Teorema di Riemann-Roch e questioni connesse [Reprint of the 1st ed. C.I.M.E., Florence, 1955] 3642108881, 9783642108884 [PDF]

Zitiervorschau

F. Severi ( E d.)

Teorema di Riemann-Roch e questioni connesse Lectures given at the Centro Internazionale Matematico Estivo (C.I.M.E.), held in Varenna (Como), Italy, June 29-July 8, 1955

C.I.M.E. Foundation c/o Dipartimento di Matematica “U. Dini” Viale Morgagni n. 67/a 50134 Firenze Italy [email protected]

ISBN 978-3-642-10888-4 e-ISBN: 978-3-642-10889-1 DOI:10.1007/978-3-642-10889-1 Springer Heidelberg Dordrecht London New York

©Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011 st Reprint of the 1 ed. C.I.M.E., Florence, 1955 With kind permission of C.I.M.E.

Printed on acid-free paper

Springer.com

CENTRO INTERNATIONALE MATEMATICO ESTIVO (C.I.M.E)

Reprint of the 1st ed.- Varenna, Italy, June 29-July 8, 1955

TEOREMA DI RIEMANN-ROCH E QUESTIONI CONNESSE

B.L. Van Der Waerden:

Demonstration algebrique du theoreme de Riemann-Roch ...................................................... 1

F. Severi:

Del teorema di riemann-roch per curve, superficie e varietà. Le origini storiche e lo stato attuale ......................................................... 35

F. Hirzebruch:

Arithmetic genera and the theorem of Riemann-Roch ...................................................... 81

B.L. VAN

DER

WAERDEN

(I corso di Varenna-29 giugno-81uglio 1955)

DEMONSTRATION

ALGEBRIQUE

DU THEOREME

DE

RIEMANN-ROCH

Roma-Istituto Matematico dell'Universita 1955-ROMA

1

B.L.Van der Waerden

- 1 -

DEl:iOUSTRATION ALGEBRIQUE DU THE9lYME ~

RIEMANN-ROCH Lection 1. INTRODUCTION.

=:;==========

II Y a trois pOints de vue, trois manH~res de fomuler et demontrer Ie Theoreme de Riemann-Roch, savoLr' 1- 1e point de vue de 1a Theorie des fonations.

(t n

11- 1e point de vue de l'a1gebx9. 111- ce1ui de la geom~trie a1gebrique.

un0

I. Dans la theorie des fonctions; 1e point de depart est surface de Riemann ou Riemannienne close. Les fonctions me~e­

morphes sur la Riemannienne forment un oorps de fonations K. Si est une de ces fonations, toutes les Butres sont des ioDitions

1&

algebriques de z1' II. Dans 1a theorie algebrique, Ie point de depart est un corps K=k(z1"" ,3 r ), ou k est un corps de constantes arbitraire, et ou tous 1es generateurs z1, ••• ,zr sont des fonctions algebriquoe d'un entre eux, qui n'est pas algebrique par rapport a k. III. Si on ajoute a z1, ••• ,zr une coordonnee homogene zo=1, on obtient un point generique (zo'." 'Zr) d 'une courbe algebri(lHO (dans .1'espace projectif S • Les pOints de 1a courbe sont les sper

cia1izstions du point generique. Le corps K est 1e corps des fonations rationelles sur la courbe:

F('ol "," Zt), G(:t I Zt) Q

I' . •

ou F et G sont des formes du mame

degree

On peut passer directement de la Riemannienne

a 1a

courbe C.

Soient zO"."Sr des fonctions meromorphes sur ls Riemannienne, at

3

B.L.Van der Waerden

soit P un point de la Rie.,..nj enn.e. Dans. ~'~touraga d.e 1'. le.s fonct~ z-01.,. ,!lI:r :peuvent at:re devel.opp'ee en series de puissuncos de 1a variable locale t. Si quelques-unea de cas fonctions ont un pele a P, on mul tip:uS toutes ces series par une puissance t

a

de Borte que les series

taZOf"'ftaZr ne contiennent pas de termes negatives:

et que les bi ne sont pas tous zero. A1ors, en posant t=O, on obtient un point (b o ,b 1 , ••• ,b r ) de La courbe C. Done: A chaque point P de la Riemannienne correspond un seul point de 1a courbe C. 11 peut se passer qu'un point de la courbe correspond

a

plusienrs points de la Riemannienne. Pour eviter eela, on eonstruit un modele Ct de la courbe C sans points multiples dans un espace Sr" Alors chaque point de C' correspond a ID1 seul point de la Riemannienne. Qu ' eat-ce qui correspom, dans la theorie algebrique, aux pOints P de la Riemannienne ou de la courbe a'? Ce sont lea valuations du corps K. Partons d'un point P de la Riemannienne • Chaque fonction u a un certain ~ a P: l'ordre eat positif pour un zero de fonction et negatif pour un p~le. L'ordre est aimplement Ie premier exposant dans le developpement de lafonction u. Cet ordre o(u) ales proprietea suivani~~ (1) o(u) est un entier, excepte 0(0)=00 (2) o{uv) = o{u)+o(v) (3) o (u+v) ~

Min (ou,ov) (4) o(c)=O s1 c est une conataate

4

~O.

