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Zitiervorschau

1.- Una taza de café caliente, inicialmente a 95°𝐶, se enfría hasta 80°𝐶 en 5 minuto, al estar en un cuarto con temperatura de 21°𝐶. Use solo la ley de enfriamiento de Newton y determine el momento en que la temperatura del café estará a unos agradables 50°𝐶. Datos 𝑇0 = 95°𝐶 𝑇𝑓 = 80°𝐶 𝑡 = 5 𝑚𝑖𝑛 𝑇𝑚 = 21°𝐶 Pregunta a) 𝑡 = ? 𝑇𝑓2 = 50 °𝐶 DESARROLLO Ley de enfriamiento de Newton 𝑑𝑇 = 𝑘(𝑇 − 𝑇𝑚 ) 𝑑𝑡 𝑑𝑇 = 𝑘(𝑇 − 21) 𝑑𝑡 80

∫ 95

5 𝑑𝑇 = ∫ 𝑘 𝑑𝑡 (𝑇 − 21) 0

𝑙𝑛 |

59 | = 5𝑘 74

𝑘=

59 𝑙𝑛 |74| 5

Reemplazar el valor de k en (1) 50

∫ 95

𝑡 𝑑𝑇 = 𝑘 ∫ 𝑑𝑡 𝑇 − 21 0

59 𝑙𝑛 |74| 𝑡 𝑑𝑇 ∫ = ∫ 𝑑𝑡 5 95 𝑇 − 21 0 50

59 𝑙𝑛 | | 29 74 𝑡 𝑙𝑛 | | = 74 5 𝑡 = 20.67 𝑚𝑖𝑛 Respuesta La temperatura del café estará a 50°𝐶, una vez que hayan pasado 20.67 minutos

(1)

2.- Una cerveza fría, inicialmente a 35°𝐹, se calienta hasta 40°𝐹 en 3 minutos, estando en un cuarto con temperatura 70°𝐹. ¿Qué tan caliente estará la cerveza si se deja ahí durante 20 minutos? Datos 𝑡𝑜 = 35°𝐹 𝑡𝑓 = 40°𝐹 𝑡 = 3 𝑚𝑖𝑛 𝑇𝑚 = 70°𝐹 Pregunta a) 𝑇𝑓 = ? 𝑡 = 20𝑚𝑖𝑛 DESARROLLO Ley de enfriamiento de Newton 𝑑𝑇 = 𝑘(𝑇 − 𝑇𝑚 ) 𝑑𝑡 𝑑𝑇 = 𝑘(𝑇 − 70) 𝑑𝑡 40

3 𝑑𝑇 ∫ = ∫ 𝑘 𝑑𝑡 35 (𝑇 − 21) 0

6 𝑙𝑛 | | = 3𝑘 7 𝑘=

6 𝑙𝑛 |7| 3

Reemplazar el valor de k en (1) 𝑇

20 𝑑𝑇 = 𝑘 ∫ 𝑑𝑡 35 𝑇 − 70 0

∫

6 𝑙𝑛 |7| 20 𝑑𝑇 ∫ = ∫ 𝑑𝑡 3 0 35 𝑇 − 70 𝑇

6 𝑙𝑛 |7| 𝑇 − 70 𝑙𝑛 | (20) |= −35 3 𝑒

𝑙𝑛|

𝑇−70 | −35

=𝑒

6 20 𝑙𝑛| | 7 3

20 6 𝑇 − 70 =𝑒3 ( ) −35 7 20 6 𝑇 − 70 = −35𝑒 3 ( ) 7

(1)

20 6 𝑇 = −35𝑒 3 ( ) + 70 7

𝑇 = 57.47°𝐹 Respuesta La temperatura de la cerveza una vez pasado los 20 minutos será de 57.47°𝐹 3.- Un vino blanco a la temperatura ambiental de 70°𝐹, se enfría en hielo (32°𝐶). Si se necesitan 15 minutos para que el vino se enfrié hasta 60°𝐹 , ¿Cuánto tiempo se necesita para que el vino llegue a los 56°𝐹? Datos 𝑇𝑜 = 70°𝐹 𝑇𝑓 = 60°𝐹 𝑇𝑚 = 32°𝐹 𝑡 = 15 𝑚𝑖𝑛 Pregunta a) 𝑡 = ? 𝑇𝑓 = 56°𝐹 DESARROLLO Ley de enfriamiento de Newton 𝑑𝑇 = 𝑘(𝑇 − 𝑇𝑚 ) 𝑑𝑡 𝑑𝑇 = 𝑘(𝑇 − 32) 𝑑𝑡 60

