Teknikk. 1 [1] [PDF]

Zitiervorschau

TEKNIKK BIND I

Brussel-utstillingens blikkfanger «Atomium» — et teknikkens symbol i atomalderen. Det forestiller i enorm forstørrelse et metallmolekyl (kubiskromsentrert gitter, 9 atomer).

KASSERT

TEKNIKK Redaktør:

Klaus Torgård sivilingeniør, rektor ved Oslo Yrkesskole

Bind I

A S

FA1SJ OSLO 1972

Copyright 1972 Faktum Forlag A/S Arne Skuseth Oslo 2. opplag i 3 bind 1. opplag (2 bind) 1958/1959 ved Studieforlaget A/S, Olav L. Aasberg

Printed in Norway - Harald Lyche & Co. A.s, Drammen

MEDARBEIDERE

I

BIND

I

Redaktør:

Klaus Forgård, sivilingeniør, rektor ved Oslo \ rkesskole

Rolf G. Corneliussen, sivilingeniør, lektor ved Oslo Tekniske Skole Bjarne Hauge, sivilingeniør, tidligere rektor ved Sta­ tens Teknologiske Institutt Sverre G. Johnsen, cand, real., tidligere overlærer ved Bergen Tekniske Skole

Bjarne Krum, inspektør, Oslo Sjømannsskole Rolff Larun, oberstløytnant, Luftforsvaret

Erik Nordhagen, sivilingeniør, lektor ved Oslo Tek­ niske Skole Almar Næss, dr. philos, f Einar fl athne, overingeniør, Norsk Hydro A/S

BIND II INNEHOLDER:

DATAMASKINER RASJONALISERING OG AUTOMATISERING

ELEKTRONIKK (RADIO, RADAR, ASDIC OG TV)

RADIO- OG TV-SERVICE STERKSTRØMSTEKNIKK ATOMKRAFT

BIND III INNEHOLDER: KRAFTMASKINER BILLÆRE

MOTORSYKKEL, SCOOTER OG MOPED TRAKTORER OG LANDBRUKSMASKINER DIESELMOTORER FOR SKIP DAMPTURBINER

TEKNISK VARMELÆRE KULDETEKNIKK AERODYNAMIKK OG FLYETS TEKNIKK

RAKETTER OG ROMFERD

FORORD Bokverket TEKNIKK tar sikte på i mest mulig enkel og lettfattelig form å gi en innføring på noen av de særlig aktuelle felter av teknikken. Videre er tatt med så meget av de grunnleggende fag at det kan bli mulig for lesere uten spesielle forkunnskaper å tilegne seg det tekniske stoffet. De enkelte fagområder er behandlet ut fra forutsetningen å kunne gi tekniske kunnskaper som kan være til direkte nytte for den enkelte i det daglige arbeid eller for dem som har tekniske sysler som hobby. Stoffet er derfor ikke gitt en overfladisk popularisert form. TEKNIKK skal være et lære- og oppslagsverk. Det er også forsokt å gjore leserne kjent med de siste landevinninger pa teknikkens område. Teknikken går alltid framover — stadig nye konstruk­ sjoner, nye oppfinnelser. Teknikken kjenner ingen stillstand. Den er dynam­ isk. Hva framtiden, med atomkraft og automasjon, vil bringe, er det ingen gitt å forutsi. Men ett er sikkert: Kravet til teknisk innsikt og forståelse

vil oke. For vår ungdom har det vært lite av egnet teknisk litteratur pa norsk. Det er å håpe at TEKNIKK vil finne veien til mange unge lesere. Framti­ dens Norge trenger våken, teknisk interessert og lærelysten ungdom og teknisk kyndige menn. Teknikkens verden er meget stor og omfattende. Dette verk åpner bare et glott inn i denne mystiske, men uhyre interessante verden.

Oslo i juni 1958.

Klaus Torgård

FORORD TIL 2. OPPLAG Studieforlaget A/S som først ga ut dette bokverket, har gått sammen med Faktum Forlag A/S for å få utgitt TEKNIKK i en revidert og betyde­

lig utvidet form. Av nytt aktuelt stoff som nå kommer med, kan bl. a. nevnes datamaski­ ner, oljeproduksjon, atomraft og raketter. Disse omrader av teknikken har nærmest hatt en eksplosjonsartet utvikling i de senere år. Om ikke lenge vil de sikkert innvirke på vårt dagligliv på en langt mer inngripende måte enn vi i dag kan forestille oss. Alle — ikke minst ungdommen bør derfor ha litt rede på hva disse nye tekniske landevinninger går ut på. Dette nye stoffet som nå er tatt med, har imidlertid ført til at man har måttet utvide verket fra to til tre bind. De enkelte artikler fra første opplag er også blitt bearbeidet og delvis supplert. Oslo i januar 1972.

Klaus Torgård

INNHOLD MATEMATIKK

Sverre G. Johnsen.. . .•......... ».................

9

REGNESTAV

Almar Næss ..............................................

59

TEKNISK TEGNING

Erik Nordhagen og Klaus Torgård ...

69

MEKANISK TEKNOLOGI I Materiallære II Forming og stoping

Rolf G. Corneliussen ............................... 107 —«— ........................ 177

III Formgivningsprosessene

—«—

............................

195

IA Sveising

—«—

..........................

215

V Verktøymaskiner

Bjarne Hauge............................................ 255

MEKANIKK

Erik Nordhagen ....................................... 277

MASKINDELER

Bjarne Hauge............................................ 329

SKIPSNAVIGASJON OG METEOROLOGI

Bjarne Krum ............................................ 383

LUFTNAVIGASJON

RolffLarun................................................

MATEMATISKE OG TEKNISKE TABELLER

FAGUTTRYKK OG FREMMEDORD....................................................... OLJEPRODUKSJON

Einar Wathne.......................................

Se f°r øvrig detaljert innhaldsliste foran hver artikkel.

Sverre G. Johnsen

MATEMATIKK

BOKSTAVREGNING Monomer .............................................................. Polynomer.............................................................. Litt om parenteser.............................................. Positive og negative tall ................................. Addisjon og subtraksjon av negative tall . . Produkt med en eller to negative faktorer . . Ligninger med én ukjent................................. Potenser................................................................ Multiplikasjon av polynomer ........................ Rotstørrelser ....................................................... Kvadratroten ................................................ Kubikkroten ................................................... Rotstørrelser skrevet som potenser............... Brøker .................................................................. Ligninger med to ukjente ............................... Ligninger av annen grad.................................

11 12 12 13 13 14 15 17 18 18 18 19 19 20 22 22

GEOMETRI

Legemer, flater, linjer ..................................... Beregning av plane flater ............................... Kvadratet ....................................................... Den pytagoreiske læresetning.................... Rektanglet....................................................... Bomben............................................................. Den likesidete trekanten............................... Den likebenete trekanten .......................... Den alminnelige trekanten ........................ Om sirkelen og deler av sirkelen ............. Sirkelsektor 28 Periferivinkel og sentralvinkel 28 Måling av vinkler 28 Parallelle linjer .............................................. Parallellogrammet ........................................

Likedannede trekanter.................................

23 24 24 24 25 25 25 26 27 27

29 29 29 29

TRIGONOMETRI, TREKANTMÅLING

Radianer ..................................................... Enhetssirkel med koordinatsystem ............. Sinus til en vinkel.......................................... Sinus til vinkler mellom 90° og 180° .... Sinus til vinkler mellom 180° og 360° . . . Cosinus til en vinkel..................

30 31 32 33 33 34

Tangens og cotangens ..................................... 36 De trigonometriske funksjoners avhengighet av hverandre.............................................. 37 Trekantberegning................................................ 38 Trigonometriske funksjoner til vinklers sum og differens ................................................ 39 Trigonometriske funksjoner til den halve vinkel ........................................................... 40 Eksempler på* trekantberegning.................... 40

DIFFERENSIALREGNING

Funksjoner........................................................... 42 Parabelen ............................................................. 45 Regneregler for den deriverte av en funksjon 45 Den deriverte av summen av to funksjoner 45 Den deriverte av et produkt av to funksjoner 46 Den deriverte av en (rasjonal) brøkfunksjon 46 Den deriverte av en funksjons funksjon ... 47 Den deriverte av de trigonometriske funk­ sjoner ........................................................... 48 Funksjonsforandringer og deriverte............. 48 Maksimum og minimum ................................. 49

INTEGRALREGNING

.................................

50

STEREOMETRI — FORMLER TIL VOLUMBEREGNING

Terning (kubus).................................................. 51 Rettvinklet firkantet rett prisme (parallellepiped) ......................................................... 51 Skjevt prisme og alle rette prismer............... 52 Kjegle og pyramide (skjev ellerrett)............ 52 Rett sylinder....................................................... 52 Sideflaten i en rett kjegle ............................... 52 Rett avkortet rett kjegle................................. 52 Prismatoid........................................................... 53 Kulen .................................................................... 53 Konisk (kjegleformet) kulesektor................. 53 Kulesegment ....................................................... 53 LOGARITMER...................................................

54

Det naturlige logaritmesystem......................

57

Denne oversikt over matematiske regneregler må ikke oppfattes som noen lærebok i matematikk. Den er ment som en kortfattet redegjørelse for teknisk anvendelig matematikk, der regnemetodene og bruk av formler er belyst ved et fåtall eksempler. Matematikk som teknisk hjelpefag for høyere fagutdannelse trenger langt grundigere behandling enn det her har vært plass for, og krever framfor alt at den studerende bruker mye tid og omtanke pa oppgave-

regning.

BOKSTAVREGNING I matematikken bruker vi bokstaver for tall som vi ikke kjenner. For tall vi kjenner, bar vi talltegnene. Det er mulig å regne med ukjente

tall (altså bokstavtegn) etter samme regneregler som vi kjenner for vanlige talltegn: 1, 2, 3. . . . 1/2, 0.1. .. . ]r2 osv.

Monomer • Eks.: Timelønnen kan være ukjent og er for­ skjellig etter tid, sted og arbeidets art, men kal­ ler vi timelønnen x (kroner, dollars osv.), kan vi få daglønnen for 8 timers dag ved å multiplisere timelønnen x med 8. Daglønnen for 8 timers dag = 8 • x. Ved bokstavregning sløyfer vi oftest multiplikasjonstegnet og skriver: Daglønn = 8 x. Et slikt produkt som består av en tallfaktor (her 8) og en bokstavfaktor (her x), kaller vi et monom. 8 er monomets koeffisient, og x er monomets bokstav. Hvis det i 3 dager ble arbeidet henholdsvis 8 timer, 5 timer og 7 timer, blir lønnen 8 x + 5 x + 7 x = 20 x, fordi det i alt var arbeidet 20 timer for x kr. pr. time. Vi får den regel, at monomer med samme bokstav kan adderes ved å addere koeffisientene og beholde bokstaven. 8x + 5x + 7x=(8 + 5 + 7)x. Vi får det riktige svaret — 20x — ved å regne sammen tallene i parentesen for seg. (Er et regneuttrykk innesluttet i en parentes, skal det bety den verdi regneuttrykket får nar

vi har utført regningen). Hvis det ble arbeidet 8 timer alle 3 dagene, fikk vi lønn = (8x) • 3 = 24x. For da ble jo timetallet 24, altså det samme som 8 • 3. Altså: et monom (8x) ganges med et tall (3) ved å gange monomets koeffisient (8) med tallet (3) og beholde bokstaven (timelønnen).

8x, 5x, 7x, er ensartede monomer fordi monomene har samme bokstav. 3a, 9a, l/2a er også ens­ artede, men 19a, 15x, 0,1 b er uensartede, da bokstavene er forskjellige. Hvis koeffisienten for et monom er 1, blir den oftest sløyfet. Altså la = a, 7a 4- a = 8a. Vi vet at 370 -? 211 = 159 fordi 159 + 211 = 370 (Subtraksjonsprøven). Etter samme regel blir: 32y 4- 19y = 13y fordi 13y + 19y = 32y. Ensartede monomer subtraheres ved å subtrahere koeffisientene og beholde bokstavene.

12

Sverre G. Johnsen: Matematikk

Regn igjennom og kontroller nøye disse utreg­ ningene, og gi til slutt bokstavene verdiene a = 3, x = 5, z = 1/2, b = 0,1. 1) a + 3,5a 4- 0,5a 4- 15a 4- 7a = 12a = 36.

2) 4- 0,4x + 2x 4- 0,35x = 2 x = 10. 3) 8 + 2 4_ 8 ± 3z >4 + 3z ' 2 + - 3~ + jo = 4) 1 I J_ ; b 9b

. 1 + 3b

_ 13 _ 9b ~

60 + 2z = 6,1

13 _ 4 9 0,f “ 14~9‘

Polynomer Et regneuttrykk som 3a 4- 7a + 4b -j- 8 4- 7 kaller vi et polynom.

Et polynom kan multipliseres med et tall ved å m ultiplisere hvert enkelt ledd i polynomet med tallet

Polynom er en rekke enkle tall eller monomer som skal adderes eller subtraheres.

Omvendt: (15x 4- 21y 4- z) : 3 = 5x 4- 7y 4-

De enkelte monomer eller tall kaller vi polynomets ledd. ’

1 i kan dividere et polynom med et tall ved å divi­ dere de enkelte ledd.

• Eks.: Et hus på tre etasjer har i hver etasje 12 vinduer, 17 dører og 1 trapp. Et vindu koster innsatt a kr., en dør b kr. og en trapp c kr. Prisen for disse bygningselementer for en etasie blir 12a + 17b 4- c kr. For alle tre etasjene blir prisen (12a -f- 17b + c) • 3 kr. Alle dører i huset koster 12a-3 kr., vinduer 17b-3 osv. Altså: (12a 4~ 17b -J- c) • 3 = 12a • 3 4~ 17b • 3 -f- c • 3 = 36a 4- 51b 4- 3c.

(Kontroller at divisjonsprøven gir oss dividenden tilbake.)

(5x 4- 7y 4- y) • 3 = 15x 4- 21y 4- z. I polynomet 6a 4- 2a + 4b 4- 10c har alle led­ dene en felles faktor 2. Derfor kan vi først dividere alle leddene med 2 og siden multiplisere det poly­ nomet vi får ut (kvotienten), med 2. 6a — 2a 4- 4b 4- 10c = (3a 4- a 4- 2b 4- 5c) • 2 En felles faktor for leddi ne i et polynom kan stilles utenfor en parentes om polynomet, etter at alle ledd er dividert med den felles faktor.

Litt om parenteser Hvis vi til et tall a skal addere andre tall, først 2a, så b, dernest c osv., skriver vi det som polynom slik: a + 2a 4- b + c. Hvis vi først vil summere tallene 2a, b og c og så legge denne summen til det første tallet a skriver vi det slik: a 4- (2a — b 4 c). Vi betrakter dette siste uttrykk som en sum av de to addender, a og (2a 4- b 4- c). Enten vi nå foretar summeringen av disse tallene på den ene eller andre måten, må summen bli den samme: a 4- (2a 4- b 4- c) = a 4- 2a 4 b 4- c.

Om b og c var subtrahender, kan vi gjøre sam­ mendraget på samme måten. Altså: a + (2a 4- b 4- c) = a -j- 2a 4- h 4- c. Elvis en parentes har tegnet 4- foran segler addend), kan parentesen sløyfes. F i kan uten videre inneslutte flere ledd av et poly­ nom i en parentes hvis den kan få fortegnet 4foran seg.

• Eks.: 54- (10 4-24- 4) = 54- 10 4-24-4 = 5 4-4=9 Hvis regningen var slik: 15 4- (10 4- 2 4- 4), blir regelen for å sløyfe parentesen en annen. 10 4- 2 4- 4 = 4.

Bokstavregning

13

1) 3a 4” 5a + 2b 4~ 4b a + b + 3b = (9a + 10b) = 73. 2) 3f 4- 4b + a 4- 2b 4- 9b 4- d 4- 5e = (a 4- 15b 4- d 4- 5e 4- 3f) = 65. 3) 50f 4- 2a 4- 17b 4- 100f + 150d = (2a 4-17b 4- 150d 4- 150f) = 1681.

Det er altså 4 enheter som skal subtraheres fra 15. Det kan vi gjøre på den måten at vi først trekker 10 enheter fra 15 og deretter legger til 2 og 4 enheter. 15 4- (10 4- 2 4- 4) = 15 4- 10 4- 2 + 4 = 15 4- 4 = 11. Skrevet med bokstaver blir det a 4 (b 4 c4 d) = a4b + c + d.

1 4) 1a 4- |a 4- 0,5b 41

Har en parentes fortegnet 4* foran seg, kan vi sløyfe parentesen når vi forandrer leddenes fortegn til det motsatte. Omvendt: Vil vi sette parentes om noen ledd i et polynom og sette minus foran parentesen, må de ledd som kommer inn i parentesen, skifte fortegn.

v

O

7

4- 0,4c =

lv

(3a 4- 12b 4- 4c) • ~ = 4,5.

10 a 4- 5b 4- 3a + b = 10a 4- (5b + 3a 4- b) eller 10a 4- 5b 4- (3a 4- b). • Øvelser: a) Trekk sammen summene nedenfor. b) Regn ut tallverdien av dem for a — 7, b = 1, c = 3, d = 5, e = 4 og f = 6.

Summer polynomene nedenfor på to måter: a) Regn ut verdien av parentesene før summeringen. b) Løs opp parentesene først. 1) 17 4- 25 4- (34 4- 16) 4- (37 4- 29) 4- 3 + 7 2) 17 4- (25 4- 34 + 16) 4- (37 4- 29 + 3) 4- 7 3) 17 4- [25 4- (34 4- 16) + (37 4- 29) + 3] 4- 7 (sløyf de innerste parentesene først) 4) 31 4- [33 4- (6 4- 8 4- 7) + (16 4- 13 4- 2 425)] 4- 14 (45).

Positive og negative tall På en termometerskala er temperaturene av­ satt som enheter på begge sider av null-punktet. Temperaturer over null grader kaller vi plussgrader (varmegrader). Temperaturer under null er minusgrader (kuldegrader). Et termometer v ser en dag 4 grader. Neste dag, samme klokkeslett, er temperaturen falt 7 grader. Den nye temperaturen blir: 4° 4~ 7° = 4-3° (er 3 kuldegrader). En subtraksjon der subtrahenden har flere en­ heter enn minuenden, utfører vi ved å trekke minuenden (4) fra subtrahenden (7) og sette

minus foran differansen som tegn på at det er subtrahenden som har flest enheter. Disse tallene som altså består av talltegn (her 3) og fortegnet 4- (minus), kaller vi negative tall. I motsetning til dem kaller vi de vanlige tall, som vi kjenner regnereglene for fra før, for positive tall. Hvis det er nødvendig for tydelighetens skyld, setter vi 4~ foran et positivt tall, men vi har den regel at hvis det ikke står noe fortegn foran et tall, så er det positivt. Altså: 8 4-5= 4-3, men 54-8= 4-3.

Addisjon og subtraksjon av negative tall På en skala med null-punkt avsetter vi positive enheter til høyre for null-punktet og negative enheter til venstre. r8 r7 ^-6 4-5

i

I

I

I

t4

-r3

I

I

0

^-2 rl

I

I

I

3

2

1

II

I

।

4

5

6

78

।

I

I

I

Vil vi trekke 7 fra 4, går vi ut fra 4 påskalaen og teller 7 plasser til venstre. Da kommer vi til 4- 3. Det blir samme framgangsmåte som når vi skal trekke 2 fra 5 og kommer til 3. Tallene til venstre på den positive del av skalaen blir stadig

mindre. Dette holder vi fast ved også for den negative del av skalaen, og derfor kommer vi til at 4- 5 er mindre enn 4- 1, selv om antallet av enkelte enheter er størst i 4-5. Det antall enheter et tall har, kaller vi dets tallverdi. Tallverdien i 4-5 er større enn tallverdien i 4-1. • Oppgave: En mann har en fast inntekt på kr. 50,— pr. dag. En dag har han en utgift på kr. 10,— og en annen dag en utgift på kr. 60,—.

14

Sverre G. Johnsen: Matematikk

Hva er hans nettoinntekt hver av de to dagene ? 1) 50 kr. + 10 kr. = 40 kr. nettoinntekt. 2) 50 kr. 4- 60 kr. =4- 10 kr. nettoinntekt, dvs. en nettoutgift på kr. 10,—. Det viser seg her at et negativt svar kan ha betydning, og at betydningen kan være motsatt av det man mente da regningen ble stilt opp. (Det ble utgift i stedet for inntekt.) Tallet 4- 6 kan vi skrive som en eller annen subtraksjon hvis differanse er 4-6, f. eks. (14-7), (0 4- 6), (12 4- 18) osv. Da får vi: 3 + (8 + 15) = 3 + 8 + 15 = 11 + 15 = +4. Eller skrevet slik: 3 -f (8 4- 15) = 3 + (4-7) = 3 4-7= 4-4. 3 -f- (+7) vil si at vi til tallet 3 skal addere 4- 7, og vi ser nå at det må skje ved å trekke 7 enheter fra 3 enheter, og at vi da kom­ mer på den andre siden av null-punktet til 4- 4. Regelen for å addere negative tall blir: Vi adderer et negativt tall til et annet ved å subtra­ here dets tallverdi fra det første tallet. Denne regel skal også brukes om minuenden er negativ: 4~ 8 + (4-7) = 4- 15 (7 plasser til venstre for -8).

Det som her skal utføres, er jo å telle sammen åtte og sju enheter av samme slag. Dette må gi 15 slike enheter. Omvendt får vi at subtraksjon av negative tall skal utføres ved å addere det negative talls tallverdi.

3 4- (8 4- 15) = 3 4- 8 -f- 15 = 18 4- 8 = 10 eller slik: 3 4- (8 4- 15) = 3 4- (4-7) = 10. Minuend subtrh. diff.

10 + (4- 7)= 3 (subtraksjonsprøve) 4-14-(2 4-4) = 4-14-2 + 4 = 1 + 1 + (4- 2) = + 1 + 2 = 1. Ved summering av en rekke positive og nega­ tive tall er det likegyldig hvilken orden vi skriver tallene i eller utfører regningen. 5 + 6=6 + 5=11, 5 + 6 =+6+ 5 = 4-1. 4-5 + 6= 4-64-5 = +11, 4- 5 + 6 = 6 +5 =1. a 4- b = +b + a = +(b + a), + a 4-b = 4-b + a = +(a + b). a + (+b) = a 4- b = + b + a = 4- (b 4- a). a 4- (-4-b) = a + b= b + a.

Produkt med en eller to negative faktorer Etter vedtatte regneregler vet vi at vi multipli­ serer et tall med et annet ved å addere det første tallet så mange ganger som det andre har enheter. 5-3=5 + 5 + 5=15, a • b = a + a + a......... b ganger. Også denne regel skal fortsatt gjelde for bokstav­ regning både når bokstavene har positive og når de har negative verdier eller er null. (4- 5) ■ 3 = (4- 5) + (4- 5) + (4- 5) = 4- 15, (“ _a) ' b — (~ a) -f- (4- a) + .... = 4- ab. Hvis multiplikator er negativ, gjelder fremdeles regelen at produktet er uforandret om faktorene bytter plass. 3 -(4-5) =(+5) -3 =4-15, a (4-b) = (+ b) • a = 4- ab. Produktet av en negativ og en positiv faktor er altså negativt. Dette kan vi si på en annen måte: At multiplikator går over fra å være et positivt og til å bli et negativt tall, gjør at også produktet skifter fortegn. Vi har at (+a) • b = +ab. Skifter så b fortegn, får vi altså: (4-a) (+b) = ab.

Produktet av to negative tall er positivt.

Et talleksempel vil gjøre dette tydeligere: (9 + 5) • (+ 3) = 4 • (4- 3) = +12. Produktet skal altså bli + 12, etter regler vi har godtgjort foran. Regningen kan også utføres slik: (9 4- 5) = (9 + (4- 5)) (9 + K 5)) • (4- 3) = 9 • (4-3) + (4- 5) • (4- 3) = - 27 + (4- 5) • (4- 3). Resultatet blir + 12 bare hvis (+ 5) • (+ 3) gir + 15. Vi vil skrive disse regnereglene slik: a • (+ b) = (+ b) • a = 4-ab = 4- ba. (+a) • (+b)= 4-(4-a) - b = + (+b) - a = ba = ab. Når vi multipliserer to tall med motsatt fortegn, får vi negativt produkt, men har tallene samme for­ tegn, får vi positivt produkt.

• Øvelser: a) Løs opp parentesene nedenfor, og trekk sammen ensartede ledd i polynomene, b) Før til slutt inn x = +3, y = 2 og z = +6, og regn ut polynomet. Eks.: 4- 3x + 5y 4- 2z + (7x + 3z) = 4- 3x + 5y + 2z 4- 7x + 3z =

15

Bo kst avregning

— 3x 4- 7x 4- 5y 4- 2z 4- 3z = 4-10x + 5y + z = 4- 10 . (4- 3) + 5 • 2 4- 6 = 30 + 10 6 =34 1) 0,4x 4- (2x 4- 8y 4- 3z) + (0,3x 4- 0,5z) 4- 3y, svar: 4- 1,3X + Sy + 2,5z = 4-1,1. 2) 4- (y 4- x) + (x 4- y) 4- (2 (x + y) 4- 3 (y 4- x)) 4- (2y 4- x) svar: 0 3) 4- 13x 4- (2y 4- x) 4- (z 4- y + x) + 7z svar: 1 4) 4 4- ((3z 4- 6x 4- 3y) 4- (2x + z 4- 6y)) 4(2y 4- 6) • 2 svar: 4- 10 5) 3x + (5 4- (y + 2z)) 4- (8z 4- (x + z 4- 3)) 6) 5y 4- (x 4- z) 4- (11 4- ("x 4- 2y)) 4- (6z 4- 3) 7) 12z 4- (10x 4- 2y + z) 4- (3y 4- 2x 4- 1) 8) 9y 4- (2x 4- 9z) 4- (8 4- 9z) 9) (8x 4- (4y 4- (7z 4- 9)) 4- 5y) 4- (6z 4- (4x 4- 5y) 4- (3 4- 3z)) 10) 4- (H 4- (6z 4- 5 4- (3x 4- 5z) 4- 4y) 4- 5) Summer polynomene nedenfor. Sett så inn ver­ dien 1 for a, b, c, og d og regn ut verdien. Sett

videre 1 for bokstavene inn i de gitte polynomer. Finn de enkelte polynomers verdi. Summer disse verdier og kontroller på den måten at De kan regne riktig. Gjenta forsøket ved å sette 4-1 eller 4-2 for a, b, c og d. • Eks.: 4- 3a 4- 5b 4 2c og 4-a 4- 2b 4- 3c 4- 7d * 4- 3a 4- 5b 4-2c 4-34-54-2 4- a 4- 2b 4- 3c 4- 7d 4-14-24-34-7 4- 4a 4“ 3b 4- 5c 4- * d

4-44-34-5 — 7

1) 8b 4- 3c 4- 5a 4- og 11b 4- 3a + 6d 4- 5c 2) 4- Ha 4- 3b 4“ 5c 4- 14 a og 4- 6c 4- 12b 42a 4- 7d 3) 11 4- 3b 4- a 4- 5c og 4- 3a 4- 4b 4- 2c 4- 8 4) 3a 4- (5b 4- 3c 4- 11) 4" 4c 4- 3 og 6a 4- b 43d 4- 5 5) 6(a 4- d) 4- b 4- 2 (c 4- 4) og 2a4-6d4(c 4- 1) 4- 5 (b - 2)

Ligninger med én nkjent En ligning sier at to regneuttrykk er like store. Vi bar to slags ligninger, a) identiske ligninger og b) betingelsesligninger. a) (2x 4- 3) • 5 = 10x 4-15. Dette kaller vi en identisk ligning, fordi høyre og venstre side har samme verdi om vi i stedet for x setter et hvilket som helst annet tall. En identisk ligning kan vi ikke bruke til å finne en enkelt bestemt verdi for x, fordi alle verdier passer. Venstre side er bare en omskrivning av uttrykket på høyre side og brukes når vi vil for­ andre utregningsmåten. b) 10x 4- 15 — 35. Denne ligningen kaller vi en betingelsesligning, fordi høyi .* og venstre side ikke er like uten på betingelse av at x har verdien 2. I en betingelses­ ligning kan vi ikke velge verdier fritt for den ukjente (x). Slik finner vi den riktige verdi for x i ligning (b): 1) Først subtraherer vi det kjente tall (15) på begge sider av likhetstegnet: 10 x 4- 15 = 35 4- 15 = 4-15

10x = 20 På den måten kommer vi fram til at det ukjente ledd i ligningen (10x) skal være 20. 2) Dernest dividerer vi med 10 på begge sider og får: x = 2.

(Skal ti x ha verdien 20, må en x være tiendeparten). x = 2 er ligningens løsning, eller rot. • Eks.: De kjøper tre par strømper og betaler med en femtikroneseddel. De får tilbake kr. 16,10. Hva koster ett par strømper? Ett par koster x kr. Tre par, 3x kr. 3x kr. 4- 16,10 kr. = 50 kr. 3x = 50 4- 16,10 (16,10 er subtrahert på begge sider) 3x = 33,90 x = 11,30 (Vi har dividert med 3) Kontroller løsningen av denne ligningen for å lære framgangsmåten: 10,75x 4- 23 = 4jx 4- 0,5 (legg til 23 på 4- 23 = 4- 23 begge sider) 10,75x = 4,875x 4- 23,5 (| = 0,875) _ 4-4,875x = 4- 4,875x (vi trekker 4.875x 5,875x = 23,5 fra på begge sider)

x = 23,5 : 5,875 x — 4

(vi finner lx når vi dividerer med 5,875)

Vis at 10,75x 4- 23 er lik 4|x 4- 0,5 når De i stedet for x setter 4 og regner ut verdien av begge uttrykkene.

Finn x av denne ligningen (løs ligningen): 5x 4- 24 = 2^ x 4- 17 + x (svar: x = 5)

16

Sverre G. Johnsen: Matematikk

Framgangsmåten når vi skal løse slike ligninger som vi her har hatt eksempler på, blir slik: a) Har ligningen parenteser, multipliserer vi dem ut og løser dem opp. 4- 4 (5 4- 3x) 4- (x 4- 1) . 2 = 2 (2x 4- 1) 4- 20 + 12x + 2x 4- 2 = 4x 4 2. b) Deretter kan vi dra sammen ensartede ledd på begge sider av likhetstegnet, altså de kjente ledd for seg og de ukjente for seg. 14x 4- 22 = 4x 4- 2. c) Det neste skritt blir å få alle ukjente ledd over til venstre side av likhetstegnet og de kjente over til høyre side. Legger vi til 22 på begge sider av likhetstegnet, får vi: 14x 4- 22 4- 22 = 4x 4- 2 + 22 eller 14x = 4x 4- 2 + 22. Dette viser at en subtrahend på en side, blir addend på den andre siden, eller leddet skifter fortegn ved overflytting. Så skal 4x over til venstre. Vi subtraherer 4x på begge sider. 14x 4- 4x = 4x 4- 4x 4- 2 + 22. Når en addend flyttes over, blir den subtrahend. Altså: Ethvert ledd som vi fører over på ny side av likhetstegnet, måfå motsatt fortegn.

Etter sammendrag får vi 10x = 20. d) Til slutt dividerer vi med koeffisienten for x på begge sider av likhetstegnet. x = 2. e) Er det brøker i ligningen, multipliserer vi med felles nevner på begge sider 4

. Q

—

5

(felles nevner = 2 (2x 4- 3))

2 • 2 (2x 4- 3) + 4 • 2 = 5 (2x 4- 3). • Oppgaver: Finn verdien av x i disse ligningene: 1) x = 7 + 3 2) x + 3 = 7 3)4x4 1 =41 4) 4- x 4- 1 = 3 5) 2x = 5 6) | x = 4 7) 3 4- 2x = 9 8) 4- 3 + 2x = 4-9 9) x 4- 3 = 2x 4- 1 10) 2x + 4 = 3 (2 4- x) 11) 21 + (10 4- x) + 8 = 3 12) 15 4- (17 4- x) = 2 13) 26 4- (14 4- x) + 4 = 8 14) 4 + 5 (x 4- 1) = 3 (2x 4- 1)

(10) (4) (0) (4-4) (2,5) (8) (4-3) (4-3) (4- 2) (0,4) (36) (4) (-8) (2)

15) (3x 4 7) 2 4 (x + 1) = 0 16) (x 4 2(5 4 2x) + 3) • 6 = 0 17) 9 4(x v(3x44) 4 9) =0

(3) (1.4) (4-11)

Sett løsningene inn i ligningene, og kontroller om de er riktige. • Eksempler på oppgaver som kan løses ved ligning. 1) Et arbeidslag på 3 mann (A, B og C) skal dele en akkordsum på 900 kr. B har arbeidet halvparten så' mange timer som A, og C har ar­ beidet i 3/4 av den tid A har arbeidet. Hvor mye får hver av dem ? Vi kaller A’s del x kr. Da får B |x kr. og C £x kr. Tilsammen 900 kr. X + |x + |x = 900, (1 4- i + t)x = 900

= 900,

9x = 3600,

x = 400.

A får 400 kr., B får 200 kr., Cfår 300 kr. 2) Til et arbeidslag på 12 mann er det så mye arbeid at det er beregnet å vare i 18 uker. To uker etter at arbeidet er satt i gang, viser det seg nødvendig å få det ferdig 4 uker tidligere enn opprinnelig planlagt. Hvor mange mann må en ta til hjelp? Arbeidet for 12 mann i 18 uker utgjør 18 . 12 ukeverk. Av dette utfører 12 mann i 2 uker 2 . 12 ukeverk. Tar vi x mann til hjelp, vil arbeidslaget bli 12 4- x mann som har 12 uker på det reste­ rende arbeid. De utfører (12 + x) . 12 ukeverk. 2 • 12 + (12 + x) • 12 = 18 • 12 x = 4. 3) Et testamente bestemmer at 2.000 kr. skal gå til gaver, halvdelen av formuen skal ektefel­ len ha. Resten skal deles likt mellom ektefelle og 4 barn. Arvelodden for 1 barn ble 11.000 kr. Hvor stor var formuen ? 2000 + jx + 11.000 • 5 = x (114.000)

4) Et stykke bronse på 10 kg inneholder 7 % tinn og 93 % kopper. Hvor mye tinn må man smelte sammen med denne bronsen for å få en som holder 18 % tinn? I 10 kg bronse med 7 % tinn er det 10 -kg tinn.

Setter vi til denne bronsen x kg tinn, får vi (10 4- x) kg ny bronse. Den skal ha 18 % tinn. Tinnvekten i den nye

bronsen blir (10 -j- x) •

18

. Dette er lik tinnvek­

ten i den gamle bronsen pluss de x kg vi satte til.

(1° + X) •

= 10 •

+x

(x = 1,34).

5) Hvor mange kg tinn må vi sette til når vi regner at 6 % av det tilsatte tinn brenner opp ved sammensmeltingen ?

17

Bokstavregning

Potenser La oss se på produkter der alle faktorene er like. 5 • 5 • 5 • 5 (fire like faktorer som er 5). Et produkt med like faktorer kaller vi en potens. 5 5-5-5 kaller vi fjerde potens av 5 og skriver det 54. Vi skriver altså faktoren en gang og føyer til øverst til høyre hvor mange ganger 5 skal være faktor. 5-5-5-5 = 54 uttales: fem i fjerde a-a-a = a*i3 « a i tredje x-x = x2 « x i andre 2-2-2- • • -2 = 2n « to i nte

n ganger 54 kaller vi også fjerde potens av 5, og an kaller vi n-te potens av a. Andre potensen av a uttaler vi også ofte som kvadratet av a eller a kvadrat. Flateinnholdet av et kvadrat med sider på a lengdeenheter får vi jo ved å multiplisere de a flateenhetene som vi kan legge etter hverandre langs en side i kvadratet, med antall lengde­ enheter i den tilstøtende siden. Altså flateinnhold = a • a = a2 flateenheter. De like store faktorene i en potens kaller vi potensens rot (eller grunntall), og antall faktorer i potensen kaller vi eksponent. I potensen 35 = 3 • 3 • 3 • 3 • 3 = 243, er 3 grunntall og 5 eksponent. Det er spesielt i bokstavregningen det er greit å bruke denne forkortede skrivemåte, da vi ikke kan regne ut potensen slik som for 35 hvis vi ikke på forhånd vet hvilket tall vi skal sette for grunntallet. a-a-a-a-a-a-a er lettere å holde rede på når vi skriver a7. Potenser med samme grunntall kan ganges med hverandre ved å beholde grunntallet uforandret og summere eksponentene. 32-34-33 = (3-3)-(3-3-3-3)-(3-3-3) = 39. x5-x3 = x5+3 = x8. For divisjon har vi regneregelen: x6 : x3 = x84-3 = x2, da x2-x3 = xs. x11 : xm = xn”m, da xn^m • xm = x“

75 . 75 _ 754-5 _ 70

På den annen side vet vi at kvotienten blir 1 hvis dividend og divisor er like. Altså i vårt ek­ sempel 75 : 75 = 1. Det er vedtatt at en potens med eksponent 0 skal bety 1. x3 : x3 = x34-3 — x° = 1. På samme måte er det bestemt at a1 = a. En potens med eksponent 1 betyr potensens grunntall. 43 : 42 = 41 = 4.

Vi bruker også negative eksponenter i potensregningen. 93 . 26 = 234-6 = 2 4-3 eller 93 93.96—“2#

93.96 _

2S _ _23___ 23

1 — ___ 23

etter forkorting med 23. Det er bestemt at 24‘3 skal bety det samme som 1

1

—

1

2’

— 2-2-2 “

8

En potens med negativ eksponent er en brøk med teller lik 1 og nevner lik potensen med positiv eksponent.

Hvis et produkt skal opphøyes i en potens, kan det skje ved å potensere faktorene. (3 • 2.5)4 = 34 • 24 • 54 og omvendt 22 • 52 = (2.5)2 = 100. Hvis en brøk skal opphøyes til en potens, kan teller og nevner potenseres hver for seg. a \n_ an b")

~ bV’

3 \2 _ 32 — 9

T) ~~

42 — 16 —

3

4

’

3

4

og omvendt

Det gjor ingen forskjell om vi bruker divisjonstegn i stedet for brøkstrek. 253 : 153 = (25 : 15)3 = (5 : 3)3 = (y)3 =

Potenser med samme grunntall dividerer vi med hverandre ved å beholde grunntallet og subtrahere eksponentene.

Hvor mye blir 33 172 l7 52 35 Svar: 27 ? 1 ? 243

Er eksponentene like store, blir deres differanse null.

Sett x = 2 og a = 4 i disse regneuttrykkene, og regn ut verdien av dem:

2 — Teknikk I

ll2 56 10B ? ? 15625 ?

18

Sverre G. Johnsen: Matematikk

1) (3x)« Svar: 1296

5a3 5x3 + 3a3 (7x)3 + 5a2 3x3 4- a3 + x 320

2) (5a)3 Svar: 8000

a4 4- (3x)2 220

x2 4- (2a)2 + a4

x3a2 4- a2x3 0

3) (2x2 4- a 4- 3ax) • 2x2,

(x3 4- x2 4- x) : x,

a ’x a2 Utfør multiplikasjoner og divisjoner først, og sett tallverdiene inn til slutt. Sett så tallverdiene inn i uttrykkene først, og regn ut svarene.

Multiplikasjon av polynomer Polynomene (7 4- 3) • (7 + 3) kan vi regne ut på den måten av vi først finner verdiene av fak­ torene (7 4- 3) og (7 + 3) og så ganger vi disse tall med hverandre. Vi kan også skrive det slik: (74-3) (7+3) = (74-3) • 7 + (7-43) • 3 = 494-21 + 214-9 = 40. Da ser vi på (74-3) som et tall vi skal multipli­ sere med polynomet (7 + 3). Dette gjør vi ved å multiplisere tallet (7 4- 3) med hvert ledd i poly­ nomet (7 + 3) og dernest summere produktene. (74-3) • (7 + 3) = (74-3) • 7 + (7^3) • 3 = 7 • 7 4- 3 « 7 + 7 • 3 4- 3.3 = 72 4- 32, og på samme måte ved bokstavregning: (a 4- b) • (a + b) = (a + b) • a + (a 4- b) • b = a2 4- ab + ab 4- b2 = a2 4- b2

(a + b)2 = (a + b) (a + b) = (a + b) • a + (a + b) • b = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2 (a 4- b)2 = (a 4- b) (a 4- b) = a2 4- 2ab + b2. Disse tre siste regneresultatene er meget brukte formler i matematikken. Derfor er det vanlig å lære dem hvis en har litt bruk for matematikk. a2+2ab+b2 = (a+b)2, a4-2ab+b2 = (a4-b)2 og (a4-b) • (a+b) = a24-b2.

Dette er altså tre viktige identiske ligninger. Sett inn samme tall for a og b på begge sider av likhetstegnet, og regn ut verdiene som øvelser.

(3x24-2x+4) (2x+l) = (3x24-2x+4)-2x 4(3x24-2x+4) • 1

= 6x34-4x2+8x4-3x2+ 2x4-4 = 6x34-7x2+10x4-4. Kontroller denne utregningen, og sett x = 0, 1, 2 inn i uttrykkene på begge sider av likhets­ tegnet. • Oppgaver: Multipliser følgende polynomer. Kontroller resultatene ved å sette inn tallverdier for bokstavene (velg små tallverdier). 1) (2a2 4- 3a + 4) • (2a 4- 3) 2) (3a2 4- 2a 4- 4) (a 4- 6) 3) (5a 4- 2b + c) (3a + b) 4) (5a 4- 3b + 2c) (3c 4- 2b) 5) (5a2 4- 3b + 2a) (a + a2 4- 1) 6) (3x2 4- 4x + 5) (2x2 4- x 4- 3) 7) (x3 + x2 + x + 1) (x2 4- x + 1) 8) (X4 + x3 + X2 + x + 1) (x 4- 1) 9) (a2 + a 4- b2 4- b) (b2 + b 4- a2 4- a) 10) (x2 4- 2x + 1) (x2 + 2x + 1) 11) (2a + 3b) (5a + 3b) 4- (2a + 7b) (2a 4- 7b) + a(a 4- 3b) + (2a 4- 2b) (2a + 2b)

Rotstorrelser Kvadratroten Kvadratroten av 64 er et tall som opphøyet i annen potens blir lik 64. Dette tallet kan vi finne ved å prøve oss fram. Prøver vi hele tall fra 1 og oppover, kommer vi til:

82 = 64, eller kvadratroten av 64 er 8. Det skriver vi slik: | 64 = 8.

Men vi har også: (4-8)2 = (4-8) • (4-8) = 64. Kvadratroten av 64 kan altså være 4-8. Kvadrat­ roten av ethvert positivt tall har to verdiet — en

positiv og en negativ. Begge disse kvadratrøttene har samme tallverdi. (Kvadratroten av et negativt tall blir hverken positivt eller negativt.) Opphøyer vi de naturlige tall fra 1 og oppover i annen potens, får vi en rekke tall som vi kaller de hele kvadrattall. Disse føres opp i tabeller (se tabell 1). Skal vi finne kvadratroten av et tall som ikke finnes i tabellen over kvadrattall, f. eks. j/4784-499, deler vi sifrene på begge sider av desimalkom­ maet inn i grupper på 2.

19

Bokstavregning Kvadratroten av første gruppe 47 er større enn 6 og mindre enn 7. Vi kvadrerer 6 og trekker 36 fra 47. Resten 11 gir 1184 sammen med nes­ te gruppe. Første siffer i svaret (6) dobler vi og får 12. Så finner vi hvor mange ganger 12 går opp i 1184, unntatt siste siffer 4, dvs. 118. Det blir 9 ganger. 9-tallet føyer vi til 12 som siste siffer og får 129, som vi nå ganger med 9 og trekker produktet fra 1184. Annet siffer i svaret er 9. Dernest dobler vi 69 og får 138 som inneboldes 1 gang i 234. A i føyer 1 til 138 som nytt siffer, multipliserer med 1 og trekker det fra 2349. 3. siffer i svaret ble 1, men her er vi kommet forbi desimaltegnet når vi regner ut dette siffer. Derfor kommer det som tiendedel i svaret. Så har vi 691 . 2 = 1382 og 9689 : 1382 — 7 + rest. 4. siffer i svaret ble 7.

Ved å trekke ut kubikkroten av et positivt tall får vi bare en verdi, da (4-5)-(4-5)-(4-5) = 4-125. Altså går det an å trekke kubikkroten av et negativt tall, og denne roten blir selv bare negativ. Som tegn for kubikkroten av et tall T skriver

Vi kan komme lettere fram til et resultat ved hjelp av tabellen. Tabellen over kvadrattall viser at 692 = 4761 og 702 = 4900. A årt tall ligger mellom 69 og 70.

1^42376 = 101^42,376 = 10 • 3,48 = 34,8. Må vi ha nøyaktigere verdi, kan vi finne den slik:

^47 84 ,49 90 = 69,17 62 = 36 129-9 1184 1161 1381-1 23 49 13 jH__ 9 6890 13827-7 9 6789 rest

Vi setter | 4784,499 = 69 + x 4784,499 = (69 + x)2 = 692 + 2-69-x + x2 Vi sløyfer x2 som blir et lite tall og får 4784,499 = 4761 + 138 x 23,499 = 138 x eller x =

97 409

'

Ijo

- = 0,17.

Altså ble resultatet: | 4784,499 = 69 0,17 — 69,17. Må vi ha nøyaktigere resultat, får vi regne en gang til på samme måten. | 4784,499 = 69,17 4- x, og finne x.

Kubikkroten Kubikkroten av 125 er det tall som opphøyet til 3. potens gir 125. Dette tallet blir 5 fordi 53 = 5-5-5 = 125.

vi Vil vi dra ut kubikkroten av et tall, kan vi ta tabellen til hjelp. Det er da nyttig å merke seg denne regel: l3 1000 - T = lOJ^T_____ • Eks.: 1^42376 = 101^42,376 Vårt tall ligger mellom 1^42 og 1*43

og nærmest

^42." Av tabellen ser vi at V43 = 3,5034 og 1^42 = 3,4760. En tilnærmet verdi for det tall vi søker skrevet med 3 siffer, bor da settes til 3,48. Altså får vi:

1^42376 = 34,8 + x 42376 = (34,8 + x)3. Regner vi ut 3. potens av summen av to tall, får vi: (a + b)3 = (a + b)2 (a + b) = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3. I vårt tilfelle er a = 34,8 og b = x, men x er et lite tall, x2 og x3 enda mindre, derfor sløyfer vi annen og tredje potens av x og skriver 42376 = (34,8 + x)3 = 34,83 + 3 • 34,82x Av tabellen ser vi at 34,83 = 42144,192 34,82 = 1211,04 42376 = 42144,192 + 3 • 1211,04 x Det gir 231,808 = 3633,12 x, 231,81 rv A/QQ x = 36MJ = °’°638 Til slutt får vi 1^42376 = 34,8 -|- 0,0638 =

34,8638.

Rotstørrelser skrevet som potenser Istedet for å skrive 6 = ] 36 bruker vi ofte

skrivemåten 6 = 36 *. * 64

På samme måten 1^64 =

= 4, og for alle rotstørrelser ]'a = ai-

Ved denne skrivemåte blir det mulig å bruke

regnereglene for regning med potenser når en skal utføre regning med rotstørrelser. ]/2 • j/3~ = 2* - 3* = (2 • 3) * = 6* = |/6

yr1/5- yr ys = 5i.5i.5i-5 * = 52 = 25

= 5 + *

20

Sverre G. Johnsen: Matematikk

3

6

j/j/7 = |/(7)i = (7 *)

6

| 3 • j/5 = |/3 • / ^5

= 7 * ’* = 7* =] 7

1^16

1^52 = (52)* = 52-* = 5*

= 16 *

.

= 4» =4.

J^42- 1^4 = * -4 4

J/15 • 1^5 : 1^25 = 15 *

• 5*

: 8*

= 16® : 8< = (162 : 83)* = 6

(256 : 512) *

: 5? =

= j/f 6

3*

• 5*

• 5*

: 5*

= 3*

• 5 -t + *

= 3* • 5*

=

eller (24)* : (23)* = 2* : 2> = 2® : 2* = 2*

= ]/f

Brøker Regnereglene for brøker med bokstavtegn i teller og nevner er de samme som for brøker med bare talltegn. 1. Forkorting og utvidning av brøker. • Eks.: 21 : 49 = (21 : 7) : 7 = 3 : 7 = y

Brøkstrek og divisjonstegn er forskjellige regnetegn for samme slags regning. Skriver vi eksemp­ let med brøkstrek, kan vi sette: 21 _ 21 :7 _ 3 49 — ~ T Hvis teller og nevner i en brøk er delelig med samme tall, kan vi forkorte brøken ved å dele teller og nevner med den felles faktor. a2b8 aabb-b a ab4 a-bbbb b (x+l)a (x+l)(x+l) x+1 5x4-5 5(x + l) 5 Ved en divisjon kan dividend og divisor ganges med samme tall uten at kvotienten blir forandret.

Hvis f. eks. 5 m tøy koster a kr., blir prisen pr. m a : 5 kr. For 7 ganger så mange meter betaler vi 7 • a kr. Meterprisen blir uforandret. 7a : (5-7) = a : 5 eller y = -ly Vi kan utvide en brøk ved å multiplisere teller og nevner med samme tall.

Dette bruker vi når vi skal summere brøker med forskjellige nevnere. Vi gjør først brøkene ensnevnte, og så summerer vi tellerne: 2 4. 3 4 _ 2a2 J 3a . 4 _ 2aa-|-3a4-4 a ' a2 ’ a’ a8 + as * a8 a8 _3___ ._ 2 X4-3 ' x+2

3(x-f-2) . 2(x-j-3) (x-S-3) (x + 2) ’ (xJ-2) (x4-3) 3x4-64-2x4-6 x4-12 ~ (X4-3) (X4-2) ~

før og etter at forkortingene er utført. Bruk tallene 0, 1, 2, 3, 4-1, 4-2, 4-3.

• Eksempel: 15 (x-f-y) 15 (x+y) 5 3(x4-y)2 x-|-y 3 (x+y) (x+y) Vi setter f. eks. x = 4-2 ogy == 1. 15 (4-2-f-l) _ 5( H1) — _^5 3 (4-24-1)2 ■ G-l)2 5 5 * -------- — no = 4-5 ° 4-24-1 4-1 .> 64ab 3xy ox (x + l): 16b8c 12x2y ' 2x4-2 x 2 4-y a 4) ^+8 M ‘x2 5) 6) ’44 2+x~ ' 6x4-12 (x4-y)2 2x24-50 o\ x24-25 ' 2x4-10 f x2 4-10x4-25 Summer brøkene, og kontroller resultatene ved å sette inn tall • x4-l . 1 4~X 3x4-7 1) 2x -f- 3 4x-f-6 + 3x4-9 ’ 2x4-9 2 (3x4-16) 2) X4-4 + Atv x-f-4 4- x24-16 x4-y . x^-y xy 3) x4-y + xa4-y2 x4-y X4-2 x-j-3 3x4-10 4) x-f-2 2x4-4 + 3x-|-6 4-?x 5 5) —2 . A + 4 4k-3 c +

2. Vi kan multiplisere en brøk med et helt tall ved å multiplisere brøkens teller med tallet og be­ holde brøkens nevner uforandret.

x2-yx 4-6

• Oppgaver: Forkort brøkene nedenfor. Kontrol­ ler svarene ved å sette inn tall for bokstavene

Vi kan bytte om faktorene slik at multiplikator 3 blir brøk ( _). Da betyr multiplikasjonen det

21

Boks t avregning samme som at femteparten av 4 skal multipli­ seres med 3. .3 4 o 12

= t‘3= 5

3. Vi kan dividere en brøk med et helt tall ved å dividere brøkens teller med det hele tallet. 15 15:3 5 17 17 — 17 Er ikke telleren delelig med tallet (divisor), ut­ vider vi først brøken ved å gange dens teller og nevner med divisor (eller et annet tall som får divisor til å gå opp).

3 „ _ LI • 7 = 3'7:7 = 3 4 : ‘ — 4-7 : Z 4-7 28

19 _ Li . 19 - 36:12 = 1 16 16-4 ' 16-4 64 Eksemplet | : 7 viser at vi kan utføre divisjonen ved å beholde telleren (3) og multiplisere nevne­ ren (4) med divisor (7). 4. I samsvar med eksemplet 4 • | = y -3 2

finner vi regnemåten nar to brøker skal multipli­ seres med hverandre.

• Eks.: Av et tomteareal selger eieren _ og be3 3 holder -- selv. Kjøperen vil bygge på av det 7 o arealet han har kjøpt, og resten vil han selge. Han finner da først femteparten av det han har kjøpt, og dernest tar han tre slike femteparter til eget bruk. Framgangsmåten ved utregningen er sammensatt av en divisjon og en multiplikasjon med de hele tallene 5 og 3. Det er vedtatt å skrive denne sammensatte utregning som en 3 multiplikasjon med brøken _ som multiplikator.

Altså slik:

. 3. 7 5 Vi får regelen: Når en brøk ( 5) skal ganges med

en brøk (y ) betyr det at brøken først skal divideres med multiplikators nevner (5) og deretter multipli­ seres med dens teller (3). Svaret blir for øvrig like riktig om vi først

ganger

med 3 og så dividerer det vi får ut med

5. (En divisor og en multiplikator som følger like etter hverandre i en utregning, kan bytte plass).

Kortfattet blir regneregelen for multiplikasjon av brøker slik: Vi multipliserer brøker ved å gange tellerne og nevnerne med hverandre hver for seg. a c eg a• c•e•g b d h b-d-h

5. Vi dividerer en brøk med en annen brøk ved å multiplisere dividenden med den omvendte * divisor. 3.23 T : 3 — 4

3 9 2 ~ 8

Dette stemmer med divisjonsprøven

9

2 3 • “ =

9 Eks.: Beholderen på en loddelampe tar | liter. Hvor mange ganger kan lampen fylles fra et fat

pa -y liter. Svaret finner vi ut ved å regne ut hvor mange ganger vi kan ta ut | hter avliter. Vi regner

på samme måte som når det er spørsmål om hvor mange ganger vi kan bruke 10 kr. av en be­ holdning på 120 kr. 120 : 10 = 12. ÉI? ; 3 = 603 4 = 20L 4 4 4 3 Vi kan også dividere en brok med en annen brok ved å dividere dividendens teller med divisors teller og dividendens nevner med divisors nevner når disse divisjoner går opp. 603 . 3 _ 603:3 _ 201 = 2Q1 T : 4 — 4:4 — 1 ~ Disse reglene for tallregning bruker vi ufor­ andret ved bokstavregning. • Eksempler: a / o\ a2 + 2a a-1 • (a+2) =

a-f-3 , . i\ _ a-f-3 a + 1 : (a-1) - (a + 1)

_ a +3 - a2_?1

x+y x*4-y x+y * xy

_ (x+y) (x2+y *) _ (x+y) • xy (x+y) (x —y)(x + y) = (x-ry)* (x+y) • xy xy 2x2y 3x2y2 _ 2x2y (x+y) (x+VP ’ (x+y) — (x+y)s • 3x2y2 2 _ 2 _ — 3(x+y)-y — 3xy + 3y2

(3 4- ’y) : (v-x) -

4-

: (y-x)

= 3fr+?>- ; (y-=-x) = 3 y V / y * En brøk er den omvendte eller inverse av en annen når teller og nevner er byttet om, eks.: | og f.

22

Sverre G. Johnsen: Matematikk

— : (1 — 1 ) = : (—1 — 1 ) 1 H-x ' 1+x7 Ij-x 'xj-l ‘ xj-r

1

4)

. x _ 1

1 -]-x ‘ 14-x

x

6)

• Oppgaver: 7

21

SxLo : VTF

3)

5)

2)

11

(1 - xv)

■? (3 + * ) : (1 4- x2)

7)

8)

(1 + 2x) = (1 - * 4 2)

(a + 2)8 a+2 a8 + 4 ‘ a + 2 / a+1 a + 1 x . . a +1 'a+1 "T a+1 ' • ' a+1 a+ 1 Z . 1 .___ 1 \ 5a + 10 * 'a ’ la+ 3O 5x + 2 . _ x + 1 (4x + 2 + 3x + 2 ' ’ 6x + 4

Ligninger med to ukjente • Eks.: Et tog bruker 30 minutter fra A til B, når det går strekningen med uforandret hastighet. Fra B til A er hastigheten 10 km mindre pr. time, og toget bruker 36 minutter. Regn ut has­ tigheten fra A til B og avstanden. (Hastighet x km pr. time. Avstand y km). Da toget bruker | time fra A til B og går x km i timen, blir veien fra A til B |x. Denne av­ stand kaller vi y. |x = y o: x + 2y — 0. Fra B til A er hastigheten x + 10 km/time og tid, 36 . 3 . den time = -= time. 60 5 5 (x 4- 10) = y,

I—II x + 3y + (x + 2y) =12 + 2 3y + 2y = 10 5v = 10 y = 2 x + 3 • 2 = 12 x = 12 + 6 x = 6

I

I II

3x + 2y = 7 2x + 3y = 8

3 2

I II

9x + 6y = 21 4x + 6y = 16

I—II I

5x = x =

5 1

3 + 2y = 7 2y = 7 + 3 y = 2

• Oppgaver: Finn x og y av ligningene nedenfor. Sett løsningene inn i de gitte ligninger, og kon­ troller at de stemmer. 2)

3x + y =2 4x + 2y = 1

3)

X 43y +

y — 5 3 x

4)

6x + 3y = 2 6x + 12y = 7

5)

2X 4- jy = 7 2x 4- 3y - +24

x i

>>

2x +

+

!

6)

+ +

3x + 2y = 14 5x + 4y = 49

X >>

1)

•1 -

a: 3(x + 10) = 5y, o: 3x + 5y = 30. Av de to ordnede ligningene og II 3x + 5y = 30 I x + 2y = 0 med to ukjente skal vi finne x og y. \ i multipliserer alle ledd i ligning I med 5 og alle ledd i II med 2 slik at det blir samme antall y i begge ligninger (nemlig 10y). I x + 2y = 0 -5 I 5x + 10y = 0 II 3x + 5y =30 -2ø: II 6x + 10y = 60 Trekker vi I fra II, faller y bort og vi får x = 60. Hastigheten fra A til B er 60 km pr. time. Denne verdien setter vi inn i en av ligningene, f. eks. I og får 60 + 2y = 0 o: 2y = 60 y = 30 Avstanden mellom A og B er 30 km.

• Eksempler på løsning av to ligninger med to ukjente. I x 4- 3y = 12 II x + 2y = 2

y = 9

Ligninger av annen grad Forekommer den ukjente i en ligning i annen potens, men ikke i noen høyere, er ligningen en annengradsligning eller en kvadratisk ligning.

2x2 + 5x + 3 = 0 er en annengradsligning som foruten annengradsleddet 2x2 også har et førstegradsledd + 5x og et konstantledd +3.

23

Geometri

Setter vi inn i ligningen verdien 3 istedet for x, vil vi se at denne verdien passer. 3 er rot i lig­ ningen. Det samme er tilfelle for x — 4men ikke for andre verdier av x. Ligningen har to løsninger (røtter). En annengradsligning kan ha 2, 1 eller ingen løsning. 2 (x + f) (x -4 3) = 2x2 4- 5x 4- 3 = 0 har to løsninger. Det ser vi av formen til venstre. 9 (x + i) (x + i) = 9x2 + 6x 4- 1 = 0 har bare løsningen x = 4-|, som formen til venstre viser. (x 4- 5)2 + 2 =0 = x2'4- 10x + 27 = 0 har ingen løsning, da (x 4- 5)2 er positiv for alle verdier vi vil gi x, unntatt x = 5. Men for x = 5 måtte 2 være null. Dette er jo umulig. Hvis ligningen bare har annengradsledd i x, er den rent kvadratisk. • Eks.: Et kvadrat har et flateinnhold på 49 m2. Hvor lang er siden i kvadratet ? Siden er x m lang. x • xm2 = x2m2 = 49 m2 x = ]/49 x = 7 x = — 7 vil også passe i ligningen fordi (-? 7) -(4- 7) = (4- 7)2 = 49, men x = 4- 7 gir ikke noen mening som svar på denne oppgaven. Rene kvadratiske ligninger har to løsninger med samme tallverdi (her 7), men med motsatt fortegn — hvis ligningen har løsning. Det har ikke den rene annengradsligningen 3x2 = 4-4. Er annengradsleddet på ligningens venstre side positivt, må konstantleddet pa høyre side også være positivt eller null, da det ikke går an å sette likhetstegn mellom positive og negative tall. Alle rene kvadratiske ligninger løses ved enkel kvadratrotutdraging etterat ligningen er ordnet

slik at vi får annengradsleddet på venstre side av likhetstegnet og konstantleddet på høyre side. • Eks.: | 3x2 4-5 = 4 Kvadrer på begge sider. 3x2 4- 5 = 16 3x2 = 16 + 5 = 21 x2 = 7 o: x = 2,6458 eller x = 4-2,6458 En annengradsligning kan ha annengradsledd og førstegradsledd, men mangle konstantledd. Slike ligninger er lette å løse. • Eks.: En mann eier en tomt som er 50 m lang og 15 m bred. Ved makeskifte med naboen får han økt bredden på tomten ved å gi fra seg dobbelt så mye av lengden. Hvor mye ble bred­ den økt? Svar: Bredden ble okt x m, og tomten blir (15 + x) m bred. Den minker 2x m i lengden og blir (50 4- 2x) m lang. (50 4- 2x) (15 4- x) m2 = 50-15 m2 750 4- 50x 4- 30x 4- 2x2 = 750 2x2 4- 20x = 0. Denne ligningen har ikke konstantledd. Derfor kan vi sette x utenfor en parentes, og får (2x 4- 20) • x = 0. Venstre side blir null for x = 10, da (2 • 10 4- 20) -10=0. x = 0 passer også i ligningen, men ikke som brukbart svar på oppgaven. Etter skiftet blir altså tomten 30 m lang og 25 m bred. Løs disse ligningene på samme måte som vi har lært ovenfor: 1) 2x2 4- 10x = 0 2) 2x2 4- 10x = 0 3)7^ + lx=0 4)^ + ^ _=0 5)^+x

=°

6>3iT2=^

De som vil lære mer om det vi har nevnt her, henvises til realskolens og gymnasiets lærebøker i aritmetikk.

GEOMETRI Legemer, flater, linjer Med legemer mener vi i matematikken avgren­ sede rom uten hensyn til hva rommet er oppfylt av eller hva det veier, eller hvilke eiendommeligheter det kan ha. For rent matematisk behand­ ling av et legeme er det bare størrelse og form som er av interesse.

En flate er grensen mellom sammenhengende legemer, eller den kan være den ytterste grense for et legeme. I praksis må denne grensen ha en tykkelse, f. eks. et eggeskall, en hermetikkboks osv., men i matematikken regner vi ikke med at flater har tykkelser. Eggeskallet, som i praksis

24

Sverre G. Johnsen: Matematikk

er en flate som avgrenser egget, regner vi som et legeme. Vi kan tale om eggeskallets indre og ytre flate. Disse flater har litt forskjellig størrelse. Vi slår altså fast at flater ikke har tykkelse og ikke eksisterer uten som grense for legemer. En linje er grensen mellom sammenhengende flater, eller den ytterste grense for en bestemt flate. Linjen har ikke tykkelse. En bordkant er

grensen for en bordflate. En rett linje får vi best inntrykk av nar vi tenker på en riktig tynn stram tråd. (Men tråden er et legeme.) ° Et punkt er grensen mellom sammenhengende linjer, eller grensen for en linje (begynnelsespunkt eller endepunkt), eller punktet er det sted der to eller flere linjer møtes.

Beregning av plane flater Kvadratet Kvadratet er den enkleste flaten vi kan be­ regne. Alle vinkler er rette og alle sider like lange. Flateinnholdet av kvadratet er s2 flateenheter når siden er s lengdeenheter. Trekker vi en diagonal d, får vi delt dette kvadratet i to like store trekanter av samme form (kongruente trekanter). Flateinnholdet av en trekant blir | S“. Trekanten er rettvinklet og likebenet. Vinkelens ben er s og s. De to andre vinklene i trekanten må Fig. 1 være halvparten av en rett vinkel, altså hver av dem en halv rett vinkel. En rett vinkel skriver vi som R eller IR, en halv rett vinkel skriver vi som | R. Summen av vinklene i trekanten blir: R + IR + 1R = 2R. Det kan bevises at summen av vinklene i alle slags trekanter er to rette. De sidene i en rettvinklet trekant som danner den rette vinkelen, kaller vi kateter. Den tredje siden kaller vi hypotenus. Trekker vi opp begge diagonalene i kvadraKatet mefl side s, får vi delt det i fire kongru­ ente trekanter med ka­ Katet teter lik d. Fig. 2. £

Flateinnholdet av hver trekant er 1 • d •d = 1 d2 2 2 2 8

Flateinnholdet er også | s2 1 8 (12 U

— 1-2 — 4 S

d2 = s2

s2.

Når vi konstruerer et kvadrat med side d lik hypotenusen i den rettvinklede trekanten med katetene s og s, får kvadratet sam­ me flateinnhold som summen av de kvadratene som har katetene til sidekant. Denne læresetningen som er vist her for den likebenete, rettvink­ lede trekanten, er gyldig for alle rett­ vinklete kanter.

Den pytagoreiske læresetning Den læresetnin­ gen som er nevnt ovenfor, kalles den pytagoreiske lære­ setningen. Den er et meget nyttig hjelpemiddel ved mange utregninger og kan uttales slik: Flateinnholdene av kvadratene på kate­ tene er sammenlagt like store som flate­ innholdet av kvad­ ratet på hypotenu­ sen. a2 + b2 = c2 Fig. 5.

Geometri

Vi tegner opp et kvadrat med side c, og utenpå dette fire rettvinkvinklete trekanter med kateter a og b, som figuren vi­ ser. Den ytre kon­ tur er sider i et kvadrat, og leng­ den av sidene er (a + b).

Fig. 6. (a4-b)2 =4.|ab + c2 a2 4- 2ab + b2 = 2 ab + c2 a2 b2 = c2 • Eks.: Fra et trevarelager skal vi bestille sperr til et tak. De skal være 5 tommer (13 cm) høye og rekke 0,5 m utenfor veggen. Mønet skal ligge 3 m over bjel­ kelaget (innvendig mål). Huset er 8 m bredt (utvendig mål). Hvor lange sperr skal vi be­ stille ?

x2 = 9 4- 16 = 25 x = 5 Vi må bestille 5 m 4- 0,5 m 4- 0,13 m — 5,63 m. • Oppgave 1. Regn ut grunnlinjen i et rektangel med høyde 2,5 m og diagonal 5 m (4,33 m). • Oppgave 2. Konstruer et kvadrat med side 6 cm. Del sidene i tre like store deler. Trekk rette linjer mellom to og to delingspunkter nærmest hvert hjørne. Vi får da en 8-kant inne i kvadratet. Hvor stor omkrets har 8-kanten? Trekk rette linjer fra et hjørne i 8-kanten til hvert av de andre hjørnene. Regn ut lengden av disse linjene. Finn lengden av radien i en sirkel som er trukket om 8-kanten. Ukjent side i 8-kant =2 2 di — 2 5 — d5 d2 = 6 d3 d4 = 4 |z2 r

= 2 ynr

25

• Oppgave 3. Hvor brede plater kan vi få inn gjennom en glugge på 1,30 m x 1,10 m? Regn 4 cm klaring. • Oppgave 4. Av en rund stokk med diameter 21 cm skal vi skjære en firkantet bjelke med 7 høyde lik av bredden. Finn bjelkens høyde. • Oppgave 5. Vi skal opp på et fjell som er 643 m høyt. Etter kartet ligger startstedet 1600 m fra fjelltoppen målt vannrett mot toppen. Start­ stedets høyde er 37 m. Hvor lang er veien til toppen, hvis vi regner med jevn helning av fjell­ siden ? • Oppgave 6. Regn ut diagonalen (den lengste avstand mellom to hjørner) i en terning med sidekant 5 dm. • Oppgave 7. Regn ut sidekanten i en terning når diameteren er 40 cm. • Oppgave 8. Et betongfundament med dimen­ sjoner 3-2-5 dm skal armeres diagonalt. Regn ut lengden av armeringsjernet fra hjørne til hjørne. Rektanglet Rektanglet er en firkant der alle hjørner er rettvinklete. Flateinnholdet av et rektangel med grunnlinje G og høyde H er: F = G-H To diagonaler deler opp rektanglet i fire like store trekanter. To og to av dem er kongruente. (Finn ut av det.) Diagonalenes skjæringspunkt ligger like langt fra alle hjørner. Romben Romben er en flate med fire like lange side­ kanter (s) to og to*i vinkler er like x, x) og Fig. 8b (y, y)’ °g Lx + Ly = 180°. Diagonalene a og b står loddrett på hverandre, de deler romben i fire kongruente trekanter. Rombens flateinnhold blir: F = ^ . |a . |b . 4 = | a b. Eller 4 sh.

Den likesidete trekanten En trekant med like lange sider kaller vi en likesidet trekant. Trekker vi en linje fra et hjørne i trekanten til midtpunktet av siden rett imot hjørnet (motstående side), blir den høyde i trekanten.

26

Sverre G. Johnsen: Matematikk

h2 + (|)2 = s2 ll2 = S2

1 S2 = 3 S2

h | 1,73 s. * Omkretsen 0 = 3 s Flateinnhold F — | s-h =

4 s . -U/3 = ^J/3 ' Fig. 9. Trekker vi opp to høyder, vil de skjære hver­ andre i punkt C, som ligger like langt fra alle hjørner. Derfor kan vi slå en sirkel om C og la den gå gjennom hjørnene.

Fig. 10. Alle vinkler i den likesidede trekanten er like store. Da nå summen er 180 °, blir hver av vink­ lene 180 ' : 3 — 60°. Vinkelen mellom en høyde og en side blir altså 30°, og vinklene mellom to radier trukket til to hjørner (B og C) blir 120°.

Av fig. 10 ser vi at h = R 4c 2 2 Fra før har vi h —

R ø: R = | h 3

• s

denne sirkel berøre alle * Tegnet % betyr tilnærmet lik.

trekantsidene. Sirkelen blir trekantens innskrevne sirkel. Høy kandene fra trekantens hjørner inntil C deler trekanten i trelike store deler. Hver av disse deler har grunnlinjen s og høyden r. Derfor 9 er trekantens flateinnhold 3s • |r = — sr.

