Teoria moderna a circuitelor electrice 973-9337-99-6 [PDF]

Zitiervorschau

TEORIA MODERNA A CIRCUITELOR ELECTRICE Lucia Dumitriu, Mihai Iordache

Copyright© 1998 -Editura ALL EDUCATIONAL ISBN 973-9337-99-6 Toate drepturile rezervate Editurii ALL EDUCATIONAL Nici o parte din acest volum nu poate fi copiată fără permisiunea scrisă a Editurii ALL EDUCATIONAL Drepturile de distribuţie în străinătate aparţin în exclusivitate editurii. Copyright© 1998 by ALL EDUCATIONAL All rights reserved. The distribution of this book outside Romania, without the written permission of ALL EDUCATIONAL is strictly prohibited. Editura ALL EDUCATIONAL face parte din Grupul Editorial ALL.

Editura ALL EDUCATIONAL S.A.

Bucureşti

Bd. Timişoara nr. 58, sector 6, cod 76548 ~ 413.11.58, 413.43.21, 413.18.50 413.07.20 Fax: 413.05.40 Departamentul difuzare

Redactor: Coperta:

413.07.15 Fax: 413.03.29

Mihai Mănăstireanu Daniel Munteanu

PRINTED IN ROMANIA

Prof. dr. ing., LUCIA DUMITRIU

Prof. dr. ing. MIHAI IORDACHE

TEORIA MODERNĂ A CIRCUITELOR ELECTRICE

Fundamentare teoretică, aplicaţii, algoritmi şi programe de calcul

I

ALL EDUCATIONAL

CUPRINS

PREFAŢĂ ........................................................................................................... IX

Cap.1. CONCEPTE DE BAZĂ ÎN TEORIA CIRCUITELOR ELECTRICE .......... ! 1.1. SEMNALE ELECTRICE .......................................................................... 1 1.2. ELEMENTE DE CIRCUIT ....................................................................... 5 1.2.1. Aproximaţiile teoriei circuitelor electrice cu parametri concentraţi ......................................................................... 5 1.2.2. Mărimi şi relaţii fundamentale pentru teoria circuitelor electrice ............................................................................ 7 1.2.3. Clasificarea elementelor de circuit .................................................... 8 1.2.4. Elemente de circuit pasive ................................................................. 9 1.2.4.1. Rezistorul ................................................................................... 9 1.2.4.2. Bobina ..................................................................................... 13 1.2.4.3. Condensatorul ......................................................................... 19 1.2.5. Elemente de circuit active ............................................................... 23 1.2.5 .1. Surse independente .................................................................. 23 1.2.5.2. Surse comandate .:................................................................... 26 1.2.6. Elemente de circuit speciale ............................................................ 30 1.2.6.1. Transfonnatorul ideal .............................................................. 30 1.2.6.2. Gyratorul .................................................................................. 32 1.2.6.3. Amplificatorul operaţional ideal... ........................................... 33 1.2.6.4. Nulorul ................................................................................... .34 1.2.6.5. Tranzistorul ............................................................................ .35 1.3. CIRCUITE ELECTRICE ....................................................................... .36 1.3 .1. Clasificarea circuitelor electrice .................................................... .36 1.3.2. Regimurile de funcţionare ale circuitelor electrice ......................... 37 1.3.3. Teoremele generale ale teoriei circuitelor electrice ....................... .38 1.3.3.1. Teoremele lui Kirchhoff.. ........................................................ 38 1.3.3.2. Teorema lui Tellegen ............................................................. .40 1.3.3.3. Teorema conservării puterilor ................................................. 40 l 1.3.3.4. Teorema surselor ideale cu acţiune nulă (Vaschy) BIBLIOGRAFIE ., .......................................................................................... 43 Cap.2. NOŢIUNI DE TOPOLOGIA CIRCUITELOR ELECTRICE ............... ..4j 2.1. CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE TEORIEI GRAFURILOR ........ 45

VI

TEORIA MODERNĂ A CIRCUITELOR ELECTRICE

2.2. MATRICELE DE INCIDENŢĂ ASOCIATE GRAFURILOR ORIETA TE .................................................................. 52 2.2.1. Matricea de incidenţă laturi-noduri ................................................. 52 2.2.2. Matricea de incidenţă laturi-secţiuni ................................................ 58 2.2.3. Matricea de incidenţă laturi-bucle ................................................... 63 2.3. RELAŢII ÎNTRE MATRICELE DE INCIDENŢĂ ................................. 66 2.4. ALGORITMI DE DETERMINARE A ARBORELUI NORMAL ŞI A MATRICEI INCIDENŢELOR ESENŢIALE ................................. 70 2.4.1. Determinarea arborelui normal comun ............................................ 70 2.4.2. Determinarea matricei incidenţelor esenţiale ................................. 80 2.5. GENERAREA ARBORILOR ÎNTR-UN GRAF ..................................... 81 2.6. PROBLEME ............................................................................................. 94 BIBLIOGRAFIE ........................................................................................... 107 Cap.3. CIRCUITE ELECTRICE REZISTIVE LINIARE .................................. 111 3.1. INTRODUCERE .................................................................................... ll1 3.2. RELAŢII DE BAZĂ ALE CIRCUITELOR ELECTRICE REZISTIVE LINIARE .......................................................................... 112 3 .2.1. Legea lui Ohm generalizată .......................................................... 113 3.2.2. Teoremele lui Kirchhoff ................................................................ 113 3.2.3. Teorema conservării puterilor ........................................................ l15 3.2.4. Teorema superpoziţiei .................................................................... 115 3.2.5. Teorema reciprocităţii .................................................................... 117 3.2.6. Teorema compensaţiei ....................... :........................................... 1 19 3.2.7. Teorema variaţiei curenţilor ........................................................... 120 3.2.8. Teorema lui Vratsano ..................................................................... 122 3 .2.9. Teoremele de transfigurare a circuitelor electrice ......................... 123 3 .2.9 .1. Echivalenţa circuitelor .......................................................... 123 3.2.9.2. Echivalenta surselor reale ..................................................... 124 3.2.9.3. Transfigurarea serie ............................................................... 125 3.2.9.4. Transfigurarea paralel ............................................................ 127 3.2.9.5. Transfigurarea stea-poligon complet ..................................... 128 3.2.1 O. Teoremele divizoarelor de tensiune şi de curent.. ........................ 132 3.2.11. Teoremele generatoarelor echivalente 133 3.2.12. Teorema transferului maxim de putere ........................................ 134 3.2.13. Relaţii între mărimile unui dipol...\ .............................................. 139 3.3. ANALIZA CIRCUITELOR REZISTIVE LINIARE. METODE ŞI ALGORITMI DE CALCUL ........................................... 140 3.3 .1 . Metoda teoremelor lui Kirchhoff.. ................................................. 140 3 .3.2. Metoda curenţilor de buclă ............................................................ 14 7 3.3.3. Metoda potenţialelor nodurilor ..................................................... 151 3.3.4. Metoda nodală modificată .............................................................. 157 3.3 .5. Metoda curenţilor coardelor ........................................................... 160 3.3 .6. Metoda tensiunilor ramurilor ........................................................ 162

Cuprins

VII

3.4. UTILIZAREA GRAFURILOR DE CURENT ŞI DE TENSIUNE ÎN ANALIZA CIRCUITELOR REZI STIVE NERECIPROCE ................ 163 3.4.1. Analiza circuitelor cu surse comandate ........................................ 163 3 .4.2. Generarea grafului de curent şi a grafului de tensiune ................. 163 3 .4.3. Metoda curenţilor de buclă ............................................................ 167 3.4.4. Metoda potenţialelor nodurilor ...................................................... 168 3.4.5. Metoda curenţilor coardelor .......................................................... 171 3.4.6. Metoda tensiunilor ramurilor ......................................................... 173 3 .4. 7. Metoda analizei nodale modificate ................................................ 173 3.5. UTILIZAREA PROGRAMULUI SPICE PENTRU ANALIZA CIRCUITELOR ELECTRICE REZISTIVE ...................... 175 3.5.1. Introducere .................................................................................... 175 3 .5.2. Circuite rezistive lin iare şi reciproce ............................................. 178 3.5 .3. Determinarea circuitelor echivalente Thevenin/Norton cu SPICE ........................................................... 182 3.5.4. Analiza cu SPICE a circuitelor rezistive neliniare ......................... 184 3.5.5. Analiza cu SPICE a circuitelor rezistive nereciproce ................... 186 3.6. PROBLEME .......................................................................................... 189 BIBLIOGRAFIE ........................................................................................... 291 Cap. 4. ANALIZA CIRCUITELOR REZISTIVE NELINIARE. ALGORITMI ŞI TEHNICI DE CALCUL ............................................ 293 4.1. INTRODUCERE ................................................................................... 293 4.2. PASIVITATE ŞI PASIVITATE LOCALĂ .......................................... .300 4.3. ANALIZA GRAFICĂ A CIRCUITELOR NELINIARE REZI STIVE .................................................................... .304 4.4. METODA CARACTERISTICII DE SARCINĂ .................................. .307 4.5. METODA LINIARIZĂRII PE PORŢIUNI A CARACTERISTICILOR .................................................................. 309 4.6. METODA MICILOR V ARIA ŢII ......................................................... .31 O 4.7. ANALIZA NODALĂ A CIRCUITELOR NELINIARE REZISTI VE .................................................................... .31 1 4.7.1. Formularea topologică a ecuaţiilor nodale ................................... .312 4. 7.2. Metoda iterativă a punctului fix .................................................... .317 4.7.3. Algoritmul Newton-Raphson ........................................................ .321 4.7.4. Aplicarea algoritmului Newton-Raphson la rezolvarea ecuaţiilor nodale şi circuitul echivalent discret asociat acestui algoritm ..... .327 4.8. METODA NODALĂ MODIFICATĂ ................................................. .333 4.9. ANALIZA HIBRIDĂ A CIRCUITELOR ELECTRICE REZI STIVE NELINIARE .................................................................... .344 4.9 .1. Introducere ................................................................................... .344 4.9.2. Descrierea metodei hibride de analiză a circuitelor rezistive neliniare ......................................................................... .345

A CIRCUITELOR ELECTRICE

4.9.3. Algoritmul Newton-Raphson pentru analiza circuitelor rezistive neliniare liniarizate pe porţiuni ..................................... .355 4.9.4. Utilizarea algoritmului Katzenelson în analiza circuitelor rezistive neliniare liniarizate pe porţiuni ....................................... 360 4.1 O. PROBLEME ........................................................................................ 365 BIBLIOGRAFIE ........................................................................................... 399 Cap. 5. FUNCŢII DE CIRCUIT ........................................................................ 405 5.1. UTILIZAREA FUNCŢIILOR DE CIRCUIT ÎN ANALIZA CIRCUITELOR ELECTRICE .............................................................. 405 5 .1.1. Semnal generalizat ......................................................................... 405 5.1.2. Impedanţe şi admitanţe generalizate ale elementelor de circuit .................................................................... 40l 5.1.3. Funcţii de circuit .......................................................................... .408 5.1.4. Analiza circuitelor în domeniul s .................................................. .411 5.1.4.1. Zero urile şi polii funcţiei de circuit (reţea) ........................... .411 5.1.4.2. Determinarea răspunsului natural al circuitului cu ajutorul funcţiei de reţea .................................................. .412 5.1.4.3. Determinarea răspunsului de regim permanent al circuitului cu ajutorul funcţiei de reţea ............................. .416 5.1.4.4. Determinarea răspunsului complet al circuitului cu ajutorul funcţiei de reţea .................................................. .417 5 .1. 5. Funcţia de circuit şi transformata Lap lace .................................... .418 5 .1.6. Interpretarea fizică a funcţiei de circuit.. ...................................... .420 5.1. 7. Metode de determinare a funcţiilor de circuit.. ............................. .421 5.2. METODE DE GENERARE SIMBOLICĂ A FUNCŢIILOR DE CIRCUIT ........................................................................................ 422 5.2.1. Introducere ..................................................................................... 422 5.2.2. O generalizare a formulelor topologice cu parametri omogeni pentru generarea simbolică a funcţiilor de reţea ............. 423 5.2.3. Algoritmi de determinare a factorului de semn ........................... .432 5.3. CALCULUL SENZITIVITAŢILOR CIRCUITELOR ELECTRICE REZISTIVE LINIARE .................................................. .436 5.3 .1. Introducere ..................................................................................... 436 5.3.2. Metoda circuitului incrementa1 ...................................................... 437 5.3.3. Metoda circuitului adjunct ............................................................. 443 5.3.4. Metoda funcţiilor de circuit în formă simbolică .......................... .451 5.4. CALCULUL SENZITIVITĂŢILOR CIRCUITELOR ELECTRICE REZISTIVE NELINIARE ............................................... 453 5.5. PROBLEME ........................................................................................... 457 BIBLIOGRAFIE .......................................................................................... 474 ANEXA 1 PACER - Program de Analiză a Circuitelor Electrice Rezistive ..... .4 77 ANEXA 2 PGFR - Program de Generare a Funcţiilor de Reţea ....................... .493

PREFAŢĂ

Societatea tehnologică se bazează două elemente esenţiale: energia şi inDomeniile legate de conversia, transmisia şi utilizarea energiei ţin de ingineria sistemelor electrice de putere şi de sistemele electromecanice, în timp ce problemele privind informaţia, legate de reprezentare, manipulare, transmisie şi stocare, de discipline precum electronica analogică şi digitală, controlul automat, comunicaţiile. Teoria circuitelor este o disciplină fundamentală în pregătirea studenţilor în ingineria electrică. Bazată pe legile această disciplină operează cu abstractizări necesare viitorului inginer de profil electric a rezolva circuitele şi la un conceptual înalt, undeva între şi matematică. său de fundamentare teoretică a ingineriei electrice şi de învăţare a tehnicilor practice de şi proiectare a circuitelor, îi conferă un loc formaţia.

nrF•n--:.r''"''" studenţilor

X

TEORIA MODERNĂ A CIRCUITELOR ELECTRICE

sau numeric-simbolică a circuitelor electrice este necesară cunoaşterea tuturor arborilor grafului orientat al circuitului, în continuare se expune un algoritm de generare a tuturor arborilor dintr-un graf. Capitolul 3, "Circuite electrice rezistive liniare", este consacrat relaţiilor de bază ale circuitelor rezistive liniare (legea lui Ohm generalizată, teoremele lui Kirchhoff, teorema conservării puterilor, teorema superpoziţiei, teorema reciprocităţii, teorema compensaţiei, teorema variaţiei curenţilor, teorema lui Vratsano, teoremele de transfigurare, teoremele divizoarelor de tensiune şi de curent, teorema generatoarelor echivalente, teorema transferului maxim de putere şi relaţiile între mărimile unui dipol). Sunt prezentate detaliat cele mai eficiente metode şi algoritmi de analiză a circuitelor electrice rezistive liniare, cum sunt: metoda generală de analiză, metoda curenţilor' de buclă, metoda potenţialelor nodurilor, metoda nodală modificată, metoda curenţilor coardelor, metoda tensiunilor ramurilor, utilizarea grafurilor de curent şi de tensiune în analiza circuitelor rezistive liniare nereciproce. În acest capitol este expus de asemenea modul de utilizare a programului PSPICE în analiza circuitelor electrice rezistive. În capitolul 4, "Analiza circuitelor rezistive neliniare: Algoritmi şi tehnici de calcul", sunt prezentate conceptele de bază şi metodele de analiză specifice circuitelor electrice rezistive neliniare. Se introduc noţiunile de pasivitate şi pasivitate locală şi sunt expuse, pe lângă unele metode clasice de analiză (analiza grafică, metoda caracteristicii de sarcină, metoda liniarizării pe porţiuni şi metoda micilor variaţii), cele mai eficiente dintre metodele utilizate în prezent: analiza nodală, analiza nodală modificată şi analiza hibridă (cu algoritmii de calcul Newton-Raphson şi Katzenelson în cazulliniarizării pe porţiuni a caracteristicilor elementelor neliniare ). În ultimul capitol, intitulat "Funcţii de circuit", se prezintă o metodă unitară de studiu a răspunsului circuitelor la diverse excitaţii, utilizând funcţiile de circuit (reţea), o metodă de generare simbolică a funcţiilor de reţea, precum şi cele mai folosite metode de calcul al senzitivităţilor circuitelor electrice rezistive (metoda circuitului incremental, metoda circuitului adjunct şi metoda funcţiilor de circuit). În anexele 1 şi 2 sunt expuse un program de analiză a circuitelor electrice rezistive şi un program de generare simbolică sau parţial simbolică a funcţiilor de circuit. Pentru ilustrarea tehnicilor şi metodelor de analiză prezentate în lucrare, în afara primului capitol, toate celelalte capitole cuprind, pe lângă numeroase şi variate exemple expuse în text, paragrafe speciale de probleme. În marea lor majoritate, aceste probleme au rezolvări complete, unele în mai multe variante, cu comentarii şi comparaţii între metode. O serie de probleme însoţite de răs­ punsuri sunt propuse cititorului spre rezolvare. Din motive didactice, problemele sunt prezentate într-o ordine logică, de la simplu la complex, şi acoperă o paletă largă de tipuri de circuite electrice şi electronice, care urmăresc să suscite interesul şi motivaţia cititorului în abordarea teoriei circuitelor electrice, într-un Deoarece în analiza

simbolică

Prefaţă

XI

spirit ingineresc, specific analizei asistată de calculator în proiectarea circuitelor electrice. Rod al experienţei didactice precum şi al activităţii de cercetare a celor doi autori în domeniul teoriei circuitelor electrice, lucrarea este astfel concepută încât să pregătească cititorul pentru utilizarea calculatorului în analiza circuitelor electrice şi structurilor neelectrice echivalente din punct de vedere matematic, în vederea optimizării soluţiei de proiectare a acestora, acordând o atenţie specială prezentării algoritmilor şi tehnicilor de calcul. Lucrarea prezintă nu numai stadiul actual al metodelor de analiză a circuitelor electrice, dar include şi importante contribuţii originale ale autorilor, unele prezentate pentru prima dată aici, precum şi numeroase rezultate de prestigiu ale cercetărilor specialiştilor şcolii electrotehnice româneşti. De nivel superior, lucrarea se adresează studenţilor, doctoranzilor, inginerilor cercetători şi proiectanţi, tuturor celor care doresc să-şi însuşească şi să aprofundeze cele mai moderne metode de analiză şi proiectare asistată de calculator a circuitelor electrice, şi va fi urmată de un al doilea volum, dedicat celorlalte tipuri şi regimuri de funcţionare ale circuitelor electrice.

Autorii

CAPITOLUL 1 ..,

"

CONCEPTE DE BAZA IN CIRCUITELOR ELECTRICE

1.

SEMNALE ELECTRICE

Semnalele electrice sunt elemente de bază ale teoriei circuitelor electrice, purtătoare de energie şi informaţie. O caracteristică importantă a unui semnalelectric este modul de variaţie a acestuia în timp. Notând cu xs(t) valoarea instantanee a unui semnal (valoarea semnalului la momentul t), vom face o clasificare a celor mai utilizate semnale electrice în aplicaţiile tehnice, în funcţie de modul cum variază în timp această mărime.

1. Semnale continue (semnale de curent -" ..

''HAA

Semnalele continue se caracterizează prin faptul în timp (fig.l.l,a), deci:

că

valoarea lor

rămâne

constantă

XS

(t) =XS'

(1.1)

unde X 5 poate fi pozitiv sau negativ. Pentru a putea fi identificate cu uşurinţă, mărimile electrice caracteristice acestor semnale se notează cu litere mari: U, V, I.

2. Funcţia

pentru t O şi corespunde efectului electrocaloric de transformare ireversibilă a energiei electrice în căldură. Dacă R =O (G ~ oo) ecuaţia (1.25) devine:

u(t) =O şi

elementul se numeşte scurtcircuit (fig. 1.6,b ). Dacă

R -t oo (G =O)

ecuaţia

(1.26) devine:

i(t) şi

(1.28)

=o

elementul se numeşte circuit deschis sau u

u

(1.29) latură

în gol (fig.1.6,c ). u

i =o U=O

a.

b.

Fig. 1.6

c.

A CIRCUITELOR ELECTRICE

liniar variabil în timp (parametric), are

ecuaţia

carac-

teristică

u(t) = R(t)i(t),

(1.30)

unde R(t) se numeşte rezistenţă parametrică. Simbolul lui este reprezentat în figura 1.5,b. Un exemplu de astfel de element de circuit este potenţiometrul. Caracteristicile (1.30) reprezintă in planul (u, i) o familie de drepte ce trec prin origine (fig. L 7), deci forma de variaţie in timp a tensiunii este diferită de cea a curentului. Acest tip de element poate fi folosit la modelarea unui contactor real (fig.l.8), cu ajutorul unui contactor ideal şi a două rezistoare liniare şi invariabile in timp, R1 de valoare foarte mare şi R2 de valoare foarte mică.

Ecuaţia caracteristică

a celui

a rezistorului neliniar invariabil fn timp este:

J(u(t),i(t)) =

(1.31)

g(u(t),i(t),t) =

(1

timp

de

bază

în teoria circuitelor electrice

• rezistoare neliniare controlate în tensiune, având (fig.l.9,a) de forma i(t)=t(u(t)) sau i=t(u);

ecuaţia caracteristică

• rezistoare neliniare controlate în curent, având (fig.l.9,b) de forma u(t) = u(i( t)) sau u = u(i) .

ecuaţia caracteristică

(1.33)

(1.34)

Un rezistor neliniar caracterizat de faptul că pentru orice tensiune u dată (curent i dat) curentul i (tensiunea u) este unic specificat (specificată) se numeşte rezistor neliniar controlat în tensiune (curent). u

u

b.

a.

Fig.1.9 Din categoria rezistoarelor neliniare simetrice fac parte: tubul cu fir incandescent şi termistorul, a căror rezistenţă variază cu temperatura, varistorul a cărui caracteristică este controlată în tensiune şi dioda cu gaz, având caracteristica controlată în curent. Dioda cu joncţiune, dioda Zener şi dioda tunel sunt rezistoare neliniare nesimetrice cu caracteristică controlată în tensiune. Un alt exemplu este arcul electric în curent continuu şi în curent alternativ, care poate fi modelat printr-un rezistor neliniar variabil în timp.

1.2.4.2. Bobina Bobina necuplată magnetic are

cp(t) numită caracteristică flux-curent.

ecuaţia

de

funcţionare

=cp(i(t), t)'

de forma (1.35)

14

TEORIA MODERNĂ A CIRCUITELOR ELECTRICE

Ecuaţia caracteristică explicită se obţine pe baza relaţiilor din teoria câmpului electromagnetic şi a următoarelor ipoteze care selectează proprietatea esenţială: bobina este realizată dintr-un fir conductor care, fiind parcurs de un curent electric produce câmp magnetic (

O, iar dipolul se numeşte receptor. Pentru un sens invers al tensiunii Ia bome- convenţia de Ia generatoare, puterea la bornele dipolului p = -ui i, ~ -Di,

cei ai coardelor

există

(2.39)

o depen-

dţt}ţă liniară.

DÎn relaţiile (2.34) şi (2.38) rezultă

(2.40) de unde se

obţine

'Btcr =-A-rr1A re· Analog, utilizând relaţiile (2.32)

şi

(2.41)

(2.38) se deduc următoarele

(2.42) din care rezultă o relaţie foarte importantă: (2.43) Ecuaţiile (2.40) - (2.43) arată că pentru generarea matricelor de inci-

A, B

şi

Q este necesar

să

se determine numai matricea incidenţelor

70

TEORIA MODERNĂ A CIRCUITELOR ELECTRICE

Din teorema a doua a lui Kirchhoff (relaţia (2.30)) şi partiţionările (2.38) se demonstrează că tensiunile coardelor se pot exprima, printr-o dependenţă liniară, în funcţie de tensiunile ramurilor:

Dacă

celor b bucle independente ale unui circuit electric conex C li se de buclă ib (care circulă prin laturile buclelor în sensul de referinţă ales pentru acestea) şi dacă se alege potenţialul electric al nodului nn ca potenţial de referinţă ( ~ = O) şi celorlalte noduri li se atribuie, în atribuie

curenţii

•ordine, potenţialele [ 1f' Vz' ... ' ~-1 simplu [1,2] relaţiile

.

It=

r=

~-1, atunci se pot demonstra

Bt.Ib

(2.45)

Şl

(2.46)

2.4. ALGORITMI DE DETERMINARE A ARBORELUI NORMAL ŞI A MATRICEI INCIDENŢELOR ESENŢIALE

2.4.1. Determinarea arborelui normal comun Deşi

un graf G, definit în paragraful 2.1, descrie complet interconexiunea şi sensurile de referinţă ale laturilor unui circuit cu parametri concentraţi, el nu este adecvat pentru memorare într-un calculator numeric. Informaţiile conţinute într-un graf orientat G pot fi complet stocate într-una din matricele de incidenţă prezentate în paragraful2.2. Dacă în graful de conexiune al circuitului, G, (în grafurile de conexiune de curent Gi şi de tensiune Gu, pentru circuitele nereciproce) se generează un arbore sau un arbore cu restricţii, care să conţină anumite tipuri de laturi ale circuitului - numit arbore normal sau arbore de referinţă (AN sau AR), (arbore normal comun sau arbore de referinţă comun (ANC sau ARC), în cazul circuitelor nereciproce), şi se determină matricea

Noţiuni

de topologia circuitelor electrice

71

incidenţelor esenţiale

(MIE) D, după ce în prealabil s-au reordonat laturile grafului în ordinea: ramuri, coarde, toate celelalte tipuri de matrice de incidenţă se pot genera cu ajutorul MIE (vezi relaţiile (2.41)- (2.43)). Există mai multe metode de determinare a ANC asociat grafurilor d şi au [2,5,10,I1,21,27]. În cele ce urmează se va prezenta metoda de determinare a unui ANC expusă în [11]. Această metodă utilizează o tehnică de calcul cu matrice rare, în sensul că pentru descrierea celor două grafuri orientate G' şi Gu se foloseşte câte o matrice formată din patru linii şi l coloane (l fiind numărul laturilor grafului Gi, identic cu cel al grafului Gu), numită matrice de descriere a grafului (MDG). Fiecare coloană a MDG este alcătuită, în ordine, din: indicele laturii, nodul iniţial, nodul final şi tipul elementului de circuit care formează latura respectivă. Fiecare latură a circuitului se ,consideră alcătuită dintr-un singur element de circuit bipolar (sau poarta comandată sau de comandă). Fiecărei surse comandate diport i se asociază în circuit câte două laturi: una pentru poarta de comandă şi alta pentru poarta comandată. De fapt, liniile 2 şi 3 ale matricei de descriere a unui graf (circuit) reprezintă, ca număr, elementele nenule ale matricei de incidenţă completă Ac laturi-noduri. Dacă ordinea laturilor este identică cu ordinea numerelor naturale, atunci linia 1 a MDG este superfluă şi poate fi eliminată. Deoarece ANC (conform definiţiei [2,9,10,11]), trebuie să conţină anumite tipuri de elemente de circuit din structura circuitului analizat şi anume: toate sursele ideale independente de tensiune, toate laturile comandate (de comandă) ale surselor ideale de tensiune (curent) comandate în

ee(uc) (ie(ic)), un număr maxim posibil de laturi de comandă ale surselor de tensiune comandate în curent ee (ic), un număr

tensiune (curent)

maxim posibil de condensatoare, un număr maxim posibil de rezistoare neliniare controlate în tensiune (c.u.), un număr minim posibil de bobine şi d~ rezistoare neliniare controlate în curent (c.i. ), nici o sursă ideală ţndependentă de curent, nici o latură comandată a vreunei surse de curent

comandată şi nici o latură de comandă a surselor

ee (uc),

elementele

circuitului se împart în nouă tipuri, numerotate de la 1 la 9. Tipul 1 de elemente de circuit conţine sursele ideale independente de tensiune (SIIT, elemente (laturi) de tip E). În structura elementelor de tipul 2 intră condensatoarele liniare sau neliniare controlate în tensiune (c.u.) sau în sarcină (c.q.) şi rezistoarele neliniare c.u. (laturi de tip C şi, repectiv, Ru). Tipul 3 cuprinde rezistoarele liniare (laturi de tip R). Din

TEORIA MODERNĂ A CIRCUITELOR ELECTRICE

categoria elementelor de tipul 4 fac parte bobinele liniare sau neliniare c.i. sau controlate în flux (c. c şi Rit în grafurile Gi şi a'.

