Topologie algebrică [PDF]

Zitiervorschau

Poan Pop

.

. . . . . . . . . . . . . . ..............c ........

$ 1 l>efinitia spaliilor topoloyice

8 2 . Yecin%lZ{i

$ 3 . Aplicalii continue . Aplicatii dcschise (fnchiae). Omrot~~trriisme gi omeomorlismc locale . Sectiuni . . . . . . . . . . . . 9 4 . Spalii vectoriale norrnate yi spatii meirice . Teorelna lui Titze . 8 5. Spatiile Bn, U n , Sn-l . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. Produse topologice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . $ 7 . Spalii conese si local conexe . Spatii liniar conexe :i local liniar

+

COII~SC

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . $. 8 . (( l'rohlc~na clrililclor x ..................... 3 9 . Comp;lctitale g 10. Topologii cit . i\i:lbgri de cclule . . . . . . . . . . . . . ji 11 . Randa lui hIDbius, Irompcla lui Iilein, spati] proicctive, spatii Ict~liculare+i alte cxemplc de a p a l i ~cit . . . . . . . . . . $ 12 . I I ) = 0 sau D = X sau X \ I) este SiniC?. Se obgne o topologie, numiti topologia conzple?nentarelor jkite. 4~ Pie (X, .T) un spaliu topologic qi A E 2". Scpoate defini o topologie Y,, pe A, numitg fopo7ogia i~d~rsti de F pe A', spa!;iul ( A , Y A nurnindu-se ) a~cbspa~izc topologic, d a ~ aD' E r A I)' = fl fl A, pontra a E r . 54 X = R, multimea nnrnerelor scale, T = S)u u ('-m, x ) l x ~ [ R ) . 8; S = IN, mulkirnea nuinerelor n:ttnrale, .T= (0, XIJ U u {Q,lm 2 0 ) , unde 0,= {n, ?z 1, ?z 2, . . .j . 5 . X = R F ~ D E J - D E R yi V s e D , 31>s,ineit [s, t ) c D , uncle [s, t ) = {x E R I s < x < f ) . DEFINITICA 2. Dac& (X, Y ) este un spa\iu lopologic, atunci o subrnultime P E X estc ntimitil $,?chis(; cl:bc5, conzpleillents~asa, CCE7 = X\1{', ~ 8 0 deschiss, 0 cleci rGETE 9'-. Urm%lparelep r ~ p r i e ~pcnt,ru ti 111ul{in1i i~~c'liise 1'~zlilt5 imediat din Def. 1 8i 2. TEOREiVLIII 1. f n orice spaJil6 topologic ( X , F ): 14) 0, X shtt ?~zultimiftzchisc ; 2 ) Qrioe i~~tersec!ie de nzul,tinzi trzchisc esfe o wz?r,/,tii,~e Ihchisii ; 3) 0 reuniulze finit$ de rnt~7,ti~)ai tnchisa esle o ~??zr,l,iinte $,rtchisd. OBSERVATIA 1. Notiunile de inultirne dcscfiisii, si inchis& intr-un spatiu topologic sint duale. ProprietZiljle 1)-3) din Teorema 1 pot f i Solosite pcntru a defini spa\iul topologie. Topologiile pe o xeeaai mul$ime forlneazii, o ~nnltime partial ordonat5 in raport cu urmAtoarew rclalic. DEPINITIA 3. Tlate topologico Y ~i F' pe X, se spune c& 9-este mai slab& deczi Y' qi vorri scrie 9-< Ffciae5 VD E Y => D E r ' (deci Y c F ' ) . Se spune c.5 F' este lnai tare dec%tY . Pentru orice topologie F, pe o inultilrlc S,avern Y" < Y < Y , . Este evident c5 nu oricare dou& topologii sint eomparabile.

+

I)EFINITIA44.Fie (X, .T)un spatiu topalogic qi 93 G c. Vom spune c5 93 este o baxli pentru F dac5, oorice multime deschis5 este o reuniune de mul-fiimidin g.

TEOREMA 2. Pie X o ?nul$in.~e ,ri B c 3S, sati.~fiictnd condi~iileurmdtoare : 1) X = U U ; 2) Orice zntersecjie jinitd dc sztrZ,ii?ni din. B evtc o rncniune de mu1,timi din B. Atunci, exist6 o silzgur& i q d o g i e F p f S,n c&ru& baxd este a. Demolzstrajie. Se definegte D E Y U = U IY, p n B'Ese'Csa tru B' o submul4ime oarecare a lui ~49 (inclnsiv O si 9). Se verifier! ugc,r conili$iile Def. 1. Unicitatea topolsgiei Y este evidejit5, dou5 toplogii diferite nepntind avea cb acecagi ha&. l)EFINITI,1 5. Tom spune cil topoloyia 9 scriisjaee uxioma a 2-a a .~zunzerabilitii$iidac5 adrnite o bazn nnumgrabilii. DEFINIYIA 6. Fie (X, F)un spa$iu topolsgjc fji Y GF. Vorn spune cB 9 este o subbazcipe~tru.F dac5 orlce mult.ime deschis%osto o reuniune arbitrars de intersectii finias inul$imi clin 9'. 1bORE31A 3. Pie S o wul,ti~ne~i9' c 2 X , Bnc%t-7i = U8. SEY Alqc~zciexisiri o topologie g i n?(nzai z~?z,znpe X, pelzfru care Y este o sztbbaaii. Det,tolzslrafie. Dup5 Teorevria 2 , e ~ t esuficient s& se arate c5 intersectiile finite de xnul-fiimidin Y satisfac conditiile 1)$i 2) ale aeestei teoreme, ceea ce severific8 ime"

+

@

"

'

-

r , .

diat. 1. S5 se determine 11um&rulde topologii pe o mullime cu irei elemente. 2. S5 se arate cB nici una din urmjtoarele familii de submultimi ale lui IR nu este topologie : I,= {B, R) U {(-a, X ] I X E IR} ; I,= (8, IR} U U {(a, b) I a, b EIR, a < b}. m

1.1

U ( -a,- -

= (-m, 0) $ ~i (1, 2) U (3, 4) !$ @., J 3. S5 se arate cg dacZi # este o baz5 pentru topologia d pe S ~i daci, A E X, atunci I,= {Br l A IB E a}este o baz5 pentru lopologia indwG g A . S5 se enunte rezultatul pentru subbare.

indicajie.

#=I

\

4. Cum putern dcfini no$iunilc dc 13azl si subbazi pcntru mulfimile fnchise? Sil sc eliutl~edualelc Tcorcmelor 2 si 3. 5. Fic S o mullimc $i z, X . Defjnim d = {(;I, X } U {DcX Jxo# Dl. S5 se aratc d d estc o topologre pe X (numitl topologia ponclolni exelus). 6. Fie X = Rn (sau X = Cn). 0 suhmullin~cI.' estc nuinill inchis5 dacl exi5t5 o lnultimc dc polinonme In n variabile, cu cocficienti dill R (resp. C), incit I*' estc multimca punctelor In care sc anulcazl toatc aceste polinoamc. S5 sc aralc c l sin1 salisf5culc condi~iile1)-3) din Teorc~na1 ~i s5 sc dcduci topologia c o r c s p ~ u ~ ~ l t o a r c . AceabtH topologic cstc numill fopologia Zariski. In cazul n = 1 se ohline topologia complcmentarclor finite (esetnplul 3). Indicafie. MulCirnea \.id6 corcsl~~uiclc zmui polino~n constant nenul. Multirnea S cnrcspundc polinoniului identic nul. S i scricm %(7') = = {x E X/f(x) = 0, V I E r } , p~lltl'll7( o l r l n ~ ~ i mdcc polinoalnc in I I variabilc. Dacii I., = z(T,), i E I, atilllci lit= z ( UT,) giljl u ~ ; ~ = z ( T ~ T undc ~),

n

%€I

?€I

TIT2 ={(I= f l f 2 ] f x ~ T f, , ~ ? ' , ] . Pcntru a vcrifica formula referitor la reutluune, fie z E %(l;TZ) . ~xi # 11 * 31 E?;, CII f(z) # 0. Atunci, \dg E T p , avcm (r/f)(x) = g(z) f(.z) = 0 => g(z) = 0, dcci 3: E Fr 7. Sd se aratc cJ : a) D a d D cslc dcscliisi lo S ~i D' cstc descllisi 'In D,atunci D' cstc dcscliisl in S ; b) I)n&i I: cjlc inchis5 In X gi F' este Inchisl PII P, atunci P' cste Inchis5 111 F'.

Fie ( X , F)un spakiu topologic qi roE X .

DEFINITIA 1. Se nwnegte veci~zn'tntca pun,cf?rl?~ir, orice submultime T7 E X cu propr.ietat.ea cB exist5 E Y , incit a, E D c V. Analog se defineqte o veei~zn'tnfea, zcnei subnzu?,tirni oarecsre, A EX. Not2m cu Y(m,) multimea tuturor vecil15tiililor lui r,. TEORElMA 1. Pentru orice spa,tiu topologic (S, F) p i orice pu~zctx, E X a u loc propriet6,tile : 1)YCx,) # PI $i VVEY(Z,)+,,E V; 2) Dacii V' E ZS, hc&texist6 V E Y(.x0),ct.~V' 3 7, ult~~zcd V' E Y(x0); 3) Dacir" Ti,, V, E Y(T,) + V 1n V, E Y(.rO); 4) V Y E Y(so),3 V f E Y(xo), $nett, pentru orice ?J e E f , avem V E V(y). Dernonstrafic. 1)X E ^Ir(do)(yi orice deschis5 care contine a;, este vecinitate). 2 ) - 3 ) IiezultB imediait,. 4) Putem lua V' = D = multimea dosohis5 din Dcf. 1. OBSEBVATIA 1. DacB fieciirui punct m a1 unei mnltimi X i se asociazii cite o fsmilie dep5rf;iY ( s )G 2x, satis-

fgcind fiecare progriet%t,ile1)-4) din Toorema 1,atunci existi2 o topologie qi numai una in raport cu care sisteinul de vecin5t8ii ale lui x este Y ( r ) . Se define~teD E 9*Vx E E D =+Id E Y(x).

TEOIWMA 3. Pie (S,T )w z .spafiu topdogic ,ri A c X ( A# 0). A-iunci,A esl'etnchisir"dacd~sinumaidac&pentru. orice ylrnct 3 E S,C Z ~~)roprietatca.C& VV E Y ( x ) =, V n A # # 0, avr.nr x E A.

DEFIXI'KIA 2. Fie (X, F )un spatiu topologic qi A E: X . a ) fntcriorul 1nsc2;tinzii A (in raport cu 9)se ilefinegte prin I u t A = % = {x E A 1-4 E Y(x)]. Avem I n t A c A qi. din Trorema 2, A E .Y A = Hnt A. b) H?echiderca rnui,tiu~iiA se definegts prin k: = {~r:E 6 1 IVV ~ V ( l r . ) V n A + 0). Avem A c d si, din Teorema 3, A este illchis5 clac5 vi nulnai dnci A = 2. Pupctele inral$irrkii se iluinesc pw?zcte crdn.c.?~irwzzcl,fi.miiA, A fiind numiti ti adcresa!n w~ul,!i>,1ii A. c) Un punct r: E X este numit p7l?lct de aczcnzu7are pentrzc A, daeB e.;te pullet aclcrent inul!in?ii A\($). d) Un punct m E S este numi t pzlxct frontier6 pentru, A, dac5 x E n (S\A). e) Dac5 A c B E. S,spunem c& A rate depzsd 8% B, dacii B c A ; A este dens5 in X dac5 A = X. Un spaf;iu topologic S se nurueqte sepurabil dacg contine o submul~imenumirabilG, dens5 in S.

-

DEFHNPTIA 3. Un spatiu topologic (X, 9)se numegte spcejiu Hazhsdorjj sau .~pn,tl?r, sepnrat dacii V X , , ~ ,E X, x, # x,, 317%E %'-(xi),i = 1, 3, Sneit Vl n T-, = 0. EXEMPLE. 1. Topologia discretii TI este o topologie separati. 2. Topologia minimal5 Y , nu este separstii dacB spa$iul are lnai ~ n u l decit t urn punet. 3. DecB (X, F ) este -hm spa$iu Hansdorff, orice subspa$iu al s%neste la fel.

4. li).aciL5(fR, 2') este spatin1 topologic ailnumerelor reale cu topologia Zarishi (exerc. 6 9 1) acesto nn este srparat.

TEOAEMA 4.

fntr-zcn. .~pa!iu Bnztsdocff

5 , nauljimea

f ornzafii dilatp-lcqa singlir p1(IZL'~, (6, este z"nchi.sG.

1. S5 se nrate d : a ) In1 -1 n I n t I3 = 1111(.1 n 13); I n t A r l I n t B E I n t ( 4 U B ) ; I u ~ ( ~ A , ) s ~ I ~ 1)) I ~dunl>.ZuE, A , ; A ~ U C A ~ & .

-

iBI


dfinzeA cX, j(2)s,f(B); C ) Pest1r~oric~ntzt7yinze Onchis6 3 c Y,f-"3) este 4n,c?ris&On 9;

'g !! 1

!

4

-

d ) Oriaare ar ji nezcl~imeoclescltisd 13 a lzci P, j'-l(D) este desr7~isdhe S. Dcnennslm$ie.a) b) Fie n. E A. Deoarece 1 este continu%,Vl-' E V(f(3.))* j - l ( T T f ) E Y(m) * fl(V') ( 1 A # B * 3 Vf n f(A)#0 j(x;.) ~ j ( d ) . c) Fie P inchis5 in Y. Dup5 lo), aveln J(j-l(IE'))~ b) f -'(I?) E f -l(P),ti, curn incluziusj(.f -l(J1)) = 1;' = P' nea invcrsii arc loc nocondi~ionat,rezultg J-I($') = j-l(P). cI) Fie D deschis&in P. Atunci, Y\D este inohirtii C) In P vi deci J-l(Y\D) este inchis5 in X. Dar f - l ( n D ) = = X'j-l(D), aga incit j-l(D) este deschisii in S. d) a ) Fie .I- E S gi 17' E Y(f(.x')), deci 3D1, dcschisg in Y, incit f ( ~E )DIG TT'. Din d ) * j-l(D1) deschis5 Pn X , qi curn s E f-l(Df)cf-l(Ti') f-l(V1)E V(X).