∫ 70

15 𝑑𝑇 = 𝑘 ∫ 𝑘 𝑑𝑡 (𝑇 − 32) 0

𝑙𝑛 |

28 | = 15𝑘 38

𝑘=

28 𝑙𝑛 |38| 15

Reemplazar el valor de k en (1) 56

∫ 70

𝑡 𝑑𝑇 = 𝑘 ∫ 𝑑𝑡 𝑇 − 32 0

28 𝑙𝑛 |38| 24 𝑙𝑛 | | = 𝑡 38 15 𝑡 = 22. 57 𝑚𝑖𝑛 Respuesta

(1)

Para que el vino tenga una temperatura de 56°𝐹 deben pasar aproximadamente 22. 57 minutos 4.- Un vino tinto se saca de la cava, donde estaba a 10°𝐶 y se deja respirar en un cuarto con temperatura de 23°𝐶. Si se necesitan 10 minutos para que el vino llegue a los 15°𝐶, ¿en qué momento llegara la temperatura del vino a los 18°𝐶? Datos 𝑇𝑜 = 10°𝐶 𝑇𝑓 = 15°𝐶 𝑡 = 10 𝑚𝑖𝑛 𝑇𝑚 = 23°𝐶 Pregunta a) 𝑡 = ? 𝑇𝑓2 = 18°𝐶 DESARROLLO Ley de enfriamiento de Newton 𝑑𝑇 = 𝑘(𝑇 − 𝑇𝑚 ) 𝑑𝑡 15

∫ 10

(1)

10 𝑑𝑇 = ∫ 𝑘 𝑑𝑡 (𝑇 − 23) 0

𝑙𝑛 |

8 | = 10𝑘 13

𝑘=

8 𝑙𝑛 |13| 10

Reemplazar el valor de k en (1) 18

∫ 0

𝑡 𝑑𝑇 = 𝑘 ∫ 𝑑𝑡 𝑇 − 23 0

8 𝑙𝑛 |13| 𝑡 𝑑𝑇 ∫ = ∫ 𝑑𝑡 10 0 0 𝑇 − 23 18

8 𝑙𝑛 |13| 5 𝑙𝑛 | | = 𝑡 3 10 𝑡 = 19.68 𝑚𝑖𝑛 Respuesta a) Den pasar 19.68 minutos para que el vino tenga 18°𝐶 5.- Era el medio dia en un frio dia de diciembre en Tampa: 16°𝐶. El detective Taylor llego a la escena del crimen para hallar al sargento sobre el cadaver. El sargento dijo que habia varios

sospechosos. Si supieran el momento exacto de la muerte, podrin reducir la lista de sospechosos. El detective Taylor saco un termometro y idio l temeperatura del cuerpo : 34.5°𝐶. Luego salio a comer. Al regresar, a la 1: 00 P.M. Hallo que la temperatura del cuerpo era de 33.7°𝐶. ¿En que momento ocurrio el asesinato ? [Sugerencia: La temperatura normal del cuerpo es de 33.7°𝐶]

6.- En una fresca mañana de sabado, mientras las personas trabajaban en el interior, el calefactor mantiene la temperatura interior del edificio en 21°𝐶. A medio dia, el aparato se apagay los empleados se vana a casa. La temperatura exterior es constante e igual a 12°𝐶, duranrte el resto de la tarde. Si la constante de tiempo pr el edificio es de 3 horas. ¿En que momento llegara la temperatura del edificio a las 16°𝐶? Si algunas ventanas se dejan abiertas y la constante de tiempo se reduce a 2 horas. ¿En que momento llegara la temperatura interior a los 16°𝐶? DATOS 𝑇 = 21°𝐶 𝑀(𝑡) = 12°𝐶 1 =3 𝑘 𝐻(𝑡) = 𝑈(𝑡) = 0 Pregunta a) 𝑡 = ? 𝑇𝑓2 = 16°𝐶 1

b) 𝑘 = 2°𝐶 𝑡 =? 𝑇 = 16 °𝐶 DESARROLLO Ley de enfriamiento de Newton 𝑑𝑇 = 𝑘(𝑇 − 𝑇𝑚) 𝑑𝑡 𝑑𝑇 = 𝑘(12 − 𝑇𝑚) 𝑑𝑡 𝑑𝑇 + 𝑘𝑇𝑚 = 12𝑘 𝑑𝑡 𝑒 𝑘𝑡 𝑇𝑚 (𝑡) = ∫ 𝑒 𝑘𝑡 (12𝑘)𝑑𝑡

