Transmaths Nathan Cahier Exercices Corrigé 5eme [PDF]
Le cahier Joël Malaval Annie Plantiveau Frédéric Puigredo Le papier de cet ouvrage est composé de fibres naturelles, r
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Le cahier
Joël Malaval Annie Plantiveau Frédéric Puigredo
Le papier de cet ouvrage est composé de fibres naturelles, renouvelables, fabriquées à partir de bois provenant de forêts gérées de manière responsable.
5 Nouveau programme
2016
Sommaire Nombres et calculs
6 Additionner, soustraire des nombres relatifs 29. Addition............................................................ 34
1 Nombres décimaux 1. Fractions décimales et nombres décimaux . . . . . 6 2. Repérage sur une demi-droite graduée . . . . . . . . . . 7 3. Comparaison de nombres décimaux . . . . . . . . . . . . . 8 4. Perfectionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
30. Soustraction .................................................... 35 31. Somme algébrique .......................................... 36 32. Perfectionnement ............................................ 37 33. QCM et jeux ..................................................... 38
5. QCM et jeux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Calculer avec des nombres décimaux 6. Addition – Soustraction . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 11 7. Multiplication – Division . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 8. Calculer une expression numérique. . . . . . . . . . . . . 13 9. Calculer avec des durées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 10. Perfectionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 11. QCM et jeux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
orGaNIsatIoN et GestIoN De DoNNÉes
7 Calculer une quatrième proportionnelle 34. Tableaux de proportionnalité .......................... 39 35. Utiliser la proportionnalité ............................. 40 36. Pourcentages ................................................... 41 37. Échelle............................................................... 42 38. Perfectionnement ............................................ 43 39. QCM et jeux ..................................................... 44
3 Utiliser le langage littéral 12. Utiliser une expression littérale ..................... 17 13. Tester une égalité ............................................. 18 14. Produire une expression littérale ................... 19 15. Avec le tableur ................................................. 20 16. Perfectionnement ............................................ 21 17. QCM et jeux ...................................................... 22
4 Découvrir les nombres rationnels 18. Notion de nombre rationnel ........................... 23 19. Égalité de quotients ........................................ 24 20. Proportion, fréquence ..................................... 25 21. Perfectionnement ............................................ 26 22. QCM et jeux ..................................................... 27
5 Découvrir les nombres relatifs 23. Nombres relatifs.............................................. 28
8 Lire des données 40. Tableaux : effectifs ........................................... 45 41. Tableaux : fréquences ...................................... 46 42. Classes et histogramme ................................. 47 43. Perfectionnement ............................................ 48 44. QCM et jeux ..................................................... 49
9 Utiliser un tableur-grapheur 45. Construire un diagramme .............................. 50 46. Moyenne d’une série statistique.................... 51 47. Moyenne, médiane et tableur ......................... 52 48. Perfectionnement ............................................ 53 49. QCM et jeux ..................................................... 54
10 Découvrir la notion de probabilité
24. Repérage sur une droite graduée .................. 29
50. Vocabulaire et situations ................................. 55
25. Comparaison ................................................... 30
51. Probabilités des issues .................................... 56
26. Repérage dans le plan .................................... 31
52. Probabilités et fréquences .............................. 57
27. Perfectionnement............................................. 32
53. Perfectionnement ............................................ 58
28. QCM et jeux ..................................................... 33
54. QCM et jeux ..................................................... 59
La photocopie de cet ouvrage en tout ou partie n’est pas autorisée par les Éditions NATHAN. Pour mémoire, la photocopie non autorisée est un délit punissable par la Loi. © Éditions Nathan 2016 – ISBN : 978-2-09-171923-8
2
Sommaire GraNDeurs et mesures
11 Calculer des longueurs et des aires 55. Unités – Changement d’unité......................... 60
81. Perfectionnement ............................................ 86 82. QCM et jeux ..................................................... 87
17 Utiliser une symétrie
56. Longueurs, périmètres ................................... 61
83. Symétrie axiale : rappels ................................ 88
57. Aires .................................................................. 62
84. Symétrie centrale ............................................ 89
58. Perfectionnement ............................................ 63
85. Symétriques de figures usuelles.................... 90
59. QCM et jeux ..................................................... 64
86. Axe et centre de symétrie ............................... 91 87. Perfectionnement............................................. 92
12 Calculer des volumes 60. Unités de volume et de contenance .............. 65 61. Volumes du prisme droit, du cylindre ............ 66 62. Volumes de la pyramide,
88. QCM et jeux ..................................................... 93
18 Connaître les quadrilatères 89. Parallélogrammes ........................................... 94
du cône, de la boule ........................................ 67 63. Perfectionnement ............................................ 68
90. Parallélogrammes particuliers ....................... 95
64. QCM et jeux ..................................................... 69
particulier ......................................................... 96
91. Reconnaître un parallélogramme
92. Utiliser un logiciel ........................................... 97 93. Perfectionnement ............................................ 98
esPace et GÉomÉtrIe
94. QCM et jeux ..................................................... 99
13 Visualiser et représenter des solides 65. Représentations en perspective..................... 70
alGorItHmIQue et ProGrammatIoN
66. Patrons et maquettes ...................................... 71 67. Perfectionnement............................................. 72 68. QCM et jeux ..................................................... 73
14 Connaître les triangles 69. Médiatrices et hauteurs .................................. 74 70. Inégalité triangulaire ....................................... 75 71. Construction de triangles ................................ 76 72. Perfectionnement ............................................ 77 73. QCM et jeux ..................................................... 78
19 Étudier un programme simple 95. Construire une animation............................. 100 96. Construire un script qui répond
à un événement..............................................101
97. Programmer des scripts se déroulant
en parallèle..................................................... 102
98. Faire appel à un sous-programme............... 103 99. Perfectionnement .......................................... 104 100. QCM et jeux................................................. 105
15 Caractériser le parallélisme avec les angles 74. Vocabulaire des angles ................................... 79
tâcHes comPlexes
75. Deux parallèles et une sécante ...................... 80
PackMath . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . ..... 106
76. Reconnaissance du parallélisme .................... 81
Les utilisateurs d’un réseau social. . . . . . . . . . . . . . . ..... 107
77. Perfectionnement............................................. 82 78. QCM et jeux ..................................................... 83
16 Connaître les angles d’un triangle 79. Somme des angles d’un triangle ................... 84 80. Triangles particuliers ....................................... 85
Le récupérateur d’eau de pluie. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . ..... 108 Le golf-cible. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . ..... 109 Le trésor du pharaon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... 110 La piscine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... 111 Formulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... 112
3
Je découvre mon cahier 19 chapitres comprenant 4 à 6 fiches d’exercices
Entraînement
Perfectionnement
Calculer une quatrième proportionnelle
FICHE
7
CALCUL MENTAL
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
CALCUL MENTAL
FICHE
CHAPITRE
●
Coefficient de proportionnalité Masse (en kg)
4
6
Prix (en €)
12
x
●
×3
1
Masse (en kg)
4
Prix (en €)
12
4
6
Prix (en €)
12
x
3
4
10
3,80
9,50
Montrer que le prix est proportionnel au nombre de baguettes puis donner le prix d’une baguette.
x
Passage par l’unité
4 kg coûtent 12 €. • 1 kg coûte 12 € : 4. Donc 1 kg coûte 3 €. • 6 kg coûtent 6 × 3 €. Donc 6 kg coûtent 18 €.
6€
d. Saisir la formule
+
Lili a établi ce tableau à l’aide d’un podomètre. 75
400
1 000
Distance (en m)
54
288
750
La distance parcourue par Lili est-elle proportionnelle au nombre de pas ? Si non modifier un nombre de ce tableau pour qu’elle le devienne.
=B2*B3/100
=F4/F2
en cellule F5.
2 En 2006, lors du recensement, 7,4 millions parmi les 31,4 millions de Canadiens disaient que le français était leur langue officielle. Entre 2006 et 2011, la population du Canada a augmenté de 6 % et le nombre de Canadiens parlant français a augmenté de 300 000. Le pourcentage de Canadiens parlant français a-t-il diminué ou augmenté entre 2006 et 2011 ?
16,50
c. Combien de perles a un collier qui coûte 16,50 € ?
Nombre de pas
3
La partie émergée d’un iceberg a un volume de 900 m3 et la partie immergée a un volume de 6 300 m3. Quel pourcentage du volume total de la glace est immergé ?
Voici un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, entourer la (ou les) réponse(s) exacte(s).
A
Durée (en min)
4
10
y
2
Distance (en km)
7
x
42
z
4 Sophie, qui a quitté NÎMES PARIS 153 km 565 km Nîmes en voiture à 14 h 45, voit ces panneaux à 16 h 25. Si elle continue à la même vitesse, à quelle distance de Paris sera-t-elle quand elle fera une pause, au bout de 2 heures de trajet ?
B
Anne a payé 12 € pour 8 boîtes de conserve identiques qui pèsent ensemble 5 kg. Alors…
C
30 % de 40 L c’est aussi…
D
Dans une entreprise, il y a 27 hommes et 33 femmes. Dans cette entreprise, il y a…
E
Sur une carte à l’échelle 1 … 600 000
jeu
1
24 12
70 %
3 4
0,2
120 %
2
3 15
4 5
80 %
0,75
2 5
6 5
5
Sur une carte à l’échelle 1 , 40 cm séparent 000 000
0,8
14 20
Quelle distance sépare ces villes sur une carte à l’échelle 1. Compléter ce tableau de proportionnalité qui donne des informations sur une voiture. ×
Distance (en km)
480 400
Consommation (en L) 12
18
une boîte coûte 1,50 €
1 kg coûte 2,40 €
12 L
20 % de 60 L
80 % de 15 L
27 % d’hommes
45 % d’hommes
55 % de femmes
1 cm représente 6 km
une distance de 21 km est représentée par 3,5 cm
18 cm représentent 3 km
40 %
1,2
0,7
200 %
75 % 20 %
2
Trouver le mot caché sur la deuxième ligne du tableau. Si on remplace A par 1, B par 2, …, ce tableau est un tableau de proportionnalité. H
J
F
R
Z
B
X
D
jeu
3
Manon a préparé deux étiquettes pour ces bouquets de roses. Que doit-elle écrire sur la troisième étiquette ?
Athènes et Paris.
4
7 2
z=
y=4×6
une boîte pèse 1,6 kg
jeu
Ranger les 21 cartes ci-dessous en 7 familles puis pour chaque famille, imaginer une 4e carte qui sera ajoutée. Les 21 cartes : 0,4
5
Bilan . . . . . / 5
x = 10 × 1,75
Pour ce tableau de proportionnalité…
14
b. Quel est le prix d’un collier de 14 perles ?
2
=B3:100*B2
Puis formater cette cellule F5 pour obtenir une valeur approchée du pourcentage à l’unité près. Quel a été le pourcentage d’enfants parmi les visiteurs au cours de ce « pont » ?
× 8 6
& jeux 39 QCM
b. Parmi les formules ci-dessous, entourer celle(s) qui peut (peuvent) être saisie(s) dans la cellule B4 et que l’on recopiera ensuite vers la droite jusqu’à la cellule E4.
a. Compléter le tableau ci-dessous.
Prix (en €)
BILAN . . . . . / . . . . .
a. Réaliser cette feuille de calcul avec un tableur.
c. Compléter la plage B4:E4 et les cellules F2 et F4.
3 Le prix d’un collier est proportionnel au nombre de perles.
Nombre de perles
● ..............
QCM
6
●
x = 12 × 1,5 = 18
2,85
● ..............
On a noté le nombre de visiteurs d’un zoo et la proportion d’enfants, lors d’un « pont » de 4 jours.
Masse (en kg)
Un boulanger a réalisé ce tableau.
Nombre de baguettes
● ..............
38 Perfectionnement
=B3*B2
Prix (en €)
● ..............
1
Multiplication d’une quantité × 1,5
x = 6 × 3 = 18
● ..............
●
BILAN . . . . . / . . . . .
34 Tableaux de proportionnalité Pour calculer la quatrième proportionnelle x de ce tableau de proportionnalité, on peut utiliser plusieurs méthodes.
Un QCM pour s’évaluer ● Des jeux pour apprendre
Des exercices
FICHE
Des exercices et avec rappels de cours
QCM et jeux
6€
1 ? 8 000 000
7,50 €
×
2. Que signifie le nombre écrit dans la case : a. jaune ?
© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
b. verte ?
Chapitre 7 ● Calculer une quatrième proportionnelle
39
© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
• Un espace calcul mental permettant une pratique régulière en classe.
Chapitre 7 ● Calculer une quatrième proportionnelle
43
44
Des espaces réservés aux élèves pour : • calculer • faire des constructions • rédiger des réponses.
© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
FICHE
À la fin de chacune des trois parties, des pages consacrées au socle commun
SOCLE COMMUN
SOCLE COMMUN
Les principaux éléments de mathématiques et la culture scientifique et technologique
3 Exploiter des résultats Le schéma ci-contre présente une expérience. On dispose en étoile quatre lames métalliques dont les dimensions (épaisseur, largeur, longueur) sont identiques, mais chaque lame est d’un métal différent : acier, aluminium, cuivre et laiton. À l’extrémité de chaque lame, on fixe un bouchon par une goutte de cire. L’ensemble est disposé sur un support. Une bougie allumée est placée sous le centre de l’étoile. Lorsque l’extrémité de chaque lame atteint 65° (température de fusion de la cire), le bouchon tombe : les lames métalliques ont conduit la chaleur.
1 Comparer une situation à un modèle connu Pour fêter son anniversaire, Claire a prévu d’inviter 17 amis et de leur préparer des gâteaux au chocolat. a. Avec les 20 € que ses parents lui ont accordés, aura-t-elle assez d’argent pour réaliser ses gâteaux ? b. À quelle heure devra-t-elle commencer à cuisiner si elle veut sortir ses gâteaux du four à 13 h 30 ? Papa sucre
6 tâches complexes
➤ Pour valider ses compétences
e
Farin
1,84 €
500 g
250
g
2,51 €
bara
Levure de Boulanger
re
tte
g
1,73 €
température (en °C) 90 80 70 Acier 60 Aluminum 50 Cuivre 40 Laiton 30 20 10 0 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 temps (en secondes)
2,74 €
Beur
Be
urre barat te
750
Sucre
1,63 €
1,35 €
Conduction de la chaleur dans différents matériaux
1 kg
Yabon Sucre poudre
Sucre en poudre
Corsé
Ingrédients pour 6 personnes ● 200 g de chocolat noir ● 4 œufs ● 125 g de beurre ● 200 g de sucre en poudre ● 100 g de farine ● 1 sachet de levure Temps de préparation 15 min Temps de cuisson 25 min à 180 °C
1 kg
+
38
500
g
5 sachets
3,27 €
3,54 €
1,39 €
.................................................................
........................................................................
........................................................................
........................................................................
........................................................................
........................................................................
........................................................................
........................................................................
........................................................................
........................................................................
........................................................................
........................................................................
........................................................................
........................................................................
........................................................................
........................................................................
........................................................................
........................................................................
a. À l’aide du graphique ci-contre, trouver pour chaque métal le temps nécessaire à la chute du bouchon et compléter le tableau.
Temps (en secondes)
David prête son ordinateur portable à Mathilde. Il lui dit : « J’ai chargé la batterie. Tu peux rester 5 h en autonomie. » Un peu plus tard, le voyant de la batterie clignote et le message ci-contre apparaît. Cet affichage correspond-il à ce qu’a annoncé David ?
Le tableau ci-contre indique la répartition garçons/filles des élèves de 6e d’un collège. On sait que : ● en tout, il y a 109 élèves répartis dans les quatre classes ; ● les 6B et 6D ont le même nombre d’élèves.
22 min (9 %) restante(s)
………
………
………
………
© Nathan 2013 – Photocopie non autorisée.
date
compteur (en m)
azimut (en °)
01/09
0078 0108
132 138
Doc. 2 : L’azimut. L’azimut est l’angle compris entre la4direction prise par Curiosity 3 et le Nord. Il est mesuré depuis le Nord en degrés 2 de 0° à 359° dans le sens des aiguilles d’une montre.
Nord
À la fin du cahier 10 tâches complexes
Un système d’alerte permet de détecter un tsunami quand la vague est
des îles du Pacifique. À quelle heure locale est arrivéeDoc la vague à Hienghène, en Nouvelle-Calédonie ? 1 : Extrait des conditions d’utilisation
(en m)
15/09 16/09
➤ Pour aborder des résolutions de problèmes
(en °)
Épicentre du séisme.
0 1 6 3Fraise 92 Trajectoire de PackMath 0183 63
Magnitude 8. Doc 2 : Âge des élèves du collège à la rentrée
10
11
12
13
20 PACIFIQUE
80
120
150
OCÉAN
Effectif
Sur l’exemple ci-dessus, le score de PackMath est 120. En effet :
6 7
du réseau social
Les supports de travail1. Vous ne fournirez pas de fausses informations personnelles et ne créerez pas de compte pour une autre • PackMath perd 10 points chaque fois qu’il personne sans son autorisation. Les documents, les instruments de géométrie, la calculatrice. parcourt la diagonale d’un carré dont la longueur 2. Vous ne créerez qu’un seul compte personnel. d’un côté est une unité. Doc. 1 : 3. Si nous supprimons votre compte, vous n’en créerez pas d’autre sans notre autorisation. Une carte ÎLES SALOMON PAPOUASIE4. Vous n’utiliserez pas ce réseau social si vous avez moins de 13 ans. de la région. NOUVELLE-GUINÉE S 5. Vous ne communiquerez pas votre mot deÎles passe. azimut Doc 4 compteur : Un exemple date Santa Cruz Honiara
Doc. 3 : Le compteur. Le compteur a été déclenché au Côté moment où le rover s’est misdu encarré ABCD route. Il cumule les distances parcourues.
1
–1
Doc 3 : Utilisateurs du réseau social
14
15
Âge (en ans)
150
80
Proportion (en %) 60
VANUATU
10
11
12
13
14
15
52,5
95
94
96
96,25
H
300 km
Hienghène
NOUVELLEToute piste de recherche,CALÉDONIE même non aboutie, figurera ci-dessous.
AUSTRALIE
3 × 70 – 9 × 10 = 210 – 90 = 120
Nouméa
–2 –3
A
–4
Doc 5 : La partie proposée
Doc. 2 : Des informations horaires.
Doc. 3 : La vitesse de la vague.
–5
Dans cette partie, PackMath doit gagner six fraises dont les coordonnées sont :
L’heure GMT est l’heure observée au méridien de Greenwich. L’heure locale à Hienghène est l’heure GMT + 11 h.
L’onde du tsunami se déplaçait à raison de 800 km par heure.
–6 –7
(–6 ; –4) ; (–5 ; 3) ; (–5 ; 7) ; (2 ; –2) ; (5 ; 3) et (6 ; 0).
Toute piste de recherche, même non aboutie, figurera ci-dessous. ........................................................................
......................................................................
..............................................................................
......................................................................
Toute piste de recherche, même non aboutie, figurera ci-dessous et sur le document 3.
0
92
106
50 m
45
Tâches complexes
À la rentrée, tous les élèves d’un collège ont répondu à un sondage comportant deux questions : Q1 : « Quel est ton âge ? » Q2 : « Es-tu utilisateur du réseau social F. ? » À l’aide des résultats de ce sondage, le principal du collège souhaite réaliser un diagramme circulaire pour présenter la répartition des élèves selon qu’ils utilisent ou non ceTâches réseau compLexes social. Alerte tsunami Il veut aussi connaître le pourcentage d’élèves qui utilisent ce réseau social alors que leur âge ne le leur permet pas. La situation-problèmeAider le principal du collège à réaliser ces travaux.
Âge (en ans)
5
Fiche 38 ● Socle commun
© Nathan 2013 – Photocopie non autorisée.
Les utilisateurs d’un réseau social
à chaque fois qu’il passe sur une fraise.
Doc. 1 : Les données.
4
26
13
des îles Salomon, dans le sud-ouest de l’océan Pacifique. • Au début d’une partie, PackMath est positionné Les documents, la calculatrice, un tableur, les instruments de géométrie. au point O de coordonnées (0 ; 0) et il a 0 point.Une alerte au tsunami a été aussitôt déclenchée dans une grande partie
• Si PackMath atteint les points A, B, C ou D, la partie est terminée (Game Over...).
3
………
encore loin des rivages et d’avertir les populations concernées assez tôt • Le jeu se joue dans le carré ABCD tel que les pour sauver des vies. coordonnées de A sont (–7 ; 7) et celles de C (7 ; –7). 2 leLes supports Un puissant séisme s’est produit 6 février 2013 à 1 h 12 de GMT travail au large
Les documents, les instruments de géométrie, la calculatrice.
2
………
57
Doc 2 : Le règlement du jeu
PackMath repart de façon à ce que sa trajectoire un angle Lesforme supports de droit. travail
1
………
6C 6D
Lorsqu’il atteint les côtés du du carré ABCD, gagne Tracer•sur le Doc. 4 ses déplacements 29 août au 16 septembre 2012,•àPackMath partir du point A. une fraise, soit 70 points,
Doc. 4 :–7 Le –6 sol de –5 la–4planète –3 –2Mars. –1 0
Nombre d’élèves
1 La situation-problème
Doc 1 : Les déplacements de PackMath
6 5
27
12
Total
PackMath
Le rover américain Curiosity s’est posé sur la planète Mars le 6 août•2012. PackMath se déplace toujours en suivant Il est chargé d’effectuer une série d’analyses de l’atmosphère les de diagonales des carreaux du quadrillage. et du sol cette planète, afin de savoir si elle a été un jour une planète habitable. • PackMath ne peut changer de direction Après quelques jours passés à vérifier ses instruments, que sur les points du quadrillage. Curiosity a commencé à se déplacer.
04/09
………
………
........................................................................
Curiosity
7
Nombre de garçons
14
6B
........................................................................
Les documents, les instruments de géométrie.
105 139
Nombre de filles 6A
........................................................................
La situation-problème
0027 0048
Compléter ce tableau.
........................................................................
Jouer sur le document 3 la partie proposée par PackMath le robot puis calculer le meilleur score possible.
: La grille du jeu azimut dateDoc 3compteur (en m) (en °)
Acier – Laiton – Aluminium – Cuivre
........................................................................
2 Les supports de travail Tâches compLexes
30/08
………
.................................................................
1 La situation-problème
29/08
Laiton
………
4 Organiser l’information utile
Plan d’alimentation actuel : VAIO Optimisé
44
Tâches complexes
Cuivre
………
Cuivre – Aluminium – Laiton – Acier
2 Confronter l’information disponible à ses connaissances
La situation-problème ● Les supports de travail ● Un cadre pour rédiger
Aluminium
b. Parmi les deux listes ci-dessous, cocher celle qui classe les quatre métaux du moins bon conducteur de chaleur au meilleur conducteur de chaleur.
Travailler par compétences ●
Acier ………
100 m
© Nathan 2013 – Photocopie non autorisée.
..............................................................................
......................................................................
..............................................................................
......................................................................
..............................................................................
......................................................................
..............................................................................
......................................................................
..............................................................................
......................................................................
..............................................................................
......................................................................
..............................................................................
......................................................................
..............................................................................
......................................................................
© Nathan 2013 – Photocopie non autorisée.
© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
Tâches complexes
89
Tâches complexes
107
CHAPITRE
Nombres décimaux
FICHE
1
CALCUL MENTAL
● ..... . . . . . . . . .
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
1 Fractions décimales et nombres décimaux ●
On repère la valeur de chaque chiffre du nombre 7,43 :
Centaines
●
Dizaines
Unités ,
Dixièmes
Centièmes
7
4
3
,
Un nombre décimal admet différentes écritures. 74 3 43 + • 7, 43 = • 7, 43 = 7 + 10 100 100 7,43 = 7 + 0,43 Il y a 74 dixièmes Partie entière
Partie décimale
Écrire les nombres manquants. 47 64 b. 0, 064 = a. 4, 7 = 10 1000 700 4 c. 7 = d. 0, 4 = 100 10 3 506 e. 0, 003 = f. 5, 06 = 1000 100
2
Écrire les nombres manquants. 5 900 59 590 ,9 = = a. 5= 10 100 1000 3 160 316 , 16 = b. 3= 100 1000
3
Donner l’écriture décimale du nombre. 28 34 = 2, 8 = 0, 34 a. b. 10 100 513 87 = 51, 3 = 0, 087 c. d. 10 1000
4
Donner pour le nombre 63,4 :
a. sa partie entière :
63
b. sa partie décimale : 0,4
5
7, 43 = 7 + Écriture décimale
• 7, 43 =
4 3 + 10 100
743 100
Il y a 743 centièmes dans 7,43.
6
Donner l’écriture décimale du nombre écrit en vert. a. Lors d’une course, le second a terminé à treize centièmes de seconde du premier. b. Un ordinateur coûte trois cent huit euros quatre-vingt dix centimes. c. Le virus de la rougeole a un diamètre d’environ deux dix-millionièmes de mètre. a. 0,13 s
b. 308,90 €
c. 0,000 000 2 m
7
Donner l’écriture décimale du nombre. 7 2 + = 3 005, 702 a. 3 × 1000 + 5 + 10 1000 5 8 + = 460, 050 8 b. 46 × 10 + 100 10 000
8
Écrire avec une seule fraction décimale. 5 400 30 5 435 3 + = + + = a. 4 + 10 100 100 100 100 100 7 000 7 602 6 2 600 2 + = + + = b. 7 + 10 1000 1000 1000 1000 1000
9
Entourer d’une même couleur les écritures qui désignent le même nombre.
Pour le nombre 82,467, indiquer :
a. le chiffre des dizaines :
Chiffre Chiffre Chiffre des dixièmes des unités des centièmes
dans 7,43.
1
6
● ..............
8
b. le chiffre des dixièmes :
4
c. le nombre de dixièmes :
824
3+
57 100
35 7 + 10 100
3 057 100
305 7 + 10 100
357 centièmes
3 570 1000
3 × 10 +
57 100
© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
FICHE
CALCUL MENTAL
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
2 Repérage sur une demi-droite graduée Sur une demi-droite graduée : ●
chaque point est repéré par un nombre appelé abscisse de ce point ;
●
à chaque nombre correspond un point.
1
A
O
L’origine O a pour abscisse 0.
1
0
2
5
On a partagé l’unité en dix dixièmes.
Écrire l’abscisse de chaque point indiqué. a.
0
A
B
0,3
0,8
E
b.
a.
C
1,2
1 F
3,9 4
G
4,7
b.
0
S
0,4
T
1,8 2
1
U
2,6
V
6,37
W
6,43 6,45
6,4
6,49
39
39
39
38
38
38
Placer les points A, B et C d’abscisses respectives 5,82 ; 5,66 et 5,73.
B
39,2
38,4
Sur chaque demi-droite, on a partagé chaque dixième en dix centièmes. Écrire l’abscisse de chaque point indiqué. 0
H
G
0,02
0,07
J
8,18
8,2
0,1
L
8,24
8,3 8,31
a. Écrire l’abscisse de chaque point A, B et C. A 0
2,5
E
B 5 6
G
4,6
F C 10,5
b. Placer le point E d’abscisse 4, puis le point F d’abscisse 9,5 et le point G d’abscisse 7,5. c. Justine affirme : « Le point B est le milieu du segment [AC]. » A-t-elle raison ? Expliquer.
Justine se trompe : l’écart entre 2,5 et 6 est 3,5
5,8 5,82
A B
C
5,4 5,6
6,2
6,6
b. Placer les point A, B et C précédents sur cette portion de demi-droite graduée.
A
0,13
K
A
a. Écrire les abscisses des points A, B et C.
37,8
3
C
5,66 5,7 5,73
7
4
R
6
Écrire la température affichée sur chacun de ces thermomètres. a. c. b.
b.
Écrire l’abscisse de chaque point indiqué.
5,2
5
2
a.
L’abscisse du point A est 2,5.
3
2,5
B
C
5,5
6,5
8
Voici quatre records du monde du 100 m féminin réalisés entre 1976 et 1988. • F. Griffith-Joyner :10,49 s • E. Ashford :10,76 s • M. Göhr : 10,81 s • A. Richter : 11,01 s En utilisant la règle graduée, placer ces quatre temps sur cette portion de demi-droite. 10,4 10,49
10,76
10,9 11,01
et l’écart entre 6 et 10,5 est 4,5 (3,5 ≠ 4,5). © Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
Chapitre 1 ● Nombres décimaux
7
FICHE
CALCUL MENTAL
● ..... . . . . . . . . .
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
3 Comparaison de nombres décimaux ●
2,5 < 4
Lire « 2,5 est inférieur à 4 ».
●
Pour comparer deux nombres décimaux, on compare les parties entières.
●
4 > 2,5
Lire « 4 est supérieur à 2,5 ».
Si elles sont les mêmes, on compare les chiffres des dixièmes. S’ils sont les mêmes, on compare les chiffres des centièmes…
1
8
À sa naissance, un chaton pesait entre 0,09 kg et 0,095 kg. Écrire cinq valeurs possibles du poids, en kg, de ce chaton à la naissance.
Compléter par les signes , ou =.
a. 6,4 5,71
b. 4,32 4,75
c. 7,8 7,63
d. 5,402 5,43
e. 2,9 = 2,90
f. 7,652 7,8
0,091 ; 0,092 ; 0,093 ; 0,094 ; 0,094 5
2 Entourer en bleu le plus grand nombre de cette liste et en vert le plus petit. 8,65
3
7,8
7,645
7,598
8,3
8,7
7,76
Ranger ces nombres par ordre croissant.
24,35
24,6
24,328
24,54
24,537
24,328 24,35 24,537 24,54 24,6
4
Nils a 24,30 € et Zoé a 24 € et 5 centimes. Lequel des deux a le plus d’argent ? Expliquer.
24 € et 5 centimes c’est aussi 24,05 €. 24,05 24,30 donc Nils a plus d’argent que Zoé.
5
Ranger ces nombres par ordre décroissant.
8,39
8,4
8,36
8,52
8,308
8,517
Dans chaque cas, compléter par un nombre choisi dans la liste ci-dessous. • 4,007 • 4,183 • 4,18 • 4,194 •5 a. 4,18 b. 4
4,183
4,007
c. 4,007
4,18
4,194
4,16 4,183
10 Voici les populations en millions d’habitants de cinq villes françaises (recensement 2012). • Caen : 0,108 • Dijon : 0,15 • Fort-de-France : 0,085 • Rennes : 0,209 • Saint-Étienne : 0,171 5 1. Indiquer par un nombre entier le nombre d’habitants : a. de la ville de Caen : 108 000
8,52 8,517 8,4 8,39 8,36 8,308
b. de la ville de Fort-de-France : 85 000
6
2. Ranger ces villes par ordre croissant de leurs populations.
Encadrer chaque nombre par deux nombres entiers consécutifs. a. 7 7,8 8
b. 13 13,65 14
Fort-de-France ; Caen ; Dijon ;
c. 0 0,46 1
d. 99 99,7 100
Saint-Étienne ; Rennes
7
11
a. Encadrer 19,47 par deux nombres ayant un chiffre après la virgule, avec un écart de 0,1.
1. Intercaler un nombre.
a. 5,32 5,327 5,33
19,4 19,47 19,5
b. 4,7 4,703 4,71
b. Lequel de ces nombres est le plus proche de 19,47 ?
2. Intercaler deux nombres. 8,2
8
9
8,200 3
8,200 6
8,201
19,5 © Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
FICHE
CALCUL MENTAL
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
4 Perfectionnement 1
Trouver les écritures qui désignent le même nombre. Expliquer. 2 504 5 430 3 + • A: • B : 20 + 100 1000 1000 2 543 43 + 5 + 10 × 2 • C: • D: 1000 100 5 4 3 + + • E:2+ 10 100 1000
• F : 25 unités 43 millièmes
• A=
25 040 25 043 3 + = = 25, 043. 1000 1000 1000
c.
Akers
Henry Le Sommer Marta Wambach
0,689
0,713
0,65
0,86
0,7
Joueurs : Van Ibrahimovic Messi Ronaldo Batistuta Basten 0,77
0,672
0,599
0,696
a. Ranger par ordre croissant les ratios : • des joueuses • des joueurs
Joueuses : 0,65 0,689 0,7 0,713 < 0,86 Joueurs : 0,53 0,599 0,672 0,696 0,77
b. Parmi les dix joueuses et joueurs ci-dessus, qui a le meilleur ratio ? Le moins bon ratio ?
Marta a le meilleur ratio Dans chaque cas, écrire l’abscisse du point A. A
a. b.
Voici des valeurs approchées du nombre de buts par match (ratio) de dix joueurs et joueuses de football. Joueuses :
0,53
• B = 20 + 5,43 = 25,43. • C = 2,543. • D = 0,43 + 5 + 20 = 25,43. • E = 2,543. • F = 25,043. Conclusion : A = F = 25,043 ; B = D = 25,43 C = E = 2,543.
2
4
0,9
c. Combien de joueurs ont un ratio supérieur à celui d’au moins une joueuse ?
1,15
1
A 18,5
3 joueurs : Messi, Van Basten et Ronaldo
20,5
19,7 A
0,01
0,65
et Ibrahimovic a le moins bon ratio.
d. Calculer le ratio du célèbre footballeur Pelé sachant qu’il était supérieur de 8 centièmes à celui de Marta.
1,13
3
a. Écrire la quantité de liquide contenue dans chaque récipient. 0,2 L
0,5 L
0,1 L
0,25 L
0,86 + 0,08 = 0,94 Donc le ratio de Pelé était 0,94.
5
Donner un encadrement le plus petit possible de l’abscisse de chacun des points A, B et C. A 15,8
0,14 L
0,2 L
b. On verse le premier récipient dans le second. Indiquer sur cette portion de demi-droite graduée la nouvelle quantité de liquide. 0,1 © Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
0,34
B 15,9
C 16
L’abscisse du point A est comprise entre 15,87 et 15,88 ; celle du point B est comprise entre 15,96 et 15,97 et celle du point C est comprise entre 16,01 et 16,02.
0,5
Chapitre 1 ● Nombres décimaux
9
FICHE
QCM & jeux
5
Voici un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, entourer la (ou les) réponse(s) exacte(s).
QCM
2 307 1000
23 7 + 10 1000
7 est le chiffre des dizaines
4 est le chiffre des centièmes
la partie décimale est 0,145
5,27
5,28
528 10
4,38 et 4,47
4,41 et 4,49
4,356 et 4,454
1,728 ; 1,74 ; 1,8
87 13 3 ; ;2 + 100 10 100
7,5 ; 7,64 ; 7,589
2+
A
2,307 peut s’écrire…
B
Pour le nombre 672,145
Bilan ..... / 5
3 7 + 10 100
M
C
5,2
5,3
L’abscisse du point M est… A
D
B
4,35
4,45
Les abscisses des points A et B sont… E
Des nombres rangés par ordre croissant sont…
jeu
1
jeu
Quels mots peut-on écrire avec les lettres repérées par les nombres ci-dessous : • 6+
7 4 + 10 100
•
N K A L E R
662 100
67
• 10
6 660
• 1000
D M O V G
6,6
I
6,8
3
Combien de fois écrit-on le chiffre 7 si on écrit tous les nombres décimaux qui ont deux chiffres après la virgule et qui sont compris entre 3 et 4 ?
On écrit 19 fois le chiffre 7. (3,07 ; 3,17 ; … ; 3,77 ; 3,87 ; 3,97 : dix 3,70 ; 3,71 ; … ; 3,76 ; 3,78 ; 3,79 : neuf).
67 7 4 = 6,7 → I + = 6,74 → M • 10 10 100 662 6 660 = 6, 62 → A • • = 6,66 → E 100 1000
• 6+
On peut écrire AMIE ou AIME.
jeu
4
Ce mur est construit à partir de briques de couleurs blanche, rouge et verte. Les briques vertes valent 1,60 €, les blanches 1 € et 8 centimes et les rouges 1,35 €.
2
V
Trouver le nombre secret sachant que : • le nombre de centaines est 51 ; • le chiffre des dixièmes est le triple du chiffre des centaines ; • le chiffre des dixièmes est la moitié du chiffre des dizaines ; • le chiffre des centièmes est 0 ; • le chiffre des millièmes est égal au chiffre des unités ; • la somme des chiffres de ce nombre est 29. Le nombre secret est :
10
jeu
5 167,307
B
B R
V B
R V
B R
B R
V
B
Colorer les briques en respectant les deux règles : • deux briques qui se touchent n’ont pas la même couleur ; • le mur doit avoir un coût minimum. D’après Championnat International des Jeux Mathématiques et Logiques
© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
Calculer avec des nombres décimaux
CHAPITRE
CALCUL MENTAL
● ....... . . . . . . .