78

TEORIA MODERNĂ A CIRCUITELOR

8. Se introduce în circuitul corespunzător grafurilor G~C"R"u şi GEC"R"u, pe rând, câte un element de tipul R (sunt excluse rezistoarele liniare care au rezultat din simularea surselor comandate). Se păstrează numai acele elemente de tipul R care nu formează bucle în G~C"R" u u R şi/sau

u R, obţinându-se în acest mod un circuit ·1 grafu f1 e GiEC" R"u R' Şl. ouEC" R"u R' · Gf:C" R"u

căruia

îi corespund

9. Se adaugă la circuitul obţinut la punctul 8 rezistoarele neliniare c.i., unul câte unul. Se reţin numai acele rezistoare neliniare c.i. care nu alcătuiesc bucle în graful G~C"R" u R' şi/sau Gf:c"R" u R'' rezultând astfel un circuit cu grafurile GEC"R" u R'R' şi Gf:c"R" u R'R' . 1O. Se introduc în circuitul obţinut la punctul 9 bobinele (inclusiv cele prin care s-au simulat cuplaj ele magnetice), una câte una. Se reţin bobinele care nu generează bucle în grafurile G~C"R" u R'R' şi/sau Gf:c"R" u R'R' , obţinându-se astfel un circuit căruia îi corespund grafuri le GEC" R"u R' R'; L,, 1

l

1

GEC" R"u R' R't L,. Numărul

1

bobinelor reţinute este egal cu numărul suprafeţelor de secţiune (secţiunilor) intersectate numai de elemente de tipul L sau elemente de tipul L, Ecu' Jcu' Jci şi J. 11. Se introduc pe rând, unul câte unul, în subcircuitul obţinut la punctul 10 elementele de circuit de tipul Ecm Jcu' Jci şi J. Dacă cel puţin unul din aceste elemente nu formează bucle în graful G 1 sau în graful Gu, înseamnă că circuitul analizat conţine o secţiune intersectată numai de elemente de tipul Ecw Jc 11 , Jci şi J, şi circuitul este nedeterminat (în sensul că pe o astfel de suprafaţă de secţiune nu este satisfăcută prima teoremă a lui Kirchhoff). În acest caz, circuitul studiat nu are un ANC (PNC). Dacă elementele Ecm Jcu' Jci şi J, adăugate pe rând, unul câte unul, în subcircuitul obţinut la punctullO, formează bucle atât în G 1 cât şi în Gu, atunci ANC (PNC) este chiar G~C"R"uR'R';L' (GEC"R"uR'R';L') cu condiţia ca aceste grafuri să aibă n - ns laturi (n fiind numărul total de noduri ale circuitului, iar n8 numărul total de părţi separate ale circuitului) şi toate nodurile circuitului, sau să conţină n - n8 laturi şi să nu conţină bucle. Numărul total al suprafeţelor de secţiune intersectate numai de bobine şi elemente de tipul Ec11 , Jc 11 , Jci şi J este egal cu numărul bobinelor ramuri ce aparţin buclelor formate prin introducerea elementelor de tipul Ecm Jcu' Jci şi J în grafuri le G~C" R"" R' R'; L, şi Gf:C" R"u R' R'; L', iar numărul suprafeţelor de secţiune intersectate numai de bobine este egal cu numărul celorlalte bobine ramuri.

Noţiuni

de topologia circuitelor electrice

79

Numărul

rezistoarelor neliniare c.i. ramuri este egal cu suma dintre de secţiune intersectate numai de rezistoare neliniare c.i. şi numărul suprafeţelor de secţiune intersectate numai de rezistoare neliniare c.i. şi elemente de circuit de tipul Ecu şi/sau Jci şi/sau JCII Ş i/sau J. Din metoda de determinare a unui ANC (PNC), prezentată mai sus, rezultă o teoremă de existenţă a acestuia. Teorema 2.4.1. Grafurile de curent ai şi de tensiune au ale unui circuit electric conex (sau nu) dat au un ANC (o PNC) dacă şi numai dacă sunt numărul

suprafeţelor

satisfăcute următoarele afirmaţii:

1) Grafurile a~ şi

aJ.:

nu conţin nici o buclă; 2) Pentru fiecare din perechile de subgrafuri:

(a~; a(;),( a~C; aF;c ),( a~C"Ru ;aEC"Ru ),( a~C"R'u R; aEC"R'u R), (akc" R' u R' R ; aEC" R' u R' R' ) 1

şi (akC"R' există

câte

u

R'R' L; aEC"R' u R'R' r) l

l

două

seturi de bucle independente (unul în subgraful de curent şi celălalt în sub graful de tensiune) între care există o corespondenţă biunivocă, astfel încât buclele corespondente să conţină cel puţin o latură comună de tipul ultimului indice inferior al subgrafurilor respective; 3) Grafurile ai şi au nu conţin nici o suprafaţă de secţiune intersectată numai de elemente de circuit de tipul Ecu şi/sau Jci şi/sau Jcu şi/sau J; 4) Grafurile a~C"R" u R'R' l L' şi aEC"R" u R'R'' L'' contin toate nodurile cir' cuitului dat şi au n - n8 laturi. Când aceste condiţii sunt satisfăcute ANC (PNC) este a~C"R"uR'R', L' în şi aEC"R""R'R'; L' în au. Demonstraţia teoremei 2.4.1 rezultă din însăşi metoda de generare a unui ANC (PNC) prezentată mai sus. Evident, ANC (PNC) nu este unic (unică). Pentru circuitul din figura 2.18 ANC este format din laturile: {1 1, !2 , !3, ls, l7, !11, l 12, /1 3 , /14, 115 , 116 , / 17 , 118 , l20 , / 22 }, laturi ce sunt desenate îngroşat în figurile 2.19 şi 2.20. Arborele normal comun grafurilor Gi şi Gu se poate determina şi cu algoritmul lui Kruskal [21], algoritm ce va fi prezentat în paragraful2.5. ai

TEORIA MODERNĂ A CIRCUITELOR

2.4.2. Determinarea matricei incidenţelor esenţiale Pentru determinarea matricelor incidenţelor esenţiale (MIE) Di, DU 1 corespunzătoare grafurilor G , CZ', se constată că dacă într-un graf dat, conex sau nu, se alege un arbore (pădure) de referinţă, setul fundamental de bucle independente al grafului se poate determina asociind fiecărei laturi coardă câte o buclă, astfel încât sensul ales pe buclă să coincidă cu sensul de referinţă al coardei şi toate celelalte laturi ale buclei să fie laturi ramuri (vezi paragrafele 2.2.3 şi 2.3). Procedând astfel, matricea de incidenţă laturi-bucle pentru graful considerat are forma: (2.53) unde lcc este matricea unitate de dimensiune cxc; D, de dimensiune rxc, este matricea incidenţelor esenţiale, iar r ( c) este numărul laturilor ramuri (coarde). Relaţia (2.53) arată că dacă se cunoaşte matricea de incidenţă laturibucle, determinând setul de bucle independente ale grafului considerat, conform procedeului expus în paragraful2.3, rezultă imediat MIE. Practic, se determină direct MIE, fără a mai fi nevoie de determinarea matricei de incidenţă laturi-bucle, extrăgând MIE din matricea de incidenţă laturi-bucle. Procedeul comportă următorii paşi: 1) Se introduce câte o latură coardă din d (G11) în ANC şi se identifcă laturile din care este formată bucla obţinută prin introducerea laturii coardă:

sensul de referinţă al laturilor ramuri din bucla astfel formată, cu sensul de referinţă a laturii coardă, căreia i s-a ataşat bucla respectivă, şi se completează pe coloana corespunzătoare acestei coarde cu -1 când sensurile de referinţă coincid, cu + 1 când sensurile de referinţă sunt contrare şi cu zero când latura ramură nu aparţine buclei respective. Procedând astfel, pentru toate laturile coarde din G' (G11) se obţine MIE Dt (Du). În [28] se prezintă un program de determinare a unui ANC şi a MIE, bazat pe metodele prezentate mai sus, intitulat PGANCMIE - Program de Generare a Arborelui Normal Comun şi a Matricei Incidenţelor 2) Se

compară

Esenţiale.

Pentru graful de curent Gi din figura 2.19, MIE Di are forma:

circuitelor electrice

el

-1

ez

o o o o o o o o

Cu c1z cl3

~14

Rul6 Dt= R3 Rs R? Rl?

1

o Ris o Rtls o Lzo o L22 o

o o 1 o o o o -1 o o o o o o o 1 o o o o o o o o o o o o o o

şi ordinea laturilor coarde este:

o o o o o o o o -1

o o o o o o

o o o o -1 o o o o 1 -1 o o o o o o o o o -1 o -1 o o -1 o 1 o o

o o -1 o -1 o o 1 o -1 o -1 o 1 o -1 o o 1 o -1 o o o o 1 o 1 o o

o 1

1

o o o -1

o o o 1

o o o -1

{c9,C10 ,Ru26 ,R6,Rs,R23,LJ9,Lzt,hs}.

2.5. GENERAREA ARBORILOR ÎNTR-UN

în determinarea simbolică sau parţial simbolică a funcţiilor de circuit cu metoda topologică a enumerării arborilor [1,2,7,13-24], cea mai laborioasă parte o constituie generarea tuturor arborilor din grafurile asociate circuitelor analizate. Eficienţa analizei circuitelor complexe printr-o metodă topologică, asistată de calculator, depinde în mare măsură de eficienţa algoritmului de generare a tuturor arborilor sau coarborilor grafului asociat circuitului respectiv. Cel mai simplu mod de generare a arborilor unui graf conex, cu n noduri şi /laturi, este de a examina toate combinaţiile posibile de n -1 laturi, pentru a constata care din ele nu conţine nici o buclă şi deci formează un arbore.

82

TEORIA MODERNĂ A CIRCUITELOR ELECTRICE

cr'

Folosind acest procedeu, ar trebui examinate cazuri; pe de altă parte, pentru un graf de complexitate medie, utilizând mijloacele de calcul actuale, numărul acestor combinări este mult prea mare. Principala dificultate a generării arborilor (coarborilor) printr-o asemenea metodă directă constă în faptul că numărul operaţiilor de calcul creşte exponenţial cu numărul de noduri. S-a pus astfel problema obţinerii unor metode sistematice de generare a tuturor arborilor (coarborilor) la care numărul de operaţii să depindă aproximativ liniar de numărul nodurilor grafului şi la care fiecare arbore (coarbore) să fie generat o singură dată (fără repetări). Cele mai eficiente metode de generare fără repetări a arborilor (coarborilor) sunt cele iterative, care au la bază efectuarea unor "transformări elementare" prin care se generează un arbore din alt arbore [1,2,3,14-20, 21-24 ], respectiv prin modificarea matri celor de incidenţă laturi-noduri sau laturi-secţiuni [1] sau a matricei incidenţelor esenţiale [13], prin operaţii elementare pe linii şi coloane. În [3,11,15] se demonstrează că în loc să se efectueze operaţii elementare pe liniile şi pe coloanele matricelor de incidenţă (laturi-noduri, laturibucle, laturi-secţiuni sau MIE), aceste operaţii se pot face direct pe liniile 2 şi 3 ale matricei de descriere a grafului respectiv, evitându-se astfel memorarea matricelor de incidenţă. De exemplu, pentru a verifica dacă laturile {! 1,!2 ,!3 ,14 } din graful orientat G, reprezentat în figura 2.21, formează sau nu un arbore, se procedează [3] astfel: 1) Se construiesc doi vectori: vectorul laturilor vi, de dimensiune (n- 1)xl şi vectorul nodurilor vn de dimensiune nxl, după cuîn urmează; 2) Se introduce prima latură, din combinaţia de n-1 laturi considerate, în vectorul vi, iar în vectorul vn se introduc nodurile acestei laturi:

vi= {1}

şi

vn = {2, 1};

(2.54)

/

\

/

1

/7 1 1

4

®

----

- -s-Fig. 2.21

h 1

1 ®

Noţiuni

de topologia circuitelor electrice

83

3) Se verifică dacă nodul 2 sau nodul 1 mai există cel puţin o dată pe liniile 2 sau 3 ale MDG corespunzătoare setului de laturi considerat: 1 2 2

MDG=

3 4

2 4

3

1 3 3

5

1 2

3

3

(2.55)

nodul 1 nu mai există, însă nodul 2 se mai găseşte o singură dată pe coloana 2 şi linia 2 ale MDG. Se completează vectorul vl cu latura 2 corespunzătoare coloanei pe care s-a găsit nodul 2 şi vectorul vn cu celălalt nod (diferit de nodul 2) al laturii 2 Se

observă că

vl= {1, 2}

şi

vn = {2, 1, 3}.

(2.56)

Dacă nodul2 nu se regăseşte pe coloana a doua a MDG, ci pe o coloană k, k > 2, înainte de a se completa vectorii vl şi vn se permută coloana k cu coloana 2. Dacă nici unul din nodurile 2 şi 1 nu se mai regăseşte cel puţin o dată în liniile 2 şi 3 ale MDG, înseamnă că subgraful considerat nu este conex şi, deci, nu formează un arbore; 4) Se testează dacă nodul nou introdus în vectorul vn, nodul 3, mai există în acest vector. În caz afirmativ, înseamnă că există o buclă şi subgraful considerat nu este arbore. În caz contrar, se procedează ca la punctul 3 cu nodurile 1 şi 3. În final se obţine:

vl= {1,2,3,4}

şivn=

{2, 1,3,4,5};

(2.57)

5) Se verifică dacă vectorul vn conţine toate nodurile grafului. În caz afirmativ, subgraful considerat este un arbore, iar în caz contrar, combinaţia de n-1 laturi nu formează un arbore. În [15,26] se prezintă o metodă deosebit de eficientă pentru generarea tuturor arborilor dintr-un graf conex G, fără repetiţii, pornind de la un arbore de referinţă A 0 din G, ales arbitrar sau care are laturile cu ponderile cele mai mici, şi de la coarborele său = CAO. De exemplu, pentru graful conex din figura 2.21, A 0 = {! 1, !2 , 13 , 14 } şi 0 = {!5 , 16 , 17 }. Metoda se bazează pe operaţii elementare în liniile 2 şi 3 ale matricei de descriere (MDG) a grafului. Aşa cum s-a precizat şi în paragraful 2 ..3, MDG a unui graf conţine pe liniile 2 şi 3 elementele nenule ale matricei

eo

e

TEORIA MODERNĂ A CIRCUITELOR ELECTRICE

complete de incidenţă laturi-noduri Ac, în care elementele şi -1 ale acestei matrice de incidenţă sunt înlocuite cu nodul iniţial, respectiv nodul final al laturii respective. De fapt, aceasta reprezintă o tehnică de calcul cu matrice rare, în sensul că operaţiiJe de generare a arborilor se fac pe o matrice care conţine numai elementele nenule ale matricei de incidenţă laturinoduri, matrice care este, prin structura sa, o matrice de tip rar. Pentru determinarea arborelui iniţial se va utiliza algoritmul lui Kruskal, care permite generarea unui arbore de cost minim (ale cărui laturi au ponderile minime). În analiza simbolică a circuitelor electrice prin ponderea unei laturi se înţelege [17] logaritmul zecimal cu semn schimbat al modulului valorii numerice a admitanţei sale ( -lgllk 1 sau -lgiYk (s ~ ). Algoritmul lui Kruskal va fi prezentat sub forma de pseudo-cod. Înainte de a începe descrierea algoritmului este necesară o prezentare a structurilor de date folosite în cadrul său. Se va considera un vector arb în care se vor reţine indicii laturilor ce fac parte din arborele generat. De asemenea, mai este nevoie de un vector rădăcină în care, pentru fiecare nod, se reţine rădăcina arborelui din care face parte. Prin definiţie, rădăcina unui arbore

este valoarea celui mai mic indice al nodurilor respectiv.

conţinute

de arborele

Algoritmul, într-o formă concisă, are următoarea structură: • la început se consideră că fiecare nod este un arbore individual, între noduri neexistând nici o conexiune; • pentru fiecare latură, selectată în ordinea crescătoare a ponde~ rilor, pot apărea două situaţii: • 1. capetele laturii pot aparţine aceluiaşi arbore (caz în care latura respectivă este ignorată pentru că în cazul adăugării ei se creează o buclă); • 2. capetele laturii pot aparţine unor arbori diferiţi (caz în care latura este reţinută, ea unind cei doi arbori); • se procesează laturile conform pasului anterior până se ajunge la un unic arbore (adică până s-a creat arborele căutat). Pseudo-codul pentru algoritmul lui Kruskal este: 1. arb = {0} 2. pentru fiecare nod val grafului 3. rădăcina [v ]=v 4. sortează laturile în ordine crescătoare a ponderilor folosind algoritmul quicksort 5. pentru fiecare latură a grafului conectată între nodurile (u,v), luate în ordine crescătoare a ponderilor, testează

circuitelor electrice dacă rădăcina [uJt:rădăcina

, 6. 7. 8. 9. unde: •

85

[v]

adaugă _latură uneşte_aborii dacă soluţie returnează

arb

adaugă_latură

este o funcţie care adaugă latura (u,v) la arborele parţial de cost minim arb; 111 uneşte_arborii schimbă rădăcinile celor doi arbori uniţi prin latura introdusă, atribuindu-le rădăcina cea mai mică dintre rădăcinile celor doi arbori; 111 soluţie verifică dacă avem un singur arbore, caz în care arborele rămas este chiar arborele căutat, de cost minim. Pentru graful conex G din figura 2.21, presupunând că ordinea ponderilor laturilor este cea naturală, algoritmul Kruskal de generare a arborelui iniţial /1 o = {!1, !2, h, !4} este descris în figura 2.22. rădăcinile iniţiale ale

3 4

5

1 1 3 4

5

se adaugă latura 11 = (2, 1)

1 1 4

5

se adaugă latura 12 = (2,3)

1 1

1 1 5

se adaugă latura 13 = (4,3)

l

1 1 1

se adaugă latura 14 =

1 2

1

celor cinci arbori

(3,5)

Fig. 2.22 Iniţial, cei cinci arbori sunt identici cu cele cinci noduri ale grafului considerat şi au rădăcinile {1, 2, 3, 4, 5}. Se adaugă în vectorul arb latura li = (1, 2) care uneşte arborele '1' şi arborele '2'; ca atare, arborele '2' primeşte rădăcina arborelui '1' (acesta având rădăcina mai mică). Prin urmare, noile rădăcini ale arborilor sunt {1, 1, 3, 4, 5} şi algoritmul cimtinuă până când se obţine arborele căutat. . 1 Se alege o ordine arbitrară 'i, r 2 , ... , rn-l, pentru laturile arborelui Ao, ~de n este numărul nodurilor grafului G, iar pentru coardele coarborelui ~se alege o altă ordine arbitrară c1, c2 , ... cb, cu b numărul de coarde ale ~~i (identic cu numărul buclelor unui sistem fundamental de bucle t~dependente ale grafului G). Procedeul constă în generarea pe rând a mulţimii de arbori Ac ,c , . ,cik

eo

11

conţine toţi

12

arborii din G care au ca ramuri coardele c11 , c12 , ... c1k din

TEORIA MODERNĂ A CIRCUITELOR ELECTRICE

86

eo şi nu au ca ramuri celelalte coarde din eo, pentru toate combinările (c}, 'ciz, .. .cJJ de k coarde din cele b coarde ale lui eo, k = 1' 2, ... , b, în ordinea

obişnuită:

c1, c2

1 ••• 1

... ; clc2c3 ... cb.

c6 _ 1 c6 • c1c2 c1c3 , ... c6 _ 1c6 ; ' 1

1

1

C1CzC:3~ ... 1 c6_2c6_ 1c6 ;

Definiţia

2.5.1. Fie doi arbori (41, A2) într-un graf conex G. Se numeşte distanţă între doi arbori şi se notează cu d (4 , A ) numărullaturilor care 1 2 aparţin lui A şi nu aparţin lui A • 1 2 Mulţimea de arbori Ac ,c ,... ,cik , cu o distanţă k :S: min (n-1, b) faţă de 11 12

arborele A

0 ,

se generează din arborii mulţimii de arbori A cit ,c12'" .. ,cik_

,

de

1

distanţă

k-1 în raport cu A o. Pentru aceasta, primul pas constă în adăugarea coardei c1k. Mai exact, în acest prim pas, pentru fiecare arbore

11 12 ... cik-l, prin adăugarea coardei c1k se formează subgraful c c = A~ c c u ~1. }, care contine o singură buclă B~. c. c..lk .

A~ c

s:

.Il ./2 ... .lk

.Il ./2 ... ./k-1

k

'

.Il .12 ...

1 ch .. cik din mulţimea (spargerea) buclei B~ c12 . .c,k , 11

Al doilea pas constă în generarea unui arbore A~i de arbori

prin deschiderea

Acil ,c ,.. ,cik 12

eliminând din ea o ramură r;h . Definiţia

2.5.2. Mulţimea de restricţie a unui arbore oarecare reprezintă mulţimea tuturor ramurilor din A care au fost substituite cu coarde din 0 0 pentru a obţine toţi arborii predecesori arborelui respectiv şi mulţimea ramurilor din A 0 care aparţin buclei din care s-a generat acest arbore.

e

Arborele 1'{162 .c,k are ca predecesor prim (proxim) arborele şi

ca predecesor secund arborele

Ai cll ci2 ... cik-l

Ac1 c .

c. , /] 12 ... ./k-2

1

predecesor prim a lui

etc.

Ca urmare, arborele A~ii c12 .. cik este descendent al arborilor A~./1 c./2 ... c.lk-2

A:citciz .. cik_

, ... ,

A~./1

.

Ramura eliminată 1fh

E

B~ Il c.12 ... c.lk

A::il c12 ...cik-1,

n{tj,r2,... ,rn-l},

1 12 ... cik

prin definiţie, nu face parte din mulţimea de restricţie RS~i c subgrafului S~ c

11 12 ... cik

Ai . cit ci2 ... clk

identică

a

cu mulţimea de restricţie a arborelui

Aceasta este definită ca reuniunea mulţimii de restricţie

RS~itci2. cik a subgrafului S~i1 c 12.. c,k (din care se obţine arborelr> 4~ilc 12 . cik,

prin eliminarea ramurii

t:,.h

din bucla

Bc1 c .

c.

./] ./2 ... .lk

) şi

multimea ramurilor '

Noţiuni

de topologia circuitelor electrice

87

lui .?'!,o care apartin ' buclei B~..Il c..12 ... c.Jk şi care preced ramura 'ih în ordinea iniţială

a ramurilor din A 0 . În figura 2.24, în care se algoritmul de generare a tuturor arborilor grafului conex din figura 2.23, numerele încadrate în cercuri reprezintă numerele curente ale arborilor generaţi; mulţi­ mea de restricţie a fiecărui arbore este formată din ramurile lui A 0 sectionate cu o linie oblică între-

CD~l

prezintă

6

rup~ă. De exemplu, arborele @ are multimea de restrictie alcătuită din Fig.2.23 ' ' ramurile {2} . Algoritmul de generare fără repetiţii a tuturor arborilor unui graf conex G, prin generarea ordonată a buclelor şi deschiderea lor ordonată, descris în figura 2.24, pentru graful din figura 2.23, se realizează după cum urmează:

1. Se determină, cu algoritmul lui Kruskal [21], un arbore A 0 al grafului G, care se consideră ca arbore de referinţă iniţial. 2. Se alege o ordine r 1, r 2, ... , rn-l pentru ramurile lui A 0 şi o ordine e 1, c2 , ••• , eb pentru coardele coarborelui 0 al lui A 0 . 3. Se generează, pe rând, arborii din mulţimile: Ac1 , Ac2 , ... , A 9 ,. Pen-

e

tru aceasta, se efectuează următorii paşi: 3.1. "Primul pas" de formare a subgrafului S~1 • Adăugând coarda e 1 arborelui A 0 se obţine subgraful S~ 1

= A 0 u {c1}

cu singura buclă B~1 şi

restricţia RS~ 1 = {0}.

3.2.

"Paşii

secunzi" de generare a arborilor

mulţimii

Ac1 .se sub-

stituie, pe rând, în A 0 câte o ramură din bucla B~1 , începând cu ramura din

bucla care are numărul de ordine cel mai mic, în ordinea

Vi,r2 , ••• ,rn_ 1 },

cu

astfel arborii Ac11 din multimea Acl şi restrictiile coarda e 1, obtinându-se ' ' ' lor. Restricţia fiecăruia din aceşti arbori este constituită din ramurile din A 0 care aparţin buclei B~ 1 şi care au numere de ordine mai mici decât numărul de ordine al ramurii eliminate.

TEORIA MODERNĂ A CIRCUITELOR ELECTRICE A =f 2 5}

.- - - - - -,

1

/cs''

r - /_ 1 {

, 8 1 ={') i 5} C L, - ' 5

0

l

rB~c6 ={

1, 5, 3, 4}

CD

, L.. 2 (1,.2,5,4} Bc c

{1,2,3,4}

{

5 6

'

:

1, 5,,o,6} Î?'

1{

'

~~

r

=(2,4,6}------., 1,_2,,,6 /

1

~

1

1

L _ _ _ _ _j

1

:

1

f7\

~

{

3, 4, 5,6)

G)l s 6 4} 1

{J ''' 1(

·

J

}1

1

_ _ _ .J

r-----., 1 1

(j)

{ 1, 6, 3, 4}

8~={2,4,6}

{

$ {1,2, 3, 4}

1 1 1

: /Ac6={7,8} v

L _ _ _ _ _j

Fig. 2.24 3.3. "Primul pas" de formare a subgrafului S~2 • Prin adăugarea coardei c2 la arborele A 0 se formează subgraful S~, = A 0 u {c2 } cu singura buclă B~2 şi restricţia RS~2 = {0}.

3.4. "Paşii secunzi" de generare a arborilor din mulţimea Ac2 • Înce-

pând cu ramura din buclă cu numă.rul de ordine cel mai mic în ordinea ramurilor, se substituie pe rând în A0 câte o ramură din bucla B~2 cu coarda c2, generându-se astfel arborii Ac2 ai mulţimii Ac2

Se repetă "primul pas" şi "paşii secunzi" arborii mulţimilor: Ac1 , Ac2 , .•. , A 9 , .

curestricţiile

până

când se

lor.

generează toţi

4. Se generează pe rând arborii mulţimilor: Ac1c2 , Ac1c3 , .•• , Ach-lch.

4.1. "Primul pas" de formare a subgrafului s~JC2. Adăugând la arborele A~1 coarda c2 se formează subgraful S~1 c2 cu buda Bhcz şi restricţia sa RS~1 c , identică cu restricţia arborelui A~1 c2 •

2

4.2.

"Paşii

secunzi" de generare a arborilor

mulţimii

Ac1c2 ,

Aceştia

se obţin din subgraful S~1 c2 deschizând bucla sa B~1 cz prin câte una din ra-

murile lui A 0 pe care această buclă le conţine şi care nu fac parte din restricţia subgrafului S~ c , şi substituirea, pe rând, a acestor ramuri, în arbo12

rele A~ 1 , cu coarda c2 .

circuitelor electrice

89

"Primul pas" şi "paşii secunzi" se repetă pentm toţi ceilalţi arbori din Aq, respectiv pentru toate subgrafurile obţinute din ei prin adăugarea coardei c2 • Apoi, se trece la generarea arborilor din mulţimile: Actc3' · · ·' ACjCJ,; Ac2c3 '· · ·' AC2Cf>; · · ·; Acb-JCb ·

5. Se generează pe rând arborii din mulţimile:

Procedeul se continuă până la generarea arborilor din ultima mulţime de arbori Ac1c2 .•• c!J. Trebuie remarcat faptul că unele din mulţimile de arbori Ac c cik pot 11 12

fi vide, caz în care nu mai este necesar

să

se ia în

consideraţie mulţimile

care succed din acestea. Bi. Pentm determinarea buclei a cil c.i2 ... cik 1 1 Sc c. c. = rlc c. c. u {ck.) t se elimină din sub graful Ji .12 ... lk li /2 ... lk-1

subgrafului

1

Sc c. ./]

c.

.12 ... .lk

toate

laturile care conţin un nod de gradul 1. Laturile rămase după eliminare sunt laturile buclei B~il ci2 ... CJk • Eliminarea unei laturi în MDG se obţine prin schimbarea semnelor indicilor nodurilor laturii n:.;spective.

t r2

r3

r4 cs

4

2

5

2

3 2

'i

G

Pasull

Pasul2

[-1

Pasul3

[-l

Stop!,

3 ] = MDG pentru 4

t 4

2

5

-5 2 3 2

-5

B;

5

4 2

!]

