Transmaths Nathan Cahier Exercices Corrigé 6eme [PDF]
Le cahier Joël Malaval Pierre-Antoine Desrousseaux Annie Plantiveau Frédéric Puigredo Le papier de cet ouvrage est com
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Le cahier
Joël Malaval Pierre-Antoine Desrousseaux Annie Plantiveau Frédéric Puigredo
Le papier de cet ouvrage est composé de fibres naturelles, renouvelables, fabriquées à partir de bois provenant de forêts gérées de manière responsable.
6 Nouveau programme
2016
Sommaire Nombres et calculs
5 Proportionnalité
1 Nombres entiers • Nombres décimaux 1. Nombres entiers
.......................................... 6
2. Nombres décimaux
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3. Système de numération et système
métrique .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4. Comparaison de nombres décimaux . . . . . . . . . . . . . 9 5. Perfectionnement 6. QCM et jeux
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 10
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 Addition, Soustraction, Multiplication 7. Addition, soustraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 8. Techniques de l’addition et ordre
de grandeur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
9. Techniques de la soustraction et ordre
de grandeur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
10. Multiplication par un nombre entier
28. Situations de proportionnalité
. . . . .. . . . . . . . ..... 34
29. Passage par l’unité et propriétés
. . . . . . . . . . ..... 35
30. Appliquer un taux de pourcentage 31. Utiliser la proportionnalité
. . . . . . . ..... 36
. . . . . . . . . . .. . . . . . . . ..... 37
32. Variations entre deux grandeurs :
graphiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . ..... 38
33. Perfectionnement 34. QCM et jeux
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... 39
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . ..... 40
6 Organisation et gestion des données 35. Tableaux : lire, utiliser, interpréter
. . . . . . . . ..... 41
36. Tableaux : organiser des données
. . . . . . . . ..... 42
37. Représentations graphiques 38. Perfectionnement 39. QCM et jeux
. . . . . . . .. . . . . . . . ..... 43
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... 44
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . ..... 45
. . . . . . . . . . 15
40. Atelier problèmes
11. Multiplier par 10 ; 100 ; 1 000 ; 0,1 ;
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . ..... 46
0,01 ; 0,001 – Changer d’unités . .. . . . . . . . . . . . . . . . 16
12. Multiplication de nombres décimaux
et ordre de grandeur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
13. Priorités opératoires 14. Perfectionnement 15. QCM et jeux
. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 18
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 19
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7 Angles
3 Division 16. Division euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 17. Multiples, diviseurs et critères de
divisibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 22
18. Division décimale
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 23
19. Valeurs approchées 20. Perfectionnement
. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 24
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 25
21. QCM et jeux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 26
41. Vocabulaire, notation et comparaison 42. Mesure d’un angle
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . ..... 49
43. Construction d’un angle, bissectrice 44. Perfectionnement 45. QCM et jeux
22. Fractions et quotients
. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 27
23. Fractions et demi-droite graduée
. . . . . . . . . . . . . . 28
24. Prendre une fraction d’une quantité 25. Perfectionnement
. . . . . . . . . . 29
. . . . ..... 50
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... 51
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . ..... 52
8 Longueurs, aires et durées 46. Différencier périmètre et aire
. . . . . . . . . . . . . . . ..... 53
48. Unités d’aire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . ..... 55 49. Aires de figures usuelles 50. Durées
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... 56
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . ..... 57
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 30
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 31
27. Atelier problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 32
© Éditions Nathan 2016 – ISBN : 978-2-09-171922-1
La photocopie de cet ouvrage en tout ou partie n’est pas autorisée par les Éditions NATHAN. Pour mémoire, la photocopie non autorisée est un délit punissable par la Loi.
2
. . . ..... 48
47. Périmètre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... 54
4 Fractions
26. QCM et jeux
GraNDeurs et mesures
Sommaire 51. Perfectionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 52. QCM et jeux
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
13 Symétrie axiale 75. Figures symétriques. Axes de symétrie
..... 84
76. Symétrique d’un point, d’un segment,
9 Volumes 53. Unités de volume et de contenance 54. Volume d’un pavé droit 55. Perfectionnement 56. QCM et jeux
. . . . . . . . . . 60
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
d’une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . ..... 85
77. Symétrique d’une figure plus complexe 78. Axes de symétrie d’un segment,
d’un angle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... 87
79. Perfectionnement 80. QCM et jeux
57. Atelier problèmes
.... 86
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... 88
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . ..... 89
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
14 Symétrie axiale et figures usuelles 81. Axes de symétrie de triangles et de
quadrilatères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... 90
82. Triangles particuliers
espace et Géométrie
10 Géométrie dans l’espace 58. Se repérer, se déplacer
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
59. Pavé droit : représentation en perspective
cavalière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
60. Pavé droit : patrons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 61. Autres solides
83. Quadrilatères particuliers
. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . ..... 92
84. Construction de triangles et de
quadrilatères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... 93
85. Perfectionnement 86. QCM et jeux
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... 94
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . ..... 95
87. Atelier problèmes
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... 96
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
62. Perfectionnement 63. QCM et jeux
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . ..... 91
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
tâches complexes Le tableau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . ..... 98
11 Droites perpendiculaires, droites parallèles 64. Points, droites, demi-droites,
segments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 72
65. Droites perpendiculaires – Médiatrice
d’un segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 73
66. Droites parallèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 67. Perfectionnement 68. QCM et jeux
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 75
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 76
12 Figures usuelles 69. Le cercle
La météorite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . ..... 99 La plantation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .... 100 Alerte tsunami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .... 101 La voiture de demain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... 102 Les caméras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... 103 Curiosity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... 104 Les nageuses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... 105 Décryptage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... 106 La citerne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... 107
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
70. Les triangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 78 71. Les quadrilatères
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
72. Perfectionnement
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 80
73. QCM et jeux
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 81
74. Atelier problèmes
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 82
Les logiciels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... 109 Les instruments de géométrie . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .... 110 Les calculatrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... 111 Les tables de multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... 112
3
Je découvre mon cahier 14 chapitres comprenant 4 à 9 fiches d’exercices
Géométrie dans l’espace
FICHE
10
CALCUL MENTAL
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
CALCUL MENTAL
FICHE
CHAPITRE
Perfectionnement ● ..............
● ..............
● ..............
Nicolas a posé sur une table des cubes de 3 cm de côté.
3
Une coccinelle se déplace sur le pavé droit représenté ci-dessous.
Certains cubes sont empilés les uns sur les autres.
A(
;
)
Trois enfants regardent un édifice réalisé avec des cubes.
Vue de dessus Nord
Louise
3
4 5
Vue de Nicolas
Numa
A, B (5 ; 4), C (1 ; 4), D (1 ; 2), E (3 ; 2), F (3 ; 0). c. Écrire un parcours plus simple qui permet d’aller de A à F en suivant les lignes du quadrillage.
Est
Un pavé droit a …
B
Pour la représentation en E perspective cavalière ci-contre, A B l’arête dont H le dessin est incorrect C D est …
C
A
B
a. Compléter ce patron du pavé droit ABCDEFGH.
Sud
Juliette
Voici un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, entourer la (ou les) réponse(s) exacte(s). A
F
1. Nicolas est-il placé à l’est, au sud, à l’ouest ou au nord ?
6
b. Tracer le parcours :
& jeux 63 QCM
G
E
D Yaelle
A 0 1 2
H
Voici deux vues de la situation.
3
Ouest
3 a. Compléter pour repérer 2 1 ce point A : 0
BILAN ..... / .....
62 Perfectionnement 1
Par convention, on se repère d’abord horizontalement avant de se repérer verticalement. 5 Le point A est le point de 4 départ d’un parcours.
● ..............
QCM
58 Se repérer, se déplacer 1
● ..............
QCM et jeux
FICHE
Entraînement
C
Vue 1
D
La base d’un cône est...
E
Un solide ayant deux faces superposables peut être...
b. Quel est le nombre maximum de cubes
posés sur le tapis ?
jeu
On a dessiné deux parcours de « Packmath » parti à la recherche de cerises.
b. Dessiner les vues des deux autres enfants
1 A B C D 2
b. La coccinelle se déplace du point A au
point G. Placer, sur le patron et sur le solide, le point M de l’arête [EF] pour lequel le trajet de la coccinelle est le plus court possible.
C
D
Voici le programme pour le parcours rouge :
F
av50-tg90-av10-tg90-av20-td90-av10 a. Combien de pas représente une case ?
A
B
4
Sur le prisme droit ci-dessous :
c. Dessiner la vue du dessus.
b. E
suivre le parcours vert :
H
perpendiculaires à l’arête [AB].
D
tg90 –
A
c. Tracer sur la grille ci-dessus le parcours qui
correspond au programme :
66
Calcul mental : pour écrire les réponses Rappel de cours
●
Exercices
●
Exercices
les arêtes [AD] et [FG] sont parallèles
la face ABCD est un rectangle
un triangle
un point
un disque
un pavé droit
un cylindre
un prisme droit
jeu
3
Il arrive quelquefois que le cerveau interprète mal l’image transmise par l’intermédiaire du nerf optique. a. Pour chaque figure, dire si elle est possible ou non.
b.
c.
Que voit-on ?
Combien de cubes entiers voit-on ?
passage du couteau.
70
© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
●
B CG = 90°
2
On dispose d’une plaquette de beurre et d’un couteau. En un coup de couteau, on souhaite couper cette plaquette en deux prismes droits identiques.
➤ Marquer en rouge sur cette plaquette le
C
© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
●
B
G
tg90–av10–td90–av10-tg90–av30–td90–av10– td90–av20–tg90–av10
●
jeu
b. marquer en vert deux arêtes
[BC]
Triangle de Penrose
a. marquer en rouge les arêtes parallèles à
l’arête [AB], b. Compléter le programme qui permet de
1
de ces représentations.
a.
[BF]
F
➤ Compléter les faces visibles
2 Nathalie a commencé des représentations en perspective cavalière d’un pavé droit ABCDEFGH. Terminer chacune de ces représentations.
sans tenir compte des couleurs.
[AB]
G
Voici un patron d’un cube et quatre représentations de ce cube.
2
12 arêtes et 8 sommets
C
H
2. a. Quel est le nombre minimum de cubes posés sur le tapis ?
Vue 2
6 faces et 10 arêtes
F
G
Dans la réalité, pour le pavé droit D représenté A B ci-contre … E
a. Indiquer lequel de ces enfants voit la vue.
Bilan . . . . . / 5
8 sommets et 6 faces
Exercices
Des espaces réservés aux élèves pour les opérations, les constructions et les réponses
© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
Chapitre 10 ● Géométrie dans l’espace
●
Un QCM pour s’évaluer
●
Des jeux pour apprendre
71
Les Ateliers 74 À la fin de chacune problèmes des trois parties, FICHE
FICHE
mes problè Atelier38 SOCLE COMMUN ! Apprendre à chercher
1 Représenter
des pages consacrées au À la fin socle commun des parties,
Les principaux éléments de mathématiques et la culture scientifique et technologique
Atelier problèmesSOCLE COMMUN
3 Résoudre avec des instruments 3 Exploiter des résultats Lucie doit aller chercher un trésor dans la salle représentée 12 m Le schéma ci-contre présente une expérience. 171960_42_3 ci-contre. On dispose en étoile quatre lames métalliques dont les dimensions Mais ce trésor est gardé par trois lions : (épaisseur, largeur, longueur) sont identiques, mais chaque lame est trésor chaîne de 7 m, A * Arlan, attaché en A à une d’un métal différent : acier, aluminium, cuivre et laiton. chaîne de 6 m, * Baltik, attaché en B à une À l’extrémité de chaque lame, on fixe un bouchon par une goutte chaîne de 5 m. * Chark, attaché en C à une de cire. L’ensemble est disposé sur un support. Tracer un chemin possible pour Lucie en laissant apparents Une bougie allumée est placée sous le centre de l’étoile. les traits de construction. Lorsque l’extrémité de chaque lame atteint 65° (température 16 m de fusion de la cire), le bouchon tombe : les lames métalliques ont conduit la chaleur.
1 Comparer une situation à un modèle connu
Lola souhaite construire lePour dé àfêter jouerson ci- anniversaire, Claire a prévu d’inviter 17 amis et de leur dessous. préparer des gâteaux au chocolat. a. Avec les 20 € que ses parents lui ont accordés, aura-t-elle assez d’argent ● Ce dé a pour arête 1,5 cm. pour réaliser ses gâteaux ? ● La somme des chiffres incrits b. À quelle heure devra-t-elle commencer à cuisiner si elle veut sortir ses sur deux faces parallèles d’un dé du four à 13 h 30 ? gâteaux est toujours égale à 7.
desvalider pages ➤ Pour ses « compétences Atelier problèmes »
1 kg
Papa sucre
Sucre en poudre
e
Farin
500 g
1,84 €
Yabon Sucre poudre
750
Sucre
g
1,63 €
1,35 €
Conduction de la chaleur dans différents matériaux
B température (en °C) 90 C 80 70 Acier 2,74 € 60 Aluminum 50 entrée Levure de Boulanger Cuivre 40 Laiton 30 20 5 sachets 10 1,39 € 1. Une abeille se déplace le long des segments 0de cette figure. Tous ont la même longueur. Elle va du point au25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 10 15D 20 temps (en secondes) point E en empruntant le chemin le plus court.
1 kg
Corsé
Dans le cadre ci-contre, Ingrédients pour 6 personnes représenter un patron de ce● 200 dé et indiquer g de chocolatles noir points sur chacune des faces. ● 4 œufs ● 125 g de beurre ● 200 g de sucre en poudre ● 100 g de farine ● 1 sachet de levure
2,51 €
Beur
Beur Temps de préparation bara re re barat tte te Présenter une situation par une représentation 15 min 250 adaptée 50 4 Mettre en œuvre une méthode d’investigation g 0g Temps de cuisson 1,73 € 3,27 € 3,54 € 25 min à 180 °C Énoncé 1 Énoncé 2 Énoncé 3 Tracer un triangle ABC isocèle en C. Tracer un triangle ABC isocèle en A. Tracer un triangle ABC isocèle en A. Tracer la parallèle à (BC) passant Tracer la perpendiculaire à (AB) Tracer la parallèle à (AC) passant Combien peut-elle prendre de chemins différents ? par A. . . . . . .passant . . . . . . . . . . .par . . . . . .B. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .par . . . . . B. ........................................................................ a. À l’aide du graphique ci-contre, trouver pour chaque métal le temps nécessaire à la chute du D E Tracer la perpendiculaire à (BC) Tracer la perpendiculaire à (AB) Tracer la parallèle à (BC) passant bouchon et compléter le tableau. . . . . . . . . . . . . .passant . . . . . . . . . . .par . . . . . .C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .par . . . . . A. ........................................................................ passant par C. 2. Tracer ci-dessous : Acier Aluminium Cuivre Laiton ........................................................................ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a. . . . . un triangle équilatéral qui a pour sommets trois Énoncé 4 Énoncé 5 ……… ……… ……… ……… Temps (en secondes) des points bleus, . . . .en . . . .A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Tracer . . . . . . . . . .un . . . . .triangle . . . . . . . . . . ABC isocèle . . . . . . . . . .en . . . .C. .......................................................... Tracer un triangle ABC isocèle b. un losange qui a pour sommets quatre des points bleus, Tracer la parallèle à (AC) passant par B. Tracer la perpendiculaire à (AB) passant par A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c. un parallélogramme qui pour les sommets quatre des points bleus,celle qui classe les quatre métaux du moins bon Tracer la perpendiculaire à (AC) passant par C. Tracer la perpendiculaire à (AB) passant par B. b. aParmi deux listes ci-dessous, cocher d. un triangle rectangle qui a pour sommets trois pointsconducteur bleus, conducteur de chaleur audes meilleur de chaleur. ........................................................................ ........................................................................ e. un triangle isocèle non équilatéral qui a pour sommets trois des points bleus, Associer chaque énoncé à la figure ci-dessous qui lui correspond. Cuivre – Aluminium – Laiton – Acier Acier – Laiton – Aluminium – Cuivre ....................................................................... .... un rectangle qui a pour sommets quatre des points bleus. Rédiger ensuite un énoncé .pour la figure qui ne correspond à aucun énoncé. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . f.
2
➤ Pour apprendre à chercher
........................................................................
A
. . . . . . . . . . .C .............................................................
B
B
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3
1 C
B
A
2 Confronter IREM l’information disponible à sesD’après connaissances A
4 A
Compléter ce tableau. Nombre de filles
d.
………
© Nathan 2013 – Photocopie © Nathan 2013 – Photocopie non autorisée. © Nathan 2016 – Photocopie non autorisée. © Nathannon 2016autorisée. – Photocopie non autorisée.
1 LaUn situation-problème système d’alerte permet de détecter un tsunami quand la vague est encore loin des rivages et d’avertir les populations concernées assez tôt Le propriétaire magasin veut installer des caméras de surveillance pour sauverd’un des vies. pour vols s’est dans produit son magasin. Unempêcher puissant les séisme le 6 février 2013 à 1 h 12 GMT au large Aider le propriétaire à décider si la caméra placée sur le plan n° 1 du des îles Salomon, dans le sud-ouest de l’océan Pacifique. magasin est « efficace ». Une alerte au tsunami a été aussitôt déclenchée dans une grande partie ● Déterminer, sur le plan n° 2, un nouvel emplacement pour la caméra de des îles du Pacifique. façon à ce qu’elle couvre une plus grande surface du magasin. À quelle heure locale est arrivée la vague à Hienghène, en Nouvelle-Calédonie ? ● Placer sur le plan n° 3 un minimum de caméras de façon à ce que tout le magasin soit sous surveillance.
2 LesLessupports travail de géométrie, la calculatrice. documents, de les instruments
km
Les documents, les instruments de géométrie, la calculatrice. Doc. 1 : Une carte PAPOUASIEDoc. : Les trois plans du magasin. de1la région.
133
(en °)
04/09
(en m)
(en °)
0078 0108
132 138
15/09 16/09
Paris
Doc. 2 : L’azimut. L’azimut est l’angle compris entre la direction prise par Curiosity et le Nord. Il est mesuré depuis le Nord en degrés de 0° à 359° dans le sens des aiguilles d’une montre.
(en m)
(en °)
0163 0183
92 63
OCÉAN
Doc. 3 : Le compteur. Le compteur a été déclenché au moment où le rover s’est mis en
PACIFIQUE
Il cumule les distances parcourues.
nt *
L’heure GMT est l’heure observée au méridien de Greenwich. entrée L’heure locale à Hienghène est l’heure GMT + 11 h.
21
m
......................................................................
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 ...................
......................................................................
..............................................................................
......................................................................
138°
D
..............................................................................
30
..............................................................................
Nouméa
Doc. 3 : La vitesse de la vague. entrée
L’onde du tsunami se déplaçait à raison de 800 km par heure.
......................................................................
92°
63°
...................................................................... Distance (en km) 800 1 440
Plan n°2 4,8 cm. ..............................................................................
Plan n°3 ......................................................................
D’après l’échelle indiquée sur la carte, une ..............................................................................
1...................................................................... 440 800 = 1,8 donc il faut 1,8 h à l’onde du
distance de 1 cm représente une distance ..............................................................................
...................................................................... tsunami pour arriver à Hienghène.
Durée (en h)
1
?
Toute piste de recherche, même non aboutie figurera ci-dessous et sur le document 1.
. . . . . réelle . . . . . . . . de . . . . 300 . . . . . . . .km. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1,8 ....................................................................... . . . . .h. .=. . 1 . . .h. . + . . .0,8 . . . . . .h. .=. .1 . . .h. .+ . . .0,8 . . . . . .×. .60 . . . . .min . . . . .= . . .1 . . .h. .48 . . . min ..............................................................................
G
. . . . ............................................................................... . . . . . . 300 . . . . . . . .×. .4,8 . . . . . .=. .1 . . .440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 ....................................................................... . .h. .12 . . . . .+ ..1 . . .h . . 48 . . . . . min . . . . . .=. . 3 . . .h. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
..............................................................................
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0 . m
..............................................................................
......................................................................
. . . . ............................................................................... . . . . . . •. .On . . . . calcule . . . . . . . . . . la . . . durée . . . . . . . . .nécessaire . . . . . . . . . . . . . . .à . . l’onde . . . . . . . . .du . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .La ....................................................................... . . .vague . . . . . . . .est . . . . . .arrivée . . . . . . . . . .à. .Hienghène, . . . . . . . . . . . . . . .à ..3 . . .h . . .GMT, ............
..............................................................................
......................................................................
. . . . ............................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .c’est-à-dire ....................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . .à. .14 . . . . .h. .localement. .......................................
0
50 m
..............................................................................
92 102
•........................................................................ On mesure la distance SH sur la carte :
......................................................................
m
Hienghène
Toute piste de recherche, même non aboutie, figurera ci-dessous.
......................................................................
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .C ..............................
m
NOUVELLECALÉDONIE
Doc. 2 : Des informations horaires.
139° 27 recherche, m Toute piste de même non aboutie figurera ci-dessous. B
0
H
AUSTRALIE
105°
➤ Pour aborder des résolutions de problèmes
VANUATU
Plan n°1 300 km
A
132°
E
10 tâches complexes
Magnitude 8.
* par rapport à une voiture classique qui aurait la même consommation que la voiture PlusEco.
........................................................................
• Les caméras peuvent tourner sur 360 °. • Une caméra est dite S Îlessi elle couvre « efficace » au moinsSanta 80 % Cruz de la surdu séisme. faceÉpicentre du magasin.
entrée
avec un seul plein !
Nord
Honiara
caméra
Doc. 2 : Les caméras. ÎLES SALOMON
NOUVELLE-GUINÉE
............................................................ route.
Gratuiteme
Doc. 4 : Le sol de la planète Mars.
➤ Pour aborder des résolutions problèmes À la fin dude cahier
Les supports de travail
230 km
23
55 m
F
2
100 m ......................................................................
© Nathan 2013 – Photocopie non autorisée. © Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
. . . . ............................................................................... . . . . . . La . . . .distance . . . . . . . . . . . . .entre . . . . . . . .S . . .et . . . .H. .est . . . . . .1 . . .440 . . . . . . .km. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 ....................................................................... . .h. .+. . 11 .....h . . .=. .14 . . . . .h. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
tsunami pour atteindre Hienghène. On peut
réaliser un tableau de proportionnalité .............................................................................. ...................................................................... .......................................................................................................................................................... © Nathan 2013 – Photocopie non autorisée. © Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
45
complexes
●
3 km Caen Paris • Son réservoir plein contient 50 litres de carburant.la calculatrice. Nancy Les documents, les instruments de géométrie, km 384 km • Quand elle consomme 8 litres de carburant, elle produit Rennes 348 31 5k 1 litre de ce carburant. Doc. 1 : Les données. Orléans m • Sans compter le carburant produit, elle consomme Dijon 3 litres de carburant pour 100 km. compteur azimut compteur azimut compteur azimut
139
Tâches complexes
La situation-problème
Fiche 38 ●83 Socle commun Fiche 74 ● Atelier problèmes
Les tâches À la fin du cahier complexes 10 tâches
Tâches compLexes
Alerte tsunami Les caméras
Lille
(en m)
26 ………
………
Tracer sur le Doc.la4 calculatrice. ses déplacements du 29 août au 16 septembre 2012, à partir du point A. Les documents,
0048
27 ………
……… ………
6 août 2012. de voitures a conçu une voiture « PlusEco » équipée d’une nouvelle technologie. IlUn estconstructeur chargé d’effectuer une série d’analyses de l’atmosphère Ainsi, quand cette voiture consomme du carburant, elle produit un peu de ce carburant. et du sol de cette planète, afin de savoir si elle a été un jour Aider ce constructeur de voitures à compléter l’affiche publicitaire (Doc. 3). une planète habitable. Après quelques jours passés à vérifier ses instruments, Les supports deà se travail Curiosity a commencé déplacer. Doc. 2 : Carte du nord de la France.
30/08
D
12
13
1 LeLarover situation-problème américain Curiosity s’est posé sur la planète Mars le
29/083 : L’affiche 01/09 0 0 2publicitaire 7 105à compléter. Doc.
………
Nombre d’élèves
………
57
44
date
D 6C
Nombre de garçons
f.
6D
Curiosity La voiture de demain
Doc. 1 : Les renseignements sur la voiture Les supports de travail « PlusEco ».
………
Total
La situation-problème
date
D
14
6B
........................................................................ ........................................................................ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tâches compLexes
date
e. 6A
........................................................................ ........................................................................ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
2
Le tableau ci-contre indique la répartition garçons/filles des élèves de 6e d’un collège. D On sait que : D ● en tout, il y a 109 élèves répartis dans les quatre classes ; ● les 6B et 6D ont le même nombre d’élèves.
22 min (9 %) restante(s)
B Plan d’alimentation actuel : VAIO Optimisé
................................................................. ........................................................................ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tâches complexes
b. 4 Organiser l’information utilec. D
d’Amiens
David prête son ordinateur portable à Mathilde. Il lui dit : « J’ai chargéAla batterie. Tu peux A rester 5 h en autonomie. » 5 Un peu plus tard, le voyant de la batterie clignote 6 B B C et le message ci-contre apparaît. C ? Cet affichage correspond-il à ce qu’a annoncé David
C
a.
........................................................................
C
2
Tâches complexes 103 Tâches complexes
89
CHAPITRE
FICHE
1
Nombres entiers. Nombres décimaux CALCUL MENTAL
● ..... . . . . . . . . .
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
● ..............
1 Nombres entiers ●
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9 sont les dix chiffres qui servent à écrire les nombres.
●
10 unités = 1 dizaine
●
3 235 = (3 × 1 000) + (2 × 100) + (3 × 10) + 5
10 centaines = 1 millier 3 235 = (323 × 10) + 5
chiffre des chiffre des chiffre des centaines dizaines unités
chiffre des milliers ●
10 dizaines = 1 centaine
nombre de dizaines
Grands nombres Classe des milliards
Classe des millions
Classe des mille
Classe des unités simples
c
d
u
c
d
u
c
d
u
c
d
u
7
1
3
2
4
8
9
6
1
3
0
5
713 248 961 305 se lit 713 milliards 248 millions 961 mille 305.
1
6
Écrire les nombres suivants.
a. Vingt-sept mille trois cent vingt-six : 27 326
a. Compléter.
27 538 = ( 2 × 10 000) + ( 7 × 1 000)
b. Huit mille trente-cinq : 8 035
2
+ ( 5 × 100) + ( 3 × 10) + 8 b. Décomposer de même le nombre 205 064 :
Écrire les nombres suivants.
(2 × 100 000) + (5 × 1 000) + (6 × 10) + 4
a. Mon chiffre des unités est cinq et mon
chiffre des dizaines est trois : 35 b. Mon nombre de dizaines est trente-quatre et
mon chiffre des unités est huit : 348
3
Compléter.
a. (2 × 1 000) + (5 × 100) + (3 × 10) + 1 = 2 531
7 Pour chaque nombre, indiquer le chiffre des dizaines puis le nombre de dizaines. 764
2 580
4 500
Chiffre des dizaines
6
8
0
Nombre de dizaines
76
258
450
b. (5 × 1 000) + (7 × 10) + 8 = 5 078
8 4
a. dix mille ? 4
b. trois cent mille ? 5
c. douze milliards ? 9
d. cent millions ?
5
6
Combien y a-t-il de zéros dans…
Écrire en lettres le nombre 2 080 348 725.
8
Écrire le nombre dont :
• le chiffre des millions est le double du chiffre des centaines et le triple du chiffre des milliers. • le chiffre des centaines de mille est le triple du chiffre des centaines. • le chiffre des dizaines est le double de celui des dizaines de mille.
Deux milliards quatre-vingts millions
• tous les chiffres sont différents et le chiffre des unités est 1.
trois cent quarante-huit mille sept cent vingt-cinq
Ce nombre est
6 942 381
.
© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
FICHE
CALCUL MENTAL
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
2 Nombres décimaux ● ●
Une fraction décimale est une fraction dont le dénominateur est 10, 100, 1 000, ... 237 3 7 la partie décimale 237 centièmes = = 2,37 2,37 = 2 + 0,37 = 2+ + 100 10 100 l’écriture la partie entière décimale
●
52,5687 = (5 × 10) + 2 + (5 × 0,1) + (6 × 0,01) + (8 × 0,001) + (7 × 0,0001) chiffre des dizaines
1
d. 1 =
10 ........
b. 8 =
10
........ 100 100
e. 2 =
80 ........ 10
........ 200 100
52 ........
5 ........
c. 0,5 =
10
f. 0,07 =
........ 7
100
347 ........ b. 3,47 = 100 ........ 19 d. 0,019 = 1 000
10
c. 0,0003 =
3 ........
10 000
Écrire les nombres manquants.
230 2 300 23 = = 10 100 000 ....... .......... 1 ........... 7 152 71 520 b. 7,152 = = ........... 1.......... 000 10 000 a. 2,3 =
4
Donner une écriture décimale du nombre. 27 51 a. = 2,7 b. = 0,51 10 100
4 = 0,04 100
c.
d.
1200 = 1,2 1000
5
Pour chaque nombre, donner sa partie entière et sa partie décimale. Écriture décimale
Partie entière
Partie décimale
3,45
3
0,45
125,3
125
0,3
0,38
0
0,38
chiffre des dix-millièmes
Écrire avec une seule fraction décimale.
a. 5 +
3 2 + 10 100
b. 8 +
4 6 + 100 1000
a. 500 + 30 + 2 = 532 100 100 100 100 b. 8 000 + 40 + 6 = 8 046 1000 1000 1000 1000
8
Écrire comme somme d’un nombre entier et d’une fraction décimale. a.
84 4 80 4 + =8+ = 10 10 10 10
b.
327 300 27 27 + = 3+ = 100 100 100 100
9 Donner le rang du chiffre 3 dans chaque nombre. a. 256,43 3 est le chiffre des centièmes b. 10,403 3 est le chiffre des millièmes c. 0,5413 3 est le chiffre des dix-millièmes
10
Placer une virgule dans chaque nombre pour que 9 soit le chiffre des centièmes. Ajouter ou supprimer un ou des zéros si nécessaire. a.
1 4 6, 5 9
b.
3 8, 1 9 7
c.
0, 7 9 3 4
d.
1 0, 5 9 0 0
11
6
Parmi les nombres ci-dessous, entourer : ● en vert ceux ayant 1 pour chiffre des dixièmes ; ● en bleu ceux ayant 2 pour chiffre des centièmes. 35,12
chiffre des millièmes
7
Écrire les nombres manquants.
a. 5,2 =
3
chiffre des centièmes
Écrire les nombres manquants.
a. 1 =
2
chiffre des dixièmes
51,02
17,25
© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
245,1
0,21
327,512
Pour chaque cas, barrer celui des trois nombres qui n’est pas égal aux autres. a. 13 dixièmes b. 852 centièmes c. 301 millièmes
13 10 52 8+ 10 1 3 + 10 1000
0,13 52 100 301 1000
8+
1+
3 10
8,52 3+
1 1000
Chapitre 1 ● Nombres entiers. Nombres décimaux
7
FICHE
CALCUL MENTAL
● ..... . . . . . . . . .
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
3 Système de numération et système métrique Pour faire des conversions, on peut mettre en relation les tableaux de mesure de grandeurs et le tableau de numération. ●
Pour écrire 2 km 9 hm 2 dam 7 m en km...
km hm dam m dm 2 9 2 7 unités dixièmes centièmes millièmes ●
mm
2 km 9 hm 2 dam 7 m = 2,927 km
Pour écrire 25 cL en L... hL
1
cm
daL
L
dL cL mL 2 5 unités dixièmes centièmes millièmes
5
Compléter avec un nombre décimal.
25 cL = 0,25 L
Combien y a-t-il de mm
a. 1 cm = 0,01 m.
b. 1 mm = 0,001 m.
a. dans 3 m ? 3 000
c. 1 dm = 0,1 m.
d. 1 dam = 10 m.
b. dans 7 km ? 7 000 000
2
c. dans 27,2 cm ? 272
Compléter.
a. 1 kg 2 hg 50 g = 1 250
g
6
Faire les bonnes associations.
b. 6 milliers de g et 4 dizaines de g = 6 040 g c. 4 centaines de cL et 12 cL = d. 8 L 20 cL =
820
e. 4 m 7 dm 8 cm =
412
cL 478
Une règle d’écolier
•
• 6 400 km
Le rayon de la Terre
•
• 100 km
Un basketteur de NBA •
• 2,11 m
La distance entre Nantes et Rennes
• 20 cm
cL
cm
f. 7 milliers de m et 8 centaines de m = 7 800 m
•
3
Compléter, comme dans l’exemple, avec un nombre entier. Exemple : 25,73 dm = 2 573 mm. a. 245,1 m = 2 451 dm. b. 0,35 km = 35 dam. c. 37,04 dm = 3 704 mm. d. 23,51 dam = 2 351 dm.
4
Compléter avec un nombre décimal.
a. 24,7 cm = 0,247 m.
8
7
Compléter avec un nombre décimal.
a. 27,3 cm + 14,2 mm = 287,2 mm. b. 12,37 km + 14 dam = 1 251 dam. c. 8,46 cm + 0,2 m = 2,846 dm. d. 724 mm + 3,1 dm = 10,34 dm.
8
Compléter avec un nombre décimal.
b. 3 278,5 mm = 0,32 785 dam.
a. 25,3 dam + 14 cm + 243 mm = 253 383 mm.
c. 472,3 dm = 0,4 723 hm.
b. 0,7 km + 343 m + 1 000 cm = 10 530 dm.
d. 0,0 045 km = 4 500 mm.
c. 1,2 hm + 273 cm + 0,34 km = 46,273 dam. © Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
FICHE
CALCUL MENTAL
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
● ..............
4 Comparaison de nombres décimaux L’origine O a pour abscisse 0.
O 1
0
B
A
2 2,5 3
4
5
L’abscisse du point A est 4.
6
●
2,5 4 Lire « 2,5 est inférieur à 4 »
●
Pour comparer deux nombres décimaux on compare les parties entières.
●4
2,5 Lire « 4 est supérieur à 2,5 »
Si elles sont les mêmes, on compare les chiffres des dixièmes ...
1
Écrire l’abscisse de chaque point indiqué.
a.