]a

B.L.Van der Waerden

.. 3 -

Une application

0

de K ayant les proprietes (1)-(4), est

appelee une valuation discrete du corps de fanctions K. Noua avone vu qu'A chaque point P de la RiQJllaJUl1enl\e correspond une valuation Ope AUBsi a chaque pOint pI non generique de la courbe C' correspond una valuation, detinie comme suit. Soit

une fonction de K at soient a at b les multiplicites des hypersurfacee F et B avec C'

a P'.

d'intersectio~

Alors

o(u) = a - b ales proprietes (1 )-(4). 8i P' et pI! sont algebriquemebt conjugea par rapport a k,les valuations correspondant a P' et pI! sont los m~mes.

Dons: A chaque groupe de pOints conjuges par rapport

ak

torrospond une valuation 0 du corpa K. On peut demontrar gu'on obtiont ainsi toutes les valuations discrete s de )f. Les valuations 0 , qui jouent, dans la theorie algebrique, Ie mAme r~le que les points de la Riemannienne ou du modele C' jouent dans les autres theories,seront appeles places du corps K at denotes par P,Q, etc. Pour chaqqe place P, les fonctions u a valeur non negatifs forment un annaau Ep, l'anneau de la valuation, at les u

a valeur

posi tive forment un ideal Ip dans cet anneau, 1'ideal de la v:¥Y--&l.ll..9.!!. L I anneau residuel Ep/lp est un col1S fini sur k, le corpe. ~duel ~ de la valuaaion. 3i k est algebriquement ferme, 011 n toujours kp=k. Le degre f d'une place Pest 1e degre du corpa de residua kp p31:' rapport a k. Si v 1 , ••• ,vf forment une base de ~, les elements de kp sont c 1v 1+••• +c f v f • Les Vi Bont des classes de residua, msie j'indiquerai par Ie m~~e sjmbole des fonctions Vi representant cos 5

B.L.Van der Waerden

- 4 -

cl3.sses. Soit P une place et 7t une fonction de val&ur mivima1e positive. En di.viaan:t. taus les o(u) par 0(11"), on peut suppoaer o(1T' )=1. Alora, ai f=1, chqque fonotion u peut

~tre

developpee en

serie de puissances formelles

Si f

> 1,

~n

a au lieu de (1)

(2)

Les series (1) et (2) oorrespondent aux series c1assiques

Diviseurs. Si on ass~gne, exposants entiers

a

un nombre

fim

de places P, dOt!

e, on obtient un diviseur

Par exemple, 1es P peuvent

~tre

les

z~roa

et peles d'une

fonction u, chacun avec sa propre multip1icit6 e=o(u}. Alors

D=If pe est appele 1e diviseur de u et on ecrit D=(u).

Le produit de deux diviseurs est forme par l'addition des exposants:

8i D= -1

1T pe,

on definit D-'=

D , si on a duit,

o(u)

o(u) ~

~

1T p-e.

Une fonction u est multiple do

-e pour les plaoes P qui entrent dans le pro.

0 pour lea autres places.

6

B.L.Van der Waerden

- 5-

Le degre n(D) du diviseur D= ITpe est defini comme n(D)

au

=E

ef

fest 10 degre de P.

Le probleme qui conduiy au theor~me de Riemann-Roch est: Combian de fonctions u lineairement independants existent, qui sont des multiples d'un diviseur D-1 donne? La reponse est donnee par la formule bien connue (D)

n(D) - g+i(D)+1

ou g est Ie genre de la courbe at i(D) l'indica de specialite du divisemz D. Pour traduire ce problema dans Ie language de la geometric algebrique, on represente les fonctions u comme quotients de fonnoD du mllme dcgre FoA 0 t' ... +F;:~t

.

et la quostion se reduit

a l'autre:

.

Quelle est la dimension pro-

jective r= ..e (D)-1 d 'une serie linhire complete de groupes do pOints, coupea sur la courbe 0' par un syeteme de formes

A

F 0 0 +••• +Fr)..1f.. dont aucune n' est nulle e .. r toute la courbe, qui contient un groupe donne D? La ~ethode de construction est differente dans les trois theories. Dans la theorie des fonctions, on commenve a construire

J

des integrales AbHiennes de seconde espece 'II" ott a p51es donnees, et on demande combien de ces integra!es ont des periodes nulles. On peut ~oiBtruire 1es differentielles V dz par une methode algebrique (voir Lection 2), ou bien on peat construire

J

f

1a partie reelle de l' integrale = v dz comme fonction hanuonique au moyen du Principe de Dirichlet (voir H.Weyl, Die Idee der Riemannschen FIMche) au par Ie methode alternante de Schwarz (voir Nevanlinna, Uniformisierung p.150).

7

B.L.Van der Waerden

- 6 -

La methode artthmetique

represente lea fonctions u du

corps K au moyen d'une base de K par rapport au sous-corps k(z), ou z eat une variable independante choisie d'une maniere arbitreireo On a donc

1

on doit

remplac~y.

comme toujours, chaque coeffic:ie nt a jP par une somma c j v 1 + ••• +c.