𝑇𝑚 (𝑡) = 12 + 𝐶𝑒 −𝑘𝑡

(1)

En condiciones iniciales 𝑡 = 0 𝑇𝑚 (𝑡) = 21°𝐶 21 = 12 + 𝐶𝑒 −𝑘(0) 𝐶=9

(2)

(2) 𝑒𝑛 (1) 𝑇𝑚 (𝑡) = 12 + 9𝑒 −𝑘𝑡 1

a) 𝑇𝑚 (𝑡) =16

𝑘=3 1

16 = 12 + 9𝑒 −3𝑡 1

4 = 9𝑒 −3𝑡 𝑡 = 2.43 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 1

b) 𝑇𝑚 (𝑡) =16

𝑘=2 1

16 = 12 + 9𝑒 −2𝑡 1

4 = 9𝑒 −2𝑡 𝑡 = 1.62 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 Respuesta a) Para que el edificio tenga una temperatura interna de 16°𝐶 con una constante de tiempo de 3 horas deben pasar aproximadamente 2.43 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 b) Para que el edificio tenga una temperatura interna de 16°𝐶, con una constante de tiempo de 2 horas deben pasar aproximadamente 1.62 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 7.- En una calurosa mañana de sabado, cuando las personas trabajan dentro del edificio, el aire acondicionado mantiene la temepratura interior en 24°𝐶. A medio dia, el aire acondicionado se apaga y las personas se vana a casa. La temepratura exterior es constante e igual a 35°𝐶 durante el resto de la tarde. Si la cosntante de tiempo del edificio es de 4horas, ¿Cuál sera la temperatura dentro del edificio a las 2:00 P.M? ¿Y a las 6:00 P.M? ¿En que momento llegara la teperatura interior del edificio a 27°𝐶? DATOS 𝑇𝑚 = 24°𝐶 𝑇 = 35°𝐶 𝐻(𝑡) = 𝑈(𝑡) = 0 Pregunta a) 𝑇𝑚 (𝑡) = ? 𝑡 = 2: 00 𝑃. 𝑀

b) 𝑇𝑚 (𝑡) = ? 𝑡 = 6: 00 𝑃. 𝑀 c) 𝑡 = ? 𝑇𝑚 (𝑡) = 27°𝐶 DESARROLLO Ley de enfriamiento de Newton 𝑑𝑇 = 𝑘(𝑇 − 𝑇𝑚) 𝑑𝑡 𝑑𝑇 = 𝑘(35 − 𝑇𝑚) 𝑑𝑡 𝑑𝑇 + 𝑘𝑇𝑚 = 35𝑘 𝑑𝑡 𝑒 𝑘𝑡 𝑇𝑚 (𝑡) = ∫ 𝑒 𝑘𝑡 (35𝑘)𝑑𝑡 𝑇𝑚 (𝑡) = 35 + 𝐶𝑒 −𝑘𝑡

(1)

En condiciones iniciales 𝑡 = 0 𝑇𝑚 (𝑡) = 24°𝐶 24 = 35 + 𝐶𝑒 −𝑘(0) 𝐶 = −11

(2)

(2) 𝑒𝑛 (1) 𝑇𝑚 (𝑡) = 35 − 11𝑒 −𝑘𝑡

(3)

La constante del edificio es 1 =4 𝑘 𝑘=

1 4

(4)