-

CCPBBO1,AR 1. a) Pen-tru o~icespa@ toyologic (X, Y), aplica!.a'rt iclentitale Is esle co?ziinuci. b) Oo?npulze~ea a domi np1ic~fi.icontiszue este o aplica~ie comtin,?18. c) II~sfricjiaunti npZicqii con,zti,)?ue,Za um subspcrfizc a1 dorr,e,liulz~i(la dcji?ti!ic, cste o nplicayie continud. PIEIJIXITIA 2. a) 0 aplical,ie f jntre doui spatii topologice se nu1negt.e ( I ~ ) o t ) 2 ~ o n l o ~ dac5 f i . j este continu5, bi jec tir&i,i cu inversa continu8. b) 0 proprietate esprimat*&in termeni topologici gi care Re p:isLreaz.;l prin lloinco~norfisrnese numeqte propsietate topologicd. De exemplu, proprietatea unei rnultimi de a fi inchi85 sau tleschis& intr-un spagiu topologic este o proprieljate topologic5. Proprietatea unui spatiu topologic de a fi separat liausfdorfl este de aserrlenea o proprietate topologic&.

TEOREIMLI 2 (Irma de lipire). Pie (X, F) 21m spafit6 0 fa?,hilic (IP subspqtii, czb X = U A , $i sdopologic, '51

Y aplicnjii confinqrr ( Y sllz spujiu topologzc arbitrap), itlcALt j, IAt n A j = ji \ A , n Ai7 V j I. Atzcnci a t e binc d~jimitduplica~iaf : X -+ P prin J !Ai = fi7 iar

ji:A ,

-+

pentrzc co9ztinuitafca jzitzcjiei j esle steJici~r~t6 urm din COY^clifiilr u~nzdtoare: a ) I este Jinitd g i -4, sSmt Svzchise ; b ) A, stnt descliise. Denzonstrajie. Presupunern a ) qi fie P Paellis2 in P. Atunci j - l ( P ) = Uj c l ( P ) . Prin ipatezii, f;'(k;) sint in%€I chise in A,, care se presupun de aseiizenea inchise. DupS eserc. 7 tj 1, j;'(P) sint Pnchise in 9.ilIulfimea 1 fiind finit&, f-l(P) este Pnchis5. Dac% presupuneni b), fie D deschis&in Y . Atunci, j-l(D) = U f Y 1 ( D ) Avern . e 5 jcl(D) %€I sint deschise in deschisele A,. ~ u p 5exerc. 7 8 1, jel(D> sint ileschise in S. Rezult-&e5 f - " 0 ) este deschis5. DEFINZTIA 3. 0 a,plica$ie j : S -+ B, Pntre dou5 spalii topologice, se ~iumegteaplicajie deschis6 (Inchisii) dac5 imaginea direct8 a unei subinullimi deschise ( i ~ c h i s e ) din S este o submulfilne cXeschis5 (inchis&)in 3 ' . COROLAR 2. 0 bijectie, f : X -, Y, $&re drilbic spqtii topologice este ?r?z Aomcomorjis??&dacci g i ntcnzai dac& eeste continud g i tlesc71isd (tnohisci). DEFINPTIA 4. 0 aplicatie continu% J : S -+ Y se nunlepte (7~)orneomorfiso~ local dac;?, oricare a r fi ..t. E X , exist&o vecingtate cleschisii D E V ( x ) , care se apliiciiprin f homeolnorf pe o subniul!inie deschis5 din Y. OBSERVATIA 1. Orice homeo~nsrfism este un hoineonlorfism local. Reciproc nu este adevgrat : fie X pi P ca in fig. 1 qi f proiectia. Atnnci, j este u n homeomorfisrn local, cum seconstatg,imediat, dar 4 nu este un homeomorfisna (nefiind bijectie). I

TEOREMA 3. Orice homeornorjism ZocaZ este o aplicajie deschisii. Demo?zstratie. Fie j : X -+ P u n homeoniorfisrn local gi D o deschisS Fig. 1 inX. Atunci, V.x: E D, 3D,, deschisii gi D, E Y(z), incitj IDX:D7 J(D,)= Dj esteun homeornorfism. Avem D, n D deschisil $1 D = l.J D, n 23. At,unci, = f(-%J

1

-+

rFn

JlD, n D : D, n D -,J(Bxn D ) este un &&neomorfisrn, V ~ E E D. Deoarece f (D, n D ) sint deschise in D; (fiind irnagjnile

holneomorfe sle unor deschise), deei gi in P, qi f ( D ) = = Uf rD, n D ) , rezultg c5 j (D) est e deschisii in Y. XGD

TEOREMA 4. a ) Dacii j : S -+ Y esle un 7~o1?zeon?ol;fisi1t Zocui! g i A este un, subspajiu a1 ZuiP, atunci j I j-l(A) :J-l(A)+ A esfe cZe asenzeqzea un horneonzovjisr~zlocal. b ) f n particular, pentru A = {7/), E P, f I j-I(y) : :j-l(y)-+{gt!/l este un, honzeonzorjis?n local ,si cZecij-l(!/)esfs ugl. spajiu discret, nullzit fibra 1ui f in puuetnl y E Y . DEFLNITIA 5. Se numegte p~oprietntetopologicd local6 orice proprietate ce se p5streszS prin homeomorfisrne locale. Este evident c8 orice proprietate topologic5 local5 este o proprietate topologic%. 1)EFINITIR 6. F i e f :S -, P o a p l i c ~ f i econtjnu2 ~i A c Y.Se numegte sectilcne a Zlci f densupra lui 11 o apslicatie continu5 s : A X, incit jos = L l f . -+

-+

TEOREMA 5. Pie f : S -t Y 2r,n hoi~~eori~o~^jis~n local. Aflctzci, pentru orice y E P g i orice x E f - I ( ? ] ) , exist6 o veci~rb tate deschis6 D' a Zui y g i o secjiune s ileasupra Zui D', ?nc.it s ( y ) = rc. Denaonst~ajie.j fiind un homeomorfisin local, exist& Q vecingtate deschisg D a lui c, E S, incit f ID : B -+ j(D) este u n homeomorfism. Avem D' = j ( D ) o veciniitate deschisii a lui y $i putem defini s = (/ID)-1: D' -+ D c X , care este o sectiune cleasupra lui D'. I n plus, s(y) = =( j = x. TEOREIIA 6. Pie j : X P ?in honzeo~nollfisn.tZocaZ, A E. Y g i s o scc/iu?ze a Zui j deaszjpra lui A. Atwzci, aplica,iia s :A -+ s ( A ) este u?z 7~onaeo1norjist?z. DenzonstraJie. Aplicatia s : -4 -+ s ( A ) este continu% gi surjectivg. f n plus, j s = I,, eees ce implic& faptnl e% 8 este gi injectivg. f n sfirvit, deoarece j este continu&, rezultS cii s este ~i deschisEt ,si deci u n homeomorfisrn. TEOREMA 7. Pie j : X -+ Y u9z homeonzorjisl~zlocal p i s, s' douii secjiuni ale Zui f densupra Zui Y. Dacli s ~i s f aQntegde 4rztr-urz punct y E Y, at lcnci ele coincid pe o vecist6fate n 7ui y. Demolzstrajie. Prin ipotez?ip, avem s, s' : Y -+ X , ou s(y) = sf(?/)== X . Aplicat,ia, f fiind un hoineomorfism local, -+

0

exist&o vecingtate deschis5 D D lui x, Pncit j 1D : D +f ( D )= = D' este nn homeomorfism. Dar atunci,

1. Din escrcitiul 7 s5 sc iteducii l e ~ n acle lipirc (Teorcma 2 3 3) ill cazul a). Indicalie. Dacti S = A u B si A, B sint Inchise, -1\B = S\B este descl~isgyi deci d \ B c Int A (vezi exerc. 4 5 2).

$4. Spafii vec torfale normate gi spa@ metriee.

Teorerna lui Titze DEFINITIA 7. 0 apliea$ie continu2 j : X Y care este un honleolnorfisin s lui X cn j ( X ) se nurnegte scujundare (a, lui X in Y). -+

I. SP se fortnule7o condilii de continuihte cu ajutorul l~azelorsi a subbazelor de topologii. 2. S5 sc arate c;I d a d spatiul topologic S are proprietatea d pentFu orice spatiu E', oricc aplicatie f : S -+ 1' este continnii, atunci X are topologia discretii. Z~ldicalie.Se ia I' = X, cu topologia discretg ~i f = lx. 5. Fie S = IR cu topologia {fl}U {IR} u {(--a, x ) 1% e IR}. Sri se arate c5 o Cunctie f : S -+ S cstc continui d . i d +i numai dacZi este nedescresc8toare ( x > N' 3 f(x) f(.r')) ~i ~011linw3la dreapta in sens uzual, a d i d V x E S,VE> 0, 36> 0 inclt dac5 x x' < x 8, atunci If(%) - f(x')I


< E.


-ergent5pe S $i deci? esto o aplicatie c ontinu5 (1-ezi eserc. 3 ) . i u l i l u s , 1) arat5 cB j(r) = f (x),

V x x: E, iar din 3), pentru x: E ,T\F, &veil>

I i t d ~ e a i e Se . ia o baz5 ortollordatd In (R d ) I'entru q = go qli q 2 j qsk, ij = ql, - q,i - q,i - qal:. S 5 sc arate cg dac5 dcfiliitn modulul lql = = ( ~ q ) ~ acestn f\ satirlace proprlctdlile : I q 1 > 0 dacd q # 0 ; I qrl = Iq I I r 1 ; Iq I I Iq I lr I. I'eiltru q 0, q-I = ij/ lq la gi M tlcvinc, in raport

+ +

+
i x x !] produs111 vectorial. S5 se arate c6 :cvern :

-+

qr =

-+

S ~ i t ~ i t dl da p l i, ol>tiuern incqd1ilatc:i lui IIiildcr. C) I)acii ai,(3( 0 $i p 1, alunci arc loc inegalilnira lui .lfinl:o~csl:i :

>

c) SG sc ar:~tc cli putcnl scrie cu:~icrnionii sub f o r n ~ aq = rl, S q,i 44 qzj -1- gal', C" &i - 1 , j? = -1, k% -1 2 iJ' -- -ji = I; 9 J'k = - k j =. i, ki - il; j.

-

>

Penlru p = 1 aveln egalitate. Prcsnpunem p Hblder, nvem : N

> 1. Cu

inegalitatca lui

?I

Indira!ie. Fie I$, F, fi~chise$i disjuncte ill -Y $i f : I.', U Fl+ [O, 11, * /'(Po= (0): fII5 = (1). DacSi f este o estensie n lui f la S, ntunci U , = = { r E X If(x) < 1/31 yi Dl = {x e S $ ( x ) > 213) sint deschise, disjunete, ce conliri rcspcctiv F , yi F1.

$ 6. Spatiile [R'" D",8"-'

In acest parag?af vom prezenta cele mai uzuale exemple de spatii topologice. PROPOZITIA 1. X o ~ n t e l e11 (x,,. . .,xn)1 ,

=

c u p E.R, p > $i ll(x,, . . ., rp)llc = m a x { ~ x l.~.? ~Ix*~}., pe spa,tzuL uectorznb R", s$nt ec7~zvc~lei~te. Topologia defilziti%cle una din aceste nor topologl'u t~zttaliipe R" . Bonzon.~lrajie. Aplicgm Corolsrul 2 ij 4 :

OBSERVATIA 1. Peste tot, spatiul R" 1-a fi subinteles (dae.;Lnu se fac preciz%rispeciale) cu topologia uzuaEi.

3. Fie l,(M), IK = R, C, M, nlulliiriea sirurilor z = ( m ) c n elemente DO

0

Ir, IQestc convcrgent5. l i n c 5 ~ =

din IK, iltdepliui~ldrol~ditiac5 scria ?=I

= (Yn), sc defi~lcgtcr

+g =(x,+ ~ y i r ) , iar

dac5 a E IK, a x = ((ax,,). Sg se

I

sc obbinc u11 spatiu vectorial normat.

aratc c5 luPllcl llrlj =

IltdicaJie. l,(IK) es&- un spatiu cu produs scalar +i sc utilizeazg i ~ ~ e g a l i -


0 $i x0 E S.Col~fomlipotezcl, esisl5 6 lncit V r E S,arc 1oc d(fi;(x), j'(x)) ( E. L)roarccc flc cstc continua in z0, exist5 o descliisil D care coriCinc xo, aslfcl iilcit d(rl(x), fi;(.r,,)) < E, V z E 1). Dill priiua illegalilaic avcln d(Jj,.(x,,), j'(x,)) < s +i at~ulcid ( f ( % ) , f(xo)) d(f'(s), hL(x))j-d(&(x), fi;(su)) c1(fk(.rc),/ ' ( y o ) )< 30, ca1.e arotj c5 f' estc conlinun Iri ro. 5. S5 se aralc c l ~1111 spn.[iu topologic S carc satisface concluzia lcorcrnci lui Titze (Tcorclna 5) cs te nnrrn:~l.


3 D ( x , E ) c D n 9care ilzlplicil 11 x ~1- E (1, deci a E Sn.In mod analog se stabilesc celelalte relatii. p n ~ OZITI,1 p 4. P i e 12 2 2 . Dejininz elnisiera nor die& .. desehisii 6i rrupeeliv i~lohiriipriw &I = {a = (xl, . . ., a.) E xn 2 0:. E Sn-11 X, ) 0) pi X;-l = (x = (x1, . . ., x,) E 0 Alujlai, 1;'-l cstc. ILotn eor111orj c7r Sf;-' i a r D"-l e u F+-I. Derno~zstmfic.Definim f : 19";~ -+ Dn-l, prin j((x,, . . . . . ., a,,))= (x,, . . ., x , - ~ ) . .lceastfi este un honleomorf ism, cu inversul ,G E Int

0

Aplicatia, f (aumit8 proiecfie sie~*eografic&) este nxd borneon~orfism,avincl inversul

PROPOZITIA4 7. Spafiz~,l Rn, c7r fopo7oyia U G I L R ~ ~ , satisjacle a.xioma a 2-a a ~rzcmlirabilil6,tii. particular, [Rn este ~ p u j i useparnbil. Denbollst~a,/,ie. 0 baz3 riurnilrabil& pt.ntru lopologia uzuJ,i a lui [Rn cons15 clin cliscurilo drschise, in raport cu nna clill riorrriele din 3'roy. 1, cu cenirele in puncte de coordonate rationale $i de raze rslionale (ncnule). D a ~ 5 A3 = (14 ,..., LI?$....) este o aselnenea, baz5, alegem zn!e 13. $i fie A = if,,. . . ,rfh7 . . .]. I'uteili a ~ z t a cib A = [Rn. I'rococlilln prln retlncere 1% a,bsul+tl.S5 prssupunem cb A #[Rn. Atunc4, D = R'"\A: este o lnultilne nevid5, deschiG bi 2) n 4, = 8. 4 h r U = UB,,, qi r,,* .. 5

C

tunci $i l~o~neoinorfis~nul J-I : Dn 4 S ; , clin Prop. -1, cornpurl11 cl?f-l: 5 " -+ Rn esle ~ l e asemenes un horneo-

E

n A , czea ce implie5 B n A

h

-

# 8, contrar relatiei

prececlei~te. Re poate ar5ta gi clirect cB snbmultirnes nurniirabil5 Qn este dens5 in R".

lBROI'OZITIA 8. A plicnjia e s p : 4 X1, c7(jilzitci yrin exy (t) = cstr 7( 12 It om c~onto ~ f i s r tlucal. ~ Den~onslrajie. Conside&in S1 = (x E / / x 1 = 14, C fiind spat;iu;iuqvecto~~i:x,l normat, cu liornla ilatii de mcldxtl. AfiIt&~n mai iiztii cS e s p este conti11t15. Fie E > 0. Atunei, eL"li,

I

PB

Drnzo~ssf~..afic." Putem presnl>mze a>, (0, . . ., 0, 1) y i clefiaeste atunci j : Sa\ [.r,j. -, fR*, ynn

f(rL, . . .. ; T * + ~ = )

,..