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
● ..............
6 Addition – Soustraction 5
a. À l’aide d’ordres de grandeur, décider si Louise peut acheter ces trois articles avec 60 €.
Sandra effectue une randonnée de 7,4 km. Au bout d’une demi-heure, elle a parcouru 1,6 km. a. Quelle distance lui reste-t-il encore à parcourir ? Poser l’opération et conclure par une phrase. b. Quelle donnée de l’énoncé est inutile ?
a. Il reste 5,8 km à parcourir à Sandra. 7, 14 – 11, 6 b. Le fait que Sandra a mis une demi5, 8 heure pour parcourir 1,6 km.
b. Calculer la somme exacte que Louise devrait payer.
19,90 €
25,60€ 0€
1
8,6
FICHE
2
• 25 + 20 + 10 = 55 et 55 60. Donc Louise peut acheter ces trois articles. • 25,60 + 19,90 + 8,60 = 54,10. Le prix des trois articles est 54,10 €.
2
Après avoir posé les opérations au brouillon, compléter cette table d’addition. +
46,07
16,6
23,44
8,4
54,47 103,83
25
31,84 81,2
57,76
74,36
3
Romain et sa sœur vont au cinéma avec 20 €. Après avoir payé leurs deux places 16,80 €, il leur manque 2,80 € pour acheter un poster. Quel est le prix de ce poster ?
• 20 − 16,8 = 3,2. Après avoir payé les deux places, il leur reste 3,20 €. • 3,2 + 2,8 = 6. Donc le prix du poster est 6 €.
4
Manon porte son cartable et celui de Nadia. Le cartable de Manon pèse 4,8 kg soit 0,6 kg de moins que celui de Nadia. Quelle masse Manon porte-t-elle ?
• 4,8 + 0,6 = 5,4. Donc le cartable de Nadia pèse 5,4 kg. • 5,4 + 4,8 = 10,2. Donc Manon porte 10,2 kg.
© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
6
Olivier peut-il installer sur son disque dur le jeu CrazyMath, qui occupe 7,8 Go ? Si oui, combien d’espace libre lui restera-t-il ? Si non, combien d’espace doit-il libérer ?
• 7,8 6,35. Donc Olivier ne peut pas installer le jeu. • 7,8 − 6,35 = 1,45. Donc Olivier doit libérer 1,45 Go.
7
Marie habite à La Rochelle et Nils sur l’île de Ré. Pour se rendre visite, ils empruntent un pont qui mesure 2,93 km. Quand Nils a passé le pont, il a parcouru 26,73 km. Quand Marie a passé le pont, elle a parcouru 12,7 km. Quelle distance sépare les maisons de Marie et de Nils ?
26,73 + 12,7 = 39,43. 39,43 − 2,93 = 36,5. Donc les maisons de Marie et de Nils sont distantes de 36,5 km. Chapitre 2 ● Calculer avec des nombres décimaux
11
FICHE
CALCUL MENTAL
● ..... . . . . . . . . .
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
7 Multiplication – Division 1
John transporte 6 boîtes qui pèsent chacune 0,85 kg. Quelle masse transporte-t-il ? Poser l’opération et conclure.
Il transporte 5,1 kg. ×
0, 8 5 6 5, 1 0
4 Dans chaque cas, calculer la masse d’une boîte. a. 4 boîtes identiques pèsent 17,2 kg. b. 5 boîtes identiques pèsent 4 kg.
1 7, 2 4 – 1 6 4,3 1 2 – 1 2 0
a. Une boîte pèse 4,3 kg.
2
b. Une boîte pèse 0,8 kg.
Calculer le prix de :
a. 3 kg de citrons ;
en L, d’une de ces bouteilles. 2. Donner le prix :
a. 3 × 3,50 € = 10,50 €. Donc 3 kg coûtent 10,50 €. b. 400 g = 0,4 kg 0,4 × 3,50 € = 1,40 €. Donc 400 g coûtent 1,40 €.
4,80 €
les
8 boutLeil 6
a. d’une bouteille ; b. d’un litre de cette boisson.
1. 6 L 8 = 0,75 L Une bouteille contient 0,75 L. 2. a. 4,8 8 = 0,60 Donc une bouteille coûte 0,60 €. b. 4,8 6 = 0,80 Donc un litre coûte 0,80 €.
3
Sur un flacon de gel douche acheté aux États-Unis, Emma lit la contenance de 12,5 fl.oz. L’once liquide (fl.oz pour fluid ounce) est une unité de contenance qui correspond à 29,57 mL.
6
Une épreuve de course à rollers consiste à effectuer 49 fois le tour d’un quartier soit une distance totale de 29,4 km.
a. Emma : « Mon flacon contient environ 600 mL de gel douche. »
Vérifier l’affirmation d’Emma en utilisant des ordres de grandeur. b. Calculer à la main la contenance, en mL, du flacon de gel douche.
a. 29,57 × 12,5 ≈ 30 × 13. Or 30 × 13 = 390 donc l’affirmation d’Emma est fausse. b. La contenance du flacon de gel douche d’Emma est de 369,625 mL, soit environ 370 mL.
4, 0 5 – 4 0 0,8 0
5 1. Calculer la contenance,
b. 400 g de citrons.
12
● ..............
×
29,57 12,5
14785 59140 295700 369,625
a. À l’aide d’ordres de grandeur, entourer la valeur qui correspond à la longueur d’un tour. 8 km
6 km
1 km
0,6 km
0,24 km
b. Vérifier le résultat avec la calculatrice.
29,4 49 = 0,6 c. Au bout de 32,5 tours, Zoé est passée en tête. Quelle distance doit-elle encore parcourir ?
• 32,5 × 0,6 = 19,5. Donc Zoé a parcouru 19,5 km. • 29,4 − 19,5 = 9,9. Donc Zoé doit encore parcourir 9,9 km.
© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
FICHE
CALCUL MENTAL
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
8 Calculer une expression numérique Pour calculer une expression numérique sans parenthèses, on effectue les multiplications et les divisions avant les additions et les soustractions.
●
Pour calculer une expression numérique où figurent des parenthèses, on effectue d’abord les calculs entre parenthèses.
●
1
Calculer les expressions A et B. A = 2 + 7 × 4 et B = 4,8 + 4,2 : 6.
A=2+7×4 A = 2 + 28 A = 30
2
B = 4,8 + 4,2 6 B = 4,8 + 0,7 B = 5,5
Calculer les expressions C et D. C = 6 – 3,4 + 1,5 et D = 15 × 3 : 10.
D = 15 × 3 10 D = 45 10 D = 4,5
C = 6 – 3,4 + 1,5 C = 2,6 + 1,5 C = 4,1
4
×
8,5
b. Avec la calculatrice, décider si Léo peut acheter avec cette somme un blouson qui coûte 42 €.
a. S = 17 × 1,30 + 23,50 × 0,92. b. Avec la calculatrice, on obtient S = 43,72 €. 43,72 42 donc Léo peut acheter ce blouson.
a. Écrire une expression M qui permet de calculer la masse, en g, d’un cube.
E = (2,4 × 3 − 5,1) 3 E = (7,2 − 5,1) 3
20
a. Écrire une expression S qui permet de calculer la somme, en euros, que Léo va obtenir.
Axel pèse des éléments d’un jeu de construction. Chaque pyramide pèse 68 g.
Calculer chaque expression. E = (2,4 × 3 − 5,1) 3 F = (30 − 10) × (1,5 + 7)
F=
Au retour d’un voyage, il reste à Léo 17 £ (livre sterling) et 23,50 $ (dollar), qu’il décide de changer en euros. Voici les cours des changes du jour : 1 £ → 1,30 € et 1 $ → 0,92 €
6
3
E= 2,1 3 F = (30 − 10) × (1,5 + 7)
5
E = 0,7 F = 170
0.352 MAXI 3kg
b. Calculer cette expression et conclure.
a. 0,352 kg = 352 g M = (352 − 68 × 3) : 2 b. M = 74, un cube pèse donc 74 g.
G = 1 239,5 − 71 × 9,2 + 2 998 × 0,1
a. Donner un ordre de grandeur de G.
500
+ 300
800 Un ordre de grandeur de G est 800. b. On trouve G = 886,1.
© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
a. Écrire une expression F qui permet de calculer la longueur AB.
B
C
m
a. 1 200 − 70 ×10 + 3 000 × 0,1 1 200 − 700 + 300
Le périmètre de cette figure est 14 m.
3,5
b. Calculer G avec la calculatrice.
7
A
E 2,1 m D
b. Calculer F et conclure.
a. F = [14 − (2,1 + 3,5)] : 3 b. F = (14 − 5,6) : 3 F = 8,4 : 3 La longueur AB mesure 2,8 m.
F = 2,8
Chapitre 2 ● Calculer avec des nombres décimaux
13
FICHE
CALCUL MENTAL
● ..... . . . . . . . . .
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
9 Calculer avec des durées ●
1 h = 60 min
●
1 min = 60 s
●
1 h = 3 600 s
60 heures
minutes
secondes
: 60
1
a. Un match de tennis a commencé à 11 h 35 et s’est terminé à 14 h 10. Calculer la durée de ce match.
Durée
Sets
1
2
3
4
11 12 1 10 2 3 9 4 8 7 6 5
11 h 35
2h 12 h
15 min = 0,25 h On dit que 0,25 h est une heure décimale.
: 60
4 Ryan : « J’ai dormi environ 25 000 secondes. » Exprimer cette durée en minutes et secondes, puis en heures, minutes et secondes.
25 000 = 416 × 60 + 40. Donc 25 000 s = 416 min 40 s. 416 = 6 × 60 +56. Donc 416 min 40 s = 6 h 56 min 40 s.
b. Le match suivant qui a commencé à 14 h 45 a duré 3 h 28 min. À quelle heure s’est-il terminé ?
a. 25 min
15 min = (15 : 60) h
60
10 min 14 h
14 h 10
25 min + 10 min = 35 min. Donc le match a duré 2 h 35 min. b. 14 h 45 min + 3 h 28 min = 18 h 13 min. Donc le match s’est terminé à 18 h 13.
5 Hier, Anna a travaillé de 13 h 40 à 19 h 25. Elle est payée 9,40 € de l’heure. 1. a. Pendant combien de temps a-t-elle travaillé ?
b. Exprimer cette durée en heure décimale. 2. Quelle somme Anna a-t-elle gagnée ?
2
Compléter afin d’exprimer ces durées en minutes. a. 2 h 13 min = 2 × 60 min + 13 min = 133 min b. 5 min 18 s = 5 min + (18 : 60) min 5 min 18 s = 5 min + 0,3 min = 5,3 min
3
Le dernier film de la trilogie Le Hobbit dure 2 h 24 min. a. Compléter pour exprimer cette durée en heure décimale. 2 h 24 min = 2 h + (24 : 60) h 2 h 24 min = 2 h + 0,4 h = 2,4 h b. Ce film a été tourné au rythme de 48 images par seconde. Calculer le nombre d’images qu’un spectateur peut voir en regardant ce film.
• 2,4 h = 2,4 × 3 600 s = 8 640 s • 8 640 × 48 = 414 720 Donc un spectateur peut voir 414 720 images.
14
1. a. 20 min 13 h 40
5h 14 h
25 min 19 h
19 h 25
20 min + 25 min = 45 min. Donc Anna a travaillé pendant 5 h 45 min. b. 5 h 45 min = 5 h + (45 : 60) h = 5,75 h. 2. 5,75 × 9,40 = 54,05. Donc Anna a gagné 54,05 €.
6
À 8 h 35, Enzo a garé sa voiture dans un parking. Le prix d’une heure de stationnement est de 2 €. Quand Enzo a récupéré sa voiture, il a payé 15,60 €. À quelle heure a-t-il récupéré sa voiture ?
• 15,6 : 2 = 7,8. Donc la voiture d’Enzo est restée 7,8 h dans ce parking. • 7,8 h = 7h +0,8 × 60 min = 7 h 48 min. • 8 h 35 min +7 h 48 min = 16 h 23 min. Donc Enzo a récupéré sa voiture à 16 h 23.
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FICHE
CALCUL MENTAL
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
10 Perfectionnement 1
3
Il y a un mois, Émilie a acheté des thuyas chez un pépiniériste au prix de 12 € chacun. Aujourd’hui, les mêmes thuyas sont en promotion à 10,50 € chacun. Émilie affirme : « À ce prix-là, j’aurais économisé 90 €. »
Les bandes bleues du drapeau de la Finlande ont la même largeur. Elles sont perpendiculaires entre elles et aux bords du drapeau.
a. Écrire une expression N qui permet de calculer le nombre de thuyas achetés par Émilie il y a un mois.
a. Écrire une expression A qui permet de calculer l’aire, en m2, des bandes bleues.
b. Calculer cette expression et conclure.
b. Calculer cette expression et conclure.
1,1 m
1,8 m
2
a. Pour chacun des programmes de calcul ci-dessous, écrire une expression qui permet de calculer le nombre obtenu lorsqu’on choisit 6 comme nombre de départ. b. Calculer ces expressions.
a.
Programme 1 •6 • 6 − 5,2 • 0,3 × (6 − 5,2)
Programme 2 • Choisir un nombre. • Multiplier par 0,6. • Ajouter 4,9.
Programme 2 •6 • 6 × 0,6 • 6 × 0,6 + 4,9
L’expression pour le programme 1 est : A = 0,3 × (6 − 5,2). L’expression pour le programme 2 est : B = 6 × 0,6 + 4,9. b. A = 0,3 × (6 − 5,2) = 0,3 × 0,8 = 0,24. B = 6 × 0,6 + 4,9 = 3,6 + 4,9 = 8,5.
© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
0,4 m 0,5 m
a. Émilie aurait économisé (12 – 10,50) euros sur chaque thuya. Le nombre de thuyas achetés par Émilie il y a un mois est N = 90 : (12 − 10,50). b. N = 90 : (12 − 10,50) = 60. Il y a un mois, Émilie a acheté 60 thuyas.
Programme 1 • Choisir un nombre. • Soustraire 5,2. • Multiplier par 0,3.
0,3 m
a. Exemple de réponse : A = 1,8 × 0,3 + 1,1 × 0,3 – 0,3 × 0,3 b. A = 0,54 + 0,33 – 0,09 A = 0,78 L’aire des bandes bleues est 0,78 m2.
4 Fatou, qui doit parcourir 238 km, commence son voyage à 14 h 40. On suppose que chaque heure elle parcourt 85 km. Un incident l’oblige à s’arrêter après 1 h 36 min de trajet. a. Quelle heure est-il quand elle est obligée de s’arrêter ? b. Calculer la distance que Fatou doit encore parcourir.
a. 14 h 40 min + 1 h 36 min = 16 h 16 min Il est 16 h 16 quand Fatou est obligée de s’arrêter. b. 1 h 36 min = 1 h + (36 : 60) h 1 h 36 min = 1 h + 0,6 h = 1,6 h • 1,6 × 85 = 136. Donc Fatou a déjà parcouru 136 km. • 238 − 136 =102. Donc Fatou doit encore parcourir 102 km.
Chapitre 2 ● Calculer avec des nombres décimaux
15
FICHE
QCM & jeux
11 QCM
Voici un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, entourer la (ou les) réponse(s) exacte(s). A
Sania a parcouru 3,7 km soit 0,85 km de plus que Ryan. À eux deux, ils ont parcouru…
Bilan ..... / 5
4,55 km
6,55 km
2,85 km
B
Amir achète 2,820 kg d’oranges à 4,15 € le kg. Un ordre de grandeur de la somme qu’il va payer est donné par…
3+4
3×4
4 + 4 + 0,8
C
Alix achète 3 stylos à 1,20 € l’un et un cahier à 2,50 €. Elle paie avec une billet de 10 €. Une expression qui permet de savoir combien on lui rend est…
2,5 + 3 × 1,2
10 − (2,5 + 3 × 1,2)
10 − 2,5 – 3 × 1,2
D
5 épisodes d’une série durent 4 h. Un épisode de cette série dure…
0,8 h
48 min
1,25 h
E
3 h 42 min est égal à…
3,7 h
3,42 h
13 320 s
jeu
1
À la kermesse des maths, Julie joue à –5 :2 La ronde des opérations. Elle tire au 5 –7 sort le nombre 3. En partant de ce nombre elle doit effectuer une fois, 9 +2 et dans l’ordre, toutes les opérations de la ronde. Par quelle opération doit-elle commencer et dans quel sens doit-elle effectuer toutes les opérations pour obtenir le nombre 30 ?
jeu
2
Le 1er mai à Paris le soleil s’est levé à 6 h 28 et s’est couché à 21 h 06. Il était au zénith au milieu de cette journée. Quelle heure était-il à ce moment-là ?
Réponse :
13 h 47
D’après Mathématiques sans Frontières
×9
Réponse :
32 min Il y a une seule solution : on commence par 3 × 9 = 27 et on tourne dans le sens inverse des aiguilles d’une montre. On obtient successivement : • 3 × 9 = 27 • 27 + 2 = 29 • 29 − 7 = 22 • 22 : 2 = 11 • 11 – 5 = 6 • 6 × 5 = 30
jeu
3 1
3
5
25
En utilisant ces quatre nombres, des signes +, −, ×, : et éventuellement des parenthèses, essayer d’obtenir les résultats suivants : a. 3
16
b. 9
c. 39
d. 55
e. 69
f. 105
6 h 28
14 h
7h
6 min 21 h
21 h 06
La durée du jour a été de 14 h 38 min. 14 h : 2 = 7 h et 38 min : 2 = 19 min. 6 h 28 min + 7 h 19 min = 13 h 47 min. Donc le soleil était au zénith à 13 h 47.
a. (25 – 1) : ( 3 + 5) = 24 : 8 = 3 b. (25 + 5) : 3 – 1 = 30 : 3 – 1 = 10 – 1 = 9 c. 25 + 5 × 3 – 1 = 25 + 15 – 1 = 40 – 1 = 39 d. (3 – 1) × 25 + 5 = 2 × 25 + 5 = 50 + 5 = 55 e. 25 × 3 – (1 + 5) = 75 – 6 = 69 f. (25 – 3 – 1) × 5 = 21 × 5 = 105
© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
CHAPITRE
Utiliser le langage littéral
FICHE
3
CALCUL MENTAL
● ....... . . . . . . .
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
12 Utiliser une expression littérale Une expression littérale est une expression contenant une ou plusieurs lettres qui désignent des nombres.
●
●
1
a × a = a ² (lire « a au carré »)
Anne pense à un nombre x et calcule : N = x + 4 × (x − 8).
Quel nombre obtient Anne lorsque : a. x = 13 ?
b. x = 11,2 ?
a. N = 13 + 4 × (13 – 8) N = 13 + 4 × 5 = 13 + 20 N = 33 Donc Anne obtient 33. b. N = 11,2 + 4 × (11,2 − 8) N = 11,2 + 4 × 3,2 = 11,2 + 12,8 N = 24 Donc Anne obtient 24.
2
Le président d’un club de handball commande des chasubles à 8,50 € l’une. Les frais de port s’élèvent à 13 €. Sur la facture, on lit : P = n × 8,50 +13 1. Que représentent n et P dans cette formule ? 2. Calculer P pour : a. n = 10
b. n = 30
1. n désigne le nombre de chasubles et P désigne le prix à payer (frais de port compris). 2. a. P = 10 × 8,50 +13 = 85 +13 = 98 b. P = 30 × 8,50 +13 = 255 +13 = 268
3
Le score d’un joueur à un jeu vidéo est donné par l’expression S = 4 × n² où n désigne le niveau atteint par le joueur. a. Écrire S sans utiliser la notation n².
S=4×n×n b. Calculer le score d’un joueur de niveau 5.
S = 4 × 5 × 5 = 4 × 25 = 100 © Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
●
a × a × a = a ³ (lire « a au cube »)
4
Le poids « théorique » P, en kg, d’une personne de taille T, en cm, est donné par la formule : T − 150 P = T − 100 − 4 Calculer le poids « théorique » d’une personne qui mesure 160 cm.
a. P = 160 – 100 –
160 − 150 4
P = 60 –
10 4
P = 60 − 2,5. Donc P = 57,5. Son poids théorique est 57,5 kg.
5
La figure ci-dessous est composée d’un carré et d’un triangle isocèle. Le côté du carré a une longueur x variable. On considère les expressions : A=4×x B = x² C = 14 + 3 × x. a. Que représentent A, B et C ?
7
b. Calculer A, B et C pour x = 6.
a. • A désigne le périmètre du carré. • B désigne l’aire du carré. • C désigne le périmètre de la figure. b. • A = 4 × 6 = 24 • B = 6² = 6 × 6 = 36. • C = 14 + 3 × 6 = 14 + 18 = 32.
6
On donne A = 13 + 4 × (y − 1) et B = y ³ + 5 × y. Est-il vrai que pour y = 3, on a B = 2 × A ?
• Pour y = 3, on a : A = 13 + 4 × (3 − 1) A = 13 + 4 × 2 A = 13 + 8 A = 21
B=3×3×3+5×3 B = 27 + 15 B = 42
• 42 = 2 × 21 donc cette affirmation est vraie. Chapitre 3 ● Utiliser le langage littéral
17
FICHE
CALCUL MENTAL
● ..... . . . . . . . . .
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
13 Tester une égalité Une égalité est constituée de deux membres séparés par le signe = .
membre de gauche
●
5×4
membre de droite =
12 + 8
Une égalité où interviennent des expressions littérales peut être vraie pour certaines valeurs affectées aux lettres et fausse pour d’autres.
●
• L’égalité x + 2 = 5 est vraie pour x = 3 (en effet 3 + 2 = 5). • L’égalité x + 2 = 5 est fausse pour x = 4 (en effet 4 + 2 = 6 et 6 ≠ 5).
1
On se propose de déterminer si l’égalité 5 × x + 12 = 7 × x est vraie pour x = 4.
4 Voici deux rectangles dont les longueurs de certains côtés sont variables.
a. • Calculer la valeur de 5 × x + 12 pour x = 4.
5 × x +12 = 5 × 4 + 12 = 20 + 12 = 32
3 x
1
• Calculer la valeur de 7 × x pour x = 4.
7 × x = 7 × 4 = 28 b. L’égalité 5 × x + 12 = 7 × x est-elle vraie pour x=4?
32 ≠ 28 donc l’égalité est fausse pour x = 4
2
On se propose de déterminer si l’égalité 28 + 4 × x = 9 × x – 2 est vraie pour x = 6. a. Pour x = 6, calculer :
• la valeur de 28 + 4 × x : 28 + 4 × 6 = 28 + 24 = 52 • la valeur de 9 × x – 2 : 9 × 6 − 2 = 54 − 2 = 52 b. L’égalité 28 + 4 × x = 9 × x – 2 est-elle vraie pour x = 6 ?
On trouve le même résultat donc l’égalité est vraie
x 2
2
a. Que signifie ici l’égalité : 15 × x = 9 × (x + 2) ?
Aire du rectangle ➊ : 5 × 3 × x soit 15 × x. Aire du rectangle ➋ : 9 × (x + 2). Cette égalité signifie que les aires des deux rectangles sont égales. b. Cette égalité est-elle vraie pour x = 2 ?
Pour x = 2 : • 15 × x = 15 × 2 = 30. • 9 × (x + 2) = 9 × (2 + 2) = 9 × 4 = 36. • 30 ≠ 36 donc l’égalité est fausse pour x = 2.
5
L’égalité 6 × x – 4 = 2 × (x + 8) est-elle vraie pour :
Elsa veut acheter des pains au chocolat et des croissants en dépensant 60 € exactement. Elle écrit l’égalité : 1,2 × p + 0,9 × c = 60.
a. x = 5 ?
1. Que représentent les nombres p et c ?
pour x = 6.
3
b. x = 7 ?
a. Pour x = 5 : • 6 × x – 4 = 6 × 5 − 4 = 30 − 4 = 26. • 2 × (x + 8) = 2 × (5 + 8) = 2 × 13 = 26. • On trouve le même résultat donc l’égalité est vraie pour x = 5. b. Pour x = 7 : • 6 × x – 4 = 6 × 7 − 4 = 42 − 4 = 38. • 2 × (x + 8) = 2 × (7 + 8) = 2 × 15 = 30. • 38 ≠ 30 donc l’égalité est fausse pour x = 7.
18
9
5
2. Cette égalité est-elle vraie pour : a. p = 15 et c = 50 ?
b. p = 26 et c = 32 ?
1. p représente le nombre de pains au chocolat et c le nombre de croissants. 2. a. 1,2 × p + 0,9 × c = 1,2 × 15 + 0,9 × 50 = 63. 63 ≠ 60 donc l’égalité est fausse. b. 1,2 × p + 0,9 × c = 1,2 × 26 + 0,9 × 32 = 60 Donc l’égalité est vraie pour p = 26 et c = 32. © Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
FICHE
CALCUL MENTAL
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
14 Produire une expression littérale 1
Nora dessine les figures ci-dessous qui sont constituées de triangles équilatéraux.
4
Quelle expression doit-on inscrire dans la case rouge ? ×4
a. Combien de sommets (en rouge) y a-t-il sur une figure formée de : ●
1 triangle ? 3
●
2 triangles ? 5
●
3 triangles ? 7
●
4 triangles ? 9
b. Combien y a-t-il de sommets sur une figure formée de 5 triangles ? Il y a 11 sommets. c. On note n le nombre de triangles qui forment une figure. Exprimer en fonction de n le nombre de sommets de cette figure.
2 × n + 1 ou 3 + 2 × (n –1). d. Combien de sommets y a-t-il sur une figure formée de 27 triangles ?
2 × 27 + 1 = 54 + 1 = 55. Donc cette figure a 55 sommets.
4×x
x
×2
+5
4×x+5
(4 × x + 5) × 2
5
Les longueurs sont en cm et les aires en cm². 3 Ce rectangle a une longueur a variable. On note P son périmètre et A son aire.
a
a. Calculer P et A lorsque a = 5. b. Exprimer A en fonction de a. c. Donner deux expressions différentes de P.
a. P = 2 × 3 + 2 × 5 = 6 + 10 = 16. P = 16 cm A = 3 × 5 =15. A = 15 cm2 b. A = 3 × a c. • P = 2 × a + 2 × 3 soit P = 2 × a + 6. • P = 2 × (a + 3).
2
Pour connaître rapidement le prix des bouquets de roses qu’il livre à domicile, un fleuriste a calculé : 10 + 2 × 1 ; 10 + 2 × 2 ; 10 + 2 × 3… a. Quel est le prix d’un bouquet de 4 roses ?
10 + 2 × 4 = 10 + 8 = 18 Donc son prix est 18 €. b. On note n le nombre de roses contenues dans un bouquet. Exprimer le prix P, en euros, de ce bouquet en fonction de n.
P = 10 + 2 × n.
3
Pour louer une voiture, on paie 120 € d’abonnement puis 10 € par heure de location. a. Exprimer le coût C, en euros, de la location en fonction du nombre h d’heures de location. b. Calculer la valeur de C pour h = 25.
a. C = 120 + 10 × h. b. C = 120 + 10 × 25 = 120 + 250 = 370.
© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
6
1. Quel nombre obtient-on avec ce programme de calcul quand on choisit : a. 4 ?
• Choisir un nombre. • Ajouter 2. • Multiplier par 3.
b. 6,5 ?
2. On note n le nombre choisi au départ. a. Exprimer le résultat obtenu en fonction de n. b. Calculer cette expression pour n = 4 puis pour n = 6,5. Que remarque-t-on ?
1. a. • 4 •4+2=6 • 6 × 3 = 18 On obtient 18.
b. • 6,5 • 6,5 + 2 = 8,5 • 8,5 × 3 = 25,5 On obtient 25,5.
2. a. • n • n +2 • (n + 2) × 3 Le résultat est (n + 2) × 3. b. • (4 + 2) × 3 = 6 × 3 = 18. • (6,5 + 2) × 3 = 8,5 × 3 = 25,5. On obtient les mêmes résultats qu’à la question 1. Chapitre 3 ● Utiliser le langage littéral
19
FICHE
CALCUL MENTAL
● ..... . . . . . . . . .
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
15 Avec le tableur 1
Avec le tableur, on se propose de calculer la valeur de l’expression 0,4 × x + 3 pour toutes les valeurs entières de x comprises entre 1 et 10. 1. a. Réaliser cette feuille de calcul. 3 4 3,4 3,8 4,2 4,6
5 5
3
On se propose d’utiliser le tableur pour tester si l’égalité x² + 22 = 8,6 × x + 4 est vraie pour un nombre entier compris entre 1 et 10. Pour cela, on a préparé cette feuille de calcul.
6 7 8 9 10 5,4 5,8 6,2 6,6 7
b. Sélectionner les cellules B1 et C1 puis « tirer la poignée » pour écrire les nombres entiers de 1 à 10 dans la plage B1:K1.
3 4 5 6 7 8 9 10
c. Dans la cellule B2, saisir la formule =0,4*B1+3 puis Entrée . Quel résultat est affiché ? 3,4 d. Sélectionner la cellule B2, puis recopier la formule vers la droite jusqu’à la cellule K2. 2. Quand elle court, Emma parcourt 3 km en forêt et fait des tours de 400 m autour d’un stade. a. On note x le nombre de tours de stade. Exprimer en fonction de x la distance, en km, parcourue par Emma.
400 m = 0,4 km. La distance est : 0,4 × x + 3. b. Utiliser la feuille de calcul pour déterminer : ●
la distance parcourue par Emma si elle effectue
3 tours de stade : 4,2 km ●
23 26 31 38 47 58 71 86 103 122
12,6 21,2 29,8 38,4 47 55,6 64,2 72,8 81,4 90
1. a. Entourer la formule que l’on peut saisir dans la cellule B2 avant de la recopier vers le bas. =2*A2+22
=1*1+22
=A2² +22
=A2*A2+22
b. Entourer la formule que l’on peut saisir dans la cellule C2 avant de la recopier vers le bas. =8,6A2+4
8,6*A2+4
=8,6*A2+4
=8,6*B2+4
le nombre de tours qu’Emma doit effectuer
pour parcourir 5,4 km : 6 tours
2
Avec le tableur, on se propose de calculer la valeur de l’expression 5 + 6 × x pour toutes les valeurs entières de x comprises entre 1 et 10. 3 4 5 6 7 8 9 10 11 17 23 29 35 41 47 53 59 65
a. Quelle formule saisit-on dans la cellule B2 avant de la recopier vers la droite ?
20
● ..............
2. a. Réaliser la feuille de calcul puis la compléter. b. Pour quelle valeur de x l’égalité x² + 22 = 8,6 × x + 4 est-elle vraie ?
L’égalité est vraie pour x = 5. 3. L’égalité x² + 22 = 8,6 × x + 4 est aussi vraie pour une autre valeur de x comprise entre 3 et 4, avec un seul chiffre après la virgule.
=5+6*B1
a. Saisir 3 dans la cellule A2 puis 3,1 dans la cellule A3. Sélectionner les cellules A2 et A3 puis « tirer la poignée » vers le bas.
b. Réaliser cette feuille de calcul puis la compléter.
b. Pour quelle nouvelle valeur de x l’égalité x² + 22 = 8,6 × x + 4 est-elle vraie ?
c. Quelle valeur obtient-on pour x = 7 ? 47
L’égalité est vraie pour x = 3,6. © Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
FICHE
CALCUL MENTAL
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
16 Perfectionnement 1
4
La hauteur, en m, à laquelle se trouve cet homme-canon t secondes après sa sortie du canon est donnée par la formule : h = 15,6 × t + 4 − 4,9 × t ²
Ce triangle et ce quadrilatère ont le même périmètre.
1. Calculer la hauteur à laquelle se trouve l’homme-canon au bout de :
x + 20 = 3 × x + 6.
a. 2 secondes,
b. 3 secondes.
6 10
x a. Écrire une égalité vérifiée par x.
b. Avec le tableur, déterminer une valeur de x pour laquelle cette égalité est vraie.
2. Au bout de 3 secondes, l’homme-canon est-il en phase de montée ou en phase de descente ? 1
1. a. h = 15,6 × 2 + 4 − 4,9 × 2 × 2 h = 31,2 + 4 − 19,6 = 35,2 − 19,6 = 15,6 b. h = 15,6 × 3 + 4 − 4,9 × 3 × 3 h = 46,8 + 4 − 44,1 = 50,8 – 44,1 = 6,7
2
A
B
C
D
E
F
G
H
I
x
1
2
3
4
5
6
7
8
x + 20 21 22 23 24 25 26 27 28
3 3×x+6 9
12 15 18 21 24 27 30
L’égalité est vraie pour x = 7.
2. 6,7 m 15,6 m donc au bout de 3 secondes, l’homme-canon est en phase de descente.
5
2
Voici deux expressions littérales. A=4×x−1 et B = 3 × (y + 7) Écrire un programme de calcul qui correspond à chacune de ces expressions.
Pour A • Choisir un nombre. • Multiplier par 4. • Soustraire 1.
Pour B • Choisir un nombre. • Ajouter 7. • Multiplier par 3.
On crée des motifs, formés de carrés, tous identiques, de la façon suivante : Motif n° 1
Motif n° 2
Motif n° 3
a. Combien de carrés comporte le motif n° 4 ?
Il comporte 10 carrés.
3
Avec 30 €, Enzo achète de la tapenade. On note m la masse, en kg, qu’Enzo achète et R la somme qu’il lui restera après cet achat.
b. On considère le motif n° p et on note N le nombre de carrés qu’il comporte. Entourer les expressions correctes de N.
a. Écrire l’expression R. b. Calculer R pour m = 0,6 puis interpréter le résultat pour la situation.
a. R = 30 − 35 × m. b. R = 30 − 35 × 0,6 = 30 −21 = 9. Si Enzo achète O,6 kg, il lui restera 9 €. © Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
●
N=p+3
●
N = p + 2 × (p – 1)
●
N = 1 + 3 × (p – 1)
●
N=3×p–2
c. Combien de carrés comporte le motif n° 60 ?
N = 3 × 60 – 2 = 180 – 2 = 178 Le motif n° 60 comporte 178 carrés. Chapitre 3 ● Utiliser le langage littéral
21
FICHE
QCM & jeux
17 QCM
Voici un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, entourer la (ou les) réponse(s) exacte(s). A
Pour a = 6, l’expression 2 + 5 × a est égale à…
B
Bilan ..... / 5
42
58
32
Les expressions qui sont égales à 20 pour y = 7 sont…
A=4×y–8
B = 2 + 3 × (y – 1)
C = y² + 6
C
Alia achète une BD à 9 € et un nombre (que l’on note x) de livres à 6 € l’unité. Le prix P, en €, qu’Alia va payer est…
P=9+6×x
P=9×x+6
P = 15 × x
D
On note P le périmètre et A l’aire de ce 15 rectangle. Alors…
A = 15 + a et P = 2 × a + 15
A = 15 × a et P = 2 × a + 30
A = a × 15 et P = 2 × (a + 15)
3 + x = 3x – 7
x² – 1 = 6 × (x – 1)
6×x=4+2×x
a
Les égalités qui sont vraies pour
E
x = 5 sont …
jeu
1
jeu
2
On dispose côte à côte de petites tables carrées pour former une table rectangulaire. On dispose alors une chaise sur chaque côté visible des tables carrées.
Les finalistes du jeu « La Voix » ont obtenu trois notes sur 10 : la note V pour la voix, la note D pour la danse, ● la note L pour le look. ● ●
Pour calculer la note finale F de chaque candidat, on utilise la formule : F=5×V+3×D+2×L Voici les notes des finalistes de l’édition 2016. Candidat
V
D
L
F
Anthéa
8
10
5
80
Basile
7
9
8
78
Chloé
10
4
9
80
Djibril
7
10
5
75
Émilie
5
10
9
73
France
6
9
10
77
Héloïse
9
8
6
81
Igor
7
8
9
77
Qui a remporté l’édition 2016 ? Réponse :
22
• Combien de chaises peut-on disposer lorsque l’on utilise 10 tables carrées ? • Combien de chaises peut-on disposer lorsque l’on utilise n tables carrées (n nombre entier supérieur ou égal à 1) ? • Combien de tables carrées faut-il au minimum pour disposer 40 chaises ?
• 2 × 10 + 2 = 22. Donc on peut disposer 22 chaises lorsque l’on utilise 10 tables carrées. • Lorsque l’on utilise n tables carrées, on peut disposer 2 × n + 2 chaises. • 40 = 2 × 19 + 2. Donc il faut au minimum 19 tables carrées pour disposer 40 chaises.
