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1.- Una taza de cafΓ© caliente, inicialmente a 95Β°πΆ, se enfrΓa hasta 80Β°πΆ en 5 minuto, al estar en un cuarto con temperatura de 21Β°πΆ. Use solo la ley de enfriamiento de Newton y determine el momento en que la temperatura del cafΓ© estarΓ‘ a unos agradables 50Β°πΆ. Datos π0 = 95Β°πΆ ππ = 80Β°πΆ π‘ = 5 πππ ππ = 21Β°πΆ Pregunta a) π‘ = ? ππ2 = 50 Β°πΆ DESARROLLO Ley de enfriamiento de Newton ππ = π(π β ππ ) ππ‘ ππ = π(π β 21) ππ‘ 80
β« 95
5 ππ = β« π ππ‘ (π β 21) 0
ππ |
59 | = 5π 74
π=
59 ππ |74| 5
Reemplazar el valor de k en (1) 50
β« 95
π‘ ππ = π β« ππ‘ π β 21 0
59 ππ |74| π‘ ππ β« = β« ππ‘ 5 95 π β 21 0 50
59 ππ | | 29 74 π‘ ππ | | = 74 5 π‘ = 20.67 πππ Respuesta La temperatura del cafΓ© estarΓ‘ a 50Β°πΆ, una vez que hayan pasado 20.67 minutos
(1)
2.- Una cerveza frΓa, inicialmente a 35Β°πΉ, se calienta hasta 40Β°πΉ en 3 minutos, estando en un cuarto con temperatura 70Β°πΉ. ΒΏQuΓ© tan caliente estarΓ‘ la cerveza si se deja ahΓ durante 20 minutos? Datos π‘π = 35Β°πΉ π‘π = 40Β°πΉ π‘ = 3 πππ ππ = 70Β°πΉ Pregunta a) ππ = ? π‘ = 20πππ DESARROLLO Ley de enfriamiento de Newton ππ = π(π β ππ ) ππ‘ ππ = π(π β 70) ππ‘ 40
3 ππ β« = β« π ππ‘ 35 (π β 21) 0
6 ππ | | = 3π 7 π=
6 ππ |7| 3
Reemplazar el valor de k en (1) π
20 ππ = π β« ππ‘ 35 π β 70 0
β«
6 ππ |7| 20 ππ β« = β« ππ‘ 3 0 35 π β 70 π
6 ππ |7| π β 70 ππ | (20) |= β35 3 π
ππ|
πβ70 | β35
=π
6 20 ππ| | 7 3
20 6 π β 70 =π3 ( ) β35 7 20 6 π β 70 = β35π 3 ( ) 7
(1)
20 6 π = β35π 3 ( ) + 70 7
π = 57.47Β°πΉ Respuesta La temperatura de la cerveza una vez pasado los 20 minutos serΓ‘ de 57.47Β°πΉ 3.- Un vino blanco a la temperatura ambiental de 70Β°πΉ, se enfrΓa en hielo (32Β°πΆ). Si se necesitan 15 minutos para que el vino se enfriΓ© hasta 60Β°πΉ , ΒΏCuΓ‘nto tiempo se necesita para que el vino llegue a los 56Β°πΉ? Datos ππ = 70Β°πΉ ππ = 60Β°πΉ ππ = 32Β°πΉ π‘ = 15 πππ Pregunta a) π‘ = ? ππ = 56Β°πΉ DESARROLLO Ley de enfriamiento de Newton ππ = π(π β ππ ) ππ‘ ππ = π(π β 32) ππ‘ 60
β« 70
15 ππ = π β« π ππ‘ (π β 32) 0
ππ |
28 | = 15π 38
π=
28 ππ |38| 15
Reemplazar el valor de k en (1) 56
β« 70
π‘ ππ = π β« ππ‘ π β 32 0
28 ππ |38| 24 ππ | | = π‘ 38 15 π‘ = 22. 57 πππ Respuesta
(1)
Para que el vino tenga una temperatura de 56Β°πΉ deben pasar aproximadamente 22. 57 minutos 4.- Un vino tinto se saca de la cava, donde estaba a 10Β°πΆ y se deja respirar en un cuarto con temperatura de 23Β°πΆ. Si se necesitan 10 minutos para que el vino llegue a los 15Β°πΆ, ΒΏen quΓ© momento llegara la temperatura del vino a los 18Β°πΆ? Datos ππ = 10Β°πΆ ππ = 15Β°πΆ π‘ = 10 πππ ππ = 23Β°πΆ Pregunta a) π‘ = ? ππ2 = 18Β°πΆ DESARROLLO Ley de enfriamiento de Newton ππ = π(π β ππ ) ππ‘ 15