Da omkretsen 0 — 3s, F = | Ot. Den omskrevne og den innskrevne sirkelen for en likesidot trekant har felles sentrum. Dette punkt er også trekantens tyngdepunkt. Tygdepunktets avstand fra sidene blir da lik en tredje­ del av trekantens høyde. Formelen F = £ 0r er gyldig for alle mangekanter som er omskrevet om en sirkel med radius r. Dette skal vi vise utførlig for den likebenete trekant.

Den likebenete trekanten En likebenet trekant h ir to like lange sider, Den tredje siden kaller vi grunnlinje AB. CD er loddrett på AB, og er C altså høyden i trekanten. AE går fra A til midt­ punktet av BC. En slik linje kaller vi en median. CD er en annen median. Medianenes skjærings­ punkt T er tyngdepunkt i trekanten. Omkretsen = 0 — 2s -f- g F =igh er2 s2 — -

y

3:F= 2$ V8'

4

1

Vi skal nå regne ut flateinnholdet uttrykt ved sidene. Vi har: omkretsen 0=s-|-s + g = 2s + gVi trekker rette linjer fra sentrum i den innskrevne sirkelen til trekantens hjørner. Da blir trekanten delt i tre nye trekanter med grunnlinjer g, s og s. Alle disse trekantene har høyden r. Flateinnholdet av ABC er derfor: F = |s-r + |s-r + lg-r = 1 r (2s + g) Fig. 13. F =|r-0.

27

Geometri

Fra for har vi F = ~^-g Is2 -4Z

V i setter de 4

F

to formlene for F i ligning:

fått talltegnet - og de forste seks sifrene for skrevet som desimalbrok er 7T = 3,14159........... Altså P = ti . d.

g pYs2 4- g2 _ g i (2s + g) (2s 4- g) r “ T 2s 4- g 2 I (2s + g)2 gV2»4-g 2 I 2s + g

For den omskrevne sirkels radius R har vi formelen 2 R — — s (utledning av denne formel pAs2 -r g* slovfes). Den alminnelige trekanten Er trekantsidene a, b og c lengdeenheter og vi betegner omkretsen med s = a — b -|- c, har vi en formel for flateinnholdet som heter Herons formel (utledningen sløyfes). F = ]/| (| Z a) (A Z b) (A Z -, tg 15 0 = & V 1 • 2/ 1 + tg Vi . tg va 6 1/3 1 - = 0,268 1 + ^3 • 1 (Cotangens tar vi ikke med.) Cotg (v, + v,) = * (¥1X+ V1)

Av sumformlene kan vi ved å sette Vj = v2 = v få formler for trigonometriske funksjoner til det dobbelte av en gitt vinkel uttrykt ved funksjo­ nene av den gitte vinkel. sin 2v = 2 sin v . cos v cos 2 v = cos2v 4- sin2v = 2cos2v 4- 1 = 14-2 sin2v _ 2tg v tg 2v = . . & 1 + tgav

Sverre G. Johnsen: Matematikk

40

Trigonometriske funksjoner til den halve vinkel Av og til er det bruk for å regne ut trigono­ metriske funksjoner til det halve av en vinkel, uttrykt ved en trigonometrisk funksjon til hele vinkelen: . A . i ,1 -r cos A A .'1/1+ cos A sm _=±|/cos^=±|/----- -2-----

A_ 2 For sum cosinuser

i 1 | 1 og har

4- cos A _ sin A + cos A 1 + cos A differanse av to sinuser eller to vi formlene :

A+B • 2 A+B = 2cos • 2 A+ B = 2 cos 2 . cy • A+B = — 2sm —s—

sin A -f- sin B = 2sin

cos

AtB

2 A 4- B sin A + sin B sin 2 A 4- B cos A -j- cos B cos 2 A 4- B T> • sin cos A +- cos B 2 Tilsvarende formel for tangens er * । i-» sin (A + B) tg A Z tg B = ----- ? L cos A • cos B

Eksempler på trekantberegning Til trekantberegning bruker vi ved siden av sinussetningen og cosinussetningen en tredje formel. Den kalles tangensproposjonen:

a+b

a 4- b A+ B , . C Istedenfor tg —-— kan vi sette cotg — tjc

når A, B og C er vinklene i en trekant. En trekant kan på forskjellige måter være bestemt ved oppgitte sider og vinkler. Vi skal gi eksempler på beregning av ukjente sider og vinkler i trekanter som er bestemte, og vi vil skjelne mellom bre hovedtilfelle. 1. En side a og to vinkler er gitt, f. eks. Z B og

^ZA =k-+(ZB+ ZC). Sidene b og c finner vi ved sinusproporsjonen. b a . , a sin B a sin C . T} —A I ) . Ar, c = —sin —A Tsin B — ~sin ' : b = sin

F = l>b • c • sin A Kontroller resultatet ved dette talleksemplet:

a = 4,32, Z A = 35C2F, ZC = 72°19’ ZB = 180° +- (35°21’ + 72°19’) = 72 °20' b =

• qcooiz— = 7,1144 sin 35 21 4,32 sin 72°19' c = 7,1137 “ sin 35°21' hc = b • sin A F = I 7,1137 • 7,1144 • sin 35 °2F = 14,642.

• Oppgaver: Finn de sider og vinkler som ikke er gitt i △ ABC. Regn ut flateinnholdet. 1) a = 72, ZA = 115°, ZC = 20° (45° ~ 56,2 og 27,2) 2) c = 13, ZA = 16°10’, ZB = 29 °40’ (134 °10, 5,0 og 9) 3) a = 1,003, ZB = 119°48’, ZC = 30°14’ (29°58’, 1,7425, 1,0111) 2. To sider i trekanten og en vinkel er gitt. a) To sider er gitt og den største sides motstående vinkel. La den største av de gitte sider være a, så er ZA gitt. sin B sin A —r— = —, eller b a sin B = sin A. a Til den funne verdi av sin B svarer to verdier^ av ZB, men bare vin­ kelen i I. kvadrant kan passe for oppgaven da / B skal være mindre enn / A og / (A B) må være mindre enn 180°.

41

Trigonometri, trekantmåling Brøken — er etter forutsetningen en ekte brok. 3 Verdien for sin B skal derfor bli en ekte brok. Når B er funnet, er Z.C bestemt ved at vinkelsummen er k (180 °). Siden c finner vi ved sinussetningen (se 1). • Talleksempel: a = 5,821, LA = 55°10’,

b = 3,792. sin B = 1^1 • sin 55°10’ = 3,041

• 0,82082 1

= 0,53471 Z.B = 32°19\5. LC = 180° 4- (A + B) = 92°30’,5. a • sin C n no a c = —;—= 7,084. sin A b) To sider a og b og den minste sides mot­ stående vinkel er gitt. I dette tilfelle blir opp­ gaven tvetydig, den gir to svar for de størrelser som ikke er gitt, og det må avgjøres praktisk om begge eller bare en av løsningene kan brukes til formålet. Er a < b, skal Z. A være gitt.

Som før: sin B =

• sin A.

a b er etter forutsetningen større enn a. Da er det mulig at a, b og LA kan være gitt slik at *’ sin A > 1. I dette tilfelle blir oppgaven a uløselig, fordi sin B ikke kan være større enn 1.

Er — sin A = 1, altså sin B = 1, er L B en rett a vinkel. Vi går nu ut fra at sin B = sin A er en ekte brøk. Da får to verdier. Kaller vi den som ligger i I. kvadrant Bn og den i II. kvadrant B2, har vi B2 = 1^! Dette gir oss to forskjellige trekanter, da vi får to verdier for Z.C og for siden c. De kan da regnes ut som i a). • Talleksempel: a = 67,4, b = 102, LA = 35 14

• sin 35°14’ = 0,87308 67,4 B, = 60“49’ , B2 = 180° 4- 60°49’ = 119aH' C, = 180° 4- (A + B.) = 83°57\ C2 = 25°35’

sin B =

c-= ?

sin A

c, = 116,18 ,rc2 = 50,45

c,

• Oppgaver: Finn de sider og vinkler som ikke er oppgitt når: 1) a = 28,4, b =21,5, £B =32° (A = 44°25’,6) 2) a = 56,8, b = 111,6, £B = 32°17’(A = 15 °46’,7) 3) a = 28,4, b = 7, ZB = 45°12’. 3. I en trekant er to sider gitt, f. eks. a og b, og den mellomliggende vinkel C til disse to sider. Vi bruker cosinussetningen til å finne c. c2 = a2 + b2 4- 2ab • cos C.

c = ] a2 + b2 4- 2ab • cos C Når c er regnet ut, finner vi resten på samme måte som ved tidligere tilfelle (sinussetningen). • Talleksempel: a = 13,5, b — 22, ZC = 42 = |/13,52 + 222 4- 2 • 13,5 • 22 • cos42° = 14,994 13,5 sin A = 14,994 • sin 42 = 1^4 • °’66913

= 0,60245

LB = 100°57,,3 I dette tilfelle kan vi med fordel bruke tangensproposjonen. Regningen blir i store trekk slik: a b C A vB a -b A + B - a + b ' tg = r+b • cotg t b 9 2 la = 37°2\ 7

idet tg

A + B + C 9 = c°tg 9

fordi A4-B tg

A + B

,

C

= 90°.

2 '2 22 4- 13,5 cotg 21° 22 13,5

2 J±5 . 2,60509 = 0,62375 35,5 B = 69°, -B = 31°57’, 2 gir 2 A = 100° 57',2 B = 37°2,,8 Her er regnet med a = 22 og b = 13,5. 4. Alle tre sider er gitt. Ved cosinussetningen kan vi bestemme en av vinklene. Dermed er oppgaven tilbakeført til utregning ved sinussetningen. • Talleksempel: a = 6,4, b = 5,12, c — 7,32 38.837 b2 + c2-?a2 a: A 58°48' cos A = 74,96 2 bc

*

42

Sverre G. Johnsen: Matematikk

DIFFENRENSIALREGNING Funksjoner Vi tenker oss et parallellogram som forandrer flateinnhold på grunn av at sidene forandrer lengde. Til å begynne med er sidene 8 og 2 lengdeenheter, altså er flaten 16 flateenheter. Så avtar langsiden samtidig med at kortsiden tiltar. Vi lar langsiden avta x lengdeenheter jevnt, kortsiden øker samtidig 2x lengdeenheter. For flatens størrelse kan vi stille opp en formel: y = (8 4- x) (2 + 2x) = 16 + 14x 4- 2x2 Flaten = langside • kortside. Etter denne formel er flatestørrelsen y avhen­ gig av lengdeforandringen x. I matematikken uttrykker vi dette ved å si at y er en funksjon av x. x er funksjonens frie variable eller uavhengige variable, og y er den avhengige variable fordi dens verdi er avhengig av den verdi x har. Vi stiller nå opp en tabell over flatestørrelsen y for forskjellige verdier av x. abscisser .................. x 0 1' 2 3 4 5 6 7 8 ordinater............. 7T|“^16|28 364040 36 28 16~0

For å få bedre oversikt over hvordan y-verdiene er bestemt av x-verdiene i en funksjon, stiller vi opp et diagram. Det består av et rett­ vinklet koordinatsystem (se side 31). Vi av­ setter x-verdiene som abscisser og tilsvarende y-verdier som ordinater (se tabell), og får en rekke punkter avsatt i koordinatsystemet. Så legger vi en linje gjennom punktene. Linjen (kurven) kan brukes til å måle ut y-verdier for andre x-verdier enn de som er brukt i tabellen. I figur 65 er enheten for x satt til 1 cm og en­ heten for y satt til 1 mm.

Definisjon: En størrelse y er en funksjon av en annen størrelse x hvis y får forskjellige verdier når vi gir x forskjellige verdier. Funksjonen y = 16 4- 14x 4- 2x2 er en funk­ sjon av annén grad * fordi den uavhengige vari­ able har eksponenten 2 som høyeste eksponent. Funksjonen y = x er en funksjon av første grad. Det samme er funksjonen y = 3x 4 2. Høyeste potens av x er nemlig første potens i disse funksjonene. Vi vil se nærmere på funk­ sjonen y = | x. Tabellen blir: abscisse ............. ordinat................

x 0 y| 0|

2 1|

4 2|

6 4-2 4-4 3 4-l|4-2

Punktene ligger på rett linje gjennom origo * (utgangspunktet i koordinatsystemet). Vi velger 1 cm som lengdeenheter for x- og y-verdier. Et punkt på kurven har abscisse 2 og ordinat 1. Punktet betegnes slik (2,1). (0,0) * er origos ko­ ordinater. Vi går ut fra ett punkt på linjen, f. eks. (2,1), og går 1 lengdeenhet horisontalt til høyre. Kurven ligger da | lengdeenhet høyere enn den

lå i punktet (2,1). Den har steget | lengdeenhet Kurvens stigning er | på 1. Går vi ut fra origo (0,0) og til (2,1), har kurven steget 1 på 2. Det blir også | på 1. Vår førstegradsfunksjon y = |x har overalt samme stigning, £ på 1.

Fig. 65.

Origo er aksenes skjæringspunkt.

43

Differensialregning

Tegn så opp kurven for funksjonen y = |x

+

Det blir en rett linje parallell med linjen

y = |x, og for x = 0 blir y =

Vi skal finne stigningen for y. Vi gir x en tilvekst Ax og får en ny verdi for y. Forandringen av y kaller vi Ay»

Begge linjer

har samme stigning, | på 1. For korthets skyld sier vi at linjens stigning er |. Stigning er det samme tall som tangens til linjens vinkel u med x-aksens positive retning.

Fig. 68.

tg u = I Den alminnelige form (o: formen for alle) førstegradsfunksjoner er y = kx + b, der k og b er de faste tall vi må bruke for å få bestemte førstegradsfunksjoner. Vi går ut fra en fritt valt x-verdi og gir den et tillegg på 1. Så regner vi ut hvor mye y er okt. Økningen kaller vi Ay (uttales delta y). Y + AY = k(x -|- 1) + b = kx + k • 1 + b y = — — —= kx + b ' Ay = . k • 1 =k Ay er her funksjonens stigning når vi lot x øke med en enhet. Vi ser at stigningen for enhver førstegradsfunksjon er det samme som koeffisienten k for den uavhengige variable x.

= |x2 + |x • (Ax) + |(Ax) 2 |x2 |x • Ax + i (Ax)2 Stigningen for y er

på Ax, altså ~.

Derfor dividerer vi over ligningen med Ax

△y _ |x 4- |Ax Dette er den midlere stigning for kurven når x øker med Ax.

Førstegradsfunksjonens deriverte er det samme som dens stigning. Hvis y ikke forandrer seg, men beholder en konstant verdi a, vil y ha stigningen 0.

Den deriverte av en konstant er null. Funksjonen y = a er uavhen­ gig av x. Den har samme verdi a X for alle x, men den blir likevel betraktet som et Fig> 67. spesialtilfelle av gruppen funksjo­ ner med den alminnelige formen y = kx -|- b, da k her har den spesielle verdi 0 og b verdien a. Altså y = 0 • x + a som gir y = a f°r a^e x‘ verdier. Funksjonen kan også betraktes som spesialtilfelle av den alminnelige form y = ax11, der n har spesialverdien 0 (x° = 1 for alle x). Et rektangel har en side som er x lengdeen­ heter og en høyde som er |x lengdeenheter. Flateinnholdet y blir: y = |x • x = |x2 (Sett opp tabell og tegn opp kurven.)

For å få oversikt over flatens størrelse for for­ skjellige verdier av x og for hvordan flaten y forandrer seg når siden x forandres, tegner vi et diagram for funksjonen. y = lx2

x| o|

1 _j|_ 3| 4| 5| 6|----- ~

~y|~o|~l il 2il 4I 6il 9I------Den deriverte av ax2. Vi gjentar regningen ovenfor med funksjonen y = ax2. Vi går ut fra et valt verdisett (x,y) for funksjonen y = ax2. Det svarer til et punkt (x,y) på kurven. Så gir vi x en tilvekst som vi kaller Ax. Da kommer vi til et nytt punkt på

44

Sverre G. Johnsen: Matematikk

kurven, og tar et nytt verdisett for funksjonen. Det har koordinatene (x + Ax, y -f- Ay). da y har fått en tilvekst Ay som er bestemt ved funksjonen y = ax2, der x nå er blitt til (x + Ax). Ny verdi for y: y+Ay=a(x+Ax)2=ax2+2ax -Ax + a- (Ax)2 Den verdi vi gikk ut fra: y = ax2 — ax2 Den forandring y fikk: Ay = 2ax-Ax+a(Ax)2

' x er kurvens og funksjonens midlere stigning når x oker med A x fra verdisettet (x,y). Vi kan altså få midlere stigning ved å dividere venstre og høyre side av siste ligning med Ax.

Midlere stigning fra (x,y) til (x + Ax,y + Av): = 2ax + a • Ax 1 rekker vi en rett linje (en sekant) gjennom de to punktene på kurven, vil denne linjen ha stignmgen Ay △ x = tg U == 2aX + a- △ *

Er x = 2 og Ax = 1, har vi for y = |x2 punkte9 ne (2,1) og (3,—), som gir tg u = 2 • | • 2 + 1

tg u = 1.25. Lar vi Ax avta og gå mot null, vil punktet (x A Ax, y + Ay) bevege seg langs kurven og nærme seg (x,y). A^ nærmer seg da verdien 2 ax. Derved vil sekanten lå en stilling som er bestemt ved punktet (x,y) og ved at tangens til helningsvinkelen blir 2 ax. Denne linjen sier vi er tangent til kurven i punktet (x,y). For y = |x- får da tangenten i (2,1) stigningen tg u = 1.

for x. Den konstante faktor a kom igjen ufor­ andret ved den deriverte. Den deriverte av x" er y’ = nxn ~ 1 for alle verdier av n. Er y = 7x3, blir y’ = 3 • 7x3 ?1 = 3 • 7x2 = 21x2.

Den deriverte av potensfunksjonen y — axn er y' = naxn^\ altså eksponenten n ganger kon­ stanten a ganger den uavhengige variable x opphøyet til en eksponent som er en ener mindre enn eksponenten i fiftiksjonen y = ax”. Er y — -- — 3 x blir y’ = 4-2 • 3x 2 ’ 1 = J x2 J A2 • 3x'3 = -X3

Ery = 1/2. x^^bliry’ =^2 • ]/3 x V3’1

x 0,73

= 2,45

Er y en funksjon av x, finner vi y’ for en be­ stemt verdi av x ved å gi denne verdi av x en liten variabel tilvekst Ax og så regne ut den tilsvarende forandring (Ay) av y. Til slutt skriver vi opp forholdet Ay. Hvis dette forhold får en bestemt verdi (uttrykt ved den verdi som er valt for x) når Ax avtar mot verdien null, har y en derivert som er lik den verdi A> får △x når /\x blir null. 4 y = i J X2 4 y + Ay — z , A—u J (x-f-Ax)2 a _ _ 4 .4 4x2 4-4 (x J-A x)2 • (x-f- A x)2 ~ x2 — ~(x+Ax)2 • x2 a . __ 4x24-4x24-8x-Åx-r-4 (Ax)2 (xJAx)!.x2

Av = - 4 ■

’

Ay = — 4 Ax

’

(x+Ax)2-x2

2x + △x _ (x+ Ax)2 • x2

Når Ax blir null, går høyre side over til △y . z 2x . 8x , .8 = — 4 --------- = — 3• v = — — Ax x2 • x2 x4 ' • ’ x3

A i sier at 2ax er stigningen for kurven y = ax- i punktet (x,y) og at 2ax er den deriverte av funksjonen y = ax2 for verdisettet (x,y). Den deriverte av funksjonen y betegner vi med y’. Vi merker oss at den deriverte av annengradsfunksjonen y = ax2 ble en førstegradsfunksjon y = 2 ax. Eksponenten for ax2 ble senket med en ener, men kom igjen som faktor

Bruker vi regelen for å derivere potensfunksjonen y — ax” o: y’ = nax"4"1 , kan vi skrive 4

y = = 4 . x-2 , y ’ = 4- 2 . 4 . x-2-! = •'x2 J 4- 8x-3 = - x3 o •

4

Setter vi x = 2, får vi y = — = 1 og y’ = 4-1.

45

Differensialregning

I kurvepunktet (2,1) har kurven en tangent, og den danner en vinkel med x-aksens positive retning med tangens = 4-1.

tgu = 4-1 u = 135°.

Fig. 70

Parabelen er navnet på den kurven vi har brukt for å vise sammenhengen mellom funksjonsverdiene y og x i funksjonen y = ax2 (fig. 70a og 70b). Kurven er av interesse for flere fagområder : For bevegelseslæren i tilfeller hvor fallbevegelser kommer inn som bestanddel av sammen­ satte bevegelser (s. 85), f. eks. ved utskyting av projektiler. For å nevne noen andre eksempler: ved profilering av unnarenn i hoppbakker, ved enkelte hvelvkonstruksjoner, ved dambygg og ved lyskastere. Som geometrisk figur har parabelen den egenskap at et hvert punkt (x, y) på kurven har samme avstand fra et fast x-tfAse pUnkt} brenn­ punktet (F), som fra en rett linje, styrelinjen (S). Den variable av­ stand r fra F og S til et punkt (x, y) på Fig. 70a

F parabelen kaller v / brennpunkt radien. Avstand fra (x, y) til styrelinje er r = x

+ P Avstand fra (x,

y) til brennpunkt (F)err2=y2+(x-H2 Altså x + 4 = |/y2 + (x - |)2

(x+ D2 =y2 + (x —v)2 Ved videre regning gir dette parabelens lig­ ning: y2 = 2px. Parabelen er symetrisk om x-aksen og denne kaller vi parabelens akse. Dreier vi figuren 90° slik at styrelinjen kom­ mer over y-aksen og forer inn y = t (tiden i sek.) x = s (fallhøyde) og p = får vi ligningen t2 = -u~ . s eller s = | . 9,8 t2 Denne siste form for parabelens ligning viser hvor langt et legeme har falt i t sekunder hvis det ikke moter motstand under bevegelsen.

Regneregler for den deriverte av en funksjon Har vi flere funksjoner av x og skal regne med dem samtidig, gir vi de forskjellige funksjo­ ner forskjellig betegnelse. • Eks.: y = ax3, u = 3x, v = 5x2. Ofte må vi bruke slike betegnelser som - u(x) = 3x og v(x) = 5x2.

Slike betegnelser passer det å bruke når vi vil stille opp regneregler som er gyldige ikke bare for bestemte funksjoner som 5x2, men for alle slags funksjoner. En slik regneregel er regelen for den deriverte av en funksjon som består av summen av to funksjoner.

Den deriverte av summen av to funksjoner Den deriverte av summen av to funksjoner er lik summen av de to funksjoners deriverte.

F(x) = U(x) + V(x)

F’(x) = U’(x) 4- V’(x)

• Eks.:

F(x) = 2x3 4- 5x2 V(x) U(x) F’(x) =3-2x24-2-5x V’(x) U’(x)

46

Sverre G. Johnsen: Matematikk

Kontroller følgende derivasjonsresultater: y = x2 + 4- ] x = x2 + x^1 4- xt,

4- 2 4- pj

y’ = -

4x )/x

3xJ^x

y=

i * x

vX

- (2x 4- 1) +

=

2xi

y = (2x3 4- 4x) 4- (x + 1) 4- 3x2

y’ = 6x2 + 6x 4 5

4- (2x 4- 1) + yx+i,

Den deriverte av et produkt av to funksjoner Den deriverte av et produkt L7(x) • V (x) er lik den første faktor U(x) multiplisert med den deri­ verte av den andre V’(x) pluss den andre faktor

• Eksempler: 1) F(x) = x2 • ] x U(x) V(x) F’(x) = x2 • | x^i + ]/x • 2x U V’ V U’ F’(x) = -J--+ 2x4 2 jx 2) F(x) = (2x3 4- x) (x2 + —) — U V x 2x5 4- x3 -f- 2x2 4- 1 F’(x) = (2x3 4- x) (2x 4-

+

F(x) multiplisert med den deriverte av den første U\x). F(x) = U(x) • V(x), F’(x) = U(x) • F’(x) + F(x) • U\x)

= 4x4 4- 2x2 4- 2x + — + 6x4 4- x2 4- 6x— — X 1 1 X = 10x4 4- 3x2 + 4x Deriverer vi den utmultipliserte F(x) = 2x5 4- x3 + 2x 4- 1, kommer vi til samme resultat. Bruk regelen for derivasjon av et produkt, og kontroller derivasjonsresultatene: 1) y = x(x 4-2) y’ = 2x 4- 2 2) y = x2(7 4- x) y’ = 14x 4- 3x2 3) y =(2x34-1) (x4-5) y’ = 8x3 4- 30x2 4- 1 4) y = (ax 4- b) (ax 4- b) y’ = 2a2x 5) y = (x2 4~ x4)x4'1 y’ = 1 + 3x2 y = ] x • l^x^1

(x“ 4- |) • (6x3 4- 1)

6Fx6

Den deriverte av en (rasjonal) brokfunksjon F(x) = j~J er hk nevneren V(x) multiplisert

med den deriverte av telleren U\x) minus telleren U(x) multiplisert med den deriverte av nevneren F’(x). Det hele dividert med kvadratet av nevneren. = V(?fU'(x)± U(x) V'(x) [ ’ (V(x)f • Eks.: y = 23-±J y’ = x2-2 4-(2x 4-!)• 2x 7 x2 J (x2)2 v’ — 2x2 4x8 2x — -^2(x + l) y X* ~ X3 Kontroller disse derivasjonsresultatene: 2x 2 i) y = x4-1 (x+1)2 5x3 45x2 4- 10x3 2) y = 3 4- x (3Tx)2~

3) y

x24* 2 x24- 1

2x 4- 5 4) y = 3x 4- 1 5) y

2x2 4- 3 2 4- 3x2

ax 4- b 6) y = b 4- ax

v’ — — • y

17 v y’ — — (3x 4- *1) 26x v’ — y — (2 4 3x2)2 2 ab v — y’ — 4(b ax)2

x2 4- ax 4- b ?) y = x2 4- ax 4- b

8) y =

1 x 4- X1 2x 4- — X

6x (x2 4- l)2

v’ y

v y’

2x(ax 4- 2b) (x2 4* ax 4- b)1 2x • (2x2 4- l)2

47

Differensialregning

Den deriverte av en funksjons funksjon Funksjonen F(x) = y = j x2 — 3x kaller vi en irrasjonal funksjon fordi den uavhengige variable x forekommer under rottegn. For å kunne derivere en slik funksjon må vi bruke en ny hjelpevariabel som vi betegner med t. Den er bestemt ved ligningen t = x2 + 3x.

Altså er t en funksjon av x. Da kan vi sette y = ] t = t* og får at y er en funksjon av t.

Når y er en funksjon av t, og t igjen en funksjon av x, sier vi at y er en funksjonsfunksjon av x.

t$ kaller vi ytterfunksjonen og t = x2 + 3x, innerfunksjonen. Derivasjonsregelen for en funksjonsfunksjon: Deriver ytterfunksjonen og innerfunksjonen hver for seg, og multipliser disse deriverte med hverandre.

• Eks. 1: y = (x2 4- 2x l)2 = t2 (t = x2 4- 2x -4- 1) Ytterfunksjonen er t2. Dens deriverte er 2t. Innerfunksjonen er x2 4- 2 x 4- 1. Dens deriverte er 2x 4- 2. y = 2t . (2x 4- 2) = 2(%2 4- 2x 4-1) (2x 4- 2) • Eks. 2:

Kaller vi ytterfunksjonen U(t) og innerfunk­ sjonen t(x), blir formelen for den deriverte av funksjonsfunksjonen slik:

y = ax3 4- X = t» t’ = 3ax2 4- 1

(t = ax3 4- x),

Er y = U(t), blir y' = D’(t) • t\x)

I vårt eksempel var ytterfunksjonen y = t®.

• Eks. 3: 3

Den deriverte blir It^1 = it~i = ----- 7=. 2 2 2 /t

,

. (x2-?l) • 2x 4- (x * + l) • 2x • »------------- -----------------

,

1

3 ______

y =

og 4-

1 3

4- 4x i x2 4-1 . 4-4x ’ (x2-rl)2 = I I xa+ 1 (x2 4- 1Y

•1

Kontroller derivasjonsresultatene: 2x4-3 1) y = |/x2 4- 3x 4~ 1 y’ = 2 /x24-3x4-1 -ra a _ /„ • ■x; 2 y 2) y — 2 (a4-x) ya 4-x a Va2+x2 v ’ — y y — ax x2 Va24-x2 b __ x 4) y — y (ax24- b) y/ax24-b y ax2 4- b &

Hvis x nærmer seg verdiene 0 eller 4- 3, vil y’ ha meget store verdier (y’ vokser over alle grenser). Tangens til tangentens vinkel med xaksen blir altså et meget stort tall. Av dette slutter vi at tangenten til kurven står loddrett på x-aksen i punktene (0,0) og (0, 4-3). Den ene tangenten er y-aksen. I punktene (1,2) jJg

4-4x

y = Tyy ’ ,

y = }/x2 -J- 3x

(4- 4,2) er tg u henholdsvis

y

Sil

Innerfunksjonen var t — x2 3x. Dens deriverte er t’ = 2x + 3. Produktet av dem blir altså , 1 zn i 2x + 3 y —----- 7= ■ (2x — 3) — = y 2 Vt 2 Vx2 + 3x

48

Sverre G. Johnsen: Matematikk

Den deriverte av de trigonometriske funksjoner For de trigonometriske funksjoner fører vi her opp derivasjonsformlene uten utledning. y = sin x y = cos x

y’ = cos x y’ = 4- sin x

y = tg x

y’ = 1 + tg2x = —\ ° cos2x

y = cotg x

y’ = 4-(l + cotg2x) = 4-

• Eks. 1: y = sin2x, y’ = 2 sin cos x = sin 2x, y er en funksjonsfunksjon, y — t2, t = sin x Altså: y’ — 2t • cosx = 2sin x cos x

• Eks. 2:

y — 2 sin x ■ cos x y er produktfunksjon, faktorene er U(x) = 2 sin x V(x) = cos x y’ = 2 sin x • (4-sin x) -f- cos x • 2 cos x U(x) V’(x) V(x) U’(x) y’ — 2 (cos2x 4- sin2x) = 2 cos 2x

• Eks. 4: y = cos2x • sin x produktfunksjon der faktoren cos2 x er funksj onsfunksj on. y’ = cos2x • cos x 4- sin x • 2 cos x • (4-sin x) U(x) V’(x) V(x) U’(x) y’ = cos3x 4- 2 sin2x cos x = 3 cos3x 4- 2 cos x = cos x(l 4- 3 sin2x) Deriver disse funksjonene: 1) y = x • cos x y’ == cos x 4- x sin x 2) y = x sin x + cos x y’ = x cos x 3) y = x 4- sin x cos x y’ = 1 + sin2x 4- cos2x = 2sin2x tg x , = 1 + tg2X 4) y = 1 4- tg X (1 -rtgx)2 cos x + a , _ . 1J- a(sin x -f- cos x) 5) y = sin x + a * (sin x + a)2 sin x , cos3x 4- sin3x 6) y = 1 + tg x J (cosx 4- sinx)2 1 , _ .2 cos 2x 7) y = sin 2x ‘ sin2 2x 1 , _ 2 sin x 8) y = cos2x cos3 x 9) y = 7sin ] 2x 4- sinx y’ =

• Eks. 3:

V = sin 2x (funksjonsfunksjon) y’ = cos 2x • 2 = 2 cos 2x (se eks. 2)

10) y = 2 sin 3x

f 2 sin x cos x 4* cos x 2 y sin2x J- sin x 3 cos 2~x.. y’ — 6 (cos 3x 4sin 2x)

Funksjonsforandringer og deriverte Vi skal lage esker uten lokk, av plater som er 5 dm lange og 3 dm brede. Av hjørnene klipper vi ut kvadratiske stykker og bretter kantene opp så de blir sider i eskene. Hvor dype må eskene være hvis de skal romme mest mulig ? Hvor mange dm3 rommer en eske da ?

3 dm

Eskens dybde kaller vi x og dens volum y. Grunnflaten i en eske er:

(5 4-2x).(3 4-2x)

Fig. 72.

dm2, og dens vol. y=(54-2x) (342x) • x = 4x3 416x2 + 15x.

Vi ser at volumet y dm3 er en funksjon av eskens dybde,x dm. Vi ser også uten videre at 2x må være mindre enn 3 og større enn 0 hvis det skal bli noen eske. Derfor vil vi finne ut hvordan y for­ andres når x øker fra 0 til 1,5. V ed å derivere funksj onen kan vi se hvordan den øker eller avtar når x går fra 0 til 1,5. y’ = 12x2 4- 32x + 15

Tabell for y •/ ’

X

0

0,5

y’

15

2

1

1,25

4-5 4-6,25

1,5

h6

Av tabell for y’ ser vi at kurven har sterk stigning for x = 0, idet y’ = 15, dvs. at en tangent til kurven for funksjonen y =

Integralregning 4X3 _1_ 16X2 15X i punktet (0,0) danner en vinkel med x-aksen, med tangens 15. For x = O^er stigningen svakere, y’ = 2 og for x = 1 er kurven fallende, da y’ =4-5. Hvis altså dybden av esken er 1 dm, blir volumet mindre enn om dybden ble noe mindre. Den største verdi for y får vi når kurvens stigning er blitt

49

null. Det vil si at stigningen ikke lenger øker, men går over til å avta når x øker. Vi får maksi­ mum av volumet for den verdi av x som gjør at y’ er null, hvis y’ >0 for nærliggende mindre verdier av x og y’ 11. Tungmetaller med lavere smeltepunkt: Sink (Zn), bly (Pb) og tinn (Sn). III. Lettmetaller: Aluminium (Al) og magne­ sium (Mg). For å oppnå bestemte egenskaper ved hoved­ metallene, kan vi bruke de fleste andre grunn­ stoffer som tilsetning. Verdensproduksjonen (1966) av metaller for­ deler seg slik:

Støpejern og stål omtrent 459,3 mill, tonn pr. år Aluminium ... « 5,64 —«— Sink.................. « 3,36 —«— Kopper........... « 5,32 —«— Bly .................. « 2,14 —«— Tinn ................ « 0,16 —«— Av oppgaven over verdensproduksjonen av metaller ser man at støpejern og stål framstilles i langt større mengder enn alle andre metaller tilsammen. 99 % av jordoverflaten inneholder imidlertid bare 12 forskjellige grunnstoffer, mens de øvrige grunnstoffer tilsammen utgjør 1%. Blant de 12 grunnstoffene forekommer bare ett tungt metall, nemlig jern. Derimot er de lette metallene, som aluminium og magnesium, til stede i store mengder. Aluminium er, i sammen­ ligning med stål, enna dyrt å framstille. Likevel vil forbruket av aluminium komme til å stige raskt framover i tiden. Aluminium har allerede på mange områder erstattet metaller som kopper, bly, tinn, ja, i mange tilfelle også stål. Vi kan bare nevne at skipsoverbygninger, som for ble utført i stålplater, nå i stor utstrekning utføres i sjovannbestandig aluminium. Xed bygging av luksusdamperen «United States» ble det benyt­ tet i alt 2000 tonn aluminium til overbygning, livbåter, innredning osv. A ed legering med andre metaller kan vi få fram aluminiummaterialer som har stor styrke, gode støpeegenskaper og lignende. Når støpejern og stål er så dominerende, kom­ mer det, som nevnt, av at det faller billigere å framstille og at stål ved legering kan gjøres, sterkere enn andre metaller. Materiallæren vil derfor vesentlig behandle støpejern og stål, deres egenskaper og anvendelse. Materiallærens annen del vil behandle ikke * jernmetallene, tredje del ikke-metallene.

112

Mekanisk teknologi I — Rolf G. Corneliussen : Materiallære

RÅJERN Jernmalmer I naturen forekommer jern ytterst sjelden som rent metall, men bundet til andre stoffer i for­ skjellige forbindelser, i de såkalte jernmalmer. De viktigste av disse forbindelsene er: Magnetitt eller magnetjernstein eller jernoksydull inneholder opptil 70 % jern. Magnetjernstein forekommer alminneligst i Norge og Sverige. Den er svart, undertiden grå, og gir svart strek. Den er magnetisk. Rødjernstein, jernoksyd, inneholder ca. 60—70 % Fe. Den har stålgrå farge og gir rød strek. Den er bare svakt magnetisk. Den forekommer i Spania og Nord-Afrika. Spatjernstein inneholder ca. 30—-40 % Fe. Den har særlig betydning i England og Tyskland. Brunjernstein inneholder ca. 30—40 % Fe. fil denne gruppe horer også de såkalte «minetter», som forekommer i mektige leier i Lorraine og Luxembourg. De fleste av de forannevnte jernforbindelser forekommer, som nevnt, sammen med forskjel­ lige bergarter, som kiselsyre, leire og kalkstein, og må skilles fra størsteparten av disse før jernet kan utvinnes. Malmen knuses og bergarten skilles fra. Dette ble tidligere gjort for hånd og kaltes da sjeiding. Nå foregår det i maskiner. Først passerer malmen grovknusere, derpå sikter. De grovere delene faller ned på transportbånd. Fra disse fjernes bergarten for hånd eller i maskiner, og vi får stykkmalm. De finere delene går til magnetisk separasjon, eller de blir behandlet i anrikningsverk, som brukes når malm og bergart er så fast blandet at de ikke kan skilles ved sjeiding. Mal­ men finknuses eller males til pulver og skilles

derpå ved hjelp av magnetiske eller våtmekaniske anrikningsmetoder. De magnetiske metodene benyttes for magnetisk malm. Den umagnetiske malmen blir skilt fra bergarten i maskiner som sorterer etter spesifikk vekt. Det fine pulver vi får på den måten, kalles slig. bør krigen ble sligen ved Sør-Varanger presset til briketter, men brikettverket er ikke gjenreist etter krigen. Det meste leveres som slig, men det er nå bygd et pelletsverk. Ved å overføre sligen til mer kompakt form, pellets (liten kule), kan Sør-Varanger-malmen også brukes i koksmasovner. Dette er de vanlige ovner for framstilling av råjern i de store industriland. Ved A/S Norsk Jernverk går sligen gjennom en sintringsprosess. Her blir malmstøvet først blan­ det med vann, koks og sagmugg. Deretter legges et 30 cm tykt lag på en såkalt sinterpanne. Blan­ dingen antennes, og man blåser luft igjennom for å få en god forbrenning. Malmstøvet overføres herved til en stor «kake», som siden knuses til kornstørrelser på ca. 20 mm. Disse malmkornene går så videre til råjern verket. Rosting. Før malmen behandles i masovner, blir den rostet, det vil si oppvarmet til minst rodvarme ved tilførsel av luft. Hensikten med dette er å befri malmen for fuktighet og fjerne en del svovel. Rostingen foregår i spesielle koniske ovner, som er ca. 10 m høye og har 3 m diameter nedentil. Disse ovner oppvarmes i alminnelighet med masovngass. Ved rostingen blir malmen ikke bare befridd for fuktighet og delvis også slikt som svovel, men den blir også ca. 30 % lettere. Derved blir trans­ portomkostningene lavere.

Framstilling av råjern Råjern framstilles i tre slags ovner: (1) Koksmasovner, (2) trekullmasovner, (3) elektriske råjernovner. Koksmasovnen Dette er en sjaktovn med rundt tverrsnitt (fig. 1). Innvendig har den foring av ildfast stein. Utenpå denne er det murverk av alminnelig

teglstein. Rundt dette er det igjen solide ståibandasjer. Ovnen kan være temmelig høy, opptil 30 m. Koks, malm og tilslag fylles i oventil gjen­ nom en forstillbar ringluke. Det er dette man kaller å beskikke ovnen. Den kjemiske prosess som foregår i ovnen består i at kullstoffet * i koksen under forbrennin* Kullstoff skal i dag hete karbon. F. eks. kullstoffstål blir da hetende karbonstål. Da fortsatt kullstoff blir mest brukt i vanlig tale, har en i denne utgaven beholdt den gamle betegnelsen.

113

Råj ern

Store koksmasovner produserer gjennomsnitt­ lig 250 til 400 tonn råjern pr. døgn, men det finnes ovner som produserer over 1000 tonn pr. døgn. T rekullmasovner Disse ovner nyttes i mindre utstrekning bare i Sverige. De er meget mindre enn koksmasovnene. Det råjern som framstilles i disse ovner er av høy kvalitet.

Fig. 1. Koksmasovn.

gen tar oksygen (surstoff) fra malmen. Man sier at malmen blir redusert. Derved blir jernet fritt, slik at det kan forbinde seg med endel kullstoff og gå over til mer lettsmeltelig råjern. Videre blir jernmalmen befridd for bergarten. Denne gjøres lettsmeltelig ved tilsetninger (tiZslag). På den måten dannes det såkalte slagg, som er lettere enn jernet og flyter ovenpå. Slaggets volum er 2 til 4 ganger storre enn jernets. Bergarten består hovedsakelig av kvarts (SiO2) eller av kalkstein (CaCO3). I det første tilfelle tilsettes kalkstein, i det andre kvarts. I begge tilfelle forbinder kalsium seg med silicium til kalsiumsilikat. Dette er en glassaktig masse, som danner et lettflytelig slagg, som igjen skilles fra råjernet. Slagget tappes ut gjennom et hull i øvre del av stellet, se fig. 1. Når jernet har nådd passende høyde (eller ca. hver 5. time), tappes det ut gjen­ nom et hull i bunnen. Enten tappes det i store øser som går til stålverket, eller det ledes til åpne sandformer eller former som er satt sam­ men som et transportbånd og størkner her til barrer (piggjerri). Slagget kan brukes til forskjellige formål, f. eks. som tilsetning til byggestein, til veidekke og til såkalt slaggull eller steinull. Det siste benyttes i stor utstrekning som isolasjonsmateriale. En koksmasovn holdes i drift så lenge mur­ verket holder. Levetiden for dette er ca. 6 år. Da må den mures om. Man regner i alminnelighet med en produksjon pr. døgn av 0,5—1,35 t jern pr. 1 m3 ovnvolum. Til framstilling av 1 t jern trenges ca. 1 t koks. For hvert kir koks tilføres 6 til 7 m3 forbrenningsluft under overtrykk på 0,2—1 kg/cm2 og ved temperatur av 700—800° C. 8 — Teknikk I

Elektriske råjernovner er utviklet siden 1906 i Norge og Sverige. Det typiske for disse er at den elektriske energi nyttes til å skaffe den nødvendige temperatur i ovnen, mens det til reduksjon og oppkulling nyttes koks. På den måten reduseres forbruket av koks med ca. 60 % i sammenligning med koksmasovnen som er beskrevet foran. Siden slutten av 1920-årene har de norske Tysland-Hole-ovnene fått utbredelse over hele verden. Disse ovnene trenger store mengder elektrisk kraft og kan derfor bare brukes i land hvor det er tilgang på billig elektrisk energi.

Fig. 2. Elektrisk råjernovn (Tysland-Hole-ovn).

Tvsland-Hole-ovnens konstruksjon vil gå fram av fig. 2. Det er en lukket ovn. Opprinnelig hadde den tre elektroder som var plasert etter hverandre. I den moderne type er elektrodene plasert i trekant. Beskikkingen foregår gjennom sjakter på siden av elektrodene. Gassen som dannes ledes bort gjennom rør, passerer et vaskeanlegg og benyttes til forskjellig slags oppvarm­ ing. Blåstluft brukes ikke. Den elektriske kraft som leveres til råjernvcrket er vekselstrøm av høy spenning. Strømmen passe­ rer énfasetransformatorer og omformes der slik at det blir en driftsspenning på 130—190 volt. Kraftforbruket kan i gunstige tilfelle (lavt siliciuminnhold) være ca. 2000 kWt (kilowatttimer) pr. tonn, men kan ved høyt siliciuminn­ hold gå helt opp i 3000 kWt pr. tonn. A ed A/S

114

Mekanisk teknologi I — Rolf G. Corneliussen: Materiallære

Norsk Jernverk regner man med ca. 2200 kWt pr. tonn. Elektrodene er av den såkalte Soderbergtypen, også kalt kontinuerlige elektroder. Elektrodemasmen består av koks, tjære, antrasitt og bek som er blandet sammen i et bestemt forhold. Elektro­ den består av en stålsylinder som fylles med elektrodemasse. Denne massen bakes under trykket av den ovenforliggende masse og av varmen i ovnen til en kompakt, hard elektrode. Etter hvert som elektroden brenner opp og sen­ kes ned i ovnen, sveiser man en ny sylinder på toppen. Man får således en kontinuerlig elek­ trode. Elektrodeforbruket er ca. 10 kg pr. t jern.

Koksforbruket ligger mellom 380—420 kg pr. tonn jern. Gassen som dannes under prosessen i ovnen inneholder for det meste kulloksyd (CO). Den har en varmeverdi av ca. 2500 kcal pr. m3. De elektriske råjernovner (Tysland-Hole) vi har i Norge i dag er: A/S Bremanger kraftselskap (1 ovn) 9000 kVA, årlig produksjon 20.000 tonn, A/S Årdal & Sunndal Verk (1 ovn) 15.000 kVA, årlig produksjon 30.000 tonn, A/S Norsk Jernverk (3 ovner) 33.000 kVA, årlig produksjon i alt 210.000 tonn. Ovnene tappes 4—6 ganger pr. døgn. Det er 33—50 tonn i hver tapping.

Råjernets sammensetning og egenskaper Det produkt som kommer fra masovnene eller råjernsovnene kalles råjern. Råjernet har svært forskjellig sammensetning. Det avhenger bl. a. av malmen, brenselet og temperaturen i ovnen. Råjernet inneholder i alminnelighet ca. 90—95 % jern (Fe) og fra 2 til 6 % kullstoff (C), som enten forekommer fritt som blad av eller kjemisk bundet til jernet som jernkarbid (Fe3C). Dessuten inneholder råjernet forskjellige stoffer som stammer fra malmene, tilslaget eller brenselet. Det er delvis avhengig av disse stoffene om kullstoffet forekommer fritt eller bundet. De viktigste av dem er silicium, mangan, fosfor og svovel. I hvilken form kull­ stoffet forekommer er også avhengig av om råjernet avkjøles langsomt eller fort. Ved lang­ som avkjøling får kullstoffet bedre anledning til å utskille seg fritt, mens det ved hurtig avkjøling blir bundet. Etter bruddets utseende og den form kullstoffet opptrer i, fritt eller bundet, inndeles råjernet i følgende hovedarter: A. Grått råjern, med mer eller mindre grovkrystallinsk brudd og lysegrå til mørkegrå farge. Jo mer grafitt det inneholder, desto mørkere og mer grovkornet er det. Størstedelen av kullstoffet forekommer fritt

som grafitt. Smeltepunktet er 1150—1250° C. Det er mindre hardt og kan lett bearbeides med skjærende verktøy. Det er tyntflytende og brukes derfor hovedsakelig til framstilling av støpejern. B. Hvitt råjern, med sølvhvit og blank brudd­ flate. Den vesentlige delen av kullstoffet forekommer bundet som jernkarbid (Fe3C). Det er sprøtt og hardt og egner seg ikke til støping. Det brukes hovedsakelig til fram­ stilling av stål. Smeltepunktet er 1150— 1350° C. Hvitt råjern som har litt større innhold av mangan, viser i bruddet tydelige speilblanke krystallflater og kalles derfor speiljern. C. Halvert råjern er arter som ligger mellom de to foran nevnte. Alt etter hva det brukes til kalles råjernet også støperi-råjern, bessemerråjern, thomas-råjern, hematitt-råjern m.m. Enkelte sorter har også navn etter produk­ sjonsstedet. Som eksempel kan nevnes de kjente engelske merkene Cleveland og Middlesbrough. Innkjøp av støperi-råjern bør alltid skje etter kjemisk analyse. På grunnlag av denne velges så passende råjerntyper — ofte flere — for omsmeltingen til støpejern.

F errolegeringer Ferrolegeringer er legeringer som, foruten jern, inneholder svært store mengder av andre stoffer.

De framstilles i alminnelighet i elektriske ovner, De viktigste ferrolegeringene er:

Råj ern

Ferrosilicium består av jern og silicium. Hvis Si-innholdet er mindre enn 20 %, er legeringen finkrystallinsk og ligner hvitt råjern. Overstiger Si-innholdet 50 %, blir fargen blåaktig. Ferro­ silicium brukes til desoksydasjon av stål og til framstilling av stål med stort Si-innhold. Ferromangan er legeringer av jern og mangan. Holder legeringen mindre enn 25 % Mn, kalles den speiljern, men holder den over 25 %, kalles den ferromangan. Ferromangan benyttes hoved­

115

sakelig som desoksydasjonsmiddel for martin- og bessemerstål, foruten til framstilling av manganstål. Ferrokrom, Ferrotitan, Ferrouolfram m. fl. brukes til framstilling av spesialstål. Norge har betydelig produksjon av ferrolegeringer, særlig ferrosilicium og ferromangan. Bare av ferrosili­ cium ble det i Norge i 1967 fremstilt 288.358 tonn, og vi er langt den største eksportør i verden.

Foredling av råjern Råjernet foredles til: (1) Støpejern og adusert støpejern, (2) stål, bløtt og hardt, (3) stopestal.

Hvilke formål råjernet benyttes til er vist skjematisk i fig. 3.

Fig. 3. Framstilling av jern og stål vist skjematisk (etter plansje utarbeidd av rektor Hauge ved Statens Teknologiske Institutt).

116

Mekanisk teknologi I — Rolf G. Corneliussen: Materiallære

STØPEJERN Støpejern er jern som er støpt i form og som ikke er gjort smibart ved etterbehandling. Let framstilles ved omsmelting av råjern av forskjellig sammensetning. Råjernmengden ut­ gjør ca. 30 % av beskikkingsmengden (chargen). De resterende 70 % består av gammelt støpejern, som vi kaller skrapjern, og slaggdannende stoffer, i alminnelighet kalkstein, for at materialet skal bli godt. Sterkt anstrengte deler tilsettes ofte litt skrapstål. Da økes strekkstyrken, uten at støpe­

jernet blir for hardt. Skrapstål egner seg i det hele tatt godt til regulering av støpejernets egen­ skaper, da det i forhold til støpejern kan betrak­ tes som kjemisk rent jern. Ved beskikkingen må støperimesteren ta hen­ syn til at en del av de forskjellige bestanddeler i råjernet brønner bort under prosessen. Han må således regne ut, at når silicium har en avbrann på ca. 10 %, må han tilsette flere kilo med siliciumholdig råjern enn teoretisk nødvendig.

Støpejernets bestanddeler Støpejern inneholder fremmede stoffer i disse mengder: Kullstoff...................................... 2,8—4,0 % Silicium ...................................... 0,8—3,0 % Mangan........................................ 0,4—1,2 % Fosfor.......................................... 0,1—1,2 % Svovel ................................. opptil ca. 0,15 % Av særlig betydning for støpejernets mekaniske egenskaper er kullstoffet og den form det fore­ kommer i. Når støpejernet er flytende, kan det holde alt kullstoffet oppløst, men når det stivner og avkjøles videre, synker jernets evne til å holde kullstoffet oppløst, svært fort. Da vil en del av kullstoffet etter hvert skille seg ut, og det blir liggende som små blad i jernmassen. Disse bladenejkaller vi grafitt. De mørke årene vi ser i fig. 4

Fig. 4. Perlittisk støpejernstruktur, vist skjematisk.

er grafittblad. Størrelsen av grafittbladene av­ henger av hvor fort støpejernet avkjøles, og dess­ uten av innholdet av silicium og mangan. Jo større grafittbladene er, desto mer skader de

støpejernets fasthet. Godt støpejern må derfor ha fint fordelt grafitt. Ikke alt kullstoff utskilles som grafitt. Fn del av det holdes oppløst i støpejernet også ved lavere temperaturer. Dette kullstoffet, som til slutt (ved ca. 700°) forbinder seg kjemisk med jernet, har en helt annen virkning enn grafit­ ten. Den kjemiske forbindelse som dannes, gjør nemlig materialet sterkere så lenge det som er kjemisk bundet kullstoff, ikke overstiger en viss grense. Blir det for mye av det, blir nemlig støpe­ jernet glasshardt og sprøtt. Vi bør derfor søke å framstille støpejern med en rimelig mengde bundet kullstoff, helst ca. 1 %, og med resten av kullstoffet utskilt som grafitt. Silicium har stor innflytelse på støpejernets egenskaper, da det fremmer utskillelsen av grafitt og på den måten bidrar til at støpegodset blir mindre hardt, og dermed forholdsvis lett å bearbeide. Jo tynnere godset er, desto mer silici­ um bør støpejernet inneholde. Ved tynt gods ut­ skilles nemlig på grunn av den hurtige avkjøling mindre grafitt enn ved tykt gods. Silicium gjør også at støpejernet svinner eller kryper mindre når det størkner. Det motvirker også den ska­ delige innflytelse av svovel. Mangan virker ved innhold over 0.5% karbiddannende og motvirker således silisiumets grafittutskillende verkning. Mangan har den egenskap at den binder seg til svovel og danner den uskadelige bestanddel mangansulfit. Fosfor minsker støpejernets evne til å oppta kullstoff. Det gjør støpejernet tyntflytende, men det øker sprøheten i kald tilstand. Ved sterkere maskingods bør derfor fosforinnholdet ikke over­ stige 0,4 %.

Støpejern Svovel hemmer grafittdaimelsen, oker det bundne kullstoff og gjør derved støpegodset hard­ ere. Svinnet (krympingen) blir større ved høyt svovelinnhold. Jernet blir da tyktflytende og vanskelig å støpe. Ved tynnvegget gods bør der­ for svovelinnholdet være meget lavt. A i kan minske S-innholdet ved å sette til litt soda i osen før utstøpingen tar til. Sodaen vil da forbinde seg med svovelen og gå i slagget. Fargen på støpejernets bruddflate kan variere fra mørkegrå til tinnhvit alt etter innholdet av grafitt. Mye grafitt gir grå bruddflate, mens lite

117

grafitt gir hvit bruddflate. I alminnelig støpejern skal bruddflaten være gråhvit. Som nevnt tid­ ligere blir det større utskilling av grafitt når råjernet inneholder mye silicium og når det avkjøles langsomt. Det dannes da grått støpe­ jern. Mangan, fosfor, lite Si-innhold og hurtig av­ kjøling hemmer utskilling av grafitt og bevirker at det dannes hvitt støpejern. Kornstørrelsen varierer med fargen, fra tiere millimeter for det mørkegrå til svært liten størrelse for det hvite støpejernet.

Bestanddelenes virkning på støpejernets egenskaper De forskjellige bestanddeler har samme inn­ flytelse på det støpejern som dannes, som be­ standdelene i råjern har for dette. Det samme gjelder avkjolingshastigheten. Styrken vokser, men seigheten avtar med hvitheten. Fargen og strukturen skal være ensartet. Bare i nærheten av støpehuden kan bruddflaten være lysere og mer finkornet. Vanlig støpejern er skjørt, særlig ved lave temperaturer, men mer eller mindre alt etter den kjemiske sammenset­ ning. Skjørheten vokser med hvitheten. Særlig fosfor gjør støpejernet skjørt. Hardheten vokser med hvitheten. Støpejernets spesifikke vekt settes til 7,25. Jo mer grafitt og fremmede stoffer det inneholder,

desto lavere er støpejernets spesifikke vekt. Smeltepunktet er avhengig av kullstoffinnholdet, men er gjennomsnittlig ca. 1250°. \ ed svært langvarig og sterk gloding kan det kjemisk frie kullstoff brenne bort. Støpejernet blir da forandret til en blæret masse. Det er f. eks. tilfelle med riststaver. Støpbarheten vokser med grafittmengden. Stort fosforinnhold gjør støpejernet lettsmeltelig og tyntflytende. Slikt støpejern egner seg godt til kunststøping. Støpejern ruster lite så lenge støpehuden er be­ vart og hvis det ikke blir angrepet av syrer. Syreholdig vann og havvann virker derimot sterkt oppløsende.

Inndeling av støpejern Etter bruddflatens utseende: (1) Grått støpejern. Det framkommer ved rikelig utskillelse av grafitt og ved langsom avkjøl­ ing(2) Halvhvitt eller melert støpejern. Det er utskilt lite grafitt. (3) Hvitt støpejern. Det er praktisk talt ikke ut­ skilt grafitt. Det framkommer ved lavt Siinnhold og stor avkjølingshastighet. (4) Kokilleherdet støpejern. Ved avkjøling mot kokille, dvs. i jernform, er det stivnet som hvitt støpejern eller med en hvit yttersone og en grå kjernesone. Av fig. 5, Mauers diagram, går det fram at det er Si-innholdet som har størst innflytelse på den fargestruktur vi får. Vi vet nemlig at kullstoffinnholdet ligger fast innen meget snevre grenser.

Fig. 5. Mauers diagram.

118

Mekanisk teknologi I — Rolf G. Corneliussen : Materiallære

Det skyldes at jo lavere kullstoffprosenten er, desto tyngre flyter jernet, desto mer spenning får vi i godset, og desto mer sug får vi i formene. Gods med mindre enn 2,9 % kullstoff (C) er van­ skelig å støpe. Mer enn 3,5 % C gir for porøst og grovkornet gods. Derfor bor C-innholdet i al­ minnelighet ligge mellom 3 og 3,5 %. Vi ser at ved f. eks. C-innhold på 3,2 % vil en øking av Si-innholdet fra 0,5 % til 1,0 % forandre støpejernet fra hvitt, hardt gods med vanskelige bearbeidingsegenskaper til melert støpejern, som har stor strekkfasthet og er lettere å bearbeide.

Etter bruken og styrkeegenskapene kan vi dele støpejernet inn i disse klasser: (1) Handelsgods, (2) alminnelig maskingods, (3) sterkt maskingods, (4) ekstra sterkt maskingods, (5) høyverdig støpejern, (6) spesielle godsarter. Av det som er nevnt foran, går det fram at vi har mange slags støpejern, med høyst forskjellige egenskaper. Disse egenskaper skifter ikke bare med støpejernets sammensetning og formemetodene, men de varierer vanligvis også med godstykkelsen for én og samme blanding, som vist på fig. 6.

Fig. 6. Godstykkelsens innflytelse på støpejernets fasthetsegenskap. Årsaken til at fasthetsegenskapene synker når veggtykkelsen økes, er at vi ved stor veggtykkelse får grafitten utskilt i meget større flak enn ved liten. Kullstoffet, utskilt som grafitt, har ingen strekkstyrke og nedsetter derfor materi­ alets styrkeegenskaper. \ ed tynt gods vil støpehuden stivne fort. \ i får da et finkornet grå-hvitt støpejern, som er meget sterkt.

Prøving og kontroll av støpejern For at vi skal være sikre på at det gods vi har bestilt, fyller kravene, må det kontrolleres. Det gjør vi på tre måter: (1) Vi prøver dets styrke, (2) vi gransker godsets beskaffenhet, (3) vi under­ søker støpestykkets dimensjoner og vekt. Styrke Støpejern underkastes både strekk- og bøyeprøver. Prøvestavene kan enten støpes i egne former eller skjæres ut av selve prøvestykket. Ved støping i egne former er det meget vanskelig å få nøyaktig samme forhold som i den formen hvor støpestykket støpes. Da vil heller ikke de verdier vi får av prøvestavene gi helt riktig bilde. Til et prøvesett støpes tre prøvestaver. Av disse skal minst to gi tilfredsstillende resultater. Bøyeprøving. Bøyestaven prøves ubearbeidet, med støpehuden på. Stavens dimensjoner er an­ gitt i Statens Forskrifter (S.F.). Staven legges opp på støtter med bestemt av­ stand. Kraften virker på midten av staven. Bøyefastheten beregnes i kg/mm2. Strekkprøving. Strekkstaven bearbeides etter

støpingen. Dimensjonene for den ferdige bear­ beidede staven skal være som angitt i Statens Forskrifter (S.F.). Strekkfastheten som måles med disse prøve­ stavene uttrykkes i kg/mm2. Den danner grunn­ laget for de klasser vi deler støpegodset inn i. Beskaffenhet Støpegodsets overflate skal være fri for formsand, kjernesand og fastbrent masse. Den må heller ikke ha ujevnheter som kan være uheldige for bruken. Løp, gråter og overflødige påstøpninger skal være fjernet, likedan dødhoder. Utbed­ ring av feil ved hjelp av sveising, påstøping o. 1. er bare tillatt i samråd med den som bestiller støpegodset. Det må ikke være feil som sprekker, blærer og hull i støpegodset. Ved bearbeidingen skal godset vise seg tett og bearbeidbart.

Dimensjoner og vekt Dimensjonene og vekten skal kontrolleres på grunnlag av tegningene. Modellene eller sjablo­ nene utføres etter disse, og det legges til nødven­ dig arbeidsmonn.

Støpejern

119

Støpejern som konstruksjonsmateriale Helt fram mot slutten av forrige århundre var støpejern overlegent mest brukt som konstruk­ sjonsmateriale. Men på grunn av de lave fasthetsegenskaper støpejernet dengang hadde, kom det mer og mer i bakgrunnen da Siemens-Martinovnen og stålkonvertoren ble innført. Imidler­ tid ble støpejernets fasthetsegenskaper bedre. Det ble konkurranse om materialene, og forsk­ ningen gjorde store framskritt. Litt etter litt ble man også klar over hvor stor rolle formen spiller. Det ble utviklet lettere konstruksjoner, delvis etter erfaring fra sveiseteknikken. Mens vi omkring århundreskiftet ennå bare hadde ca. 20 kg/mnr som høyeste fasthet for

støpejern, er vi nå kommet så langt at vi kan inndele støpejernet i fire hovedgrupper: Standard støpejern med strekkfasthet 10—20 kg/mnr Ekstra sterkt støpejern med strekkfasthet 20—30 kg/mm2 Høyverdig støpejern med strekkfasthet 30—40 kg/mm2 Spesialkvalitet med strekkfasthet 40—70 kg/mnr Som fig. 6 viser, tåler høyverdig støpejern variasjoner i godstykkelsen langt bedre enn stan­ dard støpejern. Grått støpejern er klassifisert i Norsk Standard NS 722 og NS 723.

Høyverdig støpejern Meehanite er støpejern som er framstilt i spesialkupolovner. Ved å tilsette spesielle grafitteringsmidler oppnår man at støpejernet etter støpingen størkner med den utskilte grafitt meget fint fordelt i godset, uavhengig av godstykkelsen. Jernet er ulegert, og det framstilles i 21 kvaliteter, nemlig 6 maskingodskvaliteter, 6 varmefaste, 6 slitefaste og 3 korrosjonsforbedrede kvaliteter. Høyeste strekk­ fasthet er 38,5 kg/mm2. Elastisitetsmodul: 1.600.000. Flytegrense: 32 kg/mm2. Brinell­ hardhet: 230.

Kulegrafittjern (seigjern) Seigjern er støpejern som før utstøping i form blir tilsatt f. eks. magnesium. Ved dette skilles kullstoffet (grafitten) ut i kuleform, i motsetning til vanlig utskillelse i flak. Vi har to hovedtyper, perlittisk og ferrittisk seigjern. Det perlittiske har stor strekkfasthet (55—70kg/mm2), men liten forlengelse (5—1 %). Ved varmebehandling ved ca. 900° C kan vi oppnå å samle alt kullstoff som kulegrafitt. Det ferrittiske seigjern har litt mindre strekkfasthet (45—55 kg/mm2), men større for­ lengelse (25—10 %). Det er med andre ord seigere. Seigjernet har beholdt støpejernets vesentlige gode egenskaper og fått stålets fasthet og nesten like stor forlengelse. Det framstilles i dag ved flere norske støperier. Men vi må betale for de

gode egenskapene. Den større forlengelsen gir f. eks. økt svinn og andre vanskeligheter ved støpingen, slik at godset må ha spesielle sugehoder. Selve smelteomkostningene er i dag ikke lavere enn for stål, men fordelene ligger i at støpetemperaturen er lavere, og at seigjernet er lettere å bearbeide enn stål. Seigjernet vil sikkert erobre tilbake arbeidsområder som er gått tapt for jernstøperiene, kanskje mest fra sveisingens område.J

Bruk av høyverdig støpejern] Under siste krig ble støpejern brukt meget mer enn tidligere fordi stålstøpegods og smigods i mange tilfelle var mangelvare. Ingeniørene opp­ daget at høyverdig støpejern med fordel kunne brukes til mange maskindeler som før ble smidd eller støpt i stål. Som eksempel kan nevnes deler som ble utsatt for høyt trykk av f. eks. damp, gass, olje eller vann, eller sterkt belastede glide­ flater, og deler som ble utsatt for sterke vibrasjo­ ner, som veivaksler, deler i verktøymaskiner osv. Det viste seg da at høyverdig støpejern i mange tilfelle ga bedre produkter enn de mate­ rialer man brukte tidligere. Til verktøymaskiner bruker man meget støpe­ jern fordi det har stor dempningsevne. Denne er av avgjørende betydning for verktøymaskiner som arbeider med hurtigstål. Vibrasjoner er, som man vet, en fare for verktøyet og virker også

120

Mekanisk teknologi I — Rolf G. Corneliussen : Materiallære

inn på ytelsen og på selve kvaliteten i arbeidsstykket. Høyverdig støpejern kan også brukes til tann­ hjul. Støpejernet står bedre mot vibrasjoner enn stål. De fleste sorter av høyverdig perlittisk støpe­ jern vil kunne flammeherdes. Dette er av stor be­ tydning for tannhjul.

I veivaksler brukes nå støpejern i stor utstrek­ ning. Fordelene ved støpte aksler ligger i at man sparer materiale når man gir dem spesiell form. I tillegg kommer materialets evne til å motstå vekslende dynamiske påkjenninger. Fundamentrammer kan av samme årsaker med fordel støpes av høyverdig støpejern.

Spesielle sorter støpego.ds Hardstøpt eller kokilleherdet støpejern Mens vi i alminnelighet ønsker grått, bløtt støpejern, som er lett å bearbeide, eller melert støpejern med gode fasthetsegenskaper, hender det også at man må ha et hardt materiale som ikke slites mye. Vi bruker da hardstøpt eller kokilleherdet støpejern. Dette skiller seg fra al­ minnelig grått støpejern ved at det på overflaten er avkjølt meget hurtig. Grafitten har da ikke fått tid til å skille seg ut, slik at det dannes hvitt, hardt støpejern. Det er alltid bare ytre sjikt som skal være hardt. Det indre, som ikke slites, skal derimot være seigt, dvs. grått. Det blir det av seg selv, da vi ikke kan tå dette avkjølt så fort. Hardstøpingen, som viser seg som en hvit, finkornet sone ytterst i godset, strekker seg som regel 15 til 35 mm inn, alt etter godstykkelsen. Den raske avkjølingen oppnår vi ved å støpe i former, der vi har lagt inn deler av jern mot de flatene som skal være harde. Varmen blir da fort bortledet fra disse flatene, da jern er en god varmeleder. Hardstoping brukes for hjul, valser i stålverk og møller, riststaver m.m. Da de hardstøpte delene har svært store egenspenninger, må gods som skal arbeide med stor sikkerhet, tas ut av formen så varmt som mulig og anbringes i oppvarmede gruver, der det avkjøles svært langsomt.

Syre- og lutbestandig støpejern Vanlig grått støpejern med støpehuden i be­ hold står seg i alminnelighet godt mot korrosjon. Vi regner med at det har 5 ganger så lang levetid

overfor sjøvann som bløtt stål. Ved fin bearbei­ ding og tillegering kan korrosjonsbestandigheten økes. Tilsetter vi ca. 2 % kopper(Cu), blir støpejer­ net motstandsdyktig mot syrer, vann og fuktig luft. Mot angrep av baser (lut) kan støpejernets motstandsevne økes ved tillegering av ca. 2 °/0 nik­ kel (Ni). Materialets motstand mot korrosjon blir også større når vi øker Si-innholdet til 6—7 %, men samtidig blir da støpejernet sprøtt, slik at det blir vanskeligere å bearbeide. Aciculært støpejern er støpejern som er legert med nikkel og molybdén. Strukturen blir meget hard og sterk. Dette jernet ble under siste krig brukt i deler til tanks i stedet for spesialstålgods, som ikke kunne skaffes. På grunn av hardheten er anvendelsen dog be­ grenset.

Legert støpejern Vanlige legeringselementer er krom, nikkel, molybdén, wolfram og vanadium. Det skjelnes mellom (a) lavt legerte støpejern, hvor legeringsemnenes vesentlige oppgave består i å forbedre egenskapene hos det vanlige støpejernet, og (b) høyere legerte støpejern, hvor selve strukturen blir forandret. Det legerte støpejern benyttes til bl. a. sylinderforinger, tannhjul, ventiler osv., og er da gjerne legert med 1—1,5 % Ni og ofte 1 % Cr. Delene kan ved en spesiell varmebehandling få en hard og slitesterk overflate. X i kan ved legering også få varmebestandig støpejern. Dette brukes f. eks. til smeltedigler, riststaver o.l.

Adusert støpejern Ordet adusere kommer av det franske adoucir, som betyr å gjøre bløtt. Med adusérgods forstår

vi altså støpejern som er gjort delvis smibart ved en spesiell varmebehandlingsprosess.

121

Stål Adusérgods brukes ved masseproduksjon av mange mindre gjenstander som bor ha en viss seighet, og som ville bli for dyre, hvis de skulle støpes av annet metall, eller hvis de skulle smis eller presses. Til framstillingen brukes hvitt eller melert rå­ jern blandet med skrapstål. Gjenstandene støpes slik at strukturen blir hvit. Vi skjelner mellom hvitt og svart adusérgods.

Hvitt adusérgods får vi når vi etter støpingen varmebehandler (gløder) godset i et avkullende pakkemiddel, f. eks. rødjernstein (Fe2O3). Glødingen foregår ved en temperatur omkring 950° C i ca. 4 døgn. Kull­ stoffet løser seg da fra sin kjemiske forbindelse med jernet og oksyderes bort fra ytterpartiene. På grunn av en sterk utjevningstendens vandrer kullstoffet i de indre, kullrikere partier langsomt ut mot de kullstoff-fattigere ytterpartier, til det meste er oksydert bort. Ved gods som er over 8—10 mm tykt tar det uforholdsmessig lang tid å få ut alt kullstoffet. Derfor blir det her gjerne en hard og kullstoffrikere kjerne og overgangssoner mot de helt avkullede ytterpartier. Dette avkullede adusérjern nærmer seg smijern i styrke, seighet og natur. Det kan sveises og til dels smis, men ikke så lett varmebehandles, da det mangler kullstoff til det. Ved brudd viser det en hvit ferrittisk struktur. Det kalles derfor hvitt adusérgods.