Héloïse
© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
Découvrir les nombres rationnels
CHAPITRE
FICHE
4
CALCUL MENTAL
● ....... . . . . . . .
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
● ..............
18 Notion de nombre rationnel a et b désignent deux nombres (b ≠ 0). Le quotient de a par b est le nombre qui, multiplié par b, donne a. a On le note a : b ou avec la fraction . b On dit qu’il s’agit d’un nombre rationnel. ●
1
Écrire chaque nombre rationnel sous la forme d’une fraction puis donner si possible son écriture décimale. • un demi :
1 = 0,5 2
• trois quarts :
• douze dixièmes :
3 = 0 ,75 4
12 = 12 , 10
Dans chaque cas, colorier une partie de la figure qui représente le quotient indiqué. 3 b. 4
2 c. 3
Dividende
Diviseur
a :b = a 1 =a× b b
a b
Numérateur Dénominateur
4
Sur la demi-droite graduée ci-dessous, placer 1 3 1 3 9 les nombres : ; ; ; ; . 2 2 4 4 8
1 — 4
0
11 6
• onze sixièmes :
2
7 a. 12
a ×b = a b
5
1 — 2
3 — 4
1 9
3 — 2
— 8
Compléter.
a. 4 ×
9 = 9 4
b. 7 ×
2 = 2 7
c. 3 ×
5 =5 3
d. 4 ×
1 4 = 7 7
6
Dans chaque cas, écrire le nombre sous forme fractionnaire, puis en écriture décimale. a. 5 ×
3
L’unité est le rectangle rouge.
=
a. Colorier une partie qui représente 3 fois
1 . 4
b. Colorier une partie qui représente le quart de 3.
= 12 12 = 2, 4 5
b.
× 3 = 2,7 =
2,7 = 0, 9 3
7
Calculer le prix 5 petites cartes 3 grandes cartes d’une petite carte puis le prix d’une grande carte. Donner le prix exact puis éventuellement une valeur approchée au centime près.
4€
8€
c. Compléter. • 3×
1 = 4
3 4
• 4×
3 = 4
3
3 • est le quotient de 3 par 4 . 4 d. Donner l’écriture décimale de © Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
3 : 0,75 4
•
4 = 0, 8 . 5
Donc le prix d’une petite carte est 0,80 €. 8 8 • ≈ 2,67. Donc le prix d’une grande carte est € 3 3 soit environ 2,67 €. Chapitre 4 ● Découvrir les nombres rationnels
23
FICHE
CALCUL MENTAL
● ..... . . . . . . . . .
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
19 Égalité de quotients Le quotient de deux nombres ne change pas quand on multiplie (ou divise) son numérateur et son dénominateur par un même nombre, différent de 0. 18 18 : 3 6 18 3,2 × 5 12 : 4 3,2 16 12 3 on a simplifié par 3 la fraction ● ● ● = = = = = = 15 15 : 3 5 15 7×5 20 : 4 7 35 20 5 ● Simplifier une fraction, c’est écrire une fraction qui est égale mais avec un numérateur et un dénominateur plus petits.
●
1
5
a. Colorier une partie de la figure qui représente le quotient indiqué. 2 10 3 15
Expliquer chaque égalité. 1,2 12 63 9 a. b. = = 0,5 5 14 2
a. On a multiplié le numérateur et le dénominateur par 10. b. On a simplifié la fraction par 7.
b. À l’aide de la question précédente, expliquer 2 10 et sont égaux. pourquoi les quotients 3 15
6
Simplifier le plus possible chaque fraction. 72 36 48 160 a. b. c. d. 56 24 144 200
On a colorié à chaque fois 10 carreaux donc les quotients a. 72 = 72 : 8 = 9 56 56 : 8 7
2 10 et sont égaux. 3 15
b. 36 = 36 : 6 = 6 = 6 : 2 = 3 24 24 : 6 4 4 : 2 2
c. Compléter. 2 2 × 5 10 • = = 3 15 3× 5
2
•
Compléter. ×2
10 2 10 : 5 = = 15 3 15 : 5
× 7
× 2
c. 56 7 = 48 6 :8
×7
3
Compléter ces égalités. 4 20 8 4 × 5 8 × 9 72 a. = = b. = = 7 7 × 5 35 5 5 × 9 45 c.
4
21 21 : 7 3 = = 56 56 : 7 8
d.
12 12 : 6 2 = = 18 18 : 6 3
d.
160 160 : 10 16 16 : 4 4 = = = = 200 200 : 10 20 20 : 4 5
10 2 9 2,5 45 0,6 25 ● ● ● ● ● ● 6 9 12 1,5 27 0,8 30 Parmi ces quotients, trouver ceux qui sont égaux à : 3 5 16 5 ● ● ● ● 4 6 72 3 Écrire les étapes de calcul.
7
45 45 = 10 10
9 :5 = 2 :5
b. 21 et 30 sont divisibles par 3 donc : 21 = 30
7 21 : 3 = 10 30 : 3
●
•
10 10 : 2 5 = = 6 6:2 3
•
45 45 : 9 5 = = 27 27 : 9 3
•
2 2 8 16 = = 9 9 8 72
•
0,6 0,6 5 3 = = 0,8 0,8 5 4
•
9 9:3 3 = = 12 12 : 3 4
•
25 25 : 5 5 = = 30 30 : 5 6
On se propose de simplifier chaque fraction.
a. 45 et 10 sont divisibles par 5 donc :
24
48 48 : 2 24 24 : 8 3 3 : 3 1 = = = = = = 144 144 : 2 72 72 : 8 9 9 : 3 3
:8
b. 5 35 = 3 21
a. 3 6 = 4 8
c.
2,5 2,5 2 5
• 1,5 = 1,5 2 = 3 © Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
FICHE
CALCUL MENTAL
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
20 Proportion, fréquence Dans une classe de 5e de 25 élèves, il y a 13 garçons. ●
La proportion (ou la fréquence) de garçons dans cette classe est
13 . 25
●
13 52 = 0= , 52 25 100
Cette proportion peut s’exprimer par le nombre 0,52 ou par le pourcentage 52 %.
1
4
Sur un collier de 16 perles, il y a 10 perles bleues. a. Quelle est la proportion de perles bleues sur le collier ?
La proportion de perles bleues est
10 . 16
Pour préparer un gâteau, il faut : 2 pots de yaourt, 2 pots et demi de farine, 2 pots de sucre, 1 pot de cacao, un demi-pot d’huile. Parmi les ingrédients, quelle est la proportion de sucre ? Celle d’huile ? Exprimer ces proportions par une fraction puis par un pourcentage.
b. Exprimer cette proportion en pourcentage. 10 62,5 = 0= , 625 . 16 100
Le pourcentage de perles bleues est 62,5 %.
2
L’équipe de France de ski alpin aux J.O. de Sotchi était composée de 20 athlètes répartis en deux équipes : • Équipe Technique : 5 femmes, 8 hommes. • Équipe Vitesse : 2 femmes, 5 hommes. a. Quelle est la proportion d’athlètes de l’équipe Technique ? b. Quelle est la proportion d’hommes dans l’équipe Technique ? c. Exprimer en pourcentage la proportion de femmes dans l’équipe de France. 13 a. 5 + 8 = 13 donc la proportion est . 20 8 b. La proportion est 13 7 c. 5 + 2 = 7 et = 0 ,35 20
Il y a 35 % de femmes dans l’équipe de France.
3
Quelle est la proportion en pourcentage de chiffres pairs dans le nombre 3 149 671 823 ?
• Il y a 4 chiffres pairs sur les 10 chiffres. 4 40 = . La proportion de chiffres pairs est 40 %. • 10 100 © Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
• 2 + 2,5 + 2 + 1 + 0,5 = 8 Donc il faut au total 8 pots pour ce gâteau. 2 25 • = 0= ,25 8 100 2 La proportion de sucre est soit 25 %. 8 0 ,5 5 6,25 • = = 0, 062 5 = 8 80 100 5 La proportion d’huile est soit 6,25 %. 80
5
À la pétanque, Lisa a réussi 18 tirs sur 24, Gary en a raté 14 sur 50, Sara en a réussi 28 et elle en a raté 12. Qui a la meilleure réussite en proportion ? 18 75 • Lisa := 0= ,75 . 24 100 Donc Lisa a réussi 75 % de ses tirs. • Gary : 50 − 14 = 36. Donc Gary a réussi 36 tirs sur 50. 36 36 × 2 72 = . = 50 50 × 2 100 Donc Gary a réussi 72 % de ses tirs. • Sara : 28 + 12 = 40. Donc Sara a, au total, effectué 40 tirs. 28 70 = 0= ,7 . 40 100 Donc Sara a réussi 70 % de ses tirs. • En proportion, Lisa a eu la meilleure réussite. Chapitre 4 ● Découvrir les nombres rationnels
25
FICHE
CALCUL MENTAL
● ..... . . . . . . . . .
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
21 Perfectionnement 1
On se propose d’utiliser la calculatrice pour simplifier les quotients étape par étape. 1. On procède aux réglages. ●
Casio fx-92 Spéciale Collège 1(Saisie/Résultat) 1(Smaths/Rmaths)
puis ●
TI-Collège Plus Solaire
puis
2. Entrer la séquence
63
ou
63
b. Saisir Compléter :
210 210
32 32 : 2 16 16 : 8 2 = = = = . 48 48 : 2 24 24 : 8 3
.
ou
Il prévoit les .
21 21 : 7 = 70 70 : 7
ou =
En 2012, 1,25 milliard d’appareils connectés ont été vendus dans le monde, dont 27,2 % de PC et 10 % de tablettes. En 2013, sur 1,5 milliard d’appareils vendus, il y a eu 300 millions de PC et 240 millions de tablettes.
.
3 10
63 21 3 = = 210 70 10
75 120
b.
84 252
c.
240 300
d.
132 110
b. de tablettes
2. « Entre 2012 et 2013, le marché des tablettes montre une forte croissance tandis que celui des PC baisse beaucoup. » Qu’en pensez-vous ?
1. 1,5 milliard = 1 500 millions
a. 75 = 25 = 5 120 40 8 b. 84 = 42 = 21 = 7 = 1 252 126 63 21 3 c.
240 120 60 20 4 = = = = 300 150 75 25 5
d.
132 66 6 = = 110 55 5
4. Est-il exact que
1. Exprimer pour l’année 2013 la proportion en écriture fractionnaire simplifiée, puis à l’aide d’un pourcentage : a. de PC
3. Avec la calculatrice, simplifier chaque fraction. Dans chaque cas, écrire la suite des quotients égaux lus à l’écran.
a.
2 d’une baguette par sandwich. 3
4
63 21 63 : 3 = = 210 210 : 3 70
Il n’y a plus de flèche à l’écran ; on s’arrête là. Compléter :
221 17 = 247 19
Avec 32 baguettes, le responsable d’un pique-nique compte préparer 48 sandwichs. Quelle fraction d’une baguette prévoit-il pour un sandwich ? Donner le résultat sous la forme d’une fraction simplifiée.
63 210
c. Saisir à nouveau Compléter :
On sait que : 17 × 13 = 221, 13 × 19 = 247 et 15 × 17 = 255. 255 a. Sans effectuer de calcul, simplifier . 221 255 15 = 221 13
3
(AFFNATUREL)
a. Que lit-on à l’écran ?
2
b. Compléter cette égalité :
3( Simplifier) 2(Manuel)
(SIMPMAN)
26
● ..............
1 980 3 ? Oui = 3 300 5
a. 300 millions = 300 = 1 = 0,2 1500 millions 1500 5 En 2013, la proportion de PC est 1 ou 20 %. 5 240 millions 240 4 b. = 0,16. = = 1500 millions 1500 25 4 En 2013, la proportion de tablettes est 25 ou 16 %. 2. Entre 2012 et 2013, la proportion de PC a diminué de 27,2 % à 20 %. La proportion de tablettes a augmenté de 10 % à 16 %. L’article dit vrai. © Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
FICHE
M & jeux 22 QC QCM
Voici un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, entourer la (ou les) réponse(s) exacte(s).
Bilan ..... / 5
A
Le nombre manquant dans l’égalité 25 × = 16 est…
16 25
25 16
0,64
B
Une autre écriture fractionnaire 18 est… du nombre 15
15 12
6 5
24 20
C
On sait que 13 × 50 = 650 et 13 × 15 = 195. Alors…
195 15 = 650 50
650 = 50 13
10 650 = 3 195
0,375
37,5 %
3 8
9 16
36 %
9%
D
E
jeu
Sur cette figure, la proportion de carreaux colorés est égale à… Une boisson contient 16 cL de jus d’orange et 9 cL d’eau. La proportion d’eau dans cette boisson est…
1
jeu
Que vaut la fraction 2016 + 2016 + 2016 + 2016 + 2016 ? 2016 + 2016 + 2016 Réponse :
5 3
5 × 2016 Cette fraction s’écrit aussi 3 × 2016 5 × 2016 5 et = . 3 × 2016 3
jeu
2
Dans le collège de Numa, il y a entre 501 et 548 élèves. La proportion de filles est égale à 0,52. Combien d’élèves y a-t-il dans le collège de Numa et combien y a-t-il de filles ?
0 ,52 =
52 : 2 26 26 : 2 13 52 = = = = . 100 100 : 2 50 50 : 2 25
Le nombre total est un multiple de 25 compris entre 501 et 548 ; c’est 525. 13 13 × 21 273 525 = 25 × 21 donc = = . 25 25 × 21 525 Dans le collège de Numa, il y a 525 élèves dont 273 filles. © Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
3
Au retour d’un voyage, Paul constate que le réservoir d’essence de sa voiture, qui était plein au départ, est aux trois quarts vide. Il ajoute 20 L d’essence et le réservoir est alors rempli aux sept huitièmes de sa capacité. Quelle est la contenance de ce réservoir ? D’après Rallye Bombyx
32 L
Réponse :
On peut représenter le réservoir par ce schéma : 20 L 1 2 4 8
5 8
7 8
Le réservoir est vide aux trois-quarts, donc il reste un quart d’essence. 5 Les 20 L correspondent aux du réservoir. 8 Chaque huitième du réservoir correspond donc à 5 fois moins, c’est-à-dire à 4 L, et la contenance totale à 8 fois plus. 4 L × 8 = 32 L. Le réservoir contient 32 L.
Chapitre 4 ● Découvrir les nombres rationnels
27
CHAPITRE
Découvrir les nombres relatifs
FICHE
5
CALCUL MENTAL
● ..... . . . . . . . . .
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
● ..............
23 Nombres relatifs Les nombres plus grands que 0 sont appelés des nombres positifs ; on peut les noter avec le signe « + », mais en général on ne l’écrit pas. Par exemple, + 5 s’écrit 5.
●
Les nombres plus petits que 0 sont appelés des nombres négatifs ; on les note avec le signe « – ». Par exemple – 2,5.
●
●
1
Le nombre 0 est à la fois positif et négatif.
–7
+ 5,2
6,7
– 3,2
+9
–8
2
Dans cette liste de nombres relatifs, quels sont : a. les nombres positifs ? + 5,2 ; 6,7 ; + 9 et 2.
5
Voici des renseignements sur quatre équipes du Championnat de France de football 2015-2016.
b. les nombres négatifs ? – 7 ; – 3,2 et – 8.
2 ●
Entourer les nombres positifs. ● +8 ● 3,4 ● –1 –5
3
●
Buts marqués
Buts encaissés
Différence de buts
Lorient
29
28
+1
Montpellier
22
26
−4
Caen
21
24
−3
Nice
33
24
+9
Club
0
●
– 105
Associer un nombre relatif à chaque situation.
a. Les garages sont situés au troisième sous-sol.
Compléter la colonne « Différence de buts » avec des nombres relatifs.
b. Neil Armstrong a marché sur la Lune en 1969. c. 200 ans avant J.-C., le mathématicien chinois Liu Hui utilisait des nombres relatifs. a. – 3
b. 1969
c. – 200
4
Dans un hôtel sous-marin, les suites sont 30 m sous le niveau de la mer et les chambres 10 m sous le niveau de la mer. La réception est 8 m au-dessus de la mer et l’héliport 10 m au-dessus de la réception. Compléter ce schéma avec des nombres relatifs. RÉCEPTION
Héliport Réception
Chambres Suites
28
6
Compléter.
a. 24 – 20 = 4
donc
20 – 24 = – 4
b. 62 – 27 = 35
donc
27 – 62 = – 35
c. 10 – 2,4 = 7,6
donc
2,4 – 10 = – 7,6
7
Compléter ce tableau qui concerne les décalages horaires entre Paris et sept villes du monde. Heure
Décalage avec Paris
Paris
11 h
0
Moscou
14 h
+3
18
Mexico
4h
–7
8 0 – 10
Bangkok
17 h
+6
Tokyo
19 h
+8
Los Angeles
6h
–5
Casablanca
10 h
–1
Le Caire
12 h
+1
– 30
Ville
© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
FICHE
CALCUL MENTAL
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
24 Repérage sur une droite graduée origine
A
C
–3
– 4,5
–2
–1
O
B
0 1 2 unité de longueur
D 3
4,5
●
L’abscisse du point O est 0 ; l’abscisse du point A est – 3 ; l’abscisse du point B est + 2 ou 2.
●
L’abscisse du point C est – 4,5 ; la distance à zéro du nombre relatif – 4,5 est 4,5.
L’abscisse du point D est 4,5 ; la distance à zéro du nombre relatif 4,5 est 4,5. Deux nombres relatifs sont dits opposés lorsqu’ils ont des signes contraires (l’un positif, l’autre négatif) et la même distance à zéro. Les nombres – 4,5 et 4,5 sont des nombres opposés.
●
1
Indiquer les abscisses des points A, B, C et D. D
A
C
A : –3
B : 2,5
C : – 0,5
D : – 1,5
2
Sur cette droite graduée, placer les points A, B, C et D d’abscisses respectives 0,5 ; – 2 ; – 3,5 et 2.
C
B
A 0
40 60
0
A
100
a. Indiquer les abscisses des points A et B ainsi que leurs distances à zéro.
2,5
1
D
B
–100 –60
B
–1,5 –0,5 0
–3
C
5
D
Abscisse de A : 100
Distance à zéro : 100.
Abscisse de B : – 60
Distance à zéro : 60.
b. Les abscisses des points A et C sont des nombres opposés. Placer C. Quelle est son abscisse ? – 100 c. Les abscisses des points B et D sont des nombres opposés. Placer D.
1
Quelle est son abscisse ? 60
3
I
H
G
F E
–2 –1 –0,5 –1,75 –1,25
0
0,5 0,25
a. Quelle est l’abscisse du point E ? 0,5 b. Quelle est l’abscisse du point F ? 0,25 c. Indiquer les abscisses des points G, H et I. G : – 0,5
H : – 1,25
I : – 1,75
4 –2,5
0
1
2,5
1
6
C
A
B
–7,1 –7 –6,8
–6,3
D – 6 –5,9
Indiquer les abscisses des points A, B, C et D.
A : – 6,8
7
B : – 6,3 P
E
H
–428 –325 –247
C : – 7,1
D : – 5,9
C –69 0
100
Placer sur la droite graduée, le plus précisément possible, les points C, P, E et H dont les abscisses sont ces quatre dates.
a. ● Placer les points dont la distance à zéro est 2,5. ●
Indiquer les abscisses de ces points :
2,5 et – 2,5 b. Que peut-on dire de ces abscisses ?
Ce sont des nombres opposés. © Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
Chapitre 5 ● Découvrir les nombres relatifs
29
FICHE
CALCUL MENTAL
● ..... . . . . . . . . .
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
25 Comparaison ●
Un nombre positif est plus grand qu’un nombre négatif.
●
De deux nombres positifs, le plus grand est celui qui a la plus grande distance à zéro.
●
De deux nombres négatifs, le plus grand est celui qui a la plus petite distance à zéro.
1 ●
a. ● Quel est le signe de – 5 ? – 5 est négatif.
Quel est le signe de 3 ? 3 est positif.
b. Compléter par ou .
2
–5
3.
6
Voici des températures, en °C, relevées pendant les cinq premiers jours d’un séjour dans les Alpes. –7 –8 –4 – 2 – 5. a. Ranger ces températures par ordre décroissant.
a. ● Quel est le signe de – 3 et de – 7 ?
– 2 – 4 – 5 – 7 – 8
– 3 et – 7 sont négatifs. ●
Qui de – 3 ou – 7 a la plus petite distance à zéro ?
–3 b. Compléter par ou : – 3
– 7.
– 1 °C
7
3
La luminosité de certains écrans se règle à l’aide de nombres négatifs : – 31 correspond au noir complet et 31 au blanc total. Voici des luminosités relevées sur des écrans.
a. Placer les nombres – 2 ; – 5 ; 3 et – 7 sur cette droite graduée.
–7
–5
–2
0
3
1
b. Compléter par ou .
N° de l’écran
1
2
3
4
5
6
Luminosité
–5
3
–2
6
–7
0
a. Ranger ces nombres relatifs par ordre croissant.
a. 3 – 7
b. – 5 – 2
c. – 7 – 5
d. – 2 3
e. – 2
f. 3 – 5
4
b. Le sixième jour a été le plus chaud mais la température était un nombre entier strictement négatif. Quelle était la température ce jour-là ?
–7
Compléter par ou .
– 7 – 5 – 2 0 3 6 b. Quel est l’écran le plus sombre ? Le n° 5
8
a. 3,8
3,15
donc
– 3,8
– 3,15.
Compléter par deux nombres entiers relatifs consécutifs (exemple : 3 3,7 4).
b. 5,6
5,72
donc
– 5,6
– 5,72.
a. 6
6,2
7
c. – 2 – 1,83 – 1
b. – 10 – 9,4 – 9 d. – 1
– 0,4 0
5
Ranger les années de construction de ces monuments par ordre croissant.
9
a. Ranger par ordre croissant : – 4,8 ; – 4,63 et – 5.
– 5 – 4,8 – 4,63 b. Ranger par ordre décroissant : – 4,67 ; – 4,84 et 1. Le Parthénon à Athènes
(– 447)
La Grande Le phare Muraille d’Alexandrie de Chine (– 221) (– 289)
Réponse : – 447 – 289 – 221
30
1 – 4,67 – 4,84 c. Ranger par ordre croissant les six nombres des questions précédentes.
– 5 – 4,84 – 4,8 – 4,67 – 4,63 1 © Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
FICHE
CALCUL MENTAL
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
26 Repérage dans le plan axe des ordonnées 3
A
1
L’abscisse du point A est – 5.
●
L’ordonnée du point A est 3.
●
Les coordonnées du point A sont :
axe des abscisses
(– 5 ; 3)
1
O
–5
●
L’origine O du repère a pour coordonnées (0 ; 0)
1 –1
1 O
–5
4
–2 B
Placer sur cette carte de France les points qui représentent les cinq villes citées. ● P (Paris) a pour coordonnées (– 1 ; 2). ● L (La Roche-sur-Yon) a pour coordonnées (– 4 ; – 1). ● S (Saint-Lô) et L ont la même abscisse. S et P ont la même ordonnée. ● T (Toulouse) a pour coordonnées (– 2 ; – 5). ● M (Montpellier) et P ont des abscisses opposées. Les ordonnées de M et T sont égales.
6 1
C
–3
a. ● Quelle est l’abscisse du point A ? 4 ●
Quelle est l’ordonnée du point A ? 2
●
Écrire les coordonnées du point A : (4 ; 2)
1
B(– 1 ; – 3) , C(6 ; – 2) et D(– 5 ; 1). Dans ce repère, placer les points : E(1 ; 3) F(3 ; – 1) G(0 ; – 3)
I
–1
H(– 3 ; 2)
a. Indiquer les coordonnées des points J et K.
b. Placer les points L(2 ; – 3) et M(– 2 ; 2).
3
1
F
M
3 2
On se propose de placer avec un logiciel les points :
K
A(– 4 ; – 1) B(5,8 ; – 1,6) C(– 6,2 ; 2,4). a. Afficher les axes et la grille
1
–3 –2 J
O
–2 –3
1 2
L
.
Dans la zone de saisie, saisir : A=(–4,–1) valider avec Entrée. b. Placer de même les points B et C. c. Construire le milieu D du segment [AC].
c. Parmi les quatre points J, K, L, M, lequel a son abscisse positive et son ordonnée négative ?
d. Afficher la fenêtre Algèbre.
Le point L
D(– 5,1 ; 0,7)
© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
M
5
3
K( 1 ; 3 )
T
G
I(– 2 ; 0).
J( – 3 ; – 2 )
1
E
1 O
–3
O
L 3 2
H
P
S
b. Indiquer les coordonnées des points B, C et D.
2
Ordonnée de A
4
A
2
D
Abscisse de A
Lire les coordonnées du point D :
Chapitre 5 ● Découvrir les nombres relatifs
31
FICHE
CALCUL MENTAL
● ..... . . . . . . . . .
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
● ..............
27 Perfectionnement 1
Former quatre paires de nombres en reliant chaque nombre de la colonne de gauche à un nombre plus petit de la colonne de droite. 3
– 16,4
– 17,5
–9
– 15
– 8,314
– 8,72
5
Voici des renseignements
sur les températures
moyennes en °C à Montréal au Québec. ● Les températures moyennes dans le désordre pour les mois d’octobre à avril sont :
– 18,2
–2
2
–9
–7
6
– 10
9
Les températures moyennes augmentent de janvier à juillet puis diminuent d’août à janvier. ● Il fait plus chaud en décembre qu’en février. ● Il fait plus froid en avril qu’en octobre. ● Les températures moyennes en mars et novembre sont opposées. ● La température moyenne en mars est négative. ●
2
Donner le nombre entier le plus proche de :
a. – 4,7
b. – 2,3
c. – 19,6
a. – 5
b. – 2
c. – 20
3
Ci-dessous, les coordonnées de A sont (–5 ; 3). A
3 2
Retrouver pour chaque mois sa température moyenne. Expliquer.
• On range les températures dans l’ordre croissant : – 10 – 9 – 7 – 2 2 6 9 • On peut construire ce tableau. O N D J F M A
D
1
–5 E
–4 C
O
–1 –2
3 4
1
B
a. Quelles sont les coordonnées de B ? B(4 ; – 2) b. Placer les points C(– 4 ; –1) et D(3 ; 2). c. Placer le point E qui a la même abscisse que A et la même ordonnée que B. Quelles sont les coordonnées de E ? E(– 5 ; – 2) ....
4
a. Choisir une unité pour cette droite graduée, puis placer les nombres : – 0,3 ; 0,25 ; – 0,05 ; 0,1 ; – 0,175.
–0,3 –0,175 –0,05 0
0,1
0,25
b. Choisir une unité pour cette droite graduée, puis placer les nombres : 400 ; – 600 ; – 1 400 ; – 900 ; 1 000.
–1400 – 900 – 600
32
0
400
➃
➁
➂
➀
➂
➁
9
2
–7
– 10
–9
–2
➃
6 • On le complète grâce aux informations. ➀ Les températures augmentent de janvier à juillet puis diminuent d’août à janvier donc la température la plus basse est en janvier : il fait – 10 °C. ➁ Les températures de mars et de novembre sont opposées et en mars, elle est négative, donc il fait – 9 °C, – 7 °C ou – 2 °C. Cela ne peut pas être – 9 °C car il n’y a pas d’autre nombre entre – 10 et – 9 pour février. Cela ne peut pas être – 7 °C car en novembre il devrait faire 7 °C, or 7 °C n’est pas une température donnée. C’est dont – 2 °C et 2 °C. ➂ Les températures de février et décembre sont les deux nombres négatifs restants. Il fait plus chaud en décembre qu’en février, donc – 7 °C en décembre et – 9 °C en février. ➃ Il fait plus froid en avril qu’en octobre, donc 6 °C en avril et 9 °C en octobre.
1000 © Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
FICHE
M & jeux 28 QC Voici un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, entourer la (ou les) réponse(s) exacte(s).
QCM
A
En jouant, Louise a gagné 200 points, puis elle a perdu 350 points. Son bilan peut se traduire par…
B
De ces trois nombres relatifs, le plus éloigné de zéro est… B
200 – 350
– 150
350 + 200
– 7,4
6
– 5,6
l’abscisse du point A est – 3.
la distance à zéro de l’abscisse du point B est comprise entre – 4 et – 5.
l’abscisse du point B est entre – 5 et – 4.
les coordonnées de A sont : (1 ; 2)
les coordonnées de B sont : (– 3 ; – 1)
les abscisses des points A et B sont opposées
–7 4
– 5,38 – 5,7
8,346 8,6
A 0
C
1
Sur cette droite graduée, on peut dire que … Dans ce repère, …
A
1
D
O
B
1
Les inégalités qui sont vraies sont …
E
jeu
Bilan ..... / 5
1
jeu
L’agent 007 a reçu ce message.
2
Réaliser le dessin de Jeff d’après ses instructions. ● Avec la règle, relier dans cet ordre les points de coordonnées : (– 4 ; 0) ; (– 4 ; 2) ; (– 5 ; 1) ; (– 6 ; 1) ; (– 4 ; 3) ; (– 2 ; 3) ; (0 ; 0) ; (– 1 ; 0) ; (– 2 ; 2) ; (– 2 ; 0) ; (0 ; – 2) ; (0 ; – 3) ; (1 ; – 4) ; (– 1 ; – 4) ; (– 1 ; – 3) ; (– 3 ; – 1) ; (– 5 ; – 2) ; (– 6 ; – 2) ; (– 7 ; – 3) ; (– 7 ; – 1) ; (– 5 ; – 1) ; (– 4 ; 0). ● Tracer le cercle de centre le point de coordonnées (– 5 ; – 4) et de diamètre 2. ● Tracer le cercle de centre le point de coordonnées (– 3 ; 4) et de diamètre 2.
Agent 007, voici la ville où vous devez vous rendre. ➀ Le plus grand nombre entier inférieur à - 9,4. ➁ L’ordonnée du point A(7 ; - 12). ➂ L’opposé de 1. ➃ La distance à zéro de - 9. ➄ 2 - 6. Dans ce message, chaque lettre est codée par un nombre entier relatif. Voici un extrait du code utilisé : H
I
J
K
L
M
N
O
P
Q
R
–5
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
5
Dans quelle ville l’agent 007 doit-il se rendre ?
CALVI
Réponse :
1
On peut compléter le code. A B C –12 –11 –10 S 6
T 7
D – 9
E – 8
F – 7
G – 6
V 9
W 10
X 11
Y 12
U 8
➀ – 10 C ➁ – 12 A ➃ 9 V ➄ –4 I
O
1
➂ –1 L
La ville est : CALVI. © Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
Chapitre 5 ● Découvrir les nombres relatifs
33
Additionner, soustraire des nombres relatifs
CHAPITRE
FICHE
6
CALCUL MENTAL
● ..... . . . . . . . . .
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
29 Addition Pour additionner deux nombres relatifs de même signe : on garde le signe commun et on additionne les distances à zéro. 3 + 4 = 7
●
– 3 + (– 4) = – 7
Pour additionner deux nombres relatifs de signes contraires : on garde le signe du nombre qui a la plus grande distance à zéro et on soustrait la plus petite distance à zéro à la plus grande. 8 + (– 3) = 5 2 + (– 6) = – 4 En particulier, la somme de deux nombres opposés est égale à 0. Par exemple, 9 + (– 9) = 0.
●
1
5
Compléter.
Compléter ce tableau qui donne les points gagnés ou perdus lors de deux parties de cartes.
a. – 3 et – 5 ont le même signe donc – 3 + (– 5) = – 8 .
Le nombre qui a la plus grande distance à 0 est – 7 . et 3 + (– 7) = – 4 .
c. – 2 et 8 sont de signes contraires. Le nombre qui a la plus grande distance à 0 est 8 . Donc – 2 + 8 = 6
et 8 + (– 2) = 6 .
2
Entourer les sommes de deux nombres de même signe, puis calculer les six sommes. ●
– 3 + (– 5) = – 8
●
–4 + 7 = 3
●
7 + (– 1) =
●
3 + 6 =
●
– 4 + (– 9) = – 13
●
– 10 + 2 = – 8
3
6
Total
Auréa
– 45
– 55
40
– 60
Charles
– 25
70
Dounia
– 100 – 20 45 – 90 50 – 115
– 65
– 25
Élisa
35
15
Total
– 60
– 55
6
a. Calculer la somme des nombres positifs, la somme des nombres négatifs et en déduire le résultat. ●
A = – 13 + 9 + (– 18) = 9 + (– 31) =
●
B = 3,2 + (– 6,1) + (– 7,6) + 5,9
●
9
– 22 .
– 4,6 .
C = 5,3 + (– 10) + (– 0,5) + 7 C = 12,3 + (– 10,5) =
1,8 .
b. Vérifier les résultats avec la calculatrice. Calculer.
5,5
b. – 0,7 + (– 1,8) = – 2,5
c. – 6 + (– 7) =
–13
d. – 2,8 + 1,3 =
e. – 4 + 11,5 =
7,5
f. – 10 + 7,5 =
– 1,5 – 2,5
Calculer.
7
Au golf, on additionne les scores obtenus. Le gagnant est le joueur qui obtient le plus petit total. Calculer la somme des scores de chaque joueur puis désigner le gagnant. Tiger : – 2 + (– 4) + 1 = – 6 + 1 = – 5
a. – 12 + 4,2 = – 7,8
b. – 7,1 + 10 = 2,9
Jack : 1 + (– 3) + (– 2) = – 2 + (– 2) = – 4
c. 4 + (– 4) =
d. – 6,2 + 8 = 1,8
Nico : – 2 + (– 1) + (– 3) = – 6
f. 10 + (– 18) =
Le gagnant est Nico.
0
e. – 3,4 + (– 1,6) = – 5
34
Partie 2
B = 9,1 + (– 13,7) =
a. – 3,5 + 9 =
4
Partie 1
Benjamin
b. – 7 et 3 sont de signes contraires.
Donc – 7 + 3 = – 4
Joueur
–8
© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
FICHE
CALCUL MENTAL
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
30 Soustraction ●
Pour soustraire un nombre relatif, on ajoute son opposé. 8 – (– 2) = 8 + 2 = 10
– 5 – 4 = – 5 + (– 4) = – 9
l’opposé de – 2
l’opposé de 4
Sur une droite graduée, la distance entre deux points est la différence entre l’abscisse la plus grande et l’abscisse la plus petite.
●
1
6
Compléter.
Compléter avec la calculatrice ce tableau qui concerne des personnages célèbres.
a. 1 – 8 = 1 + ( – 8 ) = – 7 b. – 9 – 3 = – 9 + ( – 3 ) = – 12 c. 6 – (– 4) = 6 +
4
= 10
2
Remplacer chaque différence par une somme et calculer. a. – 3 – (– 5) = – 3 + 5 = 2 b. – 2 – 7 = – 2 + (– 7) = – 9
Année de naissance
Année du décès
Âge au décès
César
– 100
– 44
56
Napoléon
1769
1821
52
Pythagore
– 580
– 495
85
Thalès
– 625
– 547
78
7
Sur une droite graduée, l’abscisse de A est 9,5, l’abscisse de B est – 71,8 et l’abscisse de C est – 44,3. Calculer les longueurs AB, AC et BC.
c. 8 – 13 = 8 + (– 13) = – 5
3
Personnage
Calculer.
a. 12 – (– 4)
b. – 11 – 2
c. 5 – 15
a. 12 – (– 4) = 12 + 4 = 16 b. – 11 – 2 = – 11 + (– 2) = – 13 c. 5 – 15 = 5 + (– 15) = – 10
• AB = 9,5 – (– 71,8) = 9,5 + 71,8 = 81,3 • AC = 9,5 – (– 44,3) = 9,5 + 44,3 = 53,8 • BC = – 44,3 – (– 71,8) = – 44,3 + 71,8 = 27,5
8
4
Dans chaque cas, donner les abscisses des deux points de la droite graduée situés à 5,6 unités du point A. Relier chaque différence à son résultat. 1–6
–7
– 4 – (– 9)
–5
–5 – 2
5
5
B
C
–5
–3
A 0
1
a. A a pour abscisse 3,7. b. A a pour abscisse –7.
a. 3,7 + 5,6 = 9,3 et 3,7 – 5,6 = – 1,9 Les points ont pour abscisses 9,3 et – 1,9. b. – 7 + 5,6 = – 1,4 et – 7 – 5,6 = – 12,6 Les points ont pour abscisses – 1,4 et – 12,6.
