Trattato di Fioretti nella trascelta a cura di Mo Benedetto secondo la lezione del Codice L.IV.21 (sec. XV) della Biblioteca degl’Intronati di Siena [PDF]

Zitiervorschau

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TESTIMONIANZE 01 STORIA DELLA SCIENZA

....

MO ANTONIO DE' MAZZINGHI

a cura DELLA DOMUS GALILAEANA DI PISA DELL'lsTITUTO E MUSEO DI STORIA DELLA SCIENZA DI FIHNZE EDELL'ISTrrUTO DI sTORIA DELLA MEDICINA DELL' UNlVERsrrl DI MILANO

•

Direttori

Istittlto '" Storia della Medicina dell'U,.ivemttl iii Milano MAnA LUISA BoNELLI - Istittlto e Museo di Storia deUa Scienza di Firenze

LUIGI BELLONI •

Tuulo DEJlENZINI -

Domus Galilaeana di Pisa

TRATTATO DI FIORETTI nella trascelta a cura di MO Benedetto secondo /a /ezione del eodiee L. IV, 21

4

della Bib/ioteca deg/'Intronati di Siena

a cura e con introduzione di

GINO ARRIGHI

PISA DOMUS GALIIA:ANA

1967

(SIC.

" PISA J\>MUS GALILJEANA

.

1967

XV)

INTRODUZIONE

c. .'3. 1'+6~.

4

Non poca cura ho dedicato, altrove, al Codice L. IV. 21 della Biblioteca degl'lntronati di Siena contenente un amplissimo Trattato di matematica composto da MO Benedetto da Firenze e datato 1463 (I). In questo, come gia ho avvertito, si ritrova un vero corpus della dottrina conosciuta a quel tempo ottenuto rielaborando, in modo ordinato e sistematico, quanta in precedenza era stato scritto dai vari autori, venendosi, in tal maniera, a costituire una delle fonti pili ricehe ed importanti per la storia della matematica: importanza per la larghezza e varieta dei campi studiati, importanza per Ie moltissime notizie di carattere storico che vi s'incontrano. Rimandando al mio studio citato 10 studioso di siffatti argomenti che desidera notizie estese in proposito, mi intratterro adesso attomo a quella parte del Codice che si estende da c. 451 r. a c. 474 v. la quale costituisce il terzo ed ultimo capitolo del quindicesimo libro del Trattato di MO Benedetto. II suo titolo suona esattamente cosi: • El te~o chapitolo et ultimo del quindecimo libro di questo trattato nel quale si chontenghono chasi scritti nel trattato di Maestro Antonio nominato trattato di fioretti, e' qualj sono scelti da' detti fioretti in pin parti scritti». Segue una introduzione, dovuta a MO Benedetto e che occupa meta del recto della prima carta, la quale ha un carattere storico di notevole valore; subito dopo ha inizio un'ampia raccolta di esercizi [eM, di sovente, cooi veniva presentata questa scienza] che costituisce una trascelta, compiuta ad opera di MO Benedetto, di suI Trattato di jioretti di MO Antonio de' Mazzinghi da Peretola in quel di Firenze. \ 11 Codit:e "!l.IV u della Bibliot«a degl'lntronati di Siena e '" « botkga dell'abat:o a Santa Tri..ita " di F~nze in « Physis ", anno :IlHI (1')65), fasc. 4, pp. I-p. viI I GINO ARRICHI,

8

G. ARRIGHI

INTRODUZIONE

Prima di ogni altro, daro qui di seguito la trascrizione della introduzione ricordata la quale contiene notizie attorno alIa vita ed all'opera di MO Antonio: l'autore che e da reputarsi, per certo, come il migliore allievo di Paolo Dagomari, il MO Paolo dell' Abbaco (2), nella Scuola matematica fiorentina di Santa Trinita che pure era detta la «Bottega dell' abbaco a Santa Trinita D. Leggiamo COS!:

musicha anchora, in edifichare, in prospettiva, in tutte arte di gran intelletto fu dotto et fece molti archimi. E, sechondo che troviamo, d'eta di circa 30 annj morj. Lascio molti vilumj di geometria et d'arismetricha; rna la piu alta fu quella che de' Fioretti e titolata; nella quale sono scritti e' chasi che debbo dimostrare, a' qualj staraj atento. B.

