Trabajo N°1 en Equipo 2020 [PDF]

Zitiervorschau

1 TALLER NUMERO 1. FEBRERO 2020 GRUPOS DE MAXIMO 4 ALUMNOS

DISTRIBUCION NORMAL

1. El Dpto. Nal. de Planeación (D.N.P.) ha encontrado que la contribución del sector maquinaria al PIB industrial en el 2011 es una variable aleatoria que sigue una distribución normal con un promedio de 3.5 por ciento y una desviación estándar de 0.5. Para el 2013, cual es la probabilidad de que dicha contribución sea: a) Cuando mucho del 4.5 por ciento

(

P Z≤

4.5−3.5 =P ( Z ≤ 2 )=0.9772 ≅ 97.7 % 0.5

)

b) Mas del 3.8 por ciento

(

P Z>

3.8−3.5 =P ( Z> 0.6 )=1−P ( Z ≤ 0.6 )=1−0.7257 ≅ 27.4 % 0.5

)

2

c) Este entre 2.5 y 4 por ciento P

3.8−3.5

21000−25000 =P ( Z>−1.333 )=1−P ( Z ≤ 1.33 )=1−0.0918 ≅ 90.8 % 3000

)

c) Si las exportaciones son menores que 17000 se aplica un subsidio a la producción y si son mayores que 31000 se aplica una bonificación al sector. Cuál es el porcentaje de exportación requerido para aplicar el subsidio y cuál es el porcentaje de exportación requerido para la bonificación.

4 Para el subsidio: 17000−25000 P Z≤ =P ( Z ≤−2.66 )=0.0039 ≅ 0.39 % 3000

(

)

Para la bonificación:

(

P Z>

31000−25000 =1−P ( Z ≤2 )=1−0.9772 ≅ 2.28 % 3000

)

d) Cuál es el valor deben tener las exportaciones si se desea que el subsidio se aplique cuando el porcentaje de exportación sea del 12.5% y el de bonificación sea del 6.6% Para el subsidio: X −μ P Z≤ i =0.125 → Z=−1.15 σ X i =25000+ (−1.15 ) ( 3000 )=21550 Para la bonificación: X −μ X −μ P Z≥ i =0.066 → P Z < i =1−0.066=0.934 → Z=1.500 σ σ X i =25000+ ( 1.500 ) (3000 )=29500

(

)

(

)

(

)

5

6 3. Un ejecutivo de una cadena de TV está estudiando propuestas para nuevas series. A su juicio, la probabilidad de que una serie tenga una audiencia mayor que 17.8 es de 0.25 y de que tenga una audiencia mayor que 19.2 es de 0.15. Si el nivel de audiencia es una variable aleatoria normal, a) ¿Cuál es la media y la desviación estándar de esta distribución? Según los datos del ejercicio: P ( Z 1 >17.8 ) =0.25 → P ( Z1 ≤17.8 )=1−0.25=0.75 P ( Z 2 >19.2 ) =0.15→ P ( Z 2 ≤17.8 ) =1−0.15=0.85 Según la tabla de distribución normal se tiene:

P ( Z 1 ≤17.8 ) =0.75 → Z=0.68 P ( Z 2 ≤19.2 ) =0.85 → Z=1.04 Teniendo en cuenta la ecuación: X−μ Z= → μ=X−Zσ σ Se tiene el sistema de ecuaciones: μ=17.8−( 0.68 ) σ μ=19.2−(1.04)σ Calculando la desviación: 17.8−(0.68) σ=19.2−(1.04)σ ( 0.36 ) σ =1.4 → σ=3.889 Por tanto, la media: μ=15.165 Con los valores de la media y desviación estándar obtenidos, b) Cuál es la probabilidad de que el nivel de audiencia esté entre 8 y 12 Basados en la tabla de distribuciones normales, se calculan las probabilidades como sigue: 8−15.165 12−15.165 P

20−15.165 =1−P ( Z ≤1.24 )=1−0.8925=0.1075 ≅ 10.7 % 3.889

)

8 4. El diámetro de un casquete de bronce está distribuido normal con media 6 mm y desviación estándar de 1.4 mm. Los casquetes que tengan un diámetro mayor que 8 m.m se reprocesan y los que tengan un diámetro menor que 4.8 m.m. se desechan. a) Qué porcentaje se reprocesan 8−6 P Z> =1−P ( Z ≤ 1.43 )=1−0.9236 ≅ 7.6 % 1.4