4
a. Compléter afin de calculer la distance AB. AB = 4 – (– 5) = 4 + 5 = 9 b. Calculer de même les distances AC et BC. AC = 4 – (– 3) = 4 + 3 = 7 BC = – 3 – (– 5) = – 3 + 5 = 2 © Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
9
On écrit sur chaque brique la somme des deux nombres situés en dessous. Compléter ces briques.
–8
–3 – 5 6
–9 4
Chapitre 6 ● Additionner, soustraire des nombres relatifs
35
FICHE
CALCUL MENTAL
● ..... . . . . . . . . .
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
31 Somme algébrique Pour calculer une somme algébrique, c’est-à-dire une suite d’additions et de soustractions, ● on écrit l’expression avec des additions uniquement ; ● on simplifie l’écriture de l’expression. ou bien
1
4
Compléter ces calculs.
Calculer l’expression, puis vérifier avec la calculatrice. A = – 12 + 9 – 5 – 8 + 10 – 15
a. A = – 7 – 4 – (– 13) – 5 A = – 7 + ( – 4 ) + 13
+ ( –5 )
A = – 11 + 13 + ( – 5 )
A = – 12 + 9 – 5 – 8 + 10 – 15
A=
A = – 12 – 5 – 8 – 15 + 9 + 10
2 + ( – 5 ) = –3
A=
b. B = – 1 + (– 4) – 6 – (–7) + 8
– 40
+ 19
A = – 21
B = – 1 + (– 4) + (– 6) + 7 + 8 B = – 11 + 15 B=
4
2
Dans chaque cas, écrire l’expression avec des additions uniquement, puis la calculer. Vérifier ensuite avec la calculatrice.
5
B = 2 – 7 – (5 + (– 8)). Entourer le(s) calcul(s) fait(s) en premier, puis calculer B.
B = 2 – 7 – (– 3) d’où B = 2 – 7 + 3 B = –5 + 3 = –2
a. C = 3 – 9 – (– 2) – 7 b. D = 4,5 – (– 9,7) + (– 6,8) – 2 + (– 5,1)
a. C = 3 + (– 9) + 2 + (– 7) C = – 6 + 2 + (– 7) C = – 4 + (– 7) = – 11 b. D = 4,5 + 9,7 + (– 6,8) + (– 2) + (– 5,1) D = 14,2 + (– 13,9) D = 0,3
6
Calculer chaque expression.
a. C = – 4 + 7 – (– 5 + 3) + (– 8 – 2) b. D = 6 – (9 – 12) + (– 10 + 4) – (– 1 – 4)
a. C = – 4 + 7 – (– 2) + (– 10) = – 4 + 7 + 2 – 10 C = – 4 – 10 + 7 + 2 = – 14 + 9 d’où C = – 5 b. D = 6 – (– 3) + (– 6) – (– 5) D=6+3–6+5 d’où D = 8
3
Simplifier chaque expression en l’écrivant sans parenthèses, puis la calculer. Vérifier ensuite avec la calculatrice. a. E = – 1 – 10 + (– 6) – (– 7) b. F = 2,4 + (– 11,3) – 8,1 + 5,6 – (– 4,7)
a. E = – 1 – 10 – 6 + 7 E = – 17 + 7 E = – 10 b. F = 2,4 – 11,3 – 8,1 + 5,6 + 4,7 F = – 11,3 – 8,1 + 2,4 + 5,6 + 4,7 F = – 19,4 + 12,7 = – 6,7
36
7
Un négociant achète une moto 1 800 €, puis la revend aussitôt 2 500 €. Il achète aussi une voiture 3 300 € qu’il revend 2 900 €. Écrire une expression E qui traduit le bilan de ces achats et de ces ventes, puis calculer E et interpréter le résultat.
E = – 1 800 + 2 500 – 3 300 + 2 900 E = 5 400 – 5 100 d’où E = 300 Le négociant a gagné 300 €.
© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
FICHE
CALCUL MENTAL
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
32 Perfectionnement 1
Fanny et Adèle jouent à un jeu vidéo. Voici les valeurs des objets que l’on peut obtenir à ce jeu et les points qui leur correspondent.
100
40
– 80
– 60
– 150
– 20
3
Voici un programme de calcul. Choisir un nombre. ● Soustraire 15. ● Soustraire le résultat obtenu à 100. ●
Voici les objets obtenus par Fanny et Adèle.
1. Vérifier que l’on obtient – 3 si l’on choisit 118 comme nombre de départ.
Fanny :
2. Quel nombre obtient-on si l’on choisit comme nombre de départ : a. 6 ?
3. Lise a choisi – 17 comme nombre de départ. Écrire une expression qui permet de calculer le nombre N qu’elle obtient puis calculer N.
Adèle : Écrire une expression F traduisant le score de Fanny et une expression A celui d’Adèle. Calculer ces scores.
1. • 118 • 118 – 15 = 103 • 100 – 103 = – 3 On obtient bien – 3. 2. a. • 6 • 6 – 15 = – 9 • 100 – (– 9) = 100 + 9 = 109 On obtient 109. b. • – 10 • – 10 – 15 = – 25 • 100 – (– 25) = 100 + 25 = 125 On obtient 125. 3. • – 17 • – 17 – 15 • N = 100 – (– 17 – 15 ) d’où N = 100 – (– 32) = 100 + 32= 132 Lise obtient 132.
F = 40 – 80 + 100 – 150 – 20 + 40 F = – 70 A = – 60 – 150 + 40 – 80 + 100 – 150 A = – 300
2
a. Placer sur la droite graduée ci-dessous les points A, B et C d’abscisses respectives 2,3 ; – 3,7 et – 0,7.
B –3,7
C –0,7 0
A 1
2,3
b. Calculer les distances AC et BC. c. Que peut-on dire du point C ? Justifier. d. Calculer l’abscisse du point A’ symétrique du point A par rapport au point B.
b. • AC = 2,3 – (– 0,7) = 2,3 + 0,7 = 3. • BC = – 0,7 – (– 3,7) = – 0,7 + 3,7 = 3. c. Les points A, B et C sont alignés et AC = BC donc C est le milieu de [AB]. d. • AB = 2,3 – (– 3,7) = 2,3 + 3,7 = 6. – 3,7 – 6 = – 9,7. L’abscisse du point A′ est – 9,7.
© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
b. – 10 ?
4
A = 5 – (2 – x) – x. Calculer A pour :
a. x = 8
b. x = – 10
a. Pour x = 8 : A = 5 – (2 – 8) – 8 A = 5 – (– 6) – 8 A=5+6–8 A=3 b. Pour x = – 10 : A = 5 – (2 – (– 10)) – (– 10) A = 5 – (2 + 10) + 10 A = 5 – 12 + 10 A=3
Chapitre 6 ● Additionner, soustraire des nombres relatifs
37
FICHE
M & jeux 33 QC QCM
Voici un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, entourer la (ou les) réponse(s) exacte(s). A
– 5 est égal à…
3 + (– 8)
–1 + (– 4)
– 11 + 6
B
2 – 8 est égal à…
2 + (– 8)
– 10
–6
C
– 5 – (– 9) est égal à…
–5 + 9
4
5+9
D
Sur une droite graduée, le point A a pour abscisse – 43 et le point B a pour abscisse – 19. Alors …
AB = – 43 – (– 19)
AB = – 19 – (– 43)
AB = 24
E
A = – 2 – (– 3) – 7 + (– 5). A est égal à…
– 2 + 3 + (– 7) + (– 5)
–2 + 3 – 7 – 5
– 11
jeu
1
jeu
Compléter cette suite logique. ●
Bilan ..... / 5
15
jeu
●
10
●
4
●
–3
●
– 11
●
– 20
●
– 30
2
Combien vaut (1 – 2) – (3 – 4) – (5 – 6) ?
1
Réponse :
– 1 – (– 1) – (– 1) = –(– 1) = 1. On trouve 1.
4
François a écrit 909 nombres dans un tableau de 9 colonnes dont voici un extrait. A
B
C
D
E
F
G
H
I
1
–2
3
–4
5
–6
7
–8
9
– 10
11
– 12
13
– 14
15
– 16
17
– 18
19
– 20
21
– 22
23
– 24
25
– 26
27
– 28
29
– 30
31
– 32
33
– 34
35
– 36
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
901 – 902 903 – 904 905 – 906 907 – 908 909
jeu
3
Compléter ce carré magique de façon que les sommes des nombres écrits sur une même ligne, sur une même colonne ou sur une même diagonale soient égales.
–8
6
–1
–5
–3
–3
–2
0
–1
–5
2
–4
4
–6
–7
1
– 8 + (–3) + 2 + 1 = – 8 – 3 + 2 + 1 = – 8 donc la somme magique est – 8.
38
a. Quelle est la somme S de tous les nombres écrits dans ce tableau ? b. Quelle est la somme S’ des 9 nombres de la 36e ligne ?
a. S = 1 + (–2) + 3 + (–4) + 5 + … + (–908) + 909 On regroupe les termes 2 par 2 à partir du 2e : – 2 + 3 = 1 ; – 4 + 5 = 1 ; … – 908 + 909 = 1 908 : 2 = 454 ainsi on obtient 454 termes égaux à 1. Donc S = 1 + 454 = 455. b. 35 × 9 = 315 La 36e ligne commence par un nombre négatif donc par – 316. S′ = – 316 + 317 + (– 318) + … + 323 + (– 324) S′ = 1 + 1 + 1 + 1 + (– 324) S′ = 4 + (– 324) S′ = – 320 © Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
Calculer une quatrième proportionnelle
CHAPITRE
FICHE
7
CALCUL MENTAL
● ....... . . . . . . .
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
34 Tableaux de proportionnalité Pour calculer la quatrième proportionnelle x de ce tableau de proportionnalité, on peut utiliser plusieurs méthodes. ●
Coefficient de proportionnalité 4
6
12
x
Masse (en kg) Prix (en €)
●
×3
4
6
Prix (en €)
12
x
3
4
10
3,80
9,50
3,80 9,50 2,85 = 0,95 ; = 0,95 ; = 0,95. 4 10 3
Donc il y a bien proportionnalité. Le prix d’une baguette est 0,95 €.
Nombre de pas
75
400
1 000
Distance (en m)
54
288
750
La distance parcourue par Lili est-elle proportionnelle au nombre de pas ? Si non modifier un nombre de ce tableau pour qu’elle le devienne.
• 54 = 0,72 ; 288 = 0,72 75 400 750 = 0,75. 1000
0,75 ≠ 0,72 donc la distance n’est pas proportionnelle au nombre de pas. • 0,72 × 1 000 = 720 ainsi il suffit de remplacer 750 par 720.
© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
Passage par l’unité
4 kg coûtent 12 €. • 1 kg coûte 12 € : 4. Donc 1 kg coûte 3 €. • 6 kg coûtent 6 × 3 €. Donc 6 kg coûtent 18 €.
Le prix d’un collier est proportionnel au nombre de perles.
6€
a. Compléter le tableau ci-dessous. × 1,75 Nombre de perles
8
14
22
Prix (en €)
6
10,50
16,50
+
b. Quel est le prix d’un collier de 14 perles ? c. Combien de perles a un collier qui coûte 16,50 € ?
Lili a établi ce tableau à l’aide d’un podomètre.
mais
●
3
Montrer que le prix est proportionnel au nombre de baguettes puis donner le prix d’une baguette.
2
x
x = 12 × 1,5 = 18
2,85
Nombre de baguettes
6
12
Masse (en kg)
Un boulanger a réalisé ce tableau.
Prix (en €)
4
Prix (en €)
Multiplication d’une quantité × 1,5
x = 6 × 3 = 18
1
Masse (en kg)
b. 14 = 1,75 donc 1,75 × 6 = 10,50 8 Un collier de 14 perles coûte 10,50 €. c. 6 + 10,50 = 16,50 et 8 + 14 = 22 Le collier a 22 perles.
4
1. Compléter ce tableau de proportionnalité qui donne des informations sur une voiture. × 40
Distance (en km)
480 400 720
Consommation (en L) 12
10
18
× 0,025
2. Que signifie le nombre écrit dans la case : a. jaune ?
b. verte ?
a. La voiture consomme 10 L en 400 km. b. La voiture parcourt 720 km avec 18 L. Chapitre 7 ● Calculer une quatrième proportionnelle
39
FICHE
CALCUL MENTAL
● ..... . . . . . . . . .
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
35 Utiliser la proportionnalité 1
Fanny a dépensé 8 € pour 10 cartes postales identiques. Pour calculer le prix de 7 de ces cartes, compléter : ●
calcul du prix d’une carte postale : 8 € = 0,80 €
4
Une ville de 70 000 habitants dépense 2,8 millions d’euros par an pour le traitement des ordures ménagères. Quelle somme dépenserait chaque année une ville de 30 000 habitants avec le même tarif ?
10 donc une carte postale coûte 0,80 €. ●
2 800 000 € = 40 € donc la 1re ville 70 000
calcul du prix des 7 cartes postales :
0,80 € ×
7
=
donc 7 cartes postales coûtent
dépense 40 € par an et par habitant. 30 000 × 40 € = 1 200 000 €. La 2e ville dépenserait 1,2 million d’euros.
5,60 € 5,60 €.
2
Un géomètre délimite un champ carré. Il a déjà posé 60 m de fil pour la partie indiquée ci-contre. Quelle longueur de fil utilisera-t-il en tout ?
Fil
5
donc il pose 12 m de fil sur le côté d’un carreau. 12 m × 12 = 144 m Le géomètre utilise 144 m de fil en tout.
3
Aujourd’hui, on change 50 € contre 800 pesos. 1. Que calcule-t-on quand on effectue : 800 50 a. ? b. ? 50 800 2. Combien de pesos aura Martin contre 70 € ? 3. Pedro se rend en France. Combien d’euros aura-t-il contre 6 000 pesos ?
1. a. On calcule le montant en euros que l’on a avec 1 peso. b. On calcule le montant en pesos que l’on a avec 1 euro. 800 2. 70 × = 70 × 16 = 1 120. 50 Martin aura 1 120 pesos. 50 3. 6 000 × = 6 000 × 0,062 5 = 375. 800 Pedro aura 375 euros.
125 g de chocolat contiennent 625 calories.
a. Combien de calories contient 1 kg de chocolat ? b. Maria annonce : « J’ai mangé l’équivalent de 270 calories. » Quelle masse de ce chocolat a-t-elle mangée ?
60 m = 12 m 5
40
● ..............
a.
625 =5 125
donc 1 g de chocolat contient 5 calories. 1 kg = 1 000 g d’où 5 × 1 000 = 5 000 1 kg de chocolat contient 5 000 calories. 270 b. = 54 donc Maria a mangé 54 g de chocolat. 5
6
Entre 7 h 45 et 10 h 15, Jean a cueilli 225 kg de pêches ; il a ainsi rempli 18 caisses. a. Jean s’est fixé de remplir 30 caisses. Quelle masse de pêches aura-t-il alors cueillie ? b. S’il garde le même rythme, à quelle heure aura-t-il terminé sa cueillette ?
a.
225 kg = 12,5 kg et 12,5 kg × 30 = 375 kg 18
Il aura cueilli 375 kg de pêches. b. 10 h 15 – 7 h 45 = 2 h 30 = 150 min. 225 kg = 1,5 kg ; en 1 minute il cueille 1,5 kg. 150 375 = 250 ; il met 250 min soit 4 h 10 min. 1,5 7 h 45 + 4 h 10 = 11 h 55 Jean terminera sa cueillette à 11 h 55.
© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
FICHE
CALCUL MENTAL
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
36 Pourcentages t désigne un nombre. Prendre t % d’une quantité, c’est t . multiplier cette quantité par 100
●
●
Calculer un pourcentage revient à écrire
une proportion de dénominateur 100.
1
a. Compléter afin de calculer la masse de sucre dans cette tablette de chocolat. 30 × 150 g = 0,3 × 150 g = 45 100 Cette tablette contient
4
En 2010, on comptait 12 millions de jeunes Français de moins de 15 ans. En 2014, ce nombre a augmenté de 1,6 %. Combien de jeunes de moins de 15 ans la France comptait-elle en 2014 ?
g
45 g de sucre.
b. Calculer la masse d’amandes dans la tablette. 4 150 g = 0,04 150 g = 6 g 100
La tablette contient 6 g d’amandes.
1,6 12 000 000 = 192 000 100
12 000 000 + 192 000 = 12 192 000 En 2014, il y avait 12 192 000 jeunes Français de moins de 15 ans.
2
Dans un collège, 18 % des 650 élèves ont une tablette numérique.
5
a. Combien d’élèves ont une tablette ? b. Calculer de deux façons le nombre d’élèves qui n’ont pas de tablette.
Lors d’un match de basket, Tony a réussi 22 tirs et en a raté 10 tandis que Joakim en a réussi 18 et en a raté 7. Qui de Tony ou de Joakim a eu le plus grand pourcentage de tirs réussis ?
•
18 a. 650 = 117 100
22 22 68,75 = = 0,687 5 = 22+10 32 100
Tony a réussi 68,75 % de ses tirs. 18 72 18 = = 0,72 = • 100 18 +7 25 Joakim a réussi 72 % de ses tirs. • 72 % 68,75 % donc Joakim a eu le plus grand pourcentage de tirs réussis.
Donc 117 élèves ont une tablette. b. • 1re façon : 650 – 117 = 533. • 2e façon : 100 % – 18 % = 82 %. 82 % des élèves n’ont pas de tablette. 82 650 = 533 100 Donc 533 élèves n’ont pas de tablette.
6
3 a. Dans un club, 6 joueurs sur 25 sont gauchers. Léo et Manon ont exprimé en pourcentage la proportion de gauchers dans ce club. Compléter leurs travaux.
Léo
6 = 6 × 25 25 ×
Manon
6 = 25
0,24
4 4
=
=
24
100
24
100
Calculer le montant de la réduction en euros puis exprimer cette réduction en pourcentage du prix initial.
128 €
88 €
• 128 € – 88 € = 40 € Donc la réduction est de 40 €. 31,25 40 = 0,312 5 = • 100 128 La réduction correspond à 31,25 % du prix initial.
b. Quel est le pourcentage de gauchers ? 24 % © Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
Chapitre 7 ● Calculer une quatrième proportionnelle
41
FICHE
CALCUL MENTAL
● ..... . . . . . . . . .
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
37 Échelle L’échelle d’un plan est le coefficient de proportionnalité entre les distances sur le plan et les distances réelles. Distance sur le plan Ces deux distances sont dans Échelle = Distance réelle la même unité de longueur. On l’exprime par une fraction de numérateur 1.
1
3
1. Compléter. « Une carte est à l’échelle
1 » 500 000 signifie que 1 cm sur la carte représente
500 000
5
cm soit
km dans la réalité.
Albi
2. Compléter le tableau de proportionnalité ci-dessous en répondant aux questions a. et b.. a. Deux villes sont distantes de 32 km dans la réalité. Quelle distance les sépare sur la carte ? b. Sur la carte, la distance entre deux autres villes est 4,2 cm. Quelle est en réalité la distance à vol d’oiseau entre ces deux villes ?
a.
Distance sur le plan (en cm)
1
6,4
4,2
Distance réelle (en km)
5
32
21
32 = 6,4 donc la distance sur la carte 5
entre ces deux villes est 6,4 cm. b. 4,2 × 5 = 21 donc la distance à vol d’oiseau entre ces deux villes est en réalité 21 km.
Cette carte est à l’échelle
n Tar
1 . 4 000 000
Millau Montpellier
Toulouse
Béziers
a. Mesurer sur la carte la distance entre Millau et Toulouse puis calculer la distance à vol d’oiseau dans la réalité entre Millau et Toulouse. b. La distance à vol d’oiseau entre Millau et Nantes est 500 km. À quelle distance se trouverait Nantes de Millau sur cette carte ?
a. • Il y a 3,6 cm entre Millau et Toulouse sur la carte, où 1 cm représente 4 000 000 cm soit 40 km dans la réalité. 3,6 × 40 = 144 donc à vol d’oiseau il y a 144 km entre Millau et Toulouse. 500 = 12,5 donc Nantes serait à 12,5 cm b. 40 de Millau sur cette carte.
2
Un terrain de football a pour dimensions 96 m et 60 m. Sur un plan, il est représenté par un rectangle de longueur 12 cm.
4
On a représenté sur une photographie aérienne le trajet de Lilou qui a parcouru 270 m.
a. Quelle est l’échelle de ce plan ? b. Quelle est la largeur du terrain sur le plan ? 12 1 . = 9 600 800 1 . Donc l’échelle de ce plan est 800 1 b. L’échelle est donc 1 cm représente 800
a. 96 m = 9 600 cm et
800 cm soit 8 m. 60 = 7,5 donc la largeur du terrain sur le plan est 8 7,5 cm.
42
Quelle est l’échelle de cette photographie ?
Le segment jaune mesure 5 cm. 270 m = 27 000 cm. 5 5:5 1 = = 27 000 27 000 : 5 5 400 1 . Donc l’échelle est 5 400 © Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
FICHE
CALCUL MENTAL
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
38 Perfectionnement 1
On a noté le nombre de visiteurs d’un zoo et la proportion d’enfants, lors d’un « pont » de 4 jours. 1857 198
234
486
270 1188 64 %
3
La partie émergée d’un iceberg a un volume de 900 m3 et la partie immergée a un volume de 6 300 m3. Quel pourcentage du volume total de la glace est immergé ?
a. Réaliser cette feuille de calcul avec un tableur. b. Parmi les formules ci-dessous, entourer celle(s) qui peut (peuvent) être saisie(s) dans la cellule B4 et que l’on recopiera ensuite vers la droite jusqu’à la cellule E4. =B3*B2
=B3:100*B2
=B2*B3/100
c. Compléter la plage B4:E4 et les cellules F2 et F4. d. Saisir la formule
=F4/F2
en cellule F5. Puis formater cette cellule F5 pour obtenir une valeur approchée du pourcentage à l’unité près. Quel a été le pourcentage d’enfants parmi les visiteurs au cours de ce « pont » ? environ 64 %
2
En 2006, lors du recensement, 7,4 millions parmi les 31,4 millions de Canadiens disaient que le français était leur langue officielle. Entre 2006 et 2011, la population du Canada a augmenté de 6 % et le nombre de Canadiens parlant français a augmenté de 300 000. Le pourcentage de Canadiens parlant français a-t-il diminué ou augmenté entre 2006 et 2011 ?
• En 2006,
23,6 7,4 0,236 et 0,236 = 100 31,4
Ils représentaient environ 23,6 % des Canadiens. 6 • × 31,4 millions = 1,884 million 100 31,4 + 1,884 = 33,284 En 2011, il y avait 33 284 000 Canadiens. • 7 400 000 + 300 000 = 7 700 000. 7 700 000 23,1 • 0,231 et 0,231= 100 33 284 000 En 2011, les Canadiens parlant français représentaient environ 23,1 % de la population canadienne. 23,6 23,1 donc le pourcentage de Canadiens parlant français a un peu diminué.
© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
900 m3 + 6 300 m3 = 7 200 m3
6 300 87,5 = 0,875 = 100 7 200
87,5 % du volume de glace sont immergés.
4
NÎMES PARIS Sophie, qui a quitté 153 km 565 km Nîmes en voiture à 14 h 45, voit ces panneaux à 16 h 25. Si elle continue à la même vitesse, à quelle distance de Paris sera-t-elle quand elle fera une pause, au bout de 2 heures de trajet ?
• 16 h 25 – 14 h 45 = 1 h 40 min = 100 min.
153 =1,53 donc Sophie parcourt 1,53 km en 1 min. 100
• 2 h – 1 h 40 min = 20 min 20 × 1,53 km = 30,6 km 565 km – 30,6 km = 534,4 km Sophie sera à 534,4 km de Paris.
5
Sur une carte à l’échelle 1 , 40 cm séparent 5 000 000 Athènes et Paris. Quelle distance sépare ces villes sur une carte à l’échelle
1 ? 8 000 000
• 1 cm sur la première carte représente 5 000 000 cm soit 50 km dans la réalité. 40 × 50 = 2 000. Donc dans la réalité, la distance à vol d’oiseau entre Athènes et Paris est 2 000 km. • 1 cm sur la seconde carte représente 8 000 000 cm soit 80 km dans la réalité. 2 000 = 25 donc 25 cm séparent ces deux villes 80 sur la deuxième carte.
Chapitre 7 ● Calculer une quatrième proportionnelle
43
FICHE
M & jeux QC 39 QCM
Voici un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, entourer la (ou les) réponse(s) exacte(s).
A
Durée (en min)
4
10
y
2
Distance (en km)
7
x
42
z
Bilan ..... / 5 7 2
z=
x = 10 × 1,75
y=4×6
une boîte pèse 1,6 kg
une boîte coûte 1,50 €
1 kg coûte 2,40 €
12 L
20 % de 60 L
80 % de 15 L
27 % d’hommes
45 % d’hommes
55 % de femmes
1 cm représente 6 km
une distance de 21 km est représentée par 3,5 cm
18 cm représentent 3 km
Pour ce tableau de proportionnalité… B
Anne a payé 12 € pour 8 boîtes de conserve identiques qui pèsent ensemble 5 kg. Alors…
C
30 % de 40 L c’est aussi…
D
Dans une entreprise, il y a 27 hommes et 33 femmes. Dans cette entreprise, il y a…
E
Sur une carte à l’échelle 1 … 600 000
jeu
1
jeu
Ranger les 21 cartes ci-dessous en 7 familles puis pour chaque famille, imaginer une 4e carte qui sera ajoutée. Les 21 cartes : 0,4
24 12
70 %
3 4
0,2
40 %
1,2
120 %
2
3 15
4 5
80 %
0,7
200 %
0,75
2 5
6 5
0,8
14 20
75 % 20 %
Voici les 7 familles, avec à chaque fois en dernière position la carte ajoutée. 2 Famille 1 : 0,4 40 % 5 24 Famille 2 : 2 200 % 12 14 Famille 3 : 0,7 70 % 20 3 Famille 4 : 0,75 75 % 4 3 Famille 5 : 0,2 20 % 15 6 Famille 6 : 1,2 120 % 5 4 Famille 7 : 0,8 80 % 5
44
2
Trouver le mot caché sur la deuxième ligne du tableau. Si on remplace A par 1, B par 2, …, ce tableau est un tableau de proportionnalité. H
J
F
R
Z
B
X
D
E
C
I
M
A
L
H 8 J 10 F 6 R 18 Z 26 B 2 X 24 D 4 E 5 C 3 I 9 M 13 A 1 L 12
jeu
× 0,5
3
Manon a préparé deux étiquettes pour ces bouquets de roses. Que doit-elle écrire sur la troisième étiquette ?
4 10 20 10 7 10 15 20 2 10 12 10 8 10
6€ 7,50 €
4,50 €
• Si 3 roses coûtent 6 € : 6 € 3 = 2 € alors une rose coûte 2 €, 4 roses coûtent 8 € et 5 roses 10 €. Impossible, aucune étiquette 8 € ou 10 €. • 4 roses coûtent donc 6 €. 6 € 4 = 1,50 € alors une rose coûte 1,50 €. 3 × 1,50 € = 4,50 € et 5 × 1,50 € = 7,50 € Manon écrit 4,50 € sur la 3e étiquette. © Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
CHAPITRE
Lire des données
FICHE
8
CALCUL MENTAL
● ....... . . . . . . .
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
40 Tableaux : effectifs Répartition de personnes selon le sport préféré. Sport
Football
Rugby
Handball
Total
15
12
13
40
Effectif
1
Ce tableau présente Durée Effectif (en min) les réponses des élèves à la 10 8 question : « Combien de temps mettez-vous pour 15 7 venir au collège ? » 25 4 Combien d’élèves déclarent 30 11 mettre : • au moins 15 min ? 22 (7 + 4 + 11 = 22) • moins de 25 min ? 15 (8 + 7 =15) a. Compléter ce tableau qui présente les résultats du premier tour d’une élection des délégués de classe. Effectif
Anne
Ben
Clara
3
5
5
Djibril Emma 12
4
29
29 : 2 = 14,5, donc aucun élève n’a été élu.
a. Compléter ce tableau qui présente la répartition des 240 membres d’un club de voile, selon leur niveau et leur filière. Niveau
1
2
Total
Catamaran
46
37
Croisière
15
20
Dériveur
63
59 116
83 35 122
Filière
Total
124
240
5
Voici les réponses d’un groupe de personnes à la question : « Combien de chats ou chiens avez-vous ? » Nombre de chats
0
1
2
3
Effectif
33
11
8
4
Nombre de chiens
0
1
2
3
Effectif
36
14
5
1
a. Combien de personnes a-t-on interrogées ?
3
Ce tableau résume le nombre de buts marqués lors d’une journée de Ligue 1 de football.
b. Combien de personnes ont au moins un chat ? c. Combien de personnes ont au moins un chien ?
Nombre de buts
0
1
2
3
6
Nombre de matchs
1
2
4
2
1
a. Combien de matchs ont été joués ?
1 + 2 + 4 + 2 + 1 = 10 10 matchs ont été joués. b. Combien de buts ont été marqués au total ?
0 × 1 + 1 × 2 + 2 × 4 + 3 × 2 + 6 × 1 = 22
© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
4
Total
b. Pour être élu il faut obtenir plus de la moitié des voix. Est-ce le cas d’un des candidats ?
22 buts ont été marqués.
15 + 12 + 13 = 40 donc l’effectif total est 40.
●
b. On organise une régate pour les membres du club de niveau 2 qui font du dériveur. Combien de personnes peuvent être concernées par cette régate ? 59 personnes
2
Nom
12 personnes préfèrent le rugby.
●
d. 25 personnes ont déclaré n’avoir ni chien ni chat. Combien de personnes ont au moins un chat et un chien ?
a. 33 + 11 + 8 + 4 = 56. On a interrogé 56 personnes. b. 56 – 33 = 23 (ou 11 + 8 + 4 = 23). 23 personnes ont au moins un chat. c. 56 – 36 = 20 (ou 14 + 5 + 1 = 20). 20 personnes ont au moins un chien. d. (23 + 20 +25) − 56 = 12. 12 personnes ont au moins un chat et un chien. Chapitre 8 ● Lire des données
45
FICHE
CALCUL MENTAL
● ..... . . . . . . . . .
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
● ..............
41 Tableaux : fréquences effectif effectif total 12 personnes sur 40 préfèrent le rugby. 12 La fréquence de ces personnes peut s’écrire : 40
Sport
Fréquence d’une donnée :
1
Voici la répartition des élèves de 5e d’un collège qui participent à un tournoi de football. Classe
5e1
5e2
5e3
5e4
5e5
Total
Effectif
12
20
16
14
18
80
Fréquence
0,15 0,25 0,2
0,175 0,225
1
Effectif
ou 0,3
Football
Rugby
Handball
Total
15
12
13
40
ou 30 %.
3
L’ancienneté du personnel d’une entreprise est présentée ci-dessous. Calculer l’effectif total et compléter la ligne « Fréquence » par des nombres décimaux. Ancienneté a (en ans)
0 a 3
3 a 6
6 a 9
Total
12
22
6
0,3
0,55
0,15
40 1
Effectif
1. Calculer l’effectif total.
Fréquence
12 + 20 + 16 + 15 + 17 = 80
4
2. Compléter. a. 16 élèves de 5e3 sur 80 élèves en tout participent au tournoi. La fréquence des élèves de 5e3 qui participent au tournoi est :
16 80
Son écriture décimale est 0,2 . b. Autrement dit, 20 % des élèves qui participent au tournoi sont des élèves de 5e3. 3. Compléter la ligne « Fréquence » du tableau par des nombres en écriture décimale.
2
Maximilien a regroupé ses figurines par catégories, comme indiqué ci-dessous. Fréquence
Effectif
Dragons
32 %
Chevaliers
28 %
Chevaux
16 %
Pirates
24 %
24 21 12 18
a. Calculer la fréquence de la catégorie « Chevaux ». b. Compléter la colonne « Effectif » en sachant que Maximilien possède en tout 75 figurines.
a. 100 % – (32 % + 28 % + 24 %) = 16 % 32 28 b. × 75 = 24 × 75 = 21 100 100 16 24 × 75 = 12 × 75 = 18. 100 100
46
On a répertorié les loisirs préférés des 150 élèves de 5e et des 140 élèves de 4e d’un collège. Pratiquer un sport
5e
4e
Total
24
21
45
Écouter de la musique
36
35
71
Regarder la télévision
30
28
58
Communiquer avec ses amis
42
42
84
Lire
18
14
32
Total
150
140
290
1. Calculer la fréquence en pourcentage des élèves qui disent écouter de la musique parmi : a. les élèves de 5e
b. les élèves de 4e
2. Alexia affirme : « Les élèves de 5e regardent plus fréquemment la télévision que les élèves de 4e. » A-t-elle raison ?
36 24 = 0,24 = 150 100 24 % des élèves de 5e écoutent de la musique. 35 25 = 0,25 = b. 140 100 25 % des élèves de 4e écoutent de la musique. 30 20 28 20 = 0,2 = et = 0,2 = 2. 150 100 140 100 donc Alexia a tort : les élèves de 5e et ceux de 4e qui regardent la télévision sont dans la même proportion. 1. a.
© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
FICHE
CALCUL MENTAL
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
● ..............
42 Classes et histogramme ●
Regroupement de données en classes
Exemple : dépenses journalières de personnes. Dépense d (en €)
10 d 20 20 d 30 30 d 40 2
Effectif
Histogramme
●
5
Les classes ont la même amplitude : les hauteurs des barres sont proportionnelles aux effectifs. Effectif 6 4 2 0 10
3
L’amplitude des classes est 10 €. 5 personnes dépensent entre 20 € (inclus) et 30 € (exclu) par jour.
1
Voici les tailles, en cm, de seize enfants de 3 ans.
91
94
88
98
99
92
96
90
95
96
94
99
89
91
98
89
a. Compléter ce tableau afin de regrouper ces tailles dans des classes d’amplitude 5 cm. Taille t
85 t 90
90 t 95
95 t 100
Effectif
3
6
7
b. Combien d’enfants mesurent : • moins de 95 cm ? 9 enfants (3 + 6 = 9).
Voici les longueurs (en m) des sauts en longueur de collégiens lors d’une compétition. 5,80 5,61 5,39
4,87 5,41 6,62
5,19 4,97 5,30
5,36 5,16 6,00
5,23 4,60 6,20
5,95 5,93 5,43
b. Maxime remarque : « 17 de ces collégiens ont réalisé un saut d’au moins 5 m. » A-t-il raison ?
a.
Longueur (en m) 4 5 5 6 6 7 Effectif
4
14
b. 14 + 3 = 17 donc Maxime a raison.
5
6 000 n 7 000
6
7 000 n 8 000
4
Âge a des lecteurs
Effectif
8 000 n 9 000
3
20 a 30
19
9 000 n 10 000
1
30 a 40
25
40 a 50
31
50 a 60
28
60 a 70
23
70 a 80
14
4
Représenter par un histogramme la répartition des âges des lecteurs d’une médiathèque.
Représenter ci-dessous ces données par un histogramme. Effectif 6 5 4 3 2 1 6 000
3
Effectif
5 000 n 6 000
5 000
5,75 5,87 4,64
a. Regrouper ces longueurs en classes d’amplitude 1 m (4 5 ;…) et présenter les effectifs des classes dans un tableau.
2
Nombre n de spectateurs
30 40 Dépense (en €)
3
• plus de 90 cm ? 13 enfants (6 + 7 = 13). Voici les affluences d’un stade lors des 19 journées à domicile d’une saison de football.
20
Effectif 30 20
7 000 8 000 9 000 10 000 Nombre de spectateurs
© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
10 0 20
30
40
50
60
70
80 Âge
Chapitre 8 ● Lire des données
47
FICHE
CALCUL MENTAL
● ..... . . . . . . . . .
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
● ..............
43 Perfectionnement
1
3
On a relevé 50 fois le nombre de pois chiches contenus dans 100 g de pois chiches. 176 181 179 184 178
179 178 188 173 194
182 180 180 178 179
168 179 186 181 180
180 179 175 179 181
177 181 180 193 181
181 189 178 181 174
180 170 182 179 190
Compléter ce tableau qui indique le nombre de billets vendus dans un cinéma pendant deux jours. 179 183 180 182 183
178 180 176 180 177
On regroupe ces données dans des classes d’amplitude 5 (165 n 170 ; 170 n 175 ; …). a. Présenter les effectifs de ces classes dans un tableau. b. Lisa affirme : « Quatre fois sur cinq, on a trouvé au moins 175 pois chiches mais moins de 185. » A-t-elle raison ?