Este

= {2, 4, 5}.

Fig. 2.25

= {1, 2, 3,4, 5} 5

eliminată ramura 'J ;

5 3 ] Este 2 3 -2 4 -

S~

eliminată ramura r4 ;

90

TEORIA MODERNĂ A CIRCUITELOR ELECTRICE

Operaţiile de generare a unei bucle se efectuează numai pe liniile 2 şi 3 ale MDG asociată subgrafului respectiv, aşa cum se arată în figura 2.25, unde este descris procesul de generare a buclei 5 = {2, 3, 5}, obţinută din

B!

subgraful

S!

5

= A 0 U{c5 }= {1, 2, 3, 4, 5} al grafului G din figura 2.23.

Teorema 2.5.1. Fie un graf conex G. Aplicând acestui graf metoda de generare fără repetiţii a arborilor, prin generarea ordonată a buclelor şi spargerea (deschiderea) lor ordonată se generează toţi arborii din graf. Demonstraţie. Fie A un arbore oarecare al grafului G. Fiecare ramură a arborelui A este conţinută fie în arborele de referinţă iniţial A 0, fie în coarborele acestuia 0 . Fie C = ci,, ciz , ... , cd mulţimea laturilor lui A care

l

e

sunt coarde în

e

0

l

şi fie D = rk,, rk2 , ••• , rd mulţimea ramurilor lui A 0 care

nu sunt laturi ale lui A. Arborele A se poate genera prin metoda descrisă mai sus, astfel: P 1· La arborele A 0 se adaugă prima coardă ci1 din mulţimea C, generându-se astfel sub graful S 1• Se deschide bucla din S 1 prin ramura :P 1 a lui D care se află în buclă şi are cel mai mic număr de ordine din D (aceasta este posibil deoarece nu există bucle alcătuite numai din laturi ale lui A). Arborele A 1 astfel generat nu conţine în restricţia lui nici o ramură dinD. P2. La arborele A1 se adaugă coarda ci2 , formându-se subgraful S2 . Subgraful S2 nu are ca restricţie nici o latură din D. Se selectează ramura rP din D, care are cel mai mic număr de ordine. Se deschide bucla lui S2 2 prin eliminarea laturii rP2 care nu este conţinută în restricţia lui S2 (ceea ce este posibil, deoarece bucla nu poate conţine numai laturi din A). Procedeul se continuă până la pasul Pp, când se adaugă ultima coardă ci p din C şi

ultima ramură din D, obţinându-se astfel arborele A. Paşii procedeului P (P 1, P2 , .•• , Pp) sunt toţi realizaţi în aplicarea metodei de generare a arborilor prin formarea ordonată a buclelor şi apoi deschiderea lor ordonată, deoarece: a) coardele se adaugă în ordinea coardelor utilizată în aceasta metodă; b) ramurile eliminate la fiecare deschidere a oricărei bucle nu aparţin restricţiei subgrafului care conţine bucla respectivă. Deci, arborele A este unul din arborii generaţi prin aplicarea acestei metode şi cum arborele A este un arbore oarecare a lui G, teorema 2.5.1 este demonstrată. Teorema 2.5.2. Metoda determinării arborilor unui graf conex G prin generarea ordonată a buclelor şi deschiderea lor ordonată generează o singură dată (fară repetiţie) fiecare arbore al acestuia. se

elimină

Noţiuni

91

de topologia circuitelor electrice

Demonstraţie.

Se foloseşte metoda inducţiei complete. Proprietatea P(k). Arborii mulţimii Ac c ... cik sunt distincţi 11 12

şi

nu au

descendenţi

comuni. Proprietatea P(k) este adevărată pentru k = 2, deoarece: a) arborii mulţimii Ac 1 sunt distincţi, fiind generaţi prin substituirea

unor laturi diferite din aceeaşi buclă cu coarda c 1; b) doi arbori A~ 1 , Aj1 ai mulţimii Ac1 nu pot avea

descendenţi

comuni,

deoarece dacă i < j, arborele A~ 1 şi descendenţii săi nu conţin latura eliminată

din buclă la generarea lui, iar A~ şi descendenţii lui conţin această la-

tură,

ea aparţinând restricţiei subgrafurilor din care sunt obţinuţi. Proprietatea P{k+l) este adevărată dacă este adevărată proprietatea P(k). Evident, un acelaşi arbore A~ c ... c.ik nu se poate genera din doi ar-

11 12

bori diferiti'

AcP ,.

c.

./1"./2 ... ./k-1

şi Acq c.

c.

.Il .12 ... .lk-l

,

deoarece

aceştia

nu au, conform

proprietăţii P(k), descendenţi comuni. Acelaşi arbore A~/Jc/

2 ... cik

nu se

poate repeta nici la generarea descendenţilor proximi dintr-un acelaşi arbore, deoarece aceşti descendenţi sunt diferiţi. Pentru că alte posibilităţi nu există, în procesul de generare a arborilor din multimea Ac. c. c. , nici un ' .Il 12 ... .lk arbore nu se generează de mai multe ori. Doi arbori diferiti' AcP.Il c..12 ... c..lk şi Acq./] c../2 ... c..lk din multimea '

Ac. c.

c

.Il 12 ... .lk

pot

avea acelaşi predecesor proxim sau pot avea predecesori proximi diferiţi (doi arbori diferiti' din multimea Ac. c. c. ). În nici una din aceste două ' .Il .12 ... .lk-l

situaţii arborii A~ c 12 .. cik şi A~ c 12

1

1

.cik

nu pot avea descendenţi comuni. În

prima situaţie, pentru că descendenţii lor conţin ramuri diferite ale arborelui din care s-au obţinut (punctul b) de la P(2)). În a doua situaţie, deoarece descendentii comuni ai lui AcP./! c..12 ... c..lk şi Acq.li c.12 ... c..lk sunt şi des, cendenţi

comuni ai arborilor lor predecesori proximi, însă această situaţie nu este posibilă pentru că predecesorii proximi sunt arbori ai mulţimii Ac c ... cfk_ care, prin ipoteză, nu au descendenţi comuni. Deci, prin induc12 11

1

ţie completă rezultă că

proprietatea P(k) este valabilă pentru orice k :=:: 2. Prin urmare, arborii generaţi cu metoda formării ordonate a buclelor şi spargerea lor ordonată sunt distincţi. Arborii din mulţimi diferite sunt şi ei diferiţi, deoarece conţin coarde diferite. Afirmaţiile de mai sus demonstrează teorema 2.5.2.

TEORIA MODERNĂ A CIRCUITELOR ELECTRICE

În conformitate cu metoda expusă în acest paragraf, s-a elaborat un program de generare fără repetiţii a tuturor arborilor (coarborilor) dintr-un graf conex, numit PGAG - Program de Generare a Arborilor într-un Graf. Acest program este scris în limbaj FORTRAN 77 şi este prezentat în Anexa 2, [29]. Algoritmul lui Kruskal poate fi utilizat şi Ia generarea fără repetiţii a tuturor arborilor dintr-un graf conex G. Algoritmul se bazează pe cel descris mai sus pentru generarea arborelui iniţial Ao, folosind un procedeu recursiv. Odată ajunşi în situaţia de a adăuga o latură (care respectă condiţia de introducere în arbore) există două că.i pe care se poate merge mai departe: se adaugă latura şi se găsesc toţi arborii ce conţin latura respectivă, sau se omite introducerea laturii în arbore şi se generează arborii care nu conţin latura respectivă. Algoritmul are următoarea structură: 1. arb = {0} 2. pentru fiecare nod v al grafului 3. rădăcina[v] = v 4. sortează laturile în ordinea crescătoare a ponderilor folosind algoritmul quicksort 5. generează_arbori ( 1) generează_arbori

(k) 1. pentru fiecare latură (u,v) a grafului, începând cu latura k în ordinea crescătoare a ponderilor testează 2. dacă rădăcina[u]:;t:rădăcina[v] 3. adaugă_latură 4. uneşte_arborii 5. dacă soluţie returnează arb 6. altfel generează_arbore(următoarea_latură) 7. separă_arbori 8. scoate latură

Noile

funcţii şi

variabile ce apar sunt: următoarea latură - latura următoare celei analizate curent, în ordinea crescătoare a ponderilor; separă_arbori - schimbă valoarea rădăcinii nodurilor din arbori aşa cum era înainte de unirea arborilor; scoate latură - scoate ultima latură introdusă în arbore.

Pentru a calcula ordinul de complexitate al algoritmului propus, vom calcula mai întâi ordinul de complexitate al algoritmului lui Kruskal, iar apoi pe cel al algoritmului de sortare quicksort (folosit pentru sortarea laturilor în ordinea crescătoare a ponderilor). Complexitatea algoritmului lui Kruskal este O(L *a(L,N)), unde prin L s-a notat cardinalul mulţimii laturilor grafului, N este cardinalul mulţimii nodurilor, iar a este inversa încet crescătoare a funcţiei lui Ackermann, [21 J. Prin definiţie, funcţia lui Ackermann este:

2n, pentru m-= 1; f(m,n)= f(m -1,2), pentru n = 1;

{

Inversa

funcţiei

(2.58)

f(m -1, f(m,n -1)) în celelalte cazuri.

lui Ackermann este

definită

astfel:

a(m,n )= min~ ~ l;j(t,Gn 1n.J)> lgn }.

(2.59)

Ordinul de complexitate al algoritmului de sortare quicksort este O(L *lgL) în cazul mediu şi O(L2) în cazul cel mai defavorabil. În consecinţă, complexitatea algoritmului propus este O(L*lgL+K*L*a (L,N)), unde K este număml de arbori ai grafului. În [19] se prezintă o metodă diakoptică de generare fără repetiţii a tuturor arborilor dintr-un graf conex. Metoda constă în partiţionarea noduri a grafului conex dat în două subgrafuri, complementare nodun şi disjuncte în laturi. Pentru fiecare partiţie a mulţimii comune de noduri dintre cele două subgrafuri se s-pădurile din primul subgraf (unde s reprezintă numărul părţilor separate ale primului subgraf corespunzătoare submulţimilor partiţiei considerate) şi arborii al doilea subgraf (în care nodmile fiecărei submulţimi a partiţiei sunt scurtcircuitate). Reunind fiecare arbore detenninat în subgraful S2 cu toate rile generate subgraful S1 se obţin, tară repetări, din graful iniţial. Deoarece partiţiilor creşte foarte cu numărul nodurilor nodurilor de cele acestora

să

nu

mare

şi, pentm generarea s-pădurilor şi a arborilor din """'"""'"

tiv Sz, se pot folosi metodele prezentate în acest paragraf.

S1

recurs1v respec-

şi

94

TEORIA MODERNĂ A CIRCUITELOR ELECTRICE

2.6. PROBLEME P.2.1. Fie circuitul electric reprezentat în figura P.2.l,a. Se cere: a) Să se construiască graful de conexiune al circuitului; b) Să se determine următoarele matrice de incidenţă: laturi-noduri redusă A, laturi-bucle B, laturi-secţiuni Q şi matricea incidenţelor esenţiale D; c) Să se verifice că majorii matricei A sunt nuli, dacă laturile corespunzătoare coloanelor din care au fost alcătuiţi nu formează un arbore, iar în caz contrar au valoarea ± 1. Rezolvare: a) Circuitul electric din figura P.2.l,a are n = 4 noduri şi l = 7 laturi. Având în vedere sensurile curenţilor laturilor, graful de conexiune asociat circuitului electric reprezentat în figura P .2.1 ,a este desenat în figura P .2.1 ,b, unde laturile arborelui ales s-au marcat cu linie continuă, iar laturile coarborelui complementar cu linie întreruptă. b) Matricea redusă de incidenţă laturi-noduri are structura

a.

Noţiuni

de topologia circuitelor electrice

95

b. Fig. P.2.1 Matricea de incidenţă laturi-bucle, ţinând seama de sensul ales pe bucle (fig. P.2.l,b), este ~ ~ 4 14 ls 16 J, o 1 1 1 o o o b4 B=

bs 1 b6 1 b7 o

o 1 o 1 o o o o o o 1 o o 1 o o o 1

Matricea de incidenţă laturi-secţiuni laturilor ramuri are forma

Il li

lz

l3

corespunzătoare secţiunilor ataşate

l4

16 -1 -1 ls

o o o o Q = 2.,~ o 1 o -1 -1 2.,1 o o o -1 o o Matricea

incidenţelor esenţiale

are structura

17

-~J

TEORIA MODERNĂ A CIRCUITELOR ELECTRICE

c4

cs

c6 -1 -1

1

r [ O D=r2 -1 -1

o o o

r3 -1

c) Majorullui A arbore are valoarea

corespunzător

c7

-H

subgrafului S

=

{II, lz, h}, care nu este

o o o MAs= O -1 1

O =O,

o -1

iar cel care corespunde arborelui A= { / 1,

/z, h} are valoarea

o o1 MM

=0

-1 0

= 1.

oo P.2.2. În figura P.2.2,a se prezintă o schemă de comutaţie în care condensatoarele de stingere sunt conectate în triunghi. Modelând cele trei tiristoare prin rezistoare neliniare controlate în tensiune (c.u.) să se determine un arbore nom1al (AN) şi să se precizeze, ca tip şi număr, elementele în exces. Să se genereze, de asemenea, matricea incidenţelor esenţiale (MIE).

Rezolvare: Utilizând algoritmul prezentat în § 2.5, AN corespunzător circuitului reprezentat în figura P.2.2,a are următoarea structură:

An

={1,5,6,2,8,9,10}.

În figura P.2.2,b s-au desenat cu linie continuă laturile AN şi cu linie întreruptă laturile coarborelui complementar AN. Elementele în exces sunt condensatorul C7 (element de tipul C) şi tiristoarele Th3 şi Th4 (elemente de tipul R 14 ). Matricea incidenţelor esenţiale» are forma:

a.

.....

---

b. Fig. P.2.2

el

c.7

IJ'h3

Th 4

·o

o

o

Cs -1 -1

-1

o

-1

c6 D=Th2 Rg

R9 Rw

-1

o 1 1 o o o o o o o o o

L11

-1

L12

Ln

-1

-1

o 1 o o

1

1

-1

-1

-1

-1

o

o -1 o o

o o -1

TEORIA MODERNĂ A CIRCUITELOR ELECTRICE

98

P.2.3. Determinaţi cu algoritmul lui Kruskal un arbore în graful conex din figura P.2.2,b şi calculaţi majorul matricei de incidenţă redusă A corespunzător acestui arbore.

Rezolvare: Algoritmul Kruskal de determinare a unui arbore într-un graf conex comportă următorii paşi:

12345678-

Rădăcinile iniţiale

ale celor opt arbori;

1 2 3 1 5 6 7 8- S-a introdus latura / 1 = (4,1) care uneşte arborii 4 Deci, rădăcina arborelui 4 devine 1;

şi

1.

12115678- S-a introdus latura l2 devine 1;

=

(3,4),

rădăcina

arborelui 3

12111678- S-a introdus latura /3 devine 1;

=

(3,5),

rădăcina

arborelui 3

12111671- S-a introdus latura /4 devine 1;

=

(8,4),

rădăcina

arborelui 8

1 2 111 6 7 1 - S-a introdus latura /5 = (3,5), rădăcina arborelui 3 este identică cu rădăcina arborelui 1 şi în acest caz latura /5 nu poate aparţine arborelui căutat (ea face o buclă cu laturile l2 şi /3); 11 1 1 1 6 7 1 - S-a introdus latura /8 devine 1;

(1,2),

rădăcina

arborelui 2

1 1 1 1 1 1 7 1 - S-a introdus latura /9 devine 1;

(1 ,6),

rădăcina

arborelui 6

11111111- S-a introdus latura / 10 = (1,7), devine 1.

rădăcina

arborelui 7

Dacă după şi

7 se

introducerea laturii 5 se continuă cu introducerea laturilor 6 atât latura 6 cât şi latura 7 unesc noduri care aparţin

constată că

Noţiuni

de topologia circuitelor electrice

99

aceluiaşi

arbore (latura 6 nodurile 5 şi 8, iar latura 7 nodurile 8 şi 3). Ca unnare, aceste laturi nu pot face parte din arborele căutat. Deci arborele căutat este A= { 1, 2, 3, 4, 8, 9 , 1O}. Majorul matricei A corespunzător laturilor arborelui A, când se consideră ca nod de referinţă nodul 8, este

MA,A

-1

o

o

o

o

o

o 1 1 1 o -1 o o

o

1

o

o

o

o

o

1 -1 -1 -1

o

o

o = -1.

=

P.2.4. Să se determine zentat în figura P.2.2,b.

o

o

1 o

o

o

o

o

o o o -1

o

o

o

o

o

numărul

o o

o -1

de arbori ai grafului conex G repre-

Rezolvare: Pentru determinarea numărului de arbori (identic cu numărul de coarbori) dintr-un graf conex, se poate folosi una din formulele prezentate în paragraful 2.2. Conform formulei (2.9) avem: o

-1

-1

o

o

4

o o -1 -1

o

o

-1

4 -1

-1

-1

2

-1

o -1 na =ne= det(E)= -1

o

Dacă utilizăm

o -1

4

o

o -1

-1

4

o -1

o= 486. o

-1

o

o

o -1

2

o

-1

o

o

o

o

2

o

fvnnula (2.23), pentru cazul când setul de secţiuni independente este asociat celor r = 7 ramuri (fig.P.2.2,b), se obţine:

TEORIA MODERNĂ A CIRCUITELOR ELECTRICE

-1

1

1

1

3 6 -4 -2 -2 -4 6 3 -2 4 na =n c =det(H)=~-1 3 . 1 1 o o

1

1

1

o o

-1

-1

4

-2

3

1

1

-1

o

1

1

-1

-1

2

o o

o o

-1 =486.

2

o o

o

2

obţine:

(3.58)

Ecuaţia

(3.58) se poate exprima sub forma: (3.59)

care corespunde circuitului echivalent din figura 3.9,b. Deci circuitele din figurile 3.9,a şi b sunt echivalente

dacă

sunt satis-

făcute relaţiile: n

n

k=l

k=l

Res = LRk şi Ees = LEk. Dacă

cu

sursă

(3.60)

laturile din figura 3.9,a sunt reprezentate prin scheme echivalente de curent, se obţine schema de conexiune serie din figura 3.1 O,a.

~6-d --~ "'W ~ ~ Gn

Uk

u a.

b. Fig. 3.10

Pe baza ecuaţiei (3.57) se

Relaţia

obţine:

(3.61) corespunde schemei echivalente din figura 3.10,b. de echivalenţă a celor două scheme sunt, conform relaţiei (3.61):

Condiţiile

Circuite electrice rezistive liniare

1 1 -=2:Ges k=l Gk n

-f Jk nJ k-G "'"' _li_= k=l k Şl Jes = Gesk.J G n k=l

k

127

(3.62)

1

La ko-:]

k

3.2.9.4. Transfigurarea paralel Când n laturi active se conectează între aceleaşi două noduri astfel încât tensiune la bome, se obţine o conexiune paralel (fig. 3.1l,a).

să aibă aceeaşi

I

b.

a. Fig. 3.11 Ecuaţiile

de

funcţionare

ale circuitului sunt:

U1 = ... = Uk = ... =Un= U,

(3.63)

n

f=f 1+ ... +fk+ ... +fn= Lfk. k=l

Folosind

ecuaţia caracteristică

(3.64)

a laturii pentru a exprima curentul Ik, se

obţine:

(3.65)

Ecuaţia

(3.65) se poate pune sub forma: (3.66)

care corespunde circuitului echivalent din figura 3.11 ,b.

128 TEORIA MODERNĂ A CIRCUITELOR ELECTRICE Condiţiile

de

echivalenţă

n

a celor două circuite sunt:

1 n 1 Gep= LGk, respectiv R.:p k=J ~ k=l

-=2:-

n

n

k=l

k=l

l:~Ek LG~k Şl

Eep

Gep

n

(3.67)

l:Gk k=l

Dacă laturile din figura 3.11 ,a sunt reprezentate prin scheme cu surse de curent (fig. 3.12,a), din relaţia (3.65) se obţine:

J.r

Ik......t-);~

---+~

r-+-~

a.

b. Fig. 3.12

(3.68)

Relaţia

(3.67) corespunde schemei echivalente din figura 3.12,b. Condiţiile de echivalenţă a celor două scheme rezultă din ultima ecuaţie: n

n

k=l

k=l

Jep = LJk ŞI Gep = L Gk.

(3.69)

3.1.9.5. Transfigurare« stea-poligon complet Conectarea a n laturi într-un nod comun (fig. 3.13,a) circuit în stea. Nodul O se numeşte punct neutru.

formează

un

Circuite electrice rezistive liniare

Curentul Ii care

intră

în boma de acces j a circuitului stea, poate fi

exprimat cu legea lui Ohm: j = l,n.

(3.70)

Exprimând tensiunea U1 ca diferenţă de potenţiale, se

obţine:

(3.71) Aplicând prima teoremă a lui Kirchhoff în nodul Orezultă: n

n

n

n

LIJ = LGJ~·-VOLGJ+ LGJEJ =0, j=l

din,. care se

j=l

j=l

determină potenţialul

(3.72)

j=l

punctului neutru:

n

n

LG}j+ LGJEJ Vo

= " " - - - - n- " - - - -

(3.73)

LGJ j=]

v, lj

1

1

1 1

o

Vo~:

1

--)

1 1

!Vj

a.

b.

Fig. 3.13 Substituind relaţia (3.73) în (3.71) şi modificând notaţia indicelui

raport cu care se face însumarea în (3.73), se obţine:

TEORIA MODERNĂ A CIRCUITELOR ELECTRICE n

n

2: GkVk + L Ii=Gi~-k-1

GkEk

n k-1

Gi+GJEJ=

LGk k=l

=

nGJ (v1 Î.Gk- f.okvk- f.okEk+E1 Î.GkJ= L Gk k=l k=l k=l k=l k=l

j= l,n. (3.74) = nGJ (iokuJk + f.ok(E 1 -Ek)) LGk k=I k=l k=l Se poate găsi totdeauna un circuit în poligon complet (fig. 3.13,b) echivalent unui circuit în stea dat. Curentul din latura jk, I.Jk, se determină cu ajutorul legii lui Ohm:

(3.75) iar curentul~· care intră în boma de acces j, se determină cu ajutorul primei teoreme a lui Kirchhoff, în funcţie de curenţii laturilor poligonului: n

n

Ii = L Gjkujk + L GjkEjk> k=l k=l kotj kotj

}= l,n.

Comparând relaţiile (3.74) şi (3.76), se obţine GG" G1k = -n-1 pentru j,k = l,n şi j :f. k

(3.76)

(3.77)

LGk k=l ŞI

n n G1 Gk 2:G1kEJk = 2:-n-(E1 -Ek), pentru j=l,n ŞI k:f.j. (3.78) k=l k=l LGk k=l Deoarece, pentru circuitele reciproce, G1k = G~q, numărul relaţiilor in-

dependente de forma (3. 77) este _ n(n-1) ne2 .

(3.79)

131

Circuite electrice rezistive liniare

Aceste ecuaţii permit calculul tuturor conductanţelor poligonului complet. Numărul de ecuaţii independente de tipul (3.78) este (3.80) Cum în cazul general numărul de surse de tensiune este egal cu cel al cum nE< n0 , rezultă că sistemul de ecuaţii (3.78) este nedeterminat. Relaţiile de tip (3. 78) sunt satisfăcute dacă conductanţelor şi

E1k = E1 - Ek, pentru j,k = l,n.

(3.81)

În consecinţă, relaţiile de transfigurare a unui circuit cu conexiune stea într-un circuit cu conexiune poligon complet sunt (3.77) şi (3.81). În general, transfigurarea inversă (din poligon complet în stea) nu este posibilă deoarece numărul n al conductanţelor necunoscute Gk este mai mic decât numărul ecuaţiilor de tip (3.77), cu excepţia cazului n = 3. Relaţiile pentru transfigurarea în ambele sensuri (fig. 3. 14) sunt date mai jos.

I31 !-6--;--c:::J-----.,H-~.3

~

Fig. 3.14. - transfigurarea stea-triunghi:

(3.82)

- transfigurarea triunghi-stea:

(3.84)

TEORIA MODERNĂ A CIRCUITELOR ELECTRICE Şl

(3.83)

(3.85)

Din punctul de vedere al analizei circuitelor electrice, transfigurarea steapoligon complet prezintă o mare importanţă, deoarece eliminarea punctului neutru reduce cu o unitate număml nodurilor circuitului. Prin transfigurări succesive se pot elimina toate nodurile interioare ale unui multipol.

3.2.10. Teoremele divizoarelor de tensiune

şi

de curent

Teorema de tensiune stabileşte modul în care se distribuie tensiunea aplicată unei conexiuni serie de rezistoare (fig. 3.] 5). o ! Fiind date valorile rezistenţelor Rp j = 1, n şi valoarea tensiunii aplicate, U, se cere tensiunea~·

Aplicând legea lui Ohm şi ţinând seama de relaţiile (3.60) pentru laturi pasive, se obţine:

U

u

uj = R/ = Rj R

es

Fig. 3.16

LRk

(3.86)

k=l

Fig. 3.15

u

R.

= - n1--U.

Teorema divizorului curent stabileşte modul în care se distribuie curentul în rezistoarele unei conexiuni paralel (fig. 3 .16). Se cunosc valorile rezistenţelor Rp j = l,n şi valoarea curentului total I şi se cere curentul ~· Aplicând legea lui Ohm şi ţinând seama de relaţiile (3.66) pentru laturi pasive, se obţine:

Circuite electrice rezistive liniare

(3.87)

3.2.11.

Teorema

echivalent de

(teorema

Thevenin)

Orice dipol liniar activ (fig. 3.17,a) admite, în raport cu oricare două bome de acces A şi B, o schemă echivalentă serie (fig. 3.17,b), formată dintr-o sursă ideală independentă de tensiune cu t.e.m. Ee egală cu tensiunea la bornele circuitului în regim de mers în gol (fig. 3,18,a) şi o rezistenţă Re egală cu rezistenţa echivalentă a circuitului pasi vizat în raport cu bornele de acces (fig. 3.18,b). ·

liniar activ

l

--1-

1 l

1 1

IAB

1

1 1

~~

Oi pol

A

r-------~

IAB A

1

EAB

Re=RAB o 1' Ee=UABo

1 1

L ______ j B

B

b.

a. Fig. 3.17 ,----·-

A

r------.

A

i ..

) ~·,

1

1

1 1

1 1 1

!

1

l_ _ _ _ _ J

8

1

L____

B

b.

a. 3.18

Schema echivalentă din figura 3.17 ,b, care poate fi obţinută prin oricare \din metodele de transfigurare a electrice, permite calculul . e:'Utentului din latura cu relaţia: _UABo+EAB l AB•

RABO +RAB.

vptJttUI.a

prin aplicarea teoremei a doua a lui Kirchhoff.

(3.88)

134 TEORIA MODERNĂ A CIRCUITELOR ELECTRICE

Teorema generatorului echivalent de curent (teorema lui Norton) Orice dipol liniar activ (fig. 3.19,a) admite, în raport cu oricare două borne de acces A şi B, o schemă echivalentă derivaţie (fig. 3.19,b), formată dintr-o sursă ideală independentă de curent Je, al cărei curent este egal cu intensitatea curentului debitat de circuit în regim de scurtcircui(la bornele A şi B (fig. 3.20), şi o conductanţă Ge egală cu conductanţa echivalentă a circuitului p"aStviaat în raport cu bornele de acces (egală cu inversul lui RABo). A

Oi pol liniar activ

B

b.

a.

Fig. 3.19

r-----, 1

1

1

1

1

Je

1

1 1

A

Ift.Bsc

1

L_____

1

B

Schema echivalentă din figura 3.19, b, care poate fi obţinută prin metode de transfigurare, permite calculul tensiunii la bornele laturii AB. Pentru aceasta se aplică prima teoremă a lui Kirchhoff şi se obţine:

Fig. 3.20 (3.89) din care rezultă: (3.90)

3.2.12. Teorema transferului maxim de putere Fie un circuit dipolar liniar activ. Să se determine condiţiile pe care trebuie să le satisfacă elementul de circuit care, conectat între bornele A şi B, să permită un transfer maxim de putere pe la aceste borne. Se pot studia trei situaţii: a) La bornele dipolului se conectează un rezistor de rezistenţă RAB (fig. 3.21 ).