β« 10
(1)
10 ππ = β« π ππ‘ (π β 23) 0
ππ |
8 | = 10π 13
π=
8 ππ |13| 10
Reemplazar el valor de k en (1) 18
β« 0
π‘ ππ = π β« ππ‘ π β 23 0
8 ππ |13| π‘ ππ β« = β« ππ‘ 10 0 0 π β 23 18
8 ππ |13| 5 ππ | | = π‘ 3 10 π‘ = 19.68 πππ Respuesta a) Den pasar 19.68 minutos para que el vino tenga 18Β°πΆ 5.- Era el medio dia en un frio dia de diciembre en Tampa: 16Β°πΆ. El detective Taylor llego a la escena del crimen para hallar al sargento sobre el cadaver. El sargento dijo que habia varios
sospechosos. Si supieran el momento exacto de la muerte, podrin reducir la lista de sospechosos. El detective Taylor saco un termometro y idio l temeperatura del cuerpo : 34.5Β°πΆ. Luego salio a comer. Al regresar, a la 1: 00 P.M. Hallo que la temperatura del cuerpo era de 33.7Β°πΆ. ΒΏEn que momento ocurrio el asesinato ? [Sugerencia: La temperatura normal del cuerpo es de 33.7Β°πΆ]
6.- En una fresca maΓ±ana de sabado, mientras las personas trabajaban en el interior, el calefactor mantiene la temperatura interior del edificio en 21Β°πΆ. A medio dia, el aparato se apagay los empleados se vana a casa. La temperatura exterior es constante e igual a 12Β°πΆ, duranrte el resto de la tarde. Si la constante de tiempo pr el edificio es de 3 horas. ΒΏEn que momento llegara la temperatura del edificio a las 16Β°πΆ? Si algunas ventanas se dejan abiertas y la constante de tiempo se reduce a 2 horas. ΒΏEn que momento llegara la temperatura interior a los 16Β°πΆ? DATOS π = 21Β°πΆ π(π‘) = 12Β°πΆ 1 =3 π π»(π‘) = π(π‘) = 0 Pregunta a) π‘ = ? ππ2 = 16Β°πΆ 1
b) π = 2Β°πΆ π‘ =? π = 16 Β°πΆ DESARROLLO Ley de enfriamiento de Newton ππ = π(π β ππ) ππ‘ ππ = π(12 β ππ) ππ‘ ππ + πππ = 12π ππ‘ π ππ‘ ππ (π‘) = β« π ππ‘ (12π)ππ‘
ππ (π‘) = 12 + πΆπ βππ‘
(1)
En condiciones iniciales π‘ = 0 ππ (π‘) = 21Β°πΆ 21 = 12 + πΆπ βπ(0) πΆ=9
(2)
(2) ππ (1) ππ (π‘) = 12 + 9π βππ‘ 1
a) ππ (π‘) =16
π=3 1
16 = 12 + 9π β3π‘ 1
4 = 9π β3π‘ π‘ = 2.43 βππππ 1
b) ππ (π‘) =16
π=2 1
16 = 12 + 9π β2π‘ 1
4 = 9π β2π‘ π‘ = 1.62 βππππ Respuesta a) Para que el edificio tenga una temperatura interna de 16Β°πΆ con una constante de tiempo de 3 horas deben pasar aproximadamente 2.43 βππππ b) Para que el edificio tenga una temperatura interna de 16Β°πΆ, con una constante de tiempo de 2 horas deben pasar aproximadamente 1.62 βππππ 7.