(

)

b) Qué porcentaje se desechan. 4.8−6 P Z≤ =P ( Z ≤−0.86 )=0.1949 ≅ 19.5% 1.4

(

)

c) Cuál debe ser el valor del diámetro para que el porcentaje de reproceso sea del 2.62% y el de desecho sea del 4.75 % Para el reproceso: X −μ P Z≤ i =0.0262 → Z=−1.94 σ X i =6+ (−1.94 )( 1.4 )=3.284 Para la bonificación: X −μ X −μ P Z≥ i =0.0475 → P Z < i =1−0.0475=0.9525 → Z=1.67 σ σ X i =6+ ( 1.67 ) ( 1.4 ) =8.338

(

)

(

)

(

)

d) Cuál debe ser el valor del promedio para que la compañía pueda afirmar que el 98.75% de los conductores tiene un diámetro máximo de 8.338. P ( Z ≥ Z 1 )=0.9875 → Z 1=2.24 μ=8.338−( 2.24 )( 1.4 )=5.202

9 5. Las ventas mensuales de una unidad de ventas en un gran centro comercial, sigue una distribución normal con una media de 30 millones de pesos mensuales y una desviación estándar de 3 millones de pesos. Para el próximo mes, cual es la probabilidad de que las ventas: a) Sean mayores de 24 millones 24−30 P Z> =1−P ( Z ≤−2 )=1−0.0228 ≅ 97.72% 3

(

)

b) Estén entre 32 y 36 millones 32−30 36−30 P x) =0.1292 X i−μ X −μ =0.1292→ P Z ≤ i =1−0.1292=0.8708 σ σ → Z=1.13 X i =35+ ( 1.13 ) ( 4 )=39.52libras

(

P Z>

)

(

)

d) Determine el valor de la resistencia x tal que P(X < x) = 0.017 X i−μ =0.017 → Z=−2.12 σ X i =35+ (−2.12 ) ( 4 )=26.52libras

(

P Z
=1−P ( Z ≤−1.25 )=1−0.1056 ≅ 89.44 % 400

(

)

c) Se mueva entre 4000 y 5800 4000−5000 5800−5000 P 1 ) =e 5 =e−0.2=0.8187 Por tanto: % falla=1−0.8187=0.1812≅ 18.1 % 5. Una lavadora MABE tiene una vida media de 10 años. Si la vida útil de ese motor puede considerarse como una variable aleatoria distribuida en forma exponencial. ¿Cuál debe ser el tiempo de garantía que deben tener dichas lavadoras si desea que a los más 20 % de estas fallen antes de que expire su garantía? Para este caso se tiene, para un tiempo de vida media de 10 años, y un porcentaje de productos que fallen en ese tiempo del 20%: −T

−T

P ( x6000 )=1−P ( x ≤ 6000 )

(

12

−

¿ 1− 1−e

(6000 5000 ) )

=1−( 1−e−8.9161 )=1−( 1−0.00013421 )=0.0001342≅ 0.0134 %

22 DISTRIBUCION BETA 1. En el presupuesto familiar, la porción que se dedica a la saludo sigue una distribución beta, B(2,2) Cuál es la probabilidad de que se invierta a) Más del 25% de presupuesto Y B (α , β)=B(2,2) Y1

Γ ( α + β) P ( Y >0.25 )=1−P ( Y ≤ 0.25 )=1− ∗∫ ( x )α −1∗( 1−x ) β−1∗dx Γ (α ) Γ ( β ) 0 3! ∗5 0.25 Γ (4 ) 1 1− ∗ ∫ x∗( 1−x ) dx=1− 192 Γ (2) Γ (2) 0 ¿ 1−( 6∗0.02604 )=1−0.1562=0.8438 ≅ 84.38 %

( )

b) Menos del 15% 0.15

3! ∗81 1 x∗( 1−x ) dx= 8000

Γ (4 ) ∗∫ Γ ( 2) Γ ( 2) 0 ¿ ( 6∗0.010125 )=0.06075 ≅ 6.08 % P ( Y ≤ 0.15 ) =

( )

c) Entre el 10 y el 22% 3! ∗171 0.25 Γ ( 4) 1 P ( 0.10.03 ) =1−P ( X ≤0.03 ) 0.03