Par un covecteur 11 nous entendons un systeme de cooffie:riis

0( XP' soua la seule condition qu'il n'y a qu'un nambre fini de coefficients

q KP~O a index

negatif k.

01

Dans le cas f ) 1 on doi -t

t

remplacer chaqre coefficient KP par un systeme k1'" ~'kf de coeff icients. Parmi lesn se trouvent les diffarentielles chs, siques: (2 )

Lo produit scalaire est defini par

V.J2

d'un vecteur et d'un covecteur

18

B.L.Van der Waerden

- 17 -

(3)

(v . ..n..).: I

p

1-

JH::~

a.i

p

~kp

Example: Si Vest une fonction u et ai

11

eat une cI1f!erentiGlle

v d z, on peut former la somme des residua de u v d z. On a

Le coefficient de t·' dans ce produit est Ia somme finie

L

j+~;-'

aj f' 01 \( p

La somme de taus les residus est donc 2 n i fo18 Ie produi t sca-

laire (3). Or, on sai t que dans ls theorie clasaique cette est nulle pour toutes lee differentielles.

60ilIJJte

Si f ) 1 on a a remplscer. dans (3), le produi~ SjP d ~p par Is somme

qui est Ie produit scalaire du vecteur Cj1v1+ ••• +CjfVf dans 11 espace vectoriel kp avec le c()vecteur k1 , ••• , '( kf) de l' espa-· ce dual. 2. Nous avons cu qulon a pour tout diviseur B

(¥

On peut dore ecrire

-€ lB) =: rn ( 13 ) - ~ ... ~ T

,:

(B )

On appelle i(B) l'indica de specialite du diviseur B. Si i(B»O, Ie diviseur Best special. Soit A= Tfpe multiple de B=1T p d (e ~d)t done M(B)f M( A). Dans M(A) t M(B) est defini par les'll (A)-i-(B) relations

19

B.L.Van der Waerden

- 18 -

ou

les a jP sent les coefficients de developpement dtune fonction u dans liI(A): OCI M=

L

-e

a.J'pTTj

Supposons que A Boit non special. done

et que Bait Itindice qe speeia1ite i(B):

Si les equations (4) etaient

mais

independan~B,

on aurait

l(B) est plus grand de i(B}, donc il y a i(B) relations

R (Cl Jp) :::

(7)

0

entre les equations (4); relations qui sont satisfaits pmue

to~

vecteur u de M(A). Les R(SjP) sont des fonctions linlaires des a jr• On pourrait les eerire comma Sj12 q jp t ot1 j va de -e h - 2p-2, fu da me ottenuto 80pra una superficie col teorema seguente [35,36,31,28] : E' non speciale, regolaref ogni sistema line are completo lei , sopra una superf1eie irraz10na~, individuato da una C irriducibile di genere virtuale p e di grado virtuale n>~ (p-1). Ecco ora al tri 8spetti espressivi del teorema d1 regolar:i ta dell 'agg1~to, consegui t1 prima che 81 conoscesse questo teorem:a. Ogni multiplo abbastaaz8 elevato del sistema delle sezioni

piame e iperpiane della F (reso completo se non 10 ~; ma 10 e sempre per multiplo elevato, quando F b non singolare) e regolare (CASTELNUOVO [13] , 1897.), Se un sistema lineare, irriducib11e, privo di punti

leI e

base e d1 curve fondamentali, i sistemi Ic+c~ , 10+20" , ••• segano sulla generica 0 serie complete non speciali (sono pereio regolari) (ENRIQUES) [19] , 1896).

Dobbiamo passare ora a questioni piu elevate e complessc, concernenti l'eguivalenza algebrica, introdotta in miei lavori 49

F. Severi

- 14 -

dal 1904

in poi [37,38,39J • Rinvio sopratutto ai pia recenti

[28,40,41J.

La totalita delle curve algebriche virtuali sopra

una superficie F costitUisce, rispetto ella somma, un gxuppo abeliano. Entro questo 1e curve virtuali del tipo A-B, con A,B curve effettiw d 'un medesimo sistema algebrico irriducibilc, formano un

sottog~po

=

G (gruppo de1l'equivalenza algebrica). Due

=

curve vil'tua1i C,D di F dioonsi algebriQam8!:l.te eauiya) anti, e si

scrive C D 0 C-D 0, se 1a curva v1rtuale C-D e 10 zero dell'equiva],.enza algebrica, cioe slessa ell~le·(1) ad una C\llVa del sottogruppo G.

e,D

In partico1are, due cur.ve

co irriduci bile di curve (effett:ive

dello stesso sistema algebri0

virtuali) son algebricamen.-

te equivalenti. Un sistema (gruppale) d I equivalenza algebr1ca e un insieme

(non necessariamenta algebrico

0

dimensional.e) di curve virtuaJ.i

a due a due algebricamente equivalenti ad e individuato da una qualunque C di esse. Lo indicheremo con «C». 31 puc anChe considerare un sistama gruppale di eguivalenza lineare, chao e l'insieme di tutte la curve virtuali linearmente equivalenti ad una data C: 10 indicheremo con (C). In particolare, un sistema algebrico irriducibile sistema (algebrico ) d'equivalenza algebrica. dicesi completo se non

e contenuto

e un

Un tal siatema

in uno pia ampl0, la cui

curva generica dia 18 curva genarica del precedente quale speCializzazione(2). Non e detto che un sistema, anche completo~ sia individuato da una sua curva partico1are.