2,' . ?

1 - xn+1

( T ~ C Zfig. ~

3).

1 e2r1t - e2x1t' /

=2

1 sin ~ (-t 1 ' ) [sin ~ ( t -t')t +

+ icos ir(t $- i')]; = 2 1 sin ~ dac5 / t - t' j

< 6.

( d 1')

I < 3~

jl - i ' I

.srhisrle .Dt, E Fi,, . . ., D,% E FtS. f ?z particltlar, clacd S = S,x . . . s S,,, atunei o bas& n topuiogiei p~otlusestr { I ) , x . . . x 27,j Dl E TI, . . .,I), EY:. -Uetnov.sl~ccfic~. --Ivem

-

TEOREBIA :I. l ' r l s~,tc]irrlopo7ogic (S, T ) esfc spn?iu JI~dval~sd0'):ff dacci ,s.i nzctnni clricd diujona'a .vn, A {(a9, y ) E

= . I > ] , esfr ,1iizt7jiu2e i.izchisci % I & S x S. X:. S Drirror~strafic~. Presupnnem e 5 X este nn spatiu Ususdorfl.. il1515~u c5, XxX\A este deschis5. DttcA (x,y ) $ g A = - ! / # , r ~ = . 3 0 , L ) ' E ~ , C L Ix ~ D , ? ~ ~~li D l n' D f = = @ . A t i ~ n ~ i ! I ) E D x D' ~i D x D'este dcschis5 si inclns5 in X .4S'd. I)ul)5 Teorenla 2 $ 2 , rezult5 c5 S x S ' \ A eutv t2cscl~isli.12cciproc, fie A inchisii in S x S gi .r # .I/ in ,Y.hiunci, (.I,, 1,) E AXx S \ A qi cleci esistg B, 11' descllise in X, cu ( , I , ! I ) E D x D'cS x S\h. Ilezuli5 2. E D E T, ?/ E 11' E Y $i U n I)' = 0 . E

(,)a,

-

n or1

cu topologin ti~1iul6.

CO1IOLAII Y . I"ir S = ]lk S,, yr.oclt(.r topulogit+ ,si ,. r J : P -+ S o nplica,tir d~ In ?r,t .spa!i?i topologie unrrcnsp 3'. Atunci, j este conli~srtiE tlac.6 $i nu,~zai dacG oplica!iibe: y l j : Y-+ X I .ul"nt conlirllcc., V i E I . 'C'

C0ROLA.R 4. Ilacd Ji : S, IT,sil~ttccplicmjii c , o n f i t ~ ~ ~ e , aiu~eciup7ica,tin J == j, : -Ti JJTt, (Iryi/~iliC

n n

-+

%€I

-+

!€I

1EI

1. r:ic f : 1=. ]* o nplicalie illire douz spatii lopologice. G r u f i c ~ rflpli~ ca!ici f se dclincslc prin Crf ;=- {(s, y) E S x I'I !I f ( z ) } . Sc consider5 fu:lc\ia 1 : S -,-y x Y, f(x) = (.r, f(x)). SB sc nratc cB nr~ntitoarclc afirlllali; h i n t cchiyalcnte : a ) f cstc c o n i i n l ~ i; 11) 1' estc ~ o n t i i l ~ l:; iC) Gf C S ~ C inchiid i n S % 1.. 2. SS sc aratc prorlnsul S1 :'. A= aste Ilo~ncomorf cu rili17drrlI {(x, !I, :) E R.:I ,$ -1-I .[j2 == 11I . , .... 7-.,, 3. SR sc aralc c6 S1 : S1 csic l ~ o ~ n c o niorf c11 iorlrl !lrotnelric 7' := { ( x , !I, ): E G IR ' ! s =: (r, -1- r, cos cos q, {I = (I., -?-i.i crts Q) sill 9, z :-= I., sit1 ; 0 9 3z, 0 $ 2 z } , ( ~ c x Iig. i 5). 9,. 4. SB se aralc c2 D" >: 0 1 cestc home0111ort' cu 1 j ! l v q . Y' \y Ifldicnlie. Se defincglc f : I ) / ' ; 1, spajiul [Rn nu este homaomorf c u [R1. Demolzstra!ie. [R1are toate paancteIe sectionale de ordinu1 2. Pentru n ) 1, [Rn are toate punctele sectionale de ordinul 1. fn sldevgr, dacB x: E Rn,atunei Rn\{x) este homeomorf cu produsul 8"-'x W (vezi exerc. 5 $ 6 ) . Apoi, pentru rt> 1, este spatiu conex gi aplicindTeorenla, 7, renult5 ci P - I x R, fji deei ~"\4$) este conex.

OBSERITJITIA 5. Eexult~tulmei general decit cel a1 Cor. 11,c&R" nu este holneoinorf cu W n dacii ?B # w, va fi demonstrat in Oor. 3 S 3 Cap. IV. DEFINITIA 5. Ua punct x E S,a1 unui spa$iu conex, se numegte local secfiiolzal de ordio~ulp dae&orice veciniltate V a lui x contine o veciniitate U a lui x, incCI U\(x} are p colnponente concxe. COROLAR 12. Duo6 X' p i Y stint dnzcd spafia' canbeme homeomorfe, akcmci ace,stea a?( acelafi numcir r 7 ~pzrlzcte ZocaZ secfio+~,ccZede ordinlrl p, pelztrtc orice p = 1, 3 , . . . EXEIMPLUI, 9. Cu ajutorul Cor. 12 putem ciistinge din pnncl; de vecilere topologic spatiille din lig. 10.

submulfimea S c QC, cu

cclc") qi P = [ O ,

11 u

1: --

X = p u P,

nnde p = $1 (,,puri., iyI9a =I7?,...,; 0 < /J < 1

I

(,,pieptenele7'). Putcm ar%ta c& S este spatiu concs. P'antru sceasta, ref,lnem rnai irltii cG, prin Tcorc1-11a 5, P este un spajiu coatps. S& presupunenl acum c& A este o submult,irne deficllis& qi inchis$ a lui X. Putenl presupune c5 i e A (altiel putem lua coniplementara lui A, care este de asernenea ileschiss qi inchisg). Exist2 atunci E > 0, incM :Ivenl incluziunes (c j 1 c - i 1 < E)n X c A. Apoi, exist5 11

incit I-

+i eA

gi deci A

nP

# O . Ouin ins5 P este

11

~nult,ilnecones5 gi A n P este nevi&&,deschis& si inellis5 in P, rezult2i A n P = P, adic& P E A . Dar, =p u P +i p c A. Deei A = S, eeea ce dovedeqte c5 X este spatiu Colles.

1)II:ITINITIA 6. Se nu~neqted n t n ~ ,unind punctele at rji b, Pn syatiul topologic X, orice aplicatie continu& a : 1 = = [O, 11 -+ X, cu a(0) = a qi ~ ( 1= ) b.

DEFINIrPIA 7. Un spa$iu topologic X se numegte Eilziar c0me.x (sau colzex prhz arce) dacii oricare douk puncte ale lui S pot fi unite cu un drum in X. Aplicind Teoremele 4 8i 5 , obtinem teoreins urmitoare. TEOBENA 11. Orice spa,tiu liniar curbex este zcn p=~ +, spajiu copnex. OBSEI1Vl1TPA 6. Reciproce Teoremei 11 nu este adevirati, cum se poete constata considerind spa?id ((puricelep i pieptenele))*) Fig. 11 din fig. 11. Acesta este

--

*) In 1. englez5, flea and comb. Dac5 se ia XU {iylg f [O, I]) se obtine spaliul u pieptene r .

VOIUa r i t a acum cil X nu este spa@ liniar eonex, :~r&tindcA singurul drum Pn S care incepe din i este druIn111 constant. Fie a : I --. X, cu a(0) = i. Deoarece ( i ) efita: Enchis5 in X, rex~lltticA a-'(i) e s t ~inchis%( g i neridii) In [ 0 , 11. Fie %cum D = S n { ~ ~ Q = I z - i l ( l / 2 ) . Acessta este descliis$ in S,deci peutrn to E a-'(i) exist% c > 0, astfel incit 1 t - to1 < E irnplic& ~ (ElI?. ) Putem :~r'&taCG avem a((t, - E, f,+ E ) n [O. 11) = [i). Fie pentru acessta I t, - t, 1 < E, Pneit a(fl) E P. Dcoarece I? P P este o reuniune cle intervalc disjunote, intervalul contiaind punctul a(tl) este deschis si+ Enchis in D,cleo:lrece acest t

iaterval este de forma

+ iy 1y

E

[O, 11

cste descliis5. Aceasta ins&'contraeice conexititea ~nultimii a((f, - E , to + E ) n [O, 11). Prin urmare, nu exist% t, c.a rnai sus, ceea ee implies fsptul c&pentru oriec. I, E a - l ( i ) , t?xist;i E > 0, incit (to - c , to + E ) n [0, l ] c a P 1 ( i ) Eezult5 . (4 CK-'(i) este yi deschis6. Din conexitatea spa-jiului [ O , I], soxultii egelitates K-'(i)= [0, 11.

EXEMPLUL 10. Spatiile fiind convexe.

sn7Dn, Rn7Insiut conexe,

TEOREMA 12. Due&j ' : X -, P este o aplicajis comtilzzcii 8i X este lilziar comex, atulzci f ( X ) este zcm subspajizc lilziar

I

--

I-'

P t4

1

-

/A

$?

V

I1

= I-' B

I $52

m

V

P "

8 /A

"

Ch

1. S5 se vcrilice (lac5 rrrtncito:~rclc.ipa(ii pot f i homcornorfr ( ~ r /fig. ; 13). 2. St se nrate c5 sp:1l1~11IR* c-sle local conex.

D~inogtslrafic.I?%& ) = 0 an J(1) = 1, corolarul em ch j(o) > 0 si j(1)c' 1 $i estr tlell~onsti*at.Presu fie Func\ia g ( t ) - f(t) oeajr;lae ~ t econtinnil wem g(0)!I( 1 ) =- ,f(o)(j(1)ExintA deci, dup5 IAema, 1, 1 E 10, 11, incit g ( b ) = p, csrc irjlylic5 f(1) f .

.

-

COIiOLlllt 2. P i e f : Si-P [R o aplic.n,tir c:,?~tiltz(6.E.zist& ti", Q?tci*t j ( z ) = J(-o). I)en~o~cstrrr{ie.T'resupuneln co~ltI axiul, J'(.-") # j( - 4, V c ~ 8 l Defini~ll . k : X 1 + [R, h ( 2 ) = f ( z ) - j ( - 2 ) $1 f i e exl) : [R -, St, exp(t) = ezE?.Aceosta c ~ t e co~ltiliuB ( n z i Teoreina 8 $ 6 ) fji ~ Z T ~(Ih~ Iexp)(O) == 141) = j ( 1 ) -j(-1), (?A t ~ p ) ( l= ) h ( - I ) = f(.-1) .- j ( l ) = - ( h esp)(O). C'ont:ider;i~ll h e q ) 10, 11 $1 aplicXm IJPIII~L 1. I3sit;t:i clsci t E [(I, 11, irlrit (71 o esp) ( t ) == 0, adic& h ( c s p ( t ) )= 0, cleci j ( r ) - ,f ( -2) = 0, pentsu :: = ssp(t). att11~(4 N' E

0

0

0

0

3. Si se nralr c5 orice s!ll)~nulli~nc tlcscllis5 :I 1111ui spabiu local 1iil.i;jr conex cslc local liniar co~icsb. 4. Oricr sp:l\iu locnl 1i11i:lr ~ O I I C S r s l c U I I sp;t[iu local c o ~ ~ r s . 5. PIILI.-IIII spakiu loc:ll Ji11i:tr collcs co~i~l)onc~nLelc conrse si eclr l i ~ ~ . i a r conc.xe coincitl. 6. 1.11 s l x ~ \ i rt ~o ~ ~ c3ixIor:11 Ii11i:lr conex rsIcb 1i11i:irc o ~ ~ c s . 7. S5 sc! : u , ~ l rcb o sirmb Iopolo;:ic?i I I ~ 'sp:~!ii I f:~r~stlorll' ( ~ I C ~ I I I ;(YLB I!~) un spalir~I Iaustlorl'l ( I I O ~ I I I ; ~ ~ ) . SI. 1;ic o 11111l!itnc tlr :~plica[iic c l n l i t ~ ~ ~ c:, XI 4 I-;, i E I . 55 sc :II';:Iu c5 :iplic:t\i;i (:-: /L : .yi -+ J'[, ilcI'inil5 prin f(i, xi) :=z ( i , /'l(.vi)), iEI icl iEI csie conLitlu5.

u

ri

(:OltOT,Abli 3. La 26% aao~nclttr7ut f i pe frn c c w rrrare daE trl glohalzci terestrz~ e.l-iut6 o yereclre dr, y?tnc,te anti$clcictlr (v~rt:ax acecapl: te~np~rccl?l~&. Ut-rno,bstm@ir. Patem presupune c% temperatura, va1,iaz;i coiltiiiuu gi splicBnl Cor. 2. 13110PO%11'I.l 1 . P i c -d g i H do?&& ?necZ,tinzi plane ~ridrgir~it.,s.i ligii.sqcr.abilr. (tc c7iitiieTt 1)). Exist6 altcnci o drcapfic i'ir pla?b care frnl~arfeficcorc d i n celc doltd subt17i~Zt;ciri Irr figtcri ec.hiva7ettfe ((ire a c e e a ~ arie). l Facc.j~t precizar.en ;ic ,k y i 1) .re pol iider~ecta$1: c./i ~ b ~ rdtzt , ?nod 'I?P(~P,CCIP COIE f',) E'.

f n cele cp unncaz5 a70m (1s o ap>licaf,ic a i,~r'tq)lict5!ii f~znc(iilor continue.