0
A
B
3
6
D
b.
0 10
50
7
F
70
110
Placer le point I d’abscisse 2, le point J d’abscisse 9 et le point K d’abscisse 13.
3
F C
G
10,5
5 6
d’abscisse 9,5 et le point G d’abscisse 7,5.
8
0
B
b. Placer le point E d’abscisse 4, puis le point F
E
a. Écrire l’abscisse de chaque point M, N et P.
V
1
M 6
K
J
2,5
0
12
2
I
E
A
C 10
a. Écrire l’abscisse de chaque point A, B et C.
6,3
Y N
Z
P X
A
7,6
6,8 7
b. Placer les points V, X, Y et Z d’abscisses
respectives 5,7 ; 7,8 ; 6,6 et 7,1. Compléter par les signes , ou = .
c. Donner un encadrement de l’abscisse a
a. 2,8 6,7
b. 4,52 4,75
c. 6,40 = 6,4
d. 17,5 17,2
e. 13,25 13,7
f. 52,327 52,31
du point A.
9
a. Compléter par ou :
46,8 46,54
4
Entourer en bleu le plus grand nombre de cette liste et en vert le plus petit. 15,6
15,67
15,245
15,605
15,19
15,36
5
Encadrer chaque nombre par deux nombres entiers consécutifs.
7,3 a 7,4
46,792 46,97
b. Ranger dans l’ordre croissant (du plus petit
au plus grand) les quatre nombres précédents. 46,54 46,792 46,8 46,97
10
a. 6 6,9 7
b. 24 24,75 25
Ranger ces nombres dans l’ordre décroissant (du plus grand au plus petit). 54,15 40,20 49,1 54,2 40,9 49,06
c. 0 0,86 1
d. 99 99,7 100
54,2 54,15 49,1 49,06 40,9 40,20
6
Dans chaque cas, intercaler un nombre.
11
Intercaler deux nombres décimaux.
a. 24 25 27
b. 47 47,6 48
a. 15,8 15,82 15,85 15,9
c. 8,4 8,43 8,5
d. 0,5 0,52 0,53
b. 9,9 9,98 10,05 10,1
© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
Chapitre 1 ● Nombres entiers. Nombres décimaux
9
FICHE
CALCUL MENTAL
● ..... . . . . . . . . .
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
● ..............
5 Perfectionnement 1
4
Six nombres sont écrits sur des cartes. 72
406
3 35
5
À Donetsk (Ukraine), en février 2014, Renaud Lavillenie a établi un nouveau record du monde avec un saut à la perche de 6 m 16 cm. a. Exprimer cette performance en mètres, avec
6
un nombre en écriture décimale.
En posant toutes ces cartes côte à côte,
6,16 m
a. quel est le plus petit nombre entier que l’on peut écrire ? 3 354 065 672 b. quel est le plus grand nombre entier que
l’on peut écrire ? 7 265 406 353
2
Ranger dans l’ordre décroissant les performances continentales du lancer de javelot féminin. Afrique : 69,35 m Asie : 66,13 m
Europe : 72,28 m
b. Avant de réussir ce record,
il avait établi, en août 2012, le record olympique avec un saut à 5,97 m. Le 30 mai 2015, il a réalisé un saut à 6,05 m. Sur la portion de droite graduée ci-contre, placer les trois points qui correspondent à ces trois hauteurs de barre.
6,16 m
6,05 m
6m
Am. du Nord : 71,7 m Océanie : 66,8 m Am. du Sud : 63,80 m 5,97 m
72,28 m 71,7 m 69,35 m 66,8 m 66,13 m 63,80 m
3
Voici le nombre de téléspectateurs, en millions, qui ont regardé, ne serait-ce qu’une minute, certaines émissions au cours d’un mois.
6,04 m
5,96 m
5
Ce diagramme donne les hauteurs d’eau de pluie mensuelles à Brest. Précipitation (en mm) 100
Source : Médiamétrie, septembre 2015
Film D8
1,308
Magazine France 5 1,425
Série France 2
5,671
Film NT1
0,884
Série Arte
1,01
Série TF1
8,218
Documentaire M6 1,203
Feuilleton France 3 4,993
a. Indiquer par un nombre entier, l’audience du
10
50 0
J
F M A M J
J A S O N D Source : Météo France
documentaire sur M6 et celle du film sur NT1.
1. Quel est le mois où les précipitations sont :
M6 1 203 000 téléspectateurs
a. les plus fortes ? décembre
NT1 884 000 téléspectateurs
b. les plus faibles ? juin
b. Ranger ces audiences par ordre croissant.
2. Quelle hauteur d’eau est tombée :
884 000 1 010 000 1 203 000 1 308 000
a en janvier ? 110 mm
1 425 000 4 993 000 5 671 000 8 218 000
b. en avril ? 65 mm
c. Combien d’émissions ont eu entre 1 et
2 millions de téléspectateurs ? Lesquelles ?
3. Ranger les mois dans l’ordre décroissant des précipitations.
4 émissions : Film D8, Série Arte, Documentaire M6,
décembre, novembre, janvier, octobre, février, mars,
Magazine France 5.
septembre, avril, août, mai, juillet, juin, © Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
FICHE
QCM & jeux
6
Voici un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, entourer la (ou les) réponse(s) exacte(s).
QCM
643 s’écrit aussi ... 100
A
Le nombre
B
Pour le nombre 2 715,43 ...
C D E
jeu
643,100
6
6,4
d. 20
4 est le chiffre des dixièmes
7
6
6,4 7
3 4 + 10 100
la partie décimale est 0,43 6 6,4 7
8
8
302,057
90 milliards
790 millions
mille millions
jeu
c. 11
6+
302,57
1
b. 10
43 100
32,57
Karine a trouvé un vieux livre où il manque des feuilles. Elle l’ouvre. Sur la page de gauche, elle lit « page 24 » et sur celle de droite, à côté, « page 45 ». Combien de feuilles manque-t-il entre les deux pages ? a. 9
6+
1 est le chiffre des dizaines
Le nombre 6,4 est bien repéré sur la ou (les) figure(s) ... 5 7 + s’écrit ... (3 × 100) + 2 + 10 100 Le nombre 78 437 234 029 est plus petit que...
Bilan ..... / 5
e. 21
D’après Kangourou des Mathématiques
3
Sept enfants marchent l’un derrière l’autre sur un sentier étroit. ● Il y a deux enfants entre Clara et Fiona. ● Émile donne la main à Fiona et à Donia. ● Il y a le même nombre d’enfants derrière Basile que devant lui. ● Gaylord est devant Antoine. ➤ Dans quel ordre sont les sept enfants ?
jeu
Il y a deux solutions. Écrire les initiales des enfants.
2
Décalquer ces six morceaux de brique, les découper et les assembler pour reconstituer une brique. On pourra lire alors deux nombres décimaux, dont l’un est le triple de l’autre.
2e solution
jeu
2e
3e
4e
5e
6e
7e
G D
C E
A F
B B
F G
E C
D A
4
Relier les points par des segments, en allant du plus grand au plus petit nombre, 112,002 pour trouver 112 153,6 ce qui 111,111 153,71 terrifie 111,011 101 113 153,701 Alfred ! 111,001
2
,
1re solution
1re
9
3
153,9
154
1
78,409
,
78,4 78,04
© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
74,8
77,9
1,45 1,445
78
D’après B. Myers, Science et Vie Junior n° 64
On lit 1,2 et 3,6.
74 1,54
77,77
Chapitre 1 ● Nombres entiers. Nombres décimaux
11
CHAPITRE
FICHE
2
Addition, soustraction, multiplication CALCUL MENTAL
● ..... . . . . . . . . .
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
7 Addition – Soustraction Addition
●
21,4
+ 5,3
●
=
26,7
1
Soustraction
21,4 –
5,3 =
16,1
la différence
la somme
7
Compléter ces égalités.
Compléter chaque phrase mentalement.
a. 6 + 7 = 13
b. 9 + 3 = 12
c. 8 + 6 = 14
a. La somme de 3,4 et de 5,9 est 9,3 .
d. 3 + 8 = 11
e. 8 + 7 = 15
f. 9 + 4 = 13
b. La différence de 12 et de 5,8 est 6,2 .
2
c. La somme de 15,3 et de 4,7 est 20.
Trouver chaque nombre manquant.
a. 3 + 7 = 10
b. 9 + 6 = 15 c. 8 + 4 = 12
d. 5 + 6 = 11
e. 8 + 8 = 16
3
f. 9 + 7 = 16
d. La différence de 100 et de 18 est 82.
8
Calculer mentalement en regroupant au mieux les nombres.
Compléter cette table d’addition.
a. 32 + 65 + 18 + 15 = 130
+
7
4
6
9
3
8
5
12
9
11
14
8
13
b. 3,6 + 14 + 2,4 + 25 = 45
9
16
13
15
18
12
17
c. 10,5 + 23 + 17 + 8,5 = 59
7
14
11
13
16
10
15
d. 2,1 + 5,3 + 3 + 1,9 + 10,7 = 23
4
Trouver chaque nombre manquant.
a. 9 – 5 = 4
b. 12 – 7 = 5
c. 16 – 9 = 7
d. 8 – 5 = 3
e. 15 – 8 = 7
f. 18 – 9 = 9
5
a. Quel nombre faut-il ajouter à 13 pour obtenir 20 ?
7 b. Quel nombre faut-il retrancher à 22
pour obtenir 17 ? 5
6
a. « J’ai pensé à un nombre. Je lui ai ajouté 7. J’ai trouvé 21. À quel nombre ai-je pensé ? »
14 b. « J’ai pensé à un nombre. Je lui ai retranché 7. J’ai trouvé 21. À quel nombre ai-je pensé ? »
28
12
● ..............
9
Pour chaque problème, écrire A (addition) ou S (soustraction) pour indiquer l’opération à effectuer pour le résoudre. Donner mentalement la réponse. Paul parcourt 420 m pour passer prendre son ami Léo puis 630 m a. pour se rendre au collège. Quelle distance parcourt-il ?
A
1 050 m
S
6,7 kg
Hélène a téléphoné de 9 h 55 c. à 10 h 02. Pendant combien de temps a-t-elle téléphoné ?
S
7 min
Khaled, âgé de 14 ans, a 7 ans d. de moins que Nabil. Quel âge a Nabil ?
A
21 ans
Luc veut acheter un pull. Il a 17,50 € e. mais il lui manque 8,50 €. Quel est le prix du pull ?
A
26 €
À un jeu, Swanny a marqué 4 500 points, soit 750 points de plus f. que Rachel. Quel est le score de Rachel ?
S
3 750 points
b.
Max pèse 36 kg. Il monte sur un pèse-personne avec son chien et lit 42,7 kg sur l’écran. Combien pèse son chien ?
© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
FICHE
CALCUL MENTAL
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
● ..............
8 Techniques de l’addition et ordre de grandeur Calcul posé de 15,48 + 234,7 On aligne les virgules. On écrit les retenues
1
On commence par la droite 8+0=8
1
1 5 , 4 8 + 2 3 4 , 7 2 5 0 , 1 8
1
4 Entourer le résultat juste parmi les trois propositions, sans effectuer l’opération.
a. Effectuer ces deux additions. 1
1
1
1
5 4 6 7 + 3 9 8 5 9 4 5 2
1
On pose le 7 sous le 4 (chiffres des dixièmes)
1
4 7 3 , 8 + 2 5 6 , 5 4 7 3 0 , 3 4
b. 473,8 est proche du nombre entier 470
et 256,54 est proche du nombre entier 260 donc la somme 473,8 + 256,54 est proche de 470 + 260 c’est-à-dire 730 . Le résultat trouvé au a. est-il de cet ordre de grandeur ? Oui
a. 654,87 + 319,4
975
974,27
335,27
b. 86,27 + 103,13
965,83
99,4
189,4
5
Erwan se rend en voiture de Nantes à Brest.
Brest
71 km 69,5 km
Quimper
c. Vérifier les résultats du a. avec la calculatrice.
Lorient OCÉAN ATLANTIQUE
2 1. Donner un ordre de grandeur de chaque somme. a. 348,6 + 617 + 53,73
1
1
1
5 9 , 2 + 0 , 95 + 6 2 9 6 8 9 , 1 5
3. Vérifier avec la calculatrice.
1
1
1
1
1
2 7 , 4 7 + 3 4 , 5 6 8 6 2 , 0 3 8
b. Vérifier avec la calculatrice. © Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
Nantes
mettre 3 h 30 min pour faire le trajet et s’accorder une pause d’un quart d’heure. À quelle heure arrivera-t-il à Brest ? 7 h 45
8h
11 h 30
+ 15 min + 3 h 30 min
Il arrivera à Brest à 11 h 30.
6
a. Compléter par les chiffres qui conviennent.
6 5 4 3 + 4 9 8 6 1 1 5 2 9
Saint-Nazaire
b. Erwan quitte Nantes à 7 h 45. Il pense
2. Calculer à la main les deux sommes ci-dessus.
3
116 km
Il parcourt 314 km.
60 + 1 + 630 = 691
1
Vannes
116 km + 57,5 km + 69,5 km + 71 km = 314 km
b. 59,2 + 0,95 + 629
1
57,5 km
a. Quelle distance parcourt-il ?
350 + 620 + 50 = 1 020
3 4 8 , 6 + 6 1 7 + 5 3 , 7 3 1 0 1 9 , 3 3
Rennes
Un ostréiculteur vend 96,5 kg d’huîtres à un restaurateur puis 67,85 kg à un autre et enfin 227 kg à un troisième. Quelle masse d’huîtres a-t-il vendue ?
res
Huît
96,5 kg + 67,85 kg + 227 kg = 391,35 kg Il a vendu 391,35 kg d’huîtres. Chapitre 2 ● Addition, soustraction, multiplication
13
FICHE
CALCUL MENTAL
● ..... . . . . . . . . .
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
9 Techniques de la soustraction et ordre de grandeur Calcul posé de 64,5 – 5,18
On écrit les retenues
6 14 , 5 10 – 3 5 , 1 8 1
1
2 9 , 3 2 On aligne les virgules.
1 a.
6
Effectuer ces deux soustractions. b.
1 12 9 10 – 8 6 3 1
6 11 16 12 – 2 5 9 4
1
1
0 4 2 7
1
On commence par la droite 10 – 8 = 2 On complète avec un 0 pour avoir le même nombre de chiffres.
a. Compléter par les chiffres qui conviennent.
7 9 5 , 13 – 4 5 2 , 6
7 8 , 15 14 – 2 5 , 6 9
1
1
1
3 4 2 , 7
3 5 6 8
1
5 2 , 8 5
b. Vérifier avec la calculatrice.
2 a.
Effectuer ces deux soustractions. b.
9 8 , 7 5 – 1 3 , 4 0
7 6 14 , 8 10 – 1 4 9 , 2 8 1
8 5 , 3 5
3
6 1 5 , 5 2
b. 523,4 – 267,18
5 12 , 11 4 – 1 7 , 5 0 1
5 12 13 , 4 10 – 2 6 7 , 1 8
1
1
3 4 , 6 4
1
1
2 5 6 , 2 2
488 terrains
Lors d’une course de 2,5 km de long, Martin apprend qu’il a encore 1,775 km à parcourir. Quelle distance a-t-il déjà parcourue ?
2,500 km – 1,775 km = 0,725 km Il a déjà parcouru 0,725 km ou 725 m.
9
Calculer la distance Dijon-Lyon. MONTPELLIER 263 km
MONTPELLIER 490 km
Dijon
Lyon
490 km – 263 km =227 km
a. Les calottes glaciaires continentales sont réparties sur l’Antarctique et le Groenland. Leur volume Antarctique total est estimé à 32 millions de km3 dont 2,6 millions de km3 au Groenland. Quel est le volume de la calotte de l’Antarctique ?
32 – 2,6 = 29,4
Le volume est 29,4 millions de km3.
b. Les climatologues redoutent une hausse
Il y a 227 km entre Dijon et Lyon.
de 2,25 m du niveau des océans d’ici à 2100.
5 Pour chaque soustraction, entourer le résultat juste parmi les trois propositions, sans effectuer l’opération.
14
6 105 – 5 617 = 488
8
Calculer à la main ces deux différences :
a. 52,14 – 17, 5
4
1
7 En 2014, on a répertorié 6 105 terrains de camping, classés de 1 à 5 étoiles. 5 617 terrains ont au moins 2 étoiles. Combien de terrains ont une étoile ?
a.
676,8 – 39,25
716,05
637,55
284,3
b.
1 254 – 320,7
933,3
195,3
9 333
La fonte des calottes glaciaires créerait une élévation de 1,80 m ; celle des glaciers ferait le reste. Quelle élévation du niveau des océans serait due à la fonte des glaciers ?
2,25 m – 1,80 m = 0,45 m Elle provoquerait une hausse de 0,45 m. © Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
FICHE
CALCUL MENTAL
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
10 Multiplication par un nombre entier Dans un produit de plusieurs nombres, on peut changer l’ordre de ces nombres et les regrouper différemment :
Multiplication
●
× 4 =
6
●
24
2 × 3,4 × 5 = 2 × 5 × 3,4
c’est-à-dire
2 × 3,4 × 5 = 10 × 3,4 = 34
le produit
1
6
Compléter ces égalités.
a. 2 × 7 = 14
b. 3 × 8 = 24
c. 4 × 7 = 28
d. 6 × 9 = 54
e. 7 × 7 = 49
f. 8 × 6 = 48
Dans un immeuble de 6 étages, il y a 8 appartements par étage. Combien y a-t-il d’appartements dans cet immeuble ?
6 × 8 = 48. Il y a 48 appartements.
2
Compléter cette table de multiplication.
7
×
7
5
8
6
9
3
3
21
15
24
18
27
9
8
56
40
64
48
72
24
6
42
30
48
36
54
18
9
63
45
72
54
81
27
Pour un stage de voile, on constitue 6 groupes de 7 personnes et 9 groupes de 8 personnes. Combien y a-t-il de participants ?
(6 × 7) + (9 × 8) = 42 + 72 = 114 114 personnes participent à ce stage.
8
3
Un jour de grande chaleur, Marius a bu 3 bouteilles d’eau de 1,5 L. Quelle quantité d’eau a-t-il bue ?
Calculer.
a. Le produit de 7 par 6 : 7 × 6 = 42
3 × 1,5 L = 4,5 L
b. La somme de 19 et 37 : 19 + 37 = 56 c. Le produit des 3 nombres 2 ; 5 et 7 : 2 × 5 × 7 = 70 d. La différence de 250 et 17 : 250 – 17 = 233
4
a. 9 × 1 = 9
b. 8 × 0 = 0
c. 3 × 6 = 18
d. 6 × 7 = 42
e. 7 × 4 = 28
f. 9 × 7 = 63
5
9
Lou achète 4 kg d’oranges à 3,60 € le kilogramme. Combien va-t-elle payer ?
4 × 3,60 € = 14,40 €
10
Dans chaque cas, retrouver le nombre manquant.
Il a bu 4,5 L.
Lou va payer 14,40 €.
Une sauterelle fait des bonds de 5,4 m.
a. Quelle distance parcourt-elle en 9 bonds ?
9 × 5,4 m = 48,6 m
Elle parcourt 48,6 m.
b. Quelle distance parcourt-elle en 18 bonds ?
2 × 48,6 m = 97,2 m. Elle parcourt 97,2 m.
Compléter cette table de multiplication. ×
3
8
6
9
7
5
7
21
56
42
63
49
35
Calculer mentalement après avoir effectué des regroupements « astucieux ».
8
24
64
48
72
56
40
a. 5 × 63 × 2 = 5 × 2 × 63 = 10 × 63 = 630
4
12
32
24
36
28
20
b. 4 × 3,9 × 0,25 = 4 × 0,25 × 3,9 = 1 × 3,9 = 3,9
5
15
40
30
45
35
25
© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
11
c. 5 × 79 × 5 × 4 = 5 × 5 × 4 × 79 = 100 × 79 = 7 900 Chapitre 2 ● Addition, soustraction, multiplication
15
FICHE
CALCUL MENTAL
● ..... . . . . . . . . .
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
11 Multiplier par 10 ; 100 ; 1 000 ; 0,1 ; 0,01 ; 0,001. Changer d’unités Quand on multiplie un nombre par 10 (ou 100 ou 1 000) le chiffre des unités devient le chiffre des dizaines (ou des centaines ou des milliers).
●
Exemples :
●
21,65 × 10 = 216,5
●
15,1 × 100 = 1 510
●
24,05 × 1 000 = 24 050
Quand on multiplie un nombre par 0,1 (ou 0,01 ou 0,001) le chiffre des unités devient le chiffre des dixièmes (ou des centièmes ou des millièmes).
●
Exemples :
1
●
21,65 × 0,1 = 2,165
●
15,1 × 0,01 = 0,151
7
Compléter.
hm
24,05 × 0,001 = 0,024 05
dam
m
dm
cm
mm
a. 23 × 100 = 2 300
b. 7,6 × 1 000 = 7 600
Sachant que 1 km = 1 000 m, convertir en m.
c. 0,48 × 10 = 4,8
d. 27,3 × 10 000 = 273 000
a. 5,4 km = 5,4 × 1 km = 5,4 × 1 000 m = 5 400 m
2
b. 13,25 km = 13,25 × 1 000 m = 13 250 m Compléter.
a. 78 × 0,1 = 7,8
b. 5,9 × 0,01 = 0,059
c. 460 × 0,001 = 0,46 d. 0,3 × 0,01 = 0,003
3
b. 24,7 × 0,01 = 0,247
c. 123 × 0,001 = 0,123 d. 0,4 × 1000 = 400 e. 1,5 × 0,1 = 0,15
4
8
Sachant que 1 m = 100 cm, convertir en cm.
a. 7,2 m = 7,2 × 1 m = 7,2 × 100 cm = 720 cm b. 18,07 m = 18,07 × 100 cm = 1 807 cm
Compléter.
a. 37 × 100 = 3 700
f. 0,057 × 10 = 0,57
c. 0,4 m = 0,4 × 100 cm = 40 cm
9
Sachant que 1 m = 0,01 hm, convertir en hm.
a. 9,4 m = 9,4 × 1 m = 9,4 × 0,01 hm = 0,094 hm b. 327 m = 327 × 0,01 hm = 3,27 hm
Compléter.
a. 78 × 1 000 = 78 000
b. 5,1 × 100 = 510
c. 0,32 × 0,1 = 0,032
d. 1,8 × 0,01 = 0,018
e. 5 600 × 0,01 = 56
f. 0,89 × 10 = 8,9
5
Pour un spectacle, 1 000 billets ont été vendus. Les places sont toutes au tarif de 16,50 €. Quel est le montant de la recette ?
16,50 € × 1 000 = 16 500 € La recette est de 16 500 €.
6
16
km
●
c. 12,8 m = 12,8 × 0,01 hm = 0,128 hm
10
Convertir en m.
a. 7,4 dm = 0,74 m
b. 54 dam = 540 m
c. 32 hm = 3 200 m
d. 78 mm = 0,078 m
11
kg
hg
dag
g
dg
cg
mg
Sachant que 1 kg = 1 000 g, convertir en g. a. 1,3 kg = 1,3 × 1 000 g = 1 300 g
1 L d’une eau minérale contient 0,1 g de calcium. Louise boit chaque mois environ 45 L de cette eau. Quelle quantité de calcium absorbe-t-elle ?
b. 0,75 kg = 0,75 × 1 000 g = 750 g
0,1 g × 45 = 4,5 g.
a. 7,2 t = 7 200 kg
b. 65 kg = 0,065 t
Chaque mois elle absorbe 4,5 g de calcium.
c. 0,35 t = 350 kg
d. 74 hg = 0,0074 t
12
Sachant que 1 t = 1 000 kg, compléter.
© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
FICHE
CALCUL MENTAL
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
● ..............
12 Multiplication de nombres décimaux et ordre de grandeur Pour effectuer à la main la multiplication de deux nombres décimaux : ● on l’effectue d’abord sans tenir compte des virgules ; ● on place la virgule dans le résultat en comptant le nombre total de chiffres après la virgule dans les deux nombres.
1
×
2
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
540 121500 1 2 2, 0 4 0 •
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
On souhaite calculer les produits :
A = 3,7 × 64
B = 9,8 × 6,07
2 7 0 4 5 0 7, 2 0
2 chiffres après la virgule au produit.
Pour une sortie scolaire les professeurs prévoient 128 de ces paquets de biscuits. Calculer à la main la masse totale de biscuits et le prix à payer.
1 3, 5 9, 0 4
×
7232 18080 2 5 3, 1 2
×
4
Effectuer ces deux multiplications. 9 0, 4 2, 8
2 chiffres après la virgule dans les nombres.
4, 5 1, 6
1 2 8 7 5 •
× •
C = 74 × 0,39
Pour A :
Pour B :
Pour C :
4 × 60 = 240
10 × 6 = 60
70 × 0,4 = 28
b. Calculer ces trois produits.
•
•
•
75
•
•
•
•
•
•
•
7 6 8 1 1 5 2 0
9 6 0 0
1 2 2, 8 8
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
g
1 2 8 0, 9 6
×
6 4 0 8 9 6 0 •
a. Donner un ordre de grandeur de chaque produit.
•
0,96 €
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
La masse de biscuits est 9 600 g c’est-à-dire 9,6 kg et le prix à payer est 122,88 €.
5
3, 7 6 4
× •
•
•
•
•
6, 0 7 9, 8 •
× •
•
•
•
•
7 4 0, 3 9
× •
•
•
•
•
•
1 kg de poisson coûte 23,70 €. Quel est le prix de 6,8 kg de ce poisson ? 2 3, 7 6, 8
1 4 8 2 2 2 0
4 8 5 6 5 4 6 3 0
6 6 6 2 2 2 0
×
2 3 6, 8
5 9, 4 8 6
2 8, 8 6
1 8 9 6 1 4 2 2 0
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Le prix de 6,8 kg de ce poisson est 161,16 €.
1 6 1, 1 6 •
•
•
•
•
3
Donner un ordre de grandeur de chaque produit, puis calculer à la main ces produits. a. 67,9 × 50,7
b. 84,07 × 7,35
70 × 50 = 3 500
80 × 7 = 560
6 7, 9 5 0, 7
× •
•
•
•
•
•
•
4 7 5 3 3 3 9 5 0 0 •
•
•
•
•
•
•
•
•
•
3 4 4 2, 5 3 •
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
5 1 4 5 2 9 4 0 0 0 5 8 8 0 0 0 0 •
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
6 1 7, 9 1 4 5 •
© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
•
On se propose de calculer le prix à payer pour l’achat ci-contre. Écrire le calcul et l’effectuer en ligne.
Prix Jambon au Poid kg : 8,70 s : 60 € 0g
7, 3 5 8 4, 0 7
×
•
6
•
•
•
•
•
600 g = 0,600 kg 8,70 € × 0,6 = 5,22 € Le prix de cet achat est de 5,22 €. Chapitre 2 ● Addition, soustraction, multiplication
17
FICHE
CALCUL MENTAL
● ..... . . . . . . . . .
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
13 Priorités opératoires Les calculs entre parenthèses sont prioritaires.
●
La multiplication est prioritaire sur les additions et les soustractions.
A
=
14
– (3,7
+
B
=
17
–
A
=
14
–
9
B
=
17
–
A
=
B
=
4
a. Barrer les parenthèses inutiles.
●
1
5
5,3) On effectue d’abord les calculs entre parenthèses
a. Compléter.
A = 12 + 4 × 2,5
B = (3,5 + 4) – 6
A = 12 + 10
B=
7,5 – 6
B=
1,5
A=
22
×
5
3,2 On effectue d’abord la multiplication
16 1
① (14,2 × 3) – 12
② (2,5 – 1,8) × 3 + (5 × 2,1)
b. Effectuer ces deux calculs.
① 14,2 × 3 – 12 = 42,6 – 12 = 30,6
b. Décomposer les calculs comme ci-dessus.
② (2,5 – 1,8) × 3 + 5 × 2,1
C = (7 – 3,8) + 4
D = 15 – 2 × 3,5
= 0,7 × 3 + 10,5
C=
D = 15 –
= 2,1 + 10,5 = 12,6
C=
3,2
+4
7,2
7
D= 8
5 2
Pour chaque expression, souligner le calcul prioritaire ; puis effectuer le calcul en ligne. a. 35 – 3 × 7 =
35 – 21
=
14
b. (12 + 3,5) – 4,2 =
15,5 – 4,2
=
11,3
c. 10 × 0,7 + 14 =
7 + 14
=
21
d. 12,3 – (4 + 5,1) =
12,3 – 9,1
=
3,2
Voici la copie de Victor.
A = 14,7 + 5,4 × 2 = 20,1 × 2 = 40,2. B = 14 – (3,7 + 5,6) = 10,3 + 5,6 = 15,9. a. Indiquer les erreurs commises.
A : il faut effectuer d’abord la multiplication. B : il faut effectuer d’abord le calcul entre parenthèses. b. Effectuer les calculs corrects.
A = 14,7 + 5,4 x 2 = 14,7 + 10,8 = 25,5
3
Au restaurant, Léo prend une boisson à 2,60 € et un menu à 14,30 €. Il paie avec un billet de 50 €. a. Parmi ces expressions, entourer celles qui permettent de calculer ce que le restaurateur lui rend en monnaie. A = 50 + 14,30 – 2,60
B = 14,30 + 2,60 – 50
C = 50 – (14,30 + 2,60)
D = 50 – 14,30 – 2,60
b. Calculer ces expressions et conclure.
C = 50 – 16,90 = 33,10
18
B = 14 – (3,7 + 5,6) = 14 – 9,3 = 4,7 c. Vérifier à la calculatrice.
6
Yana a acheté 1,25 kg de café à 3,60 € le kg et 0,4 kg de thé à 4,30 € le kg. a. Combien a-t-elle payé ?
1,25 × 3,60 + 0,4 × 4,30 = 4,5 + 1,72 = 6,22 Elle a payé 6,22 €. b. Elle a payé avec un billet de 10 €. Combien
lui a-t-on rendu ?
D = 35,70 – 2,60 = 33,10
10 – 6,22 = 3,78
Le restaurateur lui rendra 33,10 €.
On lui a rendu 3,78 €. © Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
FICHE
CALCUL MENTAL
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
14 Perfectionnement 1
Arsène pense à un nombre. Il lui retranche 28 et au résultat il ajoute 45. Il annonce : « Je trouve 364. » À quel nombre Arsène a-t-il pensé ? – 28
+ 45
347
319
17 × 30 + 25 × 24 = 510 + 600 = 1 110
– 45
Il y a 1 110 sièges dans cette salle.
Arsène a pensé au nombre 347.
2 Compléter chaque case par la somme des nombres qui figurent dans les deux cases situées juste en dessous. a.
b.
47
156
25,1 21,9 4,5
7,3
6
61
95
11,8 13,3 8,6
35
60
2,6
34
26
9
17
Le Haut de Jardin de la bibliothèque F. Mitterrand à Paris a accueilli 1 892 lecteurs un 19 janvier. Parmi eux, 1 646 ont une carte d’accès, dont 814 Parisiens et 57 étrangers. Les opérations seront posées dans ce cadre. 1
– 1 6 4 6 1
8 1 4 +
5 7 8 7 1
0 2 4 6
–
5
Un camion transporte 100 palettes. Chaque palette contient 10 packs de 6 bouteilles d’eau minérale de 1,5 L. Combien de litres d’eau minérale transporte ce camion ?
100 × 10 × 6 × 1,5 L = 1 000 × 9 L = 9 000 L
26
3
1 8 9 12
Une salle de spectacle contient 42 rangées dont 17 rangées de 30 sièges. Les autres rangées ont 24 sièges. Calculer le nombre total de sièges dans cette salle.
42 – 17 = 25 Il y a 25 rangées de 24 sièges.
364
+ 28
4
1 16 14 6
Ce camion transporte 9 000 L d’eau minérale.
6 Passer une annonce dans un journal coûte 23,50 €, puis il faut ajouter 8,50 € par ligne. Quel est le prix de cette annonce ? À Gassin, vends 3 pièces, 60 m2 Terrasse 12 m2 255 000 € E-mail : [email protected]
23,50 € + 3 × 8,50 € = 23,50 € + 25,50 € = 49 € Le prix de cette annonce est 49 €.
8 7 1
1
1
0 7 7 5
a. Combien de lecteurs n’ont pas de carte ?
246 lecteurs n’ont pas de carte. b. Ce jour-là, parmi les lecteurs ayant une carte, combien y a-t-il de Français non Parisiens ?
Il y a 775 Français non Parisiens. c. Barrer l’écran de calculatrice où le calcul de la réponse à la question b. est incorrect.
7
Lucie pratique la course à pied. 350 m Elle part de chez elle en courant, fait 4 tours du lac, puis rentre chez elle 1,3 km (toujours en courant). Le tour du lac mesure 1,3 km et il y a 350 m entre la maison de Lucie et le lac. Quelle distance Lucie parcourt-elle en tout ?
1,3 km = 1 300 m
4 × 1 300 m = 5 200 m.
5 200 m + 2 × 350 m = 5 200 m + 700 m = 5 900m. Lucie parcourt 5 900 m c’est-à-dire 5,9 km. © Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
Chapitre 2 ● Addition, soustraction, multiplication
19
FICHE
QCM & jeux
15
Voici un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, entourer la (ou les) réponse(s) exacte(s).
QCM
A
Dans l’égalité 51,2 + … = 120 le nombre manquant est égal à …
B
Il n’y a pas d’erreur dans l’opération (ou les opérations) …
C
Un ordre de grandeur de la différence 1 523,8 – 294,57 est …
D
2 × 17 × 5 × 2 × 5 est égal à…
E
57,4 = …
jeu
1
+
120 – 51,2
51,2 – 120
1 6 5 , 7 4 9 , 5 2 1 4 , 1 2
8 5 , 4 – 1 3 , 6 7 2 , 2
2 3 7 , 4 5 3 , 1 2 1 8 4 , 2 8
–
1 200
1 800
1 700
340
170
5,74 × 10
5 740 × 0,01
0,574 × 100
3
Placer dans chaque case un chiffre de 1 à 5.