(4) 𝑒𝑛 (3) 1

𝑇𝑚 (𝑡) = 35 − 11𝑒 −4𝑡

a) 𝑇𝑚 (𝑡) = ? 𝑡 = 2: 00 𝑃. 𝑀 1

𝑇𝑚 (2) = 35 − 11𝑒 −4(2) 𝑇𝑚 (2) = 28.32°𝐶

b) 𝑇𝑚 (𝑡) = ? 𝑡 = 6: 00 𝑃. 𝑀

1

𝑇𝑚 (6) = 35 − 11𝑒 −4(6) 𝑇𝑚 (6) = 32.54°𝐶 c) 𝑡 = ? 𝑇𝑚 (𝑡) = 27°𝐶 1

27 = 35 − 11𝑒 −4𝑡 1

−8 = −11𝑒 −4𝑡 𝑡 = 1.27 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠 Respuestas a) Para las 2:00 P.M la temperatura del edificio es de 28.32 °𝐶 b) Para las 6:00 P.M la temperatura del edificio es de 32.54°𝐶 c) En un tiempo de 1.27 segundos la temperatura del edificion es de 27°𝐶 8.- Una cochera sin calefaccion ni aire acondicionado tiene una cosntante e tiempo de 2 horas. Si la temperatura exterior varia como una onda senoidal con un minimo de 50°𝐹 a las 2.00 A.M y un maximo de 80°𝐹 a las 2:00 P.M. Determine los instantes en que el edificio alcanza su temperatura maxima y minim, suponiendo que el termino exponencial se extingue DATOS 𝑘=

1 2

𝑇𝑚𝑖𝑛 = 50°𝐹 𝑇𝑚𝑎𝑥 = 80°𝐹 𝐻(𝑡) = 𝑈(𝑡) = 0 𝑤=

𝜋 12

PREGUNTA a) 𝑡 =? 𝑇𝑚𝑎𝑥 = 80°𝐹 b) 𝑡 = ? 𝑇𝑚𝑖𝑛 = 50°𝐹 DESARROLLO Ley de enfriamiento de Newton 𝑑𝑇 = 𝑘(𝑇 − 𝑇𝑚 ) 𝑑𝑡

(1)

𝑇(𝑡) = 𝑇𝑂 − 𝐵𝑐𝑜𝑠(𝑤𝑡)

(2)

𝑇𝑂 =

𝑇𝑚𝑎𝑥 − 𝑇𝑚𝑖𝑛 2

𝑇𝑂 =

80 + 50 2

𝑇𝑂 = 65°𝐹

(3)

(3) 𝑒𝑛 (2) 80 = 65 − 𝐵𝑐𝑜𝑠(𝑤𝑡) Para un 𝑡 = 0 80 = 65 − 𝐵𝑐𝑜𝑠(0) 𝐵 = −15 ∴ 𝜋 𝑇(𝑡) = 65 − 15𝑐𝑜𝑠 ( 𝑡) 12 (4) 𝑒𝑛 (1) 𝑑𝑇 𝜋 = 𝑘 (65 − 15𝑐𝑜𝑠 ( 𝑡) − 𝑇𝑚 ) 𝑑𝑡 12 𝑑𝑇 𝜋 + 𝑘𝑇𝑚 = 𝑘 (65 − 15𝑐𝑜𝑠 ( 𝑡)) 𝑑𝑡 12 𝑢(𝑡) = 𝑒 𝑘 ∫ 𝑑𝑡 𝑢(𝑡) = 𝑒 𝑘𝑡 𝜋 𝑒 𝑘𝑡 𝑇(𝑡) = ∫ 𝑒 𝑘𝑡 (65 − 15𝑐𝑜𝑠 ( 𝑡)) 𝑑𝑡 12 𝑡 𝑡 𝜋 𝑒 2 𝑇(𝑡) = ∫ 𝑒 2 (65 − 15𝑐𝑜𝑠 ( 𝑡)) 𝑑𝑡 12 𝑡 𝑡 𝑡 𝜋𝑡 𝑇(𝑡) = 𝑒 −2 [ 65 ∫ 𝑒 2 𝑑𝑡 − 15 ∫ 𝑒 2 cos ( ) 𝑑𝑡] 𝑛 12

𝑇(𝑡) = 𝑒

−

𝑡 2

𝑡 [ 130𝑒 2

𝑇(𝑡) = 65 −

−

𝑡 𝜋𝑡 180𝑒 2 (𝜋𝑠𝑒𝑛 (12)

𝜋 2 + 36

𝑡 𝜋𝑡 + 6 cos ( ) + 𝐶𝑒 −2 12

540 𝜋𝑡 90 𝜋𝑡 𝑐𝑜𝑠 ( ) − 𝑠𝑒𝑛 ( ) 2 2 360 + 𝜋 12 360 + 𝜋 12 𝑇(𝑡) = 0 𝑒𝑛 [0,24]