LE.lIL1 I . Bacie f :I= LO, 1] + [R eslc o f trnc,tie cotz tis:?r(2 pi d u d f(O\j(l)< 0, af1tnc.i eri82& t E [ 0 , 11, tt~c*jlt, / ( I ) = 0. 1~cn~zotastrcc)ir. S5 prcsupunem c.& l ( f ) # 0, pe~ltrv'dl E i. Eezult.5 e 5 \,(O)j(i) < 0. Defininl CJ : 1 + 1-1, I ) , prin I ( ' -. ) Aceabta este continu& ti susjecti-vS (tleoa~sce g(f) ---

-

1 1 1 ,

I f [ t \ II >.I \

I

j(O)J(l) < 0).'ri~~incl sc:ul?a c5 I cstc sya!iu concxs,ac~t~asiat eete 911 contradicfie cu b'or. 7 a) !j 7.

COIiOLAR 1. Dacic f : I -, T cstr o fzc~~c,t:!ic co*ali/rur&, atzcrzci e.x.isici t E 1, Q I L C J(1) ~ ~ = I $1.

Plc.,,,otrslmafir. Fit. LdiO, r ) , mi di3e cu cel~trul in 0 -- (0, r)) E ~2 ,:i rlc raz% r., care cwrnztine nlullirnile -4. ti U gi fie R c.erc.ul i'rontier5 a l : ~ t c b q t a i disc inchis. Ale,~in(lo unitate d e luni~iine conven;~I.ril:'t,putenl presu1 , ( \ punc c.5, f i m e ciia\ met1111 @gal crl 1. \ i Peniru oriclc ./- 6 S 'i' , ',,/b ~ o ~ ~ s i d e r .di;~~i1e ; i t n ti nl 1 t i I .r'----

'

--'

*)

Aecasta estc teorerna lui Hrolver d e l~ullctfix.

( r o z i fig. 1-1). Fie &,

Fig. 14

I

a, pe A. 8%notan1 fig. 15. Not2;irn cu

Fie g , ( t ) aria portiunii lui A 1sitnal3 cie aceeaqi parte L, qi fie g,(t) aria celeilillta piir!i a, lui A. A w n gl(0) = ~ ~ (=10.)AtutlcI gl, g, : I -+ R sint continue *). Uefinimd : I -+ 03, prin f ( 1 ) = g 2 i t ) - ql(t).dceasta este continu& ;i J ( O ) = - f ( Z ) , adicii j ( ~ ) f (,nict, ql.po;~laece nici o vecln5,tatt>, de exeml)lu a lui 0, :iu cxte $:omp:tctA (accasla, pulilirlu-so sexit' C'B o r e i ~ r l i ~ ~infinit3 ne d e ~nultirniclcsrbhise, ilisjuncte, yi nea-ide).

!. 5.2 sc nmlc ci' o sum5 ttrpologic> cslc u n spaliu co:~apnct dircri si rl 111~ . i it1:tc;i :u'r 1111 11urn:ir fitlit tlc tcrrnetli ~i fiecarc tcrrnct: cslc coc111,act. 2. I;ic f : S -+ R o aplicn\ic c?nlinub dcfiniL5 pc: uil crri~~pact.Sii se aral,c c5 I' rstc 1n5rgirlil:i si isi ulirlge rnnrgiriile. Inclicn!ic. f(S) csle comp.1~18, deci c.jte 1115rginilti ~i inc9iisB. 3. SB :;r :tl.:~lc c8 oricc s l ~ a t i u1lan:idorff cornpact cste local cotttpact Sol~r!ic. I:ic .I: E S si V E V ( r ) d c c l l i s i . 1,uGrn C=S'\,I7. Accasta cste +iiicl~isB111 S y i dt1c:i cslc cornp:icl:i. Sc poule r c d r a ugor c5 R' yi (,' a11 vcciar~l;i!i~lcscllisc rlisjunclc R'_E I), ( ; c I)'. ~1L U I I C ~ , ZCS\D'c 1,. I ) c asetneucra, 1) cslr cotup;lcld si 1) E Y(.T). 4. SB sc :lr;~tccii orice spati11 riar~sclorrfc o n ~ p a c tcsie spnpiu r~orrnnl. fi. l'cliiru s p a [ i ~ ~ topologic l S -- !R, sc consictcri ncoperire;~ dcschisg 9: :{ ( I , , 11 ;2 ) 111 72;. 3: sc. nratc c.i trn nuillbr I.cI~cs!;uc a1 nccslcin cske oricc 11um5r O e: -< 1.

> 21,

s-

6. Considerind spatiul S = (0, l ) c R 1 vi 9 = {($I)

ill

SB

s c : ~ r a l ecd l'eorcrna 11 n u arc

10: pcrilru s p , ~ l i ineoornpuctc: I~ldicnlie.re11t r i ~orice c> 0, su1)11111l\hcca (0, c) n o cslc con{iitul5 fo

) . Se dcfir~estc a t opologic pc S* c ~ ra]nlol.ul vccin:il5(ilor (011s. 1 3 2). I ~ I I U ~ I Cdac6 , r e S * si 1tot5111 prin Yw*(~)mul(iruca vccirxilii\i!or llri z in X+ iar p r i t ~ Y ( s ) nlultiinc;t rrcinala\ilor ( i n S)alc unui putlcl .x € .\T, air111ci: \ ' e "V*(.T) due5 V E Y(.r) sau V == 1'' u {c,,), c o V' E Y(r), p c ~ i l r u x E S s i V E Y*( si nuin:~i[lac; csislii o i n i l l \ iluc C inchis5 gi cornpacld S,;~sli'cl incit T' 3 ,Y*\,(;.Sli sc ar,itc c4 : :a) S*e ~ l euil s p l t i u topologic co:n;jicl, :i\'lildl~-2 PC .Y C:I S U ~ J S ~ I ~ ~ L I 13) S* este s p ~ \ . i uI - l a u d ~ > r fclnc4 f si tlum.li dac5 .Y cstc Hau.;.dorf? ICLC~ coinpact I : c) Ilac5 S esle IIausd,)rSI, loc:~lc o ~ r l p ~ l si c t dacs i, : S -+ cste uq I~i~iaeornorfis~n p c complemctllara uilni punct, in spntiul Hnusdorff cornpncl s;,atunci m i s t 5 un bonrromorlisn~(atiic) g : S*1. Inclt gi =i,, pcirlro i : X ~t X* ir~cluziutiea; d) I.)ac:i S cstc co~llpact,atunci S" = S U {co). Spabiul S* sc ~lutncstc I-campnctificnlnl AI~n.n:zdrou n l sl:culitclui S, p u l ~ c l u l6) fiind nunlit p ~ l r l c de l ~ la ~ ~il!/'i~zif a[ ![ti I ~ f d i c d i i a. ) 0 acoperire dcscllisii a lui S* trebuie s2 colltirG o multime dc forma S*C \ cu C Il~cllisliqi cofilpactli 111 X ;

ST

SF,

x*.

b) I'rcsupunem c5 SCestc s],abiu I-Iansdorff si tic V E "f(x). T' :It%-. chi55. Alul(imea XV *\ este fnchisb si clcci compact&. .2tunci, dcoarccc A'* cste spatin IIausdorff, csist5 D E Y(z), (cr) h B ) ~i D'zSC'\V astfcl iiicit I ) n D' = 0. Avern prin urmnre n (A?', T) = 0, ceca ce i m p l i d 5 c X*\D' c V, cu 5 co1npact5; d) l3acg X este spatiu cornpact, atunci SC',,S = {m) este o \ecin5ii~ke a lui o $i prin urnlare acesta e?tc un puncL izolat. 9. Fie Vk(IT?n)lllultimea 1.-reperelor ortonorlii.ktc din Kn, ndjc3

SB SP arate cB Vl,([Rn) este un spakin Jlnusclorff compact. (Este ;i,:rnlt aarEeIrcle SLiefe/.) a unui spntiu topc~lopic S se noi!??:le 10. O rtcoperire clescl1is5 locul fil~ilii dac5 fiecare puncl n. E S :u.r o yccinfilale cr intcrscctcazd doar un num5r fillit d e elcmei~lea.lc 111iD. S5 sc : ~ r a l ecQ dac5 (S,(1) eslc rln spatiu n ~ c t r i c ,inr 9 -- { D i ) i E I esle o :~coprriretleschis5 local finil5 ; I sa, ntnnci exist5 o Pamilie { l ; } i E Idc Iunclii co~rtillnr, f i : S -+ IT?, IIIC!; :

>

i) ff(z) 0, V.r E .Y; ii) {.I: FX1 /'!(z) # O } c 1);; :!,(x)= 1, V x E S (ace:~sl$sm115este finits). 1::tl~lilia dc Il1;lCiii) \ i i { / ' , I i E r esle 1111niil5 o l)arli(ie e o ~ ~ l i fct~ 111?ik?/ii. ~/~? Incliccc!ie. S Iii1ic1 spatiu metric, pulcm ggsi tlo115 acopcriri de.:c:hjw -,, . 9' = { u ; ) ; ~ ~si 9" =: {.l)l1)i,-~, incit 5;' c D; si iji$c DL.P)eoar6ce Ur Y l S\Ili sint fnchise si clisjun_ctc, csisl5, dup5 Teorerna Ini Tilze, 9,: S -+ -+ 10, 11, colrtinnr, cu g i 1 1);' = I si q i 1 S'\,li= ,; 0. Sc tlcfinesc : ~ rlncj l

n X ' j , dup5 a) dcduccrii c2 xi E S j n X i= XI;. Deoarccc z , E I'j, -k;,3SJ si deci S j E Xi. Rczult5 c5 'I' n S j estc finit5 si, cum T' cstc spatiu TIausdorli, decluccrn c5 'I' n S j cstc inchis5. Prin urnlarc, {s.} este o mulkime Jn

ir~finitScu topologia cliscrcl5. i2ccastn cstc Ins5 in contmdic\ic cu. faplul cfi rl-~ultimcaf r . } cstc co1nl1nct5, fiind inellis5 in compactul I cotlfii~ttA~i .T:, fst(>C ( ~ C I vjai tare trl~~ologie cts uce~rc~tiipropi-ic/nl/~. :Tp se 11nmcyt~cfopologic (,!I iar (.YIP, T 9 )clste ilulnit .~p'!/i?r (;?t h:LLL ~])a?itl,fllctor. dP~rnotzslrcx,fi~~. I )efinil~iI ) 5 ,Y, =x-l( 7)) ;T . Sc ol,! irlc, in 1110(1 cvide~it,o tol)olocie i l l r S ; ~ l ) o(+11 ~ t cnlc z cslc o apliri~ticcontinus. 1):~c:i .Y-' c < I o :11t 5 topologie 1 ) S ~ /p, ia~ricport c a v:ue x cstc c.ontil~o:i,$i r l ~ ~ 1)' ; i E Tf, nlllriei n-'(Df) E F ~i dcci 11' E ,Tp. COIXOL,ZI1 I . 0 r~plir.ri!ic.,/ : .Y/? -+ ZT', Sit'r-wtz sjtm/izc S r ~ ~ fSngie i arhitrur, cJst/>cotttir~t f f i t1ac.n' g i 11 liltini docit f 7i cfv;( c o ~ ? t i t a ? i ~ . d:OROT, 131 2. Ducii -1- ;i Sf si'itt ~ l o l t i isi)/t$i lopololgicn pe rai f : A P;' o i~plicatieeoniin~zi't.~S'pcx,till1 d r adjt~~?~'!Z'e I;, u A' cste spat,iul cit (UU S)/ 3;, undo, pentru cl, 2, E 23 ,' avem x, p", e x, = z, ssu gl E A ~i z,= j (zl)S:IU invers, n ~ 3E A $i zl-= f jz3), hau zl,z , E A Fn j jr,) = B f (2,) (rezi fig. 1 7 ) . NotGm prin p, : B -, x 9$1lX - - + B u d - , q?:X--,I'u U X iilljcctiilc cantmice gi prin x : B u S - + R , U Pin\iit0poi o g i ~ r .ictunci f c \ t e o aplicatie clc ic1~1ltiIic~rc CIRCA~i ll~r11aidacd f CSLC ttn I ~ o , : ~ c o r n o r l ' i s ~ ~ ~ . 4. Fie /': .S -+ 1- o nplicntie cle idclltificarc. C;nc eslc topologia lui 3' tl:cc;i : a ) 'Topc~logi:l lui S csLe eca discrc'l5: 11) 'l'opologi:~ lui S e?:c t:~itiittiali'! 5 . 5 3 sc vcrificc clac8 urnl5toarelc nplicatii sir11 cle idc111ilic:u'c : 1- -t S,S X Y -+ Y ; :() iJroicr\iilc S 1,) I(%, (1) E ~2 1 . ~ . ~; 1 O] -t R, (2, y) ;--t .r ; c) I( ,Y, {I)E (R' IX2!p = 1) -+ &\{O), (X, { I ) I-> R' : '>%it . d)' c s p : I 4 St, esp(f) -; e, 9e ) c u p : R-+ cxp(1) = :?plicntie cle idcnlilicare si fic I:f = [(s, N') € S '< 6. 1:ic f : .Y .+ x' V I,~!.,:, : f(s')). S 3 sc arntc GT : a) I)acd 1- cstc u11 s[)a!irr I tausdorl'f, cstC >.: S ;IJ) I)nc:i f cstr dcschis8 si :itu;-;c; I:) cstc illc11ic;s in fttcf;ii.i 111 +Y x .\-, atullci 1. cslc un spabiu 1Ia~lsdorIl'. 7. !:it: f : .Y Y o nplicnlir corili:1115 si f' : S Y (1) -+ P, apiicatia [(.P). I.)coarece S X (1) cslc s u b m u l ~ i n ~incll1s5 c n lui 1 >: I , i . 7 , 1) PU!~:11 cot~siotcraspnliul clc atljunclic J I - - 'l' ,tJ (Sx I),liumil ciliirdr!~l f se d ~ l l l l ~ ~prin t e C! = I \ I ~ / S .[o). rrp/itcir.ti!.i I: i\poit corrirl aplicrrlici Sc cc'

s'.

7

<
{,ie. In c~ontinrlareutiliz5m rationamentul di11 Ijrop. I -r. HIEITIXZTIA. 3. C3rnpnl multiplicatir (C* -actioneszA la, stirlga pe spatiul ..T = Q"~\,{O], prin 11 ,?no~norfisinul71 : -- 11(S), clefinit de h ( h ) ( . 1 6 ) AS, j b E J- E S.Ap~$inlorbitelor, care pontc f i intcr.prctwt (:I rrlul1ialea tll.cxptelor eon~plcxedin (Cnfl, trecintl p i n or~gjne, estc not:tt Z'a" ~i se n111:leste spalizrl proic.eliv c o , ~ i : ~ ~ 7 e a n-ili,~,n?sionnl. ('onsitler~~~n rel:if ia, I:, = , fel cstc 7i PC".

