Teoria dei numeri [1 ed.] 3642108911, 9783642108914, 9783642108921 [PDF]

Zitiervorschau

*. 5icci (Ed.)

7eoria dei numeri Lectures given at the Centro Internazionale Matematico Estivo (C.I.M.E.), held in Varenna (Como), Italy, $ugust , 

C.I.M.E. Foundation c/o Dipartimento di Matematica “U. Dini” Viale Morgagni n. 67/a 50134 Firenze Italy [email protected]

ISBN 978-3-642-10891-4 e-ISBN: 978-3-642-10892-1 DOI:10.1007/978-3-642-10892-1 Springer Heidelberg Dordrecht London New York

©Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011 st Reprint of the 1 ed. C.I.M.E., Florence, 1955 With kind permission of C.I.M.E.

Printed on acid-free paper

Springer.com

CENTRO INTERNATIONALE MATEMATICO ESTIVO (C.I.M.E)

2° Ciclo - Varenna, Villa Monastero – 16-25 Agosto, 1955

TEORIA DEI NUMERI

H. Davenport:

Problemes d’empilement et de decouvrement ......................

1

L. J. Mordell:

Equazioni diofantee .............................................................. 45

P. Erdös:

Some problems on the distribution of prime numbers ......... 79

G. Ricci:

Sul reticolo dei punti aventi per coordinate i numeri primi ....................................................................... 89

C. A. Rogers:

The geometry of numbers ..................................................... 97

H.D A V E H P 0 R T

PROBLEMES DIEMPILEMENT

ET

DE DECOUVREMENT

ROMA-Istituto Matematico dell'Universita,1955-ROMA

1

H.Davenport

PROBLEMES D'EM'PILEMENTET DE DECOUVREMENT

Le sujet que je me propose de traiter dans ces conferencea of fre beaucoup de problemes simples et interessants, qui pour l a plupart attendent toujours une solution.

Jusqu'a present

on n'a pas trouve beaucoup de methodes applicables a ces mes, et

a mon

probl~

avis, un ricne terrain attend encore la decouv erte

d 'idees nouvelles.

1.

Definitions.

Les concepts d'empilement Ie plus compact et de recouvrelQCnt les moins compact sont tres generaux, et nos defini t ions seront done d'une portee plus large que nous n'est necess aire plus tard. Le sujet se rapporte

a 1 'espace

numerique reel

a.

n dimc))wions

et nous nous servirons de la notation suivante. N:ous desi gncronS' un point quclconque de l'espace par

et nous definissons

A~ = ~ +I

( A un nombre

(Ax1 ,···, AXn)

= (X 1+Y1'···'Xn+Yn)·

Pour chaque ensemble E de points, nOlus noterons ble de tous les points rci ~ designe

ULn

A~,

~

+

AE l' ensem-

ou ~ est un point quelconque de E.

nmmbre reel

j

soit positif, soit negatif.

chuque point E de lies pace, notons points

re el),

E+E

Pour

llensemble de tous les

E, ou 2! est un point quelconque de E.

Soit S un ensemble borne de points, mesurable au sens de 3

H.Davenport

- 2 -

Lebesgue et

a mesure m(S)

> O.

Suit C Ie cube

1 2

Soient

~1'.'"

des points tels que les ensembles

~k

S + ~1'.'"

S +~

soient tous disjoints et soient tous contenus dans Ie cube ou

A est

A c~

un grand nombre positif,

Nous disons que ces ensembles sont empiles dans le cubeAC.

La mesure totale des ensembles est k m(S), et Is mesure (c'est-a.:-

A. C

dire Ie volume) de

I

ainsi k m(S) 'Am.

A'rI.

est

La densi te de 1 I empilement est

Si ko designe la plus grande valeur possi blede

k, nous definissons la densite de l'empilement Ie plus compact de S dans

A C comme

suit:

(1)