Nombre n de pois chiches Effectif 1 165 n 170 3 170 n 175 18 175 n 180 22 180 n 185 3 185 n 190 3 190 n 195 40 4 = . Lisa a raison. b. 18 + 22 = 40 et 50 5
Vendredi
Samedi
Total
147
223
Le Nouveau
63
80
370 143
007 Spectre
132
Snoopy
48
Total
390
195 97 595
Star Wars
5
6
7
Des élèves de trois classes ont compté leurs battements de cœur pendant une minute. 5eA 70
82
88
91
72
59
80
75
83
74
77
75
70
83
73
73
74
84
68
89
Effectif 8 6 4 2 0 60 65
70
75
5eB
Temps d’attente (en min)
2
Effectif
67 58 22 35 20 30 18
8
On ouvrira une caisse si plus de 15 % des clients attendent au moins 7 min en caisse. Doit-il ouvrir une nouvelle caisse ce lundi ? Expliquer.
67 + 58 + 22 + 35 + 20 + 30 + 18 = 250 30 + 18 = 48 48 19,2 = 0,192 = 250 100 donc 19,2 % des 250 clients interrogés disent avoir attendu au moins 7 min. 19,2 % 15 %. Donc on ouvrira une nouvelle caisse.
48
985
4
Un directeur de supermarché décide d’étudier le temps d’attente aux caisses pour ajuster le nombre de caisses ouvertes. Pour cela, il interroge des clients et note les temps d’attente. Voici les résultats pour un lundi. 4
145
• 63 + 80 = 143 • 327 − 132 = 195 • 985 − 390 = 595 • 390 − (63 + 132 + 48) = 147 • 595 − (195 + 80 + 223) = 97 • 48 + 97 = 145 • 147 + 223 = 370
2
3
327
80 85 90 95 Nombre de battements
5eC Nombre de 60 n 70 70 n 80 80 n 90 battements n Fréquence Effectif
Total
0,12
0,60
0,28
1
3
15
7
25
a. Compléter le tableau de la 5eC. b. Dans quelle classe la fréquence de la classe 80 n 90 est-elle la plus élevée ?
• 5eA :
7 8 = 0 ,32. = 0 ,35. • 5eB : 25 20
• 5eC : 0,28. C’est en 5eA que la fréquence de la classe 80 n 90 est la plus élevée. © Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
FICHE
M & jeux QC 44 QCM
Voici un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, entourer la (ou les) réponse(s) exacte(s). Le tableau ci-contre donne les réponses d’un panel Nombre d’écrans de personnes à la question : « Combien d’écrans avez-vous chez vous ? » Effectif Il est utilisé pour les cinq questions du QCM. A
Le nombre de personnes interrogées est…
B
Parmi les personnes interrogées…
C D
E
jeu
Bilan ..... / 5 4
5
6
7
8
3
4
10
6
2
30
25
150
7 personnes ont moins de 5 écrans
22 personnes ont au moins 5 écrans
18 personnes ont plus de 5 écrans
Le nombre total d’écrans des personnes interrogées est…
30
25
150
La fréquence de la réponse « 6 écrans » est…
2 5
0,4
40 %
18 % des personnes ont 6 écrans ou plus
28 % des personnes ont moins de 6 écrans
88 % des personnes interrogées ont plus de 5 écrans
On peut affirmer que...
1
jeu
Lors de la semaine du cinéma, tous les élèves d’un collège ont vu Les Temps modernes, Le Dictateur et Les Lumières de la ville, trois films de Charlie Chaplin. À l’issue de chaque projection, tous les élèves devaient répondre par oui ou par non à la question : « Avez-vous aimé le film ? » ● 71 % ont aimé Les Temps modernes ; ● 76 % ont aimé Le Dictateur ; ● 63 % ont aimé Les Lumières de la ville. Quel est le pourcentage minimum des élèves qui ont aimé les trois films ? D’après Mathématiques sans Frontières
Réponse :
2
Placer horizontalement les mots répondant aux définitions ci-dessous ; un nouveau mot apparaîtra verticalement, dans les cases rouges. 1 : indique le nombre de fois où une donnée apparaît. 2 : existe en bâtons et en barres. 3 : se mesure en degrés. 4 : tracé qui représente une relation entre des données. 5 : regroupe des données. 6 : regroupement de valeurs étudiées. 7 : effectué pour connaître l’opinion de personnes. 8 : sorte de diagramme aussi appelé camembert. 9 : effectuée pour établir des statistiques.
10 %
On considère 100 élèves. Si 71 élèves aiment le film A et 76 le film B, alors au moins (71 + 76 – 100) élèves, soit au moins 47 élèves aiment les films A et B. Comme 63 élèves aiment le film C, alors au moins (47 + 63 – 100) élèves, soit 10 élèves sur 100, aiment les trois films. © Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
1 E F D I A G A N G L A P H I B L E A L A S S 7 S O 8 C I R 9 E N Q U
2 3 4 G R 5 T A 6 C
F R E Q U E N C E
E C T I A M M E U
E
D U T
A G E L A I E
F
R
E
Chapitre 8 ● Lire des données
49
CHAPITRE
FICHE
9
Utiliser un tableur-grapheur CALCUL MENTAL
● ..... . . . . . . . . .
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
45 Construire un diagramme 1 a. Avec un tableur, recopier cette feuille de calcul qui donne la répartition des temps (arrondis à la minute) lors d’une course cycliste.
b. On se propose de représenter ces données par un diagramme en barres. Sélectionner le tableau et insérer un diagramme (cliquer sur ). Dans l’assistant de diagramme : 1. Type du diagramme : « Colonne » et « Normal ». 2. Plage de données : ● cocher « Séries de données en ligne » ; ● cocher « Première ligne comme étiquette ». 4. Éléments du diagramme : ● Axe X : Temps (en min) ● Axe Y : Effectif
2
1. Recopier cette feuille de calcul qui donne la répartition de la flotte de pêche en 2014 en France métropolitaine (Source : INSEE).
2. On se propose de représenter ces données par un diagramme circulaire. a. Sélectionner le tableau et insérer un diagramme. Dans l’assistant de diagramme : 1. Type du diagramme : « Secteur » et « Normal ». 4. Éléments du diagramme : saisir le titre et décocher la légende. b. Sélectionner le diagramme et insérer des étiquettes de données. Les formater. Cocher « Afficher la valeur sous forme de pourcentage » et « Afficher la catégorie ». Dans Placement, choisir « À l’extérieur ». c. Boris : « Plus des trois quarts des bateaux mesurent moins de 12 m. » Est-ce exact ?
Oui, car le pourcentage est environ 80 % (80 % 75 %).
50
3 a. Recopier cette feuille de calcul qui donne l’évolution du rythme cardiaque d’un sportif. Dans la colonne A, fusionner des cellules et formater les cellules (onglet Alignement). b. On se propose de réaliser un graphique montrant cette évolution. Sélectionner la plage B1:C21 et insérer un diagramme. Dans l’assistant de diagramme : 1. Choisir « Ligne » et « Points et lignes ». 2. Cocher « Première colonne comme étiquette ». 4. Titres : ● Axe X : Temps (en min) ● Axe Y : Rythme cardiaque (en pulsations par min). c. Commenter l’évolution du rythme cardiaque de ce sportif.
• Lorsque le sportif est au repos, son rythme cardiaque est régulier (environ 65 pulsations par minute). • Pendant la course, le rythme cardiaque augmente rapidement au début, puis se stabilise (environ 140 pulsations par minute). • Pendant la récupération, le rythme cardiaque diminue rapidement puis retrouve le niveau initial.
4
a. Recopier cette feuille de calcul qui donne l’évolution de la teneur en dioxygène dans l’eau d’une rivière en fonction de la température de l’eau. b. Réaliser un graphique représentant cette évolution. © Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
FICHE
CALCUL MENTAL
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
● ..............
46 Moyenne d’une série statistique La moyenne d’une série de valeurs est le nombre obtenu : ●
en additionnant toutes les valeurs de la série,
●
puis en divisant cette somme par l’effectif total de la série.
1
4
Les trois gardiens de but d’une équipe de football ont 34 ans, 25 ans et 37 ans. On désire calculer leur âge moyen. Compléter :
On a relevé dans le tableau ci-dessous les points obtenus par Rémi et Éva lors de sept parties de fléchettes. Le résultat de Rémi lors de la partie 6 a été égaré.
M = ( 34 + 25 + 37 ) : 3 = 96 : 3 = 32
L’âge moyen des trois gardiens est 32 ans.
Partie
1
2
3
4
5
6
7
Éva
41
35
87
68
28
74
31
Rémi
12
62
7
100
81
65
30
1. Calculer le nombre moyen de points d’Éva.
2
Voici les notes sur 20 de Victor et de Clara en mathématiques, au premier trimestre. Victor : 15 ; 10 ; 9 ; 16 ; 14 Clara : 16 ; abs ; 12 ; 7 ; 15 Lequel des deux a eu la meilleure moyenne ?
Moyenne de Victor : (15 + 10 + 9 + 16 + 14) : 5 = 64 : 5 = 12,8 Moyenne de Clara : (16 + 12 + 7 + 15) : 4 = 50 : 4 = 12,5 C’est Victor qui a eu la meilleure moyenne.
(41 + 35 + 87 + 68 + 28 + 74 + 31) : 7 = 364 : 7 = 52. Éva a obtenu une moyenne de 52 points. 2. Rémi a obtenu en moyenne 51 points par partie. a. Calculer le nombre total de ses points.
51 × 7 = 357 ainsi Rémi a obtenu 357 points en tout. b. En déduire son résultat à la 6e partie.
3 Ce tableau donne le nombre de spectateurs par ville lors d’une tournée d’un humoriste. Nantes
Angers
Durtal
Pornic
Ancenis
Laval
1 865
1 133
372
221
439
560
a. Calculer le nombre moyen de spectateurs par ville.
M= (1 865 + 1 133 + 372 + 221 + 439 + 560) : 6
12 + 62 + 7 + 100 + 81 + 30 = 292 et 357 – 292 = 65. Rémi a obtenu 65 points à la 6e partie.
5
Voici les températures relevées par Adil chaque matin d’une semaine (il s’agit de valeurs entières). 8
M = 765
6
Il y a eu en moyenne 765 spectateurs par ville.
4 2
b. Compléter. Le show de cet humoriste aurait eu le même nombre total de spectateurs dans ces six villes s’il avait eu 765 spectateurs par ville. C. Calculer le pourcentage des nombres de spectateurs supérieurs ou égaux à la moyenne. En donner une valeur approchée à l’unité près. 2 ≈ 0,33 donc le pourcentage est environ 33 %. 6 © Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
0
Température (en °C)
L
Ma
Me
J
V
S
D Jour
Calculer la moyenne des températures relevées. Donner une valeur approchée au dixième près.
M = (5 + 4 + 6 + 2 + 1 + 5 + 3) : 7 = 26 : 7 M = 3,7°C La température moyenne est environ 3,7 °C. Chapitre 9 ● Utiliser un tableur-grapheur
51
FICHE
CALCUL MENTAL
● ..... . . . . . . . . .
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
47 Moyenne, médiane et tableur Ce tableau indique les distances parcourues chaque jour par un représentant commercial. On saisit la formule =MOYENNE(A1:G3). On saisit la formule =MEDIANE(A1:G3). ●
La distance moyenne parcourue par ce représentant commercial est 377 km.
Cela signifie qu’il aurait parcouru la même distance totale s’il avait parcouru 377 km chaque jour. ●
La distance médiane est 384 km.
Cela signifie qu’il a parcouru autant de distances journalières inférieures à 384 km que de distances journalières supérieures à 384 km.
1
Ce tableau présente les frais de transport de Samuel chaque jour d’une semaine.
3
a. Réaliser cette feuille de calcul qui présente le nombre de points inscrits par un joueur de basket au cours de ses 8 derniers matchs.
157,74 26,29
a. Réaliser cette feuille de calcul avec un tableur. Quelle formule saisit-on : ●
en cellule H2 ?
=SOMME(B2:G2)
La médiane est 21.
●
en cellule B3 ?
=MOYENNE(B2:G2) ou =H2/6
c. Est-il vrai que la médiane et la moyenne de cette série sont égales ?
b. Compléter les cellules jaunes. Quelle a été la dépense moyenne de Samuel en frais de transport au cours de cette semaine ?
En moyenne, Samuel a dépensé 26,29 €.
2 Réaliser cette feuille de calcul qui présente les hauteurs, en cm, atteintes par 30 élèves de 5e lors d’une séance de saut en hauteur.
a. On veut calculer la moyenne des hauteurs. Entourer, parmi les quatre formules ci-dessous, celles qui peuvent être saisies. =SOMME(A1:F5)
=SOMME(A1:F5)/30
=MOYENNE(A1;F5)
=MOYENNE(A1:F5)
b. Saisir une des formules qui convient en cellule G1 puis compléter : La moyenne des hauteurs est 102 cm.
52
b. Déterminer la médiane de cette série de valeurs en cellule J1.
La moyenne est 20,25 donc c’est faux.
4
a. Réaliser cette feuille de calcul qui indique le nombre de spectateurs aux séances des films Pan et Hunger Games.
b. Luna : « En moyenne, il y a eu plus de spectateurs pour Hunger Games que pour Pan. » Mario : « Le nombre médian de spectateurs pour Hunger Games a été supérieur au nombre médian de spectateurs pour Pan. » Ces affirmations sont-elles exactes ?
Pan Hunger Games
Moyenne 65 76
Médiane 71 70
• 76 65 donc l’affirmation de Luna est exacte. • 70 71 donc l’affirmation de Mario est fausse. © Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
FICHE
CALCUL MENTAL
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
48 Perfectionnement 1
3
Dans une maternité, on note les périmètres crâniens des nouveau-nés à la naissance. Voici ce qui a été enregistré au cours d’un week-end.
Pour son entraînement au semi-marathon, Juliette doit courir en moyenne 8 km par jour. Voici des distances qu’elle a effectuées cette semaine. Lundi Mardi Mercredi Jeudi Vendredi Samedi Dimanche
11
0
6
8
11
8
Quelle distance Juliette doit-elle courir dimanche ? 1. Réaliser cette feuille de calcul puis déterminer la moyenne des périmètres crâniens des bébés nés : a. le samedi en L1
b. le dimanche en L3
2. Tania : « La moyenne des périmètres crâniens des bébés nés ce week-end est 34,5 cm. » A-t-elle raison ? Expliquer.
1. a. Le samedi, la moyenne est 34,85 cm. b. Le dimanche, la moyenne est 34,3 cm. 2. On calcule la moyenne des 30 périmètres crâniens du week-end. La moyenne du week-end est environ 34,7 cm (ou 34,6 cm). Donc Tania s’est trompée.
• 7 × 8 = 56. Donc Juliette doit parcourir chaque semaine 56 km. • 11 + 0 + 6 + 8 + 11 + 8 = 44. Juliette a déjà parcouru 44 km. • 56 – 44 = 12. Donc Juliette doit courir 12 km dimanche.
4
On a demandé aux employés d’une usine de noter le temps total passé dans les transports pendant une semaine. Voici leurs réponses, exprimées en heures, consignées dans une feuille de calcul.
2
Associer chaque début de phrase à la fin qui lui correspond. Début Si on enlève les valeurs extrêmes de la série 2 ; 5 ; 19 ; 24 ; 30 la moyenne … .......................................
La valeur manquante dans la série 16 ; 5 ; 9 ; ? ; 23 ; 10 dont la moyenne est 13 … .......................................
La moyenne d’une série dont les valeurs extrêmes sont 7 et 18 … .......................................
Si on enlève les valeurs extrêmes de la série 5 ; 10 ; 12 ; 16 ; 18 ; 29 la moyenne … © Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
Fin a. Saisir cette feuille de calcul. est comprise entre 7 et 18 ........................
ne change pas
b. Afficher la moyenne et la médiane des temps de transports. Indiquer ci-dessous la formule saisie ainsi que la valeur affichée. Moyenne Médiane
........................
change
Formule
Réponse (en h)
=MOYENNE(A1:F5) =MEDIANE(A1:F5)
8,4 9
c. Un nouvel employé répond 12 h à l’enquête. Comment va évoluer la durée moyenne de transport ?
........................
est égale à 15
12 8,4 donc la nouvelle moyenne va augmenter.
Chapitre 9 ● Utiliser un tableur-grapheur
53
FICHE
M & jeux 49 QC Voici un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, entourer la (ou les) réponse(s) exacte(s).
QCM
A
La moyenne de la série de nombres 23 ; 29 ; 31 ; 35 ; 42…
Bilan ..... / 5
est une valeur de la série
est comprise entre 23 et 42
est égale à 32
=(A1+B1+C1)/3
=MOYENNE(A1:C1)
=MOYENNE(A1;C1)
toutes les femmes donnent naissance à 2 enfants
certaines femmes donnent naissance à plus de 2 enfants
certaines femmes donnent naissance à moins de 2 enfants.
3,5
3,7
4,5
la médiane est 8
la médiane est 8,5
la médiane est supérieure à la moyenne
Pour calculer la moyenne de la série de valeurs ci-dessous : B dans la cellule D1, on entre la formule…
C
En France, le nombre moyen d’enfants par femme est de 2. Donc…
D
La médiane de cette série 1 ; 2 ; 3 ; 3,5 ; 3,7 ; 3,8 ; 4 ; 5 ; 5,5 est…
E
Pour cette série de valeurs, on peut affirmer que…
jeu
1
jeu
Après quatre contrôles, Tom a 4 de moyenne. Les notes peuvent être 0, 1, 2, 3, 4 ou 5. Laquelle de ces phrases ne peut pas être vraie ? Tom n’a eu que des 4. Tom a eu deux 3. Tom a eu trois 3. Tom a eu un 1. Tom a eu deux 4.
➀ ➂ ➄
➁ ➃
D’après Kangourou des mathématiques
Réponse :
La phrase
➂
Tom a 4 de moyenne donc la somme de ses 4 notes est 16. Il ne peut pas avoir eu trois 3, car même s’il a eu la note maximale 5 au 4e contrôle, la somme de ses notes est 14 au maximum. La phrase ➂ n’est pas vraie. Les autres phrases sont vraies : ➀ Évident ➁ Il a eu 3, 3, 5 et 5. ➃ Il a eu 1, 5, 5 et 5 ➄ Il a eu 4, 4, 5 et 3.
54
2
Placer un nombre entier dans chaque case vide, de sorte que chacun des trois nombres du centre soit la moyenne des deux nombres qui l’entourent. Niveau 1 : 13
29
45
61
77
17
25
33
41
Niveau 2 :
9
Niveau 1 (13 + 45) : 2 = 29 et (45 + 77) : 2 = 61. Niveau 2 (17 + 33) : 2 = 25 2 × 17 – 25 = 9 2 × 33 – 25 = 41
© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
Découvrir la notion de probabilité
CHAPITRE
10
FICHE
CALCUL MENTAL
● ..... . . . . . . . . .
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
50 Vocabulaire et situations Une expérience est dite aléatoire lorsqu’elle a plusieurs résultats ou issues possibles et que l’on ne peut pas prévoir avec certitude quelle issue se produira.
●
●
Quand on lance un dé numéroté de 1 à 6,
il y a 6 issues possibles : 1, 2, 3, 4, 5 et 6.
1
4
Dans chaque cas, dire s’il s’agit d’une expérience aléatoire. a. Choisir ses habits.
Cette roue est équilibrée et elle est formée de 8 secteurs identiques.
Non
b. Lancer un dé et noter le chiffre obtenu.
Oui
2
On tire au hasard une boule de ce sac et on lit sa lettre. a. Quelles sont les issues possibles ?
A, M et R
2
3
2
3 1
1
a. Combien d’issues a cette expérience aléatoire ?
A
R
M
M A A
b. Lucie tire une boule, puis la remet, puis elle retire une boule, etc. Est-il possible que Lucie obtienne quatre fois de suite la lettre R ? Oui c. Compléter : Il y a tirer la lettre M.
1. On fait tourner cette roue et on note la couleur du secteur.
1 2
2 chance(s) sur 6 de
3
Cléa lance une pièce de monnaie non truquée. a. Combien y a-t-il d’issues possibles ?
2 b. Cléa dit avoir obtenu Pile huit fois de suite.
b. Est-il vrai que l’on a autant de chances d’obtenir la couleur rouge que la couleur jaune ?
a. Cette expérience a 4 issues (« Jaune », « Violet », « Rouge » et « Vert »). b. C’est vrai, on a 2 chances sur 8 d’obtenir le rouge et on a aussi 2 chances sur 8 d’obtenir le jaune.
2. On fait tourner cette roue et on note le chiffre obtenu. a. Combien d’issues a cette expérience aléatoire ? b. A-t-on plus de chances d’obtenir 1 ou 3 ?
a. Cette expérience a 3 issues (1, 2 et 3). b. On a 3 chances sur 8 d’obtenir 1 et on a seulement 2 chances sur 8 d’obtenir 3. Donc on a plus de chances d’obtenir 1.
Cocher les affirmations exactes. C’est impossible
X Il est peu probable que Cléa ait obtenu Pile huit fois de suite. Au prochain lancer, Cléa a plus de chances d’obtenir Face que Pile.
5
Pendant un match de football, Lionel tire un penalty. Énoncer les deux issues de cette expérience.
« Lionel marque » et « Lionel ne marque pas ».
X Au prochain lancer, Cléa a autant de chances d’obtenir Face que Pile. © Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
Chapitre 10 ● Découvrir la notion de probabilité
55
FICHE
CALCUL MENTAL
● ..... . . . . . . . . .
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
51 Probabilités des issues ●
On tire au hasard une boule de ce sac. On note sa couleur.
Cette expérience aléatoire admet 3 issues: « Rouge » ; « Verte » ; « Bleue ». On a 2 chances sur 5 de tirer une boule rouge. La probabilité de tirer une boule rouge est 2 ou 0,4 ou 40 %. 5 ● La probabilité d’une issue est un nombre compris entre 0 et 1. ●
La somme des probabilités des issues d’une expérience aléatoire est égale à 1.
1
4
On tire au hasard une boule de ce sac et on note la lettre obtenue. a. Quelle est la probabilité d’obtenir A ?
On tire au hasard une boule dans une de ces urnes.
A
R E
R
b. Indiquer les probabilités des autres issues.
1 ou 0,25 4 1 b. La probabilité d’obtenir E est ou 0,25. 24 La probabilité d’obtenir R est ou 0,5. 4 a.
Urne 1
Urne 2
Urne 3
a. Quelle est l’urne pour laquelle la probabilité
1 ? L’urne 2. 5 b. Pour les deux autres urnes, donner la probabilité d’obtenir une boule jaune. 2 1 1 • Urne 3 : ou 0,25. • Urne 1 : ou . 6 3 4 d’obtenir une boule jaune est
5
2
Lors d’une partie de Scrabble®, on tire un de ces 10 jetons au hasard.
A1 C3 E1 E1 H4 J8 M2 M2 Q8 X10 Quelle est la probabilité d’obtenir :
1 2 ou 0,1 ou 0,2 b. E ? 10 10 3 ou 0,3 c. une voyelle ? 10 a. A ?
3
1. Lors d’un jeu télévisé, un « jackpot » se trouve à l’intérieur d’un de ces trois paquets. Le candidat choisit au hasard un paquet. a. Quelle est la probabilité que le candidat
1 3 b. Quelle est la probabilité que le candidat 2 n’obtienne pas le « jackpot » ? 3 2. Lors d’un autre jeu, la probabilité qu’un 3 candidat gagne est . 8 Quelle est la probabilité qu’un candidat ne gagne 5 3 5 pas ? . En effet, 1 – = . 8 8 8 obtienne le « jackpot » ?
56
Dans une classe, il y a 14 filles et 11 garçons. Un élève va être interrogé. Quelle est la probabilité que ce soit une fille ? Exprimer cette probabilité en pourcentage.
14 + 11 = 25. Il y a 25 élèves dans la classe. 14 La probabilité qu’une fille soit interrogée est 25 ou 56 %. 14 56 En effet, = 0,56 = . 25 100
6
Louise possède deux dés équilibrés. Les faces du dé A sont numérotées de 1 à 6 et celles du dé B sont numérotées de 1 à 8. Louise gagne si elle obtient un 5. Avec quel dé a-t-elle intérêt à jouer ?
E
L8
1
1 Avec le dé A, la probabilité d’obtenir un 5 est , 6 1 alors que cette probabilité est avec le dé B. 8 1 1 > donc Louise a intérêt à jouer avec le dé A. 6 8 © Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
FICHE
CALCUL MENTAL
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
52 Probabilités et fréquences 1
Les instructions ci-dessous permettent d’afficher un nombre entier aléatoire compris entre 1 et 5 à l’écran de la calculatrice. Casio TI
1. Quelle est la probabilité d’obtenir à l’écran 1 ou 0,2 chaque nombre entier de 1 à 5 ?
5 2. a. • Saisir les instructions qui correspondent à sa calculatrice. • Obtenir 50 nombres aléatoires et compter le nombre d’apparitions du nombre 3. b. Calculer la fréquence d’apparition de 3. c. Comparer ce résultat avec la probabilité de la question 1.
Exemple : si on obtient 12 fois le nombre 3, sa fréquence 12 ou 0,24, ce qui est proche de 0,2. d’apparition est 50
2 Cette roue équilibrée est formée de 6 secteurs identiques. 1. On fait tourner cette roue et on note la couleur du secteur. Donner la probabilité de chacune des issues.
2 • La probabilité d’obtenir « rouge » est . 6 1 • La probabilité d’obtenir « jaune » est . 6 3 1 • La probabilité d’obtenir « vert » est ou . 6 2
Un sac opaque contient 5 jetons numérotés de 1 à 5. On y pioche un jeton au hasard et on lit son numéro. 1. Quelle est la probabilité d’obtenir 2 ?
1 ou 0,2. 5 2. Lise a effectué un certain nombre de fois cette expérience. Ce diagramme résume ses résultats. a. Combien de fois Lise a-t-elle effectué cette expérience ?
6 4 2 0
nombre de sorties
1
2 3 4 5 numéro du jeton
b. Quelle est la fréquence d’apparition du 2 ? c. Comparer ce résultat à la probabilité de la question 1.
a. 3 + 5 + 4 + 2 + 6 = 20. Lise a effectué 20 fois cette expérience. 5 ou 0,25. b. La fréquence d’apparition du 2 est 20 c. La fréquence est différente de la probabilité ; les deux nombres sont assez proches. 3. Manon a utilisé un ordinateur pour simuler 10 000 fois cette expérience. Ce diagramme résume ses résultats.
nombre de sorties 2060 2043 2040 2024 2020 2000 1987 1980 1978 1968 1960 1940 1920 1 2 3 4 5 numéro du jeton
a. Pour les simulations de Manon, quelle est la fréquence d’apparition du 2 ?
b. Comparer ce résultat à la probabilité de la question 1.
2. On simule 1 000 lancers de cette roue. Ce tableau indique les fréquences d’apparitions de chaque couleur. Couleur
Rouge
Vert
Jaune
Total
Fréquence
0,335
0,493
0,172
1
a. Compléter ce tableau. b. Comparer ces fréquences aux probabilités de la question 1.
2 1 1 ≈ 0,333 = 0,5 ≈ 0,167 Les réponses 6 2 6 sont proches des probabilités de la question 1. © Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
3
c. Que semble-t-on pouvoir déduire des questions précédentes ?
2 043 a. La fréquence d’apparition du 2 est 10 000 ou 0,204 3. b. La fréquence est différente mais très proche de la probabilité. c. Plus on répète l’expérience, plus la fréquence d’apparition du 2 se rapproche de sa probabilité.
Chapitre 10 ● Découvrir la notion de probabilité
57
● ..... . . . . . . . . .
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
53 Perfectionnement
2 • La probabilité de gagner avec le jeu 1 est 5 ou 0,4. 3 • La probabilité de gagner avec le jeu 2 est 8 ou 0,375. • 0,4 > 0,375 donc Mathilde a intérêt à choisir le jeu 1.
2
Un digicode commande la porte d’un immeuble. A B 1 Le code d’ouverture est composé C D 2 d’une lettre A, B, C ou D suivie d’un chiffre 1 ou 2. Chloé compose un code au hasard. Quelle est la probabilité qu’elle compose le bon code ?
• Il existe 8 codes possibles : A1, A2, B1, B2, C1, C2, D1 et D2. • La probabilité que Chloé compose le bon code 1 est donc ou 0,125. 8
3
Un ordinateur dépose de façon aléatoire des pions rouges sur les cases vides d’une grille. La partie est terminée lorsque trois pions sont alignés. Dans chaque cas, déterminer la probabilité que la partie soit terminée au prochain pion posé. a. b.
4 13
6 1 ou ou 0,5 12 2
• 50 – 8 = 42 ; 50 – 12 = 38 et 42 + 38 = 80. Lorsque Aïssia tire son bulletin, il reste 80 bulletins, dont 38 bulletins rouges. La probabilité qu’Aïssia tire un bulletin rouge 38 est donc ou 0,475. 80 • 50 – 39 = 11 ; 50 – 41 = 9 et 11 + 9 = 20. Lorsque Brice tire son bulletin, il reste 20 bulletins, dont 9 bulletins rouges. La probabilité que Brice tire un bulletin rouge 9 est donc ou 0,45. 20 • 0,475 > 0,45 donc Aïssia a plus de chances d’être dans l’équipe rouge.
5
Le drone de Numa a une panne et tombe dans cette propriété. Est-il vrai que la probabilité que ce drone tombe dans la zone goudronnée est inférieure à
1 ? 10
8m
1,
6
m
ro n
Quel jeu Mathilde a-t-elle intérêt à choisir ?
m
Jeu 2
Mathilde fait tourner la roue. Elle gagne si la roue s’arrête sur un secteur rouge.
Pour la fête des maths, les élèves de 5e sont répartis en deux équipes : les verts et les rouges. Pour constituer les équipes, les élèves tirent un bulletin dans une urne qui contient au départ 50 bulletins verts et 50 bulletins rouges. • Au moment où Aïssia tire son bulletin, 8 bulletins verts et 12 bulletins rouges ont été tirés. • Au moment où Brice tire son bulletin, 39 bulletins verts et 41 bulletins rouges ont été tirés. Qui de Aïssia ou de Brice a la plus grande probabilité d’être dans l’équipe rouge ?
2
Jeu 1
Mathilde pioche au hasard une boule dans ce sac. Elle gagne si la boule est rouge.
4
ou d
Deux jeux sont proposés à Mathilde.
3,
1
58
● ..............
G
FICHE
CALCUL MENTAL
• 8 × 8 = 64. Donc l’aire de la propriété est 64 m2. • 3,2 × 1,6 = 5,12. Donc l’aire de la zone goudronnée est 5,12 m2. • La probabilité que le drone tombe dans 5,12 la zone goudronnée est soit 0,08. 64 1 • = 0,1 et 0,08 < 0,1 donc cette affirmation 10 est vraie. © Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
FICHE
M & jeux QC 54 QCM
Voici un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, entourer la (ou les) réponse(s) exacte(s).
Bilan ..... / 5
A
Amir a lancé 3 fois un dé à 6 faces et il a obtenu 3 fois le chiffre 4. Au prochain lancer, Amir a…
plus de chances d’obtenir 6 que 4
autant de chances d’obtenir 6 que 4
1 chance sur 6 d’obtenir 4
B
On tire une lettre dans une urne qui contient les lettres M-A-M-A-N. Cette expérience a…
5 issues
3 issues
2 issues
C
La probabilité de tirer la boule jaune de ce sac est…
1 5
0,2
20 %
D
Urne A On tire au hasard un jeton dans l’urne. 1 2 3 4 5 La probabilité d’obtenir le jeton …
est la même avec les deux urnes
est plus grande avec l’urne A
est plus grande avec l’urne B
E
Si on rajoute trois jetons et huit jetons dans l’urne A ci-dessus, la probabilité d’obtenir le jeton …
augmente
diminue
devient égale à 0,25
jeu
Urne B 1 2 3 4
1
jeu
Un grand prix hippique va avoir lieu et des pronostiqueurs établissent des probabilités (en rouge ci-dessous) afin de prévoir le cheval gagnant parmi les quatre participants.
2
Un client commande un menu dans ce restaurant. 1 entrée, 1 plat et 1 dessert 14,5 € Entrées : Salade - Œuf mimosa - Jambon Plats : Poisson - Poulet
Arrivati
Big Speed
0,23
3 8
Cirene
9,5 %
• Doux-Doux est le dernier cheval. Compléter le classement des pronostiqueurs :
Big Speed
Doux-Doux
Arrivati
Cirene
3 • = 0,375 ; 9,5 % = 0,095. 8 • La somme des probabilités des issues est égale à 1. 1 – (0,23 + 0,375 + 0,095) = 1 – 0,7 = 0,3. Donc la probabilité que Doux-Doux gagne est 0,3. • 0,375 > 0,3 > 0,23 > 0,095. © Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
Desserts : Crème brûlée - Glace - Flan
Quelle est la probabilité que le client commande une salade, un poisson et une glace ?
Réponse :
1 18
Il y a 3 × 2 × 3 soit 18 menus différents donc la probabilité que le client commande un menu composé d’une salade, un poisson 1 et une glace est . 18
Chapitre 10 ● Découvrir la notion de probabilité
59
Calculer des longueurs et des aires
CHAPITRE
FICHE
11
CALCUL MENTAL
● ..... . . . . . . . . .
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
● ..............
55 Unités – Changement d’unité Unités de longueur km
hm
Unités d’aire
dam
m
dm
cm
2
5
0
0
km2
mm
hm2 dam2 2
25 m = 2 500 cm
1
25 m2
m2
dm2
5
dm2 0
= 250 000
0
cm2 0
mm2
0
cm2
= 10 000 cm2 = 1 000 000 mm2
●
1 m = 10 dm = 100 cm = 1 000 mm
●
1
●
1 m = 0,1 dam = 0,01 hm = 0,001 km
●
1 m2 = 0,01 dam2 = 0,000 1 hm2 = 0,000 001 km2
●
1 ha (hectare) = 1 hm2
c. 38 cm = 0,38
= 100
1a (are) = 1 dam2
6
Convertir en m.
a. 6,2 km = 6 200
b. 0,4 hm = 40 m
m
d. 73 mm = 0,073 m
m
2
Exprimer ces longueurs en m puis les ranger par ordre croissant. • 78 dm = 7,8 m
• 0,023 km = 23 m
• 4,5 cm = 0,045 m
• 61 mm = 0,061 m
4,5 cm < 61 mm < 78 dm < 0,023 km
3
m2
Sur cette baguette en bois, Paul doit découper un morceau de 56,3 cm et un morceau de 78 mm. Quelle sera la longueur du morceau restant après ces coupes ? Exprimer le résultat en m puis en mm.
1,80 m
• 56,3 cm = 0,563 m et 78 mm = 0,078 m. • 1,8 m – (0,563 m + 0,078 m) = 1,8 m – 0,641 m = 1,159 m Donc la longueur du morceau restant est 1,159 m soit 1 159 mm.
Compléter.
a. 7 m² =
700 dm² = 70 000 cm²
b. 7 m² =
0,07 dam² = 0,000 7 hm²
7
Ranger ces aires par ordre croissant. 780 cm² ; 53,7 dm² ; 0,04 m² ; 0,006 dam²
780 cm² = 0,078 m²; 53,7 dm² = 0,537 m²
4
Compléter pour exprimer en m².
a. 8,2 dam² = 8,2 × 100 m² = 820 m² b. 3,6 dm² = 3,6 × 0,01 m² = 0,036 m²
5
L’aire d’un terrain de football est 0,54 hm² et l’aire d’un terrain de basket est 4,2 dam². Exprimer ces aires en m².
0,54 hm² = 5 400 m² 4,2 dam² = 420 m².
60
et 0,006 dam² = 0,6 m². Donc 0,04 m² < 780 cm² < 53,7 dm² < 0,006 dam².
8
Pour un concert qui est organisé sur un terrain de 3,2 ha, on prévoit un espace de 0,5 m² par personne. 60 000 personnes peuvent-elles assister à ce concert ?
• 60 000 × 0,5 m² = 30 000 m². Il faut au minimum 30 000 m². • 3,2 ha = 3,2 hm² = 32 000 m². • 30 000 m² < 32 000 m² donc 60 000 personnes peuvent assister à ce concert.
© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
FICHE
CALCUL MENTAL
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
56 Longueurs, périmètres ●
Le périmètre d’une figure est la longueur du contour de cette figure.
●
Formulaire Carré
Rectangle
Cercle
R
c
d L
4×c
Périmètre
1
23 mm = 2,3 cm ; 0,18 dm = 1,8 cm.