15
8
5
Il ne peut y avoir deux fois le même chiffre sur une ligne verticale ou horizontale. ●
3 1
2 4
3
1
5
3
2
5
3
10
12
10
4 2
4
1
4
2
1
20
6
5
1
4
4
2 3
15
Le chiffre inscrit 4 1 2 3 5 en haut à gauche de chaque bloc est le résultat du produit effectué avec les chiffres des deux cases d’un même bloc. ●
Ce carré est « magique », car les sommes des nombres écrits sur chaque ligne, sur chaque colonne et sur chaque diagonale sont égales.
68,8
900
jeu
Le carré ci-dessous est extrait du tableau La Mélancolie du peintre et mathématicien allemand Albrecht Dürer (1471-1528).
Note ..... / 5 Bilan
1. Vérifier que ce carré est magique. Quelle est la somme magique ? 34
2. Compléter ces carrés magiques. a.
13 14 9 16 7 4 11 5 10 17 6 15 8 3 12 2
jeu
b.
8 2 21 20 16 15 9 3 4 23 17 11 12 6 5 24 25 19 13 7
14 22 10 18 1
2
Placer les chiffres 1, 2, 3, 4 et 5 sur les pointillés pour obtenir une multiplication exacte.
13 x 4 = 52 D’après Rallye mathématique de la Sarthe.
20
4
jeu
Glenn dit à Manuel : « Voici les villes où sont nés quatre mathématiciens français : KPLWWL ; WHYPZ ; LWLYUVU ; UHUJF » Manuel : « Tu plaisantes ! » Glenn : « J’ai fabriqué un code : 2 + 1 = AYVPZ. Si tu le déchiffres, tu trouveras ces villes. » Déchiffrer le code de Glenn et trouver les villes. A
B
C
D
H
I
J K
L M N O P Q R S T
N
O
P
R
Q
E
F
S
G
T
H
U
I
V
J
W
K
X
U V W X Y Z A B C D E
L
M
Y
Z
F G
KPLWWL
WHYPZ
LWLYUVU
UHUJF
DIEPPE
PARIS
ÉPERNON
NANCY
© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
CHAPITRE
Division
FICHE
3
CALCUL MENTAL
● ....... . . . . . . .
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
16 Division euclidienne Effectuer la division euclidienne de 185 par 7
Dividende
c’est trouver le quotient 26 et le reste 3 tels que : 185 = 26 × 7 + 3 et 3 7.
1
2 a.
1 8 5 7 – 1 4 2 6 4 5 – 4 2
Reste
Diviseur Quotient
3
4
Compléter le tableau.
Prévoir le nombre de chiffres au quotient, puis effectuer la division euclidienne de 3 502 par 13.
Division euclidienne de
Quotient
Reste
29 par 7
4
1
13 × 100 3 502 13 × 1 000
48 par 9
5
3
Donc le quotient aura 3 chiffres.
52 par 8
6
4
328 par 50
6
28
3 5 – 2 6 9 – 7 1 – 1
1. Compléter ces divisions euclidiennes. 3 5 1 4 – 3 2 8 7 3 1 – 2 8 3 •
•
b.
•
•
•
•
5 7 8 6 9 6 – 5 4 3 8 – 3 6 2 •
•
•
•
•
•
•
•
•
•
2. À l’aide de ces divisions compléter ces égalités.
8 2 2 1 7 5
5 À l’aide de cette division répondre à chacune des questions ci-dessous. a. Combien de paquets identiques de 8 gâteaux peut-on faire avec 109 gâteaux ?
a. 351 = 87 × 4 + 3 b. 578 = 96 × 6 + 2
3
a. Compléter. 7 × 10 608 7 × 100 donc le quotient de la division euclidienne de 608 par 7 aura 2 chiffres. b. Effectuer la division euclidienne de 608 par 7,
puis vérifier le résultat avec la calculatrice. 6 0 8 7
– 5 6
8 6
4 8
– 4 2 6 © Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
0 2 1 3 2 6 9 0
1 0 9 8 – 8 1 3 2 9 – 2 4 5
On peut faire 13 paquets et il reste 5 gâteaux. b. Combien de clés USB de 8 Go faut-il prévoir au minimum pour stocker 109 Go de données ?
Il faut prévoir 14 clés. c. 109 personnes sont logées dans des dortoirs de 8. Les dortoirs doivent être complets. Combien y a-t-il de places libres dans le dernier dortoir ?
8–5=3
Il y aura 3 places libres.
d. Milly qui a 109 BD fait des rangées de 8 BD. Combien peut-elle faire de rangées et combien de BD lui manque-t-il pour faire une rangée de plus ?
Elle peut faire 13 rangées et il lui manque 3 BD. Chapitre 3 ● Division
21
FICHE
CALCUL MENTAL
● ..... . . . . . . . . .
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
1 7 Multiples, diviseurs et critères de divisibilité ●
36 = 9 × 4 et on dit que : « 36 est un multiple de 9 » ou « 36 est divisible par 9 » ou « 9 est un diviseur de 36 ».
●
Un nombre entier est divisible par : ● 2 si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8 ; ●
5 si son chiffre des unités est 0 ou 5 ;
●
3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3 ;
●
9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9 ;
●
4 si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 4.
●
1
Compléter. 21 = 7 × 3 + 0 donc 21 est divisible par 7. On dit aussi que 21 est un multiple de 7 ou que 7 est un diviseur de 21.
2 Voici une liste de nombres entiers. 4
10
25
27
32
50
58
65
126
Parmi ces nombres, lesquels sont :
10 si son chiffre des unités est 0 ;
5
Compléter ce tableau (par oui ou par non pour les deux dernières lignes). Nombre
507
829
531
825
3 456
Somme des chiffres
12
19
9
15
18
Le nombre est divisible par 3
oui
non
oui
oui
oui
Le nombre est divisible par 9
non
non
oui
non
oui
a. divisibles par 2 ? 4 ; 10 ; 32 ; 50 ; 58 et 126 b. des multiples de 5 ?
10 ; 25 ; 50 et 65
c. des diviseurs de 100 ?
4 ; 10 ; 25 et 50
3
Dans chaque cas, dire à l’aide de la calculatrice si l’affirmation est vraie ou fausse.
6
est divisible
par 2
par 3
par 4
par 5
par 9
42
oui
oui
non
non
non
a. 425 est un multiple de 17.
vraie
100
oui
non
oui
oui
non
b. 32 est un diviseur de 1 552.
fausse
684
oui
oui
oui
non
oui
825
non
oui
non
oui
non
5 796
oui
oui
oui
non
oui
c. 1 872 est divisible par 52 et par 117.
vraie
d. 144 est à la fois un multiple de 36
et un diviseur de 6 156.
4
fausse
Voici une liste de nombres entiers : 252
351
740
1 548
1 944
1. Parmi ces nombres, lesquels sont : a. des multiples de 10 ?
740
b. divisibles par 2 ?
252 ; 740 ; 1 548 ; 1 944
c. divisibles par 5 ?
740
7
Le code postal de la ville de Lilou est à la fois un multiple de 9 et divisible par 4. Le souligner. 69 210 83 420 75 330 59 940 31 660
8
Quelle est la valeur du chiffre ▲ pour que le nombre entier 3 52▲ soit divisible par 3 et 5 ?
Divisible par 5 donc ▲ est 0 ou 5.
2. À l’aide de la calculatrice déterminer lesquels sont :
▲ = 0 : 3 + 5 + 2 + 0 = 10
non divisible par 3
a. des multiples de 27 :
▲ = 5 : 3 + 5 + 2 + 5 = 15
divisible par 3
b. divisibles par 36 :
22
Compléter ce tableau par oui ou par non.
351 et 1 944 252, 1 548 et 1 944
Donc le nombre est 3 525. © Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
FICHE
CALCUL MENTAL
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
18 Division décimale 1 u 10
La division décimale de 9,2 par 4 « tombe juste ».
●
9, 2 4 1 – 8 u 10 1 2 2, 3 – 1 2 0
9,24 = 2,3 et on a 4 × 2,3 = 9,2.
1 1 u 10 100
La division décimale de 8 par 3 ne se termine pas.
●
On donne une valeur approchée du quotient : 83 ≈ 2,66 (au centième près).
Quand on divise un nombre décimal par 10 (ou 100 ou 1 000), le chiffre des unités devient le chiffre des dixièmes (ou des centièmes ou des millièmes).
8, 0 0 3 1 1 – 6 u 10 100 2 0 2, 6 6 – 1 8 2 0 – 1 8 2
●
1
8
Calculer mentalement.
a. 122 = 6
b. 52 = 2,5
c. 15 = 0,2
d. 426 = 7
e. 172 = 8,5
f. 1224 = 0,5
2
a. 2,43 = 0,8 b. 5,67 = 0,8
3
c. 2,46 = 0,4
c. 0,9 × 6 = 5,4
d. 0,07 × 8 = 0,56
On sait que 16 × 23 = 368. Compléter :
a. 36823 = 16
a.
b. 36816 = 23
•
•
•
•
•
b.
4, 5 0 6 1 1 – 0 u 10 100 4 5 0, 7 5 – 4 2 3 0 – 3 0 0 •
•
•
•
•
•
•
•
•
•
a. 42100 = 0,42
b. 571 000 = 0,057
c. 3,610 = 0,36
d. 836,2100 = 8,362 f. 2,5100 = 0,025
Compléter mentalement.
a. 78 10 = 7,8
b. 250 100 = 2,5
c. 13,9 100 = 0,139
d. 3,7 1 000 = 0,003 7
© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
1 1 u 10 100
9 6
0, 8 5
6 0
– 6 0
0
0
9 Un carré a pour périmètre 34,4 cm. Calculer la longueur d’un des côtés. Poser l’opération dans le cadre. 34,4 cm4 = 8,6 cm.
8,6 cm.
3 4, 4 4 1 u 10
– 3 2 2 4
8, 6
– 2 4 0
10
Un sachet de 6 rasoirs coûte 4 €. Calculer une valeur approchée au centime près d’un rasoir. Poser l’opération dans le cadre.
4 € 6 ≈ 0,67 € donc le prix d’un rasoir est environ 0,66 € ou 0,67 €.
7
–
•
Calculer mentalement.
e. 9,81 000 = 0,0098
1 0, 2 0 1 2
– 1 2 0
•
•
•
6
3, 0 8
Donc un côté mesure
Compléter ces divisions décimales.
2 3, 0 5 1 – 2 0 u 10 3 0 4, 6 – 3 0 0
1 1 u 10 100
1 2 0
Compléter mentalement. b. 20 × 0,1 = 2
5
b. 10,2 : 12
– 4 5
e. 0,639 = 0,07 f. 0,12 = 0,05
a. 0,8 × 5 = 4
4
a. 46,2 : 15 4 6, 2 0 1 5
Calculer mentalement.
d. 35 = 0,6
Effectuer ces divisions décimales, puis vérifier les résultats avec la calculatrice.
4, 0 0 6 1 1 u 10 100
– 3 6 4 0
0, 6 6
– 3 6 4 Chapitre 3 ● Division
23
FICHE
CALCUL MENTAL
● ..... . . . . . . . . .
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
19 Valeurs approchées On note a l’abscisse du point A. A 14
14,7
14,8
14,78
14,79
●
14,7 et 14,8 sont les valeurs approchées au dixième près de a.
●
14,78 et 14,79 sont les valeurs approchées au centième près de a.
5
Compléter ce tableau.
Compléter ce tableau. Valeurs approchées
7,438
Nombre Encadrement par deux entiers consécutifs
à l’unité près au dixième près
7 7,438 8 7 et 8
Valeurs approchées à l’unité près Valeurs approchées au centième près
7,43 et 7,44
M
2
14 et 15 sont les valeurs approchées à l’unité près de a.
15 A
1
●
7
8
au centième près
25,423
25 et 26
25,4 et 25,5 25,42 et 25,43
0,2378
0 et 1
0,2 et 0,3
0,23 et 0,24
17,031
17 et 18
17 et 17,1
17,03 et 17,04
A
6
15,8
B 16
15,9
Compléter les phrases.
Compléter les phrases ci-dessous.
a. L’abscisse du point M a pour valeurs
1. Pour l’abscisse du point A :
approchées à l’unité près : 7 et 8
a. 15,8 est une valeur approchée au dixième près.
b. L’abscisse du point M a pour valeurs
b. 15,9 est une valeur approchée au dixième près.
approchées au dixième près : 7,7 et 7,8
c. 15,87 est une valeur approchée au
3
Dans chaque cas, entourer la (ou les) réponse(s) exacte(s). a. Une valeur approchée à l’unité près
de 4,83 est : 4,8
4
5
b. Une valeur approchée au centième près
de 12,435 est : 12,435
4
12,44
12
d. 15,88 est une valeur approchée au centième près. 2. Pour l’abscisse du point B : une valeur approchée au dixième près est 15,9 ou 16 et une valeur approchée au centième près est 15,96 ou 15,97 .
7 Utiliser la calculatrice pour compléter ce tableau. Valeurs approchées
1. Utiliser la calculatrice pour compléter :
179 : 16 = 11,1875 2. a. Une valeur approchée au dixième près du
quotient 179 : 16 est : 11,1 ou 11,2 b. Une valeur approchée au centième près du
quotient 179 : 16 est : 11,18 ou 11,19
24
centième près.
à l’unité près au dixième près
au centième près
π
3 et 4
3,1 et 3,2
3,14 et 3,15
2:3
0 et 1
0,6 et 0,7
0,66 et 0,67
97 : 12
8 et 9
8 et 8,1
8,08 et 8,09
13 : 8
1 et 2
1,6 et 1,7
1,62 et 1,63
© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
FICHE
CALCUL MENTAL
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
20 Perfectionnement 1
L’alarme d’une maison s’est déréglée. La sonnerie s’est déclenchée à 8 h 40, puis elle sonne toutes les 35 min. Le propriétaire vient enfin la débrancher à la 21e sonnerie. Quelle heure est-il à ce moment-là ? • 20 × 35 min = 700 min
– 6 0
ci-contre : 700 min = 11 h 40 min
11 h
GRAND Une entreprise de parfum MINI conditionne en deux parts égales sa production dans deux types de flacons 12 cL « Grand » et « Mini ». Cette semaine l’entreprise a conditionné 300 flacons « Grand » et 1 600 flacons « Mini ». Calculer la contenance d’un flacon « Mini ».
7 0 0 6 0
D’après la division euclidienne
• 8 h 40 19 h 40
3
1 1
1 0 0
20 h 20 h 20
–
« Mini » contiennent 3 600 cL de parfum. • 3 600 cL 1 600 = 2,25 cL donc un flacon « Mini »
6 0
20 min 20 min
• 300 × 12 cL = 3 600 cL donc 1 600 flacons
contient 2,25 cL soit 22,5 mL de parfum.
4 0
• L’alarme est débranchée
4
Une mairie décide de planter du gazon sport sur ce stade. 87 m
à 20 h 20.
59 m
2 On a représenté dans le tableau ci-dessous les deux premières rangées A et B des sièges d’un avion qui sont répartis autour d’une allée centrale. 9
10
11
12
B
13
14
15
16
1
2
3
4
A
5
6
7
8
Le siège 11 est à la rangée B et il est noté B11. Il y a au total 26 rangées. Sur quelle rangée se trouve le siège : a. 52 ?
b. 155 ?
Gazon Sport 5 kg pour 100 m2
Boîte de 5 kg
43 €
Sac de 30 kg
210 €
Calculer le coût minimum du gazon.
• 1005 = 20 Avec 1 kg on gazonne 20 m2. 5 2 8
– 4 8 6 4
1 5 5 8
–
8
1 9
7 5
– 7 2 3
• 87 × 59 = 5 133
L’aire du terrain est 5 133 m2.
• 5 133 20 = 256,65 Il faut 257 kg de gazon. • Il faut 8 sacs de 30 kg et 4 boîtes de 5 kg.
2 5 7 3 0
– 2 4 0 8 1 7
Le siège 52 est
Le siège 155 est
(4 boîtes coûtent moins cher qu’un sac)
sur la 7e rangée donc
sur la 20e rangée donc
• 8 × 210 € + 4 × 43 € = 1 852 €.
sur la rangée G.
sur la rangée T.
Le coût minimum du gazon est 1 852 €.
© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
1 7 5
– 1 5 3 2
Chapitre 3 ● Division
25
FICHE
QCM & jeux
21 QCM
Voici un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, entourer la (ou les) réponse(s) exacte(s).
Bilan ..... / 5
A
Dans la division euclidienne de 20 par 8 …
le quotient est 2
le quotient est 2,5
le quotient est 4
B
On doit commander 172 serviettes. Les serviettes sont vendues par paquets de 12. Alors …
il faut commander 14 paquets
il faut commander 15 paquets
il y aura 8 serviettes de trop
C
528 est …
un diviseur de 2
un multiple de 3
divisible par 4
D
4813 c’est aussi …
E
4,25 c’est aussi …
jeu
le nombre manquant le nombre manquant dans 48 × … = 13 dans 13 × … = 48
3,69
le quotient de 119 le nombre manquant par 28 dans 8 × … = 34
1
Compléter cette grille de nombres croisés. 1
2
A 4
2
B 5
1
2
C
5
7
D 8
0
E 2
3
1
Horizontalement A. • Reste de la division de 492 par 50. • 2888. B. Produit de 32 par 16. C. Reste de 2 376 par 600. D. • Multiple de 16. • 5817. E. Diviseur de 1 008.
jeu
425100
4
5
3
6
jeu
2
Pour déchiffrer le message caché ci-dessous, relier les multiples de 3 par ordre croissant.
3
16
6
27
8
3
4
4
63
28 15
56
Verticalement 1. • Multiple de 3 et de 5. • Diviseur de 410. 2. 215 dizaines. 3. Multiple de 9. 4. Multiple de 4 et de 9. 5. • Multiple de 9. • Reste de la division de 550 par 43.
33
39
30
11
42
34
93
44 71
90 99
73
65 51
94 75 89
61
45
3
78
43
48 7
60
57
69
66
80 81
83 300
87
Sciences et Vie Junior, B. Myers
3
Une oie s’engage dans le circuit ci-contre et se trouve sur la case 61.
67
77
64
68
76
80
• si le numéro est un multiple de 3, elle avance de 3 cases ;
63
69
75
81
• si le numéro est un multiple de 5, elle avance de 4 cases.
62
70
74
82
61
71
73
83
65
Pour se déplacer elle regarde le numéro de la case sur laquelle elle se trouve : • si le numéro est un multiple de 2, elle avance de 2 cases ;
Lorsqu’elle a le choix, elle choisit le déplacement qui lui convient. • Sinon, elle avance d’une case.
66
72
entrée
78
79
sortie
➤ Sur combien de cases, au minimum, l’oie passera-t-elle avant d’arriver à la sortie ?
9 cases au minimum 61-62-64-66-69-72-75-79-80
26
© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
CHAPITRE
Fractions
FICHE
4
CALCUL MENTAL
● ....... . . . . . . .
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
● ..............
22 Fractions et quotients Quand on partage une unité en parts égales, chaque part 1 1 1 1 1 4× =1 est une fraction de l’unité. 4 4 4 4 4 Numérateur : il indique combien de parts on prend. Dénominateur : il indique en combien de parts l’unité est partagée. ● Le quotient : du nombre entier par le nombre entier (avec ≠ 0) s’écrit avec la fraction . et × = := ●
1
Indiquer quelle fraction du rectangle est colorée.
a.
2
b.
5 6
●
6 7
●
7 6
●
6 41
●
13 6
3 8
●
Écriture fractionnaire
7 2 3 4
Sept demis Trois quarts
Treize quarts
Écriture décimale
3,5 0,75
9 5
1,8
13 4
3,25
Neuf cinquièmes
4
a. Utiliser les différentes graduations pour compléter avec une fraction. 0 0
2
1 1
2
3 6 = 2 4
b. Utiliser les deux découpages du même
rectangle pour écrire deux fractions égales. 2 8 = 3 12 © Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
b. 3 ×
8 =8 3
d. 4 × 7 = 4 7
Sur un marché, on partage 15 m de trottoir en 4 emplacements de même longueur.
Compléter. Lecture
Compléter. 5 a. 6 × = 5 6 c. 9 × 11 = 11 9
6
7 23
Parmi ces fractions quelles sont celles qui ont : 7 et 13 a. pour dénominateur 6 ? 6 6 7 7 b. pour numérateur 7 ? et 6 23
3
5
a. Exprimer la longueur d’un emplacement
sous la forme d’une fraction. La longueur d’un emplacement est 15 m. 4 b. Donner l’écriture décimale de cette longueur. Effectuer l’opération dans le cadre ci-dessous. La longueur d’un emplacement est 3,75 m.
1 5, 0 0 4
– 1 2
3, 7 5
3 0
– 2 8 2 0 – 2 0 0
7
On verse équitablement 30 L d’eau dans 7 bidons. a. Exprimer la quantité d’eau versée dans un 30 bidon sous la forme d’une fraction. L 7 b. Avec la calculatrice, donner une valeur
approchée au dixième près de cette quantité. Une valeur approchée au dixième près de la quantité versée dans un bidon est 4,3 L (ou 4,2 L). Chapitre 4 ● Fractions
27
FICHE
CALCUL MENTAL
● ..... . . . . . . . . .
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
● ..............
23 Fractions et demi-droite graduée Pour lire l’abscisse des points A, B et C on remarque que l’unité est partagée en 4 carreaux.
1 2
●
A
1 carreau représente un quart d’unité ; 2 carreaux représentent une moitié d’unité. 3 ● L’abscisse du point A est . 4 3 9 ; l’abscisse de C est . ● L’abscisse de B est 2 4
1
On considère cette demi-droite graduée. 0
1 — 3
5 1 — 6
4 — 3
11 — 2 6
1. a. En combien de carreaux est partagée l’unité ?
En 6 carreaux b. Placer les nombres
5 11 et sur la demi-droite. 6 6
2. Partager l’unité en 3 parties identiques puis placer les nombres 1 et 4 . 3 3
3. Compléter avec deux entiers consécutifs : 11 • 1 2 6
• 0 5 1 6 5 11 =1+ 6 6
1 • 4 =1+ 3 3
0 1
1
3
C
5 2 7 3 3
D 3 10
3
b. Compléter avec un entier et une fraction. 1 2 5 7 • = 1 + • = 2 + 3 3 3 3
3
a. Sur cette demi-droite graduée, placer
les nombres 4 ; 3 ; 2 ; 8 ; 4 . 6 2 3 6 3
3 1 =1+ 2 2
4 2 et 6 3
1
4 8 3 et 3 6 2
2
b. Indiquer les fractions qui sont égales.
2 4 = 6 3
28
et
4 8 = 3 6
3 1 4
9 1 =2+ 4 4
4 L’unité de longueur sur cette demi-droite graduée est 6 cm. 7 Placer les nombres 5 , 1 et . 3 6 6 0
1 3
1
5 6
7 6
5 Graduer à main levée chaque demi-droite et compléter. a. b.
12
0
1
2
0
3=
3
1
2=
2
4
10 5
6 Graduer à main levée chaque demi-droite et compléter. 17 5 4
1
0
2
3
4
4 17 4
5
14 5 3
b. avec des entiers consécutifs : 4
avec un entier et une fraction : 14 = 4 +
3
1
0
2
3
4
2 3
14 5 3
7
Souligner d’une même couleur les nombres égaux. ●
0
0
9 4
4
a. Indiquer les abscisses des points A, B, C et D sous forme de fraction. B
2
3 2
avec un entier et une fraction : 17 = 4 + 1
2
A
1
3 4
a. avec des entiers consécutifs : 4
4. Compléter avec une fraction :
•
0
1 4C
B
8 6
8
●
27 18
●
5 4
●
3 2
●
15 12
●
1,25
●
1,5
●
32 24
Compléter avec un entier et une fraction.
• 17 = 3 + 2 5 5
• 19 = 6 + 1 3 3 © Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
FICHE
CALCUL MENTAL
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
24 Prendre une fraction d’une quantité Prendre une fraction d’une quantité c’est multiplier cette fraction par cette quantité. 3 3 Exemple : Prendre les de 20 kg c’est calculer × 20 kg. 20 kg 5 5 1 3 1re méthode : de 20 kg c’est 3 fois de 20 kg, 5 5 On effectue 3 × (20 kg 5) = 3 × 4 kg = 12 kg. 2e méthode : On utilise l’écriture décimale de la fraction et on effectue (3 5) × 20 kg = 0,6 × 20 kg = 12 kg.
Calculer.
a.
1 de 18 kg 3
b.
1 de 30 L 4
1 18 kg = 18 kg 3 = 6 kg × 18 kg = 3 3 1 30 L = 30 L 4 = 7,5 L b. × 30 L = 4 4
a.
2
Compléter afin de calculer les 3 de 18 €. 4 3 a. × 18 € = ( 3 4 ) × 18 € 4 Donc 3 × 18 € = 0,75 × 18 € = 13,50 € 4
Calculer. 5 de 7 L 2
b. Les
5 de 12 kg 3
a. 5 × 7 L = (5 2) × 7 L = 2,5 × 7 L = 17,5 L 2 b. 5 × 12 kg = 5 × (12 kg 3) = 5 × 4 kg = 20 kg 3
4
Calculer.
a. Les
5 de 27 € 6
b. Les 2 de 32 L 5
a. 5 × 27 € = 5 × (27 € 6) = 5 × 4,50 € = 22,50 € 6 b. 2 × 32 L = (2 5) × 32 L = 0,4 × 32 L = 12,8 L 5
5
Exprimer
1 h et 2 h en minutes. 3 4
1 × 60 min = 60 min = 60 min 4 = 15 min 4 4 2 × 60 min = 2 × (60 min 3) = 2 × 20 min = 40 min 3 © Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
4 × 35 € = 4 × (35 € 7) = 4 × 5 € = 20 € 7
35 € – 20 € = 15 € Il lui reste 15 €.
7
Blandine veut préparer 3 litres de cocktail. Calculer pour chacun des jus de fruits les quantités qu’elle devra utiliser. 2 de jus de fruit de la passion 5 4 ● de jus de goyave 15 1 de jus de kiwi ● 5 ● du jus de litchi ●
Donc 3 × 18 € = 4,50 € × 3 = 13,50 € 4
a. Les
Combien lui reste-t-il ?
tail ck
s îles de
b. 3 × 18 € = 3 × ( 18 € 4 ) 4
3
Alix a 35 €. Elle dépense les 4 de son argent 7 pour acheter une BD.
6
Co
1
• 1 × 3 L = 3 L 5 = 0,6 L 2 × 0,6 L = 1,2 L 5 Jus de kiwi : 0,6 L. Jus de fruit de la passion : 1,2 L • 4 × 3 L = 4 × (3 L 15) = 4 × 0,2 L = 0,8 L 15 Il faut 0,8 L de jus de goyave. • 3 L – (0,6 L + 1,2 L + 0,8 L) = 0,4 L Il faut 0,4 L de jus de litchi. 2 des 500 715 Lyonnais ont 13 moins de 15 ans. Avec la calculatrice, encadrer par deux multiples consécutifs de 100 le nombre de Lyonnais qui ont moins de 15 ans.
8
Environ les
Avec la calculatrice : 2 × 500 715 ≈ 77 033. 13 Entre 77 000 et 77 100 Lyonnais ont moins de 15 ans. Chapitre 4 ● Fractions
29
● ..... . . . . . . . . .
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
25 Perfectionnement 1
4
Louise annonce qu’elle a révisé pendant 11 d’heure alors que Juliette 6 dit qu’elle a révisé de 17 h 40 à 19 h 30. Laquelle des deux a révisé le plus longtemps ?
• 11 × 60 min = 11 × (60 min 6) = 11 × 10 min = 110 min 6 110 min = 60 min + 50 min = 1 h 50 min • 17 h 40
18 h
19 h 30
20 min + 1 h 30 min
=
1 h 50 min
16:9 L’écran de ce téléviseur est au format 16/9. Cela signifie que l’on obtient sa longueur en 16 multipliant sa largeur par . 9 2 Calculer l’aire en m de l’écran de ce téléviseur.
49,5 cm
FICHE
CALCUL MENTAL
• 16 × 49,5 cm = 16 × (49,5 cm 9) 9 16 × 49,5 cm = 16 × 5,5 cm = 88 cm 9 La longueur est 88 cm.
Elles ont révisé toutes les deux pendant 110 min.
• 88 cm × 49,5 cm = 4 356 cm2.
Les 3 des 24 navigateurs 4 d’un tour du monde à la voile sont européens.
L’aire de l’écran est 4 356 cm2
2
c’est-à-dire 0,4356 m2.
5
a. Calculer le nombre
de navigateurs européens. b. Seulement les 2 des navigateurs européens 9 sont français. Calculer le nombre de navigateurs français.
Voici le tracé d’un rallye-raid de 288 km de longueur et qui est composé de 5 spéciales. spéciale 3 spéciale 2
spéciale 4
a. 3 × 24 = 3 × (24 4) = 3 × 6 = 18. 4 Donc 18 navigateurs sont européens. b. 2 × 18 = 2 × (18 9) = 2 × 2 = 4. 9 Donc 4 navigateurs sont français.
spéciale 5
3
Emma et Annie devaient réaliser un diagramme pour résumer une enquête concernant les moyens de transport utilisés par 132 élèves de 6e pour venir au collège. voiture
bus
à pied
bus voiture travail d’Emma
à pied travail d’Annie
1. Terminer le travail d’Annie en utilisant les mêmes couleurs qu’Emma. 2. Combien d’élèves viennent : a. en bus ?
30
b. en voiture ?
c. à pied ?
spéciale 1
La spéciale 4 représente les 5 du rallye, 24 13 et la spéciale 5 représente les du rallye. 48 Calculer la longueur de la spéciale 1. • 5 × 288 km = 5 × (288 km 24) 24 5 × 288 km = 5 × 12 km = 60 km 24 La spéciale 4 est longue de 60 km. • 13 × 288 km = 13 × (288 km 48) 48 13 × 288 km = 13 × 6 km = 78 km 48 La spéciale 5 est longue de 78 km. • 288 km – (60 km + 78 km) = 150 km
132 6 = 22. Donc 22 élèves viennent à pied,
• 150 km 3 = 50 km
44 en voiture et 66 en bus.
La spéciale 1 est longue de 50 km. © Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
FICHE
M & jeux 26 QC QCM
Voici un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, entourer la (ou les) réponse(s) exacte(s). A
Le nombre manquant dans l’égalité 9 × … = 7 est … L’abscisse du point A est … A
B 0
1
C
5 c’est aussi... 2
D
La fraction
E
Pour calculer 3 × 22 L 4 on peut effectuer …
jeu
17 est... 3
9 7
7 9
0,77
2 3
0,4
4 6
10 4
2+
comprise entre 5 et 6
égale à 5 +
5×
1 2
égale à
24 10
(3 × 22 L) 4
1
Combien de carreaux doit-on encore colorier en bleu pour que le nombre de carreaux bleus soit égal à la moitié du nombre de carreaux blancs ? 3
Bilan ..... / 5
(22 L 4) × 3
jeu
1 2 2 3
(3 4) × 22 L
3
Le triangle et le carré désignent deux nombres. ➤ Quels sont ces deux nombres ?
= 3 et + = 28
= 3 × d’où + + + = 28 d’où 4 × = 28. Donc = 7 et = 21 jeu
4
➤ Combien de ces drapeaux contiennent D’après Rallye Mathématiques Université de Lyon.
jeu
exactement trois cinquièmes de noir ? 2
2
Le père Jules veut partager son héritage, représenté ci-dessous, entre ses quatre enfants. « Le partage sera équitable, leur dit-il, si en traçant seulement 3 segments sur la figure vous pouvez obtenir 4 parties contenant les mêmes biens. »
➤ Est-ce possible ?
non
oui
oui
non
non
non
D’après Kangourou des Mathématiques.
jeu
5
➤ Comment partager cette figure en quatre figures superposables ?
© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
Chapitre 4 ● Fractions
31
FICHE
27
Atelier problèmes ! Apprendre à chercher
1 Extraire et organiser les informations utiles Deux classes de 6e d’un collège de Niort (Deux-Sèvres) partent en classe de mer dans un centre nautique de l’Île d’Oléron (Charente-Maritime) pour découvrir le milieu marin et la voile. Six professeurs accompagnent les 54 élèves. Aider les professeurs à déterminer le coût de ce voyage scolaire pour l’ensemble du groupe. ratiques Détails p centre : 75 km. e g ta Le s . e au mai à 7 h du collèg Distance collège : lundi 13 u Départ d centre à 8 h. u a e é iv h. Arr h. stage à 9 mai à 16 Début du e : vendredi 17 g Fin du sta
CENTRE NAUTIQUE Les tarifs des entreprises de transports • « Juniors tours » (capacité de 50 à 57 places) : 25 € par passager quelle que soit la distance parcourue. • « Voyages Transports » (capacité de 53 à 61 places) : 1 800 € pour l’aller-retour. • « Tourisme Autocars » (capacité de 55 à 63 places) : 1 000 € à la réservation plus 5 € par kilomètre parcouru.
Les tarifs du centre nautique Variables selon la saison et la durée du séjour. Ils correspondent au prix (en €) par personne et par jour en pension complète. Il n’y a pas d’autres frais. Tarif vert
Durée 2 jours 4 jours 5 jours Tarif vert 20 17,50 15 Tarif rouge 35 30 27,50
: du 01/03 au 30/04 et du 01/09 au 31/10
Tarif rouge : du 01/05 au 30/06
Groupes à partir de 15 élèves : un adulte gratuit pour 15 élèves.
•.................... 54 + 6 = 60 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
donc . . . . . . . .3. . professeurs . . . . . . . . . . . . . . . . . ne . . . .paieront . . . . . . . . . . . . rien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .........
Ils sont 60 en tout, .................... . . . . . . . .donc . . . . . . .ils . . .ne . . . .peuvent . . . . . . . . . . ..pas . . . . .prendre ..............
Le . . . .séjour . . . . . . . . .a. . lieu . . . . . .pendant . . . . . . . . . . . la . . .période . . . . . . . . . . .« Tarif . . . . . . . . .rouge », . . . . . . . . . .........
« Juniors tours » .................... . . . .(60 . . . . . . . . .57). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
et . . . .ils . . . .restent . . . . . . . . . . .5 jours, . . . . . . . . . . .donc . . . . . . .le . . .prix . . . . . .par . . . . .personne . . . . . . . . . . . . . .........