Svart adusérgods Også her består prosessen i å smelte og støpe et adusérjern, slik at det beholder sitt kullstoff som jernkarbid når det størkner. Under påfølgende gløding ved 920° i ca. 2 døgn, og langsom av­ kjøling, løser karbidkullet seg opp og skilles ut som fritt kullstoff. Dette samler seg i små korn, kalt temperkull, jevnt fordelt i en grunnmasse av ferritt. Glødingen foregår også her i lett oksyder-

ende ovnatmosfærer, slik at en del av kull­ stoffet blir oksydert bort i ytterpartiene før resten går over til grafittform. Dette er opprinnelsen til navnet Black Heart, fordi det ved brudd ble en hvit vtterramme med svart kjerne. Det er vesent­ lig slikt adusérgods som tidligere er innført hit fra Sverige. Nå søker man i alminnelighet å unngå avkulling. Man får da et adusérgods med helt jevnt blåsvart brudd. Dette kalles svart adusérgods. Det er dette svarte adusérgodset som i Norge framstilles ved A/S Sandnes Adusérverk. Det blir homogent. Det har ingen forskjellige struktursoner i bruddet. Tykkelsen av godset spiller liten rolle, innen rimelige grenser. Glødingen fore­ går uten pakkmidler i elektriske ovner, og i en nøytral ovnatmosfære, slik at det praktisk talt ikke blir avkulling. Dette gods er meget lett å maskinere. Det adusérgodset som Sandnes Adusérverk kommer fram til, holder normalt 38 kg/mm2 ved 10 % forlengelse, målt med prøvestaver med * mållengdt lik 3 ganger diameteren. Svart adusérgods kan lett lokalherdes. A ed varmebehandling oppfører det seg omtrent som stål med høy kullgehalt. Bue- og gass-sveising av adusérgods er omtalt under et senere avsnitt om sveising. Lodding gir godt resultat så lenge temperaturen i godset holdes under ca. 700°C. Ferrittisk adusérjern har god bestandighet mot korrosjon, bedre enn vanlig grått støpejern og stopestål. Materialet kan få samme overtrekk og belegg som er vanlig for støpejern og stål. Mest alminnelig er varmforsinking, som gir en meget god beskyttelse. Adusérgodset brukes bl. a. til smådeler til sykler og landbruksmaskiner, til skrunøkler, be­ slag til dører og vinduer, til rorfittings, kje­ der, slangeklemmer, elevatorkopper, avgrensningsbokser for elektriske installasjonsmateriale osv.

STÅL Jern som er framstilt i flytende tilstand, og som uten videre behandling kan smis, betegnes som stål. Vi kan også si at stål er en jern-kullstoff-legering med kullstoff-innhold fra 0—2,0% C.

Tidligere kalte vi dette jernet både smijern, flussjern og stål, men betegnelsen skal nå være stål. Stålet framstilles av råjern ved at man brenner

122

Mekanisk teknologi I — Rolf G. Corneliussen: Materiallære

bort mer eller mindre av kullstoffet, fosforet, svovelen, siliciumet og manganet i råjernet, dvs. ved at vi gjør jernet så rent som mulig og be­ holder en passende mengde kullstoff. Før 1855 klarte man ikke å oppnå temperatu­ rer som var særlig høyere enn råjernets smelte­ punkt. Da jernet smelter lettere jo mer foruren­ set det er, var resultatet at massen ble mer og mer tyktflytende, og til sist deigaktig etter hvert som kullstoffet og de andre forurensningene bren­ te bort og jernet ble omdannet til stål. Det fram­

stilles ennå, særlig i Sverige, en del stål etter denne gamle metoden. Dette stålet kalles sveisjern. Hvis det kan herdes, kalles det sveisstål. Disse betegnelsene er beholdt, slik at de skiller seg tydelig ut fra det stålet som framstilles etter nyere metoder og i flytende tilstand. Etter hvert lærte stålverkene å oppnå så høye temperaturer at stålet holdt seg flytende under hele prosessen. Det produktet man får på den måten, kalles stål, enten det kan herdes eller ikke. ’ •

Framstilling av stål Stål framstilles etter flere metoder, som Bessetner-, Thomas- eller Siemens-Martin-metodene, og ved smelting i digler og elektroovner. Av den grunn har vi betegnelser som bessemer-stål, thomasstål, siemens-martinstål, digelstål og elektrostål. Alle disse metodene går ut på å brenne bort forurensningene i råjernet, en prosess som kalles fersking.

Konverterfersking I 1855 fant engelskmannen Henry Bessemer opp en metode for framstilling av stål: luft ble presset inn i smeltet råjern. På denne måten ble det mulig å masseframstille stål, og dette var av epokegjørende betydning dengang. Det som er typisk for konverterferskingen er at den ikke behøver særskilt brensel. Jernet helles nemlig i smeltet tilstand i ovnen, og forbrenningen av forurensningene er tilstrekkelig til å holde tempe­ raturen oppe, og så høy at jernet forblir flytende. Etter sammensetningen av det råjernet som behandles, skjelnes mellom (a) den sure konvertermetoden, den egentlige Bessemermetoden, og (b) den basiske konvertermetoden eller Thomasmetoden. (a) Den sure konverter metode. Ved denne metode behandles gratt, siliciumrikt, men nesten fosforfritt råjern. Slikt råjern kan inneholde ca. 8,5—4 % C, 0,6—1,2 % Si. 2—3 % Mn og under 0.04 % P. Blåsingen utføres i en ovn som kan tippes, en såkalt konverter, fig. 7. Ovnen består av en pæreformet platetromme, som innvendig er foret med en blanding av malt kvarts og ildfast leire. På midten er trommen forsynt med 2 tapper, som den kan svinges om. Den ene tappen er hul, og gjennom den føres blåstluften (trykkluft) ned til et rom — en vindkasse — under pærens bunn.

Thomasslagg

Fig. 7. Konverterfersking (Thomas-metoden). Fra vindkassen presses luften så under et over­ trykk på 1,5—1,7 kg/cm2 opp gjennom en mengde jevnt fordelte hull inn i beholderen. Ved stålverk som ikke selv har råjernovner må råjernet smel­ tes om. Dette gjøres i spesielle kupolovner. Stål­ verk med råjernsovner samler det smeltede rå­ jernet i store varme-isolerte beholdere, som kalles råjernblandere. Disse rommer flere hundre tonn, og her kan råjernet om nødvendigvis holdes fly­ tende i 24 timer. Fra denne blanderen taes jernet ut i porsjoner på 20—25 tonn og fylles i Bessemerkonverterene, når blanderen er svingt ned i liggende stilling. Luften settes så på, og konverte­ ren svinges opp i blåsestilling. Da luften inneholder nitrogen, har stålet lett for å ta opp små mengder av dette stoff og blir da lett skjørt, særlig i kulde. I den senere tid har man derfor begynt å blåse stålet med rent oksy­ gen. Ved Donawitz-metoden nyttes en konverter uten vindkasse i bunnen, men med Linz-lanse (hulrør) som stikker ned i konverteren, og gjen­ nom dette blåses oksygen ned mot smeltebadet. En liknende metode (kaldometoden) er utviklet av prof. Kalling i Sverige.

Stål

Det ferdigblåste stål blir så tilsatt ferrolege­ ringer. Dette er for å få bort overskuddet av oksygen, som er trengt inn i stålet under ferskin­ gen, og for å få inn de legeringselementer som man vil ha, f. eks. mangan. Etter at blåsingen er ferdig tappes det ferdige stål i øser som kan bunntappes. Så fores stålet over støpehallen, hvor det fylles i høye firkan­ tete stopejerns former, som kalles kokiller (se fig. 8). Kokillene fylles ofte ovenfra, men dette er ikke særlig heldig, for det har lett for å danne seg hulrom og forurensninger i kjernesonen på blokken. For delvis å motvirke dette, blir stålet i mange verk fylt nedenfra i kokillene og stiger så oppover der. Anordningen er vist på fig. 9.

123

Siemens-Martin-metoden Ved konverterferskingen brennes forurensnin­ gene bort utelukkende ved at man tilfører luft, som ved oksydasjonsprosessen frigjør varme nok til å holde forbrenningen ved like. I Siemens-Martin-ovnen tilfører man varme ved f. eks. å forbrenne generatorgass. SiemensMartin-ovnen er vist på fig. 10.

Ovnen har en lukket herd, ovnsrom. På den ene siden er en dør, og på den andre et avtappingshull. I herdens korte sider er det 5 åpninger. 3 av disse skal tilføre luft, og de 2 nederste gass, som antennes når den moter luften. Flam­ men stryker hen over herden, og forbrenningsFig. 8 og 9. gassene suges ut gjennom de 5 åpningene i den Kokille-typer. andre enden. Derfra vandrer gassen gjennom kanaler ned i to kamre, som er stablet fulle av Kokillene kjøres nå inn i valseverket, hvor de ildfast stein, og til slutt ut i skorsteinen. Ved løftes av (strippes). Den glødende stålblokk settes dette varmes den oppstablede steinen opp til ca. 1200° C. ned i en varmegrop. Hei jevnes varmen ut. Gassen og luften som forbrenner, når opp til Blokken valses deretter til skinner, bjelker, åpningene etter å ha passert gjennom 2 lignende plater osv. En vanlig Bessemerkonverter rommer kamre på den andre siden og etter å bli for10—25 tonn, men det finnes både mindre og varmet av den varme steinen i kamrene. Når større typer. Prosessen varer 12—20 minutter. steinen i kamrene på denne siden er blitt avkjølt Under ferskingen går endel av den tilsatte til en bestemt grense, veksles om. Man sender da smelte tapt. Man regner med en avbrann på gass og luft opp gjennom de oppvarmede kam­ 15-17 %. rene, og flammen stryker i motsatt retning over (b) Den basiske konvertermetode. Er det fosfor av herden. Denne veksling foregår omtrent hvert betydning i råjernet, f. eks. over 0,06 %, må det skilles ut under ferskingen, og man tilsetter 15.—30. minutt. Gassen får man ved at steinkull, derfor 17—18 % brent kalk til badet. Da dannes torv og treavfall forbrenner ufullstendig i en et sterkt basisk slagg som gjor at fosforet oksy­ generator. Siemens-Martin-ovnen er ikke så avhengig av deres og forbinder seg med kalken til kalsiumråmaterialets beskaffenhet. Opprinnelig ble den fosfat. Dette fosfat brukes som gjødningsstoff. bare brukt til omsmelting av skrapjern og skrapFor at ovnens foring ikke skal angripes, må den stål. Mange steder brukes den fremdeles vesentlig utføres av basisk materiale. Man bruker derfor til dette. Da tilsetter man alltid litt råjern, 20 brent dolomitt. Prosessen foregår på omtrent 30 %. samme måte som Bessemerprosessen.

124

Mekanisk teknologi I — Rolf G. Corneliussen: Materiallære

Det finnes også ovner som drives bare med råjern. Ved disse brukes både sure og basiske metoder. I enkelte Siemens-Martin-ovner foregår opp­ varmingen ved bjelp av oljebrennere, o ~ 500 ~ = 225 omdr-

J) Når ikke annet er oppgitt, er omdreiningstallet be regnet for 1 minutt.

Remmer og remskiver

I virkeligheten vil ikke omdreiningstallet for den drevne skiva nå dette tallet. Erfaring viser at på grunn av noen glidning blir omdreinings­ tallet nedsatt fra 1 til 2 %. I vårt eksempel vil altså n2 bli 221 eller 222. • Eksempel 2. Regner vi med samme forhold for Aj som i forrige eksempel, men onsker at den drevne remskiva skal gjøre 275 omdreininger, hvor stor må da diameteren på remskiva A2 være ? ,

d2 =

dx-nx □2

750 mm-150

=----- 97275

= 409 mm

På grunn av remmenes glidning gjor vi skiva 1—2 % mindre, altså 4—8 mm mindre. Vi vil antagelig velge å gjore diameteren = 400 mm. Vi får kanskje da et omdreiningstall på 278 isteden­ for 275, men det har sjelden noen praktisk be­ tydning. Ved hjelp av remmer kan vi også få snudd omdreiningsretningen. Vi nytter da kryssrem som vist på fig. 103. Remmen får da større påkjenning og slitasje. Anordningen er ikke skikket for brede remmer eller store hastigheter. En vertikal aksel kan også drives fra en horisontal, eller omvendt som vist på fig. 102. Denne anordningen kalles halvkryssrem. Det er nødvendig at remskivene blir plasert riktig, ellers vil remmen løpe av. Flytter vi remskiva F på fig. 102 til F2, vil dette bli tilfelle. Regelen er at midtlinjen av en rempart må ligge i midtplanet for den remskiva den løper opp på.

359

Remmenes tverrsnitt — bredde og tykkelse — er naturligvis avhengig av den kraften som skal overføres, og det materialet remmen er laget av. Materialet i remmer var for bare okselær. Nå bruker vi også gummi- og balataremmer. Disse remmene er bygd opp av flere lag bomullsduk som er impregnert med og bundet sammen av gummi, eller det gummilignende stoff balata. Disse remmene tåler fuktighet bedre enn remmer av lær, men på den andre siden står okselær bedre overfor varme og er giennomgående sterkere å slite på. Det lær som passer best til remmer, blir skåret av rygghuden på oksen. Stykkene blir korte, og remmene må derfor limes sammen av flere styk­ ker. Overleggene i skjøten blir tynnet ut kileformet, så skjøtene ikke blir nevneverdig tykkere enn remmen ellers. Også gummi- og balataremmer kan skjøtes slik at skjøten blir lite merkbar. En rem skal legges på slik at den har en liten spenning. Under bruk vil den tøye seg. Dersom en rem har strukket seg så den må kortes inn, er det i regelen ikke tid til å foreta en liming som tørrer sent. Vi nytter derfor ofte andre skjotforbindelser. Remmer kan vi således sy sammen med syremmer etter at endene er tvnnet ut. Vi kan også brette sømmene opp, og sy dem som vist på fig. 104. Denne skjøten passer bra for små skiver, men krever at remmen er godt skjermet.

Fig. 105. Remskjøt.

Fig. 103. Kryssrem.

Så har vi forskjellige spesielle remlåser. En lås som er mye brukt, er vist på fig. 105 I. Ståltrådkrokene i II blir ved hjelp av et eget apparat presset ned i remmen, så det danner seg hemper på begge remender som vist på III. Etter at begge remendene er lagt mot hverandre, stikker vi en råhudpinne gjennom hempene. Det blir på den måten dannet et slags hengsel. Det er friksjonen mellom skiva og remmen som bestemmer trekkraften. Derfor er det viktig at

360

Bjarne Hauge: Maskindeler

remmen ligger an mot en størst mulig del av om­ kretsen på skiva. Vinkelen ab på fig. 106 kalles remmens anleggsvinkel. I det tegnede tilfellet med stor og liten remskive ser vi at vinkelen ab er mindre enn 180°. En slik rem må ligge mer stram enn når vinkelen er storre. En remskive bør ikke ha for liten diameter. Da får remmen for sterk bøyningspåkjenning. Anleggsvinkelen kan økes ved å anbringe en lederulle L. (Fig. 107).

Når maskinen skal stanses, skyver vi remmen ved hjelp av en remgaffel eller remleder over på løsskiva. Den drivende remskive må da være så bred som den faste og løse skiva tilsammen.

Fig. 106. Reindrift. Fig. 107. Remdrift Buen ab og cd er anleggsvinkelen.

Løsskiva bør som regel ikke gli på selve akselen, men på en foring — løsbuss. Slitasjen blir da lettere å utbedre. Smøring blir oftest tilført ved staufferkopp. Til dels nytter vi løsskiver som løper i kulelager. Ofte får løsskiva rett rembane (fig. 111), især når remmen blir styrt av remgaffel. Med rett bane får løsskiva noe mindre diameter enn den faste skiva, på den måten blir remstrammingen mindre og like ens slitasjen. Remmen er da også lettere å fore over på den faste skiva. For trinnvis forandring av den drevne aksels omdreiningstall nytter vi trappe-remskiver.1) Diametrene på remskivene må velges slik at remlengden blir den samme for alle trinn. En god removerforing bor ha en virkningsgrad på minst 95 % og kan ha opptil 97 %.

Ved et langt remtrekk vil den remparten som ikke trekker, henge i en bue som vist på fig. 108 I. Det vil da være heldigst at den undre parten trekker som vist på II. Anleggsvinkelen blir da over 180°. Ved anordningen som vist på I blir anleggsvinkelen under 180°.

Fig. 108. Remtrekk. Ai er drivende aksel.

Fig. 109. Remskive med buet rembane.

Remskivene blir mest laget av støpejern, men også av støpt stål, pressede stålplater eller tre. Erfaring viser at det er best å la løpebanen på remskiva være svakt buet som vist på fig. 109. Remmen vil da løpe rolig og holder seg på midten av skiva uten noen spesiell styring. For sterk krumming medfører økt slitasje på remmen. Remskiver som sitter innenfor lager, bør av omsyn til demonteringen være delte. Remskiva blir festet til akselen ved kiler, mindre rem­ skiver ofte ved settskrue. Når flere maskiner blir drevet ved rem fra samme hovedaksel, er det ofte praktisk å inn­ rette driften slik at maskinene kan stoppes og settes i gang uavhengig av hverandre. Dette kan løses ved hjelp av friksjonskoplinger, men ofte nytter vi en løs skive ved siden av den faste rem­ skiva. (Fig. 110.)

Fig. 111. Løsskive med rett rembane.

Fig. 112. Snitt gjennom kilerem og tilhørende skive.

2. Kileremmer Kileremmer er bygd opp av duk, metalltråd og gummi og har et kileformet tverrsnitt (fig. 112). De blir framstilt i forskjellige tverrsnittsdimensjoner og i forskjellige endeløse lengder. Vi bruker dem særlig til å overføre kraft fra elektromotorer til arbeidsmaskiner. Motoren er gjerne montert på strammeskinner på selve maskinen, så det blir lett å montere og holde remmene passe stramme. En oversetning med kileremmer for drift av en transmisjonsaksel er vist på fig. 113. 9 Se avsnittet om dreiebenken under «Mekanisk teknO' logi», del V: Verktøymaskiner.

361

Veiver og veivaksler

På grunn av den store friksjon som det blir mellom den kileformede rem og rillene på rem­ skiva, kan kileremmen trekke med bare om lag 1/3 av den strammingen en Hatrem krever. Frik­ sjon og slitasje i lagerne blir da mindre. Anleggsvinkelen for kileremmer kan være mye mindre

Remmer for transport (remtransportorer) fram­ stilles nå mest av gummi. Forat lasten ikke skal presse remmen for mye ned, må den gli på et underlag som vist på fig. 114. Ved transport av tunge gjenstander legger vi ofte ruller i dette underlaget. Transporten kan foregå horisontalt, eller med den skråning oppover som lasten tillater. V ed transport av kull, malm eller lignende blir transportremmen understøttet av ruller som vist på fig. 115. På den måten danner remmen en hulning. Istedenfor rem nvttes i den senere tid også transport på tynne hardvalsede bånd av stålplate.

Fig. 114. Remtransportør. Fig. 113.

enn for flatremmer. De kan derfor brukes til store hastighetsoversetninger (opptil 10 : 1) og blir ofte brukt istedenfor tannhjul. Når vi legger mange kileremmer ved siden av hverandre, kan en kilerem-transmisjon overføre 200—300 hk. De har en svært stille gang og høy virkningsgrad (97 %).

Fig. 115. Understøttelsesruller for transportrem.

Veiver og veivaksler Veiver og veivaksler tjener til å omgjøre en fram- og tilbakegående bevegelse til roterende — eller omvendt. Stundom nytter vi uttrykket krumtapper, men det er mindre heldig. På engelsk heter det «crank». Fig. 116. Skjema for Watts damp­ maskin med veivbevegelse. C er dampsylinderen. Stempelstanga går opp til leddet D som har en rettlinjet styring (ikke vist på teg­ ningen). DE er forbindelsesstang til balansen EG som svinger om F. GT er veivstang. AT er veivarmen. A er roterende aksel.

Nesten alle maskiner som arbeider med stem­ pler, er forsynt med veivaksel, men også andre maskiner. Allerede Watt nyttet i sin dampma­ skin en slik anordning, fig. 1161). Fig. 117 viser hvordan veiva så ut.

Fig. 117. Veiv og veiv­ aksel. V er veivarm. T er veivtapp. Veivarmens del som omslutter A, er veivbosset.

Den siste form for veiver blir i store trekk ennå nyttet i atskillig utstrekning. Ved enkeltPå grunn av et patent på veivbevegelsen måtte han i den første tid bruke planethjul.

362

V eivst enger

sylindrede maskiner blir det nå ofte støpt på en motvekt som vist stiplet på fig. 117. Motvekten vil hjelpe til å minske de uheldige belastningsforhold som blir framkalt av de store vektene i de framog tilbakegående maskindelene (stempel, stem­ pelstang og veiv). Særlig nødvendig er dette ved hurtiggående maskiner. Veiva må festes solid til akselen. Veivbosset blir derfor boret så trangt at det enten må presses eller krympes på akselen. Veiva blir dessuten sikret mot vridning ved en kile. Veivtappen blir enten presset inn eller passet inn i et konisk hull i veiva og forsvnt med mutter på baksiden. Tappens overflate blir ofte ved en aller annen framgangsmåte overflateherdet. Stundom får veiva en rund form som vist på fig. 118. Den kal­ les da veivskive. Den blir en del Fig. 118. Veivskive. nyttet på mindre motorer og dampvinsjer, bl. a. fordi den runde formen er minst farlig for personer som kan komme inntil. Istedenfor den sammenbygde veivtypen på fig. 117 bruker vi nå mest den helsmidde dobbeltarmede veivtypen på fig. 119. Det var oppfinnelsen av damphammeren som gjorde framstillingen i denne formen mulig. Det smidde emnet ser vi av fig. 120. Etter at hullene er boret så nær hver­ andre som råd er, sprenger man den tynne veggen mellom hullene med en stålkile. Partiet kan også fjernes med skjærebrenner når tykkelsen ikke er for stor. Ved slike helsmidde veiver kalles veivarmen ofte for «skinke».

Fig. 119. Veiv og aksel smidd i ett stykke.

Fig. 120. Smiddjemne for dobbeltarmet veiv med hull boret for ut­ sprengning avjmidtpartiet.

Fig. 121. Helsmidd veivaksel med 4 veiver. Veivtappene er merket 1, 2, 3, 4.

En helsmidd veivaksel med 4 veiver er vist på fig. 121. Avstanden mellom veivene er her gjort så stor at det er plass til et bærelager mellom hver veiv. Dette blir alltid gjort på større mas­ kiner. For mindre maskiner (f. eks. bilmotorer) blir det oftest plasert to (fig. 122) og stundom tilmed tre veiver mellom bærelagrene.

Fig. 122. Veivaksel med 4 veiver og 3 lagerganger.

Veivstenger Veivstang kalles på engelsk «connecting rod». Det betyr forbindelsesstang. Navnet er på norsk blitt forkortet til «råde», som ofte blir brukt istedenfor veivstang. Veivstanga forbinder enten veiva direkte med stemplet, som på fig. 124, eller over et krysshode K, som på fig. 123. Krysshodet gir stempelstanga den nødvendige styring. Det har oftest en — stundom to — glidesko som glir på en flat eller sylindrisk føring. Ved mindre motorer må stemplet være så høyt at det overtar krvsshodets funksjon. Den slags stempler kalles trunkstempler.(Fig. 124.) Fig. 125 viser en alminnelig form for veiv­

stang i en bilmotor. Lageret til høyre er veivlageret. Det må være delt for å komme inn på veivtappen. Denne delen av veivstanga kalles veivstanghodet. Lageret har gjerne en tynn, delt foring, ofte forsynt med hvittmetall. En knast i stanga passer inn i foringen og hindrer at denne går rundt. Lageret i den andre enden på veivstanga kalles krysslageret. Det kan være udelt fordi krysstappen kan stikkes fra siden inn i lageret. For hurtig­ gående bilmotorer gjelder det å gjøre alle framog tilbakegående maskindeler lettest råd er. Der-

363

Eksenterskiver

mellomlegg som kan avfiles for etterstilling av lagerskålene. Veivstanga har krysstapp. Krysslageret må da være satt på krysshodet. Den om­ vendte anordningen fins også. På damplokomotivet nyttes ofte for begge veivstanglagerne en anordning som vist på fig. 127. Lagerskåla blir stukket inn i en åpning i veiv­ stanga og klemt fast av en kile som blir holdt på plass av en skrue. Da selve veivstanghodet ikke er delt, kan en slik konstruksjon bare nyttes for en endetapp (se fig. 117). Krysslageret kan være utformet på en tilsvarende måte. Også for damplokomotivet sløyfes nå til dels anordning for tilsetning av lagerskålene. Isteden­ for blir brukt hele foringer, som når de er slitt, blir skiftet ut med reserveforinger.

Fig. 124. Maskin med trunkstempel.

Fig. 123. Maskin med krysshode.

Fig. 127. Veivlager med kile. 7

Fig. 125. Veivstang for bilmotor.

for sløyfes ofte anordninger for etterstilling ved slitasje; en foretrekker å bruke ferdige reservedeler som lett kan skiftes inn. Annerledes blir forholdet ved større maskiner, som f. eks. skipsmaskiner. For dem må veivstanga utformes slik at de delene som blir slitt, lett kan utbedres. Formen er ellers for slike store maskiner om lag som for bilmotorer. På fig. 126 er vist veivstang for en skipsmaskin; m er

L_________ z_________ J 771

Fig. 126. Veivstang for skipsdampmaskin.

Smøring av veivlager og krysslager Det som er nevnt om smøring av alminnelige lager, gjelder også for smøring av disse lagerne. Smøringen må rette seg etter driftsforholdene, som kan variere sterkt. Maskiner som ikke stadig er i drift — f. eks. lokomotiver — kan ha oljekopper med tett lokk plasert på lagerne. Oljetilforselen blir regulert av en nåleventil. Ventilen må stilles inn litt for­ skjellig sommer og vinter, da oljen blir mer lettflytende i varmt vær. Maskiner som skal gå uavbrutt i lengre tid og ikke er særlig hurtig-gående — f. eks. vertikale dampmaskiner — kan forsynes med en smoreveke, som beveger seg forbi en smorekopp og slikker olje av den. Forbrenningsmotoren har som regel — og bil­ motoren alltid — lukket veivrom med tett bunn. I veivrommet fyller man så mye olje at veivene dvpper ned i oljen. Oljen blir på den måten plasket opp også i krysslageret. Slik smøring kalles plasksmøring. Dersom omdreiningstallet av en eller annen grunn går ned, kan smøringen bli utilstrekkelig.

364

Bjarne Hauge: Maskindeler

Ved de fleste større forbrenningsmotorer og ved svært mange bilmotorer og andre maskiner blir nå nyttet trykksmøring. En oljepumpe presser olje under 3—4 atm. trykk inn i de forskjellige

lagre. Ved all trykksmøring må det være anord­ ning for rensing og oppsamling av oljen så den kan sirkulere.

Eksenterskiver En roterende bevegelse kan overføres til en fram- og tilbakegående bevegelse ved hjelp av eksenterskive. Det er en rund skive som det er boret et hull i som passer til akselen. Dette hullet (fig. 128) har sitt sentrum a utenfor sent­ rum av skiva c. Stykket a-c kalles eksentriFig. 128. Eksenterskive. siteten. Utenom denne skiva blir det lagt en ring (ofte kalt bøyle) med tilhørende eksenterstang(fig. 129). Er eksenterskiva fastkilt til akselen, og det er glideklaring mellom ring og skive, vil stanga F på fig. 129 få en fram- og tilbakegående bevegelse når akselen roterer om a. Studerer vi bevegelsen nærmere på fig. 130, vil vi se at sentret c beveger seg om akselens sentrum a, i en sirkel med radius a-c. Bevegelsen svarer nøyaktig til en veivbevegelse med veivlengde a-c og lengden på veivstanga c-K. Stanga F går en gang fram og tilbake når eksenterskiva går en gang rundt. Eksenterringen på fig. 129 er udelt og har derfor bare fast styrekant på den ene siden. Styring på den andre siden må da skaffes ved påskrudd ring. I alminne-

Fig. 129. Eksenterskive med eksenterring og eksenterstang.

lighet gjøres eksen­ terringen delt som på fig. 131. Eksenterskiva blir Fig. 130. Skjema for eksenteri regelen laget av bevegelse. støpejern. Ringen (bøylen) er også ofte av støpejern eller av stål eller bronse, og foret med lager­ metall. Eksenterbevegelsen bruker vi bl. a. mye til å Fig. 131. Delt eksenterring. bevege dampmaskinens sleider og ventiler.

Urunde skiver (Kamskiver) I mange tilfelle trengs en mer rykkvis — plut­ selig — bevegelse enn den som ek­ senterskiva fram­ bringer. En maskindel skal f. eks. ha en bevegelse under 1/4 av akselens omdreining, mens den ellers skal stå Fig. 132. Urund skive. helt Stille. En slik bevegelse trengs ofte for ventiler. Da nytter vi med fordel en urund skive. Virkemåten ser vi på fig. 132. Skiva

roterer med jevn fart. Hver gang kammen K passerer stanga F, får denne en bevegelse opp­ over. Fjæra trykker F til­ bake når kammens høy­ este punkt har gått forbi. Ved å tilpasse formen på den urunde skiva kan vi få den bevegelsen på F som er ønskelig. Har vi bruk for to bevegelser av F under en omdreining av jqir 133 akselen, bruker vi to kam- Plasering av trinser, mer på skiva. For å minske friksjonen mellom F og kammen kan vi plasere en trinse på enden av F (fig. 133). Akslen som skiva sitter på kalles kamaksel.

Pakningsbokser og pakninger

365

Pakningsbokser og pakninger Ved en rekke maskiner — dampmaskiner, pumper, kompressorer, turbiner for vann og damp m. fl. — trengs en innretning som kan tette omkring roterende aks­ ler eller fram- og til­ bakegående stenger. Vi skal gjennomgå noen eksempler. Stempelstanga foren alminnelig dampma­ skin går gjennom en rund åpning i sylinder­ ens bunn. Forat ikke dampen skal lekke ut, må vi plasere en pakFig. 134. Pakningsboks uten pakning. ningsboks (eller pakkboks) med tilhørende pakning. På fig. 134 er pakningsboksen vist uten pakning. C er bunnen i sylinderen, S stempelstanga, B pakningsbok­ sen og G er et lokk som kalles "land (brille). Pakningen blir lagt inn i det ringformede rom­ met t. Den blir framstilt fabrikkmessig av asbest, hamp, gummiaktige stoffer og metalltråd. De er ofte tilsatt fett eller grafitt for å gjøres selvsmørende. I den senere tid blir også framstilt pakningsringer av blott metall (for diesel­ motorer). Når boksen er passe fylt, blir glanden skrudd til, så ringene blir presset innover mot stempel­ stanga og utover mot veggen i pakningsrommet. Se fig. 135. For å skåne pakningen ved tilskruingen blir til dels både boksens bunn og glandens anleggsflate mot pakningen gjort helt plane istedenfor skrå som vist på figuren. Begge skruer må trekkes jevnt til og ikke hardere enn at man akkurat oppnår tetning. Glanden og hullet i bok-

Fig. 135. Pakningsboks med innlagte pakningsringer.

Fig. 136. Pakkboks med hette.

sens bunn er ofte foret med bronse, mens resten gjerne er av støpejern. Mindre pakningsbokser har ofte en form som vist på fig. 136. Boksen B er gjenget utvendig. Vi skrur hetta M inn på boksen B. Pakkringen R presser på den måten pakningen sammen. Den­ ne formen blir mye brukt, særlig for ventiler og kraner. Som eksempel på pakning ved roterende be­ vegelse skal nevnes pakning av propell-akselen der den går ut av skroget. Akselen ligger på dette stedet i en propellhylse som danner lager for akselen. Denne hylsa er forlenget forover og ender i en pakningsboks som er fylt med smørefett. Av andre maskiner som har pakning av roterende aksel, kan nevnes sentrifugalpumper, vannturbiner og dampturbiner. Ved valg av tetningsmateriale (pakning) for slike roterende aksler gjelder det å få et tilstrek­ kelig blott og fett materiale, som sliter minst mulig på akselen. For helt å unngå slitasje og friksjon nytter vi både for damp og vann såkalte labyrinttetninger. De består av en boks med en rekke ribber som går så nær akselen som råd er. På den måten må dampen eller vannet passere en rekke kanter og gå fra rom til rom for det kommer ut i fri luft. På sin vei moter vannet eller dampen motstand. Noe vann eller damp vil naturligvis lekke ut ved en slik tetning. Ved den tetning for vann som er vist på fig. 137, blir vannet som lekker igjennom, tappet ut ved u.

Enda storre mot­ stand mot gjennom­ strømning får vi ved å sette fast på ak­ selen ringer som pas­ ser inn i rommene i boksen (fig. 138). Ved de høye tryk­ kene på opptil 100 atm. som blir nyttet ved presser og til­ hørende pumper, må Fig. 137. Labyrinttetning. pakningene utfor­ mes annerledes. Som pakning ved slike trykk bruker vi en lærkrage, som av væsketrykket blir presset inn mot stemplet. De er for så vidt selvtettende. Fig. 139 viser en slik pakning og fig. 140 pakningen innlagt i boksen. Pakningen blir tildannet ved

366

Bjarne Hauge: Maskindeler

pressing av en gjennombløt lærskive. Før pak­ ningen blir satt inn, blir den godt innfettet. Glanden må vi skru hardt til. Fig. 141 viser en pakning som er alminnelig for

hydrauliske presser i tresliperier, oljemoller m. fl. Ved denne utforming blir pakningen av væske­ trykket presset både mot stemplet og mot sylin­ deren.

Fig. 140. Pakning i pumpe for hydraulisk presse.

Fig. 141. Pakning i hydraulisk presse.

Stempelfjærer Vi har forskjellige maskiner som arbeider med et stempel. På stemplets over- og underside er det forskjellig trykk, og stemplet må ikke gå så trangt i sylinderen at det blir stor friksjonsmot­ stand. Det må derfor sørges for en tetning. Forat stemplet skal gå lett nok og samtidig holde tett, må den del av stemplet som ligger an mot sy­ linderveggen, være litt elastisk. Dette er også nødvendig, fordi erfaring viser at sylindrene på grunn av påstøpte kanaler osv. ikke utvider seg helt jevnt ved oppvarming. Dessuten er det øn­ skelig at tetningen kan være like god også etter at sylinderen og stemplet er blitt noe slitt. Av disse grunnene forsyner vi stemplene med én eller flere stempelfjærer. Disse fjærene er støpejernsringer som blir lagt inn i fjærspor i stemplet. Stemplet skal ha litt mindre diameter enn sy­ linderen. For dampmaskiner blir både sylinder, stempel og stempelringer laget av støpejern. På fig. 142 er vist stemplet for en mindre maskin. Det er to stempel­ fjærer Fx og F2. De Fig. 142. Stempel for mindre blir støpt og dreid som hele ringer. Rin­ dampsylinder. genes diameter skal

i ferdigdreid tilstand ha om lag en fjærtykkelse større diameter enn sylinderen. Etter findreiningen blir ringen skåret opp og et så stort stykke tatt bort at når ringen er satt inn i sylinderen, vil det bare være et lite spfllerom mellom begge fjærendene. Stempelfjæra kommer på den måten til å ligge i spent tilstand og presse seg utover mot sylinderveggen. Stempelfjæra må ikke være tykkere enn at den er elastisk nok til å bli smet­ tet over stemplet og inn i fjærsporet. Tykkelsen blir vanligvis laget omkring 1/26 av diameteren. Stempelfjærer blir laget av beste sort støpejern, og bearbeidingen av fjæra og fjærsporet krever stor nøyaktighet dersom tetningen skal bli god. På fig. 142 ser vi at stempelfjæra er skåret på skrå. Det overskårne partiet av stempelfjæra kal­ les fjærlås. Det kan også skjæres av slik at det framkommer en overlapp som vist på fig. 143. Fig. 144 viser fjærlåsen slik den ligger i fjær­ sporet i driftstilstand. Samme sort stempelfjærer bruker vi også for forbrenningsmotorer. Selve stemplet er imidler­ tid alltid høyere, og vi må bruke minst 3 stempel­ fjærer for å holde tett ved de store trykkene vi her har. På fig. 145 er vist et stempel for en bil­ motor. Typen kalles trunkstempel. (Se også fig. 124.) Også for forbrenningsmotorer blir stempelfjærene oftest laget av støpejern.

Bremser

En mangel ved de stempelfj ærene vi har gjen­ nomgått, er at de ikke presser Uke sterkt ut mot sylinderveggen rundt hele omkretsen. Slitasje og tetning blir derfor noe ujevn. Dette er ved storre dampmaskiner rettet på ved at det innenfor stempelfjæra er lagt inn blad- eller skruefjærer (motfjærer) som trykker stempelfjæra ut mot sylinderveggen. Skal vi få disse motfjærene inn bak stempelfjæra, må stemplet være framstilt i to deler, som vist på fig. 146. Ringen J, som kalles junkring, må loftes av når motfjærene skal legges inn. Selv bare med én stempelfjær gjor denne konstruksjonen at en praktisk talt fullkommen tetning blir mulig. For forbrenningsmotorer kan vi ikke nytte lignende konstruksjon, da fjærene ville bli skadd av den sterke varmen.

367

Fig. 143. Fjær med overlapp.

Fig. 144. Fjær med overlapp lagt inn i fjærsporet.

Fig. 145. Trunkstempel for bil.

Fig. 146. Dampmaskinstempel — delt.

Bremser Bremser er en innretning som skaffer friksjonsmotstand, så farten blir satt ned. De blir særlig brukt ved heise- og kjoreinnretninger. Ordet bremse har vi fra tysk. På engelsk heter det «brake» (uttales breik). Våre jernbanefolk bruker delvis det engelske ordet, av dette navnet «brekk­ vogn». En enkel bremseinnretning er vist på fig. 147. Armen K kan dreies om det faste lager 0 og har en bremsekloss M. Denne blir trykket mot den sylindriske bremseskiva B. Bremsetrykket N er lik kraften K multiplisert med forholdet mellom armlengdene. Er f. eks. OK 5 ganger så lang som NO, blir N = 5-K. Fra fysikken vet vi at friksjonsmotstanden er lik p.-N, der u. er friksjonskoeffisienten. Foren bremsekloss av tre mot en bremseskive av jern er friksjonskoeffisienten om lag 0,4. Friksjons­ motstanden er altså i dette tilfellet 0,4-N. Bremseklosser av tre kan bare brukes for kort­ varig bremsing og ikke for store bremsekrefter. Tre passer da bra, fordi det bremser jevnt og ikke river opp bremseskiva. Ved langvarig brem­ sing kan en ikke nytte tre fordi det blir forkullet

eller brenner opp. Ofte brukes derfor bremse­ klosser av støpejern (jernbanen), eller det blir brukt spesielle bremsebelegg (biler). For heiser bruker vi ofte en bremse som vist på fig. 148. Ved den får vi trykk på bremseskiva fra to bremseklosser og på den måten stort bremsearbeid. Ellers fins det mange mer spesielle bremser, som det ikke er plass til å komme inn på her. Til slutt vil vi gi en beskrivelse av en alminnelig bakkebremse. De fleste biler har nå bremser på alle fire hjul. Bremseskiva er i regelen en hulsylinder festet til hjulet. Bremsebakkene ligger innvendig forat bremsen skal kunne vernes mot stov og vann. En enkel bilbremse er skjematisk vist på fig. 149. Det er her to bremsebakker (ofte kalt sko) Si og S2. Bakkene kan dreies om (T og O2. Bak­ kene presser vi ut mot skiva ved å vri kammen C. En fjær trekker bakkene tilbake. Nå nytter vi ofte hydraulisk kraft for å bevege bakkene. Istedenfor kam nytter vi da en liten sylinder med et stempel, som blir tilfort trvkkvæske fra en annen sylinder, hvis stempel står i forbindelse med bremsepedalen.

Bjarne Hauge: Maskindeler

368

Bremsebakkenes bremseflate er kledd med et stykke spesielt framstilt bremsebånd. Kvaliteten av disse bremsebåndene er svært viktig. De må tåle sterk varme, ikke bli slitt for fort og ikke

Bremse med én bremsekloss.

bite seg fast. Båndene blir festet til bakkene med nagler med sterkt forsenkede hoder. Det fins også andre konstruksjoner av bilbremser, f. eks. med 3 bakker.

Fig. 148. Bremse med to bremseklosser.

Innvendig blokkbremser.

Ventiler Ventiler bruker vi til å åpne og lukke for gjennomstrømming av væsker og gasser. Etter konstruksjon og måten de blir beveget på, vil vi inndele dem i følgende hovedgrupper: a) Løfteventiler som blir åpnet og lukket av den væsken eller gassen som strømmer gjennom ventilen (automatiske). b) Løfteventiler som blir åpnet og lukket av en mekanisk innretning. c) Glideventiler som blir åpnet og lukket av en mekanisk innretning. d) Ventiler som blir åpnet og lukket med hånden. Automatiske løfteventiler Automatiske løfteventiler er for det meste ventiler for stempelpumper. Det er derfor best å gjennomgå skjemaet for en enkeltvirkende pum­ pe — en pl ungerpumpe (fig. 150). Når stemplet P — som kalles plunger — blir ført nedover, vil det skape et trykk i væsken i pumpehuset. Trykkventilen V2 vil løftes, så væsken strømmer ut gjennom trykkrøret R2. Samtidig vil sugeventilen V\ falle ned og stenge for sugerøret Rv Når plungeren blir ført oppover, vil det oppstå suging i pumpehuset. Sugeventilen vil da løftes og trykkventilen falle ned. På fig. 151 er vist hvordan et ventilhus med ventil er konstruert. Den bevegelige ventilen — ventilskiva — er påstøpt et «bladkryss» med 3

eller 4 blad som tjener til å styre ventilskiva slik at den kommer på plass. Anleggsflatene på ven­ tilskiva og ventilsetet er som oftest koniske, da erfaring viser at det er den mest holdbare formen. Er ventilsetet flatt, nytter vi ofte en pakning av lær, gummi el. 1. Skruen i ventilhusets lokk dan­ ner et regulerbart anslag for ventilskiva, så den ikke går høyere opp enn at den raskt kan falle ned mot setet, når kraftvirkningen oppover slutter. Materialet i ventilen må rette seg noe etter den væsken som skal transporteres. Alminnelig er det å lage ventilskiva og ventilsetet av bronse. Ventilhuset er oftest av støpejern. Er trykket svært høyt, som f. eks. ved hydrauliske presser, blir ventilhuset laget av støpestål. Kompressorer for gass eller luft er ikke annet enn pumper. Navnet kommer av at gass og luft i motsetning til vann blir komprimert når de blir utsatt for trykk. Kompressoren blir mye nyttet i verksteder, ved anlegg, bensinstasjoner osv. Fig. 152 viser en kompressorventil. Ventilsetet er en litt stor skrueplugg som det er boret hull i. Ventilskiva består av en stålplate som ikke er over 1 mm tykk. Den løfter seg ikke over 1 mm, og blir presset ned av spiralfjærer som er stanset ut av en stålplate. Disse ventilene kan bevege seg svært fort. Små kompressorer kan gjøre over 1000 omdreininger pr. min.

V entiler

Av fig. 153 ser vi hvordan en noe større kompressorventil er bygd. Ventilåpningene har her form av spalter. Ventilskiva blir presset ned av fire skruefjærer; av dem er bare den ene vist på tegningen. Tilbakeslagsventiler kalles ventiler som vi nyt­ ter for å hindre at rørledninger eller beholdere under visse forhold blir tomt for sitt innhold. Som et enkelt eksempel kan nevnes en sentrifugalpumpe som er plasert over undervannet. En slik pumpe kan suge bare når den går i .vann, og ville ikke kunne settes i funksjon etter en stans der­ som sugeroret mister vannet. En alminnelig pumpeventil som vist på fig. 151, kan bli nyttet til tilbakeslagsventil. Da ventilen bare sjelden skal lukke seg og derfor ikke blir mye slitt, blir ofte underflaten på ventil­ skiva dekket med gummi eller lær. Det fins ellers flere konstruksjoner av disse ventilene. Sikkerhetsventiler har til oppgave å sikre at trykket i en beholder, f. eks. dampkjele, ikke

Fig. 150. Skjema for plungerpumpe.

Fig. 151. Ventilhus med ventil (for vann).

blir så høyt at det blir fare for sprengning. I sli­ ke ventiler er ven­ tilen belastet ved hjelp av en vektarm eller fjær. Så snart trykket overstiger den kraften som ven­ tilen blir presset ned av, åpner den seg.

Fig. 153. Kompressorventil. 24 — Teknikk I

369

Løfteventiler som blir åpnet og lukket mekanisk Disse ventilene blir nyttet på de fleste forbrenningsmotorene. For en bilmotor kan ven­ tilen være som vist på fig. 154. Da ventilen ikke er utsatt for noe stort trykk under åpningen, er bevegelsesanordningen enkel. Den blir loftet av kamskiva C og trykket ned av skruefjæra. Av­ hengig av maskinens konstruksjon og tillops- og avløpsrørenes anordning kan ventilene også plaseres hengende eller liggende horisontalt, eller på skrå. Annerledes er forholdet for ventiler som skal regulere dampinnstrommingen til dampmaskinsylindrer. I motsetning til dampmaskiner med sleidestyring kalles disse ventilstyrte. Slike ven­ tiler er utsatt for fullt damptrykk under åpningen; en konstruksjon som på fig. 154 ville derfor kreve stor kraft for åpning av ventilen. Ved at ventilen blir laget som på fig. 155, får den mye mindre belastning. Når ventilen blir loftet, strømmer dampen ut av åpninger både ved a og b. Det fins også andre konstruksjoner.

Fig. 152. Liten kompressorventil.

Fig. 154. Ventil for forbrenningsmotor.

Fig. 155. Ventil for dampmaskin (ventilstyrt).

Bjarne Hauge: Maskindeler

370

Glideventiler Glideventiler som blir beveget av mekaniske innretninger, nyttes i stor monn, bl. a. for damp­ maskiner. Her er ikke plass til å gi noen inngåen­ de beskrivelse; vi kan bare vise til det som er nevnt om sleider under dampmaskiner. Ventiler som blir beveget med hånden Den type ventiler som bare blir nyttet i rørleggeryrket, tar vi ikke med lier. I samband med forskjellige maskiner nytter vi stengeventiler som blir beveget for hånd. De samme ventilene kalles også ofte påslipningsventiler. Det fins tre helt forskjellige konstruksjoner av disse ventilene. De er skjematisk vist på fig. 156—158.

«throttlevalve» på engelsk, som betyr strupeventil). Navnet kommer av at ventilen før ble brukt på dampmaskiner til å innsnevre (strupe) dampen når maskinen skulle gå sakte. Den er lettbevegelig, men holder ikke godt tett mot damp. Den blir også brukt som stengeventil foran vannturbinen når fallhøyden ikke er over 40—50 m. Blir en'tilsvarende stengeanordning brukt i røyk- eller luftrør, kalles den oftest spjeld. Etter denne oversikten skal vi se litt nærmere på enkelte detaljer'ved disse ventilene.

Fig. 159. Stengeventil med vinkelløp.

Fig. 156.

Fig. 158.

Skjematisk skisse av stengeventiler.

På fig. 156 er vist den alminnelige skiveventil. Den blir mest brukt for damp. Fig. 157 viser en sluseventil. Den gir stort gjennomlopstverrsnitt og blir mye brukt for vann. Ventilen på fig. 158 kalles bladventil eller ofte trottelventil (etter

Fig. 160. Forbindelsen mellom spindel og ventilskive.

Skiveventilen på fig. 156 har rett gjennomløp, men ofte nytter vi tilsvarende ventil med vinkelløp (fig. 159). For damp er både ventilskiva og ventil­ setet av metall (bronse). Dersom ventilen er så stor at ventilhuset blir gjort av støpejern, må ventilseter av metall drives ned i støpejernshuset på samme måten som vist på fig. 151. Forat spindelen skal kunne presse ventilskiva hardt nok mot setet, må forbindelsen være utført slik at spindelen kan dreie seg i forhold til ventil­ skiva. På fig. 160 er vist en utføringsmåte for en slik forbindelse. S er spindelens nederste hode, og P en splint som holder hodet på plass. Små skrueventiler har spindelmutteren inne i ventilhuset. En slik liten stengeventil for damp laget helt i bronse er vist på fig. 161. Store sluseventiler blir ofte beveget både opp og ned med vanntrykk. Over ventilhuset er da plasert en sylinder med stempel som står i for­ bindelse med slusen. Trykkvann blir tatt fra ledningen som ventilen er satt på. For store trvkk er ventilhuset av stål. Ved våre største vannkraftanlegg er det ventiler som veier om lag 12000 kg og med 4,5 m diameter på ventilbladet.

Tettsluttende sammenføyninger og forbindelser

I trottelventiler for damp er til vanlig alle deler laget av metall. Bevegel­ sen skjer oftest direkte med hån­ den. Når ventilen er lukket, står bladet litt på skrå i løpet forat det skal kunne pres­ ses hardt mot ventilhusets vegg. Vi bør huske på at ventil i en­ kelte tilfelle kan bety bare den bevegelige del av den. I andre til­ Fig. 161. Liten stengeventil. felle mener vi den bevegelige del med sete, anslag og fjærer. Dessuten kan ventil omfatte ventilhuset med alt tilbehør. Av den sammenhengen ordet fore­ kommer i, vil det i regelen være klart hva som er ment. Kikkraner Vanlig kalles kikkraner bare kraner. Vi har imidlertid også navnet kran om heiseinnretninger, så det kan til dels være nødvendig å bruke det fulle navn for å unngå uklarhet.

371

Den alminnelige kran, fig. 162, er på forhånd kjent for de fleste. Den innslipte, svakt koniske tappen kalles kik. Den har et hull, og kranen stenger og åpner vi ved å vri kiken. Kiken blir gjerne

Fig. 164. Treløpskran.

holdt på plass av mutter med underlagsskive. Disse kranene blir mye brukt i rorleggeryrket, men også i samband med maskiner. Ved en forandret konstruksjon kan kikkraner nyttes til å stenge for to eller tre grenrør. Disse kalles treløps eller fireløps kikkraner. Fig. 163 viser en treløpskran (treveiskran). Fra A kan vi etter ønske lede strømmen av væske eller gass til B eller som i fig. 164 til C. Kiken kan også inn­ stilles så kranen blir helt stengt.

Tettsluttende sammenføyninger og forbindelser Pakninger Her vil bare bli gjennomgått forbindelser som kommer på tale ved maskiner. Store hule maskindeler av støpegods (jern eller stål) er ofte støpt i flere deler og blir skrudd sammen. Av skjøtene må oftest kreves at de skal være både tette og sterke. Den vanligste sammenføyningen skjer ved flenser. På fig. 165 er F! og F2 flensene. De er ofte avstivet med ribber (R). Flenser blir nesten alltid bearbeidd (maskinert) på sammenføyningsflatene og trukket sammen med skruebolter. Ofte blir også nyttet et elastisk mellomlegg — pakning — mellom flensene. Pakningen skal fylle ut små ujevnheter som fins selv på maskinerte flater.

Fig. 162. Alminnelig kikkran.

372

Bjarne Hauge: Maskindeler

For tetning mot kaldt vann (under 50 °) nytter vi ofte tynn gummiplate eller hampegarn og møn­ je. For varmt vann og varme gasser må vi nytte pakninger som er særlig avpasset. For forbrenningsmotorer blir f. eks. ofte nyttet en duk vevd av asbestfiber sammen med fin koppertråd. Bly blir også nyttet atskillig til pakning, særlig i rørleggeryrket. Flenser kan planeres så nøyaktig at de kan holde tett uten pakning, men det blir sjelden gjort, og går ikke dersom temperaturen blir bøy. Rørforbindelser Rør med større diameter enn 50 mm1) som blir nvttet i samband med maskiner, er i regelen flensrør. Støpte rør har flenser som i hovedsaken er som vist på fig. 165. For ror som ikke er støpt, blir flensene nesten alltid påsatt som fig. 166 viser. Flensen er gjort tykkere inne ved røret forat annleggsflaten skal bli god.

Fig. 166. Rør med påsatt flens.

Fig. 167. Utbrettet rør og løsflens.

Stålrør blir ofte valset fast i flensen ved hjelp av et spesielt verktøy — rørvalse — som blir stukket inn i røret, og som ved å bli dreid rundt presser røret ut mot flensen, som gjerne er forsynt med riller. Flensen kan også gjenges eller sveises o Pan For kopper- og messingrør blir flensene laget av lignende materiale som røret, og loddet fast. Flenser som skal loddes på, må tildannes slik at loddemetallet kan flyte ned mellom flensen og røret. For rør med lavt trykk kan det være nok å brette ut en krage på røret og trekke den godt inn til en tilsvarende krage på en annen rørende ved hjelp av påsatte løsflenser og skruebolter (se fig. 167). Fig. 168 viser en solidere forbindelse. Her er den utbrettede kragen erstattet av en påsatt ring (F). For store vanntrykk (vannkraftanlegg) nytter vi for litt større rør en form på flensene som x) For Stålrør er det alminnelig å oppgi innvendig dia.

vist på fig. 169. Pakningen er en gummiring med rundt tverrsnitt. Når flensene blir skrudd sam­ men, får pakningen kileformet tverrsnitt. Vanntrykket vil da trykke pakningen enda fastere inn mellom flensene. Sveising blir nå i stor monn nyttet for sam­ menbinding av større rør.

Fig. 168. Løsflens.

Fig. 169. Høytrykks pakning.

Mindre rør Vi vil også ta med enkelte vanlige rørforbin­ delser for mindre rør. Vannlednings- og gassrør av stål opptil 2” blir vanlig skjøtt med muffe (fig. 170). Muffen går såpass lett på rørets gjenger at en tiltetning vikler fine hampefibrer mellom gjengene før muffen blir skrudd på. For høytrykksdamp kan hamp ikke brukes, da den blir forkullet. For slik damp må derfor gjengene passe særlig godt (koniske gjenger), og ofte blir muffen diktet (dikket) eller sveist etter sammenskruingen. Ikke sjelden har vi den oppgaven å forbinde to fastliggende rør som ligger et stykke fi a hver­ andre slik som Rj og R2 på fig. 171. Det kan skje ved at et bindstykke R3 blir satt inn. På de oppgjengede endene av bindstykker skrur vi først inn to bakknutter (etter engelsk backnut, som betyr baksidemutter) Bx og B2, deretter muffene Aj og A2. Når begge muffene er skrudd inn som vist til høyre på fig. 171, setter vi bindstykket inn, der­ etter skrur vi muffene inn på de to rørendene som skal forbindes. Til slutt trekker vi bakknuttene hardt inn til muffen, slik som vist til venstre på figuren. Når en muffeskjøt har stått en tid, rus­ ter den og er van­ skelig å løse. I så måte er skjøten på fig. 172 bedre. RinFig. 170. Muffeskjøt. gene C og D er fes­ tet til hver sin rør­ ende (f. eks. ved slaglodding). Ringen C har utvendige gjenger og blir trukket inn til D ved

373

Måling og måleverktøy

hjelp av den innvendige gjengede hette E. Mellom ringene C og D blir det plasert en pakning, og det er den som skal holde tett, og ikke gjengene mellom C og E. Vil vi være sikre på at en gjenget rørforbindelse lett skal kunne løses, kan vi ikke bruke stål mot stål. Den ene del — eller enda bedre begge — må være av messing eller rødmetall. Derfor skrur vi sjelden et stålrør direkte inn i en hul maskindel av støpejern. Kan vi ikke skru på vedkommende rør, en ventil eller kran av metall direkte, bruker vi en nippel av metall. Det er en skrue med hull i midten. På begge ender er den oppgjenget og har på midten 6-kantform. Etter at nippelen er på plass, kan vi, som vist på fig. 173, skrue til den et rør e.l.

Fig. 172. Rørkopling.

Fig. 171. Bindstykke. Fig. 173. Nippel med tilkoplet flensrør

MÅLING OG MÅLEVERKTØY Gjenstander fremstilles for det meste etter ar­ beidstegninger med påførte mål. Kravene til nøy­ aktighet hos de ferdige gjenstander varierer med de formål gjenstandene skal ha. Den nøyaktighet som kreves er som regel påført tegningen. Alt etter graden av nøyaktighet som kreves, må vi bruke forskjellige slags måleverktøy. Vi skal her gjennomgå de mest alminnelige måleverktøy, dog uten å gå inn på bruk av de mest enkle, krompasser, fotpasser og stikkpasser. (Fig. 174).

den av to deler, en linjal med mm — (eller tom­ me-) inndeling og en skyver som kan beveges fram og tilbake på linjalen. Linjal og skyver har begge en rettvinklet forlenging nedover med en

Fig. 175. Skyvelær med dybdemål. Fig. 174. Krumpasser, fotpasser og stikkpasser.

1. Skyvelære med nonius Skyvelæren framstilles for avlesning med 0,1 eller 0,02 mm nøyaktighet. Vi skal forklare prin­ sippet ved å gjennomgå skyvelæren som har av­ lesning 0,1 mm. Som vi ser av fig. 175, består

kant, henholdsvis A-B og C-D, som står loddrett på linjalens lengderetning. Det er avstanden mel­ lom disse kantene som må kunne avleses med 0,1 mm nøyaktighet. I snittet F-G er vist hvordan skyveren med en egg H ligger an mot linjalen. Langs denne eggen er den såkalte noniusinndeling risset inn. Denne

374

Bjarne Hauge: Måling og måleverktøy

inndelingen strekker seg over i alt 9 mm og er delt i 10 like store deler, slik at hver del er lik 0,9 mm. 0-streken for noniens deling skal falle sammen med 0-streken for linjalens millimeterinndeling, når skyveren er stilt slik at kantene A-B og C-D faller sammen. På lig. 175 er skyvelæren innstilt for å måle diameteren av en tapp. Vi ser at skyverens 0-strek ligger litt utenfor 13 mm-streken på linjalen. Altså er diameteren mellom 13 og 14 mm. Sam­ tidig ser vi at den strek på nonien som avslutter den sjette del, står nøyaktig rett overfor millimeterstreken 19 på linjalen. Fra denne og til noniens 0-strek er avstanden 0,6 mm kortere enn 6 min, altså må avstanden fra 13 til noniens 0-strek være 0,6 mm. Tappens diameter er altså 13,6 mm. Den praktiske regel for måling ved hjelp av en slik nonius er at vi først avleser antall hele mm. Etterpå finner vi den noniusstrek som står rett overfor en av linjalens mm-streker. Er det den første etter 0-streken, er det 0,1 mm mer enn det hele mm-mål som er avlest. Er det den andre, blir det 0,2 mm som skal legges til osv. Dersom ingen noniusstrek peker rett på en millimeterstrek, velger vi den som står en millimeterstrek nærmest. Feilen ved avlesingen vil da ikke bli større enn høyst 1/2 X 01, mm = 0,05 mm. En nyere skyvelære, der avlesing kan foregå mer nøyaktig, har 49 mm lang nonius, delt i 50 like deler. Hver noniusdel er altså 49 mm : 50 = 0,98 mm, og 0,02 mm kortere enn millimeterdelingen på linjalen. La oss som eksempel ta en måling der noniens 0-strek står mellom 14 og 15 mm, og noniens 32. strek (som ofte er numme­ rert 64) står rett overfor en millimeterstrek på linjalen. Da er avstanden beregnet etter samme regel som før = 14,64 mm. (Avstanden fra no­ niens 32. strek til noniens 0-strek er 32 X 0,02 mm = 0,64 mm kortere enn 32 mm. Altså må avstanden fra 14 mm til noniens 0-strek være 0,64 mm.) En alminnelig form for skyvelære er vist på fig. 176. Den har foruten den vanlige skyveren en følgeskyver. Når skyveren er noenlunde inn­ stilt, kan den ved skruen K festes til linjalen. Deretter kan hovedskyveren innstilles sikkert og nøyaktig ved skruen S. På samme figur er skyvelæren forsynt med et dobbelt sett målekanter. Målekantene på bak­ siden er utformet som skarpe egger som mulig­ gjør f. eks. måling av kjernediameteren på en skrue. Vi må være særlig forsiktige ved måling

Fig. 176. Skyvelær med følgeskyver.

mellom disse eggene, for de er sterkt utsatt for slitasje. På fig. 175 er vist en anordning som skyvelærene ofte har til å måle dybden av hull som ikke er gjennomgående. Skyveren er fast forbundet med en tynn stang (I), som oftest går i en sliss (føring) på baksiden av linjalen. I O-stillingen faller enden av denne stanga nøyaktig sammen med linjalens plane endeflate. Når vi plaserer linjalens endeflate på kanten av et hull, og fører skyverens tynne stang til den bunner i hullet, kan hullets dybde avleses på nonien på vanlig måte. Det gjelder for måling med skyvelære som for måling med alt annet måleverktøy, at skal en måle nøyaktig, må en være både stø og lett på hånden.

2. Mikrometer Med mikrometer kan vi måle med 1/100 mm møyaktighet. Mikrometret blir framstilt for for­ skjellige slags måling og forskjellige måleområder. Vi skal først gjennomgå oppbyggingen av et mikrometer for utvendig måling. Et slikt er skje­ matisk vist på fig. 177 A er en bøyle. I dens venstre arm er innpresset en pinne med et planslipt, herdet hode B, som danner den ene anleggsflaten ved måling. Den høyre armen er fast for­ bundet med en målesylinder D, som har mminndeling. I målesylinderens ene ende er det et oppgjenget hull. I hullet sitter en skrue S, fast forbundet med en hylse H, som omslutter måtssylinderen. Når en beveger skruen, blir almsamtidig hylsa skjøvet fram eller tilbake over målesylinderen. Skruen har i alminnelighet 1/2

375

Må1eur

Til måling av større mål bruker vi en bøyle der en målesvlinder med skrue blir innspent. Til innvendig måling bruker vi mikrometerstikkmål. De er bygd som vist på fig. 178 a. Selve måleinnretningen er den samme som på mikro­ metret til utvendig måling, men istedenfor å være presset fast i en målebøyle er målesylinde­ ren gjenget i den ene enden. På denne enden er det skrudd fast en målepinne F. A i har pinner av forskjellige, svært nøyaktig forarbeidede leng­ der, og dessuten forlengelsespinner som vist på fig. 178 b, der fl og f2 er bestemte, svært nøyak-

mm stigning og er høyregjenget. En hel omdrei­ ning av skruen forskyver hylsa 1/2 mm. I den åpne enden av hylsa er kanten tynnet ut til en egg. Omkretsen av eggen er inndelt i 50 like store deler. For hver deling — 1/50 omdreining — en beveger skruen, blir hylsa skjøvet 1/60 av x/2 mm, dvs. 0,01 mm. I den ende av skruen som går inn i målebøylen, er det en herdet planslipt flate (C), nøyaktig parallell med endeflaten for pinnen B. Når mikrometret er skrudd sammen så disse flatene så vidt berører hverandre, skal hylsekantens 0-strek stå ved siden av målesylindelens 0-strek. Da hylsa bare blir forskjøvet 1/2 mm for hver omdreining, er målesylinderen, for å gi en lett og sikker avlesing, oftest forsynt med 2 mm-streker (se øverst på fig. 177), som er forskjøvet x/2 mm i forhold til hverandre. —■ På fig. 177 er mikrometret innstilt for et mål på 19,57 mm. Mikrometer har oftest en innretning til å holde skruen fast. På fig. 177 er vist en arm E, som beveger en eksenter som skruen kan klemmes fast med. Vi må være særlig lette og følsomme på hån­ den når vi skal måle med mikrometer. For i noen grad å gjøre målingen mindre avhengig av hånd­ laget er de fleste mikrometrene forsynt med en såkalt føleskrue. Det er en innretning — knott — ytterst på skruen som er koplet til den ved en friksjonskopling. Skrur vi knotten til høyre, er friksjonen nettopp stor nok til å trekke skruen inn. Så snart mikrometrets anleggsflate ligger an mot det stykkket som skal måles, «slurer» frik­ sj onskoplingen. På den måten hindrer vi at skru­ ens gjenger blir ødelagt ved unødig hard tilskruing. Skrur vi derimot til venstre, er knotten og skruen fast sammenkoplet. Måleområdene for mikrometer er: Fra 0 til 25 mm Fra 50 til 75 mm » 25 » 50 » » 75 » 100 »

Fig. 178b. Forlengelsetpinner.

Skal vi ta et innvendig mål, skrur vi på mikro­ metret en pinne av den lengden som høver best. Dersom målet skal ligge mellom 50 og 75 mm, bruker vi en pinne som gjor mikrometrets lengde L = 50 mm, når mikrometret er i 0-stillingen. Deretter skrur vi ut mikrometerhylsa til det rik­ tige mål. Lengden L er da 50 mm pluss det som vi avleser på mikrometret. På fig. 178 a avleser vi f. eks. 13,57 mm. L er altså lik 63,57 mm (når F = 50 mm). Det blir også laget dybdemål med mikrometera vie sin g. 3. Måleur For å bestemme små uregelmessigheter på en flate og måle små lengdeforandringer, nedbøyinger o. 1. er det fordelaktig å bruke et måleur. Det har en rund pinne, hvis ytterste ende kalles følespiss. Pinnen ligger i føringer og kan forsky­ ves aksialt. Ved hjelp av en fjær blir følespissen alltid trukket ut mot 0-stillingen og øver under målingen et passe trykk mot gjenstanden. Be­ vegelsen blir overfort gjennom en tannhjulsoversetting til en urviser. Ved 1 mm forskyvning av følespissen blir urviseren drevet én omdreining rundt. Omkretsen på «urskiva» er delt i 100

376

Bjarne Hauge: Måling og måleverktøy

deler, og da vi, særlig på litt større ur, nokså sikkert kan avlese med 1/2 delestreks nøyaktig­ het, kan vi med måleur avlese med 1/200 mm’s nøyaktighet. Måleur bruker vi til å kontrollere kast eller ved sentring i en dreiebenk og til å kontrollere montasje av maskiner osv. Måleuret blir plasert i spesielle holdere, som vist på fig. 179. På den måten kan det lett pla­ seres i forskjellige stillinger som er hensiktsmes­ sige for hver enkelt måling. Av omsyn til måleurets fine tannhjul, der tennene lett kan ødeleg­ ges, må de behandles med den største forsiktig­ het. Et tilsvarende måleapparat med en helt annen oversettingsmekanisme kalles mikrokator. Disse har enda større nøyagtighet.

aktig parallelle og forarbeidd av herdet stål. Så snart de blir det minste slitt, må læren kasseres eller slipes ned til et annet, større mål. Denne formen for lære blir brukt til kontroll av maskindeler som må framstilles med praktisk talt absolutt nøyaktighet. For at gjenstanden skal kunne godkjennes, må målegapet gå over uten motstand, men også uten spor av spillerom. Lærer bruker vi også til å måle tynne platers og tråders dimensjoner. En trådlære er vist på fig. 181. (Den kan også være annerledes formet). Ofte oppgir en platetykkelsen eller tråddiameteren med et nummer istedenfor å oppgi diame­ teren eller tykkelsen i mm. Hos oss blir det oftest brukt nummerering etter et engelsk system som har navnet BWG (Birmingham wire gange). Til dels blir brukt tyske lærer. Stundom blir brukt

Fig. 181.Trådlære.

en amerikansk lære, Brown & Sharpe, eller en spesiell amerikansk standardlære for plater. Fasonglære bruker vi til å kontrollere at et arbeidsstykke har eller får den riktige form. Vi bruker den bl. a. ved sliping av dreiestål og spiralbor, for å kontrollere at de får de riktige snittvinklene. Fasonglærer til kontroll av storre arbeidsstyk­ ker kaller vi ofte mal. Til lærer kan også regnes søker (eller føler), som er en slags tykkelseslære. Den består av en rekke svingbare herdede stålblad med forskjellig tykkelse (se fig. 182). På hvert blad er tykkelsen påstemplet i millimeter- eller tommemål. Søkeren bruker vi til å bestemme størrelsen av små avstander mellom maskindeler, særlig ved montasjearbeid. Da vi om nødvendig kan Fig. 179. Måleur, montert.

4. Lærer

Fig. 180. Enkel målelære.

Vi har forskjellige slags lærer. På fig. 180 er vist en enkel målelære (gapelære) bestemt til å måle et eneste mål, nemlig avstanden a, som kalles målegap. Målegapets kjever må være nøy-

377

Grenselærer, toleranseverktøy

kombinere to eller flere blad, kan vi bestemme slike små avstander svært nøyaktig. Til måling av en gjenges stigning i millimeter eller gjengetallet pr. tomme bruker vi spesielle gjengelærer. Grove gjenger kan telles direkte på en tommestokk. 5. Grenselære, toleranseverktøy En målelære som vist på fig. 180, blir brukt til kontroll av gjenstander som må være prak­ tisk talt helt nøyaktige. En slik nøyaktighet kan vi imidlertid ikke gjore regning med ved almin­ nelig maskinarbeid. Det er dessuten i de fleste tilfelle unødig og altfor kostbart. Ved å kontrol­ lere alminnelig godt maskinarbeid med mikro­ meter vil vi lett kunne overbevise oss om hvor vanskelig det er å arbeide med absolutt nøyak­ tighet. Det er påvist at kravet til nøyaktighet kan begrenses slik at et avvik på f. eks. 1/10 mm eller 1/100 mm er tillatt (eller som vi sier, «tolerert»). For å kontrollere at avviket er innenfor det til­ latte blir det brukt grenselærer (toleranselærer). Vi kan best forklare bruken ved et eksempel. Det er fastlagt at en 50 mm tapp kan godkjen­ nes dersom den ikke er mer enn 0,01 mm for stor eller 0,02 mm for liten. For å kontrollere tappen bruker vi da en grenselære som vist på fig. 183, der målegapet på den ene siden er 50,01 mm og på den andre siden 49,98 mm. Dersom største­ målet går glatt over tappen, vet vi at den ikke er for stor. Dersom så minstemålet ikke går over tap­ pen, er tappen heller ikke for liten. Fig. 183. Størstemålet og minstemålet kalles Grenselære også toleransegrenser eller grensemål. Differansen mellomde to mål­ ene — som blir 0,03 mm — kalles toleranseområdet. Dette er regnet for å være en liten toleranse, som blir brukt for finere maskiner. For grovere maskiner kan toleransen være større. Vi vil da kanskje velge størstemålet 50,02 mm og minste­ Fig. 184. målet 49,97 mm. Toleranseområdet Grenselære som måleblir 0,05 mm. — Det mål som gaffel. tappen skal nærme seg mest mulig —• 50,00 mm —• kalles basismål. Grenselærens to målgap finner vi ved å trekke fra eller legge til basismålet det avvik opp eller ned som er tillatt.