anchora al tempo presente e' nipoti del detto. Maestro Antonio; el quale, secondo che per udita posso scrivere, egli fu da Peretola de' Mac;inghi honorevolj huominj. E come il padre, assaj chopioso secondo gli uominj di quella villa delle chose che la fortuna porge et anchora di buono intelletto, volle al figluolo dare virtU Ie qualj per alchuno accindente gli fussino tolte. Et fattolo inparare legiere et scrivere et gramaticha che in pichol tenpo assaj sofficiente ne venne; inperoche, secondo l'uso del dire di quel tenpo, in latino et in vulghare disse bene, et anchora scriveva lettere antiche bene proportionate. E di poi si dette allo studio dell'opere matematiche, et fu suo precettore MO Pagholo. E benche alchunj dichino che stesse chon luj in chasa et che fu quello che manifesto la morte sua, questo non afermo per vero; rna potrebbe essere. E pocho tenpo stesse chon Maestro Pagholo, che '1 detto MO Pagholo morj e nel testamento lascio e' benj inmobilj alIa chiesa di Sancta Trinita che, secondo che ssi vede per l'arme che sono foglie di vite, Ie 2 chapelle allato alIa maggiore muro, doe furono murate de' suoj denari, benche anchora la maggiore si dice che di que' denari si murorono. E lIe possessione et chase lascio a uno suo nipote et, dopo la morte di quello, a Sancta Trinita ritornassino. E i librj et chose atto a studio lasdo a chi pili sapesse, et in ciaschuna faculta. E fu, dopo lunghe dispute fatte in molto tenpo, chon onorevole modo mandati a chasa Maestro Antonio predetto. Et non solamente in arismetrica et geometria, rna in astrologia,

'" '" '"

« Vivono

2 PAOLO DEl.L'A...,co, Trattato d'aritm~ticu. S~condo la l~%ion~ d~l Codice Magliab~chia. no Xl, 86 d~lla Bibliot«a Na%io"al~ di Fir~n%~. A cu,a ~ con introdu%ion~ di Gino Arrighi Pisa, Domus Galil••ana, ' non la finisco D; il n° 38 si conclude «e chosi, per questo modo, aj trovato il tuo desiderio, che e chosa maravigliosa D. Quanto ci sara conservato qui della primitiva stesura di MO Antonio? Ecco come MO Benedetto, ad un tratto e dopo una invocazione, ci avverte di mantenervisi aderente: «in questa modo che noi piglieremo nel nome di Gesu Xpo benedetto et alIa sua reverentia; e nota che io replicho propiamente il testo D. E la reverenza verso Mo Antonio riappar di sovente, come al finale del «Mirabile dictum D: «E nota che questa e il piu bello et il piu sottile trattato che, gia e gran tempo, vedessi et de' gran sottigle~e ci sono D.

* * * Conviene che adesso io venga a dire una qualche parola circa i' metodi seguiti nella trascrizione del Codice e sulle annotazioni che in esso compaiono. Circa la prima questione, dirc> che ho riferiti integralmente il testo ricostruendo opportunamente Ie parole, segnando accenti ed apostrofi mancanti e usando una punfeggiatura pili aderente ai criteri modemi. Mi sono limitato ad introdurre talvolta, rna sempre in parentesi quadra, lettere 0 parole rimaste nella penna dell'amanuense e la correzione di eventuali sviste un po' meno evidenti compiute da questo: il lettore accorto puC> facilmente supplire al resto. Avverto ancora che i segni di frazione, nell'originaIe, sono sempre disposti orizzontalmente.

INTRODUZIONE

II

Per quanta conceme la seconda questione, comincio coll'osservare che la «chosa D, cioe la variabile 0 l'incognita, e indicata nelle formule del Codice con un segno assai somigliante a quello di troncamento che, di preferenza, 10 si trova usato per indicare la desinenza in is e che somiglia, altresi, a certo modo di scrivere la lettera x: in tale situazione, senza tentare di approfondire questo problema paleografico, ho indicato la «chosa D con questa lettera, il che troviamo concordare con la consuetudine attuale. Con c. 0 CO viene segnato il «censo D che poi sarebbe x2, c C. significa «censo di censo D cioe x 4 , r. era. stanno per «radice D, m vuol dire «meno D e p «pili D; etc.. Potrebbe ora darsi inizio alla spiegazione di parole e allocuzioni ormai cadute in disuso, come «radice relata D che sta per «radice quinta D ••• ; rna ancora una volta confido nella attenzione del lettore diligente rimandando ad un tempo a venire, se mi sara concesso, il pubblicare un vocabolario dei termini matematici medievali del quale sto curando Ie schede da alcuni anni. E qui pongo termine a questa mia introduzione all'opera di Mo Antonio, la quale, come avvertira 10 studioso quando sara giunto al termine della sua fatica, e da considerarsi come il pili valoroso algebrista del Trecento .. Con la presente impresa conto di recare un nuovo personale contributo all'abbattimento di un pregiudizio largamente diffuso anche oggi dopo che da tanti anni ci sta dinanzi la monumentale serie dei volumi del «Bullettino D di Baldassarre Boncompagni, pregiudizio che puC> ritenersi assai bene espresso da queste parole di Rafael Bombelli (J): «Scrisse poi [... ] Leonardo Pisano in Idioma latino, ne doppo lui alcuno ci e stato che cosa buona habbia detto sino a Frate Luca D. GINO ARRIGHI

3

L"Algebra. Prim~ edizione integrale. Feltrinelli Editore, Milano [[966]; p. 9.

Lavoro euguito nell'ambito del

~ppo di rieerea n. 25 del C.N.R.

(Comitato della Maternaliea).