540 𝜋𝑡 90 𝜋𝑡 𝑠𝑒𝑛 ( ) − cos ( )=0 360 + 𝜋 2 12 360 + 𝜋 2 12 𝜋𝑡 𝜋 tan ( ) = 12 6 𝑡𝑚𝑖𝑛 =

12 𝜋 arctan ( ) 𝜋 6

𝑡𝑚𝑖𝑛 = 1.84 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠

(4)

𝑡𝑚𝑎𝑥 = 𝑡𝑚𝑖𝑛 + 12 = 13.84 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 Respuestas a) El edificio tendra una temperatura de 80°𝐹 a las 3: 50 𝑃. 𝑀 b) El edificio tendra una temperatura de 50°𝐹 a las 3: 50. 𝐴. 𝑀 9.- Se va a construir un almacén sin calefacción ni aire acondicionado. Según la calidad del aislamiento, la constante de tiempo para este edificio puede variar de 1 a 5 horas. Para ilustrar el efecto del aislamiento sobre la temperatura dentro del almacén, suponga que la temperatura exterior varia como una onda senoidal, con un mínimo de 16°𝐶 a las 2:00 A.M y un máximo de 32°𝐶 a las 2:00 P.M. Suponiendo que el termino exponencial (que implica la temperatura inicial 𝑇𝑜 ) se ha extinguido, ¿Cuál es la temperatura mínima dentro del edificio, si la constante de tiempo es de 1hora? ¿Y si la constante de tiempo es de 5 horas? ¿Cuál es la máxima temperatura dentro del edificio si la constante e tiempo es de 1 hora? ¿Y si es 5 horas? DATOS 1≤𝑘 < 𝑤=

1 5

𝜋 12

𝑇𝑚𝑖𝑛 = 16°𝐶 𝑡 = 2: 00 𝐴. 𝑀 𝑇𝑚𝑎𝑥 = 32°𝐶 𝑡 = 2: 00 𝑃. 𝑀 PREGUNTA a) 𝑇𝑚𝑖𝑛 = ? 𝑘=1 b) 𝑇𝑚𝑖𝑛 = ? 1

𝑘=5 c) 𝑇𝑚𝑎𝑥 = ? 𝑘=1 d) 𝑇𝑚𝑎𝑥 = ? 1

𝑘=5 DESARROLLO Ley de enfriamiento de Newton Ley de enfriamiento de Newton 𝑑𝑇 = 𝑘(𝑇 − 𝑇𝑚 ) 𝑑𝑡

(1)

𝑇(𝑡) = 𝑇𝑂 − 𝐵𝑐𝑜𝑠(𝑤𝑡)

(2)

𝑇𝑂 =

𝑇𝑚𝑎𝑥 − 𝑇𝑚𝑖𝑛 2

𝑇𝑂 =

32 + 16 2

𝑇𝑂 = 24°𝐶

(3)

(3) 𝑒𝑛 (2) 𝑇(𝑡) = 24 − 𝐵𝑐𝑜𝑠(𝑤𝑡) En condiciones iniciales 𝑇(𝑡) = 16 𝑡 = 0 16 = 24 − 𝐵𝑐𝑜𝑠(0) 𝐵=8 ∴ 𝜋 𝑇(𝑡) = 24 + 8𝑐𝑜𝑠 ( 𝑡) 12 𝑇(𝑡) = 24 − 8𝐹(𝑡)

(4)

Donde 𝑤 cos(𝑤𝑡) + ( ) 𝑠𝑒𝑛(𝑤𝑡) 𝑘 𝐹(𝑡) = 𝑤 2 1+( ) 𝑘

1

𝑤 2 −2 𝐹(𝑡) = [1 + ( ) ] cos(𝑤𝑡 − 𝛼) 𝑘 Donde 𝛼=

𝑤 𝑘

(5) 𝑒𝑛 (4) 1

𝑤 2 −2 𝑇(𝑡) = 24 − 8 [1 + ( ) ] cos(𝑤𝑡 − 𝛼) 𝑘 Con 𝑇𝑚𝑎𝑧 cos(𝑤𝑡 − 𝛼) = −1 1

𝑤 2 −2 𝑇(𝑡) = 24 − 8 [1 + ( ) ] (−1) 𝑘 Con 𝑇𝑚𝑖𝑛 cos(𝑤𝑡 − 𝛼) = 1 1

𝑤 2 −2 𝑇(𝑡) = 24 − 8 [1 + ( ) ] (1) 𝑘

(5)