Ineomma, due

1}Ricordo che ho chiamato uguali due curve virtuali C-D,C'"D' quando le curve effettive C+D', C'+D sono identiche.Si scrive ciOe

C-D=C'-D' tn luogo di C+D'

= C'+D.

2) Proiettivamente, i1 sistema pua dirsi completo se non nuto in uno pia ampio di curve delle steeso ordine.

50

e conte-

F. Severi

- 15 -

sistemi irriducibili, completi nel senso predetto ( di curve irriducibili

0

riducibili

0

virtuaLi), posson avere una curva

particolare comune, senza cOincidere. Essi, comunque, son contenut! nelPunioo Bist~ma dlequival..enz~ al.geb;r.:l,.oa da questa individuato. Per individuare un sistema algebrico irriducibile completo mediante una sua curva particolare (l·individuazione con la generios e ovvia) bisogna che la curva particolare sia definita qual e sp&oializzaJZ.i.one (C~ di aoc\1DlUl..a~;Lone 0 pos.iCUl~a

zione limite) della curva generics del siateQa; e questo richiede Ie conoacenza del sistema, prima della Qonaiderazione delle sue ctU'Ve ·particolari ll •

In taluni casi, che vedremo, l'indivi-

duazione e tuttavis possi bile attraverao una curve. B particol.are, quando la determinazione della curva puo eeaere compiuta, per cosi dire, staticamente, senza cioe

ri~Brdarla

quale limite

d'un'altra piu generale. Cio accade sempre aLlorche si tratta ai determinare quei particolari sistemi algebrici irriducibili comp1eti, che sono i sistemi lineari completi, perche la curva totale con cu.i. i1 sistema s'individua (attraverso il noto teorema d'esiatenza e d'unicita) puo esser ben definita soltanto dall'assegnare le sue componentt, con Ie rispettive molteplicita, ed i punti baae, eventualmente con molteplicita virtuali diverse dalle effettive.

Questo invece non basta sempre nel caso

di sistemi non lineari. Un esempio concreto [35,36J chiariace questa delicata questione.

Sia C una

qu.~artica

piana con tre modi. A1 ,A 2 ,A 3• Se

lei '

si vuol.e un sistema lineare che contenga C con uno dei tl'e modi assegnati, mentre gli altri due si riguardan virtuaJ.mente inesistenti, il noda assegnato A1 , non PUQ esser fisso, in quanto (teorema di BERTINI) una curva variab1le in un sistema line are non puo aver punti multipli variabili. 81 hanno cosi tre sistemi lineari distinti,

00

11, c1ascuno dei quali

51

e

indivi -

F.Severi

- 16-

duato da C col nodo assegnato A1

0

A2

0

A3 • La curva C non

e

comune a.i tre sistemi, perche per detexminaJ!le i1 s1etema bisogna considerarla associate. al punto base fisssto. Ai fini del teorema d'unicita, Ie. curva non eaiate ahe sotto questo angolo visuale. Se invece ai considera C nel quadro dei sistemi irriducibili non 1ineari. ai pub tissare ahe uno dei nodi di e aia assegnato, quale virtuaimente variabilee gii aitri due qual.i vi:Mual mente inesistenti. Allora C individua i1 sistema irriduc!bile

2J

,Q)

13, di tutte Ie quartiche irriduciliili

d:i

genere 2,

qualunque sia il nodo che Ie ai assegna. Nei due casi considerati i sistemi (l1naere e algebrico non linaare' son individuati da una loro ClU"Y'a to tale , per la

e stato

quale

possibile fissare a priori le ooD4istoni deterrDi-

nanti. Considariamo inoltre Ie quartiche piane con 3 nodi. Esse distribuisconei in due diatinti aistami irriducibili non ri

CX)

11

:

line~

uno costi tuito dalla quartiche spezzate in una coni.ca ed

in una retta e l'altro Ii) razionali.

dal~

quartiche (generalmente irriducibi-

Ogni quartica spezzata in una cubica con un no-

do e in una retta (sono in tutto due sistemi.

Per~

CD

10) apparti ene ad ognuno dei

quale curva totale del primo i suoi tre nodi

allineati son limiti dei tre nodi della generica curva variabile e il quarto nodo apparisce ex novo al limite; mentre quale

CUl~a

totale del secondo i limiti dei nodi della cu.rva variabile sen sempre il nodo della cubica e due dei tre nodi allineati. II terzo di. questi apparisce ex novo al limite (c;io rerche, secondo un principio di NOETHER.ENRIQUES, topologicamente te t

eviden~

ved. [28J , tina curva irriduci bile non pUG aver per limite

lUla curva sconnessa). Come a1 constata, anche in questi casi i due sistemi son individuati da curve totali, pera completam.e nte diverse. Lo stesso avviene nella genera11ta dei casi, almeno quando i1 sistema 52

- 17 -

da

individuarsi ~

F. Severi

nello spazio lineare dove pub rappresentarsi

(con una variete. d1 punti) la tota:Lite. delle curve di quell'ordine, giacenti nella spazio lineare d'appartenenza della F, passa per l'imagine della data curva totale con una sola fa1da analitica 1 ). La questione generale si PUQ porre cosl.