Circuite electrice rezistive liniare

Puterea debitată de dipol la bornele A,B, egală cu cea absorbită de rezistor, este: Oipot

liniar

RAs

,

~

activ

2

2 = u ABIAB =RABIAB = G ABUAB·

(3.91)

6

Reprezentând dipolul cu schema echivaserie (fig.3.17,b) se exprimă curentul

Fig. 3.21.

lentă

cu relaţia I ABşi

înlocuind în (3.91) se D

re -

UABO RABo+RAB

(3.92)

obţine:

R

I2

R

AB AB -

AB

u~so (RABD+ RAB)

(3.93)

2

Dacă

se reprezintă dipolul cu schema echivalentă paralel (fig. 3.19 ,b) se exprimă tensiunea cu relaţia _ U AB-

IABsc

(3.94)

GAso+GAB

şi

înlocuind în (3. 91 ), se

obţine

U2

G AB

Relaţiile

(3.93)

AB

=G

AB (G

şi

I~Bsc ABO

+

(3.95) sunt echivalente. Din funcţiei ~(RAB), (~(RAB) / dRAB) = 0, rezultă

G

AB

)2 ·

condiţia

(3.95)

de maxim a

(3.96) reprezentând valoarea rezistenţei rezistorului care, conectat între bornele A şi B, permite un transfer maxim de putere pe la aceste borne. În cazul adoptării schemei echivalente serie, puterea totală debitată de $ursă este 2 UABO = UA Bo n -EI -u (3.97) r g - e AB - ABO R R R R · ABO +

AB

ABO +

AB

TEORIA MODERNĂ A CIRCUITELOR ELECTRICE

În figura 3.22,a sunt reprezentate funcţiile Pc(RA 8 ) şi Pg(RA 8 ), corespunzătoare relaţiilor (3.93) şi, respectiv, (3.97). Randamentul transferului de putere este

R

RAB

1J = _c =

pg

(3.98)

RABD+ RAB'

cu valoarea 1J = 0,5 la transfer maxim de putere (fig. 3.23,a).

"----+-----'==---..-RAB RABo

b.

a. Fig. 3.22

'Tt 1 -------------

1 --------------------·

b.

a. Fig. 3.23 Calculând puterea

totală generată

de

sursă

în cazul schemei paralel se

1

_

obţine

Pg -_ U AB J e -_ G 1ABscG ABD

+

AB

ABsc -

G

fiBsc ABD

+ GAB ·

(3.99)

Reprezentând funcţiile Pc(RAs) şi Pg(RA 8 ) corespunzătoare relaţiilor (3.95) şi, respectiv, (3.99), se obţin caracteristicile din figura 3.22,b. Randamentul transferului de putere este în acest caz 1]=

~

Pg

=

GAB

GABD + GAB

=

RABD RABD+ RAB ,

cu valoarea 1J = 0,5 Ia transfer maxim de putere (fig. 3.23,b ).

(3.100)

Circuite electrice rezistive liniare

b) La bornele dipolului se tensiune (fig.3.24,a).

conectează

sursă ideală independentă

o

de

Pc

2 UABo 4RAB0

IAB A

"·~

Dipol liniar activ

( )E E

B

b.

a. Fig. 3.24 Puterea

debitată

de dipol,

egală

cu cea absorbită de sursa E, este: (3.101)

Luând în considerare schema

echivalentă

serie, se

exprimă

curentul cu

relaţia

(3.102) şi,

înlocuind în (3.101), se obţine:

!:_

= EIAB = E u ABO -

E

(3.103)

RABO

Aplicând condiţia de maxim funcţiei P/E), E = UAsol2.

rezultă:

(3.104)

Deci, pentru ca pe la bornele A,B ale acestui circuit să aibe loc un transfer maxim de putere, este necesar ca sursa independentă de tensiune să aibe valoarea t.e.m. dată de relaţia (3.104) şi sensul din figură. Reprezentarea funcţiei Pc(E) este dată în figura 3.24,b. c) La bornele dipolului se conectează o sursă ideală de curent (fig.3.25,a). Puterea debitată de dipol, egală cu cea absorbită de sursa de curent, este: (3.105)

13 8 TEORIA MODERNĂ A CIRCUITELOR ELECTRICE Pc 2

~ 4 GABo

IAB A

u~

Oipol liniar activ

J TAB se 2

B

a.

1ABsc

J

b. Fig. 3.25

Considerând schema echivalentă paralel (fig. 3.19,b), exprimând tensiunea la bome cu relaţia _ JABsc- J U AB(3.106) GABO

şi

înlocuind în (3 .105), se

obţine:

~ =U ABJ = J

J ABsc - J

(3.1 07)

GABO

Maximul

funcţiei

Pll) se

obţine

J

pentru

=JABsc /2.

(3.1 08)

Pentru a avea deci transfer maxim de putere pe la bornele circuitului din figura 3.25,a, este necesar ca sursa ideală independentă de curent să aibe valoarea curentului dată de relaţia (3 .1 08) şi sensul din figură. Variaţia funcţiei P/J) este reprezentată în figura 3.25,b. Puterea maximă transferată de dipol pe la borne poate fi exprimată cu una din expresiile:

E max

între

mărimi le

=

u;,.BO

= lĂBsc

4RABO

4GABO

u ABOIABsc

(3.109)

4

din (3 .1 09) existând relaţiile UABO

JABsc

=yABO

(3:1 10)

Circuite electrice rezistive liniare şi

(3.111) O

sarcină

care satisface

condiţia

de transfer maxim de putere se nu-

meşte sarcină adaptată.

3.2.13.

Relaţii

între mărimile unui dipol

Fie dipolul activ reprezentat în figura 3.26. Ne interesează relaţia existentă între mărimile caracteristice ale unei laturi interioare şi cele de la bornele A,B.

B

Fig. 3.26

Fig. 3.27

Aplicând teorema superpoziţiei, curentul laturii interioare k se poate exprima ca suma dintre două componente: una produsă de sursele interne când sursa conectată la borne este pasivizată, şi alta produsă de sursa externă când sursele interne sunt pasivizate: (3.112) Notând prima componentă cu Iksc' aceasta având semnificaţia curentului laturii când bornele dipolului sunt scurtcircuitate, şi exprimând-o pe a doua în funcţie de conductanţa de transfer Gke şi sursa de la borne, se obţine

(3.113) Pentru regimul de funcţionare cu bornele A,B în gol, caracterizat prin valorile lAs= O şi UAs= UA 80 , ecuaţia (3.113) devine (3.114)

TEORIA MODERNĂ A CIRCUITELOR ELECTRICE

Multiplicând ecuaţiile (3 .113) cu UAso apoi adunându-le, se obţine

şi,

respectiv, (3 .114) cu ( -UAs)

şi

(3.115) de unde se

exprimă

curentul laturii k:

J UAB Iksc +--Ikg· UABO UABO

h--(1 -UAB --

Caracteristica dipolului la bome este exprimă cu relaţia

reprezentată

(3.116)

în figura 3.27

şi

se

(3.117) în funcţie de care se prelucrează ecuaţia (3 .116) la forma (3.118) Similar se

obţine

(3.119)

3.3. ANALIZA CIRCUITELOR REZISTIVE LINIARE. METODE ŞI ALGORITMI DE CALCUL 3.3.1. Metoda teoremelor lui Kirchhoff Pentru un circuit rezistiv liniar conex invariabil în timp, cu /laturi, conrezistoare şi surse independente de tensiune, şi n noduri, aplicarea celor două teoreme ale lui Kirchhoff conduce la obţinerea unui sistem complet de l ecuaţii, din care n- 1 ecuaţii de tipul (3 .4) şi l- n+ 1 ecuaţii de tipul (3.6), în l necunoscute curenţi de laturi. Dacă circuitul conţine şi surse de tensiune comandate, relaţia (3.6) devine ţinând

Circuite electrice rezistive liniare

=

z(A)Rklk fkE(bh)

L(A)Ek + L(A)Eck• [kE(bh)

h

= l,b,

b

141

= l- n + 1, (3.120)

lkE(bh)

jar t.e.m. ale surselor comandate (Eck) se exprimă prin ecuaţiile de coman-

dă prelucrate în funcţie de necunoscutele curenţi de laturi. În cazul cir4mitelor care conţin şi surse de curent independente şi/sau comandate, numărul de necunoscute curenţi de laturi este l - (lJ + lJc). Acestea se obţin prin rezolvarea unui sistem de ecuaţii obţinut prin aplicarea primei teoreme a lui Kirchhoff în n-lnoduri independente şi a celei de-a doua ecuaţii într-un număr de bucle independente redus la br= l-n+l-(lftlJc), unde lJ reprezintă numărul de laturi cu surse de curent independente, iar hc reprezintă numărul de laturi cu surse de curent comandate. Acestui sistem i se adaugă ecuaţiile de comandă ale surselor comandate prelucrate în fUnctie de necunoscutele curenti de laturi. '

'

Observatii '

1. Pentru a se obţine numărul de bucle br, deci pentru a se obţine un număr redus de ecuaţii ale sistemului, este necesară o alegere corespunză­ ţoare a buclelor independente, ·astfel încât nici una din ele să nu treacă prin laturi cu surse independente şi/sau comandate de curent. În caz contrar, numărul de necunoscute ale sistemului va fi l + l Jc, din care l - l J vor fi necunoscute curenţi de laturi, iar restul de l J + lJc vor fi necunoscutele tensiuni la bornele surselor independente şi/sau comandate de curent, ecuaţia generală, corespunzătoare celei de-a doua teoreme a lui Kirchhoff fiind exprimată cu relaţia (3.121):

~ "ijA)l?Jk + "2JA)[f_;k + 2JA)UJck = 2J_A)Ek + L(A)4k , h=1,b. (3.121) lk,E(%)

/kE(~)

lkE(~)

IJcE(htz)

lkE(~)

2. Este evident că alegerea unui număr redus de bucle br prezintă avantajul obţinerii unui sistem redus de ecuaţii, deci a reducerii efortului de calcul; pe de altă parte relaţia (3 .121) permite scrierea sistematică a sistemului de ecuaţii; 3. Odată calculaţi curenţii din laturi, tensiunile la bornele laturilor se pot determina în modul următor: . - pentru laturile fără surse de curent se aplică ecuaţia caracteristică (3 .2) sau teorema a doua a lui Kirchhoff; - pentru laturile formate din surse independente sau comandate de curent, numai cu ajutorul teoremei a doua a lui Kirchhoff;

TEORIA MODERNĂ A CIRCUITELOR ELECTRICE

4.

Dacă

circuitul

conţine şi

surse de curent, atunci

L (A)GkUk /kE(nj)

ecuaţia

(3.7) devine:

= JnJ'

(3.122)

unde Jn 1

=-

L(A)J!klkE(nj)

L(A)Jfck lkE(nj)

=~

L(A)GkEklkE(nj)

(3.123)

L(A)Jk lkE(nj)

este curentul de scurtcircuit injectat în nodul ni" Algoritmul de aplicare al metodei teoremelor lui Kirchhoff · Pasull. Se determină num~l nodurilor şi allaturilor circuitului; Pasul 2. Se aleg sensuri de referinţă şi se ataşează simboluri pentru intensităţile curenţilor din laturi; Pasul 3. Se calculează numărul redus de bucle ale circuitului şi se aleg aceste bucle stabilindu-se un sens de parcurgere pentru fiecare; Pasul 4. Se scriu ecuaţiile corespunzătoare primei teoreme a lui Kirchhoff în (n-1) noduri independente şi ecuaţiile corespunzătoare celei de-a doua teoreme pe cele b7 = 1- n +1- (! +l bucle independente; / Pasul 5. Se rezolvă sistemul de ecuaţii obţinut prin completarea celui/ de la pasul 4 cu ecuaţiile de comandă ale surselor de curent şi de tensiune comandate, prelucrate în funcţie de curenţii laturilor, determinându-se intensităţile curenţilor din laturi; Pasul 6. Se validează rezultatul cu ajutorul bilanţului puterilor.

J JJ

Analiza asistată de calculator a circuitelor electrice necesită formularea matriceală a ecuaţiilor Circuitului. Pentru circuite reciproce, luând în considerare structura laturii standard prezentată în figura 3.28, formularea matriceală a teoremelor lui Kirchhoff şi a ecuaţiilor caracteristice (constitutive) ale laturilor conduce la o

ecuaţiile

A/1 =0

Fig. 3.28

(3.124) (3.125)

Circuite electrice rezistive liniare

143

(3.126) (3.124), (3.125) şi (3.126) determină în mod univoc curenţii şi tensiunile laturilor circuitului, dacă se dau valorile rezistenţelor . laturilor, ale t.e.m. ale surselor de tensiune şi ale intensităţilor curenţilor surselor de curent. Înlocuind relaţia (3.126) în (3.125) şi cuplând apoi cu (3.124) se obţine forma matriceală a ecuaţiilor circuitului în curenţii laturilor: Cele 2/

ecuaţii

(3.127)

1

~eA

(B) este matricea (n-l)X/ (bxl) de incidenţă redusă laturi -noduri (~turi- bucle), J, (UL) este vectorul (lxl) al curenţilor (tensiunilor) laturilor yircuitului, R, este matricea diagonală (lxl) a rezistenţelor laturilor circuijtului, iar E, (Jt) este vectorul (lx 1) al t.e.m. (curenţilor) surselor inde. pendente de tensiune (curent). Sistemul de ecuaţii (3.127) se rezolvă în raport cu vectorul curenţilor laturilor It, apoi cu ecuaţiile (3.126) se determină tensiunile la bornele laturilor. O formulare matriceală alternativă se obţine dacă se face următoarea a laturilor circuitului: lR - laturi conţinând rezistoare şi eventual surse de tensiune independente; lE- laturi conţinând surse ideale independente de tensiune; lJ - laturi conţinând surse independente de curent şi, eventual, rezistoare. Schema standard a laturii care va fi luată în considerare în continuare este reprezentată în figura 3.29, unde UhE(JJ este tensiunea la bornele sursei de tensiune, UhE = EE, sau tensiunea la bornele sursei de curent, echivalentă cu o t.e.m. UbJ= EJ. În această situaţie ecuaţia (3 .126) se sursă scrie sub forma: partiţionare

(3.128) Dacă

Fig. 3.29

circuitul are numai laturi de tipul lR şi lE, toţi curenţii laturilor şi !-lE tensiuni la borne (pentru laturile tip lE, UE = -EE) sunt necunoscute.

TEORJA MODERNĂ A CIRCUITELOR ELECTRICE

Înlocuind relaţia (3.128) în (3.125) şi cuplând apoi cu (3.124) se obţine:

(3.129)

care se rezolvă în raport cu It, apoi se determină tensiunile la bornele laturilor din sistemul (3.128). În cazul în care circuitul conţine şi surse de curent, numărul necunoscutelor curenţi de laturi este /- h. În locul curenţilor de laturi apar ca necunoscute tensiunile la bornele surselor de curent. Pe baza partiţionării propuse pentru laturile circuitului şi notând 11 = IR + lE, vectorii It, U1, E1 capătă forma

ce pune în evidenţă necunoscutele circuitului [j, UR, U1, E1 . Cu partiţionarea propusă pentru laturi, matricea Rt a laturilor, de dimensiune (lxl) are forma

RRR

R1 =

[

O O

0 O

0 O O RJJ

J

=[~

1

rezistenţelor

(3.131)

RO ]· 11

Analiza circuitelor care conţin toate tipurile de laturi definite mai sus se poate face în două variante:

Varianta 1 Cu devin

partiţionarea

laturi lor în !1

şi !1 , ecuaţiile

(3 .124), (3 .125)

şi

(3 .128)

[A1

AJ{:J~o,

(3.132)

[B1

BJ

l[~J~o,

(3.133)

Circuite electrice rezistive liniare f~spectiv

(3.134)

Prelucrând aceste

ecuaţii

matriceale se

obţine:

(3.135) (3.136) (3.137) (3.138) Înlocuind relaţia (3.137) în (3.136), separând mărimile necunoscute şi cuplând ecuaţiile, se obţine forma compactă (3.139)

Ecuaţia

(3 .139) se numeşte ecuaţia matriceală hibridă a circuitului şi

are forma

Cx=S.

(3.140)

Sistemul ecuaţiilor circuitului fiind complet şi liniar independent, C de dimensiune (lxl) este nesingulară, deci cele l necunoscute ale circuitului din care ! 1= lR +lE== l-!1 , curenţi de laturi, şi !1 tensiuni la bornele laturilor cu surse independente de curent, se determină din ecuaţia n1atriceală (3.139). Din ecuaţia (3 .13 7) se determină apoi vectorul U~, iar din ecuaţia (3.138) se calculează tensiunile la bornele surselor de curent: ~atricea

(3.141)

Varianta 2 Această variantă permite obţinerea numărului minim de ecuaţii ale circuitului în necunoscute curenţi de laturi. Pentru aceasta se observă că se

146 TEORIA MODERNĂ A CIRCUITELOR ELECTRICE disting două tipuri de bucle în construcţia matricei B: bucle fără surse de curent (j) şi bucle cu surse de curent (c). Alegând sistemul buclelor fundamentale astfel încât fiecare buclă să conţină cel mult o sursă de curent (alegere asigurată plecând de la un arbore construit cu laturi din mulţimea 11 şi formând bucle prin laturile arborelui cu câte o coardă a coarborelui care conţine toate !1), cu partiţionarea laturilor în h şi h, matricea B se scrie sub forma: (3.142)

Cu devin:

această

precizare,

ecuaţiile

matriceale (3.124), (3.125)

Al1 + A1 11 =O,

şi

(3.128) (3.143)

Bflul =O,

(3.144a)

Bc1U1 + BcJUJ =O,

(3.144b)

U 1 = R 11 /

(3.145a)

1-

E1,

U 1 =R11 11 -E1 .

(3.145b)

Înlocuind ecuaţia (3 .14 5a) în (3 .144a) şi separând mărimi le cunoscute, sistemul redus al ecuaţiilor circuitului poate fi pus sub forma: (3.146) Ecuaţia renţi

(3 .146) reprezintă ecuaţia de laturi a circuitului, de forma

matriceală redusă

în variabile cu-

(3.147) unde matricea Cr de dimensiunea (l-l1)x(l-l1) este nesingulară. Vectorul necunoscutelor curenţi de laturi se obţine deci cu ecuaţia (3.146) apoi din ecuaţia (3.145a) se obţine vectorul tensiunilor U1 şi din ecuaţia (3 .144b) se calculează tensiunile la bornele laturi lor cu surse de curent

Circuite electrice rezistive lin iare

14 7

(3.148)

/ ordon~fe corespunzătoare

a buclelor cu sursă de curent şi a Pentru o }aturilor lJmatricea BeJ este chiar matricea unitate. Tensiunile la 1/bornele surselor de curent se determină din ecuatia , (3.145b). 1 \

3.3.2. Metoda

\

urenţilor

de budă

Pentru circuitele mari dimensiuni, sistemul de ecuaţii obţinut prin aplicarea teoremelor lui irchhoff, fie în varianta hibridă cu l necunoscute, fie în varianta cu număr redus la l-lJ necunoscute, poate fi de dimensiuni prea mari. Apare deci necesitatea utilizării unor metode alternative de analiză a circuitelor electrice, care să reducă numărul ecuaţiilor ce descriu funcţionarea circuitului, respectiv numărul variabilelor independente. Una din aceste metode este metoda curenţilor de buclă, care asociază circuitului un nou set de necunoscute - curenţii de bucle Ib, în număr de L-n+ 1, introduse astfel încât să verifice prima teoremă a lui Kirchhoff. Prin urmare, curenţii laturilor se exprimă ca sumă algebrică a ~ curenţilor de buclă ce trec prin latura respectivă (fig. 3.30): J

~ 1bz

Ik

=

l:

(A)lbg·

(3.149)

bgE(/k)

Fig. 3.30 . Noile necunoscute se determină cu ajutorul teoremei a doua a lui Kirchhoff sub forma obţinută prin prelucrarea relaţiei (3.6), în funcţie de ~3.149). Se obţine forma compactă a ecuaţii/ar circuitului în necunoscute ţurenţi de bucle: b LCA)Rh/bg g=l

= Ebh'

b =l- n + 1,

ŞI

h = l,b,

(3.150)

u~de: - Rhh

=

L

Rk

reprezintă rezistenţa proprie a buclei h, egală cu suma

lkEbh

rezistenţelor Rk ale

laturilor ce compun bucla, Rhh > O;

TEORIA MODERNĂ A CIRCUITELOR ELECTRICE - Rhg

=

2,. Rk

reprezintă rezistenţa mutuală dintre bucla h (în care se

lkE(bhnbg)

scrie teorema a doua a lui Kirchhoff) şi bucla g, egală cu suma rezistenţelor Iaturilor comune celor două bucle; ea este pozitivă sau negativă, după cum sensurile celor două bucle coincid sau nu prin laturile comune; -Ebh = I,cA)Ek reprezintă t.e.m. a buclei bh, egală cu suma algebrică a fkEbh

t.e.m. ale surselor independente şi/sau comandate de tensiune din laturile buclei (Ek are semnul(+) dacă sensul ei coincide cu cel al buclei bh). Dacă în circuit există surse de tensiune şi/sau de curent comandate, sistemul de ecuaţii (3.150) se completează cu ecuaţiile de comandă exprimate în funcţie de necunoscutele metodei, Ihg· Numărul de variabile independente introdus metoda curenţilor de buclă este b = l-n+ 1. Pentru circuitele fără surse de curent aceste necunoscute se determină prin rezolvarea sistemului (3 .150). În cazul când circuitul conţine surse de curent independente şi/sau comandate, unor variabile li se pot atribui valorile curenţilor acestor surse. Pentru aceasta, asocierea variabilelor h cu cele l-n+ 1 bucle independente ale circuitului se face astfel încât prin fiecare latură cu sursă de curent J sau le să treacă un singur curent de buclă şi numai unul. Conform relaţiei (3.149) acest curent de buclă va avea valoarea curentului sursei:

şi/sau

(3.151) j

=

l,l1e

.

Pentru restul variabilelor, în număr de l - n + 1- (l1 + l1

J,

se aplică

relaţia

(3.150) într-un număr redus de bucle, deci h = l,br. Sistemului obţinut din ecuaţiile (3 .150) şi (3 .151) i se adaugă ecuaţiile de comandă ale surselor comandate, exprimate în funcţie de necunoscutele metodei, Ibg· Observaţie

Pentru circuitele care conţin surse de curent independente J şi/sau comandate le, metoda curenţilor de buclă permite o reducere a numărului de ecuaţii ale sistemului (3.150) cu numărul total al acestor surse de curent, în condiţiile alegerii corespunzătoare a buclelor.

-

/Circuite electrice rezistive liniare

apUcare al m1idei

149

curenţilor

1

Pasul 1. Se determină numărhl de noduri, numărul de laturi şi numărul \ surselor de curent ; \ Pasul 2. Se determină număru~ variabilelor independente introduse metodă: l- n+ 1; \ Pasul 3. Se aleg (lftlJc) bucle \are să conţină .câte o singură sursă de . curent independentă sau comandat\ şi li se ataşează câte un curent de 1 buclă al cărui sens va fi acelaşi cu ~~ sursei de curent; curenţii acestor bucle vor fi exprimaţi cu relaţiile (3 .15 }); Pasul 4. Pentru restul de bucle independente, în număr redus la = l - n + 1 - (l1 + l Jc), se atribuie tot atâtea variabile curenţi de buclă cu .~,ensuri

oarecare, fiecare reprezentând şi sensul de parcurgere al buclei 'respective; " Pasul 5. Se aplică teorema a doua a lui Kirchhoff în aceste bucle, ţinând seama că în membrul stâng al ecuaţiei (3.150) pot apare căderi de ţensiune determinate de variabile exprimate cu relaţiile (3.151); Pasul 6. Se ataşează sistemului obţinut cu ecuaţiile (3 .150) şi (3 .151) ecuaţiile de comandă ale surselor comandate, exprimate în funcţie de Variabilele metodei; Pasul 7. Se rezolvă sistemul astfel obţinut în variabile curenţi de buclă; Pasul8. Se determină curenţii laturilor cu ecuaţia (3.149); Pasul 9. Tensiunile la bornele laturilor se determină în modul descris în § 3.3.1. PasullO. Se verifică bilanţul puterilor. Formularea matriceală a metodei curenţilor de buclă în cazul circuitelor ;reciproce depinde de tipul adoptat pentru latura standard. Notând cu h vectorul (bxl) al curenţilor de buclă asociaţi celor b bucle independente, b = l- n+ 1, curenţii laturilor circuitului se pot exprima în funcţie de curenţii de bucle cu relaţia (3.152) Pentru latura reprezentată în figura 3.28, înlocuind relaţia (3.152) în (3.126) şi relaţia astfel obţinută în (3.125), se obţine ecuaţia matriceală a curenţilor de buclă sub forma (3.153)

TEORIA MODERNĂ A CIRCUITELOR ELECTRICE

sau (3.154) cu (3.155) Şl

(3.156) unde matricea Rb de dimensiune (bxb) este matricea rezistenţelor proprii ale buclelor, iarEb de dimensiune (bxl), este vectorul t.e.m. ale buclelor. Rezolvând ecuaţia (3 .154) se obţine vectorul necunoscutelor curenţi de bucle, cu ajutorul cărora, aplicând relaţia (3.152), se determină curenţii din laturile circuitului. Dacă se adoptă latura standard din figura 3.29, se foloseşte ecuatia ' caracteristică a laturii în varianta (3 .128) şi dacă circuitul conţine numai laturi tip lR şi lE, în locul relaţiei (3.153) se obţine ecuaţia (3.157) unde

BE1 =Eb.

(3.158)

În cazul când circuitul conţine şi laturi tip 11, se poate reduce sistemul (3.154) la un număr de ecuaţii corespunzător unui număr redus de bucle br = l-n+l-11 . Pentru aceasta, toate sursele de curent din graful circuitului vor fi introduse în coarbore. Cum sistemul buclelor fundamentale (în număr de l-n+ 1) se formează cu laturi ale arborelui şi cu câte o coardă, fiecare curent ·de buclă va fi asociat unei coarde având acelaşi sens cu sensul ei de orientare. O parte din aceste coarde sunt laturile tip 11 , iar restul, laturi tip lR. Se asigură astfel condiţia ca fiecare buclă să conţină cel mult o sursă de curent. Prin urmare, matricea B se poate pune sub forma (3 .142). Partiţionând curenţii laturilor şi buclelor după !1 şi 11, ecuaţia (3.152) devine

(3.159) din care se obtin ecuatiile '

'

Circuit/ electrice rezistive liniare

151

(3.160a) (3.160b)

(3.161) cu semnificaţia: curenţii buclelor care conţin o sursă de curent (sunt formate cu o latură coardă de tip lJ) au valoarea egală cu a curenţilor surselor de curent corespunzătoare. Exprimând matricea R 1 cu relaţia: (3 .131) şi matricea B cu relaţia (3.142), ecuaţia (3 .157) se scrie ca

O][Rn O][B}1 B{ ][Jbl] =[B 1

BeJ

O

RJJ

O

BeJ

IbJ

din care rezultă subsistemele matriceale de

fi

Bc1

O][Er ], BeJ

(3.162)

EJ

ecuaţii

(3.163a)

Ţinând

seama de relaţia (3.161), din subsistemul (3.163a), cuprinzând l- n+l-!J ecuaţii, se determină vectorul necunoscutelor Ibl· Utilizând apoi relaţia (3.160a) se obţine vectorul necunoscutelor curenţi de laturi tip lr, Ir. Din subsistemul (3 .163b) se obţine vectorul tensiunilor la bornele surselor de curent UbJ = E 1 , cu relaţia

Utilizând apoi relaţia (3 .128) se poate calcula vectorul necunoscutelor tensiuni la bornele laturilor circuitului.