•.................... Avec « Tourisme . . . . .Autocars » : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
et . . . .par . . . . . jour . . . . . .est . . . . . 27,50 €. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .........
1 000 + (5 × 2. .×. .75) .................... . . . . . .= . . .1 . . .750 . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(57 . . . . . . .×. .27,50 €) . . . . . . . . . . . . . .× . . .5. . = . . .7 . . .837,50 € . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .........
1 750 1 800 .................... . . . .donc . . . . . . .ils . . . prendront . . . . . . . . . . . . . . .« Tourisme . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.Ils . . .paieront . . . . . . . . . . . .7 . . .837,50 € . . . . . . . . . . . . . . . pour . . . . . . .le . . .séjour. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .........
Autocars » et ils .................... . . . .paieront . . . . . . . . . . . .1 . . 750 . . . . . . . .€. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
•. .7 . . .837,50 € . . . . . . . . . . . . . . .+ . . .1 . . 750 € . . . . . . . . . . .=. .9 . . .587,50 € . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .........
•.................... 3 × 15 = 45, . . . . . . . . .4 . . .×. . 15 . . . . .= . . .60 . . . . .et . . . 45 . . .. . . . . .54 . . . . . 60 .........
Ils . . . .paieront . . . . . . . . . . . .9 . . .587,50 € . . . . . . . . . . . . . . . en . . . .tout. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......... (dB)
2 Appliquer des consignes
140
F
Le niveau d’un bruit se mesure en décibels (dB). a. Placer sur l’échelle ci-contre les bruits suivants : un restaurant scolaire, R (80 dB) une salle de classe, S (55 dB) ● une course de Formule 1, F (140 dB) ● un lecteur MP3 au maximum, L (110 dB) ● une tondeuse à gazon, T (75 dB)
110
un aspirateur, A (70 dB) un marché, M (60 dB) ● un vent léger, V (20 dB) ● un concert, C (105 dB) ● une éolienne, E (40 dB)
●
●
100
●
●
90 80 70 60
b. Compléter ce tableau avec les bruits précédents. Intensité sonore I (en dB)
32
I 85
65 I 85
45 I 65
35 I 45
I 35
Niveau de bruit
dangereux
bruyant
supportable
animé
calme
Bruit
L -…C… …F…- …
-… R -…A… …T…
S… -M …… ……
E …… ………
V …… ………
40 30 20
L C
R T A M S E V
© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
Atelier problèmes
3 Observer et organiser la recherche
15
cm
Il a fallu 1,50 m de ruban, dont 26 cm pour le nœud, pour ficeler ce paquet. Si l’on remplissait la boîte avec des petits cubes d’arête 1 cm, combien faudrait-il de petits cubes ?
23 cm
1,50 m = 150 cm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..........................
.La . . .hauteur . . . . . . . . . . . de . . . . la . . .boîte . . . . . . . .est . . . . .12 cm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . ..
Le ruban est placé sur .......................... . . . . 2 largeurs, . . . . . . . . . . . . . . . .sur . . . . .2 . . .longueurs ...................
.23 ....× . . .15 . . . . .=. .345 . . . . . . . donc . . . . . . . 345 . . . . . . . .petits . . . . . . . . .cubes . . . . . . . .sur . . . . . le . . ..fond . . . . . . . . ..
et sur 4 hauteurs de .......................... . . .la . . .boîte. .........................................
345 . . . . . . . .×. .12 . . . . .=. . 4 . . .140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . ..
2 × 23 cm = 46 cm et .......................... . . . . .2 . . .×. .15 . . . . .cm . . . . .=. .30 . . . . .cm ....................
Il. . .faudrait . . . . . . . . . . . mettre . . . . . . . . . . .4 . . .140 . . . . . . .petits . . . . . . . . .cubes. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . ..
26 cm + 46 cm + 30 .......................... . . . cm . . . . .=. . 102 . . . . . . . cm ..............................
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . ..
(150 cm – 102 cm) 4 .......................... . . . . . .= . . .12 . . . . .cm .................................
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . ..
4 Proposer une démarche de résolution Dans quel pot le miel est-il le moins cher ? a
c
b
5,30 € 2,58 €
On . . . . .cherche . . . . . . . . . . .le . . .prix . . . . . d’un . . . . . . gramme . . . . . . . . . . . .de . . . .miel . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . ..
d
(en . . . . .centimes . . . . . . . . . . . . . d’euro). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . ..
10,90 €
258 120 . . . . . . . . . . . . . . . .= . . .2,15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . ..
5,06 €
506 230 . . . . . . . . . . . . . . . .= . . .2,2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. 530 250 . . . . . . . . . . . . . . . .= . . .2,12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. 1 . . .090 500 . . . . . . . . . . . . . . . .= . . .2,18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . ..
Miel
120 g
230 g
250 g
500 g
2,12 . . . . . . . . . . . .2,15 . . . . . . . . . . .2,18 . . . . . . . . . . .2,2 . . . . . .donc . . . . . . .c’est . . . . . . .dans . . . . . . . le .. .pot . . . . . .c. .. que . . . . . .le . . .miel . . . . . .est . . . . .le . . .moins . . . . . . . . .cher. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . ..
5 Adapter une méthode
jeu A
3 — 4
Ludivine fabrique des jeux de cartes. Toutes les cartes d’un même jeu ont la même valeur. Voici son premier jeu.
fraction
a. Compléter ses quatre autres jeux. jeu B
1 — 5
jeu C
b. Placer
13 —— 20
0,2
2 —— 10
0,65
65 —— 100
jeu E
65 %
75 %
écriture fraction pourcentage décimale décimale
jeu D
20 %
75 –– 100
0,75
11 —— 25
0,44
44 —— 100
44 %
19 —— 50
0,38
38 ––––– 100
38 %
38 1 ; 0,65 ; 44 % et sur le segment gradué ci-dessous. 5 100 0
100 %
1 — 5 © Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
38 44 % ——— 100
0,65
3 — 4
Fiche 27 ● Atelier problèmes
33
CHAPITRE
Proportionnalité
FICHE
5
CALCUL MENTAL
● ..... . . . . . . . . .
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
28 Situations de proportionnalité Exemple : Un robinet est ouvert avec un débit régulier et chaque minute il s’écoule 6 L d’eau. En 3 min, il s’écoule 3 fois plus d’eau qu’en 1 min. En 0,5 min, il s’écoule 2 fois moins d’eau qu’en 1 min.
Durée (en min)
1 0,5 3
Quantité d’eau (en L) 6
3 18
×6
Pour obtenir la quantité d’eau (en L) qui s’est écoulée, on multiplie la durée (en min) par 6. On dit que la quantité d’eau (en L) est proportionnelle à la durée (en min). On dit que 6 est le coefficient de proportionnalité.
1
5 En 15 tours de circuit, une voiture parcourt 100 km.
Juliette a 1 an et elle pèse 9 kg.
a. Peut-on connaître son poids à 4 ans ? non b. L’âge et le poids d’une personne sont-ils
proportionnels ? non
2
a. La longueur d’une chaîne est-elle proportionnelle au nombre de maillons ? Expliquer.
Chaîne « plaqué or »
15 maillons - 45 cm - 9 € 30 maillons - 90 cm - 16 €
Compléter. En 30 tours, cette voiture parcourt 2 fois plus de km qu’en 15 tours, soit 200 km. ● En 3 tours, cette voiture parcourt 5 fois moins de km qu’en 15 tours, soit 20 km. ●
6
Pour préparer 16 crêpes, Julie utilise 2 œufs. Combien d’œufs utilise-t-elle pour préparer : a. 8 crêpes ? 1 œuf
Oui, quand on multiplie le nombre de maillons par 2
b. 24 crêpes ? 3 œufs
7 Pour ces morceaux de fromage le prix est proportionnel à la masse du morceau.
la longueur est aussi multipliée par 2. b. Le prix d’une chaîne est-il proportionnel
au nombre de maillons ? Expliquer.
2,50 ……… g
Non, quand on multiplie le nombre de maillons
……… 720 g
3,00 240 g
par 2 le prix n’est pas multiplié par 2.
3 Le prix à payer pour ces piles est-il proportionnel au nombre de piles achetées ? Expliquer. 4,50 € 3 = 1,50 €
et
Retrouver les informations qui se sont effacées. 4,50 1,5 V
€
5€
• 240 g 3 = 80 g.
1,5 V
Pour 1 € on a 80 g de fromage.
5€ 4 = 1,25 €
Le prix à payer n’est pas proportionnel au nombre de piles.
2,5 × 80 g = 200 g. Le 1er morceau pèse 200 g.
4
Pour obtenir 1 kg de beurre, il faut 20 L de lait. Compléter ce tableau de proportionnalité. Beurre (en kg) Lait (en L)
34
1
1,5
2
3
0,250
20
30
40
60
5
× 20
• 720 g = 240 g × 3 3 € × 3 = 9 € Le 3e morceau coûte 9 €. © Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
FICHE
CALCUL MENTAL
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
29 Passage par l’unité et propriétés Passage par l’unité
●
Sur un marché, le prix à payer pour des oranges est proportionnel à la masse d’oranges achetée. 3 kg d’oranges coûtent 12 €. Pour calculer le prix de 5 kg de ces oranges, on peut passer par l’unité : 1 kg d’oranges coûte 3 fois moins cher, c’est-à-dire 12 € 3 donc 4 €. 5 kg d’oranges coûtent 5 fois plus cher que 1 kg, c’est-à-dire 5 × 4 € donc 20 €. Donc 5 kg de ces oranges coûtent 20 €. ●
Additivité
+
●
Multiplication
Masse d’oranges (en kg)
3
5
8
Masse d’oranges (en kg)
Prix (en €)
12
20
32
Prix (en €)
+
× 1,5 3 4,5 12 18 × 1,5
3 kg + 5 kg = 8 kg et 12 € + 20 € = 32 €.
4,5 kg = 3 kg × 1,5 et 12 € × 1,5 = 18 €.
On déduit que 8 kg d’oranges coûtent 32 €.
On déduit que 4,5 kg d’oranges coûtent 18 €.
1
4
3 cahiers identiques coûtent 6 €. Calculer le prix d’un cahier, puis le prix de 5 de ces cahiers.
6 € : 3 = 2 €
et
Un employé est payé à l’heure. Lundi, il travaille 6 h et il gagne 81 €. Mardi, il travaille 5 h 30 min. Combien gagne-t-il ?
5 × 2 € = 10 €.
81 € : 6 = 13,50 €. Donc il est payé 13,50 € de l’heure.
Donc 1 cahier coûte 2 €, et 5 cahiers coûtent 10 €.
5 × 13,50 € + 13,50 € : 2 = 74,25 € Donc mardi il a gagné 74,25 €.
2
5
Pour faire pousser du gazon, il faut utiliser 3 poignées de graines pour recouvrir 6,3 m2.
Voici le plan de deux chambres. Calculer l’aire de la chambre 2.
Calculer la surface recouverte par une poignée, puis par 5 poignées de graines.
chambre 1
15
chambre 2
m2
6,3 m2 3 = 2,1 m2 Pour 1 poignée de graines, on recouvre 2,1m².
15 m2 : 12 = 1,25 m2. Donc 1 carreau représente 1,25 m2.
2,1 m2 × 5 = 10,5m².
10 × 1,25 m2 = 12,5 m2
Pour 5 poignées de graines, on recouvre 10,5 m2.
Donc l’aire de la chambre 2 est 12,5 m2.
3
Compléter ces tableaux de proportionnalité :
a. en utilisant l’additivité de la proportionnalité, Durée des travaux (en h)
2
3
Facturation (en €)
54
81
5
7
135 189
b. en utilisant la multiplication par un nombre. Temps de travail (en h)
4
8
16
6
Salaire (en €)
25
50
100
37,5
© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
6
× 4,5
En 6 min, 32 L d’eau ont coulé d’un robinet.
× 3,5
Durée (en min)
6
21
27
Quantité (en L)
32
112
144
a. Compléter ce tableau.
× 3,5 × 4,5
b. Que signifie le nombre dans la case jaune ?
112 L d’eau s’écoulent en 21 min. Chapitre 5 ● Proportionnalité
35
FICHE
CALCUL MENTAL
● ..... . . . . . . . . .
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
30 Appliquer un taux de pourcentage Un pot de crème de 250 g contient 12 % de matières grasses. Calculer la masse de matières grasses dans ce pot, c’est « prendre 12 % de 250 g », c’est-à-dire calculer
12 × 250 g : 100
12 × 250 g = 0,12 × 250 g = 30 g 100
Donc, il y a 30 g de matières grasses dans ce pot de crème de 250 g.
1
Compléter.
Pour calculer 30 % de 40 € on effectue :
30 ..........
× 40 € = 0,3 × 40 € = 12 € 100 .......... Donc 30 % de 40 € font 12 €.
2
Compléter.
Pour calculer 60 % de 80 L on effectue :
60 .......... 100 ..........
× 80 L =
0,6 × 80 L = 48 L
Donc 60 % de 80 L font
3
48 L.
Calculer mentalement et compléter.
a. 25 % de 80 personnes font b. 50 % de 62 € font
31 €
c. 100 % de 1,7 kg font d. 40 % de 200 L font
4
20 personnes
1,7 kg 80 L
Combien de minutes font :
a. 70 % d’une heure ?
b. 40 % d’une heure ?
70 × 60 min = 0,7 × 60 min = 42 min 100 b. 40 × 60 min = 0,4 × 60 min = 24 min 100 a.
5
Avec la calculatrice, déterminer la masse d’huile d’olive contenue dans ce savon de 250 g.
Huile d’ oliv e
64 %
36
6 Une station de ski compte 80 pistes. Les pistes vertes représentent 20 % des pistes et les pistes noires 15 % des pistes. a. Calculer le nombre de pistes vertes. 20 × 80 = 0 ,2 × 80 = 16 . Il y a 16 pistes vertes. 100 b. Calculer de deux façons différentes le nombre
de pistes qui ne sont pas des pistes noires. 15 • × 80 = 0,15 × 80 = 12 et 80 – 12 = 68 100 Il y a 68 pistes qui ne sont pas des pistes noires. 85 • 100 % – 15 % = 85 % et × 80 = 0,85 × 80 = 68 100 Il y a 68 pistes qui ne sont pas des pistes noires.
7
Une marque de jus de fruits propose une bouteille « Promo » contenant 20 % de boisson supplémentaire. Quelle quantité de jus de fruits contient la bouteille « Promo » ?
+ 20 %
de boisson
75 cL
20 × 75 cL = 0,2 × 75 cL = 15 cL 100
75 cL + 15 cL = 90 cL La bouteille « Promo » contient 90 cL de jus de fruits.
8 Louis veut acheter un pantalon qui, non soldé, coûte 58 €. Combien va-t-il le payer pendant les soldes ? 70 × 58 € = 0,7 × 58 € = 40,60 € 100
Louis profite d’un rabais de 40,60 €
64 × 250 g = 0,64 × 250 g = 160 g 100
58 € – 40,60 € = 17,40 €.
Ce savon contient 160 g d’huile d’olive.
Il va payer son pantalon 17,40 € © Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
FICHE
CALCUL MENTAL
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
31 Utiliser la proportionnalité L’échelle d’un plan est le coefficient de proportionnalité entre les distances sur le plan et les distances réelles. Ces deux distances sont Distance sur le plan Échelle = dans la même unité Distance réelle de longueur. On l’exprime par une fraction de numérateur 1.
1
Le plan d’une maison est à l’échelle
1 . 200
a. Compléter : 1 cm sur le plan représente 200 cm, soit 2 m dans la réalité. b. Sur ce plan, le salon est représenté par un rectangle de 3,5 cm sur 2,5 cm. Calculer les dimensions réelles de ce salon. 3,5 × 2 m = 7 m et 2,5 × 2 m = 5 m
3
St.-Pierre
Cette carte est à l’échelle 1 . 800 000 Donner une estimation de la longueur de la traversée entre Quiberon et Le Palais.
Quiberon
Sauzon Belle-Île
Le Palais
• 1 cm sur la carte représente 800 000 cm,
Les dimensions réelles de ce salon sont 7 m et 5 m.
soit 8 km dans la réalité. • Sur la carte il y a 1,8 cm entre Le Palais et Quiberon.
2
Une carte de France est à l’échelle
1 . 5 000 000
1. Compléter : 1 cm sur la carte représente 5 000 000
cm, soit 50 km dans la réalité.
2. Compléter le tableau de proportionnalité ci-dessous en répondant aux questions a. et b.. a. À vol d’oiseau, les villes de Nantes et du Mans sont distantes de 160 km. b. Sur cette carte 4,9 cm séparent les villes d’Auxerre et de Belfort. Quelle est en réalité la distance à vol d’oiseau entre ces deux villes ?
• 1,8 × 8 km = 14,4 km, donc la longueur de la traversée est d’environ 14,4 km.
4 Sur la plage, Louise marche à une vitesse constante et en 20 minutes, elle parcourt 1,6 km. a. À cette vitesse, quelle distance parcourt Louise en 5 minutes ? b. Ce segment représente la balade sur une carte à l’échelle 1:160 000. Combien de temps a duré la balade de Louise ? a. 5 min = 20 min : 4 et 1,6 km : 4 = 0,4 km.
Distance sur la carte (en cm) Distance réelle (en km)
1
3,2
4,9
50 160 245
Donc Louise parcourt 0,4 km en 5 minutes. b. • 1 cm sur la carte représente 160 000 cm soit
a. 16 0 : 50 = 3,2 donc la distance sur la carte
1,6 km dans la réalité.
entre Nantes et Le Mans est 3,2 cm.
• Sur la carte, la balade mesure 2,5 cm.
b. 4,9 × 50 = 245 donc la distance à vol d’oiseau
2,5 × 1,6 km = 4 km. Donc Louise a parcouru 4 km.
entre Auxerre et Belfort est en réalité 245 km.
• 4 km = 10 × 0,4 km et 10 × 5 min = 50 min. Donc la balade a duré 50 minutes.
© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
Chapitre 5 ● Proportionnalité
37
FICHE
CALCUL MENTAL
● ..... . . . . . . . . .
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
32 Variations entre deux grandeurs : graphiques Le tableau et le graphique représentent la distance parcourue par une cycliste en fonction du nombre de tours de pédalier.
Distance parcourue (en m) 12
Nombre de tours de pédalier
2
3
10
Distance parcourue (en m)
8
12
8 6
Dans le tableau et sur le graphique, on peut lire :
4 Nombre de tours
• Pour 3 tours de pédalier, la cycliste parcourt 12 m.
2
• Pour parcourir 8 m, la cycliste a effectué 2 tours de pédalier.
0
Voici le graphique de la consommation moyenne en essence d’une voiture, en L, en fonction de la distance parcourue, en km.
15 10
Distance parcourue (en km)
5 0
100
200
300
6
15
7,5
Quantité d’eau écoulée (en L)
8
20
10
b. Placer les données sur le graphique.
20
100 200 400
5
Consommation d’essence (en L)
10
20
b. Est-ce un tableau de proportionnalité ?
10 = 0,05 ; 200
10 8
Durée (en min)
5
0
20 = 0,05, 400
donc c’est un tableau de proportionnalité.
6
1
7,5
15
4 Sur ce graphique, la distance parcourue et le temps de parcours sont-ils proportionnels ?
Voici les tarifs d’un parking.
Tarif (en €)
2
3
5
7
Durée (en h)
0,5
1
2
3
a. Placer ces données sur le graphique. Durée (en h)
3
7
Quantité d’eau écoulée (en L)
Distance parcourue en (km)
2
6
Durée (en min)
400
a. Compléter le tableau.
5 = 0,05 ; 100
3 4 5
a. Compléter le tableau
Consommation d’essence (en L)
20
1 2
3 Une fuite d’eau a été repérée au fond d’une piscine. En 3 min, la piscine perd 4 L d’eau.
1
Temps de parcours (en min)
30 20
2 Tarif (en €)
1 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
b. Dans ce parking, la durée de stationnement est-elle proportionnelle au tarif ?
38
● ..............
10 Distance parcourue (en m)
5 0 100
300
600
800
0,5 2 = 0,25 et = 0,4, or 0,25 ≠ 0,4, donc il n’y a 2 5
20 40 = 300 600
40 30 ≠ 600 600
pas proportionnalité.
donc il n’y a pas proportionnalité © Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
FICHE
CALCUL MENTAL
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
33 Perfectionnement 1
Un cycliste a parcouru 2 km en 5 min. On suppose que sa vitesse est constante. Combien de temps met-il pour parcourir 600 m ?
5 min : 2 = 2,5 min
4
Anne est allée (en marchant et en nageant) en ligne droite de la crique à la paillote. crique
Il parcourt 1 km en 2,5 min.
600 m = 0,6 km et 0,6 × 2,5 min = 1,5 min. paillote
Donc il met 1,5 min pour parcourir 600 m
2
On remplit un récipient d’eau et on note la hauteur d’eau selon la quantité d’eau versée. Quantité d’eau versée (en L)
25
30
Hauteur d’eau (en cm)
10
12
a. La hauteur d’eau est-elle proportionnelle au
nombre de litres versés ? Expliquer. Oui. En effet : 10 cm : 25 = 0,4 cm et
12 cm : 30 = 0,4 cm.
La hauteur d’eau est 0,4 cm si on verse 1 L d’eau. b. Calculer la hauteur d’eau lorsqu’on verse 40 L.
0
300 m
Quelle distance Anne a-t-elle parcourue ?
• 2 cm représentent 300 m donc 1 cm représente 150 m dans la réalité. • Sur la carte Anne a parcouru 3,5 cm ; 3,5 cm × 150 m = 525 m. Dans la réalité elle a parcouru 525 m.
5 Pour une fête qui a lieu dans 5 jours, Amélie veut acheter un flacon de parfum à 60 €. Pour cela elle étudie deux offres : une du magasin « Miniprix » situé à côté de chez elle et une autre du site internet « Odory ».
40 × 0,4 cm = 16 cm. Donc la hauteur d’eau est de 16 cm.
– 25 % sur vos achats en ligne*
c. Combien de litres a-t-on versés quand
la hauteur d’eau est de 28 cm ? 28 cm = 16 cm + 12 cm et 40 L + 30 L = 70 L. Donc on a versé 70 L d’eau.
3
Un tour de cette grande roue dure 20 min. N sens de rotation
126°
– 15 %
sur tous vos achats en magasin
* Livraison standard en 6 à 7 jours : 3,95 € Livraison Colissimo en 3 à 5 jours : 5,95 € Livraison Express en 24 h : 12,95 €
Que peut-on conseiller à Amélie ? 15 • × 60 € = 0,15 × 60 € = 9 € 100
Amélie a un rabais de 9 € et 60 € - 9 € = 51 €. Donc chez « Miniprix » Amélie paiera 51 €. 25 • × 60 € = 0,25 × 60 € = 15 € 100 Amélie a un rabais de 15 € et 60 € - 15 € = 45 €. 45 € + 12,95 € = 57,95 € 45 € + 5,95 € = 50,95 €
départ
Construire sur la figure ci-dessus la position d’une cabine 7 min après le départ.
Par rapport à l’achat chez « Miniprix » : – avec la livraison Express, Amélie paie plus cher ; – avec la livraison Colisimo, Amélie économise seulement
360° : 20 = 18° Donc en 1 min la roue tourne de 18°.
0,05 € et elle risque de ne pas être livrée à temps.
7 × 18° = 126° Donc en 7 min la roue tourne de 126°.
Amélie a donc intérêt à faire son achat chez « Miniprix ».
© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
Chapitre 5 ● Proportionnalité
39
FICHE
M & jeux 34 QC QCM
Voici un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, entourer la (ou les) réponse(s) exacte(s). A
Le temps de cuisson pour 500 g de pâtes est 8 min donc …
B
Bilan ..... / 5
Le temps de cuisson pour 250 g est 4 min
Le temps de cuisson pour 1 kg est 16 min
Ce n’est pas une situation de proportionnalité
12 lettres identiques pèsent 500 g. Alors …
24 de ces lettres pèsent 1 kg
3 de ces lettres pèsent 125 g
27 de ces lettres pèsent 1,125 kg
C
10 stylos identiques coûtent 8 €. Alors …
7 de ces stylos coûtent 5,60 €
1 de ces stylos coûte 1,25 €
12 de ces stylos coûtent 10 €
D
Pour calculer 30 % de 720 €, on peut effectuer …
30 € + 720 €
30 × 720 € 100
0,3 × 720 €
E
14 % de 80 kg c’est aussi …
16 % de 70 kg
35 % de 32 kg
5 % de 224 kg
jeu
1
Élisabeth a construit ces deux pyramides avec des cubes identiques. ➤ Quelle est la masse de la grande pyramide ?
1 + 4 + 9 = 14 et
1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 55
Donc il y a 14 cubes dans la petite pyramide et 55 cubes dans la grande. 280 g : 14 = 20 g. Donc un cube pèse 20 g. 55 × 20 g = 1 100 g. Donc la grande pyramide pèse 1 100 g.
280 g
jeu jeu
2
40 bœufs mangent 60 ballots de paille en 12 jours. ➤ Combien faut-il de bœufs pour manger 96 ballots de paille en 16 jours ? On supposera que tous les bœufs mangent chaque jour la même ration et que tous les ballots de paille sont identiques.
3
L’écran de Victorio est un agrandissement de l’écran d’Océane. On a pris en photo chaque écran au même instant pendant un match. ➤ Placer le joueur et le ballon sur l’écran de Victorio.
joueur
ballon
écran d’Océane
40 bœufs mangent 60 ballots en 12 jours. 40 bœufs mangent 5 ballots en 1 jour. 40 bœufs mangent 80 ballots en 16 jours. 1 bœuf mange 2 ballots en 16 jours.
Joueur
Ballon
48 bœufs mangent 96 ballots en 16 jours.
écran de Victorio
40
© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
CHAPITRE
FICHE
6
Organisation et gestion de données CALCUL MENTAL
● ....... . . . . . . .
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
35 Tableaux : lire, utiliser, interpréter ●
Tableau à double entrée : enneigement en Haute-Savoie en février 2015. Cette colonne donne la hauteur de neige à Combloux
Cette ligne donne la hauteur de neige au bas des pistes.
Avoriaz
Combloux
Flaine
Haut des pistes
310 cm
160 cm
420 cm
Bas des pistes
270 cm
70 cm
80 cm
1 Ce tableau donne le nombre de voyelles d’un jeu de société de lettres.
3 Ce tableau donne la répartition de personnes à bord d’un bateau de croisière.
Voyelle
A
E
I
O
U
Y
Nombre de jetons
9
15
8
6
6
1
1. Combien de O y a-t-il ?
6
2. Combien de jetons « voyelle » y a-t-il ? 45
b. le moins ?
E
Homme
Femme
Total
Touriste
700
850
1 550
Membre d’équipage
220
230
450
920
1 080
2 000
Total
a. Combien d’hommes sont membres
3. Quelle voyelle trouve-t-on : a. le plus ?
Il y a 70 cm de neige à Combloux au bas des pistes.
Y
4. Est-il exact que le A représente une voyelle sur cinq dans ce jeu ? Pourquoi ?
de l’équipage ?
220
b. Compléter le tableau par une colonne Total
et une ligne Total. c. Quel est le nombre total de personnes sur le
bateau ? Faire figurer ce nombre dans le tableau.
C’est exact. En effet, il y a 9 A et 45 : 5 = 9.
2 Ce tableau donne le nombre de stations de tramways de grandes villes de France en 2015. Ville
Nombre de stations
Ville
Nombre de stations
Paris-IdF
181
Nantes
82
Marseille
33
Strasbourg
72
Lyon
99
Montpellier
83
Toulouse
27
Bordeaux
111
a. Quelle ville a 83 stations ? Montpellier
2 000
4 Une commune a recensé la masse de déchets (en kg) produits en un an par habitant. Année
2014
2015
Journal, carton, papier
53,91
52,09
Brique alimentaire
0,82
1,04
Flacon plastique
2,87
3,63
Emballage métallique
1,8
2,02
Nature des déchets
b. Quelles villes ont moins de 40 stations ?
La production de déchets a-t-elle augmenté ou diminué entre 2014 et 2015 ?
Marseille et Toulouse
En 2014 : 53,91 + 0,82 + 2,87 + 1,8 = 59,4
C. Quelles villes ont au moins 90 stations ?
En 2015 : 52,09 + 1,04 + 3,63 + 2,02 = 58,78
Paris-IdF, Lyon et Bordeaux
Donc la production de déchets a diminué.
© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
Chapitre 6 ● Organisation et gestion de données
41
FICHE
CALCUL MENTAL
● ..... . . . . . . . . .
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
36 Tableaux : organiser des données ●
Exemple de réalisation d’un tableau :
On a mesuré l’envergure (en cm) de 10 oiseaux-mouches. 8 10 11 9 10 11 8 10 10 8 On remarque qu’il y a quatre réponses différentes. On présente ces données dans un tableau à deux lignes et cinq colonnes (dont une pour les légendes).
1
Yann a noté jour après jour la direction du vent à Guidel (Morbihan) en novembre 2015. O
O
O
O
O
N
S
E
S
O
O
O
S
E
E
E
N
N
S
S
O
S
E
S
S
O
N
N
N
N
a. Compléter le tableau ci-dessous donnant le
nombre de jours selon la direction du vent. Direction du vent
O
N
E
S
Nombre de jours
10
7
5
8
b. Vérifier le nombre total de jours de ce mois.
10 + 7 + 5 + 8 = 30. Il y a bien 30 jours en novembre.
2
Envergure (en cm)
8
9
10 11
Nombre d’oiseaux
3
1
4
2
3
Ce tableau présente la répartition par jour des quantités de lait (en L) produites dans une ferme, selon le type de lait. Il est incomplet. Entier
Demiécrémé
Écrémé
Total
45
225
45
315
180
315
90
585
225
540
135
900
Vitaminé Non vitaminé Total
Compléter entièrement le tableau ci-dessus.
4
Des voitures neuves, de couleurs différentes, sont exposées dans un garage. Elles roulent à l’électricité (EL), à l’essence (ES) ou au gazole (GO).
Parmi les 150 élèves de 6e d’un collège, il y a 44 filles demi-pensionnaires (DP), 18 externes (E) et 9 internes (I) ; 25 garçons sont externes et 48 sont demi-pensionnaires.
ES
GO
EL
GO
GO
EL
ES
ES
ES
EL
a. Souligner dans l’énoncé les nombres qui
ES
GO
EL
EL
ES
EL
GO
EL
ES
ES
concernent les filles de ce collège. Combien y a-t-il de filles en 6e ?
Il y a 71 filles en 6e.
44 + 18 + 9 = 71
b. En déduire le nombre de garçons en
150 – 71 = 79
6e.
Il y a 79 garçons en 6e.
Carburant
Il y a 6 garçons internes.
d. Compléter le tableau ci-dessous.
42
EL
ES
GO
Total
Jaune
3
2
1
6
Grise
4
3
0
7
Bleue
0
3
2
5
Rouge
0
0
2
2
Total
7
8
5
20
Couleur
c. Combien de garçons sont internes ?
79 – ( 48 + 25) = 6
Compléter le tableau ci-dessous comme nous avons commencé à le faire.
DP
E
I
Total
Fille
44
18
9
71
Garçon
48
25
6
79
Total
92
43
15
150
© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
FICHE
CALCUL MENTAL
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
37 Représentations graphiques ●
Exemple de graphique cartésien
Un éleveur a surveillé la croissance d’un poulain en le mesurant régulièrement de sa naissance à 1 an. Les pointillés verts signifient qu’à l’âge de 8 mois, le poulain mesure 140 cm au garrot.
1
nombre de sorties Hortense lance 6 un dé à six faces. 4 Voici le nombre de fois 2 où chaque face est 0 sortie. 1 2 3 4 5 6 face
a. Quelles faces sont sorties le même nombre
de fois ? Combien de fois sont-elles sorties ? Les faces 4 et 6. Elles sont sorties 3 fois chacune.
hauteur au garrot (en cm) 150 140 130 120 110 100 0 2 4 6
8
10 12 âge (en mois)
3
Ce tableau indique la hauteur (en m) du ballon lors d’un lancer au basket en fonction du temps (en s) écoulé depuis le lancer du ballon jusqu’à son entrée dans le panier. Temps (en s)
0
0,1
0,3
0,5
0,7
0,9
1
Hauteur du ballon (en m)
2,4
3
4,2
4,5
4,2
3,5
3
1. À quelle hauteur se trouvait le ballon au moment du lancer ? au moment d’entrer dans le panier ?
b. Combien de fois a-t-elle lancé le dé ?
2 + 6 + 5 + 3 + 1 + 3 = 20
Au moment du lancer, le ballon se trouvait
Hortense a lancé le dé 20 fois.
à 2,4 m de hauteur.
Ce diagramme représente la répartition d’espèces d’arbres dans une forêt.
en % 40 30 %
hêtres
10
t-on le plus ?
25 %
sapins
20
frênes
30
a. Quelle espèce trouve-
Au moment d’entrer dans le panier, il se 35 %
pins
2
0
Les pins
b. Quel est le pourcentage de frênes ? Pourquoi ?
trouvait à 3 m de hauteur. 2. Compléter ce graphique à l’aide du tableau. hauteur du ballon (en m) 5
4,2 3
10 %. En effet : 25 % + 35 % + 30 % = 90 % et 100 % – 90 % = 10 % c. Compléter ce tableau et ce diagramme
1
semi-circulaire qui représentent cette répartition.
0
Pourcentage
10 25
Angle (en degrés)
18 45 54 63 180
30
35 100
0,5
1 temps (en s)
3. a. Quelle semble être la hauteur maximale atteinte par le ballon ?
b. Au bout de combien de temps le ballon
sapins pins
© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
1,8
0 0,1
La hauteur maximale du ballon est 4,5 m.
hêtres
frênes
×
panier
2,4
atteint-il cette hauteur ? Le ballon atteint cette hauteur au bout de 0,5 s. Chapitre 6 ● Organisation et gestion de données
43
FICHE
CALCUL MENTAL
● ..... . . . . . . . . .
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
38 Perfectionnement 1
Valentin récolte des fruits secs. ● La plupart des fruits récoltés sont des amandes. ● Les moins nombreux sont les châtaignes. ● Les noix représentent le quart des fruits. ● Il a récolté deux fois plus de noisettes que de pistaches.