¿ 1−

Γ ( 0.34+7.63 ) ∗ ∫ x 0.34−1∗( 1−x )7.63−1 dx Γ ( 0.34 ) Γ ( 7.63 ) 0

¿ 1−

4744.551 ∗0.8498 )=1−( 0.749∗0.8498 ) ( 2.624∗2413.035

¿ 1−0.6366 ≅ 36.34 %

24 3. El porcentaje promedio de ciertos tubos No Conformes que se producen en un proceso durante un mes es del 2%. Si dicha proporción sigue una distribución beta con parámetro β=8, determine la probabilidad de que en un mes cualquiera, la proporción de No Conformes sea: a) Máximo del 1.5%

Y B ( α , β )=B ( α , 8 ) Primero hallamos el valor de α teniendo en cuenta el promedio como sigue: α E ( x )=0.02= →0.02 ( α + β )=α α +β 0.02 ( 1−0.02 ) α =0.02 β → α= ( 8 ) =0,1633 ≅ 0.163 0.98 Luego, considerando la proporción de no conformes en 1.5% se tiene: P ( Y ≤ 0.015 ) 0.015

Γ ( 0.163+8 ) ¿ ∗ ∫ ( x )0.163−1∗( 1−x )8−1∗dx Γ ( 0.163 )∗Γ ( 8 ) 0 0.015

7

Γ ( 8.163 ) ( 1−x ) 7012.622 ∗ ∫ 0.837 dx= ( 3.0495 ) Γ ( 0.163 ) Γ ( 8 ) 0 x ( 5.69 )∗(5040) ¿ 0.24414∗3.0495=0.7445 ≅ 74.5 % b) Minino del 1% P ( Y >0.01 )=1−P ( Y ≤ 0.01 ) 0.01

Γ ( 0.163+8 ) ¿ 1− ∗ ∫ ( x )0.163−1∗(1−x )8−1∗dx Γ ( 0.163 )∗Γ ( 8 ) 0 0.015

7

Γ ( 8.163 ) ( 1−x ) ∗ ∫ 0.837 dx=1−(0.24414∗2.8681) Γ ( 0.163 ) Γ ( 8 ) 0 x ¿ 1−0.7002=0.2998 ≅ 29.9 % c) Entre el 0.8 y el 1.2% 0.012

Γ ( 0.163+ 8 ) P ( 0.008 0.98 )=10 ∫ dx=10 ( 1.05−0.98 )=0.7 0.98

d) Entre 0.98 y 1.03 mm 1.03

P ( 0.98< x 1.02 ) =10 ∫ dx=10 ( 1.05−1.02 )=0.3 1.02

g) Que espesor esta excedido por el 90% de los bordes más altos. 1.05

P ( x> x1 ) =10 ∫ dx=10 ( 1.05−x i ) =0.90 x1

Reordenando para x1: −x i=−0.96 → x 1=0.96

h) Calcule la media y varianza del espesor 1.05+0.95 2 E( x )= = =1 2 2 (1.02−0.95 )2 Var ( x )= =0.0245 12

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2.

La función de probabilidad del tiempo necesario para terminar una operación de ensamble es f(x) = 0.1, para 30 < x < 40 segundos. a) Calcule la proporción de ensambles que requieren más de 35 segundos 35

P ( x>35 )=1−P ( x ≤ 35 )=1−∫ 0.1 dx=0.1 ( 35−30 ) =1−0.1 ( 5 )=0.5 30

b) Que tiempo de armado es el que excede el 90% de los ensambles 40

P ( x> x1 ) =∫ 0.1 dx=0.9=0.1 ( 40− X 1 ) x1

Reorganizando para x1: 3.1 0.1∗x1 =4−0.9 → x 1= =31 segundos 0.1 c) Calcule la media y la varianza el tiempo de ensamblado 30+40 70 E( x )= = =35 seg 2 2 ( 40−30 )2 Var ( x )= =8.334 12 3.

Sea X una v.a. con distribución uniforme sobre el intervalo [a, b]. Si E(X)=10 y Var(X)=12, encuentre los valores de a y b.

a+ b 2 ( b−a )2 Var ( x ) =12= 12 Reescribiendo las ecuaciones: a+ b=20 → b=20−a E ( x )=10=

( ( 20−a ) −a )2=12 ( 12 )=144 ( 20−2 a )2=a2 −80 a+ 400=144 a 2−80 a+256=0 Resolviendo para a, y sus valores correspondientes de b: a 1=76.66 →b=−56.66 a 2=3.339→ b=16.661 Para mantener adecuadamente el concepto de intervalos se tomarán como validos los valores: a 2=3.339→ b=16.661