)
) )
(
)
Exercice 3 (1 question)
Résoudre dans [
Niveau : facile
] les équations suivantes : (
)
(
)
(
)
Correction de l’exercice 3
Avant de résoudre les équations dans [
], déterminons les solutions dans
.
1ère équation Trigonométrie – Résolution d’équation trigonométrique – Exercices corrigés © SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée)
4
(
)
( (
Si
(
)
)
:
Si
Si
Si
[
]
Donc
est solution.
[
]
Donc
est solution.
[
]
Donc
est solution.
[
]
:
Si
: Donc
, l’équation n’admet pas de solution de [
Si
n’est pas solution.
].
: )
[
En résumé, l’ensemble
]
Donc
, l’équation n’admet pas de solution de [
Pour tout entier relatif
des solutions de l’équation dans [
n’est pas solution.
].
] est :
{
(
est solution.
:
(
Donc
]
:
Pour tout entier
)
)
[
(
}
2ème équation )
(
(
) (
)
)
( (
)
(
)
)
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5
(
)
(
(
)(
)
)
(
Les réels solutions de l’équation initiale ( ) dans [ entier relatif à déterminer pour que
[
Si
] sont les solutions de (
Si
Si
Si
Donc
]
est solution.
[
]
Donc
est solution.
[
]
Donc
est solution.
[
]
:
:
, l’équation (
Si
) n’admet pas de solution de [
Donc
n’est pas solution.
Donc
n’est pas solution.
].
: )
Pour tout entier relatif En résumé, l’ensemble
[ , l’équation (
) dans [
des solutions de l’équation (
Intéressons-nous désormais aux solutions de (
]
) n’admet pas de solution de [
{
Si
est un
:
(
) où
:
Pour tout entier
) et (
).
[
)
].
Intéressons-nous tout d’abord aux solutions de (
)(
].
] est : }
).
: [
]
Donc
est solution.
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6
Si
Si
Si
Si
Si
: ]
Donc
est solution.
[
]
Donc
est solution.
[
]
Donc
est solution.
[
]
Donc
est solution.
[
]
:
:
:
:
) n’admet pas de solution de [
, l’équation (
Pour tout entier
[
Si
Donc
n’est pas solution.
Donc
n’est pas solution.
].
: (
)
[ , l’équation (
Pour tout entier relatif En résumé, l’ensemble
]
) n’admet pas de solution de [
des solutions de l’équation (
) dans [
] est :
{ Finalement, les solutions {
}
de l’équation initiale est la réunion des solutions }
].
{
}
et
.
{
}
Exercice 4 (2 questions)
Résoudre dans
puis dans
Niveau : facile
les équations suivantes. (
)
(
)
(
)
(
)
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7
Correction de l’exercice 4
1ère équation
Résolvons dans un premier temps l’équation proposée dans (
)
(
Déterminons dans un second temps les solutions dans ]–
Si
]–
Si
]. Donc
Si
)
]–
. Or,
]. Donc
n’est pas solution dans ]–
].
]–
]. Donc
n’est pas solution dans ]–
].
, l’équation n’admet pas de solution.
Pour tout entier
En définitive, l’équation admet une solution
unique dans ]–
{ }.
]. On a
2ème équation
Tout d’abord, résolvons dans )
(
l’équation proposée. (
) ( ( (
)
)
(
) )(
(
( )
Si
(
)
) (
Intéressons-nous tout d’abord aux solutions de (
)
)
)(
Dorénavant, précisons les solutions de l’équation dans ]–
].
: (
(
est solution dans ]–
, l’équation n’admet pas de solution.
Pour tout entier
].
: . Or,
)
: . Or,
.
) ].
).
: –
Donc
est solution.
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8
Si
: – , l’équation (
Pour tout entier
Si
Donc
) n’admet pas de solution dans ]–
].
: –
Si
Donc
, l’équation (
Pour tout entier relatif En résumé, l’ensemble
des solutions de l’équation (
Intéressons-nous désormais aux solutions de (
Si
Si
Si
) dans ]– }
).
: –
Donc
est solution.
–
Donc
est solution.
–
Donc
est solution.
:
:
:
, l’équation (
Pour tout entier Si
Donc
) n’admet pas de solution de ]–
Si
n’est pas solution.
].
: –
].
] est :
–
n’est pas solution.
Donc
) n’admet pas de solution dans ]–
{
Si
est solution.
: –
n’est pas solution.
Donc
est solution.
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–
En résumé, l’ensemble
) n’admet pas de solution de ]–
, l’équation (
Pour tout entier relatif
des solutions de l’équation (
) dans ]–
}
de l’équation initiale est la réunion des solutions
{
}
].
] est :
{ Finalement, les solutions
n’est pas solution.
Donc
{
}
et
.
{
}
Exercice 5 (1 question)
Résoudre dans
Niveau : facile
les équations suivantes : (
)
(
)
Correction de l’exercice 5
Rappel : Angles associés (
)
( )
(
)
( )
(
)
( )
(
)
( )
(
)
( )
(
)
( )
(
)
( )
(
)
( )
1ère équation
1ère méthode : ( (
)
(
) (
)
)
(
(
) (
)
)
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(
)
2ème méthode : (
(
) (
(
⏟
)
)
(
(
)
(
)
(
)
)
)
2ème équation ( (
(
)
)
(
)
(
)
(
)(
(
)
(
)
)
(
)
(
)
)
(
)(
)
Etudions les solutions selon les valeurs de , entier relatif, et remarquons alors que les solutions de ( trouvent dans l’ensemble des solutions de ( ).