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TaATTATO 01 'IOa.TTI

1. - Fa' di 19, 3 parti nella proportionalita chontinua che, multipliehato la prima chontro all'altre 2 e lla sechonda parte multiplichato all'altre 2 e lla terza parte multiplichante all'altre 2, e quelle 3 somme agunte insieme faccino 228. Adimandasi qualj sono Ie dette parti. Conciosiachosache Maestro Antonio sottile scriva e' chasi e' qualj non anna asolutione alle quantita numeralj, nientedimeno io mi sfor~E:r il quadrato della meta de' detti numerj et tralghilo della meta di 97, mi rimarra il quadrato che si a dalla meta de' detti numeri alla minore parte, avera alIa maggiore. Onde il quadrato della meta de' detti numeri e uno censo, cioe il quadrato d'una chosa, adunque tratto 10 detto quadrato, cioe uno censo, di 48 1/2 rimanghono 48 1/2 meno uno censo e questo e il quadrato della detta differentia. Adunque la detta differentia e la radicie di 48 1/2 meno uno censo, la quale, agunta a una chosa, fanno una chosa et radice di 48 1/2 meno I censo, et tanto e la maggiore parte. E, per la minore, traj la radice di 48 1/2 meno I censo d'una chosa, rimane I chosa meno la radiee di 48 1/2 meno I censo; e tanto e la parte minore. E chosi aj trovato 2 quantita che i loro quadrati agunti insieme fanno 97 e la prima e una chosa et radice di 48 1/2 meno I censo e l'altra e una chosa meno radice di 48 1/2 meno uno censo. Ora ci resta a vedere se, multiplichato la radice dell'una parte per la radice dell 'altra , fa meno 7 ch' e' detti numeri. E quando noj vogliamo multiplichare la radice d'alchuno numero per la radice d'alchuno numero, noi multipliehiamo l'uno numero per l'altro et del produtto pigliamo la radice. Adunque multiplichando la radice di questa quantita, cioe di I chosa pili radice di 48 1/2 meno uno censo, per la radice di quella quantita, cioe di I chosa meno radice di 48 1/2 meno uno cenco, multiplicheraj I chosa pili radiee di 48 1/2 meno I censo per I chosa meno radice di 48 1/2 meno I censo; fanno 2 censi meno 48 1/2 et di questo piglio la radice, che e radice di 2 censi meno 48 1/2 e questo e il produto delle 2 dette quantita. E questo debba essere meno 7 che il chongunto de' detti numeri e il chongunto de' detti numeri e 2 chose, adunque quella radice debba essere 2 chose meno 71 Dicho che multiplichando 2 chose me-

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MO ANTONIO DE' MAZZINGHI

no 7 in se debbono fare quanto a multiplichare la radice di 2 censj menD 48 1/2 in se. E pero multiplicheraj la radice di 2 censi meno 48 1/2 in se medesimo, fanno 2 censi meno 48 I/Z; e anchora multiplicha 2 chose meno 7 in se medesimo, fanno 4 censi et 49 menD 28 chose. Et questi 2 produtti sono in fra lloro igualj, adunque diremo che 2 censi meno 48 1/2 sieno igualj a 4 censi et 49 meno 28 chose. Dove raguaglieraj Ie parti dando a ognj parte 48 1/2 et 28 chose et levando da ogni parte 2 censi; et aremo che 2 censi et 97 1/2 sono igualj a 28 chose. Dove, osservando la quinta reghola, che arrecheraj a uno censo e araj che uno censo et 48 3/4 sono igualj a 14 chose, dove dimegeraj Ie chose, sono 7, multiplicha in se fanno 49, trane 48 3/ 2 , rimanghono 1/4 del quale piglia la radice, che e 1/2, et tralo della meta delle chose, ch'e 7, rimanghono 6 1/2. E tanto vale la chosa. E noj ponemo che fra amendunj e' detti numeri fussino 2 chose, adunque furono 13. E per 10 primo, che ponemo ch'era I chosa menD radice di 48 1/2 menD uno censo, diraj: se lla chosa vale 6 1/2 il censo varra il suo quadrato, che e 42 1/4, che, tratto di 48 1/2, rimanghono 6 1/4 del quale la radice e 2 1/2 che, tratto d'una chosa cioe di 6 1/2, rimanghono 4· E tanto e la minore parte. E per l'altra che fu I chosa piu radice di 48 1/2 menD uno censo,trarraj 42 1/4 di 48 1/2, rimanghono 6 1/4 del quale Ia radice e 2 1/2 che, agunta a 6 1/2, fanno 9. E tanto e l'altro numero. E chosi e fatto che, di quellj due numerj, l'uno, cioe il minore, e 4, l'altro, cioe il maggiore, e 9· 8. - Truova 4 numerj nella proporzionalita chontinua che multiplichato el primo nel secondo e, cio che fa, nel ter90 e, cio che fa, nel quarto, faccia 2916. E il primo e il quarto agunto insieme faccia 17 1/2. Adimandasj qualj :.ono quellj 4 numerj. Piglieraj questo argomento. Tanto fanno a multiplichare il primo nel quarto quanto el secondo nel ter90 inperoch' e' numerj sonG nella proportionalita chontinua. Adunque e chiaro che lla multiplichatione del secondo [anzi: primo] nel quarto debba fare la