JI)1SFINITIA4. Proiec~iacaaonic; q : SnL1-+ Y E " cste nutwith aplicafia lzci Hopf. 111 mod analog Prop. 15, ol,$inem propozifia zum2~ O ~ X P .

*,

c*,

-72

,

I:'

*) rlcc5t r e ~ u l l a tde \cufuntIn~c .I synlrulu~ yroleci~v Intr-un bpstiu ruclidzan nu csle eel m:u bun Co1:forln ieorrmcz lui M7hitneg 157, 'l'h. 51, PR'' se poote scufunda fn R2 (\ CLI,de nsemenea, PIR1 = S1 si Prop. 15).

>' /
0, incit d(a, a,) < 3~ ,LG implice f ( a )E U, a E A. Fie V = (x E X Id(%, a,) < c3 ki W alese ea in Lcina 1.Tiom artita, c5 pentru x E TV\A gi Q1(2.)# # 0 avem J(ax)E U 8i de aceea, din convexitatea ILI~ U , va rezuIta, o& x E W\A atrage g(m) @,(x)j(ax)E U . Or,

---s. A CA

@i@x(x)# 0, ravem m E DLn W # @ ti deci XA E DAGV. Prin urmare, d(ao, ax) G d(a,, a:;.) d(n.i., ah) G G d(a,, mi) 2d(xh, A) G 3d(ao, xi) < 3s. Din modul cum a fost ales E , dedt~cemj (ax)E 77.

dac%x

E W'xA

+

+

TEOREMA 6 (teorerna de sonfundare lKura,towski-Wojdyslawski). Pentru fiecare sp$i~b metric Y, exist& an ayajiu eeci%riaZ lnornzat ( g i complet) L p i o scujandare 32 : Y L, z"ncSt h ( Y ) este o subnzfbljirne Snchisci a fnf@udtoarci e m vexc *) K a lzci h ( Y ) . Ilemo.nstruJie. Putern presupune c&rnetsica, d $e T,' esie &r@nit& (^incaz contmr, putem inlocui d cu d', cic~finitii

-

prin d'(yl, y,) =

,

~ ( ? / I ?I21 Y yl, e Y). ITorn lus E/ = 1 S d ( ~ l~ , 2 ) = {f : Y -+ l'j j mlirginii%j. Tntroduceln norma I(J'll = =s?p IIy E Y ) . Pentsuy E Y , considerhaplie~~ia, m&rginit5 J: : Y 4 R,definitg p i n Jl(x) = d ( x , y). Fie h : Y 4 --+ L dati de h ( y ) = J". Avem atunci 11 a($,) - h(y,) 11 = =SUP(Id(Y, 91)- d(Y, 9,) I YI E YI < ~ ( Y I ~, 2 ) Dar, . Pentru 9 = = Yz, rt?zultg Id(y, 91)- d ( ~YZ) , I = d ( ~Y,~),, Pncft! ~ ( Y I )- &Y.) 11 ~ Y I Y,)., Prin urmare, II fi(3,) MY,) II = 8(9,71,), care arata c& k este o scuJwndare ixometi.ic& ~i deoi o scuRuzdare towlo~ic5. -a - Fie acum E fnf&~urUoarea eonvex&a lui h(Y) in L,. 6% ar2ittim cg avem E\h(Y) deschisg En K . Fie g E X V z ( Y ) .

(If(?/)

-

*)

Iniersectia tuturor submultimilor convexe ce confin h(Y).

EXEIIPLUL 8. I n , R ~Zin, , pnaint 8pa,$ii metriee AE ,ri deci gi AXE, AX qi ANB. TEOREIXA 8. Procluszcl to3)oZogio a1 unei naul!i?d f ilzite de s;tqfii AE (AINE) a t e ua spa$iu AE (AXE). Drnaonsfrajie. Fie (X,)ieI o mu1;ime dat5 de spa@ AE (ANE) gi S =rl[X,. iEI Daci (Y, A) cste o pereehe, cu Y E d , *)

f'ei~lru tnai mullc proarietati ale taI&$udtoarei ~on?~exe vcei 141.

89

5i obtinem o retractie 7" : --, Y1. Deoarece Y E AR, rezultii din Teorema 1c& Y , E AE. Se %rat&in mod analog c& Y, E A R . iv) Condit,ia Y oE AXE implicii existent%unei vecialit j t i 77, a mul$iinii Yo in spafiul Y , incit exist5 retr:~cldile ri : Y , n 17, -+ Y o . Definim

gi ob$ineili o retraciie I . : UoU 3', -t 37,. Cum Pi, u 91: esta o vecinstate a lui Y , Pi1 spatiul H gi deoarece X E -4N1[2, rezulti usor (vezi eserc. 3) c5 37, G AXR. i n mod a.n:tlog se arat5 (xB Y , E ANII.

1. S:i st! :11*:1lcci"i Lorul 7'n cstc un sp:i\in :\XI: .;i .\Nit. I~rdic'c!/ie.Sc! ulilizcnzG (:or. 2 s i 3 . 2. S:i sc ar:~lc rfi cilii~tlrulrolnp:~cl, s:~u u c r o i ~ ~ ] ? : ~;11 c t ,u ~ ? uspati:? i AlC (AN!.:, ;\Io aplii:a$ie conliin~B,r~m~iitR (7~)onzotopie a lnif, cu f,, E' : S x [O, 11 -+ -+ Y, h i t li1(x, 0) = fo(x) si El($, 1)= j,(x), V .7 EX. Volll 11ota P :j, j,. Putem scrie Elt : S -+ 5', t E I = [ O , I], cu .Elt(,%) = = E1(,x,t ) qi Po = j,, PI= J,.

-

EXEIIII'LE. 1. Pie J1' = Y = Rn,f,(x) = x, f,(s)= 0, V x E Rn. Deliniin P : [R'" I + R", prrn P(Z, t ) = = (1- t)a. Atnnci 2' :jo-j,.

2. Fie S un spatiu topologic arbitrar Vi P o subn~ultime eonvex&in IRn, iar f,? f, E Top(S, P), arbitrare. -4pBicat;ia P : X x I 4 Y , definit5, p i n P(a,t)= (1- t)f,(x) f tf,(z), satisface P :j, j,.

-

+

0BSERVAT114 1. Dac& j, rr I,, aplica$ia ce realizeazg omotopia w,estora nu este in general unic5. Pentru exemplul I dc ma1 sus, dac5 x., G Rn este nn l ~ n n c toarecare, atunci G : R n x I -+ Rn, definiti prin

-

este o aplicatie fontinus gi avem G :f, f,.

DEPIWITIA 2. Fie J,, f, E Top(S, Y) gi X' un subspatiu sl h i 8, fnci't f, IS'-- J, IS'. Spul~einc5 joeste ( h ) o n ~ o top& cu fl relativ l a St (se scrie j,=j, re1 S t dac:?, esistk, o ornotopie "1 S x I -+ Y, a lui ,fo cu f,, care sntisface s^n plus condil,ia : E1(x', t) = j0(.xt) = J,(c'), Vx' E S',V1 E 1. Vom iiota J1 : f,- f, 1.81X'. I h c 5 .St = @, obtinen~Dcf. 1.

EXEML'LE. 3. S = T'= IR" X' = [ O ] , f,(s) = 2, J,(x) = 0, Vx E X . Atunci, P :j,- j, re1 10) pentru P(s, 1 ) y = (1- t)x. Omotopia G din Obs. 1 nu esto onlotopie re1 (0) intre f , qi f,. 4 . X = P = I , f,(f) = f , ,f,(l) = 0, V t E I. dtumzci, B :f, r f , re1 (0) pentrn E1(t,1') = (1- t ')t. F;. A un spati11 topologic arbitrar, Y o subm~~li,ime convex$ din [Rn gi X' E X o sub~~iul{,i~ile arbitras5, iar joy j, E E Top(S, Y ) , cu f oIX' = j, 1s'. htunci. B : S x I -+ P, definit; prin P(z,t ) = (1 - t)j,,(,x) + tf,(lv), satisfnre P :jo-j, re1 St. Dac.5, f E Top(X, P), A c S vi U c Y, incit j(d)c B , vom ~ c r i je E Top(S, A), ( Y , I ? ) ) .

IDEFZNITIA 3. Dac5 jO, j1 E Top((S, A), (T, I:)) qi

S'zS, incit j, IS'= j, IS', Torn spuilc cB J, este (11 ~ 0 ~ 7 2 ~ topd cu f, rczlaliv la S tdac5 exist&o orliotopie P : S x 1 + --, Y, relativ5 la X', intre J, ~ij, $i astfcl c&E1(Ax I)cB. Voiri mai scrie I{': (X x I, A x I) -+ (Y, 13) sau P : :(S, A ) x I + (H,H ) gi vonz notn, C& ~i in Dcf. 3, F : :jo-fl relX1.

[email protected], 6. Fie ,T = P = D2 = (x E C Ix = relo, O < r < 3 , 0 ,< 8 < '3~;) ~i A. = B = S 1 = { , ~ ~ ( J : ] s = r ~ o , 0 G 8 G 2x1. Fie j,, j, : (IT)" S1)-+ (f)" AS''), f o = Idol, f, c~pliclxfiaa)btipodalci, aclic& si~netria hi3 tle origine (f,(t'elO)= rel(o+z)),iar ,T' (0). Atunci, jo=jlre1 S', ]twin omotopia P(reio, t ) = ~ t . l ( ~ + ~ " ) , Vrolo E D" V t E I. O a1t5 olllotopie estc P'(relO, 1 ) = r~l(O-'~.'.

Continnitatea, aplicatiei L reznlt.5 din Imna cle lipira

-

TEOREILI 1. Dar.6 (S, A ) c.ste o pcrcche IopologicG si X ' G S , at~nqzcionrotopin ralatz', I --+ (Z, C'), cu go= y, re1 P'. Avem gojo=goj, srcl S 1prir1.in , ornotoyis (.Y: A ) ,:I go +

(%, (I).A-poi, gojl = g,j, re1 *,%'I

x I -+ ( Y ,H )x I gofo=gljlr e l S ' .

(; --+

F

', 11ri11 ornot opia

(P,H)5

(X, -4) ;:

(8,C). Aplic*ir~ilTeorclma I , obtineln

NO'I=Ir$IX I. Xultimea clasc~lortlo 011101 opic ale nplicatiilor (,Y, A ) -, (Y, I)),rcblativ la St.se no1 en& [(S, A), (Y, 13)Js/.l)itc& S' @, acesla riu sc 111ai scrie. Clasa dtt. echivalenf.8 01~10topic5a, niiei aplicatii j se noteaz& [dl. ;

clim

cste sucerat in fig. 2s.

l)13FINITIAP 4. O aplicalie c*ontinu%tle perechi,

1:

:(X, A)-+(Y, B), se nulrieate ec.hivaleiz,tci on/oiu?>icd,~i cele

dou& perechi se numesc echivnlente olrrotopic c1ac.Z exist5 g : (Y, B ) -+ (S, ,I), incit gj= l , ~ , j. , g) ,l(Y,I,) ~ (omotopjille fiind relitliv 1s lnulfimea vitlil). Dac4 .A = 0, U = M, s-punem c& spai,iile topo1ogic.e S ~i Y sirlt rc7~iunlr~:c: o ~ ~ ~ u f cmu )pi~ c& ' acesteal a u acelngi .lip clc olrroioyit~.

COIiOLAI1 1. Ot~botoplay ~rer.hilor cle spccjii ic~polclgiae (21% particular. cc *~pa,tiilortoj)ologicc>)~ s l co rr7cc(ic! de trhiV ~ Z C Y ~ J '~ ~ . OBSEIiVIZ'I_'IX2. D O L K s1~aSii ~ topologice 110n1eomo~'fe sint echivnlente ornotopic. lieciproc nu este aclerlirst, culll se va vedea in numeroase o x r n ~ p l ~ l .

DEFINITLI 5. Ua spaijin topologic X se numegte covlractihil clac% apl'icatia identic8 Is esle oinotop5 cu o aplicafie constant% Y 4 {.co). 0 oinotopie clintre aceste d ~ u aplicatii 2 se n u m e ~ t eco?ztrac!ia leti X Qnso. ESEMI'LUL 6. Orice mull,ime convex8 din Rn e ~ t e rrn spat;in contraetibil (rezi csemplul 2). LEMLI1. Oricare sZo114aplica/ii contilzzce htr-uqt spajizc ~iu)~Jr~(ctibil s h t olnotope. Derrton.sfrafic. Fie Y uu sps$iu contractibil qi fie 1, e,,,, uside e,, exte aplicatia constunt5 Y 4 {y,). Fie fo, f, :S+ += ' 3 dou8 aplicafii colltiilue srbibrare. Avem l,f,z e,,j,, cleci f o - r,,,,f, $it in mot1 analog, f l - ey,f,. I)ar (el,,jO)(x) = yo, (loci p,, f, = f, = eye. Rezult6 e& j,, c?: z,fl= c,,, 1111clc cy, este aplica$ia constant& S 4 {yo). COIIOT,1111 2. Dac& Y csle 2112 spafiu coniractibil, alzotci doirci aplicafii cortstante ale l u i Y Qn el tnsugi slnt onzotope p i rc)~licn]iaidentic& lyrste o,)zotopd czc orice apZica?ie COW

-

-

sla ,LM.