(
Ainsi, l’ensemble
(
)
(
)
) ( (
3ème équation
)
(
)
(
)
(
(
( (
) (
)
{
)
) {
{
) }
( (
)
{
des solutions de l’équation est :
) se
)
(
) (
) (
)
{
(
) )
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(
)
(
)
⏟ {
Exercice 6 (2 questions)
Résoudre dans
Niveau : facile
(
l’équation suivante :
puis dans
)
( )
Correction de l’exercice 6
Pour tout
(
)
réel,
( )
( (
) )
( (
(
(
)
)
(
)
(
⏟
( )
(
)
(
)
)
)
)
(
)
(
Les solutions dans l’intervalle
) sont :
En effet,
Si
:
Ces deux valeurs appartiennent à l’intervalle
Si
donc elles sont solutions de l’équation.
:
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Parmi ces deux valeurs, seule la première appartient à l’intervalle l’équation ;
Si
est solution de
est en revanche exclue. :
Aucune de ces valeurs n’appartient à l’intervalle Pour tout entier naturel , .
donc
Si
. Aucune d’elle n’est donc solution de l’équation.
: (
)
(
Parmi ces deux valeurs, seule la première appartient à l’intervalle
donc
) est solution de l’équation ;
n’est en revanche pas solution.
Exercice 7 (1 question) Résoudre dans
Niveau : facile
les équations suivantes :
Correction de l’exercice 7 Rappel : Résolution d’équation de la forme
Si
, l’ensemble des solutions est l’ensemble vide
Si
, l’ensemble des solutions est { }
Si
, l’ensemble des solutions est { √
1ère équation √
(
)
√ }
√
√
(
)
√
(
)
(
)
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2ème équation √
√
√
√
3ème équation
Rappel : Relation fondamentale entre le sinus et le cosinus d’un angle
On est ainsi amené à résoudre la première équation de cet exercice. D’après ce qui précède, les solutions sont : (
)
(
)
(
)
(
Exercice 8 (1 question)
Résoudre dans
)
Niveau : moyen
les équations suivantes : (
(
)
)
Correction de l’exercice 8
Rappel : Formules de duplication (
)
( )
( )
( )
(
( )
)
( )
( )
1ère équation (
)
(
)
(
)
(
)
(
)
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(
)
(
(
)
)(
)
(
)(
)
)
Remarquons en effet que les solutions de ( prendre
(
multiple de
: si
) se trouvent dans l’ensemble des solutions de ( (
, alors
)
(
). Il suffit de
).
2ème équation (
Posons
)
. Alors, comme pour tout réel , devient .
et l’expression
, il vient que (
Soit le discriminant du trinôme du second degré . Alors Comme , admet deux racines réelles distinctes : √
)(
)
(
)
(
)
(
)
)
(
)
(
(
)
).
)(
(
)
)
( (
(
(
)(
donc : (
3ème équation
(
est factorisable : et
.
√
En outre, le trinôme On a bien
)
) )
)
(
)
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Exercice 9 (1 question)
Résoudre dans
Niveau : difficile
l’équation suivante :
(
)
Correction de l’exercice 9
(
)
( (
Lorsque
)
(
)
(
)
(
)
appartient à l’intervalle
, le réel
)
si et seulement si :
Or,
Donc la seule valeur de
telle que
De même, lorsque
est
.
appartient à l’intervalle
, le réel
si et seulement si :
Or,
Il n’existe donc aucun entier relatif (
tel
.
Par conséquent, )
Il existe un réel
unique de
. D’où :
tel que (
)
(
)
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A l’aide de la calculatrice, on trouve
à
( )
près par défaut. En effet,
Exercice 10 (1 question)
Résoudre dans [
.
Niveau : difficile
(
] l’équation suivante :
)
(
)
( )
.
Correction de l’exercice 10
Rappel : Formules d’addition (
)
( )
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
( )
( )
Résolvons dans [
(
] l’équation suivante :
)
(
)
( )
.
Pour tout réel , (
)
(
(
)
)
( )
(⏟
( )) (
⏟ (
)
(
( ) (
⏟
( ) (
)
)
( )
( )
( )
)
( )
( )
(⏟
( ))
)
( )
( )
(
( )
( )
( )⏟ (
( )
( )
)
( )
( ))
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )(
⏟
( )
( ) ( )
( )
( )
( ))
( )
( )(
( )
( )
)
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( ) Etudions le trinôme réel, ( ) , donc
( ) . Pour cela, posons ( ) . L’expression
( ). Remarquons que, pour tout ( ) devient . (
le discriminant de ce trinôme du second degré d’inconnue ,
En posant
donc le trinôme
)
.
admet deux racines réelles distinctes : √ (
En outre, comme Enfin, comme
√ )
(
, le trinôme et
(
est factorisable et , on obtient que :
( )
( )
(
( )
)
)(
( )
)(
).
)
D’où, pour tout réel , (
)
(
( )( ( )[
)
( )
( )
( )
)
(
( )
)(
( )
)]
( )(
( )
)(
( )
)
( )(
( )
Or, dans [
)(
( )
)
], on a :
( )
( )
( )
( )
( )
L’équation
(
)
(
)
( )
admet 3 solutions dans [
]:
.
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