3
Ce diagramme représente la répartition des adhérents à un club de loisirs selon le sport pratiqué. handball volley-ball tennis de table escalade badminton
a. Ce diagramme circulaire montre la répartition des quantités ramassées. Compléter les légendes.
0
noisettes
5 10 15 20 25 30 35 en %
châtaignes
a. Que signifie la barre orange ?
pistaches
20 % des adhérents font du volley-ball. b. Ce club a 180 adhérents. Quel est le nombre
amandes noix
d’adhérents dans chaque sport ? Présenter les résultats dans un tableau à deux colonnes. Calculs 180 4 = 45
b. Valentin a récolté 956 kg en tout.
Quelle quantité de noix a-t-il ramassées ? 956 4 = 239 Valentin a récolté 239 kg de noix. c. Iris affirme : « Les amandes représentent
Les noix représentent 25 % de la récolte. Donc les autres sortes représentent 75 % de la récolte. 80 % 75 % donc Iris se trompe. Le tableau et le diagramme ci-dessous présentent le nombre de jeunes cigognes baguées dans un marais de Couëron (Loire-Atlantique) au début du mois de juin, de 2012 à 2015. Ils sont incomplets. Compléter le tableau et le diagramme.
Handball
45
18 × 3 = 54
Volley-ball
36
18 × 2 = 36
Tennis de table
54
180 × 0,15 = 27
Escalade
27
Badminton
18
2012
9
8
2013
6
6
2014
8
2015
5
Total
28
4
a. Décrire cette randonnée à vélo (durée, distance parcourue…).
30 20 10 0 10h 10h30 11h 11 h30 12h 12 h30 13h temps
nombre de cigogneaux
Nombre de cigogneaux
Nombre
distance (en km) 40
2
Année
Sport
180 × 0,1 = 18
80 % des fruits récoltés ». A-t-elle raison ?
44
BILAN ..... / .....
10
De 10 h à 13 h, la randonnée a duré 3 heures. Elle était longue de 40 km.
4
b. Quel tronçon est le plus rapide ?
2
Le tronçon le plus rapide est entre 10 h et 10 h 30.
0
2012 2013 2014 2015
année
c. Que s’est-il passé de 11 h 30 à 12 h ?
C’est une phase de repos. © Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
FICHE
M & jeux 39 QC
QCM
Bilan ..... / 5
Voici un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, entourer la (ou les) réponse(s) exacte(s).
Année Nombre de voitures
1980
1990
2000
2010
0
29 %
23 %
20 %
17 %
1
54 %
51 %
51 %
48 %
2
15 %
23 %
25 %
3 ou plus
2%
3%
4%
5%
Total
100 %
100 %
100 %
100 %
À la suite d’enquêtes sur l’équipement automobile des familles, on a pu dresser le tableau ci-contre. Il est utilisé pour les cinq questions du QCM.
Sources : CCFA/INSEE
A
Le pourcentage de familles ayant une seule voiture en 2000 est…
20 %
54 %
51 %
B
Le pourcentage de familles ayant au moins deux voitures en 1990 est…
23 %
26 %
74 %
C
Le pourcentage de familles ayant deux voitures en 2010 est…
17 % + 48 % + 5 %
100 % – (17 % + 48 % + 5 %)
30 %
D
Le pourcentage de familles sans voiture a baissé de 3 points de…
1980 à 1990
1990 à 2000
2000 à 2010
E
Ce diagramme circulaire représente la répartition des familles selon le nombre de voitures pour l’année…
1990
2000
2010
jeu
3 ou plus 0
2 1
1
jeu
Alice, Hélène et Louise sont en 6e, 5e ou 4e. Elles ont chacune une passion : le chant, la danse ou la peinture. Trouver leur passion et leur classe sachant : ● celle qui est passionnée de danse est en 5e, ● Hélène aime le chant, ● Louise est en 4e. D’après Rallye Mathématique Poitou-Charentes
Conseil : on peut penser à un tableau
à double entrée (classe/passion) pour organiser la recherche.
Chant Danse Peinture
6e Hélène
5e
4e
Alice Louise
Alice est en 5e, elle aime la danse. Hélène est en 6e, elle aime le chant, Louise est en 4e, elle aime la peinture.
© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
2
Sur 35 personnes interrogées : 17 ont déclaré faire du basket, 14 du tennis, ● 15 du volley-ball, ● 8 font à la fois du basket et du tennis, ● 7 font à la fois du tennis et du volley-ball, ● 6 font à la fois du basket et du volley-ball, ● 5 pratiquent les trois sports. ● ●
Y a-t-il des personnes qui ne pratiquent aucun de ces trois sports ? Si oui, combien ?
basket 8 1
tennis 3 5
4 2
7 volley-ball 5 personnes ne pratiquent aucun des trois sports. Chapitre 6 ● Organisation et gestion de données
45
FICHE
40
Atelier problèmes ! Apprendre à chercher
1 Organiser des données multiples Pour fêter son anniversaire, Claire a prévu d’inviter 17 amis et de leur préparer des gâteaux au chocolat. a. Avec les 20 € que ses parents lui ont accordés, aura-t-elle assez d’argent pour réaliser ses gâteaux ? b. À quelle heure devra-t-elle commencer à cuisiner si elle veut sortir ses gâteaux du four à 13 h 30 ?
ne Fari
1,84 €
Sucre en poudre
Sucre poudre
500 g
Sucre
50 g
7
1,63 €
1,35 €
2,51 €
2,74 € Levure de Boulanger
Be
baraurre tte
Be
baraurre tte
1 kg
Yabon
Corsé
Papa sucre
1 kg
Ingrédients pour 6 personnes ● 200 g de chocolat noir ● 4 œufs ● 125 g de beurre ● 200 g de sucre en poudre ● 100 g de farine ● 1 sachet de levure Temps de préparation 15 min Temps de cuisson 25 min à 180 °C
250
g
1,73 €
a. Ils sont 18, donc il faut multiplier les quantités
500
g
5 sachets
3,27 €
3,54 €
1,39 €
Elle achète aussi 3 tablettes de chocolat,
par 3.
une boîte de 12 œufs, 1 kg de farine et un paquet
Il faudra 600 g de chocolat noir, 12 œufs, 375 g
de 5 sachets de levure.
de beurre, 600 g de sucre en poudre, 300 g de farine
2,74 € × 3 = 8,22 €
et 3 sachets de levure.
8,22 + 3,54 + 3,27 + 1,63 + 1,84 + 1,39 = 19,89
2 × 1,35 € = 2,70 € et 2,70 2,51 1,63
Les gâteaux lui reviennent à 19,89 €.
2 × 1,73 € = 3,46 € et 3,46 3,27 donc Claire
19,89 € 20 € donc Claire a assez d’argent.
achète le pack de 750 g de sucre et une plaquette
b. 13 h 30
de 500 g de beurre.
13 h 05
–25 min
12 h 50
–15 min
Début à 12 h50
2 Confronter l’information disponible à ses connaissances David prête son ordinateur portable à Mathilde. Il lui dit : « J’ai chargé la batterie. Tu peux rester 5 h en autonomie. » Un peu plus tard, le voyant de la batterie clignote et le message ci-contre apparaît. Cet affichage correspond-il à ce qu’a annoncé David ? 5 h = 5 × 60 min = 300 min 9 × 300 min = 0,09 × 300 min = 27 min 100
22 min (9 %) restante(s)
Si ce que David avait annoncé était exact, Mathilde aurait dû lire « 27 min (9 %) restantes ». Or il ne reste que 22 minutes.
46
© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
Atelier problèmes
3 Proposer une démarche de résolution Voici une carte de la Nouvelle Zélande. a. Un automobiliste parti à 8 h de Wellington se rend à Hamilton. On suppose qu’il parcourt chaque heure 80 km.
Île du Nord
Par la route, ces deux villes sont distantes de 520 km. À quelle heure cet automobiliste arrive-t-il à Hamilton s’il fait deux pauses d’un quart d’heure ?
Hamilton Mer de Tasmanie
520 : 80 = 6,5 0,5 h = 0,5 × 60 min = 30 min. L’automibiliste roule pendant 6 h 30 min.
Wellington
6 h 30 min + (2 × 15 min) = 7 h. Le trajet de l’automobiliste dure 7 h. 8 h + 7 h = 15 h
Océan Pacifique
Île du Sud
Il arrive à 15 h.
b. Un oiseau parti au même moment de Wellington parcourt chaque heure 50 km. Arrive-t-il à Hamilton avant ou après l’automobiliste ?
0
250 km
Île Stewart
L’oiseau vole en ligne droite. On mesure la distance entre les deux villes : 3 cm. D’après l’échelle de la carte, 2 cm représentent 250 km. On peut construire ce tableau de proportionnalité. Distance sur la carte (en cm) Distance réelle (en km)
L’oiseau parcourt 375 km.
2 250
1 125
3 375
× 125
375 : 50 = 7,5
Il vole pendant 7 h 30 min. Il arrive à 15 h 30 min, 30 min après l’automobiliste.
4 Organiser l’information utile Le tableau ci-dessous indique la répartition garçons/filles des élèves de 6e d’un collège. On sait que : ● en tout, il y a 109 élèves répartis dans les quatre classes ; ● les 6B et 6D ont le même nombre d’élèves. Compléter ce tableau. Nombre de filles
Nombre de garçons
Nombre d’élèves
6A
14
…13 ……
27
6B
…16 ……
12
…28 ……
6C
…14 ……
…12 ……
26
6D
13
…15 ……
…28 ……
Total
57
…52 ……
109 … ……
© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
Fiche 40 ● Atelier problèmes
47
CHAPITRE
Angles
FICHE
7
CALCUL MENTAL
● ..... . . . . . . . . .
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
● ..............
41 Vocabulaire, notation et comparaison M
A
E
O
x
B
a pour sommet L’angle AOB le point O et pour côtés les demi-droites [OA) et [OB).
y
L’angle x My a pour sommet le point M et pour côtés les demi-droites [Mx) et [My).
1
Sur la figure ci-dessous, marquer : ; en vert l’angle PON ; en bleu l’angle OPN ; en rouge l’angle PMO . en noir l’angle MON
A
bleu
C
N
noir
2
vert
noir
y
3
rouge
A tʹ
2
5
6
N
P Côtés
x Ay DCB
A
[Ax) et [Ay)
C
[CD) et [CB)
u Bt NMP
B
[Bu) et [Bt)
M
[MN) et [MP)
5
MNP
N
[NM) et [NP)
6
MPN
P
[PM) et [PN)
4
yʹ
u
Sommet
3
t
4
Notation
2
Sur la figure ci-dessous, marquer : ; en vert l’angle x en bleu l’angle xAt Ay ; en noir l’angle yAt ʹ ; en rouge l’angle xʹAyʹ .
bleu
t
D
Angle
O
y M
3
B
x
vert
1
x
Ces codages indiquent que et EGF sont les angles EFG superposables.
Compléter le tableau ci-dessous en observant les figures.
1
rouge
G
4
P
M
F
5
xʹ
Avec du papier calque, repérer des angles superposables. Coder ces angles.
. Tracer l’angle CAB
C B A
48
© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
FICHE
CALCUL MENTAL
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
42 Mesure d’un angle Le degré (°) est l’unité d’angle avec laquelle l’angle droit mesure 90°.
30
0 90 80 7 0 10 10 60
01
12
1 40
10 20
180 170 1 60 15 01
30
B
Un angle aigu mesure entre 0° et 90°.
50 40
On utilise un rapporteur. = 60° AOB
0
O
A
1
Un angle plat mesure 180°.
3
Entourer la mesure correcte de l’angle dessiné (sans utiliser le rapporteur).
Mesurer chaque angle avec un rapporteur et compléter le tableau. I
a. ● 15°
●
45°
65°
●
145°
b. ● 20°
●
100°
●
Un angle droit mesure 90°.
A
160°
●
●
180°
C
O
B
2
Dans chaque cas, dire pourquoi la mesure de l’angle n’est pas correcte. a. 0
100 90 80 70
60
K
E
x
D
J
v
40 20
180 170 1 60
15
30
01
« Cet angle AOB mesure 50° ».
50
B
40
13
110
0 12
Un angle obtus mesure entre 90° et 180°.
A
10 0
O
F
Le centre du rapporteur n’est pas placé au sommet de l’angle y
b.
0
1
50
y
20
180 170 1 60
15
30
M
0
Le côté [Mx) de l’angle ne passe pas par la graduation 0 du rapporteur
K
I
J
« Cet angle JIK mesure 110° ».
0 180 60 17 10 0 0 1 15 20 0 30 14 0 4
80 90 100 70 100 90 80 110 1 70 20 60 0 110 60 13 2 50 0 1 50 0 13
0 10 2 180 170 1 0 3 60 1 0 50 40 14 0
c.
u
L
10
x
« Cet angle x My mesure 120° ». 40
01 40
13
0 90 80 7 0 10 10 60
1 20
Il faut lire avec la graduation rouge (et non la noire) © Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
Nom de l’angle
Mesure de l’angle
Nature de l’angle
AOB
32°
aigu
CID
68°
aigu
EKF
114°
obtus
x Jy
90°
droit
u Lv
100°
obtus Chapitre 7 ● Angles
49
FICHE
CALCUL MENTAL
● ..... . . . . . . . . .
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
43 Construction d’un angle, bissectrice 1 Compléter la figure de façon à obtenir un angle de la mesure donnée. Conseil : bien repérer le sommet de l’angle.
2 Sur la carte ci-dessous construire les positions M, N et O de trois personnes qui participent à un rallye sachant que :
= 25° a. MAT
• les trois personnes sont sur la piste ; = 110°, ABN = 47° et ACO = 65°. • BAM T
Piste
M
O
25°
N
A
M
= 100° b. PUB C
65°
B 110° P
47° B
A
100° U
3
= 85° c. FER F
E
85°
est la demiLa bissectrice d’un angle AOB
droite [Ox) qui partage cet angle en deux angles de même mesure. Iv , puis tracer sa bissectrice Mesurer l’angle u avec le rapporteur et la règle.
v
R
= 160° d. LOI
160° L
50
62° u Iv = 124°
I
u
O
© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
● ..............
44 Perfectionnement 1
Dans chaque cas, mesurer l’angle indiqué. Conseil : prolonger certains côtés si utile. a.
3
La Grande Ourse est la 3e constellation du ciel par son étendue. Elle est reconnaissable par sa forme de casserole que composent ses 7 étoiles les plus brillantes. Voici des indications pour réaliser un plan de cette constellation. 3
cm
B2,4 c 144°
C 3,1 c
m 128°
D
2,5
A
Mesure :
G
m 169°
cm
117°
E
b.
97°
107°
4,2 cm
3,1 cm
FICHE
CALCUL MENTAL
F
a. Compléter ci-dessous la construction de ce plan en vraie grandeur. A
3 cm
Mesure : 60° c.
12
B
3
9 6
Mesure : 122°
C
2
Lors d’un match de rugby une équipe vient de marquer un essai. En quel point A, B ou C vaut-il mieux qu’un joueur se place pour transformer l’essai ? (c’est-à-dire avoir le plus grand angle de tir ?)
D ligne d’essai
poteaux
E 20° A
24° B
21° C
© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
G
Il vaut mieux
F
se placer au point B
b. Compléter : = 81° ● EDG
●
= 75° DGF Chapitre 7 ● Angles
51
FICHE
M & jeux 45 QC QCM
Voici un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, entourer la (ou les) réponse(s) exacte(s).
A
B
C
L’angle AOC ci-contre est un angle …
L’angle MNP est un angle…
D
B
L’angle marqué ci-contre est noté … A
CAD
BAC
BCA
aigu
obtus
droit
droit
plat
obtus
y Oz = 30°
x Oy = 35°
x Oz = 95°
R appartient à la droite (ST)
R, S, T sont alignés
l’angle RST est plat
C A
B
35° 55°
O
C O
Q 70° P
20° N
M z
D
Bilan ..... / 5
On peut affirmer que…
O
30° y
65° x
E
jeu
= 180°. RST On peut affirmer que …
1
a. Décalquer en six exemplaires chacune de ces deux pièces. Les découper.
jeu
2
Chaque triangle ou ou … représente un miroir ; il renvoie la lumière qu’il reçoit à angle droit.
Par exemple : b. Vérifier qu’en les assemblant par collage, on pourrait recouvrir la feuille si l’on en avait un nombre suffisant.
Dans quelle case de la ligne colorée en jaune faut-il placer le miroir pour éclairer la souris blanche à l’autre extrémité ?
D’après Renlô Sublett
52
© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
CHAPITRE
Longueurs, aires et durées
FICHE
8 3
CALCUL MENTAL
● ....... . . . . . . .
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
46 Différencier périmètre et aire Les figures et ont la même aire : 4 unités d’aire. Mais ces deux figures ont des périmètres différents (10 unités de longueur et 8 unités de longueur).
unité d’aire
●
3
2
1
Les figures et n’ont pas la même aire (4 unités d’aire et 5 unités d’aire).
unité de longueur
4
●
Mais ces deux figures ont le même périmètre : 10 unités de longueur.
1
4
Indiquer le périmètre P et l’aire de ces figures dans les unités indiquées. 1.
unité d’aire
On note P1, P2, P3 les périmètres de ces figures et 1, 2 et 3 leurs aires.
unité de longueur
a
2
1
b
3
Compléter avec ou ou = . a P = 14
2.
et = 6
b P = 18
unité d’aire
unité de longueur
a
a P= 6
et = 8
b
et = 2,5
2 Comparer les périmètres et les aires de ces figures.
b. P2 P3
c. P1 = P3
d. 1 2
e. 2 3
f. 1 3
5
b P= 8
a
a. P1 P2
et = 4,5
L’unité d’aire est l’aire d’un carreau. Indiquer l’aire de la figure.
= 16
b
6
Construire une figure :
a. de même périmètre que cette figure mais d’aire plus grande ;
a et b ont le même périmètre.
b. de même aire que cette figure mais de périmètre plus petit ;
L’aire de a est plus grande que l’aire de b .
3
c. d’aire plus grande et de périmètre plus petit.
L’unité d’aire est l’aire d’un carreau. Indiquer l’aire de chaque figure.
a. 1
1 = 16
2
2 = 12
© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
b.
c.
3
3 = 12
Chapitre 8 ● Longueurs, aires et durées
53
FICHE
CALCUL MENTAL
● ..... . . . . . . . . .
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
47 Périmètre ●
Le périmètre d’une figure est la longueur de son contour.
●
Formulaire Carré
Rectangle
Cercle
r
c
d
L 4×c
Périmètre
Mesurer les côtés du triangle ABC, puis calculer son périmètre.
B
ou
π×2×r
2,5 c m
C
L = π × 2 × 2,5 cm soit L = π × 5 cm et L ≈ 15,71 cm ou L ≈ 15,70 cm.
9 cm
cm
b.
5
5 Calculer le périmètre de la figure représentée.
Calculer le périmètre de chaque figure. 15 dm
π×d
Calculer la longueur de ce cercle. Donner une valeur approchée au centième près.
Le périmètre est 10 cm.
a.
(2 × ) + (2 × L)
4
A
AB + BC + CA = 2,5cm + 4,5 cm + 3 cm = 10 cm.
2
ou
4 cm
1
2 × ( + L)
dm
7 cm
7,5
P = (3 × 4 cm) + 3 cm + 5 cm 6 dm
a. 7,5 dm + (2 × 6 dm) + 15 dm = 34,5 dm.
3 cm
P = 12 cm + 3 cm + 5 cm P = 20 cm. Le périmètre de la figure est 20 cm.
6
Le périmètre est 34,5 dm.
Calculer le périmètre de chaque figure. Donner une valeur approchée au dixième près.
b. (2 × 9 cm) + (2 × 7 cm) = 18 cm + 14 cm = 32 cm
a.
b.
3
Calculer le périmètre de chaque figure.
a. Un carré de côté 6 cm.
4 × 6 cm = 24 cm. Le périmètre du carré est 24 cm. b. Un rectangle de longueur 5 cm et de largeur
3 cm.
60 m
40 m
Le périmètre est 32 cm.
70 m
a. Longueur du demi-cercle : (π × 60 m) 2 = π × 30 m
P = (π × 30 m) + 60 m. Donc P ≈ 154,3 m. Le périmètre est environ 154,3 m (ou 154,2 m).
(2 × 5 cm) + (2 × 3 cm) = 10 cm + 6 cm = 16 cm. Le périmètre du rectangle est 16 cm. c. Un cercle de diamètre 8 cm. Donner une
valeur approchée au dixième près.
b. Longueur des deux demi-cercles : π × 40 m
P = (π × 40 m) + (2 × 70 m) et P ≈ 265,7 m. Le périmètre est environ 265,7 m (ou 265,6 m).
L = π × 8 cm soit L ≈ 25,1 cm ou L ≈ 25,2 cm.
54
© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
FICHE
CALCUL MENTAL
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
48 Unités d’aire ●
Le centimètre carré (cm2) est l’aire
d’un carré de côté 1 cm et 1 ●
cm2
= 100
mm2.
Une unité usuelle d’aire est le mètre carré
1
1 mm2
cm2
10 mm2
(m2).
Voici d’autres unités d’aire : 1m2 = 100 dm2 = 10 000 cm2 = 1 000 000 mm2.
Are : 1 a = 1 dam2 = 100 m2
1m2 = 0,01 dam2 = 0,000 1 hm2 = 0,000 001 km2.
Hectare : 1 ha = 1 hm2 = 10 000 m2
1
6
Compléter.
a. 3 m2 =
300
b. 3 m2 =
0,03
2
dm2 =
30 000
cm2
dam2 =
0,000 3
hm2
a. =
Compléter pour exprimer en m2.
a. 1 dam2 =
m2.
100
Donc 7,3 dam2 = 7,3 ×
100
m2 =
730
m2.
Donc 28 hm2 = 28 × 10 000 m2 = 280 000 m2. Compléter.
7
b. 98 m2 = 98 ×
mm2 =
100 100
30
mm2.
dm2 = 9 800 dm2.
mm2
Compléter avec ou .
a. 16 m2 0,2 dam2 b. 0,37 dam2 380 dm2
0,2 dam2 = 20 m2
0,37 dam2 = 3 700 dm2 d. 0,6 hm2 5 000 m2
43 dm2 = 0,43 m2
8
0,6 hm2 = 6 000 m2
Ranger ces aires par ordre croissant.
750 cm2 ;
Compléter.
250
d. = 0,000 25 m2
c. 43 dm2 0,5 m2
a. 0,3 cm2 = 0,3 ×
4
b. =
cm2
2,5
c. = 0,025 dm2
b. 1 hm2 = 10 000 m2.
3
Un côté de carreau mesure 0,5 cm. On note l’aire de ce rectangle. Compléter :
0,21 m2 ;
63,7 dm2 ;
0,004 dam2.
a. 2,7 mm2 =
0,027
cm2
750 cm2 = 0,075 m2 ;
b. 0,74 dm2 =
74
cm2
et 0,004 dam2 = 0,4 m2.
m2
Donc 750 cm2 0,21 m2 0,004 dam2 63,7 dm2
c. 567 cm2 = d. 2 dam2 = e. 6,7
5
km2
=
0,056 7 0,000 2
km2
6 700 000
m2
Un côté de carreau mesure 0,5 cm. Construire :
a. un carré d’aire 1
cm2.
b. un rectangle d’aire 3 cm2.
a.
b.
9
63,7 dm2 = 0,637 m2
Compléter :
a. 75 dam2 =
75
a
b. 380 m2 =
c. 6,7 hm2 =
670
a
d. 73 ha =
10
Carmen vend un terrain. Quel est le prix de vente de ce terrain ?
3,8
a
7 300
a
Terrain : 1,5 ha Prix : 4 € le m2
1,5 ha = 15 000 m2 et 15 000 × 4 = 60 000. Le prix de son terrain est 60 000 €. © Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
Chapitre 8 ● Longueurs, aires et durées
55
● ..... . . . . . . . . .
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
49 Aires de figures usuelles Pour calculer l’aire d’une figure il faut exprimer les longueurs dans la même unité. Aire
Carré
Rectangle
Triangle rectangle
L
=c×c
= ×L
b = (a × b) 2
1
= (c × h) 2
30 mm = 3 cm et 0,4 dm = 4 cm
c. Le triangle rectangle
cm
5 cm
13
représenté ci-contre. a. P = 4 × 7 cm = 28 cm
= 7 cm × 7 cm = 49 cm2
m
m
a. Un carré de côté 7 cm.
7 cm et de longueur 8 cm.
=π×r×r
4
Calculer l’aire du triangle représenté.
b. Un rectangle de largeur
r
côté c
Calculer le périmètre P et l’aire de chaque figure. 12 cm
Disque
hauteur h
a c
Triangle
30
0,
4
dm
= (3 cm × 4 cm) 2 = 12 cm2 2 = 6 cm2.
5
Calculer l’aire d’un disque de diamètre 30 m. Donner une valeur approchée au dixième près.
b. P = 2 × (7 cm + 8 cm) = 2 × 15 cm = 30 cm
r = 30 m 2 =15 m. Son rayon est 15 m.
= 7 cm × 8 cm = 56 cm2.
= π × 15 m × 15 m = π × 225 m2 et ≈ 706,8 m2.
c. P = 5 cm + 12 cm + 13 cm = 30 cm
= (5 cm × 12 cm) 2 = 60 cm2 2 = 30 cm2.
2
Dans chaque cas, calculer l’aire du triangle représenté. b.
3
cm
cm
5 cm
7
4 cm
a.
5 cm
b. = (7 cm × 3 cm) 2 = 21 cm2 2 = 10,5 cm2. Écrire le calcul de l’aire du disque représenté, puis avec la calculatrice en donner une valeur approchée au dixième près.
Une pelouse rectangulaire entoure un bassin circulaire. Calculer une valeur approchée au m2 près de l’aire de la pelouse.
18 m 3m
Aire du rectangle : 18 m × 12 m = 216 m2 Aire du disque : π × 3 m × 3 m = π × 9 m2
a. = (5 cm × 4 cm) 2 = 20 cm2 2 = 10 cm2.
3
6
12 m
FICHE
CALCUL MENTAL
4 cm
216 m2 – (π × 9 m2) ≈ 188 m2. L’aire de la pelouse est environ 188 m2 (ou 187 m2).
7
Avec la calculatrice, calculer une valeur approchée au cm2 près de l’aire de la couronne colorée en jaune.
18 cm
14 cm
Rayon du disque beige :18 cm – 14 cm = 4 cm.
= π × 4 cm × 4 cm = π × 16 cm2
= (π × 18 cm× 18 cm) – (π × 4 cm × 4 cm)
≈ 50,3 cm2 (ou 50,2 cm2).
= (π × 324 cm2) – (π × 16 cm2) et ≈ 967 cm2. L’aire de la couronne est environ 967 cm2 (ou 968 cm2).
56
© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
FICHE
CALCUL MENTAL
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
50 Durées ●
Les unités usuelles de temps sont les heures (h), les minutes (min) et les secondes (s). 1 h = 60 min
●
1 h = 3 600 s
Voici d’autres unités de temps : Une journée : 1 j = 24 h
Un dixième de seconde : 0,1 s
1
1 min = 60 s
1 siècle = 100 ans
1 millénaire = 1 000 ans = 10 siècles
1 semaine = 7 jours
5
Compléter.
Un concert qui a commencé à 20 h 45 s’est terminé à 23 h 20.
a. 5 h = 5 × 60 min = 300 min
a. Compléter ce schéma.
b 4 h = 4 × 3 600 s = 14 400 s
15 min …………
c. 1 j = 24 h = 24 × 60 min = 1 440 min d. 3 millénaires =
3 000
ans = 30
siècles
2 a. En EPS, Zoé a mis 4 min 50 s pour effectuer un tour de circuit. Exprimer cette durée en secondes. 4 min = 4 × 60 s = 240 s. Donc 4 min 50 s = 240 s + 50 s = 290 s .
20 h 45
2h ………… 21 h
20 min ………… 23 h
23 h 20
b. Combien de temps a duré ce concert ?
Il a duré 2 h 35 min.
6
Compléter ce schéma afin de déterminer l’heure à laquelle Sophie a commencé à téléphoner.
11 h12
Durée appel
1h28
b. À cette vitesse, combien de temps (en min
et s) faudra-t-il à Zoé pour effectuer 2 tours ?
9 h 44 …………
4 min 50 s + 4 min 50 s = 8 min 100 s
7
= 8 min + 1 min + 40 s = 9 min 40 s
16 min …………
1h ………… 10 h
11 h
Compléter ce tableau des horaires d’un bus. Ville
Départ
Durée
Arrivée
Ville
7 h 45
1 h 20
9 h 05
Cluses
Cluses
9 h 20
1 h 50
11 h 10
Lyon
3
11 12 1 10 2 9 3 4 8 7 6 5
11 12 1 10 2 9 3 4 8 7 6 5
Combien de temps a-t-elle mis pour rentrer ?
Elle a mis 32 minutes.
4
8
Océan Atlantique Les bâteaux ne peuvent quitter le port de Saint-Martin de Ré (Charente Maritime) que si l’écluse est ouverte. Voici les horaires d’ouverture un samedi : de 7 h 45 à 10 h 15 et de 17 h 15 à 20 h. Pendant combien de temps l’écluse a-t-elle été ouverte ce samedi ?
Marc met ce poulet au four à 11 h 25. À quelle heure doit-il le sortir du four ?
10 h 15 – 7 h 45 = 2 h 30 min
11 h 25 min + 50 min = 12 h 15 min.
2 h 30 min + 2 h 45 min = 5 h 15 min
Il doit le sortir du four à 12 h 15 min.
L’écluse a été ouverte pendant 5 h 15 min.
© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
11 h 12
Chamonix
Elle mettra 9 min 40 s.
Violaine regarde sa montre quand elle quitte le collège et quand elle arrive chez elle.
12 min …………
20 h – 17 h 15 = 2 h 45 min
Chapitre 8 ● Longueurs, aires et durées
57
● ..... . . . . . . . . .
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
● ..............
51 Perfectionnement
●
Voici le plan d’un appartement. 2,50 m 1,10 m 1,90 m WC
5,40 m
salle de bain
entrée
chambre 2
5,00 m cuisine porte 0,80 m
chambre 1
séjour
17 dam2 × 59 = 1 003 dam2 = 100 300 m2.
2,50 m
3
Voici des informations sur la tour Montparnasse à Paris. ● Hauteur : 210 m. ● Nombre d’étages : 59. ● Aire moyenne d’un étage : 17 dam2. Est-il vrai que l’aire totale des 59 étages représente plus de 14 terrains de football de dimensions 68 m sur 100 m ?
5,00 m
1
placard
FICHE
CALCUL MENTAL
L’aire totale des 59 étages est 100 300 m2. ●
14 × (68 m × 100 m) = 14 × 6 800 m2 = 95 200 m2.
L’aire de 14 terrains de football est 95 200 m2 donc l’affirmation est exacte.
2
St-Denis
St-Gillesles-Bains
Ste-Marie Ste-Suzanne St-André
ÎLE DE LA RÉUNION
St-Paul
L’Étang-Salé St-Louis
10 km
St-Pierre
St-Benoît Ste-Rose
EntreDeux
Les Avirons
Bras-Panon
Salazie
St-Gillesles-Hauts
St-Leu
La Plaine des Palmistes
b. l’aire du séjour (c’est un quart de disque).
a. ● (1,10 m + 1,90 m) × 5 m = 3 m × 5 m = 15 m2 L’aire de la chambre 1 est 15 m2. ●
5,4 m × 2,5 m = 13,5 m2
L’aire de la chambre 2 est 13,5 m2. b. (π × 5 m × 5 m) 4 = π × 6,25 m2. L’aire du séjour est π × 6,25 m2 soit environ 19,6 m2.
Le Tampon Petite Île
St-Philippe
St-Joseph
4
Une course de Formule 1 a commencé à 8 h 23 min 54 s.
16 carreaux.
a. L’un des pilotes a effectué son premier tour de circuit en 1 min et 23,4 s et son deuxième tour en 1 min et 24,1 s. À quelle heure a-t-il terminé son deuxième tour ?
b. Combien de carreaux faut-il au minimum
1 min 23,4 s + 1 min 24,1 s = 2 min 47,5 s
a. Combien de carreaux sont entièrement
contenus dans l’île de la Réunion ?
pour recouvrir l’île de la Réunion ? 36 carreaux. c. Donner alors un encadrement de l’aire en
8 h 23 min 54 s + 2 min 47,5 s = 8 h 26 min 41,5 s Il a terminé son deuxième tour à 8 h 26 min 41,5 s. .....
10 km × 10 km = 100 km2.
b. Ce pilote a franchi la ligne d’arrivée à 9 h 54 min 12 s. Calculer la durée de sa course.
L’aire d’un carreau est 100 km2.
9 h 54 min 12 s – 8 h 23 min 54 s = 1 h 30 min 18 s.
Donc l’aire est comprise entre 1 600 km2 et 3 600 km2.
Sa course a duré 1 h 30 min 18 s.
km2 de cette île.
58
Calculer : a. l’aire de chacune des chambres,
Voici une carte de l’île de la Réunion. Le Port
5,50 m
© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
FICHE
M & jeux 52 QC QCM
Voici un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, entourer la (ou les) réponse(s) exacte(s). A
Ces deux figures ont …
B
23,4 m2 est égal à …
C
Une figure qui a pour aire 28 m2 est …
D
L’aire d’un disque de diamètre 10 cm est …
E
Départ : 15 h 18 min 14 s Arrivée : 19 h 05 min 35 s La durée de cette course est :
jeu
Bilan ..... / 5
le même périmètre mais des aires différentes
la même aire mais des périmètres différents
le même périmètre et la même aire
2 340 dm2
2 340 cm2
0,002 34 hm2
un carré de côté 7 cm
un tel triangle
4 cm 7 cm
un rectangle de dimensions 14 cm sur 2 cm
π × 10 cm2
π × 25 cm2
π × 100 cm2
3 h 47 min 21 s
4 h 13 min 12 s
4 h 23 min 49 s
1
3
jeu
Peut-on recouvrir le rectangle avec les 7 autres pièces ?