- En una calurosa maΓ±ana de sabado, cuando las personas trabajan dentro del edificio, el aire acondicionado mantiene la temepratura interior en 24Β°πΆ. A medio dia, el aire acondicionado se apaga y las personas se vana a casa. La temepratura exterior es constante e igual a 35Β°πΆ durante el resto de la tarde. Si la cosntante de tiempo del edificio es de 4horas, ΒΏCuΓ‘l sera la temperatura dentro del edificio a las 2:00 P.M? ΒΏY a las 6:00 P.M? ΒΏEn que momento llegara la teperatura interior del edificio a 27Β°πΆ? DATOS ππ = 24Β°πΆ π = 35Β°πΆ π»(π‘) = π(π‘) = 0 Pregunta a) ππ (π‘) = ? π‘ = 2: 00 π. π
b) ππ (π‘) = ? π‘ = 6: 00 π. π c) π‘ = ? ππ (π‘) = 27Β°πΆ DESARROLLO Ley de enfriamiento de Newton ππ = π(π β ππ) ππ‘ ππ = π(35 β ππ) ππ‘ ππ + πππ = 35π ππ‘ π ππ‘ ππ (π‘) = β« π ππ‘ (35π)ππ‘ ππ (π‘) = 35 + πΆπ βππ‘
(1)
En condiciones iniciales π‘ = 0 ππ (π‘) = 24Β°πΆ 24 = 35 + πΆπ βπ(0) πΆ = β11
(2)
(2) ππ (1) ππ (π‘) = 35 β 11π βππ‘
(3)
La constante del edificio es 1 =4 π π=
1 4
(4)
(4) ππ (3) 1
ππ (π‘) = 35 β 11π β4π‘
a) ππ (π‘) = ? π‘ = 2: 00 π. π 1
ππ (2) = 35 β 11π β4(2) ππ (2) = 28.32Β°πΆ
b) ππ (π‘) = ? π‘ = 6: 00 π. π
1
ππ (6) = 35 β 11π β4(6) ππ (6) = 32.54Β°πΆ c) π‘ = ? ππ (π‘) = 27Β°πΆ 1
27 = 35 β 11π β4π‘ 1
β8 = β11π β4π‘ π‘ = 1.27 π πππ’ππππ Respuestas a) Para las 2:00 P.M la temperatura del edificio es de 28.32 Β°πΆ b) Para las 6:00 P.M la temperatura del edificio es de 32.54Β°πΆ c) En un tiempo de 1.27 segundos la temperatura del edificion es de 27Β°πΆ 8.- Una cochera sin calefaccion ni aire acondicionado tiene una cosntante e tiempo de 2 horas. Si la temperatura exterior varia como una onda senoidal con un minimo de 50Β°πΉ a las 2.00 A.M y un maximo de 80Β°πΉ a las 2:00 P.M. Determine los instantes en que el edificio alcanza su temperatura maxima y minim, suponiendo que el termino exponencial se extingue DATOS π=
1 2
ππππ = 50Β°πΉ ππππ₯ = 80Β°πΉ π»(π‘) = π(π‘) = 0 π€=
π 12
PREGUNTA a) π‘ =? ππππ₯ = 80Β°πΉ b) π‘ = ? ππππ = 50Β°πΉ DESARROLLO Ley de enfriamiento de Newton ππ = π(π β ππ ) ππ‘
(1)
π(π‘) = ππ β π΅πππ (π€π‘)
(2)
ππ =
ππππ₯ β ππππ 2
ππ =
80 + 50 2
ππ = 65Β°πΉ
(3)
(3) ππ (2) 80 = 65 β π΅πππ (π€π‘) Para un π‘ = 0 80 = 65 β π΅πππ (0) π΅ = β15 β΄ π π(π‘) = 65 β 15πππ ( π‘) 12 (4) ππ (1) ππ π = π (65 β 15πππ ( π‘) β ππ ) ππ‘ 12 ππ π + πππ = π (65 β 15πππ ( π‘)) ππ‘ 12 π’(π‘) = π π β« ππ‘ π’(π‘) = π ππ‘ π π ππ‘ π(π‘) = β« π ππ‘ (65 β 15πππ ( π‘)) ππ‘ 12 π‘ π‘ π π 2 π(π‘) = β« π 2 (65 β 15πππ ( π‘)) ππ‘ 12 π‘ π‘ π‘ ππ‘ π(π‘) = π β2 [ 65 β« π 2 ππ‘ β 15 β« π 2 cos ( ) ππ‘] π 12
π(π‘) = π
β
π‘ 2
π‘ [ 130π 2
π(π‘) = 65 β
β
π‘ ππ‘ 180π 2 (ππ ππ (12)
π 2 + 36
π‘ ππ‘ + 6 cos ( ) + πΆπ β2 12
540 ππ‘ 90 ππ‘ πππ ( ) β π ππ ( ) 2 2 360 + π 12 360 + π 12 π(π‘) = 0 ππ [0,24]
540 ππ‘ 90 ππ‘ π ππ ( ) β cos ( )=0 360 + π 2 12 360 + π 2 12 ππ‘ π tan ( ) = 12 6 π‘πππ =