a) 𝑇𝑚𝑖𝑛 = ? 𝑘 = 1 1

𝑇(𝑡)𝑚𝑖𝑛

𝜋 2 −2 = 24 − 8 [1 + ( ) ] (1) 12 𝑇(𝑡)𝑚𝑖𝑛 = 16.3°𝐶 b) 𝑇𝑚𝑖𝑛 = ? 𝑘 =

1 5 −

𝑇(𝑡)𝑚𝑖𝑛

5𝜋 2 = 24 − 8 [1 + ( ) ] 12

1 2

𝑇(𝑡)𝑚𝑖𝑛 = 19.1 °𝐶 c) 𝑇𝑚𝑎𝑥 = ? 𝑘 = 1 1

𝑇(𝑡)𝑚𝑎𝑥

𝜋 2 −2 = 24 − 8 [1 + ( ) ] (−1) 12 𝑇(𝑡)𝑚𝑎𝑥 = 31.7°𝐶 1

d) 𝑇𝑚𝑎𝑥 = ? n 𝑘 = 5 1

𝑇(𝑡)𝑚𝑎𝑥

𝜋 2 −2 = 24 − 8 [1 + ( ) ] (−1) 12 𝑇(𝑡)𝑚𝑎𝑥 28.9°𝐶

10.- Un lunes temprano por la mañana, la temperatura en la sala de lectura ha descendido hasta los 40°𝐹, igual a la temperatura exterior. A las 7:00 A.M, el conserje enciende el calefactor con el termostato puesto en 70°𝐹. La constante de tiempo para el edificio es de

1 𝐾

= 2 horas y la

constante de tiempo para el edificio junto con su sistema de calentamiento es

1 𝐾1

1

= 2 hora.

Suponiendo que la temperatura exterior permanece constante. ¿Cuál será la temperatura dentro de la sala de lectura las 8:00 A.M? ¿En qué momento llegara la temperatura dentro de la sala a 65°𝐹?

11.- Durante el verano, la temperatura dentro de una camioneta llega a los 55°𝐶, mientras que en el exterior es constante e igual a 35°𝐶. Cuando la conductora entra a la camioneta, enciende el aire acondicionado con el termostato en 16°𝐶. Si la constante de tiempo para la camioneta es de 1 𝐾

1

1

= 2 horas y para la camioneta con el aire acondicionado es de 𝐾 = 3 hora. ¿En qué momento 1

llegara la temperatura dentro de la camioneta a los 27°𝐶 ?

12.- Dos amigos se sientan a platicar y disfrutar una taza de café. Al servir el café, el amigo impaciente agrega de inmediato una cuchara de crema a su café. El amigo relajado espera 5 minutos antes de añadir una cucharada de crema (que se ha mantenido a temperatura constante).

Es entonces cuando ambos comienzan a tomar el café. ¿Quién tiene el café más caliente? Suponga que la crema está más fría que el aire y use la ley de enfriamiento de Newton.

13.- Un sistema de calentamiento de agua mediante energía solar consta de un tanque de agua caliente y un panel solar. El tanque está bien aislado y tiene una constante de tiempo de 64 horas. El panel solar genera 2000

𝐵𝑡𝑢 ℎ𝑜𝑟𝑎

durante el día y el tanque tiene una capacidad calórica de 2𝐹 por

mil 𝐵𝑡𝑚. Si el agua en el tanque esta inicialmente a 110°𝐹 y la temperatura del cuarto donde está el tanque es de 80°𝐹. ¿Cuál será la temperatura en el tanque después de 12 horas de luz solar?

14.- En el problema 13 se usa ahora un tanque más grande con una capacidad calórica de 1°𝐹 por mil 𝐵𝑡𝑚 y una constante de tiempo de 72 horas (con los demás factores idénticos) ¿Cuál será la temperatura en el tanque después de 12 horas?