Ce plan représente le jardin rectangulaire de la famille Prévert. 2m
D’après Rallye Mathématique de la Sarthe
jeu
2
Avant un grand match de football, l’entraîneur réunit les joueurs et leur dit : « Il vous reste tout juste 1 999 s avant le début de la rencontre, alors maintenant, reposez-vous ! » Sachant que le match commence exactement à 20 h 30, à quelle heure a-t-il fait cette déclaration ? D’après Rallye Mathématiques de la Sarthe
1 999 s = 1 980 s + 19 s = 33 min + 19 s On enlève 33 min et 19 s à 20 h 30 : l’entraîneur a fait sa déclaration à 19 h 56 min et 41 s.
fraises
3m
fleurs
légumes
Le jardin a une superficie totale de 30 m2 et se divise en trois rectangles. Le rectangle des fleurs a un côté qui mesure 2 m et sa superficie est 10 m2. Le rectangle des fraises a un côté qui mesure 3 m. ➤ Quelle est l’aire du rectangle où sont plantés des légumes ? D’après Kangourou des Mathématiques
●
10 m 2 = 5 m donc la longueur du
rectangle des fleurs qui est aussi la largeur du jardin est 5 m. ●
30 5 = 6 donc la longueur du jardin est 6 m.
●
6 m – 2 m = 4 m et 5 m – 3 m = 2 m
donc les dimensions du rectangle où sont plantés des légumes sont 4 m et 2 m. 4 m × 2 m = 8 m2 donc l’aire de ce rectangle est 8 m2.
© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
Chapitre 8 ● Longueurs, aires et durées
59
CHAPITRE
Volumes
FICHE
9
CALCUL MENTAL
● ..... . . . . . . . . .
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
● ..............
53 Unités de volume et de contenance Un mètre cube (1 m3) est le volume d’un cube d’arête 1 m.
1 m3 1 dm3 1 cm3 1 mm3 Chaque unité de volume est 1 000 fois plus grande que celle de rang immédiatement inférieur.
●
1 m3 = 1 000 dm3 ●
1 dm3 = 1 000 cm3
1 cm3 = 1 000 mm3
Un litre (1 L) est la contenance d’un cube d’arête 1 dm. Donc : 1 L = 1 dm3
Chaque unité de contenance est 10 fois plus grande que celle immédiatement inférieure. 1 m3
1 dm3 1 cm3 1 hL 1 daL 1 L 1 dL 1 cL 1 mL 1 dm3 = 100 cL 1 cm3 = 1 mL 1 m3 = 1 000 L
5
1
On sait que 1 m3 = 1 000 dm3. Compléter pour convertir en dm3. a. 2,75
m3
= 2,75 × 1 000
dm3
= 2 750
1 mm3
Un flacon a une contenance de 200 mL.
a. Compléter. 200 mL = 0,2 L
dm3
b. 0,025 m3 = 0,025 × 1 000 dm3 = 25 dm3
b. Quel est le volume, en cm3, de ce flacon ?
0,2 L = 0,2 dm3 = 200 cm3
6
c. 0,7 m3 = 0,7 × 1 000 dm3 = 700 dm3
On plonge un morceau de pâte à modeler dans une éprouvette graduée en millilitres.
2 On sait que 1 mm3 = 0,001 cm3. Compléter pour convertir en cm3. a. 225
mm3
= 225 × 0,001
cm3
= 0,225
cm3
b. 1 850 mm3 = 1 850 × 0,001 cm3 = 1,85 cm3 c. 45,5 mm3 = 45,5 × 0,001 cm3 = 0,0455 cm3
3
100 80 60
100 80 60
40
40
20
20
Quel est le volume, en cm3, de ce morceau ?
70 mL – 40 mL = 30 mL
Compléter.
30 mL = 30 cm3
Le volume de ce morceau est de 30 cm3.
a. 5 L = 50 dL = 500 cL
7
b. 14,7 L = 147 dL = 1 470 cL
Ranger les volumes de ces trois piscines par ordre croissant.
4
Exprimer les volumes de ces bouteilles en cm3.
Grande bouteille : 1 800 cm3 Petite bouteille :
60
650 cm3
A : 0,013 dam3
B : 12,09 m3
C : 125 hL
0,013 dam3 = 13 m3 = 13 000 L 125 hL = 12 500 L et 12,09 m3 = 12 090 L Donc VB VC VA © Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
FICHE
CALCUL MENTAL
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
54 Volume d’un pavé droit On remplit ce pavé droit de cubes de 1 cm d’arête. On peut en disposer 20 sur le fond (5 × 4 = 20). On peut empiler 3 couches de 20 cubes, soit 60 cubes. Le volume de ce pavé droit est de 60 cm3.
3 cm
●
m
Le volume d’un pavé droit de dimensions L, , h (dans la même unité) est :
●
4c
5 cm
=L× ×h ●
Le volume d’un cube d’arête c est : =c×c×c
1
On a commencé à remplir ce pavé droit avec des cubes d’arête 1 cm.
3
Une piscine a la forme d’un pavé droit de longueur 10 m, de largeur 5 m et de profondeur 1,8 m.
3 cm
a. Calculer le volume de cette piscine.
10 m × 5 m × 1,8 m = 90 m3 Le volume de la piscine est 90 m3
2 cm
b. Exprimer sa contenance en litres.
7 cm
90 m3 = 90 000 dm3 = 90 000 L
a. Combien de cubes peut-on disposer
sur le fond ? 2 × 7 = 14
La piscine peut contenir 90 000 L d’eau. Sur le fond on met 14 cubes.
b. Combien de cubes faut-il pour remplir
le pavé droit ?
4
Compléter ce tableau relatif à des pavés droits.
14 × 3 = 42
On met 42 cubes.
c. Quel est son volume ? (Préciser l’unité)
Son volume est 42 cm3.
3
2
24
5
6
1,2
36
7
7
7
343
9
8
5
360
3,2
312
2,5 cm
24
6,5
12,5
5
1 500
5
Une poutre a la forme d’un pavé droit de dimensions 4,5 m, 2 dm et 8 cm.
3
le remplir ?
cm
a. Comment peut-on
4
15
2
On a commencé à remplir ce pavé droit avec des cubes d’arête 1 cm ainsi qu’avec des moitiés de cubes.
Volume en cm3
Dimensions en cm
On peut empiler 3 couches de 14 cubes chacune.
2 cm
a. Convertir chaque dimension en dm.
3 × 2 × 2 = 12 et 3 × 2 = 6
4,5 m = 45 dm
Il faut 12 cubes et 6 moitiés de cube.
b. Calculer le volume de cette poutre en dm3.
b. Quel est son volume ?
45 dm × 2 dm × 0,8 dm = 72 dm3
12 cm3 + (6 × 0,5 cm3) = 15 cm3
Son volume est 72 dm3.
© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
8 cm = 0,8 dm
Chapitre 9 ● Volumes
61
● ..... . . . . . . . . .
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
55 Perfectionnement 1
3
Joris a fabriqué le cube dessiné ci-contre, avec des petits cubes. a. Combien ce cube contient-il de
petits cubes ? b. Le volume du cube de Joris est 216 cm3.
Expliquer pourquoi l’arête d’un petit cube est 2 cm.
Pour mesurer un volume de bois de chauffage on utilise une unité appelée stère. 1 stère de bois = 1 m3. Sur le dessin, ce tas de bois, en forme de pavé droit, a un volume de 12 stères. Calculer sa longueur.
2m
FICHE
CALCUL MENTAL
1,50 m
2 m × 1,5 m = 3 m2
a. 3 × 3 × 3 = 27 Donc le cube de Joris contient 27 petits cubes. b. 2 cm × 2 cm × 2 cm = 8 cm3
12 m3 3 m2 = 4 m La longueur du tas de bois est 4 m.
4
8 cm3 × 27 = 216 cm3. Donc l’arête d’un petit cube est bien 2 cm.
2
Le tonnage (ou jauge) d’un bateau est la mesure de son volume intérieur. Pour les bateaux de longueur inférieure à 15 m, l’unité de tonnage est le tonneau. 1 tonneau = 2,83 m3. a. Un fileyeur (pêche au filet) du port d’Erquy a une jauge de 14 tonneaux. Quel volume, en m3, représente cette jauge ?
14 × 2,83 m3 = 39,62 m3
Cave 8m
5m
b. La cale de ce fileyeur peut-elle avoir le
même volume qu’un pavé droit de dimensions 11,5 m, 3,95 m et 1,19 m ? La cave de cette maison a la forme d’un pavé droit. Lors d’une crue, l’eau monte de 50 cm dans la cave. a. Quel est le volume d’eau, en L, dans la cave ?
Le volume du pavé droit est 54 055,75 m3 54,055 75 m3 39,62 m3
V = 8 m × 5 m × 0,5 m = 20 m3
Donc la cale de ce bateau a un volume plus petit.
Or, 20 m3 = 20 000 dm3 = 20 000 L.
La cale de ce bateau n’a pas ces dimensions.
Il y avait 20 000 L d’eau dans la cave. b. Pour évacuer l’eau, le propriétaire achète
une pompe qui aspire 250 dm3 par heure. Pendant combien de temps, en jours et heures, la pompe fonctionne-t-elle pour évacuer toute l’eau ? 20 000 250 = 80
80 h = (24 h × 3) + 8 h
La pompe fonctionne pendant 3 jours et 8 h.
62
11,5 m × 3,95 m × 1,19 m = 54,055 75 m3
5 Une terrasse rectangulaire a une aire de 250 m2. Pour la rendre imperméable, on la recouvre d’un enduit de 0,5 cm d’épaisseur. Quel volume d’enduit faut-il prévoir ? 0,5 cm = 0,005 m 250 m2 × 0,005 m = 1,25 m3 Il faut prévoir 1,25 m3 d’enduit. © Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
FICHE
M & jeux 56 QC QCM
Voici un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, entourer la (ou les) réponse(s) exacte(s).
Bilan ..... / 5
A
Une bouteille de 1,5 L d’eau contient...
15 dm3 d’eau
0,0015 m3 d’eau
1 500 cm3 d’eau
B
1 m3 est le volume contenu dans un cube d’arête...
10 cm
100 cm
1 000 cm
C
1 cL est égal à ...
0,01 L
10 cm3
0,1 dm3
V1 V2
V1 = V2
V1 V2
1 m3
0,001 m3
1L
V1 est le volume du pavé jaune et V2 celui du cube bleu 2 cm
D 5 cm
2
cm
1 cm
Le volume de ce pavé droit est égal à : 2 dm
E
0,
1
m
5 cm
jeu
1
jeu
a. Combien faut-il de cubes pour remplir les trous et former un pavé droit le plus petit possible ?
3
➤ Combien manque-t-il de petits cubes pour compléter le grand cube ?
Il faut 15 cubes.
Il manque
b. Le volume d’un cube est 0,15 dm3. Quel est le volume, en cm3, du pavé droit ?
12 petits cubes D’après Spécial Logique
Le pavé droit est composé de 25 cubes. 0,15 dm3 = 150 cm3. Or 25 × 150 = 3 750. Le volume du pavé droit est de 3 750 cm3. D’après Rallye Mathématique de la Sarthe
jeu
2
Combien faut-il de cubes pour construire cet objet ?
8 + 2 + 7 = 17 Il faut 17 cubes.
jeu
4
Le volume du cube de Lisa est 27 cm3. ➤ Quel est le volume du solide de Lucas ?
Le cube de Lisa contient 27 petits cubes, donc chaque petit cube a un volume de 1 cm3. Le solide de Lucas
Lisa
Lucas
est composé de 20 cubes.
D’après Rallye Bombyx
© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
20 × 1 cm3 = 20 cm3. Chapitre 9 ● Volumes
63
FICHE
57
Atelier problèmes ! Apprendre à chercher
1 Organiser une construction Voici deux gabarits d’angles :
45° 30°
a. Décalquer ces gabarits et les découper. b. Utiliser ces gabarits et l’angle droit d’une équerre pour construire les angles dont les mesures sont indiquées dans les cadres ci-dessous. = 75° BAC
= 135° BAC
C
B
30° A
90°
45°
A
45° B
C
= 15° BAC
= 165° BAC
B 90°
B
A
30°
45°
A
C
45° 30° C
2 Réaliser des mesures avec des instruments On a représenté ci-contre la surface au sol d’un complexe sportif. 1 cm sur ce plan représente 15 m. a. Vérifier par une construction simple que l’aire de ce complexe sportif est égale à l’aire d’un certain rectangle. b. Calculer l’aire réelle de la surface au sol de ce complexe. Le rectangle a pour .................... . . . . . . .dimensions . . . . . . . . . . . . . . .6 . . .cm . . . . .sur . . .. .4 . . .cm. ........................... 6 × 15 = 90 et .................... . . . .4 . . .×. .15 . . . . .=. . 60 . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Les dimensions. .réelles .................... . . . . . . . . .du . . . .rectangle . . . . . . . . . . . . . .sont . . . .. . .90 . . . . .m . . .sur . . . . .60 . . . . .m. ........... 2 90 m × 60 m =.5 .................... . . .400 . . . . . . .m . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
L’aire de la surface .................... . . . . . .au . . . .sol . . . . du . . . .complexe . . . . . . . . . . . . . sportif . .. . . . . . . . .est . . . . .5 . . .400 . . . . . . .m . . . .. . . . . 2
64
© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
Atelier problèmes
3 Organiser l’information utile
Les données concernant la teneur en sucre de produits alimentaires sont indiquées ci-dessous. Boîte de sucre
18 cm
Teneur en sucre du soda : 115 g de sucre par litre.
10
cm
5 cm
Pack de six bouteilles de soda de 1,5 L chacune
1 cm3 de sucre pèse 1,1 g. a. Lequel de ces deux produits contient le plus de sucre ? Boîte de sucre : Volume = 18 × 10 × 5 = 900 cm3, donc masse de sucre : 900 × 1,1 = 990 g. Pack de soda : Volume = 6 × 1,5 L = 9 L, donc masse de sucre : 9 × 115 = 1 035 g. 90 g 1 035 g : donc le pack de soda contient plus de sucre.
b. Combien faut-il de litres de ce soda pour obtenir l’équivalent d’une boîte de sucre ? Donner une valeur approchée au dixième près. 990 : 115 ≈ 8,6. Il faut environ 8,6 L de soda pour obtenir l’équivalent d’une boîte de sucre.
4 Mener à bien un calcul numérique Environ 2 700 ans avant notre ère, l’architecte égyptien Imhotep a érigé la pyramide à degrés de Djéser à Saqqarah. Elle représentait un escalier géant vers le ciel symbolisant l’ascension du défunt. Sur le schéma ci-contre figurent des indications sur les dimensions de cette pyramide. Calculer le volume de la pyramide de Djéser. On assimile chaque degré .......................... . . . . . . . . .à. .un . . . .pavé . . . . . . .droit. ................................
12 m 12 m
3 2e degré : 89 m × 101 .......................... . . . . .m . . .× . . .12 . . . . .m . . .=. .107 . . . . . . .868 . . . . . . .m ...................
12 m
e 3 3 degré : 69 m × 81 .......................... . . .m . . .× . . .12 . . . . .m . . .=. .67 . . . . .068 . . . . . . .m .......................
3 5e degré : 29 m × 41 .......................... . . .m . . .× . . .12 . . . . .m . . .=. .14 . . . . .268 . . . . . . .m .......................
6 degré : 9 m × 21 .m .......................... . . .×. . 12 . . . . .m . . .= . . .2 . . .268 . . . . . . .m ........................... e
3
3 3 3 158 268 m3 + 107. . .868 .......................... . . . . . . .m . . . .+ . . 67 . . . . . 068 .......m . . . . .+. .35 . . . . .868 . . . . . . .m .......
10 m
12 m 12 m
10 m
12 1
3 4e degré : 49 m × 61 .......................... . . .m . . .× . . .12 . . . . .m . . .=. .35 . . . . .868 . . . . . . .m .......................
10 m 10 m
m
3 1er degré : 109 m ×.121 .......................... . . . . . . .m . . .× . . .12 . . . . .m . . .=. .158 . . . . . . .268 . . . . . . .m ................
12 m 109 m
+ 14 268 m + 2 268 .......................... . . . . . .m . . . .=. . 385 . . . . . . . 608 . . . . . . . .m ........................... 3
3
3
3 Le volume total de la. . .pyramide .......................... . . . . . . . . . . . . .de . . . Djéser . . . . . . . . . .est . . . . .385 . . . . . . . 608 .......m . . . ... .
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Fiche 57 ● Atelier problèmes
65
CHAPITRE
FICHE
10
Géométrie dans l’espace CALCUL MENTAL
● ..... . . . . . . . . .
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
58 Se repérer, se déplacer 1
3
Par convention, on se repère d’abord horizontalement avant de se repérer verticalement. 5 Le point A est le point de 4 C départ d’un parcours. 3 a. Compléter pour repérer 2 1 ce point A : 0
A( 5 ; 1 )
B
Yaelle
E
D 0 1
Trois enfants regardent un édifice réalisé avec des cubes.
2
3
F
Louise A 4 5
6 Numa
b. Tracer le parcours : A, B (5 ; 4), C (1 ; 4), D (1 ; 2), E (3 ; 2), F (3 ; 0). c. Écrire un parcours plus simple qui permet
Juliette
a. Indiquer lequel de ces enfants voit la vue. Vue 1
Vue 2
d’aller de A à F en suivant les lignes du quadrillage. A ( 5 ; 1), G (3 ; 1), F (3 ; 0).
2
On a dessiné deux parcours de « Packmath » parti à la recherche de cerises.
Numa
Yaelle
b. Dessiner les vues des deux autres enfants
sans tenir compte des couleurs.
Voici le programme pour le parcours rouge : av50-tg90-av10-tg90-av20-td90-av10 a. Combien de pas représente une case ?
50 5 = 10 donc une case représente 10 pas. b. Compléter le programme qui permet de
Juliette
Louise
c. Dessiner la vue du dessus.
suivre le parcours vert : tg90 – av30 – td90 – av30 – tg90 – av10- td90av10-td90 – av20 - td90-av10. c. Tracer sur la grille ci-dessus le parcours qui
correspond au programme : tg90–av10–td90–av10-tg90–av30–td90–av10– td90–av20–tg90–av10
66
© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
FICHE
CALCUL MENTAL
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
● ..............
59 Pavé droit : représentation en perspective cavalière Un pavé droit est un solide dont les six faces sont des rectangles.
●
●
Le sommet H
H E
Un pavé droit a 8 sommets, 12 arêtes et 6 faces.
L’arête AE
Un cube est un pavé droit dont les six faces sont des carrés.
●
D
C
A
1
H
G F D
B
3
Voici le début d’une représentation en perspective cavalière d’un pavé droit ABCDEFGH. B
A
C
2 cm
Voici la représentation E en perspective cavalière d’un pavé droit.
D B
C
E
1. a. Quel est le sommet caché ?
F H
C’est le sommet D. b. Quelles sont les arêtes cachées ?
1,2 cm
A
G La face BCGF
F
G
5 cm
a. Tracer en rouge les arêtes cachées et placer
le sommet F manquant.
Ce sont les arêtes [AD], [DC] et [DH]. c. Dans la réalité, que peut-on dire de la face
EFGH ?
b. Compléter : AD = 2 cm EF = 5 cm AE = 1,2 cm
4
La face EFGH est un rectangle.
Un point lumineux se déplace sur le pavé droit ABCDEFGH ci-dessous.
d. Dans la réalité, que peut-on dire de l’angle ? FGC
Parti du point M, situé sur la face verte, il suit le trajet M N P Q R S T.
est un angle droit. FGC e. Citer une arête de même longueur que : • [GH] :
2
[EF]
P
B
• [EH] :
D
A
N
M
[AD] 1
Q R
F
Pour le pavé droit de l’exercice
C
:
a. citer la face parallèle à la face BCGF,
ADHE b. citer les arêtes perpendiculaires à la face BCGF,
[AB], [DC], [EF], [HG] c. citer les faces perpendiculaires à la face ABFE,
ABCD, EFGH, ADHE, BCGF d. citer les arêtes parallèles à l’arête [EF].
E
T
S G
H
Décrire ce trajet à l’aide des faces et des arêtes du pavé droit.
Face ABFE arête [BF] face BCGF arête [BC] face ABCD arête [AD] face ADHE arête [DH] face DCGH arête [CG] face BCGF arête [FG]
[AB], [CD], [HG] © Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
Chapitre 10 ● Géométrie dans l’espace
67
FICHE
CALCUL MENTAL
● ..... . . . . . . . . .
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
60 Pavé droit : patrons ●
Fabrication d’un pavé droit à partir d’un patron.
les 6 faces sont des rectangles l’un des 8 sommets l’une des 12 arêtes
●
1
Il existe plusieurs patrons d’un même pavé droit.
a. Faire un calque de ce patron de pavé droit.
2
Inscrire sur le patron l’aire des faces colorées. 15 cm
E
150 …… cm2 B
A
C
D
G
H
10 cm
F
250 …… cm2 375 …… cm2
25 cm
3
Barrer les figures qui ne sont pas des patrons d’un pavé droit.
b. Quelle est la nature de chaque face ? 2
Chaque face est un rectangle. c. Sur le patron obtenu, relier par des flèches
les segments qui formeront une même arête. d. Sur ce calque, colorer d’une même couleur
les faces qui seront parallèles.
1 3 4
e. Découper et replier ce patron pour obtenir
un parallélépipède rectangle. Le tenir fermé avec du ruban adhésif. f. Vérifier que les faces parallèles sont bien d’une même couleur.
5 6
g. Nommer ses 6 faces.
ABCD, EFGH, ADHE, BCGF, ABFE, CDHG.
68
© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
FICHE
CALCUL MENTAL
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
● ..............
61 Autres solides Prisme droit
Pyramide régulière Le sommet
Les deux bases sont superposables Les faces latérales sont des rectangles
La hauteur
Les faces latérales sont des triangles isocèles.
La hauteur
La base
Cylindre
Cône
Boule
Les deux bases sont des disques superposables
La hauteur
Le sommet La hauteur
1
IJKLMN est un prisme droit.
K
Le solide ci-dessous est constitué de trois solides. 8 cm
Compléter. a. Les bases de ce solide
J
sont les faces IJK et LMN .
M
un rectangle
P
O
S
3 cm
b. Le quadrilatère IJML
est
Un rayon
La base est un disque
3
N
Le centre
L
. 16 cm
2
SABC est une pyramide régulière de sommet S.
Compléter.
S
a. Le premier solide est un
S et de C
rayon
A
b. Les triangles SAB
sont tous
isocèles
équilatéral , SAC en S .
© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
.
, SBC
c. Le solide possède 4 sommets,
et 4 faces.
16 – 8 – 3 = 5
.)
b. Le deuxième solide est un
Compléter. a. Le triangle ABC est
le disque de centre O et de
cm. Sa hauteur est 5 cm.
3
(Calcul : B
base
6 arêtes
bases les
de sommet
cône
disques
de centres
cylindre
de
O et P
et de
rayon 3 cm. Sa hauteur est 8 cm. c. Le troisième solide est une demi-
de
centre P
et de
rayon 3
boule
cm.
Chapitre 10 ● Géométrie dans l’espace
69
FICHE
CALCUL MENTAL
● ..... . . . . . . . . .
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
62 Perfectionnement 1
Nicolas a posé sur une table des cubes de 3 cm de côté.
3
Une coccinelle se déplace sur le pavé droit représenté ci-dessous.
Certains cubes sont empilés les uns sur les autres.
H
Voici deux vues de la situation. Vue de dessus Nord
G
E
F
M
Vue de Nicolas
Est
Ouest
D
C
A
B
a. Compléter ce patron du pavé droit ABCDEFGH.
Sud
1. Nicolas est-il placé à l’est, au sud, à l’ouest ou au nord ?
Il est placé à l’est. 2. a. Quel est le nombre minimum de cubes posés sur le tapis ?
3 + (3 + 1) + (2 + 1 + 1) = 11. Il y a au moins 11 cubes.
A
b. Quel est le nombre maximum de cubes
posés sur le tapis ? 3 + (3 × 2) + (2 × 3) = 15. Il y a au plus 15 cubes.
M
2
G
Nathalie a commencé des représentations en perspective cavalière d’un pavé droit ABCDEFGH. Terminer chacune de ces représentations. a.
H
G C
D
E
F
A
B
b. La coccinelle se déplace du point A au
point G. Placer, sur le patron et sur le solide, le point M de l’arête [EF] pour lequel le trajet de la coccinelle est le plus court possible.
4
Sur le prisme droit ci-dessous :
a. marquer en rouge les arêtes parallèles à
l’arête [AB], b.
b. marquer en vert deux arêtes E
A
H
D
F B
70
perpendiculaires à l’arête [AB].
A
B
G
C
© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
FICHE
M & jeux 63 QC QCM
Voici un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, entourer la (ou les) réponse(s) exacte(s). A
Un pavé droit a …
B
Pour la représentation en E perspective cavalière ci-contre, A B l’arête dont H le dessin est incorrect C D est …
C
Un solide ayant deux faces superposables peut être...
jeu
12 arêtes et 8 sommets
[AB]
[BF]
[BC]
B CG = 90°
les arêtes [AD] et [FG] sont parallèles
la face ABCD est un rectangle
un triangle
un point
un disque
un pavé droit
un cylindre
un prisme droit
C
G
E
E
6 faces et 10 arêtes
G
H
La base d’un cône est...
8 sommets et 6 faces F
Dans la réalité, pour le pavé droit D représenté A B ci-contre …
D
F
1
jeu
Voici un patron d’un cube et quatre représentations de ce cube.
1
D
➤ Compléter les faces visibles
1
Il arrive quelquefois que le cerveau interprète mal l’image transmise par l’intermédiaire du nerf optique. a. Pour chaque figure, dire si elle est possible ou non.
2
C C
1 A B C D 2
3
D A
de ces représentations.
Bilan ..... / 5
Triangle de Penrose
jeu
2
On dispose d’une plaquette de beurre et d’un couteau. En un coup de couteau, on souhaite couper cette plaquette en deux prismes droits identiques.
➤ Marquer en rouge sur cette plaquette le passage du couteau. © Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
impossible b.
impossible c.
Que voit-on ?
Un cube posé dans un coin ou
Combien de cubes entiers voit-on ?
un cube enlevé à un autre cube
4 ou 5
Chapitre 10 ● Géométrie dans l’espace
71
CHAPITRE
FICHE
11
Droites perpendiculaires, droites parallèles CALCUL MENTAL
● ..... . . . . . . . . .
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
64 Point, droite, demi-droite, segment ●
La droite (AB )
● La
●
M
B
A
droite (d ) (d)
●
M (d )
Le point P n’appartient pas à la droite (d ). P (d )
1
Le segment [CD] d’extrémités les points C et D.
C
4
Repasser en rouge la partie indiquée.
c. La demi-droite [FE) d. La droite (EF)
E
a. Tracer en rouge les droites (AB) et (AC).
b. Tracer en vert les demi-droites [EG) et [FB).
F
E
b. La demi-droite [EF)
E
F
E
F
c. Tracer en bleu les segments [DC] et [AF]. A
B
F
F
E
Indiquer le nom de la partie colorée en rouge.
a.
A
O
b.
A
O
d. Mesurer la distance, en cm, entre les points A et D puis entre les points C et F. B ●
AD =
5 A
O
D
C
Le segment [AB] c.
G
B
La demi-droite [OB)
B
3
cm
●
CF = 5,8 cm
Compléter les pointillés par ou . M
La demi-droite [BA) ou la demi-droite [BO)
R
S
3
a. un segment [AB] de longueur 5 cm ;
a. R (MT)
b. T (MR)
b. un segment [AC] tel que AC = 3,5 cm.
d. T [MR)
e. M
A
B
5 cm 3,5
T
N
1. Tracer :
2. Placer un point D aligné avec A et B.
c. T [MR]
[RT) f. M [NS)
6
D
a. Construire les points M, N et P tels que : M est le milieu de [AB] ; M A B ● N est le milieu de [AC] ; ● C est le milieu de [BP]. ●
N
cm
C
72
D
La distance entre deux points C et D est la longueur du segment [CD].
a. Le segment [EF]
2
A
P
Le point M appartient à la droite (d ).
●
B
La demi-droite [AB) d’origine le point A.
b. Coder les longueurs égales.
C
P © Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
FICHE
CALCUL MENTAL
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
65 Droites perpendiculaires. Médiatrice d’un segment (d)
A
(d’)
A
(d )
(d’) A
M (d)
(d ) ⊥ (d ’) Droites perpendiculaires : elles forment quatre angles droits.
Droites sécantes : elles ont un seul point commun.
(d2)
1
A C B
H
(d ) est la médiatrice du segment [AB] : c’est la perpendiculaire à la droite (AB) en le milieu M du segment [AB].
3
(d1)
(d)
B
La distance entre le point A et la droite (d ) est la longueur du segment [AH].
Tracer la médiatrice (d ) du segment [AB].
(d4)
(d)
(d3)
A
Compléter les phrases. a. Les droites (d1) et (d2) sont sécantes en A . b. Les droites (d2) et (d4) sont en B .
B
perpendiculaires
4
(d)
c. Les droites (d1) et (d3) sont
perpendiculaires en A.
2
a. Par le point M, tracer : la droite (d1) perpendiculaire à la droite (d ); ● la droite (d2) perpendiculaire à la droite (d ’). ●
(d2)
Les droites (d ) et (d ’) sont-elles sécantes ? Oui Si oui, construire leur point d’intersection I.
(d1)
5
Par le point A, tracer : la droite (d1) perpendiculaire à la droite (d ); ● la droite (d2) perpendiculaire à la droite (d ’).
(d’)
M
(d’)
I
●
(d) A
(d1) b. Mesurer avec la règle graduée et compléter. ●
La distance entre le point M et la droite (d) est
1,5 cm. ●
(d2)
La distance entre le point M et la droite (d ’) est 1
(d’) (d)
cm.
© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
Chapitre 11 ● Droites perpendiculaires, droites parallèles
73
FICHE
CALCUL MENTAL
● ..... . . . . . . . . .
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
● ..............
66 Droites parallèles ●
Tracé de la droite (d ’) parallèle à la droite (d ) passant par le point A. A (d)
●
(d’)
A
A
(d)
(d)
(d ) (d ’)
Deux propriétés :
Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles. Si deux droites sont parallèles et si une troisième droite est perpendiculaire à l’une, alors elle est aussi perpendiculaire à l’autre. H
La distance entre les droites parallèles (d) et (d ’) est la longueur du segment [HH’].
●
(d) (d’)
H’
1
Tracer avec la règle et l’équerre les droites : (d1) passant par M et parallèle à la droite (d ) ; ● (d2) passant par M et parallèle à la droite (d ’).
4
(d1)
●
(d2)
(d)
(d3)
(d2)
a. Que sait-on grâce aux codages ?
M
Les droites (d1) et (d2) sont perpendiculaires à la droite (d3).
(d1)
(d’)
b. Que peut-on affirmer alors pour (d1) et (d2)?
2 Tracer la droite (d 1) perpendiculaire à
la droite (d) passant par A puis la droite (d 2) parallèle à la droite (d) passant par A.
(d2) (d 1)
(d6)
3
(d5) (d4)
(d3)
Compléter si possible avec l’un des symboles ⊥ ou . a. (d1) ⊥ (d3) b. (d1) ⊥ (d5) c. (d3) (d5)
74
5
Ci-contre, les droites (d ) et (d ’) sont parallèles.
(d2)
(d1)
(d) (d’)
La droite (d2).
(d2)
(d4)
Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite,
a. L’une des droites (d1) ou (d2) est perpendiculaire à la droite (d ’). Laquelle ?
(d1)
d. (d1)
c. Quelle propriété permet d’affirmer cela ?
alors elles sont parallèles.
A
(d)
Les droites (d1) et (d2) sont parallèles.
e. (d2) ⊥ (d6) f. (d4) (d6)
b. Compléter. Données : (d ) (d ’) et (d2) ⊥ (d ) Or, si deux droites sont parallèles et si une troisième droite est perpendiculaire à l’une,
alors elle est aussi perpendiculaire à l’autre. Conclusion : Donc (d2)
⊥ (d ’). © Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
FICHE
CALCUL MENTAL
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
● ..............
67 Perfectionnement 1
a. Marquer un point tous les centimètres sur les segments [AB], [BC], [CD].
3
a. Mesurer avec la règle graduée la distance du point A à la droite (d) et compléter :
2 cm.
La distance de A à la droite (d) est :
2 cm
F
D
C (d)
A
(d’)
E
2 cm
A
B
C
b. Sur la demi-droite [BA), à l’extérieur du segment [AB], placer le point E tel que AE = 2 cm.
B
b. Placer le point B pour que la droite (d) soit
la médiatrice du segment [AB].
c. Sur la demi-droite [CD), à l’extérieur du segment [CD], placer le point F tel que DF = 2 cm.
c. Placer le point C pour que la droite (d ’) soit
la médiatrice du segment [AC].
d. Tracer tous les segments qui joignent : E aux points marqués sur [BC] et [CD], ● F aux points marqués sur [BC] et [AB].
4
a. Tracer une droite (d1) située à 1,5 cm du point A.
●
e. Colorier le dessin obtenu. (d3)
2
Compléter le programme de construction pour réaliser cette figure, où les droites (d ) et (AC) sont parallèles.
A
(d2) B
(d1)
A
B
C M (d’)
b. Tracer la droite (d 2) perpendiculaire à la droite (d1) et passant par le point B.
(d)
c. Tracer la droite (d 3) parallèle à la droite (d 1) et passant par le point A. Que peut-on dire des droites (d 2) et (d 3) ? Expliquer.
Placer trois points A, B, C, non alignés. Tracer les segments [AB], [BC] et
[AC] .
Tracer la droite (d) parallèle à la droite (AC)
Les droites (d2) et (d3) sont perpendiculaires. En effet
et passant par le point B.
les droites (d1) et (d3) sont parallèles et la droite (d2)
Tracer la droite (d ’) perpendiculaire à la droite (BC)
est perpendiculaire à la droite (d1), donc elle est aussi
et passant par le point A.
perpendiculaire à la droite (d3).
Noter M le point d’intersection des droites (d) et (d ’). © Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
Chapitre 11 ● Droites perpendiculaires, droites parallèles
75
FICHE
M & jeux 68 QC QCM
Voici un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, entourer la (ou les) réponse(s) exacte(s).