E' possibile, per

ogni data curva C irriducibile, non singolare, fissare un numero finito di caratteristiche numerqtive e geometriche, in guisa cho riguardan~C,

associata a quelle caratteristiche, quale curva

totale d'un sistema irriducibile completo, questo risulti individuato? Nei casi che dipoi indicheremo la individuazione con una curva particolare sussiste senz'altro.

1)

Qui ai presuppone la rappresentazione dell'insieme delle curve 0 delle variate. algebriche ~, di dati ordine m e dimensione k d'uno spazio S , coi punti d'una variete. algebrica (generalmente riducibile)rappartenente ad un conveniente spazio lineare, dove si posson assumere a coordinate d1 punto p.es. quelle che qualcuno chiama (con lieve imprecisione storica) ~­ dinate di CHOW. Nel fat~o la forma associata (benche non con questo nome) (considerata per la prima volta, sotto un aspetad una data to ormai abbandonato, da BERTINI, aIls fine del secolo XIX; ved. anche in proposito (42J ) , fu indicata nel 1915 (sotto l'aspetto attualmento usato) nella mja ~remoria (43J • E' la forma associata, in coordinate grassmanniane degli S k 1 di S • Espri~ mendo Ie coordinate grassmanniane in coordinate-di punti 0 d'iperpiani si hanno due forme associate duali, Ie prima delle quaLl. e la zUgeordnete Form introdotta de CHOW eVAN DER WAERDEN nel 1937, cioe 22 anni dopo (44J. A questi Autori spetta tuttavia la prima esauriente dimostrazione algebrica del fatto che la to tali te. delle. ~ e algebrica, proprietA di cui io avevo prima indicato Ie linee generali di di~ostrazioni algebric~geometriche [37,38,39J • Ved.pure l15].

V;

53

F.Severi

- 18 -

AlIa questione generale

e stata

data

g1~

risposta aff cr.: ...-

tiva nella mia Memoria [55] del 1916, ma un'u1teriore e1aborazio-

ne critica occorre in proposito, perche in [55J al fa uso del teorema di comp1etezza, i1 quale, come poi dlremo, e so ggetto ad ipotesi, che furon poste in ovidenza plu tara! (1921). Fiasato comunque il signiflicato d'un eventuale teorema generale d'unicita dei sistemi irriducibili completi 41 curve

C, quale necessaria premessa ad un teorema R.R. relativo a tali

e la

sistemi (al10 stesso modo che i1 teorema di unicita

premes-

sa del teorema R.R. nel dominio dei sistemi lineari), varie importanti questioni si presentano in proposito: !) Qual'e 1a dimenaione d'un sistema algebrico oompleto

(sottintendo ora ed in seguito di curve effettive, i1 passaggio alle curve virtuali richiedendo soltanto l1evi adattamenti del processi dimostrativi e del linguaggio) in funzione dei caratteri virtuali n,p,j della curva generica del sistema

0

di una

curva particolare, che sia da quei caratteri definita quale curva totale? Questione te

basil~: ,

di associare a1 ~)

te~rema

anche perche la sua risposta permetd'unicita un teorema d'esistenza.

Si puo assegnare, mediante i caratteri virtuali d'una

curwa virtua1e C=A-B, qualche condizione perche C eaista nel campo delle curve effetti ve rispetto all' equi valenza algebrica ossia affinche eaista qualche curva effettiva D (algebricamente equivalente a C) tale che A 3Ie B+D? £) Esistono condizioni siffatte che una curv~ particolare

(totale) d'un sistema irriducibile cornpleto i1 sistema stesso?

poe~irtdividuare

Cominciamo a rispondere all 'ultima questione £) , che, ~ome

dicevamo,

a,

in un carto senso, pregiudiziale.

Per riferire il risultato piu conclus1vo, oocorre introdurre la nozione di curva emiregolare sopra una superfieie F [36J •

54

F. Severi

- 19 -

De!!niamo au F come curva emirego1are C una curve. irrijUc1bi19_, priva 41 punti multipl~, su cui i1 sistema Caftonico impurolKI stacchi una serie lineare comple ta (per la quaJ..e dunque sia 11 =0). Se p =0 l' esse:. '; emiregolare, per una curva C, equivale Ell fatt" g che le. sua serie caratteristica (definite. indipendentellente du un 8ia~ema lineare oui C appartenge. [37] ) e non speciale. Una Ceo non e emiregolare in se, indlpendentemente cio¢ del sistema linee.re lei da essa individuata, mantre ~ C e regtlare soltanto se e generica entro un si.ptema oomple~o 101 ~ogolar.. Le curve regol8l'i sono particolar1 curve eJll1l"egolari. Eeoo ora un teoTema [28, pp.95 e ,o~ , dhe ~1aponda conte. poraneamente alle questioni a}, c): Una curva emiregolare C, di genere p e d~indice di Qpecial,1 ta j. a serie caratteristiea effettiva (d'ordine n>O) , tracciata sopra una superficie F di genere geometrico p , incii viiJ,\la un sistema irriducibile completo 1a dimensione R ::: n