Den svenske ingeniør C. E. Johansson har stor fortjeneste av utviklingen av toleranse-måleverktøy. Han konstruerte en grenselære der beg­ ge målgap blir plasert etter hverandre i en målegaffel (fig. 184). Det største målegapet A ligger ytterst. Dersom under kontrollen målegapet A går over, men ikke B, er gjenstandens nøyaktig­ het tilfredsstillende. Den alminnelige utforingsform ser vi av fig. 185 og 186. De herdede målespissene er stillbare og kan justeres. Dette er imidlertid et krevende arbeid og bor gjøres av spesialister. For kontroll av gjenger bruker vi tilsvarende måleverktøy men for disse er tap­ pene erstattet av ruller som passer inn i gjengen.

Fig. 185.

Grenselærer blir også brukt til kontroll av innvendige mål. For hull som ikke er over 100— 200 mm i diameter, bruker vi grensedorer. (De blir også kalt plugger eller tolker.) De består av to nøyaktig slipte sylindrer med et mellomlig­ gende, noe tynnere skaft (fig. 187). Den ene sy­ linderen er gitt en diameter G, som basismålet fratrukket det størst tillatte avvik nedover ■—

Fig. 187. Grensedor.

378

Bjarne Hauge: Måling og måleverktøy

nedre avvik, mens H derimot er tillagt det lov­ lige avvik oppover — øvre avvik. H -i- G er altså toleranseområdet. Er det framstilte hullet riktig, skal G kunne skyves inn i det, derimot ikke H. For storre hull gir en toleranseverktøyei andre former, uten at vi her kan komme inn flå dem. Alt toleranseverktøy er selvsagt av kvalitetsstål, og de flatene som blir utsatt for slit, er om­ hyggelig herdet. Likevel vil de når en tid er gått, bli slitt og må justeres. Vi oppnår sikkerhet ved å skaffe oss to sett toleranseverktøy, ett til bruk ute i verkstedet under fabrikasjonen og ett til kontrollen. For framstilling og kontroll av toleransemåleverktøy har vi internasjonale bestem­ melser å holde oss til. Det kalles ISO grenselæresystem (forbokstavene for det engelske navn på den internasjonale standardiseringsforening).

Fig. 188. Etui med passbiter.

Til å kontrollere grenselærer blir det brukt nøyaktig forarbeidde stålbiter. Særlig kjent er C. E. Johanssons «passbiter». Det er små stålstykker i forskjellige tykkelser, som er nøyaktig avpasset. Ved å kombinere dem kan vi med et ikke særlig stort antall passbiter framstille det det ønskede nøyaktige mål. Passbitene er garan­ tert framstilt med en nøyaktighet som en måler i 0,2 [im. De blir solgt i spesielle etuier (fig. 188) og må behandles med stor omhu. For mindre verksteder, der innkjøp av fast toleranseverktøy vil falle for kostbart, er det i handelen toleransemikrometer. De har en sammenbygging av to mikrometer som vi stiller inn på største og minste mål.

Toleranseverktøy er ennå ikke mye brukt her i landet, men det burde brukes mer. Der det foregår framstilling i serier, vil bruken av tole­ ranseverktøy lette arbeidet i høy grad.

6. Pasninger og toleranser Før ble det oftest overlatt til den enkelte ar­ beider eller formann å bestemme hvordan ma­ skindeler som skal monteres på en aksel, skal bores. Det er selvsagt stor forskjell på hvordan dette skal gjøres, etter som maskindelene skal sitte fast eller gli mer eller mindre lett på akse­ len. Det skal derfor stor dyktighet og erfaring til for å bestemme den riktige boringen, eller pasning som det nå kalles. Ved internasjonalt samarbeid er man kommet fram til enighet om et bestemt system for tole­ ranser og pasninger. Også Norge har gått inn for dette såkalte ISO-system. En skjelner her mellom 3 hovedtyper av pasninger: 1. Klaringspasninger. 2. Mellompasninger. 3. Pressmonnpasninger. For klaringspasninger skal boringens mål ligge helt over akselens mål, slik at akselen alltid kan beveges i boringen. Områdene for disse mulige mål kaller vi toleranseområder. Mellompasninger får vi når boringen og akse­ lens toleranseområder helt eller delvis dekker hverandre. Vi kan da — avhengig av hvor det virkelige mål for boring og aksel ligger — få en­ ten klarings- eller pressmonnpasninger. Pressmonnpasning får vi når boringens toleranseområde ligger helt under akselens toleranseområde. Akselen kan da bare entre boringen ved press eller krymping, eller ved begge deler. Det er to begreper som karakteriserer en pas­ ning. Det ene er toleransens størrelse, det andre er hvor toleranseområdet ligger i forhold til 0linjen. Denne linjen viser hvor basismålet ligger. ISO-systemet omfatter i alt 16 forskjellige pasningsgrader med forskjellig størrelse på tole­ ranseområdet. Disse har numrene fra 1 til 16, slik at de høyeste tall representerer pasninger for grovere arbeider og valseprodukter. For al­ minnelig arbeid nytter vi 5—11. Pasningen 1-—4 blir bare nyttet ved særlig nøyaktig arbeid, som f. eks. framstilling av måleverktøy. Toleranse­ området i samme pasningsgrad varierer i stør­ relse med basismålet og ved samme grad av nøy­ aktighet øker toleranseområdets størrelse med basismålet. Disse er ordnet i grupper som 1— 3 mm, 3—6 mm, 6—10 mm, 10—18 mm osv. IISOtabellene er størrelse og avvik oppgitt i 1/1000 mm-

V inkelverktoy

ISO-systemet omfatter egentlig to systemer. I det ene, boringsbasissystemet, kan vi velge mel­ lom forskjellige verdier for akselens toleranser og hvor de ligger i forhold til 0-linjen, mens boringens toleranse er fast. I det såkalte aksel­ basis-systemet gjor vi omvendt. Her er akselens toleranse fast, men vi kan velge mellom forskjel­ lige verdier for boringens toleranser og hvor de ligger i forhold til 0-linjen. Vi bruker bokstaver for å vise hvor toleranseområdene ligger i forhold til 0-linjen, store bok­ staver for akselbasis-systemet og små bokstaber for boringsbasis-systemet. Det er i alt 21 forskjellige toleranseområder i hvert av de to systemer. Som tegn for dem bru­ ker vi bokstavene fra A til Z (a—z). På fig. 189 er vist hvor toleranseområdet ligger i forhold til 0-linjen for begge systemer. Avstanden fra 0-

Fig. 189. Hvor toleranseområdet ligger i forhold til 0-linjen (skjematisk).

linjen er i tabellen oppgitt i p.m. Av omsyn til plassen er bare 10 av de 21 muligheter tatt med på figuren. Etter boringsbasis-systemet fram­ kommer pasninger ved at vi bruker en fast tole­ ranse H for hullet og velger en passende toleranse for akselen. Ved akselbasis-systemet bruker vi den faste toleransen h for akselen, men kan velge toleranse for boringen. Toleranseområdene H og h berører 0-linjen (se fig. 189). I begge syste­ mer ligger toleranseområdet J (j) symmetrisk omkring 0-linjen, og A og Z (henholdsvis a og z) ligger lengst borte fra 0-linjen, dvs. de har storst avvik — positivt og negativt. For å vise en be­ stemt pasning, f. eks. på en tegning, må oppgis — foruten hvor grenseområdet ligger i forhold til 0-linjens — også grenseområdets størrelse med et tall (grad). - For akselbasis-systemet er dette vist på fig. 190. Her ligger grenseområdet (H) i samme for­ hold til 0-linjen, men grenseområdet har i det ene tilfellet grad 10, i det andre den snevrere toleransegrad 7. Det er litt forskjellige måter å vise toleransemål på tegningen. Det enkleste er ved at en påfører tegningen en bokstav for hvor grenseområdet ligger, og et nummer for pasningsgraden. Til dels påfører en også storstemålet og

379

minstemålet. De eksakte dimensjoner som grenselærene må innstilles etter, finner vi i en av de mange ISO-tabeller. Passbiter blir brukt til ju­ stering. Det vil gå fram av det som er gjennomgått om ISO-pasninger og toleranser, at utvalget avpasninger er meget stort. Det enkelte verksted må velge ut og konsentrere seg om et lite fåtall av de mange Fig. 190. mulige pasninger. Det er derfor Samme grense­ også satt opp et mindre utvalg av område, men forskjellig toleranseområder i bestemte pasningsgrad. standard-kombinasjoner. Som slike er i boringsbasis-systemet valt boringene H6, H7, H8 og Hil, og i akselbasissystemet h5, h7, 118 og lill (respektive h7, 118,

119 og hil). Foran er det stadig bare nevnt boringer og aksler. ISO-systemet for toleranser og pasninger gjelder imidlertid alle dimensjoner som vi onsker framstilt med en bestemt nøyaktighet. Det er nå ikke lenger nødvendig å overlate til maskinarbeideren å bestemme hvordan en pas­ ning skal være. Det blir avgjort på grunnlag av erfaringer og beregninger og påført arbeidsteg­ ningen. Ved å gjennomføre fabrikasjonen etter dette system vil en alltid oppnå at de forskjellige deler får de riktige dimensjoner. Ved masseframstilling er arbeidet etter toleransesystemet en nødvendighet. 7. Vinkelverktøy Det viktigste vinkelverktøy er anslagsvinkelen (fig. 191). Den kalles i alminnelighet bare vinkel. Den består av et forholdsvis tynt blad B, innfelt i anslaget eller (anlegget) A, som er minst tre ganger så tykt som bladet. Bladet og an­ slaget danner nøyaktig 90° med hverandre. Ved gode vinkler er begge deler av herdet stål. Det er selvsagt overlag viktig at vinkelen er nøyaktig 90°. A i kan lett kontrollere dette ved å legge anslaget inn til en rett kant og risse etter bladet. Dersom vi endevender anslaget, skal kanten av bladet fremdeles ligge nøyaktig inntil rissen etter hele sin lengde. Det fins også vinkler på 60 og 45°, og stillbare vinkler, der bladet blir svingt om en tapp i an­ slaget. Disse siste kan også være forsynt med en gradbue, så bladet kan stilles på et visst antall

380

Bjarne Hauge: Måling og måleverktøy

grader. For meget nøyaktig måling av vinkler og for justering er framstilt passbiter med for­ skjellige vinkler etter samme system som forklart tidligere for lengdemåling.

På fig. 194 er vist et vinkelvater. Libellen L er festet på en gradert sirkelring som er dreibar i fotstykket F. Når forstykkets anleggsflate står horisontalt, og sirkelringen blir innstilt slik at

8. Lodd og loddsnor Dette nokså enkle verktøyet blir mye brukt ved montering. Skal det være brukbart til nøy­ aktig arbeid, må loddet være godt forarbeidd, slik at den skarpe spissen ligger nøyaktig i for­ lengelsen av snora. Loddet (fig. 192) blir laget

Fig. 192. Lodd.

av stål og spissen er herdet. I loddets øvre ende, nøyaktig i sentrum, er inngjenget en skrue. Sno­ ra går gjennom et sentrisk hull i skruen. Loddet henger på en knute på silkesnora. Fig. 194. Vinkelvater.

9. Vaterpass Til å kontrollere at plane eller rette maskin­ deler står horisontalt (i vater), bruker vi vater­ pass (kalles ofte bare «vater»). De fleste maskinene eller deler av maskiner skal stå horisontalt. Skal en maskin festes til sitt fundament, blir den rettet opp med jernkiler under stadig kontroll med vateret, før den blir skrudd fast. Vateret har et svakt buet glassror, som er luk­ ket i begge ender, og som er fylt med så mye frostfri væske at det bare er en liten luftblære igjen (fig. 193). Luftblæra vil som det letteste i røret, alltid stille seg på rorets høyeste punkt. Når røret står horisontalt, er dette punktet midt på røret. Når blæra står i denne stillingen, setter

Fig. 193. Libelle

vi to fine riss, ett på hver side av blæra. Ved den minste heving av den ene enden av røret vil blæra forskyve seg i forhold til strekene. Et slikt rør kaller vi libelle. Når libellen blir montert på en lineal kaller vi det et vaterpass. Dette har en helt rett og plan underflate (anleggsflate), og libellen er pla­ sert midt på oversiden. Det er dessuten innbygd en libelle i hver ende av vaterpasset. Libellene er plasert på en slik måte at luftblæra står midt mellom rissene, når vaterpassets anleggsflate står vertikalt. Med et slikt vater kan vi altså «vatre» både horisontalt og vertikalt.

libellens blære står på midten mellom merkene, skal sirkelringens 0-strek stå rett over merket på fotstykket. — Stiller vi fotstykket på skrå og innstiller sirkelringen slik at libellen blir stilt i vater, vil merket M vise den vinkelen som fot­ stykket får. For svært nøyaktig avlesing av vinkelen kan en også få vinkelvater utstyrt med nonius. 10. Overflateruhet Vi har hittil beskrevet måleverktøy som bru­ kes til å kontrollere gjenstanders form og dimen­ sjoner. En like viktig kontroll gjelder overflatens beskaffenhet (overflateruhet) hos gjenstandene. Alle metoder vi bruker når vi bearbeider flater etterlater mer eller mindre dype furer i overflaten — på samme måte som plogen i åkeren. Måling av overflateruheten går i alminnelighet ut på å bestemme den profilkurve vi får i et snitt lodd­ rett på disse furene. Det er gjerne avstanden mellom profilkurvenes høyeste og laveste punkt som interesserer. Denne avstanden oppgis i pm (0,001 mm). Det finnes forskjellige måleinstrumenter og målemetoder. Den enkleste form for måling be­ står i at man trekker en nål (gjerne med diamantspiss) over gjenstandens overflate med et svakt trykk (ofte 1 gram). Nålens bevegelser blir kraf­ tig forstørret, mekanisk eller elektrisk. Vanlig forstørrelse i vertikalplanet er 40000 ganger, i horisontalplanet 100 ganger. Nålens bevegelse tegnes opp i et diagram.

381

Merkeverktøy

Da behovet for overflatejevnhet er meget for­ skjellig har det vært nødvendig å få den standar­ disert i forskjellige grader av ruhet. I Norge har vi NS 981 og NS 982. Det er utarbeidet normalflater med forskjellig ruhet for bruk i verkstedet. Som regel skjelner man mellom 20 forskjellige grader av overflate­ ruhet.

11. Verktøy til oppmerking På mange arbeidsstykker er det nødvendig å risse linjer for å vise hvordan de skal bearbeides. Til dette kreves først og fremst en rissenål, som i den ene eller begge ender har en herdet spiss. Til å merke opp sirkler bruker en stikkpasser med liknende spisser. Forat rissen skal vises tyde­ ligere blir flatene gjerne først påført en slags ma­ ling bestående av kritt utslemmet i vann og til­ satt noe bindemiddel (Dekstrin). Ofte slår en også noen lette kjørnerslag med passende av­ stand i rissen. En kjørner for oppmerking bor være svært spiss, med 30° vinkel på spissen. Det er viktig at en holder kjørneren loddrett på flaten når den blir slått inn. Ofte har vi bruk for å gjøre et riss rundt et arbeidsstykke parallelt med et plan. Arbeisdstykket blir da lagt på en planskive og mer­ ket ved hjelp av en rissefot. På fig. 195 er en rissefot, vist i sin enkleste form. Stanga S står fast i fotplata F, som har en plan underflate. Hylsa M er splittet opp og kan forskyves på stanga og Fig. 195. Rissefot. klemmes fast med en skrue U. En rissenål R kan forstilles ut og inn og i alle skråstillinger. Når spissen av

rissenåla er innstilt i den rette høyden h, bli rissenåla klemt fast. Ved å skyve rissefoten på planskiva slik at nåla samtidig risser på arbeidsstykket, får vi et riss parallelt med plan­ skiva. Det fins også rissefot der stanga kan stilles skrått på fotplata. Av annet spesialverktøy til oppmerking kan mevmes sentrumsvinkelen på fig. 196. Legger vi den som vist på figuren, mot en rund akselende, vil den høyre kant av linjalen i midten tangere

Fig. 196. Sentrumsvinkel

Fig. 197. Kilesporvinkel.

sentrum. Gjor vi et riss her, dreier sentrumsvin­ kelen 90° og gjor et nytt riss, finner vi sentret i skjæringspunktet mellom de to rissene. På fig. 197 er vist en kilesporvinkel, som særlig blir brukt til oppmerking av kilespor. Blir den lagt på en aksel som vist på figuren, vil kantene av vinkelen alltid være parallelle med akselens senterlinje. Ved et verksted der det er mye oppmerking, er et merkebord til stor hjelp. Det er en planskive, men den må være spesielt bygd og fint planert for å gi nøyaktig arbeid. Ved masseframstilling prøver vi å unngå merkearbeid, helt eller delvis, ved å bearbeide gjenstandene i jigger eller etter sjabloner.

Utenom de her nevnte alminnelig brukte må­ leverktøy blir til dels også nyttet andre mer kom­ pliserte måleapparater. Disse er bygd på helt amdre prinsipper enn dem vi har gjennomgått (optiske, elektriske, pnevmatiske). De blir brukt til særlig nøyaktige målinger av lengde, bestem­ melse av overflateruhet, kontroll av gjengeog tannprofiler m. m. De må behandles av særlig oppøvde folk, og er ofte plasert i spesielle målerom, der temperaturen av omsyn til målingene kan holdes konstant (20° C).

Bjarne Krum

SKIPSNAVIGASJON OG METEOROLOGI

INNLEDNING................................................. Jorden og gradnettet........................................ Kartene og hvordan de lages ......................

385 385 386

TERRESTRISK NAVIGASJON............... Punkters og steders beliggenhet på jorden Retninger, kompass og kurser .................... Misvisning ..................................................... Deviasjon....................................................... Bestikkregning ............................................

388 388 390 391 392 393

ASTRONOMISK NAVIGASJON ............. Himmellegemene ............................................. Sekstanten og bruken av den ...................... Observasjoner ...................................................

394 394 396 397

elektronisk

Navigasjon............. Loran-, Decca- og Consol-systemene......... Radiopeileapparater....................................... Radar.................................................................... Ekkolodd og Asdic .......................................... Gyrokompass....................................................

403 403 407 407 409 411

METEOROLOGI .............................................. Luften.................................................................. Vanndamp i luften .......................................... Luftsirkulasjonen ............................................ Passater ......................................................... Monsuner (land- og sjøbris)...................... Sykloner......................................................... Værvarsling......................................................... Værkart .........................................................

412 412 412 414 415 415 415 417 419

INNLEDNING Navigare necesse est, vivere non est necesse. Disse ord, som i sin tid ble uttalt av en av Romas statsmenn, kan oversettes slik: Å seile er nødvendig, å leve er ikke nødvendig. Da ordene ble uttalt, gjaldt de riktignok en så viktig handling som å få hentet brødkorn til det sultende Roma, men de rommet likevel mer. Hvilken sannhet de innebærer, ser vi tydelig i dag. Hele menneskehetens være eller ikke være er avhengig av at det kan seiles. Når vi sier seiles, mener vi med dette ikke bare sjøverts transport — nei, all transport i det hele tatt. Men da menneskene nå har spredt seg over hele kloden, og sivilisasjonens krav stadig rykker lenger og lenger ut i periferien, er det seilasen på de store hav som foreløpig er det eneste middel vi har til i større utstrekning å kunne føre varer mellom kontinentene. Om denne transport i kommende tider vil kunne bli overtatt av fly, er et fremtidsperspek­ tiv som allerede spøker i fremsynte menneskers hjerne. Men om det nå blir i luften, på vannet eller under vannet transporten kommer til å foregå, skal i alle fall alt frem til rette sted, og da er det navigatøren som tar over. Navigasjonen vil naturligvis også utvikle seg og ta andre former enn det som er vanlig i dag, men mennesket vil ikke bli overflødig. Det vil alltid måtte være til stede for å kunne gripe inn om noe skulle klikke. Vårt land eier en maritim flåte som, sett på bakgrunn av det lille folketall, ligger meget langt foran alle andre land.

Navigatorens oppgave er å bringe fartøyet sikkert fra en havn til en annen. Denne oppgave er bare en av de mange en navigatør har, men det er selve navigasjonen som vil bli behandlet i dette avsnitt. Skal et fartøy bringes fra et sted til et annet, forutsettes det at den som skal fore fartøyet, er i besittelse av visse kunnskaper. Disse kunn­ skaper, som vesentlig går ut på å kunne bruke kart og kompass, kan enhver som er interessert, tilegne seg, men det tar naturligvis sin tid og er ikke gjort i en håndvending. Navigasjonsskolene, som gir undervisning i disse fag, har ikke mindre enn tre avdelinger: To års styrmannsskole (2x8 måneder), og skipsførerskole 10 måneder. Fulle kvalifikasjoner har man vel neppe for man har gjennomgått alle tre. For å forstå seg på karter og kunne bruke et kompass trengs det altså visse kunnskaper. Disse skal vi her gjøre rede for, så de som måtte ha interesse for det, kan få litt forståelse av hva det hele dreier seg om. Havet som fartøyene seiler på, er en del av selve jordkloden. Å gjengi et stykke av jorden på et kart, som jo er en plan flate, lar seg ikke gjøre uten at der vil snike seg inn feil som man ikke greier å eliminere. Alle karter er derfor mer eller mindre tilnærmet, men med de kartprojeksjoner vi nå bruker, blir feilene så små at de ikke skaper noen nevneverdig vanskelighet.

Jorden og gradnettet Vi skal først ta for oss jordkloden og se litt på hvordan menneskene har delt den inn for å kunne fastlegge hvor de forskjellige steder ligger i forhold til hverandre. Jorden ligner svært på en litt flattrykt kule. Den roterer rundt sin akse i løpet av ett døgn. Der hvor aksen skjærer overflaten, finner vi de 25 - Teknikk I

geografiske poler. Vi tenker oss at vi står på en av polene, og later som om den er sentrum i en sirkel. Deler vi denne sirkelen opp i f. eks. 360°, og trekker radiene ut til hvert punkt, vil alle disse radiene, hvis vi forlenger dem langs jord­ overflaten, tilslutt løpe sammen igjen i den andre pol. Det er akkurat som når man skreller en

386

Bjarne Krum: Skipsnavigasj on og meteorologi

appelsin og ser på den forst ovenfra og etterpå fra siden, og til slutt snur den opp ned og ser hvor­ dan linjene motes i appelsinens andre ende eller pol. Sirklene som går fra pol til pol, kalles «meridianer». Midt­ veis mellom hegge Fig. 1. Jorden fremstillet polene, rundt hele i form av en appelsin. jorden, tenker vi oss også en sirkel. Denne sirkelen vil dele jorden i to like store deler, og den delen vi bor på her i Norge, kalles for den nordlige halvkule. Den an­ nen halvpart kalles naturligvis for den sydlige halvkule. Tenker vi oss nå at vi beveger oss fra den ene polen til den andre langs en meridian, vil vi — uansett langs hvilken meridian vi har beveget oss — alltid ha tilbakelagt en halvsirkel. En halvsirkel inneholder alltid 180°, og det vil altså fra den sirkel som vi trakk midt mellom begge polene, overalt være 90° opp til hvilken som helst av polene. Denne sirkelen midt mellom polene er det som kalles jordens Ekvator. (Fig. 1.) For å se hvor umulig det er å få gjengitt en kules overflate som et plant stykke, skal vi atter ta for oss appelsinen. La oss tenke oss at vi skreller den meget pent, så vi lett ser alle båtene. Tegn så en mork linje midt mellom blomsten og stilken rundt hele

frukten. Vi har nå en meget god gjengivelse av det som vi har forsøkt å forklare ovenfor. Kløv nå appelsinen forsiktig bare på den ene siden, og prøv også å skille båtene fra hverandre, slik at de bare blir hengende sammen på midten langs den linjen som vi trakk opp. (Fig. 2.) Vi har nå på et vis fått brettet jorden ut, men jo lenger vi fjerner oss fra Ekvator, desto mer spriker båtene. Meridianene, som tidligere var en linje, har kløvd seg og fjerner seg fra hverandre. Og ikke nok med det —- hver enkelt båt er ikke rund bare den ene vei, fra sydpol forbi Ekvator og til nordpol, den er også svakt krummet i retningen parallelt med Ekvator. Å gjengi jordoverflaten på et plant stykke papir er like umulig som å få en utbrettet appel­ sin til å danne en rett flate. Men skal vi seile, må vi ha karter. Nå er jorden temmelig stor i forhold til et fartøy som seiler ute på havet, og vi trenger jo ikke å ha kart over større strekning enn et område omkring der hvor vi seiler. Det blir omtrent som om man river av en av taggene på et frimerke og plaserer den et eller annet sted på appelsinen. Den lille flaten som taggen da dekker, ville være stor nok for et fartøy innen et kortere tidsrom, for så når tiden var ute og taggen var oppbrukt, å skifte til en ny tagg ved siden av. Den flaten som frimerketaggen dekker, er bitte liten, og krumningen er ikke større begge veier enn at vi ved hjelp av litt hokuspokus kan få den til å se omtrent korrekt ut i forhold til selve jordoverflaten, og gjengi denne så noenlunde riktig.

Fig. 2. Appelsinen splittet opp og brettet ut. (Se også fig. 3).

Kartene og hvordan de lages Før vi går over til å forklare hvordan kartet er konstruert, må vi tegne inn noen flere sirkler på appelsinen vår.

Parallelt med Ekvator tegner vi opp sirkler, f. eks. for hver 10°, både nordover og sydover. Det blir 8 slike sirkler. Den siste representeres av

Innledning

Fig. 3. Jorden splittet opp og brettet ut.

selve polpunktet. Navnet på disse sirkler er «parallellsirkler». Hadde vi trukket disse sirklene på appelsinen for vi foldet den ut, ville vi se etter utfoldingen at det ble sprang fra båt til båt. Men sprangene er ulike store og vokser i størrelse jo nærmere vi kommer polene. Ja, ser vi tilfeldigvis på sirkel nr. 6, som ligger enten 60° nord eller syd for Ekvator, inntreffer det rare at åpningen mellom båtene er akkurat båtenes egen bredde. Lenger nord for 60° er åpningen storre enn båtenes bredde, mens den blir smalere etter som vi nær­ mer oss Ekvator. (Fig. 3.) For dem som kjenner til trigonometri, kan det fortelles at åpningen varierer som secans til bredden. Nå skal vi kle appelsinen inn i et hylster av tynn gummi, og overføre alle sirklene til dette hylsteret. Så klipper vi opp gummihylsteret fra pol til pol, 180°, langs en meridian. Vi får en til å hjelpe oss og tar i hver sin pol og strekker polene ut så de blir like lange som Ekvator. Alle sirklene som gikk parallelt med Ekvator, er nå blitt strukket ut i øst-vestlig retning. Ja, den sirkelen som lå på 60° nord eller syd, må etter det vi har sagt foran, nå være dobbelt så lang som den var i virkeligheten. Alle de andre sirklene er også strukket ut. De som er nærmest Ekvator, ganske lite, men etter som vi nærmer oss polene, blir de strukket mer og mer. Ja, selve polpunktet, som ikke har noen utstrekning i virkeligheten, sier vi er blitt gjort uendelig langt i forhold til det opprinnelige. Det sydlige Norge ligger rundt regnet omkring 60° nord for Ekvator. På vårt rektangel vil derfor det sydlige Norge være blitt strukket ut i øst-vestlig retning så det er blitt dobbelt så bredt som det er i virkeligheten. For nå å få skikkelig form på det igjen, så det kan ligne seg selv, er det bare å strekke det tilsvarende i nordsydretning også. Nå er det riktignok blitt både dobbelt så bredt og dobbelt så langt som det er i virkeligheten, og også i forhold til de områder

387

som ligger nede ved Ekvator, som jo ikke er blitt strukket noe i det hele tatt, men det har da i alle fall fått tilbake sin opprinnelige form. Slik gjør vi nå med hele rektangelet og de områder som befinner seg på de forskjellige steder. De områder som ligger nærmest Ekvator blir svært lite strukket i øst-vest retningen, og blir derfor heller ikke strukket stort i nord-syd ret­ ningen. Men etter som vi fjerner oss fra Ekvator, øker utvidelsen i begge retninger inntil vi altså, når vi kommer til 60° nord og syd, er kommet helt opp i dobbel utvidelse i begge retninger. Enda lenger nord oker det ytterligere, og ut­ videlsen blir til slutt så stor at man ikke kan bruke den slags karter til orientering når man nærmer seg polene. Vi stopper derfor for vi kommer så langt. Alle har vel sett et kart som viser hele jordens overflate på ett kart. Norge ser slett ikke så bitte lite ut der. Men husk da at det i virkelig­ heten ikke er mer enn halvparten så langt og halvparten så bredt i forhold til landene omkring Ekvator. Skal vi så måle avstander på dette kartet, må vi bruke forskjellig målestokk etter som vi fjerner oss fra Ekvator. Hvis vi i Ekvator-områdene f. eks. bruker alminnelige centimeter, må vi i det sydlige Norge bruke centimeter som er gjort dobbelt så lange. Da vil vi få de riktige forhold. Overalt på kartet må vi altså, hvis vi vil foreta målinger, nvtte en målestokk som er strukket ut akkurat i samme forhold som sirklene ble struk­ ket ut da vi strakk gummihylsteret første gang i øst-vest retningen. Vi skal se litt på retninger på kartet vårt. Først tar vi for oss en kule igjen. Vi velger to helt vilkårlige punkter på den, og trekker en

Fig. 4. Storsirkel og loksodrom inntegnet på kulen.

388

Bjarne Krum: Skipsnavigasjon og meteorologi

linje mellom dem. (Fig. 4.) Denne linjen vil da bli en rett strek på kulen når vi sikter langs den. Forlenger vi den rundt kulen, vil den til slutt løpe tilbake til sitt utgangspunkt og danne en sirkel som deler kulen i to nøyaktig like store deler, akkurat som Ekvator og alle meridianene gjør. En slik sirkel kalles en storsirkel. Overfører vi en slik linje fra kulen til et Merkatorkart, får

vi en buet linje som alltid ligger med bukten mot polen. (Fig. 5.) Den representerer da også den korteste vei mellom de to punkter. Hvis vi på et Merkatorkart trekker en rett linje og overfører den til kulen, vil vi få en krumlinje som ligger med bukten mot Ekvator. Den første linjen kalles «storsirkelen» og den annen «loksodromen» mellom de to punkter. Storsirkelen er den korteste avstand og skjærer alle meridianene under forskjellige vinkler, mens loksodromen, som er lenger, skjærer alle meridi­ anene under samme vinkel. For kortere seilas, et par døgn eller kanskje noe mer, nytter man som oftest loksodromseilas, men skal man seile over lengere avstander, f. eks. tvers over Atlanteren, nyttes det vesentlig storsirkelseilas. I det første tilfelle er retningen den samme hele tiden, mens det for storsirkelseilasens ved­ kommende stadig blir forandring av retningen. Forlenger vi loksodromen, vil den danne en spiral som til slutt ender i en av polene.

TERRESTRISK NAVIGASJON Punkters og steders beliggenhet på jorden Når vi med et fartøy skal seile fra et sted til et annet, vet vi naturligvis hvor vi i øyeblikket befinner oss, men det er jo ikke nok for å finne frem. Vi må også ha greie på hvor bestemmelses­ stedet er for å kunne snu fartøyet i riktig retning før vi starter seilasen. På samme vis som postbudet må ha greie på gaten og nummeret på gården for å få levert et brev i rette hender, må også navigatøren ha greie på alle steders adresse. Adressen blir her oppgitt i noe som kalles bredde og lengde. Vi tar atter for oss kulen. De punkter jordens omdreiningsakse skar overflaten i, kalte vi jor­ dens poler. Midt mellom disse var det vi trakk Ekvator som en sirkel rundt jorden. Den ene polen kalles Nord- og den annen Sydpol. Fra Ekvator til hver av polene, uansett hvor vi ser, vil det alltid være 90° regnet i buemål. Disse grader kaller vi breddegrader, og alle punkter mellom Ekvator og Nordpolen har nord bredde. På den andre siden av Ekvator får alle punkter syd bredde. Byene Washington, Lisboa, Madrid,

Ankara og Peking ligger alle omtrent like langt nord for Ekvator og på ca. 40° nord bredde. På ca. 35 ° syd bredde finner vi f. eks. følgende steder: Buenos Aires, sydspissen av Afrika, Adelaide og Canberra i Australia, Auckland på New Zealand og Valparaiso i Chile. Skal vi til et av disse stedene, har vi nå fått tak i det som i adressen svarer til husnummeret, men vi må også ha tak i hvilken gate de for­ skjellige steder ligger. Vi tar atter for oss Ekvator. Ekvator er en sirkel og inneholder således 360°. Delt i to vil hver del inneholde 180°. Skal man orientere seg et eller annet sted, må man først og fremst ha et bestemt punkt å gå ut fra. Det punkt på Ekvator man går ut fra, er bestemt ved det sted der meridianen gjennom observatoriet i Greenwich skjærer Ekvator. Dette punkt ligger i Guineabukten på vestkysten av Afrika. Står vi i dette punkt og snur oss mot den retning der solen står opp, sier vi at vi ser østover, mens den retning der solen går ned, må

Terrestrisk navigasjon

bli vest. Av de to deler vi delte Ekvator i, går da den ene delen 180° østover, mens den andre delen går 180° vestover for å møtes et sted i Stillehavet ved den meridianen som går i nær­ heten av øya Midway, som er så kjent fra siste verdenskrig. Nå har vi alt klart til å bestemme hvor de forskjellige steder på jorden eller kartet ligger. Det er det samme hva som blir oppgitt først. Her i Norge skriver vi jo alltid gaten først og nummeret sist. I engelsktalende land settes num­ meret først og gatenavnet sist. Tar vi f. eks. en by som Alexandria, er adressen når vi starter i utgangspunktet vårt: 31° nordover og 30° øst­ over, eller om man heller vil: først 30° østover og deretter 31° nordover. 31° nordover er Alexandrias bredde, og 30° østover byens lengde. Skal vi seile fra Den engelske kanal til syd­ spissen av Florida, ligger utgangspunktet på nord 49° og vest 5°, og bestemmelsesstedet på nord 25° og vest 80°. I dette tilfelle sier vi at vi har forandret vår bredde sydover fra 49° til 25°, altså 24°, og vår lengde vestover fra 5° til 80°, ialt 75°. Da vi har seilt fra nord 49° til nord 25°, har vi hele tiden beveget oss sydover, samtidig som vi for å kom­ me fra vest 5° til vest 80° også har beveget oss vestover. Hovedretningen blir da en sammen­ setning av disse to, og vi sier at kursen er syd så og så mange grader vest, f. eks. S52°V. Har vi et Merkatorkart der både stedet vi seiler fra og det stedet vi skal til, er avmerket, kan vi finne retningen eller kursen ved å legge en linjal mellom de to stedene og undersøke hvor stor vinkel den danner med meridianene. Den virkelige loksodromkurs er i dette tilfelle: S 68° V eller som det nå regnes med kompassrose fra 000 til 360: 248 °. Distansen er 3819 nautiske mil. Nå kan det naturligvis hende at det ligger hindringer i veien, land eller urent farvann, som vi er nødt til å seile utenom, men fremgangs­ måten blir i alle tilfelle den samme. Denne måten å seile på kalles loksodromseilas. Det er ikke den korteste vei. Storsirkelen er kortere, men hvis man ikke skal på langreis, er det i grunnen så lite å tjene at den ikke nyttes så ofte som man kanskje skulle tro, selv om den altså er kortere. Skal storsirkelen settes direkte ut i et kart, må man også være utstyrt med spesielle storsirkelkarter. Hvis ikke må den regnes ut. Det kan gjøres på flere vis. Den kan regnes ut trigo­ nometrisk med formler. Dette er en nøyaktig,

389

men forholdsvis tungvint affære sammenlignet med å bestemme den ved hjelp av noen enkle ta­ beller. I første tilfelle får en kursen helt nøyaktig på grader og minutter, i det annet tilfelle bare på nærmeste fulle grad. Det siste kan forresten være bra nok, da kursen aldri blir oppgitt i annet enn hel grad. — Distansen langs storsirkelen derimot må regnes ut ved hjelp av formel. Det er den samme som vi kommer til senere under avsnittet høvdemålinger til bestemmelse av skipets plass. Formelen kalles da også «høydeformelen». Storsirkelkursen mellom de to stedene som er nevnt ovenfor er til å begynne med: N 84° V eller 276°. Distansen langs storsirkelen er 3707 n. mil, altså 112 n. mil kortere. Av karter har hittil bare vært omtalt Merkatorkartet. Det er dette som for den alt overveiende del brukes når man seiler over storre havstrek­ ninger, Nordsjøen, Atlanteren, Stillehavet osv. Når man med fartøyet er kommet inn til kysten, duger ikke disse kartene lenger. De er nemlig laget i svært liten målestokk. Nordsjokartet f. eks. er i målestokken 1 : 1.000.000, en million­ tedel. Det vil si at 1 kilometer er på kartet 1 millimeter. Vi forstår at det er en umulighet å få satt av alle de detaljer som navigatøren trenger. Der kan jo i et innløp ligge mange skjær og grunner, selv om dette ikke engang er så bredt som en kilometer. Et fartøy er gjerne, hvis det er av litt størrelse, omkring 60 fot bredt, dvs. ca. 20 meter. I et innlop av en kilometers bredde skulle jo fartøyet ha god plass selv om der er noen båer eller skjær, men kan man ikke få satt av disse på kartet, ville vel noen hver betenke seg på å seile inn når løpet på kartet bare var en millimeter bredt, selv om man visste at det i virkeligheten er en kilometer. Hele den norske kyst er derfor kartlagt og utgitt i målestokken 1 : 50.000. Nå blir det straks bedre. En millimeter på kartet representerer her 50 meter. Og nå blir det plass til detaljer. Men selv disse karter er ikke absolutt tilfreds­ stillende. Det ser fremdeles trangt ut når en kommer til en litt smalere renne som i virkelig­ heten er mer enn bred nok. Derfor arbeides det nå med karter i målestokken 1 : 10.000, og de blir fine. Men det er jo et stort arbeid, så foreløbig er ikke så mange kommet ut, men de kommer etter hvert og da forst der de trengs mest. Karter i målestokk 1 : 50.000 eller større kalles spesialkarter. De er ofte av en annen type eller projek­ sjon enn Merkatorkartene. På Merkatorkartene er alle meridianene paral­

390

Bjarne Krum: Skipsnavigasjon og meteorologi

lelle, og avstanden mellom parallellsirklene blir større og større jo lenger en fjerner seg fra Ekvator, I andre spesialkarter som er konstruert etter noe som heter «Cassinis nye konforme sylinderprojeksjon», går ikke meridianene paral­ lelt, men avstanden mellom parallellsirklene er ens i hele kartet. Det er med andre ord gjort et forsøk på å få tegnet av et mindre område av landet så likt virkeligheten som mulig. De norske kartene har sitt utgangspunkt ved flaggstangen på Kongsvinger festning. Vi skal ikke her gjøre nærmere rede for denne kartkonstruksjonen. Det ville kreve for stor plass og har i grunnen heller ikke så stor interesse for en legmann. I spesialkartene får utgiveren, «Sjøkartver­ ket», plass til det tilstrekkelige antall detaljer, og navigatøren føler seg temmelig trygg med et slikt kart foran seg når han seiler langs kysten. Kommer et fartøy, som ellers seiler i oversjøisk fart, inn i innenlandsk farvann, kan imidlertid selv disse kartene med sin store målestokk fore­ komme navigatøren i minste laget. Da er det man søker bistand hos Losvesenet. Skulle navigatøren alene greie brasene innen­ skjærs, ville han ganske snart komme til kort hvis han ikke var spesielt trenet for den slags fart. Fartøyene går jo nå gjerne med en fart av 15 nautiske mil, ca. 30 kilometer, i timen. Han må til stadighet inn i bestikklugaren og konferere med kartet hvilken kurs han skal styre, og i

mellomtiden kan skuta ha gått på grunn. Tenk Dem at De kjørte varebil og så en gang imellom stakk inn i varekassen for å kikke etter hvilken vei De skulle ta når De kom til et vei­ skille, mens bilen durte videre med 30 kilometers fart. Navigatøren ville nok greie det, men han ble nødt til å slå ganske betraktelig av på farten. Dette ville imidlertid resultere i at han kom senere frem med skipet. Dessuten spiller strøm, vind og mange andre forhold inn, som gjør at det ikke er heldig å slakke på farten, en viss fart på skipet må man ha skal man ha skikkelig styring på det. Losen derimot er spesialutdannet nettopp med alt dette for øye. Han kjenner farvannet som sin egen lomme og behøver ikke å konferere med kartet for å si hvor hindringer og undervannsskjær ligger og gjør seilasen farlig. Det er også mange andre ting som kan spille inn. Tåke, strøm av ukjent retning, hildringer, sol- eller månerefleks, slagskygger av høyt land, kort sagt, det er mange ting som plutselig kan dukke opp og gjøre seilasen temmelig inn­ viklet. Alt dette er for det meste losene kjent og vant med, og med en slik kjentmann ombord kan man føle seg temmelig trygg, men naviga­ tøren har allikevel plikt til nøye å følge med i seilasen. Selv for den beste kan det jo engang klikke, og da kan det være godt at de er to, så den ene øyeblikkelig kan overta om den andre skulle falle fra.

Retninger, kompass og kurser Står vi på et høyt sted med utsyn i alle retnin­ ger horisonten rundt, fastlegger vi først de fire hovedretninger. Følger vi solens gang over himmelen, kalles det punkt på horisonten som ligger like under det sted der solen når sitt høyeste punkt i sin bane, for syd. Stiller vi oss med ansiktet mot dette punkt på horisonten, har vi retningen nord rett bak oss. Til venstre finnes så øst og til høyre vest. Vi sier også at solen står opp i en østlig retning, går gjennom syd, og går ned i en vestlig retning. For et fartøy som skal seile i alle mulige retninger, er det ikke tilfredsstillende nok med dem vi har nevnt, det må ha en god del mellomliggende ret­ ninger, helst med navn. De fire kvadranter som dannes av de fire hovedretninger, deles opp i åtte deler eller streker. Hver strek kommer da til å inneholde vel 11°. De forskjellige streker har sitt eget navn, som f. eks. «Nordost», forkortet

til «NO». Vind og strøm blir fremdeles oppgitt ved hjelp av streker, mens kurser nå for den alt overveiende del oppgis i grader regnet fra 000 til 360. Kursen 000 representerer da retningen Nord, 090 — Ost, 180 — Syd og 270 —- Vest. Den loksodromkursen som vi fant i vårt eksempel, var jo syd ad vest, og het S 68°V. Omgjort til kompassrose med grader fra 000 til 360 blir det som anført 248°. Som vi litt senere skal se, er regning med rose fra 000 til 360 en enkel sak, mens regning med streker fort kan føre til en regnefeil, som i det lange løp kan ha skjebnesvangre følger. Hva er årsaken til at man kan bruke et kom­ pass som retningsleder, og hvordan virker det? Et kompass består av en eller flere — alltid et like antall — magneter som er hengt opp slik at de fritt kan svinge i horisontalplanet. Et slikt instrument vil, når man plaserer det fritt ute i

Terrestrisk navigasjon

naturen, med en bestemt ende peke nokså nær mot den geografiske nordpol. Grunnen til dette er følgende: Alle magneter har det vi kaller to poler. Tar vi for oss en magnet og undersøker den litt nærmere, oppdager vi snart at mesteparten av det som kalles magnetisme er samlet i endene av magnetstaven, ikke helt ytterst, men ca. 1/12 av hele stangens lengde innenfor enden. På mid­ ten synes det å være et nøytralt felt. De to steder der magnetismen er samlet, kaller vi magnetens poler. Har vi to magneter, oppdager vi nok også ganske snart at det må være forskjell på magnet­ ismen i de to polene. Legger vi den ene på bordet og holder den andre i 90° vinkel bort mot den første, ser vi når vi nærmer den magneten vi holder i hånden, mot den som ligger på bordet, at den trekker den ene enden til seg, men skyver den annen fra. Man er blitt enig om å kalle den typen av magnetisme som finnes i den enden av magneten som peker nordover når den er hengt opp fritt, for «nordmagnetisme», og den mot­ satte type for «sydmagnetisme». Disse navnene skaper imidlertid ofte litt forvirring for en leg­ mann når man skal snakke om flere magneter (egentlig felter) på én gang, og vi skal derfor bruke en greiere benevning på de to typer. Den type magnetisme som er i den delen av en magnetnål som peker nordover, kaller vi heretter «rød» og den motsatte «blå». Vi sier da at rød trekker på blå, men frastøter en annen rød. Det sies også svært ofte slik: Ensnevnte poler fra­ støter hverandre, uensnevnte tiltrekker hver­ andre. Når vi studerer de magnetiske krefter litt nærmere, finner vi noe ganske merkverdig: De virker på avstand og rundt hele magneten. Dette kan lett vises ved å legge en magnet på bordet og et papir oppå den. Strør vi nå forsiktig litt jernfilspån oppå papiret, ser vi at jernspånet ordner seg i fine rekker fra den ene polen til den andre. Slår vi ganske forsiktig på papiret, trer dette enda tydeligere fram. Slike linjer omgir hele magneten, og vi sier at den omgir seg med et magnetfelt. Titter vi litt nærmere på disse jernspånene, helst med en lupe, vil vi se at de er langaktige og ligger ordnet nydelig etter hver­ andre. Ingen ligger på tvers. Vår magnet har da overført magnetisme til de enkelte jernspån, så disse også er blitt magnetiske og ligger nå vak­ kert etter hverandre slik at rødt peker mot blått og omvendt. Det blir omtrent som når sirkuselefantene marsjerer gjennom gatene til sirkusområdet. En går først, mens den neste griper

391

med snabelen om den forrestes hale osv. Slike linjer finnes rundt hele magneten, kraftlinjer kaller vi dem. Alle linjene danner tilsammen det vi kaller et magnetisk felt. Dette feltet sprer seg utover og rundt omkring i rommet rundt mag­ neten. Feltet ser omtrent ut som det nøstet en kvinne lager når hun nøster opp et fedd garn for å gjøre det klart for strikking.

Misvisning Dessverre går ikke de magnetiske linjene på jorden så pent som på et nøste. De har sitt ut­ spring ved de magnetiske poler, som ikke ligger på de geografiske polene. Følgen er at de mag­ netiske kraftlinjene kommer til å danne vinkler med meridianene som går mellom de geograf­ iske polene. Ja, de danner ikke bare vinkler, men går enkelte steder temmelig uregelmessig, og kan gjøre ganske store avvikelser ira den rette linje. Nå er imidlertid retningen av disse kraftlinjene undersøkt så å si overalt på jorden, så vi vet i hvilken retning de går i forhold til den geografiske meridian. Dette er jo helt nød­ vendig, fordi en kompassrose alltid vil stille seg inn i de magnetiske kraftlinjers retning, hvis det da ikke er noe annet tilstede som for­ styrrer kompasset. Skal man altså fram i en bestemt retning, og man skal ta seg fram ved hjelp av et magnetkompass, må man først og fremst undersøke hvor stor vinkel de jordmagnetiske kraftlinjene dan­ ner med meridianen på stedet. Dette tar man ut av et eget kart, der det er trukket linjer gjen­ nom alle de steder på jorden der kraftlinjene danner samme vinkel. Slike linjer kalles isogoner. Vinkelen kalles misvisning. Misvisningen kan være enten «østlig» eller «vestlig», etter som kraftlinjene kommer fra en østlig eller vestlig kant. Er misvisningen vestlig, må man for å komme fra den rettvisende retning og frem til den magnetiske retning som kompasset eventuelt skal vise, legge til misvisningen. Kommer kraftlinjene fra en østlig retning, må

392

Bjarne Krum: Skipsnavigasjon og meteorologi

man subtrahere misvisningen for å komme frem til den magnetiske retning. Denne måten å regne på kan brukes for alle retninger når man nytter rose fra 000° til 360°. Dette er det absolutt enkleste og fornuftigste. I eksemplet på seilas fra Kanalen til Florida fant vi en loksodromkurs på 248°. I utløpet av Kanalen, der vi startet, er misvisningen ca. 7° vestlig. Denne misvisningen skal adderes til kartretningen, og vi får 248 + 7 = 255°. Ved hjelp av kompass skulle det altså styres 255°. Deviasjon Så langt er jo saken forholdsvis enkel, men dessverre kommer det enda et forstyrrende element til, og det er selve fartøyet. Skipene blir nå for den alt vesentlige del bygd av stål. Blir stål utsatt for kraftig magnetisk påvirkning, vil det bli permanent magnetisk, og omgi seg med sitt eget private felt som virker på kompasset og drar det ut fra den magnetiske retning. Bløtt jern som utsettes for magnetiske krefter, blir også magnetisk, men hvis påvirkningen opphører, mister det også temmelig fort sin magnetisme. Feltene som følgelig dannes av alt det stål som finnes i et fartøy, virker derfor forstyrrende på de jordmagnetiske kraftlinjers virkning på kom­ passet. Et kompass ombord i et slikt skip som er bygd av stål, vil ikke lenger vise de magnetiske retningene på jorden, men danne vinkler med disse. Det blir for vidløftig å gå nærmere inn på dette emne, her skal vi bare fortelle at naviga­ tøren lett kan undersøke hvor stor avvikelse skipsmagnetismen er årsak til. Han tar hensyn til avvikelsen når han regner om en kurs fra kart­ retningen og retter denne for misvisning og skipets egen virkning på kompasset. Skipets virkning kalles deviasjon, og er også enten vestlig eller østlig. Vet man hvor stor den er for de enkelte kurser, er det jo bare å regne med det antall grader man har funnet, og så har man den kurs man skal styre etter ved hjelp av kompass. Deviasjonen blir undersøkt for hver 10° kom­ passet rundt og notert ned så man vet hvor mange grader man skal regne med på de forskjel­ lige kurser. Deviasjonen bør ikke gå opp i større verdier enn to-tre grader, men kan under enkelte uheldige omstendigheter godt bli større. Det er imidlertid ikke noen fare når man bare vet hvor stor den er, men den bør holdes innen rime­ lighetens grenser. Skulle den imidlertid vise seg å være ikke bare uforholdsmessig stor, men kanskje også foranderlig og ustabil, har det offentlige i sin tjeneste en rekke personer rundt omkring

langs kysten som er utdannet som spesialister nettopp på dette område, og som kan rette på forholdene og bringe deviasjonen ned til et minimum. Dette kalles populært å «korrigere kompassene». Hvis De noen gang har sett et fartøy ligge og sveive rundt ute på havnen, er det gjerne en kompasskorrigør som holder på å justere kompassene før skipet stikker til sjøs. For utregning av den endelige kurs gjelder samme regel som for misvisningen. Er den vest­ lig, blir den å legge’ til den magnetiske kurs, er den østlig, trekkes den fra. • Eksempel. La oss tenke oss at vi ombord har en tabell for hver 10° og at den tilsvarende deviasjon er ført opp på denne. I et tidligere eksempel hadde vi en magnetisk kurs som var 255°. Vi går inn i vår tabell med 260° og finner der f. eks. 2° østlig deviasjon. Utregningen av kursen som skal styres ved hjelp av kompass, blir da: den opprinnelige kartretning 248 -|~ misvisningen 4- deviasjonen. 248 -j- 7 4- 2 = 253°. Dette er den kursen som navigatøren gir rormannen og som han skal styre for at skipet skal komme fram langs den linje som ble trukket i kartet. Etter som reisen skrider fram, kommer man til steder der misvisningen er litt anderledes, og man må stadig følge med og rette kursen i sam­ svar med den nye misvisning. Deviasjonen skulle holde seg noenlunde konstant hvis et fartøy er riktig korrigert, men også deviasjonen er gjen­ stand for forandringer og må til stadighet kon­ trolleres av navigatøren. Følgende eksempel gir et lite inntrykk av hva en feil i misvisning og deviasjon kan føre til. En feil i kursen på 6° fører skipet sideveis ut fra kurslinjen et stykke som er en tiendedel av den distanse det seiler. Har man altså en feil på 6° i kursen og seiler f. eks. 10 n. mil, kommer man 1 n. mil til siden for streken i kartet. Det kan jo bli nokså kjedelig når man seiler strek­ ninger på over flere hundre mil. På 100 mil gir det 10 mil feil. Dette vet navigatøren godt, så han kontrollerer til stadighet at både misvisnin­ gen han nytter og den deviasjon han regner med, er riktig. Den første kan han, som tidligere nevnt, ganske enkelt ta ut av et kart for det stedet der han befinner seg, den siste — deviasjonen — må han selv kontrollere ved observasjoner av et eller annet himmellegeme. Dette kalles en «deviasjonsundersøkelse». Skal vi altså seile fra en havn til en annen, trekker vi opp en linje i kartet mellom disse to stedene, undersøker at den ikke går over land

Terrestrisk navigasjon

eller noen annen hindring, og parallellforskyver den bort til en av de kompassrosene som det gjerne finnes flere av i kartet. Her ser vi fort hvor stor vinkel den danner med den geografiske meridian og har dermed fått fastslått den rettvisende retning. Denne rettvisende retning skal først rettes for misvisningen på det sted vi befinner oss. Stedets misvisning står gjerne trykt inne i selve rosen for et bestemt år. Ved siden av står det så hvor mye misvisningen forandrer seg pr. år. Den kan enten være tiltagende eller avtagende, dette er ut­ trykkelig føyd til. Ved å multiplisere forandrin­ gen med differansen i årstallene får vi fram det antall grader og minutter den trykte misvisnin­ gen skal rettes med for å gi riktig misvisning for det år vi befinner oss i. Har vi rettet den rettvisende kurs for misvis­ ning, står det tilbake å rette denne igjen for deviasjonen (skipets private misvisning). Devi­ asjonen kan vi ta ut av en tabell som alltid skal finnes der hvor navigatørene arbeider. Dette rom kalles for bestikklugaren. Nå vil sjelden denne tabell gi helt riktige verdier, fordi deviasjonen kan variere etter som fartøyet skifter bredde. Egentlig skulle den helst holde seg konstant, men forskjellige ting gjør at man aldri kan stole fullt ut på en slik tabell. Det er derfor navigatørens plikt, hver gang han kommer på vakt å kontrollere om den deviasjon som nyttes i øye­ blikket, er riktig. Dette kan han lett gjøre ved en deviasjonsundersøkelse, det tar bare et par minutter. Har deviasjonen forandret seg så mye som en grad eller mer, tar han hensyn til det og forandrer kompasskursen tilsvarende mange grader. Skal fartøyet tilbakelegge lengre strek­ ninger over havet, f. eks. fra Den engelske kanal til New York, forandrer misvisningen seg adskil­ lige grader underveis, og dette må man da ta hensyn til. Som tidligere nevnt finnes karter over hele jorden med misvisningen avsatt, så det er en lett sak å bestemme det rette antall gra­ der på det sted skipet i øyeblikket befinner seg. Bestikkregnin" o “ o A få bestemt hvor fartøyet i øyeblikket be­ finner seg, er altså av ganske stor betydning. Her skjelnes det ganske sterkt mellom to steder, nemlig hvor man burde være i henhold til kurs og utseilt distanse, og hvor fartøyet vir­ kelig befinner seg. På sjøen vil det jo alltid bli strøm og avdrift på grunn av vær og vind. Det første sted kalles bestikkets plass, det annet observert plass. Det siste er da det nøyaktige.

393

For å få tak i bestikkets plass må vi kjenne kursen som er brukt og den distanse som er til­ bakelagt. Distansen til sjøs regnes i nautiske mil. En nautisk mil er lik lengden av et bueminutt. Målt i meter blir den nokså nær 1852 meter i gjennom­ snitt. For å få målt det antall nautiske mil som er til­ bakelagt i et visst tidsrom, nytter man forskjelli­ ge instrumenter. Det mest alminnelige er «slepeloggen». Slepeloggen henges ut akterut på skipet i en lang line. Selve loggen ser ut som en liten torpedo og er forsynt med fire vinger som står litt skjevt, slik at torpedoen tvinges til å rotere når den slepes gjennom vannet. Ved liten fart roterer den lang­ somt og ved storre hastigheter naturligvis hurti­ gere. Denne rotasjon overføres gjennom linen, som også roterer, til et telleverk som viser hvor mange mil fartøyet har tilbakelagt i det tidsrom vi ønsker å bestemme distansen for. Denne log­ gen kan sammenlignes med de kilometermålere som finnes på biler og som også er å få til sykler. Imidlertid oppgir aldri denne loggen fart, bare distanser. Det finnes også andre logger, som er mye brukt nå for tiden, og de viser både fart og distanse. De slepes ikke etter fartøyet, men arbeider ved hjelp av et ror som stikkes ut gjennom bunnen i skipet. Én logg har et rør med en liten propell. Når fartøyet glir gjennom vannet, strømmer også vannet gjennom roret og setter propellen i gang. Jo fortere skipet går, desto hurtigere roterer propellen. Propellens rotasjon blir så overført til et telleverk, som kan gi både fart og distanse. Andre logger benvtter seg av det trykket som oppstår når skipet går gjennom vannet. Liten fart — lite trykk, stor fart —■ stort trykk. Stik­ ker vi et ror ut gjennom bunnen i båten og boyer det slik at åpningen vender forover, vil skipets fart presse vannet oppover i roret. Stenger vi for vannet inni skipet med et stempel som stemplet i en sykkelpumpe, vil vi kunne kjenne om skipet går fort eller langsomt bare ved å fole hvordan trykket forandrer seg på stemplet. Dette trykk overføres så videre ad elektrisk vei til et telleapparat, og vi kan lese av både fart og distanse. Vet vi nå hvilken kurs vi har seilt og har lest av på loggen hvor langt vi har seilt, er det for­ holdsvis enkelt å finne bestikkets plass til en hvilken som helst tid. På kartet har vi jo satt av den kurslinje vi skal seile, og setter vi så av distansen langs denne linjen, har vi dermed fun-

394

Bjarne Krum: Skipsnavigasjon og meteorologi

net bestikkets plass. Hvis det ikke fantes feil­ kilder, ville den plass vi på dette vis regnet oss til være korrekt. Men dessverre, slik er det ikke. Det kan være strøm som vi ikke kjenner den nøyaktige retning på, og skipet kan også blir drevet ut av sin kurslinje på grunn av vind og den overflatestrommen som vinden er årsak til. Disse feilkildene kjenner vi ikke helt sikkert, og vi må derfor regne med en viss feil i bestikkets plass. For så å få bestemt nøyaktig hvor fartøyet befinner seg, er det man tyr til observasjoner. Observasjonene kan være enten terrestriske eller astronomiske. De første er observasjoner av faste punkter på kysten hvis fartøyet befinner seg i nærheten av land. Er fartøyet ute på åpent hav, må man ty til astronomiske observasjoner. Vi skal se litt på hvordan man fastslår skipets sted ved hjelp av terrestriske observasjoner. Seiler vi langs en kyst og kan se punkter på denne som er avsatt på kartet, kan navigatøren ved å peile ett eller flere av punktene nøyaktig

få fastlagt hvor skipet befinner seg i øyeblikket. Ved hjelp av kompasset sikter han inn de punk­ ter han vil bruke, og leser av på kompassrosen i hvilken retning han har dem. Disse kompassretninger retter han så for den deviasjon som horer til kursen skipet i øyeblikket ligger på, og deretter for den misvisning som gjelder for ved­ kommende sted. De retninger han da får ut, trekker han opp på kartet, og der hvor linjene skjærer hverandre, sto skipet dengang han fore­ tok peilingene. Vi bruker her uttrykket «sto», altså fortid, fordi det tar sin tid å ta et par peilinger, rette dem og deretter sette dem av på kartet. Med den fart vi har på moderne skip, teller disse minuttene med i moderne navigasjon, særlig hvis man seiler langs kysten, der det ikke er langt mellom båer og skjær. Bestemmelse av stedet ved hjelp av to punkter i land er den nøyaktigste bestemmelse vi har til sjøs. Men det er jo i grunnen så sjelden i løpet av en reise at man har anledning til den slags, at det for den alt overveiende del blir de astronomiske observa­ sjoner som kommer til å dominere.

ASTRONOMISK NAVIGASJON Himmellegemene Hvordan kan så en navigatør bestemme skipets plass ved hjelp av himmellegemene? Han skjelner først og fremst mellom tre for­ skjellige slags himmellegemer, nemlig solen, planetene og stjernene. Disse himmellegemer har nemlig, slik vi ser dem, sterkt avvikende baner under sin gang over himmelen. Solen ser vi så å si hele året, hvis vi ikke bor for langt mot nord i landet. Om sommeren står den forholdsvis høyt på himmelen, for om vinteren bare å vise seg ganske lavt over horisonten en kort tid midt på dagen. Dette gjentar seg hvert år uten nevne­ verdige variasjoner. Planetene er synlige til enkelte tider på året, så forsvinner de, for atter å dukke opp igjen. De står også snart høyt, snart lavt på himmelen og er synlige snart på den østlige del, snart på den vestlige del av himmelkulen. Etter dette får de også navn av morgenstjerner eller aftenstjerner. Stjernene derimot er mer stabile. De står så å si alltid like høyt over horisonten når man opp­ holder seg på samme sted, men de er synlige bare et halvt år om gangen. Så blir de borte, og kommer igjen når det er gått et halvt år. Alle disse forandringene kommer av at jord-

aksen ikke står rett opp og ned, men heller ca. 23,5° med det baneplan den beskriver under sin gang rundt solen. Fra et sted på jorden ser man aldri mer enn halvparten av himmelkulen, men da jorden dreier rundt en gang i løpet av 24 timer, skulle vi teoretisk få se alle himmellegemer en gang i løpet av denne omdreining. Solen er imidlertid så overlegen i lysstyrke at den fordunkler alle de

Fig. 7. Jordens rotasjonsretning i forhold til fiksstjernene.

395

Astronomisk navigasjon

Fig. 8. Jordens bane rundt solen. (Ekliptikken).

andre. På grunn av dette får vi ikke se planetene og stjernene før etter at solen er gått ned og for den står opp igjen, altså om natten. For oss ser det også ut som om det er himmel­ legemene som beveger seg, og vi som står stille. Dette kaller vi den tilsynelatende bevegelse, for i virkeligheten er det jorden som dreier seg rundt sin akse, og solen og stjernene som står stille. Fig. 7 viser jorden som en liten kule i midten. Fordi den dreier seg mot urviseren, ser det for oss ut som om alle himmellegemene dreier seg med urviseren. Av fig. 8, som forestiller jorden i fire for­ skjellige punkter i sin bane rundt solen, vil vi skjønne hvorfor vi bare ser den ene halvpart av stjernene på himmelkulen til en bestemt tid av året, og den annen halvpart et halvt år senere. Tenker vi oss jorden i stilling 1 —■ sommer på nord bredde — vil vi om natten se alle de stjer­ nene som befinner seg til venstre for «lysgrensen», mens alle på høyre side av denne grensen blir fullstendig fordunklet av solens lys. Skal vi få se stjernene på høyre side, må vi flytte jorden helt bort i stilling 3 — vinter på nord bredde — men mister da samtidig dem vi så om sommeren. De som står i nærheten av lysgrensen, blir bare svakt synlige, dvs. de som står nærmest solen idet den står opp eller går ned. På dette vis vil vi i årets løp når jorden har gått en hel gang rundt solen, få se alle stjernene. For oss ser det ut som om det er solen som spaserer rundt på himmelkulen og flytter seg mellom stjernebildene. Dette kaller vi også for tilsynelatende bevegelse. Fordi jorden ikke står loddrett på sitt baneplan, «ekliptikken», ser vi tydelig av figuren at solen når det er sommer på nord bredde, skinner forbi nordpolen. Den går med andre ord ikke ned i disse strøkene, og her får man da den be­ rømte midnattssol. Om vinteren derimot rekker ikke solstrålene så langt nord som til polen. Det blir natt døgnet rundt. På selve polpunktene er det derfor et halvt år dag og et halvt år natt.

På nordpolen begynner dagen ved vårjevn­ døgn og slutter ved høstjevndøgn, mens dagen på sydpolen begynner når vi har høstjevndøgn, og varer til vi har vårjevndøgn. Det at jordaksen står skrått i forhold til jor­ dens bane, er årsaken til at solen om vinteren står lavt, men om sommeren høyt over horison­ ten. Dagen blir kort om vinteren og tilsvarende lenger om sommeren. Ved vårjevndøgn og høstjevndogn er dag og natt like lange. De enkelte stjerner derimot står like høyt til alle årstider. Det kommer av at de er så uendelig langt borte. Selv om det fra det punkt jorden står i om sommeren og til der den er om vinteren, er ca. 300 millioner kilometer, spiller det ingen rolle i forhold til den kolossale avstand til stjernene. For å få en liten idé om hvor langt det er til stjernene, skal vi se litt på en av dem som er nær­ mest oss. Den er ca. fire lysår borte. Et lysår er den distansen som lyset går i løpet av ett år. Når vi så vet at lyset går 300.000 km i sekundet, blir fire lysår en ganske anselig avstand. Rundt reg­ net blir det i kilometer ca. 37.000.000.000.000. Litt annerledes stiller det seg med de himmel­ legemer vi kaller planeter. De er ikke selvlysende, men får som jorden sitt lys fra solen. Avstandene fra oss til dem er ganske beskjedne i forhold til stjernene. Likesom jorden går planetene i baner rundt solen. I rekkefølge innenfra er planetenes navn: Merkur, Venus, Jorden, Mars, Jupiter, Saturn, Uranus og Neptun. Av disse er det bare fire som interesserer navigatørene, fordi de er såpass lyssterke at de kan nyttes til observasjo­ ner, nemlig Venus, Mars, Jupiter og Saturn. Følgende oversikt forteller litt om deres størrelse osv. i forhold til jorden. Omløpstid i år

Venus . Jorden Mars. . . J upiter ... Saturn ...

0,62 1,00 1,88 11,86 29,46

Avstand fra solen Størst og minst, i mill km

109 152 249 815 1.500

107 147 207 740 1.350

Radius

Rotasjonstid

0.97 1,00 0,53 10,95 9,02

ca. 25 dager 23l56m49 24‘37m23s 9t50m IG‘30"19

Er man ombord i et fartøy ute på det store åpne hav, og man ønsker å få bestemt nøyaktig hvor man befinner seg, tyr man til disse himmel­ legemer. La oss tenke oss at vi har seilt et par dager og ved hjelp av kurs og fart har bestemt hvor skipet burde befinne seg. Dette skal vi nå kontrollere med en observasjon.

396

Bjarne Krum: Skipsnavigasjon og meteorologi

Sekstanten og bruken av den Ved hjelp av kjente størrelser og trigonomet­ riske formler kan vi regne ut hvor høyt himmel­ legemene skulle stå over horisonten på det be­ stemte tidspunkt, og i hvilken retning. Samtidig bruker observatøren et instrument som kalles sekstant, og måler hvor høyt himmellegemet virkelig står. Skulle han nå — og dette er som oftest tilfelle — få en høyde som ikke er den sam­ me som den han beregnet at himmellegemet skulle ha, forteller det ham at hans skip ikke står i det punkt som han fant ved hjelp av kurs og fart. Det blir omtrent det samme som om De kjørte bil. La oss si at det fra Oslo til Trondheim er 550 km. De stiller distansemåleren på null og starter fra Oslo. Så kjører De i vei til distansemåleren viser 550 km. Nå stopper De og går ut i håp om at De er i Trondheim. Ett av to kan da ha hendt: Enten er De ikke kommet frem, eller De kan ha kjørt for langt.

Det første De sannsynligvis vil gjøre, er å kjøre til første veikryss og konferere med vei­ viseren. Fullt så enkelt blir det naturligvis ikke på sjøen. Der finnes det ingen vei eller stabbe­ stein og heller ingen veivisere med skilter som forteller om man er på rett vei og hvor langt man eventuelt har igjen å seile. Man får da hjelpe seg på annet vis dg bestemme ved hjelp av astronomiske observasjoner hvor man befinner seg. Før vi går løs på selve observasjonene, skal vi først se litt på det instrument som navigatørene nytter når de tar sine målinger av et himmel­ legeme. Instrumentet kalles som nevnt en sekstant. Navnet har det fått fordi den buen som vi leser av vinklene på, er ca. 1/6 av en sirkelomkrets. Buen er altså 60°, men da instrumentet er et speilinstrument, kan man måle helt opp til 120° med det.

Fig. 9. Sekstant. (1) Kikkert. (2) Store speil. (3) Filtere (fargede glass). (4) Lille speil (horisontspeil). (5) Filtere (fargede glass). (6) Trommelmikrometer.

Astronomisk navigasjon

Prinsippet for vinkelavlesning på sekstanten På fig. 10 representerer Ss. det store speil som sitter på den bevegelige alhidade, og Ls. det lille speil som sitter fast på selve instrumentet. Vinkelen x er den vinkel som representerer himmellegemets virkelige høyde over horisonten. Vinkel v er den tilsvarende vinkel på instru­ mentets bue og er lik 1j2 x. Av de to trekantene får vi ifølge lovene om vinklene: n = u-|- v og da må: 2n = 2u-|-2v Nå er imidlertid 2n = 2u-f- x x = 2v. Altså er: Skal vi måle et himmellegemes høyde, måler vi den høyden himmellegemet har over den horisont vi ser. Denne høyde er dessverre ikke brukbar som den er, men må rettes for en god del feil.