E 0,1 8
dm
A
2
D
m 23 m
Calculer le périmètre, en cm, de ce polygone ABCDE.
2 × ( + L)
ou
C
5
cm
(2 × ) + (2 × L)
π×d
ou
Calculer la longueur de chaque cercle. Donner une valeur approchée au dixième près. a.
b. 2,5 cm
1,6 cm
π×2×R
3,6 cm
B
2,3 cm + 1,8 cm + 2 cm + 2,3 cm + 1,6 cm = 10 cm. Le périmètre est 10 cm.
a. L = π × 2 × 2,5 cm = π × 5 cm et L ≈ 15,7 cm. b. L = π × 3,6 cm et L ≈ 11,3 cm.
2
Compléter ce tableau qui concerne des rectangles. Longueur (en cm)
Largeur (en cm) Périmètre (en cm)
8,3
3,5
23,6
15
6
42
6
Calculer le périmètre de chaque figure. Donner une valeur approchée au dixième près. a.
b.
105 m
Ce terrain de volley est composé de deux carrés de périmètre 36 m. Calculer :
70 m
60 m
3
a. la longueur d’un côté d’un carré.
a. Longueur du demi-cercle : (π × 70 m) : 2. Longueur du demi-cercle : π × 35 m. P ≈ 110 m + 70 m donc P ≈ 180 m. Le périmètre est environ 180 m. b. Longueur des deux demi-cercles : L = π × 60 m. P ≈ 188,5 m + 2 × 105 m donc P ≈ 398,5 m. Le périmètre est environ 398,5 m.
b. le périmètre de ce terrain de volley.
a. 36 m : 4 = 9 m. Donc le côté d’un carré mesure 9 m. b. 6 × 9 m = 54 m. Donc le périmètre de ce terrain est 54 m. A
4
D
B
7
C
32 mm = 3,2 cm 4,8 cm + 3,2 cm = 8 cm (2 × 8) + (2 × 3,2) = 16 + 6,4 = 22,4 Le périmètre du rectangle ABEF est 22,4 cm. © Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
F
32 mm
Quel est le périmètre du rectangle ABEF ?
4,8 cm
E
La longueur de l’équateur terrestre est environ 40 075 km. Calculer une valeur approchée au km près du rayon de la terre.
π × 2 × R = 40 075. R = 40 075 : (π × 2) et R ≈ 6 378. Le rayon de la terre est environ 6 378 km. Chapitre 11 ● Calculer des longueurs et des aires
61
FICHE
CALCUL MENTAL
● ..... . . . . . . . . .
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
57 Aires Carré
Rectangle
Triangle rectangle
Triangle
Disque
a
a
b
Hauteur h R
b a
=a×a = a2
1
=a×b
= (a × b) : 2
Calculer l’aire des bords rouges de ce triangle de présignalisation. ABC et DEF sont deux triangles équilatéraux de côtés 45 cm et 17 cm E et de hauteurs 39 cm B et 15 cm respectivement.
9m 6m
4,5 m
=π×R×R = π × R2
= (c × h) : 2
4
Calculer l’aire de ce terrain de jeu. 9m
Côté c
A D F
C
4,5 m
• ABC : 1 = (45 cm × 39 cm) : 2 = 877,5 cm2. • DEF : 2 = (17 cm × 15 cm) : 2 = 127,5 cm2. • 1 – 2 = 877,5 cm2 – 127,5 cm2 = 750 cm2 L’aire des bords rouges est 750 cm2.
• 4,5 m × 9 m = 40,5 m² 9 m × 6 m = 54 m² (4,5 m × 6 m) : 2 = 13,5 m². • 40,5 m² + 54 m² + 13,5 m² = 108 m². Donc l’aire de ce terrain de jeu est 108 m².
5
Aux Jeux olympiques de Sotchi, en 2014, les épreuves de patinage de vitesse se sont déroulées sur une patinoire constituée d’un rectangle prolongé par deux demi-disques.
Calculer l’aire du triangle ABC.
4 cm
3
Calculer la valeur exacte, en cm², puis donner une valeur approchée au centième près de l’aire d’un disque : a. de rayon 17 cm ;
b. de diamètre 7 cm.
a. = π × 17 cm × 17 cm = π × 289 cm2 ≈ 907,92 cm2 b. Rayon : R = 7 cm : 2 = 3,5 cm. = π × 3,5 cm × 3,5 cm = π × 12,25 cm2 ≈ 38,48 cm2
62
110 m
B 60 m
= (4 cm × 3 cm) : 2 = 6 cm2 L’aire du triangle ABC est 6 cm2. A
3 cm
C
2
Calculer, en m2, une valeur approchée de l’aire de cette patinoire à l’unité près.
• Aire 1 du rectangle : 1 = 110 m × 60 m = 6 600 m2 • Les deux demi-disques forment un disque de diamètre 60 m. Rayon : R = 60 m : 2 = 30 m. 2 = π × 30 m × 30 m = 900 × π m2 • = 1 + 2 d’où ≈ 9 427 m2
© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
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BILAN ..... / .....
58 Perfectionnement 1
Ci-contre, les points A, C, B sont alignés, de même que les points E, C, D, F. Calculer l’aire du polygone AEBDF.
F
B 5
D
cm 3
C
cm
E
A
L’aire de la voile jaune de ce voilier est 9 m2. Calculer la longueur BC puis l’aire de la voile verte.
D
K
[AB] est un rayon du demi-disque et un diamètre du petit disque. B Calculer l’aire , en cm2, de la surface colorée en vert. Donner une valeur approchée au centième près. A
• Aire 1 du demi-disque : 1 = (π × 5 cm × 5 cm) : 2 1 = 12,5 × π cm2 • Aire 2 du disque : Rayon : R = 5 cm : 2 = 2,5 cm. 2 = π × 2,5 cm × 2,5 cm = 6,25 × π cm2 • = 1 – 2 d’où ≈ 19,63 cm2. L’aire de la surface colorée est environ 19,63 cm2.
• (3 × BC) : 2 = 9 donc 3 × BC = 9 × 2. C’est-à-dire 3 × BC = 18 et BC = 18 : 3. BC = 6 m. • (6 m × 4 m) : 2 = 12 m2. Donc l’aire de la voile verte est 12 m2.
3
Calculer l’aire d’un carré dont les diagonales mesurent 6 cm. Conseil : faire une figure à main levée.
© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
G
5 cm
3m B 4m
B 3
J
I H
7 cm
5
9 m2
Les diagonales d’un carré A ont le même milieu et la même longueur et sont perpendiculaires. L’aire du carré ABCD D est le double de l’aire du triangle ABC. = 2 × (6 cm × 3 cm) : 2 = 18 cm2 L’aire du carré est 18 cm2.
E
• Périmètre P du carré : 4 × 7 cm. Donc P = 28 cm. • 2 × GK + 2 × 9 cm = 28 cm. C’est-à-dire 2 × GK + 18 cm = 28 cm. 2 × GK = 10 cm. Donc GK = 5 cm. • Aire de la figure : = 7 cm × 7 cm + 5 cm × 9 cm = 94 cm2. Donc l’aire de la figure est 94 cm2.
C
A
Le rectangle et le carré qui composent cette figure ont le même périmètre. Calculer l’aire de cette figure.
F
• Aire 1 du triangle AEF : 1 = (9 cm × 3 cm) : 2 = 13,5 cm2 • Aire 2 du triangle BDE : 2 = (6 cm × 5 cm) : 2 = 15 cm2 • = 1 + 2 = 13,5 cm2 + 15 cm2 = 28,5 cm2 L’aire du polygone AEBDF est 28,5 cm2.
2
4
9 cm
FICHE
CALCUL MENTAL
cm
C
6
On a représenté en orange la zone couverte par une borne wifi (S). Calculer, en m2, une valeur approchée à l’unité près de l’aire de cette zone.
M S
N
16
m
• Aire 1 du triangle SMN : 1 = (16 m × 16 m) : 2. 1 = 128 m2. • Aire 2 du reste de la zone : 2 = 3 × (π × 16 m × 16 m) : 4. 2 ≈ 603 m2. • = 1 + 2. = 128 m2 + 603 m2. D’où ≈ 731 m2. L’aire de la zone est environ 731 m2. Chapitre 11 ● Calculer des longueurs et des aires
63
QCM
Voici un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, entourer la (ou les) réponse(s) exacte(s).
A
Une figure dont le périmètre est 36 cm peut être…
B
L’aire d’un triangle dont un côté mesure 8 cm et dont la hauteur relative à ce côté mesure 25 mm est…
E
Le triangle ABC a la même aire…
un triangle dont les côtés mesurent 1 dm, 11 cm et 150 mm
100 mm2
10 cm2
1 000 mm2
2 cm
6 cm
6 cm
10 × π cm2
25 × π cm2
78,54 cm2
qu’un carré de côté 5,2 cm
qu’un rectangle de côtés 9 cm et 3 cm
qu’un losange de diagonales 13,5 cm et 4 cm
C 6 cm
A
jeu
9 cm
B
4 cm 3 cm
La valeur exacte de l’aire d’un disque de rayon 5 cm est…
un rectangle de dimensions 0,12 dm et 0,03 m
m
D
un carré de côté 90 mm
3c
C
6 cm × 3 cm donne 2 l’aire, en cm2, du (des) triangle(s)…
Le calcul de
Bilan ..... / 5
3 cm
FICHE
M & jeux 59 QC
D
1
jeu
3
Le grand carré est partagé en petits carrés.
Humbert II, comte du Hohberg, veut partager son comté entre ses six vassaux, en domaines de cette forme : Il veut aussi que chacun de ses vassaux ait un château dans son domaine. Proposer un partage possible du comté.
Quelle fraction de l’aire du grand carré représente l’aire des parties colorées ? D’après Kangourou des mathématiques
Réponse :
1 5
D’après Mathématiques sans Frontières
jeu 2 Partager ce terrain en trois parcelles ayant la même aire et la même forme.
64
On prend comme unité d’aire l‘aire d’un petit carré. On calcule l’aire de chaque triangle : 1 = (1 × 2) : 2 = 1 2 = (1 × 3) : 2 = 1,5 3 = (1 × 3) : 2 = 1,5 4 = (1 × 2) : 2 = 1 1 + 1,5 + 1,5 + 1 = 5 L’aire des parties colorées est 5 unités. Le grand carré comprend 25 petits carrés. La proportion de l’aire des parties colorées est : 5 1 5 1 = = 25 5 5 5
© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
CHAPITRE
Calculer des volumes
FICHE
12
CALCUL MENTAL
● ....... . . . . . . .
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
60 Unités de volume et de contenance Un mètre cube (1 m3) est le volume d’un cube d’arête 1 m. Chaque unité de volume est 1 000 fois plus grande que celle de rang immédiatement inférieur. 1 m3 = 1 000 dm3 1 dm3 = 1 000 cm3
●
1 m3
1 dm3
1 cm3
1 mm3
1 cm3 = 1 000 mm3
Un litre (1 L) est la contenance d’un cube d’arête 1 dm. Donc : 1 L = 1 dm3. Chaque unité de contenance est 10 fois plus grande que celle immédiatement inférieure. ●
1 daL
1L
1 dL
1 cL
1
1 mm3
1 mL
1 dm
dm
1 hL
1 cm3
1
1 dm3
1 dm
1 m3
1L
6
On sait que 1 m3 = 1 000 dm3. Compléter pour convertir en dm3.
Dans chaque cas, exprimer dans une unité de capacité bien adaptée.
a. 1,5 m3 = 1,5 × 1 000 dm3 = 1 500 dm3
a. Un réfrigérateur de 0,18 m3.
b. 7,45 m3 = 7,45 × 1 000 dm3 = 7 450 dm3
0,18 m3 = 180 dm3 = 180 L
c. 0,055 m3 = 0,055 × 1 000 dm3 = 55 dm3
b. Une bouteille de 750 cm3.
750 cm3 = 0,750 dm3 = 0,75 L = 75 cL
2
On sait que 1 mm3 = 0,001 cm3. Compléter pour convertir en cm3.
c. Un pot de crème de 0,002 hL.
a. 155 mm3 = 155 × 0,001 cm3 = 0,155 cm3
0,002 hL = 0,2 L = 20 cL
b. 2 500 mm3 = 2 500 × 0,001 cm3 = 2,5 cm3
d. Un bidon d’huile de 2 000 000 mm3.
c. 14 500 mm3 = 14 500 × 0,001 cm3 = 14,5 cm3
2 000 000 mm3 = 2 dm3 = 2 L
3
a. 15 L =
1 500
b. 2 500 L =
4
e. Un volume d’eau de 2 370 000 cm3.
Compléter.
25
7
hL
Un être humain rejette, en moyenne, 3,5 L de dioxyde de carbone (CO2) par heure. Calculer le volume, en m3, de CO2 rejeté en un jour par les 7 milliards d’êtres humains.
Compléter.
a. 25 dm3 = b. 2 m3 =
25 2 000
L dm3 =
c. 150 cm3 = 0,15 dm3 =
5
2 370 000 cm3 = 2 370 dm3 = 2 370 L = 23,7 hL
cL
2 000 L 0,15
L
Compléter.
a. 1,5 L =
1,5
dm3 =
1 500
cm3
b. 2 cL =
0,02
L=
0,02
dm3
c. 5 mL =
0,005
dm3 =
5 000
mm3
© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
3,5 L × 24 = 84 L En un jour, un être humain rejette 84 L de CO2. 84 L × 7 000 000 000 = 588 000 000 000 L En un jour, 7 milliards d’êtres humains rejettent 588 milliards de litres de CO2 c’est-à-dire 588 millions de mètres cubes de CO2. Chapitre 12 ● Calculer des volumes
65
FICHE
CALCUL MENTAL
● ..... . . . . . . . . .
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
● ..............
61 Volumes du prisme droit, du cylindre Formulaire ●
Cube
●
Prisme droit
h L
h
c
=L× ×h
1
Dans chaque cas, calculer le volume du solide. a. Un cube d’arête 7 cm. b. Un parallélépipède rectangle de dimensions 8 cm, 10 cm et 4,5 cm.
a. = 73 = 7 × 7 × 7 = 343 donc = 343 cm3. b. = 8 × 10 × 4,5 = 360. Donc = 360 cm3.
2
Cette citerne a la forme d’un cylindre de diamètre 1,40 m et de hauteur 2 m. a. Calculer la valeur exacte du volume de cette citerne, en m3, puis en donner une valeur approchée à l’unité près. b. Combien de litres peut contenir cette citerne ?
a. Rayon : r = 1,40 m : 2 = 0,7 m = π × 0,72 × 2 = 0,98 × π. Donc = 0,98 × π m3 et ≈ 3 m3. b. 3 m3 = 3 000 dm3 = 3 000 L. Cette citerne peut contenir environ 3 000 L.
3
Aquarium Longueur 1,2 m Largeur 40 cm Hauteur 55 cm
Calculer la capacité en litres de cet aquarium.
1,2 m = 12 dm ; 40 cm = 4 dm ; 55 cm = 5,5 dm. Volume : 12 × 4 × 5,5 = 264 264 dm3 = 264 L. Donc la capacité de l’aquarium est 264 L.
66
= ×h
=c3
4
●
Cylindre de révolution R
désigne l’aire de h la base
= ×h=π×R2×h
Le prisme droit ABCDEF a pour hauteur [AD] et pour base le triangle ABC rectangle en A. Calculer son volume .
C B
A F 5
3 cm
Parallélépipède rectangle
cm D
E
4 cm
• Calcul de l’aire de la base. (AB × AC) : 2 = (4 × 5) : 2 = 10 donc = 10 cm2. • = × AD = 10 × 3 = 30. Le volume du prisme est 30 cm3.
5
Ce coffre a la forme d’un parallélépipède rectangle surmonté d’un demi-cylindre. 40 cm Calculer la contenance 85 cm en litres de ce coffre. Donner une valeur approchée à l’unité près. 60 cm
●
• Le diamètre d’une base est 40 cm. 40 cm 2 = 20 cm. Le rayon du demi-cylindre est 20 cm. • La hauteur du demi-cylindre est 85 cm. Volume 1 du demi-cylindre : π × 202 × 85 = 34 000 × π 1 = 34 000 × π cm3 : 2 1 = 53 407 cm3 Le volume 1 est environ 53 407 cm3. • 60 cm – 20 cm = 40 cm. La hauteur du parallélépipède rectangle est 40 cm. • Volume 2 du parallélépipède rectangle : 2 = 85 cm × 40 cm × 40 cm = 136 000 cm3 • Volume du coffre : = 1 + 2 ≈ (53 407 + 136 000) cm3 Donc ≈ 189 407 cm3 ou ≈ 189,407 dm3. Donc ≈ 190 L. Le coffre a une contenance d’environ 190 L.
© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
FICHE
CALCUL MENTAL
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● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
62 Volumes de la pyramide, du cône, de la boule ●
Pyramide
h
●
Cône de révolution
désigne l’aire de la base
= ( × h) : 3
●
Boule
h
R R
= ( × h) : 3
= (4 × π × R3) : 3
= (π × R2 × h) : 3
1
Un tipi en forme de pyramide a pour base un rectangle ABCD de centre H et pour hauteur [SH]. Voici ses dimensions : S AD = 1,60 m, CD = 1,20 m et SH = 2,40 m. Calculer l’aire du rectangle ABCD, puis le volume C B H du tipi. A D
• = AD × CD = 1,60 × 1,20 = 1,92 L’aire du rectangle ABCD est 1,92 m2. • = ( × SH) : 3 = (1,92 × 2,40) : 3 = 1,536 Le volume du tipi est 1,536 m3.
4
On peut assimiler une pastèque à une boule. a. Calculer une valeur approchée à l’unité près du volume d’une pastèque de 18 cm de rayon.
= (4 × π × 183) : 3 donc ≈ 24 429 cm3. b. En déduire, en cm3, une valeur approchée à l’unité près du volume ′ d’une moitié de pastèque de 18 cm de rayon.
′ ≈ 24 429 cm3 : 2 d’où ′ ≈ 12 215 cm3.
5
2
La Pyramid Arena à Memphis (USA) est une pyramide régulière de hauteur 98 m dont la base est un carré de 180 m de côté. Calculer le volume de cette pyramide.
Trois balles de golf sont rangées dans un tube cylindrique de hauteur 13,5 cm. Elles touchent les parois, le fond et le couvercle du tube. 1. Calculer le rayon d’une balle de golf.
Le rayon est : R = 13,5 cm : 6 = 2,25 cm. 2. Calculer une valeur approchée au dixième près
• Calcul de l’aire de la base. = c2 = 1802 = 32 400 m2 • = ( × h) : 3 = (32 400 × 98) : 3 9 = 1 058 400 m3. Le volume de cette pyramide est 1 058 400 m3.
3
Calculer le volume , en cm3, d’un cône de révolution de rayon de base 12 cm et de hauteur 10 cm. Donner une valeur approchée à l’unité près.
a. du volume 1, en cm3, d’une balle de golf.
1 = (4 × π × 2,253) : 3 d’où V1 ≈ 47,7 cm3. b. du volume 2, en cm3, du tube.
2 = π × 2,252 × 13,5 d’où V2 ≈ 214,7 cm3. 3. En déduire une valeur approchée à l’unité près du volume , en cm3, de l’espace laissé libre par les balles.
= 2 – 3 × 1 donc ≈ 214,7 – 3 × 47,7.
= (π × R2 × h) : 3 = (π × 122 × 10) : 3. Donc = 480 × π cm3 et ≈ 1 508 cm3. © Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
Ainsi ≈ 71,6 cm3. Le volume de l’espace libre est environ 72 cm3. Chapitre 12 ● Calculer des volumes
67
● ..... . . . . . . . . .
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
● ..............
63 Perfectionnement
2
Chaque jour, un ballon surveille la qualité de l’air ambiant à Paris. Il prend aussi des passagers. Déterminer le nombre maximal de personnes de 75 kg que ce ballon peut emporter sachant que : ● le diamètre du ballon, gonflé à l’hélium, est 22,5 m ; ● 1 m3 d’hélium permet de soulever 1 kg ; ● on garde 1,5 tonne de lift dans le câble pour contrer la force du vent ; ● le ballon et la nacelle pèsent environ 2 tonnes.
• R = 22,5 : 2 = 11,25. Le rayon du ballon est 11,25 m. V = (4 × π × 11,253) : 3 et V ≈ 5 964 m3. Le volume du ballon est environ 5 964 m3. • 1 m3 d’hélium permet de soulever 1 kg donc le ballon peut soulever 5 964 kg. • 1,5 t + 2 t = 3,5 t et 3,5 t = 3 500 kg. 5 964 kg – 3 500 kg = 2 464 kg. • 2 464 75 ≈ 32,8. Donc le ballon peut emporter au maximum 32 personnes.
H D
G
J
I
8 cm
Ci-contre, ABCDEFGH est un parallélépipède rectangle ; I et J sont les milieux respectifs des segments [CD] et [CG]. Calculer le volume de la pyramide BCIJ.
C E
A
F 10 cm
B
On peut considérer BCIJ comme une pyramide de sommet B, de base le triangle CIJ et de hauteur [CB]. • CI = 10 cm : 2 = 5 cm ; CJ = 6cm : 2 = 3 cm. Calcul de l’aire de la base CIJ. = (5 × 3) : 2 = 7,5 = 7,5 cm2. • = (7,5 × 8) : 3 = 20 = 20 cm3. Le volume de la pyramide est 20 cm3.
4
Éva fait des bracelets en pâte à modeler constitués de 8 perles rondes et de 4 perles longues. La pâte à modeler se vend par blocs de la 2 cm forme d’un pavé droit (voir ci-contre). 6 cm Elle durcit à la cuisson. Les perles rondes sont des boules de diamètre 8 mm. Les perles longues sont des cylindres de hauteur 16 mm et de diamètre 8 mm. Éva achète un bloc de pâte bleue pour les perles rondes et un bloc de pâte blanche pour les perles longues. Combien de bracelets peut-elle espérer réaliser ? cm
Rayon : R = 3 m : 2 = 1,50 m. • 1 = π × R2 × h = π × 1,52 × 6 Donc 1 ≈ 42 m3. • 2= (π × R2 × h) : 3 = (π × 1,52 × 2) : 3 Donc 2 ≈ 5 m3. • = 1 + 2 donc ≈ 42 + 5 ≈ 47 m3. Le volume du moulin est environ 47 m3.
3
6
Ce moulin est composé d’un cylindre et d’un cône de révolution dont le diamètre commun est 3 m. Le cylindre a une hauteur de 6 m et le cône a une hauteur de 2 m. Calculer, en m3, une valeur approchée à l’unité près : ● du volume 1 du cylindre ; ● du volume 2 du cône ; ● du volume du moulin.
cm
1
68
● ..............
6
FICHE
CALCUL MENTAL
• Volume d’un bloc de pâte à modeler : = 2 × 6 × 6 = 72 cm3 ou = 72 000 mm3. • Volume 1 d’une perle ronde : Rayon R = 8 mm : 2 = 4 mm 1 = (4 × π × 43) : 3 d’où 1 ≈ 268 mm3 72 000 : 268 ≈ 268 et 268 : 8 = 33,5 Éva a des perles pour 33 bracelets. • Volume 2 d’une perle longue : 2 = π × 42 × 16 d’où 2 ≈ 804 mm3 72 000 : 804 ≈ 89 et 89 : 4 = 22,25 Éva a des perles pour 22 bracelets. • 22 33 donc Éva peut faire 22 bracelets.
© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
FICHE
M & jeux 64 QC QCM
Voici un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, entourer la (ou les) réponse(s) exacte(s).
Bilan ..... / 5
A
Un parallélépipède rectangle de dimensions 4 cm, 6 cm et 72 cm a pour volume…
1 728 cm3
864 cm3
le volume d’un cube d’arête 12 cm
B
Le volume d’un cylindre de révolution de diamètre 14 cm et de hauteur 10 cm est, en cm3,…
2 × π × 7 × 10
π × 72 × 10
490 × π
C
Le volume d’une pyramide de hauteur 9 cm dont la base est un rectangle de 5 cm sur 4 cm est…
30 cm3
60 cm3
180 cm3
D
Un cône de révolution de rayon 18 cm un cône de un cylindre de et de hauteur 12 cm a le même volume rayon 9 cm et de rayon 6 cm et de que… hauteur 48 cm hauteur 36 cm
E
Une boule a 6 cm de diamètre. Son volume est…
jeu
1
Réponse :
jeu
3
Une bouteille formée d’un cylindre de révolution et d’un goulot a une capacité de 1,5 L.
Non
• Volume de la boîte : 7 cm × 7 cm × 7 cm = 729 cm3. • Or 729 cm3 = 0,729 L = 72,9 cL. • 72,9 < 75 donc on ne peut pas vider la bouteille dans la boîte.
2
En 3 coups de couteau partager ce gâteau en 8 parts identiques.
proche de 113 cm3
(4 × π × 63) : 3 cm3 (4 × π × 33) : 3 cm3
jeu
Peut-on vider une bouteille de 75 cL dans une boîte cubique d’arête 7 cm ?
une boule de rayon 6 cm
7 cm
On retourne la bouteille 3 cm
Quelle est la quantité de liquide contenue dans la bouteille ?
Réponse :
45
cL
• On note B l’aire, en cm2, de la base de la bouteille et Q la quantité, en cm3, de liquide dans cette bouteille. • 1re situation : Q = 3 × B • 2e situation : Q = 1 500 – 7 × B Donc 3 × B = 1 500 – 7 × B. Par essais successifs ou à l’aide du schéma ci-dessous, on obtient B = 150. B B B 1 500 B B B B B B B • Q = 3 cm × 150 cm2 = 450 cm3. Donc la bouteille contient 450 cm3 soit 45 cL de liquide.
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Chapitre 12 ● Calculer des volumes
69
CHAPITRE
FICHE
13
Visualiser et représenter des solides CALCUL MENTAL
● ..... . . . . . . . . .
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
65 Représentations en perspective 1
4
Compléter la figure pour obtenir la représentation en perspective d’un parallélépipède rectangle a.
SABCD est une pyramide régulière de sommet S telle que AB = 1,5 cm. a. Terminer cette représentation en perspective de la pyramide SABCD.
b.
S
D
C
A
B
b. Quelle est la nature de la base ABCD ?
ABCD est un carré de côté 1,5 cm. c. Indiquer la nature des faces latérales.
Voici un prisme droit.
a. Citer une base.
J
ADFHI ou BCEGJ
ABCD ou CDFE ou …
G
2 cm H
C D
I
b. Citer une face latérale.
3 cm
E F
c. Dessiner la face ABCD en vraie grandeur.
6 cm
B
[AB] et [BC], ou [BC] et [CD], ou…
5
On a commencé à tracer ci-contre une représentation en perspective d’un cône de révolution de sommet S et de hauteur 2,5 cm. La base est un disque de centre O et de diamètre [AB] tel que AB = 2 cm. Terminer la représentation.
S
A
O
B
6
Voici une vue de face d’un cône de révolution, obtenue avec un logiciel de géométrie.
4 cm
A
d. Citer deux arêtes perpendiculaires.
m
A
m 6c
4c
2
Ces faces sont des triangles isocèles en S.
B
D
C
S
O
3
Cette figure représente un cylindre de révolution. O et O’ sont les centres des bases . Quelle est dans la réalité la nature :
O
M O
O’
a. de la figure tracée en rouge ? un cercle. b. du triangle OO’M ? un triangle rectangle en O′.
70
À côté de la vue de face, construire la vue de dessus de ce cône de révolution. © Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
FICHE
CALCUL MENTAL
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
66 Patrons et maquettes 1
4
On a commencé à construire un patron du prisme droit représenté m ci-contre. 2c 5 1,
Compléter ce patron d’un parallélépipède rectangle de dimensions 1 cm, 2 cm et 0,5 cm.
cm
1,
5
cm
a. À l’aide du patron ou en effectuant des 2,5 cm mesures, indiquer les longueurs manquantes sur cette représentation. b. Terminer ce patron du prisme droit.
2
Compléter cette figure pour obtenir un patron d’un prisme droit à base triangulaire.
1,5 cm
2 cm
3 cm 2,5 cm
5
SABCD est une pyramide régulière de sommet S telle que AB = 1,5 cm et SA = 2 cm. Compléter un patron de la pyramide SABCD.
3
1 cm
ABCDEFGH est un parallélépipède rectangle. D Compléter un patron en vraie grandeur de la pyramide DCGB. A
H
G C
E 2 cm
B
5 1,
F m c
S1
G2
D
C
S2 C
D
G
S4 A
B
B
G1
© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
S3
Chapitre 13 ● Visualiser et représenter des solides
71
FICHE
CALCUL MENTAL
● ..... . . . . . . . . .
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
● ..............
67 Perfectionnement 1
3
Un prisme droit a 15 arêtes. Combien a-t-il de sommets ?
2
Une fourmi se déplace sur le prisme droit représenté ci-contre. Elle va du point A au point F en empruntant la face ABC, puis la face BCFE.
C
3,5
cm
15 mm F
M
D
E
Indiquer la hauteur de ce cylindre puis calculer une valeur approchée au mm près de la longueur du rectangle.
A 1,5 cm B
a. Construire un patron en vraie grandeur de ce prisme droit. b. Déterminer la position du point M de façon que le chemin de la fourmi soit le plus court possible.
a.
F
• La hauteur du cylindre est 15 mm. • La longueur du rectangle correspond à la longueur L du cercle. L = π × 18 mm donc L ≈ 57 mm. La longueur du rectangle est environ 57 mm.
4
E C M 3,5 cm
Voici un patron de cylindre. 18 mm
Dans un prisme droit, il y a ■ arêtes pour une base, ■ arêtes pour l’autre base et aussi ■ arêtes latérales. Donc 3 × ■ = 15 et ■ = 15 3 = 5. La base de ce prisme droit a donc 5 arêtes c’est-à-dire 5 sommets. Donc ce prisme droit a 10 sommets.
A 1,5 cm B
b. Dans le plan, pour joindre A et F, le chemin le plus court est la ligne droite. On trace donc le segment [AF] sur le patron. Le point M est alors à l’intersection des segments [AF] et [BC].
72
● ..............
a. Construire ce patron d’un solide de sommet S et de base un disque de centre O et de rayon 6 cm. Conjecturer la nature de ce solide.
M1 M2
b. Découper ce patron pour réaliser une maquette de ce solide. Vérifier sa conjecture de départ.
S M
O
a. Ce solide semble être un cône de révolution de sommet S et de base le disque de centre O. • Longueur du disque de centre O : L = π × 6 × 2 = π × 12 • L’arc de cercle de centre S et d’extrémités M1 et M2 a la même longueur ; il correspond aux troisquarts du cercle de centre S. Trois quarts de cercle : π × 12 cm Un quart de cercle : (π × 12) : 3 cm ou π × 4 cm Le cercle de centre S : 4 × (π × 4) cm = π × 16 cm Le diamètre du cercle de centre S est donc 16 cm.
© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
FICHE
M & jeux 68 QC QCM
Voici un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, entourer la (ou les) réponse(s) exacte(s). Dans la réalité, D pour le A parallélépipède rectangle H représenté ci-contre… E
A
B
Sur le dessin de ce prisme droit, le nombre d’arêtes cachées est…
C
La hauteur de ce prisme droit est la longueur du segment…
C B
B CG = 90°
(AD) (GF)
ABCD est un rectangle
3
4
5
[AE]
[AD]
[FG]
un triangle rectangle
un rectangle de dimensions 2 cm et 5 cm
un rectangle de dimensions 2 cm et 4 cm
un disque de rayon 0,5 cm
un rectangle de dimensions 2 cm et 0,5 cm
un rectangle de dimensions 2 cm et 1 cm
G F
D A
5c m
3 cm E 4 cm
F
G 2 cm
D
Une vue du prisme droit ci-dessus est…
E
Un cylindre de révolution a pour hauteur 2 cm et pour rayon de base 0,5 cm. Une vue de ce cylindre est…
jeu
Bilan ..... / 5
1
jeu
On a tracé ci-dessous un patron de l’octaèdre régulier représenté ci-contre. Numéroter de 1 à 8 les faces de ce patron afin que la somme des numéros des quatre faces autour de chaque sommet soit égale à 18.
2
Tracer sur le dessin en perspective de la pyramide régulière le chemin suivi par la limace, d’après les traces qui apparaissent sur ce patron (les points rouges sont les milieux des arêtes).
D’après Mathématiques sans Frontières
D’après IREM ParisNord
Exemple de réponse 4
7 1
5
8
© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
6 3
2
Chapitre 13 ● Visualiser et représenter des solides
73
CHAPITRE
Connaître les triangles
FICHE
14
CALCUL MENTAL
● ..... . . . . . . . . .
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
69 Médiatrices et hauteurs La médiatrice d’un segment est la droite perpendiculaire à ce segment en son milieu. M ● Si un point M appartient à la médiatrice d’un segment [AB], alors MA = MB. ●
Ces codages indiquent des segments de même longueur.
Dans un triangle, une hauteur est une droite qui passe par un sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé.
I Si M est un point tel A que MA = MB, alors M appartient à la médiatrice du segment [AB].
Ce codage indique un angle droit
●
Hauteur issue du sommet A
A
B
B
C
A
1 ● ●
Compléter : (d) est la hauteur issue de B. (d’) est la médiatrice du segment
(d)
3
B
[BC].
(d’) C
2 ● ● ●
Juliette (J) et Louise (L) doivent retrouver Numa qui les attend sur la route à égale distance des maisons de Louise et de Juliette. Construire les positions possibles de Numa.
Dans chaque cas, construire : la hauteur (d) du triangle ABC issue de A, la hauteur (d1) du triangle ABC issue de C, la médiatrice (d2) du segment [BC].
J
L
a.
(d) (d2)
Route
(d1) C
4
a. Construire avec la règle et le compas les médiatrices des côtés [PL] et [LU]. Noter O le point d’intersection de ces médiatrices.
B
b. Expliquer pourquoi l’on a OP = OU.
A
b.
(d1)
L U
A C P
B
74
(d)
(d2)
O
• O appartient à la médiatrice de [PL] donc OP = OL. • O appartient à la médiatrice de [LU] donc OL = OU. • OP = OL et OL = OU donc OP = OU. © Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
FICHE
CALCUL MENTAL
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
● ..............
70 Inégalité triangulaire ●
Si A, B et C sont trois points quelconques, alors AB + BC AC.
A
C
cm
dont on donne les longueurs des trois côtés, il suffit de vérifier
m 5c
1, B 2 + 1,5 > 2,8
si la somme des deux longueurs les plus petites est supérieure à la troisième longueur. ●
2,8 c m
2
En pratique, pour savoir s’il est possible de construire un triangle
Cas d’égalité
●
Si un point B appartient au segment [AC], alors AB + BC = AC.
●
Si A, B et C sont trois points tels que AB + BC = AC,
A
B
C
alors le point B appartient au segment [AC].
1
A, B et C sont trois points tels que : AB = 2,3 cm ; BC = 4,7 cm ; AC = 6,5 cm.
a. Quel est le segment le plus long ? [AC] b. Comparer AB + BC et AC. Peut-on construire le triangle ABC ?
2,3 cm + 4,7 cm = 7 cm donc AB + BC AC. Donc on peut construire le triangle ABC.
2
M, N et P sont trois points tels que : MN = 5 cm ; NP = 9 cm ; MP = 3 cm.
a. Quel est le segment le plus long ? [NP] b. Comparer MN + MP et NP. Peut-on construire le triangle MNP ?
5 cm + 3 cm = 8 cm donc MN + MP NP. Donc on ne peut pas construire le triangle MNP.
3
X, Y et Z sont trois points tels que : XY = 13 cm ; YZ = 5,4 cm ; XZ = 7,6 cm.
a. Quel est le segment le plus long ? [XY] b. Comparer XZ + YZ et XY. Qu’en déduit-on ?
7,6 cm + 5,4 cm = 13 cm donc XZ + YZ = XY Donc les points X, Y et Z sont alignés ; le point Z appartient au segment [XY].
© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
4
8 cm
6 cm
3 cm
3 cm
5 cm
Parmi les longueurs ci-dessus, en choisir trois qui peuvent être celles des côtés d’un triangle : a. isocèle 3 cm ; 3 cm ; 5 cm b. de périmètre 19 cm
8 cm ; 6 cm ; 5 cm
c. de périmètre 14 cm 6 cm ; 3 cm ; 5 cm
5
Maël veut construire un triangle ABC. Il connaît les longueurs des côtés [AB] et [AC]. Parmi les trois longueurs proposées pour le côté [BC], entourer celle(s) qui est (sont) possible(s). AB
AC
BC
a.