12 π arctan ( ) π 6
π‘πππ = 1.84 βππππ
(4)
π‘πππ₯ = π‘πππ + 12 = 13.84 βππππ Respuestas a) El edificio tendra una temperatura de 80Β°πΉ a las 3: 50 π. π b) El edificio tendra una temperatura de 50Β°πΉ a las 3: 50. π΄. π 9.- Se va a construir un almacΓ©n sin calefacciΓ³n ni aire acondicionado. SegΓΊn la calidad del aislamiento, la constante de tiempo para este edificio puede variar de 1 a 5 horas. Para ilustrar el efecto del aislamiento sobre la temperatura dentro del almacΓ©n, suponga que la temperatura exterior varia como una onda senoidal, con un mΓnimo de 16Β°πΆ a las 2:00 A.M y un mΓ‘ximo de 32Β°πΆ a las 2:00 P.M. Suponiendo que el termino exponencial (que implica la temperatura inicial ππ ) se ha extinguido, ΒΏCuΓ‘l es la temperatura mΓnima dentro del edificio, si la constante de tiempo es de 1hora? ΒΏY si la constante de tiempo es de 5 horas? ΒΏCuΓ‘l es la mΓ‘xima temperatura dentro del edificio si la constante e tiempo es de 1 hora? ΒΏY si es 5 horas? DATOS 1β€π < π€=
1 5
π 12
ππππ = 16Β°πΆ π‘ = 2: 00 π΄. π ππππ₯ = 32Β°πΆ π‘ = 2: 00 π. π PREGUNTA a) ππππ = ? π=1 b) ππππ = ? 1
π=5 c) ππππ₯ = ? π=1 d) ππππ₯ = ? 1
π=5 DESARROLLO Ley de enfriamiento de Newton Ley de enfriamiento de Newton ππ = π(π β ππ ) ππ‘
(1)
π(π‘) = ππ β π΅πππ (π€π‘)
(2)
ππ =
ππππ₯ β ππππ 2
ππ =
32 + 16 2
ππ = 24Β°πΆ
(3)
(3) ππ (2) π(π‘) = 24 β π΅πππ (π€π‘) En condiciones iniciales π(π‘) = 16 π‘ = 0 16 = 24 β π΅πππ (0) π΅=8 β΄ π π(π‘) = 24 + 8πππ ( π‘) 12 π(π‘) = 24 β 8πΉ(π‘)
(4)
Donde π€ cos(π€π‘) + ( ) π ππ(π€π‘) π πΉ(π‘) = π€ 2 1+( ) π
1
π€ 2 β2 πΉ(π‘) = [1 + ( ) ] cos(π€π‘ β πΌ) π Donde πΌ=
π€ π
(5) ππ (4) 1
π€ 2 β2 π(π‘) = 24 β 8 [1 + ( ) ] cos(π€π‘ β πΌ) π Con ππππ§ cos(π€π‘ β πΌ) = β1 1
π€ 2 β2 π(π‘) = 24 β 8 [1 + ( ) ] (β1) π Con ππππ cos(π€π‘ β πΌ) = 1 1
π€ 2 β2 π(π‘) = 24 β 8 [1 + ( ) ] (1) π
(5)
a) ππππ = ? π = 1 1
π(π‘)πππ
π 2 β2 = 24 β 8 [1 + ( ) ] (1) 12 π(π‘)πππ = 16.3Β°πΆ b) ππππ = ? π =
1 5 β
π(π‘)πππ
5π 2 = 24 β 8 [1 + ( ) ] 12
1 2
π(π‘)πππ = 19.1 Β°πΆ c) ππππ₯ = ? π = 1 1
π(π‘)πππ₯
π 2 β2 = 24 β 8 [1 + ( ) ] (β1) 12 π(π‘)πππ₯ = 31.7Β°πΆ 1
d) ππππ₯ = ? n π = 5 1
π(π‘)πππ₯
π 2 β2 = 24 β 8 [1 + ( ) ] (β1) 12 π(π‘)πππ₯ 28.9Β°πΆ
10.- Un lunes temprano por la maΓ±ana, la temperatura en la sala de lectura ha descendido hasta los 40Β°πΉ, igual a la temperatura exterior. A las 7:00 A.M, el conserje enciende el calefactor con el termostato puesto en 70Β°πΉ. La constante de tiempo para el edificio es de
1 πΎ
= 2 horas y la
constante de tiempo para el edificio junto con su sistema de calentamiento es
1 πΎ1
1
= 2 hora.
