Equazioni differenziali non lineari [Reprint of the 1st ed. C.I.M.E., Florence, 1954] 3642108857, 9783642108853 [PDF]

Zitiervorschau

E. Bompiani ( E d.)

Equazioni differenziali non lineari Lectures given at the Centro Internazionale Matematico Estivo (C.I.M.E.), held in Varenna (Como), Italy, September 15-24, 1954

C.I.M.E. Foundation c/o Dipartimento di Matematica “U. Dini” Viale Morgagni n. 67/a 50134 Firenze Italy [email protected]

ISBN 978-3-642-10885-3 e-ISBN: 978-3-642-10886-0 DOI:10.1007/978-3-642-10886-0 Springer Heidelberg Dordrecht London New York

©Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011 st Reprint of the 1 ed. C.I.M.E., Florence, 1954 With kind permission of C.I.M.E.

Printed on acid-free paper

Springer.com

CENTRO INTERNATIONALE MATEMATICO ESTIVO (C.I.M.E)

Reprint of the 1st ed.- Varenna, Italy, September 15-24, 1954

EQUAZIONI DIFFERENZIALI NON LINEARI

J.L.Massera:

Théorie de la stabilité ............................................................

1

W.Wasow:

Asymptotic properties of non-linear analytic differential equations ............................................................. 67

G. Sansone:

Questioni sulle equazioni non lineari .................................... 119

D. Graffi:

Questioni varie sulle oscillazioni non lineari ........................ 167

G. Aymerich:

Oscillazioni periodiche ed isteresi oscillatoria di un sistema di Rocard a due gradi di libertà ....................... 201

G. Colombo:

Sui sistemi autonomi di ordine superiore al secondo ............ 211

R. Conti:

Studio di un sistema piano autonomo non lineare dipendente da un parametro ................................................... 239

J.L. Massera: Théorie de la stabilité

-

J.L.lIIassera

1 -

Introduotion. 1. Nous allona considerer des equations dif'ferentielles dx (systemes) de la forme ~ = at = f(x1t). Dans la pltlpart des cae x represent era ici Un vecteur (colonne) dans-un espace euclidien reel E a n dimensions avec la norme usuel 11--"2 2n le ~xA = r x 1 + •.• + xn OU xi sont les compoaants de X; mais plusieurs theorems sont valables dans des conditions plus generales, ou x est un vecteur appartenant

a

ce lineaire convenable, par exemple,

a

un espa-

un espace de Banacn.

Nous designons par S (a) (ou simplement S ) une sphere n n (boule) ~ xII < a, ou ~ est un nombre posi tif t represente une variable scalaire (temps), -00 < t E

'"

F('YI1C 'Xo'O) pour chaque entier positif m.

Le point x=O est un point fixe pb'ur ~ facilement que la solution x =

et on peut voir

° du systeme

differentiel

est stable, instable ou asymptotiquement sta ble selon que, respectivement, a) l\e("xollo-

0 i l existe un ~(C'{ );>{I

tel que !lxll~o(, t 4- 0, entraine V(x,t)-? j3(o 0 11 existe un

IV I '" G

d:> 0

tel que

chaque

II x II -< S entraine

pour. tout t + jf+. Du point de vue geometrique cela

V)ut dire que le tube Vl

contient dans son interieur pas

seulement l' axe x=O mais tout un cylindre 0

dire, qu'il

et U!l.e suite t"l1."':' +00 tels

/I'X . . /I=llr(t. . . J)("o)lI~o(")o.

existe un

a

f etant bornee, il

0 independant de n tel que I/F(t,x o ,o)/I ~:!

t71 - C ~ t ~ tn +?:

J.,

•

-.P '"

Il en resul te dY /dt ~ le m~me absurde V =-00 CD

dans ees intervalles, d'ou

0

que dans la demonstration pre-

cedente. 7.3 (Corol1aire) Si le systeme est autonome ou periodique et s'il existe une fonction V(x,t) definie positive telle que dV/dt soit definie negative, la solution x=O est asymptotiquement stable. 7.4 (Lyapunov)

S'il existe dan·s S (a)( J + une fonction n

V(x,t) possedant une borne superieure infiniment petite; si, pour un certain to ~ 0, V(x,t o ) prend des valeurs positives pour des x arbitrariement petits, et si dV/dt est definie pOBitive • alors la solution x=O est instable.

12

J.L.Massera

- 13 -

tel que V(xo,t o ) ;: Vo70. Horne superieure infiniment petite Soit Xo

existe un

E;10

Du. i~

tel que V(x,t)? V"

fait que V a une s'ensuit qu'il entraineUxW

~

Mais, puisque dV/dt / 0, on aura precisement V(x,t) le long de la trajectoire avec point initial pour t Voo =

S (a). n

9 to; alors dV/dt ~k

+00

E ~

Vo

(xo,t o )'

0 ce qui entratnerait

'7

5i la solutionx=F(t,xo,t o ) ne sortait pas de V etant borne dans S (a»)'

et

~(

II ')(111::

Eo ) 6

"

'l1~ (

pour

=(oV/(n (lY/~){) • (g-f)~ - ~t(t) ....M. ~(~)