&'OItOL.lR3. Orire spnjitc contractibil este liniar cdlzex. Demonstrafir. Fie , I J , , ~ /E~ Y qi 3': Y x I -+ Y , cu P;y, 0) = ?I,, P ( y 71)= y2, V y E Y. Atunci, pentru yo Pisnt, aplica$ia 2 : I 4 Y, u(t) = 7r'(!jo, t) u n drum iu P, ce uac$e ?I, cu y2. TEORE\IL1 3. Un spa,/itc topologic este contractibil dnc& ,yi nu,nai clacG are acelagi tip omotopic cu ten spatiu fornzat dinlr-zclz siltgtw p~iract. Dcnzonstru$ie. Fie S contractibil ~i P : X x I 4 ,Y o contractie ;I, sa in LC, E ,II. Pie P = [x,) gi f : X 4 P, j : P -t S aplicatiile evidente. Atunci, f j = lp ei E :Is c?: j o f . Prin unn,irp,f estc o cchivalent5 omotopicii. Eeciproc, clac3 S are acclaqi tip omotopic cu 11x1 spatial P, constincl ilintr-un singur pnnct, fie f : X += P echivs1enfB omotopic2,, cu inversa g : P 4 9.Avem lX N gf = = c o n ~ t ,cleei S e5te contrsctibil. 0

COROLAR 4. Orleire doud spqiii contmctiliile all, accla$ tip ornotopic ,ri orice aplicajie continzcci Qlzlreclouci usenzenea spa,tii este o echivalen$&onhotopicii. ci TEORETCIII 4. Dacn' f o - Jl : 4 Y, a t ~ ~ ? z ap7icajiile (jo)*,(jl), : z,,(S) += z,(Y) coincid (vezi $ 7 , dup5 Def. 5). De,nor~stra,tic. E'ie x E Y. Atunci, (fO)*(JJ.L) = LfO(?) ~i (j,),:(L ,) = Lfli,,. Pentru a arnta, c5 Lro,,,= Lrlclr, este sufieient s& ar51krn c5 fO(x)gi jl(x) ;)ot fi unite cu un drutu in P. Fie P :focij,. Atunci, u : I -+ Y, u(t) = P(x,f ) , aatdsface ~ ( 0= ) jo(x) qi ~ ( 1 =)Jl(x).

d:OIIO1,AII1 5. Dncd j : X 4 Y este o echivaZe~~j& omotopic.6: ccilozci f,: x 0 ( S )-+ n,(Y) este o bijecjie. fsz parlicz1'lcdr, un spa,tiu rchivalent o?notojic c~ un spa]i?c Ziniar conex eslo el f,?,su,riZiniar C O ~ L ( > X . e)eirzo?zitm]ie. Fie g : Y 4 S o invers ornotopic5 CLI j. Averr~qj- Is, fy- l y ~ ( y j ) + = ( l ~ ) : k = l n o ($i, ~(jq),=(ly):2= , - l n " , l j * g*,j*:= l~o(.s), j,g, = L%,,Y,~ gi prin llrll~aref * este bijeci,ic.

TEOICEAIA 5. Fie 2, E X 1 & g i , :Sn f -+ Y o aplicafir,co)2ti'fzti&. Atzcuzci, etn,a&toarelecondifii sCnt ecl~ivalente: i ) f e.ste nu1 oll1olop8 (adicd onzotopd cu o aplicaJie consfant&); ii) f are o extejzsie conti~atclila celula Dn+l; iii) J este nzcl onzotopd relativ la {x,). De,noqzstrafie. i ) => ii) Fie P :J- e,, pentru yo E Y, deei P : Sn x I 4 Y, P ( x , 0) = J(_N), P(x,1)= yo, z E SR. Definim f ' :Dnfl 4 Y prin

'

Deoarecc ~'(NN, 1)= yo, b'2 E XR,iJezul15 cS j' estc b i n e definitii gi apoi, utilizincl lema, de lipirc (Teorema, 3 $3), se deduce imecliat eB este qi continu&. fntrucit I+'(,-,0 ) = = f(z), Vx E S " , rezult5 f ' 1 S I L j. ii) => iii) Pie j' : DlcA1-+ I? o estensie. a lui J. DeB:lirn P : Stax I -+ I' prin P(x, f ) -- f '((1- f ) : i ,f2,). .\tu~~c:i, P(q 0) = f'(2) = j(x), ,:(Zlf 1) = J ' ( 2 , ) , Ve E Sla~i P'(:(,, f) = = f '(ao) = j ( z o ) , V t E I . iii) 3 i ) Este cviilentti.

(Cb)JtOJA.\3t 6. Ir'iccnrr ccplicu,/ie iirrlr-?c,~txl,u!irc coszl~~aclihil sc ]mate c s t i , ~ d ela Dl1-1. De~nolzsim!ie. Se aplicg, Teorelna 5 ~i Cor. 2. B ) E I ~ I N I r ~6. I ~Tjn I s~~l)spn!iu d a1 unui spatiu topoloqio S se n u i a e ~ lr~lr'notci t~ s1nl)ic u lzci _T(lac5 incluziunea, i I -4 -t S ilILe~111in17er.s 0111otopi~la stings, 2dic;i exist% r : S -+

~ _ t

-

-t 4, incih ri 1.,. Aplicnli;~,c.oi~til~u:ir. se numestcl i ~ i'rnc.$ie slnbic. 13ste evitlel~tc;i il:~c;'i-4 estc rclraot?i a Itiii -3"

cste ~i retract% sla,b:i. 1:eciproc nu este :~tl(h~;r.nt.

ESE.\IPLtTL7. Fie S = 1"i -4. ,,c;pa!iul piel)t,cwe'' din Ohs. 6 $ 7. Atunci A nu clste retract5 n lui S ( ~ 4 eserc. 6) dar atit A cit +i S sint contracti],ile si, nplicinif Cor. 4, rezult5 c5 inclnziunea, 1: : ii ~ - Xt este o ecbi~-al~nf;i omotopii*&gi prin urmare -4 este o retract5 slnl& a 11:i -3'. J)EFINITIA 7. 0 t7~jortrlar~ n spalinlui S in \uiis]~:ttiill A c S este o olnoloyic U : S x 1 --t S,Eueit U(rc,,0) = = .T, D ( s , 1)E-4, V X E A . T)%c'%, in l~lus,D ( A x 1)E --I (rcsp. D ( n , t j = ct, \$(I E A , V t E I ) , atlinci D sc I I U I I I C ~ ~ Cwtrnc:fir *(1~1r( ) clr tlcjortncare iar il. este rril-acid (/at.(.)IIP (I(:forttta/~~.

ESElIPLE. I!. I1i1c;i -y c [ R l 1 tLslco ~llul!irnc. c o n ~ e x i i vi .I -- [.roj E S,:tlrknci ..I c>stc r~i1*:1(*15 IRIT (Ie (1ef~)rInare u lni S. 9. 8 f t w 8" cqtc ~ctr:ictfiiarc (It. cleloiulare n sp:tlirll:~i W1"l'\,~Oj. -$j)lieai,i:~I): ( ~ " " 1 ' ,:o]) / I - + R71L1' [ 0 ) ,dcfir1it5

.

prjn b(s, t j = (1- i)r +

.,

f . ~ ---

.)a

e Bath-'l\\[0;

i

E

1,este o

Ii*2;1

rut,r:acfic tare de cleformare *'.

B,PI:'\EA 2 . ,Spafiu7 S are ' o d(;1 de tlef0rll1al.e a p5tmtului I?, dar 1114 e ~ l cretntf.h&

?nd3rm.f41

TEOII\E\IA 6. 0 nl)lic.a!i~j : S -+ P r s l ~91111 o)t?o-I(ij~ii ic n ltri f, 1214 rnai d r ~ c i i ~ . t * i s t ~ ~ ~ ' l e ) b s (+ontithtlil f : &YAP+T,?r lsde C S estr c o 111~ 7 f r i S (vezi eseml)lnll $10). II)rnlowst/'afi~.Pie P : 9 x I 4 Y, cu E1(.c, 0 ) = J ( z ) , J7(,t-,1) = ?j0. Deii~lil~l : CAY -+ IT, f([x, i]) == F ( x , t ) . Aplicati:~ esto hine clefinit&, deoarerc dnc5 t = 1, 1i1(.r,I ) == yo, V x E S.Este yi contirluii si clac;~iclentificlirn ,Y c.u ,S :; [ O ] c Cay, %veil1 f ( [ n . , O j ) = 17(c~a,0) f ( x f . Dir,i j extinde P P f . R O C ~ ~ I Ydar5 U C ,exist5 j : C I + P, cu jl X , :O; = f, deliniul 3': S i: I -+ T plain T ( , r , t ) = (?ac.i; si

3.

=;

= ?([x, t]). Aplicatia B este continu% pi avem B(r, 0 ) = =

01) = f(x), P(x, 1)= j ( [ s , 11) = j(v) = oonst. TEOREMA 7. Pie f :X -+ Y o apliX' ca,tie eontinu& p i .+Ifcilindr?rl aeesfei nylii , cafii (vezi eserc. 7 10). Exist& alqtnci o diagj.anz& conzzciativd adicii f = r c i, ~ m d e +' ,' i este i?zcl?tzitcneaf i r este o ec7zivale1r~lioY motopieii relaiiv la Y. Bei~zonstra,tie.Fie ele~nentelelui $If, [x, t], cu -7 E X , t E I @i[?I], cu ?/ E Y. Definim i(x) = [x, 01. Aeeast:~~ s t e o incluziune, deoarere [q,0] .= [a,, 0] a xl = x2. Fie "poi j : I' + Jff, j(?y)= [?I]; @I eceastii al~liea@eest (3 o incluziune. 111 sfirgit, fie r : M, + Y, r([x, t]) = dneg ' X E ~ ~ , Epi I ~ ( [ g ] )=?/, V ~ Y.E A ~ e m r([x, I]) = ==J((Lu)=~(Cf(x)]),deci r est e bine definitg pi cum compwlllentele .L x f -+ Y, (m, t ) l-cf(x) pi Y + Y, 1-c.1~ sin$ continue, rezult& c% r este continu5. Comutatlvitateit diagratnei : r i ( ~= ) ~ ( [ x 01) , = f (x).. $poi, rj(?/) = T( [!!I)= = g, dsri rj = 1,. h sfirpit, deflnmm R : JII, x I -+ M,? prin I?( [,r, t ] ) , t') = T a r , (1- tf)t + t'], ,X E 9,t , t' E 1 81 a'([!/], 1') = [ ? I ] , ?/ E IT,t' E I. Se verific5 imediat c.5 P este bine definit5 gi continwi. Apoi

pic$. Deoareee r este Pntotdeauns d echivalenl,& ornotopioi,raultH cH i este echivdenfi ornotopic&. Din demonstratis Teoremei 7, avem de asemellea, cii incluziunea j : :Y + Y, este o echivalenfi ornotopic& *).

;*I

f

[

~

m

-

1. S6 se nrnlc c5 dnc5 r0, fl : X-+ Sn s111t dou3 nplicatii continue, 111rlt Lb(x)# -f,(x), V r E S,:iLunci fi, I;. Indicuiic. Sc pontc construi F : X x I -+ 5" p r i ~ i

)

fo

-

2. S5 sc arntc eii dac6 f,, f* : S -+ Sn, n

2 1, nu sint surjective, atunci

f,.

J~~dicuJie. Dae5 2, 4 fb(S),zl4 f,(X), atunci, chp5 exere. 1, se obtine unde E Z estc apltcatia conhtnnI.1 S-t : z ] . Sc arat5 fl N E -

fo 1 : E-I,

=I'

0

acum usor c5

N E-,

E-,

-0

-1

, deoarece Sn este

Ifninr cone>.

3. Fic iP,, fl : Pml -+ P @ , aplicatiilc clefinitc prin f o ( [ a ,y]) = [x, ,rr, 01 si rcspcctiv f;[z,g ] =- [z,-g, 02. S B se construiasc5 o olnotopie

4. S5 s t aratc c6 dnc5 X c5te sgntiul iPin cxenaphil O 67, ncc5ln cste -+ f (0, 0)) 31n este o1110top6 CU conlr:~elibil, cklr aplicatia con5Lanlfi

Illdrcujtc. I: : .Y X I -+ X, I:((x, g), 1) = (0, 1)+1(", I] - 1) = (tx, 1 t(y - I)), c:ire nrat5 c i S este contractibil. Penlru partea a Oana a clernon~tratieivcei, de exe11sp111 [43, cscrc. 2.4, p. 121. 5 . S:i sc arate c6 bnndn lui Mobius are aeelasi lip de olnutopic ca gi cercul Indtcalie. S1. Exist5 retractin inre

Prin unnarc, B : lhf1: jr re1 I.'.

+

J

COROLRR 8. Doziic spnfii topulogice S 8i E' nzr c~.c.~lo;,ri tip ornotopic daccF p i ~tztljlaidaoii a c a ~ f ~ potfi a sc14frfltndate ca jVetracteslabe de dpforntare tlz acelagi spnjilc Z. Dcmomstra,tie. Dac5 i : S ~ -%,t j : Tr C+ Z sfnt echivalente omotope, rezult5 cii S qi Y sint olnotopic echivalente. Reciproc, fie f : S -+ Y o echivalentii onlotctpjc5. Atunci, dup& Teorema 7 , f poate fi scrisg ctrcpt compuner r a S -+ Jff 1 .Y pi deci r i este o echi~alent5ornolo0

dc deformare D : d l x I prin D([x, l], i')=

Fig. 39 *)

(vezi fig. 29).

-4

,$I, definitg

I ( :I x, --i

Ariitati cii Y este chiar retract2 tare dc defor~nnren Iwi ~VJ.

l'+t

6. SB 'ic arale cS spaliul ,,picptcnc" A 11u cste retract5 n 11li g = 1 2 . Solu!te. I'ic r : X--t A coutinu5 s i saLisIRci~ld co~ldiCia rlrl = I,,. 1 Considcrin~birul z , = --- -1- i E X. Avem lim 2% = i, deci lit11I.(-,,) =

II~T 1

= r ( ~= ) i. J)ar, tlconrccc --

: . :I]

n+m

E [ r-----L I

1 2 6

-- (pentra n

(vczi rig. 90). Puten1 divizn inlcr\.ahfl 1 =

?1-+oo

> 21,

bl lilorl sir11 I n rompo~irlllctlil'cr;lc nlc h i I;, exis16 U I I llritll 111111etnl tli\iz:irii lui \:ill a-(1) E (1. I, 1, pcnlru c:lrc a+(l)E x, 0. J:ie, tic c\c8111l1lu,v . + ( l )-4. ~ Attillci, ?-(I) chle 111 ~iiiij>l:>~l:~l


0, 311ci1 cl(x, !I) < 8 tf(II(z, I ) , I{(!/, 1 ) ) < c, V i E 1. 1).1r,

8 > IJ

(r,

,it!7~1,,%

,(.(x.

*

1

Oj $i ((t, t') limi inchise in I 2 .