397

Først og fremst må vi være på det rene med at alt skal regnes slik som det ville fortone seg om vi befant oss i jordens sentrum. Den horisonten vi ser når vi står ombord i et skip, ligger alltid lavere enn et horisontalt plan gjennom øyet. Vinkelen mellom disse to retninger kalles «kimingen». Da alle lysstråler fra himmellegemene må passere atmosfæren før de når vårt øye, vil de stadig brytes på en slik måte at det for oss ser ut som om himmellegemet står høyere på himmelen enn det i virkeligheten gjor. Feilen i målingen kalles for «strålebrytning». Har vi målt solen, som er et forholdsvis stort legeme, må vi måle enten underranden eller overranden. Da observa­ toren skal ha tak i senterets hoyde over den sanne horisont, måler han i forste tilfelle for liten, og i det annet tilfelle for stor vinkel. Feilen er lik solens radius og kalles oftest «solens halvdiameter». Nå skal høyden rettes fra tilsynelatende horisont og ned til den sanne horisont, som går gjennom jordens sentrum. Rettelsen blir da lik jordens radius sett fra solen. Den er jo ganske liten, men tas som oftest med. Rettelsen kalles for «høydeparallaks». Hvis instrumentet var helt uten feil, skulle vår hoyde etter alle disse rettelser være korrekt. Men dessverre er de fleste instrumenter ikke uten feil. Feilen kan navigatøren ganske enkelt bestemme selv, men den må naturligvis tas med i beregningen. A i kaller den for instrumentets indeksfeil. For stjernenes vedkommende faller et par av disse hoyderettelser bort, da stjernenes radius sett fra jorden og jordens radius sett fra stjernen blir så forsvinnende liten at den neppe blir merk­ bar selv ved de fineste målinger. Når det gjelder månen, er det spesielle hensyn å ta. Fordi den står så nær jorden og har en meget variabel gang over horisonten, vil størrel­ sene — jordens radius sett fra månen og månens radius sett fra jorden —■ variere ikke bare fra døgn til døgn, men til og med fra time til time.

Observasjoner Først skal vi se litt på den enkleste observasjonsbestemmelse navigatøren har, nemlig å bestemme den bredde skipet i øyeblikket befin­ ner seg på. (Bredden er jo det antall grader av en meridian

der observator befinner seg enten nordenfor eller sønnenfor Ekvator.) Til å begynne med skal vi ta en breddebestemmelse ved hjelp av en stjerne, som er det enkleste. Vi må da ha tak i en størrelse som heter stjernens

398

Bjarne Krum: Skipsnavigasjon og meteorologi

deklinasjon. Denne størrelse er nøyaktig det samme for en stjerne på himmelkulen, som bred­ den er for et menneske på jorden. For å få en litt bedre forståelse av det skal vi foreta et lite eksperiment. Sett at jorden var en gummiballong som vi kunne blåse opp så stor vi ønsket. Vi trekker opp alle meridianene, Ekvator og alle parallellsirklene med kopiblekk, og når det er gjort, blåser vi den opp til den blir så stor at vi får et avtrykk av alle sirklene på himmelkulen. A i vil da kunne se samtlige stjerners avstand fra Ekvator. Noen står nord for og andre syd for Ekvator, og kanskje enkelte omtrent i selve Ekvator. En stjerne som vi ofte nevner, nemlig Polarstjernen, vil vi finne nesten i himmelens nordpol. Disse avstander, nord eller syd for Ekvator, som på jorden kalles bredde, heter for stjernenes vedkommende deklinasjon — de må være kjent hvis man skal kunne bruke vedkommende stjerne som observasjonsobjekt. Alle brukbare stjerners deklinasjon er kjent og står oppført i en bok som kalles «Nautisk Årbok». (Engelsk: Nautical Almanac.) A i begir oss nå med et fartøy ut på det åpne hav. Fra broen ser vi ikke bare ut over havet, men fordi vi står en del høyere enn selve over­ flaten, ser vi igrunnen nedover på skrå mot horisonten (kimingdalingen). Jo høyere vi står, desto lenger ser vi, akkurat som når man kommer opp på en høy fjelltopp. A^inkelen fra det punkt som ligger rett over oss — punktet heter senit —- og ned til horisonten som vi ser, blir altså mer enn 90°. Begynner vi nå å bevege oss nedover mot hav­ overflaten, oppdager vi snart at vinkelen nærmer seg 90° i det øyeblikk øyet vårt er akkurat i vannflaten. Uansett i hvilken retning vi da snur oss, vil det fra senit og ned til horisonten være 90°. Teoretisk skulle vi med andre ord se akkurat halvparten av hele himmelkulen. Var vi på Ekvator, skulle vi altså kunne se til polen, og fra polen skulle vi kunne se til Ekvator, da avstanden fra den ene til den annen er akkurat 90°. Så starter vi på polen. Vi begynner å spasere mot Ekvator langs en meridian. Etter å ha til­ bakelagt for eksempel 10° vil vi være istand til å se 10° forbi himmelens Ekvator, altså over på syd bredde. Vi fortsetter til vi har tilbakelagt 30 , vi er da kommet ned på våre breddegrader, nemlig 60° nord og ser nå til 30° syd for Ekvator. Alltid ser vi altså 90°, fra 60° nord til 30° syd,

fra 40 nord til 50° syd osv. Vi beveger oss på jorden, men ser hele tiden ut på himmelkulen. Skal bredden bestemmes ved hjelp av et himmellegeme, må dette stå i samme meridian som den vi befinner oss på. For oss fortoner det seg som om himmellege­ mene beveger seg fra øst gjennom syd og mot vest. Dette var den tilsynelatende bevegelse, for egentlig er det jorden som dreier seg rundt sin egen akse og himmellegemene som står stille, men det spiller ingfen rolle hvordan vi ser på denne bevegelse. En ting legger vi i alle fall merke til, og det er at himmellegemet står lavt over horisonten når det — som vi kaller det — står opp. Etter hvert som tiden går, stiger det høyere og høyere til det når sin største høyde over horisonten akkurat idet det passerer den meridian som vi også be­ finner oss på. Deretter begynner det å dale igjen og forsvinner til slutt under horisonten et sted i vestlig retning. La oss tenke oss en stjerne som står akkurat i himmelens ekvator. (Stjernens deklinasjon er 0°.) Sto vi på polen, ville vi få se denne stjernen akkurat i horisonten, fordi det er 90° dit. Så begynner vi å bevege oss langs meridianen og mot Ekvator. På nord bredde 80° vil da stjer­ nen stå 10° over horisonten, og etter som vi be­ veger oss sydover, vil stjernen stige tilsvarende høyt over horisonten. Det er med andre ord en bestemt sammenheng mellom vår bredde og stjernens høyde over horisonten idet den står på sitt høyeste, dvs. passerer vår meridian. På fig. 11 representerer den store sirkel skipets

Nadir Fig. 11. Meridianfiguren.

Astronomisk navigasjon

meridian på himmelkulen. Den lille sirkel i midten forestiller jorden. Punktet Obs. overst er det punkt der skipet i øyeblikket befinner seg, og rett opp for dette det tilsvarende punkt på himmelkulen, «Senit». Vi tenker oss at fartøyet er i nærheten av 50 nord bredde, og navigatøren vil ta en breddeobservasjon for å finne den nøyaktige bredde skipet befinner seg på. Han ser en stjerne som nettopp skal passere meridianen, og måler hvor høyt den kommer over horisonten. Høyden han leser av på sekstanten, blir etter at den er rettet, 30°. I Nautisk Årbok finner han at stjernen hadde en syd deklinasjon på 10°. Av figuren ser vi nå: Fra «Syd» på horisonten og langs meridianen er det 90° opp til «Senit». Fra Syd til * er det 30 0 og fra * til E (Ekvator) er det 10°. Fra Syd på horisonten til Ekvator blir det da 40°, og altså 50° fra E. til S., som er observatørens bredde. På samme vis går vi frem også når det gjelder de andre himmellegemene, som solen, månen og planetene. Forskjellen er bare at mens stjernene har konstant deklinasjon, varierer den for de øvrige. Spesielt godt merker vi det lor solens vedkommende, vi ser tydelig den store forskjell i høyde over horisonten henholdsvis om sommeren og vinteren. Det er jo nettopp denne deklinasjonsforskjellen som er årsaken til de forskjellige årstider. Deklinasjonen for alle himmellegemer det kan bli bruk for, er — som tidligere nevnt — ført opp i de nautiske almanakker og er beregnet for flere år fremover i tiden. Nå er det imidlertid ikke tilfredsstillende nok å kunne bestemme sin bredde. Navigatøren vil også gjerne vite på hvilken lengde han befinner seg, så han kan få satt av skipets posisjon nøyak­ tig på kartet. Dette lar seg gjøre forholdsvis enkelt hvis han bare kan få målt himmellegemet akkurat idet det står enten i rettvisende øst eller vest. Det lar seg nok gjøre, men det er en ren sjeldenhet at man er så heldig å få en observasjon akkurat i det rette øyeblikk. Med de regnemetoder som nyttes for tiden, er man, for å få bestemt bredde og lengde, imid­ lertid ikke avhengig av å måle himmellegemet hverken når det står i meridianen, eller når det står i øst eller vest. Man kan nærsagt måle dem når som helst og til hvilke som helst tider om man bare passer på at retningen til de to obser­ verte himmellegemer danner en passende vinkel.

399

Best resultat får vi hvis de danner 90° med hver­ andre, i alminnelighet regner vi at vinkelen ikke bor være under 30°. Tiden mellom observasjonene bor heller ikke være for lang, så ikke eventuell strøm og andre feilkilder skal få for stor innflytelse på resultatet. Når man skal bestemme et skips plass ved hjelp av en observasjon, er prinsippet følgende: Av kartet tar man ut bredden og lengden av det sted der reisen begynner. Ved hjelp av kurs og distanse kan man så etter en tids forløp bestemme omtrent hvor skipet befinner seg. Hvis man på grunn av styggvær og strøm er uviss på om skipet virkelig befinner seg på det sted man på dette vis har bestemt, kan man altså ved hjelp av astronomiske observasjoner kontrollere dette. Skipets plass ifølge kurs og distanse kaller vi, som nevnt, bestikkets plass. Finnes det et passende himmellegeme som kan nvttes til en observasjon, kan vi ved hjelp av en trigonometrisk formel bestemme hvor høyt dette himmellegeme burde stå hvis skipet sto i bestik­ kets plass. I formelen inngår bestikkets bredde og lengde, som vi altså må ha bestemt på forhånd. Måler vi himmellegemets høyde ved hjelp av sekstanten, er jo denne hoyde nøyaktig. Er nå disse to høyder — den målte og den beregnede — forskjellige, sier alminnelig sunn fornuft at skipet ikke kan stå i bestikket plass. Så svært langt unna pleier det i alminnelighet ikke å være, men vi er nodt til å ta hensyn til selv den minste avvikelse. Er den høyden vi måler med sekstanten, større enn den vi fikk ved beregningen, må skipet stå nærmere himmellegemet, og skulle den høyden vi måler med sekstanten, vise seg å være mindre, står altså skipet lenger vekk fra himmel­ legemet. Nå er det jo så greit at vinkler måles i grader og minutter, og ett minutt i buemål er akkurat lik en nautisk mil på jorden. Er altså forskjellen f. eks. 5’ (bueminutter) større eller mindre, står skipet altså 5 nautiske mil henholdsvis nærmere eller lenger vekk fra himmellegemet. For å illustrere dette med et enkelt eksempel skal vi tenke oss at vi står i nærheten av en flagg­ stang. Vi stiller oss i et punkt der vi tror at vin­ kelen mellom en linje fra punktet til flaggstangens fotpunkt og en linje til flaggstangkulen skal danne 30°. Tar vi så sekstanten og kontrollmåler vinkelen og finner at denne i virkeligheten er større eller mindre enn 30°, forteller dette oss at hvis vinkelen er større, står vi egentlig nær­ mere enn antatt, og hvis den er mindre, lenger

400

Bjarne Krum: Skipsnavigasjon og meteorologi

Fig. 12. Bestemmelse av observators plass (E. O.) ved hjelp av 2 flaggstenger.

vekk. Kulen på flaggstangen kan i dette tilfelle sammenlignes med et alminnelig himmellegeme. Kjenner vi nå retningen fra flaggstangen og til oss, er det bare å flytte vårt punkt så mye langs denne linjen som den feil kontrollmålingen ga oss. Hvis vi istedenfor én flaggstang hadde to, ville vi ved kontrollmåling kunne fastlegge det nøyaktige punkt vi sto i da målingen ble foretatt. På figur 12 tenker vi oss at skipets plass etter bestikk er i punktet E.B. Vinkelen til flagg­ stangen A skulle da være 28 °, og vinkelen til stangen B 20 °. Ved kontrollmåling finner vi at vinklene skal være henholdsvis 30° og 17°. Går vi to skritt mot A, kommer vi til punktet x, og tre skritt vekk fra B til punktet y. Med A—x som radius slår vi buen a—a’, og med B—y som radius buen b—b’. Disse buer skjærer hverandre i punktet E.O., som da blir skipets observerte plass. Navigatøren tegner også en slik figur av sine observasjoner, men det hele tenkes sett ovenfra og blir da adskillig enklere. Radiene A—x og B—y er i virkeligheten uhyre lange, slik at buestykkene a—a' og b—b' kan betraktes som rette linjestykker, og figuren får dette utseende (fig. 13). Han bekymrer seg ikke om punktene A og B, men regner på forhånd ut i hvilken

retning de ligger og trekker disse retninger opp gjennom punktet E.B. Så avsettes fra samme punkt differansen mellom de beregnede høyder og de målte, og de to linjestykkene som kalles stedlinjer, trekkes opp. Der disse to linjene krysser hverandre, står fartøyet i virkeligheten, og stedet kalles observert plass, E.O. Som vi skjønner av dette, er det likegyldig i hvilken retning himmellegemene står, bare de danner en passende vinkel med hverandre. Det er heller ikke nødvendig å måle to him­ mellegemer samtidig. Vi kan godt først måle ett, så seile et stykke og deretter foreta den andre målingen. Fremgangsmåten er at vi flytter skipets plass opp i punktet x, som vi fikk på grunnlag av første observasjon, og seiler videre fra dette punkt. (Punktet x kalles gjerne for «sannsynlig plass».) Når vi skal ta observasjon nr. 2, avsetter vi ved hjelp av kurs og distanse det nye sted x er flyttet til, og trekker atter opp stedlinjen a—a’. Den nye observasjon gir en ny stedlinje, og der disse to krysser hverandre, finner vi så den plass skipet virkelig står i, altså «observert plass». Dette gir jo anledning til utrolig mange kombinasjoner, så hvis himmelen er klar og horisonten brukbar, står man sjelden fast for midler til å bestemme skipets nøyaktige plass på havet. For å gi en oversikt over hvordan navigatøren regner ut det hele, skal vi sette opp et helt eksempel på en utregning av observert plass, ved hjelp av to observasjoner tatt samtidig. Da dette ikke skal være noen lærebok i navi­ gasjon, bare en forklaring for å gi en liten for­ ståelse av hva som egentlig foregår, vil det i regnestykket forekomme en del som kanskje vil virke uforståelig. Disse ting alene ville kreve en hel bok om de skulle bli redegjort for i detalj, men fremgangsmåten i regningen foregår i alt

Fig. 13. Slik navigatøren tegner observasjonen på blankt papir.

Astronomisk navigasjon

Fig. 14. Observasjonene tegnet direkte på kartet.

vesentlig som tidligere forklart, bortsett fra at vi nå regner med trigonometriske størrelser og nytter det som kalles «sfærisk trigonometri». Foruten skipets egen omtrentlige plass, be­ stikkets plass, må vi også lia bestemt punktene A og B (fotpimktene for flaggstengene). Disse punktene kalles himmellegemenes opplysningspoler, og er de punkter som en linje trukket fra himmellegemets sentrum og til jordens sentrum ville skjære jordoverflaten i. Disse punktene bestemmer vi ved hjelp av størrelser vi finner i nautiske årbøker og ved hjelp av Greenwich middeltid. Greenwich middeltid kan man få ved å lese av kronometeret ombord når man tar observasjonen. Om kronometeret går riktig eller ikke, bestemmer man ved hjelp av tidssignaler i radio. Det antall timer, minutter og sekunder som kronometeret viser feil, kalles «kronometerets stand». Kronometerets visende pluss eller minus standen gir alltid observatoren Greenwich middeltid nøyaktig på sekundet. Til utregningene for øvrig bruker navigatøren for det meste en logaritmetabell, «Bergersens tabeller», der han finner alle de størrelser han trenger. • Eksempel: -Et fartøy befinner seg kl. 0230 den 4. juli 1952 etter bestikk på N. br. 35°00’ og V. Igd. 126 °00’. Vakthavende styrmann ønsker å kontrollere skipets plass. Da himmelen er klar og horisonten god for observasjoner, tar han en titt på him­ melen og finner de to stjernene Altair og Markab, som danner en passende vinkel med hver­ andre. Han måler først stjernen Altair og leser samtidig av hva kronometeret viser. 26 — Teknikk I

401

Sekstanten ga 56°05’, og kronometeret viste 03t35m32s. Like etterpå måler han stjernen Markab. Sekstanten ga 60°08’, og kronometeret viste 03l36m039. Sekstantens indeksfeil ved begge målinger var 4- 1’, og observators øyehøyde 6 meter. Kronometerets stand mot Greenwich middeltid var 04537 m31l Da det er så kort tid mellom observasjonene, regner vi som om de var tatt samtidig. Det lille stykket fartøyet har tilbakelagt mellom de to målingene, har ingen praktisk betydning. Utregningen av begge observasjoner foregår da slik som på side 402. Blir observasjonene tatt om dagen, er det jo ikke to himmellegemer oppe samtidig, og man blir nødt til å ta observasjonene til forskjellige tider. Men enten det er dag eller natt, gjor ikke dette observasjonene vanskeligere. Hvis det imidlertid er dårlig vær med sterk vind og muligens ukjent strøm, kan det gå ut over nøyaktighetsgraden hvis man ikke kjenner disse faktorer. A i skal imidlertid se på hvordan navigatøren finner sin plass selv om han må seile mellom observasjo­ nene. Vi nytter de samme observasjoner som vi brukte i første eksempel, men går ut fra at vi har måttet seile noen timer fra navigatøren obser­ verte Altair til han får sjanse til å måle Markab. Han regner først ut observasjonen ved Altair og; bestemmer hvor han eventuelt skulle stå ifølge denne utregning. Dette punktet kaller han «sannsynlig plass» («S.p.» på fig. 15). Han setter av resultatet enten direkte på kartet eller på et stykke papir, og beregner sin nye bredde og lengde. Han seiler videre fra dette punkt inntil han får anledning til en ny observasjon, og flytter sannsynlig plass fram til denne nye plass. Her trekker han atter opp den stedlinjen han fikk ved observa­ sjonen og sier at ved første observasjon måtte

402

Bjarne Krum: Skipsnavigasjon og meteorologi

Observasjon ved * Altair. Kr. v. Kr. st

— 03—35—32 — 04—37—31 4-

♦avl. hd. Indf.

G.M.T. — 10—58—01 4/7

— 56°05’ -41’

*m. hd. — 56°04’ Dipp. 4- 4,4 corr. 4- 0,7 4- 5’

G.H.A. — 72°21,4’ rett. — 14°32,6’

♦Ret. hd.

— 55°59’

G.H.A. — 86°54,0’ S.H.A. — 62°53’ 149°47’ W. Igd. —126°00’ T.L.W. Bredde Dekl. M.Z.D.

— 23°47’— —N.35°00’— —N. 8°45’— — 26°15’—

log. haversin. — 8,62800 log. cos. — 9.91336 cos. — 9.99492 log. — 0.04727 log. sec.

—log. cos.—9,95273 log. cos.—9.96535

log. hav.sin X-8,58355 A. — 1,574B. — 0,39 +

log. sin beregn.høyde —9,91808 Beregnet høyde — 55°54’ Observert høyde — 55°59’

C. — 1,184-

Feil i høyde mot

—

5’

Rett. peil. — S 46 °V

Observasjon ved * Markab. Kr. v. Kr.st.

T. M. S. — 03—36—03 — 04—37—314-

♦avl. hd. — 60°08’ Indf. -4- r

G.M.T. — 10—58—32 4/7 —

*M. hd. — 60°07’ Dipp. 4-4,4 corr. 4-0,6 4- 5’

G.H.A. — 72°21,4’ rett. — 14°40,4’

♦Rett, hd.— 60°02’

G.H.A. — 87°01,8’ S.H.A. — 14°23,7’ 101°25,5’ W. Igd. —126°00,0’

T.L.O. Bredde Dekl. M.Z.D.

— 24°35’ N.35°00’ —N.14°57’ — 20°03’

— log. haversin. — 8,65630 — log. cos. — 9,91336 — log. cos. — 9.98505 — log. sec. — 0,02715 — log. hav. sin X

A. — 1,544B. — 0,64+

— 8,58186

— log. cos. — 9,97285 — log. cos. — 9,96551 —

log.sin. beregnet høyde —9,93836 Beregnet høyde — 60°ll’

C. — 0,90 4-

Observert høyde

— 60°02’

Rettv. peil. S. 54° 0.

Feil i høyde fra

—

9’

Elektronisk navigasjon

han stå et eller annet sted i denne linjen, og etter seilasen må han stå et eller annet sted i den parallellforskjovne stedlinje. Så tar han observasjon nummer to og setter ut den nye peilingen og høvdefeilen fra sann­ synlig plass, som er flyttet fram. Der den nye stedhnjen skjærer den første, er så skipets obser­ verte plass, og han kan ta ut bredde og lengde direkte hvis det er tegnet inn på kartet.

403

I det hele tatt finnes det et utall av kombina­ sjoner, enten det gjelder å observere to himmel­ legemer samtidig eller om man er henvist til å seile mellom observasjonene. Det som det hele går ut på, er å ta tilstrekkelig med observasjoner så man til stadighet kan kontrollere at skipet beveger seg langs den kurslinjen man har bestemt seg for fra begynnelsen.

ELEKTRONISK NAVIGASJON I årene etter annen verdenskrig har handelsfar­ tøyene fått anledning til å nyttiggjøre alle de oppfinnelser som ble gjort under krigen for å sikre de krigførende makters seilas på havene. Så lenge krigen varte, var jo disse ting ytterst hemmelige, men ble mer eller mindre allemanns­

eie så snart krigshandlingene opphørte. I alle fall kunne de ikke lenger holdes hemmelig, og vi fikk et utall av forskjellige patenter på navigasjonsapparater som i grunnen alle hadde ett felles mål — å bestemme et skips posisjon ved hjelp av radiobølger og deres skjæringspunkter.

Loran-, Decca- og Consol-systemene De tre dominerende systemene er «Loran», «Decca» og «Consol». Systemene Loran og Decca arbeider etter noenlunde samme system, mens Consol avviker ganske sterkt fra disse. Da radiobølgene går med den svimlende hastig­ het av 300.000 km pr. sekund, er det litt innvik­ let å forklare hvordan virkemåten er ved hjelp av disse bølgene. Vi skal her forklare virkemåten ved hjelp av alminnelige lydbølger, som bare for­ planter seg med ca. 330 m pr. sekund. Prinsippet er det samme, forskjellen er altså bare at radio­ bølgene går omtrent en million ganger så fort, og så korte tidsintervaller nytter det ikke for et menneske å forsøke å måle. Man må ty til elek­ troniske måleapparater og forklaringen blir litt mer innviklet, men prinsippet blir det samme, bare at alt går en million ganger så hurtig for seg. Oppe i fjellet finner vi to passende fjelltopper, der vi plaserer to karer med hver sin pistol, en på hver topp. Vi fjerner oss til et eller annet sted, og på et gitt signal skal så disse to karene sam­ tidig fyre av sitt skytevåpen. Idet vi horer det første skuddet, setter vi i gang en stoppeklokke, som vi stanser idet vi horer skudd nummer to. For enkelhets skyld kaller vi de to karene A og B. Nå flytter vi oss til mange forskjellige steder, gjentar forsøkene og merker av punktene og tidsdifferansene på kartet. Vi ser snart at det er mange punkter som har samme tidsdifferanse, og at vi får fram pene kurver hvis vi forbinder

disse punktene med en sammenhengende linje. Slike linjer kalles i matematikken for hyperbler. På fig. 16 er det trukket opp linjer mellom

404

Bjarne Krum: Skipsnavigasjon og meteorologi

På en av linjene er det lagt av en del punkter merket med P. Enten man bruker tidsdifleransen eller forskjellen i avstandene, går det ut på det samme. Man kan jo med et centimetermål måle avstandene PA og PB, så vil man finne at differansen alltid blir den samme. Akkurat som ved den astronomiske navigasjon får vi ber fremstilt det vi kalte en stedlinje. For en bestemt tidsdifferanse mellom signalene fra de to stasjonene finnes en bestemt linje, og et eller annet sted i denne linjen må vedkom­ mende observator stå. For å få fastlagt et be­ stemt punkt må man ha ytterligere to stasjoner, som også sender ut signaler. Det greier seg med tre i det hele, da en av dem kan legges mellom de to andre og arbeide vekselvis med disse. Det kommer da frem to sett linjer, som vil krysse hverandre. Man bestemmer så hvilken linje man må stå i på grunn av signalene fra de to forste, og siden hvilken linje man må stå i i det annet system. Der disse to linjer krysser hverandre, er den nøyaktige plass fartøyet befinner seg. Av de tre stasjonene kalles sentralstasjonen Master og de to andre Slaver. På fig. 17 er det lagt inn en Master med to Slaver. Her får vi to sett linjer som skjærer hverandre. På figuren er det satt inn tall på de

forskjellige linjene, og skipets plass er avlagt med linjen 2,5 i forhold til A—B og 13,5 i forhold til A—C. Linjene på figurene er såkalte Deccalinjer. Nøyaktig maken til disse er trukket opp i de kartene der det finnes Deccastasjoner i nær­ heten. Loransystemet opererer, som tidligere nevnt, med tidsforskjell, mens Deccasystemet nytter noe man kaller faseforskjell. Prinsippene er så å si de samme og gir samme slags linjer. En masterstasjon i et Deccasystem arbeider som oftest sammen med tre slavestasjoner. For å skille linjene ut fra hverandre på kartet er de trukket opp med forskjellige farger, nemlig rødt, grønt og fiolett. Da det ville være umulig for et menneske å måle tidsforskjell mellom radiobølgene ved hjelp av stoppeklokke, er skipene utstyrt med spesielle mottagere som greier opp med dette. Hver kombinasjon, Master og Slave, har sin egen lille tallskive med den tilsvarende farge, og observatøren har bare å lese av på denne motta­ ger og får oppgitt vedkommende linje, først med en bokstav og så med to visere som leses av i bestemt rekkefølge. Istedenfor som på de første figurer er linjene på kartet oppgitt med bokstaver, og mellom­ rommet mellom to linjer kalles en sone. Hver sone er så atter delt opp i flere småsoner, som hver har fått sitt tall. Likevel må det jo mellom disse siste linjene også være en liten avstand, da alt ellers ville flyte sammen.

Fig. 18. Indikator for hyperbler tegnet med rød farge.

Krum: Skipsnavigasjon og meteorologi, s. 104/405

Fis. 24. Utsnitt av et dansk Decca-kart.

Elektronisk navigasjon

For å bestemme hvilken linje man står i, leser man av klokken på følgende måte (følg med på fig- 18): Først bestemmes hovedsonen ved hjelp av bokstaven som står rett under sentrum. På vår figur finner vi bokstaven «D». Så leser vi av tallet under den lange viseren, som her blir «9», og til sist tallet ved den lille viseren, som er «6». Hele avlesningen ser da slik ut: Sone D - linje 9,6. De tre ringene med «Reset», «Zero» og «Test» bruker navigatøren når han starter på en reise og stiller klokken så den viser riktig, dvs. i over­ ensstemmelse med den linje han befinner seg på idet reisen starter. Det blir omtrent som å stille klokken så den viser riktig tid. Hvert Decca-apparat har tre slike klokker, som hver har samme farge som de linjer den re­ presenterer. (Fig. 19.) Disse tre klokkene og kontrollklokken som de tre stilles etter, er samlet som på figuren, der man ser navigatøren i ferd med å lese av de klokkene som passer for det farvann skipet befinner seg i. På oversiktskartet, fig. 24, blir det «Rød» og «Purpur» klokke. Hva klokkene viser, står trykt under dem. Rod viser: Sone D — 9,60, og Purpur viser: Sone I — 70,30. Der disse to linjene skjærer hverandre, står så skipet, som også finnes avsatt på kartet. Mens Deccasystemet opererer med fasesammenligning av umodulerte lavfrekvente signaler, måler Loransystemet direkte tidsforskjellen på de signaler som er kommet inn. Som i Decca­ systemet er det også her to og to stasjoner som arbeider sammen. Signalene kommer inn som lysende streker på en skive. Den øverste streken representerer masterstasjonen ogr den underste Slaven.

Fig. 19. Deccainstrumentet montert ombord.

405

Fig. 20. Loransystemets hyperbler på et kart.

Fra begge stasjoner sendes det ut radiopulser med bestemte tidsintervaller. Når disse pulsene når vår mottager, gjor den lysende streken et lite utslag. Avstanden mellom pulsutslagene forteller så i hvilken stedlinje skipet befinner seg. Har vi tatt imot signaler fra to sett stasjoner og fått to stedlinjer, gjør vi på samme vis som ved Decca-systemet: Vi finner skipets plass der de to linjene krysser hverandre. Fig. 20 viser et system av Loranlinjer med en «Master» og to «Slaver». Linjene som på fig. 21 er trukket opp som svarte streker, viser seg på skiven som lysende striper. Det tredje system, som nyttes ganske mye, kalles «Consol»-fyr. Også her er det tre stasjoner som arbeider sammen, men de gir bare en linje som skipet kan stå i. Vi får altså retningen fra fyret — der skipet må stå — men ikke avstan­ den. Nå finnes det imidlertid Consol-fyr i mange land, og da de rekker ganske langt, bestemmer man nokså enkelt sin posisjon ved å kombinere peilinger fra to forskjellige fyr, som godt kan ligge i forskjellige land. I Norge har vi f. eks. et Consol-fyr på Jæren, som for mange farvann her hjemme kan kombineres med et tilsvarende fyr som ligger i Eire. Den eneste svakhet disse fyr har er at de har enkelte soner der de er lite brukbare, dvs. resultatene er høyst usikre. De tre antennemastene ligger i en rett linje, og langs denne linjen og i en sektor på to Fig. 21. M Mastersigsider av denne linjen gir de nal. S Slavesignal. ikke sikre resultater. T Tidsforskjell.

406

Bjarne Krum: Skipsnavigasjon og meteorologi

Fig. 22. Consolstasjonen på Obrestad på Jæren.

På fig. 22 over stasjonen på Jæren er sentralmasten avsatt. De to andre ligger på den rette linjen som er merket med 157° øverst og 337° nederst. Det er de to sektorene merket U som er av mindre god kvalitet, men vi ser at det er temmelig mye igjen av halvsirkelen. Som vi ser, er den brukbare delen av halvsir­ kelen delt inn i forholdsvis smale sektorer, 10 i alt. De er vekselvis merket med A og B. Fra fyret sendes radiosignaler som består av henholdsvis 60 prikker og 60 streker. Alle prik­ kene stråler ut i A-sektorene, og strekene i Bsektorene. Mens dette foregår, dreier hele syste­ met seg akkurat så mye som en sektorbredde. På fig. 23 er det hele tegnet opp skjematisk. Her skal vi tenke oss at det ikke er et radiofyr som sender signaler, men vi plaserer et kraftig lyspunkt i F. På en lang pappstrimmel som er delt opp i passende stykker, har vi så laget noen små hull. Hullene er runde i de delene som er merket med A, avlange og ligner streker i delene merket B. Nå løfter vi den opp og separerer A- og B-stykkene med skillevegger. Idet vi tenner lyset, dreier vi hele systemet en avdeling med urviseren. En person som da oppholdt seg i punktet 1, ville få se 60 streker, mens en som var i punktet 2, ville få se 60 prik­ ker. Flytter vi så til punktet 3, ville vi først få se 30 prikker fulgt av 30 streker. I punkt 4, som ligger litt skjevt, får vi først se 40 streker og deretter 20 prikker. Det er det samme som skjer når vi lytter i radio, bare med den forskjell at vi hører prikker og streker istedenfor å se dem. Begynner signa­ lene med prikker, må vedkommende oppholde seg i en prikksektor, mens han må være i en streksektor hvis signalene starter med streker.

I alt skulle vi høre 60 signaler, men det er sjelden. Det observatøren har å gjøre, er å lytte på stasjo­ nen idet den begynner å sende ut signalene. Han merker seg om de starter med prikker eller streker, idet han teller antallet av hvert. I alt skulle han få 60 signaler, men som oftest mangler det fra 4 til 6 av dem. Det antall som mangler, fordeles likt på de to typene. På kartet er det trukket opp linjer for hver 10. prikk eller strek, og da er det ikke så vanskelig å finne omtrent langs hvilken linje’man står. Man har bare å trekke en linje parallelt med en av dem som står på kartet. Når systemet har dreid seg en sektor, stopper det for å dreie seg momentant tilbake og be­ gynne på nytt igjen på samme vis. Før det starter, sendes det ut et kjenningssig­ nal, dernest et oppmerksomhetssignal for å varsko at nå starter det snart, og da må observa­ tøren være klar til å begynne å telle. Det finnes jo flere, både A- og B-sektorer, som han kan tenkes å stå i enten tellingen begynner med prikker eller streker. For å avgjøre hvilken sektor han befinner seg i, bestemmer han det ved hjelp av sitt bestikk (kurs og utseilt distanse). Er bestikket usikkert, muligens på grunn av overhendig vær som kan ha drevet skipet langt ut av kurs og dermed langt vekk fra bestikkets plass uten at navigatøren i øyeblikket er i stand til å avgjøre hvor stor feilen kan være, kan han nytte skipets egen radiopeilestasjon (se neste avsnitt) og foreta det vi kaller en grovpeiling. Ved hjelp av skipets peilestasjon bestemmer han omtrent hvilken retning skipet befinner seg i med hensyn på den Consol-stasjon han har brukt, og finner da med en gang ut hvilken sektor skipet i øyeblikket er i. Har han nyttet to Consol-fyr for å få det man kaller en «krysspeiling», er det tilstrekkelig å grovpeile det ene av dem. 3. 0

F Fig. 23. Skjematisk fremstilling av Consolfyrets virkemåte.

Elektronisk navigasjon

407

Radiopeileapparater Enda et instrument som er til stor hjelp for navigatøren når han skal bestemme skipets posisjon, spesielt når skipet nærmer seg land, er skipets radiopeileapparat. Som navnet antyder, brukes det td å ta peilinger med. Peiling er jo det samme som retning til et sted, og kan man bestemme retningen, helst til to steder på samme tid, så er dermed skipets plass bestemt, akkurat som ved astronomiske observasjoner. Når man skulle bestemme kurser, var utgangs­ punktet retningen, Nord. Utgangspunktet for radiopeilingene, dvs. null (O)-punktet er skipets egen baug. Med radiopeileapparatet kan man bestemme i hvilken retning et radiofyr på land befinner seg i forhold til skipets egen lengde­ retning. Rett forut er da peilingen 0 (null), tvers om styrbord (høyre side) er peilingen 90°. Har vi fyret rett akter, blir peilingen 180°. Den blir 270° idet fyret er tvers om babord, skipets venstre side. Som nesten alle andre apparater viser heller ikke dette apparat alltid riktig i alle retninger. Normalt pleier de å være riktige i de fire hovedretninger 0° - 90° - 1803 og 2.0°. I retninger mellom disse kan til sine tider avvikel­ sen bli ganske stor, men den er lett å bestemme, og vet man bare hvor stor feilen er, er det enkelt å regne ut hva den korrekte peiling skal være når man har peilet et eller annet fyr. Vanligvis er rettelsene pluss mellom 0° - 903 og 180“ - 270° og minus mellom 90° - 180° og 270° - 360°. Dette kommer av at radiobølger som kommer skrått inn mot skipet, blir bøyd av i skipets lengderetning. Vi skjelner gjerne mellom to typer av peileapparater: peilete med fast antenne og peilete med dreibar antenne. Det siste er nok det enkleste å forklare, så vi skal ta for oss et peileapparat med dreibar antenne. De som er i besittelse av en reiseradio, vil ganske sikkert ha lagt merke til at når de har radioen med på tur — eller hjemme, for den saks skyld — uten antenne, lønner det seg å snu litt på den hvis det viser seg at stasjonen man lytter på, er svak. Ved å forsøke seg frem finner man ut at stasjonen er best ved en bestemt

stilling av radioen. Dreies radioen 90° på denne retning, kan det til og med hende at stasjonen blir helt borte. Dette benytter man seg av når man skal ta radiopeilinger. Det kalles å lytte på maksimum og minimum. Hva kommer så dette av? Jo, inne i radioen ligger en antenne, som ser ut som en ramme, omtrent som om man ville surre en hyssing rundt rammen på et maleri. Vi vikler en kobbertråd rundt et maleri og nytter den som antenne for et radioapparat. Vi holder maleriet i en skrue på toppen og be­ gynner å dreie det rundt. Hver gang maleriet viser retten eller vrangen mot radiostasjonen, forsvinner signalene, mens de kommer inn med full styrke når rammen peker mot stasjonen. Grunnen til dette skal vi ikke gå nærmere inn på, men dette fenomen benytter man seg av ved radiopeilinger. Nå viser det seg at det er lettere å bestemme retningen til stasjonen ved hjelp av rammens retning idet signalene blir borte, enn når de er på det sterkeste. Denne sektoren blir nemlig stor, fordi det er vanskelig å si akkurat når signalene er sterkest, men det er ikke så vanskelig å bestemme rammens stilling akkurat i det øyeblikk signalene blir borte, altså mini­ mum. Har man så til rammen festet en viser og lar denne dreie over en skive som er inndelt i grader og plasert slik at 0° faller overett med rett forut, 180° med rett akterut osv., så finnex man retningen til radiofyret ganske enkelt ved å lese av det gradantall som ligger under viseren da signalene forsvant. Den peilingen vi fikk tak i på dette vis, må så rettes for eventuell lokal feil, og vi får det vi kaller for rettet peiling. Denne rettede peilingen adderer vi så til skipets rettvisende kurs og får ut fyrets rettvisende retning, som kan settes ut i kartet og som gir oss en stedlinje. Er peilingene tatt på lang avstand og ligger i øst-vestlig retning på litt høye bredder, må de nok rettes litt før de settes av på kartet. Radiobølgene forplanter seg nemlig langs storsirkelen og kan derfor ikke settes direkte av på et Merkatorkart. Det er det samme forhold som det ble fortalt om under avsnittet om kurser i kartet (storsirkel og loksodrom).

Radar Om radar har det vært skrevet mye i den senere tid, både godt og ondt, men at det er et strålende apparat, som, hvis det nyttes på en

fornuftig måte, er et uvurderlig hjelpemiddel, er det ikke tvil om. Ved hjelp av dette instrument kan man se like godt enten det er svarte natten

408

Bjarne Krum: Skipsnavigasjon og meteorologi

eller tåke så tykk at man ikke kan se så langt som til sin egen nesetipp. En radar er ikke som et vanlig fotografiapparat. Hvis man fotogra­ ferer et hus, får man jo se både vinduer, gardiner og blomsterpottene som står i vinduene. Radaren derimot gir bare opplysning om at der hvor huset ligger, finnes det en fast materie som man — hvis det er tåke — helst ikke bor løpe rett mot om man vil unngå å få slått nesen flat. Hvordan virker så en radar? Ja, radaren er en så innviklet affære at en inngående forklaring av den alene ville trenge en tykk bok. Vi tar fantasien til hjelp og skal forklare virkemåten ved hjelp av enkle midler. Vi tar oss en tur ut på vannet til et sted der det ligger noen øyer, med brygger og kanskje noen båter til ankers, i det hele tatt en del faste punkter. V i har forsynt oss med en stor kurv med tennisballer, og stopper ute mellom alle disse punkter. Til det vi nå skal foreta oss, kunne vi nok trenge en del hjelp, men vi forutsetter at vi greier det alene. Vi tar ballene og kaster en og en om gangen. Vi går ut fra at den kommer tilbake til oss hvis den treffer et fast mål, og noterer hvor lang tid den behøvde frem og tilbake. Mens vi kaster, dreier vi oss stadig langsomt rundt og får på dette vis dekket hele horisonten med baller. Når vi så har dreid oss en gang rundt og ved hjelp av tiden for hver enkelt ball som kom tilbake har regnet ut hvor langt den måtte gå før den traff sitt mål, ville vi ved hjelp av disse avstandene kunne tegne opp konturene av alle de faste gjen­ standene rundt oss. Fra de retningene der ingen ball returnerte, ville vi da ha åpent hav. Omtrent noe lignende er det som virkelig fore­ går når man bruker et radarapparat. Forskjellen er bare at her går det så hurtig for seg at ballen kommer tilbake for apparatet får tid til å dreie seg nesten det aller minste. Radiobølgene for­ planter seg jo med en hastighet av 300.000.000 meter pr. sekund, og om et punkt lå noe slik som 150 meter borte, ville en bølge ikke tren­ ge mer enn «et mil­ liontedels sekund» på å fare frem og tilbake de 150 me­ terne. Radarapparatet Fig. 25. Navigasjonsoffiseren registrerer både betrakter radarbilledet.

retning og tid (dvs. avstand) og merker momen­ tant av gjenstanden som et lysende punkt på en sirkelrund glassflate. Denne glassflaten, som er flat, er toppen av en stor elektrisk pære som kalles «katodestrålerøret». Inne i dette røret, som er temmelig kostbart, finnes naturligvis mer enn det vi er vant til å se i en alminnelig lyspære, bl. a. er den flate toppen som bildet kommer frem på, innvendig forsynt med et fluoriserende belegg. Det lyser opp der hvor apparatet av­ setter punktetie sont betegner avstandene til de forskjellige punkter som har reflektert bølgene. For øvrig er glasskiven mørk. Når man bruker radarapparatet, må man derfor sørge for at ikke noe fremmed lys, f. eks. dagslys eller lyset fra andre kilder, blir så sterkt at man ikke kan se bildet på glassflaten. I alminnelighet har man et eget lite rom for mottageren, eller det finnes forheng som man kan trekke for så man får et lite mørkerom å stå i når man studerer radarbildet. Dette er jo av og til litt tungvint, så radaren er som oftest forsynt med en gummitrakt som nederst passer rundt glass-skiven og øverst er utformet så den passer for observatørens ansikt og slutter lystett til ansiktet. På fig. 25 ser vi en mann som står til rors og samtidig har anledning til fra tid til annen å ta en titt i apparatet for å kontrollere om det er noen hindring i veien for fartøyet. Apparatene er slik konstruert at man ved å snu på en bryter kan få dem til å dekke et større eller mindre areal av horisonten rundt skipet. På bildet som kommer frem, befinner eget skip seg alltid i bildets sentrum som en lysende flekk, og en lysende strek forteller i hvilken ret­ ning fartøyet stevner i forhold til bildet. På de neste figurer ser vi både hvordan selve radarbildet fortoner seg for observatøren, og hvordan bildet forandrer seg etter hvert som han ønsker et større eller mindre område dekket av radaren. På oversiktskartet, fig. 26, er avsatt de bøyene som skipet skal seile mellom, og på fig. 28 ser vi tydelig hvordan navigatøren ved hjelp av den lysende streken (skipets retning) har lagt sin kurs mellom de to første bøyer som angir inn­ seilingen til havnen. Når disse to bøyene er passert, vrir han skipet til den lysende streken faller mellom de to neste bøyer osv. til han er kommet frem dit han skal. Hele tiden mens skipet beveger seg, forandrer bildet seg, slik at det alltid dekker omgivelsene i den avstand som avstandsinnstilleren ønsker og alltid med skipet i sentrum av bildet. På fig. 28 vil det derfor se ut som om det er bøyene

Elektronisk navigasjon

Fig. 26. Virkelig situasjon et bestemt øyeblikk.

Fig. 27. Hva navigatøren ser. Avstandsbryter på 3 mil.

som nærmer seg skipet (den lysende prikken midt på bildet), men det tenker man i alminnelighet ikke over, for vi vet jo at det er skipet som be­ veger seg, og bøyene som ligger stille. I klarvær er det selvfølgelig ikke nødvendig å bruke radar, men er været usiktbart eller det er tykk tåke så man ikke kan se mer enn et par meter fram, forstår vel alle hva det vil si å ha et radarapparat å støtte seg til. Det gir like klare bilder enten det er dag, natt, klarvær eller tåke. Sterke regnbyger og snedrev kan svekke effektiviteten, men det vet navigatøren og tar hensyn til det ved bedømmelsen av det bilde han får. Figurene 27 og 28 gjengir det som obser­

4C9

Fig. 28. Hva navigatøren ser. Avstandsbryter på 1,2 mil.

vatøren ser hvis han har stilt avstandsbryteren på henholdsvis 3 og 1,2 mil. Det svarer til de arealer som ligger innenfor de to innerste sirklene på fig. 26 merket 3 Mile Range og 1,2 Mile Range. De fremmede navnene på flere av disse navigasjonsinstrumentene er kommet frem på samme vis som alle de andre merkelige forkortninger som nyttes på alt mulig nå for tiden. Radar er begynnelsesbokstavene i følgende ord: «ILldio Direction ylnd Rangefinder», «RA-D-A-R», som betyr: Radio retnings- og avstandsbestemmer. «Loran»: «LOng RAnge Navigation», «L0RA-N», betyr: Lang avstands navigasjon.

Ekkolodd og Asdic Alle disse instrumenter blir av navigatøren brukt til å bestemme skipets posisjon, men ingen av dem kan gi ham noe varsko om det var fare på ferde under havflaten i form av skjær, eller om han var kommet inn på for grunt vann. Dette skulle han jo se av kartet, naturligvis, men det kunne jo være bra å få et lite forhåndsvarsel om disse ting også. Naturligvis finnes det instrumenter som regi­ strerer slike ting, og som så å si alle skip er utstyrt med. Man kan ta avstandsbestemmelser både vertikalt, dybde, og horisontalt, avstand, til undervannshindringer. Instrumentet som be­ stemmer dybden, kalles for et Ekkolodd og avstandsbestemmeren for Asdic. De registrerer begge lydbølger som sendes ut enten vertikalt eller horisontalt, og det er i vann som i luft: møter de en fast gjenstand, blir de reflektert, og man får et ekko. Hvis vi kjenner lydens hastighet i vann — den er ca. 1.500 meter

pr. sekund, og er jo forholdsvis beskjeden i for­ hold til radiobølgenes hastighet — er det forholdsvis enkelt å konstruere et apparat som kan registrere ekkoer fra havbunnen eller avstanden til nærmeste skjær eller land. I korte trekk skal vi nå forklare hvordan disse apparater virker. Naturligvis er det elektriske apparater, men de skal jo sende ut lydsignaler, og hvordan får man så det til? Mange har vel engang i tiden kommet for nær et elektrisk apparat som ikke var tilstrekkelig isolert, og har fått seg et støt. Antagelig har reaksjonen for de flestes vedkommende vært et ganske kraftig «au». Med andre ord elektrisk strøm omsatt til lyd. Det som foregikk, var jo bare at vi presset luft forbi stemmebåndene så luften begynte å vibrere, og vårt øre registrerte denne vibrasjon som en lyd. I loddeapparatene foregår noe av det samme. Enkelte av apparatene sender en kraftig strømimpuls gjennom en rekke tynne

410

Bjarne Krum: Skipsnavigasjon og meteorologi

Fig. 29. Ekkolodd.

nikkelplater, som er stablet oppå hverandre. Idet de får støtet, begynner de å vibrere hurtig, setter luften i hastig bevegelse og lager dermed en kraftig lydbølge akkurat som et menneske som får støt. Forskjellen er bare at disse bølgene har så høyt svingetall at det skal et godt øre til for å høre dem. Når lydbølgene er reflektert og kommer til­ bake til skipet, må de atter gjøres om til elek­ triske impulser. Intet er da vel mer naturlig enn å tenke som så: «Kan et elektrisk støt lage en lyd, så må vel også lyd kunne lage elektrisk støt». Og det er nettopp det lyden gjør. Den treffer et annet eller det samme sett av nikkelplater og setter dem i svingninger, og svingningene om­ setter dette til en strømimpuls, som går tilbake til apparatet. Fig. 29—30 viser et apparat som brukes til å måle dybder med. Ekkoene fra havbunnen eller andre hindringer avsettes på et papir, og ved hjelp av en fast montert skala leses dybden direkte av ved den mørke siksakstreken. Apparatet arbeider på følgende vis: I fronten av apparatet ser vi et papir. Dette ligger rullet opp på en valse som ikke er synlig.

Når apparatet settes i gang, trekkes papiret ovenfra og nedover med en bestemt hastighet. Bak papirets øverste del ligger en bred forniklet metallplate, og selve papiret, som er gjort ledende ved hjelp av en kjemisk væske, blir mørkt hvis det utsettes for elektrisk strømgjennomgang. Fig. 30 viser den mekaniske delen tatt ut av apparatet. Den elektriske delen er skjematisert over. På toppen ser vi armen som ved start begynner å rotere, og som fører en metallstift over papiret fra venstre mot høyre. På papirets venstre side ser vi en lang mørk strek som representerer 0 (null)-linjen. Fra denne linjen er det dybdene skal måles, og den viser det punkt under skipet der senderen og mottageren står. På ekkogrammet får vi altså den frie vanndybde under skipet, da apparatene som oftest står montert helt nede i bunnen. Når pennen på sin vandring rundt kommer til det punkt der nullstreken er, gir senderen en elektrisk impuls til svingeren i bunnen og til pennen. Svingeren omsetter impulsen til lyd­ bølger, som farer av gårde mot havbunnen, mens pennen avmerker sin impuls som et mørkt punkt på papiret. Når så lydbølgene kommer tilbake til senderen, som i dette apparat også virker som mottager, blir de av denne formet om til en elektrisk im­ puls igjen, som etter å ha passert en forsterker går til pennen som i mellomtiden er kommet et

Fig. 30. Innmaten løftet ut for servise.

Elektronisk navigasjon

411

Fig. 31. Utsnitt av et ekkogram tatt av en fiskebåt.

stykke bortover papiret. Idet den forsterkede impuls når pennen, slår strømmen gjennom papiret til metallplaten, og der strømmen slår igjennom, får vi et lite mørkt punkt. Pennen går nå videre rundt på baksiden, kommer frem og passerer nullinjen, det samme gjentar seg, og vi får et nytt punkt. Hele tiden har papiret beveget seg ganske langsomt, så punkt nummer to kom­ mer like ved siden av det første. Fortsetter apparatet å gå, får vi til slutt frem en sammen­ hengende mørk linje som gir oss dybdene under skipets bunn etter hvert som skipet beveger seg fram over havbunnen. På ekkogrammet (fig. 31) ser vi tydelig to ekko, og altså to bunner. Det kommer av at lyden går så fort at den får tid til å gå fra skipet ned til havbunnen opp til skipet og atter ned til

bunnen og opp igjen før pennen har gått en gang over papiret. Den skrått fallende skyggen under 0-linjen ved bokstav A er en snurpenot som senkes ned, ved B er nota i stilling og snurpet sammen. Vi har nå fått greie på hvor langt det var ned til havbunnen, men vi skulle jo også gjerne ha bestemt hvor «langt» det er til nærmeste skjær eller annen hindring. Vi kan da så å si bruke det samme apparatet, bare med den forskjell at vi vrir senderen slik at den sender lydbølgene horisontalt istedenfor vertikalt. På papiret får man så avtegnet den horisontale avstand. Appa­ ratet skifter da navn, istedenfor ekkolodd snak­ ker vi om «Asdic», men prinsippet er altså det samme.

Gyrokompass Det siste instrumentet som vi skal komme inn på her, er gyrokompasset. Noen nærmere for­ klaring av dets virkemåte vil føre for langt, det kan bare nevnes at det er et mekanisk kompass,

som viser så noenlunde geografisk nord-syd. Av­ vikelsen fra denne retning varierer litt med skipenes fart og den bredde de befinner seg på, men er matematisk regnet ut og blir tatt hensyn

412

Bjarne Krum: Skipsnavigasjon og meteorologi

til. Gyrokompasset gjør jo hele utregningen av kurser adskillig enklere enn magnetkompasset, da både misvisning og deviasjon er eliminert. Etter å ha lest om alle de hjelpemidler som navigatørene har til rådighet, tenker vel de fleste at det må være en forholdsvis enkel sak å finne trygt frem over havet. Det er det for så vidt også, men det er der som overalt ellers, at man sjelden er alene, vi kan jo bare se på alle de rare situa­ sjoner som kan inntreffe i trafikken på landet eller i byens gater, der det til og med er satt opp trafikklys som skulle sikre en mot kollisjoner. Enten klikker de mekaniske hjelpemidlene, eller mennesket bedømmer situasjonen feil, med det resultat for skipenes vedkommende at de enten går på grunn eller kan kollidere med et annet skip. Det samme skjer jo i luften, på landjorden — ja, overalt der det er trafikk, og er ikke noe spesielt for skipsfarten. Alle skip er jo ikke ut­ styrt med alle disse instrumenter, men radar, gy­ rokompass, radiopeileapparat og ekkolodd er nokså alminnelig. Dessuten finnes jo ombord i

ethvert skip en eller annen radiomottager, så de skulle også kunne nytte Consol-fyrene. Det blir derfor en ganske stor vesensforskjell på den utdannelsen en navigatør av i dag må ha sammenlignet med før siste verdenskrig. Han må være inne i virkemåten av de elektroniske appa­ rater og til en viss grad kunne rette på dem om de skulle klikke. Apparatene er jo temmelig kompli­ serte, og det skal helst en fagmann til om noe vesentlig slår klikk. De mest forekommende småfeil må imidlertid naVigatøren regne med å ordne opp med selv, for når skipet befinner seg ute på havet, er han henvist til å hjelpe seg selv inntil skipet kommer i havn. Det er nokså alminnelig at enkelte skoler eller klasser adopterer et eller annet skip og på den måten kanskje får anledning til å komme ombord og se på alt dette, men for dem som ikke har vært ombord i et skip, er det vel verd å gjøre et forsøk på å få se et. Folkene ombord synes oftest at det bare er hyggelig, men naturligvis må man ha ordnet besøket på forhånd.

METEOROLOGI Luften Når ordet meteorologi nevnes, tenker vel de fleste på værvarsling. Og det er ganske riktig at det er meteorologene som gir oss værvarslene for dagen, o Meteorologi betyr egentlig læren om den atmosfære (luften) som omgir jorden. En gren av meteorologien kaller vi «værvarslingen», og denne gren beskjeftiger seg med alle forandringer i luftlaget som har innflytelse på det vi kaller været. Det er med været som med så å si alt her på jorden, det er avhengig av solen og den varme som den sender til jorden. Forandringer i været er en direkte følge av varierende opp­ varming på de forskjellige steder av jordover­ flaten, i forbindelse med den ujevne fordeling av hav og landområder, og høydevariasjoner i disse landområdene. Høydevariasjonene er jo ganske

små i forhold til jordens størrelse, men kan likevel influere ganske sterkt på værtypen over en * kelte lokale strøk. Hva kommer det nå av at oppvarmingen kan bli så forskjellig på steder som kanskje ligger for­ holdsvis nær hverandre ? Solens varmestråler må jo gå gjennom hele luftlaget før de når jordover­ flaten. Hvis luftlaget var av samme slag overalt, ville alle steder som lå på samme bredde motta samme kvantum varme i løpet av like lange tids­ rom. Det gjør de strengt tatt også, men det er ikke alltid at solstrålene overalt greier å trenge gjennom luftlaget og helt ned til jordens over­ flate. Dette skyldes dels støvpartikler og gassarter, men for den alt overveiende del mengden av vanndamp som luften i øyeblikket inneholder.

Vanndamp i luften Vanndampmengden kan variere ganske be­ traktelig, den er naturligvis størst i nærheten av havstrøkene og minst inne i de store fastland.

Vanndampen virker som et filter og hindrer (hel­ digvis, får man si) at all solvarmen når ned til oss. Fordampning foregår ved alle temperaturer.

Meteorologi

Det spiller ingen rolle om det i øyeblikket er kuldegrader, fordampningen foregår likevel, bare ikke så hurtig. Luften over havet blir på dette vis tilført en mengde vanndamp, som altså er vann i dampform, og som luften selv, helt usyn­ lig. Den mengde vanndamp som luften kan inne­ holde, er helt og holdent avhengig av luftens temperatur. Varm luft på ca. 30° Celsius kan inneholde maksimum ca. 30 gram vanndamp pr. m3, mens luft av 0° Celsius ikke kan ta opp mer enn snaue 5 gram pr. m3. Skulle luft av 30c over havet, som har fått maksimum vanndampinnhold, bli avkjølt, må den kvitte seg med den overskytende del av vanndampen. Dette foregår ved det vi kaller kondensasjon, dvs. vanndampen går over til vann igjen i form av ørsmå dråper. Blir samlingen av slike dråper stor, smelter kanskje flere av dem sammen til større dråper. De blir så tunge at de ikke kan holde seg svevende lenger, men faller ned på jorden i form av regn. Slik kondensasjon av vanndamp gjør at vi kan se vanninnholdet i lutten. Såsnart dampen er gått over til vann igjen og har samlet seg, danner den det vi kaller skyer. Skyer er altså ikke annet enn kondensert vanndamp. Solstrålene kan ikke trenge gjennom disse skyene, og det blir kjølig under dem. Bare tenk hvordan det føles om sommeren når man bader. Kommer det en sky og dekker for solen, føles det øyeblikkelig kjøligere. Blir skylaget av større utstrekning, kan større deler av jordoverflaten bh berøvet den varmen den egentlig skulle ha fra solen, og temperaturen faller. En annen ting som har stor innvirkning på luftsirkulasjonen, er at de forskjellige legemer trenger å få tilført så vidt forskjellig mengde varme for selv å bli oppvarmet et visst antall grader. Faste legemer blir gjerne forholdsvis fort oppvarmet, mens vann trenger store varmemengder for å stige i temperatur. Om sommeren når vi bader f. eks. merker vi det særs godt. På land er det godt og varmt, mens det kan være forholdsvis kjolig i vannet, enda vannet — som jo befinner seg på samme sted — har mottatt akkurat samme var­ memengder fra solen som jordsmonnet. Men i - motsetning til jordsmonnet og stein, har vannet en egen evne til å holde på den varmen det engang har mottatt. Dette merker man lett hvis man bader om kvelden etter at solen er gått ned. Da er det deilig og varmt i vannet, mens det er kaldt å komme på land igjen. Da luften ikke blir særlig oppvarmet av selve solstrålene, men for den alt overveiende del får

413

varme fra det underlag den ligger over, forstår vi at luften blir varmere over land enn over havet om dagen, mens den derimot om natten, når solen ikke er oppe, blir varmere over havet enn over land. Så har vi dessuten den eiendommelige ting at luftens temperatur varierer hvis luften stiger eller synker. Dette kalles «adiabatisk» oppvarmning og avkjøling. Alle som har pumpet opp en sykkel­ slange, vil ha lagt merke til at pumpen blir varm, spesielt nederst, nærmest slangen. Grunnen til dette er ikke annet enn at luftens temperatur stiger når den blir trykket sammen, men faller hvis den får anledning til å utvide seg. Pumper vi altså luft inn i slangen på en sykkel, vil luften inne i slangen være varmere enn den som er på utsiden. Slipper vi den ut igjen, vil den atter få sin opprinnelige temperatur. Slik avkjøling og oppvarming er forskjellig for tørr og fuktig luft. Tenker vi oss at tørr luft drives til værs, så den kommer under mindre trykk, vil den avta med ca. 1° C for hver 100 meter den stiger, og omvendt øke med 1° C for hver grad den synker ned. Er det derimot fuktig luft som stiger til værs, vil vanndampen når luften er blitt tilstrekkelig avkjølt, begynne å kondensere og gå over til vanndråper. All varmen som i sin tid gikk med til å fordampe dette vannet, blir da frigjort og vil varme opp luften omkring. Temperaturfallet for fuktig luft blir derfor ikke mer enn ca. 1/2° C for hver 100 m den stiger til værs. Fuktig luft kan transportere enorme varmemengder til værs. Fuktig luft har også av denne grunn lett for å bli det som meteorologene kaller «instabil». Begynner den først å stige, kan den for det første nå ganske høyt, og for det annet kan det gå temmelig voldsomt for seg. Vertikale luftstrømninger er også som oftest kraftigere enn horisontale. Det er jo også dette som er grunnen til at et seilfly kan stige uten motorkraft. Det rett og slett henger på de oppadgående luftstrømmene. Har luften over større strekninger samme tem­ peratur, vil den holde seg noenlunde i ro, hverken stige opp eller synke ned. Man sier da at luften er stabil. Blir den oppvarmet så den stiger til værs, eller avkjølt så den synker ned, kalles den instabil. Det er dette som er årsaken til uroen i luften her nede hos oss. Stabil luft gir stabilt vær, mens ustabil luft gir urolige værforhold.

414

Bjarne Krum: Skipsnavigasjon og meteorologi

Luftsirulasjonen Luftmassene rundt jorden er delt inn i soner og får navn etter det sted de for det vesentlige befinner seg. Således kalles den luften som finnes fra Ekvatorstrøkene og til ca. 30° nord og syd for Ek­ vator, for ekvatorluft. I områdene mellom 30° og ca. 60° kalles luften tropeluft. Fra denne bredde og et stykke mot polene kommer så polarluften, som endelig får navnet arktisk luft over selve polområdet. Disse forskjellige luftbelter som ligger rundt hele jorden, må ikke opp­ fattes som absolutte og begrensede. De varierer stadig både i beliggenhet og retning. Men i store trekk ser det noenlunde slik ut. Rundt ekvatorstrøkene er jo temperaturen ganske høy. Her vil da også luften bli varmet opp i ganske sterk grad. Den utvides, blir lett og stiger til værs. Ny luft strømmer til fra nord og syd, for i tur og orden å bli varmet opp og stige tilværs. Den luften som stiger til værs, må jo et sted gjøre av seg, og da den ikke kan komme utenfor jordens grep på den, beveger den seg henholdsvis nord- og syd­ over. Når den er kommet tilstrekkelig høyt opp, avkjøles den, blir tyngre og faller ned igjen på ca. 30c nord og syd bredde. Følgen av dette blir at det rundt Ekvatorstrøkene blir konstant lav­ trykk, mens det på 30-graden vil finnes et per­ manent høytrykk. Av den luften som dalte ned ved 30-gradene, går nå en del tilbake til ekvatorstrøkene for å fylle ut tomrommet der, men en del går nordover mot 60-gradene. Mens den stryker langs jord­ overflaten på sin vei mot 60-gradene, blir den atter varmet opp. Over polstrokene ligger kald luft. Denne vil også renne mot 60-gradene og varmes opp underveis, slik at luften her blir for­ holdsvis varm og lett og stiger tilværs. På 60° får vi igjen et lavtrykk. Luften som går til værs her, deler seg igjen, noe går mot 30-gradene og noe mot polstrokene for å fylle ut tomrommene som er oppstått. Disse høytrykk som ligger slik rundt jorden, er ikke absolutt stasjonære, men kan bolge nord- eller sydover og blir ofte knepet av, akku­ rat som en pølsemaker snorer av mellom de for­ skjellige pølser. Noen kan bli lange som middagspølser, mens andre til sine tider kan svinne inn til de rene knakkpølser — ja, kanskje forsvinne helt for en tid om gangen. Vi er jo mest interessert i luften når den be­ veger seg langs jordoverflaten, og vi skal derfor

se litt på hvordan bevegelsen er når den her nede skifter plass fra en bredde til en annen. La oss først ta den luften som beveger seg fra ca. 30' nord og sydover mot Ekvator. Den går ikke korteste vei, sett fra nord går den i sydvest­ lig retning. Sett fra syd kommer den altså fra nord-ost, og kalles derfor også Nordostpassaten. Den blåser méd omfrentlig denne retning tvers over det nordlige Atlanterhav og Stillehav, med enkelte variasjoner for de forskjellige årstider, slik at den til sine tider går over til å bli ren østavind. Hvorfor blåser den ikke rett ned mot Ekvator, slik at vi på nord bredde får nordavind og på syd bredde sønnavind? Her spiller noe vi kaller «jordrotasjonens avbøyende kraft» inn. A i skal nå prøve å se hva det er som foregår. La oss si at vi plaserer oss på nordpolen og ser mot Ekvator. (Fig. 32.) For enkelhets skyld går vi ut fra at jorden er flat, slik at vi kan se helt ned til Ekvator. Langt ute i verdensrommet ser vi en klar stjerne. Vi plaserer en blink på selve Ekvator og har en diger sneball klar til å kaste mot blin­ ken akkurat idet den passerer stjernen. Hvis sne-

Fig. 32. Jordrotasjonens avbøyende virkning.

Meteorologi Arktisk luft

Fig. 33. Den store luftsirkulasjen skjematisk fremstillet.

ballen er riktig stor, varer den helt til den kom­ mer til Ekvator. Den vil naturligvis smelte en del underveis, det drypper dråper av den, og sporene etter dråpene vil fortelle hvordan sne­ ballen har beveget seg i forhold til jordoverflaten. Når vi står i polpunktet og ser jorden dreie seg, viser det seg at den går motsatt vei av urviserne. Idet skiven og stjernen står overett, kaster vi mot skiven, dvs. i samme retning som stjernen står. Stjernen står stille, men jorden dreier seg, og innen sneballen har nådd Ekvator, har denne dreid seg med skiven et godt stykke mot ur­ viseren. Dryppene etter sneballen viser tydelig hvordan sneballen, som hele tiden har beveget seg rett mot stjernen, tydelig har bøyd av til høyre hele tiden i forhold til jordoverflaten, fordi denne i mellomtiden har beveget seg mot urviserne.

Passater Fra høytrykkene på ca. 30 nord og syd skulle altså vinden egentlig gått korteste vei til lav­ trykket på Ekvator og til lavtrykkene på ca. 60° nord og syd. Vi skulle med andre ord ha fått noen belter med ren nordavind og sønnavind. Men på grunn av jordrotasjonens avbøyende kraft blir disse retningene bøyd av, slik at all vind på nord bredde blir bøyd av til høyre når vi ser i vindens retning, enten den går sydover eller nordover. På syd bredde blir vinden derimot bøyd av til venstre. Derved får vi de typiske nordostpassater på nord, og sydostpassater på syd bredde mellom 30-gradene og nedover mot Ekvator, mens luften som beveger seg fra 30-gradene og mot 60gradene på nord og syd bredde, vil bøye av østover, og vi får de typiske «vestavindstrøk». Luften som stiger fra polarstrøkene og nedover mot 60-gradene, vil da både her nord og på syd bredde få karakter av mer eller mindre østavind. Hvis det ikke er hindringer i form av land­ masser i veien for vinden, vil den ifølge det vi

415

har nevnt, blåse temmelig stabilt. Dette gjelder spesielt for vestavindsbeltet på syd bredde om­ kring 40° og 50° syd. Her blåser det konstant hele året rundt og skifter bare litt nord- og syd­ over etter årstiden. Vindbeltet her kalles av engelskmennene «The Roaring Forties» (De brølende førti grader). Det var her det danske skoleskip «København» forsvant sporløst en julehelg. Vi har de samme vestavinder i Nord-Atlanteren også, men ikke i så utpreget grad. Figur 33 gir i store trekk en oversikt over hvordan vindene blåser langs jordoverflaten. Det er naturligvis også steder der vinden ikke følger disse ruter, f. eks. Det indiske hav, som vi i det følgende skal fortelle litt om.

Monsuner (land- og sjøbris) Vindene i det nordlige indiske hav er noe utenom det vanlige. Her gjør det store asiatiske fastlandsmassiv seg sterkt gjeldende og bryter den alminnelige rytme. På grunn av den intense opphetning av land­ områdene om sommeren blir luften, som får sin temperatur fra underlaget, også opphetet, blir lett og stiger til værs. Ny luft strømmer til for å fylle ut underskuddet, og denne luften kommer fra havområdet, som ligger rundt landet. På dette vis blir luften i Det indiske hav ført inn over land. Ute i havet, der luften kommer sønnenfra, bøyer den av til høyre, og de kraftige luftstrømmene som farer mot fastlandet, får retning fra sydvest. Denne vinden, som blåser i den varme årstid på nord bredde, har fått navn etter sin retning og kalles «sydvestmonsun». Om vinteren, når det asiatiske fastland blir sterkt avkjølt, blir luften tung og renner som en elv utfor fjellkjedene nedover India og ut over havet. Også denne luftstrømmen bøyes av til høyre og får retning fra nordost. Nå blåser det «nordostmonsun». Skiftet i disse vindene ligger omkring månedene april og oktober og er gjerne kraftigst midt i sesongene. I det sydlige indiske hav, altså syd for Ekva­ tor, er vindforholdene mer i overensstemmelse med de store luftsirkulasjonene. For øvrig er det også andre steder typiske lokale vinder, men det vil føre for langt å nevne alle. \ i får vesentlig holde oss til de større havområdene.

Sykloner Hittil er det helt enkelt gjort rede for hvordan man mener luften normalt beveger seg. Imidler­ tid forekommer det rett som det er ganske kraf-

416

Bjarne Krum: Skipsnavigasjon og meteorologi

tige uregelmessigheter. Disse oppstår for det meste i strøkene på begge sider av Ekvator, der opphetningen er voldsom og luften inneholder kolossale mengder fuktighet, men ikke nærmere Ekvator enn at jordrotasjonens avbøyende kraft gjør seg gjeldende. Den virker nemlig ikke i selve Ekvatorstrøkene. Så har vi strøkene rundt 60° i Nordatlanteren, som vi får mest føling med. Her møtes den varme, fuktige tropeluften som kommer nord­ over fra 30°, med den kalde polarluften fra nord, og det danner seg det vi kjenner så godt fra vær­ meldingene, nemlig en «front». Fronten står ikke vertikalt, men ligger som en kile av kaldluft under varmluften. Den kalde luften fra nord kiler seg under varmluften som kommer fra sør, og presser denne til værs. Stigningen er ikke mer enn snaue 2 meter på 100 meter. Langs denne fronten glir nå den varme vesta­ vinden østover, mens den kalde polarluften siger vestover. Men lenge greier ikke denne fronten å holde seg slik i ro. Før eller siden slår den en liten bukt på seg, og da får vi begynnelsen til det som kalles syklon i den tempererte sone. Den varme luften vil trenge inn i den kalde, og det danner seg et lavtrykk i kilens spiss. Den øvrige varmluft følger etter så kilen stadig blir større og større. Kaldluften må vike unna rundt kilen, og på grunn av jordrotasjonens av­ bøyende kraft med hjelp av friksjonen mot jor­ den blir det nå satt i gang en hvirvelbevegelse som har fått navnet «syklon». Der varmluften trenger frem i forkant av syklonen, får vi en varmfront, mens vi får en kaldfront der hvor den kalde luften treffer syklonen på baksiden. Foran varmfronten finner vi «det tilhørende nedbørområde», og under og bak kaldfronten et tilsvarende men mindre nedborområde. Syklonen beveger seg normalt langs grense­ linjen mellom den varme sydlige og den kalde nordlige luftstrømmen, men blir som oftest diri­ gert av høy- og lavtrykkene omkring, slik at den kan ta nærsagt alle mulige kurser, bortsett fra å gå baklengs. Normalruten blir da i Nord­ atlanteren en ostnordostlig retning.