TRATTATO DI FIORETTI

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radice di 2916, la quaIe radice e 54; adunque multiplichando il primo numero nel quarto debba fare 54. Onde noj abbiamo detto che 'I primo e il quarto numero insieme agunti fanno 17 1/2; per la qual chosa abbiamo a dividere 17 1/2 in talj 2 parti che l'una multiplichata per l'altra faccia 54. Dove, secondo e' modi passati, dimegeraj 17 1/2, che lla meta e 8 3/4, multiplicha in se, fanno 76 9/16, trane 54, rimanghono 22 9/16. E, di questo, piglia la radice, che e 43/4, et trala di 83/4, rimanghono 4. E tanto e il primo numero. E, per 10 secondo, agugnj 4 3/4 a 8 3/4, fanno 13 1/2, e tanto e il quarto numero. E chosi ai diviso 17 1/2 in 2 parti che ll'una multiplichata per l'altra faccia 54, che e I'una 4, l'altra 13 1/2. E gia, de' detti numeri, abbiamo chiarito quare il primo et quale e il quarto et abbiamo chiarito ch'egli e il primo 4 et il quarto 13 1/2. Ora ci resta a trovare il secondo et il ter90 numero. Onde diraj: io fo positione che '1 secondo numero fusse una chosa che, essendo el secondo numero una chosa, 10 suo quadrato e uno censo. E tu saj che tanto fa a multiplichare il primo nel ter90 quanto il secondo in se. E il primo e 4 e il secondo e una chosa; adunque se partiremo uno censo in 4, che nne verra 1/4 di censo et tanto sia il ter90 numero inperoche tanto fa multiplichare il primo, che e 4, per 10 ter90, che e 1/4 di censo, quanta fa a multiplichare il secondo in se. Ora trovato che abbiamo e' detti 4 numeri, che 'I primo e 4, il secondo e una chosa, il ter90 e un quarto di censo e il quarto numero e 13 1/2, abbiamo a vedere se lla multiplichatione del primo nel quarto e quanto la multiplichatione del secondo nel ter90. E lla multiplichatione del primo nel quarto e 54 e lla multiplichatione del secondo nel ter90 e 1/4 di chubo, cioe la multiplichatione d'una chosa in I! 4 di censo. Adunque 1/4 di chubo e igualj a 54, che e la 9" reghola, dove arrecha a uno chuba et aremo che uno chuba sia igualj a 216. Adunque la chosa vale la radice chubica di 216 la quale radice chubicha e 6. Adunque perche noj ponemo che '1 secondo numero fusse una chosa, fu 6. E il terzo numero trovamo che era 1/4 "censo e, se lla chosa vale 6, il censo varra

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MO ANTONIO DE' MAZZ1NGH1

36, che il 1/4 di censo yarra 9. E chosi abbiamo investighati e' detti 4 numeri che il primo e 4 e il secondo e 7 e il terc;o numero e 9 e il quarto e 13 1/2. E multiplichato 4 per 6 fanno 24, che multiplichato per 9 fanno 216, che multiplichato per 13 1/2 fanno 2916 chome era di bisognio. 9. - Truova 2 numeri che, multiplichato l'uno per l'altro, faccino 8 e i loro quadrati sieno 27. In questa 10 'ntelletto del nostro Maestro Antonio ando molto alto. E prima dimostra chome sanc;a alchuna reghola s'asolve e, benche il chaso non vengha in quantita discreta, non 1'0 mutato perche viene assaj chomodamente. Ora alIa absolutione nella quarta del secondo d'Euc1ide e mostro che quando e' sono 2 quantita ch' e' quadrati loro chol doppio della multiplichatione dell'una nell'altra e quanta el quadrato dello chongunto delle 2 quantita. Adunque se si radoppia 8, che e la multiplichatione dell'una quantita nell'altra, aremo 16; e questo s'agungha al 27, fanno 43. E questo e il quadrato del chongunto loro, adunque el loro chongunto e la radice di 43. Ora che abbiamo trovato che, fra amendunj, Ie dette quantita sono la radiee di 43, e noj diremo facciasj, di radice di 43, 2 parti che ll'una multiplichata per l'altra faccino 8. Dove dimec;eraj la radice di 43, che sia la meta la radice di 10 3/4, e questo multiplicha in se medesimo, fanno 10 3/4, e di questo trai 8, rimanghono 2 3/4 del quale piglia la radice che e radice di 2 3/4 et trala di radice di 10 3/4, rimanghono radice di 10 3/4 menD la radice di 2 3/4; e tanto e la prima parte. E la seconda sia radice di 10 3/4 piu radice di 2 3/4. E diremo che l'una quantita sia la radice di 10 3/4 meno la radice di 2 3/4, cioe la minore parte, e la maggiore sia radice di 10 3/4 piu radice di 2 3/4. E chosi e trovato 2 quantita che i loro quadrati sono 27 e la multiplichatione dell'uno nell' altro e 8; chome volavamo. Ma per aguagliamenti dell' algibra anchora possiamo fare; e questo e che porremo che lla prima quantita sia una chosa menD la radice d'alchuna quantita, l'altra sia una chosa piu la radice