3.3.3. Metoda potenţialelor nodurilor Această metodă asociază

nodurilor, Vn-r, în

număr

circuitului setul de necunoscute potenţiale ale de n- 1, introduse astfel încât să satisfacă a doua

TEORIA MODERNĂ A CIRCUITELOR ELECTRICE teoremă

a lui Kirchhoff. Ca urmare, tensiunile laturilor se expnma ca a potenţiale lor adiacente laturii respective (fig. 3.31) :

sumă algebrică

(3.165)

Uk= I(A)Tj. niE(lk)

Unul din cele n noduri ale circuitului este ales ca nod de referinţă, având potenţialul nul. Noile necunoscute se determină cu ajutorul primei teoreme a lui Kirchhoff sub forma obţinută prin substituirea relaţiei (3 .165) în (3. 7), reprezentând forma compactă a ecuaţii/ar circuitului în variabile potenţiale la noduri: Fig. 3.31

n-1

IGu~=

Jni'

i=l,n-1,

(3.166)

J=l

unde: -Gu

=

Gk reprezintă conductanţa

proprie a nodului

n;

(în care se

lkEni

scrie prima teoremă a lui Kirchhoff), egală cu suma conductanţelor laturilor incidente în acest nod,Gu> O; -GiJ =Gk reprezintă conductanţa mutuală dintre nodurile n; şi n1,

L

lkE(ninn1 )

egală

cu suma cu semn schimbat a conductanţelor laturilor conectate în paralel între cele două noduri,Gu< O; -Jni =- IcA>.fvck reprezintă curentul de scurtcircuit injectat în nodul n;, egal cu suma algebrică a curenţilor de scurtcircuit ai surselor din laturile incidente în acest nod: pentru 'sursele de tensiune Jsck EkGk, iar pentru sursele de curent Jsck Jk. În suma algebrică se iau cu semnul (+) curenţii Jsck ai surselor ce "ies" din nod şi cu (-) ai celor ce "intră". Dacă circuitul conţine surse de tensiune şi/sau de curent comandate, sistemul de ecuaţii (3 .166) se completează cu ecuaţiile de comandă exprimate în funcţie de necunoscutele metodei, ~· Numărul de variabile independente introdus de această metodă este n-1. Pentru circuitele fără surse ideale de tensiune independente sau comandate Ei, respectiv E~, necunoscutele potenţiale la noduri se determină rezolvând sistemul (3 .166) format din n-1 ecuaţii independente. În cazul circuitelor care conţin surse ideale de tensiune, potenţialele nodurilor i şi} la care este conectată o astfel de latură (fig.3.32a şi 3.32b), se exprimă cu relaţia (3.167), respectiv (3.168).

Circuite electrice rez'stive liniare

a.

153

b. Fig. 3.32

Uk=~-V1 =-Ei,

unde: ~=Ei+~,

(3.167) (3.169)

Rezultă deci că pentru

( l Ei + l E.i ) necunoscute se pot formula ecuatii de tipul ' c

~(k) = Efe + ~Ck)'

k =Il . 'E'

şi/sau

(3.171)

Pentru restul necunoscute lor ar trebui să se aplice ecuaţiile (3 .166) întrUn număr redus de noduri, nr = n-1-( lE;+ lEi), deci i = 1, nr c

Observaţii

(3 .166) nu se poate aplica într-un nod în care este incidentă o. latură cu sursă ideală de tensiune, deoarece curentul de scurtcircuit al icestei surse este infinit (rezistenţa ei internă este zero). În acest caz se ilOate recurge la următoarea tehnică: se alege o suprafaţă închisă 2.:, care să cuprindă în interior latura ij ce conţine sursa ideală de tensiune, sau, dacă este cazul, toate laturile conectate în paralel între nodurile i şi}, pe care se scrie apoi prima teoremă a lui Kirchhoff. Se aplică apoi sistemul (3 .166) în litr = n-1-( lEi+ lEi ) noduri şi suprafeţe 2.:, adică pentru i = 1, nr . 1.

Ecuaţia

c

2. Rezultă că pentru circuitele care conţin surse ideale de tensiune ipdependente şi/sau comandate, (Ei şi/sau E~), metoda potenţialelor nodurilor permite O reducere a numărului de ecuaţii de forma (3 .166) Cu numărul total al acestor surse de tensiune.

154 TEORIA MODERNĂ A CIRCUITELOR ELECTRICE Algoritmul de aplicare al metodei potenţialelor nodurilor Pasul 1. Se determină numărul de noduri ale circuitului; Pasul 2. Se alege un nod j de referinţă al cărui potenţial se consideră nul, =O; Pasul 3. Se scriu (lE' +lE' ) ecuaţii de tipul (3 .171) pentru potenţialele

v;

c

nodurilor adiacente surselor ideale de tensiune; Pasul 4. Se aplică relaţiile (3.166) în nr = n-1- (lE 1 +lE,) noduri

şi

c

suprafeţe S, adică pentru i

=1, nr , ţinând seama de faptul că în termenii din

ai relaţiilor pot interveni şi potenţiale pentru care s-au scris de la pasul 3; Pasul 5. Sistemului obţinut cu relaţiile (3 .166) şi (3 .171) i se adaugă ecuaţiile de comandă ale surselor comandate, exprimate în funcţie de variabilele metodei; Pasul 6. Se rezolvă sistemul de la pasul 5 şi se obţin valorile celor n-1 variabile potenţiale ale nodurilor; Pasul 7. Cu relaţia (3 .165) se calculează apoi tensiunile la bornele laturilor circuitului; Pasul 8. Se determină curenţii din laturile circuitului cu ecuaţia caracteristică a laturii pentru laturile care conţin rezistenţe şi eventual surse de tensiune înseriate cu acestea, sau cu prima teoremă a lui Kirchhoff pentru cele formate din surse ideale de tensiune; Pasul 9. Se verifică bilanţul puterilor. partea

stângă

ecuaţiile

O altă variantă de aplicare a metodei constă în introducerea ca necunoscute în sistemul de ecuaţii a curenţilor prin laturile cu surse ideale de tensiune. Deşi are un număr mai mare de ecuaţii, această metodă cu necunoscute hibride, numită metoda nodală modificată, permite scrierea sistematică a sistemului de ecuaţii. Pentru formularea matriceală a metodei potenţialelor nodurilor în cazul circuitelor reciproce, se adoptă latura standard din figura 3.28; Din cele n noduri ale circuitului se alege un nod de referinţă, cu potenţial zero, iar celorlalte n- 1 noduri li se atribuie potenţialele necunoscute V~, V2, ... , Vn-1· Tensiunile laturilor se pot exprima în funcţie de potenţialele nodurilor cu relaţia

Circuite electrice rezistive liniare

155

Considerând ecuaţia caracteristică a laturii (3.173) t.mde G1 =R1- 1 reprezintă matricea pătrată (fxl) a conductanţelor laturilor (se presupune R1 nesingulară), substituind relaţia (3.172) în (3.173) şi ecuaţia astfel obţinută în (3 .124 ), se obţine forma matric(?glii-a~eeuaţitlo~~ circuitului în potenţialele nodurilor: ~ /

(3.174) Ecuaţia

(3 .17 4) se poate pune sub forma (3.175)

unde (3.176) este matricea adn:iitanţelor nodale, de ordin (n- 1)X(n- 1) ŞÎ (3.177) este vectorul curenţilor injectaţi în noduri de sursele din laturile incidente în aceste noduri. Relaţia (3.175) permite scrierea simplă pe calculator a ecuaţiilor circuitului [1], [14]. Rezolvând sistemul (3.175) se obţine vectorul potenţialelor necunoscute ale celor n- 1 noduri, apoi cu relaţia (3 .172) se calculează vectorul tensiunilor la bornele laturilor U1• Cu relaţia (3.173) se obţine în cele din urmă vectorul curenţilor laturilor. Sub forma prezentată mai sus, metoda nu permite rezolvarea matriceafă a circuitelor cu laturi alcătuite din surse ideale independente de fSPICE este deosebit de utilă cursului de teoria circuitelor electrice şi a ~ altpr cursuri legate de simularea şi proiectarea circuitelor electronice anaftqgice sau digitale. ~... .. Cea mai mare parte a programului de simulare o reprezintă subprojgramul de analiză, care execută analizele de circuit specificate în fişierul fde date de intrare (furnizat de utilizator), ieşirile din acest subprogram ;ftu;nizând date pentru a fi utilizate ulterior de subprogramul de prezentare !(l. rezultatelor care, de regulă, materializează aceste date sub formă de fgrafice şi texte. Subprogramul de analiză conţine procedeele numerice ale {reprezentării matematice a circuitului. Programul PSPICE poate efectua următoarele tipuri de analiză: analiza ; în curent continuu (.DC), analiza în curent alternativ (.AC), analiza în ~regim tranzitoriu (.TRAN), analiza Fourier, calculul şi analiza funcţiilor de ~transfer, analiza zgomotului, analiza distorsiunilor şi calculul şi analiza i~re

{senzitivităţilor.

Un program în SPICE cuprinde instrucţiunile pentru titlu, de comen~tarîu, de descriere element, de model, de comandă (control) şi de sfârşit {(END). {

TEORIA MODERNĂ A CIRCUITELOR ELECTRICE

Instructiunile de descriere ale fiecărui element de circuit indică·. ' numele elementului de circuit (identificator), poziţia în schema cir~ cuitului (nodurile la care este conectat elementul respectiv) şi valorile parametrilor ce determină caracteristicile electrice ale elementului respectiv. Litera mare, specifică fiecărui element de circuit, este indicată în tabelul 3 .2. Nodurile circuitului se numerotează de la O lan şi nodul O se consideră ca nod de referinţă. Instrucţiunile de model sunt proprii fiecărui dispozitiv, specificând valorile parametrilor pentru descrierea dispozitivelor semiconductoare. Cuvântul cheie pentru tipul de model este prezentat în tabelul 3.3. Instrucţiunile de comentariu încep cu simbolul '* ', după care urmează un text ce conţine indicaţii sau explicaţii pentru utilizator. Conţinutul lor este ignorat de calculator, dar apar în listingul de ieşire. de comandă (control) precizează tipurile de analiză, complexitatea şi modul de editare a rezultatelor. Instrucţiunile de comandă (control) încep cu un punct, urmat imediat de un cuvânt cheie specific fiecărui tip de analiză, prezentat în tabelul3.4. Tabelul3.2. Element de circuit Rezistor Condensator

Litera mare R

Bobină

L K T D Q J M V I E F H G

Bobine cuplate magnetic Linie de transmisie Diodă

Tranzistor bipolar Tranzistor unipolar (TEC-J) Tranzistor unipolar (TEC-MOS) Sursă independentă de tensiune Sursă independentă de curent Sursă de tensiune comandată în tensiune Sursă de curent comandată în curent Sursă de tensiune comandată în curent Sursă de curent comandată în tensiune

c

Circuite electrice rezistive liniare

177

Tabelul 3.3.

;

Tipul dispozitivului modelat

....

Diodă

Tranzistor NPN Tranzistor PNP TEC-J canal n TEC-J canal p TEC-MOS canal n TEC-MOS canalR_

Cuvânt cheie pentru tipul de model D NPN PNP NJF PJF NMOS PMOS

Tabelul 3.4. Instrucţiuni

de comandă (control) .OP .DC .TF

Moduri de operare operare în c.c . operare în c.c. operare în c.c .

Tipul de analiză şi functii realizate stabileşte PSF analiză c.c. determină funcţia de transfer

.SENS

operare în c.c.

detennină senzitivităţi

.NODESET

operare în c.c.

.AC .NOISE .DISTO .TRAN

operare în c.a. operare în c.a . operare în c.a. operare în regim tranzitoriu operare în regim tranzitoriu

.IC

.FOUR .PRINT .WIDTH .PLOT .OPTIONS

operare în regim tranzitoriu editare editare editare editare

de semnal mic stabileşte valori intiale pentru tensiuni analiză de semnal mic analiză de zgomot analiză de distorsiuni analiză în regim tranzitoriu analiză în regim tranzitoriu cu condiţii initiale analiză Fourier tipărire tabelară

format citire/scriere trasare de grafice opţiuni pentru analize şi editare

178 TEORIA MODERNĂ A CIRCUITELOR ELECTRICE În cele ce urmează, vom prezenta o serie de exemple de circuite rezistive care vor ilustra modul de utilizare a programului PSPICE în analiza acestor tipuri de circuite. La fiecare exemplu în parte se va descrie modul de introducere a fiecărui element de circuit şi se vor prezenta fişierele de ieşire cu rezultatele obţinute.

3.5.2. Circuite rezistive Iiniare şi reciproce E.3.5.1. Fie circuitul rezistiv liniar din figura E.3.5.1. În tabelul E.3.5.1.1. se prezintă fişierul de intrare pentru circuitul reprezentat în figura E.3.5.1.

Tabelul E.3.5.1.1. Rl123K R2 2 O 6K R3 2 3 4K R4 3 02K VS 1 O DC 9 IS 3 ODC 5M * SE EFECTUEAZĂ ANALIZA ÎN C.C . .END

IS

vs

SmA

9V

Fig. E.3.5.1 Circuitul electric din figura E.3 .5 .1 independente de c.c.

conţine

numai rezistoare

şi

surse

Circuite electrice rezistive liniare

179

Forma generală de descriere a unui rezistor liniar este RXXXN1 N2 VALUE ;unde: RXXX - reprezintă numele rezistenţei (un câmp format din maxi.lllum 8 caractere alfanumerice, în care primul trebuie să fie obligatoriu R; .Nl şi N2 reprezintă nodul iniţial şi, respectiv, nodul final între care este conectat rezistorul respectiv în circuit, iar VALUE este valoarea rezistentei, exprimată în ohmi, Kohmi (K) sau în Megohmi (MEG). În tabelul 3.5 ~unt prezentaţi factorii de scară utilizaţi în programul SPICE (PSPICE). Tabelul 3.5. Valoare 10-15 10-!L 10-9

Forrna

Simbol F p

lE-15 lE-12 lE-9 lE-6 lE-3 1E3 1E6 1E9 1El2

N

10-6

u

10-3

M K MEG G T

103 10 6 109 1012

exponentială

Sursele independente de c.c. sunt descrise astfel: VXXX N+ N- DC V ALUE pentru sursa

independentă

de tensiune

şi

lXXX N+ N- DC V ALUE pentru sursa independentă de curent. Semnificaţiile mărimilor din instrucţiunile de descriere ale surselor independente sunt: VXXX (lXXX) reprezintă numele sursei (un câmp format din 8 caractere alfanumerice) care trebuie să înceapă cu litera V (1) pentru sursa independentă de tensiune (curent); N+ şi N- sunt nodurile sursei independente respective, pentru sursa de tensiune boma pozitivă, respectiv boma negativă, iar pentru sursa de curent nodul de la care pleacă şi, respectiv, intră sensul curentului

TEORIA MODERNĂ A CIRCUITELOR ELECTRICE

sursei respective; DC este tipul sursei independente şi VALUE reprezintă valoarea t.e.m. (curentului) în volţi (amperi) a (al) sursei independente de tensiune (curent). După ce s-a efectuat descrierea completă a circuitului urmează instniC~ ţiunile de comandă (control) care precizează tipul analizei şi modul de furnizare a datelor de ieşire. Varianta PSPICE utilizată de noi calculează, pentru fiecare analiză în curent continuu a unui circuit electric rezistiv, valorile tuturor potenţialelor nodurilor circuitului, curenţii surselor independente de tensiune şi puterea cedată de aceste surse (tabelul E.3.5.1 E.3.5.1.2. DC ANAL YSIS: NODE VOLTAGE NODE VOLTAGE NODE VOLTAGE (1) 9.0000 (2) 2.0000 (3) -6.0000 VOLTAGE SOURCE CURRENTS: NAME CURRENT VS -2.333E-03 TOTALPOWERDISSIPATION

2.10E-02 WATTS

Curentul prin sursa VS este negativ, deoarece programul SPICE consideră sensul curentului printr--o sursă independentă de tensiune orientat de laN+ laN-. Evident, puterea cedată de sursa VS are expresia: Pvs =-VS ·IS -9· (-2.333)=21mW. În cazul în care analiza în c.c. a unui circuit se face pentru mai multe valori ale unei surse independente conţinute de circuitul analizat, instrucţiunea .DC are forma: .DC SRCNAME SRCSTART SRCSTOP SRCINCR unde SRCNAME este numele sursei independente de tensiune sau de curent care va fi variată şi SRCSTART, SRCSTOP şi SRCINCR sunt valoarea iniţială, valoarea finală şi, respectiv, valoarea incrementală (pasul) în volţi sau în arnperi ale sursei respective. Pentru a tipări rezultatele acestei analize se foloseşte instrucţiunea .PRINT DC, care are următoarea formă generală:

Circuite electrice rezistive liniare

;JlRINT DC OUTVAR1 OUTVAR2 ..• OUTVARS unde OUTVAR1 până la OUTVARS reprezintă variabilele tensiune sau pe care utilizatorul doreşte să le tipărească (maximum 8). Forma ilttl'iabilei tensiune este V (Nl, N2), care reprezintă tensiunea dintre nodu,nle Nl şi N2. Dacă nodul N2 este omis, atunci V(Nl) reprezintă tensiunea 1între nodul Nl şi nodul de referinţă O. Pentru variabila curent forma este J(VXXX), unde VXXX este numele sursei independente de tensiune al cărei curent urmează a fi tipărit. ~urent

E.3.5.2.

Să

se determine, folosind programul PSPICE, valorile curenmlui sursei independente de tensiune şi cele ale tensiunilor de la bornele lte:Zistoarelor divizorului de tensiune din figura E.3.5.2, dacă t.e.m. a sursei ~riază de la- 5 V la +5 V cu valoarea incrementală de 1 V. Fişierul

VOLTAGE DNIDER VI 1 O Rll 2 30K R22010K .DC VI -5 5 1 .PRINT DC I(VI) V(l,2) V(2) .END

® Fig. E.3.5.2 Fişierul

de

ieşire,

de intrare este:

în urma rulării programului PSPICE, are forma:

'1

VI -5.000E+OO -4.000E+OO -3.000E+OO -2.000E+OO -l.OOOE+OO O.OOOE+OO l.OOOE+OO 2.000E+OO 3.000E+OO 4.000E+OO 5.000E+OO

I(VI) 1.250E-04 l.OOOE-04 7.500E-05 5.000E-05 2.500E-05 O.OOOE+OO -2.500E-05 -5.000E-05 -7.500E-05 -l.OOOE-04 -1.250E-04

V(l,2) -3.750E+OO -3.000E+OO -2.250E+OO -1.500E+OO -7.500E-Ol O.OOOE+OO 7.500E-Ol 1.500E+OO 2.250E+OO 3.0COE+OO 3.750E+OO.

V(2) -1.250E+OO -l.OOOE+OO -7.500E-Ol -5.000E-Ol -2.500E-Ol O.OOOE+OO 2.500E-Ol 5.000E-Ol 7.500E-01 l.OOOE+OO 1.250E+OO

182 TEORIA MODERNĂ A CIRCUITELOR ELECTRICE 3.5.3. Determinarea circuitelor echivalente T.hevenin/Norton cu SPICE Programul SPICE poate determina schemele echivalente Thevenin!Norton în raport cu oricare două bome de acces ale unui circuit rezistiv liniar (calculând rezistenţa echivalentă Req, tensiunea la mers în gol voc şi curentul de scurtcircuit i 5 J. Forma generală a instrucţiunii de control, numită instrucţiunea funcţie de transfer (the transfer function statement), prin care programul SPICE determină aceste mărimi este: .TFOUTVAR INSOURCE unde OUTVAR este variabila de ieşire tensiune sau curent dorită, iar INSOURCE este oricare din sursele independente din circuit. Pentru schema echivalentă Thevenin (Norton) OUTVAR are forma V(Nl,N2) (I(VXXX)). Ca răspuns la instrucţiunea .TF programul SPICE efectuează analiza în c.c. a circuitului şi calculează factorul de transfer la semnal mic de la INSOURCE la OUTVAR, rezistenţa de intrare în raport cu INSOURCE şi rezistenţa de ieşire la bornele lui OUTVAR. E.3.5.3. Să se determine, în raport cu nodurile 2, O, circuitul echivalent Thevenin pentru divizorul de tensiune din figura E.3.5.3,a.

vo ov

VI

VI

a.

b. Fig. E.3.5.3

Datele de intrare au următoarea

structură:

THEVENIN EQUIVALENT OF THE VOLT AGE DIVIDER VI 1 O DC 12 R1 1 2 30K R2 2 O lOK .TF V(2) VI .END

+

Circuite electrice rezistive liniare

Rezultatele NODE (1)

obţinute

183

în urma rulării programului PSPICE sunt:

VOLTAGE 12.0000

NODE (2)

VOLTAGE 3.0000

V(2)/VI = 2.500E-Ol INPUT RESISTANCE AT VI= 4.000E+04 OUTPUT RESISTANCE AT V(2) = 7.500E+03 Evident

V0 c

= V(2)= 3 V si Req = 7.5 kQ.

E.3.5.4. Folosind programul PSPICE să se determine circuitul echivalent Norton în raport cu bornele 2,0 ale divizorului de tensiune din figura E.3.5.3,a. Pentru a determina curentul de scurtcircuit între bornele 2 şi O, se între aceste două borne o sursă ideală independentă de tensiune cu t.e.m. egală cu zero (dummy voltage source). Sensul curentului de scurtcircuit este de la borna (+) la borna (-) a acestei surse. Datele de intrare (fig.E.3.5.3,b) au, în acest caz, forma: conectează

NORTON EQUIVALENT OF THE VOLTAGE DIVIDER ,VI 1 O DC 12 R11 2 30K R22010K VD20 DCO .TF I(VD) VI .END Rezultatele NODE (1)

obţinute

în urma rulării programului PSPICE sunt:

VOLTAGE 12.0000

NODE (2)

VOLTAGE 3.0000

VOLTAGE SOURCE CURRENTS: NAME CURRENT VI -4.000E-04 VD 4.000E-04

TEORIA MODERNĂ A CIRCUITELOR ELECTRICE

SMALL-SIGNAL CHARACTERISTICS: I(VD)NI = 3.333E-05 INPUT RESISTANCE AT VI= 3.000E+04 OUTPUT RESISTANCE AT I(VD) = 7.500E+03 Evident

isc

=I(VD )= 0.4 mA si Req =7.5 kQ.

3.5.4. Analiza cu SPICE a circuitelor rezistive neliniare Programul SPICE permite ca circuitele rezistive să conţină şi rezistoare neliniare. Caracteristica i-u a unui rezistor neliniar este aproximată printrun polinom de forma

unde Po, p 1, p2 , p 3 , ••• sunt coeficienţii polinomului. Instrucţiunea de descriere a unui rezistor neliniar este GXXX N+ N- POLY(l) N+ N- PO Pl P2 P3 ...

unde: GXXX este numele rezistorului (un câmp de 8 caractere alfanumerice, în care primul trebuie să fie G); N+ şi N- sunt nodurile la care este conectat rezistorul neliniar; POLY(l) este un cuvânt cheie; PO, Pl, P2, P3, ... în A, AJV, AN2 etc. sunt coeficienţii polinomului. Întotdeauna instmcţiunea de descriere a unui rezistor neliniar este însoţită de următoarea instmcţiune de comandă: .NODESET V(N+) =VALUE+ V(N-) =VALUEcare

dă

valorile de început ale potenţialelor nodurilor N+

E.3.5.5. Circuitul reprezentat în figura E.3.5.5 neliniar care are carateristica i-u de forma:

şi,

respectiv, N-.

conţine

i 4 = k (u 4

un rezistor -

2

ur )

2 2 k = O, 8 mA 1 V şi ur = 1, 5 V, adică i4 = (o,9 -1,2u4 + 0,4ul )mA. analizeze acest circuit cu programul PSPICE.

,

cu

Să se

Circuite electrice rezistive liniare

vs

185

IS 4mA

4V

Fig. E.3.5.5

=

Utilizând estimările grafice rezultă: u4 3, 3 V şi i4 unnare putem anticipa că V(2) = 2,1 V şi V(3) = -1,2 V.

=1, 3 mA.

Datele de intrare au structura: CIRCUIT WITH A NONLINEAR RESISTOR VS 1 ODC 4 Rll21K R2 1 O4K R3 3 O .45K * HERE IS THE NONLINEAR RESISTOR: G4 2 3 POLY(l) 2 3 0.9M -l.M 0.4M ,NODESET V(2) = 2.1 V V(3) = -1.2 V IS 3 O 4M .DCVS441 .PRINT DC V(2,3) .END După

rularea programului PSPICE,

.DC ANAL YSIS: VS 4.000E+OO

V(2,3) 3.328E+OO

Este clar că u4 = V(2,3)=3.328 V.

fişierul

de ieşire

conţine:

Prin

186 TEORIA MODERNĂ A CIRCUITELOR ELECTRICE

3.5.5. Analiza cu SPICE a circuitelor rezistive nereciproce (cu surse comandate) Programul SPICE permite ca circuitul electric rezistiv analizat nă toate cele patru tipuri de surse comandate diport. Sursele comandate în tensiune sunt descrise astfel:

să conţi­

EXXX N+ N- NC+ NC- VALUE GXXX N+ N- NC+ NC- VALUE unde: EXXX (GXXX) este numele sursei comandate dacă ea este o sursă de tensiune (de curent), N+ şi N- sunt nodurile între care este conectată sursa (latura sa comandată), NC+ şi NC- sunt nodurile de conexiune ale tensiunii (laturii) de comandă, iar VALUE reprezintă valoarea parametrului sursei Ace (în V/V) pentru sursa ee (uc) şi, respectiv, Gcc (în A/V) pentru sursa ic (uc). Sursele comandate în curent sunt descrise

după

cum urmează:

FXXX N+ N- NC+ NC- VALUE HXXX N+ N- NC+ NC- VALUE unde: FXXX (HXXX) este numele sursei comandate dacă ea este o sursă de curent (de tensiune), N+ şi N- sunt nodurile între care este conectată sursa (latura sa comandată), NC+ şi NC- sunt nodurile de conexiune ale curentului (laturii) de comandă, iar VALUE reprezintă valoarea parametrului sursei Bec (în A/A) pentru sursa ic(ic) şi, respectiv, Rcc (în V/A) pentru sursa ee (ic).

E.3.5.6. Să se determine cu ajutorul programului PSPICE circuitul echivalent Thevenin în raport cu bornele A, B ale circuitului electric din figura E.3.5.6. Pentru a identifica poarta de comandă a sursei de curent F 1 comandată de curentul ix s-a introdus sursa independentă de tensiune VD care are t.e.m. zero.

Circuite electrice rezistive liniare

187

F1

@ vo+ 'x

2ix

ov

Fig. E.3.5.6 Fişierul

datelor de intrare are structura:

THEVENIN EQUIVALENT WITH DEPENDENCE SOURCES Vl 1 O DC 6 Rll 2 2 R2 2 4 6 VD40DCO FI O 3 VD 2 R3 2 3 3 .TF V(3) VI .END După

rularea programului PSPICE se

obţin

rezultatele:

NODE VOLTAGE NODE VOLTAGENODEVOLTAGENODE VOLTAGE (1) 6.0000 (2) 9.0000 (3) 18.0000 (4) 0.0000 OUTPUT RESISTANCE AT V(3) = 9.000E+OO Prin urmare: Voc

= V(3 )= 18 V şi Req = RABO = 9 n.

E.3.5. 7. Circuitul din figura E.3 .5. 7 conţine ur. amplificator operaţional 741. Să se determine caracteristicile la semnal mic ale acestui

TEORIA MODERNĂ A CIRCUITELOR ELECTRICE

circuit (factorul de transfer în tensiune,

rezistenţa

de intrare

şi rezistenţa

de

ieşire).

1kA

j'" 1

99kA "

(!)', R0=75.n. .........

2k.n.

Rl

® Fig. E.3.5. 7

Pentru modelarea amplificatorului din figura 1.30,b.

operaţional

s-a folosit schema echi-

valentă

Datele de intrare sunt: A 741 NONINVERTOR AMP VI 3 O DC 0.1 Rl021K R2 2 4 99K RL402K *HERE'S THE 741: RI 2 3 2MEG El 1 O 3 2 200K RO 1 4 75 .TF V(4) VI

.END Datele de ieşire, obţinute

după

rularea programului PSPICE, au structura:

NODE VOLTAGENODEVOLTAGENODE VOLTAGENODE VOLTAGE (1) 10.3770 (2) 0.0999 (3) 0.1000 (4) 9.9948

Circuite electrice rezistive liniare

SMALL-SIGNAL CHARACTERISTICS: V(4)/VI = 9.995E+Ol INPUT RESISTENCE AT VI= 3.855E+09 OUTPUT RESISTANCE AT V(4) = 3.750E-02 Pentru comparaţie între valorile obţinute şi cele ideale ale caracteristicilor la semnal mic ale amplificatorului operaţional 741, ultimile se vor prezenta în paranteze: A = 99,95 (100) VN, Ri = 3,855 GQ (= ), R0 = 37,5 mO (on). Diferenţele fiind practic neglijabile, programul PSPICE confirmă modelul ales pentru amplificatorul operaţionaL

3.6. PROBLEME P.3.1. Fie circuitul din figura P.3.1, în care se dau:

E 1 = 5 V, E2 = 5 V, E3 = 1O V, E 4 = 22 V, E 5 = 10 V.