13 cm
5 cm
20 cm
9 cm
7 cm
b.
8,5 cm
3,2 cm
3,2 cm
8,5 cm
11 cm
c.
14 mm
38 mm
30 mm
40 mm
50 mm
6
Un triangle isocèle a 15 cm de périmètre et l’un de ses côtés mesure 7 cm. Calculer les longueurs de ses deux autres côtés.
• Si un second côté mesure 7 cm : 15 cm – 7 cm × 2 = 1 cm ; 1 + 7 = 8 et 8 7 Le 3e côté mesure 1 cm. • Si un seul côté mesure 7 cm : (15 cm – 7 cm) : 2 = 4 cm ; 4 + 4 = 8 et 8 7 Les deux autres côtés mesurent 4 cm chacun.
Chapitre 14 ● Connaître les triangles
75
FICHE
CALCUL MENTAL
● ..... . . . . . . . . .
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
71 Construction de triangles 1
Construire un triangle ABC tel que AB = 5 cm ; AC = 3 cm et BC = 2,5 cm. C 2,5
3 cm
MER est un triangle rectangle en M tel que ME = 2 cm et MR = 1,5 cm. REL est un triangle rectangle en E tel que RL = 3,5 cm. Construire les triangles MER et REL.
cm
5 cm
B
R
3,5 c
cm
A
4
1,5
m
2
a. Parmi les triangles ci-dessous, barrer celui (ceux) qu’il n’est pas possible de construire.
M
L 2c
m
ABC : AB = 3,5 cm ; AC = 2 cm ; BC = 3 cm.
E
DEF : DE = 7 cm ; EF = 4 cm ; DF = 2,5 cm. GHI : GH = 3 cm ; GI = HI = 1,5 cm.
b. Construire en vraie grandeur celui (ceux) qu’il est possible de tracer.
B
2 cm
Construire en vraie grandeur cette figure tracée à main levée.
cm
A 1,5 cm D
5
2,3
MNP : MN = 1 cm ; NP = 3,3 cm ; MP = 2,7 cm.
C
B
B
3
cm
cm
2,7
3,5 cm
cm
P
2,3
m
3,
A
A 1,5 cm D
3c
2 cm
2c
m
C
C
M 1 cm N
3
Ce pendentif a la forme d’un triangle ILE isocèle en I tel que IL = 2,5 cm et LE = 1,2 cm. Construire le triangle ILE.
6
Compléter la figure afin d’obtenir un triangle TRI tel que : = 35° ; TI = 2,5 cm. TR = 5 cm ; RTI
I
L 1,2 cm E
cm
2,5 c m
T
2,5 35°
5 cm
R
I
76
© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
FICHE
CALCUL MENTAL
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
72 Perfectionnement 1
4
Un côté d’un triangle mesure 9 cm. Son périmètre peut-il être égal à 15 cm ?
POU est un triangle isocèle tel que PO = 1,5 cm et PU = 3,2 cm. Expliquer pourquoi ce triangle est isocèle en U.
15 cm – 9 cm = 6 cm ainsi la somme des longueurs des deux autres côtés serait 6 cm, ce qui est inférieur à la longueur du 3e côté (9 cm). L’inégalité triangulaire n’est pas vérifiée donc c’est impossible.
2
Les points A, B, C, D ci-dessous sont alignés et : AB = 6 cm ; AC = 2,3 cm ; BD = 2,8 cm.
• PO ≠ PU donc le triangle n’est pas isocèle en P. • Si le triangle POU était isocèle en O on aurait PO = OU = 1,5 cm. 1,5 cm + 1,5 cm = 3 cm mais 3 cm < 3,2 cm. Donc si le triangle POU était isocèle en O, il n’existerait pas. • Le triangle POU est donc isocèle en U.
5
Construire le point C de façon à ce que les droites (d) et (d’) soient deux hauteurs du triangle ABC.
1. Calculer la longueur CD. 2. Peut-on placer : a. un point E tel que AE = 4,5 cm et EB = 1,5 cm ?
(d)
b. un point F tel que AF = 3,2 cm et FB = 2 cm ?
C (d’)
A
C
D
E
1. Les points A, B, C, D sont alignés donc CD = AB – (AC + BD) D’où CD = 6 cm – (2,3 cm + 2,8 cm) c’est-à-dire CD = 0,9 cm. 2. a. 4,5 cm + 1,5 cm = 6 cm donc AE + EB= AB Le point E appartient au segment [AB]. b. 3,2 cm + 2 cm = 5,2 cm mais 5,2 cm 6 cm donc le point F n’existe pas.
3
Trouver le centre O de ce cercle.
A
B
B
6
• Enzo (E), Lucy (L) et Clara (C) sont placés aux sommets d’un triangle isocèle ; • Clara, Enzo et Sarah (S) sont alignés ; • Sarah est la plus proche de Clara. Construire les positions possibles de Clara.
C1 C2 S
O
E
L
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Chapitre 14 ● Connaître les triangles
77
FICHE
M & jeux 73 13 QC QCM
Voici un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, entourer la (ou les) réponse(s) exacte(s).
Bilan ..... / 5
A, D et E sont trois points tels que AD = ED. On peut affirmer que...
D est le milieu de [AE]
D appartient à la médiatrice de [AE]
le triangle ADE est isocèle
B
Dans un triangle ABC…
la médiatrice de [BC] et la médiatrice de [AC] sont sécantes
la médiatrice de [BC] et la hauteur issue de A sont parallèles
la hauteur issue de A et la hauteur issue de B sont sécantes
C
Un triangle peut avoir pour longueurs de côtés 4 cm, 10 cm et…
4 cm
8 cm
10 cm
D
Si D, E et F sont trois points non alignés…
DF DE + EF
DF DE + EF
DF = DE + EF
E
MON est un triangle isocèle tel que MO = 4,3 cm et ON = 8,7 cm. Alors…
le triangle MON est isocèle en M
le triangle MON est isocèle en N
le périmètre du triangle MON est 21,7 cm
A
jeu
1
jeu
Laquelle (lesquelles) de ces figures peut-on dessiner sans lever le crayon et sans repasser deux fois sur le même segment ?
1
2
3
Voici six triangles formés avec des allumettes. Déplacer quatre allumettes pour ne plus voir que trois triangles. Attention ! ils n’auront pas tous les mêmes dimensions.
3
D’après Kangourou des mathématiques
Réponse :
jeu
Les figures
➊ et ➌
2
Quel rectangle contient le plus grand nombre de triangles ? (sans effectuer d’autres tracés)
1
Le rectangle
2
➊ (7 triangles). ➋ on ne voit que
Réponse : Dans le rectangle
6 triangles.
78
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Caractériser le parallélisme avec les angles
CHAPITRE
FICHE
15
CALCUL MENTAL
● ....... . . . . . . .
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
● ..............
74 Vocabulaire des angles Les angles x ′Oy ′ sont Oy et x opposés par le sommet : x ′Oy ′ . Oy = x
et Les angles xAB y ′BA sont alternes-internes.
●
x
●
y’
x
O
y
x’
y
1
A
D
35°
B
Compléter. E et BAC sont • Les angles DAE = 35° . opposés par le sommet donc DAE • Les points B, A et D sont alignés donc = 180° – BAC = 180° – 35° = 145° . DAC
2
(MN) et (RS) sont deux droites sécantes en T telles que = 63°. RTM Indiquer les mesures des angles marqués sur la figure.
c. v Ot
d. u Oz
N
63° M
y’
D E
x
x Eu′
: • xED
EDy ED y′
yDE : •
u’ x’
′ED x
B
A
x E
v x
O 48°
O
y
F
D
C
Compléter : et BOC sont opposés par le sommet. a. AOD
y u
a. yOu et v Ox sont opposés par le sommet donc yOu = v yOu = 48°. Ox . D’où b. xOz et yOt sont opposés par le sommet donc x yOt . D’où x Oz = Oz = 64°. Ov + t Oy ) c. vOt = 180° – ( x vOt = 180° – (48° + 64°) v Ot = 180° – 112° vOt = 68°. Oz et v Ot sont opposés par le sommet d. u Ot . D’où u Oz = v Oz = 68°. donc u © Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
u
b. Citer un angle alterne-interne avec :
1170
64°
y
ABCD est un rectangle de centre O. Une droite (x y) qui passe par O coupe [AD] en E et [BC] en F.
S
t
y’
B u’
a. Citer un angle opposé par le sommet avec : : u Dy′ ED • EDy ′ED : • x
x’
5
630
T
3
Les droites (xy), (uv), (zt) sont concourantes en O. Calculer les mesures des angles : a. b. x Oz yOu
1170
R
u
4
C
(BD) et (CE) sont deux droites sécantes en A.
A
z
et ACB sont alternes-internes. b. DAC et OFC sont alternes-internes. c. AEO
6
A
La droite (DG) coupe le côté [AB] en E et le côté [BC] en F. a. Citer un angle alterne interne à l’angle jaune : CF CFG G.
D E
C
F
B
G
b. Citer un angle opposé par le sommet et un angle alterne-interne à l’angle vert : . un angle opposé par le sommet : BED . un angle alterne-interne : BFE Chapitre 15 ● Caractériser le parallélisme avec les angles
79
FICHE
CALCUL MENTAL
● ..... . . . . . . . . .
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
● ..............
75 Deux parallèles et une sécante Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, alors les angles alternes-internes qu’elles forment ont la même mesure. Conclusion
Données Donc, d’après cette propriété
Parallèles
1
La droite (uv) coupe les droites parallèles (x y) et (t z) en A et B. u
A
x
y
50° 50°
z
v
t
B
b a
3
Les droites (x y) et (t z) sont parallèles. Le point A appartient à la droite (x y). Les demi-droites [Au) et [Av) coupent la droite (t z) respectivement en B et C. A
zBv b.
c. vBt
uAy d.
a. Les droites (xy) et (t z) sont parallèles donc les angles alternes-internes xAB et ABt ont la même mesure. Donc ABt = 50°. b. Les angles ABt et zBv sont opposés par le sommet. Donc zBv = ABt = 50°. est plat. c. L’angle zBt Donc vBt = 180° – 50° = 130°. d. Les angles uAy et xAB sont opposés par le sommet. Donc uAy = xAB = 50°.
2
La droite (d) coupe les droites parallèles (d1) et (d2). Écrire la mesure de l’angle vert sans utiliser le rapporteur. (d1) (d2)
80
35 °
D
x
Donner la mesure de l’angle en expliquant : a. ABt
a=b
60°
t
u B
70° C
y
z
v
50°
, a. Donner la mesure de chacun des angles ACB
et xAB . yAC
. b. En déduire la mesure de l’angle BAC c. Placer le point D de la demi-droite [Ay) tel que les droites (CD) et (AB) soient parallèles. . Calculer la mesure de l’angle ACD
a. ACB et vCz sont opposés par le sommet, donc ACB = vCz = 50°. • (xy) et (t z) sont parallèles donc les angles alternes-internes ACB et yAC ont la même mesure. Donc yAC = 50°. • De façon analogue, les angles alternes-internes CBA et xAB ont la même mesure. Donc xAB = 60°. b. xAB + BAC + CA y = 180° 60° + BAC + 50° = 180° Donc BAC = 180° – 60° – 50° = 70° c. (AB) et (CD) sont parallèles donc les angles alternes-internes ACD et BAC ont la même mesure. Donc ACD = 70°.
145° (d)
© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
FICHE
CALCUL MENTAL
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● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
76 Reconnaissance du parallélisme Si deux droites coupées par une sécante forment deux angles alternes-internes de même mesure, alors elles sont parallèles. Conclusion
Données Donc, d’après cette propriété
b
a=b
a
1
Dans chaque cas, expliquer pourquoi les droites (xx′) et (yy′) sont parallèles. x y’ a. y b. x’ u’ u
N 43° 43°
M
u’
D
Parallèles
F
3
D’après les informations sur cette figure à main E levée, les droites (EG) et (FH) sont-elles parallèles ? Expliquer.
H
122° 32°
G
40°
y’
C
x’ u
40°
y
x
a. Les droites (xx′) et (yy′) sont coupées par la droite (uu′) et elles forment des angles et alternes-internes xMN y′NM de même mesure. Donc les droites (xx′) et (yy′) sont parallèles. ′CD sont opposés b. • Les angles x Cu et x ′CD = 40°. par le sommet donc x • Les droites (xx′) et (yy′) sont coupées par la droite (uu′) et elles forment des angles ′CD et alternes-internes x yDC de même mesure. Donc les droites (xx′) et (yy′) sont parallèles.
u
2
Expliquer pourquoi les droites (xx′) et (yy′) sont parallèles.
y x
D 115°
y’ x’
E 65°
u’ = 180° – x • xED Eu’ . C’est-à-dire xED = 180° – 65° = 115°. • Les droites (xx′) et (yy′) sont coupées par la droite (uu′) et elles forment des angles et alternes-internes xED y′DE de même mesure. Donc les droites (xx′) et (yy′) sont parallèles.
© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
= 122° – 90° = 32°. • GFH • Les droites (EG) et (FH) sont coupées par la droite (GF) et elles forment des angles alternes et EGF de même mesure. internes GFH Donc les droites (EG) et (FH) sont parallèles.
4
Sur cette figure, le segment [OP] coupe le côté [AC] en M et le côté [BC] en N.
C O
M 47°
35°
N P
133°
A
a. Les droites (MN) et (AB) sont-elles parallèles ? Expliquer.
B
? b. Quelle est la mesure de l’angle ABC = 180° – 133° = 47°. a. • OMA • Les droites (MN) et (AB) sont coupées par la droite (AC) et elles forment des angles alternes et BAC de même mesure. internes OMA Donc les droites (MN) et (AB) sont parallèles. et BNP sont opposés par le b. • Les angles CNM sommet donc BNP = 35°. • (MN) et (AB) sont parallèles donc les angles ont la même et ABC alternes-internes BNP = 35°. mesure. Donc ABC
Chapitre 15 ● Caractériser le parallélisme avec les angles
81
FICHE
CALCUL MENTAL
● ..... . . . . . . . . .
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
77 Perfectionnement 1
Les droites (BM) et (CN) sont sécantes en A. Les droites (MN) et (BC) sont parallèles. Comparer les angles des triangles ABC et AMN.
N
M A
B C
• Les angles BAC et MAN sont opposés par le sommet, donc BAC = MAN. • Les droites (BC) et (MN) sont parallèles donc les angles alternes-internes ABC et AMN ont la même mesure. Il en est de même des angles alternes-internes ACB et ANM . Donc ABC = AMN et ACB = ANM. • Donc les triangles ABC et AMN ont leurs angles deux à deux de même mesure.
3
Voici comment le mathématicien grec Ératosthène (– 284, – 192) a mesuré le périmètre de la Terre. Il observe les rayons du Soleil, à midi, dans deux villes, Syène et Alexandrie, distantes de 5 000 stades (1 stade vaut environ 157 m). À Syène, le Soleil est à la verticale et à Alexandrie, l’angle formé par les rayons du Soleil et la verticale est de 7,2°.
2
Sur la figure ci-dessous, ABCD est un trapèze rectangle. , Louis Pour calculer la mesure de l’angle ABC
a tracé la demi-droite [A x) ci-dessous. Comment procède-t-il ? A
143° D
x
B
37° 37°
C
• Les droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires à la droite (AD). Donc les droites (AB) et (CD) sont parallèles. • On trace la demi-droite [A x) qui passe par B (voir ci-dessus). • La droite (BC) coupe les droites parallèles (DC) et (AB). Les angles alternes-internes BCD et CBx ont la même mesure, donc CBx = 37°. • L’angle ABx est plat. ABC = 180° – CBx = 180° – 37° Donc ABC = 143°
82
On considère que le Soleil est suffisamment éloigné de la Terre pour supposer que ses rayons sont parallèles. = 7,2°. a. Expliquer pourquoi SOA b. Calculer la quatrième proportionnelle du tableau ci-contre.
7,2°
5 000
360°
P
c. Exprimer en kilomètres le périmètre de la Terre trouvé par Ératosthène. ′AO et x a. Les angles x Ay sont opposés par le sommet. ′AO = 7,2°. Donc x • Les rayons (Ax) et (Ot) sont parallèles, ′AO et SOA donc les angles alternes-internes x sont de même mesure. Donc SOA = 7,2°. b. 360° = 7,2° × 50 donc P = 5 000 × 50 = 250 000. c. Le périmètre de la Terre trouvé par Ératosthène est 250 000 stades. 250 000 × 157 m = 39 250 000 m. Donc ce périmètre est de 39 250 km. (De nos jours, on estime ce périmètre à 40 075 km).
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FICHE
M & jeux 78 QC QCM
Voici un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, entourer la (ou les) réponse(s) exacte(s).
A
B
u’ x’ Sur cette figure, F x deux angles y’ alternes-internes y H sont... u Sur la figure de la question A, deux angles opposés par le sommet sont... C
C
S A
′Fu′ et xFH x
′Fu′ et y ′HF x
et y ′HF xFH
′Fu′ et xFH x
′Fu′ et x y ′HF
et y ′HF xFH
= 87° RSF
= 87° BRC
= 87° RSE
= 142° DAF
= 38° BAF
= 38° ABI
= 55° MRB
= 140° MRD
= 55° CSN
B
R
E
Les droites (CD) et (EF) sont parallèles, alors...
Bilan ..... / 5
87° F
D
D 38°
D
Les droites (CF) C et (IH) sont I parallèles, alors...
A
F B H E
E
jeu
Les droites (BC) et (MN) sont parallèles lorsque...
B
M
D
R
40°
S 55°
N C
1
jeu
Sans utiliser l’équerre, tracer la parallèle à la droite (d) qui passe par le point A.
3
Sur ce plan, les directions (NS) sont parallèles. N
A
(d’ )
L (Loin) N (d) P (Près) S
jeu
2
Ce matin, Lise s’est réveillée à 8 h 14. Depuis son réveil, la grande aiguille a balayé un angle de 1 620°. Quelle heure est-il ?
Réponse :
12 h 44
80°
78° S 107°
22°
N
S
51°
Peut-on calculer les mesures de l’angle vert et de l’angle bleu ? Si oui, les indiquer sur le plan.
1 620 360 = 4,5 La grande aiguille a fait 4,5 tours. 8 h 14 + 4 h 30 = 12 h 44 © Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
Chapitre 15 ● Caractériser le parallélisme avec les angles
83
CHAPITRE
FICHE
16
Connaître les angles d’un triangle CALCUL MENTAL
● ..... . . . . . . . . .
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
79 Somme des angles d’un triangle Dans un triangle, la somme des mesures des trois angles est égale à 180°.
A
Exemple : pour un triangle ABC : BAC + ABC + ACB = 180°. C
B
1
Sur cette figure, les droites (BE) et (AD) se coupent en C. Calculer la mesure des angles :
N
24°
30° M
a. ACB
83°
N
51° + 47° + 83° = 181° Donc ce triangle n’existe pas.
3
Sarah a construit un triangle et a mesuré deux angles du triangle. Elle a obtenu les mesures suivantes : 32° et 116°. Son triangle est-il particulier ?
180° – (116° + 32°) = 180° – 148° = 32° Le troisième angle mesure 32°. Le triangle de Sarah a deux angles de même mesure donc ce triangle est isocèle.
84
A
a. La somme des mesures des angles du triangle ABC est égale à 180°. Donc : = 180° – (42° + 35°) ACB =180° – 77° ACB = 103°. ACB son opposés par le et ACB b. Les angles ECD = 103°. sommet donc ECD = ACB c. La somme des mesures des angles du triangle CDE est égale à 180°. Donc : = 180° – (103° + 53°) CED = 180° – 156° CED = 24°. CED
51° 47°
c. CED
D
E
M
Carine a dessiné la figure à main levée ci-contre. Qu’en pensez-vous ?
b. ECD
42° C 53° 35°
P
La somme des mesures des angles du triangle MNP est égale à 180°. Donc : MNP = 180° – (30° + 24°) MNP = 180° – 54° MNP = 126°
2
B
4
Sans rapporteur, déterminer la mesure . de l’angle MNP
P
5
Les points K, G, I et L sont alignés. de cette Calculer la mesure de l’angle GHI rampe d’un skate-park. H 146° K
G
154° I
L
= 180° – 146° = 34°. = 180° – KGH • HGI =180° – 154° = 26°. • GIH = 180° – LIH
• La somme des mesures des angles du triangle GHI est égale à 180°. Donc : = 180° – (34° + 26°) GHI = 180° – 60° GHI = 120°. GHI © Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
FICHE
CALCUL MENTAL
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● ..............
● ..............
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BILAN ..... / .....
80 Triangles particuliers Triangle isocèle
Triangle équilatéral
A
A
B
= ACB ABC
A
C
= ACB = 60° = ABC BAC
1
Avec les informations codées sur la figure, calculer la mesure . de l’angle PIN
P
Avec les informations codées sur la figure ci-contre, calculer la mesure de chacun des angles N et MLN . MNL
A
C
C
= ACB = 45° ABC
B
Avec les informations codées sur la figure, calculer . la mesure de l’angle CBD 28°
N
I
? 30° A
C
D
• Le triangle ABC est rectangle isocèle en A =45°. donc ABC • Le triangle ABD est rectangle en A donc = 90° – ADB ABD ABD = 90° – 30° = 60°. ABD = ABD – ABC • CBD CBD = 60° – 45° = 15°. CBD M 108° L
Avec les informations codées sur la figure, calculer la mesure . de l’angle JKL
L
63°
K
Le triangle KJL est rectangle en L = 90° – KJL donc JKL = 90° – 63° JKL = 27°. JKL
Lucy dit que le triangle GDE est rectangle en D. G L’affirmation de Lucy est-elle exacte ? Expliquer.
55°
70°
E
F
J
3
D
5
Le triangle MNL est isocèle en M donc ses angles à la base ont la même mesure. MNL = MLN = (180° – 108°) 2 MNL = MLN = 72° 2. Donc MNL = MLN = 36°.
© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
B
+ ACB = 90° ABC
4
Le triangle PIN est isocèle en I donc IPN = INP = 28°. PIN + IPN + INP = 180° PIN + 2 × 28° = 180° Donc PIN = 180° – 2 × 28° PIN =124°
2
Triangle rectangle isocèle
B
B
C
Triangle rectangle
• Le triangle DFG est rectangle en G =90° – DFG . donc GDF = 90° – 55° GDF = 35°. GDF • Le triangle DEF est isocèle en E donc ses angles à la base ont la même mesure. = (180° – 70°) : 2 FDE = 110° : 2 FDE = 55°. FDE + FDE = GDF • GDE = 35° + 55° GDE = 90°. GDE = 90° donc le triangle GDE est rectangle • GDE en G. L’affirmation est exacte.
Chapitre 16 ● Connaître les angles d’un triangle
85
FICHE
CALCUL MENTAL
● ..... . . . . . . . . .
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
● ..............
81 Perfectionnement 1
Construire en vraie grandeur ce triangle SKI tracé à main levée.
K
m 3c
S
4
Construire un triangle MER isocèle en M tel = 70°. que RE = 3,5 cm et EMR
105° 45° I
= 180° – (105° + 45°) KSI KSI = 180° -150° = 30°. KSI 3 cm S
300
K
Le triangle MER est isocèle en M donc ses angles à la base ont la même mesure. = MRE = (180° – 70°) : 2 MER = 110° : 2 MER = MRE = 55°. Donc MER = MRE
1050
M I
2
Cette figure est composée de deux carrés ABGE et CDFG C tels que les points C, B et G sont alignés. Expliquer pourquoi les droites (GD) et (GA) sont perpendiculaires. D
A
E
B
G
550 R
550 E
3,5 cm
F
5
À l’aide des informations P portées sur cette figure, calculer la mesure . de l’angle TPL
• Le triangle ABG est rectangle isocèle en B = 45°. donc BGA • De même le triangle DCG est rectangle isocèle = 45°. en C donc DGC = 45° + 45° = 90°. • DGA = DGC + BGA = 90° donc les droites (GD) et (GA) sont DGA perpendiculaires.
L
T 40°
65° A
• Le triangle APT est isocèle en P donc
3
[OM] et [ON] sont deux des 9 rayons de cette roue de vélo. Calculer les mesures des trois angles du triangle MON.
N O
M
= 360° : 9 = 40°. • MON • M et N sont deux points d’un cercle de centre O donc OM = ON. • Le triangle MON est isocèle en O donc ses angles à la base ont la même mesure. = ONM = (180° – 40°) : 2 OMN = ONM = 140° : 2. OMN = 70°. Donc OMN = ONM
86
= ATP = 40°. TAP + ATP = 180° + TAP TPA TPA + 2 × 40° = 180°. = 180° – 2 × 40°. Donc TPA TPA = 100°.
• Le triangle PAL est rectangle en L donc = 90° – PAL APL = 90° – 65° APL = 25°. APL + APL = TPA • TPL TPL = 100° + 25° = 125°. TPL
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FICHE
M & jeux QC 82 QCM
Voici un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, entourer la (ou les) réponse(s) exacte(s). C
Les points C, I, B sont alignés. On peut affirmer que…
A
23°
77°
A
U
Sur cette figure…
D
= 80° ACB
B M
I G
Un triangle isocèle a un angle qui mesure 50°. Alors ses autres angles ont pour mesures…
C
= 46° BAC
= 103° BIA
I
54°
Un triangle dont un des angles mesure 62° est…
B
Bilan ..... / 5
F
L
63° 124°
28°
H
N 37° 81°
49°
J
K
P
O
30° et 100°
50° et 80°
65° et 65°
= 54° UFE
= 28° FLE
= 90° UEL
TPO = 60°
TOP = 30°
OSN = 75°
E
Les droites (TA) et (TN) C coupent la droite (CS) en P et O. Alors…
E
jeu
T S P
O N
A
1
jeu
D
Sur cette figure, ● les points A, B et C sont alignés ; = 12°. ● DA = DB = BC ; ● ADB 12° ? Quelle est la mesure de l’angle ADC A
B
Voici une façon de partager un hexagone régulier en six triangles superposables. Imaginer une autre façon de faire cela en traçant six segments.
C
D’après Kangourou des mathématiques
Réponse :
2
54°
• Dans le triangle isocèle DAB, ABD = DAB = (180° – 12°) : 2 = 84°.
• A, B et C sont alignés donc DBC = 180° – 84° = 96°. • Dans le triangle isocèle DBC, BDC = DCB = (180° – 96°) : 2 = 42°.
• Donc ADC = 12° + 42° = 54°.
jeu
3
En utilisant uniquement la règle et le compas, construire un triangle ABC isocèle en A dont un angle mesure 120°.
C
D 300
1200 A © Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
300
B
Chapitre 16 ● Connaître les angles d’un triangle
87
CHAPITRE
FICHE
17
Utiliser une symétrie CALCUL MENTAL
● ..... . . . . . . . . .
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
● ..............
83 Symétrie axiale : rappels ●
Le symétrique d’un point A par rapport à une droite (d) est :
A’
1
➊ le point A’ tel que (d) soit la médiatrice du segment [AA’] lorsque A n’appartient pas à (d) ;
(d)
➋ le point A lui-même lorsque A appartient à (d). ●
A 2
La symétrique d’une droite par rapport à une droite est une droite.
1
Construire la symétrique de cette figure par rapport à la droite (d).
(d)
A
3
Dans chaque cas, construire la symétrique de la droite (d1) par rapport à la droite (d ). a.
(d)
(d’1)
(d 1) (d)
b. (d 1)//(d) (d 1) (d)
1
Construire les symétriques des droites (d 1) et (d 2) par rapport à la droite (d ).
4
(d’1) (d2)
(d’1)
(d 1)
a. Construire un triangle ABC tel que : AB = 3 cm, AC = 4,5 cm, BC = 3,6 cm.
b. Construire le symétrique de ce triangle par rapport à la droite (AM) où M est le milieu du segment [BC].
(d’2) C’
B
M (d)
A B’
88
C
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FICHE
CALCUL MENTAL
● ..............
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● ..............
● ..............
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BILAN ..... / .....
84 Symétrie centrale Ces deux figures se superposent par demi-tour autour du point O.
Cette figure coïncide avec sa symétrique par rapport à O. Le point O O est le centre de symétrie de la figure.
●
On dit qu’elles sont symétriques par rapport au point O.
●
O
La symétrie par rapport à un point conserve : les longueurs, l’alignement, les angles, les aires.
●
1
Dans chaque cas, construire à main levée la symétrique de la figure par rapport au point O.
A
Ce quadrilatère ABCD est un rectangle. A’, B’, C’, D’ sont les symétriques respectifs de A, B, C, D par rapport à O.
B
3 cm
a.
3
O
a. Sans construire ces D 2 cm points, compléter : ● A’B’ = 2 cm A’D’C’ = 90° ● Les droites (A’B’) et (C’D’) sont parallèles .
O
C
b. Donner l’aire de A’B’C’D’. Expliquer.
A’B’C’D’ est un rectangle et son aire est : A’B’ × A’D’ = 2 cm × 3 cm = 6 cm2.
b.
c. Que peut-on dire des segments [AA’] et [BB’] ?
Ces segments se coupent en leur milieu O.
4
Certaines calculatrices affichent les chiffres de la manière suivante. Indiquer par oui ou non si un chiffre admet un centre de symétrie. Si oui, le placer.
O
2
Barrer les figures qui ne sont pas symétriques par rapport au point O. a.
b. O
oui
oui
oui
non
non
oui
non
O
c.
d.
oui
non
non
O O
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Chapitre 17 ● Utiliser une symétrie
89
FICHE
CALCUL MENTAL
● ..... . . . . . . . . .
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
● ..............
85 Symétriques de figures usuelles Par la symétrie de centre O, le symétrique : d’un point A distinct de O est le point A’ tel que O soit le milieu du segment [AA’] ; ● du point O est le point O lui-même. ● Le symétrique par rapport à un point : ● d’une droite est une droite parallèle, ● d’un segment est un segment de même longueur, A ● d’un cercle est un cercle de même rayon. O ● ●
1
Construire les symétriques respectifs M’, N’, P’ des points M, N, P par rapport à O.
Construire le symétrique de ce triangle ABC par rapport à O, puis par rapport au milieu I de [AC].
C’
A’
B
O
N’
4
P
M
A’
N
O
M’
P’
A
C1
2
B’
A1
C
I
Construire la symétrique de la droite (d) par rapport à O.
B1 (d’ )
5
ABCD est un carré de côté 2,5 cm. Sur la figure ci-dessous, A’ est le symétrique de A par rapport à un point O.
O
(d )
a. Construire le point O. Expliquer.
3
Construire le symétrique par rapport à O du cercle de centre A.
O est le milieu du segment [AA’]. b. Construire le symétrique du carré ABCD par rapport à O.
A
B
D
C
A O
’
C’
2,5 cm
D’
O
A’ B’
90
A’
© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
FICHE
CALCUL MENTAL
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
86 Axe et centre de symétrie Un segment [AB] possède : – deux axes de symétrie : la droite (AB) et la médiatrice de [AB], – un centre de symétrie : son milieu O.
●
A
B O
Propriété caractéristique de la médiatrice d’un segment (rappel) – Si un point M appartient à la médiatrice de [AB], alors MA = MB. – Si M est un point tel que MA = MB, alors M appartient à la médiatrice de [AB].
●
1
Ci-dessous, ABCD est un rectangle. O est le point d’intersection de ses diagonales. a. Indiquer son centre de symétrie. Expliquer.
Les diagonales d’un rectangle se coupent en leur milieu. Par la symétrie de centre O, le symétrique de A est C,
M
3
Voici un logo japonais réalisé – par Yusaku Kamekura pour la firme Yamagiwa Electrics. Il a un centre de symétrie O et quatre axes de symétrie. a. Construire ce point et ces droites.
celui de B est D, de C est A et de D est B. Donc le symétrique du rectangle ABCD est lui-même
A
(d 1)
et O est centre de symétrie. b. Tracer ses axes de symétrie.
C
2
Dire si cette figure a un centre de symétrie et si elle a un (des) axe(s) de symétrie. Si oui, le(s) tracer. A
(d)
O
E
O
D
D
C
B
A
(d 2)
F
B
B
b. On sait que OA = 9,4 cm et OC = 8 cm. Donner les longueurs OB, OD, OE, OF. Expliquer.
• B est le symétrique de A par rapport à O donc O est le milieu de [AB] et OB = OA = 9,4 cm. • D est le symétrique de C par rapport à la droite (BA), donc (OA) est la médiatrice de [CD].
D
C
Le rectangle ABCD a pour centre de symétrie le point d’intersection de ses diagonales. Mais ce point n’est pas centre de symétrie du cercle tracé. Donc cette figure n’a pas de centre de symétrie. Elle a un seul axe de symétrie (la médiatrice du segment [AD]).
Donc O est à égale distance de C et D. Par conséquent OD = OC = 8 cm. • E est le symétrique de C par rapport à la droite (d), donc de façon analogue OE = OC = 8 cm. • F est le symétrique de C par rapport à la droite (d1), donc de façon analogue OF = OC = 8 cm.
© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
Chapitre 17 ● Utiliser une symétrie
91
FICHE
CALCUL MENTAL
● ..... . . . . . . . . .
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
87 Perfectionnement 1
Dessiner à main levée le symétrique de chaque mot par rapport au point rouge. Que remarque-t-on ? Imaginer un autre assemblage de trois lettres qui ait aussi cette propriété.
4
Construire un point M de la demi-droite [Ax) et un point N de la demi-droite [Ay) tels que O soit le milieu du segment [MN]. Rédiger un programme de construction.
A’ x
y O
M
N
x’
A
2
Dessiner la symétrique de cette égalité par rapport au point rouge. Que remarque-t-on ? Imaginer une autre égalité qui ait aussi cette propriété.
• Construire le symétrique A’ de A par rapport au point O. • Construire la symétrique [A’x’) de la demi-droite [Ax) par rapport au point O. • Noter N le point d’intersection des demi-droites [A’x’) et [Ay). • Tracer la droite (ON) et noter M son point d’intersection avec la demi-droite [Ax). Justification : le symétrique d’un point N de [A’x’) appartient à [Ax), donc M est le symétrique de N par rapport à O.
5
ABCD est un carré de côté 3 cm. I et J sont les milieux des côtés [AB] et [CD]. Les arcs de cercle tracés ont pour centre I et rayon I A, pour centre J et rayon JC. Calculer l’aire de la surface colorée en jaune. Justifier. D
J
C
O
A
3
Qu’a de remarquable ce logo ?
92
I
B
Le centre O du carré est le centre de symétrie. Donc les deux surfaces colorées ont la même aire :
Il a un centre de symétrie. On le lit aussi bien à l’endroit
3 cm × 3 cm = 9 cm2 et 9 cm2 : 2 = 4,5 cm2.
qu’à l’envers.
L’aire de la surface jaune est 4,5 cm2. © Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
Voici un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, entourer la (ou les) réponse(s) exacte(s).
QCM
A
R
La lettre R et sa symétrique par rapport au point rouge se trouvent sur le dessin…
R
R
FICHE
M & jeux 88 QC Bilan ..... / 5
R
R
R
E
A
B
B F
sont symétriques par rapport au milieu de [EF]
sont symétriques par rapport au milieu de [AB]
sont symétriques par rapport à la droite (EF)
un centre de symétrie
deux axes de symétrie
quatre axes de symétrie
les segments [AA’], [BB’], [CC’] ont le même milieu
AA’ = BB’ = CC’
ACB = A’C’B’
Ces deux cercles de même rayon et de centres A et B… C
La figure qui a un centre de symétrie est…
D
Un carré a exactement…
E
Ces deux triangles A sont symétriques par rapport à un B C’ point O. Alors…
jeu
C B’
A’
1
jeu
Dans chaque cas, quel est le dessin suivant ?
3
Le dessinateur voulait représenter une carte à jouer qui admette un centre de symétrie. Il a commis 5 erreurs. Lesquelles ?
a.
…………
b.
…………
jeu
2
Noircir un minimum de cases pour que la figure formée par les cases noires ait un centre de symétrie. a.
© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
b.
Chapitre 17 ● Utiliser une symétrie
93
CHAPITRE
FICHE
18
Connaître les quadrilatères CALCUL MENTAL
● ..... . . . . . . . . .
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
89 Parallélogrammes Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont deux à deux parallèles.
D
●
Dans un parallélogramme : les diagonales se coupent en leur milieu (c’est le centre de symétrie du parallélogramme), ● les côtés opposés ont la même longueur, ● les angles opposés ont la même mesure.