E

121t + (! - l ) i f < 0) sint su1)rnulI

TEO~EMII4 (EIEP). E'iecare spa$iu P E ANlt aye propri~tnteade extmzsie a o7tzotopiei 3.n rupo~tcu t o a / ~i))rr~c7iiIe (_T, A), cu X spatizc rnetric p i A o sub)nzcl!i71~cillchis& a lzri X. Pentru dernon~traj~is teoretnci stabililn mai irltii lcma urmitoare. ZEUA 1. Pie S qrtz .spafi?c~tic'fric,A o sul)nz?c7fitnrilrlc.lris& a lui X $ Vi o veci?z&tnic! desc7~istin Iui A "Liz S.E'xistd a! ic9zc.i o uplienfie conliqz~ccr'r : S x 1 + (Tr x I ) u ( X x ( 0 ) ) n crirzri ~c.rtric!:!iela ( A x I)u (X x (0)) cstp i,ncLzrxi~rrzea. Donor~slra!ic. Dup5 1~er-n:~ lui Urison, esistii (1) : _T -+ I, o aplic;tl,icl continuii, cu iI, Id =-= 1 vi d) / ( X',T') 0. Fie r : ,I_' x I -+ S x I: aplicatia clefinit5 prin ?.(a,, f ) = = ( r , (l)(z)t). Avem atunci v(n3, 1 ) E lr x 1, V.2' E 1' qi r(.lB7 t) E X x [O], V.2: E S\Tr,d e o % r c (0~( . x ) =- 0. ~ ~ P Z I5I I I r ( S X I)r ( V x I)u (Sx (0) ) g i :' IWs5 i~lv:~ri:~~idl~ i)lIrlctele lni (A x I)u ( X x (0) ). I)o?zolzst~a!ia ircorc~nc.t4. Fie ( X , -4) o pr:r.ovh(* ill errtan$ yi f : X -+ Y , P : A x I -+ Y , :tplic.;t{ii c.o~kiiriue, c u Po= f lA. At~mci,13 = (A x I ) u (Sx (0)) (.st r o t i r ~ l ) - , mnul$ime inchisii a lni 1 x I ti exist5 g : 6; -, Y ,tl:tti5 psi11 g(x, 0) = f ( x ) , V.a E X , qi glA x I -= P. Idco:trecat: Y este ANE (vozi Teorema 7 S; 12), exist5 o c..;t~nsie 5 : U -+ 1.' a aplica$iei g la o veciniitate i - :L lui !; in X x I. Folosind cornpactitstea lui I, se poate giiii o veeinitate deschis5 V a lui -4 fn X, ineit V x I c U . Din Lenla 1, exist5 r : K x I 4 ( V x a ' ) u ('9' ic [O)), fncit r1.B este inclt~xiunea.Omotopia H = .?r : -\1 x I -+ P satisface Def. 3. 4

-

-+

COROLAIl 3. B'ic S ~ c spafiu n ,,zelric., A c S t~zcki~sii ,ci Y E ANn. Dacci j, g :A -+ Y s'inf ot,zotoj)c' g i f ndmite o 8stensie cortliqzzcd 7: X -+ TT, atund ,vi g are o caf~,,isie contimuti 5, Qrac.Ztf=5. De?nonstra,tie. Yio P : A x I -+ Y, cu Lil(n, 0 ) - = i ( a ) , P ( a , 1)= g(a). Dul% Tcor~ma 4, 3111 : 5 1' prin j(x)= R(s, 1).hvcm i ( a ) II(ac, 1 ) = F(a, 1)= - g ( n ) , y E A, dcci 5 cste o estensie a lui g si este eviclrnlS rclrt$ia B :fii.

- -

COROLAR 4. a) Piecare s~ajizcAR este co?ztraclibil. b) Dncd Y E ANR ,vi Y este co~ztractibil,atz8rtci Y E E AIZ. Demoqzstra/ie. a) P i e r'E AH8,Y , == Y x I, A = ( Y x x ( 0 ) ) ~(Y x (1)) qi f : A -+ Y, (;la% prin f(y, 0) = y, J ( y , 1) yo, V!/ E Y, p e n t n ~?I, E IT,fixat. Ileoarece Y E E AE ((Teorcma 7 $12),j aro o extensie, lr' : Y x I + Y. Este clar c.5 E' este o omotopie a identitgtii lycn aplica$ia coastanti E ~ ,deci , Y este contractibil. h) Fie Y contractibil, Y E ANlt $i S an spsliu metric cu d c X, incliiss, iar f : A -+ Y o aqlicajie co1ztinu5. Deoarece ly N sY0=> f o lY N J o eYO,adic5 f E,,,. Lbar splics$ia constants E,, se estinde in mod evident 1s intreg spatiul X . DnpTt Corolsrul 3, rezult5 cG, f are o estensie continu5 pe 5.Deci Y E AE qi, d11pB Teorema 7 5 13, rc?zt~ltiiY rt .ILL.

-

-

'FEONElMA 5. Pereckea topologie& (Dn, En-I), 11, > 1, are proprietateu de extemsie a ofrzotopiei $I& r~cportctb urice spa,tiu topoZogic X. Der,zo?sstrn?i~.hr$tgrn inai intii c& subspa4iul -4 = = 13" x I, este = D n x {C)) u Sn-lx I, a1 cilindrului retract; tare de deformare a acestuia. Gonsideriim un sistem de coordonate in Rn+lin report cn care D" x H = = {(x,1 ) E W n x I I Jl x 11 < 1, t E I]. Fie %poi puncf~ll T7(0, . . ., 0, 2 ) qi 0 conul cu virfnl ill yi baza En-l (vezi fig. 31). I)c.iinim stplicatia r : Y A c 8 fiintl proiectia din V . Yunctele din iatoriorul C O I ~ U ~ LSO I ~ a ~ l i c 5^1n D'' x x {Or iltr celelalte in k - I x I . Reprezentarea ansliticii a aplicatiei r o obtinem astfel : dacg (x,, 0) = = (x: , . . ., x;, 0) E S n - I x (01, generstoarert conului prin acest punct , :cn -t - 2 rji dedux1 --este = ... XA x; -2 cem e-cua$ia conului Fig. 31 itT

-+

-

2-6

4 ilx \I2 = (t - 3)2, adic5 l[x11 = 2 (deoarece 0

< t < 2).

Punctele din interiorul conului sint cele pentru care 2-t I / $ 11 < . Pentru un asemenea punct (x, t ) , goncra2 toarea V x intessecteaz& hiperplanul t = 0 in tlO).

(2" -

Apoi, punctul ( x , 1 ) fiind in esteriorul conului, generatoarea V x intersecteazg cilindrul Sn-l x I in (---?- ,

au proprietatea c7e extemie a onzotopiei Q n raport czb orica spaji?l -1. (Perechea a doua este ( I n f 1 ,aZnf1).) COI1O1,AIR 6. Dacci spatiul fopologic X este ohfilzut di32 A nrin atasare do m-celzlle, atu?zci perechen ( S ,A ) are HEP. Drt?zomstra$ie. Fie aplicatiile caracteristice

qi II : ( D n >; I ) x I -+ Dn x I deforlnarea din Teorema 5. Clonsiclerirn H I :(e; x I ) x I -, ey x I , prin B;((qI,(2), t),

t') = (9,x l,)(A(z, t , t')), x

E

D", t, t'

EI.

P~ltenl defini atunci H' : (9 x I ) x I -+ X x I , incit 1 ( x I ) ; I = H qi H'(a, t , t') = ( a , t ) , V a E A , $, t' E I . Aplicatia TI' este o deformatie, deci X x (0;. u u A x I este retracts tare de deformare a lui S, x I. Mai cleparte se procedeazg ca in denlonstratia Teorelnei 5.

' Continuitatea aplicatiei r se deduce imediat, aplicind lema de lipire (Teorema 2 8 3 ) . Xste ovitiont oii r(x:, t ) E A iar dacg ( x , t ) E A, atjnnci r ( x , t ) = (x, t ) . Astfel, r este retractie. Putern defini deformarea I1 : ( U nx x I ) x I +- Dn x I prin H ( ( x , t ) , t') = t'r(x, t ) + ( I - t')(x, t ) , deoarece Wn x I este mu1t;ime convex&.Aplicatia H sstisface Def. 7 $13. Pie acum X un spa$iu topologic arbitrar $if : D"-+ S, P : 8"-l x I -+ X ap1icat;ii continue, incit P ( x , 0 ) = j ( x ) , pentru V x E 8"-l c Da. Consideriim aplicatia f' : Dn x (0) u 8%-lx I 4 X, definitii prin f ( y , 0 ) = j ( y ) , y t Dn qi j l ( x , 1;) = E7(x,t ) , ( x , t ) E S n - l I~. Compunind aceasta cu retractia de rriai sus, obtinem aplicatia G = f' r : Dn x I -+ X. Aceasta satisface conditiile G(x, t ) = jfr(x, t ) = Jf((x, t ) ) = P(x,t ) dac& (3,t ) E x I rji G(x,0 ) = ffr(y, 0 ) = f f ( ( y , O))= = j(y), V y E Dn. Tinind seama do eserc. 7 $11, deducem rezultatul urmgtor. 0

se n n ~ n c s t ehinorn~al c1acH cilindrul -Y >: I 1. I:II spatiu topologic e s l c spaliu t~orrnal.Sfi sc nratc c:i : :I) I)ac5 S eslc I~inormal,Y esic norinol ~i f : S 4 Y csic o aplicatie .contiriuii, atunci cilindrul aplicatici f (vczi cscrc.. 7 $ 1 0 ) este spstiu norntal. 1,) 1)acH X' cstc u u ANIi pcniru clusa spaiiilor normale (SHr5 c a X $5 fic normal) si c1acH este binorm:rl, accsta esic local contractibil *). 2. SH sc arale c5 dacH -y cslc 11inormal si .4N: pentru clasa spatiilor ,norrnalc. : ~ i u n c iS cste k\I< pcnlru clasa spaiiilor nor~nnlcdac5 si n u n ~ a i d a c i este cotltractibil *). 3. Sfi sc araic c 3 d a c l A csic o submultime inchis8 a unui spatiu binorllial X, alunci orice spatiu I' care cste AXR pciltru clasa spatiilor r ~ o r r r ~ a larc e I-IEP In raport cu pcrechen ( X , A) (teo~ema lui Dorsuk). 4. Fie A o submul\ime Inchis5 a unni 5patiu hinormal S si fie A X x I u K x { O ] c X. x I o retract5 absoluti de \,ecin5tate. Atunci (X, -4) a r c l[EP in rsport cu orice spatiu Y. 5. SH sc arnte c 5 prin compunerca n douH cofibrHri se obtine o cofibmre. 6. S5 sc a r a t e c 5 dacH incluziunile submultimilor fncl~iscAcS, B c I' s f n t cofibrfiri, atunci incluziunile A X B c X ?.: B U A X Y si X >: B U A x Y c S x I' sint de asemenen cofibrHri.

x

COROLAR 5. Perechila *)

Si se compare rezultatelc c u celc pentru A N R ( 4 ) .

J)p,rtv,zslrrc/ir. Uup5 13ropozi!ja 7 $ il Cay. I, exist2 o a~lic.;b!ie cont,inu%cle pererl~i0 : ( D n , Sn-li ( f i n , PO)? care indizrr un homeon~orfism : Dn/S"-I i 8". Apoi, dupL exert. i $11. Cay. I, exist& nn ho~neomorfisn~ p : ( I f L ,i 3 T n ) -+ (Dl;,Rn-I). Frill eompnnere, a\-em Op : ( I " , 61') -+ (ij"j', 23"). Y>cFillltu splicalia @ : [(S", p,), ,re)],t zll.(S,r O ) prin c l , ( / . f f ] ) = [ j 1 O 7 ] . Aceasta esto 111ne debint5 tlatol-it5 Ten)~tlnci3 S 13 Cap. I. Putem construi inversa aecsteia,. D;?ci [ f j G z n ( X , x,,),a ~ i i c a i i aj :(In, 817')-+ (X, x o ) illc d ~ ~ a,])li~t~tia r.~~ continu5 f : 17\a + --f ((Cor. 2 $10 Cap. I). i i r r i ~apoi ~ liomeornorfismnl !L : T,1" In\81n qi clefi'Ip([ j ] )= nim -\IJ' : x,~(-Y,.ro) -+ [ ( f i n , po). (X, t ~ o ) ] , = I f : ~ . ]Rcc~1lt5. . ny_or c3 cIac5 / = g re1 (3IU,~ ~ z ' iolnotopln n P,:tc.caista induce P : f'-g ~i deilucem cli Y" este hinc def-init;. [)in clefinitiile aplicatiilor (1) si 'k', rczult;~ ilnediat .. ~3~ ( D I ~ 1 si 3' " = 1; incit (r, este o bijectie. J

-+

(T,

h c c s t capilfll rste cleslin:tl slutlilllui !-!ru]~urilorc1r o;llcilopic ?i proprirtstiior lor r u ~ t d a l ~ ~ c ~ ~(:ul.l~-illrlc lalc. gt.ul~urilc)tlc ornotopic ol,so;xl!i si rcl:tii~:i,sirltl cbs:lct tie 0II70lopic :II l r l l c ~ i ])w(*c.llipunc(:llr, Y.il,rbli E, L.r)Llfii ti' i1roprril.c.. Siilt d . 1 1 ~ ulltbIca;~plic.:~(ii, i ~ l c l ~ ~ z ci ~; ~~ltcl~ ~ nnc~r l u l k ~ , j ~ , l 'l ~ i tie? oinotopic si c!rmonstro\ii :lJcb Ichorr~llc.i I ' ~ ~ n t I : ~ t ~ ~ e:In l:,lgcl,rri :~lc >.i (rsoremci llo&.sulc-l'1:lrli.

I : '

Fie S nlr spatiu topologic $i .c, E A' un punet fi-xat. Voln nota perecliea (S, {so))prin (1, z,) ~i o volt1 l m i spa,tiu topologic pu~zclaf. Pentrn IL > 1 , ~onsicIer5m 11-e11bu1 stanclard I n = = ( t = (t,, . . .,tn)E [Rn 10 < f I < 1) si fie aTn frontier, sa, aclic5 81'" {(Z = (I,, . . .,tn) E I n 13i = = O san f , =l).

DEFIKITIA 1. Numiln ?~-ci!run~ 2% spa,ti orice aplicatie continu5 f :In + S. Daca , vom scrie ,I : (l'", 81") -i (S, a,) (vezi Cap. I. $131 gi vorn spune c5 j este n n tt-drui~b$ I ~ C ~ LEn~ S(8, d.,). '

NOTATlA 1. 3Iultiinea elaselor de onlotopie ale 11-drumurilor inchise in spatinl (S,x,), relativ la aIn, 8,djcA inultinlea [ ( I n , aIn),(I, a,)],o vorn nota prin z,(X, x,), ?a 2 1. Fie ,Yr ,la-qfera ttuclidicnb, in care consider5m punatul bazli 12, = (l,O,. . .,O) E WJ1+l. t

: [ ( S J 1p,O ) , ( S ,zO)]-+

z 1 , ( 9 ,5,).

at

LE\IAI I. a ) Pie ?b-d~ll))hll~ili' j, g E Tol,(Zn,S),atr= g(0, t 2 , . . .,tn) ( 2 r b par(im?f.1~ird condifia f(1, 1,. . . X, d ~ j i t i ~ v l aj~, ,q 113cI~isc).L4t1i~~ci7 czyLicu!iu j * g : nitci prirz

-

I

( 2 ,

( 1 ) (f

* gj(t1,

t,,

. - .-t,,) =

i ' ,

..