Fi .34. En temperert syklon dannes.

Varm luft

Kald luft iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii

AS

r?_

*ald luft

Fig. 35. Fullt utviklet temperert syklon. Øverst og nederst vertikale snitt A—A og B—B. I midten horisontalt snitt ved havflaten.

Figurene viser hvordan en syklon begynner å danne seg. De to luftmassene glir først rolig langs hverandre, men så begynner varmluften å trykke en kile inn i kaldluften, og syklonen er under dannelse. Fig. 35 er J. Bjerknes’ illustrasjon av en idealsyklon med to vertikale snitt A—A og B—B, som viser skyformasjonen og nedbørsområdene. Bokstavene over skyene har følgende betyd­ ning: NS: CU: AS: CS: Cl:

Nimbostratus. Cumulus. Altostratus. Cirrostratus. Cirrus.

Lag av regnskyer. (Forholdsvis lave Haugskyer (Såter). skyer). Lagskyer. (Mellomhøye skyer) Slørskyer av større utstrekning. Fjærskyer. (Høye skyer).

Legg særlig merke til fasongen på de siste, som har den karakteristiske oppbøyde fasongen forut, som ligner mest på meiene under en slede. De kalles også ofte for meiskyer, og er typiske opptrekkskyer, som varsler at det er et eller annet i gjære. Syklonene i den tropiske sone dannes på et litt annet vis. Forutsetningen for at det skal danne seg en syklon her, er at et sted er blitt kraftig oppvarmet, og at luften inneholder tilstrekkelige mengder med vanndamp som kan gi fra seg ekstra varme etter hvert som luften stiger til

417

Meteorologi

værs og vanndampen blir kondensert på grunn av avkjølingen. Er disse betingelser tilstede og luften begynner å stige oppover, begynner øyeblikkelig jordrotasjonens avboyende kraft sammen med friksjonen langs overflaten å gjøre seg gjeldende så luften som strømmer til, får en roterende bevegelse. Bevegelsen her i tropene er mer typisk sirkelformet enn i den tempererte sone.

Når syklonen først er dannet, begynner bele systemet å bevege seg langsomt vestover med en tendens til å dreie, først svakt, siden hurtigere nordover, idet jordrotasjonens avbøyende kraft virker inn på hele systemet. Etter hvert øker hastigheten og kommer opp i ca. 10 til 15 nautiske mil pr. time. Hastigheten i banen for syklonen i den tempererte sone kan variere helt fra stillestående til opp imot 50 n. m. pr. time.

Værvarsling Hvordan blir de meteorologiske stasjonene i stand til å sende ut værvarsler for kortere eller lengre tidsrom ? Værvarslingen er internasjonal, og de forskjel­ lige land arbeider sammen og sender — over radio — ut alle de opplysninger som værvarslingsfolkene trenger. Alle opplysningene sendes i kode på sammenhengende fem og fem tall, etter et bestemt system som i alt vesentlig er utarbei­ det av norske meteorologer. Rundt omkring i hvert land er det en mengde steder som måler alle de data som trengs, tempe­ ratur, vind, styrke, nedbør, barometerstanden, skydekket, osv. Alle disse data sendes til bestemte tider inn til samlestasjonene, i Norge til Meteorologisk Insti­ tutt i Oslo, Bergen og Tromsø. På disse stasjonene sitter det radiotelegrafister som sender våre data ut i verden, samtidig som andre samler opp meldinger fra utenverdenen og enkelte skip, som også sender regelmessige opplysninger om vær­ forholdene der de i øyeblikket befinner seg. Alt dette blir til mange og lange ark med ende­ løse kolonner av tall, der hver stasjon som sendte inn melding, har sitt eget kodenum­ mer. Tallkolonnene overlates til karttegnerne, som setter alle opplysningene, som kalles «Metter», ned på et kart etter bestemte regler. For en uinnvidd ser det hele ut som et eneste virvar av bitte små ringer oversådd med en mengde tall og tegn i periferien, men alle tall står på bestemte plasser og har sin bestemte betydning. Nedenfor ser vi hvordan en mette sendt fra et skip omtrent ser ut. De forskjellige tegn og tall har følgende betydning: 27 — Teknikk I

Ukedag fra I—7.............................................................. Jordkvadrant ................................................................... Skipets bredde på hele og tiendedeler (56,3c) .........

Skipets lengde (37,4° vest) ...........................................

Greenwich middeltid ......................................................

Posisjonsring med samlet skydekke ..........................

2 O'

Vindens retning på hele 10° ......................................... \ & IS Vindens styrke etter Beaufortskalaen........................ { co

bo

Horisontal synsvidde...................................................... i

00

T _ ,, I hele og tiendedels millibar............... ’ Lufttrykket. ° _ f Tusener og hundrer er sløytet. Lufttemperatur i Celsius eller Fahrenheit ............... {

m

•

•J

Været ved observasjonstiden ....................................... Været siden forrige observasjon...................................

o co

Denne gruppe nyttes lite, men tegnene:

Cl ’ Cm

°g

Ch betegner

henholdsvis:

Lave - mellomhoye og høye skyer.

Skipets kurs med tall fra 0—8..................................... Skipets omtrentlige fart med tall fra 0—9............... 0—4, synkende, 5—9 stigende barometer ............... Barometervariasjon i hele og tiendedeler.................

r ° 5Z g X

q < C'

Meteorologene trekker opp linjer mellom alle steder som har samme trykk. Han lar linjene passere over steder som har 5 millibars trykk­ forskjell, altså f. eks. 900 mb., 1000 mb., 1005 mb. osv. Disse linjene kalles «isobarer» eller liketrykkslinjer. Når linjene er trukket opp, ser han med en gang hvor det høye og det lave trykk ligger, og vet da også i hvilken retning luftmasse-

418

Bjarne Krum: Skipsnavigasjon og meteorologi

ne vil bevege seg. Ligger isobarene tett, blir det sterk vind, ligger de langt fra hverandre, blir vinden moderat. Det er på samme vis som høydekåtene i et kart. Ligger disse tett, er det bratt terreng, er det stor avstand mellom dem, er terrenget slakt. Akkurat som vann alltid vil renne fra et høyt nivå mot et lavere, vil også luften bevege seg fra et høytrykk mot lavtrykket for å forsøke å jevne det hele ut. Luften tar imidlertid ikke den korteste veien, fordi jordrotasjonens avbøyende kraft og friksjo­ nen mot underlaget vil ha et ord med i laget. Egentlig skulle altså vinden blåse fra høytrykket og direkte inn i lavtrykket perpendikulært på isobarene, men de to faktorer som er nevnt ovenfor, arbeider så på sitt vis inntil vindens retning til slutt nesten blir langs isobarene med en liten skråvinkel inn mot lavtrykket. Derved oppstår det en runddans rundt lavtrykket, som får navnet «syklon». Av høy- og lavtrykkene som ligger rundt, og av de oppgitte barometertendenser kan så meteorologene omtrent forutsi hvilken vei syklonen vil bevege seg, og med hvilken fart den går. På grunnlag av dette er de i stand til å sende ut sine værvarsler. En og annen gang hender det jo at værvarslene ikke slår til, og folk er da snare til å lufte sin mening om meteorologenes feilaktige syn på været. Hvis imidlertid luften var like stabil som jordsmonnet, så ville vi neppe få en eneste feil­ aktig melding. Men luften er jo temmelig beve­ gelig, og etter værmeldingen — som ganske sik­ kert ville holde hvis alt fortsatt ville bli som det var den gang meldingen ble sendt ut — kan alt forandre seg med utrolig hastighet. Høytrykk og lavtrykk kan nemlig jevne seg ut eller begynne å bevege seg til andre strøk og dermed kullkaste hele beregningen. Det blir her som med så mangt annet i livet. En skipsreder satser på oppgående frakter for tankflåten, en annen for stykkgodsflåten. Kan hende regner begge riktig, kan hende tar begge feil, eller den ene tippet riktig og den annen feil. Nei, været er en uberegnelig faktor, som ikke lar seg beregne med sikkerhet i lengre tidsrom fremover. I det store og hele må vi vel si at våre værmeldinger er temmelig riktige. Vi kan stole på dem, bortsett fra de få gangene naturen selv spiller meteorologene enkelte puss. Vi kan jo selv forsøke å spå sommerens vær etter følgende gamle ordtak som hentyder til løvsprettingen: Ask før eik gir steik, mens eik før ask gir plask.

Fig. 36. Stasjonsring som viser hvor de forskjellige metter skal plaseres.

For sjøens folk * er værvarslingen så å si blitt en nødvendighet. Når en reise skal planlegges, studerer man først alle tilgjengelige data om vedkommende farvann, hvis man ikke kjenner det fra tidligere reiser. Til dette bruk har vi seilbeskrivelser over alle farvann, og dessuten de ypperlige amerikanske «Pilot-charts» over de forskjellige havstrøk i hendig format, som gir så å si alle ønskelige data. Det blir gitt ut kart for hver av årets måneder for hvert år. De kan kjøpes for en billig penge og sendes gratis til de fartøyer som selv sender inn opplysninger om ting som kan tenkes å ha interesse for skips­ farten på havet. Men dette er ikke nok for den seilende offiser. I seilbeskrivelsene eller Pilotchartene kan man selvsagt ikke spå noe om værforandringer som plutselig kan dukke opp. De kan bare gi normale tilstander og eventuelle avvikelser som man må passe opp for. Det er og blir værvarslingen som navigatøren til slutt må rette seg etter, og ingen er vel heller ivrigere etter å få tak i disse varsler enn nettopp han.

Fig. 37. Samme stasjonsring som fig. 36 med symboler inntegnet.

419

Meteorologi

WW

00 Q Q) 0 par oo S !l É 10 — — — — < H w (ri) V 20 d *] *] ~] v] a e-] =l 30 Sl 5 s s- s- IS- 4- =h F 40 (EE) — =1 — = • A. • *• ♦ 50 «• • * ♦ ¥ 60 • • • • • • • • • • ¥ ¥ ¥ 70 * ¥¥ *¥ ¥¥ ¥* ¥¥¥ «—• -és-- ¥i △ 80 V V fl $ $ 7 V ▲ △ i' R?. 90 V R R lir g—

00 10 20 30 40 50 60 70 80 90

(§) )( R]

•• • -JA A

V F

c. c a E

w N CL

0 1 2 3 4 5 6 :7 8 9 ww

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Q

—3

(D

— ♦

A A o -O-

>

•

¥

X

o e

V R 0

___5

/~

•

/

__

__ u

—■> o

xr

\z li.

2___

— —

s £

2__ £

—

__ £

A z\ |¥j

4/

¥

7Z

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Fig. 38. Symboloversikt.

Det er telegrafistens jobb å passe på og plukke den opp over radio, og nåde ham om han glem­ mer seg. Det er ikke som med oss landkrabber som setter radioen på for å hore værmeldingen, og som et øyeblikk etter spor: Horte dere vær­ meldingen ? Utallige ganger har værvarslingen kunnet underrette skipene på forhånd om stormer og sykloner som beveger seg i en eller annen retning med en bestemt hastighet, og gjort det mulig for skip å styre unna så uværet har passert forbi dem i trygg avstand. Mest frvktet er jo de tropiske stormene eller sykloner. Samme type uvær herjer også i Chinasjøen, men kalles der for «Taifun». Skulle et fartøy være så uheldig å komme midt inni en slik, er sjansene til å komme fra det med livet i be­ hold slett ikke så store.

Det er ikke vinden som er det verste, men den forferdelige sjø som vinden roter opp. Nettet av værvarslingsstasjoner er nå så godt utbygd over hele verden at man så å si har alle farvann under kontroll, og der det ikke finnes stasjoner, tar flyene fatt og drar ut på leting etter mulige urosentrer. Tross alt hender det jo likevel ulykker på grunn av at skip blir overrasket av overhendig vær som de ikke rekker å komme unna i tide. For ikke lenge siden er atter et seilende skoleskip gått under med et tap av bortimot 80 mann. Det ble innhentet av en tropisk syklon og greidde ikke å komme fort nok vekk. Værkart Til slutt skal vi se litt på hvordan et værkart er bygd opp. Værkart har vel alle sett, men det

Været ved observasjonstiden og været siden forrige observasjon noteres med disse tegn (° ovenfor og til høyre for tegnet betyr svak, lett; 2 betyr sterk, tett): Q

ren luft

9

yf

OQ ølrøyk

•

regn

ZZZ tåkedis

-)(- snø

regnbye

■^■sprøhagl

kornmo

_a_ dugg

△ hagl

tåke

«—► isnåler

kornsnø

sludd

&

sluddbye

halo

tordenvær i__ i rim

snøbye

A iskorn --

-4-> snøfokk (V) solskinn

ishagl

\J nordlys

Fig. 39. Symboloversikt.

Q) krans

tåkerim is-slag

CX regnbue

420

Bjarne Krum: Skipsnavigasjon og meteorologi

Fig. 40. Forenklet værkart.

er vel mange som har undret seg over alle tegn og linjer som finnes på dem, og hva de betyr. I skjemaet over en skipsmette sto i øverste rekke en del tall ordnet i kolonner på fem i hver. Under denne rekken var det oppført tilsvarende bokstaver. Normalt står bokstavene øverst, og så kommer alle tallkolonnene under. I figur 36 over en stasjon er bokstavene plasert der hvor karttegneren plaserer de til­ svarende tall. Den neste har tall og tegn, som er satt inn i overensstemmelse med den tidligere mette. Stasjonsfigurene er forstørret opp ganske betraktelig for oversiktens skyld, og for å gi en idé om hvor stor figuren i virkeligheten er, kan vi nevne at selve stasjonsringen på et alminnelig

værkart ikke er større enn hullet i en tiøring, og knapt nok så stor. De symboler som karttegnerne nytter, er standardiserte og internasjonale. På fig. 38 finner vi de symboler som nyttes. Betydningen av enkelte av symbolene kan vi nok til nød gjette oss til, men de fleste er vel helt uforståelige. Karttegnerne og meteorologene på værvarslingsstasjonene kjenner dem alle, og det er på grunnlag av alle de oppgitte data ved de forskjellige stasjonsringer at værvarslingen kan sende ut sine bulletiner. En liten idé om hva enkelte tegn betyr, får vi av fig. 39, der en del av de mest alminnelige værtyper er nevnt sammen med sitt symbol. Tar vi nå en titt på metten foran, vil vi kjenne

Meteorologi

igjen et par av symbolene ved å gå med de til­ svarende tall inn på skjemaene. Vi ser samtidig på den første stasjonsringen, der vedkommende symbol er plasert, og sammenligner det symbol vi fant i skjemaet, med det som står på den ferdigtegnede stasjonsring. F. eks.: N-6, ww-80, W-8, Cm-6, CL-9, osv. Det ferdige værkart ser ut omtrent som på fig. 40. Kartet er tegnet spesielt for dette avsnitt om meteorologi og er gjort så oversiktlig og enkelt som mulig, med bare noen, ganske få stasjons­ ringer for ikke å gjøre det for overlesset. Det er maken til dem som vi finner i dagspressen. Som tidligere nevnt, går urosentrene i Atlanter­ havet for det meste i nordøstlig retning. Studerer vi tegnene under kartet, ser vi at lavtrykket som

421

ligger over Den skandinaviske halvøy, nettopp har passert det sydlige Norge, mens et nytt holder på å danne seg ute i Atlanteren og går mot Færøyene. En værvarsling for den situasjon som forelig­ ger, ville lyde omtrent slik: Væroversikt for kommende døgn: Lavtrykket i Norskehavet går mot nordost og følges av en sterk nordvestlig luftstrøm, som vil gi bygevær på Vestlandet, i Nordsjøen og Skagerak. Vinden ventes å komme opp i liten storm til havs. I lavlandet østafjells ventes pent vær, men kjøligere. Et nytt lavtrykk vest for Irland er under rask utvikling. Det går hurtig mot nord­ ost, vil nå Færøyene utpå morgendagen og vil gi ny vindokning fra syd og sydost på Vestlandet og i Norskehavet.

Rolff Larim

LUFTNAVIGASJON

INNLEDNING................................................

425

FLYKART ....................................................... Krav til kartet ................................................ Kartprojeksjoner ............................................ Sylinderprojeksjoner ................................. Kjegleprojeksjoner........................................ Planprojeksjoner.......................................... Karttegn ...........................................................

425 426 426 427 427 528 429

NAVIGASJONSINSTRUMENTER......... Magnetkompasset............................................ Magnetisme ................................................... Magnetkompasset ........................................ Høydemåleren................................................... Fartsmåleren .....................................................

429 429 429 430 431 432

BESTIKKNAVIGASJON .......................... Kurs og distanse.............................................. Protraktor ..................................................... Beregning av kurs .....................................

434 434 434 435

Beregning av distanse ............................... Vind .................................................................... Driftmåleren ................................................ \ indtrianglet................................................ Komputoren ................................................ Plotting ............................................................. Definisjoner og uttrykk ............................ Kartet og loggen.........................................

RADIO- OG RADARNAVIGASJON .... Radionavigasjon .............................................. Radiopeilinger.............................................. Radiostedsbestemmelse............................... Radarnavigasjon .............................................. Pulsteknikk.................................................... Radarstedsbestemmelse............................ POLARNAVIGASJON ................................. Polargrid ........................................................... Polarrute-gyro..................................................

1. INNLEDNING For flygingens tidsalder ble navigasjon prak­ tisk talt bare nyttet av dem som seilte på sjøen. Selv om det nå bare er et halvt hundre år siden mennesket tok flyet i bruk, har imidlertid flygingen gjennomgått en rivende utvikling, og i våre dager er langdistanseflyginger, f. eks. over de store hav, en dagligdags foreteelse. De store flyselskaper tar stadig større fly i bruk, og den tid er ikke langt unna, da vi uten mellom­ landing kan fly fra Norge til nesten hvilket som helst sted på jorden. Men jo lengre strekninger vi flyr, desto større blir kravene til å komme sikkert og hurtig fram den korteste vei. På sam­ me måte som vi på havet moter hindringer i lorm av strøm, tåke og storm, har vi i luften vanskelig­ heter som vind, skyer, tåke og uvær. Tar vi dessuten i betraktning at flyet, som bare har drivstoff for et bestemt antall timer, ikke har noen annen utvei enn å lande straks, når driv­ stoffet begynner å minke, skjønner vi også at flyet alltid må kunne være framme ved ankomst­ stedet til bestemt tid. Det er derfor like nødven­ dig å kunne navigere sikkert i luften som på havet. Navigasjon på sjøen var allerede høyt utviklet da man tok flyene i bruk. Det var derfor natur­ lig at man i flyenes barndom rett og slett benyt­ tet seg av de samme metoder for navigasjon også i luften. Til å begynne med gikk dette aldeles

utmerket. Men etter hvert som flyene utviklet seg, ble kravene til luftnavigasjon storre, og selv om grunnprinsippene for navigasjon både i luften og på sjøen fremdeles er de samme, har luftnavi­ gasjon litt etter litt utviklet seg til å bli et spesialområde som skiller seg vesentlig ut fra navigasjon på sjøen, ikke minst når det gjelder radio- og radarnavigasjonshjelpemidler, bruken av meteorologiske data og navigasjon i polarom­ rådene. Vi har i Norge ennå ikke slike faste utdannelsessteder for flynavigatører som vi har for dem som skal navigere på sjøen. De storre flyselskape­ ne utdanner imidlertid delvis selv sine folk, og delvis videreutdanner de også personell som har fått navigatørutdannelse i Luftforsvaret. Behovet for flynavigatører i dag er forholdsvis begrenset, og konkurransen er stor, men med den rivende utvikling vi i dag har på luftfartens område, kan man vel ha grunn til å tro at behovet stadig vil øke. Det er et interessant og ansvarsfullt yrke, som stiller store krav til dem som velger det. Med realskoleeksamen som grunnlag regner man at utdannelsen tar vel ett år. Som regel er flynavigatøren også utdannet som flytelegrafist, slik at han lettere skal kunne nytte de mange radio- og radarnavigasjonshjelpemidler som nå står til hans rådighet.

2. FLYKART Det viktigste hjelpemidlet i luftnavigasjon er flykartet. Fra dette tar man ut den kurs som skal styres, og man måler distansen, dvs. hvor langt det er fra avgangssted til ankomststed. Kartet gir videre andre opplysninger av forskjellig art, som navigatøren har bruk for under turen. Han kan f. eks. se hva slags terreng han flyr over, om det er land eller hav. Han kan se om ruten er

lagt over høye fjellkjeder, og så bestemme hvor høyt han må fly for å gå klar av dem. For at et kart skal være brukbart, må det ha visse egenskaper. Det er imidlertid meget van­ skelig å gjengi overflaten av en kule, som har tre dimensjoner (dybde, bredde og lengde), på en plan flate (kartet), som bare har to dimensjoner (bredde og lengde). Når kulen dessuten er flat-

426

Rolff Larun: Luftnavigasjon

klemt ved polene slik som jordkloden (jfr. «Skips­ navigasjon»), blir problemet enda vanskeligere. Derfor regner man i praksis at jorden er en rund

kule. Nøyaktigheten av de kart som konstrueres, blir likevel stor nok. Slike konstruksjoner kaller vi kartprojeksjoner.

2.1. Krav til kartet For å kunne overføre deler av jordens over­ flate til en plan flate slik som kartet, må man altså gi avkall på visse egenskaper, som riktignok kunne vært ønskelig i et kart, for i stedet å få fram mer ønskelige egenskaper. Egenskaper som man er mest interessert i å få fram i kartet i forbindelse med navigasjon, er at a) formen på landmassene og havområdene er riktig gjengitt, b) kartet er arealbevarende, dvs. flateinnholdet av de forskjellige land- og havområder må være riktig gjengitt, c) man kan måle kurser, peilinger og distanser, d) storsirkel- eller loksodromkurser kan avsettes, e) det finnes en målestokk, og at denne er mest mulig konstant. Form. Når en projeksjon er formbevarende, kalles den konform. Man kan aldri få fram både de formbevarende og de arealbevarende egen­ skapene i samme kart. Det viktigste for naviga­ tøren er likevel å ha det formbevarende kart. Areal. Å ha et arealbevarende kart er strengt tatt ikke det viktigste for navigatøren, men har likevel en viss betydning i kart som brukes ved navigering over kortere distanser. Kurser, peilinger og distanser. Peiling og av­ stand mellom to punkter i kartet må være de samme som mellom de to tilsvarende punkter på jordoverflaten. Storsirkel- og loksodromkurs. En storsirkelkurs er den korteste vei mellom to steder på jordover­ flaten (fig. 2/1). Det er den kurs man får fram når man strekker en hyssing over en globus mellom to punkter på jorden. For å følge storsirkelen under en flytur må man forandre kurs med for­ holdsvis korte mellomrom. I praksis brukes storsirkelkursen bare over meget lange distanser på f. eks. 1000 kilometer eller mer. Loksodromkursen mellom to steder er noe lenger, den dan­ ner en bue på jordkloden, men loksodromen

skjærer alle meridianer under samme vinkel. På kortere turer brukes derfor som regel loksodrom­ kurs, og man slipper da stadig vekk å foreta små korreksjoner på kursen.

Målestokk. Målestokken forteller i hvilket for­ hold avstand i kartet står til den virkelige av­ stand på jordoverflaten. Målestokken kan oppgis på flere forskjellige måter, men det mest almin­ nelige er et forholdstall eller en brøk, f. eks. «1 : 500.000». Dette betyr at en centimeter i kartet svarer til 500.000 cm eller 5 kilometer på jordoverflaten. Målestokken «1 : 1.000.000» betyr at 1 cm i kartet er lik 10 km på jordover­ flaten. Det er meget viktig at navigatøren alltid holder rede på målestokken til det kartet han bruker. Han vil ellers måle helt feilaktige dis­ tanser.

2.2. Kartprojeksjoner Vi har forskjellige projeksjoner og karttyper, avhengig av hva vi skal bruke dem til. Under av­ snittet om Skipsnavigasjon er beskrevet hvor­

ledes vi kan lage et kart i Merkatorprojeksjon (se side 387). Det finnes en mengde andre projek­ sjoner, men det er hovedsakelig bare tre av dem

427

Flykart

som ligger til grunn for de karttyper som brukes i luftnavigasjon, nemlig (fig. 2/2) sylinderprojeksj oner, kjegleprojeksjoner og planprojeksjoner.

Fig. 2/2. De tre kartptojeksjonstyper.

2.2.1. Sylinderprojeksjoner Vi tenker oss at vi fester en sylinder av papir rundt jordkloden eller en globus (figur 2/3a) og passer på at sylinderen tangerer kloden bare langs ekvator. Videre tenker vi oss at vi nøyaktig i jordens sentrum plaserer en kraftig lyspære. Hvis vi nå med en nål stikker bull i skallet på jord­ overflaten, vil lyspæren kaste lysstråler ut gjen­ nom hullene. Lysstrålene vil treffe sylinderens innside og danne lyspunkter på denne. Fortsetter vi slik, kan vi ganske lettvint få overfort jordens breddesirkler og meridianer til sylinderens inn­ side. Tar vi nå en saks og klipper opp sylinderen og bretter den ut, har vi her en kartprojeksjon (figur 2/3b). I dette tilfelle er den akkurat den samme som den vi fikk ved å skrelle appelsinen og strekke skallet, slik som forklart i kapitlet om Skipsnavigasjon (se side 385).

dem oker, jo lenger vekk vi kommer fra ekvator. Dette begrenser Merkatorprojeksjonens bruk­ barhet, og vi regner den i praksis ubrukelig på høyere bredder enn 70c nord eller syd. En annen karttype som vi får på lignende måte ved å bruke sylinderprojeksjon, er Transversal Merkator. Her er sylinderen dreiet 90 (figur 2/4), slik at den bare tan­ gerer jordkloden i begge poler og langs en mellomliggende meridian på hver side. Hvis vi nå pro'"..S jiserer meridianer og breddesirkler på Fig. 2/4. svlinderens innside, Sylinderprojeksjon, dreiet 90°. på samme måte som for Merkator, vil vi — når vi bretter ut sylinderen — få en annen fasong på gradnettet (dvs. meridianer og breddesirkler). Ekvator og den meridian som var berørings- eller tangeringsmeridian, vil begge være rette linjer og skjære hverandre i rett vinkel. De øvrige meridianer på hver side av berøringsmeridianen vil derimot være krumme linjer, som buer seg ut fra den i midten. Breddesirklene på hver side av ekvator er også krumme linjer, men disse buer seg mot ekvator (figur 2/5). Studer figuren, og forsøk å se at det virkelig er slik.

Fig. 2/5. Gradnettet i Transversal Merkator.

Den projeksjon vi her har fått fram, kalles som nevnt Merkatorprojeksjon. Den var for inntil få år siden den mest nyttede kartprojeksjon i all navigasjon. Meridianer og breddesirkler skjærer hverandre overalt i 90° vinkel, og meridianene er parallelle og like langt fra hverandre. Breddegirklene er også parallelle, men avstanden mellom

2.2.2. Kjegleprojeksjoner I stedet for sylinderen tenker vi oss at vi plaserer en kjegle over jordkloden, slik at kjeglens topp f. eks. kommer rett over Nordpolen, og slik at kjeglens sider akkurat berører jordover -

428

Rolff Larun: Luftnavigasjon

Fig. 2/8. Kjegle som skjærer jord­ kloden på to steder. Fig. 2/7. Kjeglen klippet opp og brettet ut.

flaten (figur 2/6). Vi bruker fortsatt metoden med å stikke hull i jordkloden og la lyspæren kaste stråler mot innsiden av kjeglen. Så klipper vi den opp og får fram vår projeksjon (figur 2/7). Det finnes forskjellige kjegleprojeksjoner, men den som er mest alminnelig brukt til flykart, kalles Lamberts konforme projeksjon. Den skiller seg litt ut fra standardtypen, idet kjeglen i stedet for å tangere jordoverflaten skjærer denne på to steder (figur 2/8). Til kartet brukes da bare det område på jorden som ligger mellom skjær­ ingspunktene og like ovenfor og nedenfor. I denne karttype har man laget småkart som dek­ ker største delen av jorden. Gradnettet i kartet viser at meridianene er rette linjer, som konver­ gerer (løper sammen) i nærmeste pol (figur 2/9). Breddesirklene er konsentriske (dvs. sirkelbuer med samme sentrum) og svakt buet mot ekvator.

2.2.3. Planprojeksjoner I den senere tid, etter at flyging over polar­ områdene er blitt alminnelig, har man blitt nødt til å ta i bruk karter som er konstruert etter planprojeksjon. Det finnes mange forskjellige plan­

projeksjoner, men de bygger alle på det prinsipp at vi tenker oss en plan flate som legges mot jord­ kloden (figur 2/10). Flaten berører bare jorden i et

brukte projeksjon i luftnavigasjon er den såkalte stereografiske polarprojeksjon. Den konstrueres ved at man lar projeksjonspunktet (lyspæren)

Fig. 2/11. Gradnettet i Stereografisk polarprojeksjon.

3. Navigasjonsinstrumentei*

ligge i den motsatte pol istedenfor i jordens sentrum. Bruker vi samme bilde som tidligere, med lyspæren og nålen, får vi fram gradnettet på flaten (figur 2/11). Som vi kan se, løper meridiane­

429

ne sammen i polen og blir rette linjer, som ekene i et hjul. Breddesirklene blir konsentriske sirkler, os avstanden mellom dem øker med avstanden fra polen.

2.3. Karttegn I alle kart er de forskjellige objekter på jord­ overflaten merket ved karttegn. Det er selv­ følgelig en grense for hvor mye man kan ta med i kartet, det skal jo samtidig være oversiktlig. Det er derfor som regel målestokken som avgjor hvor detaljert kartet er. Et kart i liten målestokk tar bare med de viktigste detaljer av jordoverflaten, som kystlinjer, fjellkjeder, byer, elver og lande­ grenser. Jo storre målestokken er, desto flere detaljer blir det plass til.

De forskjellige objekter markeres ved hjelp av bestemte karttegn. Forklaring på tegnene finner man nederst på kartbladet eller på baksiden av det. Karttegnene bor studeres nøye og læres utenat, slik at man straks forstår hva de betyr, og kjenner dem igjen. Ved kontaktflyging, dvs. flyging i forholdsvis lav høyde og slik at man alltid ser bakken under seg, er det viktig å følge nøye med både i kartet og på bakken, slik at man stadig er helt sikker på hvor man befinner seg.

3. NAVIGASJONSINSTRUMENTER Flynavigatøren har en hel rekke forskjellige instrumenter til hjelp i sitt arbeid i luften. Her skal vi bare ta med de mest nødvendige, nemlig magnetkompasset, høydemåleren og fartsmåleren. Foruten disse instrumenter har man i storre fly

mange andre hjelpemidler, som fjernkompass, gyrokompass, radiokompass, driftmåler, sekstant osv., men det vil føre for langt å komme inn på alle disse her.

3.1. Magnetkompasset 3.1.1. Magnetisme Jorden er selv en stor magnet, omgitt av et nett av jordmagnetiske kraftlinjer. Disse linjene løper sammen i den magnetiske nordpol og syd­ pol (fig. 3/1). Den magnetiske nordpol faller imidlertid ikke sammen med den geografiske nordpol, og den ligger heller ikke stille på samme sted, men beveger seg fra dag til dag og fra år til år. Den årlige bevegelse er ikke så svært stor, og for tiden (1958) ligger den magnetiske nordpol litt vest for nordspissen av Grønland. Hvis vi henger en magnetnål fritt opp og lar den stille seg inn, vil dens nordende p.g.a. de jordmagnetiske kraftlinjer derfor ikke peke mot selve Nordpolen, men mot den magnetiske nord­ pol. Vi ser derfor at vi fra alle steder på jorden får to retninger å regne med, nemlig retningen til den geografiske nordpol, eller rettvisende nord, og retningen til den magnetiske nordpol, eller misvisende nord. Forskjellen eller vinkelen mel­ lom disse to retninger kalles for misvisning, og

Fig. 3/1. De jordmagnetiske kraftlinjer løper sammen Nord- og Sydpol.

43o

Kolff Larun: Luftnavigasjoil

det er et begrep vi alltid må ta hensyn til når vi bruker magnetkompasset. Misvisningen forandrer seg langsomt med ti­ den, akkurat som den magnetiske nordpol og misvisningens størrelse er forskjellig fra sted til sted. Den kalles østlig eller positiv (-)-) når mis­ visende nord ligger øst for rettvisende nord, og vestlig eller negativ (4-) når misvisende nord ligger vest for rettvisende nord. Vi kan alltid finne misvisningen oppgitt i kartet, som regel som sammenhengende stiplede linjer som går gjennom steder med like stor misvisning. Disse linjer kalles isogoner, og ved siden av linjene er det oppgitt hvor stor misvisningen er. I Oslo er misvisningen for tiden (1960) omtrent 3 vest.

3.1.2. Magnetkompasset Det mest alminnelige magnetkompass (lig. 3/2) som brukes i fly, har tre hoveddeler, nemlig kompassbollen, magnetsystemet og korreksjonsboksen. Kompassbollen er en sylindrisk eller kuleformet beholder, som er fylt med en spesiell væske. Væsken skal dempe magnetnålenes bevegelser (fig. 3/3). I kompassbollen finnes videre et ekspansjonskammer (J) med en membran (K), som gir etter for volftmforahdringer i væsken ved for­ skjellige temperaturer og forhindrer at kompass­ bollen sprenges i stykker og at det kommer luftbobler inn i den. Kompassbollen er utstyrt med et tettsluttende glasslokk, og tvers over dette er det vanligvis montert et loddrett avlesningsmerke (M). Kompassbollen er videre forsynt med et utvendig merke, slik at den kan monteres nøy­ aktig parallelt med flyets lengdeakse.

A B C D E F G II I

— — — — — — — — —

Kompassrose Magneter Flottør Opphengingspinne Juvel Juvclholder Styrestag Fjær Kompassbolle

J K L M N 0 P Q

— — — — — — — —

Ekspansjonskammer Membranskive Påfyllingshull Avlesningsmerke Korreksjonsboks Lyssystem Lyspære Stikkontakt for lysnett

Fig. 3/3. Magnetkompass — gjennoinskåret.

Fig. 3/2. Magnetkompass — front og side.

Magnetsystemet har 2, 4 eller flere magnetnaler (B), alltid et jevnt tall, som er parallelt opp­ hengt i kompassbollens sentrum, og slik at de kan dreie seg fritt. De er vanligvis montert under en gradert skive, kompassrosen (A), som igjen balan­ serer så friksjonsfritt som mulig på en spiss tapp eller pinne (D), som står opp fra kompassbollens sentrum. Kompassrosen er oftest delt inn i grader, fra 0 til 360, men den kan osjså bare være merket

3. Navigasjonsinstrumentei1

med hovedretningene Nord, Øst (East), Syd og Vest (West). Det er da henholdsvis forbokstavene N, E, S og W som nyttes. Korreksjonsboksen (N) utgjør et eget lite magnetsystem og er plasert over eller under kompassbollen. I korreksjonsboksen finner vi to par små magneter, det ene paret plasert i 90° vinkel rett over det andre (fig. 3/4). Innen hvert par ligger

Fig.3/4. Korreksjonsmagneter— skjema­ tisk. B = blå pol, R = rod pol.

magnetene tett sammen, men i motsatt retning, slik at den enes rode pol dekker den annens blå pol, og på denne måte opphever hverandres virkning. Hvis nå kompassrosen av en eller an­ nen grunn ikke skulle peke nøyaktig i retning mot den magnetiske nordpol (dvs. at kompass­ nålene har feilvisning eller deviasjon), kan vi ved hjelp av magnetparene i korreksjonsboksen rette på dette, eller — som det vanligvis kalles — korrigere kompasset. Vi skal forklare hvorledes dette foregår. Som vi vet, vil to like sterke magneter som ligger rett over hverandre, men med polene i motsatt ret­

431

Fig. 3/5. Korreksjonsmagneter som dreies fra hverandre.

ning, ikke ha noen magnetisk virkning (fig. 3/5a). Hvis vi derimot dreier magnetene fra hverandre, slik som når man åpner en saks, vil magnetismen i magnetene øke (fig. 3/5b), og den blir sterkere jo lenger den blå og den rode pol fjernes fra hver­ andre (fig. 3/5c). Når magnetene er dreid helt rundt, slik at begge blå poler i et magnetpar dekker hverandre (fig. 3/5d), vil magnetparet ha størst magnetisk virkning. Denne variasjon i magnetstyrken nytter vi for å korrigere magnetnålene under kompassrosen, slik at vi får denne til å peke i riktig retning mot den magnetiske nordpol. Magnetparene i korrek­ sjonsboksen er nemlig festet til runde skiver, som igjen er forsynt med tannhjulskrans. Ved hjelp av utvekslinger og en nøkkel kan vi derfor dreie magnetene i et par fra eller mot hverandre, nøyaktig så mve som er nødvendig for å justere retningen på magnetnålene i kompasset.

3.2. Høydemåleren Det er viktig for navigatøren at han til enhver tid vet nøyaktig hvor høyt flyet befinner seg. Derfor trenger han et instrument som kontinu­ erlig viser flyets høyde. Dette instrument kalles for høydemåler (fig. 3/6). Det baserer seg på at luftens trykk og tetthet avtar jo høyere opp man kommer, og det er egentlig bare et barometer. Høydemåleren er derfor konstruert etter samme prinsipp som et aneroidbarometer, det har en eller flere lufttomme membrandåser, et system av vektstenger og en skala med en eller flere visere. _ Nede på jordoverflaten, der lufttrykket er størst, blir dåsene trykket mest sammen. Etter hvert som flyet stiger høyere, blir lufttrykket mindre, og dåsen utvider seg. På den ene av dåsens elastiske vegger er festet en vektstang, og vektstangens bevegelser overføres ved en tann­ hj ulsutveksling til en sirkelrund gradert skala, der man kan avlese høyden ved hjelp av en eller flere visere (se fig. 3/7).

På jordoverflaten er lufttrykket imidlertid ikke konstant, det kan variere ganske kraftig fra tid til annen. Det samme gjelder i luftlagene i de forskjellige høyder. For å avhjelpe dette kan viserne på høydemåleren også beveges ved hjelp av en stillskrue. Før flyet tar av, kan man derfor ved hjelp av stillskruen stille viserne slik at de viser null eller høyden over havet på den flyplass man befinner seg. Når man flyr fra en flyplass til en annen, vil som regel lufttrykket eller barometerstanden der være forskjellig fra den første. Den nve flyplassen kan også ligge i en annen hoyde enn den man startet fra. For likevel å kunne lese av riktig høyde har man på høydemålerskalaen plasert et lite vindu. Bak vinduet beveger det seg en liten skala som er gradert i millibar, dvs. den enhet som lufttrykket blir oppgitt i, og stillskruen beveger også denne skala. Fra flykontrollen på flyplassen får man over radiotelefon oppgitt stedets barometerstand i millibar, os når man stiller inn dette millibar-

432

Rolff Larun: Luftnavigasjon

Fig. 3/6. Høydemåler i fly.

Fig. 3/7. Høydemåler — gjennomskåret.

tall ved hjelp av stillskruen, vil høydemåleren vise riktig høyde over havet. Ved å bruke stillskruen kan man derfor lese av flyets høyde på to forskjellige måter, enten den relative høyde, dvs. høyden over terrenget, eller den absolutte hoyde eller høyden over havet. Det er viktig at man har disse to begrepet klart for seg, og at man ikke blander dem sammen. Foruten trykkhoydemåleren bruker de store ruteflyene også radiohøydemåler, som gir nøyak-

Fig. 3/8. Radio­ høydemåler — prinsippskisse.

433

3. Navigasjons instrumenter

tig relativ hovde. Radiohøydemåleren hestar av en sender og en mottager, og et avlesningsinstrument på flygerens instrumentbord. Senderen, som er plasert ute i den ene vingespissen. ut­ løser et radiosignal som beveger seg med kon­ stant hastighet. Signalet treffer jordoverflaten og blir reflektert tilbake som et ekko (fig. 3/8). Ekkoet fanges opp av mottageren, som sitter

i den motsatte vingespiss. Den tid det tar fra signalet sendes ut og til det fanges opp igjen av mottageren, blir i avlesningsinstrumentet gjort om til hoyde (vi kjenner jo den hastighet radiobølgene beveger seg med, 300.000 km/sek.), og høyden kan leses åv direkte. Husk at det er høyden over bakken, relativ høyde, som vi får på denne måte.

3.3. Fartsmåleren Like nødvendig som det er å vite flyets kurs og høyde, er det å vite hvor fort det beveger seg. Farten kan oppgis på forskjellig vis, i kilometer pr. time (km/t), engelske mil pr. time (miles per hour = mph) eller i knop (nautiske mil pr. time). Alle tre måter nyttes, men det er vedtatt inter­ nasjonalt at alle land etter hvert skal gå over til å oppgi farten i knop, på samme måte som til sjøs1 knop = 1 nautisk mil pr. time = 1852 m/t 1 mph = 1 engelsk mil pr. time = 1610 m/t

slik at luftstrømmen ikke forstyrres av flyets øvrige deler. Det har to små ror, det ene med åpning framover, slik at luften uhindret kan Varmeavleder Dreneringshull

Skjerm

Dreneringshull Varmeelement

Bakre varmeelement Hull for statisk trykk

Fig. 3/10. Pitothode for fartsmåler.

Fig. 3/9. Fartsmåler.

Fartsmåleren (fig. 3/9) viser den fart flyet bevfeger seg med gjennom luftmassene uten hensyn til vinden. Den viser således ikke den virkelige fart over jordoverflaten, unntatt når det er helt vindstille. Man må derfor alltid korrigere for vindens retning og styrke. Den vanligste type av fartsmålere består av tre hoveddeler, pitothode, membrankammer og instrumentskala. Pitothodet (se fig. 3/10) er vanlig­ vis montert i forkant av vingen eller flykroppen, 28—Teknikk I

strømme rett inn i det, det andre er lukket, men har en del små hull i siden. I det første får vi på grunn av flyets bevegelse framover et overtrykk, det dynamiske trykk. I det andre roret har vi det vanlige atmosfæriske trykk, eller det statiske trykk. Begge rorene i pitothodet er ved hjelp av tvnne rorledninger forbundet med membrankammeret (se fig. 3/11). Det består av en lukket beholder, som ved r Dynamisk trykk en tynn vegg, mem­ branen, er delt i to. På den ene siden av membranen slipper man fra pitothodet inn det dynamiske trvkk, på den andre siden bare det sta­ Fig. 3/11. Skjematisk skisse av tiske trykk. Når membrankammeret i fartsmålerne flyet er i bevegelse, vil derfor overtrykket på den ene side bevege membranen. Denne bevegelsen overføres ved hjelp av vektstenger (fig. 3/12) til en viser som beveger seg over instrumentskalaen. Skalaen er gradert f. eks. i knop. På denne måten leser man av flyets fart. Skalaen er videre kalibrert, slik at den viser den riktige fart ved jordoverflaten eller rettere ved havflaten. Da luftens tetthet og temperatur avtar med høyden, vil derfor instrumentet vise

434

Rolff Larun: Luftnavigasjon

for liten fart etter hvert som flyet stiger. Dette må man ta hensyn til, og man må derfor korrigere den avleste fart. Rettelsen finner men ved hjelp av en spesiell tabell, der man går inn med den utvendige lufttemperatur, den avleste fart og flyets høyde. Denne rettelse må legges til den av­ leste fart for å få korrekt fart gjennom luftmas­ sene. For å få korrekt fart i forhold til jordover­ flaten må man, som nevnt foran, også ta hensyn til vindens retning og styrke.

M

0 N-

B

C A — B — C — D — F — G — II — I —

Membrandåser Overforingsmekanisme Dreibar akse Kamoverføring Utveksling Tannhjul Lite tannhjul Kamoverføring

J K L M N O Q

— — — — — —

Tannhjulsakse Den lille skala Platefjær Stempel Kalibreringsskruer Motvekt Temperaturutj evner

Fig. 3/12. Fartsmåler — gjennomskåret.

Enda en faktor spiller inn på farten, nemlig luftens temperatur. Ved ca. 15° C viser farts­ måleren riktig ved havoverflaten. Vi skal ved et eksempel vise hvor stor rolle de forskjellige faktorer spiller, nemlig luftens tetthet og tempe­ ratur, og vindens retning og styrke. Sett at vi befinner oss i et fly i 9000 meters høyde og at vi flyr med en avlest fart av 200 knop. Lufttempe­ raturen utenfor flyet er 4- 20° C. Vi flyr rett med vinden, og vindstyrken er 25 knop. Ved hjelp av korreksjonstabellen finner vi at rettelsen til av­ lest fart er 22 knop. Korrekt avlest fart, som vi kaller flyets egenfart, blir da 222 knop. Men siden vi flyr rett med vinden, må vi også legge vind­ styrken til flyets egenfart. Vår korrekte fart i forhold til jordoverflaten, som kalles beholdt fart, blir altså 247 knop. Som vi ser er forskjellen mellom avlest fart og beholdt fart hele 47 knop.

4. BESTIKKNAVIGASJON Bestikknavigasjon er grunnlaget for all luft­ navigasjon. Når vi skal fly fra et sted til et annet, må mest mulig av arbeidet planlegges og utføres på forhånd. Vi må lage en navigasjonsplan, slik at vi, når flyet kommer i luften, kan konsen­

trere oss om de øyeblikkelige oppgaver i forbin­ delse med navigeringen. I motsetning til et fartøy på havet beveger flyet seg så hurtig at alt arbeid som kan utføres på forhånd, må unngås i luften.

4.1. Kurs og distanse Det første vi gjor når vi skal foreta en flytur, er å ta ut kurs og distanse fra kartet. Vi merker oss avgangs- og ankomststedet og trekker med linjal opp en linje mellom dem. Ved hjelp av en spesiell transportør, en såkalt protraktor, kan vi lettvint lese av kursen eller «trekket», som det vanligvis kalles når det gjelder den opprinnelige linje mellom to steder.

4.1.1. Protraktor Protraktoren er en firkantet, gjennomsiktig plate av plast (figur 4/1). Den er langs sidene

inndelt i grader fra 0 til 360, som en kompassrose, og har en rekke parallelle linjer både vann­ rett og loddrett, slik at linjene danner et rute­ nett. Den midterste av de vannrette og loddrette linjene deler platen i fire like store deler og gir samtidig hovedretningene N, 0, S og V. Platens fire hjørner blir da henholdsvis NØ, SØ, SV og NV, hvis vi begynner i øverste hjørne til høyre og går rundt i retning med urviseren. I skjærings­ punktet av de to midtlinjene har platen et lite hull, som danner platens sentrum. På protrak­ toren har vi dessuten noen andre praktiske

4. Bestikknavigasjon

435

hjelpemidler, som ofte nyttes. De to utskårne spaltene som går vann­ rett midt på hver halv­ del, har en kort avstandsskala for de mest nyttede målestokker i kartene, øverst 1 : 1.000.000 og 1: 500.000, nederst 1:250.000 og l/4”(tomme) = 1 engelsk mil. Den siste målestokken er forholdsvis ofte nyt­ tet i britiske flykart. Videre finner vi på protraktoren to omgjøringsskalaer, øverst for omgjøring av miles per hour (mph) til knop, nederst for omgjøring av fot til meter.

4.1.2. Beregning av kurs Når vi skal ta ut kursen, plaserer vi protraktoren i kartet, slik at dens sentrum ligger over den opptrukne kurslinje eller trekk. Det spiller ingen rolle hvor vi plaserer den på kurslinjen. Så må vi vri protraktoren, slik at en av linjene på den dekker eller ligger nøyaktig parallell med en av kartets meridianer eller breddesirkler. Protraktoren er nå riktig orientert i forhold til kartet, og vi kan lese av kursen (figur 4/2), som i vårt tilfelle blir 064°. Dette er rettvisende trekk. Misvisning. Nå må vi ta hensyn til misvis­ ningen, som er forklart tidligere på side 430. Den finner vi også i kartet, og den kan være østlig ( + ) eller vestlig (4-). Fortegnene + og 4- nyttes ofte, men vi har i denne forbindelse en viktig regel, som man ikke må glemme. Husk at når vi skal fra rettvisende kurser til kompasskurser, skal vi bruke rettelsene (dvs. misvisning og deviasjon) med motsatt fortegn. Når vi skal/ra kompasskurser til rettvisende kurser, brukes rettelsene med det fortegn de har. Denne regelen kaller vi «fortegnsregelen». I dette tilfelle finner vi at missviningen er 10°V. Misvisende kurs blir altså 074°.

Fig. 4/1. Protraktor.

Deviasjon. Videre må vi rette misvisende kurs for deviasjon. Akkurat som ombord i et fartøy har vi også ombord i ilyet lokale magnetiske forstyrrelser, som gjor at kompasset ikke viser helt riktig. Selv om flyene er bygd vesentlig av aluminium og andre umagnetiske stoffer, finnes det likevel krefter som påvirker kompasset lokalt, f. eks. elektromagnetiske kraftfelter i flyinstrumenter og radioapparater, stålstenger i motorer og understell, eller mindre gjenstander av jern og stål i nærheten av kompasset. Kom­ passet er ofte plasert like i nærheten av navigatorens arbeidsbord. Det er derfor viktig at han ikke har gjenstander i lommene, som kan for­ styrre kompasset, f. eks. jaktkniv i beltet eller et stort nøkkelknippe i lommen. Ved hjelp av korreksjonsmagnetene kan vi som tidligere nevnt (se side 430) fjerne det meste av den feilvisning som skyldes fastmonterte gjen-

436

Rolff Larun: Luftnavigasjon

stander i flyet, men det vil som regel være noe igjen. Ved å korrigere kompasset eller «svin­ ge» det, som det kal­ les i flyspråket, fordi flyet på bakken svinges rundt sin akse ved kor­ reksjonen, kan vi be­ stemme hvor stor den resterende deviasjon er på de forskjellige kurser. Dette settes opp i en tabell, som kalles deviasjonskort. Kortet plaseres like ved kompasset, slik at de som bruker kompas­ set, hurtig og lettvint skal kunne ta ut de­ viasjonen for den kurs det gjelder. I vårt ek­ sempel viser deviasjonskortet at devia­ sjonen for misvisende kurs 074° er 2° øst eller 4~ (se figur 4/3). For å få kompasskur­ sen må vi nytte devia­ sjonen (med motsatt for­ tegn) på misvisende kurs 074° og får da kompasskursen = 072 °.

Fig. 4/2. Protraktoren riktig orientert i kartet.

Sammendrag. For nå å sammenfatte det hele kan vi sette opp følgende utregning (husk fortegnsregelen): Rettvisende kurs = 064° Misvisning — 100 V

Fig. 4/3. Eksempel på deviasjonskort i utfylt stand.

Misvisende kurs Deviasjon

= 074° = 2°0

Kompasskurs

= 072°

Vi kan få fram dette regnestykket ved hjelp av en figur, der vi tenker oss at flyet befinner seg i sentrum, med de forskjellige retninger strålende utover (figur 4/4). Her betegnes rettvisende nord med RN, misvisende nord med MN og kom­ passets nord med KN. Ved å studere figuren kan vi se hvordan misvisningen og deviasjonen inn­ virker på de forskjellige kurser. Ved å holde figuren sammen med regnestykket foran, ser vi også at resultatet blir riktig.

4. Bestikknavigasjon

437

vekk vi kommer fra ekvator. Derfor må man alltid som målestokk bruke den del av breddeskalaen i kanten av kartet som ligger rett ut for de stedene man skal måle distansen mellom. Hvis det ikke er storre breddeforskjell mellom stedene, er det enkelt nok, man går bare ut i breddeskalaen rett ut for stedene. Hvis breddeforskjellen derimot er stor, bor man regne ut middelbredden først. Husk at man aldri må nytte lengdeskalaen i et Merkatorkart til å måle distanser. Vi skal vise framgangsmåten ved et eksempel.

For å komme fram i den retning vi har tatt ut av kartet, trekket, må vi altså styre 072° etter kompasset. Men dette gjelder bare i stille luft, uten vind. Dessverre er det bare i de sjeldneste tilfelle vi kan fly i helt vindstille. Som regel blåser det alltid fra en eller annen retning. Hvor­ dan man skal ta hensyn til dette, skal vi komme tilbake til senere. Fig. 4/5. Måling av distanse ved bruk av middelbredden

4.1.3. Beregning av distanse Avstanden mellom to punkter på jorden kalles for distanse. I navigasjon måles distansen alltid i en enhet som kalles nautisk mil. Av og til kan man hore nyttet uttrykk som kvartmil, sjomil, distanseminutt m. fl., som betyr det samme, men disse uttrykk er avlegs og skal i grunnen ikke brukes mer. En nautisk mil er gjennomsnittsverdien av breddeminuttene langs en meridian fra ekvator til polen. Det er 90° fra ekvator til pol, 60 * i en grad (’ = minutt) og altså 90 x 60 = 5.400’ fra pol til ekvator. Den samme avstand i metersystemet er 10.000 kilometer eller 10 millioner meter. Et breddeminutt blir altså 10.000.000 : 5.400 = 1851,9 meter. I praksis regnes 1 nautisk mil (forkortet = n. mil) lik 1852 meter. Når vi skal måle distansen i Merkatorkartet, må vi huske på at i denne karttypen blir av­ standen mellom breddegradene større, jo lenger

Vi skal måle distansen mellom stedene A og B. A ligger på 60 N og B på 67 N (fig. 4/5). Middel­ bredden for A og B blir da 63°30’N. Når vi skal måle distansen med en passer, tar vi f. eks. 60 n. mil mellom passerspissene ved a sette den ene passerspissen ved 63°N i breddeskalaen og den andre passerspissen ved 64 °N. Middelbredden 63°30’N ligger da midt mellom begge passerspisser. Så setter vi den ene passerspissen i A og uten å forandre avstanden mellom spissene «skritter» vi opp avstanden mellom stedene. Vi får da en distanse på 580 n. mil. Prøv selv med en passer. Hvis A og B nå ligger på samme meri­ dian, blir selvfølgelig distansen mellom dem lik 420 n. mil (breddeforskjellen = 7°. 7 x 60’ = 420’ = 420 n. mil). I kart konstruert etter Lamberts konforme projeksjon kan man måle distansen hvor som helst langs breddeskalaen, da denne hele veien har samme avstand mellom breddeminuttene.

438

Rolff Larun: Luftnavigasjon

4.2. Vind Vinden er i grunnen den faktor som lager mest bry for navigatøren i luften. Uten vind ville fly­ navigasjon være forholdsvis enkelt. Men luft­ massene rundt jorden er stadig i bevegelse og skifter rundt i forskjellig retning og med for­ skjellig hastighet. Et fly som befinner seg oppe i luftmassene vil bli ført med i luftmassens beve­ gelse, ved siden av at flyet også har sin egen kurs og fart (figur 4/6). Vi må derfor innføre to nye

Fig. 4/6. Fly i vind (krabbing).

vi se det omtrentlige forholdet mellom de forskjellige måter å oppgi vindstyrken på. I forbindelse med flyging blir vinden alltid oppgitt i knop. Hvis det blåser rett fra syd med en hastig­ het av 22 knop, sier vi at vinden er 180°/22 k. 4.2.1. Driftmåleren Før vi begynner en flytur får vi alltid oppgitt vindens styrke og retning for den strekning vi skal fly, fra værkontoret. Men det er sjelden at den oppgitte vinden holder seg konstant, og vi må derfor kontrollere den til stadighet. Dette må gjøres flere ganger i timen, helst hvert kvarter. For å kunne bestemme vindens styrke og ret­ ning når vi befinner oss i luften, bruker vi et instrument som kalles driftmåleren. Det finnes flere forskjellige typer, men de er som regel laget etter samme prinsipp. Driftmåleren består hoved­ sakelig av tre deler, en liten kikkert, en gjennom­ siktig glassplate, som har en rekke parallelle linjer risset inn, og en gradert skala, der vi leser av driften (fig. 4/1). Driftmåleren er plasert på

begreper, nemlig vindens retning og hastighet. Vindretning er den retning vinden blåser fra. Blåser det rett fra nord, sier vi at vindretningen er 000° eller 360°. Man skriver alltid retninger med tresifret tall for å unngå misforståelser eller feiltagelser. Blåser det fra sydvest, er vindret­ ningen 225°. Den hastighet en luftmasse beveger seg med, kaller vi vindens hastighet. Den kan oppgis på mange ulike måter, i kilometer pr. time (km/t), i miles pr. time (mph), i meter pr. sekund (m/s), i knop (nautiske mil pr. time) eller etter Beauforts vindskala. I tabellen 4:1 kan km/t

Svak vind.................. Lett bris...................... Laber til frisk bris . . Liten kuling............. Stiv kuling.................. Sterk kuling.............. Liten storm .............

10 20 30 40 50 60 70

mph

6,2 12,4 18,7 24.9 31,1 37,4 43,6

m/s

2,78 5,56 8,34 11,1 13,9 16,7 19,4

knop

5,4 10,8 16,2 21,6 27,0 32,4 37,8

Beaufort

2 3 4—5 6 7 8 9

Fig. 4/7. Driftmåler.

80

Full storm

................

49,8

22,2

43,2

56,0

25,0

48,6

62,2 68,4

27,8 30,6

54,0 59,4

10

90

Sterk storm ..............

Orkan .........................

11

100 110

12

Tab. 4:1. Forholdet mellom de forskjellige måter å angi vindstyrken på.

gulvet i flyet eller i veggen, slik at den stikker ut på siden av flyet. Når vi ser gjennom kikkert­ en, ser vi gjennom glassplaten og ned på bakken under oss (fig. 4/8). Glassplaten er vribar og for­ bundet med driftskalaen ved hjelp av en overføringsmekanisme. Når viseren på driftskalaen står på 0°, skal de parallelle linjene på glass-

4. Bestikknavigasjon

439

Vi flyr en kurs på 310° med egenfart 170 knop. Driften måles til 9° babord (venstre). Så for­ andrer vi kurs 60° til babord, dvs. til 250°, og flyr denne kurs i 2 minutter. Driften måler vi nå til 6° babord. Deretter gjør vi en ny kursforandring, denne gang 120° til styrbord (høyre), dvs. at vi nå flyr en kurs på 010° i 2 minutter. Her finner vi at driften blir 3° babord. Til slutt går vi tilbake til den opprinnelige kurs 310° og fortsetter turen. Ved hjelp av komputoren kan vi så regne ut at vinden som virker på flyet, er 025°/27 knop. Framgangsmåten for denne ut­ regning blir forklart under avsnittet om kom­ putoren, side 441. Den grafiske konstruksjon er vist i fig. 4/10.

platen være nøyaktig parallelle med flyets lengdeakse. Dette blir justert når driftmåleren monteres i flyet. Når vi skal måle driften, ser vi gjennom kikker­ ten mot bakken, som beveger seg under glass­ platen. Vi fester øyet på et bestemt objekt på bakken og kan følge dets bevegelser bakover langs glassplaten. A ed å vri litt på glassplaten kan vi få objektet, f. eks. et hus eller et veikryss, til å følge en av de parallelle linjene på glass­ platen. Nå flytter objektet seg forholdsvis fort bortover glassplaten, så vi gjentar forsøket med nye objekter et par ganger, til vi er sikre på at glassplaten er riktig innstilt. På driftskalaen kan vi nå lese av flyets drift i forhold til bakken. Ved å ta driften for et par forskjellige kurser kan vi deret­ ter lett regne ut den vindretning og vindstyrke som vir­ ker på flyet i øye­ blikket. Den sikreste må­ ten å finne vinden på er å bruke den såkalte 3-drift-vind metoden. Ai skal vise framgangsmå­ ten ved et eksempel Fig. 4/9. Flyets kurser ved 3-drift-vind. (jfr. fig. 4/9):

Som vi ser av fig. 4/11, har vi ved å bruke slike kursforandringer kom­ met tilbake på den opprinnelige kurs, idet vi har gjort en avstikker, som sammenlagt vil for4/11. «Dog-leg». sinke oss i 2 minut­ ter. Engelskmennene betegner meget treffende en slik manøver for en «dog-leg». 4.2.2. Vindtrianglet Av det som er nevnt foran, ser vi at flyet ikke kommer fram nøyaktig i den retning det styrer etter kompasset, men i en retning som er en kombinasjon av kursen vi styrer, og retning og

440

Rolff Larun: Luftnavigasjon

Fig. 4/13. Vindtriangel — motsatt vei av fig. 4/12.

styrke av den vind som virker på flyet. Hvis vi ser på fig. 4/12, der vi skal fly fra A til B, vil vi i vindstille komme fram til B. men hvis vi har sidevind fra babord av styrke BC, vil vi i stedet _komme fram til C. I siste tilfelle har vi i virkeligo heten beveget oss langs linjen AC og drevet av fra den egentlige kurslinjen et bestemt antall grader, lik vinkelen BAC, som vi kaller driftvinkelen. La oss i stedet tegne fig. 4/12 på en annen måte, slik som fig. 4/13. A i skal fremdeles fra A til B. men i stedet for å sette ut vinden/ra B setter vi den ut mot B. Linjen AB er den retning vi skal fram over bakken, og CB er den vindretning og styrke som virker på flyet. Vi kan nå lett se at linjen AC er den kurs vi må styre for å komme fram til B, dvs. vi må legge opp kursen mot vin­ den så mange grader som svarer til driftvinkelen BAC. Slike problemer som dette møter vi stadig når vi navigerer i luften. For å lose dem bruker vi vektorfigurer, slik som fig. 4/12 og 4/13, i en eller annen form. Dette trianglet kaller vi vindtrianglet. Det består alltid av de samme tre sider eller vektorer (se fig. 4/14). V ektorenes retning bestem­ mes av trekket (AB), vindretning (BC) og rett­ visende kurs (AC). \ektorenes lengde bestemmes av beholdt fart over bakken (AB), vindstyrken eller vindens hastighet (BC) og avlest korrigert fart eller egenfart (AC).

Fig.4/14. Vindtri­ angel — de seks størrelser.

\ i har altså 6 størrelser, som sammen danner det fullstendige vindtriangel. En del av disse størrelser er alltid kjent. Hvis vi kjenner 4 av dem, kan vi ved hjelp av disse lett finne de to resterende. Vi bruker da den enkle grafiske fram­ gangsmåten, dvs. vi tegner opp vindtrianglet

f. eks. på millimeterpapir. Sidenes retning setter vi av ved hjelp av en transportør, slik at de lodd­ rette linjene på millimeterpapiret representerer nord. Sidenes lengde avsetter vi i millimeter, slik at en mm tilsvarer 1 knop. La oss ta et par praktiske eksempler: • Eksempel 1. Et fly skal navigere fra A til B. I kartet finner vi at det trekk vi skal fram i, er 090°. Flyets egenfart er 120 knop. Fra værvarslingskontoret får vi oppgitt at vinden er 315°/25 knop. Hva blir rettvisende kurs og beholdt fart?

i

0

i

।

।

i

10 20 30 40

।

50

।

i

।_______।_____ i

60 70 80

90 100 mm

Fig. 4/15.

Løsning: Se figur 4/15. På millimeterpapiret merker vi av punkt A. Fra A setter vi av trek­ ket 090° ved hjelp av transportøren eller protr aktoren. Så setter vi av vindens retning 315°, også fra A, og merker av vindstyrken 25 knop eller mm. Det punkt vi da får, kaller vi C. Med en passer tar vi deretter egenfarten, 120 knop (mm), mellom passerspissene, og med den ene spissen i C slår vi en liten bue på trek­ ket fra A. Det punkt vi da får, kaller vi B. Nå trekker vi opp en linje fra C til B, og vindtriang­ let er ferdig. Linjen AB er trekk og beholdt fart, AC er vindvektoren, og CB er rettvisende kurs og egenfart. Måler vi retningen av CB, får vi 081°, som blir rettvisende kurs. Lengden av AB, som blir 136 mm, er da beholdt fart — 136 knop. • Eksempel 2. Vi flyr en rettvisende kurs på 100° med egenfart 130 knop. Fra kartet ser vi at trekket er 085° og beholdt fart 110 knop. Hva er vindens retning og styrke ? Løsning: Se figur 4/16. Vi setter av punkt A. Fra A trekker vi opp rettvisende kurs 100°, og langs denne linjen merker vi av egenfarten 130 knop (mm) i punkt C. Videre tegner vi opp trekket 085° og merker av beholdt fart 110 knop (mm) i punkt B. Vi forbinder B og C. Nå er konstruksjonen ferdig. Retningen av BC leser vi av med transportøren til 151°, lengden måler vi til 37 mm. Vindens retning og styrke er altså

Bestikknavigasjon

441

der protraktoren. Ved hjelp av komputoren er det en forholdsvis enkel og hurtig affære å løse problemer i forbindelse med vindtrianglet. A i trenger bare en brøkdel av den tid det tar oss etter den grafiske framgangsmåten.

L

0

.1

10

I

20

I

30

l______ I_____ I_____1---- L------- 1--------

40

50

60

70

80

90

100 mm

Fig. 4/16.

151°/37 knop. Her må man alltid passe pa at vindretningen blir riktig og ikke omvendt. • Eksempel 3. Vi flyr en rettvisende kurs på 285 med en egenfart av 110 knop. Vindens retning og styrke er 045°/30 knop. Hva blir trekk og beholdt fart ?

Løsning: Se fig. 4/17. Merk av punktet A. Fra A trekker vi opp rettvisende kurs 285° og setter av egenfarten 110 knop langs denne linjen i C. Fra C setter vi av vindretningen 045° og vind­ styrken 30 knop (mm) til punkt B. Så trekker vi opp linjen AB Retningen av AB blir 273°, som er trekket. Lengden av AB er 128 mm, som blir beholdt fart 128 knop. Som det går fram av eksemplene vi nettopp har gjennomgått, kan vi altså ved hjelp av vindtrianglet løse de forskjellige problemer som opp­ står, hvis vi bare kjenner noen av faktorene på forhånd. Det dreier seg her alltid om retning eller fart. Men når vi befinner oss i luften, be­ veger vi oss så hurtig at vi som regel ikke har tid til å bruke den grafiske løsningen som er forklart foran. I stedet har vi et annet hjelpe­ middel, i form av en slags regneskive, som kalles komputor (uttales kompju’tor). Navnet er eng­ elsk, men da vi ikke har noen tilsvarende beteg­ nelse på norsk, blir det også i Norge brukt av alle som steller med luftnavigasjon. Det samme gjel­

4.2.3. Komputoren Av figur 4/18 ser vi hvorledes komputoren ser ut på for- og baksiden. La oss ta for oss forsiden først. Denne består av to bueformede stykker, som holdes på plass av to svarte sidestolper. Det øverste buestykke er på midten forsynt med en liten pilspiss, merket TRUE INDEX, og har en inndeling til 45° på hver side av indeksmerket. Inndelingen nyttes ved avlesning av drift (til hoyre/styrbord eller venstre/babord) eller mis­ visning (vestlig eller østlig). Forkortelsen A AR står for det engelske ordet «variation», som betyr misvisning. Innenfor buestykkene finner vi en hvit ring, kompassrosen, som er delt inn i grader fra 0 til 360. Kompassrosen er festet til en gjennomsiktig, matt skive, som man kan tegne eller skrive på med en blot blyant. Skivens sentrum er forsynt med en bitte liten sirkel eller innstillingsmerke. Sammen med mattskiven kan kompassrosen dreies helt rundt, slik at vi kan sette det gradtall vi ønsker mot indeksmerket på det ovre buestvkke. Den avlange platen under kompassrosen og buestykkene stikker ut på begge sider. Den kan skyves opp og ned under mattskiven. Midtlinjen på platen er forsynt med tall fra 30 til 300 og viser farten i knop. De buede linjene på platen er fartslinjene forlenget ut fra midtlinjen. På figu­ ren ser vi at platen er stilt slik at farten 160 knop står under innstillingsmerket på mattskiven. De lange, rette linjer på hver side av platens midt­ linje viser driften i grader. Som vi ser, er hver femte grad trukket opp med litt tykkere linjer. Det samme er gjort for fartslinjene, men her for hver tiende knop. Begge sider av platen kan brukes, men den nyttes bare i forbindelse med komputorens forside. På komputorens bakside ser vi ytterst en ring med tall som viser distanser. A i begynner ved 10-tallet i den svarte ruten øverst, og går rundt skiven i retning med urviseren. Innenfor finner vi en ny ring med tall som er delt inn i tid eller minutter. 0 eller 60 minutter er merket med en svart pilspiss. Denne ringen er dreibar, og ved å bevege den kan vi stille minuttpilen mot et hvilket som helst tall på distanseskalaen utenfor. Den dreibare skiven har dessuten to spalter eller

442

Rolff Larun: Luftnavigasjon

Fig. 4/18. Komputorens for- og bakside.

vinduer innenfor tidsinndelingen. Disse er også merket med en inndeling, den overste av dem er for høydekorreksjoner, den nederste for fartskorreksjoner. Vi skal nå se litt på bruken av komputoren, og begynner igjen med forsiden. Denne er i vir­ keligheten bare et forkortet vindtriangel, der kompassrosen og platens driftlinjer representerer trianglets vinkler, og platens fartslinjer represen­ terer trianglets sider. I stedet for å tegne et triangel kan vi altså sette inn på komputoren de forskjellige kjente størrelser. Hvis vi nå nytter de samme oppgitte størrelser som i eksempel 1 på side 440, kan vi ved hjelp av komputoren

finne fram til rettvisende kurs og beholdt fart på følgende måte: Vi dreier kompassrosen slik at vi får vind­ retningen 315° under indeksmerket. På mattskiven merker vi så av vindens styrke nedover fra innstillingsmerket i sentrum med en rett linje med blyant og setter et kryss for 25 knop, som vi teller nedover. Dette er vindvektoren. Så for­ skyver vi den bevegelige platen slik at vi får egenfarten 120 knop rett under innstillingsmer­ ket på mattskiven. Deretter dreier vi kompass­ rosen til trekket 090° står under indeksmerket. Krysset på vindvektoren faller nå over den rette driftlinjen på platen, som viser ca. 8° drift til

Bestikknavigasjon

443

høyre. Vi må derfor dreie kompassrosen 8 til for driftlinjene, finner vi vindstyrken, som blir høyre. Dette kan vi lett gjøre, da det øvre bue- 27 knop (fig. 4/20). stykke også er inndelt i grader. Vi setter altså kursen 315° rett over den streken på buestykket som viser 8° drift til høyre. Men nå oppdager vi at krysset på vindvektoren har forskjøvet seg til 9 “-driftlinjen på platen. Vi må derfor dreie kom­ passrosen ytterligere 1 til høyre, fordi det må være likt antall grader drift både på buestykket og på platen før vi kan lese av. Iblant kan det være nødvendig å vri kompassrosen litt fram og tilbake for man finner akkurat likt antall grader. Komputoren er nå riktig innstilt, og vi kan lese av rettvisende kurs på kompassrosen rett under indeksmerket = 081 . X idere husker vi at de buede linjene på platen var fartslinjene. X i har selv satt egenfarten 120 knop under inn­ stillingsmerket på mattskiven. Hvis vi folger den fartslinjen som ligger under krysset på vind­ vektoren inn til midtlinjen på platen, kan vi lese av beholdt fart, som i dette tilfelle blir 136 knop. Vi har altså kommet fram til samme resultat som vi fikk ved å lose vindtrianglet grafisk. Komputoren gir selvfølgelig ikke fullt så nøy­ aktige resultater, men med litt øvelse i å bruke den blir ikke forskjellen stor. Det vi taper i nøyaktighet, vinner vi i stedet i innsparing av Fig. 4/19. Komputorens forside med 3-drift-vind inntegnet. tid, og dette er ofte like viktig. Som vi så på side 439, kan vi finne vindens retning og styrke ved å måle driften på tre for­ skjellige kurser. På komputoren bruker vi der­ etter følgende framgangsmåte (vi bruker samme verdier som i eksemplet på side 439): Vi setter flyets egenfart 170 knop under inn­ stillingsmerket på mattskiven. På kompassrosen stiller vi den første kurs 310° under indeksmerket. Driften var på denne kurs 9° babord. X i finner fram til den driftlinjen til venstre for midtlinjen (babord = venstre) som viser 9°, og tegner med blyant opp en strek over denne linjen (fig. 4/19). Nå stiller vi inn neste kurs 250 under indeks­ merket. Driften her var 6° babord, som vi tegner opp slik at streken krysser 9 -linjen. Der­ etter stiller vi inn den tredje kurs under indeks­ merket med 010°, og trekker opp driftlinjen for 3° babord drift. Hvis vi har stilt inn og lest av riktig på driftmåleren, skal de tre driftlinjene vi har tegnet opp, skjære hverandre omtrent i ett punkt. Til slutt vrir vi mattskiven slik at skjæringspunktet for driftlinjene ligger rett over midtlinjen nedenfor innstillingsmerket. På kom­ passrosen kan vi da ved indeksmerket lese av vindretningen 025°, og ved å telle nedover midt­ Fig. 4/20. 3-drift-vind. Avlesning av vindretning og vind styrke. linjen fra innstillingsmerket til skjæringspunktet

444

Rolff Larun: Luftnavigasjon

Komputorens bakside er også et meget ofte nyttet og verdifullt hjelpemiddel når vi skal lose problemer i forbindelse med tid og distanse, f. eks. et problem som dette: Vi skal fly fra A til B. \ i har målt i kartet at distansen mellom stedene er 350 nautiske mil. Vi flyr med beholdt fart av 100 knop. Hvor lang tid trenger vi på strekningen A til B ? Løsning: Både distanse og tidsskalaen på komputorens bakside er delt inn logaritmisk, dvs. at f. eks. 10-tallet kan nyttes som 1, 10, 100 osv. Man må bare passe på at man regner likt med nuller eller desimalkomma både på ytre og indre ring. Vi skal også huske på at den ytre ringen kan brukes bade til distanse og fart, og den indre ringen til både tid og fart. Vi stiller nå pilspissen (nullmerket) på den indre dreibare tidsringen rett overfor 10-tallet på distanserin­ gen, slik som vist på fig. 4/21. 10-tallet tilsvarer da

La oss prøve et annet eksempel, der vi går den motsatte veien: Vi flyr fortsatt med en beholdt fart av 100 knop. Hvor lang strekning kan vi tilbakelegge på 1| time? Løsning: Pilen på tidsringen må fortsatt stå rett ut for 100 knop på distanseringen. 1} time omgjort i minutter = 105 minutter. Rett ut for 105 på den indre ringen leser vi av 175 på distan­ seringen. Kontroller selv på figur 4/23. Altså kan vi fly 175 nautiske mil på 1| time.