Suponiendo que la temperatura exterior permanece constante. ΒΏCuΓ‘l serΓ‘ la temperatura dentro de la sala de lectura las 8:00 A.M? ΒΏEn quΓ© momento llegara la temperatura dentro de la sala a 65Β°πΉ?
11.- Durante el verano, la temperatura dentro de una camioneta llega a los 55Β°πΆ, mientras que en el exterior es constante e igual a 35Β°πΆ. Cuando la conductora entra a la camioneta, enciende el aire acondicionado con el termostato en 16Β°πΆ. Si la constante de tiempo para la camioneta es de 1 πΎ
1
1
= 2 horas y para la camioneta con el aire acondicionado es de πΎ = 3 hora. ΒΏEn quΓ© momento 1
llegara la temperatura dentro de la camioneta a los 27Β°πΆ ?
12.- Dos amigos se sientan a platicar y disfrutar una taza de cafΓ©. Al servir el cafΓ©, el amigo impaciente agrega de inmediato una cuchara de crema a su cafΓ©. El amigo relajado espera 5 minutos antes de aΓ±adir una cucharada de crema (que se ha mantenido a temperatura constante).
Es entonces cuando ambos comienzan a tomar el cafΓ©. ΒΏQuiΓ©n tiene el cafΓ© mΓ‘s caliente? Suponga que la crema estΓ‘ mΓ‘s frΓa que el aire y use la ley de enfriamiento de Newton.
13.- Un sistema de calentamiento de agua mediante energΓa solar consta de un tanque de agua caliente y un panel solar. El tanque estΓ‘ bien aislado y tiene una constante de tiempo de 64 horas. El panel solar genera 2000
π΅π‘π’ βπππ
durante el dΓa y el tanque tiene una capacidad calΓ³rica de 2πΉ por
mil π΅π‘π. Si el agua en el tanque esta inicialmente a 110Β°πΉ y la temperatura del cuarto donde estΓ‘ el tanque es de 80Β°πΉ. ΒΏCuΓ‘l serΓ‘ la temperatura en el tanque despuΓ©s de 12 horas de luz solar?
14.- En el problema 13 se usa ahora un tanque mΓ‘s grande con una capacidad calΓ³rica de 1Β°πΉ por mil π΅π‘π y una constante de tiempo de 72 horas (con los demΓ‘s factores idΓ©nticos) ΒΏCuΓ‘l serΓ‘ la temperatura en el tanque despuΓ©s de 12 horas?