11 sistema

to}

~

p + p

g

{c}

g

di curve analoghe, avente

+ 1 - j

passa per C con una felda quasi lineare 1 ) (addi-

lC}

rittura line are sopra un conveniente modello di e la serio caratteris.t ica di su C e eompleta~ Gli st&ssi fatti si veri .. ficano namralmente in relazione al1a generica 0, ma anehe in re-

{o}

lazione ad ogni altra C irridueibile, priva di punU multipli, del sistema, che Bia emiregolare come quells di partenza.~1 piu quetta tal C ha 10 stesso indiee di specialita j di quel1a da cui si e presQ le mOsse.

- ------------

1) Una_falda analitiea lineare e una falda analitiea 001: d 'ordi ne invariantivo relativo 1. Essa e caratterizzata dal fatto di potersi porre in evidenza pseudoconforme biunivoea senaa ecceziJ~ ne con l'intorno d'un punto nella spazio proiett1vo eompiesso S . Una falda quasi lineare e la trasformata pseudoconforme d'Wla falda line are (18, 36J • 55

F.Severi

- 20 -

Se ealatl:; n:::l sistema una curva non

emiregola.re..,-priv~

punti muJ_tipli, su esse. la eerie oarattc.r:i;J:!tica di

C

di

e incomple-

tat

Tal un a not1ztc complementari sono necessarie per apprezzare il valore di qUGsto teo-rema. In primo luogo la serie caratteristica su C PUQ considerarsi, in virtu della mia Nota

[37J

e quella

cho

del 1904, indi-

pendentemente dalla sorie caratteristica di un sistema continno cui C appartenga, l'ultima delle quali serie

e

ivi segata dalle

curve del sistema iniinitamente vicine a C. Questa seconda sorie

e contenuta totalmente in quella (completa) definita in [37] (C0140 e ivi dimostrato) cd e lineare, almeno quando 11 sistema continuo e una falda quasi linears di origine C. La serie carat-teristica d lun sistema completo, sulla cur'vu. generica del medesimo,

e completa,

calvo sistemi algebrici par-

ticolari (0 curve particolari ad essi relative). II teorema di completezza fu enunciato da ENRIQUES

[46]

con un tentativo di

dimostrazione, che fu accettato come esauriente da tutti i

culto~

della geometria algebrica ( di qualunque scuols) fino al 1921 quanio na

~i

[47J ,

sccorsi chtessa prescntava una grave sostanziale lacuaffacciando dipoi i l dubbio

o refutato tentativi mioi

0

di

alt~

[48J

(doPo aver criticato

in proposito ) che i1 teore-

ma di completezz8 non fosse vero nella sua piena generalita c ind! cando qualche caso dteceezione.

Incitai allora i1 mio diseepo-

10 ZAPPA a cereara sulle rigate esempi pi'll. espressivi. Al cho 10 Zappa riuscl [49].

Qui, rinviando par pi'll. circostanziatc no.

tizie in proposito alIa mia opera in corso di stampa

[28] ,

mi

limitero ad affermare cheil teoroma di completezza fu da me dimostrato POINCARE'

[47J

[50J

sulla base di ~ risultat1 trasccndento di per Ie curve

0

vi; e che 1a mia dimostrazione geometrico, quando p ::0. g

i ~istemi numerativamente effetti~

e osauriente

nol dominio algebrico-

La questione generale di dimostrare i l

56

F.Severi

- 21 -

teorema per p

g

> 0,

restando nel campo algebrico

0

metrico, a tuttora insoluta ed a molto difficile.

[28J

algebricQ;-geoNell'opera

il teorema di completezza e conseguito con mezzi algebrico-gc£ metrici uni"\;i ad induzioni topologiche, che giustificano un pr'incipio di spezzamento di B.SEGRE (generalizzante quello di NOETHER-ENRIQUES), il quale equiyale in so stanza al teorema di completezza. Nell'opera

[281

la relazione (5) e il teorema di unicita

sono estesi anche alle curve irriducibili con nod! e e11e curve riduci bili. Se 1a generic a

e del

sistema

{e}

individuato de una curva

emiregolare (irriducibile non singolare)

individua un sistema

line are completo 101 -necessariamente contenuto in (o} - di dimensione r, il siBtema {o} si ripartisce in ooR-r sistemi lineari

leI •

r-1=n-p+p -j-

I e I su e~

r

Si vede subito allora, attraverso l'espressione della dimensione della serie caratteristica di

b

che R-r=

serie caratteristica di in relazione a

lei

Dunque il sistema consta di

00 q

C

~' =

€I

b =q

siccha

quando la deficienza della

raggiunge"il msmmo q. In tal caso

tt

{e}

=0, ossia

le/ e regolare.

individuato da una curva regolare

sistemi lineari.