Fig. 4/22. Komputorens bakside. Avlesning av distanse og tid.

Fig. 4/21. Komputorens bakside. Innstilling for avlesning av beholdt fart.

vår beholdte iart på 100 knop. Så finner vi tallet 35 (som tilsvarer distansen på 350 nautiske mil) på den ytre ringen, og rett innenfor 35 leser vi på den indre ringen tallet 21 (fig. 4/22). Ifølge regelen med nullene skal 21 da være 210. Dette er det antall minutter vi bruker på å fly vår distanse. 210 minutter = 3^ timer.

Fig. 4/23. Komputorens bakside. Avlesning av tid og di­ stanse.

4.3. Plotting Det arbeid vi utfører i kartet under planlegging av en flytur og under selve turen ette r hvert som flyet beveger seg framover, kalles i flygerspråket for plotting. \ i forer et plott i kartet og plotter flyets bevegelser og andre data i forbindelse med navigeringen. Ved plottingen trenger vi de

hjelpemidler som er beskrevet foran, nemlig protraktor og komputor. Dessuten må vi bruke avlesningene fra driftmåleren, og passer og linjal. Sammen med kartplottet fører vi også en navigasjonslogg, dvs. en oversikt over de beregninger vi utfører, kursene vi flyr osv. Loggen be-

4. Bestikknavigasjon

står av et skjema som er delt opp i rubrikker (se fig. 4/24, s. 462), som vi fyller ut etter hvert som vi beveger oss framover. Inndelingen av loggen kan være noe forskjellig, men den inneholder som regel rubrikker for de fleste av de opplysninger som vi nytter under navigeringen. Loggen er et offisielt dokument, som skal fores nøyaktig og oversiktlig. Den er et bevismiddel for naviga­ tøren og skal bekrefte at han har utfort sitt arbeid omhyggelig og etter gjeldende forskrifter.

4.3.1. Definisjoner og uttrykk For vi går nærmere inn på framgangsmåten ved plotting og loggføring, er det nødvendig a for­ klare noen av de uttrykk som nyttes. De er som regel internasjonale, men av praktiske grunner er de ofte tillempet vårt eget språk, slik at de blir lettere å forstå. I Norge har vi ennå ikke noen offentlig fastlagte uttrykk, men de som er nevnt i det følgende, har etter hvert blitt innarbeidet og er de som nå vanligst forekom­ mer. Vind: Vind er et uttrykk for den vindretning og vindstyrke som virker på flyet. \ indretning er den retning vinden blåser fra. Den uttrykkes i grader fra 000—360, og skrives alltid med tre siffer. Vindstyrke er den hastighet en luftmasse beveger seg med. Vindstyrken blir vanligvis oppgitt i knop. Kurs: Kursen er den retning flyets nese peker i. målt fra nord langs flyets lengdeakse. Kursen blir oppgitt i grader fra 000—360, og skrives alltid med tre siffer. Da vi har tre utgangspunk­ ter for målingen, rettvisende nord, misvisende nord og kompassets nord, får vi også tre slags kurser, nemlig: rettvisende kurs (RK), målt fra rettvisende nord, misvisende kurs (MK), målt fra misvisende nord. °g kompassets kurs (KK), målt fra kompassets nord. Trekk: Trekk kalles den retning flyet beveger seg i over jordoverflaten. Når flyet går rett mot eller rett med vinden, faller trekket sammen med rettvisende kurs. Den linje vi trekker i kartet mellom to steder og som vi vil følge, kalles «ønsket trekk» (0. Tr.). Den linje flyet kommer fram i etter at vi har korrigert for oppgitt vind, kalles «fløyet trekk» (F. Tr.). Drift: Vinkelen mellom trekk og kurs kalles drift. Driften skyldes vindens horisontale virk­ ning på flyet. I vindstille har man ingen drift. Driften måles fra rettvisende kurs og betegnes som styrbord (S) drift når flyet driver av til høyre eller til styrbord, og den betegnes som

445

babord (B) drift når flyet driver av til venstre eller til babord. Peiling: Peiling er den retning et punkt ligger i forhold til et annet punkt. På samme måte som for kurser kan vi uttrykke peilinger på tre måter, rettvisende peiling, misvisende peiling og kompasspeiling. Hvis ikke annet er anført, er imid­ lertid peilingene alltid rettvisende. De måles i grader fra 000—360 og skrives alltid med tre siffer. Relativ peiling: Hvis ikke annet er anført, viser ordet «peiling» alltid til en retning målt fra nord. Av og til er det imidlertid praktisk å nytte et annet utgangspunkt enn nord for å måle en peiling. Man ønsker f. eks. i stedet å bruke en linje gjennom flyets lengdeakse som utgangs­ punkt for peilingen. Den måles da med urviseren fra linjen gjennom flyets lengdeakse, og uttrykkes i grader fra 000—360. Flyets nese er da utgangs­ punkt og betegnes som 000° eller 360°. Når peilingen måles på denne måten, kalles den for «relativ peiling». Beholdt fart: Beholdt fart er den fart flyet be­ veger trekket, i forhold til o Oseg med langs o J jordoverflaten. Egenfart: Egenfart er den fart flyet beveger seg med langs rettvisende kurs, i forhold til luftmassene omkring flyet. Vindens fart: Vindens fart er den fart luft­ massen beveger seg med i forhold til jordover­ flaten. Bakkeposisjon: Det punkt på jordoverflaten som ligger loddrett under flyet, kalles for flyets bakkeposisjon. Luftposisjon: Det punkt man kommer til i kartet når man setter av rettvisende kurs og distansen i henhold til flyets egenfart, kalles flyets luftposisjon. Det er bare en tenkt posisjon, som nyttes i forbindelse med beregning av vin­ dens retning og styrke. Luftposisjon forkortes LP. Bestikkposisjon: Bestikkposisjon (BP) er den posisjon man finner i kartet, når man fra luftposisjonen avsetter vinden som har virket på flyet i samme tidsrom. Trekk Pilreglene: For å mar­ Rettv. kurs kere de forskjellige kurser i kartet, markeres de Vindretning med pilhoder. Trekket merkes med et enkelt pil- Fig. 4/25. Pil-reglene. (Fig. 4/24 og 4/26: Se bilag s. 460.) hode, rettvisende kurs med et dobbelt pilhode og vindretningen med et tredobbelt pilhode (figur 4/24).

446

Rolff Larun: Luftnavigasjon

4.3.2. Kartet og loggen For å forklare framgangsmåten på enkleste måte velger vi et praktisk eksempel, og gjennom­ går plottingen skritt for skritt. På side 460 er gjengitt en del av et plottekart i Merkatorprojeksjon og i målestokk 1:2.000.000 (figur 4/26). Som vi ser, omfatter dette kartet bl. a. den sørlige del av Norge, Nordsjøen og en del av Skottland. Det er bare beregnet på plotting og viser derfor svært lite av slike detaljer som vi er vant til å finne i et kart. Her er bare tatt med kystlinjer, høye fjell­ kjeder, fjelltopper, byer og fyrtårn, dessuten større elver og innsjøer. Lengde- og bredde­ grader derimot er tegnet inn meget tett. De er trukket opp for hvert tiende minutt, slik at vi raskt og lettvint skal kunne sette av eller ta ut posisjoner i kartet. Foruten de linjer som viser lengde og bredde, ser vi at det i kartet er trukket opp en del stip­ lede linjer. Disse kalles isosoner og gir misvis­ ningen på stedet. Som vi husker fra avsnittet om magnetisme, er misvisningen det samme som vinkelforskjellen i grader mellom rettvisende og misvisende nord (jfr. side 429) Nå forholder det seg slik at misvisningen på et sted forandrer seg meget langsomt, fordi den magnetiske nordpol stadig beveger seg. For det område som vårt kart dekker, blir misvisningen omtrent 10' mindre for hvert år. Forandringens størrelse er alltid oppgitt i kanten av kartet. Derfor har man på isogonene alltid påført det årstall som misvis­ ningen er utregnet for. Som vi ser av kartet, er det her årstallet 1954 som er anført. For å få den riktige misvisning for 1958 må vi derfor rette den misvisning som er anført i kartet. Da det er en tidsforskjell på 4 år med en forandring av 10' årlig, blir den samlede rettelse 4 x 10’ — 40’ = 2/3 eller omtrent 1° mindre enn den verdi som er oppgitt i kartet. La oss så gå over til vårt eksempel på plotting. Dette har intet med de virkelige forhold å gjøre når det gjelder luftfartsbestemmelser etc., men er bare et praktisk eksempel på den framgangs­ måte som nyttes ved navigering i luften. Brett ut sidene med loggen og plottekartet og følg med i begge, etter hvert som vi går igjennom eksemp­ let skritt for skritt. Vi befinner oss på Kjevik flyplass ved Kristian­ sand S. og skal fly til Edinburgh i Skottland. Vårt fly har en egenfart av 150 knop. Fra værtjenesten får vi en oversikt over vind- og værforholdene på ruten, og får bl. a. oppgitt at vinden på den første delen av ruten er 310°/18 knop. Over Nordsjøen dreier vinden mer N-lig og øker til 30 knop. Nær

Edinburgh avtar vinden igjen til 15 knop. (Se rutevarselet, figur 4/27.) Vi skal nå se hvordan vi, bl. a. ved å dra nytte av radiofyrene, kan finne de kursforandringer som må gjores på turen på grunn av vindforandringene. Avgangen er satt til klokken 1215 GMT og flyhøyden blir ca. 2000 meter. Det første vi gjør, er å ta en linjal og trekke opp en rett linje i kartet mellom Kristiansand og Edinburgh. Vi bruker en spiss blyant og tegner inn en tynn strek. Dette er den linje vi må be­ vege oss fram' i undt’r flyturen. Den kalles flyets trekk. Vi måler trekket med protraktoren (jfr. side 435) og finner at det er 250°. Deretter måler vi distansen. Vi vet at et breddeminutt i Merkatorkartet svarer til en nautisk mil. Med passeren tar vi på riktig plass fra breddeskalaen et passen­ de stykke mellom passerspissene, f. eks. 100 nautiske mil. Husk på regelen om middelbredden. Med dette stykke «skritter» vi opp distansen ved å flytte passeren bortover trekket. Det siste stykke tar vi nøyaktig ut og måler det på bredde­ skalaen. Hvis det er riktig gjort, skal vi få en distanse på sammenlagt 389 nautiske mil. Prøv selv med en passer i kartet. Ved hjelp av komputoren kan vi nå regne ut hvor lang tid vi trenger på turen. Vi må samtidig huske på å ta hensyn til vinden vi fikk oppgitt på værtjenesten, 310°/18 knop. Som tidligere forklart (se side 442) tegner vi inn vinden med et kryss på komputorens mattskive, setter vår egenfart 150 knop under innstillingsmerket og vrir kompassrosen til vi får ønsket trekk 250J utfor indeksmerket. Vi ser da at vi driver av 6 til venstre (babord). Så vrir vi kompassrosen 6° til venstre og sorger for å få likt antall grader både på buestykket og ved driftlinjene under mattskiven, fremdeles 6°. Den rettvisende kurs vi må styre for å få ønsket trekk på 250°, blir altså 256°. Samtidig passer vi på å lese av be­ holdt fart under vindkrysset. Det blir 140 knop. Da vi vel neppe har en komputor for hånden, kan vi i stedet tegne opp vindtrianglet og se om vi får samme resultat. Se framgangsmåten på side 440. Vår beholdte fart var 140 knop. For å finne hvor lang tid vi trenger til Edinburgh, går vi inn på komputorens bakside og setter pilspissen på den dreibare skiven rett ut lor 140 på den ytre ringen. Så går vi inn med distansen 389 n. mil på ytre ring og leser av på indre ring tallet 167, som er minutter og blir lik 2 timer 47 minutter. Vi kan lett kontrollere dette selv. Hvis vi divi­ derer distansen 389 med farten 140 knop, får vi 2,078 timer. 0,078 omgjort til minutter blir

447

4. Bestikknavigasjon

Kjevik- Edinburgh,

ruten

Avgang mellom

1200 og

1500 GMT.

Ankomst mellom 1400 og

16 00 GMT.

---------- ►

3

0.

------ ►

IV.

Vær:

(km)

Lufttrykk i MSL

Vind:

i

91

;l

hi

I/W

Hi Ivskyct

Moderat til sttrk ising i bygeskytr

Merknader.Skyhøyde (meter)

/ > ' 1

Regnbyger

Pent

t e

:

1 f t 1

MSL

Sikt

n

l‘

°

:

1 •

H l

1000 m

J

\

1

3000 m

a

'w

4000 m

A

5000 m

2000 m

* Ldtnbirgh

1

Kjevik

1

for

i

Værvarsel

800 m.______ 40 km. 10 02 mb.

1 000 m. ._ 400 rn.____ 30 km.) 1~2 km. 5

300740 140750

knop

3 4 0°/2 5 knop "

Q_10_y_l_0__ knop__ _____36_oy_i 5 3 40°/ 20 3 10 */35

Fig. 4/27. Rutevarsel for flyturen.

46,8, som vi forhøyer til 47 minutter. A i trenger altså 2‘ 47m fra Kristiansand til Edinburgh med den vind vi har fått oppgitt. Hvis vi starter etter planen klokken 1215, vil vi være framme kl. 1502, som blir vår beregnede ankomsttid. Nå må vi regne ut hvilken kurs vi skal styre etter kompasset for å komme fram langs trekket, dvs. den linjen vi har trukket opp i kartet. A ed slike utregninger bruker vi alltid en fast fram­ gangsmåte. slik som vi har vist tidligere på side 436. Forskjellen fra utregningen på side 436 er bare at nå har vi også tatt hensyn til driften. Når vi driver av til babord eller til venstre for kurslinjen, må vi selvfølgelig legge opp 6C den motsatte vei for å holde oss på kurslinjen i

kartet eller på ønsket trekk. Vi får da rettvisende kurs. Regnestykket blir slik: Ønsket trekk Drift babord

Rettv. kurs (RK) Korr. misv. fra kart Misv. kurs (MK) Deviasjon Kompasskurs (KK)

=

= — =

= =

250° 6° 256° 4°V

260° 3°0 257°

Misvisningen tar vi ut av kartet, vi må bare huske på å rette den opp for forandringen. Dette gjores lettest ved å stryke over de gamle tallene

448

Rolff Larun: Luftnavigasjon

som står skrevet langs isogonene i kartet, og skrive de nye ved siden av. I kartet ser vi videre at misvisningen oker etter hvert som vi flyr vest­ over. I begynnelsen nytter vi derfor misvisningen på avgangsstedet, og så må vi passe på å for­ andre den etter hvert som vi flyr vestover. I Kristiansand S. er misvisningen i kartet 5°V for 1954. Som vi har forklart tidligere, må vi for dette kart hele tiden trekke fra 1° for å få den riktige misvisning for 1958. Med rettvisende kurs på 256° og 4°V misvisning får vi da mis­ visende kurs 260 . På denne kurs må vi deretter nytte deviasjonen (jfr. tabellen på side 436), som er 3 0. Vi får da til slutt den kurs vi må styre etter kompasset, 257 . Hvis vi ser på figur 4/28, kan vi lett kontrollere at vi har fått riktig resultat.

4/28.

Dette ser kanskje vanskelig ut, men når man har gjort utregningen noen ganger, går det helt automatisk. Vi må bare være helt sikre på om vi skal legge de forskjellige rettelsene til eller trekke dem fra. Dette kontrollerer man i be­ gynnelsen best ved alltid å tegne en hjelpeskisse, slik som figur 4/28. Flyet tar nå av fra flyplassen kl. 1213 og vi befinner oss rett over Kristiansand presis kl. 1215. Dette forer vi inn i navigasjonsloggen, og fyller ut rubrikkene for øvrig. Flygeren får be­ skjed om å styre den kompasskurs vi på forhånd har regnet ut, 257°. Fra kartet ser vi at trekket går rett over Lindesnes fyr. Vi måler distansen dit, det er 31 n. mil. På komputorens bakside går vi inn med denne distanse og beholdt fart. Vi finner at det vil ta oss 13| minutt å fly dis­ tansen. Vi skal altså være over Lindesnes kl. 1228^, hvis den vinden vi har fått oppgitt, er riktig. Kl. 1228 ser vi Lindesnes fyr under oss. Vi har da lov til å regne med at den vinden vi

har brukt, er temmelig korrekt. For sikkerhets skyld kontrollerer vi driften ved hjelp av drift­ måleren, og finner at den fremdeles er 6° babord. Nå forlater vi land og begir oss ut over Nord­ sjøen, fremdeles med samme kurs, bortsett fra at vi retter opp misvisningen med 1°, slik at kompasskurs nå er 258°. Dette fores inn i loggen. I kartet og loggen merker vi av passeringstiden over Lindesnes fyr, kl. 1228. Kl. 1243 kontrollerer vi igjen driften, som nå har økt til 9° babord. En halv tiiné etter 'at vi passerte Lindesnes fyr, vil vi kontrollere vår posisjon. Vi nytter flyets radiopeileapparat og tar en radiopeiling av Stavanger radiofyr og en av Hanstholm radiofvr i Danmark. Stavanger peiler vi i 013° og Hanst­ holm i 102 , begge peilingene er rettvisende og tatt kl. 1258. Disse peilingene setter vi av i kartet ved hjelp av protraktoren. Vi legger denne slik at sentrumshullet kommer rett over Stavan­ ger. Linjene på protraktoren skal være parallelle med lengde- eller breddegradene i kartet. Da peilingene er tatt fra flyet til radiofyret, må vi sette av den motsatte peiling av 013°, dvs. 193° ut fra Stavanger radiofyr. Da vi ikke kjenner flyets nøyaktige posisjon i øyeblikket må vi i kartet sette av peilingen fra radiofyret. Radio­ fyrets posisjon kjenner vi. På samme måte går vi fram med peilingen av Hanstholm radiofyr, idet vi setter av motsatt peiling, 282°, ut fra fyret. Vi ser at peilingene krysser hverandre, og skjæringspunktet er flyets posisjon kl. 1258. Peilingene og posisjonen (57°31’N, 05°06’0) noteres i loggen. I kartet noterer vi klokkeslettet ved peilingenes skjæringspunkt. Legg merke til at vi nå har drevet av til babord for det trekk vi har i kartet. Dette skyldes for­ andring i vinden. Hvis vinden hadde vært uforandret, skulle vi jo ha befunnet oss på trekket i posisjon 57°05’N, 05°02’0. Dette svarer til en halv times flyging med beholdt fart 140 knop, eller en distanse på 70 n. mil fra Lindesnes fyr langs det avmerkede trekk. \ i bestemmer oss derfor for å kontrollere vinden. Dette kan vi gjøre på to forskjellige måter, enten ved å nytte driftmåleren og ta en 3-drift-vind (jfr. side 443) eller ved å bruke luftplott-metoden. Den første metoden er allerede beskrevet. A i velger derfor å bestemme vinden ved hjelp av luftplottmetoden. Først må vi da finne vår lujtposisjon (LP) i kartet. Luftposisjonen er det sted vi ville ha vært hvis vi bare nytter rettvisende kurs og flyets egenfart i den tid som er gått fra siste sikre posisjon, nemlig Lindesnes fyr. Rettvisende kurs er 256°, egenfart er 150 knop, og anvendt tid

4. Bestikknavigasjon

fra Lindesnes fyr er 30 minutter. Det er da lett å finne ut at vi har tilbakelagt en luftdistanse på 75 n. mil. I kartet trekker vi ved hjelp av pro­ traktoren opp rettvisende kurs 256c fra Lindes­ nes. Med passeren avsetter vi 75 n. mil langs den­ ne kurs. Det punkt vi da får, er vår luftposisjon kl. 1258. Luftposisjonen i kartet merkes alltid med et lite kors. Kontroller selv plottingen i kartet med en passer. Som vi ser, ligger luft­ posisjonen et stykke nordvest for peilingenes skjæringspunkt. Vi trekker en linje gjennom begge posisjoner. Dette er den retning og distanse som vinden har virket på flyet i, siden vi gikk fra Lindesnes. Retningen finner vi med protrak­ toren til 315°, og distansen måler vi med passeren til 14 n. mil. Da vindstyrken skal oppgis i knop (n. mil pr. time), og det tidsrom vi nå regner med bare er 30 minutter, blir følgelig vindstyrken det dobbelte, 28 knop. Vinden som har virket på flyet siden 1228, er derfor 315°/28 knop. Den har altså dreid litt mot nord og økt noe siden vi forlot Lindesnes. Vi har derfor drevet av til venstre for trekket, og kommet fram litt lang­ sommere enn beregnet. Dette må vi nå korrigere. A i tar i kartet ut nytt trekk til Edinburgh fra vår siste sikre posisjon kl. 1258. Det blir 251°, og distansen måler vi til 288 n. mil. Ved hjelp av komputoren utfører vi samme beregning som vi gjorde før starten i Kristiansand S. A i får da følgende residtat (jfr. figur 4/29): 0. Tr. drift babord

=

251° 10°

RK misv.

= =

261° 6°V

MK dev.

=

=

267° 3°0

KK

=

264°

Som vi ser, har vi passet på å forandre misvis­ ningen ytterligere 1°. Deviasjonen er uforandret. Vi gir straks beskjed til flygeren om å styre den nye kompasskurs 264°. Fra komputoren har vi fått ny beholdt fart = 136 knop. For å fly de resterende 288 n. mil trenger vi da 2r 07m, som gir oss ny beregnet ankomsttid kl. 1505. Følg med i loggen, hvor alle rubrikkene nå er fylt ut på nytt. Ja, nå tror man vel at navigatøren kan sette seg godt tilbake i stolen og slappe av og vente til flyet kommer fram til Edinburgh (fig. 4/30). Men så heldig er han nok ikke, han må stadig være i 29 - Teknikk I

449

Fig. 4/30. Navigatørens arbeidsbord i DC-6B. Lengst til ven­ stre Loran-mottagerens indikator med katodestråleror, i midten høydemåler og fartsmåler etc.

aktivitet, kontrollere drift, misvisning og devi­ asjon, og prøve å få nye sikre posisjoner. A idere skal logg og kart holdes å jour, og vind og vær observeres. Kl. 1315 måles driften på nytt, den er nå bare 4° babord. Av dette slutter vi at vinden enten har spaknet eller forandret retning. Kl. 1325 er det helt overskyet og regn rundt flyet, men sjøen er synlig under flyet. Vi retter opp misvisningen, som nå er 7CA' og tar ny drift, som viser seg å være 5° babord. Kl. 1335 prøver vi å få en sikker posisjon igjen. A i bruker atter radiopeileapparatet og tar en radiopeiling av Rattray Head og en annen av Newcastle radio­ fyr, begge ligger på østkvsten av Skottland. Peilingen av Rattray Head er 284 °R, og av Newcastle 225°. Vi plotter peilingene, som skjæ­ rer hverandre i posisjon 57 06’N, 02°10 0. Luft­ posisjonen kl. 1335 settes også ut. Forskjellen mellom posisjonene gir oss igjen en vindvektor.

45 o

iRolff Larun: Luftnavigasjon

Tidsforskjellen fra siste vindbestemmelse er 37 minutter, og vektoren måler vi med passeren til 10 n. mil. Disse opplysningene går vi inn med på komputorens bakside, idet vi stiller 37m på indre ring, rett overfor 10 n. mil på ytre ring. Rett ut for pilen på indre ring leser vi så av 16.2. Dette er vindeffekten i en time. Vindretningen måles i kartet med protraktoren til 019°. Vinden som har virket på flyet fra kl. 1258, er altså (av­ rundet) 019°/16 knop. Den har, som vi ser, dreid ytterligere nordover og spaknet en del, men gir oss likevel en betydelig bedre beholdt fart, da den nå er mer akterlig. Vi gjentar framgangs­ måten på komputoren som for Kristiansand, idet vi forst måler nytt trekk i kartet fram til Edinburgh fra vår nye sikre posisjon, som vi fikk ved peilingene. Trekket blir nå 249°, og som vi kan se av rubrikkene i loggen for kl. 1335, blir kompasskursen 257°, som flygeren får be­ skjed om å styre. Vår beholdte fart har økt til 160 knop, resterende distanse å fly måles til 190 n. mil. Flytiden blir da 1* llm. Dette gir oss ny beregnet ankomsttid kl. 1446. Kl. 1345 er det igjen nødvendig å rette misvis­ ningen, som vi av kartet ser er 8°V. Kompass­ kurs blir 258°, som vi ber flygeren styre. Været letter nå, og sikten blir bedre. Sannsynligvis har vi passert værfronten. Kl. 1355 er vi klar uværet og flyr under lette skyer. Sikten blir anslått til 25 n. mil. Driften kontrolleres, den er 5° babord. Dette noteres i loggen. Samtidig regner vi ut og setter av vår bestikkposisjon (BP) i kartet. Den merkes alltid med en trekant. Etter en stund ser vi at sjøen er blitt roligere. Ny drift måles derfor kl. 1410 og viser 5° babord. Dette gir oss en mistanke om at vinden har dreid mer forlig igjen og spaknet en del. Vi beslutter oss til å kontrollere beholdt fart, for å kunne gi flygeren sikker ankomsttid til Edinburgh. Vi tar derfor en radiopeiling igjen av Rattray Head kl. 1415 og får peilingen til 332°R. Den plottes i kartet og skjærer vårt trekk nesten i rett vinkel. Dette er gunstig når det gjelder en fartskontroll. Da driften er uforandret, regner vi fremdeles med å være på samme trekk. Vi måler nå fløyet distanse i kartet langs trekket fra kl. 1335 til kl. 1415, det blir 103 n. mil på 40 minutter. Fra komputorens bakside finner vi at dette gir oss en beholdt fart av 154 knop. Dette stemmer med vår slutning at vinden er blitt svakere. Vi måler vår sannsyn­ lige posisjon til 56°29’N, 00°46’V. Legg merke til at vi nå har passert Greenwich-meridianen eller 0-meridianen, og at våre lengdeangivelser har

vest bak seg istedenfor øst, som tidligere. Reste­ rende distanse å fly måles med passeren til 87 n. mil. Med beholdt fart av 154 knop vil dette ifølge komputoren ta 34 minutter. Prøv å regne det ut selv. Vår nye beregnede ankomsttid til Edinburgh blir derfor kl. 1449. Alt sammen noteres i loggen, og flygeren underrettes om an­ komsttiden, samtidig som han får ny kompass­ kurs på 259°, ettersom misvisningen nå har økt til 9°V. Sikten er hå ca. 30 n. mil, og kl. 1432 kan vi se innløpet av fjorden som går opp forbi Edinburgh. Kl. 1439 har vi Isle of May tvers om styrbord. Flygeren overtar nå navigeringen selv, han følger kystlinjen på fjordens sydside, og kl. 1450 er vi over Edinburgh flyplass. Vi lander kl. 1452 og har da en sammenlagt flytid på 2‘ 39m. Dette er 8 minutter mindre enn det vi opprinnelig hadde beregnet før avgang fra Kjevik flyplass. Dette var et eksempel på hvordan et fly navi­ geres i luften. Det viser hvorledes plottingen i kartet foregår, og hvordan en navigasjonslogg skal føres. Som vi ser, er det uhyre viktig at na­ vigatøren er nøyaktig og arbeidsom. Alle beregninger må kontrolleres om igjen, slik at det ikke sniker seg inn feil. Ingenting må gjøres på slump (fig. 4/31). Vi har også sett hvor stor betydning det har at vinden hele tiden kontrolleres, og hvor stor innflytelse den har på beholdt fart og på flyets posisjon i forhold til trekket. Hvis vi flyr med en fart av 150 knop og styrer 3° feil i kursen, vil det selv i vindstille etter 1 time resul­ tere i at flyet befinner seg 8 n. mil fra det opp­ rinnelige trekk. Hva dette betyr etter flere timers flyging i usiktbart vær, kan man lett forstå.

Fig. 4/31. «Vi tar aldri sjanser under navigeringen!»

I et eksempel som dette er det selvfølgelig ikke mulig å ta med prøver på alle de navigasjonsmetoder og hjelpemidler som står til rådighet for navigatøren. Dette eksempel er bare ment som en praktisk demonstrasjon, for å vise hvor­ ledes det kan gjøres under bestemte forhold og med bestemte hjelpemidler.

451

5. Radio- og radarnavigasjoii

5. RADIO- OG RADARNAVIGASJON I det foregående avsnitt har vi gjennomgått de hjelpemidler og metoder som nyttes under alminnelig bestikknavigasjon. Det er også vist hvordan man nytter enkle radiopeilinger, tatt fra flyet. I det følgende skal vi se litt nærmere på de forskjellige radio- og radarnavigasjonshjelpemidler, som står til rådighet for navigatøren og

flygeren. Det vil føre for langt å forklare hvert enkelt hjelpemiddel detaljert. Det er for mange, og dessuten krever det god kjennskap til grunn­ leggende radioteori og pulsteknikk. Derfor vil bare prinsippet for noen av de enkelte hjelpe­ midler bli omtalt her.

5.1. Radionavigasjon 5.1.1. Radiopeilinger Det første radiohjelpemiddel som ble tatt i bruk ved navigering i luften, var radiopeile apparatet. Det var allerede utviklet for skipsbruk, og til å begynne med ble det nyttet på samme måte i luften. Prinsippet går ut på at en radio­ stasjon på bakken sender ut bestemte radiosignaler. Disse blir oppfanget av en radiomottaker ombord i flyet. Ved hjelp av en spesiell drei­ bar antenne, rammeantennen eller «loopen», som den oftest blir kalt, fordi den ser ut som en ring (Loop = ring eller lokke på engelsk), kan man bestemme i hvilken retning radiostasjonen ligger i forhold til flyet. Vi skal se litt nærmere på hvorledes dette vir­ ker. Når man kaster en stein i sjøen, ser man at det danner seg ringer rundt det punkt der steinen traff vannet. Deretter brer ringene eller bølgene seg utover i alle retninger. På samme måte er det med en radiostasjon som sender ut radiosignaler. Signalene går også ut i alle retninger. Hvis man har en radiomottaker med vanlig antenne, kan man ta imot radiosignalene dersom man har stilt inn radiomottakeren på den bølgelengde eller frekvens som radiostasjonen sender på. Men

Fig. 5/1. Marconi rammeantenne.

det er ikke imflig med en vanlig antenne å be­ stemme i hvilken retning radiostasjonen befinner seg. For å greie denne vanskelighet bruker man i stedet en rammeantenne, som kan være firkan­ tet, sekskantet eller rund. Den er beskyttet av et hylster, som har dråpefasong, for å gi minst mulig luftmotstand (figur 5/1). Rammeantennen kan vris rundt sin egen loddrette akse og stilles inn i en hvilken som helst retning. Rammeanten nen har den egenskap at den tar inn de utsendte signaler med størst lydstyrke når den står med sin vannrette akse i den retning radiostasjonen ligger, og med minimum lydstyrke når den står med bredsiden mot retningen til stasjonen. Fig. 5/2 viser en rammeantenne sett ovenfra. Dette Maksimum

Fig. 5/2. Rammeantennens virkemåte.

Minimum _J lydstyrke

benytter man seg av når man skal ta en peiling. Man peiler på minimum lydstyrke, fordi det da er lettest å få nøyaktig peiling. På denne måte får man retningen til stasjonen, men man kan ikke avgjøre om stasjonen ligger f. eks. forut eller akterut. For også å kunne fastslå dette nytter man i tillegg til rammeantennen en vanlig an­ tenne. Ved å bruke begge antennene sammen får man en såkalt «entydig» peiling. De moderne radiopeileapparater er automatis­ ke, man trenger bare å innstille den frekvens radiostasjonen sender på, så stiller rammean­ tennen seg automatisk i riktig stilling. Retningen blir overført til et instrument, der man direkte kan lese av peilingen eller retningen til stasjonen i forhold til flyet. Slike peileapparater kalles for

452

Rolff Larun: Luftnavigasjon

automatisk peileapparat eller radiokompass, fordi det som regel er koplet sammen med flyets fjern kompass. Fig. 5/3 viser selve indikatoren på flygerens og navigatørens instrumentbord.

i prinsippet av en stasjon som sender ut radiosignaler i form av prikker og streker, fordelt på forskjellige smale sektorer hele horisonten rundt (fig. 5/4). Ved å stille inn flyets mottaker på den frekvens stasjonen sender, kan man ved å lytte i en høyttaler eller i hodetelefon telle det antall

Fig. 5/4. Roterende viftediagram for en Consolstasjon. I punkt A hores 60 prikker, i punkt B 30 streker, fulgt av 30 prikker osv. Fig. 5/3. Marconi radiokompass — indikatoren.

En annen form for radiopeilinger kan tas av radiostasjoner på bakken. Da sender flyet ut radiosignaler som fanges opp av en bestemt radiopeilestasjon på bakken. Denne bestemmer så retningen til flyet og sender pr. radio melding tilbake til flyet og oppgir gradtallet for peilingen. Det kan også være to eller flere stasjoner på bakken, som peiler flyet samtidig. En av dem er da hovedstasjon, og denne plotter både den peilingen den selv har tatt og peilingene som de andre stasjonene har tatt, i kartet. Deretter tar den ut flyets posisjon i lengde og bredde og sen­ der melding om dette tilbake til flyet, som på denne måte får oppgitt sin posisjon direkte. Denne form for peilinger og posisjonsangivelse forutsetter naturligvis at flyet har toveis radio forbindelse, dvs. både radiosender og -mottaker ombord. Consol. Det finnes en måte å ta radiopeilinger på uten at flyet har annet utstyr enn en alminne­ lig radiomottaker. Dette system kalles for CONSOL, og krever at man har et spesielt Consolkart. Systemet ble opprinnelig tatt i bruk av tyskerue under den annen verdenskrig, men er senere bygd ut videre i Vest-Europa. Det kan nyttes både av fartøyer på sjøen og av fly i luften. Det vil ikke bli utførlig forklart her, men består

Fig. 5/5. Omtrentlig dekningsområde for Consol. De usikre sektorer for hver stasjon er skravert.

Larun: Luftnavigasjon, s. 452/453.

Radio- og radarnavigasjon

prikker og streker man hører i en periode. I Consolkartet er alle sektorene med streker og prikker tegnet inn. Så lenge man bare tilnærmet vet hvor flyet befinner seg, kan man ved å nytte det antall prikker og streker man teller, finne sin peiling i kartet. I Norge har vi en slik Consolstasjon. Den er plasert på Varhaug ved Jæren og er i drift døgnet rundt. Den er spesielt beregnet til bruk for skip og fly i Nordsjøen, men er ikke brukbar over land, da fjellene ødelegger peilingenes pålitelighet. En annen Consolstasjon ligger i Nord-Irland. Bruker man denne sammen med den norske, kan man få peilinger som krysser hverandre, og derved bestemme flyets posisjon. Dekningsområdet for CONSOL framgår av figur 5/5.

5.1.2. Radiostedsbestemmelse Decca. I den senere tid har det blitt bygd ut et radionavigasjonssystem som gir kontinuerlig stedsbestemmelse. Det brukes både til sjøs og i luften. For å kunne nytte dette hjelpemiddel må man ha spesielle mottakerapparater og kart. Dette system kalles DECCA. Det er konstruert i Storbritannia og har en rekkevidde på ca. 300 n. mil. I prinsippet består systemet av en gruppe på fire bakkestasjoner, som kontinuerlig sender ut radiosignaler. Signalene blir mottatt i flyet av en spesiell mottaker, som driver tre instrumenter som kalles for decometre (fig. 5/6) og har fargene rød, grønn og fiolett. Decometrene har visere, og disse gir tallverdier som man kan lese av. Tall-

I

Fig. 5/6. Decometre montert på flyets instrumentbord.

453

verdiene er til enhver tid avhengige av den posisjon flyet har i forhold til bakkestasjonene. Kartet som brukes, har inntegnet røde, grønne og fiolette linjer som er nummererte, og nummerne korresponderer med tallene på de respektive decometre. For å få flyets posisjon trenger man bare å lese av f. eks. tallverdiene på det røde og det grønne decometer. Deretter går man inn i kartet og finner de rode og grønne linjene som har til­ svarende tall (se figur 5/8). Skjæringspunktet for disse to linjene gir da flyets nøyaktige posisjon. Hele operasjonen tar bare noen få sekunder. A ed isteden å bruke de rode/fiolette eller de grønne/ fiolette tallverdier og linjer i kartet, kan man på tilsvarende måte få flyets posisjon. Det er den sektor flyet befinner seg i som avgjør hvilket fargepar det er mest hensiktsmessig å nytte. Systemet forutsetter som nevnt en egen motta­ ker og spesialkart, men er til gjengjeld et meget nøyaktig system. I sentrum av dekningsområdet for en gruppe stasjoner er nøyaktigheten meget stor. Man kan bestemme sin posisjon innenfor noen få meter. I ytterkanten av dekningsom­ rådet, dvs. ca. 300 n. mil fra stasjonene, er nøy­ aktigheten ikke dårligere enn 4—5 n. mil. Hver gruppe stasjoner gir et sirkelrundt dekningsom­ råde, og i Vest-Europa er det nå bygd ut eller under utbygging 8 til 10 grupper av stasjoner, slik at nesten hele det vestlige Europa fra SydSkandinavia og ned til Spania er dekket. Hertil kommer Nordsjøen, Den engelske kanal og Biskayabukten. Figur 5/7 viser dekningsområdet når alle stasjonsgrupper er bygd ut. Loran. Loran er et annet radionavigasjons­ system som kan brukes over store avstander, f. eks. ved flyging over store havområder som Atlanteren og Stillehavet. Navnet Loran kom­ mer av forbokstavene i den engelske beteg­ nelsen LOng RAnge TVavigation, som betyr navigering over store distanser. Det bygger på et annet prinsipp enn Decca, men også her må man nytte et eget mottakerapparat og spesial­ kart. I mottakeren er det montert et katodestråleror, og på dette kan man ved hjelp av for­ skjellige skalaer lese av bestemte tallverdier. Disse tallverdiene finner man igjen i Lorankartet på de inntegnede linjer, og man befinner seg på den linje i kartet som har den avleste tallverdi. I Loransystemet brukes to stasjoner på land, som samtidig sender ut meget korte radiosig­ naler eller impidser i tett rekkefølge. Disse sig­ nalene blir oppfanget i flyets mottaker, og det er forskjellen i ankomsttid av signalene som her er

Rolff Larun: Luftnavigasjon

454 20° V

16°

12°

8°

4°

0°

Fig. 5/7.

4°

8°

12°

16°

20°

24° 0

5. Radio- og radarnavigasjon

455

Fig. 5/9. Posisjonsbestemmelse ved LORAN-systemet med to par stasjoner, der hovedstasjonen (Master) er felles for begge par. Man leser forst av tallverdien på Loran-skjermen for det ene stasjonspar og får ILO-2900 ms, deretter slår man over til frekvensen for det andre stasjonspar og får tallverdien ILI-3700 ms. Det punkt der linjene med samme verdier krysser hverandre i kartet, er flyets posisjon eller «fix».

omgjort til de tallverdier vi leser av og siden finner i kartet. Den tidsenhet som brukes for å måle tidsfor­ skjellen, er nesten ufattelig liten og kalles for mikrosekund (ms), som er lik en milliontedels sekund. Da radiobølger forplanter seg med en hastighet av 300.000 km pr. sekund, går de føl­ gelig 300 meter i løpet av 1 ms. Det må derfor meget fintfølende instrumenter til for at man skal kunne måle tidsforskjellene nøyaktig, og man må kunne lese av brøkdelen av et mikrosekund på katodestrålerøret. Stasjonene sender parvis på samme frekvens, og for å få en stedsbestemmelse må vi først lese av tidsforskjellen for et par

stasjoner og så slå over til en annen frekvens og lese av tidsforskjellen for et annet stasjonspar. Derved får vi to tallverdier, som vi går inn i kartet med. Linjene i kartet som korresponderer med tallverdiene, skjærer hverandre, og flyets posisjon er i linjenes skjæringspunkt (figur 5/9. Rekkevidden av Loran er størst om dagen og minst om natten. Gjennomsnittlig rekkevidde om dagen er ca. 700 n. mil, men dette kan variere en del, avhengig dels av den retning flyet be­ finner seg fra stasjonene, og dels av om signalene bare går over sjøen. Om natten regner man med en rekkevidde på opptil 1400 n. mil over sjø.

5.2. Radarnavigasjon Ordet «radar» er en sammensetning av for­ bokstavene i det engelske uttrykket «Ryfdio Detection yfnd Ranging», og er således bare et forkortet uttrykk for visse bestemte funksjoner, dvs. å oppdage og å måle avstand til et objekt. Etter hvert har likevel uttrykket radar blitt en fellesbetegnelse på radiohjelpemidler som bruker meget høye frekvenser. Etter annen verdenskrig er radarsystemene blitt tatt i bruk på mange områder, trafikkpolitiet f. eks. bruker radar ved fartskontroll på veiene, på sjøen brukes det av fartøyer for å unngå kollisjoner, og dessuten for navigering i trange farvann. I luften brukes forskjellige radar-

hjelpemidler både av flykontrollen på bakken og av flyene i luften. Noen radarsystemer brukes av flykontrollen for å folge flyene på bakken (fig. 5/10) etter at de har landet påde kjempestore fly­ plassene. De blir da ledet fram til ekspedisjonslo­ kalene over radiotelefon. Andre systemer brukes for innflyging til flyplassen i dårlig vær. I luften har flyene radarsett som kan måle høyden over bakken, som gir varsel om andre fly i nærheten eller om uværskyer (fig. 5/11), eller radarsett for å kunne navigere nøyaktig. De militære bombefly bruker radarsikter for å kunne slippe bomber fra stor hoyde, selv om det ligger et tykt skydekke mellom flyet og bakken, jagerflyene bruker radar-

456

Rolff Larun: Luftnavigasjon

Flyplassbygninger

Hovedvei

Flyplassbygninger

Fly på bakken

Kontrolltårn og roterende radarantenne

man et ekko tilbake. Setter man i et langt hyl, kommer ekkoet tilbake før man har sluttet å hyle, og da hører man bare slutten av ekkoet. Hvis man derimot roper kraftig og hurtig noen få korte ord, vil man tydelig høre de samme or­ dene når ekkoet kommer tilbake. Lyden beveger seg med en bestemt hastighet av 337,6 meter pr. sekund. Derfor vil det ta forskjellig tid før ekkoet kommer tilbake, avhengig av hvor langt vekk fra fjellveggen man står. Vi kan også bruke et annet eksempel. I tordenvær har vi sikkert vært med på å regne ut hvor langt vekk tordenværet befinner seg. Når man ser et lyn, begynner man å telle hvor mange sekunder det tar før man hører tordendrønnet. Hvis man teller 9 sekunder fra man så lynet og til man hører drønnet, vet man at tordenskyen befinner seg 9 x 337,6 m eller ca. 3 km unna. Det samme prinsipp brukes i radarpulsteknikken. La oss tenke oss at vi har et radarsett, dvs. en sender og en mottaker. Radarsenderen sender ut et meget kort bølgetog, som kalles for en puls. Den kan være retningsbestemt eller spre seg til alle kanter som ringbølger i vannet (fig. 5/12). Det er avhengig av hva slags antenne vi

Fig. 5/10. Londons lufthavn slik den ser ut på katodestråleror-skjermen på flyplassradaren.

Fig. 5/11. Prinsippskisse for radar-kollisjonsvarsler.

sikter for å beskyte fiendtlige fly Radar har fått meget stor betydning på mange områder, kanskje spesielt innen luftfarten. Her skal vi innskrenke oss til å omtale bare et par systemer. 5.2.1. Pulsteknikk Vi må først se litt på det prinsipp radar­ systemene vanligvis bygger på. Dette kalles for pulsteknikk. Vi skal prove å forklare så enkelt som mulig hva dette går ut på. Hvis man tenker seg at man står og roper mot en fjellvegg, får

Fig. 5/12. Radarpulsene sprer seg som ringbølger i vannet.

bruker. Radiobølgen eller radarpulsen går som vi har nevnt tidligere, med meget stor hastighet, nemlig 300 meter på et mikrosekund eller milli­ ontedels sekund. Det har videre den egenskap at om det støter mot en gjenstand, f. eks. et fly i luften, reflekteres pulsen tilbake akkurat som et ekko. Ekkoet eller returpulsen fanges opp av mottakeren, og fintfølende elektroniske appara­ ter i mottakeren måler nøyaktig den tid som er gått fra pulsen ble sendt ut til ekkoet kommer tilbake. Hvis vi nå halverer tiden og multipli­ serer med radarpulsens hastighet, kan vi lett

5. Radio- og radarnavigasjon

regne ut hvor langt borte flyet er. Dette blir gjort automatisk i mottakeren, og ved hjelp av et katodestrålerør, som er koplet til mottakeren, kan vi direkte lese av avstanden. Dette er det grunnleggende prinsipp som går igjen i alle radarapparater som brukes i navigasjon. Katodestrålerøret kan gi de opplysninger vi trenger på mange forskjellige måter, avhengig av hvordan det er konstruert. Vi kan lese av avstand som nevnt ovenfor, vi kan lese av vår egen posisjon i forhold til bakken under oss, få en peiling eller peiling og avstand fra et radarfyr, eller vi kan se hvor andre fly befinner seg i luften rundt omkring oss. Ja, det er nesten ikke den ting man ikke kan få til med radarapparater i dag. 5.2.2. Radarstedsbestemmelse GEE. Vi har nå fått et lite innblikk i hvorledes et radarapparat virker i prinsippet. Vi skal nå forklare hovedtrekkene i et radarnavigasjonshjelpemiddel som kalles GEE. Det består som Decca av en gruppe på 4 stasjoner, som sender ut korte radarpulser etter et bestemt system. Det er en hovedstasjon (A) med 3 bistasjoner (B, C og D) som er plasert rundt hovedstasjonen (se figur 5/13). I flyet har vi en radarmottaker med

Fig. 5/13. GEE —plasering av stasjonene og dekningssektorene for disse.

katodestrålerør. På dette måler vi slik som i Loran-systemet forskjellen i ankomsttid (tids­ forskjellen) mellom radarpulser fra A og B, fra A og C, og fra A og D. Katodestrålerøret er inn­ rettet slik at vi kan lese av alle tidsforskjellene samtidig. Ved GEE trenger vi også et eget spesialkart, der tidsforskjellene er tegnet inn med henholdsvis røde, grønne og fiolette linjer, som alle er merket med tallverdier for tidsfor­ skjellene. Når vi skal bestemme vår posisjon, trenger vi bare tidsforskjellene for to farger, f. eks. rød (A og B) og grønn (A og C). Der lin­

457

jene med de avleste tidsforskjeller krysser hver­ andre, er flyets posisjon. Rekkevidden for en stasjonsgruppe er ca. 200 n. mil, og systemet er meget nøyaktig, men nøyaktigheten avtar med avstanden fra hoved­ stasjonen. GEE-systemet består av flere stasjonsgrupper, som sender på forskjellige frekvenser. Ved hjelp av en bryter på mottakeren i flyet kan man skifte over til en annen stasjonsgruppe. GEE kan brukes over Storbritannia og havområdene omkring, over Nordsjøen og over kystlandene i Vest-Europa. GCA er et hjelpemiddel for fly som må lande på en flyplass i skyet og usiktbart vær. GCA er en forkortelse for Ground Controlled Approach, som betyr «bakkekontrollert inn­ flyging». Radarapparatene er plasert på bak­ ken, vanligvis i nærheten av den lengste rulle­ banen på en flyplass. Fig. 5/14 viser en GCAstasjon på en flyplass. I flyet trengs bare vanlig to-veis radiotelefoniutstyr. GCA-anlegget består av tre hoveddeler, nemlig søksystemet, som lokaliserer flyene innenfor en radius av 20 n. mil fra flyplassen. presisjonssystemet, som følger flyene og veileder dem under innflygingen til flyplassen, og kommunikasjonssystemet, som formidler alle nødvendige radiotelefonsamtaler mellom an­ legget og flyet. Søksystemet er den del av GCA-anlegget et fly først får forbindelse med. Dets hoveddel er et stort katodestrålerør, som gir et bilde av luftområdet rundt flyplassen (figur 5/15). Her kan operatøren se og følge alle fly som kommer og går. De kommer fram som lysende punkter på en slags fjernsynsskjerm. Operatøren kan lokalisere det enkelte fly og stå i direkte kontakt med det pr. radiotelefoni over kommunikasjonssystemet. Han bestemmer i hvilken rekkefølge flyene skal tas ned og dirigerer dem til et utgangspunkt i bestemt høyde og avstand fra flyplassen, der GCA-innflygingen skal begynne. Når et fly er kommet til dette punkt, overleverer søksystemoperatøren den videre kontroll av flyet til opera­ tøren som sitter ved presisjonssystemet. Presisjonssystemet har også et katodestrålerør som viktigste del (figur 5/16). Det er delt i to, den nederste del viser innflygingsbanen, sett ovenfra, og angir retningen flyet skal følge for å komme inn til begynnelsen av rullebanen. Den øverste delen viser glidebanen, sett fra siden, og viser den kurven flyet må følge for å være i riktig høyde for landing, når det kommer fram til be­ gynnelsen av ridlebanen. På begge halvdeler av

458

Rolff Larun :

Fig. 5/14. GCA-stasjon på en flyplass.

skjermen trer flyet fram som et lysende punkt, som beveger seg innover mot flyplassen. Opera­ tøren har hele tiden radiokontakt med flygeren, og gir ham fortløpende beskjed om hvordan flyet ligger i forhold til den korrekte innflygingsbane. Han gir også korreksjoner om kursforandring eller om å stige eller tape høyde, hvis ikke flyet følger innflygingsbanen nøyaktig. Flygeren blir videre hele tiden holdt underrettet om hvor langt det er igjen til begynnelsen av rullebanen på flvplassen.

Når et flv nærmer seg en flyplass over skydek­ ket og flygeren vet at sikten er dårlig, kan han kalle opp flyplassen og be om å få lande på GCA. GCA-anlegget er vanligvis betjent av tre erfarne operatører, en kontrollerer søksystemet og de to andre hver sitt presisjonssystem. Fig. 5/17 viser operatørens arbeidsplass. Den øverste mørke runding er skjermen for søksystemet. Over opera­ tørens venstre skulder kan vi skimte den øverste del av skjermen for presisjonssystemet med glide­ banen. Soksystem-operatoren dirigerer flyet pr.

5. Radio - og radarnavigasjon

459

Peilestråle

Presisjonssystemets dekningsområde Fig. 5/15. GCA — Skjermen i søksystemet.

^Elektronisk glidebane

Flyets posisjon \i glidebanen Fig.5/17.GCAoperatørens arbeidsplass.

/ Flyets posisjon i innflygingsretningen /Elektronisk innflygingsretning til rullebanen Fig. 5/16. GCA — Skjermen i presisjonssystemet.

radiotelefon til et punkt ca. 10 n. mil i retning ut fra den rullebane som skal nyttes. Deretter overtar presisjonssystem-operatoren, som hele tiden folger flyet på sin skjerm og dirigerer flyge­ ren muntlig. Flygeren får fortløpende beskjed om nødvendige kurs- og høydeforandringer og må nøye følge operatørens anvisninger. Han får

også med korte mellomrom oppgitt hvor langt flyet har igjen til begynnelsen av rullebanen. Til slutt, da flyet bare har noen få hundre meter igjen og befinner seg ca. 50 meter over bakken, får flygeren beskjed om å overta selv. Da kan han se rullebanen foran seg og trenger bare å foreta en normal landing. I Norge finnes det GCA-anlegg på alle større militære flyplasser. Det er en veldig betryggelse å ha slike anlegg, som kan lede flyene sikkert gjennom skydekket både dag og natt, uavhengig av siktbarheten. Systemet er meget nøyaktig, og teoretisk kan GCA-operatørene lede flyene inn til de praktisk talt er over begynnelsen av rulle­ banen, med en feil som ikke overstiger ca. 5 meter. I praksis er det likevel av sikkerhetshen­ syn fastsatt visse minimumsgrenser, både for skydekkets høyde over bakken og for siktbar­ heten. Vanligvis får ikke flyene lov til å lande på en flyplass ved hjelp av GCA når skydekket er lavere enn 200—300 meter og sikten dårligere enn 400—500 meter.

460

Rolff Larun: Luftnavigasjon

6. POLARNAVIGASJON Polarnavigasjon er et nytt begrep som er opp­ stått i luftnavigasjon i de siste år. Helt til for få år siden var det stort sett ingen flytrafikk i det hele tatt over polarområdene. Den første flytur rett over polhavet ble imidlertid foretatt av en nordmann allerede i 1926. Det var Roald Amund­ sen med luftskipet «Norge» og Hjalmar RiiserLarsen var navigatør. Etter siste verdenskrig oppdaget stormaktene at polarområdene, og særlig det nordlige, hadde stor strategisk betyd­ ning. Dette førte til at man ble meget interessert i å utforske disse områder, og meget av forsk­ ningsarbeidet ble utført fra fly. Man oppdaget da at vanlige navigasjonsmetoder ikke kunne nyttes, og det ble satt i gang et stort forsknings­ arbeid for å finne fram til nye brukbare og sikre metoder for navigasjon. Den første passasjerflyging over polarområdene ble foretatt av fly­ selskapet SAS i mai 1953. Denne turen gikk fra Oslo til Tokio. I dag er flyging over polartraktene en dagligdags foreteelse. Dette kommer for en stor del av at distansene mellom de forskjellige storbyer i verden er mye kortere via Nordpolen. Flyruten fra København til Los Angeles over Grønland er over 900 kilometer kortere denne vei,

enn hvis man flyr den vanlige ruten over New York. Hvis man måler med hyssing på en globus, vil man finne at de fleste langdistanseflyruter blir atskillig kortere via Nordpolen. Prøv f. eks. med ruten fra London til New Zealand eller fra Oslo til Honolulu. Figur 6/1 viser tydelig hvor stor distansefojskjell^n kan være. Navigasjon under polarflyging er helt forskjel­ lig fra vanlig flynavigasjon. Hva kommer nå dette av? Været i polartraktene er jo mye stabilere enn andre steder, og kulde gjør bare at motorene arbeider mer effektivt. Jo, det er mye vanskeligere å finne veien over polkalotten. Det vanlige magnetkompasset er helt ubrukelig på grunn av at man kommer så nær den magnetiske nordpol. Innenfor et område med en radius av ca. 900 nautiske mil fra den magnetiske nordpol vil magnetnålen i kompasset nesten ikke stille seg inn, men bare dreie rundt helt vilkårlig. En annen vanskelighet er retningene. I alminnelighet har vi en viss forestilling om nord-syd og østvest. På Nordpolen er det ingen annen retning enn syd alle veier. De vanlige retningsangivelser vi er vant til å bruke, blir her helt meningsløse. Til slutt har vi problemet med tidsinndelingen

Fig. 6/1. Storsirkeldistansen er kortest.

i

i'

i l.i

i' i i tMM14°E. h j /j-i li min».

ipei i Merkatorkart.

i t

j 11 j-h i

j

t;

t E.

8 E.

24 mins.

32 mins.

•puBjs n\pn i 33o[sud —

| ------------------ —

•

♦ -------- -------------------------------------------------- ----------------------

bi > — *

bhhl

Lt

>^Mo00

hSI

hSI ‘

^t/

—

//Z4


821

9 £7

/K/FoZV

uolfifbi ■ ■ o

-------------- J

HOS!

VOS!

PH SUJO)|UD -*

jauBajag

SS£ 7? 1

•UIUJ 1

P!1

w

xu D o SSUDjSIQ

,I9t709t' -s ‘nofsBStABnijnq :un.reri

04/

H^vau/m

OS! 1

POj

|JD^

ip|o4ag

-ua6g

•dwajqni

Bo apXøpi

poj -a6X|j

•□ia 'jbuoIsdajasqo

&09m cj *. ’b V\ H ASHÅ-LVti

v v ) i Hp 1’ 2^/9

?c' 2? Uz * 101 ,7,»‘/o'A»^y

zn

bsz

Sl hl

71 i

? j 3 >f t a

0 s

oM

’J1»Å i* S^vnl

9 9

SS£I

‘ ~p * 7/y

SW

/?f /\ 3 ** ?

9f/bio

?w7/

Sy337J Gu n nJo yoM VMTU-LW n v? 7 j Gf / Q^/

U&7-1

Go

** r

est

IST

0?Z

S9T

sn A L

^1/ /blO

bht

SfE/ Stil

Jl>^

sz/$/£

9 S

siei

9A * 1A V -

^ ^noHisMVH e„ t-\f

L3Z A •)

h7t

g Sl

/7? ■/S

LSI

OW X b

in

$z

^0!

F 27 A/£

7SX

| | -diuox

_ _________________________________________

3SXI

A9Q

(>w) sjn>|

•AS|W

•ASIVV

(Md) sjn^

■Auay

(■ji -ø)

una

PU!A

>pt8j< lajfsuø

(1WØ) IX

j larorKart.

6. Polarnavigasjou

461

(fig. 6/2). I polarområdene er solen enten oppe hele døgnet eller under horisonten hele døgnet. Solen står faktisk opp en gang om året, 21. mars, og blir så stående oppe helt til 21. september. Da går den ned igjen og blir borte et halvt år.

Fig. 6/2. Å holde riktig tid kan bli nokså innviklet for navi­ gatøren, når han flyr over eller i nærheten av Nordpolen.

De vanskeligheter som er nevnt foran, er like­ vel i virkeligheten ikke så store som de kan synes. De skyldes hovedsakelig de tilvante forestillinger man i alminnelighet har om orientering i forhold til kartet. I det følgende skal vi se litt nærmere på den framgangsmåte man nytter for å kunne navigere i polarområdene.

6.1. Polargrid Uttrykket grid er det engelske ord for rutenett. Vi mener da et slikt rutenett som man f. eks. nytter i kartet, og som består av breddesirkler og meridianer. A i er vant til at retningen langs meridianene er nord-syd, og langs breddesirklene øst-vest. Men når vi kommer tilstrekkelig langt nord, løper alle meridianer sammen og møtes eller konvergerer i polen. A i har da ikke lenger noe rutenett å rette oss etter, og derfor heller ikke noen referanse til retningen. Ved navigasjon i polarområdet har man derfor laget et kunstig rutenett, som kalles polargrid. Lin­ jene i dette skjærer hverandre overalt i rett vinkel, og det ene sett linjer er orientert slik at de er parallelle med O-meridianen fra Greenwich gjennom Nordpolen og videre mot Alaska. Denne retning kalles for gridnord og fortsetter som gridnord, selv når vi har passert Nordpolen. De andre retningene, gridøst, gridsyd og gridvest faller da av seg selv (jfr. figur 6/3). I vanlig flynavigasjon brukes som regel kart i Merkators eller Lamberts konforme projeksjon, som er henholdsvis sylinder- og kjegleprojeksjoner. Ved polarnavigasjon er det mest alminnelig å bruke en planprojeksjon, vanligvis stereografisk polarprojeksjon (jfr. side 428). I dette kartet løper alle meridianene sammen i Nord­ polen, akkurat som eikene i et sykkelhjul. I dette kartet påtrykkes vår polargrid, slik at en av linjene faller sammen med Greenwich-meridianen. Istedenfor å bruke de vanlige kompassretninger snakker vi her om gridretninger og gridkurser. På samme måte som i alminnelig naviga­ sjon må vi fortsatt ta hensyn til misvisningen, og i tillegg til dette må vi også ta hensyn til den vinkel meridianene danner med den påtrykte polargrid. Denne vinkelen kalles meridianenes

Fig. 6/3. Polargrid — «Greenwich grid system».

konvergens. Konvergensen er alltid lik meridi­ anenes tallverdi, men har motsatt benevnelse. Den benevnes ost når rettvisende nord ligger øst for gridnord, og vest når rettvisende nord ligger vest for gridnord. Meridianen 10 V (4-) har altså en konvergens i forhold til gridnord på 10cØ ( + )• For lettvinthets skyld betrakter vi som regel misvisningen og konvergensen sammen, og gir dem en fellesbetegnelse som kalles gridvariasjon. Dette høres innviklet, men er i virkeligheten for­ holdsvis enkelt, som man vil se av følgende eksempel:

462

Rolff Larun: Luftnavigasjon

• Vi befinner oss i Thule på Grønland og finner at konvergensen er 69°0 (+) fordi Thule ligger på 69°V lengde. Misvisningen er 78°V (4-). For å finne grid variasjonen bruker vi følgende fram­ gangsmåte (husk fortegnsreglene fra side 781):

Gridvar. = +69° (0) 4- 78° (V) =4-9° (V), 360° 4- 9° = 351°.

Når vi regner med urviseren kompassrosen rundt, blir altså gridvariasjonen = 351°. Dette går også fram når man sammenholder regne­ stykket foran med figur 6/4. Når man kjenner gridkursen og gridvariasjonen på stedet, kan man finne misvisende kurs direkte uten å gå om rettvisende kurs:

Misv. kurs = gridkurs -f- (4-) gridvariasjonen. Hvis man ønsker å* finne rettvisende kurs, blir framgangsmåten slik:

Rettv. kurs = gridkurs -f- V konvergens (4-0 konvergens). Disse formlene kan vi naturligvis nytte den motsatte vei, slik at vi kan finne vår gridkurs dersom vi kjenner misvisende eller rettvisende kurs. Det er bare om å gjøre å bruke fortegns­ reglene riktig. Plottingen i polarkartet er ikke noe mer komplisert ved polarnavigasjon enn ved vanlig plotting på Merkatorkartet. Vi må bare huske på å gjøre om rettvisende eller misvisende kurser og peilinger til gridkurser og gridpeilinger før disse plottes i kartet, når vi går ut fra gridnord. For måling av distanser i polarkartet må vi nytte en spesiell gradert skala, som vi finner i kanten av kartet. Husk også at storsirkelen danner en rett linje når den blir trukket opp i den karttype vi bruker her.

6.2. Polarrute-gyro Vi har tidligere nevnt at kompasset ikke kan brukes til å styre etter i polarnavigasjon. Når vi har funnet vår gridkurs, styrer vi i stedet etter et gyroinstrument, som kalles polarrute-gyro (Polar Path Gyro). Det er et meget nøyaktig instrument, det inneholder et lite svinghjul, som roterer med kolossal fart. Det svinger rundt sin egen akse med over 20.000 omdreininger pr. minutt. Som vi vet fra fysikken, har en gyro den egenskap at den vil peke i samme retning hele tiden. Det er denne egenskap man benytter seg av i polarrute-gyroen, som er så nøyaktig at den bare forandrer retning ca. 1° for hver time vi flyr. Ved hjelp av sol, måne og stjerner og et solkompass kan vi kontrollere at polarrute-gyroen viser riktig. På denne måte kan vi styre nøyaktig gridkurs hele tiden.

Vanskelighetene ved polarnavigasjon er nå overvunnet og skaper ikke lenger noen problemer Det er selvfølgelig mange andre detaljer som spiller inn. Det er imidlertid ikke plass til å kom­ me inn på disse i denne framstillingen. Her har vi bare snakket om de viktigste faktorer som skiller seg vesentlig ut fra framgangsmåten under vanlig luftnavigasjon. De navigatører som fører passasjerflyene trygt fram gjennom polartrakt­ ene, er bare i tillegg til vanlig navigasjon blitt nødt til å omstille sin tilvante tankegang til de spesielle forhold som hersker i nærheten av Nord­ polen. Ved hjelp av nøyaktige instrumenter og litt ny navigasjonsteknikk, kombinert med astro­ nomisk navigasjon, er det ikke lenger forbundet med noen vanskeligheter å lede flyene sikkert og hurtig den nye vei over «jordens tak».

MATEMATISKE OG TEKNISKE TABELLER

FAGUTTRYKK OG FREMMEDORD

Matematiske tabeller (Annen potens, tredje potens, kvadratrot, kubikkrot,sirkelens omkrets og flateinnhold fortall 1—999) 465 Trigonometriske størrelser........................ 473 Sinus og cosinus ............................................ 473 Tangens og cotangens ................................. 474 Tekniske enheter................................................. 475 Lengdemål og flatemål...................................... 475 Rommål og vekt................................................. 475 Fysiske konstanter............................................ 476 Faste stoffer .... ............................................ 476 Væsker .............................................................. 476 Gasser................................................................ 477 Tillatte påkjenninger for maskinkonstruksjoner ................................................................ 477

Tyske normalprofiler ........................................ Likeflensede vinkeljern ................................ Q jern.................................................................. jjern................................................................... Bredflensede differdingerbjeiker med normal stammetykkelse ............................................. Omregningstabeller, tommer til millimeter Formeltegn ........................................................... Det greske alfabet .............................................. Vanlige forkortelser for de mest brukte enheter...................................................................... Grunnstoffene (kjemisk tegn, atomnummer, atomvekt) ......................................................... Faguttrykk og fremmedord ...........................