TRATTATO D1 FIORETTI

d'a1chuna quantita. Ora multiplicherai la prima quantita in se et la seconda quantita in se et agugnerai insieme et araj 2 censi et una quantita non chonosciuta, la quale quantita non chonosciuta e que1 ~h~ e d~ 2 ce~sj infino in 27, che v'e 27 menD 2 censj, dove la multiphchatIone dl quella quantita e 13 1/2 meno 1 censo. Adunque la minore parte e una chosa menD la radice di 13 1/2 menD uno censo, l'altra e una chosa piu radice di 13 1/2 meno 1 censo. ~ diraj che abbia trovato 2 quantita e' quadrati delle qualj inSleme agunte sono 27 et l'una e una chosa meno radice di 13 1/2 meno uno censo, l'altra e una chosa piu radice di 13 1/2 menD 1 censo. Ora e da vedere se multiplichato l'uno per l'altro £anno 8' dove multiplicheraj una chosa meno radice di 13 1/2 meno 1 cens~ per una chosa piu radice di 13 1/2 meno uno censo. E quando multiplic.he~a j prima 1 chosa per una chosa, fanno uno censo; e di poj multIphcha 1 chosa per piu radice di 13 1/2 menD 1 censo e una chosa per meno radice di 13 1/2 menD uno censo, fanno o· e di poj multiplicha meno radice di 13 1/2 menD 1 censo per piu ;adice di 13 1/2 ~e~o 1 censo, fanno uno censo meno 13 1/2. E agugnj ~l censo di pnma, fanno 2 censi meno 13 1/2. Et questi sono igualJ a 8, dove raguagliera j Ie parti et araj a ragugnere a ognj parte 13 1/2 e aremo che 2 censi sono igualj a 21 1/2. Dove arrecha a uno censo et arremo che uno censo sia igualj a 10 3/4. Adunque Ia chosa vale la radiche di 10 3/4 e il censo vale il suo quadrato cioe 10 ~/4; .onde la prima parte, che troviamo ch'era una chosa piu radice dl 13 1/2 meno 1 censo, trarraj 10 3/4 di 13 1/2, rimanghon~ 2 3/4. E dira,i che lla prima parte e la radice di 10 3/4 piu radIce dl 2 3/4 e 1 altra, che fu una chosa meno la radice di 13 1/2 meno 1 censo, trarrai 10 3/4 di 13 1/2, rimanghono 2 3/4 e diraj che ll'~ltra ~arte fusse la radice di 103/4 meno la radice di 23/4. E ChOSI a.bb.Iam~ trovato 2 quantita ch' e' loro quadrati sono 27 e la multIphchatione dell'una nell'altra e 8, chome volavamo. E l' un~ quantita e la radice di 10 3/4 menD la radice di 2 3/4, cioe la mmore, e la maggiore e radice di 10 3/4 piu radice di 2 3/4; chome trovamo prima..

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MO ANTONIO DE' MAZZINGHI

10. - Truova 2 numerj i chuj quadrati sieno 100 e, multiplichando l'uno nell'altro, faccino 5 meno che la differenza ch' e dalI'uno numero all'altro multiplichata in se. Adimandasi qualj sono quellj numerj. Inan~i voglio proporre questo caso. Fa', di 10, 2 parti che, multiplichata l'una per l'altra, faccia 20 menD che multiplichato la differentia in se medesimo. Ponj l'una parte essere 5 et una chosa chonviene l'altra parte sia 5 menD una chosa, e multiplicha l'una parte per l'altra, cioe 5 et una chosa per 5 meno una chosa; fanno 25 menD uno censo, a' qualj agugnj 20, aremo 45 menD uno censo. E di poj trova la differentia che e dall'una parte all'altra, che e 2 chose, che in se multiplichate fanno 4 censi. E questi sono igualj a 45 meno I censo, dove raguaglieraj Ie parte dando a ognj parte I censo et araj 5 censi sieno igualj a 45; dove arrecha a uno censo et araj uno censo igualj a 9. Adunque la chosa vale la radice di 9, che e 3. E noj ponemo che la prima parte fusse 5 et una chosa, adunque fu 8. E la seconda ponemo fusse 5 menD una chosa, che fu 2. Ora al nostro chaso che dice: truova 2 numeri de' quali e' quadrati sieno 100 e la multiplichatione delI'uno nell'altro faccia 5 menD che lla differencia quadrata, poni che '1 primo numero sia una chosa piu radice d'alchuna quantita e il secondo sia una chosa menD radice d'aIchuna quantita, e multiplicha ciaschuno numero in se et agugnj e' quadrati, fanno 2 censi et alchuna chosa non saputa. E quellj quadrati anno a ffare 100; dove quella chosa non saputa e la differentia che e da 100 a 2 censi, che e 100 menD 2 censi. Adunque la prima multiplichatione e 50 meno I censo; adunque 10 primo numero e una chosa piu radice di 50 meno I censo e 10 secondo e una chosa meno radice di 50 menD uno censo. E chosl aj trovato 2 quantita che i loro quadrati fanno 100, ora ci resta a vedere se lla multiplichatione delI'uno nell'altro fanno 5 menD che il quadrato della differentia; dove multiplicheraj una chosa piu radice di 50 menD I censo per una chosa meno radice di 50 meno I censo. Fanno 2 censj meno 50 a' qualj agunto 5, fanno 2 censi meno 45. E questo e igualj al quadrato della differentia. Onde troveraj che e la differentia che e da