Fig. P.3.1

Se cere: a) să se scrie literal sistemele de ecua~i corespunzătoare metodelor: 1) Kirchhoff în curenţi; 2) Kirchhoffîn tensiuni; 3) curenţi de buclă;

4) potenţiale la noduri. b) să se rezolve circuitul prin oricare din metodele de mai sus; c) să se verifice bilanţul puterilor. Rezolvare:

al) Numărul de necunoscute curenţi de laturi este 6. Cu prima teoremă a lui Kirchhoff se vor scrie n-1 =3 ecuaţii, iar cu a doua, 1-n+ 1=3 ecuaţii. Ecuatiile lui Kirchhoff în curentii , laturilor sunt:

.

190 TEORIA MODERNĂ A CIRCUITELOR ELECTRICE

a2) În funcţie de tensiunile la bornele laturilor, considerând convenţia de la receptoare, ecuaţiile de mai sus devin:

(b 1) -U2 -U4+U5 =O (b 2 ) U3+ U4+ U6 =O (b 3) U 1+U2 -U3 =O. După

rezolvarea sistemului, se calculează curenţii laturilor cu relaţiile:

a3) Considerând aceleaşi bucle în care s-a aplicat teorema a doua a lui Kirchhoff, se scriu ecuaţiile prin metoda curenţilor de buclă:

Circuite electrice rezistive liniare Odată calculaţi curenţii

de

buclă, curenţii

191

laturilor se vor determina din

relaţiile:

a4) Pentru aplicarea metodei potenţialelor nodurilor, se alege un nod de referinţă- nodul 4. Se obţine: V4 =o (n 1) V1(G 1+G2+G 5) ţV2 G 2 - V3 G5 = G1Ec G2Ez- G5E 5 f

Rezolvarea sistemului conduce la obţinerea valorilor V1, V2, V3, cu ajutorul cărora se calculează tensiunile la bornele laturilor:

Curenţii

laturilor se calculează cu relaţiile scrise la teoremele lui Kirchhoff în tensiuni. b) Forrnulând sistemul în necunoscute curenţi de buclă, se obţine:

-lbl -2Jb2 +71b3 =0,

din care rezultă: lb1 =-lA; IhJ. = 4A; Cu aceste valori,

curenţii

lb3 =lA.

laturilor vor fi:

11 = 1 A; 12 = 2 A; 13 = 3 A; 14 = 5 A; 15 = -1 A; 16 = 4 A,

TEORIA MODERNĂ A CIRCUITELOR ELECTRICE

iar tensiunile la bornele laturilor:

Puterea generată de sursele circuitului este:

iar puterea consumată:

~=~~+~4+~4+~~+~~+~~= = 4 +4 + 18+50+5+64 = 145W. P.3.2. Să se rezolve problema P.3.1 pentru circuitul din figura P.3.2, pentru care se cunosc următoarele valori:

(Î)YJ R 5= 5.0, R 6= 4.0,

v3

E 1= 5 V, E 2= 5 V, E 4= 22 V,

"'-C__J-~----~®

E 5= 10 V, J3= 3 A.

E1

Rezolvare: al) Numărul necunoscutelor V4= curenţi de laturi este l-lJ= 5. Penp 3 2 tru a obţine un sistem cu 5 ecuaţii . F Ig. • • în aceste necunoscute, se aplică prima teoremă a lui Kirchhoff în n-1 = 3 noduri şi teorema a doua în (l-lJ)n+ 1 =2 bucle. Se obtin astfel următoarele ecuatii , , Kirchhoffîn curenti: , 0

Circuite electrice rezistive liniare

a2) Sistemul de

ecuaţii

Kirchhoffîn tensiuni are forma: e

După determinarea tensiunilor U~> U2, U4 , U5, U6 , se calculează curenţii laturilor cu relaţiile scrise la problema anterioară. Tensiunea U3 se calculează cu teorema a doua a lui Kirchhoff:

a3) Prin metoda curenţilor de buclă, numărul de variabile este l-n+ 1 = 3, iar numărul minim de necunoscute este (1-lJ)-n+ 1 = 2. Acestea se calculează aplicând teorema a doua a lui Kirchhoff în :bttciele independ€:mte redus:e (b 1) şi (b 2). Se obţin ecuaţiile

iar curenţii laturilor se

calculează

cu relaţiile:

a4) Sistemul de ecuaţii obţinut prin metoda dacă se alege nodul 4 ca nod de referinţă, este:

potenţialelor

nodurilor,

194 TEORIA MODERNĂ A CIRCUITELOR ELECTRICE

Calculul tensiunilor la bome şi al curenţilor laturilor se face cu relaţiile scrise în cadrul acestei metode pentru problema P .3 .1. b) Rezolvând sistemul de ecuaţii obţinut prin aplicarea metodei curenţilor de buclă, se obţine:

cu soluţiile: lb1 =-lA şi 1~ = 4A. Valorile

curenţilor

din laturile circuitului sunt:

Calculul tensiunilor la bornele laturilor se face aplicând ecuaţia caracteU(l) (vezi problema anterioară), iar pentru latura 3, se aplică teorema a doua a lui Kirchhoff(vezi punctul a2 de mai sus). Se obţin valorile: ristică

c) Puterile generate, respectiv consumate în circuit sunt: ~

= Etf1 + E 212 + E414 + E515 - U3J 3 = 5+ 10+ 110-10+ 12 = 127W,

~=

Rlf +R2 1Î +R4 Ii +J?slff+lyJÎ =4+4+50+5+64 = 127W.

Circuite electrice rezistive liniare

195

După

modelul problemelor P.3.1 şi P.3.2, să se rezolve problemele pJ.3 ... P.3.7, în care latura 2 conţine, într-o variantă, sursa de t.e.m. E2 înseriată cu rezistenţa R 2, iar în alta, sursa ideală de curent J 2 .

P.3.3.

E 5= 10 V. Răspuns:

I 1= 3 A·' J2= 2A '· J3= 5 A'' I 4 = 1 A'' I 5= 4 A·'

Fig. P.3.3

P.3.4.

Răspuns:

Fig. P.3.4

I 1= 1 A'' J2= 2 A'' J3= 4 A·' I 4= 5 A'' I=2A'I=3As ' 6 ,

TEORIA MODERNĂ A CIRCUITELOR ELECTRICE

P.3.5.

E 5= 10 V. Răspuns:

Fig. P.3.5

11= 3 A"' I 2= 2 A'' I 3= 5 A·' 1 = 6 A' I =-lA· 4 ' 5 '

P.3.6.

Răspuns:

1] = 3 A ' I 2= IA' I 3= lA·'

1=2A·I=4A·J=2A· 4 ' 5 ' 6 ' Fig. P.3.6

P.3.7.

U=7Y. U=-3 V·' U=4 V·' 1 ' 2 3 U4= 8 V; U5=-12 V; U6= 5 V.

Circuite electrice rezistive

Răspuns:

11= 5 A-' I2= 3A-' I3= lA'' 1=2A-1=2AI=4A'' 4 ' 5 ' 6

u1= 4 v·' u2= -6 v-' u3= 2 v·'

U=l4V' 4 ' U=8V· 5 ' U=-12V 6 .

Fig. P.3.7

P.3.8. Să se calculeze curentul I5 din circuitul reprezentat în figura >.8,a, pentru care se dau: R1= R2= R3= R 4=R 5= 100, R6= 50,

Rezolvare: (

6

o Se transfigurează circuitul ca în figura P.3.8,b, obţinându-se:

Fig. P .3.8,a

(

o

10 =-=50 Fig. P.3.8,b G1 + G2 2 1 1 -85·-+75=- E 3G3+ E 4G4= 10 10=-10=_5y. G3 + G4 1 1 2 ' -+. 10 10 R12 =

E 3

4

1

198 TEORIA MODERNĂ A CIRCUITELOR ELECTRICE

Curentul / 5 se calculează cu relaţia:

Dându-se circuitul din figura P.3.9,a, în care:

1 să

se calculeze curentul / 2 .

Fig. P.3.9,a

Rezolvare: Se transfigurează circuitul ca în figura P.3.9,b şi se obţine: . 1 . E G 6·6 E34 = 3 3 =-6-=-=3V· G3 + G4 -+1 1 2 ' 6 6 34

Fig. P .3.9,b

Se obţine astfel valoarea:

J;»:iio. Se dă circuitul din figura P.3.10,a, în care:

Circuite electrice rezistive liniare

199

Se cere valoarea curentului 16• A

Rezolvare: J

Se transfigurează circuitul ca în figura P.3.10,b, în care:

Fig. P.3.10,a

B B

J

b.

c. Fig. P.3.10,b,c,d

d.

6 ·-31 .E G 2 12 E = 2 2 =--=-=-=4V· 2s G2 + G5 -+1 1 -3 3 '

3 6

6

1 1 6 R25 = G +G =-1-1 =3= ZQ. 2 5 -+3 6 În continuare circuitul se va transfigura ca în figurile P.3.10,c şi d, unde:

E~ = E 14 + E3 - E 25 = 6+ 18-4 = 20V;

TEORIA MODERNĂ A CIRCUITELOR ELECTRICE

ŞI

Ee= E~ +J~

=20+2·8 =20+ 16= 36V,

respectiv

Cu aceste valori, din ultima schemă se obţine:

P.3.H. Pentru circuitul din figura P.3.ll,a, în care se cunosc: A

..-----f--e+-~--o---

..1

3

•• 1 .___ _.....__ ___...__-o---.11 B

se cere:

a) generatorul echivalent TheveFig. P.3.11,a nin la bornele A, B; b) valoarea t.e.m. şi sensul unei surse de tensiune care, conectată între bornele A şi B, ar absorbi puterea maximă debitată de dipol. Rezolvare: a) Se transfigurează circuitul ca în figurile P.3.1l,b,c,d, în care: E

A

A

Ee

E1

3

~

e'

--+ '-----o---- .J

B

B

b.

c. Fig. P.3.11,b,c,d

B

d.

Circuite electrice rezistive liniare

36 ·-1 12 EG El2 = G ~b =rl=3=24V; 1

-+-

2

3

-

6

6

apot: E~ = E 12 + E2 = 24 + 16 = 40V;

R~ = R12 şi

= 2Q

în final: 1 _ _ G'eE'e _ 40 "2 _ 20 _ Ee-UABO- G' +G --1-1 -Ţ-30V, e

3

-+2

-

6

6

respectiv

.b) Puterea debitată de dipol se

exprimă

cu relaţia:

Conditia de transfer maxim de putere la bornele A,B, dP '

dE3

=O,

conduce

la relaţia Ee - 2E3= O, de unde se obţine valoarea t.e.m. a sursei de tensiune care satisface această condiţie:

Sensul sursei este cel din figură.

202 TEORIA MODERNĂ A CIRCUITELOR ELECTRICE :p.3.12;)Pentru circuitul din figura P.3.12 se dau următoarele valori: -_ __/

Se cere: Fig. P.3.12 a) să se rezolve circuitul; b) să se verifice bilanţul puterilor; c) să se determine generatoarele echivalente Thevenin şi Norton. Răspuns:

b)Pg= 450 w·'

P.3.13. Pentru circuitul din figura P.3.13,a, pentru care se cunosc valorile:

u se cere: . a) să se rezolve circuitul; b) să se calculeze regimul de gol şi cel de scurtcircuit (în ahFig. P.3.13,a senţa sursei U) la bornele A, B; c) să se verifice valoarea curentului Iz şi a tensiunii Uz, cunoscând valorile pe care le ia curentul acestei laturi în cele două regimuri: lzsc = 1201 31 A, respectiv lzg = 251 8 A.

Circuite electrice rezistive liniare

203

Rezolvare: a) Se rezolvă circuitul prin orice

b) Regimul de mers în gol se

B

Fig. P.3.13,b.

metodă şi

studiază

se

obţin

pe schema din figura P.3.13,b:

Pentru calculul curentului de scurtcircuit se foloseşte schema din figura P.3.13,c:

Se obţine: / 63 =Fig. P.3.13,c.

Atunci:

La bornele laturii 2 avem: u2sc

=

R212sc- E2

valorile:

120 50 = 331-10 = 360-310 31 =TI V.

i{ A.

1

TEORIA MODERNĂ A CIRCUITELOR ELECTRICE

c) În cazul unui dipol activ, cum este cel din figura P.3.13,d, între mări­ mile (curent şi tensiune) caracteristice unei laturi interioare şi cele de Ia bome există relaţiile:

I

21uk

u) ( ) u

Fig. P.3.13,d.

1 u h =Ţ Jksc + U Jkg se g respectiv

În baza acestora se calculează / 2 şi U2 :

Şl

Circuite electrice rezistive liniare ~'-N

205

~

;f.3.14. Fie circuitul electric de curent continuu reprezentat în figura pJ.l4, în care: E 1 = 30 V, E4 = 20 V, E7 = 50 V, J 3 = 1 A, J 5 = 2 A, R2 = 15 Q, R4 = ~ = 1O Q şi R7 = 20 Q. Se cer: a) ecuaţiile circuitului, rezultate din aplicarea teoremelor lui Kirchhoff; b) ecuaţiile circuitului în curenţi de buclă; c) ecuaţiile circuitului în potenţialele nodurilor; d) valorile curenţilor laturilor şi tensiunilor U3 ,U5 şi U 7 , folosind ecuaţiile

de la punctul a; e) să se verifice bilanţul puterilor.

Fig. P.3.14 Rezolvare:

206 TEORIA MODERNĂ A CIRCUITELOR ELECTRICE

(b3)

Ib3

= Js

(b4)- R6!~ + (R6 + R7 )Ib4 = E7. c) Deoarece circuitul din figura P.3.14 conţine o latură formată numai din sursă ideală independentă de tensiune (latura 1), pentru formularea ecuaţiilor în potenţiale la noduri se foloseşte prima teoremă a lui Kirchhoff în nodurile în care nu este conectată latura 1, iar pentru latura 1 se scrie legea lui Ohm în forma:

Celelalte două ecuaţii în potenţialele nodurilor sunt:

Din ecuaţiile (nJşi (b4 )rezultă: / 6 = 2 A, 17 = 1 A,

Circuite electrice rezistive liniare

207

P.3.15. Se dă circuitul electric de curent continuu din figura P.3.15,a. Se cer: (~)să se scrie ecuaţiile circuitului în curenţi de buclă; ,7,~.23;l Să se rezolve problema de mai sus pentru circuitul din figura P.3.23: pentru care se dau:

Răspuns:

I 1 =6A·' l 2 =6A·I = 12k' ' 3

I 4 =8A'' J 5 =4A·,

u1 =- 48 v·' uJ2 = 48 v·' u3 = 24 v ·' u4 = 24 v·'

Fig. P.3.23

UJs = 16 V·' E3 = 24 V·' Pg=980W.

Circuite electrice rezistive liniare

223

P.3.24. Să se rezolve problema P.3.22 pentru circuitul din figura P.3.24, 5n care se cunosc:

Răspuns:

~4)

Rs

11 = 2 A·' 12 = 1 A' 13 = 1 A' Ut,.

14 =3A·' 15 =4A'

4 ~---+------~--~

U =OV·

Fig. P.3.24

3

'

U4 = -4 V; U5 = 4 V;

P.3.25. În figura P.3.25,a şi b, este prezentat circuitul unui tranzistor şi respectiv, circuitul echivalent cu sursă de curent comandată în curent.

Vce

b.

a. Fig. P.3.25

224 TEORIA MODERNĂ A CIRCUITELOR ELECTRICE Să

se determine V1 pentru V0 = 3 V, când se cunosc următoarele valori:

Rs= 180k0; Rc=2k0; Vcc=5V; VnE=0,7V;

~=

100.

Rezolvare: Se aplică teorema a doua a lui Kirchhoff în cele două bucle:

Din ecuaţia a doua se obţine:

I B

= Vcc - YO f3Rc

=

5- 3 100 · 2 · lcP

= 1o-s A.

Înlocuind valoarea obţinută în prima relaţie, rezultă:

"V.!=

Rsfs + VnE = 180 ·103 ·10-5 +O, 7 = 1,8 +O, 7 = 2,5V.

P.3.26. Fie circuitul din figura P.3.26,a. Să se determine calcul a curentului In în funcţie de parametrii circuitului.

ce

relaţia

ce

b.

a.

Fig. P.3.26

de

Circuite electrice rezistive liniare

225

Rezolvare: În schema echivalentă din figura P.3.26,b, rele relatii: ,

VBB

şi Rss satisfac următoa­

'

= Vcc

v;BB

R2

Rl + R2

,

respectiv R

-

BB-

R1R2 R +R 1

2

Aplicând teorema a doua a lui Kirchhoff în bucla (b), se

obţine:

de unde rezultă:

.f.3.2i; Fie circuitul din figura P.3.27,a, pentru care se dau: '

'

Ez

E3 ~-..._-c==t---4--oS

G=6S.

Fig. P.3.27,a Se cere: a) generatorul echivalent de tensiune şi generatorul echivalent de curent la bornele A,B. b) valorile rezistenţe lor rezistorului care conectat între bornele A şi B absoarbe jumătate din puterea maximă debitată de dipol. Rezolvare: a) Pentn1 a stabili generatorul echivalent de tensiune (Thevenin) este necesar să se determine UABO ,şi RABO• iar pentru generatorul echivalent de curent (Norton)- IABsc şi GABO·

226 TEORIA MODERNĂ A CIRCUITELOR ELECTRICE Pentru calculul tensiunii de mers în gol între bornele A şi B se foloseşte schema din figura P.3.27,b, în care E 1= J 1R(:::; GUABoRl= 12UABO·

Se determină curentul 1 cu relaţia:

_ 42 + 28- 12UABO _ 35- 6UABO 28 14

-

Tensiunea

UABO

din care rezultă

se calculează cu relaţia:

UABO =

1 V.

Pentru calculul curentului IABsc se foloseşte schema din figura P.3.27,c, în care, deoarece UAB =O, se obţine E 1 =O. Dipolul echivalent la bornele A,B are:

Şl

Re

=

1

1

1

--+-

Fig. P.3.27,c R124 Din schema echivalentă (fig. P.3.27,c) rezultă:

Folosind cele RABO

două

valori se

[JABO =- = lQ JABsc

·

Şl

ob.ţine:

GABO

= -1- = lS. RABO

R3

= 7Q.

Circuite electrice rezistive liniare

b) Se consideră schema echivalentă Thtfwenin între bornele A Puterea absorbită de rezistenta între aceste borne este: , conectată . A

R

şi

B.

u~Bo

PR == RJ2 == R .

227

(RABO + R?

iar puterea maximă debitată de dipol este: B

P.

Fig. P.3.27,d Condiţia cerută

=

max

U~BO

4 RABO

este deci PR = P maJ2,

_ U~BO

----"=""- ,

adică:

din care se

obţine ecuaţia

de gradul doi

8RABO

cu soluţiile: Rl,2

= RABo(3

± 2J2) == 3 ± 2J2 n, ambele valabile.

P.3.28. În circuitul din figura P.3.28,a, se cunosc: A

2

B

R23 = 20, J = 2 A.

Fig. P .3.28,a Se cere: a) generatorul echivalent de tensiune şi generatorul echivalent de curent la bornele A, B; b) bilanţul puterilor când bornele A,B sunt scurtcircuitate.

Rezolvare: a) Tensiunea de mers în gol UABO se calculează cu relaţia:

228 TEORIA MODERNĂ A CIRCUITELOR ELECTRICE

Pentru aceasta ! 3 se în bucla din figură:

!3 =

2A şi

determină

aplicând teorema a doua a lui Kirchhoff

8V.

UABO =

Pentru calculul curentului de scurtcircuit între bornele A şi B, se aplică teorema superpoziţiei. În acest regim de funcţionare ! 3= O, deci E 2 = O şi schema circuitului este cea din figura P .3 .28,b. Pentru E 1 = O rezultă: A IiBsc

= -J = -2A,

J iar pentru J = O, B

Fig. P .3.28,b

JE

-

El

ABsc-R+R l

Deci

IABsc

36 = - = 6A.

6

2

= IiBsc + I§.Bsc = ..:.:.2 + 6 = 4A.

A tunel. R ABO

UABO . =- = 2(""\ .::.~, 1ar

GABO

JABsc

b) În regim de scurtcircuit ! 3 = O, generată de surse este:

iar puterea consumată:

1 ::: - RABO

UAB

= o,5S .

= O şi

E2

= O.

Deci puterea

Circuite electrice rezistive liniare

229

P.3.29. Pentru circuitul din figura P.3.29,a, se cunosc următoarele date:

u3

A ~ B 13

R 1=R2 =4Q, R3 =12Q, J 1 =8A,

E4 Fig. P.3.29,a Se cere: a) să se determine schemele echivalente Thevenin şi Norton la bornele A,B; b) care sunt valorile curenţilor din laturi pentru cazul când bornele A, B sunt în scurtcircuit. Rezolvare: Se transfigurează circuitul ca în figura P.3.29,b eurentul:

A

ŞI

se

calculează

B 13

unde

J1R1-E4-J2 Rz

Deci /3 = R1J1 + 2E3- RzJz =~A. R1 + ~ + 2R3 2 Tensiunea de mers în gol şi curentul de scurtcircuit se calculează cu Fig. P .3.29,b

relaţiile:

Înlocuind se obţine:

230 TEORIA MODERNĂ A CIRCUITELOR ELECTRICE I ABsc

= 8 · 4-2 · 4 _ g = 2 A 4+4

.

Atunc1:

RABO

12

.

UABO =- = 3Q. JABsc

b) Când bornele A, B sunt scurtcircuitate, E4 = O şi

curenţii

vor fi:

P.3.30. Pentru circuitul din figura P.3.30 se cere: a) să se determine valorile curenţilor din laturi; b) să se verifice bilanţul puterilor; c) să se determine generatoarele echivalente Thevenin bornele A, B.

şi

Norton, la

A

E 1 = 33 V, E 2 = 24 V, B

Fig. P.3.30 Răspuns:

a) / 1 = 2 A; 12 = 2 A; / 3 = 5 A; 14 = 3 A; 15

b) Pg c)

= 7 A;

= Pc = 115 w·'

UABO

= 16 V;

RABO

= 2 Q;

IABsc

= 8 A;

GABO

=O, 5 S.

Circuite electrice rezistive liniare

231

P.3.31. Fie circuitul reprezentat în figura P.3.3l,a, pentru care se cunosc: A

R6 = 2 n, R7 = 34/15 n,

B

Fig. P.3.31,a Se cer: a) schemele echivalente Thevenin şi Norton la bornele A, B; b) calculul curenţilor şi verificarea bilanţului puterilor; c) conductanţa de transfer G64 , cu bornele A, B în gol; d) valoarea rezistenţelor rezistorului care, conectat între bornele A, B, este parcurs de jumătate din curentul de scurtcircuit. Rezolvare: a) Pentru determinarea schemelor cu generatoare echivalente se Ioloseşte circuitul din figura P.3.3l,b.

E3

8

Fig. P.3.31,b În acest circuit se aplică metoda curenţilor de buclă:

(~

+ R7 + R)IhJ- ~!~ =O

TEORIA MODERNĂ A CIRCUITELOR ELECTRICE

232 şi

Înlocuind valoric, se obtine sistemul: , .

151b2 - 21~ = -15

64

{ -21b +(-+R)1b =0 2 15 3 din a cărui rezolvare rezultă: 1

--

hJ -

30 = __ 2_ 60 + 15R 4+R

Pentru R = O, se obţine 1ABsc = -112 A, iar pentru R 1hJ = O, iar 16 = 1~ = -lA şi UABO = R616 = -2 V.

~

oo,

rezultă

Se calculează apoi RABO = UABO 1 1ABsc = 4 n şi GABO = 0,25 S.

se

b) La funcţionarea schemei din figura P .3 .31 ,b cu bornele A, B în gol, valorile curenţilor din circuitul aflat în analiză:

obţin

Pentru verificarea bilanţului puterilor se calculează:

unde U12 s-a calculat aplicând teorema a doua a lui Kirchhoffîn bucla (b 1):

din care se

obţine:

Circuite electrice rezistive liniare

233

Puterea consumată în circuit este:

c) Schema pentru calculul conductanţei de transfer se construieşte pe baza relaţiei de definiţie a acestei funcţii şi este reprezentată în figura pJ.3l,c. A

A1 11

de unde: '-----E~~-..._-- O. Condiţia de randament maxim se obţine anulând derivata d11 1 di ; se obţine ecuaţia 3/2 + 8/- 16 = O, cu soluţiile: r == 4/3 A şi f' == - 4 A. Numai valoarea 4/3 A poate fi acceptată ca soluţie, deoarece pentru I == - 4 A randamentul rezultă negativ. · Deci J = 4/3 A. Atunci: n 'lmax

=

PAB

PJl +

0

rE2

=64/9=05 128 / 9 ' '

în timp ce la transfer maxim de putere, când J == 2 A, randamentul este: 11 =

= -8 = O, 4. PJI + PE2 20 PAB

max

242 TEORIA MODERNĂ A CIRCUITELOR ELECTRICE P.3.37. Pentru circuitul reprezentat în figura P.3.37 se cunosc:

Is

Rs Să se determine: a) schemele echivalente E4 =R41I1 Thevenin şi Norton la borne~ Fig. P.3.37 le A, B; b) valoarea sursei de curent şi sensul acesteia, pentru ca atunci când este conectată între bornele A, B, să primească puterea maximă debitată de dipol; c) valoarea acestei puteri maxime.

Rezolvare: a) Se aplică metoda curenţilor de buclă:

ŞI

Prelucrând ecuaţia a doua, se obţine:

Ib].

=2A.

Deci UABO = R/5 = Rslb]. = 4Y.. Când bornele A şi B sunt în scurtcircuit, în Ib]. = 4A. Deci IABsc =

3A, RABO = 4/3

ecuaţia

a doua R 5= O şi

n, iar GABO = 3/4 s.

b) Pentru transfer maxim de putere pe sursa de curent conectată între bornele A şi B, valoarea curentului sursei trebuie să fie J = IABsc 1 2 = 3/2 A şi sensul sursei să fie de la A la B.

Circuite electrice rezistive liniare

243

c) valoarea puterii maxime transferate este:

P.3.38. Se parametrilor:

dă

circuitul din figura P.3.38, cu

următoarele

valori ale

E5 =E6 = 12 V,

Fig. P.3.38 Să

se determine: a) schemele echivalente Thevenin şi Norton la bornele A, B; b) valoarea rezistenţei R pentru care pe la bornele A, B ale dipolului are loc un transfer maxim de putere; c) valoarea puterii maxime debitate de dipol pe la bornele A, B; d) conductanţa de transfer G16, când bornele A şi B sunt scurtcircuitate. Răspuns:

a)

UABO =

JABsc =

36 V; RABO = 9 n;

4 A;

GABO =

1/9 S;

b) R = 9 O; c) P max = 36 W; d) G 16 =- 11 18 S.

TEORIA MODERNĂ A CIRCUITELOR ELECTRICE

P.3.39. Fie circuitul din figura P.3.39,a parametrilor săi:

şi

valorile de mai jos ale

E4 = 20 V, J 1 = 1 A, J 3 = Bl + GU.