478 478 479 480

481 482 484 484 485 485 486

Matematiske tabeller Annen potens, tredje potens, kvadratrot, kubikkrot, sirkelens omkrets, sirkelens flateinnhold for tall 1 — 999

n

n2

-

1

Tr n

Vn

7tn2 A

n

n3

n2

Vn

fn

1

1

tz

n

7t n1

3,1416 6,2832 9,4248 12,566

0,7854 3,1416 7,0686 12,5664

45 46 47 48 49

2 2 2 2 2

025 116 209 304 401

91 97 103 110 117

125 336 823 592 649

6,7082 6,7823 6,8557 6,9282 7,0000

3,5569 3,5830 3,6088 3,6342 3,6593

141,37 144,51 147,65 150,80 153,94

1590,43 1661,90 1734,94 1809,56 1885,74

1 2 3 4

1 4 9 16

1 8 27 64

1,0000 1,4142 1,7321 2,0000

1,0000 1,2599 1,4422 1,5874

5 6 7 8 9

25 36 49 64 81

125 216 343 512 729

2,2361 2,4495 2,6458 2,8284 3,0000

1,7100 1,8171 1,9129 2,0000 2,0801

15,708 18,850 21,991 25,133 28,274

19,6350 28,2743 38,4845 50,2655 63,6173

50 51 52 53 54

2 2 2 2 2

500 601 704 809 916

125 132 140 148 157

000 651 608 877 464

7,0711 7,1414 7,2111 7,2801 7,3485

3,6840 3,7084 3,7325 3,7563 3,7798

157,08 160,22 163,36 166,50 169,65

1963,50 2042,82 2123,72 2206,18 2290,22

10 11 12 13 14

100 121 144 169 196

1 1 1 2 2

000 331 728 197 744

3,1623 3.3166 3,4641 3,6056 3,7417

2,1544 2,2240 2,2894 2,3513 2,4101

31,416 34,558 37,699 40,841 43,982

78,5398 95,0332 113,097 132,732 153,938

55 56 57 58 59

3 3 3 3 3

025 136 249 364 481

166 175 185 195 205

375 616 193 112 379

7,4162 7,4833 7,5498 7,6158 7,6811

3,8030 3,8259 3,8485 3,8709 3,8930

172,79 175,93 179,07 182,21 185,35

2375,83 2463,01 2551,76 2642,08 2733,97

15 16 17 18 19

225 256 289 324 361

3 4 4 5 6

375 096 913 832 859

3,8730 4,0000 4,1231 4,2426 4,3589

2,4662 2,5198 2,5713 2,6207 2,6684

47,124 50,265 53,407 56,549 59,690

176,715 201,062 226,980 254,469 283,529

60 61 62 63 64

3 3 3 3 4

600 721 844 969 096

216 226 238 250 262

000 981 328 047 144

7,7460 7,8102 7,8740 7,9373 8,0000

3,9149 3,9365 3,9579 3,9791 4,0000

188,50 191,64 194,78 197,92 201,06

2827,43 2922,47 3019,07 3117,25 3216,99

20 21 22 23 24

400 441 484 529 576

8 9 10 12 13

000 261 648 167 824

4,4721 4,5826 4,6904 4,7958 4,8990

2,7144 2,7589 2,8020 2,8439 2,8845

62,832 65,973 69,115 72,257 75,398

314,159 346,361 380,133 415,476 452,389

65 66 67 68 69

4 4 4 4 4

225 356 489 624 761

274 287 300 314 328

625 496 763 432 509

8,0623 8,1240 8,1854 8,2462 8,3066

4,0207 4,0412 4,0615 4,0817 4,1016

204,20 207,35 210,49 213,63 216,77

3318,31 3421,19 3525,65 3631,68 3739,28

25 26 27 28 29

625 676 729 784 841

15 17 19 21 24

625 576 683 952 389

5 0000 5,0990 5,1962 5,2915 5,3852

2,9240 2,9625 3,0000 3,0366 3,0723

78,540 81,681 84,823 87,965 91.106

490,874 530,929 572,555 615,752 660,520

70 71 72 73 74

4 5 5 5 5

900 041 184 329 476

343 357 373 389 405

000 911 248 017 224

8,3666 8,4261 8,4853 8,5440 8,6023

4,1213 4,1408 4,1602 4,1793 4,1983

219,91 223,05 226,19 229,34 232,48

3848,45 3959,19 4071,50 4185,39 4300,84

30 31 32 33 34

900 961 1 024 1 089 1 156

27 29 32 35 39

000 791 768 937 304

5,4772 5,5678 5,6569 5,7446 5,8310

3,1072 3,1414 3,1748 3,2075 3,2396

94,248 97,389 100,53 103,67 106,81

706,858 754,768 804,248 855,299 907,920

75 76 77 78 79

5 5 5 6 6

625 776 929 084 241

421 438 456 474 493

875 976 533 552 039

8,6603 8,7178 8,7750 8,8318 8,8882

4,2172 4,2358 4,2543 4,2727 4,2908

235,62 238,76 241,90 245,04 248,19

4417,86 4536,46 4656,63 4778,36 4901,67

35 36 37 3F 39

1 1 1 1 1

225 296 369 444 521

42 46 50 54 59

875 656 653 872 319

5,9161 6,0000 6,0828 6,1644 6,2450

3,2711 3,3019 3,3322 3,3620 3,3912

109,96 113,10 116,24 119,38 122,52

962,113 1017,88 1075,21 1134,11 1194,59

80 81 82 83 84

6 6 6 6 7

400 561 724 889 056

512 531 551 571 592

000 441 368 787 704

8,9443 9,0000 9,0554 9,1104 9,1652

4,3089 4,3267 4,3445 4,3621 4,3795

251,33 254,47 257,61 260,75 263,89

5026,55 5153,00 5281,02 5410,61 5541,ll

40 41 42 43 4‘l

1 1 1 1 1

600 681 764 849 936

64 68 74 79 85

000 921 088 507 184

6,3246 6,4031 6,4807 6,5574 6,6332

3,4200 3,4482 3,4760 3,5034 3,5303

125,66 128,81 131,95 135,09 138,23

1256,64 1320,25 1385,44 1452,20 1520,53

85 86 87 88 89

7 7 7 7 7

225 396 569 744 921

614 636 658 681 704

125 056 503 472 969

9,2195 9,2736 9,3274 9,3808 9,4340

4,3968 4,4140 4,4310 4,4480 4,4647

267,04 270,18 273,32 276,46 279,60

5674,50 5808,80 5944,68 6082,12 6221,14

-u 30 — Teknikk I

45 — 89

466

n

Matematiske tabeller

n2

ns 1

Vn

7T n

rcn2 “V

n

ns

"■ 1

Vn

7t n

TCn2 4

90 91 92 93 94

8 8 8 8 8

100 281 464 649 836

729 753 778 804 830

000 571 688 357 584

9,4868 9,5394 9,5917 9,6437 9,6954

4,4814 4,4979 4,5144 4,5307 4,5468

382,74 285,88 289,03 292,17 295,31

6361,73 6503,88 6647,61 6792,91 6939,78

155 156 157 158 159

24 24 24 24 25

025 336 649 964 281

3 3 3 3 4

723 796 869 944 019

875 416 893 312 679

12,4499 12,4900 12,5300 12,5698 12,6095

5,3717 5,3832 5,3947 5,4061 5,4175

486,95 490,09 493,23 496,37 499,51

18869 19113 19359 19606. 19855,

95 96 97 98 99

9 9 9 9 9

025 216 409 604 801

857 884 912 941 970

375 736 673 192 299

9,7468 9,7980 9,8489 9,8995 9,9499

4,5629 4,5789 4,5947 4,6104 4,6261

298,45 301,59 304,73 307,88 311,02

7088,22 7238,23 7389,81 7542,96 7697,69

160 161 162 163 164

25 25 26 26 26

600 921 244 569 896

4 4 4 4 4

096 173 251 330 410

000 281 528 747 944

12,6491 12,6886 12,7279 12,7671 12,8062

5,4288 5,4401 5,4514 5,4626 5,4737

502,65 505,80 508,94 512,08 515,22

20106. 20358. 20612, 20867^ 21124'

100 101 102 103 104

10 10 10 10 10

000 201 404 609 816

1 1 1 1 1

000 030 061 092 124

000 301 208 727 864

10,0000 10,0499 10,0995 10,1489 10,1980

4,6416 4,6570 4,6723 4,6875 4,7027

314,16 317,30 320,44 323,58 326,73

7853,98 8011,85 8171,28 8332,29 8494,87

165 166 167 168 169

27 27 27 28 28

225 556 889 224 561

• 4 4 4 4 4

492 574 657 741 826

1*25 296 463 632 809

12,8452 12,8841 12,9228 12,9615 13,0000

5,4848 5,4959 5,5069 5,5178 5,5288

518,36 521,50 524,65 527,79 530,93

21382, 21642' 21904' 22167, 22431,

105 106 107 108 109

11 11 11 11 11

025 236 449 664 881

1 1 1 1 1

157 191 225 259 295

625 016 043 712 029

10,2470 10.2956 10,3441 10,3923 10,4403

4,7177 4,7326 4,7475 4,7622 4,7769

329,87 333,01 336,15 339,29 342,43

8659,01 8824,73 8992,02 9160,88 9331,32

170 171 172 173 174

28 29 29 29 30

900 241 584 929 276

4 5 5 5 5

913 000 088 177 268

000 211 448 717 024

13,0384 13,0767 13,1149 13,1529 13,1909

5,5397 5,5505 5,5613 5,5721 5,5828

534,07 537,21 540,35 543,50 546,64

22698, 22965' 23235, 23506, 23778,

110 111 112 113 114

12 12 12 12 12

100 321 544 769 996

1 1 1 1 1

331 367 404 442 481

000 631 928 897 544

10,4881 10,5357 10,5830 10,6301 10,6771

4,7914 4,8059 4,8203 4,8346 4,8488

345,58 348,72 351,86 355,00 358,14

9503,32 9676,89 9852,03 10028,7 10207,0

175 176 177 178 179

30 30 31 31 32

625 976 329 684 041

5 5 5 5 5

359 451 545 639 735

375 776 233 752 339

13,2288 13,2665 13,3041 13,3417 13,3791

5,5934 5,6041 5,6147 5,6252 5,6357

549,78 552,92 556,06 559,20 562,35

24052, 24328, 24605, 24884, 25164,

115 116 117 118 119

13 13 13 13 14

225 456 689 924 161

1 1 l 1 1

520 560 601 643 685

875 896 613 032 159

10,7238 10,7703 10,8167 10,8628 10.9087

4,8629 4,8770 4,8910 4,9049 4,9187

361,28 364,42 367,57 370,71 373,85

10386,9 10568,3 10751,3 10935,9 11122,0

180 181 182 183 184

32 32 33 33 33

400 761 124 489 856

5 5 6 6 6

832 929 028 128 229

000 741 568 487 504

13,4164 13,4536 13,4907 13,5277 13,5647

5,6462 5,6567 5,6671 5,6774 5,6877

565,49 568,63 571,77 574,91 578,05

25446, 25730, 26015, 26302, 26590,

120 121 122 123 124

14 14 14 15 15

400 641 884 129 376

1 1 1 1 1

728 771 815 860 906

000 561 848 867 624

10,9545 11.0000 11,0454 11,0905 11,1355

4,9324 4,9461 4,9597 4,9732 4,9866

376,99 380,13 383,27 386,42 389,56

11309,7 11499,0 11689,9 11882,3 12076,3

185 186 187 188 189

34 34 34 35 35

225 596 969 344 721

6 6 6 6 6

331 434 539 644 751

625 856 203 672 269

13,6015 13,6382 13,6748 13,7113 13,7477

5,6980 5,7083 5,7185 5,7287 5,7388

581,19 584,34 587,48 590,62 593,76

26880, 27171, 27464, 27759, 28055,

125 126 127 128 129

15 15 16 16 16

625 876 129 384 641

1 2 2 2 2

953 000 048 097 146

125 376 383 152 689

11,1803 11,2250 11,2694 11,3137 11,3578

5,0000 5,0133 5,0265 5,0397 5,0528

392,70 395,84 398,98 402,12 405,27

12271,8 12469,0 12667,7 12868,0 13069,8

190 191 192 193 194

36 36 36 37 37

100 481 864 249 636

6 6 7 7 7

859 967 077 189 301

000 871 888 057 384

13,7840 13,8203 13,8564 13,8924 13,9284

5,7489 5,7590 5,7690 5,7790 5,7890

596,90 600,04 603,19 606,33 609,47

28352, 28652, 28952, 29255, 29559,

130 131 132 133 134

16 900 17 161 17 424 17 689 17 956

2 197 2 248 2 299 2 352 2 406

000 091 968 637 104

11,4018 11,4455 11,4891 11,5326 11,5758

5,0658 5,0788 5,0916 5,1045 5,1172

408,41 411,55 414,69 417.83 420,97

13273,2 13478,2 13684,8 13892,9 14102,6

195 196 197 198 199

38 38 38 39 39

025 416 809 204 601

7 7 7 7 7

414 529 645 762 880

875 536 373 392 599

13,9642 14,0000 14,0357 14,0712 14,1067

5,7989 5,8088 5,8186 5,8285 5,8383

612,61 615,75 618,89 622,04 625,18

29864, 30171, 30480, 30790, 31102,

135 136 137 138 139

18 18 18 19 19

225 496 769 044 321

2 2 2 2 2

460 515 571 628 685

375 456 353 072 619

11,6190 11,6619 11,7047 11,7473 11,7898

5,1299 5,1426 5,1551 5,1676 5,1801

424,12 427,26 430,40 433,54 436,68

14313,9 14526,7 14741,1 14957,1 15174,7

200 201 202 203 204

40 40 40 41 41

000 401 804 209 616

8 000 000 8 120 601 8 242 408 8 365 427 8 489 664

14,1421 14,1774 14,2127 14,2478 14,2829

5,8480 5,8578 5,8675 5,8771 5,8868

628,32 631,46 634,60 637,74 640,88

31415, 31730, 32047, 32365, 32685,

140 141 142 143 144

19 19 20 20 20

600 881 164 449 736

2 2 2 2 2

744 803 863 924 985

000 221 288 207 984

11,8322 11,8743 11,9164 11,9583 12,0000

5,1925 5,2048 5,2171 5,2293 5,2415

439,82 442,96 446,11 449,25 452,39

15393,8 15614,5 15836,8 16060,6 16286,0

205 206 207 208 209

42 42 42 43 43

025 436 849 264 681

8 8 8 8 9

615 741 869 998 129

125 816 734 912 329

14,3178 14,3527 14,3875 14,4222 14,4568

5,8964 5,9059 5,9155 5,9250 5,9345

644,03 647,17 650,31 653,45 656,59

33006, 33329,1 33653,. 33979, 34307,(

145 146 147 148 149

21 21 21 21 22

025 316 609 904 201

3 3 3 3 3

048 112 176 241 307

625 136 523 792 949

12,0416 12,0830 12,1244 12,1655 12,2066

5,2536 5,2656 5,2776 5,2896 5,3015

455,53 458,67 461,81 464,96 468,10

16513,0 16741,5 16971,7 17203,4 17436,6

210 211 212 213 214

44 44 44 45 45

100 521 944 369 796

9 9 9 9 9

261 393 528 663 800

000 931 128 597 344

14,4914 14,5258 14,5602 14,5945 14,6287

5,9439 5,9533 5,9627 5,9721 5,9814

659,73 662,88 666,02 669,16 672,30

34636, 34966/ 35298/ 35632/ 35968,1

150 151 152 153 154

22 22 23 23 23

500 801 104 409 716

3 3 3 3 3

375 442 511 581 652

000 951 808 577 264

12,2474 12,2882 12,3288 12,3693 12,4097

5,3133 5,3251 5,3368 5,3485 5,3601

471,24 474,38 477,52 480,66 483,81

17671,5 17907,9 18145,8 18385,4 18626,5

215 216 217 218 219

46 46 47 47 47

225 656 089 524 961

9 10 10 10 10

938 077 218 360 503

375 696 313 232 459

14,6629 14,6969 14,7309 14,7648 14,7986

5,9907 6,0000 6,0092 6,0185 6,0277

675,44 678,58 681,73 684,87 688,01

36305/ 36643/ 36983/ 37325/ 37668/

90 — 154

155 — 219

467

Matematiske tabeller

n

n2

n

Vn

n

n n2 4

n

9

n3

1

7tn2 T

Vn

220 221 222 223 224

48 48 49 49 50

400 841 284 729 176

10 10 10 11 11

648 793 941 089 239

000 861 048 567 424

14,8324 14,8661 14,8997 14,9332 14,9666

6,0368 6,0459 6,0550 6,0641 6,0732

691,15 694,29 697,43 700,58 703,72

38013,3 38359,6 38707,6 39057,1 39408,1

285 286 287 288 289

81 81 82 82 83

225 796 369 944 521

23 23 23 23 24

149 393 639 887 137

125 656 903 872 569

16,8819 16,9115 16,9411 16,9706 17,0000

6,5808 6,5885 6,5962 6,6039 6,6115

895,35 898,50 901,64 904,78 907,92

63794,0 64242,4 64692,5 65144,1 65597,2

225 226 227 228 229

50 51 51 51 52

625 076 529 984 441

11 11 11 11 12

390 543 697 852 008

625 176 083 352 989

15,0000 15,0333 15,0665 15,0997 15,1327

6,0822 6,0912 6,1002 6,1091 6,1180

706,86 710,00 713,14 716,28 719,42

39760,8 40115,0 40470,8 40828,1 41187,1

290 291 292 293 294

84 84 85 85 86

100 681 264 849 436

24 24 24 25 25

389 642 897 153 412

000 171 088 757 184

17,0294 17,0587 17,0880 17,1172 17,1464

6,6191 6,6267 6,6343 6,6419 6,6494

911,06 914,20 917,35 920,49 923,63

66052,0 66508,3 66966,2 67425,6 67886,7

230 231 232 233 234

52 53 53 54 54

900 361 824 289 756

12 12 12 12 12

167 326 487 649 812

000 391 168 337 904

15,1658 15,1987 15,2315 15,2643 15,2971

6,1269 6,1358 6,1446 6,1534 6,1622

722,57 725,71 728,85 731,99 735,13

41547,6 41909,6 42273,3 42638,5 43005,3

295 296 297 298 299

87 87 88 88 89

025 616 209 804 401

25 25 26 26 26

672 934 198 463 730

375 336 073 592 899

17,1756 17,2047 17,2337 17,2627 17,2916

6,6569 6,6644 6,6719 6,6794 6,6869

926,77 929,91 933,05 936,19 939,34

68349,3 68813,4 69279,2 69746,5 70215,4

235 236 237 238 239

55 55 56 56 57

225 696 169 644 121

12 13 13 13 13

977 144 312 481 651

875 256 053 272 919

15,3297 15,3623 15,3948 15,4272 15,4596

6,1710 6,1797 6,1885 6,1972 6,2058

738,27 741,42 744,56 747,70 750,84

43373,6 43743,5 44115,0 44488,1 44862,7

300 301 302 303 304

90 90 91 91 92

000 601 204 809 416

27 27 27 27 28

000 270 543 818 094

000 901 608 127 464

17,3205 17,3494 17,3781 17,4069 17,4356

6,6943 6,7018 6,7092 6,7166 6,7240

942,48 945,62 948,76 951,90 955,04

70685,8 71157,9 71631,5 72106,6 72583,4

240 241 242 243 244

57 58 58 59 59

600 081 564 049 536

13 13 14 14 14

824 997 172 348 526

000 521 488 907 784

15,4919 15,5242 15,5563 15,5885 15,6205

6,2145 6,2231 6,2317 6,2403 6,2488

753,98 757,12 760,27 763,41 766,55

45238,9 45616,7 45996,1 46377,0 46759,5

305 306 307 308 309

93 93 94 94 95

025 636 249 864 481

28 28 28 29 29

372 652 934 218 503

625 616 443 112 629

17,4642 17,4929 17,5214 17,5499 17,5784

6,7313 6,7387 6,7460 6,7533 6,7606

958,19 961,33 964,47 967,61 970,75

73061,7 73541,5 74023,0 74506,0 74990,6

245 246 247 248 249

60 60 61 61 62

025 516 009 504 001

14 14 15 15 15

706 886 069 252 438

125 936 223 992 249

15,6525 15,6844 15,7162 15,7480 15,7797

6,2573 6,2658 6,2743 6,2828 6,2912

769,69 772,83 775,97 779,11 782,26

47143,5 47529,2 47916,4 48305,1 48695,5

310 311 312 313 314

96 96 97 97 98

100 721 3 44 969 596

29 30 30 30 30

791 080 371 664 959

000 231 328 297 144

17,6068 17,6352 17,6635 17,6918 17,7200

6,7679 6,7752 6,7824 6,7897 6,7969

973,89 977,04 980,18 983,32 986,46

75476,8 75964,5 76453,8 76944,7 77437,1

250 251 252 253 254

62 500 63 001 63 504 64 009 64 516

15 15 16 16 16

625 813 003 194 387

000 251 008 277 064

15,8114 15,8430 15,8745 15,9060 15,9374

6,2996 6,3080 6,3164 6,3247 6,3330

785,40 788,54 791,68 794,82 797,96

49087,4 49480,9 49875,9 50272,6 50670,7

315 316 317 318 319

99 99 100 101 101

225 856 489 124 761

31 31 31 32 32

255 554 855 157 461

875 496 013 432 759

17,7482 17,7764 17,8045 17,8326 17,8606

6,8041 6,8113 6,8185 6,8256 6,8328

989,60 992,74 995,88 999,03 1002,2

77931,1 78426,7 78923,9 79422,6 79922,9

255 256 257 258 259

65 65 66 66 67

025 536 049 564 081

16 16 16 17 17

581 777 974 173 373

375 216 593 512 979

15,9687 16,0000 16,0312 16,0624 16,0935

6,3413 6,3496 6,3579 6,3661 6,3743

801,11 804,25 807,39 810,53 813,67

51070,5 51471,9 51874,8 52279,2 52685,3

320 321 322 323 324

102 103 103 104 104

400 041 684 329 976

32 33 33 33 34

768 076 386 698 012

000 161 248 267 224

17,8885 17,9165 17,9444 17,9722 18,0000

6,8399 6,8470 6,8541 6,8612 6,8683

1005,3 1008,5 1011,6 1014,7 1017,9

80424,8 80928,2 81433,2 81939,8 82448,0

260 261 262 263 264

67 68 68 69 69

600 121 644 169 696

17 17 17 18 18

576 779 984 191 399

000 581 728 447 744

16,1245 16,1555 16,1864 16,2173 16,2481

6,3825 6,3907 6,3988 6,4070 6,4151

816,81 819,96 823,10 826,24 829,38

53092,9 53502,1 53912,9 54325,2 54739,1

325 326 327 328 329

105 106 106 107 108

625 276 929 584 241

34 34 34 35 35

328 645 965 287 611

125 976 783 552 289

18,0278 18,0555 18,0831 18,1108 18,1384

6,8753 6,8824 6,8894 6,8964 6,9034

1021,0 1024,2 1027,3 1030,4 1033,6

82957,7 83469,0 83981,8 84496,3 85012,3

265 266 267 268 269

70 70 71 71 72

225 756 289 824 361

18 18 19 19 19

609 821 034 248 465

625 096 163 832 109

16,2788 16.3095 16,3401 16,3707 16,4012

6,4232 6,4312 6,4393 6,4473 6,4553

832,52 835,66 838,81 841,95 845,09

55154,6 55571,6 55990,2 56410,4 56832,2

330 331 332 333 334

108 109 110 110 111

900 561 224 889 556

35 36 36 36 37

937 264 594 926 259

000 691 368 037 704

18,1659 18,1934 18,2209 18,2483 18,2757

6,9104 6,9174 6,9244 6,9313 6,9382

1036,7 1039,9 1043,0 1046,2 1049,3

85529,9 86049,0 86569,7 87092,0 87615,9

270 2271 .272 2273 2274

72 .73 73 74 75

900 441 984 529 076

19 19 20 20 20

683 902 123 346 570

000 511 648 417 824

16,4317 16,4621 16,4924 16,5227 16,5529

6,4633 6,4713 6,4792 6,4872 6,4951

848,23 851,37 854,51 857,65 860,80

57255,5 57680,4 58106,9 58534,9 58964,6

335 336 337 338 339

112 112 113 114 114

225 896 569 244 921

37 37 38 38 38

595 933 272 614 958

375 056 753 472 219

18,3030 18,3303 18,3576 18,3848 18,4120

6,9451 6,9521 6,9589 6,9658 6,9727

1052,4 1055,6 1058,7 1061,9 1065,0

88141,3 88668,3 89196,9 89727,0 90258,7

2275 2276 £277 £278 £279

75 76 76 77 77

625 176 729 284 841

20 21 21 21 21

796 024 253 484 717

875 576 933 952 639

16,5831 16,6132 16,6433 16,6733 16,7033

6,5030 6,5108 6,5187 6,5265 6,5343

863,94 867,08 870,22 873,36 876,50

59395,7 59828,5 60262,8 60698,7 61136,2

340 341 342 343 344

115 116 116 117 118

600 281 964 649 336

39 39 40 40 40

304 651 001 353 707

000 821 688 607 584

18,4391 18,4662 18,4932 18,5203 18,5472

6,9795 6,9864 6,9932 7,0000 7,0068

1068,1 1071,3 1074,4 1077,6 1080,7

90792,0 91326,9 91863,3 92401,3 92940,9

£280 1281 1 282 1 283 ’.’84

78 78 79 80 80

400 961 524 089 656

95200016,7332 18804116,7631 42576816,7929 66518716,8226 90630416,8523

6,5421 6,5499 6,5577 6,5654 6,5731

879,65 882,79 885,93 889,07 892,21

61575,2 62015,8 62458,0 62901,8 63347,1

345 346 347 348 349

119 119 120 121 121

025 716 409 104 801

41 41 41 42 42

063 421 781 144 508

625 736 923 192 549

18,5742 18,6011 18,6279 18,6548 18,6815

7,0136 7,0203 7,0271 7,0338 7,0406

1083,8 1087,0 1090,1 1093,3 1096,4

93482,0 94024,7 94569,0 95114,9 95662,3

< >20 — 284

21 22 22 22 22

285 — 349

468

n

Matematiske tabeller

n2

1

n3

Vn

Kn3 1"

n

n2

n3

Vn

kn

Kn’ T

350 351 352 353 354

122 123 123 124 125

500 201 904 609 316

42 43 43 43 44

875 243 614 986 361

000 551 208 977 864

18,7083 18,7350 18,7617 18,7883 18,8149

7,0473 7,0540 7,0607 7,0674 7,0740

1099,6 1102,7 1105,8 1109,0 1112,1

96211,3 96761,8 97314,0 97867,7 98423,0

415 416 417 418 419

172 173 173 174 175

225 056 889 724 561

71 71 72 73 73

473 991 511 034 560

375 296 713 632 059

20,3715 20,3961 20,4206 20,4450 20,4695

7,4590 7,4650 7,4710 7,4770 7,4829

1303,8 1306,9 1310,0 1313,2 1316,3

135265 135918 136572 137228 137885

355 356 357 358 359

126 126 127 128 128

025 736 449 164 881

44 45 45 45 46

738 118 499 882 268

875 016 293 712 279

18,8414 18,8680 18,8944 18,9209 18,9473

7,0807 7,0873 7,0940 7,1006 7,1072

1115,3 1118,4 1121,5 1124,7 1127,8

98979,8 99538,2 100098 100660 101223

420 421 422 423 424

176 177 178 178 179

400 241 084 929 776

74 74 75 75 76

088 618 151 686 225

000 461 448 967 024

20,4939 20,5183 20,5426 20,5670 20,5913

7,4889 7,4948 7,5007 7,5067 7,5126

1319,5 1322,6 1325,8 1328,9 1332,0

138544 139205 139867 14053 L 141196

360 361 362 363 364

129 130 131 131 132

600 321 044 769 496

46 47 47 47 48

656 045 437 832 228

000 881 928 147 544

18,9737 19,0000 19,0263 19,0526 19,0788

7,1138 7,1204 7,1269 7,1335 7,1400

1131,0 1134,1 1137,3 1140,4 1143,5

101788 102354 102922 103491 104062

425 426 427 428 429

180 181 182 183 184

625 476 329 184 041

76 •77 77 78 78

765 308 854 402 953

625 756 483 752 589

20,6155 20,6398 20,6640 20,6882 20,7123

7,5185 7,5244 7,5302 7,5361 7,5420

1335,2 1338,3 1341,5 1344,6 1347,7

141863 142531 143201 143872 144545

365 366 367 368 369

133 133 134 135 136

225 956 689 424 161

48 49 49 49 50

627 027 430 836 243

125 896 863 032 409

19,1050 19,1311 19,1572 19,1833 19,2094

7,1466 7,1531 7,1596 7,1661 7,1726

1146,7 1149,8 1153,0 1156,1 1159,2

104635 105209 105785 106362 106941

430 431 432 433 434

184 185 186 187 188

900 761 624 489 356

79 80 80 81 81

507 062 621 182 746

000 991 568 737 504

20,7364 20,7605 20,7846 20,8087 20,8327

7,5478 7,5537 7,5595 7,5654 7,5712

1350,9 1354,0 1357,2 1360,3 1363,5

145220 145896 146574 147254 147934

370 371 372 373 374

136 137 138 139 139

900 641 384 129 876

50 51 51 51 52

653 064 478 895 313

000 811 848 117 624

19,2354 19,2614 19,2873 19,3132 19,3391

7,1791 7,1855 7,1920 7,1984 7,2048

1162,4 1165,5 1168,7 1171,8 1175,0

1075211 108103; 108687; 109272 109858

435 436 437 438 439

189 190 190 191 192

225 096 969 844 721

82 82 83 84 84

312 881 453 027 604

875 856 453 672 519

20,8567 20,8806 20,9045 20,9284 20,9523

7,5770 7,5828 7,5886 7,5944 7,6001

1366,6 1369,7 1372,9 1376,0 1379,2

148617 149301 149987 150671 15136 i

375 376 377 378 379

140 141 142 142 143

625 376 129 884 641

52 53 53 54 54

734 157 582 010 439

375 376 633 152 939

19.3649 19,3907 19,4165 19,4422 19,4679

7,2112 7,2177 7,2240 7,2304 7,2368

1178,1 1181,2 1184,4 1187,5 1190,7

110447 111036 111628 112221 112815

440 441 442 443 444

193 194 195 196 197

600 481 364 249 136

85 85 86 86 87

184 766 350 938 528

000 121 888 307 384

20,9762 21,0000 21,0238 21,0476 21,0713

7,6059 7,6117 7,6174 7,6232 7,6289

1382,3 1385,4 1388,6 1391,7 1394,9

152053 15274 i 15343) 154131 15483)

380 381 382 383 384

144 145 145 146 147

400 161 924 689 456

54 55 55 56 56

872 306 742 181 623

000 341 968 887 104

19,4936 19,5192 19,5448 19,5704 19,5959

7,2432 7,2495 7,2558 7,2622 7,2685

1193,8 1196,9 1200,1 1203,2 1206,4

113411 114009 114608 115209 115812

445 446 447 448 449

198 198 199 200 201

025 916 809 704 601

88 88 89 89 90

121 716 314 915 518

125 536 623 392 849

21,0950 21,1187 21,1424 21,1660 21,1896

7,6346 7,6403 7,6460 7,6517 7,6574

1398,0 1401,2 1404,3 1407,4 1410,6

155523 156223 156930 157633 158337

385 368 387 388 389

148 148 149 150 151

225 996 769 544 321

57 57 57 58 58

066 512 960 411 863

625 456 603 072 869

19,6214 19,6469 19,6723 19,6977 19,7231

7,2748 7,2811 7,2874 7,2936 7,2999

1209,5 1212,7 1215,8 1218,9 1222,1

116416 117021 117628 118237 118847

450 451 452 453 454

202 203 204 205 206

500 401 304 209 116

91 91 92 92 93

125 733 345 959 576

000 851 408 677 664

21,2132 21,2368 21,2603 21,2838 21,3073

7,6631 7,6688 7,6744 7,6801 7,6857

1413,7 1416,9 1420,0 1423,1 1426,3

159043 159751 1604(0 161171 161813

390 391 392 393 394

152 100 152 881 153 664 154 449 155 236

59 59 60 60 61

319 776 236 698 162

000 471 288 457 984

19,7484 19,7737 19,7990 19,8242 19,8494

7,3061 7,3124 7,3186 7,3248 7,3310

1225.2 1228,4 1231,5 1234,6 1237,8

119459 120072 120687 121304 121922

455 456 457 458 459

207 207 208 209 210

025 936 849 764 681

94 94 95 96 96

196 818 443 071 702

375 816 993 912 579

21,3307 21,3542 21,3776 21,4009 21,4243

7,6914 7,6970 7,7026 7,7082 7,7138

1429,4 1432,6 1435,7 1438,8 1442,0

162597 1633J 3 164030 164758 1654' 8

395 396 397 398 399

156 156 157 158 159

025 816 609 404 201

61 62 62 63 63

629 099 570 044 521

875 136 773 792 199

19,8746 19,8997 19,9249 19,9499 19,9750

7,3372 7,3434 7,3496 7,3558 7,3619

1240,9 1244,1 1247,2 1250,4 1253,5

122542 123163 123786 124410 125036

460 461 462 463 464

211 212 213 214 215

600 521 444 369 296

97 97 98 99 99

336 972 611 252 897

000 181 128 847 344

21,4476 21,4709 21,4942 21,5174 21,5407

7,7194 7,7250 7,7306 7,7362 7,7418

1445,1 1448,3 1451,4 1454,6 1457,7

166190 166914 167639 168305 169093

400 401 402 403 404

160 160 161 162 163

000 801 604 409 216

61 64 64 65 65

000 481 964 450 939

000 201 808 827 264

20,0000 20,0250 20,0499 20,0749 20,0998

7,3681 7,3742 7,3803 7,3864 7,3925

1256,6 1259,8 1262,9 1266,1 1269,2

125664 126293 126923 127556 128190

465 466 467 468 469

216 217 218 219 219

225 156 089 024 961

100 101 101 102 103

544 194 847 503 161

625 696 563 232 709

21,5639 21,5870 21,6102 21,6333 21,6564

7,7473 7,7529 7,7584 7,7639 7,7695

1460,8 1464,0 1467,1 1470,3 1473,4

169823 170554 171287 172021 172757

405 406 407 408 409

164 164 165 166 167

025 836 649 464 281

66 66 67 67 68

430 923 419 917 417

125 416 143 312 929

20,1246 20,1494 20,1742 20,1990 20,2237

7,3986 7,4047 7,4108 7,4169 7,4229

1272,3 1275,5 1278,6 1281,8 1284,9

128825 129462 130100 130741 131382

470 471 472 473 474

220 221 222 223 224

900 841 784 729 676

103 104 105 105 106

823 487 154 823 496

000 111 048 817 424

21,6795 21,7025 21,7256 21,7486 21,7715

7,7750 7,7805 7,7860 7,7915 7,7970

1476,5 1479,7 1482,8 1486,0 1489,1

173494 174234 174974 175716 176460

410 411 412 413 414

168 168 169 170 171

100 921 744 569 396

68 69 69 70 70

921 426 934 444 957

000 531 528 997 944

20,2485 20,2731 20,2978 20,3224 20,3470

7,4290 7,4350 7,4410 7,4470 7,4530

1288,1 1291,2 1294,3 1297,5 1300,6

132025 132670 133317 133965 134614

475 476 477 478 479

225 226 227 228 229

625 576 529 484 441

107 107 108 109 109

171 850 531 215 902

875 176 333 352 239

21,7945 21,8174 21,8403 21,8632 21,8861

7,8025 7,8079 7,8134 7,8188 7,8243

1492,3 1495,4 1498,5 1501,7 1504,8

177205 177952 178701 179451 180203

350 — 414

415 — 479

Matematiske tabeller

n

n*

230 400

n»

Vn

n

nn1

n

469

n»

n3

7rn2 T

Vn

480 481 482 4-83 184

231 232 233 234

361 324 289 256

110 592 000 111 284 641 111 980 168 112 678 587 113 379 904

21,9089 21,9317 21,9545 21,9773 22,0000

7,8297 7,8352 7,8406 7,8460 7,8514

1508,0 1511,1 1514,2 1517,4 1520,5

180956 181711 182467 183225 183984

545 546 547 548 549

297 298 299 300 301

025 116 209 304 401

161 162 163 164 165

878 771 667 566 469

625 336 323 592 149

23,3452 23,3666 23,3880 23,4094 23,4307

8,1683 8,1733 8,1783 8,1833 8,1882

1712,2 1715,3 1718,5 1721,6 1724,7

233283 234140 234998 235858 236720

185 186 187 488 -189

235 236 237 238 239

225 196 169 144 121

114 084 114 791 115 501 116 214 116 930

125 156 303 272 169

22,0227 22,0454 22,0681 22,0907 22,1133

7,8568 7,8622 7,8676 7,8730 7,8784

1523,7 1526,8 1530,0 1533,1 1536,2

184745 185508 186272 187038 187805

550 551 552 553 554

302 303 304 305 306

500 601 704 809 916

166 375 167 284 168 196 169 112 170 031

000 151 608 377 464

23,4521 23,4734 23,4947 23,5161 23,5372

8,1932 8,1982 8,2031 8,2081 8,2130

1727,9 1731,0 1734,2 1737,3 1740,4

237583 238448 239314 240182 241051

-490 491 492 493 494

240 100 241 081 242 064 243 049 244 036

117 118 119 119 120

649 370 085 823 553

000 771 488 157 784

22,1359 22,1585 22,1811 22,2036 22,2261

7,8837 7,8891 7,8944 7,8998 7,9051

1539,4 1542,5 1545.7 1548,8 1551,9

188574 189345 190117 190890 191665

555 556 557 558 559

308 309 310 311 312

025 136 249 364 481

170 171 172 173 174

953 879 808 741 676

875 616 693 112 879

23,5584 23,5797 23,6008 23,6220 23,6432

8,2180 8,2229 8,2278 8,2327 8,2377

1743,6 1746,7 1749,9 1753,0 1756,2

241922 242795 243669 244545 245422

495 ?-96 f-97 G 98 r 99

245 246 247 248 249

025 016 009 004 001

121 122 122 123 124

287 375 023 936 763 473 505 992 251 499

22,2486 22,2711 22,2935 22,3159 22,3383

7,9105 7,9158 7,9211 7,9264 7,9317

1555,1 1558,2 1561,4 1564,5 1567,7

192442 193221 194000 194782 195565

560 561 562 563 564

313 314 315 316 318

600 721 844 969 096

175 176 177 178 179

616 558 504 453 406

000 481 328 547 144

23,6643 23,6854 23,7065 23,7276 23,7487

8,2426 8,2475 8,2524 8,2573 8,2621

1759,3 1762,4 1765,6 1768,7 1771,9

246301 247181 248063 248947 249832

’00 01 >

TI

1

e >>

1

n8

n2

n

tr n

un2 "T

740 741 742 743 744

547 549 550 552 553

600 081 564 049 536

405 406 408 410 411

224 869 518 172 830

000 021 488 407 784

27,2029 27,2213 27,2397 27,2580 27,2764

9,0450 9,0491 9,0532 9,0572 9,0613

2324,8 2327,9 2331,1 2334,2 2337,3

430084 431247 432412 433578 434746

805 806 807 808 809

648 649 651 652 654

025 636 249 864 481

521 523 525 527 529

660 606 557 514 475

125 616 943 112 129

28.3725 28,3901 28,4077 28,4253 28,4429

9,3025 9,3063 9,3102 9,3140 9,3179

2529,0 2532,1 2535,3 2538,4 2541,5

508958 510223 511490 512758 514028

745 746 747 748 749

555 556 558 559 561

025 516 009 504 001

413 415 416 418 420

493 160 832 508 189

625 936 723 992 749

27,2947 27,3130 27,3313 27,3496 27,3679

9,0654 9,0694 9,0735 9,0775 9,0816

2340,5 2343,6 2346,8 2349,9 2553,1

435916 437087 438259 439433 440609

810 811 812 813 814

656 657 659 660 662

100 721 344 969 596

531 533 535 537 539

441 411 387 367 353

000 731 328 797 144

28,4605 28,4781 28,4956 28,5132 28,5307

9,3217 9,3255 9,3294 9,3332 9,3370

2544,7 2547,8 2551,0 2554,1 2557,3

515300 516573 517848 519124 520402

750 751 752 753 754

562 564 565 567 568

500 001 504 009 516

421 423 425 426 428

875 564 259 957 661

000 751 008 777 064

27,3861 9,0856 27,4044 9,0896 27,4226 ' 9,0937• 27,4408 9,0977 27,4591 9,1017

2356,2 2359,3 2362,5 2365,6 2368,8

441786 442965 444146 445328 446511

815 816 817 818 819

664 665 667 669 670

225 856 489 124 761

541 543 545 547 549

343 338 338 343 353

375 496 513 432 259

28,5482 28,5657 28,5832 28,6007 28,6182

9,3408 9,3447 9,3485 9,3523 9,3561

2560,4 2563,5 2566,7 2569,8 2573,0

521681 522962 524245 525529 526814

755 756 757 758 759

570 571 573 574 576

025 536 049 564 081

430 432 433 435 437

368 081 798 519 245

875 216 093 512 479

27,4773 27,4955 27,5136 27,5318 27,5500

9,1057 9,1098 9,1138 9,1178 9,1218

2371,9 2375,0 2378,2 2381,3 2384,5

447697 448883 450072 451262 452453

820 821 822 823 824

672 674 675 677 678

400 041 684 329 976

551 553 555 557 559

368 387 412 441 476

000 661 248 767 224

28,6356 28,6531 28,6705 28,6880 28,7054

9,3599 9,3637 9,3675 9,3713 9,3751

2576,1 2579,2 2582,4 2585,5 2588,7

528102 529391 530681 531973 533267

760 761 762 763 764

577 579 580 582 583

600 121 644 169 696

438 440 442 444 445

976 711 450 194 943

000 081 728 947 744

27,5681 27,5862 27.6043 27,6225 27,6405

9,1258 9,1298 9,1338 9,1378 9,1418

2387,6 2390,8 2393,9 2397,0 2400,2

453646 454841 456037 457234 458434

825 826 827 828 829

680 682 683 685 687

625 276 929 584 241

561 563 565 567 569

515 559 609 663 722

625 976 283 552 789

28,7228 28,7402 28,7576 28,7750 28,7924

9,3789 9,3827 9,3865 9,3902 9,3940

2591,8 2595,0 2598,1 2601,2 2604,4

534562 535858 537157 538456 539758

765 766 767 768 769

585 586 588 589 591

225 756 289 824 361

447 697 449 455 451 217 452 984 454 756

125 096 663 832 609

27,6586 27,6767 27,6948 27,7128 27,7308

9,1458 9,1498 9,1537 9,1577 9,1617

2403,3 2406,5 2409,6 2412,7 2415,9

459635 460837 462041 463247 464454

830 831 832 833 834

688 690 692 693 695

900 561 224 889 556

571 573 575 578 580

787 856 930 009 093

000 191 368 537 704

28,8097 28,8271 28,8444 28,8617 28.8791

9,3978 9,4016 9,4053 9,4091 9,4129

2607,5 2610,7 2613,8 2616,9 2620,1

541061 542365 543671 544979 546288

770 771 772 773 774

592 594 595 597 599

900 441 984 529 076

456 458 460 461 463

533 314 099 889 684

000 011 648 917 824

27,7489 27,7669 27,7849 27,8029 27,8209

9,1657 9,1696 9,1736 9,1775 9,1815

2419,0 2422,2 2425,3 2428,5 2431,6

465663 466873 468085 469298 470513

835 836 837 838 839

697 698 700 702 703

225 896 569 244 921

582 584 586 588 590

182 277 376 480 589

875 056 253 472 719

28,8964 28,9137 28,9310 28,9482 28,9655

9,4166 9,4204 9,4241 9,4279 9,4316

2623,2 2626,4 2629,5 2632,7 2635,8

547599 548912 550226 551541 552858

775 776 777 778 779

600 602 603 605 606

625 176 729 284 841

465 467 469 470 472

484 288 097 910 729

375 576 433 952 139

27,8388 27,8568 27,8747 27,8927 27,9106

9,1855 9,1894 9,1933 9,1973 9,2012

2434,7 2437,9 2441,0 2444,2 2447,3

471730 472948 474168 475389 476612

840 841 842 843 844

705 707 708 710 712

600 281 964 649 336

592 594 596 599 601

704 823 947 077 211

000 321 688 107 584

28,9828 29,0000 29,0172 29,0345 29,0517

9,4354 9,4391 9,4429 9,4466 9,4503

2638,9 2642,1 2645,2 2648,4 2651,5

554177 555497 556819 558142 559467

780 781 782 783 784

608 400 609 961 611 524 613 089 614 656

474 476 478 480 481

552 379 211 048 890

000 541 768 687 304

27,9285 27,9464 27,9643 27,9821 28,0000

9,2052 9,2091 9,2130 9,2170 9,2209

2450,4 2453,6 2456,7 2459,9 2463,0

477836 479062 480290 481519 482750

845 846 847 848 849

714 715 717 719 720

025 716 409 104 801

603 605 607 609 611

351 495 645 800 960

125 736 423 192 049

29,0689 29,0861 29,1033 29,1204 29,1376

9,4541 9,4578 9,4615 9,4652 9,4690

2654,6 2657,8 2660,9 2664,1 2667,2

560794 562122 563452 564783 566116

785 786 787 788 789

616 617 619 620 622

483 485 487 489 491

736 587 443 303 169

625 656 403 872 069

28,0179 28,0357 28,0535 28,0713 28,0891

9,2248 9,2287 9,2326 9,2365 9,2404

2466,2 2469,3 2472,4 2475,6 2478,7

483982 485246 486451 487688 488927

850 851 852 853 854

722 724 725 727 729

500 201 904 609 316

614 616 618 620 622

125 295 470 650 835

000 051 208 477 864

29,1548 29,1719 29,1890 29,2062 29,2233

9,4727 9,4764 9,4801 9,4838 9,4875

2670,4 2673,5 2676,6 2679,8 2682,9

567450 568786 570124 571463 572803

790 791 792 793 794

624 100 625 681 627 264 628 849 630 436

493 039 494 913 496 793 498 677 500 566

000 671 088 257 184

28,1069 28,1247 28,1425 28,1603 28,1780

9,2443 9,2482 9,2521 9,2560 9,2599

2481,9 2485,0 2488,1 2491,3 2494,4

490167 491409 492652 493897 495143

855 856 857 858 859

731 732 734 736 737

025 736 449 164 881

625 627 629 631 633

026 222 422 628 839

375 016 793 712 779

29,2404 29,2575 29,2746 29,2916 29,3087

9,4912 9,4949 9,4986 9,5023 9,5060

2686,1 2689,2 2692,3 2695,5 2698,6

574146 575490 576835 578182 579530

795 796 797 798 799

632 025 633 616 635 209 636 804 638 401

502 459 875 504 358 336 506 261 573 508 169 592 510 082 399

28,1957 28,2135 28,2312 28,2489 28,2666

9,2638 9,2677 9,2716 9,2754 9,2793

2497,6 2500,7 2503,8 2507,0 2510,1

496391 497641 498892 500145 501399

860 861 862 863 864

739 741 743 744 746

600 321 044 769 496

636 056 000 638 277 381 640 503 928 642 735 647 644 972 544

29,3258 29,3428 29,3598 29,3769 29,3939

9,5097 9,5134 9,5171 9,5207 9,5244

2701,8 2704,9 2708,1 2711,2 2714,3

580880 582232 583585 584940 586297

800 801 802 803 804

640 641 643 644 646

512 000 513 922 515 849 517 781 519 718

28,2843 28,3019 28,3196 28,3372 28,3549

9,2832 9,2870 9,2909 9,2948 9,2986

2513,3 2516,4 2519,6 2522,7 2525,8

502655 503912 505171 506432 507694

865 866 867 868 869

748 749 751 753 755

225 956 689 424 161

647 649 651 653 656

625 896 363 032 909

29,4109 29,4279 29,4449 29,4618 29,4788

9,5281 9,5317 9,5354 9,5391 9,5427

2717,5 2720,6 2723,8 2726,9 2730,0

587655 589014 590375 591738 593102

225 796 369 944 521

000 601 204 809 416

740 — 804

000 401 608 627 464

805 — 869

214 461 714 972 234

472

Matematiske tabeller

n

n3

n2

Vn

rc n

ren2 ~4~

n

n2

n3

Vn

tt n

TC n2

870 871 872 873 874

756 758 760 762 763

900 641 384 129 876

658 660 663 665 667

503 776 054 338 627

000 311 848 617 624

29,4958 29,5127 29,5296 29,5466 29,5635

9,5464 9,5501 9,5537 9,5574 9,5610

2733,2 2736,3 2739,5 2742,6 2745,8

594468 595835 597204 598575 599947

935 936 937 938 939

874 876 877 879 881

225 096 969 844 721

817 820 822 825 827

400 025 656 293 936

375 856 953 672 019

30,5778 30,5941 30,6105 30,6268 30,6431

9,7785 9,7819 9,7854 9,7889 9,7924

2937,4 2940,5 2943,7 2946,8 2950,0

686615 688084 689555 691028 692502

875 876 877 878 879

765 767 769 770 772

625 376 129 884 641

669 672 674 676 679

921 221 526 836 151

875 376 133 152 439

29,5804 29,5973 29,6142 29,6311 29,6479

9,5647 9,5683 9,5719 9,5756 9,5792

2748,9 2752,0 2755,2 2758,3 2761,5

601320 602696 604073 605451 606831

940 941 942 943 944

883 885 887 889 891

600 481 364 249 136

830 833 835 838 841

584 237 896 561 232

000 621 888 807 384

30,6594 30,6757 30,6920 30,7083 30,7246

9,7959 9,7993 9,8028 9,8063 9,8097

2953,1 2956,2 2959,4 2962,5 2965,7

693978 695455 696934 698415 699897

880 881 882 883 884

774 776 777 779 781

400 161 924 689 456

681 683 686 688 690

472 797 128 465 807

000 841 968 387 104

29,6648 29,6816 29,6985 29,7153 29,7321

9,5828 9,5865 9,5901 9,5937 9,5973

2764,6 2767,7 2770,9 2774,0 2777,2

608212 609595 610980 612366 613754

945 946 947 948 949

893 894 896 898 900

025 916 809 704 601

843 846 849 851 854

908 590 278 971 670

625 586 123 392 349

30,7409 30,7571 30,7734 30,7896 30,8058

9,8132 9,8167 9,8201 9,8236 9,8270

2968,8 2971,9 2975,1 2978,2 2981,4

701380 702865 704352 705840 707330

885 886 887 888 889

783 784 786 788 790

225 996 769 544 321

693 695 697 700 702

154 506 864 227 595

125 456 103 072 369

29,7489 29,7658 29,7825 29,7993 29,8161

9,6010 9,6046 9,6082 9,6118 9,6154

2780,3 2783,5 2786,6 2789,7 2792,9

615143 616534 617927 619321 620717

950 951 952 953 954

902 904 906 908 910

500 401 304 209 116

857 860 862 865 868

375 085 801 523 250

000 351 408 177 664

30,8221 30,8383 30,8545 30,8707 30,8869

9,8305 9,8339 9,8374 9,8408 9,8443

2984,5 2987,7 2990,8 2993,9 2997,1

708822 710315 711809 713306 714803

890 891 892 893 894

792 793 795 797 799

100 881 664 449 236

704 707 709 712 714

969 347 732 121 516

000 971 288 957 984

29,8329 29,8496 29,8664 29,8831 29,8998

9,6190 9,6226 9,6262 9,6298 9,6334

2796,0 2799,2 2802,3 2805,4 2808,6

622114 623513 624913 626315 627718

955 956 957 958 959

912 913 915 917 919

025 936 849 764 681

870 873 876 879 881

983 722 467 217 974

875 816 493 912 079

30,9031 30,9192 30,9354 30,9516 30,9677

9,8477 9,8511 9,8546 9,8580 9,8614

3000,2 3003,4 3006,5 3009,6 3012,8

716303 717804 719306 720810 722316

895 896 897 898 899

801 802 804 806 808

025 816 609 404 201

716 719 721 724 726

917 323 734 150 572

375 136 273 792 699

29,9166 29,9333 29,9500 29,9666 29,9833

9,6370 9,6406 9,6442 9,6477 9,6513

2811,7 2814,9 2818,0 2821,2 2824,3

629124 630530 631938 633348 634760

960 961 962 963 964

921 923 925 927 929

600 521 444 369 296

884 887 890 893 895

736 503 277 056 841

000 681 128 347 344

30,9839 31,0000 31,0161 31,0322 31,0483

9,8648 9,8683 9,8717 9,8751 9,8785

3015,9 3019,1 3022,2 3025,4 3028,5

723823 725332 726842 728354 729867

900 901 902 903 904

810 811 813 815 817

000 801 604 409 216

729 731 733 736 738

000 432 870 314 763

000 701 808 327 264

30,0000 30,0167 30,0333 30,0500 30,0666

9,6549 9,6585 9,6620 9,6656 9,6692

2827,4 2830,6 2833,7 2836,9 2840,0

636173 637587 639003 640421 641840

965 966 967 968 969

931 933 935 937 938

225 156 089 024 961

898 901 904 907 909

632 428 231 039 853

125 696 063 232 209

31,0644 31,0805 31,0966 31,1127 31,1288

9,8819 9,8854 9,8888 9,8922 9,8956

3031,6 3034,8 3037,9 3041,1 3044,2

731382 732899 734417 735937 737458

905 906 907 908 909

819 820 822 824 826

025 836 649 464 281

741 743 746 748 751

217 677 142 613 089

625 416 643 312 429

30,0832 30,0998 30,1164 30,1330 30,1496

9,6727 9,6763 9,6799 9,6834 9,6870

2843,1 2846,3 2849,4 2852,6 2855,7

643261 644683 646107 647533 648960

970 971 972 973 974

940 942 944 946 948

900 841 784 729 676

912 915 918 921 924

673 498 330 167 010

000 611 048 317 424

31,1448 31,1609 31,1769 31,1929 31,2090

9,8990 9,9024 9,9058 9,9092 9,9126

3047,3 3050,5 3053,6 3056,8 3059,9

738981 740506 742032 743559 745088

910 911 912 913 914

828 829 831 833 835

100 921 744 569 396

753 756 758 761 763

571 058 550 048 551

000 031 528 497 944

30,1662 30,1828 30,1993 30,2159 30,2324

9,6905 9,6941 9,6976 9,7012 9,7047

2858,8 2862,0 2865,1 2868,3 2871,4

650388 651818 653250 654684 656118

975 976 977 978 979

950 952 954 956 958

625 576 529 484 441

926 929 932 935 938

859 714 574 441 313

375 176 833 352 739

31,2250 31,2410 31,2570 31,2730 31,2890

9,9160 9,9194 9,9227 9,9261 9,9295

3063,1 3066,2 3069,3 3072,5 3075,6

746619 748151 749685 751221 752758

915 916 917 918 919

837 839 840 842 844

225 056 889 724 561

766 768 771 773 776

060 575 095 620 151

875 296 213 632 559

30,2490 30,2655 30,2820 30,2985 30,3150

9,7082 9,7118 9,7153 9,7188 9,7224

2874,6 2877,7 2880,8 2884,0 2887,1

657555 658993 660433 661874 663317

980 981 982 983 984

960 962 964 966 968

400 361 324 289 256

941 944 946 949 952

192 076 966 862 763

000 141 168 087 904

31,3050 31,3209 31,3369 31,3528 31,3688

9,9329 9,9363 9,9396 9,9430 9,9464

3078,8 3081,9 3085,0 3088,2 3091,3

754296 755837 757378 758922 760466

920 921 922 923 924

846 848 850 851 853

400 241 084 929 776

778 781 783 786 788

688 229 777 330 889

000 961 448 467 024

30,3315 30,3480 30,3645 30,3809 30,3974

9,7259 9,7294 9,7329 9,7364 9,7400

2890,3 2893,4 2896,5 2899,7 2902,8

664761 666207 667654 669103 670554

985 986 987 988 989

970 972 974 976 978

225 196 169 144 121

955 958 961 964 967

671 585 504 430 361

625 256 803 272 669

31,3847 31,4006 31,4166 31,4325 31,4484

9,9497 9,9531 9,9565 9,9598 9,9632

3094,5 3097,6 3100,8 3103,9 3107,0

762013 763561 765111 766662 768214

925 926 927 928 929

855 857 859 861 863

625 476 329 184 041

791 794 796 799 801

453 022 597 178 765

125 776 983 752 089

30,4138 30,4302 30,4467 30,4631 30,4795

9,7435 9,7470 9,7505 9,7540 9,7575

2906,0 2909,1 2912,3 2915,4 2918,5

672006 673460 674915 676372 677831

990 991 992 993 994

980 982 984 986 988

100 081 064 049 036

970 973 976 979 982

299 242 191 146 107

000 271 488 657 784

31,4643 31,4802 31,4960 31,5119 31,5278

9,9666 9,9699 9,9733 9,9766 9,9800

3110,2 3113,3 3116,5 3119,6 3122,7

769769 771325 772882 774441 776002

930 931 932 933 934

864 866 868 870 872

900 761 624 489 356

804 806 809 812 814

357 000 954 491 557 568 166 237 780 504

30,4959 30,5123 30,5287 30,5450 30,5614

9,7610 9,7645 9,7680 9,7715 9,7750

2921,7 2924,8 2928,0 2931,1 2934,2

679291 680752 682216 683680 685147

995 996 997 998 999

990 992 994 996 998

025 016 009 004 001

985 988 991 994 997

074 047 026 011 002

875 936 973 992 999

31,5436 31,5595 31,5753 31,5911 31,6070

9,9833 9,9866 9,9900 9,9933 9,9967

3125,9 3129,0 3132,2 3135,3 3138,5

777564 779128 780693 782260 783828

870 — 934

935 — 999

Trigonometriske størrelser

cc

473

474

w II

O lJC F

■

1

V lø C l

Trigonometriske størrelser

O X >C CO 00 co co cc

co 04 f—I O co co co co co

c\ co r- \c lo

c\ co t> o m \O kO \O 'O C

lo co 04 co ox 'O m Tt rf* X O 04

Oo oo O

\o co x X

eo o r* r* O 04

eo i—< 04 co m c T*

r< x o KO 'O '-O 'O 'O

occ > 'O m LO LO LO LO LO

t* co 04 o IO LO LO to LO

o x r* o to r* * r* *T r* Tf T

eo eo »—( -—< lo r- lo O’ co co rrXOCOtOC-

KO (>. r-H r_( x co r* in 04

"r* LO O CO O lo lo 04 r
o

o

Tekniske enheter. Lengdemål og flatemål. Rommål og vekt.

475

Tekniske enheter Normal barometerstand (ved 0° C.) — n + 2), sykliske hydrokarboner (Cn H2n) og aromatiske hydrokarboner (Cn H2n + c). De første ledd i parafinrekken er metan (CH4), etan (C2 Hc), propan (C3 H8) og butan (C4 H10) som alle er i gassform ved vanlig trykk og tem­ peratur. Første skritt i oljeletingen er å kartlegge sedimentasjonsbassenger, som kan skjule seg under tørt land eller under havområder. Videre søker man å skaffe seg et hilde av «fellene», dvs. de geologiske strukturer som er av en slik art at de kan lagre olje og gass. For å forstå prinsippet om «feller», må man først kjenne de to hovedkarakteristikkene for en reservoar-bergart, nemlig porøsitet og per­ meabilitet. Porøsiteten gir et uttrykk for lag­ ringskapasiteten, eller hvor stor del av berg­

arten som utgjøres av porer (5—25 prosent for de fleste reservoarer), mens permeabiliteten gir et tallmessig uttrykk for «ledningsevne», eller for hvor lett olje og gass kan strømme fra ett sted til et annet. Olje og gass finnes nemlig lagret i de små porene i porøse bergarter, og er ikke å finne som store «sjøer» nede i dypet som det populært kan fremstilles. Man antar at oljen er dannet i spesielle berg­ arter, moderbergarter, og har vandret til det sted de nå er fanget opp. Hydrokarbonene er lettere enn det vann bergartene ellers innehol­ der, og vil derfor samles i det høyest tilgjenge­ lige punkt -— dvs. der de stanses av ugjennom­ trengelige lag, dekkebergarter. «Feller» er altså en betegnelse som ofte brukes om nivåer der lagenes form og sammensetning gir muligheten for oppsamling av petroleum. Et viktig hjelpemiddel for å danne seg et bilde av de potensielle reservoarer gir geofysik­ ken oss. Ved grove oversiktsundersøkelser for opplys­ ninger særlig om sedimentasjonsbassengets ut­ strekning og sedimenttykkelser, brukes gravimetriske og magnetiske metoder der prinsippene er en måling av henholdsvis jordens tyngdefelt og magnetfelt. For å få et direkte bilde av lagene, brukes refraksjons- og refleksjonsseismiske undersøkel­ ser. Den siste er den mest kostbare i bruk, og benyttes til detaljundersøkelser av områder som de før nevnte metoder har vist er av inte­ resse. Prinsippet er at det fra en kunstig energi-

Oljeboring

491

kilde (dynamitt, trykkluft, elektrisk utladning e.l.) sendes ut lydbølger som trenger nedover og delvis reflekteres ved overganger fra ett lag til et annet (egentlig ved diskontinuiteter i pro­ duktet av lydhastighet og tetthet for sedimentene). De reflekterte bølger registreres av geophoner når de kommer tilbake til overflaten igjen, tilsvarende et ekko. Medgått tid males, og man kan danne seg et bilde av formen og pa hvilket dyp et lag er. Ut fra serier av slike registreringer langs parallelle linjer, kan man danne seg et bilde av et helt område. Flere lag kart­ legges ved samme serie. Refleksj onsseismiske undersøkelser Lydbølger trenger nedover i lagene, reflekteres og fanges opp av hvdrophoner i overflaten. (Kun refleksjoner Ira en lag-overgang brukt som eksempel. Andre nivaerkart legges ved samme serie.)

BORING På land Etter at geologer og geofysikere bar avsluttet sin interpretering og fremlagt hvor forundersøkelsene synes å indikere muligheter for oljeeller gassreservoarer, er det kun en metode til å fastslå hvorvidt disse mulige «feller» virkelig finnes og om de eventuelt inneholder drivver­ dige forekomster av olje eller gass, nemlig boring. Den boremetoden som dominerer i vestlige land er rotary-boringen. Prinsippet er at man i overflaten overfører et dreiemoment til en rekke av sammenskrudde rør. «borestrengen», hvortil borkronen er festet. Fremdriften av borehullet, borsynken. vari­ erer sterkt med bergarten og er forøvrig bl.a. avhengig av rotasjonshastighet og trykk pa bor­ kronen. Dette trykket overføres fra vekten av de nederste rørene som er særlig tykke, mens resten av borestrengen holdes i strekk ved opphengning i løftetaljen. Typisk for en boreplass er det høye boretår­ net. Dets bøyde skyldes i første rekke at tårnet tjener som lagringsplass for rørene. Ved skifte av borkroner på grunn av slitasje f.eks., må hele borestrengen tas opp. Dette gjøres ved suksessivt å skru av lengder på 3 rør (25—30 meter) som lagres vertikalt ved siden av hver­ andre i tårnet, hvorpå følger den omvendte

prosessen etter at borkronen er skiftet. Ved den vanlige fremdrift av hullet skjøter man imid­ lertid på bare ett rør av gangen. Opptak av bore­ strengen er et arbeid som må gjøres relativt ofte og er tidkrevende. Ved beregning av maskininstallasjonen tas sikte på en midlere opp­ taks- og nedsenkningshastighet pa 1 000 m/time, dvs. at skifting av en borkrone på 3 000 meters dyp tar 6 timer. Total vekt av borestrengen i det tilfelle er omlag 80 tonn, og installasjonen må være minst 1 000—1 100 hk. Ved hull på 6 000 meters dvp vil man ha behov for en installasjon på 2 200—2 500 hk, regnet ut fra samme kri­ terium pa en økonomisk manøverhastighet. Maskininstallasjon i denne størrelsesorden ei­ det også behov for under selve boringen til rota­ sjon og først og fremst pumpene. Under boringen pumpes nemlig slamvann eller «niud» kontinu­ erlig gjennom borestrengen, gjennom borkro­ nen og tilbake til overflaten igjen i rommet mellom borestrengen og hullveggen. Slamvannet er en omhyggelig overvåket blanding av vann (eventuelt olje), leire og kjemikalier hvis fremste oppgave er å rense og kjøle borkronen, bringe borestøvet opp til overflaten, kontrollere trykket i lagene og stabilisere hullveggen. Ved boring med diameter 12 *74 (311,15 mm) kan

492

Einar Wathne: Oljeproduksjon

man eksempelvis ha en væskestrøm på 2 000— 3 000 1/min. For å hindre utrasninger fra løse lag som sand og leire og for å stenge av væskeførende lag, settes fra tid til annen ned en rørvegg («casing») i borehullet. Denne sementeres fast og boringen fortsetter med en mindre diameter. Hullet får derfor en teleskopisk form. I overflaten er flere ventiler beregnet på å kunne lukkes øyeblikkelig hvis man kommer ned i formasjoner med så høye trykk at de ikke kontrolleres av det hydrostatiske trykk som slamvannet utøver.

I det våte element Mens boring etter olje på land ble kronet med hell allerede for mer enn 100 år tilbake, var det først for en mannsalder siden at oljeleterne beveget seg ut i det våte element med sitt boreutstyr. I starten ble plattformer bygget direkte på det enkelte borested, men det ble snart åpenbart at dette var en uøkonomisk løsning. I 1949 kom så den første mobile plattform, og det er langs denne linjen utviklingen senere er gått. Fire kategorier har senere utkrystallisert seg: submersible, semisubmersible, jack-up og bore­

skip. Teknologien har utviklet seg hurtig tak­ ket være den raskt økende interesse for kontinentalsoklenes potensielle verdier. Den plattformtype som har vært mest brukt i Nordsjøen er jack-up-plattformen, altså den oppjekkbare typen som står på bunnen under boringen. Dessuten, og i stigende grad ettersom utviklingen går mot operasjoner på dypere vann, kommer semisubmersible-plattformen (delvis nedsenkbar) og boreskipet stadig sterkere inn. Ved valget'av enlfeter for et bestemt oppdrag vil faktorer som sikkerhet, stabilitet, mobilitet, dybde og klimatiske forhold spille sterkt inn, foruten, selvsagt, de løpende utgifter der særlig assuranse og kapitalutgifter kan variere sterkt fra en plattform til en annen. Også ved boring offshore er det i det alt vesentlige den teknologien som ovenfor er be­ skrevet for boring på land som kommer til anvendelse. Enkelte tillempninger blir det dog — i første rekke for de flytende plattformer på grunn av den relative bevegelse mellom platt­ formen og havbunnen. En konsekvens av dette er at alle sikkerhetsventiler må stå på bunnen slik at kontrollen over hullet ikke tapes om plattformen driver av i dårlig vær.

OLJEUTVINNING Undersøkelser av funn A sette et olje- eller gassfelt i produksjon krever enorme investeringen Hvis man under boring av et utforskningshull påtreffer hydro­ karboner, vil man derfor utnytte maksimalt den adgang hullet gir til å skaffe reservoardata før man fatter beslutning om eventuelt å under­ søke funnet med flere borehull, såkalte step out wells, for å kontrollere forekomstens kvalitet og utstrekning. En undersøkelsesmetode som brukes i hullene for å skaffe opplysninger om reservoarbergartens innhold og hullets produksjonskapasitet er testing. Denne operasjonen utføres normalt etter at hullet er ferdighoret og rørvegger satt ned. Lag som er interessante ut fra en vurdering av borehullsloggene, blir suksessivt testet etter perforering av rørveggen. Det cr ofte aktuelt å foreta flere separate tester hvis lagene av interesse har varierende egenskaper og/eller er særlig mektige.

Under testingen lar man det som reservoarlagene inneholder, olje/gass/vann, strømme opp til overflaten gjennom et system av ventiler og dyser alt mens man fortløpende foretar for­ skjellige målinger, i første rekke trykkforldpet på bunnen og i overflaten, samt utstrømningshastighetene. For bedre å beregne de enkelte lags produksjonskapasitet foretas testene ved varierende dysestørrelser. Hullets totale pro­ duksjonskapasitet beregnes så på grunnlag av disse separate tester. Testene sier imidlertid lite om de totale reserver eller mengder av olje og gass som skjuler seg i forekomsten. Disse reserver må be­ regnes på grunnlag av seismiske karter og pro­ filer og reservoartekniske data fremskaffet ved boringene. De data boringene gir er for punktobservasjoner å regne, og det blir en høy grad av interpolasjon og ekstrapolasjon. Ett er de totale reserver i forekomstene, noe helt annet er hvor stor del av disse som

Oljeutvinning

493

Under testfasen (skissen t. v.) er den nederste del av roret stengt av, det er åpnet opp til reservoaret ved perforering av rørveggen, og utstrømningen kontrolleres ved hjelp av ventiler. På plattformen skilles olje og gass, de nødvendige malinger foretas, og produktene brennes. På grunnlag av dette beregnes så hullets produktivitet. — Ved permanent produksjon (skisse t. h.) baserer man seg idag oftest på bruk av store faste produksjonsplattformer der man plaserer boreriggen lor borin» av produksjonshullene. Opptil 30—40 hull kan bores fra en og samme plattform. Man anvender såkalt avviksboring, og antall hull som bores bestemmes av hullenes produktivitet og borehullsdybden. Den siste bestemmer ogsa muligheten for det horisontale avvik. Maksimalt kan man oppnå en vinkelendring på opp til 60—70°.

kan utnyttes. Utvinningsprosenten varierer sterkt fra felt til felt, og det vil alltid være vanskelig å lia noen sikker formening om denne før pro­ duksjon har pågått i lengre tid. Generelt vil den være vesentlig høyere for gassfelter enn for oljefelter, ofte forekommende verdier vil være i størrelsen 60—80 % respektive 10—40 %. Injisering av gass og/eller vann er blant de metoder som med hell brukes ved flere typer oljefelter for å øke uttaket (secondary recovery). Hvis undersøkelsene som følger et funn kon­ kluderer med at feltet er kommersielt drivver­ dig, vil neste skritt være å installere produksjons­ utstyr og anlegg for videreføring av produktene .— i Nordsjø-sammenheng populært kalt iland­ føring.

Anlegg på produksjonsstedet De viktigste enheter som inngår i anlegg på produksjonsstedet er produksjonshull og instal­ lasjoner for å regulere og samle produksjonen, foreta en separasjon av faste stoffer, væske- og gassfase og eventuell tilsetning av kjemikalier

hvis dette er nødvendig av hensyn til videre ekspedering av produktene. I prinsippet er disse anleggene de samme for petroleumsfelter på land og i sjøen. Den viktigste forskjellen ligger kanskje i boringen av produksjonshullene der man på land vanligvis bruker vertikale hull, mens det ved offshore felter i stor utstrekning brukes awiksboring for å redusere antallet plattformer. Ved avviksboring avbøyes hullene og fordeles utover den petroleumsførende struktur. Dette gjøres oftest ved å sette ned en form for kile i hullet, en operasjon som må gjentas en rekke ganger før man får den ønskede retning. Avbøyningen er gjerne ca. 6.5°—1.5° pr. 10 meter. Således vil man oppnå en gunstig drenering eller utvinning fra feltet. Et opplegg basert på bruk av faste plattfor­ mer er det kjente og tradisjonelle opplegg. Ved økende havdyp blir konkurransen større o