0

1

< t . Fie .f, g E C!,(X, :r,) in aceeasi conljto1rr.a~L5 liiiinr cones5 $1 3 : I -, lZn(S, r,) un d ~ ~ ~i lu~~r ilt , a(0j = f yi a(1))= (I. -13efininl lf': I" x I -+ S prilz P ( t , t ' ) = z ( t f ) ( t ) .-1vem F1(t7 t ' ) = ( t ~ ( ~ (tl)' yi7 ) , tlin T4ex115 5 , ~ c ~ z u l icl 5i B1 esie continuli. i n 1)lns, F(t, 0) = ~ ( 0 ) ( i= ) =, f ( f ) , ll(f 1). = a(1) ( t ) g ( f ) ,L1(dl'; i t ) == a ( l ' ) d ( I I L )= - .,,,, drcli 1' :f g re1 81". Ileciproc, dac5 1' :j = g re1 dI1; (lt~fini~n a : I -,LZ,,(_Y,,r,) priln a ( l l ) ( t )= lq1(t,1'). Orioo vi~loarc a ( l f ) cstc? o :hplicautic~routjinu;vlIin S, tleoarccca J' c1stc contillu;. I3ste ihhinr in Q,,,(S, so),cleo:~~-ece a ( t l ) (01'" = li1(OI'd7t ' ) = :it,. Aplic:tt,in a cstc continnil : Sic. I,',,(K7 D ) ii~cit a ( t f )E 1 I ) . rleci f' E a-l(I:(Ii, D ) n lrln(,l', ,lvt.tn :%l !'i:ici d l ' ) (IZ)= li7(li'.: { t ' ) ) c D. Ileoarerc. 7icslc cornp:eCsi, -,t;io clescllisB D'in I , Encit t' E T)' $i E1(Ti :.: D')c - 1)* : ) . ]'rill urlnare, t' E 1)' c N-~(I;,,(Jt(j)(fj7 . .lt!-l, t , . . - 7 tn) = j ( t j 7 . . ., f ? - 1 7 07 ' ? + I ? . - . * f a ) ? o : ( j )(t,, . . .,t t , , 1, . . .,t,,) = j ( f j , . . ..t,-l.P. f,,,. . . ..fn).

,-,,

-

C-

Delnonstra?ie. S5 stabiliiii niai iatEi cX exist5 o bijecjie : Qn(X, x O )

-+

Qn-l(Q(x, xO), p s e ) .

Definim O ( f )= f , uncle f : In-l-t f(t,, . . .,l,-,, t ) . Datoritg continuit5tii lui f , fiecare valo?re f(tl,r. . .,tndl) este continus @ defineqte un drum inchls in ( A , x,). fns%eiatplicatia, f este continu%. i n sdevgr, dac5 B,(K, U ) c c a ( X , a,) $i ( t . . . , t ) E - ( , ( I , D ) ) dmnci f ( ( t l , . . .,t,-,))(dl)= f({(t,,. . .,,t,-,)) x I: I -+ S, cu Gt(t, 0 ) = fl(t), Gf(f,t')= = ~ ( t )6+'(1,1) , = j"(t) gi hR(kZ[f]) = [fff].Defilli~nG" : InX

K r ( t , t', 0) = Tf(t, t r ) 7i Kr(I, 0, t") = f t ( l ) , K 1 ( t , l ,I") = I E In,t', 2"

= 9'(1), Tir(i?, t', 1") = 7r(tr, t"),

1~112111 TI' : InX 1 atu11c.i

-

-+

I, f

E

WZ.

-I-,flr(t, t') = Jit(t, t', 3 ). Avem

1If(f,t ' )

= TCr(t, 1, 1)= gf(t),

E

= 1 i r ( f , it, 1)= 71(tt, 1) = Zl,

c~oi~tiauii, Gt'(t, 0) = G ( f , 0)

= (U

( 1 ' ) f;i G"(f, 1)= Gf(t, 1)= f " ( t ) . cleci

= [f

*

"I.

Rezullri acum c5

71,

= j(Z), G"(f,

este izoinorfisin,

t') = [f]=

CLX 71;l

=

= h-,.

~i ~ a l f eTI' l : i f I/' rel i)I", ileci k.[j] esle biile dcfinitz 8i 71arj1 = jzBr.f~. S& ariit8,m c5 71, este r111 hon-tonlorfism de grupnr'i. Dach j,, j, E Q,(S, T,), fie GI, G, : Inx I + S, CII G,(t, 0) = J&), G,(t, if) = ~ ( t ' ) .Ave1l-t atmlei 71,rj,] = = [J;& ctz j;(t) = G , ( t , 1 ). Ijefinim Cr' : Inx I -t S priil

1

Gl((2t1.

Q((t,, . . ., t n ) , t') =

8" c\r-!c.

f2,

- . ., f,,), it),

G2((2f1- 3 ,

f,,

0

1


c7ejir~il prin [ p ] = L(& * p; a C X ] =. = [G * p a u ] . f ) ~~ ~ a r t i c ~ idncci l a ~ ,[ u ] E X , ( X , .2tu), C G ~ ~ L Y ~ C ~ iz0~120rjis1~1~~1 hLaI: x , ( S , .190) 3 n1(S7qo) este cc~rion,c,rlfisI T A T ~(ZC c 0 1 ~ j ~ i g a I I ~[ ,c~ [ P ] = [ a ] - l [ P I [ a ] . Deoaon stmajie. Con~iiler2tllaplical ia G : I 2 3 S,G(I, t ' ) = ( ( k t ,* p ) * a t l ) ( t )( v e z i Nolatja 13 5 I ). Aceasta cste continu5, cum se c o n ~ t a t sjinetf iat. Ayern apoi, G ( t , 0) == ( ( P , , ." 9)* c,,)(t), G ( t , 1 ) = ((i* 8) .r ~ ) ( t ) , G(0, t') = ((&f*p)*ap)(O) = & r ( O ) = atl(l_)= a ( / ' ) 5i G(1, i f ) = = ( ( i ; t * $ ) * ' ~ ~= f )a(ll~) ( l ) = a ( f lEczu115 ). C& hKaj[(e,,*p)*r,,]= = [(& :k 8) * 4, adic5 1r[,1[f3]= [ j * p a a ] . (:OL103;111i 4. l711,spa,tiz~topoloyic 7 i d n r c.o,tc,r ,1. este 1-siqrap2?1,claca siI+z?lntai - t7acd . p~1t1rt(II?Z P Z C I ~ C ,?~ - E X ( p i d t ci ~ c ? L [ $ * ~ Lt ~ i ~ ) - ~ r -kiil(~;L^i prln (e.,

[it

E

L jo11 = bu, V b E L : .

dac5 p = q' : ( X , a,) -+ (E',y,) =. cp 0 f -- rp' o j. Este bine {iefinitg deci ap1icaf;ia [rp],. Aceasta, este un homon~orfism, deoarece dacii j, .g E Qn(X, x,), atunci q°Cf " 9 ) = ( ~ " f ) * ( ~ " gcare ) 7 l m ~ l i c &[?]:k([fl[g])= = ( U ~ lCrf I ) ( C ~ l a [ ~ l ) . Proprietgtile i) qi ii) se verific& imediat. S 5 dovedim propsietatea iii). Fie [j] E nn(X, x,). Avind in vedere Teorem,?, 1 g 2, fie G : I n x I + X, incit G(t, 0) = f(t), G(811$ tt) = u(f '). Atunci, notind G(t, 1)= g(l) =+ hlql[f]= = [g] ai pria urlnare cp,?~~,~[f] = [rp o g]. S observ5m aomn c& cp G :Inx 1 -+ Y satisface condi! iile ( ~ o G ) (Of ),= = ( ~ , f ) ( t ) , (cp oG)(aIn,t t ) = ( c p o u)(tt),(cp G)(t,I)= = ( q q ) ( t ) ,de uncle tleduceln ( 1(r,)[f] ~ =71Lrpz1[9 ~ ~ ~ f ]~= = [Qo 91 = (~,~1~r%1)[.fl. 'P'EOnE8I:TA 2. k'ie cp : S -+ Y, o echiz~aZew,tciontotopicci. Ahr nci, penfru orice a,,E X, cu = y(,r,) ~i n 2 1, 7~01?$o)?~o7:fis??h7dl (r, : x,(X, x.,) + x,( Y, 11,) esle izolnorfi,s?ti *). Drn~nrzstrn,tic.Pic : Y -+ S invers omotopil I), alunci ezistd o coresponden]& biunivocd Sfzlre x , ( X ) fi [XI, X ] *). Denaonstrafiie.Fie x, E x,h a t . Presupunem ch peutru f : 8" -+ X avein f(p,) = x,. Atunci, f defineqte o elas& [f] E n, (S,x,) qi dae& a este n n drum d e 1a z1 la xo, %vein hIal[.f ] E x 7 , ( S , xO). Aceast ii ullim& clas5, depinde I ' , g N f : 8'' t. X ? numai de [f ] E [Xn, XI. f n ; L ~ c T . ~fie ctu g(p,) = s,. DacZ F este un clrmn cle la x, la x,, atlalac1 ) 7qPl[g]6 n,(X, 2,). DacZi P :f "- g, fie y : 1 -+ 9,~ ( t= = P(p,, t). Avem atunci 72[,][f]. -- [g] in n,(X, x.,). B i n urmare, %PI 72[Yl[jI y ht~l[$I, a d 1 ~ 5lliY*~l I![ = 4 8 1 [$I gi, deoarece X este 12-simplu, 7?[u+B1 =78i,1? deci kIml[f ]=hlol[g]: Astfel, [f] E [Sn, XI definegte an angtu elenient a1 lul % ( X , xp). Raciproc, dac& [f'] E n,(X, x ), putem considera f ' E E Top((&*,p.), lo)) ti meat& ii corcspupuado o unioi cl&~& de ornotople [f'] E [Sfl,1711.

(g,

"

COROLAR 4. Dacn X pi Y alnt n-si~rtyle(n 2 1)g i cp E Top(X, Y), attlrcci y* : xfl(X)-+ n,( Y) esle definit4 prin cp*[f]= [yof], tinde [ ~ ] E [ B "A' , ] ( ~ i[ c p o f ] ~ YI). ' COROLAR 5. a ) Dac5 A este rckactG slab2 a spnliului K , at?~nciincluhunea i :A -r S i~dtccez l i t uzononzo@ow~ E [B", 'r

4

s

i+: n,(A, a,) -+ 7in(X7a,), va, E A, p i e.xislli $19 eliimorfzsrn r, : x,(X, a, ) -+ .rr,(X, a,), Vfn 2 1. b) Dacd A este o retract6 slab2 de drjor~ncrrca ??riX, atunci incluziunen i : A -+ S i~zdlicetin isolnorji8s.na I, : ~ I "*). :nn(A, a,) -+ n,(X, a,,), Va, E A, V I >, Uen&onstrajie.Se aplic5 ciefiniliile clin 5 13 Cap. I gi Teorema 1. I~xaacI'~1 1. S:i,sc nrnlc cB cl:~c;i A cstc o rclractd n lui g, CLI incluziuncn i : A ~t S s i r c l r n c ~ i aI. : S--t A y i i1.acA i , ( ~ ; , ( ~ jcstc ) UII sul~grupnortnal a1 grupnlui x , ( X ) , aiurlci x l ( S ) este proctusul direct n l sul~grnpt~rilor Im i, 8i I/ 2), rezultg c%Vl n V , este liniar conex. Putern aplica atunci Teorema 1.

X este ~116rginit5(fiind compact&), exist% rn E m, ineit

COROLAR 2. Pentrzc n 3 2, un bucket f ilzit de n-sferc este 7 ~ 1 2 spajizt simplu cenex. De?nonstra$ie.Pie S", cu punetele xl, x, fixate c,a mai sus gi l~unctulbaz% x, (I50,. . .,O). Consider51nbuche-L

a

tul de p sfere S

=

V &', uncle &' este un exemplar a1 i-1

sferei ]~,anctateA("!,

x,). Putein considera acoperirea desa

cltlis5

a,

4

lui S,{lV1, 1Ir,1, cu ?V1 = V li,,, 7V,

=

V V,,, z- 1

2=1

unde Trli(TG,) este copia lui 17, (resp. Tr,) din Cor. 1 i n (87, x,). Atunci IV,, W , sinl simplu conexe (fiind con-

-

P

trartibile) iar W1IIW, V (IT,fl IT,),, nnde (I*,n IT,)[ i- 1 este exernplarul din &a1 spaf,iuliii liniar cones l ' , n V,. Beeultatul se ohtine din Tcorema 1. Considercm acuur, aplicafia c..ry,o~~r~n!iniri cbrl': R -+ N1 (Prop. 8 $ 6 Cap. I). Vom lua dreyt purlct bsz5 a1 cc>~.cului by1 num2irul co~nplex1 iar ca punct baz5 a1 lui R pe 0. 0 snbmul$irne X' E Pi" o voln nurni stelat6 4 ~ 2 rnport cu n., E X dac%oricare ar fi x E X, segmentul [r,,, ,TICS.

LEMA 1 (lema de ridicere). Pie ,Yc R" o m?ll,tinze compactd, stelaiii 8% raport c u x, E X . Atunci, pcntru orice aplicafie co~ztinzciif : X -t B1 g i Vt, E R, Bnciit esp(i,) = = f (x,), eristd o ridicarc a aplica)ici f k l z raport c1r chsp: :R -+ S1, adicir' o aplicafic c.o?,/i~?ric R--A?L.-S' f t : X - + R , 2 d t cstc cowz?tfolivd dingrams aldturclfu' , dcci e s p f :\.i, k'n plus, f '(x,) to. X D~nlo.nstra,tie.Nu rcstringern gcbncr.nlitatea dac&presupunem :r,=O $1. Ileoercee X ~i R1 sfrlt spa?,iirnetrice ti S cste compact, reziiltii din teorema lui Weierstrac;~ (Teorema, 10 $ 9 Cap. I) C% f este uniform continu&. Exist& deci E ) 0 , astf(2l 'incit daczi r, x' E X,cu d(x,2') < E , s5 avern d(f(.r), ,f(.xf) ) < < 2, adic5 j(x) si f(x') nu sint diainetral opuse. Dcaoarece

>\, 4,

-

0'J'

-

E

:X

-t

X1\(-

S1\{--l)c81,

1). Definiin aplicatiile continue g, :

pring,(x)

=f

< p