Si riconosce anche facilmente

(merca la nozione di serle caratteristica d'un sistema continuo

[37] ,

se trattasi di sistemi irriducibili,o con altre elementari

considerazioni, se trattasi di curve riducibili la massima

l~~~a

[28J ) che

q

!

dei sistemi lineari contenuti in un sistema

irriducibile completo di curve su F. Un altro teorema di unicita e di completezza era stato precedentemente conseguito in una mia Nota del 1906 [5y , dove 81 porta l'attenzione

110n

pin soltanto sopra i sistemi algebrici

irriducibili di curve, ma anche sui sistemi algebrici irriducibili, aventi per elementi sistemi lineari completi su F.

57

lei

tracciati

F.Seve-rj

- 22 -

G1a l'Autore aveva avvertito, fin dalla sua prima nota del 1904

[37J sui sistemi non lineari, che un sistema irriduci-

bile completo

{e}

di curvo· mentre evidentemente contiene 11

sistema lineare co;m p1eto puo non contenere tutto

Je 1 individuato i1 sistema lei,

dalla sua curve. generica , individuato da una cnr-

va particolare, e questo divi ene cosl, secondo 190 terminologia dell'Autore, esorbitante [31~52f28J • I primi esempi in proposito furono dati da ROSEnBLATT

(53] ,

de. ALBANESE (5~ e dall 1 Aut 0-

re (nei lavori e nell I opera citata in [55] il fenomeno della esuberanza 10 mano quel sottosistema di

lineari

IeI •

[leI)

leI

Da notarsi al tresi

Ie I 0 {e} , he.

quando i l sistema

che appart1ene a

(el •

sione maggiore del generico Denoteremo con

[?8J '

).

per dimen-

un sistema irr1ducibile d1 sistemi

Orbene, i1 teorema d'unicita e d'esistenza, cui alludevano

e questo:

Su F, un sistema lineare completo

fel , virtualmentc

privo di punti base, individuato da una curva virtuale

e

nume-

rativamente effettiva, individua alIa sua volta un sistema ducibile completo fettive.

{lei}

~·-~::tem.i

Esso contiene

irri~

lineari analogbi 4i curve ef-

ooq di tali aistemi.

E' individuato al tresi un sistema irriducibile completo

{ej

'cl,

di curve effettive, che contiene tutti i sistem1 lineari

salvo Ie curve di quelle specializzaz10ni del generico esorbitano da

lei ,

{ej •

Ie' ,

cne

L'insieme (apert6) delle curve dtune. apecializzazione di cha eeorbitano da Sia

H una

lei individuato

{ei '

8i dira una ere.e ta di

[e} ,

cresta di

proveniente dal sistema lineare

da una curva irriducibile

II sistema lineare co.lpleto

IcI , contenuto generico pi • D'altronde

generico

variabile entro quella di

lei

in

Cnon

/'01 • essendo

{e}, ha

dimensione

i1 limite di

{e} , e un

{Ic].

singolare di

{c}.

i l limite d. 'Ull

1'> a quella del

lei • in quanto lei e

sistema lineare L di dimensione s?

e minore di r, se no

58

lei

non potrebbe essere

F.Severi

- 23 -

esorbitante.

Pertanto 1a aerie

«1 C come ourvn di

ca~att$r~stic&

L ha J.a dimensione s-1 e come curva di

lal

>

ha la d1mens.ione r-1

)s-1. Dunque la seri.e caratteristica d1 C, quale curva di{C} ,

e certo

incompleta (mentre non

e necessariamente

come curva di

fc} ,

Nwn e natural mente escluso che L sia esuberante in oioe che la dimensione della serie caratteristica di

{c} ,

R).

aulla

C generica , sis anche minere di s-1. Tutto cio abbiamo aggiunto a chiarimento della

d~icata

nozione di sistema asorb1tante, che, a prima vista, apparisoe quasi assurdal 11 teorema d'unicita precedente, relativo alle C numerativament,e effetUve, s t estende in un teorema di uniei ta, che vale anche per le ipersuperficie (varieta pure

00

t£-1 )

di una Vd irri-

ducibile, non singolare, cioe: Sopra una superficie F (0 sopra una verieta irriducibi1e non singolare Vd) un sistema irriduciblle completo ~CI} di

00

q

sistemi lineari di curve (0 risp. d1ipersuperficie) effettive, q essendo la irregolarita superficiale di F (

di'V d ),

0

e

indivi-

duato ds uno qualunque di essi. S1 possono pertanto considerare entro l'insieme di tali sistemi 1e operazioni di somma, di

sot~razione,

il teorema del

resto; ecc. L'1rregolarita superficiale q di Vd fu considerata, dal putato di vista trascendente, ne1 1906, da CASTELNUOVO-ENRIQUES [?6] e dal punta di vista algebrico-geometrico, nel 1906, da me per q=O

(21]

e, ne1 1952, per q qualunque

en] .

EI anche impo~tante il fatto che i predetti aistemi di roq sistemi lineari (su F

su Vd ) 80no birazionalmente equivalenti ad 1ma medesima varieta Wq di Picard [28,p.164] annessa ad F 0 a. Vd;

1a diremo 18 prima. Vi

0

e infatti

una seconda varieta di Picard

considerata da11'Autore ne1 1916 per 1e superficie (6-B e poste:doJ,: mente (1942 [48J ) per una varieta qualunque.