Fig. P.3.39,a

Se cere: a) să se determine funcţiile de transfer B' G' şi B" G" ale sursei comandate J ' ' 3• astfel încât circuitul să se comporte la bornele A,B ca un generator ideal:

1) de curent, având Je = 4 A; 2) de tensiune, având Ee= 40 V; b) pentru B = 0,5 şi G = 0,05, să se determine condiţia de transfer maxim de putere pe o rezistenţă conectată între bornele A şi B; c) să se rezolve circuitul pentru valorile funcţiilor de transfer de la punctul b) şi pentru cazul când bornele A şi B sunt scurtcircuitate; d) să se verifice bilanţul puterilor. Rezolvare: a) Pentru studierea comportării circuitului la bornele A, B se schema din figura P.3.39,b, unde:

Deci:

B Fig. P.3.39,b de unde se

obţine:

rezolvă

Circuite electrice rezistive liniare

1) Pentru ca circuitul să se comporte ca un generator ideal de curent, trebuie satisfăcută condiţia: I-G'R 4 =O, de unde G' = l!R 4 = 1110 = 0,1 S. Rezultă

I

astfel:

= (1- EB')R4 = 4A ' de unde.· 14

2) Pentru ca circuitul trebuie ca:

1-B" =O, obţine

Se

U --

1

adică

să

B' -- 4R4' E4 ad.Ica ~ B' -- 1-420 - O' 5. ·10-

se comporte ca un generator ideal de tensiune,

B" = 1.

astfel:

40 20 - O 05 S -40"' _E4 ,ad'1ca~ G"'v, d eund e 1- G'R A'4-- -. . 40 40 10 - ,

E4

-G'~-

b) Pentru B

= 0,5

şi

G = 0,05 se

U= 20-I(l-0,5)10 1-0,05·10

obţine:

= 20-51 =40 _ 101 . 1-0,5

'

-la funcţionarea cu bornele A; B în gol(/= 0), se obţine Ug = 40 V; -la funcţionarea cu bornele A, B în scurtcircuit (U = 0), se obţine !se= 4 A Rezultă astfel RABO = ug 1!se= 10 n, deci Ro= 10 n.

c) Se rezolvă circuitul din figura P.3.39,c, în care !se= 4 A. _ E4

_

20 _

TO -

. 2A, Iar

14

-

J3

= BJ ABse = 0,5·4 =2A

R

4

-

Iz· = J 1 + Ez Rz - J 3 = 1+ 48 - 2 = IA Uz

= Rzl~ = 4 ·1 = 4 V.

246 TEORIA MODERNĂ A CIRCUITELOR ELECTRICE A

Revenind la schema anterioară se calculează curentul prin sursa E2:'

B

d) Puterea este:

Fig. P.3.39,c

UJ 1 = -U2

generată

în circuit

= -4V, iar Un= U2 = 4V.

Se obţine deci:

~

=-( -4)·1 +8·1-4 ·2 + 20·2 = 44W, iar

P.3.40. Pentru circuitul din figura P.3.40,a, se dau: R 1 = 20, R 2 = 80, R 3 = 10,

J4

Is

12

E1

Es

E2

}

R 5 = 60, E 1 = 10 V, E 2 = 4 V, E 5 =AU+ Rl, J4 = 2 A.

Se cere: a) să se determine funcţiile de transfer A', R' şi A", R", ale sursei comandate E 5, astfel încât circuitul să se comporte la bornele A, B ca un generator ideal: 1) de tensiune, având Ee= 24 V; 2) de curent, având Je = 6 A; b) pentru A = 0,5 şi R = 40; să se determine valoarea Rs a rezistenţei care conectată între bornele A şi B, absoarbe un sfert din puterea maximă debitată de dipol; c) să se rezolve circuitul care are valorile funcţiilor de t1u4 1 = J4= 2 A·>5 1 =- 2 A·,

c) Pentru bilanţul puterilor se calculează:

= 12 ·4 +40· 2 + 10(-2)-(-40)2 -20· 2 = 148 w Şl

~

= R11( + J?slff =8·16+5·4 =148 W.

d) Factorul de transfer în curent este: B14 =

Jl

4 E1=0;E3=0

·

.

Acest factor se calculează cu-ajutorul schemei din figura P.3.4l,c:

Rs Es

Fig. P.3.41,c Se obţine:

de unde rezultăJ1 = 10/14 A. Înlocuind, se obţineB 14= 5114. e) Pentru determinarea curentului de scurtcircuit se foloseşte schema din figura P.3.4l,d, în care J2= G21 U 1= O. Acestă schemă se poate transfigura în continuare, astfel încât:

Circuite electrice rezistive liniare

Rs

A----...--4 IABsc Fig. P.3.41,d

- E3 + J4Rs - Es - 40 + 2. 5- 51ABsc d d ~ - A , e un e rezulta IABsc- 5 . IABsc Rs 5 Pentru determinarea tensiunii de mers în gol se figura P.3.41,e şi se obţine:

Fig. P.3.41,e

=

40 +10 + 0,5UABO' adică UAso = 100 V.

Deci: RAso = 200 şi GAso = 1120 S.

foloseşte

schema din

254 TEORIA MODERNĂ A CIRCUITELOR ELECTRICE P.3.42. Pentru circuitul din figura P.3.42,a se dau următoarele valori:

Se cere: a) să se scrie literal ecuaţiile obţinute prin metodele: 1) Kirchhoff în curenţi; 2) Kirchhoff în tensiuni; 3) curenţi de buclă; 4) potenţiale la noduri; b) să se determine valorile curenţilor din laturi şi ale tensiunilor la bornele acestora; c) să se verifice bilanţul puterilor; d) valoarea factorului de transfer în tensiune A 12 ; e) generatorul echivalent de tensiune la bornele A, B. f) să se construiască graful de curent şi graful de tensiune. Rezolvare: al) Necunoscutele problemei -sunt curenţii / 1, 12 ecuatii: melor lui Kirchhoff conduce la următoarele . '

şi ecuaţiile

de

comandă:

şi 14•

Aplicarea teore-

Circuite electrice rezistive liniare

255

a2) Deoarece U4= - E4= - A41 U1, rămân numai două necunoscute tensiuni la bome: U1 şi U2 (U3 =~U2 iar U5=- U4). Pentru calculul acestora se aplică prima tememă a lui Kirchhoff în nodul (A) şi teorema a doua în bucla (b)

cu

După

calculul tensiunilor se

determină curenţii

laturilor:

a3) Pentru aplicarea metodei curenţilor de buclă se în figura P.3.42,b. Se obţin ecuaţiile:

selectează

buclele ca

1ar

E4 = A41U1 = A41(R/1 +E1)= = A41(R/b:J + E1)

Fig. P .3.42,b

Curenţii

laturilor se

determină

apoi cu relaţiile:

a4) Se alege nodul 3 ca nod de modificată, se obţin ecuaţiile:

referinţă şi,

aplicând metoda

nodală

TEORIA MODERNĂ A CIRCUITELOR ELECTRICE

la care se

După

adaugă:

calculul potenţialelor, se determină tensiunile la bornele laturilor:

şi curenţii

laturilor se calculează cu relaţiile de la punctul a2).

b) Rezolvând prin orice metodă circuitul, se obţin valorile:

c) Se calculează puterile generate:

unde

şi

puterile.consumate:

.d) Factorul de transfer în tensiune A12 =

~~~ 2

ajutorul schemei din figura P.3.42,c:

se Er=O;lJ=O

calculează cu .

Circuite electrice rezistive liniare

Rezultă

Js Fig. P.3.42,c

astfel 11= 2/3 A.

e) Pentru determinarea generatoarelor echivalente se folosesc schemele din figurile P.3.42,d şi e.

Js

B

Js

Fig. P.3.42,d

Fig. P.3.42,e

Deci UAso = 30 V. Din a doua schemă se

Atunci RABO =

UABO

obţine:

1IABsc = 6Q şi

GABO =

1 1RABO = 1 16 S.

t) Pentru construirea grafului de curent şi a celui de tensiune se redesenează circuitul ca figura P.3.42,f, în C'!Ie s-a introdus nodul suplimentar 4, a evidenţia mărimea de comandă· sursei comandate J 5• Se refonnulează de asemenea ecuaţiile de comandă ale celor două surse comandate:

a:

TEORIA MODERNĂ A CIRCUITELOR ELECTRICE

Pe baza consideraţiilor din § 3.4.1, se construiesc graful de curent Gi şi graful de tensiune Gu (fig. P.3.42,g, respectiv h). Cele două grafuri au acelaşi număr de noduri (4) şi acelaşi număr de laturi (7). Arborele comun de referinţă este format din laturile ramuri 2,4,6, adică A= {12 ,14 ,!6 }, iar coarborele corespunzător, din coardele 1,3,5,7, adică C = {11,!3 ,15 ,!7 }. Cu ajutorul acestora din urmă se obţin câte 4 bucle inde-

pendente în cele

două

grafuri.

şi mai eficiente.

312 TEORIA MODERNĂ A CIRCUITELOR ELECTRICE

În acest paragraf, se va considera cazul cel mai simplu în care circ\:!· rezistiv neliniar analizat conţine numai rezistoare liniare, rezist neliniare comandate în tensiune (c.u.), surse independente de curent tensiune şi 'surse ideale de curent comandate în tensiune, liniare sau niare. Această restricţie permite generalizarea directă a algoritmului formulare a ecuaţiilor nodale ale circuitelor rezistive liniare, pentru cele neliniare. ,·· Cazul general, când circuitul rezistiv neliniar studiat conţine şi rezisw toare neliniare comandate în curent (c.i.), surse de curent comandate în curent şi surse de tensiune comandate în curent sau în tensiune, va fi prezentat în paragraful4.8. Trebuie însă sublin~at de la început că metodele numerice de rezolvare a sistemelor algebrice neliniare, care vor fi prezentate în acest paragraf. nu depind de gradul de complexitate al circuitului rezistiv neliniar analiw zat: în consecinţă elefiind valabile şi în cazul general.

4.7.1. Formularea topologică a ecuaţiilor nodale

Se presupune că fiecare latura h a circuitului rezistiv neliniar consider;~ţ are structura generală. din figura 4.16,a. În graful G asociat circuitului~ latura lk se reprezintă printr-un singur arc de curbă orientat, ca în figur~ 4.16,b. Elementul (k) de circuit poate fi un rezistor neliniar c.u.

u'k

·' 'k

a.

b. Fig.'4.16

313

Analiza circuitelor rezistive neliniare

sursă

de curent de relaţia

liniară

sau

neliniară ·comandată

în tensiune

şi

(4.31)

Relaţiile

(4.30)

şi

comandă

de la bornele laturii 11. (4.31) pot fi combinate în următoarea

u1 este tensiunea de

formă

vecto-

'compactă:

Ît

i,

g, (ua)

i2

g2 ~{j)

=

d

=g(ut ),

= il

(4.32)

gl (ua)

circuitului, iar ua, "13• ... , ua pot fi oricare din u1, "'2, ... , u1• Evident, dacă circuitul nu conţine nici o sursă vJu...............,", atunci ik = gk(Uk) şi Ua = u1, "r3 = "'2, ... , Ua = u1 • Conform primei teoreme a lui Kirchhoff şi celei de a doua teoreme a lui ecuaţiile caracteristice ale laturii compuse din figura 4.16,a ~

este

numărullaturilor

(4.33) (4.34) Ecuaţia

(4.32) se poate. scrie şi sub forma: (4.35)

{':Curenţii i'k verifică

prima teoremă a lui Kirchhoff forma vectorială a ecuaţiei (4.35) este Ag(u1 )= Aj1 •

şi,

în

consecinţă,

(4.36)

Substituind în ecuaţia (4.36) vectorul u1 cu expresia (4.34) se obţine:

TEORIA MODERNĂ A CIRCUITELOR ELECTRICE

Vectorul tensiunilor de lâ bornele laturilor compuse se poate exprima m funcţie de vectorul potenţialelor nodurilor vn-I, prin relaţia

unde s-a presupus că circuitul are n noduri. Introducând relaţia (4.38) în ecuaţia (4.37), se obţine lă nodală a circuitului rezistiv neliniar, de forma:

ecuaţia matrice~,

.' (4.39)

Ecuaţia (4.39) reprezintă un sistem de n-1 ecuaţii algebrice neliniare cu n-1 necunoscute, potenţialele v1 , v2 , ... , vn-I ale celor n-1 noduri independente ale circuitului (s-a considerat vn = O ca potenţial de referinţă). Dacă definim

(4.40)' ecuaţia

(4.39) devine

f(x)=O.

(4.41)

Exemplul 4.7.1. Fie circuitul rezistiv neliniar reprezentat în figura 4.17,a. T.e.m. e 1 şi rezistorul neliniar 1, t.e.m. e2 şi rezistorul neliniar 2 şi sursa independentă de curent h şi rezistorul neliniar 3 sunt considerate laturi compuse (în sensul definiţiei din figura 4.16,a). Graful acestui circuit conţine 4laturi şi 3 noduri, aşa cum se arată în figura 4.17,b. Matricea redusă de incidenţă laturi-noduri, cu nodul 3 considerat ca nod de referinţă, are forma: /2 /3

-1o

o

1]

(4.42)

1 -1 .

Se consideră că fiecare rezistor neliniar al circuitului din figura 4.17,a este caracterizat de o relaţie Uk - h controlată în tensiune, de forma (4.30).

Analiza circuitelor rezistive neliniare

®

315

vz

a.

b. Fig. 4.17

Dacă

se definesc vectorii:

il =g(ul )=

gi(ui) g2(u2) ul g3(u3) g4(u4)

ui

=

il

u2

il=

u3

ei

i2

el=

l3 i4

u4

e2

jl =

o o

o o j3

··-1 ~[::]. (4.43)

o

rezultă:

-1

o o

o

1

[::]+ o

1 -1

o

1 Atvn-1 +el=

Aj,

=[~

-1

o

o

1

ei e2

o o

=

-~J o ~[;,} j3

gl (el+ VI) g2(e2 -vi) g3 (v2) g4(v1-v2)

VI +el -vi+ e2

(4.44)

v2

VI -v2

(4.45)

(4.46)

316 TEORIA MODERNĂ A CIRCUITELOR ELECTRICE Substituind relaţiile (4.42), (4.46) şi (4.45) în

ecuaţia

(4.39), rezultă:

(4.47)

sau sub forma dezvoltată: g 1 (e1 +v1)- g 2(e2 -v2)+ g 4(v1 -v2 )= O

(4.48)

g3(v2)- g4(v, -v2)= h

Ecuaţiile (4.48) constituie cele două ecuaţii nodale ale circuitului rezistiv neliniar reprezentat în figura 4.17,a, având ca necunoscute potenţialele nodurilor v1 şi v2. Dacă presupunem că:

i 1 =g1 (u 1 )=u(, i 2 =g2(u 2)=(11R2)u2,

i3 =g3 (u3)=exp(-u 3 ) şi i4 ecuaţiile

(4.48)

=g4 (u 4 )=u4 -ul,

(4.49)

d~vin:

(e 1 + v1f

- (e2 - v )1 R2 + [v 1

1-

f

f

v2 - (v1 - v2 ]=O

exp(-v2 )- [v1 -v2 -(v1 -v2 ]= h

(4.50)

În majoritatea cazurilor practice, dispozitivele electrice şi electronice neliniare nu sunt caracterizate prin relaţii matematice simple h- uk. Uzual, relaţiile ik- uk se dau sub formă de curbe reprezentate grafic (sau tabelar). În acest caz, ecuaţiile nodale ale circuitului se pot exprima în forma (4.48), unde fiecare relaţie gk(.) este specificată printr-o curbă. Ecuaţiile (4.50) se pot scrie şi în forma generală:

asemănătoare

cu ecuaţiile (4.41 ).

Analiza circuitelor rezistive neliniare

Numai în cazuri cu totul particulare, soluţiile sistemelor de ecuaţii algeneliniare pot fi obţinute sub formă analitică (cum ar fi ecuaţiile (4.51)). Ecuaţiile nodale ale unui circuit rezistiv neliniar trebuie rezolvate pu ajutorul unor tehnici de calcul numerice iterative. În cele ce urmează se prezintă ideile de bază ale câtorva dintre metodele numerice iterative, fi.;ecvent utilizate în .tehnică.

4.7.2. Metoda iterativă a punctului fix Majoritatea tehnicilor iterative de rezolvare a unui sistem de ecuaţii algebrice neliniare pot fi considerate cazuri particulare ale algoritmului de ~teraţie al punctului fiX. Pentru a introduce mai intuitiv conceptul de punct fix, se consideră un exemplu simplu, anume cazul unei singure ecuaţii cu o singură necunoscută. Fie ecuaţia x = 4- 2xv 3 == F(x ).

(4.52)

Scopul nostru este să găsim un număr real x = x* astfel încât ecuaţia (4.52) să devină o identitate. Presupunem că începem algoritmul cu alegerea unei valori arbitrare pentrux, x =x(o). În cele mai multe cazuri, valoarea iniţială aleasă pentru x, i 0>poate fi mult diferită de s~luţia exactă x *.

Să

că valoarea x(1) !F(x(o)) este mai apropiată de soluţia exactă x* decât i 0), adică eroarea este mai mică, lx *- x(l)l < lx *- x(o)l· presupunem

Dacă consid~răm că valoarea

x(k) =

F~(k- 1 ) )k ~ 2, este o aproximare mai

J>ună a lui x decât x(k-l), Jx *- x(k)l < !x *- x(k- 1)1, atunci s-ar putea ca după un număr finit de paşi (iteraţii) să ajungem la soluţia exactă x *. Prin urmare, algoritmul iterativ de rezolvare a ecuaţiei (4.52) următorii paşi:

Po: alegerea valorii iniţiale x< 0 ); P1: x(l) = F~(o) ); . P2: x(2) = F(x(l) );

constă

în

N

-...)

00

...,

Vs ®

v4

"2®

@1A

~

/

2A

3A

v6 R1s 1A

® f2A

f'"'

lg] ~

v7

R25 1A

®

2A

s;::

1

11

2~1~

.... ~ ~

"'C:I

~

o 1~ ~ >· > (")

-c::f5

......

trit'""" o

:.::..

:::t'

~

ti1 t'""" ti1

(")

g

15V

(")

ti1

e1 =R12 iz = 20·iz •

j11

=G11,12 u12

=-

io ~2

j22 =822,23 i23 =G22 R23 i23

:

e17 =A11,18 U1a =R11G1aU1a

=1· ~

. i23

=2·1·U1a

"

(n6) - GtsVS + (G1s + Gz4 + Gzs )v6 - GzsV7 - Gzilt =O,

~7) - GzsV6 + (G21 + Gzs )V7 ~ GztVs + Bzz,z3l23 = -Jzo,

.

(ntz) - G14V5 - G16Vio + (G13 + G14 + Gl6 )v;z- G13V13 = Gl4El4>

Pentru analiza circuitului din figura P.3.47 s-a utilizat programul

~PACER- Program de Analiză a Circuitelor Electrice Rezistive (Anexa 1).

280 TEORIA MODERNĂ A CIRCUITELOR ELECTRICE

Datele de intrare cerute de PACER au, pentru circuitul din figura P .3 .47, structura: 25,15 ,3,5 2, 1,2,20.0,0.0,0.0 15,3,-1,20.0~0.0,0.0

1' 15,1 ,5.0,0.0,0.0 3,2,1,5.0,0.0,0.0 3, 14,1' 10.0,0.0,0.0 1' 14,1 ,0.0,0.0,2.0 4,3,1,5.0,0.0,0.0 14, 13,1,10.0,15.0,0.0 13,4,1,5.0,0.0,0.0 4,5,1,5.0,0.0,0.0 13,5,4,-0.05,0.0,0.0 13,12,-11,-0.05,0.0,0.0 13,12,1,10.0,0.0,0.0 5, 12,1 ,5.0,40.0,0.0 5,6,1,5.0,0.0,0.0 1o, 12, 1, 10.0,0.0,0.0 11' 10,3,2.0,0.0,0.0 9,8,-17,2.0,0.0,0.0 9,8,1,10.0,0.0,0.0 7,10,1,0.0,0.0,2.0 8,7,1,2.0,0.0,0.0 7,8,5,0.66666666,0.0,0.0 10,9,-22,0.66666666,0.0,0.0 6,11,1,5.0,0.0,0.0 7,6,1,10.0,0.0,0.0

Datele de forma:

ieşire,

furnizate în urma ·

Numărul

analizării

de laturi nl = 25

**************** ,Numărul

de noduri nn = 15

*****************J

cu programul PACER ,

Circuite electrice rezistive liniare

Valorile parametrilor circuitului n.m. 2 15 1 3 3 1 4 14 13 4 13 13 13 5 5 10 11

9 9 7 8 7 10 6 7

n. fin. 1 3 15 2 14 14 3 13 4 5 5 12 12 12 6 12 10 8 8 10 7 8 9 11

6

tipul 2 -1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 -11

1 1 1 1 3 -17 1 1 1 5 -22 1 1

rezistenţa

20.00000 20.00000 5.00000 5.00000 10.00000 .00000 5.00000 10.00000 5.00000 5.00000 -.05000 -.05000 10.00000 5.00000 5.00000 10.00000 2.00000 2.00000 10.08000 .00000 2.00000 .66667 .66667 5.00000 10.00000

t.e.m.

curen. ser.

.00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 2.00000 .00000 .00000 15.00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 40.00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 2.00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000

Nodurile eliminate sunt : 3 14 Subcircuitul 1 are 3 noduri şi conţine nodurile: 2 1 15

********** *** ********************* Nodurile eliminate sunt: 5 12 Subcircuitul 2 are 2 noduri şi

conţine

nodurile: 4 13

********** *** ********************* Nodurile eliminate sunt: 7 1O Subcircuitul 3 are 2 noduri şi conţine nodurile: 6 11

********** *** *********************

281

282 TEORIA MODERNĂ A CIRCUITELOR ELECTRICE Subcircuitul 4 are 2 noduri

şi conţine

nodurile: 8 9

********** *** ********************* Nodurile eliminate sunt: 3 14 5 12 7 10

******************* Ordinea nodurilor în subcircuite

************************** 2 1 15 4 13 6 11 8 9 3 14 5 12 7 10 Nodul eliminat: 3

************ aparţine

subcircuitelor: 1

****************** Nodul eliminat: 14

************ aparţine

subcircuitelor: 2 1

****************** Nodul eliminat: 5

************ aparţine

subcircuitelor: 2 1

****************** Nodul eliminat: 12

************ aparţine

subcircuitelor: 2

****************** Nodul eliminat: 7

************ aparţine

subcircuitelor: 3 2

******************* Nodul.eliminat: 10

************ aparţine

subcircuitelor: 4 3

****************** Potenţialele

nodurilor

***************** Nodul

Valoare potenţial

***** ************** 1

.4999994E+Ol

Circuite electrice rezistive liniare

-.1499999E+02 .OOOOOOOE+OO .4999998E+01 -.3993511E-05 -.5000007E+01 .4999995E+01 .1500000E+02 .4500000E+02 .4500000E+02 -.1500001E+02 .3500000E+02 .1500000E+02 .9999999E+O 1 .OOOOOOOE+00

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

12 13

14 15

Valorile curentilor si tensiunilor laturilor

******************************** latură

Val. curent

V al. tensiune

********

*********

***********

Nr.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

12 13

14 15 16 17 18 19 20 21

.2999999E+01 .9999994E+OO .9999989E+OO .2999999E+01 -.9999999E+00 .2000000E+O 1 .9999995E+OO .1000000E+01 .2000000E+O 1 .1000000E+01 .1 OOOOOOE+O 1 .OOOOOOOE+00 -.2000000E+01 .9999992E+OO .1 000001 E+O 1 .1 OOOOOOE+O 1 .2000001E+01 .OOOOOOOE+00 .3000001E+Ol .2000000E+Ol .5000001E+Ol

-.1999999E+02 .OOOOOOOE+00 .4999994E+01 .1499999E+02 -.9999999E+01 -.5000005E+01 .4999998E+01 -.4999999E+01 .1000000E+02 .5000001E+01 .1500000E+02 -.2000000E+02 -.2000000E+02 -.3500000E+02 .5000003E+01 .1 OOOOOOE+02 -.6000002E+02 .3000001E+02 .3000001E+02 -.4000001 E+02 .1 OOOOOOE+02

283

284

TEORIA MODERNĂ A CIRCUITELOR ELECTRICE

22 23 24 25

.2000000E+Ol .3000001E+Ol .2000001E+Ol .lOOOOOOE+Ol

-.1000000E+02 .OOOOOOOE+00 .1000000E+02 .1 OOOOOOE+02

Puterea dată de surse este Pg = .3300000E+03 [W}

*********************** Puterea consumată Pc= .3300000E+03 [W}

***************** În figura P.3.47 nodurile "eliminate" (nodurile de interconexiune dintre subcircuite) sunt haşurate.

P.3.48. Pentru circuitul reprezentat în figura P.3.48 se cunosc:

Fig. P.3.48

Se cer: a) Ecuaţiile KirchhofUn curenţi.şi, respectiv. în tensiuni; b) Ecuaţiile circuitului în curenţi de buclă;

Circuite electrice rezistive linia-re

c) Ecuaţiile circuitului în potenţialele la noduri; d) Folosind ecuaţiile circuitului de la punctul b) mărimile 1~. h, h,

să

285

se determine

h h, J7, E2, Us şi U7;

e) Să se verifice bilanţul puterilor; f) Să se verifice cu ajutorul teoremei lui Thevenin valoarea curentului h

Rezolvare: a) Teoremele lui Kirchhoff În curenţi

În tensiuni

(ni) -I3+l4=Js

(n 1) -G3U3 +G4U4 =G3E 3 +J5 (n2) -12 +G3U3 +G6U6 =-G3E3

(n 2 ) -12 +13 +16 =0 (n3) -It +!2 +J1 -16 =0 (b1) R4 14 +U5 =O (b2 ) R111 +U1 =E1

(~) R-tft-~16 +Ri3 +J\t/4 =~ +E3

(b4 )

=

R6 16 E 2 E2 = A24R4l4 J1 = B7.313

b) Se asociază celor b lb 1 ,Ib,- ,lb3 şi lb4 .

Numărul

=

(n3) -qUI +/2 +J1 -G6U6 =G1E1 (b1 ) U 4 +U5 =0 (b2 ) U 1 +U1 =O (b3 ) U1 -U6 +U3 +U4 =0 (b4 ) U 1 +U7 =O E2 = A2,4U4 J1 =B1,3G3(U3 +E3)

4 bucle independente curenţii de buclă

redus de bucle este br = b -11 -l1c = 4 -1-1 = 2 . Buclele reduse sunt cele care nu conţin surse ideale de curent (buclele b3 şi b4).

286

TEORIA MODERNĂ A CIRCUITELOR ELECTRICE

c) Circuitul reprezentat în figura P.3.48 conţine o latură necompatibilă cu metoda nodală clasică (latura /2). Pentru această latură scriem legea lui Ohm în forma:

Pentru a obţine încă două ecuaţii independente în potenţiale la noduri folosim prima teoremă a lui Kirchhoff în nodurile n 1 şi n4, în care curenţii laturilor sunt exprimaţi cu ecuaţia caracteristică de latură în funcţie de potenţialele la noduri şi parametrii circuitului. Astfel rezultă:

d) Rezolvând sistemul de ecuaţii de la punctul b) se obţine:

şi ţinând

seama de expresiile

curenţilor

buclă rezultă:

Şl

-(-80)·2-110·(-8)= 1040W.

de

latură

în

funcţie

de

curenţii

de

Circuite electrice rezistive liniare

287

= 360+40+320+320= 1040W Deci:~=

PR = 1040 W.

f) Conform teoremei lui Thevenin avem

Pentru determinarea mărimilor U30 şi R30 procedăm astfel: - considerăm t.e.m. E 3 nulă şi rezistenţa R 3 necunoscută (variabilă) notăm tensiunile şi curenţii laturilor circuitului cu indicele prim; - ecuaţiile în curenţi de buclă corespunzătoare buclelor b3 şi b4 devin

- curentul buclei trei este egal cu curentul laturii /3, 1'3 = 1'0, I'b]. = J 5 = 2 A; - după substituirea valorilor numerice ale parametrilor se obţine:

(10+R3)U' 3=-30R3 =>U30 =U' 3IR -7== 3

În consecinţă

3

şi

şt

Iim - 0R3 =-30V. R3 -7 oo 1O+ R3

288

TEORIA MODERNĂ A CIRCUITELOR ELECTRICE

Şl

13

= U30

+ E3 = -30 + 70 = 2 A.

R30 + R3

1O+ 1O

P.3.49. Pentru circuitul din figura P.3.49 se cunosc următoarele date:

Se cer: a) Valorile potenţialelor nodurilor; b) Valorile curenţilor laturilor şi ale tensiunilor la bornele acestora; c) Să se verifice bilanţul puterilor.

astfel încât

Analiza circuitelor rezistive neliniare

303

dacă

perechea (u,i) aparţine caracteristicii rezistorului, relaţia (4.18) este În cazul când condiţiile de mai sus nu sunt satisfăcute, respectiv este local activ în M 0 (u0 , i0 ). Dacă un rezistor este pasiv în toate punctele caracteristicii sale, acesta se numeşte simplu pasiv. Dacă inegalitatea (4.17) este strictă în afara punctului M 0 (u 0 ,i0 ), se că rezistorul respectiv este un rezistor strict local pasiv în (u0 , i0 ).

această condiţie este îndeplinită în orice punct de pe caracteristică, · rezistorul se numeşte rezistor strict local pasiv. În cazul unui rezistor neliniar comandat în tensiune sau în curent sa se poate exprima printr-o relaţie de forma i =g(u ~ eso,ectJlV u = f(i )), dacă rezistorul respectiv e~te local pasiv în punctului (u 0 ,i0 ) de pe caracteristica sa, atunci

1duXuo) ~O ((cif 1di Xio) ~O). Reciproc, dacă · rezistorul este strict local pasiv în

(dg 1du Xu0 ) >O ((cif 1diXio) >O),

(u 0 ,i0 ).

'într-adevăr, dacă i = g(u ), derivata (dg 1du Xu 0 ) este:

lim [(g(u )- g(u0 ))1(u -u0 )]= lim [(i -i0 )l(u -u0 )]=

U-7Uo

U-7Uo

(4.19) = lim [(i- i0 Xu- u0 )l(u- uo U-7U0

f]

Deoarece ultima expresie a relaţiei (4.19) este o mărime nenegativă rezistorul este pasiv, limita este de asemenea nenegativă. Reciproc, (dg 1du Xuo) > O, derivata este, prin continuitate, pozitivă în orice ve·~m:ata·te a lui uo şi, prin urmare, g(u )- g(u0 ) este pozitivă pentru u > Uo

pentru u < u0 , ceea ce implică pasivitatea strictă. Analog se demonstrează şi pentru un rezistor neliniar controlat în curent. Rezistorul liniar (cu R > O) şi dioda semiconductoare sunt rezistoare local pasive. Din contră, sursele independente constante şi dioda nu sunt decât local pasive. Dioda tunel este chiar local activă în ...u ...•uu'''"' puncte de pe caracteristica sa (porţiunea neîngroşată din figura . În punctele îngroşate din figura 4.6, dioda tunel este local pasivă. negativă

304 TEORIA MODERNĂ A CIRCUITELOR ELECTRICE

u

Fig. 4.7

u

Fig. 4.8

Nu întotdeauna pasivitatea (pasivitatea strictă) într-un punct de pe caracteristica unui rezistor este echivalentă cu derivata de ordinul întâi nenegativă (pozitivă) în acel punct. Un rezistor neliniar cu caracteristica i =g(u)=au 3 cu a< O (a> O) constituie un contraexemplu. Dacă a< Q, rezistorul este local activ în i = u = O, deşi (dg 1du O)= O. Dacă a > Q, rezistorul este strict local pasiv în i = u =O, cu toate că (dg 1du o)= O. Condiţia dg 1 du ;::: O, în orice punct al caracteristicii unui rezistor neliniar c.u., este echivalentă cu pasivitatea locală în orice punct al caracteristicii. Domeniul exclus pentru caracteristica unui rezistor local pasiv în raport cu punctul (u 0 ,i0 ) este cel haşurat în figura 4.7.

X

X

Este evident că un rezistor neliniar (strict) pasiv în raport cu orice punct al caracteristicii sale este în acelaşi timp (strict) local pasiv~ Reciproca nu este întotdeauna adevărată. Astfel, în figura 4.8 se prezintă caracteristica unui rezistor care nu este pasiv în raport cu nici un punct al caracteristicii sale, deşi este strict local pasiv.

4.3. ANALIZA GRAFICĂ A CIRCUITELOR NELINIARE REZISTIVE Pentru analiza circuitelor neliniare rezisti ve cu un număr redus de rezis,~ toare neliniare se poate folosi metoda gt;afică. Se consid.eră cunoscute car racteristicile tensiune - curent sau curent - tensiune ale rezistoarelor nel~

305

Analiza circuitelor rezistive neliniare

componente şi, din aproape îri aproape, se construieşte, prin puncte, echivalentă.

Conexiunea serie. Fie 4.9, a).

Ecuaţiile

două

rezistoare neliniare c.i. conectate în serie care descriu această conexiune serie sunt:

V= U1 +U2

1 = I1 = 12

(4.20) '

· permit construirea caracteristicii (3) a dipolului echivalent prin însupunct cu punct a caracteristicilor (1) şi (2) ale dipolilor componenţi .9,b). Pentru fiecare valoare a curentului I se determină din (1) şi, respectiv, (2) valorile corespunzătoare ale tensiunilor şi, respectiv, Uz. Prin însumarea acestor valori se determină valoarea ..,u.,, ......,,..·•· totale V de la bornele dipolului echivalent. Astfel se precizează unui punct M(U,l) al caracteristicii d1polului echivalent. 1

121

Uzll)

a.

U(l)=U1+Uz

u

b.

Fig. 4.9

În cazul conectării în serie a unor dipoli cu caracteristici necontrolabile curent (de exemplu, două diode tunel identice), trebuie să se compună toate ramurile componente ale caracteristicilor, ca în exemplul din figura 4.10. Caracteristica rezultantă este o curbă ce nu este controlabilă nici în tensiune şi nici în curent (fig.4.1 O,b). Conexiunea paralel. D{}uă rezistoare neliniare conectate în paralel {ng.4.11 ,a) sunt descrise de ecuaţiile:

I = I 1 + lz U= U 1 =Uz'

(4.21)

306 TEORIA MODERNĂ A CIRCUITELOR ELECTRICE care conduc la construcţia grafică a caracteristicii (3) a dipolului echiva~ lent prin însumarea punct cu punct a caracteristicilor (1) şi (2) ale dipolilor componenţi, ca în figura 4.11.b. Pentru fiecare valoare a tensiunii U, din caracteristicile (1) şi (2) se găsesc valorile /1 şi h corespunzătoare. Prin în.. sumarea acestor valori se determină valoarea curentului total 1. Se deter~ mină astfel coordonatele unui punct M(U,I) al caracteristicii dipolului echivalent. Construcţia se realizează direct în cazul dipolilor componenţi controlaţi în tensiune.

a. u

b.

Fig. 4.10

a.

b.

Fig. 4.11

Analiza circuitelor rezistive neliniare

La conectarea în paralel a unor dipoli cu caracteristici necontrolabile în (sau multiforme), trebuie să se compună toate ramurile corespunale caracteristicilor. Conexiunea mixtă (serie- paralel) este caracteristică circuitelor care au structură în scară, astfel încât caracteristica echivalentă se poate construi aplicarea succesivă a procedeelor de conectare în serie şi în paralel.

4.4. METODA CARACTERISTICII DE SARCINĂ Această metodă grafică

se foloseşte când este avantajoasă divizarea în doi dipoli, ca în figura 4.12,a (de exemplu, când unul din este un element neliniar dat, cu caracteristica cunoscută, iar dipol reprezintă sarcina acestuia, ce trebuie aleasă astfel încât să îndeplinite anumite condiţii de funcţionare). Folosind metodele de '""'"T fo\ GuAfs fo\ Gw\:ls fo\ G1c\:fs fo\ jua (s _ 3 1 4

care este reprezentată grafic în figura P.4.8,b. b) Ţinând seama că ui(t) = e(t) = 4 sin t [V], curentului de ieşire ie este:

4sint,

dacă

variaţia

în timp a

4sin t < 1

4 sint + 1 d ~ . - - - , aca 1 s 4 sm t < 3 . 2 _4_si_n_t+_5 , daca~ sm . t> _ 3 4 4

P.4.9. Pentru circuitul electric rezistiv neliniar din figura P.4.9,a, caracteristicile rezistoarelor neliniare sunt aproximate prin segmente de dreaptă (fig. P.4.9,b şi, respectiv, P.4.9,c). Folosind algoritmul Newton-Raphson, să se determine soluţia acestui circuit (valorile curenţilor şi tensiunilor laturilor) şi să se verifice bilanţul puterilor. Rezolvare: Folosind teoremele lui Kirchhoff şi legea lui Ohm pentru elementele liniare de circuit, se vor exprima mărimile ft, Iz şi U:, (curenţii rezistoarelor neliniare c.u. şi, respectiv, tensiunile celor c.i.) în funcţie de variabilele independente D;., Uz şi 1:, {tensiunile rezistoarelor neliniare c.u. şi, respectiv, curenţii rezistoarelor neliniare c.i.) şi de mărimile de excitaţie E , J , E şi E • 4 5 6 8

Prima teoremă a lui Kirchhoff

(nl): 1!-14 =0~14 =/1;

cnz): - Il + 13 + Js = o ~ ( n3 ):

-

I3

-

I6 + Iz = O

~

Il

= I3 + 2;

Iz = I3 + I6 •

Analiza circuitelor rezistive neliniare G) It

®

t.u.

t.i.

l

®

(,A

us\

4V

a.

-6

-8

b.

a. Fig. P.4.9

A dom~

şi ţinând

teoremă

seama de

a lui Kirchhoff

ecuaţia

(n2)

rezultă:

Introducând expresia curentului / 6, dat de

obţine:

ecuaţia (b ), 2

în

ecuaţia (n 3 ),

se

Din ecuaţiile de mai sus se pot obţine ecuaţiile hibride ale circuitului din figura P.4.9,a, care au următoarea formă matriceal~:

378 TEORIA MODERNĂ A CIRCUITELOR ELECTRICE

(4.9.1)

Caracteristicile liniarizate pe porţiuni ale rezistoarelor neliniare au, pentru combinaţia de segmente oarecare s, expresiile: 11 = G1(s). U1 + J 1(s), 12 = G2 (s).U2 + J2 (s), U3

(4.9.2)

= R3 (s).I3 + E 3 (s).

Introducând relaţiile (4.9.2) în ecuaţia (4.9.1),

rezultă:

(4.9.3)

Şirul iteraţiilor

Newton-Raphson are, pentru iteraţia (k+ 1), expresia:

u}k+l)J. [q(ik))

~k+l)

o

=

[ JCk+l) '+

1

3

Dacă

se consideră, pentru variabilele independente, valorile de început nule, atunci pentru iteraţia k = 1 se obţine: 1

-1

o

-1

5 uct) _ 2 - o -

-1

-

[u?>] JCl) 3

4 1

4 1

5

-m~

În final, se obţine soluţia:

116 49 16 49 20 49

16 20 49 49 36 4 49 49 4 5 -49 49

-m~

200 48 40 . (4.9.5) 49 48 49

Analiza circuitelor rezistive neliniare

+ l(E_J2 + 1(20J2 = 179 W. 34

Deci:~=

17

PR =

179 17

17

W.

P.4.10. În figura P.4.10,a este reprezentat circuitul de polarizare al unui tranzistor bipolar npn în montaj emitor comun, unde: E 1 = 0,5 V, R 1 = 0,5 kn, E2 = 10 V şi R 2 = 200 n. În figura P.4.10,b este reprezentată caracteristica statică, liniarizată pe porţiuni, !b-Ube pentru mai multe valori ale tensiunii Uce' iar în figura P .4.1 O,c este desenată caracteristica statică, liniarizată pe porţiuni, .Ic-Uce pentru diverse valori ale lui Ib. Să se determine, prin metoda grafică, punctul static de funcţionare al tranzistorului.

Rezolvare: Conform teoremei a doua a lui Kirchhoff rezultă: (b1 ): R/b

+ Ube = E1

=}

0,5Jb + Ube

= 0,5, curba (1) din figura P.4.10,b.

(L2): R21c

+ Uce = E2

=}

0,21c + Uce

=

10, curba (1) din figura P.4.10,c.

Pentru determinarea punctului static de funcţionare al tranzistorului se astfel: se transferă caracteristica (1) din figura P.4.10,b în planul Ic-Uce din figura P.4.10,c, transferând punctele a, b şi c de pe procedează

TEORIA MODERNĂ A CIRCUITELOR ELECTRICE această caracteristică

în punctele a', b'

şi,

respectiv, c' de pe dreapta (2) din

figura P.4.10,c.

o.a le

c

0,6

0,4 0,2

E2

UboiVJ

b.

a.

~

aoL------::_ _ 70 ~-""""==-----=60c--

1 0.9

o.a

-07

50~

,.. E~~~~~~~~~~o.s

.

IJ)a·

30 20

0,6

~

b'

)21

........,n

_

.........

10

"'"'

~Il

10

4

04 o.3 0,2 0,1

12

UcJVl ...

c. Fig. P.4.10 Punctele a, b, c tabelul4.10.1.

şi,

respectiv, a', b', c' au coordonatele prezentate în

Tabelul 4.10.1.

(1) a b c Fig.P.4.10,b

Ih[mAJ 0,49 0,45 0,42

Urr> [V]

o 5 10

(2) a' b' c' Fig.P .4.1 O,c

Din intersecţia dreptelor (1) şi (2) din figura P.4.10,c rezultă punctul static de funcţionare P, căruia îi corespund Uce,P = 3,5 V; Ib,P = 0,47 mA şi

Analiza circuitelor rezistive neliniare Ic,P ~

32,5 mA. Curentului de bază Ib,P = 0,47 mA îi corespunde, pe caracteristica (1) din figura P.4.10,b, tensiunea bază-emitor Ube = 0,27 V. Punctul static de funcţionare P se putea obţine şi prin transferarea caracteristicii (1) din figura P.4.10,c (punctele a, J3, y) în planul !b-Ube din figura P.4.10,b (punctele a', J3', y') obţinându-se astfel dreapta (2) (fig.P.4.10,b). Punctele a, J3, y şi, respectiv, a', J3', y' au coordonatele prezentate în tabelul4.10.2.

Tabelul4.10.2. (1)

a J3 y Fig.P.4.10,c

ldmA] 0,67 0,32 0,18

Urp [V]

o 5 7

(2) a'

J3' y' Fig.P.4.10,b

P.4.11. În figura P.4.ll,a se reprezintă un circuit inversor alcătuit, în principal, dintr-un tranzistor MOS îmbogăţit. Dacă la intrarea inversorului se aplică semnalul periodic dreptunghiular, reprezentat în figura P.4.ll,b, să se construiască grafic forma de undă a semnalului de ieşire, ue. Rezolvare: Circuitul din figura P.4.ll,a se numeşte inversor, deoarece inversează semnalul de înaltă tensiune (sau de joasă tensiune) de la intrare, într-un semnal de joasă tensiune (înaltă tensiune) la ieşire. Circuitul inversor este un bloc de bază în construcţia circuitelor electronice digitale. În figura P.4.ll,d s-a reprezentat caracteristica id- uds, pentru diferite valori ale tensiunii poartă-sursă ugs a tranzistorului MOS. Dreapta de sarcină:

obţinută.

cu ajutorul teoremei a doua a lui Kirchhoff aplicată pe bucla (b), în care curenţii se exprimă în 111:A, rezistenţele în kQ şi tensiunile în volţi, se intersectează cu familia caracteristicilor iauds în două puncte A şi B (fig.P.4.ll,d). Celor două puncte de funcţionare A şi B le corespund valorile ui = ei = ugs = 10 V şi, respectiv, ugs = 2 V.

382 TEORIA MODERNĂ A CIRCUITELOR ELECTRICE

a.

c.

b. id(mAJ

Ugs=8V

6V

4V

8

2V

Uds!VJ

9

10

d.

Fig. P.4.H Valorile corespunzătoare tensiunii de la ieşire sunt ue = uds = 1 V şi, respectiv, ue = uds = 8 V. Forma de undă a tensiunii de la ieşire s-a reprezentat în figura P.4.11,c, unde se observă că semnalul de la ieşire are aceeaşi perioadă ca şi semnalul de la intrare, însă este inversat şi de valori mai mici. P.4.12. Circuitul reprezentat în figura P.4.12,a, conţine un amplificator operaţional ideal care are în circuitul de reacţie o diodă semiconductoare cu joncţiune pn. Arătaţi că dacă amplificatorului operaţional funcţionează în regiunea liniară şi în regiunea de saturaţie pozitivă şi dacă caracteristica diodei are expresia: (4.12.1)

atunci caracteristica de la concav pentru u < E 1, unde

ieşire

i-u este

identică

cu cea a unui rezistor

(4.12.2) cu condiţia E < Esat.

Analiza circuitelor rezistive neliniare

(j) i

R

a.

b.

c--r

0 ;_..

®

c.

ţ'-~ î.Esot

Circuitul Khivalent pentru regklne b.Uz = avUzb.T Uz b.T Rz f) Uz =Uz- M R + Rz Rz Uz =Uz+ M + R + Rz

Deci Uz

E

= 3.10-4. 7, 328.60 =O, 1319 V;

20 480 + 20 = 7,328 + 0,1.20 20 480 + 20

= 7,328-0,1.20

= 7,248 V, = 7,348 V.

[7, 248; 7, 348].

P.4.14. Fie circuitul electric reprezentat în figura P.4.14,a. Acest circuit conţine două rezistoare neliniare, unul c.u. (rezistorul R 1) şi celălalt c.i. (rezistorul Rll) ale căror caracteristici liniarizate pe porţiuni sunt prezentate în figura P.4.14,b şi, respectiv, figura P.4.14,c. Să se scrie, pentru circuitul din figura P.4.14,a, ecuaţiile corespunzătoare metodei nodale modificate. Rezolvare: Vectorul variabilelor independente este compus din: - vectorul potenţialelor celor 9 noduri independente ale circuitului

- vectorul curenţilor de metoda nodală clasică)

"comandă" (curenţii

laturilor necompatibile cu

Ecuaţiile

circuitului electric de c.c. reprezentat în figura P.4.14,a, corespunzătoare metodei nodale modificate, sunt: (nl): [Gdl(s)+G2]vl -[Gdl(s)+G3,4]v2 +G3,4v3 -G2v9 =- j 1 - j 1 (s)-

Gd 1(s) · e1 ;

=

TEORIA MODERNĂ A CIRCUITELOR ELECTRICE

a.

-25 -20 -15

-10

' ' 1 '1

1

'

-15 --------

'

-20

'------------ -25

-3

b.

c.

Fig. P.4.14

Analiza circuitelor rezistive neliniare

(!7 ):

v9

= O;

Ow): - v3 + Vg =O;

Pentru analiza circuitului electric din figura P.4.14,a s-a utilizat programul P ACER - Program de Analiză a Circuitelor Electrice Rezisti ve. Programul PACER este descris în Anexa 1. În urma rulării programului PACER s-au obţinut rezultatele: i 1 = 2,23183 A, u 1 =- 6,344086 V; i2 =- 0,892473 A, u2 = -8,9273 V;

390 TEORIA MODERNĂ A CIRCUITELOR ELECTRICE

i3 = 1,33871 A, u3 = 8,92473 V; i4 =O A, u4 = -13,3871 V; i 5 =- 0,4462366 A, u 5 = -13,3871 V; i 6 = 1,806452 A, u6 = -13,3871 V; i 7 = -0,8924732 A, u7 =O V; i 8 = 0,8709677 A, u8 = -2,580645 V;

i9 =- 0,3602151 A, u9 = -10,80645 V; i 10 = 1,446237 A, u 10 =O V; ill =- 0,8626654.10-7 A, u 11 =O V; i12 = 1 A, u12 = 10,80645 V; il3

= 1 A, U13 =o V;

i14

=- 0,2012859.10-7 A, U}4 = 13,3871 V;

i 15 = 0,4025718.10-7 A, u 15 =O V; i 16 = 0,8469431.10-7 A,

u 16 = 0,9536743.10-6 V; i17 =O A, u17 =O V; ii8 =O A, UI8 =O V;

i 19 = 0,4443713.10-7 A, u19 = O V; i20 =- 0,6456572.10-7 A, u20 =O V;

P.4.15. Fie puntea din figura P.4.15,a, care conţine două rezistoare neliniare, primul având caracteristica u-i simetrică (fig.P.4.15,b), al doilea având caracteristica u-i nesimetrică (fig.P.4.18,c). Se cer: a) utilizând circuitul echivalent discret asociat algoritmului Newton-Raphson, să se determine valorile intensităţilor curenţilor din laturile circuitului; b) să se verifice bilanţul puterilor.

Rezolvare: a) Un rezistor neliniar c.u. se substituie, la iteraţia (k+ 1) a algoritmului Newton-Raphson, cu circuitul discret echivalent din figura P.4.15,d căruia îi corespunde următoarea ecuaţie caracteristică: (4.15.1) iar un rezistor neliniar c.i. se înlocuieşte cu circuitul discret echivalent din figura P.4.15,e, care este caracterizat de ecuaţia: (4.15.2)

Analiza circuitelor rezistive neliniare

8

a.

b.

6

a r2

1

(-4;-26) -60

c.

d.

f.

e.

Fig. P.4.15

TEORIA MODERNĂ A CIRCUITELOR ELECTRICE

Considerând cele două rezistoare neliniare ale circuitului electric figura P.4.15,a controlate în curent şi având în vedere circuitul echivalent discret din figura P.4.15,e, circuitul discret echivalent al circuitului din figura P.4.15,a corespunzător iteraţiei (k+l) a algoritmului NewtonRaphson se prezintă în figura P .4.15 ,f. Ecuaţiile în curenţi de buclă ale circuitului din figura P.4.15,f au forma:

(0_): - ~1~~+1) + [I~n(fk)) + ~ + RsJ4~+I)- ~2(fk))4~+1) =

-E/) + E4;

(b3 ): - R31~~+1)- Rd2 (s(k) p~~+t) + [Rd2 's-(k) )+ R3 + R6}i;+t) = EJk) + E6. Luând ca valori de început, pentru curenţii celor două rezistoare neliniare, valorile 1} 0)=0 şi 1~ 0 )=0, şi ţinând cont de caracteristicile i-u liniarizate pe porţiuni ale acestor rezistoare, din figura P.4.15,b şi, respectiv, P.4.15,c, după câteva iteraţii, se obţin soluţiile: 32 31 . 49 1b 1 = - A; 1b 2 = - A ş1 1b 3 = - A.

11

Curenţii

.

Dec1:

~

11

laturilor au valorile:

6070

= PR = - - W. 11

11

Analiza circuitelor rezistive neliniare

P.4.16. În figura P.4.16 este reprezentată schema electrică echivalentă a sistemului de ventilaţie al unui turbogenerator de 60 MVA răcit cu hidrogen, în regim staţionar. Rezistoarele neliniare (rezistoarele hidrodinamice) au caracteristicile u-i (presiune-debit) de forma: u = ki2 (p = kD2), iar tensiunea electromotoare a sursei independente de tensiune reprezintă presiunea suplimentară produsă de ventilatorul turbogeneratorului. Pentru valorile numerice ale parametrilor: k 1 = 0,815; k 2 = 1,95; k 3 = 0,75; k 4 = 15,75, k 5 = 7,5; k6 = 5,475; k 7 = 0,175; k 8 = 57,55 (având unităţile V/A2 în schema echivalentă şi Ns2fm8 în schema hidraulică) şi E 1 = 300 V (N/m2), să se determine intensităţile curenţilor (debitele) din laturile circuitului, utili.zând metoda nodală modificată corespunzătoare caracteristicilor rezistoarelor neliniare liniarizate pe porţiuni. Pentru rezolvarea sistemului algebric neliniar asociat metodei nodale modificate se va folosi algoritmul NewtonRaphson.

Fig. P.4.16 Rezolvare: În tabelul 4.16.1 sunt prezentate coordonatele caracteristicilor, liniarizate pe porţiuni, ale celor opt rezistoare neliniare c.i. din figura P.4.16.

394 TEORIA MODERNĂ A CIRCUITELOR ELECTRICE Tabelul4.16.1. !JA]\U

U1jVt :

-15 -10

193,37 81,5

-4 -3 -2 -1 -0,5

45,8435 20,375 13,04 7,335 3,26 0,815 0,20375

00

u2 rv1

438,75 195 109,685 48,75 31,2 17,55 7,8 1,95 0,4875

u3 rv1

u4 rv1

Us fVl

168,75 75 421875 18,75 12 6,75 3 0,75 0,1875

3543,75 1575 885 9375 393,75 252 141,75 63 15,75 3 9375

1687,5 750 421,875 187 5 120 67,5 30 75 1,875

U6 [V] 1231 875 547,5 307,9685 136,875 87,6 49,275 21,9 5,475 1,3875

U1 fVl

Us [V]

39,375 17,5 9,84375 4,375 2,8 1,575 0,7 0,175 0,04375

12948,75 5755 3238,1875 1438,75 980,8 517,95 230,2 57,55 14,3875

o

o

o

o

o

o

o

o

o

0,5 1 2 3 4

0,20375 0,815 3,26 7,335 13,04 20,375 45 8435 81,5 193,375

0,4875 1,95 7,8 17,55 31 2 48,75 109,685 195 438,75

0,1875 0,75 3 6 75 12 18,75 42,1875 75 168,75

3,9375 15,75 63 141,75 252 393,75 885,9375 1575 3543,75

1,875 7,5 30 67,5 120 187,5 421 875 750 1687,5

1,3875 5,475 21,9 49,275 87,6 136,875 307,9685 547 5 1231,875

0,04375 0,175 0,7 1,575 2,8 4,375 9,84375 17,5 39,375

14,3875 57,55 230,2 517,95 980,8 1438,75 3238,1875

5

7,5 10 15

5755

12948,75

Caracteristica Uk - Ik a fiecărui rezistor neliniar c.i., k = 1,2, ... , 8, se prin segmente de dreaptă care au, pentru un segment oarecare s, expres1a: aproximează

(4.16.1) (4.16.2) unde: Rdis) - este panta (rezistenţa diferenţială (dinamică)) corespunză­ toare segmentului s; Eis)- reprezintă ordonata în origine şi J;;(s), J;(s) sunt limitele inferioară şi, respectiv, superioară ale segmentului s. Ecuaţiile circuitului din figura P.4.16 corespunzătoare metodei nodale modificate, când caracteristicile rezistoarelor neliniare sunt liniarizate pe porţiuni conform cu relaţiile (4.16.1) -(4.16.2), au forma:

Analiza circuitelor rezistive neliniare

T-'J- Rdl(s)Il

(ll):

-

=-El+ El(s);

(!2 ):

T-'1- V3-

Rd 2 (s)12

= E2 (s);

(!3):

T-'J- Vz-

Rd3(s)l3

= E3(s);

(/4): T-'J -

~ -

Rd 4 (s)/4 = E4 (s);

Us): V} -

Vz -

Rd 5 (s)I5 = E5 (s);

(!6):

Vz-

~-

Rd 6 (s)I6 = E6 (s);

(!7 ):

~-

Rd 7 (s)I7

(lg):

V3-

Rd 8 (s)18 = E8 (s).

(4.16.3)

= E7 (s);

Considerând valorile zero ca valori de început pentru toate variabilele independente şi utilizând algoritmul Newton-Raphson pentru rezolvarea sistemului algebric neliniar (4.16.3) se obţin, în urma rulării programului PACER (vezi Anexa 1), rezultatele: 11 = 10,72259 A, U1 = -203,7773 V, 12 = 2,508162 A, U2 = 12,75458 V, 13 = 4,78137A,

U3 = 17,27425 V, 14 = 3,433055 A, U4 = 189,4944 V, 15 = 0,73508 A, U5 = 4,51967 V

16 = 5,516458 A, U6 = 172,22 V, 17 = 8,9495 A, U7 = 14,2829 V, 18 = 1,773 A,

U8 = 191,0227 V

şi

Pg = PR= 3216,777 W.

P.4.17. În figura P.4.17,a este reprezentat un circuit rezistiv care conţine trei amplificatoare operaţionale 741 cu coeficienţii de amplificare finiţi şi având, pentru porţiunea liniară a caracteristicii de transfer ue - ud (fig.P.4.12,c), schemele echivalente din figura P.4.17,b. Să se analizeze circuitul rezistiv echivalent, reprezentat în figura P.4.17,c (obţinut din circuitul din figura P .4.17 ,a prin substituirea amplificatoarelor operaţionale cu schemele echivalente din figura P .4.17 ,b) prin metoda nodală modificată.

TEORIA MODERNĂ A CIRCUITELOR ELECTRICE (j)

e1

sv

.-----fG>

a.

b.

5 E9 • 2 •10 U11

Eu•z·wS u,. f11•z·"S1117

c. Fig. P.4.17

Analiza circuitelor rezistive neliniare

P.4.18. Circuitul reprezentat în figura P.4.18,a conţine patru tranzistoare bipolare npn. Folosind schema echivalentă în regim static din figura P.4.18,b, pentru fiecare din cele patru tranzistoare npn, se obţine schema echivalentă din figura P .4.18,c. Să se analizeze acest circuit cu programul PACER sau PSPICE, [81].

c B

a.

E

b.

398

TEORIA MODERNĂ A CIRCUITELOR ELECTRICE

. . l '" ®

® j6 =0,98ij

Ero=12V