C
● ●
B
Un quadrilatère dont les diagonales se coupent en leur milieu est un parallélogramme.
ABCD est un parallélogramme. Donner, en expliquant : D a. le périmètre de ABCD,
132°
b. la mesure de chacun des et BCD . angles ADC
C
cm 5,4
cm
1
4,2
●
A
B
48°
3
a. Construire un parallélogramme VELO tel que : = 75°. VO = 4 cm, VE = 2 cm, EVO Justifier la construction. b. Donner, en expliquant, les longueurs LE et OL.
A
a.
V
4 cm
O
750
L
2 cm
a. Dans un parallélogramme, les côtés opposés ont la même longueur. Donc : AB = DC = 5,4 cm et AD = BC = 4,2 cm. Le périmètre P de ABCD est donc : P = 2 × (AB + BC) P = 2 × (5,4 cm + 4,2 cm) P = 2 × 9,6 cm. P = 19,2 cm. b. Dans un parallélogramme, les angles opposés ont la même mesure. Donc BCD = BAD = 48° ADC = ABC = 132° .
E
Par construction, ce quadrilatère a ses côtés opposés deux à deux parallèles, donc c’est bien un parallélogramme. b. Dans un parallélogramme, les côtés opposés ont la même longueur. Donc : LE = VO = 4 cm et OL = VE = 2 cm.
2
EFGI, FGEJ et EKFG sont des parallélogrammes. Construire ces trois parallélogrammes.
4
Construire un parallélogramme dont les diagonales ont pour longueur 5 cm et 3 cm. Justifier la construction.
I E
5 cm 2 = 2,5 cm et 3 cm 2 = 1,5 cm
J G F
K
94
2,5 c
m
1,5
cm
Les diagonales de ce quadrilatère se coupent en leur milieu, donc c’est un parallélogramme.
© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
FICHE
CALCUL MENTAL
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
90 Parallélogrammes particuliers Un rectangle est un parallélogramme. Ses diagonales ont la même longueur.
Un losange est un parallélogramme. Ses diagonales sont perpendiculaires.
●
Un carré est un parallélogramme. Ses diagonales ont la même longueur et sont perpendiculaires.
●
1
L
K
KLMN est un rectangle de centre O. a. Quelle est la nature du triangle KLM ? ● du triangle LOM ?
3
●
Construire un rectangle TOUR tel que : TO = 5 cm et TU = 6 cm.
O N
5 cm
T
●
M
b. Quels sont les axes de symétrie de ce rectangle ?
6c
m
a. • Les angles d’un rectangle sont droits donc KLM = 90°. Donc le triangle KLM est rectangle en L. • Les diagonales d’un rectangle se coupent en leur milieu et ont la même longueur. Donc OM = OL. Le triangle LOM est isocèle en O. b. Les axes de symétrie du rectangle sont les médiatrices des côtés [KL] et [LM].
2
O
U
R
4
Construire un losange GOAL tel que : = 110°. GO = 4 cm et GOA
4 cm
G
FGHI est un losange de centre J.
O 110o
G J
F
H I
L
Quelle est la nature :
A
a. du triangle GFI ? b. du triangle GJH ?
5
a. Les côtés d’un losange ont la même longueur donc FG = FI. Le triangle GFI est isocèle en F. b. Les diagonales d’un losange sont perpendiculaires donc GJH = 90° . Le triangle GJH est rectangle en J.
PAIX est un rectangle. Que peut-on dire du cercle de centre A et de rayon PI ?
P
A
X
I
PI = AX (diagonales de même longueur) donc ce cercle de centre A et de rayon PI passe par le point X.
© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
Chapitre 18 ● Connaître les quadrilatères
95
FICHE
CALCUL MENTAL
● ..... . . . . . . . . .
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
91 Reconnaître un parallélogramme particulier Si un parallélogramme : a ses diagonales de même longueur, alors c’est un rectangle.
a ses diagonales perpendiculaires, alors c’est un losange.
●
●
A
1
[MR] et [AS] sont deux diamètres d’un cercle de centre O.
3
Construire un rectangle dont une diagonale mesure 4 cm et dont les diagonales forment un angle de 70°. Justifier la construction.
M
O
a. Expliquer pourquoi le quadrilatère MARS est un parallélogramme.
a ses diagonales perpendiculaires et de même longueur, alors c’est un carré.
●
R
4 cm = 2 × 2 cm
S
b. Préciser la nature de MARS.
a. Les diamètres [MR] et [AS] ont le même milieu (c’est le centre O du cercle). Donc MARS est un parallélogramme. b. [MR] et [AS] sont deux diamètres du cercle donc MR = AS donc MARS est un parallélogramme qui a ses deux diagonales de même longueur. Donc MARS est un rectangle.
2
ABC est un triangle isocèle en A. D est le point tel que le quadrilatère BACD soit un parallélogramme.
70º 2 cm
Les diagonales de ce quadrilatère se coupent en leur milieu, donc c’est un parallélogramme. De plus, les diagonales ont la même longueur, donc c’est un rectangle.
a. Tracer une figure. b. Préciser la nature de BACD.
a.
4
Construire un losange dont les diagonales mesurent 5 cm et 2 cm. Justifier la construction.
A
C
5 cm 2 = 2,5 cm et 2 cm 2 = 1 cm 1 cm
B
D b. BACD est un parallélogramme donc CD = AB et AC = BD. • ABC est un triangle isocèle en A donc AB = AC. • Finalement, CD = AB = AC = BD. Donc BACD est un losange.
96
2,5 cm Les diagonales de ce quadrilatère se coupent en leur milieu, donc c’est un parallélogramme. De plus les diagonales sont perpendiculaires, donc c’est un losange.
© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
FICHE
CALCUL MENTAL
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
92 Utiliser un logiciel 1
1. Avec GeoGebra,
a. tracer un segment [AB] de longueur 6 cm (utiliser ), de mesure 80° b. tracer un angle BAB’ (utiliser ), c. placer le point D de la demi-droite [AB′) tel que : AD = 4,5 cm, d. construire le point C tel que ABCD soit un parallélogramme.
2. Compléter cette figure en plaçant le point : a. E tel que ABDE soit un parallélogramme ; b. F tel que ADBF soit un parallélogramme.
2
3
1. Avec GeoGebra,
a. construire un parallélogramme ABCD, b. placer son centre O et afficher la mesure , de l’angle BAD c. placer le point E tel que le quadrilatère CODE soit un parallélogramme, d. afficher les longueurs ED et EC, . e. afficher la mesure de l’angle CED
2. Déformer le parallélogramme ABCD et conjecturer dans quel cas : a. CODE est un rectangle, b. CODE est un losange.
1. Avec GeoGebra,
3. Démontrer ces conjectures.
a. tracer un segment [AB] de longueur 6 cm, b. placer le milieu C du segment [AB], c. placer un point D tel que le triangle BCD est rectangle en C et CD = 1,5 cm, d. placer le point D′ symétrique de D par rapport à C (utiliser ), e. tracer le polygone ADBD′. 2. Quelle est la nature de ADBD′ ? Justifier.
• D’ est le symétrique de D par rapport à C donc C est le milieu de [DD′]. • Les diagonales de ADBD′ se coupent en leur milieu, donc c’est un parallélogramme. De plus, ces diagonales sont perpendiculaires, donc ADBD′ est un losange.
© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
• Un parallélogramme est un rectangle lorsqu’il a un angle droit. Or, les angles opposés d’un parallélogramme ont même mesure, donc CED = COD . Donc CODE est un rectangle lorsque COD = 90° c’est-à-dire lorsque les diagonales de ABCD sont perpendiculaires. Donc CODE est un rectangle lorsque ABCD est un losange. • Un parallélogramme est un losange lorsque deux côtés consécutifs ont la même longueur. Or, dans le parallélogramme CODE, EC = DO et DE = OC. Donc CODE est un losange lorsque OD = OC, c’est-à-dire lorsque les diagonales de ABCD ont même longueur. Donc CODE est un losange lorsque ABCD est un rectangle.
Chapitre 18 ● Connaître les quadrilatères
97
FICHE
CALCUL MENTAL
● ..... . . . . . . . . .
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
93 Perfectionnement 1
MINE et RIEN sont M deux parallélogrammes. Pourquoi I est-il le milieu de [MR] ?
I
R
MTRS est un parallélogramme et MATH est un rectangle. a. Réaliser une figure.
N
E
4
b. Démontrer que AH = RS.
• Les côtés opposés d’un parallélogramme sont parallèles et de même longueur. (EN) // (MI) et (EN) // ( IR) EN = MI EN = IR • Les droites (MI) et ( IR) sont donc parallèles. Or, elles ont le point I en commun donc les points M, I, R sont alignés. • De plus M I = IR, donc I est le milieu du segment [MR].
2
Pourquoi ces trois parallélogrammes ont-ils le même centre ? F
a.
E
A
ROSE est un parallélogramme de centre I. MOUE est un parallélogramme. Démontrer que I est le milieu du segment [MU].
O
U S I
E • ROSE est un parallélogramme donc ses diagonales [OE] et [RS] ont le même milieu I. • MOUE est un parallélogramme donc ses diagonales [OE] et [MU] ont le même milieu. Or I est le milieu de [OE], donc I est aussi le milieu de [MU].
98
T
b. • MATH est un rectangle donc ses diagonales [MT] et [AH] ont la même longueur. C’est-à-dire AH = MT. • MTRS est un parallélogramme donc les côtés opposés [MT] et [RS] ont la même longueur. C’est-à-dire MT = RD. • Finalement : AH = MT = RS. Donc AH = RS.
B
3
M
H R
• Le centre du parallélogramme ACDF est le milieu O commun aux diagonales [AD] et [CF]. • Le centre du parallélogramme ABDE est le milieu de [AD], donc O. • Le centre du parallélogramme BCEF est le milieu de [CF], donc O. • Ainsi ces trois parallélogrammes ont pour centre O.
R
A
S
C D
M
5
a. Construire deux rectangles ABCD et ABEF de mêmes dimensions de part et d’autre de la droite (AB). b. Tracer la médiatrice du segment [AB]. Elle coupe [AB] en O, [CD] en M et [EF] en N. Quelle est la nature du quadrilatère AMBN ?
a.
D
M
C
A
O
B
F
N
E
b. Le quadrilatère OBCM a trois angles droits, donc c’est un rectangle. De la même façon OBEN est un rectangle. Donc OM = BC et ON = BE. Or BC = BE, donc OM = ON. Donc les diagonales du quadrilatère AMBN se coupent en leur milieu et sont perpendiculaires. Donc AMBN est un losange. © Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
FICHE
M & jeux 94 QC QCM
Voici un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, entourer la (ou les) réponse(s) exacte(s).
A
ABCD est ce A parallélogramme de centre O. D Alors… Un quadrilatère est un parallélogramme lorsque…
C
Un parallélogramme est un rectangle lorsqu’il a…
D
Un parallélogramme est un losange lorsqu’il a…
E
Un carré est un…
jeu
B
O
B
DCB = DAB
OAB = OCD
ABD = CBD
deux côtés opposés ont la même longueur
ses diagonales ont le même milieu
les côtés opposés sont parallèles deux à deux
un angle droit
des diagonales perpendiculaires
des diagonales de même longueur
C
deux côtés de même des diagonales longueur de même longueur losange
1
des diagonales perpendiculaires parallélogramme
3
Déplacer deux allumettes pour obtenir quatre carrés identiques.
20 cm
Le périmètre d’un cerf-volant est 5 cm c’est-à-dire OA + OC + AB + BC = 5 cm. Or OA = OC = CD = DE. Donc : AB + BC + CD + DE = 5 cm. Or le périmètre de l’étoile est égal à 4 fois la longueur de la ligne brisée ABCDE. Donc ce périmètre est 20 cm.
jeu
rectangle
jeu
Un cerf-volant est un quadrilatère dont une diagonale est axe de symétrie. Cette étoile est composée de losanges (en bleu) et de cerfs-volants (en vert). Chaque cerf-volant a un périmètre de 5 cm. Quel est le périmètre de l’étoile ? Réponse :
Bilan ..... / 5
D E
B C A
O
jeu
Déplacer six allumettes pour obtenir six losanges identiques.
2
Placer dans chaque triangle l’un des chiffres 1, 2, 3, 4 de façon que dans n’importe quel groupe de quatre triangles formant un parallélogramme, on trouve des chiffres différents. © Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
4
1 1
2 4 2 4
3 1 3 1
2 4 2 4
3 3
Chapitre 18 ● Connaître les quadrilatères
99
CHAPITRE
FICHE
19
Étudier un programme simple CALCUL MENTAL
● ..... . . . . . . . . .
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
95 Construire une animation 1
On se propose de réaliser une animation qui consiste à simuler le lancer d’un ballon de basket.
4. Voici le script que Sophie a préparé pour le lutin « Basketball ».
a. Sélectionner le lutin « Basketball ». Construire ce script. Pour cela, choisir et faire glisser les instructions dans la zone des scripts. Ces instructions sont classées par catégories et repérées par un code couleur.
1. Pour choisir l’arrière-plan de la scène, cliquer sur . Sélectionner l’arrière-plan « basketballcourt1-a ». 2. Sélectionner dans la bibliothèque le lutin « Avery » puis le positionner avec la souris comme ci-dessus. 3. Sélectionner dans la bibliothèque le lutin « Basketball ». • Cliquer sur le lutin « Basketball » puis sur afin de le réduire jusqu’à avoir l’impression qu’il puisse entrer dans le panier.
b. Ce script doit permettre au lutin « Basketball » d’aller dans cet ordre : • sur la main gauche du lutin « Avery » ; • dans le rectangle orange du panier de basket ; • sous le panier de basket. Compléter les cases vides à l’aide des coordonnées relevées à la question 3. Tester ce script et modifier éventuellement les valeurs pour qu’il fonctionne correctement. 5. Voici le script que Sophie a préparé pour le lutin « Avery ».
• Effectuer un clic droit sur le lutin « Sprite1 » puis le supprimer. • Cliquer sur le lutin « Basketball » puis sur puis sur pour définir le centre du costume. Le lutin est repéré par les coordonnées de ce centre. • Positionner le lutin « Basketball » dans la main et gauche du lutin « Avery », cliquer sur noter les coordonnées du lutin « Basketball » qui sont affichées à droite de l’écran. • Positionner le lutin « Basketball » dans le rectangle orange du panier et noter ses coordonnées. • Positionner le lutin « Basketball » sous le panier (comme si le ballon venait de sortir du panier) et noter ses coordonnées.
100
a. Sélectionner le lutin « Avery ». b. Créer ce script et compléter les cases vides de façon à ce que le lutin dise : • « Je vais tenter un panier » avant que le lutin « Basketball » ne quitte sa main ; • « Mon panier est-il réussi ? » une fois que le lancer est terminé. c. Tester l’animation. d. Modifier le script du lutin « Basketball » afin que sa trajectoire soit plus proche de la réalité. © Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
FICHE
CALCUL MENTAL
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
96 Construire un script qui répond à un événement 1
Anne a commencé à réaliser cette animation.
2
1. Choisir l’arrière-plan « xy-grid ».
2. a. Saisir ce script créé par Simon.
Voici les premiers scripts d’Anne.
b. Que permet de faire ce script ?
Il permet de tracer un rectangle.
1. a. Sélectionner la scène « underwater1 » et le lutin « Diver1 ». Supprimer le lutin « Sprite1 ».
c. Quelles sont les dimensions de la figure ainsi tracée ?
Les dimensions du rectangle sont 200 et 400.
b. Créer les scripts d’Anne et les tester. c. Créer deux scripts qui permettent au plongeur de monter ou de descendre. 2. a. Choisir le lutin « Fish1 », cliquer sur et lui appliquer le style de rotation . Ensuite, lui associer les scripts ci-dessous.
d. Modifier le script de façon à pouvoir tracer les diagonales du rectangle. 3. Lisa a commencé à saisir ce programme qui doit lui permettre de tracer le même rectangle que Simon (sans les diagonales).
b. Tester ces scripts. c. Modifier le script du plongeur de façon à ce qu’il dise pendant une seconde « Un poisson ! » quand on clique sur « p ». Pour cela, ajouter puis modifier l’instruction.
Créer un nouveau fichier, saisir le travail de Lisa puis compléter le programme en utilisant uniquement les instructions : et
© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
.
Chapitre 19 ● Étudier un programme simple
101
FICHE
CALCUL MENTAL
● ..... . . . . . . . . .
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
97 Programmer des scripts se déroulant en parallèle 1
1. Antonio veut réaliser une animation qui simule un clip vidéo. Pour cela, il a sélectionné le lutin « Cassy Dance » et les arrière-plans « beach malibu » ; « driveway » ; « clothing store » et « boardwalk ». Effectuer le travail d’Antonio puis supprimer le lutin « Sprite1 » et l’arrière-plan « arrière-plan1 ».
2
1. a. Sélectionner les lutins « Lightning » et « Knight ». Réduire la taille de l’éclair comme ci-dessous. Supprimer le lutin « Sprite1 » Choisir comme scène d’arrière-plan « hay field ».
a. Voici le script qu’Antonio a commencé à créer pour le lutin « Cassy Dance ».
b. Saisir les scripts ci-dessous des lutins. Créer puis compléter ce script de façon à ce que l’animation dure exactement 13 secondes.
Script du lutin « Lightning »
b. Voici le script créé pour les arrière-plans.
Cliquer sur
puis sur
et créer ce script.
Script du lutin « Knight »
c. Tester l’animation. 2. Pour agrémenter son clip, Antonio a ajouté le lutin « CM Hip-Hop » à qui il a attribué ce script :
c. Tester l’animation. 2. Modifier les scripts de façon à ce que : • l’animation dure 18 secondes ; • durant l’animation, le chevalier évite 15 éclairs. a. Effectuer ce travail puis tester l’animation. b. Modifier le script du lutin « CM Hip-Hop » de façon à ce qu’il apparaisse aussi 1 s lors du premier passage de « Cassy Dance ».
102
3. Modifier le script du chevalier afin de pouvoir le piloter avec les flèches du clavier. Tester l’animation en évitant le maximum d’éclairs. © Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
FICHE
CALCUL MENTAL
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
98 Faire appel à un sous-programme 1
1. Enzo a réalisé ces scripts pour le lutin « Sprite1 ».
2
Manon a réalisé le programme ci-dessous qui permet de tracer cette figure.
Script 2
Script 1
a. Créer ces scripts et les tester. b. Que permet de faire chacun de ces scripts ?
Le script 1 permet de tracer un carré de côté 120. Le script 2 permet de repositionner le lutin et d’effacer tous les tracés. 2. Enzo a modifié son script en ajoutant un bloc « Boucle ».
a. Indiquer les quatre nombres manquants dans le programme de Manon.
3
a. Modifier le script comme Enzo et le tester. b. Que permet de faire le bloc « Boucle » ?
Il permet de tracer un carré de côté 40. 3. Modifier le bloc « Boucle » afin que le lutin dessine la figure ci-dessous.
© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
120
3
120
b. Modifier le programme de Manon de façon à ce que le lutin : • dise au début du programme : « Je vais tracer 4 triangles » • réapparaisse 3 secondes après avoir tracé les quatre triangles.
3
Construire un programme le plus court possible qui permet de dessiner cette figure quand on clique sur .
Chapitre 19 ● Étudier un programme simple
103
FICHE
CALCUL MENTAL
● ..... . . . . . . . . .
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
BILAN ..... / .....
99 Perfectionnement 1
Diane a réalisé cette animation qui simule un tir au but.
3
a. Retrouver les nombres manquants dans le script ci-dessous qui a permis de construire cette figure dont tous les segments mesurent 100.
a. Sélectionner l’arrière-plan et les lutins de Diane. b. Voici dans le désordre les instructions utilisées pour les deux lutins.
b. Tester ce script.
4
Reconstituer les scripts de chaque lutin puis tester l’animation. c. Modifier le script du lutin « Sprite1 » pour qu’il saute trois fois en l’air de joie, après avoir dit « But ! ».
2
Voici une capture d’écran d’une animation.
Réaliser une animation de 25 secondes respectant les contraintes suivantes : • chacun des lutins ci-dessous doit se déplacer et se présenter seul pendant 5 secondes sur une scène différente pour chaque lutin ; • durant les 5 dernières secondes, les 5 lutins présents ensemble sur la scène ci-dessous doivent chacun leur tour dire « Bye Bye !!! » pendant 1 seconde.
Réaliser cette animation pour que : • la voiture traverse la scène en 10 secondes ; • l’oiseau se déplace quand on appuie sur les flèches du clavier.
104
© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
FICHE
& jeux 100 QCM QCM
Voici un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, entourer la (ou les) réponse(s) exacte(s).
Bilan ..... / 2
Un script qui permet de déplacer un lutin de 50 est…
A
La figure obtenue avec ce script est…
B
jeu
1
jeu
Compléter chaque case par un prénom différent. Une flèche doit toujours aller d’une personne plus jeune vers une personne plus âgée. Anne 15 ans
Benoit 17 ans
Dounia 13 ans
Erwan 16 ans
2
Combien de tracés différents peut-on obtenir en utilisant ces 5 blocs ensemble ?
Cindy 14 ans
Réponse : Cindy
Benoit
Anne
Erwan
4
Dounia
D’après Castor Informatique © Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
Chapitre 19 ● Étudier un programme simple
105
Tâches complexes
PackMath
1 La situation-problème Jouer sur le document 3 la partie proposée par PackMath le robot puis calculer le meilleur score possible.
2 Les supports de travail Les documents, les instruments de géométrie. Doc 1 : Les déplacements de PackMath
Doc 2 : Le règlement du jeu
• PackMath se déplace toujours en suivant les diagonales des carreaux du quadrillage.
• Le jeu se joue dans le carré ABCD tel que les coordonnées de A sont (–7 ; 7) et celles de C (7 ; –7).
• PackMath ne peut changer de direction que sur les points du quadrillage.
• Au début d’une partie, PackMath est positionné au point O de coordonnées (0 ; 0) et il a 0 point.
• Lorsqu’il atteint les côtés du carré ABCD, PackMath repart de façon à ce que sa trajectoire forme un angle droit.
• PackMath gagne une fraise, soit 70 points, à chaque fois qu’il passe sur une fraise.
• Si PackMath atteint les points A, B, C ou D, la partie est terminée (Game Over...).
• PackMath perd 10 points chaque fois qu’il parcourt la diagonale d’un carré dont la longueur d’un côté est une unité.
Doc 3 : La grille du jeu
Doc 4 : Un exemple
A
B
7
Fraise Trajectoire de PackMath
6 5 4 3
Côté du carré ABCD
2 1 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 –1
1
2
3
4
5
6
7
Sur l’exemple ci-dessus, le score de PackMath est 120. En effet : 3 × 70 – 9 × 10 = 210 – 90 = 120
–2 –3 –4
Doc 5 : La partie proposée
–5
Dans cette partie, PackMath doit gagner six fraises dont les coordonnées sont :
–6
D
–7
C
(–6 ; –4) ; (–5 ; 3) ; (–5 ; 7) ; (2 ; –2) ; (5 ; 3) et (6 ; 0).
Toute piste de recherche, même non aboutie, figurera ci-dessous et sur le document 3. Calcul du score avec la trajectoire du document 3 : 6 × 70 – 31 × 10 = 420 – 310 = 110 Le score est 110.
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Tâches complexes
Les utilisateurs d’un réseau social 1 La situation-problème À la rentrée, tous les élèves d’un collège ont répondu à un sondage comportant deux questions : Q1 : « Quel est ton âge ? » Q2 : « Es-tu utilisateur du réseau social F. ? » À l’aide des résultats de ce sondage, le principal du collège souhaite réaliser un diagramme circulaire pour présenter la répartition des élèves selon qu’ils utilisent ou non ce réseau social. Il veut aussi connaître le pourcentage d’élèves qui utilisent ce réseau social alors que leur âge ne le leur permet pas. Aider le principal du collège à réaliser ces travaux.
2 Les supports de travail Les documents, la calculatrice, un tableur, les instruments de géométrie. Doc 1 : Extrait des conditions d’utilisation du réseau social
1. Vous ne fournirez pas de fausses informations personnelles et ne créerez pas de compte pour une autre personne sans son autorisation. 2. Vous ne créerez qu’un seul compte personnel. 3. Si nous supprimons votre compte, vous n’en créerez pas d’autre sans notre autorisation. 4. Vous n’utiliserez pas ce réseau social si vous avez moins de 13 ans. 5. Vous ne communiquerez pas votre mot de passe. Doc 2 : Âge des élèves du collège à la rentrée
Doc 3 : Utilisateurs du réseau social
Âge (en ans)
10
11
12
13
14
15
Âge (en ans)
10
Effectif
20
80
120
150
150
80
Proportion (en %) 60
11
12
13
14
15
52,5
95
94
96
96,25
Toute piste de recherche, même non aboutie, figurera ci-dessous. ● Nombre d’élèves du collège utilisateurs du réseau social On utilise les documents 2 et 3. Utilisateurs 60 52,5 du réseau social × 20 = 12 × 80 = 42 100 100 Non utilisateurs 95 94 du réseau social × 120 = 114 × 150 = 141 100 100 96 96,25 × 150 = 144 × 80 = 77 ● Pourcentage des élèves utilisateurs du réseau 100 100 social alors que leur âge ne le permet pas 12 + 42 + 114 + 141 + 144 + 77 = 530 D’après le document 1, il s’agit des élèves 20 + 80 + 120 + 150 + 150 + 80 = 600 ayant moins de 13 ans. 530 élèves sur 600 utilisent ce réseau social. 12 + 42 + 114 = 168 donc 168 élèves de moins ● Réalisation du diagramme circulaire de 13 ans utilisent ce réseau social. On peut réaliser ce tableau de proportionnalité 168 28 = 0,28 = puis le diagramme circulaire. 600 100 Nombre d’élèves 530 600 28 % des élèves du collège utilisent × 0,6 Mesure de l’angle (en °) 360 ce réseau social bien qu’ils aient moins de 360 : 600 = 0,6 d’où 530 × 0,6 = 318 13 ans. Ils ne respectent pas les conditions L’angle de la catégorie « Utilisateurs du réseau d’utilisation du réseau social. social » mesure 318°.
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Tâches complexes
107
Tâches complexes
Le récupérateur d’eau de pluie
1 La situation-problème Dans un souci d’écologie et d’économie, Numa, qui habite à Nîmes, souhaite acheter un récupérateur d’eau de pluie et utiliser cette eau pour arroser son jardin. La pluie qui tombe sur le toit de sa maison sera canalisée par des gouttières qui seront directement reliées à la cuve. Aider Numa à choisir la cuve adaptée à son habitation, dont le toit est plat.
2 Les supports de travail Les documents, la calculatrice. Doc 1 : Le schéma du toit
Doc 2 : Une formule
La quantité Q d’eau de pluie, en litres, que l’on peut récupérer sur une année est donnée par la formule : Q=P×S×C où P est la hauteur moyenne annuelle des précipitations de la région (en mm), S est la surface du toit (en m2), C est le coefficient de pente du toit. Pour un toit dont la pente est inférieure à 15 %, C vaut 0,7. Si la pente est supérieure à 15 %, C vaut 0,8.
12 m 5m 8m
7m
Doc 3 : Les précipitations moyennes (en mm) sur la ville de Nîmes Janv.
Fév.
Mars
Avril
Mai
Juin
Juil.
Août
Sept.
Oct.
Nov.
Déc.
Année
67,7
70,7
55,9
59,2
60,9
38,6
25,3
51,6
66,8
131,9
69,2
64,1
761,9
Doc 4 : Les différentes cuves proposées à Numa
La cuve doit pouvoir contenir la quantité d’eau de pluie récupérée en moyenne en un mois.
500 L 109,95 €
800 L 225 €
1 000 L 359 €
3 500 L 899 €
4 000 L 1 249 €
4 500 L 1 519 €
Toute piste de recherche, même non aboutie, figurera ci-dessous. Aire du toit = 12 m × 5 m + (8 m – 5 m) × 7 m = 60 m2 + 3 m × 7 m = 60 m2 + 21 m2 = 81 m2 L’aire du toit est 81 m2. ●
Quantité Q d’eau récupérée en moyenne par mois D’après le document 3, P = 761,9 mm.
●
108
Le toit est plat donc la pente du toit est inférieure à 15 % ; alors C = 0,7. Q = 761,9 × 81 × 0,7 = 43 199,73 Numa peut récupérer 43 199,73 L par an. 43 199,73 L : 12 ≈ 3 600 L Il peut récupérer environ 3 600 L d’eau par mois. ● On peut conseiller à Numa de choisir la cuve qui a une contenance de 4 000 L.
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Tâches complexes
Le golf-cible 1 La situation-problème Jouer les balles de Nora et calculer son score. Expliquer ensuite comment Paul peut réussir à marquer 400 points en jouant huit balles, placées à des endroits différents.
2 Les supports de travail Les documents, la calculatrice, les instruments de géométrie. Doc 2 : Le décompte des points
Doc 1 : La règle du jeu
Une balle est représentée par un point. Un coup de golf-cible se joue en deux temps : • on effectue d’abord la symétrie par rapport au point O, • puis on effectue la symétrie du point ainsi obtenu par rapport à la droite (d ).
+ 50 + 40 + 10 – 10 – 30
Le score d’un joueur est égal à la somme des points obtenus par les huit balles jouées. En dehors de la cible : – 60
Doc 3 : Le parcours et les huit balles que Nora s’apprête à jouer
H1
(d)
D1
G1
B1 F1 C1 A1
E1
B2
O
E
E2
A
H2 F2
C F
C2
B D H
D2 G2
G A2
Zone dans laquelle Paul place ses balles.
Toute piste de recherche, même non aboutie, figurera ci-dessous et sur le document 3. • Calcul du score de Nora : 50 + 10 + 10 – 10 – 10 – 10 – 30 – 30 = 70 – 90 = – 20 Donc le score de Nora est – 20. • Paul place ses balles dans le disque obtenu en construisant le symétrique du disque rouge par rapport à la droite (d), puis en construisant le symétrique de ce disque par rapport au point O. © Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.
Tâches complexes
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Tâches complexes
Le trésor du pharaon
1 La situation-problème Un explorateur a trouvé un papyrus qui indique la position du trésor d’un pharaon. Placer sur la carte du document 3 le point T qui représente ce trésor.
2 Les supports de travail Les documents, la calculatrice, les instruments de géométrie.
Doc 2 : La traduction du papyrus
Doc 1 : Les indications mathématiques du papyrus
Les points A, J , L et P représentent les villes d’Alexandrie, de Jérusalem, de Louxor et de Pétra respectivement.
• AR1 = 250 km ; PR1 = 600 km. 2 = 30° et JLR 2 = 120°. • R2 est le point le plus à l’Ouest qui vérifie LJR • Le quadrilatère LAPR3 est un parallélogramme. • Le trésor T est à égale distance des points R1, R2 et R3. Doc 3 : Une carte de la région
Mer Méditerranée Tobrouk
Jérusalem Alexandrie
Port-Fouad
A
Gizeh Le Caire
30° Suez
R1
Petra
J
P
Mt Sinaï
120°
Louxor Edfu
R2
T
L
R3 Assouan
Yanbu
ge
ou
200 km
rR
Me
Abou Simbel
Toute piste de recherche, même non aboutie, figurera sur le document 3 et ci-dessous. On commence par placer les points R1, R2 et R3 à l’aide du document 1. Un segment de longueur 1,6 cm représente une distance de 200 km. • PR1 = 600 km = 200 km × 3 donc sur la carte PR1 = 1,6 cm × 3 = 4,8 cm. • 200 km = 4 × 50 km et 250 km = 5 × 50 km ; donc sur la carte, une longueur de 50 km est représentée par un segment de longueur 4 fois moins grande (1,6 cm : 4 = 0,4 cm) et une longueur de 250 km par une longueur 5 fois plus grande (0,4 cm × 5 = 2 cm) : ainsi sur la carte AR1 = 2 cm. Le trésor T est le point d’intersection des médiatrices des côtés du triangle R1R2R3.
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Tâches complexes
La piscine 1 La situation-problème M. et Mme Jones souhaitent faire construire une piscine, mais ils n’ont pas les mêmes critères de choix. Ils hésitent entre trois modèles. L’un de ces modèles peut-il les satisfaire l’un et l’autre ? Si oui, lequel ? Si non, quel modèle peut satisfaire au mieux M. et Mme Jones ?
2 Les supports de travail Les documents, la calculatrice. Doc 1 : Le modèle A
Doc 2 : Le modèle B
Cette piscine a la forme d’un parallélépipède rectangle de longueur 8 m, de largeur 3 m et de hauteur 1,60 m.
Cette piscine a la forme d’un cylindre de diamètre 6 m et de hauteur 1,50 m.
Doc 3 : Le modèle C
6,5
Doc 4 : Les critères de choix m
• Mme Jones souhaite que l’aire de la surface de l’eau soit la plus grande possible.
1,2 m
A
4m
• M. Jones souhaite que la piscine soit la plus économique à remplir.
D B 1,8 m
Cette piscine a la forme d’un prisme droit. Une des bases est le trapèze rectangle ABCD.
C
Toute piste de recherche, même non aboutie, figurera ci-dessous. ●
Aire de la surface de l’eau selon le modèle
• Modèle A : 8 m × 3 m = 24 m2 • Modèle B : rayon R = 6 m : 2 = 3 m Aire : π × 32 m2 ≈ 28 m2 • Modèle C : La surface de l’eau est une face latérale du prisme droit, c’est un rectangle. Aire : 6,5 m × 4 m = 26 m2 24 26 28 donc le souhait de Mme Jones correspond au modèle B. ●
Volume de la piscine selon le modèle
• Modèle A : 8 m × 3 m × 1,6 m = 38,4 m3 • Modèle B : π × 32 m2 × 1,5 m ≈ 42,4 m3 • Modèle C : • Aire de la base ABCD du prisme droit :
A 1,2 m
6,5 m
D
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B H C
1,8 m
L’aire de ABCD est la somme des aires du rectangle ABHD et du triangle rectangle CHD. BH = 1,2 m et CH = 1,8 m – 1,2 m = 0,6 m Aire de ABHD : 6,5 m × 1,2 m = 7,8 m2 6,5 m × 0,6 m Aire de CHD : = 1,95 m2 2 7,8 m2 + 1,95 m2 = 9,75 m2 donc l’aire de la base ABCD est 9,75 m2. • La hauteur du prisme droit est 4 m. 9,75 m2 × 4 m = 39 m3. Le volume du modèle C est 39 m3. 38,4 39 42,4 donc le souhait de M. Jones correspond au modèle A. Conclusion : Les souhaits de M. et Mme Jones ne correspondent pas au même modèle. Le modèle C peut les satisfaire au mieux. En effet il arrive en 2e position pour chacun des critères ; la différence entre les volumes des modèles A et C est seulement de 0,6 m3 et la différence entre les aires de la surface de l’eau des modèles B et C est d’environ 2 m2. ●
Tâches complexes
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Formulaire
Carré
Triangle Rectangle
Rectangle
Cercle Disque
Triangle
L c
Périmètre
4×c
Aire
c×c ou c 2
2× +2×L ou 2 × ( + L)
Cube
b
c
a+b+c
Somme des longueurs des côtés c×h 2
a×b 2
L×
R
h
a
,
Pavé droit
Prisme droit
L
R
Volume
c×c×c ou c 3
L× ×h
×h
Pyramide
Cône
Boule
h
h @
@
×h ou π × R2 × h
R R
( × h) 3 ou (π × R2 × h) 3
( × h) 3
Volume
Aire d’une base
@
@
Hauteur h
,
c
π × R2
Cylindre
Aire d’une base
h
2×π×R
H auteur h
c
(4 × π × R3) 3
Unités usuelles • de volume et de contenance
• de longueur hm
dam
m
dm
cm
2
5
0
0
mm 2
• d’aire hm²
dam²
m²
2
5
dm²
0
0
cm²
0
25 m² = 250 000 cm² • 1 hm² = 1 ha (hectare) • 1 dam² = 1 a (are)
dm3
hL daL L
25 m = 2 500 cm
km²
m3
0
5
0
0
25
m3
0
cm3
dL cL mL 0
0
= 25 000 000 cm3 25 m3 = 25 000 L
mm²
1L 1 L = 1 dm3 1 dm 1
Conception graphique : Julie Lannes
Édition : Christine Lataste, Violette Pogoda
Couverture : Jean-Marc Denglos
Schémas et illustrations : Laurent Blondel – Corédoc
Mise en pages : Desk
0
1 dm
km
dm
mm3