59

Essa possiede q

- 24

in'Legrali selllplid. di 1a specie, i cui peridieon. i.. JIlfldesim, di quelli dei q integrali semplici di 18 specie di F

di Vd • E' aneh'essa una W di Picard, perche la tabella di quei periodi

e una

q

matrice di R!EI.iANN [16J.

0

Parecchi lllatematici ameri-

cani, seguendo erroneamente una citazione di A.WEIL, Chialllano questa seconda Wq varieta di Albanese (ved.p.es. lCODAlRA [60J ), mentra il mio compianto discepolo non si ~ mai attribuito questa paternita. tanea ed

ea

La considerazione di tale variete si presenta sponpriori ovvia, se non se ne approfondiscono Ie pro-

prieta che la diversificano notevolmente dalla prima.

Infatti

il suo vero interesse e dato dal fatto che Ie due varieta di PICARD sono ciascuna una trasformata unirazionale dell'altra e generalmente sono distinte fra loro. cui Wq

= Wq

La ricerca dei casi in

ha dato luogo ad interessanti lavori di ANDREOTTI.

Uno studio completo dei diversi fenomeni, che possono presentarsi nella considerazione dei sistemi completi irriduuibili di curve sopra una superficie, non pub trascurare i sistemi an2

~, cioe quelli che contengono meno che Q)q sistemi linear! distinti. Su tali sistemi sono tomato piu volte, persuaso che, sal vo casi specialissimi, ognuno di tali sistemi equivalente, come totalita. rieta di PICARD V~

CD

~

e birazionalmente

di sistemi lineari, ad una va-

• L'ho affermato nel lontano 1916 (?5] e ne

ho trattato di nuovo hel 1942

[48] ,

giungendo perc soltanto a

porre in evidenza ipotesi abbastanza larghe, sot to; cui il fatto accennato si verifiea. no.

E' carto che casi d'eccezione non manca-

Cosi, se una superficie F d'irregolarita q;>1, contiene un

fascio irrazionale di genere 7r (1

< 1r

O. If

these conditions are fulfilled, then it(V ,F)=dimH°(V ,F) and our formula for

X (Vn ,F)

n

n

solves the problem 01 Riemann-Roch.

For n=1 the Kodaira-Serre conditions are by virtue of the duality theorem nothing else but the well-known fact that in

(4)1~the term dim HO(V1 ,K-D) vanishes, if d>2p-2. 6. We now come to a further generalisation of (4). Let W be a complex analytic vedtor space bundle of V space of dimension q over the

n

fi~

(fibre:C = vector

of complex numbers,

q

group: the general linear group GL(q,C) of all non singular q by q complex matrices).

89

F.Hirzebruch

- 8 -

We define

X. (Vn /'1/)= I!Y'-'

(6 )

(:-1)~ &~ H)I (V~I w) •

~ :[)

,W) denotes the i-dimensional cohomologj group of Vn n with coefficients in the sheaf of germs of lGcal holomorphic

whore Hi(V

sections of W. The groups Hiev ,W) are again finite dimensional n vector spaces over C which vanish for i >n. We shall see that ?(Vn,W) can be expressed as polynomials in the ~ classes c i of Vn ' i.e., the ~ classes of the tangent bundle of Vn' and in the ~ classes of W. This result can be applied to special vector space bundles over V • Let us take the vector space bundle T(P) of the covariant n

p v8ctors.

We put

(7)

The Ohern_classes of T(P) can be expressed as polynomials in the

~ classes

01 of Vn ' Therefore we obtain for ;:(Vn ) a polynomial of weight n in the 0i' According to Dolbeault ,we

r6]

have dim Hq(V ,T(P)) = hP,q n where hP,q denotes the dimension of the complex vector space of all harmonic forma of type (p,q) on V • Thus we have n

For p

o we

get

q

.

XO(V~)~X lV'l\. )=[ ~..) ,.,o,~ L t~) ~~ "I\.

~'::O

As an example we give the formula for 90

f>t\I

~:O

X~(V 4)

N

F.Hirzebruch

- 9 -

(8)

For X(V 4 ) see 0). We see immediately that the sum

P

f"

~ X)..V )

vanishes, i f

n is odd. For n even Hodge Q2] proved tbat +n '"X9(Vn~eqUalS the index of V which WlUl be denoted by n

topological invariant of V

n

J (f=-f. n

This index is

8.

(n even) and is defined as follows.

Take the n-dimensional real cohomology group of Vn • This is a vector space ~ over the real field. For an element x of12 the s quare x 2 in the sense of the cup product defines the real number x 2

[vn1.

Since

n is even,

x2[v~

is a quadratic form

overLR which is non-singular. The number of positive eigenvaLues minus the number of negative eigenvalues of this quadratic form is the index of V • n By the theorem of Hodge and by our polynomials for we obtain a polynomial for the index.

This

polyn~m.ial

x

P

(Vn )

is even

a polynomial in the Pontrjagin classes of V . which are defined f or arbitrary differentiable ltlanifolds.

n

7.

We have seen that the index of an algebraic V2k is a polynomial in the Pontrjagin classes. Actually, this is the starting point of our considerations. Namely, by the theory of Thom

D3J we

will be alllle to prove that the index