TRATIATO DI FIORETTI

un~ cho~a meno radice di 50 menD I censo infino in una chosa piu radlce dl 50 menD I censo: che v' e 2 volte la radice di 50 meno I c~nso :he e radice di 200 menD 4 censi. Dove, multiplichato la ra~1:e di. 200 men~ 4 censi in se, fanno 200 menD 4 censi; e questo e 19ual) a 2 censl menD 45. Adunque raguaglieraj Ie parti dando a ognj parte 45 et 4 censi et aremo che 6 censi sieno igualj a 245 che, rechando a uno censo, aremo che uno censo sia igualj a 40 5/ 6 ; dove la chosa vale la radice di 40 5/6 e il censo vale 40 5/ 6 . E perche noj ponemo che lla prima parte fusse una chosa et radice di 50 meno uno censo, trarraj 40 5/6 di 50, rimanghono 9 1/6. E perche la chosa vale la radice di 40 5/6, diraj che l'uno numero fusse la radice di 40 5/6 et la radice di 9 1/6; e il secondo numero, c~e er.a I chosa meno la radice di 50 meno uno censo [ ... ] la radIce dl 40 5/ 6 meno la radice di 91/6. E chosi abbiamo trovati due quantita che i loro quadrati sono 100 e la multiplichatione dell'uno nell'altro fanno 5 menD che multiplichato la differentia in se medesimo. E l'uno e la radice di 40 5/6 piu radice di 9 1/6, cioe la maggiore; e l'altra, cioe la minore, e radice di 40 5/6 .meno la radice di 9 1/6. Due barattono di lana et di panno; cioe l'uno a lana, l'altro a panno. E '1 centinaio della lana, che vale 20 fiorini, in baratto glele conto 22 fiorini; e la channa del panno vale 6 fiorini e in ~aratto glele chonto tanto che quellj del panno si trovo guad~gnlato ,a 10 per 100 piu che quellj della lana. Adimandasj che gil chonto la channa del panno in questo baratto. Ponj che il primo guadagnasse del suo chapitale uno esimo d'una chosa che cho,. • 1 • SI. ~1 scnve lX' chonvlene che ll'altro perda 11", e 1. E perche noi diclamo che quello del panno guadagnio tanto in questo baratto piu che non perde quello della lana che, agunto que 1 che quello della lana perde et quel che quello del panno guadagnio per 100, debbono fare 1/10. Onde araj a ragugnere questi 2 rotti, cioe .-!1 " d b 1'" e~ I pm, et e bono fare 1/10; dove a ragugnere .-!- e _1 , dove multiplicheraj in cr~e, cioe I vie I chosa et 1 fann~ I ch~s~ II. -

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M" ANTONIO DE' MAZZINGHI

et I et I vie I chosa fanno I chosa echo, agunti insieme, 2 chose et 1. E partiraj in nella multiplichatione d'una chosa in una chosa et I , cioe in uno censo et una chosa, vienne 1 cen~o 2.1; I . E questo e l.r igualj a uno decimo, e pero multiplicheraj 1/10 vie I censo et I chosa, fanno 1/10 di censo et 1/10 di chosa et questo e igualj a 2 chose et 1. Dove raguaglieraj Ie parti levando da ognj parte 1/10 di chosa et araj che 1/10 di censo sono igualj a 19/10 di chosa et I, che e la sexta reghola; che recherai a uno censo et araj: uno censo sieno igualj a 19 chose et 10. Dove dime~a Ie chose, sia la meta 9 1/2, multiplicha in se, fanno 90 1/4, agugnj 10, fanno 100 1/4. E pigliane la radice ed agugnjvi la meta delle chose, cioe 91/2, et araj: la chosa vale la radice di 100 1/4 pili 9 1/2. E noi ponemo che '1 guadagnio del primo, cioe di quel del panno, fusse ....L; adunque guadagnio quella parte che e I di radice di 100 1/4 ~ili 9 1/2. Ora per dare chompimento al baratto, faraj in questo modo . Quello della lana perde in sua parte Ix _ Icioe quella parel te che viene a partire I in radice di 100 1/4 pili 10 1/2. Siche da 20 fiorini perdera 21 fiorini meno la radice di 4°1; chavalo di 20 rimanghono la radice di 401 meno I. Or vedi che ognj radice di 401 meno I a chontanti, quello della lana, glele chonta 22 pero: 6 fiorini che vale la channa del panno che si chonteranno a baratto? Multiplicha 6 vie 22, fanno 132 e partilo per la redice di 401 meno I; vienne radice di 43 668g/10000 pili 33/100, partendo nel modo dato nel partire Ie radice. E chosl diraj che lla channa del panno si chontasse a baratto la radice di 426689/10000 pili 33/ 100 . 12. - Due feciono chonpagnia, l'uno misse la persona et 2000 fiorini, l' altro misse 3000 fiorini, e dovevono partire il guadagnio in certo modo; or viene chaso che quellj che misse 3°00 fiorini truova che, sopramettendo 1000 fiorini, e' traeva pili che ill/IS di tutto il guadagnio che non faceva in prima. Adimandasi quanto fu extimata la persona del primo. Ponj che lla persona sia extimata una chosa, adunque il primo mette I chosa e 2000 fiorini; onde il primo chorpo e una chosa et 5000 fiorini. Onde al primo tocha