Bilan ..... / 5
A
La droite qui passe par les points A et B est notée ...
(AB)
[AB)
[AB]
B
La longueur du segment [MN] est notée ...
[MN)
MN
NM
Sur cette figure, les (d1) A droites… C
D C (d2)
B (d3)
(d4)
D
Une droite (d ) est la médiatrice d’un segment [AB] de milieu M. Un point E appartient à la droite (d ). Donc… A
(d1) et (d4) sont (d2) et (d3) sont sécantes en A perpendiculaires en C
(d) ⊥ (AB)
(d1) et (d2) sont parallèles
(ME) ⊥ (d)
M (d)
(d ) B
(d’)
E C
la droite (d) est la droite (d) est la médiatrice du la médiatrice du segment [AC] segment [AB]
(d) // (d ’)
Sur cette figure...
jeu
1
a. À vue d’œil, les lignes rouges ci-dessous semblent-elles parallèles ?
jeu
2
En 1750, le jeu à la mode dans la ville de Königsberg (actuellement Kaliningrad, en Russie) consistait à savoir comment traverser chacun des 7 ponts, dans un ordre quelconque, mais sans passer deux fois par le même pont. Qu’en pensez-vous ? Conseil : travailler au crayon de papier.
Ce n’est pas possible.
Non, elles ne semblent pas parallèles. b. À vue d’œil, quel segment semble le plus long ?
Pregel
r
e un
Kra
lz
Ho
C
2
Schmiede
3
Les lignes rouges sont parallèles
D e
ne Grü
el
c. Vérifier avec les instruments de géométrie.
Kött
Le segment 2 semble le plus long.
Honig
A
Ho h
1
B
et les trois segments ont la même longueur.
76
© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
CHAPITRE
Figures usuelles
FICHE
12
CALCUL MENTAL
● ....... . . . . . . .
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
69 Le cercle Le cercle de centre O et de rayon 1 cm est formé de tous les points situés à 1 cm du point O.
●
D ia
Rayon 1 cm
tre mè
O Centre
Rayon
Cor de
1
O
Un diamètre a pour milieu le centre du cercle.
●
Diamètre = 2 × rayon
4
a. Tracer le cercle de centre A et de rayon 2 cm.
Le segment [MN] ci-dessous a pour longueur 4,2 cm.
B
Tracer le cercle de diamètre [MN].
b. Placer un point B
qui appartient à ce cercle.
A
c. Compléter : AB =
2 cm.
M
N
2
Construire tous les points du chemin tracé en noir qui sont situés à 2 cm du point A.
I J
5 L
K
Construire :
a. en rouge le cercle de centre A et de rayon AB ;
A
M
b. en vert le cercle de centre B et de rayon AB ;
N
c. en bleu le cercle de diamètre [AB].
O
3
P
Compléter par le symbole , ou =.
MP MN
P
N
A
B
MQ MN MR MN
M
Q
R © Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
Chapitre 12 ● Figures usuelles
77
FICHE
CALCUL MENTAL
● ..... . . . . . . . . .
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
● ..............
70 Les triangles ●
2
Un triangle est un polygone à trois côtés.
Triangle ABC isocèle en A A
●
Triangle ABC équilatéral
●
2c m
A
4
3 cm
B
1
Triangle ABC rectangle en A
A
Sommet principal
3
cm
●
C
1,5
Un triangle ABC tel que AB = 3 cm, AC = 2 cm, BC = 1,5 cm se construit à la règle graduée et au compas, en suivant les étapes à .
C
AB = AC Base B
B
C
AB = AC = BC
1
TR = 4,4 cm, T I = 5,3 cm, IR = 3,1 cm.
B
Angle droit
3
E
On a commencé à construire en vraie grandeur le triangle LEV ci-contre. Terminer la construction.
2 cm
Avec le compas et la règle, compléter la figure afin d’obtenir un triangle TRI tel que :
A
C
L
I
V
3 cm
E 2 cm
L T
R
4,4 cm
4 Compléter la figure ci-dessous de façon
2
Pour chaque triangle, écrire s’il s’agit d’un triangle isocèle, équilatéral, rectangle ou quelconque (qui n’est ni rectangle ni isocèle).
cm 5
F
2,5 cm
G
2 cm
2 cm
G
5 Trois des points
triangle J quelconque
triangle isocèle en E O
J
R
P
triangle équilatéral
78
E
2,
1 cm
2 cm
cm
H
m 2,8 c
2,5
E
à obtenir un triangle isocèle EFG de sommet principal F (mais qui ne soit pas équilatéral).
I
F
V
3 cm
K
I
triangle rectangle
ci-contre sont les sommets d’un triangle E équilatéral. Utiliser le compas pour trouver lesquels. Tracer ce triangle.
A
B
C
D
F G H
I
J
© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
FICHE
CALCUL MENTAL
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
71 Les quadrilatères ●
C
Un quadrilatère est un polygone à 4 côtés.
Pour nommer un quadrilatère, on note les sommets dans l’ordre où on les rencontre en tournant dans le même sens.
D
Un côté Une diagonale
Ici le quadrilatère peut se noter ABCD ou CBAD ou ... (mais pas ACDB). ●
Rectangle ABCD D
●
C
Carré ABCD D
●
C
B
Ses quatre angles sont droits.
A
C
T L 1,4 cm
K
a. A
b.
V
L
S
m I
D
3 cm
R
Maeva était absente au dernier cours. Comment lui expliquer au téléphone, en une seule phrase dans chaque cas, les deux figures qui sont à tracer pour le prochain cours ?
cm
R
P 1,3 cm O
U
4
1,4
L
I
3,2 cm
1,3 cm
1,3 cm
N
(AB) // (CD) et (AD) // (BC)
AB = BC = CD = DA
2 cm
1,3 cm
C
AB = BC = CD = DA
Pour chaque quadrilatère, écrire à l’intérieur : R s’il s’agit d’un rectangle non carré, C s’il s’agit d’un carré, L s’il s’agit d’un losange.
M
B
D
A
1
J
Parallélogramme ABCD A
B
B
Ses quatre angles sont droits.
AB = CD et AD = BC
●
C D
A
un sommet
A
Losange ABCD
B
7 cm
2,7 c
E
N G
a. Trace un rectangle LAVE tel que
2
Compléter la figure afin d’obtenir un carré ABCD et un rectangle AEFD.
D
C
AL = 3 cm et LE = 7 cm. b. Trace un carré DING tel que
F
DI = 2,7 cm.
5
A
2 cm
3 cm
B
a. On a commencé à construire un triangle TRI rectangle en T tel que TR = 4,8 cm et RI = 5,5 cm. Terminer la construction.
E
3
Compléter la figure afin d’obtenir un losange MNPQ et un parallélogramme MNRS.
O I
Q
M
m 1c
5,5
S
P
cm
4,8 cm
R
T
3c
R
m
N © Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
b. Placer le point O tel que le quadrilatère T IOR soit un rectangle. Chapitre 12 ● Figures usuelles
79
FICHE
CALCUL MENTAL
● ..... . . . . . . . . .
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
● ..............
72 Perfectionnement 1
Sur la figure représentée ci-dessous : • le cercle bleu de centre A a pour rayon 9 cm ; • le cercle vert de centre B a pour diamètre [DC] et DC = 20 cm ; • le segment [AB] mesure 12 cm ; • les points E, A, D, R, B et C sont alignés.
3
Voici une coque de téléphone portable réalisée par Josh Hardman. Construire un agrandissement de ce triangle équilatéral à partir du segment dessiné ci-desssous.
M
A
E
D
R
B
C
M
N
N
a. AM b. BM c. BD d. AR e. ER f. BE
Mer des
4
Calculer les longueurs suivantes :
g. BR h. AD i. DR
20 cm : 2 = 10 cm donc le rayon du cercle vert
Voici un plan Bermudes du célèbre triangle Mer des Floride Sargasses des Bermudes. Reproduire ce triangle Bahamas avec les instruments de géométrie. CUBA Porto Rico
est 10 cm. a. AM = 9 cm b. BM = 10 cm c. BD = 10 cm d. AR = 9 cm e. ER = 2 × 9 cm = 18 cm. f. BE = BA + AE = 12 cm + 9 cm = 21 cm. g. BR = AB – AR = 12 cm – 9 cm = 3 cm. h. AD = AB – BD = 12 cm – 10 cm = 2 cm. i. • 1re méthode : DR = AR – AD = 9 cm – 2 cm = 7 cm. • 2e méthode : DR = BD – BR = 10 cm – 3 cm = 7 cm.
A
2c
Rédiger les consignes nécessaires à la réalisation de la figure ci-contre en vraie grandeur.
m
2
B
5
Placer les noms des sept sommets de cette figure à l’aide des informations suivantes : • ANGE est un carré ; • NEOL est un parallèlogramme ; • DEG est un triangle rectangle en E ; • E [AD].
G
N L
C
Tracer un triangle équilatéral ABC de côté 4 cm. Tracer les cercles de centres A, B, C et de rayon 2 cm.
80
D
E
A O © Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
FICHE
M & jeux 73 QC QCM
Voici un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, entourer la (ou les) réponse(s) exacte(s).
Bilan ..... / 5
A
Un triangle rectangle a …
deux côtés perpendiculaires
trois côtés de même longueur
un angle droit
B
ABCD est un rectangle. Donc …
on peut aussi le nommer ADBC
[AC] est l’une de ses diagonales
le triangle ABC est rectangle en B
C
EFGH est un carré. Donc …
le triangle EFG est rectangle en F
EF = EG
FG = GH
D
ABC est un triangle équilatéral. Donc ce triangle ...
est isocèle en A
est isocèle en B
n’est pas isocèle
E
EFGH est un losange. Donc ...
le triangle EFH est isocèle en E
EF = HG
EG = FH
1
jeu
jeu
Quel fragment ne peut s’assembler avec un autre pour former un carré ?
1
2
3
4
5
6
3
a. À vue d’œil, la figure aux contours rouges semble-t-elle être un carré ?
7
D’après Logic Flip
On peut assembler les fragments 1 et 6 , 2 et 4 , 3 et 7 .
Le fragment 5 .
Cela ne semble pas étre un carré. b. Après vérification avec les instruments de géométrie, que peut-on dire de cette figure ?
2
jeu
Il s’agit d’un carré.
La ligne brisée bleue forme six carrés en coupant un segment [LM] de 24 cm de long.
jeu L
M
➤ Entourer la longueur de cette ligne brisée. ●
48 cm
●
72 cm
●
96 cm
●
56 cm
●
106 cm
D’après Kangourou des mathématiques
© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
4
Six losanges sont visibles dans cette figure. Entourer les trois allumettes à enlever pour qu’il ne reste plus aucun losange. D’après Rallye Mathématiques Université de Lyon
Chapitre 12 ● Figures usuelles
81
FICHE
74
Atelier problèmes ! Apprendre à chercher
1 Représenter Lola souhaite construire le dé à jouer cidessous. ●
Ce dé a pour arête 1,5 cm.
● La somme des chiffres incrits sur deux faces parallèles d’un dé est toujours égale à 7.
Dans le cadre ci-contre, représenter un patron de ce dé et indiquer les points sur chacune des faces.
2 Présenter une situation par une représentation adaptée Énoncé 1 Tracer un triangle ABC isocèle en C. Tracer la parallèle à (BC) passant par A. Tracer la perpendiculaire à (BC) passant par C.
Énoncé 2 Tracer un triangle ABC isocèle en A. Tracer la perpendiculaire à (AB) passant par B. Tracer la perpendiculaire à (AB) passant par C.
Énoncé 4 Tracer un triangle ABC isocèle en A. Tracer la parallèle à (AC) passant par B. Tracer la perpendiculaire à (AC) passant par C.
Énoncé 3 Tracer un triangle ABC isocèle en A. Tracer la parallèle à (AC) passant par B. Tracer la parallèle à (BC) passant par A.
Énoncé 5 Tracer un triangle ABC isocèle en C. Tracer la perpendiculaire à (AB) passant par A. Tracer la perpendiculaire à (AB) passant par B.
Associer chaque énoncé à la figure ci-dessous qui lui correspond. Rédiger ensuite un énoncé pour la figure qui ne correspond à aucun énoncé. A
C B
B 1
C
2
A
C
B
3
D’après IREM
A
d’Amiens
C A 4 A
B
B
A
5
6
C
B
C
Énoncé 1 - ➌ .Énoncé .................... . . . . . . . . . .2 . . .-. ➎ . . . . . . Énoncé . . . . . . . . . . .3 . .-. .➊ . . . . . .Énoncé . . . . . . . . . .4 . . .-.➋ . . . . . . Énoncé . . . . . . . . . . .5. .-. .➏ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .......... Tracer un triangle ➍ .................... . . . . . . . . .ABC . . . . . .isocèle . . . . . . . . . .en . . . .B. . . .Tracer . . . . . . . . . .la . . .droite . . . . . . . . .perpendiculaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .à. .la . . .droite . . . . . . . . .(BC) . . . . . . .passant . . . . . . . . . . . .par . . . . .le . . .point . .. . . . .A. . . . .......... Tracer la droite. .parallèle .................... . . . . . . . . . . . .à. .la . . .droite . . . . . . . . .(AC) . . . . . . .passant . . . . . . . . . . . .par . . . . .le . . .point . . . . . . . B. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . ..........
82
© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
Atelier problèmes
3 Résoudre avec des instruments Lucie doit aller chercher un trésor dans la salle représentée ci-contre. Mais ce trésor est gardé par trois lions : * Arlan, attaché en A à une chaîne de 7 m, * Baltik, attaché en B à une chaîne de 6 m, * Chark, attaché en C à une chaîne de 5 m. Tracer un chemin possible pour Lucie en laissant apparents les traits de construction.
12 m 171960_42_3 trésor
A
16 m
B C
entrée
4 Mettre en œuvre une méthode d’investigation 1. Une abeille se déplace le long des segments de cette figure. Tous ont la même longueur. Elle va du point D au point E en empruntant le chemin le plus court. Combien peut-elle prendre de chemins différents ? D
6 chemins
E
2. Tracer ci-dessous : a. un triangle équilatéral qui a pour sommets trois des points bleus, b. un losange qui a pour sommets quatre des points bleus, c. un parallélogramme qui a pour sommets quatre des points bleus, d. un triangle rectangle qui a pour sommets trois des points bleus, e. un triangle isocèle non équilatéral qui a pour sommets trois des points bleus, f. un rectangle qui a pour sommets quatre des points bleus. a.
D
d.
D
© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
b.
c.
D
D
e.
f.
D
D
Fiche 74 ● Atelier problèmes
83
CHAPITRE
Symétrie axiale
FICHE
13
CALCUL MENTAL
● ..... . . . . . . . . .
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
75 Figures symétriques. Axes de symétrie Ces deux figures se superposent par pliage autour de la droite (d ). On dit qu’elles sont symétriques par rapport à la droite (d ).
Cette figure coïncide avec sa symétrique par rapport à la droite rouge.
●
La symétrie par rapport à une droite conserve : les longueurs, l’alignement, les mesures d’angles, les aires.
●
Cette droite est un axe de symétrie de cette figure.
●
1
Tracer la symétrique de chaque figure par rapport à la droite (d ). a.
(d)
2
Tracer la symétrique de cette figure par rapport à la droite (d ).
(d)
(d)
b.
3
Tracer en rouge tous les axes de symétrie de chacune des figures. (d)
c.
a.
b.
4
Imaginer que l’on construise le symétrique de ce carré par rapport à une droite (d ). Quelle figure obtiendra-t-on ? Quel sera son périmètre ? Quelle sera son aire ?
2 cm
On obtiendra un carré de côté 2 cm (d)
Périmètre : 4 × 2 cm = 8 cm Aire : 2 cm × 2 cm = 4 cm2.
84
© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
FICHE
CALCUL MENTAL
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
76 Symétrique d’un point, d’un segment, d’une droite ●
Construction du symétrique A’ d’un point A par rapport à une droite (d ). 2
1
3 (d)
(d)
(d)
A
A
A A’
A’
Le symétrique par rapport à une droite : – d’une droite – d’un segment est un est une droite. segment de même longueur.
●
1
Avec les instruments de géométrie, construire les symétriques M’, N’ et P’ des points M, N et P par rapport à la droite (d ).
N’
M
la droite (d) est la médiatrice du segment [AA’].
4
Construire la symétrique de la droite (∆) (lire « delta ») par rapport à la droite (d ). (d)
P
(d)
M’
P’ N
( )
M M’ A
2
Construire le symétrique du segment [AB] par rapport à la droite (d ). B’
5
a. Construire le symétrique du segment [AB] par rapport à la droite (d ). b. Avec la règle graduée et l’équerre
uniquement, construire le symétrique du segment [AC] par rapport à la droite (d ).
(d)
A’
C
3 cm
B A
(d)
B’
3
Construire la symétrique de la droite (AB) par rapport à la droite (d ).
A
B’
B
B
A (d)
© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
A’
3 cm
C’
Chapitre 13 ● Symétrie axiale
85
FICHE
CALCUL MENTAL
● ..... . . . . . . . . .
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
77 Symétrique d’une figure plus complexe 1
Construire la symétrique de chaque figure par rapport à la droite (d ). Laisser apparents les traits de construction. a. A
2
Construire la figure symétrique de chaque figure par rapport à la droite (d ). Coder les figures obtenues. a.
(d) C B
C’ (d)
A’
B’ b.
b.
1,5 cm
(d)
I
3 cm
M
(d) E
N
I’
N’
1,5 cm
M’
3 cm
E’
c. Le demi-cercle tracé a pour diamètre le côté [SA]. (d)
O’
3
Construire le symétrique du rectangle RECT par rapport à la droite (AB).
L’
C’ E’
O
2,
4
S’
cm
A’
S
E
T’
L
A
A
86
B
R
R’ T
C
© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
FICHE
CALCUL MENTAL
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
78 Axes de symétrie d’un segment, d’un angle Construction de la médiatrice de [AB] à la règle et au compas
Un segment [AB] (avec A et B distincts) admet deux axes de symétrie :
●
Les arcs de cercles de centres A et B ont le même rayon.
– la droite (AB) elle-même, – la médiatrice du segment [AB]. Si un point M appartient à la médiatrice d’un segment [AB], alors MA = MB.
●
B A
Si M est un point tel que MA = MB, alors M appartient à la médiatrice du segment [AB]. ●
La droite qui porte la bissectrice d’un angle est un axe de symétrie de cet angle.
1
a. Tracer deux arcs de cercle de même rayon, de centres A et B qui se coupent en deux points. Noter I et J ces deux points.
3
a. Construire avec la règle et le compas la médiatrice : ● (d ) du segment [AB], ● (d’ ) du segment [AC].
I
A
O
K
J
B
b. Tracer la droite (IJ). Quel est son rôle pour le segment [AB] ?
B
(d )
A
C
La droite (IJ) est la médiatrice du segment [AB]. ( d’ )
c. Sans autre construction, placer le milieu K
du segment [AB]. d. Coder la figure.
2
mesure 140°. Cet angle xOy Construire son axe de symétrie avec la règle et le rapporteur.
b. Noter O le point d’intersection des
médiatrices (d ) et (d’ ). c. Compléter : « O appartient à la médiatrice
du segment [AB] donc OA = OB . O appartient à la médiatrice du segment [AC] donc OA = OC ». d. Jenny affirme : « Le point O est à égale
distance des trois points A, B et C ». 70° O
© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
Pourquoi a-t-elle raison ?
OA = OB et OA = OC donc OA = OB = OC. Le point O est à égale distance de A, B et C.
Chapitre 13 ● Symétrie axiale
87
FICHE
CALCUL MENTAL
● ..... . . . . . . . . .
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
79 Perfectionnement 3
1
Le point A’ est le symétrique du point A et le point B’ celui du point B, par rapport à la droite (d ). On se propose de mesurer la longueur AB. Malheureusement le point A est en dehors du cadre. Malgré tout, sans effectuer de tracés en dehors du cadre, déterminer la longueur AB. Expliquer.
Une piste d’atterrissage est représentée par un segment [AB]. Un deuxième avion est symétrique de celui dessiné par rapport à la droite (AB). Représenter ce deuxième avion. A
A’
B
B’
B (d)
2
AB = 6 cm. En effet les segments [AB] et [A´B´]
Sur ce plan d’un jardin public, 1 cm représente 10 m dans la réalité. Un chêne (point C) est situé : ● à la même distance de la statue (point S) et du lampadaire (point L), ● à 50 m du rhododendron (point R), ● à plus de 40 m du lampadaire. Construire l’emplacement du chêne (C).
ont la même longueur.
4
C
Un programme de construction (1) Tracer un cercle de centre O et de rayon 1,7 cm. (2) Placer un point A qui appartient au cercle . (3) Tracer la médiatrice (d ) du segment [OA]. (4) Noter M et N les points d’intersection de la droite (d ) et du cercle .
a. Réaliser ce programme de construction. (d) R
M O A N
L
b. Quelle est la longueur AM ? Expliquer. S
M appartient à la médiatrice du segment [OA] donc OM = AM. Or M appartient au cercle donc OM = 1,7 cm. D’où AM = 1,7 cm.
88
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FICHE
M & jeux 80 QC Voici un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, entourer la (ou les) réponse(s) exacte(s). (d)
A
Les figures et ’ sont symétriques par rapport à la droite (d ) sur le dessin …
C
D
E
jeu
Une figure qui a quatre axes de symétrie est représentée sur le(s) dessin(s) … Un axe de symétrie d’un segment [MN] est … Un rectangle a pour dimensions 5 cm et 3 cm. Son symétrique par rapport à une droite est … A, B, M sont trois points tels que AM = 2 cm, AB = 2 cm et BM = 3 cm. Alors …
’
’
la perpendiculaire à la droite (MN) en M
sa médiatrice
la droite (MN)
un rectangle d’aire 15 cm2
un rectangle de périmètre 16 cm
un quadrilatère qui a quatre angles droits
A est le milieu du segment [BM]
A appartient à la médiatrice du segment [BM]
M appartient à la médiatrice du segment [AB]
1
jeu
En haut le dessin original, en bas son symétrique qui comporte 5 erreurs. ➤ Trouver ces erreurs.
3
1. Construire la symétrique : a. de la figure rouge par rapport à (d1), b. de la figure totale obtenue par rapport à (d’1) ainsi que par rapport à (d’2). c. Recommencer par rapport à (d2) et (d3). 2. Colorier le pavage. (d 2)
jeu
jeu 2 Certains mots de la langue française, écrits en lettres majuscules ont un axe de symétrie comme ci-dessous. CODE BICHE ➤ Trouver cinq autres mots qui ont un axe de symétrie.
IODE
CHOIX CID
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(d)
(d)
’ B
Bilan ..... / 5
(d 1)
(d 3)
4
➤ En repliant les carrés de droite et de gauche sur le carré central, combien verra-t-on de triangles blancs par transparence ?
COCO
ECHO
On voit 6 triangles blancs. Chapitre 13 ● Symétrie axiale
89
CHAPITRE
FICHE
14
Symétrie axiale et figures usuelles CALCUL MENTAL
● ..... . . . . . . . . .
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
81 Axes de symétrie de triangles et de quadrilatères A
Triangle isocèle en A
Triangle équilatéral
Un axe de symétrie : la médiatrice du côté [BC].
Trois axes de symétrie : les médiatrices des trois côtés. B
Losange
1
A
B
C
C A
Deux axes de B symétrie : les droites (AC) et (BD).
D C
Rectangle Deux axes de symétrie : les médiatrices de ses côtés.
A
D
B
C
3
MNP est un triangle isocèle en M.
A
N
Carré Quatre axes de symétrie : (AC), (BD) et les médiatrices de ses côtés.
A
D
B
C
B
O
H
D
M
C
Citer les cinq triangles visibles sur cette figure. Pour chacun d’eux, indiquer sa nature (c’est-àdire s’il est rectangle, isocèle ou équilatéral).
P
a. Coder les longueurs égales. b. Avec l’équerre uniquement, tracer en rouge
l’axe de symétrie de ce triangle. On note H le point d’intersection avec le côté [NP]. Que peut-on dire du point H ? Le point H est le milieu du segment [NP]
2
IJKL est un carré de centre O. M est le milieu de [IJ] et N celui de [IL]. L K N
ABC est un triangle rectangle en B. ACD est un triangle équilatéral. AOC, AOD, COD sont des triangles isocèles en O.
4
Dans chaque cas, faire une figure à main levée correspondant à l’énoncé, puis indiquer la nature de la figure. a. EFG est un triangle ayant un seul axe de symétrie. Cet axe de symétrie passe par le point E. F
I M
b. MNOP est un
quadrilatère ayant deux axes de symétrie (MO) et (PN).
E
O
J
Sans utiliser l’équerre, tracer en rouge les axes de symétrie de ce carré.
90
BILAN ..... / .....
G EFG est un triangle isocèle en E
M N
P O MNOP est un losange
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FICHE
CALCUL MENTAL
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
● ..............
82 Triangles particuliers A
Triangle isocèle Les deux angles à la base ont la même mesure. = ACB ABC
●
1
A
Triangle équilatéral Les trois angles ont la même mesure. ABC CAB = = BCA
●
Les angles à la base B
B
C
3
a. Construire le point P de la demi-droite [Ex) tel que le triangle EPI soit isocèle en P.
EFG est un triangle isocèle en G. F G
C
I
b. Sur cette figure, coder les segments de
même longueur et les angles de même mesure.
E
6 cm
I
a. Coder les longueurs égales et les angles de
25°
E 25°
même mesure. b. Avec la règle graduée, tracer l’axe de
x
symétrie de ce triangle. Noter I le point d’intersection avec le côté [EF]. Que peut-on dire de la droite (GI) ?
La droite (GI) est la médiatrice du segment [EF]. c. Citer des angles de même mesure. = FEG • EFG
2
= IGE • IGF
P
4
IJK est un triangle isocèle en I et M est le milieu du segment [JK]. I
MNP est un triangle équilatéral.
a. Avec l’équerre uniquement, tracer ses axes
de symétrie. Noter I, J, K les milieux des côtés [MN], [NP] et [MP].
K J
M
a. Compléter en utilisant le rapporteur :
K
M
= IJK
30°
b. En déduire, sans utiliser le rapporteur :
P
J
I N
b. Coder sur la figure six angles de même
mesure et six segments de même longueur. © Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
= 30° JKI c. Compléter en utilisant le rapporteur : = 120° JIK d. En déduire, sans utiliser le rapporteur : = KIM = JIM
120° 2 = 60°
Chapitre 14 ● Symétrie axiale et figures usuelles
91
FICHE
CALCUL MENTAL
● ..... . . . . . . . . .
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
83 Quadrilatères particuliers Losange
Rectangle A
B
D
C
Les côtés opposés sont parallèles et ont la même longueur.
●
Les diagonales se coupent en leur milieu et ont la même longueur.
●
Carré
Les angles opposés ont la même mesure.
Les diagonales se coupent en leur milieu et sont perpendiculaires.
●
●
Un carré est à la fois un rectangle et un losange. Il a : – des côtés opposés deux à deux parallèles ; – des diagonales perpendiculaires, qui se coupent en leur milieu, et qui ont la même longueur.
1
3
a. Placer un point C tel que BC = AB et ABC = 140°.
ABCD est un rectangle.
B
O
A
D
A
C
C
3c
m B
D
b. Placer le point D tel que ABCD soit un
losange. a. Tracer ses diagonales. Noter O leur point d’intersection.
c. Compléter sans utiliser le rapporteur :
b. Quelle est la nature des triangles AOB, BOC,
. d. Mesurer l’angle BAC
= ADC
COD, DOA ? AOB, BOC, COD, DOA sont des triangles isocèles en O. c. Coder les longueurs égales. PARI est un losange.
ses diagonales et coder l’angle droit. b. Coder les
longueurs égales et les angles de même mesure.
92
A P
R
20°
: En déduire, la mesure de l’angle BCD = BCD
2
a. Tracer
= BAC
140°
20° × 2 = 40°
4
Construire un carré ABCD dont les diagonales mesurent 4 cm et se coupent en O.
D
A
O
2 cm
C
B © Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
FICHE
CALCUL MENTAL
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
84 Construction de triangles et de quadrilatères 1
4
I
3 cm
Construire ce triangle isocèle PIE en vraie grandeur.
P
5 cm
E C
I 5 cm
5 cm
U
3 cm
P
S
5 cm 50°
Construire ce triangle isocèle SUC en vraie grandeur. U
S
50°
5 cm 5
cm
E
2
Compléter cette figure pour obtenir un triangle équilatéral ABC de côté 4 cm.
C
C
5
Construire ce triangle isocèle BAR en vraie grandeur.
A
40°
B
A
4 cm
A
B
3
a. Les diagonales de ce losange MURI se coupent en O. Construire ce losange en vraie I grandeur.
le quadrilatère ROUE soit un rectangle.
M
m
O
m
40°
M
R
6 cm
U
6
R
I
40°
B
2c 3c
b. Construire le point E tel que
Construire ce rectangle VOIR en vraie grandeur.
O
V
55°
3c m
R
I
m 2c
O V
O
3 cm
m 3c R
R
6 cm
55°
U R
I
E © Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
Chapitre 14 ● Symétrie axiale et figures usuelles
93
FICHE
CALCUL MENTAL
● ..... . . . . . . . . .
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
● ..............
85 Perfectionnement 1
3
Voici un pavage utilisé par les artistes de l’Antiquité. À droite figure un grossissement de la partie colorée en vert.
Les sommets de ce carré appartiennent à ce cercle. Construire cette figure avec les instruments de géométrie en doublant le rayon du cercle.
a. Construire cet assemblage de 6 triangles
équilatéraux de côté 2 cm.
4
Utiliser les codages de la figure ci-dessous pour trouver quel autre angle de la figure mesure 30°. = 30°. ACB Justification : ABC est un tiangle isocèle en A b. Quelle est la nature du polygone entouré
et (AI) est l’axe de symétrie de ce triangle,
par ces triangles équilatéraux ?
donc ses angles à la base ont la même mesure.
Ce polygone est un hexagone régulier.
A
2
Voici un autre pavage utilisé dès l’Antiquité ; il est composé de losanges. Construire un tel losange grisé dont les diagonales ont pour longueurs 2,5 cm et 4 cm. À l’intérieur, construire les quatre losanges bleus de côtés 0,5 cm et les deux autres losanges.
30°
B
C
I
5
ABCD et CDEF sont les deux carrés ci-contre. = 90° ». Nadia : « BDF Qu’en pensez-vous ?
Les diagonales d’un carré sont
A
B
D
C
E
F
portées par les bissectrices
et CDF = 45°. Donc BDF = 90°.
19 17
94
60
_6
9_ 2b
is
des angles. Donc CDB = 45°
© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
FICHE
M & jeux 86 QC QCM
Voici un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, entourer la (ou les) réponse(s) exacte(s).
Bilan ..... / 5
A
Un triangle isocèle a …
deux axes de symétrie
deux côtés de même longueur
deux angles de même mesure
B
ABC et BCD sont deux triangles équilatéraux accolés par le côté [BC]. Alors le quadrilatère ABDC est …
un losange
un rectangle
un carré
C
EFGH est un losange non carré. Alors...
= FGH HEF
= EFG EHG
(EG) ⊥ (HF)
D
Les diagonales d’un rectangle ABCD non carré se coupent en O. Alors …
= OBA OAB
le triangle AOD est isocèle en O
= CAB CAD
E
Les diagonales d’un losange EFGH non carré se coupent en O. Alors …
le triangle EOF est isocèle en O
le triangle FGH est isocèle en G
= GHO EHO
jeu
1
jeu
➤ Combien peut-on voir de rectangles sur cette figure ?
On peut voir 18 rectangles.
3
On a plié trois fois successivement un bout de papier de forme carrée et on a obtenu le triangle rectangle isocèle ci-dessous.
1 cm
➤ Représenter en vraie grandeur le bout de papier de départ (deux réponses sont possibles).
jeu
2
1re réponse 2e réponse
➤ Trouver les 7 erreurs.
jeu
4
➤ Si un disque vaut un carré plus un triangle et si un carré vaut deux triangles, quel lot a la plus grande valeur ? 65°
40°
1
2
3
4
40° D’après Bernard Myers
Le lot n° 3 ; il équivaut à 17 triangles. © Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
Chapitre 14 ● Symétrie axiale et figures usuelles
95
FICHE
87
Atelier problèmes ! Apprendre à chercher
1 Observer des propriétés sur des modèles connus Voici quelques panneaux de signalisation que l’on peut observer sur le bord des routes. Pour chaque panneau, compléter les pointillés avec le nombre d’axes de symétrie et tracer l’(ou les) axe(s) de symétrie lorsqu’il y en a.
1
2
0
0
0
1
1
0
1
0
0
1
1
0
1
2 Raisonner Une personne a photographié un parterre de fleurs en forme de losange. Malheureusement, la photographie n’est que partielle. Construire malgré tout, les axes de symétrie de ce parterre sans faire de tracés à l’extérieur de la photo.
96
© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
Atelier problèmes
3 Résoudre grâce aux instruments de géométrie Lisa et Marie sont sœurs jumelles. Elles ont invité des amis pour leur anniversaire. Après avoir servi leurs invités, il reste une part de gâteau qu’elles doivent se partager en deux parts égales. Effectuer ce partage avec l’instrument indiqué et expliquer la méthode utilisée en quelques mots.
Avec le rapporteur
Avec une équerre graduée B
On mesure l’angle de
Le triangle ABC est isocèle en A.
A
la part restante : 50°.
On trace la médiatrice de [BC], en elle partage l’angle BAC
On divise alors la part
C deux angles de même mesure et donc en deux parts
en deux parts d’angles de mesure 25° chacun.
de gâteau identiques.
4 Confronter l’information disponible à ses connaissances On a représenté ci-contre une pointe de flèche (elle n’est pas tracée en vraie grandeur).
C
mesure 42°. Donner la mesure de l’angle BCA . a. L’angle DAC B
La pointe de flèche est symétrique par rapport à l’axe (AB), = BAD = 42° : 2 = 21° . donc CAB
A
D
= CAB = 21° . De plus, comme le triangle ABC est isocèle en B, BCA
b. Représenter cette pointe de flèche en vraie grandeur sachant que AB = 3 cm.