15.- La ley de Stefan para la radiación establece que la razón de cambio de la temperatura de un cuerpo a T grados Kelvin es un medio que está a M grados Kelvin es proporcional a 𝑀4 − 𝑇 4 . Es decir 𝑑𝑇 = 𝑘(𝑀4 − 𝑇 4 ) 𝑑𝑡 Donde k es una constante positiva. Resuelva esta ecuación mediante separación de variables. Explique por qué las leyes de Newton y Stefan son casi iguales cuanto T se acerca a M y M es constante. Sugerencia: Factor ice 𝑀4 − 𝑇 4 16.- Muestre que 𝐶1 cos(𝑤𝑡) + 𝐶2 𝑠𝑒𝑛(𝑤𝑡) se puede escribir en la forma 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝑤𝑡 − 𝜙), donde 𝐶

𝐴 = √𝐶1 2 + 𝐶2 2 y 𝑡𝑎𝑛𝜙 = 𝐶2. [Sugerencia. Use una identidad trigonométrica común con 𝐶1 = 1

𝐴𝑐𝑜𝑠𝜙, 𝐶2 = 𝐴𝑠𝑒𝑛𝜙]. Use para verificar la representación alternativa de (8) de 𝐹(𝑡) analizada en el ejemplo 2 CIRCUITOS ELÉCTRICOS

1.- Un circuito RL con una resistencia de 5Ω y un inductor de 0.05𝐻 tiene una corriente de 1 𝐴 en 𝑡 = 0, cuando se aplica una fuente de voltaje 𝐸(𝑡) = 5cos(120𝑡). Determine la corriente y el voltaje subsecuentes en el inductor. 2.- Un circuito RC con una resistencia de 1Ω y un condensador de 0.00001𝐹, tiene un voltaje 𝐸(𝑡) = 𝑠𝑒𝑛(100𝑡). Si el voltaje inicial en el condensador es nulo, determine el voltaje en la resistencia, el voltaje en el inductor y la corriente subsecuentes. 3.- La trayectoria de una señal eléctrica binaria entre compuertas en un circuito integrado se puede modelar como un circuito RC. La fuente de voltaje modela la compuerta de recepción. Por lo

general, la resistencia es de 100Ω y la capacitancia es muy pequeña, digamos 10−12 𝐹(1 picofaradio, 𝑝𝐹). Si el condensador no tiene carga inicialmente y la compuerta de transmisión cambia de manera instantánea de 0 𝑎 5 𝑉. ¿Cuánto tiempo tardara el voltaje en la compuerta de recepción en alcanzar (digamos) 3V? (Este es el tiempo necesario para transmitir un ¨1¨ lógico). 4.- Si la resistencia en el circuito RL de la figura 3.13(a) es igual a cero, muestre que la corriente 𝐼(𝑡) es directamente proporcional a la integral del voltaje aplicado a 𝐸(𝑡). De manera similar, muestre que si la resistencia en el circuito RC de la figura 3.13 (b) es cero, la corriente es directamente proporcional a la derivada del voltaje aplicado (En las aplicaciones a ingeniería, con frecuencia es necesario generar un voltaje en vez de una corriente que es la integral o derivada de otro voltaje. El proyecto D muestra cómo lograr esto con un amplificador operacional) 5.- La potencia generada o disipada por un elemento de un circuito es igual al voltaje a través del elemento por la corriente que pasa por el elemento. Muestre que la potencia disipada por una 1

resistencia es igual a 𝐼 2 𝑅, que la potencia asociada a un inductor es igual a la derivada de 2 𝐿𝐼 2 y 1

que la potencia asociada a un condensador es igual a la derivada de (2) 𝐶𝐸 2 𝐶 . 6.-Deduzca una ecuación de equilibrio de la potencia para los circuitos RL Y RC. (Ver problema 5). Analice el significado de los signos de los tres términos de potencia) 7.-Un electroimán industrial se puede modelar como un circuito RL, cuando se energiza mediante una fuente de voltaje, Si la inductancia es de 10 𝐻 y el embobinado contienen 3Ω de resistencia. ¿Cuánto tiempo tarda un voltaje constante aplicado en energizar el electroimán hasta el 90% de su valor final es decir que la corriente sea igual al 90% de su valor asintótico? 8.-Un condensador de 10−8 𝐹 (10 nanofaradios) se carga 50V y luego se desconecta. Se puede modelar la fuga de la carga del condensador con un circuito RC sin fuente de voltaje y la resistencia del aire entre las placas del condensador. En un día frio y seco el brinco en la resistencia del aire es 5𝑥1013 Ω. ¿Cuánto tiempo tardara el voltaje del condensador en disiparse hasta la mitad de su valor original en cada día?