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del guadagnio tale parte chente e una chosa et 2000 fiorini, d'una d'una chosa e 5000 fiorini, che e 1.£ 2000; e il secondo, che misse 1.£ 5000 3°0 0 fiorini, gli tocha ~. E chosl aj ordinato che al primo I.e 5000 tocha di guadagnio I'" 2000; e al secondo tocha di guadagnio I'" 5000 ~ . E perche il secondo chorpo e pili 1000 fiorini e soprametI'" 5000 tegli il sechondo chonpagnio, adunque il secondo chonpagnio chava per la parte sua e' ~,la quale parte diciamo che e pili I'" 6000 ill/IS che lla prima cioe che ~. Onde a trarre e' ~ 1.£ 5000 I'" 5000 di ~ rimanghono 1/15. E questo puoi fare in questo modo, I'" 6000 che segnerai e' rotti chome dal lato 0 fatto e multiplicheraj in croce; cioe 3000 vie I chosa et 6000, fanno 3000 chose et 18000000, e poj multiplicha 4000 vie I chosa 5000 fanno 4000 chose et 20000000. Traj 3000 chose et 18000000 di 4000 chose et 20000000, rimanghono 1000 chose et 2000000; la quale quantita partiraj per Ie multiplichatione di I chosa 5000 per una chosa e 6000, cioe partiraJ' per uno censo 11000 chose et 30000000. Vienne 1000", 2000000 , t c" 11000", 30000000 e questo e quanto 1/15. Adunque se multiplicheraj 1/15 per I censo nooo chose et 30000000, quella multiplichatione sia igualj a 1000 chose et 2000000. Adunque 1/15 di censo et 733 1/3 chose et 2000000 sono igualj a 1000 chose et 2000000; dove raguaglieraj Ie parti levando da ognj parte 2000000 e 733 1/3 chose et aremo che 266 chose 2/3 sono igualj aI/IS di censo, dove il censo sia igualj a 4000 chose. Et, se uno censo e igualj a 4000 chose, la chosa vale 4000. E perche noj ponemo che lla persona del primo fusse extimata una chosa, fu extimata la persona 4000 fiorini. EchoSI atendi alle assimiglianti. E, volendolo provare tostamente, possiamo dire: il primo chorpo essere 9 e il secondo 10 e il secondo nel primo chorpo mette 3, viene al trarre il 1/3 e nel secondo mette 4 che viene a trarre e' 2/5; onde la seconda tratta e pili 1/15 che lla prima. 13. - Due barattono insieme: l'uno aveva lana, l'altro panni. El centinaio della lana vale 30 lire e, in baratto, glelo chonto 36 lire ed ebbe il 1/3 in flanari chontanti e glj 2/3 ebbe in panno. -~