15.- La ley de Stefan para la radiaciΓ³n establece que la razΓ³n de cambio de la temperatura de un cuerpo a T grados Kelvin es un medio que estΓ‘ a M grados Kelvin es proporcional a π4 β π 4 . Es decir ππ = π(π4 β π 4 ) ππ‘ Donde k es una constante positiva. Resuelva esta ecuaciΓ³n mediante separaciΓ³n de variables. Explique por quΓ© las leyes de Newton y Stefan son casi iguales cuanto T se acerca a M y M es constante. Sugerencia: Factor ice π4 β π 4 16.- Muestre que πΆ1 cos(π€π‘) + πΆ2 π ππ(π€π‘) se puede escribir en la forma π΄πππ (π€π‘ β π), donde πΆ
π΄ = βπΆ1 2 + πΆ2 2 y π‘πππ = πΆ2. [Sugerencia. Use una identidad trigonomΓ©trica comΓΊn con πΆ1 = 1
π΄πππ π, πΆ2 = π΄π πππ]. Use para verificar la representaciΓ³n alternativa de (8) de πΉ(π‘) analizada en el ejemplo 2 CIRCUITOS ELΓCTRICOS
1.- Un circuito RL con una resistencia de 5Ξ© y un inductor de 0.05π» tiene una corriente de 1 π΄ en π‘ = 0, cuando se aplica una fuente de voltaje πΈ(π‘) = 5cos(120π‘). Determine la corriente y el voltaje subsecuentes en el inductor. 2.- Un circuito RC con una resistencia de 1Ξ© y un condensador de 0.00001πΉ, tiene un voltaje πΈ(π‘) = π ππ(100π‘). Si el voltaje inicial en el condensador es nulo, determine el voltaje en la resistencia, el voltaje en el inductor y la corriente subsecuentes. 3.- La trayectoria de una seΓ±al elΓ©ctrica binaria entre compuertas en un circuito integrado se puede modelar como un circuito RC. La fuente de voltaje modela la compuerta de recepciΓ³n. Por lo
general, la resistencia es de 100Ξ© y la capacitancia es muy pequeΓ±a, digamos 10β12 πΉ(1 picofaradio, ππΉ). Si el condensador no tiene carga inicialmente y la compuerta de transmisiΓ³n cambia de manera instantΓ‘nea de 0 π 5 π. ΒΏCuΓ‘nto tiempo tardara el voltaje en la compuerta de recepciΓ³n en alcanzar (digamos) 3V? (Este es el tiempo necesario para transmitir un Β¨1Β¨ lΓ³gico). 4.- Si la resistencia en el circuito RL de la figura 3.13(a) es igual a cero, muestre que la corriente πΌ(π‘) es directamente proporcional a la integral del voltaje aplicado a πΈ(π‘). De manera similar, muestre que si la resistencia en el circuito RC de la figura 3.13 (b) es cero, la corriente es directamente proporcional a la derivada del voltaje aplicado (En las aplicaciones a ingenierΓa, con frecuencia es necesario generar un voltaje en vez de una corriente que es la integral o derivada de otro voltaje. El proyecto D muestra cΓ³mo lograr esto con un amplificador operacional) 5.- La potencia generada o disipada por un elemento de un circuito es igual al voltaje a travΓ©s del elemento por la corriente que pasa por el elemento. Muestre que la potencia disipada por una 1
resistencia es igual a πΌ 2 π
, que la potencia asociada a un inductor es igual a la derivada de 2 πΏπΌ 2 y 1
que la potencia asociada a un condensador es igual a la derivada de (2) πΆπΈ 2 πΆ . 6.-Deduzca una ecuaciΓ³n de equilibrio de la potencia para los circuitos RL Y RC. (Ver problema 5). Analice el significado de los signos de los tres tΓ©rminos de potencia) 7.-Un electroimΓ‘n industrial se puede modelar como un circuito RL, cuando se energiza mediante una fuente de voltaje, Si la inductancia es de 10 π» y el embobinado contienen 3Ξ© de resistencia. ΒΏCuΓ‘nto tiempo tarda un voltaje constante aplicado en energizar el electroimΓ‘n hasta el 90% de su valor final es decir que la corriente sea igual al 90% de su valor asintΓ³tico? 8.-Un condensador de 10β8 πΉ (10 nanofaradios) se carga 50V y luego se desconecta. Se puede modelar la fuga de la carga del condensador con un circuito RC sin fuente de voltaje y la resistencia del aire entre las placas del condensador. En un dΓa frio y seco el brinco en la resistencia del aire es 5π₯1013 Ξ©. ΒΏCuΓ‘nto tiempo tardara el voltaje del condensador en disiparse hasta la mitad de su valor original en cada dΓa?