3
cm
3 cm
3
© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
21° 21°
cm
Fiche 87 ● Atelier problèmes
97
Tâches complexes
Le tableau Doc. 1 : Les contraintes.
1 La situation-problème Un artiste a commencé à dessiner un tableau avec son cadre. En respectant les contraintes qu’il s’est fixées, recouvrir le cadre du tableau. Déterminer ensuite quels sont les rectangles qu’il pourra utiliser pour recouvrir l’intérieur du tableau.
• Le cadre du tableau doit-être entièrement recouvert en utilisant une seule fois 7 des 8 rectangles (qui seront tracés en vraie grandeur). • L’intérieur du tableau sera recouvert en utilisant un seul de ces rectangles (que l’on reproduira autant de fois que nécessaire).
2 Les supports de travail Les documents, les instruments de géométrie. Doc. 2 : Les aires des 8 rectangles qui ont tous pour largeur 2 cm.
• 6 cm2 • 8 cm2 • 10 cm2 • 12 cm2 • 14 cm2 • 16 cm2 • 18 cm2 • 20 cm2 Doc. 3 : Le tableau avec son cadre forme un carré de 14 cm de côté. Le cadre a pour largeur 2 cm.
9 + 3 + 2=14 18 cm2
6 cm2
7 + 5 + 2=14
2 + 10 + 2=14
14 cm2
20 cm2
10 cm2
16 cm2
8 + 6=14
12 cm2
Toute piste de recherche, même non aboutie figurera ci-dessous et sur le document 3. Les rectangles ............ . . . . . . . . . avec . . . . . . .lesquels . . . . . . . . . . . .on . . . .peut . . . . . . recouvrir . . . . . . . . . . . . .l’intérieur . . . . . . . . . . . . . .du . . . .tableau . . . . . . . . . . .sont . . . . . . .les . . . .rectangles . . . . . . . . . . . . . . .d’aires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......... 10 cm2 et 20. .cm .................. . . . .2. .(avec . . . . . . . 10 . . . . . rectangles . . . . . . . . . . . . . . . .d’aire . . . . . . . .10 . . . . .cm . . . .2. ou . . . .avec . . . . . . .5 . . .rectangles . . . . . . . . . . . . . . .d’aire . . . . . . . .20 . . . . .cm . . . .2.). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..........
98
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Tâches complexes
La météorite 1 La situation-problème Lac Tchebarkoul
Une météorite est tombée dans le lac Tchebarkoul (dans l’Oural) le 15 février 2013. Aider les scientifiques à déterminer, sur une carte de la région, l’emplacement de leur base pour leurs futures observations.
2 Les supports de travail Les documents, les instruments de géométrie. Doc. 1 : Les renseignements sur la météorite.
Doc. 2 : Les contraintes des scientifiques.
• Le diamètre de la météorite est d’environ 15 m. • Le point d’impact de la météorite se situe dans le lac Tchebarkoul à 70 km de la ville de Kopeysk et à 60 km de la ville de Shershni. • Une zone de sécurité a été décidée, aucun être humain ne doit se trouver à moins de 30 km du point d’impact.
• La base doit être la plus proche possible du point d’impact de la météorite mais elle doit être en dehors de la zone de sécurité. • La base ne peut pas être sur le lac mais elle doit être à égale distance des villes de Kopeysk et de Shershni.
Doc. 3 : Une carte de la région.
10 km Kopeysk
Lac Tchebarkoul
base point d’impact
Shershni
Toute piste de recherche, même non aboutie figurera ci-dessous et sur le document 3. ................... . . . . .représente . . . . . . . . . . . . . . . .10 . . . . .km . . . . dans . . .. . . . .la . . .réalité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... 1 cm sur la carte ......................... . . . . .=. .6 . . .donc . . . . . . .sur . . . . .la . . .carte . . . . . .. .le . . .point . . . . . . . d’impact . . . . . . . . . . . . .est . . . . .à ..7 . . .cm . . . . .de . . . .Kopeysk . . . . . . . . . . . .et . . .à . . .6. . cm . . . . .de . . . . Shershni. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... 70 : 10 = 7 et 60 :. .10 ......................... . . . .la . . .carte . . . . . . . .la . . .zone . . . . . . .de . . . sécurité . . . . .. . . . . . . est . . . . . .un . . . .disque . . . . . . . . .de . . . .centre . . . . . . . . . le . . . point . . . . . . . .d’impact . . . . . . . . . . . . et . . . .de . . . .rayon . . . . . . . .3 . . .cm. . . . . . . . . . . . . ... 30 : 10 = 3 donc sur
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Tâches complexes
99
Tâches complexes
La plantation
1 La situation-problème Thomas doit estimer le nombre d’arbres de chaque sorte dans une plantation sans les compter un à un. Expliquer quelle méthode il pourrait utiliser. Estimer à l’aide de cette méthode le nombre de vieux arbres, puis le nombre de jeunes arbres.
2 Les supports de travail Le document, la calculatrice, les instruments de géométrie. Doc. : Un plan de la plantation.
arbre vieux
arbre jeune
Toute piste de recherche, même non aboutie figurera ci-dessous et sur le document. Une méthode ............ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......... On peut tracer. . .deux .................. . . . . . . .carrés . . . . . . . . .de . . . .côté . . . . . . .2 . . cm, . .. . . .compter . . . . . . . . . . . .les . . . . .arbres . . . . . . . . .contenus . . . . . . . . . . . . .dans . . . . . . . chacun . . . . . . . . . . de . . . . ces . . . . . .carrés, . . . . . . . . . .puis . . . . . .utiliser . . . . . . .......... la proportionnalité .................. . . . . . . . .pour . . . . . . .déterminer . . . . . . . . . . . . . . . le . . .nombre .. . . . . . . . . .d’arbres . . . . . . . . . . . .de . . . .chaque . . . . . . . . . .sorte . . . . . . . .dans . . . . . . .la . . .plantation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......... Mise en œuvre. .de .................. . . . .la . . .méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......... L’aire d’un carré .................. . . . .est . . . . .4 . . .cm . . . .2. .et . . . .l’aire . . . . . . .des . . . . ..deux . . . . . .carrés . . . . . . . . . est . . . . . .8 . . .cm . . . .2... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......... Dans le carré de . .et .................. . . . .gauche . . . . . . . . . .on . . . .compte . . . . . . . . . . .27 . . . . .. . . . 12 . . . . . . . . .; .dans . . . . . . .le . . .carré . . . . . . . .de . . . .droite . . . . . . . . .on . . . compte . . . . . . . . . . . 28 . . . . . . . .et . . . .13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......... Donc sur 8 cm. 2. .on .................. . . . .compte . . . . . . . . . . .55 . . . . . . . .et . . . 25 . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......... 25 55 8 8 Sur le plan la plantation .................. . . . . . . . . . . . . . . est . . . . . .un . . . rectangle . . . . . . . . . . .. . .de . . . .8,5 . . . . . .cm . . . .sur . . . . .16 . . . . .cm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......... = 5,875 .et .................. . . . . . . . . .=. . 3,125 . . . . . . . . . . donc . . . . . . . sur . . . . ..1. .cm . . . .2. .on . . . .trouve . . . . . . . . . environ . . . . . . . . . . .6,875 . . . . . . . . . . . . .et . . .3,125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..........
8,5 cm × 16 cm de. . .la. . .plantation .................. . . . .= . . .136 . . . . . . .cm² . . . . . .donc . . . . . . .l’aire . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . sur . . . . . le . . .plan . . . . . . est . . . . . .136 . . . . . . .cm . . . .2... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......... 136 × 6,875. . . . = .................. . . .935 . . . . . . . . . .et . . . .136 . . . . . . .×. .3,125 . . . .. . . . . . . . .= . . .425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......... Selon cette méthode .................. . . . . . . . . . . .il. .y ..a . . .environ . . . . . . . . . .935 . . . . . ..vieux . . . . . . .arbres . . . . . . . . . .et . . . .environ . . . . . . . . . .425 . . . . . . .jeunes . . . . . . . . .arbres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..........
100
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Tâches complexes
Alerte tsunami 1 La situation-problème Un système d’alerte permet de détecter un tsunami quand la vague est encore loin des rivages et d’avertir les populations concernées assez tôt pour sauver des vies. Un puissant séisme s’est produit le 6 février 2013 à 1 h 12 GMT au large des îles Salomon, dans le sud-ouest de l’océan Pacifique. Une alerte au tsunami a été aussitôt déclenchée dans une grande partie des îles du Pacifique. À quelle heure locale est arrivée la vague à Hienghène, en Nouvelle-Calédonie ?
2 Les supports de travail Les documents, les instruments de géométrie, la calculatrice. Doc. 1 : Une carte de la région.
ÎLES SALOMON
PAPOUASIENOUVELLE-GUINÉE
S Îles Santa Cruz
Honiara
Épicentre du séisme. Magnitude 8.
OCÉAN PACIFIQUE
VANUATU
H
300 km AUSTRALIE
NOUVELLECALÉDONIE
Hienghène Nouméa
Doc. 2 : Des informations horaires.
Doc. 3 : La vitesse de la vague.
L’heure GMT est l’heure observée au méridien de Greenwich. L’heure locale à Hienghène est l’heure GMT + 11 h.
L’onde du tsunami se déplaçait à raison de 800 km par heure.
Toute piste de recherche, même non aboutie, figurera ci-dessous. •................... On mesure la .distance . . . . . . . . . . . . SH . . . . .sur . . . . .la . . .carte . . . . . . . . :. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .Distance . . . . . . . . . . .(en . . . .km) . . . . . . . . . . . .800 . . . . . . . . . . .1 . . 440 . . . . . .. . . . . . . . ..
4,8 cm. ......................... .....................................................
. . . . . . . . . . . . . . . . .Durée . . . . . . .(en . . . . h) . . . . . . . . . . . . . . .1. . . . . . . . . . . .?. . . . .. . . . . . . . ..
D’après l’échelle ......................... . . . .indiquée . . . . . . . . . . .sur . . . . .la . . .carte, . . . . . . . . .une .....................
. . . . . . . . .800 . . . . . . .= . . .1,8 . . . . .donc . . . . . . .il. .faut . . . . . . .1,8 . . . . .h . . .à. .l’onde . . . . . . ..du . . . . . . . .. 1. . .440
distance de 1 .cm ......................... . . . .représente . . . . . . . . . . . . . . . .une . . . . .distance ...........................
. . . . . . . . . . . .pour . . . . . .arriver . . . . . . . . . .à. .Hienghène. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .. tsunami
réelle de 300 km. ......................... .....................................................
.....h . . .=. .1 . . .h. .+ . . 0,8 . . . . . .h. .= . . .1 . . .h. .+. .0,8 . . . . . .×. .60 . . . . .min .....= . . .1 . . .h..48 . . . . .min . . .. 1,8
300 × 4,8 = 1. .440 ......................... ...................................................
. . . . .+. .1 . . .h. .48 . . . . .min . . . . .= . . .3 . . .h. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .. 1. . .h. .12
La distance entre ......................... . . . . . .S . . et . . . .H . . .est . . . . .1 . . .440 . . . . . . .km. .......................
. . . . .+. .11 h . . . . . . .= . . .14 h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .. 3 h
• On calcule la durée ......................... . . . . . . . . nécessaire . . . . . . . . . . . . . . . .à. .l’onde . . . . . . . .du ...................
. . . .vague . . . . . . . .est . . . . .arrivée . . . . . . . . . .à. . Hienghène, . . . . . . . . . . . . . . .à . . .3. . h . . .GMT, . . . . . . . .. . . . . . . . .. La
tsunami pour atteindre ......................... . . . . . . . . . . . . . .Hienghène. . . . . . . . . . . . . . . .On . . . .peut ....................
................à . . .14 . . . . .h. .localement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .. c’est-à-dire
réaliser un tableau ......................... . . . . . . .de . . . .proportionnalité ..........................................
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . ..
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Tâches complexes
101
Tâches complexes
La voiture de demain
1 La situation-problème Un constructeur de voitures a conçu une voiture « PlusEco » équipée d’une nouvelle technologie. Ainsi, quand cette voiture consomme du carburant, elle produit un peu de ce carburant. Aider ce constructeur de voitures à compléter l’affiche publicitaire (Doc. 3).
2 Les supports de travail
Doc. 2 : Carte du nord de la France.
Les documents, la calculatrice.
Caen
233 k
km Rennes 348
m
km
• Son réservoir plein contient 50 litres de carburant. • Quand elle consomme 8 litres de carburant, elle produit 1 litre de ce carburant. • Sans compter le carburant produit, elle consomme 3 litres de carburant pour 100 km.
Paris
Nancy
31
384 km 5
k Orléans m
133
Doc. 1 : Les renseignements sur la voiture « PlusEco ».
230 k m
Lille
Dijon
Doc. 3 : L’affiche publicitaire à compléter.
Paris Caen
............................................................
t n e m e t i u t Gra
*
avec un seul plein !
* par rapport à une voiture classique qui aurait la même consommation que la voiture PlusEco.
Toute piste de recherche, même non aboutie figurera ci-dessous. Un plein c’est ............ . . . . . . .50 . . . . .litres . . . . . . . .de . . . .carburant . . . . . . . . . . . . . .(doc. . . . . . . .1) ............... La voiture. . produit .................. . . . . . . . . . . .6 L . . . . .de . . . .carburant ...................................... 5 0 8
quand elle. . consomme .................. . . . . . . . . . . . . . . . 48 L. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .–. . . .4 . . . .8 . . . .6 ... 2
102
Avec . . . . . . .50 L . . . . . . .de . . . .carburant, . . . . . . . . . . . . . . .«. .PlusEco . . . . . . . . . . .». .fait . . . . . .1 . . 900 km. . . . . . ......... 50 L 100 •. .Une . . . . .valeur . . . . . . . . .approchée . . . . . . . . . . . . . . .de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......... 3 à. .l’unité près est 1 667 L. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .........
Il restait.2 L. .................. ...........................................................
1. . 900 km . . . . . . . . . . . .–. .1 . . .667 km . . . . . . . . . . . = 233 km . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .........
6 L + 2 L .= 8 L. .................. . . . . . . . .Ces . . . . . 8 L . . . . .peuvent . . . . . . . . . . . .être . . . . . .consommés .......................
Par . . . . .rapport . . . . . . . . . . .à . . .une . . . . .voiture . . . . . . . . . .classique, . . . . . . . . . . . . . .la . . .voiture . . . . . . . . . . .........
et ils produisent .................. . . . . . . . . . . . un . . . .nouveau . . . . . . . . . . . .litre. .................................
«. .Plus . . . . . .Eco . . . . . .». .permet . . . . . . . . . . de . . . . parcourir . . . . . . . . . . . . . gratuitement . . . . . . . . . . . . . . . . . . .........
48 L + 8 .L. .+. .1 .................. . . .L. .= . . .57 . . . . .L. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
une . . . . .distance . . . . . . . . . . . . .d’environ . . . . . . . . . . . .233 km. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .........
Donc 50 L. . .de .................. . . . carburant . . . . . . . . . . . . . .dans . . . . . . .le . . .réservoir . . . . . . . . . . . . de . . . .« . .PlusEco . . . . . . . . . . .».
•. .233 km . . . . . . . . . . .est . . . . . .proche . . . . . . . . .de . . . .la . . .distance . . . . . . . . . . . . .entre . . . . . . . .Paris . . . . . .........
équivalent .................. . . .à. . 57 L . . . . . . .dans . . . . . . .celui . . . . . . .d’une . . . . . . .voiture . . . . . . . . . .classique. .................
et . . . .Caen . . . . . . .(doc.2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .........
• 57 3 = 19 .................. . . . . . . . et . . . .19 . . . . .×. . 100 . . . . . . . .= 1 . . . . .900 .............................
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .........
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Tâches complexes
Les caméras 1 La situation-problème Le propriétaire d’un magasin veut installer des caméras de surveillance pour empêcher les vols dans son magasin. ● Aider le propriétaire à décider si la caméra placée sur le plan n° 1 du magasin est « efficace ». ● Déterminer, sur le plan n° 2, un nouvel emplacement pour la caméra de façon à ce qu’elle couvre une plus grande surface du magasin. ● Placer sur le plan n° 3 un minimum de caméras de façon à ce que tout le magasin soit sous surveillance.
2 Les supports de travail
Doc. 2 : Les caméras.
Les documents, les instruments de géométrie, la calculatrice. Doc. 1 : Les trois plans du magasin. caméra
• Les caméras peuvent tourner sur 360 °. • Une caméra est dite « efficace » si elle couvre au moins 80 % de la surface du magasin.
entrée
Plan n°1
entrée
entrée
Plan n°2
Plan n°3
Toute piste de recherche, même non aboutie figurera ci-dessous et sur le document 1. 80 100
................... . . . . .est . . . . . .25 . . . . .carreaux . . . . . . . . . . . .et ............× . . .25 . . . . .carreaux . . . . . . . . . . . .= . . .0,8 . . . . .× . . .25 . . . . .carreaux . . . . . . . . . . . .= . . .20 . . . . .carreaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . ... L'aire du magasin ......................... . . . . . . . . .». .une . . . . . caméra . . . . . . . . . . .doit . . . . . .couvrir . . . . . . . . . .20 . . . . .carreaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . ... Donc pour être « efficace . . . . . . . . sur . . . . . le . . . plan . . . . . . n° 1 . . . . . . couvre . . . . . . . . . .17 . . . . .carreaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . ... •......................... La caméra représentée ......................... . . . . . . . . .placée . . . . . . . . .sur . . . . .le . . .plan . . . . . .n° 1 . . . . . .n’est . . . . . . . .pas . . . . .«. .efficace . . . . . . . . . . . ». . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . ... 17 20 donc la caméra
1 . . . . . le . . .plan . . . . . . n° 2 . . . . . . couvre . . . . . . . . . .environ . . . . . . . . . .21 . . . . .carreaux . . . . . . . . . . . . .(exactement . . . . . . . . . . . . . . . . . .21 . . . . .+. . . . .). .et . . . elle . . . . . .est . . . . .«. .efficace . . . . . . . . . . . ». . . .. . . . . . . . ... •......................... La caméra placée sur 3 . . . . . . . . . . .sur . . . . .le . . .plan . . . . . .n° 3 . . . . . .couvrent . . . . . . . . . . . . .tout . . . . . . .le . . .magasin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . ... •......................... Les deux caméras.placées © Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
Tâches complexes
103
Tâches complexes
Curiosity
1 La situation-problème Le rover américain Curiosity s’est posé sur la planète Mars le 6 août 2012. Il est chargé d’effectuer une série d’analyses de l’atmosphère et du sol de cette planète, afin de savoir si elle a été un jour une planète habitable. Après quelques jours passés à vérifier ses instruments, Curiosity a commencé à se déplacer. Tracer sur le Doc. 4 ses déplacements du 29 août au 16 septembre 2012, à partir du point A.
2 Les supports de travail Les documents, les instruments de géométrie, la calculatrice. Doc. 1 : Les données. date
compteur (en m)
azimut (en °)
date
compteur (en m)
azimut (en °)
date
compteur (en m)
azimut (en °)
29/08
0027 0048
105 139
01/09
0078 0108
132 138
15/09
0163 0183
92 63
30/08
04/09
16/09
Doc. 2 : L’azimut.
Doc. 3 : Le compteur.
L’azimut est l’angle compris entre la direction prise par Curiosity et le Nord. Il est mesuré depuis le Nord en degrés de 0° à 359° dans le sens des aiguilles d’une montre.
Le compteur a été déclenché au moment où le rover s’est mis en route. Il cumule les distances parcourues.
Doc. 4 : Le sol de la planète Mars. Nord
105° A
139°
27 m
B
21 m
132° C 30
138°
m
D
30
m
92° E
0
104
50 m
63°
55 m
F
m 20
G
100 m
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Tâches complexes
Les nageuses 1 La situation-problème
Doc. 1 : Une figure à deux cercles.
Un club de natation synchronisée prépare un spectacle qui aura lieu au moment de la fête du lac. Les nageuses devront former des cercles concentriques (c’est-à-dire qui ont le même centre). ● Placer sur le Doc. 2 les têtes des nageuses qui seront sur le troisième cercle. ● Aider leur entraîneur à déterminer le nombre de nageuses qu’il faudra réunir pour réaliser une figure à cinq cercles.
2 Les supports de travail Les documents, les instruments de géométrie, la calculatrice. Doc. 2 : Le plan d’une figure à trois cercles. Les points rouges représentent les têtes des nageuses.
Toute piste de recherche, même non aboutie figurera ci-dessous et sur le document 2. • Sur chaque cercle ................... . . . . . . . .il. .y. .a. .deux . . . . . . .fois . . . . . .plus . . . . . .de . . . .nageuses . . . . . . . . . . . . .que . . . . . .sur . . . . .le . . cercle . . . . . . . . .précédent . . . . . . . . . . . . . . .et . . . on . . . .peut . . . . . . .donc . . . . . . .construire . . . . . . . . . .. . . . . . . . ... ce tableau. ......................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Numéro . . . . . . . . . du . . . .cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1. . . . . . . .2 ........3 . . . . . . . . .4. . . . . . . . 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . ... Nombre de nageuses sur le cercle
6
12
24
48
96
......................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . ...
•......................... 6 + 12 + 24 + 48. .+. .96 . . . . .= . . .186. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . ... Donc il faudrait mobiliser ......................... . . . . . . . . .186 . . . . . . .nageuses . . . . . . . . . . . . . .pour . . . . . .une . . . . . .figure . . . . . . . .à. .5 . . .cercles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . ... © Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
Tâches complexes
105
Tâches complexes
Décryptage
1 La situation-problème Anatole a écrit un texte, puis il a remplacé chaque lettre de l’alphabet par un signe secret. En plus, il a supprimé la ponctuation et les espaces. Qu’avait-il écrit ?
2 Les supports de travail Les documents. Doc. 1 : Le texte d’Anatole.
♦ ♣ ♣♥♦♣ ♠
Doc. 2 : Un diagramme. 12 10 8 6 4 2 0
Doc. 3 : Des indices.
: A : P
: S : U
A B C D E F G H I J K L MN O P Q R S T U VWX Y Z
Ce diagramme indique le nombre de fois où apparaît chaque lettre du texte. D’après Mathématiques sans Frontières Junior
Toute piste de recherche, même non aboutie figurera ci-dessous. •............ On compte . . . . .le . . .nombre . . . . . . . . . . .de . . . fois . . . . . .où . . . .chaque . .. . . . . . . .signe . . . . . . . .secret . . . . . . . . . .apparaît . . . . . . . . . . . .dans . . . . . . .le . . .texte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......... •.................. Puis on regarde . . . . .à. .quelle(s) . . . . . . . . . . . .lettre(s) . . . . . . . . . . . . .ce . .. signe . . . . . . . .correspond . . . . . . . . . . . . . . . .à. . l’aide . . . . . . . .du . . . .diagramme . . . . . . . . . . . . . . . et . . . .des . . . . . .indices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......... α 8
← ↓ 7 12 5
♦ 2
• ♣ → ∩ ♥ ♠ 1 4 3 6 3 7 2 1 1 B C S .................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . ou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .ou . . . . . ou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......... F S V T D C R A .................. . . . . . . . . . .ou . . . . . .ou . . . . . .E. . . . . N . . . . . .S.. . . .ou . . . . . .ou . . . . . ou ......O . . . . . .U. . . . . .L. . . . .ou . . . . . .A. . . . . .P. . . . .ou . . . . . ou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......... Lettre V B I R P S U T .................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . ou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .ou . . . . . ou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......... B C V Signe Nombre d’apparitions
1
8
.................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..........
A• On essaie d’écrire .................. . . . . . . . . . .le . . .texte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......... re 1.................. ligne : R I E. . . .N. . . N . . . .E . . . .S. . . E . . . .R. . . T . . . .D. . . E . .. .B . . . .O. . . U . . . .R . . . .I. .R . . . .I. .L. . . F . . . .A. . . U . . . .T. . . P . . . .A . . . .R. . .T . . . .I . .R . . . .A. . . P . . . .O . . . .I . .N . . . .T. . . . . . . . . . . . ..........
ou T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T. . . .R. . . . . . . .. . .C. . . . . . . . . . T. . . . . . .T. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .R. . . . . . . . . .T. . . R .................. ......T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .R . . . . . . . . . . . . .......... ou .................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .V. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......... e 2.................. ligne : F A. .C. . . .L. . .E. . .D . . . .E. . . L . . . .A. . .F. . .O. . . N . .. .T. . . A . . . .I. .N . . . .E. . .L. . . E . . . .L. . .I. . E . . . .V. . . R . . . .E . . . .E. . .T. . . L . . . .A. . .T . . . .O. . .R . . . .T. . .U . . . .E. . . . . . . . . . . . . . . . ..........
ou .................. . . .V. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .B . . . .T. . . . . . . . . .R ..........R . . . . . . . .T. . .R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......... ou .................. . . .B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......... On obtient le texte .................. . . . . . . . .:.Rien . . . . . . .ne . . .sert . . . . . . .de . . . .courir, . . . .. . . . .il. .faut . . . . . . .partir . . . . . . . .à. . point. . . . . . . . . .Fable . . . . . . . .de . . . La . . . .Fontaine . . . . . . . . . . . . .: .Le . . . .lièvre . . . . . . . et . . . .la . . .tortue. . . . . . . . . . . . . ..........
106
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Tâches complexes
La citerne 1 La situation-problème Des pluies diluviennes se sont abattues sur un village qui est coupé du monde. Il n’y a plus d’électricité ni d’eau potable. La seule ressource en eau potable est la citerne de secours du village. Aider le Maire du village à décider combien de litres il peut distribuer chaque jour à chaque villageois.
2 Les supports de travail Les documents,la calculatrice. Doc. 1 : La citerne de secours.
1m
2
m
2m
La citerne est un pavé droit de dimensions 1,5 m, 2 m et 2 m.
1,5 m
Doc. 2 : La situation.
Doc. 3 : Le bilan du dernier recensement.
L’électricité sera rétablie dans 2 jours. L’eau potable sera rétablie au plus tôt dans 3 jours et au plus tard dans 5 jours.
Nombre de personnes 1 par foyer Nombre de foyers
2
3
4
5
6
7
17 11
8
7
6
2
1
Toute piste de recherche, même non aboutie figurera ci-dessous. • (17 × 1) + (2 ................... . . .× . . .11) . . . . . .+. .(3 . . . .×. .8) . . . .+ . . .(4 ...× . . .7) . . . .+. .(5 . . . .× . . 6) . . . .+ . . .(6 . . . .×. .2) . . . .+. . (7 . . . .× . . .1) . . . .=. .140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . ... Donc il y a 140 villageois. ......................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . ... • Dans la cuve, l’eau. .est ......................... . . . . . .au . . . niveau . . . . . . . . . du . . . . premier . . . . . . . . . . . quart . . . . . . . . .au-dessus . . . . . . . . . . . . . . de . . . .1 m. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . ... • 1 m : 4 = 0,25 m.donc ......................... . . . . . . .la . . .hauteur . . . . . . . . . . . de . . . .l’eau . . . . . . .dans . . . . . . .la . . .cuve . . . . . . .est . . . . .1,25 . . . . . . . .m. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . ... • 1,5 m × 2 m × 1,25 ......................... . . . . .m . . .= . . .3,75 . . . . . . .m . . .3.,. donc . . . . . . . .la . . cuve . . . . . . .contient . . . . . . . . . . . . 3,750 . . . . . . . . . .m . . .3. .soit . . . . . .3 . . .750 L . . . . . . . . .d’eau. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . ... • 3750 L 140 ≈.26,7 ......................... . . . . . . . .L. .donc . . . . . . .on . . . .peut . . . . . . .distribuer . . . . . . . . . . . . . .environ . . . . . . . . . .26,7 . . . . . . . .L. .à. . chaque . . . . . . . . . . .villageois. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . ... • 26,7 L 5 = 5,34 ......................... . . .L. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . ... Donc le Maire du village ......................... . . . . . . . .peut . . . . . . distribuer . . . . . . . . . . . . . . .chaque . . . . . . . . . .jour . . . . . .environ . . . . . . . . . .5 . . .L. .d’eau . . . . . . .à . . .chaque . . . . . . . . . .personne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . ... et ce pendant 5 jours. ......................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . ... © Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
Tâches complexes
107
Notes
................................................................................. ................................................................................. ................................................................................. ................................................................................. ................................................................................. ................................................................................. ................................................................................. ................................................................................. ................................................................................. ................................................................................. ................................................................................. ................................................................................. ................................................................................. ................................................................................. ................................................................................. ................................................................................. ................................................................................. ................................................................................. ................................................................................. ................................................................................. .................................................................................
108
Les logiciels
Tableur Un tableur permet de travailler dans des feuilles de calcul. Une feuille de calcul se présente sous forme d’un tableau où chaque ligne est repérée par un nombre et chaque colonne est repérée par une lettre majuscule. Les cases du tableau sont appelées des cellules. Barre de formule
Colonne F
Nom de la cellule sélectionnée Curseur de défilement des lignes
Ligne 7
Cellule F7
Onglets de feuille de calcul
Curseur de défilement des colonnes
Logiciel de géométrie dynamique Un logiciel de géométrie dynamique permet de construire des figures de géométrie dans le plan ou dans l’espace, d’afficher des longueurs, des aires, des volumes, de déplacer des points, de mettre en évidence des propriétés… C’est un outil qui permet d’expérimenter et de conjecturer. Aide sur l’outil sélectionné Barre d’outils Barre de styles
En cliquant sur ▼ ▼, les sous-menus se déroulent.
Boutons pour afficher : des axes ● une grille ●
Ce point est obtenu en cliquant sur Point
On choisit l’apparence du point et sa couleur. Ici, on a choisi une croix bleue.
Feuille de dessin
109
Les instruments de géométrie Avec la règle Avec la règle graduée, on peut mesurer la longueur d’un segment, ou tracer un segment de longueur donnée.
On peut tracer des droites, des segments, …
A
B
Avec l’équerre On peut tracer des droites perpendiculaires. Les deux côtés qui forment un angle droit.
Avec le compas On peut tracer des cercles.
On peut reporter des longueurs.
Avec le rapporteur On peut tracer un angle de mesure donnée.
On peut mesurer des angles. B
60° O
110
A
Les calculatrices Allumer
Éteindre :
Pour passer de l’écriture fractionnaire à l’écriture décimale et inversement.
Afficher une fraction Pour afficher 9 taper : 4
9
4
Corriger, effacer : effacer le dernier caractère : effacer l’écran
Signe – d’un nombre négatif Effectuer un calcul (exécution) Afficher le nombre π
Corriger, effacer : effacer le dernier caractère
Éteindre :
: effacer l’écran
Afficher une fraction Pour afficher 9 taper : 4
9
Pour passer de l’écriture fractionnaire à l’écriture décimale et inversement.
4
Effectuer un calcul (exécution) Afficher le nombre π Allumer Signe – d’un nombre négatif
Allumer
Éteindre : Afficher une fraction Pour afficher 9 taper : 4
9
ou
4
Signe – d’un nombre négatif
Pour passer de l’écriture fractionnaire à l’écriture décimale et inversement. MODE
ON
Afficher le nombre π Corriger, effacer : effacer le dernier caractère : effacer l’écran Effectuer un calcul (exécution)
111
Les tables de multiplication 0
1
2
1 ×
0
=
0
1 ×
1
=
1
1 ×
2
=
2
2 ×
0
=
0
2 ×
1
=
2
2 ×
2
=
4
3 ×
0
=
0
3 ×
1
=
3
3 ×
2
=
6
4 ×
0
=
0
4 ×
1
=
4
4 ×
2
=
8
5 ×
0
=
0
5 ×
1
=
5
5 ×
2
=
10
6 ×
0
=
0
6 ×
1
=
6
6 ×
2
=
12
7 ×
0
=
0
7 ×
1
=
7
7 ×
2
=
14
8 ×
0
=
0
8 ×
1
=
8
8 ×
2
=
16
9 ×
0
=
0
9 ×
1
=
9
9 ×
2
=
18
10 ×
0
=
0
10 ×
1
=
10
10 ×
2
=
20
3
4
5
6
1 ×
3
=
3
1 ×
4
=
4
1 ×
5
=
5
1 ×
6
=
6
2 ×
3
=
6
2 ×
4
=
8
2 ×
5
=
10
2 ×
6
=
12
3 ×
3
=
9
3 ×
4
=
12
3 ×
5
=
15
3 ×
6
=
18
4 ×
3
=
12
4 ×
4
=
16
4 ×
5
=
20
4 ×
6
=
24
5 ×
3
=
15
5 ×
4
=
20
5 ×
5
=
25
5 ×
6
=
30
6 ×
3
=
18
6 ×
4
=
24
6 ×
5
=
30
6 ×
6
=
36
7 ×
3
=
21
7 ×
4
=
28
7 ×
5
=
35
7 ×
6
=
42
8 ×
3
=
24
8 ×
4
=
32
8 ×
5
=
40
8 ×
6
=
48
9 ×
3
=
27
9 ×
4
=
36
9 ×
5
=
45
9 ×
6
=
54
10 ×
3
=
30
10 ×
4
=
40
10 ×
5
=
50
10 ×
6
=
60
7
8
9
1 ×
7
=
7
1 ×
8
=
8
1 ×
9
=
9
2 ×
7
=
14
2 ×
8
=
16
2 ×
9
=
18
3 ×
7
=
21
3 ×
8
=
24
3 ×
9
=
27
4 ×
7
=
28
4 ×
8
=
32
4 ×
9
=
36
5 ×
7
=
35
5 ×
8
=
40
5 ×
9
=
45
6 ×
7
=
42
6 ×
8
=
48
6 ×
9
=
54
7 ×
7
=
49
7 ×
8
=
56
7 ×
9
=
63
8 ×
7
=
56
8 ×
8
=
64
8 ×
9
=
72
9 ×
7
=
63
9 ×
8
=
72
9 ×
9
=
81
10 ×
7
=
70
10 ×
8
=
80
10 ×
9
=
90
Conception graphique : Julie Lannes
Édition : Christine Lataste, Violette Pogoda
Couverture : Jean-Marc Denglos
Schémas et illustration : Laurent Blondel – Corédoc
Mise en pages : Desk