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TRATTATO DI FIORETTI

MO ANTONIO DE' MAZZINGHI

La channa del panno vale 5 fiorini et trovossi, quello della lana, guadagniato in questa baratto pili 10 per centinaio che quello del panno. Adimandasj che glj misse in baratto la channa del panno. Ponj che '1 primo guadagnasse del suo chapitale in parte 1~ chonviene che ll'altro perda_1 _; e, perche noj diciamo che quello 1" 1 . , della lana guadagnio pili che quel del panno a 10 per 100 clOe 1/10 pili di luj, chonviene che '1 primo suo guadagnio, rechato in parte, et gunto cholla perdita dell'altro, rechato in parte, facei 1/10. Adunque ragugneraJ' gli 2 rotti, cioe --.!e_ 1 ,che multiplicheraj 1" 1.< 1 in croce eioe I via IX e I fanno I chosa et 1. E dipoj multiplicha I via I casa, fanno I chosa; in tutto aj 2 chose I, e' qualj divideraj in nella multiplichatione d'una chosa in una chosa et I, cioe in e questo e igualj a 1/10. Adunun censo et I chosa , et vienne ~ Ie lx que multiplichato 1/10 per I censo et una chosa, faranno 2 chose 1. E multiplichato 1/10 per uno censo et I chosa, fanno 1/10 di censo et 1/10 di chosa; e questo e igual j a 2 chose et uno. Raguaglieraj Ie parti levando da ogni parte 1/10 di chosa, et araj 1/10 di censo igualj a 19/10 chose et 1. Che recha a uno censo chome vuole la sexta reghola, araj che uno censo e igualj a 19 chose et 10. Dime~a Ie chose, la meta sia 9 1/2, multiplicha in se, fanno 90 1/4, agugni a 10, fanno 100 1/4; pigliane la radice et agugni 9 1/2 e araj che lla chosa yarra la radice di 90 1/4 pili 9 1/2. E noj ponemo che '1 guadagnio del primo rechato in parte fusse 1~ adunque il primo, cioe quello della lana, guadagnio in questa baratto quella parte che viene a partire I in radice di 100 1/4 pili ., d'lClamo . 1 Ora diamo ques t0 ro tt0 rad. di 100 1/4 piu 9 1/2 • 9 I / 2, clOe chonpimento al baratto in questo modo. Quello della lana vuole il 1/3 in danari chontanti di cio che gliela chonta in baratto e de' rimanere nel sopradetto guadagnio. Abbiamo, adunque, a prendere lOflm ch en t e e' radice di 100 11/4 pin 9 1/2' E pero multitale parte d 1· 30 f"" plicheraj I per 30 fiorini e partiraj in radice di 100 1/4 pili 9 1/2; che multiplicheraj radice di 100 1/4 pili 9 1/2 per 10 suo reciso, cioe per radice di 100 1/4 meno 9 1/2, fanno 10; e questo e il partitore. Di poj multiplicha 30 fiorini per la radice di 100 1/4 meno

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9 1/2, fanno la radice di 90225 meno 285 che, divisi in 10, ne viene la radice di 902 1/4 meno 281/2. E questo e quello che quellj della lana debbe guadagnare de' detti 30 fiorini. E pero agugneraj la radice di 902 1/4 meno 28 1/2 a 30, fanno la radice di 902 1/4 pili I 1/2, e tanto si truova quello della lana d'uno centinaio di lana avere in danari chontanti. Ma perche e' dimanda il 1/3 di 36 fiorini, il quale e 12 fiorini, trarraj 12 fiorini della radice di 902 1/4 pili I 1/2, rimanghono la radice di 902 1/4 meno 10 1/2. E diraj che rimanga avere tanti danari che sieno la radice di 902 1/4 meno 10 1/2, cioe che rimangha avere tanta lana che a danari vaglia la radice di 902 1/4 meno 10 1/2. Ma a panno bisognia che vaglia 24 fiorini, cioe e' 2/3 di 36; dunque possiamo dire: quello della lana ognj radice 902 1/4 meno 10 1/2 a danari chontanti vagliono a baratto si chonto 24, Ie 5 fiorini che vale la channa a danari che sieno a baratto? Multiplicheraj 5 per 24, fanno 120 et partiraj in radice di 902 1/4 meno 10 1/2. Dove e di bisognio multiplichare radice di 902 1/4 meno 10 1/2 per 10 suo binomio cioe per radice di 9021/4 pili 10 1/2, fanno 792; e questo e il partitore. Di poj multiplicha 120 via radice di 902 1/4 pili 10 1/2, fanno radice di 12992400 pili 1260. E partiraj in 792, vienne la radice di 20345/484 pili I 13/22. E tanto puntalmente gli chonto la channa del panno in baratto. E volendo chonpensare a uno danaro quella chotale radice che e numero ochulto che a punto non si puo rispondere, chonvienti rechare a danari a oro et di quella quantita prendere la radice et gugnerai I 13/22 et arai circha 6 fiorini 2 soldi 10 danari a oro buonamente. E se volessi provare la detta ragione, sappi che parte di suo chapitale guadagnio quelli delia lana et anchora che parte perde quello dello panno; e, se quelle 2 parti ragunte insieme fanno 1/10, che '1 debbono fare, et sta bene inperoche verrebbe a guadagniare pili 10 per 100 di lui chome, nella ragione, fu proposto. 14. - Merita 100 fiorini per tenpo di 9 mesi a 20 per 100 l'anno a ffare chapo d'anno\a punto. Dicho che molti anna risposto

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MO ANTONIO DE' MAZZINGHI

ch'ella non si pua fare non avendo assegnato alchuna ragione e pera mi chondussi a proporla per asolverla. Chonciosiachosache '1 merito a chapa d'anno procede nella proportionalita chontinua, dicho che qui si richiede 5 numerj nella chontinua proportione de' quali il primo e il chapitale, cioe 100 fiorini, il sechondo numero e cia che 100 fiorini sono in chapa di 9 mesi, e il ten;o e cia che sono in chapo di 18 mesi, e il quarto numero e cia che sono in chapo di 27 mesi, e il quarto numero e cia che sono in chapa di 36 mesi, cioe 3 annj. Ma perche meritando 100 fiorini per 3 annj a 20 per 100 l'anno a flare chapa d'anno sono 172 4/5 fiorini, adunque il quinto numero e 172 fiorini 4/5. Ma perche e' numerj che sono nella proportionalita chontinua fa tanto multiplichando il primo nel quinto quanto il secondo nel quarto quanto il ter